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g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)68 b(6)227 1220 y(1.4)42 b(Ma\377theoretisc)o(he)15 b(Charakterisierung)f(der)h(Extremalpunkte)34 b(.)20 b(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)68 b(8)165 1332 y FK(2)38 b(Dopp)q(elt)14 b(sto)q(c)o(hastisc)o(he)e(Matrizen)729 b(12)227 1403 y FJ(2.1)42 b(De\034nition)13 b(und)h(erste)h(Eigensc)o(haften)35 b(.)21 b(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.) g(.)h(.)48 b(12)227 1474 y(2.2)42 b(An)o(w)o(endung)17 b(der)h(ma\377theoretisc)o(hen)g(Charakterisierung)f(der)h(Extremal-) 323 1523 y(punkte)g(.)i(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h (.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.) h(.)f(.)g(.)h(.)48 b(20)227 1594 y(2.3)42 b(W)m(urzelb\344ume)12 b(und)i FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elb\344ume)34 b(.)21 b(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g (.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)48 b(27)227 1665 y(2.4)42 b(Graphen)o(theoretisc)o(he)15 b(Charakterisierung)g(.)20 b(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.) g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)48 b(31)227 1735 y(2.5)42 b(Extremalpunktc)o (harakterisierungen)14 b(f\374r)g(endlic)o(he)g(Randsysteme)36 b(.)20 b(.)g(.)h(.)48 b(48)227 1806 y(2.6)42 b(Exp)q(onierte)15 b(Punkte)26 b(.)20 b(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.) f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)48 b(62)165 1918 y FK(3)38 b(Kardinalit\344tsbetrac)o(h)n(t)o(un)o(gen)811 b(69)227 1988 y FJ(3.1)42 b(Allgemeines)23 b(.)d(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.) h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h (.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)48 b(69)227 2059 y(3.2)42 b(Der)14 b(F)m(all)e FH(2)d FG(\002)h FI(!)j FJ(.)20 b(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g (.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)g(.)g(.)h(.)f(.)g(.)h(.)48 b(73)165 2171 y FK(A)26 b(Quelltexte)13 b(implemen)n(ti)o(ert)o(er)g (Algorithmen)539 b(81)227 2242 y FJ(A.1)32 b(Implemen)o(tation)11 b(eines)16 b(Algorithm)o(us)d(zur)i(Bestimm)o(ung)e(extremaler)i(Ma-) 323 2291 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FJ(und)g(Herr)h FE(U.)g(V)o(oll)f FJ(mit)e(dem)h(Problemkreis)f(\022)s (opti-)225 1138 y(maler)g(Couplings\020)s(.)h(Dab)q(ei)h(wird)f(ein)h (P)o(aar)g FH(\()p FI(X)q(;)7 b(Y)i FH(\))14 b FJ(v)o(on)f(me\377baren) h(Abbildungen)761 1223 y FI(X)q(;)7 b(Y)21 b FH(:)d(\012)11 b FG(\000)-6 b(!)11 b(f)p FH(1)p FI(;)c(:)g(:)g(:)t(;)g(n)p FG(g)-965 b FJ(\(0.1\))225 1308 y(auf)18 b(einem)f(W)m(ahrsc)o(heinlic) o(hk)o(eitsraum)f FH(\012)j FJ(als)e(Coupling)g(b)q(ezeic)o(hnet,)j (falls)d FI(P)1526 1314 y FD(X)1569 1308 y FH(=)12 b FI(\026)18 b FJ(und)225 1358 y FI(P)252 1364 y FD(Y)292 1358 y FH(=)12 b FI(\027)r FJ(,)f(w)o(ob)q(ei)g FI(\026)g FH(=)h(\()p FI(\026)618 1364 y FC(1)637 1358 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(\026)755 1364 y FD(n)777 1358 y FH(\))k FJ(und)h FI(\027)i FH(=)d(\()p FI(\027)1000 1364 y FC(1)1019 1358 y FI(;)c(:)g(:)g(:)e(;)i(\027)1133 1364 y FD(n)1154 1358 y FH(\))12 b FJ(gegeb)q(ene)h(W)m(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o(eits-)225 1408 y(ma\377e)f(auf)i FG(f)p FH(1)p FI(;)7 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y(Somit)k(w)o(ar)j(das)f(In)o(teresse)j(an)d(der)h(Kenn)o(tnis)g (der)g(Extremalpunkte)f(v)o(on)g(Mengen)h(v)o(on)225 2118 y(Ma\377en)13 b(mit)e(v)o(orgegeb)q(ener)j(Randv)o(erteilung)f (gew)o(ec)o(kt.)g(Einige)f(Literaturrec)o(herc)o(hen)k(erga-)225 2168 y(b)q(en,)c(da\377)f(das)h(Problem)f(der)h(Charakterisierung)g (solc)o(her)h(Extremalpunktmengen)d(seit)i(der)225 2218 y(Arb)q(eit)18 b(v)o(on)g FE(Birkhoff)h FJ(1946)e(\(siehe)h([1]\))f(in) g(einer)i(Vielzahl)e(v)o(on)g(Arb)q(eiten)i(un)o(tersuc)o(h)o(t)225 2268 y(w)o(orden)h(ist)g(und)f(es)i(viele)e(gel\366ste)h(und)g (ungel\366ste)g(Probleme)f(zu)h(diesem)f(Thema)f(gibt.)225 2318 y(V)m(on)d(den)h(Un)o(tersuc)o(h)o(ungsmetho)q(den)h(her)f(ist)f (dab)q(ei)g(zwisc)o(hen)i(den)f(F\344llen)f(diskreter)h(Ma-)225 2367 y(\377e)e(und)g(den)h(F\344llen)e(k)o(on)o(tin)o(uierlic)o(her)h (Ma\377e)g(zu)g(un)o(tersc)o(heiden.)i(W\344rend)e(seit)h(der)f(Arb)q (eit)225 2417 y(v)o(on)g FE(Grz\241\261lewicz)h FJ(1987)e(\(siehe)j([4) 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(erallgemeinert)e(und)j(erg\344nzt)f(\(zum)g(Beispiel)225 2835 y(w)o(erden)i(auc)o(h)e(\374b)q(erabz\344hlbare)i(diskrete)f (Ma\377r\344ume)f(b)q(etrac)o(h)o(tet\).)h(Dab)q(ei)g(wird)f(zun\344c)o (hst)965 2960 y(2)p eop %%Page: 3 5 3 4 bop 1644 50 a FJ(3)165 195 y(in)16 b(Absc)o(hnitt)h(2.2)e(der)i (Satz)g(v)o(on)f FE(Lindenstra)o(uss)i FJ(auf)d(diskrete)j(Ma\377e)e (angew)o(endet.)h(In)165 245 y(Absc)o(hnitt)f(2.4)e(w)o(erden)i(dann)f (die)g(Charakterisierungen)h(aus)f([4)o(])f(zusammengestellt,)g(w)o(o-) 165 295 y(b)q(ei)i(hier)f(k)o(onsequen)o(t)i(die)e(Sprac)o(he)i(der)f (Graphen)o(theorie)g(v)o(erw)o(endet)h(wird)e(\(neu)h(sind)g(die)165 345 y(S\344tze)g(2.4.11)e(und)i(2.4.27\).)d(In)j(Absc)o(hnitt)g(2.6)e (w)o(erden)j(einige)e(Asp)q(ekte)i(des)g(ansc)o(heinend)165 394 y(sehr)f(sc)o(h)o(wierigen)f(Problems)f(exp)q(onierter)i(Punkte)g (v)o(on)e(Mengen)i(v)o(on)e(Matrizen)h(mit)e(v)o(or-)165 444 y(gegeb)q(ener)j(Randv)o(erteilung)d(b)q(etrac)o(h)o(tet.)165 515 y(Am)f(leic)o(h)o(testen)i(ist)f(die)h(Charakterisierung)f(der)h (Extremalpunkte)f(erw)o(artungsgem\344\377)f(f\374r)165 565 y(endlic)o(he)i(diskrete)i(Ma\377e.)d(Dieser)i(F)m(all)e(wird)g(in) h(Absc)o(hnitt)h(2.5)e(b)q(ehandelt.)h(Man)g(k)o(enn)o(t)g(in)165 614 y(diesem)j(F)m(all)f(sogar)i(einen)g(Algorithm)o(us,)d(der)k(die)f (Extremalpunkte)f(erzeugt)i(\(siehe)g(Ab-)165 664 y(sc)o(hnitt)14 b(A.1)g(f\374r)f(eine)i(Implemen)o(tation\).)165 735 y(In)e(Kapitel)g(3)g(wird)g(in)g(v)o(ersc)o(hiedenen)i(F\344llen)e(die) g(Kardinalit\344t)f(der)i(Extremalpunktmen-)165 785 y(gen)i(b)q(estimm) o(t.)c(Sc)o(hon)k(im)e(endlic)o(hen)h(F)m(all)f(gibt)h(es)h(hier)g(no)q (c)o(h)g(viele)f(o\033ene)h(F)m(ragen.)f(Zum)165 834 y(Beispiel)h(sc)o(hein)o(t)g(es)g(bisher)g(k)o(einen)f(Algorithm)o(us)e (zu)j(geb)q(en,)g(der)g(die)f(Anzahl)g(der)h(Extre-)165 884 y(malpunkte)c(b)q(erec)o(hnet,)j(ohne)e(sie)h(alle)e(explizit)h(zu) h(b)q(estimmen.)d(F\374r)j(den)f FH(2)8 b FG(\002)h FI(n)p FJ(-F)m(all)i(ist)i(es)165 934 y(gelungen,)d(einen)h(solc)o(hen)g (Algorithm)o(us)e(zu)i(\034nden)g(\(siehe)g(De\034nition)f(3.2.1,)e (Satz)j(3.2.3)e(und)165 984 y(Absc)o(hnitt)14 b(A.2\).)e(Allerdings)g (m)o(u\377)g(f\374r)h(diesen)h(Algorithm)o(us)d(das)i(sogenann)o(te)g (\022)s(Knapsac)o(k-)165 1034 y(Problem\020)i(gel\366st)e(w)o(erden,)g (v)o(on)f(dem)g(b)q(ek)n(ann)o(t)h(ist,)f(da\377)h(es)g(NP-v)o (ollst\344ndig)e(ist)i(\(siehe)h(zum)165 1083 y(Beispiel)g([3)o(,)g(S.) f(247]\).)165 1154 y(Als)18 b(Ausblic)o(k)f(sei)i(erw)o(\344hn)o(t,)e (da\377)h(eine)g(F)m(ortf\374hrung)f(der)i(Arb)q(eit)f(in)g(v)o(ersc)o (hiedene)i(Ric)o(h-)165 1204 y(tungen)c(in)o(teressan)o(t)h(ersc)o (hein)o(t.)g(Zum)e(einen)i(stellt)f(sic)o(h)g(die)g(F)m(rage,)f(wie)h (sic)o(h)g(die)g(Theorie)165 1254 y(v)o(er\344ndert,)d(w)o(enn)g(die)g (Ma\377e)g(nic)o(h)o(t)f(l\344nger)h(reellw)o(ertig)g(sind)f(\(man)g(k) o(\366nn)o(te)g(sic)o(h)h(v)o(orstellen,)165 1303 y(W)m(erte)h(in)g (einem)e(Banac)o(hraum)h(zuzulassen,)i(auf)e(dem)g(ein)h(spitzer)h (Kegel)f(eine)g(Ordn)o(ungs-)165 1353 y(struktur)e(liefert\).)e(In)h (der)g(anderen)h(Ric)o(h)o(tung)e(k)n(ann)g(man)f(Pro)q(duktma\377e)h (mit)e(v)o(orgegeb)q(ener)165 1403 y(Randv)o(erteilung)j(mit)f(mehr)h (als)h(zw)o(ei)g(Komp)q(onen)o(ten)f(b)q(etrac)o(h)o(ten.)i(Sc)o (hlie\377lic)o(h)e(bleibt)h(no)q(c)o(h)165 1453 y(das)i(w)o(eite)g(F)m (eld)g(k)o(on)o(tin)o(uierlic)o(her)f(Ma\377e.)165 1523 y(An)g(dieser)g(Stelle)g(m\366)q(c)o(h)o(te)f(ic)o(h)h(Herrn)g(Prof.)f (Dr.)g FE(E.)j(Behrends)f FJ(f\374r)e(die)h(Betreuung)h(dieser)165 1573 y(Arb)q(eit)k(dank)o(en,)f(so)o(wie)g(f\374r)g(viele)g(hilfreic)o (he)g(Anregungen)h(und)g(Gespr\344c)o(he.)g(Eb)q(enso)g(gilt)165 1623 y(mein)c(Dank)i(den)g(Mitgliedern)g(der)g(\022)s(Mon)o(tagsarb)q (eitsgrupp)q(e\020)s(,)h(die)f(eb)q(enfalls)g(gute)g(Anre-)165 1673 y(gungen)e(f\374r)g(meine)f(Arb)q(eit)h(lieferten.)p eop %%Page: 4 6 4 5 bop 225 524 a FF(Kapitel)29 b(1)225 749 y FL(Grundlagen)225 1007 y FA(1.1)66 b(De\034nition)18 b(v)n(on)k(k)n(on)n(v)n(ex)e(und)h (extremal)225 1116 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(1.1.1.)21 b FJ(Eine)10 b(T)m(eilmenge)f FI(M)15 b FJ(eines)c(reellen)f(V)m (ektorraums)g(hei\377t)g Fz(konvex)h FJ(genau)225 1166 y(dann,)i(w)o(enn)722 1241 y FG(8)682 1268 y FD(x;y)q Fy(2)p FD(M)838 1241 y FG(8)797 1268 y FC(0)p Fy(\024)p FD(\013)p Fy(\024)p FC(1)903 1241 y FI(\013)7 b(x)i FH(+)g(\(1)h FG(\000)f FI(\013)p FH(\))p FI(y)k FG(2)e FI(M)r(:)-1043 b FJ(\(1.1\))225 1336 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(1.1.2.)21 b FJ(Sei)15 b FI(M)k FJ(eine)c(k)o(on)o(v)o(exe)g(Menge)g(gem\344\377)e (De\034nition)h(1.1.1)f(und)i FI(x)d FG(2)h FI(M)5 b FJ(.)225 1385 y(Man)14 b(nenn)o(t)g FI(x)g FJ(einen)g Fz(Extr)n(emalpunkt)h FJ(v)o(on)e FI(M)19 b FJ(genau)14 b(dann,)f(w)o(enn)510 1461 y FG(8)453 1487 y FD(x)472 1491 y Fx(1)488 1487 y FD(;x)517 1491 y Fx(2)533 1487 y Fy(2)p FD(M)643 1461 y FG(8)601 1486 y FC(0)p FD(<\013<)p FC(1)708 1461 y FH(\()p FI(x)e FH(=)h FI(\013)7 b(x)861 1467 y FC(1)888 1461 y FH(+)j(\(1)f FG(\000)h FI(\013)p FH(\))p FI(x)1085 1467 y FC(2)1156 1461 y FG(\))52 b FI(x)12 b FH(=)f FI(x)1353 1467 y FC(1)1383 1461 y FH(=)h FI(x)1451 1467 y FC(2)1469 1461 y FH(\))p FI(:)-1272 b FJ(\(1.2\))225 1558 y(Die)14 b(Menge)g(der)h(Extremalpunkte)e(v)o(on) g FI(M)19 b FJ(b)q(ezeic)o(hne)d(mit)c(E)p FH(\()p FI(M)5 b FH(\))p FJ(.)225 1646 y(Es)15 b(ist)f(manc)o(hmal)c(n)o(\374tzlic)o (h)k(zu)h(wissen,)f(da\377)g(es)h(f\374r)f(k)o(on)o(v)o(exes)g FI(M)19 b FJ(und)14 b(einen)g(als)g(Kon)o(v)o(ex-)225 1695 y(k)o(om)o(bination)g FI(x)i FH(=)h FI(\013x)607 1701 y FC(1)636 1695 y FH(+)12 b(\(1)f FG(\000)g FI(\013)p FH(\))p FI(x)838 1701 y FC(2)873 1695 y FJ(gegeb)q(enen)19 b(Punkt)e FI(x)f FG(2)h FI(M)k FJ(mit)15 b FI(x)1454 1701 y FC(1)1473 1695 y FI(;)7 b(x)1516 1701 y FC(2)1550 1695 y FG(2)16 b FI(M)22 b FJ(und)225 1745 y FI(\013)11 b FG(2)p FH(]0)p FI(;)c FH(1[)j FJ(immer)g(Punkte)16 b FH(~)-24 b FI(x)681 1751 y FC(1)699 1745 y FI(;)9 b FH(~)-23 b FI(x)742 1751 y FC(2)772 1745 y FG(2)11 b FI(M)17 b FJ(gibt,)11 b(so)i(da\377)f FI(x)f FH(=)1174 1729 y FC(1)p 1174 1736 17 2 v 1174 1759 a(2)1195 1745 y FI(x)1219 1751 y FC(1)1244 1745 y FH(+)1287 1729 y FC(1)p 1287 1736 V 1287 1759 a(2)1309 1745 y FI(x)1333 1751 y FC(2)1351 1745 y FJ(.)h(Es)h(gilt)e(das)h(folgende)225 1795 y(Lemma:)225 1865 y FK(Lemma)j(1.1.3.)21 b Fz(Sei)15 b FI(M)20 b Fz(eine)15 b(konvexe)h(Menge)g(und)f FI(x)d FG(2)f FI(M)5 b Fz(.)14 b(Dann)i(ist)406 1963 y FI(x)c FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FI(M)5 b FH(\))54 b FG(,)111 b(8)736 1990 y FD(x)755 1994 y Fx(1)771 1990 y FD(;x)800 1994 y Fx(2)815 1990 y Fy(2)p FD(M)891 1904 y FB(\022)922 1963 y FI(x)11 b FH(=)1006 1935 y(1)p 1006 1953 21 2 v 1006 1991 a(2)1038 1963 y FI(x)1062 1969 y FC(1)1090 1963 y FH(+)1136 1935 y(1)p 1136 1953 V 1136 1991 a(2)1169 1963 y FI(x)1193 1969 y FC(2)1265 1963 y FG(\))54 b FI(x)11 b FH(=)h FI(x)1464 1969 y FC(1)1494 1963 y FH(=)g FI(x)1562 1969 y FC(2)1580 1904 y FB(\023)1617 1963 y FI(:)-1404 b FJ(\(1.3\))225 2089 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Der)14 b(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(-T)m(eil)e(folgt,)g(indem)g(man)f(in)i(\(1.2\))g FI(\013)e FH(=)1190 2073 y FC(1)p 1190 2080 17 2 v 1190 2103 a(2)1225 2089 y FJ(setzt.)j(Bleibt)g(\022)s FG(\()p FJ(\020)i(zu)e(zeigen.)225 2139 y(Angenommen)9 b(es)i(gibt)g FI(x)636 2145 y FC(1)654 2139 y FI(;)c(x)697 2145 y FC(2)727 2139 y FG(2)k FI(M)k FJ(und)d FH(0)f FI(<)h(\013)f(<)h FH(1)p FJ(,)e(so)h(da\377)f FI(x)i FH(=)f FI(\013)c(x)1363 2145 y FC(1)1385 2139 y FH(+)j(\(1)s FG(\000)s FI(\013)p FH(\))p FI(x)1569 2145 y FC(2)1588 2139 y FI(:)h FJ(Indem)225 2189 y(man)k(zur)j(Not)f(die)g(Indizes)h(v)o(on)e FI(x)798 2195 y FC(1)834 2189 y FJ(und)h FI(x)944 2195 y FC(2)979 2189 y FJ(v)o(ertausc)o(h)o(t,)g(k)n(ann)g(man)e FI(\013)i FG(\025)1491 2172 y FC(1)p 1491 2179 V 1491 2203 a(2)1529 2189 y FJ(annehmen.)225 2239 y(Setze)521 2328 y FI(y)541 2334 y FC(1)571 2328 y FH(=)12 b FI(x)639 2334 y FC(1)699 2328 y FJ(und)41 b FI(y)829 2334 y FC(2)860 2328 y FH(=)909 2300 y(2)p FI(\013)8 b FG(\000)i FH(1)p 909 2319 119 2 v 955 2357 a FI(\013)1033 2328 y(x)f FH(+)1107 2270 y FB(\022)1138 2328 y FH(1)g FG(\000)1214 2300 y FH(2)p FI(\013)g FG(\000)g FH(1)p 1214 2319 V 1260 2357 a FI(\013)1338 2270 y FB(\023)1376 2328 y FI(x)1400 2334 y FC(2)1418 2328 y FI(:)225 2432 y FJ(Im)j(In)o(terv)n(all)g FH([)469 2416 y FC(1)p 468 2423 17 2 v 468 2447 a(2)490 2432 y FI(;)7 b FH(1])k FJ(ist)615 2416 y FC(2)p FD(\013)p Fy(\000)p FC(1)p 615 2423 81 2 v 645 2447 a FD(\013)714 2432 y FJ(streng)j(monoton)d(steigend)j(\(die)f(Ableitung)f(ist)1517 2416 y FC(1)p 1506 2423 38 2 v 1506 2447 a FD(\013)1528 2438 y Fx(2)1549 2432 y FJ(\),)h(und)g(die)225 2482 y(Randw)o(erte)g (sind)g FH(0)g FJ(f\374r)f FI(\013)g FH(=)706 2466 y FC(1)p 706 2473 17 2 v 706 2496 a(2)740 2482 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o (eise)i FH(1)f FJ(f\374r)g FI(\013)e FH(=)h(1)p FI(:)g FJ(Also)h(ist)f FH(0)g FG(\024)1498 2466 y FC(2)p FD(\013)p Fy(\000)p FC(1)p 1498 2473 81 2 v 1528 2496 a FD(\013)1596 2482 y FG(\024)f FH(1)i FJ(f\374r)230 2516 y FC(1)p 230 2523 17 2 v 230 2546 a(2)263 2532 y FG(\024)f FI(\013)f FG(\024)h FH(1)p FJ(.)i(Da)g FI(M)20 b FJ(k)o(on)o(v)o(ex)14 b(ist,)h(folgt)f FI(y)890 2538 y FC(2)922 2532 y FG(2)f FI(M)r(:)i FJ(Nun)g(erh\344lt)g(man,)e(wie)h(gew\374nsc)o(h)o(t,)i FI(x)e FJ(als)225 2582 y(Kon)o(v)o(exk)o(om)o(bination)d(v)o(on)i FI(y)698 2588 y FC(1)731 2582 y FJ(und)h FI(y)834 2588 y FC(2)853 2582 y FJ(:)377 2651 y FH(1)p 377 2670 21 2 v 377 2708 a(2)403 2680 y FI(y)423 2686 y FC(1)451 2680 y FH(+)498 2651 y(1)p 498 2670 V 498 2708 a(2)524 2680 y FI(y)544 2686 y FC(2)574 2680 y FH(=)623 2651 y(1)p 623 2670 V 623 2708 a(2)649 2680 y FI(x)673 2686 y FC(1)700 2680 y FH(+)747 2651 y(1)p 747 2670 V 747 2708 a(2)779 2621 y FB(\022)815 2651 y FH(2)p FI(\013)9 b FG(\000)g FH(1)p 815 2670 119 2 v 861 2708 a FI(\013)939 2680 y FH(\()p FI(\013x)1006 2686 y FC(1)1033 2680 y FH(+)h(\(1)f FG(\000)g FI(\013)p FH(\))p FI(x)1229 2686 y FC(2)1248 2680 y FH(\))g(+)1315 2621 y FB(\022)1345 2680 y FH(1)g FG(\000)1422 2651 y FH(2)p FI(\013)f FG(\000)i FH(1)p 1422 2670 V 1468 2708 a FI(\013)1545 2621 y FB(\023)1583 2680 y FI(x)1607 2686 y FC(2)1625 2621 y FB(\023)574 2796 y FH(=)i FI(\013x)669 2802 y FC(1)696 2796 y FH(+)e(\(1)f FG(\000)g FI(\013)p FH(\))p FI(x)892 2802 y FC(2)918 2737 y FB(\022)966 2768 y FH(1)p 953 2786 48 2 v 953 2824 a(2)p FI(\013)1015 2796 y FH(+)1061 2768 y(2)p FI(\013)g FG(\000)g FH(1)p 1061 2786 119 2 v 1097 2824 a(2)p FI(\013)1185 2737 y FB(\023)1227 2796 y FH(=)j FI(\013x)1322 2802 y FC(1)1349 2796 y FH(+)e(\(1)f FG(\000)g FI(\013)p FH(\))p FI(x)1545 2802 y FC(2)1575 2796 y FH(=)j FI(x:)965 2960 y FJ(4)p eop %%Page: 5 7 5 6 bop 165 50 a Fw(1.2.)26 b(EINIGE)14 b(BEGRIFFE)g(A)o(US)g(DER)g (GRAPHENTHEORIE)380 b FJ(5)165 195 y(Nac)o(h)19 b(V)m(oraussetzung)h (ist)f(damit)e FI(x)11 b FH(=)h FI(y)843 201 y FC(1)874 195 y FH(=)f FI(y)937 201 y FC(2)956 195 y FJ(,)19 b(das)g(hei\377t)g FI(x)11 b FH(=)h FI(x)1278 201 y FC(1)1296 195 y FJ(.)19 b(Daraus)f(folgt)g(dann)165 245 y(auc)o(h)c FI(x)d FH(=)h FI(x)366 251 y FC(2)384 245 y FJ(.)1237 b Fv(\004)165 325 y FK(Bemerkung)14 b(1.1.4.)21 b FJ(Sind)d FI(M)5 b FJ(,)741 314 y FH(~)726 325 y FI(M)23 b FJ(k)o(on)o(v)o(exe)18 b(Mengen)h(und)f FI(L)12 b FH(:)20 b FI(M)d FG(\000)-7 b(!)1419 314 y FH(~)1404 325 y FI(M)23 b FJ(eine)c(a\036ne,)165 374 y(bijektiv)o(e)13 b(Abbildung,)g(so)h(ist)g FI(L)p FH(\()p FJ(E)p FH(\()p FI(M)5 b FH(\)\))12 b(=)g FJ(E)p FH(\()939 364 y(~)923 374 y FI(M)5 b FH(\))p FJ(.)165 526 y FA(1.2)66 b(Einige)20 b(Begri\033e)g(aus)h(der)g(Graphen)n (theori)o(e)165 635 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(1.2.1.)21 b FJ(Ein)14 b Fz(Gr)n(aph)i FI(G)d FH(=)g(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))15 b FJ(ist)f(ein)h(P)o(aar)g(aus)f(einer)i(Menge)f FI(V)22 b FH(=)14 b FI(V)9 b FH(\()p FI(G)p FH(\))165 685 y FJ(v)o(on)20 b Fz(Ecken)g FJ(\(V)m(ertices\))i(und)e(einer)h (Menge)g FI(E)i FH(=)f FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\))g FG(\022)1192 651 y FB(\000)1211 666 y FD(V)1216 699 y FC(2)1238 651 y FB(\001)1277 685 y FJ(v)o(on)e Fz(Kanten)g FJ(\(Edges\).)165 708 y FB(\000)184 723 y FD(V)189 756 y FC(2)211 708 y FB(\001)246 742 y FJ(ist)c(die)h(Menge)f(der)h(zw)o (eielemen)o(tigen)f(T)m(eilmengen)f(v)o(on)h FI(V)9 b FJ(.)16 b(Ein)g Fz(gewichteter)h(Gr)n(aph)165 791 y FI(G)11 b FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))15 b FJ(b)q(esteh)o(t)h (aus)f(einem)f(Graph)h FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))15 b FJ(zusammen)e(mit)h(einer)h Fz(Gewichtsfunk-)165 841 y(tion)f FI(w)e FH(:)f FI(E)j FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)-6 b FJ(.)165 911 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(1.2.2.)21 b FJ(Ein)14 b(Graph)g FI(G)760 896 y Fy(0)784 911 y FH(=)f(\()p FI(V)879 896 y Fy(0)890 911 y FI(;)7 b(E)942 896 y Fy(0)953 911 y FH(\))15 b FJ(ist)f(ein)h Fz(Sub-)g FJ(o)q(der)g Fz(T)m(eilgr)n(aph)f FJ(eines)i(Gra-)165 961 y(phen)g FI(G)f FH(=)g(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))16 b FJ(genau)f(dann,)h(w)o (enn)g FI(V)870 946 y Fy(0)897 961 y FG(\022)f FI(V)25 b FJ(und)16 b FI(E)1111 946 y Fy(0)1137 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FI(U;)c(E)k FG(\\)1414 1084 y FB(\000)1433 1099 y FD(U)1438 1132 y FC(2)1459 1084 y FB(\001)1478 1118 y FI(;)c(w)q Fv(\026)1545 1131 y FD(E)r Fy(\\)1593 1134 y FH(\()1609 1118 y Fs(U)1613 1141 y Fx(2)1631 1134 y FH(\))1649 1118 y(\))165 1180 y FJ(im)12 b(gewic)o(h)o(teten)j(F)m (all\).)165 1250 y FK(De\034nitio)o(n)e(1.2.3.)21 b FJ(Seien)e FI(G)12 b FH(=)f(\()p FI(V)r(;)c(E)r FH(\))q FJ(,)18 b FI(G)895 1235 y Fy(0)918 1250 y FH(=)12 b(\()p FI(V)1011 1235 y Fy(0)1023 1250 y FI(;)7 b(E)1075 1235 y Fy(0)1086 1250 y FH(\))p FJ(,)1142 1240 y FH(^)1133 1250 y FI(G)k FH(=)h(\()1243 1240 y(^)1237 1250 y FI(V)d(;)1298 1240 y FH(^)1289 1250 y FI(E)r FH(\))19 b FJ(Graphen,)f(so)h(da\377)174 1289 y FH(^)165 1300 y FI(G)11 b FG(\024)h FI(G)p FJ(,)h FI(V)344 1285 y Fy(0)365 1300 y FG(\\)c FI(V)21 b FH(=)12 b FG(;)p FJ(,)h FI(E)570 1285 y Fy(0)591 1300 y FG(\\)c FI(E)k FH(=)f FG(;)p FJ(.)165 1387 y FK(\(a\))20 b FJ(De\034niere)11 b FI(G)e FG(\000)507 1377 y FH(^)500 1387 y FI(V)21 b FH(:=)12 b FI(G)p Fv(\026)651 1400 y FD(V)6 b Fy(n)699 1393 y FC(^)694 1400 y FD(V)723 1387 y FJ(,)k FI(G)f FG(\000)838 1377 y FH(^)828 1387 y FI(E)14 b FH(:=)d(\()p FI(V)r(;)c(E)k FG(n)1071 1377 y FH(^)1061 1387 y FI(E)r FH(\))p FJ(,)f FI(G)f FG(\000)1225 1377 y FH(^)1215 1387 y FI(G)i FH(:=)h FI(G)d FG(\000)1408 1377 y FH(^)1398 1387 y FI(E)i FG(\000)1488 1377 y FH(^)1482 1387 y FI(V)19 b FJ(\(im)9 b(F)m(all)269 1443 y(eines)18 b(gewic)o(h)o(teten)g (Graphen)g FI(G)11 b FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))17 b FJ(erfolgen)g(die)g(De\034nitionen)g(genauso,)269 1493 y(n)o(ur)k(da\377)g(dann)h FI(G)9 b FG(\000)642 1482 y FH(^)632 1493 y FI(E)14 b FH(:=)d(\()p FI(V)r(;)c(E)12 b FG(n)875 1482 y FH(^)866 1493 y FI(E)r(;)7 b(w)q Fv(\026)966 1506 y FD(E)r Fy(n)1015 1499 y FC(^)1009 1506 y FD(E)1036 1493 y FH(\))p FJ(.)21 b(F\374r)1180 1482 y FH(^)1173 1493 y FI(V)g FH(=)12 b FG(f)p FI(v)q FG(g)22 b FJ(k)o(\366nnen)f(die)h (Men-)269 1543 y(genklamm)o(ern)c(auc)o(h)h(w)o(eggelassen)i(w)o (erden,)f(das)g(hei\377t,)f(man)f(sc)o(hreibt)i FI(G)9 b FG(\000)h FI(v)21 b FJ(f\374r)269 1592 y FI(G)9 b FG(\000)g(f)p FI(v)q FG(g)p FJ(.)165 1669 y FK(\(b\))19 b FJ(De\034niere)c FI(G)9 b FH(+)h FI(G)541 1654 y Fy(0)563 1669 y FH(:=)i(\()p FI(V)683 1664 y FH(_)675 1669 y FG([)7 b FI(V)743 1654 y Fy(0)755 1669 y FI(;)g(E)821 1664 y FH(_)813 1669 y FG([)g FI(E)881 1654 y Fy(0)893 1669 y FH(\))p FJ(,)446 1752 y FI(G)h FH(+)519 1758 y FD(v)549 1752 y FI(V)582 1735 y Fy(0)605 1752 y FH(:=)k(\()p FI(V)725 1747 y FH(_)717 1752 y FG([)7 b FI(V)785 1735 y Fy(0)797 1752 y FI(;)g(E)r FH(\))p FI(;)47 b(G)9 b FH(+)998 1758 y FD(e)1026 1752 y FI(E)1059 1735 y Fy(0)1082 1752 y FH(:=)i(\()p FI(V)19 b FG([)1247 1713 y FB([)1233 1802 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)1297 1794 y Ft(0)1315 1752 y FI(e;)7 b(E)1401 1747 y FH(_)1393 1752 y FG([)f FI(E)1460 1735 y Fy(0)1472 1752 y FH(\))286 1869 y FJ(\(im)15 b(F)m(all)g(gewic)o(h)o(teter)j(Graphen)f FI(G)11 b FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))16 b FJ(und)h FI(G)1228 1854 y Fy(0)1251 1869 y FH(=)12 b(\()p FI(V)1344 1854 y Fy(0)1356 1869 y FI(;)7 b(E)1408 1854 y Fy(0)1419 1869 y FI(;)g(w)1469 1854 y Fy(0)1480 1869 y FH(\))17 b FJ(de\034niere)269 1919 y(en)o(tsprec)o(hend)f FI(G)9 b FH(+)h FI(G)635 1904 y Fy(0)657 1919 y FH(:=)i(\()p FI(V)777 1914 y FH(_)769 1919 y FG([)7 b FI(V)837 1904 y Fy(0)849 1919 y FI(;)g(E)915 1914 y FH(_)907 1919 y FG([)g FI(E)975 1904 y Fy(0)987 1919 y FI(;)g(w)1036 1925 y FC(+)1062 1919 y FH(\))p FJ(,)416 2002 y FI(G)i FH(+)490 2008 y FD(v)520 2002 y FI(V)553 1985 y Fy(0)576 2002 y FH(:=)j(\()p FI(V)696 1997 y FH(_)688 2002 y FG([)7 b FI(V)756 1985 y Fy(0)768 2002 y FI(;)g(E)r(;)g(w)q FH(\))p FI(;)47 b(G)8 b FH(+)1018 2008 y FD(e)1046 2002 y FI(E)1079 1985 y Fy(0)1102 2002 y FH(:=)j(\()p FI(V)19 b FG([)1268 1962 y FB([)1253 2051 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)1317 2043 y Ft(0)1335 2002 y FI(e;)7 b(E)1421 1997 y FH(_)1413 2002 y FG([)g FI(E)1481 1985 y Fy(0)1492 2002 y FI(;)g(w)1541 2008 y FC(+)1568 2002 y FH(\))p FI(;)269 2160 y FJ(w)o(ob)q(ei)13 b FI(w)416 2166 y FC(+)455 2160 y FH(:)23 b FI(E)538 2155 y FH(_)530 2160 y FG([)6 b FI(E)597 2145 y Fy(0)621 2160 y FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)-6 b FJ(,)13 b FI(w)784 2166 y FC(+)812 2160 y FH(\()p FI(e)p FH(\))f(:=)930 2089 y FB(\()963 2131 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))68 b FJ(f\374r)14 b FI(e)e FG(2)f FI(E)r(;)963 2191 y(w)994 2176 y Fy(0)1006 2191 y FH(\()p FI(e)p FH(\))56 b FJ(f\374r)14 b FI(e)e FG(2)f FI(E)1282 2176 y Fy(0)1312 2160 y FJ(\).)165 2267 y FK(De\034nitio)o(n)i(1.2.4.)21 b FJ(Sei)10 b FI(G)h FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))j FJ(ein)g(Graph.)g(Jeder)h(Ec)o(k)o (e)g FI(v)i FG(2)e FI(V)20 b FJ(wird)10 b(ihr)g Fz(Gr)n(ad)h FI(d)1584 2273 y FD(G)1611 2267 y FH(\()p FI(v)q FH(\))165 2317 y FJ(zugeordnet.)17 b(Es)f(ist)f FI(d)532 2323 y FD(G)560 2317 y FH(\()p FI(v)q FH(\))g(:=)g(#)p FG(f)p FI(e)f FG(2)g FI(E)i FH(:)21 b FI(v)c FG(2)d FI(e)p FG(g)p FJ(.)h(W)m(enn)g(es)i(aus)e(dem)g(Zusammenhang)165 2367 y(klar)e(ist,)h(w)o(elc)o(her)g(Graph)g(gemein)o(t)e(ist,)i(so)g(sc)o (hreibt)h(man)d(auc)o(h)i FI(d)p FH(\()p FI(v)q FH(\))g FJ(statt)h FI(d)1429 2373 y FD(G)1456 2367 y FH(\()p FI(v)q FH(\))q FJ(.)165 2437 y FK(De\034nitio)o(n)e(1.2.5.)21 b FJ(Sei)13 b FI(G)e FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))13 b FJ(ein)g(Graph.)f(Ein)h Fz(Kantenzug)g FI(K)k FJ(ist)12 b(eine)i(Abbildung)165 2487 y FI(K)k FH(:)c FI(A)h FG(\000)-7 b(!)14 b FI(V)c FJ(,)15 b(w)o(ob)q(ei)h FI(A)f FJ(ein)h(\(m\366glic)o (herw)o(eise)f(unendlic)o(her\))h(Absc)o(hnitt)h(v)o(on)e Fu(Z)p FJ(ist,)g(und)165 2536 y(f\374r)g FI(i;)7 b(i)k FH(+)f(1)k FG(2)g FI(A)i FJ(ist)f FG(f)p FI(v)556 2542 y FD(i)570 2536 y FI(;)7 b(v)609 2542 y FD(i)p FC(+1)664 2536 y FG(g)14 b(2)g FI(E)r FJ(.)h FI(l)q FH(\()p FI(K)s FH(\))g(:=)f(#)p FI(A)h FJ(ist)g(die)h Fz(L)n(\344nge)g FJ(des)g(Kan)o(tenzuges.)h(Ist)165 2586 y FI(A)12 b FH(=)f(\()p FI(i)281 2592 y FC(0)301 2586 y FI(;)c(i)334 2592 y FC(0)354 2586 y FH(+)s(1)p FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(i)517 2592 y FC(0)538 2586 y FH(+)s FI(k)q FH(\))j FJ(endlic)o(h)g(und)h FI(v)860 2592 y FD(i)872 2596 y Fx(0)902 2586 y FH(=)h FI(v)966 2592 y FD(i)978 2596 y Fx(0)994 2592 y FC(+)p FD(k)1040 2586 y FJ(,)e(so)g(hei\377t)h FI(K)i FJ(ein)e Fz(geschlossener)i(Kan-)165 2636 y(tenzug)p FJ(,)j(ansonsten)g(ein)g Fz(o\033ener)i(Kantenzug)p FJ(.)e(Ein)g(injektiv)o(er)f(Kan)o(tenzug)i (hei\377t)e(ein)h Fz(W)m(e)n(g)p FJ(.)165 2686 y(Seien)f FI(u;)7 b(v)12 b FG(2)g FI(V)e FJ(.)j(Ein)h FI(uv)q Fz(-W)m(e)n(g)h FJ(ist)f(ein)g(endlic)o(her)h(W)m(eg)e FI(W)18 b FH(:)g(\()p FI(i)1185 2692 y FC(0)1204 2686 y FI(;)7 b(i)1237 2692 y FC(0)1264 2686 y FH(+)j(1)p FI(;)d(:)g(:)g(:)t(;)g(i)1433 2692 y FC(0)1461 2686 y FH(+)j FI(k)q FH(\))h FG(\000)-6 b(!)11 b FI(V)165 2736 y FJ(mit)i FI(W)6 b FH(\()p FI(i)317 2742 y FC(0)336 2736 y FH(\))12 b(=)h FI(u)h FJ(und)g FI(W)6 b FH(\()p FI(i)605 2742 y FC(0)634 2736 y FH(+)k FI(k)q FH(\))i(=)h FI(v)q FJ(.)h(H\344u\034g)g(wird)g(ein)h(Kan)o (tenzug)g FI(K)i FJ(mit)c(seinem)g(Bild)165 2785 y(iden)o(ti\034ziert)g (\(z.B.)g FI(K)h FH(=)e(\()p FI(v)613 2791 y FC(0)632 2785 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(v)745 2791 y FD(k)765 2785 y FH(\))p FJ(\))13 b(o)q(der)g(auc)o(h)g(mit)d(dem)i(v)o(on)g (seinem)g(Bild)g(induzierten)165 2835 y(T)m(eilgraphen)h(\(z.B.)h FI(K)h FH(=)d(\()p FI(V)d FH(\()p FI(K)s FH(\))p FI(;)e(E)r FH(\()p FI(K)s FH(\)\))p FJ(\).)p eop %%Page: 6 8 6 7 bop 225 50 a FJ(6)911 b Fw(KAPITEL)14 b(1.)27 b(GR)o(UNDLA)o(GEN) 225 195 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(1.2.6.)21 b FJ(Sei)15 b FI(G)f FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))15 b FJ(ein)h(Graph.)f(Der) g Fz(A)o(bstand)h FJ(zw)o(eier)h(Ec)o(k)o(en)f FI(u;)7 b(v)15 b FG(2)f FI(V)225 245 y FJ(ist)f(de\034niert)h(durc)o(h)g FI(d)583 251 y FD(G)610 245 y FH(\()p FI(u;)7 b(v)q FH(\))12 b(=)g FI(d)p FH(\()p FI(u;)7 b(v)q FH(\))k(:=)g(inf)s FG(f)p FI(l)q FH(\()p FI(W)6 b FH(\))11 b(:)18 b FI(W)i FJ(ist)14 b(ein)g FI(uv)q FJ(-W)m(eg)o FG(g)p FJ(.)f(Die)f Fz(Zusam-)225 295 y(menhangskomp)n(onente)k FJ(einer)f(Ec)o(k)o(e)f FI(v)f FG(2)f FI(V)23 b FJ(ist)567 389 y FH(Zhk)637 395 y FD(G)665 389 y FH(\()p FI(v)q FH(\))13 b(=)f(Zhk\()p FI(v)q FH(\))g(:=)g FG(f)p FI(u)f FG(2)g FI(V)21 b FH(:)d FI(d)p FH(\()p FI(u;)7 b(v)q FH(\))k FI(<)h FG(1g)p FI(:)239 483 y FJ(Oft)i(wird)f(auc)o(h)h(der)h(v)o(on)e FH(Zhk)q(\()p FI(v)q FH(\))h FJ(induzierte)h(T)m(eilgraph)e(mit)f FH(Zhk\()p FI(v)q FH(\))j FJ(iden)o(ti\034ziert.)225 569 y FK(Bemerkung)f(1.2.7.) 21 b FJ(Sei)14 b FI(G)d FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))14 b FJ(ein)g(Graph.)f(Durc)o(h)756 663 y FI(v)g FG(\030)f FI(w)42 b FG(,)f FI(w)13 b FG(2)e FH(Zhk\()p FI(v)q FH(\))225 757 y FJ(wird)j(eine)g(\304)o(quiv)n(alenzrelation)f (auf)g FI(V)23 b FJ(de\034niert.)225 843 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(1.2.8.)21 b FJ(Sei)16 b FI(G)e FH(=)i(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))16 b FJ(ein)g(Graph.)f(Die)g(induzierten)i(Graphen)f(der)h (\304)o(qui-)225 892 y(v)n(alenzklassen)c(der)h(in)f(Bemerkung)f(1.2.7) g(de\034nierten)i(Relation)e(hei\377en)h Fz(Zusammenhangs-)225 942 y(komp)n(onenten)f FJ(v)o(on)f FI(G)p FJ(.)f(Die)h(Menge)h(der)f (Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)e(v)o(on)h FI(G)h FJ(w)o(erde)h(mit)225 992 y FH(Zhk\()p FI(G)p FH(\))i FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)i FI(G)d FJ(hei\377t)h Fz(zusammenh\344ngend)i FJ(genau)e(dann,)f(w)o(enn)h FH(#)7 b(Zhk\()p FI(G)p FH(\))k(=)h(1)p FJ(.)225 1078 y FK(De\034nitio)o(n)h(1.2.9.)21 b FJ(Sei)14 b FI(G)e FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))15 b FJ(ein)f(Graph.)f(Ein)i Fz(Kr)n(eis)f FJ(ist)g(ein)h(gesc)o (hlossener)h(Kan-)225 1128 y(tenzug)11 b FI(C)j FH(=)e(\()p FI(v)479 1134 y FD(i)491 1138 y Fx(0)509 1128 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(v)622 1134 y FD(i)634 1138 y Fx(0)650 1134 y FC(+)p FD(k)695 1128 y FH(\))k FJ(mit)d FI(l)q FH(\()p FI(C)s FH(\))k FG(\025)f FH(3)p FJ(,)f(so)g(da\377)f FH(\()p FI(v)1127 1134 y FD(i)1139 1138 y Fx(1)1158 1128 y FI(;)e(:)g(:)g(:)e(;)i(v)1271 1134 y FD(i)1283 1138 y Fx(0)1298 1134 y FC(+)p FD(k)1344 1128 y FH(\))j FJ(ein)g(W)m(eg)g (ist.)f(En)o(th\344lt)225 1178 y FI(G)14 b FJ(k)o(einen)h(Kreis,)f(so)h (hei\377t)f FI(G)g Fz(kr)n(eisfr)n(ei)p FJ(.)g(Dann)g(wird)g FI(G)g FJ(auc)o(h)g(als)g Fz(W)m(ald)h FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)h(Ist)e FI(G)225 1227 y FJ(au\377erdem)f(zusammenh\344ngend,)f(so)i(hei\377t)g FI(G)f FJ(ein)h Fz(Baum)p FJ(.)225 1313 y FK(Lemma)h(1.2.10.)21 b Fz(Sei)15 b FI(G)c FH(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))14 b Fz(ein)g(Gr)n(aph.)h FI(G)f Fz(ist)g(genau)h(dann)g(ein)g(W)m(ald,)f (wenn)g(al)r(le)225 1363 y(Zusammenhangskomp)n(onenten)k(von)e FI(G)e Fz(B\344ume)i(sind.)225 1479 y(Beweis.)k FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)15 b(G\344b)q(e)g(es)h(einen)g(Kreis)g FI(C)h FJ(in)e(einer)h(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q(onen)o(te)d(v)o(on)i FI(G)p FJ(,)225 1529 y(so)d(w)o(\344re)g FI(C)i FJ(auc)o(h)e(ein)g (Kreis)g(in)g FI(G)p FJ(,)e(das)i(hei\377t)g FI(G)f FJ(w)o(\344re)h(k)o (ein)g(W)m(ald.)e(\022)s FG(\()o FJ(\020)s(:)i(Hat)g FI(G)f FJ(einen)h(Kreis)225 1579 y FI(C)s FJ(,)f(so)h(liegen)g(alle)f (zu)h FI(C)j 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FI(;)c(:)g(:)g(:)e(;)i(v)1284 2037 y FD(l)1296 2031 y FH(\))p FI(;)225 2125 y FJ(mit)20 b FI(u)333 2131 y FC(1)362 2125 y FH(=)12 b FI(v)426 2131 y FC(1)457 2125 y FH(=)f FI(u)p FJ(,)21 b FI(u)581 2131 y FD(k)613 2125 y FH(=)12 b FI(v)677 2131 y FD(l)701 2125 y FH(=)g FI(v)23 b FJ(\(siehe)f(Abbildung)f(1.1\).)f(Sei)h FI(i)1315 2131 y FC(0)1345 2125 y FH(:=)12 b(min)n FG(f)p FI(i)g FH(:)18 b FI(u)1571 2131 y FD(i)1600 2125 y FI(=)-25 b FG(2)11 b FI(W)1674 2131 y FC(2)1693 2125 y FG(g)o FJ(,)225 2175 y FI(i)239 2181 y FC(1)269 2175 y FH(:=)h(min)n FG(f)p FI(i)g(>)f(i)498 2181 y FC(0)529 2175 y FH(:)18 b FI(u)583 2181 y FD(i)608 2175 y FG(2)11 b FI(W)686 2181 y FC(2)705 2175 y FG(g)p FJ(.)j(Dann)g(gibt)g(es)h FH(1)d FG(\024)f FI(j)1093 2181 y FC(0)1124 2175 y FI(<)g(j)1184 2181 y FC(1)1215 2175 y FG(\024)h FI(l)q FJ(,)i(so)h(da\377)f FH(\()p FI(v)1465 2181 y FD(j)1479 2185 y Fx(0)1497 2175 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(v)1610 2181 y FD(j)1624 2185 y Fx(1)1641 2175 y FH(\))15 b FJ(ein)225 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(c)o(hastisc)o(hen)i(Ma\377e)e(b)q(ez\374glic)o(h)g FI(m)914 1303 y FC(1)933 1297 y FI(;)7 b(m)988 1303 y FC(2)1007 1297 y FJ(.)13 b(Man)f(sagt)h(auc)o(h,)g FI(\026)f FG(2)f(D)q FH(\()p FI(m)1483 1303 y FC(1)1502 1297 y FI(;)c(m)1557 1303 y FC(2)1576 1297 y FH(\))13 b FJ(hat)165 1347 y(die)h Fz(R)n(andverteilungen)i FI(m)595 1353 y FC(1)614 1347 y FI(;)7 b(m)669 1353 y FC(2)687 1347 y FJ(.)165 1415 y(Ein)16 b(Ma\377)g FI(\026)g FJ(auf)g FH(\()p FI(I)488 1421 y FC(1)518 1415 y FG(\002)11 b FI(I)579 1421 y FC(2)598 1415 y FI(;)c FG(E)s FH(\))17 b FJ(hei\377t)f Fz(dopp)n(elt)h(substo)n (chastisch)1194 1400 y Fp(2)1229 1415 y FJ(b)q(ez\374glic)o(h)g FI(m)1450 1421 y FC(1)1469 1415 y FI(;)7 b(m)1524 1421 y FC(2)1559 1415 y FJ(genau)165 1465 y(dann,)13 b(w)o(enn)388 1542 y FG(8)350 1568 y FD(A)375 1572 y Fx(1)391 1568 y Fy(2E)431 1572 y Fx(1)459 1542 y FI(\026)p FH(\()p FI(A)531 1548 y FC(1)560 1542 y FG(\002)c FI(I)619 1548 y FC(2)638 1542 y FH(\))j FG(\024)f FI(m)745 1548 y FC(1)765 1542 y FH(\()p FI(A)812 1548 y FC(1)830 1542 y FH(\))101 b FJ(und)78 b FG(8)1057 1568 y FD(A)1082 1572 y Fx(2)1098 1568 y Fy(2E)1138 1572 y Fx(2)1166 1542 y FI(\026)p FH(\()p FI(I)1225 1548 y FC(1)1254 1542 y FG(\002)9 b FI(A)1326 1548 y FC(2)1345 1542 y FH(\))j FG(\024)f FI(m)1452 1548 y FC(2)1471 1542 y FH(\()p FI(A)1518 1548 y FC(2)1537 1542 y FH(\))p FI(:)-1400 b FJ(\(1.5\))165 1639 y(Mit)19 b FG(D)q FH(\()p FG(\024)j FI(m)389 1645 y FC(1)408 1639 y FI(;)7 b FG(\024)20 b FI(m)515 1645 y FC(2)534 1639 y FH(\))g FJ(b)q(ezeic)o(hne)h(die)f(Menge)g(aller)f(dopp)q(elt)g (substo)q(c)o(hastisc)o(hen)j(Ma\377e)165 1689 y(b)q(ez\374glic)o(h)14 b FI(m)383 1695 y FC(1)402 1689 y FI(;)7 b(m)457 1695 y FC(2)476 1689 y FJ(.)165 1761 y FK(Bemerkung)14 b(1.3.2.)21 b FJ(Sind)16 b(Ma\377r\344ume)e FH(\()p FI(I)891 1767 y FC(1)910 1761 y FI(;)7 b FG(E)954 1767 y FC(1)973 1761 y FI(;)g(m)1028 1767 y FC(1)1046 1761 y FH(\))p FJ(,)15 b FH(\()p FI(I)1123 1767 y FC(2)1142 1761 y FI(;)7 b FG(E)1186 1767 y FC(2)1205 1761 y FI(;)g(m)1260 1767 y FC(2)1279 1761 y FH(\))15 b FJ(und)h FI(\026)c FG(2)f(D)q FH(\()p FI(m)1556 1767 y FC(1)1575 1761 y FI(;)c(m)1630 1767 y FC(2)1649 1761 y FH(\))165 1811 y FJ(gegeb)q(en,)14 b(so)g(gilt)f(w)o(egen)i(\(1.4\),)d(da\377)639 1888 y FI(\026)p FH(\()p FI(I)698 1894 y FC(1)726 1888 y FG(\002)e FI(I)786 1894 y FC(2)804 1888 y FH(\))i(=)g FI(m)912 1894 y FC(1)931 1888 y FH(\()p FI(I)965 1894 y FC(1)984 1888 y FH(\))g(=)f FI(m)1091 1894 y FC(2)1111 1888 y FH(\()p FI(I)1145 1894 y FC(2)1164 1888 y FH(\))p FI(:)-1027 b FJ(\(1.6\))165 1965 y(Insb)q(esondere)16 b(gilt)507 2042 y FG(D)q FH(\()p FI(m)592 2048 y FC(1)611 2042 y FI(;)7 b(m)666 2048 y FC(2)685 2042 y FH(\))12 b FG(6)p FH(=)f FG(;)95 b(\))f FI(m)1044 2048 y FC(1)1063 2042 y FH(\()p FI(I)1097 2048 y FC(1)1116 2042 y FH(\))11 b(=)h FI(m)1223 2048 y FC(2)1242 2042 y FH(\()p FI(I)1276 2048 y FC(2)1295 2042 y FH(\))p FI(:)-1158 b FJ(\(1.7\))165 2119 y FK(Bemerkung)14 b(1.3.3.)21 b FJ(F\374r)16 b(Ma\377r\344ume)f FH(\()p FI(I)877 2125 y FC(1)896 2119 y FI(;)7 b FG(E)940 2125 y FC(1)958 2119 y FI(;)g(m)1013 2125 y FC(1)1032 2119 y FH(\))p FJ(,)15 b FH(\()p FI(I)1109 2125 y FC(2)1128 2119 y FI(;)7 b FG(E)1172 2125 y FC(2)1191 2119 y FI(;)g(m)1246 2125 y FC(2)1265 2119 y FH(\))15 b FJ(sind)h FG(D)q FH(\()p FI(m)1471 2125 y FC(1)1490 2119 y FI(;)7 b(m)1545 2125 y FC(2)1564 2119 y FH(\))16 b FJ(und)165 2169 y FG(D)q FH(\()p FG(\024)c FI(m)294 2175 y FC(1)313 2169 y FI(;)7 b FG(\024)k FI(m)411 2175 y FC(2)431 2169 y FH(\))j FJ(k)o(on)o(v)o (exe)f(Mengen.)165 2258 y(Eines)18 b(der)g(Hauptanliegen)f(der)h (folgenden)f(Kapitel)g(wird)g(sein,)h(die)f(Mengen)h(der)g(Extre-)165 2308 y(malpunkte)12 b(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)500 2314 y FC(1)520 2308 y FI(;)7 b(m)575 2314 y FC(2)594 2308 y FH(\)\))14 b FJ(und)g(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)e FI(m)896 2314 y FC(1)915 2308 y FI(;)7 b FG(\024)12 b FI(m)1014 2314 y FC(2)1033 2308 y FH(\)\))i FJ(zu)g(un)o(tersuc)o (hen.)165 2380 y FK(De\034nitio)o(n)f(1.3.4.)21 b FJ(Ein)10 b(Ma\377raum)e FH(\()p FI(I)s(;)f(m)p FH(\))12 b(:=)g(\()p FI(I)s(;)7 b FG(E)s FI(;)g(m)p FH(\))k FJ(hei\377t)f Fz(diskr)n(et)g FJ(genau)g(dann,)g(w)o(enn)165 2429 y FG(E)17 b FH(=)c(2)270 2414 y FD(I)289 2429 y FJ(,)28 b FG(8)315 2456 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)378 2429 y FI(m)p FH(\()p FI(i)p FH(\))14 b FI(<)f FG(1)p FJ(,)36 b FG(8)587 2456 y FD(A)p Fy(2E)666 2429 y FI(m)p FH(\()p FI(A)p FH(\))14 b(=)824 2398 y FB(P)868 2442 y FD(i)p Fy(2)p FD(A)936 2429 y FI(m)p FH(\()p FI(i)p FH(\))p FJ(,)i(mit)d(der)i(Kon)o (v)o(en)o(tion,)f(da\377)g(Summen)165 2495 y(\374b)q(er)h(\374b)q (erabz\344hlbar)f(viele)g(p)q(ositiv)o(e)f(Elemen)o(te)h(unendlic)o(h)g (sind.)f(Durc)o(h)654 2572 y FH(#)689 2578 y FD(nt)724 2572 y FI(I)i FH(:=)c(#)p FG(f)p FI(i)h FG(2)f FI(I)k FH(:)j FI(m)p FH(\()p FI(i)p FH(\))12 b FI(>)g FH(0)p FG(g)179 2649 y FJ(w)o(erde)j(die)f(Kardinalit\344t)e(der)j(\022)s(nic) o(h)o(ttrivialen\020)h(Punkte)f(in)e FI(I)18 b FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)p 165 2678 600 2 v 211 2705 a Fo(1)228 2717 y Fn(Ob)o(w)o(ohl)e(die)f (Bezeic)o(hn)o(ung)d(\022)s(sto)q(c)o(hastisc)o(h\020)k(eigen)o(tlic)o (h)d(n)o(ur)h(f\374r)i(W)m(ahrsc)o(heinlic)n(hk)o(e)o(itsm)o(a\377)o(e) d(zul\344ssig)165 2756 y(ist,)f(soll)f(sie)h Fm(Grz\241\261lewicz)i Fn(folgend)c(\(siehe)h([4]\))h(hier)f(und)g(im)h(folgenden)e(in)i(et)o (w)o(as)g(allgemeine)o(rem)d(Sinne)165 2796 y(v)o(erw)o(endet)h(w)o (erden.)211 2823 y Fo(2)228 2835 y Fn(Die)i(Bemerkung)c(der)j(v)o (ohergehend)o(en)d(F)m(u\377note)i(gilt)h(hier)f(en)o(tsprec)o(hend)o (.)p eop %%Page: 8 10 8 9 bop 225 50 a FJ(8)911 b Fw(KAPITEL)14 b(1.)27 b(GR)o(UNDLA)o(GEN) 225 195 y FK(Beispiel)13 b(1.3.5.)21 b FJ(Seien)14 b FH(\()p FI(I)678 201 y FC(1)697 195 y FI(;)7 b(m)752 201 y FC(1)770 195 y FH(\))p FJ(,)13 b FH(\()p FI(I)845 201 y FC(2)864 195 y FI(;)7 b(m)919 201 y FC(2)938 195 y FH(\))14 b FJ(diskrete)g(Ma\377r\344ume,)e(so)h(da\377)g FH(#)p FI(I)1522 201 y FC(1)1541 195 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1613 201 y FC(2)1642 195 y FG(\024)12 b FI(!)q FJ(,)225 245 y(und)h FI(m)343 251 y FC(1)363 245 y FH(\()p FI(I)397 251 y FC(1)416 245 y FH(\))e(=)h FI(m)523 251 y FC(2)542 245 y FH(\()p FI(I)576 251 y FC(2)595 245 y FH(\))g FI(<)g FG(1)p FJ(.)g FH(#)p FI(I)786 251 y FC(1)804 245 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)876 251 y FC(2)906 245 y FG(\024)12 b FI(!)i FJ(stellt)g(hier)f(k)o(eine)h(wirklic)o(he)f(Einsc)o(hr\344nkung)225 295 y(dar,)e(da)g(b)q(ei)g(endlic)o(hem)f(Ma\377)g(h\366)q(c)o(hstens)j (abz\344hlbar)e(viele)g(Elemen)o(te)g(p)q(ositiv)o(es)g(Ma\377)f(hab)q (en)225 345 y(k)o(\366nnen.)j(In)h(diesem)g(F)m(all)e(hat)i(man)569 462 y FI(L)597 468 y FC(1)615 462 y FH(\()p FI(m)667 468 y FC(1)687 462 y FH(\))d(=)758 391 y FB(\()792 462 y FI(f)16 b FG(2)11 b Fu(R)897 444 y FD(I)912 448 y Fx(1)942 462 y FH(:)979 423 y FB(X)976 512 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1025 516 y Fx(1)1048 462 y FG(j)p FI(f)t FH(\()p FI(i)p FH(\))p FG(j)p FI(m)1178 468 y FC(1)1198 462 y FH(\()p FI(i)p FH(\))h FI(<)g FG(1)1342 391 y FB(\))225 462 y FJ(\(1.8\))239 594 y(und)552 724 y FI(L)580 730 y FC(1)599 724 y FH(\()p FI(m)651 730 y FC(2)670 724 y FH(\))g(=)742 639 y FB(8)742 677 y(<)742 751 y(:)779 724 y FI(f)k FG(2)11 b Fu(R)884 706 y FD(I)899 710 y Fx(2)929 724 y FH(:)968 685 y FB(X)963 774 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1016 778 y Fx(2)1039 724 y FG(j)p FI(f)t FH(\()p FI(j)r FH(\))p FG(j)p FI(m)1174 730 y FC(2)1194 724 y FH(\()p FI(j)r FH(\))h FI(<)g FG(1)1343 639 y FB(9)1343 677 y(=)1343 751 y(;)1386 724 y FI(:)-1173 b FJ(\(1.9\))225 865 y(Die)16 b(Elemen)o(te)f(v)o(on)h FI(L)595 871 y FC(1)614 865 y FH(\()p FI(m)666 871 y FC(1)685 865 y FH(\))g FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)i FI(L)1051 871 y FC(1)1070 865 y FH(\()p FI(m)1122 871 y FC(2)1141 865 y FH(\))e FJ(sind)g(also)g(reelle)g(F)m(amilien,)d (indi-)225 915 y(ziert)g(mit)e(Elemen)o(ten)h(aus)h FI(I)687 921 y FC(1)718 915 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)h FI(I)1038 921 y FC(2)1057 915 y FJ(.)e(Dab)q(ei)g(w)o(erden,)i(wie)e(\374blic)o (h,)f(F)m(amilien,)225 964 y(die)17 b(fast)f(\374b)q(erall)g(gleic)o(h) g(sind)h(\(das)g(hei\377t)f(sic)o(h)h(n)o(ur)g(an)f(Stellen)h FI(i)f FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)j FI(j)g FJ(mit)225 1014 y FI(m)261 1020 y FC(1)280 1014 y FH(\()p FI(i)p FH(\))i(=)f(0)e FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)j FI(m)783 1020 y FC(2)802 1014 y FH(\()p FI(j)r FH(\))g(=)f(0)f FJ(un)o(tersc)o(heiden\),)h(als)f(\344quiv)n(alen)o(t)e(angesehen.)225 1064 y(En)o(tsprec)o(hend)f(b)q(ek)o(omm)o(t)11 b(man)i(f\374r)g FI(\026)f FG(2)f(D)q FH(\()p FI(m)985 1070 y FC(1)1004 1064 y FI(;)c(m)1059 1070 y FC(2)1078 1064 y FH(\))469 1205 y FI(L)497 1211 y FC(1)516 1205 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))12 b(=)629 1120 y FB(8)629 1157 y(<)629 1232 y(:)665 1205 y FI(f)17 b FG(2)11 b Fu(R)771 1186 y FD(I)786 1190 y Fx(1)802 1186 y Fy(\002)p FD(I)843 1190 y Fx(2)872 1205 y FH(:)963 1165 y FB(X)907 1256 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1008 1260 y Fx(1)1023 1256 y Fy(\002)p FD(I)1064 1260 y Fx(2)1087 1205 y FG(j)p FI(f)t FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))p FG(j)p FI(\026)p FH(\()p FI(i;)g(j)r FH(\))12 b FI(<)g FG(1)1426 1120 y FB(9)1426 1157 y(=)1426 1232 y(;)1469 1205 y FI(:)-1256 b FJ(\(1.10\))225 1345 y(Die)18 b(Elemen)o(te)g(v)o(on)g FI(L)602 1351 y FC(1)621 1345 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h FJ(k)n(ann)f(man)f(au\033assen)i(als)f (\(m\366glic)o(herw)o(eise)f(unendlic)o(he\))i(re-)225 1395 y(elle)h(Matrizen)i(mit)c FH(#)p FI(I)624 1401 y FC(1)663 1395 y FJ(Zeilen)j(und)g FH(#)p FI(I)935 1401 y FC(2)974 1395 y FJ(Spalten.)f(Dann)g(ergibt)h(sic)o(h)f(f\374r)h(die) f(durc)o(h)225 1445 y FG(F)15 b FH(:=)d FI(L)354 1451 y FC(1)373 1445 y FH(\()p FI(m)425 1451 y FC(1)444 1445 y FH(\))d(+)h FI(L)539 1451 y FC(1)558 1445 y FH(\()p FI(m)610 1451 y FC(2)629 1445 y FH(\))k FJ(de\034nierte)h(Menge:)429 1598 y FG(F)h FH(=)518 1501 y FB(8)518 1538 y(>)518 1550 y(<)518 1625 y(>)518 1638 y(:)555 1598 y FI(M)h FG(2)11 b FI(L)679 1604 y FC(1)698 1598 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h(:)86 b FG(9)801 1627 y FD(a)p Fy(2)p FD(L)864 1631 y Fx(1)880 1627 y FC(\()p FD(m)922 1631 y Fx(1)939 1627 y FC(\))1026 1598 y FG(9)964 1627 y FD(b)p Fy(2)p FD(L)1024 1631 y Fx(1)1040 1627 y FC(\()p FD(m)1082 1631 y Fx(2)1098 1627 y FC(\))1204 1598 y FG(8)1128 1627 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1229 1631 y Fx(1)1245 1627 y Fy(\002)p FD(I)1286 1631 y Fx(2)1123 1660 y Fp(mit)8 b FD(\026)p FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p FD(>)p FC(0)1319 1598 y FI(m)1355 1604 y FD(i;j)1406 1598 y FH(=)k FI(a)1472 1604 y FD(i)1495 1598 y FH(+)d FI(b)1554 1604 y FD(j)1572 1501 y FB(9)1572 1538 y(>)1572 1550 y(=)1572 1625 y(>)1572 1638 y(;)1615 1598 y FI(:)-1402 b FJ(\(1.11\))225 1844 y FA(1.4)66 b(Ma\377theoretisc)n(he)25 b(Charakterisier)o(un)o(g)g(der)i(Extre-)375 1919 y(malpunkt)o(e)225 2031 y FJ(Satz)13 b(1.4.1)e(gibt)h(eine)g (erste)j(Charakterisierung)e(der)g(Extremalpunkte.)e(Der)i(Satz)g(und)g (sein)225 2080 y(Bew)o(eis)i(gehen)f(zur\374c)o(k)h(auf)f(eine)g(Arb)q (eit)g(v)o(on)g FE(Lindenstra)o(uss)h FJ(\(siehe)g([9)o(]\).)225 2163 y FK(Satz)g(1.4.1.)22 b Fz(Seien)c FH(\()p FI(I)612 2169 y FC(1)631 2163 y FI(;)7 b FG(E)675 2169 y FC(1)694 2163 y FI(;)g(m)749 2169 y FC(1)767 2163 y FH(\))p Fz(,)18 b FH(\()p FI(I)848 2169 y FC(2)867 2163 y FI(;)7 b FG(E)911 2169 y FC(2)930 2163 y FI(;)g(m)985 2169 y FC(2)1003 2163 y FH(\))18 b Fz(Ma\377r)n(\344ume)i(mit)d(end)r(lichen)i(Ma\377en) g FI(m)1693 2169 y FC(1)1712 2163 y Fz(,)225 2213 y FI(m)261 2219 y FC(2)295 2213 y Fz(und)d(sei)e FI(\026)e FG(2)f(D)q FH(\()p FI(m)601 2219 y FC(1)620 2213 y FI(;)c(m)675 2219 y FC(2)694 2213 y FH(\))p Fz(.)225 2263 y(Dann)21 b(ist)f FI(\026)g FG(2)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)631 2269 y FC(1)650 2263 y FI(;)7 b(m)705 2269 y FC(2)724 2263 y FH(\)\))20 b Fz(genau)h(dann,)g(wenn)p 1136 2227 320 2 v 20 w FI(L)1164 2269 y FC(1)1183 2263 y FH(\()p FI(m)1235 2269 y FC(1)1254 2263 y FH(\))9 b(+)h FI(L)1349 2269 y FC(1)1368 2263 y FH(\()p FI(m)1420 2269 y FC(2)1439 2263 y FH(\))21 b(=)g FI(L)1557 2269 y FC(1)1576 2263 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p Fz(,)f(das)225 2313 y(hei\377t,)g(wenn)g FG(F)15 b FH(:=)c FG(f)p FI(h)h FG(2)f FI(L)684 2319 y FC(1)703 2313 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h(:)f FI(h)p FH(\()p FI(x;)c(y)q FH(\))k(=)h FI(f)t FH(\()p FI(x)p FH(\))e(+)g FI(g)q FH(\()p FI(y)q FH(\))p FI(;)17 b(f)f FG(2)11 b FI(L)1308 2319 y FC(1)1327 2313 y FH(\()p FI(m)1379 2319 y FC(1)1398 2313 y FH(\))p FI(;)16 b(g)d FG(2)e FI(L)1542 2319 y FC(1)1561 2313 y FH(\()p FI(m)1613 2319 y FC(2)1632 2313 y FH(\))p FG(g)20 b Fz(in)225 2362 y FH(\()p FI(L)269 2368 y FC(1)288 2362 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FI(;)7 b FG(k)k(k)417 2368 y FC(1)435 2362 y FH(\))k Fz(dicht)g(ist.)225 2466 y(Beweis.)20 b FJ(Der)14 b(Bew)o(eis)h(wird)f(in)f(drei)h(Sc)o(hritte)h(un)o (terteilt.)f(Es)h(sei)f FG(E)h FH(=)d FG(E)1402 2472 y FC(1)1430 2466 y FG(\012)e(E)1497 2472 y FC(2)1516 2466 y FJ(.)225 2528 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FI(\026)c(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)712 2534 y FC(1)732 2528 y FI(;)c(m)787 2534 y FC(2)805 2528 y FH(\)\))k FJ(genau)g(dann,)g(w)o(enn)g(es)h(ein)f(endlic)o(hes)h (signiertes)f(Ma\377)225 2578 y FI(\027)j FG(6)p FH(=)d(0)j FJ(auf)f FH(\()p FI(I)442 2584 y FC(1)471 2578 y FG(\002)c FI(I)530 2584 y FC(2)549 2578 y FI(;)e FG(E)s FH(\))14 b FJ(gibt,)f(so)h(da\377)531 2668 y FG(8)510 2695 y FD(S)r Fy(2E)587 2668 y FG(j)p FI(\027)s FG(j)p FH(\()p FI(S)r FH(\))d FG(\024)g FI(\026)p FH(\()p FI(S)r FH(\))43 b FJ(und)71 b FG(8)986 2695 y FD(A)p Fy(2E)1051 2699 y Fx(1)1079 2668 y FI(\027)s FH(\()p FI(A)8 b FG(\002)i FI(I)1218 2674 y FC(2)1237 2668 y FH(\))h(=)h(0)41 b FJ(und)540 2755 y FG(8)510 2782 y FD(B)q Fy(2E)576 2786 y Fx(2)605 2755 y FI(\027)s FH(\()p FI(I)663 2761 y FC(1)690 2755 y FG(\002)10 b FI(B)r FH(\))i(=)g(0)p FI(:)225 2722 y FJ(\(1.12\))p eop %%Page: 9 11 9 10 bop 165 50 a Fw(1.4.)12 b(MASSTHEORETISCHE)j(CHARAKTERISIER)o(UNG) 453 b FJ(9)165 195 y Fz(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)h(Angenommen,)e(es)j(gibt)e FI(\026)886 201 y FC(1)905 195 y FI(;)7 b(\026)949 201 y FC(2)979 195 y FG(2)k(D)q FH(\()p FI(m)1103 201 y FC(1)1122 195 y FI(;)c(m)1177 201 y FC(2)1196 195 y FH(\))p FJ(,)20 b(so)i(da\377)f FI(\026)11 b FG(6)p FH(=)h FI(\026)1494 201 y FC(1)1513 195 y FI(;)7 b(\026)1557 201 y FC(2)1596 195 y FJ(und)165 245 y FI(\026)12 b FH(=)250 229 y FC(1)p 250 236 17 2 v 250 259 a(2)272 245 y FI(\026)297 251 y FC(1)325 245 y FH(+)371 229 y FC(1)p 371 236 V 371 259 a(2)393 245 y FI(\026)418 251 y FC(2)436 245 y FI(:)18 b FJ(Dann)f(setze)j FI(\027)g FH(=)785 229 y FC(1)p 785 236 V 785 259 a(2)806 245 y FI(\026)831 251 y FC(1)862 245 y FG(\000)911 229 y FC(1)p 911 236 V 911 259 a(2)933 245 y FI(\026)958 251 y FC(2)976 245 y FJ(.)e FI(\026)1031 251 y FC(1)1067 245 y FJ(und)g FI(\026)1179 251 y FC(2)1216 245 y FJ(sind)g(endlic)o (he)g(Ma\377e)g(\(w)o(e-)165 295 y(gen)e FI(\026)268 301 y FC(1)287 295 y FI(;)7 b(\026)331 301 y FC(2)364 295 y FG(2)15 b(D)q FH(\()p FI(m)492 301 y FC(1)511 295 y FI(;)7 b(m)566 301 y FC(2)585 295 y FH(\))16 b FJ(und)g(Bemerkung)g (1.3.2\).)e(Also)i(ist)g FI(\027)i FJ(ein)e(endlic)o(hes)h(signiertes) 165 345 y(Ma\377.)c(F\374r)h FI(S)h FG(2)c(E)s FJ(,)j(gilt)602 434 y FG(j)p FI(\027)s FG(j)p FH(\()p FI(S)r FH(\))d FG(\024)769 418 y FC(1)p 769 425 V 769 448 a(2)791 434 y FI(\026)816 440 y FC(1)834 434 y FH(\()p FI(S)r FH(\))g(+)950 418 y FC(1)p 950 425 V 950 448 a(2)972 434 y FI(\026)997 440 y FC(2)1015 434 y FH(\()p FI(S)r FH(\))i(=)f FI(\026)p FH(\()p FI(S)r FH(\))p FI(:)-1062 b FJ(\(1.13\))165 523 y(Ist)14 b FI(A)e FG(2)f(E)334 529 y FC(1)352 523 y FJ(,)j(so)g(gilt) 365 613 y FI(\027)s FH(\()p FI(A)9 b FG(\002)g FI(I)504 619 y FC(2)523 613 y FH(\))j(=)599 596 y FC(1)p 599 603 V 599 627 a(2)621 613 y FI(\026)646 619 y FC(1)665 613 y FH(\()p FI(A)d FG(\002)h FI(I)781 619 y FC(2)799 613 y FH(\))g FG(\000)871 596 y FC(1)p 871 603 V 871 627 a(2)893 613 y FI(\026)918 619 y FC(2)936 613 y FH(\()p FI(A)g FG(\002)f FI(I)1052 619 y FC(2)1071 613 y FH(\))j(=)1148 596 y FC(1)p 1148 603 V 1148 627 a(2)1169 613 y FI(m)1205 619 y FC(1)1224 613 y FH(\()p FI(A)p FH(\))e FG(\000)1344 596 y FC(1)p 1344 603 V 1344 627 a(2)1365 613 y FI(m)1401 619 y FC(1)1420 613 y FH(\()p FI(A)p FH(\))i(=)g(0)p FI(:)-1407 b FJ(\(1.14\))165 702 y(Analog)13 b(folgt)f FI(\027)s FH(\()p FI(I)460 708 y FC(1)488 702 y FG(\002)d FI(B)r FH(\))k(=)e(0)j FJ(f\374r)g FI(B)g FG(2)d(E)845 708 y FC(2)863 702 y FJ(.)165 752 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)i(Hab)q (e)i(also)e FI(\027)j FJ(die)e(in)f(der)i(Behauptung)f(v)o(erlangten)h (Eigensc)o(haften.)f(Es)g(gilt)686 841 y FI(\026)e FH(=)771 825 y FC(1)p 771 832 V 771 855 a(2)793 841 y FH(\()p FI(\026)d FH(+)h FI(\027)s FH(\))e(+)980 825 y FC(1)p 980 832 V 980 855 a(2)1001 841 y FH(\()p FI(\026)i FG(\000)f FI(\027)s FH(\))p FI(:)-980 b FJ(\(1.15\))165 931 y FI(\026)12 b FG(6)p FH(=)f FI(\026)f FG(\006)f FI(\027)s FJ(,)k(da)g FI(\027)h FG(6)p FH(=)e(0)p FJ(.)h(W)m(eiterhin)g(ist)h FI(\026)9 b FG(\006)h FI(\027)k FG(2)d(D)q FH(\()p FI(m)1036 937 y FC(1)1055 931 y FI(;)c(m)1110 937 y FC(2)1129 931 y FH(\))p FJ(:)165 980 y(Aus)14 b FG(j)p FI(\027)s FG(j)c(\024)i FI(\026)i FJ(folgt)e FI(\026)e FG(\006)f FI(\027)14 b FG(\025)e FH(0)p FJ(.)h(Sei)h(n)o(un)g FI(A)d FG(2)g(E)942 986 y FC(1)974 980 y FJ(und)j FI(B)h FG(2)c(E)1167 986 y FC(2)1186 980 y FJ(.)i(Dann)h(gilt)562 1069 y FH(\()p FI(\026)9 b FG(\006)h FI(\027)s FH(\)\()p FI(A)f FG(\002)g FI(I)809 1075 y FC(2)828 1069 y FH(\))j(=)f FI(\026)p FH(\()p FI(A)f FG(\002)f FI(I)1040 1075 y FC(2)1059 1069 y FH(\))j(=)g FI(m)1167 1075 y FC(1)1186 1069 y FH(\()p FI(A)p FH(\))p FI(;)562 1132 y FH(\()p FI(\026)d FG(\006)h FI(\027)s FH(\)\()p FI(I)728 1138 y FC(1)755 1132 y FG(\002)g FI(B)r FH(\))i(=)g FI(\026)p FH(\()p FI(I)961 1138 y FC(1)989 1132 y FG(\002)e FI(B)r FH(\))i(=)g FI(m)1172 1138 y FC(2)1191 1132 y FH(\()p FI(B)r FH(\))p FI(;)165 1101 y FJ(\(1.16\))165 1219 y(und)i(der)h(Bew)o(eis)f(v)o(on)g (Behauptung)g(1)g(ist)g(v)o(ollst\344ndig.)563 b Fv(N)165 1301 y Fz(Behauptung)17 b(2.)j FI(\026)f(=)-26 b FG(2)14 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)658 1307 y FC(1)677 1301 y FI(;)7 b(m)732 1307 y FC(2)751 1301 y FH(\)\))15 b FJ(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g(es)i(eine)f(F)m(unktion)e FI(F)j FG(2)11 b FI(L)1572 1307 y Fy(1)1608 1301 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))165 1351 y FJ(gibt,)i(so)h(da\377)f FI(F)k FG(6)p FH(=)12 b(0)p FJ(,)h FG(k)p FI(F)6 b FG(k)600 1357 y Fy(1)646 1351 y FG(\024)12 b FH(1)h FJ(und)501 1462 y FG(8)437 1491 y FD(f)s Fy(2)p FD(L)501 1495 y Fx(1)517 1491 y FC(\()p FD(m)559 1495 y Fx(1)576 1491 y FC(\))664 1462 y FG(8)600 1491 y FD(g)q Fy(2)p FD(L)662 1495 y Fx(1)679 1491 y FC(\()p FD(m)721 1495 y Fx(2)738 1491 y FC(\))769 1405 y FB(Z)792 1500 y FD(I)807 1504 y Fx(1)823 1500 y Fy(\002)p FD(I)864 1504 y Fx(2)882 1462 y FH(\()p FI(f)t FH(\()p FI(x)p FH(\))d(+)g FI(g)q FH(\()p FI(y)q FH(\)\))p FI(F)c FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))j FI(d\026)h FH(=)h(0)p FI(:)-1229 b FJ(\(1.17\))179 1579 y FG(k)11 b(k)232 1585 y Fy(1)281 1579 y FJ(b)q(ezeic)o(hnet)16 b(dab)q(ei)e(die)f(essen)o(tielle)i(Suprem)o(umsnorm.)165 1682 y Fz(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)c(Sei)g FI(F)22 b FG(2)15 b FI(L)616 1688 y Fy(1)651 1682 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))i FJ(gegeb)q(en,)g(so)f(da\377)g FH(0)g FG(6)p FH(=)g FI(F)6 b FJ(,)15 b FG(k)p FI(F)6 b FG(k)1251 1688 y Fy(1)1301 1682 y FG(\024)16 b FH(1)g FJ(und)g(\(1.17\))g(gilt.) 165 1731 y(F\374r)e FI(S)h FG(2)c(E)s FJ(,)j(de\034niere)721 1840 y FI(\027)s FH(\()p FI(S)r FH(\))d(=)859 1783 y FB(Z)882 1878 y FD(S)913 1840 y FI(F)6 b FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))i FI(d\026:)-945 b FJ(\(1.18\))165 1955 y(W)m(egen)19 b FG(k)p FI(F)6 b FG(k)379 1961 y Fy(1)434 1955 y FI(>)22 b FH(0)p FJ(,)c(folgt)h FI(\027)k FG(6)p FH(=)e(0)p FJ(.)d(Da)h FI(\026)h FJ(endlic)o(h)f(ist)h(und)f FI(F)27 b FG(2)20 b FI(L)1335 1961 y Fy(1)1371 1955 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(,)f(ist)1522 1921 y FB(R)1542 1969 y FD(S)1573 1955 y FI(F)f(d\026)165 2004 y FJ(de\034niert)d(und)e(endlic)o(h.)g (Also)h(ist)g FI(\027)h FJ(ein)f(signiertes)g(Ma\377)g(auf)f FH(\()p FI(I)1199 2010 y FC(1)1227 2004 y FG(\002)c FI(I)1286 2010 y FC(2)1305 2004 y FI(;)e FG(E)s FH(\))p FJ(.)14 b(Sei)f(n)o(un)h FI(A)e FG(2)f(E)1646 2010 y FC(1)165 2054 y FJ(und)j FI(B)g FG(2)d(E)358 2060 y FC(2)377 2054 y FJ(.)i(Dann)g(ist)558 2161 y FI(\027)s FH(\()p FI(A)c FG(\002)g FI(I)697 2167 y FC(2)716 2161 y FH(\))j(=)788 2104 y FB(Z)811 2199 y FD(I)826 2203 y Fx(1)842 2199 y Fy(\002)p FD(I)883 2203 y Fx(2)907 2161 y FH(1)928 2167 y FD(A)955 2161 y FH(\()p FI(x)p FH(\))p FI(F)6 b FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))i FI(d\026)i FH(=)h(0)-1107 b FJ(\(1.19\))179 2275 y(und)557 2375 y FI(\027)s FH(\()p FI(I)615 2381 y FC(1)642 2375 y FG(\002)10 b FI(B)r FH(\))i(=)789 2319 y FB(Z)812 2413 y FD(I)827 2417 y Fx(1)843 2413 y Fy(\002)p FD(I)884 2417 y Fx(2)909 2375 y FH(1)930 2381 y FD(B)958 2375 y FH(\()p FI(y)q FH(\))p FI(F)6 b FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))j FI(d\026)h FH(=)h(0)-1108 b FJ(\(1.20\))165 2492 y(w)o(egen)14 b(\(1.17\).)f(Au\377erdem)g(ist)h (f\374r)g FI(S)g FG(2)e(E)s FJ(,)606 2603 y FG(j)p FI(\027)s FG(j)p FI(S)g FH(=)735 2546 y FB(Z)758 2640 y FD(S)789 2603 y FG(j)p FI(F)6 b FG(j)i FI(d\026)j FG(\024)956 2546 y FB(Z)979 2640 y FD(S)1019 2603 y FI(d\026)g FH(=)h FI(\026)p FH(\()p FI(S)r FH(\))p FI(;)-1052 b FJ(\(1.21\))165 2715 y(da)14 b FG(k)p FI(F)6 b FG(k)298 2721 y Fy(1)343 2715 y FG(\024)12 b FH(1)p FJ(.)h FI(\026)j(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)638 2721 y FC(1)658 2715 y FI(;)c(m)713 2721 y FC(2)731 2715 y FH(\)\))14 b FJ(folgt)f(n)o(un)h(w)o(egen)g(Behauptung)h(1.)165 2785 y(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)h(Nun)g(sei)g(also)g FI(\026)j(=)-25 b FG(2)15 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)722 2791 y FC(1)741 2785 y FI(;)7 b(m)796 2791 y FC(2)815 2785 y FH(\)\))p FJ(.)16 b FI(\027)i FJ(sei)e(das)g(durc)o(h)h (Behauptung)g(1)f(gegeb)q(ene)h(si-)165 2835 y(gnierte)i(Ma\377)f(auf)g FH(\()p FI(I)515 2841 y FC(1)544 2835 y FG(\002)9 b FI(I)603 2841 y FC(2)622 2835 y FI(;)e FG(E)s FH(\))p FJ(.)18 b(Da)h FG(j)p FI(\027)s FG(j)e FH(=)j FI(\027)925 2820 y FC(+)964 2835 y FH(+)13 b FI(\027)1033 2820 y Fy(\000)1079 2835 y FG(\024)20 b FI(\026)f FJ(ist,)f(folgt)f FI(\027)1373 2820 y FC(+)1400 2835 y FI(;)7 b(\027)1443 2820 y Fy(\000)1489 2835 y FG(\024)20 b FI(\026)p FJ(.)e(Das)p eop %%Page: 10 12 10 11 bop 225 50 a FJ(10)890 b Fw(KAPITEL)14 b(1.)27 b(GR)o(UNDLA)o(GEN)225 195 y FJ(Radon-Nik)o(o)q(dym-Theorem)11 b(\(siehe)k(zum)f(Beispiel)g([13)o(,)g(S.)g(121\033]\))g(liefert)g(n)o (un)h(eine)g(F)m(unk-)225 245 y(tion)e FI(F)d FH(:)h FI(I)388 251 y FC(1)417 245 y FG(\002)e FI(I)476 251 y FC(2)506 245 y FG(\000)-6 b(!)11 b Fu(R)-6 b FJ(,)13 b FI(F)k FG(2)11 b FI(L)751 251 y FC(1)770 245 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))q FJ(,)i(so)h(da\377)833 350 y FG(8)813 377 y FD(S)r Fy(2E)889 350 y FI(\027)s(S)f FH(=)995 293 y FB(Z)1018 388 y FD(S)1049 350 y FI(F)i(d\026)-913 b FJ(\(1.22\))225 455 y(und)14 b(f\374r)g(alle)f FI(S)h FG(2)d(E)667 494 y FB(Z)690 589 y FD(S)721 551 y FG(j)p FI(F)6 b FG(j)k FI(d\026)h FH(=)h FG(j)p FI(\027)s FG(j)p FI(S)g FG(\024)g FI(\026)p FH(\()p FI(S)r FH(\))h(=)1160 494 y FB(Z)1183 589 y FD(S)1225 551 y FI(d\026:)-1059 b FJ(\(1.23\))225 658 y(Daraus)14 b(folgt)e FG(k)p FI(F)6 b FG(k)538 664 y Fy(1)584 658 y FG(\024)12 b FH(1)p FJ(,)h(das)h (hei\377t)g(insb)q(esondere)i(ist)d FI(F)k FG(2)12 b FI(L)1265 664 y Fy(1)1300 658 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(.)225 708 y(Seien)17 b FI(\036)10 b FH(:)16 b FI(I)417 714 y FC(1)452 708 y FG(\000)-7 b(!)16 b Fu(R)m FJ(,)e FI( )d FH(:)16 b FI(I)678 714 y FC(2)713 708 y FG(\000)-6 b(!)16 b Fu(R)10 b FJ(T)m(repp)q(enfunktionen)18 b(\(simple)d (functions:)i(De\034nition)225 758 y(siehe)e(zum)e(Beispiel)h([12)o(,)f (S.)h(260])n(\).)g(W)m(egen)g(\(1.12\))e(folgt)452 806 y FB(Z)475 900 y FD(I)490 904 y Fx(1)506 900 y Fy(\002)p FD(I)547 904 y Fx(2)571 863 y FI(\036)p FH(\()p FI(x)p FH(\))p FI(F)6 b FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))i FI(d\026)i FH(=)h(0)i FJ(und)1017 806 y FB(Z)1040 900 y FD(I)1055 904 y Fx(1)1071 900 y Fy(\002)p FD(I)1112 904 y Fx(2)1137 863 y FI( )q FH(\()p FI(y)q FH(\))p FI(F)6 b FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))j FI(d\026)h FH(=)h(0)p FI(;)-1267 b FJ(\(1.24\))225 971 y(das)14 b(hei\377t)512 1009 y FB(Z)535 1104 y FD(I)550 1108 y Fx(1)566 1104 y Fy(\002)p FD(I)607 1108 y Fx(2)624 1066 y FH(\()p FI(\036F)6 b FH(\))714 1049 y FC(+)742 1066 y FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))i FI(d\026)i FH(=)949 1009 y FB(Z)972 1104 y FD(I)987 1108 y Fx(1)1003 1104 y Fy(\002)p FD(I)1044 1108 y Fx(2)1062 1066 y FH(\()p FI(\036F)6 b FH(\))1152 1049 y Fy(\000)1179 1066 y FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))j FI(d\026)41 b FJ(und)508 1125 y FB(Z)531 1219 y FD(I)546 1223 y Fx(1)562 1219 y Fy(\002)p FD(I)603 1223 y Fx(2)621 1181 y FH(\()p FI( )q(F)6 b FH(\))714 1164 y FC(+)742 1181 y FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))i FI(d\026)i FH(=)949 1125 y FB(Z)972 1219 y FD(I)987 1223 y Fx(1)1003 1219 y Fy(\002)p FD(I)1044 1223 y Fx(2)1062 1181 y FH(\()p FI( )q(F)6 b FH(\))1155 1164 y Fy(\000)1183 1181 y FH(\()p FI(x;)h(y)q FH(\))j FI(d\026:)225 1127 y FJ(\(1.25\))225 1290 y(Die)f(folgenden)h(F)m(unktionenlimites)d(b)q (edeuten)12 b(punkt)o(w)o(eise)f(Kon)o(v)o(ergenz.)f(Es)g(seien)h (gegeb)q(en)225 1340 y FI(f)16 b FG(2)c FI(L)329 1346 y FC(1)347 1340 y FH(\()p FI(m)399 1346 y FC(1)419 1340 y FH(\))p FI(;)18 b(g)13 b FG(2)e FI(L)565 1346 y FC(1)584 1340 y FH(\()p FI(m)636 1346 y FC(2)655 1340 y FH(\))p FJ(.)f(Dann)g(gibt)g(es)i(T)m(repp)q(enfunktionen)f FI(\036)1309 1325 y FC(+)1309 1350 y FD(n)1336 1340 y FI(;)c(\036)1380 1325 y Fy(\000)1380 1350 y FD(n)1412 1340 y FH(:)k FI(I)1453 1346 y FC(1)1484 1340 y FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)-6 b FI(;)52 b FJ(und)225 1389 y FI( )253 1374 y FC(+)252 1400 y FD(n)281 1389 y FI(;)7 b( )328 1374 y Fy(\000)327 1400 y FD(n)361 1389 y FH(:)k FI(I)402 1395 y FC(2)432 1389 y FG(\000)-6 b(!)11 b Fu(R)m FI(;)51 b FJ(so)14 b(da\377)383 1473 y FH(lim)369 1498 y FD(n)p Fy(!1)455 1473 y FI(\036)480 1456 y FC(+)480 1484 y FD(n)519 1473 y FH(=)e FI(f)587 1456 y FC(+)615 1473 y FI(;)33 b FH(lim)645 1498 y FD(n)p Fy(!1)732 1473 y FI(\036)757 1456 y Fy(\000)757 1484 y FD(n)796 1473 y FH(=)12 b FI(f)864 1456 y Fy(\000)934 1473 y FJ(und)57 b FH(lim)1045 1498 y FD(n)p Fy(!1)1132 1473 y FI( )1160 1456 y FC(+)1159 1484 y FD(n)1199 1473 y FH(=)12 b FI(g)1264 1456 y FC(+)1292 1473 y FI(;)33 b FH(lim)1322 1498 y FD(n)p Fy(!1)1409 1473 y FI( )1437 1456 y Fy(\000)1436 1484 y FD(n)1477 1473 y FH(=)12 b FI(g)1542 1456 y Fy(\000)1570 1473 y FI(;)368 1610 y FG(8)347 1637 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)464 1610 y FH(0)g FG(\024)f FI(\036)565 1592 y FC(+)565 1620 y FD(n)604 1610 y FG(\024)h FI(f)672 1592 y FC(+)700 1610 y FI(;)48 b FH(0)12 b FG(\024)g FI(\036)862 1592 y Fy(\000)862 1620 y FD(n)901 1610 y FG(\024)g FI(f)969 1592 y Fy(\000)997 1610 y FI(;)48 b FH(0)12 b FG(\024)f FI( )1161 1592 y FC(+)1160 1620 y FD(n)1201 1610 y FG(\024)h FI(g)1266 1592 y FC(+)1294 1610 y FI(;)48 b FH(0)11 b FG(\024)h FI( )1458 1592 y Fy(\000)1457 1620 y FD(n)1498 1610 y FG(\024)g FI(g)1563 1592 y Fy(\000)1591 1610 y FI(:)225 1710 y FJ(Es)i(folgt)570 1793 y FH(lim)555 1818 y FD(n)p Fy(!1)642 1793 y FH(\()p FI(\036)683 1776 y FC(+)683 1804 y FD(n)720 1793 y FG(\000)9 b FI(\036)786 1776 y Fy(\000)786 1804 y FD(n)814 1793 y FH(\))j(=)f FI(f)r(;)63 b FH(lim)968 1818 y FD(n)p Fy(!1)1055 1793 y FH(\()p FI(\036)1096 1776 y FC(+)1096 1804 y FD(n)1132 1793 y FG(\000)10 b FI(\036)1199 1776 y Fy(\000)1199 1804 y FD(n)1227 1793 y FH(\))p FI(F)17 b FH(=)11 b FI(f)t(F)q(;)225 1889 y FJ(und)565 1973 y FH(lim)550 1998 y FD(n)p Fy(!1)637 1973 y FH(\()p FI( )681 1956 y FC(+)680 1983 y FD(n)718 1973 y FG(\000)f FI( )788 1956 y Fy(\000)787 1983 y FD(n)816 1973 y FH(\))i(=)g FI(g)q(;)63 b FH(lim)969 1998 y FD(n)p Fy(!1)1056 1973 y FH(\()p FI( )1100 1956 y FC(+)1099 1983 y FD(n)1137 1973 y FG(\000)10 b FI( )1207 1956 y Fy(\000)1206 1983 y FD(n)1235 1973 y FH(\))p FI(F)17 b FH(=)12 b FI(g)q(F)q(:)225 2069 y FJ(Dab)q(ei)h(gilt)g(au\377erdem) 531 2153 y FG(j)p FH(\()p FI(\036)584 2136 y FC(+)584 2163 y FD(n)620 2153 y FG(\000)d FI(\036)687 2136 y Fy(\000)687 2163 y FD(n)715 2153 y FH(\))p FI(F)c FG(j)k(\024)i FH(\()p FG(j)p FI(\036)883 2136 y FC(+)883 2163 y FD(n)910 2153 y FG(j)d FH(+)g FG(j)p FI(\036)1009 2136 y Fy(\000)1009 2163 y FD(n)1037 2153 y FG(j)p FH(\))p FG(j)p FI(F)d FG(j)j(\024)j FH(\()p FI(f)1215 2136 y FC(+)1253 2153 y FH(+)d FI(f)1318 2136 y Fy(\000)1347 2153 y FH(\))p FG(j)p FI(F)d FG(j)225 2237 y FJ(und)521 2320 y FG(j)p FH(\()p FI( )577 2303 y FC(+)576 2331 y FD(n)614 2320 y FG(\000)k FI( )684 2303 y Fy(\000)683 2331 y FD(n)712 2320 y FH(\))p FI(F)c FG(j)11 b(\024)h FH(\()p FG(j)p FI( )884 2303 y FC(+)883 2331 y FD(n)912 2320 y FG(j)c FH(+)i FG(j)p FI( )1014 2303 y Fy(\000)1013 2331 y FD(n)1042 2320 y FG(j)p FH(\))p FG(j)p FI(F)c FG(j)k(\024)h FH(\()p FI(g)1217 2303 y FC(+)1255 2320 y FH(+)e FI(g)1317 2303 y Fy(\000)1346 2320 y FH(\))p FG(j)p FI(F)d FG(j)p FI(:)225 2404 y FJ(Da)k FH(\()p FI(f)328 2389 y FC(+)359 2404 y FH(+)r FI(f)417 2389 y Fy(\000)446 2404 y FH(\))p FG(j)p FI(F)c FG(j)p FI(;)17 b FH(\()p FI(g)585 2389 y FC(+)615 2404 y FH(+)r FI(g)670 2389 y Fy(\000)699 2404 y FH(\))p FG(j)p FI(F)6 b FG(j)k(2)h FI(L)849 2410 y FC(1)868 2404 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(,)g(k)n(ann)e(das)i(Leb)q(esguesc)o(he)i (Kon)o(v)o(ergenztheorem)225 2454 y(\(siehe)i(zum)e(Beispiel)h([12)o(,) f(S.)h(267]\))e(angew)o(endet)j(w)o(erden,)g(und)f(man)e(b)q(ek)o(omm)o (t)496 2503 y FB(Z)519 2597 y FD(I)534 2601 y Fx(1)550 2597 y Fy(\002)p FD(I)591 2601 y Fx(2)616 2559 y FI(f)t(F)j(d\026)c FH(=)27 b(lim)784 2584 y FD(n)p Fy(!1)878 2503 y FB(Z)901 2597 y FD(I)916 2601 y Fx(1)932 2597 y Fy(\002)p FD(I)973 2601 y Fx(2)991 2559 y FH(\()p FI(\036)1032 2542 y FC(+)1032 2569 y FD(n)1068 2559 y FG(\000)10 b FI(\036)1135 2542 y Fy(\000)1135 2569 y FD(n)1163 2559 y FH(\))p FI(F)15 b(d\026)c FH(=)h(0)41 b FJ(und)500 2618 y FB(Z)523 2712 y FD(I)538 2716 y Fx(1)554 2712 y Fy(\002)p FD(I)595 2716 y Fx(2)619 2674 y FI(g)q(F)15 b(d\026)c FH(=)27 b(lim)784 2699 y FD(n)p Fy(!1)878 2618 y FB(Z)901 2712 y FD(I)916 2716 y Fx(1)932 2712 y Fy(\002)p FD(I)973 2716 y Fx(2)991 2674 y FH(\()p FI( )1035 2657 y FC(+)1034 2684 y FD(n)1072 2674 y FG(\000)10 b FI( )1142 2657 y Fy(\000)1141 2684 y FD(n)1170 2674 y FH(\))p FI(F)15 b(d\026)c FH(=)h(0)225 2620 y FJ(\(1.26\))225 2785 y(w)o(egen)i (\(1.24\).)e(Durc)o(h)h(\(1.26\))f(ist)i(der)g(Bew)o(eis)g(v)o(on)f (\022)s FG(\))p FJ(\020)j(und)e(damit)d(auc)o(h)i(der)h(Bew)o(eis)g(v)o (on)225 2835 y(Behauptung)h(2)e(v)o(ollst\344ndig.)991 b Fv(N)p eop %%Page: 11 13 11 12 bop 165 50 a Fw(1.4.)12 b(MASSTHEORETISCHE)j(CHARAKTERISIER)o (UNG)433 b FJ(11)165 195 y(Der)14 b(letzte)h(Sc)o(hritt)g(im)c(Bew)o (eis)k(des)g(Satzes)g(ist)f(die)g(folgende)f(Behauptung)i(3.)165 257 y Fz(Behauptung)i(3.)j FI(\026)c(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)652 263 y FC(1)672 257 y FI(;)c(m)727 263 y FC(2)745 257 y FH(\)\))12 b FG(,)f(F)16 b(\022)11 b FI(L)959 263 y FC(1)978 257 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))j FJ(ist)g(nic)o(h)o(t)g(dic)o(h)o(t)g(in)f FI(L)1391 263 y FC(1)1410 257 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(.)165 361 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Nac)o(h)14 b(dem)g(Darstellungssatz)g (v)o(on)g(Riesz,)g(ist)g FI(L)1117 367 y FC(1)1136 361 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))1193 346 y Fy(\003)1227 361 y FJ(isometrisc)o(h)f(isomorph)g(zu)165 411 y FI(L)193 417 y Fy(1)228 411 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(.)165 461 y(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)i(Sei)h FI(F)j FG(2)14 b FI(L)453 467 y Fy(1)489 461 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))i FJ(die)f(durc)o(h)h(Behauptung)h(2)e(gegeb)q(ene)i(F)m(unktion.)d(Das)i (zugeh\366rige)165 511 y(F)m(unktional)8 b(in)h FI(L)442 517 y FC(1)461 511 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))518 496 y Fy(\003)546 511 y FJ(b)q(ezeic)o(hne)j(wieder)e(mit)d FI(F)f FJ(.)j(W)m(egen)g(\(1.17\))f(gilt)h(f\374r)g(dieses)i(F)m (unktional)165 560 y FI(F)6 b FJ(,)12 b(da\377)h FI(F)6 b FH(\()p FI(h)p FH(\))11 b(=)h(0)h FJ(f\374r)h(alle)e FI(h)g FG(2)f(F)t FJ(.)i(W\344re)g FI(L)892 566 y FC(1)911 560 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h FJ(gleic)o(h)f(dem)f(Absc)o(hlu\377)i (v)o(on)f FG(F)t FJ(,)g(so)g(w\374rde)165 610 y(die)h(Stetigk)o(eit)h (v)o(on)f FI(F)20 b FJ(implizieren,)12 b(da\377)i FI(F)6 b FH(\()p FI(h)p FH(\))11 b(=)h(0)i FJ(f\374r)g(alle)g FI(h)d FG(2)h FI(L)1274 616 y FC(1)1292 610 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))q FJ(,)i(das)g(hei\377t)h FI(F)j FH(=)12 b(0)165 660 y FJ(im)g(Widerspruc)o(h)j(zu)f FI(F)j FG(6)p FH(=)12 b(0)i FJ(in)f(Behauptung)i(2.)165 731 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)k(Angenommen)e FG(F)23 b FJ(ist)c(nic)o(h)o(t)g (dic)o(h)o(t)g(in)g FI(L)955 737 y FC(1)973 731 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(.)g(Es)h(gibt)f(also)f FI(h)1328 737 y FC(0)1367 731 y FG(2)i FI(L)1443 737 y FC(1)1475 731 y FG(n)p 1508 697 34 2 v 12 w(F)t FJ(.)f(Nac)o(h)165 780 y(Prop)q(osition)d(6)g(in)g([12)o(,)e(S.)f(226])i(\(eine)i(An)o(w)o (endung)g(des)g(Satzes)h(v)o(on)e(Hahn-Banac)o(h\))h(gibt)165 830 y(es)h(ein)g FI(F)f FG(2)11 b FI(L)399 836 y FC(1)418 830 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))475 815 y Fy(\003)494 830 y FJ(,)17 b(so)h(da\377)f FI(F)s Fv(\030)707 836 y Fy(F)736 830 y FH(=)12 b(0)17 b FJ(und)h FG(k)p FI(F)6 b FG(k)980 836 y Fy(1)1026 830 y FH(=)11 b(1)p FJ(,)17 b(also)g(insb)q(esondere)j FI(F)j FG(6)p FH(=)18 b(0)p FJ(.)e(Die)165 880 y(zugeh\366rige)g(F)m (unktion)f FI(F)k FG(2)14 b FI(L)667 886 y Fy(1)703 880 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h FJ(erf\374llt)g(\(1.17\))g(und)h(w)o(egen)g (Behauptung)g(2)f(ist)g(daher)165 930 y FI(\026)h(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)370 936 y FC(1)390 930 y FI(;)c(m)445 936 y FC(2)463 930 y FH(\)\))p FJ(.)1128 b Fv(N)165 1034 y FJ(Damit)12 b(ist)h(Satz)i(1.4.1)d(b)q (ewiesen.)919 b Fv(\004)p eop %%Page: 12 14 12 13 bop 225 532 a FF(Kapitel)29 b(2)225 764 y FL(Dopp)s(elt)35 b(sto)s(c)m(hastisc)m(he)f(Matrizen)225 1030 y FA(2.1)66 b(De\034nition)18 b(und)j(erste)g(Eigensc)n(haften)225 1148 y FJ(Sind)13 b(die)g(Ma\377r\344ume)e(in)i(De\034nition)f(1.3.1)g (diskret,)h(so)g(en)o(tsprec)o(hen)j(die)d(Mengen)h(der)f(dop-)225 1198 y(p)q(elt)d(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)j(Ma\377e)d(gerade)g (den)h(Mengen)g(der)f(dopp)q(elt)h(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)225 1248 y(\(m\366glic)o(herw)o(eise)g(dopp)q(elt)h(unendlic)o(hen\))g (Matrizen.)g(W\344hrend)g(in)f(der)i(Literatur)f(meistens)225 1298 y(Randv)o(erteilungen)f(auf)f(den)h(nat\374rlic)o(hen)g(Zahlen)g (und)f(deren)i(T)m(eilmengen)d(b)q(etrac)o(h)o(tet)k(w)o(er-)225 1347 y(den,)19 b(sollen)f(im)f(folgenden)h(diskrete)i(V)m(erteilungen)f (auf)f(b)q(eliebigen)g(Mengen)i(zugelassen)225 1397 y(w)o(erden.)h (Dadurc)o(h)f(wird)g(herausgestellt,)h(da\377)e(die)h(Ordn)o (ungsstruktur)i(der)f(nat\374rlic)o(hen)225 1447 y(Zahlen)14 b(f\374r)g(die)g(meisten)f(Ergebnisse)i(ohne)g(Bedeutung)g(ist.)225 1534 y FK(De\034nitio)o(n)e(2.1.1.)21 b FJ(Seien)d FI(I)710 1540 y FC(1)729 1534 y FJ(,)f FI(I)776 1540 y FC(2)795 1534 y FJ(,)g FI(K)j FJ(Mengen.)e(Mit)f FG(M)1183 1540 y FD(K)1215 1534 y FH(\()p FI(I)1249 1540 y FC(1)1268 1534 y FI(;)7 b(I)1305 1540 y FC(2)1324 1534 y FH(\))k(:=)h FI(K)1445 1519 y FD(I)1460 1523 y Fx(1)1476 1519 y Fy(\002)p FD(I)1517 1523 y Fx(2)1552 1534 y FJ(b)q(ezeic)o(hne)225 1584 y(die)i(Menge)g(aller)f(Matrizen,)h(indiziert)f(mit)f(Elemen)o (ten)h(aus)h FI(I)1239 1590 y FC(1)1267 1584 y FG(\002)c FI(I)1327 1590 y FC(2)1359 1584 y FJ(und)k(Ko)q(e\036zien)o(ten)g(in) 225 1634 y FI(K)i FJ(\(im)c(folgenden)h(wird)g(praktisc)o(h)h(imm)o(er) d FI(K)k FH(=)d Fu(R)7 b FJ(o)q(der)14 b FI(K)h FH(=)c Fu(R)1295 1616 y FC(+)1295 1645 y(0)1333 1634 y FJ(gelten\).)i(Die)g (Elemen)o(te)225 1684 y(v)o(on)g FI(I)321 1690 y FC(1)353 1684 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)i FI(I)674 1690 y FC(2)707 1684 y FJ(hei\377en)e Fz(Zeilenindizes)h FJ(b)q(ezieh)o(ungsw) o(eise)h Fz(Sp)n(altenindizes)p FJ(.)e(Die)225 1734 y(Matrizen)h(hab)q (en)f(also)f FH(#)p FI(I)658 1740 y FC(1)690 1734 y FJ(viele)g(Zeilen)i (und)f FH(#)p FI(I)1041 1740 y FC(2)1072 1734 y FJ(viele)g(Spalten.)f (Eine)h(Zeile)g(o)q(der)h(Spalte)225 1783 y(w)o(erde)h(als)e Fz(Linie)h FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)225 1896 y(Matrizen,)e(die)g(in)f (jeder)i(Linie)e(h\366)q(c)o(hstens)j(eine)e(Eins)g(stehen)i(hab)q(en)e (und)g(sonst)h(n)o(ur)f(Nullen,)225 1946 y(w)o(erden)k(als)e Fz(Subp)n(ermutationsmatrizen)j FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)f(Die)f(Menge)g (der)h(Subp)q(erm)o(utations-)225 1996 y(matrizen)j(mit)e (Zeilenindizes)j(aus)g FI(I)833 2002 y FC(1)871 1996 y FJ(und)f(Spaltenindizes)h(aus)g FI(I)1335 2002 y FC(2)1373 1996 y FJ(b)q(ezeic)o(hne)h(man)d(mit)225 2045 y FG(M)275 2051 y FD(sp)310 2045 y FH(\()p FI(I)344 2051 y FC(1)363 2045 y FI(;)7 b(I)400 2051 y FC(2)418 2045 y FH(\))p FJ(.)225 2095 y(Matrizen,)18 b(die)f(in)h(jeder)g(Zeile)g(genau)g(eine) g(Eins)g(stehen)h(hab)q(en)f(und)g(sonst)g(n)o(ur)g(Nullen,)225 2145 y(w)o(erden)12 b(als)g Fz(Permutationsmatrizen)g FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)h(Die)f(Menge)g(der)g(P)o(erm)o(utationsmatrizen) 225 2195 y(mit)h(Zeilenindizes)j(aus)g FI(I)642 2201 y FC(1)676 2195 y FJ(und)f(Spaltenindizes)h(aus)f FI(I)1127 2201 y FC(2)1161 2195 y FJ(b)q(ezeic)o(hne)i(man)d(mit)f FG(M)1570 2201 y FD(p)1589 2195 y FH(\()p FI(I)1623 2201 y FC(1)1642 2195 y FI(;)7 b(I)1679 2201 y FC(2)1697 2195 y FH(\))p FJ(.)225 2245 y(Gelegen)o(tlic)o(h)19 b(wird)g(auc)o(h)g(die) g(Bezeic)o(hn)o(ung)i FG(M)1036 2251 y FD(sp)1071 2245 y FH(\()p FI(I)1105 2251 y FC(1)1124 2245 y FH(\))11 b(:=)h FG(M)1257 2251 y FD(sp)1291 2245 y FH(\()p FI(I)1325 2251 y FC(1)1345 2245 y FI(;)7 b(I)1382 2251 y FC(1)1400 2245 y FH(\))19 b FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)225 2294 y FG(M)275 2300 y FD(p)294 2294 y FH(\()p FI(I)328 2300 y FC(1)347 2294 y FH(\))12 b(:=)f FG(M)480 2300 y FD(p)499 2294 y FH(\()p FI(I)533 2300 y FC(1)552 2294 y FI(;)c(I)589 2300 y FC(1)607 2294 y FH(\))14 b FJ(b)q(en)o(utzt)i(w)o(erden.)225 2369 y(In)e(Beispielen)h(w)o(erden)g(des)g(\366fteren)g(\022)s(Dopp)q (eldiagonalm)o(atrizen\020)g(auftreten,)g(die)f(jetzt)h(de-)225 2419 y(\034niert)f(w)o(erden)h(sollen.)225 2507 y FK(De\034nitio)o(n)e (2.1.2.)21 b FJ(Es)16 b(sei)g FI(I)720 2513 y FC(1)754 2507 y FH(=)f FI(I)819 2513 y FC(2)852 2507 y FH(=)g(\(1)p FI(;)7 b FH(2)p FI(;)g(:)g(:)g(:)t FH(\))p FJ(.)15 b FI(P)20 b FG(2)15 b(M)1232 2513 y Fl(R)1255 2507 y FH(\()p FI(I)1289 2513 y FC(1)1308 2507 y FI(;)7 b(I)1345 2513 y FC(2)1363 2507 y FH(\))16 b FJ(hei\377t)f(eine)i Fz(Dopp)n(el-)225 2556 y(diagonalmatrix)e FJ(der)f(F)m(orm)e FH(\(\()p FI(a)742 2562 y FC(0)761 2556 y FI(;)7 b(a)802 2562 y FC(1)820 2556 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))p FI(;)i FH(\()p FI(b)963 2562 y FC(1)981 2556 y FI(;)g(b)1018 2562 y FC(2)1036 2556 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\)\))14 b FJ(genau)g(dann,)f(w)o (enn)713 2747 y FI(p)734 2753 y FD(i;j)785 2747 y FH(=)829 2624 y FB(8)829 2662 y(>)829 2674 y(>)829 2687 y(>)829 2699 y(<)829 2774 y(>)829 2786 y(>)829 2799 y(>)829 2811 y(:)866 2659 y FI(a)888 2665 y FC(0)989 2659 y FJ(f\374r)h FI(i)e FH(=)g FI(j)i FH(=)d(1)p FI(;)866 2718 y(a)888 2724 y FD(i)989 2718 y FJ(f\374r)j FI(j)g FH(=)e FI(i)d FH(+)h(1)p FI(;)866 2778 y(b)884 2784 y FD(j)989 2778 y FJ(f\374r)k FI(i)e FH(=)g FI(j)f FH(+)f(1)p FI(;)866 2838 y FH(0)102 b FJ(sonst,)954 2960 y(12)p eop %%Page: 13 15 13 14 bop 165 50 a Fw(2.1.)26 b(DEFINITION)15 b(UND)e(ERSTE)h (EIGENSCHAFTEN)469 b FJ(13)165 195 y(das)14 b(hei\377t)677 360 y FI(P)j FH(=)765 240 y FB(0)765 313 y(B)765 338 y(B)765 363 y(B)765 389 y(@)801 272 y FI(a)823 278 y FC(0)884 272 y FI(a)906 278 y FC(1)803 321 y FI(b)821 327 y FC(1)967 321 y FI(a)989 327 y FC(2)886 371 y FI(b)904 377 y FC(2)1052 420 y FJ(.)1068 432 y(.)1085 445 y(.)1098 240 y FB(1)1098 313 y(C)1098 338 y(C)1098 363 y(C)1098 389 y(A)1142 360 y FI(:)165 554 y FJ(Im)g(folgenden)i(w)o(erden)h(die)f (v)o(on)f(Null)g(v)o(ersc)o(hiedenen)j(Elemen)o(te)d(einer)i(Matrix)e (oft)h(eine)165 603 y(ausgezeic)o(hnete)i(Rolle)d(spielen.)h(In)g(der)h (folgenden)e(De\034nition)g(2.1.3)g(w)o(erden)i(daher)f(der)165 653 y(T)m(r\344ger)f(einer)i(Matrix)e(de\034niert)h(und)g(jeder)g (Matrix)f(ein)g(bipartiter)h(Graph)f(zugeordnet,)165 703 y(der)d(die)e(V)m(erteilung)h(der)h(v)o(on)e(Null)g(v)o(ersc)o (hiedenen)j(Elemen)o(te)e(in)f(der)i(Matrix)e(b)q(esc)o(hreibt.)165 783 y FK(De\034nitio)o(n)g(2.1.3.)21 b FI(I)538 789 y FC(1)557 783 y FI(;)7 b(I)594 789 y FC(2)626 783 y FJ(seien)15 b(Mengen,)f FI(P)j FG(2)11 b(M)1028 789 y Fl(R)1051 783 y FH(\()p FI(I)1085 789 y FC(1)1104 783 y FI(;)c(I)1141 789 y FC(2)1159 783 y FH(\))p FJ(.)165 883 y FK(\(a\))20 b FJ(De\034niere)15 b(den)f Fz(T)m(r)n(\344ger)h FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(v)o(on)f FI(P)20 b FJ(durc)o(h)617 970 y FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(:=)h FG(f)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1008 976 y FC(1)1036 970 y FG(\002)e FI(I)1095 976 y FC(2)1126 970 y FH(:)i FI(p)1170 976 y FD(i;j)1220 970 y FG(6)p FH(=)h(0)p FG(g)p FI(:)-1049 b FJ(\(2.1\))165 1073 y FK(\(b\))19 b FJ(F\374r)c FI(i)c FG(2)h FI(I)413 1079 y FC(1)432 1073 y FJ(,)h FI(j)h FG(2)d FI(I)545 1079 y FC(2)578 1073 y FJ(sei)j FI(x)662 1079 y FD(i)687 1073 y FH(:=)d(\()p FI(i;)c FH(0\))14 b FJ(und)g FI(y)945 1079 y FD(j)974 1073 y FH(:=)e(\()p FI(j;)7 b FH(1\))o FJ(.)14 b(Der)g Fz(gewichtete)g(Gr)n (aph)811 1160 y FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)g(\()p FI(V)r(;)c(E)r(;)g(w)q FH(\))283 1247 y FJ(der)14 b(Matrix)g FI(P)19 b FJ(sei)14 b(de\034niert)h(durc)o(h)766 1324 y FI(V)21 b FH(:=)11 b FG(f)p FI(x)911 1330 y FD(i)936 1324 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)1049 1330 y FC(1)1068 1324 y FG(g)1104 1319 y FH(_)1096 1324 y FG([)o(f)p FI(y)1164 1330 y FD(j)1193 1324 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1311 1330 y FC(2)1330 1324 y FG(g)p FI(;)766 1386 y(E)j FH(:=)d FG(f)p FI(x)911 1392 y FD(i)924 1386 y FI(;)c(y)963 1392 y FD(j)981 1386 y FG(g)k FH(:)18 b FI(p)1064 1392 y FD(i;j)1114 1386 y FG(6)p FH(=)12 b(0)p FG(g)p FI(;)564 1448 y(w)h FH(:)18 b FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\))11 b FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)-6 b FI(;)18 b(w)q FG(f)p FI(x)1025 1454 y FD(i)1038 1448 y FI(;)7 b(y)1077 1454 y FD(j)1095 1448 y FG(g)k FH(:=)g FI(p)1203 1454 y FD(i;j)1242 1448 y FI(:)269 1386 y FJ(\(2.2\))165 1552 y FK(\(c\))20 b FJ(De\034niere)15 b(die)f Fz(T)m(r)n(\344germatrix)h FI(S)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b(=)g FI(S)i FH(=)e(\()p FI(s)1003 1558 y FD(i;j)1043 1552 y FH(\))1059 1559 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1160 1563 y Fx(1)1175 1559 y Fy(\002)p FD(I)1216 1563 y Fx(2)1248 1552 y FJ(durc)o(h)662 1681 y FI(s)681 1687 y FD(i;j)732 1681 y FH(:=)787 1610 y FB(\()821 1652 y FH(1)55 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(;)821 1712 y FH(0)55 b FJ(sonst.)269 1681 y(\(2.3\))165 1801 y FK(Bemerkung)14 b(2.1.4.)21 b FJ(F\374r)12 b(Mengen)h FI(I)802 1807 y FC(1)821 1801 y FJ(,)e FI(I)862 1807 y FC(2)893 1801 y FJ(und)h FI(P)17 b FG(2)11 b(M)1107 1807 y Fl(R)1130 1801 y FH(\()p FI(I)1164 1807 y FC(1)1183 1801 y FI(;)c(I)1220 1807 y FC(2)1239 1801 y FH(\))12 b FJ(ist)g(nac)o(h)g(den)g(De\034nitio-)165 1851 y(nen)i(1.2.12)e(und)i (2.1.3)e(\(b\))j(der)f(Graph)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(bipartit.)165 1951 y(Manc)o(hmal)18 b(ist)i(es)h(\374b) q(ersic)o(h)o(tlic)o(her,)g(eine)g(Matrix)e(nic)o(h)o(t)h(direkt,)g (sondern)i(mittels)c(ihres)165 2000 y(Graphen)c(zu)g(de\034nieren.)h (Da\377)e(dies)h(legitim)e(ist,)h(b)q(esagt)i(die)e(folgende)h (Bemerkung)g(2.1.5.)165 2080 y FK(Bemerkung)g(2.1.5.)21 b FJ(Sind)e FI(I)670 2086 y FC(1)688 2080 y FJ(,)f FI(I)736 2086 y FC(2)774 2080 y FJ(Mengen,)h FI(K)c FG(\022)c Fu(R)i FJ(und)19 b FG(B)h FJ(die)e(Menge)i(aller)e(biparti-)165 2130 y(ten)g(gewic)o(h)o(teten)g(Graphen)f FH(\()p FG(f)p FI(x)704 2136 y FD(i)729 2130 y FH(:)h FI(i)12 b FG(2)f FI(I)842 2136 y FC(1)861 2130 y FG(g)897 2125 y FH(_)889 2130 y FG([)o(f)p FI(y)957 2136 y FD(j)987 2130 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1105 2136 y FC(2)1124 2130 y FG(g)p FI(;)c(E)r(;)g(w)q FH(\))15 b FJ(mit)h(Gewic)o(h)o(tsfunktio-)165 2180 y(nen)e FI(w)f FH(:)20 b FI(E)14 b FG(\000)-7 b(!)11 b FI(K)h FG(n)d(f)p FH(0)p FG(g)p FJ(,)k(so)h(ist)g(die)g(durc)o(h)g (De\034nition)f(2.1.3)g(\(b\))h(gegeb)q(ene)h(Abbildung)566 2267 y FI(G)d FH(:)20 b FG(M)693 2273 y FD(K)725 2267 y FH(\()p FI(I)759 2273 y FC(1)778 2267 y FI(;)7 b(I)815 2273 y FC(2)833 2267 y FH(\))12 b FG(\000)-7 b(!)11 b(B)q FI(;)90 b(P)17 b FG(7!)11 b FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))-1099 b FJ(\(2.4\))165 2354 y(eine)14 b(Bijektion.)165 2454 y(Gem\344\377)9 b(Bemerkung)h(2.1.5)f(w)o(erde)j(b)q(ei)e(gegeb)q(enem) h(bipartiten)g(Graphen)f FI(H)k FJ(die)d(zugeh\366rige)165 2504 y(Matrix)i(mit)g FI(G)413 2489 y Fy(\000)p FC(1)457 2504 y FH(\()p FI(H)s FH(\))h FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)165 2584 y FK(Lemma)h(2.1.6.)21 b Fz(Seien)c FI(I)598 2590 y FC(1)617 2584 y FI(;)7 b(I)654 2590 y FC(2)689 2584 y Fz(Mengen)17 b(und)g FI(P)j FG(2)14 b(M)1068 2590 y Fl(R)1091 2584 y FH(\()p FI(I)1125 2590 y FC(1)1144 2584 y FI(;)7 b(I)1181 2590 y FC(2)1199 2584 y FH(\))16 b Fz(eine)h(Dopp)n(eldiagonalma-)165 2633 y(trix)g(der)g(F)m(orm)g FH(\(\()p FI(a)486 2639 y FC(0)505 2633 y FI(;)7 b(a)546 2639 y FC(1)564 2633 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))p FI(;)i FH(\()p FI(b)707 2639 y FC(1)725 2633 y FI(;)g(b)762 2639 y FC(2)780 2633 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\)\))17 b Fz(nach)g(De\034nition)h(2.1.2.)e(Dann)i(ist)e FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))16 b Fz(ein)165 2683 y(W)m(ald.)165 2785 y(Beweis.)k FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))17 b FJ(ist)g(ein)g (Subgraph)g(des)h(Kan)o(tenzugs)h FH(\()p FI(:)7 b(:)g(:)e(;)i(x)1177 2791 y FC(3)1195 2785 y FI(;)g(y)1234 2791 y FC(2)1252 2785 y FI(;)g(x)1295 2791 y FC(1)1313 2785 y FI(;)g(y)1352 2791 y FC(1)1371 2785 y FI(;)g(x)1414 2791 y FC(2)1431 2785 y FI(;)g(y)1470 2791 y FC(3)1489 2785 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))17 b FJ(und)165 2835 y(k)n(ann)c(daher)i(k)o(einen)f(Kreis)h(hab) q(en.)893 b Fv(\004)p eop %%Page: 14 16 14 15 bop 225 50 a FJ(14)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(De\034nitio)o(n)e(2.1.7.)21 b FJ(Ein)g FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem)g FJ(ist)g(ein)g(4-T)m(up)q(el)f FG(I)25 b FH(=)f(\()p FI(I)1382 201 y FC(1)1401 195 y FI(;)7 b(I)1438 201 y FC(2)1456 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))20 b FJ(aus)h(zw)o(ei)225 245 y(Mengen)15 b FI(I)399 251 y FC(1)418 245 y FJ(,)e FI(I)461 251 y FC(2)494 245 y FJ(und)h(nic)o(h)o(tnegativ)o(en,)f(reellen)i(F)m(amili)o(en)d FI(r)g FH(=)g(\()p FI(r)1276 251 y FD(i)1290 245 y FH(\))1306 251 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1355 255 y Fx(1)1373 245 y FJ(,)h FI(s)f FH(=)g(\()p FI(s)1508 251 y FD(j)1526 245 y FH(\))1542 251 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1595 255 y Fx(2)1613 245 y FJ(.)i(Nen-)225 295 y(ne)i FI(i)c FG(2)f FI(I)365 301 y FC(1)399 295 y FJ(\()p FI(j)j FG(2)e FI(I)504 301 y FC(2)523 295 y FJ(\))j(einen)h Fz(nichttrivialen)g FJ(Index)g(genau)f(dann,)g(w)o(enn) h FI(r)1403 301 y FD(i)1428 295 y FI(>)c FH(0)j FJ(\()p FI(s)1543 301 y FD(j)1573 295 y FI(>)c FH(0)p FJ(\).)k(Es)225 345 y(seien)k FI(I)349 351 y FC(1)p FD(;nt)423 345 y FH(:=)11 b FG(f)p FI(i)g FG(2)h FI(I)582 351 y FC(1)612 345 y FH(:)18 b FI(r)661 351 y FD(i)686 345 y FI(>)12 b FH(0)p FG(g)o FJ(,)18 b FI(I)819 351 y FC(2)p FD(;nt)893 345 y FH(:=)11 b FG(f)p FI(j)j FG(2)d FI(I)1057 351 y FC(2)1087 345 y FH(:)18 b FI(s)1136 351 y FD(j)1166 345 y FI(>)12 b FH(0)p FG(g)18 b FJ(die)g(Mengen)h(der)g(nic)o(h)o(ttri-) 225 394 y(vialen)13 b(Indizes.)h(Ein)g FG(\024)p FJ(-Randsystem)f (hei\377e)h Fz(R)n(andsystem)h FJ(genau)f(dann,)f(w)o(enn)836 449 y FB(X)833 538 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)882 542 y Fx(1)905 489 y FI(r)924 495 y FD(i)949 489 y FH(=)997 449 y FB(X)993 538 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1046 542 y Fx(2)1068 489 y FI(s)1087 495 y FD(j)1105 489 y FI(:)225 622 y FJ(Mit)f FI(l)q FH(\()p FI(r)q FH(\))g(:=)f(#)p FI(I)488 628 y FC(1)519 622 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)j FI(l)q FH(\()p FI(s)p FH(\))f(:=)e(#)p FI(I)1006 628 y FC(2)1037 622 y FJ(b)q(ezeic)o(hne)j (die)e Fz(L)n(\344nge)h FJ(v)o(on)f FI(s)h FJ(b)q(ezieh)o(ungs-)225 672 y(w)o(eise)20 b FI(r)q FJ(.)f FI(r)o(;)7 b(s)19 b FJ(hei\377en)g Fz(end)r(lich)h FJ(genau)f(dann,)g(w)o(enn)h(ihre)g (L\344nge)f(endlic)o(h)g(ist.)g(In)h(diesem)225 722 y(F)m(all)10 b(nenne)j(auc)o(h)f(das)g FG(\024)p FJ(-Rand)o(system)g Fz(end)r(lich)p FJ(.)f(F\374r)h(ein)g FG(\024)p FJ(-Randsystem)1446 711 y FH(~)1443 722 y FG(I)i FH(=)e(\()1548 711 y(~)1540 722 y FI(I)1558 728 y FC(1)1577 722 y FI(;)1604 711 y FH(~)1596 722 y FI(I)1614 728 y FC(2)1633 722 y FI(;)c FH(~)-22 b FI(r;)8 b FH(~)-22 b FI(s)p FH(\))225 772 y FJ(sc)o(hreib)q(e)387 761 y FH(~)384 772 y FG(I)15 b(\024)c(I)17 b FJ(genau)d(dann,)f(w)o(enn)855 761 y FH(~)847 772 y FI(I)865 778 y FC(1)896 772 y FG(\022)f FI(I)958 778 y FC(1)976 772 y FJ(,)1010 761 y FH(~)1002 772 y FI(I)1020 778 y FC(2)1050 772 y FG(\022)g FI(I)1112 778 y FC(2)1131 772 y FJ(,)j FH(~)-23 b FI(r)13 b FH(=)e FI(r)q Fv(\026)1276 777 y FC(~)1268 784 y FD(I)1283 788 y Fx(1)1302 772 y FJ(,)k FH(~)-23 b FI(s)12 b FH(=)g FI(s)p Fv(\026)1446 777 y FC(~)1438 784 y FD(I)1453 788 y Fx(2)1472 772 y FJ(.)225 852 y FK(De\034nitio)o(n)h(2.1.8.)21 b FJ(Sei)g FG(I)26 b FH(:=)c(\()p FI(I)803 858 y FC(1)822 852 y FI(;)7 b(I)859 858 y FC(2)878 852 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))20 b FJ(ein)g FG(\024)p FJ(-Randsystem.)g(Dann)g(w)o(erde)i FG(I)i FJ(eine)225 902 y(Grupp)q(e)14 b FG(G)i FJ(zugeornet)g(durc)o(h) 596 991 y FG(G)e FH(=)e FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))f(:=)h FG(hf)p FI(r)887 997 y FD(i)912 991 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)1025 997 y FC(1)1044 991 y FG(g)e([)g(f)p FI(s)1151 997 y FD(j)1180 991 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1298 997 y FC(2)1317 991 y FG(gi)-1129 b FJ(\(2.5\))237 1079 y(\(durc)o(h)13 b FG(h)p FI(M)5 b FG(i)12 b FJ(w)o(erde)h(die)f(v) o(on)g FI(M)k FG(\022)c Fu(R)6 b FJ(in)12 b Fu(R)6 b FJ(erzeugte)14 b(additiv)o(e)e(Un)o(tergrupp)q(e)h(b)q(ezeic)o(hnet\).) 225 1160 y FK(De\034nitio)o(n)g(2.1.9.)21 b FJ(Sei)f FG(I)14 b FH(:=)e(\()p FI(I)780 1166 y FC(1)799 1160 y FI(;)7 b(I)836 1166 y FC(2)854 1160 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))19 b FJ(ein)h FG(\024)p FJ(-Randsystem)g(nac)o(h)g(De\034nition)f (2.1.7.)225 1210 y(Eine)d(Matrix)f FI(P)i FG(2)11 b(M)595 1223 y Fl(R)619 1209 y Fx(+)619 1232 y(0)642 1210 y FH(\()p FI(I)676 1216 y FC(1)695 1210 y FI(;)c(I)732 1216 y FC(2)750 1210 y FH(\))16 b FJ(hei\377t)f Fz(dopp)n(elt)i(sto)n(chastisch)1242 1195 y Fp(1)1277 1210 y FJ(b)q(ez\374glic)o(h)f FG(I)i FJ(genau)e(dann,)225 1260 y(w)o(enn)640 1348 y FG(8)565 1377 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)666 1381 y Fx(1)681 1377 y Fy(\002)p FD(I)722 1381 y Fx(2)762 1309 y FB(X)756 1398 y FD(k)q Fy(2)p FD(I)812 1402 y Fx(1)835 1348 y FI(p)856 1354 y FD(k)q(;j)913 1348 y FH(=)c FI(s)976 1354 y FD(j)1035 1348 y FJ(und)1155 1309 y FB(X)1153 1398 y FD(l)p Fy(2)p FD(I)1200 1402 y Fx(2)1224 1348 y FI(p)1245 1354 y FD(i;l)1290 1348 y FH(=)g FI(r)1353 1354 y FD(i)1367 1348 y FI(;)-1154 b FJ(\(2.6\))225 1480 y(\(das)14 b(hei\377t)f(insb)q(esondere)j(sind)d(in)g(jeder)i(Linie)e (h\366)q(c)o(hstens)i(abz\344hlbar)e(viele)g(Elemen)o(te)g(v)o(on)225 1530 y(Null)g(v)o(ersc)o(hieden\).)j(Die)e(Menge)h(der)g(dopp)q(elt)f (sto)q(c)o(hastisc)o(hen)i(Matrizen)f(b)q(ez\374glic)o(h)g FG(I)i FJ(b)q(e-)225 1580 y(zeic)o(hne)e(mit)d FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))i FJ(\(gelegen)o(tlic)o(h)g(auc)o(h)g(mit)e FG(D)q FH(\(=)g FG(I)s FH(\))p FJ(\).)225 1661 y FK(De\034nitio)o(n)h (2.1.10.)21 b FJ(Sei)14 b FG(I)g FH(:=)d(\()p FI(I)797 1667 y FC(1)816 1661 y FI(;)c(I)853 1667 y FC(2)872 1661 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))12 b FJ(ein)i FG(\024)p FJ(-Randsystem.)f (Eine)h(Matrix)823 1749 y FI(P)j FG(2)11 b(M)956 1762 y Fl(R)980 1749 y Fx(+)980 1771 y(0)1002 1749 y FH(\()p FI(I)1036 1755 y FC(1)1056 1749 y FI(;)c(I)1093 1755 y FC(2)1111 1749 y FH(\))225 1848 y FJ(hei\377t)14 b Fz(dopp)n(elt)h(substo)n(chastisch)740 1833 y Fp(2)773 1848 y FJ(b)q(ez\374glic)o(h)f FG(I)i FJ(genau)e(dann,)g(w)o(enn)643 1942 y FG(8)568 1971 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)669 1975 y Fx(1)684 1971 y Fy(\002)p FD(I)725 1975 y Fx(2)766 1903 y FB(X)760 1992 y FD(k)q Fy(2)p FD(I)816 1996 y Fx(1)838 1942 y FI(p)859 1948 y FD(k)q(;j)916 1942 y FG(\024)e FI(s)979 1948 y FD(j)1039 1942 y FJ(und)1158 1903 y FB(X)1156 1992 y FD(l)p Fy(2)p FD(I)1203 1996 y Fx(2)1227 1942 y FI(p)1248 1948 y FD(i;l)1294 1942 y FG(\024)g FI(r)1357 1948 y FD(i)1370 1942 y FI(:)-1157 b FJ(\(2.7\))225 2072 y(Die)15 b(Menge)g(der)h(dopp)q(elt)f(substo)q(c) o(hastisc)o(hen)i(Matrizen)f(b)q(ez\374glic)o(h)f FG(I)i FJ(wird)e(im)e(folgenden)225 2122 y(mit)f FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))i FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)225 2202 y FK(Beispiel)f(2.1.11.)21 b FJ(Seien)15 b FI(I)687 2208 y FC(1)706 2202 y FI(;)7 b(I)743 2208 y FC(2)777 2202 y FJ(Mengen)16 b(und)f FI(P)k FG(2)14 b(M)1156 2215 y Fl(R)1180 2202 y Fx(+)1180 2224 y(0)1202 2202 y FH(\()p FI(I)1236 2208 y FC(1)1255 2202 y FI(;)7 b(I)1292 2208 y FC(2)1311 2202 y FH(\))p FJ(.)14 b(Dann)h(de\034niere)i FG(I)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))225 2260 y FJ(durc)o(h)16 b FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b(:=)h(\()p FI(I)541 2266 y FC(1)560 2260 y FI(;)7 b(I)597 2266 y FC(2)615 2260 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))15 b FJ(mit)f FI(r)818 2266 y FD(i)843 2260 y FH(:=)898 2229 y FB(P)942 2272 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)995 2276 y Fx(2)1020 2260 y FI(p)1041 2266 y FD(i;j)1095 2260 y FJ(f\374r)i(alle)f FI(i)d FG(2)f FI(I)1324 2266 y FC(1)1359 2260 y FJ(und)k FI(s)1462 2266 y FD(j)1492 2260 y FH(:=)1547 2229 y FB(P)1591 2272 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1640 2276 y Fx(1)1665 2260 y FI(p)1686 2266 y FD(i;j)225 2310 y FJ(f\374r)e(alle)g FI(j)h FG(2)d FI(I)454 2316 y FC(2)473 2310 y FJ(.)i(Dann)g(ist)h FG(I)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(genau)h(dann)f(ein)h(Randsystem,)e(w)o (enn)i(alle)e FI(r)1508 2316 y FD(i)1522 2310 y FJ(,)h FI(s)1566 2316 y FD(j)1597 2310 y FJ(endlic)o(h)225 2359 y(sind.)g(In)h(diesem)g(F)m(all)e(ist)i FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\))p FJ(.)225 2440 y FK(Bemerkung)14 b(2.1.12.)21 b FJ(F\374r)g(ein)f FG(\024)p FJ(-Randsystem)f FG(I)25 b FH(:=)d(\()p FI(I)1231 2446 y FC(1)1250 2440 y FI(;)7 b(I)1287 2446 y FC(2)1306 2440 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))19 b FJ(sind)h(die)g(Mengen)225 2490 y FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))14 b FJ(und)g FG(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))i FJ(k)o(on)o(v)o(ex.)225 2591 y(Wieder)h(w)o(erden)h(es)g(die)e(Extremalpunktmengen)g(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)i (E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\)\))225 2641 y FJ(sein,)i(die)g(im)e(folgenden)h(v)o(on)h(b)q(esonderem)g(In)o (teresse)i(sind.)225 2721 y FK(Lemma)f(2.1.13.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)747 2727 y FC(1)766 2721 y FI(;)7 b(I)803 2727 y FC(2)821 2721 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem.)p 225 2757 600 2 v 271 2784 a Fo(1)288 2796 y Fn(Siehe)c(en)o(tsprec)o(hen)o (de)d(F)m(u\377note)i(zu)h(De\034nition)e(1.3.1.)271 2823 y Fo(2)288 2835 y Fn(Siehe)i(en)o(tsprec)o(hen)o(de)d(F)m (u\377note)i(zu)h(De\034nition)e(1.3.1.)p eop %%Page: 15 17 15 16 bop 165 50 a Fw(2.1.)26 b(DEFINITION)15 b(UND)e(ERSTE)h (EIGENSCHAFTEN)469 b FJ(15)165 195 y FK(\(a\))20 b Fz(Ist)g FI(P)26 b FG(2)20 b(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))p Fz(,)20 b(so)g(gilt)f FI(P)31 b(=)-26 b FG(2)21 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\)\))20 b Fz(genau)h(dann,)g(wenn)f(es)g(eine)g(Matrix)269 245 y FI(E)13 b FG(2)f(M)403 251 y Fl(R)425 245 y FH(\()p FI(I)459 251 y FC(1)478 245 y FI(;)7 b(I)515 251 y FC(2)534 245 y FH(\))i FG(n)g(f)p FH(0)p FG(g)14 b Fz(gibt,)h(so)g(da\377)399 346 y FG(8)378 373 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)427 377 y Fx(1)455 346 y FG(j)478 307 y FB(X)474 396 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)527 400 y Fx(2)549 346 y FI(e)568 352 y FD(i;j)607 346 y FG(j)c(2)g FH([0)p FI(;)i(r)746 352 y FD(i)769 346 y FG(\000)815 307 y FB(X)810 396 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)863 400 y Fx(2)886 346 y FI(p)907 352 y FD(i;j)946 346 y FH(])p FI(;)114 b FG(8)1061 373 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1114 377 y Fx(2)1141 346 y FG(j)1162 307 y FB(X)1160 396 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1209 400 y Fx(1)1231 346 y FI(e)1250 352 y FD(i;j)1290 346 y FG(j)11 b(2)g FH([0)p FI(;)i(s)1429 352 y FD(j)1456 346 y FG(\000)1500 307 y FB(X)1497 396 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1546 400 y Fx(1)1569 346 y FI(p)1590 352 y FD(i;j)1629 346 y FH(])-1372 b FJ(\(2.8\))739 531 y Fz(und)186 b FI(P)14 b FG(\006)c FI(E)j FG(\025)f FH(0)p FI(:)-926 b FJ(\(2.9\))165 643 y FK(\(b\))19 b Fz(Ist)c FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(,)k(so)g(gilt)f FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))k Fz(genau)g(dann,)h(wenn)f(es)g(eine)g(Matrix)776 736 y FI(E)e FG(2)e(M)909 742 y Fl(R)932 736 y FH(\()p FI(I)966 742 y FC(1)985 736 y FI(;)c(I)1022 742 y FC(2)1041 736 y FH(\))i FG(n)g(f)p FH(0)p FG(g)269 829 y Fz(gibt,)14 b(der)n(en)i(Linien)f(sich)g(al)r(le)f(zu)i(Nul)r(l)e(summier)n(en)h (und)h FI(P)f FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(\025)e FH(0)p Fz(.)165 941 y(Beweis.)20 b FJ(\(a\))f(\022)s FG(\()o FJ(\020)s(:)g(W)m(egen)f FI(E)j FG(6)p FH(=)e(0)p FJ(,)f(ist)g FI(P)g FG(\006)13 b FI(E)21 b FG(6)p FH(=)e FI(P)6 b FJ(,)18 b(und)g(w)o(egen)h(\(2.8\))f(und)g(\(2.9\))g(ist)165 991 y FI(P)h FG(\006)13 b FI(E)24 b FG(2)e(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))p FJ(.)19 b(Die)h(Behauptung)h(folgt)e(n)o(un)h (aus)1125 974 y FC(1)p 1125 981 17 2 v 1125 1005 a(2)1146 991 y FH(\()p FI(P)f FH(+)14 b FI(E)r FH(\))f(+)1367 974 y FC(1)p 1367 981 V 1367 1005 a(2)1388 991 y FH(\()p FI(P)19 b FG(\000)14 b FI(E)r FH(\))22 b(=)g FI(P)6 b FJ(.)165 1040 y(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)13 b(An)q(genommen,)f(es)j (ist)g FI(P)i FH(=)742 1024 y FC(1)p 742 1031 V 742 1055 a(2)763 1040 y FI(P)790 1046 y FC(1)818 1040 y FH(+)864 1024 y FC(1)p 864 1031 V 864 1055 a(2)886 1040 y FI(P)913 1046 y FC(2)946 1040 y FJ(mit)c FI(P)1050 1046 y FC(1)1068 1040 y FI(;)7 b(P)1114 1046 y FC(2)1144 1040 y FG(2)k(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))p FJ(,)i FI(P)1371 1046 y FC(1)1389 1040 y FI(;)7 b(P)1435 1046 y FC(2)1466 1040 y FG(6)p FH(=)14 b FI(P)6 b FJ(.)13 b(Setze)165 1090 y FI(E)18 b FH(:=)e FI(P)h FG(\000)11 b FI(P)388 1096 y FC(1)423 1090 y FH(=)16 b FI(P)498 1096 y FC(2)528 1090 y FG(\000)11 b FI(P)6 b FJ(.)16 b(Dann)g(gilt)g FI(P)g FH(+)11 b FI(E)19 b FH(=)d FI(P)1035 1096 y FC(2)1070 1090 y FG(\025)g FH(0)h FJ(und)g FI(P)f FG(\000)11 b FI(E)19 b FH(=)d FI(P)1453 1096 y FC(1)1488 1090 y FG(\025)g FH(0)p FJ(.)g(Also)165 1140 y(m)o(\374ssen)e(w)o(egen)g FI(P)460 1146 y FC(1)478 1140 y FI(;)7 b(P)524 1146 y FC(2)553 1140 y FG(2)12 b(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))h FJ(\(2.8\))h(und)g(\(2.9\))f(gelten.)165 1190 y(\(b\))19 b(folgt)e(genau)h(wie)g(\(a\),)g(w)o(enn)h(man)e(dort)h(im)f(Bew)o(eis) i(die)f(\022)s FG(\024)p FJ(\020)s(-Zeic)o(hen)i(w)o(egl\344\377t)e (und)165 1240 y(b)q(eac)o(h)o(tet,)e(da\377)f(in)g(diesem)g(F)m(all)e (\(2.8\))i(gerade)h(die)f(Aussage)i(ist,)e(da\377)f(sic)o(h)i(alle)f (Linien)f(v)o(on)165 1289 y FI(E)i FJ(zu)e(Null)f(summieren.)1065 b Fv(\004)165 1379 y FK(Lemma)15 b(2.1.14.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)687 1385 y FC(1)706 1379 y FI(;)7 b(I)743 1385 y FC(2)761 1379 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem.)165 1486 y FK(\(a\))20 b Fz(F\374r)15 b FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))i Fz(ist)f FI(P)k FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))i Fz(genau)h(dann,)g(wenn)f(f\374r)g(al)r(le)g(Submatrizen)h FI(Q)269 1536 y Fz(von)g FI(P)21 b Fz(gilt,)13 b(da\377)j FI(Q)11 b FG(2)g FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)783 1525 y FH(~)779 1536 y FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)j(Hierb)n(ei)h(ist)1070 1525 y FH(~)1067 1536 y FG(I)f FH(:=)d(\()1180 1525 y(~)1175 1536 y FI(I)1193 1542 y FC(1)1212 1536 y FI(;)1236 1525 y FH(~)1231 1536 y FI(I)1249 1542 y FC(2)1267 1536 y FI(;)e FH(~)-23 b FI(r)q(;)8 b FH(~)-22 b FI(s)p FH(\))15 b Fz(mit)429 1637 y FG(8)408 1671 y FD(i)p Fy(2)446 1664 y FC(~)442 1671 y FD(I)457 1675 y Fx(1)487 1637 y FH(~)-23 b FI(r)504 1643 y FD(i)529 1637 y FH(:=)588 1598 y FB(X)584 1694 y FD(j)r Fy(2)626 1687 y FC(~)622 1694 y FD(I)637 1698 y Fx(2)660 1637 y FI(q)679 1643 y FD(i;j)727 1637 y FH(+)9 b FI(r)787 1643 y FD(i)810 1637 y FG(\000)856 1598 y FB(X)851 1687 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)904 1691 y Fx(2)927 1637 y FI(p)948 1643 y FD(i;j)987 1637 y FI(;)72 b FG(8)1048 1671 y FD(j)r Fy(2)1090 1664 y FC(~)1086 1671 y FD(I)1101 1675 y Fx(2)1130 1637 y FH(~)-23 b FI(s)1147 1643 y FD(j)1176 1637 y FH(:=)1234 1598 y FB(X)1232 1694 y FD(i)p Fy(2)1270 1687 y FC(~)1266 1694 y FD(I)1281 1698 y Fx(1)1304 1637 y FI(q)1323 1643 y FD(i;j)1371 1637 y FH(+)9 b FI(s)1431 1643 y FD(j)1458 1637 y FG(\000)1502 1598 y FB(X)1500 1687 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1549 1691 y Fx(1)1572 1637 y FI(p)1593 1643 y FD(i;j)269 1789 y Fz(und)15 b FI(Q)d FG(2)f(M)484 1802 y Fl(R)508 1789 y Fx(+)508 1811 y(0)530 1789 y FH(\()551 1779 y(~)546 1789 y FI(I)564 1795 y FC(1)583 1789 y FI(;)607 1779 y FH(~)602 1789 y FI(I)620 1795 y FC(2)639 1789 y FH(\))p Fz(.)165 1883 y FK(\(b\))19 b Fz(F\374r)d FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))k Fz(ist)f FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))k Fz(genau)h(dann,)f (wenn)g(f\374r)g(al)r(le)f(Submatrizen)i FI(Q)e Fz(von)269 1933 y FI(P)20 b Fz(gilt,)14 b(da\377)h FI(Q)d FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))q(\))p Fz(.)165 2045 y(Beweis.)20 b FJ(\(a\))14 b(Zu)g(zeigen)h(ist)f(n)o(ur)g (\022)s FG(\))o FJ(\020)s(.)g(Sei)g(also)f FI(P)k FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))p FJ(.)h(Angenommen)742 2138 y FI(Q)e FH(=)835 2122 y FC(1)p 835 2129 V 835 2152 a(2)856 2138 y FI(Q)889 2121 y FC(\(1\))943 2138 y FH(+)989 2122 y FC(1)p 989 2129 V 989 2152 a(2)1011 2138 y FI(Q)1044 2121 y FC(\(2\))165 2244 y FJ(mit)h FI(Q)274 2229 y FC(\(1\))318 2244 y FI(;)7 b(Q)370 2229 y FC(\(2\))426 2244 y FG(2)k(D)q FH(\()p FG(\024)562 2233 y FH(~)558 2244 y FG(I)s FH(\))p FJ(.)i(F\374r)i FI(k)d FH(=)g(1)p FI(;)7 b FH(2)13 b FJ(de\034niere)i FI(P)1057 2229 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1114 2244 y FH(=)d(\()p FI(p)1195 2222 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1195 2255 y FD(i;j)1241 2244 y FH(\))1257 2251 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1358 2255 y Fx(1)1374 2251 y Fy(\002)p FD(I)1415 2255 y Fx(2)1446 2244 y FJ(durc)o(h)596 2381 y FI(p)617 2360 y FC(\()p FD(k)q FC(\))617 2393 y FD(i;j)675 2381 y FH(:=)730 2310 y FB(\()763 2354 y FI(q)783 2332 y FC(\()p FD(k)q FC(\))782 2365 y FD(i;j)885 2354 y FJ(f\374r)i FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)1091 2343 y FH(~)1086 2354 y FI(I)1104 2360 y FC(1)1132 2354 y FG(\002)1179 2343 y FH(~)1174 2354 y FI(I)1192 2360 y FC(2)1211 2354 y FI(;)763 2413 y(p)784 2419 y FD(i;j)885 2413 y FJ(sonst.)165 2381 y(\(2.10\))165 2517 y(Dann)i(ist)h FI(P)370 2502 y FC(\(1\))414 2517 y FI(;)7 b(P)466 2502 y FC(\(2\))522 2517 y FG(2)13 b(D)q FH(\()p FG(\024)f(I)s FH(\))i FJ(und)h FI(P)j FH(=)892 2501 y FC(1)p 892 2508 V 892 2532 a(2)913 2517 y FI(P)946 2502 y FC(\(1\))1000 2517 y FH(+)1047 2501 y FC(1)p 1047 2508 V 1047 2532 a(2)1068 2517 y FI(P)1101 2502 y FC(\(2\))1145 2517 y FJ(,)d(das)f(hei\377t)h FI(P)j FH(=)13 b FI(P)1474 2502 y FC(\(1\))1531 2517 y FH(=)g FI(P)1609 2502 y FC(\(2\))1653 2517 y FJ(,)165 2574 y(also)g(auc)o(h)h FI(Q)379 2559 y FC(\(1\))435 2574 y FH(=)e FI(Q)512 2559 y FC(\(2\))568 2574 y FH(=)g FI(Q)h FJ(und)h(damit)e FI(Q)g FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)1086 2564 y FH(~)1082 2574 y FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 2624 y(Erneut)j(erh\344lt)f(man)e(den)i(Bew)o(eis)h(v)o(on)e(\(b\))h(durc)o (h)g(F)m(ortlassen)g(der)h(\022)s FG(\024)p FJ(\020)s(-Zeic)o(hen)g(im) d(Bew)o(eis)165 2674 y(v)o(on)i(\(a\).)1325 b Fv(\004)165 2785 y FJ(Den)20 b(Zusammenhang)d(der)j(dopp)q(elt)g(\(sub-\)sto)q(c)o (hastisc)o(hen)h(Matrizen)f(mit)e(den)i(dopp)q(elt)165 2835 y(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)c(Ma\377en)e(b)q(esc)o(hreibt)i (folgender)e(Satz)g(2.1.15.)p eop %%Page: 16 18 16 17 bop 225 50 a FJ(16)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Satz)g(2.1.15.)21 b FG(I)d FH(:=)d(\()p FI(I)620 201 y FC(1)639 195 y FI(;)7 b(I)676 201 y FC(2)695 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))16 b Fz(sei)g(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem,)h FH(\()p FI(I)1265 201 y FC(1)1284 195 y FI(;)7 b(m)1339 201 y FC(1)1357 195 y FH(\))18 b Fz(und)f FH(\()p FI(I)1508 201 y FC(2)1527 195 y FI(;)7 b(m)1582 201 y FC(2)1601 195 y FH(\))17 b Fz(seien)225 245 y(diskr)n(ete)e(Ma\377e,)h(so)f(da\377)682 336 y FG(8)607 364 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)708 368 y Fx(1)723 364 y Fy(\002)p FD(I)764 368 y Fx(2)791 336 y FI(m)827 342 y FC(1)846 336 y FH(\()p FI(i)p FH(\))e(=)e FI(r)967 342 y FD(i)1023 336 y Fz(und)44 b FI(m)1169 342 y FC(2)1188 336 y FH(\()p FI(j)r FH(\))12 b(=)g FI(s)1314 342 y FD(j)1332 336 y FI(:)-1119 b FJ(\(2.11\))225 450 y Fz(Die)15 b(A)o(bbildungen)461 540 y FI(h)c FH(:=)h FI(h)576 546 y FC(=)615 540 y FH(:)f FG(D)q FH(\()p FI(m)723 546 y FC(1)742 540 y FI(;)c(m)797 546 y FC(2)816 540 y FH(\))p FG(\000)-7 b(!D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FI(;)49 b FH(\()p FI(h)p FH(\()p FI(\026)p FH(\)\))1164 546 y FD(i;j)1215 540 y FH(:=)11 b FI(\026)p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))43 b Fz(und)475 672 y FI(h)499 678 y Fy(\024)539 672 y FH(:)11 b FG(D)q FH(\()p FG(\024)h FI(m)691 678 y FC(1)710 672 y FI(;)7 b FG(\024)k FI(m)808 678 y FC(2)827 672 y FH(\))p FG(\000)-6 b(!)o(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))p FI(;)49 b FH(\()p FI(h)1146 678 y Fy(\024)1174 672 y FH(\()p FI(\026)p FH(\)\))1247 678 y FD(i;j)1298 672 y FH(:=)12 b FI(\026)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))p FI(;)225 763 y Fz(sind)15 b(a\036ne)g(Isomorphismen.)225 867 y(Beweis.)20 b FJ(Der)12 b(Bew)o(eis,)f(da\377)g FI(h)706 873 y Fy(\024)745 867 y FJ(und)g FI(h)g FJ(w)o (ohlde\034niert,)g(injektiv,)f(surjektiv)h(und)h(linear)e(sind,)225 917 y(mac)o(h)o(t)j(k)o(einerlei)i(Sc)o(h)o(wierigk)o(eiten.)f(Daher)h (soll)f(hier)h(n)o(ur)g(exemplarisc)o(h)f(die)g(Surjektivit\344t)225 966 y(v)o(on)j FI(h)331 972 y Fy(\024)376 966 y FJ(gezeigt)g(w)o (erden.)h(F\374r)f(gegeb)q(enes)i FI(P)e FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)i(I)s FH(\))j FJ(de\034niere)j(ein)e(diskretes)h (Ma\377)f FI(\026)225 1016 y FJ(auf)c FI(I)313 1022 y FC(1)341 1016 y FG(\002)d FI(I)401 1022 y FC(2)434 1016 y FJ(durc)o(h)k FI(\026)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(:=)g FI(p)748 1022 y FD(i;j)787 1016 y FJ(.)h(Es)h(ist)g FI(\026)e FG(2)f(D)q FH(\()p FG(\024)h FI(m)1133 1022 y FC(1)1152 1016 y FI(;)7 b FG(\024)k FI(m)1250 1022 y FC(2)1270 1016 y FH(\))p FJ(,)i(denn)h(f\374r)g FI(A)1509 1022 y FC(1)1540 1016 y FG(\022)d FI(I)1601 1022 y FC(1)1634 1016 y FJ(ist)283 1117 y FI(\026)p FH(\()p FI(A)355 1123 y FC(1)384 1117 y FG(\002)e FI(I)443 1123 y FC(2)462 1117 y FH(\))j(=)541 1077 y FB(X)533 1166 y FD(i)p Fy(2)p FD(A)592 1170 y Fx(1)618 1077 y FB(X)616 1167 y FD(l)p Fy(2)p FD(I)663 1171 y Fx(2)686 1117 y FI(\026)p FH(\()p FI(i;)7 b(l)q FH(\))12 b(=)853 1077 y FB(X)845 1166 y FD(i)p Fy(2)p FD(A)904 1170 y Fx(1)929 1077 y FB(X)927 1167 y FD(l)p Fy(2)p FD(I)974 1171 y Fx(2)998 1117 y FI(p)1019 1123 y FD(i;l)1065 1117 y FG(\024)1116 1077 y FB(X)1109 1166 y FD(i)p Fy(2)p FD(A)1168 1170 y Fx(1)1191 1117 y FI(r)1210 1123 y FD(i)1235 1117 y FH(=)1286 1077 y FB(X)1279 1166 y FD(i)p Fy(2)p FD(A)1338 1170 y Fx(1)1361 1117 y FI(m)1397 1123 y FC(1)1416 1117 y FH(\()p FI(i)p FH(\))g(=)g FI(m)1554 1123 y FC(1)1573 1117 y FH(\()p FI(A)1620 1123 y FC(1)1639 1117 y FH(\))p FI(:)225 1251 y FJ(Analog)j(folgt)f FI(\026)p FH(\()p FI(I)525 1257 y FC(1)553 1251 y FG(\002)c FI(A)626 1257 y FC(2)645 1251 y FH(\))h(=)h FI(m)752 1257 y FC(2)771 1251 y FH(\()p FI(A)818 1257 y FC(2)837 1251 y FH(\))k FJ(f\374r)f FI(A)967 1257 y FC(2)998 1251 y FG(\022)c FI(I)1059 1257 y FC(2)1078 1251 y FJ(.)k(Aus)i(den)f(De\034nitionen)f(v)o(on)g FI(h)1612 1257 y Fy(\024)1656 1251 y FJ(und)225 1301 y FI(\026)g FJ(liest)g(man)e(unmittelbar)g(ab,)h(da\377)g FI(h)849 1307 y Fy(\024)877 1301 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))g(=)f FI(P)6 b FJ(.)14 b(Die)g(anderen)i(V)m(eri\034k)n(ationen)e(sind)h(no)q (c)o(h)225 1351 y(einfac)o(her.)1295 b Fv(\004)225 1434 y FK(Korollar)14 b(2.1.16.)21 b Fz(Die)16 b(V)m(or)n(aussetzungen)i (und)f(Bezeichnungen)g(seien)g(dieselb)n(en)f(wie)f(in)225 1484 y(Satz)g(2.1.15.)225 1587 y FK(\(a\))159 b FI(h)p FH(\()p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)614 1593 y FC(1)634 1587 y FI(;)7 b(m)689 1593 y FC(2)707 1587 y FH(\)\)\))12 b(=)g FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))42 b Fz(und)329 1637 y FI(h)353 1643 y Fy(\024)381 1637 y FH(\()p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b FI(m)570 1643 y FC(1)589 1637 y FI(;)7 b FG(\024)12 b FI(m)688 1643 y FC(2)707 1637 y FH(\)\)\))g(=)g FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))p Fz(.)225 1720 y FK(\(b\))320 1688 y FB(P)309 1757 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)358 1761 y Fx(1)386 1720 y FI(r)405 1726 y FD(i)430 1720 y FH(=)g FI(m)510 1726 y FC(1)529 1720 y FH(\()p FI(I)563 1726 y FC(1)582 1720 y FH(\))j Fz(und)707 1688 y FB(P)695 1757 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)748 1761 y Fx(2)775 1720 y FI(s)794 1726 y FD(j)823 1720 y FH(=)d FI(m)903 1726 y FC(2)922 1720 y FH(\()p FI(I)956 1726 y FC(2)975 1720 y FH(\))p Fz(.)225 1838 y FK(\(c\))69 b FG(8)304 1866 y FD(P)t Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))502 1806 y FB(P)437 1877 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)538 1881 y Fx(1)553 1877 y Fy(\002)p FD(I)594 1881 y Fx(2)622 1838 y FI(p)643 1844 y FD(i;j)693 1838 y FH(=)12 b FI(\026)p FH(\()p FI(I)796 1844 y FC(1)824 1838 y FG(\002)e FI(I)884 1844 y FC(2)903 1838 y FH(\))h(=)985 1806 y FB(P)974 1875 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1023 1879 y Fx(1)1051 1838 y FI(r)1070 1844 y FD(i)1095 1838 y FH(=)1151 1806 y FB(P)1138 1875 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1191 1879 y Fx(2)1219 1838 y FI(s)1238 1844 y FD(j)1256 1838 y Fz(,)j(mit)h FI(\026)c FH(=)h FI(h)1463 1822 y Fy(\000)p FC(1)1507 1838 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p Fz(.)225 1998 y FK(\(d\))81 b FG(8)309 2027 y FD(P)t Fy(2D)q FC(\()p Fy(\024I)r FC(\))533 1967 y FB(P)468 2037 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)569 2041 y Fx(1)584 2037 y Fy(\002)p FD(I)625 2041 y Fx(2)653 1998 y FI(p)674 2004 y FD(i;j)724 1998 y FG(\024)12 b FH(min)844 1927 y FB(\()888 1967 y(P)878 2035 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)927 2039 y Fx(1)954 1998 y FI(r)973 2004 y FD(i)987 1998 y FI(;)1018 1967 y FB(P)1006 2035 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1059 2039 y Fx(2)1085 1998 y FI(s)1104 2004 y FD(j)1122 1927 y FB(\))1167 1998 y FH(=)g(min)n FG(f)p FI(m)1337 2004 y FC(1)1356 1998 y FH(\()p FI(I)1390 2004 y FC(1)1409 1998 y FH(\))p FI(;)7 b(m)1480 2004 y FC(2)1499 1998 y FH(\()p FI(I)1533 2004 y FC(2)1552 1998 y FH(\))p FG(g)p Fz(.)225 2118 y FK(\(e\))20 b FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b FG(6)p FH(=)h FG(;)42 b(\))609 2087 y FB(P)598 2155 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)647 2159 y Fx(1)675 2118 y FI(r)694 2124 y FD(i)719 2118 y FH(=)775 2087 y FB(P)763 2155 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)816 2159 y Fx(2)843 2118 y FI(s)862 2124 y FD(j)880 2118 y Fz(,)15 b(das)g(hei\377t,)f FG(I)k Fz(ist)c(ein)h(R)n(andsystem.)199 b Fv(\004)225 2251 y FJ(Gem\344\377)11 b(Satz)i(2.1.15)d(und)j(dem)f(ihm)e(folgenden) j(Korollar)e(2.1.16)g(w)o(erden)i(im)e(folgenden)h(oft)225 2301 y(diskrete)19 b(Ma\377e)f(mit)e(Matrizen)i(iden)o(ti\034ziert)g (und)g(umgek)o(ehrt.)f(Aussagen)h(wie)g FI(\026)12 b FG(2)f(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))225 2351 y FJ(o)q(der)j FI(P)j FG(2)12 b(D)q FH(\()p FI(m)487 2357 y FC(1)506 2351 y FI(;)7 b(m)561 2357 y FC(2)580 2351 y FH(\))14 b FJ(sind)f(in)h(diesem)f(Sinne)h(zu)g(in)o(terpretieren.)225 2421 y(W\344hrend)k(es)g(w)o(egen)h FH(0)e FG(2)h(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))17 b FJ(klar)h(ist,)f(da\377)g FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))18 b FJ(und)f(sogar)h(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\)\))18 b FJ(nic)o(h)o(t)225 2471 y(leer)e(sind,)e(ist)i(das)f(f\374r)g FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(und)h(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))f FJ(nic)o(h)o(t)h(so)f(unmittelbar)e(einsic)o (h)o(tig,)i(und)g(es)h(ist)225 2521 y(auc)o(h)g(nic)o(h)o(t)h(f\374r)f (alle)f(Randsysteme)h(ric)o(h)o(tig)g(\(siehe)h(Satz)g(2.1.18\).)d(Im)h (folgenden)h(Beispiel)225 2571 y(2.1.17)e(wird)i(ein)h(Standardelemen)o (t)f(v)o(on)f FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))i FJ(f\374r)f(den)h(F)m(all)e (abz\344hlbarer)h(Randsysteme)225 2621 y(k)o(onstruiert,)e(w)o(elc)o (hes)h(sic)o(h)f(sogar)g(als)f(extremal)g(erw)o(eisen)i(wird.)225 2703 y FK(Beispiel)e(2.1.17.)21 b FJ(Sei)c FG(I)i FH(:=)e(\()p FI(I)767 2709 y FC(1)786 2703 y FI(;)7 b(I)823 2709 y FC(2)841 2703 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))17 b FJ(ein)g(Randsystem)f (mit)f FH(#)p FI(I)1389 2709 y FC(1)1425 2703 y FH(=)i(#)p FI(I)1527 2709 y FC(2)1562 2703 y FH(=)g FI(!)i FJ(und)236 2722 y FB(P)225 2790 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)274 2794 y Fx(1)302 2753 y FI(r)321 2759 y FD(i)353 2753 y FH(=)417 2722 y FB(P)405 2790 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)458 2794 y Fx(2)485 2753 y FI(s)504 2759 y FD(j)541 2753 y FI(>)h FH(0)e FJ(\(f\374r)g(\022)s FH(=)i(0)p FJ(\020)i(ist)c FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))h(=)h FG(f)p FH(0)p FG(g)p FJ(\).)d(Indem)h(man)f(Abz\344hlungen)h(v)o(on)225 2835 y FI(I)243 2841 y FC(1)262 2835 y FI(;)7 b(I)299 2841 y FC(2)338 2835 y FJ(w)o(\344hlt,)19 b(k)n(ann)g(man)g(ohne)i(Einsc)o (hr\344nkung)f(annehmen,)g(da\377)g FI(I)1389 2841 y FC(1)1430 2835 y FH(=)j FI(I)1503 2841 y FC(2)1544 2835 y FH(=)f Fu(N)d FJ(\(das)p eop %%Page: 17 19 17 18 bop 165 50 a Fw(2.1.)26 b(DEFINITION)15 b(UND)e(ERSTE)h (EIGENSCHAFTEN)469 b FJ(17)165 195 y(Standardelemen)o(t)17 b(ist)g(damit)f(also)h(v)o(on)g(der)h(W)m(ahl)e(der)i(Abz\344hlungen)g (abh\344ngig\).)d(Dann)165 245 y(w)o(erde)g(das)f(Standardelemen)o(t)f FI(P)k FH(=)12 b FI(P)6 b FH(\()p FG(I)r FH(\))14 b FJ(v)o(on)g FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(wie)f(folgt)g(de\034niert:)542 362 y FI(p)563 368 y FD(i;j)614 362 y FH(:=)e(min)745 291 y FB(\()779 362 y FI(r)798 368 y FD(i)821 362 y FG(\000)863 308 y FD(j)r Fy(\000)p FC(1)862 322 y FB(X)866 412 y FD(l)p FC(=1)929 362 y FI(p)950 368 y FD(i;l)984 362 y FI(;)18 b(s)1033 368 y FD(j)1060 362 y FG(\000)1105 310 y FD(i)p Fy(\000)p FC(1)1102 322 y FB(X)1102 412 y FD(k)q FC(=1)1169 362 y FI(p)1190 368 y FD(k)q(;j)1236 291 y FB(\))1276 362 y FI(:)-1123 b FJ(\(2.12\))165 476 y(Dadurc)o(h)11 b(w)o(erden)i(alle)d FI(p)565 482 y FD(i;j)615 476 y FJ(rekursiv)i(de\034niert)h(\(k)o(enn)o(t)e(man)f(alle)g FI(p)1245 482 y FD(k)q(;l)1297 476 y FJ(mit)g FI(k)i(<)g(i)g FJ(o)q(der)f FI(l)i(<)f(j)r FJ(,)165 526 y(so)i(k)n(ann)f(man)f FI(p)429 532 y FD(i;j)482 526 y FJ(b)q(erec)o(hnen\).)165 586 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FI(P)d FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q FJ(.)165 683 y Fz(Beweis.)20 b FI(p)344 689 y FC(1)p FD(;)p FC(1)401 683 y FH(=)11 b(min)o FG(f)p FI(r)554 689 y FC(1)572 683 y FI(;)c(s)610 689 y FC(1)628 683 y FG(g)12 b(\025)f FH(0)p FJ(.)i(F\374r)i FI(j)f(>)d FH(1)j FJ(ist)534 802 y FI(r)553 808 y FD(i)576 802 y FG(\000)619 748 y FD(j)r Fy(\000)p FC(1)618 762 y FB(X)621 852 y FD(l)p FC(=1)685 802 y FI(p)706 808 y FD(i;l)751 802 y FH(=)795 731 y FB( )828 802 y FI(r)847 808 y FD(i)870 802 y FG(\000)912 748 y FD(j)r Fy(\000)p FC(2)911 762 y FB(X)915 852 y FD(l)p FC(=1)978 802 y FI(p)999 808 y FD(i;l)1033 731 y FB(!)1076 802 y FG(\000)9 b FI(p)1138 808 y FD(i;j)r Fy(\000)p FC(1)1231 802 y FG(\025)j FH(0)165 914 y FJ(und)i(f\374r)g FI(i)e(>)f FH(1)j FJ(ist)511 1020 y FI(s)530 1026 y FD(j)557 1020 y FG(\000)602 968 y FD(i)p Fy(\000)p FC(1)599 981 y FB(X)599 1070 y FD(k)q FC(=1)666 1020 y FI(p)687 1026 y FD(k)q(;j)744 1020 y FH(=)788 949 y FB( )821 1020 y FI(s)840 1026 y FD(j)867 1020 y FG(\000)912 968 y FD(i)p Fy(\000)p FC(2)909 981 y FB(X)908 1070 y FD(k)q FC(=1)976 1020 y FI(p)997 1026 y 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1996 y FJ(.)165 2046 y(Analog)h(zeigt)h(man)e(durc)o (h)j(v)o(ollst\344ndige)d(Induktion)i(nac)o(h)g FI(j)r FJ(,)f(da\377)1256 2014 y FB(P)1300 2025 y Fy(1)1300 2058 y FD(k)q FC(=1)1369 2046 y FI(p)1390 2052 y FD(k)q(;j)1447 2046 y FH(=)f FI(s)1510 2052 y FD(j)1528 2046 y FJ(.)95 b Fv(N)165 2125 y Fz(Behauptung)17 b(2.)j FI(P)d FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 2223 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Angenommen,)9 b(es)j(w)o(\344re)g FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)g(Dann)g(g\344b)q(e)h(es)g(nac)o(h)g(Lemma)f (2.1.13)h(\(b\))165 2272 y(eine)17 b(Matrix)g FI(E)h FG(2)e(M)538 2278 y Fl(R)561 2272 y FH(\()p FI(I)595 2278 y FC(1)614 2272 y FI(;)7 b(I)651 2278 y FC(2)670 2272 y FH(\))k FG(n)g(f)p FH(0)p FG(g)p FJ(,)16 b(deren)i(Linien)e(sic) o(h)h(alle)f(zu)i(Null)e(summieren)f(und)165 2322 y(mit)d FI(P)j FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(\025)e FH(0)p FJ(.)165 2384 y Fz(Def.)j(1.)20 b FJ(De\034niere)15 b(rekursiv)g(eine)f(F)m (olge)f(v)o(on)g(Indizes)i(durc)o(h)585 2459 y FG(P)f FH(:=)e(\(\()p FI(i)730 2465 y FC(1)749 2459 y FI(;)7 b(j)785 2465 y FC(1)803 2459 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(i)868 2465 y FC(2)887 2459 y FI(;)g(j)923 2465 y FC(2)941 2459 y FH(\))p FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))12 b FG(\022)f FI(I)1120 2465 y FC(1)1149 2459 y FG(\002)e FI(I)1208 2465 y FC(2)1227 2459 y FI(;)165 2534 y FJ(w)o(ob)q(ei)14 b FI(i)297 2540 y FC(1)327 2534 y FH(:=)d FI(j)399 2540 y FC(1)430 2534 y FH(:=)g(1)j FJ(und)g(f\374r)f(b)q(ereits)j (de\034niertes)f FH(\()p FI(i)1032 2540 y FD(n)1055 2534 y FI(;)7 b(j)1091 2540 y FD(n)1113 2534 y FH(\))14 b FJ(sei)395 2715 y FH(\()p FI(i)425 2721 y FD(n)p FC(+1)490 2715 y FI(;)7 b(j)526 2721 y FD(n)p FC(+1)590 2715 y FH(\))12 b(=)662 2580 y FB(8)662 2618 y(>)662 2630 y(>)662 2642 y(>)662 2655 y(>)662 2667 y(<)662 2742 y(>)662 2755 y(>)662 2767 y(>)662 2779 y(>)662 2792 y(:)698 2616 y FH(\()p FI(i)728 2622 y FD(n)761 2616 y FH(+)d(1)p FI(;)e(j)859 2622 y FD(n)881 2616 y FH(\))p FI(;)48 b FJ(falls)67 b FG(8)1072 2642 y FD(j)r(>j)1128 2646 y Fs(n)1159 2616 y FI(p)1180 2622 y FD(i)1192 2626 y Fs(n)1212 2622 y FD(;j)1250 2616 y FH(=)12 b(0)p FI(;)698 2694 y FH(\()p FI(i)728 2700 y FD(n)751 2694 y FI(;)7 b(j)787 2700 y FD(n)819 2694 y FH(+)i(1\))p FI(;)48 b FJ(falls)64 b FG(8)1072 2720 y FD(i>i)1122 2724 y Fs(n)1153 2694 y FI(p)1174 2700 y FD(i;j)1210 2704 y Fs(n)1243 2694 y FH(=)12 b(0)p FI(;)698 2770 y FH(\()p FI(i)728 2776 y FD(n)761 2770 y FH(+)d(1)p FI(;)e(j)859 2776 y FD(n)890 2770 y FH(+)j(1\))p FI(;)48 b FJ(falls)68 b FG(8)1143 2796 y FD(i>i)1193 2800 y Fs(n)1213 2796 y FD(;)1145 2825 y(j)r(>j)1201 2829 y Fs(n)1234 2770 y FI(p)1255 2776 y FD(i;j)1306 2770 y FH(=)12 b(0)p FI(:)165 2715 y FJ(\(2.14\))p eop %%Page: 18 20 18 19 bop 225 50 a FJ(18)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(W)m(egen)f(\(2.12\))f(tritt)h(imm)o(er)e(genau)i(eine)g(der)h (Bedingungen)f(in)g(\(2.14\))e(ein.)225 257 y Fz(Def.)j(2.)20 b FJ(Nenne)15 b FH(\()p FI(i)528 263 y FD(n)551 257 y FI(;)7 b(j)587 263 y FD(n)610 257 y FH(\))k FG(2)g(P)18 b FJ(Ec)o(kpunkt)c(genau)g(dann,)f(w)o(enn)h FI(n)e(>)g FH(1)h FJ(und)544 348 y FH(\()q FI(i)575 354 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)651 348 y FI(<)f(i)709 354 y FD(n)744 348 y FH(=)f FI(i)801 354 y FD(n)p FC(+1)922 348 y FJ(o)q(der)56 b FI(j)1074 354 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)1150 348 y FI(<)12 b(j)1211 354 y FD(n)1245 348 y FH(=)g FI(j)1306 354 y FD(n)p FC(+1)1371 348 y FH(\))7 b FI(:)225 438 y FJ(Die)14 b(T)m(eilfolge)e(der)i(Ec)o(kpunkte)h(v)o(on)e FG(P)18 b FJ(b)q(ezeic)o(hne)d(mit)706 529 y FG(P)735 535 y FD(E)774 529 y FH(=)d(\(\()p FI(E)881 535 y FC(1)899 529 y FI(;)7 b(F)945 535 y FC(1)963 529 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(E)1045 535 y FC(2)1063 529 y FI(;)g(F)1109 535 y FC(2)1127 529 y FH(\))p FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))p FI(:)225 619 y Fz(Beh.)15 b(2.1.)21 b FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FG(\022)f(P)s FJ(.)225 723 y Fz(Beweis.)20 b FJ(F\374r)j FI(m;)7 b(n)26 b FG(2)g Fu(N)20 b FJ(sei)j FI(T)777 729 y FD(m;n)851 723 y FH(:=)11 b FG(f)p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(:)20 b FI(i)12 b FG(\024)g FI(m;)7 b(j)14 b FG(\024)e FI(n)p FG(g)o FJ(.)22 b(Man)h(zeigt)225 772 y(durc)o(h)12 b(v)o(ollst\344ndige)d (Induktion,)h(da\377)h(f\374r)g(alle)f FI(n)i FG(2)f Fu(N)e FJ(gilt,)g FI(T)1199 778 y FD(i)1211 782 y Fs(n)1232 778 y FD(;j)1256 782 y Fs(n)1289 772 y FG(\022)j(f)p FH(\()p FI(i)1384 778 y FC(1)1403 772 y FI(;)7 b(j)1439 778 y FC(1)1457 772 y FH(\))p FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i FH(\()p FI(i)1596 778 y FD(n)1618 772 y FI(;)g(j)1654 778 y FD(n)1677 772 y FH(\))p FG(g)o FJ(.)225 822 y FI(T)249 828 y FD(i)261 832 y Fx(1)277 828 y FD(;j)301 832 y Fx(1)331 822 y FH(=)k FI(T)398 828 y FC(1)p FD(;)p FC(1)455 822 y FG(\022)h(f)p FH(\(1)p FI(;)7 b FH(1\))p FG(g)j FH(=)i FG(f)p FH(\()p FI(i)739 828 y FC(1)758 822 y FI(;)7 b(j)794 828 y FC(1)812 822 y FH(\))p FG(g)13 b FJ(p)q(er)g(De\034nition)f(v)o (on)h FG(P)s FJ(.)f(Den)h(Induktionssc)o(hritt)h(b)q(e-)225 872 y(k)o(omm)o(t)h(man,)h(da)h(w)o(egen)i(\(2.14\))e FI(T)814 878 y FD(i)826 882 y Fs(n)p Fx(+1)882 878 y FD(;)5 b(j)911 882 y Fs(n)p Fx(+1)980 872 y FG(\022)12 b FI(T)1048 878 y FD(i)1060 882 y Fs(n)1081 878 y FD(;j)1105 882 y Fs(n)1136 872 y FG([)d(f)p FH(\()p FI(i)1224 878 y FD(n)p FC(+1)1289 872 y FI(;)k(j)1331 878 y FD(n)p FC(+1)1396 872 y FH(\))p FG(g)18 b FJ(\(im)e(ersten)k(F)m(all)225 922 y(v)o(on)15 b(\(2.14\))g(ist)h FI(p)508 928 y FD(i)520 932 y Fs(n)p Fx(+1)575 928 y FD(;)6 b(j)623 922 y FH(=)15 b(0)h FJ(f\374r)g FI(j)h(<)e(j)873 928 y FD(n)p FC(+1)938 922 y FJ(,)g(im)f(zw)o(eiten)i(F)m(all)f(v)o(on)g(\(2.14\))g(ist)h FI(p)1544 928 y FD(i;)5 b(j)1585 932 y Fs(n)p Fx(+1)1657 922 y FH(=)15 b(0)225 972 y FJ(f\374r)i FI(i)f(<)h(i)387 978 y FD(n)p FC(+1)452 972 y FJ(,)f(im)f(dritten)i(F)m(all)f(v)o(on)g (\(2.14\))g(ist)g FI(p)1054 978 y FD(i;)6 b(j)1115 972 y FH(=)17 b(0)g FJ(f\374r)f FI(i)h(<)g(i)1364 978 y FD(n)p FC(+1)1445 972 y FJ(und)g FI(j)i(<)e(j)1633 978 y FD(n)p FC(+1)1697 972 y FJ(\).)225 1022 y(Nun)h(folgt)g(Beh.)c(2.1)o(,)k(denn) g(sind)794 1012 y FH(~)798 1022 y FI(i;)830 1012 y FH(~)831 1022 y FI(j)i FJ(die)e(Suprema)g(der)h(in)f FG(P)j FJ(auftretenden)f (Indizes)f FI(i)1702 1028 y FD(n)225 1071 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o (eise)14 b FI(j)544 1077 y FD(n)579 1071 y FJ(\(ev)o(en)o(tuell)e FG(1)p FJ(\),)f(so)i(folgt)29 b FG(8)992 1105 y FD(i>)1028 1098 y FC(~)1030 1105 y FD(i)o(;)992 1134 y(j)r Fy(2)p Fl(N)1062 1071 y FI(p)1083 1077 y FD(i;j)1134 1071 y FH(=)12 b(0)g FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)34 b FG(8)1512 1098 y FD(i)p Fy(2)p Fl(N)-18 b FD(;)1517 1134 y(j)r(>)1558 1127 y FC(~)1559 1134 y FD(j)1589 1071 y FI(p)1610 1077 y FD(i;j)1660 1071 y FH(=)12 b(0)225 1204 y FJ(und)i FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)548 1165 y Fy(1)547 1173 y FB(S)514 1241 y FD(m;n)p FC(=1)615 1204 y FI(T)639 1210 y FD(m;n)713 1204 y FH(=)772 1165 y Fy(1)771 1173 y FB(S)757 1241 y FD(n)p FC(=1)820 1204 y FI(T)844 1210 y FD(i)856 1214 y Fs(n)876 1210 y FD(;j)900 1214 y Fs(n)933 1204 y FG(\022)h(P)t FJ(.)666 b FG(4)225 1339 y FJ(Nac)o(h)12 b(\(2.14\))e(sind)h(die)h(Elemen)o(te)f(der)h(F)m(olge)e FG(P)15 b FJ(alle)10 b(v)o(ersc)o(hieden.)j(W)m(egen)e FI(P)k FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(\025)e FH(0)o FJ(,)f(folgt)225 1389 y(aus)j FI(e)318 1395 y FD(i;j)369 1389 y FG(6)p FH(=)e(0)p FJ(,)h(da\377)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g(P)s FJ(.)h(Da)g(sic)o(h)i(alle)e(Linien)g(v)o(on)g FI(E)j FJ(zu)f(Null)e(addieren,)h(gilt)e(sogar)645 1479 y FI(e)664 1485 y FD(i;j)715 1479 y FG(6)p FH(=)g(0)41 b FG(\))g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(E)1091 1485 y FD(n)1113 1479 y FI(;)7 b(F)1159 1485 y FD(n)1181 1479 y FH(\))12 b FG(2)f(P)1277 1485 y FD(E)225 1570 y FJ(so)o(wie)18 b FI(e)358 1576 y FD(E)382 1580 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)440 1576 y FD(;F)t(n)p Fy(\000)p FC(1)559 1570 y FG(6)p FH(=)h(0)f FJ(und)g FI(e)755 1576 y FD(E)779 1580 y Fs(n)p Fx(+1)836 1576 y FD(;F)t(n)p FC(+1)955 1570 y FG(6)p FH(=)h(0)p FJ(.)e(Insb)q(esondere)k(hat)d(jedes)h(Elemen) o(t)e(v)o(on)225 1620 y FG(P)254 1626 y FD(E)300 1620 y FJ(einen)i(V)m(org\344nger)f(und)g(einen)h(Nac)o(hfolger.)e(Das)h (steh)o(t)h(im)d(Widerspruc)o(h)j(dazu,)f(da\377)225 1670 y FH(\()p FI(E)272 1676 y FC(1)290 1670 y FI(;)7 b(F)336 1676 y FC(1)354 1670 y FH(\))k FJ(k)o(einen)g(V)m(org\344nger)f (hat.)g(Die)g(Matrix)g FI(E)i FJ(k)n(ann)e(also)g(k)o(eine)h(v)o(on)f (Null)g(v)o(ersc)o(hiedenen)225 1719 y(Elemen)o(te)k(b)q(esitzen,)h (das)f(hei\377t,)f(die)h(Annahme)f FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))j FJ(w)o(ar)g(falsc)o(h.)230 b Fv(N)225 1802 y FK(Satz)15 b(2.1.18.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)683 1808 y FC(1)702 1802 y FI(;)c(I)739 1808 y FC(2)757 1802 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem.) 225 1905 y FK(\(a\))20 b FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))j Fz(und)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)c(I)s FH(\)\))j Fz(sind)g(nicht)g(le)n(er.)225 1988 y FK(\(b\))k Fz(Ist)c FG(I)j Fz(ein)d(R)n(andsystem,)g(so)g(gilt)590 2078 y FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FI(;)7 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b FG(6)p FH(=)f FG(;)43 b(,)f FI(!)10 b FG(\001)f FH(#)p FI(I)1164 2084 y FC(1)p FD(;nt)1237 2078 y FH(=)j FI(!)e FG(\001)f FH(#)p FI(I)1391 2084 y FC(2)p FD(;nt)1452 2078 y FI(:)225 2251 y FK(\(c\))20 b Fz(F\374r)c(diskr)n(ete)f(Ma\377r)n(\344ume)h FH(\()p FI(I)779 2257 y FC(1)798 2251 y FI(;)7 b(m)853 2257 y FC(1)872 2251 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(I)941 2257 y FC(2)960 2251 y FI(;)g(m)1015 2257 y FC(2)1033 2251 y FH(\))15 b Fz(gilt)540 2342 y FG(D)q FH(\()p FI(m)625 2348 y FC(1)644 2342 y FI(;)7 b(m)699 2348 y FC(2)718 2342 y FH(\))p FI(;)g FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FI(m)882 2348 y FC(1)901 2342 y FI(;)g(m)956 2348 y FC(2)975 2342 y FH(\)\))12 b FG(6)p FH(=)f FG(;)43 b(,)f FI(!)10 b FG(\001)f FH(#)p FI(I)1320 2348 y FC(1)p FD(;nt)1393 2342 y FH(=)j FI(!)e FG(\001)f FH(#)p FI(I)1547 2348 y FC(2)p FD(;nt)1608 2342 y FI(:)225 2445 y Fz(Beweis.)20 b FJ(\(a\))14 b(Es)g(ist)g FH(0)e FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))g FG(\022)g(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))p FJ(.)225 2516 y(\(b\))i(Setze)i FI(\013)11 b FH(:=)g(#)p FI(I)549 2522 y FC(1)p FD(;nt)624 2516 y FJ(und)j FI(\014)h FH(:=)c(#)p FI(I)853 2522 y FC(2)p FD(;nt)914 2516 y FJ(.)225 2566 y(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)i(Angenommen)f FI(\013)f FG(6)p FH(=)h FI(\014)r FJ(.)i(Es)g(sei)h(ohne)f(Besc)o(hr\344nkung)h(der)f(Allgemeinheit)e FI(\013)f(>)h(\014)i(>)e FH(0)225 2615 y FJ(und)j FI(\013)c(>)h(!)q FJ(.)i(Gibt)g(es)h(dann)g FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)j(so)h(ist)f(w)o(egen)h FI(\013)c FH(=)h(#)p FI(I)1265 2621 y FC(1)p FD(;nt)1341 2615 y FJ(auc)o(h)j FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))11 b(=)h FI(\013)o FJ(.)225 2665 y(Andererseits)k(ist)e(ab)q(er)h FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))11 b FG(\024)h FI(\014)r(!)h(<)f(\013)p FJ(.)h(Daher)h(k)n(ann)g(es)g(k)o(ein)g FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))j FJ(geb)q(en.)225 2736 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)j(F\374r)h FI(\013;)7 b(\014)20 b FG(\024)e FI(!)h FJ(ist)f(in)f(Beispiel)h(2.1.17)e(b)q(ereits)j(ein)e FI(P)6 b FH(\()p FG(I)r FH(\))18 b FG(2)g FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g FJ(k)o(onstruiert)225 2785 y(w)o(orden)c(\(es)h(ist)f(klar,)f(da\377)h(man)e(den)i(F)m(all)f (\022)s FI(<)f(!)q FJ(\020)18 b(durc)o(h)c(Au\033\374llen)g(mit)e (Nullinien)h(auf)g(den)225 2835 y(F)m(all)f(\022)s FH(=)g FI(!)q FJ(\020)18 b(zur\374c)o(kf\374hren)d(k)n(ann\).)e(Bleibt)h(der)h (F)m(all)d FI(\013)f FH(=)h FI(\014)i(>)e(!)q FJ(.)p eop %%Page: 19 21 19 20 bop 165 50 a Fw(2.1.)26 b(DEFINITION)15 b(UND)e(ERSTE)h (EIGENSCHAFTEN)469 b FJ(19)165 195 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FJ(Es)h(gibt)e(Randsysteme)g FH(\()p FG(I)904 201 y FD(k)936 195 y FH(=)12 b(\()p FI(I)1014 201 y FC(1)p FD(;k)1061 195 y FI(;)7 b(I)1098 201 y FC(2)p FD(;k)1145 195 y FI(;)g(r)1184 180 y FD(k)1203 195 y FI(;)g(s)1241 180 y FD(k)1262 195 y FH(\)\))1294 201 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)1358 195 y FJ(,)20 b(so)g(da\377)f(f\374r)h(alle)165 252 y FI(k)12 b FG(2)g FI(\013)o FJ(,)17 b FG(I)319 258 y FD(k)351 252 y FG(\024)12 b(I)s FJ(,)k FI(I)467 258 y FC(1)498 252 y FH(=)553 239 y(_)541 221 y FB(S)576 265 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)640 252 y FI(I)658 258 y FC(1)p FD(;k)705 252 y FJ(,)h FI(I)752 258 y FC(2)782 252 y FH(=)837 239 y(_)826 221 y FB(S)861 265 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)925 252 y FI(I)943 258 y FC(2)p FD(;k)990 252 y FJ(,)f FI(r)1038 237 y FC(0)1068 252 y FH(=)c FI(s)1131 237 y FC(0)1162 252 y FH(=)g(0)o FJ(,)17 b(und)g(f\374r)f(alle)h FH(0)11 b FG(6)p FH(=)h FI(k)g FG(2)f FI(\013)165 302 y FJ(ist)j FH(#)p FI(I)276 308 y FC(1)p FD(;k)334 302 y FH(=)e(#)p FI(I)431 308 y FC(2)p FD(;k)489 302 y FH(=)g FI(!)j FJ(so)o(wie)684 271 y FB(P)728 314 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)777 318 y Fx(1)p Fs(;k)827 302 y FI(r)846 308 y FD(i)871 302 y FH(=)915 271 y FB(P)959 314 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1012 318 y Fx(2)p Fs(;k)1062 302 y FI(s)1081 308 y 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FJ(\(2.15\))165 734 y(Nun)k(w)o(erden)h(die)f(endlic)o(hen)h(Mengen)f(in)g FI(R)897 740 y FD(e)930 734 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)i FI(S)1261 740 y FD(e)1295 734 y FJ(und)e(die)g(unendlic)o(hen)165 784 y(Mengen)f(in)e FI(R)401 790 y Fy(1)450 784 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw) o(eise)i FI(S)778 790 y Fy(1)828 784 y FJ(zusammengefa\377t:)432 875 y FI(R)464 881 y FD(e)493 875 y FH(:=)c FG(f)p FI(R)601 881 y FD(n)635 875 y FH(:)18 b(#)p FI(R)732 881 y FD(n)765 875 y FI(<)12 b FG(1g)p FI(;)47 b(S)956 881 y FD(e)986 875 y FH(:=)11 b FG(f)p FI(S)1087 881 y FD(n)1121 875 y FH(:)18 b(#)p FI(S)1211 881 y FD(n)1246 875 y FI(<)11 b FG(1g)p FI(;)432 937 y(R)464 943 y Fy(1)510 937 y FH(:=)h FG(f)p FI(R)619 943 y FD(n)652 937 y FH(:)18 b(#)p FI(R)749 943 y FD(n)782 937 y FH(=)12 b FG(1g)p FI(;)47 b(S)973 943 y Fy(1)1020 937 y FH(:=)12 b FG(f)p FI(S)1122 943 y FD(n)1156 937 y FH(:)18 b(#)p FI(S)1246 943 y FD(n)1280 937 y FH(=)12 b FG(1g)p FI(:)165 906 y FJ(\(2.16\))165 1029 y(Ist)j FI(R)259 1035 y 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FJ(\(2.17\))423 1364 y FI(K)458 1370 y FD(R)497 1364 y FH(:=)11 b FG(f)p FH(\()p FI(n;)c(k)q FH(\))k(:)18 b(\()p FI(n;)7 b(k)q FH(\))k FG(6)p FH(=)h(\()p FI(n)908 1370 y FD(R)935 1364 y FI(;)7 b FH(0\))p FI(;)13 b(R)1048 1370 y FD(n)1082 1364 y FG(2)e FI(R)1153 1370 y Fy(1)1187 1364 y FI(;)j(k)e FG(2)f FI(\024)1310 1370 y FD(R;n)1368 1364 y FG(g)p FI(;)423 1427 y(K)458 1433 y FD(S)494 1427 y FH(:=)g FG(f)p FH(\()p FI(n;)c(k)q FH(\))k(:)18 b(\()p FI(n;)7 b(k)q FH(\))k FG(6)p FH(=)h(\()p FI(n)905 1433 y FD(S)929 1427 y FI(;)7 b FH(0\))p FI(;)13 b(S)1035 1433 y FD(n)1069 1427 y FG(2)e FI(S)1133 1433 y Fy(1)1169 1427 y FI(;)i(k)g FG(2)e FI(\024)1292 1433 y FD(S;n)1345 1427 y FG(g)p FI(;)165 1396 y FJ(\(2.18\))438 1577 y FI(I)456 1583 y FC(1)p FD(;)p FC(1)512 1577 y FH(:=)h FI(R)600 1583 y FD(n)621 1587 y Fs(R)643 1583 y FD(;)p FC(0)681 1577 y FG([)749 1538 y FB([)718 1627 y FD(R)743 1631 y Fs(n)763 1627 y Fy(2)p FD(R)810 1631 y Fs(e)834 1577 y FI(R)866 1583 y FD(n)888 1577 y FI(;)48 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Fy(0)1513 1781 y FG(\000)-7 b(!)11 b FI(K)1626 1787 y FD(R)1653 1781 y FJ(,)165 1831 y FI(B)196 1837 y FD(S)238 1831 y FH(:)28 b FI(\013)305 1816 y Fy(0)333 1831 y FG(\000)-6 b(!)16 b FI(K)452 1837 y FD(S)476 1831 y FJ(.)h(F\374r)h FI(k)g FG(2)e FI(\013)700 1816 y Fy(0)729 1831 y FJ(setze)j FI(I)852 1837 y FC(1)p FD(;k)916 1831 y FH(:=)e FI(R)1009 1838 y FD(B)1034 1842 y Fs(R)1057 1838 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1104 1831 y FJ(,)f FI(I)1150 1837 y FC(2)p FD(;k)1214 1831 y FH(:=)h FI(S)1300 1838 y FD(B)1325 1842 y Fs(S)1347 1838 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1393 1831 y FJ(.)g(W)m(egen)g(\(2.15\))165 1891 y(ist)e FI(I)242 1897 y FC(1)273 1891 y FH(=)328 1877 y(_)317 1860 y FB(S)351 1903 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)416 1891 y FI(I)434 1897 y FC(1)p FD(;k)496 1891 y FJ(und)g FI(I)598 1897 y FC(2)629 1891 y FH(=)684 1877 y(_)673 1860 y FB(S)707 1903 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)772 1891 y FI(I)790 1897 y FC(2)p FD(;k)852 1891 y FJ(klar.)f(Setzt)j(man)c(no)q(c)o(h)j(f\374r)f FI(k)g FG(2)f FI(\013)p FJ(,)h FI(r)1471 1876 y FD(k)1502 1891 y FH(:=)d FI(r)q Fv(\026)1595 1897 y FD(I)1610 1901 y Fx(1)p Fs(;k)1653 1891 y FJ(,)165 1945 y FI(s)184 1930 y FD(k)216 1945 y FH(:=)g FI(s)p Fv(\026)308 1951 y FD(I)323 1955 y Fx(2)p Fs(;k)367 1945 y FJ(,)h(so)h(ist)g(klar,)f(da\377)g(die)h FH(\()p FI(I)776 1951 y FC(1)p FD(;k)823 1945 y FI(;)7 b(I)860 1951 y FC(2)p FD(;k)906 1945 y FI(;)g(r)945 1930 y FD(k)965 1945 y FI(;)g(s)1003 1930 y FD(k)1023 1945 y FH(\))1039 1951 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)1118 1945 y FJ(alle)13 b(Bedingungen)h(der)g(Behaup-)165 1995 y(tung)g (erf\374llen.)1226 b Fv(N)165 2110 y FJ(Gegeb)q(en)14 b(die)e(Zerlegung)h(aus)g(Behauptung)h(1,)e(setze)i(f\374r)f FI(k)f FG(2)f FI(\013)c FG(n)g(f)p FH(0)p FG(g)p FJ(:)k FI(P)1360 2095 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1417 2110 y FH(:=)g FI(P)6 b FH(\()p FG(I)1547 2116 y FD(k)1567 2110 y FH(\))13 b FJ(und)165 2197 y(dann)k FI(P)23 b FH(=)18 b(\()p FI(p)409 2203 y FD(i;j)448 2197 y FH(\))464 2204 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)565 2208 y Fx(1)580 2204 y Fy(\002)p FD(I)621 2208 y Fx(2)657 2197 y FJ(mit)d FI(p)757 2203 y FD(i;j)814 2197 y FH(:=)875 2126 y FB(\()908 2169 y FI(p)929 2148 y FC(\()p FD(k)q FC(\))929 2181 y FD(i;j)1031 2169 y FJ(f\374r)f FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1250 2175 y FC(1)p FD(;k)1306 2169 y FG(\002)f FI(I)1366 2175 y FC(2)p FD(;k)1413 2169 y FI(;)908 2229 y FH(0)102 b FJ(sonst)1429 2197 y(.)17 b(Der)h(Bew)o(eis)165 2284 y(v)o(on)13 b(\(b\))i(wird)e(v)o(ollst\344ndig)f(durc)o(h)j(die)f (folgende)f(Behauptung)i(2.)165 2350 y Fz(Behauptung)i(2.)j FI(P)d FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 2465 y Fz(Beweis.)20 b FJ(W\344re)12 b FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(,)h(so)f(g\344b)q(e)h(es)h(nac)o(h)e(Lemma)e (2.1.13)h(\(b\))i FH(0)f FG(6)p FH(=)h FI(E)h FG(2)f(M)1517 2471 y Fl(R)1541 2465 y FH(\()p FI(I)1575 2471 y FC(1)1594 2465 y FI(;)7 b(I)1631 2471 y FC(2)1649 2465 y FH(\))165 2515 y FJ(mit)20 b FI(P)f FG(\006)c FI(E)26 b FG(2)e(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)d(W\344hle)g FH(\()p FI(i)743 2521 y FC(0)762 2515 y FI(;)7 b(j)798 2521 y FC(0)816 2515 y FH(\))p FJ(,)21 b(so)g(da\377)g FI(e)1028 2521 y FD(i)1040 2525 y Fx(0)1056 2521 y FD(;j)1080 2525 y Fx(0)1122 2515 y FG(6)p FH(=)k(0)p FJ(.)20 b(Nac)o(h)i(De\034nition)f (v)o(on)g FI(P)165 2565 y FJ(gibt)g(es)i(dann)e(ein)h FI(k)q FJ(,)f(so)h(da\377)f FH(\()p FI(i)732 2571 y FC(0)751 2565 y FI(;)7 b(j)787 2571 y FC(0)805 2565 y FH(\))25 b FG(2)f FI(I)916 2571 y FC(1)p FD(;k)978 2565 y FG(\002)15 b FI(I)1043 2571 y FC(2)p FD(;k)1090 2565 y FJ(.)21 b(Nun)h(sei)g FI(E)1323 2550 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1394 2565 y FH(:=)i FI(E)r Fv(\026)1512 2571 y FD(I)1527 2575 y Fx(1)p Fs(;k)1569 2571 y Fy(\002)p FD(I)1610 2575 y Fx(2)p Fs(;k)1653 2565 y FJ(.)165 2620 y(Dann)18 b(summieren)f(sic)o(h)i(w)o(egen)h(der)f (De\034nition)f(v)o(on)g FI(P)24 b FJ(alle)18 b(Linien)h(v)o(on)f FI(E)1451 2605 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1516 2620 y FJ(zu)h(Null,)165 2670 y(das)i(hei\377t)f FI(P)389 2655 y FC(\()p FD(k)q FC(\))444 2670 y FG(\006)10 b FI(E)519 2655 y FC(\()p FD(k)q FC(\))577 2670 y FG(2)h(D)q FH(\()p FG(I)688 2676 y FD(k)708 2670 y FH(\))p FJ(,)21 b(w)o(as)f(nac)o(h)h(Lemma)d(2.1.13)g (\(b\))j(im)e(Widerspruc)o(h)j(zu)165 2720 y FI(P)198 2705 y FC(\()p FD(k)q FC(\))255 2720 y FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)411 2726 y FD(k)431 2720 y FH(\)\))i FJ(steh)o(t.)1058 b Fv(N)165 2835 y FJ(\(c\))15 b(F)m(olgt)d(aus)i(\(b\))g(und)g(Satz)h(2.1.15.)858 b Fv(\004)p eop %%Page: 20 22 20 21 bop 225 50 a FJ(20)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Satz)g(2.1.19.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)683 201 y FC(1)702 195 y FI(;)c(I)739 201 y FC(2)757 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem.)225 294 y FK(\(a\))20 b Fz(Sei)13 b FI(P)k FG(2)12 b(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))p Fz(.)g(Dann)j(ist)e FI(P)k FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))h Fz(genau)i(dann,)f(wenn)f(f\374r)h(al)r (le)f(abz\344hlb)n(a-)329 344 y(r)n(en)h FI(I)418 350 y FC(1)p FD(;k)477 344 y FG(\022)d FI(I)538 350 y FC(1)557 344 y Fz(,)i FI(I)601 350 y FC(2)p FD(;k)660 344 y FG(\022)f FI(I)722 350 y FC(2)754 344 y Fz(die)h(Submatrix)i FI(P)6 b Fv(\026)1067 350 y FD(I)1082 354 y Fx(1)p Fs(;k)1123 350 y Fy(\002)p FD(I)1164 354 y Fx(2)p Fs(;k)1221 344 y Fz(in)14 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)1431 350 y FD(k)1451 344 y FH(\)\))i Fz(lie)n(gt.)e(Hierb)n(ei)329 398 y(sei)i FG(I)418 404 y FD(k)450 398 y FH(:=)d(\()p FI(I)539 404 y FC(1)p FD(;k)587 398 y FI(;)c(I)624 404 y FC(2)p FD(;k)670 398 y FI(;)g(r)709 383 y FD(k)729 398 y FI(;)g(s)767 383 y FD(k)787 398 y FH(\))15 b Fz(mit)541 494 y FG(8)507 521 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)556 525 y Fx(1)p Fs(;k)609 494 y FI(r)629 477 y FD(k)628 504 y(i)661 494 y FH(:=)d FI(r)736 500 y FD(i)758 494 y FG(\000)843 454 y FB(X)800 545 y FD(\027)r Fy(2)p FD(I)856 549 y Fx(2)872 545 y Fy(n)p FD(I)904 549 y Fx(2)p Fs(;k)952 494 y FI(p)973 500 y FD(i;\027)1015 494 y FI(;)127 b FG(8)1119 521 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1172 525 y Fx(2)p Fs(;k)1224 494 y FI(s)1243 477 y FD(k)1243 504 y(j)1276 494 y FH(:=)11 b FI(s)1350 500 y FD(j)1377 494 y FG(\000)1462 454 y FB(X)1419 545 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)1476 549 y Fx(1)1492 545 y Fy(n)p FD(I)1524 549 y Fx(1)p Fs(;k)1573 494 y FI(p)1594 500 y FD(\026;j)1641 494 y FI(:)225 645 y FK(\(b\))19 b Fz(Sei)e FI(P)j FG(2)15 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)i(Dann)g(ist)g FI(P)g FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))17 b Fz(genau)h(dann,)f(wenn)g(f\374r)g(al)r(le) g(abz\344hlb)n(ar)n(en)329 695 y FI(I)347 701 y FC(1)p FD(;k)413 695 y FG(\022)i FI(I)482 701 y FC(1)501 695 y Fz(,)g FI(I)551 701 y FC(2)p FD(;k)617 695 y FG(\022)g FI(I)686 701 y FC(2)724 695 y Fz(die)g(Submatrix)h FI(P)6 b Fv(\026)1048 701 y FD(I)1063 705 y Fx(1)p Fs(;k)1104 701 y Fy(\002)p FD(I)1145 705 y Fx(2)p Fs(;k)1208 695 y Fz(in)19 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)1379 701 y FD(k)1400 695 y FH(\)\))g Fz(lie)n(gt.)f(Dab)n(ei)h(sei)329 745 y(diesmal)14 b FG(I)505 751 y FD(k)537 745 y FH(:=)d FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b Fv(\026)684 751 y FD(I)699 755 y Fx(1)p Fs(;k)740 751 y Fy(\002)p FD(I)781 755 y Fx(2)p Fs(;k)825 745 y FH(\))p Fz(.)225 847 y(Beweis.)20 b FJ(\(a\))14 b(\022)s FG(\))p FJ(\020)j(gilt)c(nac)o(h)h(Lemma)d(2.1.14.)225 896 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)f(Zun\344c)o(hst)i(b)q(emerk)o(e,)e (da\377)g(alle)g(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q(onen)o(ten)e(v)o(on)i FI(G)p FH(\()p FI(P)c FH(\))k FJ(aus)h(h\366)q(c)o(h-)225 946 y(stens)k(abz\344hlbar)f(vielen)f(Ec)o(k)o(en)i(b)q(estehen:)h(Sei) d FI(v)h FG(2)d FI(V)e FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)d FH(\)\))p FJ(.)13 b(Dann)h(ist)767 1053 y FH(Zhk\()p FI(v)q FH(\))f(=)964 1027 y(_)947 1013 y FB([)993 1010 y Fy(1)993 1078 y FD(\027)r FC(=0)1056 1053 y FI(D)1090 1059 y FD(\027)1111 1053 y FH(\()p FI(v)q FH(\))p FI(;)225 1150 y FJ(mit)f FI(D)335 1156 y FD(\027)356 1150 y FH(\()p FI(v)q FH(\))h(=)f FG(f)p FI(u)f FG(2)g FI(V)e FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)d FH(\)\))12 b(:)17 b FI(d)p FH(\()p FI(u;)7 b(v)q FH(\))12 b(=)g FI(\027)s FG(g)n FJ(,)i(und)g(da)g(alle)g FI(u)d FG(2)g FI(V)f FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)c FH(\)\))14 b FJ(h\366)q(c)o(hstens)h(ab-)225 1199 y(z\344hlbaren)f(Grad)g(hab)q (en,)g(sieh)o(t)g(man)e(w)o(egen)544 1286 y FI(D)578 1292 y FD(\027)r FC(+1)641 1286 y FH(\()p FI(v)q FH(\))h FG(\022)f(f)p FI(u)f FG(2)g FI(V)e FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)d FH(\)\))11 b(:)71 b FG(9)1050 1314 y FD(v)q Fy(2)p FD(D)1117 1318 y Fs(\027)1136 1314 y FC(\()p FD(v)q FC(\))1191 1286 y FI(d)p FH(\()p FI(u;)7 b(v)q FH(\))k(=)h(1)p FG(g)225 1397 y FJ(induktiv,)k(da\377)h(alle)f FI(D)601 1403 y FD(\027)622 1397 y FH(\()p FI(v)q FH(\))i FJ(abz\344hlbar)f(sind.)g (Ist)h FI(P)j(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))p FJ(,)17 b(so)g(sei)h FH(0)11 b FG(6)p FH(=)h FI(E)19 b FJ(wieder)225 1447 y(die)14 b(durc)o(h)h(Lemma)d(2.1.13)g(gegeb)q(ene)j(Matrix)f(mit)f FI(P)h FG(\006)c FI(E)k FG(2)e(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))p FJ(.)i(W\344hle)f FH(\()p FI(i)1559 1453 y FC(0)1578 1447 y FI(;)7 b(j)1614 1453 y FC(0)1632 1447 y FH(\))15 b FJ(mit)225 1497 y FI(e)244 1503 y FD(i)256 1507 y Fx(0)272 1503 y FD(;j)296 1507 y Fx(0)326 1497 y FG(6)p FH(=)c(0)j FJ(und)g(setze)i(f\374r)e FI(x)679 1503 y FD(i)691 1507 y Fx(0)720 1497 y FG(2)d FI(V)f FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)c FH(\)\))p FJ(,)12 b FI(Z)j FH(:=)d(Zhk)1116 1504 y FD(G)p FC(\()p FD(P)t FC(\))1195 1497 y FH(\()p FI(x)1235 1503 y FD(i)1247 1507 y Fx(0)1265 1497 y FH(\))q FJ(,)500 1583 y FI(I)518 1589 y FC(1)p FD(;k)577 1583 y FH(:=)f FG(f)p FI(i)h FG(2)f FI(I)736 1589 y FC(1)766 1583 y FH(:)18 b FI(x)820 1589 y FD(i)845 1583 y FG(2)11 b FI(Z)s FG(g)p FI(;)48 b(I)1014 1589 y FC(2)p FD(;k)1073 1583 y FH(:=)11 b FG(f)p FI(j)j FG(2)d FI(I)1237 1589 y FC(2)1268 1583 y FH(:)18 b FI(y)1318 1589 y FD(j)1347 1583 y FG(2)11 b FI(Z)s FG(g)p FI(:)225 1670 y FJ(W)m(egen)j(der)g(obigen)g(Bemerkung) f(sind)h FI(I)887 1676 y FC(1)p FD(;k)934 1670 y FJ(,)g FI(I)978 1676 y FC(2)p FD(;k)1039 1670 y FJ(abz\344hlbar.)f(Nun)h (setze)556 1761 y FI(E)589 1744 y FC(\()p FD(k)q FC(\))647 1761 y FH(:=)d FI(E)r Fv(\026)752 1767 y FD(I)767 1771 y Fx(1)p Fs(;k)809 1767 y Fy(\002)p FD(I)850 1771 y Fx(2)p Fs(;k)935 1761 y FJ(und)42 b FI(P)1079 1744 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1136 1761 y FH(:=)12 b FI(P)6 b Fv(\026)1242 1767 y FD(I)1257 1771 y Fx(1)p Fs(;k)1298 1767 y Fy(\002)p FD(I)1339 1771 y Fx(2)p Fs(;k)1382 1761 y FI(:)225 1847 y FJ(Dann)13 b(ist)h(nac)o(h)g(De\034nition)f(v)o(on)h FI(Z)494 1934 y FG(8)460 1960 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)509 1964 y Fx(1)p Fs(;k)588 1894 y FB(X)569 1983 y FD(\027)r Fy(2)p FD(I)625 1987 y Fx(2)p Fs(;k)673 1934 y FI(e)692 1940 y FD(i;\027)746 1934 y FH(=)796 1894 y FB(X)790 1983 y FD(\027)r Fy(2)p FD(I)846 1987 y Fx(2)869 1934 y FI(e)888 1940 y FD(i;\027)931 1934 y FI(;)83 b FG(8)990 1960 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1043 1964 y Fx(2)p Fs(;k)1123 1894 y FB(X)1103 1983 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)1160 1987 y Fx(1)p Fs(;k)1209 1934 y FI(e)1228 1940 y FD(\026;j)1288 1934 y FH(=)1338 1894 y FB(X)1331 1983 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)1388 1987 y Fx(1)1412 1934 y FI(e)1431 1940 y FD(\026;j)1479 1934 y FI(;)225 2073 y FJ(das)14 b(hei\377t,)f(es)i(m)o(u\377)d FI(P)587 2058 y FC(\()p FD(k)q FC(\))642 2073 y FG(\006)e FI(E)717 2058 y FC(\()p FD(k)q FC(\))774 2073 y FG(2)i(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)930 2079 y FD(k)950 2073 y FH(\))i FJ(sein.)g(Also)f(ist)h FI(P)1259 2058 y FC(\()p FD(k)q FC(\))1321 2073 y FI(=)-26 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)1516 2079 y FD(k)1536 2073 y FH(\)\))p FJ(.)225 2123 y(\(b\))19 b(folgt)f(analog)f(zu)j(\(a\),)e (w)o(enn)h(man)e(dort)i(im)e(Bew)o(eis)j(die)f(\022)s FG(\024)p FJ(\020)s(-Zeic)o(hen)i(w)o(egl\344\377t)d(und)225 2173 y(b)q(eac)o(h)o(tet,)g(da\377)e(in)h(diesem)g(F)m(all)e(das)i FG(\024)p FJ(-Randsystem)g FG(I)1151 2179 y FD(k)1189 2173 y FJ(aus)g(\(a\),)g(dem)f(Randsystem)g FG(I)1705 2179 y FD(k)225 2223 y FJ(aus)e(\(b\))g(en)o(tspric)o(h)o(t.)1135 b Fv(\004)225 2324 y FJ(Das)12 b(F)m(azit)f(v)o(on)h(Satz)g(2.1.19)e (ist,)i(da\377)f(man)g(sic)o(h)h(f\374r)g(die)g(Charakterisierung)h (der)f(Extremal-)225 2374 y(punkte)i(auf)g(abz\344hlbare)g FG(\024)p FJ(-Randsysteme)f(b)q(esc)o(hr\344nk)o(en)j(k)n(ann.)225 2530 y FA(2.2)66 b(An)n(w)n(endung)25 b(der)i(ma\377theoretisc)n(he)o (n)e(Charakteri-)375 2605 y(sierung)19 b(der)i(Extremalpunk)o(te)225 2716 y FJ(Im)10 b(folgenden)h(soll)f(Satz)i(1.4.1)e(auf)h(dopp)q(elt)g (sto)q(c)o(hastisc)o(he)i(Matrizen)f(angew)o(endet)g(w)o(erden.)225 2766 y(Im)g(F)m(all)h(endlic)o(her)h(Ma\377e)g FI(m)694 2772 y FC(1)713 2766 y FI(;)7 b(m)768 2772 y FC(2)787 2766 y FJ(,)13 b(l\344\377t)g(sic)o(h)h(die)g(F)m(rage,)g(ob)f(eine)i (Matrix)e FI(P)19 b FJ(extremal)13 b(ist,)225 2815 y(auf)g(die)h(F)m (rage)g(zur\374c)o(kf\374hren,)h(ob)e FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(kreisfrei)g(ist)g(\(siehe)h(Satz)f(2.2.6\).)p eop %%Page: 21 23 21 22 bop 165 50 a Fw(2.2.)12 b(ANWENDUNG)i(DER)f(MASSTH.)h (CHARAKTERISIER)o(UNG)289 b FJ(21)165 195 y FK(Lemma)15 b(2.2.1.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)d(\()p FI(I)662 201 y FC(1)681 195 y FI(;)c(I)718 201 y FC(2)737 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b Fz(ein)i(R)n(andsystem)g(mit)f FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)1358 201 y FC(1)1376 195 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1448 201 y FC(2)1466 195 y FG(g)k FI(<)h FG(1)i Fz(und)165 245 y FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))16 b Fz(\(zu)g FI(P)21 b Fz(geh\366rt)c(nach)f(Satz)g (2.1.15)g(ein)g(Ma\377)h FI(\026)c FH(:=)g FI(h)1207 230 y Fy(\000)p FC(1)1251 245 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p Fz(;)15 b FI(m)1380 251 y FC(1)1399 245 y Fz(,)h FI(m)1464 251 y FC(2)1499 245 y Fz(seien)g(wie)165 295 y(in)f(Satz)g(2.1.15\).)g (Dann)h(gilt)e(mit)g(den)i(Bezeichnungen)g(von)g(Beispiel)e(1.3.5)555 393 y FG(F)19 b Fz(ist)14 b(dicht)h(in)g FI(L)844 399 y FC(1)863 393 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))54 b FG(,)g(F)15 b FH(=)d FI(L)1187 399 y FC(1)1206 393 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FI(:)165 526 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Es)d(ist)f(p)q(er)h (De\034nition)e FG(F)k FH(=)d FI(L)839 532 y FC(1)857 526 y FH(\()p FI(m)909 532 y FC(1)929 526 y FH(\))10 b(+)h FI(L)1026 532 y FC(1)1045 526 y FH(\()p FI(m)1097 532 y FC(2)1116 526 y FH(\))p FJ(.)16 b(W)m(egen)g FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)1439 532 y FC(1)1457 526 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1529 532 y FC(2)1547 526 y FG(g)12 b FI(<)f FG(1)165 576 y FJ(ist)17 b(auc)o(h)g FH(min)n FG(f)p FH(dim)5 b FI(L)521 582 y FC(1)540 576 y FH(\()p FI(m)592 582 y FC(1)611 576 y FH(\))p FI(;)i FH(dim)e FI(L)750 582 y FC(1)769 576 y FH(\()p FI(m)821 582 y FC(2)840 576 y FH(\))p FG(g)11 b FI(<)h FG(1)p FJ(.)k(Da)g(w)o(eiterhin)i FI(L)1284 582 y FC(1)1302 576 y FH(\()p FI(m)1354 582 y FC(1)1374 576 y FH(\))p FJ(,)e FI(L)1446 582 y FC(1)1465 576 y FH(\()p FI(m)1517 582 y FC(2)1536 576 y FH(\))h FJ(b)q(eide)165 626 y(abgesc)o(hlossen)e(sind,)f(folgt)f(aus)h(Prop)q (osition)g(20.1)e(in)i([6)o(],)f(da\377)h(auc)o(h)g FG(F)k FJ(abgesc)o(hlossen)d(ist,)165 676 y(und)f(das)g(ist)g(gerade)g(die)g (Behauptung.)823 b Fv(\004)165 782 y FK(Satz)15 b(2.2.2.)22 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)d(\()p FI(I)599 788 y FC(1)618 782 y FI(;)c(I)655 788 y FC(2)673 782 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(end)r(liches)h(R)n(andsystem,)f FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(,)793 880 y FI(\026)h FH(:=)f FI(h)909 863 y Fy(\000)p FC(1)954 880 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(;)165 978 y(m)201 984 y FC(1)220 978 y Fz(,)15 b FI(m)284 984 y FC(2)318 978 y Fz(seien)g(wie)f(in)h (Satz)g(2.1.15)g(und)h FG(F)f FH(:=)d FI(L)975 984 y FC(1)993 978 y FH(\()p FI(m)1045 984 y FC(1)1065 978 y FH(\))d(+)h FI(L)1160 984 y FC(1)1178 978 y FH(\()p FI(m)1230 984 y FC(2)1250 978 y FH(\))p Fz(.)k(Dann)i(gilt)583 1076 y FG(F)f FH(=)d FI(L)700 1082 y FC(1)719 1076 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))43 b FG(,)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b Fz(ist)g(ein)h(W)m(ald.)165 1210 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)14 b(Angenommen,)d FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(hat)h(einen)g(Kreis)h FI(K)g FH(=)d(\()p FI(x)1234 1216 y FD(i)1246 1220 y Fx(1)1264 1210 y FI(;)7 b(y)1303 1216 y FD(j)1317 1220 y Fx(1)1334 1210 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(y)1447 1216 y FD(j)1461 1220 y Fs(n)1483 1210 y FI(;)g(x)1526 1216 y FD(i)1538 1220 y Fx(1)1555 1210 y FH(\))14 b FJ(o)q(der)165 1260 y FI(K)k FH(=)c(\()p FI(y)300 1266 y FD(j)314 1270 y Fx(1)333 1260 y FI(;)7 b(x)376 1266 y FD(i)388 1270 y Fx(1)405 1260 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x)522 1266 y FD(i)534 1270 y Fs(n)555 1260 y FI(;)g(y)594 1266 y FD(j)608 1270 y Fx(1)626 1260 y FH(\))p FJ(.)15 b(Nun)h(b)q(etrac)o(h)o(te)h FI(M)i FG(2)14 b FI(L)1076 1266 y FC(1)1095 1260 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))i FJ(\(siehe)h(Beispiel)f(1.3.5)d(f\374r)j(die)165 1310 y(Bezeic)o(hn)o(ungen\))g(mit)422 1408 y FI(m)458 1414 y FD(i)470 1418 y Fx(1)492 1414 y FD(j)506 1418 y Fx(1)535 1408 y FH(=)c FI(m)615 1414 y FD(i)627 1418 y Fx(2)649 1414 y FD(j)663 1418 y Fx(1)693 1408 y FH(=)g FI(m)773 1414 y FD(i)785 1418 y Fx(2)807 1414 y FD(j)821 1418 y Fx(2)850 1408 y FH(=)g FG(\001)7 b(\001)g(\001)j FH(=)i FI(m)1034 1414 y FD(i)1046 1418 y Fs(n)1072 1414 y FD(j)1086 1418 y Fs(n)1120 1408 y FH(=)g(0)p FI(;)17 b(m)1250 1414 y FD(i)1262 1418 y Fx(1)1284 1414 y FD(j)1298 1418 y Fs(n)1332 1408 y FH(=)12 b(1)p FI(:)-1244 b FJ(\(2.20\))165 1506 y(W\344re)14 b FI(M)i FG(2)11 b(F)t FJ(,)i(so)h(g\344b)q(e)f(es)i FI(a)c FG(2)g FI(L)728 1512 y FC(1)747 1506 y FH(\()p FI(m)799 1512 y FC(1)818 1506 y FH(\))j FJ(und)g FI(b)d FG(2)g FI(L)1027 1512 y FC(1)1046 1506 y FH(\()p FI(m)1098 1512 y FC(2)1117 1506 y FH(\))q FJ(,)i(so)g(da\377)g FI(m)1323 1512 y FD(i;j)1374 1506 y FH(=)f FI(a)1440 1512 y FD(i)1463 1506 y FH(+)e FI(b)1523 1512 y FD(j)1553 1506 y FJ(f\374r)k(al-)165 1555 y(le)k FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)366 1561 y FC(1)394 1555 y FG(\002)f FI(I)454 1561 y FC(2)490 1555 y FJ(mit)16 b FI(\026)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FI(>)g FH(0)p FJ(.)17 b(Mit)g FI(\013)12 b FH(:=)f FI(a)984 1561 y FD(i)996 1565 y Fx(1)1025 1555 y FG(2)h Fu(R)f FJ(folgte)17 b(dann)h(w)o(egen)g(\(2.20\),)e(da\377)165 1605 y FI(b)183 1611 y FD(j)197 1615 y Fx(1)226 1605 y FH(=)c FG(\001)7 b(\001)g(\001)j FH(=)i FI(b)392 1611 y FD(j)406 1615 y Fs(n)439 1605 y FH(=)g FG(\000)p FI(\013)23 b FJ(und)f(daher)h FI(a)802 1611 y FD(i)814 1615 y Fx(1)843 1605 y FH(=)12 b(1)d(+)g FI(\013)p FJ(,)22 b(w)o(as)g FI(a)1129 1611 y FD(i)1141 1615 y Fx(1)1171 1605 y FH(=)11 b FI(\013)22 b FJ(widerspric)o(h)o(t.)h(Also)f(ist)165 1655 y FI(M)f(=)-26 b FG(2)12 b(F)s FJ(.)165 1732 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)e FI(G)p FH(\()p FI(P)c FH(\))j FJ(sei)i(also)e(ein)i(W)m(ald,)d(das)i (hei\377t,)g(alle)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)f(v)o(on)i FI(G)p FH(\()p FI(P)c FH(\))165 1782 y FJ(sind)20 b(\(w)o(egen)h FH(#)p FI(I)458 1788 y FC(1)477 1782 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)549 1788 y FC(2)578 1782 y FI(<)12 b FG(1)20 b FJ(endlic)o(he\))h (B\344ume.)e(W\344hle)g(aus)i(jeder)g(Zusammenhangs-)165 1832 y(k)o(omp)q(onen)o(te)13 b FI(Z)18 b FJ(v)o(on)c FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)13 b(die)h(mindestens)g(zw)o(ei)h (Ec)o(k)o(en)g(en)o(th\344lt,)f(eine)h(Ec)o(k)o(e)g FI(x)1505 1838 y FD(i)1517 1842 y Fs(Z)1541 1832 y FJ(.)f(Da)g FI(Z)165 1882 y FJ(ein)j(Baum)e(ist,)i(gibt)f(es)h(nac)o(h)g(Lemma)d (1.2.11)h(zu)i FI(z)1023 1888 y FC(1)1042 1882 y FI(;)7 b(z)1080 1888 y FC(2)1110 1882 y FG(2)k FI(V)f FH(\()p FI(Z)s FH(\))17 b FJ(genau)g(einen)g FI(z)1516 1888 y FC(1)1535 1882 y FI(z)1554 1888 y FC(2)1573 1882 y FJ(-W)m(eg)165 1931 y FH(\()p FI(z)200 1937 y FC(1)219 1931 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(z)331 1937 y FC(2)349 1931 y FH(\))15 b FJ(in)e FI(Z)s FJ(.)i(Sei)f(n)o(un)g FI(M)i FG(2)c FI(L)759 1937 y FC(1)778 1931 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))i FJ(gegeb)q(en.)h(F\374hre)g(folgende)f(rekursiv)o(e)h(Konstruk-)165 1981 y(tion)j(durc)o(h:)h FI(a)410 1987 y FD(i)422 1991 y Fs(Z)458 1981 y FH(:=)12 b(0)o FJ(.)18 b(F\374r)h(gegeb)q(enes)i FI(y)867 1987 y FD(j)896 1981 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(Z)s FH(\))19 b FJ(mit)e FI(d)p FH(\()p FI(y)1190 1987 y FD(j)1207 1981 y FI(;)7 b(x)1250 1987 y FD(i)1262 1991 y Fs(Z)1286 1981 y FH(\))12 b(=)g FI(n)p FJ(,)18 b(sei)h FI(a)1500 1987 y FD(i)1532 1981 y FJ(f\374r)g(alle)165 2031 y FI(x)189 2037 y FD(i)214 2031 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(Z)s FH(\))19 b FJ(mit)d FI(d)p FH(\()p FI(x)511 2037 y FD(i)525 2031 y FI(;)7 b(x)568 2037 y FD(i)580 2041 y Fs(Z)604 2031 y FH(\))k FI(<)h(n)19 b FJ(sc)o(hon)f (de\034niert.)h(Zu)g FI(d)p FH(\()p FI(y)1142 2037 y FD(j)1160 2031 y FI(;)7 b(x)1203 2037 y FD(i)1215 2041 y Fs(Z)1239 2031 y FH(\))12 b(=)f FI(n)19 b FJ(geh\366rt)g(genau)f(ein) 165 2081 y FI(y)185 2087 y FD(j)203 2081 y FI(x)227 2087 y FD(i)239 2091 y Fs(Z)263 2081 y FJ(-W)m(eg)f FH(\()p FI(z)408 2087 y FC(1)427 2081 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(z)539 2087 y FD(n)562 2081 y FH(\))17 b FJ(der)i(L\344nge)e FI(n)p FJ(,)h FI(z)871 2087 y FC(1)901 2081 y FH(=)12 b FI(x)969 2087 y FD(i)981 2091 y Fs(Z)1006 2081 y FJ(,)17 b FI(z)1054 2087 y FD(n)1088 2081 y FH(=)12 b FI(y)1152 2087 y FD(j)1170 2081 y FJ(,)17 b FI(z)1218 2087 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)1295 2081 y FH(=)12 b FI(x)1363 2087 y FD(i)1394 2081 y FJ(f\374r)18 b(ein)f FI(i)p FJ(.)h(De\034-)165 2131 y(niere)h FI(b)289 2137 y FD(j)318 2131 y FH(:=)11 b FI(m)409 2137 y FD(i;j)458 2131 y FG(\000)f FI(a)522 2137 y FD(i)535 2131 y FJ(.)19 b(F\374r)g(gegeb)q(enes)h FI(x)872 2137 y FD(i)897 2131 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(Z)s FH(\))19 b FJ(mit)e FI(d)p FH(\()p FI(x)1195 2137 y FD(i)1208 2131 y FI(;)7 b(x)1251 2137 y FD(i)1263 2141 y Fs(Z)1287 2131 y FH(\))12 b(=)f FI(n)p FJ(,)18 b(sei)h FI(b)1496 2137 y FD(j)1532 2131 y FJ(f\374r)g(alle)165 2180 y FI(y)185 2186 y FD(j)214 2180 y FG(2)12 b FI(V)d FH(\()p FI(Z)s FH(\))19 b FJ(mit)e FI(d)p FH(\()p FI(y)508 2186 y FD(j)525 2180 y FI(;)7 b(x)568 2186 y FD(i)580 2190 y Fs(Z)604 2180 y FH(\))12 b FI(<)g(n)18 b FJ(sc)o(hon)h (de\034niert.)g(Zu)g FI(d)p FH(\()p FI(x)1147 2186 y FD(i)1160 2180 y FI(;)7 b(x)1203 2186 y FD(i)1215 2190 y Fs(Z)1239 2180 y FH(\))12 b(=)f FI(n)19 b FJ(geh\366rt)g(genau)f(ein) 165 2230 y FI(x)189 2236 y FD(i)203 2230 y FI(x)227 2236 y FD(i)239 2240 y Fs(Z)263 2230 y FJ(-W)m(eg)f FH(\()p FI(z)408 2236 y FC(1)427 2230 y FI(;)7 b(:)g(:)g(:)t(;)g(z)538 2236 y FD(n)561 2230 y FH(\))17 b FJ(der)h(L\344nge)f FI(n)p FJ(,)g FI(z)868 2236 y FC(1)899 2230 y FH(=)11 b FI(x)966 2236 y FD(i)978 2240 y Fs(Z)1003 2230 y FJ(,)17 b FI(z)1051 2236 y FD(n)1085 2230 y FH(=)12 b FI(x)1153 2236 y FD(i)1167 2230 y FJ(,)k FI(z)1214 2236 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)1291 2230 y FH(=)c FI(y)1355 2236 y FD(j)1390 2230 y FJ(f\374r)17 b(ein)h FI(j)r FJ(.)f(De\034-)165 2280 y(niere)i FI(a)293 2286 y FD(i)318 2280 y FH(:=)12 b FI(m)410 2286 y FD(i;j)458 2280 y FG(\000)e FI(b)518 2286 y FD(j)535 2280 y FJ(.)18 b(Damit)e(sind)i FI(a)812 2286 y FD(i)826 2280 y FI(;)7 b(b)863 2286 y FD(j)898 2280 y FJ(f\374r)18 b(alle)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))18 b FJ(w)o(ohlde\034niert)g (\(da)165 2330 y(die)d(v)o(erbindenden)i(W)m(ege)e(jew)o(eils)h (eindeutig)f(sind\),)g(und)h(es)g(gilt)e FI(m)1281 2336 y FD(i;j)1332 2330 y FH(=)e FI(a)1398 2336 y FD(i)1421 2330 y FH(+)e FI(b)1481 2336 y FD(j)1498 2330 y FJ(,)15 b(denn)h(so)165 2380 y(wurden)f(die)f FI(a)402 2386 y FD(i)416 2380 y FI(;)7 b(b)453 2386 y FD(j)484 2380 y FJ(ja)14 b(gerade)h(de\034niert.)f(Bleibt)h(zu)g(zeigen,)f(da\377)g FH(\()p FI(a)1273 2386 y FD(i)1287 2380 y FH(\))1303 2386 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1352 2390 y Fx(1)1381 2380 y FG(2)e FI(L)1449 2386 y FC(1)1467 2380 y FH(\()p FI(m)1519 2386 y FC(1)1539 2380 y FH(\))i FJ(so)o(wie)165 2430 y FH(\()p FI(b)199 2436 y FD(j)216 2430 y FH(\))232 2436 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)285 2440 y Fx(2)315 2430 y FG(2)d FI(L)382 2436 y FC(1)401 2430 y FH(\()p FI(m)453 2436 y FC(2)472 2430 y FH(\))17 b FJ(gilt,)e(w)o(as)i(ab)q(er)g(klar)f(ist,) g(da)g FH(\()p FI(a)1029 2436 y FD(i)1043 2430 y FH(\))1059 2436 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1108 2440 y Fx(1)1143 2430 y FJ(und)h FH(\()p FI(b)1263 2436 y FD(j)1280 2430 y FH(\))1296 2436 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1349 2440 y Fx(2)1384 2430 y FJ(endlic)o(he)g(F)m(olgen)165 2479 y(sind.)1382 b Fv(\004)165 2613 y FJ(Satz)21 b(2.2.2)e(gilt)g(sc)o(hon)i(dann,)f(w)o (enn)h(n)o(ur)g(eine)g(der)g(Mengen)h FI(I)1240 2619 y FC(1)1258 2613 y FJ(,)f FI(I)1309 2619 y FC(2)1348 2613 y FJ(endlic)o(h)f(ist)h(\(siehe)165 2663 y(Korollar)c(2.2.5\).)g (Die)h(folgenden)g(Beispiele)h(zeigen)g(jedo)q(c)o(h,)g(da\377)f(es,)g (w)o(enn)h FI(I)1465 2669 y FC(1)1484 2663 y FJ(,)f FI(I)1532 2669 y FC(2)1569 2663 y FJ(b)q(eide)165 2713 y(unendlic)o(h)g(sind,)g (v)o(ork)o(omm)o(en)e(k)n(ann,)h(da\377)g(es)i FI(M)k FG(2)c FI(L)1078 2719 y FC(1)1097 2713 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))12 b FG(n)g(F)22 b FJ(gibt,)17 b(ob)o(w)o(ohl)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))17 b FJ(ein)165 2763 y(W)m(ald)d(ist,)g (und)i(zw)o(ar)f(so)o(w)o(ohl)g(f\374r)g FI(m)768 2769 y FC(1)787 2763 y FH(\()p FI(I)821 2769 y FC(1)840 2763 y FH(\))f(=)g FI(m)952 2769 y FC(2)971 2763 y FH(\()p FI(I)1005 2769 y FC(2)1024 2763 y FH(\))g(=)g FG(1)h FJ(\(siehe)h(Beispiel)f(2.2.3)f(\(a\)\))h(als)165 2812 y(auc)o(h)f(f\374r)g FI(m)365 2818 y FC(1)384 2812 y FH(\()p FI(I)418 2818 y FC(1)437 2812 y FH(\))e(=)f FI(m)544 2818 y FC(2)563 2812 y FH(\()p FI(I)597 2818 y FC(2)616 2812 y FH(\))h FI(<)g FG(1)h FJ(\(siehe)i(Beispiel)f(2.2.3)e(\(b\)\).)p eop %%Page: 22 24 22 23 bop 225 50 a FJ(22)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Beispiel)e(2.2.3.)21 b FJ(Die)16 b(Bezeic)o(hn)o(ungen)i(\()p FI(m)949 201 y FC(1)968 195 y FJ(,)e FI(m)1032 201 y FC(2)1051 195 y FJ(,)g FI(a)1101 201 y FD(i)1115 195 y FJ(,)f FI(b)1160 201 y FD(j)1178 195 y FJ(,)g FI(:)7 b(:)g(:)f FJ(\))16 b(seien)h(wie)f(in)g(Satz)h(2.1.15)225 245 y(und)d(Beispiel)g(1.3.5.)225 341 y FK(\(a\))20 b FJ(Betrac)o(h)o(te)f(das)d(Randsystem)g FG(I)j FH(:=)d(\()p Fu(N)o FI(;)7 b Fu(N)m FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))16 b FJ(mit)f FI(r)i FH(=)g FI(s)f FH(=)h(\(1)p FI(;)7 b FH(1)p FI(;)g(:)g(:)g(:)t FH(\))p FJ(,)16 b(das)h(hei\377t)329 391 y FI(m)365 397 y FC(1)384 391 y FH(\()p Fu(N)n FH(\))12 b(=)f FI(m)537 397 y FC(2)557 391 y FH(\()p Fu(N)n FH(\))g(=)h FG(1)p FJ(.)h(De\034niere)783 563 y FI(P)k FH(:=)882 442 y FB(0)882 515 y(B)882 540 y(B)882 565 y(B)882 592 y(@)931 458 y FC(1)p 931 465 17 2 v 931 488 a(2)1014 458 y(1)p 1014 465 V 1014 488 a(2)931 508 y(1)p 931 515 V 931 538 a(2)1097 508 y(1)p 1097 515 V 1097 538 a(2)1014 558 y(1)p 1014 565 V 1014 588 a(2)1170 622 y FJ(.)1186 635 y(.)1202 647 y(.)1216 442 y FB(1)1216 515 y(C)1216 540 y(C)1216 565 y(C)1216 592 y(A)1259 563 y FI(:)329 735 y FJ(Dann)11 b(ist)g FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(und)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FJ(ist)g(ein)g(W)m(ald)f(nac)o(h)h(Lemma)e(2.1.6.)g(De\034niere)j(w)o (eiter)652 982 y FI(M)17 b FH(:=)764 787 y FB(0)764 860 y(B)764 885 y(B)764 910 y(B)764 934 y(B)764 959 y(B)764 984 y(B)764 1009 y(B)764 1034 y(B)764 1059 y(B)764 1086 y(@)811 818 y FH(0)62 b(0)811 868 y(1)145 b(0)894 918 y(0)g(0)979 952 y FC(1)p 979 959 V 979 982 a(2)1143 968 y FH(0)1060 1018 y(0)g(0)1145 1051 y FC(1)p 1145 1058 V 1145 1082 a(4)1301 1116 y FJ(.)1317 1129 y(.)1333 1141 y(.)1347 787 y FB(1)1347 860 y(C)1347 885 y(C)1347 910 y(C)1347 934 y(C)1347 959 y(C)1347 984 y(C)1347 1009 y(C)1347 1034 y(C)1347 1059 y(C)1347 1086 y(A)1390 982 y FI(:)329 1227 y FJ(Dann)13 b(ist)770 1281 y Fy(1)756 1294 y FB(X)747 1382 y FD(i;j)r FC(=1)833 1333 y FG(j)p FI(m)881 1339 y FD(i;j)920 1333 y FG(j)p FI(p)953 1339 y FD(i;j)1003 1333 y FH(=)1060 1281 y Fy(1)1047 1294 y FB(X)1047 1383 y FD(k)q FC(=1)1114 1299 y FB(\000)1138 1317 y FC(1)p 1138 1324 V 1138 1347 a(2)1159 1299 y FB(\001)1178 1308 y FD(k)1210 1333 y FI(<)f FG(1)p FI(;)329 1461 y FJ(also)f(ist)i FI(M)j FG(2)11 b FI(L)590 1467 y FC(1)609 1461 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))q FJ(.)g(Ist)i FI(M)j FG(2)c(F)t FJ(,)f(so)i(gibt)f(es)h FI(a)e FG(2)g FI(L)1184 1467 y FC(1)1203 1461 y FH(\()p FI(m)1255 1467 y FC(1)1275 1461 y FH(\))h FJ(und)g FI(b)g FG(2)f FI(L)1481 1467 y FC(1)1500 1461 y FH(\()p FI(m)1552 1467 y FC(2)1571 1461 y FH(\))p FJ(,)h(so)g(da\377)329 1511 y FI(m)365 1517 y FD(i;j)416 1511 y FH(=)g FI(a)482 1517 y FD(i)505 1511 y FH(+)d FI(b)564 1517 y FD(j)596 1511 y FJ(f\374r)15 b(alle)f FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)893 1517 y FC(1)921 1511 y FG(\002)f FI(I)981 1517 y FC(2)1014 1511 y FJ(mit)j FI(\026)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FI(>)g FH(0)p FJ(.)i(Setzt)i(man)d FI(\013)e FH(:=)g FI(b)1614 1517 y FC(1)1644 1511 y FG(2)g Fu(R)-6 b FJ(,)329 1560 y(so)19 b(folgt)g FI(a)509 1566 y FC(1)539 1560 y FH(=)12 b FG(\000)p FI(\013)p FJ(,)19 b FI(b)691 1566 y FC(2)721 1560 y FH(=)12 b FI(\013)o FJ(,)19 b FI(a)844 1566 y FC(2)874 1560 y FH(=)12 b(1)d FG(\000)h FI(\013)19 b FJ(und)h(so)f(w)o(eiter.)h(Das)f(hei\377t,)g(durc)o(h)i(eine)329 1610 y(Induktion)13 b(ergibt)h(sic)o(h)519 1741 y FI(b)d FH(=)592 1658 y FB(0)592 1732 y(@)628 1741 y FI(\013;)c(\013;)g(\013)g FG(\000)j FH(1)p FI(;)d(\013;)g(\013)g FG(\000)j FH(1)f FG(\000)1034 1725 y FC(1)p 1034 1732 V 1034 1755 a(2)1056 1741 y FI(;)e(:)g(:)g(:)t(;)g(\013;)g(\013)h FG(\000)1290 1689 y FD(n)1270 1702 y FB(X)1272 1790 y FD(j)r FC(=0)1330 1741 y FH(\()1351 1725 y FC(1)p 1352 1732 V 1352 1755 a(2)1373 1741 y FH(\))1389 1724 y FD(j)1407 1741 y FI(;)f(:)g(:)g(:) 1480 1658 y FB(1)1480 1732 y(A)1524 1741 y FI(;)447 1950 y(a)12 b FH(=)525 1879 y FB( )558 1950 y FG(\000)p FI(\013;)7 b FG(\000)p FI(\013)h FH(+)i(1)p FI(;)d FG(\000)p FI(\013;)g FG(\000)p FI(\013)h FH(+)h(1)g(+)1048 1933 y FC(1)p 1048 1940 V 1048 1964 a(2)1069 1950 y FI(;)e(:)g(:)g(:)e(;)i FG(\000)p FI(\013;)g FG(\000)p FI(\013)h FH(+)1368 1898 y FD(n)1349 1910 y FB(X)1352 1999 y FD(i)p FC(=0)1409 1950 y FH(\()1430 1933 y FC(1)p 1430 1940 V 1430 1964 a(2)1451 1950 y FH(\))1467 1932 y FD(i)1481 1950 y FI(;)f(:)g(:)g(:) 1555 1879 y FB(!)1595 1950 y FI(:)329 2074 y FJ(W)m(egen)14 b FI(b)d FG(2)g FI(L)559 2080 y FC(1)578 2074 y FH(\()p FI(m)630 2080 y FC(2)649 2074 y FH(\))j FJ(ist)737 2043 y FB(P)781 2053 y Fy(1)781 2086 y FD(j)r FC(=1)847 2074 y FG(j)p FI(b)877 2080 y FD(j)894 2074 y FG(j)p FI(s)925 2080 y FD(j)954 2074 y FI(<)e FG(1)o FJ(.)i(Daraus)f(folgt)g FI(\013)e FH(=)h(0)i FJ(und)g(damit)743 2147 y Fy(1)730 2159 y FB(X)731 2247 y FD(j)r FC(=1)797 2198 y FG(j)p FI(b)827 2204 y FD(j)844 2198 y FG(j)p FI(s)875 2204 y FD(j)904 2198 y FH(=)961 2147 y Fy(1)947 2159 y FB(X)949 2247 y FD(j)r FC(=1)1014 2198 y FG(j)p FI(b)1044 2204 y FD(j)1061 2198 y FG(j)d(\025)1141 2147 y Fy(1)1128 2159 y FB(X)1129 2247 y FD(j)r FC(=1)1195 2198 y FH(1)g(=)h FG(1)p FI(;)329 2324 y FJ(das)i(hei\377t,)f(die)h(Annahme)f FI(M)j FG(2)11 b(F)18 b FJ(f\374hrt)c(zum)f(Widerspruc)o(h.)225 2414 y FK(\(b\))19 b FJ(Betrac)o(h)o(te)14 b(das)e(Randsystem)f FG(I)j FH(:=)d(\()p Fu(N)o FI(;)c Fu(N)m FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))k FJ(mit)f FI(r)i FH(=)g FI(s)g FH(=)1314 2368 y FB(\020)1354 2397 y FC(1)p 1344 2404 37 2 v 1344 2428 a FD(n)1365 2420 y Fx(2)1395 2414 y FH(+)1485 2397 y FC(1)p 1441 2404 105 2 v 1441 2428 a(\()p FD(n)p FC(+1\))1530 2420 y Fx(2)1551 2368 y FB(\021)1576 2443 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)1642 2414 y FJ(,)f(das)329 2480 y(hei\377t)j FI(m)469 2486 y FC(1)488 2480 y FH(\()p Fu(N)n FH(\))d(=)h FI(m)641 2486 y FC(2)660 2480 y FH(\()p Fu(N)n FH(\))g FI(<)g FG(1)p FJ(.)h(De\034niere)783 2653 y FI(P)k FH(:=)882 2532 y FB(0)882 2605 y(B)882 2630 y(B)882 2655 y(B)882 2681 y(@)929 2563 y FH(1)1014 2547 y FC(1)p 1014 2554 17 2 v 1014 2578 a(4)931 2597 y(1)p 931 2604 V 931 2628 a(4)1097 2597 y(1)p 1097 2604 V 1097 2628 a(9)1014 2647 y(1)p 1014 2654 V 1014 2678 a(9)1170 2712 y FJ(.)1186 2724 y(.)1202 2737 y(.)1216 2532 y FB(1)1216 2605 y(C)1216 2630 y(C)1216 2655 y(C)1216 2681 y(A)1259 2653 y FI(:)329 2825 y FJ(Dann)11 b(ist)g FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(und)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FJ(ist)g(ein)g(W)m(ald)f(nac)o(h)h(Lemma)e(2.1.6.)g(De\034niere)j(w)o (eiter)p eop %%Page: 23 25 23 24 bop 165 50 a Fw(2.2.)12 b(ANWENDUNG)i(DER)f(MASSTH.)h (CHARAKTERISIER)o(UNG)289 b FJ(23)592 434 y FI(M)17 b FH(:=)704 239 y FB(0)704 312 y(B)704 337 y(B)704 361 y(B)704 386 y(B)704 411 y(B)704 436 y(B)704 461 y(B)704 486 y(B)704 511 y(B)704 537 y(@)751 270 y FH(0)62 b(0)751 320 y(1)145 b(0)834 370 y(0)g(0)917 420 y(1)g(0)1000 470 y(0)g(0)1083 519 y(1)1241 568 y FJ(.)1257 580 y(.)1273 593 y(.)1287 239 y FB(1)1287 312 y(C)1287 337 y(C)1287 361 y(C)1287 386 y(C)1287 411 y(C)1287 436 y(C)1287 461 y(C)1287 486 y(C)1287 511 y(C)1287 537 y(A)1330 434 y FI(:)269 681 y FJ(Dann)13 b(ist)722 738 y Fy(1)708 750 y FB(X)699 839 y FD(i;j)r FC(=1)785 790 y FG(j)p FI(m)833 796 y FD(i;j)872 790 y FG(j)p FI(p)905 796 y FD(i;j)955 790 y FI(<)1012 738 y Fy(1)999 750 y FB(X)999 840 y FD(k)q FC(=1)1082 762 y FH(1)p 1071 780 44 2 v 1071 818 a FI(n)1096 806 y FC(2)1131 790 y FI(<)f FG(1)p FI(;)269 920 y FJ(also)22 b(ist)g FI(M)17 b FG(2)11 b FI(L)551 926 y FC(1)570 920 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(.)22 b(W\344re)h FI(M)16 b FG(2)11 b(F)t FJ(,)22 b(so)h(g\344b)q(e)f(es)i(wiederum)d FI(a)12 b FG(2)f FI(L)1467 926 y FC(1)1486 920 y FH(\()p FI(m)1538 926 y FC(1)1557 920 y FH(\))23 b FJ(und)269 970 y FI(b)11 b FG(2)g FI(L)365 976 y FC(1)384 970 y FH(\()p FI(m)436 976 y FC(2)455 970 y FH(\))q FJ(,)17 b(so)h(da\377)98 b FG(8)644 999 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)745 1003 y Fx(1)761 999 y Fy(\002)p FD(I)802 1003 y Fx(2)638 1032 y Fp(mit)9 b FD(\026)p FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p FD(>)p FC(0)835 970 y FI(m)871 976 y FD(i;j)922 970 y FH(=)j FI(a)988 976 y FD(i)1011 970 y FH(+)d FI(b)1070 976 y FD(j)1087 970 y FJ(.)18 b(Mit)f FI(\013)12 b FH(:=)f FI(b)1312 976 y FC(1)1342 970 y FG(2)g Fu(R)h FJ(w\374rde)19 b(folgen)269 1076 y FI(a)291 1082 y FC(1)321 1076 y FH(=)12 b FG(\000)p FI(\013)p FJ(,)j FI(b)469 1082 y FC(2)499 1076 y FH(=)d FI(\013)o FJ(,)j FI(a)618 1082 y FC(2)649 1076 y FH(=)c(1)e FG(\000)h FI(\013)15 b FJ(und)h(so)g(w)o(eiter.)g (Das)f(hei\377t,)g(durc)o(h)h(eine)g(Induktion)269 1126 y(erhielte)e(man)537 1212 y FI(b)e FH(=)f(\()q FI(\013;)c(\013;)g(\013) g FG(\000)i FH(1)p FI(;)e(\013;)g(\013)h FG(\000)h FH(1)g FG(\000)h FH(1)p FI(;)d(:)g(:)g(:)t(;)g(\013;)g(\013)h FG(\000)h FI(n;)e(:)g(:)g(:)e FH(\))i FI(;)461 1335 y(a)k FH(=)h(\()p FG(\000)p FI(\013;)7 b FG(\000)p FI(\013)i FH(+)h(1)p FI(;)d FG(\000)p FI(\013;)g FG(\000)p FI(\013)g FH(+)j(1)f(+)g(1)p FI(;)e(:)g(:)g(:)e(;)i FG(\000)p FI(\013;)g FG(\000)p FI(\013)h FH(+)i FI(n;)d(:)g(:)g(:)t FH(\))g FI(:)269 1421 y FJ(Daraus)13 b(w\374rde)511 1478 y Fy(1)498 1490 y FB(X)501 1579 y FD(i)p FC(=1)565 1530 y FG(j)p FI(a)599 1536 y FD(i)612 1530 y FG(j)p FI(r)643 1536 y FD(i)668 1530 y FG(\025)725 1478 y Fy(1)711 1490 y FB(X)715 1579 y FD(i)p FC(=1)778 1530 y FG(j)p FI(i)c FG(\000)h FI(\013)p FG(j)901 1471 y FB(\022)968 1502 y FH(1)p 936 1520 86 2 v 936 1558 a(\(2)p FI(i)p FH(\))1003 1546 y FC(2)1036 1530 y FH(+)1151 1502 y(1)p 1082 1520 158 2 v 1082 1558 a(\(2)p FI(i)g FH(+)f(1\))1221 1546 y FC(2)1245 1471 y FB(\023)668 1668 y FH(=)716 1640 y(1)p 716 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FI(a)e FG(2)f FI(L)862 1947 y FC(1)881 1941 y FH(\()p FI(m)933 1947 y FC(1)952 1941 y FH(\))p FJ(.)165 2020 y FK(Satz)k(2.2.4.)22 b Fz(Sei)17 b FG(I)h FH(:=)e(\()p FI(I)610 2026 y FC(1)629 2020 y FI(;)7 b(I)666 2026 y FC(2)684 2020 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))17 b Fz(ein)g(R)n(andsystem,)h FH(#)p FI(I)1162 2026 y FC(1)1180 2020 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1252 2026 y FC(2)1286 2020 y FG(\024)16 b FI(!)q Fz(;)i(die)f(End)r(lichkeit)165 2069 y(einer)i(der)f(Mengen)h FI(I)527 2075 y FC(1)546 2069 y FI(;)7 b(I)583 2075 y FC(2)620 2069 y Fz(b)n(eziehungsweise)18 b(der)g(Ma\377e)h FI(m)1150 2075 y FC(1)1169 2069 y FI(;)7 b(m)1224 2075 y FC(2)1261 2069 y Fz(wir)n(d)18 b(nicht)g(l\344nger)g(vor-)165 2119 y(ausgesetzt.)h(Sei)g(wie)n(der)h FI(P)25 b FG(2)19 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(,)g FI(m)843 2125 y FC(1)862 2119 y Fz(,)g FI(m)930 2125 y FC(2)949 2119 y Fz(,)g FI(\026)g FH(:=)g FI(h)1112 2104 y Fy(\000)p FC(1)1157 2119 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))18 b Fz(wie)h(in)g(Satz)h(2.1.15)f(und) 165 2169 y FG(F)c FH(:=)d FI(L)294 2175 y FC(1)313 2169 y FH(\()p FI(m)365 2175 y FC(1)384 2169 y FH(\))d(+)h FI(L)479 2175 y FC(1)498 2169 y FH(\()p FI(m)550 2175 y FC(2)569 2169 y FH(\))p Fz(.)15 b(Dann)h(gilt)p 583 2222 34 2 v 583 2255 a FG(F)f FH(=)d FI(L)700 2261 y FC(1)719 2255 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))43 b FG(,)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b Fz(ist)g(ein)h(W)m(ald.)165 2357 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)13 b(Angenommen)e FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FJ(hat)h(einen)g (Kreis.)h(Dann)e(gibt)g(es)i(eine)g(endlic)o(he)f(Sub-)165 2407 y(matrix)311 2396 y FH(~)302 2407 y FI(P)20 b FJ(v)o(on)15 b FI(P)21 b FJ(und)16 b(ein)f(endlic)o(hes)i(Randsystem)1049 2396 y FH(~)1045 2407 y FG(I)e FH(=)c(\()1147 2396 y(~)1142 2407 y FI(I)1160 2413 y FC(1)1179 2407 y FI(;)1203 2396 y FH(~)1198 2407 y FI(I)1216 2413 y FC(2)1235 2407 y FI(;)d FH(~)-22 b FI(r;)8 b FH(~)-22 b FI(s)p FH(\))12 b FG(\024)f(I)s FJ(,)k(so)h(da\377)f FI(G)p FH(\()1626 2396 y(~)1617 2407 y FI(P)5 b FH(\))165 2456 y FJ(einen)17 b(Kreis)g(hat)f(und)557 2446 y FH(~)548 2456 y FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()684 2446 y(~)680 2456 y FG(I)s FH(\))p FJ(.)16 b(Setze)21 b FH(~)-24 b FI(\026)11 b FH(:=)h FI(h)977 2441 y Fy(\000)p FC(1)1021 2456 y FH(\()1046 2446 y(~)1037 2456 y FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)15 b(W)m(egen)h(Lemma)e (2.2.1)g(und)j(Satz)165 2518 y(2.2.2)11 b(gibt)i(es)411 2507 y FH(~)396 2518 y FI(M)j FG(2)11 b FI(L)519 2524 y FC(1)538 2518 y FH(\()s(~)-24 b FI(\026)p FH(\))10 b FG(n)646 2507 y FH(~)635 2518 y FG(F)15 b FH(=)d FI(L)752 2524 y FC(1)771 2518 y FH(\()s(~)-24 b FI(\026)p FH(\))9 b FG(n)p 867 2474 V 878 2507 a FH(~)867 2518 y FG(F)17 b FJ(\(hierb)q(ei)d(sind)1165 2507 y FH(~)1154 2518 y FG(F)h FH(:=)d FI(L)1283 2524 y FC(1)1302 2518 y FH(\()c(~)-29 b FI(m)1354 2524 y FC(1)1373 2518 y FH(\))9 b(+)h FI(L)1468 2524 y FC(1)1487 2518 y FH(\()d(~)-28 b FI(m)1539 2524 y FC(2)1558 2518 y FH(\))p FJ(,)20 b FH(~)-29 b FI(m)1634 2524 y FC(1)1653 2518 y FJ(,)173 2567 y FH(~)g FI(m)201 2573 y FC(2)234 2567 y FJ(gem\344\377)12 b(Satz)i(2.1.15\).)e (De\034niert)i(man)e(dann)i FI(M)j FH(=)11 b(\()p FI(m)1123 2573 y FD(i;j)1163 2567 y FH(\))1179 2574 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1280 2578 y Fx(1)1295 2574 y Fy(\002)p FD(I)1336 2578 y Fx(2)1368 2567 y FJ(mit)587 2695 y FI(m)623 2701 y FD(i;j)674 2695 y FH(:=)730 2624 y FB(\()771 2667 y FH(~)-29 b FI(m)799 2673 y FD(i;j)894 2667 y FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)1100 2656 y FH(~)1095 2667 y FI(I)1113 2673 y FC(1)1141 2667 y FG(\002)1188 2656 y FH(~)1183 2667 y FI(I)1201 2673 y FC(2)1219 2667 y FI(;)763 2727 y FH(0)110 b FJ(sonst,)165 2826 y(so)14 b(gilt)305 2815 y FH(~)290 2826 y FI(M)i FH(=)c FI(M)5 b Fv(\026)456 2831 y FC(~)452 2838 y FD(I)467 2842 y Fx(1)483 2838 y Fy(\002)513 2831 y FC(~)509 2838 y FD(I)524 2842 y Fx(2)542 2826 y FJ(.)p eop %%Page: 24 26 24 25 bop 225 50 a FJ(24)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y Fz(Behauptung)i(1.)j FI(M)d FG(2)11 b FI(L)631 201 y FC(1)650 195 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))e FG(n)p 746 162 34 2 v 9 w(F)t FJ(.)225 291 y Fz(Beweis.)20 b FJ(W\344re)e FH(\()p FI(M)560 276 y FC(\()p FD(n)p FC(\))608 291 y FH(\))g FJ(eine)g(F)m(olge)f(in)h FI(L)925 297 y FC(1)943 291 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(,)g(die)g(in)f FI(L)1181 297 y FC(1)1200 291 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h FJ(gegen)g FI(M)23 b FJ(k)o(on)o(v)o(ergiert,)17 b(so)225 340 y(b)q(edeutete)f (dies,)e(da\377)662 417 y FH(lim)647 442 y FD(n)p Fy(!1)797 378 y FB(X)741 469 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)842 473 y Fx(1)857 469 y Fy(\002)p FD(I)898 473 y Fx(2)921 417 y FG(j)p FI(m)969 396 y FC(\()p FD(n)p FC(\))969 429 y FD(i;j)1027 417 y FG(\000)9 b FI(m)1104 423 y FD(i;j)1144 417 y FG(j)p FI(p)1177 423 y FD(i;j)1227 417 y FH(=)j(0)p FI(:)225 534 y FJ(Daher)i(h\344tte)g(man)f(auc)o(h)662 604 y FH(lim)647 629 y FD(n)p Fy(!1)797 565 y FB(X)741 661 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)831 654 y FC(~)827 661 y FD(I)842 665 y Fx(1)857 661 y Fy(\002)887 654 y FC(~)883 661 y FD(I)898 665 y Fx(2)921 604 y FG(j)p FI(m)969 583 y FC(\()p FD(n)p FC(\))969 616 y FD(i;j)1027 604 y FG(\000)c FI(m)1104 610 y FD(i;j)1144 604 y FG(j)p FI(p)1177 610 y FD(i;j)1227 604 y FH(=)j(0)p FI(;)225 736 y FJ(und)i(damit)d(w\374rde)567 725 y FH(~)552 736 y FI(M)597 721 y FC(\()p FD(n)p FC(\))657 736 y FH(:=)g FI(M)757 721 y FC(\()p FD(n)p FC(\))805 736 y Fv(\026)826 741 y FC(~)822 748 y FD(I)837 752 y Fx(1)854 748 y Fy(\002)884 741 y FC(~)880 748 y FD(I)895 752 y Fx(2)926 736 y FJ(in)i FI(L)1002 742 y FC(1)1021 736 y FH(\()s(~)-24 b FI(\026)p FH(\))14 b FJ(gegen)1222 725 y FH(~)1207 736 y FI(M)k FJ(k)o(on)o(v)o(ergieren,)c(w)o(as)f(im)f(Wi-)225 803 y(derspruc)o(h)k(zu)486 793 y FH(~)471 803 y FI(M)g FG(2)c FI(L)595 809 y FC(1)613 803 y FH(\()s(~)-24 b FI(\026)q FH(\))9 b FG(n)p 710 760 V 721 793 a FH(~)710 803 y FG(F)18 b FJ(st\374nde.)806 b Fv(N)225 899 y FJ(Damit)12 b(ist)h(\022)s FG(\))p FJ(\020)k(b)q(ewiesen.)225 965 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)i(Angenommen,)d FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))19 b FJ(ist)g(ein)h(W)m(ald.)d(Die)i(Idee)h(ist,)f FI(M)d FG(2)11 b FI(L)1361 971 y FC(1)1380 965 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))20 b FJ(durc)o(h)g(endlic)o(he)225 1015 y(Matrizen)14 b(zu)f(appro)o(ximieren.)e(Hier)i(ist)g(es)h(wieder)g(g\374nstig,)e FI(I)1238 1021 y FC(1)1257 1015 y FI(;)7 b(I)1294 1021 y FC(2)1325 1015 y FJ(abzuz\344hlen,)13 b(das)h(hei\377t,)225 1065 y(ohne)c(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g(Allgemeinheit)e(anzunehmen,)h (da\377)g FI(I)1248 1071 y FC(1)1278 1065 y FH(=)j FI(I)1340 1071 y FC(2)1370 1065 y FH(=)g Fu(N)n FJ(.)d(Dann)g(de\034niere)225 1120 y(f\374r)14 b FI(n)d FG(2)g Fu(N)h FJ(Matrizen)j FI(M)632 1105 y FC(\()p FD(n)p FC(\))692 1120 y FH(=)c(\()p FI(m)787 1099 y FC(\()p FD(n)p FC(\))787 1132 y FD(i;j)837 1120 y FH(\))853 1127 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)954 1131 y Fx(1)969 1127 y Fy(\002)p FD(I)1010 1131 y Fx(2)1042 1120 y FJ(durc)o(h)616 1235 y FI(m)652 1214 y FC(\()p FD(n)p FC(\))652 1247 y FD(i;j)713 1235 y FH(:=)768 1164 y FB(\()802 1207 y FI(m)838 1213 y FD(i;j)960 1207 y FJ(f\374r)j FI(i)e FG(\024)g FI(n)h FJ(und)h FI(j)g FG(\024)e FI(n;)802 1267 y FH(0)137 b FJ(sonst.)225 1349 y(W)m(egen)14 b(Satz)g(2.2.2)e(ist)i FI(M)653 1334 y FC(\()p FD(n)p FC(\))713 1349 y FG(2)d(F)18 b FJ(f\374r)c(alle)f FI(n)e FG(2)g Fu(N)n FJ(.)j(W)m(eiterhin)f(folgt)g(aus)808 1386 y FB(X)752 1477 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)853 1481 y Fx(1)868 1477 y Fy(\002)p FD(I)909 1481 y Fx(2)925 1426 y FG(j)p FI(m)973 1432 y FD(i;j)1012 1426 y FG(j)p FI(p)1045 1432 y FD(i;j)1095 1426 y FI(<)f FG(1)p FI(;)225 1542 y FJ(da\377)579 1613 y FH(lim)564 1638 y FD(n)p Fy(!1)651 1613 y FG(k)p FI(M)717 1596 y FC(\()p FD(n)p FC(\))774 1613 y FG(\000)e FI(M)5 b FG(k)882 1619 y FC(1)912 1613 y FH(=)26 b(lim)955 1638 y FD(n)p Fy(!1)1061 1574 y FB(X)1049 1662 y FD(i;j)r(>n)1139 1613 y FG(j)p FI(m)1187 1619 y FD(i;j)1227 1613 y FG(j)p FI(p)1260 1619 y FD(i;j)1310 1613 y FH(=)11 b(0)p FI(:)225 1733 y FJ(Damit)h(ist)p 411 1700 V 13 w FG(F)k FH(=)c FI(L)529 1739 y FC(1)548 1733 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))i FJ(gezeigt.)938 b Fv(\004)225 1812 y FK(Korollar)14 b(2.2.5.)21 b Fz(Sei)11 b FG(I)j FH(:=)e(\()p FI(I)740 1818 y FC(1)759 1812 y FI(;)7 b(I)796 1818 y FC(2)814 1812 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))j Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(mit)e FH(min)o FG(f)p FH(#)p FI(I)1422 1818 y FC(1)1440 1812 y FI(;)d FH(#)p FI(I)1512 1818 y FC(2)1530 1812 y FG(g)k FI(<)h FG(1)e Fz(und)225 1862 y FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(W)m(eiterhin)g(seien)g FI(\026)d FH(:=)f FI(h)841 1847 y Fy(\000)p FC(1)886 1862 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p Fz(,)14 b FI(m)1014 1868 y FC(1)1033 1862 y Fz(,)h FI(m)1097 1868 y FC(2)1131 1862 y Fz(wie)f(in)h(Satz)g(2.1.15)g (und)759 1933 y FG(F)h FH(:=)11 b FI(L)888 1939 y FC(1)907 1933 y FH(\()p FI(m)959 1939 y FC(1)978 1933 y FH(\))f(+)f FI(L)1073 1939 y FC(1)1092 1933 y FH(\()p FI(m)1144 1939 y FC(2)1163 1933 y FH(\))p FI(:)225 2004 y Fz(Dann)16 b(gilt)643 2074 y FG(F)f FH(=)d FI(L)760 2080 y FC(1)779 2074 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))43 b FG(,)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b Fz(ist)g(ein)h(W)m(ald.)225 2188 y(Beweis.)20 b FG(F)c FH(=)11 b FI(L)500 2194 y FC(1)519 2188 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))618 2160 y FC(\(2)p FD(:)p FC(2)p FD(:)p FC(2\))645 2188 y FG(,)68 b(F)18 b FJ(ist)c(dic)o(h)o(t)f (in)h FI(L)1041 2194 y FC(1)1060 2188 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))1158 2160 y FC(\(2)p FD(:)p FC(2)p FD(:)p FC(4\))1185 2188 y FG(,)68 b FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(ist)h(ein)g(W)m (ald.)54 b Fv(\004)225 2266 y FK(Satz)15 b(2.2.6.)22 b Fz(Sei)d FG(I)j FH(:=)d(\()p FI(I)679 2272 y FC(1)698 2266 y FI(;)7 b(I)735 2272 y FC(2)754 2266 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))18 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)i(mit)1251 2235 y FB(P)1295 2279 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1344 2283 y Fx(1)1369 2266 y FI(r)1388 2272 y FD(i)1413 2266 y FH(=)1457 2235 y FB(P)1501 2279 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1554 2283 y Fx(2)1578 2266 y FI(s)1597 2272 y FD(j)1627 2266 y FI(<)12 b FG(1)o Fz(,)225 2316 y FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(Dann)h(gilt)608 2387 y FI(P)h FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))43 b FG(,)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))41 b Fz(ist)15 b(ein)g(W)m(ald.)225 2482 y(Beweis.)20 b FJ(W)m(egen)14 b(Satz)g(1.4.1)e(und)i(Korollar)f (2.1.16)e(gilt)i FI(P)k FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))j FJ(genau)f(dann,)h(w)o(enn)225 2532 y FG(F)j FJ(in)12 b FI(L)347 2538 y FC(1)366 2532 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h FJ(dic)o(h)o(t)f(liegt,)g(und)h(das)g(ist)f (nac)o(h)h(Satz)g(2.2.4)e(genau)i(dann)g(der)g(F)m(all,)e(w)o(enn)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))225 2582 y FJ(ein)14 b(W)m(ald)e(ist.) 1237 b Fv(\004)225 2678 y FJ(Das)16 b(folgende)g(Beispiel)h(2.2.7)e (zeigt,)h(da\377)g(es)i(im)c(F)m(all)h FI(m)1162 2684 y FC(1)1181 2678 y FH(\()p FI(I)1215 2684 y FC(1)1234 2678 y FH(\))h(=)g FI(m)1350 2684 y FC(2)1369 2678 y FH(\()p FI(I)1403 2684 y FC(2)1422 2678 y FH(\))h(=)f FG(1)g FJ(passieren)225 2727 y(k)n(ann,)8 b(da\377)h FI(G)p FH(\()p FI(P)d FH(\))j FJ(ein)g(W)m(ald)f(ist,)h(ob)o(w)o(ohl)f FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)e(Im)f(Zusammenspiel)g(mit)f(Satz)j(2.2.4)225 2777 y(zeigt)16 b(das)h(dann)f(auc)o(h,)g(da\377)f(sic)o(h)i(Satz)f (1.4.1)e(nic)o(h)o(t)j(auf)e(den)i(F)m(all)d FI(m)1360 2783 y FC(1)1379 2777 y FH(\()p FI(I)1413 2783 y FC(1)1432 2777 y FH(\))e(=)g FI(m)1540 2783 y FC(2)1559 2777 y FH(\()p FI(I)1593 2783 y FC(2)1612 2777 y FH(\))g(=)f FG(1)225 2827 y FJ(v)o(erallgemeinern)i(l\344\377t.)p eop %%Page: 25 27 25 26 bop 165 50 a Fw(2.2.)12 b(ANWENDUNG)i(DER)f(MASSTH.)h (CHARAKTERISIER)o(UNG)289 b FJ(25)165 195 y FK(Beispiel)13 b(2.2.7.)21 b FJ(Betrac)o(h)o(te)15 b(die)f(Dopp)q(eldiagonalma)o(trix) 671 384 y FI(P)j FH(:=)770 263 y FB(0)770 336 y(B)770 361 y(B)770 386 y(B)770 413 y(@)817 295 y FH(1)62 b(1)817 345 y(1)145 b(1)900 395 y(1)1058 443 y FJ(.)1074 456 y(.)1090 468 y(.)1104 263 y FB(1)1104 336 y(C)1104 361 y(C)1104 386 y(C)1104 413 y(A)1147 384 y FI(:)-994 b FJ(\(2.21\))165 576 y(W)m(egen)14 b(Lemma)d(2.1.6)h(ist)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(ein)h(W)m(ald.)e(F\374r)i(das)g (Randsystem)f FG(I)h FH(:=)e(\()p Fu(N)n FI(;)7 b Fu(N)m FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(mit)757 679 y FI(r)f FH(=)g FI(s)g FH(=)g(\(2)p FI(;)7 b FH(2)p FI(;)g(:)g(:)g(:)t FH(\))165 781 y FJ(ist)14 b FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)j(Jedo)q(c)o(h)g(ist)g FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(,)i(denn)i(mit)554 1023 y FI(E)e FH(:=)659 1006 y FC(1)p 659 1013 17 2 v 659 1037 a(2)687 852 y FB(0)687 925 y(B)687 950 y(B)687 975 y(B)687 1000 y(B)687 1025 y(B)687 1050 y(B)687 1075 y(B)687 1101 y(@)740 884 y FH(1)57 b FG(\000)p FH(1)723 934 y FG(\000)p FH(1)153 b(1)834 984 y(1)f FG(\000)p FH(1)912 1033 y FG(\000)p FH(1)147 b(1)1023 1083 y(1)1187 1132 y FJ(.)1203 1144 y(.)1219 1157 y(.)1233 852 y FB(1)1233 925 y(C)1233 950 y(C)1233 975 y(C)1233 1000 y(C)1233 1025 y(C)1233 1050 y(C)1233 1075 y(C)1233 1101 y(A)165 1023 y FJ(\(2.22\))165 1261 y(gilt)671 1364 y FI(P)17 b FH(=)764 1348 y FC(1)p 764 1355 V 764 1379 a(2)785 1364 y FH(\()p FI(P)e FH(+)9 b FI(E)r FH(\))h(+)989 1348 y FC(1)p 989 1355 V 989 1379 a(2)1011 1364 y FH(\()p FI(P)15 b FG(\000)9 b FI(E)r FH(\))165 1467 y FJ(und)14 b FI(P)h FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(2)d(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)165 1594 y(Eine)g(w)o(eitere)h (An)o(w)o(endung)f(v)o(on)f(Satz)h(1.4.1)e(liefert)i(der)h(folgende)e (Satz)h(2.2.8.)e(Die)h(folgenden)165 1644 y(Ergebnisse)15 b(dieses)g(Absc)o(hnitts)g(stammen)d(wiederum)h(v)o(on)h FE(Lindenstra)o(uss)h FJ(\(siehe)f([9]\))o(.)165 1739 y FK(Satz)h(2.2.8.)22 b Fz(Sei)17 b FG(I)j FH(:=)d(\()p FI(I)613 1745 y FC(1)632 1739 y FI(;)7 b(I)669 1745 y FC(2)687 1739 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))17 b Fz(ein)h(end)r(liches)g (R)n(andsystem,)g FI(P)k FG(2)17 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(,)h FI(m)1548 1745 y FC(1)1567 1739 y Fz(,)f FI(m)1633 1745 y FC(2)1652 1739 y Fz(,)165 1788 y FI(\026)12 b FH(:=)f FI(h)281 1773 y Fy(\000)p FC(1)325 1788 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))15 b Fz(wie)f(in)h(Satz)g(2.1.15,)g FG(F)h FH(:=)11 b FI(L)887 1794 y FC(1)906 1788 y FH(\()p FI(m)958 1794 y FC(1)977 1788 y FH(\))e(+)h FI(L)1072 1794 y FC(1)1091 1788 y FH(\()p FI(m)1143 1794 y FC(2)1162 1788 y FH(\))p Fz(.)15 b(Dann)h(gilt)335 1891 y FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h FG(,)30 b(8)634 1918 y FD(k)q Fy(2)p Fl(N)745 1891 y FG(8)707 1918 y FD(A)732 1922 y Fx(1)748 1918 y Fy(\022)p FD(I)789 1922 y Fx(1)854 1891 y FG(8)817 1918 y FD(A)842 1922 y Fx(2)858 1918 y Fy(\022)p FD(I)899 1922 y Fx(2)926 1891 y FH(\(#)p FI(A)1008 1897 y FC(1)1038 1891 y FH(=)12 b(#)p FI(A)1148 1897 y FC(2)1178 1891 y FH(=)g FI(k)55 b FG(\))942 1979 y FH(#)p FG(f)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(A)1164 1985 y FC(1)1192 1979 y FG(\002)f FI(A)1265 1985 y FC(2)1295 1979 y FH(:)h FI(p)1339 1985 y FD(i;j)1389 1979 y FI(>)h FH(0)p FG(g)f FI(<)h FH(2)p FI(k)q FH(\))p FI(:)165 1935 y FJ(\(2.23\))165 2133 y Fz(Beweis.)20 b FJ(F\374r)14 b FI(k)f FH(=)f(1)h FJ(ist)h FH(#)p FI(A)640 2139 y FC(1)670 2133 y FH(=)e(#)p FI(A)780 2139 y FC(2)810 2133 y FH(=)f(1)p FJ(,)j(das)g(hei\377t)567 2236 y FH(#)p FG(f)p FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))k FG(2)h FI(A)789 2242 y FC(1)817 2236 y FG(\002)d FI(A)889 2242 y FC(2)919 2236 y FH(:)i FI(p)963 2242 y FD(i;j)1014 2236 y FI(>)h FH(0)p FG(g)f(\024)h FH(1)f FI(<)h FH(2)p FI(:)165 2339 y FJ(F\374r)18 b FI(k)12 b(>)g FH(min)n(\(#)p FI(I)465 2345 y FC(1)484 2339 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)556 2345 y FC(2)574 2339 y FH(\))p FJ(,)17 b(k)n(ann)g FH(#)p FI(A)789 2345 y FC(1)819 2339 y FH(=)12 b(#)p FI(A)929 2345 y FC(2)959 2339 y FH(=)f FI(k)19 b FJ(nic)o(h)o(t)e(erf\374llt)g (w)o(erden.)i(Demnac)o(h)d(ist)165 2388 y(eigen)o(tlic)o(h)d(n)o(ur)h (zu)h(zeigen:)165 2438 y FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))j FJ(ist)g(\344quiv)n(alen)o(t)e(zu) 504 2541 y FG(8)368 2569 y FC(1)p FD()h FH(0)p FG(g)f FI(<)h FH(2)p FI(k)q FH(\))p FI(:)165 2587 y FJ(\(2.24\))165 2736 y(F\374r)20 b FH(min)n(\(#)p FI(I)389 2742 y FC(1)408 2736 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)480 2742 y FC(2)498 2736 y FH(\))22 b(=)g(1)p FJ(,)d(b)q(esteh)o(t)j FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))e FJ(n)o(ur)g(aus)g(einem)f(Elemen)o(t,)f (w)o(elc)o(hes)j(auc)o(h)f(in)165 2785 y(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))15 b FJ(liegt,)f(so)h(da\377)f(die)h (Aussage)h(des)g(Satzes)g(trivialerw)o(eise)f(ric)o(h)o(tig)f(ist.)h (Ab)g(jetzt)h(sei)165 2835 y(daher)e FH(min)o(\(#)p FI(I)419 2841 y FC(1)437 2835 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)509 2841 y FC(2)527 2835 y FH(\))12 b FG(\025)g FH(2)p FJ(.)p eop %%Page: 26 28 26 27 bop 225 50 a FJ(26)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)e(Angenommen,)f(es)i(gibt)g FI(A)765 201 y FC(1)795 195 y FG(\022)e FI(I)857 201 y FC(1)876 195 y FI(;)7 b(A)926 201 y FC(2)955 195 y FG(\022)12 b FI(I)1017 201 y FC(2)1050 195 y FJ(mit)g FH(#)p FI(A)1192 201 y FC(1)1222 195 y FH(=)g(#)p FI(A)1332 201 y FC(2)1362 195 y FH(=)f FI(k)k FJ(und)757 286 y FH(1)c FI(<)h(k)h FG(\024)f FH(min)n(\(#)p FI(I)1050 292 y FC(1)1068 286 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1140 292 y FC(2)1158 286 y FH(\))p FI(;)225 376 y FJ(so)19 b(da\377)g FI(p)386 382 y FD(i;j)445 376 y FI(>)h FH(0)f FJ(f\374r)f(mindestens)h FH(2)p FI(k)h FJ(v)o(ersc)o(hiedene)h(Elemen)o(te)e(v)o(on)f FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))21 b FG(2)e FI(A)1587 382 y FC(1)1619 376 y FG(\002)13 b FI(A)1695 382 y FC(2)1713 376 y FJ(.)225 426 y(Dann)i(w)o(\344hle)f(eine)i(Menge)f FI(I)694 432 y Fy(6)p FC(=0)750 426 y FG(\022)d FI(A)825 432 y FC(1)853 426 y FG(\002)d FI(A)925 432 y FC(2)959 426 y FJ(mit)k FH(#)p FI(I)1089 432 y Fy(6)p FC(=0)1145 426 y FH(=)f(2)p FI(k)j FJ(und)73 b FG(8)1331 455 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1432 459 y Ft(6)p Fx(=0)1481 426 y FI(p)1502 432 y FD(i;j)1552 426 y FI(>)12 b FH(0)p FJ(.)i(Man)225 500 y(b)q(etrac)o(h)o(te)h(das)f(lineare)g(Gleic)o(h)o (ungssystem)854 591 y FI(a)876 597 y FD(i)899 591 y FH(+)c FI(b)959 597 y FD(j)988 591 y FH(=)i FI(n)1057 597 y FD(i;j)225 591 y FJ(\(2.25\))225 681 y(in)18 b(den)h FH(2)p FI(k)g FJ(Un)o(b)q(ek)n(ann)o(ten)g FI(a)702 687 y FD(i)716 681 y FJ(,)e FI(b)763 687 y FD(j)799 681 y FJ(mit)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1033 687 y Fy(6)p FC(=0)1096 681 y FJ(und)18 b(b)q(eliebigen)g(festen)i FI(n)1531 687 y FD(i;j)1581 681 y FG(2)12 b Fu(R)-6 b FJ(.)17 b(Es)225 731 y(b)q(esteh)o(t)h(also)f(aus)g FH(2)p FI(k)g FJ(Gleic)o(h)o(ungen,)f(die)h(zu)g(den)h(gegeb)q(enen)g FH(2)p FI(k)g FJ(Elemen)o(ten)e FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g FI(I)1681 737 y Fy(6)p FC(=0)225 781 y FJ(mit)h FI(p)323 787 y FD(i;j)373 781 y FI(>)f FH(0)i FJ(geh\366ren.)h(Das)f(zu)h(\(2.25\))f(geh\366rende)i(homogene)d (lineare)i(Gleic)o(h)o(ungssystem)225 831 y(hat)h(die)h(nic)o(h)o (ttriviale)e(L\366sung)i FI(a)f FH(=)g(\(1)p FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i FH(1\))p FJ(,)15 b FI(b)c FH(=)h(\()p FG(\000)p FH(1)p FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i FG(\000)p FH(1\))p FJ(,)16 b(das)g(hei\377t,)g (\(2.25\))g(ist)225 880 y(nic)o(h)o(t)e(global)f(l\366sbar.)g(Es)i (gibt)e(also)h(ein)g FI(N)j FG(2)12 b FI(L)999 886 y FC(1)1018 880 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))i FJ(\(v)o(ergleic)o(he)h(dazu) f(\(1.10\)\),)f(so)h(da\377)g(f\374r)225 930 y(die)g(gegeb)q(enen)h FH(2)p FI(k)g FJ(Elemen)o(te)e(mit)f FI(p)827 936 y FD(i;j)878 930 y FI(>)g FH(0)854 1021 y FI(a)876 1027 y FD(i)899 1021 y FH(+)e FI(b)959 1027 y FD(j)988 1021 y FH(=)i FI(n)1057 1027 y FD(i;j)225 1021 y FJ(\(2.26\))225 1111 y(nic)o(h)o(t)e(l\366sbar)g(ist.)g(Also)h(ist)f FI(N)21 b(=)-25 b FG(2)11 b(F)t FJ(,)f(das)g(hei\377t)h FI(L)999 1117 y FC(1)1017 1111 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))h FG(6)p FH(=)g FG(F)t FJ(.)e(W)m(egen)g(Lemma)e(2.2.1)h(ist)h(also)g FG(F)225 1161 y FJ(nic)o(h)o(t)j(dic)o(h)o(t)f(in)h FI(L)506 1167 y FC(1)524 1161 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))p FJ(,)g(das)g (hei\377t,)f(nac)o(h)h(Korollar)f(2.2.5)f(und)i(Satz)g(2.2.6)e(ist)i FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)225 1231 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)k(V)m (ollst\344ndige)f(Induktion)i(\374b)q(er)g FI(p)10 b FH(+)h FI(q)17 b FJ(mit)d FI(p)d FH(:=)g(#)p FI(I)1184 1237 y FC(1)1203 1231 y FJ(,)k FI(q)e FH(:=)e(#)p FI(I)1370 1237 y FC(2)1388 1231 y FJ(.)16 b(F\374r)g FI(p)9 b FH(+)g FI(q)k FH(=)f(2)j FJ(ist)225 1281 y(nic)o(h)o(ts)10 b(zu)h(zeigen.)f (Es)h(sei)f(ohne)g(Besc)o(hr\344nkung)h(der)g(Allgemeinheit)d FI(p)k FG(\025)g FI(q)q FJ(.)d(Nun)h(gibt)g(es)h(eine)225 1331 y(Zeile)h(mit)e(h\366)q(c)o(hstens)k(einem)d(p)q(ositiv)o(en)h (Elemen)o(t,)f(da\377)g(hei\377t,)h(es)g(gibt)g FH(\()p FI(i)1400 1337 y FC(0)1419 1331 y FI(;)7 b(j)1455 1337 y FC(0)1473 1331 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1558 1337 y FC(1)1586 1331 y FG(\002)f FI(I)1646 1337 y FC(2)1664 1331 y FJ(,)i(so)225 1381 y(da\377)h FI(p)324 1387 y FD(i)336 1391 y Fx(0)352 1387 y FD(;j)391 1381 y FH(=)f(0)i FJ(f\374r)f(alle)g FI(j)h FG(6)p FH(=)e FI(j)703 1387 y FC(0)736 1381 y FJ(\(ansonsten)j(w)o(\344re)f(die)g(V)m(oraussetzung) h(f\374r)799 1471 y FI(k)d FH(=)g(min)n(\(#)p FI(I)1015 1477 y FC(1)1034 1471 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1106 1477 y FC(2)1124 1471 y FH(\))p FI(:)225 1562 y FJ(nic)o(h)o(t)14 b(erf\374llt\).)f(Setze)456 1679 y FH(~)451 1690 y FI(I)469 1696 y FC(1)499 1690 y FH(:=)e FI(I)572 1696 y FC(1)600 1690 y FG(n)e(f)p FI(i)665 1696 y FC(0)684 1690 y FG(g)p FI(;)20 b FH(~)-23 b FI(r)12 b FH(:=)g FI(r)q Fv(\026)863 1695 y FC(~)859 1702 y FD(I)874 1706 y Fx(1)892 1690 y FI(;)19 b FH(~)-22 b FI(s)941 1696 y FD(j)970 1690 y FH(:=)1026 1619 y FB(\()1059 1662 y FI(s)1078 1668 y FD(j)1105 1662 y FG(\000)10 b FI(p)1168 1668 y FD(i)1180 1672 y Fx(0)1196 1668 y FD(;j)1220 1672 y Fx(0)1279 1662 y FJ(f\374r)41 b FI(j)14 b FH(=)e FI(j)1464 1668 y FC(0)1483 1662 y FI(;)1059 1721 y(s)1078 1727 y FD(j)1279 1721 y FJ(sonst.)225 1825 y(Setze)343 1814 y FH(~)333 1825 y FI(P)17 b FH(:=)12 b FI(P)6 b Fv(\026)487 1830 y FC(~)483 1837 y FD(I)498 1841 y Fx(1)513 1837 y Fy(\002)p FD(I)554 1841 y Fx(2)586 1825 y FJ(und)674 1814 y FH(~)669 1825 y FI(I)15 b FH(:=)c(\()778 1814 y(~)773 1825 y FI(I)791 1831 y FC(1)810 1825 y FI(;)c(I)847 1831 y FC(2)865 1825 y FI(;)i FH(~)-23 b FI(r)q(;)8 b FH(~)-22 b FI(s)p FH(\))p FJ(.)13 b(Dann)g(ist)1163 1814 y FH(~)1153 1825 y FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()1289 1814 y(~)1285 1825 y FG(I)s FH(\))j FJ(\(w)o(egen)h(der)f(W)m(ahl)e(v)o(on)225 1884 y FH(\()p FI(i)255 1890 y FC(0)274 1884 y FI(;)7 b(j)310 1890 y FC(0)328 1884 y FH(\))j FJ(und)g(der)h(De\034nition)e(v)o(on)h FH(~)-22 b FI(s)p FJ(\),)10 b(und)909 1873 y FH(~)900 1884 y FI(P)15 b FJ(erf\374llt)9 b(die)h(Bedingung)g(der)g(V)m (oraussetzung)h(\(da)225 1934 y FI(P)17 b FJ(sie)c(erf\374llt\).)e(Nac) o(h)h(Induktionsannahme)e(ist)i(daher)1129 1923 y FH(~)1120 1934 y FI(P)17 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1300 1923 y(~)1296 1934 y FG(I)s FH(\)\))q FJ(.)g(Nun)h(sei)g FI(M)17 b FG(2)11 b FI(L)1649 1940 y FC(1)1668 1934 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))225 1984 y FJ(gegeb)q(en.)j(Sei)476 1973 y FH(~)461 1984 y FI(M)i FH(:=)11 b FI(M)5 b Fv(\026)638 1989 y FC(~)634 1996 y FD(I)649 2000 y Fx(1)665 1996 y Fy(\002)p FD(I)706 2000 y Fx(2)724 1984 y FJ(.)13 b(Da)825 1973 y FH(~)815 1984 y FI(P)k FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()996 1973 y(~)992 1984 y FG(I)s FH(\)\))j FJ(ist,)f(folgt)f(aus)i(Korollar)e(2.2.5)g(und)i(Satz)225 2043 y(2.2.6,)g(da\377)434 2033 y FH(~)419 2043 y FI(M)i FG(2)525 2033 y FH(~)514 2043 y FG(F)t FJ(.)g(Also)g(gibt)f(es)j FH(~)-22 b FI(a)12 b FG(2)f FI(L)911 2049 y FC(1)930 2043 y FH(\()d(~)-29 b FI(m)982 2049 y FC(1)1001 2043 y FH(\))16 b FJ(und)1117 2032 y FH(~)1118 2043 y FI(b)c FG(2)f FI(L)1215 2049 y FC(1)1234 2043 y FH(\()d(~)-29 b FI(m)1286 2049 y FC(2)1305 2043 y FH(\))16 b FJ(\(hierb)q(ei)h(seien) 1608 2033 y FH(~)1597 2043 y FG(F)t FJ(,)23 b FH(~)-29 b FI(m)1694 2049 y FC(1)1713 2043 y FJ(,)233 2093 y FH(~)g FI(m)261 2099 y FC(2)294 2093 y FJ(nac)o(h)14 b(Satz)g(2.1.15)e(analog) g(zu)j FG(F)t FJ(,)e FI(m)886 2099 y FC(1)905 2093 y FJ(,)h FI(m)967 2099 y FC(2)999 2093 y FJ(de\034niert\))h(mit)826 2183 y FG(8)732 2217 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)5 b FC(supp)q(\()911 2210 y(~)904 2217 y FD(P)g FC(\))962 2183 y FH(~)-29 b FI(m)990 2189 y FD(i;j)1041 2183 y FH(=)12 b(~)-21 b FI(a)1107 2189 y FD(i)1130 2183 y FH(+)1170 2173 y(~)1171 2183 y FI(b)1189 2189 y FD(j)1207 2183 y FI(:)225 2302 y FJ(Nun)14 b(de\034niere)h FI(a;)7 b(b)13 b FJ(durc)o(h)601 2428 y FI(a)623 2434 y FD(i)648 2428 y FH(:=)704 2357 y FB(\()737 2400 y FI(m)773 2406 y FD(i)785 2410 y Fx(0)802 2406 y FD(;j)826 2410 y Fx(0)853 2400 y FG(\000)893 2389 y FH(~)894 2400 y FI(b)912 2406 y FD(j)926 2410 y Fx(0)985 2400 y FJ(f\374r)f FI(i)g FH(=)g FI(i)1133 2406 y FC(0)1152 2400 y FI(;)738 2459 y FH(~)-22 b FI(a)759 2465 y FD(i)985 2459 y FJ(sonst)1175 2428 y FI(;)48 b(b)11 b FH(:=)1318 2417 y(~)1320 2428 y FI(b)o(:)225 2556 y FJ(Dann)i(gilt)g FI(a)f FG(2)f FI(L)512 2562 y FC(1)531 2556 y FH(\()p FI(m)583 2562 y FC(1)602 2556 y FH(\))p FI(;)18 b(b)11 b FG(2)h FI(L)745 2562 y FC(1)763 2556 y FH(\()p FI(m)815 2562 y FC(2)835 2556 y FH(\))p FJ(,)h(so)o(wie)826 2646 y FG(8)732 2675 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)5 b FC(supp)q(\()p FD(P)t FC(\))954 2646 y FI(m)990 2652 y FD(i;j)1041 2646 y FH(=)12 b FI(a)1107 2652 y FD(i)1130 2646 y FH(+)d FI(b)1189 2652 y FD(j)1207 2646 y FI(:)225 2763 y FJ(Daher)15 b(ist)h FI(M)g FG(2)11 b(F)t FJ(,)k(und)g(da)g FI(M)20 b FJ(b)q(eliebig)15 b(w)o(ar,)g(ist)g FG(F)h FH(=)11 b FI(L)1193 2769 y FC(1)1212 2763 y FH(\()p FI(\026)p FH(\))q FJ(.)j(Korollar)h(2.2.5)e(und)j(Satz)225 2812 y(2.2.6)c(liefern)i(n)o(un)g FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)915 b Fv(\004)p eop %%Page: 27 29 27 28 bop 165 50 a Fw(2.3.)26 b(WURZELB\304)o(UME)15 b(UND)e FI(\017)p Fw(-DOPPELB\304)o(UME)544 b FJ(27)165 195 y FK(Korollar)14 b(2.2.9.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)684 201 y FC(1)703 195 y FI(;)7 b(I)740 201 y FC(2)758 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(end)r (liches)g(R)n(andsystem.)h(Ist)e FI(P)j FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(,)165 245 y(so)j(hat)g FI(P)20 b Fz(mindestens)c(eine)f(Linie)f(mit)h(h\366)n (chstens)g(einem)g(p)n(ositiven)g(Element.)165 389 y(Beweis.)20 b FJ(H\344tte)d(jede)g(Linie)e(v)o(on)h FI(P)22 b FJ(mindestens)16 b(zw)o(ei)g(p)q(ositiv)o(e)g(Elemen)o(te,)f(so)i(h\344tte)f(jede)165 438 y(quadratisc)o(he)h(Submatrix)e(v)o(on)h FI(P)22 b FJ(der)17 b(Dimension)d FI(k)j FH(=)f(min)o FG(f)p FH(#)p FI(I)1259 444 y FC(1)1277 438 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1349 444 y FC(2)1367 438 y FG(g)16 b FJ(mindestens)g FH(2)p FI(k)165 488 y FJ(p)q(ositiv)o(e)e(Elemen)o(te,)f(das)h (hei\377t,)f(w)o(egen)h(Satz)h(2.2.8)d(w)o(\344re)i FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)273 b Fv(\004)165 602 y FK(Satz)15 b(2.2.10.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)623 608 y FC(1)642 602 y FI(;)c(I)679 608 y FC(2)697 602 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(end)r(liches)g(R)n(andsystem)h(mit)727 702 y FH(#)p FI(I)780 708 y FC(1)810 702 y FH(=)c(#)p FI(I)907 708 y FC(2)937 702 y FH(=)g FI(n)f(<)h FG(1)165 803 y Fz(sowie)i FI(r)f FH(=)f FI(s)g FH(=)f(\(1)p FI(;)c(:)g(:)g(:)e (;)i FH(1\))p Fz(.)14 b(Dann)i(ist)e FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)f FG(M)1050 809 y FD(p)1070 803 y FH(\()p FI(I)1104 809 y FC(1)1123 803 y FI(;)c(I)1160 809 y FC(2)1178 803 y FH(\))p Fz(.)165 946 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\023)p FJ(\020)14 b(folgt)9 b(sofort,)h(da)g FG(f)p FH(0)p FI(;)d FH(1)p FG(g)h FJ(die)j(Menge)f(der)h (Extremalpunkte)f(v)o(om)e(In)o(terv)n(al)i FH([0)p FI(;)d FH(1])165 996 y FJ(ist.)165 1046 y(\022)s FG(\022)p FJ(\020)s(:)15 b(V)m(ollst\344ndige)f(Induktion)g(nac)o(h)h FI(n)p FJ(.)f(F\374r)h FI(n)e FH(=)h(1)g FJ(ist)h(nic)o(h)o(ts)g(zu)g(zeigen.)g(Sei)g(n)o(un)g FI(n)e(>)g FH(1)165 1096 y FJ(und)21 b FI(P)28 b FG(2)23 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)e(W)m(egen)g (Korollar)e(2.2.9)g(hat)i FI(P)26 b FJ(eine)21 b(Linie,)f(die)h(n)o(ur) g(genau)g(eine)165 1145 y(Eins)d(en)o(th\344lt.)f(Also)g(gibt)g(es)h (je)g(eine)g(Zeile)f(und)h(eine)g(Spalte,)f(die)h(genau)f(eine)h(Eins)g (en)o(t-)165 1195 y(halten.)g(Streic)o(h)o(t)i(man)d(in)h FI(P)24 b FJ(diese)19 b(Zeile)g(und)g(Spalte,)f(so)h(b)q(ek)o(omm)o(t)d (man)h(eine)i(Matrix)174 1235 y FH(~)165 1245 y FI(P)e FG(2)11 b(D)q FH(\()301 1235 y(~)297 1245 y FG(I)s FH(\))p FJ(,)19 b(w)o(ob)q(ei)497 1235 y FH(~)494 1245 y FG(I)14 b FH(:=)d(\()607 1235 y(~)602 1245 y FI(I)620 1251 y FC(1)639 1245 y FI(;)663 1235 y FH(~)658 1245 y FI(I)676 1251 y FC(2)695 1245 y FI(;)d FH(~)-22 b FI(r;)8 b FH(~)-22 b FI(s)p FH(\))19 b FJ(und)900 1235 y FH(~)895 1245 y FI(I)913 1251 y FC(1)932 1245 y FJ(,)968 1235 y FH(~)963 1245 y FI(I)981 1251 y FC(2)1000 1245 y FJ(,)i FH(~)-23 b FI(r)q FJ(,)21 b FH(~)-23 b FI(s)20 b FJ(jew)o(eils)f(eine)h(um)f (Eins)g(kleinere)165 1295 y(Kardinalit\344t)c(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise) k(L\344nge)d(hab)q(en)i(als)e FI(I)1047 1301 y FC(1)1066 1295 y FJ(,)g FI(I)1112 1301 y FC(2)1131 1295 y FJ(,)g FI(r)q FJ(,)g FI(s)p FJ(.)1264 1284 y FH(~)1255 1295 y FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1435 1284 y(~)1431 1295 y FG(I)s FH(\)\))p FJ(:)17 b(G\344b)q(e)f(es)165 1345 y FH(0)11 b FI(<)h(\013)f(<)h FH(1)p FJ(,)382 1334 y FH(~)373 1345 y FI(P)17 b FG(6)p FH(=)470 1334 y(~)460 1345 y FI(P)487 1351 y FC(1)506 1345 y FI(;)533 1334 y FH(~)525 1345 y FI(P)552 1351 y FC(2)581 1345 y FG(2)11 b(D)q FH(\()673 1334 y(~)669 1345 y FG(I)s FH(\))17 b FJ(mit)817 1334 y FH(~)808 1345 y FI(P)g FH(=)12 b FI(\013)932 1334 y FH(~)923 1345 y FI(P)950 1351 y FC(1)977 1345 y FH(+)d(\(1)g FG(\000)h FI(\013)p FH(\))1158 1334 y(~)1149 1345 y FI(P)1176 1351 y FC(2)1194 1345 y FJ(,)17 b(so)g(k)o(\366nn)o (te)g(man)f(die)h(in)g FI(P)165 1395 y FJ(gestric)o(hene)e(Zeile)f(und) g(Spalte)f(in)743 1384 y FH(~)734 1395 y FI(P)761 1401 y FC(1)779 1395 y FI(;)807 1384 y FH(~)798 1395 y FI(P)825 1401 y FC(2)856 1395 y FJ(einf\374gen)h(und)f(erhielte)i FI(P)i FG(6)p FH(=)11 b FI(P)1365 1401 y FC(1)1384 1395 y FI(;)c(P)1430 1401 y FC(2)1459 1395 y FG(2)k(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))j FJ(mit)165 1444 y FI(P)j FH(=)12 b FI(\013P)307 1450 y FC(1)334 1444 y FH(+)d(\(1)h FG(\000)f FI(\013)p FH(\))p FI(P)533 1450 y FC(2)551 1444 y FJ(.)h(Aus)663 1434 y FH(~)654 1444 y FI(P)17 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()834 1434 y(~)830 1444 y FG(I)s FH(\)\))f FJ(folgt)f(mit)g(der)i(Induktionsv)o(oraussetzung,)f(da\377)174 1484 y FH(~)165 1494 y FI(P)17 b FG(2)11 b(M)298 1500 y FD(p)317 1494 y FH(\()338 1484 y(~)333 1494 y FI(I)351 1500 y FC(1)370 1494 y FI(;)394 1484 y FH(~)389 1494 y FI(I)407 1500 y FC(2)426 1494 y FH(\))i FJ(und)i(daher)f FI(P)j FG(2)11 b(M)787 1500 y FD(p)806 1494 y FH(\()p FI(I)840 1500 y FC(1)859 1494 y FI(;)c(I)896 1500 y FC(2)914 1494 y FH(\))q FJ(.)690 b Fv(\004)165 1638 y FJ(Satz)14 b(2.2.10)e(wurde)j(zuerst)g(v)o(on)f FE(Birkhoff)h FJ(b)q(ewiesen)g (\(siehe)g([1)o(]\).)165 1824 y FA(2.3)66 b(W)-5 b(urzelb\344um)o(e)19 b(und)i Fk(\017)p FA(-Dopp)r(elb\344u)o(me)165 1948 y FJ(Die)12 b(Mengen)i(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))f FJ(und)g(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)f(I)s FH(\)\))h FJ(lassen)g(sic)o(h)g(ohne)g(R\374c)o(kgri\033)g(auf)f(die)h (Ma\377theorie)165 1998 y(und)j(Satz)h(1.4.1)d(durc)o(h)j(Eigensc)o (haften)g(v)o(on)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))15 b FJ(c)o(harakterisieren.)i(Der)g(folgende)f(Satz)165 2048 y(2.4.3)e(stamm)o(t)f(v)o(on)i FE(Grz\241\261lewicz)g FJ(\(siehe)i([4)o(]\))f(und)f(stellt)h(eine)g(V)m(erallgemeinerung)e(v) o(on)165 2098 y(Satz)j(2.2.6)e(dar.)h(Dazu)g(m)o(\374ssen)g(ab)q(er)h (zun\344c)o(hst)h(einige)e(tec)o(hnisc)o(he)i(Hilfsmittel)c(b)q (ereitge-)165 2147 y(stellt)g(w)o(erden,)g(w)o(as)g(in)g(diesem)f (Kapitel)g(gesc)o(hehen)j(soll.)165 2239 y FK(De\034nitio)o(n)d(2.3.1.) 21 b FJ(Ein)16 b Fz(W)m(urzelb)n(aum)i FJ(ist)e(ein)g(T)m(rip)q(el)g FI(T)i FH(=)11 b(\()p FI(V)r(;)c(E)r(;)g(q)q FH(\))p FJ(,)16 b(so)g(da\377)g FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))17 b FJ(ein)165 2289 y(Baum)j(ist)i(und)f FI(q)k FG(2)f FI(V)31 b FJ(\(im)19 b(F)m(all,)h(da\377)h FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))21 b FJ(ein)g(gewic)o(h)o(teter)i(Baum)d(ist,)h (nenne)165 2339 y FI(T)d FH(=)11 b(\()p FI(V)r(;)c(E)r(;)g(q)q(;)g(w)q FH(\))18 b FJ(einen)h Fz(gewichteten)g(W)m(urzelb)n(aum)p FJ(\).)h FI(q)f FJ(hei\377t)g(die)f Fz(W)m(urzel)h FJ(des)h(Baumes.)165 2389 y(Das)14 b FI(n)p FJ(-te)g Fz(L)n(evel)g FJ(sei)g FI(L)529 2395 y FD(n)563 2389 y FH(=)e FI(L)635 2395 y FD(n)658 2389 y FH(\()p FI(q)q FH(\))g(=)f FI(L)793 2395 y FD(n)816 2389 y FH(\()p FI(q)q(;)c(T)f FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FI(v)i FG(2)e FI(V)21 b FH(:)d FI(d)p FH(\()p FI(v)q(;)7 b(q)q FH(\))k(=)h FI(n)p FG(g)p FJ(.)h(F\374r)i FI(v)e FG(2)e FI(L)1573 2395 y FD(n)1610 2389 y FJ(de-)165 2438 y(\034niere)k FI(N)328 2423 y FC(+)355 2438 y FH(\()p FI(v)q FH(\))d(=)g FI(N)502 2421 y FC(+)497 2451 y FD(T)530 2438 y FH(\()p FI(v)q FH(\))g(:=)g FG(f)p FI(u)f FG(2)g FI(L)774 2444 y FD(n)p FC(+1)850 2438 y FH(:)18 b FG(f)p FI(u;)7 b(v)q FG(g)k(2)g FI(E)r FG(g)p FJ(,)i(und)h(f\374r)g FI(v)f FG(6)p FH(=)f FI(q)j FJ(de\034niere)508 2539 y FI(N)546 2522 y Fy(\000)574 2539 y FH(\()p FI(v)q FH(\))e(=)e FI(N)721 2521 y Fy(\000)716 2551 y FD(T)749 2539 y FH(\()p FI(v)q FH(\))i(:=)e FG(f)p FI(u)g FG(2)g FI(L)993 2545 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)1070 2539 y FH(:)18 b FG(f)p FI(u;)7 b(v)q FG(g)k(2)g FI(E)r FG(g)p FI(:)187 2639 y FJ(Au\377erdem)21 b(sei)h(no)q(c)o(h)g FI(E)600 2645 y FD(n)634 2639 y FH(=)12 b FI(E)709 2645 y FD(n)731 2639 y FH(\()p FI(q)q FH(\))g(=)f FI(E)869 2645 y FD(n)892 2639 y FH(\()p FI(q)q(;)c(T)f FH(\))11 b(:=)g FG(f)p FI(e)h FG(2)f FI(E)j FH(:)67 b FG(9)1225 2666 y FD(u)p Fy(2)p FD(L)1290 2670 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)1388 2639 y FG(9)1358 2666 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)1421 2670 y Fs(n)1453 2639 y FI(e)12 b FH(=)f FG(f)p FI(u;)c(v)q FG(gg)o FJ(.)165 2713 y(Ist)13 b FI(T)255 2698 y Fy(0)279 2713 y FH(=)e(\()p FI(V)372 2698 y Fy(0)384 2713 y FI(;)c(E)436 2698 y Fy(0)447 2713 y FI(;)g(q)q FH(\))12 b FJ(ein)h(w)o(eiterer)h(W)m(urzelbaum,)d (so)i(sc)o(hreib)q(e)h FI(T)1228 2698 y Fy(0)1252 2713 y FG(\024)e FI(T)18 b FJ(genau)13 b(dann,)g(w)o(enn)165 2763 y FH(\()p FI(V)215 2747 y Fy(0)226 2763 y FI(;)7 b(E)278 2747 y Fy(0)289 2763 y FH(\))12 b FG(\024)g FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))k FJ(\(ensprec)o(hend)i(ist)e(f\374r)f FI(T)876 2747 y Fy(0)899 2763 y FH(=)i(\()p FI(V)993 2747 y Fy(0)1004 2763 y FI(;)7 b(E)1056 2747 y Fy(0)1068 2763 y FI(;)g(q)q(;)g(w)1157 2747 y Fy(0)1167 2763 y FH(\))p FJ(,)j FI(T)1235 2747 y Fy(0)1258 2763 y FG(\024)i FI(T)17 b FJ(genau)11 b(dann,)f(w)o(enn)165 2812 y FH(\()p FI(V)215 2797 y Fy(0)226 2812 y FI(;)d(E)278 2797 y Fy(0)289 2812 y FI(;)g(w)339 2797 y Fy(0)350 2812 y FH(\))12 b FG(\024)g FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))o FJ(\).)p eop %%Page: 28 30 28 29 bop 225 50 a FJ(28)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Lemma)g(2.3.2.)21 b Fz(Sei)15 b FI(T)j FH(=)12 b(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(q)q FH(\))14 b Fz(ein)h(W)m(urzelb)n(aum.)225 333 y FK(\(a\))76 b FG(8)306 362 y FD(v)q Fy(2)p FD(V)7 b Fy(nf)p FD(q)q Fy(g)452 333 y FH(#)p FI(N)525 318 y Fy(\000)552 333 y FH(\()p FI(v)q FH(\))13 b(=)e(1)k Fz(\(das)g(Element) g(von)h FI(N)1068 318 y Fy(\000)1095 333 y FH(\()p FI(v)q FH(\))g Fz(b)n(ezeichne)g(mit)e FI(v)1443 318 y Fy(\000)1472 333 y Fz(\).)225 478 y FK(\(b\))56 b FG(8)309 505 y FD(u;v)q Fy(2)p FD(V)417 478 y FH(\()p FI(u)12 b FG(6)p FH(=)f FI(v)44 b FG(\))e FI(N)698 463 y FC(+)726 478 y FH(\()p FI(u)p FH(\))9 b FG(\\)g FI(N)866 463 y FC(+)893 478 y FH(\()p FI(v)q FH(\))k(=)f FG(;)p FH(\))p Fz(.)225 684 y(Beweis.)20 b FJ(\(a\))10 b(G\344b)q(e)g(es)h FI(u)621 690 y FC(1)639 684 y FI(;)c(u)682 690 y FC(2)711 684 y FG(2)12 b FI(N)789 669 y Fy(\000)816 684 y FH(\()p FI(v)q FH(\))p FJ(,)f FI(u)916 690 y FC(1)946 684 y FG(6)p FH(=)h FI(u)1014 690 y FC(2)1032 684 y FJ(,)d(so)h(g\344b)q(e)g(es)h (zw)o(ei)f(v)o(ersc)o(hiedene)i FI(q)q(v)q FJ(-W)m(ege,)225 734 y(n\344mlic)o(h)c FH(\()p FI(q)q(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(u)530 740 y FC(1)548 734 y FI(;)g(v)q FH(\))k FJ(und)f FH(\()p FI(q)q(;)d(:)g(:)g(:)e(;)i(u)847 740 y FC(2)865 734 y FI(;)g(v)q FH(\))p FJ(.)j(Nac)o(h)h(Lemma)c(1.2.11)i(w)o(\344re)h(also) g FI(T)17 b FJ(k)o(ein)10 b(Baum.)225 783 y(\(b\))j(Sind)f FI(u;)7 b(v)13 b FJ(aus)g(v)o(ersc)o(hiedenen)h(Lev)o(els,)f(so)g(ist)f (nic)o(h)o(ts)h(zu)g(zeigen.)f(W\344ren)h FI(u;)7 b(v)12 b FG(2)g FI(L)1621 789 y FD(n)1656 783 y FJ(und)225 833 y FI(x)f FG(2)g FI(N)337 818 y FC(+)365 833 y FH(\()p FI(u)p FH(\))e FG(\\)g FI(N)505 818 y FC(+)533 833 y FH(\()p FI(v)q FH(\))p FJ(,)14 b(so)g(w)o(\344ren)g FI(u;)7 b(v)12 b FG(2)f FI(N)936 818 y Fy(\000)964 833 y FH(\()p FI(x)p FH(\))p FJ(,)j(w)o(as)f(nac)o(h)h(\(a\))g(nic)o(h)o(t)g(sein)g (k)n(ann.)117 b Fv(\004)225 977 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(2.3.3.)21 b FJ(Sei)15 b FI(T)20 b FH(=)15 b(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(q)q FH(\))15 b FJ(ein)g(W)m(urzelbaum,)e FI(\017)h(>)g FH(0)p FJ(.)h(Dann)g(hei\377t)g(eine)h(Ab-)225 1027 y(bildung)d FI(f)j FH(:)i FI(E)c FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)594 1008 y FC(+)594 1037 y(0)636 1027 y FJ(ein)i FI(\017)p Fz(-Flu\377)h FJ(auf)f FI(T)20 b FJ(genau)14 b(dann,)f(w)o(enn)520 1104 y FB(X)482 1195 y FD(u)p Fy(2)p FD(N)553 1187 y Fx(+)577 1195 y FC(\()p FD(q)q FC(\))626 1144 y FI(f)t FG(f)p FI(q)q(;)7 b(u)p FG(g)k FH(=)h FI(\017)h FJ(und)70 b FG(8)923 1172 y FD(v)q Fy(2)p FD(V)7 b Fy(nf)p FD(q)q Fy(g)1115 1104 y FB(X)1076 1195 y FD(u)p Fy(2)p FD(N)1147 1187 y Fx(+)1171 1195 y FC(\()p FD(v)q FC(\))1221 1144 y FI(f)t FG(f)p FI(v)q(;)g(u)p FG(g)12 b FH(=)g FI(f)t FG(f)p FI(v)1473 1126 y Fy(\000)1502 1144 y FI(;)7 b(v)q FG(g)p FI(:)-1350 b FJ(\(2.27\))225 1301 y FK(Lemma)15 b(2.3.4.)21 b Fz(Sei)c FI(T)i FH(=)14 b(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(q)q FH(\))16 b Fz(ein)h(W)m(urzelb)n(aum,)f FI(\017)e(>)g FH(0)i Fz(und)h FI(f)k Fz(ein)16 b FI(\017)p Fz(-Flu\377)g(auf)g FI(T)6 b Fz(.)225 1351 y(Dann)16 b(ist)397 1320 y FB(P)441 1363 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)514 1351 y FI(f)t FH(\()p FI(e)p FH(\))d(=)f FG(1)p Fz(.)i(Insb)n(esonder)n (e)j(ist)d FH(#)p FI(V)21 b FH(=)11 b FG(1)p Fz(.)225 1532 y(Beweis.)20 b FJ(Es)15 b(gen)o(\374gt)e(zu)i(zeigen,)f(da\377)829 1647 y FG(8)809 1674 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)903 1607 y FB(X)891 1696 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)953 1700 y Fs(n)981 1647 y FI(f)t FH(\()p FI(e)p FH(\))f(=)f FI(\017:)225 1799 y FJ(Das)i(wird)f(n)o(un)h(durc)o(h)g(Induktion)f(nac)o(h)h FI(n)g FJ(b)q(ewiesen.)h(Der)f(F)m(all)e FI(n)f FH(=)h(1)i FJ(steh)o(t)g(in)g(\(2.27\).)e(Sei)225 1849 y(also)h FI(n)f(>)f FH(1)p FJ(.)j(Dann)f(folgt)371 1933 y FB(X)360 2022 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)422 2026 y Fs(n)449 1973 y FI(f)t FH(\()p FI(e)p FH(\))g(=)616 1933 y FB(X)581 2022 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)644 2026 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)701 2022 y FD(;)603 2054 y(u)p Fy(2)p FD(L)668 2058 y Fs(n)718 1973 y FI(f)t FG(f)p FI(u;)7 b(v)q FG(g)k FH(=)933 1933 y FB(X)903 2022 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)966 2026 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)1069 1933 y FB(X)1030 2024 y FD(u)p Fy(2)p FD(N)1101 2016 y Fx(+)1125 2024 y FC(\()p FD(v)q FC(\))1175 1973 y FI(f)t FG(f)p FI(u;)c(v)q FG(g)1317 1945 y FC(\(2)p FD(:)p FC(27\))1343 1973 y FH(=)1444 1933 y FB(X)1414 2022 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)1477 2026 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)1540 1973 y FI(f)t FG(f)p FI(v)1606 1955 y Fy(\000)1636 1973 y FI(;)g(v)q FG(g)537 2132 y FH(=)616 2092 y FB(X)581 2181 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)644 2185 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)701 2181 y FD(;)585 2213 y(u)p Fy(2)p FD(L)650 2217 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(2)718 2132 y FI(f)t FG(f)p FI(u;)g(v)q FG(g)k FH(=)933 2092 y FB(X)903 2181 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)965 2185 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)1030 2132 y FI(f)t FH(\()p FI(e)p FH(\))1117 2105 y Fp(\(Induktion\))1185 2132 y FH(=)80 b FI(\017)225 2083 y FJ(\(2.28\))225 2316 y(und)14 b(der)h(Induktionsb)q(ew)o(eis)f(ist)g(v)o(ollst\344ndig.)720 b Fv(\004)225 2460 y FK(Lemma)15 b(2.3.5.)21 b Fz(Sei)15 b FI(\017)d(>)g FH(0)i Fz(und)i FI(f)j Fz(ein)c FI(\017)p Fz(-Flu\377)g(auf)g(dem)g(gewichteten)g(W)m(urzelb)n(aum)828 2568 y FI(T)i FH(=)12 b(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(q)q(;)g(w)q FH(\))p FI(:)225 2677 y Fz(Dann)19 b(gibt)f(es)g(f\374r)h(al)r(le)f FH(0)11 b FI(<)h(\016)h(<)f(\017)18 b Fz(einen)h(gewichteten)f(W)m (urzelb)n(aum)h FI(T)1427 2662 y Fy(0)1450 2677 y FG(\024)12 b FI(T)24 b Fz(und)19 b(einen)225 2727 y FI(\016)r Fz(-Flu\377)14 b FI(f)380 2712 y Fy(0)406 2727 y Fz(auf)f FI(T)505 2712 y Fy(0)517 2727 y Fz(,)g(so)h(da\377)g(al)r(le)f(Ecken)h(von)h FI(T)980 2712 y Fy(0)1005 2727 y Fz(end)r(lichen)f(Gr)n(ad)g(hab)n(en)h (und)f FI(f)1513 2712 y Fy(0)1537 2727 y FI(<)e(f)t Fv(\026)1622 2734 y FD(E)r FC(\()p FD(T)1685 2726 y Ft(0)1697 2734 y FC(\))1712 2727 y Fz(.)p eop %%Page: 29 31 29 30 bop 165 50 a Fw(2.3.)26 b(WURZELB\304)o(UME)15 b(UND)e FI(\017)p Fw(-DOPPELB\304)o(UME)544 b FJ(29)165 195 y Fz(Beweis.)20 b(Behauptung)d(1.)j FJ(Sei)14 b FI(I)k FJ(eine)c(abz\344hlbare)g(Menge,)g FG(E)h FH(:=)c(\()p FI(e)1274 201 y FD(i)1289 195 y FH(\))1305 201 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1370 195 y FG(\022)g Fu(R)1443 177 y FC(+)1485 195 y FJ(mit)780 295 y FH(~)-22 b FI(\017)12 b FH(:=)863 256 y FB(X)867 345 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)930 295 y FI(e)949 301 y FD(i)975 295 y FI(>)f FH(0)p FI(:)165 436 y FJ(Ist)j(dann)g FH(0)d FI(<)408 425 y FH(~)406 436 y FI(\016)j(<)e FH(~)-21 b FI(\017)o FJ(,)14 b(so)g(gibt)f(es)i FI(I)730 421 y Fy(0)753 436 y FG(\022)d FI(I)18 b FJ(endlic)o(h)13 b(und)h FG(D)f FH(:=)e(\()p FI(d)1195 442 y FD(i)1209 436 y FH(\))1225 442 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1276 434 y Ft(0)1301 436 y FG(\022)h Fu(R)1375 418 y FC(+)1402 436 y FJ(,)i(so)g(da\377)826 497 y FB(X)825 586 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)876 577 y Ft(0)894 536 y FI(d)916 542 y FD(i)941 536 y FH(=)987 525 y(~)985 536 y FI(\016)165 669 y FJ(und)g FI(d)270 675 y FD(i)295 669 y FI(<)e(e)358 675 y FD(i)386 669 y FJ(f\374r)i(alle)f FI(i)f FG(2)f FI(I)614 654 y Fy(0)626 669 y FJ(.)165 775 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Ist)f FI(I)j FJ(endlic)o(h,)c(so)g(setze)j FI(I)770 760 y Fy(0)801 775 y FH(:=)e FI(I)s FJ(,)g FH(\001)f(:=)1038 759 y FC(~)-18 b FD(\017)p Fy(\000)1079 751 y FC(~)1077 759 y FD(\016)p 1037 766 56 2 v 1043 789 a FC(#)p FD(I)1098 775 y FJ(,)18 b FI(d)1150 781 y FD(i)1183 775 y FH(:=)h FI(e)1265 781 y FD(i)1291 775 y FG(\000)13 b FH(\001)18 b FJ(f\374r)g(alle)g FI(i)h FG(2)g FI(I)1641 760 y Fy(0)1653 775 y FJ(.)165 843 y(Dann)11 b(ist)331 811 y FB(P)375 855 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)426 847 y Ft(0)446 843 y FI(d)468 849 y FD(i)493 843 y FH(=)h(~)-21 b FI(\017)5 b FG(\000)g FH(#)p FI(I)658 826 y FC(~)-17 b FD(\017)o Fy(\000)699 819 y FC(~)697 826 y FD(\016)p 658 833 V 663 857 a FC(#)p FD(I)730 843 y FH(=)776 832 y(~)774 843 y FI(\016)r FJ(.)11 b(Nun)h(sei)g FI(I)k FJ(unendlic)o(h.)11 b(Dann)g(gibt)h(es)g(eine)h (endlic)o(he)165 905 y(Menge)d FI(I)314 890 y Fy(0)338 905 y FG(\022)i FI(I)s FJ(,)d(so)g(da\377)h FH(^)-22 b FI(\017)12 b FH(:=)628 874 y FB(P)672 918 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)723 910 y Ft(0)743 905 y FI(e)762 911 y FD(i)788 905 y FI(>)834 894 y FH(~)832 905 y FI(\016)r FJ(.)d(Damit)e(b)q (e\034ndet)k(man)c(sic)o(h)j(wieder)g(im)d(F)m(all)h(einer)165 955 y(endlic)o(hen)i(Indexmenge,)g(und)g(da)g(dieser)h(ob)q(en)f(sc)o (hon)h(erledigt)f(wurde,)g(ist)g(alles)f(gezeigt.)42 b Fv(N)165 1061 y FJ(Nun)22 b(zur)g(Konstruktion)f(v)o(on)g FI(T)721 1046 y Fy(0)745 1061 y FH(=)11 b(\()p FI(V)828 1067 y FD(T)852 1059 y Ft(0)866 1061 y FI(;)c(E)916 1067 y FD(T)940 1059 y Ft(0)953 1061 y FI(;)g(q)q(;)g(w)q Fv(\026)1059 1067 y FD(E)1083 1075 y Fs(T)1103 1069 y Ft(0)1118 1061 y FH(\))12 b FG(\024)g FI(T)27 b FJ(und)22 b FI(f)1356 1046 y Fy(0)1380 1061 y FI(<)11 b(f)t Fv(\026)1464 1068 y FD(E)r FC(\()p FD(T)1527 1060 y Ft(0)1540 1068 y FC(\))1555 1061 y FJ(.)21 b(Und)165 1111 y(zw)o(ar)d(w)o(erden)h (dazu)g(Mengen)g FI(L)705 1096 y Fy(0)705 1121 y FD(n)727 1111 y FH(\()p FI(q)q FH(\))g FG(\024)g FI(L)877 1117 y FD(n)900 1111 y FH(\()p FI(q)q FH(\))f FJ(und)g FI(E)1090 1096 y Fy(0)1088 1121 y FD(n)1111 1111 y FH(\()p FI(q)q FH(\))11 b FG(\024)h FI(E)1249 1117 y FD(n)1271 1111 y FH(\()p FI(q)q FH(\))19 b FJ(de\034niert.)f(Die)g(De-)165 1161 y(\034nitionen)d(v)o(on)f FI(L)458 1146 y Fy(0)458 1171 y FD(n)481 1161 y FH(\()p FI(q)q FH(\))p FJ(,)h FI(E)593 1146 y Fy(0)591 1171 y FD(n)613 1161 y FH(\()p FI(q)q FH(\))g FJ(erfolgen)g(rekursiv)h(un)o(ter)f(Ben)o(utzung)i(v)o (on)d(Behauptung)i(1.)165 1210 y(Im)c(ersten)k(Sc)o(hritt)e(setze)i (zur)f(An)o(w)o(endung)f(v)o(on)f(Behauptung)i(1)622 1302 y FI(I)g FH(:=)c FG(f)p FI(u)g FG(2)g FI(N)843 1285 y FC(+)871 1302 y FH(\()p FI(q)q FH(\))h(:)18 b FI(f)t FG(f)p FI(q)q(;)7 b(u)p FG(g)k FI(>)g FH(0)p FG(g)p FI(;)165 1402 y FG(E)k FH(:=)d(\()p FI(f)t FG(f)p FI(q)q(;)7 b(u)p FG(g)p FH(\))419 1408 y FD(u)p Fy(2)p FD(I)479 1402 y FJ(,)504 1391 y FH(~)502 1402 y FI(\016)14 b FH(:=)d FI(\016)r FJ(,)g FH(~)-21 b FI(\017)11 b FH(:=)g FI(\017)p FJ(.)g(Behauptung)k(1)c(liefert)g(dann)g(endlic)o(hes)h FI(I)1434 1387 y Fy(0)1457 1402 y FJ(und)g FG(D)q FJ(.)f(Set-)165 1452 y(ze)i FI(N)5 b FH(\()p FI(q)q FH(\))12 b(:=)f FI(I)392 1437 y Fy(0)416 1452 y FG(\022)h FI(N)498 1437 y FC(+)525 1452 y FH(\()p FI(q)q FH(\))q FJ(,)g FI(L)630 1437 y Fy(0)630 1462 y FC(0)649 1452 y FH(\()p FI(q)q FH(\))f(:=)h FG(f)p FI(q)q FG(g)o FJ(,)g FI(L)881 1437 y Fy(0)881 1462 y FC(1)900 1452 y FH(\()p FI(q)q FH(\))g(:=)f FI(N)5 b FH(\()p FI(q)q FH(\))q FJ(,)12 b FI(E)1167 1437 y Fy(0)1165 1462 y FC(1)1183 1452 y FH(\()p FI(q)q FH(\))g(:=)f FG(ff)p FI(q)q(;)c(u)p FG(g)j FH(:)18 b FI(u)11 b FG(2)h FI(N)5 b FH(\()p FI(q)q FH(\))p FG(g)o FJ(,)165 1502 y FI(f)189 1486 y Fy(0)201 1502 y FG(f)p FI(q)q(;)i(u)p FG(g)k FH(:=)g FI(d)394 1508 y FD(u)429 1502 y FJ(f\374r)j(alle)f FI(u)e FG(2)h FI(N)5 b FH(\()p FI(q)q FH(\))p FJ(.)13 b(Dann)h(ist)931 1470 y FB(P)975 1514 y FD(u)p Fy(2)p FD(N)s FC(\()p FD(q)q FC(\))1098 1502 y FI(f)1122 1486 y Fy(0)1134 1502 y FG(f)p FI(q)q(;)7 b(u)p FG(g)k FH(=)g FI(\016)16 b FJ(und)730 1602 y FG(8)685 1631 y FD(u)p Fy(2)p FD(N)s FC(\()p FD(q)q FC(\))810 1602 y FI(f)834 1585 y Fy(0)846 1602 y FG(f)p FI(q)q(;)7 b(u)p FG(g)j FI(<)i(f)t FG(f)p FI(q)q(;)7 b(u)p FG(g)p FI(:)165 1720 y FJ(Nun)14 b(sei)g FI(n)e FG(\025)g FH(1)o FJ(,)i(und)g(f\374r)f(alle)h FI(m)e FG(\024)f FI(n)j FJ(seien)h FI(L)928 1705 y Fy(0)928 1730 y FD(m)960 1720 y FH(\()p FI(q)q FH(\))c FG(\022)h FI(L)1095 1726 y FD(m)1127 1720 y FH(\()p FI(q)q FH(\))p FJ(,)i FI(E)1238 1705 y Fy(0)1236 1730 y FD(m)1267 1720 y FH(\()p FI(q)q FH(\))e FG(\022)f FI(E)1405 1726 y FD(m)1437 1720 y FH(\()p FI(q)q FH(\))p FJ(,)743 1811 y FI(f)767 1794 y Fy(0)780 1811 y Fv(\026)797 1818 y FD(E)823 1811 y Ft(0)821 1827 y Fs(m)849 1818 y FC(\()p FD(q)q FC(\))905 1811 y FI(<)g(f)t Fv(\026)989 1818 y FD(E)1015 1811 y Ft(0)1013 1827 y Fs(m)1043 1818 y FC(\()p FD(q)q FC(\))165 1903 y FJ(b)q(ereits)k(k)o(onstruiert,)f(so)g(da\377)764 1995 y FG(8)666 2024 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)729 2015 y Ft(0)729 2032 y Fs(m)757 2024 y FC(\()p FD(q)q FC(\))p FD(;)5 b(m)p Fy(6)p FC(=0)897 1995 y FI(v)918 1978 y Fy(\000)958 1995 y FG(2)12 b FI(L)1026 1978 y Fy(0)1026 2005 y FD(m)p Fy(\000)p FC(1)1100 1995 y FH(\()p FI(q)q FH(\))p FI(:)165 2113 y FJ(Sei)i FI(v)f FG(2)e FI(L)332 2098 y Fy(0)332 2124 y FD(n)355 2113 y FH(\()p FI(q)390 2119 y FC(1)408 2113 y FH(\))p FJ(.)j(Zur)g(An)o(w)o(endung)g(v)o(on)g (Behauptung)g(1)g(setze)i(diesmal)620 2205 y FI(I)f FH(:=)c FG(f)p FI(u)g FG(2)h FI(N)842 2188 y FC(+)869 2205 y FH(\()p FI(v)q FH(\))h(:)18 b FI(f)t FG(f)p FI(u;)7 b(v)q FG(g)k FI(>)h FH(0)p FG(g)p FI(;)165 2305 y FG(E)j FH(:=)d(\()p FI(f)t FG(f)p FI(u;)7 b(v)q FG(g)p FH(\))420 2311 y FD(u)p Fy(2)p FD(I)481 2305 y FJ(,)511 2294 y FH(~)509 2305 y FI(\016)13 b FH(:=)e FI(f)619 2290 y Fy(0)632 2305 y FG(f)p FI(v)q(;)c(v)714 2290 y Fy(\000)742 2305 y FG(g)p FJ(,)16 b FH(~)-21 b FI(\017)11 b FH(:=)g FI(f)t FG(f)p FI(v)q(;)c(v)980 2290 y Fy(\000)1010 2305 y FG(g)o FJ(.)16 b(Behauptung)h(1)f(liefert)g(wieder)h(end-)165 2355 y(lic)o(hes)d FI(I)298 2340 y Fy(0)310 2355 y FJ(,)f FG(D)q FJ(.)h(Setze)h FI(N)5 b FH(\()p FI(v)q FH(\))13 b(:=)e FI(I)682 2340 y Fy(0)706 2355 y FG(\022)g FI(N)787 2340 y FC(+)815 2355 y FH(\()p FI(v)q 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y FD(T)817 2358 y Ft(0)813 2377 y Fx(2)831 2361 y FI(;)48 b(E)924 2344 y Fy(0)947 2361 y FH(:=)12 b FI(E)1034 2368 y FD(T)1058 2358 y Ft(0)1054 2377 y Fx(1)1079 2356 y FH(_)1071 2361 y FG([)p FI(E)1130 2368 y FD(T)1154 2358 y Ft(0)1150 2377 y Fx(2)1176 2356 y FH(_)1168 2361 y FG([)o(ff)p FI(q)1256 2367 y FC(1)1274 2361 y FI(;)7 b(q)1312 2367 y FC(2)1329 2361 y FG(gg)p FI(:)225 2468 y FJ(Da)14 b FI(f)316 2453 y Fy(0)312 2478 y FC(1)343 2468 y FI(<)f(f)408 2474 y FC(1)427 2468 y Fv(\026)444 2474 y FD(E)468 2483 y Fs(T)490 2476 y Ft(0)485 2493 y Fx(1)519 2468 y FG(\024)g FI(w)q Fv(\026)612 2474 y FD(E)636 2483 y Fs(T)657 2476 y Ft(0)653 2493 y Fx(1)674 2468 y FJ(,)h FI(f)724 2453 y Fy(0)720 2478 y FC(2)751 2468 y FI(<)f(f)816 2474 y FC(2)835 2468 y Fv(\026)852 2474 y FD(E)876 2483 y Fs(T)898 2476 y Ft(0)893 2493 y Fx(2)927 2468 y FG(\024)g FI(w)q Fv(\026)1020 2474 y FD(E)1044 2483 y Fs(T)1065 2476 y Ft(0)1061 2493 y Fx(2)1096 2468 y FJ(gilt,)g(ist)i FI(B)1274 2453 y Fy(0)1300 2468 y FJ(mit)e FI(G)1410 2453 y Fy(0)1434 2468 y FH(=)g(\()p FI(V)1528 2453 y Fy(0)1540 2468 y FI(;)7 b(E)1592 2453 y Fy(0)1603 2468 y FI(;)g(w)q Fv(\026)1670 2474 y FD(E)1696 2466 y Ft(0)1709 2468 y FH(\))225 2526 y FJ(nac)o(h)15 b(De\034nition)g(2.3.7)f(ein)h FI(\016)r FJ(-Dopp)q(elbaum,)e(dessen)k(Ec)o(k)o(en)f(alle)e(endlic)o(hen)i(Grad) f(hab)q(en.)225 2576 y(Damit)d(ist)h(Lemma)f(2.3.8)g(b)q(ewiesen.)863 b Fv(\004)225 2713 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(2.3.9.)21 b FJ(Sei)d FI(G)f FH(=)i(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))17 b FJ(ein)h(gewic)o(h)o(teter)h(Graph,)d FI(\017)i(>)h FH(0)p FJ(.)e FI(G)g FJ(hat)g(einen)225 2763 y FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)c(genau)i(dann,)f(w)o(enn)h(es)h(einen)g FI(\017)o FJ(-Dopp)q(elbaum)d FI(B)j FH(=)e(\()p FI(G)1425 2747 y Fy(0)1436 2763 y FI(;)7 b(T)1479 2769 y FC(1)1498 2763 y FI(;)g(T)1541 2769 y FC(2)1559 2763 y FH(\))15 b FJ(gibt,)f(so)225 2812 y(da\377)f FI(G)336 2797 y Fy(0)359 2812 y FH(=)f(\()p FI(V)453 2797 y Fy(0)464 2812 y FI(;)7 b(E)516 2797 y Fy(0)527 2812 y FI(;)g(w)q Fv(\026)594 2818 y FD(E)620 2810 y Ft(0)633 2812 y FH(\))14 b FJ(ein)g(Subgraph)g (v)o(on)f FI(G)h FJ(ist.)p eop %%Page: 31 33 31 32 bop 165 50 a Fw(2.4.)26 b(GRAPHENTHEORETISCHE)15 b(CHARAKTERISIER)o(UNG)321 b FJ(31)165 195 y FK(Bemerkung)14 b(2.3.10.)21 b FJ(Ist)c FI(G)f FJ(ein)g(Graph,)g(der)h(einen)g FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)d FI(B)19 b FJ(hat,)d(so)g(hat)g FI(G)165 245 y FJ(nac)o(h)f(Lemma)d(2.3.8)h(f\374r)h(alle)g FH(0)f FI(<)g(\016)i(<)e(\017)i FJ(einen)g FI(\016)r FJ(-Dopp)q(elbaum)d FI(B)1266 230 y Fy(0)1292 245 y FG(\024)h FI(B)r FJ(,)h(und)h(alle)f(Ec)o(k)o(en)165 295 y(v)o(on)f FI(B)276 280 y Fy(0)302 295 y FJ(hab)q(en)i(endlic)o(hen)f(Grad.)165 449 y FA(2.4)66 b(Graphen)n(theo)o(reti)o(sc)n(he)12 b(Charakterisi)o(eru)o(ng)g(der)i(Ex-)315 524 y(tremalpun)o(kte)165 633 y FK(Lemma)h(2.4.1.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)663 639 y FC(1)682 633 y FI(;)c(I)719 639 y FC(2)737 633 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(mit)787 714 y FH(#)p FI(I)840 720 y FC(1)859 714 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)931 720 y FC(2)960 714 y FG(\024)12 b FI(!)q(:)165 794 y Fz(Ist)h FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))j Fz(und)g(existiert)g FI(\017)d(>)h FH(0)p Fz(,)h(so)g(da\377)i FI(G)c FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b Fz(einen)h FI(\017)p Fz(-Dopp)n(elb)n(aum)27 b FI(B)16 b Fz(hat,)e(so)165 844 y(ist)g FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)165 944 y(Beweis.)20 b FJ(Die)d(Bezeic)o(hn)o(ungen)h(seien)g(wie)e(in)h(De\034nition)e (2.3.7.)g(Nac)o(h)i(Lemma)d(2.1.13)h(\(b\))165 994 y(gen)o(\374gt)g (es,)h(eine)g(Matrix)f FH(0)c FG(6)p FH(=)h FI(T)18 b FG(2)11 b(M)797 1000 y Fl(R)820 994 y FH(\()p FI(I)854 1000 y FC(1)873 994 y FI(;)c(I)910 1000 y FC(2)928 994 y FH(\))16 b FJ(mit)e FI(P)g FG(\006)c FI(T)17 b FG(\025)12 b FH(0)j FJ(zu)h(\034nden,)g(deren)g(Linien)165 1043 y(sic)o(h)g(alle)g(zu)h(Null)e(summieren.)f(Indem)h(man)g FI(q)947 1049 y FC(1)965 1043 y FJ(,)h FI(q)1012 1049 y FC(2)1046 1043 y FJ(notfalls)f(v)o(ertausc)o(h)o(t,)i(k)n(ann)f(man)e (oh-)165 1093 y(ne)19 b(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g(Allgemeinheit)d (annehmen,)h(da\377)g(es)i FH(\()p FI(i)1219 1099 y FC(0)1238 1093 y FI(;)7 b(j)1274 1099 y FC(0)1292 1093 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1377 1099 y FC(1)1405 1093 y FG(\002)f FI(I)1465 1099 y FC(2)1502 1093 y FJ(gibt,)17 b(mit)165 1143 y FI(q)184 1149 y FC(1)214 1143 y FH(=)12 b FI(x)282 1149 y FD(i)294 1153 y Fx(0)311 1143 y FJ(,)i FI(q)356 1149 y FC(2)385 1143 y FH(=)e FI(y)449 1149 y FD(j)463 1153 y Fx(0)481 1143 y FJ(.)i(De\034niere)h FI(T)i FH(=)12 b(\()p FI(t)798 1149 y FD(i;j)837 1143 y FH(\))853 1150 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)954 1154 y Fx(1)970 1150 y Fy(\002)p FD(I)1011 1154 y Fx(2)1042 1143 y FJ(mit)379 1383 y FI(t)394 1389 y FD(i;j)445 1383 y FH(:=)500 1198 y FB(8)500 1235 y(>)500 1248 y(>)500 1260 y(>)500 1273 y(>)500 1285 y(>)500 1297 y(>)500 1310 y(>)500 1322 y(>)500 1335 y(<)500 1409 y(>)500 1422 y(>)500 1434 y(>)500 1447 y(>)500 1459 y(>)500 1472 y(>)500 1484 y(>)500 1497 y(>)500 1509 y(:)537 1235 y FI(\017)231 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)1021 1241 y FC(0)1040 1235 y FI(;)7 b(j)1076 1241 y FC(0)1094 1235 y FH(\))p FI(;)537 1294 y FG(\000)p FI(f)589 1300 y FC(1)608 1294 y FG(f)p FI(x)653 1300 y FD(i)666 1294 y FI(;)g(y)705 1300 y FD(j)723 1294 y FG(g)41 b FJ(f\374r)14 b FG(f)p FI(x)896 1300 y FD(i)909 1294 y FI(;)7 b(y)948 1300 y FD(j)965 1294 y FG(g)12 b(2)f FI(E)1068 1300 y FD(n)1090 1294 y FH(\()p FI(T)1130 1300 y FC(1)1149 1294 y FH(\))p FI(;)48 b(n)14 b FJ(ungerade)q FI(;)537 1354 y(f)557 1360 y FC(1)576 1354 y FG(f)p FI(x)621 1360 y FD(i)634 1354 y FI(;)7 b(y)673 1360 y FD(j)690 1354 y FG(g)74 b FJ(f\374r)14 b FG(f)p FI(x)896 1360 y FD(i)909 1354 y FI(;)7 b(y)948 1360 y FD(j)965 1354 y FG(g)12 b(2)f FI(E)1068 1360 y FD(n)1090 1354 y FH(\()p FI(T)1130 1360 y FC(1)1149 1354 y FH(\))p FI(;)48 b(n)14 b FJ(gerade)q FI(;)537 1414 y FG(\000)p FI(f)589 1420 y FC(2)608 1414 y FG(f)p FI(x)653 1420 y FD(i)666 1414 y FI(;)7 b(y)705 1420 y FD(j)723 1414 y FG(g)41 b FJ(f\374r)14 b FG(f)p FI(x)896 1420 y FD(i)909 1414 y FI(;)7 b(y)948 1420 y FD(j)965 1414 y FG(g)12 b(2)f FI(E)1068 1420 y FD(n)1090 1414 y FH(\()p FI(T)1130 1420 y FC(2)1149 1414 y FH(\))p FI(;)48 b(n)14 b FJ(ungerade)q FI(;)537 1474 y(f)557 1480 y FC(2)576 1474 y FG(f)p FI(x)621 1480 y FD(i)634 1474 y FI(;)7 b(y)673 1480 y FD(j)690 1474 y FG(g)74 b FJ(f\374r)14 b FG(f)p FI(x)896 1480 y FD(i)909 1474 y FI(;)7 b(y)948 1480 y FD(j)965 1474 y FG(g)12 b(2)f FI(E)1068 1480 y FD(n)1090 1474 y FH(\()p FI(T)1130 1480 y FC(2)1149 1474 y FH(\))p FI(;)48 b(n)14 b FJ(gerade)q FI(;)537 1534 y FH(0)227 b FJ(sonst.)165 1383 y(\(2.29\))165 1615 y(W)m(egen)16 b FI(f)321 1621 y FC(1)340 1615 y FI(;)7 b(f)379 1621 y FC(2)414 1615 y FG(\024)16 b FI(w)h FJ(ist)f FI(P)h FG(\006)11 b FI(T)22 b FG(\025)16 b FH(0)p FJ(.)g(Bleibt)g(zu)h(zeigen,)g(da\377)f(sic)o(h)g(alle)g(Linien)g(v)o (on)g FI(T)23 b FJ(zu)165 1665 y(Null)13 b(summieren.)f(Sei)i FI(t)560 1671 y FD(i;j)610 1665 y FG(6)p FH(=)e(0)p FJ(,)h FI(x)724 1671 y FD(i)749 1665 y FG(2)e FI(L)816 1671 y FC(2)p FD(n)856 1665 y FH(\()p FI(q)891 1671 y FC(1)909 1665 y FH(\))p FJ(.)j(Dann)f(gilt)g(f\374r)h(die)g FI(i)p FJ(.)f(Zeile:)486 1716 y FB(X)481 1805 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)534 1809 y Fx(2)557 1756 y FI(t)572 1762 y FD(i;j)623 1756 y FH(=)f FG(\000)751 1716 y FB(X)706 1808 y FD(y)q Fy(2)p FD(N)775 1799 y Fx(+)799 1808 y FC(\()p FD(x)831 1812 y Fs(i)844 1808 y FC(\))864 1756 y FI(f)884 1762 y FC(1)903 1756 y FG(f)p FI(y)q(;)7 b(x)988 1762 y FD(i)1001 1756 y FG(g)i FH(+)h FI(f)1093 1762 y FC(1)1112 1756 y FG(f)p FI(x)1157 1738 y Fy(\000)1157 1767 y FD(i)1184 1756 y FI(;)d(x)1227 1762 y FD(i)1240 1756 y FG(g)k FH(=)h(0)p FI(:)165 1885 y FJ(Die)d(F\344lle)h FI(x)360 1891 y FD(i)385 1885 y FH(=)h FI(q)447 1891 y FC(1)466 1885 y FJ(,)e FI(x)511 1891 y FD(i)536 1885 y FG(2)i FI(L)603 1891 y FC(2)p FD(n)p FC(+1)685 1885 y FH(\()p FI(q)720 1891 y FC(2)738 1885 y FH(\))f FJ(und)g(der)g(F)m(all)e(der)j FI(j)r FJ(.)f(Spalte)f(\()p FI(y)1254 1891 y FD(j)1284 1885 y FH(=)j FI(q)1347 1891 y FC(2)1365 1885 y FJ(,)d FI(y)1406 1891 y FD(j)1435 1885 y FG(2)j FI(L)1503 1891 y FC(2)p FD(n)p FC(+1)1584 1885 y FH(\()p FI(q)1619 1891 y FC(1)1637 1885 y FH(\))p FJ(,)165 1935 y FI(y)185 1941 y FD(j)214 1935 y FG(2)g FI(L)282 1941 y FC(2)p FD(n)321 1935 y FH(\()p FI(q)356 1941 y FC(2)374 1935 y FH(\))p FJ(\))k(sind)g(alle)f(v)o(\366llig)e(analog,)h(das)i(hei\377t:)f (Da\377)g(die)g(Summe)f(\374b)q(er)i(die)g(jew)o(eilige)165 1985 y(Linie)9 b(n)o(ull)g(ist,)h(ergibt)g(sic)o(h)g(jew)o(eils)g(aus)g (der)g(Flu\377b)q(edingung)g(\(2.27\))e(f\374r)i FI(f)1346 1991 y FC(1)1375 1985 y FJ(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)165 2035 y FI(f)185 2041 y FC(2)204 2035 y FJ(.)1417 b Fv(\004)165 2115 y FK(Lemma)15 b(2.4.2.)21 b Fz(Sei)16 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)666 2121 y FC(1)685 2115 y FI(;)7 b(I)722 2121 y FC(2)740 2115 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))15 b Fz(ein)g(R)n(andsystem.)h (Ist)g FI(P)i FG(2)12 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))k Fz(und)g(hat)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))165 2165 y Fz(einen)15 b(Kr)n(eis,)g(so)g(ist)f FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)165 2265 y(Beweis.)20 b FJ(Sei)14 b FI(K)h FH(=)d(\()p FI(x)524 2271 y FD(i)536 2275 y Fx(1)553 2265 y FI(;)7 b(y)592 2271 y FD(j)606 2275 y Fx(1)624 2265 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x)741 2271 y FD(i)753 2275 y Fs(n)774 2265 y FI(;)g(y)813 2271 y FD(j)827 2275 y Fs(n)849 2265 y FI(;)g(x)892 2271 y FD(i)904 2275 y Fx(1)922 2265 y FH(\))14 b FJ(ein)f(Kreis)i(in)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)12 b(Dann)i(ist)467 2345 y FI(\017)e FH(:=)f(min)n FG(f)p FI(p)662 2351 y FD(i)674 2355 y Fx(1)690 2351 y FD(;j)714 2355 y Fx(1)732 2345 y FI(;)c(p)772 2351 y FD(i)784 2355 y Fx(2)799 2351 y FD(;j)823 2355 y Fx(1)841 2345 y FI(;)g(p)881 2351 y FD(i)893 2355 y Fx(2)908 2351 y FD(;j)932 2355 y Fx(2)950 2345 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(p)1064 2351 y FD(i)1076 2355 y Fs(n)1095 2351 y FD(;j)1119 2355 y Fs(n)1141 2345 y FI(;)g(p)1181 2351 y FD(i)1193 2355 y Fx(1)1208 2351 y FD(;j)1232 2355 y Fs(n)1254 2345 y FG(g)12 b FI(>)g FH(0)p FI(:)-1199 b FJ(\(2.30\))165 2426 y(F\374r)17 b FH(1)g FG(\024)g FI(k)h FG(\024)f FI(n)11 b FG(\000)h FH(1)17 b FJ(de\034niere)h FI(t)726 2432 y FD(i)738 2436 y Fs(k)756 2432 y FD(;j)780 2436 y Fs(k)816 2426 y FH(:=)f FI(\017;)23 b(t)944 2432 y FD(i)956 2436 y Fs(k)p Fx(+1)1010 2432 y FD(;j)1034 2436 y Fs(k)1070 2426 y FH(:=)17 b FG(\000)p FI(\017;)23 b(t)1230 2432 y FD(i)1242 2436 y Fs(n)1262 2432 y FD(;j)1286 2436 y Fs(n)1325 2426 y FH(:=)17 b FI(\017;)23 b(t)1453 2432 y FD(i)1465 2436 y Fx(1)1481 2432 y FD(;j)1505 2436 y Fs(n)1544 2426 y FH(:=)16 b FG(\000)p FI(\017)p FJ(.)165 2476 y(Dies)c(seien)g(genau)g (die)f(v)o(on)g(Null)g(v)o(ersc)o(hiedenen)j(Elemen)o(te)d(einer)h (Matrix)f FI(T)18 b FG(2)11 b(M)1506 2482 y Fl(R)1529 2476 y FH(\()p FI(I)1563 2482 y FC(1)1582 2476 y FI(;)c(I)1619 2482 y FC(2)1637 2476 y FH(\))p FJ(.)165 2526 y(Dann)j(en)o(th\344lt)h (eine)g(Linie)f(v)o(on)g FI(T)17 b FJ(en)o(t)o(w)o(eder)11 b(k)o(eine)g(v)o(on)f(Null)g(v)o(ersc)o(hiedenen)j(Elemen)o(te)d(o)q (der)165 2576 y(genau)15 b(zw)o(ei,)g(n\344mlic)o(h)d FH(+)p FI(\017)j FJ(und)h FG(\000)p FI(\017)p FJ(.)e(Daher)h(summieren) f(sic)o(h)h(alle)f(Linien)g(v)o(on)h FI(T)21 b FJ(zu)15 b(Null.)165 2625 y(Nac)o(h)f(der)h(De\034nition)e(v)o(on)g FI(\017)h FJ(gilt:)771 2706 y FG(8)696 2735 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)797 2739 y Fx(1)813 2735 y Fy(\002)p FD(I)854 2739 y Fx(2)881 2706 y FI(p)902 2712 y FD(i;j)950 2706 y FG(\006)c FI(t)1007 2712 y FD(i;j)1057 2706 y FG(\025)i FH(0)p FI(:)165 2812 y FJ(Also)i(folgt)e FI(P)j FG(\006)9 b FI(T)18 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))j FJ(und)g(nac)o(h)g(Lemma)d(2.1.13)h(ist)i FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p FJ(.)256 b Fv(\004)p eop %%Page: 32 34 32 33 bop 225 50 a FJ(32)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Satz)g(2.4.3.)22 b Fz(Sei)12 b FG(I)i FH(:=)e(\()p FI(I)657 201 y FC(1)676 195 y FI(;)7 b(I)713 201 y FC(2)731 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))12 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)g(mit)f FH(#)p FI(I)1255 201 y FC(1)1273 195 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1345 201 y FC(2)1375 195 y FG(\024)12 b FI(!)i Fz(und)f FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)225 245 y(Dann)19 b(gilt)f FI(P)f FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))19 b Fz(genau)g(dann,)g(wenn)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))18 b Fz(ein)g(W)m(ald)g(ist)g(und)h (f\374r)g(kein)f FI(\017)11 b(>)h FH(0)225 295 y Fz(einen)j FI(\017)p Fz(-Dopp)n(elb)n(aum)31 b(hat.)225 430 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)10 b(W)m(egen)h(Lemma)d(2.4.2)h(ist)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))k FJ(ein)g(W)m(ald,)f(w)o(egen)i(Lemma)d (2.4.1)h(hat)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))225 480 y FJ(f\374r)14 b(k)o(ein)f FI(\017)f(>)g FH(0)h FJ(einen)i FI(\017)o FJ(-Dopp)q(elbaum.)225 557 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)c(Sei)h FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p FJ(,)g(das)h(hei\377t,)f(es) h(gibt)f(nac)o(h)h(Lemma)d(2.1.13)h(\(b\))i(eine)g(Matrix)f FI(T)18 b FG(6)p FH(=)12 b(0)o FJ(,)225 607 y(so)i(da\377)f(sic)o(h)h (alle)g(Linien)f(v)o(on)g FI(T)20 b FJ(zu)14 b(Null)g(addieren)g(und) 856 705 y FG(8)774 734 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)f FD(I)888 738 y Fx(1)904 734 y Fy(\002)p FD(I)945 738 y Fx(2)972 705 y FG(j)p FI(t)999 711 y FD(i;j)1038 705 y FG(j)e(\024)h FI(p)1126 711 y FD(i;j)1165 705 y FI(:)225 829 y FJ(Sei)i FG(j)p FI(T)6 b FG(j)k FH(:=)i(\()p FG(j)p FI(t)455 835 y FD(i;j)494 829 y FG(j)p FH(\))522 836 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)623 840 y Fx(1)638 836 y Fy(\002)p FD(I)679 840 y Fx(2)696 829 y FJ(,)i FI(G)p FH(\()p FG(j)p FI(T)6 b FG(j)p FH(\))k(=)i(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))p FJ(.)13 b(W)m(egen)h FG(j)p FI(t)1241 835 y FD(i;j)1279 829 y FG(j)d(\024)h FI(p)1367 835 y FD(i;j)1420 829 y FJ(ist)i(dann)698 928 y FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))12 b FG(\024)g FH(\()p FI(V)d FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)d FH(\)\))p FI(;)h(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)f FH(\)\)\))p FI(:)225 1026 y FJ(Hat)20 b(dann)f FI(G)p FH(\()p FG(j)p FI(T)6 b FG(j)p FH(\))19 b FJ(einen)h(Kreis,)g(so)f(auc)o(h)h FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)18 b(und)i(man)e(ist)i(fertig.)f (Angenommen,)225 1076 y FI(G)p FH(\()p FG(j)p FI(T)6 b FG(j)p FH(\))12 b FJ(ist)h(kreisfrei.)f(Es)i(bleibt)e(zu)h(zeigen,)g (da\377)g(es)g(dann)g FI(\017)e(>)h FH(0)h FJ(gibt,)e(so)i(da\377)g FI(G)p FH(\()p FG(j)p FI(T)6 b FG(j)p FH(\))11 b FJ(einen)225 1125 y FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)24 b FI(B)15 b FJ(hat)e(\(denn)h (dann)f(hat)g(auc)o(h)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FJ(einen)h FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum\).)e(Da)h FI(T)18 b FG(6)p FH(=)12 b(0)o FJ(,)225 1175 y(gibt)f(es)h FI(i)368 1181 y FC(0)399 1175 y FG(2)f FI(I)456 1181 y FC(1)475 1175 y FJ(,)g FI(j)515 1181 y FC(0)545 1175 y FG(2)g FI(I)602 1181 y FC(2)621 1175 y FJ(,)g(so)h(da\377)f FI(t)784 1181 y FD(i)796 1185 y Fx(0)812 1181 y FD(;j)836 1185 y Fx(0)865 1175 y FI(>)h FH(0)p FJ(.)f(Setze)i FI(\017)e FH(:=)g FI(t)1157 1181 y FD(i)1169 1185 y Fx(0)1185 1181 y FD(;j)1209 1185 y Fx(0)1227 1175 y FJ(,)g FI(q)1269 1181 y FC(1)1299 1175 y FH(:=)g FI(x)1378 1181 y FD(i)1390 1185 y Fx(0)1408 1175 y FJ(,)g FI(q)1450 1181 y FC(2)1480 1175 y FH(:=)g FI(y)1555 1181 y FD(j)1569 1185 y Fx(0)1587 1175 y FJ(.)g(Damit)225 1225 y(b)q(ek)o(omm)o(t)g(man)h(einen)j(Dopp)q (elbaum)d FI(B)886 1210 y Fy(0)909 1225 y FH(=)g(\(Zhk)1040 1232 y FD(G)p FC(\()p Fy(j)p FD(T)t Fy(j)p FC(\))1137 1225 y FH(\()p FI(x)1177 1231 y FD(i)1189 1235 y Fx(0)1207 1225 y FH(\))p FI(;)7 b(T)1272 1210 y Fy(0)1266 1235 y FC(1)1285 1225 y FI(;)g(T)1334 1210 y Fy(0)1328 1235 y FC(2)1346 1225 y FH(\))p FJ(,)563 1326 y FI(T)593 1309 y Fy(0)587 1336 y FC(1)617 1326 y FH(=)12 b(\()p FI(V)701 1333 y FD(T)725 1323 y Ft(0)721 1342 y Fx(1)739 1326 y FI(;)7 b(E)789 1333 y FD(T)813 1323 y Ft(0)809 1342 y Fx(1)826 1326 y FI(;)g(q)864 1332 y FC(1)882 1326 y FH(\))k(:=)h(Zhk)1035 1333 y FD(G)p FC(\()p Fy(j)p FD(T)t Fy(j)p FC(\))p Fy(\000ff)p FD(q)1206 1337 y Fx(1)1222 1333 y FD(;q)1247 1337 y Fx(2)1263 1333 y Fy(gg)1299 1326 y FH(\()p FI(q)1334 1332 y FC(1)1353 1326 y FH(\))p FI(;)563 1388 y(T)593 1371 y Fy(0)587 1398 y FC(2)617 1388 y FH(=)g(\()p FI(V)701 1395 y FD(T)725 1385 y Ft(0)721 1404 y Fx(2)739 1388 y FI(;)7 b(E)789 1395 y FD(T)813 1385 y Ft(0)809 1404 y Fx(2)826 1388 y FI(;)g(q)864 1394 y FC(2)882 1388 y FH(\))k(:=)h(Zhk)1035 1395 y FD(G)p FC(\()p Fy(j)p FD(T)t Fy(j)p FC(\))p Fy(\000ff)p FD(q)1206 1399 y Fx(1)1222 1395 y FD(;q)1247 1399 y Fx(2)1263 1395 y Fy(gg)1299 1388 y FH(\()p FI(q)1334 1394 y FC(2)1353 1388 y FH(\))p FI(:)225 1488 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FJ(Sei)g FI(I)k FH(:=)d FG(f)p FI(i)722 1494 y FC(1)740 1488 y FI(;)7 b(i)773 1494 y FC(2)792 1488 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FG(g)19 b FJ(abz\344hlbar,)f FG(E)25 b FH(:=)c(\()p FI(e)1261 1494 y FD(i)1275 1488 y FH(\))1291 1494 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1364 1488 y FJ(eine)e(F)m(olge)g(p)q(ositiv)o(er)225 1538 y(reeller)d(Zahlen,)e(so)h(da\377)f FI(a)f FH(:=)722 1507 y FB(P)766 1550 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)826 1538 y FI(e)845 1544 y FD(i)872 1538 y FI(<)h FG(1)p FJ(.)f(Ist)j(dann)e FH(0)f FI(<)h(b)e FG(\024)i FI(a)p FJ(,)g(so)h(gibt)f(es)i(eine)f(F)m (olge)225 1588 y FG(D)e FH(=)f(\()p FI(d)352 1594 y FD(i)365 1588 y FH(\))381 1594 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)434 1588 y FJ(,)i(so)g(da\377)27 b FG(8)589 1614 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)652 1588 y FH(0)11 b FI(<)h(d)750 1594 y FD(i)775 1588 y FG(\024)g FI(e)838 1594 y FD(i)866 1588 y FJ(und)949 1557 y FB(P)992 1600 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1052 1588 y FI(d)1074 1594 y FD(i)1099 1588 y FH(=)g FI(b)p FJ(.)225 1739 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Setze)c FI(k)c FH(:=)586 1723 y FD(a)p 586 1730 19 2 v 588 1753 a(b)623 1739 y FJ(und)i FI(d)728 1745 y FD(i)753 1739 y FH(:=)d FI(k)q(e)850 1745 y FD(i)864 1739 y FJ(.)819 b Fv(N)225 1874 y FJ(Nun)14 b(zur)h(Konstruktion)f(v)o(on)f FI(B)h FH(=)e(\()p FI(G;)7 b(T)902 1880 y FC(1)920 1874 y FI(;)g(T)963 1880 y FC(2)982 1874 y FH(\))k FG(\024)h FI(B)1086 1859 y Fy(0)1098 1874 y FJ(:)i(Zun\344c)o(hst)h(wird)758 1973 y FI(T)782 1979 y FC(1)813 1973 y FH(=)d(\()p FI(V)897 1979 y FD(T)917 1983 y Fx(1)935 1973 y FI(;)7 b(E)985 1979 y FD(T)1005 1983 y Fx(1)1022 1973 y FI(;)g(q)1060 1979 y FC(1)1077 1973 y FH(\))12 b FG(\024)g FI(T)1179 1955 y Fy(0)1173 1983 y FC(1)225 2071 y FJ(und)i(ein)g FI(\017)p FJ(-Flu\377)f FI(f)522 2077 y FC(1)555 2071 y FJ(auf)g FI(T)649 2077 y FC(1)682 2071 y FJ(k)o(onstruiert,)h(und)g(zw)o(ar)g(w)o(erden)h (dazu)f(Mengen)601 2169 y FI(L)629 2152 y Fy(0)629 2179 y FD(n)651 2169 y FH(\()p FI(q)686 2175 y FC(1)705 2169 y FH(\))d FG(\022)h FI(L)804 2175 y FD(n)827 2169 y FH(\()p FI(q)862 2175 y FC(1)880 2169 y FH(\))42 b FJ(und)g FI(E)1082 2152 y Fy(0)1080 2179 y FD(n)1102 2169 y FH(\()p FI(q)1137 2175 y FC(1)1155 2169 y FH(\))12 b 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b(Nac)o(h)i(Lemma)d(2.3.2)g(\(b\))j (sind)f(die)h(Mengen)g FI(N)5 b FH(\()p FI(y)q FH(\))165 1092 y FJ(mit)12 b FI(y)h FG(2)f FI(L)342 1077 y Fy(0)342 1103 y FD(n)365 1092 y FH(\()p FI(q)400 1098 y FC(1)418 1092 y FH(\))i FJ(alle)f(disjunkt.)g(Setze)i FI(L)833 1077 y Fy(0)833 1103 y FD(n)p FC(+1)898 1092 y FH(\()p FI(q)933 1098 y FC(1)952 1092 y FH(\))c(:=)1046 1079 y(_)1035 1061 y FB(S)1069 1105 y FD(y)q Fy(2)p FD(L)1132 1097 y Ft(0)1132 1113 y Fs(n)1153 1105 y FC(\()p FD(q)1181 1109 y Fx(1)1197 1105 y FC(\))1212 1092 y FI(N)5 b FH(\()p FI(y)q FH(\))q FJ(,)423 1195 y FI(E)456 1178 y Fy(0)454 1205 y FD(n)p FC(+1)518 1195 y FH(\()p FI(q)553 1201 y FC(1)571 1195 y FH(\))12 b(:=)f FG(ff)p FI(x;)c(y)q FG(g)k(2)g FI(E)862 1201 y FD(n)p FC(+1)927 1195 y FH(\()p FI(q)962 1201 y FC(1)980 1195 y FH(\))h(:)18 b FI(x)11 b FG(2)g FI(L)1140 1178 y Fy(0)1140 1205 y FD(n)p FC(+1)1205 1195 y FH(\()p FI(q)1240 1201 y FC(1)1258 1195 y FH(\))p FI(;)j(y)f FG(2)e FI(L)1400 1178 y Fy(0)1400 1205 y FD(n)1423 1195 y FH(\()p FI(q)1458 1201 y FC(1)1476 1195 y FH(\))p FG(g)165 1289 y FJ(Dann)i(ist)643 1384 y FG(8)584 1412 y FD(y)q Fy(2)p FD(L)647 1404 y Ft(0)647 1421 y Fs(n)667 1412 y FC(\()p FD(q)695 1416 y Fx(1)712 1412 y FC(\))770 1344 y FB(X)743 1435 y FD(x)p Fy(2)p FD(N)s FC(\()p FD(y)q FC(\))864 1384 y FI(f)884 1390 y FC(1)903 1384 y FG(f)p FI(x;)7 b(y)q FG(g)k FH(=)h FI(f)1084 1390 y FC(1)1103 1384 y FG(f)p FI(y)q(;)7 b(y)1185 1366 y Fy(\000)1214 1384 y FG(g)p FI(:)165 1526 y FJ(F\374r)12 b FI(n)f FG(\025)h FH(1)f FJ(gerade)i(erfolgen)e(die)g(De\034nitionen)h(v)o(on)f FI(L)1039 1511 y Fy(0)1039 1537 y FD(n)p FC(+1)1104 1526 y FH(\()p FI(q)1139 1532 y FC(1)1157 1526 y FH(\))h FJ(und)f FI(E)1298 1511 y Fy(0)1296 1537 y FD(n)p FC(+1)1360 1526 y FH(\()p FI(q)1395 1532 y FC(1)1414 1526 y FH(\))g FJ(ganz)h(analog.) 165 1587 y(Setze)j(no)q(c)o(h)e FI(V)395 1593 y FD(T)415 1597 y Fx(1)444 1587 y FH(:=)511 1574 y(_)500 1556 y FB(S)534 1557 y Fy(1)534 1600 y FD(n)p FC(=0)599 1587 y FI(L)627 1572 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Fy(2)p FD(I)1494 1896 y Fx(2)1518 1880 y FI(s)1537 1886 y FD(j)1567 1880 y FI(<)12 b FG(1)o Fz(,)165 1930 y(und)k FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(Ist)f(dann)i FI(\017)11 b(>)h FH(0)p Fz(,)j(so)g(hat)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b Fz(keinen)h FI(\017)p Fz(-Dopp)n(elb)n(aum)q(.)165 2047 y(Beweis.)20 b FJ(Ist)12 b FI(\017)g(>)f FH(0)p FJ(,)g(und)h(hat)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))k FJ(einen)h FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)21 b FI(B)14 b FH(=)e(\()p FI(G)1503 2032 y Fy(0)1515 2047 y FI(;)7 b(T)1558 2053 y FC(1)1576 2047 y FI(;)g(T)1619 2053 y FC(2)1637 2047 y FH(\))p FJ(,)165 2097 y(so)14 b(gilt)556 2157 y FB(X)500 2248 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)601 2252 y Fx(1)616 2248 y Fy(\002)p FD(I)657 2252 y Fx(2)680 2197 y FI(p)701 2203 y FD(i;j)751 2197 y FG(\025)814 2157 y FB(X)795 2246 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)857 2250 y Fs(T)874 2256 y Fx(1)900 2197 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))e FG(\025)1057 2157 y FB(X)1038 2246 y 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FI(G)p FH(\()p FI(P)1053 2256 y FD(a)1073 2250 y FH(\))g FJ(f\374r)h(k)o(ein)f FI(\017)i(>)h FH(0)d FJ(einen)h FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)225 2300 y(hab)q(en)21 b(k)n(ann.)f(H\344tte)h FI(G)p FH(\()p FI(P)673 2306 y FD(a)693 2300 y FH(\))g FJ(f\374r)g(ein)f FI(\017)j(>)h FH(0)c FJ(einen)h FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum,)d(so)j (g\344b)q(e)g(es)h(nac)o(h)225 2349 y(De\034nition)14 b(2.3.7)f(und)j(Lemma)c(2.3.4)h(eine)i(Kan)o(te)h FI(e)c FH(=)g FG(f)p FI(q)1179 2355 y FC(1)1197 2349 y FI(;)7 b(q)1235 2355 y FC(2)1252 2349 y FG(g)k(2)h FI(E)r FJ(,)i(so)h(da\377)g FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)k FG(n)e(f)p FI(e)p FG(g)p FH(\))225 2399 y FJ(zw)o(ei)17 b(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q(onen)o(ten)e(mit)f (unendlic)o(h)j(vielen)f(Ec)o(k)o(en)i(hat.)e(Bei)h(en)o(tfernen)225 2449 y(einer)h(Kan)o(te)g(aus)g FI(G)p FH(\()p FI(P)611 2455 y FD(a)630 2449 y FH(\))g FJ(en)o(tsteh)o(t)h(ab)q(er)f(h\366)q(c) o(hstens)h(eine)f(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q(onen)o(te)225 2499 y(mit)12 b(unendlic)o(h)i(vielen)g(Ec)o(k)o(en.)225 2586 y FK(Beispiel)f(2.4.7.)21 b FI(P)d FJ(sei)c(die)f(folgende)g(in)f (\(2.32\))g(de\034nierte)j(Matrix.)d(In)h(diesem)g(F)m(all)e(ist)i(es) 225 2636 y(m\366glic)o(herw)o(eise)d(\374b)q(ersic)o(h)o(tlic)o(her,)h (das)g(Bildungsgesetz)h(f\374r)f(die)g(Matrix)f(\374b)q(er)i(den)f (Graphen)225 2686 y FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))j FJ(zu)h (erkl\344ren)g(\(das)g(ist)g(nac)o(h)f(Bemerkung)h(2.1.5)e(legitim\).)e FI(G)p FH(\()p FI(P)g FH(\))j FJ(soll)g(wie)h(in)f(Abbildung)225 2736 y(2.3)17 b(\(a\))h(angedeutet)h(nac)o(h)f(links)g(und)g(rec)o(h)o (ts)h(ins)f(Unendlic)o(he)g(fortgesetzt)i(w)o(erden.)e(Wie)225 2785 y(dort)d(angegeb)q(en,)g(w)o(erden)g(die)g(Ec)o(k)o(en)g(spalten)o (w)o(eise)h(durc)o(hn)o(ummeriert)d(und)i(zw)o(ar)g(imm)o(er)225 2835 y(ab)o(w)o(ec)o(hselnd)g(eine)f(Spalte)g(links)f(und)h(eine)g (Spalte)g(rec)o(h)o(ts.)p eop %%Page: 35 37 35 36 bop 165 50 a Fw(2.4.)26 b(GRAPHENTHEORETISCHE)15 b(CHARAKTERISIER)o(UNG)321 b FJ(35)304 374 y FI(y)324 380 y FC(1)387 374 y FI(y)407 380 y FC(2)470 374 y FI(y)490 380 y FC(3)553 374 y FI(y)573 380 y FC(4)636 374 y FI(y)656 380 y FC(5)719 374 y FI(y)739 380 y FC(6)802 374 y FI(y)822 380 y FC(7)885 374 y FI(y)905 380 y FC(8)968 374 y FI(y)988 380 y FC(9)1043 374 y FI(y)1063 380 y FC(10)1133 374 y FI(y)1153 380 y FC(11)1223 374 y FI(y)1243 380 y FC(12)1313 374 y FI(y)1333 380 y FC(13)1403 374 y FI(y)1423 380 y FC(14)1494 374 y FI(y)1514 380 y FC(15)1584 374 y FI(:)7 b(:)g(:)201 456 y(x)225 462 y FC(1)201 506 y FI(x)225 512 y FC(2)201 555 y FI(x)225 561 y FC(3)201 605 y FI(x)225 611 y FC(4)201 655 y FI(x)225 661 y FC(5)201 705 y FI(x)225 711 y FC(6)201 755 y FI(x)225 761 y FC(7)201 804 y FI(x)225 810 y FC(8)201 854 y FI(x)225 860 y FC(9)193 904 y FI(x)217 910 y FC(10)193 954 y FI(x)217 960 y FC(11)193 1004 y FI(x)217 1010 y FC(12)193 1054 y FI(x)217 1060 y FC(13)193 1103 y FI(x)217 1109 y FC(14)217 1148 y FJ(.)217 1164 y(.)217 1181 y(.)259 411 y FB(0)259 485 y(B)259 509 y(B)259 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FJ(zusammen)g(mit)f(zw)o(ei)j(Subgraphen)f FI(H)1284 1507 y FC(1)1315 1501 y FJ(und)h FI(H)1433 1507 y FC(2)1464 1501 y FJ(dargestellt.)165 1551 y(Mit)k FI(q)268 1557 y FC(1)306 1551 y FH(:=)h FI(y)389 1557 y FC(1)408 1551 y FJ(,)f FI(T)462 1557 y FC(1)499 1551 y FJ(links)g(v)o(on)g FI(q)704 1557 y FC(1)722 1551 y FJ(,)g FI(q)771 1557 y FC(2)809 1551 y FH(:=)h FI(x)896 1557 y FC(2)914 1551 y FJ(,)f FI(T)968 1557 y FC(2)1006 1551 y FJ(rec)o(h)o(ts)h(v)o(on)g FI(q)1233 1557 y FC(2)1269 1551 y FJ(wird)f FI(H)1403 1557 y FC(1)1440 1551 y FJ(zu)h(einem)1630 1535 y FC(5)p 1630 1542 17 2 v 1630 1565 a(6)1651 1551 y FJ(-)165 1601 y(Dopp)q(elbaum,)12 b(w)o(ob)q(ei)j(die)613 1584 y FC(5)p 613 1591 V 613 1615 a(6)635 1601 y FJ(-Fl\374sse)g FI(f)796 1607 y FC(1)828 1601 y FG(\024)e FI(w)j FJ(auf)e FI(T)1014 1607 y FC(1)1047 1601 y FJ(und)h FI(f)1151 1607 y FC(2)1183 1601 y FG(\024)e FI(w)j FJ(auf)e FI(T)1369 1607 y FC(2)1402 1601 y FJ(der)i(Abbildung)165 1651 y(2.3)10 b(\(b\))i(zu)g(en)o(tnehmen)g(sind.)f(En)o(tsprec)o(hend)i(wird)f FI(H)1039 1657 y FC(2)1068 1651 y FJ(mit)e FI(q)1161 1657 y FC(1)1191 1651 y FH(:=)h FI(x)1270 1657 y FC(2)1288 1651 y FJ(,)g FI(T)1335 1657 y FC(1)1366 1651 y FJ(ob)q(erhalb)g(v)o (on)g FI(x)1635 1657 y FC(2)1653 1651 y FJ(,)165 1700 y FI(q)184 1706 y FC(2)214 1700 y FH(:=)h FI(y)290 1706 y FC(3)309 1700 y FJ(,)i FI(T)359 1706 y FC(2)392 1700 y FJ(un)o(terhalb)h(v)o(on)e FI(y)679 1706 y FC(3)713 1700 y FJ(zu)h(einem)894 1684 y FC(1)p 894 1691 V 894 1715 a(4)915 1700 y FJ(-Dopp)q(elbaum,)e(w)o(ob)q(ei)i(die)1376 1684 y FC(1)p 1376 1691 V 1376 1715 a(4)1398 1700 y FJ(-Fl\374sse)h FI(f)1559 1706 y FC(1)1590 1700 y FG(\024)d FI(w)165 1750 y FJ(auf)i FI(T)260 1756 y FC(1)293 1750 y FJ(und)h FI(f)397 1756 y FC(2)428 1750 y FG(\024)e FI(w)i FJ(auf)f FI(T)613 1756 y FC(2)646 1750 y FJ(diesmal)e(der)k(Abbildung)d(2.3)g (\(c\))j(zu)e(en)o(tnehmen)h(sind.)f(Nac)o(h)165 1800 y(Satz)g(2.4.3)e(ist)i(also)759 1894 y FI(P)22 b(=)-26 b 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FG(g)18 b(2)f FI(E)j FJ(gibt,)c(so)i(da\377)f FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)14 b FG(n)e(f)p FI(e)p FG(g)p FH(\))17 b FJ(zw)o(ei)h(Zusam-)165 1612 y(menhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)c FI(T)627 1618 y FC(1)646 1612 y FJ(,)h FI(T)697 1618 y FC(2)732 1612 y FJ(hat)h(mit)886 1581 y FB(P)930 1624 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)r FC(\()p FD(T)1027 1628 y Fs(\026)1046 1624 y FC(\))1068 1612 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))g(=)f FG(1)h FJ(f\374r)g FI(\026)f FH(=)g(1)p FI(;)7 b FH(2)p FJ(.)14 b(En)o(tfern)o(t)165 1668 y(man)j(aus)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))18 b FJ(eine)h(Kan)o(te,)f(so)h(liegt)f(in)g (genau)h(einer)g(der)h(en)o(tstehenden)h(Zusammen-)165 1718 y(hangsk)o(omp)q(onen)o(ten)e FI(T)555 1724 y FC(1)594 1718 y FJ(und)h FI(T)707 1724 y FC(2)746 1718 y FJ(ein)g(Subgraph)g (des)g(W)m(eges)h FH(\()p FI(x)1263 1724 y FC(1)1281 1718 y FI(;)7 b(y)1320 1724 y FC(1)1338 1718 y FI(;)g(x)1381 1724 y FC(2)1399 1718 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))p FJ(.)20 b(Dies)g(sei)165 1767 y(ohne)f(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g (Allgemeinheit)e(f\374r)h FI(T)979 1773 y FC(1)1016 1767 y FJ(der)h(F)m(all.)d(En)o(th\344lt)i(dann)g FI(E)r FH(\()p FI(T)1526 1773 y FC(2)1545 1767 y FH(\))h FJ(no)q(c)o(h)165 1825 y FI(n)11 b FG(2)h Fu(N)271 1831 y FC(0)302 1825 y FJ(Kan)o(ten)i FI(e)f FJ(mit)e FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))h(=)g(1)p FJ(,)g(so)h(gilt)861 1794 y FB(P)905 1838 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)r FC(\()p FD(T)1002 1842 y Fx(2)1018 1838 y FC(\))1039 1825 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))f FG(\024)g FI(n)c FH(+)1249 1794 y FB(P)1293 1804 y Fy(1)1293 1838 y FD(k)q FC(=1)1367 1809 y(2)1384 1796 y Fs(k)p 1367 1816 35 2 v 1367 1840 a FC(4)1384 1832 y Fs(k)1419 1825 y FI(<)j FG(1)p FJ(.)h(Also)h(ist)165 1880 y FI(P)k FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\)\))14 b FJ(nac)o(h)g(Satz)h(2.4.3.)165 2014 y(Als)10 b(eine)h(w)o(eitere)g(An)o(w)o(endung)f(v)o(on)g(Satz)g (2.4.3)f(soll)g(jetzt)i(im)d(folgenden)i(Satz)g(2.4.11)e(gezeigt)165 2064 y(w)o(erden,)13 b(da\377)f(die)g(Ein)o(tr\344ge)h(einer)g (extremalen)f(Matrix)g(in)g(der)h(v)o(on)f(den)h(Randv)o(erteilungen) 165 2114 y(erzeugten)k(additiv)o(en)e(Un)o(tergrupp)q(e)i(v)o(on)e Fu(R)9 b FJ(liegen,)15 b(sofern)h(diese)g(abgesc)o(hlossen)g(ist.)f (Das)165 2164 y(folgende)d(Korollar)g(2.4.12)f(umfa\377t)f(die)j(v)o (on)f FE(Kend)o(all)i FJ(\(siehe)f([8)o(]\))g(und)f FE(Isbell)i FJ(\(siehe)f([5)o(]\))165 2214 y(b)q(ewiesene)j(V)m(erallgemeinerung)c (v)o(on)i(Satz)g(2.2.10.)d(Zun\344c)o(hst)k(ein)f(paar)g(V)m(orb)q (ereitungen:)165 2312 y FK(Lemma)h(2.4.9.)21 b Fz(Ist)12 b FG(G)h Fz(eine)f(ab)n(geschlossene)g(additive)g(Unter)n(grupp)n(e)h (von)f Fu(R)-6 b Fz(,)11 b(so)h(ist)f FG(G)i FH(=)f Fu(R)-6 b Fz(,)165 2362 y(o)n(der)16 b(es)f(gibt)f FI(t)e FG(2)f Fu(R)486 2344 y FC(+)486 2373 y(0)510 2362 y Fz(,)k(so)g(da\377)h FG(G)d FH(=)f FI(t)p Fu(Z)-16 b Fz(.)165 2534 y(Beweis.)20 b FJ(F)m(all)15 b(1:)g FG(G)j FJ(hat)e(einen)g(H\344ufungspunkt)g(c.)g (Dann)g(gibt)f(es)i(eine)g(F)m(olge)e FH(\()p FI(c)1510 2540 y FD(n)1532 2534 y FH(\))1548 2540 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)1630 2534 y FJ(in)165 2584 y FG(G)c(n)e(f)p FI(c)p FG(g)14 b FJ(mit)26 b FH(lim)381 2609 y FD(n)p Fy(!1)467 2584 y FI(c)485 2590 y FD(n)520 2584 y FH(=)11 b FI(c)p FJ(,)j(das)g(hei\377t)28 b FH(lim)784 2609 y FD(n)p Fy(!1)871 2584 y FH(\()p FI(c)905 2590 y FD(n)937 2584 y FG(\000)10 b FI(c)p FH(\))h(=)h(0)p FJ(.)h(Da)34 b FG(8)1180 2611 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)1256 2584 y FH(0)11 b FG(6)p FH(=)h FI(c)1350 2590 y FD(n)1382 2584 y FG(\000)d FI(c)j FG(2)f(G)16 b FJ(und)735 2709 y FG(8)716 2736 y FD(g)q Fy(2G)788 2709 y FG(f)p FI(z)r(g)d FH(:)18 b FI(z)c FG(2)d Fu(Z)-16 b FG(g)11 b(\022)h(G)r FI(;)165 2835 y FJ(m)o(u\377)g FG(G)k FJ(in)d Fu(R)8 b FJ(dic)o(h)o(t)14 b(liegen.)f(Da)g FG(G)j FJ(abgesc)o(hlossen)g(ist,)d(folgt)g FG(G)g FH(=)f Fu(R)-6 b FJ(.)p eop %%Page: 38 40 38 39 bop 225 50 a FJ(38)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(F)m(all)9 b(2:)g FG(G)j FJ(hat)e(k)o(einen)h(H\344ufungspunkt.)e (Dann)h(gilt)25 b FG(9)1057 222 y FC(~)1056 227 y FD(t>)p FC(0)1156 195 y FG(8)1123 222 y FD(g)q(;h)p Fy(2G)1137 252 y FD(g)q Fy(6)p FC(=)p FD(h)1225 195 y FG(j)p FI(g)10 b FG(\000)f FI(h)p FG(j)i(\025)1400 187 y FH(~)1399 195 y FI(t)f FJ(\(denn)h(sonst)g(w)o(\344re)225 351 y FH(0)j FJ(ein)f(H\344ufungspunkt)h(v)o(on)g FG(G)r FJ(\).)f(Es)i(sei)f FI(t)e FH(:=)f(sup)1035 266 y FB(8)1035 304 y(<)1035 378 y(:)1073 344 y FH(~)1072 351 y FI(t)h FH(:)51 b FG(8)1129 378 y FD(g)q(;h)p Fy(2G)1143 408 y FD(g)q Fy(6)p FC(=)p FD(h)1231 351 y FG(j)p FI(g)10 b FG(\000)f FI(h)p FG(j)i(\025)1406 344 y FH(~)1405 351 y FI(t)1420 266 y FB(9)1420 304 y(=)1420 378 y(;)1457 351 y FJ(.)225 454 y FI(t)h FG(2)f(G)r FJ(:)e(Andernfalls) g(w)o(\344re)43 b FG(8)650 481 y FD(g)q(;h)p Fy(2G)664 511 y FD(g)q Fy(6)p FC(=)p FD(h)752 454 y FG(j)p FI(g)10 b FG(\000)f FI(h)p FG(j)i FI(>)h(t)p FJ(.)d(W)m(egen)g(der)h(Abgesc)o (hlossenheit)i(v)o(on)c FG(G)k FJ(k)o(\366nn)o(te)225 556 y(es)k(auc)o(h)g(k)o(eine)f(F)m(olgen)g FH(\()p FI(g)652 562 y FD(n)674 556 y FH(\))690 562 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)757 556 y FJ(,)g FH(\()p FI(h)824 562 y FD(n)846 556 y FH(\))862 562 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)944 556 y FJ(in)g FG(G)i FJ(geb)q(en)f(mit)29 b FH(lim)1234 581 y FD(n)p Fy(!1)1321 556 y FG(j)p FI(g)1353 562 y FD(n)1384 556 y FG(\000)10 b FI(h)1450 562 y FD(n)1472 556 y FG(j)h FH(=)h FI(t)p FJ(.)j(Es)h(g\344b)q(e)225 620 y(also)d FI(t)323 605 y Fy(0)346 620 y FI(>)f(t)p FJ(,)i(so)g(da\377)47 b FG(8)560 647 y FD(g)q(;h)p Fy(2G)574 677 y FD(g)q Fy(6)p FC(=)p FD(h)662 620 y FG(j)p FI(g)10 b FG(\000)g FI(h)p FG(j)h(\025)g FI(t)851 605 y Fy(0)877 620 y FJ(im)h(Widerspruc)o(h)j(zur)f(De\034nition)f(v)o(on)h FI(t)p FJ(.)225 722 y FG(G)g FH(=)e FI(t)p Fu(Z)-17 b FJ(:)13 b(Es)g(ist)g(n)o(ur)g(no)q(c)o(h)h(\022)s FG(\022)p FJ(\020)i(zu)e(zeigen.)f(W\344re)g FI(g)g FG(2)e(G)h(n)d FI(t)p Fu(Z)-17 b FJ(,)13 b(so)g(w)o(\344re)g FI(t)e(>)h FH(dist\()p FI(g)q(;)7 b(t)p Fu(Z)-13 b FH(\))9 b FG(2)i(G)225 772 y FJ(im)h(Widerspruc)o(h)j(zur)f(De\034nition)f(v)o(on)h FI(t)p FJ(.)793 b Fv(\004)225 896 y FK(Lemma)15 b(2.4.10.)21 b Fz(Es)14 b(sei)g FG(G)f FH(:=)f FI(t)p Fu(Z)m Fz(mit)i FI(t)d FG(2)g Fu(R)992 878 y FC(+)992 907 y(0)1020 896 y Fz(.)i(Ist)h(dann)h(f\374r)f FI(p)e FG(2)f Fu(R)d FH(di)o(\()p FI(p)p FH(\))k(:=)f(dist\()p FI(p;)c FG(G)r FH(\))p Fz(,)225 946 y(so)15 b(gilt:)225 1073 y FK(\(a\))20 b Fz(F\374r)c(al)r(le)e FI(p)e FG(2)f Fu(R)e Fz(ist)14 b FH(di\()p FI(p)p FH(\))d(=)h(di\()p FG(\000)p FI(p)p FH(\))p Fz(.)225 1180 y FK(\(b\))19 b Fz(F\374r)d(je)n(de)f(r)n(e)n(el)r(le)g(F)m(olge)f FH(\()p FI(p)730 1186 y FD(i)744 1180 y FH(\))760 1186 y FD(i)p Fy(2)p Fl(N)832 1180 y Fz(mit)h FI(S)f FH(:=)1002 1148 y FB(P)1046 1159 y Fy(1)1046 1192 y FD(i)p FC(=1)1109 1180 y FI(p)1130 1186 y FD(i)1155 1180 y FG(2)d Fu(R)e Fz(gilt)14 b FH(di\()p FI(S)r FH(\))f FG(\024)1460 1148 y FB(P)1504 1159 y Fy(1)1504 1192 y FD(i)p FC(=1)1567 1180 y FH(di\()p FI(p)1639 1186 y FD(i)1652 1180 y FH(\))q Fz(.)225 1336 y(Beweis.)20 b FJ(\(a\))14 b(ist)g(klar.)225 1386 y(\(b\))g(Zun\344c)o(hst)h(seien)g FI(p;)7 b(q)12 b FG(2)f Fu(R)d FJ(gegeb)q(en.)14 b(Dann)g(ist)263 1532 y FH(di\()p FI(p)9 b FH(+)g FI(q)q FH(\))j(=)17 b(inf)477 1558 y FD(g)q Fy(2G)538 1532 y FG(fj)p FI(p)9 b FH(+)g FI(q)h FG(\000)g FI(g)q FG(jg)h FH(=)32 b(inf)822 1559 y FD(g)q(;h)p Fy(2G)912 1532 y FG(fj)p FI(p)9 b FH(+)g FI(q)h FG(\000)g FI(g)g FG(\000)g FI(h)p FG(jg)h(\024)32 b FH(inf)1270 1559 y FD(g)q(;h)p Fy(2G)1361 1532 y FG(fj)p FI(p)8 b FG(\000)i FI(g)q FG(j)f FH(+)h FG(j)p FI(q)f FG(\000)h FI(h)p FG(jg)433 1616 y FH(=)17 b(inf)477 1643 y FD(g)q Fy(2G)538 1616 y FG(fj)p FI(p)9 b FG(\000)g FI(g)q FG(jg)g FH(+)16 b(inf)746 1643 y FD(h)p Fy(2G)810 1616 y FG(fj)p FI(q)9 b FG(\000)h FI(h)p FG(jg)h FH(=)g(di\()p FI(p)p FH(\))e(+)h(di)o(\()p FI(q)q FH(\))p FI(:)225 1484 y FJ(\(2.34\))225 1744 y(Nun)k(folgt)f FH(di)o(\()p FI(S)r FH(\))g FG(\024)562 1712 y FB(P)606 1723 y Fy(1)606 1756 y FD(i)p FC(=1)668 1744 y FH(di\()p FI(p)740 1750 y FD(i)754 1744 y FH(\))h FJ(aus)g(der)g(Stetigk)o(eit)g(v)o(on)g FH(di)o FJ(.)452 b Fv(\004)225 1867 y FK(Satz)15 b(2.4.11.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)683 1873 y FC(1)702 1867 y FI(;)c(I)739 1873 y FC(2)757 1867 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(mit)624 1970 y FH(#)p FI(I)677 1976 y FC(1)696 1970 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)768 1976 y FC(2)797 1970 y FG(\024)12 b FI(!)44 b Fz(o)n(der)f FH(#)p FI(I)1083 1976 y FC(1)p FD(;nt)1156 1970 y FH(=)12 b(#)p FI(I)1253 1976 y FC(2)p FD(;nt)1314 1970 y FI(:)225 2073 y Fz(Ist)j FG(G)e FH(:=)f FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))j Fz(ab)n(geschlossen,)g(so)g(gilt)546 2176 y FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))42 b FG(\))g(f)p FI(p)949 2182 y FD(i;j)999 2176 y FH(:)18 b(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g FI(I)1183 2182 y FC(1)1211 2176 y FG(\002)d FI(I)1270 2182 y FC(2)1289 2176 y FG(g)i(\022)h(G)r FI(:)-1179 b FJ(\(2.35\))225 2333 y Fz(Beweis.)20 b FJ(W)m(egen)11 b(Lemma)d(2.4.9)h(k)n(ann)i(man)e (ohne)i(Einsc)o(hr\344nkung)g(annehmen,)f(da\377)h FG(G)j FH(=)d FI(t)p Fu(Z)225 2383 y FJ(f\374r)18 b(ein)g FI(t)11 b FG(2)h Fu(R)465 2368 y FC(+)489 2383 y FJ(.)18 b(Zun\344c)o(hst)h (wird)e(der)i(F)m(all)d FH(#)p FI(I)1014 2389 y FC(1)1044 2383 y FH(=)c(#)p FI(I)1141 2389 y FC(2)1171 2383 y FH(=)g FI(!)19 b FJ(b)q(ehandelt.)f(Sei)g FI(P)f FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)225 2432 y(Angenommen,)g(es)k(gibt)e FH(\()p FI(i)662 2438 y FC(0)681 2432 y FI(;)7 b(j)717 2438 y FC(0)735 2432 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)820 2438 y FC(1)848 2432 y FG(\002)f FI(I)908 2438 y FC(2)941 2432 y FJ(mit)i FI(p)1038 2438 y FD(i)1050 2442 y Fx(0)1066 2438 y FD(;j)1090 2442 y Fx(0)1124 2432 y FI(=)-26 b FG(2)11 b(G)r FJ(.)j(Es)g(wird)g(gezeigt,)g(da\377)852 2535 y FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FI(:)225 2638 y FJ(F)m(alls)20 b FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))20 b FJ(einen)h(Kreis)h(hat,)e(folgt)g (das)h(w)o(egen)g(Satz)h(2.4.3.)c(Man)j(k)n(ann)g(also)f(anneh-)225 2688 y(men,)13 b(da\377)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))13 b FJ(kreisfrei)h(ist.)g (Dann)f(gibt)h(es)g(ein)g FI(\017)e(>)g FH(0)o FJ(,)i(so)g(da\377)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(einen)225 2738 y FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)27 b FI(B)18 b FJ(hat)e(\(w)o(omit)d (dann)i(wieder)i(w)o(egen)e(Satz)h(2.4.3)e(alles)h(gezeigt)h(ist\).)f (Die)225 2788 y(Konstruktion)10 b(des)h FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaumes)e (erfolgt)h(mit)e(der)j(gleic)o(hen)f(Metho)q(de)h(wie)f(im)e(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(-T)m(eil)225 2838 y(des)15 b(Bew)o(eises)g(v)o(on)f (Satz)g(2.4.3.)p eop %%Page: 39 41 39 40 bop 165 50 a Fw(2.4.)26 b(GRAPHENTHEORETISCHE)15 b(CHARAKTERISIER)o(UNG)321 b FJ(39)165 195 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FJ(Ist)15 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)662 201 y FC(1)690 195 y FG(\002)e FI(I)749 201 y FC(2)768 195 y FJ(,)14 b(so)g(gilt)918 164 y FB(P)962 208 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)1019 212 y Fx(1)1036 208 y Fy(nf)p FD(i)p Fy(g)1107 195 y FH(di\()p FI(p)1179 201 y FD(\026;j)1227 195 y FH(\))d FG(\025)h FH(di\()p FI(p)1370 201 y FD(i;j)1409 195 y FH(\))i FJ(und)725 272 y FB(X)686 363 y FD(\027)r Fy(2)p FD(I)742 367 y Fx(2)758 363 y Fy(nf)p FD(j)r Fy(g)831 311 y FH(di\()p FI(p)903 317 y FD(i;\027)945 311 y FH(\))e FG(\025)g FH(di)o(\()p FI(p)1088 317 y FD(i;j)1128 311 y FH(\))165 458 y FJ(\(zur)j(De\034nition)e(v)o(on)g FH(di\()41 b(\))14 b FJ(siehe)h(Lemma)c(2.4.10\).)165 593 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Es)15 b(gilt)361 718 y FH(di\()p FI(p)433 724 y FD(i;j)472 718 y FH(\))c(=)h(di\()601 679 y FB(X)594 768 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)651 772 y Fx(1)674 718 y FI(p)695 724 y FD(\026;j)752 718 y FG(\000)832 679 y FB(X)793 770 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)850 774 y Fx(1)867 770 y Fy(nf)p FD(i)p Fy(g)937 718 y FI(p)958 724 y FD(\026;j)1005 718 y FH(\))1033 680 y FC(\(2)p FD(:)p FC(4)p FD(:)p FC(10)f(\()p FD(a)p FC(\))p FD(;)j FC(\()p FD(b)p FC(\)\))1134 718 y FG(\024)1316 679 y FB(X)1278 770 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)1335 774 y Fx(1)1352 770 y Fy(nf)p FD(i)p Fy(g)1421 718 y FH(di\()p FI(p)1493 724 y FD(\026;j)1540 718 y FH(\))p FI(;)-1403 b FJ(\(2.36\))165 865 y(da)223 834 y FB(P)266 877 y FD(\026)p Fy(2)p FD(I)323 881 y Fx(1)349 865 y FI(p)370 871 y FD(\026;j)429 865 y FG(2)11 b(G)r FJ(.)521 834 y FB(P)564 877 y FD(\027)r Fy(2)p FD(I)620 881 y Fx(2)636 877 y Fy(nf)p FD(j)r Fy(g)712 865 y FH(di)o(\()p FI(p)783 871 y FD(i;\027)826 865 y FH(\))g FG(\025)h FH(di\()p FI(p)969 871 y FD(i;j)1008 865 y FH(\))i FJ(folgt)e(ganz)i (analog.)274 b Fv(N)165 1009 y FJ(Setze)13 b FI(\017)f FH(:=)360 993 y FC(1)p 360 1000 17 2 v 360 1023 a(2)389 1009 y FH(di)o(\()p FI(p)460 1015 y FD(i)472 1019 y Fx(0)488 1015 y FD(;j)512 1019 y Fx(0)530 1009 y FH(\))p FJ(,)g FI(q)589 1015 y FC(1)618 1009 y FH(:=)g FI(x)698 1015 y FD(i)710 1019 y Fx(0)727 1009 y FJ(,)g FI(q)770 1015 y FC(2)799 1009 y FH(:=)g FI(y)875 1015 y FD(j)889 1019 y Fx(0)907 1009 y FJ(.)f(Damit)f(b)q(ek)o(omm)o(t)f(man)h(einen)j(Dopp) q(elbaum)165 1059 y FI(B)198 1044 y Fy(0)222 1059 y FH(=)f(\(Zhk)352 1066 y FD(G)p FC(\()p FD(P)t FC(\))432 1059 y FH(\()p FI(x)472 1065 y FD(i)484 1069 y Fx(0)501 1059 y FH(\))p FI(;)7 b(T)566 1044 y Fy(0)560 1069 y FC(1)579 1059 y FI(;)g(T)628 1044 y Fy(0)622 1069 y FC(2)640 1059 y FH(\))p FJ(,)512 1160 y FI(T)542 1142 y Fy(0)536 1170 y FC(1)566 1160 y FH(=)12 b(\()p FI(V)650 1167 y FD(T)674 1157 y Ft(0)670 1176 y Fx(1)688 1160 y FI(;)7 b(E)738 1167 y FD(T)762 1157 y Ft(0)758 1176 y Fx(1)775 1160 y FI(;)g(q)813 1166 y FC(1)831 1160 y FH(\))12 b(:=)f(Zhk)984 1167 y FD(G)p FC(\()p FD(P)t FC(\))p Fy(\000ff)p FD(q)1136 1171 y Fx(1)1153 1167 y FD(;q)1178 1171 y Fx(2)1194 1167 y Fy(gg)1230 1160 y FH(\()p FI(q)1265 1166 y FC(1)1284 1160 y FH(\))p FI(;)512 1222 y(T)542 1205 y Fy(0)536 1232 y FC(2)566 1222 y FH(=)h(\()p FI(V)650 1229 y FD(T)674 1219 y Ft(0)670 1238 y Fx(2)688 1222 y FI(;)7 b(E)738 1229 y FD(T)762 1219 y Ft(0)758 1238 y Fx(2)775 1222 y FI(;)g(q)813 1228 y FC(2)831 1222 y FH(\))12 b(:=)f(Zhk)984 1229 y FD(G)p FC(\()p FD(P)t FC(\))p Fy(\000ff)p FD(q)1136 1233 y Fx(1)1153 1229 y FD(;q)1178 1233 y Fx(2)1194 1229 y Fy(gg)1230 1222 y FH(\()p FI(q)1265 1228 y FC(2)1284 1222 y FH(\))p FI(:)165 1322 y FJ(Nun)j(zur)h(Konstruktion)f(v)o(on)f FI(B)h FH(=)e(\()p FI(G;)7 b(T)842 1328 y FC(1)860 1322 y FI(;)g(T)903 1328 y FC(2)922 1322 y FH(\))k FG(\024)h FI(B)1026 1307 y Fy(0)1038 1322 y FJ(.)i(Zun\344c)o(hst)h(wird)698 1420 y FI(T)722 1426 y FC(1)753 1420 y FH(=)d(\()p FI(V)837 1426 y FD(T)857 1430 y Fx(1)875 1420 y FI(;)7 b(E)925 1426 y FD(T)945 1430 y Fx(1)962 1420 y FI(;)g(q)1000 1426 y FC(1)1017 1420 y FH(\))12 b FG(\024)g FI(T)1119 1403 y Fy(0)1113 1431 y FC(1)165 1519 y FJ(und)d(ein)h FI(\017)p FJ(-Flu\377)e FI(f)448 1525 y FC(1)476 1519 y FJ(auf)h FI(T)566 1525 y FC(1)594 1519 y FJ(k)o(onstruiert,)h(und)f (zw)o(ar)h(w)o(erden)g(dazu)g(Mengen)g FI(L)1397 1504 y Fy(0)1397 1529 y FD(n)1420 1519 y FH(\()p FI(q)1455 1525 y FC(1)1473 1519 y FH(\))i FG(\022)g FI(L)1573 1525 y FD(n)1596 1519 y FH(\()p FI(q)1631 1525 y FC(1)1649 1519 y FH(\))165 1568 y FJ(und)k FI(E)283 1553 y Fy(0)281 1579 y FD(n)303 1568 y FH(\()p FI(q)338 1574 y FC(1)356 1568 y FH(\))f FG(\022)g FI(E)465 1574 y FD(n)487 1568 y FH(\()p FI(q)522 1574 y FC(1)540 1568 y FH(\))h FJ(de\034niert.)g (Die)f(De\034nition)g(v)o(on)g FI(L)1129 1553 y Fy(0)1129 1579 y FD(n)1152 1568 y FH(\()p FI(q)1187 1574 y FC(1)1206 1568 y FH(\))p FJ(,)g FI(E)1282 1553 y Fy(0)1280 1579 y FD(n)1302 1568 y FH(\()p FI(q)1337 1574 y FC(1)1355 1568 y FH(\))h FJ(erfolgt)f(rekursiv)165 1618 y(un)o(ter)f(Ben)o (utzung)f(v)o(on)g(Behauptung)g(1)g(aus)g(Lemma)d(2.3.5.)g(Dazu)j (setze)h(im)d(ersten)k(Sc)o(hritt)165 1668 y FI(I)g FH(:=)c FG(f)p FI(j)j FG(2)d FI(I)362 1674 y FC(2)390 1668 y FG(n)e(f)p FI(j)458 1674 y FC(0)477 1668 y FG(g)i FH(:)18 b FI(p)560 1674 y FD(i)572 1678 y Fx(0)588 1674 y FD(;j)631 1668 y FI(=)-25 b FG(2)11 b(G)r(g)p FJ(,)20 b FG(E)15 b FH(:=)c(\(di\()p FI(p)926 1674 y FD(i)938 1678 y Fx(0)954 1674 y FD(;j)981 1668 y FH(\)\))1013 1674 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1070 1668 y FJ(,)21 b FH(~)-22 b FI(\017)12 b FH(:=)1186 1637 y FB(P)1230 1681 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1294 1668 y FH(di)o(\()p FI(p)1365 1674 y FD(i)1377 1678 y Fx(0)1393 1674 y FD(;j)1420 1668 y FH(\))q FJ(,)1470 1657 y FH(~)1468 1668 y FI(\016)i FH(:=)d FI(\017)20 b FJ(\(b)q(e-)165 1729 y(ac)o(h)o(te,)11 b(da\377)g FH(~)-21 b FI(\017)11 b FG(\025)h FH(2)453 1718 y(~)451 1729 y FI(\016)i(>)528 1718 y FH(~)526 1729 y FI(\016)g FJ(w)o(egen)d(obiger)g(Behauptung)h (1\).)f(Behauptung)j(1)d(v)o(on)g(Lemma)e(2.3.5)165 1779 y(liefert)h(dann)f FI(I)400 1764 y Fy(0)422 1779 y FJ(und)h FG(D)q FJ(.)g(Setze)h FI(N)5 b FH(\()p FI(q)733 1785 y FC(1)751 1779 y FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FI(y)875 1785 y FD(j)904 1779 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)e FI(I)1026 1764 y Fy(0)1038 1779 y FG(g)p FJ(,)d FI(L)1108 1764 y Fy(0)1108 1789 y FC(0)1127 1779 y FH(\()p FI(q)1162 1785 y FC(1)1180 1779 y FH(\))j(:=)f FG(f)p FI(q)1303 1785 y FC(1)1321 1779 y FG(g)p FJ(,)e FI(L)1391 1764 y Fy(0)1391 1789 y FC(1)1410 1779 y FH(\()p FI(q)1445 1785 y FC(1)1463 1779 y FH(\))j(:=)f FI(N)5 b FH(\()p FI(q)1619 1785 y FC(1)1637 1779 y FH(\))p FJ(,)165 1829 y FI(E)198 1814 y Fy(0)196 1839 y FC(1)214 1829 y FH(\()p FI(q)249 1835 y FC(1)268 1829 y FH(\))16 b(:=)f FG(ff)p FI(q)420 1835 y FC(1)438 1829 y FI(;)7 b(y)477 1835 y FD(j)494 1829 y FG(g)16 b(2)f FI(E)605 1835 y FC(1)624 1829 y FH(\()p FI(q)659 1835 y FC(1)677 1829 y FH(\))h(:)22 b FI(y)763 1835 y FD(j)797 1829 y FG(2)16 b FI(N)5 b FH(\()p FI(q)914 1835 y FC(1)932 1829 y FH(\))p FJ(},)16 b FI(f)1017 1835 y FC(1)1036 1829 y FG(f)p FI(q)1076 1835 y FC(1)1094 1829 y FI(;)7 b(y)1133 1835 y FD(j)1150 1829 y FG(g)15 b FH(:=)h FI(d)1268 1835 y FD(j)1302 1829 y FJ(f\374r)g(alle)g FI(y)1469 1835 y FD(j)1503 1829 y FG(2)f FI(N)5 b FH(\()p FI(q)1619 1835 y FC(1)1637 1829 y FH(\))p FJ(.)165 1878 y(Dann)13 b(ist)335 1847 y FB(P)379 1891 y FD(y)396 1895 y Fs(j)411 1891 y Fy(2)p FD(N)s FC(\()p FD(q)490 1895 y Fx(1)508 1891 y FC(\))530 1878 y FI(f)550 1884 y FC(1)569 1878 y FG(f)p FI(q)609 1884 y FC(1)626 1878 y FI(;)7 b(y)665 1884 y FD(j)683 1878 y FG(g)k FH(=)h FI(\017)h FJ(und)529 1983 y FG(8)470 2012 y FD(y)487 2016 y Fs(j)503 2012 y Fy(2)p FD(N)s FC(\()p FD(q)582 2016 y Fx(1)599 2012 y FC(\))623 1983 y FI(f)643 1989 y FC(1)662 1983 y FG(f)p FI(q)702 1989 y FC(1)720 1983 y FI(;)7 b(y)759 1989 y FD(j)776 1983 y FG(g)12 b FI(<)g FH(di)o(\()p FI(p)924 1989 y FD(i)936 1993 y Fx(0)952 1989 y FD(;j)979 1983 y FH(\))g FG(\024)g FI(p)1072 1989 y FD(i)1084 1993 y Fx(0)1100 1989 y FD(;j)1139 1983 y FH(=)f FI(w)q FG(f)p FI(q)1253 1989 y FC(1)1271 1983 y FI(;)c(y)1310 1989 y FD(j)1327 1983 y FG(g)p FI(:)165 2105 y FJ(Nun)14 b(sei)g FI(n)e FG(\025)g FH(1)h FJ(ungerade,)h(und)g(f\374r)g(alle)f FI(m)f FG(\024)g FI(n)i FJ(seien)539 2203 y FI(L)567 2186 y Fy(0)567 2214 y FD(m)599 2203 y FH(\()p FI(q)634 2209 y FC(1)652 2203 y FH(\))e FG(\022)f FI(L)751 2209 y FD(m)783 2203 y FH(\()p FI(q)818 2209 y FC(1)837 2203 y FH(\))p FI(;)89 b(E)987 2186 y Fy(0)985 2214 y FD(m)1016 2203 y FH(\()p FI(q)1051 2209 y FC(1)1070 2203 y FH(\))11 b FG(\022)h FI(E)1172 2209 y FD(m)1203 2203 y FH(\()p FI(q)1238 2209 y FC(1)1257 2203 y FH(\))p FI(;)450 2350 y FH(0)f FI(<)h(f)546 2356 y FC(1)565 2350 y Fv(\026)582 2357 y FD(E)608 2349 y Ft(0)606 2366 y Fs(m)634 2357 y FC(\()p FD(q)662 2361 y Fx(1)678 2357 y FC(\))705 2350 y FI(<)g FH(\(di)6 b FG(\016)p FI(w)q FH(\))p Fv(\026)891 2357 y FD(E)917 2349 y Ft(0)915 2366 y Fs(m)943 2357 y FC(\()p FD(q)971 2361 y Fx(1)988 2357 y FC(\))1014 2350 y FG(\024)12 b FH(min)n FG(f)p FI(t;)7 b(w)q Fv(\026)1230 2357 y FD(E)1256 2349 y Ft(0)1254 2366 y Fs(m)1282 2357 y FC(\()p FD(q)1310 2361 y Fx(1)1326 2357 y FC(\))1341 2350 y FG(g)p FI(;)165 2449 y FJ(b)q(ereits)15 b(k)o(onstruiert,)f(so)g (da\377)756 2547 y FG(8)650 2576 y FD(v)q Fy(2)p FD(L)713 2567 y Ft(0)713 2584 y Fs(m)740 2576 y FC(\()p FD(q)768 2580 y Fx(1)785 2576 y FC(\))p FD(;)5 b(m)p Fy(6)p FC(=0)896 2547 y FI(v)917 2530 y Fy(\000)957 2547 y FG(2)12 b FI(L)1025 2530 y Fy(0)1025 2557 y FD(m)p Fy(\000)p FC(1)1099 2547 y FH(\()p FI(q)1134 2553 y FC(1)1152 2547 y FH(\))p FI(:)165 2677 y FJ(Sei)i FI(y)252 2683 y FD(j)266 2687 y Fs(n)300 2677 y FG(2)d FI(L)367 2661 y Fy(0)367 2687 y FD(n)390 2677 y FH(\()p FI(q)425 2683 y FC(1)443 2677 y FH(\))p FJ(,)j FI(x)509 2683 y FD(j)523 2687 y Fs(n)556 2677 y FH(:=)e FI(y)633 2659 y Fy(\000)632 2688 y FD(j)646 2692 y Fs(n)668 2677 y FJ(.)h(Dann)h(ist)452 2775 y FH(0)d FI(<)h(f)548 2781 y FC(1)567 2775 y FG(f)p FI(x)612 2781 y FD(i)624 2785 y Fs(n)645 2775 y FI(;)7 b(y)684 2781 y FD(j)698 2785 y Fs(n)720 2775 y FG(g)12 b FI(<)f FH(di\()p FI(p)868 2781 y FD(i)880 2785 y Fs(n)900 2781 y FD(;j)924 2785 y Fs(n)946 2775 y FH(\))h FG(\024)g FH(min)n FG(f)p FI(t;)7 b(w)q FG(f)p FI(x)1218 2781 y FD(i)1230 2785 y Fs(n)1250 2775 y FI(;)g(y)1289 2781 y FD(j)1303 2785 y Fs(n)1325 2775 y FG(gg)p FI(:)p eop %%Page: 40 42 40 41 bop 225 50 a FJ(40)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(Zur)g(An)o(w)o(endung)f(v)o(on)f(Behauptung)i(1)e(v)o(on)h(Lemma)d (2.3.5)h(setze)k(diesmal)692 294 y FI(I)f FH(:=)c FG(f)p FI(i)h FG(2)f FI(I)884 300 y FC(1)912 294 y FG(n)e(f)p FI(i)977 300 y FD(n)1000 294 y FG(g)i FH(:)18 b FI(p)1083 300 y FD(i;j)1119 304 y Fs(n)1157 294 y FI(=)-26 b FG(2)12 b(G)r(g)p FI(;)225 398 y FG(E)j FH(:=)c(\(di\()p FI(p)405 404 y FD(i;j)441 408 y Fs(n)463 398 y FH(\)\))495 404 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)548 398 y FJ(,)j FH(~)-21 b FI(\017)11 b FH(:=)658 367 y FB(P)701 410 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)761 398 y FH(di\()p FI(p)833 404 y FD(i;j)869 408 y Fs(n)891 398 y FH(\))p FJ(,)934 387 y FH(~)932 398 y FI(\016)j FH(:=)d FI(f)1039 404 y FC(1)1058 398 y FG(f)p FI(x)1103 404 y FD(i)1115 408 y Fs(n)1137 398 y FI(;)c(y)1176 404 y FD(j)1190 408 y Fs(n)1212 398 y FG(g)13 b FJ(\(b)q(eac)o(h)o(te,)i (da\377)686 494 y FH(~)684 505 y FI(\016)e FH(=)f FI(f)779 511 y FC(1)798 505 y FG(f)p FI(x)843 511 y FD(i)855 515 y Fs(n)877 505 y FI(;)7 b(y)916 511 y FD(j)930 515 y Fs(n)952 505 y FG(g)k FI(<)h FH(di\()p FI(p)1100 511 y FD(i)1112 515 y Fs(n)1132 511 y FD(;j)1156 515 y Fs(n)1178 505 y FH(\))f FG(\024)i FH(~)-22 b FI(\017)225 604 y FJ(w)o(egen)16 b(obiger)g(Behauptung)g(1\).)f(Behauptung)i(1)e(v)o(on)g (Lemma)e(2.3.5)h(liefert)i(dann)f(wieder)225 654 y FI(I)246 639 y Fy(0)270 654 y FJ(und)d FG(D)q FJ(.)f(Setze)j FI(N)5 b FH(\()p FI(y)588 660 y FD(j)602 664 y Fs(n)624 654 y FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FI(x)752 660 y FD(i)777 654 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)893 639 y Fy(0)905 654 y FG(g)p FJ(,)g FI(f)969 660 y FC(1)988 654 y FG(f)p FI(x)1033 660 y FD(i)1047 654 y FI(;)c(y)1086 660 y FD(j)1100 664 y Fs(n)1122 654 y FG(g)k FH(:=)g FI(d)1231 660 y FD(i)1257 654 y FJ(f\374r)g(alle)g FI(x)1418 660 y FD(i)1444 654 y FG(2)g FI(N)5 b FH(\()p FI(y)1557 660 y FD(j)1571 664 y Fs(n)1593 654 y FH(\))p FJ(.)12 b(Nac)o(h)225 703 y(Lemma)f(2.3.2)h(\(b\))i(sind)g(alle)f FI(N)5 b FH(\()p FI(y)q FH(\))p FJ(,)15 b FI(y)e FG(2)e FI(L)923 688 y Fy(0)923 714 y FD(n)946 703 y FH(\()p FI(q)981 709 y FC(1)999 703 y FH(\))j FJ(disjunkt.)g(Setze)711 821 y FI(L)739 803 y Fy(0)739 831 y FD(n)p FC(+1)804 821 y FH(\()p FI(q)839 827 y FC(1)857 821 y FH(\))e(:=)957 795 y(_)940 781 y FB([)986 845 y FD(y)q Fy(2)p FD(L)1049 837 y Ft(0)1049 854 y Fs(n)1069 845 y FC(\()p FD(q)1097 849 y Fx(1)1114 845 y FC(\))1129 821 y FI(N)5 b FH(\()p FI(y)q FH(\))p FI(;)225 938 y(E)258 923 y Fy(0)256 949 y FD(n)p FC(+1)320 938 y FH(\()p FI(q)355 944 y FC(1)374 938 y FH(\))11 b(:=)h FG(ff)p FI(x;)7 b(y)q FG(g)j(2)i FI(E)665 944 y FD(n)p FC(+1)740 938 y FH(:)18 b FI(x)12 b FG(2)f FI(L)873 923 y Fy(0)873 949 y FD(n)p FC(+1)938 938 y FH(\()p FI(q)973 944 y FC(1)991 938 y FH(\))p FI(;)j(y)f FG(2)e FI(L)1133 923 y Fy(0)1133 949 y FD(n)1156 938 y FH(\()p FI(q)1191 944 y FC(1)1209 938 y FH(\))p FG(g)p FJ(.)j(Dann)f(ist)703 1049 y FG(8)644 1078 y FD(y)q Fy(2)p FD(L)707 1069 y Ft(0)707 1086 y Fs(n)727 1078 y FC(\()p FD(q)755 1082 y Fx(1)772 1078 y FC(\))830 1010 y FB(X)803 1101 y FD(x)p Fy(2)p FD(N)s FC(\()p FD(y)q FC(\))924 1049 y FI(f)944 1055 y FC(1)963 1049 y FG(f)p FI(x;)7 b(y)q FG(g)k FH(=)h FI(f)1144 1055 y FC(1)1163 1049 y FG(f)p FI(y)q(;)7 b(y)1245 1032 y Fy(\000)1274 1049 y FG(g)p FI(:)225 1197 y FJ(Wie)12 b(im)f(Bew)o(eis)j(v)o(on)e(Satz)i (2.4.3)d(erfolgen)h(die)h(De\034nitionen)g(v)o(on)f FI(L)1331 1182 y Fy(0)1331 1207 y FD(n)p FC(+1)1396 1197 y FH(\()p FI(q)1431 1203 y FC(1)1449 1197 y FH(\))h FJ(und)g FI(E)1593 1182 y Fy(0)1591 1207 y FD(n)p FC(+1)1656 1197 y FH(\()p FI(q)1691 1203 y FC(1)1709 1197 y FH(\))225 1258 y FJ(f\374r)h(gerade)g FI(n)d FG(\025)h FH(1)h FJ(ganz)h(analog.)e(Setze)j(no)q(c)o(h)f FI(V)1007 1264 y FD(T)1027 1268 y Fx(1)1056 1258 y FH(:=)1123 1244 y(_)1112 1227 y FB(S)o Fy(1)1146 1270 y FD(n)p FC(=0)1211 1258 y FI(L)1239 1243 y Fy(0)1239 1268 y FD(n)1262 1258 y FH(\()p FI(q)1297 1264 y FC(1)1315 1258 y FH(\))p FJ(,)f FI(E)1387 1264 y FD(T)1407 1268 y Fx(1)1436 1258 y FH(:=)1503 1244 y(_)1492 1227 y FB(S)o Fy(1)1526 1270 y FD(n)p FC(=1)1591 1258 y FI(E)1624 1243 y Fy(0)1622 1268 y FD(n)1644 1258 y FH(\()p FI(q)1679 1264 y FC(1)1697 1258 y FH(\))p FJ(.)225 1308 y(Da)i FI(f)313 1314 y FC(1)332 1308 y FJ(,)h(wie)g(sc)o(hon)g(w)o (\344hrend)g(der)h(Konstruktion)f(gezeigt,)g(die)g(Bedingung)g (\(2.27\))f(erf\374llt,)225 1357 y(ist)f FI(f)303 1363 y FC(1)336 1357 y FJ(ein)g FI(\017)o FJ(-Flu\377)f(auf)h FI(T)624 1363 y FC(1)643 1357 y FJ(.)225 1407 y(Die)j(Konstruktion)g(v) o(on)g FI(T)668 1413 y FC(2)704 1407 y FJ(und)h FI(f)811 1413 y FC(2)847 1407 y FJ(erfolgt)f(genau)g(in)g(der)h(gleic)o(hen)f(W) m(eise)g(wie)g(die)g(v)o(on)225 1457 y FI(T)249 1463 y FC(1)285 1457 y FJ(und)h FI(f)392 1463 y FC(1)411 1457 y FJ(.)f(Sei)h(sc)o(hlie\377lic)o(h)717 1446 y FH(^)711 1457 y FI(V)27 b FH(:=)17 b FI(V)847 1463 y FD(T)867 1467 y Fx(1)893 1452 y FH(_)885 1457 y FG([)p FI(V)937 1463 y FD(T)957 1467 y Fx(2)975 1457 y FJ(,)1014 1446 y FH(^)1004 1457 y FI(E)j FH(:=)d FI(E)1147 1463 y FD(T)1167 1467 y Fx(1)1193 1452 y FH(_)1185 1457 y FG([)p FI(E)1244 1463 y FD(T)1264 1467 y Fx(2)1289 1452 y FH(_)1281 1457 y FG([ff)p FI(q)1370 1463 y FC(1)1388 1457 y FI(;)7 b(q)1426 1463 y FC(2)1443 1457 y FG(gg)p FJ(.)17 b(Dann)g(ist)g FI(B)225 1507 y FJ(mit)g FI(G)h FH(=)h(\()430 1496 y(^)424 1507 y FI(V)10 b(;)486 1496 y FH(^)477 1507 y FI(E)r(;)d(w)q Fv(\026)584 1513 y FC(^)577 1520 y FD(E)604 1507 y FH(\))19 b FJ(nac)o(h)f(De\034nition)g(2.3.7)e(ein)j FI(\017)o FJ(-Dopp)q(elbaum)e(.)h(Damit)e(ist)i(\(2.35\))225 1557 y(b)q(ewiesen.)225 1606 y(Den)d(F)m(all,)e(da\377)h FH(min)o FG(f)p FH(#)p FI(I)630 1612 y FC(1)648 1606 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)720 1612 y FC(2)738 1606 y FG(g)k FI(<)h(!)q FJ(,)j(k)n(ann)f(man)f(auf)i(den)g(F)m(all)e FH(#)p FI(I)1348 1612 y FC(1)1378 1606 y FH(=)f(#)p FI(I)1475 1612 y FC(2)1505 1606 y FH(=)g FI(!)k FJ(zur\374c)o(k-)225 1656 y(f\374hren,)h(indem)f (man)f(abz\344hlbar)h(viele)h(Nullzeilen)g(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)i (Nullspalten)d(hinzu-)225 1706 y(f\374gt.)d(Bleibt)h(der)h(F)m(all)d FH(#)p FI(I)653 1712 y FC(1)p FD(;nt)726 1706 y FH(=)g(#)p FI(I)823 1712 y FC(2)p FD(;nt)895 1706 y FI(>)g(!)r FJ(.)h(Erneut)i (nehme)e(man)g(an,)g(da\377)g(es)828 1805 y FH(\()p FI(i)858 1811 y FC(0)877 1805 y FI(;)7 b(j)913 1811 y FC(0)931 1805 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1016 1811 y FC(1)1044 1805 y FG(\002)e FI(I)1103 1811 y FC(2)225 1904 y FJ(gibt)k(mit)g FI(p)408 1910 y FD(i)420 1914 y Fx(0)435 1910 y FD(;j)459 1914 y Fx(0)493 1904 y FI(=)-25 b FG(2)11 b(G)r FJ(.)j(Wieder)g(wird)g (gezeigt,)g(da\377)f FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)i(Betrac)o(h)o(te)h FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)13 b(Es)i(sei)225 1954 y FI(Z)g FH(:=)c(Zhk)q(\()p FI(x)434 1960 y FD(i)446 1964 y Fx(0)463 1954 y FH(\))k FJ(und)g FI(I)596 1960 y FC(1)p FD(;Z)661 1954 y FH(:=)c FG(f)p FI(i)h FG(2)f FI(I)820 1960 y FC(1)850 1954 y FH(:)18 b FI(x)904 1960 y FD(i)929 1954 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(Z)s FH(\))p FG(g)p FJ(,)k FI(I)1130 1960 y FC(2)p FD(;Z)1195 1954 y FH(:=)e FG(f)p FI(j)h FG(2)f FI(I)1360 1960 y FC(2)1390 1954 y FH(:)18 b FI(y)1440 1960 y FD(j)1469 1954 y FG(2)12 b FI(V)d FH(\()p FI(Z)s FH(\))p FG(g)p FJ(.)14 b(Wie)225 2004 y(im)9 b(Bew)o(eis)i(v)o(on)f(Satz)h(2.1.19)d(gesehen,)k(sind)e FI(I)958 2010 y FC(1)p FD(;Z)1022 2004 y FJ(und)h FI(I)1120 2010 y FC(2)p FD(;Z)1183 2004 y FJ(abz\344hlbar)g(und)f(nac)o(h)h (De\034nition)225 2054 y(v)o(on)18 b FI(Z)23 b FJ(ist)18 b FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b Fv(\026)513 2060 y FD(I)528 2064 y Fx(1)p Fs(;Z)574 2060 y Fy(\002)p FD(I)615 2064 y Fx(2)p Fs(;Z)664 2054 y FH(\))20 b(=)g(\()p FI(I)786 2060 y FC(1)p FD(;Z)839 2054 y FI(;)7 b(I)876 2060 y FC(2)p FD(;Z)929 2054 y FI(;)g(r)q Fv(\026)985 2060 y FD(I)1000 2064 y Fx(1)p Fs(;Z)1048 2054 y FI(;)g(s)p Fv(\026)1103 2060 y FD(I)1118 2064 y Fx(2)p Fs(;Z)1167 2054 y FH(\))p FJ(.)19 b(Da)f(der)i(Bew)o(eis)f(f\374r)g(den)h(F)m(all) 225 2103 y FH(max)n FG(f)p FH(#)p FI(I)376 2109 y FC(1)394 2103 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)466 2109 y FC(2)484 2103 y FG(g)12 b(\024)f FI(!)20 b FJ(sc)o(hon)f(gef\374hrt)g(wurde,)g(ist)g FI(P)6 b Fv(\026)1128 2109 y FD(I)1143 2113 y Fx(1)p Fs(;Z)1189 2109 y Fy(\002)p FD(I)1230 2113 y Fx(2)p Fs(;Z)1294 2103 y FI(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b Fv(\026)1514 2109 y FD(I)1529 2113 y Fx(1)p Fs(;Z)1576 2109 y Fy(\002)p FD(I)1617 2113 y Fx(2)p Fs(;Z)1665 2103 y FH(\)\)\))p FJ(.)225 2153 y(Also)14 b(ist)f(nac)o(h)h(Satz)h(2.1.19)d(\(b\))i FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)691 b Fv(\004)225 2263 y FK(Korollar)14 b(2.4.12.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)d(\()p FI(I)767 2269 y FC(1)786 2263 y FI(;)c(I)823 2269 y FC(2)842 2263 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b Fz(ein)i(R)n(andsystem)h(mit)e FH(#)p FI(I)1374 2269 y FC(1)1404 2263 y FH(=)e(#)p FI(I)1501 2269 y FC(2)1531 2263 y FH(=)f FI(\013)k Fz(\()p FI(\013)f Fz(b)n(e-)225 2313 y(liebige)g(Kar)n(dinalzahl\))i(und)90 b FG(8)693 2342 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)794 2346 y Fx(1)810 2342 y Fy(\002)p FD(I)851 2346 y Fx(2)878 2313 y FI(r)897 2319 y FD(i)922 2313 y FH(=)12 b FI(s)985 2319 y FD(j)1014 2313 y FH(=)g(1)p Fz(.)i(Dann)j(ist)d FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g FG(M)1536 2319 y FD(p)1555 2313 y FH(\()p FI(I)1589 2319 y FC(1)1608 2313 y FI(;)7 b(I)1645 2319 y FC(2)1663 2313 y FH(\))p Fz(.)225 2477 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\023)p FJ(\020)e(folgt)13 b(wieder,)h(da)f FH(0)p FI(;)7 b FH(1)13 b FJ(die)h(Extremalpunkte)f (des)i(In)o(terv)n(alls)e FH([0)p FI(;)7 b FH(1])12 b FJ(sind.)225 2527 y(\022)s FG(\022)p FJ(\020)s(:)i(Das)g(folgt)f (sofort)h(aus)g(Satz)g(2.4.11,)e(denn)i Fu(Z)n FJ(ist)g(abgesc)o (hlossen,)h(und)f FI(p)1488 2533 y FD(i;j)1538 2527 y FG(2)d Fu(Z)n FJ(impli-)225 2577 y(ziert)k FI(p)341 2583 y FD(i;j)391 2577 y FG(2)c(f)p FH(0)p FI(;)c FH(1)p FG(g)13 b FJ(w)o(egen)h(der)h(V)m(oraussetzung.)680 b Fv(\004)225 2715 y FJ(Ist)11 b(die)g(v)o(on)g(den)g(Randv)o(erteilungen)g(erzeugte) i(Grupp)q(e)e FG(G)i FJ(nic)o(h)o(t)e(abgesc)o(hlossen,)h(so)f(k)n(ann) f(es)225 2765 y(v)o(ork)o(omm)o(en,)g(da\377)h FI(P)17 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g FJ(und)h(denno)q(c)o(h)g FI(p)1047 2771 y FD(i;j)1102 2765 y FI(=)-26 b FG(2)11 b(G)k FJ(\(sogar)d(f\374r)g(alle)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1591 2771 y FC(1)1619 2765 y FG(\002)e FI(I)1678 2771 y FC(2)1697 2765 y FJ(\).)225 2815 y(Um)k(das)h(zu)g(sehen,)h(dien)o(t)f(das)g (folgende)f(Beispiel)h(2.4.13.)p eop %%Page: 41 43 41 42 bop 165 50 a Fw(2.4.)26 b(GRAPHENTHEORETISCHE)15 b(CHARAKTERISIER)o(UNG)321 b FJ(41)165 195 y FK(Beispiel)13 b(2.4.13.)21 b FJ(Es)14 b(sei)408 433 y FI(P)j FH(:=)508 262 y FB(0)508 335 y(B)508 360 y(B)508 385 y(B)508 410 y(B)508 435 y(B)508 460 y(B)508 485 y(B)508 511 y(@)544 294 y FH(1)9 b FG(\000)g FI(a)637 300 y FC(1)733 294 y FI(a)755 300 y FC(2)580 344 y FI(a)602 350 y FC(2)851 344 y FH(1)g FG(\000)g FI(a)944 350 y FC(3)697 394 y FH(1)g FG(\000)h FI(a)791 400 y FC(3)1040 394 y FI(a)1062 400 y FC(4)887 444 y FI(a)909 450 y FC(4)1158 444 y FH(1)f FG(\000)h FI(a)1252 450 y FC(5)1005 493 y FH(1)f FG(\000)g FI(a)1098 499 y FC(5)1314 542 y FJ(.)1330 554 y(.)1346 567 y(.)1360 262 y FB(1)1360 335 y(C)1360 360 y(C)1360 385 y(C)1360 410 y(C)1360 435 y(C)1360 460 y(C)1360 485 y(C)1360 511 y(A)1403 433 y FI(;)-1250 b FJ(\(2.37\))165 673 y FG(I)14 b FH(:=)e FG(I)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)13 b(Dab)q(ei)h(sei)g(f\374r)g FI(n)d FG(2)g Fu(N)n FJ(,)620 779 y FI(a)642 785 y FD(n)676 779 y FH(:=)g(\(10)789 762 y FD(n)812 743 y FG(p)p 846 743 21 2 v 846 779 a FH(2)e FG(\000)h(b)p FH(10)978 762 y FD(n)1000 743 y FG(p)p 1035 743 V 36 x FH(2)p FG(c)p FH(\))f FG(\001)g FH(10)1162 762 y Fy(\000)p FD(n)165 779 y FJ(\(2.38\))165 881 y(\()181 847 y FG(p)p 216 847 V 34 x FH(2)14 b FJ(k)o(\366nn)o(te)g (dab)q(ei)h(durc)o(h)g(jede)g(andere)h(Zahl)e(aus)g Fu(R)1037 863 y FC(+)1074 881 y FG(n)9 b Fu(Q)j FJ(ersetzt)17 b(w)o(erden\).)e (Die)f FI(a)1554 887 y FD(n)1591 881 y FJ(sind)165 931 y(dann)19 b(alle)f(irrational)g(und)h(p)q(ositiv.)f FG(hf)p FI(r)840 937 y FD(i)865 931 y FH(:)g FI(i)12 b FG(2)f FI(I)978 937 y FC(1)997 931 y FG(g)e([)g(f)p FI(s)1104 937 y FD(j)1133 931 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1251 937 y FC(2)1270 931 y FG(gi)g(\022)h Fu(Q)n FJ(,)18 b(denn)i(f\374r)f (alle)165 981 y FI(n)11 b FG(2)h Fu(N)f FJ(ist)197 1125 y FG(\000)p FI(a)251 1131 y FD(n)283 1125 y FH(+)e FI(a)346 1131 y FD(n)p FC(+1)422 1125 y FH(=)j FG(\000)p FH(\(10)556 1108 y FD(n)579 1089 y FG(p)p 613 1089 V 613 1125 a FH(2)d FG(\000)h(b)p FH(10)745 1108 y FD(n)767 1089 y FG(p)p 802 1089 V 36 x FH(2)p FG(c)p FH(\))f FG(\001)g FH(10)929 1108 y Fy(\000)p FD(n)986 1125 y FH(+)h(\(10)1086 1108 y FD(n)p FC(+1)1150 1089 y FG(p)p 1185 1089 V 36 x FH(2)f FG(\000)g(b)p FH(10)1316 1108 y FD(n)p FC(+1)1381 1089 y FG(p)p 1416 1089 V 36 x FH(2)o FG(c)p FH(\))h FG(\001)f FH(10)1543 1108 y Fy(\000)p FD(n)p Fy(\000)p FC(1)422 1208 y FH(=)j(\()p FG(b)p FH(10)542 1191 y FD(n)565 1172 y FG(p)p 599 1172 V 599 1208 a FH(2)p FG(c)e(\000)705 1180 y FH(1)p 694 1199 42 2 v 694 1237 a(10)741 1208 y FG(b)p FH(10)801 1191 y FD(n)p FC(+1)865 1172 y FG(p)p 900 1172 21 2 v 36 x FH(2)p FG(c)p FH(\)10)997 1191 y Fy(\000)p FD(n)1057 1208 y FG(2)h Fu(Q)165 1069 y FJ(\(2.39\))165 1322 y(und)22 b(damit)e(auc)o(h)i FI(a)512 1328 y FD(n)544 1322 y FG(\000)9 b FI(a)607 1328 y FD(n)p FC(+1)683 1322 y FG(2)i Fu(Q)n FJ(,)21 b(das)h(hei\377t)43 b FG(8)982 1349 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1031 1353 y Fx(1)1058 1322 y FI(r)1077 1328 y FD(i)1102 1322 y FG(2)11 b Fu(Q)n FJ(,)44 b FG(8)1207 1349 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1260 1353 y Fx(2)1287 1322 y FI(s)1306 1328 y FD(j)1336 1322 y FG(2)11 b Fu(Q)m FJ(.)22 b(Denno)q(c)o(h)g(ist)165 1394 y FI(P)17 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))21 b FJ(nac)o(h)g(Lemma)d(2.1.13)h(\(b\),)h(denn)i(f\374r)f (eine)g(Matrix)g FI(E)13 b FG(2)e(M)1448 1400 y Fl(R)1471 1394 y FH(\()p Fu(N)p FI(;)c Fu(N)o FH(\))18 b FJ(mit)165 1532 y FI(P)d FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(\025)e FH(0)o FJ(,)g(deren)h(Linien)f(sic)o(h)g(alle)f(zu)i(Null)e(summieren,)f(gilt) h FI(E)i FH(=)1295 1411 y FB(0)1295 1484 y(B)1295 1509 y(B)1295 1534 y(B)1295 1561 y(@)1333 1443 y FI(e)1352 1449 y FC(0)1416 1443 y FI(e)1435 1449 y FC(1)1332 1493 y FI(f)1352 1499 y FC(1)1499 1493 y FI(e)1518 1499 y FC(2)1416 1543 y FI(f)1436 1549 y FC(2)1583 1591 y FJ(.)1599 1603 y(.)1615 1616 y(.)1629 1411 y FB(1)1629 1484 y(C)1629 1509 y(C)1629 1534 y(C)1629 1561 y(A)165 1668 y FJ(und)h(w)o(eiterhin) 301 1770 y FG(\001)7 b(\001)g(\001)h(\000)h FI(e)419 1776 y FC(3)450 1770 y FH(=)i FI(f)513 1776 y FC(2)544 1770 y FH(=)h FG(\000)p FI(e)639 1776 y FC(1)669 1770 y FH(=)g FI(e)732 1776 y FC(0)763 1770 y FH(=)g FG(\000)p FI(f)859 1776 y FC(1)889 1770 y FH(=)g FI(e)952 1776 y FC(2)983 1770 y FH(=)f FG(\000)p FI(f)1078 1776 y FC(3)1109 1770 y FH(=)h FG(\001)7 b(\001)g(\001)j(\024)i FH(inf)r FG(f)p FI(a)1350 1776 y FD(n)1384 1770 y FH(:)18 b FI(n)12 b FG(2)f Fu(N)p FG(g)e FH(=)j(0)p FI(;)165 1871 y FJ(das)i(hei\377t)g FI(E)f FH(=)f(0)p FJ(.)165 1996 y(Das)i(folgende)f(Beispiel)h(zeigt,)g (da\377)f(die)h(Umk)o(ehrung)f(v)o(on)h(Satz)g(2.4.11)e(nic)o(h)o(t)h (gilt.)165 2089 y FK(Beispiel)g(2.4.14.)21 b FJ(Betrac)o(h)o(te)f(das)e (Randsystem)f FG(I)d FH(:=)e(\()p FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b FH(2)p FG(g)p FI(;)g FG(f)p FH(1)p FI(;)g FH(2)o FG(g)p FI(;)g FH(\(4)p FI(;)f FH(5\))p FI(;)g FH(\(5)p FI(;)h FH(4)o(\)\))16 b FJ(und)165 2164 y(die)c(Matrix)g FI(P)17 b FH(:=)466 2106 y FB(\022)538 2139 y FH(3)42 b(1)538 2189 y(2)g(3)621 2106 y FB(\023)652 2164 y FJ(.)12 b(Dann)f(ist)i FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)h(und)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FJ(hat)g(einen)g(Kreis.)h(Also)f (ist)165 2239 y FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))q FJ(.)i(Andrerseits)j(ist)e(ab)q(er)g FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)j(\022)h(hf)p FH(4)p FI(;)c FH(5)p FG(gi)k FH(=)h Fu(Z)-17 b FJ(.)165 2332 y FK(Lemma)15 b(2.4.15.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)687 2338 y FC(1)706 2332 y FI(;)7 b(I)743 2338 y FC(2)761 2332 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(und)f FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q Fz(.)j(Gilt)g(dann)452 2434 y FH(\()477 2424 y(~)468 2434 y FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))k Fz(und)23 b FH(supp\()857 2424 y(~)847 2434 y FI(P)6 b FH(\))12 b FG(\022)f FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\)\))42 b FG(\))1253 2424 y FH(~)1244 2434 y FI(P)17 b FH(=)12 b FI(P)q(;)-1207 b FJ(\(2.40\))165 2536 y Fz(so)15 b(ist)f FI(P)j FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)165 2687 y(Beweis.)20 b FJ(Angenommen)f FI(P)j(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)21 b(Dann)g(gibt)g(es)h(nac)o(h)f(Lemma)e(2.1.13) g(\(b\))j(eine)165 2736 y(Matrix)f FI(E)13 b FG(2)f(M)445 2742 y Fl(R)468 2736 y FH(\()p FI(I)502 2742 y FC(1)521 2736 y FI(;)7 b(I)558 2742 y FC(2)576 2736 y FH(\))p FJ(,)21 b(so)g(da\377)g(sic)o(h)h(alle)e(Linien)h(v)o(on)g FI(E)i FJ(zu)f(Null)e(summieren)g(und)165 2786 y FI(P)15 b FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(\025)e FH(0)o FJ(.)i(Also)f(ist)h FI(P)j FG(6)p FH(=)12 b FI(P)j FG(\006)9 b FI(E)14 b FG(2)d(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))j FJ(und)g FH(supp\()p FI(P)h FG(\006)10 b FI(E)r FH(\))h FG(\022)h FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))o FJ(.)205 b Fv(\004)p eop %%Page: 42 44 42 43 bop 225 50 a FJ(42)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Satz)g(2.4.16.)21 b Fz(Sei)g FG(I)14 b FH(:=)d(\()p FI(I)688 201 y FC(1)707 195 y FI(;)c(I)744 201 y FC(2)763 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))19 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(mit)1264 164 y FB(P)1308 208 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1357 212 y Fx(1)1382 195 y FI(r)1401 201 y FD(i)1426 195 y FH(=)1470 164 y FB(P)1514 208 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1567 212 y Fx(2)1591 195 y FI(s)1610 201 y FD(j)1640 195 y FI(<)11 b FG(1)225 245 y Fz(und)16 b FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(Dann)h(gilt)519 341 y FH(\()544 331 y(~)535 341 y FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))k Fz(und)23 b FH(supp\()924 331 y(~)914 341 y FI(P)6 b FH(\))11 b FG(\022)h FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\)\))42 b FG(\))1320 331 y FH(~)1311 341 y FI(P)17 b FH(=)12 b FI(P)-1201 b FJ(\(2.41\))225 438 y Fz(genau)16 b(dann,)g(wenn)f FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)225 565 y(Beweis.)20 b FJ(W)m(egen)f(Lemma)d(2.4.15)h (ist)i(n)o(ur)g(\022)s FG(\()p FJ(\020)j(zu)d(zeigen.)h(Dazu)e(nehme)h (man)e(an,)h(da\377)225 615 y(es)287 604 y FH(~)278 615 y FI(P)f FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))18 b FJ(gibt)g(mit)649 604 y FH(~)640 615 y FI(P)f FG(6)p FH(=)12 b FI(P)23 b FJ(und)18 b FH(supp)q(\()976 604 y(~)967 615 y FI(P)5 b FH(\))12 b FG(\022)g FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)18 b(Setze)h FI(T)f FH(:=)11 b FI(P)k FG(\000)1552 604 y FH(~)1543 615 y FI(P)6 b FJ(.)17 b(W)m(egen)225 665 y FI(P)q(;)281 654 y FH(~)272 665 y FI(P)f FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))19 b FJ(addieren)f(sic)o(h)g(alle)g(Linien)f(v)o (on)h FI(T)24 b FJ(zu)19 b(Null.)d(Da)1311 654 y FH(~)1302 665 y FI(P)h FG(6)p FH(=)12 b FI(P)23 b FJ(gilt,)17 b(gibt)g(es)i(ein) 225 715 y(Indexpaar)14 b FH(\()p FI(i)451 721 y FC(0)470 715 y FI(;)7 b(j)506 721 y FC(0)524 715 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)609 721 y FC(1)637 715 y FG(\002)f FI(I)697 721 y FC(2)730 715 y FJ(mit)i FI(t)821 721 y FD(i)833 725 y Fx(0)849 721 y FD(;j)873 725 y Fx(0)902 715 y FI(>)g FH(0)p FJ(.)h(W)m(egen)746 811 y FG(8)671 840 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)772 844 y Fx(1)787 840 y Fy(\002)p FD(I)828 844 y Fx(2)856 811 y FH(\()p FI(p)893 817 y FD(i;j)943 811 y FH(=)f(0)42 b FG(\))f FI(t)1148 817 y FD(i;j)1198 811 y FH(=)12 b(0\))225 940 y FJ(gilt)17 b(mit)g FI(G)11 b FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))18 b FJ(und)911 930 y FH(~)902 940 y FI(G)11 b FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(T)6 b FH(\))12 b(=)f(\()1173 930 y(~)1167 940 y FI(V)f(;)1229 930 y FH(~)1220 940 y FI(E)q(;)15 b FH(~)-29 b FI(w)q FH(\))p FJ(,)18 b(da\377)g FH(\()1453 930 y(~)1447 940 y FI(V)9 b(;)1508 930 y FH(~)1499 940 y FI(E)r FH(\))i FG(\024)h FH(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r FH(\))p FJ(.)225 990 y(Hat)20 b(dann)431 980 y FH(~)422 990 y FI(G)f FJ(einen)h(Kreis,)g(so) g(auc)o(h)f FI(G)p FJ(,)g(und)h(es)g(folgt)e FI(P)f FG(62)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)19 b(Man)h(k)n(ann)f(also)225 1040 y(annehmen,)c(da\377)526 1029 y FH(~)517 1040 y FI(G)g FJ(kreisfrei)i(ist.)e(Dann)g(folgt)g(wie) h(im)d(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(-T)m(eil)i(des)i(Bew)o(eises)g(v)o(on)f (Satz)225 1090 y(2.4.3,)10 b(da\377)i FI(G)p FH(\()p FG(j)p FI(T)6 b FG(j)p FH(\))11 b FJ(einen)i FI(t)663 1096 y FD(i)675 1100 y Fx(0)691 1096 y FD(;j)715 1100 y Fx(0)733 1090 y FJ(-Dopp)q(elbaum)d(hat.)h(Daraus)h(folgt)g(nac)o(h)g (Lemma)d(2.4.4,)h(da\377)845 1157 y FB(X)789 1248 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)890 1252 y Fx(1)905 1248 y Fy(\002)p FD(I)946 1252 y Fx(2)969 1196 y FG(j)p FI(t)996 1202 y FD(i;j)1034 1196 y FG(j)h FH(=)h FG(1)p FI(;)225 1328 y FJ(w)o(as)i(w)o(egen)823 1424 y FG(j)p FI(t)850 1430 y FD(i;j)889 1424 y FG(j)d(\024)h FI(p)977 1430 y FD(i;j)1025 1424 y FH(+)h(~)-24 b FI(p)1088 1430 y FD(i;j)225 1521 y FJ(im)12 b(Widerspruc)o(h)j(zur)f(V)m(oraussetzung) 876 1490 y FB(P)920 1533 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)969 1537 y Fx(1)994 1521 y FI(r)1013 1527 y FD(i)1038 1521 y FH(=)1082 1490 y FB(P)1126 1533 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1179 1537 y Fx(2)1204 1521 y FI(s)1223 1527 y FD(j)1252 1521 y FI(<)e FG(1)h FJ(steh)o(t.)242 b Fv(\004)225 1648 y FJ(Der)14 b(Bew)o(eis)g(ist)g(analog)e(zu)i(dem)e(v)o(on)h(Prop)q(osition)g(1)h (in)f([4)o(],)g(n)o(ur)g(da\377)g(dort)h(die)f(V)m(orausset-)225 1698 y(zung)323 1667 y FB(P)367 1710 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)416 1714 y Fx(1)441 1698 y FI(r)460 1704 y FD(i)485 1698 y FH(=)529 1667 y FB(P)573 1710 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)626 1714 y Fx(2)650 1698 y FI(s)669 1704 y FD(j)699 1698 y FI(<)f FG(1)g FJ(v)o(ergessen)i(wurde.)f(Das)g(folgende)f (Beispiel)h(2.4.17)e(zeigt,)225 1748 y(da\377)i(diese)i(V)m (oraussetzung)g(w)o(esen)o(tlic)o(h)f(ist.)225 1836 y FK(Beispiel)f(2.4.17.)21 b FJ(Sei)14 b FI(P)19 b FJ(die)14 b(Matrix)f(aus)h(Beispiel)g(2.4.13,)e FG(I)i FH(:=)d FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(und)705 2021 y FI(E)g FH(:=)805 1900 y FB(0)805 1973 y(B)805 1998 y(B)805 2023 y(B)805 2050 y(@)841 1932 y FG(\000)878 1916 y FC(1)p 878 1923 17 2 v 878 1946 a(2)962 1916 y(1)p 962 1923 V 962 1946 a(2)862 1966 y(1)p 862 1973 V 862 1996 a(2)1042 1982 y FG(\000)1079 1966 y FC(1)p 1079 1973 V 1079 1996 a(2)941 2032 y FG(\000)978 2016 y FC(1)p 979 2023 V 979 2046 a(2)1144 2081 y FJ(.)1160 2093 y(.)1177 2106 y(.)1190 1900 y FB(1)1190 1973 y(C)1190 1998 y(C)1190 2023 y(C)1190 2050 y(A)1234 2021 y FI(:)-1021 b FJ(\(2.42\))225 2210 y(Da)12 b(f\374r)h(die)f(nac)o(h)h(\(2.38\))e(de\034nierten)k FI(a)862 2216 y FD(n)897 2210 y FJ(gilt)32 b FG(8)969 2237 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)1045 2210 y FH(0)11 b FI(<)h(a)1143 2216 y FD(n)1177 2210 y FI(<)1234 2194 y FC(1)p 1226 2201 34 2 v 1226 2225 a(10)1264 2210 y FJ(,)g(ist)g FI(P)j FH(+)9 b FI(E)14 b FG(2)d(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)h(Dann)225 2279 y(ist)e FH(supp)q(\()p FI(P)15 b FH(+)9 b FI(E)r FH(\))j(=)g(supp\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)k FI(P)17 b FG(6)p FH(=)12 b FI(P)i FH(+)c FI(E)i FJ(und)f(denno)q(c)o(h,)g(wie)f(in)g(Beispiel)h(2.4.13)d(gezeigt,)225 2329 y FI(P)17 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))j FJ(\(es)g(ist)g FI(P)h FG(\000)9 b FI(E)19 b(=)-26 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))j FJ(!\).)225 2443 y(Aus)g(Satz)h(2.4.16)d(ergibt)i(sic)o(h)225 2531 y FK(Korollar)g(2.4.18.)21 b Fz(Sei)12 b FG(I)i FH(:=)d(\()p FI(I)764 2537 y FC(1)783 2531 y FI(;)c(I)820 2537 y FC(2)839 2531 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))j Fz(ein)i(R)n (andsystem)g(und)h FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)g(Gilt)g(f\374r)h(je)n(de)225 2581 y(Zusammenhangskomp)n (onente)18 b FI(H)g Fz(von)d FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p Fz(,)14 b(da\377)1087 2550 y FB(P)1131 2594 y FD(x)1150 2598 y Fs(i)1163 2594 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(H)r FC(\))1276 2581 y FI(r)1295 2587 y FD(i)1320 2581 y FI(<)12 b FG(1)o Fz(,)j(so)g(ist)519 2690 y FH(\()544 2679 y(~)535 2690 y FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))k Fz(und)23 b FH(supp\()924 2679 y(~)914 2690 y FI(P)6 b FH(\))11 b FG(\022)h FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\)\))42 b FG(\))1320 2679 y FH(~)1311 2690 y FI(P)17 b FH(=)12 b FI(P)-1201 b FJ(\(2.43\))225 2786 y Fz(genau)16 b(dann)g(richtig,)e(wenn)i FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)p eop %%Page: 43 45 43 44 bop 165 50 a Fw(2.4.)26 b(GRAPHENTHEORETISCHE)15 b(CHARAKTERISIER)o(UNG)321 b FJ(43)165 195 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Wieder)j(ist)f(w)o(egen)h(Lemma)c(2.4.15)i(n)o(ur)h(\022)s FG(\()p FJ(\020)j(zu)e(zeigen.)g(Angenommen,)c(es)165 245 y(gibt)266 234 y FH(~)257 245 y FI(P)e FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))20 b FJ(mit)f FH(supp\()645 234 y(~)635 245 y FI(P)6 b FH(\))12 b FG(\022)f FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))20 b FJ(und)g FI(P)d FG(6)p FH(=)1096 234 y(~)1087 245 y FI(P)5 b FJ(.)20 b(W\344hle)g FH(\()p FI(i)1318 251 y FC(0)1337 245 y FI(;)7 b(j)1373 251 y FC(0)1391 245 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1476 251 y FC(1)1504 245 y FG(\002)f FI(I)1564 251 y FC(2)1603 245 y FJ(mit)165 295 y FI(p)186 301 y FD(i)198 305 y Fx(0)214 301 y FD(;j)238 305 y Fx(0)267 295 y FG(6)p FH(=)16 b(~)-25 b FI(p)332 301 y FD(i)344 305 y Fx(0)360 301 y FD(;j)384 305 y Fx(0)402 295 y FJ(.)13 b(De\034niere)i(dann)f FI(H)g FH(:=)d(Zhk)881 302 y FD(G)p FC(\()p FD(P)t FC(\))960 295 y FH(\()p FI(x)1000 301 y FD(i)1012 305 y Fx(0)1030 295 y FH(\))j FJ(und)389 368 y FI(I)407 374 y FC(1)p FD(;H)477 368 y FH(:=)d FG(f)p FI(i)h FG(2)f FI(I)636 374 y FC(1)666 368 y FH(:)18 b FI(x)720 374 y FD(i)745 368 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(H)s FH(\))p FG(g)p FI(;)89 b(I)1028 374 y FC(2)p FD(;H)1098 368 y FH(:=)11 b FG(f)p FI(j)j FG(2)d FI(I)1262 374 y FC(2)1293 368 y FH(:)18 b FI(y)1343 374 y FD(j)1372 368 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(H)s FH(\))p FG(g)p FI(:)165 441 y FJ(Nac)o(h)g(dem)f(Bew)o(eis)j(v)o(on)d(Satz)i(2.1.19,)c(sind)j FI(I)879 447 y FC(1)p FD(;H)948 441 y FJ(und)g FI(I)1045 447 y FC(2)p FD(;H)1113 441 y FJ(abz\344hlbar,)f(und)i(nac)o(h)f (De\034nition)165 496 y(v)o(on)j FI(H)k FJ(ist)357 485 y FH(~)353 496 y FG(I)d FH(:=)e FG(I)r FH(\()p FI(P)6 b Fv(\026)537 502 y FD(I)552 506 y Fx(1)p Fs(;H)602 502 y Fy(\002)p FD(I)643 506 y Fx(2)p Fs(;H)695 496 y FH(\))12 b(=)g(\()p FI(I)801 502 y FC(1)p FD(;H)859 496 y FI(;)7 b(I)896 502 y FC(2)p FD(;H)953 496 y FI(;)g(r)q Fv(\026)1009 502 y FD(I)1024 506 y Fx(1)p Fs(;H)1076 496 y FI(;)g(s)p Fv(\026)1131 502 y FD(I)1146 506 y Fx(2)p Fs(;H)1198 496 y FH(\))q FJ(.)13 b(W)m(eiterhin)g(sind)618 576 y FI(P)6 b Fv(\026)668 582 y FD(I)683 586 y Fx(1)p Fs(;H)733 582 y Fy(\002)p FD(I)774 586 y Fx(2)p Fs(;H)826 576 y FI(;)853 565 y FH(~)845 576 y FI(P)t Fv(\026)893 582 y FD(I)908 586 y Fx(1)p Fs(;H)959 582 y Fy(\002)p FD(I)1000 586 y Fx(2)p Fs(;H)1063 576 y FG(2)12 b(D)q FH(\()1156 565 y(~)1152 576 y FG(I)s FH(\))p FI(;)165 656 y FH(supp)q(\()p FI(P)6 b Fv(\026)317 662 y FD(I)332 666 y Fx(1)p Fs(;H)381 662 y Fy(\002)p FD(I)422 666 y Fx(2)p Fs(;H)474 656 y FH(\))12 b FG(\023)g FH(supp)q(\()657 646 y(~)648 656 y FI(P)5 b Fv(\026)697 662 y FD(I)712 666 y Fx(1)p Fs(;H)762 662 y Fy(\002)p FD(I)803 666 y Fx(2)p Fs(;H)855 656 y FH(\))22 b FJ(so)o(wie)g FI(P)6 b Fv(\026)1061 662 y FD(I)1076 666 y Fx(1)p Fs(;H)1126 662 y Fy(\002)p FD(I)1167 666 y Fx(2)p Fs(;H)1230 656 y FG(6)p FH(=)1283 646 y(~)1274 656 y FI(P)f Fv(\026)1323 662 y FD(I)1338 666 y Fx(1)p Fs(;H)1389 662 y Fy(\002)p FD(I)1430 666 y Fx(2)p Fs(;H)1482 656 y FJ(.)21 b(Aus)h(der)165 713 y(V)m(oraussetzung)e(des)g(Korollars) e(und)h(Satz)h(2.4.16)d(folgt)g(damit)g FI(P)6 b Fv(\026)1293 719 y FD(I)1308 723 y Fx(1)p Fs(;H)1358 719 y Fy(\002)p FD(I)1399 723 y Fx(2)p Fs(;H)1463 713 y FG(62)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1599 702 y(~)1595 713 y FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 763 y(Nac)o(h)j(Satz)g(2.1.14)e(\(b\))i(ist)g(also)f(auc)o(h)h FI(P)j FG(62)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)595 b Fv(\004)165 859 y FJ(Der)17 b(folgende)g(Satz)g (2.4.23)e(gibt)h(eine)h(graphen)o(theoretisc)o(he)i(Charakterisierung)e (der)h(Ex-)165 909 y(tremalpunkte)d(v)o(on)h FG(D)q FH(\()p FG(\024)c(I)s FH(\))p FJ(.)k(Dazu)g(sind)g(zw)o(ei)g(w)o(eitere)h(tec)o (hnisc)o(he)h(De\034nitionen)e(\(2.4.19)165 959 y(und)e(2.4.21\))e(not) o(w)o(endig.)165 1027 y FK(De\034nitio)o(n)h(2.4.19.)21 b FJ(Sei)16 b FI(G)g FH(=)g(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))16 b FJ(ein)h(gewic)o(h)o(teter)h(Graph)e(und)g FI(\017)g(>)g FH(0)p FJ(.)g(Ein)h Fz(un-)165 1077 y(end)r(licher)f FI(\017)p Fz(-W)m(e)n(g)e FI(W)19 b FJ(ist)14 b(ein)g(W)m(eg)f FI(W)18 b FG(\024)12 b FI(G)p FJ(,)h(so)h(da\377)f FI(w)q Fv(\026)1077 1084 y FD(E)r FC(\()p FD(W)t FC(\))1178 1077 y FG(\025)f FI(\017)i FJ(und)g FI(l)q FH(\()p FI(W)6 b FH(\))12 b(=)g FG(1)p FJ(.)165 1146 y FK(Bemerkung)i(2.4.20.)21 b FJ(Sei)15 b FI(G)e FH(=)g(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))15 b FJ(ein)g(gewic)o(h)o(teter)h(Graph,)e FI(\017)e(>)f FH(0)k FJ(und)g FI(W)j FG(\024)11 b FI(G)165 1196 y FJ(ein)k(unendlic)o (her)g FI(\017)p FJ(-W)m(eg.)e(Dann)h(gilt)779 1165 y FB(P)823 1208 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)r FC(\()p FD(W)t FC(\))957 1196 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))e FG(\025)g(1)d(\001)g FI(\017)i FH(=)h FG(1)o FJ(,)j(das)f(hei\377t,)g(insb)q(eson-)165 1251 y(dere)h(ist)313 1220 y FB(P)357 1263 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)430 1251 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))d(=)g FG(1)o FJ(.)165 1319 y FK(De\034nitio)o(n)h(2.4.21.)21 b FJ(Sei)14 b FG(I)g FH(:=)d(\()p FI(I)737 1325 y FC(1)756 1319 y FI(;)c(I)793 1325 y FC(2)812 1319 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))12 b FJ(ein)i FG(\024)p FJ(-Randsystem,)f FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))i FJ(und)753 1393 y FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))p FI(:)165 1466 y FJ(Setze)317 1539 y FI(V)341 1545 y FD(<)381 1539 y FH(=)12 b FI(V)449 1545 y FD(<)477 1539 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FI(x)654 1545 y FD(i)679 1539 y FG(2)g FI(V)21 b FH(:)797 1500 y FB(X)793 1589 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)846 1593 y Fx(2)868 1539 y FI(p)889 1545 y FD(i;j)940 1539 y FI(<)12 b(r)1003 1545 y FD(i)1016 1539 y FG(g)1052 1534 y FH(_)1044 1539 y FG([f)p FI(y)1113 1545 y FD(j)1142 1539 y FG(2)f FI(V)21 b FH(:)1259 1500 y FB(X)1256 1589 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1305 1593 y Fx(1)1328 1539 y FI(p)1349 1545 y FD(i;j)1399 1539 y FI(<)12 b(s)1462 1545 y FD(j)1480 1539 y FG(g)p FI(:)165 1695 y FK(Lemma)j(2.4.22.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)687 1701 y FC(1)706 1695 y FI(;)7 b(I)743 1701 y FC(2)761 1695 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem,)h FI(P)g FG(2)c(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))p Fz(,)703 1768 y FI(G)g FH(:=)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))p FI(:)165 1841 y Fz(Gibt)16 b(es)h(eine)g(Zusammenhangskomp)n(onente)j FI(H)g Fz(von)d FI(G)f Fz(mit)g FH(#\()p FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))h FG(\\)f FI(V)1417 1847 y FD(<)1445 1841 y FH(\))j FG(\025)f FH(2)p Fz(,)17 b(so)g(ist)165 1891 y FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)i(I)s FH(\))o(\))q Fz(.)165 1988 y(Beweis.)20 b FJ(Sei)14 b(also)f FI(H)k FJ(eine)d(Zusammenhangsk)o(omp)q(o)o(nen)o(te)e(v)o(on)i FI(G)f FJ(und)726 2061 y FI(x)750 2067 y FD(i)762 2071 y Fx(0)780 2061 y FI(;)7 b(y)819 2067 y FD(j)833 2071 y Fx(0)862 2061 y FG(2)12 b FI(V)d FH(\()p FI(H)s FH(\))g FG(\\)g FI(V)1075 2067 y FD(<)165 2134 y FJ(\(die)20 b(F\344lle)g FI(x)388 2140 y FD(i)400 2144 y Fx(1)417 2134 y FI(;)7 b(x)460 2140 y FD(i)472 2144 y Fx(2)501 2134 y FG(2)k FI(V)f FH(\()p FI(H)s FH(\))f FG(\\)g FI(V)714 2140 y FD(<)742 2134 y FJ(,)20 b FI(i)788 2140 y FC(1)818 2134 y FG(6)p FH(=)12 b FI(i)876 2140 y FC(2)915 2134 y FJ(und)20 b FI(y)1024 2140 y FD(j)1038 2144 y Fx(1)1057 2134 y FI(;)7 b(y)1096 2140 y FD(j)1110 2144 y Fx(2)1139 2134 y FG(2)k FI(V)f FH(\()p FI(H)s FH(\))f FG(\\)g FI(V)1352 2140 y FD(<)1380 2134 y FJ(,)20 b FI(j)1429 2140 y FC(1)1459 2134 y FG(6)p FH(=)12 b FI(j)1520 2140 y FC(2)1558 2134 y FJ(lassen)165 2184 y(sic)o(h)g(ganz)g(analog)f(b)q(ehandeln\).)h(Da)f FI(H)k FJ(zusammenh\344ngend)c(ist,)g(gibt)g(es)i(einen)g FI(x)1491 2190 y FD(i)1503 2194 y Fx(0)1520 2184 y FI(y)1540 2190 y FD(j)1554 2194 y Fx(0)1573 2184 y FJ(-W)m(eg)165 2234 y FI(W)18 b FH(=)11 b(\()p FI(x)305 2240 y FD(i)317 2244 y Fx(1)335 2234 y FI(;)c(y)374 2240 y FD(j)388 2244 y Fx(1)406 2234 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x)523 2240 y FD(i)535 2244 y Fs(k)554 2234 y FI(;)g(y)593 2240 y FD(j)607 2244 y Fs(k)627 2234 y FH(\))p FJ(.)13 b(Es)i(sei)221 2364 y FI(\017)c FH(:=)h(min)n FG(f)p FI(r)414 2370 y FD(i)426 2374 y Fx(0)452 2364 y FG(\000)498 2325 y FB(X)494 2414 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)547 2418 y Fx(2)570 2364 y FI(p)591 2370 y FD(i)603 2374 y Fx(0)618 2370 y FD(;j)646 2364 y FI(;)7 b(s)684 2370 y FD(j)698 2374 y Fx(0)725 2364 y FG(\000)769 2325 y FB(X)766 2414 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)815 2418 y Fx(1)838 2364 y FI(p)859 2370 y FD(i;j)895 2374 y Fx(0)913 2364 y FI(;)g(p)953 2370 y FD(i)965 2374 y Fx(1)980 2370 y FD(;j)1004 2374 y Fx(1)1022 2364 y FI(;)g(p)1062 2370 y FD(i)1074 2374 y Fx(2)1089 2370 y FD(;j)1113 2374 y Fx(1)1131 2364 y FI(;)g(p)1171 2370 y FD(i)1183 2374 y Fx(2)1198 2370 y FD(;j)1222 2374 y Fx(2)1240 2364 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(p)1354 2370 y FD(i)1366 2374 y Fs(k)1383 2370 y FD(;j)1407 2374 y Fs(k)p Ft(\000)p Fx(1)1464 2364 y FI(;)g(p)1504 2370 y FD(i)1516 2374 y Fs(k)1533 2370 y FD(;j)1557 2374 y Fs(k)1577 2364 y FG(g)p FI(:)165 2304 y FJ(\(2.44\))165 2482 y(Nun)14 b(de\034niere)h(eine)f(Matrix)g FI(E)g FH(=)d(\()p FI(e)769 2488 y FD(i;j)809 2482 y FH(\))825 2489 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)926 2493 y Fx(1)941 2489 y Fy(\002)p FD(I)982 2493 y Fx(2)1012 2482 y FG(2)g(M)1101 2488 y Fl(R)1124 2482 y FH(\()p FI(I)1158 2488 y FC(1)1177 2482 y FI(;)c(I)1214 2488 y FC(2)1232 2482 y FH(\))14 b FJ(durc)o(h)470 2625 y FI(e)489 2631 y FD(i;j)540 2625 y FH(:=)595 2527 y FB(8)595 2564 y(>)595 2577 y(<)595 2652 y(>)595 2664 y(:)632 2566 y FI(\017)74 b FJ(f\374r)13 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)958 2572 y FD(\026)981 2566 y FI(;)7 b(j)1017 2572 y FD(\026)1039 2566 y FH(\))p FI(;)48 b FH(1)11 b FG(\024)h FI(\026)g FG(\024)f FI(k)q(;)632 2626 y FG(\000)p FI(\017)42 b FJ(f\374r)13 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)958 2632 y FD(\026)981 2626 y FI(;)7 b(j)1017 2632 y FD(\026)p Fy(\000)p FC(1)1081 2626 y FH(\))p FI(;)48 b FH(2)12 b FG(\024)g FI(\026)f FG(\024)h FI(k)q(;)632 2686 y FH(0)70 b FJ(sonst)p FI(:)165 2625 y FJ(\(2.45\))165 2763 y(Dann)21 b(erf\374llt)g FI(E)i FJ(die)e(Bedingungen)h(2.8)f(und)g(2.9)f(aus)i(Lemma)c(2.1.13)i (\(a\).)g(Daher)i(ist)165 2812 y FI(P)g(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)i(I)s FH(\))o(\))q FJ(.)1177 b Fv(\004)p eop %%Page: 44 46 44 45 bop 225 50 a FJ(44)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Satz)g(2.4.23.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)683 201 y FC(1)702 195 y FI(;)c(I)739 201 y FC(2)757 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem)h(mit)844 299 y FH(#)p FI(I)897 305 y FC(1)915 299 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)987 305 y FC(2)1017 299 y FG(\024)k FI(!)q(;)225 402 y(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))p Fz(,)k FI(G)11 b FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))o Fz(.)16 b(Dann)h(gilt)e FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)i(I)s FH(\))o(\))j Fz(genau)h(dann,)g(wenn)225 452 y(die)e(folgenden)g(Be)n (dingungen)i(\(i\),)d(\(ii\))g(und)i(\(iii\))e(gelten.)225 580 y FK(\(i\))19 b FI(G)c Fz(ist)f(ein)h(W)m(ald)g(und)h(hat)f(f\374r) g(kein)g FI(\017)d(>)f FH(0)k Fz(einen)g FI(\017)p Fz(-Dopp)n(elb)n (aum.)225 687 y FK(\(ii\))j Fz(F\374r)e(al)r(le)f(Zusammenhangskomp)n (onenten)j FI(H)g Fz(von)d FI(G)g Fz(ist)f FH(#\()p FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))h FG(\\)e FI(V)1480 693 y FD(<)1509 687 y FH(\))j FG(\024)h FH(1)p Fz(.)225 794 y FK(\(iii\))18 b Fz(F\374r)d(al)r(le)g(Zusammenhangskomp)n(onenten)j FI(H)g Fz(von)d FI(G)g Fz(gilt,)f(da\377)h FI(H)j Fz(nur)e(f\374r)888 898 y FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))h FG(\\)f FI(V)1062 904 y FD(<)1101 898 y FH(=)j FG(;)329 1001 y Fz(f\374r)j(ein)g FI(\017)d(>)f FH(0)k Fz(einen)g(unend)r(lichen)i FI(\017)o Fz(-W)m(e)n(g)e FI(W)j FG(\024)12 b FI(H)18 b Fz(hab)n(en)d(kann.)225 1159 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)10 b(Ist)h(\(i\))f(nic)o(h)o(t)g(erf\374llt)g(und)897 1149 y FH(~)893 1159 y FG(I)k FH(:=)e FG(I)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)k(so)g(ist)h(nac)o(h)f(Satz)h(2.4.3)e FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1659 1149 y(~)1655 1159 y FG(I)s FH(\)\))p FJ(,)225 1209 y(das)k(hei\377t)g FI(P)j FH(=)501 1193 y FC(1)p 501 1200 17 2 v 501 1223 a(2)522 1209 y FI(P)549 1215 y FC(1)577 1209 y FH(+)624 1193 y FC(1)p 624 1200 V 624 1223 a(2)646 1209 y FI(P)673 1215 y FC(2)706 1209 y FJ(mit)13 b FI(P)k FG(6)p FH(=)12 b FI(P)898 1215 y FC(1)916 1209 y FI(;)7 b(P)962 1215 y FC(2)991 1209 y FG(2)k(D)q FH(\()1083 1198 y(~)1079 1209 y FG(I)s FH(\))q FJ(.)j(Da)g(dann)h(auc)o(h)g FI(P)1446 1215 y FC(1)1464 1209 y FI(;)7 b(P)1510 1215 y FC(2)1539 1209 y FG(2)12 b(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))o FJ(,)225 1259 y(ist)i FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))p FJ(.)h(Man)h(k)n(ann)g(jetzt)h (also)f(annehmen,)f(da\377)g(\(i\))h(erf\374llt)g(ist.)g(Ist)h(\(ii\))e (nic)o(h)o(t)225 1309 y(erf\374llt,)19 b(so)h(ist)g FI(P)i(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))20 b FJ(nac)o(h)g(Lemma)d(2.4.22.)h(Ab)i(jetzt)h(sei)f(auc)o(h) h(\(ii\))e(erf\374llt.)225 1358 y(Ist)14 b(n)o(un)f(\(iii\))g(nic)o(h)o (t)g(erf\374llt,)g(so)g(gibt)g(es)i(eine)f(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q (onen)o(te)d FI(H)17 b FJ(v)o(on)c FI(G)g FJ(mit)225 1408 y FI(V)c FH(\()p FI(H)s 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Fy(\002)p FD(I)553 228 y Fx(2)580 195 y FG(j)p FI(s)611 201 y FD(i;j)650 195 y FG(j)11 b(\024)h(j)p FI(t)744 201 y FD(i;j)782 195 y FG(j)p FJ(,)h(und)h(es)h(gilt)585 289 y FB(X)580 378 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)633 382 y Fx(2)656 328 y FI(s)675 334 y FD(\026)695 338 y Fx(0)712 334 y FD(;j)751 328 y FH(=)d FI(t)810 334 y FD(\026)830 338 y Fx(0)846 334 y FD(;\027)873 338 y Fx(1)900 328 y FH(+)d FI(\016)r(t)976 334 y FD(\026)996 338 y Fx(0)1013 334 y FD(;\027)1040 338 y Fx(2)1069 328 y FH(=)j(0)p FI(;)476 448 y FG(8)414 477 y FD(x)433 481 y Fs(i)446 477 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(B)533 481 y Fx(1)549 477 y FC(\))585 409 y FB(X)580 498 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)633 502 y Fx(2)656 448 y FI(s)675 454 y FD(i;j)726 448 y FH(=)774 409 y FB(X)770 498 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)823 502 y Fx(2)846 448 y FI(t)861 454 y FD(i;j)911 448 y FH(=)12 b(0)p FI(;)111 b FG(8)1036 477 y FD(y)1053 481 y Fs(j)1068 477 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(B)1155 481 y Fx(1)1171 477 y FC(\))1205 409 y FB(X)1203 498 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1252 502 y Fx(1)1275 448 y FI(s)1294 454 y FD(i;j)1345 448 y FH(=)1391 409 y FB(X)1389 498 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1438 502 y Fx(1)1461 448 y FI(t)1476 454 y FD(i;j)1526 448 y FH(=)12 b(0)p FI(;)476 568 y FG(8)414 596 y FD(x)433 600 y Fs(i)446 596 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(B)533 600 y Fx(2)549 596 y FC(\))585 528 y FB(X)580 617 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)633 621 y Fx(2)656 568 y FI(s)675 574 y FD(i;j)726 568 y FH(=)774 528 y FB(X)770 617 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)823 621 y Fx(2)846 568 y FI(\016)r(t)881 574 y FD(i;j)931 568 y FH(=)12 b(0)p FI(;)111 b FG(8)1056 596 y FD(y)1073 600 y Fs(j)1088 596 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(B)1175 600 y Fx(2)1191 596 y FC(\))1225 528 y FB(X)1223 617 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1272 621 y Fx(1)1295 568 y FI(s)1314 574 y FD(i;j)1365 568 y FH(=)1411 528 y FB(X)1409 617 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1458 621 y Fx(1)1481 568 y FI(\016)r(t)1516 574 y FD(i;j)1566 568 y FH(=)12 b(0)p FI(:)225 466 y FJ(\(2.50\))225 708 y FI(S)17 b FJ(erf\374llt)c(damit)f(die)i (Bedingungen)g(v)o(on)g(Lemma)d(2.1.13)h(b\),)h(das)h(hei\377t)g FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\)\))p FJ(,)225 758 y(w)o(as)16 b(nac)o(h)g(Satz)h(2.4.3)d(im)g(Widerspruc)o(h)j(dazu)f(steh)o(t,)h (da\377)e FI(G)h FJ(\(i\))g(erf\374llt.)f(Bleibt)h(no)q(c)o(h)g(zu)225 808 y(b)q(emerk)o(en,)e(da\377)f(der)i(F)m(all)d FI(y)676 814 y FD(\027)693 818 y Fx(0)723 808 y FG(2)f FI(V)e FH(\()p FI(B)r FH(\))15 b FJ(analog)d(b)q(ehandelt)j(w)o(erden)g(k)n (ann.)255 b Fv(N)225 929 y FJ(Behauptung)15 b(1)e(b)q(esagt,)h(da\377)g FI(B)g FH(=)e(\()p FI(y)840 935 y FD(j)854 939 y Fx(0)872 929 y FI(;)7 b(x)915 935 y FD(i)927 939 y Fx(1)944 929 y FI(;)g(y)983 935 y FD(i)995 939 y Fx(1)1013 929 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))14 b FJ(ein)g(W)m(eg)f(ist.)g(Also)h(m)o(u\377)721 1025 y FI(t)736 1031 y FD(i)748 1035 y Fx(0)764 1031 y FD(;j)788 1035 y Fx(0)817 1025 y FH(=)e FG(\000)p FI(t)908 1031 y FD(i)920 1035 y Fx(1)936 1031 y FD(;j)960 1035 y Fx(0)990 1025 y FH(=)g FI(t)1049 1031 y FD(i)1061 1035 y Fx(1)1076 1031 y FD(;j)1100 1035 y Fx(1)1130 1025 y FH(=)g FI(:)7 b(:)g(:)225 1120 y FJ(sein,)14 b(das)h(hei\377t,)e FI(B)k FJ(ist)d(ein)h(unendlic)o(her)g FI(t)922 1126 y FD(i)934 1130 y Fx(0)950 1126 y FD(;j)974 1130 y Fx(0)992 1120 y FJ(-W)m(eg)e(im)f(Widerspruc)o(h)k(zu)e(\(iii\).)f(Damit)f(ist) 225 1170 y(gezeigt,)k(da\377)f FI(V)481 1176 y Fy(6)p FC(=0)537 1170 y FH(=)d FG(;)j FJ(gelten)h(m)o(u\377.)e(Da)h(w)o (eiterhin)h FI(H)i FJ(eine)e(b)q(eliebige)g(Zusammenhangs-)225 1220 y(k)o(omp)q(onen)o(te)e(v)o(on)h FI(G)p FH(\()p FG(j)p FI(T)6 b FG(j)p FH(\))14 b FJ(w)o(ar,)h(folgt,)e(da\377)i(sic)o (h)h(alle)e(Linien)h(v)o(on)g FI(T)21 b FJ(zu)16 b(Null)e(summieren.) 225 1269 y(W\344re)g FI(T)j FG(6)p FH(=)12 b(0)p FJ(,)h(so)h(w)o (\344re)g(nac)o(h)g(Lemma)e(2.1.13)f(\(b\))k(wieder)f FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\)\))p FJ(.)197 b Fv(\004)225 1367 y FK(Lemma)15 b(2.4.24.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)747 1373 y FC(1)766 1367 y FI(;)7 b(I)803 1373 y FC(2)821 1367 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem)h(mit)698 1462 y FH(min)o FG(f)789 1431 y FB(P)832 1474 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)881 1478 y Fx(1)906 1462 y FI(r)925 1468 y FD(i)939 1462 y FI(;)958 1431 y FB(P)1001 1474 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1054 1478 y Fx(2)1079 1462 y FI(s)1098 1468 y FD(j)1116 1462 y FG(g)11 b FI(<)h FG(1)o FI(;)225 1557 y(P)19 b FG(2)14 b(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))p Fz(,)k FI(G)11 b FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))p Fz(.)16 b(Dann)h(kann)g(es)f(f\374r)h (kein)g FI(\017)c(>)i FH(0)h Fz(einen)g(unend)r(li-)225 1607 y(chen)g FI(\017)o Fz(-W)m(e)n(g)f FI(W)j FG(\024)12 b FI(G)i Fz(geb)n(en.)225 1729 y(Beweis.)20 b FJ(Ist)13 b FI(\017)f(>)g FH(0)g FJ(und)h FI(W)k FG(\024)12 b FI(G)g FJ(ein)h(unendlic)o(her)h FI(\017)p FJ(-W)m(eg,)d(so)i(ist)g(nac)o(h)f (Bemerkung)h(2.4.20)225 1779 y FH(min)n FG(f)315 1747 y FB(P)359 1791 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)408 1795 y Fx(1)433 1779 y FI(r)452 1785 y FD(i)465 1779 y FI(;)484 1747 y FB(P)528 1791 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)581 1795 y Fx(2)605 1779 y FI(s)624 1785 y FD(j)642 1779 y FG(g)f(\025)718 1747 y FB(P)762 1791 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)863 1795 y Fx(1)878 1791 y Fy(\002)p FD(I)919 1795 y Fx(2)944 1779 y FI(p)965 1785 y FD(i;j)1016 1779 y FH(=)1060 1747 y FB(P)1103 1791 y FD(e)p Fy(2)p FD(E)1176 1779 y FI(w)q FH(\()p FI(e)p FH(\))g(=)g FG(1)p FJ(.)325 b Fv(\004)225 1881 y FK(Korollar)14 b(2.4.25.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)768 1887 y FC(1)787 1881 y FI(;)7 b(I)824 1887 y FC(2)842 1881 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem)h(mit)744 1984 y FH(min)n FG(f)837 1945 y FB(X)834 2034 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)883 2038 y Fx(1)906 1984 y FI(r)925 1990 y FD(i)939 1984 y FI(;)961 1945 y FB(X)958 2034 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1011 2038 y Fx(2)1033 1984 y FI(s)1052 1990 y FD(j)1070 1984 y FG(g)11 b FI(<)h FG(1)p FI(;)225 2125 y(P)19 b FG(2)14 b(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))p Fz(,)k FI(G)11 b FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))p Fz(.)16 b(Dann)h(ist)f FI(P)j FG(2)14 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\)\))k Fz(genau)i(dann,)f(wenn)225 2175 y FI(G)d Fz(ein)h(W)m(ald)h (ist)e(und)i(f\374r)f(al)r(le)f(Zusammenhangskomp)n(onen)q(ten)k FI(H)g Fz(von)d FI(G)g Fz(gilt,)e(da\377)797 2270 y FH(#\()p FI(V)c FH(\()p FI(H)s FH(\))g FG(\\)g FI(V)1021 2276 y FD(<)1049 2270 y FH(\))j FG(\024)g FH(1)p FI(:)225 2392 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Zun\344c)o(hst)d(k)n(ann)f(man)e(w)o(egen)j FH(min)n FG(f)977 2361 y FB(P)1021 2404 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1070 2408 y Fx(1)1095 2392 y FI(r)1114 2398 y FD(i)1127 2392 y FI(;)1146 2361 y FB(P)1189 2404 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1242 2408 y Fx(2)1267 2392 y FI(s)1286 2398 y FD(j)1304 2392 y FG(g)e FI(<)h FG(1)f FJ(ohne)i(Besc)o(hr\344n-)225 2441 y(kung)10 b(der)h(Allgemeinheit)e(annehmen,)h(da\377)g FH(#)p FI(I)988 2447 y FC(1)1006 2441 y FI(;)d FH(#)p FI(I)1078 2447 y FC(2)1108 2441 y FG(\024)k FI(!)q FJ(.)g(Nac)o(h)f (Satz)h(2.4.23)e(ist)h(dann)h(n)o(ur)225 2491 y(no)q(c)o(h)18 b(zu)f(zeigen,)h(da\377)f(f\374r)g FH(min)n FG(f)767 2460 y FB(P)811 2504 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)860 2508 y Fx(1)885 2491 y FI(r)904 2497 y FD(i)917 2491 y FI(;)936 2460 y FB(P)980 2504 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1033 2508 y Fx(2)1057 2491 y FI(s)1076 2497 y FD(j)1094 2491 y FG(g)11 b FI(<)h FG(1)17 b FJ(\(iii\))f(aus)i(Satz)f(2.4.23)f(imm)o(er)225 2541 y(erf\374llt)d(ist,)h(und)g(das)g(ergibt)g(sic)o(h)g(aus)g(Lemma)d (2.4.24.)574 b Fv(\004)225 2663 y FJ(Das)14 b(folgende)f(Beispiel)h (2.4.26)e(liefert)i(den)g(einfac)o(hsten)h(F)m(all)d(einer)i(dopp)q (elt)g(substo)q(c)o(hasti-)225 2713 y(sc)o(hen)i(Matrix)f FI(P)20 b FJ(b)q(ez\374glic)o(h)15 b(eines)h(endlic)o(hen)g (Randsystems,)e(so)h(da\377)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))15 b FJ(ein)g(W)m(ald,)e FI(P)225 2763 y FJ(jedo)q(c)o(h)j(nic)o (h)o(t)f(extremal)f(ist.)g(W)m(egen)h(Satz)h(2.2.4)d(folgt)h(daraus,)h (da\377)g(sic)o(h)g(Satz)h(1.4.1)d(nic)o(h)o(t)225 2812 y(auf)g FI(\026)f FG(2)f(D)q FH(\()p FG(\024)h FI(m)500 2818 y FC(1)519 2812 y FI(;)7 b FG(\024)12 b FI(m)618 2818 y FC(2)637 2812 y FH(\))i FJ(v)o(erallgemeinern)e(l\344\377t.)p eop %%Page: 47 49 47 48 bop 165 50 a Fw(2.4.)26 b(GRAPHENTHEORETISCHE)15 b(CHARAKTERISIER)o(UNG)321 b FJ(47)165 195 y FK(Beispiel)13 b(2.4.26.)21 b FJ(Sei)15 b FG(I)j FH(:=)c(\()p FI(I)701 201 y FC(1)720 195 y FI(;)7 b(I)757 201 y FC(2)776 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b FJ(mit)g FI(I)977 201 y FC(1)1011 195 y FH(=)h FI(I)1076 201 y FC(2)1110 195 y FH(=)g FG(f)p FH(1)p FG(g)p FJ(,)f FI(r)i FH(=)f FI(s)g FH(=)g(\(1\))p FJ(,)g FI(P)20 b FH(:=)15 b(\()1616 179 y FC(1)p 1616 186 17 2 v 1616 209 a(2)1637 195 y FH(\))p FJ(.)165 245 y(Dann)e(ist)h FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))p FJ(,)h(w)o(egen)i FI(P)i FH(=)794 229 y FC(1)p 794 236 V 794 259 a(2)816 245 y FH(\(1\))9 b(+)924 229 y FC(1)p 924 236 V 924 259 a(2)946 245 y FH(\(0\))14 b FJ(ist)f FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)12 b(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))h FJ(\(das)h(ist)g(F)m(all)e(\(ii\))h(v)o (on)165 295 y(Satz)h(2.4.23\).)e FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(hat)h(n)o(ur)g(zw)o(ei)g(Ec)o(k)o(en)g(und)g(ist)g (damit)e(ein)i(W)m(ald.)165 416 y(Der)19 b(folgende)g(Satz)g(2.4.27)e (und)i(Korollar)f(2.4.28)f(stellen)i(die)g(zu)g(Satz)g(2.4.11)e(und)i (Ko-)165 465 y(rollar)f(2.4.12)f(analogen)h(Ergebnisse)j(f\374r)e(dopp) q(elt)g(substo)q(c)o(hastisc)o(he)j(Matrizen)d(dar.)g(Sie)165 515 y(v)o(erallgemeinern)13 b(einen)h(Satz)g(v)o(on)g FE(Mirsky)h FJ(\(siehe)g([11)o(]\).)165 607 y FK(Satz)g(2.4.27.)21 b Fz(Sei)d FG(I)i FH(:=)d(\()p FI(I)637 613 y FC(1)656 607 y FI(;)7 b(I)693 613 y FC(2)712 607 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))17 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem)h(mit)e FH(#)p FI(I)1304 613 y FC(1)1334 607 y FH(=)12 b FI(\013)o Fz(,)18 b FH(#)p FI(I)1488 613 y FC(2)1518 607 y FH(=)12 b FI(\014)s Fz(.)17 b(Ist)165 656 y FG(G)d FH(:=)d FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))k Fz(ab)n(geschlossen,)g(so)g(gilt)464 756 y FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))42 b FG(\))g(f)p FI(p)911 762 y FD(i;j)961 756 y FH(:)18 b(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g FI(I)1145 762 y FC(1)1173 756 y FG(\002)d FI(I)1232 762 y FC(2)1251 756 y FG(g)i(\022)h(G)r FI(:)-1201 b FJ(\(2.51\))165 898 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Nac)o(h)15 b(Lemma)d(2.4.9)h (k)n(ann)i(man)e(wieder)i(ohne)g(Einsc)o(hr\344nkung)h(annehmen,)d (da\377)165 948 y FG(G)h FH(=)e FI(t)p Fu(Z)-6 b FJ(f\374r)10 b(ein)h FI(t)h FG(2)f Fu(R)526 933 y FC(+)550 948 y FJ(.)g(Zun\344c)o (hst)g(nehme)g(man)e(an,)h(da\377)g FI(\013)h FH(=)h FI(\014)i FH(=)e FI(!)q FJ(.)f(Sei)f FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))f FJ(ge-)165 998 y(geb)q(en.)h (Angenommen,)c(es)k(gibt)f FH(\()p FI(i)722 1004 y FC(0)741 998 y FI(;)c(j)777 1004 y FC(0)795 998 y FH(\))12 b FG(2)f FI(I)880 1004 y FC(1)908 998 y FG(\002)f FI(I)968 1004 y FC(2)998 998 y FJ(mit)f FI(p)1092 1004 y FD(i)1104 1008 y Fx(0)1120 1004 y FD(;j)1144 1008 y Fx(0)1178 998 y FI(=)-26 b FG(2)12 b(G)r FJ(.)f(Es)g(soll)g(gezeigt)g(w)o(erden,)165 1048 y(da\377)i(dann)g FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)i(I)s FH(\))o(\))q FJ(.)f(Hat)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FJ(einen)i(Kreis,)g(so)f(folgt)f (das)h(aus)h(Satz)f(2.4.23.)e(Man)165 1098 y(k)n(ann)h(also)g (annehmen,)g(da\377)g FI(G)f FH(:=)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(V)r(;)7 b(E)r(;)g(w)q FH(\))12 b FJ(ein)h(W)m(ald)e(ist.)h(W)m(eiterhin)h(k)n(ann)f(man)165 1147 y(annehmen,)e(da\377)h(f\374r)g(alle)g(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q (onen)o(ten)e FI(H)15 b FJ(v)o(on)10 b FI(G)p FJ(,)h FH(#\()p FI(V)e FH(\()p FI(H)s FH(\))t FG(\\)t FI(V)1533 1153 y FD(<)1561 1147 y FH(\))j FG(\024)g FH(1)p FJ(,)165 1197 y(denn)i(andernfalls)g(ist)g FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))i FJ(nac)o(h)g(Satz)g(2.4.23)e(\(ii\).)165 1272 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FJ(Gilt)13 b FG(G)558 1278 y FD(P)597 1272 y FH(:=)e FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\))11 b FG(\024)h(G)r FJ(,)i(so)g(ist)g FI(P)21 b(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 1414 y Fz(Beweis.)20 b FJ(W)m(egen)e FG(G)c FH(=)e FI(t)p Fu(Z)r FJ(ist)18 b FG(G)692 1420 y FD(P)731 1414 y FH(=)775 1407 y(~)775 1414 y FI(t)7 b Fu(Z)-17 b FJ(,)18 b(w)o(ob)q(ei)977 1407 y FH(~)976 1414 y FI(t)11 b FG(2)h(f)p FI(k)q(t)f FH(:)18 b FI(k)12 b FG(2)g Fu(N)p FG(g)m FJ(.)18 b(W)m(egen)g FI(p)1455 1420 y FD(i)1467 1424 y Fx(0)1483 1420 y FD(;j)1507 1424 y Fx(0)1541 1414 y FI(=)-26 b FG(2)12 b(G)20 b FJ(ist)165 1464 y FI(P)i(=)-26 b FG(2)11 b(M)298 1470 y Fy(G)318 1474 y Fs(P)344 1464 y FH(\()p FI(I)378 1470 y FC(1)397 1464 y FI(;)c(I)434 1470 y FC(2)452 1464 y FH(\))14 b FJ(und)f(damit)e FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\)\))13 b FJ(nac)o(h)g(Satz)h(2.4.11.)d(Dann)i(gibt)f(es)j FI(\017)c(>)h FH(0)o FJ(,)165 1514 y(so)21 b(da\377)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))21 b FJ(einen)h FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)40 b(hat.)21 b(W)m(egen)g(Satz)h(2.4.23)d(ist)j FI(P)k FJ(also)21 b(nic)o(h)o(t)g(in)165 1564 y(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)13 b(I)s FH(\))o(\))p FJ(.)1263 b Fv(N)165 1706 y FJ(Nac)o(h)17 b(Behauptung)g(1)f(gibt)g(es)h(eine)g(Linie)f(v)o(on)g FI(P)6 b FJ(,)16 b(deren)h(Summe)d(nic)o(h)o(t)j(in)f FG(G)i FJ(liegt.)e(Ins-)165 1756 y(b)q(esondere)21 b(gilt)d(f\374r)g (die)h(zu)g(dieser)h(Linie)f(geh\366rende)h(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q (onen)o(te)d FI(H)s FJ(,)165 1806 y(da\377)j FH(#\()p FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))g FG(\\)g FI(V)474 1812 y FD(<)503 1806 y FH(\))i(=)h(1)p FJ(.)20 b(Man)g(k)n(ann)g(daher)g (ohne)h(Besc)o(hr\344nkung)h(der)f(Allgemeinheit)165 1855 y(annehmen,)c(da\377)h FI(V)10 b FH(\()p FI(H)s FH(\))f FG(\\)g FI(V)636 1861 y FD(<)676 1855 y FH(=)j FG(f)p FI(x)765 1861 y FD(i)777 1865 y Fx(0)794 1855 y FG(g)19 b FJ(\(der)g(F)m(all)e FG(f)p FI(y)1053 1861 y FD(j)1067 1865 y Fx(0)1085 1855 y FG(g)i FH(=)g FI(V)10 b FH(\()p FI(H)s FH(\))i FG(\\)g FI(V)1356 1861 y FD(<)1403 1855 y FJ(ist)19 b(wie)f(\374blic)o(h,)165 1905 y(analog)e(zu)i (gewinnen\).)g(W)m(egen)f FH(#\()p FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))j FG(\\)g FI(V)940 1911 y FD(<)968 1905 y FH(\))18 b(=)g(1)f FJ(ist)124 b FG(8)1152 1934 y FD(x)1171 1938 y Fs(i)1183 1934 y Fy(2)p FD(V)8 b FC(\()p FD(H)r FC(\))p Fy(nf)p FD(x)1341 1938 y Fs(i)1352 1944 y Fx(0)1370 1934 y Fy(g)1406 1874 y FB(P)1449 1918 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1502 1922 y Fx(2)1527 1905 y FI(p)1548 1911 y FD(i;j)1599 1905 y FG(2)j(G)165 1984 y FJ(und)75 b FG(8)252 2012 y FD(y)269 2016 y Fs(j)285 2012 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(H)r FC(\))408 1953 y FB(P)451 1996 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)500 2000 y Fx(1)525 1984 y FI(p)546 1990 y FD(i;j)597 1984 y FG(2)k(G)r FJ(.)18 b(En)o(tfern)o(t)h(man)d(aus)j FI(H)i FJ(die)d(Kan)o(te)h FG(f)p FI(x)1338 1990 y FD(i)1350 1994 y Fx(0)1367 1984 y FI(;)7 b(y)1406 1990 y FD(j)1420 1994 y Fx(0)1438 1984 y FG(g)p FJ(,)17 b(so)i(en)o(tste-)165 2057 y(hen,)f(da)f FI(H)j FJ(ein)d(Baum)g(ist,)g(zw)o(ei)g (Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten.)e(Sei)i FI(T)23 b FJ(diejenige)18 b(mit)165 2107 y FI(y)185 2113 y FD(j)199 2117 y Fx(0)229 2107 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(T)c FH(\))p FJ(.)165 2182 y Fz(Behauptung)17 b(2.)j FJ(Ist)15 b FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))p FJ(,)i(so)g(gilt)e(f\374r)i FI(i)e FG(2)f FI(I)1086 2188 y FC(1)1119 2182 y FJ(mit)h FI(x)1219 2188 y FD(i)1244 2182 y FG(2)f FI(V)f FH(\()p FI(T)c FH(\))p FJ(,)13 b(da\377)716 2282 y FH(#)p FG(f)p FI(p)793 2288 y FD(i;\027)846 2282 y FH(:)18 b FI(p)897 2288 y FD(i;\027)955 2282 y FI(=)-25 b FG(2)11 b(G)r(g)g(\024)h FH(2)165 2382 y FJ(und)i(f\374r)g FI(j)g FG(2)d FI(I)402 2388 y FC(2)435 2382 y FJ(mit)h FI(y)531 2388 y FD(j)560 2382 y FG(2)f FI(V)f FH(\()p FI(T)c FH(\))p FJ(,)14 b(da\377)f FH(#)p FG(f)p FI(p)876 2388 y FD(\026;j)934 2382 y FH(:)18 b FI(p)985 2388 y FD(\026;j)1049 2382 y FI(=)-26 b FG(2)11 b(G)r(g)h(\024)g FH(2)o FJ(.)165 2524 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Angenommen,)14 b(es)k(gibt)e FI(x)763 2530 y FD(\026)783 2534 y Fx(0)818 2524 y FG(2)h FI(V)9 b FH(\()p FI(T)d FH(\))17 b FJ(mit)e FH(#)p FG(f)p FI(p)1131 2530 y FD(\026)1151 2534 y Fx(0)1167 2530 y FD(;\027)1209 2524 y FH(:)j FI(p)1260 2530 y FD(\026)1280 2534 y Fx(0)1296 2530 y FD(;\027)1343 2524 y FI(=)-26 b FG(2)12 b(G)r(g)f(\025)h FH(3)k FJ(\(im)g(F)m(all)165 2574 y(da\377)f(es)g FI(y)314 2580 y FD(\027)331 2584 y Fx(0)361 2574 y FG(2)c FI(V)f FH(\()p FI(T)c FH(\))15 b FJ(mit)e FH(#)p FG(f)p FI(p)665 2580 y FD(\026;\027)712 2584 y Fx(0)741 2574 y FH(:)18 b FI(p)792 2580 y FD(\026;\027)839 2584 y Fx(0)873 2574 y FI(=)-25 b FG(2)11 b(G)r(g)g(\025)h FH(3)j FJ(gibt,)f(k)n(ann)g(man)g(ganz)h(analog)e(argu-)165 2624 y(men)o(tieren\).)i(Dann)g(gibt)f(es)j FI(\027)659 2630 y FC(1)677 2624 y FI(;)7 b(\027)717 2630 y FC(2)734 2624 y FI(;)g(\027)774 2630 y FC(3)806 2624 y FG(2)13 b FI(I)865 2630 y FC(2)900 2624 y FJ(mit)g FI(p)998 2630 y FD(\026)1018 2634 y Fx(0)1034 2630 y FD(;\027)1061 2634 y Fx(1)1079 2624 y FI(;)7 b(p)1119 2630 y FD(\026)1139 2634 y Fx(0)1155 2630 y FD(;\027)1182 2634 y Fx(2)1200 2624 y FI(;)g(p)1240 2630 y FD(\026)1260 2634 y Fx(0)1275 2630 y FD(;\027)1302 2634 y Fx(3)1336 2624 y FI(=)-25 b FG(2)11 b(G)r FJ(.)k(Nac)o(h)g(ev)o(en)o(tu-)165 2673 y(ellem)d(V)m(ertausc)o(hen)k(v)o(on)d FI(\027)607 2679 y FC(1)625 2673 y FJ(,)h FI(\027)672 2679 y FC(2)690 2673 y FJ(,)f FI(\027)736 2679 y FC(3)768 2673 y FJ(k)n(ann)g(man)g (annehmen,)f(da\377)602 2773 y FI(d)p FH(\()p FI(y)660 2779 y FD(j)674 2783 y Fx(0)692 2773 y FI(;)7 b(y)731 2779 y FD(\027)748 2783 y Fx(3)766 2773 y FH(\))12 b FI(<)g(d)p FH(\()p FI(y)896 2779 y FD(j)910 2783 y Fx(0)928 2773 y FI(;)7 b(y)967 2779 y FD(\027)984 2783 y Fx(1)1002 2773 y FH(\))p FI(;)g(d)p FH(\()p FI(y)1095 2779 y FD(j)1109 2783 y Fx(0)1126 2773 y FI(;)g(y)1165 2779 y FD(\027)1182 2783 y Fx(2)1200 2773 y FH(\))p FI(:)p eop %%Page: 48 50 48 49 bop 225 50 a FJ(48)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(En)o(tfern)o(t)d(man)e(die)h(Ec)o(k)o(e)h FI(x)662 201 y FD(\026)682 205 y Fx(0)712 195 y FJ(aus)g FI(T)6 b FJ(,)11 b(so)g(en)o(tstehen)i(mehrere)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen-) 225 245 y(ten.)f(Setze)i FI(\017)e FH(:=)499 229 y FC(1)p 499 236 17 2 v 499 259 a(2)528 245 y FH(min)n FG(f)p FH(di)o(\()p FI(p)689 251 y FD(\026)709 255 y Fx(0)726 251 y FD(;\027)753 255 y Fx(1)770 245 y FH(\))p FI(;)c FH(di\()p FI(p)877 251 y FD(\026)897 255 y Fx(0)913 251 y FD(;\027)940 255 y Fx(2)958 245 y FH(\))p FG(g)k FJ(\()p FH(di)o(\()42 b(\))11 b FJ(wie)g(in)f(Lemma)f(2.4.10\),)f FI(q)1566 251 y FC(1)1596 245 y FH(:=)j FI(x)1675 251 y FD(\026)1695 255 y Fx(0)1713 245 y FJ(,)225 295 y FI(q)244 301 y FC(2)274 295 y FH(:=)g FI(y)349 301 y FD(\027)366 305 y Fx(2)384 295 y FJ(,)j FI(T)434 301 y FC(1)453 277 y Fy(0)o(0)485 295 y FH(:=)e(Zhk)611 301 y FD(T)t Fy(\000)p FD(x)680 305 y Fs(\026)698 311 y Fx(0)718 295 y FH(\()p FI(y)754 301 y FD(\027)771 305 y Fx(1)789 295 y FH(\))p FJ(,)i FI(T)861 280 y Fy(0)855 305 y FC(1)885 295 y FH(:=)d(\()p FI(V)980 302 y FD(T)1004 292 y Ft(0)1000 311 y Fx(1)1019 295 y FI(;)c(E)1069 302 y FD(T)1093 292 y Ft(0)1089 311 y Fx(1)1106 295 y FI(;)g(q)1144 301 y FC(1)1161 295 y FH(\))14 b FJ(mit)479 389 y FI(V)503 396 y FD(T)527 387 y Ft(0)523 406 y Fx(1)553 389 y FH(:=)d FI(V)f FH(\()p FI(T)688 372 y Fy(00)682 400 y FC(1)709 389 y FH(\))g FG([)e(f)p FI(x)816 395 y FD(\026)836 399 y Fx(0)854 389 y FG(g)p FI(;)90 b(E)1008 396 y FD(T)1032 387 y Ft(0)1028 406 y Fx(1)1057 389 y FH(:=)11 b FI(E)r FH(\()p FI(T)1191 372 y Fy(00)1185 400 y FC(1)1212 389 y FH(\))f FG([)f(f)p FI(x)1320 395 y FD(\026)1340 399 y Fx(0)1358 389 y FI(;)e(y)1397 395 y FD(\027)1414 399 y Fx(1)1431 389 y FG(g)p FI(;)225 480 y(T)255 465 y Fy(0)249 490 y FC(2)279 480 y FH(:=)12 b(\()p FI(V)375 487 y FD(T)399 477 y Ft(0)395 496 y Fx(2)413 480 y FI(;)7 b(E)463 487 y FD(T)487 477 y Ft(0)483 496 y Fx(2)500 480 y FI(;)g(q)538 486 y FC(2)556 480 y FH(\))k(:=)h(Zhk)709 486 y FD(T)t Fy(\000)p FD(x)778 490 y Fs(\026)796 496 y Fx(0)816 480 y FH(\()p FI(y)852 486 y FD(\027)869 490 y Fx(2)887 480 y FH(\))p FJ(,)j FI(G)963 465 y Fy(0)989 480 y FH(=)g(\()p FI(V)1085 465 y Fy(0)1097 480 y FI(;)7 b(E)1149 465 y Fy(0)1160 480 y FI(;)g(w)1210 465 y Fy(0)1221 480 y FH(\))16 b FJ(mit)d FI(V)1364 465 y Fy(0)1390 480 y FH(:=)h FI(V)9 b FH(\()p FI(T)1527 465 y Fy(0)1521 490 y FC(1)1540 480 y FH(\))i FG([)f FI(V)f FH(\()p FI(T)1684 465 y Fy(0)1678 490 y FC(2)1697 480 y FH(\))p FJ(,)225 530 y FI(E)258 515 y Fy(0)281 530 y FH(:=)j FI(E)r FH(\()p FI(T)416 515 y Fy(0)410 540 y FC(1)429 530 y FH(\))s FG([)s FI(E)r FH(\()p FI(T)558 515 y Fy(0)552 540 y FC(2)571 530 y FH(\))p FJ(,)e FI(w)640 515 y Fy(0)663 530 y FH(:=)h FI(w)q Fv(\026)766 536 y FD(E)792 528 y Ft(0)806 530 y FJ(.)f(Damit)f(ist)h FI(B)1041 515 y Fy(0)1065 530 y FH(:=)i(\()p FI(G)1170 515 y Fy(0)1181 530 y FI(;)7 b(T)1230 515 y Fy(0)1224 540 y FC(1)1242 530 y FI(;)g(T)1291 515 y Fy(0)1285 540 y FC(2)1304 530 y FH(\))k FJ(ein)f(Dopp)q(elbaum.)f (Nun)225 580 y(k)n(ann)h(man)f(genau)h(wie)g(im)f(Bew)o(eis)i(v)o(on)f (Satz)h(2.4.11)e(einen)i FI(\017)p FJ(-Dopp)q(elbaum)18 b FI(B)c FG(\024)e FI(B)1577 564 y Fy(0)1600 580 y FJ(\()p FI(\017)f(>)h FH(0)p FJ(\))225 629 y(k)o(onstruieren)i(\(das)f (hei\377t,)f(w)o(egen)h(Satz)h(2.4.23)c(\(i\))j(ist)g(dann)f FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))p FJ(\).)g(Setze)j(dazu)225 679 y(no)q(c)o(h)20 b FH(~)-24 b FI(q)347 689 y FC(1)381 679 y FH(:=)15 b FI(y)460 685 y FD(\027)477 689 y Fx(1)496 679 y FJ(,)g(und)i(ersetze)i(im)14 b(Bew)o(eis)k(v)o(on)d(Satz)i (2.4.11)d FI(q)1266 685 y FC(1)1301 679 y FJ(durc)o(h)20 b FH(~)-24 b FI(q)1440 689 y FC(1)1459 679 y FJ(.)15 b(Ersetze)k(dann)225 729 y(w)o(eiterhin)14 b(zur)g(Konstruktion)g(v)o (on)f FI(E)843 714 y Fy(0)841 739 y FD(n)863 729 y FH(\()s(~)-24 b FI(q)899 739 y FC(1)918 729 y FH(\))p FJ(,)13 b FI(L)987 714 y Fy(0)987 739 y FD(n)1010 729 y FH(\()s(~)-24 b FI(q)1046 739 y FC(1)1064 729 y FH(\))p FJ(,)13 b FI(i)1119 735 y FC(0)1152 729 y FJ(durc)o(h)h FI(\026)1293 735 y FC(0)1312 729 y FJ(,)f FI(j)1354 735 y FC(0)1386 729 y FJ(durc)o(h)h FI(\027)1523 735 y FC(1)1541 729 y FJ(,)f FI(T)1596 714 y Fy(0)1590 739 y FC(1)1622 729 y FJ(durc)o(h)225 779 y FI(T)255 764 y Fy(00)249 789 y FC(1)276 779 y FJ(,)g(und)h(am)e (Ende)i(setze)i FI(V)685 785 y FD(T)705 789 y Fx(1)735 779 y FH(:=)790 748 y FB(S)824 758 y Fy(1)824 791 y FD(n)p FC(=0)896 779 y FI(L)924 764 y Fy(0)924 789 y FD(n)947 779 y FH(\()s(~)-24 b FI(q)983 789 y FC(1)1002 779 y FH(\))9 b FG([)f(f)p FI(q)1103 785 y FC(1)1121 779 y FG(g)p FJ(,)13 b FI(E)1198 785 y FD(T)1218 789 y Fx(1)1247 779 y FH(:=)1302 748 y FB(S)1337 758 y Fy(1)1337 791 y FD(n)p FC(=0)1408 779 y FI(E)1441 764 y Fy(0)1439 789 y FD(n)1462 779 y FH(\()s(~)-24 b FI(q)1498 789 y FC(1)1516 779 y FH(\))9 b FG([)g(f)p FI(q)1618 785 y FC(1)1636 779 y FI(;)g FH(~)-23 b FI(q)1674 789 y FC(1)1693 779 y FG(g)p FJ(,)225 829 y FI(f)245 835 y FC(1)264 829 y FG(f)p FI(q)304 835 y FC(1)322 829 y FI(;)9 b FH(~)-23 b FI(q)360 839 y FC(1)379 829 y FG(g)11 b FH(:=)h FI(\017)p FJ(.)h(In)h(der)h(Konstruktion)f(v)o(on)f FI(E)999 814 y Fy(0)997 839 y FD(n)1020 829 y FH(\()p FI(q)1055 835 y FC(2)1073 829 y FH(\))p FJ(,)h FI(L)1143 814 y Fy(0)1143 839 y FD(n)1165 829 y FH(\()p FI(q)1200 835 y FC(2)1219 829 y FH(\))g FJ(ersetze)i FI(i)1399 835 y FC(0)1432 829 y FJ(durc)o(h)f FI(\026)1574 835 y FC(0)1606 829 y FJ(und)f FI(j)1706 835 y FC(0)225 878 y FJ(durc)o(h)h FI(\027)363 884 y FC(2)381 878 y FJ(.)1302 b Fv(N)225 982 y FJ(W)m(egen)13 b(Behauptung)g(2)f(k)n(ann)h(man)e(n)o(un)h (annehmen,)g(da\377)g FI(T)18 b FH(=)12 b(\()p FI(y)1303 988 y FD(j)1317 992 y Fx(0)1335 982 y FI(;)7 b(x)1378 988 y FD(i)1390 992 y Fx(1)1407 982 y FI(;)g(y)1446 988 y FD(j)1460 992 y Fx(1)1478 982 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e FH(\))13 b FJ(ein)g(W)m(eg)225 1032 y(ist.)f(F\374r)h FI(p;)7 b(q)12 b FG(2)f Fu(R)c FJ(mit)k FI(p)e FH(+)h FI(q)i FG(2)f(G)k FJ(gilt)d FH(di)o(\()p FI(p)p FH(\))g(=)g(di\()p FI(p)d FH(+)g FI(q)i FG(\000)e FI(q)q FH(\))j FG(\024)g FH(di)o(\()p FI(q)q FH(\))p FJ(.)h(V)m(ertausc)o(hen)h(v)o(on)e FI(p)225 1081 y FJ(und)e FI(q)h FJ(liefert)f FH(di\()p FI(q)q FH(\))i FG(\024)g FH(di)o(\()p FI(p)p FH(\))p FJ(.)e(Also)g(ist)g FH(di)o(\()p FI(p)p FH(\))i(=)g(di)o(\()p FI(q)q FH(\))q FJ(.)d(Daraus)h(folgt,)f(da\377)g FI(T)16 b FJ(ein)10 b(unendlic)o(her)225 1131 y FH(di\()p FI(p)297 1137 y FD(i)309 1141 y Fx(0)325 1137 y FD(;j)349 1141 y Fx(0)366 1131 y FH(\))p FJ(-W)m(eg)18 b(ist.)f(Nac)o(h)i(Satz)f (2.4.23)12 b(\(iii\))17 b(ist)h(auc)o(h)g(in)g(diesem)f(F)m(all)g FI(P)28 b(=)-25 b FG(2)18 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)13 b(I)s FH(\))o(\))p FJ(.)225 1181 y(Damit)f(ist)h(im)f(F)m (all)h FI(\013)e FH(=)h FI(\014)i FH(=)e FI(!)j FJ(alles)e(b)q (ewiesen.)225 1231 y(Der)f(F)m(all)e FI(\013;)d(\014)14 b FG(\024)d FI(!)j FJ(k)n(ann)d(wieder)h(auf)f(den)i(F)m(all)d FI(\013)h FH(=)h FI(\014)i FH(=)e FI(!)h FJ(zur\374c)o(kgef\374hrt)g(w) o(erden,)f(indem)225 1281 y(man)17 b(abz\344hlbar)g(viele)h(Nullinien)f (einf\374gt.)h(Bleibt)g(der)h(allgemeine)d(F)m(all.)g(Erneut)j(nehme) 225 1331 y(man)11 b(an,)i(da\377)f(es)i FH(\()p FI(i)540 1337 y FC(0)559 1331 y FI(;)7 b(j)595 1337 y FC(0)614 1331 y FH(\))k FG(2)g FI(I)698 1337 y FC(1)727 1331 y FG(\002)e FI(I)786 1337 y FC(2)818 1331 y FJ(gibt)k(mit)e FI(p)999 1337 y FD(i)1011 1341 y Fx(0)1027 1337 y FD(;j)1051 1341 y Fx(0)1085 1331 y FI(=)-26 b FG(2)11 b(G)r FJ(.)i(Wieder)g(wird)g (gezeigt,)g(da\377)g(dann)225 1380 y FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)i(I)s FH(\))o(\))q FJ(.)g(Betrac)o(h)o(te)j FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)12 b(Es)j(sei)f FI(Z)h FH(:=)c(Zhk\()p FI(x)1167 1386 y FD(i)1179 1390 y Fx(0)1197 1380 y FH(\))j FJ(und)460 1471 y FI(I)478 1477 y FC(1)p FD(;Z)543 1471 y FH(:=)e FG(f)p FI(i)f FG(2)g FI(I)702 1477 y FC(1)733 1471 y FH(:)18 b FI(x)787 1477 y FD(i)812 1471 y FG(2)11 b FI(V)e FH(\()p FI(Z)s FH(\))p FG(g)p FI(;)90 b(I)1088 1477 y FC(2)p FD(;Z)1153 1471 y FH(:=)12 b FG(f)p FI(j)h FG(2)e FI(I)1317 1477 y FC(2)1348 1471 y FH(:)18 b FI(y)1398 1477 y FD(j)1427 1471 y FG(2)11 b FI(V)f FH(\()p FI(Z)s FH(\))p FG(g)p FI(:)225 1561 y FJ(Wie)17 b(im)f(Bew)o(eis)j(v)o(on)e (Satz)h(2.1.19)e(gesehen,)j(sind)f FI(I)1100 1567 y FC(1)p FD(;Z)1171 1561 y FJ(und)g FI(I)1276 1567 y FC(2)p FD(;Z)1347 1561 y FJ(abz\344hlbar,)f(und)h(nac)o(h)225 1611 y(De\034nition)e(v)o (on)f FI(Z)20 b FJ(ist)c FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b Fv(\026)701 1617 y FD(I)716 1621 y Fx(1)p Fs(;Z)762 1617 y Fy(\002)p FD(I)803 1621 y Fx(2)p Fs(;Z)852 1611 y FH(\))16 b(=)g(\()p FI(I)966 1617 y FC(1)p FD(;Z)1019 1611 y FI(;)7 b(I)1056 1617 y FC(2)p FD(;Z)1109 1611 y FI(;)g(r)q Fv(\026)1165 1617 y FD(I)1180 1621 y Fx(1)p Fs(;Z)1228 1611 y FI(;)g(s)p Fv(\026)1283 1617 y FD(I)1298 1621 y Fx(2)p Fs(;Z)1347 1611 y FH(\))p FJ(.)16 b(Da)g(der)h(Bew)o(eis)g(f\374r)225 1661 y(den)d(F)m(all)f FH(max)n FG(f)p FH(#)p FI(I)536 1667 y FC(1)554 1661 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)626 1667 y FC(2)644 1661 y FG(g)k(\024)h FI(!)j FJ(sc)o(hon)g(gef\374hrt)f (wurde,)g(ist)629 1751 y FI(P)6 b Fv(\026)679 1757 y FD(I)694 1761 y Fx(1)p Fs(;Z)741 1757 y Fy(\002)p FD(I)782 1761 y Fx(2)p Fs(;Z)846 1751 y FI(=)-25 b FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\()p FI(P)6 b Fv(\026)1110 1757 y FD(I)1125 1761 y Fx(1)p Fs(;Z)1171 1757 y Fy(\002)p FD(I)1212 1761 y Fx(2)p Fs(;Z)1261 1751 y FH(\)\)\))p FI(:)225 1842 y FJ(Also)14 b(ist)f(nac)o(h)h(Satz)h (2.1.19)d(\(a\))h FI(P)22 b(=)-26 b FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))p FJ(.)649 b Fv(\004)225 1925 y FK(Korollar)14 b(2.4.28.)21 b Fz(Sei)c FG(I)i FH(:=)c(\()p FI(I)778 1931 y FC(1)797 1925 y FI(;)7 b(I)834 1931 y FC(2)853 1925 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))16 b Fz(ein)h FG(\024)p Fz(-R)n(andsystem)h(mit)f FH(#)p FI(I)1442 1931 y FC(1)1472 1925 y FH(=)12 b FI(\013)p Fz(,)17 b FH(#)p FI(I)1626 1931 y FC(2)1656 1925 y FH(=)11 b FI(\014)225 1975 y Fz(und)16 b FI(r)326 1981 y FD(i)351 1975 y FH(=)c FI(s)414 1981 y FD(j)443 1975 y FH(=)g(1)i Fz(f\374r)i(al)r(le)e FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g FI(I)822 1981 y FC(1)850 1975 y FG(\002)d FI(I)909 1981 y FC(2)928 1975 y Fz(.)15 b(Dann)h(ist)e FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\)\))g(=)g FG(M)1429 1981 y FD(sp)1464 1975 y FH(\()p FI(I)1498 1981 y FC(1)1517 1975 y FI(;)7 b(I)1554 1981 y FC(2)1572 1975 y FH(\))p Fz(.)225 2078 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\023)p FJ(\020)e(gilt)13 b(wieder,)h(da)f FH(0)p FJ(,)g FH(1)h FJ(die)g(Extremalpunkte)f(v)o(on) h FH([0)p FI(;)7 b FH(1])k FJ(sind.)225 2128 y(\022)s FG(\022)p FJ(\020)s(:)j(Das)g(folgt)f(sofort)g(aus)h(Satz)h(2.4.27;)c (denn)j Fu(Z)n FJ(ist)g(abgesc)o(hlossen)h(und)737 2218 y FI(p)758 2224 y FD(i;j)809 2218 y FG(2)c Fu(Z)25 b FG(\))41 b FI(p)1021 2224 y FD(i;j)1072 2218 y FG(2)11 b(f)p FH(0)p FI(;)c FH(1)p FG(g)225 2309 y FJ(w)o(egen)14 b(der)h(V)m(oraussetzung.)1001 b Fv(\004)225 2500 y FA(2.5)66 b(Extremalpun)o(kt)o(c)n(harak)o(teri)o(si)o(eru)o(nge)o(n)14 b(f\374r)i(endlic)n(he)375 2574 y(Randsysteme)225 2686 y FJ(Das)f(Hauptergebnis)h(dieses)g(Absc)o(hnitts)g(b)q(esteh)o(t)g(in) f(Satz)g(2.5.15,)d(der)k(eine)f(Vielzahl)g(v)o(er-)225 2736 y(sc)o(hiedener)i(Charakterisierungen)e(der)h(Extremalpunkte)e (f\374r)h(endlic)o(he)g(Randsysteme)g(lie-)225 2785 y(fert.)j(Die)g (meisten)g(dieser)i(Charakterisierungen)f(\034nden)g(sic)o(h)g(b)q(ei)f FE(Jurka)l(t)h FJ(und)g FE(R)l(yser)225 2835 y FJ(\(siehe)c([7)o(]\).)p eop %%Page: 49 51 49 50 bop 165 50 a Fw(2.5.)12 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)i(F\334R)g (ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)163 b FJ(49)165 195 y(Zun\344c)o(hst)15 b(wird)f(f\374r)h(endlic)o(he)f(Randsysteme)g FG(I)j FJ(rekursiv)e(eine)g(Menge)f FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(de\034niert,)h(die)165 245 y(sic)o(h)20 b(dann)f(ansc)o(hlie\377end) g(gerade)h(als)f(die)h(Menge)g(der)g(Extremalpunkte)f(erw)o(eisen)h (wird)165 295 y(\(siehe)15 b(Lemma)c(2.5.5\).)165 364 y(Die)17 b(Konstruktion)h(v)o(on)f FG(E)t FH(\()p FG(I)r FH(\))h FJ(erfolgt,)e(indem)g(man,)f(sofern)j(es)h(mindestens)e(zw)o (ei)h(Zeilen)165 414 y(und)d(mindestens)g(zw)o(ei)g(Spalten)g(gibt,)f (f\374r)h(alle)f(Indexpaare)h FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))16 b FJ(un)o(tersuc)o(h)o(t,)g(ob)e FI(r)1559 420 y FD(i)1584 414 y FG(\024)e FI(s)1647 420 y FD(j)165 464 y FJ(o)q(der)j FI(r)278 470 y FD(i)303 464 y FG(\025)d FI(s)366 470 y FD(j)397 464 y FJ(gilt.)h(Im)f(ersten)k(F)m(all)d(en)o(tfern)o(t)h (man)f FI(i)h FJ(und)g FI(r)1129 470 y FD(i)1157 464 y FJ(aus)g(dem)f(Randsystem)g FG(I)k FJ(und)165 518 y(ersetzt)h FI(s)320 524 y FD(j)354 518 y FJ(durc)o(h)f FI(s)492 524 y FD(j)519 518 y FG(\000)9 b FI(r)579 524 y FD(i)593 518 y FJ(.)15 b(So)h(en)o(tsteh)o(t)i(ein)e(kleineres)h(Randsystem)1322 507 y FH(~)1320 518 y FG(I)r FJ(.)f(Die)f(zugeh\366rigen)165 568 y(Elemen)o(te)h(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FG(I)r FH(\))g FJ(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)g(n)o(un)j(rekursiv,)f(indem)f(man)f(in)i (alle)g(Elemen)o(te)f(v)o(on)165 618 y FG(E)t FH(\()209 607 y(~)207 618 y FG(I)r FH(\))c FJ(eine)f(zus\344tzlic)o(he)h FI(i)p FJ(-te)g(Zeile)f(einf\374gt,)f(die)h(an)g(der)h FI(j)r FJ(-ten)g(Stelle)f FI(r)1274 624 y FD(i)1298 618 y FJ(stehen)h(hat)f(und)g(sonst)165 667 y(n)o(ur)j(Nullen.)f(Im)g(F)m (all)f FI(r)544 673 y FD(i)569 667 y FG(\025)h FI(s)632 673 y FD(j)663 667 y FJ(geh)o(t)h(man)f(analog)f(v)o(or,)h(n)o(ur)i (da\377)e(die)h(Rollen)f(der)i(Zeilen)f(und)165 717 y(Spalten)h(v)o (ertausc)o(h)o(t)h(sind.)f(Die)g(formalen)e(Details)i(dieser)h (Konstruktion)f(erfolgen)g(jetzt)h(in)165 767 y(De\034nition)e(2.5.1.) 165 845 y FK(De\034nitio)o(n)g(2.5.1.)21 b FJ(Sei)14 b FG(I)g FH(:=)d(\()p FI(I)713 851 y FC(1)732 845 y FI(;)c(I)769 851 y FC(2)788 845 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(ein)g(endlic)o (hes)i(Randsystem.)e(Setze)692 930 y FI(m)f FH(:=)g FI(l)q FH(\()p FI(r)q FH(\))p FI(;)89 b(n)12 b FH(:=)f FI(l)q FH(\()p FI(s)p FH(\))p FI(;)299 1050 y(M)5 b FH(\()p FG(I)r FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)642 1056 y FC(1)670 1050 y FG(\002)f FI(I)730 1056 y FC(2)760 1050 y FH(:)18 b FI(r)809 1056 y FD(i)834 1050 y FG(\024)12 b FI(s)897 1056 y FD(j)915 1050 y FG(g)p FI(;)48 b(N)5 b FH(\()p FG(I)r FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1332 1056 y FC(1)1361 1050 y FG(\002)e FI(I)1420 1056 y FC(2)1450 1050 y FH(:)18 b FI(r)1499 1056 y FD(i)1524 1050 y FG(\025)12 b FI(s)1587 1056 y FD(j)1605 1050 y FG(g)p FI(:)-1473 b FJ(\(2.52\))179 1136 y(F\374r)14 b FH(\()p FI(i)289 1142 y FC(0)308 1136 y FI(;)7 b(j)344 1142 y FC(0)362 1136 y FH(\))12 b FG(2)f FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))14 b FJ(und)g FI(m)e FG(\025)g FH(2)h FJ(de\034niere)i(ein)f(Randsystem) 640 1221 y FG(I)666 1201 y FD(i)678 1205 y Fx(0)694 1201 y FD(;j)718 1205 y Fx(0)663 1233 y FD(M)747 1221 y FH(:=)e(\()p FI(I)837 1227 y FC(1)865 1221 y FG(n)d(f)p FI(i)930 1227 y FC(0)949 1221 y FG(g)p FI(;)e(I)1007 1227 y FC(2)1025 1221 y FI(;)g(r)1064 1202 y FD(i)1076 1206 y Fx(0)1063 1233 y FD(M)1099 1221 y FI(;)g(s)1137 1201 y FD(j)1151 1205 y Fx(0)1137 1233 y FD(M)1173 1221 y FH(\))179 1306 y FJ(durc)o(h)443 1418 y FI(r)463 1399 y FD(i)475 1403 y Fx(0)462 1430 y FD(M)510 1418 y FH(:=)k FI(r)q Fv(\026)602 1425 y FD(I)617 1429 y Fx(1)634 1425 y Fy(nf)p FD(i)680 1429 y Fx(0)695 1425 y Fy(g)715 1418 y FI(;)48 b FH(\()p FI(s)810 1398 y FD(j)824 1402 y Fx(0)810 1430 y FD(M)847 1418 y FH(\))863 1424 y FD(j)892 1418 y FH(:=)947 1347 y FB(\()981 1389 y FI(s)1000 1395 y FD(j)1187 1389 y FJ(f\374r)14 b FI(j)g FG(6)p FH(=)e FI(j)1345 1395 y FC(0)1364 1389 y FI(;)981 1449 y(s)1000 1455 y FD(j)1014 1459 y Fx(0)1042 1449 y FG(\000)d FI(r)1102 1455 y FD(i)1114 1459 y Fx(0)1187 1449 y FJ(f\374r)14 b FI(j)g FH(=)e FI(j)1345 1455 y FC(0)1364 1449 y FI(:)165 1418 y FJ(\(2.53\))179 1540 y(F\374r)i FH(\()p FI(i)289 1546 y FC(0)308 1540 y FI(;)7 b(j)344 1546 y FC(0)362 1540 y FH(\))12 b FG(2)f FI(N)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))14 b FJ(und)g FI(n)d FG(\025)h FH(2)i FJ(de\034niere)h(ein)f(Randsystem)644 1625 y FG(I)670 1605 y FD(i)682 1609 y Fx(0)698 1605 y FD(;j)722 1609 y Fx(0)667 1637 y FD(N)751 1625 y FH(:=)d(\()p FI(I)840 1631 y FC(1)859 1625 y FI(;)c(I)896 1631 y FC(2)924 1625 y FG(n)i(f)p FI(j)992 1631 y FC(0)1010 1625 y FG(g)p FI(;)e(r)1070 1607 y FD(i)1082 1611 y Fx(0)1069 1637 y FD(N)1100 1625 y FI(;)g(s)1138 1605 y FD(j)1152 1609 y Fx(0)1138 1637 y FD(N)1170 1625 y FH(\))179 1710 y FJ(durc)o(h)453 1822 y FI(s)472 1802 y FD(j)486 1806 y Fx(0)472 1835 y FD(N)516 1822 y FH(:=)k FI(s)p Fv(\026)607 1829 y FD(I)622 1833 y Fx(2)639 1829 y Fy(nf)p FD(j)687 1833 y Fx(0)703 1829 y Fy(g)722 1822 y FI(;)48 b FH(\()p FI(r)818 1804 y FD(i)830 1808 y Fx(0)817 1835 y FD(N)848 1822 y FH(\))864 1828 y FD(i)890 1822 y FH(:=)945 1751 y FB(\()979 1794 y FI(r)998 1800 y FD(i)1185 1794 y FJ(f\374r)14 b FI(i)e FG(6)p FH(=)g FI(i)1335 1800 y FC(0)1353 1794 y FI(;)979 1854 y(r)998 1860 y FD(i)1010 1864 y Fx(0)1037 1854 y FG(\000)d FI(s)1097 1860 y FD(j)1111 1864 y Fx(0)1185 1854 y FJ(f\374r)14 b FI(i)e FH(=)g FI(i)1335 1860 y FC(0)1353 1854 y FI(:)165 1822 y FJ(\(2.54\))179 1945 y(Die)h(Menge)i FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))e FJ(sei)i(dann)e (rekursiv,)h(wie)g(folgt,)e(de\034niert:)165 1995 y(F\374r)g FH(min)n FG(f)p FI(m;)7 b(n)p FG(g)k FH(=)h(1)f FJ(sei)h FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))f(:=)g FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)g(Seien)h(n)o(un)g FI(m;)7 b(n)k FG(\025)h FH(2)p FJ(,)f(und)g(f\374r)h(alle)e(Randsysteme)169 2034 y FH(^)165 2044 y FG(I)k FH(:=)e(\()282 2034 y(^)274 2044 y FI(I)292 2050 y FC(1)311 2044 y FI(;)337 2034 y FH(^)330 2044 y FI(I)348 2050 y FC(2)366 2044 y FI(;)c FH(^)-22 b FI(r;)8 b FH(^)-22 b FI(s)p FH(\))13 b FJ(mit)20 b FH(^)-29 b FI(m)12 b FH(:=)f FI(l)q FH(\()r(^)-23 b FI(r)r FH(\))11 b FI(<)h(m)i FJ(o)q(der)i FH(^)-23 b FI(n)11 b FH(:=)g FI(l)q FH(\()r(^)-23 b FI(s)q FH(\))12 b FI(<)g(n)h FJ(sei)g FG(E)t FH(\()1269 2034 y(^)1265 2044 y FG(I)s FH(\))g FJ(b)q(ereits)i(k)o(onstruiert.)165 2094 y(De\034niere)g(f\374r)f FH(\()p FI(i)436 2100 y FC(0)455 2094 y FI(;)7 b(j)491 2100 y FC(0)509 2094 y FH(\))k FG(2)h FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))13 b FJ(und)h FI(m)e FG(\025)g FH(2)307 2217 y FG(M)357 2223 y FD(i)369 2227 y Fx(0)385 2223 y FD(;j)409 2227 y Fx(0)427 2217 y FH(\()p FG(I)s FH(\))f(:=)552 2146 y FB(\()602 2217 y FI(P)17 b FG(2)11 b(M)735 2230 y Fl(R)759 2216 y Fx(+)759 2239 y(0)781 2217 y FH(\()p FI(I)815 2223 y FC(1)834 2217 y FI(;)c(I)871 2223 y FC(2)890 2217 y FH(\))k(:)602 2358 y FI(P)6 b Fv(\026)652 2365 y FC(\()p FD(I)680 2369 y Fx(1)696 2365 y Fy(nf)p FD(i)742 2369 y Fx(0)758 2365 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)829 2369 y Fx(2)858 2358 y FG(2)11 b(E)t FH(\()p FG(I)965 2338 y FD(i)977 2342 y Fx(0)993 2338 y FD(;j)1017 2342 y Fx(0)962 2370 y FD(M)1034 2358 y FH(\))j FJ(und)g FI(p)1168 2364 y FD(i)1180 2368 y Fx(0)1196 2364 y FD(;j)1235 2358 y FH(=)1279 2287 y FB(\()1312 2330 y FH(0)70 b FJ(f\374r)13 b FI(j)h FG(6)p FH(=)e FI(j)1560 2336 y FC(0)1579 2330 y FI(;)1312 2389 y(r)1331 2395 y FD(i)1343 2399 y Fx(0)1403 2389 y FJ(f\374r)h FI(j)h FH(=)e FI(j)1560 2395 y FC(0)1595 2287 y FB(\))-1463 b FJ(\(2.55\))179 2480 y(und)14 b(f\374r)g FH(\()p FI(i)358 2486 y FC(0)377 2480 y FI(;)7 b(j)413 2486 y FC(0)431 2480 y FH(\))12 b FG(2)f FI(N)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))13 b FJ(und)h FI(n)e FG(\025)g FH(2)308 2603 y FG(N)342 2609 y FD(i)354 2613 y Fx(0)370 2609 y FD(;j)394 2613 y Fx(0)412 2603 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g(:=)537 2532 y FB(\()587 2603 y FI(P)17 b FG(2)11 b(M)720 2616 y Fl(R)744 2602 y Fx(+)744 2625 y(0)767 2603 y FH(\()p FI(I)801 2609 y FC(1)820 2603 y FI(;)c(I)857 2609 y FC(2)875 2603 y FH(\))12 b(:)587 2744 y FI(P)6 b Fv(\026)637 2751 y FD(I)652 2755 y Fx(1)668 2751 y Fy(\002)p FC(\()p FD(I)722 2755 y Fx(2)738 2751 y Fy(nf)p FD(j)786 2755 y Fx(0)802 2751 y Fy(g)p FC(\))845 2744 y FG(2)12 b(E)s FH(\()p FG(I)952 2724 y FD(i)964 2728 y Fx(0)980 2724 y FD(;j)1004 2728 y Fx(0)949 2756 y FD(N)1022 2744 y FH(\))i FJ(und)g FI(p)1156 2750 y FD(i;j)1192 2754 y Fx(0)1221 2744 y FH(=)1265 2673 y FB(\()1298 2716 y FH(0)72 b FJ(f\374r)14 b FI(i)e FG(6)p FH(=)f FI(i)1540 2722 y FC(0)1559 2716 y FI(;)1298 2775 y(s)1317 2781 y FD(j)1331 2785 y Fx(0)1391 2775 y FJ(f\374r)j FI(i)e FH(=)f FI(i)1540 2781 y FC(0)1576 2673 y FB(\))1616 2744 y FI(:)165 2673 y FJ(\(2.56\))p eop %%Page: 50 52 50 51 bop 225 50 a FJ(50)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(Sc)o(hlie\377lic)o(h)e(sei)h FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))d(:=)h FG(M)o FH(\()p FG(I)s FH(\))e FG([)e(N)e FH(\()p FG(I)s FH(\))14 b FJ(mit)459 287 y FG(M)p FH(\()p FG(I)s FH(\))e(:=)694 247 y FB([)634 338 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(M)s FC(\()p Fy(I)r FC(\))808 287 y FG(M)858 293 y FD(i;j)897 287 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FI(;)48 b FG(N)6 b FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(:=)1237 247 y FB([)1180 338 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(N)s FC(\()p Fy(I)r FC(\))1348 287 y FG(N)1382 293 y FD(i;j)1421 287 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FI(:)-1266 b FJ(\(2.57\))225 484 y(Zur)14 b(Illustration)f(v)o(on)h(De\034nition)f (2.5.1)f(dien)o(t)h(das)h(folgende)g(Beispiel)g(2.5.2.)d(In)j(Absc)o (hnitt)225 534 y(A.1)d(des)h(Anhangs)f(b)q(e\034ndet)i(sic)o(h)f(der)g (Quellco)q(de)g(einer)g(Implemen)o(tatio)o(n)d(des)j(in)f(De\034nition) 225 583 y(2.5.1)h(gegeb)q(enen)k(Algorithm)o(us.)225 660 y FK(Beispiel)d(2.5.2.)21 b FJ(Gegeb)q(en)15 b(sei)f(das)g (Randsystem)f FG(I)h FH(:=)d(\()p FI(I)1201 666 y FC(1)1220 660 y FI(;)c(I)1257 666 y FC(2)1276 660 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(mit)690 744 y FI(I)708 750 y FC(1)739 744 y FH(:=)e FG(f)p FH(1)p FI(;)c FH(2)p FG(g)p FI(;)88 b(I)1015 750 y FC(2)1045 744 y FH(:=)12 b FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)p FI(;)225 827 y(r)12 b FH(:=)g(\(2)p FI(;)7 b FH(5\))o FJ(,)13 b FI(s)f FH(:=)g(\(1)p FI(;)7 b FH(1)p FI(;)g FH(5\))n FJ(.)14 b(Es)g(soll)f(n)o(un)h FG(E)t FH(\()p FG(I)r FH(\))g FJ(explizit)g(b)q(estimm)o(t)d(w)o (erden.)k(Es)f(ist)436 911 y FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)f FG(f)p FH(\(1)p FI(;)c FH(3\))p FI(;)g FH(\(2)p FI(;)g FH(3\))p FG(g)39 b FI(N)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)g FG(f)p FH(\(1)p FI(;)7 b FH(1\))p FI(;)g FH(\(1)p FI(;)g FH(2\))p FI(;)g FH(\(2)p FI(;)f FH(1\))p FI(;)g FH(\(2)p FI(;)h FH(2\))p FI(;)f FH(\(2)p FI(;)g FH(3\))p FG(g)p FI(:)225 994 y FJ(Man)14 b(erh\344lt)445 1092 y FG(I)471 1072 y FC(1)p FD(;)p FC(3)471 1105 y FD(M)527 1092 y FH(=)e(\()p FG(f)p FH(2)p FG(g)p FI(;)7 b(I)687 1098 y FC(2)705 1092 y FI(;)g FH(\(5\))p FI(;)g FH(\(1)p FI(;)g FH(1)p FI(;)g FH(3\)\))p FI(;)46 b FG(M)1052 1098 y FC(1)p FD(;)p FC(3)1097 1092 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)1211 1034 y FB(\032\022)1272 1067 y FH(0)42 b(0)f(2)1272 1117 y(1)h(1)f(3)1418 1034 y FB(\023)o(\033)1486 1092 y FI(;)445 1209 y FG(I)471 1189 y FC(2)p FD(;)p FC(3)471 1221 y FD(M)527 1209 y FH(=)12 b(\()p FG(f)p FH(1)p FG(g)p FI(;)7 b(I)687 1215 y FC(2)705 1209 y FI(;)g FH(\(2\))p FI(;)g FH(\(1)p FI(;)g FH(1)p FI(;)g FH(0\)\))p FI(;)46 b FG(M)1052 1215 y FC(2)p FD(;)p FC(3)1097 1209 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)1211 1150 y FB(\032\022)1272 1183 y FH(1)42 b(1)f(0)1272 1233 y(0)h(0)f(5)1418 1150 y FB(\023)o(\033)1486 1209 y FI(;)225 1325 y FJ(so)o(wie)14 b FG(I)360 1305 y FC(1)p FD(;)p FC(1)360 1337 y FD(N)417 1325 y FH(=)e(\()p FI(I)495 1331 y FC(1)514 1325 y FI(;)7 b FG(f)p FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)p FI(;)g FH(\(1)p FI(;)g FH(5)o(\))p FI(;)g FH(\(1)p FI(;)f FH(5\)\))m FJ(,)434 1413 y FI(M)f FH(\()p FG(I)521 1393 y FC(1)p FD(;)p FC(1)521 1425 y FD(N)566 1413 y FH(\))11 b(=)h FG(f)p FH(\(1)p FI(;)7 b FH(2\))p FI(;)g FH(\(1)p FI(;)g FH(3\))p FI(;)g FH(\(2)p FI(;)g FH(3)o(\))p FG(g)p FI(;)45 b(N)5 b FH(\()p FG(I)1132 1393 y FC(1)p FD(;)p FC(1)1132 1425 y FD(N)1177 1413 y FH(\))12 b(=)f FG(f)p FH(\(1)p FI(;)c FH(2\))p FI(;)g FH(\(2)p FI(;)g FH(2\))p FI(;)g FH(\(2)p FI(;)g FH(3\))p FG(g)p FI(;)456 1557 y FH(\()p FG(I)497 1537 y FC(1)p FD(;)p FC(1)497 1569 y FD(N)542 1557 y FH(\))558 1537 y FC(1)p FD(;)p FC(2)558 1569 y FD(M)615 1557 y FH(=)12 b(\()p FG(f)p FH(2)p FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)p FI(;)g FH(\(5\))p FI(;)f FH(\(0)p FI(;)h FH(5)o(\)\))p FI(;)46 b FG(M)1165 1563 y FC(1)p FD(;)p FC(2)1210 1557 y FH(\()p FG(I)1252 1537 y FC(1)p FD(;)p FC(1)1252 1569 y FD(N)1297 1557 y FH(\))12 b(=)1369 1499 y FB(\032\022)1430 1532 y FH(1)42 b(0)1430 1582 y(0)g(5)1513 1499 y FB(\023\033)1582 1557 y FI(;)456 1673 y FH(\()p FG(I)497 1653 y FC(1)p FD(;)p FC(1)497 1686 y FD(N)542 1673 y FH(\))558 1653 y FC(1)p FD(;)p FC(3)558 1686 y FD(M)615 1673 y FH(=)12 b(\()p FG(f)p FH(2)p FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)p FI(;)g FH(\(5\))p FI(;)f FH(\(1)p FI(;)h FH(4)o(\)\))p FI(;)46 b FG(M)1165 1679 y FC(1)p FD(;)p FC(3)1210 1673 y FH(\()p FG(I)1252 1653 y FC(1)p FD(;)p FC(1)1252 1686 y FD(N)1297 1673 y FH(\))12 b(=)1369 1615 y FB(\032\022)1430 1648 y FH(0)42 b(1)1430 1698 y(1)g(4)1513 1615 y FB(\023\033)1582 1673 y FI(;)456 1790 y FH(\()p FG(I)497 1770 y FC(1)p FD(;)p FC(1)497 1802 y FD(N)542 1790 y FH(\))558 1770 y FC(2)p FD(;)p FC(3)558 1802 y FD(M)615 1790 y FH(=)12 b(\()p FG(f)p FH(1)p FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)p FI(;)g FH(\(1\))p FI(;)f FH(\(1)p FI(;)h FH(0)o(\)\))p FI(;)46 b FG(M)1165 1796 y FC(2)p FD(;)p FC(3)1210 1790 y FH(\()p FG(I)1252 1770 y FC(1)p FD(;)p FC(1)1252 1802 y FD(N)1297 1790 y FH(\))12 b(=)1369 1731 y FB(\032\022)1430 1764 y FH(1)42 b(0)1430 1814 y(0)g(5)1513 1731 y FB(\023\033)1582 1790 y FI(;)456 1906 y FH(\()p FG(I)497 1886 y FC(1)p FD(;)p FC(1)497 1918 y FD(N)542 1906 y FH(\))558 1886 y FC(1)p FD(;)p FC(2)558 1918 y FD(N)615 1906 y FH(=)12 b(\()p FI(I)693 1912 y FC(1)712 1906 y FI(;)7 b FG(f)p FH(3)p FG(g)p FI(;)g FH(\(0)p FI(;)g FH(5\))p FI(;)g FH(\(5\)\))p FI(;)45 b FG(M)1101 1912 y FC(1)p FD(;)p FC(2)1146 1906 y FH(\()p FG(I)1188 1886 y FC(1)p FD(;)p FC(1)1188 1918 y FD(N)1233 1906 y FH(\))11 b(=)1304 1847 y FB(\032\022)1366 1881 y FH(1)41 b(0)1366 1930 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FC(0)731 641 y FH(\))k FG(2)h FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))13 b FJ(mit)f FI(P)17 b FG(2)11 b(M)1123 647 y FD(i)1135 651 y Fx(0)1151 647 y FD(;j)1175 651 y Fx(0)1193 641 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)i(das)h(hei\377t)409 760 y FI(P)6 b Fv(\026)459 767 y FC(\()p FD(I)487 771 y Fx(1)503 767 y Fy(nf)p FD(i)549 771 y Fx(0)565 767 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)636 771 y Fx(2)665 760 y FG(2)11 b(E)t FH(\()p FG(I)772 741 y FD(i)784 745 y Fx(0)800 741 y FD(;j)824 745 y Fx(0)769 773 y FD(M)841 760 y FH(\))j FJ(und)g FI(p)975 766 y FD(i)987 770 y Fx(0)1003 766 y FD(;j)1042 760 y FH(=)1086 689 y FB(\()1119 732 y FH(0)70 b FJ(f\374r)13 b FI(j)h FG(6)p FH(=)e FI(j)1367 738 y FC(0)1386 732 y FI(;)1119 792 y(r)1138 798 y FD(i)1150 802 y Fx(0)1210 792 y FJ(f\374r)h FI(j)h FH(=)e FI(j)1367 798 y FC(0)1409 760 y FI(:)165 887 y FJ(P)o(er)j(Induktion)e(ist)h FI(P)6 b Fv(\026)540 894 y FC(\()p FD(I)568 898 y Fx(1)583 894 y Fy(nf)p FD(i)629 898 y Fx(0)645 894 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)716 898 y Fx(2)746 887 y FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)860 867 y FD(i)872 871 y Fx(0)888 867 y FD(;j)912 871 y Fx(0)857 899 y FD(M)930 887 y FH(\))p FJ(,)i(das)h(hei\377t)351 1009 y FG(8)330 1036 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)379 1040 y Fx(1)418 970 y FB(X)413 1059 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)466 1063 y Fx(2)489 1009 y FI(p)510 1015 y FD(i;j)561 1009 y FH(=)604 938 y FB(\()638 981 y FH(\()p FI(r)674 962 y FD(i)686 966 y Fx(0)673 993 y FD(M)710 981 y FH(\))726 987 y FD(i)751 981 y FH(=)e FI(r)814 987 y FD(i)883 981 y FJ(f\374r)i FI(i)d FG(6)p FH(=)h FI(i)1032 987 y FC(0)1051 981 y FI(;)638 1041 y(r)657 1047 y FD(i)669 1051 y Fx(0)883 1041 y FJ(f\374r)i FI(i)d FH(=)h FI(i)1032 1047 y FC(0)1051 1041 y FI(;)353 1158 y FG(8)330 1185 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)383 1189 y Fx(2)420 1118 y FB(X)417 1207 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)466 1211 y Fx(1)489 1158 y FI(p)510 1164 y FD(i;j)561 1158 y FH(=)f FI(p)625 1164 y FD(i)637 1168 y Fx(0)653 1164 y FD(;j)690 1158 y FH(+)773 1118 y FB(X)731 1209 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)780 1213 y Fx(1)796 1209 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b(2.5.4.)21 b Fz(Sei)h FG(I)j FH(:=)d(\()p FI(I)691 1424 y FC(1)710 1418 y FI(;)7 b(I)747 1424 y FC(2)766 1418 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))20 b Fz(ein)h(end)r(liches)h (R)n(andsystem)f(und)h FI(P)28 b FG(2)23 b(E)s FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)165 1468 y(Dann)16 b(ist)e FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))12 b FG(\024)g FI(m)d FH(+)h FI(n)f FG(\000)g FH(1)p Fz(.)165 1567 y(Beweis.)20 b FJ(Wieder)14 b(erfolgt)g(eine)g(Induktion)f(\374b)q(er)i FI(m)10 b FH(+)f FI(n)p FJ(.)14 b(F\374r)g FI(m)e FH(=)g(1)h FJ(ist)650 1648 y FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))12 b FG(\024)f FI(n)h FH(=)g FI(n)d FH(+)g FI(m)h FG(\000)g FH(1)p FI(;)165 1729 y FJ(f\374r)15 b FI(n)d FH(=)h(1)h FJ(ist)h FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))11 b FG(\024)h FI(m)g FH(=)g FI(m)d FH(+)h FI(n)f FG(\000)h FH(1)o FJ(.)k(Sei)h(n)o (un)f FI(m;)7 b(n)13 b FG(\025)g FH(2)h FJ(und)h FI(P)j FG(2)12 b(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)i(Ange-)165 1779 y(nommen)d FI(P)17 b FG(2)11 b(M)466 1785 y FD(i)478 1789 y Fx(0)494 1785 y FD(;j)518 1789 y Fx(0)536 1779 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)i FH(\()p FI(i)649 1785 y FC(0)669 1779 y FI(;)7 b(j)705 1785 y FC(0)723 1779 y FH(\))k FG(2)h FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)13 b(Es)h(gilt)170 1890 y FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))11 b(=)h(#)7 b(supp\()p FI(P)f Fv(\026)610 1897 y FC(\()p FD(I)638 1901 y Fx(1)654 1897 y Fy(nf)p FD(i)700 1901 y Fx(0)716 1897 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)787 1901 y Fx(2)805 1890 y FH(\))j(+)h(1)904 1852 y Fp(\(Induktion\))972 1890 y FG(\024)79 b FI(m)10 b FG(\000)f FH(1)g(+)h FI(n)f FG(\000)g FH(1)g(+)h(1)h(=)h FI(m)e FH(+)f FI(n)g FG(\000)h FH(1)p FI(:)165 1971 y FJ(Ist)k(hingegen)g FI(P)j FG(2)11 b(N)516 1977 y FD(i)528 1981 y Fx(0)544 1977 y FD(;j)568 1981 y Fx(0)586 1971 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)j FH(\()p FI(i)700 1977 y FC(0)719 1971 y FI(;)7 b(j)755 1977 y FC(0)773 1971 y FH(\))12 b FG(2)f FI(N)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)13 b(so)h(ist)347 2082 y FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))12 b(=)f(#)c(supp\()p FI(P)f Fv(\026)787 2089 y FD(I)802 2093 y Fx(1)818 2089 y Fy(\002)p FC(\()p FD(I)872 2093 y Fx(2)888 2089 y Fy(nf)p FD(j)936 2093 y Fx(0)952 2089 y Fy(g)p FC(\))984 2082 y FH(\))j(+)h(1)1083 2044 y Fp(\(Induktion\))1151 2082 y FG(\024)79 b FI(m)10 b FH(+)f FI(n)h FG(\000)f FH(1)g FG(\000)h FH(1)f(+)g(1)551 2144 y(=)i FI(m)f FH(+)g FI(n)f FG(\000)g FH(1)p FI(:)165 2218 y FJ(Damit)j(ist)h(die)h(Induktion)g(v)o(ollst\344ndig)e(und)i (das)g(Lemma)d(b)q(ewiesen.)337 b Fv(\004)165 2299 y FK(Lemma)15 b(2.5.5.)21 b Fz(Ist)15 b FG(I)f FH(:=)d(\()p FI(I)654 2305 y FC(1)674 2299 y FI(;)c(I)711 2305 y FC(2)729 2299 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(end)r(liches)g(R)n (andsystem,)g(so)g(ist)764 2380 y FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))c(=)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FI(:)165 2479 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Der)e(Bew)o(eis)h(erfolgt)e(erneut)i (durc)o(h)f(Induktion)f(\374b)q(er)i FI(m)10 b FH(+)f FI(n)p FJ(.)17 b(F\374r)h FI(m)12 b FH(=)g(1)17 b FJ(o)q(der)165 2529 y FI(n)11 b FH(=)h(1)i FJ(ist)g(nic)o(h)o(ts)g(zu)g(zeigen.)g (Seien)h(also)e FI(m;)7 b(n)k FG(\025)h FH(2)p FJ(.)165 2579 y(\022)s FG(\023)p FJ(\020)s(:)22 b(Sei)g FI(P)16 b FG(2)c FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)21 b(Nac)o(h)h(Korollar)f(2.2.9)f(hat)h FI(P)27 b FJ(eine)22 b(Linie)f(mit)f(h\366)q(c)o(hstens)j(ei-)165 2629 y(nem)e(p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t.)f(Angenommen,)e(es)k (handelt)f(sic)o(h)h(dab)q(ei)f(um)e(die)i FI(i)1506 2635 y FC(0)1525 2629 y FJ(-te)h(Zei-)165 2678 y(le)d(\(der)h(F)m(all,) d(da\377)h(es)i(sic)o(h)g(um)d(die)i FI(j)803 2684 y FC(0)822 2678 y FJ(-te)g(Spalte)g(handelt,)g(geh)o(t)g(v)o(\366llig)e (analog\).)g(Setze)165 2728 y FI(Q)11 b FH(:=)h FI(P)6 b Fv(\026)315 2735 y FC(\()p FD(I)343 2739 y Fx(1)358 2735 y Fy(nf)p FD(i)404 2739 y Fx(0)420 2735 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)491 2739 y Fx(2)509 2728 y FJ(,)546 2718 y FH(~)542 2728 y FG(I)15 b FH(:=)c FG(I)s FH(\()p FI(Q)p FH(\))p FJ(.)21 b(Nac)o(h)h(Lemma)d(2.1.14)h(ist)i(dann)g FI(Q)11 b FG(2)g FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1515 2718 y(~)1511 2728 y FG(I)t FH(\)\))p FJ(.)21 b(P)o(er)165 2785 y(Induktion)f(ist)g(dann)g FI(Q)12 b FG(2)f(E)t FH(\()667 2775 y(~)663 2785 y FG(I)r FH(\))q FJ(,)19 b(und)i(es)g(folgt)e(\(b)q(eac)o(h)o(te)j(dazu)e FH(\()p FI(i)1292 2791 y FC(0)1311 2785 y FI(;)7 b(j)1347 2791 y FC(0)1366 2785 y FH(\))k FG(2)g FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))20 b FJ(w)o(egen)165 2835 y FI(p)186 2841 y FD(i)198 2845 y Fx(0)214 2841 y FD(;j)238 2845 y Fx(0)267 2835 y FH(=)12 b FI(r)330 2841 y FD(i)342 2845 y Fx(0)360 2835 y FJ(\))i FI(P)j FG(2)11 b(M)523 2841 y FD(i)535 2845 y Fx(0)551 2841 y FD(;j)575 2845 y Fx(0)593 2835 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)i(das)h(hei\377t)g FI(P)j FG(2)11 b(E)s FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)p eop %%Page: 52 54 52 53 bop 225 50 a FJ(52)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(\022)s FG(\022)p FJ(\020)s(:)20 b(Sei)f(n)o(un)g FI(P)e FG(2)11 b(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)18 b FI(P)f FH(=)772 179 y FC(1)p 772 186 17 2 v 772 209 a(2)794 195 y FI(P)827 180 y FC(\(1\))880 195 y FH(+)926 179 y FC(1)p 926 186 V 926 209 a(2)948 195 y FI(P)981 180 y FC(\(2\))1044 195 y FJ(und)i FI(P)1165 180 y FC(\(1\))1209 195 y FI(;)7 b(P)1261 180 y FC(\(2\))1316 195 y FG(2)k(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)19 b(Angenommen)225 245 y FI(P)e FG(2)11 b(M)358 251 y FD(i)370 255 y Fx(0)386 251 y FD(;j)410 255 y Fx(0)428 245 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)i FH(\()p FI(i)541 251 y FC(0)560 245 y FI(;)7 b(j)596 251 y FC(0)614 245 y FH(\))12 b FG(2)f FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)13 b(Sei)h FI(Q)e FH(:=)f FI(P)6 b Fv(\026)1026 252 y FC(\()p FD(I)1054 256 y Fx(1)1070 252 y Fy(nf)p FD(i)1116 256 y Fx(0)1131 252 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)1202 256 y Fx(2)1220 245 y FJ(,)14 b(und)g(f\374r)g FI(k)e FH(=)g(1)p FI(;)7 b FH(2)13 b FJ(sei)751 359 y FI(Q)784 342 y FC(\()p FD(k)q FC(\))841 359 y FH(:=)f FI(P)930 342 y FC(\()p FD(k)q FC(\))976 359 y Fv(\026)993 366 y FC(\()p FD(I)1021 370 y Fx(1)1037 366 y Fy(nf)p FD(i)1083 370 y Fx(0)1099 366 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)1170 370 y Fx(2)1188 359 y FI(:)225 473 y FJ(Dann)k(gilt)f FI(Q)c FH(=)509 457 y FC(1)p 509 464 V 509 487 a(2)530 473 y FI(Q)563 458 y FC(\(1\))617 473 y FH(+)664 457 y FC(1)p 664 464 V 664 487 a(2)685 473 y FI(Q)718 458 y FC(\(2\))762 473 y FJ(.)16 b(Sei)863 463 y FH(~)859 473 y FG(I)e FH(:=)e FG(I)r FH(\()p FI(Q)p FH(\))q FJ(.)j(P)o(er)i(Induktion)f(ist)g FI(Q)11 b FG(2)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1583 463 y(~)1579 473 y FG(I)s FH(\)\))p FJ(,)k(das)225 528 y(hei\377t)e FI(Q)362 513 y FC(\(1\))418 528 y FH(=)d FI(Q)494 513 y FC(\(2\))550 528 y FH(=)h FI(Q)p FJ(.)h(W)m(egen)h FI(P)q(;)7 b(P)866 513 y FC(\(1\))909 528 y FI(;)g(P)961 513 y FC(\(2\))1016 528 y FG(2)12 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(folgt)g(daraus)h(auc)o(h) 610 635 y FI(P)6 b Fv(\026)660 642 y Fy(f)p FD(i)689 646 y Fx(0)705 642 y Fy(g\002)p FD(I)763 646 y Fx(2)792 635 y FH(=)12 b FI(P)869 618 y FC(\(1\))913 635 y Fv(\026)930 642 y Fy(f)p FD(i)959 646 y Fx(0)975 642 y Fy(g\002)p FD(I)1033 646 y Fx(2)1063 635 y FH(=)f FI(P)1139 618 y FC(\(2\))1183 635 y Fv(\026)1200 642 y Fy(f)p FD(i)1229 646 y Fx(0)1246 642 y Fy(g\002)p FD(I)1304 646 y Fx(2)1322 635 y FI(;)225 747 y FJ(das)20 b(hei\377t)f FI(P)e FH(=)12 b FI(P)535 732 y FC(\(1\))591 747 y FH(=)f FI(P)667 732 y FC(\(2\))711 747 y FJ(.)20 b(Also)f(ist)h FI(P)d FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))q FJ(.)19 b(Ein)g(v)o(\366llig)f(analoges)h(Argumen)o(t)225 797 y(zeigt)14 b FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))j FJ(auc)o(h)g(f\374r)g FI(P)j FG(2)11 b(N)854 803 y FD(i)866 807 y Fx(0)882 803 y FD(;j)906 807 y Fx(0)924 797 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)i FH(\()p FI(i)1037 803 y FC(0)1056 797 y FI(;)7 b(j)1092 803 y FC(0)1110 797 y FH(\))12 b FG(2)f FI(N)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)408 b Fv(\004)225 933 y FK(Lemma)15 b(2.5.6.)21 b Fz(Sei)g FG(I)j FH(:=)e(\()p FI(I)749 939 y FC(1)768 933 y FI(;)7 b(I)805 939 y FC(2)823 933 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))20 b Fz(ein)g(end)r(liches)h(R)n(andsystem)g(und)h FI(P)27 b FG(2)21 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)225 982 y(Dann)c(ist)f FI(P)j FG(2)13 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))k Fz(genau)f(dann,)h(wenn)g(je)n(de)f(Submatrix) h FI(Q)e Fz(von)i FI(P)k Fz(eine)c(Linie)f(mit)225 1032 y(h\366)n(chstens)g(einem)f(p)n(ositiven)g(Element)f(enth\344lt.)225 1204 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)f(folgt)c(aus)i(Korollar) e(2.2.9)f(und)i(Lemma)e(2.1.14.)g(Der)i(Bew)o(eis)h(v)o(on)f(\022)s FG(\()p FJ(\020)j(ist)225 1254 y(wiederum)c(eine)h(Induktion)f(\374b)q (er)i FI(m)11 b FH(+)g FI(n)p FJ(.)k(F\374r)h FI(m)f FH(=)g(1)h FJ(o)q(der)g FI(n)e FH(=)h(1)h FJ(ist)g(nic)o(h)o(ts)g(zu)g (b)q(ew)o(ei-)225 1303 y(sen.)g(Sei)f(n)o(un)h FI(m;)7 b(n)14 b FG(\025)g FH(2)p FJ(.)h(Nac)o(h)h(V)m(oraussetzung)g(hat)f FI(P)21 b FJ(eine)16 b(Linie)f(mit)f(h\366)q(c)o(hstens)j(einem)225 1353 y(p)q(ositiv)o(en)e(Elemen)o(t.)f(Angenommen,)f(es)j(handelt)f (sic)o(h)h(um)e(die)h FI(i)1294 1359 y FC(0)1313 1353 y FJ(-te)g(Zeile)h(\(der)g(F)m(all,)d(da\377)225 1403 y(es)i(sic)o(h)f(um)e(die)i FI(j)511 1409 y FC(0)530 1403 y FJ(-te)g(Spalte)g(handelt,)f(geh)o(t)h(dann)g(wieder)h (analog\).)d(W\344hle)h FI(j)1513 1409 y FC(0)1545 1403 y FJ(so,)h(da\377)876 1509 y FG(8)812 1538 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)865 1542 y Fx(2)881 1538 y Fy(nf)p FD(j)929 1542 y Fx(0)945 1538 y Fy(g)974 1509 y FI(p)995 1515 y FD(i)1007 1519 y Fx(0)1023 1515 y FD(;j)1061 1509 y FH(=)e(0)p FI(:)225 1639 y FJ(Sei)j FI(Q)e FH(:=)g FI(P)6 b Fv(\026)446 1646 y FC(\()p FD(I)474 1650 y Fx(1)489 1646 y Fy(nf)p FD(i)535 1650 y Fx(0)551 1646 y Fy(g)p FC(\))p Fy(\002)p FD(I)622 1650 y Fx(2)640 1639 y FJ(.)14 b(Da)g(jede)i(Submatrix)d(v)o (on)h FI(Q)h FJ(auc)o(h)g(eine)g(Submatrix)e(v)o(on)h FI(P)20 b FJ(ist,)225 1689 y(en)o(th\344lt)10 b(jede)h(Submatrix)d(v)o (on)i FI(Q)f FJ(eine)i(Linie)e(mit)g(h\366)q(c)o(hstens)i(einem)f(p)q (ositiv)o(en)f(Elemen)o(t.)g(P)o(er)225 1739 y(Induktion)g(ist)h(dann)f FI(Q)j FG(2)f(E)s FH(\()p FG(I)716 1719 y FD(i)728 1723 y Fx(0)744 1719 y FD(;j)768 1723 y Fx(0)713 1751 y FD(M)786 1739 y FH(\))f FJ(\(b)q(eac)o(h)o(te)h(dazu,)e(da\377)g FH(\()p FI(i)1185 1745 y FC(0)1204 1739 y FI(;)e(j)1240 1745 y FC(0)1258 1739 y FH(\))12 b FG(2)f FI(M)5 b FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)k(da)h FI(p)1524 1745 y FD(i)1536 1749 y Fx(0)1551 1745 y FD(;j)1575 1749 y Fx(0)1605 1739 y FH(=)i FI(r)1668 1745 y FD(i)1680 1749 y Fx(0)1697 1739 y FJ(\).)225 1788 y(Also)i(ist)f FI(P)k FG(2)12 b(M)509 1794 y FD(i)521 1798 y Fx(0)537 1794 y FD(;j)561 1798 y Fx(0)579 1788 y FH(\()p FG(I)s FH(\))i FJ(und)g(damit)e FI(P)17 b FG(2)11 b(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))g(=)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p FJ(.)453 b Fv(\004)225 1924 y FK(Korollar)14 b(2.5.7.)21 b Fz(Sei)e FG(I)j FH(:=)c(\()p FI(I)762 1930 y FC(1)781 1924 y FI(;)7 b(I)818 1930 y FC(2)837 1924 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))18 b Fz(ein)h(end)r(liches)g(R)n(andsystem)h(und)f FI(P)25 b FG(2)18 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)225 1974 y(Dann)c(ist)f FI(P)j FG(2)c FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h Fz(genau)h(dann,)g(wenn)f(f\374r)g(je)n(de)g (Submatrix)h FI(Q)f Fz(von)h FI(P)k Fz(mit)i FH(~)-29 b FI(m)14 b Fz(Zeilen)225 2024 y(und)k FH(~)-23 b FI(n)14 b Fz(Sp)n(alten)i(gilt,)e(da\377)h FH(#)7 b(supp\()p FI(Q)p FH(\))12 b FG(\024)19 b FH(~)-28 b FI(m)9 b FH(+)j(~)-23 b FI(n)9 b FG(\000)g FH(1)p Fz(.)225 2195 y(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\))p FJ(\020)s(:)d(Sei)g FI(P)22 b FG(2)16 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))h FJ(und)910 2185 y FH(~)906 2195 y FG(I)d FH(:=)e FG(I)r FH(\()p FI(Q)p FH(\))p FJ(.)17 b(Dann)f(ist)h FI(Q)12 b FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1475 2185 y(~)1471 2195 y FG(I)s FH(\)\))p FJ(,)17 b(das)g(hei\377t)225 2245 y FI(Q)11 b FG(2)h(E)s FH(\()354 2235 y(~)350 2245 y FG(I)s FH(\))i FJ(und)g(damit)e FH(#)7 b(supp\()p FI(Q)p FH(\))12 b FG(\024)19 b FH(~)-29 b FI(m)10 b FH(+)i(~)-23 b FI(n)9 b FG(\000)g FH(1)p FJ(.)225 2331 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)s(:)14 b(Aus)g FH(#)7 b(supp\()p FI(Q)p FH(\))12 b FG(\024)20 b FH(~)-29 b FI(m)10 b FH(+)h(~)-23 b FI(n)9 b FG(\000)h FH(1)k FJ(folgt,)e(da\377)i FI(Q)g FJ(eine)g(Linie)g(mit)e(h\366)q(c)o (hstens)k(einem)d(p)q(o-)225 2381 y(sitiv)o(en)h(Elemen)o(t)f(b)q (esitzt,)h(denn)h(andernfalls)e(w)o(\344re)534 2487 y FH(#)7 b(supp\()p FI(Q)p FH(\))k FG(\025)h FH(2)7 b(max)n(\()h(~)-29 b FI(m)q(;)8 b FH(~)-22 b FI(n)o FH(\))12 b FG(\025)20 b FH(~)-29 b FI(m)9 b FH(+)j(~)-23 b FI(n)11 b(>)20 b FH(~)-29 b FI(m)10 b FH(+)h(~)-23 b FI(n)9 b FG(\000)h FH(1)p FI(:)225 2593 y FJ(Nac)o(h)k(Lemma)d(2.5.6)h(ist)i(dann)g FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p FJ(.)706 b Fv(\004)225 2765 y FJ(Die)11 b(folgende)g(De\034nition)f(2.5.8)f(dien)o(t)i(dazu,)g(extremale)g (Matrizen)h(durc)o(h)g(P)o(erm)o(utation)d(der)225 2815 y(Zeilen)14 b(und)g(Spalten)g(in)f(einfac)o(he)i(F)m(ormen)d(zu)i (bringen.)p eop %%Page: 53 55 53 54 bop 165 50 a Fw(2.5.)12 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)i(F\334R)g (ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)163 b FJ(53)165 195 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(2.5.8.)21 b FJ(Sei)14 b FI(I)605 201 y FC(1)635 195 y FH(=)e FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b(:)g(:)g(:)t(;)g(m)p FG(g)p FJ(,)13 b FI(I)913 201 y FC(2)944 195 y FH(=)f FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b(:)g(:)g(:)t(;)g(n)p FG(g)p FJ(,)12 b FI(P)17 b FG(2)12 b(M)1325 201 y Fl(R)1348 195 y FH(\()p FI(I)1382 201 y FC(1)1401 195 y FI(;)7 b(I)1438 201 y FC(2)1457 195 y FH(\))p FJ(.)165 298 y FK(\(a\))20 b FI(P)f FJ(ist)14 b(eine)g Fz(ob)n(er)n(e)i(Dr)n(eie)n(cksmatrix)f FJ(\(upp)q(er)g(triangular)e(matrix\))f(genau)i(dann,)f(w)o(enn)318 434 y FH(\()p FI(m)f FG(\024)f FI(n)j FJ(und)89 b FG(8)547 463 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)648 467 y Fx(1)663 463 y Fy(\002)p FD(I)704 467 y Fx(2)607 493 y FD(i>j)732 434 y FI(p)753 440 y FD(i;j)803 434 y FH(=)12 b(0\))i FJ(o)q(der)g FH(\()p FI(m)f(>)e(n)j FJ(und)62 b FG(8)1221 467 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1324 454 y Fx(2)1322 475 y(2)1254 498 y FD(i>j)1351 434 y FI(p)1372 440 y FD(i)p FC(+)p FD(m)p Fy(\000)p FD(n;j)1524 434 y FH(=)12 b(0\))p FI(:)269 384 y FJ(\(2.59\))269 584 y(Die)h(Menge)i(der)f(ob)q(eren)h(Dreiec)o(ksmatrizen)f(b)q(ezeic)o (hne)i(mit)c FH(UT\()p FI(m;)7 b(n)p FH(\))p FJ(.)165 667 y FK(\(b\))19 b FI(P)h FJ(ist)14 b(eine)g Fz(unter)n(e)i(Dr)n(eie)n (cksmatrix)f FJ(\(lo)o(w)o(er)e(triangular)g(matrix\))f(genau)i(dann,)f (w)o(enn)318 803 y FH(\()p FI(m)f FG(\024)f FI(n)j FJ(und)62 b FG(8)547 835 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)650 823 y Fx(2)648 844 y(1)580 867 y FD(i)g(n)i FJ(und)89 b FG(8)1268 831 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1369 835 y Fx(1)1384 831 y Fy(\002)p FD(I)1425 835 y Fx(2)1328 862 y FD(i)f(n)964 2091 y FD(t)990 2106 y FH(=)h FI(m)q FJ(.)h(Dann)g(ist)651 2196 y FG(8)604 2229 y FC(\()p FD(j;i)p FC(\))p Fy(2)p FD(I)705 2216 y Fx(2)703 2237 y(1)636 2261 y FD(j)r(>i)732 2196 y FI(p)753 2179 y FD(t)753 2207 y(j)r FC(+)p FD(m)823 2198 y Fs(t)837 2207 y Fy(\000)p FD(n)884 2198 y Fs(t)898 2207 y FD(;i)933 2196 y FH(=)f FI(p)998 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FH(\))11 b(:=)890 2642 y FB(X)887 2731 y FD(\033)q Fy(2)p FC(\006)960 2642 y FB(Y)961 2731 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1020 2681 y FI(p)1041 2688 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))1122 2681 y FI(:)-969 b FJ(\(2.63\))179 2813 y FH(p)q(er)q(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(nenn)o(t)i(man)d(die)i Fz(Permanente)h FJ(v)o(on)f FI(P)6 b FJ(.)p eop %%Page: 54 56 54 55 bop 225 50 a FJ(54)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FK(Lemma)g(2.5.12.)21 b Fz(F\374r)16 b(eine)f(end)r(liche)g(Menge)h FI(I)i Fz(und)e FI(P)q(;)7 b(Q)k FG(2)g(M)1315 208 y Fl(R)1339 195 y Fx(+)1339 217 y(0)1361 195 y FH(\()p FI(I)s(;)c(I)s FH(\))16 b Fz(gilt)689 291 y FH(p)q(er)q(\()p FI(P)6 b FH(\))j(+)g(p)q(er)q(\()p FI(Q)p FH(\))j FG(\024)g FH(p)q(er\()p FI(P)j FH(+)10 b FI(Q)p FH(\))p FI(:)225 393 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Seien)15 b FI(P)q(;)7 b(Q)j FG(2)h(M)671 406 y Fl(R)695 393 y Fx(+)695 415 y(0)718 393 y FH(\()p FI(I)s(;)c(I)s FH(\))p FJ(,)14 b FH(\006)d(:=)h(\006\()p FI(I)s FH(\))p FJ(.)i(Dann)f(ist)454 502 y FH(p)q(er)q(\()p FI(P)i FH(+)9 b FI(Q)p FH(\))j(=)720 462 y FB(X)717 551 y FD(\033)q Fy(2)p FC(\006)790 462 y FB(Y)791 551 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)843 502 y FH(\()p FI(p)d FH(+)h FI(q)q FH(\))967 509 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))1060 502 y FH(=)1107 462 y FB(X)1104 551 y FD(\033)q Fy(2)p FC(\006)1177 462 y FB(Y)1178 551 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1230 502 y FH(\()p FI(p)1267 509 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))1358 502 y FH(+)g FI(q)1419 509 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))1500 502 y FH(\))673 618 y FG(\025)720 578 y FB(X)717 667 y FD(\033)q Fy(2)p FC(\006)790 578 y FB(Y)791 667 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)850 618 y FI(p)871 625 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))962 618 y FH(+)1006 578 y FB(X)1003 667 y FD(\033)q Fy(2)p FC(\006)1076 578 y FB(Y)1077 667 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1136 618 y FI(q)1155 625 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))1248 618 y FH(=)i(p)q(er)q(\()p FI(P)6 b FH(\))j(+)g(p)q(er)q(\()p FI(Q)p FH(\))p FI(;)225 745 y FJ(und)14 b(das)g(Lemma)d(ist)j(b)q(ewiesen.)934 b Fv(\004)225 827 y FK(Lemma)15 b(2.5.13.)21 b Fz(Ist)15 b FI(I)j Fz(eine)d(end)r(liche)h(Menge)f(und)h FI(P)h FG(2)11 b(M)1248 833 y FD(p)1267 827 y FH(\()p FI(I)s FH(\))q Fz(,)j(so)h(ist)g FH(p)q(er)q(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(1)p Fz(.)225 930 y(Beweis.)20 b FJ(Das)10 b(folgt)g(sofort)g(aus) h(De\034nition)f(2.5.11,)e(w)o(enn)j(man)d(b)q(eac)o(h)o(tet,)k(da\377) e(f\374r)g(Matrizen)225 980 y FI(P)17 b FG(2)11 b(M)358 986 y FD(p)377 980 y FH(\()p FI(I)s FH(\))17 b FJ(genau)e(ein)h FI(\033)d FG(2)e FH(\006\()p FI(I)s FH(\))17 b FJ(existiert,)e(so)h (da\377)30 b FG(8)1120 1006 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1182 980 y FI(p)1203 987 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))1296 980 y FG(6)p FH(=)12 b(0)p FJ(,)j(und)h(da\377)f(f\374r)h(dieses)225 1046 y FI(\033)q FJ(,)28 b FG(8)276 1073 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)338 1046 y FI(p)359 1053 y FD(i;\033)q FC(\()p FD(i)p FC(\))452 1046 y FH(=)12 b(1)p FJ(.)1164 b Fv(\004)225 1147 y FK(Lemma)15 b(2.5.14.)21 b Fz(Sei)16 b FI(I)f FH(=)d FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b(:)g(:)g(:)e(;)i(m)p FG(g)15 b Fz(und)i FI(P)g FG(2)11 b(M)1121 1153 y Fl(R)1144 1147 y FH(\()p FI(I)s(;)c(I)s FH(\))q Fz(.)16 b(Gilt)f(dann)i FI(P)g FG(2)11 b FH(UT\()p FI(m;)c(m)p FH(\))225 1197 y Fz(o)n(der)16 b FI(P)h FG(2)11 b FH(L)m(T)o(\()p FI(m;)c(m)p FH(\))q Fz(,)15 b(so)g(ist)f FH(p)q(er)q(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)894 1165 y FB(Q)933 1176 y FD(m)933 1209 y(i)p FC(=1)996 1197 y FI(p)1017 1203 y FD(i;i)1052 1197 y FI(:)225 1299 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Die)13 b(Behauptung)g(folgt)f (sofort)h(aus)g(De\034nition)f(2.5.11,)f(da)h(es)i(f\374r)f FI(I)s(d)e FG(6)p FH(=)h FI(\033)h FG(2)e FH(\006\()p FI(I)s FH(\))225 1349 y FJ(immer)g(Indizes)k FI(i;)7 b(j)14 b FG(2)d FI(I)17 b FJ(gibt,)c(so)h(da\377)f(so)o(w)o(ohl)g FI(i)f(<)g(\033)q FH(\()p FI(i)p FH(\))j FJ(als)e(auc)o(h)h FI(j)g(>)e(\033)q FH(\()p FI(j)r FH(\))j FJ(gilt.)225 1399 y(Ist)f FI(P)j FG(2)11 b FH(UT)q(\()p FI(m;)c(m)p FH(\))p FJ(,)14 b(so)g(ist)f FI(p)709 1406 y FD(j;\033)q FC(\()p 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Fz(.)225 1763 y FK(\(ii\))18 b FI(P)f FG(2)12 b(E)s FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)225 1845 y FK(\(iii\))18 b FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b Fz(ist)g(ein)h(W)m(ald.)225 1927 y FK(\(iv\))k Fz(F\374r)d(je)n(de)f(Submatrix)h FI(Q)e Fz(von)i FI(P)k Fz(gilt)14 b FI(Q)e FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()1111 1916 y(~)1107 1927 y FG(I)s FH(\)\))q Fz(.)225 2009 y FK(\(v\))20 b Fz(Je)n(de)12 b(Submatrix)h FI(Q)f Fz(von)g FI(P)18 b Fz(hat)12 b(eine)g(Linie)g(mit) f(h\366)n(chstens)i(einem)f(p)n(ositiven)g(Element.)225 2091 y FK(\(vi\))19 b Fz(F\374r)d(je)n(de)f(Submatrix)h FI(Q)e Fz(von)i FI(P)k Fz(mit)i FH(~)-28 b FI(m)15 b Fz(Zeilen)g(und)j FH(~)-23 b FI(n)14 b Fz(Sp)n(alten)i(gilt)806 2179 y FH(#)7 b(supp\()p FI(Q)p FH(\))k FG(\024)20 b FH(~)-29 b FI(m)10 b FH(+)h(~)-23 b FI(n)9 b FG(\000)h FH(1)p FI(:)225 2283 y FK(\(vii\))19 b Fz(F\374r)c(je)n(de)g(Submatrix) g FI(Q)g Fz(von)g FI(P)20 b Fz(mit)i FH(~)-29 b FI(m)16 b Fz(Zeilen)e(und)k FH(~)-23 b FI(n)15 b Fz(Sp)n(alten)g(gibt)f(es)h 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FJ(,)k(k\374rzer)165 1190 y(als)16 b FI(K)s FJ(,)h(im)d(zw)o(eiten)k(F)m(all)d(w)o(\344re)i FH(\()p FI(x)736 1196 y FD(i)748 1200 y Fx(1)766 1190 y FI(;)7 b(y)805 1196 y FD(j)819 1200 y Fx(1)836 1190 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(y)949 1196 y FD(j)963 1200 y Fs(\027)q Ft(\000)p Fx(1)1020 1190 y FI(;)g(x)1063 1196 y FD(i)1075 1200 y Fs(\027)1094 1190 y FI(;)g(y)1133 1196 y FD(j)1147 1200 y Fs(\027)1167 1190 y FI(;)g(x)1210 1196 y FD(i)1222 1200 y Fs(\026)1243 1190 y FI(;)g(y)1282 1196 y FD(j)1296 1200 y Fs(\026)1317 1190 y FI(;)g(x)1360 1196 y FD(i)1372 1200 y Fs(\026)p Fx(+1)1428 1190 y FI(;)g(:)g(:)g(:)e (;)i(x)1545 1196 y FD(i)1557 1200 y Fs(k)1576 1190 y FI(;)g(y)1615 1196 y FD(j)1629 1200 y Fs(k)1649 1190 y FH(\))165 1240 y FJ(ein)k(Kreis)h(in)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)j(k\374rzer)k(als)d FI(K)s FJ(,)h(im)e (Widerspruc)o(h)j(zur)g(Annahme,)e(da\377)g FI(K)15 b FJ(ein)c(k\374rzester)165 1298 y(Kreis)j(in)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FJ(ist.)i(Nun)f(de\034niere)i FI(P)791 1283 y FC(\(1\))847 1298 y FH(=)d(\()p FI(p)928 1276 y FC(\(1\))928 1309 y FD(i;j)972 1298 y FH(\))988 1310 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)1078 1303 y FC(~)1074 1310 y FD(I)1089 1314 y Fx(1)1105 1310 y Fy(\002)1135 1303 y FC(~)1131 1310 y FD(I)1146 1314 y Fx(2)1177 1298 y FJ(und)i FI(P)1293 1283 y FC(\(2\))1348 1298 y FH(=)e(\()p FI(p)1429 1276 y FC(\(2\))1429 1309 y FD(i;j)1474 1298 y FH(\))1490 1310 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)1580 1303 y FC(~)1576 1310 y FD(I)1591 1314 y Fx(1)1606 1310 y Fy(\002)1636 1303 y FC(~)1632 1310 y FD(I)1647 1314 y Fx(2)165 1348 y FJ(durc)o(h)422 1471 y FI(p)443 1449 y FC(\(1\))443 1482 y FD(i;j)499 1471 y FH(:=)554 1400 y FB(\()588 1443 y FH(1)55 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)f(\()p FI(i)899 1449 y FD(\026)922 1443 y FI(;)c(j)958 1449 y FD(\026)980 1443 y FH(\))p FI(;)13 b(\026)f FG(2)f(f)p FH(1)p FI(;)c(:)g(:)g(:)e(;)i(k)q FG(g)p FI(;)588 1502 y FH(0)55 b FJ(sonst)p FI(;)422 1639 y(p)443 1618 y FC(\(2\))443 1651 y FD(i;j)499 1639 y FH(:=)554 1542 y FB(8)554 1579 y(>)554 1592 y(<)554 1666 y(>)554 1679 y(:)591 1581 y FH(1)g FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)903 1587 y FC(1)922 1581 y FI(;)7 b(j)958 1587 y FD(k)978 1581 y FH(\))p FI(;)591 1641 y FH(1)55 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)903 1647 y FD(\026)p FC(+1)968 1641 y FI(;)7 b(j)1004 1647 y FD(\026)1025 1641 y FH(\))p FI(;)14 b(\026)d FG(2)h(f)p FH(1)p FI(;)7 b(:)g(:)g(:)t(;)g(k)j FG(\000)f FH(1)p FG(g)p FI(;)591 1701 y FH(0)55 b FJ(sonst)q FI(:)165 1569 y FJ(\(2.67\))165 1806 y FI(P)198 1791 y FC(\(1\))256 1806 y FJ(und)14 b FI(P)372 1791 y FC(\(2\))430 1806 y FJ(hab)q(en)g(dann)g(in)f(jeder)i(Linie)e(genau)h(eine)g(Eins,)g(das) g(hei\377t)701 1902 y FI(P)734 1885 y FC(\(1\))778 1902 y FI(;)7 b(P)830 1885 y FC(\(2\))885 1902 y FG(2)k(M)974 1908 y FD(p)993 1902 y FH(\()1014 1892 y(~)1009 1902 y FI(I)1027 1908 y FC(1)1046 1902 y FI(;)1070 1892 y FH(~)1065 1902 y FI(I)1083 1908 y FC(2)1101 1902 y FH(\))p FI(:)165 1999 y FJ(W)m(egen)573 2095 y FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(K)s FH(\)\))h(=)g FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)928 2078 y FC(\(1\))972 2095 y FH(\)\))d FG([)g FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)1181 2078 y FC(\(2\))1225 2095 y FH(\)\))165 2191 y FJ(und)14 b FI(K)h FH(=)d FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\))h FJ(gilt)g(n)o(un)h FI(S)r FH(\()p FI(Q)p FH(\))e(=)g FI(P)790 2176 y FC(\(1\))843 2191 y FH(+)e FI(P)918 2176 y FC(\(2\))962 2191 y FJ(.)165 2267 y(\022)s(\(vi\))p FG(\))p FJ(\(xii\)\020)s(:)16 b(Es)i(ist)g(zu)g(zeigen,)g(da\377)f(jede)h(quadratisc)o(he)g (Submatrix)e FI(Q)i FJ(v)o(on)f FI(P)23 b FJ(je)18 b(eine)165 2317 y(Zeile)g(und)g(eine)h(Spalte)f(mit)e(h\366)q(c)o(hstens)j(einem)e (p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t)f(b)q(esitzt.)i(H\344tte)f(jede)165 2366 y(Zeile)c(\(Spalte\))g(v)o(on)g FI(Q)f FJ(mindestens)h(zw)o(ei)g (p)q(ositiv)o(e)g(Elemen)o(te,)f(so)h(w)o(\344re)623 2463 y FH(#)7 b(supp\()p FI(Q)p FH(\))12 b FG(\025)f FH(2)c(#)938 2452 y(~)933 2463 y FI(I)951 2469 y FC(1)981 2463 y FI(>)12 b FH(2)7 b(#)1093 2452 y(~)1088 2463 y FI(I)1106 2469 y FC(1)1133 2463 y FG(\000)j FH(1)p FI(:)165 2585 y FJ(\022)s(\(xii\))p FG(\))o FJ(\(v\)\020)s(:)g(Es)h(ist)f(n)o (ur)g(zu)g(b)q(emerk)o(en,)g(da\377)f(jede)i(Submatrix)d(mit)16 b FH(~)-29 b FI(m)11 b FJ(Zeilen)f(und)i FH(~)-23 b FI(n)10 b FJ(Spalten)165 2634 y(eine)k(quadratisc)o(he)h(Submatrix)d(mit)g FH(min)n(\()c(~)-29 b FI(m)q(;)8 b FH(~)-22 b FI(n)o FH(\))14 b FJ(Zeilen)g(und)g(Spalten)g(hat.)165 2710 y(\022)s(\(i\))p FG(\))p FJ(\(xi\)\020)s(:)d(W)m(egen)h(\(iv\))g(k)n (ann)g(man)f(ohne)h(Besc)o(hr\344nkung)i(der)f(Allgemeinheit)d (annehmen,)165 2760 y(da\377)j FI(P)k FH(=)12 b FI(Q)p FJ(,)h(das)h(hei\377t)g(es)h(gen)o(\374gt)f(\(x\))g(zu)g(zeigen.)g(Das) g(gilt)e(ab)q(er)j(w)o(egen)f(Satz)h(2.4.16.)165 2835 y(\022)s(\(xi\))p FG(\))p FJ(\(x\)\020)s(:)e(\(x\))h(ist)g(ein)g(Sp)q (ezialfall)e(v)o(on)i(\(xi\).)p eop %%Page: 58 60 58 59 bop 225 50 a FJ(58)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(\022)s(\(x\))p FG(\))p FJ(\(i\)\020)s(:)e(Das)h(wurde)h(in)e (Lemma)e(2.4.15)h(allgemein)g(b)q(ewiesen.)389 b Fv(\004)225 291 y FJ(In)15 b(Analogie)f(zu)i(Satz)f(2.4.11)e(wird)i(im)e(folgenden) i(Satz)h(2.5.17)d(gezeigt,)i(da\377)g(f\374r)g(endlic)o(he)225 341 y(Randsysteme)d FG(I)k FJ(die)d(Ein)o(tr\344ge)f(einer)i (extremalen)e(Matrix)h FI(P)18 b FJ(in)12 b FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(liegen,)f(selbst)i(w)o(enn)225 391 y FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))c FJ(nic)o(h)o(t)g(abgesc)o(hlossen)h (ist.)f(Mit)f(Hilfe)h(v)o(on)f(Lemma)f(2.5.16)g(k)n(ann)h(sogar)h(no)q (c)o(h)g(eine)h(et)o(w)o(as)225 441 y(sc)o(h\344rfere)g(Aussage)g(gew)o (onnen)g(w)o(erden.)f(Beispiel)g(2.5.18)e(liefert)i(ein)g(endlic)o(hes) h(Randsystem)225 491 y FG(I)s FJ(,)i(so)h(da\377)f FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(nic)o(h)o(t)g(abgesc)o(hlossen)h(ist.)225 558 y FK(Lemma)g(2.5.16.)21 b Fz(Ist)15 b FH(\()p FG(G)r FI(;)7 b FG(\001)p FH(\))14 b Fz(eine)h(Grupp)n(e)h(und)g FI(M)g FG(\022)c(G)r Fz(.)j(Dann)h(ist)836 664 y FG(h)p FI(M)5 b FG(i)12 b FH(=)984 612 y Fy(1)977 625 y FB([)969 713 y FD(n)p FC(=0)1038 664 y FI(D)1072 670 y FD(n)1095 664 y FI(;)-882 b FJ(\(2.68\))225 775 y Fz(wob)n(ei)14 b(die)h FI(D)439 781 y FD(n)474 775 y FH(=)d FI(D)552 781 y FD(n)575 775 y FH(\()p FI(M)5 b FH(\))15 b Fz(r)n(ekursiv)g (de\034niert)h(sind)f(dur)n(ch)469 847 y FI(D)503 853 y FC(0)534 847 y FH(:=)c FI(M)j FG([)9 b(f)p FI(g)722 830 y Fy(\000)p FC(1)778 847 y FH(:)18 b FI(g)13 b FG(2)e FI(M)5 b FG(g)p FI(;)49 b(D)1041 853 y FD(n)p FC(+1)1117 847 y FH(:=)12 b FI(D)1207 853 y FD(n)1239 847 y FG([)d(f)p FI(g)q(h)i FH(:)18 b FI(g)q(;)7 b(h)k FG(2)g FI(D)1531 853 y FD(n)1554 847 y FG(g)p FI(:)-1362 b FJ(\(2.69\))225 919 y Fz(Insb)n(esonder)n(e)16 b(gilt)f(dann)819 992 y FH(#)p FG(h)p FI(M)5 b FG(i)11 b(\024)h FI(!)e FG(\001)f FH(#)p FI(M)r(:)-907 b FJ(\(2.70\))225 1088 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Es)i(ist)g(n)o(ur)g(\(2.68\))e(zu)j(b)q(ew)o(eisen.)f(\022)s FG(\023)p FJ(\020)j(folgt,)20 b(da)i(eine)g(Induktion)f(zeigt,)g (da\377)225 1138 y FI(D)259 1144 y FD(n)293 1138 y FG(\022)12 b(h)p FI(M)5 b FG(i)19 b FJ(f\374r)f(alle)f FI(n)11 b FG(2)h Fu(N)n FJ(.)17 b(Um)g(\022)s FG(\022)p FJ(\020)22 b(zu)d(zeigen,)f(gen)o(\374gt)g(es,)h(zu)f(sehen,)h(da\377)1562 1107 y FB(S)1596 1117 y Fy(1)1596 1150 y FD(n)p FC(=0)1668 1138 y FI(D)1702 1144 y FD(n)225 1188 y FJ(eine)f(Un)o(tergrupp)q(e)g (v)o(on)f FG(G)j FJ(ist.)c(Dazu)h(b)q(emerk)o(e,)g(da\377,)g(da)f(die)i FI(D)1309 1194 y FD(n)1349 1188 y FJ(aufsteigend)f(sind,)g(f\374r)225 1237 y FI(g)q(;)7 b(h)k FG(2)339 1206 y FB(S)374 1217 y Fy(1)374 1250 y FD(n)p FC(=0)446 1237 y FI(D)480 1243 y FD(n)516 1237 y FJ(ein)j FI(n)e FG(2)f Fu(N)h FJ(existiert,)i(so)g (da\377)f FI(g)q(;)7 b(h)k FG(2)g FI(D)1152 1243 y FD(n)1175 1237 y FJ(.)j(Nac)o(h)g(\(2.69\))f(ist)h(dann)781 1345 y FI(g)q(h)e FG(2)f FI(D)911 1351 y FD(n)p FC(+1)987 1345 y FG(\022)1046 1293 y Fy(1)1039 1306 y FB([)1031 1394 y FD(n)p FC(=0)1101 1345 y FI(D)1135 1351 y FD(n)1158 1345 y FI(:)225 1453 y FJ(Sc)o(hlie\377lic)o(h)i(folgt)g(durc)o(h)h (eine)g(Induktion,)f(da\377)738 1526 y FG(8)718 1553 y FD(n)p Fy(2)p Fl(N)793 1526 y FI(g)g FG(2)e FI(D)899 1532 y FD(n)964 1526 y FG(\))41 b FI(g)1068 1508 y Fy(\000)p FC(1)1124 1526 y FG(2)12 b FI(D)1198 1532 y FD(n)1220 1526 y FI(:)-1007 b FJ(\(2.71\))225 1614 y(Damit)12 b(ist)h(alles)h (gezeigt.)1053 b Fv(\004)225 1693 y FK(Satz)15 b(2.5.17.)21 b Fz(Ist)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)675 1699 y FC(1)694 1693 y FI(;)7 b(I)731 1699 y FC(2)749 1693 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(end)r(liches)g(R)n(andsystem,)759 1766 y FI(k)e FH(:=)e(max)n FG(f)p FH(0)p FI(;)c(m)i FH(+)h FI(n)f FG(\000)g FH(3)p FG(g)225 1838 y Fz(und)16 b FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(,)k(so)g(folgt)f(mit)h FI(M)h FH(:=)11 b FG(f)p FI(r)941 1844 y FD(i)966 1838 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)1079 1844 y FC(1)1098 1838 y FG(g)e([)g(f)p FI(s)1205 1844 y FD(j)1234 1838 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1352 1844 y FC(2)1371 1838 y FG(g)p Fz(,)k(da\377)813 1911 y FI(P)i FG(2)12 b(M)947 1917 y FD(D)974 1921 y Fs(k)994 1911 y FH(\()p FI(I)1028 1917 y FC(1)1047 1911 y FI(;)7 b(I)1084 1917 y FC(2)1102 1911 y FH(\))p FI(;)225 1983 y Fz(wob)n(ei)17 b FI(D)374 1989 y FD(k)412 1983 y Fz(wie)f(in)h(\(2.69\))h(de\034niert)g(ist)f(\()p FI(M)22 b Fz(ist)16 b(hier)i(al)r(ler)n(dings,)f(als)g(T)m(eilmenge)g(der)h (ad-)225 2033 y(ditiven)f(Grupp)n(e)h(auf)f Fu(R)11 b Fz(aufzufassen\).)18 b(Insb)n(esonder)n(e)g(sind)g(also)f(al)r(le)f (Eintr)n(\344ge)i(von)g FI(P)k Fz(in)225 2083 y FG(G)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p Fz(.)225 2179 y(Beweis.)20 b FJ(Induktion)d(\374b)q(er)g FI(m)10 b FH(+)g FI(n)o FJ(:)17 b(Ist)g FI(m)12 b FH(=)g(1)17 b FJ(o)q(der)g FI(n)12 b FH(=)f(1)p FJ(,)17 b(so)g(ist)f(nic)o(h)o(ts)i(zu)f(zeigen.)g(Sei)225 2229 y(also)10 b FI(m;)d(n)12 b FG(\025)f FH(2)p FJ(.)g(F\374r)g(den)g (Induktionssc)o(hritt)h(b)q(en)o(utze)g(man,)d(da\377)i FI(P)17 b FG(2)11 b(E)t FH(\()p FG(I)r FH(\))p FJ(.)g(P)o(er)g (Induktion)225 2278 y(gilt)i(mit)506 2352 y FI(M)551 2333 y FD(i)563 2337 y Fx(0)579 2333 y FD(;j)603 2337 y Fx(0)546 2365 y FD(M)632 2352 y FH(:=)f FG(f)p FI(r)728 2358 y FD(i)752 2352 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)865 2358 y FC(1)893 2352 y FG(n)e(f)p FI(i)958 2358 y FC(0)977 2352 y FG(gg)g([)g(f)p FH(\()p FI(s)1121 2333 y FD(j)1135 2337 y Fx(0)1121 2365 y FD(M)1158 2352 y FH(\))1174 2358 y FD(j)1203 2352 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1321 2358 y FC(2)1340 2352 y FG(g)j FJ(und)506 2420 y FI(M)551 2401 y FD(i)563 2405 y Fx(0)579 2401 y FD(;j)603 2405 y Fx(0)546 2433 y FD(N)632 2420 y FH(:=)e FG(f)p FH(\()p FI(r)745 2402 y FD(i)757 2406 y Fx(0)744 2433 y FD(N)775 2420 y FH(\))791 2426 y FD(i)816 2420 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)929 2426 y FC(1)948 2420 y FG(g)e([)g(f)p FI(s)1055 2426 y FD(j)1084 2420 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1202 2426 y FC(2)1230 2420 y FG(n)e(f)p FI(j)1298 2426 y FC(0)1317 2420 y FG(gg)i FH(:)225 2383 y FJ(\(2.72\))574 2513 y FG(8)487 2542 y FC(\()p FD(i)512 2546 y Fx(0)528 2542 y FD(;j)552 2546 y Fx(0)568 2542 y FC(\))p Fy(2)p FD(M)s FC(\()p Fy(I)r FC(\))696 2513 y FI(P)17 b FG(2)11 b(M)829 2519 y FD(i)841 2523 y Fx(0)857 2519 y FD(;j)881 2523 y Fx(0)899 2513 y FH(\()p FG(I)s FH(\))41 b FG(\))g FI(P)17 b FG(2)11 b(M)1214 2529 y FD(D)1241 2533 y Fs(k)p Ft(\000)p Fx(1)1296 2529 y FC(\()p FD(M)1344 2513 y Fs(i)1355 2519 y Fx(0)1371 2513 y Fs(;j)1393 2519 y Fx(0)1341 2539 y Fs(M)1411 2529 y FC(\))1426 2513 y FH(\()p FI(I)1460 2519 y FC(1)1479 2513 y FI(;)c(I)1516 2519 y FC(2)1535 2513 y FH(\))p FI(;)571 2601 y FG(8)487 2630 y FC(\()p FD(i)512 2634 y Fx(0)528 2630 y FD(;j)552 2634 y Fx(0)568 2630 y FC(\))p Fy(2)p FD(N)s FC(\()p Fy(I)r FC(\))691 2601 y FI(P)17 b FG(2)11 b(N)808 2607 y FD(i)820 2611 y Fx(0)836 2607 y FD(;j)860 2611 y Fx(0)878 2601 y FH(\()p FG(I)r FH(\))42 b FG(\))f FI(P)17 b FG(2)11 b(N)1177 2617 y FD(D)1204 2621 y Fs(k)p Ft(\000)p Fx(1)1259 2617 y FC(\()p FD(M)1307 2601 y Fs(i)1318 2607 y Fx(0)1334 2601 y Fs(;j)1356 2607 y Fx(0)1304 2627 y Fs(N)1374 2617 y FC(\))1389 2601 y FH(\()p FI(I)1423 2607 y FC(1)1442 2601 y FI(;)c(I)1479 2607 y FC(2)1498 2601 y FH(\))p FI(:)225 2572 y FJ(\(2.73\))225 2707 y(Damit)j(ist)j(alles)f(gezeigt,)g (denn)h(es)h(gilt)d(f\374r)i(alle)e FI(k)i FG(2)e Fu(N)n FJ(,)h(da\377)g FI(D)1246 2713 y FD(k)q Fy(\000)p FC(1)1309 2707 y FH(\()p FI(M)1370 2687 y FD(i)1382 2691 y Fx(0)1398 2687 y FD(;j)1422 2691 y Fx(0)1365 2719 y FD(M)1440 2707 y FH(\))g FG(\022)f FI(D)1545 2713 y FD(k)1566 2707 y FH(\()p FI(M)5 b FH(\))13 b FJ(und)225 2763 y FI(D)259 2769 y FD(k)q Fy(\000)p FC(1)322 2763 y FH(\()p FI(M)383 2743 y FD(i)395 2747 y Fx(0)411 2743 y FD(;j)435 2747 y Fx(0)378 2775 y FD(N)453 2763 y FH(\))f FG(\022)g FI(D)559 2769 y FD(k)579 2763 y FH(\()p FI(M)5 b FH(\))14 b FJ(\(f\374r)g FI(k)f FH(=)f(1)h FJ(folgt)g(das)h(sofort)g(aus)g(\(2.69\))f(und)h (\(2.72\);)e(f\374r)i FI(k)e(>)g FH(1)225 2812 y FJ(durc)o(h)j(eine)f (Induktion,)f(da)g(das)h(Bilden)g(v)o(on)g FI(D)1005 2818 y FD(n)1028 2812 y FJ(,)f FI(n)e FG(2)h Fu(N)n FJ(,)h(Inklusionen) h(erh\344lt\).)153 b Fv(\004)p eop %%Page: 59 61 59 60 bop 165 50 a Fw(2.5.)12 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)i(F\334R)g (ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)163 b FJ(59)165 195 y FK(Beispiel)13 b(2.5.18.)21 b FJ(F\374r)16 b(das)g(Randsystem)f FG(I)f FH(:=)d(\()p FG(f)p FH(1)p FI(;)c FH(2)p FG(g)p FI(;)g FG(f)p FH(1)p FI(;)g FH(2)p FG(g)p FI(;)f FH(\(1)p FI(;)1302 161 y FG(p)p 1333 161 21 2 v 1333 195 a FH(2\))p FI(;)h FH(\(1)p FI(;)1445 161 y FG(p)p 1479 161 V 1479 195 a FH(2)o(\)\))16 b FJ(ist)g(der)165 245 y(Graph)c FG(G)h FH(:=)f FG(G)r FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(nic)o(h)o(t)g(abgesc)o (hlossen.)h(Nac)o(h)f(\(2.70\))f(ist)h FG(G)j FJ(abz\344hlbar.)c(Daher) h(gen)o(\374gt)g(es)165 295 y(w)o(egen)g(Lemma)d(2.4.9)h(zu)i(zeigen,)g (da\377)f FG(G)j(6)p FH(=)e FI(t)p Fu(Z)-5 b FJ(f\374r)12 b(alle)f FI(t)g FG(2)h Fu(R)1166 277 y FC(+)1166 306 y(0)1190 295 y FJ(.)f(Das)h(ist)g(ab)q(er)g(klar,)f(denn)h(je)165 345 y(nac)o(hdem,)h(ob)h FI(t)g FJ(rational)f(o)q(der)i(irrational)e (ist,)h(sind)g(alle)g(Elemen)o(te)g(v)o(on)f FI(t)p Fu(Z)-7 b FG(n)10 b(f)p FH(0)p FG(g)j FJ(rational)165 394 y(o)q(der)h (irrational.)d FG(G)h(n)d(f)p FH(0)p FG(g)j FJ(hingegen)h(en)o (th\344lt)h(so)o(w)o(ohl)e(rationale)g(wie)i(irrationale)e(Elemen)o (te.)165 498 y(Nun)g(soll)g(gezeigt)g(w)o(erden,)h(da\377)f(sic)o(h)g (f\374r)g(endlic)o(he)h(Randsysteme)e FG(I)k FJ(die)d(Menge)h(der)g (Extre-)165 547 y(malpunkte)f(v)o(on)i FG(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))i FJ(aus)g(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g FJ(gewinnen)g(l\344\377t.)f(Dazu)h(wird)f(in)h (De\034nition)f(2.5.20)165 597 y(eine)d(Menge)h FG(E)t FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))d FJ(de\034niert)i(und)f(in)g(Lemma)d (2.5.22)h(gezeigt,)i(da\377)f(dies)i(gerade)f(die)g(Menge)165 647 y(der)15 b(Extremalpunkte)e(ist.)g(Die)h(Konstruktion)g(stamm)o(t)d (v)o(on)j FE(Br)o(ualdi)g FJ(\(siehe)h([2)o(]\).)165 717 y(Um)g(die)h(formale)e(De\034nition)h(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))h FJ(durc)o(hsic)o(h)o(tiger)h(zu)f(mac)o (hen,)f(soll)g(das)h(V)m(erfah-)165 767 y(ren)h(zur)g(Gewinn)o(ung)f (der)h(Elemen)o(te)f(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))h FJ(wie)f(b)q(ei)h(der)g(Konstruktion)f(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))165 817 y FJ(zun\344c)o(hst)g(v)o(erbal)e (b)q(esc)o(hrieb)q(en)i(w)o(erden.)f(Die)g(Elemen)o(te)f(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))i FJ(lassen)h(sic)o(h)g(aus)f(den) 165 867 y(Elemen)o(ten)i(v)o(on)f FG(E)t FH(\()p FG(I)r FH(\))h FJ(wie)g(folgt)f(gewinnen:)g(Ist)h FI(P)h FG(2)12 b(E)t FH(\()p FG(I)r FH(\))p FJ(,)j(so)h(l\366sc)o(he)h(man)d(in)h (jeder)i(Zu-)165 917 y(sammenhangsk)o(om)o(p)q(onen)o(te)10 b(v)o(on)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FJ(einen)i(T)m(eilbaum)c (und)k(ersetze)h(die)f(den)f(gel\366sc)o(h)o(ten)165 967 y(Ec)o(k)o(en)h(en)o(tsprec)o(henden)i(Ein)o(tr\344ge)d(v)o(on)f FI(P)18 b FJ(durc)o(h)13 b(Nullen.)e(Die)g(en)o(tstandene)j(Matrix)e (ist)g(ein)165 1016 y(Elemen)o(t)h(v)o(on)h FG(E)t FH(\()p FG(\024)d(I)s FH(\))p FJ(.)165 1099 y FK(De\034nitio)o(n)i(2.5.19.)21 b FJ(Gegeb)q(en)e(sei)f(ein)h(Randsystem)e FG(I)d FH(:=)d(\()p FI(I)1219 1105 y FC(1)1238 1099 y FI(;)c(I)1275 1105 y FC(2)1294 1099 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))o FJ(.)18 b(Ist)g FI(P)f FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)165 1149 y(so)j(sei)g FG(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b(:=)f(Zhk\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\))p FJ(.)13 b(F\374r)i FI(H)f FG(2)d(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(de\034niere)493 1239 y FG(T)c FH(\()p FI(H)s FH(\))i(:=)f FG(f)p FI(T)17 b FG(\024)12 b FI(H)j FH(:)j FI(T)h FJ(ist)14 b(ein)g(Baum)o FG(g)9 b([)g(f)p FH(\()p FG(;)p FI(;)e FG(;)p FH(\))p FG(g)p FI(:)174 1330 y FJ(W)m(eiterhin)i(sei)h FG(F)t FH(\()p FI(P)c FH(\))j FJ(die)g(Menge)h(der)g(F)m(unktionen)f FI(f)14 b FJ(auf)9 b FG(Z)s FH(\()p FI(P)d FH(\))j FJ(mit)61 b FG(8)1275 1359 y FD(H)r Fy(2Z)r FC(\()p FD(P)t FC(\))1416 1330 y FI(f)t FH(\()p FI(H)s FH(\))12 b FG(2)g(T)e FH(\()p FI(H)s FH(\))165 1406 y FJ(\(die)k(F)m(unktionen)g(in)g FG(F)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(ordnen)h(also)f(jeder)h (Zusammenhangsk)o(omp)q(o)o(nen)o(te)e(v)o(on)h FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))165 1455 y FJ(einen)14 b(ihrer)h(T)m (eilb\344ume)c(zu\).)j(Sc)o(hlie\377lic)o(h)f(sei)i(f\374r)e FI(f)k FG(2)11 b(F)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)420 1596 y FG(E)t FH(\()p FI(f)t FH(\))12 b(:=)570 1511 y FB(8)570 1548 y(<)570 1623 y(:)607 1596 y FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)760 1602 y FC(1)788 1596 y FG(\002)f FI(I)848 1602 y FC(2)878 1596 y FH(:)18 b FG(f)p FI(x)953 1602 y FD(i)966 1596 y FI(;)7 b(y)1005 1602 y FD(j)1023 1596 y FG(g)k(2)1156 1557 y FB([)1094 1648 y FD(T)t Fy(2)p FD(f)s FC(\()p Fy(Z)r FC(\()p FD(P)t FC(\)\))1271 1596 y FI(E)r FH(\()p FI(T)6 b FH(\))1366 1511 y FB(9)1366 1548 y(=)1366 1623 y(;)165 1596 y FJ(\(2.74\))179 1737 y(und)14 b FG(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(:=)g FG(fE)t FH(\()p FI(f)t FH(\))h(:)18 b FI(f)e FG(2)c(F)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FG(g)o FJ(.)165 1819 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(2.5.20.)21 b FJ(Sei)16 b FG(I)f FH(:=)c(\()p FI(I)740 1825 y FC(1)759 1819 y FI(;)c(I)796 1825 y FC(2)814 1819 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))16 b FJ(ein)h(endlic)o(hes)g(Randsystem.)e (F\374r)i(Matrizen)165 1869 y FI(P)g FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))j FJ(und)g(Mengen)g FI(I)h FG(2)d(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(de\034niere)i FI(P)1028 1854 y FD(I)1058 1869 y FH(=)d(\()p FI(p)1139 1854 y FD(I)1139 1880 y(i;j)1178 1869 y FH(\))1194 1876 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1295 1880 y Fx(1)1310 1876 y Fy(\002)p FD(I)1351 1880 y Fx(2)1383 1869 y FJ(durc)o(h)654 2003 y FI(p)675 1986 y FD(I)675 2013 y(i;j)726 2003 y FH(:=)781 1932 y FB(\()814 1975 y FH(0)95 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)s(;)814 2035 y(p)835 2041 y FD(i;j)930 2035 y FJ(sonst.)165 2003 y(\(2.75\))165 2135 y(Dann)i(sei)i FG(E)t FH(\()p FG(\024)c(I)s FH(\))g(:=)h FG(f)p FI(P)586 2120 y FD(I)616 2135 y FH(:)18 b FI(P)f FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FI(;)j(I)h FG(2)c(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FG(g)o FJ(.)165 2238 y(Wie)16 b(sc)o(hon)i(De\034nition)e(2.5.1)f(soll) h(auc)o(h)h(De\034nition)f(2.5.20)e(zun\344c)o(hst)k(an)f(einem)f (Beispiel)165 2288 y(demonstriert)c(w)o(erden.)h(Im)e(folgenden)i (Beispiel)f(2.5.21)f(wird)h(dazu)h(f\374r)f(das)h(Randsystem)e FG(I)165 2338 y FJ(aus)j(Beispiel)g(2.5.2)e FG(E)t FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))i FJ(explizit)f(b)q(erec)o(hnet.)165 2420 y FK(Beispiel)g(2.5.21.)21 b FJ(Gegeb)q(en)e(sei)g(das)g (Randsystem)f FG(I)c FH(:=)d(\()p FI(I)1184 2426 y FC(1)1203 2420 y FI(;)c(I)1240 2426 y FC(2)1259 2420 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))17 b FJ(mit)g FI(I)1466 2426 y FC(1)1497 2420 y FH(:=)11 b FG(f)p FH(1)p FI(;)c FH(2)p FG(g)n FJ(,)165 2470 y FI(I)183 2476 y FC(2)213 2470 y FH(:=)12 b FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)m FJ(,)14 b FI(r)e FH(:=)g(\(2)p FI(;)7 b FH(5\))o FJ(,)13 b FI(s)f FH(:=)f(\(1)p FI(;)c FH(1)p FI(;)g FH(5\))o FJ(.)13 b(Nac)o(h)h (Beispiel)g(2.5.2)f(ist)551 2561 y(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))e(=)h FG(E)t FH(\()p FG(I)s FH(\))f(=)h FG(f)p FI(P)945 2567 y FC(1)963 2561 y FI(;)7 b(P)1009 2567 y FC(2)1027 2561 y FI(;)g(P)1073 2567 y FC(3)1091 2561 y FI(;)g(P)1137 2567 y FC(4)1154 2561 y FG(g)42 b FJ(mit)182 2755 y FI(P)209 2761 y FC(1)239 2755 y FH(:=)294 2696 y FB(\022)325 2730 y FH(0)f(0)g(2)325 2779 y(1)g(1)g(3)470 2696 y FB(\023)501 2755 y FI(;)48 b(P)588 2761 y FC(2)618 2755 y FH(:=)673 2696 y FB(\022)703 2730 y FH(0)42 b(1)f(1)703 2779 y(1)h(0)f(4)849 2696 y FB(\023)879 2755 y FI(;)48 b(P)966 2761 y FC(3)996 2755 y FH(:=)1051 2696 y FB(\022)1082 2730 y FH(1)41 b(0)g(1)1082 2779 y(0)g(1)g(4)1227 2696 y FB(\023)1258 2755 y FI(;)48 b(P)1345 2761 y FC(4)1375 2755 y FH(:=)1430 2696 y FB(\022)1460 2730 y FH(1)42 b(1)f(0)1460 2779 y(0)h(0)f(5)1606 2696 y FB(\023)1636 2755 y FI(:)p eop %%Page: 60 62 60 61 bop 225 50 a FJ(60)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FI(G)p FH(\()p FI(P)301 201 y FC(1)319 195 y FH(\))p FJ(,)e FI(G)p FH(\()p FI(P)436 201 y FC(2)454 195 y FH(\))h FJ(und)g FI(G)p FH(\()p FI(P)643 201 y FC(3)661 195 y FH(\))g FJ(hab)q(en)g(alle)f(n)o(ur)h(eine)g(Zusammenhangsk)o(omp)q (onen)o(te.)d(Ersetzt)225 245 y(man)h(jew)o(eils)i(die)f(Elemen)o(te,)g (die)h(Kan)o(ten)g(eines)h(T)m(eilbaumes)d(en)o(tsprec)o(hen,)j(durc)o (h)g(Nullen,)225 295 y(so)f(b)q(ek)o(omm)o(t)d(man)h(die)i(Mengen)226 429 y(E)254 435 y FC(1)284 429 y FH(:=)339 371 y FB(\032)5 b(\022)406 404 y FH(0)41 b(0)g(0)406 454 y(0)g(0)g(0)551 371 y FB(\023)582 429 y FI(;)601 371 y FB(\022)631 404 y FH(0)g(0)g(2)631 454 y(0)g(0)g(0)776 371 y FB(\023)807 429 y FI(;)826 371 y FB(\022)856 404 y FH(0)g(0)g(0)856 454 y(1)g(0)g(0)1001 371 y FB(\023)1031 429 y FI(;)1050 371 y FB(\022)1080 404 y FH(0)h(0)f(0)1080 454 y(0)h(1)f(0)1226 371 y FB(\023)1256 429 y FI(;)1275 371 y FB(\022)1305 404 y FH(0)h(0)f(0)1305 454 y(1)h(1)f(0)1451 371 y FB(\023)1481 429 y FI(;)1500 371 y FB(\022)1530 404 y FH(0)g(0)h(2)1530 454 y(0)f(0)h(3)1675 371 y FB(\023)1706 429 y FI(;)375 487 y FB(\022)406 520 y FH(0)f(0)g(2)406 570 y(1)g(0)g(0)551 487 y FB(\023)582 546 y FI(;)601 487 y FB(\022)631 520 y FH(0)g(0)g(2)631 570 y(0)g(1)g(0)776 487 y FB(\023)807 546 y FI(;)826 487 y FB(\022)856 520 y FH(0)g(0)g(0)856 570 y(1)g(1)g(3)1001 487 y FB(\023)1031 546 y FI(;)1050 487 y FB(\022)1080 520 y FH(0)h(0)f(2)1080 570 y(0)h(1)f(3)1226 487 y FB(\023)1256 546 y FI(;)1275 487 y FB(\022)1305 520 y FH(0)h(0)f(2)1305 570 y(1)h(0)f(3)1451 487 y FB(\023)1481 546 y FI(;)1500 487 y FB(\022)1530 520 y FH(0)g(0)h(2)1530 570 y(1)f(1)h(0)1675 487 y FB(\023)1706 546 y FI(;)387 603 y FB(\022)418 636 y FH(0)f(0)g(2)418 686 y(1)g(1)g(3)563 603 y FB(\023\033)673 662 y FJ(aus)14 b FI(P)774 668 y FC(1)793 662 y FI(;)226 853 y FJ(E)254 859 y FC(2)284 853 y FH(:=)339 794 y FB(\032)5 b(\022)406 827 y FH(0)41 b(0)g(0)406 877 y(0)g(0)g(0)551 794 y FB(\023)582 853 y FI(;)601 794 y FB(\022)631 827 y FH(0)g(0)g(0)631 877 y(1)g(0)g(0)776 794 y FB(\023)807 853 y FI(;)826 794 y FB(\022)856 827 y FH(0)g(1)g(0)856 877 y(0)g(0)g(0)1001 794 y FB(\023)1031 853 y FI(;)1050 794 y FB(\022)1080 827 y FH(0)h(1)f(1)1080 877 y(0)h(0)f(0)1226 794 y FB(\023)1256 853 y FI(;)1275 794 y FB(\022)1305 827 y FH(0)h(0)f(0)1305 877 y(1)h(0)f(4)1451 794 y FB(\023)1481 853 y FI(;)1500 794 y FB(\022)1530 827 y FH(0)g(1)h(0)1530 877 y(1)f(0)h(0)1675 794 y FB(\023)1706 853 y FI(;)375 910 y FB(\022)406 943 y FH(0)f(0)g(1)406 993 y(1)g(0)g(4)551 910 y FB(\023)582 969 y FI(;)601 910 y FB(\022)631 943 y FH(0)g(1)g(0)631 993 y(1)g(0)g(4)776 910 y FB(\023)807 969 y FI(;)826 910 y FB(\022)856 943 y FH(0)g(1)g(1)856 993 y(0)g(0)g(4)1001 910 y FB(\023)1031 969 y FI(;)1050 910 y FB(\022)1080 943 y FH(0)h(1)f(1)1080 993 y(1)h(0)f(0)1226 910 y FB(\023)1256 969 y FI(;)1280 910 y FB(\022)1310 943 y FH(0)h(1)f(1)1310 993 y(1)h(0)f(4)1456 910 y FB(\023)o(\033)1566 969 y FJ(aus)14 b FI(P)1667 975 y FC(2)1685 969 y FI(;)226 1160 y FJ(E)254 1166 y FC(3)284 1160 y FH(:=)339 1101 y FB(\032)5 b(\022)406 1134 y FH(0)41 b(0)g(0)406 1184 y(0)g(0)g(0)551 1101 y FB(\023)582 1160 y FI(;)601 1101 y FB(\022)631 1134 y FH(0)g(0)g(0)631 1184 y(0)g(1)g(0)776 1101 y FB(\023)807 1160 y FI(;)826 1101 y FB(\022)856 1134 y FH(1)g(0)g(0)856 1184 y(0)g(0)g(0)1001 1101 y FB(\023)1031 1160 y FI(;)1050 1101 y FB(\022)1080 1134 y FH(1)h(0)f(1)1080 1184 y(0)h(0)f(0)1226 1101 y FB(\023)1256 1160 y FI(;)1275 1101 y FB(\022)1305 1134 y FH(1)h(0)f(0)1305 1184 y(0)h(1)f(0)1451 1101 y FB(\023)1481 1160 y FI(;)1500 1101 y FB(\022)1530 1134 y FH(0)g(0)h(0)1530 1184 y(0)f(1)h(4)1675 1101 y FB(\023)1706 1160 y FI(;)375 1217 y FB(\022)406 1251 y FH(1)f(0)g(1)406 1300 y(0)g(1)g(0)551 1217 y FB(\023)582 1276 y FI(;)601 1217 y FB(\022)631 1251 y FH(1)g(0)g(1)631 1300 y(0)g(0)g(4)776 1217 y FB(\023)807 1276 y FI(;)826 1217 y FB(\022)856 1251 y FH(1)g(0)g(0)856 1300 y(0)g(1)g(4)1001 1217 y FB(\023)1031 1276 y FI(;)1050 1217 y FB(\022)1080 1251 y FH(0)h(0)f(1)1080 1300 y(0)h(1)f(4)1226 1217 y FB(\023)1256 1276 y FI(;)1280 1217 y FB(\022)1310 1251 y FH(1)h(0)f(1)1310 1300 y(0)h(1)f(4)1456 1217 y FB(\023)o(\033)1566 1276 y FJ(aus)14 b FI(P)1667 1282 y FC(3)1685 1276 y FI(:)225 1375 y(G)p FH(\()p FI(P)301 1381 y FC(4)319 1375 y FH(\))k FJ(hat)g(hingegen)f(zw)o(ei)h(Zusammenhangsk)o(omp)q (onen)o(ten.)d(Hier)j(wird)g(also)f(jew)o(eils)g(in)225 1425 y(jeder)d(der)h(b)q(eiden)f(Zusammenhangsk)o(om)o(p)q(onen)o(ten)d (ein)j(T)m(eilbaum)d(gel\366sc)o(h)o(t,)i(und)g(die)h(Ele-)225 1475 y(men)o(te)f(v)o(on)g FI(P)453 1481 y FC(4)471 1475 y FJ(,)g(die)g(zu)h(den)g(gel\366sc)o(h)o(ten)g(Kan)o(ten)f (geh\366ren,)h(w)o(erden)g(durc)o(h)g(Nullen)f(ersetzt.)225 1525 y(So)h(b)q(ek)o(omm)o(t)d(man)h(aus)i FI(P)658 1531 y FC(4)690 1525 y FJ(die)g(Menge)226 1659 y(E)254 1665 y FC(4)284 1659 y FH(:=)339 1601 y FB(\032)5 b(\022)406 1634 y FH(0)41 b(0)g(0)406 1684 y(0)g(0)g(0)551 1601 y FB(\023)582 1659 y FI(;)601 1601 y FB(\022)631 1634 y FH(1)g(0)g(0)631 1684 y(0)g(0)g(0)776 1601 y FB(\023)807 1659 y FI(;)826 1601 y FB(\022)856 1634 y FH(0)g(1)g(0)856 1684 y(0)g(0)g(0)1001 1601 y FB(\023)1031 1659 y FI(;)1050 1601 y FB(\022)1080 1634 y FH(1)h(1)f(0)1080 1684 y(0)h(0)f(0)1226 1601 y FB(\023)1256 1659 y FI(;)1275 1601 y FB(\022)1305 1634 y FH(0)h(0)f(0)1305 1684 y(0)h(0)f(5)1451 1601 y FB(\023)1481 1659 y FI(;)1500 1601 y FB(\022)1530 1634 y FH(1)g(0)h(0)1530 1684 y(0)f(0)h(5)1675 1601 y FB(\023)1706 1659 y FI(;)375 1717 y FB(\022)406 1750 y FH(0)f(1)g(0)406 1800 y(0)g(0)g(5)551 1717 y FB(\023)582 1776 y FI(;)605 1717 y FB(\022)636 1750 y FH(1)g(1)g(0)636 1800 y(0)g(0)g(5)781 1717 y FB(\023\033)850 1776 y FI(:)225 1875 y FJ(W)m(egen)14 b FG(E)t FH(\()p FG(\024)d(I)s FH(\))h(=)f FI(E)572 1881 y FC(1)600 1875 y FG([)e FI(E)668 1881 y FC(2)695 1875 y FG([)g FI(E)763 1881 y FC(3)791 1875 y FG([)g FI(E)859 1881 y FC(4)891 1875 y FJ(b)q(ek)o(omm)o(t)i(man)h(damit)g(insgesam)o (t)356 1975 y FG(E)t FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))f(=)539 1916 y FB(\032)5 b(\022)606 1949 y FH(0)41 b(0)g(0)606 1999 y(0)g(0)g(0)751 1916 y FB(\023)782 1975 y FI(;)801 1916 y FB(\022)831 1949 y FH(0)g(0)g(2)831 1999 y(0)g(0)g(0)976 1916 y FB(\023)1007 1975 y FI(;)1026 1916 y FB(\022)1056 1949 y FH(0)g(0)g(0)1056 1999 y(1)g(0)g(0)1201 1916 y FB(\023)1231 1975 y FI(;)1250 1916 y FB(\022)1280 1949 y FH(0)h(0)f(0)1280 1999 y(0)h(1)f(0)1426 1916 y FB(\023)1456 1975 y FI(;)1475 1916 y FB(\022)1505 1949 y FH(0)h(1)f(0)1505 1999 y(0)h(0)f(0)1651 1916 y FB(\023)1681 1975 y FI(;)575 2032 y FB(\022)606 2066 y FH(1)g(0)g(0)606 2115 y(0)g(0)g(0)751 2032 y FB(\023)782 2091 y FI(;)801 2032 y FB(\022)831 2066 y FH(0)g(0)g(0)831 2115 y(0)g(0)g(5)976 2032 y FB(\023)1007 2091 y FI(;)1026 2032 y FB(\022)1056 2066 y FH(0)g(0)g(0)1056 2115 y(1)g(1)g(0)1201 2032 y FB(\023)1231 2091 y FI(;)1250 2032 y FB(\022)1280 2066 y FH(0)h(0)f(2)1280 2115 y(0)h(0)f(3)1426 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b(ein)f(end)r(liches)g(R)n(andsystem)h FG(I)e FH(:=)d(\()p FI(I)1178 201 y FC(1)1197 195 y FI(;)c(I)1234 201 y FC(2)1253 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(gilt)720 280 y FG(E)t FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))f(=)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))p FI(:)165 381 y Fz(Beweis.)20 b FJ(\022)s FG(\022)p FJ(\020)s(:)14 b(Sei)g FI(Q)e FG(2)f(E)t FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))h FJ(gegeb)q(en.)i(Nac)o(h)f(De\034nition)f(2.5.20)f(gibt)h(es)i FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))165 431 y FJ(und)j FI(I)h FG(2)c(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)13 b(so)h(da\377)f FI(Q)f FH(=)f FI(P)686 416 y FD(I)705 431 y FJ(.)i(W)m(egen)h(\(2.75\))f(ist)h FI(Q)d FG(2)g(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))i FJ(und)701 516 y FH(supp\()p FI(Q)p FH(\))e(=)g(supp\()p FI(P)6 b FH(\))j FG(n)g FI(I)s(:)165 600 y FJ(Damit)f(folgt)h FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\))i FG(\024)h FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))o FJ(,)k(und)g(da)g FI(G)p FH(\()p FI(P)c FH(\))j FJ(ein)h(W)m(ald)f(ist,)g(m)o(u\377)f(auc)o(h)j FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\))e FJ(ein)i(W)m(ald)d(sein.)165 650 y(W)m(eiterhin)j(gibt)g(es)h(nac)o(h)g(De\034nition)e(2.5.19)g FI(f)16 b FG(2)11 b(F)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FJ(mit)f FI(I)15 b FH(=)d FG(E)t FH(\()p FI(f)t FH(\))p FJ(.)f(Ist)h(n)o(un)f FI(H)k FG(2)c(Z)s FH(\()p FI(Q)p FH(\))p FJ(,)165 700 y(so)i(gibt)g(es)h(genau)g(ein)545 690 y FH(~)534 700 y FI(H)g FG(2)e(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(mit)f FI(H)i FG(\024)914 690 y FH(~)903 700 y FI(H)s FJ(.)e(Setze)j FI(T)j FH(:=)11 b FI(f)t FH(\()1222 690 y(~)1210 700 y FI(H)t FH(\))p FJ(.)i(Nac)o(h)h(Korollar)e(2.4.25)165 750 y(ist)17 b(zu)g(zeigen,)g(da\377)f FH(#\()p FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))h FG(\\)e FI(V)728 756 y FD(<)757 750 y FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))j FG(\024)h FH(1)p FJ(.)k(Betrac)o(h)o(te) 1144 739 y FH(~)1134 750 y FI(H)c FG(\000)d FI(E)r FH(\()p FI(T)d FH(\))q FJ(.)16 b(W)m(egen)g(\(2.75\))g(gilt)165 800 y(dann)j FI(H)14 b FG(\024)378 789 y FH(~)367 800 y FI(H)e FG(\000)d FI(T)d FJ(.)19 b(Au\377erdem)f(k)o(\366nnen)h FI(H)i FJ(und)e FI(T)24 b FJ(h\366)q(c)o(hstens)d(eine)e(gemeinsame)d (Ec)o(k)o(e)165 849 y(hab)q(en;)k(denn)h(sonst)g(h\344tte)g FI(H)12 b FH(+)721 855 y FD(e)748 849 y FI(E)r FH(\()p FI(T)6 b FH(\))12 b FG(\024)g FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\))20 b FJ(w)o(egen)g FI(H)15 b FG(\024)1251 839 y FH(~)1240 849 y FI(H)d FG(\000)d FI(E)r FH(\()p FI(T)d FH(\))21 b FJ(einen)g(Kreis.)165 899 y(Dies)14 b(st\344nde)h(im)c(Widerspruc)o (h)k(dazu,)f(da\377)f FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\))h FJ(ein)g(W)m(ald)e (ist.)i(W)m(egen)406 984 y FI(v)f FG(2)e FI(V)f FH(\()p FI(H)s FH(\))f FG(\\)g FI(V)652 990 y FD(<)680 984 y FH(\()p FI(Q)p FH(\))42 b FG(\))80 b(9)870 1013 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)984 984 y FH(\()p FG(f)p FI(x)1045 990 y FD(i)1058 984 y FI(;)7 b(y)1097 990 y FD(j)1114 984 y FG(g)12 b(2)f FI(E)r FH(\()p FI(T)6 b FH(\))p FI(;)13 b(v)h FG(2)d(f)p FI(x)1424 990 y FD(i)1437 984 y FI(;)c(y)1476 990 y FD(j)1493 984 y FG(g)p FH(\))-1365 b FJ(\(2.76\))165 1094 y(ist)14 b(damit)e FH(#\()p FI(V)d FH(\()p FI(H)s FH(\))g FG(\\)g FI(V)567 1100 y FD(<)595 1094 y FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))j FG(\024)g FH(1)i FJ(gezeigt)g(und)g FI(Q)d FG(2)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))i FJ(nac)o(h)g(Korollar)f(2.4.25.)165 1164 y(\022)s FG(\023)p FJ(\020)s(:)h(Angenommen)e FI(Q)f FG(2)g FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\)\))p FJ(.)h(Nac)o(h)h (Korollar)f(2.4.25)f(sind)i(alle)f FI(H)h FG(2)e(Z)s FH(\()p FI(Q)p FH(\))i FJ(B\344u-)165 1213 y(me,)e(und)i(es)h(gilt)e FH(#\()p FI(V)c FH(\()p FI(H)s FH(\))g FG(\\)g FI(V)673 1219 y FD(<)702 1213 y FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))i FG(\024)h FH(1)p FJ(.)h(Setze)419 1288 y FH(~)415 1298 y FI(I)433 1304 y FC(1)463 1298 y FH(:=)e FG(f)p FI(i)h FG(2)f FI(I)622 1304 y FC(1)652 1298 y FH(:)18 b FI(x)706 1304 y FD(i)732 1298 y FG(2)11 b FI(V)795 1304 y FD(<)823 1298 y FH(\()p FI(Q)p FH(\))p FG(g)p FI(;)1015 1288 y FH(~)1010 1298 y FI(I)1028 1304 y FC(2)1059 1298 y FH(:=)g FG(f)p FI(j)j FG(2)d FI(I)1223 1304 y FC(2)1253 1298 y FH(:)18 b FI(y)1303 1304 y FD(j)1333 1298 y FG(2)11 b FI(V)1396 1304 y FD(<)1424 1298 y FH(\()p FI(Q)p FH(\))p FG(g)p FI(:)165 1387 y FJ(Da)h FG(I)k FJ(ein)d(Randsystem)f(ist,)h(gilt)f(en)o(t)o(w)o(eder) 889 1377 y FH(~)884 1387 y FI(I)902 1393 y FC(1)933 1387 y FH(=)981 1377 y(~)976 1387 y FI(I)994 1393 y FC(2)1025 1387 y FH(=)g FG(;)g FJ(o)q(der)1200 1377 y FH(~)1195 1387 y FI(I)1213 1393 y FC(1)1232 1387 y FI(;)1255 1377 y FH(~)1251 1387 y FI(I)1269 1393 y FC(2)1299 1387 y FG(6)p FH(=)g FG(;)o FJ(.)h(Ist)1453 1377 y FH(~)1448 1387 y FI(I)1466 1393 y FC(1)1497 1387 y FH(=)1545 1377 y(~)1540 1387 y FI(I)1558 1393 y FC(2)1589 1387 y FH(=)f FG(;)o FJ(,)165 1437 y(so)18 b(folgt)e FI(Q)c FG(2)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(,)18 b(und)f FI(Q)12 b FG(2)f(E)t FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\))18 b FJ(ist)g(klar.)e(Sei)i(n)o(un)1221 1427 y FH(~)1216 1437 y FI(I)1234 1443 y FC(1)1253 1437 y FI(;)1277 1427 y FH(~)1272 1437 y FI(I)1290 1443 y FC(2)1320 1437 y FG(6)p FH(=)12 b FG(;)p FJ(.)1423 1427 y FH(~)1414 1437 y FI(Q)f FH(:=)h FI(Q)p Fv(\026)1568 1442 y FC(~)1564 1449 y FD(I)1579 1453 y Fx(1)1595 1450 y Fy(\002)1625 1443 y FC(~)1621 1450 y FD(I)1636 1454 y Fx(2)1653 1437 y FJ(.)165 1496 y(Es)20 b(folgt)f FH(supp)q(\()442 1486 y(~)433 1496 y FI(Q)p FH(\))11 b(=)h FG(;)20 b FJ(\(das)g(hei\377t)793 1486 y FH(~)784 1496 y FI(Q)11 b FH(=)h(0)p FJ(\);)19 b(denn)i(g\344b)q(e)f(es)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g FH(supp\()1453 1486 y(~)1443 1496 y FI(Q)p FH(\))p FJ(,)20 b(so)g(w)o(\344re)165 1546 y FH(#\()p FI(V)9 b FH(\(Zhk)336 1553 y FD(G)p FC(\()p FD(Q)p FC(\))416 1546 y FH(\()p FI(x)456 1552 y FD(i)469 1546 y FH(\)\))h FG(\\)f FI(V)572 1552 y FD(<)600 1546 y FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))j FG(\025)g FH(2)o FJ(.)i(Setze)h(n)o(un)f FH(\001)p FG(I)g FH(:=)d(\()1121 1536 y(~)1116 1546 y FI(I)1134 1552 y FC(1)1153 1546 y FI(;)1177 1536 y FH(~)1172 1546 y FI(I)1190 1552 y FC(2)1208 1546 y FI(;)c FH(\001)p FI(r)o(;)g FH(\001)p FI(s)p FH(\))12 b FJ(mit)493 1644 y FH(\(\001)p FI(r)q FH(\))580 1650 y FD(i)605 1644 y FH(:=)g FI(r)680 1650 y FD(i)703 1644 y FG(\000)748 1604 y FB(X)744 1693 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)797 1697 y Fx(2)820 1644 y FI(q)839 1650 y FD(i;j)877 1644 y FI(;)48 b FH(\(\001)p FI(s)p FH(\))1023 1650 y FD(j)1053 1644 y FH(:=)11 b FI(s)1127 1650 y FD(j)1154 1644 y FG(\000)1198 1604 y FB(X)1196 1693 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1245 1697 y Fx(1)1268 1644 y FI(q)1287 1650 y FD(i;j)1325 1644 y FI(:)-1172 b FJ(\(2.77\))165 1780 y(Nun)14 b(w)o(\344hle)g(eine)g(Matrix)606 1770 y FH(~)596 1780 y FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\(\001)p FG(I)s FH(\)\))j FJ(und)g(de\034niere)h FI(P)i FH(=)11 b(\()p FI(p)1253 1786 y FD(i;j)1293 1780 y FH(\))1309 1787 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1410 1791 y Fx(1)1425 1787 y Fy(\002)p FD(I)1466 1791 y Fx(2)1498 1780 y FJ(durc)o(h)603 1907 y FI(p)624 1913 y FD(i;j)674 1907 y FH(:=)730 1836 y FB(\()767 1879 y FH(~)-25 b FI(p)784 1885 y FD(i;j)878 1879 y FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)1084 1868 y FH(~)1079 1879 y FI(I)1097 1885 y FC(1)1125 1879 y FG(\002)1172 1868 y FH(~)1167 1879 y FI(I)1185 1885 y FC(2)1204 1879 y FI(;)763 1938 y(q)782 1944 y FD(i;j)878 1938 y FJ(sonst.)165 1907 y(\(2.78\))165 2036 y(Nac)o(h)i(Satz)g(2.2.6)e(ist)i FI(G)p FH(\()578 2026 y(~)569 2036 y FI(P)5 b FH(\))14 b FJ(ein)g(W)m(ald.)e (Au\377erdem)i(ist)g FI(G)p FH(\()1134 2026 y(~)1125 2036 y FI(P)5 b FH(\))12 b FG(\024)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(und)614 2121 y FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\)\))11 b(=)h FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()940 2110 y(~)930 2121 y FI(P)6 b FH(\)\))j FG([)g FI(E)r FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))p FI(:)165 2206 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FI(P)d FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 2307 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Nac)o(h)e(den)g(De\034nitionen)g(\(2.77\))e(und)i (\(2.78\))f(so)o(wie)g(der)i(W)m(ahl)d(v)o(on)1481 2296 y FH(~)1471 2307 y FI(P)23 b FJ(ist)18 b(klar,)165 2357 y(da\377)13 b FI(P)k FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)i(Es)h(bleibt)f(daher)h(zu)g(zeigen,)g(da\377)f FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(ein)g(W)m(ald)f(ist.)h(Ist)1427 2346 y FH(~)1416 2357 y FI(H)h FG(2)d(Z)s FH(\()p FI(Q)p FH(\))q FJ(,)i(so)165 2406 y(hab)q(en)299 2396 y FH(~)288 2406 y FI(H)k FJ(und)d FI(G)p FH(\()481 2396 y(~)472 2406 y FI(P)5 b FH(\))14 b FJ(w)o(egen)490 2491 y FI(v)g FG(2)d FI(V)e FH(\()623 2481 y(~)612 2491 y FI(H)s FH(\))h FG(\\)f FI(V)g FH(\()p FI(G)p FH(\()820 2481 y(~)811 2491 y FI(P)c FH(\)\))42 b FG(\))f FI(v)13 b FG(2)e FI(V)f FH(\()1133 2481 y(~)1122 2491 y FI(H)s FH(\))f FG(\\)g FI(V)1246 2497 y FD(<)1274 2491 y FH(\()p FI(Q)p FH(\))165 2576 y FJ(h\366)q(c)o(hstens)16 b(eine)e(gemeinsame)e(Ec)o(k)o(e.)i (Ist)g(also)f FI(H)i FG(2)c(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(und)607 2661 y FI(V)9 b FH(\()p FI(H)s FH(\))g FG(\\)g FI(V)h FH(\()p FI(G)p FH(\()864 2650 y(~)855 2661 y FI(P)5 b FH(\)\))10 b FG(\\)e FI(V)i FH(\()p FI(G)p FH(\()p FI(Q)p FH(\)\))h FG(6)p FH(=)h FG(;)p FI(;)165 2745 y FJ(so)k(gibt)f(es)h(eine)g(Ec)o(k)o(e)h FI(v)c FG(2)e FI(V)f FH(\()p FI(H)s FH(\))p FJ(,)15 b(so)h(da\377)f FI(H)e FG(\000)e FI(v)17 b FJ(in)e(zw)o(ei)h(disjunkte)g(B\344ume)f (zerf\344llt.)g(In)165 2795 y(jedem)e(F)m(all)f(ist)i(also)f FI(H)k FJ(ein)d(Baum.)887 b Fv(N)p eop %%Page: 62 64 62 63 bop 225 50 a FJ(62)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(Wie)f(gerade)h(im)e(Bew)o(eis)j(v)o(on)e(Behauptung)h(1)f (gesehen,)i(gibt)e(es)h(zu)g FI(H)g FG(2)c(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(h\366)q(c)o(hstens)225 245 y(eine)j (Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)860 234 y FH(~)850 245 y FI(H)r FH(\()p FI(H)s FH(\))g FJ(v)o(on)g FI(G)p FH(\()1114 234 y(~)1105 245 y FI(P)5 b FH(\))17 b FJ(mit)1260 234 y FH(~)1249 245 y FI(H)s FH(\()p FI(H)s FH(\))12 b FG(\024)g FI(H)s FJ(.)k(De\034niere)i(n)o(un)225 295 y(auf)13 b FG(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(eine)h(F)m(unktion)e FI(f)18 b FJ(durc)o(h)589 418 y FI(f)t FH(\()p FI(H)s FH(\))12 b(:=)751 347 y FB(\()795 379 y FH(~)784 389 y FI(H)s FH(\()p FI(H)s FH(\))56 b FJ(sofern)1080 379 y FH(~)1069 389 y FI(H)s FH(\()p FI(H)s FH(\))14 b FJ(existiert)q FI(;)784 449 y FH(\()p FG(;)p FI(;)7 b FG(;)p FH(\))71 b FJ(sonst.)225 418 y(\(2.79\))225 548 y(Dann)19 b(ist)h FI(f)c FG(2)11 b(F)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))20 b FJ(und)g FI(I)15 b FH(:=)c FG(E)t FH(\()p FI(f)t FH(\))h(=)g(supp)q(\()1027 537 y(~)1018 548 y FI(P)5 b FH(\))p FJ(.)19 b(Also)h(ist)g(mit)d(der)k (Bezeic)o(hn)o(ung)g(aus)225 597 y(De\034nition)13 b(2.5.20)f FI(Q)f FH(=)h FI(P)659 582 y FD(I)691 597 y FJ(\(w)o(egen)j(\(2.75\))e (und)1043 587 y FH(~)1034 597 y FI(Q)e FH(=)h(0)p FJ(\),)h(das)h (hei\377t)g FI(Q)d FG(2)h(E)t FH(\()p FG(\024)f(I)s FH(\))p FJ(.)108 b Fv(\004)225 699 y FJ(Bleibt)14 b(no)q(c)o(h)h(zu)f(b)q (emerk)o(en,)g(da\377)f(es)i(w\374nsc)o(hensw)o(ert)i(w)o(\344re,)d (die)g(in)f(2.5.20)f(gegeb)q(ene)k(De\034-)225 749 y(nition)f(v)o(on)h FG(E)t FH(\()p FG(\024)11 b(I)s FH(\))16 b FJ(auf)f FG(\024)p FJ(-Randsysteme)h(auszudehnen,)i(so)e(da\377)f(Lemma)f(2.5.22)g(ric)o (h)o(tig)225 799 y(bleibt.)225 954 y FA(2.6)66 b(Exp)r(onierte)11 b(Punkte)i(v)n(on)h(Mengen)g(dopp)r(elt)d(sto)r(c)n(ha-)375 1029 y(stisc)n(her)20 b(Matrizen)225 1140 y FJ(Betrac)o(h)o(tet)c(man)c (k)o(on)o(v)o(exe)i(Mengen,)g(so)g(gibt)f(es)i(au\377er)f(den)h (Extremalpunkten)e(no)q(c)o(h)h(w)o(ei-)225 1189 y(tere)j(ausgezeic)o (hnete)g(Punkte,)f(die)f(sogenann)o(ten)h(exp)q(onierten)g(Punkte)g (\(siehe)h(De\034nition)225 1239 y(2.6.1\).)c(In)j(diesem)f(Absc)o (hnitt)h(sollen)f(exp)q(onierte)i(Punkte)f(v)o(on)f(Mengen)h(dopp)q (elt)g(sto)q(c)o(ha-)225 1289 y(stisc)o(her)g(Matrizen)f(und)g(deren)g (Zusammenhang)e(mit)f(den)j(Extremalpunkten)f(un)o(tersuc)o(h)o(t)225 1339 y(w)o(erden.)225 1417 y FK(De\034nitio)o(n)f(2.6.1.)21 b FJ(Sei)11 b FI(X)k FJ(ein)c(reeller)h(V)m(ektorraum,)e FI(M)16 b FG(\022)c FI(X)j FJ(k)o(on)o(v)o(ex)10 b(und)i FI(x)1507 1423 y FC(0)1536 1417 y FG(2)g FI(M)t FJ(.)f(Man)225 1467 y(nenn)o(t)16 b FI(x)367 1473 y FC(0)402 1467 y FJ(einen)g Fz(exp)n(onierten)i(Punkt)f FJ(v)o(on)e FI(M)21 b FJ(genau)15 b(dann,)h(w)o(enn)g(es)g(ein)g(lineares)h(F)m(unk-)225 1517 y(tional)c(\(das)h(hei\377t)f(eine)i(lineare)f(Abbildung)f FI(\030)g FH(:)21 b FI(X)15 b FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)-6 b FJ(\))14 b(gibt,)f(so)h(da\377)839 1603 y FG(8)769 1631 y FD(x)p Fy(2)p FD(M)s Fy(nf)p FD(x)898 1635 y Fx(0)914 1631 y Fy(g)943 1603 y FI(\030)r FH(\()p FI(x)p FH(\))e FI(<)f(\030)r FH(\()p FI(x)1134 1609 y FC(0)1153 1603 y FH(\))p FI(:)-956 b FJ(\(2.80\))225 1714 y(Die)14 b(Menge)g(der)h (exp)q(onierten)g(Punkte)f(v)o(on)g FI(M)k FJ(wird)c(mit)e FH(Exp\()p FI(M)5 b FH(\))14 b FJ(b)q(ezeic)o(hnet.)225 1792 y FK(Bemerkung)g(2.6.2.)21 b FJ(Sei)14 b FI(X)j FJ(ein)d(reeller)h(V)m(ektorraum,)d FI(M)18 b FJ(eine)d(k)o(on)o(v)o (exe)e(T)m(eilmenge)f(v)o(on)225 1842 y FI(X)21 b FJ(und)d FI(x)391 1848 y FC(0)420 1842 y FG(2)12 b FI(M)t FJ(.)17 b(Dann)g(ist)h FI(x)735 1848 y FC(0)770 1842 y FJ(genau)g(dann)f(ein)g (exp)q(onierter)i(Punkt)f(v)o(on)f FI(M)5 b FJ(,)16 b(w)o(enn)i(es)225 1892 y(eine)c(a\036ne)g(Abbildung)629 1881 y FH(~)625 1892 y FI(\030)g FH(:)20 b FI(M)c FG(\000)-6 b(!)11 b Fu(R)c FJ(gibt,)13 b(so)h(da\377)839 1977 y FG(8)769 2006 y FD(x)p Fy(2)p FD(M)s Fy(nf)p FD(x)898 2010 y Fx(0)914 2006 y Fy(g)947 1966 y FH(~)943 1977 y FI(\030)r FH(\()p FI(x)p FH(\))e FI(<)1079 1966 y FH(~)1074 1977 y FI(\030)r FH(\()p FI(x)1134 1983 y FC(0)1153 1977 y FH(\))p FI(:)-956 b FJ(\(2.81\))225 2088 y(Insb)q(esondere)14 b(ist)d(also)f(die)h(Menge) h FH(Exp)q(\()p FI(M)5 b FH(\))11 b FJ(unabh\344ngig)f(da)o(v)o(on,)g (in)g(w)o(elc)o(hen)i(V)m(ektorraum)225 2138 y FI(X)h FJ(die)d(Menge)h FI(M)j FJ(eingeb)q(ettet)e(ist,)d(solange)h(die)g (lineare)f(Struktur)i(auf)e FI(M)15 b FJ(die)10 b(gleic)o(he)g(bleibt.) 225 2217 y FK(Lemma)15 b(2.6.3.)21 b Fz(Ist)16 b FI(X)k Fz(ein)c(r)n(e)n(el)r(ler)g(V)m(ektorr)n(aum)h(und)g FI(M)f FG(\022)c FI(X)20 b Fz(konvex,)d(so)f(ist)f(je)n(der)i(ex-)225 2266 y(p)n(onierte)f(Punkt)f(von)h FI(M)j Fz(auch)d(extr)n(emal,)f(das) g(hei\377t)g FH(Exp\()p FI(M)5 b FH(\))12 b FG(\022)g FJ(E)p FH(\()p FI(M)5 b FH(\))p Fz(.)225 2368 y(Beweis.)20 b FJ(Es)e(sei)g FI(x)533 2374 y FC(0)563 2368 y FG(2)11 b FH(Exp)q(\()p FI(M)5 b FH(\))17 b FJ(gegeb)q(en.)h(Dann)g(gibt)f(es)h (ein)g(lineares)g(F)m(unktional)e FI(\030)r FJ(,)h(so)225 2418 y(da\377)f(\(2.80\))g(gilt.)f(Ist)i(dann)g FI(x)712 2424 y FC(0)741 2418 y FH(:=)802 2401 y FC(1)p 802 2408 17 2 v 802 2432 a(2)823 2418 y FI(x)847 2424 y FC(1)875 2418 y FH(+)921 2401 y FC(1)p 921 2408 V 921 2432 a(2)943 2418 y FI(x)967 2424 y FC(2)1002 2418 y FJ(mit)e FI(x)1105 2424 y FC(1)1123 2418 y FI(;)7 b(x)1166 2424 y FC(2)1195 2418 y FG(2)12 b FI(M)t FJ(,)k(so)h(folgt)f FI(x)1484 2424 y FC(1)1513 2418 y FH(=)c(2)p FI(x)1602 2424 y FC(0)1630 2418 y FG(\000)d FI(x)1695 2424 y FC(2)1713 2418 y FJ(.)225 2468 y(Also)14 b(ist)g FI(\030)r FH(\()p FI(x)437 2474 y FC(1)456 2468 y FH(\))e(=)f(2)p FI(\030)r FH(\()p FI(x)608 2474 y FC(0)627 2468 y FH(\))e FG(\000)h FI(\030)r FH(\()p FI(x)754 2474 y FC(2)772 2468 y FH(\))i FG(\025)g FI(\030)r FH(\()p FI(x)904 2474 y FC(0)922 2468 y FH(\))p FJ(.)i(W)m(egen)g (\(2.80\))g(ist)g(dann)g FI(x)1405 2474 y FC(1)1435 2468 y FH(=)e FI(x)1503 2474 y FC(0)1535 2468 y FJ(und)j(damit)225 2517 y(dann)f(auc)o(h)g FI(x)451 2523 y FC(2)481 2517 y FH(=)d FI(x)548 2523 y FC(0)567 2517 y FJ(.)1114 b Fv(\004)225 2619 y FJ(Die)13 b(Umk)o(ehrung)f(v)o(on)h(Lemma)d(2.6.3)i (ist)h(im)e(allgemeinen)g(falsc)o(h)i(\(ein)g(Beispiel)h(\034ndet)g (sic)o(h)225 2669 y(auf)i(Seite)g(91)g(un)o(ten)h(in)e([10)o(]\).)h (Die)f(F)m(rage,)h(ob)g(sie)g(im)e(F)m(all)h FI(M)h FH(=)c FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))k FJ(f\374r)g(Randsysteme)225 2719 y FG(I)e FH(=)e(\()p FI(I)340 2725 y FC(1)359 2719 y FI(;)7 b(I)396 2725 y FC(2)414 2719 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))16 b FJ(ric)o(h)o(tig)h(ist,)f(ersc)o(hein)o(t)j(sc)o(h)o(wierig) e(\(dab)q(ei)g(k)n(ann)f FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(zum)f(Beispiel)h(als)225 2768 y(T)m(eilmenge)g(des)j(reellen)g(V)m (ektorraums)e Fu(R)925 2753 y FD(I)940 2757 y Fx(1)953 2753 y Fy(\002)p FD(I)994 2757 y Fx(2)1031 2768 y FJ(aufgefa\377t)g(w)o (erden\).)h(Der)h(Un)o(tersuc)o(h)o(ung)225 2818 y(dieser)15 b(F)m(rage)f(dien)o(t)g(die)f(folgende)h(De\034nition)f(2.6.4.)p eop %%Page: 63 65 63 64 bop 165 50 a Fw(2.6.)26 b(EXPONIER)m(TE)15 b(PUNKTE)893 b FJ(63)165 195 y FK(De\034nitio)o(n)13 b(2.6.4.)21 b FJ(Sei)14 b FG(I)h FH(:=)c(\()p FI(I)714 201 y FC(1)733 195 y FI(;)c(I)770 201 y FC(2)788 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b FJ(ein)g(Randsystem)g(und)h FI(P)i FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)j(Im)f(folgen-)165 245 y(den)h(sollen)f(f\374r)h FI(n)d FG(2)h Fu(N)f FJ(Mengen)j FI(M)738 251 y FD(n)761 245 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(;)h(m)881 251 y FD(n)904 245 y FH(\()p FI(P)f FH(\))11 b FG(\022)h FI(I)1042 251 y FC(1)1070 245 y FG(\002)d FI(I)1129 251 y FC(2)1162 245 y FJ(de\034niert)14 b(w)o(erden.)g(Ist)g (das)g(In-)165 295 y(dexpaar)e FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(M)496 301 y FD(n)519 295 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FJ(\()p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))13 b FG(2)e FI(m)783 301 y FD(n)806 295 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))o FJ(\),)12 b(so)g(hei\377t)f FI(p)1081 301 y FD(i;j)1132 295 y FJ(ein)h FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(-)p FI(n)p Fz(-ma)o(ximales)g FJ(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(-)165 345 y FI(n)p Fz(-minimales)p FJ(\))20 b(Elemen)o(t)g(v)o(on)g FI(P)6 b FJ(.)20 b(Setze)i(dann)f FI(E)1003 351 y FD(n)1025 345 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b(:=)f FI(M)1197 351 y FD(n)1220 345 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))j FG([)g FI(m)1367 351 y FD(n)1390 345 y FH(\()p FI(P)d FH(\))20 b FJ(f\374r)h FI(n)11 b FG(2)g Fu(N)n FJ(.)165 394 y(F\374r)j FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)g FI(E)412 400 y FD(n)434 394 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(hei\377t)g(dann)g FI(p)742 400 y FD(i;j)795 394 y FJ(ein)g FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(-)p FI(n)p Fz(-extr)n(emes)g FJ(Elemen)o(t)f(v)o(on)h FI(P)6 b FJ(.)13 b(Sind)h(k)o(eine)165 444 y(V)m(erw)o(ec)o(hslungen)i(m\366glic)o(h,)d (so)i(sc)o(hreib)q(e)i(auc)o(h)e FI(n)p FJ(-maxim)o(al)c(\()p FI(n)p FJ(-minima)o(l,)h FI(n)p FJ(-extrem\))i(statt)165 494 y FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(-)p FI(n)p FJ(-maxim)o(al)i(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(-)p FI(n)p FJ(-minim)o(al)o(,)g FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(-)p FI(n)p FJ(-extrem\),)j(und)h (lasse)g(dab)q(ei)f FI(n)g FJ(f\374r)h FI(n)11 b FH(=)h(1)165 544 y FJ(w)o(eg.)h(Nun)h(zu)h(den)f(De\034nitionen)g(v)o(on)f FI(M)836 550 y FD(n)859 544 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(und)g FI(m)1057 550 y FD(n)1080 544 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(:)226 682 y FI(M)266 688 y FC(1)285 682 y FH(\()p FI(P)g FH(\))11 b(:=)g FG(f)p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)590 688 y FC(1)619 682 y FG(\002)e FI(I)678 688 y FC(2)708 682 y FH(:)68 b FG(8)738 711 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))872 682 y FI(q)891 688 y FD(i;j)941 682 y FG(\024)12 b FI(p)1006 688 y FD(i;j)1045 682 y FG(g)p FI(;)230 770 y(m)266 776 y FC(1)285 770 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(:=)g FG(f)p FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)590 776 y FC(1)619 770 y FG(\002)e FI(I)678 776 y FC(2)708 770 y FH(:)68 b FG(8)738 799 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))872 770 y FI(q)891 776 y FD(i;j)941 770 y FG(\025)12 b FI(p)1006 776 y FD(i;j)1045 770 y FG(g)p FI(;)222 901 y(M)262 907 y FD(n)285 901 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(:=)416 831 y FB(\()450 901 y FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FH(\()p FI(I)619 907 y FC(1)647 901 y FG(\002)f FI(I)707 907 y FC(2)726 901 y FH(\))f FG(n)781 850 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)790 862 y FB([)782 951 y FD(k)q FC(=1)851 901 y FI(E)882 907 y FD(k)902 901 y FH(\()p FI(P)d FH(\))11 b(:)503 1047 y FG(8)454 1076 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))594 1001 y FB(\020\020)644 1047 y FI(Q)p Fv(\026)694 1038 y Ff(S)721 1047 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)721 1070 y Fs(k)p Fx(=1)784 1060 y FD(E)808 1064 y Fs(k)827 1060 y FC(\()p FD(P)t FC(\))892 1047 y FH(=)h FI(P)6 b Fv(\026)986 1038 y Ff(S)1013 1047 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)1013 1070 y Fs(k)p Fx(=1)1076 1060 y FD(E)1100 1064 y Fs(k)1118 1060 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1172 1001 y FB(\021)1213 1047 y FG(\))i FI(q)1282 1053 y FD(i;j)1333 1047 y FG(\024)j FI(p)1397 1053 y FD(i;j)1436 1001 y FB(\021)1468 976 y(\))1508 1047 y FI(;)c(n)k(>)h FH(1)p FI(;)226 1192 y(m)262 1198 y FD(n)285 1192 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(:=)416 1121 y FB(\()450 1192 y FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))12 b FG(2)f FH(\()p FI(I)619 1198 y FC(1)647 1192 y FG(\002)f FI(I)707 1198 y FC(2)726 1192 y FH(\))f FG(n)781 1141 y FD(n)p Fy(\000)p FC(1)790 1153 y FB([)782 1242 y FD(k)q FC(=1)851 1192 y FI(E)882 1198 y FD(k)902 1192 y FH(\()p FI(P)d FH(\))11 b(:)503 1338 y FG(8)454 1367 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))594 1292 y FB(\020\020)644 1338 y FI(Q)p Fv(\026)694 1329 y Ff(S)721 1338 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)721 1361 y Fs(k)p Fx(=1)784 1351 y FD(E)808 1355 y Fs(k)827 1351 y FC(\()p FD(P)t FC(\))892 1338 y FH(=)h FI(P)6 b Fv(\026)986 1329 y Ff(S)1013 1338 y Fs(n)p Ft(\000)p Fx(1)1013 1361 y Fs(k)p Fx(=1)1076 1351 y FD(E)1100 1355 y Fs(k)1118 1351 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1172 1292 y FB(\021)1213 1338 y FG(\))i FI(q)1282 1344 y FD(i;j)1333 1338 y FG(\025)j FI(p)1397 1344 y FD(i;j)1436 1292 y FB(\021)1468 1267 y(\))1508 1338 y FI(;)c(n)k(>)h FH(1)p FI(:)165 636 y FJ(\(2.82\))165 1532 y FK(Bemerkung)i(2.6.5.)21 b FJ(Ist)15 b FG(I)f FH(:=)d(\()p FI(I)740 1538 y FC(1)759 1532 y FI(;)c(I)796 1538 y FC(2)814 1532 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(ein)h(Randsystem)f(und)h FI(P)j FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q FJ(,)i(so)h(ist)564 1628 y FH(\()p FI(I)598 1634 y FC(1)626 1628 y FG(\002)c FI(I)686 1634 y FC(2)705 1628 y FH(\))f FG(n)g FH(supp\()p FI(P)d FH(\))12 b FG(\022)f FI(m)1001 1634 y FC(1)1021 1628 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FG(\022)h FI(E)1172 1634 y FC(1)1190 1628 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(:)165 1725 y FK(Satz)15 b(2.6.6.)22 b Fz(Sei)g FG(I)14 b FH(:=)e(\()p FI(I)607 1731 y FC(1)626 1725 y FI(;)7 b(I)663 1731 y FC(2)681 1725 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))22 b Fz(ein)h(R)n(andsystem,)g FH(#)p FI(I)1175 1731 y FC(1)1193 1725 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1265 1731 y FC(2)1295 1725 y FG(\024)12 b FI(!)24 b Fz(und)f FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)165 1775 y(Gilt)569 1872 y FG(8)520 1901 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))653 1872 y FH(\()p FI(Q)p Fv(\026)719 1879 y FD(E)743 1883 y Fx(1)760 1879 y FC(\()p FD(P)t FC(\))825 1872 y FH(=)h FI(P)6 b Fv(\026)919 1879 y FD(E)943 1883 y Fx(1)959 1879 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1013 1872 y FH(\))42 b FG(\))g FI(P)17 b FH(=)12 b FI(Q)p FH(\))p FI(;)-1139 b FJ(\(2.83\))165 1994 y Fz(so)15 b(ist)f FI(P)j FG(2)12 b FH(Exp\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)165 2123 y(Beweis.)20 b FJ(Nac)o(h)14 b(Bemerkung)g(2.6.2)e(gen)o(\374gt)i(es,)g(eine)g(a\036ne)g(Abbildung) 782 2209 y FH(~)778 2220 y FI(\030)f FH(:)20 b FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)165 2317 y FJ(anzugeb)q(en,)k(so)f(da\377)779 2413 y FG(8)692 2442 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))p Fy(nf)p FD(P)t Fy(g)906 2402 y FH(~)902 2413 y FI(\030)r FH(\()p FI(Q)p FH(\))d FI(<)1046 2402 y FH(~)1042 2413 y FI(\030)r FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(:)-974 b FJ(\(2.84\))165 2541 y(Dazu)14 b(sei)g FH(\()p FI(\013)376 2547 y FD(i)389 2541 y FH(\))405 2547 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)454 2551 y Fx(1)487 2541 y FJ(eine)g(F)m(amili)o(e)e(in)h Fu(R)796 2523 y FC(+)824 2541 y FJ(,)g(so)h(da\377)978 2510 y FB(P)1022 2554 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)1071 2558 y Fx(1)1096 2541 y FI(\013)1123 2547 y FD(i)1148 2541 y FH(=)e(1)i FJ(und)404 2709 y FI(\033)e FH(:)g FI(I)482 2715 y FC(1)510 2709 y FG(\002)d FI(I)569 2715 y FC(2)600 2709 y FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)-6 b FI(;)48 b(\033)q FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)933 2611 y FB(8)933 2649 y(>)933 2661 y(<)933 2736 y(>)933 2748 y(:)970 2651 y FH(1)87 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(M)1319 2657 y FC(1)1338 2651 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(;)970 2710 y FG(\000)p FH(1)55 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(m)1315 2716 y FC(1)1334 2710 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FI(;)970 2770 y FH(0)87 b FJ(sonst.)165 2709 y(\(2.85\))p eop %%Page: 64 66 64 65 bop 225 50 a FJ(64)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y FJ(De\034niere)g(dann)508 184 y FH(~)504 195 y FI(\030)e FH(:)20 b FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b FG(\000)-7 b(!)11 b Fu(R)d FJ(durc)o(h)699 288 y FH(~)694 298 y FI(\030)r FH(\()p FI(Q)p FH(\))k(:=)903 259 y FB(X)846 350 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)947 354 y Fx(1)963 350 y Fy(\002)p FD(I)1004 354 y Fx(2)1026 298 y FI(\033)q FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))1140 270 y FI(\013)1167 276 y FD(i)p 1141 289 41 2 v 1145 327 a FI(r)1164 333 y FD(i)1186 298 y FI(q)1205 304 y FD(i;j)1244 298 y FI(:)-1031 b FJ(\(2.86\))225 437 y(W)m(egen)347 584 y FG(8)298 612 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))431 584 y FG(j)447 573 y FH(~)443 584 y FI(\030)r FH(\()p FI(Q)p FH(\))p FG(j)11 b(\024)651 544 y FB(X)595 635 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)696 639 y Fx(1)711 635 y Fy(\002)p FD(I)752 639 y Fx(2)775 584 y FG(j)p FI(\033)q FH(\()p FI(i;)c(j)r FH(\))901 556 y FI(\013)928 562 y FD(i)p 901 574 V 905 612 a FI(r)924 618 y FD(i)946 584 y FI(q)965 590 y FD(i;j)1004 584 y FG(j)k(\024)1127 544 y FB(X)1071 635 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1172 639 y Fx(1)1187 635 y Fy(\002)p FD(I)1228 639 y Fx(2)1256 556 y FI(\013)1283 562 y FD(i)p 1256 574 V 1260 612 a FI(r)1279 618 y FD(i)1301 584 y FI(q)1320 590 y FD(i;j)1370 584 y FH(=)1418 544 y FB(X)1414 633 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1467 637 y Fx(2)1495 556 y FI(\013)1522 562 y FD(j)p 1495 574 45 2 v 1500 612 a FI(r)1519 618 y FD(i)1544 584 y FI(r)1563 590 y FD(i)1588 584 y FH(=)h(1)225 523 y FJ(\(2.87\))225 732 y(ist)287 721 y FH(~)282 732 y FI(\030)k FJ(w)o(ohlde\034niert.)d (Es)h(ist)g(dann)f(klar,)g(da\377)972 721 y FH(~)968 732 y FI(\030)i FJ(a\036n)e(ist.)g(Da\377)g(\(2.84\))f(gilt,)g(folgt)g (sofort)i(aus)225 782 y(den)g(De\034nitionen)g(v)o(on)f FI(M)656 788 y FC(1)675 782 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(und)g FI(m)873 788 y FC(1)892 782 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(so)o(wie)h(der)h(V)m(oraussetzung)658 875 y FG(8)608 904 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))742 875 y FI(Q)p Fv(\026)792 882 y FD(E)816 886 y Fx(1)832 882 y FC(\()p FD(P)t FC(\))897 875 y FH(=)d FI(P)6 b Fv(\026)991 882 y FD(E)1015 886 y Fx(1)1032 882 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1127 875 y FG(\))41 b FI(P)17 b FH(=)11 b FI(Q:)-1117 b FJ(\(2.88\))225 991 y(Somit)12 b(ist)i(der)g(Satz)h(b)q (ewiesen.)955 b Fv(\004)225 1078 y FK(Korollar)14 b(2.6.7.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)744 1084 y FC(1)763 1078 y FI(;)7 b(I)800 1084 y FC(2)818 1078 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem,)853 1171 y FH(#)p FI(I)906 1177 y FC(1)924 1171 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)996 1177 y FC(2)1026 1171 y FG(\024)12 b FI(!)225 1264 y Fz(und)k FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(Gilt)631 1357 y FG(8)581 1385 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))715 1357 y FH(\(supp\()p FI(Q)p FH(\))d FG(\022)g FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))43 b FG(\))e FI(P)17 b FH(=)12 b FI(Q)p FH(\))p FI(;)-1137 b FJ(\(2.89\))225 1475 y Fz(so)15 b(ist)f FI(P)j FG(2)12 b FH(Exp\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)225 1585 y(Beweis.)20 b FJ(Die)14 b(Behauptung)g(folgt)f(w)o(egen)342 1746 y FG(8)293 1774 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))433 1687 y FB(\022)463 1746 y FI(Q)p Fv(\026)513 1753 y FD(E)537 1757 y Fx(1)554 1753 y FC(\()p FD(P)t FC(\))619 1746 y FH(=)f FI(P)6 b Fv(\026)713 1753 y FD(E)737 1757 y Fx(1)753 1753 y FC(\()p FD(P)t FC(\))860 1719 y(\(2)p FD(:)p FC(6)p FD(:)p FC(5\))887 1746 y FG(\))68 b FI(Q)p Fv(\026)1047 1753 y FC(\()p FD(I)1075 1757 y Fx(1)1091 1753 y Fy(\002)p FD(I)1132 1757 y Fx(2)1148 1753 y FC(\))p Fy(n)p FC(supp)q(\()p FD(P)t FC(\))1311 1746 y FH(=)12 b FI(P)6 b Fv(\026)1405 1753 y FC(\()p FD(I)1433 1757 y Fx(1)1449 1753 y Fy(\002)p FD(I)1490 1757 y Fx(2)1506 1753 y FC(\))p Fy(n)p FC(supp)q(\()p FD(P)t FC(\))881 1863 y FG(\))60 b FH(supp)q(\()p FI(Q)p FH(\))11 b FG(\022)h FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))41 b FG(\))g FI(P)17 b FH(=)12 b FI(Q)1585 1804 y FB(\023)225 1671 y FJ(\(2.90\))225 1978 y(aus)i(Satz)g(2.6.6.)1203 b Fv(\004)225 2066 y FK(Korollar)14 b(2.6.8.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)744 2072 y FC(1)763 2066 y FI(;)7 b(I)800 2072 y FC(2)818 2066 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)h (mit)784 2127 y FB(X)781 2216 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)830 2220 y Fx(1)853 2167 y FI(r)872 2173 y FD(i)897 2167 y FH(=)945 2127 y FB(X)941 2216 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)994 2220 y Fx(2)1017 2167 y FI(s)1036 2173 y FD(j)1065 2167 y FI(<)c FG(1)p FI(;)225 2304 y Fz(so)j(gilt)f FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))d(=)h(Exp\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p Fz(.)225 2414 y(Beweis.)20 b FJ(Nac)o(h)15 b(Lemma)d(2.6.3)g(ist)j(n)o(ur)f(\022)s FG(\022)p FJ(\020)19 b(zu)c(zeigen,)f(und)h(das)f(folgt)g(aus)g (Korollar)g(2.6.7)225 2464 y(und)g(Satz)g(2.4.16.)1173 b Fv(\004)225 2574 y FJ(Korollar)13 b(2.6.8)f(ist)i(gerade)g(Prop)q (osition)g(2)f(aus)h([4],)f(w)o(ob)q(ei)g(dort)h(die)g(V)m (oraussetzung)793 2635 y FB(X)790 2724 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)839 2728 y Fx(1)862 2675 y FI(r)881 2681 y FD(i)906 2675 y FH(=)955 2635 y FB(X)950 2724 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1003 2728 y Fx(2)1026 2675 y FI(s)1045 2681 y FD(j)1074 2675 y FI(<)e FG(1)225 2812 y FJ(fehlt.)g(Der)i(in)e([4)o(])h(gegeb)q (ene)h(Bew)o(eis,)g(ist)f(jedo)q(c)o(h)g(n)o(ur)g(un)o(ter)h(dieser)g (V)m(oraussetzung)g(ric)o(h)o(tig.)p eop %%Page: 65 67 65 66 bop 165 50 a Fw(2.6.)26 b(EXPONIER)m(TE)15 b(PUNKTE)893 b FJ(65)165 195 y FK(Korollar)14 b(2.6.9.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)e(\()p FI(I)684 201 y FC(1)703 195 y FI(;)7 b(I)740 201 y FC(2)758 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem,)793 291 y FH(#)p FI(I)846 297 y FC(1)864 291 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)936 297 y FC(2)966 291 y FG(\024)12 b FI(!)165 386 y Fz(und)k FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(Gilt)f(f\374r)h(je)n(de)g (Zusammenhangskomp)n(onente)j FI(H)g Fz(von)d FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p Fz(,)14 b(da\377)808 451 y FB(X)769 541 y FD(x)788 545 y Fs(i)801 541 y Fy(2)p FD(V)7 b FC(\()p FD(H)r FC(\))913 490 y FI(r)932 496 y FD(i)957 490 y FI(<)12 b FG(1)p FI(;)165 634 y Fz(so)j(ist)f FI(P)j FG(2)12 b FH(Exp\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))j Fz(genau)h(dann,)g(wenn)f FI(P)i FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p Fz(.)165 757 y(Beweis.)20 b FJ(Nac)o(h)14 b(Lemma)d(2.6.3)h(ist)i(n)o(ur)g(\022)s FG(\()p FJ(\020)j(zu)d(zeigen,)g(und)g(das)f(folgt)g(aus)h(Korollar)f (2.6.7)165 806 y(und)h(Korollar)f(2.4.18.)1101 b Fv(\004)165 904 y FK(Beispiel)13 b(2.6.10.)21 b FJ(De\034niere)677 1086 y FI(P)c FH(:=)776 965 y FB(0)776 1038 y(B)776 1063 y(B)776 1088 y(B)776 1115 y(@)823 997 y FH(1)908 981 y FC(1)p 908 988 17 2 v 908 1011 a(2)825 1031 y(1)p 825 1038 V 825 1061 a(2)991 1031 y(1)p 991 1038 V 991 1061 a(3)908 1081 y(1)p 908 1088 V 908 1111 a(3)1064 1145 y FJ(.)1080 1158 y(.)1096 1170 y(.)1110 965 y FB(1)1110 1038 y(C)1110 1063 y(C)1110 1088 y(C)1110 1115 y(A)165 1086 y FJ(\(2.91\))165 1270 y(und)d FG(I)g FH(:=)e(\()p FI(I)375 1276 y FC(1)394 1270 y FI(;)7 b(I)431 1276 y FC(2)449 1270 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))j(:=)i FG(I)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))o FJ(.)14 b(Dann)f(gilt)575 1366 y FG(8)526 1395 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))659 1366 y FH(\(supp)q(\()p FI(Q)p FH(\))e FG(\022)h FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))41 b FG(\))g FI(P)17 b FH(=)12 b FI(Q)p FH(\))p FI(:)-1140 b FJ(\(2.92\))165 1487 y(Nac)o(h)14 b(Korollar)f(2.6.7)f(ist)i(daher)g FI(P)j FG(2)12 b FH(Exp\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)165 1599 y(Es)h(stellt)g(sic)o(h)f (heraus,)h(da\377)f(Satz)h(2.6.6)e(nic)o(h)o(t)h(wirklic)o(h)f (allgemeiner)g(ist)i(als)f(Korollar)f(2.6.7.)165 1649 y(Es)j(gilt)f(das)h(folgende)g(Lemma:)165 1736 y FK(Lemma)h(2.6.11.)21 b FG(I)14 b FH(:=)e(\()p FI(I)617 1742 y FC(1)636 1736 y FI(;)7 b(I)673 1742 y FC(2)691 1736 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(sei)h(ein)g(R)n(andsystem)g(und)h FI(P)h FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p Fz(.)k(Dann)h(gilt)539 1828 y FG(8)489 1856 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))623 1828 y FH(\(supp\()p FI(Q)p FH(\))c FG(\022)g FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))42 b FG(\))g FI(P)17 b FH(=)12 b FI(Q)p FH(\))489 1915 y FG(,)92 b(8)573 1944 y FD(Q)p Fy(2D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\))707 1915 y FH(\()p FI(Q)p Fv(\026)773 1922 y FD(E)797 1926 y Fx(1)813 1922 y FC(\()p FD(P)t FC(\))878 1915 y FH(=)12 b FI(P)6 b Fv(\026)972 1922 y FD(E)996 1926 y Fx(1)1013 1922 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1109 1915 y FG(\))42 b FI(P)17 b FH(=)11 b FI(Q)p FH(\))p FI(:)165 1886 y FJ(\(2.93\))165 2064 y Fz(Beweis.)20 b(Behauptung)d(1.)j FJ(Gilt)13 b FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))11 b FG(\025)h FH(2)p FJ(,)h(so)h(ist)g FI(m)1129 2070 y FC(1)1148 2064 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(\()p FI(I)1302 2070 y FC(1)1330 2064 y FG(\002)e FI(I)1390 2070 y FC(2)1409 2064 y FH(\))f FG(n)g FH(supp)q(\()p FI(P)d FH(\))o FJ(.)165 2186 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Es)i(ist)g(n)o(ur)f (\022)s FG(\022)p FJ(\020)26 b(zu)c(zeigen.)g(Sind)f FH(\()p FI(i)965 2192 y FC(1)984 2186 y FI(;)7 b(j)1020 2192 y FC(1)1038 2186 y FH(\))22 b FJ(und)f FH(\()p FI(i)1196 2192 y FC(2)1215 2186 y FI(;)7 b(j)1251 2192 y FC(2)1270 2186 y FH(\))21 b FJ(zw)o(ei)h(b)q(eliebige)f(ab)q(er)165 2236 y(v)o(ersc)o(hiedene)h(Elemen)o(te)d(aus)h(dem)f(T)m(r\344ger)g(v) o(on)h FI(P)6 b FJ(,)18 b(so)i(sei)g FI(\017)11 b FH(:=)h(min)n FG(f)p FI(p)1377 2242 y FD(i)1389 2246 y Fx(1)1404 2242 y FD(;j)1428 2246 y Fx(1)1446 2236 y FI(;)7 b(p)1486 2242 y FD(i)1498 2246 y Fx(2)1514 2242 y FD(;j)1538 2246 y Fx(2)1555 2236 y FG(g)20 b FJ(und)165 2286 y FI(Q)11 b FH(=)h(\()p FI(q)288 2292 y FD(i;j)327 2286 y FH(\))343 2293 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)444 2297 y Fx(1)459 2293 y Fy(\002)p FD(I)500 2297 y Fx(2)532 2286 y FJ(de\034niert)j(durc)o(h)464 2381 y FI(Q)p Fv(\026)514 2388 y FC(\()p FD(I)542 2392 y Fx(1)558 2388 y Fy(\002)p FD(I)599 2392 y Fx(2)615 2388 y FC(\))p Fy(nf)p FC(\()p FD(i)687 2392 y Fx(1)703 2388 y FD(;j)727 2392 y Fx(1)743 2388 y FC(\))p FD(;)p FC(\()p FD(i)791 2392 y Fx(2)806 2388 y FD(;j)830 2392 y Fx(2)846 2388 y FC(\))p Fy(g)890 2381 y FH(=)d FI(P)6 b Fv(\026)984 2388 y FC(\()p FD(I)1012 2392 y Fx(1)1027 2388 y Fy(\002)p FD(I)1068 2392 y Fx(2)1084 2388 y FC(\))p Fy(nf)p FC(\()p FD(i)1156 2392 y Fx(1)1172 2388 y FD(;j)1196 2392 y Fx(1)1212 2388 y FC(\))p FD(;)p FC(\()p FD(i)1260 2392 y Fx(2)1276 2388 y FD(;j)1300 2392 y Fx(2)1315 2388 y FC(\))p Fy(g)1347 2381 y FI(;)466 2592 y(q)485 2598 y FD(i;j)535 2592 y FH(:=)590 2494 y FB(8)590 2532 y(>)590 2544 y(<)590 2619 y(>)590 2631 y(:)627 2534 y FI(p)648 2540 y FD(i)660 2544 y Fx(1)676 2540 y FD(;j)700 2544 y Fx(1)727 2534 y FG(\000)k FI(\017)55 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)1077 2540 y FC(1)1096 2534 y FI(;)7 b(j)1132 2540 y FC(1)1150 2534 y FH(\))p FI(;)627 2593 y(p)648 2599 y FD(i)660 2603 y Fx(2)676 2599 y FD(;j)700 2603 y Fx(2)727 2593 y FG(\000)j FI(\017)55 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b(=)g(\()p FI(i)1077 2599 y FC(2)1096 2593 y FI(;)7 b(j)1132 2599 y FC(2)1150 2593 y FH(\))p FI(;)627 2653 y(p)648 2659 y FD(i;j)696 2653 y FH(+)j FI(\017)86 b FJ(f\374r)14 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f(f)p FH(\()p FI(i)1093 2659 y FC(1)1112 2653 y FI(;)c(j)1148 2659 y FC(2)1166 2653 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(i)1231 2659 y FC(2)1250 2653 y FI(;)g(j)1286 2659 y FC(1)1304 2653 y FH(\))p FG(g)p FI(:)165 2592 y FJ(\(2.94\))165 2752 y(Dann)i(ist)h FI(Q)h FG(2)g(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))f FJ(und)f FI(q)608 2758 y FD(i)620 2762 y Fx(1)636 2758 y FD(;j)660 2762 y Fx(1)689 2752 y FI(<)j(p)754 2758 y FD(i)766 2762 y Fx(1)782 2758 y FD(;j)806 2762 y Fx(1)824 2752 y FJ(,)d FI(q)864 2758 y FD(i)876 2762 y Fx(2)891 2758 y FD(;j)915 2762 y Fx(2)945 2752 y FI(<)i(p)1009 2758 y FD(i)1021 2762 y Fx(2)1037 2758 y FD(;j)1061 2762 y Fx(2)1079 2752 y FJ(.)e(Also)g(sind)h(die)f (Indexpaare)i FH(\()p FI(i)1576 2758 y FC(1)1595 2752 y FI(;)c(j)1631 2758 y FC(1)1649 2752 y FH(\))165 2802 y FJ(und)14 b FH(\()p FI(i)278 2808 y FC(2)297 2802 y FI(;)7 b(j)333 2808 y FC(2)351 2802 y FH(\))14 b FJ(nic)o(h)o(t)g(in)f FI(m)569 2808 y FC(1)588 2802 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)970 b Fv(N)p eop %%Page: 66 68 66 67 bop 225 50 a FJ(66)381 b Fw(KAPITEL)14 b(2.)27 b(DOPPEL)m(T)14 b(STOCHASTISCHE)h(MA)m(TRIZEN)225 195 y Fz(Behauptung)i(2.)j FJ(F\374r)f(ein)g(Indexpaar)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1018 201 y FC(1)1046 195 y FG(\002)f FI(I)1106 201 y FC(2)1143 195 y FJ(gilt)17 b FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))13 b FG(2)e FI(M)1397 201 y FC(1)1416 195 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))18 b FJ(genau)h(dann,)225 245 y(w)o(enn)14 b FI(p)353 251 y FD(i;j)404 245 y FG(2)d(f)p FI(r)483 251 y FD(i)496 245 y FI(;)c(s)534 251 y FD(j)552 245 y FG(g)o FJ(.)225 379 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Es)14 b(ist)f(n)o(ur)g(\022)s FG(\))p FJ(\020)k(zu)c(zeigen.)h(Angenommen,)c(es)k(ist)f FI(p)1250 385 y FD(i;j)1301 379 y FG(62)e(f)p FI(r)1380 385 y FD(i)1393 379 y FI(;)c(s)1431 385 y FD(j)1449 379 y FG(g)o FJ(.)13 b(Dann)g(gibt)f(es)225 429 y(Elemen)o(te)g FI(i)419 435 y FC(2)450 429 y FG(2)f FI(I)507 435 y FC(1)538 429 y FJ(und)i FI(j)637 435 y FC(1)667 429 y FG(2)e FI(I)724 435 y FC(2)743 429 y FJ(,)h(so)h(da\377)f FH(\()p FI(i;)7 b(j)960 435 y FC(1)979 429 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(i)1044 435 y FC(2)1062 429 y FI(;)g(j)r FH(\))12 b FG(2)f FH(supp)q(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(.)12 b(Setze)i(n)o(un)e FI(i)1543 435 y FC(1)1574 429 y FH(:=)f FI(i)i FJ(und)225 479 y FI(j)242 485 y FC(2)272 479 y FH(:=)f FI(j)r FJ(,)h(und)h(de\034niere)i (eine)e(Matrix)f FI(Q)h FJ(wie)g(in)f(Behauptung)i(1.)e(Dann)g(ist)807 577 y FI(q)826 583 y FD(i;j)877 577 y FH(=)e FI(q)939 583 y FD(i)951 587 y Fx(1)967 583 y FD(;j)991 587 y Fx(2)1020 577 y FI(>)h(p)1085 583 y FD(i;j)1124 577 y FI(;)225 675 y FJ(w)o(omit)g FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))16 b FI(=)-25 b FG(2)11 b FI(M)526 681 y FC(1)545 675 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(gezeigt)i(ist.)877 b Fv(N)225 809 y FJ(F\374r)16 b(den)h(Bew)o(eis)g(des)g(Lemmas)d(ist)i(nac)o(h)g (dem)f(Argumen)o(t)h(aus)g(Korollar)f(2.6.7)f(n)o(ur)j(no)q(c)o(h)225 859 y(\022)s FG(\()p FJ(\020)k(zu)d(zeigen,)g(und)g(man)e(k)n(ann)i (annehmen,)f(da\377)g FH(#)7 b(supp\()p FI(P)f FH(\))11 b FG(\025)h FH(2)p FJ(.)17 b(Ist)h(n)o(un)g FI(Q)12 b FG(2)f(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))225 909 y FJ(und)g FH(supp\()p FI(Q)p FH(\))h FG(\022)g FH(supp\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)k(so)h(gilt)f FI(Q)p Fv(\026)852 916 y FC(\()p FD(I)880 920 y Fx(1)896 916 y Fy(\002)p FD(I)937 920 y Fx(2)953 916 y FC(\))p Fy(n)p FC(supp)q(\()p FD(P)t FC(\))1116 909 y FH(=)i FI(P)6 b Fv(\026)1210 916 y FC(\()p FD(I)1238 920 y Fx(1)1253 916 y Fy(\002)p FD(I)1294 920 y Fx(2)1310 916 y FC(\))p Fy(n)p FC(supp)q(\()p FD(P)t FC(\))1462 909 y FJ(,)k(und)h(das)g(hei\377t)225 959 y FI(Q)p Fv(\026)275 966 y FD(m)304 970 y Fx(1)321 966 y FC(\()p FD(P)t FC(\))386 959 y FH(=)h FI(P)6 b Fv(\026)480 966 y FD(m)509 970 y Fx(1)525 966 y FC(\()p FD(P)t FC(\))592 959 y FJ(nac)o(h)13 b(Behauptung)i(1.)d(Dann)h(folgt)f(ab)q(er)i(aus)f(Behauptung)h(2)g (sofort,)225 1009 y(da\377)h(auc)o(h)g FI(Q)p Fv(\026)454 1016 y FD(M)486 1020 y Fx(1)502 1016 y FC(\()p FD(P)t FC(\))567 1009 y FH(=)d FI(P)6 b Fv(\026)661 1016 y FD(M)693 1020 y Fx(1)709 1016 y FC(\()p FD(P)t FC(\))778 1009 y FJ(gelten)15 b(m)o(u\377.)e(Also)i(gilt)g FI(Q)p Fv(\026)1226 1016 y FD(E)1250 1020 y Fx(1)1266 1016 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1331 1009 y FH(=)d FI(P)6 b Fv(\026)1425 1016 y FD(E)1449 1020 y Fx(1)1466 1016 y FC(\()p FD(P)t FC(\))1534 1009 y FJ(und)16 b(damit)225 1058 y FI(P)h FH(=)12 b FI(Q)p FJ(.)1335 b Fv(\004)225 1193 y FJ(O\033ene)20 b(F)m(ragen)e(sind)g(zur)h(Zeit,)f(ob)g(Satz)g(2.6.6)f(ric)o(h)o(tig)g (bleibt,)g(w)o(enn)i FI(E)1441 1199 y FC(1)1459 1193 y FH(\()42 b(\))18 b FJ(durc)o(h)h(die)225 1248 y(Menge)358 1217 y FB(S)392 1227 y FD(k)392 1261 y(n)p FC(=1)464 1248 y FI(E)495 1254 y FD(n)517 1248 y FH(\()42 b(\))p FJ(,)13 b FI(k)g FG(2)e Fu(N)c FG([)i(f1g)k FJ(ersetzt)j(wird)d(o)q (der)i(w)o(enn)f(die)g(Einsc)o(hr\344nkung)853 1346 y FH(#)p FI(I)906 1352 y FC(1)924 1346 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)996 1352 y FC(2)1026 1346 y FG(\024)12 b FI(!)225 1444 y FJ(fallen)f(gelassen)i(wird.)f(Generell)h(sc)o(hein)o(t)g(es)g (ziemlic)o(h)e(aussic)o(h)o(tslos)i(zu)g(sein,)f(zu)h(zeigen,)f(da\377) 225 1494 y(eine)17 b(extremale)g(Matrix)f FI(P)22 b FJ(nac)o(h)17 b(De\034nition)f(2.6.1)g(nic)o(h)o(t)g(exp)q(oniert)i(ist.)e(Es)i(wird) e(w)o(ahr-)225 1544 y(sc)o(heinlic)o(h)11 b(not)o(w)o(endig)g(sein,)g (die)g(De\034nition)f(so)h(abzu\344ndern,)h(da\377)e(n)o(ur)i(no)q(c)o (h)f(stetige)h(lineare)225 1594 y(Abbildungen)j(b)q(ez\374glic)o(h)h (einer)h(no)q(c)o(h)f(zu)g(v)o(erein)o(barenden)h(T)m(op)q(ologie)d (f\374r)i(die)g(Abbildung)225 1644 y FI(\030)g FJ(zugelassen)f(w)o (erden.)f(Der)g(Bew)o(eis,)g(da\377)g(eine)g(Matrix)f(nic)o(h)o(t)h 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FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)1607 2770 y FD(t)1621 2785 y FH(\)\))p FJ(.)269 2835 y(Die)h(Aussage)i(gilt)e(no)q (c)o(h)h(immer,)d(w)o(enn)j(man)e(die)i FG(\024)p FJ(-Zeic)o(hen)h(w)o (egl\344\377t.)894 2960 y(69)p eop %%Page: 70 72 70 71 bop 225 50 a FJ(70)449 b Fw(KAPITEL)15 b(3.)27 b(KARDINALIT)m(\304)m(TSBETRA)o(CHTUNGEN)225 195 y FK(\(c\))20 b FJ(F\374r)14 b FI(m)e FG(2)f Fu(R)501 177 y FC(+)543 195 y FJ(de\034niere)k FI(m)p FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)872 201 y FC(1)891 195 y FI(;)c(I)928 201 y FC(2)946 195 y FI(;)g(mr)o(;)g(ms)p FH(\))p FJ(.)14 b(Dann)f(ist)h(durc)o(h)634 304 y FI(L)662 310 y FD(m)705 304 y FH(:)20 b FG(D)q FH(\()p FG(\024)12 b(I)s FH(\))g FG(\000)-7 b(!)11 b(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)1081 287 y FD(t)1095 304 y FH(\))p FI(;)49 b(L)1200 310 y FD(m)1231 304 y FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b(=)f FI(mP)-1085 b FJ(\(3.3\))329 413 y(eine)14 b(a\036ne)g(Bijektion)f(gegeb)q(en,)h(das)g(hei\377t,)g(wiederum)f (gilt)763 522 y FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)f(I)s FH(\)\))g(=)g(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)g(I)s FH(\)\))p FI(:)329 631 y FJ(Erneut)j(gilt)e(die)g (Aussage)i(auc)o(h)f(ohne)g(die)g FG(\024)p FJ(-Zei)q(c)o(hen.)225 732 y FK(Satz)h(3.1.3.)22 b Fz(Sei)15 b FG(I)f FH(:=)d(\()p FI(I)659 738 y FC(1)678 732 y FI(;)c(I)715 738 y FC(2)733 732 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem.)225 871 y FK(\(a\))20 b Fz(F\374r)c FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)531 877 y FC(1)p FD(;nt)592 871 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)664 877 y FC(2)p FD(;nt)725 871 y FG(g)k(\024)h FH(1)j Fz(ist)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(#)p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))f(=)h(1)o Fz(.)225 989 y FK(\(a)267 995 y Fy(\024)295 989 y FK(\))20 b Fz(F\374r)c FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)559 995 y FC(1)p FD(;nt)620 989 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)692 995 y FC(2)p FD(;nt)753 989 y FG(g)k(\024)h FH(1)j Fz(ist)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(\024)e(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g(=)f(2)1229 974 y FC(max)o Fy(f)p FC(#)p FD(I)1349 978 y Fx(1)p Fs(;nt)1405 974 y FD(;)p FC(#)p FD(I)1457 978 y Fx(2)p Fs(;nt)1513 974 y Fy(g)1532 989 y Fz(.)225 1107 y FK(\(b\))19 b Fz(F\374r)d FH(#)p FI(I)444 1113 y FC(1)p FD(;nt)505 1107 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)577 1113 y FC(2)p FD(;nt)650 1107 y FI(<)12 b FG(1)i Fz(ist)g FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e FI(<)g FG(1)o Fz(.)225 1225 y FK(\(b)270 1231 y Fy(\024)298 1225 y FK(\))20 b Fz(F\374r)c FH(#)p FI(I)472 1231 y FC(1)p FD(;nt)533 1225 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)605 1231 y FC(2)p FD(;nt)678 1225 y FI(<)12 b FG(1)i Fz(ist)g FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(\024)e(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g FI(<)g FG(1)o Fz(.)225 1344 y FK(\(c\))20 b Fz(Ist)15 b FH(2)c FG(\024)h FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)585 1350 y FC(1)p FD(;nt)646 1344 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)718 1350 y FC(2)p FD(;nt)779 1344 y FG(g)p Fz(,)14 b FH(max)o FG(f)p FH(#)p FI(I)979 1350 y FC(1)p FD(;nt)1040 1344 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1112 1350 y FC(2)p FD(;nt)1172 1344 y FG(g)12 b FH(=)g FI(\013)f FG(\025)h FI(!)k Fz(und)818 1452 y FI(!)11 b FG(\001)e FH(#)p FI(I)929 1458 y FC(1)p FD(;nt)1002 1452 y FH(=)i FI(!)g FG(\001)e FH(#)p FI(I)1156 1458 y FC(2)p FD(;nt)1217 1452 y FI(;)329 1561 y Fz(so)15 b(ist)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(2)703 1546 y FD(\013)726 1561 y Fz(.)225 1680 y FK(\(c)265 1686 y Fy(\024)293 1680 y FK(\))20 b Fz(Ist)15 b FH(2)c FG(\024)h FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)613 1686 y FC(1)p FD(;nt)674 1680 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)746 1686 y FC(2)p FD(;nt)807 1680 y FG(g)p Fz(,)14 b FH(max)o FG(f)p FH(#)p FI(I)1007 1686 y FC(1)p FD(;nt)1068 1680 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1140 1686 y FC(2)p FD(;nt)1201 1680 y FG(g)k FH(=)h FI(\013)f FG(\025)h FI(!)k Fz(und)818 1789 y FI(!)11 b FG(\001)e FH(#)p FI(I)929 1795 y FC(1)p FD(;nt)1002 1789 y FH(=)i FI(!)g FG(\001)e FH(#)p FI(I)1156 1795 y FC(2)p FD(;nt)1217 1789 y FI(;)329 1898 y Fz(so)15 b(ist)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(\024)e(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g(=)g(2)747 1882 y FD(\013)770 1898 y Fz(.)225 2081 y(Beweis.)20 b FJ(\(a\))14 b(ist)g(klar.)225 2130 y(\(b\))g(folgt)f(aus)h(Satz)h(2.5.17)d(und)i(der)g(T)m(atsac)o(he,)g (da\377)g(f\374r)g(endlic)o(hes)g FI(M)19 b FJ(auc)o(h)14 b(alle)f(in)h(\(2.69\))225 2180 y(de\034nierten)h FI(D)464 2186 y FD(n)487 2180 y FH(\()p FI(M)5 b FH(\))14 b FJ(endlic)o(h)g (sind.)225 2230 y(\(c\))f(Ohne)g(Besc)o(hr\344nkung)h(der)g (Allgemeinheit)c(k)n(ann)i(man)f(annehmen,)g(da\377)h FI(I)1489 2236 y FC(1)1520 2230 y FH(=)g FI(I)1582 2236 y FC(1)p FD(;nt)1656 2230 y FJ(und)225 2284 y FI(I)243 2290 y FC(2)273 2284 y FH(=)g FI(I)335 2290 y FC(2)p FD(;nt)397 2284 y FJ(.)h(\022)s FG(\024)p FJ(\020)18 b(folgt)13 b(dann)h(w)o(egen)g(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e FG(\022)g Fu(R)1063 2266 y FD(I)1078 2270 y Fx(1)1094 2266 y Fy(\002)p FD(I)1135 2270 y Fx(2)1167 2284 y FJ(und)764 2398 y FH(#)p Fu(R)829 2379 y FD(I)844 2383 y Fx(1)860 2379 y Fy(\002)p FD(I)901 2383 y Fx(2)930 2398 y FH(=)g(\(2)1011 2380 y FD(!)1035 2398 y FH(\))1051 2380 y FD(\013)1086 2398 y FH(=)g(2)1151 2380 y FD(\013)1174 2398 y FI(:)225 2507 y FJ(\022)s FG(\025)p FJ(\020)s(:)i(Zun\344c)o (hst)h(sei)787 2582 y FB(X)785 2671 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)834 2675 y Fx(1)857 2621 y FI(r)876 2627 y FD(i)901 2621 y FH(=)949 2582 y FB(X)944 2671 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)997 2675 y Fx(2)1020 2621 y FI(s)1039 2627 y FD(j)1069 2621 y FI(<)c FG(1)p FI(:)225 2773 y FJ(Dann)f(folgt)f FH(#)p FI(I)479 2779 y FC(1)498 2773 y FI(;)e FH(#)p FI(I)570 2779 y FC(2)599 2773 y FG(\024)12 b FI(!)q FJ(.)e(Ohne)h(Besc)o (hr\344nkung)h(der)f(Allgemeinheit)e(sei)i FH(#)p FI(I)1502 2779 y FC(2)1532 2773 y FH(=)g FI(!)r FJ(.)f(W\344h-)225 2823 y(le)k FI(i)283 2829 y FC(0)313 2823 y FG(2)d FI(I)370 2829 y FC(1)403 2823 y FJ(b)q(eliebig)i(und)h FI(j)656 2829 y FC(0)687 2823 y FG(2)d FI(I)744 2829 y FC(2)763 2823 y FJ(,)i(so)h(da\377)g FI(s)937 2829 y FD(j)951 2833 y Fx(0)981 2823 y FH(=)d(max)o FG(f)p FI(s)1142 2829 y FD(j)1171 2823 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1289 2829 y FC(2)1308 2823 y FG(g)p FJ(.)p eop %%Page: 71 73 71 72 bop 165 50 a Fw(3.1.)26 b(ALLGEMEINES)1060 b FJ(71)165 195 y Fz(Behauptung)17 b(1.)j FJ(Es)15 b(gibt)e(eine)h(endlic)o(he)h (Menge)f FI(T)993 201 y FD(e)1023 195 y FG(\022)e FI(I)1085 201 y FC(2)1113 195 y FG(n)d(f)p FI(j)1181 201 y FC(0)1199 195 y FG(g)14 b FJ(mit)695 303 y FI(r)714 309 y FD(i)726 313 y Fx(0)753 303 y FG(\000)c FI(s)814 309 y FD(j)828 313 y Fx(0)858 303 y FI(<)908 264 y FB(X)902 353 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)960 357 y Fs(e)982 303 y FI(s)1001 309 y FD(j)1031 303 y FI(<)h(r)1093 309 y FD(i)1105 313 y Fx(0)1123 303 y FI(:)-970 b FJ(\(3.4\))165 487 y Fz(Beweis.)20 b FJ(F\374r)14 b FI(s)422 493 y FD(j)436 497 y Fx(0)466 487 y FG(\025)e FI(r)529 493 y FD(i)541 497 y Fx(0)573 487 y FJ(ist)i(das)g(klar.)e(Sei)i(n)o(un)g FI(s)968 493 y FD(j)982 497 y Fx(0)1012 487 y FI(<)e(r)1075 493 y FD(i)1087 497 y Fx(0)1105 487 y FJ(.)h(W)m(egen)715 596 y FI(r)734 602 y FD(i)746 606 y Fx(0)773 596 y FG(\000)d FI(s)834 602 y FD(j)848 606 y Fx(0)878 596 y FI(<)966 557 y FB(X)921 648 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)974 652 y Fx(2)990 648 y Fy(nf)p FD(j)1038 652 y Fx(0)1054 648 y Fy(g)1078 596 y FI(s)1097 602 y FD(j)165 745 y FJ(gibt)j(es)i(eine)f(endlic)o(he) h(Menge)f FI(T)701 751 y FD(e)731 745 y FG(\022)e FI(I)793 751 y FC(2)821 745 y FG(n)d(f)p FI(j)889 751 y FC(0)907 745 y FG(g)14 b FJ(mit)670 853 y FI(r)689 859 y FD(i)701 863 y Fx(0)728 853 y FG(\000)c FI(s)789 859 y FD(j)803 863 y Fx(0)833 853 y FI(<)883 813 y FB(X)876 902 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)934 906 y Fs(e)957 853 y FI(s)976 859 y FD(j)1091 853 y FJ(und)-995 b(\(3.5\))692 1060 y FG(9)665 1086 y FD(\027)r Fy(2)p FD(T)726 1090 y Fs(e)802 1020 y FB(X)760 1111 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)818 1115 y Fs(e)834 1111 y Fy(nf)p FD(\027)r Fy(g)910 1060 y FI(s)929 1066 y FD(j)959 1060 y FG(\024)11 b FI(r)1021 1066 y FD(i)1033 1070 y Fx(0)1060 1060 y FG(\000)f FI(s)1121 1066 y FD(j)1135 1070 y Fx(0)1153 1060 y FI(:)-1000 b FJ(\(3.6\))165 1208 y(Indem)18 b(man)f(f\374r)i(den)h(F)m(all,)d(da\377)731 1177 y FB(P)775 1220 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)833 1224 y Fs(e)849 1220 y Fy(nf)p FD(\027)r Fy(g)927 1208 y FI(s)946 1214 y FD(j)976 1208 y FH(=)12 b FI(r)1039 1214 y FD(i)1051 1218 y Fx(0)1078 1208 y FG(\000)d FI(s)1138 1214 y FD(j)1152 1218 y Fx(0)1189 1208 y FJ(gilt,)18 b(in)g FI(T)1357 1214 y FD(e)1394 1208 y FJ(das)i(Elemen)o(t)e FI(\027)165 1263 y FJ(durc)o(h)d(ein)f(Elemen)o(t)f FI(\027)536 1248 y Fy(0)560 1263 y FJ(mit)g FI(s)656 1269 y FD(\027)675 1261 y Ft(0)699 1263 y FI(<)f(s)762 1269 y FD(\027)797 1263 y FJ(ersetzt)k(\(das)f(geh)o(t,)e(da)h(es)h FI(s)1250 1269 y FD(\027)1269 1261 y Ft(0)1296 1263 y FJ(mit)d(b)q(eliebig)i (kleinem)165 1313 y(p)q(ositiv)o(en)d(Betrag)i(geb)q(en)f(m)o(u\377\),) e(k)n(ann)h(man)f FI(T)918 1319 y FD(e)948 1313 y FJ(imm)o(er)g(so)h(w) o(\344hlen,)g(da\377)g(in)h(\(3.6\))f(sogar)g(\022)s FI(<)p FJ(\020)165 1362 y(gilt.)h(Daraus)i(folgt)f(w)o(egen)h FI(s)631 1368 y FD(j)645 1372 y Fx(0)675 1362 y FH(=)e(max)n FG(f)p FI(s)836 1368 y FD(j)865 1362 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)e FI(I)984 1368 y FC(2)1002 1362 y FG(g)p FJ(,)i(da\377)f FI(T)1151 1368 y FD(e)1183 1362 y FJ(\(3.4\))g(erf\374llt.)231 b Fv(N)165 1518 y FJ(Setze)15 b FI(\016)f FH(:=)365 1492 y FD(r)380 1496 y Fs(i)391 1502 y Fx(0)410 1492 y Fy(\000)436 1470 y Ff(P)471 1501 y Fs(j)q Ft(2)p Fs(T)521 1505 y(e)545 1492 y FD(s)561 1496 y Fs(j)p 365 1509 211 2 v 462 1533 a FC(2)595 1518 y FJ(und)g(w)o(\344hle)f FI(T)818 1524 y FD(!)854 1518 y FG(\022)f FH(\()p FI(I)932 1524 y FC(2)960 1518 y FG(n)d(f)p FI(j)1028 1524 y FC(0)1047 1518 y FG(g)p FH(\))g FG(n)g FI(T)1147 1524 y FD(e)1179 1518 y FJ(mit)j FH(#)p FI(T)1314 1524 y FD(!)1349 1518 y FH(=)g FI(!)j FJ(und)821 1591 y FB(X)811 1680 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)869 1684 y Fs(!)897 1630 y FI(s)916 1636 y FD(j)945 1630 y FG(\024)d FI(\016)o(:)165 1772 y FJ(Ist)i(dann)691 1872 y FG(T)21 b FH(:=)12 b FG(f)p FI(T)836 1878 y FD(e)868 1867 y FH(_)860 1872 y FG([)7 b FI(T)18 b FH(:)g FI(T)f FG(\022)12 b FI(T)1076 1878 y FD(!)1100 1872 y FG(g)p FI(;)-968 b FJ(\(3.7\))165 1972 y(so)14 b(ist)g FH(#)p FG(T)21 b FH(=)12 b(2)418 1957 y FD(!)442 1972 y FJ(.)h(F\374r)h FI(T)k FG(2)11 b(T)24 b FJ(de\034niere)724 2071 y FG(I)750 2054 y FD(T)787 2071 y FH(:=)11 b(\()p FI(I)879 2054 y FD(T)876 2082 y FC(1)906 2071 y FI(;)c(I)943 2077 y FC(2)962 2071 y FI(;)g(r)1001 2054 y FD(T)1026 2071 y FI(;)g(s)1064 2054 y FD(T)1090 2071 y FH(\))165 2171 y FJ(mit)12 b FI(I)262 2156 y FD(T)259 2181 y FC(1)300 2171 y FH(:=)g FI(I)374 2177 y FC(1)402 2171 y FG(n)d(f)p FI(i)467 2177 y FC(0)485 2171 y FG(g)p FJ(,)k FI(r)551 2156 y FD(T)589 2171 y FH(:=)e FI(r)q Fv(\026)681 2181 y FD(I)698 2171 y Fs(T)696 2190 y Fx(1)737 2171 y FJ(so)o(wie)j FI(s)866 2156 y FD(T)904 2171 y FH(=)e(\()p FI(s)983 2156 y FD(T)983 2182 y(j)1010 2171 y FH(\))1026 2177 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1079 2181 y Fx(2)1111 2171 y FJ(mit)422 2344 y FI(s)441 2327 y FD(T)441 2354 y(j)479 2344 y FH(:=)535 2247 y FB(8)535 2284 y(>)535 2296 y(<)535 2371 y(>)535 2384 y(:)572 2286 y FH(0)394 b FJ(f\374r)13 b FI(j)h FG(2)e FI(T)s(;)572 2346 y(s)591 2352 y FD(j)987 2346 y FJ(f\374r)h FI(j)h FG(2)e FI(I)1141 2352 y FC(2)1169 2346 y FG(n)d FH(\()p FI(T)15 b FG([)9 b(f)p FI(j)1329 2352 y FC(0)1347 2346 y FG(g)p FH(\))p FI(;)572 2405 y(s)591 2411 y FD(j)605 2415 y Fx(0)632 2405 y FG(\000)h FI(r)693 2411 y FD(i)705 2415 y Fx(0)732 2405 y FH(+)773 2374 y FB(P)817 2418 y FD(\027)r Fy(2)p FD(T)891 2405 y FI(s)910 2411 y FD(\027)987 2405 y FJ(f\374r)j FI(j)h FH(=)e FI(j)1144 2411 y FC(0)1163 2405 y FI(:)165 2344 y FJ(\(3.8\))165 2512 y FG(I)191 2497 y FD(T)237 2512 y FJ(ist)19 b(w)o(egen)i(\(3.4\))e(ein)g(Randsystem.)g(Nun)h(w)o (\344hle)f(eine)h(Matrix)g FI(Q)11 b FG(2)g FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)1518 2497 y FD(T)1544 2512 y FH(\)\))20 b FJ(und)165 2562 y(de\034niere)15 b FI(P)364 2547 y FD(T)401 2562 y FH(=)d(\()p FI(p)482 2547 y FD(T)482 2573 y(i;j)521 2562 y FH(\))537 2569 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)638 2573 y Fx(1)654 2569 y Fy(\002)p FD(I)695 2573 y Fx(2)726 2562 y FJ(durc)o(h)j FI(P)876 2547 y FD(T)901 2562 y Fv(\026)918 2572 y FD(I)935 2562 y Fs(T)933 2581 y Fx(1)959 2572 y Fy(\002)p FD(I)1000 2576 y Fx(2)1029 2562 y FH(:=)c FI(Q)j FJ(und)569 2735 y FI(p)590 2718 y FD(T)590 2745 y(i)602 2749 y Fx(0)618 2745 y FD(;j)656 2735 y FH(:=)712 2638 y FB(8)712 2675 y(>)712 2687 y(<)712 2762 y(>)712 2775 y(:)749 2677 y FI(s)768 2683 y FD(j)1061 2677 y FJ(f\374r)g FI(j)g FG(2)d FI(T)s(;)749 2737 y(r)768 2743 y FD(i)780 2747 y Fx(0)807 2737 y FG(\000)848 2706 y FB(P)892 2749 y FD(\027)r Fy(2)p FD(T)966 2737 y FI(s)985 2743 y FD(\027)1061 2737 y FJ(f\374r)j FI(j)g FH(=)e FI(j)1219 2743 y FC(0)1238 2737 y FI(;)749 2797 y FH(0)291 b FJ(sonst.)165 2735 y(\(3.9\))p eop %%Page: 72 74 72 73 bop 225 50 a FJ(72)449 b Fw(KAPITEL)15 b(3.)27 b(KARDINALIT)m(\304)m(TSBETRA)o(CHTUNGEN)225 195 y Fz(Behauptung)17 b(2.)j FI(P)540 180 y FD(T)577 195 y FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)225 296 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Angenommen,)11 b(es)k(gilt)e FI(P)812 281 y FD(T)849 296 y FH(=)898 280 y FC(1)p 898 287 17 2 v 898 311 a(2)919 296 y FI(P)952 281 y FC(\(1\))1005 296 y FH(+)1052 280 y FC(1)p 1052 287 V 1052 311 a(2)1073 296 y FI(P)1106 281 y FC(\(2\))1150 296 y FJ(,)h FI(P)1209 281 y FC(\(1\))1253 296 y FI(;)7 b(P)1305 281 y FC(\(2\))1360 296 y FG(2)k(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(.)i(Mit)842 381 y FI(Q)e FH(:=)g FI(P)6 b Fv(\026)991 391 y FD(I)1008 381 y Fs(T)1006 400 y Fx(1)1031 391 y Fy(\002)p FD(I)1072 395 y Fx(2)1090 381 y FI(;)225 476 y(Q)258 461 y FC(\()p FD(k)q FC(\))316 476 y FH(:=)11 b FI(P)404 461 y FC(\()p FD(k)q FC(\))450 476 y Fv(\026)467 485 y FD(I)484 475 y Fs(T)482 495 y Fx(1)507 485 y Fy(\002)p FD(I)548 489 y Fx(2)578 476 y FJ(f\374r)i FI(k)f FH(=)g(1)p FI(;)7 b FH(2)12 b FJ(gilt)f FI(Q)g FH(=)959 459 y FC(1)p 959 466 V 959 490 a(2)981 476 y FI(Q)1014 461 y FC(\(1\))1067 476 y FH(+)1114 459 y FC(1)p 1114 466 V 1114 490 a(2)1135 476 y FI(Q)1168 461 y FC(\(2\))1213 476 y FJ(.)h(Nac)o(h)g (De\034nition)g(v)o(on)g FI(P)1643 461 y FD(T)1681 476 y FJ(ist)225 536 y FI(Q)f FG(2)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)428 520 y FD(T)454 536 y FH(\)\))p FJ(.)e(Also)h(folgt)e FI(Q)724 520 y FC(\(1\))780 536 y FH(=)j FI(Q)857 520 y FC(\(2\))913 536 y FH(=)f FI(Q)p FJ(.)f(W)m(egen)g FI(P)q(;)d(P)1221 520 y FC(\(1\))1265 536 y FI(;)g(P)1317 520 y FC(\(2\))1372 536 y FG(2)k(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))f FJ(folgt)g(daraus)225 585 y FI(P)17 b FH(=)12 b FI(P)346 570 y FC(\(1\))401 585 y FH(=)g FI(P)478 570 y FC(\(2\))522 585 y FJ(.)h(Also)h(ist)g FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p FJ(.)749 b Fv(N)225 686 y FJ(W)m(egen)14 b(\(3.9\))f(ist)h(die)g(durc)o(h)g FI(T)k FG(7!)11 b FI(P)827 671 y FD(T)866 686 y FJ(gegeb)q(ene)16 b(Abbildung)d(injektiv.)f(Damit)g(folgt)826 771 y FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g FG(\025)g FH(2)1089 754 y FD(!)1112 771 y FI(:)225 856 y FJ(Nun)18 b(soll)f(der)i(F)m(all)559 825 y FB(P)603 868 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)652 872 y Fx(1)677 856 y FI(r)696 862 y FD(i)721 856 y FH(=)765 825 y FB(P)809 868 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)862 872 y Fx(2)886 856 y FI(s)905 862 y FD(j)935 856 y FH(=)12 b FG(1)17 b FJ(b)q(etrac)o(h)o(tet)j(w)o(erden.)e(In)g(diesem)g(F)m (all)e(ist)225 906 y FH(#)p FI(I)278 912 y FC(1)296 906 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)368 912 y FC(2)398 906 y FG(\025)12 b FI(!)q FJ(,)j(und)g(das)h(b)q(edeutet)h(w)o(egen)f FI(!)10 b FG(\001)f FH(#)p FI(I)1064 912 y FC(1)1094 906 y FH(=)j FI(!)e FG(\001)f FH(#)p FI(I)1248 912 y FC(2)1267 906 y FJ(,)14 b(da\377)h FH(#)p FI(I)1426 912 y FC(1)1456 906 y FH(=)d(#)p FI(I)1553 912 y FC(2)1583 906 y FH(=)g FI(\013)p FJ(.)i(Es)225 955 y(gibt)i(n)o(un)g(Randsysteme) g FH(\()p FG(I)695 961 y FD(k)727 955 y FH(=)c(\()p FI(I)805 961 y FC(1)p FD(;k)852 955 y FI(;)7 b(I)889 961 y FC(2)p FD(;k)935 955 y FI(;)g(r)974 940 y FD(k)994 955 y FI(;)g(s)1032 940 y FD(k)1053 955 y FH(\)\))1085 961 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)1149 955 y FJ(,)16 b(so)g(da\377)g(f\374r)h(alle)e FI(k)e FG(2)e FI(\013)p FJ(,)k FG(I)1612 961 y FD(k)1644 955 y FG(\024)d(I)r FJ(,)225 1012 y FI(I)243 1018 y FC(1)273 1012 y FH(=)329 999 y(_)317 981 y FB(S)352 1025 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)416 1012 y FI(I)434 1018 y FC(1)p FD(;k)481 1012 y FJ(,)i FI(I)525 1018 y FC(2)555 1012 y FH(=)610 999 y(_)599 981 y FB(S)633 1025 y FD(k)q Fy(2)p FD(\013)698 1012 y FI(I)716 1018 y FC(2)p FD(;k)763 1012 y FJ(,)f FH(#)p FI(I)841 1018 y FC(1)p FD(;k)899 1012 y FH(=)f(#)p FI(I)996 1018 y FC(2)p FD(;k)1054 1012 y FH(=)g FI(!)j FJ(so)o(wie)774 1070 y FB(X)759 1159 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)808 1163 y Fx(1)p Fs(;k)857 1110 y FI(r)876 1116 y FD(i)901 1110 y FH(=)962 1070 y FB(X)944 1159 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)997 1163 y Fx(2)p Fs(;k)1046 1110 y FI(s)1065 1116 y FD(j)1094 1110 y FH(=)d FG(1)p FI(:)225 1239 y FJ(F\374r)21 b FI(\013)11 b(>)h(!)22 b FJ(ist)f(das)g(gerade)g(die)g (Aussage)h(v)o(on)e(Behauptung)h(1)g(v)o(on)f(Satz)h(2.1.18.)e(F\374r) 225 1289 y FI(\013)11 b FH(=)h FI(!)k FJ(k)n(ann)f(man)e(wie)i(folgt)f (v)o(orgehen:)h(Man)g(k)o(onstruiert)h(eine)g(F)m(amili)o(e)d FH(\()p FI(T)1489 1295 y FD(k)q(;n)1540 1289 y FH(\))1556 1296 y FC(\()p FD(k)q(;n)p FC(\))p Fy(2)p FD(!)q Fy(\002)p FD(!)225 1339 y FJ(v)o(on)i(paarw)o(eise)g(disjunkten)g(T)m(eilmengen)f (v)o(on)g FI(I)1017 1345 y FC(1)1036 1339 y FJ(,)h(so)g(da\377)86 b FG(8)1194 1368 y FC(\()p FD(k)q(;n)p FC(\))p Fy(2)p FD(!)q Fy(\002)p FD(!)1380 1308 y FB(P)1424 1351 y FD(i)p Fy(2)p FD(T)1478 1355 y Fs(k;n)1532 1339 y FI(r)1551 1345 y FD(i)1576 1339 y FG(\025)12 b FH(1)j FJ(\(die)225 1412 y(formale)d(Konstruktion)j(der)g FI(T)726 1418 y FD(k)q(;n)791 1412 y FJ(erfolgt)f(rekursiv)g(un)o(ter)h(V)m(erw)o (endung)g(einer)g(Abz\344hlung)225 1462 y(v)o(on)h FI(!)10 b FG(\002)g FI(!)17 b FJ(und)f(der)h(V)m(oraussetzung)863 1431 y FB(P)907 1474 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)956 1478 y Fx(1)981 1462 y FI(r)1000 1468 y FD(i)1025 1462 y FH(=)12 b FG(1)p FJ(\).)j(Nun)i(setze)h(no)q(c)o(h)e FI(I)1471 1468 y FC(1)p FD(;k)1530 1462 y FH(:=)1600 1431 y FB(S)1585 1497 y FD(n)p Fy(2)p FD(!)1650 1462 y FI(T)1674 1468 y FD(k)q(;n)225 1536 y FJ(f\374r)e FI(k)e FG(2)f FI(!)r FJ(.)i(Analog)g(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)h(aus)i FI(I)925 1542 y FC(2)958 1536 y FJ(die)g(Mengen)h FI(I)1199 1542 y FC(2)p FD(;k)1246 1536 y FJ(,)e FI(k)f FG(2)g FI(!)q FJ(.)225 1586 y(Als)i(n\344c)o(hstes)h(b)q(emerk)o(e)f(man,)e(da\377)h (es)i(f\374r)f(jedes)h(der)f(Randsysteme)g FG(I)1378 1592 y FD(k)1413 1586 y FJ(Matrizen)775 1671 y FI(P)808 1654 y FC(\()p FD(k)q FC(\))854 1671 y FI(;)7 b(Q)906 1654 y FC(\()p FD(k)q FC(\))963 1671 y FG(2)12 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)1122 1677 y FD(k)1142 1671 y FH(\)\))225 1755 y FJ(mit)e FI(P)332 1740 y FC(\()p FD(k)q FC(\))389 1755 y FG(6)p FH(=)i FI(Q)466 1740 y FC(\()p FD(k)q FC(\))523 1755 y FJ(gibt.)f(Das)g(folgt)f(aus)i (Beispiel)g(2.1.17:)d(Dort)i(wurde)h(in)f(Abh\344ngigk)o(eit)f(v)o(on) 225 1805 y(gegeb)q(enen)18 b(Abz\344hlungen)e(v)o(on)g FI(I)778 1811 y FC(1)813 1805 y FJ(und)g FI(I)916 1811 y FC(2)951 1805 y FJ(ein)g(Elemen)o(t)g FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))16 b FJ(k)o(onstruiert.)g(Die)225 1855 y(Konstruktion)g(erfolgte)g(so,)f (da\377)h(f\374r)f FH(0)d FG(6)p FH(=)g FI(r)941 1861 y FC(1)959 1855 y FI(;)7 b(s)997 1861 y FC(1)1031 1855 y FJ(auc)o(h)16 b FH(0)11 b FG(6)p FH(=)h FI(p)1228 1861 y FC(1)p FD(;)p FC(1)1273 1855 y FJ(.)j(Man)h(m)o(u\377)e(also)h (lediglic)o(h)225 1905 y(die)f(gleic)o(he)g(Konstruktion)g(an)g(einer)h (Stelle)f FH(\()p FI(i)985 1911 y FC(0)1004 1905 y FI(;)7 b(j)1040 1911 y FC(0)1058 1905 y FH(\))14 b FJ(b)q(eginnen,)g(an)g(der) h FI(p)1427 1911 y FD(i)1439 1915 y Fx(0)1454 1911 y FD(;j)1478 1915 y Fx(0)1508 1905 y FH(=)d(0)h FJ(ist,)h(und)225 1955 y(man)e(b)q(ek)o(omm)o(t)f(eine)k(Matrix)e FI(Q)e FG(6)p FH(=)h FI(P)6 b FJ(.)225 2004 y(Ist)14 b(n)o(un)g(eine)g(F)m (unktion)f FI(f)k FH(:)11 b FI(\013)g FG(\000)-7 b(!)11 b FH(2)j FJ(gegeb)q(en,)h(so)e(de\034niere)j FI(P)1261 1989 y FD(f)1293 2004 y FH(=)c(\()p FI(p)1374 1984 y FD(f)1374 2016 y(i;j)1413 2004 y FH(\))1429 2011 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1530 2015 y Fx(1)1545 2011 y Fy(\002)p FD(I)1586 2015 y Fx(2)1618 2004 y FJ(durc)o(h)503 2162 y FI(p)524 2142 y FD(f)524 2174 y(i;j)574 2162 y FH(:=)630 2065 y FB(8)630 2102 y(>)630 2114 y(<)630 2189 y(>)630 2202 y(:)666 2104 y FI(p)687 2082 y FC(\()p FD(k)q FC(\))687 2116 y FD(i;j)789 2104 y FJ(f\374r)i FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1008 2110 y FC(1)p FD(;k)1064 2104 y FG(\002)f FI(I)1124 2110 y FC(2)p FD(;k)1185 2104 y FJ(und)k FI(f)t FH(\()p FI(k)q FH(\))e(=)g(0)p FI(;)666 2165 y(q)686 2144 y FC(\()p FD(k)q FC(\))685 2177 y FD(i;j)789 2165 y FJ(f\374r)i FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f FI(I)1008 2171 y FC(1)p FD(;k)1064 2165 y FG(\002)f FI(I)1124 2171 y FC(2)p FD(;k)1185 2165 y FJ(und)k FI(f)t FH(\()p FI(k)q FH(\))e(=)g(1)p FI(;)666 2225 y FH(0)88 b FJ(sonst.)225 2162 y(\(3.10\))225 2317 y(Wie)9 b(in)g(Behauptung)i(2)e(v)o(on)g(Satz)h(2.1.18)e(folgt,)g (da\377)h FI(P)1100 2302 y FD(f)1133 2317 y FG(2)i FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))q FJ(.)e(Da)g(die)g(durc)o(h)i FI(f)16 b FG(7!)11 b FI(P)1704 2302 y FD(f)225 2367 y FJ(de\034nierte)k(Abbildung)e(nac)o(h)h(\(3.10\))f(injektiv)g(ist,)h (folgt)e FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g FG(\025)g FH(2)1408 2352 y FD(\013)1431 2367 y FJ(.)225 2417 y(F\374r)i(den)g(Bew)o(eis)h(v)o(on)e(\(a)635 2423 y Fy(\024)663 2417 y FJ(\),)g(\(b)743 2423 y Fy(\024)771 2417 y FJ(\))h(und)f(\(c)918 2423 y Fy(\024)946 2417 y FJ(\))h(seien)g(die)g(Bezeic)o(hn)o(ungen)h(wie)f(in)f(De\034nition) 225 2467 y(2.5.19.)225 2516 y(\(a)262 2522 y Fy(\024)290 2516 y FJ(\):)e(Sei)h(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))g(=)g FG(f)p FI(P)6 b FG(g)o FJ(.)11 b(In)g(diesem)g(F)m(all)f (hat)i FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b FJ(h\366)q(c)o(hstens)i(eine) f(Zusammenhangs-)225 2566 y(k)o(omp)q(onen)o(te)k FI(Z)s FJ(,)g(deren)i(Kan)o(tenmenge)e(nic)o(h)o(t)h(leer)g(ist.)f(Ohne)i (Besc)o(hr\344nkung)f(der)h(Allge-)225 2616 y(meinheit)13 b(k)n(ann)g(man)f(annehmen,)h(da\377)464 2701 y FI(V)c FH(\()p FI(Z)s FH(\))j(=)g FG(f)p FI(x)661 2707 y FD(i)673 2711 y Fx(1)691 2701 y FG(g)d([)g(f)p FI(y)799 2707 y FD(j)828 2701 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)946 2707 y FC(2)965 2701 y FG(g)p FI(;)89 b(E)r FH(\()p FI(Z)s FH(\))12 b(=)g FG(ff)p FI(x)1305 2707 y FD(i)1317 2711 y Fx(1)1334 2701 y FI(;)7 b(y)1373 2707 y FD(j)1391 2701 y FG(g)k FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1541 2707 y FC(2)1560 2701 y FG(g)p FI(:)225 2785 y FJ(Jede)16 b(T)m(eilmenge)d(v)o(on)i FI(E)r FH(\()p FI(Z)s FH(\))g FJ(liefert)g(ein)g(Elemen)o(t)f(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))15 b FJ(und)g(umgek)o(ehrt.)f(Also)g (folgt)225 2835 y FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\)\))g(=)f(#)p FG(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))11 b(=)h(2)712 2820 y FC(max)o Fy(f)p FC(#)p FD(I)832 2824 y Fx(1)p Fs(;nt)887 2820 y FD(;)p FC(#)p FD(I)939 2824 y Fx(2)p Fs(;nt)995 2820 y Fy(g)1014 2835 y FJ(.)p eop %%Page: 73 75 73 74 bop 165 50 a Fw(3.2.)26 b(DER)14 b(F)-5 b(ALL)14 b FH(2)9 b FG(\002)g FI(!)1046 b FJ(73)165 195 y(\(b)204 201 y Fy(\024)232 195 y FJ(\):)14 b(Da)f(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h FJ(endlic)o(h)g(ist)g(und)g(f\374r)g FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))j FJ(die)g(Mengen)h FG(Z)s FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)13 b FG(F)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))p FJ(,)14 b FG(E)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))165 245 y FJ(alle)13 b(endlic)o(h)h(sind,)f(m)o (u\377)f(auc)o(h)i FG(E)t FH(\()p FG(\024)e(I)s FH(\))f(=)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))o(\))h FJ(endlic)o(h)g(sein.)165 295 y(\(c)200 301 y Fy(\024)228 295 y FJ(\):)22 b(\022)s FG(\024)p FJ(\020)k(folgt)c(analog)f(zu)i(dem) f(en)o(tsprec)o(henden)j(Bew)o(eis)f(in)e(\(c\).)h(\022)s FG(\025)p FJ(\020)j(folgt)21 b(w)o(egen)165 345 y(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))11 b FG(\022)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(\024)h(I)s FH(\))o(\))h FJ(sofort)g(aus)g(\(c\).)799 b Fv(\004)165 505 y FJ(Die)17 b(F)m(rage,)f(wie)h(\(a)486 511 y Fy(\024)514 505 y FJ(\),)g(\(b)598 511 y Fy(\024)626 505 y FJ(\))g(und)g(\(c)780 511 y Fy(\024)808 505 y FJ(\))g(mo)q(di\034ziert)f(w)o(erden)i(m)o(\374ssen,)f(w)o(enn)g FG(I)j FJ(zw)o(ar)d(ein)165 555 y FG(\024)p FJ(-Randsystem)f(jedo)q(c)o (h)h(k)o(ein)f(Randsystem)f(ist,)h(soll)g(hier)h(jetzt)g(nic)o(h)o(t)f (w)o(eiter)h(un)o(tersuc)o(h)o(t)165 605 y(w)o(erden.)11 b(Meine)g(V)m(erm)o(utung)f(ist,)g(da\377)g(die)h(Aussage)g(\(b)1050 611 y Fy(\024)1078 605 y FJ(\))f(ric)o(h)o(tig)h(bleibt.)e(Ein)i(Bew)o (eis)h(k)o(\366nn-)165 654 y(te)i(sic)o(h)g(zum)f(Beispiel)h(ergeb)q (en,)h(w)o(enn)f(es)g(gelingt,)e(die)i(De\034nition)f(v)o(on)g FG(E)t FH(\()p FG(\024)f(I)s FH(\))h FJ(aus)h(2.5.20)165 704 y(auf)h(b)q(eliebige)h FG(\024)p FJ(-Randsysteme)g FG(I)j FJ(auszudehnen,)e(so)f(da\377)f(Lemma)e(2.5.22)h(ric)o(h)o(tig)i (bleibt.)165 754 y(F\374r)f(den)g(F)m(all,)e(da\377)h(in)h(\(c)582 760 y Fy(\024)610 754 y FJ(\))g FG(I)j FJ(ein)c(Randsystem)g(mit)f FI(\014)h FH(:=)e(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)1298 760 y FC(1)p FD(;nt)1359 754 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1431 760 y FC(2)p FD(;nt)1492 754 y FG(g)k FI(<)h(\013)i FJ(ist,)165 804 y(m)o(u\377)e(man)g(v)o(erm)o(utlic)o(h)h(die)g(Zahl)h FH(2)736 789 y FD(\013)773 804 y FJ(durc)o(h)h FI(\013)9 b FG(\001)f FH(2)967 789 y FD(\014)1003 804 y FJ(ersetzen.)165 1001 y FA(3.2)66 b(Der)22 b(F)-5 b(all)20 b Fd(2)13 b Fc(\002)h Fk(!)165 1131 y FJ(Im)g(folgenden)h(w)o(erden)i(Randsysteme)e FG(I)f FH(=)e(\()p FI(I)931 1137 y FC(1)950 1131 y FI(;)7 b(I)987 1137 y FC(2)1006 1131 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b FJ(un)o(tersuc)o(h)o(t,)j(b)q(ei)f(denen)g(eine)g(der)165 1181 y(b)q(eiden)e(Indexmengen)f(n)o(ur)h(zw)o(ei)f(Elemen)o(te)g(hat.) g(Es)h(wird)f(ein)h(V)m(erfahren)g(zur)g(Gewinn)o(ung)165 1231 y(der)d(Extremalpunkte)e(angegeb)q(en.)h(Dazu)g(wird)g(in)f (De\034nition)g(3.2.1)f(eine)j(Menge)f FG(E)1500 1237 y FC(2)1519 1231 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(k)o(on-)165 1281 y(struiert)k(und)e(dann)h(in)f(Satz)h(3.2.3)e(gezeigt,)h(da\377)g FG(E)979 1287 y FC(2)998 1281 y FH(\()p FG(I)s FH(\))f(=)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p FJ(.)g(Ansc)o (hlie\377end)h(w)o(erden)165 1330 y(daraus)h(Informationen)e(\374b)q (er)j FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))f FJ(gew)o(onnen.)165 1426 y FK(De\034nitio)o(n)f(3.2.1.)21 b FJ(Sei)14 b FG(I)g FH(:=)d(\()p FI(I)713 1432 y FC(1)732 1426 y FI(;)c(I)769 1432 y FC(2)788 1426 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(ein)g(Randsystem)h(mit)692 1530 y FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)835 1536 y FC(1)p FD(;nt)897 1530 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)969 1536 y FC(2)p FD(;nt)1029 1530 y FG(g)12 b FH(=)f(2)p FI(:)165 1634 y FJ(Dann)i(de\034niere)j (eine)e(Menge)g FG(E)683 1640 y FC(2)702 1634 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)f(wie)h(folgt:)165 1684 y(Zun\344c)o(hst)21 b(nehme)e(man)e(an,)i(da\377)g FI(I)761 1690 y FC(1)792 1684 y FH(=)11 b FG(f)p FI(i)870 1690 y FC(1)889 1684 y FI(;)c(i)922 1690 y FC(2)941 1684 y FG(g)o FJ(,)19 b FI(i)1006 1690 y FC(1)1037 1684 y FG(6)p FH(=)12 b FI(i)1095 1690 y FC(2)1113 1684 y FJ(,)19 b FI(r)1163 1690 y FD(i)1175 1694 y Fx(2)1205 1684 y FG(\025)12 b FI(r)1268 1690 y FD(i)1280 1694 y Fx(1)1309 1684 y FI(>)g FH(0)19 b FJ(und)g FI(I)1499 1690 y FC(2)1530 1684 y FH(=)12 b FI(I)1592 1690 y FC(2)p FD(;nt)1653 1684 y FJ(.)165 1733 y(De\034niere)600 1877 y FG(T)623 1883 y FC(=)651 1877 y FH(\()p FG(I)r FH(\))g(:=)775 1792 y FB(8)775 1829 y(<)775 1904 y(:)812 1877 y FI(T)18 b FG(\022)12 b FI(I)916 1883 y FC(2)946 1877 y FH(:)977 1837 y FB(X)976 1926 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)1045 1877 y FI(s)1064 1883 y FD(j)1093 1877 y FH(=)g FI(r)1156 1883 y FD(i)1168 1887 y Fx(1)1186 1792 y FB(9)1186 1829 y(=)1186 1904 y(;)165 1877 y FJ(\(3.11\))179 2028 y(und)i(f\374r)g FI(j)345 2034 y FC(0)375 2028 y FG(2)d FI(I)432 2034 y FC(2)465 2028 y FJ(de\034niere)431 2179 y FG(T)454 2185 y FD(j)468 2189 y Fx(0)486 2179 y FH(\()p FG(I)r FH(\))h(:=)610 2094 y FB(8)610 2132 y(<)610 2206 y(:)647 2179 y FI(T)18 b FG(\022)12 b FI(I)751 2185 y FC(2)779 2179 y FG(n)d(f)p FI(j)847 2185 y FC(0)865 2179 y FG(g)j FH(:)18 b FI(r)947 2185 y FD(i)959 2189 y Fx(1)986 2179 y FG(\000)9 b FI(s)1046 2185 y FD(j)1060 2189 y Fx(0)1090 2179 y FI(<)1135 2140 y FB(X)1134 2229 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)1203 2179 y FI(s)1222 2185 y FD(j)1251 2179 y FI(<)j(r)1314 2185 y FD(i)1326 2189 y Fx(1)1344 2094 y FB(9)1344 2132 y(=)1344 2206 y(;)1387 2179 y FI(:)-1234 b FJ(\(3.12\))179 2342 y(Ist)14 b FI(T)k FG(2)11 b(T)344 2348 y FC(=)371 2342 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)i(so)h(de\034niere)h FI(P)704 2327 y FD(T)s(;)p FC(=)775 2342 y FH(=)d(\()p FI(p)856 2322 y FD(T)s(;)p FC(=)856 2353 y FD(i;j)916 2342 y FH(\))932 2349 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1033 2353 y Fx(1)1048 2349 y Fy(\002)p FD(I)1089 2353 y Fx(2)1121 2342 y FJ(durc)o(h)411 2490 y FI(p)432 2470 y FD(T)s(;)p FC(=)432 2501 y FD(i)444 2505 y Fx(1)460 2501 y FD(;j)503 2490 y FH(:=)558 2419 y FB(\()592 2461 y FI(s)611 2467 y FD(j)684 2461 y FJ(f\374r)i FI(j)g FG(2)d FI(T)s(;)592 2521 y FH(0)71 b FJ(sonst,)954 2490 y FI(p)975 2470 y FD(T)s(;)p FC(=)975 2501 y FD(i)987 2505 y Fx(2)1003 2501 y FD(;j)1046 2490 y FH(:=)1102 2419 y FB(\()1135 2461 y FI(s)1154 2467 y FD(j)1227 2461 y FJ(f\374r)14 b FI(j)g FG(2)d FH(\()p FI(I)1397 2467 y FC(2)1426 2461 y FG(n)e FI(T)d FH(\))p FI(;)1135 2521 y FH(0)71 b FJ(sonst)165 2490 y(\(3.13\))165 2627 y(so)o(wie)667 2731 y FG(E)693 2714 y FC(=)689 2742 y(2)720 2731 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(:=)f FG(f)p FI(P)899 2714 y FD(T)s(;)p FC(=)970 2731 y FH(:)18 b FI(T)f FG(2)11 b(T)1103 2737 y FC(=)1131 2731 y FG(g)p FI(:)-999 b FJ(\(3.14\))p eop %%Page: 74 76 74 75 bop 225 50 a FJ(74)449 b Fw(KAPITEL)15 b(3.)27 b(KARDINALIT)m(\304)m(TSBETRA)o(CHTUNGEN)225 195 y FJ(Ist)14 b(hingegen)g FI(T)k FG(2)11 b(T)563 201 y FD(j)577 205 y Fx(0)595 195 y FH(\()p FG(I)r FH(\))q FJ(,)i(so)h(sei)g FI(P)822 180 y FD(T)s(;j)869 184 y Fx(0)897 195 y FH(=)e(\()p FI(p)978 175 y FD(T)s(;j)1025 179 y Fx(0)978 207 y FD(i;j)1042 195 y FH(\))1058 202 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1159 206 y Fx(1)1175 202 y Fy(\002)p FD(I)1216 206 y Fx(2)1247 195 y FJ(de\034niert)j(durc)o(h)443 355 y FI(p)464 335 y FD(T)s(;j)511 339 y Fx(0)464 366 y FD(i)476 370 y Fx(1)492 366 y FD(;j)540 355 y FH(:=)595 257 y FB(8)595 294 y(>)595 307 y(<)595 382 y(>)595 394 y(:)632 296 y FI(s)651 302 y FD(j)945 296 y FJ(f\374r)f FI(j)g FG(2)d FI(T)s(;)632 356 y FH(0)292 b FJ(f\374r)14 b FI(j)g FG(2)d FH(\()p FI(I)1115 362 y FC(2)1143 356 y FG(n)e FI(T)d FH(\))j FG(n)g(f)p FI(j)1296 362 y FC(0)1315 356 y FG(g)p FI(;)632 416 y(r)651 422 y FD(i)663 426 y Fx(1)690 416 y FG(\000)731 385 y FB(P)775 428 y FD(\027)r Fy(2)p FD(T)849 416 y FI(s)868 422 y FD(\027)945 416 y FJ(f\374r)14 b FI(j)g FH(=)d FI(j)1102 422 y FC(0)1121 416 y FI(;)443 551 y(p)464 531 y FD(T)s(;j)511 535 y Fx(0)464 563 y FD(i)476 567 y Fx(2)492 563 y FD(;j)540 551 y FH(:=)595 454 y FB(8)595 491 y(>)595 504 y(<)595 578 y(>)595 591 y(:)632 492 y FH(0)447 b FJ(f\374r)13 b FI(j)h FG(2)e FI(T)s(;)632 552 y(s)651 558 y FD(j)1100 552 y FJ(f\374r)h FI(j)h FG(2)e FH(\()p FI(I)1270 558 y FC(2)1298 552 y FG(n)d FI(T)d FH(\))j FG(n)g(f)p FI(j)1451 558 y FC(0)1470 552 y FG(g)p FI(;)632 612 y(r)651 618 y FD(i)663 622 y Fx(2)690 612 y FG(\000)731 581 y FB(P)775 624 y FD(\027)r Fy(2)p FC(\()p FD(I)844 628 y Fx(2)860 624 y Fy(n)p FD(T)t FC(\))p Fy(nf)p FD(j)962 628 y Fx(0)978 624 y Fy(g)1004 612 y FI(s)1023 618 y FD(\027)1100 612 y FJ(f\374r)k FI(j)h FH(=)e FI(j)1257 618 y FC(0)225 453 y FJ(\(3.15\))225 701 y(so)o(wie)692 789 y FG(E)718 769 y FD(j)732 773 y Fx(0)714 800 y FC(2)749 789 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g(:=)f FG(f)p FI(P)928 772 y FD(T)s(;j)975 776 y Fx(0)1003 789 y FH(:)18 b FI(T)f FG(2)12 b(T)1137 795 y FD(j)1151 799 y Fx(0)1168 789 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FG(g)p FI(:)-1034 b FJ(\(3.16\))239 877 y(Sc)o(hlie\377lic)o(h)13 b(sei)709 965 y FG(E)731 971 y FC(2)749 965 y FH(\()p FG(I)s FH(\))f(:=)f FG(E)900 948 y FC(=)896 975 y(2)927 965 y FH(\()p FG(I)s FH(\))e FG([)1050 926 y FB([)1031 1015 y FD(j)1045 1019 y Fx(0)1061 1015 y Fy(2)p FD(I)1098 1019 y Fx(2)1114 965 y FG(E)1140 945 y FD(j)1154 949 y Fx(0)1136 976 y FC(2)1172 965 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FI(:)-1017 b FJ(\(3.17\))245 1098 y(Ist)20 b FI(I)330 1104 y FC(1)360 1098 y FG(6)p FH(=)12 b FI(I)422 1104 y FC(1)p FD(;nt)504 1098 y FJ(o)q(der)20 b FI(I)621 1104 y FC(2)651 1098 y FG(6)p FH(=)12 b FI(I)713 1104 y FC(2)p FD(;nt)775 1098 y FJ(,)19 b(so)h(wird)g FG(E)986 1104 y FC(2)1004 1098 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(genauso)g(k)o(onstruiert,)g(n)o(ur)f(da\377)h(no)q(c)o(h)225 1148 y(en)o(tsprec)o(hend)13 b(viele)d(Nullzeilen)g(eingef\374gt)h(w)o (erden.)g(F\374r)f FH(#)p FI(I)1207 1154 y FC(2)p FD(;nt)1280 1148 y FH(=)i(2)e FJ(erfolgt)g(die)h(De\034nition)225 1197 y(v)o(on)k FG(E)327 1203 y FC(2)346 1197 y FH(\()p FG(I)s FH(\))h FJ(analog,)d(n)o(ur)j(da\377)g(die)f(Rollen)g(v)o(on)g FI(I)1020 1203 y FC(1)1055 1197 y FJ(und)h FI(I)1158 1203 y FC(2)1193 1197 y FJ(so)o(wie)f(die)h(Rollen)f(v)o(on)g FI(r)i FJ(und)f FI(s)225 1247 y FJ(v)o(ertausc)o(h)o(t)f(sind.)225 1348 y(In)d(Beispiel)h(3.2.2)e(wird)h(die)g(Konstruktion)h(aus)f (De\034nition)g(3.2.1)f(f\374r)h(ein)g(k)o(onkretes)i(Rand-)225 1397 y(system)f(durc)o(hgef\374hrt.)g(Es)h(wird)e(erneut)j(das)e (Randsystem)f(aus)h(Beispiel)g(2.5.2)e(v)o(erw)o(endet.)225 1447 y(Insb)q(esondere)19 b(wird)d(somit)e(der)j(Un)o(tersc)o(hied)h (der)f(Konstruktionen)g(v)o(on)e(De\034nition)h(3.2.1)225 1497 y(und)e(De\034nition)f(2.5.1)f(herausgestellt.)225 1577 y FK(Beispiel)h(3.2.2.)21 b FJ(Gegeb)q(en)15 b(sei)f(das)g (Randsystem)f FG(I)h FH(:=)d(\()p FI(I)1201 1583 y FC(1)1220 1577 y FI(;)c(I)1257 1583 y FC(2)1276 1577 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(mit)690 1665 y FI(I)708 1671 y FC(1)739 1665 y FH(:=)e FG(f)p FH(1)p FI(;)c FH(2)p FG(g)p FI(;)88 b(I)1015 1671 y FC(2)1045 1665 y FH(:=)12 b FG(f)p FH(1)p FI(;)7 b FH(2)p FI(;)g FH(3)p FG(g)p FI(;)225 1753 y(r)12 b FH(:=)g(\(2)p FI(;)7 b FH(5\))o FJ(,)13 b FI(s)f FH(:=)f(\(1)p FI(;)c FH(1)p FI(;)g FH(5\))o FJ(.)13 b(Es)h(soll)f(n)o(un)g FG(E)907 1759 y FC(2)926 1753 y FH(\()p FG(I)r FH(\))h FJ(explizit)f(b)q(erec)o(hnet)j(w)o(erden.)e(Setze)h FI(i)1607 1759 y FC(1)1637 1753 y FH(:=)d(1)o FJ(,)225 1803 y FI(i)239 1809 y FC(2)269 1803 y FH(:=)g(2)p FJ(.)j(Dann)g(ist)g FI(r)565 1809 y FD(i)577 1813 y Fx(2)606 1803 y FH(=)d(5)g FI(>)f(r)745 1809 y FD(i)757 1813 y Fx(1)787 1803 y FH(=)g(2)h FI(>)g FH(0)o FJ(.)j(W)m(eiterhin)g(ist)h FI(r)1226 1809 y FD(i)1238 1813 y Fx(1)1265 1803 y FG(\000)10 b FI(s)1326 1809 y FC(1)1356 1803 y FH(=)i FI(r)1419 1809 y FD(i)1431 1813 y Fx(1)1458 1803 y FG(\000)d FI(s)1518 1809 y FC(2)1549 1803 y FH(=)j(1)j FJ(so)o(wie)225 1853 y FI(r)244 1859 y FD(i)256 1863 y Fx(1)283 1853 y FG(\000)9 b FI(s)343 1859 y FC(3)374 1853 y FH(=)j FG(\000)p FH(3)p FJ(,)h(also)h(nac)o(h)g (\(3.11\))e(und)i(\(3.12\))415 1941 y FG(T)438 1947 y FC(=)465 1941 y FH(\()p FG(I)s FH(\))d(=)h FG(ff)p FH(1)p FI(;)7 b FH(2)p FG(gg)p FI(;)46 b FG(T)804 1947 y FC(1)822 1941 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)g FG(;)p FI(;)47 b FG(T)1039 1947 y FC(2)1058 1941 y FH(\()p FG(I)r FH(\))12 b(=)g FG(;)p FI(;)48 b FG(T)1275 1947 y FC(3)1293 1941 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(f;)p FI(;)7 b FG(f)p FH(1)p FG(g)p FI(;)g FG(f)p FH(2)p FG(gg)p FI(:)225 2028 y FJ(Nac)o(h)14 b(\(3.13\))f(und)h(\(3.15\))f(ist)h(dann)398 2141 y FI(P)431 2124 y Fy(f)p FC(1)p FD(;)p FC(2)p Fy(g)p FD(;)p FC(=)556 2141 y FH(=)600 2083 y FB(\022)631 2116 y FH(1)41 b(1)g(0)631 2166 y(0)g(0)g(5)776 2083 y FB(\023)807 2141 y FI(;)48 b(P)900 2124 y Fy(;)p FD(;)p FC(3)956 2141 y FH(=)1000 2083 y FB(\022)1030 2116 y FH(0)42 b(0)f(2)1030 2166 y(1)h(1)f(3)1176 2083 y FB(\023)1206 2141 y FI(;)48 b(P)1299 2124 y Fy(f)p FC(1)p Fy(g)p FD(;)p FC(3)1389 2141 y FH(=)1433 2083 y FB(\022)1464 2116 y FH(1)41 b(0)g(1)1464 2166 y(0)g(1)g(4)1609 2083 y FB(\023)1639 2141 y FI(;)433 2257 y(P)466 2240 y Fy(f)p FC(2)p Fy(g)p FD(;)p FC(3)556 2257 y FH(=)600 2199 y FB(\022)631 2232 y FH(0)g(1)g(1)631 2282 y(1)g(0)g(4)776 2199 y FB(\023)807 2257 y FI(:)225 2368 y FJ(Damit)12 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(h)g(De\034nition)f(3.2.1)f(zw)o(ei)i(F\344lle)f(zu)i(un)o(tersc)o (heiden.)g(Erster)165 1525 y(F)m(all:)c FI(T)17 b FH(:=)12 b FG(f)p FI(j)i FG(2)d FI(I)461 1531 y FC(2)491 1525 y FH(:)18 b FI(p)542 1531 y FD(i)554 1535 y Fx(1)570 1531 y FD(;j)609 1525 y FI(>)12 b FH(0)p FG(g)f(2)g(T)768 1531 y FC(=)795 1525 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(und)g FI(P)17 b FH(=)12 b FI(P)1065 1510 y FD(T)s(;)p FC(=)1124 1525 y FJ(.)e(Dann)h(ist)g(klar,)f(da\377)g FI(P)17 b FG(2)11 b(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))p FJ(,)165 1574 y(und)j(da)f(in)g (jeder)i(Spalte)e(h\366)q(c)o(hstens)i(ein)f(p)q(ositiv)o(es)f(Elemen)o (t)g(steh)o(t,)h(ist)g FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))13 b FJ(kreisfei,)g(das)165 1624 y(hei\377t)h FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))p FJ(.)j(Zw)o(eiter)g(F) m(all:)e(Es)i(gibt)f FI(j)930 1630 y FC(0)961 1624 y FG(2)e FI(I)1018 1630 y FC(2)1050 1624 y FJ(und)j FI(T)k FG(2)11 b(T)1237 1630 y FD(j)1251 1634 y Fx(0)1269 1624 y FH(\()p FG(I)r FH(\))p FJ(,)j(so)f(da\377)h 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2415 y Fy(n)p FD(T)t FC(\))p Fy(nf)p FD(j)1245 2419 y Fx(0)1261 2415 y Fy(g)1285 2364 y FI(s)1304 2370 y FD(j)669 2487 y FH(=)717 2447 y FB(X)713 2536 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)766 2540 y Fx(2)788 2487 y FI(s)807 2493 y FD(j)835 2487 y FG(\000)877 2447 y FB(X)876 2536 y FD(j)r Fy(2)p FD(T)945 2487 y FI(s)964 2493 y FD(j)991 2487 y FG(\000)1104 2447 y FB(X)1025 2538 y FD(j)r Fy(2)p FC(\()p FD(I)1091 2542 y Fx(2)1107 2538 y Fy(n)p FD(T)t FC(\))p Fy(nf)p FD(j)1209 2542 y Fx(0)1225 2538 y Fy(g)1249 2487 y FI(s)1268 2493 y FD(j)1298 2487 y FH(=)j FI(s)1361 2493 y FD(j)1375 2497 y Fx(0)1393 2487 y FI(:)165 2643 y FJ(W)m(egen)78 b FG(8)300 2672 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)353 2676 y Fx(2)368 2672 y Fy(nf)p FD(j)416 2676 y Fx(0)432 2672 y Fy(g)461 2643 y FH(0)11 b FG(2)g(f)p FI(p)574 2649 y FD(i)586 2653 y Fx(1)602 2649 y FD(;j)629 2643 y FI(;)c(p)669 2649 y FD(i)681 2653 y Fx(2)697 2649 y FD(;j)724 2643 y FG(g)14 b FJ(ist)h FI(G)p FH(\()p FI(P)6 b FH(\))14 b FJ(kreisfrei.)h(Damit)d(ist)j(auc)o(h)g(im)e(zw)o(eiten)j(F)m(all)165 2719 y FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))j FJ(gezeigt.)165 2769 y(Der)g(Bew)o(eis)h(im)d(F)m (all)g FH(#)p FI(I)576 2775 y FC(2)p FD(;nt)649 2769 y FH(=)g(2)i FJ(v)o(erl\344uft)f(v)o(\366llig)f(analog.)510 b Fv(\004)p eop %%Page: 76 78 76 77 bop 225 50 a FJ(76)449 b Fw(KAPITEL)15 b(3.)27 b(KARDINALIT)m(\304)m(TSBETRA)o(CHTUNGEN)225 195 y FK(Korollar)14 b(3.2.4.)21 b Fz(Sei)11 b FG(I)j FH(:=)e(\()p FI(I)740 201 y FC(1)759 195 y FI(;)7 b(I)796 201 y FC(2)814 195 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))j Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(mit)e FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)1421 201 y FC(1)p FD(;nt)1483 195 y FI(;)d FH(#)p FI(I)1555 201 y FC(2)p FD(;nt)1615 195 y FG(g)12 b FH(=)g(2)o Fz(.)225 245 y(Dann)k(gilt)444 362 y FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))11 b(=)686 291 y FB(\()719 302 y(P)763 346 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)816 350 y Fx(2)841 333 y FH(#)p FG(T)899 339 y FD(j)916 333 y FH(\()p FG(I)r FH(\))f(+)f(#)p FG(T)1082 339 y FC(=)1109 333 y FH(\()p FG(I)s FH(\))57 b Fz(f\374r)16 b FH(#)p FI(I)1345 339 y FC(1)p FD(;nt)1418 333 y FH(=)11 b(2)p FI(;)719 362 y FB(P)763 406 y FD(i)p Fy(2)p FD(I)812 410 y Fx(1)837 393 y FH(#)p FG(T)895 399 y FD(i)908 393 y FH(\()p FG(I)s FH(\))e(+)h(#)p FG(T)1075 399 y FC(=)1102 393 y FH(\()p FG(I)s FH(\))64 b Fz(f\374r)16 b FH(#)p FI(I)1345 399 y FC(2)p FD(;nt)1418 393 y FH(=)11 b(2)p FI(:)225 362 y FJ(\(3.20\))225 499 y Fz(Beweis.)20 b FJ(Es)c(ist)f(lediglic)o(h)f(zu)i(b)q(emerk)o(en,)f(da\377)f(die)h(V)m (ereinigung)g(in)g(\(3.17\))f(eine)i(disjunkte)225 549 y(V)m(ereinigung)d(ist.)g(Das)g(folgt)f(aus)i(\(3.13\))e(und)i (\(3.15\),)e(denn)i(danac)o(h)f(folgt)f(f\374r)i FI(T)j FG(6)p FH(=)12 b FI(T)1624 534 y Fy(0)1636 549 y FJ(,)g(da\377)225 598 y FI(P)258 583 y FD(T)s(;j)319 598 y FG(6)p FH(=)f FI(P)395 583 y FD(T)419 571 y Ft(0)430 583 y FD(;j)472 598 y FJ(so)o(wie,)j(da\377)f(Elemen)o(te)h(aus)h FG(T)952 604 y FD(j)969 598 y FH(\()p FG(I)s FH(\))f FJ(sic)o(h)h(v)o(on)f (allen)f(Elemen)o(ten,)h(die)g(nic)o(h)o(t)g(in)225 648 y FG(T)248 654 y FD(j)265 648 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g FJ(liegen,)f(zumindest)h(in)f(der)i FI(j)r FJ(-ten)f(Spalte)g (\(Zeile\))h(un)o(tersc)o(heiden.)288 b Fv(\004)225 748 y FJ(In)17 b(Absc)o(hnitt)h(A.2)e(des)i(Anhangs)f(b)q(e\034ndet)h(sic)o (h)f(der)h(Quellco)q(de)f(eines)h(Programms,)c(das)225 798 y(die)e(in)f(\(3.20\))g(gegeb)q(ene)i(F)m(ormel)d(b)q(en)o(utzt,)j (um)d FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))i FJ(f\374r)g(endlic)o(he)g(Randsysteme)f(der)225 848 y(Dimension)h FH(2)d FG(\002)g FI(n)14 b FJ(zu)g(b)q(erec)o(hnen.)225 916 y(Das)19 b(folgende)g(Lemma)d(3.2.5)h(w)o(endet)j(Korollar)e(3.2.4) f(auf)i(einige)g(endlic)o(he)g(Sp)q(ezialf\344lle)225 966 y(an.)f(Die)g(Ergebnisse)i(w)o(erden)f(ansc)o(hlie\377end)g(in)f (Beispiel)h(3.2.6)e(b)q(en)o(utzt,)i(um)e(f\374r)i FH(2)12 b FG(\002)g FH(2)p FJ(-)225 1016 y(Randsysteme)h(\(in)h(T)m(eil)f (\(a\)\))g(und)h FH(2)9 b FG(\002)g FH(3)p FJ(-Randsysteme)k(\(in)h(T)m (eil)e(\(b\)\))i(die)g(m\366glic)o(hen)e(Kar-)225 1066 y(dinalit\344ten)h(der)h(Extremalpunktmengen)f(v)o(ollst\344ndig)f(zu)i (klassi\034zieren.)225 1141 y FK(Lemma)h(3.2.5.)21 b Fz(Sei)15 b FG(I)g FH(:=)c(\()p FI(I)723 1147 y FC(1)742 1141 y FI(;)c(I)779 1147 y FC(2)797 1141 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))14 b Fz(ein)h(R)n(andsystem)h(mit)638 1223 y FH(#)p FI(I)691 1229 y FC(1)p FD(;nt)763 1223 y FH(=)c(2)57 b Fz(und)h FH(#)p FI(I)1062 1229 y FC(2)p FD(;nt)1135 1223 y FH(=)12 b FI(n)g(<)f FG(1)p FI(:)225 1304 y Fz(W\344hlt)k(man)g FI(i)455 1310 y FC(1)474 1304 y FI(;)7 b(i)507 1310 y FC(2)537 1304 y FG(2)k FI(I)594 1310 y FC(1)613 1304 y Fz(,)k(sowie)f FI(j)770 1310 y FC(1)789 1304 y FI(;)7 b(j)825 1310 y FC(2)843 1304 y FI(;)g(j)879 1310 y FC(3)909 1304 y FG(2)k FI(I)966 1310 y FC(2)985 1304 y Fz(,)k(so)g(da\377)455 1383 y FI(r)474 1389 y FD(i)486 1393 y Fx(1)515 1383 y FH(=)d(min)n FG(f)p FI(r)668 1389 y FD(i)693 1383 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)806 1389 y FC(1)p FD(;nt)868 1383 y FG(g)p FI(;)c(r)927 1389 y FD(i)939 1393 y Fx(2)967 1383 y FH(=)12 b(max)o FG(f)p FI(r)1129 1389 y FD(i)1153 1383 y FH(:)18 b FI(i)12 b FG(2)f FI(I)1266 1389 y FC(1)p FD(;nt)1328 1383 y FG(g)p FI(;)452 1446 y(s)471 1452 y FD(j)485 1456 y Fx(1)515 1446 y FH(=)h(min)n FG(f)p FI(s)668 1452 y FD(j)698 1446 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)816 1452 y FC(2)p FD(;nt)878 1446 y FG(g)p FI(;)c(s)937 1452 y FD(j)951 1456 y Fx(2)980 1446 y FH(=)12 b(min)n FG(f)p FI(s)1133 1452 y FD(j)1162 1446 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1280 1452 y FC(2)p FD(;nt)1351 1446 y FG(n)e(f)p FI(j)1419 1452 y FC(1)1438 1446 y FG(gg)p FI(;)452 1508 y(s)471 1514 y FD(j)485 1518 y Fx(3)515 1508 y FH(=)j(min)n FG(f)p FI(s)668 1514 y FD(j)698 1508 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)816 1514 y FC(2)p FD(;nt)887 1508 y FG(n)e(f)p FI(j)955 1514 y FC(1)973 1508 y FI(;)e(j)1009 1514 y FC(2)1027 1508 y FG(gg)p FI(;)225 1590 y Fz(so)15 b(gelten)g(die)g(A)o (ussagen)g(\(a\),)g(\(b\))g(und)h(\(c\).)225 1684 y FK(\(a\))k Fz(Ist)15 b FI(r)387 1690 y FD(i)399 1694 y Fx(1)428 1684 y FG(\024)d FI(s)491 1690 y FD(j)505 1694 y Fx(1)523 1684 y Fz(,)j(so)g(gilt)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g FI(n)o Fz(.)225 1763 y FK(\(b\))19 b Fz(Ist)c FI(s)390 1769 y FD(j)404 1773 y Fx(1)434 1763 y FI(<)d(r)497 1769 y FD(i)509 1773 y Fx(1)538 1763 y FG(\024)g FI(s)601 1769 y FD(j)615 1773 y Fx(2)633 1763 y Fz(,)j(so)g(gilt)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(2\()p FI(n)d FG(\000)g FH(1\))p Fz(.)225 1842 y FK(\(c\))20 b Fz(Ist)15 b FI(s)385 1848 y FD(j)399 1852 y Fx(2)429 1842 y FI(<)d(r)492 1848 y FD(i)504 1852 y Fx(1)533 1842 y FG(\024)g FI(s)596 1848 y FD(j)610 1852 y Fx(3)628 1842 y Fz(,)j(so)g(gilt:)379 1921 y FG(\017)20 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)g(3\()p FI(n)d FG(\000)g FH(2\))g(+)h(2)k Fz(f\374r)i FI(s)984 1927 y FD(j)998 1931 y Fx(1)1026 1921 y FH(+)9 b FI(s)1086 1927 y FD(j)1100 1931 y Fx(2)1130 1921 y FI(>)j(r)1193 1927 y FD(i)1205 1931 y Fx(1)1223 1921 y Fz(.)379 1984 y FG(\017)20 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)g(3\()p FI(n)d FG(\000)g FH(2\))g(+)h(1)k Fz(f\374r)i FI(s)984 1990 y FD(j)998 1994 y Fx(1)1026 1984 y FH(+)9 b FI(s)1086 1990 y FD(j)1100 1994 y Fx(2)1130 1984 y FH(=)j FI(r)1193 1990 y FD(i)1205 1994 y Fx(1)1223 1984 y Fz(.)379 2046 y FG(\017)20 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)g(4\()p FI(n)d FG(\000)g FH(2\))15 b Fz(f\374r)g FI(s)912 2052 y FD(j)926 2056 y Fx(1)954 2046 y FH(+)10 b FI(s)1015 2052 y FD(j)1029 2056 y Fx(2)1059 2046 y FI(<)h(r)1121 2052 y FD(i)1133 2056 y Fx(1)1151 2046 y Fz(.)225 2140 y(Entspr)n(e)n(chende)17 b(A)o(ussagen)e(gelten,)g(fal) r(ls)f FH(#)p FI(I)957 2146 y FC(2)p FD(;nt)1030 2140 y FH(=)e(2)i Fz(und)i FH(#)p FI(I)1244 2146 y FC(1)p FD(;nt)1317 2140 y FH(=)c FI(n)f(<)h FG(1)o Fz(.)225 2240 y(Beweis.)20 b FJ(Ohne)15 b(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g (Allgemeinheit)d(k)n(ann)h(man)f(annehmen,)h(da\377)866 2322 y FI(I)884 2328 y FC(1)914 2322 y FH(=)f FG(f)p FI(i)993 2328 y FC(1)1012 2322 y FI(;)7 b(i)1045 2328 y FC(2)1063 2322 y FG(g)225 2404 y FJ(mit)12 b FI(r)320 2410 y FD(i)332 2414 y Fx(2)361 2404 y FG(\025)g FI(r)424 2410 y FD(i)436 2414 y Fx(1)465 2404 y FI(>)g FH(0)i FJ(und)g FI(I)645 2410 y FC(2)675 2404 y FH(=)e FI(I)737 2410 y FC(2)p FD(;nt)799 2404 y FJ(.)225 2453 y(\(a\))i(F\374r)g(alle)f FI(j)h FG(2)d FI(I)536 2459 y FC(2)569 2453 y FJ(ist)j FI(s)646 2459 y FD(j)675 2453 y FG(\025)e FI(r)738 2459 y FD(i)750 2463 y Fx(1)782 2453 y FJ(und)i FI(r)884 2459 y FD(i)896 2463 y Fx(1)923 2453 y FG(\000)9 b FI(s)983 2459 y FD(j)1013 2453 y FG(\024)j FH(0)o FJ(.)i(Nac)o(h)g(De\034nition) f(3.2.1)f(folgt)h(daher)667 2535 y FG(T)690 2541 y FC(=)717 2535 y FH(\()p FG(I)s FH(\))e(=)h FG(ff)p FI(j)r FG(g)g FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1042 2541 y FC(2)1061 2535 y FI(;)k FG(T)1111 2541 y FD(j)1128 2535 y FH(\()p FG(I)s FH(\))d(=)g FG(;g)-1059 b FJ(\(3.21\))225 2617 y(so)o(wie)844 2698 y FG(8)816 2725 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)869 2729 y Fx(2)885 2725 y FD(;)775 2757 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g)t FD(=)-21 b Fy(2T)866 2761 y Fx(=)889 2757 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))947 2698 y FG(T)970 2704 y FD(j)988 2698 y FH(\()p FG(I)r FH(\))12 b(=)g FG(f;g)p FI(:)-951 b FJ(\(3.22\))225 2835 y(F)m(ormel)12 b(\(3.20\))h(liefert)h(n)o(un)g(die)f(Behauptung)i FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))d(=)g FI(n)p FJ(.)p eop %%Page: 77 79 77 78 bop 165 50 a Fw(3.2.)26 b(DER)14 b(F)-5 b(ALL)14 b FH(2)9 b FG(\002)g FI(!)1046 b FJ(77)165 195 y(\(b\))18 b(F\374r)f(alle)g FI(j)d FG(2)d FI(I)489 201 y FC(2)517 195 y FG(n)e(f)p FI(j)585 201 y FC(1)604 195 y FG(g)17 b FJ(ist)g FI(s)722 201 y FD(j)751 195 y FG(\025)12 b FI(r)814 201 y FD(i)826 205 y Fx(1)861 195 y FJ(und)18 b FI(r)967 201 y FD(i)979 205 y Fx(1)1006 195 y FG(\000)9 b FI(s)1066 201 y FD(j)1096 195 y FG(\024)i FH(0)p FJ(.)17 b(Wie)g(in)g(\(a\))g(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)165 245 y FG(T)188 251 y FC(=)215 245 y FH(\()p FG(I)s FH(\))d(=)f FG(ff)p FI(j)r FG(g)h FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)540 251 y FC(2)568 245 y FG(n)e(f)p FI(j)636 251 y FC(1)654 245 y FG(g)p FI(;)16 b FG(;)g FI(=)-26 b FG(2)11 b(T)797 251 y FD(j)814 245 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FG(g)p FJ(.)j(W)m(eiterhin) g(ist)g FI(s)1188 251 y FD(j)1202 255 y Fx(1)1232 245 y FI(<)e(r)1295 251 y FD(i)1307 255 y Fx(1)1338 245 y FJ(und)j FI(r)1441 251 y FD(i)1453 255 y Fx(1)1480 245 y FG(\000)9 b FI(s)1540 251 y FD(j)1570 245 y FI(<)j(s)1633 251 y FD(j)1647 255 y Fx(1)165 295 y FJ(f\374r)i FI(j)g FG(6)p FH(=)e FI(j)323 301 y FC(1)341 295 y FJ(.)i(Also)f(ist)344 379 y FG(T)367 385 y FD(j)381 389 y Fx(1)399 379 y FH(\()p FG(I)r FH(\))f(=)g FG(;)p FI(;)116 b FG(8)593 408 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)646 412 y Fx(2)662 408 y Fy(nf)p FD(j)710 412 y Fx(1)726 408 y Fy(g)p FD(;)593 441 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g)t FD(=)-21 b Fy(2)o(T)683 445 y Fx(=)707 441 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))765 379 y FG(T)788 385 y FD(j)805 379 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(f;)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)1017 385 y FC(1)1035 379 y FG(gg)p FI(;)116 b FG(8)1137 408 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1190 412 y Fx(2)1205 408 y Fy(nf)p FD(j)1253 412 y Fx(1)1269 408 y Fy(g)p FD(;)1136 441 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g2T)1227 445 y Fx(=)1250 441 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))1308 379 y FG(T)1331 385 y FD(j)1348 379 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)g FG(ff)p FI(j)1521 385 y FC(1)1539 379 y FG(gg)p FI(:)-1428 b FJ(\(3.23\))165 523 y(Mit)14 b(\(3.20\))e(folgt)h(daraus)h FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(2\()p FI(n)d FG(\000)g FH(1\))p FJ(.)165 572 y(\(c\))15 b FI(s)249 578 y FD(j)263 582 y Fx(1)290 572 y FH(+)10 b FI(s)351 578 y FD(j)365 582 y Fx(2)395 572 y FI(>)i(r)458 578 y FD(i)470 582 y Fx(1)487 572 y FJ(:)i(Es)g(folgt)515 657 y FG(T)538 663 y FC(=)565 657 y FH(\()p FG(I)s FH(\))d(=)h FG(ff)p FI(j)r FG(g)f FH(:)18 b FI(j)c FG(2)e FI(I)890 663 y FC(2)918 657 y FG(n)d(f)p FI(j)986 663 y FC(1)1004 657 y FI(;)e(j)1040 663 y FC(2)1058 657 y FG(g)p FI(;)16 b FG(;)g FI(=)-26 b FG(2)11 b(T)1201 663 y FD(j)1218 657 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FG(g)p FI(;)165 741 y FG(T)188 747 y FD(j)202 751 y Fx(1)220 741 y FH(\()p FG(I)r FH(\))h(=)g FG(ff)p FI(j)392 747 y FC(2)410 741 y FG(gg)p FJ(,)h FG(T)500 747 y FD(j)514 751 y Fx(2)532 741 y FH(\()p FG(I)r FH(\))f(=)g FG(ff)p FI(j)704 747 y FC(1)722 741 y FG(gg)i FJ(so)o(wie)422 826 y FG(8)334 855 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)387 859 y Fx(2)403 855 y Fy(nf)p FD(j)451 859 y Fx(1)467 855 y FD(;j)491 859 y Fx(2)506 855 y Fy(g)p FD(;)353 888 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g)t FD(=)-21 b Fy(2T)444 892 y Fx(=)467 888 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))545 826 y FG(T)568 832 y FD(j)585 826 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(f;)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)797 832 y FC(1)815 826 y FG(g)p FI(;)g FG(f)p FI(j)893 832 y FC(2)910 826 y FG(gg)p FI(;)136 b FG(8)1012 855 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1065 859 y Fx(2)1081 855 y Fy(nf)p FD(j)1129 859 y Fx(1)1144 855 y FD(;j)1168 859 y Fx(2)1184 855 y Fy(g)p FD(;)1031 888 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g2T)1122 892 y Fx(=)1145 888 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))1223 826 y FG(T)1246 832 y FD(j)1263 826 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(ff)p FI(j)1435 832 y FC(1)1453 826 y FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)1531 832 y FC(2)1549 826 y FG(gg)p FI(:)-1438 b FJ(\(3.24\))165 969 y(\(3.20\))13 b(liefert)h(daher)g FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(3\()p FI(n)d FG(\000)g FH(2\))g(+)h(2)p FJ(.)165 1019 y FI(s)184 1025 y FD(j)198 1029 y Fx(1)226 1019 y FH(+)f FI(s)286 1025 y FD(j)300 1029 y Fx(2)330 1019 y FH(=)j FI(r)393 1025 y FD(i)405 1029 y Fx(1)423 1019 y FJ(:)h(Dann)h(gilt)197 1154 y FG(T)220 1160 y FC(=)247 1154 y FH(\()p FG(I)s FH(\))d(=)h FG(ff)p FI(j)r FG(g)g FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)572 1160 y FC(2)600 1154 y FG(n)e(f)p FI(j)668 1160 y FC(1)686 1154 y FI(;)e(j)722 1160 y FC(2)740 1154 y FG(g)p FI(;)16 b FG(;)g FI(=)-26 b FG(2)11 b(T)883 1160 y FD(j)900 1154 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FG(g)e([)g(ff)p FI(j)1084 1160 y FC(1)1103 1154 y FI(;)e(j)1139 1160 y FC(2)1157 1154 y FG(gg)p FI(;)47 b FG(T)1281 1160 y FD(j)1295 1164 y Fx(1)1313 1154 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(T)1449 1160 y FD(j)1463 1164 y Fx(2)1481 1154 y FH(\()p FG(I)s FH(\))f(=)h FG(;)p FI(;)165 1105 y FJ(\(3.25\))422 1274 y FG(8)334 1302 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)387 1306 y Fx(2)403 1302 y Fy(nf)p FD(j)451 1306 y Fx(1)467 1302 y FD(;j)491 1306 y Fx(2)506 1302 y Fy(g)p FD(;)353 1336 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g)t FD(=)-21 b Fy(2T)444 1340 y Fx(=)467 1336 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))545 1274 y FG(T)568 1280 y FD(j)585 1274 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(f;)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)797 1280 y FC(1)815 1274 y FG(g)p FI(;)g FG(f)p FI(j)893 1280 y FC(2)910 1274 y FG(gg)p FI(;)136 b FG(8)1012 1302 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)1065 1306 y Fx(2)1081 1302 y Fy(nf)p FD(j)1129 1306 y Fx(1)1144 1302 y FD(;j)1168 1306 y Fx(2)1184 1302 y Fy(g)p FD(;)1031 1336 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g2T)1122 1340 y Fx(=)1145 1336 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))1223 1274 y FG(T)1246 1280 y FD(j)1263 1274 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(ff)p FI(j)1435 1280 y FC(1)1453 1274 y FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)1531 1280 y FC(2)1549 1274 y FG(gg)p FI(:)-1438 b FJ(\(3.26\))165 1436 y(Diesmal)12 b(liefert)i(\(3.20\))e (also)i FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)f(3\()p FI(n)e FG(\000)h FH(2\))f(+)h(1)o FJ(.)165 1486 y FI(s)184 1492 y FD(j)198 1496 y Fx(1)226 1486 y FH(+)f FI(s)286 1492 y FD(j)300 1496 y Fx(2)330 1486 y FI(<)j(r)393 1492 y FD(i)405 1496 y Fx(1)423 1486 y FJ(:)h(Es)i(gilt)515 1571 y FG(T)538 1577 y FC(=)565 1571 y FH(\()p FG(I)s FH(\))c(=)h FG(ff)p FI(j)r FG(g)f FH(:)18 b FI(j)c FG(2)e FI(I)890 1577 y FC(2)918 1571 y FG(n)d(f)p FI(j)986 1577 y FC(1)1004 1571 y FI(;)e(j)1040 1577 y FC(2)1058 1571 y FG(g)p FI(;)16 b FG(;)g FI(=)-26 b FG(2)11 b(T)1201 1577 y FD(j)1218 1571 y FH(\()p FG(I)s FH(\))p FG(g)p FI(;)165 1655 y FG(T)188 1661 y FD(j)202 1665 y Fx(1)220 1655 y FH(\()p FG(I)r FH(\))h(=)g FG(T)356 1661 y FD(j)370 1665 y Fx(2)388 1655 y FH(\()p FG(I)r FH(\))g(=)g FG(;)p FJ(,)254 1791 y FG(8)166 1819 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)219 1823 y Fx(2)234 1819 y Fy(nf)p FD(j)282 1823 y Fx(1)298 1819 y FD(;j)322 1823 y Fx(2)338 1819 y Fy(g)p FD(;)185 1853 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g)t FD(=)-21 b Fy(2T)276 1857 y Fx(=)299 1853 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))363 1791 y FG(T)386 1797 y FD(j)403 1791 y FH(\()p FG(I)s FH(\))11 b(=)h FG(f;)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)615 1797 y FC(1)633 1791 y FG(g)p FI(;)g FG(f)p FI(j)711 1797 y FC(2)728 1791 y FG(g)p FI(;)g FG(f)p FI(j)806 1797 y FC(1)824 1791 y FI(;)g(j)860 1797 y FC(2)878 1791 y FG(gg)p FI(;)94 b FG(8)939 1819 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)992 1823 y Fx(2)1007 1819 y Fy(nf)p FD(j)1055 1823 y Fx(1)1071 1819 y FD(;j)1095 1823 y Fx(2)1111 1819 y Fy(g)p FD(;)957 1853 y Fy(f)p FD(j)r Fy(g2T)1048 1857 y Fx(=)1071 1853 y FC(\()p Fy(I)r FC(\))1135 1791 y FG(T)1158 1797 y FD(j)1175 1791 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)f FG(ff)p FI(j)1347 1797 y FC(1)1366 1791 y FG(g)p FI(;)c FG(f)p FI(j)1444 1797 y FC(2)1461 1791 y FG(g)p FI(;)g FG(f)p FI(j)1539 1797 y FC(1)1557 1791 y FI(;)g(j)1593 1797 y FC(2)1611 1791 y FG(gg)p FI(:)165 1741 y FJ(\(3.27\))165 1934 y(Also)14 b(ist)f FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))e(=)h(4\()p FI(n)d FG(\000)h FH(2\))j FJ(nac)o(h)h(\(3.20\).)695 b Fv(\004)165 2016 y FK(Beispiel)13 b(3.2.6.)21 b FJ(Sei)13 b FG(I)i FH(:=)c(\()p FI(I)669 2022 y FC(1)688 2016 y FI(;)c(I)725 2022 y FC(2)743 2016 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(ein)g(Randsystem)g(mit)f FH(#)p FI(I)1277 2022 y FC(1)p FD(;nt)1350 2016 y FH(=)g(2)o FJ(.)h(Die)h(Bezeic)o(h-) 165 2065 y(n)o(ungen)g(seien)h(wie)f(in)f(Lemma)e(3.2.5.)165 2162 y FK(\(a\))20 b FJ(Gilt)13 b FH(#)p FI(I)385 2168 y FC(2)p FD(;nt)458 2162 y FH(=)e(2)p FJ(,)j(so)f(ist)h FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(2)p FJ(:)269 2212 y(Das)e(folgt)f(w)o(egen)h FI(r)578 2218 y FD(i)590 2222 y Fx(1)619 2212 y FG(\024)i FI(s)682 2218 y FD(j)696 2222 y Fx(2)725 2212 y FJ(und)e FH(2)h(=)h(2)d FG(\001)g FH(\(2)g FG(\000)g FH(1\))h FJ(sofort)g(aus)g(\(a\))h(und)f (\(b\))g(v)o(on)g(Lemma)269 2262 y(3.2.5.)165 2342 y FK(\(b\))19 b FJ(Gilt)13 b FH(#)p FI(I)388 2348 y FC(2)p FD(;nt)461 2342 y FH(=)f(3)o FJ(,)i(so)g(ist)269 2423 y FK(\(i\))19 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)g(3)h FJ(f\374r)h FI(r)701 2429 y FD(i)713 2433 y Fx(1)742 2423 y FG(\024)e FI(s)805 2429 y FD(j)819 2433 y Fx(1)837 2423 y FJ(.)269 2486 y FK(\(ii\))18 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)g(4)h FJ(f\374r)h FI(s)714 2492 y FD(j)728 2496 y Fx(1)758 2486 y FI(<)e(r)821 2492 y FD(i)833 2496 y Fx(1)862 2486 y FG(\024)g FI(s)925 2492 y FD(j)939 2496 y Fx(2)958 2486 y FJ(.)269 2550 y FK(\(iii\))17 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))11 b(=)h(4)i FJ(f\374r)f FI(s)727 2556 y FD(j)741 2560 y Fx(2)771 2550 y FI(<)f(r)834 2556 y FD(i)846 2560 y Fx(1)876 2550 y FG(\024)f FI(r)938 2556 y FD(i)950 2560 y Fx(2)980 2550 y FG(\024)g FI(s)1042 2556 y FD(j)1056 2560 y Fx(3)1075 2550 y FJ(.)269 2614 y FK(\(iv\))19 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)g(5)h FJ(f\374r)h FI(s)726 2620 y FD(j)740 2624 y Fx(2)770 2614 y FI(<)e(r)833 2620 y FD(i)845 2624 y Fx(1)874 2614 y FG(\024)g FI(s)937 2620 y FD(j)951 2624 y Fx(3)981 2614 y FI(<)g(r)1044 2620 y FD(i)1056 2624 y Fx(2)1074 2614 y FJ(.)269 2677 y FK(\(v\))20 b FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))12 b(=)f(6)j FJ(f\374r)g FI(s)713 2683 y FD(j)727 2687 y Fx(3)757 2677 y FI(<)e(r)820 2683 y FD(i)832 2687 y Fx(1)849 2677 y FJ(.)269 2758 y(Eine)19 b(en)o(tsprec)o(hende)j(Aussage)d(gilt,)e(w)o(enn)j(man)d(die)i(Rollen) e(v)o(on)h FI(I)1414 2764 y FC(1)1452 2758 y FJ(und)h FI(I)1558 2764 y FC(2)1596 2758 y FJ(v)o(er-)269 2807 y(tausc)o(h)o(t.)p eop %%Page: 78 80 78 79 bop 225 50 a FJ(78)449 b Fw(KAPITEL)15 b(3.)27 b(KARDINALIT)m(\304)m(TSBETRA)o(CHTUNGEN)225 195 y FJ(Die)11 b(folgenden)g(Angab)q(en)h(\(a\),)f(\(b\),)h(\(c\))g(b)q(eziehen)h(sic) o(h)f(auf)f(Lemma)e(3.2.5.)g(\(i\))i(folgt)g(aus)g(\(a\),)225 245 y(\(ii\))i(folgt)g(aus)h(\(b\),)g(\(iii\))e(folgt)h(aus)h(\(c\),)g (da)g FI(s)948 251 y FD(j)962 255 y Fx(1)989 245 y FH(+)c FI(s)1050 251 y FD(j)1064 255 y Fx(2)1094 245 y FG(\024)i FI(r)1157 251 y FD(i)1169 255 y Fx(1)1200 245 y FJ(und)719 344 y FH(4\(3)d FG(\000)g FH(2\))j(=)g(3\(3)d FG(\000)g FH(2\))g(+)h(1)h(=)h(4)p FI(;)225 444 y FJ(\(iv\))i(folgt)e(aus)i (\(c\),)g FI(s)569 450 y FD(j)583 454 y Fx(1)611 444 y FH(+)c FI(s)672 450 y FD(j)686 454 y Fx(2)716 444 y FI(>)h(r)778 450 y FD(i)790 454 y Fx(1)808 444 y FJ(.)i(\(v\))h(ergibt) g(sic)o(h)h(wie)e(folgt:)g(Es)h(ist)g FG(T)1424 450 y FC(=)1451 444 y FH(\()p FG(I)s FH(\))e(=)f FG(;)p FJ(,)385 544 y FG(T)408 550 y FD(j)422 554 y Fx(1)440 544 y FH(\()p FG(I)s FH(\))g(=)h FG(ff)p FI(j)612 550 y FC(2)630 544 y FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)708 550 y FC(3)726 544 y FG(gg)p FI(;)48 b FG(T)851 550 y FD(j)865 554 y Fx(2)882 544 y FH(\()p FG(I)s FH(\))12 b(=)g FG(ff)p FI(j)1055 550 y FC(1)1073 544 y FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)1151 550 y FC(3)1168 544 y FG(gg)p FI(;)48 b FG(T)1293 550 y FD(j)1307 554 y Fx(3)1325 544 y FH(\()p FG(I)r FH(\))12 b(=)g FG(ff)p FI(j)1497 550 y FC(2)1515 544 y FG(g)p FI(;)7 b FG(f)p FI(j)1593 550 y FC(1)1611 544 y FG(gg)p FI(;)225 643 y FJ(da)613 743 y FH(min)n FG(f)p FI(s)722 749 y FD(j)736 753 y Fx(1)764 743 y FH(+)i FI(s)824 749 y FD(j)838 753 y Fx(2)856 743 y FI(;)e(s)894 749 y FD(j)908 753 y Fx(1)936 743 y FH(+)i FI(s)996 749 y FD(j)1010 753 y Fx(3)1029 743 y FI(;)e(s)1067 749 y FD(j)1081 753 y Fx(1)1108 743 y FH(+)i FI(s)1168 749 y FD(j)1182 753 y Fx(2)1201 743 y FG(g)i FI(>)h(r)1296 749 y FD(i)1308 753 y Fx(1)1326 743 y FI(:)225 842 y FJ(W)m(egen)i(\(3.20\))f(ist)g (dann)h FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))e(=)g(6)p FJ(.)225 963 y(Die)h(Ergebnisse)j(v)o(on)d(Beispiel)h(3.2.6)e(und)i (die)f(Berec)o(hn)o(ung)j(v)o(on)d(Extremalpunktanzahlen)225 1012 y(in)i(div)o(ersen)g(Sp)q(ezialf\344llen)f(mit)g(Hilfe)g(des)i(in) e(Absc)o(hnitt)i(A.1)f(des)g(Anhangs)h(angegeb)q(enen)225 1062 y(Programmes)9 b(f\374hren)i(zu)h(der)f(V)m(erm)o(utung,)e(da\377) i(f\374r)g(v)o(orgegeb)q(ene)h(Dimension)d(des)i(Randsy-)225 1112 y(stems)e(immer)e(alle)i(Zahlen)h(un)o(terhalb)g(eines)g(Maximalw) o(ertes)e(f\374r)i(Extremalpunktanzahlen)225 1162 y(v)o(ork)o(omm)o(en) i(\(Nullen)h(in)h(den)g(Randv)o(ektoren)g(zugelassen\).)225 1241 y(Es)f(ist)g(rec)o(h)o(t)g(un)o(b)q(efriedigend,)g(da\377)f(es)h (bisher)h(k)o(einen)e(Algorithm)o(us)f(gibt,)h(der)h(im)e(F)m(all)g (end-)225 1290 y(lic)o(her)j(Randsysteme)f(die)h(Anzahl)f(der)i (Extremalpunkte)e(b)q(erec)o(hnet,)j(ohne)e(die)f(Extremal-)225 1340 y(punkte)j(alle)f(explizit)g(zu)h(b)q(estimmen.)d(Ob)o(w)o(ohl)i (durc)o(h)h(die)f(Konstruktion)h(aus)g(De\034nition)225 1390 y(3.2.1)11 b(f\374r)h(den)h FH(2)7 b FG(\002)g FI(n)p FJ(-F)m(all)k(ein)h(solc)o(her)h(Algorithm)o(us)e(gegeb)q(en)j(ist,)e (k)n(ann)g(die)g(Aufgab)q(e)h(w)o(ohl)225 1440 y(auc)o(h)k(f\374r)f (diesen)i(F)m(all)d(no)q(c)o(h)h(nic)o(h)o(t)h(als)f(gel\366st)h(b)q (etrac)o(h)o(tet)h(w)o(erden.)f(Zur)g(Berec)o(hn)o(ung)h(der)225 1490 y(nac)o(h)10 b(\(3.11\))f(und)h(\(3.12\))e(de\034nierten)k(Mengen) e(m)o(u\377)e(das)i(sogenann)o(te)g(\022)s(Knapsac)o(k-Problem\020)225 1539 y(gel\366st)i(w)o(erden,)h(w)o(elc)o(hes,)g(wie)f(sc)o(hon)g(in)g (der)h(Einleitung)e(erw)o(\344hn)o(t,)h(NP-v)o(ollst\344ndig)f(ist.)h (Ob)225 1589 y(es)k(f\374r)g(die)g(Bestimm)o(ung)d(der)k(Anzahl)e(der)i (Extremalpunkte)e(p)q(olynomielle)e(Algorithmen)225 1639 y(geb)q(en)i(k)n(ann,)e(ist)g(un)o(b)q(ek)n(ann)o(t.)225 1718 y(Zum)f(Absc)o(hlu\377)h(soll)f(f\374r)h(endlic)o(he)g FH(2)7 b FG(\002)h FI(n)p FJ(-Randsysteme)k(eine)h(Prozedur)i(f\374r)e (einen)g(Zufalls-)225 1768 y(spaziergang)e(auf)f(den)h(Extremalpunkten) f(k)o(onstruiert)h(w)o(erden,)g(der)g(es)h(erlaubt,)e FH(#)p FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))225 1818 y FJ(\374b)q(er)16 b(einen)g(probabilistisc)o(hen)g(Algorithm)o (us)d(zu)j(b)q(estimmen.)d(Leider)j(ist)g(es)g(bisher)g(nic)o(h)o(t)225 1867 y(gelungen,)d(die)h(Prozedur)i(auf)d FI(k)d FG(\002)g FI(n)p FJ(-Randsysteme)j(mit)f FI(k)g(>)g FH(2)i FJ(auszudehnen.)225 1959 y FK(De\034nitio)o(n)f(3.2.7.)21 b FJ(Sei)14 b FG(I)g FH(:=)d(\()p FI(I)773 1965 y FC(1)792 1959 y FI(;)c(I)829 1965 y FC(2)848 1959 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(ein)g(Randsystem)h(mit)673 2058 y FH(#)p FI(I)726 2064 y FC(1)756 2058 y FH(=)e(2)p FI(;)89 b FH(2)11 b FG(\024)h FI(n)g FH(:=)f(#)p FI(I)1143 2064 y FC(2)1173 2058 y FI(<)h FG(1)p FI(;)225 2158 y(I)243 2164 y FC(1)273 2158 y FH(=)g FG(f)p FI(i)352 2164 y FC(1)371 2158 y FI(;)7 b(i)404 2164 y FC(2)422 2158 y FG(g)14 b FJ(mit)e FI(r)552 2164 y FD(i)564 2168 y Fx(2)593 2158 y FG(\025)g FI(r)656 2164 y FD(i)668 2168 y Fx(1)697 2158 y FI(>)g FH(0)i FJ(und)g FI(I)877 2164 y FC(2)907 2158 y FH(=)e FI(I)969 2164 y FC(2)p FD(;nt)1031 2158 y FJ(.)h(De\034niere)i(dann)f (eine)g(F)m(unktion)732 2262 y FI(F)j FH(:)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h FG(\000)-7 b(!)11 b FH(2)1062 2245 y Fy(M)1101 2249 y Fe(R)1118 2245 y FC(\()p FD(I)1146 2249 y Fx(1)1162 2245 y FD(;I)1187 2249 y Fx(2)1203 2245 y FC(\))225 2362 y FJ(wie)j(folgt:)e(Zun\344c)o (hst)j(sei)f FI(f)i FH(:)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h FG(\000)-7 b(!)11 b FI(I)964 2368 y FC(2)997 2362 y FJ(eine)j(F)m(unktion,)f(so)h(da\377)709 2462 y FG(8)636 2490 y FD(P)t Fy(2)p Fp(E)q FC(\()p Fy(D)q FC(\()p Fy(I)r FC(\)\))901 2462 y FG(8)817 2490 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)870 2494 y Fx(2)885 2490 y Fy(nf)p FD(f)s FC(\()p FD(P)t FC(\))p Fy(g)1019 2462 y FH(0)d FG(2)g(f)p FI(p)1132 2468 y FD(i)1144 2472 y Fx(1)1160 2468 y FD(;j)1187 2462 y FI(;)c(p)1227 2468 y FD(i)1239 2472 y Fx(2)1255 2468 y FD(;j)1282 2462 y FG(g)p FI(:)225 2587 y FJ(F\374r)14 b FI(P)j FG(2)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))j FJ(sei)294 2736 y FI(T)6 b FH(\()p FI(P)g FH(\))11 b(:=)h FG(f)p FH(\()p FI(j)510 2742 y FC(1)528 2736 y FI(;)7 b(j)564 2742 y FC(2)583 2736 y FH(\))k FG(2)g FI(I)667 2742 y FC(2)696 2736 y FG(\002)e FI(I)755 2742 y FC(2)785 2736 y FH(:)18 b FI(j)832 2742 y FC(1)863 2736 y FG(6)p FH(=)11 b FI(j)923 2742 y FC(2)942 2736 y FI(;)j(f)t FH(\()p FI(P)6 b FH(\))12 b FG(2)f(f)p FI(j)1146 2742 y FC(1)1164 2736 y FI(;)c(j)1200 2742 y FC(2)1218 2736 y FG(g)p FI(;)14 b(p)1286 2742 y FD(i)1298 2746 y Fx(1)1313 2742 y FD(;j)1337 2746 y Fx(1)1367 2736 y FI(>)e FH(0)p FI(;)h(p)1478 2742 y FD(i)1490 2746 y Fx(2)1506 2742 y FD(;j)1530 2746 y Fx(2)1559 2736 y FI(>)f FH(0)p FG(g)p FI(:)225 2686 y FJ(\(3.28\))p eop %%Page: 79 81 79 80 bop 165 50 a Fw(3.2.)26 b(DER)14 b(F)-5 b(ALL)14 b FH(2)9 b FG(\002)g FI(!)1046 b FJ(79)165 195 y(F\374r)14 b FH(\()p FI(j)278 201 y FC(1)297 195 y FI(;)7 b(j)333 201 y FC(2)351 195 y FH(\))12 b FG(2)f FI(T)6 b FH(\()p FI(P)g FH(\))14 b FJ(de\034niere)h FI(\016)713 180 y FC(\()p FD(j)740 184 y Fx(1)756 180 y FD(;j)780 184 y Fx(2)796 180 y FC(\))822 195 y FH(:=)c(min)o FG(f)p FI(p)989 201 y FD(i)1001 205 y Fx(1)1016 201 y FD(;j)1040 205 y Fx(1)1058 195 y FI(;)c(p)1098 201 y FD(i)1110 205 y Fx(2)1125 201 y FD(;j)1149 205 y Fx(2)1167 195 y FG(g)14 b FJ(so)o(wie)659 303 y FI(P)692 286 y FC(\()p FD(j)719 290 y Fx(1)735 286 y FD(;j)759 290 y Fx(2)774 286 y FC(\))801 303 y FH(=)e(\()p FI(p)882 281 y FC(\()p FD(j)909 285 y Fx(1)925 281 y FD(;j)949 285 y Fx(2)964 281 y FC(\))882 315 y FD(i;j)979 303 y FH(\))995 310 y FC(\()p FD(i;j)r FC(\))p Fy(2)p FD(I)1096 314 y Fx(1)1112 310 y Fy(\002)p FD(I)1153 314 y Fx(2)179 410 y FJ(durc)o(h)i FI(P)328 395 y FC(\()p FD(j)355 399 y Fx(1)371 395 y FD(;j)395 399 y Fx(2)411 395 y FC(\))426 410 y Fv(\026)443 417 y FD(I)458 421 y Fx(1)474 417 y Fy(\002)p FC(\()p FD(I)528 421 y Fx(2)544 417 y Fy(nf)p FD(j)592 421 y Fx(1)608 417 y FD(;j)632 421 y Fx(2)647 417 y Fy(g)p FC(\))691 410 y FH(:=)d FI(P)6 b Fv(\026)796 417 y FD(I)811 421 y Fx(1)827 417 y Fy(\002)p FC(\()p FD(I)881 421 y Fx(2)897 417 y Fy(nf)p FD(j)945 421 y Fx(1)961 417 y FD(;j)985 421 y Fx(2)1000 417 y Fy(g)p FC(\))1046 410 y FJ(und)402 550 y FI(p)423 528 y FC(\()p FD(j)450 532 y Fx(1)466 528 y FD(;j)490 532 y Fx(2)506 528 y FC(\))423 561 y FD(i;j)532 550 y FH(:=)588 479 y FB(\()621 521 y FI(p)642 527 y FD(i;j)690 521 y FH(+)k FI(\016)752 506 y FC(\()p FD(j)779 510 y Fx(1)795 506 y FD(;j)819 510 y Fx(2)834 506 y FC(\))905 521 y FJ(f\374r)k FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f(f)p FH(\()p FI(i)1157 527 y FC(1)1176 521 y FI(;)c(j)1212 527 y FC(2)1230 521 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(i)1295 527 y FC(2)1314 521 y FI(;)g(j)1350 527 y FC(1)1368 521 y FH(\))p FG(g)p FI(;)621 581 y(p)642 587 y FD(i;j)690 581 y FG(\000)j FI(\016)752 566 y FC(\()p FD(j)779 570 y Fx(1)795 566 y FD(;j)819 570 y Fx(2)834 566 y FC(\))905 581 y FJ(f\374r)k FH(\()p FI(i;)7 b(j)r FH(\))12 b FG(2)f(f)p FH(\()p FI(i)1157 587 y FC(1)1176 581 y FI(;)c(j)1212 587 y FC(1)1230 581 y FH(\))p FI(;)g FH(\()p FI(i)1295 587 y FC(2)1314 581 y FI(;)g(j)1350 587 y FC(2)1368 581 y FH(\))p FG(g)p FI(:)165 550 y FJ(\(3.29\))165 683 y(Sc)o(hlie\377lic)o(h)13 b(sei)587 781 y FI(F)6 b FH(\()p FI(P)g FH(\))k(:=)i FG(f)p FI(P)805 764 y FC(\()p FD(j)832 768 y Fx(1)847 764 y FD(;j)871 768 y Fx(2)887 764 y FC(\))913 781 y FH(:)18 b(\()p FI(j)976 787 y FC(1)995 781 y FI(;)7 b(j)1031 787 y FC(2)1049 781 y FH(\))12 b FG(2)f FI(T)6 b FH(\()p FI(P)g FH(\))p FG(g)p FI(:)-1079 b FJ(\(3.30\))179 879 y(Im)12 b(F)m(all,)g(da\377)h FG(I)i FH(=)c(\()p FI(I)528 885 y FC(1)547 879 y FI(;)c(I)584 885 y FC(2)603 879 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))13 b FJ(ein)h(b)q (eliebiges)g(Randsystem)f(mit)412 978 y FH(min)o FG(f)p FH(#)p FI(I)556 984 y FC(1)p FD(;nt)617 978 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)689 984 y FC(2)p FD(;nt)750 978 y FG(g)k FH(=)h(2)p FI(;)96 b FH(max)n FG(f)p FH(#)p FI(I)1106 984 y FC(1)p FD(;nt)1167 978 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1239 984 y FC(2)p FD(;nt)1300 978 y FG(g)k FI(<)h FG(1)165 1076 y FJ(ist,)h(k)n(ann)h(die)g(F)m(unktion)f FI(F)19 b FJ(ganz)14 b(analog)e(de\034niert)j(w)o(erden.)165 1166 y FK(Lemma)g(3.2.8.)21 b Fz(Sei)16 b FG(I)e FH(:=)d(\()p FI(I)663 1172 y FC(1)682 1166 y FI(;)c(I)719 1172 y FC(2)737 1166 y FI(;)g(r)o(;)g(s)p FH(\))15 b Fz(ein)g(R)n(andsystem)h(mit)e FH(min)n FG(f)p FH(#)p FI(I)1361 1172 y FC(1)p FD(;nt)1423 1166 y FI(;)7 b FH(#)p FI(I)1495 1172 y FC(2)p FD(;nt)1555 1166 y FG(g)12 b FH(=)g(2)o Fz(,)165 1216 y FH(2)f FG(\024)h FI(n)g FH(:=)f(max)n FG(f)p FH(#)p FI(I)484 1222 y FC(1)p FD(;nt)545 1216 y FI(;)c FH(#)p FI(I)617 1222 y FC(2)p FD(;nt)678 1216 y FG(g)k FI(<)h FG(1)g Fz(und)i FI(F)j FH(:)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))h FG(\000)-7 b(!)11 b FH(2)1217 1201 y Fy(M)1256 1205 y Fe(R)1273 1201 y FC(\()p FD(I)1301 1205 y Fx(1)1317 1201 y FD(;I)1342 1205 y Fx(2)1358 1201 y FC(\))1386 1216 y Fz(gem\344\377)i(De\034niti-)165 1266 y(on)i(3.2.7.)165 1383 y FK(\(a\))20 b Fz(F\374r)c FI(P)h FG(2)11 b FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))k Fz(gilt)f FI(F)6 b FH(\()p FI(P)g FH(\))11 b FG(\022)h FJ(E)p FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\))q(\))p Fz(.)165 1480 y FK(\(b\))19 b Fz(F\374r)i FI(P)q(;)7 b(Q)j FG(2)h FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))20 b Fz(gibt)f(es)g(eine)h(end)r(liche)g (F)m(olge)f FH(\()p FI(P)1194 1486 y FD(i)1208 1480 y FH(\))1224 1487 y FD(i)p Fy(2f)p FC(1)p FD(;:::)o(;k)q Fy(g)1390 1480 y FG(\022)11 b FJ(E)q FH(\()p FG(D)q FH(\()p FG(I)s FH(\)\))20 b Fz(mit)269 1530 y FI(P)296 1536 y FC(1)326 1530 y FH(=)11 b FI(P)6 b Fz(,)14 b FI(P)456 1536 y FD(k)488 1530 y FH(=)e FI(Q)p Fz(,)100 b FG(8)592 1559 y FD(i)p Fy(2f)p FC(1)p FD(;:::)o(;k)q Fy(\000)p FC(1)p Fy(g)799 1530 y FI(P)826 1536 y FD(i)p FC(+1)893 1530 y FG(2)11 b FI(F)6 b FH(\()p FI(P)1008 1536 y FD(i)1021 1530 y FH(\))p Fz(.)165 1688 y(Beweis.)20 b FJ(Ohne)15 b(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g(Allgemeinheit)d(k)n(ann)h(man)f(annehmen,) h(da\377)613 1787 y FH(#)p FI(I)666 1793 y FC(1)696 1787 y FH(=)f(2)p FI(;)89 b FH(2)11 b FG(\024)h FI(n)g FH(:=)f(#)p FI(I)1083 1793 y FC(2)1113 1787 y FI(<)h FG(1)p FI(;)165 1885 y(I)183 1891 y FC(1)213 1885 y FH(=)g FG(f)p FI(i)292 1891 y FC(1)311 1885 y FI(;)7 b(i)344 1891 y FC(2)362 1885 y FG(g)16 b FJ(mit)e FI(r)496 1891 y FD(i)508 1895 y Fx(2)537 1885 y FG(\025)e FI(r)600 1891 y FD(i)612 1895 y Fx(1)641 1885 y FI(>)g FH(0)p FJ(,)j FI(I)751 1891 y FC(2)782 1885 y FH(=)d FI(I)844 1891 y FC(2)p FD(;nt)921 1885 y FJ(und)k FI(s)1025 1891 y FD(j)1039 1895 y Fx(1)1069 1885 y FH(=)c(min)n FG(f)p FI(s)1222 1891 y FD(j)1252 1885 y FH(:)18 b FI(j)c FG(2)d FI(I)1370 1891 y FC(2)1389 1885 y FG(g)p FJ(.)k(Die)h(Bezeic)o(h-)165 1935 y(n)o(ungen)e(seien)h(wie)f(in)f(3.2.7.)165 1985 y(\(a\))i(Nac)o(h)g(W)m(ahl)f(v)o(on)g FI(f)20 b FJ(gilt)99 b FG(8)644 2013 y FC(\()p FD(j)671 2017 y Fx(1)687 2013 y FD(;j)711 2017 y Fx(2)726 2013 y FC(\))p Fy(2)p FD(T)t FC(\()p FD(P)t FC(\))932 1985 y FG(8)849 2013 y FD(j)r Fy(2)p FD(I)902 2017 y Fx(2)918 2013 y Fy(nf)p FD(j)966 2017 y Fx(1)982 2013 y FD(;j)1006 2017 y Fx(2)1021 2013 y Fy(g)1050 1985 y FH(0)11 b FG(2)g(f)p FI(p)1163 1991 y FD(i)1175 1995 y Fx(1)1191 1991 y FD(;j)1218 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