Department Mathematik
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Wintersemester 2021-22
Analysis mehrerer Variablen (LA Gym)

Vorlesung: montags, 12:15-11:55 Uhr und donnerstags, 14:15-15:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: freitags 10:15-11:45 Uhr, Hörsaal B 138
Dozent:Dr. Ralf Gerkmann
Klausurtermin:war am Donnerstag, den 3. März, 12:30-14:30 Uhr
Klausur ohne und mit Lösung
Nachklausurtermin:war am Donnerstag, den 21. April 2022, 9:30-11:30 Uhr
Nachklausur als PDF
Vorlesungsskript: Teil I: Lineare Algebra (PDF), 190 Seiten
Teil II: Analysis mehrerer Variablen (PDF), 107 Seiten, Stand 10. Februar 2022
Übungsblätter: können hier heruntergeladen werden
Eventuell ist diese Zusammenstellung für die Klausurvorbereitung hilfreich.
Vorlesungsverlauf: Die Aufzeichnungen der Vorlesungen und Globalübungen können hier gestreamt oder heruntergeladen werden. Vom zweiten Teil der Vorlesung vom 7. Februar gibt es leider keine Aufzeichnung.
DatumInhaltSkript
18.10.21Satz von Cayley-Hamilton, Definition der Jordanschen Normalform134-142
21.10.21Interpretation und Berechnung der Jordanschen Normalform142-154
25.10.21Längen und Winkel im Rn154-164
28.10.21Orthogonalprojektionen und Abstände affiner Unterräume 164-169
29.10.21Dreiecksgeometrie und orthgonale Gruppe 169-174
04.11.21Bewegungen, Bilinearformen und Darstellungsmatrizen174-180
08.11.21Euklidische Vektorräume, Hurwitz-Kriterium180-186
11.11.21Hauptachsentransformation, Normen auf Vektorräumen186-190, 2-5
15.11.21Äquivalenz von Normen, Metriken5-8
18.11.21Konvergenz in metrischen Räumen8-13
22.11.21Banachscher Fixpunktsatz, Stetigkeitsbegriff13-18
25.11.21Kriterien für Stetigkeit, Homöomorphismen18-23
29.11.21Stetigkeit linearer Abbildungen, offene Teilmengen23-29
02.12.21Umgebungsbegriff und Stetigkeit, abgeschlossene Teilmengen29-33
06.12.21Schachtelungsprinzip, relative Offenheit und Abgeschlossenheit 33-35
09.12.21Kompaktheit36-40
13.12.21Zusammenhängende metrische Räume40-44
16.12.21Richtungsableitungen und partielle Ableitungen44-48
20.12.21Mehrfache partielle Ableitungen, Mittelwertsatz48-53
23.12.21Definition der totalen Ableitung53-57
10.01.22Mehrdimensionale Ableitungsregeln57-64
13.01.22Kettenregel, Umkehrregel und höhere totale Ableitungen64-69
17.01.22Mehrdimensionale Taylor-Polynome, Bestimmung lokaler Extrema 69-74
20.01.22Lokale Umkehrbarkeit von Funktionen74-80
24.01.22Implizit definierte Funktionen80-83
27.01.22Beweis des Hauptsatzes über implizite Funktionen83-86
31.01.22Untermannigfaltigkeiten und Extrema mit Nebenbedingungen87-90
03.02.22Definition des mehrdimensionalen Riemann-Integrals90-94
07.02.22Integrierbarkeit stetiger Funktionen, Satz von Fubini94-98
10.02.22Volumenberechnung, Nullmengen und Riemann-Integrierbarkeit98-106
Inhalt: Im ersten Semester haben wir die Differential- und Integralrechnung von reellwertigen Funktionen auf Intervallen, also eindimensionalen Bereichen, kennengelernt. Für viele Anwendungen inner- und außerhalb der Mathematik ist es aber wünschenswert, dass Instrumentarium der Differential- und Integralrechnung auf Räumen beliebiger Dimension zur Verfügung zu haben. Innermathematische Anwendungsgebiete sind beispielsweise die Funktionentheorie und die Differentialgeometrie. Auch in der Physik, beispielsweise bei der Modellierung dreidimensionaler Bewegungen, wird zu einem großen Teil mit mehr­di­men­sio­na­len Funktionen gearbeitet.

Im einzelnen werden in der Vorlesung folgende Themen behandelt:
  • Skalarprodukte, Normen und Metriken
  • Konvergenz, Vollständigkeit, Banachscher Fixpunktsatz
  • topologische Grundbegriffe (Offenheit, Abgeschlossenheit, Stetigkeit)
  • partielle und totale Differenzierbarkeit, Differentiationsregeln
  • Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen
  • Einführung in die mehrdimensionale Integralrechnung
Literatur:
  • M. Barner, F. Flor, Analysis II. de Gruyter Lehrbuch.
  • O. Forster, Analysis 2. vieweg studium - Grundkurs Mathematik.
  • H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Teubner-Verlag.
  • K. Königsberger, Analysis 2. Springer-Verlag.

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