• 22.04.24 Beispielaufgaben (Staatsex.) zu normalen und separablen Erweiterungen
• 06.05.24 Beispielaufgaben (Staatsex.) zum Rechnen mit den Elementen einer Galoisgruppe
                 (F18T3A5, H18T2A5(b), F14T2A2)

Der Hauptgegenstand des zweiten Vorlesungsteils ist die Galoistheorie, in der zwei Gebiete aus dem ersten Teil miteinander kombiniert werden, nämlich die Gruppen- und die Körpertheorie. In dieser Theorie werden bestimmte Körpererweiterungen L|K ausgezeichnet, denen man eine Gruppe Gal(L|K) zuordnet, die soge­nannte Galoisgruppe. Die zentrale Aussage lautet nun, dass die Zwischenkörper von L|K in einer natürlichen eins-zu-eins Korrespondenz zu den Untergruppen von Gal(L|K)stehen. Desweiteren lassen sich viele struktu­relle Eigenschaften der Zwischenkörper von L|K an der Galoisgruppe ablesen.

Nach der Definition der Galois-Erweiterungen und der Galoisgruppen und dem Beweis des Hauptsatzes der Galoistheorie studieren wir mit Hilfe dieser neuen Konzepte zunächst einige spezielle Typen von Körper­erweiterungen, unter anderem die sog. Kreisteilungskörper, die seit jeher in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielen. Im weiteren Verlauf betrachten wir dann konkrete Anwendungen der Galoistheorie. An erster Stelle steht hierbei die Lösung algebraischer Gleichungen, also die Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten „p-q-Formel“ für quadratische Gleichungen der Gestalt x² + px + q = 0, was Aussagen zur Nicht-Lösbarkeit solcher Gleichungen einschließt. Ein weiteres Thema ist die Anwendung der Galoistheorie auf die bereits aus der Antike bekannten geometrischen Konstruktionsprobleme wie etwa die (schon sprichwörtliche bekannte) „Quadratur des Kreises“ oder die Konstruktion regelmäßiger n-Ecke.