Department Mathematik
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Sommersemester 2023

Mehrdimensionale Analysis
(Lehramt Gymnasium)


Vorlesung: dienstags, 10:15-11:55 Uhr und freitags, 10:15-11:55 Uhr
Globalübung: freitags 8:15-9:45 Uhr im Hörsaal B 138
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistent: Dr. Leopold Zoller
Klausurtermin: war am Samstag, den 24. Februar 2024, 16:30-18:30 Uhr
Klausurergebnisse
Klausuraufgaben ohne und mit Lösung
Nachklausurtermin: Donnerstag, 11. April, 8:30-10:30 Uhr in den Räumen B 005 und B 139
Bitte melden Sie sich unter Moodle für die Nachholklausur an.
Raumaufteilung
KlausurNachnameRaum
Mehrdimensionale AnalysisA-NB 005
Mehrdimensionale AnalysisP-ZB 139
Analysis mehrerer VariablenA-ZB 139
Vorlesungsskript: Skript I „Lineare Algebra“ (PDF)
Skript II „Stetigkeit und Differenzierbarkeit im mehreren Variablen“ (PDF)
Skript III „Maß- und Integrationstheorie“ Stand 8. Februar, 90 Seiten (PDF)
Diese Liste kann zur Wiederholung des Vorlesungsstoffs genutzt werden.
Übungsblätter: sind über Moodle verfügbar
Übungsgruppen: Die Anmeldung zu den Tutorien erfolgt unter Moodle.
Vorlesungsverlauf: Die Videoaufzeichnungen des Kurses sind unter LMUCast verfügbar.
DatumInhalt Skript
17.10.23 Definition des Minimalpolynoms einer MatrixI. 134-137
20.10.23 Satz von Cayley-Hamilton, Eigenschaften der Jordanmatrizen137-144
24.10.23 Bestimmung der Jordanschen Normalform144-149
27.10.23 Berechnung von Jordanbasen, Darstellungsmatrizen von Bilinearformen 149-160
31.10.23 Transformationsformel für Darstellungsmatrizen, Erweiterung von ON-Basen 160-162
03.11.23 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung und das Hurwitz-Kriterium 162-167
07.11.23 Orthogonale und selbstadjungierte Endomorphismen, Hauptachsentransform. 167-173
10.11.23 Wiederholung totale Differenzierbarkeit, UmkehrregelII. 68-70
14.11.23 Satz über die lokale Umkehrbarkeit, Definition implizit definierter Funktionen 70-75
17.11.23 Satz über implizit definierte Funktionen, Definition höherer totaler Ableitungen 75-82
21.11.23 Approximation durch höherdimensionale Taylor-Polynome 82-86
24.11.23 Kriterien für lokale Extrema mehrdimensionaler Funktionen 86-91
28.11.23 Untermannigfaltigkeiten und Extrema unter Nebenbedingungen 91-96
01.12.23 Die Unlösbarkeit des Maßproblems III. 1-6
05.12.23 Mengenhalbringe und -ringe, Inhalte 7-12
08.12.23 Inneres und äußeres Maß, c-Messbarkeit 12-17
12.12.23 Sigma-Additivität und Maßbegriff17-22
15.12.23 Der Fortsetzungssatz von Caratheodory22-26
19.12.23 Eindeutigkeitssatz und Vollständigkeit von Maßräumen 26-34
22.12.23 Regularität des Lebesgue-Maßes, messbare Funktionen 34-37
09.01.24 Elementare Eigenschaften messbarer Funktionen und Rechenregeln 37-41
12.01.24 Messbarkeit des punktweisen Limes, Integrale von Stufenfunktionen 41-45
16.01.24 Integration nichtnegativer messbarer Funktionen, integrierbare Funktionen 45-49
19.01.24 Rechenregeln für integrierbare Funktionen, Einschränkung und Nullfortsetzung 49-54
23.01.24 Nullmengen und fast überall existierende Eigenschaften, Satz von Beppo Levi 54-58
26.01.24 Satz von Lebesgue, Vertauschbarkeit der Integration mit Grenzprozessen 58-62
30.01.24 Lebesgue- und Riemann-Integral, Eindeutigkeit des Produktmaßes 62-68
02.02.24 Existenz des Produktmaßes, Cavalierisches Prinzip 68-72
06.02.24 Sätze von Tonelli und Fubini, Volumenberechnung durch Integration 72-77
09.02.24 Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes, Transformationssatz 78-89
Tafelanschrieb erste Globalübung: Minimalpolynome und Jordanbasen
Inhalt: Zu Beginn des Semesters vervollständigen wir zunäst die Lineare Algebra. Anschließend wird die mehr­di­men­sionale Differenzialrechnung, die im Sommersemester begonnen wurde, weiter fortgesetzt. In der zweite Häfte der Vorlesung werden wir uns mit der Maß- und Integrationstheorie beschäftigen. Im Einzelnen behandeln wir in der Vorlesung die folgenden Themen:
  • Jordansche Normalform
  • Darstellungsmatrix einer Bilinearform, Hurwitz-Kriterium
  • orthogonale und selbstadjungierte Endomorphismen
  • lokale Umkehrbarkeit und implizit definierte Funktionen
  • höhere Ableitungen, Taylor-Polynome und lokale Extrema
  • lokale Extrema unter Nebenbedingungen
  • Inhalte, Prämaße und Maße
  • Integrierbare Funktionen und Integralbegriff
  • Konvergenzsätze und parameterabhängige Integrale
  • Produktmaße, Cavalierisches Prinzip, und Satz von Fubini-Tonelli
  • Bildmaße und Transformationsformel
Literatur:
  • J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie. Springer-Verlag
  • H. Bauer, Maß- und Integrationstheorie. de Gruyter-Verlag
  • M. Brokate, G. Kerstring, Maß Integral. Birkhäser-Verlag
  • G. Fischer, Lineare Algebra. Vieweg-Verlag
  • O. Forster, Analysis 2, Vieweg-Verlag
  • H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Teubner-Verlag
  • K. Königsberger, Analysis 2, Springer-Verlag

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