Department Mathematik
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Sommersemester 2020

Funktionentheorie, Lebesguetheorie und Gewöhnliche DGL

(Mathematik IV für LA Gym.)
Vorlesung: montags 12:15-13:55 Uhr, mittwochs 10:15-11:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: dienstags 14:15-15:55 Uhr im Hörsaal B 138
Klausurtermin:war am Freitag, 12. August 2022, 16:30-18:30 Uhr
Klausur vom 12.8.22 ohne und mit Lösung
Nachklausurtermin:war am Donnerstag, den 6. Oktober 2022, 9:30-11:30 Uhr
Klausur vom 6. Oktober 2022 ohne und mit Lösung
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistent: Dr. Aras Bacho
Vorlesungsskript: (Eventuell ist diese Checkliste bei der Klausurvorbereitung hilfreich.)
Übungsblätter:können hier heruntergeladen werden
Übungsgruppen: Informationen zu Ihren Übungsgruppen finden Sie hier.
Vorlesungsverlauf: Hinweis:
Auf die Kursaufzeichnungen kann per LMU Cast unter diesem Link zugegriffen werden.
DatumInhaltSkript
25.04.22Wiederholung Integrationstheorie, Definition des Jordan-Volumens Teil I, 20-23
27.04.22Integration auf Jordan-messbaren Teilmengen23-30
02.05.22Cavalierisches Prinzip und verallgemeinerter Satz von Fubini 30-35
03.05.22Lipschitz-stetige Abbildung, Formulierung des Transformationssatzes 35-41
04.05.22Anwendungen des Transformationssatzes, Eindeutigkeit des Jordan-Inhalts 41-48
09.05.22Beweis des Transformationssatzes48-53
11.05.22Berechnung von Weglängen und Kurvenintegralen54-60
16.05.22Konservative Vektorfelder, komplexe Kurvenintegrale, Flächenintegrale 60-64
18.05.22Berechnung von Flächeninhalten, Invarianz unter Parametertransformation64-68
23.05.22Normalenfelder, Randkurven, Gauß'scher Integralsatz der Ebene 68-76
25.05.22Gauß'scher und Stokes'scher Integralsatz76-83
30.05.22Definition des Lebesgue-Integrals84-92
01.06.22Lebesguesches Maß, Riemann- und Lebesgue-Integral92-96
08.06.22Konvergenzsätze der Lebesgueschen Integrationstheorie96-100
13.06.22Reelle und komplexe DifferenzierbarkeitTeil II, 1-9
15.06.22Komplexe Potenzreihen und Arkusfunktionen9-19
20.06.22Beweis des Cauchyschen Integralsatzes19-28
22.06.22Einfacher Zusammenhang, komplexe Ableitung unter dem Integralzeichen24-30, 35-37
27.06.22Cauchysche Integralformel, Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen 37-42
29.06.22Identitätssatz, Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra 42-46
04.07.22Holomorphe Funktionen auf Kreisringen, Laurentreihen-Entwicklung 46-51
06.07.22Klassifikation der isolierten Singularitäten51-54
11.07.22Umlaufzahl und Residuensatz54-62
13.07.22Lösungen von Differenzialgleichungen - Eindeutigkeit und lokale ExistenzTeil III, 3-10
18.07.22Satz von Picard-Lindelöf, getrennte Variablen, Substitution 10-14
20.07.22Lineare und exakte Differenzialgleichungen14-18
25.07.22Systeme linearer Differenzialgleichungen19-24
27.07.22Systeme lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten25-28
Inhalt: Zunächst werden wir die mehrdimensionale Integrationstheorie aus dem Wintersemester fortsetzen. Wir behandeln die Transformationsformel, Integration auf Kurven und Flächen, Vektoranalysis und Integralsätze und schließlich die Grundlagen der Lebesgueschen Integrationstheorie.

Gegenstand der Funktiontheorie sind die komplex differenzierbaren Funktionen, die sich von den lediglich total differenzierbaren durch einige erstaunliche Eigenschaften unterscheiden. Beispielsweise besagt das sog. Permanenzprinzip, dass eine solche Funktion aus einem winzigen Teil ihrer Werte vollständig rekonstruiert werden kann. Weitere wichtige Themen dieses Abschnitts sind der Cauchysche Integralsatz, die Potenzreihendarstellung, Singularitäten und der Residuensatz. Durch Letzteren werden uns unter ein neuer Ansatz zur Berechnung reellwertiger Integrale zur Verfügung gestellt.

Bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen geht es darum, Lösungsfunktionen y : R --> R für Funktionalgleichungen zu finden, in denen die Funktion y zusammen mit ihren (höheren) Ableitungen vorkommt, zum Beispiel y' = xy oder y'' + xy' = x2. Wir werden sowohl Sätze über die Existenz und Eindeutigkeit solcher Lösungsfunktionen als auch Verfahren zu ihrer Berechnung kennenlernen, wobei wir uns besonders auf den Fall der sog. linearen Differentialgleichungen konzentrieren.
Literatur:
  • W. Fischer, I. Lieb, Funktionentheorie. vieweg studium - Aufbaukurs Mathematik.
  • O. Forster, Analysis 3. vieweg studium - Grundkurs Mathematik.
  • K. Fritsche, Grundkurs Grundkurs Analysis 2. Spektrum Akademischer Verlag.
  • K. Fritsche, Grundkurs Funktionentheorie. Spektrum Akademischer Verlag.
  • H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Teubner-Verlag.
  • W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag.

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