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Algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper bilden
die unverzichtbare Grundlage für jedes Teilgebiet der
Mathematik, angefangen beim Lösen elementarer zahlentheoretischer
Probleme oder algebraischer Gleichungen, über die
Klassifikation diskreter geometrischer Strukturen und topologischer
Räume bis hin zu fortgeschrittenen Bereichen wie der Algebraischen
Geometrie oder der Harmonischen Analysis. Auch in vielen Anwendungsgebieten,
in der Informatik beispielsweise in der Kryptographie und in der Theorie der
Programmiersprachen, innerhalb der Physik etwa in der Klassischen Mechanik,
der Quantenmechanik und der Elementarteilchenphysik, spielen sie eine wichtige
Rolle.
Nachdem wir zunächst einige grundlegende Konzepte behandeln, die sämtliche
algebraischen Strukturen gleichermaäßen betreffen, widmen wir anschließend
den Gruppen, den Ringen und den Körpern jeweils einen eigenen Vorlesungsteil. Den
krönenden Abschluss des Ganzen bildet die Galoistheorie, die zwei dieser Gebiete,
die Gruppen- und die Körpertheorie, miteinander verbindet. Im Einzelnen werden
in der Vorlesung folgende Themen behandelt.
- Definition der algebraischen Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper
- Homomorphismen, Unter- und Faktorstrukturen, Konstruktion von Erweiterungen
- zyklische und abelsche Gruppen
- (semi-)direkte Produkte und Auflösbarkeit
- Gruppenoperationen und Sylowsätze
- Kongruenzrechnung
- Teilbarkeit und eindeutige Primfaktorzerlegung
- endliche und algebraische Körpererweiterungen
- Fortsetzung von Körperhomomorphismen
- normale Körperweiterungen
- Theorie der endliche Körper
- Galoistheorie und Auflösbarkeit von Polynomgleichungen
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| Literatur: |
- M. Artin, Algebra. Birkhäuser Advanced Texts.
- J. Böhm, Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag.
- S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag.
- F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akad. Verlag.
- S. Müller-Stach, J. Piontkowski,
Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag.
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