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/nn 8 dict N nn begin /FontType 3 N /FontMatrix fntrx N /FontBBox FBB N
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/sf 1 N /fntrx FMat N df-tail}B /dfs{div /sf X /fntrx[sf 0 0 sf neg 0 0]
N df-tail}B /E{pop nn dup definefont setfont}B /ch-width{ch-data dup
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128 ch-data dup length 3 sub get sub}B /ch-yoff{ch-data dup length 2 sub
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dup type /stringtype ne{ctr get /ctr ctr 1 add N}if}B /id 0 N /rw 0 N
/rc 0 N /gp 0 N /cp 0 N /G 0 N /sf 0 N /CharBuilder{save 3 1 roll S dup
/base get 2 index get S /BitMaps get S get /ch-data X pop /ctr 0 N ch-dx
0 ch-xoff ch-yoff ch-height sub ch-xoff ch-width add ch-yoff
setcachedevice ch-width ch-height true[1 0 0 -1 -.1 ch-xoff sub ch-yoff
.1 sub]/id ch-image N /rw ch-width 7 add 8 idiv string N /rc 0 N /gp 0 N
/cp 0 N{rc 0 ne{rc 1 sub /rc X rw}{G}ifelse}imagemask restore}B /G{{id
gp get /gp gp 1 add N dup 18 mod S 18 idiv pl S get exec}loop}B /adv{cp
add /cp X}B /chg{rw cp id gp 4 index getinterval putinterval dup gp add
/gp X adv}B /nd{/cp 0 N rw exit}B /lsh{rw cp 2 copy get dup 0 eq{pop 1}{
dup 255 eq{pop 254}{dup dup add 255 and S 1 and or}ifelse}ifelse put 1
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idiv S 128 and or}ifelse}ifelse put 1 adv}B /clr{rw cp 2 index string
putinterval adv}B /set{rw cp fillstr 0 4 index getinterval putinterval
adv}B /fillstr 18 string 0 1 17{2 copy 255 put pop}for N /pl[{adv 1 chg}
{adv 1 chg nd}{1 add chg}{1 add chg nd}{adv lsh}{adv lsh nd}{adv rsh}{
adv rsh nd}{1 add adv}{/rc X nd}{1 add set}{1 add clr}{adv 2 chg}{adv 2
chg nd}{pop nd}]dup{bind pop}forall N /D{/cc X dup type /stringtype ne{]
}if nn /base get cc ctr put nn /BitMaps get S ctr S sf 1 ne{dup dup
length 1 sub dup 2 index S get sf div put}if put /ctr ctr 1 add N}B /I{
cc 1 add D}B /bop{userdict /bop-hook known{bop-hook}if /SI save N @rigin
0 0 moveto /V matrix currentmatrix dup 1 get dup mul exch 0 get dup mul
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/eop-hook known{eop-hook}if showpage}N /@start{userdict /start-hook
known{start-hook}if pop /VResolution X /Resolution X 1000 div /DVImag X
/IE 256 array N 0 1 255{IE S 1 string dup 0 3 index put cvn put}for
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RMat{BDot}imagemask grestore}}{{gsave TR -.1 .1 TR rulex ruley scale 1 1
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/CLIP 2 N}B /@hoffset{/ho X}B /@voffset{/vo X}B /@angle{/ang X}B /@rwi{
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/dicttype eq{userdict begin md length 10 add md maxlength ge{/md md dup
length 20 add dict copy def}if end md begin /letter{}N /note{}N /legal{}
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itransform 6 2 roll itransform 6 2 roll itransform 6 2 roll curveto}}{{
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0 put 10 fz 0 fs 2 F/|______Courier fnt invertflag{PaintBlack}if}N
/txpose{pxs pys scale ppr aload pop por{noflips{pop S neg S TR pop 1 -1
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not and{pop S neg S TR pop 180 rotate ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg 0
TR}if yflip xflip not and{ppr 1 get neg ppr 0 get neg TR}if}{noflips{TR
pop pop 270 rotate 1 -1 scale}if xflip yflip and{TR pop pop 90 rotate 1
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TR}if xflip yflip not and{TR pop pop 90 rotate ppr 3 get ppr 1 get neg
sub neg 0 TR}if yflip xflip not and{TR pop pop 270 rotate ppr 2 get ppr
0 get neg sub neg 0 S TR}if}ifelse scaleby96{ppr aload pop 4 -1 roll add
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maxlength dict begin /magscale true def normalscale currentpoint TR
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/psf$x psfts currentpoint /psf$cy X /psf$cx X /psf$sx psf$x psf$urx
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psf$llx psf$lly psf$urx psf$ury currentpoint 6 2 roll newpath 4 copy 4 2
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}{rhiSeen{rhi ury lly sub div dup scale llx neg lly neg TR}if}ifelse
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yrad scale 0 0 1 startangle endangle arc savematrix setmatrix}N end
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1 0 bop 246 556 a FO(Extremalpunkte)29 b(v)m(on)h(Mengen)g(v)m(on)372
660 y(Matrizen)e(mit)i(v)m(orgegeb)s(ener)608 764 y(Randv)m(erteilung)
750 1002 y FN(Diplomarb)r(ei)q(t)871 1077 y(v)n(on)765
1151 y(P)n(eter)20 b(Philip)767 2264 y(Betreut)g(v)n(on)566
2339 y(Prof.)g(Dr.)f(Ehrhard)f(Behrends)410 2497 y(F)-5
b(ac)n(h)n(b)r(ereic)n(h)21 b(Mathematik)h(und)17 b(Informatik)622
2571 y(F)-5 b(reie)21 b(Univ)n(ersit\344t)g(Berlin)694
2646 y(6.)e(Dezem)n(b)r(er)i(1996)p eop
%%Page: 1 2
1 1 bop eop
%%Page: 1 3
1 2 bop 60 556 a FM(Inhaltsv)m(erzeic)m(hnis)60 852 y
FL(0)45 b(Einleitung)1358 b(2)60 982 y(1)45 b(Grundlagen)1322
b(4)133 1063 y FK(1.1)50 b(De\034nition)16 b(v)o(on)g(k)o(on)o(v)o(ex)f
(und)h(extremal)22 b(.)i(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)
h(.)f(.)h(.)f(.)83 b(4)133 1144 y(1.2)50 b(Einige)16
b(Begri\033e)f(aus)i(der)f(Graphen)o(theorie)36 b(.)24
b(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)83
b(5)133 1225 y(1.3)50 b(Ma\377theoretisc)o(he)16 b(Grundlagen)22
b(.)i(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h
(.)f(.)h(.)f(.)83 b(7)133 1305 y(1.4)50 b(Ma\377theoretisc)o(he)16
b(Charakterisierung)g(der)g(Extremalpunkte)k(.)k(.)h(.)f(.)h(.)f(.)83
b(9)60 1435 y FL(2)45 b(Dopp)r(elt)18 b(sto)r(c)n(hastisc)n(he)i
(Matrizen)807 b(14)133 1516 y FK(2.1)50 b(De\034nition)16
b(und)h(erste)e(Eigensc)o(haften)g(.)25 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h
(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(14)133 1597
y(2.2)50 b(An)o(w)o(endung)26 b(der)f(ma\377theoretisc)o(hen)f
(Charakterisierung)h(der)h(Extre-)245 1657 y(malpunkte)c(.)j(.)f(.)h(.)
f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h
(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(24)133 1738
y(2.3)50 b(W)l(urzelb\344ume)14 b(und)j FJ(\017)p FK(-Dopp)q
(elb\344ume)f(.)25 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)
h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(31)133 1819 y(2.4)50 b(Graphen)o(theoretisc)o(he)
15 b(Charakterisierung)32 b(.)24 b(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f
(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(35)133 1900 y(2.5)50 b(Charakterisierungen)16
b(der)g(Extremalpunkte)e(f\374r)i(endlic)o(he)f(Randsysteme)36
b(52)133 1981 y(2.6)50 b(Exp)q(onierte)16 b(Punkte)39
b(.)24 b(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)
f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(67)60 2111 y
FL(3)45 b(Kardinalit\344tsb)r(etrac)n(h)n(tungen)908
b(74)133 2192 y FK(3.1)50 b(Allgemeines)32 b(.)24 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h
(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)
h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(74)133 2273 y(3.2)50 b(Der)16
b(F)l(all)g FI(2)11 b FH(\002)g FJ(!)22 b FK(.)j(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)
g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f
(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58 b(77)60 2402 y FL(A)31 b(Quelltexte)18
b(implemen)n(tierter)g(Algorithmen)589 b(86)133 2483
y FK(A.1)37 b(Mathematica-Imple)o(m)o(en)o(t)o(ation)15
b(eines)h(Algorithm)o(us)f(zur)h(Bestimm)n(ung)245 2544
y(extremaler)e(Matrizen)h(im)f(endlic)o(hen)h(F)l(all)50
b(.)24 b(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)58
b(86)133 2624 y(A.2)37 b(Mathematica-Imple)o(m)o(en)o(t)o(ation)15
b(eines)h(Algorithm)o(us)f(zur)h(Bestimm)n(ung)245 2685
y(v)o(on)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))g FK(im)e FI(2)e FH(\002)f FJ(n)16 b FK(F)l(all)25
b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)g(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h
(.)f(.)h(.)f(.)58 b(88)903 2856 y(1)p eop
%%Page: 2 4
2 3 bop 120 555 a FM(Kapitel)34 b(0)120 782 y(Einleitung)120
1027 y FK(Das)15 b(Thema)e(dieser)h(Arb)q(eit)f(\022)t(Extremalpunkte)f
(v)o(on)i(Mengen)g(v)o(on)g(Matrizen)g(mit)e(v)o(orge-)120
1087 y(geb)q(ener)19 b(Randv)o(erteilung\020)j(hat)d(folgende)g(V)l
(orgesc)o(hic)o(h)o(te:)d(Im)h(Sommer)f(1995)21 b(b)q(esc)o(h\344f-)120
1148 y(tigten)16 b(sic)o(h)g(Herr)f(Prof.)i(Dr.)f(Ehrhard)h(Behrends)f
(und)g(Herr)g(Ulric)o(h)e(V)l(oll)i(mit)e(dem)h(Pro-)120
1208 y(blemkreis)e(\022)t(optimaler)h(Couplings\020)t(.)h(Dab)q(ei)h
(wird)g(ein)e(P)o(aar)i FI(\()p FJ(X)q(;)8 b(Y)k FI(\))j
FK(v)o(on)h(me\377baren)e(Ab-)120 1268 y(bildungen)721
1368 y FJ(X)q(;)8 b(Y)26 b FI(:)21 b(\012)14 b FH(\000)-8
b(!)13 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p FH(g)-1109
b FK(\(0.1\))120 1468 y(auf)16 b(einem)e(W)l(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o(ei)
o(tsraum)e FI(\012)k FK(als)h(Coupling)f(b)q(ezeic)o(hnet,)d(falls)j
FJ(P)1604 1475 y FG(X)1652 1468 y FI(=)e FJ(\026)i FK(und)120
1528 y FJ(P)151 1535 y FG(Y)196 1528 y FI(=)d FJ(\027)t
FK(,)22 b(w)o(ob)q(ei)g FJ(\026)15 b FI(=)e(\()p FJ(\026)598
1535 y FF(1)618 1528 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\026)757
1535 y FG(n)781 1528 y FI(\))22 b FK(und)h FJ(\027)17
b FI(=)d(\()p FJ(\027)1062 1535 y FF(1)1082 1528 y FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)f(;)h(\027)1215 1535 y FG(n)1239 1528 y FI(\))22
b FK(gegeb)q(ene)h(W)l(ahrsc)o(heinlic)o(h-)120 1588
y(k)o(eitsma\377e)14 b(auf)j FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
FH(g)17 b FK(sind.)e(Man)i(k)m(ann)g(zeigen,)d(da\377)k(dann)e(immer)
680 1726 y FJ(P)7 b FH(f)p FJ(X)18 b FH(6)p FI(=)c FJ(Y)d
FH(g)j(\025)989 1706 y FF(1)p 989 1714 18 2 v 989 1743
a(2)1045 1663 y FG(n)1020 1678 y FE(X)1027 1783 y FG(i)p
FF(=1)1100 1726 y FH(j)p FJ(\026)1143 1733 y FG(i)1168
1726 y FH(\000)d FJ(\027)1242 1733 y FG(i)1256 1726 y
FH(j)-1150 b FK(\(0.2\))120 1869 y(gilt.)15 b FI(\()p
FJ(X)q(;)8 b(Y)k FI(\))k FK(wird)f(als)h(optimales)f(Coupling)h(b)q
(ezeic)o(hnet,)e(falls)h(in)h(\(0.2\))g(Gleic)o(hheit)e(gilt.)120
1930 y(Die)k(Aufgab)q(e,)g(ein)g(optimales)f(Coupling)h(zu)g(\034nden,)
g(ist)g(also)h(iden)o(tisc)o(h)e(mit)f(dem)h(Pro-)120
1990 y(blem,)g FI(\()p FJ(X)q(;)8 b(Y)j FI(\))19 b FK(so)h(zu)f(b)q
(estimmen,)c(da\377)20 b FJ(P)7 b FH(f)p FJ(X)23 b FH(6)p
FI(=)c FJ(Y)11 b FH(g)19 b FK(minim)o(iert)d(wird,)i(das)i(hei\377t,)e
(da\377)120 2050 y FJ(P)7 b FH(f)p FJ(X)28 b FI(=)23
b FJ(Y)11 b FH(g)21 b FK(maximiert)d(wird.)j(Anders)h(ausgedr\374c)o
(kt,)f(geh)o(t)g(es)h(darum,)e(ein)h(Ma\377)i FJ(M)120
2110 y FK(auf)17 b FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p
FH(g)j(\002)g(f)p FI(1)p FJ(;)d(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p FH(g)17
b FK(zu)f(\034nden,)h(so)g(da\377)h(die)e(Randv)o(erteilungen)f
FJ(\026)i FK(und)g FJ(\027)j FK(sind)120 2170 y(\(die)f(Menge)g(solc)o
(her)g(Ma\377e)h(wird)f(mit)f FH(D)q FI(\()p FJ(\026;)8
b(\027)s FI(\))21 b FK(b)q(ezeic)o(hnet\))c(und)1424
2133 y FE(P)1477 2146 y FG(n)1477 2185 y(i)p FF(=1)1544
2170 y FJ(M)5 b FI(\()p FJ(i;)j(i)p FI(\))19 b FK(maxi-)120
2231 y(miert)d(wird.)h(Aufgrund)i(der)f(sp)q(eziellen)e(Gestalt)i(der)g
(Menge)f FH(D)q FI(\()p FJ(\026;)8 b(\027)s FI(\))20
b FK(gen)o(\374gt)e(es)g(dazu,)120 2253 y FE(P)173 2267
y FG(n)173 2305 y(i)p FF(=1)240 2291 y FJ(M)5 b FI(\()p
FJ(i;)j(i)p FI(\))16 b FK(auf)g(den)h(Extremalpunkten)d(v)o(on)i
FH(D)q FI(\()p FJ(\026;)8 b(\027)s FI(\))17 b FK(zu)f(maximie)o(ren.)
120 2370 y(Somit)i(w)o(ar)h(das)h(In)o(teresse)e(an)i(der)f(Kenn)o
(tnis)f(der)h(Extremalpunkte)e(v)o(on)i(Mengen)g(v)o(on)120
2430 y(Ma\377en)c(mit)e(v)o(orgegeb)q(ener)h(Randv)o(erteilung)g(gew)o
(ec)o(kt.)e(Einige)j(Literaturrec)o(herc)o(hen)d(er-)120
2491 y(gab)q(en,)g(da\377)g(das)g(Problem)e(der)i(Charakterisierung)f
(solc)o(her)g(Extremalpunktm)o(engen)e(seit)120 2551
y(der)17 b(Arb)q(eit)f(v)o(on)i FD(birkhoff)f FK(1946)i(\(siehe)e
([1]\))f(in)h(einer)g(Vielzahl)e(v)o(on)i(Arb)q(eiten)f(un)o(ter-)120
2611 y(suc)o(h)o(t)h(w)o(orden)g(ist)h(und)f(es)h(viele)d(gel\366ste)j
(und)f(ungel\366ste)h(Probleme)d(zu)j(diesem)d(Thema)120
2671 y(gibt.)f(V)l(on)h(den)f(Un)o(tersuc)o(h)o(ungsmetho)q(den)f(her,)
h(ist)g(dab)q(ei)h(zwisc)o(hen)e(den)i(F\344llen)e(diskre-)120
2731 y(ter)20 b(Ma\377e)h(und)g(den)f(F\344llen)g(k)o(on)o(tin)o
(uierlic)o(he)o(r)e(Ma\377e)j(zu)f(un)o(tersc)o(heiden.)f(W\344rend)i
(seit)963 2856 y(2)p eop
%%Page: 3 5
3 4 bop 1746 50 a FK(3)60 203 y(der)16 b(Arb)q(eit)f(v)o(on)i
FD(grz\241\261lewicz)g FK(1987)h(\(siehe)d([4]\))h(eine)f
(Charakterisierung)h(der)g(Extre-)60 264 y(malpunkte)i(im)g(diskreten)h
(F)l(all)g(existiert,)e(ist)j(das)g(Problem)f(im)f(k)o(on)o(tin)o
(uierlic)n(hen)f(F)l(all)60 324 y(no)q(c)o(h)g(w)o(eitgehend)e
(ungel\366st)i(\(die)f(v)o(on)g FD(lindenstra)o(uss)h
FK(gegeb)q(ene)f(Charakterisierung)60 384 y(\(siehe)i([8])g(und)g(Absc)
o(hnitt)g(1.4\))g(erw)o(eist)g(sic)o(h)f(nic)o(h)o(t)h(als)g(sehr)h
(hilfreic)o(h,)c(w)o(enn)j(man)g(f\374r)60 444 y(ein)e(v)o(orgegeb)q
(enes)g(Ma\377)g(en)o(tsc)o(heiden)f(m\366)q(c)o(h)o(te,)f(ob)i(es)h
(extremal)c(ist)j(o)q(der)h(nic)o(h)o(t\).)60 525 y(In)j(dieser)f(Arb)q
(eit)g(\(resp)q(ektiv)o(e)f(in)i(Kapitel)f(2\))i(w)o(erden)e(die)g(b)q
(ek)m(ann)o(ten)h(Charakterisie-)60 585 y(rungen)h(im)d(diskreten)i(F)l
(all)f(\(taditionell)g(w)o(erden)h(dab)q(ei)g(Pro)q(duktma\377e)h(mit)d
(Matrizen)60 645 y(iden)o(ti\034ziert\))11 b(zusammengestell)o(t)g(und)
i(in)h(einigen)e(F\344llen)h(v)o(erallgeme)o(inert)d(und)k(erg\344nzt)
60 706 y(\(zum)i(Beispiel)f(w)o(erden)i(auc)o(h)g(\374b)q
(erabz\344hlbare)h(diskrete)e(Ma\377r\344ume)h(b)q(etrac)o(h)o(tet\).)f
(Da-)60 766 y(b)q(ei)21 b(wird)g(zun\344c)o(hst)g(in)g(Absc)o(hnitt)f
(2.2)h(der)g(Satz)g(v)o(on)h FD(lindenstra)o(uss)f FK(auf)g(diskrete)60
826 y(Ma\377e)15 b(angew)o(endet.)f(In)g(Absc)o(hnitt)g(2.4)h(w)o
(erden)f(dann)i(die)e(Charakterisierungen)g(aus)i([4)o(])60
886 y(zusammengestell)o(t,)j(w)o(ob)q(ei)j(hier)f(k)o(onsequen)o(t)g
(die)g(Sprac)o(he)h(der)f(Graphen)o(theorie)h(v)o(er-)60
946 y(w)o(endet)13 b(wird)h(\(neu)g(sind)f(die)h(S\344tze)f(2.4.3)h
(und)g(2.4.23\).)g(In)g(Absc)o(hnitt)f(2.6)h(w)o(erden)f(einige)60
1007 y(Asp)q(ekte)e(des)h(sc)o(hein)o(bar)f(sehr)h(sc)o(h)o(wierigen)e
(Problems)h(exp)q(onierter)g(Punkte)h(v)o(on)f(Mengen)60
1067 y(v)o(on)16 b(Matrizen)f(mit)g(v)o(orgegeb)q(ener)h(Randv)o
(erteilung)f(b)q(etrac)o(h)o(tet.)60 1148 y(Am)i(leic)o(h)o(testen)g
(ist)h(die)h(Charakterisierung)g(der)f(Extremalpunkte)f(erw)o
(artungsgem\344\377)60 1208 y(f\374r)22 b(endlic)o(he)e(diskrete)h
(Ma\377e.)h(Dieser)g(F)l(all)f(wird)h(in)g(Absc)o(hnitt)f(2.5)h(b)q
(ehandelt.)g(Man)60 1268 y(k)o(enn)o(t)d(in)h(diesem)d(F)l(all)j(sogar)
h(einen)e(Algorithm)o(us,)f(der)h(die)h(Extremalpunkte)e(erzeugt)60
1328 y(\(siehe)d(Absc)o(hnitt)h(A.1)f(f\374r)h(eine)g(Implem)o(en)n
(tation\).)60 1409 y(In)j(Kapitel)f(3)i(wird)f(in)g(v)o(ersc)o
(hiedenen)e(F\344llen)h(die)h(Kardinalit\344t)g(der)g(Extremalpunkt-)60
1469 y(mengen)14 b(b)q(estimm)o(t.)f(Sc)o(hon)j(im)e(endlic)o(hen)g(F)l
(all)h(gibt)h(es)g(hier)f(no)q(c)o(h)h(viele)e(o\033ene)i(F)l(ragen.)60
1530 y(Zum)f(Beispiel)g(sc)o(hein)o(t)g(es)i(bisher)f(k)o(einen)f
(Algorithm)o(us)g(zu)h(geb)q(en,)h(der)f(die)g(Anzahl)g(der)60
1590 y(Extremalpunkte)10 b(b)q(erec)o(hnet,)g(ohne)j(sie)e(alle)h
(explizit)e(zu)h(b)q(estimmen.)e(F\374r)j(den)g FI(2)s
FH(\002)s FJ(n)p FK(-F)l(all)60 1650 y(ist)j(es)h(gelungen,)f(einen)g
(solc)o(hen)g(Algorithm)o(us)e(zu)j(\034nden)f(\(siehe)g(De\034nition)g
(3.2.1,)h(Satz)60 1710 y(3.2.3)c(und)f(A.2\).)f(Allerdings)g(m)o(u\377)
g(f\374r)i(diesen)e(Algorithm)o(us)f(das)j(sogenann)o(te)g(\022)t
(Knapsac)o(k-)60 1770 y(Problem\020)23 b(gel\366st)c(w)o(erden,)g(v)o
(on)h(dem)e(b)q(ek)m(ann)o(t)i(ist,)f(da\377)h(es)g(NP-v)o
(ollst\344ndig)f(ist)h(\(siehe)60 1831 y(zum)15 b(Beispiel)f([3,)h(S.)h
(247]\).)60 1912 y(Als)g(Ausblic)o(k)e(sei)i(erw)o(\344hn)o(t,)f
(da\377)i(eine)e(F)l(ortf\374hrung)i(der)f(Arb)q(eit)f(in)h(v)o(ersc)o
(hiedene)e(Ric)o(h-)60 1972 y(tungen)h(in)o(teressan)o(t)e(ersc)o(hein)
o(t.)f(Zum)h(einen)g(stellt)g(sic)o(h)h(die)g(F)l(rage,)g(wie)f(sic)o
(h)h(die)f(Theorie)60 2032 y(v)o(er\344ndert,)21 b(w)o(enn)h(die)g
(Ma\377e)g(nic)o(h)o(t)f(l\344nger)h(reellw)o(ertig)e(sind)j(\(man)e(k)
o(\366nn)o(te)h(sic)o(h)f(v)o(or-)60 2092 y(stellen,)e(W)l(erte)i(in)g
(einem)e(Banac)o(hraum)h(zuzulassen,)g(auf)i(dem)d(ein)i(spitzer)f
(Kegel)h(ei-)60 2152 y(ne)d(Ordn)o(ungsstruktur)i(liefert\).)c(In)i
(der)h(anderen)f(Ric)o(h)o(tung)g(k)m(ann)h(man)f(Pro)q(duktma\377e)60
2213 y(mit)h(v)o(orgegeb)q(ener)h(Randv)o(erteilung)g(mit)f(mehr)g(als)
i(zw)o(ei)e(Komp)q(onen)o(ten)h(b)q(etrac)o(h)o(ten.)60
2273 y(Sc)o(hlie\377lic)o(h)13 b(bleibt)j(no)q(c)o(h)g(das)h(w)o(eite)e
(F)l(eld)g(k)o(on)o(tin)o(uierlic)o(he)o(r)f(Ma\377e.)60
2354 y(An)g(dieser)g(Stelle)g(m\366)q(c)o(h)o(te)e(ic)o(h)i(Herrn)g
(Prof.)h(Dr.)f(Ehrhard)i(Behrends)e(f\374r)g(die)h(Betreuung)60
2414 y(dieser)d(Arb)q(eit)g(dank)o(en,)f(so)o(wie)i(f\374r)f(viele)f
(hilfreic)o(he)f(Anregungen)j(und)f(Gespr\344c)o(he.)g(Eb)q(en-)60
2474 y(so)h(gilt)e(mein)g(Dank)h(den)g(Mitgliedern)f(der)h(\022)t(Mon)o
(tagsarb)q(eitsgrupp)q(e\020)t(,)i(die)d(eb)q(enfalls)h(gute)60
2534 y(Anregungen)k(f\374r)g(meine)e(Arb)q(eit)i(lieferten.)p
eop
%%Page: 4 6
4 5 bop 120 554 a FM(Kapitel)34 b(1)120 780 y(Grundlagen)120
1056 y FC(1.1)77 b(De\034nition)25 b(v)n(on)g(k)n(on)n(v)n(ex)g(und)h
(extremal)120 1183 y FL(De\034nition)19 b(1.1.1.)24 b
FK(Eine)f(T)l(eilmenge)f FJ(M)29 b FK(eines)23 b(reellen)g(V)l
(ektorraums)f(hei\377t)i FB(konvex)120 1244 y FK(genau)17
b(dann,)f(w)o(enn)682 1337 y FH(8)641 1368 y FG(x;y)q
FA(2)p FG(M)807 1337 y FH(8)764 1368 y FF(0)p FA(\024)p
FG(\013)p FA(\024)p FF(1)877 1337 y FJ(\013)9 b(x)i FI(+)g(\(1)g
FH(\000)g FJ(\013)p FI(\))p FJ(y)16 b FH(2)e FJ(M)r(:)-1189
b FK(\(1.1\))120 1451 y FL(De\034nition)19 b(1.1.2.)24
b FK(Sei)11 b FJ(M)17 b FK(eine)10 b(k)o(on)o(v)o(exe)g(Menge)h
(gem\344\377)g(De\034nition)h(1.1.1)g(und)f FJ(x)j FH(2)g
FJ(M)5 b FK(.)120 1511 y(Man)16 b(nenn)o(t)g FJ(x)g FK(einen)g
FB(Extr)n(emalpunkt)h FK(v)o(on)f FJ(M)22 b FK(genau)17
b(dann,)f(w)o(enn)436 1605 y FH(8)378 1636 y FG(x)398
1641 y Fz(1)415 1636 y FG(;x)445 1641 y Fz(2)462 1636
y FA(2)p FG(M)579 1605 y FH(8)537 1635 y FF(0)p FG(<\013<)p
FF(1)649 1605 y FI(\()p FJ(x)e FI(=)g FJ(\013)8 b(x)829
1612 y FF(1)860 1605 y FI(+)j(\(1)g FH(\000)g FJ(\013)p
FI(\))p FJ(x)1091 1612 y FF(2)1174 1605 y FH(\))62 b
FJ(x)13 b FI(=)h FJ(x)1407 1612 y FF(1)1441 1605 y FI(=)f
FJ(x)1520 1612 y FF(2)1540 1605 y FI(\))p FJ(:)-1453
b FK(\(1.2\))120 1722 y(Die)16 b(Menge)f(der)h(Extremalpunkte)e(v)o(on)
j FJ(M)k FK(b)q(ezeic)o(hne)15 b(mit)f(E)p FI(\()p FJ(M)5
b FI(\))p FK(.)120 1888 y(Es)18 b(ist)g(manc)o(hmal)d(n)o(\374tzlic)o
(h)g(zu)j(wissen,)f(da\377)i(es)f(f\374r)f(k)o(on)o(v)o(exes)f
FJ(M)23 b FK(und)c(einen)d(als)i(Kon-)120 1948 y(v)o(exk)o(om)o(bi)o
(nation)f FJ(x)h FI(=)g FJ(\013x)636 1955 y FF(1)668
1948 y FI(+)13 b(\(1)g FH(\000)g FJ(\013)p FI(\))p FJ(x)905
1955 y FF(2)943 1948 y FK(gegeb)q(enen)19 b(Punkt)g FJ(x)f
FH(2)g FJ(M)24 b FK(mit)17 b FJ(x)1619 1955 y FF(1)1639
1948 y FJ(;)8 b(x)1689 1955 y FF(2)1726 1948 y FH(2)19
b FJ(M)120 2008 y FK(und)f FJ(\013)e FH(2)p FI(]0)p FJ(;)8
b FI(1[)18 b FK(imme)o(r)d(Punkte)20 b FI(~)-27 b FJ(x)767
2015 y FF(1)786 2008 y FJ(;)11 b FI(~)-27 b FJ(x)836
2015 y FF(2)872 2008 y FH(2)16 b FJ(M)23 b FK(gibt,)17
b(so)h(da\377)h FJ(x)c FI(=)1363 1989 y FF(1)p 1363 1997
18 2 v 1363 2026 a(2)1386 2008 y FJ(x)1414 2015 y FF(1)1445
2008 y FI(+)1500 1989 y FF(1)p 1500 1997 V 1500 2026
a(2)1523 2008 y FJ(x)1551 2015 y FF(2)1570 2008 y FK(.)i(Es)h(gilt)f
(das)120 2069 y(folgende)f(Lemma:)120 2156 y FL(Lemma)i(1.1.3.)23
b FK(Sei)15 b FJ(M)22 b FK(eine)15 b(k)o(on)o(v)o(exe)f(Menge)i(und)h
FJ(x)c FH(2)h FJ(M)5 b FK(.)16 b(Dann)h(ist)319 2275
y FJ(x)d FH(2)g FK(E)p FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))63 b FH(,)121
b(8)706 2306 y FG(x)726 2311 y Fz(1)743 2306 y FG(;x)773
2311 y Fz(2)790 2306 y FA(2)p FG(M)873 2205 y FE(\022)910
2275 y FJ(x)14 b FI(=)1008 2242 y(1)p 1008 2264 25 2
v 1008 2310 a(2)1046 2275 y FJ(x)1074 2282 y FF(1)1105
2275 y FI(+)1159 2242 y(1)p 1159 2264 V 1159 2310 a(2)1196
2275 y FJ(x)1224 2282 y FF(2)1306 2275 y FH(\))63 b FJ(x)13
b FI(=)h FJ(x)1540 2282 y FF(1)1573 2275 y FI(=)g FJ(x)1653
2282 y FF(2)1673 2205 y FE(\023)1718 2275 y FJ(:)-1612
b FK(\(1.3\))120 2419 y FB(Beweis.)26 b FK(Der)11 b(\022)t
FH(\))p FK(\020)t(-T)l(eil)g(folgt,)g(indem)e(man)i(in)g(\(1.2\))g
FJ(\013)k FI(=)1224 2399 y FF(1)p 1224 2407 18 2 v 1224
2436 a(2)1258 2419 y FK(setzt.)c(Bleibt)e(\022)t FH(\()p
FK(\020)16 b(zu)11 b(zeigen.)120 2479 y(Angenommen)k(es)j(gibt)g
FJ(x)618 2486 y FF(1)638 2479 y FJ(;)8 b(x)688 2486 y
FF(2)724 2479 y FH(2)17 b FJ(M)23 b FK(und)c FI(0)e FJ(<)g(\013)g(<)g
FI(1)p FK(,)h(so)h(da\377)g FJ(x)d FI(=)h FJ(\013)9 b(x)1522
2486 y FF(1)1553 2479 y FI(+)21 b(\(1)13 b FH(\000)f
FJ(\013)p FI(\))p FJ(x)1797 2486 y FF(2)1816 2479 y FJ(:)120
2539 y FK(Indem)21 b(man)h(zur)h(Not)g(die)f(Indizes)g(v)o(on)h
FJ(x)969 2546 y FF(1)1011 2539 y FK(und)g FJ(x)1143 2546
y FF(2)1186 2539 y FK(v)o(ertausc)o(h)o(t,)e(k)m(ann)j(man)e
FJ(\013)j FH(\025)1807 2520 y FF(1)p 1807 2528 V 1807
2556 a(2)120 2599 y FK(annehmen.)15 b(Setze)444 2709
y FJ(y)468 2716 y FF(1)501 2709 y FI(=)f FJ(x)581 2716
y FF(1)649 2709 y FK(und)49 b FJ(y)803 2716 y FF(2)837
2709 y FI(=)893 2675 y(2)p FJ(\013)12 b FH(\000)f FI(1)p
893 2698 141 2 v 948 2743 a FJ(\013)1039 2709 y(x)g FI(+)1127
2639 y FE(\022)1164 2709 y FI(1)g FH(\000)1254 2675 y
FI(2)p FJ(\013)h FH(\000)f FI(1)p 1254 2698 V 1309 2743
a FJ(\013)1400 2639 y FE(\023)1445 2709 y FJ(x)1473 2716
y FF(2)1492 2709 y FJ(:)963 2856 y FK(4)p eop
%%Page: 5 7
5 6 bop 60 50 a Fy(1.2.)32 b(EINIGE)16 b(BEGRIFFE)g(A)o(US)f(DER)h
(GRAPHENTHEORIE)394 b FK(5)60 203 y(Im)11 b(In)o(terv)m(all)g
FI([)340 184 y FF(1)p 340 192 18 2 v 340 221 a(2)362
203 y FJ(;)d FI(1])13 b FK(ist)505 184 y FF(2)p FG(\013)p
FA(\000)p FF(1)p 505 192 86 2 v 536 221 a FG(\013)608
203 y FK(streng)g(monoton)g(steigend)f(\(die)g(Ableitung)g(ist)1535
184 y FF(1)p 1523 192 40 2 v 1523 221 a FG(\013)1546
211 y Fz(2)1568 203 y FK(\),)h(und)g(die)60 264 y(Randw)o(erte)k(sind)g
FI(0)h FK(f\374r)g FJ(\013)e FI(=)638 244 y FF(1)p 638
252 18 2 v 638 281 a(2)678 264 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)g
FI(1)i FK(f\374r)f FJ(\013)f FI(=)g(1)p FJ(:)i FK(Also)f(ist)g
FI(0)d FH(\024)1589 244 y FF(2)p FG(\013)p FA(\000)p
FF(1)p 1589 252 86 2 v 1620 281 a FG(\013)1693 264 y
FH(\024)g FI(1)60 324 y FK(f\374r)143 304 y FF(1)p 143
312 18 2 v 143 341 a(2)179 324 y FH(\024)g FJ(\013)g
FH(\024)g FI(1)p FK(.)j(Da)g FJ(M)22 b FK(k)o(on)o(v)o(ex)16
b(ist,)g(folgt)h FJ(y)915 331 y FF(2)949 324 y FH(2)e
FJ(M)r(:)j FK(Nun)e(erh\344lt)h(man,)e(wie)i(gew\374nsc)o(h)o(t,)60
384 y FJ(x)f FK(als)g(Kon)o(v)o(exk)o(om)o(bination)e(v)o(on)i
FJ(y)734 391 y FF(1)769 384 y FK(und)h FJ(y)891 391 y
FF(2)910 384 y FK(:)219 472 y FI(1)p 219 495 25 2 v 219
540 a(2)248 506 y FJ(y)272 513 y FF(1)303 506 y FI(+)357
472 y(1)p 357 495 V 357 540 a(2)386 506 y FJ(y)410 513
y FF(2)443 506 y FI(=)500 472 y(1)p 500 495 V 500 540
a(2)530 506 y FJ(x)558 513 y FF(1)588 506 y FI(+)642
472 y(1)p 642 495 V 642 540 a(2)680 436 y FE(\022)721
472 y FI(2)p FJ(\013)12 b FH(\000)f FI(1)p 721 495 141
2 v 776 540 a FJ(\013)867 506 y FI(\()p FJ(\013x)945
513 y FF(1)976 506 y FI(+)g(\(1)h FH(\000)e FJ(\013)p
FI(\))p FJ(x)1207 513 y FF(2)1227 506 y FI(\))h(+)1306
436 y FE(\022)1343 506 y FI(1)g FH(\000)1433 472 y FI(2)p
FJ(\013)h FH(\000)f FI(1)p 1433 495 V 1488 540 a FJ(\013)1579
436 y FE(\023)1624 506 y FJ(x)1652 513 y FF(2)1671 436
y FE(\023)443 642 y FI(=)j FJ(\013x)554 649 y FF(1)585
642 y FI(+)d(\(1)g FH(\000)g FJ(\013)p FI(\))p FJ(x)816
649 y FF(2)844 572 y FE(\022)902 609 y FI(1)p 886 631
56 2 v 886 676 a(2)p FJ(\013)958 642 y FI(+)1012 609
y(2)p FJ(\013)h FH(\000)e FI(1)p 1012 631 141 2 v 1054
676 a(2)p FJ(\013)1158 572 y FE(\023)1208 642 y FI(=)k
FJ(\013x)1319 649 y FF(1)1350 642 y FI(+)d(\(1)g FH(\000)g
FJ(\013)p FI(\))p FJ(x)1581 649 y FF(2)1615 642 y FI(=)i
FJ(x:)60 764 y FK(Nac)o(h)k(V)l(oraussetzung)h(ist)f(damit)g
FJ(x)c FI(=)h FJ(y)839 771 y FF(1)872 764 y FI(=)g FJ(y)948
771 y FF(2)967 764 y FK(,)k(das)g(hei\377t)f FJ(x)d FI(=)f
FJ(x)1331 771 y FF(1)1351 764 y FK(.)k(Daraus)i(folgt)e(dann)60
824 y(auc)o(h)f FJ(x)e FI(=)f FJ(x)296 831 y FF(2)316
824 y FK(.)1401 b Fx(\004)60 914 y FL(Bemerkung)17 b(1.1.4.)23
b FK(Sind)15 b FJ(M)5 b FK(,)722 902 y FI(~)704 914 y
FJ(M)20 b FK(k)o(on)o(v)o(exe)13 b(Mengen)h(und)h FJ(L)f
FI(:)25 b FJ(M)19 b FH(\000)-9 b(!)1495 902 y FI(~)1477
914 y FJ(M)20 b FK(eine)14 b(a\036ne,)60 974 y(bijektiv)o(e)g
(Abbildung,)h(so)i(ist)f FJ(L)p FI(\()p FK(E)p FI(\()p
FJ(M)5 b FI(\)\))14 b(=)g FK(E)p FI(\()969 962 y(~)951
974 y FJ(M)6 b FI(\))p FK(.)60 1157 y FC(1.2)77 b(Einige)25
b(Begri\033e)g(aus)g(der)h(Graphen)n(theorie)60 1286
y FL(De\034nition)19 b(1.2.1.)24 b FK(Ein)11 b FB(Gr)n(aph)g
FJ(G)j FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))k FK(ist)g(ein)f(P)o(aar)h
(aus)h(einer)e(Menge)g FJ(V)26 b FI(=)13 b FJ(V)f FI(\()p
FJ(G)p FI(\))60 1346 y FK(v)o(on)25 b FB(Ecken)i FK(\(V)l(ertices\))d
(und)h(einer)f(Menge)h FJ(E)32 b FI(=)d FJ(E)s FI(\()p
FJ(G)p FI(\))h FH(\022)1293 1306 y FE(\000)1316 1324
y FG(V)1321 1363 y FF(2)1344 1306 y FE(\001)1392 1346
y FK(v)o(on)c FB(Kanten)h FK(\(Ed-)60 1412 y(ges\).)175
1372 y FE(\000)198 1390 y FG(V)204 1430 y FF(2)227 1372
y FE(\001)267 1412 y FK(ist)17 b(die)g(Menge)g(der)h(zw)o(eielem)o(en)n
(tigen)d(T)l(eilmengen)g(v)o(on)i FJ(V)11 b FK(.)17 b(Ein)h
FB(gewichteter)60 1473 y(Gr)n(aph)c FJ(G)h FI(=)f(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))16 b FK(ist)f(ein)h(Graph)g
FI(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))16 b FK(zusammen)e(mit)g(einer)h
FB(Gewichtsfunktion)60 1533 y FJ(w)g FI(:)e FJ(E)k FH(\000)-8
b(!)13 b Fw(R)m FK(.)60 1623 y FL(De\034nition)19 b(1.2.2.)24
b FK(Ein)e(Graph)i FJ(G)770 1605 y FA(0)807 1623 y FI(=)i(\()p
FJ(V)929 1605 y FA(0)941 1623 y FJ(;)8 b(E)1002 1605
y FA(0)1013 1623 y FI(\))23 b FK(ist)g(ein)f FB(Sub-)i
FK(o)q(der)g FB(T)l(eilgr)n(aph)f FK(eines)60 1683 y(Graphen)f
FJ(G)g FI(=)h(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))21 b FK(genau)h(dann,)f(w)o
(enn)g FJ(V)994 1665 y FA(0)1028 1683 y FH(\022)h FJ(V)33
b FK(und)21 b FJ(E)1291 1665 y FA(0)1325 1683 y FH(\022)h
FJ(E)s FK(.)f(In)g(diesem)e(F)l(all)60 1743 y(sc)o(hreib)q(e)k
FJ(G)293 1725 y FA(0)333 1743 y FH(\024)k FJ(G)e FK(\(im)e(F)l(all)g
(gewic)o(h)o(teter)g(Graphen)i FJ(G)14 b FI(=)g(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))24 b FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(ei-)60
1803 y(se)h FJ(G)164 1785 y FA(0)190 1803 y FI(=)14 b(\()p
FJ(V)300 1785 y FA(0)312 1803 y FJ(;)8 b(E)373 1785 y
FA(0)384 1803 y FJ(;)g(w)442 1785 y FA(0)454 1803 y FI(\))25
b FK(wird)g(zus\344tzlic)o(h)f(v)o(erlangt,)g(da\377)i
FJ(w)1200 1785 y FA(0)1225 1803 y FI(=)14 b FJ(w)q Fx(\030)1334
1810 y FG(E)1362 1801 y Fv(0)1375 1803 y FK(\).)25 b(Ist)g
FJ(U)34 b FH(\022)28 b FJ(V)12 b FK(,)24 b(so)60 1863
y(hei\377t)12 b FJ(G)p Fx(\030)237 1870 y FG(U)281 1863
y FI(:=)h(\()p FJ(U;)8 b(E)14 b FH(\\)514 1823 y FE(\000)537
1841 y FG(U)542 1881 y FF(2)564 1823 y FE(\001)587 1863
y FI(\))f FK(der)f(v)o(on)h FJ(U)k FB(induzierte)e(T)l(eilgr)n(aph)e
FK(v)o(on)f FJ(G)i FK(\(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)60 1930
y FJ(G)p Fx(\030)119 1937 y FG(U)163 1930 y FI(:=)f(\()p
FJ(U;)8 b(E)14 b FH(\\)396 1889 y FE(\000)419 1908 y
FG(U)424 1947 y FF(2)446 1889 y FE(\001)469 1930 y FJ(;)8
b(w)q Fx(\030)548 1946 y FG(E)r FA(\\)600 1950 y FI(\()618
1931 y Fu(U)622 1959 y Fz(2)642 1950 y FI(\))663 1930
y(\))16 b FK(im)e(gewic)o(h)o(teten)h(F)l(all\).)60 2043
y FL(De\034nition)k(1.2.3.)24 b FK(Seien)13 b FJ(G)h
FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))p FK(,)13 b FJ(G)901
2025 y FA(0)927 2043 y FI(=)h(\()p FJ(V)1037 2025 y FA(0)1049
2043 y FJ(;)8 b(E)1110 2025 y FA(0)1122 2043 y FI(\))o
FK(,)1179 2031 y FI(^)1168 2043 y FJ(G)14 b FI(=)g(\()1298
2031 y(^)1291 2043 y FJ(V)d(;)1364 2031 y FI(^)1352 2043
y FJ(E)s FI(\))j FK(Graphen,)g(so)h(da\377)71 2091 y
FI(^)60 2104 y FJ(G)f FH(\024)g FJ(G)p FK(,)i FJ(V)272
2086 y FA(0)295 2104 y FH(\\)11 b FJ(V)26 b FI(=)13 b
FH(;)p FK(,)j FJ(E)538 2086 y FA(0)561 2104 y FH(\\)11
b FJ(E)17 b FI(=)d FH(;)p FK(.)60 2212 y FL(\(a\))24
b FK(De\034niere)c FJ(G)11 b FH(\000)472 2200 y FI(^)464
2212 y FJ(V)25 b FI(:=)14 b FJ(G)p Fx(\030)642 2227 y
FG(V)7 b FA(n)693 2218 y FF(^)688 2227 y FG(V)718 2212
y FK(,)21 b FJ(G)11 b FH(\000)863 2200 y FI(^)852 2212
y FJ(E)17 b FI(:=)c(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)14 b FH(n)1140
2200 y FI(^)1128 2212 y FJ(E)s FI(\))p FK(,)21 b FJ(G)11
b FH(\000)1331 2200 y FI(^)1320 2212 y FJ(G)j FI(:=)g
FJ(G)d FH(\000)1548 2200 y FI(^)1537 2212 y FJ(E)j FH(\000)1644
2200 y FI(^)1637 2212 y FJ(V)32 b FK(\(im)182 2273 y(F)l(all)15
b(eines)h(gewic)o(h)o(teten)e(Graphen)j FJ(G)d FI(=)g(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))16 b FK(erfolgen)g(die)f(De\034nitionen)
h(ge-)182 2333 y(nauso,)g(n)o(ur)g(da\377)h(dann)f FJ(G)11
b FH(\000)745 2320 y FI(^)733 2333 y FJ(E)17 b FI(:=)c(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)15 b FH(n)1021 2320 y FI(^)1010 2333 y
FJ(E)s(;)8 b(w)q Fx(\030)1128 2347 y FG(E)r FA(n)1181
2339 y FF(^)1174 2347 y FG(E)1203 2333 y FI(\))o FK(.)16
b(F\374r)1352 2320 y FI(^)1344 2333 y FJ(V)26 b FI(=)13
b FH(f)p FJ(v)r FH(g)i FK(k)o(\366nnen)h(die)182 2393
y(Mengenklamm)o(ern)c(auc)o(h)j(w)o(eggelassen)h(w)o(erden,)e(das)i
(hei\377t,)e(man)g(sc)o(hreibt)g FJ(G)e FH(\000)f FJ(v)182
2453 y FK(f\374r)16 b FJ(G)c FH(\000)f(f)p FJ(v)r FH(g)o
FK(.)60 2551 y FL(\(b\))24 b FK(De\034niere)194 b FJ(G)11
b FI(+)g FJ(G)679 2533 y FA(0)705 2551 y FI(:=)j(\()p
FJ(V)839 2545 y FI(_)829 2551 y FH([)p FJ(V)901 2533
y FA(0)913 2551 y FJ(;)8 b(E)984 2545 y FI(_)974 2551
y FH([)p FJ(E)1046 2533 y FA(0)1058 2551 y FI(\))p FK(,)194
b FJ(G)12 b FI(+)1373 2558 y FG(v)1404 2551 y FJ(V)1443
2533 y FA(0)1469 2551 y FI(:=)h(\()p FJ(V)1602 2545 y
FI(_)1592 2551 y FH([)q FJ(V)1665 2533 y FA(0)1677 2551
y FJ(;)8 b(E)s FI(\))o FK(,)182 2611 y FJ(G)j FI(+)269
2618 y FG(e)299 2611 y FJ(E)338 2593 y FA(0)363 2611
y FI(:=)j(\()p FJ(V)22 b FH([)542 2574 y FE(S)584 2626
y FG(e)p FA(2)p FG(E)652 2616 y Fv(0)673 2611 y FJ(e;)8
b(E)766 2605 y FI(_)757 2611 y FH([)p FJ(E)829 2593 y
FA(0)840 2611 y FI(\))105 b FK(\(im)e(F)l(all)h(gewic)o(h)o(teter)f
(Gra-)182 2671 y(phen)121 b FJ(G)14 b FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(,)121 b FJ(G)871 2653 y FA(0)897
2671 y FI(=)13 b(\()p FJ(V)1007 2653 y FA(0)1018 2671
y FJ(;)8 b(E)1079 2653 y FA(0)1091 2671 y FJ(;)g(w)1149
2653 y FA(0)1161 2671 y FI(\))121 b FK(de\034niere)e(en)o(tspre-)182
2731 y(c)o(hend)143 b FJ(G)12 b FI(+)f FJ(G)586 2713
y FA(0)612 2731 y FI(:=)i(\()p FJ(V)745 2725 y FI(_)735
2731 y FH([)q FJ(V)808 2713 y FA(0)819 2731 y FJ(;)8
b(E)890 2725 y FI(_)880 2731 y FH([)q FJ(E)953 2713 y
FA(0)964 2731 y FJ(;)g(w)1021 2738 y FF(+)1050 2731 y
FI(\))p FK(,)144 b FJ(G)12 b FI(+)1315 2738 y FG(v)1346
2731 y FJ(V)1385 2713 y FA(0)1411 2731 y FI(:=)h(\()p
FJ(V)1544 2725 y FI(_)1534 2731 y FH([)q FJ(V)1607 2713
y FA(0)1619 2731 y FJ(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))o FK(,)p
eop
%%Page: 6 8
6 7 bop 120 50 a FK(6)1018 b Fy(KAPITEL)17 b(1.)32 b(GR)o(UNDLA)o(GEN)
242 203 y FJ(G)11 b FI(+)329 210 y FG(e)359 203 y FJ(E)398
185 y FA(0)423 203 y FI(:=)j(\()p FJ(V)22 b FH([)602
166 y FE(S)644 218 y FG(e)p FA(2)p FG(E)712 208 y Fv(0)733
203 y FJ(e;)8 b(E)826 197 y FI(_)817 203 y FH([)p FJ(E)889
185 y FA(0)900 203 y FJ(;)g(w)957 210 y FF(+)987 203
y FI(\))p FK(,)144 b(w)o(ob)q(ei)g FJ(w)1465 210 y FF(+)1508
203 y FI(:)28 b FJ(E)1598 197 y FI(_)1589 203 y FH([)p
FJ(E)1661 185 y FA(0)1686 203 y FH(\000)-8 b(!)13 b Fw(R)m
FK(,)242 311 y FJ(w)277 318 y FF(+)306 311 y FI(\()p
FJ(e)p FI(\))h(:=)446 226 y FE(\()486 277 y FJ(w)q FI(\()p
FJ(e)p FI(\))77 b FK(f\374r)16 b FJ(e)d FH(2)h FJ(E)s(;)486
349 y(w)522 331 y FA(0)534 349 y FI(\()p FJ(e)p FI(\))65
b FK(f\374r)16 b FJ(e)d FH(2)h FJ(E)859 331 y FA(0)878
311 y FK(\).)120 463 y FL(De\034nition)19 b(1.2.4.)24
b FK(Sei)18 b FJ(G)g FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))19
b FK(ein)f(Graph.)h(Jeder)f(Ec)o(k)o(e)g FJ(v)h FH(2)f
FJ(V)31 b FK(wird)18 b(ihr)g FB(Gr)n(ad)120 523 y FJ(d)145
530 y FG(G)175 523 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))f FK(zugeordnet.)g(Es)h(ist)g
FJ(d)685 530 y FG(G)715 523 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))d(:=)h(#)p
FH(f)p FJ(e)f FH(2)i FJ(E)i FI(:)24 b FJ(v)18 b FH(2)e
FJ(e)p FH(g)p FK(.)h(W)l(enn)h(es)f(aus)i(dem)d(Zusam-)120
583 y(menhang)21 b(klar)f(ist,)h(w)o(elc)o(her)e(Graph)j(gemein)o(t)d
(ist,)h(so)i(sc)o(hreibt)e(man)h(auc)o(h)g FJ(d)p FI(\()p
FJ(v)r FI(\))f FK(statt)120 643 y FJ(d)145 650 y FG(G)175
643 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))o FK(.)120 751 y FL(De\034nition)f(1.2.5.)24
b FK(Sei)17 b FJ(G)h FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))18
b FK(ein)g(Graph.)g(Ein)g FB(Kantenzug)j FJ(K)h FK(ist)d(eine)e(Abbil-)
120 811 y(dung)23 b FJ(K)28 b FI(:)23 b FJ(A)h FH(\000)-9
b(!)24 b FJ(V)11 b FK(,)22 b(w)o(ob)q(ei)g FJ(A)g FK(ein)f(\(m\366glic)
o(herw)o(eise)e(unendlic)o(her\))h(Absc)o(hnitt)h(v)o(on)120
871 y Fw(Z)8 b FK(ist,)22 b(und)g(f\374r)g FJ(i;)8 b(i)14
b FI(+)h(1)24 b FH(2)g FJ(A)e FK(ist)g FH(f)p FJ(v)859
878 y FG(i)872 871 y FJ(;)8 b(v)918 878 y FG(i)p FF(+1)977
871 y FH(g)23 b(2)h FJ(E)s FK(.)e FJ(l)q FI(\()p FJ(K)t
FI(\))h(:=)h(#)p FJ(A)d FK(ist)h(die)f(L\344nge)i(des)120
931 y(Kan)o(tenzuges.)e(Ist)g FJ(A)i FI(=)g(\()p FJ(i)659
938 y FF(0)678 931 y FJ(;)8 b(i)717 938 y FF(0)751 931
y FI(+)15 b(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(i)954 938 y
FF(0)988 931 y FI(+)15 b FJ(k)r FI(\))22 b FK(endlic)o(h)e(und)h
FJ(v)1407 938 y FG(i)1419 943 y Fz(0)1461 931 y FI(=)i
FJ(v)1546 938 y FG(i)1558 943 y Fz(0)1575 938 y FF(+)p
FG(k)1624 931 y FK(,)e(so)h(hei\377t)120 992 y FJ(K)k
FK(ein)c FB(geschlossener)i(Kantenzug)p FK(,)g(ansonsten)g(ein)d
FB(o\033ener)i(Kantenzug)p FK(.)h(Ein)e(injekti-)120
1052 y(v)o(er)17 b(Kan)o(tenzug)h(hei\377t)f(ein)g FB(W)l(e)n(g)p
FK(.)h(Seien)f FJ(u;)8 b(v)17 b FH(2)g FJ(V)11 b FK(.)17
b(Ein)h FJ(uv)r FB(-W)l(e)n(g)f FK(ist)h(ein)f(endlic)o(her)f(W)l(eg)
120 1112 y FJ(W)21 b FI(:)g(\()p FJ(i)258 1119 y FF(0)278
1112 y FJ(;)8 b(i)317 1119 y FF(0)347 1112 y FI(+)j(1)p
FJ(;)d(:)g(:)g(:)g(;)g(i)547 1119 y FF(0)577 1112 y FI(+)j
FJ(k)r FI(\))j FH(\000)-9 b(!)14 b FJ(V)26 b FK(mit)13
b FJ(W)7 b FI(\()p FJ(i)1011 1119 y FF(0)1030 1112 y
FI(\))14 b(=)g FJ(u)g FK(und)h FJ(W)7 b FI(\()p FJ(i)1342
1119 y FF(0)1370 1112 y FI(+)h FJ(k)r FI(\))13 b(=)h
FJ(v)r FK(.)g(H\344u\034g)h(wird)120 1172 y(ein)h(Kan)o(tenzug)g
FJ(K)21 b FK(mit)14 b(seinem)h(Bild)g(iden)o(ti\034ziert)f(\(z.B.)h
FJ(K)j FI(=)c(\()p FJ(v)1393 1179 y FF(0)1413 1172 y
FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)1546 1179 y FG(k)1567 1172
y FI(\))p FK(\))16 b(o)q(der)h(auc)o(h)120 1232 y(mit)d(dem)h(v)o(on)h
(seinem)e(Bild)h(induzierten)g(T)l(eilgraphen)h(\(z.B.)e
FJ(K)k FI(=)c(\()p FJ(V)d FI(\()p FJ(K)t FI(\))p FJ(;)d(E)s
FI(\()p FJ(K)t FI(\)\))p FK(\).)120 1340 y FL(De\034nition)19
b(1.2.6.)24 b FK(Sei)31 b FJ(G)41 b FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s FI(\))32 b FK(ein)g(Graph.)g(Der)g FB(A)o(bstand)h
FK(zw)o(eier)d(Ec)o(k)o(en)120 1400 y FJ(u;)8 b(v)18
b FH(2)g FJ(V)29 b FK(ist)18 b(de\034niert)g(durc)o(h)g
FJ(d)749 1407 y FG(G)779 1400 y FI(\()p FJ(u;)8 b(v)r
FI(\))k(=)i FJ(d)p FI(\()p FJ(u;)8 b(v)r FI(\))13 b(:=)h(inf)s
FH(f)p FJ(l)q FI(\()p FJ(W)7 b FI(\))13 b(:)21 b FJ(W)j
FK(ist)16 b(ein)f FJ(uv)r FK(-W)l(eg)p FH(g)o FK(.)120
1460 y(Die)84 b FB(Zusammenhangskomp)n(onente)j FK(einer)d(Ec)o(k)o(e)f
FJ(v)132 b FH(2)f FJ(V)96 b FK(ist)120 1521 y(Zhk)203
1528 y FG(G)232 1521 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))13 b(=)h
FK(Zhk)p FI(\()p FJ(v)r FI(\))f(:=)g FH(f)p FJ(u)h FH(2)g
FJ(V)25 b FI(:)d FJ(d)p FI(\()p FJ(u;)8 b(v)r FI(\))13
b FJ(<)g FH(1g)p FK(.)32 b(Oft)g(wird)g(auc)o(h)h(der)f(v)o(on)g(Zhk)p
FI(\()p FJ(v)r FI(\))120 1581 y FK(induzierte)15 b(T)l(eilgraph)h(mit)e
(Zhk)p FI(\()p FJ(v)r FI(\))h FK(iden)o(ti\034ziert.)120
1688 y FL(Bemerkung)i(1.2.7.)23 b FK(Sei)16 b FJ(G)e
FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))16 b FK(ein)g(Graph.)g(Durc)o(h)716
1803 y FJ(v)f FH(\030)f FJ(w)50 b FH(,)e FJ(w)15 b FH(2)f
FK(Zhk)p FI(\()p FJ(v)r FI(\))120 1917 y FK(wird)i(eine)f(\304)o(quiv)m
(alenzrelation)f(auf)j FJ(V)27 b FK(de\034niert.)120
2025 y FL(De\034nition)19 b(1.2.8.)24 b FK(Sei)i FJ(G)32
b FI(=)f(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))27 b FK(ein)f(Graph.)h(Die)f
(induzierten)f(Graphen)i(der)120 2085 y(\304)o(quiv)m(alenzklassen)20
b(der)i(in)g(Bemerkung)e(1.2.7)i(de\034nierten)f(Relation)h(hei\377en)g
FB(Zusam-)120 2145 y(menhangskomp)n(onenten)17 b FK(v)o(on)e
FJ(G)p FK(.)g(Die)f(Menge)g(der)g(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)e
(v)o(on)120 2206 y FJ(G)19 b FK(w)o(erde)f(mit)f(Zhk\()p
FJ(G)p FK(\))i(b)q(ezeic)o(hnet.)e FJ(G)i FK(hei\377t)f
FB(zusammenh\344ngend)j FK(genau)e(dann,)g(w)o(enn)120
2266 y FI(#)p FK(Zhk)o FI(\()p FJ(G)p FI(\))c(=)e(1)q
FK(.)120 2373 y FL(De\034nition)19 b(1.2.9.)24 b FK(Sei)e
FJ(G)k FI(=)f(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))23 b FK(ein)f(Graph.)h(Ein)g
FB(Kr)n(eis)g FK(ist)f(ein)h(gesc)o(hlossener)120 2434
y(Kan)o(tenzug)g FJ(C)28 b FI(=)d(\()p FJ(v)541 2441
y FG(i)553 2446 y Fz(0)572 2434 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)705
2441 y FG(i)717 2446 y Fz(0)734 2441 y FF(+)p FG(k)783
2434 y FI(\))22 b FK(mit)f FJ(l)q FI(\()p FJ(C)t FI(\))j
FH(\025)h FI(3)p FK(,)d(so)i(da\377)f FI(\()p FJ(v)1369
2441 y FG(i)1381 2446 y Fz(1)1400 2434 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)
1534 2441 y FG(i)1546 2446 y Fz(0)1562 2441 y FF(+)p
FG(k)1611 2434 y FI(\))23 b FK(ein)f(W)l(eg)120 2494
y(ist.)f(En)o(th\344lt)g FJ(G)h FK(k)o(einen)e(Kreis,)h(so)h(hei\377t)f
FJ(G)h FB(kr)n(eisfr)n(ei)p FK(.)f(Dann)h(wird)g FJ(G)g
FK(auc)o(h)f(als)h FB(W)l(ald)120 2554 y FK(b)q(ezeic)o(hnet.)14
b(Ist)i FJ(G)h FK(au\377erdem)e(zusammenh\344ngend,)f(so)j(hei\377t)f
FJ(G)g FK(ein)g FB(Baum)p FK(.)120 2662 y FL(Lemma)i(1.2.10.)23
b FK(Sei)18 b FJ(G)i FI(=)f(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))19
b FK(ein)f(Graph.)i FJ(G)g FK(ist)f(genau)h(dann)g(ein)e(W)l(ald,)h(w)o
(enn)120 2722 y(alle)c(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)f(v)o(on)i
FJ(G)h FK(B\344ume)d(sind.)p eop
%%Page: 7 9
7 8 bop 60 50 a Fy(1.3.)32 b(MASSTHEORETISCHE)16 b(GR)o(UNDLA)o(GEN)671
b FK(7)60 203 y FB(Beweis.)26 b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)19
b(G\344b)q(e)i(es)e(einen)g(Kreis)g FJ(C)k FK(in)c(einer)f
(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)f(v)o(on)60 264 y FJ(G)p
FK(,)d(so)h(w)o(\344re)f FJ(C)j FK(auc)o(h)d(ein)g(Kreis)f(in)h
FJ(G)p FK(,)g(das)h(hei\377t)e FJ(G)i FK(w)o(\344re)f(k)o(ein)f(W)l
(ald.)g(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)h(Hat)g FJ(G)h FK(einen)60
324 y(Kreis)20 b FJ(C)t FK(,)f(so)i(liegen)e(alle)h(zu)g
FJ(C)k FK(geh\366renden)c(Ec)o(k)o(en)f(in)h(der)g(selb)q(en)g
(Zusammenhangs-)60 384 y(k)o(omp)q(onen)o(te,)14 b(w)o(elc)o(he)h(also)
h(k)o(ein)f(Baum)g(sein)h(k)m(ann.)673 b Fx(\004)60 504
y FL(Lemma)18 b(1.2.11.)23 b FK(Sei)d FJ(G)h FI(=)h(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))20 b FK(ein)g(Baum.)f(F\374r)i
FJ(u;)8 b(v)22 b FH(2)g FJ(V)31 b FK(gibt)21 b(es)g(genau)g(einen)60
565 y FJ(uv)r FK(-W)l(eg)16 b(in)g FJ(G)p FK(.)60 730
y FB(Beweis.)26 b FK(F\374r)f FJ(u)k FI(=)h FJ(v)d FK(ist)e(nic)o(h)o
(ts)g(zu)g(zeigen.)f(Sei)h(also)h FJ(u)j FH(6)p FI(=)h
FJ(v)r FK(.)24 b(Da)i FJ(G)g FK(zusammen-)60 790 y(h\344ngend)j(ist,)f
(gibt)g(es)g(einen)g FJ(uv)r FK(-W)l(eg.)f(Angenommen)f(es)i(gibt)g(zw)
o(ei)g(v)o(ersc)o(hiedene)60 850 y FJ(uv)r FK(-W)l(ege)d
FJ(W)315 857 y FF(1)348 850 y FI(=)14 b(\()p FJ(u)447
857 y FF(1)467 850 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(u)604 857
y FG(k)625 850 y FI(\))p FK(,)25 b FJ(W)729 857 y FF(2)778
850 y FI(=)30 b(\()p FJ(v)889 857 y FF(1)908 850 y FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)1042 857 y FG(l)1054 850 y FI(\))p
FK(,)25 b FJ(u)1140 857 y FF(1)1189 850 y FI(=)30 b FJ(v)1281
857 y FF(1)1330 850 y FI(=)g FJ(u)p FK(,)24 b FJ(u)1492
857 y FG(k)1543 850 y FI(=)30 b FJ(v)1635 857 y FG(l)1677
850 y FI(=)g FJ(v)60 910 y FK(\(siehe)22 b(Abbildung)h(1.1\).)g(Sei)f
FJ(i)672 917 y FF(0)705 910 y FI(:=)14 b(min)n FH(f)p
FJ(i)f FI(:)22 b FJ(u)971 917 y FG(i)1005 910 y FJ(=)-30
b FH(2)14 b FJ(W)1092 917 y FF(2)1112 910 y FH(g)p FK(,)22
b FJ(i)1190 917 y FF(1)1223 910 y FI(:=)14 b(min)n FH(f)p
FJ(i)f(>)h(i)1494 917 y FF(0)1527 910 y FI(:)22 b FJ(u)1591
917 y FG(i)1619 910 y FH(2)14 b FJ(W)1712 917 y FF(2)1732
910 y FH(g)o FK(.)60 970 y(Dann)27 b(gibt)g(es)g FI(1)14
b FH(\024)f FJ(j)491 977 y FF(0)525 970 y FJ(<)h(j)597
977 y FF(1)631 970 y FH(\024)f FJ(l)q FK(,)26 b(so)h(da\377)h
FI(\()p FJ(v)955 977 y FG(j)969 982 y Fz(0)988 970 y
FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)1121 977 y FG(j)1135 982 y
Fz(1)1154 970 y FI(\))27 b FK(ein)f FJ(u)1317 977 y FG(i)1329
982 y Fz(0)1346 977 y FA(\000)p FF(1)1393 970 y FJ(u)1421
977 y FG(i)1433 982 y Fz(1)1452 970 y FK(-W)l(eg)h(ist.)f(Nun)60
1031 y(ist)c FJ(K)17 b FI(:=)d(\()p FJ(u)305 1038 y FG(i)317
1043 y Fz(0)336 1031 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(u)473
1038 y FG(i)485 1043 y Fz(1)518 1031 y FI(=)14 b FJ(v)594
1038 y FG(j)608 1043 y Fz(1)627 1031 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)761
1038 y FG(j)775 1043 y Fz(0)807 1031 y FI(=)14 b FJ(u)887
1038 y FG(i)899 1043 y Fz(0)916 1038 y FA(\000)p FF(1)963
1031 y FJ(;)8 b(u)1013 1038 y FG(i)1025 1043 y Fz(0)1044
1031 y FI(\))22 b FK(ein)f(Kreis,)g(das)h(hei\377t,)f
FJ(G)i FK(ist)e(k)o(ein)60 1091 y(Baum.)1529 b Fx(\004)513
1563 y Ft(u)1105 1469 y(v)711 1711 y(u)735 1717 y Fs(i)747
1721 y Fr(0)675 1615 y FG(u)695 1620 y Fu(i)706 1625
y Fr(0)723 1620 y Fv(\000)p Fz(1)762 1615 y FF(=)11 b
FG(v)817 1620 y Fu(j)830 1625 y Fr(0)878 1450 y FG(u)898
1455 y Fu(i)909 1460 y Fr(1)884 1485 y FF(=)f FG(v)938
1490 y Fu(j)951 1495 y Fr(1)502 1873 y @beginspecial
178 @llx 335 @lly 454 @urx 556 @ury 1984 @rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../ewib.eps

/IdrawDict 50 dict def
IdrawDict begin

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 175 356 ] concat
%I
109 364 7 6 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 424 396 ] concat
%I
109 364 7 6 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 235 339.25 ] concat
%I
109 364 7 6 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 370 410 ] concat
%I
109 364 7 6 Elli
End

Begin %I BSpl
%I b 13107
2 0 0 [2 2 2 2 2 2 2 2] 15 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 149 199 ] concat
%I 6
82 341
79 280
101 307
101 362
142 322
142 323
6 BSpl
End

Begin %I Line
%I b 13107
2 0 0 [2 2 2 2 2 2 2 2] 15 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
143 323 172 305 Line
End

Begin %I BSpl
%I b 13107
2 0 0 [2 2 2 2 2 2 2 2] 15 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I 7
172 305
220 292
252 320
201 334
237 488
277 395
278 396
7 BSpl
End

Begin %I BSpl
%I b 13107
2 0 0 [2 2 2 2 2 2 2 2] 15 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I 9
277 396
281 371
319 496
360 423
321 423
381 362
274 330
331 381
331 381
9 BSpl
End

Begin %I BSpl
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I 2
82 341
82 342
2 BSpl
End

Begin %I BSpl
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 201 ] concat
%I 6
82 341
79 280
101 307
101 362
142 322
142 323
6 BSpl
End

Begin %I BSpl
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I 7
141 323
152 265
238 225
320 261
266 330
276 397
277 397
7 BSpl
End

Begin %I BSpl
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I 5
277 397
278 495
418 360
280 371
332 382
5 BSpl
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 267 319 ] concat
%I
109 364 7 6 Elli
End

End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 447 1945 a FK(Abbildung)16 b(1.1:)g(Zum)f(Bew)o(eis)g(v)o
(on)h(Lemma)e(1.2.11)60 2122 y FL(De\034nition)19 b(1.2.12.)24
b FK(Ein)16 b(Graph)h FJ(G)d FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s
FI(\))16 b FK(hei\377t)g FB(bip)n(artit)g FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)
452 2246 y FJ(V)25 b FI(=)14 b FJ(S)608 2240 y FI(_)598
2246 y FH([)9 b FJ(T)t(;)23 b FK(und)37 b FH(8)808 2277
y FG(e)p FA(2)p FG(E)915 2246 y FH(9)889 2276 y FG(s;t)p
FA(2)p FG(e)982 2246 y FI(\()p FJ(s)14 b FH(2)g FJ(S)19
b FK(und)e FJ(t)c FH(2)h FJ(T)7 b FI(\))p FJ(:)60 2467
y FC(1.3)77 b(Ma\377theoretisc)n(he)25 b(Grundlagen)60
2611 y FL(De\034nition)19 b(1.3.1.)24 b FI(\()p FJ(I)518
2618 y FF(1)537 2611 y FJ(;)8 b FH(E)589 2618 y FF(1)609
2611 y FJ(;)g(m)674 2618 y FF(1)693 2611 y FI(\))p FJ(;)g
FI(\()p FJ(I)775 2618 y FF(2)794 2611 y FJ(;)g FH(E)847
2618 y FF(2)867 2611 y FJ(;)g(m)932 2618 y FF(2)951 2611
y FI(\))23 b FK(seien)f(Ma\377r\344ume)g(\(Ma\377e)h(sind)g(imm)o(er)60
2671 y(nic)o(h)o(tnegativ,)18 b(ansonsten)i(hei\377en)g(sie)f
(signierte)g(Ma\377e\).)g(W)l(eiter)f(sei)i FH(E)k FI(=)c
FH(E)1552 2678 y FF(1)1585 2671 y FH(\012)14 b(E)1668
2678 y FF(2)1708 2671 y FK(die)60 2731 y(Pro)q(dukt-)p
FJ(\033)r FK(-Algebra)j(v)o(on)g FH(E)606 2738 y FF(1)642
2731 y FK(und)g FH(E)771 2738 y FF(2)791 2731 y FK(.)f(Ein)h(Ma\377)g
FJ(\026)g FK(auf)g FI(\()p FJ(I)1192 2738 y FF(1)1223
2731 y FH(\002)11 b FJ(I)1295 2738 y FF(2)1315 2731 y
FJ(;)d FH(E)t FI(\))17 b FK(hei\377t)f FB(dopp)n(elt)j(sto-)p
eop
%%Page: 8 10
8 9 bop 120 50 a FK(8)1018 b Fy(KAPITEL)17 b(1.)32 b(GR)o(UNDLA)o(GEN)
120 203 y FB(chastisch)327 185 y Fq(1)363 203 y FK(b)q(ez\374glic)o(h)
15 b FJ(m)620 210 y FF(1)639 203 y FJ(;)8 b(m)704 210
y FF(2)740 203 y FK(genau)16 b(dann,)h(w)o(enn)370 317
y FH(8)332 348 y FG(A)358 353 y Fz(1)376 348 y FA(2E)419
353 y Fz(1)449 317 y FJ(\026)p FI(\()p FJ(A)534 324 y
FF(1)565 317 y FH(\002)11 b FJ(I)637 324 y FF(2)656 317
y FI(\))j(=)g FJ(m)784 324 y FF(1)803 317 y FI(\()p FJ(A)859
324 y FF(1)878 317 y FI(\))112 b FK(und)87 b FH(8)1139
348 y FG(A)1165 353 y Fz(2)1183 348 y FA(2E)1226 353
y Fz(2)1256 317 y FJ(\026)p FI(\()p FJ(I)1326 324 y FF(1)1357
317 y FH(\002)11 b FJ(A)1444 324 y FF(2)1463 317 y FI(\))j(=)g
FJ(m)1591 324 y FF(2)1610 317 y FI(\()p FJ(A)1666 324
y FF(2)1685 317 y FI(\))p FJ(:)-1598 b FK(\(1.4\))120
452 y(Mit)13 b FH(D)q FI(\()p FJ(m)312 459 y FF(1)332
452 y FJ(;)8 b(m)397 459 y FF(2)417 452 y FI(\))14 b
FK(\(gelegen)o(tlic)o(h)d(auc)o(h)j(mit)f FH(D)q FI(\(=)h
FJ(m)1083 459 y FF(1)1103 452 y FJ(;)8 b FI(=)13 b FJ(m)1219
459 y FF(2)1239 452 y FI(\))p FK(\))h(b)q(ezeic)o(hne)e(die)h(Menge)h
(aller)120 512 y(dopp)q(elt)19 b(sto)q(c)o(hastisc)o(hen)g(Ma\377e)h(b)
q(ez\374glic)o(h)d FJ(m)1016 519 y FF(1)1036 512 y FJ(;)8
b(m)1101 519 y FF(2)1120 512 y FK(.)19 b(Man)g(sagt)h(auc)o(h,)f
FJ(\026)g FH(2)g(D)q FI(\()p FJ(m)1707 519 y FF(1)1727
512 y FJ(;)8 b(m)1792 519 y FF(2)1811 512 y FI(\))120
573 y FK(hat)17 b(die)e FB(R)n(andverteilungen)k FJ(m)712
580 y FF(1)731 573 y FJ(;)8 b(m)796 580 y FF(2)815 573
y FK(.)120 656 y(Ein)14 b(Ma\377)h FJ(\026)g FK(auf)g
FI(\()p FJ(I)482 663 y FF(1)508 656 y FH(\002)7 b FJ(I)576
663 y FF(2)596 656 y FJ(;)h FH(E)t FI(\))15 b FK(hei\377t)f
FB(dopp)n(elt)i(substo)n(chastisch)1298 638 y Fq(2)1332
656 y FK(b)q(ez\374glic)o(h)d FJ(m)1587 663 y FF(1)1607
656 y FJ(;)8 b(m)1672 663 y FF(2)1705 656 y FK(genau)120
716 y(dann,)16 b(w)o(enn)370 830 y FH(8)332 860 y FG(A)358
865 y Fz(1)376 860 y FA(2E)419 865 y Fz(1)449 830 y FJ(\026)p
FI(\()p FJ(A)534 837 y FF(1)564 830 y FH(\002)11 b FJ(I)636
837 y FF(2)656 830 y FI(\))i FH(\024)h FJ(m)784 837 y
FF(1)803 830 y FI(\()p FJ(A)859 837 y FF(1)879 830 y
FI(\))111 b FK(und)87 b FH(8)1139 860 y FG(A)1165 865
y Fz(2)1183 860 y FA(2E)1226 865 y Fz(2)1256 830 y FJ(\026)p
FI(\()p FJ(I)1326 837 y FF(1)1357 830 y FH(\002)11 b
FJ(A)1444 837 y FF(2)1463 830 y FI(\))j FH(\024)f FJ(m)1591
837 y FF(2)1611 830 y FI(\()p FJ(A)1667 837 y FF(2)1686
830 y FI(\))p FJ(:)-1599 b FK(\(1.5\))120 965 y(Mit)18
b FH(D)q FI(\()p FH(\024)f FJ(m)373 972 y FF(1)393 965
y FJ(;)8 b FH(\024)17 b FJ(m)514 972 y FF(2)533 965 y
FI(\))h FK(b)q(ezeic)o(hne)f(die)h(Menge)f(aller)h(dopp)q(elt)g(substo)
q(c)o(hastisc)o(hen)h(Ma\377e)120 1025 y(b)q(ez\374glic)o(h)c
FJ(m)377 1032 y FF(1)396 1025 y FJ(;)8 b(m)461 1032 y
FF(2)481 1025 y FK(.)120 1192 y FL(Bemerkung)17 b(1.3.2.)23
b FK(Gegeb)q(en)75 b(Ma\377r\344ume)e FI(\()p FJ(I)1173
1199 y FF(1)1192 1192 y FJ(;)8 b FH(E)1245 1199 y FF(1)1265
1192 y FJ(;)g(m)1330 1199 y FF(1)1349 1192 y FI(\))p
FJ(;)57 b FI(\()p FJ(I)1480 1199 y FF(2)1499 1192 y FJ(;)8
b FH(E)1551 1199 y FF(2)1571 1192 y FJ(;)g(m)1636 1199
y FF(2)1655 1192 y FI(\))75 b FK(und)120 1252 y FJ(\026)14
b FH(2)g(D)q FI(\()p FJ(m)311 1259 y FF(1)331 1252 y
FJ(;)8 b(m)396 1259 y FF(2)416 1252 y FI(\))p FK(,)15
b(so)i(gilt)f(w)o(egen)g(\(1.4\),)g(da\377)656 1365 y
FJ(\026)p FI(\()p FJ(I)726 1372 y FF(1)756 1365 y FH(\002)11
b FJ(I)828 1372 y FF(2)847 1365 y FI(\))j(=)g FJ(m)975
1372 y FF(1)994 1365 y FI(\()p FJ(I)1035 1372 y FF(1)1055
1365 y FI(\))f(=)h FJ(m)1182 1372 y FF(2)1202 1365 y
FI(\()p FJ(I)1243 1372 y FF(2)1262 1365 y FI(\))p FJ(:)-1175
b FK(\(1.6\))120 1479 y(Insb)q(esondere)16 b(gilt)500
1592 y FH(D)q FI(\()p FJ(m)601 1599 y FF(1)621 1592 y
FJ(;)8 b(m)686 1599 y FF(2)706 1592 y FI(\))13 b FH(6)p
FI(=)h FH(;)111 b(\))h FJ(m)1131 1599 y FF(1)1150 1592
y FI(\()p FJ(I)1191 1599 y FF(1)1210 1592 y FI(\))14
b(=)g FJ(m)1338 1599 y FF(2)1357 1592 y FI(\()p FJ(I)1398
1599 y FF(2)1417 1592 y FI(\))p FJ(:)-1330 b FK(\(1.7\))120
1706 y FL(Bemerkung)17 b(1.3.3.)23 b FK(F\374r)12 b(Ma\377r\344ume)g
FI(\()p FJ(I)944 1713 y FF(1)963 1706 y FJ(;)c FH(E)1016
1713 y FF(1)1035 1706 y FJ(;)g(m)1100 1713 y FF(1)1120
1706 y FI(\))p FK(,)k FI(\()p FJ(I)1206 1713 y FF(2)1225
1706 y FJ(;)c FH(E)1277 1713 y FF(2)1297 1706 y FJ(;)g(m)1362
1713 y FF(2)1381 1706 y FI(\))13 b FK(sind)f FH(D)q FI(\()p
FJ(m)1613 1713 y FF(1)1633 1706 y FJ(;)c(m)1698 1713
y FF(2)1717 1706 y FI(\))13 b FK(und)120 1766 y FH(D)q
FI(\()p FH(\024)h FJ(m)274 1773 y FF(1)294 1766 y FJ(;)8
b FH(\024)13 b FJ(m)411 1773 y FF(2)431 1766 y FI(\))j
FK(k)o(on)o(v)o(exe)e(Mengen.)120 1895 y(Eines)h(der)h(Hauptanliegen)f
(der)g(folgenden)h(Kapitel)e(wird)i(sein,)f(die)g(Mengen)g(der)g
(Extre-)120 1955 y(malpunkte)f(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FJ(m)515 1962 y FF(1)536 1955 y FJ(;)8 b(m)601 1962 y
FF(2)620 1955 y FI(\)\))16 b FK(und)h(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)d FJ(m)978 1962 y FF(1)998 1955 y FJ(;)8
b FH(\024)13 b FJ(m)1115 1962 y FF(2)1134 1955 y FI(\)\))k
FK(zu)f(un)o(tersuc)o(hen.)120 2062 y FL(De\034nition)j(1.3.4.)24
b FK(Ein)c(Ma\377raum)g FI(\()p FJ(I)t(;)8 b(m)p FI(\))21
b(:=)f(\()p FJ(I)t(;)8 b FH(E)t FJ(;)g(m)p FI(\))21 b
FK(hei\377t)f FB(diskr)n(et)g FK(genau)i(dann,)120 2122
y(w)o(enn)35 b FH(E)50 b FI(=)c(2)449 2104 y FG(I)469
2122 y FK(,)i FH(8)518 2153 y FG(i)p FA(2)p FG(I)585
2122 y FJ(m)p FI(\()p FJ(i)p FI(\))d FJ(<)h FH(1)p FK(,)56
b FH(8)911 2153 y FG(A)p FA(2E)996 2122 y FJ(m)p FI(\()p
FJ(A)p FI(\))45 b(=)1243 2084 y FE(P)1295 2136 y FG(i)p
FA(2)p FG(A)1368 2122 y FJ(m)p FI(\()p FJ(i)p FI(\))p
FK(,)33 b(mit)h(der)g(Kon-)120 2198 y(v)o(en)o(tion,)26
b(da\377)i(Summen)c(\374b)q(er)j(\374b)q(erabz\344hlbar)h(viele)e(p)q
(ositiv)o(e)g(Elemen)o(te)e(unendlic)o(h)120 2259 y(sind.)13
b FI(#)275 2266 y FG(nt)310 2259 y FJ(I)18 b FI(:=)13
b(#)p FH(f)p FJ(i)g FH(2)h FJ(I)j FI(:)22 b FJ(m)p FI(\()p
FJ(i)p FI(\))13 b FJ(>)h FI(0)p FH(g)f FK(b)q(ezeic)o(hne)e(die)i
(Kardinalit\344t)g(der)f(\022)t(nic)o(h)o(ttrivialen\020)120
2319 y(Punkte)k(in)g FJ(I)t FK(.)120 2425 y FL(Beispiel)k(1.3.5.)j
FK(Seien)60 b FI(\()p FJ(I)698 2432 y FF(1)717 2425 y
FJ(;)8 b(m)782 2432 y FF(1)801 2425 y FI(\))p FK(,)61
b FI(\()p FJ(I)936 2432 y FF(2)955 2425 y FJ(;)8 b(m)1020
2432 y FF(2)1040 2425 y FI(\))61 b FK(diskrete)f(Ma\377r\344ume,)g(so)i
(da\377)120 2485 y FI(#)p FJ(I)183 2492 y FF(1)202 2485
y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)287 2492 y FF(2)319 2485 y FH(\024)14
b FJ(!)r FK(,)27 b(und)g FJ(m)596 2492 y FF(1)616 2485
y FI(\()p FJ(I)657 2492 y FF(1)676 2485 y FI(\))32 b(=)g
FJ(m)840 2492 y FF(2)860 2485 y FI(\()p FJ(I)901 2492
y FF(2)920 2485 y FI(\))g FJ(<)g FH(1)p FK(.)27 b FI(#)p
FJ(I)1195 2492 y FF(1)1214 2485 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1299
2492 y FF(2)1350 2485 y FH(\024)32 b FJ(!)d FK(stellt)d(hier)h(k)o
(eine)p 120 2536 684 2 v 176 2567 a Fp(1)195 2582 y Fo(Ob)o(w)o(ohl)11
b(die)h(Bezeic)o(hn)o(ung)h(\022)s(sto)q(c)o(hastisc)o(h\020)k(eigen)o
(tlic)o(h)11 b(n)o(ur)h(f\374r)g(W)m(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o
(eitsma\377e)e(zul\344ssig)120 2632 y(ist,)g(soll)g(sie)i
Fn(grz\241\261lewicz)d Fo(folgend)i(\(siehe)g([4]\))f(hier)h(und)g(im)e
(folgenden)i(in)f(et)o(w)o(as)i(allgemeinerem)c(Sinne)120
2682 y(v)o(erw)o(endet)15 b(w)o(erden.)176 2716 y Fp(2)195
2731 y Fo(Die)e(Bemerkung)h(der)h(v)o(ohergehenden)g(F)m(u\377note)f
(gilt)e(hier)i(en)o(tsprec)o(hend.)p eop
%%Page: 9 11
9 10 bop 60 50 a Fy(1.4.)16 b(MASSTHEORETISCHE)g(CHARAKTERISIER)o(UNG)
478 b FK(9)60 203 y(wirklic)o(he)19 b(Einsc)o(hr\344nkung)i(dar,)g(da)g
(b)q(ei)g(endlic)o(hem)c(Ma\377)22 b(h\366)q(c)o(hstens)f(abz\344hlbar)
h(viele)60 264 y(Elemen)o(te)13 b(p)q(ositiv)o(es)j(Ma\377)h(hab)q(en)g
(k)o(\366nnen.)e(In)h(diesem)e(F)l(all)i(hat)g(man)441
411 y FJ(L)474 418 y FF(1)494 411 y FI(\()p FJ(m)556
418 y FF(1)575 411 y FI(\))e(=)660 326 y FE(\()700 411
y FJ(f)19 b FH(2)14 b Fw(R)826 390 y FG(I)841 395 y Fz(1)875
411 y FI(:)916 364 y FE(X)918 469 y FG(i)p FA(2)p FG(I)969
474 y Fz(1)996 411 y FH(j)p FJ(f)5 b FI(\()p FJ(i)p FI(\))p
FH(j)p FJ(m)1151 418 y FF(1)1170 411 y FI(\()p FJ(i)p
FI(\))14 b FJ(<)g FH(1)1341 326 y FE(\))60 411 y FK(\(1.8\))60
564 y(und)428 701 y FJ(L)461 708 y FF(1)481 701 y FI(\()p
FJ(m)543 708 y FF(2)562 701 y FI(\))g(=)647 616 y FE(\()687
701 y FJ(f)19 b FH(2)14 b Fw(R)813 680 y FG(I)828 685
y Fz(2)862 701 y FI(:)903 654 y FE(X)903 760 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)958 765 y Fz(2)983 701 y FH(j)p FJ(f)5 b
FI(\()p FJ(j)s FI(\))p FH(j)p FJ(m)1144 708 y FF(2)1164
701 y FI(\()p FJ(j)s FI(\))14 b FJ(<)f FH(1)1340 616
y FE(\))1389 701 y FJ(:)-1343 b FK(\(1.9\))60 859 y(Die)14
b(Elemen)o(te)d(v)o(on)k FJ(L)482 866 y FF(1)502 859
y FI(\()p FJ(m)564 866 y FF(1)583 859 y FI(\))g FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o
(eise)e FJ(L)1005 866 y FF(1)1024 859 y FI(\()p FJ(m)1086
866 y FF(2)1106 859 y FI(\))h FK(sind)h(also)g(reelle)d(F)l(amilien,)f
(indi-)60 919 y(ziert)16 b(mit)f(Elemen)o(ten)f(aus)k
FJ(I)613 926 y FF(1)649 919 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)d
FJ(I)1028 926 y FF(2)1047 919 y FK(.)i(Dab)q(ei)g(w)o(erden,)f(wie)g
(\374blic)o(h,)f(F)l(ami-)60 979 y(lien,)h(die)g(fast)i(\374b)q(erall)f
(gleic)o(h)f(sind)i(\(das)g(hei\377t)f(sic)o(h)f(n)o(ur)i(an)f(Stellen)
f FJ(i)h FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)60 1039 y FJ(j)j
FK(mit)15 b FJ(m)233 1046 y FF(1)253 1039 y FI(\()p FJ(i)p
FI(\))f(=)h(0)j FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)d FJ(m)817
1046 y FF(2)837 1039 y FI(\()p FJ(j)s FI(\))g(=)g(0)i
FK(un)o(tersc)o(heiden\),)e(als)i(\344quiv)m(alen)o(t)f(ange-)60
1100 y(sehen.)g(En)o(tsprec)o(hend)f(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)i(f\374r)i
FJ(\026)d FH(2)g(D)q FI(\()p FJ(m)1102 1107 y FF(1)1122
1100 y FJ(;)8 b(m)1187 1107 y FF(2)1206 1100 y FI(\))334
1265 y FJ(L)367 1272 y FF(1)387 1265 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))14 b(=)519 1163 y FE(8)519 1207 y(<)519 1297 y(:)564
1265 y FJ(f)19 b FH(2)14 b Fw(R)690 1243 y FG(I)705 1248
y Fz(1)723 1243 y FA(\002)p FG(I)765 1248 y Fz(2)798
1265 y FI(:)895 1217 y FE(X)840 1325 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)945 1330 y Fz(1)961 1325 y FA(\002)p
FG(I)1003 1330 y Fz(2)1030 1265 y FH(j)p FJ(f)5 b FI(\()p
FJ(i;)j(j)s FI(\))p FH(j)p FJ(\026)p FI(\()p FJ(i;)g(j)s
FI(\))13 b FJ(<)g FH(1)1430 1163 y FE(9)1430 1207 y(=)1430
1297 y(;)1483 1265 y FJ(:)-1437 b FK(\(1.10\))60 1430
y(Die)32 b(Elemen)o(te)e(v)o(on)j FJ(L)537 1437 y FF(1)557
1430 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))g FK(k)m(ann)g(man)f(au\033assen)i(als)f
(\(m\366glic)o(herw)o(eise)d(unendli-)60 1490 y(c)o(he\))c(reelle)e
(Matrizen)i(mit)f FI(#)p FJ(I)693 1497 y FF(1)738 1490
y FK(Zeilen)g(und)i FI(#)p FJ(I)1063 1497 y FF(2)1109
1490 y FK(Spalten.)f(Dann)h(ergibt)f(sic)o(h)g(f\374r)60
1550 y FH(F)19 b FI(:=)13 b FJ(L)213 1557 y FF(1)233
1550 y FI(\()p FJ(m)295 1557 y FF(1)314 1550 y FI(\))e(+)g
FJ(L)426 1557 y FF(1)446 1550 y FI(\()p FJ(m)508 1557
y FF(2)527 1550 y FI(\))p FK(:)305 1715 y FH(F)19 b FI(=)412
1613 y FE(8)412 1658 y(<)412 1747 y(:)456 1715 y FJ(M)g
FH(2)14 b FJ(L)602 1722 y FF(1)622 1715 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))g(:)94 b FH(9)745 1748 y FG(a)p FA(2)p FG(L)812
1753 y Fz(1)828 1748 y FF(\()p FG(m)873 1753 y Fz(1)890
1748 y FF(\))982 1715 y FH(9)918 1748 y FG(b)p FA(2)p
FG(L)981 1753 y Fz(1)998 1748 y FF(\()p FG(m)1043 1753
y Fz(2)1060 1748 y FF(\))1171 1715 y FH(8)1094 1748 y
FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1199 1753 y Fz(1)1216
1748 y FA(\002)p FG(I)1258 1753 y Fz(2)1088 1786 y Fq(mit)8
b FG(\026)p FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FG(>)p FF(0)1296
1715 y FJ(m)1339 1722 y FG(i;j)1393 1715 y FI(=)13 b
FJ(a)1470 1722 y FG(i)1495 1715 y FI(+)e FJ(b)1565 1722
y FG(j)1583 1613 y FE(9)1583 1658 y(=)1583 1747 y(;)1636
1715 y FJ(:)-1590 b FK(\(1.11\))60 1994 y FC(1.4)77 b(Ma\377theoretisc)
n(he)47 b(Charakterisierung)e(der)j(Ex-)236 2085 y(tremalpunkte)60
2215 y FK(Satz)19 b(1.4.1)h(gibt)f(eine)f(erste)g(Charakterisierung)h
(der)g(Extremalpunkte.)e(Der)i(Satz)g(und)60 2275 y(sein)d(Bew)o(eis)f
(gehen)h(zur\374c)o(k)f(auf)h(eine)g(Arb)q(eit)f(v)o(on)h
FD(lindenstra)o(uss)g FK(\(siehe)g([8]\).)60 2374 y FL(Satz)j(1.4.1.)k
FK(Seien)31 b FI(\()p FJ(I)523 2381 y FF(1)543 2374 y
FJ(;)8 b FH(E)595 2381 y FF(1)615 2374 y FJ(;)g(m)680
2381 y FF(1)699 2374 y FI(\))p FK(,)32 b FI(\()p FJ(I)805
2381 y FF(2)824 2374 y FJ(;)8 b FH(E)877 2381 y FF(2)897
2374 y FJ(;)g(m)962 2381 y FF(2)981 2374 y FI(\))32 b
FK(Ma\377r\344ume)g(mit)e(endlic)o(hen)h(Ma\377en)60
2434 y FJ(m)103 2441 y FF(1)122 2434 y FJ(;)8 b(m)187
2441 y FF(2)223 2434 y FK(und)16 b(sei)g FJ(\026)e FH(2)g(D)q
FI(\()p FJ(m)582 2441 y FF(1)602 2434 y FJ(;)8 b(m)667
2441 y FF(2)687 2434 y FI(\))p FK(.)60 2494 y(Dann)21
b(ist)f FJ(\026)g FH(2)h FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FJ(m)524 2501 y FF(1)544 2494 y FJ(;)8 b(m)609 2501 y
FF(2)629 2494 y FI(\)\))20 b FK(genau)g(dann,)h(w)o(enn)p
1100 2451 367 2 v 19 w FJ(L)1133 2501 y FF(1)1153 2494
y FI(\()p FJ(m)1215 2501 y FF(1)1235 2494 y FI(\))11
b(+)g FJ(L)1347 2501 y FF(1)1367 2494 y FI(\()p FJ(m)1429
2501 y FF(2)1448 2494 y FI(\))20 b(=)g FJ(L)1578 2501
y FF(1)1598 2494 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FK(,)g(das)60
2554 y(hei\377t,)30 b(w)o(enn)h FH(F)18 b FI(:=)c FH(f)p
FJ(h)g FH(2)g FJ(L)618 2561 y FF(1)638 2554 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))g(:)f FJ(h)p FI(\()p FJ(x;)8 b(y)r FI(\))13
b(=)h FJ(f)5 b FI(\()p FJ(x)p FI(\))11 b(+)g FJ(g)r FI(\()p
FJ(y)r FI(\))p FJ(;)18 b(f)i FH(2)14 b FJ(L)1353 2561
y FF(1)1373 2554 y FI(\()p FJ(m)1435 2561 y FF(1)1454
2554 y FI(\))p FJ(;)19 b(g)d FH(2)e FJ(L)1625 2561 y
FF(1)1645 2554 y FI(\()p FJ(m)1707 2561 y FF(2)1726 2554
y FI(\))p FH(g)60 2615 y FK(in)i FI(\()p FJ(L)169 2622
y FF(1)189 2615 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FJ(;)8 b
FH(k)14 b(k)342 2622 y FF(1)361 2615 y FI(\))i FK(dic)o(h)o(t)f(ist.)60
2731 y FB(Beweis.)26 b FK(Der)16 b(Bew)o(eis)f(wird)h(in)g(drei)f(Sc)o
(hritte)g(un)o(terteilt.)f(Es)j(sei)e FH(E)k FI(=)14
b FH(E)1444 2738 y FF(1)1475 2731 y FH(\012)d(E)1556
2738 y FF(2)1575 2731 y FK(.)p eop
%%Page: 10 12
10 11 bop 120 50 a FK(10)994 b Fy(KAPITEL)17 b(1.)32
b(GR)o(UNDLA)o(GEN)120 203 y FB(Behauptung)19 b(1.)24
b FJ(\026)i(=)-30 b FH(2)19 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FJ(m)705 210 y FF(1)726 203 y FJ(;)8 b(m)791 210 y FF(2)810
203 y FI(\)\))19 b FK(genau)h(dann,)g(w)o(enn)f(es)g(ein)g(endlic)o
(hes)f(signiertes)120 264 y(Ma\377)f FJ(\027)g FH(6)p
FI(=)d(0)i FK(auf)h FI(\()p FJ(I)487 271 y FF(1)517 264
y FH(\002)11 b FJ(I)589 271 y FF(2)608 264 y FJ(;)d FH(E)d
FI(\))16 b FK(gibt,)g(so)h(da\377)457 376 y FH(8)437
407 y FG(S)r FA(2E)519 376 y FH(j)p FJ(\027)s FH(j)p
FI(\()p FJ(S)s FI(\))c FH(\024)h FJ(\026)p FI(\()p FJ(S)s
FI(\))49 b FK(und)78 b FH(8)990 407 y FG(A)p FA(2E)1059
412 y Fz(1)1090 376 y FJ(\027)s FI(\()p FJ(A)10 b FH(\002)h
FJ(I)1255 383 y FF(2)1274 376 y FI(\))j(=)g(0)49 b FK(und)467
476 y FH(8)437 507 y FG(B)r FA(2E)509 512 y Fz(2)538
476 y FJ(\027)s FI(\()p FJ(I)606 483 y FF(1)637 476 y
FH(\002)10 b FJ(B)s FI(\))k(=)g(0)p FJ(:)120 438 y FK(\(1.12\))120
630 y FB(Beweis.)26 b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)36
b(Angenommen,)e(es)i(gibt)h FJ(\026)48 b FH(6)p FI(=)h
FJ(\026)1179 637 y FF(1)1199 630 y FJ(;)8 b(\026)1250
637 y FF(2)1318 630 y FH(2)49 b(D)q FI(\()p FJ(m)1501
637 y FF(1)1521 630 y FJ(;)8 b(m)1586 637 y FF(2)1605
630 y FI(\))p FK(,)36 b(so)h(da\377)120 690 y FJ(\026)14
b FI(=)220 671 y FF(1)p 220 679 18 2 v 220 707 a(2)243
690 y FJ(\026)272 697 y FF(1)303 690 y FI(+)357 671 y
FF(1)p 357 679 V 357 707 a(2)379 690 y FJ(\026)408 697
y FF(2)428 690 y FJ(:)21 b FK(Nun)f(setze)g FJ(\027)25
b FI(=)811 671 y FF(1)p 811 679 V 811 707 a(2)834 690
y FJ(\026)863 697 y FF(1)897 690 y FH(\000)955 671 y
FF(1)p 955 679 V 955 707 a(2)978 690 y FJ(\026)1007 697
y FF(2)1027 690 y FK(.)20 b FJ(\026)1090 697 y FF(1)1131
690 y FK(und)h FJ(\026)1262 697 y FF(2)1303 690 y FK(sind)g(endlic)o
(he)d(Ma\377e)j(\(w)o(e-)120 750 y(gen)15 b FJ(\026)237
757 y FF(1)257 750 y FJ(;)8 b(\026)308 757 y FF(2)342
750 y FH(2)14 b(D)q FI(\()p FJ(m)490 757 y FF(1)510 750
y FJ(;)8 b(m)575 757 y FF(2)595 750 y FI(\))15 b FK(und)g(Bemerkung)e
(1.3.2\).)i(Also)g(ist)g FJ(\027)j FK(ein)c(endlic)o(hes)g(signiertes)
120 811 y(Ma\377.)i(F\374r)g FJ(S)h FH(2)d(E)5 b FK(,)16
b(gilt)612 925 y FH(j)p FJ(\027)s FH(j)p FI(\()p FJ(S)s
FI(\))d FH(\024)809 905 y FF(1)p 809 913 V 809 942 a(2)831
925 y FJ(\026)860 932 y FF(1)881 925 y FI(\()p FJ(S)s
FI(\))d(+)1016 905 y FF(1)p 1016 913 V 1016 942 a(2)1039
925 y FJ(\026)1068 932 y FF(2)1088 925 y FI(\()p FJ(S)s
FI(\))k(=)g FJ(\026)p FI(\()p FJ(S)s FI(\))p FJ(:)-1219
b FK(\(1.13\))120 1039 y(Ist)16 b FJ(A)d FH(2)h(E)320
1046 y FF(1)340 1039 y FK(,)i(so)h(gilt)339 1153 y FJ(\027)s
FI(\()p FJ(A)11 b FH(\002)g FJ(I)505 1160 y FF(2)524
1153 y FI(\))j(=)614 1134 y FF(1)p 614 1142 V 614 1171
a(2)636 1153 y FJ(\026)665 1160 y FF(1)685 1153 y FI(\()p
FJ(A)d FH(\002)g FJ(I)824 1160 y FF(2)843 1153 y FI(\))g
FH(\000)928 1134 y FF(1)p 928 1142 V 928 1171 a(2)951
1153 y FJ(\026)980 1160 y FF(2)1000 1153 y FI(\()p FJ(A)f
FH(\002)h FJ(I)1138 1160 y FF(2)1157 1153 y FI(\))j(=)1247
1134 y FF(1)p 1247 1142 V 1247 1171 a(2)1269 1153 y FJ(m)1312
1160 y FF(1)1332 1153 y FI(\()p FJ(A)p FI(\))c FH(\000)1472
1134 y FF(1)p 1472 1142 V 1472 1171 a(2)1495 1153 y FJ(m)1538
1160 y FF(1)1557 1153 y FI(\()p FJ(A)p FI(\))k(=)f(0)p
FJ(:)-1615 b FK(\(1.14\))120 1268 y(Analog)17 b(folgt)f
FJ(\027)s FI(\()p FJ(I)467 1275 y FF(1)498 1268 y FH(\002)10
b FJ(B)s FI(\))k(=)f(0)k FK(f\374r)f FJ(B)h FH(2)d(E)921
1275 y FF(2)940 1268 y FK(.)120 1328 y(\022)t FH(\()p
FK(\020)t(:)i(Hab)q(e)h(also)f FJ(\027)k FK(die)15 b(in)h(der)g
(Behauptung)h(v)o(erlangten)e(Eigensc)o(haften.)h(Es)g(gilt)708
1442 y FJ(\026)e FI(=)808 1422 y FF(1)p 808 1431 V 808
1459 a(2)831 1442 y FI(\()p FJ(\026)d FI(+)g FJ(\027)s
FI(\))g(+)1050 1422 y FF(1)p 1050 1431 V 1050 1459 a(2)1073
1442 y FI(\()p FJ(\026)g FH(\000)g FJ(\027)s FI(\))p
FJ(:)-1122 b FK(\(1.15\))120 1556 y FJ(\026)14 b FH(6)p
FI(=)g FJ(\026)d FH(\006)g FJ(\027)s FK(,)16 b(da)h FJ(\027)g
FH(6)p FI(=)d(0)p FK(.)i(W)l(eiterhin)f(ist)h FJ(\026)11
b FH(\006)g FJ(\027)17 b FH(2)d(D)q FI(\()p FJ(m)1149
1563 y FF(1)1169 1556 y FJ(;)8 b(m)1234 1563 y FF(2)1254
1556 y FI(\))p FK(:)120 1616 y(Aus)16 b FH(j)p FJ(\027)s
FH(j)e(\024)f FJ(\026)k FK(folgt)f FJ(\026)c FH(\006)f
FJ(\027)17 b FH(\025)c FI(0)p FK(.)k(Sei)e(n)o(un)h FJ(A)e
FH(2)g(E)1039 1623 y FF(1)1075 1616 y FK(und)j FJ(B)f
FH(2)e(E)1304 1623 y FF(2)1324 1616 y FK(.)i(Dann)h(gilt)561
1729 y FI(\()p FJ(\026)11 b FH(\006)g FJ(\027)s FI(\)\()p
FJ(A)g FH(\002)f FJ(I)854 1736 y FF(2)874 1729 y FI(\))k(=)f
FJ(\026)p FI(\()p FJ(A)e FH(\002)g FJ(I)1126 1736 y FF(2)1145
1729 y FI(\))j(=)g FJ(m)1273 1736 y FF(1)1292 1729 y
FI(\()p FJ(A)p FI(\))p FJ(;)561 1802 y FI(\()p FJ(\026)d
FH(\006)g FJ(\027)s FI(\)\()p FJ(I)757 1809 y FF(1)787
1802 y FH(\002)g FJ(B)s FI(\))j(=)f FJ(\026)p FI(\()p
FJ(I)1031 1809 y FF(1)1062 1802 y FH(\002)e FJ(B)s FI(\))i(=)h
FJ(m)1279 1809 y FF(2)1298 1802 y FI(\()p FJ(B)s FI(\))p
FJ(:)120 1766 y FK(\(1.16\))1794 1906 y Fx(N)120 2014
y FB(Behauptung)19 b(2.)24 b FJ(\026)61 b(=)-30 b FH(2)55
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FJ(m)776 2021 y FF(1)796
2014 y FJ(;)8 b(m)861 2021 y FF(2)881 2014 y FI(\)\))40
b FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g(es)g(eine)f(F)l(unktion)120
2075 y FI(0)14 b FH(6)p FI(=)g FJ(F)20 b FH(2)14 b FJ(L)342
2082 y FA(1)380 2075 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))i FK(gibt,)g(so)h
(da\377)g FH(k)p FJ(F)7 b FH(k)818 2082 y FA(1)868 2075
y FH(\024)14 b FI(1)j FK(und)501 2213 y FH(8)435 2246
y FG(f)t FA(2)p FG(L)504 2251 y Fz(1)520 2246 y FF(\()p
FG(m)565 2251 y Fz(1)582 2246 y FF(\))675 2213 y FH(8)610
2246 y FG(g)q FA(2)p FG(L)676 2251 y Fz(1)693 2246 y
FF(\()p FG(m)738 2251 y Fz(2)755 2246 y FF(\))791 2145
y FE(Z)818 2258 y FG(I)833 2263 y Fz(1)851 2258 y FA(\002)p
FG(I)893 2263 y Fz(2)913 2213 y FI(\()p FJ(f)5 b FI(\()p
FJ(x)p FI(\))11 b(+)g FJ(g)r FI(\()p FJ(y)r FI(\)\))p
FJ(F)c FI(\()p FJ(x;)h(y)r FI(\))h FJ(d\026)15 b FI(=)f(0)p
FJ(:)-1396 b FK(\(1.17\))120 2358 y FH(k)14 b(k)184 2365
y FA(1)237 2358 y FK(b)q(ezeic)o(hnet)h(dab)q(ei)h(die)g(essen)o
(tielle)d(Suprem)o(umsnorm.)120 2491 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)16 b(Sei)g FJ(F)21 b
FH(2)15 b FJ(L)639 2498 y FA(1)676 2491 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))i FK(gegeb)q(en,)g(so)g(da\377)h FI(0)d FH(6)p
FI(=)f FJ(F)7 b FK(,)15 b FH(k)p FJ(F)7 b FH(k)1361 2498
y FA(1)1413 2491 y FH(\024)14 b FI(1)j FK(und)g(\(1.17\))g(gilt.)120
2551 y(F\374r)f FJ(S)h FH(2)d(E)5 b FK(,)15 b(de\034niere)747
2686 y FJ(\027)s FI(\()p FJ(S)s FI(\))f(=)911 2619 y
FE(Z)938 2731 y FG(S)972 2686 y FJ(F)7 b FI(\()p FJ(x;)h(y)r
FI(\))i FJ(d\026:)-1083 b FK(\(1.18\))p eop
%%Page: 11 13
11 12 bop 60 50 a Fy(1.4.)16 b(MASSTHEORETISCHE)g(CHARAKTERISIER)o(UNG)
453 b FK(11)60 203 y(W)l(egen)21 b FH(k)p FJ(F)7 b FH(k)311
210 y FA(1)368 203 y FJ(>)22 b FI(0)p FK(,)e(folgt)h
FJ(\027)k FH(6)p FI(=)c(0)p FK(.)f(Da)i FJ(\026)f FK(endlic)o(h)e(ist)h
(und)h FJ(F)28 b FH(2)21 b FJ(L)1394 210 y FA(1)1432
203 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FK(,)f(ist)1606 163 y
FE(R)1629 221 y FG(S)1663 203 y FJ(F)g(d\026)60 264 y
FK(de\034niert)11 b(und)i(endlic)o(h.)d(Also)i(ist)g
FJ(\027)j FK(ein)c(signiertes)h(Ma\377)g(auf)h FI(\()p
FJ(I)1237 271 y FF(1)1267 264 y FH(\002)e FJ(I)1339 271
y FF(2)1358 264 y FJ(;)d FH(E)d FI(\))p FK(.)12 b(Sei)f(n)o(un)h
FJ(A)h FH(2)i(E)1750 271 y FF(1)60 324 y FK(und)i FJ(B)f
FH(2)e(E)289 331 y FF(2)308 324 y FK(.)i(Dann)h(ist)502
439 y FJ(\027)s FI(\()p FJ(A)11 b FH(\002)g FJ(I)668
446 y FF(2)687 439 y FI(\))j(=)772 371 y FE(Z)799 484
y FG(I)814 489 y Fz(1)832 484 y FA(\002)p FG(I)874 489
y Fz(2)902 439 y FI(1)926 446 y FG(A)955 439 y FI(\()p
FJ(x)p FI(\))p FJ(F)7 b FI(\()p FJ(x;)h(y)r FI(\))h FJ(d\026)15
b FI(=)f(0)-1268 b FK(\(1.19\))60 563 y(und)501 671 y
FJ(\027)s FI(\()p FJ(I)569 678 y FF(1)599 671 y FH(\002)11
b FJ(B)s FI(\))i(=)773 604 y FE(Z)801 716 y FG(I)816
721 y Fz(1)833 716 y FA(\002)p FG(I)875 721 y Fz(2)904
671 y FI(1)928 678 y FG(B)959 671 y FI(\()p FJ(y)r FI(\))p
FJ(F)7 b FI(\()p FJ(x;)h(y)r FI(\))h FJ(d\026)14 b FI(=)g(0)-1269
b FK(\(1.20\))60 799 y(w)o(egen)16 b(\(1.17\).)g(Au\377erdem)f(ist)h
(f\374r)g FJ(S)h FH(2)d(E)t FK(,)551 919 y FH(j)p FJ(\027)s
FH(j)p FJ(S)j FI(=)705 851 y FE(Z)732 964 y FG(S)766
919 y FH(j)p FJ(F)7 b FH(j)j FJ(d\026)15 b FH(\024)964
851 y FE(Z)992 964 y FG(S)1037 919 y FJ(d\026)f FI(=)g
FJ(\026)p FI(\()p FJ(S)s FI(\))p FJ(;)-1211 b FK(\(1.21\))60
1042 y(da)17 b FH(k)p FJ(F)7 b FH(k)217 1049 y FA(1)267
1042 y FH(\024)14 b FI(1)p FK(.)i FJ(\026)k(=)-30 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FJ(m)617 1049 y FF(1)637
1042 y FJ(;)8 b(m)702 1049 y FF(2)722 1042 y FI(\)\))16
b FK(folgt)g(n)o(un)g(w)o(egen)g(Behauptung)h(1.)60 1121
y(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)j(Nun)g(sei)f(also)i FJ(\026)26
b(=)-30 b FH(2)20 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FJ(m)727
1128 y FF(1)747 1121 y FJ(;)8 b(m)812 1128 y FF(2)831
1121 y FI(\)\))p FK(.)19 b FJ(\027)24 b FK(sei)19 b(das)i(durc)o(h)e
(Behauptung)i(1)f(gegeb)q(ene)60 1181 y(signierte)i(Ma\377)i(auf)f
FI(\()p FJ(I)509 1188 y FF(1)540 1181 y FH(\002)11 b
FJ(I)612 1188 y FF(2)631 1181 y FJ(;)d FH(E)t FI(\))p
FK(.)23 b(Da)h FH(j)p FJ(\027)s FH(j)i FI(=)f FJ(\027)995
1163 y FF(+)1041 1181 y FI(+)15 b FJ(\027)1121 1163 y
FA(\000)1177 1181 y FH(\024)25 b FJ(\026)f FK(ist,)e(folgt)i
FJ(\027)1529 1163 y FF(+)1558 1181 y FJ(;)8 b(\027)1607
1163 y FA(\000)1663 1181 y FH(\024)25 b FJ(\026)p FK(.)60
1241 y(Das)17 b(Radon-Nik)o(o)q(dym-Theorem)d(\(siehe)h(zum)f(Beispiel)
g([12,)i(S.)g(121\033]\))h(liefert)d(n)o(un)i(eine)60
1301 y(F)l(unktion)g FJ(F)c FI(:)h FJ(I)361 1308 y FF(1)391
1301 y FH(\002)e FJ(I)463 1308 y FF(2)496 1301 y FH(\000)-8
b(!)13 b Fw(R)m FK(,)j FJ(F)k FH(2)14 b FJ(L)788 1308
y FF(1)808 1301 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))q FK(,)h(so)i(da\377)749
1422 y FH(8)728 1453 y FG(S)r FA(2E)810 1422 y FJ(\027)s(S)g
FI(=)936 1354 y FE(Z)964 1467 y FG(S)998 1422 y FJ(F)g(d\026)-1041
b FK(\(1.22\))60 1541 y(und)17 b(f\374r)f(alle)f FJ(S)i
FH(2)d(E)553 1583 y FE(Z)580 1696 y FG(S)614 1651 y FH(j)p
FJ(F)7 b FH(j)13 b FJ(d\026)h FI(=)g FH(j)p FJ(\027)s
FH(j)p FJ(S)j FH(\024)c FJ(\026)p FI(\()p FJ(S)s FI(\))h(=)1134
1583 y FE(Z)1162 1696 y FG(S)1209 1651 y FJ(d\026:)-1217
b FK(\(1.23\))60 1774 y(Daraus)18 b(folgt)e FH(k)p FJ(F)7
b FH(k)429 1781 y FA(1)479 1774 y FH(\024)14 b FI(1)p
FK(,)i(das)h(hei\377t)f(insb)q(esondere)g(ist)g FJ(F)21
b FH(2)14 b FJ(L)1282 1781 y FA(1)1319 1774 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))p FK(.)60 1834 y(Seien)i FJ(\036)7 b
FI(:)14 b FJ(I)274 1841 y FF(1)308 1834 y FH(\000)-8
b(!)14 b Fw(R)p FK(,)g FJ( )8 b FI(:)14 b FJ(I)560 1841
y FF(2)595 1834 y FH(\000)-9 b(!)15 b Fw(R)f FK(T)l(repp)q
(enfunktionen)i(\(simple)f(functions:)h(De\034nition)60
1894 y(siehe)f(zum)g(Beispiel)f([11)q(,)h(S.)h(260])q(\).)g(W)l(egen)g
(\(1.12\))h(folgt)309 1947 y FE(Z)337 2060 y FG(I)352
2065 y Fz(1)370 2060 y FA(\002)p FG(I)412 2065 y Fz(2)440
2015 y FJ(\036)p FI(\()p FJ(x)p FI(\))p FJ(F)7 b FI(\()p
FJ(x;)h(y)r FI(\))h FJ(d\026)15 b FI(=)e(0)k FK(und)964
1947 y FE(Z)992 2060 y FG(I)1007 2065 y Fz(1)1024 2060
y FA(\002)p FG(I)1066 2065 y Fz(2)1095 2015 y FJ( )r
FI(\()p FJ(y)r FI(\))p FJ(F)7 b FI(\()p FJ(x;)h(y)r FI(\))g
FJ(d\026)15 b FI(=)e(0)p FJ(;)-1452 b FK(\(1.24\))60
2139 y(das)17 b(hei\377t)384 2179 y FE(Z)411 2292 y FG(I)426
2297 y Fz(1)444 2292 y FA(\002)p FG(I)486 2297 y Fz(2)506
2247 y FI(\()p FJ(\036F)7 b FI(\))612 2226 y FF(+)641
2247 y FI(\()p FJ(x;)h(y)r FI(\))i FJ(d\026)k FI(=)885
2179 y FE(Z)913 2292 y FG(I)928 2297 y Fz(1)945 2292
y FA(\002)p FG(I)987 2297 y Fz(2)1007 2247 y FI(\()p
FJ(\036F)7 b FI(\))1113 2226 y FA(\000)1142 2247 y FI(\()p
FJ(x;)h(y)r FI(\))i FJ(d\026)50 b FK(und)379 2313 y FE(Z)407
2426 y FG(I)422 2431 y Fz(1)439 2426 y FA(\002)p FG(I)481
2431 y Fz(2)501 2381 y FI(\()p FJ( )r(F)7 b FI(\))612
2360 y FF(+)641 2381 y FI(\()p FJ(x;)h(y)r FI(\))i FJ(d\026)k
FI(=)885 2313 y FE(Z)913 2426 y FG(I)928 2431 y Fz(1)945
2426 y FA(\002)p FG(I)987 2431 y Fz(2)1007 2381 y FI(\()p
FJ( )r(F)7 b FI(\))1118 2360 y FA(\000)1147 2381 y FI(\()p
FJ(x;)h(y)r FI(\))i FJ(d\026:)60 2317 y FK(\(1.25\))60
2505 y(Die)34 b(folgenden)g(F)l(unktionenlimites)d(b)q(edeuten)j(punkt)
o(w)o(eise)f(Kon)o(v)o(ergenz.)g(Es)i(sei-)60 2565 y(en)c(gegeb)q(en)h
FJ(f)44 b FH(2)c FJ(L)515 2572 y FF(1)535 2565 y FI(\()p
FJ(m)597 2572 y FF(1)616 2565 y FI(\))p FJ(;)48 b(g)41
b FH(2)f FJ(L)867 2572 y FF(1)887 2565 y FI(\()p FJ(m)949
2572 y FF(2)968 2565 y FI(\))p FK(.)31 b(Dann)h(gibt)f(es)g(T)l(repp)q
(enfunktionen)60 2625 y FJ(\036)89 2607 y FF(+)89 2638
y FG(n)118 2625 y FJ(;)8 b(\036)169 2607 y FA(\000)169
2638 y FG(n)204 2625 y FI(:)14 b FJ(I)254 2632 y FF(1)287
2625 y FH(\000)-9 b(!)14 b Fw(R)m FJ(;)64 b FK(und)17
b FJ( )627 2607 y FF(+)625 2638 y FG(n)656 2625 y FJ(;)8
b( )712 2607 y FA(\000)710 2638 y FG(n)746 2625 y FI(:)14
b FJ(I)796 2632 y FF(2)829 2625 y FH(\000)-9 b(!)14 b
Fw(R)p FJ(;)61 b FK(so)17 b(da\377)245 2721 y FI(lim)233
2751 y FG(n)p FA(!1)325 2721 y FJ(\036)354 2701 y FF(+)354
2734 y FG(n)397 2721 y FI(=)d FJ(f)478 2701 y FF(+)508
2721 y FJ(;)34 b FI(lim)544 2751 y FG(n)p FA(!1)636 2721
y FJ(\036)665 2701 y FA(\000)665 2734 y FG(n)708 2721
y FI(=)14 b FJ(f)789 2701 y FA(\000)867 2721 y FK(und)61
b FI(lim)997 2751 y FG(n)p FA(!1)1089 2721 y FJ( )1123
2701 y FF(+)1121 2734 y FG(n)1166 2721 y FI(=)14 b FJ(g)1243
2701 y FF(+)1272 2721 y FJ(;)34 b FI(lim)1308 2751 y
FG(n)p FA(!1)1400 2721 y FJ( )1434 2701 y FA(\000)1432
2734 y FG(n)1477 2721 y FI(=)14 b FJ(g)1554 2701 y FA(\000)1583
2721 y FJ(;)p eop
%%Page: 12 14
12 13 bop 120 50 a FK(12)994 b Fy(KAPITEL)17 b(1.)32
b(GR)o(UNDLA)o(GEN)268 203 y FH(8)247 235 y FG(n)p FA(2)p
Fm(N)379 203 y FI(0)14 b FH(\024)f FJ(\036)498 183 y
FF(+)498 216 y FG(n)542 203 y FH(\024)g FJ(f)623 183
y FF(+)653 203 y FJ(;)57 b FI(0)14 b FH(\024)g FJ(\036)844
183 y FA(\000)844 216 y FG(n)887 203 y FH(\024)f FJ(f)968
183 y FA(\000)998 203 y FJ(;)57 b FI(0)14 b FH(\024)g
FJ( )1194 183 y FF(+)1192 216 y FG(n)1237 203 y FH(\024)f
FJ(g)1314 183 y FF(+)1344 203 y FJ(;)56 b FI(0)15 b FH(\024)e
FJ( )1539 183 y FA(\000)1537 216 y FG(n)1582 203 y FH(\024)h
FJ(g)1660 183 y FA(\000)1689 203 y FJ(:)120 329 y FK(Es)j(folgt)508
438 y FI(lim)496 468 y FG(n)p FA(!1)588 438 y FI(\()p
FJ(\036)636 417 y FF(+)636 450 y FG(n)676 438 y FH(\000)11
b FJ(\036)755 417 y FA(\000)755 450 y FG(n)785 438 y
FI(\))i(=)h FJ(f)s(;)69 b FI(lim)967 468 y FG(n)p FA(!1)1059
438 y FI(\()p FJ(\036)1107 417 y FF(+)1107 450 y FG(n)1147
438 y FH(\000)11 b FJ(\036)1226 417 y FA(\000)1226 450
y FG(n)1255 438 y FI(\))p FJ(F)20 b FI(=)14 b FJ(f)5
b(F)q(;)120 560 y FK(und)502 669 y FI(lim)490 699 y FG(n)p
FA(!1)582 669 y FI(\()p FJ( )635 648 y FF(+)633 681 y
FG(n)675 669 y FH(\000)11 b FJ( )759 648 y FA(\000)757
681 y FG(n)788 669 y FI(\))i(=)h FJ(g)r(;)69 b FI(lim)968
699 y FG(n)p FA(!1)1060 669 y FI(\()p FJ( )1113 648 y
FF(+)1111 681 y FG(n)1153 669 y FH(\000)11 b FJ( )1237
648 y FA(\000)1235 681 y FG(n)1266 669 y FI(\))p FJ(F)20
b FI(=)14 b FJ(g)r(F)q(:)120 791 y FK(Dab)q(ei)j(gilt)e(au\377erdem)459
900 y FH(j)p FI(\()p FJ(\036)521 879 y FF(+)521 912 y
FG(n)561 900 y FH(\000)c FJ(\036)640 879 y FA(\000)640
912 y FG(n)669 900 y FI(\))p FJ(F)c FH(j)13 b(\024)h
FI(\()p FH(j)p FJ(\036)869 879 y FF(+)869 912 y FG(n)898
900 y FH(j)d FI(+)g FH(j)p FJ(\036)1015 879 y FA(\000)1015
912 y FG(n)1044 900 y FH(j)p FI(\))p FH(j)p FJ(F)c FH(j)13
b(\024)g FI(\()p FJ(f)1257 879 y FF(+)1298 900 y FI(+)e
FJ(f)1376 879 y FA(\000)1406 900 y FI(\))p FH(j)p FJ(F)c
FH(j)120 1009 y FK(und)447 1118 y FH(j)p FI(\()p FJ( )514
1097 y FF(+)512 1130 y FG(n)554 1118 y FH(\000)k FJ( )638
1097 y FA(\000)636 1130 y FG(n)667 1118 y FI(\))p FJ(F)c
FH(j)13 b(\024)g FI(\()p FH(j)p FJ( )871 1097 y FF(+)869
1130 y FG(n)900 1118 y FH(j)e FI(+)g FH(j)p FJ( )1022
1097 y FA(\000)1020 1130 y FG(n)1051 1118 y FH(j)p FI(\))p
FH(j)p FJ(F)c FH(j)13 b(\024)g FI(\()p FJ(g)1260 1097
y FF(+)1301 1118 y FI(+)e FJ(g)1375 1097 y FA(\000)1404
1118 y FI(\))p FH(j)p FJ(F)c FH(j)p FJ(:)120 1226 y FK(Da)15
b FI(\()p FJ(f)244 1208 y FF(+)280 1226 y FI(+)6 b FJ(f)353
1208 y FA(\000)383 1226 y FI(\))p FH(j)p FJ(F)h FH(j)p
FJ(;)21 b FI(\()p FJ(g)548 1208 y FF(+)584 1226 y FI(+)6
b FJ(g)653 1208 y FA(\000)683 1226 y FI(\))p FH(j)p FJ(F)h
FH(j)13 b(2)h FJ(L)862 1233 y FF(1)882 1226 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))p FK(,)g(k)m(ann)g(das)h(Leb)q(esguesc)o(he)f(Kon)o(v)o
(ergenztheo-)120 1287 y(rem)h(\(siehe)g(zum)g(Beispiel)f([11,)i(S.)g
(267]\))h(angew)o(endet)f(w)o(erden,)f(und)h(man)g(b)q(ek)o(omm)o(t)429
1352 y FE(Z)457 1465 y FG(I)472 1470 y Fz(1)489 1465
y FA(\002)p FG(I)531 1470 y Fz(2)560 1420 y FJ(f)5 b(F)17
b(d\026)e FI(=)26 b(lim)759 1450 y FG(n)p FA(!1)859 1352
y FE(Z)887 1465 y FG(I)902 1470 y Fz(1)919 1465 y FA(\002)p
FG(I)961 1470 y Fz(2)981 1420 y FI(\()p FJ(\036)1029
1399 y FF(+)1029 1432 y FG(n)1070 1420 y FH(\000)11 b
FJ(\036)1149 1399 y FA(\000)1149 1432 y FG(n)1178 1420
y FI(\))p FJ(F)17 b(d\026)e FI(=)f(0)49 b FK(und)433
1486 y FE(Z)461 1599 y FG(I)476 1604 y Fz(1)493 1599
y FA(\002)p FG(I)535 1604 y Fz(2)564 1554 y FJ(g)r(F)17
b(d\026)e FI(=)26 b(lim)759 1584 y FG(n)p FA(!1)859 1486
y FE(Z)887 1599 y FG(I)902 1604 y Fz(1)919 1599 y FA(\002)p
FG(I)961 1604 y Fz(2)981 1554 y FI(\()p FJ( )1034 1533
y FF(+)1032 1566 y FG(n)1074 1554 y FH(\000)11 b FJ( )1158
1533 y FA(\000)1156 1566 y FG(n)1187 1554 y FI(\))p FJ(F)18
b(d\026)c FI(=)g(0)120 1490 y FK(\(1.26\))120 1694 y(w)o(egen)k
(\(1.24\).)h(Durc)o(h)f(\(1.26\))h(ist)f(der)h(Bew)o(eis)e(v)o(on)h
(\022)t FH(\))p FK(\020)23 b(und)c(damit)e(auc)o(h)h(der)g(Bew)o(eis)
120 1754 y(v)o(on)e(Behauptung)h(2)f(v)o(ollst\344ndig.)1021
b Fx(N)120 1872 y FK(Der)16 b(letzte)f(Sc)o(hritt)g(im)g(Bew)o(eis)f
(des)j(Satzes)f(ist)g(die)f(folgende)h(Behauptung)h(3.)120
2004 y FB(Behauptung)i(3.)24 b FJ(\026)c(=)-29 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FJ(m)695 2011 y FF(1)715
2004 y FJ(;)8 b(m)780 2011 y FF(2)799 2004 y FI(\)\))14
b FH(,)g(F)k(\022)c FJ(L)1055 2011 y FF(1)1075 2004 y
FI(\()p FJ(\026)p FI(\))i FK(ist)g(nic)o(h)o(t)f(dic)o(h)o(t)g(in)h
FJ(L)1560 2011 y FF(1)1580 2004 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p
FK(.)120 2122 y FB(Beweis.)26 b FK(Nac)o(h)18 b(dem)f(Darstellungssatz)
j(v)o(on)e(Riesz,)g(ist)g FJ(L)1252 2129 y FF(1)1272
2122 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))1339 2104 y FA(\003)1378
2122 y FK(isometrisc)o(h)f(isomorph)120 2182 y(zu)f FJ(L)218
2189 y FA(1)256 2182 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FK(.)120
2243 y(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)j(Sei)f FJ(F)25 b FH(2)19
b FJ(L)466 2250 y FA(1)504 2243 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))g
FK(die)g(durc)o(h)f(Behauptung)i(2)f(gegeb)q(ene)g(F)l(unktion.)g(Das)g
(zugeh\366-)120 2303 y(rige)g(F)l(unktional)g(in)h FJ(L)561
2310 y FF(1)581 2303 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))648 2285
y FA(\003)687 2303 y FK(b)q(ezeic)o(hne)e(wieder)h(mit)f
FJ(F)7 b FK(.)18 b(W)l(egen)i(\(1.17\))g(gilt)f(f\374r)h(dieses)120
2363 y(F)l(unktional)g FJ(F)7 b FK(,)20 b(da\377)44 b
FH(8)540 2394 y FG(h)p FA(2F)626 2363 y FJ(F)7 b FI(\()p
FJ(h)p FI(\))21 b(=)g(0)p FK(.)g(W\344re)g FJ(L)1039
2370 y FF(1)1059 2363 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))g FK(gleic)o(h)e(dem)h
(Absc)o(hlu\377)g(v)o(on)g FH(F)5 b FK(,)20 b(so)120
2443 y(w\374rde)15 b(die)f(Stetigk)o(eit)f(v)o(on)i FJ(F)21
b FK(implizie)o(ren,)11 b(da\377)69 b FH(8)1056 2476
y FG(h)p FA(2)p FG(L)1124 2481 y Fz(1)1141 2476 y FF(\()p
FG(\026)p FF(\))1204 2443 y FJ(F)7 b FI(\()p FJ(h)p FI(\))13
b(=)h(0)p FK(,)h(das)g(hei\377t)g FJ(F)20 b FI(=)14 b(0)h
FK(im)120 2528 y(Widerspruc)o(h)g(zu)h FJ(F)21 b FH(6)p
FI(=)13 b(0)k FK(in)f(Behauptung)h(2.)120 2609 y(\022)t
FH(\()p FK(\020)t(:)d(Angenommen)e FH(F)19 b FK(ist)14
b(nic)o(h)o(t)f(dic)o(h)o(t)g(in)h FJ(L)993 2616 y FF(1)1013
2609 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FK(.)g(Es)h(gibt)g(also)g
FJ(h)1398 2616 y FF(0)1431 2609 y FH(2)f FJ(L)1511 2616
y FF(1)1538 2609 y FH(n)p 1570 2569 41 2 v 7 w(F)5 b
FK(,)14 b(das)h(hei\377t)758 2718 y FH(9)740 2749 y FG(\016)q(>)p
FF(0)839 2718 y FH(8)816 2749 y FG(h)p FA(2F)902 2718
y FH(k)p FJ(h)d FH(\000)e FJ(h)1044 2725 y FF(0)1064
2718 y FH(k)1089 2725 y FF(1)1123 2718 y FH(\025)j FJ(\016)o(:)p
eop
%%Page: 13 15
13 14 bop 60 50 a Fy(1.4.)16 b(MASSTHEORETISCHE)g(CHARAKTERISIER)o(UNG)
453 b FK(13)60 203 y(Da)28 b FH(F)k FK(ein)27 b(linearer)f(Un)o
(terraum)g(v)o(on)h FJ(L)891 210 y FF(1)911 203 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))g FK(ist,)g(gibt)g(es)h(nac)o(h)f(Prop)q(osition)i(7)e
(in)60 264 y([11,)16 b(S.)g(226])25 b(\(eine)e(An)o(w)o(endung)h(des)g
(Satzes)g(v)o(on)g(Hahn-Banac)o(h\))h(ein)e FJ(F)34 b
FH(2)28 b FJ(L)1650 271 y FF(1)1669 264 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))1736 246 y FA(\003)1756 264 y FK(,)60 324 y(so)22
b(da\377)g FH(k)p FJ(F)7 b FH(k)311 331 y FA(1)369 324
y FH(\024)22 b FI(1)p FJ(;)57 b(F)11 b Fx(\030)589 331
y FA(F)620 324 y FI(=)22 b(0)p FJ(;)57 b(F)7 b FI(\()p
FJ(h)861 331 y FF(0)880 324 y FI(\))22 b(=)g FJ(\016)r
FK(,)e(also)h(insb)q(esondere)g FJ(F)29 b FH(6)p FI(=)22
b(0)p FK(.)e(Die)h(zu-)60 384 y(geh\366rige)d(F)l(unktion)g
FJ(F)23 b FH(2)17 b FJ(L)602 391 y FA(1)640 384 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))h FK(erf\374llt)f(\(1.17\))i(und)f(w)o(egen)g
(Behauptung)g(2)h(ist)f(daher)60 444 y FJ(\026)i(=)-30
b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FJ(m)303 451
y FF(1)324 444 y FJ(;)8 b(m)389 451 y FF(2)408 444 y
FI(\)\))p FK(.)1274 b Fx(N)60 562 y FK(Damit)15 b(ist)h(Satz)g(1.4.1)h
(b)q(ewiesen.)1024 b Fx(\004)p eop
%%Page: 14 16
14 15 bop 120 555 a FM(Kapitel)34 b(2)120 781 y(Dopp)s(elt)h(sto)s(c)m
(hastisc)m(he)f(Matrizen)120 1058 y FC(2.1)77 b(De\034nition)25
b(und)h(erste)g(Eigensc)n(haften)120 1186 y FK(Sind)35
b(die)f(Ma\377r\344ume)h(in)f(De\034nition)h(1.3.1)h(diskret,)d(so)j
(en)o(tsprec)o(hen)e(die)g(Men-)120 1246 y(gen)28 b(der)g(dopp)q(elt)g
(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)h(Ma\377e)f(gerade)g(den)g(Mengen)g
(der)g(dopp)q(elt)120 1307 y(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)17
b(\(m\366glic)o(herw)o(ei)o(se)d(dopp)q(elt)i(unendlic)o(hen\))f
(Matrizen.)g(W\344rend)h(in)120 1367 y(der)j(Literatur)f(meistens)f
(Randv)o(erteilungen)h(auf)h(den)f(nat\374rlic)o(hen)g(Zahlen)g(und)i
(deren)120 1427 y(T)l(eilmengen)13 b(b)q(etrac)o(h)o(tet)i(w)o(erden,)g
(sollen)g(im)f(folgenden)i(diskrete)e(V)l(erteilungen)g(auf)j(b)q(e-)
120 1487 y(liebigen)h(Mengen)i(zugelassen)f(w)o(erden.)g(Dadurc)o(h)h
(wird)f(herausgestellt,)g(da\377)i(die)e(Ord-)120 1547
y(n)o(ungsstruktur)14 b(der)f(nat\374rlic)o(hen)e(Zahlen)i(f\374r)g
(die)g(meisten)e(Ergebnisse)i(ohne)g(Bedeutung)120 1607
y(ist.)120 1699 y FL(De\034nition)19 b(2.1.1.)24 b FK(Seien)15
b FJ(I)686 1706 y FF(1)705 1699 y FK(,)g FJ(I)756 1706
y FF(2)776 1699 y FK(,)g FJ(K)20 b FK(Mengen.)15 b(Mit)h
FH(M)1216 1706 y FG(K)1250 1699 y FI(\()p FJ(I)1291 1706
y FF(1)1310 1699 y FJ(;)8 b(I)1354 1706 y FF(2)1373 1699
y FI(\))14 b(:=)f FJ(K)1516 1681 y FG(I)1531 1686 y Fz(1)1549
1681 y FA(\002)p FG(I)1591 1686 y Fz(2)1627 1699 y FK(b)q(ezeic)o(hne)
120 1759 y(die)21 b(Menge)g(aller)g(Matrizen,)f(indiziert)g(mit)g
(Elemen)o(ten)e(aus)23 b FJ(I)1358 1766 y FF(1)1388 1759
y FH(\002)11 b FJ(I)1460 1766 y FF(2)1501 1759 y FK(und)22
b(Ko)q(e\036zien-)120 1819 y(ten)17 b(in)g FJ(K)k FK(\(im)16
b(folgenden)h(wird)g(praktisc)o(h)g(imm)o(er)d FJ(K)k
FI(=)c Fw(R)g FK(o)q(der)k FJ(K)g FI(=)c Fw(R)1537 1799
y FF(+)1537 1832 y(0)1580 1819 y FK(gelten\).)j(Die)120
1880 y(Elemen)o(te)g(v)o(on)j FJ(I)455 1887 y FF(1)494
1880 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)e FJ(I)876 1887 y
FF(2)916 1880 y FK(hei\377en)h FB(Zeilenindizes)j FK(b)q(ezieh)o(ungsw)
o(eise)c FB(Sp)n(al-)120 1940 y(tenindizes)p FK(.)e(Die)e(Matrizen)g
(hab)q(en)i(also)f FI(#)p FJ(I)955 1947 y FF(1)989 1940
y FK(viele)e(Zeilen)g(und)i FI(#)p FJ(I)1401 1947 y FF(2)1435
1940 y FK(viele)e(Spalten.)i(Eine)120 2000 y(Zeile)f(o)q(der)j(Spalte)f
(w)o(erde)g(als)g FB(Linie)h FK(b)q(ezeic)o(hnet.)120
2110 y(Matrizen,)22 b(die)h(in)g(jeder)g(Linie)g(h\366)q(c)o(hstens)h
(eine)e(Eins)i(stehen)f(hab)q(en)h(und)g(sonst)g(n)o(ur)120
2171 y(Nullen,)14 b(w)o(erden)i(als)g FB(Subp)n(ermutationsmatrizen)h
FK(b)q(ezeic)o(hnet.)d(Die)i(Menge)f(der)h(Subp)q(er-)120
2231 y(m)o(utationsmatrizen)e(mit)h(Zeilenindizes)f(aus)k
FJ(I)1025 2238 y FF(1)1062 2231 y FK(und)f(Spaltenindizes)f(aus)h
FJ(I)1590 2238 y FF(2)1627 2231 y FK(b)q(ezeic)o(hne)120
2291 y(man)e(mit)g FH(M)378 2298 y FG(sp)414 2291 y FI(\()p
FJ(I)455 2298 y FF(1)474 2291 y FJ(;)8 b(I)518 2298 y
FF(2)537 2291 y FI(\))p FK(.)120 2351 y(Matrizen,)15
b(die)h(in)h(jeder)f(Zeile)e(genau)k(eine)d(Eins)i(stehen)g(hab)q(en)g
(und)g(sonst)g(n)o(ur)g(Nullen,)120 2411 y(w)o(erden)j(als)i
FB(Permutationsmatrizen)f FK(b)q(ezeic)o(hnet.)e(Die)i(Menge)f(der)h(P)
o(erm)o(utationsma-)120 2472 y(trizen)i(mit)g(Zeilenindize)o(s)f(aus)j
FJ(I)776 2479 y FF(1)819 2472 y FK(und)g(Spaltenindizes)e(aus)i
FJ(I)1370 2479 y FF(2)1413 2472 y FK(b)q(ezeic)o(hne)e(man)g(mit)120
2532 y FH(M)180 2539 y FG(p)200 2532 y FI(\()p FJ(I)241
2539 y FF(1)260 2532 y FJ(;)8 b(I)304 2539 y FF(2)323
2532 y FI(\))p FK(.)19 b(Gelegen)o(tlic)o(h)d(wird)j(auc)o(h)g(die)g
(Bezeic)o(hn)o(ung)e FH(M)1312 2539 y FG(sp)1348 2532
y FI(\()p FJ(I)1389 2539 y FF(1)1408 2532 y FI(\))d(:=)f
FH(M)1566 2539 y FG(sp)1602 2532 y FI(\()p FJ(I)1643
2539 y FF(1)1662 2532 y FJ(;)8 b(I)1706 2539 y FF(1)1725
2532 y FI(\))20 b FK(b)q(e-)120 2592 y(zieh)o(ungsw)o(eise)15
b FH(M)486 2599 y FG(p)506 2592 y FI(\()p FJ(I)547 2599
y FF(1)567 2592 y FI(\))e(:=)h FH(M)724 2599 y FG(p)744
2592 y FI(\()p FJ(I)785 2599 y FF(1)805 2592 y FJ(;)8
b(I)849 2599 y FF(1)868 2592 y FI(\))16 b FK(b)q(en)o(utzt)g(w)o
(erden.)120 2671 y(In)k(Beispielen)e(w)o(erden)h(des)h(\366fteren)g
(\022)t(Dopp)q(eldiagonalmatrizen\020)k(auftreten,)19
b(die)h(jetzt)120 2731 y(de\034niert)15 b(w)o(erden)h(sollen.)951
2856 y(14)p eop
%%Page: 15 17
15 16 bop 60 50 a Fy(2.1.)32 b(DEFINITION)15 b(UND)g(ERSTE)i
(EIGENSCHAFTEN)496 b FK(15)60 203 y FL(De\034nition)19
b(2.1.2.)24 b FK(Es)19 b(sei)g FJ(I)644 210 y FF(1)681
203 y FI(=)g FJ(I)760 210 y FF(2)798 203 y FI(=)f(\(1)p
FJ(;)8 b FI(2)p FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\))p FK(.)19 b
FJ(P)25 b FH(2)19 b(M)1251 210 y Fm(R)1277 203 y FI(\()p
FJ(I)1318 210 y FF(1)1337 203 y FJ(;)8 b(I)1381 210 y
FF(2)1400 203 y FI(\))19 b FK(hei\377t)g(eine)f FB(Dop-)60
264 y(p)n(eldiagonalmatrix)f FK(der)f(F)l(orm)f FI(\(\()p
FJ(a)725 271 y FF(0)744 264 y FJ(;)8 b(a)792 271 y FF(1)812
264 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FI(\))p FJ(;)h FI(\()p FJ(b)980
271 y FF(1)999 264 y FJ(;)g(b)1042 271 y FF(2)1061 264
y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\)\))16 b FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)611
487 y FJ(p)635 494 y FG(i;j)689 487 y FI(=)741 340 y
FE(8)741 385 y(>)741 400 y(>)741 415 y(>)741 430 y(<)741
520 y(>)741 535 y(>)741 550 y(>)741 565 y(:)785 381 y
FJ(a)811 388 y FF(0)928 381 y FK(f\374r)g FJ(i)e FI(=)g
FJ(j)i FI(=)e(1)p FJ(;)785 453 y(a)811 460 y FG(i)928
453 y FK(f\374r)i FJ(j)h FI(=)d FJ(i)d FI(+)g(1)p FJ(;)785
526 y(b)806 533 y FG(j)928 526 y FK(f\374r)16 b FJ(i)e
FI(=)g FJ(j)g FI(+)d(1)p FJ(;)785 598 y FI(0)119 b FK(sonst,)60
708 y(das)17 b(hei\377t)645 910 y FJ(P)k FI(=)748 765
y FE(0)748 852 y(B)748 882 y(B)748 912 y(B)748 944 y(@)794
809 y FJ(a)820 816 y FF(0)884 809 y FJ(a)910 816 y FF(1)796
869 y FJ(b)817 876 y FF(1)974 869 y FJ(a)1000 876 y FF(2)886
929 y FJ(b)907 936 y FF(2)1066 981 y FK(.)1085 993 y(.)1104
1006 y(.)1120 765 y FE(1)1120 852 y(C)1120 882 y(C)1120
912 y(C)1120 944 y(A)1172 910 y FJ(:)60 1142 y FK(Im)16
b(folgenden)h(w)o(erden)f(die)h(v)o(on)g(Null)f(v)o(ersc)o(hiedenen)f
(Elemen)o(te)g(einer)h(Matrix)g(oft)i(eine)60 1202 y(ausgezeic)o(hnete)
e(Rolle)g(spielen.)f(In)i(der)g(folgenden)g(De\034nition)f(2.1.3)i(w)o
(erden)e(daher)h(der)60 1262 y(T)l(r\344ger)g(einer)f(Matrix)f
(de\034niert)h(und)h(jeder)f(Matrix)g(ein)f(bipartiter)h(Graph)h
(zugeordnet,)60 1322 y(der)d(die)f(V)l(erteilung)f(der)i(v)o(on)f(Null)
g(v)o(ersc)o(hiedenen)e(Elemen)o(te)g(in)j(der)f(Matrix)g(b)q(esc)o
(hreibt.)60 1425 y FL(De\034nition)19 b(2.1.3.)24 b FJ(I)499
1432 y FF(1)518 1425 y FJ(;)8 b(I)562 1432 y FF(2)597
1425 y FK(seien)16 b(Mengen,)f FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)1072
1432 y Fm(R)1098 1425 y FI(\()p FJ(I)1139 1432 y FF(1)1158
1425 y FJ(;)8 b(I)1202 1432 y FF(2)1221 1425 y FI(\))p
FK(.)60 1548 y FL(\(a\))24 b FK(De\034niere)15 b(den)i
FB(T)l(r)n(\344ger)e FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17
b FK(v)o(on)f FJ(P)24 b FK(durc)o(h)567 1659 y FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b(:=)e FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)1029 1666 y FF(1)1060 1659
y FH(\002)c FJ(I)1131 1666 y FF(2)1164 1659 y FI(:)k
FJ(p)1216 1666 y FG(i;j)1270 1659 y FH(6)p FI(=)g(0)p
FH(g)p FJ(:)-1203 b FK(\(2.1\))60 1790 y FL(\(b\))24
b FK(Der)16 b FB(gewichtete)k(Gr)n(aph)15 b FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q
FI(\))16 b FK(der)g(Matrix)g FJ(P)23 b FK(sei)16 b(de\034niert)g(durc)o
(h)745 1899 y FJ(V)25 b FI(:=)13 b FH(f)p FJ(x)916 1906
y FG(i)944 1899 y FI(:)22 b FJ(i)13 b FH(2)h FJ(I)1079
1906 y FF(1)1098 1899 y FH(g)1133 1893 y FI(_)1123 1899
y FH([)q(f)p FJ(y)1206 1906 y FG(j)1237 1899 y FI(:)22
b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)1379 1906 y FF(2)1398 1899 y
FH(g)p FJ(;)745 1972 y(E)j FI(:=)c FH(f)p FJ(x)916 1979
y FG(i)930 1972 y FJ(;)8 b(y)976 1979 y FG(j)994 1972
y FH(g)14 b FI(:)22 b FJ(p)1093 1979 y FG(i;j)1147 1972
y FH(6)p FI(=)14 b(0)p FH(g)p FJ(;)507 2045 y(w)h FI(:)22
b FJ(E)s FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))14 b
FH(\000)-8 b(!)13 b Fw(R)m FJ(;)22 b(w)q FH(f)p FJ(x)1053
2052 y FG(i)1067 2045 y FJ(;)8 b(y)1113 2052 y FG(j)1131
2045 y FH(g)13 b FI(:=)h FJ(p)1259 2052 y FG(i;j)1299
2045 y FJ(:)182 1972 y FK(\(2.2\))60 2176 y FL(\(c\))24
b FK(De\034niere)15 b(die)h FB(T)l(r)n(\344germatrix)f
FJ(S)s FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g FJ(S)j FI(=)c(\()p
FJ(s)1046 2183 y FG(i;j)1086 2176 y FI(\))1105 2183 y
FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1210 2188 y Fz(1)1227
2183 y FA(\002)p FG(I)1269 2188 y Fz(2)1305 2176 y FK(durc)o(h)620
2333 y FJ(s)643 2340 y FG(i;j)697 2333 y FI(:=)762 2248
y FE(\()802 2299 y FI(1)66 b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p
FJ(;)802 2371 y FI(0)66 b FK(sonst.)182 2333 y(\(2.3\))60
2488 y FL(Bemerkung)17 b(2.1.4.)23 b FK(F\374r)15 b(Mengen)g
FJ(I)811 2495 y FF(1)830 2488 y FK(,)g FJ(I)881 2495
y FF(2)916 2488 y FK(und)g FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)1171
2495 y Fm(R)1197 2488 y FI(\()p FJ(I)1238 2495 y FF(1)1257
2488 y FJ(;)8 b(I)1301 2495 y FF(2)1321 2488 y FI(\))15
b FK(ist)g(nac)o(h)g(den)g(De\034ni-)60 2548 y(tionen)h(1.2.12)h(und)f
(2.1.3)h(\(b\))f(der)g(Graph)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))17 b FK(bipartit.)60 2671 y(Manc)o(hmal)g(ist)h(es)g(\374b)q
(ersic)o(h)o(tlic)o(her,)d(eine)j(Matrix)f(nic)o(h)o(t)h(direkt,)e
(sondern)j(mittels)d(ihres)60 2731 y(Graphen)e(zu)f(de\034nieren.)f
(Da\377)j(dies)e(legitim)e(ist,)h(b)q(esagt)j(die)e(folgende)g
(Bemerkung)e(2.1.5.)p eop
%%Page: 16 18
16 17 bop 120 50 a FK(16)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FL(Bemerkung)h(2.1.5.)23 b FK(Sind)12 b FJ(I)703 210
y FF(1)722 203 y FK(,)f FJ(I)769 210 y FF(2)800 203 y
FK(Mengen,)g FJ(K)18 b FH(\022)13 b Fw(R)c FK(und)j FH(B)h
FK(die)e(Menge)g(aller)g(bipartiten)120 264 y(gewic)o(h)o(teten)k
(Graphen)i FI(\()p FH(f)p FJ(x)659 271 y FG(i)686 264
y FI(:)22 b FJ(i)14 b FH(2)g FJ(I)822 271 y FF(1)841
264 y FH(g)876 258 y FI(_)866 264 y FH([f)p FJ(y)948
271 y FG(j)980 264 y FI(:)21 b FJ(j)c FH(2)d FJ(I)1121
271 y FF(2)1140 264 y FH(g)p FJ(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))17
b FK(mit)d(Gewic)o(h)o(tsfunktionen)120 324 y FJ(w)h
FI(:)24 b FJ(E)17 b FH(\000)-8 b(!)13 b FJ(K)j FH(n)11
b(f)p FI(0)p FH(g)p FK(,)16 b(so)g(ist)g(die)g(durc)o(h)g(De\034nition)
g(2.1.3)g(\(b\))g(gegeb)q(ene)h(Abbildung)566 417 y FJ(G)d
FI(:)24 b FH(M)716 424 y FG(K)750 417 y FI(\()p FJ(I)791
424 y FF(1)811 417 y FJ(;)8 b(I)855 424 y FF(2)874 417
y FI(\))13 b FH(\000)-8 b(!)14 b(B)r FJ(;)104 b(P)21
b FH(7!)14 b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))-1264 b FK(\(2.4\))120
511 y(eine)15 b(Bijektion.)120 616 y(Gem\344\377)j(Bemerkung)e(2.1.5)j
(w)o(erde)f(b)q(ei)h(gegeb)q(enem)e(bipartiten)h(Graphen)h
FJ(H)k FK(die)18 b(zuge-)120 677 y(h\366rige)e(Matrix)g(mit)e
FJ(G)556 658 y FA(\000)p FF(1)604 677 y FI(\()p FJ(H)t
FI(\))i FK(b)q(ezeic)o(hnet.)120 764 y FL(Lemma)i(2.1.6.)23
b FK(Seien)c FJ(I)627 771 y FF(1)646 764 y FJ(;)8 b(I)690
771 y FF(2)729 764 y FK(Mengen)20 b(und)h FJ(P)27 b FH(2)21
b(M)1190 771 y Fm(R)1216 764 y FI(\()p FJ(I)1257 771
y FF(1)1276 764 y FJ(;)8 b(I)1320 771 y FF(2)1339 764
y FI(\))20 b FK(eine)g(Dopp)q(eldiagonal-)120 824 y(matrix)c(der)h(F)l
(orm)f FI(\(\()p FJ(a)558 831 y FF(0)577 824 y FJ(;)8
b(a)625 831 y FF(1)644 824 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\))p
FJ(;)g FI(\()p FJ(b)813 831 y FF(1)832 824 y FJ(;)g(b)875
831 y FF(2)894 824 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\)\))17 b
FK(nac)o(h)h(De\034nition)f(2.1.2.)g(Dann)h(ist)f FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))120 884 y FK(ein)16 b(W)l(ald.)120
996 y FB(Beweis.)26 b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15
b FK(ist)f(ein)f(Subgraph)j(des)e(Kan)o(tenzugs)h FI(\()p
FJ(:)8 b(:)g(:)f(;)h(x)1274 1003 y FF(3)1293 996 y FJ(;)g(y)1339
1003 y FF(2)1359 996 y FJ(;)g(x)1409 1003 y FF(1)1428
996 y FJ(;)g(y)1474 1003 y FF(1)1493 996 y FJ(;)g(x)1543
1003 y FF(2)1563 996 y FJ(;)g(y)1609 1003 y FF(3)1628
996 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FI(\))15 b FK(und)120 1056 y(k)m(ann)i(daher)f
(k)o(einen)f(Kreis)h(hab)q(en.)996 b Fx(\004)120 1143
y FL(De\034nition)19 b(2.1.7.)24 b FK(Ein)19 b FH(\024)p
FB(-R)n(andsystem)g FK(ist)g(ein)g(4-T)l(up)q(el)h FH(I)j
FI(=)c(\()p FJ(I)1441 1150 y FF(1)1460 1143 y FJ(;)8
b(I)1504 1150 y FF(2)1523 1143 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))19
b FK(aus)h(zw)o(ei)120 1203 y(Mengen)13 b FJ(I)322 1210
y FF(1)341 1203 y FK(,)g FJ(I)390 1210 y FF(2)422 1203
y FK(und)h(nic)o(h)o(tnegativ)o(en,)d(reellen)g(F)l(amilien)f
FJ(r)16 b FI(=)d(\()p FJ(r)1329 1210 y FG(i)1343 1203
y FI(\))1362 1210 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1413 1215 y Fz(1)1433
1203 y FK(,)f FJ(s)i FI(=)g(\()p FJ(s)1590 1210 y FG(j)1608
1203 y FI(\))1627 1210 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1682 1215
y Fz(2)1702 1203 y FK(.)e(Nen-)120 1264 y(ne)i FJ(i)f
FH(2)h FJ(I)282 1271 y FF(1)315 1264 y FK(\()p FJ(j)j
FH(2)d FJ(I)440 1271 y FF(2)459 1264 y FK(\))g(einen)f
FB(nichttrivialen)j FK(Index)d(genau)h(dann,)g(w)o(enn)g
FJ(r)1463 1271 y FG(i)1491 1264 y FJ(>)g FI(0)g FK(\()p
FJ(s)1623 1271 y FG(j)1655 1264 y FJ(>)g FI(0)p FK(\).)g(Es)120
1324 y(seien)24 b FJ(I)270 1331 y FF(1)p FG(;nt)347 1324
y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(i)g FH(2)h FJ(I)536 1331 y FF(1)569
1324 y FI(:)22 b FJ(r)627 1331 y FG(i)655 1324 y FJ(>)14
b FI(0)p FH(g)p FK(,)24 b FJ(I)816 1331 y FF(2)p FG(;nt)893
1324 y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)1089 1331
y FF(2)1122 1324 y FI(:)22 b FJ(s)1181 1331 y FG(j)1213
1324 y FJ(>)14 b FI(0)p FH(g)24 b FK(die)g(Mengen)g(der)g(nic)o(h)o(t-)
120 1384 y(trivialen)32 b(Indizes.)g(Ein)h FH(\024)p
FK(-Randsystem)g(hei\377e)g FB(R)n(andsystem)f FK(genau)j(dann,)e(w)o
(enn)120 1407 y FE(P)173 1459 y FG(i)p FA(2)p FG(I)224
1464 y Fz(1)251 1444 y FJ(r)273 1451 y FG(i)301 1444
y FI(=)353 1407 y FE(P)405 1459 y FG(j)r FA(2)p FG(I)460
1464 y Fz(2)488 1444 y FJ(s)511 1451 y FG(j)529 1444
y FK(.)21 b(Mit)g FJ(l)q FI(\()p FJ(r)q FI(\))14 b(:=)f(#)p
FJ(I)882 1451 y FF(1)922 1444 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)20
b FJ(l)q FI(\()p FJ(s)p FI(\))13 b(:=)h(#)p FJ(I)1503
1451 y FF(2)1543 1444 y FK(b)q(ezeic)o(hne)20 b(die)120
1504 y FB(L)n(\344nge)f FK(v)o(on)f FJ(s)h FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)
e FJ(r)q FK(.)h FJ(r)o(;)8 b(s)18 b FK(hei\377en)g FB(end)r(lich)j
FK(genau)e(dann,)g(w)o(enn)f(ihre)g(L\344n-)120 1564
y(ge)k(endlic)o(h)f(ist.)g(In)h(diesem)e(F)l(all)h(nenne)h(auc)o(h)g
(das)h FH(\024)p FK(-Randsystem)e FB(end)r(lich)p FK(.)j(F\374r)e(ein)
120 1625 y FH(\024)p FK(-Randsystem)449 1612 y FI(~)446
1625 y FH(I)c FI(=)13 b(\()570 1612 y(~)561 1625 y FJ(I)583
1632 y FF(1)603 1625 y FJ(;)633 1612 y FI(~)625 1625
y FJ(I)647 1632 y FF(2)666 1625 y FJ(;)d FI(~)-26 b FJ(r)q(;)10
b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))11 b FK(sc)o(hreib)q(e)971
1612 y FI(~)968 1625 y FH(I)18 b(\024)13 b(I)i FK(genau)d(dann,)f(w)o
(enn)1502 1612 y FI(~)1494 1625 y FJ(I)1516 1632 y FF(1)1549
1625 y FH(\022)j FJ(I)1624 1632 y FF(1)1643 1625 y FK(,)1676
1612 y FI(~)1668 1625 y FJ(I)1690 1632 y FF(2)1723 1625
y FH(\022)f FJ(I)1797 1632 y FF(2)1816 1625 y FK(,)122
1685 y FI(~)-26 b FJ(r)15 b FI(=)f FJ(r)q Fx(\030)260
1690 y FF(~)253 1698 y FG(I)268 1703 y Fz(1)288 1685
y FK(,)k FI(~)-26 b FJ(s)13 b FI(=)h FJ(s)p Fx(\030)457
1690 y FF(~)450 1698 y FG(I)465 1703 y Fz(2)484 1685
y FK(.)120 1772 y FL(De\034nition)19 b(2.1.8.)24 b FK(Sei)18
b FH(I)23 b FI(:=)c(\()p FJ(I)780 1779 y FF(1)799 1772
y FJ(;)8 b(I)843 1779 y FF(2)862 1772 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))19 b FK(ein)g FH(\024)p FK(-Randsystem.)f(Dann)i(w)o(erde)f
FH(I)k FK(eine)120 1833 y(Grupp)q(e)17 b FH(G)i FK(zugeornet)d(durc)o
(h)529 1926 y FH(G)g FI(=)e FH(G)s FI(\()p FH(I)t FI(\))f(:=)g
FH(hf)p FJ(r)873 1933 y FG(i)902 1926 y FI(:)21 b FJ(i)14
b FH(2)g FJ(I)1037 1933 y FF(1)1056 1926 y FH(g)d([)g(f)p
FJ(s)1184 1933 y FG(j)1216 1926 y FI(:)22 b FJ(j)17 b
FH(2)d FJ(I)1358 1933 y FF(2)1377 1926 y FH(gi)-1301
b FK(\(2.5\))120 2019 y(\(durc)o(h)18 b FH(h)p FJ(M)5
b FH(i)19 b FK(w)o(erde)e(die)h(v)o(on)g FJ(M)h FH(\022)14
b Fw(R)h FK(in)i Fw(R)f FK(erzeugte)h(additiv)o(e)g(Un)o(tergrupp)q(e)g
(b)q(ezeic)o(h-)120 2079 y(net\).)120 2167 y FL(De\034nition)i(2.1.9.)
24 b FK(Sei)14 b FH(I)k FI(:=)13 b(\()p FJ(I)765 2174
y FF(1)784 2167 y FJ(;)8 b(I)828 2174 y FF(2)847 2167
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(ein)f FH(\024)p FK(-Randsystem)g
(nac)o(h)h(De\034nition)g(2.1.7.)120 2227 y(Eine)e(Matrix)f
FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)547 2241 y Fm(R)574 2226 y Fz(+)574
2251 y(0)599 2227 y FI(\()p FJ(I)640 2234 y FF(1)659
2227 y FJ(;)8 b(I)703 2234 y FF(2)722 2227 y FI(\))13
b FK(hei\377t)g FB(dopp)n(elt)i(sto)n(chastisch)1285
2209 y Fq(1)1318 2227 y FK(b)q(ez\374glic)o(h)d FH(I)17
b FK(genau)d(dann,)120 2287 y(w)o(enn)594 2381 y FH(8)517
2414 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)622 2419
y Fz(1)638 2414 y FA(\002)p FG(I)680 2419 y Fz(2)722
2333 y FE(X)721 2439 y FG(k)q FA(2)p FG(I)779 2444 y
Fz(1)804 2381 y FJ(p)828 2388 y FG(k)q(;j)890 2381 y
FI(=)g FJ(s)965 2388 y FG(j)1032 2381 y FK(und)1170 2333
y FE(X)1172 2439 y FG(l)p FA(2)p FG(I)1222 2444 y Fz(2)1250
2381 y FJ(p)1274 2388 y FG(i;l)1323 2381 y FI(=)g FJ(r)1397
2388 y FG(i)1411 2381 y FJ(;)-1305 b FK(\(2.6\))120 2524
y(\(das)20 b(hei\377t)g(insb)q(esondere)g(sind)g(in)f(jeder)g(Linie)g
(h\366)q(c)o(hstens)i(abz\344hlbar)f(viele)e(Elemen)o(te)120
2584 y(v)o(on)d(Null)f(v)o(ersc)o(hieden\).)e(Die)j(Menge)f(der)h(dopp)
q(elt)g(sto)q(c)o(hastisc)o(hen)g(Matrizen)f(b)q(ez\374glic)o(h)120
2644 y FH(I)20 b FK(b)q(ezeic)o(hne)14 b(mit)h FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))i FK(\(gelegen)o(tlic)o(h)c(auc)o(h)k(mit)d
FH(D)q FI(\(=)h FH(I)t FI(\))o FK(\).)p 120 2686 684
2 v 176 2716 a Fp(1)195 2731 y Fo(Siehe)f(en)o(tsprec)o(hende)j(F)m
(u\377note)d(zu)g(De\034nition)f(1.3.1.)p eop
%%Page: 17 19
17 18 bop 60 50 a Fy(2.1.)32 b(DEFINITION)15 b(UND)g(ERSTE)i
(EIGENSCHAFTEN)496 b FK(17)60 203 y FL(De\034nition)19
b(2.1.10.)24 b FK(Sei)33 b FH(I)48 b FI(:=)c(\()p FJ(I)813
210 y FF(1)832 203 y FJ(;)8 b(I)876 210 y FF(2)895 203
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))33 b FK(ein)h FH(\024)p FK(-Randsystem.)e
(Eine)i(Matrix)60 264 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)219 277
y Fm(R)246 262 y Fz(+)246 288 y(0)270 264 y FI(\()p FJ(I)311
271 y FF(1)331 264 y FJ(;)8 b(I)375 271 y FF(2)394 264
y FI(\))16 b FK(hei\377t)g FB(dopp)n(elt)h(substo)n(chastisch)1033
246 y Fq(2)1070 264 y FK(b)q(ez\374glic)o(h)e FH(I)20
b FK(genau)d(dann,)f(w)o(enn)537 392 y FH(8)460 425 y
FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)565 430 y Fz(1)582
425 y FA(\002)p FG(I)624 430 y Fz(2)666 345 y FE(X)664
451 y FG(k)q FA(2)p FG(I)722 456 y Fz(1)748 392 y FJ(p)772
399 y FG(k)q(;j)833 392 y FH(\024)e FJ(s)909 399 y FG(j)976
392 y FK(und)1114 345 y FE(X)1117 451 y FG(l)p FA(2)p
FG(I)1167 456 y Fz(2)1194 392 y FJ(p)1218 399 y FG(i;l)1268
392 y FH(\024)f FJ(r)1342 399 y FG(i)1356 392 y FJ(:)-1310
b FK(\(2.7\))60 547 y(Die)17 b(Menge)h(der)g(dopp)q(elt)g(substo)q(c)o
(hastisc)o(hen)g(Matrizen)f(b)q(ez\374glic)o(h)g FJ(r)o(;)8
b(s)18 b FK(b)q(ezeic)o(hne)e(mit)60 607 y FH(D)q FI(\()p
FH(\024)e(I)t FI(\))p FK(.)60 707 y FL(Beispiel)20 b(2.1.11.)j
FK(Seien)11 b FJ(I)598 714 y FF(1)617 707 y FJ(;)d(I)661
714 y FF(2)693 707 y FK(Mengen)k(und)g FJ(P)21 b FH(2)14
b(M)1124 721 y Fm(R)1151 706 y Fz(+)1151 731 y(0)1176
707 y FI(\()p FJ(I)1217 714 y FF(1)1236 707 y FJ(;)8
b(I)1280 714 y FF(2)1299 707 y FI(\))p FK(.)k(Dann)h(de\034niere)e
FH(I)t FI(\()p FJ(P)c FI(\))60 773 y FK(durc)o(h)15 b
FH(I)s FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(:=)g(\()p FJ(I)423
780 y FF(1)442 773 y FJ(;)8 b(I)486 780 y FF(2)505 773
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))14 b FK(mit)34 b FH(8)715
804 y FG(i)p FA(2)p FG(I)766 809 y Fz(1)797 773 y FJ(r)819
780 y FG(i)847 773 y FI(:=)912 736 y FE(P)965 787 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)1020 792 y Fz(2)1047 773 y FJ(p)1071 780
y FG(i;j)1127 773 y FK(und)k FH(8)1223 804 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)1278 809 y Fz(2)1309 773 y FJ(s)1332 780 y FG(j)1365
773 y FI(:=)1430 736 y FE(P)1482 787 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)1533 792 y Fz(1)1561 773 y FJ(p)1585 780 y FG(i;j)1626
773 y FK(.)14 b(Dann)60 854 y(ist)g FH(I)19 b FK(genau)c(dann)g(ein)f
(Randsystem,)f(w)o(enn)h(alle)f FJ(r)1029 861 y FG(i)1043
854 y FK(,)h FJ(s)1094 861 y FG(j)1127 854 y FK(endlic)o(h)f(sind.)h
(In)g(diesem)f(F)l(all)g(ist)60 914 y FJ(P)21 b FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))p FK(.)60
1014 y FL(Bemerkung)17 b(2.1.12.)23 b FK(F\374r)g(ein)e
FH(\024)p FK(-Randsystem)h FH(I)28 b FI(:=)c(\()p FJ(I)1237
1021 y FF(1)1256 1014 y FJ(;)8 b(I)1300 1021 y FF(2)1319
1014 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))22 b FK(sind)h FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))g FK(und)60 1074 y FH(D)q FI(\()p
FH(\024)14 b(I)t FI(\))i FK(k)o(on)o(v)o(exe)f(Mengen.)60
1195 y(Wieder)49 b(w)o(erden)g(es)g(die)g(Extremalpunktme)o(ngen)e(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))i FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)
60 1255 y(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)15 b(I)t
FI(\))o(\))h FK(sein,)g(die)f(im)g(folgenden)h(v)o(on)g(b)q(esonderem)f
(In)o(teresse)g(sind.)60 1355 y FL(Lemma)j(2.1.13.)23
b FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13 b(\()p FJ(I)671 1362 y
FF(1)690 1355 y FJ(;)8 b(I)734 1362 y FF(2)753 1355 y
FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))16 b FK(ein)g FH(\024)p FK(-Randsystem.)60
1476 y FL(\(a\))24 b FK(Ist)19 b FJ(P)27 b FH(2)19 b(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))p FK(,)19 b(so)h(gilt)f
FJ(P)32 b(=)-30 b FH(2)20 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))19 b FK(genau)h(dann,)g(w)o(enn)f(es)g(eine)g
(Matrix)182 1536 y FJ(E)e FH(2)d(M)342 1543 y Fm(R)368
1536 y FI(\()p FJ(I)409 1543 y FF(1)428 1536 y FJ(;)8
b(I)472 1543 y FF(2)491 1536 y FI(\))j FH(n)g(f)p FI(0)p
FH(g)16 b FK(gibt,)g(so)h(da\377)336 1653 y FH(8)316
1684 y FG(i)p FA(2)p FG(I)367 1689 y Fz(1)398 1653 y
FH(j)421 1605 y FE(X)420 1711 y FG(j)r FA(2)p FG(I)475
1716 y Fz(2)501 1653 y FJ(e)524 1660 y FG(i;j)564 1653
y FH(j)c(2)h FI([0)p FJ(;)i(r)728 1660 y FG(i)754 1653
y FH(\000)804 1605 y FE(X)803 1711 y FG(j)r FA(2)p FG(I)858
1716 y Fz(2)884 1653 y FJ(p)908 1660 y FG(i;j)949 1653
y FI(])p FJ(;)127 b FH(8)1081 1684 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1136
1689 y Fz(2)1168 1653 y FH(j)1190 1605 y FE(X)1192 1711
y FG(i)p FA(2)p FG(I)1243 1716 y Fz(1)1270 1653 y FJ(e)1293
1660 y FG(i;j)1333 1653 y FH(j)13 b(2)h FI([0)p FJ(;)i(s)1498
1660 y FG(j)1528 1653 y FH(\000)1578 1605 y FE(X)1580
1711 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1631 1716 y Fz(1)1658 1653
y FJ(p)1682 1660 y FG(i;j)1722 1653 y FI(])-1554 b FK(\(2.8\))708
1864 y(und)212 b FJ(P)18 b FH(\006)11 b FJ(E)17 b FH(\025)d
FI(0)p FJ(:)-1062 b FK(\(2.9\))60 1993 y FL(\(b\))24
b FK(Ist)k FJ(P)40 b FH(2)34 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p
FK(,)28 b(so)g(gilt)f FJ(P)g(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))28 b FK(genau)g(dann,)g(w)o
(enn)f(es)h(eine)f(Matrix)182 2053 y FJ(E)17 b FH(2)d(M)342
2060 y Fm(R)368 2053 y FI(\()p FJ(I)409 2060 y FF(1)428
2053 y FJ(;)8 b(I)472 2060 y FF(2)491 2053 y FI(\))j
FH(n)g(f)p FI(0)p FH(g)21 b FK(gibt,)f(deren)g(Linien)h(sic)o(h)f(alle)
f(zu)i(Null)e(summieren)f(und)182 2113 y FJ(P)g FH(\006)11
b FJ(E)17 b FH(\025)c FI(0)p FK(.)60 2231 y FB(Beweis.)26
b FK(\(a\))c(\022)t FH(\()q FK(\020)t(:)g(W)l(egen)g
FJ(E)28 b FH(6)p FI(=)c(0)p FK(,)f(ist)f FJ(P)g FH(\006)15
b FJ(E)28 b FH(6)p FI(=)c FJ(P)7 b FK(,)22 b(und)h(w)o(egen)f(\(2.8\))h
(und)g(\(2.9\))60 2291 y(ist)16 b FJ(P)j FH(\006)11 b
FJ(E)18 b FH(2)c(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))p FK(.)h(Die)g
(Behauptung)h(folgt)g(n)o(un)f(aus)1188 2272 y FF(1)p
1188 2280 18 2 v 1188 2308 a(2)1210 2291 y FI(\()p FJ(P)j
FI(+)11 b FJ(E)s FI(\))h(+)1452 2272 y FF(1)p 1452 2280
V 1452 2308 a(2)1475 2291 y FI(\()p FJ(P)18 b FH(\000)11
b FJ(E)s FI(\))k(=)f FJ(P)7 b FK(.)60 2351 y(\022)t FH(\))p
FK(\020)t(:)16 b(Angenommen,)9 b(es)j(ist)g FJ(P)21 b
FI(=)723 2332 y FF(1)p 723 2340 V 723 2368 a(2)746 2351
y FJ(P)777 2358 y FF(1)808 2351 y FI(+)862 2332 y FF(1)p
862 2340 V 862 2368 a(2)885 2351 y FJ(P)916 2358 y FF(2)948
2351 y FK(mit)10 b FJ(P)1064 2358 y FF(1)1084 2351 y
FJ(;)e(P)1137 2358 y FF(2)1171 2351 y FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(\024)h(I)t FI(\))o FK(,)d FJ(P)1436 2358 y FF(1)1456
2351 y FJ(;)c(P)1509 2358 y FF(2)1543 2351 y FH(6)p FI(=)14
b FJ(P)7 b FK(.)12 b(Setze)60 2412 y FJ(E)19 b FI(:=)d
FJ(P)k FH(\000)12 b FJ(P)316 2419 y FF(1)352 2412 y FI(=)17
b FJ(P)438 2419 y FF(2)470 2412 y FH(\000)12 b FJ(P)7
b FK(.)17 b(Dann)i(gilt)e FJ(P)j FI(+)12 b FJ(E)19 b
FI(=)e FJ(P)1054 2419 y FF(2)1090 2412 y FH(\025)f FI(0)j
FK(und)f FJ(P)h FH(\000)12 b FJ(E)19 b FI(=)e FJ(P)1529
2419 y FF(1)1565 2412 y FH(\025)g FI(0)p FK(.)g(Also)60
2472 y(m)o(\374ssen)e(w)o(egen)h FJ(P)406 2479 y FF(1)426
2472 y FJ(;)8 b(P)479 2479 y FF(2)513 2472 y FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))i FK(\(2.8\))h(und)f(\(2.9\))h
(gelten.)60 2532 y(\(b\))g(folgt)h(genau)g(wie)f(\(a\),)g(w)o(enn)g
(man)g(dort)h(im)d(Bew)o(eis)h(die)h(\022)t FH(\024)p
FK(\020)t(-Zeic)o(hen)f(w)o(egl\344\377t)i(und)60 2592
y(b)q(eac)o(h)o(tet,)13 b(da\377)i(in)f(diesem)e(F)l(all)i(\(2.8\))g
(gerade)h(die)e(Aussage)i(ist,)e(da\377)j(sic)o(h)d(alle)g(Linien)h(v)o
(on)60 2652 y FJ(E)19 b FK(zu)d(Null)f(summieren.)1196
b Fx(\004)p 60 2686 684 2 v 116 2716 a Fp(2)135 2731
y Fo(Siehe)14 b(en)o(tsprec)o(hende)j(F)m(u\377note)d(zu)g
(De\034nition)f(1.3.1.)p eop
%%Page: 18 20
18 19 bop 120 50 a FK(18)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FL(Lemma)i(2.1.14.)23 b FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13
b(\()p FJ(I)731 210 y FF(1)750 203 y FJ(;)8 b(I)794 210
y FF(2)813 203 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))16 b FK(ein)g
FH(\024)p FK(-Randsystem.)120 331 y FL(\(a\))24 b FK(F\374r)15
b FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))g
FK(ist)g FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))h FK(genau)g(dann,)f(w)o(enn)g(f\374r)g(alle)g
(Submatrizen)242 391 y FJ(Q)34 b FK(v)o(on)g FJ(P)41
b FK(gilt,)34 b(da\377)h FJ(Q)13 b FH(2)h FK(E)q FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(\024)994 378 y FI(~)989 391 y FH(I)t
FI(\)\))p FK(.)34 b(Hierb)q(ei)e(ist)1385 378 y FI(~)1380
391 y FH(I)18 b FI(:=)13 b(\()1515 378 y(~)1509 391 y
FJ(I)1531 398 y FF(1)1551 391 y FJ(;)1578 378 y FI(~)1573
391 y FJ(I)1595 398 y FF(2)1614 391 y FJ(;)d FI(~)-26
b FJ(r)q(;)10 b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))34 b FK(mit)262
451 y FH(8)242 490 y FG(i)p FA(2)282 482 y FF(~)278 490
y FG(I)293 495 y Fz(1)326 451 y FI(~)-26 b FJ(r)346 458
y FG(i)374 451 y FI(:=)439 414 y FE(P)492 466 y FG(j)r
FA(2)536 457 y FF(~)532 466 y FG(I)547 471 y Fz(2)574
451 y FJ(q)596 458 y FG(i;j)647 451 y FI(+)11 b FJ(r)718
458 y FG(i)743 451 y FH(\000)793 414 y FE(P)846 466 y
FG(j)r FA(2)p FG(I)901 471 y Fz(2)928 451 y FJ(p)952
458 y FG(i;j)993 451 y FK(,)88 b FH(8)1073 490 y FG(j)r
FA(2)1117 482 y FF(~)1113 490 y FG(I)1128 495 y Fz(2)1161
451 y FI(~)-26 b FJ(s)1182 458 y FG(j)1214 451 y FI(:=)1279
414 y FE(P)1332 466 y FG(i)p FA(2)1372 457 y FF(~)1368
466 y FG(I)1383 471 y Fz(1)1410 451 y FJ(q)1432 458 y
FG(i;j)1483 451 y FI(+)11 b FJ(s)1555 458 y FG(j)1585
451 y FH(\000)1634 414 y FE(P)1687 466 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)1738 471 y Fz(1)1765 451 y FJ(p)1789 458 y FG(i;j)242
551 y FK(und)16 b FJ(Q)e FH(2)g(M)499 565 y Fm(R)526
550 y Fz(+)526 576 y(0)550 551 y FI(\()575 539 y(~)569
551 y FJ(I)591 558 y FF(1)610 551 y FJ(;)638 539 y FI(~)632
551 y FJ(I)654 558 y FF(2)674 551 y FI(\))o FK(.)120
663 y FL(\(b\))24 b FK(F\374r)19 b FJ(P)26 b FH(2)19
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))g FK(ist)g FJ(P)i FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))19
b FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g(f\374r)g(alle)f(Submatrizen)f
FJ(Q)242 723 y FK(v)o(on)f FJ(P)24 b FK(gilt,)15 b(da\377)i
FJ(Q)c FH(2)h FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p
FJ(Q)p FI(\)\)\))p FK(.)120 849 y FB(Beweis.)26 b FK(\(a\))48
b(Zu)g(zeigen)f(ist)h(n)o(ur)g(\022)t FH(\))p FK(\020)t(.)g(Sei)f(also)
i FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t
FI(\))o(\))p FK(.)48 b(Ange-)120 910 y(nommen)33 b FJ(Q)14
b FI(=)447 890 y FF(1)p 447 898 18 2 v 447 927 a(2)469
910 y FJ(Q)508 892 y FF(\(1\))566 910 y FI(+)620 890
y FF(1)p 620 898 V 620 927 a(2)643 910 y FJ(Q)682 892
y FF(\(2\))764 910 y FK(mit)34 b FJ(Q)912 892 y FF(\(1\))959
910 y FJ(;)8 b(Q)1020 892 y FF(\(2\))1081 910 y FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(\024)1244 897 y FI(~)1239 910 y FH(I)t
FI(\))p FK(.)35 b(F\374r)h FJ(k)16 b FI(=)e(1)p FJ(;)8
b FI(2)36 b FK(de\034niere)120 981 y FJ(P)158 963 y FF(\()p
FG(k)q FF(\))221 981 y FI(=)14 b(\()p FJ(p)316 956 y
FF(\()p FG(k)q FF(\))316 994 y FG(i;j)365 981 y FI(\))384
989 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)489 994 y
Fz(1)505 989 y FA(\002)p FG(I)547 994 y Fz(2)584 981
y FK(durc)o(h)606 1144 y FJ(p)630 1119 y FF(\()p FG(k)q
FF(\))630 1157 y FG(i;j)693 1144 y FI(:=)759 1059 y FE(\()799
1110 y FJ(q)823 1085 y FF(\()p FG(k)q FF(\))821 1123
y FG(i;j)936 1110 y FK(f\374r)i FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s
FI(\))13 b FH(2)1179 1097 y FI(~)1174 1110 y FJ(I)1196
1117 y FF(1)1226 1110 y FH(\002)1282 1097 y FI(~)1276
1110 y FJ(I)1298 1117 y FF(2)1317 1110 y FJ(;)799 1182
y(p)823 1189 y FG(i;j)936 1182 y FK(sonst.)120 1144 y(\(2.10\))120
1306 y(Dann)k(ist)f FJ(P)358 1288 y FF(\(1\))405 1306
y FJ(;)8 b(P)465 1288 y FF(\(2\))526 1306 y FH(2)14 b(D)q
FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))h FK(und)g FJ(P)21 b FI(=)957
1286 y FF(1)p 957 1294 V 957 1323 a(2)980 1306 y FJ(P)1018
1288 y FF(\(1\))1076 1306 y FI(+)1130 1286 y FF(1)p 1130
1294 V 1130 1323 a(2)1152 1306 y FJ(P)1190 1288 y FF(\(2\))1238
1306 y FK(,)16 b(das)g(hei\377t)g FJ(P)21 b FI(=)14 b
FJ(P)1618 1288 y FF(\(1\))1679 1306 y FI(=)g FJ(P)1769
1288 y FF(\(2\))1816 1306 y FK(,)120 1373 y(also)j(auc)o(h)f
FJ(Q)372 1355 y FF(\(1\))433 1373 y FI(=)d FJ(Q)523 1355
y FF(\(2\))584 1373 y FI(=)h FJ(Q)i FK(und)g(damit)f
FJ(Q)e FH(2)i FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)1197
1360 y FI(~)1192 1373 y FH(I)t FI(\)\))p FK(.)120 1433
y(Wieder)10 b(folgt)h(\(b\))g(genau)g(wie)g(\(a\),)f(w)o(enn)h(man)f
(dort)h(im)e(Bew)o(eis)g(die)i(\022)t FH(\024)p FK(\020)t(-Zeic)o(hen)e
(w)o(egl\344\377t.)1791 1493 y Fx(\004)120 1620 y FK(Der)48
b(folgende)g(Satz)g(2.1.15)h(b)q(esc)o(hreibt)e(den)h(Zusammenhang)f
(der)h(dopp)q(elt)120 1680 y(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)17
b(Matrizen)e(mit)f(den)i(dopp)q(elt)h(\(sub-\)sto)q(c)o(hastisc)o(hen)g
(Ma\377en.)120 1785 y FL(Satz)i(2.1.15.)k FH(I)17 b FI(:=)d(\()p
FJ(I)578 1792 y FF(1)597 1785 y FJ(;)8 b(I)641 1792 y
FF(2)660 1785 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(sei)f(ein)h
FH(\024)p FK(-Randsystem,)f FI(\()p FJ(I)1314 1792 y
FF(1)1333 1785 y FJ(;)8 b(m)1398 1792 y FF(1)1417 1785
y FI(\))16 b FK(und)f FI(\()p FJ(I)1589 1792 y FF(2)1608
1785 y FJ(;)8 b(m)1673 1792 y FF(2)1693 1785 y FI(\))15
b FK(seien)120 1845 y(diskrete)g(Ma\377e,)h(so)h(da\377)634
1958 y FH(8)557 1991 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(I)662 1996 y Fz(1)678 1991 y FA(\002)p FG(I)720 1996
y Fz(2)752 1958 y FJ(m)795 1965 y FF(1)815 1958 y FI(\()p
FJ(i)p FI(\))c(=)h FJ(r)957 1965 y FG(i)1020 1958 y FK(und)49
b FJ(m)1193 1965 y FF(2)1212 1958 y FI(\()p FJ(j)s FI(\))14
b(=)f FJ(s)1361 1965 y FG(j)1380 1958 y FJ(:)-1274 b
FK(\(2.11\))120 2095 y(Die)16 b(Abbildungen)374 2207
y FJ(h)e FI(:=)g FJ(h)510 2214 y FF(=)553 2207 y FI(:)f
FH(D)q FI(\()p FJ(m)681 2214 y FF(1)702 2207 y FJ(;)8
b(m)767 2214 y FF(2)786 2207 y FI(\))p FH(\000)-9 b(!D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q FJ(;)56 b FI(\()p FJ(h)p FI(\()p
FJ(\026)p FI(\)\))1197 2214 y FG(i;j)1251 2207 y FI(:=)14
b FJ(\026)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))48 b FK(und)393
2372 y FJ(h)421 2379 y FA(\024)464 2372 y FI(:)13 b FH(D)q
FI(\()p FH(\024)i FJ(m)646 2379 y FF(1)665 2372 y FJ(;)8
b FH(\024)14 b FJ(m)783 2379 y FF(2)802 2372 y FI(\))p
FH(\000)-9 b(!D)q FI(\()p FH(\024)15 b(I)t FI(\))o FJ(;)57
b FI(\()p FJ(h)1180 2379 y FA(\024)1210 2372 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\)\))1296 2379 y FG(i;j)1350 2372 y FI(:=)13
b FJ(\026)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))p FJ(;)120 2485
y FK(sind)16 b(a\036ne)g(Isomorphismen.)120 2611 y FB(Beweis.)26
b FK(Der)c(Bew)o(eis,)e(da\377)j FJ(h)712 2618 y FA(\024)764
2611 y FK(und)g FJ(h)f FK(w)o(ohlde\034niert,)f(injektiv,)f(surjektiv)h
(und)i(line-)120 2671 y(ar)g(sind,)g(mac)o(h)o(t)e(k)o(einerlei)f(Sc)o
(h)o(wierigk)o(eite)o(n.)g(Daher)j(soll)g(hier)f(n)o(ur)h(exemplarisc)o
(h)d(die)120 2731 y(Surjektivit\344t)i(v)o(on)g FJ(h)539
2738 y FA(\024)592 2731 y FK(gezeigt)g(w)o(erden.)g(F\374r)h(gegeb)q
(enes)h FJ(P)d FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))23
b FK(de\034niere)f(ein)p eop
%%Page: 19 21
19 20 bop 60 50 a Fy(2.1.)32 b(DEFINITION)15 b(UND)g(ERSTE)i
(EIGENSCHAFTEN)496 b FK(19)60 203 y(diskretes)14 b(Ma\377)g
FJ(\026)h FK(auf)g FJ(I)515 210 y FF(1)545 203 y FH(\002)c
FJ(I)617 210 y FF(2)651 203 y FK(durc)o(h)j FJ(\026)p
FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(:=)h FJ(p)1018 210 y
FG(i;j)1058 203 y FK(.)g(Es)h(ist)f FJ(\026)g FH(2)h(D)q
FI(\()p FH(\024)f FJ(m)1464 210 y FF(1)1483 203 y FJ(;)8
b FH(\024)14 b FJ(m)1601 210 y FF(2)1620 203 y FI(\))p
FK(,)g(denn)60 264 y(f\374r)i FJ(A)174 271 y FF(1)207
264 y FH(\022)e FJ(I)282 271 y FF(1)317 264 y FK(ist)130
352 y FJ(\026)p FI(\()p FJ(A)215 359 y FF(1)246 352 y
FH(\002)d FJ(I)318 359 y FF(2)337 352 y FI(\))j(=)425
305 y FE(X)422 410 y FG(i)p FA(2)p FG(A)484 415 y Fz(1)509
305 y FE(X)512 411 y FG(l)p FA(2)p FG(I)562 416 y Fz(2)590
352 y FJ(\026)p FI(\()p FJ(i;)8 b(l)q FI(\))13 b(=)780
305 y FE(X)777 410 y FG(i)p FA(2)p FG(A)839 415 y Fz(1)864
305 y FE(X)867 411 y FG(l)p FA(2)p FG(I)917 416 y Fz(2)944
352 y FJ(p)968 359 y FG(i;l)1017 352 y FH(\024)1074 305
y FE(X)1070 410 y FG(i)p FA(2)p FG(A)1132 415 y Fz(1)1158
352 y FJ(r)1180 359 y FG(i)1208 352 y FI(=)1263 305 y
FE(X)1259 410 y FG(i)p FA(2)p FG(A)1321 415 y Fz(1)1347
352 y FJ(m)1390 359 y FF(1)1409 352 y FI(\()p FJ(i)p
FI(\))h(=)f FJ(m)1572 359 y FF(1)1592 352 y FI(\()p FJ(A)1648
359 y FF(1)1667 352 y FI(\))p FJ(:)60 490 y FK(Analog)i(folgt)f
FJ(\026)p FI(\()p FJ(I)405 497 y FF(1)436 490 y FH(\002)d
FJ(A)523 497 y FF(2)542 490 y FI(\))j(=)g FJ(m)670 497
y FF(2)689 490 y FI(\()p FJ(A)745 497 y FF(2)764 490
y FI(\))h FK(f\374r)f FJ(A)910 497 y FF(2)943 490 y FH(\022)g
FJ(I)1018 497 y FF(2)1037 490 y FK(.)g(Aus)g(den)h(De\034nitionen)e(v)o
(on)i FJ(h)1645 497 y FA(\024)1689 490 y FK(und)60 550
y FJ(\026)f FK(liest)e(man)g(unmittelbar)f(ab,)i(da\377)h
FJ(h)768 557 y FA(\024)798 550 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))g(=)g
FJ(P)7 b FK(.)13 b(Die)f(anderen)i(V)l(eri\034k)m(ationen)e(sind)h(no)q
(c)o(h)60 610 y(einfac)o(her.)1466 b Fx(\004)60 694 y
FL(Korollar)20 b(2.1.16.)j FK(Die)h(V)l(oraussetzungen)i(und)f(Bezeic)o
(hn)o(ungen)e(seien)h(wie)g(in)h(Satz)60 754 y(2.1.15.)60
855 y FL(\(a\))184 b FJ(h)p FI(\()p FK(E)q FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FJ(m)516 862 y FF(1)536 855 y FJ(;)8 b(m)601
862 y FF(2)620 855 y FI(\)\)\))14 b(=)f FK(E)q FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))49 b FK(und)182 915 y FJ(h)210
922 y FA(\024)240 915 y FI(\()p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b FJ(m)465 922 y FF(1)484 915 y FJ(;)8
b FH(\024)14 b FJ(m)602 922 y FF(2)621 915 y FI(\)\)\))g(=)g
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\)\))p
FK(.)60 1010 y FL(\(b\))167 973 y FE(P)159 1054 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)210 1059 y Fz(1)241 1010 y FJ(r)263 1017
y FG(i)291 1010 y FI(=)g FJ(m)386 1017 y FF(1)405 1010
y FI(\()p FJ(I)446 1017 y FF(1)465 1010 y FI(\))j FK(und)608
973 y FE(P)598 1054 y FG(j)r FA(2)p FG(I)653 1059 y Fz(2)684
1010 y FJ(s)707 1017 y FG(j)739 1010 y FI(=)d FJ(m)834
1017 y FF(2)853 1010 y FI(\()p FJ(I)894 1017 y FF(2)914
1010 y FI(\))p FK(.)60 1144 y FL(\(c\))74 b FH(8)153
1177 y FG(P)5 b FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))359 1107
y FE(P)295 1190 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)400
1195 y Fz(1)416 1190 y FA(\002)p FG(I)458 1195 y Fz(2)490
1144 y FJ(p)514 1151 y FG(i;j)569 1144 y FI(=)14 b FJ(\026)p
FI(\()p FJ(I)691 1151 y FF(1)721 1144 y FH(\002)d FJ(I)793
1151 y FF(2)812 1144 y FI(\))j(=)905 1107 y FE(P)897
1188 y FG(i)p FA(2)p FG(I)948 1193 y Fz(1)979 1144 y
FJ(r)1001 1151 y FG(i)1029 1144 y FI(=)1090 1107 y FE(P)1080
1188 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1135 1193 y Fz(2)1167 1144
y FJ(s)1190 1151 y FG(j)1208 1144 y FK(,)i(mit)e FJ(\026)g
FI(=)g FJ(h)1450 1126 y FA(\000)p FF(1)1497 1144 y FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)60 1330 y FL(\(d\))88 b FH(8)159
1363 y FG(P)5 b FA(2D)q FF(\()p FA(\024I)r FF(\))393
1292 y FE(P)329 1375 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(I)434 1380 y Fz(1)450 1375 y FA(\002)p FG(I)492 1380
y Fz(2)524 1330 y FJ(p)548 1337 y FG(i;j)602 1330 y FH(\024)14
b FI(min)745 1244 y FE(\()792 1292 y(P)785 1373 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)836 1378 y Fz(1)867 1330 y FJ(r)889 1337
y FG(i)903 1330 y FJ(;)934 1292 y FE(P)925 1373 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)980 1378 y Fz(2)1011 1330 y FJ(s)1034 1337
y FG(j)1052 1244 y FE(\))1106 1330 y FI(=)g(min)n FH(f)p
FJ(m)1307 1337 y FF(1)1326 1330 y FI(\()p FJ(I)1367 1337
y FF(1)1386 1330 y FI(\))p FJ(;)8 b(m)1470 1337 y FF(2)1490
1330 y FI(\()p FJ(I)1531 1337 y FF(2)1550 1330 y FI(\))p
FH(g)p FK(.)60 1469 y FL(\(e\))24 b FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))14 b FH(6)p FI(=)g FH(;)48 b(\))508 1431 y FE(P)500
1512 y FG(i)p FA(2)p FG(I)551 1517 y Fz(1)582 1469 y
FJ(r)604 1476 y FG(i)632 1469 y FI(=)693 1431 y FE(P)684
1512 y FG(j)r FA(2)p FG(I)739 1517 y Fz(2)770 1469 y
FJ(s)793 1476 y FG(j)811 1469 y FK(,)16 b(das)h(hei\377t,)e
FH(I)20 b FK(ist)c(ein)g(Randsystem.)199 b Fx(\004)60
1603 y FK(Gem\344\377)21 b(Satz)i(2.1.15)f(und)h(dem)d(ihm)g(folgenden)
i(Korollar)g(2.1.16)h(w)o(erden)f(im)e(folgen-)60 1663
y(den)g(oft)g(diskrete)e(Ma\377e)i(mit)e(Matrizen)h(iden)o(ti\034ziert)
e(und)j(umgek)o(ehrt.)d(Aussagen)k(wie)60 1723 y FJ(\026)14
b FH(2)g(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))j FK(o)q(der)g FJ(P)k
FH(2)14 b(D)q FI(\()p FJ(m)585 1730 y FF(1)605 1723 y
FJ(;)8 b(m)670 1730 y FF(2)689 1723 y FI(\))16 b FK(sind)h(in)f(diesem)
e(Sinne)h(zu)h(in)o(terpretieren.)60 1801 y(W\344rend)j(es)f(w)o(egen)g
FI(0)g FH(2)f(D)q FI(\()p FH(\024)e(I)t FI(\))j FK(klar)g(ist,)g
(da\377)h FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))k FK(und)h(sogar)h(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))k FK(nic)o(h)o(t)60
1861 y(leer)13 b(sind,)g(ist)h(das)g(f\374r)g FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))g FK(und)h(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))f FK(nic)o(h)o(t)f(so)h(unmittelbar)e(einsic)o(h)o(tig,)
f(und)j(es)g(ist)60 1921 y(auc)o(h)g(nic)o(h)o(t)f(f\374r)i(alle)e
(Randsysteme)g(ric)o(h)o(tig)g(\(siehe)g(Satz)i(2.1.18\).)f(Im)f
(folgenden)h(Beispiel)60 1982 y(2.1.17)g(wird)g(ein)f(Standardelemen)o
(t)f(v)o(on)i FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))g FK(f\374r)g(den)f(F)l(all)g
(abz\344hlbarer)h(Randsysteme)60 2042 y(k)o(onstruiert,)h(w)o(elc)o
(hes)g(sic)o(h)g(sogar)j(als)e(extremal)e(erw)o(eisen)h(wird.)60
2125 y FL(Beispiel)20 b(2.1.17.)j FK(Sei)16 b FH(I)j
FI(:=)c(\()p FJ(I)686 2132 y FF(1)705 2125 y FJ(;)8 b(I)749
2132 y FF(2)768 2125 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))17 b
FK(ein)f(Randsystem)g(mit)g FI(#)p FJ(I)1402 2132 y FF(1)1436
2125 y FI(=)f(#)p FJ(I)1552 2132 y FF(2)1586 2125 y FI(=)g
FJ(!)20 b FK(und)68 2148 y FE(P)60 2229 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)111 2234 y Fz(1)142 2185 y FJ(r)164 2192 y FG(i)198
2185 y FI(=)265 2148 y FE(P)256 2229 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)311 2234 y Fz(2)342 2185 y FJ(s)365 2192 y FG(j)403
2185 y FJ(>)g FI(0)g FK(\(f\374r)f(\022)t FI(=)h(0)p
FK(\020)25 b(ist)19 b FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))i(=)f
FH(f)p FI(0)p FH(g)p FK(\).)f(Indem)f(man)h(Abz\344hlungen)g(v)o(on)60
2281 y FJ(I)82 2288 y FF(1)101 2281 y FJ(;)8 b(I)145
2288 y FF(2)185 2281 y FK(w)o(\344hlt,)21 b(k)m(ann)g(man)f(ohne)h
(Einsc)o(hr\344nkung)g(annehmen,)e(da\377)j FJ(I)1400
2288 y FF(1)1441 2281 y FI(=)g FJ(I)1523 2288 y FF(2)1564
2281 y FI(=)f Fw(N)h FK(\(das)60 2342 y(Standardelemen)o(t)13
b(ist)i(damit)f(also)i(v)o(on)f(der)g(W)l(ahl)g(der)g(Abz\344hlungen)g
(abh\344ngig\).)h(Dann)60 2402 y(w)o(erde)g(das)g(Standardelemen)o(t)f
FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(P)7 b FI(\()p FH(I)s FI(\))17
b FK(v)o(on)f FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))h FK(wie)e(folgt)i
(de\034niert:)484 2538 y FJ(p)508 2545 y FG(i;j)563 2538
y FI(:=)c(min)717 2453 y FE(\()758 2538 y FJ(r)780 2545
y FG(i)805 2538 y FH(\000)860 2474 y FG(j)r FA(\000)p
FF(1)854 2491 y FE(X)862 2597 y FG(l)p FF(=1)935 2538
y FJ(p)959 2545 y FG(i;l)994 2538 y FJ(;)22 b(s)1053
2545 y FG(j)1082 2538 y FH(\000)1139 2476 y FG(i)p FA(\000)p
FF(1)1132 2491 y FE(X)1136 2597 y FG(k)q FF(=1)1212 2538
y FJ(p)1236 2545 y FG(k)q(;j)1284 2453 y FE(\))1332 2538
y FJ(:)-1286 b FK(\(2.12\))60 2671 y(Dadurc)o(h)20 b(w)o(erden)f(alle)g
FJ(p)549 2678 y FG(i;j)609 2671 y FK(rekursiv)g(de\034niert)g(\(k)o
(enn)o(t)f(man)h(alle)g FJ(p)1381 2678 y FG(k)q(;l)1443
2671 y FK(mit)f FJ(k)k(<)d(i)h FK(o)q(der)60 2731 y FJ(l)14
b(<)g(j)s FK(,)i(so)h(k)m(ann)g(man)e FJ(p)504 2738 y
FG(i;j)561 2731 y FK(b)q(erec)o(hnen\).)p eop
%%Page: 20 22
20 21 bop 120 50 a FK(20)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FB(Behauptung)j(1.)24 b FJ(P)d FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q FK(.)120 309 y FB(Beweis.)26 b FJ(p)330
316 y FF(1)p FG(;)p FF(1)391 309 y FI(=)14 b(min)n FH(f)p
FJ(r)571 316 y FF(1)591 309 y FJ(;)8 b(s)636 316 y FF(1)655
309 y FH(g)14 b(\025)g FI(0)p FK(.)i(F\374r)g FJ(j)h(>)d
FI(1)i FK(ist)536 440 y FJ(r)558 447 y FG(i)583 440 y
FH(\000)638 375 y FG(j)r FA(\000)p FF(1)633 392 y FE(X)641
498 y FG(l)p FF(=1)713 440 y FJ(p)737 447 y FG(i;l)786
440 y FI(=)838 355 y FE( )877 440 y FJ(r)899 447 y FG(i)924
440 y FH(\000)979 375 y FG(j)r FA(\000)p FF(2)974 392
y FE(X)982 498 y FG(l)p FF(=1)1054 440 y FJ(p)1078 447
y FG(i;l)1114 355 y FE(!)1164 440 y FH(\000)11 b FJ(p)1238
447 y FG(i;j)r FA(\000)p FF(1)1337 440 y FH(\025)j FI(0)120
563 y FK(und)j(f\374r)f FJ(i)d(>)h FI(1)j FK(ist)510
679 y FJ(s)533 686 y FG(j)562 679 y FH(\000)619 616 y
FG(i)p FA(\000)p FF(1)612 631 y FE(X)616 737 y FG(k)q
FF(=1)692 679 y FJ(p)716 686 y FG(k)q(;j)778 679 y FI(=)829
593 y FE( )869 679 y FJ(s)892 686 y FG(j)921 679 y FH(\000)978
616 y FG(i)p FA(\000)p FF(2)971 631 y FE(X)975 737 y
FG(k)q FF(=1)1051 679 y FJ(p)1075 686 y FG(k)q(;j)1123
593 y FE(!)1174 679 y FH(\000)10 b FJ(p)1247 686 y FG(i)p
FA(\000)p FF(1)p FG(;k)1350 679 y FH(\025)j FI(0)p FJ(:)120
802 y FK(Also)j(sind)g(alle)g FJ(p)447 809 y FG(i;j)501
802 y FH(\025)e FI(0)p FK(.)120 862 y(Nun)21 b(wird)h(durc)o(h)f(v)o
(ollst\344ndige)g(Induktion)h(nac)o(h)f FJ(i)h FK(gezeigt,)e(da\377)
1434 825 y FE(P)1486 838 y FA(1)1486 877 y FG(l)p FF(=1)1553
862 y FJ(p)1577 869 y FG(i;l)1635 862 y FI(=)j FJ(r)1718
869 y FG(i)1732 862 y FK(.)f(Sei)120 928 y FJ(i)14 b
FH(2)g FJ(I)220 935 y FF(1)256 928 y FK(fest.)i(Angenommen,)d(es)k
(gibt)f(ein)g FJ(l)934 935 y FF(0)953 928 y FK(,)h(so)g(da\377)g
FJ(p)1160 935 y FG(i;l)1193 940 y Fz(0)1227 928 y FI(=)d
FJ(r)1301 935 y FG(i)1326 928 y FH(\000)1376 891 y FE(P)1429
904 y FG(l)1440 909 y Fz(0)1457 904 y FA(\000)p FF(1)1429
943 y FG(l)p FF(=1)1512 928 y FJ(p)1536 935 y FG(i;l)1571
928 y FK(.)i(Dann)i(folgt)139 988 y FH(8)120 1020 y FG(l>l)169
1025 y Fz(0)200 988 y FJ(p)224 995 y FG(i;l)273 988 y
FI(=)c(0)j FK(und)512 1083 y FA(1)493 1097 y FE(X)501
1204 y FG(l)p FF(=1)573 1145 y FJ(p)597 1152 y FG(i;l)647
1145 y FI(=)720 1082 y FG(l)731 1087 y Fz(0)698 1097
y FE(X)706 1204 y FG(l)p FF(=1)779 1145 y FJ(p)803 1152
y FG(i;l)852 1145 y FI(=)d FJ(r)926 1152 y FG(i)951 1145
y FH(\000)1000 1082 y FG(l)1011 1087 y Fz(0)1028 1082
y FA(\000)p FF(1)1001 1097 y FE(X)1009 1204 y FG(l)p
FF(=1)1082 1145 y FJ(p)1106 1152 y FG(i;l)1152 1145 y
FI(+)1201 1082 y FG(l)1212 1087 y Fz(0)1229 1082 y FA(\000)p
FF(1)1202 1097 y FE(X)1210 1204 y FG(l)p FF(=1)1282 1145
y FJ(p)1306 1152 y FG(i;l)1355 1145 y FI(=)g FJ(r)1429
1152 y FG(i)1443 1145 y FJ(:)120 1280 y FK(Angenommen,)c(es)k(gibt)f(k)
o(ein)f(solc)o(hes)h FJ(l)864 1287 y FF(0)883 1280 y
FK(,)g(das)h(hei\377t,)f(f\374r)g(alle)g FJ(l)h FK(gilt)f
FJ(p)1425 1287 y FG(i;l)1474 1280 y FI(=)h FJ(s)1549
1287 y FG(l)1573 1280 y FH(\000)1623 1243 y FE(P)1675
1256 y FG(i)p FA(\000)p FF(1)1675 1294 y FG(k)q FF(=1)1750
1280 y FJ(p)1774 1287 y FG(k)q(;l)1816 1280 y FK(.)120
1340 y(Dann)j(folgt)170 1466 y FA(1)151 1481 y FE(X)159
1587 y FG(l)p FF(=1)231 1528 y FJ(p)255 1535 y FG(i;l)305
1528 y FI(=)375 1466 y FA(1)356 1481 y FE(X)364 1587
y FG(l)p FF(=1)437 1528 y FJ(s)460 1535 y FG(l)484 1528
y FH(\000)552 1466 y FA(1)533 1481 y FE(X)541 1587 y
FG(l)p FF(=1)621 1466 y FG(i)p FA(\000)p FF(1)614 1481
y FE(X)618 1587 y FG(k)q FF(=1)694 1528 y FJ(p)718 1535
y FG(k)q(;l)760 1497 y FF(\()p FA(\003)p FF(\))764 1528
y FI(=)832 1466 y FA(1)814 1481 y FE(X)822 1587 y FG(l)p
FF(=1)894 1528 y FJ(s)917 1535 y FG(l)941 1528 y FH(\000)998
1466 y FG(i)p FA(\000)p FF(1)991 1481 y FE(X)995 1587
y FG(k)q FF(=1)1071 1528 y FJ(r)1093 1535 y FG(k)1115
1497 y FF(\()p FA(\003\003)p FF(\))1127 1528 y FI(=)1204
1466 y FA(1)1186 1481 y FE(X)1189 1587 y FG(k)q FF(=1)1266
1528 y FJ(r)1288 1535 y FG(k)1320 1528 y FH(\000)1377
1466 y FG(i)p FA(\000)p FF(1)1370 1481 y FE(X)1374 1587
y FG(k)q FF(=1)1450 1528 y FJ(r)1472 1535 y FG(k)1507
1528 y FI(=)1578 1466 y FA(1)1559 1481 y FE(X)1566 1587
y FG(k)q FF(=)p FG(i)1639 1528 y FJ(r)1661 1535 y FG(k)1697
1528 y FH(\025)c FJ(r)1771 1535 y FG(i)1785 1528 y FJ(:)120
1417 y FK(\(2.13\))120 1679 y(Ist)21 b FJ(i)h FI(=)g(1)p
FK(,)f(so)g(ist)g(\(2.13\))h(trivialerw)o(eise)c(ric)o(h)o(tig.)h
(F\374r)i FJ(i)h(>)g FI(1)p FK(,)f(stimm)o(t)d(\022)1557
1647 y FF(\()p FA(\003)p FF(\))1561 1679 y FI(=)s FK(\020)26
b(in)20 b(\(2.13\))120 1757 y(w)o(egen)c(der)h(Induktionsv)o
(oraussetzung)g(und)g(\022)1011 1726 y FF(\()p FA(\003\003)p
FF(\))1024 1757 y FI(=)12 b FK(\020)t(,)17 b(da)g FH(I)k
FK(ein)16 b(Randsystem)f(ist.)h(Da)i(alle)120 1818 y
FJ(p)144 1825 y FG(i;j)198 1818 y FH(\025)c FI(0)p FK(,)i(folgt)h(aus)g
(\(2.12\),)f(da\377)751 1780 y FE(P)804 1793 y FA(1)804
1832 y FG(l)p FF(=1)870 1818 y FJ(p)894 1825 y FG(i;l)943
1818 y FH(\024)e FJ(r)1018 1825 y FG(i)1032 1818 y FK(.)i(Also)g(folgt)
1284 1780 y FE(P)1337 1793 y FA(1)1337 1832 y FG(l)p
FF(=1)1403 1818 y FJ(p)1427 1825 y FG(i;l)1476 1818 y
FI(=)e FJ(r)1550 1825 y FG(i)1564 1818 y FK(.)120 1878
y(Analog)j(zeigt)e(man)g(durc)o(h)h(v)o(ollst\344ndige)g(Induktion)g
(nac)o(h)g FJ(j)s FK(,)f(da\377)1402 1840 y FE(P)1454
1854 y FA(1)1454 1892 y FG(k)q FF(=1)1529 1878 y FJ(p)1553
1885 y FG(k)q(;j)1615 1878 y FI(=)e FJ(s)1689 1885 y
FG(j)1708 1878 y FK(.)72 b Fx(N)120 1967 y FB(Behauptung)19
b(2.)24 b FJ(P)d FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))p FK(.)120 2073 y FB(Beweis.)26 b FK(Angenommen,)40
b(es)k(w)o(\344re)g FJ(P)75 b(=)-30 b FH(2)61 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)44 b(Dann)g(g\344b)q(e)
h(es)f(w)o(egen)120 2133 y(Lemma)14 b(2.1.13)j(\(b\))j(eine)g(Matrix)g
FJ(E)k FH(2)d(M)966 2140 y Fm(R)992 2133 y FI(\()p FJ(I)1033
2140 y FF(1)1053 2133 y FJ(;)8 b(I)1097 2140 y FF(2)1116
2133 y FI(\))14 b FH(n)f(f)p FI(0)p FH(g)p FK(,)21 b(deren)f(Linien)g
(sic)o(h)g(alle)f(zu)120 2193 y(Null)c(summiere)o(n)f(und)i(mit)f
FJ(P)j FH(\006)11 b FJ(E)17 b FH(\025)c FI(0)p FK(.)120
2266 y FB(Def.)k(1.)25 b FK(De\034niere)105 b(rekursiv)h(eine)f(F)l
(olge)i(v)o(on)f(Indizes)f(durc)o(h)120 2326 y FH(P)18
b FI(:=)13 b(\(\()p FJ(i)293 2333 y FF(1)312 2326 y FJ(;)8
b(j)354 2333 y FF(1)374 2326 y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p
FJ(i)451 2333 y FF(2)470 2326 y FJ(;)g(j)512 2333 y FF(2)532
2326 y FI(\))p FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FI(\))p FH(\022)41
b FJ(I)759 2333 y FF(1)789 2326 y FH(\002)11 b FJ(I)861
2333 y FF(2)880 2326 y FK(,)32 b(w)o(ob)q(ei)g FJ(i)1097
2333 y FF(1)1158 2326 y FI(:=)40 b FJ(j)1270 2333 y FF(1)1331
2326 y FI(:=)h(1)33 b FK(und)f(f\374r)g(b)q(ereits)120
2386 y(de\034niertes)15 b FI(\()p FJ(i)389 2393 y FG(n)412
2386 y FJ(;)8 b(j)454 2393 y FG(n)478 2386 y FI(\))16
b FK(sei)381 2590 y FI(\()p FJ(i)417 2597 y FG(n)p FF(+1)485
2590 y FJ(;)8 b(j)527 2597 y FG(n)p FF(+1)596 2590 y
FI(\))14 b(=)681 2428 y FE(8)681 2473 y(>)681 2488 y(>)681
2503 y(>)681 2518 y(>)681 2533 y(<)681 2623 y(>)681 2638
y(>)681 2652 y(>)681 2667 y(>)681 2682 y(:)725 2475 y
FI(\()p FJ(i)761 2482 y FG(n)795 2475 y FI(+)d(1)p FJ(;)d(j)910
2482 y FG(n)934 2475 y FI(\))p FJ(;)56 b FK(falls)75
b FH(8)1158 2505 y FG(j)r(>j)1215 2509 y Fu(n)1251 2475
y FJ(p)1275 2482 y FG(i)1287 2486 y Fu(n)1309 2482 y
FG(;j)1350 2475 y FI(=)14 b(0)p FJ(;)725 2567 y FI(\()p
FJ(i)761 2574 y FG(n)784 2567 y FJ(;)8 b(j)826 2574 y
FG(n)860 2567 y FI(+)k(1\))p FJ(;)56 b FK(falls)71 b
FH(8)1158 2597 y FG(i>i)1209 2601 y Fu(n)1244 2567 y
FJ(p)1268 2574 y FG(i;j)1304 2578 y Fu(n)1342 2567 y
FI(=)14 b(0)p FJ(;)725 2657 y FI(\()p FJ(i)761 2664 y
FG(n)795 2657 y FI(+)d(1)p FJ(;)d(j)910 2664 y FG(n)945
2657 y FI(+)j(1\))p FJ(;)57 b FK(falls)76 b FH(8)1242
2687 y FG(i>i)1293 2691 y Fu(n)1315 2687 y FG(;)1244
2720 y(j)r(>j)1301 2724 y Fu(n)1339 2657 y FJ(p)1363
2664 y FG(i;j)1417 2657 y FI(=)14 b(0)p FJ(:)120 2590
y FK(\(2.14\))p eop
%%Page: 21 23
21 22 bop 60 50 a Fy(2.1.)32 b(DEFINITION)15 b(UND)g(ERSTE)i
(EIGENSCHAFTEN)496 b FK(21)60 203 y(W)l(egen)16 b(\(2.12\))h(tritt)f
(imm)o(er)d(genau)k(eine)e(der)h(Bedingungen)g(in)g(\(2.14\))h(ein.)60
283 y FB(Def.)g(2.)25 b FK(Nenne)43 b FI(\()p FJ(i)445
290 y FG(n)468 283 y FJ(;)8 b(j)510 290 y FG(n)533 283
y FI(\))62 b FH(2)f(P)48 b FK(Ec)o(kpunkt)43 b(genau)i(dann,)f(w)o(enn)
g FJ(n)14 b(>)f FI(1)45 b FK(und)60 343 y(\()p FJ(i)96
350 y FG(n)p FA(\000)p FF(1)178 343 y FJ(<)14 b(i)247
350 y FG(n)284 343 y FI(=)g FJ(i)353 350 y FG(n)p FF(+1)437
343 y FK(o)q(der)i FJ(j)566 350 y FG(n)p FA(\000)p FF(1)649
343 y FJ(<)e(j)721 350 y FG(n)758 343 y FI(=)g FJ(j)830
350 y FG(n)p FF(+1)899 343 y FK(\).)h(Die)h(T)l(eilfolge)e(der)i(Ec)o
(kpunkte)f(v)o(on)h FH(P)k FK(b)q(e-)60 404 y(zeic)o(hne)14
b(mit)h FH(P)354 411 y FG(E)397 404 y FI(=)f(\(\()p FJ(E)523
411 y FF(1)543 404 y FJ(;)8 b(F)597 411 y FF(1)616 404
y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p FJ(E)712 411 y FF(2)731 404
y FJ(;)g(F)785 411 y FF(2)804 404 y FI(\))p FJ(;)g(:)g(:)g(:)g
FI(\))p FK(.)60 483 y FB(Beh.)18 b(2.1.)24 b FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FH(\022)e(P)t FK(.)60 625
y FB(Beweis.)26 b FK(F\374r)57 b FJ(m;)8 b(n)83 b FH(2)h
Fw(N)58 b FK(sei)f FJ(T)909 632 y FG(m;n)987 625 y FI(:=)13
b FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b(:)24 b FJ(i)14 b FH(\024)g
FJ(m;)8 b(j)16 b FH(\024)d FJ(n)p FH(g)p FK(.)60 686
y(Man)45 b(zeigt)f(durc)o(h)g(v)o(ollst\344ndige)g(Induktion,)g(da\377)
h(f\374r)g(alle)f FJ(n)62 b FH(2)g Fw(N)46 b FK(gilt,)60
746 y FJ(T)89 753 y FG(i)101 757 y Fu(n)122 753 y FG(;j)146
757 y Fu(n)183 746 y FH(\022)14 b(f)p FI(\()p FJ(i)297
753 y FF(1)316 746 y FJ(;)8 b(j)358 753 y FF(1)378 746
y FI(\))p FJ(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h FI(\()p FJ(i)542 753
y FG(n)565 746 y FJ(;)g(j)607 753 y FG(n)630 746 y FI(\))p
FH(g)p FK(.)73 b FJ(T)790 753 y FG(i)802 758 y Fz(1)819
753 y FG(;j)843 758 y Fz(1)876 746 y FI(=)14 b FJ(T)957
753 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1018 746 y FH(\022)f(f)p FI(\(1)p
FJ(;)8 b FI(1\))p FH(g)14 b FI(=)g FH(f)p FI(\()p FJ(i)1355
753 y FF(1)1374 746 y FJ(;)8 b(j)1416 753 y FF(1)1436
746 y FI(\))p FH(g)73 b FK(p)q(er)g(De-)60 806 y(\034nition)41
b(v)o(on)g FH(P)t FK(.)g(Den)g(Induktionssc)o(hritt)f(b)q(ek)o(omm)o(t)
e(man,)i(da)h(w)o(egen)g(\(2.14\))60 866 y FJ(T)89 873
y FG(i)101 878 y Fu(n)p Fz(+1)160 873 y FG(;)6 b(j)190
878 y Fu(n)p Fz(+1)266 866 y FH(\022)14 b FJ(T)348 873
y FG(i)360 877 y Fu(n)380 873 y FG(;j)404 877 y Fu(n)439
866 y FH([)d(f)p FI(\()p FJ(i)544 873 y FG(n)p FF(+1)612
866 y FJ(;)16 b(j)662 873 y FG(n)p FF(+1)731 866 y FI(\))p
FH(g)29 b FK(\(im)d(ersten)j(F)l(all)f(v)o(on)g(\(2.14\))h(ist)g
FJ(p)1532 873 y FG(i)1544 878 y Fu(n)p Fz(+1)1604 873
y FG(;)6 b(j)1673 866 y FI(=)35 b(0)60 926 y FK(f\374r)19
b FJ(j)i(<)d(j)257 933 y FG(n)p FF(+1)326 926 y FK(,)h(im)e(zw)o(eiten)
g(F)l(all)h(v)o(on)h(\(2.14\))g(ist)g FJ(p)1040 933 y
FG(i;)6 b(j)1082 938 y Fu(n)p Fz(+1)1162 926 y FI(=)19
b(0)g FK(f\374r)g FJ(i)f(<)g(i)1450 933 y FG(n)p FF(+1)1518
926 y FK(,)h(im)e(dritten)60 987 y(F)l(all)22 b(v)o(on)h(\(2.14\))h
(ist)f FJ(p)508 994 y FG(i;)6 b(j)579 987 y FI(=)26 b(0)d
FK(f\374r)g FJ(i)i(<)g(i)896 994 y FG(n)p FF(+1)988 987
y FK(und)e FJ(j)28 b(<)e(j)1224 994 y FG(n)p FF(+1)1292
987 y FK(\).)d(Nun)g(folgt)g(Beh.)15 b(2.1,)60 1047 y(denn)26
b(sind)299 1036 y FI(~)302 1047 y FJ(i;)341 1036 y FI(~)341
1047 y FJ(j)j FK(die)d(Suprema)f(der)h(in)g FH(P)k FK(auftretenden)c
(Indizes)f FJ(i)1405 1054 y FG(n)1454 1047 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o
(ei-)60 1107 y(se)34 b FJ(j)155 1114 y FG(n)212 1107
y FK(\(ev)o(en)o(tuell)d FH(1)p FK(\),)i(so)i(folgt)52
b FH(8)778 1145 y FG(i>)814 1138 y FF(~)817 1145 y FG(i)q(;)777
1179 y(j)r FA(2)p Fm(N)854 1107 y FJ(p)878 1114 y FG(i;j)933
1107 y FI(=)14 b(0)34 b FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)53
b FH(8)1417 1138 y FG(i)p FA(2)p Fm(N)n FG(;)1422 1179
y(j)r(>)1464 1171 y FF(~)1465 1179 y FG(j)1500 1107 y
FJ(p)1524 1114 y FG(i;j)1579 1107 y FI(=)14 b(0)34 b
FK(und)60 1261 y FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15
b(=)338 1214 y FA(1)334 1224 y FE(S)301 1304 y FG(m;n)p
FF(=1)409 1261 y FJ(T)438 1268 y FG(m;n)516 1261 y FI(=)583
1214 y FA(1)580 1224 y FE(S)568 1304 y FG(n)p FF(=1)634
1261 y FJ(T)663 1268 y FG(i)675 1272 y Fu(n)696 1268
y FG(;j)720 1272 y Fu(n)757 1261 y FH(\022)f(P)t FK(.)863
b FH(4)60 1438 y FK(Nac)o(h)18 b(\(2.14\))g(sind)g(die)g(Elemen)o(te)d
(der)j(F)l(olge)g FH(P)k FK(alle)17 b(v)o(ersc)o(hieden.)f(W)l(egen)i
FJ(P)g FH(\006)11 b FJ(E)16 b FH(\025)e FI(0)p FK(,)60
1499 y(folgt)22 b(aus)h FJ(e)294 1506 y FG(i;j)357 1499
y FH(6)p FI(=)g(0)p FK(,)f(da\377)h FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s
FI(\))23 b FH(2)h(P)t FK(.)d(Da)h(sic)o(h)g(Zeilen)e(und)i(Spalten)g(v)
o(on)g FJ(E)j FK(zu)c(Null)60 1559 y(addieren,)15 b(gilt)h(sogar)533
1676 y FJ(e)556 1683 y FG(i;j)609 1676 y FH(6)p FI(=)e(0)49
b FH(\))g FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p FJ(E)1053
1683 y FG(n)1076 1676 y FJ(;)8 b(F)1130 1683 y FG(n)1153
1676 y FI(\))14 b FH(2)g(P)1268 1683 y FG(E)60 1793 y
FK(so)o(wie)20 b FJ(e)216 1800 y FG(E)242 1805 y Fu(n)p
Fv(\000)p Fz(1)302 1800 y FG(;F)5 b(n)p FA(\000)p FF(1)429
1793 y FH(6)p FI(=)21 b(0)g FK(und)g FJ(e)658 1800 y
FG(E)684 1805 y Fu(n)p Fz(+1)743 1800 y FG(;F)5 b(n)p
FF(+1)870 1793 y FH(6)p FI(=)21 b(0)p FK(.)f(Insb)q(esondere)h(hat)g
(jedes)f(Elemen)o(t)e(v)o(on)60 1853 y FH(P)95 1860 y
FG(E)141 1853 y FK(einen)e(V)l(org\344nger)i(und)f(einen)f(Nac)o
(hfolger.)f(Das)j(steh)o(t)e(im)g(Widerspruc)o(h)g(dazu,)g(da\377)60
1913 y FI(\()p FJ(E)115 1920 y FF(1)135 1913 y FJ(;)8
b(F)189 1920 y FF(1)208 1913 y FI(\))17 b FK(k)o(einen)f(V)l
(org\344nger)i(hat.)f(Die)g(Matrix)g FJ(E)j FK(k)m(ann)e(also)g(k)o
(eine)e(v)o(on)h(Null)f(v)o(ersc)o(hie-)60 1974 y(denen)g(Elemen)o(te)d
(b)q(esitzen,)i(das)i(hei\377t,)f(die)f(Annahme)g FJ(P)27
b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))i FK(w)o(ar)h(falsc)o(h.)73 b Fx(N)60 2085
y FL(Satz)19 b(2.1.18.)k FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13
b(\()p FJ(I)596 2092 y FF(1)616 2085 y FJ(;)8 b(I)660
2092 y FF(2)679 2085 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b
FK(ein)h FH(\024)p FK(-Randsystem.)60 2222 y FL(\(a\))24
b FH(D)q FI(\()p FH(\024)15 b(I)t FI(\))h FK(und)g(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)f(I)t FI(\))o(\))i FK(sind)f(nic)o(h)o
(t)f(leer.)60 2335 y FL(\(b\))24 b FK(Ist)16 b FH(I)k
FK(ein)c(Randsystem,)e(so)j(gilt)468 2452 y FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q FJ(;)8 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))13 b FH(6)p FI(=)h FH(;)49 b(,)f FJ(!)14
b FH(\001)d FI(#)p FJ(I)1148 2459 y FF(1)p FG(;nt)1224
2452 y FI(=)j FJ(!)f FH(\001)e FI(#)p FJ(I)1407 2459
y FF(2)p FG(;nt)1470 2452 y FJ(:)60 2596 y FL(\(c\))24
b FK(F\374r)16 b(diskrete)f(Ma\377r\344ume)h FI(\()p
FJ(I)714 2603 y FF(1)733 2596 y FJ(;)8 b(m)798 2603 y
FF(1)817 2596 y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p FJ(I)899 2603
y FF(2)918 2596 y FJ(;)g(m)983 2603 y FF(2)1002 2596
y FI(\))16 b FK(gilt)415 2713 y FH(D)q FI(\()p FJ(m)516
2720 y FF(1)536 2713 y FJ(;)8 b(m)601 2720 y FF(2)620
2713 y FI(\))p FJ(;)g FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FJ(m)814
2720 y FF(1)834 2713 y FJ(;)g(m)899 2720 y FF(2)919 2713
y FI(\)\))13 b FH(6)p FI(=)h FH(;)49 b(,)g FJ(!)13 b
FH(\001)e FI(#)p FJ(I)1326 2720 y FF(1)p FG(;nt)1402
2713 y FI(=)j FJ(!)f FH(\001)e FI(#)p FJ(I)1585 2720
y FF(2)p FG(;nt)1648 2713 y FJ(:)p eop
%%Page: 22 24
22 23 bop 120 50 a FK(22)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FB(Beweis.)26 b FK(\(a\))16 b(Es)h(ist)f FI(0)e FH(2)g
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))f
FH(\022)g(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))p FK(.)120
283 y(\(b\))i(Setze)g FJ(\013)e FI(:=)f(#)p FJ(I)502
290 y FF(1)p FG(;nt)581 283 y FK(und)k FJ(\014)f FI(:=)d(#)p
FJ(I)851 290 y FF(2)p FG(;nt)914 283 y FK(.)120 343 y(\022)t
FH(\))p FK(\020)t(:)32 b(Angenommen)d FJ(\013)41 b FH(6)p
FI(=)f FJ(\014)s FK(.)31 b(Es)h(sei)f(ohne)h(Besc)o(hr\344nkung)g(der)f
(Allgemeinhe)o(it)120 403 y FJ(\013)14 b(>)g(\014)i(>)e
FI(0)24 b FK(und)f FJ(\013)15 b(>)e(!)r FK(.)23 b(Gibt)h(es)f(dann)h
FJ(P)d FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(,)23 b(so)h(ist)f(w)o
(egen)g FJ(\013)14 b FI(=)g(#)p FJ(I)1645 410 y FF(1)p
FG(;nt)1731 403 y FK(auc)o(h)120 463 y FI(#)p FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g FJ(\013)p FK(.)23 b(Andrerseits)e(ist)h
(ab)q(er)h FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15
b FH(\024)e FJ(\014)s(!)j(<)d(\013)q FK(.)22 b(Daher)h(k)m(ann)g(es)f
(k)o(ein)120 523 y FJ(P)f FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))j FK(geb)q(en.)120 602 y(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)g(F\374r)g
FJ(\013;)8 b(\014)18 b FH(\024)d FJ(!)20 b FK(ist)d(in)g(Beispiel)e
(2.1.17)j(b)q(ereits)e(ein)h FJ(P)7 b FI(\()p FH(I)t
FI(\))15 b FH(2)h FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))h FK(k)o(onstruiert)120 663 y(w)o(orden)i(\(es)g(ist)g
(klar,)f(da\377)i(man)e(den)h(F)l(all)f(\022)t FJ(<)h(!)r
FK(\020)24 b(durc)o(h)19 b(Au\033\374llen)f(mit)f(Nullinien)g(auf)120
723 y(den)f(F)l(all)g(\022)t FI(=)e FJ(!)r FK(\020)20
b(zur\374c)o(kf\374hren)15 b(k)m(ann\).)i(Bleibt)d(der)i(F)l(all)g
FJ(\013)e FI(=)g FJ(\014)i(>)e(!)r FK(.)120 795 y FB(Behauptung)19
b(1.)24 b FK(Es)c(gibt)g(Randsysteme)e FI(\()p FH(I)978
802 y FG(k)1013 795 y FI(=)c(\()p FJ(I)1106 802 y FF(1)p
FG(;k)1154 795 y FJ(;)8 b(I)1198 802 y FF(2)p FG(;k)1246
795 y FJ(;)g(r)1291 777 y FG(k)1313 795 y FJ(;)g(s)1358
777 y FG(k)1379 795 y FI(\)\))1417 802 y FG(k)q FA(2)p
FG(\013)1484 795 y FK(,)20 b(so)g(da\377)g(f\374r)g(alle)120
856 y FJ(k)c FH(2)e FJ(\013)p FK(,)h FH(I)298 863 y FG(k)334
856 y FH(\024)e(I)t FK(,)h FJ(I)467 863 y FF(1)500 856
y FI(=)552 818 y FE(S)594 870 y FG(k)q FA(2)p FG(\013)670
856 y FJ(I)692 863 y FF(1)p FG(;k)740 856 y FK(,)g FJ(I)790
863 y FF(2)823 856 y FI(=)875 818 y FE(S)917 870 y FG(k)q
FA(2)p FG(\013)992 856 y FJ(I)1014 863 y FF(2)p FG(;k)1063
856 y FK(,)g FJ(r)1114 838 y FF(0)1148 856 y FI(=)g FJ(s)1223
838 y FF(0)1256 856 y FI(=)g(0)p FK(,)h(und)g(f\374r)g(alle)f
FI(0)g FH(6)p FI(=)g FJ(k)i FH(2)e FJ(\013)120 916 y
FK(ist)i FI(#)p FJ(I)251 923 y FF(1)p FG(;k)313 916 y
FI(=)e(#)p FJ(I)428 923 y FF(2)p FG(;k)489 916 y FI(=)g
FJ(!)k FK(so)o(wie)718 878 y FE(P)771 930 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)822 936 y Fz(1)p Fu(;k)876 916 y FJ(r)898 923 y
FG(i)926 916 y FI(=)978 878 y FE(P)1030 930 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)1085 936 y Fz(2)p Fu(;k)1139 916 y FJ(s)1162
923 y FG(j)1194 916 y FI(=)c FH(1)p FK(.)120 1029 y FB(Beweis.)26
b FK(F\374r)16 b FJ(n)e FH(2)g Fw(N)j FK(setze)406 1137
y FJ(R)443 1144 y FG(n)481 1137 y FI(:=)c FH(f)p FJ(i)h
FH(2)g FJ(I)671 1144 y FF(1)704 1137 y FI(:)789 1104
y(1)p 744 1126 114 2 v 744 1172 a FJ(n)e FI(+)f(1)877
1137 y FJ(<)j(r)951 1144 y FG(i)978 1137 y FH(\024)1038
1104 y FI(1)p 1036 1126 30 2 v 1036 1172 a FJ(n)1070
1137 y FH(g)p FJ(;)57 b(R)1203 1144 y FF(0)1236 1137
y FI(:=)14 b FH(f)p FJ(i)f FH(2)h FJ(I)1426 1144 y FF(1)1459
1137 y FI(:)22 b(1)14 b FJ(<)g(r)1607 1144 y FG(i)1621
1137 y FH(g)p FJ(;)406 1258 y(S)436 1265 y FG(n)474 1258
y FI(:=)f FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)670 1265 y FF(2)703
1258 y FI(:)788 1224 y(1)p 744 1246 114 2 v 744 1292
a FJ(n)d FI(+)g(1)876 1258 y FJ(<)j(s)951 1265 y FG(j)983
1258 y FH(\024)1043 1224 y FI(1)p 1040 1246 30 2 v 1040
1292 a FJ(n)1075 1258 y FH(g)p FJ(;)56 b(S)1200 1265
y FF(0)1234 1258 y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)1430
1265 y FF(2)1463 1258 y FI(:)21 b(1)15 b FJ(<)e(s)1611
1265 y FG(j)1630 1258 y FH(g)p FJ(:)120 1196 y FK(\(2.15\))120
1371 y(Nun)h(w)o(erden)g(die)g(endlic)o(hen)e(Mengen)i(in)g
FJ(R)953 1378 y FG(e)986 1371 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)f
FJ(S)1371 1378 y FG(e)1404 1371 y FK(und)i(die)f(unendlic)o(hen)120
1431 y(Mengen)i(in)g FJ(R)397 1438 y FA(1)450 1431 y
FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)f FJ(S)837 1438 y FA(1)891
1431 y FK(zusammengefa\377t:)413 1524 y FJ(R)450 1531
y FG(e)483 1524 y FI(:=)e FH(f)p FJ(R)610 1531 y FG(n)647
1524 y FI(:)22 b(#)p FJ(R)761 1531 y FG(n)798 1524 y
FJ(<)14 b FH(1g)p FJ(;)56 b(S)1025 1531 y FG(e)1058 1524
y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(S)1178 1531 y FG(n)1215 1524 y
FI(:)22 b(#)p FJ(S)1322 1531 y FG(n)1359 1524 y FJ(<)14
b FH(1g)p FJ(;)413 1597 y(R)450 1604 y FA(1)502 1597
y FI(:=)f FH(f)p FJ(R)629 1604 y FG(n)666 1597 y FI(:)22
b(#)p FJ(R)780 1604 y FG(n)817 1597 y FI(=)14 b FH(1g)p
FJ(;)56 b(S)1044 1604 y FA(1)1095 1597 y FI(:=)14 b FH(f)p
FJ(S)1216 1604 y FG(n)1253 1597 y FI(:)22 b(#)p FJ(S)1360
1604 y FG(n)1397 1597 y FI(=)13 b FH(1g)p FJ(:)120 1561
y FK(\(2.16\))120 1691 y(Ist)j FJ(R)229 1698 y FG(n)267
1691 y FH(2)e FJ(R)351 1698 y FA(1)405 1691 y FK(mit)h
FJ(\024)523 1698 y FG(R;n)597 1691 y FI(:=)f(#)p FJ(R)741
1698 y FG(n)778 1691 y FH(\025)g FJ(!)r FK(,)i(so)h(ist)f
FJ(R)1058 1698 y FG(n)1098 1691 y FK(w)o(egen)g FJ(\024)1271
1698 y FG(R;n)1331 1691 y FJ(!)h FI(=)d FJ(\024)1458
1698 y FG(R;n)1534 1691 y FK(eine)i(disjunkte)120 1751
y(V)l(ereinigung)k(v)o(on)h FJ(\024)518 1758 y FG(R;n)599
1751 y FK(vielen)e(abz\344hlbaren)i(Mengen)g FJ(R)1246
1758 y FG(n;k)1299 1751 y FK(,)f FJ(k)k FH(2)e FJ(\024)1465
1758 y FG(R;n)1546 1751 y FK(und)f(genauso,)120 1811
y(w)o(enn)16 b(man)f(jew)o(eils)g FJ(R)i FK(durc)o(h)f
FJ(S)j FK(ersetzt.)c(Setze)395 1908 y FJ(n)424 1915 y
FG(R)467 1908 y FI(:=)e(min)n FH(f)p FJ(n)h FI(:)22 b
FJ(R)754 1915 y FG(n)791 1908 y FH(2)14 b FJ(R)875 1915
y FA(1)913 1908 y FH(g)p FJ(;)56 b(n)1037 1915 y FG(S)1077
1908 y FI(:=)13 b(min)n FH(f)p FJ(n)h FI(:)22 b FJ(S)1357
1915 y FG(n)1394 1908 y FH(2)14 b FJ(S)1471 1915 y FA(1)1508
1908 y FH(g)p FJ(;)-1427 b FK(\(2.17\))404 2047 y FJ(K)445
2054 y FG(R)488 2047 y FI(:=)13 b FH(f)p FI(\()p FJ(n;)8
b(k)r FI(\))14 b(:)22 b(\()p FJ(n;)8 b(k)r FI(\))13 b
FH(6)p FI(=)h(\()p FJ(n)973 2054 y FG(R)1002 2047 y FJ(;)8
b FI(0\))p FJ(;)16 b(R)1134 2054 y FG(n)1172 2047 y FH(2)e
FJ(R)1256 2054 y FA(1)1293 2047 y FJ(;)j(k)e FH(2)f FJ(\024)1439
2054 y FG(R;n)1500 2047 y FH(g)p FJ(;)404 2119 y(K)445
2126 y FG(S)484 2119 y FI(:=)g FH(f)p FI(\()p FJ(n;)8
b(k)r FI(\))13 b(:)22 b(\()p FJ(n;)8 b(k)r FI(\))14 b
FH(6)p FI(=)g(\()p FJ(n)970 2126 y FG(S)995 2119 y FJ(;)8
b FI(0\))p FJ(;)16 b(S)1120 2126 y FG(n)1158 2119 y FH(2)e
FJ(S)1235 2126 y FA(1)1272 2119 y FJ(;)i(k)g FH(2)e FJ(\024)1418
2126 y FG(S;n)1473 2119 y FH(g)p FJ(;)120 2083 y FK(\(2.18\))435
2268 y FJ(I)457 2275 y FF(1)p FG(;)p FF(1)518 2268 y
FI(:=)f FJ(R)620 2275 y FG(n)641 2281 y Fu(R)667 2275
y FG(;)p FF(0)707 2268 y FH([)781 2221 y FE([)752 2326
y FG(R)779 2330 y Fu(n)799 2326 y FA(2)p FG(R)850 2330
y Fu(e)875 2268 y FJ(R)912 2275 y FG(n)935 2268 y FJ(;)57
b(I)1028 2275 y FF(2)p FG(;)p FF(1)1088 2268 y FI(:=)14
b FJ(S)1184 2275 y FG(n)1205 2281 y Fu(S)1227 2275 y
FG(;)p FF(0)1268 2268 y FH([)1337 2221 y FE([)1312 2326
y FG(S)1333 2330 y Fu(n)1355 2326 y FA(2)p FG(S)1400
2330 y Fu(e)1425 2268 y FJ(S)1455 2275 y FG(n)1478 2268
y FJ(;)435 2394 y(I)457 2401 y FF(1)p FG(;)p FF(0)518
2394 y FI(:=)f FH(f)p FJ(i)g FH(2)h FJ(I)707 2401 y FF(1)741
2394 y FI(:)21 b FJ(r)798 2401 y FG(i)826 2394 y FI(=)14
b(0)p FH(g)p FJ(;)57 b(I)1020 2401 y FF(2)p FG(;)p FF(0)1080
2394 y FI(:=)14 b FH(f)p FJ(j)i FH(2)e FJ(I)1276 2401
y FF(2)1309 2394 y FI(:)22 b FJ(s)1368 2401 y FG(j)1400
2394 y FI(=)14 b(0)p FH(g)p FJ(:)120 2326 y FK(\(2.19\))120
2491 y(Sei)c FJ(\013)224 2473 y FA(0)250 2491 y FI(:=)k
FJ(\013)q FH(n)q(f)p FI(0)p FJ(;)8 b FI(1)p FH(g)p FK(.)i(W)l(egen)h
FI(#)p FJ(K)752 2498 y FG(R)795 2491 y FI(=)j(#)p FJ(K)929
2498 y FG(S)968 2491 y FI(=)g FJ(\013)p FK(,)d(gibt)g(es)g(Bijektionen)
e FJ(B)1514 2498 y FG(R)1557 2491 y FI(:)24 b FJ(\013)1626
2473 y FA(0)1652 2491 y FH(\000)-9 b(!)14 b FJ(K)1787
2498 y FG(R)1816 2491 y FK(,)120 2551 y FJ(B)157 2558
y FG(S)202 2551 y FI(:)32 b FJ(\013)279 2533 y FA(0)311
2551 y FH(\000)-9 b(!)19 b FJ(K)451 2558 y FG(S)477 2551
y FK(.)g(F\374r)h FJ(k)h FH(2)f FJ(\013)738 2533 y FA(0)769
2551 y FK(setze)f FJ(I)914 2558 y FF(1)p FG(;k)982 2551
y FI(:=)g FJ(R)1090 2559 y FG(B)1117 2565 y Fu(R)1142
2559 y FF(\()p FG(k)q FF(\))1190 2551 y FK(,)h FJ(I)1246
2558 y FF(2)p FG(;k)1313 2551 y FI(:=)f FJ(S)1414 2559
y FG(B)1441 2565 y Fu(S)1463 2559 y FF(\()p FG(k)q FF(\))1512
2551 y FK(.)g(W)l(egen)g(\(2.15\))120 2611 y(ist)c FJ(I)209
2618 y FF(1)242 2611 y FI(=)294 2574 y FE(S)336 2626
y FG(k)q FA(2)p FG(\013)411 2611 y FJ(I)433 2618 y FF(1)p
FG(;k)497 2611 y FK(und)h FJ(I)616 2618 y FF(2)649 2611
y FI(=)701 2574 y FE(S)742 2626 y FG(k)q FA(2)p FG(\013)818
2611 y FJ(I)840 2618 y FF(2)p FG(;k)904 2611 y FK(klar.)f(Setzt)f(man)h
(no)q(c)o(h)h(f\374r)f FJ(k)h FH(2)e FJ(\013)p FK(,)h
FJ(r)1610 2593 y FG(k)1646 2611 y FI(:=)e FJ(r)q Fx(\030)1755
2618 y FG(I)1770 2624 y Fz(1)p Fu(;k)1816 2611 y FK(,)120
2671 y FJ(s)143 2653 y FG(k)178 2671 y FI(:=)g FJ(s)p
Fx(\030)287 2678 y FG(I)302 2684 y Fz(2)p Fu(;k)348 2671
y FK(,)h(so)h(ist)f(klar,)g(da\377)h(die)f FI(\()p FJ(I)819
2678 y FF(1)p FG(;k)867 2671 y FJ(;)8 b(I)911 2678 y
FF(2)p FG(;k)959 2671 y FJ(;)g(r)1004 2653 y FG(k)1025
2671 y FJ(;)g(s)1070 2653 y FG(k)1092 2671 y FI(\))1111
2678 y FG(k)q FA(2)p FG(\013)1192 2671 y FK(alle)14 b(Bedingungen)g
(der)g(Behaup-)120 2731 y(tung)j(erf\374llen.)1386 b
Fx(N)p eop
%%Page: 23 25
23 24 bop 60 50 a Fy(2.1.)32 b(DEFINITION)15 b(UND)g(ERSTE)i
(EIGENSCHAFTEN)496 b FK(23)60 203 y(Gegeb)q(en)12 b(die)e(Zerlegung)h
(aus)h(Behauptung)g(1,)f(setze)g(f\374r)g FJ(k)16 b FH(2)e
FJ(\013)q FH(n)q(f)p FI(0)p FH(g)p FK(:)e FJ(P)1421 185
y FF(\()p FG(k)q FF(\))1484 203 y FI(:=)h FJ(P)7 b FI(\()p
FH(I)1637 210 y FG(k)1658 203 y FI(\))12 b FK(und)60
307 y(dann)21 b FJ(P)27 b FI(=)20 b(\()p FJ(p)345 314
y FG(i;j)386 307 y FI(\))405 315 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p
FA(2)p FG(I)510 320 y Fz(1)526 315 y FA(\002)p FG(I)568
320 y Fz(2)608 307 y FK(mit)f FJ(p)726 314 y FG(i;j)786
307 y FI(:=)858 222 y FE(\()898 273 y FJ(p)922 248 y
FF(\()p FG(k)q FF(\))922 286 y FG(i;j)1037 273 y FK(f\374r)d
FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)1296 280
y FF(1)p FG(;k)1355 273 y FH(\002)d FJ(I)1427 280 y FF(2)p
FG(;k)1475 273 y FJ(;)898 345 y FI(0)115 b FK(sonst)1494
307 y(.)20 b(Der)f(Bew)o(eis)60 411 y(v)o(on)d(\(b\))g(wird)g(v)o
(ollst\344ndig)g(durc)o(h)g(die)g(folgende)g(Behauptung)g(2.)60
486 y FB(Behauptung)j(2.)24 b FJ(P)d FH(2)14 b FK(E)q
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)60 613 y
FB(Beweis.)26 b FK(W\344re)47 b FJ(P)81 b(=)-30 b FH(2)67
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(,)47
b(so)h(g\344b)q(e)h(es)e(nac)o(h)g(Lemma)f(2.1.13)i(\(b\))60
673 y FI(0)14 b FH(6)p FI(=)g FJ(E)j FH(2)d(M)310 680
y Fm(R)336 673 y FI(\()p FJ(I)377 680 y FF(1)396 673
y FJ(;)8 b(I)440 680 y FF(2)459 673 y FI(\))20 b FK(mit)d
FJ(P)k FH(\006)13 b FJ(E)23 b FH(2)d(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))p FK(.)f(W\344hle)h FI(\()p FJ(i)1140 680 y FF(0)1159
673 y FJ(;)8 b(j)1201 680 y FF(0)1221 673 y FI(\))p FK(,)19
b(so)h(da\377)h FJ(e)1455 680 y FG(i)1467 685 y Fz(0)1484
680 y FG(;j)1508 685 y Fz(0)1547 673 y FH(6)p FI(=)e(0)p
FK(.)h(Nac)o(h)60 734 y(De\034nition)27 b(v)o(on)f FJ(P)35
b FK(gibt)27 b(es)g(dann)g(ein)g FJ(k)r FK(,)f(so)i(da\377)g
FI(\()p FJ(i)1144 741 y FF(0)1163 734 y FJ(;)8 b(j)1205
741 y FF(0)1225 734 y FI(\))32 b FH(2)g FJ(I)1363 741
y FF(1)p FG(;k)1430 734 y FH(\002)18 b FJ(I)1509 741
y FF(2)p FG(;k)1557 734 y FK(.)27 b(Nun)g(sei)60 794
y FJ(E)99 776 y FF(\()p FG(k)q FF(\))172 794 y FI(:=)c
FJ(E)s Fx(\030)307 801 y FG(I)322 807 y Fz(1)p Fu(;k)366
801 y FA(\002)p FG(I)408 807 y Fz(2)p Fu(;k)454 794 y
FK(.)f(Dann)h(summiere)o(n)d(sic)o(h)h(w)o(egen)h(der)f(De\034nition)h
(v)o(on)g FJ(P)29 b FK(alle)22 b(Li-)60 859 y(nien)13
b(v)o(on)h FJ(E)292 841 y FF(\()p FG(k)q FF(\))355 859
y FK(zu)g(Null,)e(das)j(hei\377t)e FJ(P)778 841 y FF(\()p
FG(k)q FF(\))838 859 y FH(\006)e FJ(E)927 841 y FF(\()p
FG(k)q FF(\))990 859 y FH(2)j(D)q FI(\()p FH(I)1122 866
y FG(k)1144 859 y FI(\))p FK(,)f(w)o(as)i(nac)o(h)f(Lemma)d(2.1.13)k
(\(b\))60 919 y(im)f(Widerspruc)o(h)i(zu)g FJ(P)521 901
y FF(\()p FG(k)q FF(\))584 919 y FH(2)e FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)768 926 y FG(k)790 919 y FI(\)\))i
FK(steh)o(t.)771 b Fx(N)60 1046 y FK(\(c\))16 b(F)l(olgt)g(aus)h(\(b\))
f(und)h(Satz)f(2.1.15.)958 b Fx(\004)60 1152 y FL(Satz)19
b(2.1.19.)k FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13 b(\()p FJ(I)596
1159 y FF(1)616 1152 y FJ(;)8 b(I)660 1159 y FF(2)679
1152 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(ein)h FH(\024)p
FK(-Randsystem.)60 1279 y FL(\(a\))24 b FK(Sei)c FJ(P)29
b FH(2)22 b(D)q FI(\()p FH(\024)15 b(I)t FI(\))o FK(.)21
b(Dann)g(ist)g FJ(P)g FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))21 b FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)f
(f\374r)h(alle)f(ab-)182 1340 y(z\344hlbaren)k FJ(I)434
1347 y FF(1)p FG(;k)511 1340 y FH(\022)k FJ(I)600 1347
y FF(1)619 1340 y FK(,)c FJ(I)679 1347 y FF(2)p FG(;k)756
1340 y FH(\022)k FJ(I)845 1347 y FF(2)888 1340 y FK(die)c(Submatrix)g
FJ(P)7 b Fx(\030)1283 1347 y FG(I)1298 1353 y Fz(1)p
Fu(;k)1342 1347 y FA(\002)p FG(I)1384 1353 y Fz(2)p Fu(;k)1455
1340 y FK(in)24 b(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)15
b(I)1711 1347 y FG(k)1732 1340 y FI(\)\))182 1400 y FK(liegt.)21
b(Hierb)q(ei)f(sei)i FH(I)593 1407 y FG(k)629 1400 y
FI(:=)13 b(\()p FJ(I)735 1407 y FF(1)p FG(;k)783 1400
y FJ(;)8 b(I)827 1407 y FF(2)p FG(;k)875 1400 y FJ(;)g(r)920
1382 y FG(k)942 1400 y FJ(;)g(s)987 1382 y FG(k)1008
1400 y FI(\))22 b FK(mit)54 b FH(8)1144 1431 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)1195 1437 y Fz(1)p Fu(;k)1253 1400 y FJ(r)1276
1382 y FG(k)1275 1412 y(i)1311 1400 y FI(:=)13 b FJ(r)1398
1407 y FG(i)1423 1400 y FH(\000)1473 1362 y FE(P)1526
1414 y FG(\027)r FA(2)p FG(I)1584 1419 y Fz(2)1602 1414
y FA(n)p FG(I)1635 1420 y Fz(2)p Fu(;k)1689 1400 y FJ(p)1713
1407 y FG(i;\027)1756 1400 y FK(,)217 1492 y FH(8)182
1523 y FG(j)r FA(2)p FG(I)237 1529 y Fz(2)p Fu(;k)295
1492 y FJ(s)318 1474 y FG(k)318 1504 y(j)353 1492 y FI(:=)g
FJ(s)441 1499 y FG(j)470 1492 y FH(\000)520 1454 y FE(P)573
1506 y FG(\026)p FA(2)p FG(I)633 1511 y Fz(1)650 1506
y FA(n)p FG(I)683 1512 y Fz(1)p Fu(;k)737 1492 y FJ(p)761
1499 y FG(\026;j)811 1492 y FK(.)60 1626 y FL(\(b\))24
b FK(Sei)13 b FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(.)f(Dann)h(ist)g FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g FK(genau)g(dann,)g(w)o(enn)f
(f\374r)h(alle)f(abz\344hlbaren)182 1686 y FJ(I)204 1693
y FF(1)p FG(;k)272 1686 y FH(\022)20 b FJ(I)353 1693
y FF(1)372 1686 y FK(,)f FJ(I)427 1693 y FF(2)p FG(;k)496
1686 y FH(\022)g FJ(I)576 1693 y FF(2)615 1686 y FK(die)h(Submatrix)e
FJ(P)7 b Fx(\030)1000 1693 y FG(I)1015 1699 y Fz(1)p
Fu(;k)1059 1693 y FA(\002)p FG(I)1101 1699 y Fz(2)p Fu(;k)1167
1686 y FK(in)20 b(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)1365
1693 y FG(k)1387 1686 y FI(\)\))g FK(liegt.)e(Dab)q(ei)j(sei)182
1746 y(diesmal)14 b FH(I)389 1753 y FG(k)424 1746 y FI(:=)g
FH(I)s FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)598 1753 y FG(I)613 1759
y Fz(1)p Fu(;k)657 1753 y FA(\002)p FG(I)699 1759 y Fz(2)p
Fu(;k)746 1746 y FI(\))p FK(.)60 1873 y FB(Beweis.)26
b FK(\(a\))16 b(\022)t FH(\))p FK(\020)21 b(gilt)16 b(nac)o(h)g(Lemma)e
(2.1.14.)60 1933 y(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)35 b(Zun\344c)o(hst)g(b)q
(emerk)o(e,)d(da\377)j(alle)g(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)d(v)o
(on)i FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))60 1994 y FK(aus)39
b(h\366)q(c)o(hstens)f(abz\344hlbar)h(vielen)e(Ec)o(k)o(en)f(b)q
(estehen:)i(Sei)f FJ(v)16 b FH(2)e FJ(V)d FI(\()p FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)c FI(\)\))p FK(.)38 b(Dann)60 2060 y(ist)d(Zhk)p
FI(\()p FJ(v)r FI(\))13 b(=)373 2044 y(_)359 2023 y FE(S)400
2024 y FA(1)400 2075 y FG(\027)r FF(=0)467 2060 y FJ(D)507
2067 y FG(\027)529 2060 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))p FK(,)35
b(mit)e FJ(D)790 2067 y FG(\027)813 2060 y FI(\()p FJ(v)r
FI(\))13 b(=)g FH(f)p FJ(u)h FH(2)g FJ(V)d FI(\()p FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)c FI(\)\))15 b(:)21 b FJ(d)p FI(\()p FJ(u;)8
b(v)r FI(\))13 b(=)h FJ(\027)s FH(g)p FK(,)36 b(und)g(da)60
2120 y(alle)j FJ(u)14 b FH(2)g FJ(V)d FI(\()p FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)c FI(\)\))41 b FK(h\366)q(c)o(hstens)g(abz\344hlbaren)f
(Grad)h(hab)q(en,)g(sieh)o(t)e(man)g(w)o(egen)60 2181
y FJ(D)100 2188 y FG(\027)r FF(+1)167 2181 y FI(\()p
FJ(v)r FI(\))13 b FH(\022)h(f)p FJ(u)f FH(2)h FJ(V)e
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))14 b(:)76 b FH(9)652
2214 y FG(v)q FA(2)p FG(D)723 2218 y Fu(\027)742 2214
y FF(\()p FG(v)q FF(\))802 2181 y FJ(d)p FI(\()p FJ(u;)8
b(v)r FI(\))13 b(=)g(1)p FH(g)20 b FK(induktiv,)d(da\377)i(alle)f
FJ(D)1511 2188 y FG(\027)1533 2181 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))h
FK(abz\344hl-)60 2269 y(bar)28 b(sind.)g(Ist)g FJ(P)f(=)-30
b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\)\))p FK(,)28 b(so)g(sei)g FI(0)14 b FH(6)p FI(=)g
FJ(E)31 b FK(wieder)c(die)g(durc)o(h)h(Lemma)d(2.1.13)60
2329 y(gegeb)q(ene)35 b(Matrix)f(mit)f FJ(P)e FH(\006)23
b FJ(E)48 b FH(2)e(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))p
FK(.)34 b(W\344hle)h FI(\()p FJ(i)1279 2336 y FF(0)1298
2329 y FJ(;)8 b(j)1340 2336 y FF(0)1360 2329 y FI(\))35
b FK(mit)e FJ(e)1545 2336 y FG(i)1557 2341 y Fz(0)1574
2336 y FG(;j)1598 2341 y Fz(0)1662 2329 y FH(6)p FI(=)46
b(0)60 2389 y FK(und)34 b(setze)e(f\374r)h FJ(x)433 2396
y FG(i)445 2401 y Fz(0)507 2389 y FH(2)44 b FJ(V)11 b
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)c FI(\)\))p FK(,)33 b FJ(Z)18
b FI(:=)13 b FK(Zhk)1021 2397 y FG(G)p FF(\()p FG(P)5
b FF(\))1105 2389 y FI(\()p FJ(x)1152 2396 y FG(i)1164
2401 y Fz(0)1183 2389 y FI(\))p FK(,)33 b FJ(I)1271 2396
y FF(1)p FG(;k)1333 2389 y FI(:=)14 b FH(f)p FJ(i)f FH(2)h
FJ(I)1523 2396 y FF(1)1556 2389 y FI(:)22 b FJ(x)1620
2396 y FG(i)1648 2389 y FH(2)14 b FJ(Z)t FH(g)o FK(,)60
2449 y FJ(I)82 2456 y FF(2)p FG(;k)144 2449 y FI(:=)f
FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)340 2456 y FF(2)373 2449 y
FI(:)22 b FJ(y)433 2456 y FG(j)465 2449 y FH(2)14 b FJ(Z)t
FH(g)p FK(.)i(W)l(egen)g(der)g(obigen)h(Bemerkung)d(sind)i
FJ(I)1383 2456 y FF(1)p FG(;k)1431 2449 y FK(,)g FJ(I)1483
2456 y FF(2)p FG(;k)1548 2449 y FK(abz\344hlbar.)60 2509
y(Nun)d(setze)g FJ(E)320 2491 y FF(\()p FG(k)q FF(\))383
2509 y FI(:=)g FJ(E)s Fx(\030)508 2516 y FG(I)523 2522
y Fz(1)p Fu(;k)567 2516 y FA(\002)p FG(I)609 2522 y Fz(2)p
Fu(;k)669 2509 y FK(und)g FJ(P)801 2491 y FF(\()p FG(k)q
FF(\))864 2509 y FI(:=)h FJ(P)7 b Fx(\030)989 2516 y
FG(I)1004 2522 y Fz(1)p Fu(;k)1048 2516 y FA(\002)p FG(I)1090
2522 y Fz(2)p Fu(;k)1136 2509 y FK(.)13 b(Dann)h(ist)g(nac)o(h)f
(De\034nition)g(v)o(on)60 2570 y FJ(Z)388 2682 y FH(8)355
2713 y FG(i)p FA(2)p FG(I)406 2719 y Fz(1)p Fu(;k)486
2635 y FE(X)471 2741 y FG(\027)r FA(2)p FG(I)529 2747
y Fz(2)p Fu(;k)582 2682 y FJ(e)605 2689 y FG(i;\027)662
2682 y FI(=)715 2635 y FE(X)713 2741 y FG(\027)r FA(2)p
FG(I)771 2746 y Fz(2)797 2682 y FJ(e)820 2689 y FG(i;\027)863
2682 y FJ(;)92 b FH(8)934 2713 y FG(j)r FA(2)p FG(I)989
2719 y Fz(2)p Fu(;k)1071 2635 y FE(X)1055 2741 y FG(\026)p
FA(2)p FG(I)1115 2747 y Fz(1)p Fu(;k)1167 2682 y FJ(e)1190
2689 y FG(\026;j)1253 2682 y FI(=)1307 2635 y FE(X)1304
2741 y FG(\026)p FA(2)p FG(I)1364 2746 y Fz(1)1390 2682
y FJ(e)1413 2689 y FG(\026;j)1462 2682 y FJ(;)p eop
%%Page: 24 26
24 25 bop 120 50 a FK(24)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(das)h(hei\377t,)e(es)i(m)o(u\377)e FJ(P)545 185
y FF(\()p FG(k)q FF(\))605 203 y FH(\006)10 b FJ(E)693
185 y FF(\()p FG(k)q FF(\))756 203 y FH(2)k(D)q FI(\()p
FH(\024)g(I)941 210 y FG(k)963 203 y FI(\))i FK(sein.)g(Also)f(ist)h
FJ(P)1325 185 y FF(\()p FG(k)q FF(\))1394 203 y FJ(=)-30
b FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)1626
210 y FG(k)1647 203 y FI(\)\))p FK(.)120 264 y(\(b\))k(folgt)g(analog)h
(zu)f(\(a\),)g(w)o(enn)g(man)f(dort)i(im)d(Bew)o(eis)g(die)i(\022)t
FH(\024)p FK(\020)t(-Zeic)o(hen)e(w)o(egl\344\377t)j(und)120
324 y(b)q(eac)o(h)o(tet,)c(da\377)h(in)g(diesem)e(F)l(all)h(das)h
FH(\024)p FK(-Randsystem)f FH(I)1181 331 y FG(k)1218
324 y FK(aus)i(\(a\),)f(dem)e(Randsystem)h FH(I)1809
331 y FG(k)120 384 y FK(aus)i(\(b\))f(en)o(tspric)o(h)o(t.)1277
b Fx(\004)120 501 y FK(Das)17 b(F)l(azit)f(v)o(on)g(Satz)g(2.1.19)h
(ist,)e(da\377)i(man)e(sic)o(h)h(f\374r)g(die)f(Charakterisierung)h
(der)g(Extre-)120 561 y(malpunkte)e(auf)j(abz\344hlbare)g
FH(\024)p FK(-Randsysteme)d(b)q(esc)o(hr\344nk)o(en)i(k)m(ann.)120
747 y FC(2.2)77 b(An)n(w)n(endung)32 b(der)g(ma\377theoretisc)n(hen)g
(Charakte-)296 838 y(risierung)25 b(der)h(Extremalpunkte)120
968 y FK(Im)14 b(folgenden)h(soll)g(Satz)g(1.4.1)h(auf)g(dopp)q(elt)f
(sto)q(c)o(hastisc)o(he)h(Matrizen)e(angew)o(endet)h(w)o(er-)120
1028 y(den.)c(Im)e(F)l(all)h(endlic)o(her)g(Ma\377e)h
FJ(m)752 1035 y FF(1)771 1028 y FJ(;)d(m)836 1035 y FF(2)856
1028 y FK(,)i(l\344\377t)i(sic)o(h)e(die)h(F)l(rage,)g(ob)g(eine)g
(Matrix)f FJ(P)18 b FK(extremal)120 1089 y(ist,)e(auf)g(die)g(F)l(rage)
g(zur\374c)o(kf\374hren,)f(ob)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))17 b FK(kreisfrei)e(ist)h(\(siehe)f(Satz)i(2.2.6\).)120
1187 y FL(Lemma)h(2.2.1.)23 b FK(Sei)i FH(I)35 b FI(:=)30
b(\()p FJ(I)747 1194 y FF(1)766 1187 y FJ(;)8 b(I)810
1194 y FF(2)829 1187 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))26 b
FK(ein)g(Randsystem,)e FI(min)o FH(f)p FI(#)p FJ(I)1520
1194 y FF(1)1538 1187 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1623 1194
y FF(2)1642 1187 y FH(g)31 b FJ(<)g FH(1)p FK(,)120 1248
y FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(,)20
b(\(zu)g FJ(P)28 b FK(geh\366rt)21 b(nac)o(h)f(Satz)h(2.1.15)g(ein)f
(Ma\377)h FJ(\026)g FI(:=)g FJ(h)1390 1230 y FA(\000)p
FF(1)1437 1248 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(;)20 b FJ(m)1590
1255 y FF(1)1610 1248 y FK(,)g FJ(m)1687 1255 y FF(2)1727
1248 y FK(seien)120 1308 y(wie)c(in)g(Satz)g(2.1.15\).)g(Dann)h(gilt)f
(mit)e(den)j(Bezeic)o(hn)o(ungen)c(v)o(on)k(Beispiel)d(1.3.5)555
1414 y FH(F)21 b FK(ist)16 b(dic)o(h)o(t)f(in)h FJ(L)892
1421 y FF(1)912 1414 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))63 b FH(,)f(F)19
b FI(=)14 b FJ(L)1294 1421 y FF(1)1314 1414 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))p FJ(:)120 1531 y FB(Beweis.)26 b FK(Es)15
b(ist)f(p)q(er)h(De\034nition)f FH(F)19 b FI(=)13 b FJ(L)887
1538 y FF(1)907 1531 y FI(\()p FJ(m)969 1538 y FF(1)989
1531 y FI(\))8 b(+)g FJ(L)1095 1538 y FF(1)1114 1531
y FI(\()p FJ(m)1176 1538 y FF(2)1195 1531 y FI(\))p FK(.)14
b(W)l(egen)h FI(min)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)1567 1538 y
FF(1)1586 1531 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1671 1538 y FF(2)1690
1531 y FH(g)13 b FJ(<)h FH(1)120 1591 y FK(ist)g(auc)o(h)h
FI(min)n FH(f)p FI(dim)6 b FJ(L)528 1598 y FF(1)548 1591
y FI(\()p FJ(m)610 1598 y FF(1)630 1591 y FI(\))p FJ(;)i
FI(dim)e FJ(L)793 1598 y FF(1)813 1591 y FI(\()p FJ(m)875
1598 y FF(2)894 1591 y FI(\))p FH(g)14 b FJ(<)g FH(1)p
FK(.)g(Da)h(w)o(eiterhin)e FJ(L)1402 1598 y FF(1)1422
1591 y FI(\()p FJ(m)1484 1598 y FF(1)1503 1591 y FI(\))p
FK(,)h FJ(L)1583 1598 y FF(1)1603 1591 y FI(\()p FJ(m)1665
1598 y FF(2)1684 1591 y FI(\))h FK(b)q(eide)120 1652
y(abgesc)o(hlossen)k(sind,)g(folgt)g(aus)h(Prop)q(osition)g(20.1)g(in)f
([6],)f(da\377)i(auc)o(h)f FH(F)24 b FK(abgesc)o(hlossen)120
1712 y(ist,)16 b(und)g(das)h(ist)f(gerade)g(die)g(Behauptung.)831
b Fx(\004)120 1811 y FL(Satz)19 b(2.2.2.)k FK(Sei)39
b FH(I)58 b FI(:=)c(\()p FJ(I)733 1818 y FF(1)752 1811
y FJ(;)8 b(I)796 1818 y FF(2)815 1811 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))40 b FK(ein)f(endlic)o(hes)f(Randsystem,)h FJ(P)21
b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)120 1871
y FJ(\026)g FI(:=)g FJ(h)257 1853 y FA(\000)p FF(1)304
1871 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)16 b FJ(m)453 1878
y FF(1)473 1871 y FK(,)g FJ(m)546 1878 y FF(2)583 1871
y FK(seien)g(wie)g(in)h(Satz)g(2.1.15)h(und)f FH(F)i
FI(:=)13 b FJ(L)1350 1878 y FF(1)1370 1871 y FI(\()p
FJ(m)1432 1878 y FF(1)1451 1871 y FI(\))e(+)g FJ(L)1563
1878 y FF(1)1583 1871 y FI(\()p FJ(m)1645 1878 y FF(2)1665
1871 y FI(\))p FK(.)16 b(Dann)120 1931 y(gilt)587 2038
y FH(F)j FI(=)13 b FJ(L)726 2045 y FF(1)746 2038 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))49 b FH(,)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17
b FK(ist)f(ein)f(W)l(ald.)120 2155 y FB(Beweis.)26 b
FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)e(Angenommen,)c FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))25 b FK(hat)f(einen)f(Kreis)g
FJ(K)31 b FI(=)c(\()p FJ(x)1449 2162 y FG(i)1461 2167
y Fz(1)1480 2155 y FJ(;)8 b(y)1526 2162 y FG(j)1540 2167
y Fz(1)1559 2155 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(y)1693 2162
y FG(j)1707 2166 y Fu(n)1730 2155 y FJ(;)g(x)1780 2162
y FG(i)1792 2167 y Fz(1)1811 2155 y FI(\))120 2215 y
FK(o)q(der)20 b FJ(K)i FI(=)d(\()p FJ(y)396 2222 y FG(j)410
2227 y Fz(1)430 2215 y FJ(;)8 b(x)480 2222 y FG(i)492
2227 y Fz(1)511 2215 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)648 2222
y FG(i)660 2226 y Fu(n)683 2215 y FJ(;)g(y)729 2222 y
FG(j)743 2227 y Fz(1)762 2215 y FI(\))p FK(.)19 b(Nun)g(b)q(etrac)o(h)o
(te)f FJ(M)24 b FH(2)19 b FJ(L)1298 2222 y FF(1)1318
2215 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))g FK(\(siehe)g(Beispiel)e(1.3.5)120
2275 y(f\374r)f(die)g(Bezeic)o(hn)o(ungen\))e(mit)415
2382 y FJ(m)458 2389 y FG(i)470 2394 y Fz(1)493 2389
y FG(j)507 2394 y Fz(1)541 2382 y FI(=)g FJ(m)636 2389
y FG(i)648 2394 y Fz(2)670 2389 y FG(j)684 2394 y Fz(1)718
2382 y FI(=)g FJ(m)813 2389 y FG(i)825 2394 y Fz(2)848
2389 y FG(j)862 2394 y Fz(2)895 2382 y FI(=)g FH(\001)8
b(\001)g(\001)14 b FI(=)f FJ(m)1113 2389 y FG(i)1125
2393 y Fu(n)1152 2389 y FG(j)1166 2393 y Fu(n)1204 2382
y FI(=)g(0)p FJ(;)23 b(m)1359 2389 y FG(i)1371 2394 y
Fz(1)1393 2389 y FG(j)1407 2393 y Fu(n)1445 2382 y FI(=)14
b(1)p FJ(:)-1415 b FK(\(2.20\))120 2488 y(W\344re)49
b FJ(M)76 b FH(2)70 b(F)5 b FK(,)48 b(so)i(g\344b)q(e)g(es)f
FJ(a)14 b FH(2)g FJ(L)1064 2495 y FF(1)1084 2488 y FI(\()p
FJ(m)1146 2495 y FF(1)1165 2488 y FI(\))49 b FK(und)h
FJ(b)13 b FH(2)h FJ(L)1478 2495 y FF(1)1498 2488 y FI(\()p
FJ(m)1560 2495 y FF(2)1580 2488 y FI(\))p FK(,)48 b(so)i(da\377)203
2548 y FH(8)126 2582 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(I)231 2587 y Fz(1)248 2582 y FA(\002)p FG(I)290 2587
y Fz(2)120 2619 y Fq(mit)9 b FG(\026)p FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FG(>)p FF(0)328 2548 y FJ(m)371 2555 y FG(i;j)425
2548 y FI(=)14 b FJ(a)503 2555 y FG(i)527 2548 y FI(+)d
FJ(b)597 2555 y FG(j)615 2548 y FK(.)42 b(Mit)f FJ(\013)14
b FI(:=)g FJ(a)927 2555 y FG(i)939 2560 y Fz(1)971 2548
y FH(2)g Fw(R)39 b FK(folgte)j(dann)h(w)o(egen)e(\(2.20\),)h(da\377)120
2671 y FJ(b)141 2678 y FG(j)155 2683 y Fz(1)188 2671
y FI(=)14 b FH(\001)8 b(\001)g(\001)14 b FI(=)g FJ(b)385
2678 y FG(j)399 2682 y Fu(n)436 2671 y FI(=)g FH(\000)p
FJ(\013)21 b FK(und)g(daher)h FJ(a)848 2678 y FG(i)860
2683 y Fz(1)892 2671 y FI(=)14 b(1)e(+)f FJ(\013)p FK(,)21
b(w)o(as)g FJ(a)1219 2678 y FG(i)1231 2683 y Fz(1)1264
2671 y FI(=)14 b FJ(\013)21 b FK(widerspric)o(h)o(t.)e(Also)i(ist)120
2731 y FJ(M)k(=)-30 b FH(2)14 b(F)5 b FK(.)p eop
%%Page: 25 27
25 26 bop 60 50 a Fy(2.2.)16 b(ANWENDUNG)f(DER)h(MASSTH.)f
(CHARAKTERISIER)o(UNG)285 b FK(25)60 203 y(\022)t FH(\()p
FK(\020)t(:)19 b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))20 b FK(sei)f(also)h
(ein)e(W)l(ald,)h(das)h(hei\377t,)e(alle)h(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)
o(ten)d(v)o(on)60 264 y FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17
b FK(sind)g(\(w)o(egen)f FI(#)p FJ(I)522 271 y FF(1)541
264 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)626 271 y FF(2)658 264 y FJ(<)14
b FH(1)i FK(endlic)o(he\))f(B\344ume.)f(W\344hle)i(aus)h(jeder)f
(Zusammen-)60 324 y(hangsk)o(omp)q(onen)o(te)22 b FJ(Z)27
b FK(v)o(on)22 b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)23
b(die)f(mindestens)f(zw)o(ei)g(Ec)o(k)o(en)g(en)o(th\344lt,)h(eine)f
(Ec)o(k)o(e)60 384 y FJ(x)88 391 y FG(i)100 397 y Fu(Z)126
384 y FK(.)15 b(Da)g FJ(Z)k FK(ein)13 b(Baum)h(ist,)g(gibt)g(es)h(nac)o
(h)f(Lemma)f(1.2.11)i(zu)f FJ(z)1246 391 y FF(1)1266
384 y FJ(;)8 b(z)1311 391 y FF(2)1344 384 y FH(2)14 b
FJ(V)d FI(\()p FJ(Z)t FI(\))k FK(genau)g(einen)60 444
y FJ(z)83 451 y FF(1)102 444 y FJ(z)125 451 y FF(2)145
444 y FK(-W)l(eg)21 b FI(\()p FJ(z)316 451 y FF(1)335
444 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(z)467 451 y FF(2)487 444
y FI(\))20 b FK(in)g FJ(Z)t FK(.)g(Sei)g(n)o(un)h FJ(M)e
FH(2)14 b FJ(L)988 451 y FF(1)1008 444 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))21 b FK(gegeb)q(en.)f(F\374hre)g(folgende)g(rekur-)60
504 y(siv)o(e)f(Konstruktion)i(durc)o(h:)e FJ(a)643 511
y FG(i)655 517 y Fu(Z)702 504 y FI(:=)h(0)p FK(.)g(Gegeb)q(en)h
FJ(y)1060 511 y FG(j)1098 504 y FH(2)g FJ(V)11 b FI(\()p
FJ(Z)t FI(\))20 b FK(mit)f FJ(d)p FI(\()p FJ(y)1448 511
y FG(j)1466 504 y FJ(;)8 b(x)1516 511 y FG(i)1528 517
y Fu(Z)1555 504 y FI(\))20 b(=)h FJ(n)p FK(,)f(sei)60
565 y FJ(a)86 572 y FG(i)120 565 y FK(f\374r)g(alle)f
FJ(x)322 572 y FG(i)357 565 y FH(2)i FJ(V)11 b FI(\()p
FJ(Z)t FI(\))20 b FK(mit)e FJ(d)p FI(\()p FJ(x)710 572
y FG(i)725 565 y FJ(;)8 b(x)775 572 y FG(i)787 578 y
Fu(Z)813 565 y FI(\))20 b FJ(<)h(n)f FK(sc)o(hon)h(de\034niert.)d(Zu)j
FJ(d)p FI(\()p FJ(y)1454 572 y FG(j)1472 565 y FJ(;)8
b(x)1522 572 y FG(i)1534 578 y Fu(Z)1560 565 y FI(\))21
b(=)f FJ(n)h FK(ge-)60 625 y(h\366rt)d(genau)g(ein)f
FJ(y)413 632 y FG(j)431 625 y FJ(x)459 632 y FG(i)471
638 y Fu(Z)497 625 y FK(-W)l(eg)h FI(\()p FJ(z)665 632
y FF(1)685 625 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(z)817 632 y
FG(n)840 625 y FI(\))18 b FK(der)f(L\344nge)h FJ(n)p
FK(,)g FJ(z)1191 632 y FF(1)1226 625 y FI(=)e FJ(x)1308
632 y FG(i)1320 638 y Fu(Z)1347 625 y FK(,)h FJ(z)1401
632 y FG(n)1440 625 y FI(=)f FJ(y)1518 632 y FG(j)1536
625 y FK(,)h FJ(z)1590 632 y FG(n)p FA(\000)p FF(1)1674
625 y FI(=)f FJ(x)1756 632 y FG(i)60 685 y FK(f\374r)k(ein)f
FJ(i)p FK(.)g(De\034niere)g FJ(b)503 692 y FG(j)542 685
y FI(:=)g FJ(m)656 692 y FG(i;j)710 685 y FH(\000)13
b FJ(a)788 692 y FG(i)802 685 y FK(.)19 b(Gegeb)q(en)h
FJ(x)1066 692 y FG(i)1100 685 y FH(2)h FJ(V)11 b FI(\()p
FJ(Z)t FI(\))20 b FK(mit)e FJ(d)p FI(\()p FJ(x)1453 692
y FG(i)1467 685 y FJ(;)8 b(x)1517 692 y FG(i)1529 698
y Fu(Z)1556 685 y FI(\))20 b(=)g FJ(n)p FK(,)g(sei)60
745 y FJ(b)81 752 y FG(j)119 745 y FK(f\374r)g(alle)g
FJ(y)318 752 y FG(j)356 745 y FH(2)h FJ(V)12 b FI(\()p
FJ(Z)t FI(\))20 b FK(mit)e FJ(d)p FI(\()p FJ(y)706 752
y FG(j)724 745 y FJ(;)8 b(x)774 752 y FG(i)786 758 y
Fu(Z)813 745 y FI(\))20 b FJ(<)h(n)f FK(sc)o(hon)h(de\034niert.)e(Zu)h
FJ(d)p FI(\()p FJ(x)1458 752 y FG(i)1472 745 y FJ(;)8
b(x)1522 752 y FG(i)1534 758 y Fu(Z)1560 745 y FI(\))21
b(=)f FJ(n)h FK(ge-)60 805 y(h\366rt)d(genau)h(ein)e
FJ(x)418 812 y FG(i)432 805 y FJ(x)460 812 y FG(i)472
818 y Fu(Z)498 805 y FK(-W)l(eg)h FI(\()p FJ(z)666 812
y FF(1)686 805 y FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(z)818 812 y
FG(n)841 805 y FI(\))18 b FK(der)f(L\344nge)i FJ(n)p
FK(,)f FJ(z)1193 812 y FF(1)1226 805 y FI(=)c FJ(x)1306
812 y FG(i)1318 818 y Fu(Z)1344 805 y FK(,)j FJ(z)1398
812 y FG(n)1438 805 y FI(=)g FJ(x)1521 812 y FG(i)1534
805 y FK(,)h FJ(z)1589 812 y FG(n)p FA(\000)p FF(1)1674
805 y FI(=)e FJ(y)1752 812 y FG(j)60 866 y FK(f\374r)21
b(ein)g FJ(j)s FK(.)g(De\034niere)f FJ(a)520 873 y FG(i)556
866 y FI(:=)i FJ(m)673 873 y FG(i;j)727 866 y FH(\000)14
b FJ(b)801 873 y FG(j)819 866 y FK(.)21 b(Damit)f(sind)h
FJ(a)1144 873 y FG(i)1158 866 y FJ(;)8 b(b)1201 873 y
FG(j)1240 866 y FK(f\374r)21 b(alle)g FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))22 b FH(2)g FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))60
926 y FK(w)o(ohlde\034niert)25 b(\(da)h(die)f(v)o(erbindenden)g(W)l
(ege)g(jew)o(eils)f(eindeutig)h(sind\),)h(und)g(es)g(gilt)60
986 y FJ(m)103 993 y FG(i;j)165 986 y FI(=)c FJ(a)251
993 y FG(i)279 986 y FI(+)14 b FJ(b)352 993 y FG(j)370
986 y FK(,)20 b(denn)h(so)h(wurden)f(die)g FJ(a)881 993
y FG(i)894 986 y FJ(;)8 b(b)937 993 y FG(j)976 986 y
FK(ja)21 b(gerade)h(de\034niert.)d(Bleibt)h(zu)g(zeigen,)60
1046 y(da\377)h FI(\()p FJ(a)201 1053 y FG(i)215 1046
y FI(\))234 1053 y FG(i)p FA(2)p FG(I)285 1058 y Fz(1)325
1046 y FH(2)g FJ(L)412 1053 y FF(1)432 1046 y FI(\()p
FJ(m)494 1053 y FF(1)514 1046 y FI(\))p FJ(;)16 b FI(\()p
FJ(b)603 1053 y FG(j)621 1046 y FI(\))640 1053 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)695 1058 y Fz(2)735 1046 y FH(2)21 b FJ(L)822
1053 y FF(1)842 1046 y FI(\()p FJ(m)904 1053 y FF(2)923
1046 y FI(\))p FK(,)f(w)o(as)h(ab)q(er)g(klar)f(ist,)g(da)h
FI(\()p FJ(a)1494 1053 y FG(i)1508 1046 y FI(\))1527
1053 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1578 1058 y Fz(1)1597 1046
y FJ(;)8 b FI(\()p FJ(b)1659 1053 y FG(j)1677 1046 y
FI(\))1696 1053 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1751 1058 y Fz(2)60
1106 y FK(endlic)o(he)14 b(F)l(olgen)i(sind.)1227 b Fx(\004)60
1221 y FK(Satz)21 b(2.2.2)g(gilt)f(sc)o(hon)h(dann,)g(w)o(enn)f(n)o(ur)
h(eine)e(der)i(Mengen)f FJ(I)1289 1228 y FF(1)1308 1221
y FK(,)g FJ(I)1364 1228 y FF(2)1404 1221 y FK(endlic)o(h)f(ist)i
(\(siehe)60 1281 y(Korollar)d(2.2.5\).)f(Die)g(folgenden)h(Beispiele)d
(zeigen)h(jedo)q(c)o(h,)h(da\377)i(es,)e(w)o(enn)g FJ(I)1548
1288 y FF(1)1568 1281 y FK(,)g FJ(I)1621 1288 y FF(2)1658
1281 y FK(b)q(eide)60 1341 y(unendlic)o(h)f(sind,)h(v)o(ork)o(ommen)d
(k)m(ann,)k(da\377)g(es)g FJ(M)j FH(2)c FJ(L)1100 1348
y FF(1)1119 1341 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))c FH(n)f(F)22
b FK(gibt,)17 b(ob)o(w)o(ohl)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))18 b FK(ein)60 1402 y(W)l(ald)d(ist,)f(und)h(zw)o(ar)f(so)o(w)o
(ohl)h(f\374r)g FJ(m)750 1409 y FF(1)769 1402 y FI(\()p
FJ(I)810 1409 y FF(1)829 1402 y FI(\))f(=)g FJ(m)957
1409 y FF(2)976 1402 y FI(\()p FJ(I)1017 1409 y FF(2)1036
1402 y FI(\))g(=)g FH(1)h FK(\(siehe)e(Beispiel)g(2.2.3)i(\(a\)\))g
(als)60 1462 y(auc)o(h)h(f\374r)g FJ(m)295 1469 y FF(1)315
1462 y FI(\()p FJ(I)356 1469 y FF(1)375 1462 y FI(\))e(=)g
FJ(m)503 1469 y FF(2)522 1462 y FI(\()p FJ(I)563 1469
y FF(2)582 1462 y FI(\))g FJ(<)g FH(1)i FK(\(siehe)f(Beispiel)f(2.2.3)j
(\(b\)\).)60 1557 y FL(Beispiel)j(2.2.3.)j FK(Die)14
b(Bezeic)o(hn)o(ungen)f(\()p FJ(m)903 1564 y FF(1)922
1557 y FK(,)i FJ(m)994 1564 y FF(2)1014 1557 y FK(,)f
FJ(a)1068 1564 y FG(i)1082 1557 y FK(,)h FJ(b)1132 1564
y FG(j)1150 1557 y FK(,)f FJ(:)8 b(:)g(:)g FK(\))15 b(seien)g(wie)f(in)
h(Satz)g(2.1.15)60 1617 y(und)i(Beispiel)d(1.3.5.)60
1731 y FL(\(a\))24 b FK(Betrac)o(h)o(te)15 b(das)i(Randsystem)e
FH(I)i FI(:=)d(\()p Fw(N)q FJ(;)8 b Fw(N)p FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))16 b FK(mit)e FJ(r)h FI(=)f FJ(s)g FI(=)g(\(1)p
FJ(;)8 b FI(1)p FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\))p FK(,)15 b(das)i(hei\377t)182
1791 y FJ(m)225 1798 y FF(1)244 1791 y FI(\()p Fw(N)q
FI(\))d(=)g FJ(m)427 1798 y FF(2)446 1791 y FI(\()p Fw(N)q
FI(\))g(=)g FH(1)p FK(.)h(De\034niere)699 1997 y FJ(P)21
b FI(:=)816 1852 y FE(0)816 1939 y(B)816 1969 y(B)816
1999 y(B)816 2031 y(@)875 1876 y FF(1)p 875 1884 18 2
v 875 1913 a(2)966 1876 y(1)p 966 1884 V 966 1913 a(2)875
1936 y(1)p 875 1944 V 875 1973 a(2)1056 1936 y(1)p 1056
1944 V 1056 1973 a(2)966 1996 y(1)p 966 2004 V 966 2033
a(2)1133 2068 y FK(.)1152 2080 y(.)1171 2093 y(.)1188
1852 y FE(1)1188 1939 y(C)1188 1969 y(C)1188 1999 y(C)1188
2031 y(A)1240 1997 y FJ(:)182 2202 y FK(Dann)g(ist)e
FJ(P)28 b FH(2)20 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))h FK(und)f
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))21 b FK(ist)e(ein)h(W)l(ald)g(nac)o(h)f
(Lemma)f(2.1.6.)i(De\034niere)182 2262 y(w)o(eiter)556
2545 y FJ(M)f FI(:=)688 2310 y FE(0)688 2398 y(B)688
2428 y(B)688 2457 y(B)688 2487 y(B)688 2517 y(B)688 2547
y(B)688 2577 y(B)688 2607 y(B)688 2637 y(B)688 2669 y(@)744
2353 y FI(0)66 b(0)744 2413 y(1)156 b(0)834 2474 y(0)g(0)927
2514 y FF(1)p 927 2522 V 927 2551 a(2)1105 2534 y FI(0)1014
2594 y(0)h(0)1108 2635 y FF(1)p 1108 2643 V 1108 2671
a(4)1276 2706 y FK(.)1295 2719 y(.)1314 2731 y(.)1330
2310 y FE(1)1330 2398 y(C)1330 2428 y(C)1330 2457 y(C)1330
2487 y(C)1330 2517 y(C)1330 2547 y(C)1330 2577 y(C)1330
2607 y(C)1330 2637 y(C)1330 2669 y(A)1382 2545 y FJ(:)p
eop
%%Page: 26 28
26 27 bop 120 50 a FK(26)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)242 203
y FK(Dann)h(ist)742 273 y FA(1)724 288 y FE(X)718 393
y FG(i;j)r FF(=1)809 336 y FH(j)p FJ(m)866 343 y FG(i;j)906
336 y FH(j)p FJ(p)944 343 y FG(i;j)998 336 y FI(=)1068
273 y FA(1)1050 288 y FE(X)1054 394 y FG(k)q FF(=1)1130
295 y FE(\000)1158 316 y FF(1)p 1158 324 18 2 v 1158
353 a(2)1181 295 y FE(\001)1204 306 y FG(k)1239 336 y
FJ(<)c FH(1)p FJ(;)242 493 y FK(also)25 b(ist)g FJ(M)19
b FH(2)14 b FJ(L)571 500 y FF(1)591 493 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))p FK(.)24 b(Ist)h FJ(M)19 b FH(2)14 b(F)5 b FK(,)24
b(so)h(gibt)g(es)f FJ(a)14 b FH(2)g FJ(L)1331 500 y FF(1)1351
493 y FI(\()p FJ(m)1413 500 y FF(1)1432 493 y FI(\))25
b FK(und)g FJ(b)13 b FH(2)h FJ(L)1696 500 y FF(1)1716
493 y FI(\()p FJ(m)1778 500 y FF(2)1797 493 y FI(\))p
FK(,)242 553 y(so)21 b(da\377)105 b FH(8)409 586 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)514 591 y Fz(1)530 586 y
FA(\002)p FG(I)572 591 y Fz(2)402 624 y Fq(mit)9 b FG(\026)p
FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FG(>)p FF(0)611 553 y FJ(m)654
560 y FG(i;j)707 553 y FI(=)14 b FJ(a)785 560 y FG(i)810
553 y FI(+)d FJ(b)880 560 y FG(j)898 553 y FK(.)20 b(Setzt)f(man)h
FJ(\013)14 b FI(:=)g FJ(b)1305 560 y FF(1)1338 553 y
FH(2)g Fw(R)m FK(,)20 b(so)h(folgt)f FJ(a)1661 560 y
FF(1)1695 553 y FI(=)13 b FH(\000)p FJ(\013)p FK(,)242
676 y FJ(b)263 683 y FF(2)296 676 y FI(=)h FJ(\013)p
FK(,)20 b FJ(a)439 683 y FF(2)473 676 y FI(=)13 b(1)f
FH(\000)f FJ(\013)20 b FK(und)h(so)g(w)o(eiter.)e(Das)i(hei\377t,)f
(durc)o(h)g(eine)f(Induktion)h(ergibt)242 736 y(sic)o(h)442
874 y FJ(b)14 b FI(=)528 789 y FE( )568 874 y FJ(\013;)8
b(\013;)g(\013)k FH(\000)e FI(1)p FJ(;)e(\013;)g(\013)k
FH(\000)f FI(1)g FH(\000)1048 854 y FF(1)p 1048 863 V
1048 891 a(2)1071 874 y FJ(;)d(:)g(:)g(:)f(;)h(\013;)g(\013)k
FH(\000)1351 812 y FG(n)1326 827 y FE(X)1331 932 y FG(j)r
FF(=0)1397 874 y FI(\()1421 854 y FF(1)p 1421 863 V 1421
891 a(2)1444 874 y FI(\))1463 854 y FG(j)1481 874 y FJ(;)c(:)g(:)g(:)
1569 789 y FE(!)1616 874 y FJ(;)354 1128 y(a)13 b FI(=)445
1043 y FE( )484 1128 y FH(\000)p FJ(\013;)8 b FH(\000)p
FJ(\013)j FI(+)g(1)p FJ(;)d FH(\000)p FJ(\013;)g FH(\000)p
FJ(\013)k FI(+)f(1)g(+)1064 1108 y FF(1)p 1064 1116 V
1064 1145 a(2)1087 1128 y FJ(;)d(:)g(:)g(:)f(;)h FH(\000)p
FJ(\013;)g FH(\000)p FJ(\013)j FI(+)1443 1065 y FG(n)1418
1080 y FE(X)1426 1185 y FG(i)p FF(=0)1490 1128 y FI(\()1514
1108 y FF(1)p 1514 1116 V 1514 1145 a(2)1537 1128 y FI(\))1556
1107 y FG(i)1570 1128 y FJ(;)d(:)g(:)g(:)1657 1043 y
FE(!)1705 1128 y FJ(:)242 1280 y FK(W)l(egen)16 b FJ(b)e
FH(2)g FJ(L)514 1287 y FF(1)534 1280 y FI(\()p FJ(m)596
1287 y FF(2)615 1280 y FI(\))i FK(ist)718 1242 y FE(P)771
1255 y FA(1)771 1294 y FG(j)r FF(=1)842 1280 y FH(j)p
FJ(b)877 1287 y FG(j)895 1280 y FH(j)p FJ(s)932 1287
y FG(j)964 1280 y FJ(<)e FH(1)p FK(.)h(Daraus)j(folgt)e
FJ(\013)f FI(=)e(0)k FK(und)g(damit)704 1371 y FA(1)686
1386 y FE(X)691 1491 y FG(j)r FF(=1)766 1433 y FH(j)p
FJ(b)801 1440 y FG(j)819 1433 y FH(j)p FJ(s)856 1440
y FG(j)888 1433 y FI(=)958 1371 y FA(1)939 1386 y FE(X)945
1491 y FG(j)r FF(=1)1020 1433 y FH(j)p FJ(b)1055 1440
y FG(j)1072 1433 y FH(j)d(\025)1171 1371 y FA(1)1153
1386 y FE(X)1158 1491 y FG(j)r FF(=1)1233 1433 y FI(1)g(=)g
FH(1)p FJ(;)242 1587 y FK(das)j(hei\377t,)e(die)h(Annahme)f
FJ(M)k FH(2)14 b(F)21 b FK(f\374hrt)16 b(zum)f(Widerspruc)o(h.)120
1699 y FL(\(b\))24 b FK(Betrac)o(h)o(te)17 b(das)j(Randsystem)e
FH(I)k FI(:=)c(\()p Fw(N)p FJ(;)8 b Fw(N)q FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))18 b FK(mit)g FJ(r)h FI(=)f FJ(s)h FI(=)1456 1643
y FE(\020)1501 1679 y FF(1)p 1491 1687 39 2 v 1491 1716
a FG(n)1512 1706 y Fz(2)1546 1699 y FI(+)1646 1679 y
FF(1)p 1599 1687 112 2 v 1599 1716 a(\()p FG(n)p FF(+1\))1693
1706 y Fz(2)1716 1643 y FE(\021)1745 1733 y FG(n)p FA(2)p
Fm(N)1816 1699 y FK(,)242 1777 y(das)e(hei\377t)f FJ(m)494
1784 y FF(1)513 1777 y FI(\()p Fw(N)q FI(\))e(=)g FJ(m)696
1784 y FF(2)715 1777 y FI(\()p Fw(N)q FI(\))g FJ(<)g
FH(1)p FK(.)h(De\034niere)759 1987 y FJ(P)21 b FI(:=)876
1842 y FE(0)876 1930 y(B)876 1960 y(B)876 1989 y(B)876
2021 y(@)932 1886 y FI(1)1026 1866 y FF(1)p 1026 1874
18 2 v 1026 1903 a(4)935 1926 y(1)p 935 1935 V 935 1963
a(4)1116 1926 y(1)p 1116 1935 V 1116 1963 a(9)1026 1987
y(1)p 1026 1995 V 1026 2023 a(9)1193 2058 y FK(.)1212
2071 y(.)1231 2083 y(.)1248 1842 y FE(1)1248 1930 y(C)1248
1960 y(C)1248 1989 y(C)1248 2021 y(A)1300 1987 y FJ(:)242
2197 y FK(Dann)g(ist)e FJ(P)28 b FH(2)20 b(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))h FK(und)f FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))21
b FK(ist)e(ein)h(W)l(ald)g(nac)o(h)f(Lemma)f(2.1.6.)i(De\034niere)242
2257 y(w)o(eiter)616 2545 y FJ(M)f FI(:=)748 2310 y FE(0)748
2398 y(B)748 2428 y(B)748 2457 y(B)748 2487 y(B)748 2517
y(B)748 2547 y(B)748 2577 y(B)748 2607 y(B)748 2637 y(B)748
2669 y(@)804 2353 y FI(0)66 b(0)804 2413 y(1)156 b(0)894
2474 y(0)g(0)984 2534 y(1)h(0)1074 2594 y(0)g(0)1165
2654 y(1)1336 2706 y FK(.)1355 2719 y(.)1374 2731 y(.)1390
2310 y FE(1)1390 2398 y(C)1390 2428 y(C)1390 2457 y(C)1390
2487 y(C)1390 2517 y(C)1390 2547 y(C)1390 2577 y(C)1390
2607 y(C)1390 2637 y(C)1390 2669 y(A)1442 2545 y FJ(:)p
eop
%%Page: 27 29
27 28 bop 60 50 a Fy(2.2.)16 b(ANWENDUNG)f(DER)h(MASSTH.)f
(CHARAKTERISIER)o(UNG)285 b FK(27)182 203 y(Dann)17 b(ist)700
277 y FA(1)682 292 y FE(X)676 397 y FG(i;j)r FF(=1)767
339 y FH(j)p FJ(m)824 346 y FG(i;j)864 339 y FH(j)p FJ(p)902
346 y FG(i;j)956 339 y FJ(<)1026 277 y FA(1)1008 292
y FE(X)1012 398 y FG(k)q FF(=1)1105 306 y FI(1)p 1093
328 49 2 v 1093 374 a FJ(n)1122 359 y FF(2)1161 339 y
FJ(<)d FH(1)p FJ(;)182 500 y FK(also)22 b(ist)f FJ(M)e
FH(2)14 b FJ(L)504 507 y FF(1)524 500 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))q FK(.)21 b(W\344re)g FJ(M)f FH(2)14 b(F)t FK(,)21
b(so)h(g\344b)q(e)h(es)e(wiederum)f FJ(a)13 b FH(2)h
FJ(L)1547 507 y FF(1)1567 500 y FI(\()p FJ(m)1629 507
y FF(1)1648 500 y FI(\))22 b FK(und)182 561 y FJ(b)14
b FH(2)g FJ(L)297 568 y FF(1)316 561 y FI(\()p FJ(m)378
568 y FF(2)398 561 y FI(\))p FK(,)k(so)h(da\377)103 b
FH(8)612 594 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)717
599 y Fz(1)734 594 y FA(\002)p FG(I)776 599 y Fz(2)606
632 y Fq(mit)8 b FG(\026)p FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FG(>)p
FF(0)814 561 y FJ(m)857 568 y FG(i;j)910 561 y FI(=)14
b FJ(a)988 568 y FG(i)1013 561 y FI(+)d FJ(b)1083 568
y FG(j)1101 561 y FK(.)18 b(Mit)g FJ(\013)c FI(:=)f FJ(b)1360
568 y FF(1)1394 561 y FH(2)h Fw(R)h FK(w\374rde)k(folgen)182
684 y FJ(a)208 691 y FF(1)241 684 y FI(=)14 b FH(\000)p
FJ(\013)p FK(,)f FJ(b)411 691 y FF(2)444 684 y FI(=)h
FJ(\013)p FK(,)f FJ(a)580 691 y FF(2)614 684 y FI(=)g(1)f
FH(\000)f FJ(\013)i FK(und)h(so)g(w)o(eiter.)e(Das)i(hei\377t,)f(durc)o
(h)g(eine)f(Induktion)182 744 y(erhielte)i(man)467 854
y FJ(b)g FI(=)g(\()p FJ(\013;)8 b(\013;)g(\013)j FH(\000)g
FI(1)p FJ(;)d(\013;)g(\013)k FH(\000)f FI(1)g FH(\000)g
FI(1)p FJ(;)d(:)g(:)g(:)g(;)g(\013;)g(\013)j FH(\000)g
FJ(n;)d(:)g(:)g(:)g FI(\))g FJ(;)377 1015 y(a)13 b FI(=)h(\()p
FH(\000)p FJ(\013;)8 b FH(\000)p FJ(\013)j FI(+)g(1)p
FJ(;)d FH(\000)p FJ(\013;)g FH(\000)p FJ(\013)j FI(+)h(1)f(+)g(1)p
FJ(;)d(:)g(:)g(:)g(;)g FH(\000)p FJ(\013;)g FH(\000)p
FJ(\013)j FI(+)g FJ(n;)d(:)g(:)g(:)f FI(\))h FJ(:)182
1126 y FK(Daraus)17 b(w\374rde)465 1200 y FA(1)447 1214
y FE(X)454 1319 y FG(i)p FF(=1)527 1262 y FH(j)p FJ(a)567
1269 y FG(i)581 1262 y FH(j)p FJ(r)617 1269 y FG(i)644
1262 y FH(\025)715 1200 y FA(1)697 1214 y FE(X)704 1319
y FG(i)p FF(=1)777 1262 y FH(j)p FJ(i)11 b FH(\000)f
FJ(\013)p FH(j)921 1192 y FE(\022)1001 1228 y FI(1)p
964 1250 99 2 v 964 1296 a(\(2)p FJ(i)p FI(\))1043 1282
y FF(2)1078 1262 y FI(+)1212 1228 y(1)p 1132 1250 184
2 v 1132 1296 a(\(2)p FJ(i)h FI(+)g(1\))1295 1282 y FF(2)1320
1192 y FE(\023)644 1423 y FI(=)701 1389 y(1)p 701 1411
25 2 v 701 1457 a(4)757 1360 y FA(1)739 1375 y FE(X)746
1480 y FG(i)p FF(=1)819 1423 y FH(j)p FJ(i)f FH(\000)h
FJ(\013)p FH(j)963 1352 y FE(\022)1011 1389 y FI(1)p
1005 1411 37 2 v 1005 1457 a FJ(i)1022 1442 y FF(2)1058
1423 y FI(+)1191 1389 y(4)p 1112 1411 184 2 v 1112 1457
a(\(2)p FJ(i)g FI(+)g(1\))1275 1442 y FF(2)1300 1352
y FE(\023)644 1583 y FH(\025)702 1550 y FI(1)p 702 1572
25 2 v 702 1618 a(4)801 1521 y FA(1)783 1536 y FE(X)739
1644 y FG(i)p FF(=)p FA(dj)p FG(\013)p FA(j)p FF(+1)p
FA(e)911 1550 y FJ(i)g FH(\000)f FJ(\013)p 911 1572 109
2 v 947 1618 a(i)964 1603 y FF(2)1039 1583 y FI(=)1095
1550 y(1)p 1095 1572 25 2 v 1095 1618 a(4)1194 1521 y
FA(1)1176 1536 y FE(X)1133 1644 y FG(i)p FF(=)p FA(dj)p
FG(\013)p FA(j)p FF(+1)p FA(e)1300 1513 y FE(\022)1341
1550 y FI(1)p 1341 1572 V 1345 1618 a FJ(i)1382 1583
y FH(\000)1439 1550 y FJ(\013)p 1436 1572 37 2 v 1436
1618 a(i)1453 1603 y FF(2)1478 1513 y FE(\023)1528 1583
y FI(=)k FH(1)182 1749 y FK(folgen,)i(im)e(Widerspruc)o(h)i(zu)g
FJ(a)d FH(2)h FJ(L)880 1756 y FF(1)900 1749 y FI(\()p
FJ(m)962 1756 y FF(1)981 1749 y FI(\))p FK(.)60 1852
y FL(Satz)19 b(2.2.4.)k FK(Sei)15 b FH(I)i FI(:=)d(\()p
FJ(I)568 1859 y FF(1)587 1852 y FJ(;)8 b(I)631 1859 y
FF(2)650 1852 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(ein)g(Randsystem,)f
FI(#)p FJ(I)1202 1859 y FF(1)1220 1852 y FJ(;)8 b FI(#)p
FJ(I)1305 1859 y FF(2)1338 1852 y FH(\024)14 b FJ(!)r
FK(;)h(die)g(Endlic)o(hk)o(eit)60 1912 y(einer)h(der)g(Mengen)g
FJ(I)469 1919 y FF(1)489 1912 y FJ(;)8 b(I)533 1919 y
FF(2)568 1912 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)16 b(der)g(Ma\377e)h
FJ(m)1185 1919 y FF(1)1204 1912 y FJ(;)8 b(m)1269 1919
y FF(2)1305 1912 y FK(wird)17 b(nic)o(h)o(t)e(l\344nger)i(v)o(or-)60
1972 y(ausgesetzt.)i(Sei)g(wieder)g FJ(P)26 b FH(2)20
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(,)f FJ(m)845 1979 y FF(1)864
1972 y FK(,)g FJ(m)940 1979 y FF(2)959 1972 y FK(,)g
FJ(\026)h FI(:=)f FJ(h)1140 1954 y FA(\000)p FF(1)1187
1972 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))20 b FK(wie)f(in)g(Satz)h(2.1.15)g(und)60
2032 y FH(F)f FI(:=)13 b FJ(L)213 2039 y FF(1)233 2032
y FI(\()p FJ(m)295 2039 y FF(1)314 2032 y FI(\))e(+)g
FJ(L)426 2039 y FF(1)446 2032 y FI(\()p FJ(m)508 2039
y FF(2)527 2032 y FI(\))p FK(.)16 b(Dann)h(gilt)p 527
2103 41 2 v 527 2143 a FH(F)i FI(=)13 b FJ(L)666 2150
y FF(1)686 2143 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))49 b FH(,)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(ist)f(ein)f(W)l(ald.)60
2263 y FB(Beweis.)26 b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)g(Angenommen)e
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))27 b FK(hat)g(einen)e(Kreis.)g(Dann)j
(gibt)e(es)g(eine)g(endli-)60 2323 y(c)o(he)f(Submatrix)415
2310 y FI(~)404 2323 y FJ(P)33 b FK(v)o(on)25 b FJ(P)33
b FK(und)26 b(ein)f(endlic)o(hes)f(Randsystem)1335 2310
y FI(~)1331 2323 y FH(I)17 b FI(=)d(\()1452 2310 y(~)1446
2323 y FJ(I)1468 2330 y FF(1)1487 2323 y FJ(;)1515 2310
y FI(~)1509 2323 y FJ(I)1531 2330 y FF(2)1550 2323 y
FJ(;)c FI(~)-26 b FJ(r)q(;)10 b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))14
b FH(\024)g(I)s FK(,)60 2383 y(so)42 b(da\377)g FJ(G)p
FI(\()330 2371 y(~)319 2383 y FJ(P)7 b FI(\))42 b FK(einen)e(Kreis)g
(hat)i(und)967 2371 y FI(~)956 2383 y FJ(P)22 b FH(2)14
b(D)q FI(\()1119 2371 y(~)1114 2383 y FH(I)t FI(\))p
FK(.)41 b(Setze)j FI(~)-28 b FJ(\026)14 b FI(:=)g FJ(h)1508
2365 y FA(\000)p FF(1)1555 2383 y FI(\()1585 2371 y(~)1574
2383 y FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)41 b(W)l(e-)60 2455 y(gen)30
b(Lemma)e(2.2.1)i(und)g(Satz)g(2.2.2)g(gibt)g(es)1047
2443 y FI(~)1029 2455 y FJ(M)19 b FH(2)14 b FJ(L)1175
2462 y FF(1)1195 2455 y FI(\()t(~)-28 b FJ(\026)p FI(\))11
b FH(n)1323 2443 y FI(~)1309 2455 y FH(F)19 b FI(=)14
b FJ(L)1449 2462 y FF(1)1469 2455 y FI(\()t(~)-28 b FJ(\026)p
FI(\))11 b FH(n)p 1583 2404 V 1597 2443 a FI(~)1583 2455
y FH(F)35 b FK(\(hier-)60 2516 y(b)q(ei)43 b(sind)312
2503 y FI(~)298 2516 y FH(F)19 b FI(:=)13 b FJ(L)451
2523 y FF(1)471 2516 y FI(\()c(~)-33 b FJ(m)533 2523
y FF(1)552 2516 y FI(\))11 b(+)g FJ(L)664 2523 y FF(1)684
2516 y FI(\()e(~)-33 b FJ(m)746 2523 y FF(2)766 2516
y FI(\))p FK(,)52 b FI(~)-33 b FJ(m)885 2523 y FF(1)904
2516 y FK(,)53 b FI(~)-33 b FJ(m)1005 2523 y FF(2)1068
2516 y FK(gem\344\377)43 b(Satz)h(2.1.15\).)g(De\034niert)60
2619 y(man)22 b(dann)i FJ(M)c FI(=)13 b(\()p FJ(m)484
2626 y FG(i;j)524 2619 y FI(\))543 2627 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)648 2632 y Fz(1)665 2627 y FA(\002)p
FG(I)707 2632 y Fz(2)750 2619 y FK(mit)22 b FJ(m)890
2626 y FG(i;j)943 2619 y FI(:=)1008 2534 y FE(\()1058
2585 y FI(~)-33 b FJ(m)1092 2592 y FG(i;j)1196 2585 y
FK(f\374r)17 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)1440
2573 y FI(~)1434 2585 y FJ(I)1456 2592 y FF(1)1486 2585
y FH(\002)1542 2573 y FI(~)1536 2585 y FJ(I)1558 2592
y FF(2)1577 2585 y FJ(;)1049 2657 y FI(0)123 b FK(sonst)1596
2619 y(,)23 b(so)h(gilt)78 2719 y FI(~)60 2731 y FJ(M)19
b FI(=)14 b FJ(M)5 b Fx(\030)255 2736 y FF(~)251 2745
y FG(I)266 2750 y Fz(1)284 2745 y FA(\002)315 2737 y
FF(~)311 2745 y FG(I)326 2750 y Fz(2)346 2731 y FK(.)p
eop
%%Page: 28 30
28 29 bop 120 50 a FK(28)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FB(Behauptung)j(1.)24 b FJ(M)c FH(2)14 b FJ(L)598 210
y FF(1)618 203 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))d FH(n)p 732
163 41 2 v 11 w(F)5 b FK(.)120 317 y FB(Beweis.)26 b
FK(W\344re)17 b FI(\()p FJ(M)509 299 y FF(\()p FG(n)p
FF(\))560 317 y FI(\))h FK(eine)e(F)l(olge)h(in)g FJ(L)918
324 y FF(1)938 317 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FK(,)h(die)e(in)h
FJ(L)1207 324 y FF(1)1227 317 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))h
FK(gegen)g FJ(M)k FK(k)o(on)o(v)o(ergiert,)15 b(so)120
377 y(b)q(edeutete)g(dies,)h(da\377)626 483 y FI(lim)613
512 y FG(n)p FA(!1)769 435 y FE(X)714 543 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)819 548 y Fz(1)835 543 y FA(\002)p
FG(I)877 548 y Fz(2)904 483 y FH(j)p FJ(m)961 457 y FF(\()p
FG(n)p FF(\))961 495 y FG(i;j)1022 483 y FH(\000)11 b
FJ(m)1115 490 y FG(i;j)1155 483 y FH(j)p FJ(p)1193 490
y FG(i;j)1247 483 y FI(=)j(0)p FJ(:)120 634 y FK(Daher)j(h\344tte)f
(man)f(auc)o(h)626 733 y FI(lim)613 763 y FG(n)p FA(!1)769
686 y FE(X)714 800 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)808
791 y FF(~)804 800 y FG(I)819 805 y Fz(1)835 800 y FA(\002)866
791 y FF(~)862 800 y FG(I)877 805 y Fz(2)904 733 y FH(j)p
FJ(m)961 708 y FF(\()p FG(n)p FF(\))961 746 y FG(i;j)1022
733 y FH(\000)c FJ(m)1115 740 y FG(i;j)1155 733 y FH(j)p
FJ(p)1193 740 y FG(i;j)1247 733 y FI(=)j(0)p FJ(;)120
902 y FK(und)23 b(damit)f(w\374rde)542 889 y FI(~)524
902 y FJ(M)576 884 y FF(\()p FG(n)p FF(\))642 902 y FI(:=)13
b FJ(M)759 884 y FF(\()p FG(n)p FF(\))810 902 y Fx(\030)835
907 y FF(~)831 915 y FG(I)846 920 y Fz(1)864 915 y FA(\002)895
907 y FF(~)891 915 y FG(I)906 920 y Fz(2)949 902 y FK(in)22
b FJ(L)1045 909 y FF(1)1065 902 y FI(\()t(~)-28 b FJ(\026)p
FI(\))23 b FK(gegen)1315 889 y FI(~)1297 902 y FJ(M)28
b FK(k)o(on)o(v)o(ergieren,)21 b(w)o(as)i(im)120 980
y(Widerspruc)o(h)15 b(zu)490 967 y FI(~)472 980 y FJ(M)20
b FH(2)14 b FJ(L)619 987 y FF(1)639 980 y FI(\()t(~)-28
b FJ(\026)p FI(\))11 b FH(n)p 753 928 V 767 967 a FI(~)753
980 y FH(F)21 b FK(st\374nde.)829 b Fx(N)120 1093 y FK(Damit)15
b(ist)h(\022)t FH(\))p FK(\020)21 b(b)q(ewiesen.)120
1173 y(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)d(Angenommen,)c FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))19 b FK(ist)e(ein)h(W)l(ald.)f(Die)g(Idee)g
(ist,)g FJ(M)j FH(2)14 b FJ(L)1415 1180 y FF(1)1434 1173
y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))19 b FK(durc)o(h)e(endlic)o(he)120
1233 y(Matrizen)23 b(zu)h(appro)o(ximieren.)d(Hier)h(ist)i(es)g(wieder)
f(g\374nstig,)h FJ(I)1380 1240 y FF(1)1399 1233 y FJ(;)8
b(I)1443 1240 y FF(2)1486 1233 y FK(abzuz\344hlen,)23
b(das)120 1293 y(hei\377t)14 b(ohne)g(Besc)o(hr\344nkung)f(der)h
(Allgemei)o(nheit)c(anzunehmen,)i(da\377)j FJ(I)1459
1300 y FF(1)1492 1293 y FI(=)f FJ(I)1566 1300 y FF(2)1599
1293 y FI(=)g Fw(N)q FK(.)f(Dann)120 1353 y(de\034niere)i(f\374r)h
FJ(n)e FH(2)g Fw(N)j FK(Matrizen)f FJ(M)794 1335 y FF(\()p
FG(n)p FF(\))859 1353 y FI(=)e(\()p FJ(m)973 1328 y FF(\()p
FG(n)p FF(\))973 1366 y FG(i;j)1023 1353 y FI(\))1042
1361 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1147 1366
y Fz(1)1164 1361 y FA(\002)p FG(I)1206 1366 y Fz(2)1242
1353 y FK(durc)o(h)558 1503 y FJ(m)601 1478 y FF(\()p
FG(n)p FF(\))601 1516 y FG(i;j)666 1503 y FI(:=)731 1418
y FE(\()771 1469 y FJ(m)814 1476 y FG(i;j)951 1469 y
FK(f\374r)j FJ(i)c FH(\024)h FJ(n)i FK(und)h FJ(j)f FH(\024)e
FJ(n;)771 1541 y FI(0)156 b FK(sonst.)120 1652 y(W)l(egen)34
b(Satz)h(2.2.2)g(ist)f FJ(M)695 1634 y FF(\()p FG(n)p
FF(\))792 1652 y FH(2)45 b(F)39 b FK(f\374r)c(alle)f
FJ(n)45 b FH(2)g Fw(N)q FK(.)34 b(W)l(eiterhin)g(folgt)g(aus)185
1674 y FE(P)120 1757 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(I)225 1762 y Fz(1)242 1757 y FA(\002)p FG(I)284 1762
y Fz(2)302 1712 y FH(j)p FJ(m)359 1719 y FG(i;j)398 1712
y FH(j)p FJ(p)436 1719 y FG(i;j)490 1712 y FJ(<)14 b
FH(1)p FK(,)i(da\377)528 1866 y FI(lim)516 1896 y FG(n)p
FA(!1)608 1866 y FH(k)p FJ(M)685 1846 y FF(\()p FG(n)p
FF(\))747 1866 y FH(\000)11 b FJ(M)5 b FH(k)874 1873
y FF(1)908 1866 y FI(=)26 b(lim)960 1896 y FG(n)p FA(!1)1068
1819 y FE(X)1060 1924 y FG(i;j)r(>n)1155 1866 y FH(j)p
FJ(m)1212 1873 y FG(i;j)1252 1866 y FH(j)p FJ(p)1290
1873 y FG(i;j)1344 1866 y FI(=)14 b(0)p FJ(:)120 2023
y FK(Damit)h(ist)p 339 1983 V 16 w FH(F)k FI(=)13 b FJ(L)478
2030 y FF(1)498 2023 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))k FK(gezeigt.)1048
b Fx(\004)120 2115 y FL(Korollar)20 b(2.2.5.)j FK(Sei)k
FH(I)37 b FI(:=)32 b(\()p FJ(I)777 2122 y FF(1)796 2115
y FJ(;)8 b(I)840 2122 y FF(2)860 2115 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))26 b FK(ein)h(Randsystem,)f FI(min)o FH(f)p FI(#)p
FJ(I)1554 2122 y FF(1)1572 2115 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1657
2122 y FF(2)1676 2115 y FH(g)14 b FJ(<)g FH(1)o FK(,)120
2175 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q
FK(,)62 b FJ(\026)14 b FI(:=)f FJ(h)540 2157 y FA(\000)p
FF(1)588 2175 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)62 b FJ(m)783
2182 y FF(1)803 2175 y FK(,)g FJ(m)922 2182 y FF(2)1004
2175 y FK(seien)g(wie)g(in)h(Satz)f(2.1.15)i(und)120
2236 y FH(F)19 b FI(:=)13 b FJ(L)273 2243 y FF(1)293
2236 y FI(\()p FJ(m)355 2243 y FF(1)374 2236 y FI(\))e(+)g
FJ(L)486 2243 y FF(1)506 2236 y FI(\()p FJ(m)568 2243
y FF(2)587 2236 y FI(\))p FK(.)16 b(Dann)h(gilt)587 2335
y FH(F)i FI(=)13 b FJ(L)726 2342 y FF(1)746 2335 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))49 b FH(,)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17
b FK(ist)f(ein)f(W)l(ald.)120 2467 y FB(Beweis.)26 b
FH(F)18 b FI(=)c FJ(L)445 2474 y FF(1)465 2467 y FI(\()p
FJ(\026)p FI(\))581 2435 y FF(\(2)p FG(:)p FF(2)p FG(:)p
FF(2\))606 2467 y FH(,)74 b(F)19 b FK(ist)c(dic)o(h)o(t)e(in)h
FJ(L)1060 2474 y FF(1)1080 2467 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))1196
2435 y FF(\(2)p FG(:)p FF(2)p FG(:)p FF(4\))1221 2467
y FH(,)74 b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FK(ist)g(ein)f(W)l(ald.)
48 b Fx(\004)120 2559 y FL(Satz)19 b(2.2.6.)k FK(Sei)17
b FH(I)k FI(:=)16 b(\()p FJ(I)636 2566 y FF(1)655 2559
y FJ(;)8 b(I)699 2566 y FF(2)718 2559 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))17 b FK(ein)h(Randsystem)f(mit)1292 2522 y FE(P)1344
2574 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1395 2579 y Fz(1)1423 2559
y FJ(r)1445 2566 y FG(i)1473 2559 y FI(=)1525 2522 y
FE(P)1577 2574 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1632 2579 y Fz(2)1660
2559 y FJ(s)1683 2566 y FG(j)1715 2559 y FJ(<)d FH(1)o
FK(,)120 2620 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(.)h(Dann)i(gilt)545 2719 y FJ(P)k FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))49 b FH(,)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))49 b FK(ist)16 b(ein)g(W)l(ald.)p
eop
%%Page: 29 31
29 30 bop 60 50 a Fy(2.2.)16 b(ANWENDUNG)f(DER)h(MASSTH.)f
(CHARAKTERISIER)o(UNG)285 b FK(29)60 203 y FB(Beweis.)26
b FK(W)l(egen)21 b(Satz)h(1.4.1)h(und)f(Korollar)g(2.1.16)g(gilt)f
FJ(P)31 b FH(2)24 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))e FK(genau)h(dann,)60 264 y(w)o(enn)d FH(F)25
b FK(in)19 b FJ(L)344 271 y FF(1)364 264 y FI(\()p FJ(\026)p
FI(\))i FK(dic)o(h)o(t)d(liegt,)h(und)i(das)f(ist)g(nac)o(h)g(Satz)h
(2.2.4)f(genau)h(dann)f(der)g(F)l(all,)60 324 y(w)o(enn)c
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(ein)e(W)l(ald)i(ist.)1142
b Fx(\004)60 455 y FK(Das)24 b(folgende)e(Beispiel)f(2.2.7)i(zeigt,)f
(da\377)i(es)f(im)e(F)l(all)h FJ(m)1194 462 y FF(1)1213
455 y FI(\()p FJ(I)1254 462 y FF(1)1273 455 y FI(\))j(=)h
FJ(m)1424 462 y FF(2)1443 455 y FI(\()p FJ(I)1484 462
y FF(2)1503 455 y FI(\))f(=)g FH(1)e FK(pas-)60 515 y(sieren)i(k)m
(ann,)i(da\377)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))27 b FK(ein)f(W)l(ald)g
(ist,)g(ob)o(w)o(ohl)g FJ(P)44 b(=)-30 b FH(2)31 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)26 b(Im)e(Zusammen-)60
576 y(spiel)18 b(mit)f(Satz)i(2.2.4)h(zeigt)e(das)h(dann)h(auc)o(h,)f
(da\377)g(sic)o(h)g(Satz)g(1.4.1)g(nic)o(h)o(t)f(auf)h(den)g(F)l(all)60
636 y FJ(m)103 643 y FF(1)122 636 y FI(\()p FJ(I)163
643 y FF(1)183 636 y FI(\))13 b(=)h FJ(m)310 643 y FF(2)330
636 y FI(\()p FJ(I)371 643 y FF(2)390 636 y FI(\))g(=)f
FH(1)j FK(v)o(erallgemeinern)d(l\344st.)60 743 y FL(Beispiel)20
b(2.2.7.)j FK(Betrac)o(h)o(te)14 b(die)i(Dopp)q(eldiagonalmatrix)638
957 y FJ(P)21 b FI(:=)755 812 y FE(0)755 900 y(B)755
930 y(B)755 960 y(B)755 991 y(@)811 856 y FI(1)66 b(1)811
916 y(1)156 b(1)901 976 y(1)1072 1028 y FK(.)1091 1041
y(.)1110 1053 y(.)1127 812 y FE(1)1127 900 y(C)1127 930
y(C)1127 960 y(C)1127 991 y(A)1179 957 y FJ(:)-1133 b
FK(\(2.21\))60 1174 y(W)l(egen)13 b(Lemma)e(2.1.6)j(ist)f
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FK(ein)f(W)l(ald.)g(F\374r)g(das)h
(Randsystem)e FH(I)18 b FI(:=)13 b(\()p Fw(N)q FJ(;)8
b Fw(N)q FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))13 b FK(mit)60 1235
y FJ(r)i FI(=)f FJ(s)g FI(=)g(\(2)p FJ(;)8 b FI(2)p FJ(;)g(:)g(:)g(:)g
FI(\))16 b FK(ist)g FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))p FK(.)i(Jedo)q(c)o(h)g(ist)g FJ(P)27 b(=)-30 b
FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p
FK(,)i(denn)g(mit)507 1512 y FJ(E)h FI(:=)630 1492 y
FF(1)p 630 1500 18 2 v 630 1529 a(2)661 1307 y FE(0)661
1395 y(B)661 1424 y(B)661 1454 y(B)661 1484 y(B)661 1514
y(B)661 1544 y(B)661 1574 y(B)661 1606 y(@)724 1350 y
FI(1)61 b FH(\000)p FI(1)705 1411 y FH(\000)p FI(1)166
b(1)829 1471 y(1)g FH(\000)p FI(1)914 1531 y FH(\000)p
FI(1)159 b(1)1038 1591 y(1)1216 1643 y FK(.)1236 1656
y(.)1255 1668 y(.)1271 1307 y FE(1)1271 1395 y(C)1271
1424 y(C)1271 1454 y(C)1271 1484 y(C)1271 1514 y(C)1271
1544 y(C)1271 1574 y(C)1271 1606 y(A)60 1512 y FK(\(2.22\))60
1792 y(gilt)16 b FJ(P)21 b FI(=)255 1773 y FF(1)p 255
1781 V 255 1810 a(2)278 1792 y FI(\()p FJ(P)d FI(+)11
b FJ(E)s FI(\))g(+)518 1773 y FF(1)p 518 1781 V 518 1810
a(2)541 1792 y FI(\()p FJ(P)18 b FH(\000)11 b FJ(E)s
FI(\))16 b FK(und)h FJ(P)h FH(\006)11 b FJ(E)17 b FH(2)d(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)60 1923 y(Eine)19 b(w)o(eitere)f(An)o(w)o
(endung)g(v)o(on)i(Satz)f(1.4.1)h(liefert)d(der)i(folgende)g(Satz)h
(2.2.8.)f(Die)g(fol-)60 1983 y(genden)k(Ergebnisse)f(dieses)g(Absc)o
(hnitts)g(stammen)e(wiederum)h(v)o(on)h FD(lindenstra)o(uss)60
2043 y FK(\(siehe)15 b([8]\).)60 2150 y FL(Satz)k(2.2.8.)k
FK(Sei)17 b FH(I)i FI(:=)c(\()p FJ(I)573 2157 y FF(1)592
2150 y FJ(;)8 b(I)636 2157 y FF(2)656 2150 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))16 b FK(ein)h(endlic)o(hes)f(Randsystem,)f FJ(P)23
b FH(2)16 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(,)h FJ(m)1644
2157 y FF(1)1663 2150 y FK(,)g FJ(m)1737 2157 y FF(2)1756
2150 y FK(,)60 2210 y FJ(\026)d FI(:=)g FJ(h)197 2192
y FA(\000)p FF(1)244 2210 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))16
b FK(wie)g(in)g(Satz)g(2.1.15,)h FH(F)h FI(:=)13 b FJ(L)895
2217 y FF(1)915 2210 y FI(\()p FJ(m)977 2217 y FF(1)997
2210 y FI(\))e(+)g FJ(L)1109 2217 y FF(1)1129 2210 y
FI(\()p FJ(m)1191 2217 y FF(2)1210 2210 y FI(\))p FK(.)16
b(Dann)h(gilt)247 2323 y FJ(P)k FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FH(,)33 b(8)603 2354
y FG(k)q FA(2)p Fm(N)722 2323 y FH(8)684 2354 y FG(A)710
2359 y Fz(1)728 2354 y FA(\022)p FG(I)770 2359 y Fz(1)840
2323 y FH(8)801 2354 y FG(A)827 2359 y Fz(2)845 2354
y FA(\022)p FG(I)887 2359 y Fz(2)919 2323 y FI(\(#)p
FJ(A)1016 2330 y FF(1)1049 2323 y FI(=)14 b(#)p FJ(A)1179
2330 y FF(2)1211 2323 y FI(=)g FJ(k)65 b FH(\))938 2423
y FI(#)p FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h
FJ(A)1201 2430 y FF(1)1231 2423 y FH(\002)d FJ(A)1318
2430 y FF(2)1351 2423 y FI(:)j FJ(p)1403 2430 y FG(i;j)1457
2423 y FJ(>)g FI(0)p FH(g)g FJ(<)g FI(2)p FJ(k)r FI(\))p
FJ(:)60 2373 y FK(\(2.23\))60 2551 y FB(Beweis.)26 b
FK(F\374r)147 b FJ(k)16 b FI(=)e(1)148 b FK(ist)f FI(#)p
FJ(A)1013 2558 y FF(1)1046 2551 y FI(=)14 b(#)p FJ(A)1176
2558 y FF(2)1209 2551 y FI(=)f(1)q FK(,)147 b(das)h(hei\377t)60
2611 y FI(#)p FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b
FH(2)h FJ(A)323 2618 y FF(1)353 2611 y FH(\002)d FJ(A)440
2618 y FF(2)473 2611 y FI(:)j FJ(p)525 2618 y FG(i;j)579
2611 y FJ(>)g FI(0)p FH(g)g(\024)f FI(1)i FJ(<)e FI(2)q
FK(.)101 b(F\374r)h FJ(k)16 b(>)d FI(min)o(\(#)p FJ(I)1412
2618 y FF(1)1431 2611 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1516 2618
y FF(2)1534 2611 y FI(\))p FK(,)101 b(k)m(ann)60 2671
y FI(#)p FJ(A)138 2678 y FF(1)171 2671 y FI(=)14 b(#)p
FJ(A)301 2678 y FF(2)333 2671 y FI(=)g FJ(k)37 b FK(nic)o(h)o(t)d
(erf\374llt)g(w)o(erden.)g(Demnac)o(h)f(ist)i(eigen)o(tlic)o(h)d(n)o
(ur)j(zu)g(zei-)60 2731 y(gen:)p eop
%%Page: 30 32
30 31 bop 120 50 a FK(30)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))g FH(,)505 337 y(8)363 370 y FF(1)p FG(<k)q
FA(\024)p FF(min)o(\(#)p FG(I)571 375 y Fz(1)589 370
y FG(;)p FF(#)p FG(I)643 375 y Fz(2)661 370 y FF(\))726
337 y FH(8)688 368 y FG(A)714 373 y Fz(1)732 368 y FA(\022)p
FG(I)774 373 y Fz(1)844 337 y FH(8)806 368 y FG(A)832
373 y Fz(2)850 368 y FA(\022)p FG(I)892 373 y Fz(2)923
337 y FI(\(#)p FJ(A)1020 344 y FF(1)1053 337 y FI(=)g(#)p
FJ(A)1183 344 y FF(2)1216 337 y FI(=)g FJ(k)64 b FH(\))942
442 y FI(#)p FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b
FH(2)h FJ(A)1205 449 y FF(1)1236 442 y FH(\002)c FJ(A)1322
449 y FF(2)1356 442 y FI(:)j FJ(p)1407 449 y FG(i;j)1461
442 y FJ(>)h FI(0)p FH(g)g FJ(<)g FI(2)p FJ(k)r FI(\))p
FJ(:)120 390 y FK(\(2.24\))120 529 y(F\374r)19 b FI(min)o(\(#)p
FJ(I)381 536 y FF(1)400 529 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)485
536 y FF(2)503 529 y FI(\))20 b(=)f(1)p FK(,)h(b)q(esteh)o(t)f
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))h FK(n)o(ur)g(aus)g(einem)d(Elemen)o(t,)g
(w)o(elc)o(hes)h(auc)o(h)h(in)120 589 y(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(liegt,)f(so)h(da\377)h(die)f(Aussage)g
(des)g(Satzes)h(trivialerw)o(eise)c(ric)o(h)o(tig)i(ist.)g(Ab)h(jetzt)
120 649 y(sei)d(daher)g FI(min)n(\(#)p FJ(I)489 656 y
FF(1)508 649 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)593 656 y FF(2)612
649 y FI(\))14 b FH(\025)f FI(2)p FK(.)120 727 y(\022)t
FH(\))p FK(\020)t(:)31 b(Angenommen,)d(es)j(gibt)g FJ(A)815
734 y FF(1)873 727 y FH(\022)39 b FJ(I)973 734 y FF(1)992
727 y FJ(;)8 b(A)1051 734 y FF(2)1109 727 y FH(\022)39
b FJ(I)1209 734 y FF(2)1259 727 y FK(mit)30 b FI(#)p
FJ(A)1442 734 y FF(1)1500 727 y FI(=)39 b(#)p FJ(A)1655
734 y FF(2)1712 727 y FI(=)g FJ(k)r FK(,)120 787 y FI(1)14
b FJ(<)g(k)i FH(\024)d FI(min)o(\(#)p FJ(I)467 794 y
FF(1)486 787 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)571 794 y FF(2)589
787 y FI(\))p FK(,)15 b(so)h(da\377)h FJ(p)812 794 y
FG(i;j)866 787 y FJ(>)d FI(0)i FK(f\374r)f(mindestens)f
FI(2)p FJ(k)k FK(v)o(ersc)o(hiedene)13 b(Elemen)o(te)120
847 y(v)o(on)i FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14 b FH(2)g
FJ(A)409 854 y FF(1)438 847 y FH(\002)9 b FJ(A)523 854
y FF(2)543 847 y FK(.)15 b(Dann)h(w)o(\344hle)f(eine)g(Menge)g
FJ(I)1116 854 y FA(6)p FF(=0)1176 847 y FH(\022)f FJ(A)1266
854 y FF(1)1296 847 y FH(\002)d FJ(A)1383 854 y FF(2)1418
847 y FK(mit)j FI(#)p FJ(I)1570 854 y FA(6)p FF(=0)1630
847 y FI(=)g(2)p FJ(k)k FK(und)179 907 y FH(8)120 940
y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)225 946 y Fv(6)p
Fz(=0)279 907 y FJ(p)303 914 y FG(i;j)357 907 y FJ(>)c
FI(0)p FK(.)i(Man)g(b)q(etrac)o(h)o(te)g(das)h(lineare)e(Gleic)o(h)o
(ungssystem)838 1029 y FJ(a)864 1036 y FG(i)889 1029
y FI(+)c FJ(b)959 1036 y FG(j)991 1029 y FI(=)j FJ(n)1072
1036 y FG(i;j)120 1029 y FK(\(2.25\))120 1116 y(in)k(den)g
FI(2)p FJ(k)i FK(Un)o(b)q(ek)m(ann)o(ten)e FJ(a)667 1123
y FG(i)681 1116 y FK(,)f FJ(b)733 1123 y FG(j)769 1116
y FK(mit)g FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)1043
1123 y FA(6)p FF(=0)1108 1116 y FK(und)k(b)q(eliebigen)f(festen)h
FJ(n)1609 1123 y FG(i;j)1663 1116 y FH(2)c Fw(R)m FK(.)k(Es)120
1177 y(b)q(esteh)o(t)d(also)h(aus)g FI(2)p FJ(k)h FK(Gleic)o(h)o
(ungen,)d(die)g(zu)h(den)h(gegeb)q(enen)f FI(2)p FJ(k)j
FK(Elemen)o(ten)12 b FI(\()p FJ(i;)c(j)s FI(\))13 b FH(2)h
FJ(I)1783 1184 y FA(6)p FF(=0)120 1237 y FK(mit)c FJ(p)229
1244 y FG(i;j)283 1237 y FJ(>)k FI(0)e FK(geh\366ren.)g(Das)h(zu)e
(\(2.25\))i(geh\366rende)f(homogene)f(lineare)g(Gleic)o(h)o(ungssystem)
120 1297 y(hat)k(die)e(nic)o(h)o(ttriviale)f(L\366sung)j
FJ(a)f FI(=)g(\(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h FI(1\))p
FK(,)14 b FJ(b)g FI(=)g(\()p FH(\000)p FI(1)p FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)f(;)h FH(\000)p FI(1\))p FK(,)14 b(das)h(hei\377t,)e
(\(2.25\))i(ist)120 1357 y(nic)o(h)o(t)i(global)i(l\366sbar.)f(Es)h
(gibt)f(also)h(ein)f FJ(N)k FH(2)c FJ(L)1048 1364 y FF(1)1068
1357 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))h FK(\(v)o(ergleic)o(he)c(dazu)k
(\(1.10\)\),)f(so)h(da\377)120 1417 y(f\374r)d(die)g(gegeb)q(enen)g
FI(2)p FJ(k)j FK(Elemen)o(te)13 b(mit)i FJ(p)905 1424
y FG(i;j)959 1417 y FJ(>)f FI(0)838 1504 y FJ(a)864 1511
y FG(i)889 1504 y FI(+)d FJ(b)959 1511 y FG(j)991 1504
y FI(=)j FJ(n)1072 1511 y FG(i;j)120 1504 y FK(\(2.26\))120
1592 y(nic)o(h)o(t)19 b(l\366sbar)h(ist.)f(Also)h(ist)g
FJ(N)25 b(=)-30 b FH(2)14 b(F)5 b FK(,)19 b(das)i(hei\377t)e
FJ(L)1092 1599 y FF(1)1112 1592 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))14
b FH(6)p FI(=)g FH(F)5 b FK(.)20 b(W)l(egen)f(Lemma)f(2.2.1)i(ist)120
1652 y(also)j FH(F)k FK(nic)o(h)o(t)21 b(dic)o(h)o(t)g(in)h
FJ(L)639 1659 y FF(1)658 1652 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p
FK(,)g(das)h(hei\377t,)f(nac)o(h)g(Korollar)g(2.2.5)h(und)f(Satz)h
(2.2.6)f(ist)120 1712 y FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)120 1790
y(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)20 b(V)l(ollst\344ndige)g(Induktion)f
(\374b)q(er)i FJ(p)14 b FI(+)g FJ(q)21 b FK(mit)e FJ(p)14
b FI(:=)f(#)p FJ(I)1263 1797 y FF(1)1282 1790 y FK(,)20
b FJ(q)15 b FI(:=)e(#)p FJ(I)1481 1797 y FF(2)1500 1790
y FK(.)20 b(F\374r)g FJ(p)12 b FI(+)f FJ(q)k FI(=)f(2)120
1850 y FK(ist)23 b(nic)o(h)o(ts)f(zu)h(zeigen.)f(Es)i(sei)f(ohne)g
(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g(Allgemei)o(nheit)d FJ(p)14
b FH(\025)g FJ(q)q FK(.)23 b(Nun)120 1910 y(gibt)i(es)f(eine)g(Zeile)f
(mit)g(h\366)q(c)o(hstens)i(einem)d(p)q(ositiv)o(en)i(Elemen)o(t,)e
(da\377)j(hei\377t,)f(es)h(gibt)120 1970 y FI(\()p FJ(i)156
1977 y FF(0)175 1970 y FJ(;)8 b(j)217 1977 y FF(0)237
1970 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)339 1977 y FF(1)369 1970
y FH(\002)d FJ(I)441 1977 y FF(2)460 1970 y FK(,)19 b(so)g(da\377)h
FJ(p)674 1977 y FG(i)686 1982 y Fz(0)704 1977 y FG(;j)746
1970 y FI(=)14 b(0)19 b FK(f\374r)g(alle)f FJ(j)f FH(6)p
FI(=)d FJ(j)1122 1977 y FF(0)1161 1970 y FK(\(ansonsten)20
b(w)o(\344re)f(die)f(V)l(orausset-)120 2030 y(zung)e(f\374r)h
FJ(k)f FI(=)d(min)o(\(#)p FJ(I)570 2037 y FF(1)588 2030
y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)673 2037 y FF(2)692 2030 y FI(\))16
b FK(nic)o(h)o(t)f(erf\374llt\).)g(Setze)375 2148 y FI(~)369
2161 y FJ(I)391 2168 y FF(1)424 2161 y FI(:=)e FJ(I)511
2168 y FF(1)541 2161 y FH(n)e(f)p FJ(i)619 2168 y FF(0)639
2161 y FH(g)p FJ(;)23 b FI(~)-26 b FJ(r)15 b FI(:=)f
FJ(r)q Fx(\030)850 2166 y FF(~)846 2175 y FG(I)861 2180
y Fz(1)880 2161 y FJ(;)24 b FI(~)-26 b FJ(s)939 2168
y FG(j)971 2161 y FI(:=)1036 2076 y FE(\()1077 2127 y
FJ(s)1100 2134 y FG(j)1129 2127 y FH(\000)11 b FJ(p)1203
2134 y FG(i)1215 2139 y Fz(0)1232 2134 y FG(;j)1256 2139
y Fz(0)1325 2127 y FK(f\374r)48 b FJ(j)17 b FI(=)d FJ(j)1543
2134 y FF(0)1563 2127 y FJ(;)1077 2199 y(s)1100 2206
y FG(j)1325 2199 y FK(sonst.)120 2300 y(Setze)261 2287
y FI(~)250 2300 y FJ(P)27 b FI(:=)18 b FJ(P)7 b Fx(\030)441
2305 y FF(~)437 2314 y FG(I)452 2319 y Fz(1)470 2314
y FA(\002)p FG(I)512 2319 y Fz(2)551 2300 y FK(und)658
2287 y FI(~)652 2300 y FJ(I)17 b FI(:=)c(\()781 2287
y(~)775 2300 y FJ(I)797 2307 y FF(1)817 2300 y FJ(;)8
b(I)861 2307 y FF(2)880 2300 y FJ(;)i FI(~)-26 b FJ(r)q(;)10
b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))p FK(.)18 b(Dann)j(ist)1239
2287 y FI(~)1228 2300 y FJ(P)26 b FH(2)19 b(D)q FI(\()1400
2287 y(~)1395 2300 y FH(I)5 b FI(\))19 b FK(\(w)o(egen)g(der)g(W)l(ahl)
120 2368 y(v)o(on)f FI(\()p FJ(i)250 2375 y FF(0)270
2368 y FJ(;)8 b(j)312 2375 y FF(0)331 2368 y FI(\))19
b FK(und)f(der)h(De\034nition)f(v)o(on)i FI(~)-26 b FJ(s)p
FK(\),)18 b(und)1062 2355 y FI(~)1051 2368 y FJ(P)26
b FK(erf\374llt)17 b(die)h(Bedingung)g(der)g(V)l(oraus-)120
2428 y(setzung)c(\(da)h FJ(P)22 b FK(sie)13 b(erf\374llt\).)g(Nac)o(h)h
(Induktionsannahme)f(ist)h(daher)1444 2416 y FI(~)1433
2428 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()1647
2416 y(~)1642 2428 y FH(I)t FI(\)\))p FK(.)g(Nun)120
2488 y(sei)h FJ(M)k FH(2)14 b FJ(L)336 2495 y FF(1)356
2488 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))i FK(gegeb)q(en.)g(Sei)734
2476 y FI(~)715 2488 y FJ(M)k FI(:=)13 b FJ(M)5 b Fx(\030)924
2493 y FF(~)920 2502 y FG(I)935 2507 y Fz(1)953 2502
y FA(\002)p FG(I)995 2507 y Fz(2)1015 2488 y FK(.)15
b(Da)1132 2476 y FI(~)1121 2488 y FJ(P)21 b FH(2)14 b
FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()1336 2476 y(~)1331 2488 y
FH(I)t FI(\)\))i FK(ist,)e(folgt)i(aus)h(Korol-)120 2557
y(lar)k(2.2.5)f(und)h(Satz)g(2.2.6,)g(da\377)782 2544
y FI(~)764 2557 y FJ(M)e FH(2)891 2544 y FI(~)877 2557
y FH(F)5 b FK(.)20 b(Also)h(gibt)f(es)h FI(~)-24 b FJ(a)13
b FH(2)h FJ(L)1352 2564 y FF(1)1372 2557 y FI(\()9 b(~)-33
b FJ(m)1434 2564 y FF(1)1454 2557 y FI(\))20 b FK(und)1593
2544 y FI(~)1595 2557 y FJ(b)14 b FH(2)g FJ(L)1710 2564
y FF(1)1730 2557 y FI(\()9 b(~)-33 b FJ(m)1792 2564 y
FF(2)1811 2557 y FI(\))120 2617 y FK(\(hierb)q(ei)15
b(seien)433 2604 y FI(~)420 2617 y FH(F)t FK(,)25 b FI(~)-33
b FJ(m)533 2624 y FF(1)553 2617 y FK(,)24 b FI(~)-33
b FJ(m)625 2624 y FF(2)661 2617 y FK(nac)o(h)16 b(Satz)g(2.1.15)h
(analog)h(zu)e FH(F)5 b FK(,)15 b FJ(m)1358 2624 y FF(1)1378
2617 y FK(,)h FJ(m)1451 2624 y FF(2)1486 2617 y FK(de\034niert\))f(mit)
804 2704 y FH(8)710 2743 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(supp)p FF(\()892 2735 y(~)886 2743 y FG(P)t FF(\))949
2704 y FI(~)-33 b FJ(m)983 2711 y FG(i;j)1036 2704 y
FI(=)15 b(~)-25 b FJ(a)1114 2711 y FG(i)1139 2704 y FI(+)1186
2691 y(~)1188 2704 y FJ(b)1209 2711 y FG(j)1227 2704
y FJ(:)p eop
%%Page: 31 33
31 32 bop 60 50 a Fy(2.3.)32 b(WURZELB\304)o(UME)15 b(UND)g
FJ(\017)p Fy(-DOPPELB\304)o(UME)584 b FK(31)60 203 y(Nun)16
b(de\034niere)f FJ(a;)8 b(b)15 b FK(durc)o(h)483 332
y FJ(a)509 339 y FG(i)537 332 y FI(:=)602 247 y FE(\()642
298 y FJ(m)685 305 y FG(i)697 310 y Fz(0)714 305 y FG(;j)738
310 y Fz(0)769 298 y FH(\000)817 285 y FI(~)819 298 y
FJ(b)839 305 y FG(j)853 310 y Fz(0)922 298 y FK(f\374r)e
FJ(i)h FI(=)g FJ(i)1096 305 y FF(0)1115 298 y FJ(;)643
370 y FI(~)-25 b FJ(a)668 377 y FG(i)922 370 y FK(sonst)1142
332 y FJ(;)57 b(b)13 b FI(:=)1311 319 y(~)1312 332 y
FJ(b:)60 464 y FK(Dann)k(gilt)f FJ(a)d FH(2)h FJ(L)398
471 y FF(1)418 464 y FI(\()p FJ(m)480 471 y FF(1)499
464 y FI(\))p FJ(;)22 b(b)14 b FH(2)g FJ(L)669 471 y
FF(1)689 464 y FI(\()p FJ(m)751 471 y FF(2)770 464 y
FI(\))p FK(,)i(so)o(wie)744 552 y FH(8)650 585 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(supp)p FF(\()p FG(P)5 b FF(\))880
552 y FJ(m)923 559 y FG(i;j)976 552 y FI(=)14 b FJ(a)1054
559 y FG(i)1079 552 y FI(+)d FJ(b)1149 559 y FG(j)1167
552 y FJ(:)60 667 y FK(Daher)j(ist)g FJ(M)19 b FH(2)14
b(F)5 b FK(,)13 b(und)h(da)h FJ(M)k FK(b)q(eliebig)13
b(w)o(ar,)g(ist)h FH(F)k FI(=)c FJ(L)1164 674 y FF(1)1184
667 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))p FK(.)g(Korollar)g(2.2.5)g(und)g(Satz)60
728 y(2.2.6)i(liefern)f(n)o(un)h FJ(P)21 b FH(2)14 b
FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)1018
b Fx(\004)60 810 y FL(Korollar)20 b(2.2.9.)j FK(Sei)47
b FH(I)72 b FI(:=)67 b(\()p FJ(I)807 817 y FF(1)826 810
y FJ(;)8 b(I)870 817 y FF(2)889 810 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))47 b FK(ein)g(endlic)o(hes)g(Randsystem.)f(Ist)60
871 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))p FK(,)24 b(so)h(hat)f FJ(P)32 b FK(mindestens)23
b(eine)g(Linie)h(mit)e(h\366)q(c)o(hstens)j(einem)d(p)q(ositiv)o(en)60
931 y(Elemen)o(t.)60 1040 y FB(Beweis.)k FK(H\344tte)13
b(jede)h(Linie)f(v)o(on)i FJ(P)21 b FK(mindestens)12
b(zw)o(ei)h(p)q(ositiv)o(e)h(Elemen)o(te,)d(so)j(h\344tte)h(jede)60
1100 y(quadratisc)o(he)f(Submatrix)f(v)o(on)h FJ(P)21
b FK(der)15 b(Dimension)d FJ(k)k FI(=)e(min)n FH(f)p
FI(#)p FJ(I)1306 1107 y FF(1)1325 1100 y FJ(;)8 b FI(#)p
FJ(I)1410 1107 y FF(2)1429 1100 y FH(g)14 b FK(mindestens)f
FI(2)p FJ(k)60 1160 y FK(p)q(ositiv)o(e)i(Elemen)o(te,)e(das)k
(hei\377t,)f(w)o(egen)g(Satz)g(2.2.8)h(w)o(\344re)f FJ(P)26
b(=)-29 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))p FK(.)264 b Fx(\004)60 1243 y FL(Satz)19 b(2.2.10.)k
FK(Sei)55 b FH(I)85 b FI(:=)c(\()p FJ(I)771 1250 y FF(1)790
1243 y FJ(;)8 b(I)834 1250 y FF(2)853 1243 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))56 b FK(ein)f(endlic)o(hes)f(Randsystem)h(mit)60
1303 y FI(#)p FJ(I)123 1310 y FF(1)156 1303 y FI(=)13
b(#)p FJ(I)270 1310 y FF(2)303 1303 y FI(=)h FJ(n)g(<)g
FH(1)p FJ(;)i(r)f FI(=)f FJ(s)f FI(=)h(\(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g
FI(1\))p FK(.)16 b(Dann)h(ist)f(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))e(=)f FH(M)1438 1310 y FG(p)1458 1303
y FI(\()p FJ(I)1499 1310 y FF(1)1518 1303 y FJ(;)8 b(I)1562
1310 y FF(2)1581 1303 y FI(\))p FK(.)60 1412 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\023)p FK(\020)c(folgt)17 b(sofort,)h(da)g
FH(f)p FI(0)p FJ(;)8 b FI(1)p FH(g)18 b FK(die)f(Menge)g(der)g
(Extremalpunkte)e(v)o(om)h(In)o(terv)m(al)60 1472 y FI([0)p
FJ(;)8 b FI(1])16 b FK(ist.)60 1532 y(\022)t FH(\022)p
FK(\020)t(:)23 b(V)l(ollst\344ndige)f(Induktion)h(nac)o(h)g
FJ(n)p FK(.)f(F\374r)h FJ(n)i FI(=)h(1)d FK(ist)g(nic)o(h)o(ts)f(zu)g
(zeigen.)g(Sei)g(n)o(un)60 1592 y FJ(n)17 b(>)g FI(1)h
FK(und)h FJ(P)24 b FH(2)17 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)g(W)l(egen)h(Korollar)g(2.2.9)g(hat)h
FJ(P)25 b FK(eine)17 b(Linie,)g(die)h(n)o(ur)f(genau)60
1653 y(eine)f(Eins)h(en)o(th\344lt.)f(Also)g(gibt)h(es)g(je)g(eine)f
(Zeile)f(und)i(eine)f(Spalte,)g(die)g(genau)i(eine)e(Eins)60
1713 y(en)o(thalten.)11 b(Streic)o(h)o(t)h(man)f(in)i
FJ(P)20 b FK(diese)12 b(Zeile)f(und)i(Spalte,)f(so)h(b)q(ek)o(omm)o(t)d
(man)i(eine)g(Matrix)71 1760 y FI(~)60 1773 y FJ(P)21
b FH(2)14 b(D)q FI(\()222 1760 y(~)217 1773 y FH(I)5
b FI(\))p FK(,)18 b(w)o(ob)q(ei)446 1760 y FI(~)441 1773
y FH(I)g FI(:=)13 b(\()576 1760 y(~)570 1773 y FJ(I)592
1780 y FF(1)611 1773 y FJ(;)639 1760 y FI(~)633 1773
y FJ(I)655 1780 y FF(2)674 1773 y FJ(;)d FI(~)-26 b FJ(r)q(;)10
b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))19 b FK(und)908 1760 y FI(~)902
1773 y FJ(I)924 1780 y FF(1)943 1773 y FK(,)982 1760
y FI(~)976 1773 y FJ(I)998 1780 y FF(2)1017 1773 y FK(,)i
FI(~)-26 b FJ(r)q FK(,)20 b FI(~)-26 b FJ(s)19 b FK(jew)o(eils)f(eine)g
(um)f(Eins)i(kleinere)60 1833 y(Kardinalit\344t)c(b)q(ezieh)o(ungsw)o
(eise)e(L\344nge)j(hab)q(en)g(als)f FJ(I)1074 1840 y
FF(1)1093 1833 y FK(,)f FJ(I)1143 1840 y FF(2)1163 1833
y FK(,)g FJ(r)q FK(,)h FJ(s)p FK(.)1305 1821 y FI(~)1294
1833 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()1508
1821 y(~)1503 1833 y FH(I)5 b FI(\)\))p FK(:)14 b(G\344b)q(e)i(es)60
1893 y FI(0)e FJ(<)g(\013)g(<)g FI(1)p FK(,)310 1881
y FI(~)299 1893 y FJ(P)21 b FH(6)p FI(=)414 1881 y(~)403
1893 y FJ(P)434 1900 y FF(1)454 1893 y FJ(;)487 1881
y FI(~)476 1893 y FJ(P)507 1900 y FF(2)541 1893 y FH(2)14
b(D)q FI(\()651 1881 y(~)646 1893 y FH(I)5 b FI(\))14
b FK(mit)810 1881 y FI(~)799 1893 y FJ(P)21 b FI(=)14
b FJ(\013)945 1881 y FI(~)934 1893 y FJ(P)965 1900 y
FF(1)996 1893 y FI(+)d(\(1)h FH(\000)e FJ(\013)p FI(\))1211
1881 y(~)1199 1893 y FJ(P)1230 1900 y FF(2)1251 1893
y FK(,)k(so)h(k)o(\366nn)o(te)e(man)h(die)g(in)g FJ(P)60
1954 y FK(gestric)o(hene)c(Zeile)f(und)i(Spalte)g(in)715
1941 y FI(~)704 1954 y FJ(P)735 1961 y FF(1)756 1954
y FJ(;)788 1941 y FI(~)778 1954 y FJ(P)809 1961 y FF(2)840
1954 y FK(einf\374gen)f(und)h(erhielte)e FJ(P)21 b FH(6)p
FI(=)14 b FJ(P)1423 1961 y FF(1)1443 1954 y FJ(;)8 b(P)1496
1961 y FF(2)1530 1954 y FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))e FK(mit)60 2014 y FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(\013P)226
2021 y FF(1)257 2014 y FI(+)d(\(1)h FH(\000)f FJ(\013)p
FI(\))p FJ(P)492 2021 y FF(2)512 2014 y FK(.)17 b(Aus)655
2001 y FI(~)644 2014 y FJ(P)k FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()858 2001 y(~)853 2014 y FH(I)5 b FI(\)\))17
b FK(folgt)h(mit)e(der)h(Induktionsv)o(oraussetzung,)60
2074 y(da\377)163 2061 y FI(~)152 2074 y FJ(P)k FH(2)14
b(M)311 2081 y FG(p)331 2074 y FI(\()356 2061 y(~)350
2074 y FJ(I)372 2081 y FF(1)391 2074 y FJ(;)419 2061
y FI(~)413 2074 y FJ(I)435 2081 y FF(2)454 2074 y FI(\))i
FK(und)h(daher)f FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)881 2081 y FG(p)901
2074 y FI(\()p FJ(I)942 2081 y FF(1)961 2074 y FJ(;)8
b(I)1005 2081 y FF(2)1024 2074 y FI(\))p FK(.)674 b Fx(\004)60
2183 y FK(Satz)16 b(2.2.10)h(wurde)g(zuerst)e(v)o(on)h
FD(birkhoff)h FK(b)q(ewiesen)f(\(siehe)f([1]\).)60 2364
y FC(2.3)77 b(W)-6 b(urzelb\344ume)26 b(und)g Fl(\017)p
FC(-Dopp)r(elb\344ume)60 2491 y FK(Die)13 b(Mengen)g(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(und)h(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\)\))f FK(lassen)h(sic)o(h)e
(ohne)i(R\374c)o(kgri\033)f(auf)g(die)g(Ma\377theo-)60
2551 y(rie)k(und)h(Satz)f(1.4.1)h(durc)o(h)f(Eigensc)o(haften)g(v)o(on)
g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))19 b FK(c)o(harakterisieren.)c(Der)i
(folgende)60 2611 y(Satz)j(2.4.3)g(stamm)o(t)d(v)o(on)i
FD(grz\241\261lewicz)i FK(\(siehe)e([4]\))g(und)h(stellt)f(eine)f(V)l
(erallgemeine-)60 2671 y(rung)c(v)o(on)g(Satz)g(2.2.6)g(dar.)g(Dazu)h
(m)o(\374ssen)d(ab)q(er)i(zun\344c)o(hst)g(einige)f(tec)o(hnisc)o(he)f
(Hilfsmitte)o(l)60 2731 y(b)q(ereitgestellt)i(w)o(erden,)i(w)o(as)g(in)
g(diesem)e(Kapitel)i(gesc)o(hehen)f(soll.)p eop
%%Page: 32 34
32 33 bop 120 50 a FK(32)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FL(De\034nition)j(2.3.1.)24 b FK(Ein)e FB(W)l(urzelb)n(aum)h
FK(ist)g(ein)f(T)l(rip)q(el)g FJ(T)e FI(=)14 b(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(q)r FI(\))o FK(,)22 b(so)h(da\377)h FI(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))120 264 y FK(ein)25 b(Baum)f(ist)i(und)f
FJ(q)32 b FH(2)e FJ(V)37 b FK(\(im)23 b(F)l(all,)i(da\377)h
FI(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))26 b FK(ein)f(gewic)o(h)o(teter)
e(Baum)i(ist,)120 324 y(nenne)d FJ(T)e FI(=)14 b(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(q)r(;)g(w)q FI(\))21 b FK(einen)h
FB(gewichteten)j(W)l(urzelb)n(aum)p FK(\).)d FJ(q)i FK(hei\377t)e(die)f
FB(W)l(urzel)i FK(des)120 384 y(Baumes.)33 b(Das)i FJ(n)p
FK(-te)g FB(L)n(evel)g FK(sei)f FJ(L)836 391 y FG(n)873
384 y FI(=)14 b FJ(L)958 391 y FG(n)982 384 y FI(\()p
FJ(q)r FI(\))f(=)h FJ(L)1142 391 y FG(n)1165 384 y FI(\()p
FJ(q)r(;)8 b(T)f FI(\))13 b(:=)g FH(f)p FJ(v)i FH(2)f
FJ(V)25 b FI(:)d FJ(d)p FI(\()p FJ(v)r(;)8 b(q)r FI(\))13
b(=)g FJ(n)p FH(g)p FK(.)120 444 y(F\374r)44 b FJ(v)15
b FH(2)f FJ(L)361 451 y FG(n)429 444 y FK(de\034niere)43
b FJ(N)696 426 y FF(+)726 444 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))13
b(=)h FJ(N)899 424 y FF(+)894 458 y FG(T)929 444 y FI(\()p
FJ(v)r FI(\))f(:=)g FH(f)p FJ(u)h FH(2)g FJ(L)1218 451
y FG(n)p FF(+1)1300 444 y FI(:)22 b FH(f)p FJ(u;)8 b(v)r
FH(g)13 b(2)h FJ(E)s FH(g)p FK(,)44 b(und)g(f\374r)120
504 y FJ(v)15 b FH(6)p FI(=)f FJ(q)85 b FK(de\034niere)e
FJ(N)625 486 y FA(\000)655 504 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))13
b(=)g FJ(N)827 484 y FA(\000)822 518 y FG(T)857 504 y
FI(\()p FJ(v)r FI(\))g(:=)h FH(f)p FJ(u)f FH(2)h FJ(L)1146
511 y FG(n)p FA(\000)p FF(1)1229 504 y FI(:)22 b FH(f)p
FJ(u;)8 b(v)r FH(g)k(2)i FJ(E)s FH(g)p FK(.)84 b(Au\377erdem)120
565 y(sei)79 b(no)q(c)o(h)h FJ(E)470 572 y FG(n)507 565
y FI(=)14 b FJ(E)595 572 y FG(n)618 565 y FI(\()p FJ(q)r
FI(\))g(=)f FJ(E)781 572 y FG(n)805 565 y FI(\()p FJ(q)r(;)8
b(T)f FI(\))12 b(:=)i FH(f)p FJ(e)f FH(2)h FJ(E)j FI(:)72
b FH(9)1200 596 y FG(u)p FA(2)p FG(L)1268 601 y Fu(n)p
Fv(\000)p Fz(1)1372 565 y FH(9)1342 596 y FG(v)q FA(2)p
FG(L)1408 600 y Fu(n)1443 565 y FJ(e)13 b FI(=)h FH(f)p
FJ(u;)8 b(v)r FH(gg)o FK(.)79 b(Ist)120 650 y FJ(T)156
632 y FA(0)181 650 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)291 632 y FA(0)303
650 y FJ(;)8 b(E)364 632 y FA(0)375 650 y FJ(;)g(q)r
FI(\))33 b FK(ein)g(w)o(eiterer)f(W)l(urzelbaum,)g(so)i(sc)o(hreib)q(e)
f FJ(T)1406 632 y FA(0)1431 650 y FH(\024)13 b FJ(T)40
b FK(genau)35 b(dann,)120 710 y(w)o(enn)25 b FI(\()p
FJ(V)313 692 y FA(0)325 710 y FJ(;)8 b(E)386 692 y FA(0)397
710 y FI(\))14 b FH(\024)g FI(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))25
b FK(\(ensprec)o(hend)f(ist)h(f\374r)g FJ(T)1140 692
y FA(0)1165 710 y FI(=)13 b(\()p FJ(V)1275 692 y FA(0)1286
710 y FJ(;)8 b(E)1347 692 y FA(0)1359 710 y FJ(;)g(q)r(;)g(w)1463
692 y FA(0)1474 710 y FI(\))p FK(,)24 b FJ(T)1567 692
y FA(0)1592 710 y FH(\024)14 b FJ(T)31 b FK(genau)120
770 y(dann,)16 b(w)o(enn)g FI(\()p FJ(V)440 752 y FA(0)451
770 y FJ(;)8 b(E)512 752 y FA(0)524 770 y FJ(;)g(w)582
752 y FA(0)594 770 y FI(\))13 b FH(\024)h FI(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(\).)120 868 y FL(Lemma)18 b(2.3.2.)23
b FK(Sei)15 b FJ(T)20 b FI(=)14 b(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(q)r
FI(\))16 b FK(ein)f(W)l(urzelbaum.)120 985 y FL(\(a\))80
b FH(8)215 1018 y FG(v)q FA(2)p FG(V)7 b FA(nf)p FG(q)q
FA(g)369 985 y FI(#)p FJ(N)454 967 y FA(\000)484 985
y FI(\()p FJ(v)r FI(\))13 b(=)h(1)i FK(\(das)h(Elemen)o(t)d(v)o(on)i
FJ(N)1087 967 y FA(\000)1117 985 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))f
FK(b)q(ezeic)o(hne)g(mit)f FJ(v)1531 967 y FA(\000)1560
985 y FK(\).)120 1113 y FL(\(b\))61 b FH(8)219 1144 y
FG(u;v)q FA(2)p FG(V)333 1113 y FI(\()p FJ(u)14 b FH(6)p
FI(=)g FJ(v)50 b FH(\))e FJ(N)662 1095 y FF(+)692 1113
y FI(\()p FJ(u)p FI(\))11 b FH(\\)g FJ(N)857 1095 y FF(+)887
1113 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))i(=)h FH(;)p FI(\))p FK(.)120
1254 y FB(Beweis.)26 b FK(\(a\))e(G\344b)q(e)h(es)e FJ(u)621
1261 y FF(1)641 1254 y FJ(;)8 b(u)691 1261 y FF(2)737
1254 y FH(2)27 b FJ(N)841 1236 y FA(\000)871 1254 y FI(\()p
FJ(v)r FI(\))p FK(,)c FJ(u)1000 1261 y FF(1)1046 1254
y FH(6)p FI(=)k FJ(u)1139 1261 y FF(2)1158 1254 y FK(,)d(so)g(g\344b)q
(e)h(es)f(zw)o(ei)f(v)o(ersc)o(hiedene)120 1314 y FJ(q)r(v)r
FK(-W)l(ege)o(,)17 b(n\344mlic)o(h)d FI(\()p FJ(q)r(;)8
b(:)g(:)g(:)f(;)h(u)693 1321 y FF(1)712 1314 y FJ(;)g(v)r
FI(\))17 b FK(und)g FI(\()p FJ(q)r(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(u)1074
1321 y FF(2)1093 1314 y FJ(;)g(v)r FI(\))p FK(.)16 b(Nac)o(h)h(Lemma)e
(1.2.11)i(w)o(\344re)g(also)120 1374 y FJ(T)23 b FK(k)o(ein)15
b(Baum.)120 1434 y(\(b\))j(Sind)g FJ(u;)8 b(v)19 b FK(aus)f(v)o(ersc)o
(hiedenen)e(Lev)o(els,)g(so)j(ist)e(nic)o(h)o(ts)g(zu)h(zeigen.)f
(W\344ren)h FJ(u;)8 b(v)17 b FH(2)g FJ(L)1806 1441 y
FG(n)120 1495 y FK(und)c FJ(x)g FH(2)h FJ(N)346 1477
y FF(+)376 1495 y FI(\()p FJ(u)p FI(\))s FH(\\)s FJ(N)525
1477 y FF(+)555 1495 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))p FK(,)d(so)i(w)o(\344ren)f
FJ(u;)c(v)15 b FH(2)f FJ(N)1018 1477 y FA(\000)1048 1495
y FI(\()p FJ(x)p FI(\))p FK(,)e(w)o(as)h(nac)o(h)f(\(a\))g(nic)o(h)o(t)
f(sein)h(k)m(ann.)49 b Fx(\004)120 1592 y FL(De\034nition)19
b(2.3.3.)24 b FK(Sei)c FJ(T)29 b FI(=)22 b(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(q)r FI(\))20 b FK(ein)h(W)l(urzelbaum,)e FJ(\017)j(>)g
FI(0)p FK(.)f(Dann)h(hei\377t)f(eine)120 1652 y(Abbildung)16
b FJ(f)j FI(:)j FJ(E)16 b FH(\000)-8 b(!)14 b Fw(R)622
1631 y FF(+)622 1664 y(0)667 1652 y FK(ein)i FJ(\017)p
FB(-Flu\377)h FK(auf)f FJ(T)23 b FK(genau)17 b(dann,)f(w)o(enn)456
1718 y FE(X)419 1826 y FG(u)p FA(2)p FG(N)495 1817 y
Fz(+)520 1826 y FF(\()p FG(q)q FF(\))573 1765 y FJ(f)5
b FH(f)p FJ(q)r(;)j(u)p FH(g)13 b FI(=)g FJ(\017)j FK(und)73
b FH(8)924 1798 y FG(v)q FA(2)p FG(V)7 b FA(nf)p FG(q)q
FA(g)1123 1718 y FE(X)1086 1826 y FG(u)p FA(2)p FG(N)1162
1817 y Fz(+)1187 1826 y FF(\()p FG(v)q FF(\))1241 1765
y FJ(f)e FH(f)p FJ(v)r(;)j(u)p FH(g)13 b FI(=)h FJ(f)5
b FH(f)p FJ(v)1541 1745 y FA(\000)1570 1765 y FJ(;)j(v)r
FH(g)p FJ(:)-1537 b FK(\(2.27\))120 1925 y FL(Lemma)18
b(2.3.4.)23 b FK(Sei)18 b FJ(T)25 b FI(=)19 b(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(q)r FI(\))18 b FK(ein)h(W)l(urzelbaum,)e FJ(\017)h(>)h
FI(0)g FK(und)h FJ(f)k FK(ein)19 b FJ(\017)o FK(-Flu\377)h(auf)120
1986 y FJ(T)7 b FK(.)15 b(Dann)i(ist)385 1948 y FE(P)438
2000 y FG(e)p FA(2)p FG(E)516 1986 y FJ(f)5 b FI(\()p
FJ(e)p FI(\))14 b(=)f FH(1)p FK(.)j(Insb)q(esondere)g(ist)g
FI(#)p FJ(V)25 b FI(=)14 b FH(1)p FK(.)120 2102 y FB(Beweis.)26
b FK(Es)19 b(gen)o(\374gt)g(zu)f(zeigen,)f(da\377)40
b FH(8)862 2133 y FG(n)p FA(2)p Fm(N)953 2064 y FE(P)1005
2116 y FG(e)p FA(2)p FG(E)1071 2120 y Fu(n)1103 2102
y FJ(f)5 b FI(\()p FJ(e)p FI(\))18 b(=)f FJ(\017)p FK(.)h(Das)i(wird)e
(n)o(un)h(durc)o(h)f(In-)120 2181 y(duktion)h(nac)o(h)g
FJ(n)g FK(b)q(ewiesen.)f(Der)g(F)l(all)h FJ(n)f FI(=)g(1)i
FK(steh)o(t)e(in)h(\(2.27\).)g(Sei)f(also)i FJ(n)e(>)g
FI(1)p FK(.)h(Dann)120 2242 y(folgt)299 2314 y FE(X)291
2420 y FG(e)p FA(2)p FG(E)357 2424 y Fu(n)386 2361 y
FJ(f)5 b FI(\()p FJ(e)p FI(\))14 b(=)574 2314 y FE(X)542
2420 y FG(v)q FA(2)p FG(L)608 2425 y Fu(n)p Fv(\000)p
Fz(1)668 2420 y FG(;)565 2455 y(u)p FA(2)p FG(L)633 2459
y Fu(n)686 2361 y FJ(f)5 b FH(f)p FJ(u;)j(v)r FH(g)13
b FI(=)933 2314 y FE(X)906 2420 y FG(v)q FA(2)p FG(L)972
2425 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(1)1078 2314 y FE(X)1041 2423
y FG(u)p FA(2)p FG(N)1117 2413 y Fz(+)1142 2423 y FF(\()p
FG(v)q FF(\))1196 2361 y FJ(f)5 b FH(f)p FJ(u;)j(v)r
FH(g)1364 2330 y FF(\(2)p FG(:)p FF(27\))1390 2361 y
FI(=)1495 2314 y FE(X)1468 2420 y FG(v)q FA(2)p FG(L)1534
2425 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(1)1602 2361 y FJ(f)d FH(f)p
FJ(v)1682 2341 y FA(\000)1711 2361 y FJ(;)j(v)r FH(g)490
2543 y FI(=)574 2495 y FE(X)542 2601 y FG(v)q FA(2)p
FG(L)608 2606 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(1)668 2601 y FG(;)546
2636 y(u)p FA(2)p FG(L)614 2641 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(2)686
2543 y FJ(f)d FH(f)p FJ(u;)j(v)r FH(g)13 b FI(=)933 2495
y FE(X)906 2601 y FG(e)p FA(2)p FG(E)972 2606 y Fu(n)p
Fv(\000)p Fz(1)1041 2543 y FJ(f)5 b FI(\()p FJ(e)p FI(\))1144
2511 y Fq(\(Induktion\))1214 2543 y FI(=)84 b FJ(\017:)120
2487 y FK(\(2.28\))1791 2731 y Fx(\004)p eop
%%Page: 33 35
33 34 bop 60 50 a Fy(2.3.)32 b(WURZELB\304)o(UME)15 b(UND)g
FJ(\017)p Fy(-DOPPELB\304)o(UME)584 b FK(33)60 203 y
FL(Lemma)18 b(2.3.5.)23 b FK(Sei)f FJ(\017)13 b(>)h FI(0)23
b FK(und)g FJ(f)29 b FK(ein)22 b FJ(\017)p FK(-Flu\377)g(auf)i(dem)d
(gewic)o(h)o(teten)g(W)l(urzelbaum)60 264 y FJ(T)f FI(=)14
b(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(q)r(;)g(w)q FI(\))o FK(.)18
b(Dann)g(gibt)g(es)g(f\374r)f(alle)g FI(0)e FJ(<)e(\016)j(<)d(\017)18
b FK(einen)f(gewic)o(h)o(teten)f(W)l(urzelbaum)60 324
y FJ(T)96 306 y FA(0)121 324 y FH(\024)d FJ(T)19 b FK(und)13
b(einen)e FJ(\016)r FK(-Flu\377)h FJ(f)616 306 y FA(0)641
324 y FK(auf)g FJ(T)755 306 y FA(0)766 324 y FK(,)g(so)h(da\377)h(alle)
d(Ec)o(k)o(en)g(v)o(on)h FJ(T)1285 306 y FA(0)1309 324
y FK(endlic)o(hen)e(Grad)j(hab)q(en)60 384 y(und)k FJ(f)187
366 y FA(0)212 384 y FJ(<)d(f)5 b Fx(\030)314 392 y FG(E)r
FF(\()p FG(T)382 382 y Fv(0)392 392 y FF(\))408 384 y
FK(.)60 519 y FB(Beweis.)26 b(Behauptung)19 b(1.)24 b
FK(Sei)30 b FJ(I)k FK(eine)c(abz\344hlbare)h(Menge,)f
FJ(E)17 b FI(:=)c(\()p FJ(e)1446 526 y FG(i)1460 519
y FI(\))1479 526 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1548 519 y FH(\022)h
Fw(R)1637 498 y FF(+)1697 519 y FK(mit)60 580 y FI(~)-24
b FJ(\017)14 b FI(:=)159 542 y FE(P)211 594 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)275 580 y FJ(e)298 587 y FG(i)326 580 y FJ(>)g
FI(0)p FK(.)50 b(Ist)g(dann)h FI(0)14 b FJ(<)820 566
y FI(~)818 580 y FJ(\016)h(<)f FI(~)-24 b FJ(\017)o FK(,)50
b(so)h(gibt)f(es)g FJ(I)1335 562 y FA(0)1360 580 y FH(\022)14
b FJ(I)53 b FK(endlic)o(h)c(und)60 647 y FJ(D)16 b FI(:=)d(\()p
FJ(d)225 654 y FG(i)239 647 y FI(\))258 654 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)312 645 y Fv(0)339 647 y FH(\022)g Fw(R)427
625 y FF(+)457 647 y FK(,)j(so)h(da\377)639 609 y FE(P)691
661 y FG(i)p FA(2)p FG(I)745 652 y Fv(0)766 647 y FJ(d)791
654 y FG(i)820 647 y FI(=)874 633 y(~)871 647 y FJ(\016)h
FK(und)35 b FH(8)1009 678 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1063 669
y Fv(0)1087 647 y FJ(d)1112 654 y FG(i)1140 647 y FJ(<)14
b(e)1215 654 y FG(i)1229 647 y FK(.)60 815 y FB(Beweis.)26
b FK(Ist)13 b FJ(I)k FK(endlic)o(h,)12 b(so)i(setze)f
FJ(I)732 797 y FA(0)757 815 y FI(:=)g FJ(I)t FK(,)g FI(\001)h(:=)1000
796 y FF(~)-18 b FG(\017)p FA(\000)1043 787 y FF(~)1041
796 y FG(\016)p 1000 804 59 2 v 1006 833 a FF(#)p FG(I)1063
815 y FK(,)14 b FJ(d)1116 822 y FG(i)1144 815 y FI(:=)f
FJ(e)1232 822 y FG(i)1252 815 y FH(\000)6 b FI(\001)13
b FK(f\374r)g(alle)g FJ(i)h FH(2)g FJ(I)1616 797 y FA(0)1627
815 y FK(.)f(Dann)60 894 y(ist)131 856 y FE(P)184 908
y FG(i)p FA(2)p FG(I)238 899 y Fv(0)259 894 y FJ(d)284
901 y FG(i)318 894 y FI(=)19 b(~)-24 b FJ(\017)13 b FH(\000)g
FI(#)p FJ(I)532 874 y FF(~)-19 b FG(\017)q FA(\000)575
865 y FF(~)573 874 y FG(\016)p 531 882 V 537 911 a FF(#)p
FG(I)614 894 y FI(=)674 881 y(~)672 894 y FJ(\016)q FK(.)19
b(Nun)g(sei)g FJ(I)k FK(unendlic)o(h.)18 b(Dann)i(gibt)g(es)f(eine)g
(endlic)o(he)60 968 y(Menge)e FJ(I)243 950 y FA(0)269
968 y FH(\022)e FJ(I)t FK(,)h(so)i(da\377)h FI(^)-25
b FJ(\017)14 b FI(:=)632 930 y FE(P)685 982 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)739 973 y Fv(0)760 968 y FJ(e)783 975 y FG(i)810
968 y FJ(>)864 955 y FI(~)862 968 y FJ(\016)r FK(.)i(Damit)g(b)q
(e\034ndet)h(man)g(sic)o(h)f(wieder)g(im)g(F)l(all)60
1028 y(einer)j(endlic)o(hen)f(Indexmenge,)f(und)j(da)g(dieser)f(ob)q
(en)h(sc)o(hon)g(erledigt)f(wurde,)g(ist)h(alles)60 1088
y(gezeigt.)1513 b Fx(N)60 1224 y FK(Nun)40 b(zur)h(Konstruktion)f(v)o
(on)h FJ(T)776 1206 y FA(0)801 1224 y FI(=)13 b(\()p
FJ(V)899 1231 y FG(T)925 1222 y Fv(0)939 1224 y FJ(;)8
b(E)997 1231 y FG(T)1023 1222 y Fv(0)1035 1224 y FJ(;)g(q)r(;)g(w)q
Fx(\030)1160 1231 y FG(E)1186 1241 y Fu(T)1208 1234 y
Fv(0)1223 1224 y FI(\))14 b FH(\024)f FJ(T)47 b FK(und)41
b FJ(f)1535 1206 y FA(0)1561 1224 y FJ(<)13 b(f)5 b Fx(\030)1662
1231 y FG(E)r FF(\()p FG(T)1730 1222 y Fv(0)1741 1231
y FF(\))1756 1224 y FK(.)60 1284 y(Und)24 b(zw)o(ar)g(w)o(erden)g(dazu)
g(Mengen)g FJ(L)821 1266 y FA(0)821 1296 y FG(n)845 1284
y FI(\()p FJ(q)r FI(\))j FH(\024)g FJ(L)1033 1291 y FG(n)1057
1284 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))c FK(und)i FJ(E)1287 1266
y FA(0)1284 1296 y FG(n)1307 1284 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))14
b FH(\024)f FJ(E)1471 1291 y FG(n)1495 1284 y FI(\()p
FJ(q)r FI(\))23 b FK(de\034niert.)60 1344 y(Die)32 b(De\034nitionen)h
(v)o(on)f FJ(L)599 1326 y FA(0)599 1356 y FG(n)623 1344
y FI(\()p FJ(q)r FI(\))p FK(,)g FJ(E)770 1326 y FA(0)767
1356 y FG(n)790 1344 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))h FK(erfolgen)f(rekursiv)g
(un)o(ter)g(Ben)o(utzung)g(v)o(on)60 1404 y(Behauptung)e(1.)h(Im)d
(ersten)i(Sc)o(hritt)f(setze)g(zur)h(An)o(w)o(endung)f(v)o(on)h
(Behauptung)h(1)60 1464 y FJ(I)17 b FI(:=)d FH(f)p FJ(u)f
FH(2)h FJ(N)322 1446 y FF(+)352 1464 y FI(\()p FJ(q)r
FI(\))f(:)22 b FJ(f)5 b FH(f)p FJ(q)r(;)j(u)p FH(g)13
b FJ(>)h FI(0)p FH(g)p FK(,)i FJ(E)h FI(:=)c(\()p FJ(f)5
b FH(f)p FJ(q)r(;)j(u)p FH(g)p FI(\))1069 1471 y FG(u)p
FA(2)p FG(I)1132 1464 y FK(,)1165 1451 y FI(~)1162 1464
y FJ(\016)16 b FI(:=)e FJ(\016)r FK(,)i FI(~)-24 b FJ(\017)14
b FI(:=)g FJ(\017)p FK(.)i(Behauptung)h(1)60 1525 y(liefert)23
b(dann)j(endlic)o(hes)d FJ(I)581 1507 y FA(0)617 1525
y FK(und)i FJ(D)q FK(.)g(Setze)f FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)r
FI(\))29 b(:=)f FJ(I)1180 1507 y FA(0)1219 1525 y FH(\022)h
FJ(N)1331 1507 y FF(+)1360 1525 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))p
FK(,)24 b FJ(L)1493 1507 y FA(0)1493 1537 y FF(0)1513
1525 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))k(:=)g FH(f)p FJ(q)r FH(g)p
FK(,)60 1585 y FJ(L)93 1567 y FA(0)93 1597 y FF(1)113
1585 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))17 b(:=)g FJ(N)5 b FI(\()p
FJ(q)r FI(\))p FK(,)18 b FJ(E)438 1567 y FA(0)435 1597
y FF(1)455 1585 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))f(:=)g FH(ff)p
FJ(q)r(;)8 b(u)p FH(g)16 b FI(:)26 b FJ(u)17 b FH(2)h
FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)r FI(\))p FK(},)18 b FJ(f)1095
1567 y FA(0)1107 1585 y FH(f)p FJ(q)r(;)8 b(u)p FH(g)17
b FI(:=)g FJ(d)1342 1592 y FG(u)1383 1585 y FK(f\374r)i(alle)e
FJ(u)h FH(2)g FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)r FI(\))p FK(.)60
1645 y(Dann)17 b(ist)260 1608 y FE(P)313 1659 y FG(u)p
FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(q)q FF(\))443 1645 y FJ(f)472
1627 y FA(0)484 1645 y FH(f)p FJ(q)r(;)8 b(u)p FH(g)13
b FI(=)g FJ(\016)18 b FK(und)63 b FH(8)810 1678 y FG(u)p
FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(q)q FF(\))943 1645 y FJ(f)972
1627 y FA(0)984 1645 y FH(f)p FJ(q)r(;)8 b(u)p FH(g)13
b FJ(<)h(f)5 b FH(f)p FJ(q)r(;)j(u)p FH(g)o FK(.)60 1733
y(Nun)33 b(sei)f FJ(n)14 b FH(\025)g FI(1)p FK(,)33 b(und)g(f\374r)g
(alle)f FJ(m)14 b FH(\024)f FJ(n)34 b FK(seien)e FJ(L)1093
1715 y FA(0)1093 1745 y FG(m)1126 1733 y FI(\()p FJ(q)r
FI(\))14 b FH(\022)f FJ(L)1287 1740 y FG(m)1321 1733
y FI(\()p FJ(q)r FI(\))o FK(,)33 b FJ(E)1468 1715 y FA(0)1465
1745 y FG(m)1498 1733 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))13 b FH(\022)h
FJ(E)1662 1740 y FG(m)1695 1733 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))o
FK(,)60 1793 y FJ(f)89 1775 y FA(0)101 1793 y Fx(\030)122
1801 y FG(E)150 1791 y Fv(0)148 1809 y Fu(m)177 1801
y FF(\()p FG(q)q FF(\))265 1793 y FJ(<)41 b(f)5 b Fx(\030)394
1801 y FG(E)422 1791 y Fv(0)420 1809 y Fu(m)450 1801
y FF(\()p FG(q)q FF(\))528 1793 y FK(b)q(ereits)32 b(k)o(onstruiert,)g
(so)h(da\377)135 b FH(8)1167 1826 y FG(v)q FA(2)p FG(L)1233
1817 y Fv(0)1233 1835 y Fu(m)1262 1826 y FF(\()p FG(q)q
FF(\))p FG(;)5 b(m)p FA(6)p FF(=0)1413 1793 y FJ(v)1439
1775 y FA(\000)1509 1793 y FH(2)42 b FJ(L)1617 1775 y
FA(0)1617 1805 y FG(m)p FA(\000)p FF(1)1695 1793 y FI(\()p
FJ(q)r FI(\))p FK(.)60 1881 y(Sei)j FJ(v)65 b FH(2)e
FJ(L)386 1863 y FA(0)386 1893 y FG(n)410 1881 y FI(\()p
FJ(q)451 1888 y FF(1)470 1881 y FI(\))p FK(.)45 b(Zur)g(An)o(w)o
(endung)g(v)o(on)h(Behauptung)g(1)f(setze)g(diesmal)60
1941 y FJ(I)17 b FI(:=)d FH(f)p FJ(u)f FH(2)h FJ(N)322
1923 y FF(+)352 1941 y FI(\()p FJ(v)r FI(\))f(:)22 b
FJ(f)5 b FH(f)p FJ(u;)j(v)r FH(g)13 b FJ(>)h FI(0)p FH(g)p
FK(,)70 b FJ(E)17 b FI(:=)c(\()p FJ(f)5 b FH(f)p FJ(u;)j(v)r
FH(g)p FI(\))1129 1948 y FG(u)p FA(2)p FG(I)1192 1941
y FK(,)1278 1928 y FI(~)1276 1941 y FJ(\016)108 b FI(:=)e
FJ(f)1593 1923 y FA(0)1605 1941 y FH(f)p FJ(v)r(;)8 b(v)1704
1923 y FA(\000)1732 1941 y FH(g)p FK(,)60 2002 y FI(~)-24
b FJ(\017)63 b FI(:=)g FJ(f)5 b FH(f)p FJ(v)r(;)j(v)386
1983 y FA(\000)414 2002 y FH(g)p FK(.)45 b(Behauptung)h(1)g(liefert)e
(wieder)g(endlic)o(hes)g FJ(I)1488 1983 y FA(0)1499 2002
y FK(,)h FJ(D)q FK(.)h(Setze)60 2062 y FJ(N)5 b FI(\()p
FJ(v)r FI(\))31 b(:=)f FJ(I)307 2044 y FA(0)349 2062
y FH(\022)h FJ(N)463 2044 y FF(+)493 2062 y FI(\()p FJ(v)r
FI(\))p FK(,)25 b FJ(f)625 2044 y FA(0)637 2062 y FH(f)p
FJ(u;)8 b(v)r FH(g)30 b FI(:=)h FJ(d)901 2069 y FG(u)955
2062 y FJ(<)g(f)5 b FH(f)p FJ(u;)j(v)r FH(g)25 b FK(f\374r)h(alle)g
FJ(u)31 b FH(2)g FJ(N)5 b FI(\()p FJ(v)r FI(\))p FK(.)26
b(Nac)o(h)60 2127 y(Lemma)33 b(2.3.2)j(\(b\))f(sind)g(alle)g
FJ(N)5 b FI(\()p FJ(v)r FI(\))35 b FK(disjunkt.)f(Setze)h
FJ(L)1265 2109 y FA(0)1265 2140 y FG(n)p FF(+1)1333 2127
y FI(\()p FJ(q)r FI(\))13 b(:=)1488 2111 y(_)1474 2090
y FE(S)1515 2142 y FG(v)q FA(2)p FG(L)1581 2132 y Fv(0)1581
2150 y Fu(n)1602 2142 y FF(\()p FG(q)q FF(\))1649 2127
y FJ(N)5 b FI(\()p FJ(v)r FI(\))o FK(,)60 2192 y FJ(E)99
2174 y FA(0)96 2204 y FG(n)p FF(+1)165 2192 y FI(\()p
FJ(q)r FI(\))13 b(:=)g FH(ff)p FJ(u;)8 b(v)r FH(g)13
b(2)h FJ(E)552 2199 y FG(n)p FF(+1)620 2192 y FI(\()p
FJ(q)r FI(\))g(:)21 b FJ(u)14 b FH(2)g FJ(L)853 2174
y FA(0)853 2204 y FG(n)877 2192 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))p
FJ(;)h(v)g FH(2)f FJ(L)1087 2174 y FA(0)1087 2204 y FG(n)p
FF(+1)1156 2192 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))p FH(g)o FK(.)174
b(Dann)f(ist)60 2224 y FE(P)113 2276 y FG(u)p FA(2)p
FG(N)t FF(\()p FG(v)q FF(\))244 2262 y FJ(f)273 2244
y FA(0)285 2262 y FH(f)p FJ(u;)8 b(v)r FH(g)16 b FI(=)h
FJ(f)511 2244 y FA(0)523 2262 y FH(f)p FJ(v)r(;)8 b(v)622
2244 y FA(\000)650 2262 y FH(g)p FK(.)17 b(Setze)g(no)q(c)o(h)i
FJ(V)982 2269 y FG(T)1008 2260 y Fv(0)1037 2262 y FI(:=)1120
2246 y(_)1106 2224 y FE(S)1147 2226 y FA(1)1147 2276
y FG(n)p FF(=0)1216 2262 y FJ(L)1249 2244 y FA(0)1249
2274 y FG(n)1273 2262 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))p FK(,)d
FJ(E)1401 2269 y FG(T)1427 2260 y Fv(0)1457 2262 y FI(:=)1539
2246 y(_)1525 2224 y FE(S)1567 2226 y FA(1)1567 2276
y FG(n)p FF(=1)1636 2262 y FJ(E)1675 2244 y FA(0)1672
2274 y FG(n)1695 2262 y FI(\()p FJ(q)r FI(\))p FK(.)60
2322 y(Da)j FJ(f)169 2304 y FA(0)181 2322 y FK(,)e(wie)h(sc)o(hon)g(w)o
(\344rend)g(der)g(Konstruktion)g(gezeigt,)f(die)h(Bedingung)g(\(2.27\))
g(erf\374llt)60 2382 y(\(mit)c FJ(\016)k FK(statt)f FJ(\017)p
FK(\),)e(ist)h FJ(f)490 2364 y FA(0)519 2382 y FK(ein)f
FJ(\016)r FK(-Flu\377)h(auf)h FJ(T)869 2364 y FA(0)880
2382 y FK(.)837 b Fx(\004)60 2491 y FL(De\034nition)19
b(2.3.6.)24 b FK(Ein)f FB(Dopp)n(elb)n(aum)h FJ(B)29
b FI(=)d(\()p FJ(G;)8 b(T)1091 2498 y FF(1)1111 2491
y FJ(;)g(T)1162 2498 y FF(2)1181 2491 y FI(\))24 b FK(ist)f(ein)h(Baum)
e FJ(G)14 b FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))60 2551
y FK(zusammen)21 b(mit)g(zw)o(ei)h(W)l(urzelb\344umen)f
FJ(T)885 2558 y FF(1)918 2551 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)1017
2558 y FG(T)1038 2563 y Fz(1)1057 2551 y FJ(;)8 b(E)1115
2558 y FG(T)1136 2563 y Fz(1)1155 2551 y FJ(;)g(q)1199
2558 y FF(1)1218 2551 y FI(\))p FK(,)23 b FJ(T)1303 2558
y FF(2)1336 2551 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)1435 2558 y FG(T)1456
2563 y Fz(2)1475 2551 y FJ(;)8 b(E)1533 2558 y FG(T)1554
2563 y Fz(2)1573 2551 y FJ(;)g(q)1617 2558 y FF(2)1636
2551 y FI(\))p FK(.)23 b(Da-)60 2611 y(b)q(ei)35 b(soll)g(gelten:)g
FJ(B)16 b FI(=)e FJ(T)576 2618 y FF(1)606 2611 y FI(+)d
FJ(T)684 2618 y FF(2)715 2611 y FI(+)753 2618 y FG(e)782
2611 y FH(f)p FJ(q)829 2618 y FF(1)848 2611 y FJ(;)d(q)892
2618 y FF(2)912 2611 y FH(g)p FK(.)35 b(Handelt)f(es)i(sic)o(h)f(b)q
(ei)g FJ(G)h FK(um)e(einen)60 2671 y(gewic)o(h)o(teten)k(Graphen)j
FJ(G)54 b FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))p
FK(,)39 b(und)i(gilt)e FJ(T)1260 2678 y FF(1)1293 2671
y FI(=)14 b(\()p FJ(V)1392 2678 y FG(T)1413 2683 y Fz(1)1432
2671 y FJ(;)8 b(E)1490 2678 y FG(T)1511 2683 y Fz(1)1530
2671 y FJ(;)g(q)1574 2678 y FF(1)1593 2671 y FJ(;)g(w)q
Fx(\030)1672 2678 y FG(E)1698 2684 y Fu(T)1716 2691 y
Fz(1)1737 2671 y FI(\))p FK(,)60 2731 y FJ(T)89 2738
y FF(2)122 2731 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)221 2738 y FG(T)242
2743 y Fz(2)261 2731 y FJ(;)8 b(E)319 2738 y FG(T)340
2743 y Fz(2)359 2731 y FJ(;)g(q)403 2738 y FF(2)422 2731
y FJ(;)g(w)q Fx(\030)501 2738 y FG(E)527 2744 y Fu(T)545
2751 y Fz(2)567 2731 y FI(\))p FK(,)51 b(so)h(hei\377t)f
FJ(B)j FK(ein)c FB(gewichteter)i(Dopp)n(elb)n(aum)p FK(.)f(Ist)p
eop
%%Page: 34 36
34 35 bop 120 50 a FK(34)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FJ(B)160 185 y FA(0)185 203 y FI(=)e(\()p FJ(G)294
185 y FA(0)306 203 y FJ(;)8 b(T)364 185 y FA(0)357 216
y FF(1)376 203 y FJ(;)g(T)434 185 y FA(0)427 216 y FF(2)446
203 y FI(\))23 b FK(\()p FJ(B)547 185 y FA(0)572 203
y FI(=)14 b(\()p FJ(G)681 185 y FA(0)693 203 y FJ(;)8
b(T)751 185 y FA(0)744 216 y FF(1)763 203 y FJ(;)g(T)821
185 y FA(0)814 216 y FF(2)834 203 y FJ(;)g(w)892 185
y FA(0)903 203 y FI(\))p FK(\))23 b(ein)g(w)o(eiterer)f(\(gewic)o(h)o
(teter\))f(Dopp)q(elbaum,)120 264 y(so)c(sc)o(hreib)q(e)e
FJ(B)407 246 y FA(0)432 264 y FH(\024)f FJ(B)19 b FK(genau)d(dann,)h(w)
o(enn)f FJ(G)981 246 y FA(0)1007 264 y FH(\024)d FJ(G)p
FK(,)k FJ(T)1164 246 y FA(0)1157 276 y FF(1)1190 264
y FH(\024)c FJ(T)1271 271 y FF(1)1307 264 y FK(und)j
FJ(T)1440 246 y FA(0)1433 276 y FF(2)1467 264 y FH(\024)d
FJ(T)1548 271 y FF(2)1567 264 y FK(.)120 365 y FL(De\034nition)19
b(2.3.7.)24 b FK(Sei)15 b FJ(B)i FI(=)d(\()p FJ(G;)8
b(T)829 372 y FF(1)849 365 y FJ(;)g(T)900 372 y FF(2)919
365 y FI(\))p FK(,)16 b FJ(G)f FI(=)f(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(,)16 b FJ(T)1320 372 y FF(1)1353
365 y FI(=)e(\()p FJ(V)1452 372 y FG(T)1473 377 y Fz(1)1492
365 y FJ(;)8 b(E)1550 372 y FG(T)1571 377 y Fz(1)1590
365 y FJ(;)g(q)1634 372 y FF(1)1653 365 y FJ(;)g(w)q
Fx(\030)1732 372 y FG(E)1758 378 y Fu(T)1776 385 y Fz(1)1797
365 y FI(\))p FK(,)120 426 y FJ(T)149 433 y FF(2)182
426 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)281 433 y FG(T)302 438 y Fz(2)321
426 y FJ(;)8 b(E)379 433 y FG(T)400 438 y Fz(2)419 426
y FJ(;)g(q)463 433 y FF(2)482 426 y FJ(;)g(w)q Fx(\030)561
433 y FG(E)587 439 y Fu(T)605 446 y Fz(2)627 426 y FI(\))37
b FK(ein)f(gewic)o(h)o(teter)f(Dopp)q(elbaum)i(und)g
FJ(\017)14 b(>)g FI(0)p FK(.)37 b FJ(B)i FK(hei\377t)120
486 y FJ(\017)p FB(-Dopp)n(elb)n(aum)22 b FK(genau)i(dann,)e(w)o(enn)h
(es)f FJ(\017)p FK(-Fl\374sse)g FJ(f)1134 493 y FF(1)1176
486 y FK(auf)h FJ(T)1294 493 y FF(1)1336 486 y FK(und)g
FJ(f)1464 493 y FF(2)1506 486 y FK(auf)g FJ(T)1624 493
y FF(2)1666 486 y FK(gibt,)f(so)120 546 y(da\377)17 b
FJ(f)236 553 y FF(1)270 546 y FH(\024)c FJ(w)q Fx(\030)379
553 y FG(E)405 559 y Fu(T)423 566 y Fz(1)445 546 y FK(,)j
FJ(f)499 553 y FF(2)532 546 y FH(\024)e FJ(w)q Fx(\030)642
553 y FG(E)668 559 y Fu(T)686 566 y Fz(2)724 546 y FK(und)i
FJ(\017)e FH(\024)f FJ(w)q FH(f)p FJ(q)990 553 y FF(1)1010
546 y FJ(;)8 b(q)1054 553 y FF(2)1073 546 y FH(g)p FK(.)16
b(Zur)g(V)l(eransc)o(haulic)o(h)o(ung)f(siehe)g(Ab-)120
606 y(bildung)h(2.1.)457 806 y Ft(T)481 812 y Fk(1)1402
806 y Ft(T)1426 812 y Fk(2)885 1075 y FG(w)q FA(f)p FG(q)945
1080 y Fz(1)961 1075 y FG(;)6 b(q)993 1080 y Fz(2)1010
1075 y FA(g)k(\024)g FG(\017)852 1118 y(q)868 1123 y
Fz(1)1088 1118 y FG(q)1104 1123 y Fz(2)745 1077 y Fo(.)745
1093 y(.)745 1110 y(.)1194 1077 y(.)1194 1093 y(.)1194
1110 y(.)497 1230 y(.)497 1247 y(.)497 1263 y(.)497 911
y(.)497 928 y(.)497 944 y(.)1442 1242 y(.)1442 1258 y(.)1442
1275 y(.)1442 923 y(.)1442 940 y(.)1442 956 y(.)550 1088
y FG(N)582 1076 y Fz(+)607 1088 y FF(\()p FG(q)637 1093
y Fz(1)654 1088 y FF(\))626 b FG(N)1326 1076 y Fz(+)1351
1088 y FF(\()p FG(q)1381 1093 y Fz(2)1398 1088 y FF(\))661
752 y Fj(P)610 806 y Fi(u)p Fh(2)p Fi(N)672 800 y Fr(+)695
806 y(\()p Fi(q)720 812 y Fr(1)736 806 y(\))748 774 y
Fs(w)q Fg(f)p Fs(q)805 778 y Fr(1)821 774 y Fs(;u)p Fg(g)574
843 y(\024)651 821 y Fj(P)600 875 y Fi(u)p Fh(2)p Fi(N)662
869 y Fr(+)685 875 y(\()p Fi(q)710 881 y Fr(1)726 875
y(\))737 843 y Fs(f)753 847 y Fr(1)770 843 y Fg(f)p Fs(q)802
847 y Fr(1)818 843 y Fs(;u)p Fg(g)p Fk(=)p Fs(\017)1134
752 y Fj(P)1083 806 y Fi(u)p Fh(2)p Fi(N)1145 800 y Fr(+)1168
806 y(\()p Fi(q)1193 812 y Fr(2)1209 806 y(\))1220 774
y Fs(w)q Fg(f)p Fs(q)1277 778 y Fr(2)1293 774 y Fs(;u)p
Fg(g)1046 843 y(\024)1123 821 y Fj(P)1072 875 y Fi(u)p
Fh(2)p Fi(N)1134 869 y Fr(+)1157 875 y(\()p Fi(q)1182
881 y Fr(2)1198 875 y(\))1210 843 y Fs(f)1226 847 y Fr(2)1242
843 y Fg(f)p Fs(q)1274 847 y Fr(2)1290 843 y Fs(;u)p
Fg(g)p Fk(=)p Fs(\017)266 1409 y @beginspecial 60 @llx
403 @lly 509 @urx 610 @ury 3401 @rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../db.eps

/IdrawDict 51 dict def
IdrawDict begin

/reencodeISO {
dup dup findfont dup length dict begin
{ 1 index /FID ne { def }{ pop pop } ifelse } forall
/Encoding ISOLatin1Encoding def
currentdict end definefont
} def

/ISOLatin1Encoding [
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/space/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright
/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/minus/period/slash
/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon
/less/equal/greater/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N
/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright
/asciicircum/underscore/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m
/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/braceleft/bar/braceright/asciitilde
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/dotlessi/grave/acute/circumflex/tilde/macron/breve
/dotaccent/dieresis/.notdef/ring/cedilla/.notdef/hungarumlaut
/ogonek/caron/space/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar
/section/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot
/hyphen/registered/macron/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior
/acute/mu/paragraph/periodcentered/cedilla/onesuperior/ordmasculine
/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown
/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla
/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex
/Idieresis/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis
/multiply/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute
/Thorn/germandbls/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis
/aring/ae/ccedilla/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave
/iacute/icircumflex/idieresis/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex
/otilde/odieresis/divide/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis
/yacute/thorn/ydieresis
] def
/Helvetica reencodeISO def

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 479 561 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478 442 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 621 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 482 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 378.5 501.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 383 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 248 187 ] concat
%I
260 500 310 530 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 248 187 ] concat
%I
310 530 360 560 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 248 187 ] concat
%I
161 441 211 411 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 248 187 ] concat
%I
211 411 360 321 Line
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 616.5 526 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 615.5 624 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 235 302 ] concat
%I
174 326 124 326 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 235 302 ] concat
%I
124 326 74 326 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 235 302 ] concat
%I
273 385 373 346 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 235 302 ] concat
%I
273 266 373 306 Line
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 615.5 663 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 615.5 763 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 278.5 502 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 522 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 -6 388 ] concat
%I
215 180 116 220 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 -6 388 ] concat
%I
215 299 116 260 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 179 561.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 178.5 441.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 79.5 382 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 79.5 481.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 80 522.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 80 622 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 77.5 524 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 77.5 624 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
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%%EndDocument
 @endspecial 627 1567 a FK(Abbildung)16 b(2.1:)g FJ(\017)p
FK(-Dopp)q(elbaum)120 1707 y FL(Lemma)i(2.3.8.)23 b FK(Es)16
b(sei)f FJ(B)j FK(ein)d FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)g(\(die)g(Bezeic)o
(hn)o(ungen)e(seien)i(wie)g(in)g(De-)120 1767 y(\034nition)j(2.3.7\).)f
(Dann)i(gibt)f(es)g(f\374r)g(alle)f FI(0)g FJ(<)g(\016)h(<)f(\017)g
FK(einen)h FJ(\016)r FK(-Dopp)q(elbaum)f FJ(B)1632 1749
y FA(0)1660 1767 y FH(\024)f FJ(B)s FK(,)h(so)120 1827
y(da\377)g(alle)f(Ec)o(k)o(en)e(v)o(on)j FJ(B)577 1809
y FA(0)604 1827 y FK(endlic)o(hen)d(Grad)j(hab)q(en.)120
1946 y FB(Beweis.)26 b FK(Zur)13 b(Konstruktion)g(v)o(on)h
FJ(B)821 1928 y FA(0)846 1946 y FI(=)f(\()p FJ(G)954
1928 y FA(0)966 1946 y FJ(;)8 b(T)1024 1928 y FA(0)1017
1958 y FF(1)1037 1946 y FJ(;)g(T)1095 1928 y FA(0)1088
1958 y FF(2)1107 1946 y FI(\))13 b FK(wird)g(Lemma)e(2.3.5)j(b)q(en)o
(utzt.)e(Lem-)120 2006 y(ma)21 b(2.3.5)h(liefert)d FJ(T)509
1988 y FA(0)502 2018 y FF(1)536 2006 y FI(=)13 b(\()p
FJ(V)634 2014 y FG(T)660 2003 y Fv(0)655 2025 y Fz(1)675
2006 y FJ(;)8 b(E)733 2014 y FG(T)759 2003 y Fv(0)754
2025 y Fz(1)773 2006 y FJ(;)g(q)817 2013 y FF(1)836 2006
y FJ(;)g(w)q Fx(\030)915 2013 y FG(E)941 2025 y Fu(T)963
2016 y Fv(0)959 2037 y Fz(1)980 2006 y FI(\))14 b FH(\024)f
FJ(T)1094 2013 y FF(1)1135 2006 y FK(und)22 b(ein)f FJ(\016)r
FK(-Flu\377)g FJ(f)1509 1988 y FA(0)1504 2018 y FF(1)1546
2006 y FK(auf)h FJ(T)1670 1988 y FA(0)1663 2018 y FF(1)1682
2006 y FK(,)f(so)o(wie)120 2080 y FJ(T)156 2062 y FA(0)149
2093 y FF(2)182 2080 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)281 2088 y
FG(T)307 2077 y Fv(0)302 2099 y Fz(2)321 2080 y FJ(;)8
b(E)379 2088 y FG(T)405 2077 y Fv(0)400 2099 y Fz(2)419
2080 y FJ(;)g(q)463 2087 y FF(2)482 2080 y FJ(;)g(w)q
Fx(\030)561 2087 y FG(E)587 2099 y Fu(T)609 2090 y Fv(0)605
2111 y Fz(2)627 2080 y FI(\))13 b FH(\024)h FJ(T)741
2087 y FF(2)776 2080 y FK(und)i(ein)f FJ(\016)r FK(-Flu\377)g
FJ(f)1132 2062 y FA(0)1127 2093 y FF(2)1163 2080 y FK(auf)h
FJ(T)1281 2062 y FA(0)1274 2093 y FF(2)1293 2080 y FK(.)f(Sei)h(no)q(c)
o(h)f FJ(V)1556 2062 y FA(0)1581 2080 y FI(:=)f FJ(V)1675
2088 y FG(T)1701 2077 y Fv(0)1696 2099 y Fz(1)1725 2074
y FI(_)1715 2080 y FH([)p FJ(V)1776 2088 y FG(T)1802
2077 y Fv(0)1797 2099 y Fz(2)1816 2080 y FK(,)120 2154
y FJ(E)159 2136 y FA(0)185 2154 y FI(:=)f FJ(E)286 2163
y FG(T)312 2151 y Fv(0)307 2173 y Fz(1)336 2148 y FI(_)326
2154 y FH([)p FJ(E)395 2163 y FG(T)421 2151 y Fv(0)416
2173 y Fz(2)445 2148 y FI(_)435 2154 y FH([ff)p FJ(q)540
2161 y FF(1)559 2154 y FJ(;)8 b(q)603 2161 y FF(2)623
2154 y FH(gg)p FK(.)14 b(Da)i FJ(f)807 2136 y FA(0)802
2167 y FF(1)836 2154 y FJ(<)e(f)912 2161 y FF(1)931 2154
y Fx(\030)952 2161 y FG(E)978 2173 y Fu(T)1000 2164 y
Fv(0)996 2185 y Fz(1)1031 2154 y FH(\024)g FJ(w)q Fx(\030)1141
2161 y FG(E)1167 2173 y Fu(T)1189 2164 y Fv(0)1185 2185
y Fz(1)1207 2154 y FK(,)g FJ(f)1264 2136 y FA(0)1259
2167 y FF(2)1293 2154 y FJ(<)g(f)1369 2161 y FF(2)1389
2154 y Fx(\030)1410 2161 y FG(E)1436 2173 y Fu(T)1458
2164 y Fv(0)1454 2185 y Fz(2)1489 2154 y FH(\024)f FJ(w)q
Fx(\030)1598 2161 y FG(E)1624 2173 y Fu(T)1646 2164 y
Fv(0)1642 2185 y Fz(2)1679 2154 y FK(gilt,)h(ist)120
2227 y FJ(B)160 2209 y FA(0)186 2227 y FK(mit)e FJ(G)311
2209 y FA(0)337 2227 y FI(=)i(\()p FJ(V)447 2209 y FA(0)459
2227 y FJ(;)8 b(E)520 2209 y FA(0)531 2227 y FJ(;)g(w)q
Fx(\030)610 2234 y FG(E)638 2225 y Fv(0)651 2227 y FI(\))14
b FK(nac)o(h)h(De\034nition)f(2.3.7)g(ein)g FJ(\016)r
FK(-Dopp)q(elbaum,)f(dessen)h(Ec)o(k)o(en)120 2287 y(alle)h(endlic)o
(hen)g(Grad)i(hab)q(en.)1099 b Fx(\004)120 2389 y FL(De\034nition)19
b(2.3.9.)24 b FK(Sei)16 b FJ(G)g FI(=)f(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))17 b FK(ein)g(gewic)o(h)o(teter)e(Graph,)i
FJ(\017)e(>)h FI(0)p FK(.)h FJ(G)g FK(hat)h(einen)120
2449 y FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)g(genau)i(dann,)f(w)o(enn)f(es)h
(einen)e FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)i FJ(B)h FI(=)e(\()p
FJ(G)1542 2431 y FA(0)1554 2449 y FJ(;)8 b(T)1605 2456
y FF(1)1625 2449 y FJ(;)g(T)1676 2456 y FF(2)1695 2449
y FI(\))18 b FK(gibt,)120 2509 y(so)f(da\377)g FJ(G)310
2491 y FA(0)336 2509 y FI(=)d(\()p FJ(V)446 2491 y FA(0)458
2509 y FJ(;)8 b(E)519 2491 y FA(0)530 2509 y FJ(;)g(w)q
Fx(\030)609 2516 y FG(E)637 2507 y Fv(0)650 2509 y FI(\))16
b FK(ein)g(Subgraph)h(v)o(on)f FJ(G)h FK(ist.)120 2611
y FL(Bemerkung)g(2.3.10.)23 b FK(Ist)d FJ(G)g FK(ein)f(Graph,)h(der)g
(einen)f FJ(\017)o FK(-Dopp)q(elbaum)h FJ(B)i FK(hat,)e(so)h(hat)120
2671 y FJ(G)e FK(nac)o(h)g(Lemma)e(2.3.8)i(f\374r)g(alle)f
FI(0)g FJ(<)h(\016)g(<)g(\017)f FK(einen)g FJ(\016)r
FK(-Dopp)q(elbaum)g FJ(B)1498 2653 y FA(0)1528 2671 y
FH(\024)g FJ(B)s FK(,)g(und)h(alle)120 2731 y(Ec)o(k)o(en)c(v)o(on)h
FJ(B)395 2713 y FA(0)422 2731 y FK(hab)q(en)h(endlic)o(hen)e(Grad.)p
eop
%%Page: 35 37
35 36 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(35)60 203 y FC(2.4)77
b(Graphen)n(theoretisc)n(he)58 b(Charakterisierung)f(der)236
295 y(Extremalpunkte)60 423 y FL(Lemma)18 b(2.4.1.)23
b FK(Sei)k FH(I)37 b FI(:=)c(\()p FJ(I)694 430 y FF(1)713
423 y FJ(;)8 b(I)757 430 y FF(2)776 423 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))27 b FK(ein)g(Randsystem)g(mit)f FI(#)p FJ(I)1452
430 y FF(1)1471 423 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1556 430 y
FF(2)1588 423 y FH(\024)14 b FJ(!)r FK(.)27 b(Ist)60
483 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))24
b FK(und)f(existiert)f FJ(\017)13 b(>)h FI(0)p FK(,)23
b(so)h(da\377)g FJ(G)14 b FI(:=)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))23 b FK(einen)g FJ(\017)o FK(-Dopp)q(elbaum)g
FJ(B)j FK(hat,)60 543 y(so)17 b(ist)f FJ(P)27 b(=)-30
b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p
FK(.)60 655 y FB(Beweis.)26 b FK(Die)c(Bezeic)o(hn)o(ungen)f(seien)i
(wie)f(in)h(De\034nition)g(2.3.7.)g(Nac)o(h)f(Lemma)f(2.1.13)60
715 y(\(b\))f(gen)o(\374gt)g(es,)f(eine)f(Matrix)h FI(0)14
b FH(6)p FI(=)g FJ(T)20 b FH(2)14 b(M)896 722 y Fm(R)922
715 y FI(\()p FJ(I)963 722 y FF(1)982 715 y FJ(;)8 b(I)1026
722 y FF(2)1046 715 y FI(\))19 b FK(mit)f FJ(P)g FH(\006)11
b FJ(T)20 b FH(\025)14 b FI(0)20 b FK(zu)f(\034nden,)h(deren)60
775 y(Linien)e(sic)o(h)g(alle)g(zu)h(Null)f(summie)o(ren.)e(Indem)g
(man)i FJ(q)1129 782 y FF(1)1149 775 y FK(,)g FJ(q)1203
782 y FF(2)1241 775 y FK(notfalls)h(v)o(ertausc)o(h)o(t,)e(k)m(ann)60
835 y(man)j(ohne)i(Besc)o(hr\344nkung)f(der)g(Allgemeinhei)o(t)e
(annehmen,)g(da\377)j(es)g FI(\()p FJ(i)1466 842 y FF(0)1485
835 y FJ(;)8 b(j)1527 842 y FF(0)1547 835 y FI(\))14
b FH(2)g FJ(I)1649 842 y FF(1)1679 835 y FH(\002)d FJ(I)1751
842 y FF(2)60 896 y FK(gibt,)16 b(mit)e FJ(q)285 903
y FF(1)318 896 y FI(=)g FJ(x)398 903 y FG(i)410 908 y
Fz(0)429 896 y FK(,)i FJ(q)481 903 y FF(2)514 896 y FI(=)e
FJ(y)590 903 y FG(j)604 908 y Fz(0)623 896 y FK(.)i(De\034niere)f
FJ(T)21 b FI(=)13 b(\()p FJ(t)996 903 y FG(i;j)1036 896
y FI(\))1055 903 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1160
908 y Fz(1)1177 903 y FA(\002)p FG(I)1219 908 y Fz(2)1255
896 y FK(mit)356 1179 y FJ(t)374 1186 y FG(i;j)428 1179
y FI(:=)493 958 y FE(8)493 1003 y(>)493 1018 y(>)493
1033 y(>)493 1047 y(>)493 1062 y(>)493 1077 y(>)493 1092
y(>)493 1107 y(>)493 1122 y(<)493 1212 y(>)493 1227 y(>)493
1242 y(>)493 1257 y(>)493 1272 y(>)493 1287 y(>)493 1302
y(>)493 1316 y(>)493 1331 y(:)537 1001 y FJ(\017)267
b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p
FJ(i)1102 1008 y FF(0)1122 1001 y FJ(;)8 b(j)1164 1008
y FF(0)1183 1001 y FI(\))p FJ(;)537 1073 y FH(\000)p
FJ(f)600 1080 y FF(1)620 1073 y FH(f)p FJ(x)673 1080
y FG(i)686 1073 y FJ(;)g(y)732 1080 y FG(j)750 1073 y
FH(g)49 b FK(f\374r)16 b FH(f)p FJ(x)954 1080 y FG(i)968
1073 y FJ(;)8 b(y)1014 1080 y FG(j)1032 1073 y FH(g)14
b(2)g FJ(E)1154 1080 y FG(n)1177 1073 y FI(\()p FJ(T)1225
1080 y FF(1)1244 1073 y FI(\))p FJ(;)57 b(n)16 b FK(ungerade)q
FJ(;)537 1145 y(f)561 1152 y FF(1)581 1145 y FH(f)p FJ(x)634
1152 y FG(i)648 1145 y FJ(;)8 b(y)694 1152 y FG(j)712
1145 y FH(g)87 b FK(f\374r)16 b FH(f)p FJ(x)954 1152
y FG(i)968 1145 y FJ(;)8 b(y)1014 1152 y FG(j)1032 1145
y FH(g)14 b(2)g FJ(E)1154 1152 y FG(n)1177 1145 y FI(\()p
FJ(T)1225 1152 y FF(1)1244 1145 y FI(\))p FJ(;)57 b(n)16
b FK(gerade)q FJ(;)537 1218 y FH(\000)p FJ(f)600 1225
y FF(2)620 1218 y FH(f)p FJ(x)673 1225 y FG(i)686 1218
y FJ(;)8 b(y)732 1225 y FG(j)750 1218 y FH(g)49 b FK(f\374r)16
b FH(f)p FJ(x)954 1225 y FG(i)968 1218 y FJ(;)8 b(y)1014
1225 y FG(j)1032 1218 y FH(g)14 b(2)g FJ(E)1154 1225
y FG(n)1177 1218 y FI(\()p FJ(T)1225 1225 y FF(2)1244
1218 y FI(\))p FJ(;)57 b(n)16 b FK(ungerade)q FJ(;)537
1290 y(f)561 1297 y FF(2)581 1290 y FH(f)p FJ(x)634 1297
y FG(i)648 1290 y FJ(;)8 b(y)694 1297 y FG(j)712 1290
y FH(g)87 b FK(f\374r)16 b FH(f)p FJ(x)954 1297 y FG(i)968
1290 y FJ(;)8 b(y)1014 1297 y FG(j)1032 1290 y FH(g)14
b(2)g FJ(E)1154 1297 y FG(n)1177 1290 y FI(\()p FJ(T)1225
1297 y FF(2)1244 1290 y FI(\))p FJ(;)57 b(n)16 b FK(gerade)q
FJ(;)537 1362 y FI(0)263 b FK(sonst.)60 1179 y(\(2.29\))60
1457 y(W)l(egen)17 b FJ(f)242 1464 y FF(1)261 1457 y
FJ(;)8 b(f)307 1464 y FF(2)342 1457 y FH(\024)14 b FJ(w)k
FK(ist)f FJ(P)h FH(\006)11 b FJ(T)22 b FH(\025)14 b FI(0)p
FK(.)j(Bleibt)e(zu)h(zeigen,)g(da\377)h(sic)o(h)f(alle)g(Linien)g(v)o
(on)h FJ(T)23 b FK(zu)60 1517 y(Null)15 b(summiere)o(n.)e(Sei)j
FJ(t)524 1524 y FG(i;j)577 1517 y FH(6)p FI(=)e(0)p FK(,)i
FJ(x)711 1524 y FG(i)739 1517 y FH(2)e FJ(L)819 1524
y FF(2)p FG(n)860 1517 y FI(\()p FJ(q)901 1524 y FF(1)921
1517 y FI(\))p FK(.)h(Dann)j(gilt)d(f\374r)h(die)g FJ(i)p
FK(.)f(Zeile:)425 1575 y FE(X)425 1680 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)480 1685 y Fz(2)506 1622 y FJ(t)524 1629 y FG(i;j)577
1622 y FI(=)f FH(\000)720 1575 y FE(X)676 1683 y FG(y)q
FA(2)p FG(N)750 1674 y Fz(+)775 1683 y FF(\()p FG(x)809
1688 y Fu(i)822 1683 y FF(\))844 1622 y FJ(f)868 1629
y FF(1)888 1622 y FH(f)p FJ(y)r(;)8 b(x)989 1629 y FG(i)1002
1622 y FH(g)j FI(+)g FJ(f)1111 1629 y FF(1)1131 1622
y FH(f)p FJ(x)1184 1601 y FA(\000)1184 1635 y FG(i)1213
1622 y FJ(;)d(x)1263 1629 y FG(i)1276 1622 y FH(g)14
b FI(=)g(0)p FJ(:)60 1772 y FK(Die)31 b(F\344lle)g FJ(x)329
1779 y FG(i)383 1772 y FI(=)40 b FJ(q)483 1779 y FF(1)502
1772 y FK(,)31 b FJ(x)575 1779 y FG(i)603 1772 y FH(2)14
b FJ(L)683 1779 y FF(2)p FG(n)p FF(+1)769 1772 y FI(\()p
FJ(q)810 1779 y FF(2)830 1772 y FI(\))31 b FK(und)h(der)g(F)l(all)f
(der)g FJ(j)s FK(.)g(Spalte)h(\()p FJ(y)1579 1779 y FG(j)1637
1772 y FI(=)40 b FJ(q)1737 1779 y FF(2)1756 1772 y FK(,)60
1832 y FJ(y)84 1839 y FG(j)116 1832 y FH(2)14 b FJ(L)196
1839 y FF(2)p FG(n)p FF(+1)282 1832 y FI(\()p FJ(q)323
1839 y FF(1)343 1832 y FI(\))p FK(,)19 b FJ(y)419 1839
y FG(j)451 1832 y FH(2)14 b FJ(L)531 1839 y FF(2)p FG(n)572
1832 y FI(\()p FJ(q)613 1839 y FF(2)633 1832 y FI(\))p
FK(\))19 b(sind)h(alle)f(v)o(\366llig)g(analog,)h(das)h(hei\377t:)e
(Da\377)i(die)e(Summe)60 1893 y(\374b)q(er)e(die)e(jew)o(eilige)g
(Linie)g(n)o(ull)h(ist,)f(ergibt)h(sic)o(h)g(jew)o(eils)f(aus)i(der)f
(Flu\377b)q(edingung)h(\(2.27\))60 1953 y(f\374r)f FJ(f)161
1960 y FF(1)197 1953 y FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)f
FJ(f)578 1960 y FF(2)598 1953 y FK(.)1119 b Fx(\004)60
2041 y FL(Lemma)18 b(2.4.2.)23 b FK(Sei)f FH(I)28 b FI(:=)d(\()p
FJ(I)672 2048 y FF(1)691 2041 y FJ(;)8 b(I)735 2048 y
FF(2)754 2041 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))22 b FK(ein)g(Randsystem.)f
(Ist)i FJ(P)32 b FH(2)25 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))f
FK(und)f(hat)60 2102 y FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17
b FK(einen)e(Kreis,)g(so)i(ist)f FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)60
2213 y FB(Beweis.)26 b FK(Sei)15 b FJ(K)j FI(=)c(\()p
FJ(x)482 2220 y FG(i)494 2225 y Fz(1)513 2213 y FJ(;)8
b(y)559 2220 y FG(j)573 2225 y Fz(1)592 2213 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g
(x)730 2220 y FG(i)742 2224 y Fu(n)765 2213 y FJ(;)g(y)811
2220 y FG(j)825 2224 y Fu(n)848 2213 y FJ(;)g(x)898 2220
y FG(i)910 2225 y Fz(1)929 2213 y FI(\))16 b FK(ein)g(Kreis)f(in)h
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)16 b(Dann)h(ist)412
2308 y FJ(\017)c FI(:=)h(min)n FH(f)p FJ(p)641 2315 y
FG(i)653 2320 y Fz(1)671 2315 y FG(;j)695 2320 y Fz(1)714
2308 y FJ(;)8 b(p)760 2315 y FG(i)772 2320 y Fz(2)790
2315 y FG(;j)814 2320 y Fz(1)833 2308 y FJ(;)g(p)879
2315 y FG(i)891 2320 y Fz(2)909 2315 y FG(;j)933 2320
y Fz(2)952 2308 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(p)1086 2315
y FG(i)1098 2319 y Fu(n)1119 2315 y FG(;j)1143 2319 y
Fu(n)1167 2308 y FJ(;)g(p)1213 2315 y FG(i)1225 2320
y Fz(1)1242 2315 y FG(;j)1266 2319 y Fu(n)1290 2308 y
FH(g)13 b FJ(>)h FI(0)p FJ(:)-1358 b FK(\(2.30\))60 2403
y(F\374r)14 b FI(1)h FH(\024)e FJ(k)j FH(\024)e FJ(n)7
b FH(\000)g FI(1)15 b FK(de\034niere)e FJ(t)669 2410
y FG(i)681 2416 y Fu(k)700 2410 y FG(;j)724 2416 y Fu(k)759
2403 y FI(:=)h FJ(\017)o(;)22 b(t)898 2410 y FG(i)910
2416 y Fu(k)q Fz(+1)967 2410 y FG(;j)991 2416 y Fu(k)1026
2403 y FI(:=)13 b FH(\000)p FJ(\017;)22 b(t)1204 2410
y FG(i)1216 2414 y Fu(n)1236 2410 y FG(;j)1260 2414 y
Fu(n)1298 2403 y FI(:=)13 b FJ(\017;)21 b(t)1436 2410
y FG(i)1448 2415 y Fz(1)1465 2410 y FG(;j)1489 2414 y
Fu(n)1527 2403 y FI(:=)13 b FH(\000)p FJ(\017)o FK(.)h(Dies)60
2463 y(seien)k(genau)h(die)f(v)o(on)h(Null)f(v)o(ersc)o(hiedenen)e
(Elemen)o(te)g(einer)h(Matrix)h FJ(T)25 b FH(2)18 b(M)1588
2470 y Fm(R)1614 2463 y FI(\()p FJ(I)1655 2470 y FF(1)1674
2463 y FJ(;)8 b(I)1718 2470 y FF(2)1737 2463 y FI(\))p
FK(.)60 2523 y(Dann)18 b(en)o(th\344lt)f(eine)f(Linie)h(v)o(on)g
FJ(T)24 b FK(en)o(t)o(w)o(eder)15 b(k)o(eine)h(v)o(on)h(Null)f(v)o
(ersc)o(hiedenen)f(Elemen)o(te)60 2583 y(o)q(der)24 b(genau)h(zw)o(ei,)
d(n\344mlic)o(h)g FI(+)p FJ(\017)h FK(und)i FH(\000)p
FJ(\017)o FK(.)f(Daher)g(summiere)o(n)e(sic)o(h)h(alle)g(Linien)g(v)o
(on)60 2643 y FJ(T)29 b FK(zu)23 b(Null.)e(Nac)o(h)h(der)h
(De\034nition)f(v)o(on)h FJ(\017)f FK(gilt:)99 b FH(8)1020
2677 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1125 2682
y Fz(1)1142 2677 y FA(\002)p FG(I)1184 2682 y Fz(2)1216
2643 y FJ(p)1240 2650 y FG(i;j)1296 2643 y FH(\006)15
b FJ(t)1368 2650 y FG(i;j)1433 2643 y FH(\025)24 b FI(0)p
FK(.)f(Also)g(folgt)60 2731 y FJ(P)18 b FH(\006)11 b
FJ(T)20 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))j FK(und)g(nac)o(h)f
(Lemma)e(2.1.13)j(ist)f FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)462 b
Fx(\004)p eop
%%Page: 36 38
36 37 bop 120 50 a FK(36)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FL(Satz)j(2.4.3.)k FK(Sei)34 b FH(I)48 b FI(:=)c(\()p
FJ(I)708 210 y FF(1)728 203 y FJ(;)8 b(I)772 210 y FF(2)791
203 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))33 b FK(ein)h(Randsystem)g(mit)e
FI(#)p FJ(I)1493 210 y FF(1)1512 203 y FJ(;)8 b FI(#)p
FJ(I)1597 210 y FF(2)1630 203 y FH(\024)13 b FJ(!)37
b FK(und)120 264 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(.)22 b(Dann)h(gilt)f FJ(P)f FH(2)15 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))23 b FK(genau)g(dann,)g(w)o(enn)f
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))24 b FK(ein)e(W)l(ald)g(ist)h(und)120
324 y(f\374r)16 b(k)o(ein)f FJ(\017)f(>)f FI(0)k FK(einen)e
FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)h(hat.)120 452 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)19 b(W)l(egen)g(Lemma)e(2.4.2)i(ist)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))20 b FK(ein)f(W)l(ald,)f(w)o(egen)h
(Lemma)e(2.4.1)j(hat)120 512 y FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))17 b FK(f\374r)f(k)o(ein)f FJ(\017)f(>)f FI(0)k
FK(einen)e FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum.)120 595 y(\022)t
FH(\()p FK(\020)t(:)22 b(Sei)f FJ(P)26 b(=)-29 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(,)22
b(das)g(hei\377t,)f(es)g(gibt)h(nac)o(h)g(Lemma)d(2.1.13)j(\(b\))g
(eine)f(Matrix)120 655 y FJ(T)f FH(6)p FI(=)14 b(0)p
FK(,)j(so)h(da\377)h(sic)o(h)e(alle)f(Linien)h(v)o(on)g
FJ(T)24 b FK(zu)17 b(Null)g(addieren)g(und)103 b FH(8)1388
689 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)16 b FG(I)1509 694
y Fz(1)1526 689 y FA(\002)p FG(I)1568 694 y Fz(2)1600
655 y FH(j)p FJ(t)1632 662 y FG(i;j)1672 655 y FH(j)d(\024)h
FJ(p)1776 662 y FG(i;j)1816 655 y FK(.)120 743 y(Sei)43
b FH(j)p FJ(T)7 b FH(j)13 b FI(:=)g(\()p FH(j)p FJ(t)419
750 y FG(i;j)459 743 y FH(j)p FI(\))492 751 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)597 756 y Fz(1)613 751 y
FA(\002)p FG(I)655 756 y Fz(2)675 743 y FK(,)44 b FJ(G)p
FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b FH(j)p FI(\))13 b(=)h(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(.)44 b(W)l(egen)f FH(j)p FJ(t)1400
750 y FG(i;j)1440 743 y FH(j)14 b(\024)f FJ(p)1544 750
y FG(i;j)1629 743 y FK(ist)43 b(dann)120 804 y FI(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))14 b FH(\024)f FI(\()p FJ(V)f
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))p FJ(;)h(E)s
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)f FI(\)\)\))q FK(.)15 b(Hat)h(dann)h
FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b FH(j)p FI(\))15 b FK(einen)g(Kreis,)g
(so)i(auc)o(h)f FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)16
b(und)120 864 y(man)22 b(ist)h(fertig.)g(Angenommen,)d
FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b FH(j)p FI(\))22 b FK(ist)h(kreisfrei.)e
(Es)j(bleibt)e(zu)h(zeigen,)f(da\377)i(es)120 924 y(dann)j
FJ(\017)13 b(>)h FI(0)26 b FK(gibt,)g(so)g(da\377)h FJ(G)p
FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b FH(j)p FI(\))26 b FK(einen)f
FJ(\017)o FK(-Dopp)q(elbaum)h FJ(B)j FK(hat)d(\(denn)g(dann)h(hat)120
984 y(auc)o(h)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))27 b FK(einen)e
FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum\).)h(Da)h FJ(T)21 b FH(6)p
FI(=)13 b(0)q FK(,)26 b(gibt)h(es)f FJ(i)1340 991 y FF(0)1373
984 y FH(2)14 b FJ(I)1442 991 y FF(1)1462 984 y FK(,)26
b FJ(j)1522 991 y FF(0)1555 984 y FH(2)14 b FJ(I)1624
991 y FF(2)1644 984 y FK(,)26 b(so)h(da\377)120 1044
y FJ(t)138 1051 y FG(i)150 1056 y Fz(0)167 1051 y FG(;j)191
1056 y Fz(0)224 1044 y FJ(>)14 b FI(0)p FK(.)20 b(Setze)e
FJ(\017)c FI(:=)f FJ(t)581 1051 y FG(i)593 1056 y Fz(0)610
1051 y FG(;j)634 1056 y Fz(0)654 1044 y FK(,)19 b FJ(q)709
1051 y FF(1)742 1044 y FI(:=)13 b FJ(x)835 1051 y FG(i)847
1056 y Fz(0)866 1044 y FK(,)20 b FJ(q)922 1051 y FF(2)955
1044 y FI(:=)13 b FJ(y)1044 1051 y FG(j)1058 1056 y Fz(0)1077
1044 y FK(.)20 b(Damit)e(b)q(ek)o(omm)o(t)f(man)h(einen)h(Dop-)120
1105 y(p)q(elbaum)11 b FJ(B)355 1087 y FA(0)380 1105
y FI(=)j(\()p FK(Zhk)534 1112 y FG(G)p FF(\()p FA(j)p
FG(T)5 b FA(j)p FF(\))636 1105 y FI(\()p FJ(x)683 1112
y FG(i)695 1117 y Fz(0)714 1105 y FI(\))p FJ(;)j(T)791
1087 y FA(0)784 1117 y FF(1)803 1105 y FJ(;)g(T)861 1087
y FA(0)854 1117 y FF(2)873 1105 y FI(\))p FK(,)k FJ(T)954
1087 y FA(0)947 1117 y FF(1)980 1105 y FI(=)i(\()p FJ(V)1079
1113 y FG(T)1105 1101 y Fv(0)1100 1123 y Fz(1)1119 1105
y FJ(;)8 b(E)1177 1113 y FG(T)1203 1101 y Fv(0)1198 1123
y Fz(1)1217 1105 y FJ(;)g(q)1261 1112 y FF(1)1280 1105
y FI(\))14 b(:=)g FK(Zhk)1461 1112 y FG(G)p FF(\()p FA(j)p
FG(T)5 b FA(j)p FF(\))p FA(\000ff)p FG(q)1641 1117 y
Fz(1)1657 1112 y FG(;q)1683 1117 y Fz(2)1700 1112 y FA(gg)1737
1105 y FI(\()p FJ(q)1778 1112 y FF(1)1797 1105 y FI(\))p
FK(,)120 1165 y FJ(T)156 1147 y FA(0)149 1177 y FF(2)182
1165 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)281 1173 y FG(T)307 1161 y
Fv(0)302 1184 y Fz(2)321 1165 y FJ(;)8 b(E)379 1173 y
FG(T)405 1161 y Fv(0)400 1184 y Fz(2)419 1165 y FJ(;)g(q)463
1172 y FF(2)482 1165 y FI(\))14 b(:=)f FK(Zhk)663 1173
y FG(G)p FF(\()p FA(j)p FG(T)5 b FA(j)p FF(\))p FA(\000ff)p
FG(q)843 1178 y Fz(1)859 1173 y FG(;q)885 1178 y Fz(2)902
1173 y FA(gg)939 1165 y FI(\()p FJ(q)980 1172 y FF(2)999
1165 y FI(\))p FK(.)120 1240 y FB(Behauptung)19 b(1.)24
b FK(Sei)18 b FJ(I)k FI(:=)c FH(f)p FJ(i)688 1247 y FF(1)707
1240 y FJ(;)8 b(i)746 1247 y FF(2)765 1240 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g
FH(g)18 b FK(abz\344hlbar,)h FJ(E)j FI(:=)17 b(\()p FJ(e)1306
1247 y FG(i)1320 1240 y FI(\))1339 1247 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)1413 1240 y FK(eine)h(F)l(olge)h(p)q(ositiv)o(er)120
1301 y(reeller)13 b(Zahlen,)g(so)i(da\377)h FJ(a)d FI(:=)690
1263 y FE(P)742 1315 y FG(i)p FA(2)p FG(I)806 1301 y
FJ(e)829 1308 y FG(i)857 1301 y FJ(<)g FH(1)p FK(.)h(Ist)h(dann)g
FI(0)f FJ(<)g(b)f FH(\024)h FJ(a)p FK(,)g(so)h(gibt)f(es)h(eine)e(F)l
(olge)120 1361 y FJ(D)j FI(=)d(\()p FJ(d)271 1368 y FG(i)286
1361 y FI(\))305 1368 y FG(i)p FA(2)p FG(I)360 1361 y
FK(,)j(so)h(da\377)30 b FH(8)542 1392 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)609 1361 y FI(0)15 b FJ(<)e(d)724 1368 y FG(i)753
1361 y FH(\024)g FJ(e)828 1368 y FG(i)858 1361 y FK(und)956
1323 y FE(P)1008 1375 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1072 1361
y FJ(d)1097 1368 y FG(i)1125 1361 y FI(=)h FJ(b)p FK(.)120
1506 y FB(Beweis.)26 b FK(Setze)15 b FJ(k)h FI(:=)544
1486 y FG(a)p 544 1494 19 2 v 546 1523 a(b)584 1506 y
FK(und)h FJ(d)707 1513 y FG(i)735 1506 y FI(:=)c FJ(k)r(e)850
1513 y FG(i)864 1506 y FK(.)916 b Fx(N)120 1634 y FK(Nun)44
b(zur)f(Konstruktion)h(v)o(on)g FJ(B)63 b FI(=)e(\()p
FJ(G;)8 b(T)1120 1641 y FF(1)1139 1634 y FJ(;)g(T)1190
1641 y FF(2)1210 1634 y FI(\))60 b FH(\024)h FJ(B)1429
1616 y FA(0)1440 1634 y FK(:)43 b(Zun\344c)o(hst)h(wird)120
1694 y FJ(T)149 1701 y FF(1)182 1694 y FI(=)14 b(\()p
FJ(V)281 1701 y FG(T)302 1706 y Fz(1)321 1694 y FJ(;)8
b(E)379 1701 y FG(T)400 1706 y Fz(1)419 1694 y FJ(;)g(q)463
1701 y FF(1)482 1694 y FI(\))14 b FH(\024)g FJ(T)604
1676 y FA(0)597 1707 y FF(1)636 1694 y FK(und)21 b(ein)e
FJ(\017)p FK(-Flu\377)h FJ(f)997 1701 y FF(1)1037 1694
y FK(auf)h FJ(T)1153 1701 y FF(1)1192 1694 y FK(k)o(onstruiert,)e(und)i
(zw)o(ar)f(w)o(erden)120 1755 y(dazu)g(Mengen)f FJ(L)459
1762 y FG(n)482 1755 y FI(\()p FJ(q)523 1762 y FF(1)543
1755 y FI(\))g FH(\022)g FJ(L)672 1736 y FA(0)672 1767
y FG(n)696 1755 y FI(\()p FJ(q)737 1762 y FF(1)756 1755
y FI(\))g FK(und)h FJ(E)931 1762 y FG(n)955 1755 y FI(\()p
FJ(q)996 1762 y FF(1)1015 1755 y FI(\))f FH(\022)g FJ(E)1150
1736 y FA(0)1147 1767 y FG(n)1171 1755 y FI(\()p FJ(q)1212
1762 y FF(1)1231 1755 y FI(\))h FK(de\034niert.)e(Die)h(De\034nitionen)
120 1815 y(v)o(on)k FJ(L)252 1822 y FG(n)276 1815 y FI(\()p
FJ(q)317 1822 y FF(1)336 1815 y FI(\))p FK(,)h FJ(E)429
1822 y FG(n)452 1815 y FI(\()p FJ(q)493 1822 y FF(1)512
1815 y FI(\))g FK(erfolgen)f(rekursiv)g(un)o(ter)g(Ben)o(utzung)g(v)o
(on)g(Behauptung)h(1.)g(Im)120 1875 y(ersten)17 b(Sc)o(hritt)f(setze)g
(zur)h(An)o(w)o(endung)g(v)o(on)g(Behauptung)g(1)h FJ(I)g
FI(:=)d FH(f)p FJ(j)j FH(2)e FJ(I)1552 1882 y FF(2)1586
1875 y FI(:)24 b FJ(t)1642 1882 y FG(i)1654 1887 y Fz(0)1671
1882 y FG(;j)1714 1875 y FJ(<)15 b FI(0)p FH(g)p FK(,)120
1935 y FJ(E)i FI(:=)c(\()p FH(j)p FJ(t)289 1942 y FG(i)301
1947 y Fz(0)318 1942 y FG(;j)346 1935 y FH(j)p FI(\))379
1942 y FG(j)r FA(2)p FG(I)438 1935 y FK(,)f FJ(b)i FI(:=)f
FJ(\017)p FK(.)f(Behauptung)h(1)f(liefert)f(dann)i FJ(D)q
FK(.)g(Setze)e FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)1448 1942 y FF(1)1468
1935 y FI(\))13 b(:=)h FH(f)p FJ(y)1615 1942 y FG(j)1647
1935 y FI(:)21 b FJ(j)c FH(2)d FJ(I)t FH(g)p FK(,)120
1995 y FJ(L)153 2002 y FF(0)173 1995 y FI(\()p FJ(q)214
2002 y FF(1)233 1995 y FI(\))22 b(:=)g FH(f)p FJ(q)395
2002 y FF(1)414 1995 y FH(g)p FK(,)f FJ(L)507 2002 y
FF(1)527 1995 y FI(\()p FJ(q)568 2002 y FF(1)587 1995
y FI(\))h(:=)g FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)787 2002 y FF(1)806
1995 y FI(\))p FK(,)21 b FJ(E)896 2002 y FF(1)916 1995
y FI(\()p FJ(q)957 2002 y FF(1)976 1995 y FI(\))h(:=)g
FH(ff)p FJ(q)1163 2002 y FF(1)1182 1995 y FJ(;)8 b(y)1228
2002 y FG(j)1246 1995 y FH(g)22 b(2)g FJ(E)1387 1977
y FA(0)1384 2008 y FF(1)1404 1995 y FI(\()p FJ(q)1445
2002 y FF(1)1464 1995 y FI(\))g(:)30 b FJ(y)1573 2002
y FG(j)1613 1995 y FH(2)23 b FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)1754
2002 y FF(1)1773 1995 y FI(\))p FK(},)120 2056 y FJ(f)144
2063 y FF(1)164 2056 y FH(f)p FJ(q)211 2063 y FF(1)230
2056 y FJ(;)j(y)276 2063 y FG(j)294 2056 y FH(g)29 b
FI(:=)g FJ(d)454 2063 y FG(j)498 2056 y FK(f\374r)c(alle)f
FJ(y)706 2063 y FG(j)753 2056 y FH(2)30 b FJ(N)5 b FI(\()p
FJ(q)901 2063 y FF(1)920 2056 y FI(\))p FK(.)25 b(Dann)h(ist)1196
2018 y FE(P)1249 2070 y FG(y)1266 2075 y Fu(j)1283 2070
y FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(q)1369 2075 y Fz(1)1385 2070
y FF(\))1409 2056 y FJ(f)1433 2063 y FF(1)1452 2056 y
FH(f)p FJ(q)1499 2063 y FF(1)1519 2056 y FJ(;)8 b(y)1565
2063 y FG(j)1583 2056 y FH(g)29 b FI(=)g FJ(\017)c FK(und)181
2121 y FH(8)120 2155 y FG(y)137 2160 y Fu(j)154 2155
y FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(q)240 2160 y Fz(1)256 2155
y FF(\))283 2121 y FJ(f)307 2128 y FF(1)327 2121 y FH(f)p
FJ(q)374 2128 y FF(1)393 2121 y FJ(;)8 b(y)439 2128 y
FG(j)457 2121 y FH(g)14 b(\024)f(j)p FJ(t)580 2128 y
FG(i)592 2133 y Fz(0)609 2128 y FG(;j)637 2121 y FH(j)h
FI(=)g FJ(w)q FH(f)p FJ(q)800 2128 y FF(1)819 2121 y
FJ(;)8 b(y)865 2128 y FG(j)883 2121 y FH(g)p FK(.)120
2211 y(Nun)33 b(sei)f FJ(n)43 b FH(\025)f FI(1)33 b FK(ungerade,)g(und)
g(f\374r)g(alle)f FJ(m)42 b FH(\024)g FJ(n)33 b FK(seien)g
FJ(L)1492 2218 y FG(m)1525 2211 y FI(\()p FJ(q)1566 2218
y FF(1)1585 2211 y FI(\))14 b FH(\022)g FJ(L)1704 2193
y FA(0)1704 2223 y FG(m)1737 2211 y FI(\()p FJ(q)1778
2218 y FF(1)1797 2211 y FI(\))p FK(,)120 2271 y FJ(E)156
2278 y FG(m)189 2271 y FI(\()p FJ(q)230 2278 y FF(1)250
2271 y FI(\))g FH(\022)f FJ(E)374 2253 y FA(0)371 2284
y FG(m)404 2271 y FI(\()p FJ(q)445 2278 y FF(1)465 2271
y FI(\))p FK(,)52 b FJ(f)574 2278 y FF(1)594 2271 y Fx(\030)615
2279 y FG(E)641 2283 y Fu(m)670 2279 y FF(\()p FG(q)700
2284 y Fz(1)716 2279 y FF(\))808 2271 y FH(\024)75 b
FJ(w)q Fx(\030)979 2279 y FG(E)1005 2283 y Fu(m)1035
2279 y FF(\()p FG(q)1065 2284 y Fz(1)1081 2279 y FF(\))1097
2271 y FK(,)52 b(b)q(ereits)g(k)o(onstruiert,)g(so)h(da\377)230
2331 y FH(8)120 2365 y FG(v)q FA(2)p FG(L)186 2369 y
Fu(m)215 2365 y FF(\()p FG(q)245 2370 y Fz(1)262 2365
y FF(\))p FG(;)5 b(m)p FA(6)p FF(=0)382 2331 y FJ(v)408
2313 y FA(\000)487 2331 y FH(2)50 b FJ(L)603 2338 y FG(m)p
FA(\000)p FF(1)682 2331 y FI(\()p FJ(q)723 2338 y FF(1)742
2331 y FI(\))p FK(.)37 b(Sei)g FJ(y)936 2338 y FG(j)950
2342 y Fu(n)1024 2331 y FH(2)51 b FJ(L)1141 2338 y FG(n)1164
2331 y FI(\()p FJ(q)1205 2338 y FF(1)1224 2331 y FI(\))p
FK(,)38 b FJ(x)1323 2338 y FG(j)1337 2342 y Fu(n)1410
2331 y FI(:=)50 b FJ(y)1538 2311 y FA(\000)1536 2344
y FG(j)1550 2348 y Fu(n)1573 2331 y FK(.)38 b(Dann)g(ist)120
2419 y FI(0)26 b FJ(<)f(f)257 2426 y FF(1)277 2419 y
FH(f)p FJ(x)330 2426 y FG(i)342 2430 y Fu(n)365 2419
y FJ(;)8 b(y)411 2426 y FG(j)425 2430 y Fu(n)448 2419
y FH(g)26 b(\024)f(\000)p FJ(t)620 2426 y FG(i)632 2430
y Fu(n)653 2426 y FG(;j)677 2430 y Fu(n)726 2419 y FI(=)g
FJ(w)q FH(f)p FJ(x)878 2426 y FG(i)890 2430 y Fu(n)913
2419 y FJ(;)8 b(y)959 2426 y FG(j)973 2430 y Fu(n)997
2419 y FH(g)p FK(.)22 b(Zur)h(An)o(w)o(endung)g(v)o(on)g(Behauptung)17
b(1)120 2480 y(setze)23 b(diesmal)g FJ(I)31 b FI(:=)c
FH(f)p FJ(i)g FH(2)g FJ(I)715 2487 y FF(1)762 2480 y
FI(:)35 b FJ(t)829 2487 y FG(i;j)865 2491 y Fu(n)916
2480 y FJ(>)27 b FI(0)p FH(g)p FK(,)d FJ(E)31 b FI(:=)c(\()p
FH(j)p FJ(t)1265 2487 y FG(i;j)1301 2491 y Fu(n)1323
2480 y FH(j)p FI(\))1356 2487 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1412
2480 y FK(,)c FJ(b)28 b FI(:=)f FJ(f)1601 2487 y FF(1)1620
2480 y FH(f)p FJ(x)1673 2487 y FG(i)1685 2491 y Fu(n)1708
2480 y FJ(;)8 b(y)1754 2487 y FG(j)1768 2491 y Fu(n)1792
2480 y FH(g)p FK(.)120 2540 y(Behauptung)34 b(1)g(liefert)e(dann)i
(wieder)f FJ(D)q FK(.)h(Setze)f FJ(N)5 b FI(\()p FJ(y)1260
2547 y FG(j)1274 2551 y Fu(n)1297 2540 y FI(\))43 b(:=)g
FH(f)p FJ(x)1507 2547 y FG(i)1564 2540 y FI(:)52 b FJ(i)43
b FH(2)g FJ(I)t FH(g)p FK(,)120 2600 y FJ(f)144 2607
y FF(1)164 2600 y FH(f)p FJ(x)217 2607 y FG(i)230 2600
y FJ(;)8 b(y)276 2607 y FG(j)290 2611 y Fu(n)314 2600
y FH(g)51 b FI(:=)h FJ(d)519 2607 y FG(i)572 2600 y FK(f\374r)38
b(alle)g FJ(x)811 2607 y FG(i)877 2600 y FH(2)52 b FJ(N)5
b FI(\()p FJ(y)1049 2607 y FG(j)1063 2611 y Fu(n)1086
2600 y FI(\))p FK(.)38 b(Nac)o(h)g(Lemma)f(2.3.2)h(\(b\))h(sind)120
2667 y(alle)44 b FJ(N)5 b FI(\()p FJ(y)r FI(\))p FK(,)45
b FJ(y)64 b FH(2)f FJ(L)622 2674 y FG(n)646 2667 y FI(\()p
FJ(q)687 2674 y FF(1)706 2667 y FI(\))45 b FK(disjunkt.)g(Setze)f
FJ(L)1192 2674 y FG(n)p FF(+1)1261 2667 y FI(\()p FJ(q)1302
2674 y FF(1)1321 2667 y FI(\))63 b(:=)1531 2651 y(_)1517
2630 y FE(S)1559 2682 y FG(y)q FA(2)p FG(L)1625 2686
y Fu(n)1646 2682 y FF(\()p FG(q)1676 2687 y Fz(1)1693
2682 y FF(\))1709 2667 y FJ(N)5 b FI(\()p FJ(y)r FI(\))p
FK(,)120 2731 y FJ(E)156 2738 y FG(n)p FF(+1)225 2731
y FI(\()p FJ(q)266 2738 y FF(1)285 2731 y FI(\))35 b(:=)g
FH(ff)p FJ(x;)8 b(y)r FH(g)35 b(2)g FJ(E)719 2713 y FA(0)716
2744 y FG(n)p FF(+1)785 2731 y FI(\()p FJ(q)826 2738
y FF(1)845 2731 y FI(\))h(:)43 b FJ(x)35 b FH(2)h FJ(L)1122
2738 y FG(n)p FF(+1)1191 2731 y FI(\()p FJ(q)1232 2738
y FF(1)1251 2731 y FI(\))p FJ(;)16 b(y)37 b FH(2)f FJ(L)1463
2738 y FG(n)1487 2731 y FI(\()p FJ(q)1528 2738 y FF(1)1547
2731 y FI(\))p FH(g)p FK(.)28 b(Dann)i(ist)p eop
%%Page: 37 39
37 38 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(37)120 203 y FH(8)60
237 y FG(y)q FA(2)p FG(L)126 241 y Fu(n)147 237 y FF(\()p
FG(q)177 242 y Fz(1)194 237 y FF(\))230 166 y FE(P)283
218 y FG(x)p FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(y)q FF(\))414 203
y FJ(f)438 210 y FF(1)458 203 y FH(f)p FJ(x;)8 b(y)r
FH(g)13 b FI(=)g FJ(f)672 210 y FF(1)692 203 y FH(f)p
FJ(y)r(;)8 b(y)791 185 y FA(\000)819 203 y FH(g)p FK(.)60
291 y(F\374r)24 b FJ(n)j FH(\025)g FI(1)d FK(gerade)g(erfolgen)g(die)f
(De\034nitionen)g(v)o(on)h FJ(L)1187 298 y FG(n)p FF(+1)1256
291 y FI(\()p FJ(q)1297 298 y FF(1)1316 291 y FI(\))g
FK(und)h FJ(E)1501 298 y FG(n)p FF(+1)1569 291 y FI(\()p
FJ(q)1610 298 y FF(1)1630 291 y FI(\))e FK(ganz)60 358
y(analog.)g(Setze)e(no)q(c)o(h)h FJ(V)517 365 y FG(T)538
370 y Fz(1)581 358 y FI(:=)670 342 y(_)656 321 y FE(S)697
322 y FA(1)697 373 y FG(n)p FF(=0)766 358 y FJ(L)799
365 y FG(n)823 358 y FI(\()p FJ(q)864 365 y FF(1)883
358 y FI(\))p FK(,)f FJ(E)973 365 y FG(T)994 370 y Fz(1)1037
358 y FI(:=)1126 342 y(_)1112 321 y FE(S)1154 322 y FA(1)1154
373 y FG(n)p FF(=1)1222 358 y FJ(E)1258 365 y FG(n)1282
358 y FI(\()p FJ(q)1323 365 y FF(1)1342 358 y FI(\))p
FK(.)h(Da)g FJ(f)1504 365 y FF(1)1524 358 y FK(,)f(wie)h(sc)o(hon)60
418 y(w)o(\344rend)c(der)g(Konstruktion)h(gezeigt,)d(die)i(Bedingung)g
(\(2.27\))h(erf\374llt,)d(ist)i FJ(f)1519 425 y FF(1)1557
418 y FK(ein)f FJ(\017)p FK(-Flu\377)60 479 y(auf)g FJ(T)172
486 y FF(1)191 479 y FK(.)60 539 y(Die)f(Konstruktion)h(v)o(on)g
FJ(T)571 546 y FF(2)607 539 y FK(und)g FJ(f)729 546 y
FF(2)766 539 y FK(erfolgt)f(genau)i(in)e(der)h(gleic)o(hen)e(W)l(eise)h
(wie)g(die)g(v)o(on)60 599 y FJ(T)89 606 y FF(1)128 599
y FK(und)k FJ(f)253 606 y FF(1)273 599 y FK(.)g(Sei)f(no)q(c)o(h)516
586 y FI(^)509 599 y FJ(V)31 b FI(:=)20 b FJ(V)668 606
y FG(T)689 611 y Fz(1)718 593 y FI(_)708 599 y FH([)p
FJ(V)769 606 y FG(T)790 611 y Fz(2)810 599 y FK(,)855
586 y FI(^)843 599 y FJ(E)j FI(:=)d FJ(E)1010 606 y FG(T)1031
611 y Fz(1)1060 593 y FI(_)1050 599 y FH([)p FJ(E)1119
606 y FG(T)1140 611 y Fz(2)1169 593 y FI(_)1159 599 y
FH([ff)p FJ(q)1264 606 y FF(1)1284 599 y FJ(;)8 b(q)1328
606 y FF(2)1347 599 y FH(gg)p FK(.)19 b(Dann)i(ist)e
FJ(B)k FK(mit)60 659 y FJ(G)14 b FI(=)g(\()190 647 y(^)183
659 y FJ(V)d(;)256 647 y FI(^)244 659 y FJ(E)s(;)d(w)q
Fx(\030)370 665 y FF(^)362 673 y FG(E)392 659 y FI(\))16
b FK(nac)o(h)g(De\034nition)g(2.3.7)h(ein)e FJ(\017)p
FK(-Dopp)q(elbaum.)445 b Fx(\004)60 815 y FL(Lemma)18
b(2.4.4.)23 b FK(Sei)81 b FH(I)129 b FI(:=)c(\()p FJ(I)932
822 y FF(1)951 815 y FJ(;)8 b(I)995 822 y FF(2)1015 815
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))81 b FK(ein)g(Randsystem)g(und)60
838 y FE(P)113 889 y FG(i)p FA(2)p FG(I)164 894 y Fz(1)191
875 y FJ(r)213 882 y FG(i)241 875 y FI(=)293 838 y FE(P)345
889 y FG(j)r FA(2)p FG(I)400 894 y Fz(2)428 875 y FJ(s)451
882 y FG(j)483 875 y FJ(<)14 b FH(1)p FK(,)37 b FJ(P)21
b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(.)37 b(Ist)g(dann)i
FJ(\017)13 b(>)h FI(0)q FK(,)37 b(so)h(hat)g FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))39 b FK(k)o(einen)60 935 y FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum.)
60 1188 y FB(Beweis.)26 b FK(Ist)67 b FJ(\017)14 b(>)g
FI(0)p FK(,)67 b(und)h(hat)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b
FI(\))14 b(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))68
b FK(einen)e FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)60 1248 y FJ(B)16
b FI(=)e(\()p FJ(G)222 1230 y FA(0)234 1248 y FJ(;)8
b(T)285 1255 y FF(1)304 1248 y FJ(;)g(T)355 1255 y FF(2)375
1248 y FI(\))p FK(,)15 b(so)i(gilt)506 1360 y FE(X)451
1468 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)556 1473
y Fz(1)573 1468 y FA(\002)p FG(I)615 1473 y Fz(2)641
1408 y FJ(p)665 1415 y FG(i;j)720 1408 y FH(\025)788
1360 y FE(X)772 1466 y FG(e)p FA(2)p FG(E)838 1472 y
Fu(T)856 1479 y Fz(1)884 1408 y FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p
FI(\))d FH(\025)1063 1360 y FE(X)1047 1466 y FG(e)p FA(2)p
FG(E)1113 1472 y Fu(T)1131 1479 y Fz(1)1159 1408 y FJ(f)1183
1415 y FF(1)1203 1408 y FI(\()p FJ(e)p FI(\))f(=)h FH(1)60
1613 y FK(w)o(egen)i(Lemma)e(2.3.4.)i(Das)h(steh)o(t)f(im)e(Gegensatz)j
(zur)f(V)l(oraussetzung.)296 b Fx(\004)60 1768 y FL(Korollar)20
b(2.4.5.)j FK(Satz)16 b(2.2.6.)60 2022 y FB(Beweis.)26
b FK(Seien)21 b(die)h(V)l(oraussetzungen)h(und)g(Bezeic)o(hn)o(ungen)d
(also)j(wie)f(in)g(Satz)g(2.2.6.)60 2082 y(Nac)o(h)29
b(Satz)h(2.4.3)g(ist)g(n)o(ur)f(no)q(c)o(h)i(zu)e(zeigen,)g(da\377)h
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))31 b FK(f\374r)f(k)o(ein)e
FJ(\017)37 b(>)g FI(0)30 b FK(einen)60 2142 y FJ(\017)p
FK(-Dopp)q(elbaum)e(hab)q(en)12 b(k)m(ann,)g(und)g(das)h(ist)f(gerade)g
(die)f(Aussage)h(v)o(on)g(Lemma)e(2.4.4.)48 b Fx(\004)60
2395 y FK(Die)21 b(folgenden)h(Beispiele)e(stammen)g(aus)i([4])g(und)g
(zeigen)f(die)g(An)o(w)o(endung)h(v)o(on)g(Satz)60 2455
y(2.4.3)16 b(auf)h(einige)e(k)o(onkret)h(v)o(orgegeb)q(ene)g(Matrizen.)
60 2611 y FL(Beispiel)k(2.4.6.)j FJ(P)456 2618 y FG(a)500
2611 y FK(sei)f(die)g(folgende)g(in)g(\(2.31\))i(in)e(Abh\344ngigk)o
(eit)g(des)g(P)o(arameters)60 2671 y FJ(a)13 b(>)h FI(0)21
b FK(de\034nierte)f(Matrix)g(\(die)g(Matrix)h(b)q(estehe)f(bis)h(auf)g
(die)f(angegeb)q(enen)i(Elemen)o(te)60 2731 y(n)o(ur)h(aus)g(Nullen,)e
(w)o(ob)q(ei)i(die)f(b)q(eiden)h(Diagonalen)g(aus)h(Dreien,)d(wie)i
(angedeutet,)f(ins)p eop
%%Page: 38 40
38 39 bop 120 50 a FK(38)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(Unendlic)o(he)e(fortgesetzt)i(w)o(erden)g(sollen\).)441
357 y FJ(y)465 364 y FF(1)532 357 y FJ(y)556 364 y FF(2)622
357 y FJ(y)646 364 y FF(3)712 357 y FJ(y)736 364 y FF(4)802
357 y FJ(y)826 364 y FF(5)893 357 y FJ(y)917 364 y FF(6)983
357 y FJ(y)1007 364 y FF(7)1073 357 y FJ(y)1097 364 y
FF(8)1164 357 y FJ(y)1188 364 y FF(9)1251 357 y FJ(y)1275
364 y FF(10)1354 357 y FJ(y)1378 364 y FF(11)1456 357
y FJ(:)8 b(:)g(:)330 436 y(x)358 443 y FF(1)330 496 y
FJ(x)358 503 y FF(2)330 556 y FJ(x)358 563 y FF(3)330
616 y FJ(x)358 623 y FF(4)330 676 y FJ(x)358 683 y FF(5)330
737 y FJ(x)358 744 y FF(6)330 797 y FJ(x)358 804 y FF(7)330
857 y FJ(x)358 864 y FF(8)330 917 y FJ(x)358 924 y FF(9)321
977 y FJ(x)349 984 y FF(10)321 1037 y FJ(x)349 1044 y
FF(11)321 1098 y FJ(x)349 1105 y FF(12)347 1145 y FK(.)347
1162 y(.)347 1179 y(.)394 394 y FE(0)394 481 y(B)394
511 y(B)394 541 y(B)394 571 y(B)394 601 y(B)394 631 y(B)394
661 y(B)394 690 y(B)394 720 y(B)394 750 y(B)394 780 y(B)394
810 y(B)394 840 y(B)394 870 y(B)394 900 y(B)394 930 y(B)394
959 y(B)394 989 y(B)394 1019 y(B)394 1049 y(B)394 1079
y(B)394 1111 y(@)450 436 y FJ(a)245 b FI(6)66 b(8)h(5)450
496 y(2)540 556 y(1)450 616 y(3)518 b(4)540 676 y(2)67
b(3)721 737 y(3)247 b(5)66 b(1)g(2)1082 797 y(2)1082
857 y(7)902 917 y(2)337 b(3)1263 977 y(3)66 b(3)1353
1037 y(3)g(3)1443 1098 y(3)71 b(3)1524 1150 y FK(.)1543
1162 y(.)1562 1175 y(.)1579 394 y FE(1)1579 481 y(C)1579
511 y(C)1579 541 y(C)1579 571 y(C)1579 601 y(C)1579 631
y(C)1579 661 y(C)1579 690 y(C)1579 720 y(C)1579 750 y(C)1579
780 y(C)1579 810 y(C)1579 840 y(C)1579 870 y(C)1579 900
y(C)1579 930 y(C)1579 959 y(C)1579 989 y(C)1579 1019
y(C)1579 1049 y(C)1579 1079 y(C)1579 1111 y(A)1636 808
y FI(=:)13 b FJ(P)1732 815 y FG(a)120 739 y FK(\(2.31\))576
1449 y Ft(x)600 1455 y Fk(8)576 1354 y Ft(x)600 1360
y Fk(7)790 1330 y Ft(y)810 1336 y Fk(8)967 1330 y Ft(y)987
1336 y Fk(9)139 1508 y Ft(x)163 1514 y Fk(3)316 1508
y Ft(x)340 1514 y Fk(5)529 1508 y Ft(x)553 1514 y Fk(2)706
1508 y Ft(x)730 1514 y Fk(4)824 1543 y Ft(x)848 1549
y Fk(6)1237 1508 y Ft(x)1261 1514 y Fk(9)1406 1508 y
Ft(x)1430 1514 y Fk(10)1583 1508 y Ft(x)1607 1514 y Fk(11)223
1743 y Ft(y)243 1749 y Fk(2)400 1743 y Ft(y)420 1749
y Fk(3)589 1743 y Ft(y)609 1749 y Fk(1)790 1743 y Ft(y)810
1749 y Fk(7)979 1743 y Ft(y)999 1749 y Fk(4)1144 1743
y Ft(y)1164 1749 y Fk(6)1313 1743 y Ft(y)1333 1749 y
Fk(10)1491 1743 y Ft(y)1511 1749 y Fk(11)1668 1743 y
Ft(y)1688 1749 y Fk(12)753 1921 y Ft(x)777 1927 y Fk(1)1050
1920 y Ft(y)1070 1926 y Fk(5)706 1353 y FF(2)730 1442
y(7)813 1459 y(1)960 1465 y(2)175 1631 y(1)65 b(2)76
b(3)195 b(2)64 b(3)77 b(4)64 b(5)71 b(3)236 b(2)65 b(3)70
b(3)65 b(3)70 b(3)h(3)692 1836 y Ft(a)860 1826 y FF(6)1037
1820 y(5)943 1908 y(8)148 1939 y @beginspecial 156 @llx
452 @lly 463 @urx 561 @ury 3968 @rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../b1.eps

/IdrawDict 51 dict def
IdrawDict begin

/reencodeISO {
dup dup findfont dup length dict begin
{ 1 index /FID ne { def }{ pop pop } ifelse } forall
/Encoding ISOLatin1Encoding def
currentdict end definefont
} def

/ISOLatin1Encoding [
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/space/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright
/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/minus/period/slash
/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon
/less/equal/greater/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N
/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright
/asciicircum/underscore/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m
/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/braceleft/bar/braceright/asciitilde
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/dotlessi/grave/acute/circumflex/tilde/macron/breve
/dotaccent/dieresis/.notdef/ring/cedilla/.notdef/hungarumlaut
/ogonek/caron/space/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar
/section/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot
/hyphen/registered/macron/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior
/acute/mu/paragraph/periodcentered/cedilla/onesuperior/ordmasculine
/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown
/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla
/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex
/Idieresis/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis
/multiply/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute
/Thorn/germandbls/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis
/aring/ae/ccedilla/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave
/iacute/icircumflex/idieresis/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex
/otilde/odieresis/divide/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis
/yacute/thorn/ydieresis
] def
/Helvetica reencodeISO def

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Elli
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0 SetP
%I t
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%I
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Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
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0 SetP
%I t
[ 0.0714286 0 0 0.0714286 210.5 582.679 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 558.5 648 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Line
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0 0 0 SetCFg
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%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 168 397 ] concat
%I
51 221 71 261 Line
End

Begin %I Line
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 168 397 ] concat
%I
71 261 91 221 Line
End

Begin %I Elli
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%I
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End

Begin %I Elli
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2 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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0 SetP
%I t
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%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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1 1 1 SetCBg
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0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 229 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
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%I
31 261 51 221 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 258 397 ] concat
%I
51 221 71 261 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 258 397 ] concat
%I
71 261 91 221 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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0 SetP
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%I
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End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
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0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 319 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
169 134 189 174 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
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0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 339.5 531.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
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%I p
0 SetP
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[ 0.25 0 0 0.25 359 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 399 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 260 484 ] concat
%I
169 134 189 174 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 419.5 531.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 417 397 ] concat
%I
31 261 51 221 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 417 397 ] concat
%I
51 221 71 261 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 417 397 ] concat
%I
71 261 91 221 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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%I cbg White
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%I p
0 SetP
%I t
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%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 438 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 339 484 ] concat
%I
169 134 189 174 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 498.5 531.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 518 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
348 174 368 134 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 259 532 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 319 443 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
209 134 169 85 Line
End

Begin %I Line
%I b 13107
1 0 0 [2 2 2 2 2 2 2 2] 15 SetB
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0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
129 134 169 85 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
169 85 219 85 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
189 174 209 214 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 1 0 0 1 180 484 ] concat
%I
189 174 169 214 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 359 572 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
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1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
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[ 0.25 0 0 0.25 369 443 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 279 572 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 319 572 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 279 552 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
161 500 201 500 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
161 480 201 500 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
221 461 241 421 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
201 371 280 421 Line
End

End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 717 2058 a FK(Abbildung)15 b(2.2:)h FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)1136 2065 y FG(a)1158 2058 y FI(\))120 2161
y FJ(G)p FI(\()p FJ(P)208 2168 y FG(a)230 2161 y FI(\))e(=)f(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))k FK(ist)f(in)h(Abbildung)f(2.2)h
(dargestellt.)e(Man)i(erk)o(enn)o(t,)e(da\377)i FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)1653 2168 y FG(a)1675 2161 y FI(\))f FK(genau)120
2221 y(dann)19 b(einen)e(Kreis)g(hat,)h(w)o(enn)f FJ(a)g(>)f
FI(0)p FK(.)i(Genau)h(in)e(diesem)f(F)l(all)h(ist)h FJ(P)1459
2228 y FG(a)1503 2221 y FJ(=)-30 b FH(2)17 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p FJ(P)1738 2228 y FG(a)1760
2221 y FI(\)\)\))p FK(.)120 2282 y(Dazu)22 b(ist)f(nac)o(h)h(Satz)f
(2.4.3)h(n)o(ur)f(no)q(c)o(h)h(zu)f(zeigen,)f(da\377)j
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)1317 2289 y FG(a)1339 2282 y FI(\))e
FK(f\374r)h(k)o(ein)e FJ(\017)i(>)h FI(0)f FK(einen)120
2342 y FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)34 b(hab)q(en)18 b(k)m(ann.)g
(H\344tte)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)968 2349 y FG(a)989 2342
y FI(\))g FK(f\374r)g(ein)f FJ(\017)g(>)f FI(0)i FK(einen)f
FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum,)g(so)120 2402 y(g\344b)q(e)j(es)f(nac)o(h)
g(De\034nition)f(2.3.7)h(und)h(Lemma)d(2.3.4)i(eine)f(Kan)o(te)g
FJ(e)c FI(=)g FH(f)p FJ(q)1547 2409 y FF(1)1566 2402
y FJ(;)8 b(q)1610 2409 y FF(2)1629 2402 y FH(g)14 b(2)g
FJ(E)s FK(,)k(so)120 2462 y(da\377)h FI(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)14 b FH(n)d(f)p FJ(e)p FH(g)p FI(\))18 b FK(zw)o(ei)f
(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)f(mit)h(unendlic)o(h)g(vielen)f(Ec)o
(k)o(en)120 2522 y(hat.)k(Bei)e(en)o(tfernen)g(einer)h(Kan)o(te)g(aus)h
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)979 2529 y FG(a)1001 2522 y FI(\))f
FK(en)o(tsteh)o(t)g(ab)q(er)h(h\366)q(c)o(hstens)g(eine)f(Zusam-)120
2583 y(menhangsk)o(omp)q(onen)o(te)14 b(mit)h(unendlic)o(h)f(vielen)h
(Ec)o(k)o(en.)120 2671 y FL(Beispiel)20 b(2.4.7.)j FJ(P)29
b FK(sei)22 b(die)g(folgende)g(in)g(\(2.32\))i(de\034nierte)d(Matrix.)g
(In)h(diesem)f(F)l(all)120 2731 y(ist)15 b(es)g(m\366glic)o(herw)o
(eise)d(\374b)q(ersic)o(h)o(tlic)o(her,)g(das)k(Bildungsgesetz)f
(f\374r)g(die)g(Matrix)g(\374b)q(er)g(den)p eop
%%Page: 39 41
39 40 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(39)60 203 y(Graphen)15
b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FK(zu)f(erkl\344ren)g(\(das)h(ist)
f(nac)o(h)g(Bemerkung)e(2.1.5)j(legitim\).)c FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)c FI(\))15 b FK(soll)g(wie)60 264 y(in)g(Abbildung)f(2.3)h(\(a\))h
(angedeutet)f(nac)o(h)f(links)h(und)g(rec)o(h)o(ts)f(ins)h(Unendlic)o
(he)d(fortgesetzt)60 324 y(w)o(erden.)20 b(Wie)g(dort)i(angegeb)q(en,)f
(w)o(erden)g(die)f(Ec)o(k)o(en)g(spalten)o(w)o(eise)g(durc)o(hn)o(umm)o
(eri)o(ert)60 384 y(und)d(zw)o(ar)f(imm)o(er)d(ab)o(w)o(ec)o(hselnd)i
(eine)h(Spalte)g(links)f(und)h(eine)g(Spalte)g(rec)o(h)o(ts.)186
702 y FJ(y)210 709 y FF(1)277 702 y FJ(y)301 709 y FF(2)367
702 y FJ(y)391 709 y FF(3)457 702 y FJ(y)481 709 y FF(4)548
702 y FJ(y)572 709 y FF(5)638 702 y FJ(y)662 709 y FF(6)728
702 y FJ(y)752 709 y FF(7)818 702 y FJ(y)842 709 y FF(8)909
702 y FJ(y)933 709 y FF(9)988 702 y FJ(y)1012 709 y FF(10)1082
702 y FJ(y)1106 709 y FF(11)1177 702 y FJ(y)1201 709
y FF(12)1271 702 y FJ(y)1295 709 y FF(13)1365 702 y FJ(y)1389
709 y FF(14)1460 702 y FJ(y)1484 709 y FF(15)1554 702
y FJ(:)8 b(:)g(:)75 789 y(x)103 796 y FF(1)75 850 y FJ(x)103
857 y FF(2)75 910 y FJ(x)103 917 y FF(3)75 970 y FJ(x)103
977 y FF(4)75 1030 y FJ(x)103 1037 y FF(5)75 1090 y FJ(x)103
1097 y FF(6)75 1150 y FJ(x)103 1157 y FF(7)75 1211 y
FJ(x)103 1218 y FF(8)75 1271 y FJ(x)103 1278 y FF(9)66
1331 y FJ(x)94 1338 y FF(10)66 1391 y FJ(x)94 1398 y
FF(11)66 1451 y FJ(x)94 1458 y FF(12)66 1512 y FJ(x)94
1519 y FF(13)66 1572 y FJ(x)94 1579 y FF(14)92 1620 y
FK(.)92 1636 y(.)92 1653 y(.)139 748 y FE(0)139 835 y(B)139
865 y(B)139 895 y(B)139 925 y(B)139 955 y(B)139 985 y(B)139
1015 y(B)139 1045 y(B)139 1075 y(B)139 1104 y(B)139 1134
y(B)139 1164 y(B)139 1194 y(B)139 1224 y(B)139 1254 y(B)139
1284 y(B)139 1314 y(B)139 1344 y(B)139 1373 y(B)139 1403
y(B)139 1433 y(B)139 1463 y(B)139 1493 y(B)139 1523 y(B)139
1553 y(B)139 1585 y(@)195 779 y FI(2)469 759 y FF(1)p
469 767 18 2 v 469 796 a(2)560 759 y(1)p 560 767 V 560
796 a(3)195 839 y FI(1)289 819 y FF(1)p 289 828 V 289
856 a(2)379 819 y(1)p 379 828 V 379 856 a(2)289 880 y(1)p
289 888 V 289 916 a(4)650 880 y(1)p 650 888 V 650 916
a(8)740 880 y(1)p 740 888 V 740 916 a(8)289 940 y(1)p
289 948 V 289 977 a(4)831 940 y(1)p 831 948 V 831 977
a(8)925 940 y(1)p 925 948 V 925 977 a(8)379 1000 y(1)p
379 1008 V 379 1037 a(4)1020 1000 y(1)p 1020 1008 V 1020
1037 a(8)1110 1000 y(1)p 1110 1008 V 1110 1037 a(8)379
1060 y(1)p 379 1068 V 379 1097 a(4)1200 1060 y(1)p 1200
1068 V 1200 1097 a(8)1290 1060 y(1)p 1290 1068 V 1290
1097 a(8)469 1120 y(1)p 469 1129 V 469 1157 a(2)1381
1120 y(1)p 1381 1129 V 1381 1157 a(2)560 1181 y(1)p 560
1189 V 560 1217 a(2)1471 1181 y(1)p 1471 1189 V 1471
1217 a(2)650 1262 y(1)p 641 1270 36 2 v 641 1298 a(16)1548
1252 y FK(.)1568 1265 y(.)1587 1277 y(.)650 1322 y FF(1)p
641 1330 V 641 1359 a(16)740 1382 y(1)p 731 1390 V 731
1419 a(16)740 1442 y(1)p 731 1450 V 731 1479 a(16)831
1502 y(1)p 822 1511 V 822 1539 a(16)831 1563 y(1)p 822
1571 V 822 1599 a(16)908 1634 y FK(.)927 1647 y(.)946
1659 y(.)1603 748 y FE(1)1603 835 y(C)1603 865 y(C)1603
895 y(C)1603 925 y(C)1603 955 y(C)1603 985 y(C)1603 1015
y(C)1603 1045 y(C)1603 1075 y(C)1603 1104 y(C)1603 1134
y(C)1603 1164 y(C)1603 1194 y(C)1603 1224 y(C)1603 1254
y(C)1603 1284 y(C)1603 1314 y(C)1603 1344 y(C)1603 1373
y(C)1603 1403 y(C)1603 1433 y(C)1603 1463 y(C)1603 1493
y(C)1603 1523 y(C)1603 1553 y(C)1603 1585 y(A)1660 1221
y FI(=:)14 b FJ(P)60 583 y FK(\(2.32\))60 1957 y(Sei)e
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b(=)f(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(.)k(In)h(Abbildung)g(2.3)g(ist)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FK(zusammen)c(mit)h(zw)o(ei)h
(Subgraphen)60 2017 y FJ(H)100 2024 y FF(1)132 2017 y
FK(und)f FJ(H)264 2024 y FF(2)296 2017 y FK(dargestellt.)g(Mit)f
FJ(q)654 2024 y FF(1)688 2017 y FI(:=)j FJ(y)777 2024
y FF(1)796 2017 y FK(,)e FJ(T)850 2024 y FF(1)881 2017
y FK(links)g(v)o(on)g FJ(q)1101 2024 y FF(1)1121 2017
y FK(,)g FJ(q)1168 2024 y FF(2)1201 2017 y FI(:=)i FJ(x)1294
2024 y FF(2)1314 2017 y FK(,)e FJ(T)1368 2024 y FF(2)1399
2017 y FK(rec)o(h)o(ts)f(v)o(on)h FJ(q)1644 2024 y FF(2)1675
2017 y FK(wird)60 2077 y FJ(H)100 2084 y FF(1)134 2077
y FK(zu)j(einem)341 2058 y FF(5)p 341 2066 18 2 v 341
2095 a(6)363 2077 y FK(-Dopp)q(elbaum,)g(w)o(ob)q(ei)g(die)896
2058 y FF(5)p 896 2066 V 896 2095 a(6)919 2077 y FK(-Fl\374sse)g
FJ(f)1106 2084 y FF(1)1140 2077 y FH(\024)f FJ(w)i FK(auf)g
FJ(T)1352 2084 y FF(1)1385 2077 y FK(und)g FJ(f)1505
2084 y FF(2)1538 2077 y FH(\024)f FJ(w)h FK(auf)g FJ(T)1751
2084 y FF(2)60 2138 y FK(der)j(Abbildung)g(2.3)h(\(b\))g(zu)f(en)o
(tnehmen)f(sind.)h(En)o(tsprec)o(hend)g(wird)g FJ(H)1450
2145 y FF(2)1489 2138 y FK(mit)e FJ(q)1602 2145 y FF(1)1640
2138 y FI(:=)h FJ(x)1737 2145 y FF(2)1756 2138 y FK(,)60
2198 y FJ(T)89 2205 y FF(1)122 2198 y FK(ob)q(erhalb)d(v)o(on)g
FJ(x)439 2205 y FF(2)458 2198 y FK(,)g FJ(q)508 2205
y FF(2)541 2198 y FI(:=)f FJ(y)630 2205 y FF(3)650 2198
y FK(,)g FJ(T)706 2205 y FF(2)739 2198 y FK(un)o(terhalb)h(v)o(on)f
FJ(y)1071 2205 y FF(3)1104 2198 y FK(zu)h(einem)1310
2178 y FF(1)p 1310 2186 V 1310 2215 a(4)1333 2198 y FK(-Dopp)q(elbaum,)
f(w)o(ob)q(ei)60 2258 y(die)144 2238 y FF(1)p 144 2247
V 144 2275 a(4)167 2258 y FK(-Fl\374sse)k FJ(f)357 2265
y FF(1)392 2258 y FH(\024)e FJ(w)k FK(auf)e FJ(T)612
2265 y FF(1)648 2258 y FK(und)h FJ(f)771 2265 y FF(2)806
2258 y FH(\024)d FJ(w)j FK(auf)g FJ(T)1026 2265 y FF(2)1062
2258 y FK(diesmal)e(der)g(Abbildung)h(2.3)h(\(c\))e(zu)60
2318 y(en)o(tnehmen)e(sind.)i(Nac)o(h)f(Satz)i(2.4.3)f(ist)g(also)h
FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\)\))p FK(.)60 2551 y FL(Beispiel)20
b(2.4.8.)j FJ(P)i FK(sei)18 b(die)f(folgende)h(in)g(\(2.33\))h
(de\034nierte)e(Matrix.)g(Wieder)g(b)q(etrac)o(h-)60
2611 y(te)k(man)f(f\374r)i(das)g(Bildungsgesetz)e(der)h(Elemen)o(te)d
(v)o(on)j FJ(P)29 b FK(den)21 b(Graphen)h FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))22 b FK(\(siehe)60 2671 y(Abbildung)c(2.4\).)g(Die)g(Ec)
o(k)o(en)f(sind)h(analog)h(zu)f(Abbildung)g(2.3)h(\(a\))f(n)o(ummerie)o
(rt.)d(Dies-)60 2731 y(mal)21 b(sind)i(die)f(Kan)o(tengewic)o(h)o(te)f
(auf)i(der)f(rec)o(h)o(ten)f(Seite)1214 2712 y FF(1)p
1203 2720 39 2 v 1203 2749 a(4)1221 2739 y Fu(n)1270
2731 y FK(im)f(Gegensatz)j(zu)1673 2712 y FF(1)p 1663
2720 V 1663 2749 a(2)1681 2739 y Fu(n)1729 2731 y FK(in)p
eop
%%Page: 40 42
40 41 bop 120 50 a FK(40)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)225 493
y Ft(x)249 499 y Fk(25)368 492 y Ft(y)388 498 y Fk(14)517
493 y Ft(x)541 499 y Fk(7)660 492 y Ft(y)680 498 y Fk(4)812
588 y Ft(x)836 594 y Fk(1)956 587 y Ft(y)976 593 y Fk(1)225
729 y Ft(x)249 735 y Fk(26)368 728 y Ft(y)388 734 y Fk(15)517
729 y Ft(x)541 735 y Fk(8)660 728 y Ft(y)680 734 y Fk(5)1096
582 y Ft(x)1120 588 y Fk(2)1251 492 y Ft(y)1271 498 y
Fk(2)1251 728 y Ft(y)1271 734 y Fk(3)1397 404 y Ft(x)1421
410 y Fk(3)1399 527 y FG(x)1419 532 y Fz(4)1399 646 y
FG(x)1419 651 y Fz(5)1397 812 y Ft(x)1421 818 y Fk(6)1534
327 y Ft(y)1554 333 y Fk(6)1560 444 y FG(y)1577 449 y
Fz(7)1560 497 y FG(y)1577 502 y Fz(8)1560 556 y FG(y)1577
561 y Fz(9)1552 615 y FG(y)1569 620 y Fz(10)1552 674
y FG(y)1569 679 y Fz(11)1552 733 y FG(y)1569 738 y Fz(12)1526
900 y Ft(y)1546 906 y Fk(13)1710 286 y Ft(x)1734 292
y Fk(9)1701 363 y Ft(x)1725 369 y Fk(10)1701 871 y Ft(x)1725
877 y Fk(23)1701 936 y Ft(x)1725 942 y Fk(24)318 541
y Fz(1)p 318 547 16 2 v 318 568 a(2)460 541 y(1)p 460
547 V 460 568 a(2)613 541 y(1)p 613 547 V 613 568 a(2)755
523 y(1)p 755 529 V 755 550 a(2)318 659 y(1)p 318 665
V 318 686 a(2)460 659 y(1)p 460 665 V 460 686 a(2)613
659 y(1)p 613 665 V 613 686 a(2)755 677 y(1)p 755 683
V 755 703 a(3)895 634 y FF(2)124 b(1)1186 529 y Fz(1)p
1186 535 V 1186 556 a(2)1186 671 y(1)p 1186 677 V 1186
698 a(2)1334 441 y(1)p 1334 447 V 1334 467 a(4)1316 553
y(1)p 1316 559 V 1316 579 a(4)1334 641 y(1)p 1334 647
V 1334 668 a(4)1334 760 y(1)p 1334 766 V 1334 786 a(4)1475
358 y(1)p 1475 364 V 1475 385 a(8)1452 460 y Fr(1)p 1452
464 15 2 v 1452 481 a(8)1476 507 y(1)p 1476 511 V 1476
528 a(8)1452 572 y(1)p 1452 576 V 1452 593 a(8)1476 625
y(1)p 1476 629 V 1476 646 a(8)1452 690 y(1)p 1452 694
V 1452 711 a(8)1476 738 y(1)p 1476 742 V 1476 758 a(8)1475
842 y Fz(1)p 1475 848 16 2 v 1475 869 a(8)1629 258 y(1)p
1621 264 31 2 v 1621 284 a(16)1652 387 y(1)p 1645 393
V 1645 414 a(16)1652 813 y(1)p 1645 819 V 1645 839 a(16)1629
943 y(1)p 1621 949 V 1621 969 a(16)1667 438 y Fq(.)1667
454 y(.)1667 471 y(.)1667 745 y(.)1667 761 y(.)1667 778
y(.)884 724 y FK(Abb.)15 b(\(a\))225 1284 y Ft(x)249
1290 y Fk(25)368 1283 y Ft(y)388 1289 y Fk(14)517 1284
y Ft(x)541 1290 y Fk(7)660 1283 y Ft(y)680 1289 y Fk(4)818
1379 y Ft(x)842 1385 y Fk(1)934 1378 y Ff(=)c Ft(y)997
1384 y Fk(1)939 1337 y Ft(q)958 1343 y Fk(1)225 1521
y Ft(x)249 1527 y Fk(26)368 1520 y Ft(y)388 1526 y Fk(15)517
1521 y Ft(x)541 1527 y Fk(8)660 1520 y Ft(y)680 1526
y Fk(5)1050 1373 y Ff(=)h Ft(x)1118 1379 y Fk(2)1057
1337 y Ft(q)1076 1343 y Fk(2)1251 1283 y Ft(y)1271 1289
y Fk(2)1251 1520 y Ft(y)1271 1526 y Fk(3)1397 1196 y
Ft(x)1421 1202 y Fk(3)1399 1319 y FG(x)1419 1324 y Fz(4)1399
1437 y FG(x)1419 1442 y Fz(5)1397 1603 y Ft(x)1421 1609
y Fk(6)1534 1118 y Ft(y)1554 1124 y Fk(6)1560 1235 y
FG(y)1577 1240 y Fz(7)1560 1288 y FG(y)1577 1293 y Fz(8)1560
1347 y FG(y)1577 1352 y Fz(9)1552 1406 y FG(y)1569 1411
y Fz(10)1552 1466 y FG(y)1569 1471 y Fz(11)1552 1525
y FG(y)1569 1530 y Fz(12)1526 1691 y Ft(y)1546 1697 y
Fk(13)1710 1078 y Ft(x)1734 1084 y Fk(9)1701 1149 y Ft(x)1725
1155 y Fk(10)1701 1662 y Ft(x)1725 1668 y Fk(23)1701
1727 y Ft(x)1725 1733 y Fk(24)318 1332 y Fz(1)p 318 1338
16 2 v 318 1359 a(2)460 1332 y(1)p 460 1338 V 460 1359
a(2)613 1332 y(1)p 613 1338 V 613 1359 a(2)755 1315 y(1)p
755 1321 V 755 1341 a(2)318 1450 y(1)p 318 1456 V 318
1477 a(3)460 1450 y(1)p 460 1456 V 460 1477 a(3)613 1450
y(1)p 613 1456 V 613 1477 a(3)755 1468 y(1)p 755 1474
V 755 1495 a(3)897 1421 y(5)p 897 1427 V 897 1448 a(6)1038
1421 y(5)p 1038 1427 V 1038 1448 a(6)1186 1315 y(5)p
1178 1321 31 2 v 1178 1341 a(12)1186 1462 y(5)p 1178
1468 V 1178 1489 a(12)1334 1226 y(5)p 1326 1232 V 1326
1253 a(24)1316 1344 y(5)p 1308 1350 V 1308 1371 a(24)1334
1433 y(5)p 1326 1439 V 1326 1459 a(24)1334 1551 y(5)p
1326 1557 V 1326 1577 a(24)1475 1143 y(5)p 1468 1149
V 1468 1170 a(48)1452 1251 y Fr(5)p 1445 1255 29 2 v
1445 1272 a(48)1476 1293 y(5)p 1469 1297 V 1469 1313
a(48)1452 1364 y(5)p 1445 1368 V 1445 1384 a(48)1476
1411 y(5)p 1469 1415 V 1469 1431 a(48)1452 1482 y(5)p
1445 1486 V 1445 1502 a(48)1476 1529 y(5)p 1469 1533
V 1469 1549 a(48)1475 1634 y Fz(5)p 1468 1640 31 2 v
1468 1660 a(48)1629 1043 y(5)p 1621 1049 V 1621 1070
a(96)1652 1179 y(5)p 1645 1185 V 1645 1205 a(96)1652
1598 y(5)p 1645 1604 V 1645 1625 a(96)1629 1728 y(5)p
1621 1734 V 1621 1755 a(96)1667 1223 y Fq(.)1667 1240
y(.)1667 1256 y(.)1667 1530 y(.)1667 1547 y(.)1667 1563
y(.)882 1551 y FK(Abb.)k(\(b\))443 1156 y FJ(T)472 1163
y FF(1)1246 1156 y FJ(T)1275 1163 y FF(2)1072 2158 y
Ft(x)1096 2164 y Fk(2)982 2157 y Ft(q)1001 2163 y Fk(1)1030
2157 y Ff(=)1251 2045 y Ft(y)1271 2051 y Fk(2)1221 2264
y Ft(y)1241 2270 y Fk(3)1218 2305 y Ff(=)c Ft(q)1281
2311 y Fk(2)1397 1958 y Ft(x)1421 1964 y Fk(3)1399 2081
y FG(x)1419 2086 y Fz(4)1399 2199 y FG(x)1419 2204 y
Fz(5)1397 2365 y Ft(x)1421 2371 y Fk(6)1534 1880 y Ft(y)1554
1886 y Fk(6)1560 1997 y FG(y)1577 2002 y Fz(7)1560 2050
y FG(y)1577 2055 y Fz(8)1560 2109 y FG(y)1577 2114 y
Fz(9)1552 2168 y FG(y)1569 2173 y Fz(10)1552 2227 y FG(y)1569
2232 y Fz(11)1552 2286 y FG(y)1569 2291 y Fz(12)1526
2453 y Ft(y)1546 2459 y Fk(13)1710 1840 y Ft(x)1734 1846
y Fk(9)1701 1910 y Ft(x)1725 1916 y Fk(10)1701 2424 y
Ft(x)1725 2430 y Fk(23)1701 2489 y Ft(x)1725 2495 y Fk(24)1186
2082 y Fz(1)p 1186 2088 16 2 v 1186 2109 a(4)1186 2224
y(1)p 1186 2230 V 1186 2251 a(4)1334 1994 y(1)p 1334
2000 V 1334 2020 a(8)1316 2106 y(1)p 1316 2112 V 1316
2133 a(8)1334 2195 y(1)p 1334 2201 V 1334 2221 a(8)1334
2313 y(1)p 1334 2319 V 1334 2339 a(8)1475 1905 y(1)p
1468 1911 31 2 v 1468 1932 a(16)1452 2013 y Fr(1)p 1445
2017 29 2 v 1445 2034 a(16)1476 2055 y(1)p 1469 2059
V 1469 2075 a(16)1452 2125 y(1)p 1445 2129 V 1445 2146
a(16)1476 2173 y(1)p 1469 2177 V 1469 2193 a(16)1452
2244 y(1)p 1445 2248 V 1445 2264 a(16)1476 2291 y(1)p
1469 2295 V 1469 2311 a(16)1475 2395 y Fz(1)p 1468 2401
31 2 v 1468 2422 a(16)1629 1811 y(1)p 1621 1817 V 1621
1837 a(32)1652 1941 y(1)p 1645 1947 V 1645 1967 a(32)1652
2366 y(1)p 1645 2372 V 1645 2392 a(32)1629 2496 y(1)p
1621 2502 V 1621 2522 a(32)1667 1991 y Fq(.)1667 2007
y(.)1667 2024 y(.)1667 2298 y(.)1667 2315 y(.)1667 2331
y(.)708 2165 y FK(Abb.)j(\(c\))1246 1918 y FJ(T)1275
1925 y FF(1)1246 2432 y FJ(T)1275 2439 y FF(2)148 2519
y @beginspecial 140 @llx 141 @lly 590 @urx 768 @ury 3968
@rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../b2.eps

/IdrawDict 51 dict def
IdrawDict begin

/reencodeISO {
dup dup findfont dup length dict begin
{ 1 index /FID ne { def }{ pop pop } ifelse } forall
/Encoding ISOLatin1Encoding def
currentdict end definefont
} def

/ISOLatin1Encoding [
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/space/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright
/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/minus/period/slash
/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon
/less/equal/greater/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N
/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright
/asciicircum/underscore/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m
/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/braceleft/bar/braceright/asciitilde
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef/.notdef
/.notdef/dotlessi/grave/acute/circumflex/tilde/macron/breve
/dotaccent/dieresis/.notdef/ring/cedilla/.notdef/hungarumlaut
/ogonek/caron/space/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar
/section/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot
/hyphen/registered/macron/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior
/acute/mu/paragraph/periodcentered/cedilla/onesuperior/ordmasculine
/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown
/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla
/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex
/Idieresis/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis
/multiply/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute
/Thorn/germandbls/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis
/aring/ae/ccedilla/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave
/iacute/icircumflex/idieresis/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex
/otilde/odieresis/divide/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis
/yacute/thorn/ydieresis
] def
/Helvetica reencodeISO def

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 328.5 730.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 716.5 962 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 329 671 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 378 701 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 428 701 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 528 671 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 528.5 729.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 760 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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119 505 5 5 Elli
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Begin %I Elli
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Begin %I Elli
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Begin %I Elli
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Begin %I Line
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Begin %I Line
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End

Begin %I Line
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End

Begin %I Line
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Begin %I Line
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Begin %I Line
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%I
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Begin %I Line
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Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
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[ 1 0 0 1 347 386 ] concat
%I
260 421 310 411 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 386 ] concat
%I
211 411 360 321 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 386 ] concat
%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 386 ] concat
%I
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End

Begin %I Elli
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Begin %I Elli
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2 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
%I cbg White
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%I p
0 SetP
%I t
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%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 730 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 750 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 577 721 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
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%I
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(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
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%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 663.5 810.5 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 714.5 763 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 664 831.5 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
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[ 1 0 0 1 665 852 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 665 872 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 665.5 891 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 717.5 921 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Line
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%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 289 388 ] concat
%I
169 439 119 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 289 388 ] concat
%I
119 439 70 469 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 289 388 ] concat
%I
119 439 70 409 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 229 671 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 178 672 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 90 358 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 190 358 ] concat
%I
169 439 119 439 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 229 731 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 279 731 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 179 732 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 140 418 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 140 418 ] concat
%I
169 439 119 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 40 358 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 40 418 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 328.5 461.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 716.5 693 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 329 402 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 378 432 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 428 432 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 528 402 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 528.5 460.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 491 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 577 372 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 412 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 628.5 520.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
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%I cbg White
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119 505 5 5 Elli
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119 505 5 5 Elli
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Begin %I Elli
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119 505 5 5 Elli
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Begin %I Elli
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119 505 5 5 Elli
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Begin %I Line
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Begin %I Line
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Begin %I Line
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Begin %I Line
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End

Begin %I Line
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End

Begin %I Line
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End

Begin %I Line
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End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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End

Begin %I Line
%I b 65535
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[ 1 0 0 1 347 117 ] concat
%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 117 ] concat
%I
260 421 310 411 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 117 ] concat
%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 117 ] concat
%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
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[ 1 0 0 1 347 117 ] concat
%I
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End

Begin %I Elli
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Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 442 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 461 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 481 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 577 452 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
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Helvetica 18 SetF
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%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 664 523.5 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 663.5 541.5 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 714.5 494 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 664 562.5 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 665 583 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 665 603 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 665.5 622 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
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%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Line
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%I
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End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 289 119 ] concat
%I
169 439 119 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 289 119 ] concat
%I
119 439 70 469 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 289 119 ] concat
%I
119 439 70 409 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
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1 1 1 SetCBg
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0 SetP
%I t
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%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 178 403 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 90 89 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 190 89 ] concat
%I
169 439 119 439 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 229 462 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 279 462 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 179 463 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 140 149 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 140 149 ] concat
%I
169 439 119 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 40 89 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 40 149 ] concat
%I
219 439 169 439 Line
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 716.5 434 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 528 143 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 528.5 201.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 232 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 577 113 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 578 153 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 628.5 261.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 677 292 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 677 93 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 123 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 677.5 251.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 143 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 627 84 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478 174 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
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FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(\(in)f(\(c\)\))p eop
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41 42 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(41)60 203 y(Abbildung)16
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] def
/Helvetica reencodeISO def

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 169.5 531.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.0714286 0 0 0.0714286 210.5 582.679 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Text
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I f stdfont
Helvetica 18 SetF
%I t
[ 1 0 0 1 517.5 773 ] concat
%I
[
(...)
] Text
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 168 397 ] concat
%I
31 261 51 221 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 168 397 ] concat
%I
51 221 71 261 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 168 397 ] concat
%I
71 261 91 221 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 209 532 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 189 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 229 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 329 482 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 329.5 540.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 379 571 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 378 452 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 379 492 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 429.5 600.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478 631 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478 432 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 428 462 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478.5 590.5 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 428 482 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 428 423 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 299.5 512 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 478 393 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 149 493 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
2 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.25 0 0 0.25 249 533 ] concat
%I
119 505 5 5 Elli
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
51 461 31 421 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
111 421 131 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
211 470 260 500 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
260 500 310 530 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
310 530 360 560 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
310 530 360 520 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
260 500 310 490 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
211 470 260 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
260 461 310 470 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
260 461 310 451 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
211 411 310 431 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
260 421 310 411 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
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119 505 5 5 Elli
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End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 664 2182 a FK(Abbildung)15 b(2.4:)h FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))60 2305 y FK(In)12 b(Abbildung)g(2.4)g(erk)o
(enn)o(t)f(man,)g(da\377)i FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14
b(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))k FK(k)o(einen)f(Kreis)h
(hat.)g(Au\377erdem)60 2365 y(hat)18 b FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))19 b FK(f\374r)f(k)o(ein)e FJ(\017)g(>)h
FI(0)h FK(einen)f FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum:)g(Nimm)n(t)e(man)i(an,)h
(es)f(gibt)h FJ(\017)c(>)g FI(0)p FK(,)j(so)60 2426 y(da\377)e
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FK(einen)e FJ(\017)p
FK(-Dopp)q(elbaum)h(b)q(esitzt,)f(so)i(folgt)f(nac)o(h)g(De\034nition)g
(2.3.7)h(und)f(Lemma)60 2486 y(2.3.4,)k(da\377)g(es)g(eine)f(Kan)o(te)h
FJ(e)e FI(=)g FH(f)p FJ(q)733 2493 y FF(1)753 2486 y
FJ(;)8 b(q)797 2493 y FF(2)816 2486 y FH(g)16 b(2)h FJ(E)k
FK(gibt,)c(so)i(da\377)f FI(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)16 b
FH(n)c(f)p FJ(e)p FH(g)p FI(\))17 b FK(zw)o(ei)g(Zusam-)60
2546 y(menhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)d FJ(T)601 2553 y
FF(1)621 2546 y FK(,)h FJ(T)679 2553 y FF(2)715 2546
y FK(hat)i(mit)891 2509 y FE(P)944 2561 y FG(e)p FA(2)p
FG(E)r FF(\()p FG(T)1047 2565 y Fu(\026)1066 2561 y FF(\))1091
2546 y FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p FI(\))c(=)h FH(1)i FK(f\374r)g
FJ(\026)f FI(=)e(1)p FJ(;)8 b FI(2)p FK(.)17 b(En)o(tfern)o(t)60
2611 y(man)g(aus)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))18 b
FK(eine)e(Kan)o(te,)h(so)h(liegt)f(in)g(genau)h(einer)f(der)g(en)o
(tstehenden)f(Zusammen-)60 2671 y(hangsk)o(omp)q(onen)o(ten)j
FJ(T)515 2678 y FF(1)553 2671 y FK(und)h FJ(T)683 2678
y FF(2)721 2671 y FK(ein)f(Subgraph)h(des)f(W)l(eges)h
FI(\()p FJ(x)1312 2678 y FF(1)1331 2671 y FJ(;)8 b(y)1377
2678 y FF(1)1396 2671 y FJ(;)g(x)1446 2678 y FF(2)1466
2671 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FI(\))p FK(.)19 b(Dies)g(sei)60
2731 y(ohne)e(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g(Allgemei)o(nheit)d(f\374r)j
FJ(T)995 2738 y FF(1)1031 2731 y FK(der)g(F)l(all.)f(En)o(th\344lt)h
(dann)g FJ(E)s FI(\()p FJ(T)1614 2738 y FF(2)1634 2731
y FI(\))g FK(no)q(c)o(h)p eop
%%Page: 42 44
42 43 bop 120 50 a FK(42)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FJ(n)g FH(2)f Fw(N)249 210 y FF(0)286 203 y FK(Kan)o(ten)i
FJ(e)g FK(mit)f FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p FI(\))f(=)h(1)p
FK(,)h(so)h(gilt)959 166 y FE(P)1012 218 y FG(e)p FA(2)p
FG(E)r FF(\()p FG(T)1115 223 y Fz(2)1131 218 y FF(\))1155
203 y FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p FI(\))e FH(\024)f FJ(n)d
FI(+)1413 166 y FE(P)1465 179 y FA(1)1465 218 y FG(k)q
FF(=1)1545 184 y(2)1563 172 y Fu(k)p 1545 192 37 2 v
1545 221 a FF(4)1563 211 y Fu(k)1602 203 y FJ(<)k FH(1)p
FK(.)g(Also)120 268 y(ist)g FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\)\))17
b FK(nac)o(h)f(Satz)h(2.4.3.)120 368 y(Als)j(eine)g(w)o(eitere)f(An)o
(w)o(endung)h(v)o(on)g(Satz)h(2.4.3)g(soll)f(jetzt)g(im)f(folgenden)i
(Satz)f(2.4.11)120 428 y(gezeigt)c(w)o(erden,)h(da\377)h(die)e(Ein)o
(tr\344ge)h(einer)f(extremalen)f(Matrix)h(in)h(der)g(v)o(on)g(den)g
(Rand-)120 488 y(v)o(erteilungen)i(erzeugten)h(additiv)o(en)g(Un)o
(tergrupp)q(e)h(v)o(on)f Fw(R)e FK(liegen,)i(sofern)h(diese)f(abge-)120
549 y(sc)o(hlossen)h(ist.)g(Das)i(folgende)e(Korollar)h(2.4.12)g
(umfa\377t)f(die)g(v)o(on)g FD(kend)o(al)h FK(\(siehe)f([7)o(]\))120
609 y(und)15 b FD(isbel)g FK(\(siehe)g([5)o(]\))g(b)q(ewiesene)f(V)l
(erallgemeine)o(rung)f(v)o(on)i(Satz)g(2.2.10.)g(Zun\344c)o(hst)g(ein)
120 669 y(paar)i(V)l(orb)q(ereitungen:)120 752 y FL(Lemma)h(2.4.9.)23
b FK(Ist)g FH(G)j FK(eine)d(abgesc)o(hlossene)g(additiv)o(e)f(Un)o
(tergrupp)q(e)i(v)o(on)f Fw(R)m FK(,)g(so)h(ist)120 812
y FH(G)16 b FI(=)e Fw(R)m FK(,)i(o)q(der)h(es)f(gibt)g
FJ(t)e FH(2)g Fw(R)669 791 y FF(+)669 824 y(0)695 812
y FK(,)i(so)h(da\377)g FH(G)f FI(=)e FJ(t)p Fw(Z)-14
b FK(.)120 921 y FB(Beweis.)26 b FK(F)l(all)19 b(1:)h
FH(G)j FK(hat)d(einen)f(H\344ufungspunkt)i(c.)f(Dann)h(gibt)f(es)g
(eine)f(F)l(olge)h FI(\()p FJ(c)1717 928 y FG(n)1740
921 y FI(\))1759 928 y FG(n)p FA(2)p Fm(N)120 981 y FK(in)15
b FH(G)f(n)d(f)p FJ(c)p FH(g)k FK(mit)25 b FI(lim)430
1011 y FG(n)p FA(!1)522 981 y FJ(c)543 988 y FG(n)580
981 y FI(=)14 b FJ(c)p FK(,)h(das)h(hei\377t)27 b FI(lim)889
1011 y FG(n)p FA(!1)981 981 y FI(\()p FJ(c)1021 988 y
FG(n)1055 981 y FH(\000)11 b FJ(c)p FI(\))j(=)g(0)p FK(.)h(Da)36
b FH(8)1341 1012 y FG(n)p FA(2)p Fm(N)1424 981 y FI(0)14
b FH(6)p FI(=)g FJ(c)1535 988 y FG(n)1569 981 y FH(\000)d
FJ(c)j FH(2)g(G)k FK(und)138 1061 y FH(8)120 1092 y FG(g)q
FA(2G)198 1061 y FH(f)p FJ(z)r(g)e FI(:)22 b FJ(z)15
b FH(2)f Fw(Z)-13 b FH(g)13 b(\022)h(G)s FK(,)23 b(m)o(u\377)g
FH(G)k FK(in)c Fw(R)e FK(dic)o(h)o(t)i(liegen.)g(Da)h
FH(G)j FK(abgesc)o(hlossen)d(ist,)g(folgt)120 1141 y
FH(G)16 b FI(=)e Fw(R)m FK(.)120 1202 y(F)l(all)k(2:)h
FH(G)j FK(hat)e(k)o(einen)d(H\344ufungspunkt.)j(Dann)g(gilt)33
b FH(9)1156 1232 y FF(~)1155 1238 y FG(t>)p FF(0)1260
1202 y FH(8)1227 1233 y FG(g)q(;h)p FA(2G)1241 1267 y
FG(g)q FA(6)p FF(=)p FG(h)1335 1202 y FH(j)p FJ(g)13
b FH(\000)e FJ(h)p FH(j)j(\025)1544 1192 y FI(~)1543
1202 y FJ(t)19 b FK(\(denn)g(sonst)120 1385 y(w)o(\344re)d
FI(0)h FK(ein)e(H\344ufungspunkt)i(v)o(on)f FH(G)s FK(\).)g(Es)g(sei)g
FJ(t)e FI(:=)f(sup)1189 1283 y FE(8)1189 1327 y(<)1189
1417 y(:)1234 1375 y FI(~)1233 1385 y FJ(t)g FI(:)55
b FH(8)1300 1416 y FG(g)q(;h)p FA(2G)1314 1450 y FG(g)q
FA(6)p FF(=)p FG(h)1408 1385 y FH(j)p FJ(g)13 b FH(\000)e
FJ(h)p FH(j)j(\025)1617 1375 y FI(~)1617 1385 y FJ(t)1634
1283 y FE(9)1634 1327 y(=)1634 1417 y(;)1678 1385 y FK(.)120
1503 y FJ(t)f FH(2)h(G)s FK(:)24 b(Andernfalls)g(w)o(\344re)57
b FH(8)661 1535 y FG(g)q(;h)p FA(2G)675 1569 y FG(g)q
FA(6)p FF(=)p FG(h)769 1503 y FH(j)p FJ(g)13 b FH(\000)e
FJ(h)p FH(j)j FJ(>)g(t)o FK(.)24 b(W)l(egen)h(der)f(Abgesc)o
(hlossenheit)f(v)o(on)h FH(G)120 1622 y FK(k)o(\366nn)o(te)18
b(es)h(auc)o(h)f(k)o(eine)f(F)l(olgen)i FI(\()p FJ(g)785
1629 y FG(n)808 1622 y FI(\))827 1629 y FG(n)p FA(2)p
Fm(N)898 1622 y FK(,)g FI(\()p FJ(h)978 1629 y FG(n)1001
1622 y FI(\))1020 1629 y FG(n)p FA(2)p Fm(N)1110 1622
y FK(in)f FH(G)j FK(geb)q(en)e(mit)29 b FI(lim)1454 1652
y FG(n)p FA(!1)1546 1622 y FH(j)p FJ(g)1583 1629 y FG(n)1618
1622 y FH(\000)11 b FJ(h)1696 1629 y FG(n)1719 1622 y
FH(j)j FI(=)g FJ(t)o FK(.)120 1698 y(Es)h(g\344b)q(e)g(also)h
FJ(t)415 1680 y FA(0)440 1698 y FJ(>)d(t)p FK(,)h(so)h(da\377)49
b FH(8)686 1729 y FG(g)q(;h)p FA(2G)700 1763 y FG(g)q
FA(6)p FF(=)p FG(h)794 1698 y FH(j)p FJ(g)13 b FH(\000)e
FJ(h)p FH(j)j(\025)f FJ(t)1020 1680 y FA(0)1046 1698
y FK(im)g(Widerspruc)o(h)h(zur)g(De\034nition)g(v)o(on)h
FJ(t)p FK(.)120 1816 y FH(G)h FI(=)e FJ(t)p Fw(Z)-14
b FK(:)46 b(Es)h(ist)f(n)o(ur)h(no)q(c)o(h)f(\022)t FH(\022)p
FK(\020)51 b(zu)c(zeigen.)e(W\344re)h FJ(g)16 b FH(2)e(G)g(n)d
FJ(t)p Fw(Z)-14 b FK(,)46 b(so)h(w)o(\344re)120 1877
y FJ(t)13 b(>)h FK(dist)p FI(\()p FJ(g)r(;)8 b(t)p Fw(Z)-11
b FI(\))11 b FH(2)j(G)19 b FK(im)14 b(Widerspruc)o(h)h(zur)h
(De\034nition)g(v)o(on)g FJ(t)p FK(.)471 b Fx(\004)120
1959 y FL(Lemma)18 b(2.4.10.)23 b FK(Es)61 b(sei)f FH(G)16
b FI(:=)d FJ(t)p Fw(Z)47 b FK(mit)58 b FJ(t)14 b FH(2)g
Fw(R)1201 1938 y FF(+)1201 1972 y(0)1230 1959 y FK(.)61
b(Ist)f(dann)h(f\374r)g FJ(p)14 b FH(2)g Fw(R)120 2019
y FJ(di)p FI(\()p FJ(p)p FI(\))g(:=)g FJ(dist)p FI(\()p
FJ(p;)8 b FH(G)r FI(\))p FK(,)16 b(so)h(gilt:)120 2120
y FL(\(a\))24 b FK(F\374r)16 b(alle)g FJ(p)e FH(2)g Fw(R)f
FK(ist)j FJ(di)p FI(\()p FJ(p)p FI(\))f(=)e FJ(di)p FI(\()p
FH(\000)p FJ(p)p FI(\))p FK(.)120 2215 y FL(\(b\))24
b FK(F\374r)16 b(jede)g(reelle)e(F)l(olge)i FI(\()p FJ(p)713
2222 y FG(i)728 2215 y FI(\))747 2222 y FG(i)p FA(2)p
Fm(N)824 2215 y FK(mit)f FJ(S)i FI(:=)1026 2178 y FE(P)1079
2191 y FA(1)1079 2230 y FG(i)p FF(=1)1146 2215 y FJ(p)1170
2222 y FG(i)1198 2215 y FH(2)d Fw(R)g FK(gilt)h FJ(di)p
FI(\()p FJ(S)s FI(\))f FH(\024)1564 2178 y FE(P)1616
2191 y FA(1)1616 2230 y FG(i)p FF(=1)1684 2215 y FJ(di)p
FI(\()p FJ(p)1769 2222 y FG(i)1783 2215 y FI(\))p FK(.)120
2324 y FB(Beweis.)26 b FK(\(a\))16 b(ist)g(klar.)120
2384 y(\(b\))g(Zun\344c)o(hst)g(seien)g FJ(p;)8 b(q)16
b FH(2)e Fw(R)f FK(gegeb)q(en.)j(Dann)h(ist)146 2522
y FJ(di)p FI(\()p FJ(p)11 b FI(+)g FJ(q)r FI(\))i(=)k(inf)399
2553 y FG(g)q FA(2G)463 2522 y FH(fj)p FJ(p)12 b FI(+)f
FJ(q)h FH(\000)f FJ(g)r FH(jg)j FI(=)31 b(inf)800 2553
y FG(g)q(;h)p FA(2G)895 2522 y FH(fj)p FJ(p)11 b FI(+)g
FJ(q)i FH(\000)e FJ(g)i FH(\000)e FJ(h)p FH(jg)i(\024)32
b FI(inf)1322 2553 y FG(g)q(;h)p FA(2G)1416 2522 y FH(fj)p
FJ(p)12 b FH(\000)e FJ(g)r FH(j)i FI(+)f FH(j)p FJ(q)h
FH(\000)f FJ(h)p FH(jg)347 2619 y FI(=)17 b(inf)399 2650
y FG(g)q FA(2G)463 2619 y FH(fj)p FJ(p)12 b FH(\000)e
FJ(g)r FH(jg)h FI(+)k(inf)711 2650 y FG(h)p FA(2G)778
2619 y FH(fj)p FJ(q)d FH(\000)f FJ(h)p FH(jg)j FI(=)g
FJ(di)p FI(\()p FJ(p)p FI(\))d(+)g FJ(di)p FI(\()p FJ(q)r
FI(\))p FJ(:)120 2466 y FK(\(2.34\))120 2731 y(Nun)16
b(folgt)g FJ(di)p FI(\()p FJ(S)s FI(\))e FH(\024)519
2694 y FE(P)571 2707 y FA(1)571 2746 y FG(i)p FF(=1)639
2731 y FJ(di)p FI(\()p FJ(p)724 2738 y FG(i)738 2731
y FI(\))i FK(aus)h(der)f(Stetigk)o(eit)f(v)o(on)h FJ(di)p
FK(.)479 b Fx(\004)p eop
%%Page: 43 45
43 44 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(43)60 203 y FL(Satz)19
b(2.4.11.)k FK(Sei)j FH(I)35 b FI(:=)30 b(\()p FJ(I)641
210 y FF(1)661 203 y FJ(;)8 b(I)705 210 y FF(2)724 203
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))25 b FK(ein)h(Randsystem)g(mit)e
FI(#)p FJ(I)1394 210 y FF(1)1413 203 y FJ(;)8 b FI(#)p
FJ(I)1498 210 y FF(2)1548 203 y FH(\024)31 b FJ(!)e FK(o)q(der)60
264 y FI(#)p FJ(I)123 271 y FF(1)p FG(;nt)200 264 y FI(=)13
b(#)p FJ(I)314 271 y FF(2)p FG(;nt)377 264 y FK(.)j(Ist)g
FH(G)h FI(:=)c FH(G)s FI(\()p FH(I)t FI(\))i FK(abgesc)o(hlossen,)i(so)
f(gilt)412 367 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))48 b FH(\))h(f)p FJ(p)887 374
y FG(i;j)941 367 y FI(:)22 b(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13
b FH(2)h FJ(I)1159 374 y FF(1)1190 367 y FH(\002)c FJ(I)1261
374 y FF(2)1281 367 y FH(g)j(\022)h(G)s FJ(:)-1359 b
FK(\(2.35\))60 482 y FB(Beweis.)26 b FK(W)l(egen)g(Lemma)e(2.4.9)i(k)m
(ann)h(man)f(ohne)g(Einsc)o(hr\344nkung)h(annehmen,)d(da\377)60
543 y FH(G)16 b FI(=)e FJ(t)p Fw(Z)9 b FK(f\374r)23 b(ein)g
FJ(t)13 b FH(2)h Fw(R)519 525 y FF(+)546 543 y FK(.)22
b(Zun\344c)o(hst)i(wird)e(der)h(F)l(all)g FI(#)p FJ(I)1174
550 y FF(1)1206 543 y FI(=)14 b(#)p FJ(I)1321 550 y FF(2)1354
543 y FI(=)g FJ(!)25 b FK(b)q(ehandelt.)e(Sei)60 603
y FJ(P)e FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(.)g(Angenommen,)e(es)j
(gibt)g FI(\()p FJ(i)807 610 y FF(0)826 603 y FJ(;)8
b(j)868 610 y FF(0)888 603 y FI(\))13 b FH(2)i FJ(I)990
610 y FF(1)1020 603 y FH(\002)c FJ(I)1092 610 y FF(2)1126
603 y FK(mit)i FJ(p)1238 610 y FG(i)1250 615 y Fz(0)1268
610 y FG(;j)1292 615 y Fz(0)1331 603 y FJ(=)-30 b FH(2)14
b(G)s FK(.)g(Es)h(wird)g(gezeigt,)60 663 y(da\377)k FJ(P)30
b(=)-30 b FH(2)18 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))p FK(.)g(F)l(alls)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))19
b FK(einen)e(Kreis)g(hat,)h(folgt)h(das)g(w)o(egen)f(Satz)g(2.4.3.)g
(Man)60 723 y(k)m(ann)g(also)f(annehmen,)f(da\377)h FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))16 b(=)f(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q
FI(\))17 b FK(kreisfrei)f(ist.)g(Dann)i(gibt)f(es)g(ein)f
FJ(\017)f(>)g FI(0)p FK(,)60 783 y(so)20 b(da\377)g FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))20 b FK(einen)f FJ(\017)o FK(-Dopp)q(elbaum)g
FJ(B)j FK(hat)e(\(w)o(omit)e(dann)i(wieder)e(w)o(egen)h(Satz)h(2.4.3)60
844 y(alles)c(gezeigt)g(ist\).)g(Die)h(Konstruktion)g(des)f
FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaumes)h(erfolgt)f(mit)f(der)i(gleic)o(hen)60
904 y(Metho)q(de)f(wie)g(im)e(\022)t FH(\()p FK(\020)t(-T)l(eil)i(des)g
(Bew)o(eises)f(v)o(on)h(Satz)h(2.4.3.)60 976 y FB(Behauptung)i(1.)24
b FK(Ist)48 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)i
FJ(I)678 983 y FF(1)708 976 y FH(\002)c FJ(I)780 983
y FF(2)799 976 y FK(,)48 b(so)g(gilt)1071 939 y FE(P)1123
991 y FG(\026)p FA(2)p FG(I)1183 996 y Fz(1)1201 991
y FA(nf)p FG(i)p FA(g)1276 976 y FJ(di)p FI(\()p FJ(p)1361
983 y FG(\026;j)1411 976 y FI(\))14 b FH(\025)f FJ(di)p
FI(\()p FJ(p)1581 983 y FG(i;j)1622 976 y FI(\))48 b
FK(und)60 1003 y FE(P)113 1055 y FG(\027)r FA(2)p FG(I)171
1060 y Fz(2)188 1055 y FA(nf)p FG(j)r FA(g)268 1041 y
FJ(di)p FI(\()p FJ(p)353 1048 y FG(i;\027)397 1041 y
FI(\))13 b FH(\025)h FJ(di)p FI(\()p FJ(p)567 1048 y
FG(i;j)607 1041 y FI(\))j FK(\(zur)f(De\034nition)f(v)o(on)i
FJ(di)f FK(siehe)f(Lemma)f(2.4.10\).)60 1156 y FB(Beweis.)26
b FK(Es)16 b(gilt)309 1289 y FJ(di)p FI(\()p FJ(p)394
1296 y FG(i;j)434 1289 y FI(\))e(=)g FJ(di)p FI(\()583
1241 y FE(X)580 1347 y FG(\026)p FA(2)p FG(I)640 1352
y Fz(1)665 1289 y FJ(p)689 1296 y FG(\026;j)750 1289
y FH(\000)835 1241 y FE(X)800 1349 y FG(\026)p FA(2)p
FG(I)860 1354 y Fz(1)877 1349 y FA(nf)p FG(i)p FA(g)951
1289 y FJ(p)975 1296 y FG(\026;j)1024 1289 y FI(\))1057
1243 y FF(\(2)p FG(:)p FF(4)p FG(:)p FF(10)g(\()p FG(a)p
FF(\))p FG(;)i FF(\()p FG(b)p FF(\)\))1162 1289 y FH(\024)1355
1241 y FE(X)1320 1349 y FG(\026)p FA(2)p FG(I)1380 1354
y Fz(1)1397 1349 y FA(nf)p FG(i)p FA(g)1470 1289 y FJ(di)p
FI(\()p FJ(p)1555 1296 y FG(\026;j)1605 1289 y FI(\))p
FJ(;)-1578 b FK(\(2.36\))60 1447 y(da)128 1410 y FE(P)180
1462 y FG(\026)p FA(2)p FG(I)240 1467 y Fz(1)268 1447
y FJ(p)292 1454 y FG(\026;j)356 1447 y FH(2)14 b(G)r
FK(.)465 1410 y FE(P)518 1462 y FG(\027)r FA(2)p FG(I)576
1467 y Fz(2)593 1462 y FA(nf)p FG(j)r FA(g)673 1447 y
FJ(di)p FI(\()p FJ(p)758 1454 y FG(i;\027)802 1447 y
FI(\))f FH(\025)h FJ(di)p FI(\()p FJ(p)972 1454 y FG(i;j)1012
1447 y FI(\))j FK(folgt)f(ganz)h(analog.)309 b Fx(N)60
1571 y FK(Setze)20 b FJ(\017)13 b FI(:=)295 1551 y FF(1)p
295 1559 18 2 v 295 1588 a(2)318 1571 y FJ(di)p FI(\()p
FJ(p)403 1578 y FG(i)415 1583 y Fz(0)433 1578 y FG(;j)457
1583 y Fz(0)476 1571 y FI(\))p FK(,)20 b FJ(q)551 1578
y FF(1)592 1571 y FI(:=)g FJ(x)692 1578 y FG(i)704 1583
y Fz(0)723 1571 y FK(,)g FJ(q)779 1578 y FF(2)820 1571
y FI(:=)g FJ(y)916 1578 y FG(j)930 1583 y Fz(0)950 1571
y FK(.)g(Damit)f(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)j(einen)f(Dopp)q(el-)60
1631 y(baum)61 b FJ(B)281 1613 y FA(0)306 1631 y FI(=)14
b(\()p FK(Zhk)460 1638 y FG(G)p FF(\()p FG(P)5 b FF(\))544
1631 y FI(\()p FJ(x)591 1638 y FG(i)603 1643 y Fz(0)622
1631 y FI(\))p FJ(;)j(T)699 1613 y FA(0)692 1643 y FF(1)711
1631 y FJ(;)g(T)769 1613 y FA(0)762 1643 y FF(2)781 1631
y FI(\))p FK(,)62 b FJ(T)912 1613 y FA(0)905 1643 y FF(1)938
1631 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)1037 1639 y FG(T)1063 1627
y Fv(0)1058 1649 y Fz(1)1077 1631 y FJ(;)8 b(E)1135 1639
y FG(T)1161 1627 y Fv(0)1156 1649 y Fz(1)1175 1631 y
FJ(;)g(q)1219 1638 y FF(1)1238 1631 y FI(\))14 b(:=)f
FK(Zhk)1419 1638 y FG(G)p FF(\()p FG(P)5 b FF(\))p FA(\000ff)p
FG(q)1580 1643 y Fz(1)1597 1638 y FG(;q)1623 1643 y Fz(2)1640
1638 y FA(gg)1677 1631 y FI(\()p FJ(q)1718 1638 y FF(1)1737
1631 y FI(\))p FK(,)60 1691 y FJ(T)96 1673 y FA(0)89
1703 y FF(2)122 1691 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)221 1699 y
FG(T)247 1688 y Fv(0)242 1710 y Fz(2)261 1691 y FJ(;)8
b(E)319 1699 y FG(T)345 1688 y Fv(0)340 1710 y Fz(2)359
1691 y FJ(;)g(q)403 1698 y FF(2)422 1691 y FI(\))14 b(:=)f
FK(Zhk)603 1699 y FG(G)p FF(\()p FG(P)5 b FF(\))p FA(\000ff)p
FG(q)764 1704 y Fz(1)781 1699 y FG(;q)807 1704 y Fz(2)824
1699 y FA(gg)861 1691 y FI(\()p FJ(q)902 1698 y FF(2)922
1691 y FI(\))p FK(.)74 b(Nun)g(zur)g(Konstruktion)h(v)o(on)60
1751 y FJ(B)29 b FI(=)e(\()p FJ(G;)8 b(T)299 1758 y FF(1)319
1751 y FJ(;)g(T)370 1758 y FF(2)389 1751 y FI(\))27 b
FH(\024)g FJ(B)541 1733 y FA(0)552 1751 y FK(.)c(Zun\344c)o(hst)h(wird)
g FJ(T)955 1758 y FF(1)988 1751 y FI(=)14 b(\()p FJ(V)1087
1758 y FG(T)1108 1763 y Fz(1)1127 1751 y FJ(;)8 b(E)1185
1758 y FG(T)1206 1763 y Fz(1)1225 1751 y FJ(;)g(q)1269
1758 y FF(1)1288 1751 y FI(\))14 b FH(\024)g FJ(T)1410
1733 y FA(0)1403 1763 y FF(1)1446 1751 y FK(und)24 b(ein)f
FJ(\017)p FK(-Flu\377)60 1811 y FJ(f)84 1818 y FF(1)129
1811 y FK(auf)j FJ(T)250 1818 y FF(1)295 1811 y FK(k)o(onstruiert,)f
(und)h(zw)o(ar)f(w)o(erden)g(dazu)h(Mengen)f FJ(L)1326
1818 y FG(n)1350 1811 y FI(\()p FJ(q)1391 1818 y FF(1)1410
1811 y FI(\))30 b FH(\022)f FJ(L)1560 1793 y FA(0)1560
1824 y FG(n)1584 1811 y FI(\()p FJ(q)1625 1818 y FF(1)1644
1811 y FI(\))d FK(und)60 1871 y FJ(E)96 1878 y FG(n)120
1871 y FI(\()p FJ(q)161 1878 y FF(1)180 1871 y FI(\))h
FH(\022)g FJ(E)331 1853 y FA(0)328 1884 y FG(n)352 1871
y FI(\()p FJ(q)393 1878 y FF(1)412 1871 y FI(\))e FK(de\034niert.)e
(Die)g(De\034nition)h(v)o(on)g FJ(L)1134 1878 y FG(n)1158
1871 y FI(\()p FJ(q)1199 1878 y FF(1)1218 1871 y FI(\))p
FK(,)g FJ(E)1311 1878 y FG(n)1334 1871 y FI(\()p FJ(q)1375
1878 y FF(1)1395 1871 y FI(\))g FK(erfolgt)g(rekursiv)60
1932 y(un)o(ter)31 b(Ben)o(utzung)f(v)o(on)h(Behauptung)h(1)f(aus)h
(Lemma)d(2.3.5.)i(Dazu)g(setze)g(im)e(er-)60 1992 y(sten)g(Sc)o(hritt)g
FJ(I)17 b FI(:=)c FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)586 1999
y FF(2)616 1992 y FH(n)d(f)p FJ(j)697 1999 y FF(0)717
1992 y FH(g)j FI(:)22 b FJ(p)816 1999 y FG(i)828 2004
y Fz(0)845 1999 y FG(;j)893 1992 y FJ(=)-30 b FH(2)14
b(G)s(g)p FK(,)29 b FJ(E)17 b FI(:=)c(\()p FJ(p)1196
1999 y FG(i)1208 2004 y Fz(0)1226 1999 y FG(;j)1254 1992
y FI(\))1273 1999 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1332 1992 y FK(,)30
b FI(~)-25 b FJ(\017)14 b FI(:=)1474 1955 y FE(P)1527
2006 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1595 1992 y FJ(di)p FI(\()p
FJ(p)1680 1999 y FG(i)1692 2004 y Fz(0)1709 1999 y FG(;j)1737
1992 y FI(\))p FK(,)62 2050 y FI(~)60 2063 y FJ(\016)h
FI(:=)f FJ(\017)27 b FK(\(b)q(eac)o(h)o(te,)f(da\377)j
FI(~)-25 b FJ(\017)14 b FH(\025)f FI(2)646 2050 y(~)644
2063 y FJ(\016)j(>)736 2050 y FI(~)734 2063 y FJ(\016)29
b FK(w)o(egen)e(obiger)h(Behauptung)g(1\).)f(Behauptung)17
b(1)60 2123 y(v)o(on)28 b(Lemma)f(2.3.5)i(liefert)e(dann)i
FJ(I)792 2105 y FA(0)832 2123 y FK(und)f FJ(D)q FK(.)i(Setze)d
FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)1250 2130 y FF(1)1270 2123 y FI(\))35
b(:=)f FH(f)p FJ(y)1459 2130 y FG(j)1512 2123 y FI(:)43
b FJ(j)37 b FH(2)e FJ(I)1720 2105 y FA(0)1732 2123 y
FH(g)p FK(,)60 2184 y FJ(L)93 2191 y FF(0)113 2184 y
FI(\()p FJ(q)154 2191 y FF(1)173 2184 y FI(\))22 b(:=)g
FH(f)p FJ(q)335 2191 y FF(1)354 2184 y FH(g)p FK(,)f
FJ(L)447 2191 y FF(1)467 2184 y FI(\()p FJ(q)508 2191
y FF(1)527 2184 y FI(\))h(:=)g FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)727
2191 y FF(1)746 2184 y FI(\))p FK(,)21 b FJ(E)836 2191
y FF(1)856 2184 y FI(\()p FJ(q)897 2191 y FF(1)916 2184
y FI(\))h(:=)g FH(ff)p FJ(q)1103 2191 y FF(1)1122 2184
y FJ(;)8 b(y)1168 2191 y FG(j)1186 2184 y FH(g)22 b(2)g
FJ(E)1327 2166 y FA(0)1324 2196 y FF(1)1344 2184 y FI(\()p
FJ(q)1385 2191 y FF(1)1404 2184 y FI(\))g(:)30 b FJ(y)1513
2191 y FG(j)1553 2184 y FH(2)23 b FJ(N)5 b FI(\()p FJ(q)1694
2191 y FF(1)1713 2184 y FI(\))p FK(},)60 2244 y FJ(f)84
2251 y FF(1)104 2244 y FH(f)p FJ(q)151 2251 y FF(1)170
2244 y FJ(;)j(y)216 2251 y FG(j)234 2244 y FH(g)29 b
FI(:=)g FJ(d)394 2251 y FG(j)438 2244 y FK(f\374r)c(alle)f
FJ(y)646 2251 y FG(j)693 2244 y FH(2)30 b FJ(N)5 b FI(\()p
FJ(q)841 2251 y FF(1)860 2244 y FI(\))p FK(.)25 b(Dann)h(ist)1136
2206 y FE(P)1189 2258 y FG(y)1206 2263 y Fu(j)1223 2258
y FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(q)1309 2263 y Fz(1)1325 2258
y FF(\))1349 2244 y FJ(f)1373 2251 y FF(1)1392 2244 y
FH(f)p FJ(q)1439 2251 y FF(1)1459 2244 y FJ(;)8 b(y)1505
2251 y FG(j)1523 2244 y FH(g)29 b FI(=)g FJ(\017)c FK(und)121
2310 y FH(8)60 2343 y FG(y)77 2348 y Fu(j)94 2343 y FA(2)p
FG(N)t FF(\()p FG(q)180 2348 y Fz(1)196 2343 y FF(\))223
2310 y FJ(f)247 2317 y FF(1)267 2310 y FH(f)p FJ(q)314
2317 y FF(1)333 2310 y FJ(;)8 b(y)379 2317 y FG(j)397
2310 y FH(g)14 b FJ(<)g(di)p FI(\()p FJ(p)573 2317 y
FG(i)585 2322 y Fz(0)602 2317 y FG(;j)630 2310 y FI(\))g
FH(\024)g FJ(p)740 2317 y FG(i)752 2322 y Fz(0)769 2317
y FG(;j)811 2310 y FI(=)g FJ(w)q FH(f)p FJ(q)946 2317
y FF(1)966 2310 y FJ(;)8 b(y)1012 2317 y FG(j)1030 2310
y FH(g)o FK(.)60 2399 y(Nun)33 b(sei)f FJ(n)43 b FH(\025)f
FI(1)33 b FK(ungerade,)g(und)g(f\374r)g(alle)f FJ(m)42
b FH(\024)g FJ(n)33 b FK(seien)g FJ(L)1432 2406 y FG(m)1465
2399 y FI(\()p FJ(q)1506 2406 y FF(1)1525 2399 y FI(\))14
b FH(\022)g FJ(L)1644 2381 y FA(0)1644 2412 y FG(m)1677
2399 y FI(\()p FJ(q)1718 2406 y FF(1)1737 2399 y FI(\))p
FK(,)60 2460 y FJ(E)96 2467 y FG(m)129 2460 y FI(\()p
FJ(q)170 2467 y FF(1)190 2460 y FI(\))g FH(\022)f FJ(E)314
2441 y FA(0)311 2472 y FG(m)344 2460 y FI(\()p FJ(q)385
2467 y FF(1)405 2460 y FI(\))p FK(,)100 b FI(0)14 b FJ(<)g(f)652
2467 y FF(1)672 2460 y Fx(\030)693 2467 y FG(E)719 2471
y Fu(m)748 2467 y FF(\()p FG(q)778 2472 y Fz(1)795 2467
y FF(\))824 2460 y FJ(<)g FI(\()p FJ(di)d FH(\016)g FJ(w)q
FI(\))p Fx(\030)1060 2467 y FG(E)1086 2471 y Fu(m)1115
2467 y FF(\()p FG(q)1145 2472 y Fz(1)1162 2467 y FF(\))1191
2460 y FH(\024)j FI(min)n FH(f)p FJ(t;)8 b(w)q Fx(\030)1447
2467 y FG(E)1473 2471 y Fu(m)1502 2467 y FF(\()p FG(q)1532
2472 y Fz(1)1549 2467 y FF(\))1564 2460 y FH(g)p FK(,)101
b(b)q(e-)60 2520 y(reits)41 b(k)o(onstruiert,)f(so)i(da\377)153
b FH(8)685 2553 y FG(v)q FA(2)p FG(L)751 2557 y Fu(m)780
2553 y FF(\()p FG(q)810 2558 y Fz(1)827 2553 y FF(\))p
FG(;)5 b(m)p FA(6)p FF(=0)946 2520 y FJ(v)972 2502 y
FA(\000)1015 2520 y FH(2)14 b FJ(L)1095 2527 y FG(m)p
FA(\000)p FF(1)1174 2520 y FI(\()p FJ(q)1215 2527 y FF(1)1234
2520 y FI(\))p FK(.)41 b(Sei)g FJ(y)1436 2527 y FG(j)1450
2531 y Fu(n)1530 2520 y FH(2)58 b FJ(L)1654 2527 y FG(n)1677
2520 y FI(\()p FJ(q)1718 2527 y FF(1)1737 2520 y FI(\))p
FK(,)60 2611 y FJ(x)88 2618 y FG(j)102 2622 y Fu(n)195
2611 y FI(:=)70 b FJ(y)343 2590 y FA(\000)341 2624 y
FG(j)355 2628 y Fu(n)378 2611 y FK(.)49 b(Dann)h(ist)f
FI(0)14 b FJ(<)g(f)821 2618 y FF(1)840 2611 y FH(f)p
FJ(x)893 2618 y FG(i)905 2622 y Fu(n)928 2611 y FJ(;)8
b(y)974 2618 y FG(j)988 2622 y Fu(n)1012 2611 y FH(g)13
b FJ(<)h(di)p FI(\()p FJ(p)1187 2618 y FG(i)1199 2622
y Fu(n)1221 2618 y FG(;j)1245 2622 y Fu(n)1268 2611 y
FI(\))g FH(\024)g FI(min)n FH(f)p FJ(t;)8 b(w)q FH(f)p
FJ(x)1589 2618 y FG(i)1601 2622 y Fu(n)1623 2611 y FJ(;)g(y)1669
2618 y FG(j)1683 2622 y Fu(n)1707 2611 y FH(gg)o FK(.)60
2671 y(Zur)54 b(An)o(w)o(endung)g(v)o(on)g(Behauptung)h(1)g(v)o(on)f
(Lemma)e(2.3.5)j(setze)e(dies-)60 2731 y(mal)65 b FJ(I)17
b FI(:=)d FH(f)p FJ(i)f FH(2)h FJ(I)434 2738 y FF(1)464
2731 y FH(n)d(f)p FJ(i)542 2738 y FG(n)565 2731 y FH(g)j
FI(:)22 b FJ(p)664 2738 y FG(i;j)700 2742 y Fu(n)743
2731 y FJ(=)-30 b FH(2)14 b(G)s(g)p FK(,)66 b FJ(E)17
b FI(:=)c(\()p FJ(di)p FI(\()p FJ(p)1144 2738 y FG(i;j)1180
2742 y Fu(n)1204 2731 y FI(\)\))1242 2738 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)1297 2731 y FK(,)67 b FI(~)-25 b FJ(\017)14 b FI(:=)1476
2694 y FE(P)1529 2746 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1593 2731
y FJ(di)p FI(\()p FJ(p)1678 2738 y FG(i;j)1714 2742 y
Fu(n)1737 2731 y FI(\))p FK(,)p eop
%%Page: 44 46
44 45 bop 120 50 a FK(44)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)122 190
y FI(~)120 203 y FJ(\016)f FI(:=)f FJ(f)247 210 y FF(1)266
203 y FH(f)p FJ(x)319 210 y FG(i)331 214 y Fu(n)354 203
y FJ(;)8 b(y)400 210 y FG(j)414 214 y Fu(n)438 203 y
FH(g)16 b FK(\(b)q(eac)o(h)o(te,)g(da\377)785 190 y FI(~)783
203 y FJ(\016)f FI(=)f FJ(f)896 210 y FF(1)915 203 y
FH(f)p FJ(x)968 210 y FG(i)980 214 y Fu(n)1003 203 y
FJ(;)8 b(y)1049 210 y FG(j)1063 214 y Fu(n)1087 203 y
FH(g)13 b FJ(<)h(di)p FI(\()p FJ(p)1262 210 y FG(i)1274
214 y Fu(n)1296 210 y FG(;j)1320 214 y Fu(n)1343 203
y FI(\))g FH(\024)g FI(~)-24 b FJ(\017)16 b FK(w)o(egen)h(obiger)g(Be-)
120 264 y(hauptung)e(1\).)f(Behauptung)g(1)g(v)o(on)g(Lemma)e(2.3.5)i
(liefert)e(dann)j(wieder)e FJ(I)1530 246 y FA(0)1554
264 y FK(und)i FJ(D)q FK(.)f(Setze)120 324 y FJ(N)5 b
FI(\()p FJ(y)207 331 y FG(j)221 335 y Fu(n)245 324 y
FI(\))13 b(:=)h FH(f)p FJ(x)396 331 y FG(i)423 324 y
FI(:)22 b FJ(i)13 b FH(2)h FJ(I)562 306 y FA(0)574 324
y FH(g)o FK(,)j FJ(f)653 331 y FF(1)673 324 y FH(f)p
FJ(x)726 331 y FG(i)739 324 y FJ(;)8 b(y)785 331 y FG(j)799
335 y Fu(n)823 324 y FH(g)13 b FI(:=)h FJ(d)952 331 y
FG(i)983 324 y FK(f\374r)j(alle)f FJ(x)1179 331 y FG(i)1208
324 y FH(2)f FJ(N)5 b FI(\()p FJ(y)1343 331 y FG(j)1357
335 y Fu(n)1380 324 y FI(\))p FK(.)17 b(Nac)o(h)f(Lemma)f(2.3.2)120
391 y(\(b\))31 b(sind)g(alle)g FJ(N)5 b FI(\()p FJ(y)r
FI(\))p FK(,)30 b FJ(y)41 b FH(2)f FJ(L)762 398 y FG(n)786
391 y FI(\()p FJ(q)827 398 y FF(1)846 391 y FI(\))31
b FK(disjunkt.)g(Setze)f FJ(L)1290 398 y FG(n)p FF(+1)1359
391 y FI(\()p FJ(q)1400 398 y FF(1)1419 391 y FI(\))14
b(:=)1531 375 y(_)1517 353 y FE(S)1559 405 y FG(y)q FA(2)p
FG(L)1625 409 y Fu(n)1646 405 y FF(\()p FG(q)1676 410
y Fz(1)1693 405 y FF(\))1709 391 y FJ(N)5 b FI(\()p FJ(y)r
FI(\))o FK(,)120 455 y FJ(E)156 462 y FG(n)p FF(+1)225
455 y FI(\()p FJ(q)266 462 y FF(1)285 455 y FI(\))14
b(:=)f FH(ff)p FJ(x;)8 b(y)r FH(g)13 b(2)h FJ(E)633 437
y FA(0)630 467 y FG(n)p FF(+1)712 455 y FI(:)22 b FJ(x)14
b FH(2)g FJ(L)870 462 y FG(n)p FF(+1)938 455 y FI(\()p
FJ(q)979 462 y FF(1)999 455 y FI(\))p FJ(;)i(y)f FH(2)f
FJ(L)1167 462 y FG(n)1191 455 y FI(\()p FJ(q)1232 462
y FF(1)1251 455 y FI(\))p FH(g)p FK(.)177 b(Dann)g(ist)180
515 y FH(8)120 549 y FG(y)q FA(2)p FG(L)186 553 y Fu(n)207
549 y FF(\()p FG(q)237 554 y Fz(1)254 549 y FF(\))290
478 y FE(P)343 530 y FG(x)p FA(2)p FG(N)t FF(\()p FG(y)q
FF(\))474 515 y FJ(f)498 522 y FF(1)518 515 y FH(f)p
FJ(x;)8 b(y)r FH(g)13 b FI(=)g FJ(f)732 522 y FF(1)752
515 y FH(f)p FJ(y)r(;)8 b(y)851 497 y FA(\000)879 515
y FH(g)p FK(.)120 603 y(Wie)k(im)e(Bew)o(eis)h(v)o(on)h(Satz)g(2.4.3)h
(erfolgen)f(die)f(De\034nitionen)h(v)o(on)g FJ(L)1392
610 y FG(n)p FF(+1)1461 603 y FI(\()p FJ(q)1502 610 y
FF(1)1521 603 y FI(\))g FK(und)h FJ(E)1682 610 y FG(n)p
FF(+1)1751 603 y FI(\()p FJ(q)1792 610 y FF(1)1811 603
y FI(\))120 670 y FK(f\374r)g(gerade)h FJ(n)f FH(\025)h
FI(1)g FK(ganz)f(analog.)h(Setze)f(no)q(c)o(h)g FJ(V)1020
677 y FG(T)1041 682 y Fz(1)1074 670 y FI(:=)1154 654
y(_)1140 633 y FE(S)1181 634 y FA(1)1181 685 y FG(n)p
FF(=0)1250 670 y FJ(L)1283 677 y FG(n)1306 670 y FI(\()p
FJ(q)1347 677 y FF(1)1367 670 y FI(\))p FK(,)f FJ(E)1448
677 y FG(T)1469 682 y Fz(1)1502 670 y FI(:=)1581 654
y(_)1567 633 y FE(S)1609 634 y FA(1)1609 685 y FG(n)p
FF(=1)1678 670 y FJ(E)1714 677 y FG(n)1737 670 y FI(\()p
FJ(q)1778 677 y FF(1)1797 670 y FI(\))p FK(.)120 730
y(Da)17 b FJ(f)222 737 y FF(1)242 730 y FK(,)f(wie)g(sc)o(hon)h(w)o
(\344rend)g(der)f(Konstruktion)h(gezeigt,)e(die)h(Bedingung)h(\(2.27\))
g(erf\374llt,)120 790 y(ist)f FJ(f)212 797 y FF(1)248
790 y FK(ein)g FJ(\017)o FK(-Flu\377)h(auf)f FJ(T)587
797 y FF(1)607 790 y FK(.)120 851 y(Die)g(Konstruktion)h(v)o(on)g
FJ(T)631 858 y FF(2)667 851 y FK(und)g FJ(f)789 858 y
FF(2)826 851 y FK(erfolgt)f(genau)i(in)e(der)h(gleic)o(hen)e(W)l(eise)h
(wie)g(die)g(v)o(on)120 911 y FJ(T)149 918 y FF(1)187
911 y FK(und)j FJ(f)311 918 y FF(1)331 911 y FK(.)f(Sei)g(sc)o
(hlie\377lic)o(h)684 898 y FI(^)676 911 y FJ(V)29 b FI(:=)18
b FJ(V)831 918 y FG(T)852 923 y Fz(1)881 905 y FI(_)871
911 y FH([)p FJ(V)932 918 y FG(T)953 923 y Fz(2)973 911
y FK(,)1016 898 y FI(^)1005 911 y FJ(E)j FI(:=)c FJ(E)1167
918 y FG(T)1188 923 y Fz(1)1217 905 y FI(_)1207 911 y
FH([)p FJ(E)1276 918 y FG(T)1297 923 y Fz(2)1326 905
y FI(_)1316 911 y FH([ff)p FJ(q)1421 918 y FF(1)1441
911 y FJ(;)8 b(q)1485 918 y FF(2)1504 911 y FH(gg)p FK(.)18
b(Dann)h(ist)f FJ(B)120 971 y FK(mit)e FJ(G)h FI(=)f(\()346
958 y(^)339 971 y FJ(V)11 b(;)411 958 y FI(^)400 971
y FJ(E)s(;)d(w)q Fx(\030)526 977 y FF(^)518 985 y FG(E)548
971 y FI(\))17 b FK(nac)o(h)h(De\034nition)f(2.3.7)h(ein)f
FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)g(.)g(Damit)g(ist)g(\(2.35\))120
1031 y(b)q(ewiesen.)120 1091 y(Den)32 b(F)l(all,)e(da\377)j
FI(min)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)639 1098 y FF(1)658 1091
y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)743 1098 y FF(2)761 1091 y FH(g)14
b FJ(<)g(!)r FK(,)31 b(k)m(ann)i(man)d(auf)i(den)g(F)l(all)f
FI(#)p FJ(I)1566 1098 y FF(1)1599 1091 y FI(=)13 b(#)p
FJ(I)1713 1098 y FF(2)1746 1091 y FI(=)h FJ(!)120 1152
y FK(zur\374c)o(kf\374hren,)55 b(indem)g(man)h(abz\344hlbar)i(viele)d
(Nullzeile)o(n)f(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)120 1212 y(Nullspalten)43
b(hinzuf\374gt.)g(Bleibt)f(der)i(F)l(all)f FI(#)p FJ(I)1137
1219 y FF(1)p FG(;nt)1214 1212 y FI(=)14 b(#)p FJ(I)1329
1219 y FF(2)p FG(;nt)1405 1212 y FJ(>)g(!)r FK(.)44 b(Erneut)g(neh-)120
1272 y(me)d(man)g(an,)i(da\377)g(es)f FI(\()p FJ(i)704
1279 y FF(0)724 1272 y FJ(;)8 b(j)766 1279 y FF(0)785
1272 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)887 1279 y FF(1)918 1272
y FH(\002)c FJ(I)989 1279 y FF(2)1051 1272 y FK(gibt)42
b(mit)f FJ(p)1317 1279 y FG(i)1329 1284 y Fz(0)1347 1279
y FG(;j)1371 1284 y Fz(0)1410 1272 y FJ(=)-30 b FH(2)14
b(G)s FK(.)42 b(Wieder)f(wird)120 1332 y(gezeigt,)36
b(da\377)h FJ(P)62 b(=)-30 b FH(2)49 b FK(E)q FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)37 b(Betrac)o(h)o(te)e
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)37 b(Es)g(sei)f
FJ(Z)18 b FI(:=)13 b FK(Zhk)p FI(\()p FJ(x)1662 1339
y FG(i)1674 1344 y Fz(0)1693 1332 y FI(\))37 b FK(und)120
1392 y FJ(I)142 1399 y FF(1)p FG(;Z)211 1392 y FI(:=)13
b FH(f)p FJ(i)h FH(2)g FJ(I)401 1399 y FF(1)434 1392
y FI(:)22 b FJ(x)498 1399 y FG(i)525 1392 y FH(2)14 b
FJ(V)e FI(\()p FJ(Z)t FI(\))p FH(g)o FK(,)27 b FJ(I)774
1399 y FF(2)p FG(;Z)843 1392 y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)k
FH(2)d FJ(I)1039 1399 y FF(2)1072 1392 y FI(:)22 b FJ(y)1132
1399 y FG(j)1164 1392 y FH(2)14 b FJ(V)d FI(\()p FJ(Z)t
FI(\))p FH(g)p FK(.)26 b(Wie)g(im)f(Bew)o(eis)g(v)o(on)120
1453 y(Satz)k(2.1.19)h(gesehen,)e(sind)h FJ(I)738 1460
y FF(1)p FG(;Z)822 1453 y FK(und)h FJ(I)955 1460 y FF(2)p
FG(;Z)1039 1453 y FK(abz\344hlbar)f(und)h(nac)o(h)f(De\034nition)f(v)o
(on)120 1513 y FJ(Z)34 b FK(ist)c FH(I)s FI(\()p FJ(P)7
b Fx(\030)377 1520 y FG(I)392 1526 y Fz(1)p Fu(;Z)442
1520 y FA(\002)p FG(I)484 1526 y Fz(2)p Fu(;Z)536 1513
y FI(\))37 b(=)g(\()p FJ(I)708 1520 y FF(1)p FG(;Z)764
1513 y FJ(;)8 b(I)808 1520 y FF(2)p FG(;Z)863 1513 y
FJ(;)g(r)q Fx(\030)929 1520 y FG(I)944 1526 y Fz(1)p
Fu(;Z)995 1513 y FJ(;)g(s)p Fx(\030)1061 1520 y FG(I)1076
1526 y Fz(2)p Fu(;Z)1128 1513 y FI(\))p FK(.)29 b(Da)i(der)f(Bew)o(eis)
e(f\374r)i(den)g(F)l(all)120 1573 y FI(max)o FH(f)p FI(#)p
FJ(I)299 1580 y FF(1)318 1573 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)403
1580 y FF(2)421 1573 y FH(g)14 b(\024)g FJ(!)20 b FK(sc)o(hon)e
(gef\374hrt)h(wurde,)e(ist)h FJ(P)7 b Fx(\030)1161 1580
y FG(I)1176 1586 y Fz(1)p Fu(;Z)1226 1580 y FA(\002)p
FG(I)1268 1586 y Fz(2)p Fu(;Z)1340 1573 y FJ(=)-30 b
FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p
FJ(P)7 b Fx(\030)1600 1580 y FG(I)1615 1586 y Fz(1)p
Fu(;Z)1665 1580 y FA(\002)p FG(I)1707 1586 y Fz(2)p Fu(;Z)1760
1573 y FI(\)\)\))o FK(.)120 1633 y(Also)16 b(ist)g(nac)o(h)g(Satz)g
(2.1.19)h(\(b\))g FJ(P)26 b(=)-29 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)755 b Fx(\004)120
1787 y FL(Korollar)20 b(2.4.12.)j FK(Sei)k FH(I)38 b
FI(:=)33 b(\()p FJ(I)807 1794 y FF(1)827 1787 y FJ(;)8
b(I)871 1794 y FF(2)890 1787 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))27
b FK(ein)g(Randsystem)g(mit)g FI(#)p FJ(I)1567 1794 y
FF(1)1599 1787 y FI(=)14 b(#)p FJ(I)1714 1794 y FF(2)1747
1787 y FI(=)g FJ(\013)120 1847 y FK(\()p FJ(\013)82 b
FK(b)q(eliebige)e(Kardinalzahl\))i(und)159 b FH(8)1057
1880 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1162 1885
y Fz(1)1178 1880 y FA(\002)p FG(I)1220 1885 y Fz(2)1252
1847 y FJ(r)1274 1854 y FG(i)1302 1847 y FI(=)14 b FJ(s)1377
1854 y FG(j)1409 1847 y FI(=)g(1)p FK(.)82 b(Dann)g(ist)120
1935 y(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))13
b(=)h FH(M)425 1942 y FG(p)445 1935 y FI(\()p FJ(I)486
1942 y FF(1)505 1935 y FJ(;)8 b(I)549 1942 y FF(2)568
1935 y FI(\))p FK(.)120 2183 y FB(Beweis.)26 b FK(\022)t
FH(\023)p FK(\020)20 b(folgt)d(wieder,)e(da)h FI(0)p
FJ(;)8 b FI(1)17 b FK(die)f(Extremalpunkte)e(des)i(In)o(terv)m(alls)f
FI([0)p FJ(;)8 b FI(1])16 b FK(sind.)120 2243 y(\022)t
FH(\022)p FK(\020)t(:)41 b(Das)g(folgt)g(sofort)g(aus)g(Satz)g(2.4.11,)
g(denn)f Fw(Z)27 b FK(ist)40 b(abgesc)o(hlossen,)h(und)120
2304 y FJ(p)144 2311 y FG(i;j)198 2304 y FH(2)14 b Fw(Z)35
b FH(\))49 b FJ(p)450 2311 y FG(i;j)504 2304 y FH(2)14
b(f)p FI(0)p FJ(;)8 b FI(1)p FH(g)17 b FK(w)o(egen)f(der)g(V)l
(oraussetzung.)554 b Fx(\004)120 2552 y FK(Ist)24 b(die)g(v)o(on)g(den)
g(Randv)o(erteilungen)f(erzeugte)g(Grupp)q(e)i FH(G)i
FK(nic)o(h)o(t)c(abgesc)o(hlossen,)h(so)120 2612 y(k)m(ann)k(es)f(v)o
(ork)o(ommen,)c(da\377)29 b FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))28 b FK(und)f(denno)q(c)o(h)h
FJ(p)1350 2619 y FG(i;j)1410 2612 y FJ(=)-30 b FH(2)14
b(G)30 b FK(\(sogar)f(f\374r)e(alle)120 2672 y FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)302 2679 y FF(1)333
2672 y FH(\002)c FJ(I)404 2679 y FF(2)424 2672 y FK(\).)15
b(Um)g(das)i(zu)f(sehen,)f(dien)o(t)h(das)h(folgende)f(Beispiel)e
(2.4.13.)p eop
%%Page: 45 47
45 46 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(45)60 203 y FL(Beispiel)20
b(2.4.13.)j FK(Es)16 b(sei)339 473 y FJ(P)21 b FI(:=)456
269 y FE(0)456 356 y(B)456 386 y(B)456 416 y(B)456 446
y(B)456 476 y(B)456 506 y(B)456 536 y(B)456 568 y(@)500
312 y FI(1)11 b FH(\000)g FJ(a)611 319 y FF(1)714 312
y FJ(a)740 319 y FF(2)542 372 y FJ(a)568 379 y FF(2)844
372 y FI(1)g FH(\000)g FJ(a)955 379 y FF(3)672 432 y
FI(1)g FH(\000)g FJ(a)783 439 y FF(3)1059 432 y FJ(a)1085
439 y FF(4)887 493 y FJ(a)913 500 y FF(4)1188 493 y FI(1)h
FH(\000)e FJ(a)1299 500 y FF(5)1016 553 y FI(1)h FH(\000)g
FJ(a)1127 560 y FF(5)1363 605 y FK(.)1382 617 y(.)1401
630 y(.)1417 269 y FE(1)1417 356 y(C)1417 386 y(C)1417
416 y(C)1417 446 y(C)1417 476 y(C)1417 506 y(C)1417 536
y(C)1417 568 y(A)1469 473 y FJ(;)-1423 b FK(\(2.37\))60
746 y FH(I)18 b FI(:=)13 b FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p
FK(.)16 b(Dab)q(ei)g(sei)g(f\374r)g FJ(n)e FH(2)g Fw(N)q
FK(,)573 856 y FJ(a)599 863 y FG(n)636 856 y FI(:=)g(\(10)769
835 y FG(n)793 812 y FH(p)p 834 812 25 2 v 834 856 a
FI(2)e FH(\000)f(b)p FI(10)990 835 y FG(n)1014 812 y
FH(p)p 1055 812 V 1055 856 a FI(2)q FH(c)p FI(\))g FH(\001)g
FI(10)1205 835 y FA(\000)p FG(n)60 856 y FK(\(2.38\))60
965 y(\()79 924 y FH(p)p 120 924 V 120 965 a FI(2)j FK(k)o(\366nn)o(te)
e(dab)q(ei)i(durc)o(h)f(jede)f(andere)h(Zahl)g(aus)h
Fw(R)1056 944 y FF(+)1097 965 y FH(n)d Fw(Q)j FK(ersetzt)e(w)o
(erden\).)g(Die)h FJ(a)1647 972 y FG(n)1683 965 y FK(sind)60
1026 y(dann)j(alle)f(irrational)g(und)h(p)q(ositiv.)f
FH(hf)p FJ(r)819 1033 y FG(i)848 1026 y FI(:)21 b FJ(i)14
b FH(2)g FJ(I)983 1033 y FF(1)1002 1026 y FH(g)d([)g(f)p
FJ(s)1130 1033 y FG(j)1162 1026 y FI(:)22 b FJ(j)17 b
FH(2)d FJ(I)1304 1033 y FF(2)1323 1026 y FH(gi)g(\022)g
Fw(Q)p FK(,)i(denn)f(f\374r)h(alle)60 1086 y FJ(n)e FH(2)g
Fw(N)j FK(ist)84 1245 y FH(\000)p FJ(\013)154 1252 y
FG(n)188 1245 y FI(+)11 b FJ(\013)268 1252 y FG(n)p FF(+1)350
1245 y FI(=)j FH(\000)p FI(\(10)508 1225 y FG(n)532 1202
y FH(p)p 574 1202 V 43 x FI(2)d FH(\000)g(b)p FI(10)729
1225 y FG(n)753 1202 y FH(p)p 795 1202 V 43 x FI(2)p
FH(c)p FI(\))g FH(\001)g FI(10)944 1225 y FA(\000)p FG(n)1007
1245 y FI(+)g(\(10)1123 1225 y FG(n)p FF(+1)1192 1202
y FH(p)p 1234 1202 V 43 x FI(2)g FH(\000)g(b)p FI(10)1389
1225 y FG(n)p FF(+1)1459 1202 y FH(p)p 1500 1202 V 1500
1245 a FI(2)q FH(c)p FI(\))g FH(\001)g FI(10)1650 1225
y FA(\000)p FG(n)p FA(\000)p FF(1)350 1343 y FI(=)j(\()p
FH(b)p FI(10)491 1322 y FG(n)515 1299 y FH(p)p 557 1299
V 44 x FI(2)p FH(c)e(\000)682 1309 y FI(1)p 669 1331
49 2 v 669 1377 a(10)723 1343 y FH(b)p FI(10)793 1322
y FG(n)p FF(+1)863 1299 y FH(p)p 904 1299 25 2 v 904
1343 a FI(2)q FH(c)p FI(\)10)1018 1322 y FA(\000)p FG(n)1083
1343 y FH(2)i Fw(Q)60 1179 y FK(\(2.39\))60 1465 y(und)62
b(damit)d(auc)o(h)j FJ(\013)580 1472 y FG(n)614 1465
y FH(\000)11 b FJ(\013)695 1472 y FG(n)p FF(+1)777 1465
y FH(2)j Fw(Q)q FK(,)61 b(das)h(hei\377t)81 b FH(8)1237
1496 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1288 1501 y Fz(1)1319 1465
y FJ(r)1341 1472 y FG(i)1369 1465 y FH(2)14 b Fw(Q)q
FK(,)83 b FH(8)1529 1496 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1584 1501
y Fz(2)1616 1465 y FJ(s)1639 1472 y FG(j)1671 1465 y
FH(2)14 b Fw(Q)p FK(.)60 1549 y(Denno)q(c)o(h)58 b(ist)f
FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))57 b FK(nac)o(h)h(Lemma)d(2.1.13)j(\(b\),)g(denn)f(f\374r)h
(ei-)60 1609 y(ne)k(Matrix)f FJ(E)17 b FH(2)d(M)539 1616
y Fm(R)565 1609 y FI(\()p Fw(N)p FJ(;)8 b Fw(N)p FI(\))64
b FK(mit)c FJ(P)19 b FH(\006)11 b FJ(E)16 b FH(\025)e
FI(0)p FK(,)62 b(deren)g(Linien)f(sic)o(h)h(al-)60 1773
y(le)e(zu)g(Null)f(summieren,)e(gilt)j FJ(E)16 b FI(=)956
1628 y FE(0)956 1715 y(B)956 1745 y(B)956 1775 y(B)956
1807 y(@)1003 1672 y FJ(e)1026 1679 y FF(0)1093 1672
y FJ(e)1116 1679 y FF(1)1002 1732 y FJ(f)1026 1739 y
FF(1)1184 1732 y FJ(e)1207 1739 y FF(2)1093 1792 y FJ(f)1117
1799 y FF(2)1273 1844 y FK(.)1292 1856 y(.)1312 1869
y(.)1328 1628 y FE(1)1328 1715 y(C)1328 1745 y(C)1328
1775 y(C)1328 1807 y(A)1432 1773 y FK(und)61 b(w)o(eiterhin)60
1936 y FH(\001)8 b(\001)g(\001)j(\000)g FJ(e)202 1943
y FF(3)235 1936 y FI(=)j FJ(f)311 1943 y FF(2)345 1936
y FI(=)f FH(\000)p FJ(e)458 1943 y FF(1)491 1936 y FI(=)h
FJ(e)566 1943 y FF(0)599 1936 y FI(=)g FH(\000)p FJ(f)714
1943 y FF(1)747 1936 y FI(=)g FJ(e)822 1943 y FF(2)855
1936 y FI(=)g FH(\000)p FJ(f)970 1943 y FF(3)1003 1936
y FI(=)g FH(\001)8 b(\001)g(\001)14 b(\024)g FI(inf)s
FH(f)p FJ(a)1290 1943 y FG(n)1326 1936 y FI(:)22 b FJ(n)14
b FH(2)g Fw(N)p FH(g)h FI(=)f(0)p FK(,)82 b(das)60 1996
y(hei\377t)16 b FJ(E)h FI(=)d(0)p FK(.)60 2119 y(Das)j(folgende)f
(Beispiel)e(zeigt,)h(da\377)i(die)f(Umk)o(ehrung)e(v)o(on)i(Satz)g
(2.4.11)h(nic)o(h)o(t)e(gilt.)60 2220 y FL(Beispiel)20
b(2.4.14.)j FK(Betrac)o(h)o(te)35 b(das)i(Randsystem)f
FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b FI(2)p
FH(g)p FJ(;)g FH(f)p FI(1)p FJ(;)g FI(2)p FH(g)p FJ(;)g
FI(\(4)p FJ(;)g FI(5\))p FJ(;)g FI(\(5)p FJ(;)g FI(4\)\))60
2309 y FK(und)18 b(die)f(Matrix)g FJ(P)k FI(:=)520 2239
y FE(\022)598 2279 y FI(3)42 b(1)598 2339 y(2)g(3)688
2239 y FE(\023)725 2309 y FK(.)17 b(Dann)h(ist)g FJ(P)j
FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)k(und)f FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))19 b FK(hat)f(einen)e(Kreis.)60
2398 y(Also)g(ist)g FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))q FK(.)i(Andrerseits)f(ist)h(ab)q
(er)g FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b FI(2)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)15
b(\022)f(hf)p FI(4)p FJ(;)8 b FI(5)p FH(gi)15 b FI(=)e
Fw(Z)-13 b FK(.)60 2500 y FL(Lemma)18 b(2.4.15.)23 b
FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13 b(\()p FJ(I)671 2507 y FF(1)690
2500 y FJ(;)8 b(I)734 2507 y FF(2)753 2500 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))15 b FK(ein)h(Randsystem)f(und)h FJ(P)21 b FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(.)h(Gilt)g(dann)373 2609
y FI(\()403 2597 y(~)392 2609 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))j FK(und)g FJ(supp)p FI(\()843 2597
y(~)832 2609 y FJ(P)8 b FI(\))13 b FH(\022)h FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))50 b FH(\))1309 2597 y FI(~)1298
2609 y FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(P)q(;)-1388 b FK(\(2.40\))60
2719 y(so)17 b(ist)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)p eop
%%Page: 46 48
46 47 bop 120 50 a FK(46)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FB(Beweis.)26 b FK(Angenommen)j FJ(P)d(=)-29 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)32
b(Dann)g(gibt)g(es)g(nac)o(h)f(Lemma)f(2.1.13)i(\(b\))120
264 y FJ(E)17 b FH(2)d(M)280 271 y Fm(R)306 264 y FI(\()p
FJ(I)347 271 y FF(1)366 264 y FJ(;)8 b(I)410 271 y FF(2)429
264 y FI(\))p FK(,)k(so)i(da\377)f(sic)o(h)f(alle)g(Linien)h(v)o(on)f
FJ(E)k FK(zu)d(Null)e(summieren)e(und)14 b FJ(P)k FH(\006)11
b FJ(E)16 b FH(\025)e FI(0)p FK(.)120 324 y(Also)i(ist)g
FJ(P)21 b FH(6)p FI(=)14 b FJ(P)k FH(\006)11 b FJ(E)17
b FH(2)d(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))j FK(und)f FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)j FH(\006)11 b FJ(E)s FI(\))j FH(\022)f
FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))q FK(.)436 b Fx(\004)120
417 y FL(Satz)19 b(2.4.16.)k FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13
b(\()p FJ(I)656 424 y FF(1)676 417 y FJ(;)8 b(I)720 424
y FF(2)739 417 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(ein)h(Randsystem)f
(mit)1305 380 y FE(P)1358 432 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1409
437 y Fz(1)1436 417 y FJ(r)1458 424 y FG(i)1486 417 y
FI(=)1538 380 y FE(P)1591 432 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1646
437 y Fz(2)1673 417 y FJ(s)1696 424 y FG(j)1728 417 y
FJ(<)f FH(1)120 477 y FK(und)j FJ(P)k FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(.)i(Dann)h(gilt)442 578 y FI(\()472
565 y(~)461 578 y FJ(P)k FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))i FK(und)h FJ(supp)p FI(\()912 565 y(~)900 578
y FJ(P)8 b FI(\))14 b FH(\022)f FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\)\))50 b FH(\))1377 565 y FI(~)1366 578 y FJ(P)21
b FI(=)14 b FJ(P)-1381 b FK(\(2.41\))120 678 y(genau)17
b(dann,)f(w)o(enn)g FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)120 792 y FB(Beweis.)26
b FK(W)l(egen)17 b(Lemma)f(2.4.15)i(ist)g(n)o(ur)f(\022)t
FH(\()p FK(\020)23 b(zu)17 b(zeigen.)f(Dazu)j(nehme)c(man)i(an,)h
(da\377)120 852 y(es)193 839 y FI(~)182 852 y FJ(P)j
FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))22 b FK(gibt)e(mit)621
839 y FI(~)610 852 y FJ(P)h FH(6)p FI(=)13 b FJ(P)29
b FK(und)21 b FJ(supp)p FI(\()1005 839 y(~)993 852 y
FJ(P)8 b FI(\))14 b FH(\022)f FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))q FK(.)21 b(Setze)f FJ(T)g FI(:=)13 b FJ(P)18
b FH(\000)1684 839 y FI(~)1673 852 y FJ(P)7 b FK(.)21
b(W)l(e-)120 912 y(gen)c FJ(P)q(;)275 900 y FI(~)264
912 y FJ(P)k FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))j FK(addieren)f(sic)o
(h)g(alle)f(Linien)h(v)o(on)g FJ(T)23 b FK(zu)16 b(Null.)f(Da)1441
900 y FI(~)1430 912 y FJ(P)21 b FH(6)p FI(=)14 b FJ(P)23
b FK(gilt,)16 b(gibt)g(es)120 972 y FI(\()p FJ(i)156
979 y FF(0)175 972 y FJ(;)8 b(j)217 979 y FF(0)237 972
y FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)339 979 y FF(1)369 972 y FH(\002)d
FJ(I)441 979 y FF(2)483 972 y FK(mit)20 b FJ(t)596 979
y FG(i)608 984 y Fz(0)625 979 y FG(;j)649 984 y Fz(0)683
972 y FJ(>)13 b FI(0)q FK(.)22 b(W)l(egen)99 b FH(8)958
1006 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1063 1011
y Fz(1)1080 1006 y FA(\002)p FG(I)1122 1011 y Fz(2)1154
972 y FI(\()p FJ(p)1197 979 y FG(i;j)1251 972 y FI(=)14
b(0)49 b FH(\))g FJ(t)1493 979 y FG(i;j)1546 972 y FI(=)14
b(0\))23 b FK(gilt)f(mit)120 1069 y FJ(G)14 b FI(:=)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g(\()p FJ(V)s(;)8
b(E)s(;)g(w)q FI(\))27 b FK(und)752 1056 y FI(~)741 1069
y FJ(G)14 b FI(:=)g FJ(G)p FI(\()p FJ(T)7 b FI(\))13
b(=)h(\()1062 1056 y(~)1055 1069 y FJ(V)d(;)1127 1056
y FI(~)1116 1069 y FJ(E)s(;)18 b FI(~)-34 b FJ(w)q FI(\))p
FK(,)26 b(da\377)i FI(\()1401 1056 y(~)1394 1069 y FJ(V)11
b(;)1467 1056 y FI(~)1455 1069 y FJ(E)s FI(\))j FH(\024)g
FI(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))p FK(.)26 b(Hat)120 1129
y(dann)257 1116 y FI(~)245 1129 y FJ(G)21 b FK(einen)e(Kreis,)f(so)j
(auc)o(h)f FJ(G)p FK(,)f(und)i(es)e(folgt)h FJ(P)h FH(62)14
b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)19
b(Man)h(k)m(ann)h(also)f(an-)120 1189 y(nehmen,)c(da\377)422
1176 y FI(~)411 1189 y FJ(G)j FK(kreisfrei)e(ist.)g(Dann)j(folgt)e(wie)
g(im)f(\022)t FH(\()p FK(\020)t(-T)l(eil)h(des)g(Bew)o(eises)f(v)o(on)h
(Satz)120 1249 y(2.4.3,)h(da\377)h FJ(G)p FI(\()p FH(j)p
FJ(T)7 b FH(j)p FI(\))18 b FK(einen)g FJ(t)654 1256 y
FG(i)666 1261 y Fz(0)683 1256 y FG(;j)707 1261 y Fz(0)726
1249 y FK(-Dopp)q(elbaum)h(hat.)g(Daraus)h(folgt)g(nac)o(h)e(Lemma)f
(2.4.4,)120 1309 y(da\377)209 1272 y FE(P)261 1324 y
FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)366 1329 y Fz(1)383
1324 y FA(\002)p FG(I)425 1329 y Fz(2)453 1309 y FH(j)p
FJ(t)485 1316 y FG(i;j)525 1309 y FH(j)c FI(=)h FH(1)p
FK(.)e(Das)i(steh)o(t)e(ab)q(er)h(w)o(egen)f FH(j)p FJ(t)1170
1316 y FG(i;j)1210 1309 y FH(j)i(\024)f FJ(p)1314 1316
y FG(i;j)1366 1309 y FI(+)i(~)-28 b FJ(p)1439 1316 y
FG(i;j)1492 1309 y FK(im)11 b(Widerspruc)o(h)120 1374
y(zur)16 b(V)l(oraussetzung)527 1336 y FE(P)579 1388
y FG(i)p FA(2)p FG(I)630 1393 y Fz(1)658 1374 y FJ(r)680
1381 y FG(i)708 1374 y FI(=)760 1336 y FE(P)812 1388
y FG(j)r FA(2)p FG(I)867 1393 y Fz(2)895 1374 y FJ(s)918
1381 y FG(j)950 1374 y FJ(<)e FH(1)p FK(.)725 b Fx(\004)120
1488 y FK(Der)16 b(Bew)o(eis)f(ist)h(analog)i(zu)e(dem)f(v)o(on)h(Prop)
q(osition)h(1)g(in)f([4],)f(n)o(ur)i(da\377)g(dort)g(die)e(V)l(oraus-)
120 1548 y(setzung)300 1511 y FE(P)352 1563 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)403 1568 y Fz(1)431 1548 y FJ(r)453 1555
y FG(i)481 1548 y FI(=)533 1511 y FE(P)585 1563 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)640 1568 y Fz(2)668 1548 y FJ(s)691 1555
y FG(j)723 1548 y FJ(<)f FH(1)19 b FK(v)o(ergessen)g(wurde.)h(Das)g
(folgende)g(Beispiel)d(2.4.17)120 1608 y(zeigt,)e(da\377)i(diese)f(V)l
(oraussetzung)h(w)o(esen)o(tlic)o(h)c(ist.)120 1702 y
FL(Beispiel)20 b(2.4.17.)j FK(Sei)15 b FJ(P)24 b FK(die)15
b(Matrix)h(aus)h(Beispiel)d(2.4.13,)i FH(I)i FI(:=)13
b FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))16 b FK(und)671 1905
y FJ(E)h FI(:=)789 1760 y FE(0)789 1848 y(B)789 1878
y(B)789 1908 y(B)789 1940 y(@)833 1804 y FH(\000)877
1784 y FF(1)p 877 1793 18 2 v 877 1821 a(2)965 1784 y(1)p
965 1793 V 965 1821 a(2)857 1845 y(1)p 857 1853 V 857
1881 a(2)1048 1864 y FH(\000)1092 1845 y FF(1)p 1092
1853 V 1092 1881 a(2)941 1924 y FH(\000)985 1905 y FF(1)p
985 1913 V 985 1942 a(2)1159 1976 y FK(.)1178 1989 y(.)1197
2001 y(.)1214 1760 y FE(1)1214 1848 y(C)1214 1878 y(C)1214
1908 y(C)1214 1940 y(A)1265 1905 y FJ(:)-1159 b FK(\(2.42\))120
2112 y(Da)25 b(f\374r)e(die)h(nac)o(h)f(\(2.38\))i(de\034nierten)e
FJ(a)923 2119 y FG(n)970 2112 y FK(gilt)44 b FH(8)1064
2144 y FG(n)p FA(2)p Fm(N)1147 2112 y FI(0)14 b FJ(<)g(a)1263
2119 y FG(n)1300 2112 y FJ(<)1365 2093 y FF(1)p 1356
2101 36 2 v 1356 2130 a(10)1397 2112 y FK(,)23 b(ist)h
FJ(P)18 b FI(+)11 b FJ(E)17 b FH(2)d(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))p FK(.)120 2192 y(Dann)e(ist)f FJ(supp)p FI(\()p
FJ(P)19 b FI(+)11 b FJ(E)s FI(\))j(=)f FJ(supp)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))q FK(,)k FJ(P)21 b FH(6)p FI(=)14 b FJ(P)k
FI(+)11 b FJ(E)j FK(und)d(denno)q(c)o(h,)g(wie)g(in)f(Beispiel)f
(2.4.13)120 2252 y(gezeigt,)15 b FJ(P)21 b FH(2)14 b
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))i FK(\(es)g(ist)g
FJ(P)j FH(\000)10 b FJ(E)23 b(=)-30 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))j FK(!\).)120 2365 y(Aus)f(Satz)g(2.4.16)h(ergibt)f(sic)o
(h)120 2458 y FL(Korollar)k(2.4.18.)j FK(Sei)18 b FH(I)g
FI(:=)13 b(\()p FJ(I)758 2465 y FF(1)777 2458 y FJ(;)8
b(I)821 2465 y FF(2)840 2458 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))18
b FK(ein)h(Randsystem)f(und)h FJ(P)i FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(.)19 b(Gilt)f(f\374r)120 2519 y(jede)e
(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)d FJ(H)20 b FK(v)o(on)d
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)16 b(da\377)1237
2481 y FE(P)1290 2533 y FG(x)1310 2538 y Fu(i)1323 2533
y FA(2)p FG(V)7 b FF(\()p FG(H)s FF(\))1444 2519 y FJ(r)1466
2526 y FG(i)1494 2519 y FJ(<)14 b FH(1)o FK(,)i(so)h(ist)442
2631 y FI(\()472 2619 y(~)461 2631 y FJ(P)k FH(2)14 b(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))i FK(und)h FJ(supp)p FI(\()912 2619
y(~)900 2631 y FJ(P)8 b FI(\))14 b FH(\022)f FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))50 b FH(\))1377 2619 y FI(~)1366
2631 y FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(P)-1381 b FK(\(2.43\))120
2731 y(genau)17 b(dann)g(ric)o(h)o(tig,)d(w)o(enn)i FJ(P)21
b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p
FK(.)p eop
%%Page: 47 49
47 48 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(47)60 203 y FB(Beweis.)26
b FK(Wieder)46 b(ist)i(w)o(egen)f(Lemma)e(2.4.15)j(n)o(ur)f(\022)t
FH(\()q FK(\020)k(zu)d(zeigen.)e(Ange-)60 264 y(nommen,)39
b(es)j(gibt)517 251 y FI(~)506 264 y FJ(P)21 b FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))43 b FK(mit)d FJ(supp)p FI(\()1001
251 y(~)989 264 y FJ(P)8 b FI(\))14 b FH(\022)f FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))43 b FK(und)f FJ(P)21 b FH(6)p
FI(=)1569 251 y(~)1558 264 y FJ(P)7 b FK(.)42 b(W\344h-)60
324 y(le)30 b FI(\()p FJ(i)162 331 y FF(0)181 324 y FJ(;)8
b(j)223 331 y FF(0)243 324 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)345
331 y FF(1)375 324 y FH(\002)d FJ(I)447 331 y FF(2)497
324 y FK(mit)29 b FJ(p)625 331 y FG(i)637 336 y Fz(0)655
331 y FG(;j)679 336 y Fz(0)712 324 y FH(6)p FI(=)18 b(~)-28
b FJ(p)788 331 y FG(i)800 336 y Fz(0)818 331 y FG(;j)842
336 y Fz(0)861 324 y FK(.)31 b(De\034niert)f(man)g(dann)i
FJ(H)18 b FI(:=)13 b FK(Zhk)1589 332 y FG(G)p FF(\()p
FG(P)5 b FF(\))1673 324 y FI(\()p FJ(x)1720 331 y FG(i)1732
336 y Fz(0)1751 324 y FI(\))60 384 y FK(und)24 b FJ(I)187
391 y FF(1)p FG(;H)261 384 y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(i)h
FH(2)g FJ(I)451 391 y FF(1)484 384 y FI(:)22 b FJ(x)548
391 y FG(i)575 384 y FH(2)14 b FJ(V)e FI(\()p FJ(H)t
FI(\))p FH(g)p FK(,)23 b FJ(I)828 391 y FF(2)p FG(;H)902
384 y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)1098 391 y
FF(2)1131 384 y FI(:)22 b FJ(y)1191 391 y FG(j)1223 384
y FH(2)14 b FJ(V)d FI(\()p FJ(H)t FI(\))p FH(g)p FK(.)23
b(Nac)o(h)g(dem)f(Be-)60 444 y(w)o(eis)45 b(v)o(on)h(Satz)g(2.1.19,)g
(sind)g FJ(I)793 451 y FF(1)p FG(;H)899 444 y FK(und)g
FJ(I)1048 451 y FF(2)p FG(;H)1155 444 y FK(abz\344hlbar,)g(und)g(nac)o
(h)g(De-)60 504 y(\034nition)39 b(v)o(on)g FJ(H)k FK(ist)545
492 y FI(~)540 504 y FH(I)18 b FI(:=)13 b FH(I)t FI(\()p
FJ(P)7 b Fx(\030)759 511 y FG(I)774 517 y Fz(1)p Fu(;H)827
511 y FA(\002)p FG(I)869 517 y Fz(2)p Fu(;H)926 504 y
FI(\))14 b(=)f(\()p FJ(I)1051 511 y FF(1)p FG(;H)1112
504 y FJ(;)8 b(I)1156 511 y FF(2)p FG(;H)1216 504 y FJ(;)g(r)q
Fx(\030)1282 511 y FG(I)1297 517 y Fz(1)p Fu(;H)1353
504 y FJ(;)g(s)p Fx(\030)1419 511 y FG(I)1434 517 y Fz(2)p
Fu(;H)1490 504 y FI(\))p FK(.)38 b(W)l(eiterhin)60 572
y(sind)f FJ(P)7 b Fx(\030)243 579 y FG(I)258 585 y Fz(1)p
Fu(;H)312 579 y FA(\002)p FG(I)354 585 y Fz(2)p Fu(;H)410
572 y FJ(;)443 559 y FI(~)432 572 y FJ(P)h Fx(\030)492
579 y FG(I)507 585 y Fz(1)p Fu(;H)560 579 y FA(\002)p
FG(I)602 585 y Fz(2)p Fu(;H)672 572 y FH(2)14 b(D)q FI(\()782
559 y(~)777 572 y FH(I)5 b FI(\))p FK(,)37 b FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)1056 579 y FG(I)1071 585 y Fz(1)p
Fu(;H)1125 579 y FA(\002)p FG(I)1167 585 y Fz(2)p Fu(;H)1224
572 y FI(\))13 b FH(\023)h FJ(supp)p FI(\()1439 559 y(~)1427
572 y FJ(P)8 b Fx(\030)1487 579 y FG(I)1502 585 y Fz(1)p
Fu(;H)1555 579 y FA(\002)p FG(I)1597 585 y Fz(2)p Fu(;H)1654
572 y FI(\))37 b FK(so-)60 640 y(wie)26 b FJ(P)7 b Fx(\030)216
647 y FG(I)231 653 y Fz(1)p Fu(;H)285 647 y FA(\002)p
FG(I)327 653 y Fz(2)p Fu(;H)397 640 y FH(6)p FI(=)460
627 y(~)449 640 y FJ(P)g Fx(\030)508 647 y FG(I)523 653
y Fz(1)p Fu(;H)577 647 y FA(\002)p FG(I)619 653 y Fz(2)p
Fu(;H)675 640 y FK(.)26 b(Aus)h(der)g(V)l(oraussetzung)g(des)g
(Korollars)g(und)g(Satz)60 707 y(2.4.16)g(folgt)f(damit)f
FJ(P)7 b Fx(\030)543 714 y FG(I)558 720 y Fz(1)p Fu(;H)612
714 y FA(\002)p FG(I)654 720 y Fz(2)p Fu(;H)724 707 y
FH(62)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()886 695 y(~)881
707 y FH(I)5 b FI(\)\))p FK(.)26 b(Nac)o(h)f(Satz)h(2.1.14)h(\(b\))f
(ist)g(also)h(auc)o(h)60 768 y FJ(P)21 b FH(62)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)1378
b Fx(\004)60 878 y FK(Der)14 b(folgende)g(Satz)g(2.4.23)g(gibt)g(eine)f
(graphen)o(theoretisc)o(he)g(Charakterisierung)h(der)g(Ex-)60
939 y(tremalpunkte)d(v)o(on)h FH(D)q FI(\()p FH(\024)j(I)t
FI(\))o FK(.)e(Dazu)g(sind)g(zw)o(ei)e(w)o(eitere)g(tec)o(hnisc)o(he)g
(De\034nitionen)h(\(2.4.19)60 999 y(und)17 b(2.4.21\))f(not)o(w)o
(endig.)60 1085 y FL(De\034nition)j(2.4.19.)24 b FK(Sei)d
FJ(G)j FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))22
b FK(ein)f(gewic)o(h)o(teter)f(Graph)j(und)f FJ(\017)i(>)f
FI(0)p FK(.)f(Ein)60 1146 y FB(unend)r(licher)e FJ(\017)p
FB(-W)l(e)n(g)c FJ(W)24 b FK(ist)16 b(ein)f(W)l(eg)h
FJ(W)21 b FH(\024)14 b FJ(G)p FK(,)i(so)h(da\377)g FJ(w)q
Fx(\030)1187 1153 y FG(E)r FF(\()p FG(W)5 b FF(\))1296
1146 y FH(\025)14 b FJ(\017)i FK(und)g FJ(l)q FI(\()p
FJ(W)7 b FI(\))13 b(=)h FH(1)p FK(.)60 1232 y FL(Bemerkung)j(2.4.20.)23
b FK(Sei)30 b FJ(G)38 b FI(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q
FI(\))30 b FK(ein)g(gewic)o(h)o(teter)e(Graph,)j FJ(\017)13
b(>)h FI(0)31 b FK(und)60 1292 y FJ(W)21 b FH(\024)13
b FJ(G)k FK(ein)f(unendlic)o(her)f FJ(\017)p FK(-W)l(eg.)h(Dann)i(gilt)
953 1255 y FE(P)1006 1307 y FG(e)p FA(2)p FG(E)r FF(\()p
FG(W)5 b FF(\))1149 1292 y FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p FI(\))14
b FH(\025)f(1)e(\001)g FJ(\017)j FI(=)f FH(1)p FK(,)j(das)i(hei\377t,)
60 1357 y(insb)q(esondere)e(ist)414 1319 y FE(P)467 1371
y FG(e)p FA(2)p FG(E)545 1357 y FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p
FI(\))e(=)f FH(1)p FK(.)60 1443 y FL(De\034nition)19
b(2.4.21.)24 b FK(Sei)33 b FH(I)49 b FI(:=)44 b(\()p
FJ(I)814 1450 y FF(1)833 1443 y FJ(;)8 b(I)877 1450 y
FF(2)896 1443 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))34 b FK(ein)f
FH(\024)p FK(-Randsystem,)g FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(\024)h(I)t FI(\))o FK(,)60 1503 y FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))14 b(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))p
FK(.)16 b(Setze)233 1605 y FJ(V)261 1612 y FG(<)304 1605
y FI(=)e FJ(V)384 1612 y FG(<)414 1605 y FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))14 b(:=)f FH(f)p FJ(x)622 1612 y FG(i)650 1605
y FH(2)h FJ(V)25 b FI(:)786 1557 y FE(X)786 1663 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)841 1668 y Fz(2)866 1605 y FJ(p)890 1612
y FG(i;j)945 1605 y FJ(<)14 b(r)1019 1612 y FG(i)1033
1605 y FH(g)1067 1599 y FI(_)1058 1605 y FH([f)p FJ(y)1140
1612 y FG(j)1171 1605 y FH(2)h FJ(V)25 b FI(:)1307 1557
y FE(X)1309 1663 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1360 1668 y Fz(1)1388
1605 y FJ(p)1412 1612 y FG(i;j)1466 1605 y FJ(<)14 b(s)1541
1612 y FG(j)1559 1605 y FH(g)p FJ(:)60 1748 y FL(Lemma)k(2.4.22.)23
b FK(Sei)42 b FH(I)63 b FI(:=)58 b(\()p FJ(I)788 1755
y FF(1)808 1748 y FJ(;)8 b(I)852 1755 y FF(2)871 1748
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))42 b FK(ein)g FH(\024)p FK(-Randsystem,)f
FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o
FK(,)60 1808 y FJ(G)f FI(:=)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b
FI(\))14 b(=)g(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))p
FK(.)18 b(Gibt)g(es)g(eine)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)f
FJ(H)22 b FK(v)o(on)c FJ(G)h FK(mit)60 1868 y FI(#\()p
FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))g FH(\\)g FJ(V)324 1875
y FG(<)354 1868 y FI(\))j FH(\025)g FI(2)p FK(,)i(so)h(ist)f
FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)g(I)t FI(\)\))p FK(.)60 1979 y FB(Beweis.)26
b FK(Sei)63 b(also)h FJ(H)k FK(eine)63 b(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o
(te)e(v)o(on)i FJ(G)i FK(und)60 2039 y FJ(x)88 2046 y
FG(i)100 2051 y Fz(0)119 2039 y FJ(;)8 b(y)165 2046 y
FG(j)179 2051 y Fz(0)212 2039 y FH(2)14 b FJ(V)e FI(\()p
FJ(H)t FI(\))f FH(\\)g FJ(V)464 2046 y FG(<)551 2039
y FK(\(die)56 b(F\344lle)f FJ(x)878 2046 y FG(i)890 2051
y Fz(1)909 2039 y FJ(;)8 b(x)959 2046 y FG(i)971 2051
y Fz(2)1004 2039 y FH(2)14 b FJ(V)d FI(\()p FJ(H)t FI(\))h
FH(\\)f FJ(V)1256 2046 y FG(<)1286 2039 y FK(,)56 b FJ(i)1373
2046 y FF(1)1475 2039 y FH(6)p FI(=)83 b FJ(i)1613 2046
y FF(2)1689 2039 y FK(und)60 2100 y FJ(y)84 2107 y FG(j)98
2112 y Fz(1)117 2100 y FJ(;)8 b(y)163 2107 y FG(j)177
2112 y Fz(2)231 2100 y FH(2)34 b FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t
FI(\))19 b FH(\\)h FJ(V)519 2107 y FG(<)549 2100 y FK(,)27
b FJ(j)610 2107 y FF(1)664 2100 y FH(6)p FI(=)34 b FJ(j)756
2107 y FF(2)804 2100 y FK(lassen)28 b(sic)o(h)f(ganz)i(analog)g(b)q
(ehandeln\).)f(Da)h FJ(H)60 2160 y FK(zusammenh\344ngend)13
b(ist,)h(gibt)g(es)h(einen)e FJ(x)863 2167 y FG(i)875
2172 y Fz(0)894 2160 y FJ(y)918 2167 y FG(j)932 2172
y Fz(0)952 2160 y FK(-W)l(eg)i FJ(W)20 b FI(=)14 b(\()p
FJ(x)1240 2167 y FG(i)1252 2172 y Fz(1)1271 2160 y FJ(;)8
b(y)1317 2167 y FG(j)1331 2172 y Fz(1)1350 2160 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)
g(x)1488 2167 y FG(i)1500 2173 y Fu(k)1520 2160 y FJ(;)g(y)1566
2167 y FG(j)1580 2173 y Fu(k)1602 2160 y FI(\))o FK(.)15
b(Es)g(sei)141 2319 y FJ(\017)e FI(:=)g(min)o FH(f)p
FJ(r)368 2326 y FG(i)380 2331 y Fz(0)410 2319 y FH(\000)460
2271 y FE(X)460 2377 y FG(j)r FA(2)p FG(I)515 2382 y
Fz(2)541 2319 y FJ(p)565 2326 y FG(i)577 2331 y Fz(0)594
2326 y FG(;j)622 2319 y FJ(;)8 b(s)667 2326 y FG(j)681
2331 y Fz(0)712 2319 y FH(\000)762 2271 y FE(X)764 2377
y FG(i)p FA(2)p FG(I)815 2382 y Fz(1)842 2319 y FJ(p)866
2326 y FG(i;j)902 2331 y Fz(0)922 2319 y FJ(;)g(p)968
2326 y FG(i)980 2331 y Fz(1)998 2326 y FG(;j)1022 2331
y Fz(1)1041 2319 y FJ(;)g(p)1087 2326 y FG(i)1099 2331
y Fz(2)1117 2326 y FG(;j)1141 2331 y Fz(1)1160 2319 y
FJ(;)g(p)1206 2326 y FG(i)1218 2331 y Fz(2)1236 2326
y FG(;j)1260 2331 y Fz(2)1279 2319 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(p)1413
2326 y FG(i)1425 2332 y Fu(k)1444 2326 y FG(;j)1468 2332
y Fu(k)q Fv(\000)p Fz(1)1528 2319 y FJ(;)g(p)1574 2326
y FG(i)1586 2332 y Fu(k)1606 2326 y FG(;j)1630 2332 y
Fu(k)1651 2319 y FH(g)p FJ(:)60 2247 y FK(\(2.44\))60
2462 y(Nun)16 b(de\034niere)f(eine)g(Matrix)h FJ(E)h
FI(=)c(\()p FJ(e)771 2469 y FG(i;j)811 2462 y FI(\))830
2470 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)935 2475
y Fz(1)952 2470 y FA(\002)p FG(I)994 2475 y Fz(2)1028
2462 y FH(2)h(M)1134 2469 y Fm(R)1160 2462 y FI(\()p
FJ(I)1201 2469 y FF(1)1221 2462 y FJ(;)8 b(I)1265 2469
y FF(2)1284 2462 y FI(\))16 b FK(durc)o(h)398 2636 y
FJ(e)421 2643 y FG(i;j)474 2636 y FI(:=)539 2518 y FE(8)539
2563 y(>)539 2578 y(<)539 2668 y(>)539 2683 y(:)584 2565
y FJ(\017)87 b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13
b(=)h(\()p FJ(i)969 2572 y FG(\026)992 2565 y FJ(;)8
b(j)1034 2572 y FG(\026)1057 2565 y FI(\))p FJ(;)57 b
FI(1)14 b FH(\024)g FJ(\026)g FH(\024)f FJ(k)r(;)584
2638 y FH(\000)p FJ(\017)48 b FK(f\374r)16 b FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p FJ(i)969 2645 y FG(\026)992
2638 y FJ(;)8 b(j)1034 2645 y FG(\026)p FA(\000)p FF(1)1102
2638 y FI(\))p FJ(;)57 b FI(2)14 b FH(\024)g FJ(\026)g
FH(\024)g FJ(k)r(;)584 2710 y FI(0)83 b FK(sonst)q FJ(:)60
2636 y FK(\(2.45\))p eop
%%Page: 48 50
48 49 bop 120 50 a FK(48)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(Dann)22 b(erf\374llt)d FJ(E)24 b FK(die)d(Bedingungen)f(2.8)i(und)
f(2.9)g(aus)h(Lemma)d(2.1.13)i(\(a\).)g(Daher)g(ist)120
264 y FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))p FK(.)1326 b Fx(\004)120
366 y FL(Satz)19 b(2.4.23.)k FK(Sei)30 b FH(I)42 b FI(:=)d(\()p
FJ(I)721 373 y FF(1)740 366 y FJ(;)8 b(I)784 373 y FF(2)803
366 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))30 b FK(ein)g FH(\024)p
FK(-Randsystem)g(mit)f FI(#)p FJ(I)1546 373 y FF(1)1565
366 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1650 373 y FF(2)1707 366 y
FH(\024)38 b FJ(!)r FK(,)120 426 y FJ(P)21 b FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))p FK(,)29 b FJ(G)14
b FI(:=)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g(\()p
FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(.)29 b(Dann)h(gilt)e
FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\)\))29 b FK(genau)h(dann,)120 486 y(w)o(enn)16 b(die)g(folgenden)g
(Bedingungen)g(\(i\),)f(\(ii\))g(und)i(\(iii\))d(gelten.)120
609 y FL(\(i\))25 b FJ(G)16 b FK(ist)g(ein)g(W)l(ald)g(und)h(hat)f
(f\374r)h(k)o(ein)d FJ(\017)g(>)g FI(0)i FK(einen)g FJ(\017)o
FK(-Dopp)q(elbaum.)120 711 y FL(\(ii\))25 b FK(F\374r)16
b(alle)g(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)d FJ(H)21
b FK(v)o(on)16 b FJ(G)g FK(ist)g FI(#\()p FJ(V)11 b FI(\()p
FJ(H)t FI(\))h FH(\\)f FJ(V)1596 718 y FG(<)1626 711
y FI(\))j FH(\024)f FI(1)p FK(.)120 813 y FL(\(iii\))26
b FK(F\374r)31 b(alle)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)e
FJ(H)36 b FK(v)o(on)31 b FJ(G)g FK(gilt,)g(da\377)h FJ(H)j
FK(n)o(ur)c(f\374r)242 873 y FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t
FI(\))g FH(\\)h FJ(V)447 880 y FG(<)491 873 y FI(=)h
FH(;)24 b FK(f\374r)g(ein)g FJ(\017)i(>)h FI(0)e FK(einen)e(unendlic)o
(hen)f FJ(\017)p FK(-W)l(eg)i FJ(W)34 b FH(\024)27 b
FJ(H)h FK(hab)q(en)242 933 y(k)m(ann.)120 1052 y FB(Beweis.)e
FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)k(Ist)g(\(i\))g(nic)o(h)o(t)f(erf\374llt)
g(und)1019 1040 y FI(~)1014 1052 y FH(I)42 b FI(:=)37
b FH(I)s FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)30 b(so)h(ist)f(nac)o(h)g(Satz)h
(2.4.3)120 1112 y FJ(P)c(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()334 1100 y(~)329 1112 y FH(I)5 b FI(\)\))p
FK(,)19 b(das)h(hei\377t)f FJ(P)26 b FI(=)766 1093 y
FF(1)p 766 1101 18 2 v 766 1130 a(2)789 1112 y FJ(P)820
1119 y FF(1)853 1112 y FI(+)909 1093 y FF(1)p 909 1101
V 909 1130 a(2)932 1112 y FJ(P)963 1119 y FF(2)1002 1112
y FK(mit)18 b FJ(P)j FH(6)p FI(=)14 b FJ(P)1230 1119
y FF(1)1250 1112 y FJ(;)8 b(P)1303 1119 y FF(2)1337 1112
y FH(2)14 b(D)q FI(\()1447 1100 y(~)1442 1112 y FH(I)t
FI(\))p FK(.)19 b(Da)h(dann)g(auc)o(h)120 1173 y FJ(P)151
1180 y FF(1)171 1173 y FJ(;)8 b(P)224 1180 y FF(2)266
1173 y FH(2)22 b(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))p
FK(,)21 b(ist)f FJ(P)35 b(=)-30 b FH(2)22 b FK(E)q FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))p FK(.)20 b(Man)h(k)m(ann)h
(jetzt)e(also)h(annehmen,)f(da\377)i(\(i\))120 1233 y(erf\374llt)f
(ist.)g(Ist)g(\(ii\))g(nic)o(h)o(t)g(erf\374llt,)f(so)i(ist)g
FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)g(I)t FI(\)\))22 b FK(nac)o(h)g(Lemma)d(2.4.22.)j(Ab)120
1293 y(jetzt)e(sei)g(auc)o(h)h(\(ii\))f(erf\374llt.)f(Ist)i(n)o(un)f
(\(iii\))g(nic)o(h)o(t)f(erf\374llt,)g(so)j(gibt)f(es)f(eine)g
(Zusammen-)120 1353 y(hangsk)o(omp)q(onen)o(te)e FJ(H)k
FK(v)o(on)c FJ(G)g FK(mit)f FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t
FI(\))h FH(\\)h FJ(V)1029 1360 y FG(<)1076 1353 y FH(6)p
FI(=)k FH(;)h FK(und)g(ein)g FI(~)-25 b FJ(\017)17 b(>)g
FI(0)p FK(,)h(so)h(da\377)g FJ(H)j FK(einen)120 1413
y(unendlic)o(hen)h FI(~)-25 b FJ(\017)p FK(-W)l(eg)564
1401 y FI(~)550 1413 y FJ(W)34 b FI(=)27 b(\()p FJ(x)739
1418 y FF(~)742 1426 y FG(i)754 1431 y Fz(1)773 1413
y FJ(;)8 b(y)818 1418 y FF(~)819 1426 y FG(j)833 1431
y Fz(1)852 1413 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\))24 b FK(hat.)g(Gibt)g(es)g
FJ(x)1303 1418 y FF(~)1306 1426 y FG(i)1318 1431 y Fz(0)1364
1413 y FH(2)k FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))17 b FH(\\)f
FJ(V)1640 1420 y FG(<)1670 1413 y FK(,)24 b(so)h(sei)120
1473 y FJ(U)19 b FI(:=)13 b(\()p FJ(x)281 1478 y FF(~)284
1486 y FG(i)296 1491 y Fz(0)316 1473 y FJ(;)8 b(y)361
1478 y FF(~)362 1486 y FG(j)376 1491 y Fz(0)395 1473
y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)529 1478 y FF(~)532 1486 y
FG(i)544 1491 y Fz(1)563 1473 y FI(\))22 b FK(ein)f FJ(x)713
1478 y FF(~)716 1486 y FG(i)728 1491 y Fz(0)747 1473
y FJ(x)772 1478 y FF(~)775 1486 y FG(i)787 1491 y Fz(1)806
1473 y FK(-W)l(eg.)h(Mit)f FJ(\017)j FI(:=)f(min)n FH(f)p
FI(~)-24 b FJ(\017)o(;)8 b FI(min)o FH(f)p FJ(w)q FI(\()p
FJ(e)p FI(\))23 b(:)31 b FJ(e)23 b FH(2)h FJ(E)s FI(\()p
FJ(U)5 b FI(\))p FH(g)120 1534 y FK(ist)17 b(dann)h FJ(W)j
FI(=)13 b(\()p FJ(x)477 1541 y FG(i)489 1546 y Fz(0)508
1534 y FJ(;)8 b(y)554 1541 y FG(j)568 1546 y Fz(0)588
1534 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FI(\))14 b(:=)f(\()p FJ(x)817
1539 y FF(~)820 1546 y FG(i)832 1551 y Fz(0)851 1534
y FJ(;)8 b(y)896 1539 y FF(~)897 1546 y FG(j)911 1551
y Fz(0)931 1534 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1065 1539
y FF(~)1068 1546 y FG(i)1080 1551 y Fz(1)1099 1534 y
FJ(;)g(y)1144 1539 y FF(~)1145 1546 y FG(j)1159 1551
y Fz(1)1178 1534 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\))17 b FK(ein)g(unendlic)o
(her)e FJ(\017)p FK(-W)l(eg)i(in)120 1594 y FJ(H)t FK(.)23
b(Sei)g(n)o(un)g FJ(\016)28 b FI(:=)d(inf)s FH(f)p FJ(r)623
1601 y FG(i)635 1606 y Fz(0)670 1594 y FH(\000)725 1557
y FE(P)778 1608 y FG(j)r FA(2)p FG(I)833 1613 y Fz(2)860
1594 y FJ(p)884 1601 y FG(i)896 1606 y Fz(0)914 1601
y FG(;j)942 1594 y FJ(;)8 b(p)988 1601 y FG(i)1000 1606
y Fz(0)1018 1601 y FG(;j)1042 1606 y Fz(0)1061 1594 y
FJ(;)g(p)1107 1601 y FG(i)1119 1606 y Fz(1)1137 1601
y FG(;j)1161 1606 y Fz(0)1180 1594 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g
FH(g)p FK(.)23 b(Dann)h(ist)f FJ(\016)28 b(>)e FI(0)p
FK(.)d(Setze)120 1654 y FJ(T)d FI(=)14 b(\()p FJ(t)258
1661 y FG(i;j)298 1654 y FI(\))317 1662 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)422 1667 y Fz(1)438 1662 y FA(\002)p
FG(I)480 1667 y Fz(2)517 1654 y FK(mit)506 1845 y FJ(t)524
1852 y FG(i;j)577 1845 y FI(:=)643 1728 y FE(8)643 1773
y(>)643 1788 y(<)643 1877 y(>)643 1892 y(:)687 1775 y
FJ(\016)105 b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14
b(=)f(\()p FJ(i)1092 1782 y FG(k)1113 1775 y FJ(;)8 b(j)1155
1782 y FG(k)1177 1775 y FI(\))p FJ(;)19 b(k)c FH(2)g
Fw(N)1353 1782 y FF(0)1372 1775 y FJ(;)687 1847 y FH(\000)p
FJ(\016)66 b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14
b(=)f(\()p FJ(i)1092 1854 y FG(k)q FF(+1)1158 1847 y
FJ(;)8 b(j)1200 1854 y FG(k)1222 1847 y FI(\))p FJ(;)19
b(k)d FH(2)e Fw(N)1398 1854 y FF(0)1417 1847 y FJ(;)687
1919 y FI(0)103 b FK(sonst.)120 1845 y(\(2.46\))120 2032
y(Damit)15 b(ist)h(dann)h FJ(P)h FH(\006)11 b FJ(T)20
b FH(\025)14 b FI(0)p FK(,)38 b FH(8)716 2063 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)771 2068 y Fz(2)810 1995 y FE(P)863 2047
y FG(i)p FA(2)p FG(I)914 2052 y Fz(1)942 2032 y FJ(t)960
2039 y FG(i;j)1013 2032 y FI(=)14 b(0)i FK(und)432 2169
y FE(X)432 2275 y FG(j)r FA(2)p FG(I)487 2280 y Fz(2)512
2216 y FJ(t)530 2223 y FG(i;j)584 2216 y FI(=)636 2131
y FE(\()676 2182 y FJ(\016)f FH(\024)f FJ(r)788 2189
y FG(i)800 2194 y Fz(0)830 2182 y FH(\000)880 2145 y
FE(P)933 2197 y FG(j)r FA(2)p FG(I)988 2202 y Fz(2)1015
2182 y FJ(p)1039 2189 y FG(i)1051 2194 y Fz(0)1069 2189
y FG(;j)1162 2182 y FK(f\374r)i FJ(i)e FI(=)g FJ(i)1339
2189 y FF(0)1358 2182 y FJ(;)676 2254 y FI(0)462 b FK(f\374r)16
b FJ(i)e FH(2)g FJ(I)1339 2261 y FF(1)1369 2254 y FH(n)d(f)p
FJ(i)1447 2261 y FF(0)1466 2254 y FH(g)p FJ(:)120 2216
y FK(\(2.47\))120 2378 y(Nac)o(h)39 b(Lemma)f(2.1.13)j(\(a\))f(ist)g
(dann)h FJ(P)67 b(=)-30 b FH(2)55 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))p FK(.)40 b(Gibt)g(es)g(n)o(ur)g(ein)
120 2438 y FJ(y)143 2443 y FF(~)144 2451 y FG(j)158 2456
y Fz(0)191 2438 y FH(2)14 b FJ(V)e FI(\()p FJ(H)t FI(\))f
FH(\\)g FJ(V)443 2445 y FG(<)473 2438 y FK(,)16 b(so)h(folgt)f
FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)h(I)t FI(\)\))h FK(ganz)h(analog.)120 2523 y(\022)t
FH(\()p FK(\020)t(:)34 b(Seien)f(die)g(Bedingungen)h(\(i\),)f(\(ii\),)f
(\(iii\))h(erf\374llt)f(und)j FJ(P)51 b FI(=)1580 2503
y FF(1)p 1580 2512 V 1580 2540 a(2)1602 2523 y FJ(P)1633
2530 y FF(1)1677 2523 y FI(+)1743 2503 y FF(1)p 1743
2512 V 1743 2540 a(2)1765 2523 y FJ(P)1796 2530 y FF(2)1816
2523 y FK(,)120 2583 y FJ(P)151 2590 y FF(1)171 2583
y FJ(;)8 b(P)224 2590 y FF(2)258 2583 y FH(2)14 b(D)q
FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))p FK(.)26 b(Setze)f FJ(T)38
b FI(:=)30 b FJ(P)823 2590 y FF(1)861 2583 y FH(\000)18
b FJ(P)38 b FI(=)31 b FJ(P)25 b FH(\000)17 b FJ(P)1199
2590 y FF(2)1220 2583 y FK(.)25 b(Dann)j(ist)103 b FH(8)1480
2616 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1585 2621
y Fz(1)1601 2616 y FA(\002)p FG(I)1643 2621 y Fz(2)1675
2583 y FH(j)p FJ(t)1707 2590 y FG(i;j)1747 2583 y FH(j)30
b(\024)120 2671 y FJ(p)144 2678 y FG(i;j)185 2671 y FK(.)43
b(Ziel)g(ist)h(es,)f(zu)h(zeigen,)f(da\377)i FJ(T)68
b FI(=)61 b(0)p FK(.)44 b(W)l(egen)g FH(j)p FJ(t)1455
2678 y FG(i;j)1495 2671 y FH(j)61 b(\024)g FJ(p)1694
2678 y FG(i;j)1778 2671 y FK(ist)120 2731 y FI(\()p FJ(V)11
b FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)c FH(j)p FI(\)\))p
FJ(;)h(E)s FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)f FH(j)p
FI(\)\)\))13 b FH(\024)g FI(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s FI(\))p
FK(.)24 b(Also)g(ist)g FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b
FH(j)p FI(\))23 b FK(w)o(egen)h(\(i\))g(ein)f(W)l(ald)h(und)h(hat)p
eop
%%Page: 49 51
49 50 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(49)1058 216 y FG(:)1046
227 y(:)1070 204 y(:)773 316 y(y)790 321 y Fu(j)803 326
y Fr(0)827 292 y FG(:)5 b(:)h(:)1044 352 y Fq(.)1058
364 y(.)1071 377 y(.)866 264 y FG(y)883 268 y Fu(\027)898
273 y Fr(3)928 317 y FG(x)948 321 y Fu(\026)967 326 y
Fr(0)1049 329 y FG(y)1066 333 y Fu(\027)1081 338 y Fr(2)1049
258 y FG(y)1066 262 y Fu(\027)1081 267 y Fr(1)797 344
y @beginspecial 187 @llx 457 @lly 283 @urx 498 @ury 566
@rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../epweg.eps

/IdrawDict 50 dict def
IdrawDict begin

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
131 401 171 401 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
171 401 201 421 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 148 197 ] concat
%I
171 401 201 381 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 207 420 ] concat
%I
144 355 1 0 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 207 420 ] concat
%I
144 357 8 8 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 277.5 399 ] concat
%I
144 357 8 8 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 277 439.5 ] concat
%I
144 357 8 8 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 247.5 419.5 ] concat
%I
144 357 8 8 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 167 420 ] concat
%I
144 357 8 8 Elli
End

End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 237 481 a FK(Abbildung)16 b(2.5)60 627 y(f\374r)f(k)o(ein)
f FJ(\017)g(>)f FI(0)j FK(einen)e FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum.)h(Nun)g
(sei)f FJ(H)20 b FK(eine)14 b(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)60
687 y(v)o(on)i FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b FH(j)p
FI(\))16 b FK(und)314 811 y FJ(V)342 818 y FA(6)p FF(=0)403
811 y FI(:=)e FH(f)p FJ(x)522 818 y FG(i)549 811 y FH(2)g
FJ(V)d FI(\()p FJ(H)t FI(\))j(:)767 764 y FE(X)767 869
y FG(j)r FA(2)p FG(I)822 874 y Fz(2)848 811 y FJ(t)866
818 y FG(i;j)919 811 y FH(6)p FI(=)g(0)p FH(g)d([)h(f)p
FJ(y)1125 818 y FG(j)1156 811 y FH(2)i FJ(V)e FI(\()p
FJ(H)t FI(\))i(:)1374 764 y FE(X)1376 869 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)1427 874 y Fz(1)1455 811 y FJ(t)1473 818 y FG(i;j)1526
811 y FH(6)p FI(=)g(0)p FH(g)p FJ(:)-1581 b FK(\(2.48\))60
977 y(W)l(egen)14 b FJ(P)f FH(\006)6 b FJ(T)20 b FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))e FK(ist)h FJ(V)669
984 y FA(6)p FF(=0)731 977 y FH(\022)f FJ(V)811 984 y
FG(<)841 977 y FK(.)h(Nac)o(h)f(\(ii\))g(ist)g(also)i
FI(#)p FJ(V)1300 984 y FA(6)p FF(=0)1361 977 y FH(\024)e
FI(1)p FK(.)h(Angenommen,)60 1037 y(es)21 b(gilt)g FI(#)p
FJ(V)283 1044 y FA(6)p FF(=0)344 1037 y FI(=)13 b(1)q
FK(.)21 b(Sei)f(ohne)h(Besc)o(hr\344nkung)g(der)g(Allgemei)o(nheit)d
FJ(V)1410 1044 y FA(6)p FF(=0)1480 1037 y FI(=)k FH(f)p
FJ(x)1593 1044 y FG(i)1605 1049 y Fz(0)1624 1037 y FH(g)p
FK(,)e(\(der)60 1097 y(F)l(all)g FJ(V)188 1104 y FA(6)p
FF(=0)257 1097 y FI(=)i FH(f)p FJ(y)366 1104 y FG(j)380
1109 y Fz(0)399 1097 y FH(g)f FK(wird)g(analog)h(b)q(ehandelt\).)e(Es)h
(gibt)g(dann)h FJ(j)1308 1104 y FF(0)1349 1097 y FH(2)g
FJ(I)1426 1104 y FF(2)1466 1097 y FK(mit)d FJ(t)1578
1104 y FG(i)1590 1109 y Fz(0)1607 1104 y FG(;j)1631 1109
y Fz(0)1672 1097 y FH(6)p FI(=)j(0)p FK(.)60 1158 y(En)o(tfern)o(t)16
b(man)f(aus)j FJ(H)j FK(die)15 b(Kan)o(te)i FH(f)p FJ(x)789
1165 y FG(i)801 1170 y Fz(0)820 1158 y FJ(;)8 b(y)866
1165 y FG(j)880 1170 y Fz(0)899 1158 y FH(g)p FK(,)16
b(so)h(en)o(tstehen,)e(da)i FJ(H)k FK(ein)16 b(Baum)f(ist,)h(zw)o(ei)60
1218 y(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten.)d FJ(B)19 b
FK(sei)d(diejenige)e(mit)h FJ(y)1169 1225 y FG(j)1183
1230 y Fz(0)1216 1218 y FH(2)f FJ(V)d FI(\()p FJ(B)s
FI(\))p FK(.)60 1296 y FB(Behauptung)19 b(1.)73 b FH(8)391
1329 y FG(v)q FA(2)p FG(V)8 b FF(\()p FG(B)r FF(\))531
1296 y FJ(d)556 1303 y FG(B)587 1296 y FI(\()p FJ(v)r
FI(\))13 b FH(\024)h FI(2)p FK(.)60 1458 y FB(Beweis.)26
b FK(Angenommen,)c(es)k(gibt)f FJ(x)780 1465 y FG(\026)801
1470 y Fz(0)850 1458 y FH(2)30 b FJ(V)11 b FI(\()p FJ(B)s
FI(\))26 b FK(mit)d FJ(d)1179 1465 y FG(B)1210 1458 y
FI(\()p FJ(x)1257 1465 y FG(\026)1278 1470 y Fz(0)1297
1458 y FI(\))30 b FH(\025)f FI(3)p FK(.)d(Dann)h(gibt)e(es)60
1519 y FJ(\027)84 1526 y FF(1)104 1519 y FJ(;)8 b(\027)150
1526 y FF(2)169 1519 y FJ(;)g(\027)215 1526 y FF(3)264
1519 y FH(2)29 b FJ(I)348 1526 y FF(2)392 1519 y FK(mit)24
b FJ(t)509 1526 y FG(\026)530 1531 y Fz(0)547 1526 y
FG(;\027)574 1531 y Fz(1)593 1519 y FJ(;)8 b(t)633 1526
y FG(\026)654 1531 y Fz(0)671 1526 y FG(;\027)698 1531
y Fz(2)718 1519 y FJ(;)g(t)758 1526 y FG(\026)779 1531
y Fz(0)796 1526 y FG(;\027)823 1531 y Fz(3)871 1519 y
FH(6)p FI(=)29 b(0)p FK(.)c(Nac)o(h)f(ev)o(en)o(tuellem)d(V)l(ertausc)o
(hen)j(v)o(on)60 1579 y FJ(\027)84 1586 y FF(1)104 1579
y FK(,)29 b FJ(\027)171 1586 y FF(2)190 1579 y FK(,)g
FJ(\027)257 1586 y FF(3)306 1579 y FK(k)m(ann)h(man)e(ohne)i(Besc)o
(hr\344nkung)f(der)g(Allgemei)o(nhei)o(t)e(annehmen,)g(da\377)60
1639 y FJ(d)p FI(\()p FJ(y)128 1646 y FG(j)142 1651 y
Fz(0)162 1639 y FJ(;)8 b(y)208 1646 y FG(\027)225 1651
y Fz(3)244 1639 y FI(\))26 b FJ(<)g(d)p FI(\()p FJ(y)421
1646 y FG(j)435 1651 y Fz(0)454 1639 y FJ(;)8 b(y)500
1646 y FG(\027)517 1651 y Fz(1)537 1639 y FI(\))p FJ(;)g(d)p
FI(\()p FJ(y)646 1646 y FG(j)660 1651 y Fz(0)679 1639
y FJ(;)g(y)725 1646 y FG(\027)742 1651 y Fz(2)762 1639
y FI(\))23 b FK(und)h FH(j)p FJ(t)941 1646 y FG(\026)962
1651 y Fz(0)978 1646 y FG(;\027)1005 1651 y Fz(1)1025
1639 y FH(j)i(\024)f(j)p FJ(t)1161 1646 y FG(\026)1182
1651 y Fz(0)1199 1646 y FG(;\027)1226 1651 y Fz(2)1246
1639 y FH(j)e FK(\(siehe)f(Abbildung)h(2.5\).)60 1705
y(Setze)j FJ(\016)15 b FI(:=)f FH(\000)345 1678 y FG(t)358
1682 y Fu(\026)377 1689 y Fz(0)393 1682 y Fu(;\027)417
1689 y Fz(1)p 344 1693 94 2 v 344 1722 a FG(t)357 1726
y Fu(\026)376 1733 y Fz(0)393 1726 y Fu(;\027)417 1733
y Fz(2)442 1705 y FK(,)27 b(das)g(hei\377t)g FI(0)14
b FJ(<)g FH(j)p FJ(\016)r FH(j)f(\024)g FI(1)q FK(.)26
b(En)o(tfern)o(t)g(man)g(die)g(Ec)o(k)o(e)f FJ(x)1552
1712 y FG(\026)1573 1717 y Fz(0)1619 1705 y FK(aus)j
FJ(B)s FK(,)60 1775 y(so)f(en)o(tstehen)f(mehrere)f(Zusammenhangsk)o
(omp)q(onen)o(ten.)f(Sei)i FJ(B)1361 1782 y FF(1)1394
1775 y FI(:=)14 b FK(Zhk)1542 1782 y FG(B)r FA(\000)p
FG(x)1618 1786 y Fu(\026)1637 1793 y Fz(0)1658 1775 y
FI(\()p FJ(y)1701 1782 y FG(\027)1718 1787 y Fz(1)1737
1775 y FI(\))p FK(,)60 1835 y FJ(B)97 1842 y FF(2)131
1835 y FI(:=)f FK(Zhk)279 1842 y FG(B)r FA(\000)p FG(x)355
1846 y Fu(\026)374 1853 y Fz(0)394 1835 y FI(\()p FJ(y)437
1842 y FG(\027)454 1847 y Fz(2)474 1835 y FI(\))p FK(.)i(De\034niere)h
(eine)f(Matrix)g FJ(S)i FI(=)d(\()p FJ(s)1131 1842 y
FG(i;j)1171 1835 y FI(\))1190 1843 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)1295 1848 y Fz(1)1311 1843 y FA(\002)p
FG(I)1353 1848 y Fz(2)1390 1835 y FK(durc)o(h)394 2034
y FJ(s)417 2041 y FG(i;j)471 2034 y FI(:=)536 1917 y
FE(8)536 1962 y(>)536 1977 y(<)536 2066 y(>)536 2081
y(:)580 1964 y FJ(t)598 1971 y FG(i;j)726 1964 y FK(f\374r)j
FH(f)p FJ(x)857 1971 y FG(i)870 1964 y FJ(;)8 b(y)916
1971 y FG(j)934 1964 y FH(g)14 b(2)g FJ(E)s FI(\()p FJ(B)1115
1971 y FF(1)1135 1964 y FI(\))d FH([)g(f)p FJ(x)1262
1971 y FG(\026)1283 1976 y Fz(0)1302 1964 y FJ(;)d(y)1348
1971 y FG(\027)1365 1976 y Fz(1)1385 1964 y FH(g)p FJ(;)580
2036 y(\016)r(t)622 2043 y FG(i;j)726 2036 y FK(f\374r)17
b FH(f)p FJ(x)857 2043 y FG(i)870 2036 y FJ(;)8 b(y)916
2043 y FG(j)934 2036 y FH(g)14 b(2)g FJ(E)s FI(\()p FJ(B)1115
2043 y FF(2)1135 2036 y FI(\))d FH([)g(f)p FJ(x)1262
2043 y FG(\026)1283 2048 y Fz(0)1302 2036 y FJ(;)d(y)1348
2043 y FG(\027)1365 2048 y Fz(2)1385 2036 y FH(g)p FJ(;)580
2108 y FI(0)122 b FK(sonst)q FJ(:)60 2034 y FK(\(2.49\))60
2226 y(Dann)17 b(ist)93 b FH(8)260 2260 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)365 2265 y Fz(1)382 2260 y FA(\002)p
FG(I)424 2265 y Fz(2)455 2226 y FH(j)p FJ(s)492 2233
y FG(i;j)532 2226 y FH(j)14 b(\024)g(j)p FJ(t)645 2233
y FG(i;j)684 2226 y FH(j)p FK(,)i(und)g(es)g(gilt)474
2337 y FE(X)474 2443 y FG(j)r FA(2)p FG(I)529 2448 y
Fz(2)555 2384 y FJ(s)578 2391 y FG(\026)599 2396 y Fz(0)616
2391 y FG(;j)658 2384 y FI(=)e FJ(t)728 2391 y FG(\026)749
2396 y Fz(0)766 2391 y FG(;\027)793 2396 y Fz(1)824 2384
y FI(+)d FJ(\016)r(t)915 2391 y FG(\026)936 2396 y Fz(0)952
2391 y FG(;\027)979 2396 y Fz(2)1013 2384 y FI(=)i(0)p
FJ(;)360 2523 y FH(8)296 2556 y FG(x)316 2561 y Fu(i)329
2556 y FA(2)p FG(V)7 b FF(\()p FG(B)422 2561 y Fz(1)438
2556 y FF(\))474 2476 y FE(X)474 2581 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)529 2586 y Fz(2)555 2523 y FJ(s)578 2530 y FG(i;j)632
2523 y FI(=)684 2476 y FE(X)683 2581 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)738 2586 y Fz(2)764 2523 y FJ(t)782 2530 y FG(i;j)836
2523 y FI(=)13 b(0)p FJ(;)122 b FH(8)982 2556 y FG(y)999
2561 y Fu(j)1016 2556 y FA(2)p FG(V)7 b FF(\()p FG(B)1109
2561 y Fz(1)1126 2556 y FF(\))1161 2476 y FE(X)1163 2581
y FG(i)p FA(2)p FG(I)1214 2586 y Fz(1)1242 2523 y FJ(s)1265
2530 y FG(i;j)1319 2523 y FI(=)1370 2476 y FE(X)1372
2581 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1423 2586 y Fz(1)1451 2523
y FJ(t)1469 2530 y FG(i;j)1522 2523 y FI(=)14 b(0)p FJ(;)360
2662 y FH(8)296 2695 y FG(x)316 2700 y Fu(i)329 2695
y FA(2)p FG(V)7 b FF(\()p FG(B)422 2700 y Fz(2)438 2695
y FF(\))474 2614 y FE(X)474 2720 y FG(j)r FA(2)p FG(I)529
2725 y Fz(2)555 2662 y FJ(s)578 2669 y FG(i;j)632 2662
y FI(=)684 2614 y FE(X)683 2720 y FG(j)r FA(2)p FG(I)738
2725 y Fz(2)764 2662 y FJ(\016)r(t)806 2669 y FG(i;j)859
2662 y FI(=)14 b(0)p FJ(;)122 b FH(8)1006 2695 y FG(y)1023
2700 y Fu(j)1040 2695 y FA(2)p FG(V)6 b FF(\()p FG(B)1132
2700 y Fz(2)1149 2695 y FF(\))1185 2614 y FE(X)1187 2720
y FG(i)p FA(2)p FG(I)1238 2725 y Fz(1)1265 2662 y FJ(s)1288
2669 y FG(i;j)1342 2662 y FI(=)1394 2614 y FE(X)1396
2720 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1447 2725 y Fz(1)1474 2662
y FJ(\016)r(t)1516 2669 y FG(i;j)1569 2662 y FI(=)14
b(0)p FJ(:)60 2544 y FK(\(2.50\))p eop
%%Page: 50 52
50 51 bop 120 50 a FK(50)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FJ(S)e FK(erf\374llt)c(damit)g(die)g(Bedingungen)h(v)o(on)g(Lemma)e
(2.1.13)j(b\),)f(das)h(hei\377t)f FJ(P)26 b(=)-29 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p FJ(P)7
b FI(\)\)\))p FK(,)120 264 y(w)o(as)16 b(nac)o(h)f(Satz)g(2.4.3)g(im)e
(Widerspruc)o(h)i(dazu)g(steh)o(t,)f(da\377)i FJ(G)g
FK(\(i\))e(erf\374llt.)f(Bleibt)h(no)q(c)o(h)h(zu)120
324 y(b)q(emerk)o(en,)e(da\377)k(der)f(F)l(all)g FJ(y)650
331 y FG(\027)667 336 y Fz(0)700 324 y FH(2)e FJ(V)e
FI(\()p FJ(B)s FI(\))j FK(analog)j(b)q(ehandelt)e(w)o(erden)g(k)m(ann.)
251 b Fx(N)120 439 y FK(Behauptung)33 b(1)g(b)q(esagt,)g(da\377)h
FJ(B)44 b FI(=)e(\()p FJ(y)965 446 y FG(j)979 451 y Fz(0)998
439 y FJ(;)8 b(x)1048 446 y FG(i)1060 451 y Fz(1)1079
439 y FJ(;)g(y)1125 446 y FG(i)1137 451 y Fz(1)1156 439
y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FI(\))32 b FK(ein)g(W)l(eg)h(ist.)f(Also)g(m)o
(u\377)120 499 y FJ(t)138 506 y FG(i)150 511 y Fz(0)167
506 y FG(;j)191 511 y Fz(0)224 499 y FI(=)14 b FH(\000)p
FJ(t)333 506 y FG(i)345 511 y Fz(1)362 506 y FG(;j)386
511 y Fz(0)419 499 y FI(=)g FJ(t)489 506 y FG(i)501 511
y Fz(1)518 506 y FG(;j)542 511 y Fz(1)575 499 y FI(=)g
FJ(:)8 b(:)g(:)30 b FK(sein,)21 b(das)i(hei\377t,)f FJ(B)j
FK(ist)d(ein)f(unendlic)o(her)g FJ(t)1573 506 y FG(i)1585
511 y Fz(0)1602 506 y FG(;j)1626 511 y Fz(0)1645 499
y FK(-W)l(eg)i(im)120 560 y(Widerspruc)o(h)c(zu)h(\(iii\).)e(Damit)h
(ist)h(gezeigt,)e(da\377)j FJ(V)1122 567 y FA(6)p FF(=0)1184
560 y FI(=)13 b FH(;)20 b FK(gelten)g(m)o(u\377.)e(Da)j(w)o(eiterhin)
120 620 y FJ(H)d FK(eine)13 b(b)q(eliebige)g(Zusammenhangsk)o(omp)q
(onen)o(te)e(v)o(on)j FJ(G)p FI(\()p FH(j)p FJ(T)7 b
FH(j)p FI(\))14 b FK(w)o(ar,)g(folgt,)g(da\377)h(sic)o(h)e(alle)120
680 y(Linien)k(v)o(on)h FJ(T)24 b FK(zu)18 b(Null)f(summiere)o(n.)e
(W\344re)j FJ(T)23 b FH(6)p FI(=)17 b(0)p FK(,)g(so)i(w)o(\344re)f(nac)
o(h)g(Lemma)d(2.1.13)k(\(b\))120 740 y(wieder)c FJ(P)27
b(=)-30 b FH(2)15 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\)\))p FK(.)1148 b Fx(\004)120
836 y FL(Lemma)18 b(2.4.24.)23 b FK(Sei)71 b FH(I)112
b FI(:=)c(\()p FJ(I)976 843 y FF(1)995 836 y FJ(;)8 b(I)1039
843 y FF(2)1058 836 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))71 b FK(ein)g
FH(\024)p FK(-Randsystem)g(mit)120 896 y FI(min)n FH(f)226
859 y FE(P)279 911 y FG(i)p FA(2)p FG(I)330 916 y Fz(1)357
896 y FJ(r)379 903 y FG(i)393 896 y FJ(;)415 859 y FE(P)468
911 y FG(j)r FA(2)p FG(I)523 916 y Fz(2)550 896 y FJ(s)573
903 y FG(j)592 896 y FH(g)13 b FJ(<)h FH(1)p FK(,)39
b FJ(P)60 b FH(2)53 b(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))p
FK(,)39 b FJ(G)14 b FI(:=)f FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15
b(=)e(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(.)39 b(Dann)120
957 y(k)m(ann)17 b(es)f(f\374r)g(k)o(ein)f FJ(\017)f(>)f
FI(0)k FK(einen)e(unendlic)o(hen)g FJ(\017)p FK(-W)l(eg)h
FJ(W)21 b FH(\024)14 b FJ(G)i FK(geb)q(en.)120 1072 y
FB(Beweis.)26 b FK(Ist)20 b FJ(\017)h(>)g FI(0)g FK(und)g
FJ(W)28 b FH(\024)21 b FJ(G)g FK(ein)e(unendlic)o(her)g
FJ(\017)p FK(-W)l(eg,)h(so)h(ist)g(nac)o(h)f(Bemerkung)120
1132 y(2.4.20)d FI(min)n FH(f)367 1095 y FE(P)420 1147
y FG(i)p FA(2)p FG(I)471 1152 y Fz(1)498 1132 y FJ(r)520
1139 y FG(i)534 1132 y FJ(;)556 1095 y FE(P)609 1147
y FG(j)r FA(2)p FG(I)664 1152 y Fz(2)691 1132 y FJ(s)714
1139 y FG(j)733 1132 y FH(g)c(\025)824 1095 y FE(P)876
1147 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)981 1152
y Fz(1)998 1147 y FA(\002)p FG(I)1040 1152 y Fz(2)1068
1132 y FJ(p)1092 1139 y FG(i;j)1147 1132 y FI(=)1199
1095 y FE(P)1251 1147 y FG(e)p FA(2)p FG(E)1329 1132
y FJ(w)q FI(\()p FJ(e)p FI(\))h(=)g FH(1)p FK(.)235 b
Fx(\004)120 1233 y FL(Korollar)20 b(2.4.25.)j FK(Sei)68
b FH(I)106 b FI(:=)d(\()p FJ(I)986 1240 y FF(1)1005 1233
y FJ(;)8 b(I)1049 1240 y FF(2)1068 1233 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))68 b FK(ein)f FH(\024)p FK(-Randsystem)h(mit)120
1293 y FI(min)n FH(f)226 1255 y FE(P)279 1307 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)330 1312 y Fz(1)357 1293 y FJ(r)379 1300
y FG(i)393 1293 y FJ(;)415 1255 y FE(P)468 1307 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)523 1312 y Fz(2)550 1293 y FJ(s)573 1300
y FG(j)592 1293 y FH(g)39 b FJ(<)g FH(1)p FK(,)31 b FJ(P)46
b FH(2)40 b(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))p FK(,)30
b FJ(G)15 b FI(:=)e FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15
b(=)e(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))p FK(.)31 b(Dann)120
1353 y(ist)19 b FJ(P)27 b FH(2)20 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)15 b(I)t FI(\))o(\))20 b FK(genau)g(dann,)g(w)o(enn)g
FJ(G)g FK(ein)f(W)l(ald)g(ist)h(und)g(f\374r)f(alle)g(Zusammen-)120
1413 y(hangsk)o(omp)q(onen)o(ten)d FJ(H)k FK(v)o(on)d
FJ(G)f FK(gilt,)f(da\377)j FI(#\()p FJ(V)10 b FI(\()p
FJ(H)t FI(\))i FH(\\)f FJ(V)1207 1420 y FG(<)1237 1413
y FI(\))j FH(\024)f FI(1)p FK(.)120 1529 y FB(Beweis.)26
b FK(Zun\344c)o(hst)14 b(k)m(ann)h(man)e(w)o(egen)h FI(min)o
FH(f)986 1491 y FE(P)1038 1543 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1089
1548 y Fz(1)1117 1529 y FJ(r)1139 1536 y FG(i)1153 1529
y FJ(;)1175 1491 y FE(P)1227 1543 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1282
1548 y Fz(2)1310 1529 y FJ(s)1333 1536 y FG(j)1351 1529
y FH(g)g FJ(<)g FH(1)g FK(ohne)g(Besc)o(hr\344n-)120
1589 y(kung)i(der)g(Allgemei)o(nheit)c(annehmen,)i(da\377)j
FI(#)p FJ(I)1034 1596 y FF(1)1053 1589 y FJ(;)8 b FI(#)p
FJ(I)1138 1596 y FF(2)1170 1589 y FH(\024)14 b FJ(!)r
FK(.)h(Nac)o(h)h(Satz)f(2.4.23)i(ist)e(dann)120 1649
y(n)o(ur)23 b(no)q(c)o(h)g(zu)g(zeigen,)f(da\377)i(f\374r)f
FI(min)n FH(f)866 1612 y FE(P)918 1663 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)969 1668 y Fz(1)997 1649 y FJ(r)1019 1656 y FG(i)1033
1649 y FJ(;)1055 1612 y FE(P)1107 1663 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)1162 1668 y Fz(2)1190 1649 y FJ(s)1213 1656 y FG(j)1231
1649 y FH(g)14 b FJ(<)g FH(1)23 b FK(\(iii\))e(aus)j(Satz)f(2.4.23)120
1709 y(imme)o(r)14 b(erf\374llt)h(ist,)g(und)i(das)g(ergibt)f(sic)o(h)f
(aus)i(Lemma)d(2.4.24.)472 b Fx(\004)120 1825 y FK(Das)17
b(folgende)f(Beispiel)e(2.4.26)i(liefert)f(den)h(einfac)o(hsten)f(F)l
(all)g(einer)g(dopp)q(elt)i(substo)q(c)o(ha-)120 1885
y(stisc)o(hen)12 b(Matrix)h FJ(P)20 b FK(b)q(ez\374glic)o(h)12
b(eines)g(endlic)o(hen)g(Randsystems,)f(so)j(da\377)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FK(ein)e(W)l(ald,)120
1945 y FJ(P)26 b FK(jedo)q(c)o(h)19 b(nic)o(h)o(t)e(extremal)g(ist.)h
(W)l(egen)h(Satz)g(2.2.4)g(folgt)g(daraus,)h(da\377)g(sic)o(h)e(Satz)h
(1.4.1)120 2005 y(nic)o(h)o(t)c(auf)i FJ(\026)d FH(2)g(D)q
FI(\()p FH(\024)g FJ(m)569 2012 y FF(1)589 2005 y FJ(;)8
b FH(\024)13 b FJ(m)706 2012 y FF(2)725 2005 y FI(\))k
FK(v)o(erallgeme)o(inern)c(l\344\377t.)120 2101 y FL(Beispiel)20
b(2.4.26.)j FK(Sei)16 b FH(I)i FI(:=)c(\()p FJ(I)744
2108 y FF(1)763 2101 y FJ(;)8 b(I)807 2108 y FF(2)826
2101 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))16 b FK(mit)f FJ(I)1061
2108 y FF(1)1095 2101 y FI(=)f FJ(I)1169 2108 y FF(2)1203
2101 y FI(=)g FH(f)p FI(1)p FH(g)p FK(,)j FJ(r)e FI(=)g
FJ(s)f FI(=)h(\(1\))p FK(,)h FJ(P)22 b FI(:=)14 b(\()1775
2082 y FF(1)p 1775 2090 18 2 v 1775 2118 a(2)1797 2101
y FI(\))p FK(.)120 2161 y(Dann)19 b(ist)f FJ(P)j FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))p FK(,)k(w)o(egen)g
FJ(P)24 b FI(=)879 2142 y FF(1)p 879 2150 V 879 2179
a(2)901 2161 y FI(\(1\))13 b(+)1031 2142 y FF(1)p 1031
2150 V 1031 2179 a(2)1054 2161 y FI(\(0\))18 b FK(ist)g
FJ(P)31 b(=)-30 b FH(2)17 b(D)q FI(\()p FH(\024)e(I)t
FI(\))j FK(\(das)h(ist)f(F)l(all)f(\(ii\))120 2222 y(v)o(on)f(Satz)g
(2.4.23\).)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(hat)f(n)o(ur)g(zw)o
(ei)f(Ec)o(k)o(en)g(und)i(ist)f(damit)f(ein)g(W)l(ald.)120
2337 y(Der)j(folgende)g(Satz)g(2.4.27)h(und)f(Korollar)g(2.4.28)h
(stellen)e(die)g(zu)h(Satz)g(2.4.11)h(und)f(Ko-)120 2398
y(rollar)e(2.4.12)i(analogen)f(Ergebnisse)g(f\374r)g(dopp)q(elt)g
(substo)q(c)o(hastisc)o(he)f(Matrizen)g(dar.)h(Sie)120
2458 y(v)o(erallgemei)o(nern)c(einen)j(Satz)g(v)o(on)g
FD(mirsky)i FK(\(siehe)d([10]\).)120 2554 y FL(Satz)k(2.4.27.)k
FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13 b(\()p FJ(I)656 2561 y FF(1)675
2554 y FJ(;)8 b(I)719 2561 y FF(2)738 2554 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))16 b FK(ein)f FH(\024)p FK(-Randsystem)g(mit)f
FI(#)p FJ(I)1422 2561 y FF(1)1454 2554 y FI(=)g FJ(\013)p
FK(,)i FI(#)p FJ(I)1630 2561 y FF(2)1663 2554 y FI(=)d
FJ(\014)s FK(.)i(Ist)120 2614 y FH(G)h FI(:=)e FH(G)s
FI(\()p FH(I)t FI(\))h FK(abgesc)o(hlossen,)h(so)h(gilt)446
2717 y FJ(P)k FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)g(I)t FI(\)\))49 b FH(\))f(f)p FJ(p)973 2724
y FG(i;j)1028 2717 y FI(:)21 b(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14
b FH(2)g FJ(I)1246 2724 y FF(1)1276 2717 y FH(\002)d
FJ(I)1348 2724 y FF(2)1367 2717 y FH(g)j(\022)f(G)s FJ(:)-1385
b FK(\(2.51\))p eop
%%Page: 51 53
51 52 bop 60 50 a Fy(2.4.)32 b(GRAPHENTHEORETISCHE)16
b(CHARAKTERISIER)o(UNG)322 b FK(51)60 203 y FB(Beweis.)26
b FK(Nac)o(h)11 b(Lemma)e(2.4.9)j(k)m(ann)g(man)f(wieder)g(ohne)g
(Einsc)o(hr\344nkung)h(annehmen,)e(da\377)60 264 y FH(G)16
b FI(=)e FJ(t)p Fw(Z)p FK(f\374r)g(ein)f FJ(t)h FH(2)g
Fw(R)492 246 y FF(+)518 264 y FK(.)g(Zun\344c)o(hst)g(nehme)e(man)h
(an,)h(da\377)h FJ(\013)f FI(=)g FJ(\014)i FI(=)e FJ(!)r
FK(.)f(Sei)h FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\))60 324 y FK(gegeb)q(en.)23 b(Angenommen,)d(es)k(gibt)f
FI(\()p FJ(i)802 331 y FF(0)821 324 y FJ(;)8 b(j)863
331 y FF(0)883 324 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)985 331 y
FF(1)1015 324 y FH(\002)d FJ(I)1087 331 y FF(2)1130 324
y FK(mit)21 b FJ(p)1250 331 y FG(i)1262 336 y Fz(0)1280
331 y FG(;j)1304 336 y Fz(0)1343 324 y FJ(=)-30 b FH(2)14
b(G)s FK(.)23 b(Es)h(soll)f(gezeigt)60 384 y(w)o(erden,)17
b(da\377)i(dann)f FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)q
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\)\))p FK(.)j(Hat)h
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))19 b FK(einen)e(Kreis,)g(so)h(folgt)g
(das)h(aus)g(Satz)60 444 y(2.4.23.)24 b(Man)f(k)m(ann)i(also)f
(annehmen,)e(da\377)i FJ(G)j FI(:=)f FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))26 b(=)h(\()p FJ(V)s(;)8 b(E)s(;)g(w)q FI(\))23
b FK(ein)g(W)l(ald)h(ist.)60 504 y(W)l(eiterhin)e(k)m(ann)i(man)e
(annehmen,)g(da\377)i(f\374r)f(alle)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o
(ten)f FJ(H)60 565 y FK(v)o(on)15 b FJ(G)p FK(,)g FI(#\()p
FJ(V)c FI(\()p FJ(H)t FI(\))e FH(\\)g FJ(V)478 572 y
FG(<)508 565 y FI(\))k FH(\024)h FI(1)p FK(,)h(denn)g(andernfalls)g
(ist)g FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\)\))h FK(nac)o(h)g(Satz)g(2.4.23)60
625 y(\(ii\).)60 701 y FB(Behauptung)k(1.)24 b FK(Gilt)16
b FH(G)522 708 y FG(P)565 701 y FI(:=)d FH(G)s FI(\()p
FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))13 b FH(\024)h(G)s FK(,)h(so)i(ist)f
FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)h(I)t FI(\)\))p FK(.)60 831 y FB(Beweis.)26 b
FK(W)l(egen)e FH(G)17 b FI(=)c FJ(t)p Fw(Z)e FK(ist)24
b FH(G)691 838 y FG(P)734 831 y FI(=)786 822 y(~)786
831 y FJ(t)8 b Fw(Z)-14 b FK(,)24 b(w)o(ob)q(ei)1030
822 y FI(~)1029 831 y FJ(t)14 b FH(2)g(f)p FJ(k)r(t)f
FI(:)22 b FJ(k)16 b FH(2)e Fw(N)p FH(g)q FK(.)24 b(W)l(egen)g
FJ(p)1603 838 y FG(i)1615 843 y Fz(0)1633 838 y FG(;j)1657
843 y Fz(0)1696 831 y FJ(=)-30 b FH(2)14 b(G)60 892 y
FK(ist)24 b FJ(P)j(=)-30 b FH(2)14 b(M)295 899 y FA(G)316
905 y Fu(P)344 892 y FI(\()p FJ(I)385 899 y FF(1)404
892 y FJ(;)8 b(I)448 899 y FF(2)467 892 y FI(\))24 b
FK(und)h(damit)e FJ(P)j(=)-29 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\)\))25 b
FK(nac)o(h)f(Satz)g(2.4.11.)h(Dann)g(gibt)60 952 y(es)h
FJ(\017)14 b(>)g FI(0)p FK(,)26 b(so)h(da\377)h FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))27 b FK(einen)e FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)h
(hat.)h(W)l(egen)f(Satz)h(2.4.23)g(ist)f(also)60 1012
y FJ(P)h(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))p FK(.)1329 b Fx(N)60 1142 y
FK(Nac)o(h)15 b(Behauptung)h(1)g(gibt)g(es)g(eine)f(Linie)g(v)o(on)g
FJ(P)7 b FK(,)16 b(deren)f(Summe)e(nic)o(h)o(t)i(in)g
FH(G)j FK(liegt.)d(Ins-)60 1202 y(b)q(esondere)i(gilt)e(f\374r)i(die)e
(zu)h(dieser)g(Linie)f(geh\366rende)i(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)
c FJ(H)t FK(,)60 1263 y(da\377)18 b FI(#\()p FJ(V)11
b FI(\()p FJ(H)t FI(\))h FH(\\)f FJ(V)418 1270 y FG(<)448
1263 y FI(\))j(=)f(1)q FK(.)k(Man)h(k)m(ann)g(daher)g(ohne)g(Besc)o
(hr\344nkung)f(der)g(Allgemeinhe)o(it)60 1323 y(annehmen,)g(da\377)i
FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))g FH(\\)h FJ(V)608 1330
y FG(<)651 1323 y FI(=)i FH(f)p FJ(x)756 1330 y FG(i)768
1335 y Fz(0)787 1323 y FH(g)k FK(\(der)g(F)l(all)g FH(f)p
FJ(y)1082 1330 y FG(j)1096 1335 y Fz(0)1115 1323 y FH(g)g
FI(=)f FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))i FH(\\)g FJ(V)1421
1330 y FG(<)1469 1323 y FK(ist)18 b(wie)g(\374blic)o(h,)60
1383 y(analog)j(zu)e(gewinnen\).)g(W)l(egen)h FI(#\()p
FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))i FH(\\)h FJ(V)966 1390
y FG(<)996 1383 y FI(\))19 b(=)h(1)g FK(ist)129 b FH(8)1207
1416 y FG(x)1227 1421 y Fu(i)1240 1416 y FA(2)p FG(V)7
b FF(\()p FG(H)s FF(\))p FA(nf)p FG(x)1408 1421 y Fu(i)1419
1428 y Fz(0)1437 1416 y FA(g)1477 1346 y FE(P)1529 1398
y FG(j)r FA(2)p FG(I)1584 1403 y Fz(2)1612 1383 y FJ(p)1636
1390 y FG(i;j)1690 1383 y FH(2)14 b(G)60 1475 y FK(und)78
b FH(8)161 1508 y FG(y)178 1513 y Fu(j)195 1508 y FA(2)p
FG(V)6 b FF(\()p FG(H)s FF(\))328 1438 y FE(P)380 1490
y FG(i)p FA(2)p FG(I)431 1495 y Fz(1)459 1475 y FJ(p)483
1482 y FG(i;j)537 1475 y FH(2)14 b(G)s FK(.)19 b(En)o(tfern)o(t)f(man)h
(aus)h FJ(H)k FK(die)19 b(Kan)o(te)g FH(f)p FJ(x)1396
1482 y FG(i)1408 1487 y Fz(0)1427 1475 y FJ(;)8 b(y)1473
1482 y FG(j)1487 1487 y Fz(0)1506 1475 y FH(g)p FK(,)19
b(so)i(en)o(tste-)60 1562 y(hen,)15 b(da)h FJ(H)k FK(ein)15
b(Baum)g(ist,)g(zw)o(ei)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten.)e(Sei)k
FJ(T)22 b FK(diejenige)14 b(mit)60 1622 y FJ(y)84 1629
y FG(j)98 1634 y Fz(0)131 1622 y FH(2)g FJ(V)e FI(\()p
FJ(T)7 b FI(\))p FK(.)60 1698 y FB(Behauptung)19 b(2.)24
b FK(Ist)32 b FJ(P)47 b FH(2)41 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))p FK(,)31 b(so)h(gilt)g(f\374r)f
FJ(i)14 b FH(2)g FJ(I)1278 1705 y FF(1)1329 1698 y FK(mit)30
b FJ(x)1462 1705 y FG(i)1489 1698 y FH(2)14 b FJ(V)e
FI(\()p FJ(T)7 b FI(\))o FK(,)31 b(da\377)60 1758 y FI(#)p
FH(f)p FJ(p)150 1765 y FG(i;\027)207 1758 y FI(:)22 b
FJ(p)267 1765 y FG(i;\027)330 1758 y FJ(=)-29 b FH(2)14
b(G)s(g)f(\024)h FI(2)i FK(und)h(f\374r)f FJ(j)h FH(2)d
FJ(I)817 1765 y FF(2)852 1758 y FK(mit)h FJ(y)966 1765
y FG(j)998 1758 y FH(2)f FJ(V)d FI(\()p FJ(T)c FI(\))o
FK(,)16 b(da\377)h FI(#)p FH(f)p FJ(p)1369 1765 y FG(\026;j)1432
1758 y FI(:)22 b FJ(p)1492 1765 y FG(\026;j)1561 1758
y FJ(=)-29 b FH(2)14 b(G)s(g)f(\024)h FI(2)p FK(.)60
1889 y FB(Beweis.)26 b FK(Angenommen,)d(es)j(gibt)h FJ(x)783
1896 y FG(\026)804 1901 y Fz(0)854 1889 y FH(2)32 b FJ(V)11
b FI(\()p FJ(T)c FI(\))26 b FK(mit)e FI(#)p FH(f)p FJ(p)1247
1896 y FG(\026)1268 1901 y Fz(0)1286 1896 y FG(;\027)1331
1889 y FI(:)e FJ(p)1391 1896 y FG(\026)1412 1901 y Fz(0)1430
1896 y FG(;\027)1481 1889 y FJ(=)-30 b FH(2)14 b(G)s(g)f(\025)h
FI(3)27 b FK(\(im)60 1949 y(F)l(all)34 b(da\377)h(es)f
FJ(y)383 1956 y FG(\027)400 1961 y Fz(0)433 1949 y FH(2)15
b FJ(V)c FI(\()p FJ(T)c FI(\))33 b FK(mit)g FI(#)p FH(f)p
FJ(p)825 1956 y FG(\026;\027)873 1961 y Fz(0)907 1949
y FI(:)21 b FJ(p)966 1956 y FG(\026;\027)1014 1961 y
Fz(0)1054 1949 y FJ(=)-30 b FH(2)14 b(G)s(g)g(\025)f
FI(3)35 b FK(gibt,)f(k)m(ann)h(man)e(ganz)60 2009 y(analog)22
b(argumen)o(tieren\).)d(Dann)j(gibt)f(es)g FJ(\027)906
2016 y FF(1)925 2009 y FJ(;)8 b(\027)971 2016 y FF(2)991
2009 y FJ(;)g(\027)1037 2016 y FF(3)1079 2009 y FH(2)22
b FJ(I)1156 2016 y FF(2)1196 2009 y FK(mit)e FJ(p)1315
2016 y FG(\026)1336 2021 y Fz(0)1354 2016 y FG(;\027)1381
2021 y Fz(1)1400 2009 y FJ(;)8 b(p)1446 2016 y FG(\026)1467
2021 y Fz(0)1485 2016 y FG(;\027)1512 2021 y Fz(2)1532
2009 y FJ(;)g(p)1578 2016 y FG(\026)1599 2021 y Fz(0)1616
2016 y FG(;\027)1643 2021 y Fz(3)1683 2009 y FJ(=)-30
b FH(2)14 b(G)r FK(.)60 2069 y(Nac)o(h)35 b(ev)o(en)o(tuellem)c(V)l
(ertausc)o(hen)k(v)o(on)h FJ(\027)921 2076 y FF(1)941
2069 y FK(,)f FJ(\027)1014 2076 y FF(2)1034 2069 y FK(,)g
FJ(\027)1107 2076 y FF(3)1163 2069 y FK(k)m(ann)h(man)f(annehmen,)f
(da\377)60 2130 y FJ(d)p FI(\()p FJ(y)128 2137 y FG(j)142
2142 y Fz(0)162 2130 y FJ(;)8 b(y)208 2137 y FG(\027)225
2142 y Fz(3)244 2130 y FI(\))14 b FJ(<)g(d)p FI(\()p
FJ(y)397 2137 y FG(j)411 2142 y Fz(0)430 2130 y FJ(;)8
b(y)476 2137 y FG(\027)493 2142 y Fz(1)513 2130 y FI(\))p
FJ(;)g(d)p FI(\()p FJ(y)622 2137 y FG(j)636 2142 y Fz(0)655
2130 y FJ(;)g(y)701 2137 y FG(\027)718 2142 y Fz(2)738
2130 y FI(\))p FK(.)14 b(En)o(tfern)o(t)g(man)g(die)g(Ec)o(k)o(e)g
FJ(x)1305 2137 y FG(\026)1326 2142 y Fz(0)1360 2130 y
FK(aus)i FJ(T)7 b FK(,)13 b(so)j(en)o(tstehen)60 2190
y(mehrere)35 b(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten.)e(Setze)j
FJ(\017)14 b FI(:=)1207 2170 y FF(1)p 1207 2178 18 2
v 1207 2207 a(2)1238 2190 y FI(min)n FH(f)p FJ(di)p FI(\()p
FJ(p)1429 2197 y FG(\026)1450 2202 y Fz(0)1468 2197 y
FG(;\027)1495 2202 y Fz(1)1515 2190 y FI(\))p FJ(;)8
b(di)p FI(\()p FJ(p)1641 2197 y FG(\026)1662 2202 y Fz(0)1680
2197 y FG(;\027)1707 2202 y Fz(2)1726 2190 y FI(\))p
FH(g)60 2250 y FK(\()p FJ(di)53 b FK(wie)f(in)h(Lemma)d(2.4.10\),)j
FJ(q)833 2257 y FF(1)866 2250 y FI(:=)14 b FJ(x)960 2257
y FG(\026)981 2262 y Fz(0)1000 2250 y FK(,)52 b FJ(q)1088
2257 y FF(2)1122 2250 y FI(:=)13 b FJ(y)1211 2257 y FG(\027)1228
2262 y Fz(2)1247 2250 y FK(,)53 b FJ(T)1343 2257 y FF(1)1362
2229 y FA(00)1397 2250 y FI(:=)14 b FK(Zhk)1545 2257
y FG(T)5 b FA(\000)p FG(x)1618 2261 y Fu(\026)1637 2268
y Fz(0)1658 2250 y FI(\()p FJ(y)1701 2257 y FG(\027)1718
2262 y Fz(1)1737 2250 y FI(\))p FK(,)60 2310 y FJ(T)96
2292 y FA(0)89 2322 y FF(1)122 2310 y FI(:=)13 b(\()p
FJ(V)234 2318 y FG(T)260 2307 y Fv(0)255 2329 y Fz(1)275
2310 y FJ(;)8 b(E)333 2318 y FG(T)359 2307 y Fv(0)354
2329 y Fz(1)373 2310 y FJ(;)g(q)417 2317 y FF(1)436 2310
y FI(\))72 b FK(mit)e FJ(V)700 2318 y FG(T)726 2307 y
Fv(0)721 2329 y Fz(1)754 2310 y FI(:=)13 b FJ(V)e FI(\()p
FJ(T)913 2292 y FA(0)o(0)906 2322 y FF(1)934 2310 y FI(\))g
FH([)g(f)p FJ(x)1061 2317 y FG(\026)1082 2322 y Fz(0)1102
2310 y FH(g)o FK(,)72 b FJ(E)1248 2318 y FG(T)1274 2307
y Fv(0)1269 2329 y Fz(1)1302 2310 y FI(:=)13 b FJ(E)s
FI(\()p FJ(T)1461 2292 y FA(0)o(0)1454 2322 y FF(1)1482
2310 y FI(\))e FH([)g(f)p FJ(x)1609 2317 y FG(\026)1630
2322 y Fz(0)1649 2310 y FJ(;)d(y)1695 2317 y FG(\027)1712
2322 y Fz(1)1732 2310 y FH(g)o FK(,)60 2370 y FJ(T)96
2352 y FA(0)89 2383 y FF(2)122 2370 y FI(:=)13 b(\()p
FJ(V)234 2378 y FG(T)260 2367 y Fv(0)255 2389 y Fz(2)275
2370 y FJ(;)8 b(E)333 2378 y FG(T)359 2367 y Fv(0)354
2389 y Fz(2)373 2370 y FJ(;)g(q)417 2377 y FF(2)436 2370
y FI(\))14 b(:=)f FK(Zhk)617 2377 y FG(T)5 b FA(\000)p
FG(x)690 2381 y Fu(\026)709 2388 y Fz(0)729 2370 y FI(\()p
FJ(y)772 2377 y FG(\027)789 2382 y Fz(2)809 2370 y FI(\))p
FK(,)17 b FJ(G)897 2352 y FA(0)924 2370 y FI(=)e(\()p
FJ(V)1036 2352 y FA(0)1047 2370 y FJ(;)8 b(E)1108 2352
y FA(0)1120 2370 y FJ(;)g(w)1178 2352 y FA(0)1189 2370
y FI(\))18 b FK(mit)d FJ(V)1355 2352 y FA(0)1382 2370
y FI(:=)g FJ(V)c FI(\()p FJ(T)1543 2352 y FA(0)1536 2383
y FF(1)1555 2370 y FI(\))h FH([)g FJ(V)f FI(\()p FJ(T)1725
2352 y FA(0)1718 2383 y FF(2)1737 2370 y FI(\))p FK(,)60
2430 y FJ(E)99 2412 y FA(0)128 2430 y FI(:=)16 b FJ(E)s
FI(\()p FJ(T)290 2412 y FA(0)283 2443 y FF(1)302 2430
y FI(\))d FH([)f FJ(E)s FI(\()p FJ(T)473 2412 y FA(0)466
2443 y FF(2)485 2430 y FI(\))p FK(,)18 b FJ(w)572 2412
y FA(0)601 2430 y FI(:=)e FJ(w)q Fx(\030)726 2437 y FG(E)754
2428 y Fv(0)767 2430 y FK(.)i(Damit)f(ist)g FJ(B)1061
2412 y FA(0)1090 2430 y FI(:=)f(\()p FJ(G)1215 2412 y
FA(0)1227 2430 y FJ(;)8 b(T)1285 2412 y FA(0)1278 2443
y FF(1)1297 2430 y FJ(;)g(T)1355 2412 y FA(0)1348 2443
y FF(2)1367 2430 y FI(\))18 b FK(ein)g(Dopp)q(elbaum.)60
2491 y(Nun)13 b(k)m(ann)i(man)d(genau)j(wie)e(im)e(Bew)o(eis)i(v)o(on)g
(Satz)h(2.4.11)g(einen)f FJ(\017)p FK(-Dopp)q(elbaum)g
FJ(B)j FH(\024)e FJ(B)1759 2473 y FA(0)60 2551 y FK(\()p
FJ(\017)g(>)h FI(0)p FK(\))i(k)o(onstruieren)f(\(das)i(hei\377t,)e(w)o
(egen)g(Satz)h(2.4.23)h(\(i\))e(ist)h(dann)g FJ(P)28
b(=)-30 b FH(2)15 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\)\))p FK(\).)60 2611 y(Setze)24 b(dazu)h(no)q(c)o(h)j
FI(~)-28 b FJ(q)469 2623 y FF(1)517 2611 y FI(:=)27 b
FJ(y)620 2618 y FG(\027)637 2623 y Fz(1)657 2611 y FK(,)d(und)h
(ersetze)e(im)g(Bew)o(eis)g(v)o(on)i(Satz)f(2.4.11)h
FJ(q)1605 2618 y FF(1)1649 2611 y FK(durc)o(h)64 2671
y FI(~)-28 b FJ(q)83 2683 y FF(1)103 2671 y FK(.)22 b(Ersetze)f(dann)i
(w)o(eiterhin)e(zur)h(Konstruktion)g(v)o(on)g FJ(E)1192
2678 y FG(n)1216 2671 y FI(\()t(~)-28 b FJ(q)1258 2683
y FF(1)1278 2671 y FI(\))p FK(,)22 b FJ(L)1366 2678 y
FG(n)1389 2671 y FI(\()t(~)-28 b FJ(q)1432 2683 y FF(1)1451
2671 y FI(\))p FK(,)22 b FJ(i)1523 2678 y FF(0)1565 2671
y FK(durc)o(h)f FJ(\026)1736 2678 y FF(0)1756 2671 y
FK(,)60 2731 y FJ(j)80 2738 y FF(0)128 2731 y FK(durc)o(h)27
b FJ(\027)300 2738 y FF(1)320 2731 y FK(,)g FJ(T)397
2713 y FA(0)390 2744 y FF(1)437 2731 y FK(durc)o(h)g
FJ(T)621 2713 y FA(0)o(0)614 2744 y FF(1)642 2731 y FK(,)g(und)h(am)e
(Ende)i(setze)f FJ(V)1180 2738 y FG(T)1201 2743 y Fz(1)1254
2731 y FI(:=)1338 2694 y FE(S)1380 2707 y FA(1)1380 2746
y FG(n)p FF(=0)1457 2731 y FJ(L)1490 2738 y FG(n)1513
2731 y FI(\()t(~)-28 b FJ(q)1556 2743 y FF(1)1575 2731
y FI(\))19 b FH([)g(f)p FJ(q)1712 2738 y FF(1)1732 2731
y FH(g)p FK(,)p eop
%%Page: 52 54
52 53 bop 120 50 a FK(52)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FJ(E)156 210 y FG(T)177 215 y Fz(1)214 203 y FI(:=)284
166 y FE(S)326 179 y FA(1)326 218 y FG(n)p FF(=0)402
203 y FJ(E)438 210 y FG(n)462 203 y FI(\()t(~)-28 b FJ(q)504
215 y FF(1)524 203 y FI(\))13 b FH([)g(f)p FJ(q)649 210
y FF(1)668 203 y FJ(;)f FI(~)-28 b FJ(q)713 215 y FF(1)733
203 y FH(g)p FK(,)19 b FJ(f)815 210 y FF(1)834 203 y
FH(f)p FJ(q)881 210 y FF(1)901 203 y FJ(;)11 b FI(~)-27
b FJ(q)946 215 y FF(1)966 203 y FH(g)18 b FI(:=)f FJ(\017)p
FK(.)i(In)f(der)h(Konstruktion)g(v)o(on)g FJ(E)1714 210
y FG(n)1737 203 y FI(\()p FJ(q)1778 210 y FF(2)1797 203
y FI(\))p FK(,)120 264 y FJ(L)153 271 y FG(n)177 264
y FI(\()p FJ(q)218 271 y FF(2)237 264 y FI(\))d FK(ersetze)f
FJ(i)449 271 y FF(0)485 264 y FK(durc)o(h)h FJ(\026)651
271 y FF(0)687 264 y FK(und)h FJ(j)805 271 y FF(0)841
264 y FK(durc)o(h)f FJ(\027)1002 271 y FF(2)1021 264
y FK(.)759 b Fx(N)120 380 y FK(W)l(egen)20 b(Behauptung)h(2)g(k)m(ann)g
(man)f(n)o(un)g(annehmen,)f(da\377)j FJ(T)27 b FI(=)21
b(\()p FJ(y)1447 387 y FG(j)1461 392 y Fz(0)1481 380
y FJ(;)8 b(x)1531 387 y FG(i)1543 392 y Fz(1)1562 380
y FJ(;)g(y)1608 387 y FG(j)1622 392 y Fz(1)1641 380 y
FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FI(\))21 b FK(ein)120 440 y(W)l(eg)h(ist.)g(F\374r)g
FJ(p;)8 b(q)16 b FH(2)e Fw(R)19 b FK(mit)h FJ(p)12 b
FI(+)f FJ(q)k FH(2)f(G)25 b FK(gilt)c FJ(di)p FI(\()p
FJ(p)p FI(\))15 b(=)e FJ(di)p FI(\()p FJ(p)f FI(+)f FJ(q)h
FH(\000)f FJ(q)r FI(\))i FH(\024)h FJ(di)p FI(\()p FJ(q)r
FI(\))o FK(.)22 b(V)l(ertau-)120 501 y(sc)o(hen)17 b(v)o(on)g
FJ(p)h FK(und)g FJ(q)h FK(liefert)c FJ(di)p FI(\()p FJ(q)r
FI(\))f FH(\024)f FJ(di)p FI(\()p FJ(p)p FI(\))q FK(.)k(Also)g(ist)g
FJ(di)p FI(\()p FJ(p)p FI(\))d(=)g FJ(di)p FI(\()p FJ(q)r
FI(\))o FK(.)j(Daraus)i(folgt,)e(da\377)120 561 y FJ(T)22
b FK(ein)14 b(unendlic)o(her)f FJ(di)p FI(\()p FJ(p)593
568 y FG(i)605 573 y Fz(0)623 568 y FG(;j)647 573 y Fz(0)667
561 y FI(\))p FK(-W)l(eg)i(ist.)g(Nac)o(h)f(Satz)h(2.4.23)i(\(iii\))d
(ist)h(auc)o(h)g(in)g(diesem)e(F)l(all)120 621 y FJ(P)27
b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t
FI(\))o(\))p FK(.)h(Damit)f(ist)h(im)f(F)l(all)g FJ(\013)f
FI(=)g FJ(\014)i FI(=)e FJ(!)k FK(alles)e(b)q(ewiesen.)120
681 y(Der)30 b(F)l(all)f FJ(\013;)8 b(\014)16 b FH(\024)e
FJ(!)32 b FK(k)m(ann)f(wieder)e(auf)h(den)g(F)l(all)f
FJ(\013)14 b FI(=)g FJ(\014)i FI(=)e FJ(!)32 b FK(zur\374c)o
(kgef\374hrt)d(w)o(er-)120 741 y(den,)35 b(indem)e(man)i(abz\344hlbar)h
(viele)e(Nullinien)f(einf\374gt.)i(Bleibt)f(der)h(allgemeine)120
801 y(F)l(all.)g(Erneut)g(nehme)f(man)h(an,)g(da\377)i(es)e
FI(\()p FJ(i)1057 808 y FF(0)1077 801 y FJ(;)8 b(j)1119
808 y FF(0)1139 801 y FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)1240 808
y FF(1)1271 801 y FH(\002)c FJ(I)1342 808 y FF(2)1397
801 y FK(gibt)36 b(mit)e FJ(p)1650 808 y FG(i)1662 813
y Fz(0)1680 808 y FG(;j)1704 813 y Fz(0)1743 801 y FJ(=)-30
b FH(2)14 b(G)r FK(.)120 862 y(Wieder)43 b(wird)g(gezeigt,)f(da\377)j
FJ(P)73 b(=)-30 b FH(2)61 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))p FK(.)43 b(Betrac)o(h)o(te)f
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)44 b(Es)g(sei)120
922 y FJ(Z)18 b FI(:=)13 b FK(Zhk)p FI(\()p FJ(x)366
929 y FG(i)378 934 y Fz(0)397 922 y FI(\))39 b FK(und)g
FJ(I)597 929 y FF(1)p FG(;Z)666 922 y FI(:=)13 b FH(f)p
FJ(i)h FH(2)g FJ(I)856 929 y FF(1)889 922 y FI(:)21 b
FJ(x)952 929 y FG(i)980 922 y FH(2)14 b FJ(V)d FI(\()p
FJ(Z)t FI(\))p FH(g)p FK(,)38 b FJ(I)1240 929 y FF(2)p
FG(;Z)1310 922 y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)1506
929 y FF(2)1539 922 y FI(:)21 b FJ(y)1598 929 y FG(j)1630
922 y FH(2)14 b FJ(V)e FI(\()p FJ(Z)t FI(\))p FH(g)o
FK(.)120 982 y(Wie)37 b(im)e(Bew)o(eis)h(v)o(on)i(Satz)f(2.1.19)h
(gesehen,)f(sind)h FJ(I)1282 989 y FF(1)p FG(;Z)1374
982 y FK(und)g FJ(I)1515 989 y FF(2)p FG(;Z)1608 982
y FK(abz\344hlbar,)120 1042 y(und)h(nac)o(h)g(De\034nition)f(v)o(on)h
FJ(Z)k FK(ist)38 b FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)1017
1049 y FG(I)1032 1055 y Fz(1)p Fu(;Z)1082 1049 y FA(\002)p
FG(I)1124 1055 y Fz(2)p Fu(;Z)1176 1042 y FI(\))52 b(=)g(\()p
FJ(I)1378 1049 y FF(1)p FG(;Z)1433 1042 y FJ(;)8 b(I)1477
1049 y FF(2)p FG(;Z)1533 1042 y FJ(;)g(r)q Fx(\030)1599
1049 y FG(I)1614 1055 y Fz(1)p Fu(;Z)1665 1042 y FJ(;)g(s)p
Fx(\030)1731 1049 y FG(I)1746 1055 y Fz(2)p Fu(;Z)1797
1042 y FI(\))p FK(.)120 1102 y(Da)48 b(der)f(Bew)o(eis)f(f\374r)h(den)h
(F)l(all)e FI(max)o FH(f)p FI(#)p FJ(I)1073 1109 y FF(1)1092
1102 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1177 1109 y FF(2)1196 1102
y FH(g)13 b(\024)h FJ(!)49 b FK(sc)o(hon)f(gef\374hrt)f(wur-)120
1163 y(de,)36 b(ist)g FJ(P)7 b Fx(\030)366 1170 y FG(I)381
1176 y Fz(1)p Fu(;Z)431 1170 y FA(\002)p FG(I)473 1176
y Fz(2)p Fu(;Z)545 1163 y FJ(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\()p FJ(P)7 b
Fx(\030)858 1170 y FG(I)873 1176 y Fz(1)p Fu(;Z)923 1170
y FA(\002)p FG(I)965 1176 y Fz(2)p Fu(;Z)1017 1163 y
FI(\)\)\))p FK(.)36 b(Also)g(ist)g(nac)o(h)h(Satz)g(2.1.19)g(\(a\))120
1223 y FJ(P)27 b(=)-30 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))p FK(.)1326 b Fx(\004)120
1321 y FL(Korollar)20 b(2.4.28.)j FK(Sei)13 b FH(I)k
FI(:=)d(\()p FJ(I)753 1328 y FF(1)772 1321 y FJ(;)8 b(I)816
1328 y FF(2)835 1321 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))13 b
FK(ein)g FH(\024)p FK(-Randsystem)f(mit)g FI(#)p FJ(I)1509
1328 y FF(1)1542 1321 y FI(=)i FJ(\013)p FK(,)f FI(#)p
FJ(I)1715 1328 y FF(2)1748 1321 y FI(=)h FJ(\014)120
1381 y FK(und)93 b FH(8)218 1414 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p
FA(2)p FG(I)323 1419 y Fz(1)339 1414 y FA(\002)p FG(I)381
1419 y Fz(2)413 1381 y FJ(r)435 1388 y FG(i)463 1381
y FI(=)14 b FJ(s)538 1388 y FG(j)570 1381 y FI(=)f(1)q
FK(.)j(Dann)h(ist)f(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)e(I)t
FI(\)\))g(=)g FH(M)1233 1388 y FG(sp)1270 1381 y FI(\()p
FJ(I)1311 1388 y FF(1)1330 1381 y FJ(;)8 b(I)1374 1388
y FF(2)1393 1381 y FI(\))p FK(.)120 1526 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\023)p FK(\020)20 b(gilt)c(wieder,)f(da)i
FI(0)p FK(,)f FI(1)h FK(die)e(Extremalpunkte)f(v)o(on)i
FI([0)p FJ(;)8 b FI(1])16 b FK(sind.)120 1586 y(\022)t
FH(\022)p FK(\020)t(:)42 b(Das)g(folgt)g(sofort)h(aus)f(Satz)g(2.4.27;)
g(denn)g Fw(Z)28 b FK(ist)42 b(abgesc)o(hlossen)g(und)120
1646 y FJ(p)144 1653 y FG(i;j)198 1646 y FH(2)14 b Fw(Z)35
b FH(\))49 b FJ(p)450 1653 y FG(i;j)504 1646 y FH(2)14
b(f)p FI(0)p FJ(;)8 b FI(1)p FH(g)17 b FK(w)o(egen)f(der)g(V)l
(oraussetzung.)554 b Fx(\004)120 1868 y FC(2.5)77 b
(Charakterisierungen)29 b(der)i(Extremalpunkte)f(f\374r)296
1959 y(endlic)n(he)25 b(Randsysteme)120 2089 y FK(Das)e(Hauptergebnis)f
(dieses)g(Absc)o(hnitts)f(b)q(esteh)o(t)h(in)f(Satz)i(2.5.15,)f(der)g
(eine)f(Vielzahl)120 2149 y(v)o(ersc)o(hiedener)9 b
(Charakterisierungen)i(der)h(Extremalpunkte)d(f\374r)j(endlic)o(he)d
(Randsysteme)120 2210 y(liefert.)120 2290 y(Zun\344c)o(hst)19
b(wird)g(f\374r)g(endlic)o(he)f(Randsysteme)g FH(I)23
b FK(rekursiv)18 b(eine)g(Menge)h FH(E)t FI(\()p FH(I)t
FI(\))g FK(de\034niert,)120 2350 y(die)h(sic)o(h)g(dann)h(ansc)o
(hlie\377end)f(gerade)h(als)g(die)f(Menge)g(der)h(Extremalpunkte)d(erw)
o(eisen)120 2410 y(wird)e(\(siehe)g(Lemma)e(2.5.5\).)120
2491 y(Die)h(Konstruktion)h(v)o(on)f FH(E)t FI(\()p FH(I)5
b FI(\))15 b FK(erfolgt,)g(indem)f(man,)g(sofern)i(es)g(mindestens)d
(zw)o(ei)i(Zeilen)120 2551 y(und)e(mindestens)e(zw)o(ei)h(Spalten)h
(gibt,)f(f\374r)h(alle)g(Indexpaare)f FI(\()p FJ(i;)c(j)s
FI(\))13 b FK(un)o(tersuc)o(h)o(t,)e(ob)i FJ(r)1708 2558
y FG(i)1736 2551 y FH(\024)h FJ(s)1812 2558 y FG(j)120
2611 y FK(o)q(der)g FJ(r)249 2618 y FG(i)277 2611 y FH(\025)f
FJ(s)352 2618 y FG(j)384 2611 y FK(gilt.)f(Im)f(ersten)i(F)l(all)g(en)o
(tfern)o(t)f(man)g FJ(i)h FK(und)h FJ(r)1218 2618 y FG(i)1245
2611 y FK(aus)g(dem)d(Randsystem)i FH(I)k FK(und)120
2671 y(ersetzt)d FJ(s)299 2678 y FG(j)331 2671 y FK(durc)o(h)g
FJ(s)489 2678 y FG(j)519 2671 y FH(\000)c FJ(r)590 2678
y FG(i)604 2671 y FK(.)k(So)h(en)o(tsteh)o(t)f(ein)f(kleineres)g
(Randsystem)1436 2659 y FI(~)1432 2671 y FH(I)t FK(.)h(Die)g
(zugeh\366rigen)120 2731 y(Elemen)o(te)20 b(v)o(on)i
FH(E)t FI(\()p FH(I)5 b FI(\))23 b FK(b)q(ek)o(omm)n(t)d(man)i(n)o(un)h
(rekursiv,)e(indem)g(man)h(in)g(alle)g(Elemen)o(te)p
eop
%%Page: 53 55
53 54 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(53)60 203 y(v)o(on)17
b FH(E)t FI(\()205 191 y(~)202 203 y FH(I)t FI(\))h FK(eine)e
(zus\344tzlic)o(he)f FJ(i)p FK(-te)i(Zeile)e(einf\374gt,)h(die)h(an)g
(der)g FJ(j)s FK(-ten)g(Stelle)f FJ(r)1516 210 y FG(i)1547
203 y FK(stehen)h(hat)60 264 y(und)i(sonst)h(n)o(ur)f(Nullen.)e(Im)g(F)
l(all)h FJ(r)748 271 y FG(i)776 264 y FH(\025)c FJ(s)852
271 y FG(j)889 264 y FK(geh)o(t)19 b(man)f(analog)i(v)o(or,)e(n)o(ur)h
(da\377)h(die)e(Rollen)60 324 y(der)c(Zeilen)e(und)j(Spalten)f(v)o
(ertausc)o(h)o(t)f(sind.)g(Die)h(formalen)f(Details)g(dieser)h
(Konstruktion)60 384 y(erfolgen)i(jetzt)f(in)h(De\034nition)g(2.5.1.)60
475 y FL(De\034nition)j(2.5.1.)24 b FK(Sei)36 b FH(I)52
b FI(:=)c(\()p FJ(I)796 482 y FF(1)815 475 y FJ(;)8 b(I)859
482 y FF(2)879 475 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))36 b FK(ein)g(endlic)o
(hes)f(Randsystem.)g(Setze)60 535 y FJ(m)13 b FI(:=)h
FJ(l)q FI(\()p FJ(r)q FI(\))p FK(,)i FJ(n)d FI(:=)h FJ(l)q
FI(\()p FJ(s)p FI(\))o FK(,)130 687 y FJ(M)5 b FI(\()p
FH(I)t FI(\))14 b(:=)f FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13
b FH(2)h FJ(I)537 694 y FF(1)568 687 y FH(\002)d FJ(I)640
694 y FF(2)673 687 y FI(:)21 b FJ(r)730 694 y FG(i)758
687 y FH(\024)14 b FJ(s)834 694 y FG(j)852 687 y FH(g)p
FJ(;)57 b(N)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(:=)h FH(f)p
FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)1347 694
y FF(1)1377 687 y FH(\002)d FJ(I)1449 694 y FF(2)1482
687 y FI(:)22 b FJ(r)1540 694 y FG(i)1568 687 y FH(\025)13
b FJ(s)1643 694 y FG(j)1662 687 y FH(g)p FJ(:)60 627
y FK(\(2.52\))60 785 y(F\374r)55 b FI(\()p FJ(i)229 792
y FF(0)249 785 y FJ(;)8 b(j)291 792 y FF(0)310 785 y
FI(\))81 b FH(2)f FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))56 b
FK(und)f FJ(m)80 b FH(\025)h FI(2)55 b FK(de\034niere)f(ein)h
(Randsystem)60 845 y FH(I)91 821 y FG(i)103 826 y Fz(0)120
821 y FG(;j)144 826 y Fz(0)87 859 y FG(M)177 845 y FI(:=)14
b(\()p FJ(I)284 852 y FF(1)314 845 y FH(n)d(f)p FJ(i)392
852 y FF(0)411 845 y FH(g)p FJ(;)d(I)480 852 y FF(2)499
845 y FJ(;)g(r)544 823 y FG(i)556 828 y Fz(0)543 859
y FG(M)583 845 y FJ(;)g(s)628 821 y FG(j)642 826 y Fz(0)628
859 y FG(M)667 845 y FI(\))16 b FK(durc)o(h)376 988 y
FJ(r)399 966 y FG(i)411 971 y Fz(0)398 1001 y FG(M)451
988 y FI(:=)d FJ(r)q Fx(\030)560 995 y FG(I)575 1000
y Fz(1)593 995 y FA(nf)p FG(i)641 1000 y Fz(0)658 995
y FA(g)677 988 y FJ(;)57 b FI(\()p FJ(s)790 964 y FG(j)804
969 y Fz(0)790 1001 y FG(M)829 988 y FI(\))848 995 y
FG(j)880 988 y FI(:=)946 902 y FE(\()986 953 y FJ(s)1009
960 y FG(j)1222 953 y FK(f\374r)16 b FJ(j)h FH(6)p FI(=)d
FJ(j)1408 960 y FF(0)1427 953 y FJ(;)986 1026 y(s)1009
1033 y FG(j)1023 1038 y Fz(0)1054 1026 y FH(\000)c FJ(r)1125
1033 y FG(i)1137 1038 y Fz(0)1222 1026 y FK(f\374r)16
b FJ(j)h FI(=)d FJ(j)1408 1033 y FF(0)1427 1026 y FJ(:)60
988 y FK(\(2.53\))60 1129 y(F\374r)57 b FI(\()p FJ(i)231
1136 y FF(0)250 1129 y FJ(;)8 b(j)292 1136 y FF(0)312
1129 y FI(\))83 b FH(2)h FJ(N)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))57
b FK(und)g FJ(n)83 b FH(\025)g FI(2)58 b FK(de\034niere)e(ein)g
(Randsystem)60 1189 y FH(I)91 1165 y FG(i)103 1170 y
Fz(0)120 1165 y FG(;j)144 1170 y Fz(0)87 1203 y FG(N)177
1189 y FI(:=)14 b(\()p FJ(I)284 1196 y FF(1)303 1189
y FJ(;)8 b(I)347 1196 y FF(2)377 1189 y FH(n)j(f)p FJ(j)458
1196 y FF(0)478 1189 y FH(g)p FJ(;)d(r)548 1167 y FG(i)560
1172 y Fz(0)547 1203 y FG(N)580 1189 y FJ(;)g(s)625 1165
y FG(j)639 1170 y Fz(0)625 1203 y FG(N)659 1189 y FI(\))16
b FK(durc)o(h)388 1332 y FJ(s)411 1308 y FG(j)425 1313
y Fz(0)411 1345 y FG(N)458 1332 y FI(:=)d FJ(s)p Fx(\030)567
1339 y FG(I)582 1344 y Fz(2)600 1339 y FA(nf)p FG(j)650
1344 y Fz(0)667 1339 y FA(g)686 1332 y FJ(;)57 b FI(\()p
FJ(r)799 1310 y FG(i)811 1315 y Fz(0)798 1345 y FG(N)831
1332 y FI(\))850 1339 y FG(i)878 1332 y FI(:=)944 1246
y FE(\()984 1297 y FJ(r)1006 1304 y FG(i)1220 1297 y
FK(f\374r)16 b FJ(i)d FH(6)p FI(=)h FJ(i)1396 1304 y
FF(0)1416 1297 y FJ(;)984 1370 y(r)1006 1377 y FG(i)1018
1382 y Fz(0)1048 1370 y FH(\000)d FJ(s)1121 1377 y FG(j)1135
1382 y Fz(0)1220 1370 y FK(f\374r)16 b FJ(i)d FI(=)h
FJ(i)1396 1377 y FF(0)1416 1370 y FJ(:)60 1332 y FK(\(2.54\))60
1473 y(Die)i(Menge)f FH(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))16
b FK(sei)g(dann)h(rekursiv,)e(wie)g(folgt,)h(de\034niert:)60
1533 y(F\374r)i FI(min)n FH(f)p FJ(m;)8 b(n)p FH(g)13
b FI(=)h(1)k FK(sei)f FH(E)t FI(\()p FH(I)t FI(\))e(:=)e
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)18 b(Seien)e(n)o(un)i
FJ(m;)8 b(n)16 b FH(\025)g FI(2)p FK(,)i(und)g(f\374r)f(alle)g(Randsy-)
60 1593 y(steme)207 1581 y FI(^)203 1593 y FH(I)h FI(:=)13
b(\()340 1581 y(^)332 1593 y FJ(I)354 1600 y FF(1)373
1593 y FJ(;)403 1581 y FI(^)395 1593 y FJ(I)417 1600
y FF(2)436 1593 y FJ(;)d FI(^)-26 b FJ(r)q(;)10 b FI(^)-26
b FJ(s)p FI(\))21 b FK(mit)28 b FI(^)-33 b FJ(m)13 b
FI(:=)g FJ(l)q FI(\()r(^)-26 b FJ(r)q FI(\))14 b FJ(<)g(m)20
b FK(o)q(der)k FI(^)-26 b FJ(n)21 b FI(:=)g FJ(l)q FI(\()r(^)-26
b FJ(s)p FI(\))21 b FJ(<)g(n)g FK(sei)f FH(E)5 b FI(\()1562
1581 y(^)1557 1593 y FH(I)t FI(\))21 b FK(b)q(ereits)60
1653 y(k)o(onstruiert.)15 b(De\034niere)g(f\374r)h FI(\()p
FJ(i)641 1660 y FF(0)661 1653 y FJ(;)8 b(j)703 1660 y
FF(0)723 1653 y FI(\))13 b FH(2)h FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)t
FI(\))17 b FK(und)f FJ(m)e FH(\025)f FI(2)226 1795 y
FH(M)286 1802 y FG(i)298 1807 y Fz(0)315 1802 y FG(;j)339
1807 y Fz(0)358 1795 y FI(\()p FH(I)t FI(\))h(:=)506
1710 y FE(\()565 1795 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)723 1808
y Fm(R)750 1794 y Fz(+)750 1819 y(0)775 1795 y FI(\()p
FJ(I)816 1802 y FF(1)835 1795 y FJ(;)8 b(I)879 1802 y
FF(2)898 1795 y FI(\))14 b(:)565 1961 y FJ(P)7 b Fx(\030)624
1969 y FF(\()p FG(I)653 1974 y Fz(1)670 1969 y FA(nf)p
FG(i)718 1974 y Fz(0)734 1969 y FA(g)p FF(\))p FA(\002)p
FG(I)808 1974 y Fz(2)842 1961 y FH(2)14 b(E)5 b FI(\()p
FH(I)970 1937 y FG(i)982 1942 y Fz(0)999 1937 y FG(;j)1023
1942 y Fz(0)966 1974 y FG(M)1042 1961 y FI(\))16 b FK(und)h
FJ(p)1199 1968 y FG(i)1211 1973 y Fz(0)1229 1968 y FG(;j)1271
1961 y FI(=)1322 1876 y FE(\()1362 1927 y FI(0)79 b FK(f\374r)16
b FJ(j)h FH(6)p FI(=)c FJ(j)1650 1934 y FF(0)1670 1927
y FJ(;)1362 1999 y(r)1384 2006 y FG(i)1396 2011 y Fz(0)1465
1999 y FK(f\374r)j FJ(j)h FI(=)c FJ(j)1650 2006 y FF(0)1689
1876 y FE(\))60 1878 y FK(\(2.55\))60 2102 y(und)k(f\374r)f
FI(\()p FJ(i)271 2109 y FF(0)290 2102 y FJ(;)8 b(j)332
2109 y FF(0)352 2102 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(N)5 b FI(\()p
FH(I)t FI(\))16 b FK(und)g FJ(n)e FH(\025)g FI(2)227
2244 y FH(N)268 2251 y FG(i)280 2256 y Fz(0)298 2251
y FG(;j)322 2256 y Fz(0)341 2244 y FI(\()p FH(I)t FI(\))g(:=)489
2158 y FE(\()547 2244 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)706 2257
y Fm(R)733 2242 y Fz(+)733 2268 y(0)758 2244 y FI(\()p
FJ(I)799 2251 y FF(1)818 2244 y FJ(;)8 b(I)862 2251 y
FF(2)881 2244 y FI(\))14 b(:)547 2410 y FJ(P)7 b Fx(\030)606
2417 y FG(I)621 2422 y Fz(1)639 2417 y FA(\002)p FF(\()p
FG(I)695 2422 y Fz(2)713 2417 y FA(nf)p FG(j)763 2422
y Fz(0)779 2417 y FA(g)p FF(\))827 2410 y FH(2)14 b(E)5
b FI(\()p FH(I)955 2386 y FG(i)967 2391 y Fz(0)984 2386
y FG(;j)1008 2391 y Fz(0)951 2423 y FG(N)1027 2410 y
FI(\))16 b FK(und)h FJ(p)1184 2417 y FG(i;j)1220 2422
y Fz(0)1254 2410 y FI(=)1305 2324 y FE(\()1346 2376 y
FI(0)81 b FK(f\374r)16 b FJ(i)e FH(6)p FI(=)f FJ(i)1627
2383 y FF(0)1647 2376 y FJ(;)1346 2448 y(s)1369 2455
y FG(j)1383 2460 y Fz(0)1451 2448 y FK(f\374r)j FJ(i)e
FI(=)f FJ(i)1627 2455 y FF(0)1665 2324 y FE(\))1714 2410
y FJ(:)60 2327 y FK(\(2.56\))60 2551 y(Sc)o(hlie\377lic)o(h)g(sei)j
FH(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(:=)h FH(M)p FI(\()p
FH(I)t FI(\))c FH([)i(N)7 b FI(\()p FH(I)t FI(\))16 b
FK(mit)331 2658 y FH(M)p FI(\()p FH(I)t FI(\))d(:=)599
2610 y FE([)539 2718 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(M)t FF(\()p FA(I)r FF(\))723 2658 y FH(M)782 2665
y FG(i;j)822 2658 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FJ(;)57 b
FH(N)7 b FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(:=)1215 2610 y FE([)1158
2718 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(N)t FF(\()p
FA(I)r FF(\))1336 2658 y FH(N)1377 2665 y FG(i;j)1417
2658 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FJ(:)-1440 b FK(\(2.57\))p
eop
%%Page: 54 56
54 55 bop 120 50 a FK(54)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(Zur)23 b(Illustration)f(v)o(on)h(De\034nition)g(2.5.1)h(dien)o(t)e
(das)h(folgende)g(Beispiel)e(2.5.2.)i(In)g(Ab-)120 264
y(sc)o(hnitt)14 b(A.1)g(des)g(Anhangs)h(b)q(e\034ndet)g(sic)o(h)f(der)g
(Quellco)q(de)f(einer)h(Implem)o(e)o(n)o(tation)e(des)i(in)120
324 y(De\034nition)i(2.5.1)g(gegeb)q(enen)h(Algorithm)o(us.)120
430 y FL(Beispiel)j(2.5.2.)j FK(Gegeb)q(en)18 b(sei)g(das)h(Randsystem)
e FH(I)h FI(:=)13 b(\()p FJ(I)1277 437 y FF(1)1296 430
y FJ(;)8 b(I)1340 437 y FF(2)1360 430 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))17 b FK(mit)g FJ(I)1598 437 y FF(1)1631 430 y FI(:=)c
FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b FI(2)p FH(g)p FK(,)120 490 y FJ(I)142
497 y FF(2)175 490 y FI(:=)13 b FH(f)p FI(1)p FJ(;)8
b FI(2)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)q FK(,)18 b FJ(r)d FI(:=)e(\(2)p
FJ(;)8 b FI(5\))q FK(,)18 b FJ(s)c FI(:=)f(\(1)p FJ(;)8
b FI(1)p FJ(;)g FI(5\))q FK(.)18 b(Es)g(soll)g(n)o(un)g
FH(E)t FI(\()p FH(I)5 b FI(\))18 b FK(explizit)e(b)q(estimm)o(t)f(w)o
(er-)120 551 y(den.)i(Es)h(ist)f FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)t
FI(\))14 b(=)g FH(f)p FI(\(1)p FJ(;)8 b FI(3\))p FJ(;)g
FI(\(2)p FJ(;)g FI(3\))p FH(g)18 b FK(und)g FJ(N)5 b
FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)f FH(f)p FI(\(1)p FJ(;)8
b FI(1\))p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(2\))p FJ(;)g FI(\(2)p
FJ(;)g FI(1\))p FJ(;)g FI(\(2)p FJ(;)g FI(2\))p FJ(;)g
FI(\(2)p FJ(;)g FI(3\))p FH(g)r FK(.)120 611 y(Man)16
b(erh\344lt)424 741 y FH(I)455 717 y FF(1)p FG(;)p FF(3)455
754 y FG(M)516 741 y FI(=)e(\()p FH(f)p FI(2)p FH(g)p
FJ(;)8 b(I)705 748 y FF(2)724 741 y FJ(;)g FI(\(5\))p
FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(1)p FJ(;)g FI(3\)\))p FJ(;)58
b FH(M)1134 748 y FF(1)p FG(;)p FF(3)1182 741 y FI(\()p
FH(I)s FI(\))14 b(=)1316 671 y FE(\032\022)1390 710 y
FI(0)42 b(0)g(2)1390 771 y(1)g(1)g(3)1546 671 y FE(\023\033)1628
741 y FJ(;)424 878 y FH(I)455 854 y FF(2)p FG(;)p FF(3)455
891 y FG(M)516 878 y FI(=)14 b(\()p FH(f)p FI(1)p FH(g)p
FJ(;)8 b(I)705 885 y FF(2)724 878 y FJ(;)g FI(\(2\))p
FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(1)p FJ(;)g FI(0\)\))p FJ(;)58
b FH(M)1134 885 y FF(2)p FG(;)p FF(3)1182 878 y FI(\()p
FH(I)s FI(\))14 b(=)1316 808 y FE(\032\022)1390 847 y
FI(1)42 b(1)g(0)1390 908 y(0)g(0)g(5)1546 808 y FE(\023\033)1628
878 y FJ(;)120 1028 y FK(so)o(wie)145 b FH(I)409 1005
y FF(1)p FG(;)p FF(1)409 1042 y FG(N)470 1028 y FI(=)14
b(\()p FJ(I)563 1035 y FF(1)582 1028 y FJ(;)8 b FH(f)p
FI(2)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(5\))p
FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(5\)\))q FK(,)145 b FJ(M)5 b
FI(\()p FH(I)1266 1005 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1266 1042
y FG(N)1313 1028 y FI(\))13 b(=)h FH(f)p FI(\(1)p FJ(;)8
b FI(2\))p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(3\))p FJ(;)g FI(\(2)p
FJ(;)g FI(3\))p FH(g)q FK(,)120 1088 y FJ(N)d FI(\()p
FH(I)214 1065 y FF(1)p FG(;)p FF(1)214 1102 y FG(N)261
1088 y FI(\))14 b(=)g FH(f)p FI(\(1)p FJ(;)8 b FI(2\))p
FJ(;)g FI(\(2)p FJ(;)g FI(2\))p FJ(;)g FI(\(2)p FJ(;)g
FI(3\))p FH(g)q FK(,)375 1232 y FI(\()p FH(I)424 1208
y FF(1)p FG(;)p FF(1)424 1246 y FG(N)472 1232 y FI(\))491
1208 y FF(1)p FG(;)p FF(2)491 1246 y FG(M)552 1232 y
FI(=)13 b(\()p FH(f)p FI(2)p FH(g)p FJ(;)8 b FH(f)p FI(2)p
FJ(;)g FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(5\))p FJ(;)g FI(\(0)p
FJ(;)g FI(5\)\))p FJ(;)58 b FH(M)1203 1239 y FF(1)p FG(;)p
FF(2)1250 1232 y FI(\()p FH(I)1300 1208 y FF(1)p FG(;)p
FF(1)1300 1246 y FG(N)1347 1232 y FI(\))14 b(=)1431 1162
y FE(\032)q(\022)1505 1202 y FI(1)42 b(0)1505 1262 y(0)g(5)1596
1162 y FE(\023)o(\033)1678 1232 y FJ(;)375 1369 y FI(\()p
FH(I)424 1345 y FF(1)p FG(;)p FF(1)424 1383 y FG(N)472
1369 y FI(\))491 1345 y FF(1)p FG(;)p FF(3)491 1383 y
FG(M)552 1369 y FI(=)13 b(\()p FH(f)p FI(2)p FH(g)p FJ(;)8
b FH(f)p FI(2)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(5\))p
FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(4\)\))p FJ(;)58 b FH(M)1203
1376 y FF(1)p FG(;)p FF(3)1250 1369 y FI(\()p FH(I)1300
1345 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1300 1383 y FG(N)1347 1369
y FI(\))14 b(=)1431 1299 y FE(\032)q(\022)1505 1338 y
FI(0)42 b(1)1505 1399 y(1)g(4)1596 1299 y FE(\023)o(\033)1678
1369 y FJ(;)375 1506 y FI(\()p FH(I)424 1482 y FF(1)p
FG(;)p FF(1)424 1519 y FG(N)472 1506 y FI(\))491 1482
y FF(2)p FG(;)p FF(3)491 1519 y FG(M)552 1506 y FI(=)13
b(\()p FH(f)p FI(1)p FH(g)p FJ(;)8 b FH(f)p FI(2)p FJ(;)g
FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(1\))p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g
FI(0\)\))p FJ(;)58 b FH(M)1203 1513 y FF(2)p FG(;)p FF(3)1250
1506 y FI(\()p FH(I)1300 1482 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1300
1519 y FG(N)1347 1506 y FI(\))14 b(=)1431 1436 y FE(\032)q(\022)1505
1475 y FI(1)42 b(0)1505 1536 y(0)g(5)1596 1436 y FE(\023)o(\033)1678
1506 y FJ(;)375 1643 y FI(\()p FH(I)424 1619 y FF(1)p
FG(;)p FF(1)424 1656 y FG(N)472 1643 y FI(\))491 1619
y FF(1)p FG(;)p FF(2)491 1656 y FG(N)552 1643 y FI(=)13
b(\()p FJ(I)644 1650 y FF(1)664 1643 y FJ(;)8 b FH(f)p
FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(0)p FJ(;)g FI(5\))p FJ(;)g
FI(\(5\)\))p FJ(;)57 b FH(M)1124 1650 y FF(1)p FG(;)p
FF(2)1171 1643 y FI(\()p FH(I)1221 1619 y FF(1)p FG(;)p
FF(1)1221 1656 y FG(N)1268 1643 y FI(\))13 b(=)1352 1573
y FE(\032)q(\022)1426 1612 y FI(1)42 b(0)1426 1673 y(0)g(5)1517
1573 y FE(\023)o(\033)1599 1643 y FJ(;)375 1780 y FI(\()p
FH(I)424 1756 y FF(1)p FG(;)p FF(1)424 1793 y FG(N)472
1780 y FI(\))491 1756 y FF(2)p FG(;)p FF(2)491 1793 y
FG(N)552 1780 y FI(=)13 b(\()p FJ(I)644 1787 y FF(1)664
1780 y FJ(;)8 b FH(f)p FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(1)p
FJ(;)g FI(4\))p FJ(;)g FI(\(5\)\))p FJ(;)57 b FH(M)1124
1787 y FF(2)p FG(;)p FF(2)1171 1780 y FI(\()p FH(I)1221
1756 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1221 1793 y FG(N)1268 1780
y FI(\))13 b(=)1352 1710 y FE(\032)q(\022)1426 1749 y
FI(0)42 b(1)1426 1810 y(1)g(4)1517 1710 y FE(\023)o(\033)1599
1780 y FJ(;)375 1917 y FI(\()p FH(I)424 1893 y FF(1)p
FG(;)p FF(1)424 1930 y FG(N)472 1917 y FI(\))491 1893
y FF(2)p FG(;)p FF(3)491 1930 y FG(N)552 1917 y FI(=)13
b(\()p FJ(I)644 1924 y FF(1)664 1917 y FJ(;)8 b FH(f)p
FI(2)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(0\))p FJ(;)g
FI(\(1\)\))p FJ(;)57 b FH(M)1124 1924 y FF(2)p FG(;)p
FF(3)1171 1917 y FI(\()p FH(I)1221 1893 y FF(1)p FG(;)p
FF(1)1221 1930 y FG(N)1268 1917 y FI(\))13 b(=)1352 1847
y FE(\032)q(\022)1426 1886 y FI(1)42 b(0)1426 1947 y(0)g(5)1517
1847 y FE(\023)o(\033)1599 1917 y FJ(;)120 2095 y FK(also)17
b FH(N)259 2102 y FF(1)p FG(;)p FF(1)306 2095 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))c(=)440 2025 y FE(\032)q(\022)514 2064 y
FI(1)42 b(1)g(0)514 2125 y(0)g(0)g(5)670 2025 y FE(\023)707
2095 y FJ(;)729 2025 y FE(\022)766 2064 y FI(1)f(0)h(1)766
2125 y(0)f(1)h(4)922 2025 y FE(\023)o(\033)996 2095 y
FK(.)16 b(Ganz)g(analog)i(b)q(ek)o(omm)n(t)c(man)285
2273 y FH(I)316 2249 y FF(1)p FG(;)p FF(2)316 2286 y
FG(N)377 2273 y FI(=)g(\()p FJ(I)470 2280 y FF(1)489
2273 y FJ(;)8 b FH(f)p FI(1)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)p FJ(;)g
FI(\(1)p FJ(;)g FI(5\))p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(5\)\))p
FJ(;)57 b FH(N)1022 2280 y FF(1)p FG(;)p FF(2)1070 2273
y FI(\()p FH(I)s FI(\))14 b(=)1204 2202 y FE(\032\022)1278
2242 y FI(1)42 b(1)g(0)1278 2302 y(0)g(0)g(5)1434 2202
y FE(\023)1471 2273 y FJ(;)1493 2202 y FE(\022)1529 2242
y FI(0)g(1)g(1)1529 2302 y(1)g(0)g(4)1685 2202 y FE(\023\033)1768
2273 y FJ(;)285 2410 y FH(I)316 2386 y FF(2)p FG(;)p
FF(1)316 2423 y FG(N)377 2410 y FI(=)14 b(\()p FJ(I)470
2417 y FF(1)489 2410 y FJ(;)8 b FH(f)p FI(2)p FJ(;)g
FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(2)p FJ(;)g FI(4\))p FJ(;)g
FI(\(1)p FJ(;)g FI(5\)\))p FJ(;)57 b FH(N)1022 2417 y
FF(2)p FG(;)p FF(1)1070 2410 y FI(\()p FH(I)s FI(\))14
b(=)1204 2339 y FE(\032\022)1278 2379 y FI(0)42 b(0)g(2)1278
2439 y(1)g(1)g(3)1434 2339 y FE(\023)1471 2410 y FJ(;)1493
2339 y FE(\022)1529 2379 y FI(0)g(1)g(1)1529 2439 y(1)g(0)g(4)1685
2339 y FE(\023\033)1768 2410 y FJ(;)285 2547 y FH(I)316
2523 y FF(2)p FG(;)p FF(2)316 2560 y FG(N)377 2547 y
FI(=)14 b(\()p FJ(I)470 2554 y FF(1)489 2547 y FJ(;)8
b FH(f)p FI(1)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(2)p
FJ(;)g FI(4\))p FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)g FI(5\)\))p FJ(;)57
b FH(N)1022 2554 y FF(2)p FG(;)p FF(2)1070 2547 y FI(\()p
FH(I)s FI(\))14 b(=)1204 2476 y FE(\032\022)1278 2516
y FI(0)42 b(0)g(2)1278 2576 y(1)g(1)g(3)1434 2476 y FE(\023)1471
2547 y FJ(;)1493 2476 y FE(\022)1529 2516 y FI(1)g(0)g(1)1529
2576 y(0)g(1)g(4)1685 2476 y FE(\023\033)1768 2547 y
FJ(;)285 2684 y FH(I)316 2660 y FF(2)p FG(;)p FF(3)316
2697 y FG(N)377 2684 y FI(=)14 b(\()p FJ(I)470 2691 y
FF(1)489 2684 y FJ(;)8 b FH(f)p FI(1)p FJ(;)g FI(2)p
FH(g)p FJ(;)g FI(\(2)p FJ(;)g FI(0\))p FJ(;)g FI(\(1)p
FJ(;)g FI(1\)\))p FJ(;)57 b FH(N)1022 2691 y FF(2)p FG(;)p
FF(3)1070 2684 y FI(\()p FH(I)s FI(\))14 b(=)1204 2613
y FE(\032\022)1278 2653 y FI(1)42 b(1)g(0)1278 2713 y(0)g(0)g(5)1434
2613 y FE(\023\033)1516 2684 y FJ(:)p eop
%%Page: 55 57
55 56 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(55)60 203 y(Damit)15
b(hat)i(man)e(insgesam)o(t)109 375 y FH(E)5 b FI(\()p
FH(I)t FI(\))13 b(=)h FH(M)p FI(\()p FH(I)t FI(\))d FH([)g(N)c
FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)641 305 y FE(\032\022)715
344 y FI(0)42 b(0)f(2)715 404 y(1)h(1)f(3)871 305 y FE(\023)908
375 y FJ(;)930 305 y FE(\022)966 344 y FI(0)h(1)g(1)966
404 y(1)g(0)g(4)1122 305 y FE(\023)1159 375 y FJ(;)1181
305 y FE(\022)1217 344 y FI(1)g(0)g(1)1217 404 y(0)g(1)g(4)1374
305 y FE(\023)1410 375 y FJ(;)1432 305 y FE(\022)1469
344 y FI(1)g(1)g(0)1469 404 y(0)g(0)g(5)1625 305 y FE(\023\033)1707
375 y FJ(:)60 505 y FL(Lemma)18 b(2.5.3.)23 b FK(F\374r)48
b(jedes)g(endlic)o(he)e(Randsystem)h FH(I)72 b FI(:=)c(\()p
FJ(I)1481 512 y FF(1)1501 505 y FJ(;)8 b(I)1545 512 y
FF(2)1564 505 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))47 b FK(ist)60
566 y FH(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b FH(\022)h(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)60 680 y FB(Beweis.)26 b
FK(Der)16 b(Bew)o(eis)g(erfolgt)g(durc)o(h)g(Induktion)h(\374b)q(er)g
FJ(m)11 b FI(+)g FJ(n)p FK(.)16 b(F\374r)h FJ(m)d FI(=)h(1)i
FK(o)q(der)g FJ(n)e FI(=)g(1)60 740 y FK(folgt)f(die)g(Behauptung)g
(sofort)h(aus)g(De\034nition)e(2.5.1.)h(Sei)f(also)i
FJ(m;)8 b(n)14 b FH(\025)f FI(2)i FK(und)f FJ(P)21 b
FH(2)14 b(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)60 801 y(Ist)16
b FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)p FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)h(so)i(gibt)g(es)
f FI(\()p FJ(i)643 808 y FF(0)662 801 y FJ(;)8 b(j)704
808 y FF(0)724 801 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(M)5 b FI(\()p
FH(I)t FI(\))16 b FK(mit)e FJ(P)22 b FH(2)14 b(M)1189
808 y FG(i)1201 813 y Fz(0)1219 808 y FG(;j)1243 813
y Fz(0)1262 801 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)i(das)h(hei\377t)342
947 y FJ(P)7 b Fx(\030)401 955 y FF(\()p FG(I)430 960
y Fz(1)447 955 y FA(nf)p FG(i)495 960 y Fz(0)512 955
y FA(g)p FF(\))p FA(\002)p FG(I)586 960 y Fz(2)619 947
y FH(2)14 b(E)5 b FI(\()p FH(I)747 924 y FG(i)759 929
y Fz(0)776 924 y FG(;j)800 929 y Fz(0)743 961 y FG(M)819
947 y FI(\))17 b FK(und)f FJ(p)976 954 y FG(i)988 959
y Fz(0)1006 954 y FG(;j)1048 947 y FI(=)1100 862 y FE(\()1140
913 y FI(0)78 b FK(f\374r)16 b FJ(j)h FH(6)p FI(=)d FJ(j)1428
920 y FF(0)1448 913 y FJ(;)1140 985 y(r)1162 992 y FG(i)1174
997 y Fz(0)1242 985 y FK(f\374r)i FJ(j)h FI(=)d FJ(j)1428
992 y FF(0)1474 947 y FJ(:)60 1101 y FK(P)o(er)i(Induktion)g(ist)g
FJ(P)7 b Fx(\030)501 1108 y FF(\()p FG(I)530 1113 y Fz(1)547
1108 y FA(nf)p FG(i)595 1113 y Fz(0)611 1108 y FA(g)p
FF(\))p FA(\002)p FG(I)685 1113 y Fz(2)719 1101 y FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)855 1077 y FG(i)867 1082 y Fz(0)885
1077 y FG(;j)909 1082 y Fz(0)851 1114 y FG(M)928 1101
y FI(\))p FK(,)i(das)h(hei\377t)280 1249 y FH(8)260 1280
y FG(i)p FA(2)p FG(I)311 1285 y Fz(1)350 1202 y FE(X)350
1308 y FG(j)r FA(2)p FG(I)405 1313 y Fz(2)431 1249 y
FJ(p)455 1256 y FG(i;j)509 1249 y FI(=)561 1164 y FE(\()601
1215 y FI(\()p FJ(r)643 1193 y FG(i)655 1198 y Fz(0)642
1229 y FG(M)682 1215 y FI(\))701 1222 y FG(i)728 1215
y FI(=)d FJ(r)802 1222 y FG(i)881 1215 y FK(f\374r)j
FJ(i)c FH(6)p FI(=)h FJ(i)1058 1222 y FF(0)1077 1215
y FJ(;)601 1287 y(r)623 1294 y FG(i)635 1299 y Fz(0)881
1287 y FK(f\374r)j FJ(i)c FI(=)h FJ(i)1058 1294 y FF(0)1077
1287 y FJ(;)282 1423 y FH(8)260 1454 y FG(j)r FA(2)p
FG(I)315 1459 y Fz(2)354 1376 y FE(X)356 1481 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)407 1486 y Fz(1)435 1423 y FJ(p)459 1430
y FG(i;j)513 1423 y FI(=)g FJ(p)589 1430 y FG(i)601 1435
y Fz(0)619 1430 y FG(;j)658 1423 y FI(+)746 1376 y FE(X)707
1484 y FG(i)p FA(2)p FG(I)758 1489 y Fz(1)775 1484 y
FA(nf)p FG(i)823 1489 y Fz(0)839 1484 y FA(g)865 1423
y FJ(p)889 1430 y FG(i;j)944 1423 y FI(=)996 1338 y FE(\()1036
1389 y FI(\()p FJ(s)1078 1365 y FG(j)1092 1370 y Fz(0)1078
1402 y FG(M)1117 1389 y FI(\))1136 1396 y FG(j)1168 1389
y FI(=)g FJ(s)1243 1396 y FG(j)1470 1389 y FK(f\374r)j
FJ(j)f FH(6)p FI(=)e FJ(j)1656 1396 y FF(0)1676 1389
y FJ(;)1036 1461 y FI(\()p FJ(s)1078 1437 y FG(j)1092
1442 y Fz(0)1078 1475 y FG(M)1117 1461 y FI(\))1136 1468
y FG(j)1150 1473 y Fz(0)1181 1461 y FI(+)d FJ(r)1252
1468 y FG(i)1264 1473 y Fz(0)1297 1461 y FI(=)j FJ(s)1372
1468 y FG(j)1386 1473 y Fz(0)1470 1461 y FK(f\374r)j
FJ(j)f FI(=)e FJ(j)1656 1468 y FF(0)1676 1461 y FJ(;)60
1342 y FK(\(2.58\))60 1580 y(also)j FJ(P)22 b FH(2)15
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(.)h(Eine)g(analoge)i(Rec)o(hn)o(ung)e
(zeigt,)g(da\377)h FJ(P)k FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))k FK(auc)o(h)e(f\374r)h FJ(P)k FH(2)14 b(N)7 b
FI(\()p FH(I)t FI(\))60 1640 y FK(gilt.)1586 b Fx(\004)60
1734 y FL(Lemma)18 b(2.5.4.)23 b FK(Sei)c FH(I)24 b FI(:=)c(\()p
FJ(I)660 1741 y FF(1)680 1734 y FJ(;)8 b(I)724 1741 y
FF(2)743 1734 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))19 b FK(ein)h(endlic)o(hes)e
(Randsystem)h(und)i FJ(P)27 b FH(2)21 b(E)5 b FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(.)60 1794 y(Dann)17 b(ist)f FI(#)p
FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FH(\024)g FJ(m)d
FI(+)g FJ(n)g FH(\000)g FI(1)p FK(.)60 1909 y FB(Beweis.)26
b FK(Wieder)39 b(erfolgt)h(eine)g(Induktion)g(\374b)q(er)g
FJ(m)27 b FI(+)h FJ(n)p FK(.)40 b(F\374r)g FJ(m)55 b
FI(=)f(1)41 b FK(ist)60 1969 y FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))14 b FH(\024)g FJ(n)g FI(=)g FJ(n)d FI(+)g
FJ(m)g FH(\000)f FI(1)q FK(,)16 b(f\374r)i FJ(n)d FI(=)g(1)j
FK(ist)f FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b
FH(\024)g FJ(m)f FI(=)h FJ(m)d FI(+)g FJ(n)g FH(\000)g
FI(1)p FK(.)17 b(Sei)f(n)o(un)60 2030 y FJ(m;)8 b(n)13
b FH(\025)h FI(2)j FK(und)f FJ(P)21 b FH(2)14 b(E)5 b
FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)16 b(Angenommen)d FJ(P)21
b FH(2)14 b(M)1053 2037 y FG(i)1065 2042 y Fz(0)1082
2037 y FG(;j)1106 2042 y Fz(0)1126 2030 y FI(\()p FH(I)t
FI(\))p FK(,)h FI(\()p FJ(i)1260 2037 y FF(0)1280 2030
y FJ(;)8 b(j)1322 2037 y FF(0)1341 2030 y FI(\))14 b
FH(2)g FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)16 b(Es)h(gilt)66
2164 y FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b(=)e(#)p
FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)566 2172 y FF(\()p
FG(I)595 2177 y Fz(1)613 2172 y FA(nf)p FG(i)661 2177
y Fz(0)678 2172 y FA(g)p FF(\))p FA(\002)p FG(I)752 2177
y Fz(2)771 2164 y FI(\))k(+)g(1)888 2119 y Fq(\(Induktion\))958
2164 y FH(\024)84 b FJ(m)10 b FH(\000)h FI(1)h(+)f FJ(n)g
FH(\000)g FI(1)g(+)g(1)j(=)g FJ(m)d FI(+)g FJ(n)g FH(\000)g
FI(1)p FJ(:)60 2266 y FK(Ist)16 b(hingegen)g FJ(P)21
b FH(2)14 b(N)475 2273 y FG(i)487 2278 y Fz(0)505 2273
y FG(;j)529 2278 y Fz(0)548 2266 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p
FK(,)h FI(\()p FJ(i)682 2273 y FF(0)702 2266 y FJ(;)8
b(j)744 2273 y FF(0)764 2266 y FI(\))13 b FH(2)h FJ(N)5
b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)16 b(so)h(ist)276 2401
y FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g(#)p
FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)776 2408 y FG(I)791
2413 y Fz(1)809 2408 y FA(\002)p FF(\()p FG(I)865 2413
y Fz(2)882 2408 y FA(nf)p FG(j)932 2413 y Fz(0)949 2408
y FA(g)p FF(\))983 2401 y FI(\))k(+)g(1)1100 2355 y Fq(\(Induktion\))
1170 2401 y FH(\024)83 b FJ(m)11 b FI(+)g FJ(n)g FH(\000)g
FI(1)g FH(\000)g FI(1)h(+)f(1)506 2473 y(=)j FJ(m)c FI(+)i
FJ(n)f FH(\000)f FI(1)p FJ(:)1731 2564 y Fx(\004)60 2659
y FL(Lemma)18 b(2.5.5.)23 b FK(Ist)41 b FH(I)62 b FI(:=)57
b(\()p FJ(I)750 2666 y FF(1)769 2659 y FJ(;)8 b(I)813
2666 y FF(2)832 2659 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))41 b
FK(ein)g(endlic)o(hes)f(Randsystem,)h(so)h(ist)60 2719
y FH(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(=)h FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)p eop
%%Page: 56 58
56 57 bop 120 50 a FK(56)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FB(Beweis.)26 b FK(Der)15 b(Bew)o(eis)f(erfolgt)h(erneut)g(durc)o(h)g
(Induktion)g(\374b)q(er)h FJ(m)11 b FI(+)g FJ(n)p FK(.)k(F\374r)g
FJ(m)f FI(=)g(1)i FK(o)q(der)120 264 y FJ(n)e FI(=)g(1)i
FK(ist)g(nic)o(h)o(ts)g(zu)g(zeigen.)e(Seien)i(also)g
FJ(m;)8 b(n)14 b FH(\025)g FI(2)p FK(.)120 324 y(\022)t
FH(\023)p FK(\020)t(:)21 b(Sei)f FJ(P)h FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)21 b(Nac)o(h)f(Korollar)g
(2.2.9)h(hat)g FJ(P)28 b FK(eine)20 b(Linie)g(mit)e(h\366)q(c)o(hstens)
k(ei-)120 384 y(nem)c(p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t.)e(Angenommen,)f(es)
j(handelt)h(sic)o(h)f(dab)q(ei)h(um)e(die)h FJ(i)1634
391 y FF(0)1653 384 y FK(-te)h(Zeile)120 444 y(\(der)k(F)l(all,)f
(da\377)i(es)f(sic)o(h)f(um)g(die)h FJ(j)816 451 y FF(0)836
444 y FK(-te)g(Spalte)g(handelt,)f(geh)o(t)h(v)o(\366llig)f(analog\).)i
(Setze)120 504 y FJ(Q)13 b FI(:=)h FJ(P)7 b Fx(\030)297
512 y FF(\()p FG(I)326 517 y Fz(1)343 512 y FA(nf)p FG(i)391
517 y Fz(0)408 512 y FA(g)p FF(\))p FA(\002)p FG(I)482
517 y Fz(2)501 504 y FK(,)541 492 y FI(~)536 504 y FH(I)18
b FI(:=)13 b FH(I)t FI(\()p FJ(Q)p FI(\))o FK(.)21 b(Nac)o(h)g(Lemma)e
(2.1.14)j(ist)f(dann)h FJ(Q)14 b FH(2)g FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()1658 492 y(~)1653 504 y FH(I)5 b FI(\)\))p
FK(.)21 b(P)o(er)120 570 y(Induktion)d(ist)h(dann)g FJ(Q)13
b FH(2)h(E)t FI(\()695 558 y(~)690 570 y FH(I)5 b FI(\))p
FK(,)18 b(und)h(es)f(folgt)h(\(b)q(eac)o(h)o(te)f(dazu)h
FI(\()p FJ(i)1401 577 y FF(0)1420 570 y FJ(;)8 b(j)1462
577 y FF(0)1482 570 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(M)5 b FI(\()p
FH(I)t FI(\))18 b FK(w)o(egen)120 630 y FJ(p)144 637
y FG(i)156 642 y Fz(0)174 637 y FG(;j)198 642 y Fz(0)231
630 y FI(=)c FJ(r)305 637 y FG(i)317 642 y Fz(0)336 630
y FK(\))i FJ(P)21 b FH(2)15 b(M)530 637 y FG(i)542 642
y Fz(0)560 637 y FG(;j)584 642 y Fz(0)603 630 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(,)h(das)h(hei\377t)e FJ(P)22 b FH(2)14
b(E)t FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)120 716 y(\022)t FH(\022)p
FK(\020)t(:)28 b(Sei)g(n)o(un)g FJ(P)21 b FH(2)14 b(E)5
b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)27 b FJ(P)21 b FI(=)789
697 y FF(1)p 789 705 18 2 v 789 733 a(2)812 716 y FJ(P)850
698 y FF(\(1\))908 716 y FI(+)962 697 y FF(1)p 962 705
V 962 733 a(2)985 716 y FJ(P)1023 698 y FF(\(2\))1098
716 y FK(und)29 b FJ(P)1246 698 y FF(\(1\))1293 716 y
FJ(;)8 b(P)1353 698 y FF(\(2\))1414 716 y FH(2)15 b(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)28 b(Angenom-)120 776 y(men)18
b FJ(P)j FH(2)14 b(M)388 783 y FG(i)400 788 y Fz(0)417
783 y FG(;j)441 788 y Fz(0)461 776 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p
FK(,)19 b FI(\()p FJ(i)599 783 y FF(0)618 776 y FJ(;)8
b(j)660 783 y FF(0)680 776 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(M)5
b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)19 b(Sei)g FJ(Q)14 b FI(:=)f
FJ(P)7 b Fx(\030)1173 784 y FF(\()p FG(I)1202 789 y Fz(1)1219
784 y FA(nf)p FG(i)1267 789 y Fz(0)1284 784 y FA(g)p
FF(\))p FA(\002)p FG(I)1358 789 y Fz(2)1377 776 y FK(,)20
b(und)g(f\374r)g FJ(k)15 b FI(=)f(1)p FJ(;)8 b FI(2)21
b FK(sei)120 842 y FJ(Q)159 824 y FF(\()p FG(k)q FF(\))221
842 y FI(:=)14 b FJ(P)325 824 y FF(\()p FG(k)q FF(\))374
842 y Fx(\030)395 850 y FF(\()p FG(I)424 855 y Fz(1)441
850 y FA(nf)p FG(i)489 855 y Fz(0)505 850 y FA(g)p FF(\))p
FA(\002)p FG(I)579 855 y Fz(2)599 842 y FK(.)e(Dann)h(gilt)f
FJ(Q)i FI(=)945 823 y FF(1)p 945 831 V 945 859 a(2)968
842 y FJ(Q)1007 824 y FF(\(1\))1065 842 y FI(+)1119 823
y FF(1)p 1119 831 V 1119 859 a(2)1141 842 y FJ(Q)1180
824 y FF(\(2\))1227 842 y FK(.)e(Sei)1333 830 y FI(~)1328
842 y FH(I)18 b FI(:=)13 b FH(I)t FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p
FK(.)f(P)o(er)g(Indukti-)120 909 y(on)17 b(ist)e FJ(Q)f
FH(2)g FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()470 897 y(~)465 909
y FH(I)5 b FI(\)\))p FK(,)15 b(das)i(hei\377t)f FJ(Q)812
891 y FF(\(1\))873 909 y FI(=)d FJ(Q)963 891 y FF(\(2\))1024
909 y FI(=)h FJ(Q)o FK(.)i(W)l(egen)g FJ(P)q(;)8 b(P)1393
891 y FF(\(1\))1441 909 y FJ(;)g(P)1501 891 y FF(\(2\))1562
909 y FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))j FK(folgt)120
969 y(daraus)d(auc)o(h)f FJ(P)7 b Fx(\030)445 977 y FA(f)p
FG(i)475 982 y Fz(0)492 977 y FA(g\002)p FG(I)552 982
y Fz(2)585 969 y FI(=)14 b FJ(P)675 951 y FF(\(1\))722
969 y Fx(\030)743 977 y FA(f)p FG(i)773 982 y Fz(0)790
977 y FA(g\002)p FG(I)850 982 y Fz(2)884 969 y FI(=)g
FJ(P)974 951 y FF(\(2\))1021 969 y Fx(\030)1042 977 y
FA(f)p FG(i)1072 982 y Fz(0)1089 977 y FA(g\002)p FG(I)1149
982 y Fz(2)1168 969 y FK(,)f(das)g(hei\377t)g FJ(P)21
b FI(=)14 b FJ(P)1539 951 y FF(\(1\))1600 969 y FI(=)g
FJ(P)1690 951 y FF(\(2\))1737 969 y FK(.)f(Al-)120 1030
y(so)20 b(ist)f FJ(P)i FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)k(Ein)i(v)o(\366llig)e(analoges)i
(Argumen)o(t)d(zeigt)i FJ(P)26 b FH(2)19 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(auc)o(h)g(f\374r)120
1090 y FJ(P)i FH(2)14 b(N)260 1097 y FG(i)272 1102 y
Fz(0)289 1097 y FG(;j)313 1102 y Fz(0)333 1090 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))o FK(,)i FI(\()p FJ(i)467 1097 y FF(0)487
1090 y FJ(;)8 b(j)529 1097 y FF(0)548 1090 y FI(\))14
b FH(2)g FJ(N)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)1036 b
Fx(\004)120 1201 y FL(Lemma)18 b(2.5.6.)23 b FK(Sei)18
b FH(I)23 b FI(:=)c(\()p FJ(I)717 1208 y FF(1)736 1201
y FJ(;)8 b(I)780 1208 y FF(2)800 1201 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))18 b FK(ein)h(endlic)o(hes)f(Randsystem)g(und)i
FJ(P)26 b FH(2)20 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)120
1261 y(Dann)15 b(ist)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g(jede)g
(Submatrix)f FJ(Q)h FK(v)o(on)g FJ(P)21 b FK(eine)13
b(Linie)h(mit)120 1322 y(h\366)q(c)o(hstens)j(einem)d(p)q(ositiv)o(en)h
(Elemen)o(t)f(en)o(th\344lt.)120 1464 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)f(folgt)20 b(aus)h(Korollar)g(2.2.9)f(und)h
(Lemma)d(2.1.14.)j(Der)f(Bew)o(eis)f(v)o(on)i(\022)t
FH(\()p FK(\020)120 1524 y(ist)f(wiederum)e(eine)g(Induktion)i(\374b)q
(er)g FJ(m)13 b FI(+)h FJ(n)p FK(.)20 b(F\374r)f FJ(m)h
FI(=)g(1)h FK(o)q(der)f FJ(n)g FI(=)g(1)h FK(ist)e(nic)o(h)o(ts)g(zu)
120 1584 y(b)q(ew)o(eisen.)c(Sei)g(n)o(un)h FJ(m;)8 b(n)13
b FH(\025)h FI(2)p FK(.)i(Nac)o(h)f(V)l(oraussetzung)i(hat)f
FJ(P)23 b FK(eine)15 b(Linie)g(mit)g(h\366)q(c)o(hstens)120
1645 y(einem)i(p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t.)e(Angenommen,)g(es)j
(handelt)f(sic)o(h)h(um)e(die)i FJ(i)1529 1652 y FF(0)1548
1645 y FK(-te)g(Zeile)e(\(der)120 1705 y(F)l(all,)h(da\377)h(es)g(sic)o
(h)f(um)g(die)g FJ(j)673 1712 y FF(0)693 1705 y FK(-te)h(Spalte)f
(handelt,)g(geh)o(t)h(dann)h(wieder)e(analog\).)h(W\344hle)120
1765 y FJ(j)140 1772 y FF(0)181 1765 y FK(so,)i(da\377)86
b FH(8)355 1798 y FG(j)r FA(2)p FG(I)410 1803 y Fz(2)428
1798 y FA(nf)p FG(j)478 1803 y Fz(0)494 1798 y FA(g)526
1765 y FJ(p)550 1772 y FG(i)562 1777 y Fz(0)580 1772
y FG(;j)629 1765 y FI(=)22 b(0)p FK(.)f(Sei)f FJ(Q)h
FI(:=)g FJ(P)7 b Fx(\030)1023 1773 y FF(\()p FG(I)1052
1778 y Fz(1)1069 1773 y FA(nf)p FG(i)1117 1778 y Fz(0)1134
1773 y FA(g)p FF(\))p FA(\002)p FG(I)1208 1778 y Fz(2)1227
1765 y FK(.)21 b(Da)g(jede)f(Submatrix)g(v)o(on)g FJ(Q)120
1850 y FK(auc)o(h)i(eine)f(Submatrix)g(v)o(on)h FJ(P)29
b FK(ist,)21 b(en)o(th\344lt)h(jede)f(Submatrix)g(v)o(on)h
FJ(Q)f FK(eine)g(Linie)h(mit)120 1910 y(h\366)q(c)o(hstens)12
b(einem)e(p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t.)e(P)o(er)j(Induktion)g(ist)f
(dann)i FJ(Q)h FH(2)g(E)t FI(\()p FH(I)1546 1887 y FG(i)1558
1892 y Fz(0)1575 1887 y FG(;j)1599 1892 y Fz(0)1542 1924
y FG(M)1619 1910 y FI(\))e FK(\(b)q(eac)o(h)o(te)120
1970 y(dazu,)21 b(da\377)h FI(\()p FJ(i)388 1977 y FF(0)407
1970 y FJ(;)8 b(j)449 1977 y FF(0)469 1970 y FI(\))21
b FH(2)i FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)20 b(da)i
FJ(p)817 1977 y FG(i)829 1982 y Fz(0)846 1977 y FG(;j)870
1982 y Fz(0)912 1970 y FI(=)f FJ(r)993 1977 y FG(i)1005
1982 y Fz(0)1025 1970 y FK(\).)f(Also)h(ist)g FJ(P)29
b FH(2)22 b(M)1441 1977 y FG(i)1453 1982 y Fz(0)1470
1977 y FG(;j)1494 1982 y Fz(0)1513 1970 y FI(\()p FH(I)t
FI(\))f FK(und)g(damit)120 2031 y FJ(P)g FH(2)14 b(E)5
b FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(=)h FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)1213 b Fx(\004)120 2142
y FL(Korollar)20 b(2.5.7.)j FK(Sei)17 b FH(I)j FI(:=)15
b(\()p FJ(I)733 2149 y FF(1)752 2142 y FJ(;)8 b(I)796
2149 y FF(2)815 2142 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))17 b
FK(ein)g(endlic)o(hes)f(Randsystem)g(und)i FJ(P)24 b
FH(2)16 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)120 2202 y(Dann)21
b(ist)e FJ(P)28 b FH(2)20 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))g FK(genau)g(dann,)g(w)o(enn)g(f\374r)g(jede)f
(Submatrix)g FJ(Q)g FK(v)o(on)h FJ(P)27 b FK(mit)g FI(~)-33
b FJ(m)120 2262 y FK(Zeilen)15 b(und)j FI(~)-26 b FJ(n)16
b FK(Spalten)h(gilt,)e(da\377)i FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p
FJ(Q)p FI(\))d FH(\024)22 b FI(~)-33 b FJ(m)11 b FI(+)i(~)-26
b FJ(n)11 b FH(\000)g FI(1)p FK(.)120 2405 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)14 b(Sei)g FJ(P)21 b
FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g
FK(und)895 2392 y FI(~)890 2405 y FH(I)k FI(:=)13 b FH(I)t
FI(\()p FJ(Q)p FI(\))o FK(.)h(Dann)i(ist)e FJ(Q)f FH(2)h
FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()1547 2392 y(~)1542 2405 y
FH(I)t FI(\)\))p FK(,)g(das)h(hei\377t)120 2465 y FJ(Q)e
FH(2)i(E)t FI(\()274 2452 y(~)269 2465 y FH(I)t FI(\))h
FK(und)h(damit)e FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))e
FH(\024)23 b FI(~)-33 b FJ(m)11 b FI(+)i(~)-26 b FJ(n)11
b FH(\000)g FI(1)p FK(.)120 2551 y(\022)t FH(\()p FK(\020)t(:)67
b(Aus)g FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))13 b FH(\024)23
b FI(~)-33 b FJ(m)11 b FI(+)i(~)-26 b FJ(n)11 b FH(\000)g
FI(1)67 b FK(folgt,)g(da\377)g FJ(Q)g FK(eine)f(Linie)g(mit)120
2611 y(h\366)q(c)o(hstens)61 b(einem)d(p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t)f
(b)q(esitzt,)i(denn)g(andernfalls)g(w)o(\344re)120 2671
y FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))14 b FH(\025)f
FI(2)8 b(max\()h(~)-33 b FJ(m)o(;)11 b FI(~)-27 b FJ(n)p
FI(\))14 b FH(\025)23 b FI(~)-33 b FJ(m)11 b FI(+)i(~)-26
b FJ(n)13 b(>)23 b FI(~)-33 b FJ(m)11 b FI(+)i(~)-26
b FJ(n)11 b FH(\000)g FI(1)p FK(.)31 b(Nac)o(h)f(Lemma)e(2.5.6)j(ist)f
(dann)120 2731 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)1378 b Fx(\004)p eop
%%Page: 57 59
57 58 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(57)60 203 y(Die)16 b(folgende)g
(De\034nition)g(2.5.8)g(dien)o(t)f(dazu,)h(extremale)e(Matrizen)h(durc)
o(h)h(P)o(erm)o(utation)60 264 y(der)g(Zeilen)f(und)h(Spalten)g(in)g
(einfac)o(he)f(F)l(ormen)g(zu)h(bringen.)60 353 y FL(De\034nition)j
(2.5.8.)24 b FK(Sei)15 b FJ(I)577 360 y FF(1)610 353
y FI(=)f FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p FH(g)p
FK(,)15 b FJ(I)940 360 y FF(2)973 353 y FI(=)f FH(f)p
FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p FH(g)p FK(,)16 b
FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)1426 360 y Fm(R)1452 353 y FI(\()p
FJ(I)1493 360 y FF(1)1512 353 y FJ(;)8 b(I)1556 360 y
FF(2)1575 353 y FI(\))p FK(.)60 461 y FL(\(a\))24 b FJ(P)e
FK(ist)15 b(eine)f FB(ob)n(er)n(e)h(Dr)n(eie)n(cksmatrix)g
FK(\(upp)q(er)g(triangular)g(matrix\))e(genau)i(dann,)g(w)o(enn)242
611 y FI(\()p FJ(m)e FH(\024)h FJ(n)i FK(und)94 b FH(8)513
644 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)618 649 y
Fz(1)634 644 y FA(\002)p FG(I)676 649 y Fz(2)576 679
y FG(i>j)708 611 y FJ(p)732 618 y FG(i;j)786 611 y FI(=)14
b(0\))j FK(o)q(der)g FI(\()p FJ(m)c(>)h(n)i FK(und)65
b FH(8)1278 647 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1386
635 y Fz(2)1383 657 y(2)1312 684 y FG(i>j)1416 611 y
FJ(p)1440 618 y FG(i)p FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FG(n;j)1602
611 y FI(=)13 b(0\))p FJ(:)182 551 y FK(\(2.59\))182
772 y(Die)j(Menge)f(der)h(ob)q(eren)h(Dreiec)o(ksmatriz)o(en)c(b)q
(ezeic)o(hne)i(mit)f(UT)p FI(\()p FJ(m;)8 b(n)p FI(\))p
FK(.)60 870 y FL(\(b\))24 b FJ(P)c FK(ist)13 b(eine)f
FB(unter)n(e)k(Dr)n(eie)n(cksmatrix)c FK(\(lo)o(w)o(er)g(triangular)i
(matrix\))d(genau)j(dann,)f(w)o(enn)242 1020 y FI(\()p
FJ(m)g FH(\024)h FJ(n)i FK(und)65 b FH(8)513 1056 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)621 1044 y Fz(2)618 1066
y(1)547 1092 y FG(i<j)651 1020 y FJ(p)675 1027 y FG(i;j)r
FF(+)p FG(n)p FA(\000)p FG(m)837 1020 y FI(=)13 b(0\))k
FK(o)q(der)g FI(\()p FJ(m)c(>)h(n)i FK(und)94 b FH(8)1328
1053 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1433 1058
y Fz(1)1449 1053 y FA(\002)p FG(I)1491 1058 y Fz(2)1391
1088 y FG(i<j)1523 1020 y FJ(p)1547 1027 y FG(i;j)1602
1020 y FI(=)13 b(0\))p FJ(:)182 959 y FK(\(2.60\))182
1181 y(Die)j(Menge)f(der)h(un)o(teren)g(Dreiec)o(ksmatriz)o(en)d(b)q
(ezeic)o(hne)i(mit)f(L)l(T)p FI(\()p FJ(m;)8 b(n)p FI(\))p
FK(.)60 1270 y FL(Beispiel)20 b(2.5.9.)j(\(a\))h FK(Die)16
b(folgenden)g(Matrizen)f(sind)h(ob)q(ere)g(Dreiec)o(ksmatrizen:)250
1379 y FE(0)250 1467 y(B)250 1497 y(B)250 1527 y(B)250
1557 y(B)250 1589 y(@)293 1419 y FI(1)293 1479 y(1)293
1539 y(1)293 1599 y(1)293 1659 y(1)318 1379 y FE(1)318
1467 y(C)318 1497 y(C)318 1527 y(C)318 1557 y(C)318 1589
y(A)370 1539 y FJ(;)392 1499 y FE(\000)414 1539 y FI(1)50
b(1)f(1)g(1)g(1)731 1499 y FE(\001)763 1539 y FJ(;)785
1439 y FE(0)785 1529 y(@)870 1479 y FI(1)90 b(1)870 1539
y(1)g(1)870 1599 y(0)g(1)1009 1439 y FE(1)1009 1529 y(A)1060
1539 y FJ(;)1082 1469 y FE(\022)1160 1509 y FI(1)h(1)g(1)f(1)h(1)1160
1569 y(0)g(1)g(1)f(1)h(1)1644 1469 y FE(\023)1688 1539
y FJ(:)182 1360 y FK(\(2.61\))60 1773 y FL(\(b\))24 b
FK(Die)16 b(folgenden)g(Matrizen)f(sind)h(un)o(tere)g(Dreiec)o
(ksmatriz)o(en:)250 1882 y FE(0)250 1970 y(B)250 2000
y(B)250 2030 y(B)250 2060 y(B)250 2092 y(@)293 1921 y
FI(1)293 1982 y(1)293 2042 y(1)293 2102 y(1)293 2162
y(1)318 1882 y FE(1)318 1970 y(C)318 2000 y(C)318 2030
y(C)318 2060 y(C)318 2092 y(A)370 2042 y FJ(;)392 2002
y FE(\000)414 2042 y FI(1)50 b(1)f(1)g(1)g(1)731 2002
y FE(\001)763 2042 y FJ(;)785 1942 y FE(0)785 2032 y(@)870
1982 y FI(1)90 b(0)870 2042 y(1)g(1)870 2102 y(1)g(1)1009
1942 y FE(1)1009 2032 y(A)1060 2042 y FJ(;)1082 1972
y FE(\022)1160 2012 y FI(1)h(1)g(1)f(1)h(0)1160 2072
y(1)g(1)g(1)f(1)h(1)1644 1972 y FE(\023)1688 2042 y FJ(:)182
1863 y FK(\(2.62\))60 2257 y FL(Lemma)18 b(2.5.10.)23
b FK(Sei)d FJ(I)547 2264 y FF(1)588 2257 y FI(=)h FH(f)p
FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p FH(g)p FK(,)20 b
FJ(I)930 2264 y FF(2)971 2257 y FI(=)h FH(f)p FI(1)p
FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p FH(g)p FK(,)20 b FJ(P)29
b FH(2)22 b(M)1451 2264 y Fm(R)1478 2257 y FI(\()p FJ(I)1519
2264 y FF(1)1538 2257 y FJ(;)8 b(I)1582 2264 y FF(2)1601
2257 y FI(\))p FK(.)20 b(Dann)60 2317 y(gilt:)c FJ(P)21
b FH(2)14 b FK(L)l(T)p FI(\()p FJ(m;)8 b(n)p FI(\))49
b FH(,)f FJ(P)638 2299 y FG(t)667 2317 y FH(2)14 b FK(UT)p
FI(\()p FJ(n;)8 b(m)p FI(\))16 b FK(\(dab)q(ei)h(ist)f
FJ(P)1191 2299 y FG(t)1221 2317 y FI(:=)e(\()p FJ(p)1330
2324 y FG(j;i)1368 2317 y FI(\))1387 2325 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)1492 2330 y Fz(1)1509 2325 y FA(\002)p
FG(I)1551 2330 y Fz(2)1587 2317 y FK(die)i(zu)h FJ(P)60
2378 y FK(transp)q(onierte)g(Matrix\).)60 2490 y FB(Beweis.)26
b FK(\022)t FH(\))p FK(\020)t(:)78 b(Ist)g FJ(m)14 b(<)f(n)q
FK(,)77 b(so)i(gilt)f FJ(m)1105 2472 y FG(t)1133 2490
y FI(=)14 b FJ(n)g(>)g(n)1309 2472 y FG(t)1338 2490 y
FI(=)f FJ(m)p FK(.)78 b(Dann)h(ist)107 2550 y FH(8)60
2586 y FF(\()p FG(j;i)p FF(\))p FA(2)p FG(I)166 2574
y Fz(2)163 2596 y(1)93 2623 y FG(j)r(>i)196 2550 y FJ(p)220
2532 y FG(t)220 2565 y(j)r FF(+)p FG(m)294 2555 y Fu(t)309
2565 y FA(\000)p FG(n)357 2555 y Fu(t)372 2565 y FG(;i)410
2550 y FI(=)14 b FJ(p)486 2557 y FG(i;j)r FF(+)p FG(n)p
FA(\000)p FG(m)647 2550 y FI(=)g(0)q FK(.)43 b(Ist)f
FJ(m)14 b FH(\025)g FJ(n)p FK(,)42 b(so)i(gilt)f FJ(m)1318
2532 y FG(t)1346 2550 y FH(\024)14 b FJ(n)g FI(=)f FJ(n)1522
2532 y FG(t)1551 2550 y FI(=)h FJ(m)43 b FK(und)136 2677
y FH(8)60 2710 y FF(\()p FG(j;i)p FF(\))p FA(2)p FG(I)163
2715 y Fz(2)180 2710 y FA(\002)p FG(I)222 2715 y Fz(1)122
2745 y FG(j)r(>i)253 2677 y FJ(p)277 2659 y FG(t)277
2689 y(j;i)330 2677 y FI(=)14 b FJ(p)406 2684 y FG(i;j)460
2677 y FI(=)g(0)p FK(.)i(\022)t FH(\()p FK(\020)21 b(folgt)16
b(durc)o(h)g(eine)f(ganz)i(analoge)g(Rec)o(hn)o(ung.)195
b Fx(\004)p eop
%%Page: 58 60
58 59 bop 120 50 a FK(58)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FL(De\034nition)j(2.5.11.)24 b FK(Sei)11 b FJ(I)16
b FK(eine)11 b(endlic)o(he)f(Menge)i(und)g FJ(P)21 b
FH(2)14 b(M)1361 210 y Fm(R)1387 203 y FI(\()p FJ(I)t(;)8
b(I)t FI(\))o FK(.)j(Dann)i(de\034niere)120 264 y(\()p
FI(\006)h(:=)f(\006\()p FJ(I)t FI(\))j FK(sei)g(die)f(Menge)h(der)g(P)o
(erm)o(utationen)e(v)o(on)i FJ(I)t FK(\))725 385 y(p)q(er)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(:=)950 337 y FE(X)951 443
y FG(\033)q FA(2)p FF(\006)1030 337 y FE(Y)1035 443 y
FG(i)p FA(2)p FG(I)1102 385 y FJ(p)1126 392 y FG(i;\033)q
FF(\()p FG(i)p FF(\))1211 385 y FJ(:)-1105 b FK(\(2.63\))120
544 y(p)q(er\()p FJ(P)7 b FK(\))16 b(nenn)o(t)g(man)g(die)f
FB(Permanente)j FK(v)o(on)e FJ(P)7 b FK(.)120 649 y FL(Lemma)18
b(2.5.12.)23 b FK(F\374r)43 b(eine)f(endlic)o(he)f(Menge)h
FJ(I)47 b FK(und)c FJ(P)q(;)8 b(Q)15 b FH(2)f(M)1555
662 y Fm(R)1581 647 y Fz(+)1581 673 y(0)1606 649 y FI(\()p
FJ(I)t(;)8 b(I)t FI(\))42 b FK(gilt)120 714 y(p)q(er)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))k(+)g FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(Q)p
FI(\))j FH(\024)f FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)19 b FI(+)11
b FJ(Q)p FI(\))o FK(.)120 841 y FB(Beweis.)26 b FK(Seien)15
b FJ(P)q(;)8 b(Q)14 b FH(2)g(M)647 854 y Fm(R)674 839
y Fz(+)674 865 y(0)698 841 y FI(\()p FJ(I)t(;)8 b(I)t
FI(\))o FK(,)16 b FI(\006)e(:=)f(\006\()p FJ(I)t FI(\))p
FK(.)j(Dann)h(ist)377 973 y(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)h FI(+)11
b FJ(Q)p FI(\))j(=)687 926 y FE(X)687 1032 y FG(\033)q
FA(2)p FF(\006)767 926 y FE(Y)772 1032 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)831 973 y FI(\()p FJ(p)d FI(+)g FJ(q)r FI(\))977
981 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p FF(\))1075 973 y FI(=)1127
926 y FE(X)1128 1032 y FG(\033)q FA(2)p FF(\006)1207
926 y FE(Y)1212 1032 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1271 973 y
FI(\()p FJ(p)1314 981 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p FF(\))1410
973 y FI(+)g FJ(q)1481 981 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p
FF(\))1565 973 y FI(\))635 1108 y FH(\025)687 1060 y
FE(X)688 1166 y FG(\033)q FA(2)p FF(\006)768 1060 y FE(Y)773
1166 y FG(i)p FA(2)p FG(I)840 1108 y FJ(p)864 1116 y
FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p FF(\))960 1108 y FI(+)1009
1060 y FE(X)1010 1166 y FG(\033)q FA(2)p FF(\006)1089
1060 y FE(Y)1094 1166 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1161 1108
y FJ(q)1183 1116 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p FF(\))1281
1108 y FI(=)j FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))k(+)g
FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p FJ(:)1791 1263 y Fx(\004)120
1368 y FL(Lemma)18 b(2.5.13.)23 b FK(Ist)16 b FJ(I)j
FK(eine)d(endlic)o(he)e(Menge)i(und)g FJ(P)21 b FH(2)14
b(M)1316 1375 y FG(p)1336 1368 y FI(\()p FJ(I)t FI(\))o
FK(,)i(so)h(ist)f(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14
b(=)g(1)p FK(.)120 1494 y FB(Beweis.)26 b FK(Das)i(folgt)g(sofort)g
(aus)g(De\034nition)f(2.5.11,)h(w)o(enn)f(man)g(b)q(eac)o(h)o(tet,)f
(da\377)i(f\374r)120 1554 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)279
1561 y FG(p)299 1554 y FI(\()p FJ(I)t FI(\))g FK(genau)i(ein)e
FJ(\033)i FH(2)e FI(\006\()p FJ(I)t FI(\))g FK(existiert,)f(so)j
(da\377)29 b FH(8)1149 1585 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1216
1554 y FJ(p)1240 1562 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p FF(\))1339
1554 y FH(6)p FI(=)14 b(0)q FK(,)g(und)i(da\377)f(f\374r)h(dieses)120
1631 y FJ(\033)r FK(,)28 b FH(8)179 1662 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)247 1631 y FJ(p)271 1639 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p
FF(\))370 1631 y FI(=)13 b(1)q FK(.)1331 b Fx(\004)120
1755 y FL(Lemma)18 b(2.5.14.)23 b FK(Ist)31 b FJ(I)17
b FI(=)d FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)p FH(g)p
FK(,)30 b FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)1109 1762 y Fm(R)1135
1755 y FI(\()p FJ(I)t(;)8 b(I)t FI(\))30 b FK(und)h FJ(P)21
b FH(2)15 b FK(UT)o FI(\()p FJ(m;)8 b(m)p FI(\))31 b
FK(o)q(der)120 1816 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(L)l(T)q
FI(\()p FJ(m;)8 b(m)p FI(\))o FK(,)16 b(so)h(ist)e(p)q(er)q
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)794 1778 y FE(Q)841 1791
y FG(m)841 1830 y(i)p FF(=1)909 1816 y FJ(p)933 1823
y FG(i;i)969 1816 y FJ(:)120 1942 y FB(Beweis.)26 b FK(Die)44
b(Behauptung)h(folgt)g(sofort)g(aus)h(De\034nition)e(2.5.11,)h(da)g(es)
g(f\374r)120 2002 y FJ(I)t(d)14 b FH(6)p FI(=)f FJ(\033)j
FH(2)e FI(\006\()p FJ(I)t FI(\))45 b FK(imme)o(r)e FJ(i;)8
b(j)16 b FH(2)e FJ(I)49 b FK(gibt,)c(so)h(da\377)g FJ(i)13
b(<)h(\033)r FI(\()p FJ(i)p FI(\))44 b FK(und)i FJ(j)17
b(>)d(\033)r FI(\()p FJ(j)s FI(\))o FK(.)45 b(Ist)120
2062 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(UT)p FI(\()p FJ(m;)8 b(m)p
FI(\))o FK(,)16 b(so)h(ist)f FJ(p)618 2070 y FG(j;\033)q
FF(\()p FG(j)r FF(\))723 2062 y FI(=)e(0)p FK(,)i(ist)g
FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(L)l(T)q FI(\()p FJ(m;)8 b(m)p
FI(\))o FK(,)16 b(so)h(ist)f FJ(p)1385 2070 y FG(i;\033)q
FF(\()p FG(i)p FF(\))1484 2062 y FI(=)d(0)q FK(.)217
b Fx(\004)120 2167 y FL(Satz)19 b(2.5.15.)k FK(Ist)18
b FH(I)k FI(:=)c(\()p FJ(I)661 2174 y FF(1)680 2167 y
FJ(;)8 b(I)724 2174 y FF(2)743 2167 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))18 b FK(ein)g(endlic)o(hes)f(Randsystem)h(und)h
FJ(P)25 b FH(2)19 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)f(so)120
2227 y(sind)d(die)g(folgenden)g(Aussagen)h(\(i\))f(bis)g(\(xii\))f
(\344quiv)m(alen)o(t)g(\(f\374r)i(eine)e(Submatrix)g
FJ(Q)h FK(v)o(on)g FJ(P)120 2287 y FK(sei)195 2275 y
FI(~)191 2287 y FH(I)i FI(:=)d(\()326 2275 y(~)320 2287
y FJ(I)342 2294 y FF(1)361 2287 y FJ(;)389 2275 y FI(~)383
2287 y FJ(I)405 2294 y FF(2)424 2287 y FJ(;)c FI(~)-26
b FJ(r)q(;)10 b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))14 b(:=)f FH(I)t
FI(\()p FJ(Q)p FI(\))o FK(\):)120 2415 y FL(\(i\))25
b FJ(P)c FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))p FK(.)120 2520 y FL(\(ii\))25 b FJ(P)c FH(2)14
b(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)120 2626 y FL(\(iii\))26
b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(ist)f(ein)f(W)l(ald.)120
2731 y FL(\(iv\))24 b FK(F\374r)16 b(jede)g(Submatrix)f
FJ(Q)g FK(v)o(on)i FJ(P)23 b FK(gilt)16 b FJ(Q)d FH(2)h
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()1171 2719 y(~)1166 2731 y
FH(I)5 b FI(\)\))p FK(.)p eop
%%Page: 59 61
59 60 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(59)60 203 y FL(\(v\))24
b FK(Jede)16 b(Submatrix)f FJ(Q)h FK(v)o(on)h FJ(P)24
b FK(hat)17 b(eine)e(Linie)h(mit)f(h\366)q(c)o(hstens)i(einem)d(p)q
(ositiv)o(en)i(Ele-)182 264 y(men)o(t.)60 372 y FL(\(vi\))24
b FK(F\374r)39 b(jede)g(Submatrix)f FJ(Q)h FK(v)o(on)h
FJ(P)46 b FK(mit)h FI(~)-33 b FJ(m)39 b FK(Zeilen)f(und)k
FI(~)-26 b FJ(n)39 b FK(Spalten)h(gilt)182 432 y FI(#)p
FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))14 b FH(\024)22 b FI(~)-33
b FJ(m)11 b FI(+)i(~)-26 b FJ(n)11 b FH(\000)g FI(1)p
FK(.)60 541 y FL(\(vii\))25 b FK(F\374r)11 b(jede)g(Submatrix)f
FJ(Q)h FK(v)o(on)g FJ(P)19 b FK(mit)g FI(~)-34 b FJ(m)12
b FK(Zeilen)d(und)15 b FI(~)-27 b FJ(n)12 b FK(Spalten)f(gibt)g(es)h
(Bijektionen)682 655 y FJ(\033)710 662 y FG(U)739 655
y FJ(;)c(\033)789 662 y FG(L)828 655 y FI(:)870 642 y(~)864
655 y FJ(I)889 662 y FF(1)923 655 y FI(:)p FH(\000)-9
b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)17 b FI(~)-33
b FJ(m)p FH(g)p FJ(;)695 822 y(\034)716 829 y FG(U)746
822 y FJ(;)8 b(\034)789 829 y FG(L)829 822 y FI(:)870
810 y(~)864 822 y FJ(I)890 829 y FF(2)923 822 y FI(:)p
FH(\000)-9 b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)i
FI(~)-26 b FJ(n)p FH(g)p FJ(;)182 936 y FK(so)14 b(da\377)339
924 y FI(~)328 936 y FJ(P)366 918 y FG(U)409 936 y FI(=)g(\()t(~)-28
b FJ(p)504 918 y FG(U)504 949 y(i;j)545 936 y FI(\))564
944 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)m(;)7
b FF(~)-25 b FG(m)p FA(g\002f)p FF(1)p FG(;:::)o(;)r
FF(~)-20 b FG(n)p FA(g)952 936 y FH(2)15 b FK(UT)o FI(\()9
b(~)-33 b FJ(m;)10 b FI(~)-26 b FJ(n)p FI(\))13 b FK(mit)j
FI(~)-29 b FJ(p)1326 918 y FG(U)1326 949 y(i;j)1381 936
y FI(=)14 b FJ(p)1457 950 y FG(\033)1478 935 y Fv(\000)p
Fz(1)1477 962 y Fu(U)1520 950 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p
FG(;\034)1590 935 y Fv(\000)p Fz(1)1586 962 y Fu(U)1630
950 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1689 936 y FK(und)193 999
y FI(~)182 1012 y FJ(P)220 993 y FG(L)260 1012 y FI(=)g(\()t(~)-28
b FJ(p)355 993 y FG(L)355 1024 y(i;j)395 1012 y FI(\))414
1019 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)n(;)6
b FF(~)-24 b FG(m)p FA(g\002f)p FF(1)p FG(;:::)n(;)r
FF(~)k FG(n)q FA(g)803 1012 y FH(2)14 b FK(L)l(T)q FI(\()9
b(~)-33 b FJ(m)o(;)11 b FI(~)-27 b FJ(n)p FI(\))17 b
FK(mit)h FI(~)-28 b FJ(p)1173 993 y FG(L)1173 1024 y(i;j)1227
1012 y FI(=)14 b FJ(p)1303 1025 y FG(\033)1324 1010 y
Fv(\000)p Fz(1)1323 1037 y Fu(L)1366 1025 y FF(\()p FG(i)p
FF(\))p FG(;\034)1436 1010 y Fv(\000)p Fz(1)1432 1037
y Fu(L)1476 1025 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1522 1012 y FK(.)60
1127 y FL(\(viii\))25 b FK(Es)c(gibt)g(k)o(eine)e(quadratisc)o(he)h
(Submatrix)f FJ(Q)h FK(v)o(on)h FJ(P)7 b FK(,)20 b(so)h(da\377)h
FJ(S)s FI(\()p FJ(Q)p FI(\))13 b(=)h FJ(P)1639 1134 y
FF(1)1670 1127 y FI(+)d FJ(P)1750 1134 y FF(2)182 1187
y FK(mit)j FJ(P)302 1194 y FF(1)322 1187 y FJ(;)8 b(P)375
1194 y FF(2)409 1187 y FH(2)14 b(M)516 1194 y FG(p)536
1187 y FI(\()561 1174 y(~)555 1187 y FJ(I)577 1194 y
FF(1)596 1187 y FJ(;)624 1174 y FI(~)618 1187 y FJ(I)640
1194 y FF(2)659 1187 y FI(\))j FK(\(f\374r)f(die)f(De\034nition)h(v)o
(on)g FJ(S)s FI(\()p FJ(Q)p FI(\))g FK(siehe)f(2.1.3)i(\(c\)\).)60
1295 y FL(\(ix\))24 b FK(F\374r)16 b(jede)g(quadratisc)o(he)g
(Submatrix)e FJ(Q)i FK(v)o(on)g FJ(P)24 b FK(ist)16 b(p)q(er)p
FI(\()p FJ(S)s FI(\()p FJ(Q)p FI(\)\))d FH(\024)h FI(1)p
FK(.)60 1404 y FL(\(x\))24 b FI(\()187 1391 y(~)177 1404
y FJ(P)d FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))i FK(und)h
FJ(supp)p FI(\()628 1391 y(~)616 1404 y FJ(P)8 b FI(\))14
b FH(\022)f FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))50 b FH(\))1093
1391 y FI(~)1082 1404 y FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(P)7 b
FK(.)60 1512 y FL(\(xi\))24 b FK(Ist)136 b FJ(Q)g FK(eine)f(Submatrix)g
(v)o(on)h FJ(P)7 b FK(,)136 b(so)h(gilt)198 1572 y FI(\()228
1560 y(~)217 1572 y FJ(Q)14 b FH(2)g(D)q FI(\()380 1560
y(~)375 1572 y FH(I)t FI(\))i FK(und)h FJ(supp)p FI(\()669
1560 y(~)657 1572 y FJ(Q)p FI(\))d FH(\022)g FJ(supp)p
FI(\()p FJ(Q)p FI(\)\))49 b FH(\))1135 1560 y FI(~)1124
1572 y FJ(Q)14 b FI(=)f FJ(Q)p FK(.)60 1681 y FL(\(xii\))25
b FK(Ist)18 b FJ(Q)f FK(eine)h(quadratisc)o(he)f(Submatrix)g(v)o(on)h
FJ(P)7 b FK(,)18 b(so)h(gibt)f(es)g FI(\()p FJ(i)1373
1688 y FF(0)1393 1681 y FJ(;)8 b(j)1435 1688 y FF(0)1454
1681 y FI(\))17 b FH(2)1547 1668 y FI(~)1541 1681 y FJ(I)1566
1688 y FF(1)1598 1681 y FH(\002)1655 1668 y FI(~)1649
1681 y FJ(I)1675 1688 y FF(2)1695 1681 y FK(,)g(so)182
1741 y(da\377)e(die)e FJ(i)365 1748 y FF(0)384 1741 y
FK(-te)g(Zeile)f(und)i(die)f FJ(j)759 1748 y FF(0)779
1741 y FK(-te)h(Spalte)f(v)o(on)h FJ(Q)f FK(jew)o(eils)f(h\366)q(c)o
(hstens)j(ein)e(p)q(ositiv)o(es)182 1801 y(Elemen)o(t)h(en)o(thalten.)
60 1933 y FB(Beweis.)26 b FK(Die)17 b(\304)o(quiv)m(alenz)f(der)i
(Aussagen)g(\(i\))g(bis)g(\(vi\))f(wurde)h(b)q(ereits)f(b)q(ewiesen)h
(\(siehe)60 1993 y(Lemma)d(2.5.5,)i(Lemma)e(2.1.14,)j(Lemma)d(2.5.6,)i
(Korollar)h(2.5.7)f(und)h(Satz)f(2.2.6\).)g(Zum)60 2053
y(Bew)o(eis)e(des)h(Satzes)g(w)o(erden)g(n)o(un)g(folgende)g(Implik)m
(ationen)e(gezeigt:)168 2167 y(\(ii\))o FH(\))p FK(\(vii\))n
FH(\))p FK(\(ix\))o FH(\))p FK(\(viii\))o FH(\))o FK(\(iii\))o
FJ(;)57 b FK(\(vi\))o FH(\))p FK(\(xii\))n FH(\))p FK(\(v\))p
FJ(;)f FK(\(i\))p FH(\))p FK(\(xi\))o FH(\))p FK(\(x\))o
FH(\))p FK(\(i\))p FJ(:)60 2304 y FK(\022)t(\(i\))p FH(\))p
FK(\(vii\)\020)t(:)23 b(W)l(egen)i(\(iv\))f(k)m(ann)i(man)e(ohne)h
(Besc)o(hr\344nkung)g(der)f(Allgemeinhei)o(t)e(an-)60
2365 y(nehmen,)j(da\377)k FJ(P)21 b FI(=)13 b FJ(Q)p
FK(.)27 b(Der)g(Bew)o(eis)f(erfolgt)h(n)o(un)h(durc)o(h)f(Induktion)g
(\374b)q(er)g FJ(m)19 b FI(+)f FJ(n)p FK(.)60 2425 y(F\374r)25
b FJ(m)k FI(=)h(1)c FK(o)q(der)f FJ(n)30 b FI(=)f(1)d
FK(k)m(ann)g(man)f(f\374r)g FJ(\033)1006 2432 y FG(U)1061
2425 y FK(und)g FJ(\033)1195 2432 y FG(L)1247 2425 y
FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)f FJ(\034)1634 2432 y FG(U)1689
2425 y FK(und)60 2485 y FJ(\034)81 2492 y FG(L)133 2485
y FK(jede)h(Bijektion)f FJ(\033)15 b FI(:)22 b FJ(I)565
2492 y FF(1)598 2485 y FH(\000)-8 b(!)13 b(f)p FI(1)p
FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p FH(g)25 b FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)f
FJ(\034)c FI(:)h FJ(I)1408 2492 y FF(2)1441 2485 y FH(\000)-8
b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
FH(g)60 2545 y FK(w)o(\344hlen.)40 b(Sei)g(n)o(un)h FJ(m;)8
b(n)55 b FH(\025)g FI(2)p FK(.)41 b(Zun\344c)o(hst)f(sollen)g
FJ(\033)1230 2552 y FG(U)1260 2545 y FK(,)g FJ(\034)1335
2552 y FG(U)1405 2545 y FK(k)o(onstruiert)g(w)o(er-)60
2605 y(den.)22 b(Angenommen)f FJ(P)g FH(2)14 b(M)645
2612 y FG(i)657 2617 y Fz(0)675 2612 y FG(;j)699 2617
y Fz(0)718 2605 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)22 b FI(\()p
FJ(i)859 2612 y FF(0)879 2605 y FJ(;)8 b(j)921 2612 y
FF(0)941 2605 y FI(\))13 b FH(2)h FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(.)22 b(Sei)g FJ(Q)14 b FI(:=)f FJ(P)7 b Fx(\030)1440
2613 y FF(\()p FG(I)1469 2618 y Fz(1)1486 2613 y FA(nf)p
FG(i)1534 2618 y Fz(0)1551 2613 y FA(g)p FF(\))p FA(\002)p
FF(\()p FG(I)1639 2618 y Fz(2)1656 2613 y FA(nf)p FG(j)1706
2618 y Fz(0)1723 2613 y FA(g)p FF(\))1756 2605 y FK(,)65
2659 y FI(~)60 2671 y FH(I)18 b FI(:=)13 b(\()p FJ(I)211
2678 y FF(1)241 2671 y FH(n)e(f)p FJ(i)319 2678 y FF(0)338
2671 y FH(g)p FJ(;)d(I)407 2678 y FF(2)438 2671 y FH(n)i(f)p
FJ(j)518 2678 y FF(0)538 2671 y FH(g)p FJ(;)g FI(~)-26
b FJ(r)q(;)10 b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))14 b(:=)f FH(I)t
FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p FK(.)i(Dann)i(ist)f FJ(Q)e FH(2)g(E)t
FI(\()1242 2659 y(~)1237 2671 y FH(I)t FI(\))p FK(,)i(da\377)h
(hei\377t,)e(p)q(er)h(Induk-)60 2731 y(tion)22 b(gibt)h(es)i
FI(~)-27 b FJ(\033)364 2738 y FG(U)407 2731 y FI(:)22
b FJ(I)465 2738 y FF(1)495 2731 y FH(n)11 b(f)p FJ(i)573
2738 y FF(0)592 2731 y FH(g)j(\000)-8 b(!)13 b(f)p FI(1)p
FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)i FH(\000)h FI(1)p FH(g)q
FK(,)24 b FI(~)-26 b FJ(\034)1094 2738 y FG(U)1137 2731
y FI(:)22 b FJ(I)1195 2738 y FF(2)1225 2731 y FH(n)11
b(f)p FJ(j)1306 2738 y FF(0)1326 2731 y FH(g)j(\000)-9
b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)j FH(\000)g
FI(1)p FH(g)p FK(,)p eop
%%Page: 60 62
60 61 bop 120 50 a FK(60)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(so)40 b(da\377)h FI(\()p FJ(q)362 217 y FF(~)-20
b FG(\033)381 202 y Fv(\000)p Fz(1)380 229 y Fu(U)422
217 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p FG(;)r FF(~)g FG(\034)492
202 y Fv(\000)p Fz(1)488 229 y Fu(U)532 217 y FF(\()p
FG(j)r FF(\))578 203 y FI(\))597 211 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)m(;m)p FA(\000)p FF(1)p
FA(g\002f)p FF(1)p FG(;:::)o(;n)p FA(\000)p FF(1)p FA(g)1076
203 y FH(2)14 b FK(UT)o FI(\()p FJ(m)d FH(\000)g FI(1)p
FJ(;)d(n)j FH(\000)g FI(1\))40 b FK(ist.)f(De\034niere)120
270 y FJ(\033)148 277 y FG(U)191 270 y FI(:)22 b FJ(I)249
277 y FF(1)282 270 y FH(\000)-9 b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p FH(g)15 b FK(und)i FJ(\034)737
277 y FG(U)780 270 y FI(:)22 b FJ(I)838 277 y FF(2)871
270 y FH(\000)-9 b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p
FH(g)16 b FK(durc)o(h)363 415 y FJ(\033)391 422 y FG(U)420
415 y FI(\()p FJ(i)p FI(\))e(:=)554 330 y FE(\()597 381
y FI(~)-27 b FJ(\033)624 388 y FG(U)653 381 y FI(\()p
FJ(i)p FI(\))65 b FK(f\374r)16 b FJ(i)d FH(6)p FI(=)h
FJ(i)949 388 y FF(0)969 381 y FJ(;)594 453 y(m)136 b
FK(f\374r)16 b FJ(i)d FI(=)h FJ(i)949 460 y FF(0)995
415 y FJ(;)57 b(\034)1087 422 y FG(U)1117 415 y FI(\()p
FJ(j)s FI(\))13 b(:=)1257 330 y FE(\()1299 381 y FI(~)-26
b FJ(\034)1324 388 y FG(U)1353 381 y FI(\()p FJ(j)s FI(\))65
b FK(f\374r)16 b FJ(j)h FH(6)p FI(=)d FJ(j)1665 388 y
FF(0)1685 381 y FJ(;)1297 453 y(n)153 b FK(f\374r)16
b FJ(j)h FI(=)d FJ(j)1665 460 y FF(0)1685 453 y FJ(:)120
415 y FK(\(2.64\))120 557 y(Angenommen,)21 b(es)j(ist)f
FJ(m)k FH(\024)f FJ(n)p FK(.)e(Zu)g(zeigen)f(ist)g(dann)i
FJ(i)14 b(>)f(j)52 b FH(\))d FJ(p)1508 570 y FG(\033)1529
555 y Fv(\000)p Fz(1)1528 582 y Fu(U)1571 570 y FF(\()p
FG(i)p FF(\))p FG(;\034)1641 555 y Fv(\000)p Fz(1)1637
582 y Fu(U)1681 570 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1740 557 y
FI(=)14 b(0)p FK(.)120 617 y(F\374r)35 b FJ(i)14 b(<)g(m)o
FK(,)36 b FJ(j)16 b(<)e(n)36 b FK(gilt)f FJ(p)691 631
y FG(\033)712 616 y Fv(\000)p Fz(1)711 642 y Fu(U)754
631 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p FG(;\034)824 616 y Fv(\000)p
Fz(1)820 642 y Fu(U)864 631 y FF(\()p FG(j)r FF(\))924
617 y FI(=)13 b FJ(p)1001 631 y FF(~)-20 b FG(\033)1020
616 y Fv(\000)p Fz(1)1019 642 y Fu(U)1062 631 y FF(\()p
FG(i)p FF(\))p FG(;)r FF(~)g FG(\034)1132 616 y Fv(\000)p
Fz(1)1128 642 y Fu(U)1172 631 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1232
617 y FI(=)14 b(0)p FK(,)35 b(f\374r)h FJ(j)17 b FI(=)c
FJ(n)36 b FK(ist)g(imm)o(er)120 677 y FJ(i)13 b FH(\024)h
FJ(j)s FK(,)26 b(und)h(f\374r)f FJ(i)14 b FI(=)f FJ(m)p
FK(,)26 b FJ(j)17 b(<)d(n)26 b FK(ist)h(imm)o(er)c FJ(p)1034
691 y FG(\033)1055 676 y Fv(\000)p Fz(1)1054 702 y Fu(U)1098
691 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p FG(;\034)1168 676 y Fv(\000)p
Fz(1)1164 702 y Fu(U)1208 691 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1267
677 y FI(=)14 b(0)p FK(.)26 b(Ist)h(hingegen)f FJ(m)14
b(>)f(n)p FK(,)120 737 y(so)46 b(ist)f(zu)g(zeigen,)f(da\377)i(f\374r)g
FI(1)14 b FH(\024)g FJ(i;)8 b(j)16 b FH(\024)d FJ(n)q
FK(,)45 b FJ(i)13 b(>)h(j)52 b FH(\))c FJ(p)1400 751
y FG(\033)1421 736 y Fv(\000)p Fz(1)1420 762 y Fu(U)1463
751 y FF(\()p FG(i)p FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FG(n)p FF(\))p
FG(;\034)1639 736 y Fv(\000)p Fz(1)1635 762 y Fu(U)1681
751 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1740 737 y FI(=)14 b(0)p FK(.)120
797 y(Ist)53 b FJ(j)17 b FI(=)c FJ(n)p FK(,)53 b(so)h(ist)e(immer)e
FJ(i)13 b FH(\024)h FJ(j)s FK(.)52 b(Sei)h(also)g FJ(j)17
b FH(\024)d FJ(n)d FH(\000)g FI(1)p FK(.)53 b(Dann)g(ist)g(f\374r)120
858 y FJ(i)13 b(<)h(n)90 b(p)345 871 y FG(\033)366 856
y Fv(\000)p Fz(1)365 883 y Fu(U)408 871 y FF(\()p FG(i)p
FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FG(n)p FF(\))p FG(;\034)584 856
y Fv(\000)p Fz(1)580 883 y Fu(U)625 871 y FF(\()p FG(j)r
FF(\))685 858 y FI(=)14 b FJ(p)763 871 y FF(~)-20 b FG(\033)782
856 y Fv(\000)p Fz(1)781 883 y Fu(U)824 871 y FF(\()p
FG(i)p FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FF(1)p FA(\000)p FF(\()p
FG(n)p FA(\000)p FF(1\)\))p FG(;)r FF(~)g FG(\034)1118
856 y Fv(\000)p Fz(1)1114 883 y Fu(U)1159 871 y FF(\()p
FG(j)r FF(\))1219 858 y FI(=)13 b(0)90 b FK(und)g(f\374r)f
FJ(i)14 b FI(=)f FJ(n)p FK(,)120 918 y FJ(p)144 931 y
FG(\033)165 917 y Fv(\000)p Fz(1)164 943 y Fu(U)207 931
y FF(\()p FG(i)p FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FG(n)p FF(\))p
FG(;\034)383 917 y Fv(\000)p Fz(1)379 943 y Fu(U)425
931 y FF(\()p FG(j)r FF(\))484 918 y FI(=)h FJ(p)560
931 y FG(i)572 936 y Fz(0)590 931 y FG(;\034)620 917
y Fv(\000)p Fz(1)616 943 y Fu(U)660 931 y FF(\()p FG(j)r
FF(\))720 918 y FI(=)g(0)p FK(.)120 985 y(Nun)g(nehme)e(man)h(an,)h
(da\377)g FJ(P)22 b FH(2)14 b(N)792 992 y FG(i)804 997
y Fz(0)821 992 y FG(;j)845 997 y Fz(0)864 985 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(,)f FI(\()p FJ(i)996 992 y FF(0)1016
985 y FJ(;)8 b(j)1058 992 y FF(0)1077 985 y FI(\))14
b FH(2)g FJ(N)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)14 b(Es)g(seien)i
FI(~)-27 b FJ(\033)1509 992 y FG(U)1538 985 y FK(,)27
b FI(~)-37 b FJ(\034)1587 992 y FG(U)1631 985 y FK(wie)13
b(ob)q(en.)120 1045 y(De\034niere)i FJ(\033)353 1052
y FG(U)396 1045 y FI(:)22 b FJ(I)454 1052 y FF(1)487
1045 y FH(\000)-9 b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p
FH(g)15 b FK(und)i FJ(\034)942 1052 y FG(U)985 1045 y
FI(:)22 b FJ(I)1043 1052 y FF(2)1076 1045 y FH(\000)-8
b(!)13 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p FH(g)16
b FK(durc)o(h)290 1189 y FJ(\033)318 1196 y FG(U)347
1189 y FI(\()p FJ(i)p FI(\))d(:=)480 1104 y FE(\()523
1155 y FI(~)-26 b FJ(\033)550 1162 y FG(U)580 1155 y
FI(\()p FJ(i)p FI(\))10 b(+)h(1)66 b FK(f\374r)16 b FJ(i)d
FH(6)p FI(=)h FJ(i)960 1162 y FF(0)979 1155 y FJ(;)521
1228 y FI(1)239 b FK(f\374r)16 b FJ(i)d FI(=)h FJ(i)960
1235 y FF(0)979 1228 y FJ(;)1055 1189 y(\034)1076 1196
y FG(U)1106 1189 y FI(\()p FJ(j)s FI(\))f(:=)1246 1104
y FE(\()1288 1155 y FI(~)-26 b FJ(\034)1313 1162 y FG(U)1342
1155 y FI(\()p FJ(j)s FI(\))11 b(+)g(1)66 b FK(f\374r)16
b FJ(j)h FH(6)p FI(=)c FJ(j)1738 1162 y FF(0)1758 1155
y FJ(;)1286 1228 y FI(1)243 b FK(f\374r)16 b FJ(j)h FI(=)c
FJ(j)1738 1235 y FF(0)1758 1228 y FJ(:)120 1189 y FK(\(2.65\))120
1331 y(Angenommen,)66 b(es)i(ist)h FJ(m)103 b FH(\024)g
FJ(n)p FK(.)69 b(Zu)f(zeigen)g(ist)h(dann)g(wie-)120
1391 y(derum)117 b FJ(i)14 b(>)f(j)52 b FH(\))d FJ(p)651
1405 y FG(\033)672 1390 y Fv(\000)p Fz(1)671 1417 y Fu(U)714
1405 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p FG(;\034)784 1390 y Fv(\000)p
Fz(1)780 1417 y Fu(U)824 1405 y FF(\()p FG(j)r FF(\))883
1391 y FI(=)14 b(0)q FK(.)118 b(F\374r)h FJ(i)13 b(>)h
FI(1)q FK(,)118 b FJ(j)17 b(>)c FI(1)120 b FK(gilt)120
1451 y FJ(p)144 1465 y FG(\033)165 1450 y Fv(\000)p Fz(1)164
1477 y Fu(U)207 1465 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p FG(;\034)277
1450 y Fv(\000)p Fz(1)273 1477 y Fu(U)317 1465 y FF(\()p
FG(j)r FF(\))377 1451 y FI(=)13 b FJ(p)454 1465 y FF(~)-20
b FG(\033)473 1450 y Fv(\000)p Fz(1)472 1477 y Fu(U)516
1465 y FF(\()p FG(i)p FA(\000)p FF(1\))p FG(;)r FF(~)g
FG(\034)631 1450 y Fv(\000)p Fz(1)627 1477 y Fu(U)671
1465 y FF(\()p FG(j)r FA(\000)p FF(1\))775 1451 y FI(=)14
b(0)p FK(,)28 b(f\374r)f FJ(i)14 b FI(=)g(1)28 b FK(ist)f(immer)d
FJ(i)14 b FH(\024)g FJ(j)s FK(,)27 b(und)h(f\374r)f FJ(j)17
b FI(=)d(1)p FK(,)120 1512 y FJ(i)f(>)h FI(1)22 b FK(ist)e(immer)e
FJ(p)501 1525 y FG(\033)522 1511 y Fv(\000)p Fz(1)521
1537 y Fu(U)564 1525 y FF(\()p FG(i)p FF(\))p FG(;\034)634
1511 y Fv(\000)p Fz(1)630 1537 y Fu(U)674 1525 y FF(\()p
FG(j)r FF(\))733 1512 y FI(=)c(0)q FK(.)20 b(Ist)h(hingegen)g
FJ(m)13 b(>)h(n)p FK(,)21 b(so)g(ist)g(zu)g(zeigen,)e(da\377)j(f\374r)
120 1572 y FI(1)14 b FH(\024)g FJ(i;)8 b(j)16 b FH(\024)e
FJ(n)p FK(,)19 b FJ(i)13 b(>)h(j)52 b FH(\))c FJ(p)677
1586 y FG(\033)698 1571 y Fv(\000)p Fz(1)697 1597 y Fu(U)740
1586 y FF(\()p FG(i)p FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FG(n)p
FF(\))p FG(;\034)916 1571 y Fv(\000)p Fz(1)912 1597 y
Fu(U)958 1586 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1017 1572 y FI(=)14
b(0)p FK(.)19 b(Ist)g FJ(i)14 b FI(=)f(1)q FK(,)19 b(so)g(ist)g(immer)d
FJ(i)d FH(\024)h FJ(j)s FK(.)19 b(Sei)120 1632 y(also)c
FJ(i)f(>)g FI(1)p FK(.)g(Dann)i(ist)f(f\374r)g FJ(j)h(>)e
FI(1)p FK(,)h FJ(p)790 1646 y FG(\033)811 1631 y Fv(\000)p
Fz(1)810 1657 y Fu(U)853 1646 y FF(\()p FG(i)p FF(+)p
FG(m)p FA(\000)p FG(n)p FF(\))p FG(;\034)1029 1631 y
Fv(\000)p Fz(1)1025 1657 y Fu(U)1071 1646 y FF(\()p FG(j)r
FF(\))1130 1632 y FI(=)f FJ(p)1208 1646 y FF(~)-20 b
FG(\033)1227 1631 y Fv(\000)p Fz(1)1226 1657 y Fu(U)1269
1646 y FF(\()p FG(i)p FA(\000)p FF(1+)p FG(m)p FA(\000)p
FF(1)p FA(\000)p FF(\()p FG(n)p FA(\000)p FF(1\)\))p
FG(;)r FF(~)g FG(\034)1608 1631 y Fv(\000)p Fz(1)1604
1657 y Fu(U)1649 1646 y FF(\()p FG(j)r FA(\000)p FF(1\))1754
1632 y FI(=)14 b(0)120 1692 y FK(und)j(f\374r)f FJ(j)h
FI(=)c(1)q FK(,)j FJ(p)462 1706 y FG(\033)483 1691 y
Fv(\000)p Fz(1)482 1718 y Fu(U)525 1706 y FF(\()p FG(i)p
FF(+)p FG(m)p FA(\000)p FG(n)p FF(\))p FG(;\034)701 1691
y Fv(\000)p Fz(1)697 1718 y Fu(U)742 1706 y FF(\()p FG(j)r
FF(\))802 1692 y FI(=)d FJ(p)879 1706 y FF(~)-20 b FG(\033)898
1691 y Fv(\000)p Fz(1)897 1718 y Fu(U)941 1706 y FF(\()p
FG(i)p FA(\000)p FF(1+)p FG(m)p FA(\000)p FF(1)p FA(\000)p
FF(\()p FG(n)p FA(\000)p FF(1\)\))p FG(;j)1274 1711 y
Fz(0)1308 1692 y FI(=)13 b(0)q FK(.)120 1752 y(Um)24
b FJ(\033)251 1759 y FG(L)303 1752 y FK(und)i FJ(\034)431
1759 y FG(L)483 1752 y FK(zu)f(k)o(onstruieren,)g(k)m(ann)h(man)f(en)o
(t)o(w)o(eder)f(eine)h(analoge)h(Konstruk-)120 1813 y(tion)h(wie)g
(f\374r)h FJ(\033)446 1820 y FG(U)502 1813 y FK(und)g
FJ(\034)632 1820 y FG(U)689 1813 y FK(durc)o(hf\374hren)f(o)q(der,)g
(wie)g(folgt,)g(argumen)o(tieren:)e(W)l(egen)120 1873
y FJ(P)k FH(2)22 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))f FK(ist)g FJ(P)546 1855 y FG(t)582 1873 y FH(2)h
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)778 1855 y FG(t)793
1873 y FI(\)\))f FK(b)q(ez\374glic)o(h)f(des)g(Randsystems)g
FH(I)1490 1855 y FG(t)1519 1873 y FI(:=)13 b(\()p FJ(I)1625
1880 y FF(2)1644 1873 y FJ(;)8 b(I)1688 1880 y FF(1)1707
1873 y FJ(;)g(s;)g(r)q FI(\))p FK(.)120 1933 y(Also)19
b(gibt)h(es)g(Bijektionen)d FJ(\033)688 1940 y FG(L)728
1933 y FI(:)22 b FJ(I)786 1940 y FF(1)819 1933 y FI(:)p
FH(\000)-9 b(!)13 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p
FH(g)o FK(,)20 b FJ(\034)1207 1940 y FG(L)1247 1933 y
FI(:)h FJ(I)1304 1940 y FF(2)1337 1933 y FI(:)p FH(\000)-9
b(!)14 b(f)p FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p FH(g)p
FK(,)19 b(so)h(da\377)131 1981 y FI(~)120 1993 y FJ(P)158
1975 y FG(U)202 1993 y FI(=)13 b(\()t(~)-28 b FJ(p)296
1975 y FG(U)296 2005 y(j;i)335 1993 y FI(\))354 2001
y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)m(;m)p
FA(g\002f)p FF(1)p FG(;:::)o(;n)p FA(g)743 1993 y FH(2)14
b FK(UT)o FI(\()p FJ(n;)8 b(m)p FI(\))28 b FK(mit)j FI(~)-28
b FJ(p)1147 1975 y FG(U)1147 2005 y(j;i)1199 1993 y FI(=)14
b FJ(p)1275 2007 y FG(\034)1295 1992 y Fv(\000)p Fz(1)1291
2018 y Fu(L)1336 2007 y FF(\()p FG(j)r FF(\))p FG(;\033)1411
1992 y Fv(\000)p Fz(1)1410 2018 y Fu(L)1452 2007 y FF(\()p
FG(i)p FF(\))1494 1993 y FK(.)28 b(Nac)o(h)f(Lemma)120
2068 y(2.5.10)17 b(ist)f(dann)h FI(\()481 2056 y(~)470
2068 y FJ(P)508 2050 y FG(U)537 2068 y FI(\))556 2050
y FG(t)585 2068 y FI(=)d(\()p FJ(p)680 2082 y FG(\033)701
2067 y Fv(\000)p Fz(1)700 2094 y Fu(L)743 2082 y FF(\()p
FG(i)p FF(\))p FG(;\034)813 2067 y Fv(\000)p Fz(1)809
2094 y Fu(L)853 2082 y FF(\()p FG(j)r FF(\))899 2068
y FI(\))918 2076 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2f)p FF(1)p
FG(;:::)m(;m)p FA(g\002f)p FF(1)p FG(;:::)o(;n)p FA(g)1306
2068 y FH(2)g FK(L)l(T)q FI(\()p FJ(m;)8 b(n)p FI(\))p
FK(.)120 2163 y(\022)t(\(vii\))p FH(\))o FK(\(ix\)\020)t(:)15
b(Sei)h(also)h FJ(Q)e FK(eine)h(quadratisc)o(he)f(Submatrix)g(v)o(on)h
FJ(P)24 b FK(und)16 b FJ(\033)1536 2170 y FG(U)1565 2163
y FK(,)g FJ(\034)1616 2170 y FG(U)1646 2163 y FK(,)1687
2150 y FI(~)1676 2163 y FJ(P)1714 2145 y FG(U)1760 2163
y FK(wie)120 2223 y(in)g(\(vii\).)e(Dann)k(ist)d(\(setze)647
2211 y FI(~)636 2223 y FJ(Q)e FI(:=)h FJ(S)s FI(\()p
FJ(Q)p FI(\))o FK(,)904 2211 y FI(~)893 2223 y FJ(P)21
b FI(:=)13 b FJ(S)s FI(\()1073 2211 y(~)1062 2223 y FJ(P)1100
2205 y FG(U)1130 2223 y FI(\))j FK(und)h FI(\006)d(:=)f(\006\()1437
2211 y(~)1431 2223 y FJ(I)1453 2230 y FF(1)1472 2223
y FI(\))p FK(\))404 2342 y(p)q(er)p FI(\()504 2330 y(~)492
2342 y FJ(Q)p FI(\))h(=)616 2295 y FE(X)616 2401 y FG(\033)q
FA(2)p FF(\006)698 2295 y FE(Y)696 2409 y FG(i)p FA(2)736
2400 y FF(~)732 2409 y FG(I)747 2414 y Fz(1)776 2342
y FI(~)-28 b FJ(q)794 2350 y FG(i;\033)q FF(\()p FG(i)p
FF(\))879 2310 y(\()p FA(\003)p FF(\))882 2342 y FI(=)945
2295 y FE(X)932 2401 y FG(\034)t FA(2)p FF(\006)1007
2406 y Fz(~)-21 b Fu(m)1095 2295 y FE(Y)1038 2403 y FG(\026)p
FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)n(;)7 b FF(~)-25 b FG(m)p FA(g)1228
2342 y FI(~)d FJ(q)1246 2356 y FG(\033)1267 2341 y Fv(\000)p
Fz(1)1266 2368 y Fu(U)1309 2356 y FF(\()p FG(\026)p FF(\))p
FG(;\034)1388 2341 y Fv(\000)p Fz(1)1384 2368 y Fu(U)1428
2356 y FG(\034)t FF(\()p FG(\026)p FF(\))893 2510 y FI(=)957
2463 y FE(X)944 2569 y FG(\034)t FA(2)p FF(\006)1019
2574 y Fz(~)-21 b Fu(m)1108 2463 y FE(Y)1050 2571 y FG(\026)p
FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)o(;)6 b FF(~)-24 b FG(m)p FA(g)1241
2510 y FI(~)c FJ(p)1261 2518 y FG(\026;\034)t FF(\()p
FG(\026)p FF(\))1376 2465 y(\(2)p FG(:)p FF(5)p FG(:)p
FF(14\))1416 2510 y FH(\024)53 b FI(1)p FJ(:)120 2445
y FK(\(2.66\))120 2671 y(Zum)14 b(Bew)o(eis)f(der)i(Gleic)o(hheit)e(b)q
(ei)i(\022)t FI(\()p FH(\003)p FI(\))p FK(\020)t(,)g(setze)g(man)f
FJ(i)f FI(=)h FJ(\033)1255 2651 y FA(\000)p FF(1)1253
2685 y FG(U)1302 2671 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))h FK(und)h
FJ(\033)f FI(=)f FJ(\034)1603 2651 y FA(\000)p FF(1)1597
2685 y FG(U)1650 2671 y FJ(\034)6 b(\033)1705 2678 y
FG(U)1749 2671 y FK(und)120 2731 y(b)q(eac)o(h)o(te,)19
b(da\377)i FJ(\026)g FK(die)e(Menge)h FH(f)p FI(1)p FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)17 b FI(~)-33 b FJ(m)o FH(g)20 b FK(genau)h(dann)g
(durc)o(hl\344uft,)e(w)o(enn)h FJ(\033)1633 2711 y FA(\000)p
FF(1)1631 2745 y FG(U)1680 2731 y FI(\()p FJ(\026)p FI(\))h
FK(die)p eop
%%Page: 61 63
61 62 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(61)60 203 y(Menge)221
191 y FI(~)215 203 y FJ(I)237 210 y FF(1)272 203 y FK(durc)o
(hl\344uft,)14 b(und)i FJ(\034)22 b FK(die)15 b(Menge)g
FI(\006)935 210 y FF(~)-25 b FG(m)977 203 y FK(genau)16
b(dann)g(durc)o(hl\344uft,)f(w)o(enn)g FJ(\034)1639 183
y FA(\000)p FF(1)1633 217 y FG(U)1686 203 y FJ(\034)6
b(\033)1741 210 y FG(U)60 264 y FK(die)16 b(Menge)f FI(\006)i
FK(durc)o(hl\344uft.)60 342 y(\022)t(\(ix\))p FH(\))o
FK(\(viii\)\020)t(:)h(Angenommen,)e(es)j(gibt)g(eine)g(quadratisc)o(he)
f(Submatrix)g FJ(Q)h FK(v)o(on)g FJ(P)27 b FK(mit)60
402 y FJ(S)s FI(\()p FJ(Q)p FI(\))13 b(=)h FJ(P)266 409
y FF(1)297 402 y FI(+)d FJ(P)377 409 y FF(2)411 402 y
FK(und)j FJ(P)537 409 y FF(1)557 402 y FJ(;)8 b(P)610
409 y FF(2)644 402 y FH(2)14 b(M)751 409 y FG(p)770 402
y FI(\()795 390 y(~)789 402 y FJ(I)811 409 y FF(1)831
402 y FJ(;)858 390 y FI(~)853 402 y FJ(I)875 409 y FF(2)894
402 y FI(\))p FK(.)f(Dann)h(ist)f(nac)o(h)h(den)f(Lemmata)f(2.5.12)i
(und)60 462 y(2.5.13)j(p)q(er)p FI(\()p FJ(S)s FI(\()p
FJ(Q)p FI(\)\))c(=)h FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)602 469
y FF(1)633 462 y FI(+)d FJ(P)713 469 y FF(2)733 462 y
FI(\))j FH(\025)g FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)938 469 y
FF(1)958 462 y FI(\))d(+)g FK(p)q(er)p FI(\()p FJ(P)1156
469 y FF(2)1176 462 y FI(\))j(=)g(2)p FK(.)60 541 y(\022)t(\(viii\))p
FH(\))n FK(\(iii\)\020)t(:)80 b(Angenommen,)f FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))82 b FK(ist)f(k)o(ein)f(W)l(ald.)h(Dann)i(sei)60
601 y FJ(K)18 b FI(:=)13 b(\()p FJ(x)231 608 y FG(i)243
613 y Fz(1)262 601 y FJ(;)8 b(y)308 608 y FG(j)322 613
y Fz(1)342 601 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)479 608 y FG(i)491
614 y Fu(k)512 601 y FJ(;)g(y)558 608 y FG(j)572 614
y Fu(k)593 601 y FI(\))93 b FK(ein)g(k\374rzester)f(Kreis)h(in)f
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)94 b(Da)60 661 y
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))75 b FK(bipartit)f(ist,)g(ist)h
FI(#)p FJ(V)11 b FI(\()p FJ(K)t FI(\))74 b FK(gerade.)h(Setze)1409
649 y FI(~)1403 661 y FJ(I)1425 668 y FF(1)1458 661 y
FI(:=)13 b FH(f)p FJ(i)1565 668 y FF(1)1584 661 y FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)g(i)1711 668 y FG(k)1732 661 y FH(g)o
FK(,)66 709 y FI(~)60 721 y FJ(I)82 728 y FF(2)115 721
y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)225 728 y FF(1)245 721 y FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)g(j)375 728 y FG(k)396 721 y FH(g)p FK(,)52
b FJ(Q)13 b FI(:=)h FJ(P)7 b Fx(\030)668 726 y FF(~)664
735 y FG(I)679 740 y Fz(1)696 735 y FA(\002)727 727 y
FF(~)723 735 y FG(I)738 740 y Fz(2)758 721 y FK(.)52
b(Dann)i(ist)e FJ(K)18 b FI(=)13 b FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p
FI(\))p FK(,)52 b(denn)h(sonst)g(g\344-)60 782 y(b)q(e)48
b(es)g FJ(\026;)8 b(\027)17 b FH(2)d(f)p FI(1)p FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)g(k)r FH(g)48 b FK(mit)e FH(f)p FJ(x)819
789 y FG(i)831 793 y Fu(\026)854 782 y FJ(;)8 b(y)900
789 y FG(j)914 793 y Fu(\027)935 782 y FH(g)14 b(2)g
FJ(E)s FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))k FH(n)g
FJ(E)s FI(\()p FJ(K)t FI(\))p FK(,)48 b(das)h(hei\377t,)e(es)60
842 y(w)o(\344re)d FJ(\027)17 b(>)c(\026)44 b FK(mit)e
FI(\()p FJ(i)521 849 y FG(\026)544 842 y FJ(;)8 b(j)586
849 y FG(\027)608 842 y FI(\))14 b FH(6)p FI(=)f(\()p
FJ(i)728 849 y FF(1)748 842 y FJ(;)8 b(j)790 849 y FG(k)811
842 y FI(\))44 b FK(o)q(der)g FJ(\027)14 b FI(+)d(1)j
FJ(<)g(\026)q FK(.)43 b(Im)f(ersten)h(F)l(all)g(w)o(\344re)60
902 y FI(\()p FJ(x)107 909 y FG(i)119 914 y Fz(1)138
902 y FJ(;)8 b(y)184 909 y FG(j)198 914 y Fz(1)217 902
y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(x)355 909 y FG(i)367 914 y Fu(\026)p
Fv(\000)p Fz(1)428 902 y FJ(;)g(y)474 909 y FG(j)488
914 y Fu(\026)p Fv(\000)p Fz(1)550 902 y FJ(;)g(x)600
909 y FG(i)612 913 y Fu(\026)635 902 y FJ(;)g(y)681 909
y FG(j)695 913 y Fu(\027)716 902 y FJ(;)g(x)766 909 y
FG(i)778 914 y Fu(\027)r Fz(+1)837 902 y FJ(;)g(y)883
909 y FG(j)897 914 y Fu(\027)r Fz(+1)957 902 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g
(x)1095 909 y FG(i)1107 915 y Fu(k)1127 902 y FJ(;)g(y)1173
909 y FG(j)1187 915 y Fu(k)1208 902 y FI(\))13 b FK(ein)g(Kreis)g(in)f
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)14 b(k\374rzer)60
962 y(als)19 b FJ(K)t FK(,)g(im)e(zw)o(eiten)g(F)l(all)i(w)o(\344re)f
FI(\()p FJ(x)727 969 y FG(i)739 974 y Fz(1)759 962 y
FJ(;)8 b(y)805 969 y FG(j)819 974 y Fz(1)838 962 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f
(;)h(y)971 969 y FG(j)985 974 y Fu(\027)r Fv(\000)p Fz(1)1046
962 y FJ(;)g(x)1096 969 y FG(i)1108 973 y Fu(\027)1129
962 y FJ(;)g(y)1175 969 y FG(j)1189 973 y Fu(\027)1210
962 y FJ(;)g(x)1260 969 y FG(i)1272 973 y Fu(\026)1294
962 y FJ(;)g(y)1340 969 y FG(j)1354 973 y Fu(\026)1377
962 y FJ(;)g(x)1427 969 y FG(i)1439 974 y Fu(\026)p Fz(+1)1500
962 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1637 969 y FG(i)1649 975
y Fu(k)1670 962 y FJ(;)g(y)1716 969 y FG(j)1730 975 y
Fu(k)1751 962 y FI(\))60 1022 y FK(ein)31 b(Kreis)h(in)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)32 b(k\374rzer)f(als)h
FJ(K)t FK(,)g(im)f(Widerspruc)o(h)g(zur)h(Annahme,)e(da\377)j
FJ(K)60 1089 y FK(ein)j(k\374rzester)f(Kreis)g(in)h FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))37 b FK(ist.)f(Nun)g(de\034niere)f
FJ(P)1246 1071 y FF(\(1\))1307 1089 y FI(=)14 b(\()p
FJ(p)1402 1064 y FF(\(1\))1402 1102 y FG(i;j)1450 1089
y FI(\))1469 1103 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)1563
1095 y FF(~)1559 1103 y FG(I)1574 1108 y Fz(1)1590 1103
y FA(\002)1621 1095 y FF(~)1617 1103 y FG(I)1632 1108
y Fz(2)1689 1089 y FK(und)60 1166 y FJ(P)98 1148 y FF(\(2\))159
1166 y FI(=)g(\()p FJ(p)254 1140 y FF(\(2\))254 1179
y FG(i;j)302 1166 y FI(\))321 1179 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)415 1171 y FF(~)411 1179 y FG(I)426 1184
y Fz(1)442 1179 y FA(\002)473 1171 y FF(~)469 1179 y
FG(I)484 1184 y Fz(2)520 1166 y FK(durc)o(h)340 1311
y FJ(p)364 1286 y FF(\(1\))364 1324 y FG(i;j)426 1311
y FI(:=)491 1226 y FE(\()531 1277 y FI(1)65 b FK(f\374r)17
b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p FJ(i)899
1284 y FG(\026)922 1277 y FJ(;)8 b(j)964 1284 y FG(\026)987
1277 y FI(\))p FJ(;)16 b(\026)e FH(2)g(f)p FI(1)p FJ(;)8
b(:)g(:)g(:)g(;)g(k)r FH(g)p FJ(;)531 1349 y FI(0)65
b FK(sonst)q FJ(;)340 1511 y(p)364 1486 y FF(\(2\))364
1524 y FG(i;j)426 1511 y FI(:=)491 1394 y FE(8)491 1439
y(>)491 1454 y(<)491 1543 y(>)491 1558 y(:)535 1441 y
FI(1)h FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13
b(=)h(\()p FJ(i)903 1448 y FF(1)922 1441 y FJ(;)8 b(j)964
1448 y FG(k)986 1441 y FI(\))p FJ(;)535 1513 y FI(1)66
b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p
FJ(i)903 1520 y FG(\026)p FF(+1)971 1513 y FJ(;)8 b(j)1013
1520 y FG(\026)1036 1513 y FI(\))p FJ(;)16 b(\026)e FH(2)h(f)p
FI(1)p FJ(;)8 b(:)g(:)g(:)f(;)h(k)13 b FH(\000)e FI(1)p
FH(g)p FJ(;)535 1585 y FI(0)66 b FK(sonst)q FJ(:)60 1428
y FK(\(2.67\))60 1686 y FJ(P)98 1668 y FF(\(1\))185 1686
y FK(und)41 b FJ(P)345 1668 y FF(\(2\))432 1686 y FK(hab)q(en)g(dann)g
(in)e(jeder)h(Linie)f(genau)i(eine)e(Eins,)h(das)g(hei\377t)60
1747 y FJ(P)98 1729 y FF(\(1\))145 1747 y FJ(;)8 b(P)205
1729 y FF(\(2\))266 1747 y FH(2)14 b(M)373 1754 y FG(p)393
1747 y FI(\()418 1734 y(~)412 1747 y FJ(I)434 1754 y
FF(1)453 1747 y FJ(;)481 1734 y FI(~)475 1747 y FJ(I)497
1754 y FF(2)516 1747 y FI(\))p FK(.)67 b(W)l(egen)h FJ(E)s
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(K)t FI(\)\))14 b(=)g FJ(E)s
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)1242 1729 y FF(\(1\))1289
1747 y FI(\)\))d FH([)h FJ(E)s FI(\()p FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)1536 1729 y FF(\(2\))1584 1747 y FI(\)\))67 b FK(und)60
1807 y FJ(K)18 b FI(=)c FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))i
FK(gilt)g(n)o(un)g FJ(S)s FI(\()p FJ(Q)p FI(\))d(=)h
FJ(P)698 1789 y FF(\(1\))756 1807 y FI(+)d FJ(P)843 1789
y FF(\(2\))891 1807 y FK(.)60 1885 y(\022)t(\(vi\))p
FH(\))o FK(\(xii\)\020)t(:)24 b(Es)h(ist)g(zu)g(zeigen,)e(da\377)j
(jede)e(quadratisc)o(he)h(Submatrix)e FJ(Q)i FK(v)o(on)f
FJ(P)32 b FK(je)60 1946 y(eine)d(Zeile)f(und)j(eine)e(Spalte)h(mit)e
(h\366)q(c)o(hstens)i(einem)e(p)q(ositiv)o(en)h(Elemen)o(t)f(b)q
(esitzt.)60 2006 y(H\344tte)c(jede)h(Zeile)e(\(Spalte\))i(v)o(on)f
FJ(Q)h FK(mindestens)e(zw)o(ei)h(p)q(ositiv)o(e)g(Elemen)o(te,)e(so)j
(w)o(\344re)60 2066 y FI(#)p FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p
FI(\))14 b FH(\025)f FI(2)8 b(#)422 2053 y(~)416 2066
y FJ(I)438 2073 y FF(1)472 2066 y FJ(>)13 b FI(2)8 b(#)602
2053 y(~)596 2066 y FJ(I)618 2073 y FF(1)649 2066 y FH(\000)j
FI(1)p FK(.)60 2144 y(\022)t(\(xii\))p FH(\))o FK(\(v\)\020)t(:)20
b(Es)h(ist)g(n)o(ur)g(zu)f(b)q(emerk)o(en,)e(da\377)k(jede)e(Submatrix)
f(mit)28 b FI(~)-33 b FJ(m)21 b FK(Zeilen)e(und)k FI(~)-26
b FJ(n)60 2205 y FK(Spalten)16 b(eine)f(quadratisc)o(he)h(Submatrix)f
(mit)f FI(min)n(\()c(~)-34 b FJ(m;)10 b FI(~)-26 b FJ(n)p
FI(\))16 b FK(Zeilen)f(und)h(Spalten)h(hat.)60 2283 y(\022)t(\(i\))p
FH(\))p FK(\(xi\)\020)t(:)g(W)l(egen)h(\(iv\))f(k)m(ann)i(man)e(ohne)h
(Besc)o(hr\344nkung)g(der)f(Allgemeinhei)o(t)e(anneh-)60
2343 y(men,)k(da\377)j FJ(P)f FI(=)14 b FJ(Q)o FK(,)21
b(das)h(hei\377t)e(es)h(gen)o(\374gt)g(\(x\))g(zu)g(zeigen.)e(Das)j
(gilt)f(ab)q(er)g(w)o(egen)g(Satz)60 2403 y(2.4.16.)60
2482 y(\022)t(\(xi\))p FH(\))o FK(\(x\)\020)t(:)16 b(\(x\))g(ist)g(ein)
g(Sp)q(ezialfall)f(v)o(on)h(\(xi\).)60 2560 y(\022)t(\(x\))p
FH(\))p FK(\(i\)\020)t(:)f(Das)i(wurde)g(in)f(Lemma)e(2.4.15)j
(allgemein)c(b)q(ewiesen.)401 b Fx(\004)60 2671 y FK(In)13
b(Analogie)h(zu)f(Satz)h(2.4.11)g(wird)g(im)e(folgenden)h(Satz)h
(2.5.17)g(gezeigt,)f(da\377)h(f\374r)g(endlic)o(he)60
2731 y(Randsysteme)20 b FH(I)25 b FK(die)c(Ein)o(tr\344ge)g(einer)g
(extremalen)d(Matrix)j FJ(P)29 b FK(in)21 b FH(G)s FI(\()p
FH(I)t FI(\))f FK(liegen,)g(selbst)p eop
%%Page: 62 64
62 63 bop 120 50 a FK(62)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(w)o(enn)g FH(G)s FI(\()p FH(I)t FI(\))f FK(nic)o(h)o(t)f(abgesc)o
(hlossen)i(ist.)f(Mit)g(Hilfe)f(v)o(on)i(Lemma)e(2.5.16)i(k)m(ann)h
(sogar)g(no)q(c)o(h)120 264 y(eine)10 b(et)o(w)o(as)h(sc)o(h\344rfere)g
(Aussage)g(gew)o(onnen)h(w)o(erden.)e(Beispiel)f(2.5.18)j(liefert)d
(ein)i(endlic)o(hes)120 324 y(Randsystem)k FH(I)t FK(,)h(so)h(da\377)g
FH(G)s FI(\()p FH(I)t FI(\))e FK(nic)o(h)o(t)g(abgesc)o(hlossen)i(ist.)
120 412 y FL(Lemma)h(2.5.16.)23 b FK(Ist)16 b FI(\()p
FH(G)s FJ(;)8 b FH(\001)p FI(\))15 b FK(eine)g(Grupp)q(e)i(und)g
FJ(M)i FH(\022)13 b(G)s FK(.)j(Dann)h(ist)816 545 y FH(h)p
FJ(M)5 b FH(i)15 b FI(=)989 483 y FA(1)979 498 y FE([)973
603 y FG(n)p FF(=0)1048 545 y FJ(D)1088 552 y FG(n)1112
545 y FJ(;)-1006 b FK(\(2.68\))120 684 y(w)o(ob)q(ei)16
b(die)g FJ(D)377 691 y FG(n)415 684 y FI(=)d FJ(D)506
691 y FG(n)530 684 y FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))17 b FK(rekursiv)e
(de\034niert)g(sind)i(durc)o(h)387 778 y FJ(D)427 785
y FF(0)461 778 y FI(:=)c FJ(M)j FH([)c(f)p FJ(g)684 758
y FA(\000)p FF(1)745 778 y FI(:)21 b FJ(g)16 b FH(2)e
FJ(M)5 b FH(g)p FJ(;)57 b(D)1054 785 y FG(n)p FF(+1)1137
778 y FI(:=)14 b FJ(D)1243 785 y FG(n)1278 778 y FH([)d(f)p
FJ(g)r(h)j FI(:)22 b FJ(g)r(;)8 b(h)14 b FH(2)g FJ(D)1626
785 y FG(n)1650 778 y FH(g)p FJ(:)-1569 b FK(\(2.69\))120
873 y(Insb)q(esondere)16 b(gilt)g(dann)790 968 y FI(#)p
FH(h)p FJ(M)5 b FH(i)15 b(\024)e FJ(!)g FH(\001)e FI(#)p
FJ(M)r(:)-1040 b FK(\(2.70\))120 1080 y FB(Beweis.)26
b FK(Es)21 b(ist)g(n)o(ur)f(\(2.68\))i(zu)f(b)q(ew)o(eisen.)e(\022)t
FH(\023)p FK(\020)26 b(folgt,)21 b(da)g(eine)f(Induktion)g(zeigt,)g
(da\377)120 1140 y FJ(D)160 1147 y FG(n)198 1140 y FH(\022)13
b(h)p FJ(M)5 b FH(i)19 b FK(f\374r)f(alle)f FJ(n)d FH(2)g
Fw(N)q FK(.)k(Um)e(\022)t FH(\022)p FK(\020)22 b(zu)17
b(zeigen,)g(gen)o(\374gt)h(es,)f(zu)h(sehen,)f(da\377)1648
1103 y FE(S)1689 1116 y FA(1)1689 1155 y FG(n)p FF(=0)1766
1140 y FJ(D)1806 1147 y FG(n)120 1200 y FK(eine)22 b(Un)o(tergrupp)q(e)
g(v)o(on)h FH(G)i FK(ist.)d(Dazu)h(b)q(emerk)o(e,)d(da\377,)j(da)h(die)
e FJ(D)1420 1207 y FG(n)1467 1200 y FK(aufsteigend)g(sind,)120
1260 y(f\374r)f FJ(g)r(;)8 b(h)14 b FH(2)338 1223 y FE(S)380
1236 y FA(1)380 1275 y FG(n)p FF(=0)456 1260 y FJ(D)496
1267 y FG(n)542 1260 y FK(ein)20 b FJ(n)14 b FH(2)g Fw(N)22
b FK(existiert,)d(so)j(da\377)g FJ(g)r(;)8 b(h)14 b FH(2)g
FJ(D)1317 1267 y FG(n)1341 1260 y FK(.)21 b(Nac)o(h)g(\(2.69\))g(ist)g
(dann)120 1321 y FJ(g)r(h)14 b FH(2)g FJ(D)274 1328 y
FG(n)p FF(+1)357 1321 y FH(\022)410 1283 y FE(S)451 1296
y FA(1)451 1335 y FG(n)p FF(=0)528 1321 y FJ(D)568 1328
y FG(n)592 1321 y FK(.)i(Sc)o(hlie\377lic)o(h)d(folgt)k(durc)o(h)e
(eine)h(Induktion,)f(da\377)700 1415 y FH(8)680 1447
y FG(n)p FA(2)p Fm(N)762 1415 y FJ(g)h FH(2)e FJ(D)888
1422 y FG(n)961 1415 y FH(\))49 b FJ(g)1085 1395 y FA(\000)p
FF(1)1146 1415 y FH(2)14 b FJ(D)1233 1422 y FG(n)1257
1415 y FJ(:)-1151 b FK(\(2.71\))120 1527 y(Damit)15 b(ist)h(alles)g
(gezeigt.)1182 b Fx(\004)120 1615 y FL(Satz)19 b(2.5.17.)k
FK(Ist)85 b FH(I)136 b FI(:=)131 b(\()p FJ(I)955 1622
y FF(1)975 1615 y FJ(;)8 b(I)1019 1622 y FF(2)1038 1615
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))85 b FK(ein)f(endlic)o(hes)g(Randsy-)120
1676 y(stem,)d FJ(k)16 b FI(:=)e(max)n FH(f)p FI(0)p
FJ(;)8 b(m)j FI(+)g FJ(n)g FH(\000)g FI(3)p FH(g)84 b
FK(und)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))p FK(,)83 b(so)g(folgt)h(mit)120 1736
y FJ(M)19 b FI(:=)14 b FH(f)p FJ(r)299 1743 y FG(i)326
1736 y FI(:)22 b FJ(i)14 b FH(2)g FJ(I)462 1743 y FF(1)481
1736 y FH(g)d([)g(f)p FJ(s)609 1743 y FG(j)641 1736 y
FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)783 1743 y FF(2)802 1736
y FH(g)p FK(,)42 b(da\377)h FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)1160
1743 y FG(D)1189 1749 y Fu(k)1210 1736 y FI(\()p FJ(I)1251
1743 y FF(1)1270 1736 y FJ(;)8 b(I)1314 1743 y FF(2)1333
1736 y FI(\))p FK(,)42 b(w)o(ob)q(ei)g FJ(D)1612 1743
y FG(k)1677 1736 y FK(wie)f(in)120 1796 y(\(2.69\))22
b(de\034niert)f(ist)g(\()p FJ(M)27 b FK(ist)21 b(hier)g(allerdings,)f
(als)i(T)l(eilmenge)d(der)i(additiv)o(en)f(Grupp)q(e)120
1856 y(auf)d Fw(R)c FK(aufzufassen\).)j(Insb)q(esondere)h(sind)f(also)h
(alle)e(Ein)o(tr\344ge)h(v)o(on)g FJ(P)24 b FK(in)16
b FH(G)s FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)120 1968 y FB(Beweis.)26
b FK(Induktion)c(\374b)q(er)g FJ(m)11 b FI(+)g FJ(n)p
FK(:)22 b(Ist)g FJ(m)14 b FI(=)g(1)23 b FK(o)q(der)f
FJ(n)14 b FI(=)g(1)q FK(,)22 b(so)h(ist)f(nic)o(h)o(ts)f(zu)h(zeigen.)
120 2028 y(Sei)f(also)h FJ(m;)8 b(n)14 b FH(\025)g FI(2)p
FK(.)21 b(F\374r)h(den)g(Induktionssc)o(hritt)e(b)q(en)o(utze)h(man,)g
(da\377)i FJ(P)e FH(2)14 b(E)t FI(\()p FH(I)t FI(\))p
FK(.)22 b(P)o(er)120 2088 y(Induktion)16 b(gilt)g(mit)431
2182 y FJ(M)483 2159 y FG(i)495 2164 y Fz(0)513 2159
y FG(;j)537 2164 y Fz(0)478 2196 y FG(M)570 2182 y FI(:=)d
FH(f)p FJ(r)682 2189 y FG(i)710 2182 y FI(:)22 b FJ(i)13
b FH(2)h FJ(I)845 2189 y FF(1)876 2182 y FH(n)d(f)p FJ(i)954
2189 y FF(0)973 2182 y FH(gg)g([)g(f)p FI(\()p FJ(s)1145
2159 y FG(j)1159 2164 y Fz(0)1145 2196 y FG(M)1185 2182
y FI(\))1204 2189 y FG(j)1236 2182 y FI(:)21 b FJ(j)c
FH(2)d FJ(I)1377 2189 y FF(2)1396 2182 y FH(g)j FK(und)431
2255 y FJ(M)483 2231 y FG(i)495 2236 y Fz(0)513 2231
y FG(;j)537 2236 y Fz(0)478 2269 y FG(N)570 2255 y FI(:=)c
FH(f)p FI(\()p FJ(r)702 2233 y FG(i)714 2238 y Fz(0)701
2269 y FG(N)735 2255 y FI(\))754 2262 y FG(i)782 2255
y FI(:)22 b FJ(i)13 b FH(2)h FJ(I)917 2262 y FF(1)936
2255 y FH(g)d([)h(f)p FJ(s)1065 2262 y FG(j)1097 2255
y FI(:)21 b FJ(j)c FH(2)d FJ(I)1238 2262 y FF(2)1268
2255 y FH(n)d(f)p FJ(j)1349 2262 y FF(0)1369 2255 y FH(gg)j
FI(:)120 2215 y FK(\(2.72\))519 2380 y FH(8)429 2413
y FF(\()p FG(i)455 2418 y Fz(0)472 2413 y FG(;j)496 2418
y Fz(0)513 2413 y FF(\))p FA(2)p FG(M)t FF(\()p FA(I)r
FF(\))651 2380 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)810 2387 y FG(i)822
2392 y Fz(0)839 2387 y FG(;j)863 2392 y Fz(0)883 2380
y FI(\()p FH(I)s FI(\))49 b FH(\))g FJ(P)21 b FH(2)14
b(M)1258 2398 y FG(D)1287 2404 y Fu(k)q Fv(\000)p Fz(1)1345
2398 y FF(\()p FG(M)1397 2379 y Fu(i)1408 2386 y Fz(0)1424
2379 y Fu(;j)1446 2386 y Fz(0)1393 2410 y Fu(M)1466 2398
y FF(\))1482 2380 y FI(\()p FJ(I)1523 2387 y FF(1)1542
2380 y FJ(;)8 b(I)1586 2387 y FF(2)1605 2380 y FI(\))p
FJ(;)516 2480 y FH(8)429 2513 y FF(\()p FG(i)455 2518
y Fz(0)472 2513 y FG(;j)496 2518 y Fz(0)513 2513 y FF(\))p
FA(2)p FG(N)t FF(\()p FA(I)r FF(\))645 2480 y FJ(P)21
b FH(2)14 b(N)785 2487 y FG(i)797 2492 y Fz(0)814 2487
y FG(;j)838 2492 y Fz(0)858 2480 y FI(\()p FH(I)t FI(\))48
b FH(\))h FJ(P)21 b FH(2)14 b(N)1214 2498 y FG(D)1243
2504 y Fu(k)q Fv(\000)p Fz(1)1301 2498 y FF(\()p FG(M)1353
2480 y Fu(i)1364 2487 y Fz(0)1381 2480 y Fu(;j)1403 2487
y Fz(0)1349 2510 y Fu(N)1422 2498 y FF(\))1438 2480 y
FI(\()p FJ(I)1479 2487 y FF(1)1498 2480 y FJ(;)8 b(I)1542
2487 y FF(2)1561 2480 y FI(\))p FJ(:)120 2447 y FK(\(2.73\))120
2611 y(Damit)i(ist)i(alles)f(gezeigt,)f(denn)i(es)f(gilt)h(f\374r)f
(alle)g FJ(k)16 b FH(2)e Fw(N)q FK(,)d(da\377)i FJ(D)1289
2618 y FG(k)q FA(\000)p FF(1)1355 2611 y FI(\()p FJ(M)1426
2587 y FG(i)1438 2592 y Fz(0)1456 2587 y FG(;j)1480 2592
y Fz(0)1421 2625 y FG(M)1500 2611 y FI(\))g FH(\022)h
FJ(D)1625 2618 y FG(k)1647 2611 y FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))12
b FK(und)120 2671 y FJ(D)160 2678 y FG(k)q FA(\000)p
FF(1)227 2671 y FI(\()p FJ(M)298 2648 y FG(i)310 2653
y Fz(0)328 2648 y FG(;j)352 2653 y Fz(0)293 2685 y FG(N)371
2671 y FI(\))i FH(\022)f FJ(D)496 2678 y FG(k)518 2671
y FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))14 b FK(\(f\374r)f FJ(k)j FI(=)d(1)h
FK(folgt)f(das)h(sofort)g(aus)g(\(2.69\))f(und)h(\(2.72\);)f(f\374r)g
FJ(k)j(>)e FI(1)120 2731 y FK(durc)o(h)i(eine)f(Induktion,)g(da)i(das)g
(Bilden)e(v)o(on)h FJ(D)1036 2738 y FG(n)1060 2731 y
FK(,)g FJ(n)e FH(2)g Fw(N)q FK(,)i(Inklusionen)f(erh\344lt\).)127
b Fx(\004)p eop
%%Page: 63 65
63 64 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(63)60 203 y FL(Beispiel)20
b(2.5.18.)j FK(F\374r)i(das)i(Randsystem)d FH(I)18 b
FI(:=)13 b(\()p FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b FI(2)p FH(g)p
FJ(;)g FH(f)p FI(1)p FJ(;)g FI(2)p FH(g)p FJ(;)g FI(\(1)p
FJ(;)1416 162 y FH(p)p 1458 162 25 2 v 41 x FI(2)q(\))p
FJ(;)g FI(\(1)p FJ(;)1589 162 y FH(p)p 1630 162 V 1630
203 a FI(2)q(\)\))25 b FK(ist)60 264 y FH(G)16 b FI(:=)e
FH(G)s FI(\()p FH(I)s FI(\))24 b FK(nic)o(h)o(t)e(abgesc)o(hlossen.)i
(Nac)o(h)f(\(2.70\))h(ist)f FH(G)j FK(abz\344hlbar.)e(Daher)g(gen)o
(\374gt)g(es)60 324 y(w)o(egen)e(Lemma)e(2.4.9)j(zu)f(zeigen,)f(da\377)
j FH(G)16 b(6)p FI(=)e FJ(t)p Fw(Z)8 b FK(f\374r)23 b(alle)e
FJ(t)14 b FH(2)g Fw(R)1318 303 y FF(+)1318 336 y(0)1344
324 y FK(.)22 b(Das)i(ist)e(ab)q(er)h(klar,)60 384 y(denn)14
b(je)g(nac)o(hdem,)d(ob)k FJ(t)e FK(rational)i(o)q(der)f(irrational)g
(ist,)f(sind)h(alle)f(Elemen)o(te)e(v)o(on)j FJ(t)p Fw(Z)-8
b FH(n)6 b(f)p FI(0)p FH(g)60 444 y FK(rational)15 b(o)q(der)g
(irrational.)f FH(G)f(n)e(f)p FI(0)p FH(g)k FK(hingegen)g(en)o
(th\344lt)e(so)o(w)o(ohl)i(rationale)g(wie)f(irrationale)60
504 y(Elemen)o(te.)60 625 y(Nun)h(soll)f(gezeigt)g(w)o(erden,)g(da\377)
h(sic)o(h)f(f\374r)h(endlic)o(he)e(Randsysteme)g FH(I)19
b FK(die)14 b(Menge)g(der)h(Ex-)60 685 y(tremalpunkte)i(v)o(on)h
FH(D)q FI(\()p FH(\024)d(I)t FI(\))j FK(aus)i(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))f FK(gewinnen)g(l\344\377t.)f(Dazu)h
(wird)g(in)f(De\034nition)60 745 y(2.5.20)g(eine)e(Menge)h
FH(E)t FI(\()p FH(\024)d(I)t FI(\))j FK(de\034niert)f(und)i(in)f(Lemma)
e(2.5.22)i(gezeigt,)g(da\377)h(dies)e(gera-)60 806 y(de)j(die)g(Menge)g
(der)h(Extremalpunkte)d(ist.)i(Die)g(Konstruktion)h(stamm)o(t)d(v)o(on)
j FD(br)o(ualdi)60 866 y FK(\(siehe)15 b([2]\).)60 946
y(Um)j(die)h(formale)f(De\034nition)h(v)o(on)h FH(E)t
FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))f FK(durc)o(hsic)o(h)o(tiger)f(zu)h(mac)o
(hen,)f(soll)h(das)i(V)l(er-)60 1007 y(fahren)e(zur)g(Gewinn)o(ung)g
(der)g(Elemen)o(te)d(v)o(on)j FH(E)t FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\))g FK(wie)f(b)q(ei)h(der)g(Konstruktion)g(v)o(on)60
1067 y FH(E)t FI(\()p FH(I)5 b FI(\))17 b FK(zun\344c)o(hst)h(v)o
(erbal)f(b)q(esc)o(hrieb)q(en)f(w)o(erden.)h(Die)g(Elemen)o(te)e(v)o
(on)j FH(E)t FI(\()p FH(\024)e(I)t FI(\))i FK(lassen)g(sic)o(h)60
1127 y(aus)f(den)g(Elemen)o(ten)c(v)o(on)k FH(E)t FI(\()p
FH(I)t FI(\))g FK(wie)f(folgt)h(gewinnen:)f(Ist)g FJ(P)21
b FH(2)14 b(E)t FI(\()p FH(I)5 b FI(\))p FK(,)16 b(so)h(l\366sc)o(he)f
(man)f(in)60 1187 y(jeder)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)e(v)o(on)i
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FK(einen)f(T)l(eilbaum)f(und)i
(ersetze)e(die)h(den)60 1247 y(gel\366sc)o(h)o(ten)h(Ec)o(k)o(en)g(en)o
(tsprec)o(henden)g(Ein)o(tr\344ge)h(v)o(on)g FJ(P)24
b FK(durc)o(h)15 b(Nullen.)g(Die)g(en)o(tstandene)60
1308 y(Matrix)h(ist)g(ein)f(Elemen)o(t)f(v)o(on)i FH(E)t
FI(\()p FH(\024)e(I)t FI(\))p FK(.)60 1408 y FL(De\034nition)19
b(2.5.19.)24 b FK(Gegeb)q(en)32 b(sei)h(ein)f(Randsystem)f
FH(I)18 b FI(:=)13 b(\()p FJ(I)1346 1415 y FF(1)1365
1408 y FJ(;)8 b(I)1409 1415 y FF(2)1428 1408 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))p FK(.)32 b(De\034niere)60 1468 y FJ(S)90 1475
y FG(r)123 1468 y FI(:=)188 1431 y FE(P)241 1482 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)292 1487 y Fz(1)319 1468 y FJ(r)341 1475
y FG(i)355 1468 y FK(,)22 b(so)o(wie)f FJ(S)555 1475
y FG(s)587 1468 y FI(:=)652 1431 y FE(P)705 1482 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)760 1487 y Fz(2)788 1468 y FJ(s)811 1475
y FG(j)829 1468 y FK(.)g(Ist)h FJ(P)f FH(2)14 b(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(,)21 b(so)i(sei)e FH(Z)t FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))14 b(:=)f FK(Zhk)p FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7
b FI(\)\))p FK(.)60 1528 y(F\374r)19 b FJ(H)f FH(2)c(Z)t
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))19 b FK(de\034niere)e FH(T)c FI(\()p
FJ(H)t FI(\))h(:=)g FH(f)p FJ(T)20 b FH(\024)13 b FJ(H)18
b FI(:)k FJ(T)h FK(ist)16 b(ein)f(Baum)o FH(g)c([)g(f)p
FI(\()p FH(;)p FJ(;)d FH(;)p FI(\))p FH(g)p FK(.)18 b(W)l(eiter-)60
1588 y(hin)12 b(sei)g FH(F)5 b FI(\()p FJ(P)i FI(\))12
b FK(die)g(Menge)g(der)g(F)l(unktionen)g FJ(f)17 b FK(auf)c
FH(Z)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))13 b FK(mit)65 b FH(8)1230
1622 y FG(H)s FA(2Z)s FF(\()p FG(P)5 b FF(\))1382 1588
y FJ(f)g FI(\()p FJ(H)t FI(\))14 b FH(2)g(T)f FI(\()p
FJ(H)t FI(\))g FK(\(die)60 1676 y(F)l(unktionen)22 b(in)g
FH(F)5 b FI(\()p FJ(P)i FI(\))22 b FK(ordnen)h(also)g(jeder)f
(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)d(v)o(on)j FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))60 1737 y FK(einen)15 b(ihrer)h(T)l(eilb\344ume)e(zu\).)
h(Sc)o(hlie\377lic)o(h)f(sei)h(f\374r)i FJ(f)i FH(2)14
b(F)5 b FI(\()p FJ(P)i FI(\))p FK(,)367 1853 y FH(E)t
FI(\()p FJ(f)e FI(\))14 b(:=)g FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)751 1860 y FF(1)781 1853
y FH(\002)d FJ(I)853 1860 y FF(2)886 1853 y FI(:)22 b
FH(f)p FJ(x)975 1860 y FG(i)989 1853 y FJ(;)8 b(y)1035
1860 y FG(j)1052 1853 y FH(g)14 b(2)1200 1806 y FE([)1138
1914 y FG(T)5 b FA(2)p FG(f)t FF(\()p FA(Z)s FF(\()p
FG(P)g FF(\)\))1326 1853 y FJ(E)s FI(\()p FJ(T)i FI(\))p
FH(g)-1404 b FK(\(2.74\))60 2017 y(und)17 b FH(E)t FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))14 b(:=)g FH(fE)t FI(\()p FJ(f)5 b FI(\))14
b(:)22 b FJ(f)d FH(2)14 b(F)5 b FI(\()p FJ(P)i FI(\))p
FH(g)p FK(.)60 2117 y FL(De\034nition)19 b(2.5.20.)24
b FK(Sei)51 b FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)770 2124 y
FF(1)789 2117 y FJ(;)8 b(I)833 2124 y FF(2)852 2117 y
FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))51 b FK(ein)g(endlic)o(hes)f(Randsystem.)g
(F\374r)60 2177 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))i FK(und)h FJ(I)g FH(2)d(E)t
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(de\034niere)e FJ(P)895
2159 y FG(I)929 2177 y FI(=)f(\()p FJ(p)1024 2159 y FG(I)1024
2189 y(i;j)1064 2177 y FI(\))1083 2185 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)1188 2190 y Fz(1)1205 2185 y FA(\002)p
FG(I)1247 2190 y Fz(2)1283 2177 y FK(durc)o(h)613 2335
y FJ(p)637 2315 y FG(I)637 2348 y(i;j)692 2335 y FI(:=)757
2250 y FE(\()797 2301 y FI(0)106 b FK(f\374r)16 b FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)t(;)797 2373 y(p)821
2380 y FG(i;j)927 2373 y FK(sonst.)60 2335 y(\(2.75\))60
2490 y(Dann)j(sei)f FH(E)t FI(\()p FH(\024)e(I)t FI(\))g(:=)f
FH(f)p FJ(P)557 2472 y FG(I)591 2490 y FI(:)22 b FJ(P)f
FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p
FJ(;)j(I)g FH(2)d(E)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FH(g)q
FK(.)60 2611 y(Wie)14 b(sc)o(hon)h(De\034nition)g(2.5.1)g(soll)g(auc)o
(h)f(De\034nition)h(2.5.20)g(zun\344c)o(hst)g(an)h(einem)c(Beispiel)60
2671 y(demonstriert)g(w)o(erden.)h(Im)f(folgenden)i(Beispiel)d(2.5.21)k
(wird)f(dazu)g(f\374r)f(das)i(Randsystem)60 2731 y FH(I)20
b FK(aus)d(Beispiel)d(2.5.2)j FH(E)t FI(\()p FH(\024)d(I)t
FI(\))i FK(explizit)e(b)q(erec)o(hnet.)p eop
%%Page: 64 66
64 65 bop 120 50 a FK(64)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FL(Beispiel)k(2.5.21.)j FK(Gegeb)q(en)14 b(sei)f(das)h(Randsystem)f
FH(I)k FI(:=)d(\()p FJ(I)1287 210 y FF(1)1306 203 y FJ(;)8
b(I)1350 210 y FF(2)1369 203 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))13
b FK(mit)f FJ(I)1598 210 y FF(1)1631 203 y FI(:=)h FH(f)p
FI(1)p FJ(;)8 b FI(2)p FH(g)p FK(,)120 264 y FJ(I)142
271 y FF(2)175 264 y FI(:=)13 b FH(f)p FI(1)p FJ(;)8
b FI(2)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)q FK(,)16 b FJ(r)f FI(:=)e(\(2)p
FJ(;)8 b FI(5\))q FK(,)16 b FJ(s)e FI(:=)f(\(1)p FJ(;)8
b FI(1)p FJ(;)g FI(5\))q FK(.)15 b(Nac)o(h)h(Beispiel)e(2.5.2)j(ist)549
366 y(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))c(=)h
FH(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(=)h FH(f)p FJ(P)1015
373 y FF(1)1035 366 y FJ(;)8 b(P)1088 373 y FF(2)1108
366 y FJ(;)g(P)1161 373 y FF(3)1181 366 y FJ(;)g(P)1234
373 y FF(4)1254 366 y FH(g)49 b FK(mit)143 584 y FJ(P)174
591 y FF(1)208 584 y FI(:=)273 514 y FE(\022)310 553
y FI(0)42 b(0)f(2)310 613 y(1)h(1)f(3)466 514 y FE(\023)502
584 y FJ(;)57 b(P)604 591 y FF(2)638 584 y FI(:=)703
514 y FE(\022)740 553 y FI(0)42 b(1)g(1)740 613 y(1)g(0)g(4)896
514 y FE(\023)933 584 y FJ(;)57 b(P)1035 591 y FF(3)1069
584 y FI(:=)1134 514 y FE(\022)1171 553 y FI(1)41 b(0)h(1)1171
613 y(0)f(1)h(4)1327 514 y FE(\023)1363 584 y FJ(;)57
b(P)1465 591 y FF(4)1499 584 y FI(:=)1564 514 y FE(\022)1601
553 y FI(1)42 b(1)g(0)1601 613 y(0)g(0)g(5)1757 514 y
FE(\023)1794 584 y FJ(:)120 715 y(G)p FI(\()p FJ(P)208
722 y FF(1)229 715 y FI(\))p FK(,)10 b FJ(G)p FI(\()p
FJ(P)360 722 y FF(2)381 715 y FI(\))h FK(und)g FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)591 722 y FF(3)611 715 y FI(\))g FK(hab)q(en)h(alle)e(n)o
(ur)h(eine)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te.)d(Ersetzt)120
776 y(man)j(jew)o(eils)f(die)h(Elemen)o(te,)e(die)i(Kan)o(ten)h(eines)f
(T)l(eilbaumes)f(en)o(tsprec)o(hen,)g(durc)o(h)h(Nullen,)120
836 y(so)17 b(b)q(ek)o(omm)o(t)c(man)i(die)h(Mengen)134
1008 y(E)167 1015 y FF(1)200 1008 y FI(:=)266 938 y FE(\032)5
b(\022)345 978 y FI(0)42 b(0)g(0)345 1038 y(0)g(0)g(0)501
938 y FE(\023)538 1008 y FJ(;)560 938 y FE(\022)596 978
y FI(0)g(0)g(2)596 1038 y(0)g(0)g(0)752 938 y FE(\023)789
1008 y FJ(;)811 938 y FE(\022)847 978 y FI(0)g(0)g(0)847
1038 y(1)g(0)g(0)1004 938 y FE(\023)1040 1008 y FJ(;)1062
938 y FE(\022)1099 978 y FI(0)g(0)g(0)1099 1038 y(0)g(1)g(0)1255
938 y FE(\023)1292 1008 y FJ(;)1314 938 y FE(\022)1350
978 y FI(0)g(0)g(0)1350 1038 y(1)g(1)g(0)1506 938 y FE(\023)1543
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1038 y(0)h(0)f(3)1758 938 y FE(\023)1794 1008 y FJ(;)308
1075 y FE(\022)345 1115 y FI(0)h(0)g(2)345 1175 y(1)g(0)g(0)501
1075 y FE(\023)538 1145 y FJ(;)560 1075 y FE(\022)596
1115 y FI(0)g(0)g(2)596 1175 y(0)g(1)g(0)752 1075 y FE(\023)789
1145 y FJ(;)811 1075 y FE(\022)847 1115 y FI(0)g(0)g(0)847
1175 y(1)g(1)g(3)1004 1075 y FE(\023)1040 1145 y FJ(;)1062
1075 y FE(\022)1099 1115 y FI(0)g(0)g(2)1099 1175 y(0)g(1)g(3)1255
1075 y FE(\023)1292 1145 y FJ(;)1314 1075 y FE(\022)1350
1115 y FI(0)g(0)g(2)1350 1175 y(1)g(0)g(3)1506 1075 y
FE(\023)1543 1145 y FJ(;)1565 1075 y FE(\022)1602 1115
y FI(0)g(0)f(2)1602 1175 y(1)h(1)f(0)1758 1075 y FE(\023)1794
1145 y FJ(;)321 1212 y FE(\022)358 1252 y FI(0)h(0)g(2)358
1312 y(1)g(1)g(3)514 1212 y FE(\023\033)645 1282 y FK(aus)17
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1505 y FI(0)42 b(0)g(0)345 1565 y(0)g(0)g(0)501 1465
y FE(\023)538 1535 y FJ(;)560 1465 y FE(\022)596 1505
y FI(0)g(0)g(0)596 1565 y(1)g(0)g(0)752 1465 y FE(\023)789
1535 y FJ(;)811 1465 y FE(\022)847 1505 y FI(0)g(1)g(0)847
1565 y(0)g(0)g(0)1004 1465 y FE(\023)1040 1535 y FJ(;)1062
1465 y FE(\022)1099 1505 y FI(0)g(1)g(1)1099 1565 y(0)g(0)g(0)1255
1465 y FE(\023)1292 1535 y FJ(;)1314 1465 y FE(\022)1350
1505 y FI(0)g(0)g(0)1350 1565 y(1)g(0)g(4)1506 1465 y
FE(\023)1543 1535 y FJ(;)1565 1465 y FE(\022)1602 1505
y FI(0)g(1)f(0)1602 1565 y(1)h(0)f(0)1758 1465 y FE(\023)1794
1535 y FJ(;)308 1602 y FE(\022)345 1642 y FI(0)h(0)g(1)345
1702 y(1)g(0)g(4)501 1602 y FE(\023)538 1672 y FJ(;)560
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1642 y FI(0)g(1)g(1)847 1702 y(0)g(0)g(4)1004 1602 y
FE(\023)1040 1672 y FJ(;)1062 1602 y FE(\022)1099 1642
y FI(0)g(1)g(1)1099 1702 y(1)g(0)g(0)1255 1602 y FE(\023)1292
1672 y FJ(;)1319 1602 y FE(\022)1355 1642 y FI(0)g(1)g(1)1355
1702 y(1)g(0)g(4)1511 1602 y FE(\023\033)1642 1672 y
FK(aus)17 b FJ(P)1760 1679 y FF(2)1781 1672 y FJ(;)134
1925 y FK(E)167 1932 y FF(3)200 1925 y FI(:=)266 1855
y FE(\032)5 b(\022)345 1895 y FI(0)42 b(0)g(0)345 1955
y(0)g(0)g(0)501 1855 y FE(\023)538 1925 y FJ(;)560 1855
y FE(\022)596 1895 y FI(0)g(0)g(0)596 1955 y(0)g(1)g(0)752
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1895 y FI(1)g(0)g(0)847 1955 y(0)g(0)g(0)1004 1855 y
FE(\023)1040 1925 y FJ(;)1062 1855 y FE(\022)1099 1895
y FI(1)g(0)g(1)1099 1955 y(0)g(0)g(0)1255 1855 y FE(\023)1292
1925 y FJ(;)1314 1855 y FE(\022)1350 1895 y FI(1)g(0)g(0)1350
1955 y(0)g(1)g(0)1506 1855 y FE(\023)1543 1925 y FJ(;)1565
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1855 y FE(\023)1794 1925 y FJ(;)308 1992 y FE(\022)345
2032 y FI(1)h(0)g(1)345 2092 y(0)g(1)g(0)501 1992 y FE(\023)538
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2092 y(0)g(0)g(4)752 1992 y FE(\023)789 2062 y FJ(;)811
1992 y FE(\022)847 2032 y FI(1)g(0)g(0)847 2092 y(0)g(1)g(4)1004
1992 y FE(\023)1040 2062 y FJ(;)1062 1992 y FE(\022)1099
2032 y FI(0)g(0)g(1)1099 2092 y(0)g(1)g(4)1255 1992 y
FE(\023)1292 2062 y FJ(;)1319 1992 y FE(\022)1355 2032
y FI(1)g(0)g(1)1355 2092 y(0)g(1)g(4)1511 1992 y FE(\023\033)1642
2062 y FK(aus)17 b FJ(P)1760 2069 y FF(3)1781 2062 y
FJ(:)120 2194 y(G)p FI(\()p FJ(P)208 2201 y FF(4)229
2194 y FI(\))e FK(hat)h(hingegen)f(zw)o(ei)f(Zusammenhangsk)o(omp)q
(onen)o(ten.)e(Hier)i(wird)h(also)h(jew)o(eils)d(in)120
2254 y(jeder)21 b(der)h(b)q(eiden)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)e
(ein)i(T)l(eilbaum)f(gel\366sc)o(h)o(t,)h(und)h(die)120
2314 y(Elemen)o(te)17 b(v)o(on)k FJ(P)465 2321 y FF(4)485
2314 y FK(,)f(die)f(zu)h(den)g(gel\366sc)o(h)o(ten)g(Kan)o(ten)g
(geh\366ren,)g(w)o(erden)g(durc)o(h)f(Nullen)120 2374
y(ersetzt.)c(So)i(b)q(ek)o(omm)n(t)d(man)h(aus)i FJ(P)799
2381 y FF(4)835 2374 y FK(die)f(Menge)134 2547 y(E)167
2554 y FF(4)200 2547 y FI(:=)266 2476 y FE(\032)5 b(\022)345
2516 y FI(0)42 b(0)g(0)345 2576 y(0)g(0)g(0)501 2476
y FE(\023)538 2547 y FJ(;)560 2476 y FE(\022)596 2516
y FI(1)g(0)g(0)596 2576 y(0)g(0)g(0)752 2476 y FE(\023)789
2547 y FJ(;)811 2476 y FE(\022)847 2516 y FI(0)g(1)g(0)847
2576 y(0)g(0)g(0)1004 2476 y FE(\023)1040 2547 y FJ(;)1062
2476 y FE(\022)1099 2516 y FI(1)g(1)g(0)1099 2576 y(0)g(0)g(0)1255
2476 y FE(\023)1292 2547 y FJ(;)1314 2476 y FE(\022)1350
2516 y FI(0)g(0)g(0)1350 2576 y(0)g(0)g(5)1506 2476 y
FE(\023)1543 2547 y FJ(;)1565 2476 y FE(\022)1602 2516
y FI(1)g(0)f(0)1602 2576 y(0)h(0)f(5)1758 2476 y FE(\023)1794
2547 y FJ(;)308 2613 y FE(\022)345 2653 y FI(0)h(1)g(0)345
2713 y(0)g(0)g(5)501 2613 y FE(\023)538 2684 y FJ(;)564
2613 y FE(\022)601 2653 y FI(1)g(1)g(0)601 2713 y(0)g(0)g(5)757
2613 y FE(\023\033)840 2684 y FJ(:)p eop
%%Page: 65 67
65 66 bop 60 50 a Fy(2.5.)16 b(CHARAKTERISIER)o(UNGEN)d(F\334R)j
(ENDLICHE)g(RANDSYSTEME)138 b FK(65)60 203 y(W)l(egen)16
b FH(E)t FI(\()p FH(\024)e(I)t FI(\))g(=)g FJ(E)471 210
y FF(1)502 203 y FH([)d FJ(E)582 210 y FF(2)613 203 y
FH([)g FJ(E)693 210 y FF(3)724 203 y FH([)g FJ(E)804
210 y FF(4)840 203 y FK(b)q(ek)o(omm)o(t)i(man)j(damit)f(insgesam)o(t)
219 343 y FH(E)t FI(\()p FH(\024)f(I)t FI(\))g(=)437
272 y FE(\032)5 b(\022)516 312 y FI(0)41 b(0)h(0)516
372 y(0)f(0)h(0)672 272 y FE(\023)708 343 y FJ(;)730
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272 y FE(\023)960 343 y FJ(;)982 272 y FE(\022)1018 312
y FI(0)g(0)g(0)1018 372 y(1)g(0)g(0)1174 272 y FE(\023)1211
343 y FJ(;)1233 272 y FE(\022)1270 312 y FI(0)g(0)f(0)1270
372 y(0)h(1)f(0)1426 272 y FE(\023)1463 343 y FJ(;)1485
272 y FE(\022)1521 312 y FI(0)h(1)g(0)1521 372 y(0)g(0)g(0)1677
272 y FE(\023)1714 343 y FJ(;)479 409 y FE(\022)516 449
y FI(1)f(0)h(0)516 509 y(0)f(0)h(0)672 409 y FE(\023)708
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1094 y FE(\023)960 1165 y FJ(;)982 1094 y FE(\022)1018
1134 y FI(1)g(1)g(0)1018 1194 y(0)g(0)g(5)1174 1094 y
FE(\023)1211 1165 y FJ(;)1233 1094 y FE(\022)1270 1134
y FI(0)g(0)f(2)1270 1194 y(1)h(1)f(3)1426 1094 y FE(\023)1463
1165 y FJ(;)1485 1094 y FE(\022)1521 1134 y FI(0)h(1)g(1)1521
1194 y(1)g(0)g(4)1677 1094 y FE(\023)1714 1165 y FJ(;)479
1231 y FE(\022)516 1271 y FI(1)f(0)h(1)516 1331 y(0)f(1)h(4)672
1231 y FE(\023)13 b(\033)767 1302 y FJ(:)60 1441 y FL(Lemma)18
b(2.5.22.)23 b FK(F\374r)65 b(ein)g(endlic)o(hes)e(Randsystem)i
FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)1446 1448 y FF(1)1465 1441
y FJ(;)8 b(I)1509 1448 y FF(2)1528 1441 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))65 b FK(gilt)60 1501 y FH(E)t FI(\()p FH(\024)14
b(I)t FI(\))g(=)g FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\)\))p FK(.)60 1620 y FB(Beweis.)26 b FK(\022)t FH(\022)p
FK(\020)t(:)45 b(Sei)g FJ(Q)14 b FH(2)g(E)t FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\))46 b FK(gegeb)q(en.)g(Nac)o(h)f(De\034nition)g(2.5.20)h(gibt)g
(es)60 1680 y FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))19 b FK(und)g FJ(I)e FH(2)d(E)t
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))q FK(,)18 b(so)i(da\377)g FJ(Q)13
b FI(=)h FJ(P)983 1662 y FG(I)1003 1680 y FK(.)k(W)l(egen)h(\(2.75\))h
(ist)e FJ(Q)c FH(2)g(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\))19
b FK(und)60 1740 y FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))14
b(=)g FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))12 b FH(n)f FJ(I)s
FK(.)20 b(Damit)e(folgt)j FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))13
b FH(\024)h FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))q FK(,)19 b(und)h(da)h
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))20 b FK(ein)g(W)l(ald)g(ist,)60
1800 y(m)o(u\377)12 b(auc)o(h)i FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p
FI(\))f FK(ein)g(W)l(ald)h(sein.)e(W)l(eiterhin)g(gibt)i(es)f(nac)o(h)h
(De\034nition)f(2.5.19)h FJ(f)19 b FH(2)14 b(F)5 b FI(\()p
FJ(P)i FI(\))60 1861 y FK(mit)k FJ(I)17 b FI(=)d FH(E)t
FI(\()p FJ(f)5 b FI(\))q FK(.)12 b(Ist)g(n)o(un)g FJ(H)18
b FH(2)c(Z)t FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p FK(,)e(so)h(gibt)f(es)g(genau)h
(ein)1199 1848 y FI(~)1186 1861 y FJ(H)18 b FH(2)c(Z)t
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))13 b FK(mit)d FJ(H)18 b FH(\024)1628
1848 y FI(~)1616 1861 y FJ(H)t FK(.)12 b(Set-)60 1921
y(ze)g FJ(T)21 b FI(:=)13 b FJ(f)5 b FI(\()292 1908 y(~)279
1921 y FJ(H)g FI(\))p FK(.)12 b(Nac)o(h)h(Korollar)g(2.4.25)h(ist)f(zu)
f(zeigen,)g(da\377)i FI(#\()p FJ(V)d FI(\()p FJ(H)t FI(\))g
FH(\\)h FJ(V)1455 1928 y FG(<)1485 1921 y FI(\()p FJ(Q)p
FI(\)\))h FH(\024)g FI(1)q FK(.)g(Be-)60 1981 y(trac)o(h)o(te)234
1968 y FI(~)222 1981 y FJ(H)i FH(\000)c FJ(E)s FI(\()p
FJ(T)c FI(\))o FK(.)13 b(W)l(egen)f(\(2.75\))i(gilt)e(dann)i
FJ(H)k FH(\024)1082 1968 y FI(~)1069 1981 y FJ(H)e FH(\000)10
b FJ(T)d FK(.)12 b(Au\377erdem)f(k)o(\366nnen)i FJ(H)k
FK(und)60 2041 y FJ(T)23 b FK(h\366)q(c)o(hstens)17 b(eine)e
(gemeinsame)e(Ec)o(k)o(e)i(hab)q(en;)i(denn)g(sonst)g(h\344tte)f
FJ(H)g FI(+)1447 2048 y FG(e)1476 2041 y FJ(E)s FI(\()p
FJ(T)7 b FI(\))13 b FH(\024)h FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))60
2101 y FK(w)o(egen)h FJ(H)j FH(\024)328 2089 y FI(~)315
2101 y FJ(H)d FH(\000)c FJ(E)s FI(\()p FJ(T)c FI(\))15
b FK(einen)g(Kreis.)g(Dies)g(st\344nde)h(im)e(Widerspruc)o(h)h(dazu,)g
(da\377)i FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))60 2161 y FK(ein)f(W)l(ald)g
(ist.)f(W)l(egen)325 2272 y FJ(v)g FH(2)f FJ(V)e FI(\()p
FJ(H)t FI(\))f FH(\\)g FJ(V)616 2279 y FG(<)646 2272
y FI(\()p FJ(Q)p FI(\))49 b FH(\))88 b(9)870 2305 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)991 2272 y FI(\()p FH(f)p
FJ(x)1063 2279 y FG(i)1077 2272 y FJ(;)8 b(y)1123 2279
y FG(j)1140 2272 y FH(g)14 b(2)g FJ(E)s FI(\()p FJ(T)7
b FI(\))p FJ(;)16 b(v)f FH(2)f(f)p FJ(x)1508 2279 y FG(i)1522
2272 y FJ(;)8 b(y)1568 2279 y FG(j)1586 2272 y FH(g)p
FI(\))-1570 b FK(\(2.76\))60 2410 y(ist)31 b(damit)f
FI(#\()p FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))g FH(\\)g FJ(V)563
2417 y FG(<)593 2410 y FI(\()p FJ(Q)p FI(\)\))j FH(\024)f
FI(1)32 b FK(gezeigt)e(und)i FJ(Q)13 b FH(2)h FK(E)q
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\)\))31 b FK(nac)o(h)g
(Korollar)60 2470 y(2.4.25.)60 2551 y(\022)t FH(\023)p
FK(\020)t(:)24 b(Angenommen)d FJ(Q)13 b FH(2)h FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))p FK(.)24
b(Nac)o(h)f(Korollar)g(2.4.25)i(sind)e(alle)g FJ(H)18
b FH(2)c(Z)t FI(\()p FJ(Q)p FI(\))60 2611 y FK(B\344ume,)25
b(und)i(es)f(gilt)h FI(#\()p FJ(V)11 b FI(\()p FJ(H)t
FI(\))g FH(\\)g FJ(V)786 2618 y FG(<)816 2611 y FI(\()p
FJ(Q)p FI(\)\))i FH(\024)h FI(1)p FK(.)27 b(Setze)1187
2598 y FI(~)1181 2611 y FJ(I)1203 2618 y FF(1)1236 2611
y FI(:=)13 b FH(f)p FJ(i)h FH(2)g FJ(I)1426 2618 y FF(1)1459
2611 y FI(:)21 b FJ(x)1522 2618 y FG(i)1550 2611 y FH(2)14
b FJ(V)1625 2618 y FG(<)1655 2611 y FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p
FH(g)o FK(,)66 2659 y FI(~)60 2671 y FJ(I)82 2678 y FF(2)115
2671 y FI(:=)f FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)311 2678 y FF(2)344
2671 y FI(:)22 b FJ(y)404 2678 y FG(j)436 2671 y FH(2)14
b FJ(V)511 2678 y FG(<)541 2671 y FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p
FH(g)o FK(.)j(Da)h FH(I)j FK(ein)16 b(Randsystem)g(ist,)g(gilt)h(en)o
(t)o(w)o(eder)1537 2659 y FI(~)1531 2671 y FJ(I)1553
2678 y FF(1)1586 2671 y FI(=)1644 2659 y(~)1638 2671
y FJ(I)1660 2678 y FF(2)1693 2671 y FI(=)d FH(;)60 2731
y FK(o)q(der)178 2719 y FI(~)172 2731 y FJ(I)194 2738
y FF(1)213 2731 y FJ(;)241 2719 y FI(~)235 2731 y FJ(I)257
2738 y FF(2)290 2731 y FH(6)p FI(=)g FH(;)p FK(.)k(Ist)480
2719 y FI(~)474 2731 y FJ(I)496 2738 y FF(1)529 2731
y FI(=)587 2719 y(~)581 2731 y FJ(I)603 2738 y FF(2)636
2731 y FI(=)13 b FH(;)p FK(,)19 b(so)g(folgt)g FJ(Q)13
b FH(2)h FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p
FK(,)k(und)h FJ(Q)14 b FH(2)g(E)t FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\))k FK(ist)h(klar.)p eop
%%Page: 66 68
66 67 bop 120 50 a FK(66)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FK(Sei)j(n)o(un)308 191 y FI(~)302 203 y FJ(I)324 210
y FF(1)343 203 y FJ(;)371 191 y FI(~)365 203 y FJ(I)387
210 y FF(2)420 203 y FH(6)p FI(=)14 b FH(;)p FK(.)542
191 y FI(~)530 203 y FJ(Q)g FI(:=)f FJ(Q)p Fx(\030)712
208 y FF(~)708 217 y FG(I)723 222 y Fz(1)740 217 y FA(\002)771
209 y FF(~)767 217 y FG(I)782 222 y Fz(2)802 203 y FK(.)20
b(Es)g(folgt)g FJ(supp)p FI(\()1154 191 y(~)1142 203
y FJ(Q)p FI(\))14 b(=)g FH(;)20 b FK(\(das)g(hei\377t)1557
191 y FI(~)1546 203 y FJ(Q)13 b FI(=)h(0)q FK(\);)19
b(denn)120 271 y(g\344b)q(e)28 b(es)f FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(supp)p FI(\()604 259 y(~)592
271 y FJ(Q)p FI(\))p FK(,)27 b(so)h(w)o(\344re)f FI(#\()p
FJ(V)11 b FI(\()p FK(Zhk)1088 279 y FG(G)p FF(\()p FG(Q)p
FF(\))1173 271 y FI(\()p FJ(x)1220 278 y FG(i)1234 271
y FI(\)\))g FH(\\)g FJ(V)1355 278 y FG(<)1385 271 y FI(\()p
FJ(Q)p FI(\)\))i FH(\025)h FI(2)p FK(.)27 b(Setze)f(n)o(un)120
337 y FI(\001)p FH(I)17 b FI(:=)d(\()296 325 y(~)290
337 y FJ(I)312 344 y FF(1)331 337 y FJ(;)359 325 y FI(~)353
337 y FJ(I)375 344 y FF(2)394 337 y FJ(;)8 b FI(\001)p
FJ(r)o(;)g FI(\001)p FJ(s)p FI(\))15 b FK(mit)494 468
y FI(\(\001)p FJ(r)q FI(\))596 475 y FG(i)624 468 y FI(:=)e
FJ(r)711 475 y FG(i)736 468 y FH(\000)786 420 y FE(X)786
526 y FG(j)r FA(2)p FG(I)841 531 y Fz(2)867 468 y FJ(q)889
475 y FG(i;j)929 468 y FJ(;)56 b FI(\(\001)p FJ(s)p FI(\))1101
475 y FG(j)1133 468 y FI(:=)13 b FJ(s)1221 475 y FG(j)1250
468 y FH(\000)1300 420 y FE(X)1302 526 y FG(i)p FA(2)p
FG(I)1353 531 y Fz(1)1381 468 y FJ(q)1403 475 y FG(i;j)1442
468 y FJ(:)-1336 b FK(\(2.77\))120 649 y(Nun)16 b(w)o(\344hle)g(eine)f
(Matrix)638 636 y FI(~)627 649 y FJ(P)21 b FH(2)14 b
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\(\001)p FH(I)t FI(\)\))i FK(und)h
(de\034niere)e FJ(P)21 b FI(=)14 b(\()p FJ(p)1402 656
y FG(i;j)1442 649 y FI(\))1461 656 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)1566 661 y Fz(1)1583 656 y FA(\002)p
FG(I)1625 661 y Fz(2)1661 649 y FK(durc)o(h)614 818 y
FJ(p)638 825 y FG(i;j)693 818 y FI(:=)758 732 y FE(\()802
783 y FI(~)-28 b FJ(p)822 790 y FG(i;j)928 783 y FK(f\374r)16
b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)1171 771 y FI(~)1165
783 y FJ(I)1187 790 y FF(1)1218 783 y FH(\002)1273 771
y FI(~)1267 783 y FJ(I)1289 790 y FF(2)1309 783 y FJ(;)798
856 y(q)820 863 y FG(i;j)928 856 y FK(sonst.)120 818
y(\(2.78\))120 991 y(Nac)o(h)40 b(Satz)h(2.2.6)g(ist)g
FJ(G)p FI(\()705 979 y(~)693 991 y FJ(P)8 b FI(\))41
b FK(ein)f(W)l(ald.)h(Au\377erdem)d(ist)j FJ(G)p FI(\()1481
979 y(~)1469 991 y FJ(P)8 b FI(\))14 b FH(\024)f FJ(G)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))42 b FK(und)120 1051 y FJ(E)s
FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\)\))14 b(=)g FJ(E)s
FI(\()p FJ(G)p FI(\()504 1039 y(~)492 1051 y FJ(P)8 b
FI(\)\))j FH([)g FJ(E)s FI(\()p FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p
FI(\)\))p FK(.)120 1136 y FB(Behauptung)19 b(1.)24 b
FJ(P)d FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))p FK(.)120 1293 y FB(Beweis.)26 b FK(Nac)o(h)15
b(den)i(De\034nitionen)e(\(2.77\))i(und)g(\(2.78\))g(so)o(wie)f(der)g
(W)l(ahl)h(v)o(on)1622 1280 y FI(~)1611 1293 y FJ(P)24
b FK(ist)16 b(klar,)120 1353 y(da\377)h FJ(P)k FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)i(Es)g(bleibt)f(daher)h(zu)g(zeigen,)
e(da\377)j FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(ein)e(W)l(ald)h(ist.)f
(Ist)1607 1341 y FI(~)1595 1353 y FJ(H)j FH(2)c(Z)t FI(\()p
FJ(Q)p FI(\))o FK(,)120 1413 y(so)j(hab)q(en)337 1401
y FI(~)325 1413 y FJ(H)j FK(und)d FJ(G)p FI(\()551 1401
y(~)540 1413 y FJ(P)8 b FI(\))16 b FK(w)o(egen)475 1535
y FJ(v)f FH(2)f FJ(V)e FI(\()632 1522 y(~)620 1535 y
FJ(H)t FI(\))f FH(\\)g FJ(V)g FI(\()p FJ(G)p FI(\()865
1522 y(~)853 1535 y FJ(P)d FI(\)\))49 b FH(\))f FJ(v)16
b FH(2)e FJ(V)d FI(\()1234 1522 y(~)1222 1535 y FJ(H)t
FI(\))g FH(\\)g FJ(V)1368 1542 y FG(<)1398 1535 y FI(\()p
FJ(Q)p FI(\))120 1657 y FK(h\366)q(c)o(hstens)88 b(eine)e(gemeinsame)e
(Ec)o(k)o(e.)i(Ist)h(also)h FJ(H)18 b FH(2)c(Z)t FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))88 b FK(und)120 1717 y FJ(V)11 b FI(\()p
FJ(H)t FI(\))h FH(\\)f FJ(V)g FI(\()p FJ(G)p FI(\()423
1704 y(~)412 1717 y FJ(P)d FI(\)\))j FH(\\)g FJ(V)g FI(\()p
FJ(G)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\)\))j FH(6)p FI(=)g FH(;)p
FK(,)36 b(so)i(gibt)f(es)g(eine)f(Ec)o(k)o(e)g FJ(v)15
b FH(2)f FJ(V)e FI(\()p FJ(H)t FI(\))p FK(,)36 b(so)i(da\377)120
1777 y FJ(H)15 b FH(\000)c FJ(v)18 b FK(in)e(zw)o(ei)f(disjunkte)g
(B\344ume)g(zerf\344llt.)f(In)i(jedem)e(F)l(all)i(ist)g(also)h
FJ(H)j FK(ein)c(Baum.)64 b Fx(N)120 1934 y FK(Wie)12
b(gerade)h(im)d(Bew)o(eis)h(v)o(on)i(Behauptung)g(1)g(gesehen,)e(gibt)i
(es)f(zu)h FJ(H)18 b FH(2)c(Z)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))13
b FK(h\366)q(c)o(hstens)120 1995 y(eine)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o
(te)853 1982 y FI(~)841 1995 y FJ(H)t FI(\()p FJ(H)t
FI(\))h FK(v)o(on)h FJ(G)p FI(\()1138 1982 y(~)1127 1995
y FJ(P)7 b FI(\))13 b FK(mit)1297 1982 y FI(~)1284 1995
y FJ(H)t FI(\()p FJ(H)t FI(\))h FH(\024)g FJ(H)t FK(.)f(De\034niere)f
(n)o(un)120 2055 y(auf)17 b FH(Z)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))16
b FK(eine)f(F)l(unktion)h FJ(f)22 b FK(durc)o(h)522 2220
y FJ(f)5 b FI(\()p FJ(H)t FI(\))14 b(:=)712 2135 y FE(\()765
2173 y FI(~)753 2186 y FJ(H)t FI(\()p FJ(H)t FI(\))65
b FK(sofern)1099 2173 y FI(~)1086 2186 y FJ(H)5 b FI(\()p
FJ(H)t FI(\))16 b FK(existiert)n FJ(;)753 2258 y FI(\()p
FH(;)p FJ(;)8 b FH(;)p FI(\))81 b FK(sonst.)120 2220
y(\(2.79\))120 2394 y(Dann)18 b(ist)f FJ(f)j FH(2)14
b(F)5 b FI(\()p FJ(P)i FI(\))17 b FK(und)h FJ(I)f FI(:=)c
FH(E)t FI(\()p FJ(f)5 b FI(\))15 b(=)f FJ(supp)p FI(\()1044
2381 y(~)1032 2394 y FJ(P)8 b FI(\))p FK(.)17 b(Also)g(ist)g(mit)f(der)
h(Bezeic)o(hn)o(ung)e(aus)120 2454 y(De\034nition)h(2.5.20)h
FJ(Q)c FI(=)h FJ(P)630 2436 y FG(I)666 2454 y FK(\(w)o(egen)i(\(2.75\))
h(und)1080 2441 y FI(~)1069 2454 y FJ(Q)c FI(=)h(0)p
FK(\),)i(das)h(hei\377t)f FJ(Q)d FH(2)h(E)t FI(\()p FH(\024)h(I)t
FI(\))p FK(.)70 b Fx(\004)120 2611 y FK(Bleibt)21 b(no)q(c)o(h)i(zu)f
(b)q(emerk)o(en,)e(da\377)j(es)g(w\374nsc)o(hensw)o(ert)f(w)o(\344re,)g
(die)g(in)g(2.5.20)h(gegeb)q(ene)120 2671 y(De\034nition)d(v)o(on)g
FH(E)t FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))20 b FK(auf)h FH(\024)p
FK(-Randsysteme)e(auszudehnen,)g(so)i(da\377)g(Lemma)d(2.5.22)120
2731 y(ric)o(h)o(tig)d(bleibt.)p eop
%%Page: 67 69
67 68 bop 60 50 a Fy(2.6.)32 b(EXPONIER)l(TE)16 b(PUNKTE)995
b FK(67)60 203 y FC(2.6)77 b(Exp)r(onierte)29 b(Punkte)g(v)n(on)g
(Mengen)h(dopp)r(elt)f(sto-)236 295 y(c)n(hastisc)n(her)c(Matrizen)60
426 y FK(Betrac)o(h)o(tet)19 b(man)i(k)o(on)o(v)o(exe)e(Mengen,)h(so)i
(gibt)g(es)f(au\377er)h(den)f(Extremalpunkten)e(no)q(c)o(h)60
487 y(w)o(eitere)c(ausgezeic)o(hnete)f(Punkte,)i(die)g(sogenann)o(ten)h
(exp)q(onierten)e(Punkte)h(\(siehe)g(De\034-)60 547 y(nition)f
(2.6.1\).)h(In)f(diesem)e(Absc)o(hnitt)i(sollen)g(exp)q(onierte)g
(Punkte)g(v)o(on)h(Mengen)f(dopp)q(elt)60 607 y(sto)q(c)o(hastisc)o
(her)d(Matrizen)g(und)h(deren)f(Zusammenhang)g(mit)e(den)j
(Extremalpunkten)e(un-)60 667 y(tersuc)o(h)o(t)k(w)o(erden.)60
771 y FL(De\034nition)k(2.6.1.)24 b FK(Sei)19 b FJ(X)25
b FK(ein)20 b(reeller)e(V)l(ektorraum,)g FJ(M)h FH(\022)14
b FJ(X)25 b FK(k)o(on)o(v)o(ex)18 b(und)j FJ(x)1624 778
y FF(0)1657 771 y FH(2)14 b FJ(M)5 b FK(.)60 831 y(Man)17
b(nenn)o(t)g FJ(x)339 838 y FF(0)375 831 y FK(einen)f
FB(exp)n(onierten)j(Punkt)f FK(v)o(on)f FJ(M)23 b FK(genau)17
b(dann,)g(w)o(enn)g(es)g(ein)f(lineares)60 891 y(F)l(unktional)g(\(das)
h(hei\377t)f(eine)f(lineare)g(Abbildung)h FJ(\030)g FI(:)25
b FJ(X)18 b FH(\000)-9 b(!)14 b Fw(R)m FK(\))i(gibt,)g(so)h(da\377)755
1003 y FH(8)684 1036 y FG(x)p FA(2)p FG(M)t FA(nf)p FG(x)822
1041 y Fz(0)837 1036 y FA(g)869 1003 y FJ(\030)r FI(\()p
FJ(x)p FI(\))d FJ(<)g(\030)r FI(\()p FJ(x)1094 1010 y
FF(0)1114 1003 y FI(\))p FJ(:)-1087 b FK(\(2.80\))60
1142 y(Die)16 b(Menge)f(der)h(exp)q(onierten)g(Punkte)g(v)o(on)g
FJ(M)22 b FK(wird)16 b(mit)e(Exp\()p FJ(M)5 b FK(\))17
b(b)q(ezeic)o(hnet.)60 1245 y FL(Bemerkung)g(2.6.2.)23
b FK(Sei)e FJ(X)k FK(ein)c(reeller)e(V)l(ektorraum,)g
FJ(M)27 b FK(eine)20 b(k)o(on)o(v)o(exe)g(T)l(eilmenge)60
1305 y(v)o(on)14 b FJ(X)19 b FK(und)c FJ(x)333 1312 y
FF(0)366 1305 y FH(2)f FJ(M)6 b FK(.)13 b(Dann)j(ist)e
FJ(x)718 1312 y FF(0)752 1305 y FK(genau)h(dann)g(ein)f(exp)q(onierter)
f(Punkt)i(v)o(on)f FJ(M)5 b FK(,)14 b(w)o(enn)60 1366
y(es)i(eine)f(a\036ne)h(Abbildung)592 1353 y FI(~)587
1366 y FJ(\030)h FI(:)24 b FJ(M)19 b FH(\000)-8 b(!)13
b Fw(R)h FK(gibt,)i(so)g(da\377)755 1477 y FH(8)684 1510
y FG(x)p FA(2)p FG(M)t FA(nf)p FG(x)822 1515 y Fz(0)837
1510 y FA(g)874 1464 y FI(~)869 1477 y FJ(\030)r FI(\()p
FJ(x)p FI(\))e FJ(<)1029 1464 y FI(~)1024 1477 y FJ(\030)r
FI(\()p FJ(x)1094 1484 y FF(0)1114 1477 y FI(\))p FJ(:)-1087
b FK(\(2.81\))60 1616 y(Insb)q(esondere)18 b(ist)f(also)h(die)e(Menge)h
(Exp\()p FJ(M)5 b FK(\))18 b(unabh\344ngig)h(da)o(v)o(on,)e(in)g(w)o
(elc)o(hen)f(V)l(ektor-)60 1676 y(raum)k FJ(X)26 b FK(die)21
b(Menge)f FJ(M)27 b FK(eingeb)q(ettet)20 b(ist,)h(solange)h(die)e
(lineare)g(Struktur)h(auf)h FJ(M)27 b FK(die)60 1737
y(gleic)o(he)14 b(bleibt.)60 1840 y FL(Lemma)k(2.6.3.)23
b FK(Ist)34 b FJ(X)39 b FK(ein)34 b(reeller)e(V)l(ektorraum)h(und)i
FJ(M)19 b FH(\022)14 b FJ(X)39 b FK(k)o(on)o(v)o(ex,)32
b(so)j(ist)60 1900 y(Exp)p FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))14
b FH(\022)g FK(E)p FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))p FK(.)60 2023
y FB(Beweis.)26 b FK(Es)16 b(sei)g FJ(x)413 2030 y FF(0)446
2023 y FH(2)e FK(Exp)p FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))16 b FK(gegeb)q(en.)g
(Dann)h(gibt)f(es)g(ein)f(lineares)g(F)l(unktional)h
FJ(\030)r FK(,)g(so)60 2084 y(da\377)h(\(2.80\))g(gilt.)f(Ist)g(dann)h
FJ(x)616 2091 y FF(0)649 2084 y FI(:=)720 2064 y FF(1)p
720 2072 18 2 v 720 2101 a(2)742 2084 y FJ(x)770 2091
y FF(1)801 2084 y FI(+)855 2064 y FF(1)p 855 2072 V 855
2101 a(2)877 2084 y FJ(x)905 2091 y FF(2)941 2084 y FK(mit)e
FJ(x)1059 2091 y FF(1)1078 2084 y FJ(;)8 b(x)1128 2091
y FF(2)1161 2084 y FH(2)14 b FJ(M)6 b FK(,)16 b(so)h(folgt)f
FJ(x)1491 2091 y FF(1)1525 2084 y FI(=)d(2)p FJ(x)1628
2091 y FF(0)1659 2084 y FH(\000)e FJ(x)1737 2091 y FF(2)1756
2084 y FK(.)60 2144 y(Also)h(ist)f FJ(\030)r FI(\()p
FJ(x)299 2151 y FF(1)320 2144 y FI(\))i(=)h(2)p FJ(\030)r
FI(\()p FJ(x)498 2151 y FF(0)519 2144 y FI(\))d FH(\000)g
FJ(\030)r FI(\()p FJ(x)669 2151 y FF(2)689 2144 y FI(\))i
FH(\025)h FJ(\030)r FI(\()p FJ(x)844 2151 y FF(0)864
2144 y FI(\))p FK(.)e(W)l(egen)g(\(2.80\))g(ist)g(dann)h
FJ(x)1408 2151 y FF(1)1441 2144 y FI(=)h FJ(x)1521 2151
y FF(0)1552 2144 y FK(und)e(damit)60 2204 y(dann)17 b(auc)o(h)f
FJ(x)325 2211 y FF(2)358 2204 y FI(=)e FJ(x)438 2211
y FF(0)458 2204 y FK(.)1259 b Fx(\004)60 2327 y FK(Die)11
b(Umk)o(ehrung)d(v)o(on)j(Lemma)e(2.6.3)j(ist)e(im)g(allgemeinen)e
(falsc)o(h)j(\(ein)f(Beispiel)f(\034ndet)i(sic)o(h)60
2387 y(auf)17 b(Seite)f(91)h(un)o(ten)g(in)f([9]\).)g(Die)g(F)l(rage,)h
(ob)g(sie)f(im)f(F)l(all)h FJ(M)k FI(=)13 b FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))18 b FK(f\374r)e(Randsysteme)60 2447 y FH(I)i
FI(=)13 b(\()p FJ(I)197 2454 y FF(1)217 2447 y FJ(;)8
b(I)261 2454 y FF(2)280 2447 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))14
b FK(ric)o(h)o(tig)f(ist,)h(ersc)o(hein)o(t)f(sc)o(h)o(wierig)g(\(dab)q
(ei)i(k)m(ann)h FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))f FK(zum)e(Beispiel)g(als)
60 2507 y(T)l(eilmenge)h(des)k(reellen)d(V)l(ektorraums)g
Fw(R)861 2489 y FG(I)876 2494 y Fz(1)891 2489 y FA(\002)p
FG(I)933 2494 y Fz(2)970 2507 y FK(aufgefa\377t)j(w)o(erden\).)e(Der)h
(Un)o(tersuc)o(h)o(ung)60 2568 y(dieser)e(F)l(rage)i(dien)o(t)e(die)h
(folgende)g(De\034nition)g(2.6.4.)60 2671 y FL(De\034nition)j(2.6.4.)24
b FK(Sei)19 b FH(I)e FI(:=)d(\()p FJ(I)710 2678 y FF(1)729
2671 y FJ(;)8 b(I)773 2678 y FF(2)792 2671 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))19 b FK(ein)h(Randsystem)e(und)j FJ(P)g FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)20 b(Im)e(fol-)60 2731
y(genden)j(sollen)g(f\374r)h FJ(n)14 b FH(2)g Fw(N)22
b FK(Mengen)f FJ(M)836 2738 y FG(n)860 2731 y FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))p FJ(;)h(m)1001 2738 y FG(n)1024 2731
y FI(\()p FJ(P)f FI(\))14 b FH(\022)g FJ(I)1189 2738
y FF(1)1219 2731 y FH(\002)d FJ(I)1291 2738 y FF(2)1331
2731 y FK(de\034niert)21 b(w)o(erden.)f(Ist)p eop
%%Page: 68 70
68 69 bop 120 50 a FK(68)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(M)327 210
y FG(n)351 203 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))27 b FK(\()p
FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(m)676 210
y FG(n)699 203 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(\),)27 b(so)g(hei\377t)f
FJ(p)1061 210 y FG(i;j)1129 203 y FK(ein)g FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FB(-)p FJ(n)p FB(-maximales)j FK(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FB(-)p FJ(n)p FB(-)120
264 y(minimales)p FK(\))c(Elemen)o(t)d(v)o(on)i FJ(P)7
b FK(.)24 b(Setze)f(dann)i FJ(E)1057 271 y FG(n)1081
264 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(:=)f FJ(M)1283 271
y FG(n)1307 264 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))k FH([)h FJ(m)1482
271 y FG(n)1505 264 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))24 b FK(f\374r)g
FJ(n)14 b FH(2)g Fw(N)q FK(.)120 324 y(F\374r)h FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(E)409 331 y FG(n)433
324 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FK(hei\377t)g(dann)h
FJ(p)790 331 y FG(i;j)846 324 y FK(ein)f FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FB(-)p FJ(n)p FB(-extr)n(emes)i FK(Elemen)o(t)c(v)o(on)i
FJ(P)7 b FK(.)15 b(Sind)g(k)o(ei-)120 384 y(ne)j(V)l(erw)o(ec)o
(hslungen)e(m\366glic)o(h,)f(so)j(sc)o(hreib)q(e)f(auc)o(h)h
FJ(n)p FK(-maximal)d(\()p FJ(n)p FK(-minimal,)f FJ(n)p
FK(-extrem\))120 444 y(statt)20 b FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(-)p FJ(n)p FK(-maximal)d(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q FK(-)p FJ(n)p FK(-minimal,)f FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q FK(-)p FJ(n)p FK(-extrem\))i(und)i(lasse)g(dab)q(ei)g
FJ(n)g FK(f\374r)120 504 y FJ(n)14 b FI(=)g(1)i FK(w)o(eg.)g(Nun)g(zu)g
(den)g(De\034nitionen)g(v)o(on)g FJ(M)1044 511 y FG(n)1068
504 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))16 b FK(und)h FJ(m)1301
511 y FG(n)1324 504 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(:)174
658 y FJ(M)221 665 y FF(1)240 658 y FI(\()p FJ(P)g FI(\))14
b(:=)g FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h
FJ(I)603 665 y FF(1)633 658 y FH(\002)d FJ(I)705 665
y FF(2)738 658 y FI(:)72 b FH(8)774 691 y FG(Q)p FA(2D)q
FF(\()p FA(I)r FF(\))916 658 y FJ(q)938 665 y FG(i;j)992
658 y FH(\024)14 b FJ(p)1069 665 y FG(i;j)1109 658 y
FH(g)p FJ(;)178 758 y(m)221 765 y FF(1)240 758 y FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))14 b(:=)g FH(f)p FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s
FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)603 765 y FF(1)633 758 y FH(\002)d
FJ(I)705 765 y FF(2)738 758 y FI(:)72 b FH(8)774 792
y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))916 758 y FJ(q)938
765 y FG(i;j)992 758 y FH(\025)14 b FJ(p)1069 765 y FG(i;j)1109
758 y FH(g)p FJ(;)170 910 y(M)217 917 y FG(n)240 910
y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(:=)396 825 y FE(\()436
910 y FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FI(\()p
FJ(I)637 917 y FF(1)667 910 y FH(\002)d FJ(I)739 917
y FF(2)759 910 y FI(\))g FH(n)825 848 y FG(n)p FA(\000)p
FF(1)830 863 y FE([)826 969 y FG(k)q FF(=1)899 910 y
FJ(E)935 917 y FG(k)957 910 y FI(\()p FJ(P)c FI(\))14
b(:)489 1079 y FH(8)439 1112 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p
FA(I)r FF(\))589 1024 y FE(\020\020)649 1079 y FJ(Q)p
Fx(\030)709 1068 y Fe(S)738 1078 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(1)738
1105 y Fu(k)q Fz(=1)804 1093 y FG(E)830 1099 y Fu(k)849
1093 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))920 1079 y FI(=)13 b FJ(P)7
b Fx(\030)1030 1068 y Fe(S)1060 1078 y Fu(n)p Fv(\000)p
Fz(1)1060 1105 y Fu(k)q Fz(=1)1126 1093 y FG(E)1152 1099
y Fu(k)1171 1093 y FF(\()p FG(P)e FF(\))1228 1024 y FE(\021)1277
1079 y FH(\))11 b FJ(q)1360 1086 y FG(i;j)1413 1079 y
FH(\024)j FJ(p)1490 1086 y FG(i;j)1530 1024 y FE(\021)1568
994 y(\))1617 1079 y FJ(;)56 b(n)14 b(>)g FI(1)p FJ(;)174
1248 y(m)217 1255 y FG(n)240 1248 y FI(\()p FJ(P)7 b
FI(\))14 b(:=)396 1163 y FE(\()436 1248 y FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FI(\()p FJ(I)637 1255 y FF(1)667
1248 y FH(\002)d FJ(I)739 1255 y FF(2)759 1248 y FI(\))g
FH(n)825 1186 y FG(n)p FA(\000)p FF(1)830 1201 y FE([)826
1307 y FG(k)q FF(=1)899 1248 y FJ(E)935 1255 y FG(k)957
1248 y FI(\()p FJ(P)c FI(\))14 b(:)489 1417 y FH(8)439
1450 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))589 1362 y
FE(\020\020)649 1417 y FJ(Q)p Fx(\030)709 1406 y Fe(S)738
1416 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(1)738 1443 y Fu(k)q Fz(=1)804
1431 y FG(E)830 1437 y Fu(k)849 1431 y FF(\()p FG(P)5
b FF(\))920 1417 y FI(=)13 b FJ(P)7 b Fx(\030)1030 1406
y Fe(S)1060 1416 y Fu(n)p Fv(\000)p Fz(1)1060 1443 y
Fu(k)q Fz(=1)1126 1431 y FG(E)1152 1437 y Fu(k)1171 1431
y FF(\()p FG(P)e FF(\))1228 1362 y FE(\021)1277 1417
y FH(\))11 b FJ(q)1360 1424 y FG(i;j)1413 1417 y FH(\025)j
FJ(p)1490 1424 y FG(i;j)1530 1362 y FE(\021)1568 1332
y(\))1617 1417 y FJ(;)56 b(n)14 b(>)g FI(1)p FJ(:)120
604 y FK(\(2.82\))120 1568 y FL(Bemerkung)j(2.6.5.)23
b FK(Ist)d FH(I)e FI(:=)13 b(\()p FJ(I)801 1575 y FF(1)820
1568 y FJ(;)8 b(I)864 1575 y FF(2)883 1568 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))20 b FK(ein)f(Randsystem)g(und)h FJ(P)h FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(,)20 b(so)g(ist)120 1628
y FI(\()p FJ(I)161 1635 y FF(1)191 1628 y FH(\002)11
b FJ(I)263 1635 y FF(2)282 1628 y FI(\))g FH(n)g FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)c FI(\))15 b FH(\022)f FJ(m)634 1635 y FF(1)653
1628 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FH(\022)g FJ(E)832
1635 y FF(1)851 1628 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))q FK(.)120
1726 y FL(Satz)19 b(2.6.6.)k FK(Sei)17 b FH(I)h FI(:=)13
b(\()p FJ(I)630 1733 y FF(1)649 1726 y FJ(;)8 b(I)693
1733 y FF(2)712 1726 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))17 b
FK(ein)g(Randsystem,)g FI(#)p FJ(I)1271 1733 y FF(1)1290
1726 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1375 1733 y FF(2)1407 1726
y FH(\024)14 b FJ(!)20 b FK(und)e FJ(P)j FH(2)14 b(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)120 1786 y(Gilt)578 1892
y FH(8)528 1925 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))670
1892 y FI(\()p FJ(Q)p Fx(\030)749 1900 y FG(E)775 1905
y Fz(1)792 1900 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))862 1892 y FI(=)14
b FJ(P)7 b Fx(\030)973 1900 y FG(E)999 1905 y Fz(1)1016
1900 y FF(\()p FG(P)e FF(\))1073 1892 y FI(\))49 b FH(\))f
FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(Q)p FI(\))p FJ(;)-1295 b FK(\(2.83\))120
2026 y(so)17 b(ist)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(Exp)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)120 2142 y FB(Beweis.)26
b FK(Nac)o(h)15 b(Bemerkung)f(2.6.2)i(gen)o(\374gt)g(es,)f(eine)g
(a\036ne)h(Abbildung)1507 2129 y FI(~)1502 2142 y FJ(\030)g
FI(:)25 b FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b FH(\000)-9
b(!)14 b Fw(R)120 2203 y FK(anzugeb)q(en,)i(so)h(da\377)815
2308 y FH(8)724 2342 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r
FF(\))p FA(nf)p FG(P)5 b FA(g)952 2295 y FI(~)947 2308
y FJ(\030)r FI(\()p FJ(Q)p FI(\))14 b FJ(<)1118 2295
y FI(~)1113 2308 y FJ(\030)r FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p
FJ(:)-1106 b FK(\(2.84\))120 2446 y(Dazu)17 b(sei)e FI(\()p
FJ(\013)367 2453 y FG(i)381 2446 y FI(\))400 2453 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)451 2458 y Fz(1)487 2446 y FK(eine)g(F)l(amilie)e(in)j
Fw(R)851 2425 y FF(+)881 2446 y FK(,)g(so)g(da\377)1063
2408 y FE(P)1115 2460 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1166 2465
y Fz(1)1194 2446 y FJ(\013)1225 2453 y FG(i)1253 2446
y FI(=)d(1)k FK(und)374 2636 y FJ(\033)e FI(:)e FJ(I)466
2643 y FF(1)497 2636 y FH(\002)d FJ(I)568 2643 y FF(2)601
2636 y FH(\000)-8 b(!)14 b Fw(R)m FJ(;)56 b(\033)r FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)997 2518 y FE(8)997 2563 y(>)997
2578 y(<)997 2668 y(>)997 2683 y(:)1041 2565 y FI(1)104
b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14 b FH(2)g
FJ(M)1454 2572 y FF(1)1473 2565 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p
FJ(;)1041 2638 y FH(\000)p FI(1)65 b FK(f\374r)16 b FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14 b FH(2)g FJ(m)1450 2645 y FF(1)1469
2638 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FJ(;)1041 2710 y FI(0)104
b FK(sonst.)120 2636 y(\(2.85\))p eop
%%Page: 69 71
69 70 bop 60 50 a Fy(2.6.)32 b(EXPONIER)l(TE)16 b(PUNKTE)995
b FK(69)60 203 y(De\034niere)15 b(dann)392 190 y FI(~)387
203 y FJ(\030)i FI(:)24 b FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))14
b FH(\000)-8 b(!)14 b Fw(R)f FK(durc)o(h)606 308 y FI(~)601
321 y FJ(\030)r FI(\()p FJ(Q)p FI(\))h(:=)835 274 y FE(X)780
382 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)885 387 y
Fz(1)902 382 y FA(\002)p FG(I)944 387 y Fz(2)970 321
y FJ(\033)r FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))1105 287 y FJ(\013)1136
294 y FG(i)p 1105 310 46 2 v 1110 355 a FJ(r)1132 362
y FG(i)1154 321 y FJ(q)1176 328 y FG(i;j)1216 321 y FJ(:)-1170
b FK(\(2.86\))60 479 y(W)l(egen)275 594 y FH(8)225 628
y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))367 594 y FH(j)386
581 y FI(~)381 594 y FJ(\030)s FI(\()p FJ(Q)p FI(\))p
FH(j)13 b(\024)617 547 y FE(X)562 655 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)667 660 y Fz(1)683 655 y FA(\002)p
FG(I)725 660 y Fz(2)752 594 y FH(j)p FJ(\033)r FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))901 561 y FJ(\013)932 568 y FG(i)p
901 583 V 906 629 a FJ(r)928 636 y FG(i)950 594 y FJ(q)972
601 y FG(i;j)1011 594 y FH(j)14 b(\024)1146 547 y FE(X)1091
655 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1196 660 y
Fz(1)1213 655 y FA(\002)p FG(I)1255 660 y Fz(2)1286 561
y FJ(\013)1317 568 y FG(i)p 1286 583 V 1291 629 a FJ(r)1313
636 y FG(i)1336 594 y FJ(q)1358 601 y FG(i;j)1412 594
y FI(=)1464 547 y FE(X)1464 653 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1519
658 y Fz(2)1549 561 y FJ(\013)1580 568 y FG(j)p 1549
583 50 2 v 1556 629 a FJ(r)1578 636 y FG(i)1604 594 y
FJ(r)1626 601 y FG(i)1654 594 y FI(=)f(1)-1669 b FK(\(2.87\))60
765 y(ist)135 751 y FI(~)130 765 y FJ(\030)21 b FK(w)o(ohlde\034niert.)
16 b(Es)j(ist)f(dann)g(klar,)g(da\377)956 751 y FI(~)951
765 y FJ(\030)i FK(a\036n)f(ist.)e(Da\377)i(\(2.84\))g(gilt,)e(folgt)h
(sofort)60 825 y(aus)f(den)f(De\034nitionen)g(v)o(on)g
FJ(M)654 832 y FF(1)674 825 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))16
b FK(und)h FJ(m)907 832 y FF(1)926 825 y FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))16 b FK(so)o(wie)g(der)g(V)l(oraussetzung)551
931 y FH(8)500 964 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))643
931 y FJ(Q)p Fx(\030)703 939 y FG(E)729 944 y Fz(1)745
939 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))816 931 y FI(=)14 b FJ(P)7
b Fx(\030)927 939 y FG(E)953 944 y Fz(1)970 939 y FF(\()p
FG(P)e FF(\))1075 931 y FH(\))49 b FJ(P)21 b FI(=)14
b FJ(Q:)-1271 b FK(\(2.88\))1731 1061 y Fx(\004)60 1160
y FL(Korollar)20 b(2.6.7.)j FK(Sei)45 b FH(I)18 b FI(:=)13
b(\()p FJ(I)697 1167 y FF(1)716 1160 y FJ(;)8 b(I)760
1167 y FF(2)779 1160 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))45 b
FK(ein)g(Randsystem,)g FI(#)p FJ(I)1422 1167 y FF(1)1441
1160 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1526 1167 y FF(2)1558 1160
y FH(\024)14 b FJ(!)48 b FK(und)60 1220 y FJ(P)21 b FH(2)14
b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(.)h(Gilt)510 1326 y FH(8)460
1359 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))602 1326 y
FI(\()p FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))f FH(\022)g FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))49 b FH(\))g FJ(P)21 b FI(=)14
b FJ(Q)p FI(\))p FJ(;)-1303 b FK(\(2.89\))60 1460 y(so)17
b(ist)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(Exp)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))p FK(.)60 1576 y FB(Beweis.)26 b FK(Die)15
b(Behauptung)i(folgt)f(w)o(egen)277 1698 y FH(8)227 1731
y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))377 1643 y FE(\020)407
1698 y FJ(Q)p Fx(\030)467 1706 y FG(E)493 1711 y Fz(1)510
1706 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))580 1698 y FI(=)14 b FJ(P)7
b Fx(\030)691 1706 y FG(E)717 1711 y Fz(1)734 1706 y
FF(\()p FG(P)e FF(\))853 1666 y(\(2)p FG(:)p FF(6)p FG(:)p
FF(5\))878 1698 y FH(\))74 b FJ(Q)p Fx(\030)1062 1706
y FF(\()p FG(I)1091 1711 y Fz(1)1108 1706 y FA(\002)p
FG(I)1150 1711 y Fz(2)1168 1706 y FF(\))p FA(n)p FG(supp)p
FF(\()p FG(P)5 b FF(\))1342 1698 y FI(=)14 b FJ(P)7 b
Fx(\030)1453 1706 y FF(\()p FG(I)1482 1711 y Fz(1)1499
1706 y FA(\002)p FG(I)1541 1711 y Fz(2)1559 1706 y FF(\))p
FA(n)p FG(supp)p FF(\()p FG(P)e FF(\))878 1823 y FH(\))62
b FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))14 b FH(\022)g FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))49 b FH(\))g FJ(P)21 b FI(=)14
b FJ(Q)1699 1768 y FE(\021)60 1758 y FK(\(2.90\))60 1940
y(aus)j(Satz)f(2.6.6.)1362 b Fx(\004)60 2039 y FL(Korollar)20
b(2.6.8.)j FK(Sei)133 b FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)785
2046 y FF(1)804 2039 y FJ(;)8 b(I)848 2046 y FF(2)867
2039 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))133 b FK(ein)g(Randsystem)g(mit)60
2061 y FE(P)113 2113 y FG(i)p FA(2)p FG(I)164 2118 y
Fz(1)191 2099 y FJ(r)213 2106 y FG(i)241 2099 y FI(=)293
2061 y FE(P)345 2113 y FG(j)r FA(2)p FG(I)400 2118 y
Fz(2)428 2099 y FJ(s)451 2106 y FG(j)483 2099 y FJ(<)14
b FH(1)p FK(,)h(so)i(gilt)f(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))e(=)f FK(Exp)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)60 2215 y FB(Beweis.)26 b FK(Nac)o(h)12
b(Lemma)f(2.6.3)i(ist)f(n)o(ur)h(\022)t FH(\022)p FK(\020)k(zu)c
(zeigen,)e(und)j(das)f(folgt)g(aus)h(Korollar)f(2.6.7)60
2276 y(und)k(Satz)f(2.4.16.)1327 b Fx(\004)60 2392 y
FK(Korollar)23 b(2.6.8)h(ist)f(gerade)h(Prop)q(osition)g(2)g(aus)g
([4],)f(w)o(ob)q(ei)g(dort)h(die)e(V)l(oraussetzung)60
2415 y FE(P)113 2467 y FG(i)p FA(2)p FG(I)164 2472 y
Fz(1)191 2452 y FJ(r)213 2459 y FG(i)241 2452 y FI(=)293
2415 y FE(P)345 2467 y FG(j)r FA(2)p FG(I)400 2472 y
Fz(2)428 2452 y FJ(s)451 2459 y FG(j)483 2452 y FJ(<)14
b FH(1)k FK(fehlt.)f(Der)h(in)g([4])g(gegeb)q(ene)h(Bew)o(eis,)d(ist)i
(jedo)q(c)o(h)g(n)o(ur)h(un)o(ter)60 2513 y(dieser)c(V)l(oraussetzung)i
(ric)o(h)o(tig.)60 2611 y FL(Korollar)j(2.6.9.)j FK(Sei)45
b FH(I)18 b FI(:=)13 b(\()p FJ(I)697 2618 y FF(1)716
2611 y FJ(;)8 b(I)760 2618 y FF(2)779 2611 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))45 b FK(ein)g(Randsystem,)g FI(#)p FJ(I)1422 2618
y FF(1)1441 2611 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1526 2618 y FF(2)1558
2611 y FH(\024)14 b FJ(!)48 b FK(und)60 2671 y FJ(P)21
b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q FK(.)40 b(Gilt)g(f\374r)g(jede)g
(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(te)d FJ(H)45 b FK(v)o(on)40
b FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)41 b(da\377)60
2694 y FE(P)113 2746 y FG(x)133 2751 y Fu(i)146 2746
y FA(2)p FG(V)7 b FF(\()p FG(H)s FF(\))267 2731 y FJ(r)289
2738 y FG(i)317 2731 y FJ(<)14 b FH(1)o FK(,)i(so)h(ist)f
FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(Exp)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))i FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g FJ(P)21 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)p
eop
%%Page: 70 72
70 71 bop 120 50 a FK(70)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)120 203
y FB(Beweis.)26 b FK(Nac)o(h)20 b(Lemma)g(2.6.3)h(ist)g(n)o(ur)h(\022)t
FH(\()p FK(\020)j(zu)d(zeigen,)e(und)h(das)h(folgt)g(aus)g(Korollar)120
264 y(2.6.7)16 b(und)h(Korollar)f(2.4.18.)1127 b Fx(\004)120
360 y FL(Beispiel)20 b(2.6.10.)j FK(De\034niere)705 564
y FJ(P)e FI(:=)822 419 y FE(0)822 506 y(B)822 536 y(B)822
566 y(B)822 598 y(@)878 463 y FI(1)971 443 y FF(1)p 971
451 18 2 v 971 480 a(2)881 503 y(1)p 881 511 V 881 540
a(2)1062 503 y(1)p 1062 511 V 1062 540 a(3)971 563 y(1)p
971 572 V 971 600 a(3)1139 635 y FK(.)1158 647 y(.)1177
660 y(.)1194 419 y FE(1)1194 506 y(C)1194 536 y(C)1194
566 y(C)1194 598 y(A)120 564 y FK(\(2.91\))120 771 y(und)c
FH(I)g FI(:=)c(\()p FJ(I)368 778 y FF(1)388 771 y FJ(;)8
b(I)432 778 y FF(2)451 771 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))13
b(:=)g FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)16 b(Dann)h(gilt)574
874 y FH(8)524 907 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))666
874 y FI(\()p FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))d FH(\022)g
FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))50 b FH(\))e FJ(P)21
b FI(=)14 b FJ(Q)p FI(\))p FJ(:)-1307 b FK(\(2.92\))120
1005 y(Nac)o(h)16 b(Korollar)g(2.6.7)g(ist)g(daher)h
FJ(P)k FH(2)14 b FK(Exp)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))p FK(.)120 1121 y(Es)21 b(stellt)f(sic)o(h)g(heraus,)h(da\377)h
(Satz)f(2.6.6)g(nic)o(h)o(t)f(wirklic)o(h)f(allgemeiner)f(ist)j(als)g
(Korollar)120 1181 y(2.6.7.)16 b(Es)h(gilt)e(das)i(folgende)f(Lemma:)
120 1277 y FL(Lemma)i(2.6.11.)23 b FH(I)17 b FI(:=)d(\()p
FJ(I)653 1284 y FF(1)672 1277 y FJ(;)8 b(I)716 1284 y
FF(2)735 1277 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(sei)h(ein)g
(Randsystem)f(und)h FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(.)i(Dann)h(gilt)542 1375 y FH(8)492 1408 y
FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))634 1375 y FI(\()p
FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))d FH(\022)g FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))50 b FH(\))e FJ(P)21 b FI(=)14
b FJ(Q)p FI(\))492 1475 y FH(,)99 b(8)590 1508 y FG(Q)p
FA(2D)q FF(\()p FA(I)r FF(\))733 1475 y FI(\()p FJ(Q)p
Fx(\030)812 1483 y FG(E)838 1488 y Fz(1)854 1483 y FF(\()p
FG(P)5 b FF(\))925 1475 y FI(=)14 b FJ(P)7 b Fx(\030)1036
1483 y FG(E)1062 1488 y Fz(1)1079 1483 y FF(\()p FG(P)e
FF(\))1185 1475 y FH(\))48 b FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(Q)p
FI(\))p FJ(:)120 1442 y FK(\(2.93\))120 1618 y FB(Beweis.)26
b(Behauptung)19 b(1.)24 b FK(Gilt)16 b FI(#)p FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FH(\025)f FI(2)q FK(,)j(so)h(ist)f
FJ(m)1246 1625 y FF(1)1265 1618 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14
b(=)g(\()p FJ(I)1448 1625 y FF(1)1478 1618 y FH(\002)d
FJ(I)1550 1625 y FF(2)1569 1618 y FI(\))g FH(n)g FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)c FI(\))q FK(.)120 1734 y FB(Beweis.)26
b FK(Es)c(ist)f(n)o(ur)g(\022)t FH(\022)p FK(\020)26
b(zu)c(zeigen.)e(Sind)h FI(\()p FJ(i)1035 1741 y FF(1)1054
1734 y FJ(;)8 b(j)1096 1741 y FF(1)1116 1734 y FI(\))22
b FK(und)f FI(\()p FJ(i)1295 1741 y FF(2)1315 1734 y
FJ(;)8 b(j)1357 1741 y FF(2)1377 1734 y FI(\))21 b FK(zw)o(ei)f(b)q
(eliebige)h(ab)q(er)120 1794 y(v)o(ersc)o(hiedene)c(Elemen)o(te)g(aus)j
(dem)e(T)l(r\344ger)i(v)o(on)f FJ(P)7 b FK(,)20 b(so)g(sei)f
FJ(\017)13 b FI(:=)h(min)n FH(f)p FJ(p)1512 1801 y FG(i)1524
1806 y Fz(1)1542 1801 y FG(;j)1566 1806 y Fz(1)1585 1794
y FJ(;)8 b(p)1631 1801 y FG(i)1643 1806 y Fz(2)1661 1801
y FG(;j)1685 1806 y Fz(2)1704 1794 y FH(g)20 b FK(und)120
1854 y FJ(Q)13 b FI(=)h(\()p FJ(q)265 1861 y FG(i;j)305
1854 y FI(\))324 1862 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p
FG(I)429 1867 y Fz(1)445 1862 y FA(\002)p FG(I)487 1867
y Fz(2)524 1854 y FK(de\034niert)h(durc)o(h)h FJ(Q)p
Fx(\030)913 1862 y FF(\()p FG(I)942 1867 y Fz(1)959 1862
y FA(\002)p FG(I)1001 1867 y Fz(2)1019 1862 y FF(\))p
FA(nf)p FF(\()p FG(i)1095 1867 y Fz(1)1111 1862 y FG(;j)1135
1867 y Fz(1)1152 1862 y FF(\))p FG(;)p FF(\()p FG(i)1202
1867 y Fz(2)1219 1862 y FG(;j)1243 1867 y Fz(2)1260 1862
y FF(\))p FA(g)1307 1854 y FI(=)e FJ(P)7 b Fx(\030)1418
1862 y FF(\()p FG(I)1447 1867 y Fz(1)1464 1862 y FA(\002)p
FG(I)1506 1867 y Fz(2)1524 1862 y FF(\))p FA(nf)p FF(\()p
FG(i)1600 1867 y Fz(1)1616 1862 y FG(;j)1640 1867 y Fz(1)1658
1862 y FF(\))p FG(;)p FF(\()p FG(i)1708 1867 y Fz(2)1724
1862 y FG(;j)1748 1867 y Fz(2)1766 1862 y FF(\))p FA(g)1799
1854 y FK(,)457 2039 y FJ(q)479 2046 y FG(i;j)533 2039
y FI(:=)598 1922 y FE(8)598 1966 y(>)598 1981 y(<)598
2071 y(>)598 2086 y(:)642 1968 y FJ(p)666 1975 y FG(i)678
1980 y Fz(1)696 1975 y FG(;j)720 1980 y Fz(1)750 1968
y FH(\000)k FJ(\017)65 b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p FJ(i)1163 1975 y FF(1)1182
1968 y FJ(;)8 b(j)1224 1975 y FF(1)1244 1968 y FI(\))p
FJ(;)642 2041 y(p)666 2048 y FG(i)678 2053 y Fz(2)696
2048 y FG(;j)720 2053 y Fz(2)750 2041 y FH(\000)j FJ(\017)65
b FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b(=)h(\()p
FJ(i)1163 2048 y FF(2)1182 2041 y FJ(;)8 b(j)1224 2048
y FF(2)1244 2041 y FI(\))p FJ(;)642 2113 y(p)666 2120
y FG(i;j)718 2113 y FI(+)j FJ(\017)98 b FK(f\374r)16
b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h(f)p FI(\()p
FJ(i)1183 2120 y FF(1)1203 2113 y FJ(;)8 b(j)1245 2120
y FF(2)1264 2113 y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p FJ(i)1341 2120
y FF(2)1361 2113 y FJ(;)g(j)1403 2120 y FF(1)1422 2113
y FI(\))p FH(g)p FJ(:)120 2039 y FK(\(2.94\))120 2219
y(Dann)79 b(ist)f FJ(Q)13 b FH(2)h(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))79 b FK(und)f FJ(q)911 2226 y FG(i)923 2231 y Fz(1)940
2226 y FG(;j)964 2231 y Fz(1)998 2219 y FJ(<)13 b(p)1073
2226 y FG(i)1085 2231 y Fz(1)1103 2226 y FG(;j)1127 2231
y Fz(1)1147 2219 y FK(,)77 b FJ(q)1260 2226 y FG(i)1272
2231 y Fz(2)1289 2226 y FG(;j)1313 2231 y Fz(2)1347 2219
y FJ(<)13 b(p)1422 2226 y FG(i)1434 2231 y Fz(2)1452
2226 y FG(;j)1476 2231 y Fz(2)1496 2219 y FK(.)78 b(Also)g(gilt)120
2279 y FI(\()p FJ(i)156 2286 y FF(1)175 2279 y FJ(;)8
b(j)217 2286 y FF(1)237 2279 y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p
FJ(i)314 2286 y FF(2)333 2279 y FJ(;)g(j)375 2286 y FF(2)395
2279 y FI(\))20 b FJ(=)-30 b FH(2)14 b FJ(m)518 2286
y FF(1)537 2279 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(.)1167
b Fx(N)120 2375 y FB(Behauptung)19 b(2.)24 b FK(F\374r)45
b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)756 2382
y FF(1)787 2375 y FH(\002)d FJ(I)859 2382 y FF(2)923
2375 y FK(gilt)44 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b
FH(2)h FJ(M)1245 2382 y FF(1)1265 2375 y FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))45 b FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)120 2435 y FJ(p)144
2442 y FG(i;j)198 2435 y FH(2)14 b(f)p FJ(r)292 2442
y FG(i)306 2435 y FJ(;)8 b(s)351 2442 y FG(j)369 2435
y FH(g)p FK(.)120 2551 y FB(Beweis.)26 b FK(Es)h(ist)f(n)o(ur)g(\022)t
FH(\))p FK(\020)31 b(zu)26 b(zeigen.)f(Angenommen,)e(es)k(ist)f
FJ(p)1424 2558 y FG(i;j)1478 2551 y FH(62)14 b(f)p FJ(r)1572
2558 y FG(i)1586 2551 y FJ(;)8 b(s)1631 2558 y FG(j)1649
2551 y FH(g)p FK(.)26 b(Dann)120 2611 y(gibt)19 b(es)h(Elemen)o(te)c
FJ(i)517 2618 y FF(2)551 2611 y FH(2)e FJ(I)620 2618
y FF(1)658 2611 y FK(und)20 b FJ(j)779 2618 y FF(1)813
2611 y FH(2)14 b FJ(I)882 2618 y FF(2)901 2611 y FK(,)19
b(so)h(da\377)g FI(\()p FJ(i;)8 b(j)1170 2618 y FF(1)1190
2611 y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p FJ(i)1267 2618 y FF(2)1286
2611 y FJ(;)g(j)s FI(\))14 b FH(2)g FJ(supp)p FI(\()p
FJ(P)7 b FI(\))q FK(.)19 b(Setze)f(n)o(un)120 2671 y
FJ(i)137 2678 y FF(1)170 2671 y FI(:=)c FJ(i)j FK(und)i
FJ(j)390 2678 y FF(2)423 2671 y FI(:=)14 b FJ(j)s FK(,)j(und)i
(de\034niere)e(eine)g(Matrix)g FJ(Q)h FK(wie)g(in)g(Behauptung)g(1.)g
(Dann)h(ist)120 2731 y FJ(q)142 2738 y FG(i;j)196 2731
y FI(=)13 b FJ(q)269 2738 y FG(i)281 2743 y Fz(1)298
2738 y FG(;j)322 2743 y Fz(2)356 2731 y FJ(>)g(p)431
2738 y FG(i;j)472 2731 y FK(,)j(w)o(omit)e FI(\()p FJ(i;)8
b(j)s FI(\))19 b FJ(=)-29 b FH(2)14 b FJ(M)857 2738 y
FF(1)876 2731 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(gezeigt)e(ist.)597
b Fx(N)p eop
%%Page: 71 73
71 72 bop 60 50 a Fy(2.6.)32 b(EXPONIER)l(TE)16 b(PUNKTE)995
b FK(71)60 203 y(F\374r)15 b(den)g(Bew)o(eis)e(des)i(Lemmas)e(ist)h
(nac)o(h)h(dem)e(Argumen)o(t)g(aus)j(Korollar)f(2.6.7)g(n)o(ur)g(no)q
(c)o(h)60 264 y(\022)t FH(\()p FK(\020)21 b(zu)16 b(zeigen,)f(und)i
(man)f(k)m(ann)h(annehmen,)e(da\377)i FI(#)p FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b FH(\025)g FI(2)p FK(.)i(Ist)h(n)o(un)f
FJ(Q)d FH(2)h(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))60 324 y FK(und)g
FJ(supp)p FI(\()p FJ(Q)p FI(\))g FH(\022)f FJ(supp)p
FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))q FK(,)13 b(so)h(gilt)f FJ(Q)p
Fx(\030)801 332 y FF(\()p FG(I)830 337 y Fz(1)847 332
y FA(\002)p FG(I)889 337 y Fz(2)907 332 y FF(\))p FA(n)p
FG(supp)p FF(\()p FG(P)5 b FF(\))1081 324 y FI(=)14 b
FJ(P)7 b Fx(\030)1192 332 y FF(\()p FG(I)1221 337 y Fz(1)1238
332 y FA(\002)p FG(I)1280 337 y Fz(2)1298 332 y FF(\))p
FA(n)p FG(supp)p FF(\()p FG(P)e FF(\))1459 324 y FK(,)13
b(und)g(das)h(hei\377t)60 384 y FJ(Q)p Fx(\030)120 392
y FG(m)151 397 y Fz(1)168 392 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))239
384 y FI(=)13 b FJ(P)7 b Fx(\030)349 392 y FG(m)380 397
y Fz(1)398 392 y FF(\()p FG(P)e FF(\))467 384 y FK(nac)o(h)12
b(Behauptung)h(1.)g(Dann)g(folgt)g(ab)q(er)g(aus)g(Behauptung)g(2)g
(sofort,)60 444 y(da\377)18 b(auc)o(h)e FJ(Q)p Fx(\030)328
452 y FG(M)362 457 y Fz(1)379 452 y FF(\()p FG(P)5 b
FF(\))449 444 y FI(=)14 b FJ(P)7 b Fx(\030)560 452 y
FG(M)594 457 y Fz(1)611 452 y FF(\()p FG(P)e FF(\))685
444 y FK(gelten)16 b(m)o(u\377.)f(Also)h(gilt)g FJ(Q)p
Fx(\030)1207 452 y FG(E)1233 457 y Fz(1)1249 452 y FF(\()p
FG(P)5 b FF(\))1320 444 y FI(=)14 b FJ(P)7 b Fx(\030)1431
452 y FG(E)1457 457 y Fz(1)1474 452 y FF(\()p FG(P)e
FF(\))1547 444 y FK(und)17 b(damit)60 504 y FJ(P)k FI(=)14
b FJ(Q)o FK(.)1515 b Fx(\004)60 613 y FK(O\033ene)37
b(F)l(ragen)h(sind)f(zur)g(Zeit,)f(ob)h(Satz)h(2.6.6)f(ric)o(h)o(tig)f
(bleibt,)g(w)o(enn)g FJ(E)1663 620 y FF(1)1683 613 y
FI(\()49 b(\))60 673 y FK(durc)o(h)208 636 y FE(S)249
649 y FG(k)249 688 y(n)p FF(=1)326 673 y FJ(E)362 680
y FG(n)385 673 y FI(\()g(\))p FK(,)27 b FJ(k)16 b FH(2)e
Fw(N)e FH([)f(f1g)27 b FK(ersetzt)f(wird)g(o)q(der)i(w)o(enn)f(die)f
(Einsc)o(hr\344nkung)60 733 y FI(#)p FJ(I)123 740 y FF(1)142
733 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)227 740 y FF(2)259 733 y FH(\024)14
b FJ(!)25 b FK(fallen)c(gelassen)i(wird.)e(Generell)g(sc)o(hein)o(t)g
(es)i(ziemli)o(c)n(h)d(aussic)o(h)o(tslos)i(zu)60 794
y(sein,)d(zu)h(zeigen,)e(da\377)j(eine)e(extremale)e(Matrix)i
FJ(P)27 b FK(nac)o(h)20 b(De\034nition)g(2.6.1)g(nic)o(h)o(t)f(exp)q
(o-)60 854 y(niert)g(ist.)h(Es)g(wird)g(w)o(ahrsc)o(heinlic)o(h)e(not)o
(w)o(endig)i(sein,)f(die)g(De\034nition)h(so)h(abzu\344ndern,)60
914 y(da\377)g(n)o(ur)f(no)q(c)o(h)g(stetige)g(lineare)f(Abbildungen)g
(b)q(ez\374glic)o(h)g(einer)g(no)q(c)o(h)h(zu)g(v)o(erbarenden)60
974 y(T)l(op)q(ologie)g(f\374r)f(die)f(Abbildung)g FJ(\030)k
FK(zugelassen)d(w)o(erden.)e(Der)i(Bew)o(eis,)e(da\377)j(eine)e(Matrix)
60 1034 y(nic)o(h)o(t)13 b(exp)q(oniert)h(ist,)f(k)o(\366nn)o(te)h
(dann)h(mit)d(Hilfe)h(einer)g(Darstellung)h(aller)g(solc)o(hen)f
(stetigen)60 1095 y(linearen)i(F)l(unktionale)h(erfolgen.)60
1177 y FL(Beispiel)k(2.6.12.)j FK(Sei)11 b FJ(P)20 b
FK(die)11 b(Matrix)g(aus)i(Beispiel)d(2.4.13.)j(Dann)g(gilt)e
FJ(M)1478 1184 y FF(2)1498 1177 y FI(\()p FJ(P)c FI(\))14
b(=)g FJ(A)e FK(und)60 1237 y FJ(m)103 1244 y FF(2)122
1237 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g FJ(B)19 b FK(mit)245
1319 y FJ(A)13 b FI(:=)h FH(f)p FI(\(1)p FJ(;)8 b FI(1\))p
FH(g)j([)g(f)p FI(\()p FJ(i;)d(j)s FI(\))13 b FH(2)i
FJ(I)782 1326 y FF(1)812 1319 y FH(\002)c FJ(I)884 1326
y FF(2)917 1319 y FI(:)21 b(\()p FJ(j)c FI(=)d FJ(i)d
FI(+)g(1)p FJ(;)19 b(i)d FK(gerade)p FI(\))639 1391 y
FK(o)q(der)h FI(\()p FJ(i)c FI(=)h FJ(j)g FI(+)d(1)p
FJ(;)19 b(i)d FK(ungerade)q FI(\))p FH(g)p FJ(;)242 1464
y(B)g FI(:=)e(\(\()p FJ(I)421 1471 y FF(1)451 1464 y
FH(\002)d FJ(I)523 1471 y FF(2)542 1464 y FI(\))g FH(n)g
FJ(supp)p FI(\()p FJ(P)c FI(\)\))12 b FH([)f(f)p FI(\()p
FJ(i;)d(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(I)1065 1471 y FF(1)1096
1464 y FH(\002)c FJ(I)1167 1471 y FF(2)1200 1464 y FI(:)22
b(\()p FJ(j)17 b FI(=)d FJ(i)c FI(+)h(1)p FJ(;)20 b(i)c
FK(ungerade)p FI(\))932 1537 y FK(o)q(der)g FI(\()p FJ(i)e
FI(=)g FJ(j)g FI(+)d(1)p FJ(;)19 b(i)d FK(gerade)p FI(\))p
FH(g)e FI(:)60 1428 y FK(\(2.95\))60 1618 y(Ist)32 b
FJ(Q)14 b FH(2)g(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))33 b FK(mit)e
FJ(Q)p Fx(\030)555 1626 y FF(\()p FG(I)584 1631 y Fz(1)600
1626 y FA(\002)p FG(I)642 1631 y Fz(2)660 1626 y FF(\))p
FA(n)p FG(supp)p FF(\()p FG(P)5 b FF(\))835 1618 y FI(=)13
b FJ(P)7 b Fx(\030)945 1626 y FF(\()p FG(I)974 1631 y
Fz(1)992 1626 y FA(\002)p FG(I)1034 1631 y Fz(2)1052
1626 y FF(\))p FA(n)p FG(supp)p FF(\()p FG(P)e FF(\))1245
1618 y FK(so)o(wie)32 b FJ(q)1412 1625 y FG(i;j)1465
1618 y FJ(>)14 b(p)1541 1625 y FG(i;j)1614 1618 y FK(f\374r)33
b(ein)60 1678 y FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h
FJ(A)f FK(o)q(der)g FJ(q)398 1685 y FG(i;j)452 1678 y
FJ(<)h(p)528 1685 y FG(i;j)581 1678 y FK(f\374r)f(ein)f
FI(\()p FJ(i;)c(j)s FI(\))14 b FH(2)g FJ(B)r FK(,)f(so)g(folgt)g(mit)f
FJ(\016)j FI(:=)e FH(j)p FJ(p)1349 1685 y FG(i;j)1401
1678 y FH(\000)d FJ(q)1472 1685 y FG(i;j)1512 1678 y
FH(j)p FK(,)i(da\377)i(w)o(egen)92 1796 y FH(\001)8 b(\001)g(\001)14
b FI(=)p FJ(p)226 1803 y FF(4)p FG(;)p FF(3)285 1796
y FH(\000)d FJ(q)357 1803 y FF(4)p FG(;)p FF(3)417 1796
y FI(=)j FJ(q)491 1803 y FF(2)p FG(;)p FF(3)549 1796
y FH(\000)d FJ(p)623 1803 y FF(2)p FG(;)p FF(3)684 1796
y FI(=)j FJ(p)760 1803 y FF(2)p FG(;)p FF(1)819 1796
y FH(\000)c FJ(q)890 1803 y FF(2)p FG(;)p FF(1)951 1796
y FI(=)k FJ(q)1025 1803 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1083 1796
y FH(\000)c FJ(p)1156 1803 y FF(1)p FG(;)p FF(1)1218
1796 y FI(=)k FJ(p)1294 1803 y FF(1)p FG(;)p FF(2)1352
1796 y FH(\000)d FJ(q)1424 1803 y FF(1)p FG(;)p FF(2)1485
1796 y FI(=)j FJ(q)1559 1803 y FF(3)p FG(;)p FF(2)1616
1796 y FH(\000)d FJ(p)1690 1803 y FF(3)p FG(;)p FF(2)164
1869 y FI(=)p FJ(p)226 1876 y FF(3)p FG(;)p FF(4)285
1869 y FH(\000)g FJ(q)357 1876 y FF(3)p FG(;)p FF(4)417
1869 y FI(=)j FJ(:)8 b(:)g(:)60 1952 y FK(f\374r)14 b(alle)f(nac)o(h)h
(\(2.38\))g(de\034nierten)f FJ(a)738 1959 y FG(n)761
1952 y FK(,)g FJ(n)h FH(2)g Fw(N)h FK(gilt,)e(da\377)i
FJ(\016)g FH(\024)e FJ(a)1231 1959 y FG(n)1254 1952 y
FK(.)h(Daraus)h(folgt)f(dann)h(ab)q(er)60 2012 y FJ(\016)g
FI(=)f(0)p FK(.)i(O\033en)h(bleibt,)d(ob)j FJ(P)24 b
FK(exp)q(oniert)15 b(ist)h(o)q(der)h(nic)o(h)o(t.)60
2112 y(Ein)f(W)l(eiteres)f(Beispiel)f(einer)i(extremalen)d(Matrix,)j
(f\374r)g(die)g(zur)g(Zeit)f(nic)o(h)o(t)g(klar)h(ist,)g(ob)60
2172 y(sie)21 b(exp)q(oniert)h(ist)f(o)q(der)i(nic)o(h)o(t,)d(ist)h
(durc)o(h)h(den)f(Graphen)i(in)e(Abbildung)h(2.6)g(gegeb)q(en)60
2232 y(\(nac)o(h)16 b(der)g(in)g(Bemerkung)e(2.1.5)i(b)q(esc)o(hrieb)q
(enen)g(Iden)o(ti\034k)m(ation\).)60 2310 y(Alle)f(Elemen)o(te)f
(au\377er)j FJ(p)533 2317 y FF(1)p FG(;)p FF(1)598 2310
y FK(sind)f FI(2)p FK(-extrem.)f FJ(p)944 2317 y FF(1)p
FG(;)p FF(1)1008 2310 y FK(ist)i(nic)o(h)o(t)e FI(2)p
FK(-extrem,)g(jedo)q(c)o(h)h(so)o(w)o(ohl)h FI(3)p FK(-)60
2370 y(minim)o(al)9 b(als)j(auc)o(h)g FI(3)p FK(-maximal.)d(Durc)o(h)j
(Einf\374gen)f(immer)e(w)o(eiterer)h(Graphen)i(\(abz\344hlbar)60
2430 y(vieler\),)h(wie)i(in)g(den)h(Abbildungen)e(2.7)i(und)g(2.8)g(b)q
(esc)o(hrieb)q(en,)e(lassen)i(sic)o(h)f(n)o(un)g(b)q(eliebig)60
2491 y(k)o(omplizie)o(rte)20 b(Matrizen)i(mit)g FJ(k)r
FK(-extremen)f(Elemen)o(ten)f(un)o(tersc)o(hiedlic)o(hster)g(Ordn)o
(ung)60 2551 y(erzeugen.)13 b(F\374r)h(alle)g(diese)g(Matrizen)f(m)o
(\374\377te)g(man)g(die)h(F)l(rage)g(der)g(Exp)q(oniertheit)g
(kl\344ren,)60 2611 y(um)g(das)i(Problem,)d(ob)i(es)g(extremale)d
(Matrizen)i(geb)q(en)i(k)m(ann,)f(die)f(nic)o(h)o(t)g(exp)q(oniert)g
(sind,)60 2671 y(l\366sen)e(zu)f(k)o(\366nnen;)g(denn)h(es)g(gilt)f(in)
g(V)l(erallgemeinerung)e(v)o(on)j(Lemma)d(2.4.15)k(der)e(folgende)60
2731 y(Satz:)p eop
%%Page: 72 74
72 73 bop 120 50 a FK(72)396 b Fy(KAPITEL)17 b(2.)32
b(DOPPEL)l(T)18 b(STOCHASTISCHE)e(MA)l(TRIZEN)262 174
y Ft(y)282 180 y Fk(12)393 175 y Ft(x)417 181 y Fk(9)519
174 y Ft(y)539 180 y Fk(8)641 175 y Ft(x)665 181 y Fk(5)767
174 y Ft(y)787 180 y Fk(4)889 175 y Ft(x)913 181 y Fk(1)1015
174 y Ft(y)1035 180 y Fk(1)1143 175 y Ft(x)1167 181 y
Fk(4)1269 174 y Ft(y)1289 180 y Fk(5)1391 175 y Ft(x)1415
181 y Fk(8)1517 174 y Ft(y)1537 180 y Fk(9)1631 175 y
Ft(x)1655 181 y Fk(12)330 235 y Fz(1)p 330 241 16 2 v
330 262 a(4)452 251 y FF(1)578 235 y Fz(1)p 578 241 V
578 262 a(3)700 251 y FF(1)826 235 y Fz(1)p 826 241 V
826 262 a(2)960 251 y FF(1)1085 235 y Fz(1)p 1085 241
V 1085 262 a(2)1202 251 y FF(1)1328 235 y Fz(1)p 1328
241 V 1328 262 a(3)1450 251 y FF(1)1576 235 y Fz(1)p
1576 241 V 1576 262 a(4)261 388 y Ft(x)285 394 y Fk(11)386
387 y Ft(y)406 393 y Fk(10)517 388 y Ft(x)541 394 y Fk(7)643
387 y Ft(y)663 393 y Fk(6)765 388 y Ft(x)789 394 y Fk(3)891
387 y Ft(y)911 393 y Fk(2)1013 388 y Ft(x)1037 394 y
Fk(2)1144 387 y Ft(y)1164 393 y Fk(3)1267 388 y Ft(x)1291
394 y Fk(6)1393 387 y Ft(y)1413 393 y Fk(7)1507 388 y
Ft(x)1531 394 y Fk(10)1632 387 y Ft(y)1652 393 y Fk(11)359
306 y Fz(1)p 359 312 V 359 333 a(4)482 322 y FF(1)607
306 y Fz(1)p 607 312 V 607 333 a(3)730 322 y FF(1)855
306 y Fz(1)p 855 312 V 855 333 a(2)895 287 y FF(1)106
b(1)1109 306 y Fz(1)p 1109 312 V 1109 333 a(2)1232 322
y FF(1)1357 306 y Fz(1)p 1357 312 V 1357 333 a(3)1492
322 y FF(1)1605 306 y Fz(1)p 1605 312 V 1605 333 a(4)191
343 y Ft(:)7 b(:)g(:)191 219 y(:)g(:)g(:)1703 343 y(:)g(:)g(:)1703
219 y(:)g(:)g(:)266 359 y @beginspecial 131 @llx 500
@lly 401 @urx 531 @ury 3401 @rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../exp1.eps

/IdrawDict 50 dict def
IdrawDict begin

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 147 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 447 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 417 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 387 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 358 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 328 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 298 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 268 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 238 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 208 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Line
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
none SetP %I p n
%I t
[ 1 0 0 1 178 198 ] concat
%I
21 461 51 461 Line
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
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132 304 6 7 Elli
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Begin %I Line
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[ 1 0 0 1 125.5 349.5 ] concat
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End

Begin %I Elli
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End

Begin %I Elli
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Begin %I Elli
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End

Begin %I Elli
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%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
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0 SetP
%I t
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%I
132 304 6 7 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
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%I
132 304 6 7 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 371.5 478 ] concat
%I
132 304 6 7 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
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%I
132 304 6 7 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 431.5 478 ] concat
%I
132 304 6 7 Elli
End

End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 297 501 a FK(Abbildung)k(2.6:)h(Der)g(Graph)g(soll,)f(wie)
g(angedeutet,)h(nac)o(h)f(links)g(und)297 561 y(rec)o(h)o(ts)k(ins)h
(Unendlic)o(he)e(fortgesetzt)h(w)o(erden.)g(Das)i(Bildungsgesetz)297
621 y(f\374r)e(die)g(Ec)o(k)o(en)e(ist)i(dab)q(ei)h(links)e(ob)q(en)i
FJ(:)8 b(:)g(:)f(;)h(y)1132 629 y FF(4\()p FG(n)p FF(+1\))1245
621 y FJ(;)g(x)1295 628 y FF(4)p FG(n)p FF(+1)1381 621
y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FK(,)14 b(links)297 681 y(un)o(ten)g
FJ(:)8 b(:)g(:)f(;)h(x)547 688 y FF(4)p FG(n)p FF(+3)633
681 y FJ(;)g(y)679 688 y FF(4)p FG(n)p FF(+2)765 681
y FJ(;)g(:)g(:)g(:)f FK(,)14 b(rec)o(h)o(ts)f(ob)q(en)i
FJ(:)8 b(:)g(:)f(;)h(y)1246 688 y FF(4)p FG(n)p FF(+1)1332
681 y FJ(;)g(x)1382 689 y FF(4\()p FG(n)p FF(+1\))1495
681 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FK(,)297 742 y(rec)o(h)o(ts)15
b(un)o(ten)h FJ(:)8 b(:)g(:)g(;)g(x)691 749 y FF(4)p
FG(n)p FF(+2)776 742 y FJ(;)g(y)822 749 y FF(4)p FG(n)p
FF(+3)908 742 y FJ(;)g(:)g(:)g(:)g FK(.)359 951 y Fz(1)p
359 957 V 359 978 a(4)482 967 y FF(1)607 951 y Fz(1)p
607 957 V 607 978 a(3)730 967 y FF(1)855 951 y Fz(1)p
855 957 V 855 978 a(2)895 931 y FF(1)106 b(1)1109 951
y Fz(1)p 1109 957 V 1109 978 a(2)1232 967 y FF(1)1357
951 y Fz(1)p 1357 957 V 1357 978 a(3)1492 967 y FF(1)1605
951 y Fz(1)p 1605 957 V 1605 978 a(4)191 988 y Ft(:)7
b(:)g(:)1462 b(:)7 b(:)g(:)266 1003 y @beginspecial 131
@llx 500 @lly 401 @urx 530 @ury 3401 @rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../exp2.eps

/IdrawDict 50 dict def
IdrawDict begin

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
[ 0.8 0 0 0.8 0 0 ] concat
/originalCTM matrix currentmatrix def

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
%I cbg White
1 1 1 SetCBg
%I p
0 SetP
%I t
[ 0.5 0 0 0.5 252.5 506.5 ] concat
%I
132 304 6 7 Elli
End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
%I cfg Black
0 0 0 SetCFg
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Begin %I Line
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End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 297 1150 a FK(Abbildung)18 b(2.7:)h(Graphen)g(dieser)f(F)l
(orm)g(sollen)g(an)h(den)g(Graphen)297 1210 y(aus)14
b(Abbildung)e(2.6)i(so)f(angef\374gt)h(w)o(erden,)e(da\377)i(die)e(b)q
(eiden)h(Zusam-)297 1270 y(menhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)20
b(durc)o(h)h(eine)g(Kan)o(te)g(mit)f(Gewic)o(h)o(t)g(Eins)297
1330 y(\374b)q(erbr\374c)o(kt)c(w)o(erden.)120 1463 y
FL(Satz)j(2.6.13.)k FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13 b(\()p
FJ(I)656 1470 y FF(1)676 1463 y FJ(;)8 b(I)720 1470 y
FF(2)739 1463 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(ein)h(Randsystem.)e
(Ist)j FJ(P)k FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)i(und)g(gilt)
488 1573 y FH(8)438 1606 y FG(Q)p FA(2D)q FF(\()p FA(I)r
FF(\))580 1573 y FI(\()p FJ(Q)p Fx(\030)659 1556 y Fe(S)688
1591 y Fu(n)p Fv(2)p Fd(N)754 1581 y FG(E)780 1585 y
Fu(n)801 1581 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))872 1573 y FI(=)13
b FJ(P)7 b Fx(\030)982 1556 y Fe(S)1012 1591 y Fu(n)p
Fv(2)p Fd(N)1078 1581 y FG(E)1104 1585 y Fu(n)1125 1581
y FF(\()p FG(P)e FF(\))1230 1573 y FH(\))49 b FJ(P)21
b FI(=)14 b FJ(Q)p FI(\))p FJ(;)-1385 b FK(\(2.96\))120
1711 y(so)17 b(ist)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)120 1829 y FB(Beweis.)26
b FK(Angenommen,)g FJ(P)h(=)-29 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)30 b(Dann)h(gibt)f(es)g(nac)o(h)g
(Lemma)d(2.1.13)k(\(b\))120 1889 y FJ(E)17 b FH(2)d(M)280
1896 y Fm(R)306 1889 y FI(\()p FJ(I)347 1896 y FF(1)366
1889 y FJ(;)8 b(I)410 1896 y FF(2)429 1889 y FI(\))p
FK(,)k(so)i(da\377)f(sic)o(h)f(alle)g(Linien)h(v)o(on)f
FJ(E)k FK(zu)d(Null)e(summieren)e(und)14 b FJ(P)k FH(\006)11
b FJ(E)16 b FH(\025)e FI(0)p FK(.)120 1950 y(Das)34 b(Ziel)d(ist,)i(zu)
f(zeigen,)g(da\377)i FJ(E)17 b FI(=)c(0)q FK(.)32 b(Nac)o(h)h(V)l
(oraussetzung)g(gen)o(\374gt)g(es)g(dazu,)120 2010 y
FJ(E)s Fx(\030)180 1993 y Fe(S)209 2028 y Fu(n)p Fv(2)p
Fd(N)275 2018 y FG(E)301 2024 y Fu(k)320 2018 y FF(\()p
FG(P)5 b FF(\))391 2010 y FI(=)13 b(0)30 b FK(zu)g(b)q(ew)o(eisen.)e
(Daf\374r)j(wird)e(n)o(un)h(durc)o(h)f(Induktion)g(nac)o(h)h
FJ(n)g FK(ge-)120 2070 y(zeigt,)h(da\377)h FJ(E)s Fx(\030)433
2078 y FG(E)459 2082 y Fu(n)480 2078 y FF(\()p FG(P)5
b FF(\))551 2070 y FI(=)14 b(0)p FK(.)32 b(Sei)f FJ(n)14
b FI(=)g(1)p FK(.)31 b(Angenommen,)e(es)j(ist)g FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))13 b FH(2)h FJ(E)1621 2077 y FF(1)1641
2070 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))32 b FK(und)120 2130 y
FJ(e)143 2137 y FG(i;j)197 2130 y FH(6)p FI(=)13 b(0)q
FK(.)j(Dann)h(ist)f FJ(p)527 2137 y FG(i;j)579 2130 y
FI(+)11 b FJ(e)651 2137 y FG(i;j)704 2130 y FJ(>)j(p)780
2137 y FG(i;j)837 2130 y FK(und)j FJ(p)959 2137 y FG(i;j)1011
2130 y FH(\000)10 b FJ(e)1083 2137 y FG(i;j)1137 2130
y FJ(<)k(p)1213 2137 y FG(i;j)1253 2130 y FK(,)i(w)o(as)h(w)o(egen)f
FJ(P)j FH(\006)11 b FJ(E)16 b FH(2)e(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))120 2190 y FK(und)31 b(De\034nition)g(v)o(on)g
FJ(E)617 2197 y FF(1)637 2190 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))31
b FK(jedo)q(c)o(h)g(nic)o(h)o(t)f(sein)h(k)m(ann.)g(F\374r)g
FJ(n)14 b(>)g FI(1)31 b FK(gilt)g(p)q(er)g(In-)120 2251
y(duktion)24 b FI(\()p FJ(P)18 b FH(\006)11 b FJ(E)s
FI(\))p Fx(\030)505 2240 y Fe(S)534 2250 y Fu(n)p Fv(\000)p
Fz(1)534 2276 y Fu(k)q Fz(=1)600 2264 y FG(E)626 2270
y Fu(k)645 2264 y FF(\()p FG(P)5 b FF(\))716 2251 y FI(=)14
b FJ(P)7 b Fx(\030)827 2240 y Fe(S)856 2250 y Fu(n)p
Fv(\000)p Fz(1)856 2276 y Fu(k)q Fz(=1)922 2264 y FG(E)948
2270 y Fu(k)967 2264 y FF(\()p FG(P)e FF(\))1024 2251
y FK(.)23 b(Nun)h(folgt)g(wie)f(f\374r)h FJ(n)14 b FI(=)g(1)p
FK(,)23 b(da\377)i(auc)o(h)120 2311 y FJ(E)s Fx(\030)180
2319 y FG(E)206 2323 y Fu(n)227 2319 y FF(\()p FG(P)5
b FF(\))298 2311 y FI(=)13 b(0)q FK(.)1403 b Fx(\004)p
eop
%%Page: 73 75
73 74 bop 60 50 a Fy(2.6.)32 b(EXPONIER)l(TE)16 b(PUNKTE)995
b FK(73)298 1343 y FF(1)423 1327 y Fz(1)p 423 1333 16
2 v 423 1354 a(4)546 1343 y FF(1)671 1327 y Fz(1)p 671
1333 V 671 1354 a(3)794 1343 y FF(1)837 1292 y Fz(1)p
837 1298 V 837 1318 a(2)961 1292 y(1)p 961 1298 V 961
1318 a(2)1048 1343 y FF(1)1173 1327 y Fz(1)p 1173 1333
V 1173 1354 a(3)1296 1343 y FF(1)1433 1327 y Fz(1)p 1433
1333 V 1433 1354 a(4)1544 1343 y FF(1)131 1364 y Ft(:)7
b(:)g(:)1462 b(:)7 b(:)g(:)206 1380 y @beginspecial 131
@llx 500 @lly 401 @urx 530 @ury 3401 @rwi @setspecial
%%BeginDocument: ../exp2.eps

/IdrawDict 50 dict def
IdrawDict begin

/arrowHeight 8 def
/arrowWidth 4 def
/none null def
/numGraphicParameters 17 def
/stringLimit 65535 def

/Begin {
save
numGraphicParameters dict begin
} def

/End {
end
restore
} def

/SetB {
dup type /nulltype eq {
pop
false /brushRightArrow idef
false /brushLeftArrow idef
true /brushNone idef
} {
/brushDashOffset idef
/brushDashArray idef
0 ne /brushRightArrow idef
0 ne /brushLeftArrow idef
/brushWidth idef
false /brushNone idef
} ifelse
} def

/SetCFg {
/fgblue idef
/fggreen idef
/fgred idef
} def

/SetCBg {
/bgblue idef
/bggreen idef
/bgred idef
} def

/SetF {
/printSize idef
/printFont idef
} def

/SetP {
dup type /nulltype eq {
pop true /patternNone idef
} {
dup -1 eq {
/patternGrayLevel idef
/patternString idef
} {
/patternGrayLevel idef
} ifelse
false /patternNone idef
} ifelse
} def

/BSpl {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
0 0 0 0 0 0 1 1 true subspline
n 2 gt {
0 0 0 0 1 1 2 2 false subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy false subspline
} if
n 2 sub dup n 1 sub dup 2 copy 2 copy false subspline
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Circ {
newpath
0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/CBSpl {
0 begin
dup 2 gt {
storexyn
newpath
n 1 sub dup 0 0 1 1 2 2 true subspline
1 1 n 3 sub {
/i exch def
i 1 sub dup i dup i 1 add dup i 2 add dup false subspline
} for
n 3 sub dup n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 false subspline
n 2 sub dup n 1 sub dup 0 0 1 1 false subspline
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} {
Poly
} ifelse
end
} dup 0 4 dict put def

/Elli {
0 begin
newpath
4 2 roll
translate
scale
0 0 1 0 360 arc
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 1 dict put def

/Line {
0 begin
2 storexyn
newpath
x 0 get y 0 get moveto
x 1 get y 1 get lineto
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
0 0 1 1 rightarrow
end
} dup 0 4 dict put def

/MLine {
0 begin
storexyn
newpath
n 1 gt {
x 0 get y 0 get moveto
1 1 n 1 sub {
/i exch def
x i get y i get lineto
} for
patternNone not brushLeftArrow not brushRightArrow not and and { ifill } if
brushNone not { istroke } if
0 0 1 1 leftarrow
n 2 sub dup n 1 sub dup rightarrow
} if
end
} dup 0 4 dict put def

/Poly {
3 1 roll
newpath
moveto
-1 add
{ lineto } repeat
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
} def

/Rect {
0 begin
/t exch def
/r exch def
/b exch def
/l exch def
newpath
l b moveto
l t lineto
r t lineto
r b lineto
closepath
patternNone not { ifill } if
brushNone not { istroke } if
end
} dup 0 4 dict put def

/Text {
ishow
} def

/idef {
dup where { pop pop pop } { exch def } ifelse
} def

/ifill {
0 begin
gsave
patternGrayLevel -1 ne {
fgred bgred fgred sub patternGrayLevel mul add
fggreen bggreen fggreen sub patternGrayLevel mul add
fgblue bgblue fgblue sub patternGrayLevel mul add setrgbcolor
eofill
} {
eoclip
originalCTM setmatrix
pathbbox /t exch def /r exch def /b exch def /l exch def
/w r l sub ceiling cvi def
/h t b sub ceiling cvi def
/imageByteWidth w 8 div ceiling cvi def
/imageHeight h def
bgred bggreen bgblue setrgbcolor
eofill
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
w 0 gt h 0 gt and {
l b translate w h scale
w h true [w 0 0 h neg 0 h] { patternproc } imagemask
} if
} ifelse
grestore
end
} dup 0 8 dict put def

/istroke {
gsave
brushDashOffset -1 eq {
[] 0 setdash
1 setgray
} {
brushDashArray brushDashOffset setdash
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
} ifelse
brushWidth setlinewidth
originalCTM setmatrix
stroke
grestore
} def

/ishow {
0 begin
gsave
fgred fggreen fgblue setrgbcolor
printFont printSize scalefont setfont
/descender 0 printFont /FontBBox get 1 get printFont /FontMatrix
get transform exch pop def
/vertoffset 1 printSize sub descender sub def {
0 vertoffset moveto show
/vertoffset vertoffset printSize sub def
} forall
grestore
end
} dup 0 2 dict put def

/patternproc {
0 begin
/patternByteLength patternString length def
/patternHeight patternByteLength 8 mul sqrt cvi def
/patternWidth patternHeight def
/patternByteWidth patternWidth 8 idiv def
/imageByteMaxLength imageByteWidth imageHeight mul
stringLimit patternByteWidth sub min def
/imageMaxHeight imageByteMaxLength imageByteWidth idiv patternHeight idiv
patternHeight mul patternHeight max def
/imageHeight imageHeight imageMaxHeight sub store
/imageString imageByteWidth imageMaxHeight mul patternByteWidth add string def
0 1 imageMaxHeight 1 sub {
/y exch def
/patternRow y patternByteWidth mul patternByteLength mod def
/patternRowString patternString patternRow patternByteWidth getinterval def
/imageRow y imageByteWidth mul def
0 patternByteWidth imageByteWidth 1 sub {
/x exch def
imageString imageRow x add patternRowString putinterval
} for
} for
imageString
end
} dup 0 12 dict put def

/min {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll lt { exch } if pop
} def

/max {
dup 3 2 roll dup 4 3 roll gt { exch } if pop
} def

/arrowhead {
0 begin
transform originalCTM itransform
/taily exch def
/tailx exch def
transform originalCTM itransform
/tipy exch def
/tipx exch def
/dy tipy taily sub def
/dx tipx tailx sub def
/angle dx 0 ne dy 0 ne or { dy dx atan } { 90 } ifelse def
gsave
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
patternNone not {
originalCTM setmatrix
/padtip arrowHeight 2 exp 0.25 arrowWidth 2 exp mul add sqrt brushWidth mul
arrowWidth div def
/padtail brushWidth 2 div def
tipx tipy translate
angle rotate
padtip 0 translate
arrowHeight padtip add padtail add arrowHeight div dup scale
arrowheadpath
ifill
} if
brushNone not {
originalCTM setmatrix
tipx tipy translate
angle rotate
arrowheadpath
istroke
} if
grestore
end
} dup 0 9 dict put def

/arrowheadpath {
newpath
0 0 moveto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div lineto
arrowHeight neg arrowWidth 2 div neg lineto
closepath
} def

/leftarrow {
0 begin
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
brushLeftArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/rightarrow {
0 begin
y exch get /tipy exch def
x exch get /tipx exch def
y exch get /taily exch def
x exch get /tailx exch def
brushRightArrow { tipx tipy tailx taily arrowhead } if
end
} dup 0 4 dict put def

/midpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 x1 add 2 div
y0 y1 add 2 div
end
} dup 0 4 dict put def

/thirdpoint {
0 begin
/y1 exch def
/x1 exch def
/y0 exch def
/x0 exch def
x0 2 mul x1 add 3 div
y0 2 mul y1 add 3 div
end
} dup 0 4 dict put def

/subspline {
0 begin
/movetoNeeded exch def
y exch get /y3 exch def
x exch get /x3 exch def
y exch get /y2 exch def
x exch get /x2 exch def
y exch get /y1 exch def
x exch get /x1 exch def
y exch get /y0 exch def
x exch get /x0 exch def
x1 y1 x2 y2 thirdpoint
/p1y exch def
/p1x exch def
x2 y2 x1 y1 thirdpoint
/p2y exch def
/p2x exch def
x1 y1 x0 y0 thirdpoint
p1x p1y midpoint
/p0y exch def
/p0x exch def
x2 y2 x3 y3 thirdpoint
p2x p2y midpoint
/p3y exch def
/p3x exch def
movetoNeeded { p0x p0y moveto } if
p1x p1y p2x p2y p3x p3y curveto
end
} dup 0 17 dict put def

/storexyn {
/n exch def
/y n array def
/x n array def
n 1 sub -1 0 {
/i exch def
y i 3 2 roll put
x i 3 2 roll put
} for
} def


%I Idraw 9 Grid 8 


Begin
%I b u
%I cfg u
%I cbg u
%I f u
%I p u
%I t
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/originalCTM matrix currentmatrix def

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Begin %I Elli
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Begin %I Elli
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%I
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End

Begin %I Elli
%I b 65535
1 0 0 [] 0 SetB
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%I
132 304 6 7 Elli
End

End %I eop

showpage


end
%%EndDocument
 @endspecial 237 1526 a FK(Abbildung)18 b(2.8:)h(Graphen)g(dieser)f(F)l
(orm)g(sollen)g(an)h(den)g(Graphen)237 1586 y(aus)k(Abbildung)f(2.6)h
(so)g(angef\374gt)g(w)o(erden,)e(da\377)j(die)d(b)q(eiden)h(Zu-)237
1646 y(sammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)15 b(durc)o(h)j(eine)f(Kan)o(te)
g(mit)f(Gewic)o(h)o(t)1512 1627 y FF(1)p 1510 1635 22
2 v 1510 1663 a FG(n)237 1706 y FK(\374b)q(erbr\374c)o(kt)g(w)o(erden.)
p eop
%%Page: 74 76
74 75 bop 120 554 a FM(Kapitel)34 b(3)120 781 y(Kardinalit\344tsb)s
(etrac)m(h)m(tungen)g(f\374r)120 905 y(Mengen)h(extremaler)g(Matrizen)
120 1181 y FC(3.1)77 b(Allgemeines)120 1310 y FK(In)20
b(diesem)f(Absc)o(hnitt)h(geh)o(t)g(es)h(darum,)e(f\374r)i(gegeb)q(ene)
f(Randsysteme)g(\(und)h(gelegen)o(t-)120 1370 y(lic)o(h)f(f\374r)h
FH(\024)p FK(-Randsysteme\))f FH(I)25 b FK(die)c(Kardinalit\344t)g(v)o
(on)g(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))h FK(\(v)o(on)f(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))p FK(\))21
b(zu)120 1430 y(un)o(tersuc)o(hen.)120 1520 y FL(Bemerkung)c(3.1.1.)23
b FK(Sei)60 b FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)848 1527 y
FF(1)867 1520 y FJ(;)8 b(I)911 1527 y FF(2)930 1520 y
FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))60 b FK(ein)f FH(\024)p FK(-Rand)q(system.)f
(Ist)i(dann)125 1568 y FI(~)120 1580 y FH(I)18 b FI(:=)13
b(\()255 1568 y(~)249 1580 y FJ(I)271 1587 y FF(1)290
1580 y FJ(;)318 1568 y FI(~)312 1580 y FJ(I)334 1587
y FF(2)353 1580 y FJ(;)d FI(~)-26 b FJ(r)q(;)10 b FI(~)-26
b FJ(s)p FI(\))42 b FK(ein)e(w)o(eiteres)g FH(\024)p
FK(-Rand)q(system)g(mit)f FJ(I)1311 1587 y FF(1)p FG(;nt)1388
1580 y FI(=)1446 1568 y(~)1440 1580 y FJ(I)1462 1587
y FF(1)p FG(;nt)1525 1580 y FK(,)i FJ(I)1602 1587 y FF(2)p
FG(;nt)1679 1580 y FI(=)1737 1568 y(~)1731 1580 y FJ(I)1753
1587 y FF(2)p FG(;nt)1816 1580 y FK(,)120 1640 y FJ(r)q
Fx(\030)164 1647 y FG(I)179 1652 y Fz(1)p Fu(;nt)253
1640 y FI(=)16 b(~)-26 b FJ(r)q Fx(\030)349 1647 y FG(I)364
1652 y Fz(1)p Fu(;nt)424 1640 y FK(,)20 b FJ(s)p Fx(\030)502
1647 y FG(I)517 1652 y Fz(2)p Fu(;nt)591 1640 y FI(=)15
b(~)-26 b FJ(s)p Fx(\030)686 1647 y FG(I)701 1652 y Fz(2)p
Fu(;nt)761 1640 y FK(,)20 b(so)h(gilt)f FI(#)p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))f(=)h(#)p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)1374 1628 y FI(~)1369 1640 y FH(I)t FI(\))p FK(,)19
b FI(#)p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g(#)p FH(D)q
FI(\()1771 1628 y(~)1766 1640 y FH(I)t FI(\))p FK(,)120
1707 y FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t
FI(\)\))g(=)f(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)667
1695 y FI(~)663 1707 y FH(I)s FI(\)\))p FK(,)38 b FI(#)p
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))14 b(=)f(#)p
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()1225 1695 y(~)1220 1707 y
FH(I)5 b FI(\)\))p FK(.)38 b(Die)g(Kardinalit\344t)g(v)o(on)120
1767 y FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))p FK(,)21
b FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)g(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))21 b FK(und)g(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(h\344ngt)h(also)f(n)o(ur)g(v)o
(on)g(den)g(nic)o(h)o(ttrivialen)120 1828 y(Indizes)15
b(ab.)120 1918 y FL(Bemerkung)i(3.1.2.)23 b FK(Es)17
b(sei)f FH(I)h FI(:=)c(\()p FJ(I)864 1925 y FF(1)884
1918 y FJ(;)8 b(I)928 1925 y FF(2)947 1918 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))15 b FK(ein)h FH(\024)p FK(-Randsystem.)120 2026
y FL(\(a\))24 b FK(Ist)300 2014 y FI(~)297 2026 y FH(I)18
b FI(:=)13 b(\()432 2014 y(~)426 2026 y FJ(I)448 2033
y FF(1)467 2026 y FJ(;)495 2014 y FI(~)489 2026 y FJ(I)511
2033 y FF(2)530 2026 y FJ(;)d FI(~)-26 b FJ(r)q(;)10
b FI(~)-26 b FJ(s)p FI(\))26 b FK(ein)f(w)o(eiteres)g
FH(\024)p FK(-Randsystem,)f(und)i(gibt)g(es)g(Bijektionen)242
2087 y FJ(b)263 2094 y FF(1)296 2087 y FI(:)f FJ(I)357
2094 y FF(1)390 2087 y FH(\000)-9 b(!)490 2074 y FI(~)484
2087 y FJ(I)506 2094 y FF(1)525 2087 y FK(,)66 b FJ(b)626
2094 y FF(2)659 2087 y FI(:)25 b FJ(I)720 2094 y FF(2)753
2087 y FH(\000)-9 b(!)853 2074 y FI(~)847 2087 y FJ(I)869
2094 y FF(2)906 2087 y FK(mit)35 b FH(8)996 2118 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)1047 2123 y Fz(1)1078 2087 y FJ(r)1100 2094
y FG(i)1128 2087 y FI(=)16 b(~)-26 b FJ(r)1202 2094 y
FG(b)1217 2099 y Fz(1)1234 2094 y FF(\()p FG(i)p FF(\))1293
2087 y FK(und)40 b FH(8)1392 2118 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1447
2123 y Fz(2)1478 2087 y FJ(s)1501 2094 y FG(j)1533 2087
y FI(=)16 b(~)-26 b FJ(s)1608 2094 y FG(b)1623 2099 y
Fz(2)1640 2094 y FF(\()p FG(j)r FF(\))1686 2087 y FK(,)17
b(so)h(ist)242 2167 y(durc)o(h)574 2264 y FJ(L)c FI(:)25
b FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))g FH(\000)-9
b(!)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)1046 2251 y FI(~)1040 2264
y FJ(I)t FI(\))p FJ(;)56 b(P)21 b FH(7!)1282 2251 y FI(~)1271
2264 y FJ(P)g FI(:=)13 b FJ(L)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))-1255
b FK(\(3.1\))242 2360 y(mit)103 b FH(8)343 2399 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)437 2391 y FF(~)433 2399 y FG(I)448
2404 y Fz(1)464 2399 y FA(\002)495 2391 y FF(~)491 2399
y FG(I)506 2404 y Fz(2)542 2360 y FI(~)-28 b FJ(p)562
2367 y FG(i;j)616 2360 y FI(=)14 b FJ(p)692 2374 y FG(b)707
2359 y Fv(\000)p Fz(1)707 2384 y(1)749 2374 y FF(\()p
FG(i)p FF(\))p FG(;b)814 2359 y Fv(\000)p Fz(1)814 2384
y(2)855 2374 y FF(\()p FG(j)r FF(\))928 2360 y FK(eine)26
b(a\036ne)h(Bijektion)f(gegeb)q(en,)i(das)g(hei\377t,)242
2462 y(insb)q(esondere)18 b(gilt)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(\024)c(I)t FI(\)\))g(=)f(#)p FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)1166 2450 y FI(~)1162
2462 y FH(I)s FI(\)\))18 b FK(nac)o(h)h(Bemerkung)d(1.1.4.)i(Die)242
2522 y(Aussage)f(bleibt)e(ric)o(h)o(tig,)f(w)o(enn)i(man)f(die)h
FH(\024)p FK(-Zeic)o(hen)f(w)o(egl\344\377t.)120 2620
y FL(\(b\))24 b FK(De\034niere)12 b(das)j(transp)q(onierte)f
FH(\024)p FK(-Randsystem)e FH(I)1162 2599 y FG(t)1190
2620 y FI(:=)i(\()p FJ(I)1297 2627 y FF(2)1316 2620 y
FJ(;)8 b(I)1360 2627 y FF(1)1379 2620 y FJ(;)g(s;)g(r)q
FI(\))p FK(.)13 b(Dann)h(ist)f(durc)o(h)607 2716 y FJ(L)640
2723 y FG(t)668 2716 y FI(:)25 b FH(D)q FI(\()p FH(\024)14
b(I)t FI(\))g FH(\000)-9 b(!)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)1118
2696 y FG(t)1133 2716 y FI(\))p FJ(;)57 b(L)1256 2723
y FG(t)1271 2716 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)f FJ(P)1450
2696 y FG(t)242 2716 y FK(\(3.2\))951 2856 y(74)p eop
%%Page: 75 77
75 76 bop 60 50 a Fy(3.1.)32 b(ALLGEMEINES)1192 b FK(75)182
203 y(eine)130 b(a\036ne)h(Bijektion)f(gegeb)q(en.)i(Insb)q(esondere)f
(also)182 264 y FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))g(=)f(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)i(I)756 246 y FG(t)770 264 y FI(\)\))p
FK(.)45 b(Die)h(Aussage)g(gilt)f(no)q(c)o(h)h(imm)o(er,)c(w)o(enn)182
324 y(man)15 b(die)h FH(\024)p FK(-Zeic)o(hen)e(w)o(egl\344\377t.)60
424 y FL(\(c\))24 b FK(F\374r)16 b FJ(m)d FH(2)i Fw(R)387
402 y FF(+)432 424 y FK(de\034niere)g FJ(m)p FH(I)j FI(:=)13
b(\()p FJ(I)821 431 y FF(1)840 424 y FJ(;)8 b(I)884 431
y FF(2)903 424 y FJ(;)g(mr)o(;)g(ms)p FI(\))o FK(.)16
b(Dann)h(ist)f(durc)o(h)514 527 y FJ(L)547 534 y FG(m)595
527 y FI(:)24 b FH(D)q FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))g
FH(\000)-9 b(!)14 b(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)1044 506
y FG(t)1059 527 y FI(\))p FJ(;)57 b(L)1182 534 y FG(m)1215
527 y FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))14 b(=)g FJ(mP)-1249 b FK(\(3.3\))182
630 y(eine)77 b(a\036ne)h(Bijektion)e(gegeb)q(en,)i(das)h(hei\377t,)f
(wiederum)e(gilt)182 690 y FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\)\))g(=)f(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(\024)i(I)t FI(\)\))o FK(.)36 b(Erneut)f(gilt)g(die)g
(Aussage)h(auc)o(h)g(ohne)g(die)182 750 y FH(\024)p FK(-Zeic)o(hen.)60
846 y FL(Satz)19 b(3.1.3.)k FK(Sei)15 b FH(I)j FI(:=)13
b(\()p FJ(I)568 853 y FF(1)588 846 y FJ(;)8 b(I)632 853
y FF(2)651 846 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))15 b FK(ein)h(Randsystem.)60
961 y FL(\(a\))24 b FK(F\374r)16 b FI(min)o FH(f)p FI(#)p
FJ(I)419 968 y FF(1)p FG(;nt)481 961 y FJ(;)8 b FI(#)p
FJ(I)566 968 y FF(2)p FG(;nt)629 961 y FH(g)14 b(\024)f
FI(1)k FK(ist)f FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))e(=)g(#)p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))g(=)g(1)p
FK(.)60 1061 y FL(\(a)109 1068 y FA(\024)139 1061 y FL(\))24
b FK(F\374r)16 b FI(min)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)448 1068
y FF(1)p FG(;nt)511 1061 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)596 1068
y FF(2)p FG(;nt)659 1061 y FH(g)13 b(\024)h FI(1)j FK(ist)f
FI(#)p FK(E)o FI(\()p FH(\024)e(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g(=)g(2)1221
1043 y FF(max)o FA(f)p FF(#)p FG(I)1349 1048 y Fz(1)p
Fu(;nt)1407 1043 y FG(;)p FF(#)p FG(I)1461 1048 y Fz(2)p
Fu(;nt)1520 1043 y FA(g)1539 1061 y FK(.)60 1161 y FL(\(b\))24
b FK(F\374r)16 b FI(#)p FJ(I)316 1168 y FF(1)p FG(;nt)379
1161 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)464 1168 y FF(2)p FG(;nt)541
1161 y FJ(<)13 b FH(1)j FK(ist)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))e FJ(<)f FH(1)p FK(.)60
1261 y FL(\(b)113 1268 y FA(\024)142 1261 y FL(\))25
b FK(F\374r)16 b FI(#)p FJ(I)346 1268 y FF(1)p FG(;nt)409
1261 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)494 1268 y FF(2)p FG(;nt)570
1261 y FJ(<)14 b FH(1)i FK(ist)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(\024)d(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))h FJ(<)f FH(1)p
FK(.)60 1360 y FL(\(c\))24 b FK(Ist)120 b FI(2)14 b FH(\024)g
FI(min)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)589 1367 y FF(1)p FG(;nt)652
1360 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)737 1367 y FF(2)p FG(;nt)800
1360 y FH(g)p FK(,)120 b FI(max)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)1137
1367 y FF(1)p FG(;nt)1200 1360 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1285
1367 y FF(2)p FG(;nt)1348 1360 y FH(g)14 b FI(=)f FJ(\013)i
FH(\025)e FJ(!)123 b FK(und)182 1421 y FJ(!)13 b FH(\001)e
FI(#)p FJ(I)313 1428 y FF(1)p FG(;nt)390 1421 y FI(=)j
FJ(!)f FH(\001)e FI(#)p FJ(I)573 1428 y FF(2)p FG(;nt)635
1421 y FK(,)16 b(so)h(ist)f FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\)\))e(=)g(2)1103 1402 y FG(\013)1128
1421 y FK(.)60 1520 y FL(\(c)107 1527 y FA(\024)136 1520
y FL(\))24 b FK(Ist)111 b FI(2)14 b FH(\024)g FI(min)n
FH(f)p FI(#)p FJ(I)609 1527 y FF(1)p FG(;nt)672 1520
y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)757 1527 y FF(2)p FG(;nt)819 1520
y FH(g)p FK(,)110 b FI(max)o FH(f)p FI(#)p FJ(I)1147
1527 y FF(1)p FG(;nt)1210 1520 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1295
1527 y FF(2)p FG(;nt)1358 1520 y FH(g)13 b FI(=)h FJ(\013)g
FH(\025)g FJ(!)113 b FK(und)182 1580 y FJ(!)13 b FH(\001)e
FI(#)p FJ(I)313 1587 y FF(1)p FG(;nt)390 1580 y FI(=)j
FJ(!)f FH(\001)e FI(#)p FJ(I)573 1587 y FF(2)p FG(;nt)635
1580 y FK(,)16 b(so)h(ist)f FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(\024)e(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g(=)g(2)1156 1562 y FG(\013)1181
1580 y FK(.)60 1696 y FB(Beweis.)26 b FK(\(a\))16 b(ist)g(klar.)60
1756 y(\(b\))d(folgt)g(aus)h(Satz)f(2.5.17)g(und)g(der)g(T)l(atsac)o
(he,)g(da\377)h(f\374r)e(endlic)o(hes)g FJ(M)18 b FK(auc)o(h)13
b(alle)f(in)g(\(2.69\))60 1816 y(de\034nierten)j FJ(D)341
1823 y FG(n)365 1816 y FI(\()p FJ(M)5 b FI(\))17 b FK(endlic)o(h)d
(sind.)60 1876 y(\(c\))47 b(Ohne)g(Besc)o(hr\344nkung)g(der)f
(Allgemeinhei)o(t)f(k)m(ann)i(man)g(annehmen,)e(da\377)60
1937 y FJ(I)82 1944 y FF(1)115 1937 y FI(=)14 b FJ(I)189
1944 y FF(1)p FG(;nt)297 1937 y FK(und)46 b FJ(I)446
1944 y FF(2)479 1937 y FI(=)14 b FJ(I)553 1944 y FF(2)p
FG(;nt)616 1937 y FK(.)45 b(\022)t FH(\024)p FK(\020)50
b(folgt)45 b(dann)i(w)o(egen)e(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))14 b FH(\022)g Fw(R)1549 1915 y FG(I)1564
1920 y Fz(1)1581 1915 y FA(\002)p FG(I)1623 1920 y Fz(2)1689
1937 y FK(und)60 1997 y FI(#)p Fw(R)137 1976 y FG(I)152
1981 y Fz(1)169 1976 y FA(\002)p FG(I)211 1981 y Fz(2)245
1997 y FI(=)g(\(2)340 1979 y FG(!)366 1997 y FI(\))385
1979 y FG(\013)423 1997 y FI(=)g(2)499 1979 y FG(\013)524
1997 y FK(.)60 2057 y(\022)t FH(\025)p FK(\020)t(:)j(Zun\344c)o(hst)g
(sei)452 2020 y FE(P)504 2071 y FG(i)p FA(2)p FG(I)555
2076 y Fz(1)583 2057 y FJ(r)605 2064 y FG(i)633 2057
y FI(=)685 2020 y FE(P)737 2071 y FG(j)r FA(2)p FG(I)792
2076 y Fz(2)820 2057 y FJ(s)843 2064 y FG(j)875 2057
y FJ(<)d FH(1)o FK(.)j(Dann)g(folgt)g FI(#)p FJ(I)1315
2064 y FF(1)1334 2057 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1419 2064
y FF(2)1452 2057 y FH(\024)13 b FJ(!)s FK(.)j(Ohne)h(Be-)60
2117 y(sc)o(hr\344nkung)d(der)g(Allgemeinhe)o(it)d(sei)i
FI(#)p FJ(I)836 2124 y FF(2)869 2117 y FI(=)h FJ(!)r
FK(.)g(W\344hle)f FJ(i)1148 2124 y FF(0)1181 2117 y FH(2)i
FJ(I)1251 2124 y FF(1)1284 2117 y FK(b)q(eliebig)e(und)h
FJ(j)1577 2124 y FF(0)1611 2117 y FH(2)g FJ(I)1680 2124
y FF(2)1699 2117 y FK(,)f(so)60 2177 y(da\377)k FJ(s)175
2184 y FG(j)189 2189 y Fz(0)223 2177 y FI(=)c(max)o FH(f)p
FJ(s)413 2184 y FG(j)445 2177 y FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d
FJ(I)587 2184 y FF(2)606 2177 y FH(g)p FK(.)60 2250 y
FB(Behauptung)19 b(1.)24 b FK(Es)17 b(gibt)f(eine)f(endlic)o(he)g
(Menge)h FJ(T)1034 2257 y FG(e)1065 2250 y FH(\022)e
FJ(I)1140 2257 y FF(2)1170 2250 y FH(n)d(f)p FJ(j)1251
2257 y FF(0)1271 2250 y FH(g)16 b FK(mit)667 2362 y FJ(r)689
2369 y FG(i)701 2374 y Fz(0)732 2362 y FH(\000)10 b FJ(s)804
2369 y FG(j)818 2374 y Fz(0)852 2362 y FJ(<)906 2314
y FE(X)904 2420 y FG(j)r FA(2)p FG(T)965 2424 y Fu(e)989
2362 y FJ(s)1012 2369 y FG(j)1044 2362 y FJ(<)k(r)1118
2369 y FG(i)1130 2374 y Fz(0)1149 2362 y FJ(:)-1103 b
FK(\(3.4\))60 2525 y FB(Beweis.)26 b FK(F\374r)72 b FJ(s)419
2532 y FG(j)433 2537 y Fz(0)466 2525 y FH(\025)14 b FJ(r)541
2532 y FG(i)553 2537 y Fz(0)645 2525 y FK(ist)72 b(das)h(klar.)e(Sei)h
(n)o(un)g FJ(s)1390 2532 y FG(j)1404 2537 y Fz(0)1438
2525 y FJ(<)14 b(r)1512 2532 y FG(i)1524 2537 y Fz(0)1543
2525 y FK(.)72 b(W)l(egen)60 2585 y FJ(r)82 2592 y FG(i)94
2597 y Fz(0)124 2585 y FH(\000)11 b FJ(s)197 2592 y FG(j)211
2597 y Fz(0)245 2585 y FJ(<)296 2548 y FE(P)349 2600
y FG(j)r FA(2)p FG(I)404 2605 y Fz(2)421 2600 y FA(nf)p
FG(j)471 2605 y Fz(0)488 2600 y FA(g)516 2585 y FJ(s)539
2592 y FG(j)604 2585 y FK(gibt)47 b(es)g(eine)f(endlic)o(he)e(Menge)j
FJ(T)1388 2592 y FG(e)1419 2585 y FH(\022)14 b FJ(I)1494
2592 y FF(2)1524 2585 y FH(n)d(f)p FJ(j)1605 2592 y FF(0)1625
2585 y FH(g)47 b FK(mit)60 2650 y FJ(r)82 2657 y FG(i)94
2662 y Fz(0)124 2650 y FH(\000)11 b FJ(s)197 2657 y FG(j)211
2662 y Fz(0)245 2650 y FJ(<)296 2612 y FE(P)349 2664
y FG(j)r FA(2)p FG(T)410 2668 y Fu(e)436 2650 y FJ(s)459
2657 y FG(j)529 2650 y FK(und)77 b FH(9)661 2681 y FG(\027)r
FA(2)p FG(T)725 2685 y Fu(e)763 2612 y FE(P)816 2664
y FG(j)r FA(2)p FG(T)877 2668 y Fu(e)893 2664 y FA(nf)p
FG(\027)r FA(g)976 2650 y FJ(s)999 2657 y FG(j)1031 2650
y FH(\024)13 b FJ(r)1105 2657 y FG(i)1117 2662 y Fz(0)1148
2650 y FH(\000)d FJ(s)1220 2657 y FG(j)1234 2662 y Fz(0)1254
2650 y FK(.)51 b(F\374r)f FJ(s)1470 2657 y FG(j)1484
2662 y Fz(0)1518 2650 y FJ(<)14 b(r)1592 2657 y FG(i)1604
2662 y Fz(0)1674 2650 y FK(folgt)60 2731 y(daraus)j(w)o(egen)f
FJ(s)385 2738 y FG(j)399 2743 y Fz(0)433 2731 y FI(=)e(max)n
FH(f)p FJ(s)623 2738 y FG(j)655 2731 y FI(:)22 b FJ(j)17
b FH(2)d FJ(I)797 2738 y FF(2)816 2731 y FH(g)p FK(,)i(da\377)h
FJ(T)992 2738 y FG(e)1026 2731 y FK(\(3.4\))g(erf\374llt.)447
b Fx(N)p eop
%%Page: 76 78
76 77 bop 120 50 a FK(76)477 b Fy(KAPITEL)16 b(3.)33
b(KARDINALIT)l(\304)l(TSBETRA)o(CHTU)o(NGEN)120 209 y
FK(Setze)13 b FJ(\016)i FI(:=)352 178 y FG(r)368 183
y Fu(i)379 190 y Fz(0)399 178 y FA(\000)426 154 y Fe(P)463
189 y Fu(j)q Fv(2)p Fu(T)516 193 y(e)541 178 y FG(s)557
183 y Fu(j)p 352 198 222 2 v 454 226 a FF(2)592 209 y
FK(und)f(w)o(\344hle)f FJ(T)850 216 y FG(!)889 209 y
FH(\022)g FI(\()p FJ(I)982 216 y FF(2)1012 209 y FH(n)e(f)p
FJ(j)1093 216 y FF(0)1113 209 y FH(g)p FI(\))g FH(n)g
FJ(T)1233 216 y FG(e)1265 209 y FK(mit)1351 172 y FE(P)1404
224 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1465 228 y Fu(!)1497 209 y FJ(s)1520
216 y FG(j)1552 209 y FH(\024)j FJ(\016)q FK(.)f(Ist)g(dann)719
325 y FH(T)27 b FI(:=)13 b FH(f)p FJ(T)892 332 y FG(e)920
319 y FI(_)910 325 y FH([)p FJ(T)21 b FI(:)g FJ(T)g FH(\022)13
b FJ(T)1159 332 y FG(!)1184 325 y FH(g)p FJ(;)-1103 b
FK(\(3.5\))120 436 y(so)23 b(ist)g FI(#)p FH(T)j FI(=)14
b(2)431 418 y FG(!)457 436 y FK(.)22 b(F\374r)h FJ(T)d
FH(2)14 b(T)36 b FK(de\034niere)22 b FH(I)986 418 y FG(T)1027
436 y FI(:=)13 b(\()p FJ(I)1137 418 y FG(T)1133 449 y
FF(1)1164 436 y FJ(;)8 b(I)1208 443 y FF(2)1227 436 y
FJ(;)g(r)1272 418 y FG(T)1300 436 y FJ(;)g(s)1345 418
y FG(T)1372 436 y FI(\))23 b FK(mit)e FJ(I)1536 418 y
FG(T)1532 449 y FF(1)1577 436 y FI(:=)13 b FJ(I)1664
443 y FF(1)1694 436 y FH(n)e(f)p FJ(i)1772 443 y FF(0)1792
436 y FH(g)o FK(,)120 497 y FJ(r)143 478 y FG(T)185 497
y FI(:=)i FJ(r)q Fx(\030)294 508 y FG(I)312 496 y Fu(T)309
518 y Fz(1)355 497 y FK(so)o(wie)j FJ(s)507 478 y FG(T)548
497 y FI(=)e(\()p FJ(s)642 478 y FG(T)642 509 y(j)669
497 y FI(\))688 504 y FG(j)r FA(2)p FG(I)743 509 y Fz(2)779
497 y FK(mit)405 695 y FJ(s)428 674 y FG(T)428 707 y(j)469
695 y FI(:=)534 578 y FE(8)534 622 y(>)534 637 y(<)534
727 y(>)534 742 y(:)579 624 y FI(0)448 b FK(f\374r)16
b FJ(j)h FH(2)d FJ(T)t(;)579 697 y(s)602 704 y FG(j)1051
697 y FK(f\374r)i FJ(j)h FH(2)d FJ(I)1234 704 y FF(2)1264
697 y FH(n)d FI(\()p FJ(T)17 b FH([)12 b(f)p FJ(j)1455
704 y FF(0)1475 697 y FH(g)p FI(\))p FJ(;)579 769 y(s)602
776 y FG(j)616 781 y Fz(0)646 769 y FH(\000)f FJ(r)718
776 y FG(i)730 781 y Fz(0)761 769 y FI(+)810 731 y FE(P)862
783 y FG(\027)r FA(2)p FG(T)941 769 y FJ(s)964 776 y
FG(\027)1051 769 y FK(f\374r)16 b FJ(j)h FI(=)c FJ(j)1236
776 y FF(0)1256 769 y FJ(:)120 695 y FK(\(3.6\))120 887
y FH(I)151 869 y FG(T)197 887 y FK(ist)18 b(w)o(egen)h(\(3.4\))g(ein)f
(Randsystem.)f(Nun)h(w)o(\344hle)h(eine)e(Matrix)h FJ(Q)c
FH(2)g FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)1664 869 y
FG(T)1692 887 y FI(\)\))19 b FK(und)120 947 y(de\034niere)c
FJ(P)353 929 y FG(T)395 947 y FI(=)e(\()p FJ(p)489 929
y FG(T)489 959 y(i;j)530 947 y FI(\))549 955 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)654 960 y Fz(1)670 955 y
FA(\002)p FG(I)712 960 y Fz(2)749 947 y FK(durc)o(h)j
FJ(P)924 929 y FG(T)951 947 y Fx(\030)972 958 y FG(I)990
947 y Fu(T)987 969 y Fz(1)1014 958 y FA(\002)p FG(I)1056
963 y Fz(2)1090 947 y FI(:=)e FJ(Q)h FK(und)578 1145
y FJ(p)602 1124 y FG(T)602 1157 y(i)614 1162 y Fz(0)632
1157 y FG(;j)674 1145 y FI(:=)739 1028 y FE(8)739 1073
y(>)739 1088 y(<)739 1177 y(>)739 1192 y(:)784 1075 y
FJ(s)807 1082 y FG(j)1139 1075 y FK(f\374r)h FJ(j)h FH(2)d
FJ(T)t(;)784 1147 y(r)806 1154 y FG(i)818 1159 y Fz(0)848
1147 y FH(\000)898 1110 y FE(P)951 1162 y FG(\027)r FA(2)p
FG(T)1029 1147 y FJ(s)1052 1154 y FG(\027)1139 1147 y
FK(f\374r)i FJ(j)h FI(=)d FJ(j)1325 1154 y FF(0)1345
1147 y FJ(;)784 1219 y FI(0)331 b FK(sonst.)120 1145
y(\(3.7\))120 1337 y FB(Behauptung)19 b(2.)24 b FJ(P)489
1319 y FG(T)531 1337 y FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)120 1460 y FB(Beweis.)26
b FK(Angenommen,)41 b(es)k(gilt)f FJ(P)894 1442 y FG(T)936
1460 y FI(=)993 1441 y FF(1)p 993 1449 18 2 v 993 1477
a(2)1015 1460 y FJ(P)1053 1442 y FF(\(1\))1112 1460 y
FI(+)1166 1441 y FF(1)p 1166 1449 V 1166 1477 a(2)1188
1460 y FJ(P)1226 1442 y FF(\(2\))1274 1460 y FK(,)g FJ(P)1370
1442 y FF(\(1\))1418 1460 y FJ(;)8 b(P)1478 1442 y FF(\(2\))1539
1460 y FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)45 b(Mit)120
1520 y FJ(Q)13 b FI(:=)h FJ(P)7 b Fx(\030)297 1532 y
FG(I)315 1520 y Fu(T)312 1542 y Fz(1)339 1532 y FA(\002)p
FG(I)381 1537 y Fz(2)401 1520 y FK(,)38 b FJ(Q)492 1502
y FF(\()p FG(k)q FF(\))554 1520 y FI(:=)13 b FJ(P)657
1502 y FF(\()p FG(k)q FF(\))706 1520 y Fx(\030)727 1532
y FG(I)745 1520 y Fu(T)742 1542 y Fz(1)769 1532 y FA(\002)p
FG(I)811 1537 y Fz(2)870 1520 y FK(f\374r)38 b FJ(k)16
b FI(=)d(1)p FJ(;)8 b FI(2)39 b FK(gilt)f FJ(Q)13 b FI(=)1388
1501 y FF(1)p 1388 1509 V 1388 1538 a(2)1411 1520 y FJ(Q)1450
1502 y FF(\(1\))1507 1520 y FI(+)1561 1501 y FF(1)p 1561
1509 V 1561 1538 a(2)1584 1520 y FJ(Q)1623 1502 y FF(\(2\))1670
1520 y FK(.)38 b(Nac)o(h)120 1589 y(De\034nition)f(v)o(on)g
FJ(P)519 1571 y FG(T)585 1589 y FK(ist)g FJ(Q)13 b FH(2)h
FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)915 1571 y FG(T)943
1589 y FI(\)\))p FK(.)37 b(Also)g(folgt)h FJ(Q)1336 1571
y FF(\(1\))1396 1589 y FI(=)14 b FJ(Q)1487 1571 y FF(\(2\))1548
1589 y FI(=)f FJ(Q)p FK(.)37 b(W)l(egen)120 1650 y FJ(P)q(;)8
b(P)212 1632 y FF(\(1\))260 1650 y FJ(;)g(P)320 1632
y FF(\(2\))381 1650 y FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))j
FK(folgt)f(daraus)i FJ(P)j FI(=)14 b FJ(P)965 1632 y
FF(\(1\))1026 1650 y FI(=)g FJ(P)1116 1632 y FF(\(2\))1163
1650 y FK(.)i(Also)g(ist)g FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)131 b Fx(N)120
1773 y FK(W)l(egen)23 b(\(3.7\))h(ist)f(die)g(durc)o(h)g
FJ(T)e FH(7!)13 b FJ(P)864 1755 y FG(T)916 1773 y FK(gegeb)q(ene)23
b(Abbildung)g(injektiv.)f(Damit)g(folgt)120 1833 y FI(#)p
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))14 b FH(\025)g
FI(2)431 1815 y FG(!)456 1833 y FK(.)120 1893 y(Nun)38
b(soll)g(der)g(F)l(all)582 1856 y FE(P)634 1908 y FG(i)p
FA(2)p FG(I)685 1913 y Fz(1)713 1893 y FJ(r)735 1900
y FG(i)763 1893 y FI(=)814 1856 y FE(P)867 1908 y FG(j)r
FA(2)p FG(I)922 1913 y Fz(2)950 1893 y FJ(s)973 1900
y FG(j)1005 1893 y FI(=)13 b FH(1)39 b FK(b)q(etrac)o(h)o(tet)e(w)o
(erden.)g(In)h(diesem)120 1953 y(F)l(all)44 b(ist)h FI(#)p
FJ(I)404 1960 y FF(1)423 1953 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)508
1960 y FF(2)540 1953 y FH(\025)14 b FJ(!)r FK(,)45 b(und)g(das)h(b)q
(edeutet)e(w)o(egen)h FJ(!)13 b FH(\001)e FI(#)p FJ(I)1461
1960 y FF(1)1494 1953 y FI(=)j FJ(!)f FH(\001)e FI(#)p
FJ(I)1677 1960 y FF(2)1696 1953 y FK(,)44 b(da\377)120
2014 y FI(#)p FJ(I)183 2021 y FF(1)216 2014 y FI(=)13
b(#)p FJ(I)330 2021 y FF(2)363 2014 y FI(=)h FJ(\013)p
FK(.)26 b(Es)h(gibt)f(n)o(un)g(Randsysteme)e FI(\()p
FH(I)1138 2021 y FG(k)1173 2014 y FI(=)14 b(\()p FJ(I)1266
2021 y FF(1)p FG(;k)1314 2014 y FJ(;)8 b(I)1358 2021
y FF(2)p FG(;k)1407 2014 y FJ(;)g(r)1452 1995 y FG(k)1473
2014 y FJ(;)g(s)1518 1995 y FG(k)1539 2014 y FI(\)\))1577
2021 y FG(k)q FA(2)p FG(\013)1645 2014 y FK(,)25 b(so)i(da\377)120
2074 y(f\374r)d(alle)f FJ(k)15 b FH(2)g FJ(\013)p FK(,)23
b FH(I)489 2081 y FG(k)524 2074 y FH(\024)14 b(I)s FK(,)24
b FJ(I)667 2081 y FF(1)700 2074 y FI(=)752 2036 y FE(S)793
2088 y FG(k)q FA(2)p FG(\013)869 2074 y FJ(I)891 2081
y FF(1)p FG(;k)939 2074 y FK(,)g FJ(I)999 2081 y FF(2)1032
2074 y FI(=)1083 2036 y FE(S)1125 2088 y FG(k)q FA(2)p
FG(\013)1201 2074 y FJ(I)1223 2081 y FF(2)p FG(;k)1271
2074 y FK(,)f FI(#)p FJ(I)1371 2081 y FF(1)p FG(;k)1433
2074 y FI(=)14 b(#)p FJ(I)1548 2081 y FF(2)p FG(;k)1610
2074 y FI(=)f FJ(!)26 b FK(so)o(wie)120 2097 y FE(P)173
2148 y FG(i)p FA(2)p FG(I)224 2154 y Fz(1)p Fu(;k)278
2134 y FJ(r)300 2141 y FG(i)327 2134 y FI(=)379 2097
y FE(P)432 2148 y FG(j)r FA(2)p FG(I)487 2154 y Fz(2)p
Fu(;k)541 2134 y FJ(s)564 2141 y FG(j)596 2134 y FI(=)14
b FH(1)p FK(.)j(F\374r)h FJ(\013)c(>)g(!)20 b FK(ist)e(das)h(gerade)f
(die)f(Aussage)i(v)o(on)f(Behaup-)120 2194 y(tung)d(1)f(v)o(on)g(Satz)g
(2.1.18.)g(F\374r)g FJ(\013)g FI(=)g FJ(!)i FK(k)m(ann)f(man)e(wie)g
(folgt)h(v)o(orgehen:)g(Man)g(k)o(onstruiert)120 2254
y(eine)j(F)l(amilie)e FI(\()p FJ(T)443 2261 y FG(k)q(;n)495
2254 y FI(\))514 2262 y FF(\()p FG(k)q(;n)p FF(\))p FA(2)p
FG(!)q FA(\002)p FG(!)709 2254 y FK(v)o(on)j(paarw)o(eise)g(disjunkten)
f(T)l(eilmengen)e(v)o(on)j FJ(I)1642 2261 y FF(1)1661
2254 y FK(,)g(so)g(da\377)194 2314 y FH(8)120 2348 y
FF(\()p FG(k)q(;n)p FF(\))p FA(2)p FG(!)q FA(\002)p FG(!)317
2277 y FE(P)370 2329 y FG(i)p FA(2)p FG(T)427 2335 y
Fu(k)q(;n)484 2314 y FJ(r)506 2321 y FG(i)534 2314 y
FH(\025)13 b FI(1)k FK(\(die)e(formale)f(Konstruktion)i(der)g
FJ(T)1310 2321 y FG(k)q(;n)1378 2314 y FK(erfolgt)g(rekursiv)f(un)o
(ter)120 2402 y(V)l(erw)o(endung)j(einer)f(Abz\344hlung)h(v)o(on)g
FJ(!)13 b FH(\002)e FJ(!)20 b FK(und)e(der)g(V)l(oraussetzung)1515
2365 y FE(P)1567 2417 y FG(i)p FA(2)p FG(I)1618 2422
y Fz(1)1646 2402 y FJ(r)1668 2409 y FG(i)1696 2402 y
FI(=)c FH(1)o FK(\).)120 2463 y(Nun)i(setze)g(no)q(c)o(h)h
FJ(I)486 2470 y FF(1)p FG(;k)548 2463 y FI(:=)627 2425
y FE(S)613 2505 y FG(n)p FA(2)p FG(!)681 2463 y FJ(T)710
2470 y FG(k)q(;n)779 2463 y FK(f\374r)f FJ(k)g FH(2)e
FJ(!)s FK(.)i(Analog)g(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)h(aus)j
FJ(I)1606 2470 y FF(2)1641 2463 y FK(die)e(Men-)120 2551
y(gen)g FJ(I)231 2558 y FF(2)p FG(;k)280 2551 y FK(,)f
FJ(k)h FH(2)e FJ(!)s FK(.)120 2611 y(Als)27 b(n\344c)o(hstes)h(b)q
(emerk)o(e)d(man,)h(da\377)j(es)e(f\374r)h(jedes)f(der)h(Randsysteme)e
FH(I)1590 2618 y FG(k)1639 2611 y FK(Matrizen)120 2671
y FJ(P)158 2653 y FF(\()p FG(k)q FF(\))207 2671 y FJ(;)8
b(Q)268 2653 y FF(\()p FG(k)q FF(\))330 2671 y FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)519 2678 y FG(k)540
2671 y FI(\)\))21 b FK(mit)f FJ(P)732 2653 y FF(\()p
FG(k)q FF(\))795 2671 y FH(6)p FI(=)13 b FJ(Q)885 2653
y FF(\()p FG(k)q FF(\))955 2671 y FK(gibt.)21 b(Das)h(folgt)f(aus)h
(Beispiel)d(2.1.17:)i(Dort)120 2731 y(wurde)e(in)f(Abh\344ngigk)o(eit)g
(v)o(on)h(gegeb)q(enen)g(Abz\344hlungen)f(v)o(on)h FJ(I)1375
2738 y FF(1)1413 2731 y FK(und)g FJ(I)1535 2738 y FF(2)1573
2731 y FK(ein)g(Elemen)o(t)p eop
%%Page: 77 79
77 78 bop 60 50 a Fy(3.2.)32 b(DER)17 b(F)-5 b(ALL)16
b FI(2)c FH(\002)e FJ(!)1175 b FK(77)60 203 y FJ(P)21
b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))20
b FK(k)o(onstruiert.)f(Die)g(Konstruktion)i(erfolgte)e(so,)i(da\377)g
(f\374r)f FI(0)14 b FH(6)p FI(=)g FJ(r)1567 210 y FF(1)1586
203 y FJ(;)8 b(s)1631 210 y FF(1)1671 203 y FK(auc)o(h)60
264 y FI(0)14 b FH(6)p FI(=)g FJ(p)174 271 y FF(1)p FG(;)p
FF(1)222 264 y FK(.)j(Man)h(m)o(u\377)f(also)h(lediglic)o(h)e(die)h
(gleic)o(he)f(Konstruktion)i(an)h(einer)e(Stelle)f FI(\()p
FJ(i)1670 271 y FF(0)1689 264 y FJ(;)8 b(j)1731 271 y
FF(0)1751 264 y FI(\))60 324 y FK(b)q(eginnen,)16 b(an)h(der)e
FJ(p)456 331 y FG(i)468 336 y Fz(0)486 331 y FG(;j)510
336 y Fz(0)544 324 y FI(=)e(0)k FK(ist,)f(und)g(man)f(b)q(ek)o(omm)o(t)
e(eine)j(Matrix)f FJ(Q)f FH(6)p FI(=)f FJ(P)8 b FK(.)60
389 y(Ist)14 b(n)o(un)g(eine)f(F)l(unktion)g FJ(f)20
b FI(:)13 b FJ(\013)h FH(\000)-8 b(!)13 b FI(2)i FK(gegeb)q(en,)e(so)i
(de\034niere)e FJ(P)1261 370 y FG(f)1298 389 y FI(=)g(\()p
FJ(p)1392 365 y FG(f)1392 401 y(i;j)1433 389 y FI(\))1452
396 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1557 401 y
Fz(1)1573 396 y FA(\002)p FG(I)1615 401 y Fz(2)1649 389
y FK(durc)o(h)370 576 y FJ(p)394 552 y FG(f)394 589 y(i;j)448
576 y FI(:=)514 459 y FE(8)514 504 y(>)514 519 y(<)514
608 y(>)514 623 y(:)558 506 y FJ(p)582 480 y FF(\()p
FG(k)q FF(\))582 519 y FG(i;j)696 506 y FK(f\374r)j FI(\()p
FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)956 513 y FF(1)p
FG(;k)1015 506 y FH(\002)d FJ(I)1087 513 y FF(2)p FG(;k)1151
506 y FK(und)17 b FJ(f)5 b FI(\()p FJ(k)r FI(\))14 b(=)g(0)p
FJ(;)558 578 y(q)582 553 y FF(\()p FG(k)q FF(\))580 591
y FG(i;j)696 578 y FK(f\374r)i FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s
FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)956 585 y FF(1)p FG(;k)1015 578
y FH(\002)d FJ(I)1087 585 y FF(2)p FG(;k)1151 578 y FK(und)17
b FJ(f)5 b FI(\()p FJ(k)r FI(\))14 b(=)g(1)p FJ(;)558
650 y FI(0)98 b FK(sonst.)60 576 y(\(3.8\))60 761 y(Wie)21
b(in)h(Behauptung)g(2)g(v)o(on)g(Satz)g(2.1.18)g(folgt,)g(da\377)h
FJ(P)1183 742 y FG(f)1220 761 y FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)22 b(Da)g(die)f(durc)o(h)60
821 y FJ(f)e FH(7!)14 b FJ(P)205 803 y FG(f)244 821 y
FK(de\034nierte)h(Abbildung)h(nac)o(h)g(\(3.8\))g(injektiv)f(ist,)g
(folgt)i FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))d FH(\025)g FI(2)1612 803 y FG(\013)1637 821
y FK(.)60 881 y(F\374r)f(den)f(Bew)o(eis)f(v)o(on)i(\(a)528
888 y FA(\024)558 881 y FK(\),)f(\(b)649 888 y FA(\024)678
881 y FK(\))h(und)g(\(c)845 888 y FA(\024)874 881 y FK(\))g(seien)f
(die)g(Bezeic)o(hn)o(ungen)e(wie)i(in)g(De\034nition)60
941 y(2.5.19.)60 1001 y(\(a)103 1008 y FA(\024)133 1001
y FK(\):)29 b(Sei)g(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))14 b(=)g FH(f)p FJ(P)7 b FH(g)p FK(.)29 b(In)g(diesem)f(F)l
(all)g(hat)i FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))30 b FK(h\366)q(c)o(hstens)g
(eine)f(Zusam-)60 1062 y(menhangsk)o(omp)q(onen)o(te)c
FJ(Z)t FK(,)h(deren)g(Kan)o(tenmenge)e(nic)o(h)o(t)i(leer)f(ist.)h
(Ohne)g(Besc)o(hr\344n-)60 1122 y(kung)18 b(der)f(Allgemei)o(nhei)o(t)e
(k)m(ann)j(man)e(annehmen,)f(da\377)j FJ(V)12 b FI(\()p
FJ(Z)t FI(\))h(=)h FH(f)p FJ(x)1379 1129 y FG(i)1391
1134 y Fz(1)1410 1122 y FH(g)d([)h(f)p FJ(y)1540 1129
y FG(j)1571 1122 y FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)1713
1129 y FF(2)1732 1122 y FK(},)60 1182 y FJ(E)s FI(\()p
FJ(V)d FI(\))j(=)g FH(ff)p FJ(x)320 1189 y FG(i)332 1194
y Fz(1)351 1182 y FJ(;)8 b(y)397 1189 y FG(j)415 1182
y FH(g)13 b FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)595 1189
y FF(2)614 1182 y FK(}.)23 b(Jede)f(T)l(eilmenge)e(v)o(on)i
FJ(E)s FI(\()p FJ(Z)t FI(\))h FK(liefert)d(ein)i(Elemen)o(t)e(v)o(on)60
1242 y FH(E)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))17 b FK(und)g(umgek)o(ehrt.)c
(Also)j(folgt)h FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(\024)d(I)t FI(\)\))f(=)h(#)p FH(E)t FI(\()p FJ(P)7
b FI(\))15 b(=)e(2)1333 1224 y FF(max)o FA(f)p FF(#)p
FG(I)1461 1229 y Fz(1)p Fu(;nt)1520 1224 y FG(;)p FF(#)p
FG(I)1574 1229 y Fz(2)p Fu(;nt)1632 1224 y FA(g)1652
1242 y FK(.)60 1302 y(\(b)106 1309 y FA(\024)136 1302
y FK(\):)22 b(Da)h(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))f FK(endlic)o(h)f(ist)h(und)h(f\374r)g FJ(P)e
FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))22
b FK(die)g(Mengen)g FH(Z)t FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))p FK(,)23
b FH(F)5 b FI(\()p FJ(P)i FI(\))p FK(,)60 1362 y FH(E)t
FI(\()p FJ(P)g FI(\))17 b FK(alle)f(endlic)o(h)e(sind,)i(m)o(u\377)f
(auc)o(h)h FH(E)t FI(\()p FH(\024)e(I)t FI(\))g(=)g FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)g(I)t FI(\)\))i FK(endlic)o(h)f(sein.)60
1423 y(\(c)101 1430 y FA(\024)130 1423 y FK(\):)22 b(\022)t
FH(\024)p FK(\020)27 b(folgt)22 b(analog)i(zu)e(dem)e(en)o(tsprec)o
(henden)h(Bew)o(eis)g(in)h(\(c\).)f(\022)t FH(\025)p
FK(\020)27 b(folgt)22 b(w)o(egen)60 1483 y(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))13 b FH(\022)h FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(\024)h(I)t FI(\))o(\))i FK(sofort)g(aus)g
(\(c\).)878 b Fx(\004)60 1598 y FK(Die)26 b(F)l(rage,)g(wie)g(\(a)456
1605 y FA(\024)486 1598 y FK(\),)g(\(b)591 1605 y FA(\024)620
1598 y FK(\))h(und)f(\(c)814 1605 y FA(\024)843 1598
y FK(\))h(mo)q(di\034ziert)d(w)o(erden)i(m)o(\374ssen,)e(w)o(enn)i
FH(I)31 b FK(ein)60 1659 y FH(\024)p FK(-Randsystem)22
b(jedo)q(c)o(h)i(k)o(ein)e(Randsystem)g(ist,)h(soll)g(hier)g(jetzt)g
(nic)o(h)o(t)f(w)o(eiter)g(un)o(ter-)60 1719 y(suc)o(h)o(t)g(w)o
(erden.)g(Meine)g(V)l(erm)o(utung)f(ist,)i(da\377)h(die)e(Aussage)i
(\(b)1308 1726 y FA(\024)1337 1719 y FK(\))f(ric)o(h)o(tig)f(bleibt.)f
(Ein)60 1779 y(Bew)o(eis)h(k)o(\366nn)o(te)g(sic)o(h)g(zum)g(Beispiel)f
(ergeb)q(en,)i(w)o(enn)g(es)g(gelingt,)f(die)g(De\034nition)h(v)o(on)60
1839 y FH(E)t FI(\()p FH(\024)14 b(I)t FI(\))23 b FK(aus)h(2.5.20)f
(auf)h(b)q(eliebige)d FH(\024)p FK(-Randsysteme)h FH(I)27
b FK(auszudehnen,)22 b(so)i(da\377)g(Lem-)60 1899 y(ma)k(2.5.22)h(ric)o
(h)o(tig)e(bleibt.)g(F\374r)h(den)h(F)l(all,)e(da\377)i(in)g(\(c)1181
1906 y FA(\024)1211 1899 y FK(\))f FH(I)33 b FK(ein)27
b(Randsystem)h(mit)60 1960 y FJ(\014)16 b FI(:=)d(min)o
FH(f)p FI(#)p FJ(I)339 1967 y FF(1)p FG(;nt)401 1960
y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)486 1967 y FF(2)p FG(;nt)549 1960
y FH(g)14 b FJ(<)g(\013)20 b FK(ist,)g(m)o(u\377)f(man)h(v)o(erm)o
(utli)o(c)o(h)d(die)j(Zahl)g FI(2)1468 1941 y FG(\013)1514
1960 y FK(durc)o(h)g FJ(\013)11 b FH(\001)g FI(2)1746
1941 y FG(\014)60 2020 y FK(ersetzen.)60 2205 y FC(3.2)77
b(Der)27 b(F)-6 b(all)23 b Fc(2)16 b Fb(\002)g Fl(!)60
2334 y FK(Im)11 b(folgenden)i(w)o(erden)f(Randsysteme)f
FH(I)18 b FI(=)13 b(\()p FJ(I)940 2341 y FF(1)960 2334
y FJ(;)8 b(I)1004 2341 y FF(2)1023 2334 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))k FK(un)o(tersuc)o(h)o(t,)f(b)q(ei)h(denen)h(eine)e(der)60
2395 y(b)q(eiden)f(Indexmengen)f(n)o(ur)i(zw)o(ei)f(Elemen)o(te)e(hat.)
j(Es)g(wird)g(ein)f(V)l(erfahren)g(zur)h(Gewinn)o(ung)60
2455 y(der)17 b(Extremalpunkte)d(angegeb)q(en.)j(Dazu)g(wird)g(in)g
(De\034nition)f(3.2.1)h(eine)f(Menge)g FH(E)1681 2462
y FF(2)1701 2455 y FI(\()p FH(I)t FI(\))60 2515 y FK(k)o(onstruiert)i
(und)h(dann)g(in)g(Satz)f(3.2.3)h(gezeigt,)f(da\377)h
FH(E)1124 2522 y FF(2)1144 2515 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14
b(=)g FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p
FK(.)19 b(Ansc)o(hlie\377end)60 2575 y(w)o(erden)d(daraus)h
(Informationen)e(\374b)q(er)h FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(gew)o(onnen.)60 2671 y
FL(De\034nition)j(3.2.1.)24 b FK(Sei)123 b FH(I)18 b
FI(:=)13 b(\()p FJ(I)814 2678 y FF(1)833 2671 y FJ(;)8
b(I)877 2678 y FF(2)896 2671 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))124
b FK(ein)f(Randsystem)g(mit)60 2731 y FI(min)n FH(f)p
FI(#)p FJ(I)229 2738 y FF(1)p FG(;nt)292 2731 y FJ(;)8
b FI(#)p FJ(I)377 2738 y FF(2)p FG(;nt)440 2731 y FH(g)13
b FI(=)h(2)q FK(.)h(Dann)i(de\034niere)f(eine)f(Menge)h
FH(E)1194 2738 y FF(2)1214 2731 y FI(\()p FH(I)s FI(\))p
FK(,)g(wie)g(folgt:)p eop
%%Page: 78 80
78 79 bop 120 50 a FK(78)477 b Fy(KAPITEL)16 b(3.)33
b(KARDINALIT)l(\304)l(TSBETRA)o(CHTU)o(NGEN)120 203 y
FK(Zun\344c)o(hst)20 b(nehme)e(man)h(an,)g(da\377)i FJ(I)806
210 y FF(1)839 203 y FI(=)14 b FH(f)p FJ(i)933 210 y
FF(1)952 203 y FJ(;)8 b(i)991 210 y FF(2)1010 203 y FH(g)p
FK(,)20 b FJ(i)1086 210 y FF(1)1119 203 y FH(6)p FI(=)14
b FJ(i)1188 210 y FF(2)1207 203 y FK(,)19 b FJ(r)1262
210 y FG(i)1274 215 y Fz(2)1308 203 y FH(\025)13 b FJ(r)1382
210 y FG(i)1394 215 y Fz(1)1427 203 y FJ(>)h FI(0)20
b FK(und)g FJ(I)1646 210 y FF(2)1679 203 y FI(=)14 b
FJ(I)1753 210 y FF(2)p FG(;nt)1816 203 y FK(.)120 264
y(De\034niere)631 360 y FH(T)658 367 y FF(=)688 360 y
FI(\()p FH(I)t FI(\))g(:=)f FH(f)p FJ(T)20 b FH(\022)14
b FJ(I)985 367 y FF(2)1018 360 y FI(:)1053 312 y FE(X)1057
418 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1134 360 y FJ(s)1157 367 y FG(j)1189
360 y FI(=)f FJ(r)1262 367 y FG(i)1274 372 y Fz(1)1294
360 y FH(g)-1199 b FK(\(3.9\))120 504 y(und)17 b(f\374r)f
FJ(j)315 511 y FF(0)348 504 y FH(2)f FJ(I)418 511 y FF(2)453
504 y FK(de\034niere)436 606 y FH(T)463 613 y FG(j)477
618 y Fz(0)497 606 y FI(\()p FH(I)s FI(\))f(:=)g FH(f)p
FJ(T)20 b FH(\022)13 b FJ(I)793 613 y FF(2)824 606 y
FH(n)d(f)p FJ(j)904 613 y FF(0)924 606 y FH(g)k FI(:)22
b FJ(r)1021 613 y FG(i)1033 618 y Fz(1)1063 606 y FH(\000)11
b FJ(s)1136 613 y FG(j)1150 618 y Fz(0)1183 606 y FJ(<)1235
558 y FE(X)1239 664 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1315 606 y FJ(s)1338
613 y FG(j)1371 606 y FJ(<)i(r)1444 613 y FG(i)1456 618
y Fz(1)1476 606 y FH(g)p FJ(:)-1395 b FK(\(3.10\))120
762 y(Ist)16 b FJ(T)k FH(2)14 b(T)315 769 y FF(=)345
762 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)h(so)i(de\034niere)e
FJ(P)736 744 y FG(T)s(;)p FF(=)813 762 y FI(=)f(\()p
FJ(p)908 738 y FG(T)s(;)p FF(=)908 774 y FG(i;j)971 762
y FI(\))990 769 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1095
774 y Fz(1)1112 769 y FA(\002)p FG(I)1154 774 y Fz(2)1190
762 y FK(durc)o(h)391 908 y FJ(p)415 884 y FG(T)s(;)p
FF(=)415 921 y FG(i)427 926 y Fz(1)444 921 y FG(;j)492
908 y FI(:=)557 823 y FE(\()597 874 y FJ(s)620 881 y
FG(j)704 874 y FK(f\374r)i FJ(j)h FH(2)d FJ(T)t(;)597
946 y FI(0)83 b FK(sonst,)1022 908 y FJ(p)1046 884 y
FG(T)s(;)p FF(=)1046 921 y FG(i)1058 926 y Fz(2)1075
921 y FG(;j)1123 908 y FI(:=)1188 823 y FE(\()1228 874
y FJ(s)1251 881 y FG(j)1334 874 y FK(f\374r)17 b FJ(j)f
FH(2)f FI(\()p FJ(I)1537 881 y FF(2)1567 874 y FH(n)c
FJ(T)c FI(\))p FJ(;)1228 946 y FI(0)82 b FK(sonst)120
908 y(\(3.11\))120 1043 y(so)o(wie)688 1139 y FH(E)718
1119 y FF(=)714 1152 y(2)748 1139 y FI(\()p FH(I)t FI(\))13
b(:=)h FH(f)p FJ(P)959 1119 y FG(T)s(;)p FF(=)1035 1139
y FI(:)22 b FJ(T)e FH(2)14 b(T)1194 1146 y FF(=)1224
1139 y FH(g)p FJ(:)-1143 b FK(\(3.12\))120 1244 y(Ist)16
b(hingegen)g FJ(T)k FH(2)14 b(T)518 1251 y FG(j)532 1256
y Fz(0)552 1244 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)i(so)h(sei)e
FJ(P)819 1225 y FG(T)s(;j)867 1230 y Fz(0)900 1244 y
FI(=)f(\()p FJ(p)995 1220 y FG(T)s(;j)1043 1225 y Fz(0)995
1256 y FG(i;j)1062 1244 y FI(\))1081 1251 y FF(\()p FG(i;j)r
FF(\))p FA(2)p FG(I)1186 1256 y Fz(1)1203 1251 y FA(\002)p
FG(I)1245 1256 y Fz(2)1281 1244 y FK(de\034niert)i(durc)o(h)370
1423 y FJ(p)394 1400 y FG(T)s(;j)442 1405 y Fz(0)394
1436 y FG(i)406 1441 y Fz(1)424 1436 y FG(;j)475 1423
y FI(:=)540 1306 y FE(8)540 1351 y(>)540 1366 y(<)540
1456 y(>)540 1471 y(:)585 1353 y FJ(s)608 1360 y FG(j)940
1353 y FK(f\374r)g FJ(j)h FH(2)d FJ(T)t(;)585 1425 y
FI(0)331 b FK(f\374r)16 b FJ(j)h FH(2)d FI(\()p FJ(I)1142
1432 y FF(2)1172 1425 y FH(n)d FJ(T)c FI(\))k FH(n)g(f)p
FJ(j)1355 1432 y FF(0)1374 1425 y FH(g)p FJ(;)585 1498
y(r)607 1505 y FG(i)619 1510 y Fz(1)649 1498 y FH(\000)699
1460 y FE(P)752 1512 y FG(\027)r FA(2)p FG(T)830 1498
y FJ(s)853 1505 y FG(\027)940 1498 y FK(f\374r)16 b FJ(j)h
FI(=)d FJ(j)1126 1505 y FF(0)1146 1498 y FJ(;)370 1657
y(p)394 1634 y FG(T)s(;j)442 1639 y Fz(0)394 1670 y FG(i)406
1675 y Fz(2)424 1670 y FG(;j)475 1657 y FI(:=)540 1540
y FE(8)540 1585 y(>)540 1600 y(<)540 1690 y(>)540 1705
y(:)585 1587 y FI(0)493 b FK(f\374r)16 b FJ(j)h FH(2)d
FJ(T)t(;)585 1659 y(s)608 1666 y FG(j)1102 1659 y FK(f\374r)i
FJ(j)h FH(2)d FI(\()p FJ(I)1304 1666 y FF(2)1335 1659
y FH(n)c FJ(T)d FI(\))k FH(n)g(f)p FJ(j)1517 1666 y FF(0)1537
1659 y FH(g)p FJ(;)585 1731 y(r)607 1738 y FG(i)619 1743
y Fz(2)649 1731 y FH(\000)699 1694 y FE(P)752 1746 y
FG(\027)r FA(2)p FF(\()p FG(I)824 1751 y Fz(2)841 1746
y FA(n)p FG(T)5 b FF(\))p FA(nf)p FG(j)949 1751 y Fz(0)965
1746 y FA(g)993 1731 y FJ(s)1016 1738 y FG(\027)1102
1731 y FK(f\374r)16 b FJ(j)h FI(=)d FJ(j)1288 1738 y
FF(0)120 1541 y FK(\(3.13\))120 1827 y(so)o(wie)647 1923
y FH(E)677 1899 y FG(j)691 1904 y Fz(0)673 1935 y FF(2)711
1923 y FI(\()p FH(I)t FI(\))g(:=)f FH(f)p FJ(P)922 1902
y FG(T)s(;j)970 1907 y Fz(0)1003 1923 y FI(:)22 b FJ(T)e
FH(2)14 b(T)1162 1930 y FG(j)1176 1935 y Fz(0)1196 1923
y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FH(g)p FJ(:)-1184 b FK(\(3.14\))120
2019 y(Sc)o(hlie\377lic)o(h)13 b(sei)669 2115 y FH(E)695
2122 y FF(2)715 2115 y FI(\()p FH(I)s FI(\))h(:=)g FH(E)893
2094 y FF(=)889 2127 y(2)923 2115 y FI(\()p FH(I)t FI(\))d
FH([)1063 2067 y FE([)1047 2173 y FG(j)1061 2178 y Fz(0)1079
2173 y FA(2)p FG(I)1118 2178 y Fz(2)1135 2115 y FH(E)1165
2091 y FG(j)1179 2096 y Fz(0)1161 2127 y FF(2)1199 2115
y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FJ(:)-1162 b FK(\(3.15\))120
2262 y(Ist)13 b FJ(I)211 2269 y FF(1)245 2262 y FH(6)p
FI(=)g FJ(I)318 2269 y FF(1)p FG(;nt)395 2262 y FK(o)q(der)h
FJ(I)524 2269 y FF(2)557 2262 y FH(6)p FI(=)g FJ(I)631
2269 y FF(2)p FG(;nt)694 2262 y FK(,)g(so)g(wird)f FH(E)913
2269 y FF(2)934 2262 y FI(\()p FH(I)s FI(\))h FK(genauso)h(k)o
(onstruiert,)d(n)o(ur)i(da\377)g(no)q(c)o(h)g(en)o(t-)120
2322 y(sprec)o(hend)g(viele)f(Nullzeilen)f(eingef\374gt)i(w)o(erden.)g
(F\374r)g FI(#)p FJ(I)1223 2329 y FF(2)p FG(;nt)1300
2322 y FI(=)g(2)h FK(erfolgt)f(die)g(De\034nition)120
2382 y(v)o(on)i FH(E)238 2389 y FF(2)258 2382 y FI(\()p
FH(I)s FI(\))g FK(analog,)h(n)o(ur)e(da\377)i(die)e(Rollen)g(v)o(on)g
FJ(I)1032 2389 y FF(1)1067 2382 y FK(und)h FJ(I)1186
2389 y FF(2)1221 2382 y FK(so)o(wie)f(die)h(Rollen)e(v)o(on)i
FJ(r)h FK(und)f FJ(s)120 2442 y FK(v)o(ertausc)o(h)o(t)f(sind.)120
2551 y(In)23 b(Beispiel)d(3.2.2)k(wird)f(die)f(Konstruktion)h(aus)h
(De\034nition)e(3.2.1)i(f\374r)f(ein)f(k)o(onkretes)120
2611 y(Randsystem)h(durc)o(hgef\374hrt.)g(Es)h(wird)f(erneut)h(das)g
(Randsystem)f(aus)h(Beispiel)e(2.5.2)120 2671 y(v)o(erw)o(endet.)12
b(Insb)q(esondere)i(wird)g(somit)f(der)g(Un)o(tersc)o(hied)f(der)i
(Konstruktionen)g(v)o(on)g(De-)120 2731 y(\034nition)i(3.2.1)g(und)h
(De\034nition)f(2.5.1)g(herausgestellt.)p eop
%%Page: 79 81
79 80 bop 60 50 a Fy(3.2.)32 b(DER)17 b(F)-5 b(ALL)16
b FI(2)c FH(\002)e FJ(!)1175 b FK(79)60 203 y FL(Beispiel)20
b(3.2.2.)j FK(Gegeb)q(en)18 b(sei)g(das)h(Randsystem)e
FH(I)h FI(:=)13 b(\()p FJ(I)1217 210 y FF(1)1236 203
y FJ(;)8 b(I)1280 210 y FF(2)1300 203 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))17 b FK(mit)g FJ(I)1538 210 y FF(1)1571 203 y FI(:=)c
FH(f)p FI(1)p FJ(;)8 b FI(2)p FH(g)p FK(,)60 264 y FJ(I)82
271 y FF(2)115 264 y FI(:=)13 b FH(f)p FI(1)p FJ(;)8
b FI(2)p FJ(;)g FI(3)p FH(g)q FK(,)29 b FJ(r)15 b FI(:=)e(\(2)p
FJ(;)8 b FI(5\))q FK(,)29 b FJ(s)14 b FI(:=)f(\(1)p FJ(;)8
b FI(1)p FJ(;)g FI(5\))q FK(.)29 b(Es)h(soll)f(n)o(un)g
FH(E)1261 271 y FF(2)1281 264 y FI(\()p FH(I)t FI(\))g
FK(explizit)e(b)q(erec)o(hnet)60 324 y(w)o(erden.)i(Setze)h
FJ(i)413 331 y FF(1)446 324 y FI(:=)14 b(1)p FK(,)30
b FJ(i)597 331 y FF(2)630 324 y FI(:=)14 b(2)p FK(.)30
b(Dann)h(ist)g FJ(r)1015 331 y FG(i)1027 336 y Fz(2)1060
324 y FI(=)14 b(5)g FJ(>)g(r)1224 331 y FG(i)1236 336
y Fz(1)1269 324 y FI(=)g(2)g FJ(>)g FI(0)p FK(.)30 b(W)l(eiterhin)f
(ist)60 384 y FJ(r)82 391 y FG(i)94 396 y Fz(1)124 384
y FH(\000)11 b FJ(s)197 391 y FF(1)231 384 y FI(=)j FJ(r)305
391 y FG(i)317 396 y Fz(1)347 384 y FH(\000)d FJ(s)420
391 y FF(2)453 384 y FI(=)j(1)j FK(so)o(wie)f FJ(r)697
391 y FG(i)709 396 y Fz(1)739 384 y FH(\000)11 b FJ(s)812
391 y FF(3)845 384 y FI(=)j FH(\000)p FI(3)p FK(,)i(also)h(nac)o(h)f
(\(3.9\))h(und)f(\(3.10\))254 493 y FH(T)281 500 y FF(=)311
493 y FI(\()p FH(I)s FI(\))e(=)g FH(ff)p FI(1)p FJ(;)8
b FI(2)p FH(gg)p FJ(;)57 b FH(T)713 500 y FF(1)733 493
y FI(\()p FH(I)s FI(\))14 b(=)g FH(;)p FJ(;)56 b FH(T)989
500 y FF(2)1009 493 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g FH(;)p
FJ(;)56 b FH(T)1266 500 y FF(3)1286 493 y FI(\()p FH(I)t
FI(\))14 b(=)f FH(f;)p FJ(;)8 b FH(f)p FI(1)p FH(g)p
FJ(;)g FH(f)p FI(2)p FH(gg)p FJ(:)60 603 y FK(Nac)o(h)16
b(\(3.11\))g(und)h(\(3.13\))g(ist)f(dann)271 741 y FJ(P)309
721 y FA(f)p FF(1)p FG(;)p FF(2)p FA(g)p FG(;)p FF(=)443
741 y FI(=)495 671 y FE(\022)531 711 y FI(1)42 b(1)g(0)531
771 y(0)g(0)g(5)687 671 y FE(\023)724 741 y FJ(;)57 b(P)833
721 y FA(;)p FG(;)p FF(3)894 741 y FI(=)946 671 y FE(\022)982
711 y FI(0)42 b(0)g(2)982 771 y(1)g(1)g(3)1139 671 y
FE(\023)1175 741 y FJ(;)57 b(P)1284 721 y FA(f)p FF(1)p
FA(g)p FG(;)p FF(3)1380 741 y FI(=)1432 671 y FE(\022)1469
711 y FI(1)42 b(0)g(1)1469 771 y(0)g(1)g(4)1625 671 y
FE(\023)1662 741 y FJ(;)308 878 y(P)346 858 y FA(f)p
FF(2)p FA(g)p FG(;)p FF(3)443 878 y FI(=)495 808 y FE(\022)531
848 y FI(0)g(1)g(1)531 908 y(1)g(0)g(4)687 808 y FE(\023)724
878 y FJ(:)60 1014 y FK(Damit)15 b(ergibt)h(sic)o(h)f(folglic)o(h)60
1214 y FH(E)86 1221 y FF(2)106 1214 y FI(\()p FH(I)t
FI(\))f(=)g FH(E)271 1193 y FF(=)267 1226 y(2)301 1214
y FI(\()p FH(I)t FI(\))d FH([)433 1167 y FE([)417 1272
y FG(j)431 1277 y Fz(0)448 1272 y FA(2)p FG(I)487 1277
y Fz(2)504 1214 y FH(E)534 1190 y FG(j)548 1195 y Fz(0)530
1226 y FF(2)569 1214 y FI(\()p FH(I)t FI(\))i(=)703 1144
y FE(\032\022)777 1184 y FI(1)42 b(1)g(0)777 1244 y(0)g(0)g(5)933
1144 y FE(\023)970 1214 y FJ(;)992 1144 y FE(\022)1028
1184 y FI(0)g(0)g(2)1028 1244 y(1)g(1)g(3)1185 1144 y
FE(\023)1221 1214 y FJ(;)1243 1144 y FE(\022)1280 1184
y FI(1)g(0)g(1)1280 1244 y(0)g(1)g(4)1436 1144 y FE(\023)1473
1214 y FJ(;)1495 1144 y FE(\022)1531 1184 y FI(0)g(1)g(1)1531
1244 y(1)g(0)g(4)1687 1144 y FE(\023\033)60 1119 y FK(\(3.16\))60
1382 y(in)16 b(\334b)q(ereinstimm)m(ung)e(mit)h(Beispiel)f(2.5.2.)60
1504 y(Da\377)j(dies)f(k)o(ein)f(Zufall)h(w)o(ar,)g(b)q(esagt)h
(folgender)60 1605 y FL(Satz)i(3.2.3.)k FK(Sei)k FH(I)18
b FI(:=)13 b(\()p FJ(I)580 1612 y FF(1)600 1605 y FJ(;)8
b(I)644 1612 y FF(2)663 1605 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))27
b FK(ein)h(Randsystem)f(mit)f FI(min)o FH(f)p FI(#)1425
1612 y FG(nt)1460 1605 y FJ(I)1482 1612 y FF(1)1502 1605
y FJ(;)8 b FI(#)1565 1612 y FG(nt)1600 1605 y FJ(I)1622
1612 y FF(2)1642 1605 y FH(g)13 b FI(=)h(2)p FK(.)60
1665 y(Dann)j(gilt)f FH(E)305 1672 y FF(2)325 1665 y
FI(\()p FH(I)t FI(\))d(=)h FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)60 1783 y FB(Beweis.)26 b FK(Angenommen,)14
b(es)k(ist)f FI(#)p FJ(I)759 1790 y FF(1)p FG(;nt)836
1783 y FI(=)d(2)p FK(.)k(Ohne)f(Besc)o(hr\344nkung)h(der)f(Allgemeinhe)
o(it)60 1843 y(sei)f FJ(I)153 1850 y FF(1)186 1843 y
FI(=)e FH(f)p FJ(i)280 1850 y FF(1)299 1843 y FJ(;)8
b(i)338 1850 y FF(2)357 1843 y FH(g)p FK(,)16 b FJ(i)429
1850 y FF(1)462 1843 y FH(6)p FI(=)e FJ(i)531 1850 y
FF(2)550 1843 y FK(,)i FJ(r)602 1850 y FG(i)614 1855
y Fz(2)647 1843 y FH(\025)e FJ(r)722 1850 y FG(i)734
1855 y Fz(1)767 1843 y FJ(>)g FI(0)p FK(,)i FJ(I)895
1850 y FF(2)928 1843 y FI(=)e FJ(I)1002 1850 y FF(2)p
FG(;nt)1065 1843 y FK(.)60 1904 y(\022)t FH(\023)p FK(\020)t(:)73
b(Sei)f FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)72 b(W\344hle)h FJ(j)956 1911
y FF(0)989 1904 y FH(2)14 b FJ(I)1058 1911 y FF(2)1078
1904 y FK(,)72 b(so)h(da\377)h FJ(p)1453 1911 y FG(i)1465
1916 y Fz(1)1483 1911 y FG(;j)1507 1916 y Fz(0)1540 1904
y FJ(>)14 b FI(0)73 b FK(und)125 1964 y FH(8)60 1997
y FG(j)r FA(2)p FG(I)115 2002 y Fz(2)132 1997 y FA(nf)p
FG(j)182 2002 y Fz(0)199 1997 y FA(g)231 1964 y FI(0)14
b FH(2)g(f)p FJ(p)365 1971 y FG(i)377 1976 y Fz(1)395
1971 y FG(;j)423 1964 y FJ(;)8 b(p)469 1971 y FG(i)481
1976 y Fz(2)498 1971 y FG(;j)526 1964 y FH(g)36 b FK(\(so)g(ein)f
FJ(j)803 1971 y FF(0)859 1964 y FK(gibt)g(es,)g(da)i
FJ(r)1178 1971 y FG(i)1190 1976 y Fz(1)1223 1964 y FJ(>)14
b FI(0)36 b FK(und)f FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))37
b FK(kreisfrei)60 2052 y(ist\).)16 b(Setze)f FJ(T)20
b FI(:=)13 b FH(f)p FJ(j)k FH(2)d FJ(I)533 2059 y FF(2)563
2052 y FH(n)d(f)p FJ(j)644 2059 y FF(0)664 2052 y FH(g)j
FI(:)22 b FJ(p)763 2059 y FG(i)775 2064 y Fz(1)792 2059
y FG(;j)834 2052 y FJ(>)14 b FI(0)p FH(g)p FK(.)i(Dann)h(ist)35
b FH(8)1165 2083 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1244 2052 y FJ(p)1268
2059 y FG(i)1280 2064 y Fz(1)1298 2059 y FG(;j)1340 2052
y FI(=)14 b FJ(s)1415 2059 y FG(j)1433 2052 y FK(,)i(das)h(hei\377t)362
2153 y FE(X)320 2261 y FG(j)r FA(2)p FG(T)5 b FA([f)p
FG(j)442 2266 y Fz(0)458 2261 y FA(g)484 2200 y FJ(s)507
2207 y FG(j)539 2200 y FI(=)13 b FJ(r)612 2207 y FG(i)624
2212 y Fz(1)709 2200 y FK(o)q(der)65 b FJ(r)889 2207
y FG(i)901 2212 y Fz(1)932 2200 y FH(\000)11 b FJ(s)1005
2207 y FG(j)1019 2212 y Fz(0)1052 2200 y FJ(<)j(r)1126
2207 y FG(i)1138 2212 y Fz(1)1168 2200 y FH(\000)d FJ(p)1242
2207 y FG(i)1254 2212 y Fz(1)1272 2207 y FG(;j)1296 2212
y Fz(0)1329 2200 y FI(=)1381 2153 y FE(X)1384 2258 y
FG(j)r FA(2)p FG(T)1461 2200 y FJ(s)1484 2207 y FG(j)1516
2200 y FJ(<)j(r)1590 2207 y FG(i)1602 2212 y Fz(1)1621
2200 y FJ(:)-1575 b FK(\(3.17\))60 2370 y(Im)33 b(ersten)i(F)l(all)g
(ist)g FJ(T)17 b FH([)11 b(f)p FJ(j)653 2377 y FF(0)673
2370 y FH(g)j(2)g(T)786 2377 y FF(=)816 2370 y FI(\()p
FH(I)s FI(\))36 b FK(und)f FJ(P)21 b FI(=)14 b FJ(P)1178
2352 y FG(T)5 b FA([f)p FG(j)1260 2357 y Fz(0)1276 2352
y FA(g)p FG(;)p FF(=)1369 2370 y FK(nac)o(h)35 b(\(3.11\).)g(Also)60
2430 y FJ(P)21 b FH(2)14 b(E)185 2437 y FF(2)205 2430
y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)19 b(Im)f(zw)o(eiten)g(F)l(all)h(ist)g
FJ(T)h FH(2)14 b(T)856 2437 y FG(j)870 2442 y Fz(0)890
2430 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(.)19 b(Nac)o(h)g(\(3.13\))h(ist)f
(dann)h FJ(P)h FI(=)14 b FJ(P)1602 2412 y FG(T)s(;j)1650
2417 y Fz(0)1689 2430 y FK(und)60 2491 y(damit)h(wieder)p
FJ(P)20 b FH(2)14 b(E)464 2498 y FF(2)484 2491 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))p FK(.)60 2551 y(\022)t FH(\022)p FK(\020)t(:)22
b(Ist)g FJ(P)f FH(2)14 b(E)378 2558 y FF(2)398 2551 y
FI(\()p FH(I)t FI(\))p FK(,)22 b(so)h(sind)f(nac)o(h)g(De\034nition)g
(3.2.1)h(zw)o(ei)e(F\344lle)g(zu)h(un)o(tersc)o(heiden.)60
2611 y(Erster)d(F)l(all:)e FJ(T)j FI(:=)14 b FH(f)p FJ(j)i
FH(2)f FJ(I)567 2618 y FF(2)600 2611 y FI(:)21 b FJ(p)659
2618 y FG(i)671 2623 y Fz(1)689 2618 y FG(;j)731 2611
y FJ(>)14 b FI(0)p FH(g)g(2)g(T)920 2618 y FF(=)950 2611
y FI(\()p FH(I)s FI(\))19 b FK(und)g FJ(P)i FI(=)14 b
FJ(P)1279 2593 y FG(T)s(;)p FF(=)1342 2611 y FK(.)k(Dann)i(ist)e(klar,)
g(da\377)60 2671 y FJ(P)j FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q FK(,)f(und)h(da)h(in)e(jeder)g(Spalte)h(h\366)q(c)o(hstens)g
(ein)f(p)q(ositiv)o(es)h(Elemen)o(t)d(steh)o(t,)i(ist)g
FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))60 2731 y FK(kreisfei,)15
b(das)i(hei\377t)g FJ(P)k FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p FK(.)j(Zw)o(eiter)e(F)l(all:)g(Es)j(gibt)e
FJ(j)1233 2738 y FF(0)1267 2731 y FH(2)e FJ(I)1336 2738
y FF(2)1372 2731 y FK(und)j FJ(T)j FH(2)15 b(T)1594 2738
y FG(j)1608 2743 y Fz(0)1627 2731 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p
FK(,)h(so)p eop
%%Page: 80 82
80 81 bop 120 50 a FK(80)477 b Fy(KAPITEL)16 b(3.)33
b(KARDINALIT)l(\304)l(TSBETRA)o(CHTU)o(NGEN)120 203 y
FK(da\377)20 b FJ(P)h FI(=)14 b FJ(P)357 185 y FG(T)s(;j)405
190 y Fz(0)443 203 y FK(nac)o(h)20 b(\(3.13\).)f(Dann)h(folgt)g
(zun\344c)o(hst,)e(da\377)97 b FH(8)1283 237 y FF(\()p
FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)1388 242 y Fz(1)1405 237
y FA(\002)p FG(I)1447 242 y Fz(2)1479 203 y FJ(p)1503
210 y FG(i;j)1557 203 y FH(\025)14 b FI(0)p FK(:)19 b(Nur)g(f\374r)120
291 y FJ(j)e FI(=)d FJ(j)229 298 y FF(0)265 291 y FK(ist)i(et)o(w)o(as)
g(zu)g(zeigen.)f(Es)h(gilt)g FJ(p)870 298 y FG(i)882
303 y Fz(1)900 298 y FG(;j)924 303 y Fz(0)957 291 y FI(=)e
FJ(r)1031 298 y FG(i)1043 303 y Fz(1)1073 291 y FH(\000)1123
254 y FE(P)1176 306 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1251 291 y FJ(s)1274
298 y FG(j)1306 291 y FJ(>)g FI(0)p FK(,)i(da)h FJ(r)1502
298 y FG(i)1514 303 y Fz(1)1547 291 y FJ(>)1599 254 y
FE(P)1651 306 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1727 291 y FJ(s)1750
298 y FG(j)1768 291 y FK(,)126 413 y FJ(p)150 420 y FG(i)162
425 y Fz(2)180 420 y FG(;j)204 425 y Fz(0)237 413 y FI(=)d
FJ(r)311 420 y FG(i)323 425 y Fz(2)353 413 y FH(\000)472
365 y FE(X)395 473 y FG(j)r FA(2)p FF(\()p FG(I)464 478
y Fz(2)481 473 y FA(n)p FG(T)5 b FF(\))p FA(nf)p FG(j)589
478 y Fz(0)604 473 y FA(g)630 413 y FJ(s)653 420 y FG(j)685
413 y FI(=)737 365 y FE(X)737 471 y FG(j)r FA(2)p FG(I)792
476 y Fz(2)818 413 y FJ(s)841 420 y FG(j)870 413 y FH(\000)11
b FJ(r)942 420 y FG(i)954 425 y Fz(1)984 413 y FH(\000)1103
365 y FE(X)1026 473 y FG(j)r FA(2)p FF(\()p FG(I)1095
478 y Fz(2)1112 473 y FA(n)p FG(T)5 b FF(\))p FA(nf)p
FG(j)1220 478 y Fz(0)1235 473 y FA(g)1261 413 y FJ(s)1284
420 y FG(j)1316 413 y FI(=)1368 365 y FE(X)1372 471 y
FG(j)r FA(2)p FG(T)1448 413 y FJ(s)1471 420 y FG(j)1501
413 y FI(+)11 b FJ(s)1573 420 y FG(j)1587 425 y Fz(0)1617
413 y FH(\000)g FJ(r)1689 420 y FG(i)1701 425 y Fz(1)1734
413 y FJ(>)j FI(0)p FJ(;)120 572 y FK(da)187 535 y FE(P)240
587 y FG(j)r FA(2)p FG(T)315 572 y FJ(s)338 579 y FG(j)370
572 y FJ(>)g(r)444 579 y FG(i)456 584 y Fz(1)487 572
y FH(\000)c FJ(s)559 579 y FG(j)573 584 y Fz(0)593 572
y FK(.)15 b(Um)f FJ(P)21 b FH(2)14 b(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))i FK(einzusehen,)e(ist)i(lediglic)o(h)d FJ(p)1477
579 y FG(i)1489 584 y Fz(1)1507 579 y FG(;j)1531 584
y Fz(0)1562 572 y FI(+)e FJ(p)1635 579 y FG(i)1647 584
y Fz(2)1664 579 y FG(;j)1688 584 y Fz(0)1722 572 y FI(=)i
FJ(s)1796 579 y FG(j)1810 584 y Fz(0)120 632 y FK(zu)f(zeigen)f(\(dann)
i(ist)f(klar,)g(da\377)h(sic)o(h)f(alle)f(anderen)h(Linien,)g(wie)f
(gew\374nsc)o(h)o(t,)h(summiere)o(n\).)120 692 y(Es)17
b(gilt)126 867 y FJ(p)150 874 y FG(i)162 879 y Fz(1)180
874 y FG(;j)204 879 y Fz(0)234 867 y FI(+)11 b FJ(p)307
874 y FG(i)319 879 y Fz(2)337 874 y FG(;j)361 879 y Fz(0)394
867 y FI(=)j FJ(r)468 874 y FG(i)480 879 y Fz(1)511 867
y FI(+)d FJ(r)582 874 y FG(i)594 879 y Fz(2)624 867 y
FH(\000)674 820 y FE(X)677 925 y FG(j)r FA(2)p FG(T)754
867 y FJ(s)777 874 y FG(j)806 867 y FH(\000)926 820 y
FE(X)848 927 y FG(j)r FA(2)p FF(\()p FG(I)917 932 y Fz(2)934
927 y FA(n)p FG(T)5 b FF(\))p FA(nf)p FG(j)1042 932 y
Fz(0)1058 927 y FA(g)1084 867 y FJ(s)1107 874 y FG(j)1139
867 y FI(=)1191 820 y FE(X)1190 925 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1245
930 y Fz(2)1271 867 y FJ(s)1294 874 y FG(j)1323 867 y
FH(\000)1373 820 y FE(X)1376 925 y FG(j)r FA(2)p FG(T)1453
867 y FJ(s)1476 874 y FG(j)1506 867 y FH(\000)1625 820
y FE(X)1548 927 y FG(j)r FA(2)p FF(\()p FG(I)1617 932
y Fz(2)1633 927 y FA(n)p FG(T)g FF(\))p FA(nf)p FG(j)1741
932 y Fz(0)1757 927 y FA(g)1783 867 y FJ(s)1806 874 y
FG(j)394 1000 y FI(=)14 b FJ(s)469 1007 y FG(j)483 1012
y Fz(0)503 1000 y FJ(:)120 1103 y FK(W)l(egen)80 b FH(8)276
1136 y FG(j)r FA(2)p FG(I)331 1141 y Fz(2)348 1136 y
FA(nf)p FG(j)398 1141 y Fz(0)415 1136 y FA(g)447 1103
y FI(0)14 b FH(2)g(f)p FJ(p)581 1110 y FG(i)593 1115
y Fz(1)611 1110 y FG(;j)639 1103 y FJ(;)8 b(p)685 1110
y FG(i)697 1115 y Fz(2)714 1110 y FG(;j)742 1103 y FH(g)16
b FK(ist)f FJ(G)p FI(\()p FJ(P)7 b FI(\))15 b FK(kreisfrei.)e(Damit)i
(ist)f(auc)o(h)i(im)d(zw)o(eiten)h(F)l(all)120 1191 y
FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))i FK(gezeigt.)120 1251 y(Der)g(Bew)o(eis)f(im)f(F)l(all)i
FI(#)p FJ(I)604 1258 y FF(2)p FG(;nt)680 1251 y FI(=)e(2)j
FK(v)o(erl\344uft)e(v)o(\366llig)g(analog.)557 b Fx(\004)120
1348 y FL(Korollar)20 b(3.2.4.)j FK(Sei)133 b FH(I)17
b FI(:=)d(\()p FJ(I)845 1355 y FF(1)864 1348 y FJ(;)8
b(I)908 1355 y FF(2)927 1348 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))133
b FK(ein)g(Randsystem)g(mit)120 1408 y FI(min)n FH(f)p
FI(#)p FJ(I)289 1415 y FF(1)p FG(;nt)352 1408 y FJ(;)8
b FI(#)p FJ(I)437 1415 y FF(2)p FG(;nt)500 1408 y FH(g)13
b FI(=)h(2)q FK(.)h(Dann)i(gilt)424 1557 y FI(#)p FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))d(=)710 1472 y
FE(\()750 1486 y(P)802 1538 y FG(j)r FA(2)p FG(I)857
1543 y Fz(2)885 1523 y FI(#)p FH(T)953 1530 y FG(j)971
1523 y FI(\()p FH(I)t FI(\))d(+)g(#)p FH(T)1168 1530
y FF(=)1197 1523 y FI(\()p FH(I)t FI(\))65 b FK(f\374r)16
b FI(#)p FJ(I)1471 1530 y FF(1)p FG(;nt)1548 1523 y FI(=)e(2)p
FJ(;)750 1558 y FE(P)802 1610 y FG(i)p FA(2)p FG(I)853
1615 y Fz(1)881 1595 y FI(#)p FH(T)949 1602 y FG(i)963
1595 y FI(\()p FH(I)t FI(\))d(+)g(#)p FH(T)1160 1602
y FF(=)1189 1595 y FI(\()p FH(I)t FI(\))73 b FK(f\374r)16
b FI(#)p FJ(I)1471 1602 y FF(2)p FG(;nt)1548 1595 y FI(=)e(2)p
FJ(:)120 1557 y FK(\(3.18\))120 1717 y FB(Beweis.)26
b FK(Es)13 b(ist)g(lediglic)o(h)e(zu)i(b)q(emerk)o(en,)d(da\377)k(die)e
(V)l(ereinigung)g(in)h(\(3.15\))h(eine)e(disjunkte)120
1777 y(V)l(ereinigung)18 b(ist.)g(Das)i(folgt)g(aus)f(\(3.11\))h(und)f
(\(3.13\),)h(denn)f(danac)o(h)g(folgt)g(f\374r)g FJ(T)i
FH(6)p FI(=)13 b FJ(T)1805 1759 y FA(0)1816 1777 y FK(,)120
1837 y(da\377)22 b FJ(P)255 1819 y FG(T)s(;j)321 1837
y FH(6)p FI(=)14 b FJ(P)411 1819 y FG(T)437 1807 y Fv(0)447
1819 y FG(;j)497 1837 y FK(so)o(wie,)21 b(da\377)h(Elemen)o(te)c(aus)k
FH(T)1079 1844 y FG(j)1098 1837 y FI(\()p FH(I)t FI(\))f
FK(sic)o(h)g(v)o(on)g(allen)g(Elemen)o(ten,)d(die)120
1897 y(nic)o(h)o(t)d(in)h FH(T)326 1904 y FG(j)344 1897
y FI(\()p FH(I)t FI(\))g FK(liegen,)f(zumindest)f(in)i(der)g
FJ(j)s FK(-ten)g(Spalte)g(\(Zeile\))f(un)o(tersc)o(heiden.)103
b Fx(\004)120 2013 y FK(In)15 b(Absc)o(hnitt)f(A.2)g(des)h(Anhangs)h(b)
q(e\034ndet)f(sic)o(h)g(der)g(Quellco)q(de)f(eines)g(Programms,)f(das)
120 2073 y(die)j(in)g(\(3.18\))h(gegeb)q(ene)g(F)l(ormel)d(b)q(en)o
(utzt,)i(um)f FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))h FK(f\374r)h(endlic)o(he)d(Randsysteme)120
2133 y(der)i(Dimension)f FI(2)c FH(\002)g FJ(n)16 b FK(zu)g(b)q(erec)o
(hnen.)120 2213 y(Das)i(folgende)f(Lemma)e(3.2.5)i(w)o(endet)f
(Korollar)i(3.2.4)f(auf)g(einige)f(endlic)o(he)g(Sp)q(ezialf\344lle)120
2274 y(an.)h(Die)g(Ergebnisse)h(w)o(erden)e(ansc)o(hlie\377end)h(in)g
(Beispiel)e(3.2.6)j(b)q(en)o(utzt,)e(um)g(f\374r)i FI(2)12
b FH(\002)f FI(2)p FK(-)120 2334 y(Randsysteme)20 b(\(in)h(T)l(eil)f
(\(a\)\))i(und)f FI(2)15 b FH(\002)g FI(3)p FK(-Randsysteme)20
b(\(in)h(T)l(eil)f(\(b\)\))i(die)e(m\366glic)o(hen)120
2394 y(Kardinalit\344ten)c(der)g(Extremalpunktm)o(engen)e(v)o
(ollst\344ndig)h(zu)h(klassi\034zieren.)120 2491 y FL(Lemma)i(3.2.5.)23
b FK(Sei)68 b FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)756 2498 y
FF(1)775 2491 y FJ(;)8 b(I)819 2498 y FF(2)838 2491 y
FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))68 b FK(ein)g(Randsystem)f(mit)g
FI(#)p FJ(I)1677 2498 y FF(1)p FG(;nt)1754 2491 y FI(=)14
b(2)120 2551 y FK(und)42 b FI(#)p FJ(I)306 2558 y FF(2)p
FG(;nt)382 2551 y FI(=)14 b FJ(n)g(<)g FH(1)p FK(.)41
b(W\344hlt)g(man)g FJ(i)960 2558 y FF(1)979 2551 y FJ(;)8
b(i)1018 2558 y FF(2)1051 2551 y FH(2)14 b FJ(I)1120
2558 y FF(1)1139 2551 y FK(,)41 b(so)o(wie)h FJ(j)1369
2558 y FF(1)1389 2551 y FJ(;)8 b(j)1431 2558 y FF(2)1450
2551 y FJ(;)g(j)1492 2558 y FF(3)1526 2551 y FH(2)14
b FJ(I)1595 2558 y FF(2)1614 2551 y FK(,)41 b(so)h(da\377)120
2611 y FJ(r)142 2618 y FG(i)154 2623 y Fz(1)187 2611
y FI(=)14 b(min)n FH(f)p FJ(r)367 2618 y FG(i)395 2611
y FI(:)22 b FJ(i)13 b FH(2)h FJ(I)530 2618 y FF(1)p FG(;nt)593
2611 y FH(g)p FK(,)75 b FJ(r)729 2618 y FG(i)741 2623
y Fz(2)774 2611 y FI(=)14 b(max)o FH(f)p FJ(r)964 2618
y FG(i)991 2611 y FI(:)22 b FJ(i)14 b FH(2)g FJ(I)1127
2618 y FF(1)p FG(;nt)1190 2611 y FH(g)p FK(,)74 b FJ(s)1326
2618 y FG(j)1340 2623 y Fz(1)1374 2611 y FI(=)14 b(min)n
FH(f)p FJ(s)1555 2618 y FG(j)1587 2611 y FI(:)21 b FJ(j)c
FH(2)d FJ(I)1728 2618 y FF(2)p FG(;nt)1792 2611 y FH(g)o
FK(,)120 2671 y FJ(s)143 2678 y FG(j)157 2683 y Fz(2)190
2671 y FI(=)g(min)o FH(f)p FJ(s)372 2678 y FG(j)403 2671
y FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)545 2678 y FF(2)p FG(;nt)619
2671 y FH(n)d(f)p FJ(j)700 2678 y FF(1)720 2671 y FH(gg)p
FK(,)21 b FJ(s)828 2678 y FG(j)842 2683 y Fz(3)876 2671
y FI(=)14 b(min)n FH(f)p FJ(s)1057 2678 y FG(j)1089 2671
y FI(:)22 b FJ(j)16 b FH(2)f FJ(I)1231 2678 y FF(2)p
FG(;nt)1305 2671 y FH(n)c(f)p FJ(j)1386 2678 y FF(1)1406
2671 y FJ(;)d(j)1448 2678 y FF(2)1467 2671 y FH(gg)p
FK(,)22 b(so)g(gelten)g(die)120 2731 y(Aussagen)17 b(\(a\),)f(\(b\))g
(und)h(\(c\).)p eop
%%Page: 81 83
81 82 bop 60 50 a Fy(3.2.)32 b(DER)17 b(F)-5 b(ALL)16
b FI(2)c FH(\002)e FJ(!)1175 b FK(81)60 203 y FL(\(a\))24
b FK(Ist)16 b FJ(r)249 210 y FG(i)261 215 y Fz(1)294
203 y FH(\024)e FJ(s)370 210 y FG(j)384 215 y Fz(1)404
203 y FK(,)h(so)i(gilt)f FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\)\))e(=)g FJ(n)p FK(.)60 311 y FL(\(b\))24
b FK(Ist)16 b FJ(s)254 318 y FG(j)268 323 y Fz(1)302
311 y FJ(<)d(r)375 318 y FG(i)387 323 y Fz(1)421 311
y FH(\024)g FJ(s)496 318 y FG(j)510 323 y Fz(2)530 311
y FK(,)j(so)g(gilt)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))e(=)g(2\()p FJ(n)e FH(\000)e FI(1\))q
FK(.)60 419 y FL(\(c\))24 b FK(Ist)16 b FJ(s)248 426
y FG(j)262 431 y Fz(2)295 419 y FJ(<)e(r)369 426 y FG(i)381
431 y Fz(1)414 419 y FH(\024)g FJ(s)490 426 y FG(j)504
431 y Fz(3)524 419 y FK(,)h(so)i(gilt:)240 527 y FH(\017)24
b FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))13
b(=)h(3\()p FJ(n)e FH(\000)f FI(2\))g(+)g(2)17 b FK(f\374r)f
FJ(s)953 534 y FG(j)967 539 y Fz(1)997 527 y FI(+)11
b FJ(s)1069 534 y FG(j)1083 539 y Fz(2)1117 527 y FJ(>)j(r)1191
534 y FG(i)1203 539 y Fz(1)1222 527 y FK(.)240 611 y
FH(\017)24 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))13 b(=)h(3\()p FJ(n)e FH(\000)f FI(2\))g(+)g(1)17
b FK(f\374r)f FJ(s)953 618 y FG(j)967 623 y Fz(1)997
611 y FI(+)11 b FJ(s)1069 618 y FG(j)1083 623 y Fz(2)1117
611 y FI(=)j FJ(r)1191 618 y FG(i)1203 623 y Fz(1)1222
611 y FK(.)240 694 y FH(\017)24 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))13 b(=)h(4\()p FJ(n)e
FH(\000)f FI(2\))16 b FK(f\374r)g FJ(s)868 701 y FG(j)882
706 y Fz(1)913 694 y FI(+)11 b FJ(s)985 701 y FG(j)999
706 y Fz(2)1032 694 y FJ(<)j(r)1106 701 y FG(i)1118 706
y Fz(1)1138 694 y FK(.)60 824 y(En)o(tsprec)o(hende)h(Aussagen)i
(gelten,)e(falls)h FI(#)p FJ(I)924 831 y FF(2)p FG(;nt)1001
824 y FI(=)d(2)k FK(und)g FI(#)p FJ(I)1254 831 y FF(1)p
FG(;nt)1330 824 y FI(=)d FJ(n)g(<)g FH(1)o FK(.)60 955
y FB(Beweis.)26 b FK(Ohne)35 b(Besc)o(hr\344nkung)h(der)g(Allgemei)o
(nhei)o(t)d(k)m(ann)k(man)e(annehmen,)f(da\377)60 1015
y FJ(I)82 1022 y FF(1)115 1015 y FI(=)14 b FH(f)p FJ(i)209
1022 y FF(1)228 1015 y FJ(;)8 b(i)267 1022 y FF(2)286
1015 y FH(g)16 b FK(mit)f FJ(r)439 1022 y FG(i)451 1027
y Fz(2)484 1015 y FH(\025)f FJ(r)559 1022 y FG(i)571
1027 y Fz(1)604 1015 y FJ(>)g FI(0)i FK(und)h FJ(I)816
1022 y FF(2)849 1015 y FI(=)d FJ(I)923 1022 y FF(2)p
FG(;nt)986 1015 y FK(.)60 1076 y(\(a\))i(F\374r)f(alle)f
FJ(j)j FH(2)d FJ(I)425 1083 y FF(2)459 1076 y FK(ist)h
FJ(s)549 1083 y FG(j)582 1076 y FH(\025)e FJ(r)656 1083
y FG(i)668 1088 y Fz(1)703 1076 y FK(und)i FJ(r)821 1083
y FG(i)833 1088 y Fz(1)864 1076 y FH(\000)c FJ(s)937
1083 y FG(j)969 1076 y FH(\024)i FI(0)q FK(.)h(Nac)o(h)h(De\034nition)g
(3.2.1)g(folgt)h(daher)552 1189 y FH(T)579 1196 y FF(=)609
1189 y FI(\()p FH(I)t FI(\))d(=)h FH(ff)p FJ(j)s FH(g)g
FI(:)21 b FJ(j)c FH(2)d FJ(I)996 1196 y FF(2)1015 1189
y FJ(;)19 b FH(T)1075 1196 y FG(j)1094 1189 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))13 b(=)h FH(;g)-1218 b FK(\(3.19\))60 1303
y(so)o(wie)760 1417 y FH(8)733 1448 y FG(j)r FA(2)p FG(I)788
1453 y Fz(2)805 1448 y FG(;)690 1484 y FA(f)p FG(j)r
FA(g)t FG(=)-22 b FA(2)o(T)784 1488 y Fz(=)809 1484 y
FF(\()p FA(I)r FF(\))872 1417 y FH(T)899 1424 y FG(j)918
1417 y FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(=)h FH(f;g)p FJ(:)-1081
b FK(\(3.20\))60 1592 y(F)l(ormel)14 b(\(3.18\))j(liefert)e(n)o(un)h
(die)f(Behauptung)i FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))d(=)g FJ(n)p FK(.)60 1652 y(\(b\))39 b(F\374r)f(alle)g
FJ(j)16 b FH(2)e FJ(I)497 1659 y FF(2)528 1652 y FH(n)d(f)p
FJ(j)609 1659 y FF(1)628 1652 y FH(g)39 b FK(ist)f FJ(s)805
1659 y FG(j)837 1652 y FH(\025)14 b FJ(r)912 1659 y FG(i)924
1664 y Fz(1)982 1652 y FK(und)38 b FJ(r)1123 1659 y FG(i)1135
1664 y Fz(1)1166 1652 y FH(\000)11 b FJ(s)1239 1659 y
FG(j)1271 1652 y FH(\024)i FI(0)q FK(.)38 b(Wie)g(in)g(\(a\))h(b)q(e-)
60 1712 y(k)o(omm)o(t)10 b(man)j FH(T)354 1719 y FF(=)384
1712 y FI(\()p FH(I)s FI(\))h(=)g FH(ff)p FJ(j)s FH(g)g
FI(:)21 b FJ(j)c FH(2)d FJ(I)771 1719 y FF(2)801 1712
y FH(n)d(f)p FJ(j)882 1719 y FF(1)902 1712 y FH(g)p FJ(;)19
b FH(;)h FJ(=)-30 b FH(2)14 b(T)1073 1719 y FG(j)1091
1712 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FH(g)p FK(.)f(W)l(eiterhin)f(ist)i
FJ(s)1523 1719 y FG(j)1537 1724 y Fz(1)1570 1712 y FJ(<)g(r)1644
1719 y FG(i)1656 1724 y Fz(1)1689 1712 y FK(und)60 1773
y FJ(r)82 1780 y FG(i)94 1785 y Fz(1)124 1773 y FH(\000)d
FJ(s)197 1780 y FG(j)229 1773 y FJ(<)j(s)304 1780 y FG(j)318
1785 y Fz(1)354 1773 y FK(f\374r)i FJ(j)h FH(6)p FI(=)d
FJ(j)540 1780 y FF(1)560 1773 y FK(.)h(Also)h(ist)264
1886 y FH(T)291 1893 y FG(j)305 1898 y Fz(1)325 1886
y FI(\()p FH(I)t FI(\))e(=)g FH(;)p FJ(;)127 b FH(8)556
1920 y FG(j)r FA(2)p FG(I)611 1925 y Fz(2)629 1920 y
FA(nf)p FG(j)679 1925 y Fz(1)695 1920 y FA(g)p FG(;)555
1957 y FA(f)p FG(j)r FA(g)t FG(=)-22 b FA(2)o(T)649 1961
y Fz(=)675 1957 y FF(\()p FA(I)r FF(\))738 1886 y FH(T)765
1893 y FG(j)783 1886 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g
FH(f;)p FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)1035 1893 y FF(1)1054 1886
y FH(gg)p FJ(;)127 b FH(8)1176 1920 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1231
1925 y Fz(2)1248 1920 y FA(nf)p FG(j)1298 1925 y Fz(1)1315
1920 y FA(g)p FG(;)1175 1957 y FA(f)p FG(j)r FA(g2T)1270
1961 y Fz(=)1294 1957 y FF(\()p FA(I)r FF(\))1357 1886
y FH(T)1384 1893 y FG(j)1403 1886 y FI(\()p FH(I)t FI(\))13
b(=)h FH(ff)p FJ(j)1607 1893 y FF(1)1627 1886 y FH(gg)p
FJ(:)-1631 b FK(\(3.21\))60 2066 y(Mit)15 b(\(3.18\))i(folgt)g(daraus)g
FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))d(=)g(2\()p
FJ(n)e FH(\000)e FI(1\))q FK(.)60 2126 y(\(c\))65 b FJ(s)208
2133 y FG(j)222 2138 y Fz(1)253 2126 y FI(+)11 b FJ(s)325
2133 y FG(j)339 2138 y Fz(2)372 2126 y FJ(>)j(r)446 2133
y FG(i)458 2138 y Fz(1)478 2126 y FK(:)65 b(Es)h(folgt)g
FH(T)864 2133 y FF(=)894 2126 y FI(\()p FH(I)s FI(\))14
b(=)g FH(ff)p FJ(j)s FH(g)f FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d
FJ(I)1281 2133 y FF(2)1311 2126 y FH(n)d(f)p FJ(j)1392
2133 y FF(1)1412 2126 y FJ(;)d(j)1454 2133 y FF(2)1474
2126 y FH(g)p FJ(;)19 b FH(;)g FJ(=)-30 b FH(2)14 b(T)1644
2133 y FG(j)1663 2126 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FH(g)o
FK(,)60 2186 y FH(T)87 2193 y FG(j)101 2198 y Fz(1)121
2186 y FI(\()p FH(I)t FI(\))f(=)h FH(ff)p FJ(j)325 2193
y FF(2)345 2186 y FH(gg)p FK(,)h FH(T)451 2193 y FG(j)465
2198 y Fz(2)485 2186 y FI(\()p FH(I)t FI(\))f(=)g FH(ff)p
FJ(j)690 2193 y FF(1)709 2186 y FH(gg)i FK(so)o(wie)349
2300 y FH(8)259 2333 y FG(j)r FA(2)p FG(I)314 2338 y
Fz(2)332 2333 y FA(nf)p FG(j)382 2338 y Fz(1)398 2333
y FG(;j)422 2338 y Fz(2)440 2333 y FA(g)p FG(;)279 2371
y FA(f)p FG(j)r FA(g)t FG(=)-22 b FA(2)o(T)373 2375 y
Fz(=)399 2371 y FF(\()p FA(I)r FF(\))481 2300 y FH(T)508
2307 y FG(j)526 2300 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g
FH(f;)p FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)778 2307 y FF(1)797 2300
y FH(g)p FJ(;)g FH(f)p FJ(j)889 2307 y FF(2)909 2300
y FH(gg)p FJ(;)146 b FH(8)1029 2333 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1084
2338 y Fz(2)1102 2333 y FA(nf)p FG(j)1152 2338 y Fz(1)1168
2333 y FG(;j)1192 2338 y Fz(2)1210 2333 y FA(g)p FG(;)1049
2371 y FA(f)p FG(j)r FA(g2T)1144 2375 y Fz(=)1169 2371
y FF(\()p FA(I)r FF(\))1251 2300 y FH(T)1278 2307 y FG(j)1296
2300 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g FH(ff)p FJ(j)1501
2307 y FF(1)1520 2300 y FH(g)p FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)1612
2307 y FF(2)1632 2300 y FH(gg)p FJ(:)-1636 b FK(\(3.22\))60
2479 y(\(3.18\))17 b(liefert)d(daher)j FI(#)p FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))d(=)g(3\()p FJ(n)d
FH(\000)g FI(2\))h(+)f(2)p FK(.)60 2539 y FJ(s)83 2546
y FG(j)97 2551 y Fz(1)128 2539 y FI(+)g FJ(s)200 2546
y FG(j)214 2551 y Fz(2)247 2539 y FI(=)j FJ(r)321 2546
y FG(i)333 2551 y Fz(1)352 2539 y FK(:)i(Dann)h(gilt)73
2713 y FH(T)100 2720 y FF(=)130 2713 y FI(\()p FH(I)t
FI(\))c(=)h FH(ff)p FJ(j)s FH(g)g FI(:)21 b FJ(j)c FH(2)d
FJ(I)517 2720 y FF(2)547 2713 y FH(n)d(f)p FJ(j)628 2720
y FF(1)648 2713 y FJ(;)d(j)690 2720 y FF(2)710 2713 y
FH(g)p FJ(;)19 b FH(;)g FJ(=)-29 b FH(2)14 b(T)881 2720
y FG(j)899 2713 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FH(g)d([)g(ff)p
FJ(j)1118 2720 y FF(1)1138 2713 y FJ(;)d(j)1180 2720
y FF(2)1199 2713 y FH(gg)p FJ(;)57 b FH(T)1347 2720 y
FG(j)1361 2725 y Fz(1)1381 2713 y FI(\()p FH(I)s FI(\))14
b(=)g FH(T)1542 2720 y FG(j)1556 2725 y Fz(2)1576 2713
y FI(\()p FH(I)t FI(\))f(=)h FH(;)p FJ(;)60 2653 y FK(\(3.23\))p
eop
%%Page: 82 84
82 83 bop 120 50 a FK(82)477 b Fy(KAPITEL)16 b(3.)33
b(KARDINALIT)l(\304)l(TSBETRA)o(CHTU)o(NGEN)409 203 y
FH(8)319 237 y FG(j)r FA(2)p FG(I)374 242 y Fz(2)392
237 y FA(nf)p FG(j)442 242 y Fz(1)458 237 y FG(;j)482
242 y Fz(2)500 237 y FA(g)p FG(;)339 274 y FA(f)p FG(j)r
FA(g)t FG(=)-22 b FA(2)o(T)433 278 y Fz(=)459 274 y FF(\()p
FA(I)r FF(\))541 203 y FH(T)568 210 y FG(j)586 203 y
FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g FH(f;)p FJ(;)8 b FH(f)p
FJ(j)838 210 y FF(1)857 203 y FH(g)p FJ(;)g FH(f)p FJ(j)949
210 y FF(2)969 203 y FH(gg)p FJ(;)146 b FH(8)1089 237
y FG(j)r FA(2)p FG(I)1144 242 y Fz(2)1162 237 y FA(nf)p
FG(j)1212 242 y Fz(1)1228 237 y FG(;j)1252 242 y Fz(2)1270
237 y FA(g)p FG(;)1109 274 y FA(f)p FG(j)r FA(g2T)1204
278 y Fz(=)1229 274 y FF(\()p FA(I)r FF(\))1311 203 y
FH(T)1338 210 y FG(j)1356 203 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14
b(=)g FH(ff)p FJ(j)1561 210 y FF(1)1580 203 y FH(g)p
FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)1672 210 y FF(2)1692 203 y FH(gg)p
FJ(:)-1636 b FK(\(3.24\))120 383 y(Diesmal)15 b(liefert)f(\(3.18\))j
(also)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))d(=)g(3\()p
FJ(n)d FH(\000)g FI(2\))g(+)g(1)q FK(.)120 443 y FJ(s)143
450 y FG(j)157 455 y Fz(1)188 443 y FI(+)g FJ(s)260 450
y FG(j)274 455 y Fz(2)307 443 y FJ(<)j(r)381 450 y FG(i)393
455 y Fz(1)412 443 y FK(:)116 b(Es)g(gilt)g FH(T)924
450 y FF(=)954 443 y FI(\()p FH(I)s FI(\))14 b(=)g FH(ff)p
FJ(j)s FH(g)f FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)1341 450
y FF(2)1371 443 y FH(n)d(f)p FJ(j)1452 450 y FF(1)1472
443 y FJ(;)d(j)1514 450 y FF(2)1534 443 y FH(g)p FJ(;)19
b FH(;)g FJ(=)-30 b FH(2)14 b(T)1704 450 y FG(j)1723
443 y FI(\()p FH(I)t FI(\))p FH(g)o FK(,)120 503 y FH(T)147
510 y FG(j)161 515 y Fz(1)181 503 y FI(\()p FH(I)t FI(\))f(=)h
FH(T)342 510 y FG(j)356 515 y Fz(2)376 503 y FI(\()p
FH(I)t FI(\))f(=)h FH(;)p FK(,)215 677 y FH(8)125 710
y FG(j)r FA(2)p FG(I)180 715 y Fz(2)197 710 y FA(nf)p
FG(j)247 715 y Fz(1)264 710 y FG(;j)288 715 y Fz(2)305
710 y FA(g)p FG(;)144 748 y FA(f)p FG(j)r FA(g)t FG(=)-22
b FA(2)o(T)238 752 y Fz(=)264 748 y FF(\()p FA(I)r FF(\))330
677 y FH(T)357 684 y FG(j)375 677 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14
b(=)g FH(f;)p FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)627 684 y FF(1)646
677 y FH(g)p FJ(;)g FH(f)p FJ(j)738 684 y FF(2)758 677
y FH(g)p FJ(;)g FH(f)p FJ(j)850 684 y FF(1)869 677 y
FJ(;)g(j)911 684 y FF(2)931 677 y FH(gg)p FJ(;)98 b FH(8)1003
710 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1058 715 y Fz(2)1075 710 y FA(nf)p
FG(j)1125 715 y Fz(1)1142 710 y FG(;j)1166 715 y Fz(2)1183
710 y FA(g)p FG(;)1022 748 y FA(f)p FG(j)r FA(g2T)1117
752 y Fz(=)1142 748 y FF(\()p FA(I)r FF(\))1208 677 y
FH(T)1235 684 y FG(j)1253 677 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14
b(=)f FH(ff)p FJ(j)1457 684 y FF(1)1477 677 y FH(g)p
FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)1569 684 y FF(2)1589 677 y FH(g)p
FJ(;)g FH(f)p FJ(j)1681 684 y FF(1)1700 677 y FJ(;)g(j)1742
684 y FF(2)1762 677 y FH(gg)p FJ(:)120 617 y FK(\(3.25\))120
856 y(Also)16 b(ist)g FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))e(=)g(4\()p FJ(n)d FH(\000)g FI(2\))17
b FK(nac)o(h)f(\(3.18\).)761 b Fx(\004)120 963 y FL(Beispiel)20
b(3.2.6.)j FK(Sei)h FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)723 970
y FF(1)742 963 y FJ(;)8 b(I)786 970 y FF(2)805 963 y
FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))24 b FK(ein)g(Randsystem)g(mit)f
FI(#)p FJ(I)1469 970 y FF(1)p FG(;nt)1546 963 y FI(=)13
b(2)q FK(.)24 b(Die)h(Be-)120 1023 y(zeic)o(hn)o(ungen)15
b(seien)g(wie)h(in)g(Lemma)e(3.2.5.)120 1153 y FL(\(a\))24
b FK(Gilt)16 b FI(#)p FJ(I)379 1160 y FF(2)p FG(;nt)455
1153 y FI(=)e(2)q FK(,)h(so)i(ist)f FI(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))d(=)h(2)q FK(:)242 1213
y(Das)24 b(folgt)f(w)o(egen)f FJ(r)638 1220 y FG(i)650
1225 y Fz(1)683 1213 y FH(\024)14 b FJ(s)759 1220 y FG(j)773
1225 y Fz(2)815 1213 y FK(und)23 b FI(2)15 b(=)e(2)f
FH(\001)f FI(\(2)g FH(\000)g FI(1\))23 b FK(sofort)h(aus)f(\(a\))g(und)
g(\(b\))g(v)o(on)242 1273 y(Lemma)14 b(3.2.5.)120 1381
y FL(\(b\))24 b FK(Gilt)16 b FI(#)p FJ(I)383 1388 y FF(2)p
FG(;nt)459 1381 y FI(=)e(3)p FK(,)i(so)h(ist)242 1489
y FL(\(i\))24 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))14 b(=)f(3)k FK(f\374r)f FJ(r)751 1496
y FG(i)763 1501 y Fz(1)796 1489 y FH(\024)e FJ(s)872
1496 y FG(j)886 1501 y Fz(1)906 1489 y FK(.)242 1572
y FL(\(ii\))25 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))14 b(=)g(4)j FK(f\374r)f FJ(s)768 1579
y FG(j)782 1584 y Fz(1)815 1572 y FJ(<)e(r)889 1579 y
FG(i)901 1584 y Fz(1)934 1572 y FH(\024)g FJ(s)1010 1579
y FG(j)1024 1584 y Fz(2)1043 1572 y FK(.)242 1655 y FL(\(iii\))26
b FI(#)p FK(E)o FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))14
b(=)f(4)k FK(f\374r)f FJ(s)783 1662 y FG(j)797 1667 y
Fz(2)831 1655 y FJ(<)e(r)905 1662 y FG(i)917 1667 y Fz(1)950
1655 y FH(\024)f FJ(r)1024 1662 y FG(i)1036 1667 y Fz(2)1070
1655 y FH(\024)g FJ(s)1145 1662 y FG(j)1159 1667 y Fz(3)1179
1655 y FK(.)242 1739 y FL(\(iv\))24 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))14 b(=)g(5)j FK(f\374r)f
FJ(s)782 1746 y FG(j)796 1751 y Fz(2)829 1739 y FJ(<)e(r)903
1746 y FG(i)915 1751 y Fz(1)948 1739 y FH(\024)g FJ(s)1024
1746 y FG(j)1038 1751 y Fz(3)1071 1739 y FJ(<)g(r)1145
1746 y FG(i)1157 1751 y Fz(2)1176 1739 y FK(.)242 1822
y FL(\(v\))23 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))14 b(=)f(6)k FK(f\374r)f FJ(s)766 1829
y FG(j)780 1834 y Fz(3)814 1822 y FJ(<)d(r)887 1829 y
FG(i)899 1834 y Fz(1)919 1822 y FK(.)242 1930 y(Eine)f(en)o(tsprec)o
(hende)f(Aussage)j(gilt,)d(w)o(enn)i(man)f(die)g(Rollen)g
FJ(I)1417 1937 y FF(1)1449 1930 y FK(und)h FJ(I)1565
1937 y FF(2)1597 1930 y FK(v)o(ertausc)o(h)o(t.)120 2060
y(Die)34 b(folgenden)g(Angab)q(en)h(\(a\),)g(\(b\),)f(\(c\))g(b)q
(eziehen)f(sic)o(h)h(auf)h(Lemma)d(3.2.5.)j(\(i\))120
2120 y(folgt)41 b(aus)h(\(a\),)f(\(ii\))f(folgt)i(aus)f(\(b\),)g
(\(iii\))f(folgt)h(aus)h(\(c\),)e(da)i FJ(s)1560 2127
y FG(j)1574 2132 y Fz(1)1605 2120 y FI(+)11 b FJ(s)1677
2127 y FG(j)1691 2132 y Fz(2)1724 2120 y FH(\024)j FJ(r)1799
2127 y FG(i)1811 2132 y Fz(1)120 2180 y FK(und)28 b FI(4\(3)12
b FH(\000)e FI(2\))15 b(=)e(3\(3)f FH(\000)f FI(2\))g(+)g(1)k(=)e(4)q
FK(,)27 b(\(iv\))f(folgt)i(aus)g(\(c\),)f FJ(s)1304 2187
y FG(j)1318 2192 y Fz(1)1349 2180 y FI(+)11 b FJ(s)1421
2187 y FG(j)1435 2192 y Fz(2)1468 2180 y FJ(>)j(r)1542
2187 y FG(i)1554 2192 y Fz(1)1573 2180 y FK(.)27 b(\(v\))g(ergibt)120
2240 y(sic)o(h)g(wie)h(folgt:)g(Es)g(ist)g FH(T)652 2247
y FF(=)682 2240 y FI(\()p FH(I)s FI(\))14 b(=)g FH(;)p
FK(,)27 b FH(T)909 2247 y FG(j)923 2252 y Fz(1)943 2240
y FI(\()p FH(I)t FI(\))14 b(=)g FH(ff)p FJ(j)1148 2247
y FF(2)1167 2240 y FH(g)p FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)1259 2247
y FF(3)1279 2240 y FH(gg)p FK(,)27 b FH(T)1397 2247 y
FG(j)1411 2252 y Fz(2)1431 2240 y FI(\()p FH(I)t FI(\))14
b(=)f FH(ff)p FJ(j)1635 2247 y FF(1)1655 2240 y FH(g)p
FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)1747 2247 y FF(3)1767 2240 y FH(gg)o
FK(,)120 2301 y FH(T)147 2308 y FG(j)161 2313 y Fz(3)181
2301 y FI(\()p FH(I)t FI(\))13 b(=)h FH(ff)p FJ(j)385
2308 y FF(2)405 2301 y FH(g)p FJ(;)8 b FH(f)p FJ(j)497
2308 y FF(1)516 2301 y FH(gg)p FK(,)j(da)g FI(min)n FH(f)p
FJ(s)782 2308 y FG(j)796 2313 y Fz(1)827 2301 y FI(+)g
FJ(s)899 2308 y FG(j)913 2313 y Fz(2)932 2301 y FJ(;)d(s)977
2308 y FG(j)991 2313 y Fz(1)1022 2301 y FI(+)j FJ(s)1094
2308 y FG(j)1108 2313 y Fz(3)1128 2301 y FJ(;)d(s)1173
2308 y FG(j)1187 2313 y Fz(1)1217 2301 y FI(+)j FJ(s)1289
2308 y FG(j)1303 2313 y Fz(2)1323 2301 y FH(g)i FJ(>)h(r)1435
2308 y FG(i)1447 2313 y Fz(1)1467 2301 y FK(.)c(W)l(egen)h(\(3.18\))g
(ist)120 2361 y(dann)17 b FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\)\))d(=)g(6)p FK(.)120 2491 y(Die)h(Ergebnisse)g(v)o
(on)h(Beispiel)d(3.2.6)i(und)h(die)f(Berec)o(hn)o(ung)f(v)o(on)h
(Extremalpunktanzah-)120 2551 y(len)k(in)g(div)o(ersen)f(Sp)q
(ezialf\344llen)g(mit)g(Hilfe)g(des)i(in)f(Absc)o(hnitt)f(A.1)h(des)h
(Anhangs)g(ange-)120 2611 y(geb)q(enen)c(Programmes)f(f\374hren)h(zu)h
(der)f(V)l(erm)o(utung,)e(da\377)j(f\374r)f(v)o(orgegeb)q(ene)h
(Dimension)120 2671 y(des)k(Randsystems)e(immer)f(alle)h(Zahlen)i(un)o
(terhalb)f(eines)g(Maximalw)o(ertes)e(f\374r)i(Extre-)120
2731 y(malpunktanzahlen)15 b(v)o(ork)o(omm)o(en)e(\(Nullen)i(in)h(den)g
(Randv)o(ektoren)g(zugelassen\).)p eop
%%Page: 83 85
83 84 bop 60 50 a Fy(3.2.)32 b(DER)17 b(F)-5 b(ALL)16
b FI(2)c FH(\002)e FJ(!)1175 b FK(83)60 203 y(Es)20 b(ist)f(rec)o(h)o
(t)f(un)o(b)q(efriedigend,)g(da\377)i(es)f(bisher)g(k)o(einen)f
(Algorithm)o(us)f(gibt,)i(der)g(im)f(F)l(all)60 264 y(endlic)o(her)d
(Randsysteme)h(die)h(Anzahl)f(der)h(Extremalpunkte)e(b)q(erec)o(hnet,)h
(ohne)h(die)g(Ex-)60 324 y(tremalpunkte)j(alle)i(explizit)e(zu)i(b)q
(estimmen.)d(Ob)o(w)o(ohl)j(durc)o(h)g(die)g(Konstruktion)g(aus)60
384 y(De\034nition)16 b(3.2.1)h(f\374r)g(den)f FI(2)c
FH(\002)f FJ(n)p FK(-F)l(all)16 b(ein)g(solc)o(her)g(Algorithm)o(us)f
(gegeb)q(en)i(ist,)e(k)m(ann)j(die)60 444 y(Aufgab)q(e)h(w)o(ohl)f(auc)
o(h)g(f\374r)h(diesen)f(F)l(all)f(no)q(c)o(h)i(nic)o(h)o(t)e(als)i
(gel\366st)f(b)q(etrac)o(h)o(tet)g(w)o(erden.)f(Zur)60
504 y(Berec)o(hn)o(ung)i(der)h(nac)o(h)g(\(3.9\))g(und)g(\(3.10\))h
(de\034nierten)e(Mengen)h(m)o(u\377)f(das)h(sogenann)o(te)60
565 y(\022)t(Knapsac)o(k-Problem\020)c(gel\366st)c(w)o(erden,)f(w)o
(elc)o(hes,)f(wie)i(sc)o(hon)g(in)g(der)g(Einleitung)f(erw)o(\344hn)o
(t,)60 625 y(NP-v)o(ollst\344ndig)20 b(ist.)f(Ob)h(es)h(f\374r)f(die)f
(Bestimm)n(ung)f(der)i(Anzahl)f(der)h(Extremalpunkte)60
685 y(p)q(olynomielle)13 b(Algorithmen)i(geb)q(en)h(k)m(ann,)g(ist)g
(un)o(b)q(ek)m(ann)o(t.)60 766 y(Zum)g(Absc)o(hlu\377)h(soll)h(f\374r)f
(endlic)o(he)f FI(2)d FH(\002)e FJ(n)p FK(-Randsysteme)17
b(eine)g(Prozedur)g(f\374r)h(einen)f(Zu-)60 826 y(fallsspaziergang)24
b(auf)h(den)f(Extremalpunkten)e(k)o(onstruiert)h(w)o(erden,)g(der)h(es)
g(erlaubt,)60 887 y FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))16 b FK(\374b)q(er)g(einen)f(probabilistisc)o(hen)g
(Algorithm)o(us)e(zu)j(b)q(estimmen.)c(Leider)k(ist)f(es)60
947 y(bisher)g(nic)o(h)o(t)f(gelungen,)i(die)e(Prozedur)i(auf)g
FJ(k)c FH(\002)d FJ(n)p FK(-Randsysteme)15 b(mit)f FJ(k)i(>)d
FI(2)j FK(auszudeh-)60 1007 y(nen.)60 1109 y FL(De\034nition)j(3.2.7.)
24 b FK(Sei)61 b FH(I)18 b FI(:=)13 b(\()p FJ(I)752 1116
y FF(1)771 1109 y FJ(;)8 b(I)815 1116 y FF(2)834 1109
y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))62 b FK(ein)f(Randsystem)g(mit)g
FI(#)p FJ(I)1648 1116 y FF(1)1680 1109 y FI(=)14 b(2)p
FK(,)60 1170 y FI(2)g FH(\024)g FJ(n)g FI(:=)f(#)p FJ(I)322
1177 y FF(2)355 1170 y FJ(<)h FH(1)o FK(,)43 b FJ(I)535
1177 y FF(1)569 1170 y FI(=)13 b FH(f)p FJ(i)662 1177
y FF(1)682 1170 y FJ(;)8 b(i)721 1177 y FF(2)740 1170
y FH(g)43 b FK(mit)f FJ(r)947 1177 y FG(i)959 1182 y
Fz(2)992 1170 y FH(\025)14 b FJ(r)1067 1177 y FG(i)1079
1182 y Fz(1)1112 1170 y FJ(>)g FI(0)43 b FK(und)h FJ(I)1378
1177 y FF(2)1411 1170 y FI(=)14 b FJ(I)1485 1177 y FF(2)p
FG(;nt)1548 1170 y FK(.)43 b(De\034nie-)60 1230 y(re)36
b(dann)g(eine)f(F)l(unktion)h FJ(F)20 b FI(:)13 b FK(E)q
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))h FH(\000)-9 b(!)14
b FI(2)1017 1212 y FA(M)1059 1218 y Fd(R)1079 1212 y
FF(\()p FG(I)1108 1217 y Fz(1)1126 1212 y FG(;I)1151
1217 y Fz(2)1168 1212 y FF(\))1184 1230 y FK(,)35 b(wie)h(folgt:)g
(Zun\344c)o(hst)g(sei)60 1290 y FJ(f)19 b FI(:)14 b FK(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g FH(\000)-8 b(!)13
b FJ(I)440 1297 y FF(2)491 1290 y FK(eine)31 b(F)l(unktion,)h(so)g
(da\377)109 b FH(8)1028 1323 y FG(P)5 b FA(2)p Fq(E)p
FF(\()p FA(D)q FF(\()p FA(I)r FF(\)\))1308 1290 y FH(8)1221
1323 y FG(j)r FA(2)p FG(I)1276 1328 y Fz(2)1294 1323
y FA(nf)p FG(f)t FF(\()p FG(P)g FF(\))p FA(g)1436 1290
y FI(0)14 b FH(2)g(f)p FJ(p)1570 1297 y FG(i)1582 1302
y Fz(1)1600 1297 y FG(;j)1628 1290 y FJ(;)8 b(p)1674
1297 y FG(i)1686 1302 y Fz(2)1703 1297 y FG(;j)1732 1290
y FH(g)o FK(.)60 1378 y(F\374r)16 b FJ(P)21 b FH(2)14
b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))i FK(sei)127
1547 y FJ(T)7 b FI(\()p FJ(P)g FI(\))14 b(:=)f FH(f)p
FI(\()p FJ(j)382 1554 y FF(1)402 1547 y FJ(;)8 b(j)444
1554 y FF(2)463 1547 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(I)565 1554
y FF(2)596 1547 y FH(\002)c FJ(I)667 1554 y FF(2)700
1547 y FI(:)22 b FJ(j)756 1554 y FF(1)790 1547 y FH(6)p
FI(=)14 b FJ(j)862 1554 y FF(2)882 1547 y FJ(;)i(f)5
b FI(\()p FJ(P)i FI(\))14 b FH(2)g(f)p FJ(j)1123 1554
y FF(1)1143 1547 y FJ(;)8 b(j)1185 1554 y FF(2)1205 1547
y FH(g)p FJ(;)16 b(p)1284 1554 y FG(i)1296 1559 y Fz(1)1313
1554 y FG(;j)1337 1559 y Fz(1)1371 1547 y FJ(>)e FI(0)p
FJ(;)i(p)1501 1554 y FG(i)1513 1559 y Fz(2)1531 1554
y FG(;j)1555 1559 y Fz(2)1588 1547 y FJ(>)e FI(0)p FH(g)p
FJ(:)60 1487 y FK(\(3.26\))60 1663 y(F\374r)119 b FI(\()p
FJ(j)296 1670 y FF(1)316 1663 y FJ(;)8 b(j)358 1670 y
FF(2)378 1663 y FI(\))13 b FH(2)h FJ(T)7 b FI(\()p FJ(P)g
FI(\))119 b FK(de\034niere)f FJ(\016)1010 1645 y FF(\()p
FG(j)1038 1650 y Fz(1)1055 1645 y FG(;j)1079 1650 y Fz(2)1096
1645 y FF(\))1126 1663 y FI(:=)13 b(min)n FH(f)p FJ(p)1321
1670 y FG(i)1333 1675 y Fz(1)1351 1670 y FG(;j)1375 1675
y Fz(1)1394 1663 y FJ(;)8 b(p)1440 1670 y FG(i)1452 1675
y Fz(2)1470 1670 y FG(;j)1494 1675 y Fz(2)1513 1663 y
FH(g)119 b FK(so)o(wie)60 1731 y FJ(P)98 1713 y FF(\()p
FG(j)126 1718 y Fz(1)143 1713 y FG(;j)167 1718 y Fz(2)185
1713 y FF(\))215 1731 y FI(=)13 b(\()p FJ(p)309 1706
y FF(\()p FG(j)337 1711 y Fz(1)355 1706 y FG(;j)379 1711
y Fz(2)396 1706 y FF(\))309 1744 y FG(i;j)412 1731 y
FI(\))431 1739 y FF(\()p FG(i;j)r FF(\))p FA(2)p FG(I)536
1744 y Fz(1)553 1739 y FA(\002)p FG(I)595 1744 y Fz(2)631
1731 y FK(durc)o(h)j FJ(P)806 1713 y FF(\()p FG(j)834
1718 y Fz(1)851 1713 y FG(;j)875 1718 y Fz(2)893 1713
y FF(\))909 1731 y Fx(\030)930 1739 y FG(I)945 1744 y
Fz(1)962 1739 y FA(\002)p FF(\()p FG(I)1018 1744 y Fz(2)1036
1739 y FA(nf)p FG(j)1086 1744 y Fz(1)1103 1739 y FG(;j)1127
1744 y Fz(2)1144 1739 y FA(g)p FF(\))1191 1731 y FI(:=)d
FJ(P)7 b Fx(\030)1315 1739 y FG(I)1330 1744 y Fz(1)1348
1739 y FA(\002)p FF(\()p FG(I)1404 1744 y Fz(2)1422 1739
y FA(nf)p FG(j)1472 1744 y Fz(1)1489 1739 y FG(;j)1513
1744 y Fz(2)1530 1739 y FA(g)p FF(\))1580 1731 y FK(und)330
1892 y FJ(p)354 1867 y FF(\()p FG(j)382 1872 y Fz(1)399
1867 y FG(;j)423 1872 y Fz(2)441 1867 y FF(\))354 1905
y FG(i;j)470 1892 y FI(:=)536 1807 y FE(\()576 1858 y
FJ(p)600 1865 y FG(i;j)652 1858 y FI(+)k FJ(\016)725
1840 y FF(\()p FG(j)753 1845 y Fz(1)769 1840 y FG(;j)793
1845 y Fz(2)811 1840 y FF(\))892 1858 y FK(f\374r)16
b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s FI(\))14 b FH(2)g(f)p FI(\()p
FJ(i)1191 1865 y FF(1)1210 1858 y FJ(;)8 b(j)1252 1865
y FF(2)1272 1858 y FI(\))p FJ(;)g FI(\()p FJ(i)1349 1865
y FF(2)1368 1858 y FJ(;)g(j)1410 1865 y FF(1)1430 1858
y FI(\))p FH(g)p FJ(;)576 1930 y(p)600 1937 y FG(i;j)652
1930 y FH(\000)i FJ(\016)725 1912 y FF(\()p FG(j)753
1917 y Fz(1)770 1912 y FG(;j)794 1917 y Fz(2)811 1912
y FF(\))892 1930 y FK(f\374r)16 b FI(\()p FJ(i;)8 b(j)s
FI(\))14 b FH(2)g(f)p FI(\()p FJ(i)1191 1937 y FF(1)1210
1930 y FJ(;)8 b(j)1252 1937 y FF(1)1272 1930 y FI(\))p
FJ(;)g FI(\()p FJ(i)1349 1937 y FF(2)1368 1930 y FJ(;)g(j)1410
1937 y FF(2)1430 1930 y FI(\))p FH(g)p FJ(:)60 1892 y
FK(\(3.27\))60 2043 y(Sc)o(hlie\377lic)o(h)13 b(sei)535
2154 y FJ(F)7 b FI(\()p FJ(P)g FI(\))14 b(:=)f FH(f)p
FJ(P)792 2133 y FF(\()p FG(j)820 2138 y Fz(1)837 2133
y FG(;j)861 2138 y Fz(2)879 2133 y FF(\))908 2154 y FI(:)22
b(\()p FJ(j)983 2161 y FF(1)1003 2154 y FJ(;)8 b(j)1045
2161 y FF(2)1065 2154 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(T)7 b FI(\()p
FJ(P)g FI(\))p FH(g)p FJ(:)-1236 b FK(\(3.28\))60 2265
y(Im)78 b(F)l(all,)g(da\377)j FH(I)17 b FI(=)d(\()p FJ(I)663
2272 y FF(1)682 2265 y FJ(;)8 b(I)726 2272 y FF(2)745
2265 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p FI(\))79 b FK(ein)g(b)q(eliebiges)f
(Randsystem)h(mit)60 2325 y FI(min)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)229
2332 y FF(1)p FG(;nt)292 2325 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)377
2332 y FF(2)p FG(;nt)440 2325 y FH(g)13 b FI(=)h(2)q
FK(,)35 b FI(max)n FH(f)p FI(#)p FJ(I)782 2332 y FF(1)p
FG(;nt)845 2325 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)930 2332 y FF(2)p
FG(;nt)993 2325 y FH(g)14 b FJ(<)f FH(1)36 b FK(ist,)f(k)m(ann)h(die)e
(F)l(unktion)i FJ(F)60 2385 y FK(ganz)17 b(analog)g(de\034niert)f(w)o
(erden.)60 2487 y FL(Lemma)i(3.2.8.)23 b FK(Sei)139 b
FH(I)17 b FI(:=)d(\()p FJ(I)767 2494 y FF(1)786 2487
y FJ(;)8 b(I)830 2494 y FF(2)849 2487 y FJ(;)g(r)o(;)g(s)p
FI(\))139 b FK(ein)g(Randsystem)g(mit)60 2548 y FI(min)n
FH(f)p FI(#)p FJ(I)229 2555 y FF(1)p FG(;nt)292 2548
y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)377 2555 y FF(2)p FG(;nt)440 2548
y FH(g)13 b FI(=)h(2)q FK(,)195 b FI(2)14 b FH(\024)g
FJ(n)g FI(:=)f(max)o FH(f)p FI(#)p FJ(I)1142 2555 y FF(1)p
FG(;nt)1205 2548 y FJ(;)8 b FI(#)p FJ(I)1290 2555 y FF(2)p
FG(;nt)1352 2548 y FH(g)14 b FJ(<)g FH(1)196 b FK(und)60
2608 y FJ(F)20 b FI(:)14 b FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))g FH(\000)-8 b(!)13 b FI(2)451 2590 y
FA(M)493 2596 y Fd(R)514 2590 y FF(\()p FG(I)543 2595
y Fz(1)560 2590 y FG(;I)585 2595 y Fz(2)602 2590 y FF(\))634
2608 y FK(gem\344\377)j(De\034nition)g(3.2.7.)60 2731
y FL(\(a\))24 b FK(F\374r)16 b FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)q
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))i FK(gilt)g FJ(F)7
b FI(\()p FJ(P)g FI(\))13 b FH(\022)h FK(E)p FI(\()p
FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))p FK(.)p eop
%%Page: 84 86
84 85 bop 120 50 a FK(84)477 b Fy(KAPITEL)16 b(3.)33
b(KARDINALIT)l(\304)l(TSBETRA)o(CHTU)o(NGEN)120 203 y
FL(\(b\))24 b FK(F\374r)18 b FJ(P)q(;)8 b(Q)14 b FH(2)g
FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))k FK(gibt)g(es)g(eine)f
(endlic)o(he)f(F)l(olge)i FI(\()p FJ(P)1300 210 y FG(i)1315
203 y FI(\))1334 211 y FG(i)p FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)n(;k)q
FA(g)1506 203 y FH(\022)c FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\))q(\))k FK(mit)242 264 y FJ(P)273 271 y FF(1)307
264 y FI(=)c FJ(P)7 b FK(,)16 b FJ(P)458 271 y FG(k)493
264 y FI(=)e FJ(Q)p FK(,)103 b FH(8)614 297 y FG(i)p
FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)n(;k)q FA(\000)p FF(1)p FA(g)829
264 y FJ(P)860 271 y FG(i)p FF(+1)934 264 y FH(2)14 b
FJ(F)7 b FI(\()p FJ(P)1070 271 y FG(i)1084 264 y FI(\))o
FK(.)120 438 y FB(Beweis.)26 b FK(Ohne)35 b(Besc)o(hr\344nkung)h(der)g
(Allgemei)o(nhei)o(t)d(k)m(ann)k(man)e(annehmen,)f(da\377)120
498 y FI(#)p FJ(I)183 505 y FF(1)216 498 y FI(=)13 b(2)q
FK(,)39 b FI(2)15 b FH(\024)e FJ(n)h FI(:=)g(#)p FJ(I)608
505 y FF(2)640 498 y FJ(<)g FH(1)p FK(,)39 b FJ(I)817
505 y FF(1)851 498 y FI(=)13 b FH(f)p FJ(i)944 505 y
FF(1)964 498 y FJ(;)8 b(i)1003 505 y FF(2)1022 498 y
FH(g)40 b FK(mit)e FJ(r)1222 505 y FG(i)1234 510 y Fz(2)1267
498 y FH(\025)14 b FJ(r)1342 505 y FG(i)1354 510 y Fz(1)1387
498 y FJ(>)g FI(0)p FK(,)40 b FJ(I)1539 505 y FF(2)1572
498 y FI(=)14 b FJ(I)1646 505 y FF(2)p FG(;nt)1749 498
y FK(und)120 558 y FJ(s)143 565 y FG(j)157 570 y Fz(1)190
558 y FI(=)g(min)o FH(f)p FJ(s)372 565 y FG(j)403 558
y FI(:)22 b FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)545 565 y FF(2)564
558 y FH(g)p FK(.)i(Die)g(Bezeic)o(hn)o(ungen)e(seien)h(wie)h(in)g
(3.2.7.)120 619 y(\(a\))f(Nac)o(h)f(W)l(ahl)h(v)o(on)g
FJ(f)20 b FK(gilt)102 b FH(8)666 652 y FF(\()p FG(j)694
657 y Fz(1)711 652 y FG(;j)735 657 y Fz(2)753 652 y FF(\))p
FA(2)p FG(T)5 b FF(\()p FG(P)g FF(\))969 619 y FH(8)884
652 y FG(j)r FA(2)p FG(I)939 657 y Fz(2)956 652 y FA(nf)p
FG(j)1006 657 y Fz(1)1023 652 y FG(;j)1047 657 y Fz(2)1064
652 y FA(g)1096 619 y FI(0)14 b FH(2)g(f)p FJ(p)1230
626 y FG(i)1242 631 y Fz(1)1260 626 y FG(;j)1288 619
y FJ(;)8 b(p)1334 626 y FG(i)1346 631 y Fz(2)1364 626
y FG(;j)1392 619 y FH(g)p FK(,)14 b(und)h(nac)o(h)g(De\034niti-)120
712 y(on)i(v)o(on)f FJ(\016)304 694 y FF(\()p FG(j)332
699 y Fz(1)349 694 y FG(;j)373 699 y Fz(2)390 694 y FF(\))422
712 y FK(und)h(\(3.27\))f(ist)514 832 y FH(8)426 865
y FF(\()p FG(j)454 870 y Fz(1)471 865 y FG(;j)495 870
y Fz(2)513 865 y FF(\))p FA(2)p FG(T)5 b FF(\()p FG(P)g
FF(\))644 832 y FI(\(0)14 b FH(2)g(f)p FJ(p)797 839 y
FG(i)809 844 y Fz(1)827 839 y FG(;j)851 844 y Fz(1)870
832 y FJ(;)8 b(p)916 839 y FG(i)928 844 y Fz(2)946 839
y FG(;j)970 844 y Fz(1)989 832 y FH(g)16 b FK(o)q(der)h
FI(0)d FH(2)g(f)p FJ(p)1274 839 y FG(i)1286 844 y Fz(1)1304
839 y FG(;j)1328 844 y Fz(2)1348 832 y FJ(;)8 b(p)1394
839 y FG(i)1406 844 y Fz(2)1423 839 y FG(;j)1447 844
y Fz(2)1467 832 y FH(g)p FI(\))p FJ(:)-1405 b FK(\(3.29\))120
985 y(Also)16 b(ist)g FJ(G)p FI(\()p FJ(P)393 966 y FF(\()p
FG(j)421 971 y Fz(1)439 966 y FG(;j)463 971 y Fz(2)480
966 y FF(\))496 985 y FI(\))g FK(kreisfrei)f(f\374r)h(alle)f
FI(\()p FJ(j)921 992 y FF(1)941 985 y FJ(;)8 b(j)983
992 y FF(2)1003 985 y FI(\))14 b FH(2)g FJ(T)7 b FI(\()p
FJ(P)g FI(\))o FK(.)120 1045 y(\(b\))16 b(Man)g(de\034niere)f(auf)h(E)p
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))g FK(eine)f(Relation)g(\022)t
FH(\030)p FK(\020)t(,)h(wie)g(folgt:)f(F\374r)h FJ(P)q(;)8
b(Q)14 b FH(2)g FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\)\))120 1105 y FK(gelte)g FJ(P)21 b FH(\030)13 b
FJ(Q)h FK(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g(es)h(eine)e(endlic)o(he)f(F)l(olge)
i FI(\()p FJ(P)1304 1112 y FG(i)1319 1105 y FI(\))1338
1113 y FG(i)p FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)n(;k)q FA(g)1510
1105 y FH(\022)g FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t
FI(\))q(\))g FK(mit)120 1165 y FJ(P)151 1172 y FF(1)185
1165 y FI(=)g FJ(P)7 b FK(,)13 b FJ(P)333 1172 y FG(k)368
1165 y FI(=)h FJ(Q)p FK(,)99 b FH(8)485 1198 y FG(i)p
FA(2f)p FF(1)p FG(;:::)n(;k)q FA(\000)p FF(1)p FA(g)701
1165 y FJ(P)732 1172 y FG(i)p FF(+1)805 1165 y FH(2)14
b FJ(F)7 b FI(\()p FJ(P)941 1172 y FG(i)955 1165 y FI(\))13
b FK(gibt.)f(Dann)i(ist)f(klar,)f(da\377)i(\022)t FH(\030)p
FK(\020)j(re\035exiv)12 b(und)120 1253 y(transitiv)f(ist.)g(Da)i(nac)o
(h)e(\(3.27\))65 b FH(8)710 1286 y FG(Q)p FA(2)p FG(F)5
b FF(\()p FG(P)g FF(\))857 1253 y FJ(P)21 b FH(2)14 b
FJ(F)7 b FI(\()p FJ(Q)p FI(\))j FK(gilt,)h(ist)h(\022)t
FH(\030)p FK(\020)k(au\377erdem)10 b(symmetrisc)n(h.)120
1348 y(Damit)22 b(ist)g(\022)t FH(\030)p FK(\020)27 b(eine)22
b(\304)o(quiv)m(alenzrelation.)e(Der)i(Bew)o(eis)g(v)o(on)g(\(b\))h
(erfolgt)g(n)o(un)f(durc)o(h)120 1408 y(Induktion)14
b(nac)o(h)h FJ(n)p FK(.)g(Aus)f(der)h(De\034nition)f(v)o(on)h
FJ(\016)1035 1390 y FF(\()p FG(j)1063 1395 y Fz(1)1080
1390 y FG(;j)1104 1395 y Fz(2)1121 1390 y FF(\))1152
1408 y FK(und)g(\(3.27\))h(folgt,)e(da\377)i FJ(P)21
b FH(62)14 b FJ(F)7 b FI(\()p FJ(P)g FI(\))o FK(.)120
1469 y(Damit)16 b(ist)g(f\374r)h FJ(n)d FI(=)g(2)j FK(w)o(egen)g
FI(#)p FK(E)o FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))d(=)f(2)18
b FK(nic)o(h)o(ts)d(mehr)h(zu)g(zeigen.)g(Sei)g(also)h
FJ(n)d(>)g FI(2)p FK(.)120 1529 y(Setze)472 1634 y FH(P)507
1654 y FI(\()526 1635 y Fz(0)525 1663 y Fv(\003)541 1654
y FI(\))576 1634 y(:=)f FH(f)p FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)q
FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g(:)22 b FJ(p)1019
1641 y FG(i)1031 1646 y Fz(1)1048 1641 y FG(;j)1072 1646
y Fz(1)1106 1634 y FI(=)13 b(0)p FJ(;)k(p)1236 1641 y
FG(i)1248 1646 y Fz(2)1266 1641 y FG(;j)1290 1646 y Fz(1)1323
1634 y FI(=)d FJ(s)1398 1641 y FG(j)1412 1646 y Fz(1)1431
1634 y FH(g)p FJ(;)472 1726 y FH(P)507 1746 y FI(\()525
1727 y Fv(\003)526 1755 y Fz(0)541 1746 y FI(\))576 1726
y(:=)f FH(f)p FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q
FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g(:)22 b FJ(p)1019 1733 y FG(i)1031
1738 y Fz(1)1048 1733 y FG(;j)1072 1738 y Fz(1)1106 1726
y FI(=)13 b FJ(s)1180 1733 y FG(j)1194 1738 y Fz(1)1214
1726 y FJ(;)j(p)1268 1733 y FG(i)1280 1738 y Fz(2)1298
1733 y FG(;j)1322 1738 y Fz(1)1355 1726 y FI(=)e(0)p
FH(g)p FJ(;)472 1817 y FH(P)507 1837 y FI(\()525 1818
y Fv(\003)525 1846 y(\003)541 1837 y FI(\))576 1817 y(:=)f
FH(f)p FJ(P)21 b FH(2)14 b FK(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))g(:)22 b FJ(p)1019 1824 y FG(i)1031 1829
y Fz(1)1048 1824 y FG(;j)1072 1829 y Fz(1)1092 1817 y
FJ(;)8 b(p)1138 1824 y FG(i)1150 1829 y Fz(2)1168 1824
y FG(;j)1192 1829 y Fz(1)1225 1817 y FJ(>)14 b FI(0)p
FH(g)p FJ(:)120 1733 y FK(\(3.30\))120 1947 y(Sind)61
b FJ(P)q(;)8 b(Q)14 b FH(2)g(P)465 1968 y FI(\()484 1948
y Fz(0)484 1976 y Fv(\003)500 1968 y FI(\))582 1947 y
FK(und)61 b(b)q(ezeic)o(hnet)f(man)g(die)h(zu)g(\022)t
FH(\030)p FK(\020)k(analoge)d(Re-)120 2022 y(lation)c(auf)h
FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)534 2029 y FG(I)549 2034
y Fz(1)567 2029 y FA(\002)p FF(\()p FG(I)623 2034 y Fz(2)640
2029 y FA(nf)p FG(j)690 2034 y Fz(1)707 2029 y FA(g)p
FF(\))741 2022 y FI(\))58 b FK(wieder)g(mit)e(\022)t
FH(\030)p FK(\020)t(,)j(so)g(gilt)f(p)q(er)h(Indukti-)120
2082 y(on,)d(da\377)h FJ(P)7 b Fx(\030)432 2090 y FG(I)447
2095 y Fz(1)464 2090 y FA(\002)p FF(\()p FG(I)520 2095
y Fz(2)538 2090 y FA(nf)p FG(j)588 2095 y Fz(1)605 2090
y FA(g)p FF(\))652 2082 y FH(\030)14 b FJ(Q)p Fx(\030)765
2090 y FG(I)780 2095 y Fz(1)797 2090 y FA(\002)p FF(\()p
FG(I)853 2095 y Fz(2)870 2090 y FA(nf)p FG(j)920 2095
y Fz(1)937 2090 y FA(g)p FF(\))1027 2082 y FK(\(man)55
b(k)m(ann)h(annehmen,)e(da\377)j(f\374r)120 2148 y(die)c(zu)g
FJ(f)58 b FK(analoge)c(F)l(unktion)889 2135 y FI(~)878
2148 y FJ(f)59 b FK(auf)53 b(E)q FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\()p FJ(P)7 b Fx(\030)1300 2156 y FG(I)1315
2161 y Fz(1)1333 2156 y FA(\002)p FF(\()p FG(I)1389 2161
y Fz(2)1406 2156 y FA(nf)p FG(j)1456 2161 y Fz(1)1473
2156 y FA(g)p FF(\))1507 2148 y FI(\)\)\))53 b FK(gilt,)f(da\377)196
2215 y FH(8)120 2248 y FG(Q)p FA(2)p Fq(E)o FF(\()p FA(D)q
FF(\()p FA(I)r FF(\)\))314 2215 y FJ(f)5 b FI(\()p FJ(Q)p
FI(\))14 b(=)496 2201 y(~)485 2215 y FJ(f)6 b FI(\()p
FJ(Q)p Fx(\030)594 2222 y FG(I)609 2227 y Fz(1)626 2222
y FA(\002)p FF(\()p FG(I)682 2227 y Fz(2)700 2222 y FA(nf)p
FG(j)750 2227 y Fz(1)766 2222 y FA(g)p FF(\))800 2215
y FI(\))p FK(\).)38 b(Daraus)i(folgt)e(n)o(un)h FJ(P)21
b FH(\030)13 b FJ(Q)p FK(.)38 b(Da)h(\022)t FH(\030)p
FK(\020)k(eine)120 2310 y(\304)o(quiv)m(alenzrelation)21
b(ist)i(und)g(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))q(\))14
b(=)g FH(P)999 2330 y FI(\()1017 2311 y Fz(0)1017 2339
y Fv(\003)1033 2330 y FI(\))1065 2310 y FH([)d(P)1144
2330 y FI(\()1163 2311 y Fv(\003)1163 2339 y Fz(0)1179
2330 y FI(\))1211 2310 y FH([)g(P)1290 2330 y FI(\()1309
2311 y Fv(\003)1309 2339 y(\003)1325 2330 y FI(\))1369
2310 y FK(gilt,)22 b(wird)i(der)e(Bew)o(eis)120 2384
y(v)o(on)16 b(\(b\))g(durc)o(h)g(die)g(folgenden)g(Behauptungen)g(1)h
(und)f(2)h(v)o(ollst\344ndig.)120 2466 y FB(Behauptung)i(1.)76
b FH(8)451 2497 y FG(P)5 b FA(2P)527 2523 y FI(\()546
2504 y Fv(\003)546 2527 y(\003)562 2523 y FI(\))649 2466
y FH(9)597 2497 y FG(Q)p FA(2P)674 2523 y FI(\()692 2504
y Fz(0)691 2527 y Fv(\003)707 2523 y FI(\))742 2466 y
FJ(Q)14 b FH(\030)f FJ(P)8 b FK(.)120 2671 y FB(Beweis.)26
b FK(F\374r)78 b FJ(P)21 b FH(2)14 b(M)620 2678 y Fm(R)647
2671 y FI(\()p FJ(I)688 2678 y FF(1)707 2671 y FJ(;)8
b(I)751 2678 y FF(2)770 2671 y FI(\))78 b FK(sei)f FJ(S)1029
2678 y FG(P)1072 2671 y FI(:=)14 b FH(f)p FJ(j)i FH(2)e
FJ(I)1268 2678 y FF(2)1299 2671 y FH(n)d(f)p FJ(j)1380
2678 y FF(1)1400 2671 y FH(g)i FI(:)22 b FJ(p)1498 2678
y FG(i)1510 2683 y Fz(2)1528 2678 y FG(;j)1570 2671 y
FJ(>)13 b FI(0)p FH(g)79 b FK(und)120 2731 y FJ(m)163
2738 y FG(P)206 2731 y FI(:=)13 b(#)p FJ(S)342 2738 y
FG(P)371 2731 y FK(.)28 b(Angenommen,)c(Behauptung)k(1)h(ist)e(falsc)o
(h.)g(Dann)i(gibt)e(es)h(ein)f(\022)t(mi-)p eop
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85 86 bop 60 50 a Fy(3.2.)32 b(DER)17 b(F)-5 b(ALL)16
b FI(2)c FH(\002)e FJ(!)1175 b FK(85)60 203 y(nimales)14
b(Gegen)o(b)q(eispiel\020)t(,)h(das)i(hei\377t,)412 399
y FH(9)360 430 y FG(P)5 b FA(2P)436 456 y FI(\()455 438
y Fv(\003)455 460 y(\003)471 456 y FI(\))514 269 y FE(0)514
357 y(B)514 387 y(B)514 418 y(@)610 399 y FH(8)557 430
y FG(Q)p FA(2P)634 456 y FI(\()653 438 y Fz(0)652 460
y Fv(\003)668 456 y FI(\))703 399 y FJ(Q)14 b FH(6\030)f
FJ(P)24 b FK(und)73 b FH(8)968 430 y FF(~)960 438 y FG(P)5
b FA(2P)1036 464 y FI(\()1055 446 y Fv(\003)1055 468
y(\003)1071 464 y FI(\))1092 438 y FG(;)960 500 y(m)998
505 y Fz(~)991 511 y Fu(P)1017 500 y FG(<m)1075 506 y
Fu(P)1167 399 y FH(9)1115 430 y FG(Q)p FA(2P)1192 456
y FI(\()1211 438 y Fz(0)1210 460 y Fv(\003)1226 456 y
FI(\))1261 399 y FJ(Q)13 b FH(\030)1377 386 y FI(~)1366
399 y FJ(P)1404 269 y FE(1)1404 357 y(C)1404 387 y(C)1404
418 y(A)1456 399 y FJ(:)-1410 b FK(\(3.31\))60 608 y(Insb)q(esondere)17
b(m)o(u\377)f(dann)i FJ(m)625 615 y FG(P)668 608 y FJ(>)13
b FI(0)18 b FK(gelten,)e(da)h(das)h(f\374r)f(jedes)g(Elemen)o(t)d(v)o
(on)j FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\))h FK(gilt.)60 668 y(Nun)i(sei)f
FJ(j)e FH(2)d FJ(S)359 675 y FG(P)388 668 y FK(.)20 b(Dann)g(ist)g
FI(\()p FJ(j)668 675 y FF(1)688 668 y FJ(;)8 b(j)s FI(\))13
b FH(2)h FJ(T)7 b FI(\()p FJ(P)g FI(\))p FK(.)19 b(W)l(egen)h
FJ(P)1156 650 y FF(\()p FG(j)1184 655 y Fz(1)1202 650
y FG(;j)r FF(\))1257 668 y FH(62)14 b(P)1339 688 y FI(\()1358
669 y Fz(0)1358 697 y Fv(\003)1374 688 y FI(\))1415 668
y FK(m)o(u\377)k FJ(p)1549 675 y FG(i)1561 680 y Fz(2)1579
675 y FG(;j)1621 668 y FJ(<)c(p)1697 675 y FG(i)1709
680 y Fz(1)1727 675 y FG(;j)1751 680 y Fz(1)60 748 y
FK(gelten.)d(Dann)i(ist)f(ab)q(er)h FJ(P)549 729 y FF(\()p
FG(j)577 734 y Fz(1)594 729 y FG(;j)r FF(\))649 748 y
FK(ein)e(Gegen)o(b)q(eispiel)g(zu)h(Behauptung)h(1)f(mit)f
FJ(m)1524 760 y FG(P)1551 749 y Fz(\()p Fu(j)1576 756
y Fz(1)1593 749 y Fu(;j)q Fz(\))1646 748 y FJ(<)j(m)1741
755 y FG(P)60 808 y FK(im)g(Widerspruc)o(h)i(zur)g(W)l(ahl)g(v)o(on)g
FJ(P)7 b FK(.)961 b Fx(N)60 905 y FB(Behauptung)19 b(2.)76
b FH(8)391 936 y FG(P)5 b FA(2P)467 962 y FI(\()486 944
y Fv(\003)486 967 y Fz(0)502 962 y FI(\))641 905 y FH(9)537
936 y FG(Q)p FA(2P)614 962 y FI(\()631 944 y Fv(\003)631
967 y(\003)647 962 y FI(\))668 936 y FA([P)717 962 y
FI(\()736 944 y Fz(0)736 967 y Fv(\003)752 962 y FI(\))786
905 y FJ(Q)14 b FH(2)g FJ(F)7 b FI(\()p FJ(P)g FI(\))o
FK(.)60 1079 y FB(Beweis.)26 b FK(Sei)11 b FJ(P)21 b
FH(2)14 b(P)454 1099 y FI(\()473 1080 y Fv(\003)473 1108
y Fz(0)488 1099 y FI(\))521 1079 y FK(gegeb)q(en.)e(W\344hle)g(dann)g
FJ(j)17 b FH(2)d FJ(I)1088 1086 y FF(2)1119 1079 y FH(n)d(f)p
FJ(j)1200 1086 y FF(1)1219 1079 y FH(g)h FK(mit)e FI(\()p
FJ(j)1380 1086 y FF(1)1400 1079 y FJ(;)e(j)s FI(\))14
b FH(2)g FJ(T)7 b FI(\()p FJ(P)g FI(\))o FK(.)12 b(Nac)o(h)60
1166 y(\(3.27\))17 b(ist)f FJ(p)293 1141 y FF(\()p FG(j)321
1146 y Fz(1)339 1141 y FG(;j)363 1146 y Fz(2)380 1141
y FF(\))293 1179 y FG(i)305 1184 y Fz(2)323 1179 y FG(;j)347
1184 y Fz(1)410 1166 y FJ(>)d FI(0)q FK(,)j(das)h(hei\377t,)e(es)h
(gilt)g FJ(P)920 1148 y FF(\()p FG(j)948 1153 y Fz(1)965
1148 y FG(;j)989 1153 y Fz(2)1007 1148 y FF(\))1036 1166
y FH(2)e(P)1118 1187 y FI(\()1137 1167 y Fv(\003)1137
1196 y(\003)1153 1187 y FI(\))1190 1166 y FK(o)q(der)j
FJ(P)1338 1148 y FF(\()p FG(j)1366 1153 y Fz(1)1383 1148
y FG(;j)1407 1153 y Fz(2)1425 1148 y FF(\))1454 1166
y FH(2)e(P)1537 1187 y FI(\()1555 1167 y Fz(0)1555 1196
y Fv(\003)1571 1187 y FI(\))1592 1166 y FK(.)128 b Fx(N)1731
1295 y(\004)p eop
%%Page: 86 88
86 87 bop 120 562 a FM(Anhang)36 b(A)120 797 y(Quelltexte)e(implem)o
(en)m(ti)o(erter)120 921 y(Algorithmen)120 1205 y FC(A.1)78
b(Mathematica-Implemen)n(tation)g(eines)g(Algo-)316 1297
y(rithm)n(us)34 b(zur)g(Bestimm)n(ung)g(extremaler)g(Matri-)316
1388 y(zen)26 b(im)g(endlic)n(hen)f(F)-6 b(all)120 1528
y Fa(s[l_]:=App)o(ly[)o(Pl)o(us,)o(l])120 1648 y(ok[v_,w_]:)o(=s[)o(v])
o(==s)o([w])120 1768 y(line[a_,j_)o(,n_)o(]:)o(=Re)o(pla)o(ce)o(Par)o
(t[n)o(li)o(ne[)o(n],)o(a,)o(j])120 1829 y(nline[n_]:)o(=Ta)o(bl)o(e[0)
o(,)23 b({n}])120 1949 y(index[i_,j)o(_]:)o(=P)o(art)o(iti)o(on)o([Fl)o
(att)o(en)o([Ta)o(ble)o([{)o(k,l)o(},{)o(k,)o(i},)o({l,)o(j})o(]],)o
(2])120 2009 y(mindex[v_,)o(w_])o(:=)o(Sel)o(ect)o([i)o(nde)o(x[L)o(en)
o(gth)o([v])o(,L)o(eng)o(th[)o(w])o(],)504 2069 y(testmind[#,)o(v,w)o
(])f(&])120 2130 y(testmind[{)o(i_,)o(j_)o(},v)o(_,w)o(_])o(:=v)o([[i)o
(]])o(<=w)o([[j)o(]])120 2190 y(nindex[v_,)o(w_])o(:=)o(Sel)o(ect)o([i)
o(nde)o(x[L)o(en)o(gth)o([v])o(,L)o(eng)o(th[)o(w])o(],)504
2250 y(testnind[#,)o(v,w)o(])g(&])120 2310 y(testnind[{)o(i_,)o(j_)o
(},v)o(_,w)o(_])o(:=v)o([[i)o(]])o(>=w)o([[j)o(]])120
2430 y(ran[min_,m)o(ax_)o(,{)o(m_,)o(n_})o(,a)o(_])197
2491 y(:=Map[anze)o(x,)o(Map)o([co)o(nv)o(,)248 2551
y(Table[{Tab)o(le[)o(Ran)o(do)o(m[I)o(nte)o(ge)o(r,{)o(min)o(,m)o(ax})o
(],{)o(m})o(],)248 2611 y(Table[Rand)o(om[)o(Int)o(eg)o(er,)o({mi)o(n,)
o(max)o(}],)o({n)o(}]})o(,{a)o(}])o(]])120 2731 y(conv[{l1_,)o(l2_)o
(}])o(:={)o(l1,)o(l2)o(})h(/;)i(s[l1]==s[)o(l2)o(])951
2856 y FK(86)p eop
%%Page: 87 89
87 88 bop 60 50 a Fy(A.1.)15 b(MA)l(THEMA)l(TICA-ALG.)g(IM)g(ENDLICHEN)
h(F)-5 b(ALL)506 b FK(87)60 203 y Fa(conv[{l1_,)o(l2_)o(}])163
264 y(:={l1,Rep)o(la)o(ceP)o(art)o([l)o(2,s)o([l1)o(]-)o(s[l)o(2]+)o
(La)o(st[)o(l2])o(,L)o(eng)o(th[)o(l2)o(]]})214 324 y(/;)25
b(s[l1]>s[l)o(2])60 384 y(conv[{l1_,)o(l2_)o(}])163 444
y(:={Replac)o(eP)o(art)o([l1)o(,s)o([l2)o(]-s)o([l)o(1]+)o(Las)o(t[)o
(l1])o(,Le)o(ng)o(th[)o(l1])o(],)o(l2})214 504 y(/;)g(s[l1]<s[l)o(2])60
625 y(mex[v_,w_])o(:=M)o(ap)o([Ma)o(tri)o(xF)o(orm)o(,ex)o([v)o(,w])o
(])e(/;)h(ok[v,w])60 685 y(anzex[{v_,)o(w_})o(]:)o(={{)o(v,w)o(},)o
(Len)o(gth)o([e)o(x[v)o(,w])o(]})e(/;)j(ok[v,w])60 805
y(ex[{x_},w_)o(]:=)o({{)o(w}})d(/;)j(ok[{x},w])60 866
y(ex[v_,{x_})o(]:=)o({T)o(ran)o(spo)o(se)o([{v)o(}]})60
926 y(ex[v_,w_]:)o(=Un)o(io)o(n[m)o([v,)o(w])o(,n[)o(v,w)o(]])60
1046 y(m[v_,w_]:=)o(App)o(ly)o([Un)o(ion)o(,M)o(ap[)o(mij)o([v)o(,w,)o
(#])d(&,mindex[v)o(,w])o(]])60 1106 y(mij[v_,w_,)o({i_)o(,j)o(_}])137
1166 y(:=Map[rowi)o(n[)o(v,w)o(,i,)o(j,)o(#])g(&,ex[Delete)o([v)o(,i])o
(,)188 1227 y(ReplacePar)o(t[w)o(,w[)o([j)o(]]-)o(v[[)o(i])o(],j)o(]]])
60 1347 y(rowin[v_,w)o(_,i)o(_,)o(j_,)o(mat)o(_])o(:=r)o(in[)o(ma)o
(t,l)o(ine)o([v)o([[i)o(]],)o(j,)o(Len)o(gth)o([w)o(]],)o(i])60
1407 y(rin[mat_,r)o(_,i)o(_])o(:=I)o(nse)o(rt)o([ma)o(t,r)o(,i)o(])60
1528 y(n[v_,w_]:=)o(App)o(ly)o([Un)o(ion)o(,M)o(ap[)o(nij)o([v)o(,w,)o
(#])g(&,nindex[v)o(,w])o(]])60 1588 y(nij[v_,w_,)o({i_)o(,j)o(_}])137
1648 y(:=Map[coli)o(n[)o(v,w)o(,i,)o(j,)o(#])g(&,ex[Replac)o(eP)o(art)o
([v,)o(v[)o([i])o(]-w)o([[)o(j]])o(,i])o(,)188 1708 y(Delete[w,j)o(]]])
60 1829 y(colin[v_,w)o(_,i)o(_,)o(j_,)o(mat)o(_])o(:=c)o(in[)o(ma)o
(t,l)o(ine)o([w)o([[j)o(]],)o(i,)o(Len)o(gth)o([v)o(]],)o(j])60
1889 y(cin[mat_,l)o(_,j)o(_])o(:=T)o(ran)o(sp)o(ose)o([ri)o(n[)o(Tra)o
(nsp)o(os)o(e[m)o(at])o(,l)o(,j])o(])60 2044 y FK(Kurze)14
b(Besc)o(hreibung)f(des)h(Programms)f(\(im)g(folgenden)h(sei)g
FH(I)k FK(das)e(zu)e(gegeb)q(enen)g(Rand-)60 2104 y(v)o(ektoren)h
Fa(v,w)g FK(geh\366rende)i(Randsystem\):)60 2190 y Fa(s[l_])e
FK(b)q(erec)o(hnet)g(die)h(Summe)e(einer)h(Liste)i Fa(l)f
FK(v)o(on)g(Zahlen.)g Fa(ok[v_,w_])d FK(testet,)j(ob)h
Fa(v,w)60 2250 y FK(Randv)o(ektoren)23 b(eines)f(Randsystems)h(sind.)g
Fa(nline[n_])d FK(erzeugt)i(eine)h(Liste,)g(die)f(aus)60
2310 y Fa(n)f FK(Nullen)e(b)q(esteh)o(t.)h Fa(line[a_,j_)o(,n_)o(])e
FK(ersetzt)i(in)h(einer)e(Liste,)i(die)f(aus)i Fa(n)e
FK(Nullen)g(b)q(e-)60 2370 y(steh)o(t,)i(das)i Fa(j)p
FK(-te)e(Elemen)o(t)f(durc)o(h)h Fa(a)p FK(.)h Fa(index[i_,)o(j_])c
FK(erzeugt)k(eine)f(Liste,)g(die)g(genau)60 2430 y(alle)d(Indizes)g
(einer)g Fa(i)p FH(\002)p Fa(j)h FK(Matrix)f(en)o(th\344lt.)g
Fa(mindex[v_,)o(w_])d FK(und)21 b Fa(nindex[v_)o(,w_)o(])c
FK(er-)60 2491 y(zeugen)h(Listen,)f(die)g(aus)i(den)f(Elemen)o(ten)d
(der)j(Mengen)f FJ(M)5 b FI(\()p FH(I)g FI(\))17 b FK(b)q(ezieh)o
(ungsw)o(eise)g FJ(N)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))60 2551
y FK(gem\344\377)21 b(\(2.52\))h(b)q(estehen.)e Fa(rin[mat_,r_)o(,i)o
(_])e FK(\()p Fa(cin[mat_,l)o(_,)o(j_])o FK(\))h(f\374gt)i(in)g(die)g
(Ma-)60 2611 y(trix)e Fa(mat)g FK(eine)h(neue)f Fa(i)p
FK(-te)h(Zeile)e Fa(r)i FK(\()p Fa(j)p FK(-te)g(Spalte)g
Fa(l)p FK(\))g(ein.)f Fa(rowin[v_,)o(w_)o(,i_)o(,j_)o(,m)o(at_)o(])60
2671 y FK(\()p Fa(colin[v_,w)o(_,)o(i_,)o(j_,)o(ma)o(t_])o
FK(\))e(f\374gt)j(in)f(die)f(Matrix)h Fa(mat)g FK(eine)f
Fa(i)p FK(-te)h(Zeile)f(\()p Fa(j)p FK(-te)h(Spal-)60
2731 y(te\))14 b(ein,)g(die)g(an)h(der)f Fa(j)p FK(-ten)h(\()p
Fa(i)p FK(-ten\))f(Stelle)f Fa(v[[i]])g FK(\()p Fa(w[[j]])p
FK(\))f(stehen)i(hat)i(und)f(sonst)g(n)o(ur)p eop
%%Page: 88 90
88 89 bop 120 50 a FK(88)93 b Fy(ANHANG)15 b(A.)31 b(QUELL)l(TEXTE)17
b(IMPLEMENTIER)l(TER)f(ALGORITHMEN)120 203 y FK(Nullen.)10
b Fa(mij[v_,w_,)o({i_)o(,j_)o(}])e FK(erzeugt)k(eine)f(Liste)h(der)g
(Elemen)o(te)d(v)o(on)j FH(M)1574 210 y FG(i;j)1614 203
y FI(\()p FH(I)t FI(\))g FK(gem\344\377)120 264 y(\(2.55\);)19
b(en)o(tsprec)o(hend)f(erzeugt)g Fa(nij[v_,w_)o(,{i)o(_,j)o(_})o(])e
FK(eine)i(Liste)h(der)f(Elemen)o(te)e(v)o(on)120 324
y FH(N)161 331 y FG(i;j)201 324 y FI(\()p FH(I)t FI(\))k
FK(gem\344\377)g(\(2.56\).)h Fa(m[v_,w_])c FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)
i Fa(n[v_,w_])f FK(erzeugen)i(eine)f(Liste)120 384 y(der)e(Elemen)o(te)
d(v)o(on)k FH(M)o FI(\()p FH(I)t FI(\))f FK(b)q(ezieh)o(ungsw)o(eise)f
FH(N)7 b FI(\()p FH(I)t FI(\))18 b FK(gem\344\377)e(\(2.57\).)i
Fa(ex[v_,w_])c FK(liefert)120 444 y(eine)h(Liste)g(der)h(extremalen)d
(Matrizen,)h(das)i(hei\377t)g(der)f(Elemen)o(te)e(v)o(on)i
FH(E)5 b FI(\()p FH(I)t FI(\))16 b FK(gem\344\377)f(De-)120
504 y(\034nition)i(2.5.1.)f Fa(mex[v_,w_])d FK(gibt)k(die)f(Elemen)o
(te)e(v)o(on)j Fa(ex[v_,w_])c FK(in)k(Matrixform)e(aus.)120
565 y Fa(anzex[{v_,)o(w_})o(])8 b FK(b)q(erec)o(hnet)j
FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))p
FK(.)g Fa(ran[min_,ma)o(x_,)o({m)o(_,n)o(_},)o(a_)o(])e
FK(w)o(endet)i(die)120 625 y(F)l(unktion)17 b Fa(anzex)e
FK(auf)j Fa(a)e FK(\022)t(zuf\344llig\020)21 b(erzeugte)16
b(Randsysteme)g(mit)f Fa(m)i FK(Zeilen)e(und)j Fa(n)f
FK(Spal-)120 685 y(ten)c(an,)h(w)o(ob)q(ei)g(die)e(Ein)o(tr\344ge)i
(der)f(Randv)o(ektoren)g(ganze)h(Zahlen)f(zwisc)o(hen)g
Fa(min)f FK(und)i Fa(max)120 745 y FK(sind.)120 847 y
FL(Bemerkung)j(A.1.1.)23 b FK(Damit)15 b(die)h(F)l(unktionen)g(dieses)g
(Programms)f(zuv)o(erl\344ssig)g(funk-)120 908 y(tionieren,)h(m)o
(u\377)g(Mathematica)g(exakte)h(Gr\366\377en)o(v)o(ergleic)o(he)e(durc)
o(hf\374hren)i(k)o(\366nnen.)g(Des-)120 968 y(halb)e(darf)g(das)g
(Programm)f(n)o(ur)g(auf)h(ganze)g(Zahlen)g(o)q(der)g(Br\374c)o(he,)e
(nic)o(h)o(t)g(ab)q(er)j(auf)f(Flie\377-)120 1028 y(k)o(ommazahlen)e
(angew)o(endet)j(w)o(erden.)120 1259 y FC(A.2)78 b
(Mathematica-Implemen)n(tation)g(eines)g(Algo-)316 1350
y(rithm)n(us)41 b(zur)g(Bestimm)n(ung)g(v)n(on)f Fc(#)p
FC(E)p Fc(\()p Fb(D)r Fc(\()p Fb(I)5 b Fc(\))r(\))41
b FC(im)316 1441 y Fc(2)16 b Fb(\002)g Fl(n)25 b FC(F)-6
b(all)120 1572 y FK(Das)17 b(folgende)f(Programm)f(b)q(en)o(utzt)h(die)
f(F)l(unktion)h Fa(s)g FK(aus)h(Absc)o(hnitt)e(A.1.)120
1708 y Fa(fanzex[{v_)o(,w_)o(}])o(:={)o({v,)o(w})o(,sa)o(nze)o(x[)o
(Sor)o(t[v)o(],)o(Sor)o(t[w)o(]])o(})120 1768 y(sanzex[{r1)o(_,r)o(2_)o
(},w)o(_]:)o(=s)o([Ta)o(ble)o([c)o(ex[)o(r1,)o(i,)o(w],)o({i,)o(Le)o
(ngt)o(h[w)o(]})o(]])684 1829 y(+rcex[r1,)o(w])120 1949
y(subsets[{})o(]:=)o({{)o(}})120 2009 y(subsets[v_)o(]:=)o(Fl)o(att)o
(en[)o(Ma)o(p[h)o(1[#)o(,L)o(ast)o([v])o(])22 b(&,subsets[D)o(rop)o([v)
o(,-1)o(]]])o(,1)o(])120 2069 y(h1[l_,e_]:)o(={l)o(,A)o(ppe)o(nd[)o(l,)
o(e]})120 2190 y(valid[l_,m)o(in_)o(,m)o(ax_)o(]:=)o(1)g(/;)j
(min<s[l]<ma)o(x)120 2250 y(valid[l_,m)o(in_)o(,m)o(ax_)o(]:=)o(0)120
2310 y(valtab[s_,)o(min)o(_,)o(max)o(_]:)o(=M)o(ap[)o(val)o(id)o([#,)o
(min)o(,m)o(ax])d(&,s])120 2430 y(cex[r1_,i_)o(,w_)o(]:)o(=s[)o(val)o
(ta)o(b[s)o(ubs)o(et)o(s[s)o(ubl)o([r)o(1,i)o(,w])o(],)o(r1-)o(w[[)o
(i])o(],r)o(1]])120 2491 y(subl[r1_,i)o(_,w)o(_])o(:=S)o(ele)o(ct)o
([De)o(let)o(e[)o(w,i)o(],#)o(<r)o(1)h(&])120 2611 y(rval[r1_,l)o(_]:)o
(=1)f(/;)j(s[l]==r1)120 2671 y(rval[r1_,l)o(_]:)o(=0)120
2731 y(rvaltab[r1)o(_,s)o(_])o(:=M)o(ap[)o(rv)o(al[)o(r1,)o(#])d(&,s])p
eop
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89 90 bop 60 50 a Fy(A.2.)15 b(MA)l(THEMA)l(TICA-ALG.)g(IM)g
FI(2)c FH(\002)g FJ(N)22 b Fy(F)-5 b(ALL)673 b FK(89)60
264 y Fa(rcex[r1_,w)o(_]:)o(=s)o([rv)o(alt)o(ab)o([r1)o(,su)o(bs)o(ets)
o([rs)o(ub)o(l[r)o(1,w)o(]])o(]])60 324 y(rsubl[r1_,)o(w_])o(:=)o(Sel)o
(ect)o([w)o(,#<)o(=r1)22 b(&])60 459 y FK(Kurze)e(Besc)o(hreibung)f
(des)h(Programms)g(\(wieder)f(sei)h FH(I)25 b FK(das)c(zu)f(gegeb)q
(enen)h(Randv)o(ek-)60 519 y(toren)e Fa(v,w)g FK(geh\366rende)g
(Randsystem;)f(dab)q(ei)h(wird)g(jetzt)g(imm)o(er)d(v)o(orausgesetzt,)j
(da\377)h Fa(v)60 579 y FK(zw)o(eielem)o(en)o(ti)o(g)14
b(ist\):)60 660 y Fa(subsets[m_)o(])19 b FK(liefert)i(eine)h(Liste)g
(aller)g(T)l(eilmengen)e(v)o(on)i Fa(m)p FK(.)g Fa(valid[l_,m)o(in_)o
(,m)o(ax_)o(])60 720 y FK(testet,)c(ob)i(die)f(Summe)d(der)j(Elemen)o
(te)e(v)o(on)i Fa(l)g FK(ec)o(h)o(t)f(zwisc)o(hen)g Fa(min)g
FK(und)i Fa(max)e FK(liegt.)g(Ist)60 780 y(das)e(der)e(F)l(all,)g(so)i
(wird)f Fa(1)f FK(ausgegeb)q(en,)i(ansonsten)g Fa(0)p
FK(.)e Fa(valtab[s_,)o(min)o(_,m)o(ax)o(_])e FK(w)o(endet)60
841 y Fa(valid[l_,m)o(in_)o(,m)o(ax_)o(])19 b FK(auf)j(eine)f(Liste)h
(v)o(on)g(Listen)g Fa(s)g FK(an)g(und)g(liefert)f(eine)g(T)l(ab)q(elle)
60 901 y(der)g(en)o(tsprec)o(henden)e(W)l(ahrheitsw)o(erte)h(\()p
Fa(0)g FK(o)q(der)i Fa(1)p FK(\).)e Fa(subl[r1_,)o(i_)o(,w_)o(])e
FK(en)o(tfern)o(t)h(aus)60 961 y(der)g(Liste)g Fa(w)g
FK(das)h Fa(i)p FK(-te)e(Elemen)o(t)f(so)o(wie)i(alle)f(Elemen)o(te,)e
(die)i(nic)o(h)o(t)g(kleiner)g(als)h Fa(r1)f FK(sind.)60
1021 y Fa(cex[r1_,i_)o(,w_)o(])f FK(b)q(erec)o(hnet)j(die)g
(Kardinalit\344t)g(der)g(nac)o(h)h(\(3.10\))g(de\034nierten)e(Menge)60
1081 y FH(T)87 1088 y FG(i)101 1081 y FI(\()p FH(I)t
FI(\))p FK(.)c(Die)g(F)l(unktion)g Fa(rval)e FK(en)o(tspric)o(h)o(t)h
(der)h(F)l(unktion)g Fa(valid)p FK(,)e(n)o(ur)i(da\377)h
Fa(rval[r1_,l_)o(])60 1142 y FK(testet,)22 b(ob)i(die)e(Summe)e(der)j
(Elemen)o(te)d(v)o(on)j Fa(l)g FK(gleic)o(h)f Fa(r1)g
FK(ist.)g(In)h(der)g(gleic)o(hen)e(W)l(ei-)60 1202 y(se)h(en)o(tsprec)o
(hen)e(die)h(F)l(unktionen)g Fa(rvaltab)p FK(,)e Fa(rcex)p
FK(,)h Fa(rsubl)g FK(den)h(F)l(unktionen)h Fa(valtab)p
FK(,)60 1262 y Fa(cex)j FK(und)h Fa(subl)p FK(.)e Fa(sanzex[v_,)o(w_])e
FK(b)q(erec)o(hnet)j FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p
FH(I)t FI(\)\))h FK(nac)o(h)g(\(3.18\),)g(w)o(ob)q(ei)g(v)o(or-)60
1322 y(ausgesetzt)d(wird,)e(da\377)j(die)d(Elemen)o(te)f(v)o(on)i
Fa(v)g FK(und)h Fa(w)f FK(der)g(Gr\366\377e)h(nac)o(h)f(sortiert)g
(sind.)60 1382 y Fa(fanzex[{v_)o(,w_)o(}])11 b FK(gibt)k
FI(#)p FK(E)p FI(\()p FH(D)q FI(\()p FH(I)t FI(\)\))g
FK(zusammen)d(mit)h Fa({v,w})f FK(aus,)j(w)o(ob)q(ei)g(die)f(Elemen)o
(te)60 1443 y(v)o(on)i Fa(v)g FK(und)h Fa(w)e FK(nic)o(h)o(t)g(mehr)g
(sortiert)h(sein)g(m)o(\374ssen.)60 1523 y(Wieder)f(ist)h(Bemerkung)e
(A.1.1)i(zu)g(b)q(eac)o(h)o(ten.)p eop
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90 91 bop 120 558 a FM(Literaturv)m(erzeic)m(hnis)144
806 y FK([1])24 b FD(g.d.)e(birkhoff.)e FB(T)l(r)n(es)g(obser)n(c)n
(aviones)g(sobr)n(e)g(el)h(algebr)n(a)f(line)n(al.)g
FK(Univ.)d(Nac.)h(T)l(u-)220 867 y(cum\341n)d(Rev.)g(Ser.)h(A,)f(v)o
(ol.)g(5)i(\(1946\),)g(pp.)f(147-151.)144 972 y([2])p
220 980 98 2 v 130 w(.)f FB(Combinatoric)n(al)h(pr)n(op)n(erties)f(of)i
(symmetric)f(non-ne)n(gative)j(matric)n(es.)c FK(Collo-)220
1032 y(quio)h(In)o(ternazionale)e(sulle)h(Theorie)g(Com)o(binatorie)f
(Roma,)h(3-15)i(settem)o(bre)c(1973,)220 1092 y(T)l(omo)j(I)q(I,)f
(Roma,)g(A)o(ccademia)f(Nazionale)h(Dei)h(Lincei,)f(1976,)i(pp.)f
(99-120.)144 1197 y([3])24 b FD(m.r.)17 b(garey)h(/)e(d.s.)h(johnson.)f
FB(Computers)g(and)g(intr)n(actability.)f FK(W.H.)f(F)l(reeman)220
1258 y(and)j(Compan)o(y)l(,)e(New)h(Y)l(ork,)f(1984.)144
1363 y([4])24 b FD(r.)18 b(grz\241\261lewicz.)g FB(On)f(extr)n(eme)h
(in\034nite)h(double)f(sto)n(chastic)f(matric)n(es.)e
FK(Illinois)f(J.)220 1423 y(of)j(Math.,)e(v)o(ol.)g(31)i(\(1987\),)h
(pp.)e(529-543.)144 1528 y([5])24 b FD(j.r.)c(isbell.)d
FB(In\034nite)i(doubly)f(sto)n(chastic)g(matric)n(es.)f
FK(Canadian)g(Math.)g(Bull.,)d(v)o(ol.)220 1589 y(5)j(\(1962\),)g(pp.)f
(1-4.)144 1694 y([6])24 b FD(g.j.o.)16 b(jameson.)d FB(T)l(op)n(olo)n
(gy)g(and)h(Norme)n(d)g(Sp)n(ac)n(es.)e FK(Chapman)h(and)g(Hall,)e
(London,)220 1754 y(1974.)144 1859 y([7])24 b FD(m.g.)16
b(kend)o(al.)d FB(On)i(in\034nite)h(doubly)f(sto)n(chastic)g(matric)n
(es)f(and)h(Birkho\033)5 b('s)14 b(pr)n(oblem)220 1919
y(111.)i FK(J.)g(London)i(Math.)e(So)q(c.,)g(v)o(ol.)f(35)i(\(1960\),)g
(pp.)f(81-84.)144 2025 y([8])24 b FD(j.)15 b(lindenstra)o(uss.)d
FB(A)i(r)n(emark)f(on)h(extr)n(eme)g(doubly)h(sto)n(chastic)e(matrix)h
(me)n(asur)n(es.)220 2085 y FK(Amer.)g(Math.)i(Mon)o(thly)l(,)f(v)o
(ol.)g(72)i(\(1965\),)g(pp.)f(379-382.)144 2190 y([9])24
b FD(j.t.)19 b(mar)l(ti.)d FB(Konvexe)k(A)o(nalysis.)c
FK(Birkh\344user)g(V)l(erlag,)f(Basel,)g(1977.)120 2295
y([10])24 b FD(l.)e(mirsky.)f FB(On)g(a)g(c)n(onvex)i(set)e(of)g
(matric)n(es.)f FK(Arc)o(h.)e(math.,)g(v)o(ol.)h(10)i(\(1959\),)g(pp.)
220 2356 y(88-92.)120 2461 y([11])j FD(h.l.)16 b(r)o(o)o(yden.)f
FB(R)n(e)n(al)f(A)o(nalysis)i(3r)n(d)e(e)n(dition.)h
FK(Macmilli)o(an)d(Publ.,)h(New)h(Y)l(ork,)f(1988.)120
2566 y([12])24 b FD(w.)16 b(r)o(udin.)e FB(R)n(e)n(al)g(and)h(Complex)h
(A)o(nalysis)f(3r)n(d)f(e)n(dition.)g FK(McGra)o(w-Hill)e(Bo)q(ok)i
(Com-)220 2626 y(pan)o(y)l(,)i(New)g(Y)l(ork,)f(1987.)120
2731 y([13])24 b FD(d.b.)c(west.)c FB(Intr)n(o)n(duction)h(to)h(Gr)n
(aph)e(The)n(ory.)f FK(Pren)o(tice)f(Hall,)h(1996.)951
2856 y(90)p eop
%%Page: 91 93
91 92 bop 60 50 a Fy(LITERA)l(TUR)-5 b(VERZEICHNIS)1032
b FK(91)60 203 y([14])24 b FD(s.)c(w)o(olfram.)e FB(Mathematic)n(a.)g
(A)h(system)g(for)f(doing)h(mathematics)g(by)g(c)n(omputer.)160
264 y(2nd)f(e)n(dition.)e FK(A)o(ddison-W)l(esley)l(,)f(1993.)p
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