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0 0]concat}if 72 Resolution div 72 VResolution div neg scale isls{
landplus90{VResolution 72 div vsize mul 0 exch}{Resolution -72 div hsize
mul 0}ifelse TR}if Resolution VResolution vsize -72 div 1 add mul TR[
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exch round exch]setmatrix}N/@landscape{/isls true N}B/@manualfeed{
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/BitMaps X/BuildChar{CharBuilder}N/Encoding IEn N end A{/foo setfont}2
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}B/Cx{128 Cd A length 3 sub get sub}B/Cy{Cd A length 2 sub get 127 sub}
B/Cdx{Cd A length 1 sub get}B/Ci{Cd A type/stringtype ne{ctr get/ctr ctr
1 add N}if}B/CharBuilder{save 3 1 roll S A/base get 2 index get S
/BitMaps get S get/Cd X pop/ctr 0 N Cdx 0 Cx Cy Ch sub Cx Cw add Cy
setcachedevice Cw Ch true[1 0 0 -1 -.1 Cx sub Cy .1 sub]{Ci}imagemask
restore}B/D{/cc X A type/stringtype ne{]}if nn/base get cc ctr put nn
/BitMaps get S ctr S sf 1 ne{A A length 1 sub A 2 index S get sf div put
}if put/ctr ctr 1 add N}B/I{cc 1 add D}B/bop{userdict/bop-hook known{
bop-hook}if/SI save N @rigin 0 0 moveto/V matrix currentmatrix A 1 get A
mul exch 0 get A mul add .99 lt{/QV}{/RV}ifelse load def pop pop}N/eop{
SI restore userdict/eop-hook known{eop-hook}if showpage}N/@start{
userdict/start-hook known{start-hook}if pop/VResolution X/Resolution X
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/Ry X/Rx X V}B statusdict begin/product where{pop false[(Display)(NeXT)
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exch getinterval eq{pop true exit}if}{pop}ifelse}forall}{false}ifelse
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exch itransform moveto Rx 0 rlineto 0 Ry neg rlineto Rx neg 0 rlineto
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delta add tail}B/b{S p tail}B/c{-4 M}B/d{-3 M}B/e{-2 M}B/f{-1 M}B/g{0 M}
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p -2 w}B/o{p -1 w}B/q{p 1 w}B/r{p 2 w}B/s{p 3 w}B/t{p 4 w}B/x{0 S
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25 1[42 42 42 42 42 42 42 42 2[25 30 25 2[34 34 14[45
10[73 49 47 51 11[{}71 83.022 /CMTI10 rf /Fq 128[48 4[42
1[50 1[50 53 37 38 39 1[53 48 53 80 27 50 1[27 53 48
29 44 53 42 53 46 6[58 2[99 72 73 1[53 5[91 57 1[49 36
1[75 60 63 73 69 68 72 7[48 48 48 48 48 48 48 48 48 48
1[27 32 27 2[37 37 14[50 12[53 12[{}56 83.022 /CMBX10
rf /Fr 133[39 41 47 59 40 48 30 39 37 37 42 1[50 73 25
43 34 29 48 40 41 39 43 36 36 44 6[57 1[69 78 48 57 49
51 63 1[53 1[67 81 57 71 46 36 1[65 53 61 69 59 63 62
2[65 42 65 23 23 18[54 4[39 1[54 52 2[36 47 1[47 36 41
50 48 1[29 1[41 36 34 37 43 47 53 1[51 55 5[63 69 1[{}75
83.022 /CMMI10 rf /Fs 128[56 4[50 59 59 81 59 62 44 44
46 1[62 56 62 93 31 59 34 31 62 56 34 51 62 50 62 54
6[68 3[85 86 1[62 84 1[77 84 88 106 67 88 1[42 88 88
1[74 86 81 80 85 8[56 56 56 56 56 56 56 56 2[31 37 31
2[44 44 14[57 10[93 2[65 11[{}61 99.6264 /CMBX12 rf /Ft
128[42 3[42 37 44 44 60 44 46 32 33 33 44 46 42 46 69
23 44 25 23 46 42 25 37 46 37 46 42 1[23 1[23 42 23 51
2[85 62 62 60 46 61 65 57 65 62 76 52 65 43 30 62 65
54 57 63 60 59 62 1[39 1[65 1[23 23 42 42 42 42 42 42
42 42 42 42 42 23 28 23 65 1[32 32 23 1[69 2[42 23 7[42
2[42 7[69 46 46 48 11[{}87 83.022 /CMR10 rf /Fu 128[67
4[60 71 1[97 1[75 52 53 55 2[67 75 112 37 71 1[37 75
67 1[61 75 60 1[65 10[102 8[128 5[106 1[88 12[67 67 67
67 6[37 46[{}29 119.552 /CMBX12 rf end
%%EndProlog
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%%Page: 140 1
TeXDict begin 140 0 bop eop end
%%Page: 141 2
TeXDict begin 141 1 bop 165 282 a Fu(5.)42 b(V)-11 b(ektorr)762
288 y(\177)763 282 y(aume)165 1279 y Ft(Die)42 b(lineare)e(Algebra)g
(ist)h(die)g(Theorie)f(der)h(V)-7 b(ektorr)1963 1283
y(\177)1963 1279 y(aume.)40 b(V)-7 b(ektoren)40 b(und)h(V)-7
b(ek-)165 1378 y(torr)305 1382 y(\177)305 1378 y(aume)35
b(treten)h(in)g(vielfac)n(her)e(Gestalt)i(und)h(in)f(vielen)f(An)n(w)n
(endungen)h(auf.)g(So-)165 1478 y(w)n(ohl)26 b(die)g(T)-7
b(ec)n(hnik,)27 b(als)e(auc)n(h)h(die)g(theoretisc)n(he)g(Ph)n(ysik)f
(k)n(ommen)g(ohne)h(den)h(Begri\013)165 1577 y(des)33
b(V)-7 b(ektorraumes)31 b(nic)n(h)n(t)i(aus.)f(In)h(An)n(w)n(endungen)g
(w)n(erden)f(h)2224 1581 y(\177)2224 1577 y(au\014g)g(V)-7
b(ektoren)33 b(v)n(er-)165 1677 y(w)n(endet,)38 b(um)h(die)f(Lage)e(v)n
(on)h(Punkten)h(in)g(der)g(Eb)r(ene,)g(im)g(Raum)g(o)r(der)f(sogar)f
(in)165 1777 y(h)211 1781 y(\177)211 1777 y(oher)41 b(dimensionalen)g
(R)1025 1781 y(\177)1025 1777 y(aumen)g(durc)n(h)g(ihre)g(Ko)r
(ordinaten)e(zu)j(b)r(esc)n(hreib)r(en.)f(Es)165 1876
y(gibt)32 b(jedo)r(c)n(h)g(auc)n(h)f(viele)h(andere)f(Beispiele)g(f)
1649 1880 y(\177)1647 1876 y(ur)h(V)-7 b(ektorr)2034
1880 y(\177)2034 1876 y(aume,)31 b(die)h(in)g(den)g(prakti-)165
1976 y(sc)n(hen)f(An)n(w)n(endungen)g(sehr)f(wic)n(h)n(tig)h(sind.)g
(Wir)g(nennen)h(hier)e(n)n(ur)h(einige)g(Gebiete,)165
2076 y(in)25 b(denen)h(die)f(V)-7 b(ektorr)904 2080 y(\177)904
2076 y(aume)23 b(als)h(zen)n(trales)g(Hilfsmittel)i(v)n(erw)n(endet)e
(w)n(erden:)g(lineare)165 2175 y(Gleic)n(h)n(ungssysteme,)c(Appro)n
(ximationstheorie,)f(Kryptographie,)g(Sto)r(c)n(hastik,)2765
2158 y(\177)2754 2175 y(Ok)n(o-)165 2275 y(nomie,)35
b(Spieltheorie,)f(Computer)h(Graphik,)f(Statik,)h(Genetik,)g(Computer)f
(T)-7 b(omo-)165 2374 y(graphie,)24 b(elektrisc)n(he)g(Netzw)n(erk)n
(e.)g(Der)h(Begri\013)f(des)h(V)-7 b(ektorraumes)24 b(greift)g(also)g
(w)n(eit)168 2478 y(\177)165 2474 y(ub)r(er)29 b(die)g(Mathematik)g
(hinaus,)f(ist)h(ab)r(er)f(auc)n(h)h(grundlegend)e(f)2253
2478 y(\177)2251 2474 y(ur)i(den)g(Aufbau)h(der)165 2574
y(gesam)n(ten)d(w)n(eiteren)g(Mathematik.)165 2888 y
Fs(5.1)42 b(Grundb)s(egri\013e,)d(Un)m(terv)m(ektorr)1748
2893 y(\177)1749 2888 y(aume)165 3081 y Ft(Wir)31 b(de\014nieren)f(in)g
(diesem)g(Absc)n(hnitt)h(den)g(f)1665 3085 y(\177)1663
3081 y(ur)f(uns)g(zen)n(tralen)g(Begri\013)f(eines)h(V)-7
b(ek-)165 3181 y(torraumes.)25 b(Wir)h(w)n(erden)f(eine)h(sehr)g
(allgemeine)f(De\014nition)i(geb)r(en.)f(Die)h(De\014nition)165
3280 y(b)r(ezieh)n(t)h(sic)n(h)g(dab)r(ei)f(auf)h(einen)g(als)f(fest)h
(v)n(orausgesetzten)d(K)2138 3284 y(\177)2138 3280 y(orp)r(er)h
Fr(K)6 b Ft(.)165 3439 y Fq(De\014nition)31 b(5.1.1)40
b Ft(Sei)29 b Fr(K)35 b Ft(im)30 b(folgenden)f(ein)h(fest)f(gew)2016
3443 y(\177)2016 3439 y(ahlter)g(K)2323 3443 y(\177)2323
3439 y(orp)r(er.)e(Seine)j(Ele-)165 3539 y(men)n(te)40
b(w)n(erden)f(auc)n(h)g Fp(Skalar)l(e)47 b Ft(genann)n(t.)39
b(Eine)g(Menge)g Fr(V)59 b Ft(zusammen)39 b(mit)i(einer)165
3638 y(Addition)1024 3738 y Fr(V)c Fo(\002)18 b Fr(V)42
b Fo(3)23 b Ft(\()p Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))25 b Fo(7!)e
Fr(v)f Ft(+)c Fr(w)25 b Fo(2)f Fr(V)165 3880 y Ft(und)k(einer)g
(Multiplik)-5 b(ation)28 b(mit)g(Sk)-5 b(alaren)27 b(aus)g
Fr(K)1048 4050 y(K)d Fo(\002)18 b Fr(V)42 b Fo(3)23 b
Ft(\()p Fr(\013;)14 b(v)s Ft(\))24 b Fo(7!)g Fr(\013)18
b Fo(\001)h Fr(v)26 b Fo(2)e Fr(V)165 4220 y Ft(hei\031t)29
b(ein)h Fp(V)-6 b(ektorr)l(aum)35 b Ft(\()1002 4224 y(\177)1000
4220 y(ub)r(er)29 b(dem)h(K)1440 4224 y(\177)1440 4220
y(orp)r(er)d Fr(K)6 b Ft(,)29 b(auc)n(h)g Fr(K)6 b Ft(-V)-7
b(ektorraum\),)27 b(w)n(enn)i(die)165 4320 y(folgenden)f(Gesetze)f(erf)
939 4324 y(\177)937 4320 y(ullt)h(sind:)207 4465 y(1.)41
b(\()p Fr(V)5 b(;)14 b Ft(+\))28 b(ist)f(eine)h(ab)r(elsc)n(he)f(Grupp)
r(e,)207 4564 y(2.)41 b Fo(8)p Fr(\013;)14 b(\014)28
b Fo(2)23 b Fr(K)q(;)14 b(v)26 b Fo(2)e Fr(V)18 b Ft([)p
Fr(\013)e Fo(\001)f Ft(\()p Fr(\014)k Fo(\001)c Fr(v)s
Ft(\))24 b(=)e(\()p Fr(\013)16 b Fo(\001)f Fr(\014)t
Ft(\))g Fo(\001)g Fr(v)s Ft(])26 b(\(Assoziativgesetz)e(der)i
(Multiplik)-5 b(a-)313 4664 y(tion\),)p eop end
%%Page: 142 3
TeXDict begin 142 2 bop 165 100 a Fn(142)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)207 282
y Ft(3.)41 b Fo(8)p Fr(\013)24 b Fo(2)f Fr(K)q(;)14 b(v)s(;)g(w)26
b Fo(2)d Fr(V)c Ft([)p Fr(\013)g Fo(\001)f Ft(\()p Fr(v)k
Ft(+)c Fr(w)r Ft(\))24 b(=)f Fr(\013)c Fo(\001)f Fr(v)k
Ft(+)c Fr(\013)h Fo(\001)f Fr(w)r Ft(])29 b(\(1.)e
(Distributivgesetz\),)207 382 y(4.)41 b Fo(8)p Fr(\013;)14
b(\014)28 b Fo(2)23 b Fr(K)q(;)14 b(v)26 b Fo(2)e Fr(V)18
b Ft([\()p Fr(\013)i Ft(+)e Fr(\014)t Ft(\))h Fo(\001)f
Fr(v)27 b Ft(=)22 b Fr(\013)d Fo(\001)g Fr(v)i Ft(+)d
Fr(\014)23 b Fo(\001)c Fr(v)31 b Ft(\(2.)c(Distributivgesetz\),)207
482 y(5.)41 b(f)340 486 y(\177)338 482 y(ur)28 b(1)f(in)h
Fr(K)33 b Ft(gilt)27 b Fo(8)p Fr(v)g Fo(2)c Fr(V)c Ft([1)f
Fo(\001)h Fr(v)26 b Ft(=)d Fr(v)s Ft(])k(\(Gesetz)h(v)n(on)f(der)g
(Eins\).)290 621 y(Die)h(Elemen)n(te)f(eines)h(V)-7 b(ektorraumes)26
b Fr(V)47 b Ft(w)n(erden)27 b Fp(V)-6 b(ektor)l(en)34
b Ft(genann)n(t.)27 b(Das)g(neu-)165 721 y(trale)h(Elemen)n(t)g(der)g
(Grupp)r(e)g(\()p Fr(V)5 b(;)14 b Ft(+\))29 b(wird)f(mit)h(0)23
b Fo(2)i Fr(V)47 b Ft(b)r(ezeic)n(hnet)29 b(und)f(hei\031t)g
Fp(Nul)t(l-)165 820 y(vektor)p Ft(.)i(Wir)e(w)n(erden)g(in)h(Zukunft)g
(grunds)1554 824 y(\177)1554 820 y(atzlic)n(h)f(den)g(Multiplik)-5
b(ationspunkt)30 b(fort-)165 920 y(lassen)d(und)h(sc)n(hreib)r(en)f
Fr(\013v)g Ft(:=)c Fr(\013)18 b Fo(\001)h Fr(v)s Ft(.)165
1071 y Fq(Beispiele)30 b(5.1.2)81 b Ft(1.)41 b(O\013en)n(bar)33
b(ist)g(der)h(K)1636 1075 y(\177)1636 1071 y(orp)r(er)e
Fr(K)39 b Ft(selbst)33 b(mit)i(seiner)e(Addition)313
1171 y(und)28 b(Multiplik)-5 b(ation)28 b(ein)g(V)-7
b(ektorraum.)207 1271 y(2.)41 b(Der)29 b(V)-7 b(ektorraum)27
b(0,)h(genann)n(t)g(der)h Fp(Nul)t(lvektorr)l(aum)p Ft(,)g(der)f(n)n
(ur)g(aus)g(einem)h(Ele-)313 1370 y(men)n(t)e(b)r(esteh)n(t,)g(ist)g
(ein)g(V)-7 b(ektorraum,)26 b(denn)h(die)g(Addition)g(und)h(Multiplik)
-5 b(ation)313 1470 y(sind)30 b(v)n(ollst)686 1474 y(\177)686
1470 y(andig)e(festgelegt)h(und)h(erf)1547 1474 y(\177)1545
1470 y(ullen)g(trivialerw)n(eise)e(die)h(V)-7 b(ektorraumge-)313
1570 y(setze.)207 1669 y(3.)41 b(Als)25 b(n)502 1673
y(\177)502 1669 y(ac)n(hstes)e(Beispiel)h(b)r(etrac)n(h)n(ten)g(wir)g
(die)1769 1718 y(")1807 1669 y(reelle)g(Eb)r(ene)-6 b(\\)6
b(.)24 b(Die)h(Menge)f Fr(V)43 b Ft(sei)313 1769 y(dab)r(ei)25
b(die)g(Menge)g(der)f(P)n(aare)f(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))26 b(v)n(on)e(reellen)g(Zahlen,)h(also)f Fm(R)13
b Fo(\002)g Fm(R)24 b Ft(o)r(der)h Fm(R)2869 1739 y Fl(2)2906
1769 y Ft(.)313 1868 y(Jeden)j(Punkt)g(der)f(Eb)r(ene)h(k)-5
b(ann)28 b(man)g(eindeutig)g(festlegen)g(durc)n(h)f(die)h(Angab)r(e)313
1968 y(seiner)33 b Fr(x)p Ft(-Ko)r(ordinate)f(und)i(seiner)e
Fr(y)s Ft(-Ko)r(ordinate.)g(Die)h(Addition)h(in)g Fr(V)52
b Ft(=)32 b Fm(R)2892 1938 y Fl(2)313 2068 y Ft(sei)25
b(de\014niert)h(durc)n(h)g(die)g(k)n(omp)r(onen)n(ten)n(w)n(eise)e
(Addition)i(der)f(P)n(aare,)f(also)h(durc)n(h)1046 2226
y(\()p Fr(\013;)14 b(\014)t Ft(\))19 b(+)g(\()p Fr(\015)5
b(;)14 b(\016)s Ft(\))23 b(:=)f(\()p Fr(\013)e Ft(+)e
Fr(\015)5 b(;)14 b(\014)22 b Ft(+)c Fr(\016)s Ft(\))p
Fr(:)313 2384 y Ft(Die)25 b(Multiplik)-5 b(ation)25 b(mit)f(Sk)-5
b(alaren)24 b(aus)f(dem)i(K)1868 2388 y(\177)1868 2384
y(orp)r(er)e Fm(R)h Ft(der)g(reellen)g(Zahlen)f(sei)313
2484 y(die)h(k)n(omp)r(onen)n(ten)n(w)n(eise)e(Multiplik)-5
b(ation)24 b(eines)f(P)n(aares)e(mit)j(einer)g(reellen)f(Zahl,)313
2583 y(also)1262 2683 y Fr(\013)p Ft(\()p Fr(\014)t(;)14
b(\015)5 b Ft(\))24 b(:=)f(\()p Fr(\013\014)t(;)14 b(\013\015)5
b Ft(\))p Fr(:)313 2818 y Ft(W)-7 b(eil)38 b(wir)f(dann)h(in)g(jeder)g
(Komp)r(onen)n(te)f(einzeln)h(rec)n(hnen,)f(ergeb)r(en)g(sic)n(h)g(die)
313 2917 y(V)-7 b(ektorraumgesetze)25 b(unmittelbar)j(aus)f(den)h(K)
1853 2921 y(\177)1853 2917 y(orp)r(ergesetzen)e(v)n(on)g
Fm(R)p Ft(.)207 3017 y(4.)41 b(Ein)29 b(w)n(eiteres)e(Beispiel)i(ist)g
(die)g(Menge)g Fr(V)44 b Ft(:=)24 b Fm(R)1878 2987 y
Fk(n)1952 3017 y Ft(der)29 b Fr(n)p Ft(-T)-7 b(up)r(el)29
b(reeller)f(Zahlen.)313 3117 y(Die)d(Addition)g(auf)g
Fr(V)43 b Ft(de\014nieren)25 b(wir)f(wie)h(b)r(ei)g(den)f(P)n(aaren)f
(k)n(omp)r(onen)n(ten)n(w)n(eise)697 3275 y(\()p Fr(\030)765
3287 y Fl(1)803 3275 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\030)1023
3287 y Fk(n)1069 3275 y Ft(\))k(+)g(\()p Fr(\021)1275
3287 y Fl(1)1313 3275 y Fr(;)c(:)g(:)g(:)g(;)g(\021)1539
3287 y Fk(n)1584 3275 y Ft(\))23 b(:=)g(\()p Fr(\030)1818
3287 y Fl(1)1874 3275 y Ft(+)c Fr(\021)1999 3287 y Fl(1)2036
3275 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\030)2257 3287 y Fk(n)2320
3275 y Ft(+)k Fr(\021)2444 3287 y Fk(n)2490 3275 y Ft(\))p
Fr(:)313 3433 y Ft(Eb)r(enso)23 b(de\014nieren)g(wir)g(die)g(Multiplik)
-5 b(ation)24 b(mit)g(Sk)-5 b(alaren)23 b(k)n(omp)r(onen)n(ten)n(w)n
(eise)1058 3591 y Fr(\013)p Ft(\()p Fr(\030)1179 3603
y Fl(1)1218 3591 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\030)1438
3603 y Fk(n)1484 3591 y Ft(\))23 b(:=)g(\()p Fr(\013\030)1771
3603 y Fl(1)1809 3591 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\013\030)2083
3603 y Fk(n)2128 3591 y Ft(\))p Fr(:)313 3750 y Ft(Damit)30
b(lassen)e(sic)n(h)h(die)h(Axiome)f(f)1449 3754 y(\177)1447
3750 y(ur)h(einen)f(V)-7 b(ektorraum)28 b(leic)n(h)n(t)h(nac)n(hrec)n
(hnen.)313 3849 y(Wir)f(w)n(ollen)f(hier)g(auf)g(die)h(Rec)n(hn)n(ung)f
(v)n(erzic)n(h)n(ten.)207 3949 y(5.)41 b(Ein)30 b(f)496
3953 y(\177)494 3949 y(unftes)i(Beispiel)e(f)1083 3953
y(\177)1081 3949 y(ur)h(einen)g(V)-7 b(ektorraum)30 b(ist)g(die)h
(Menge)f(der)h(Quadrup)r(el)313 4048 y(\()p Fr(\030)381
4060 y Fl(1)419 4048 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\030)639
4060 y Fl(4)677 4048 y Ft(\))28 b(mit)g Fr(\030)925 4060
y Fl(1)981 4048 y Ft(+)18 b Fr(\030)1100 4060 y Fl(2)1156
4048 y Ft(+)g Fr(\030)1275 4060 y Fl(3)1331 4048 y Ft(+)g
Fr(\030)1450 4060 y Fl(4)1511 4048 y Ft(=)k(0,)28 b(also)544
4207 y Fr(V)42 b Ft(:=)23 b Fo(f)p Ft(\()p Fr(\030)855
4219 y Fl(1)892 4207 y Fr(;)14 b(\030)965 4219 y Fl(2)1003
4207 y Fr(;)g(\030)1076 4219 y Fl(3)1113 4207 y Fr(;)g(\030)1186
4219 y Fl(4)1224 4207 y Ft(\))p Fo(j)p Fr(\030)1315 4219
y Fl(1)1353 4207 y Fr(;)g(\030)1426 4219 y Fl(2)1463
4207 y Fr(;)g(\030)1536 4219 y Fl(3)1574 4207 y Fr(;)g(\030)1647
4219 y Fl(4)1707 4207 y Fo(2)23 b Fm(R)p Fr(;)14 b(\030)1918
4219 y Fl(1)1974 4207 y Ft(+)k Fr(\030)2093 4219 y Fl(2)2149
4207 y Ft(+)g Fr(\030)2268 4219 y Fl(3)2324 4207 y Ft(+)g
Fr(\030)2443 4219 y Fl(4)2504 4207 y Ft(=)23 b(0)p Fo(g)p
Fr(:)313 4365 y Ft(Auc)n(h)28 b(diese)g(Menge)f(bildet)h(einen)g(V)-7
b(ektorraum)27 b(mit)h(k)n(omp)r(onen)n(ten)n(w)n(eiser)e(Ad-)313
4465 y(dition)h(und)g(Multiplik)-5 b(ation.)27 b(Diesen)f(V)-7
b(ektorraum,)26 b(ob)n(w)n(ohl)f(er)2406 4513 y(")2444
4465 y(dreidimensio-)313 4564 y(nal)-6 b(\\)27 b(ist,)22
b(k)664 4568 y(\177)664 4564 y(onnen)g(wir)f(uns)h(sc)n(hlec)n(h)n(t)f
(v)n(orstellen.)g(Er)g(ist)h(jedo)r(c)n(h)g(t)n(ypisc)n(h)f(f)2666
4568 y(\177)2664 4564 y(ur)h(viele)313 4664 y(auf)28
b(diese)f(W)-7 b(eise)28 b(k)n(onstruierte)e(V)-7 b(ektorr)1631
4668 y(\177)1631 4664 y(aume.)p eop end
%%Page: 143 4
TeXDict begin 143 3 bop 1397 100 a Fn(5.1)43 b(Grundb)r(egri\013e,)26
b(Un)n(terv)n(ektorr)2485 103 y(\177)2485 100 y(aume)150
b(143)207 282 y Ft(6.)41 b(W)-7 b(enn)29 b Fr(L)f Ft(ein)g(K)833
286 y(\177)833 282 y(orp)r(er)f(ist)h(und)h(den)g(K)1559
286 y(\177)1559 282 y(orp)r(er)d Fr(K)k Fo(\032)24 b
Fr(L)k Ft(als)f(Un)n(terk)2430 286 y(\177)2430 282 y(orp)r(er)g(en)n
(th)2809 286 y(\177)2809 282 y(alt,)313 382 y(dann)20
b(ist)g Fr(L)g Ft(mit)g(der)g(Addition)g(eine)g(ab)r(elsc)n(he)g(Grupp)
r(e.)g(Die)g(Multiplik)-5 b(ation)21 b(v)n(on)313 482
y(Elemen)n(ten)26 b(aus)f Fr(L)h Ft(mit)g(Elemen)n(ten)g(aus)f
Fr(K)32 b Ft(erf)1854 486 y(\177)1852 482 y(ullt)26 b(o\013en)n(bar)f
(alle)h(V)-7 b(ektorraum-)313 581 y(gesetze.)35 b(Also)g(ist)h
Fr(L)f Ft(ein)h(V)-7 b(ektorraum)1649 585 y(\177)1647
581 y(ub)r(er)36 b(dem)g(K)2100 585 y(\177)2100 581 y(orp)r(er)e
Fr(K)6 b Ft(.)35 b(Insb)r(esondere)313 681 y(ist)d Fm(R)f
Ft(ein)h(V)-7 b(ektorraum)1128 685 y(\177)1125 681 y(ub)r(er)32
b Fm(Q)p Ft(,)f(w)n(eiter)g(ist)h Fm(C)f Ft(ein)h(V)-7
b(ektorraum)2506 685 y(\177)2504 681 y(ub)r(er)31 b Fm(R)h
Ft(und)313 780 y(sc)n(hlie\031lic)n(h)26 b(ist)i(auc)n(h)f
Fm(C)h Ft(ein)g(V)-7 b(ektorraum)1700 784 y(\177)1698
780 y(ub)r(er)28 b Fm(Q)p Ft(.)290 933 y(Wir)c(k)n(ommen)f(zu)g(einer)h
(allgemeinen)f(Metho)r(de,)h(neue)g(V)-7 b(ektorr)2368
937 y(\177)2368 933 y(aume)22 b(aus)h(sc)n(hon)165 1033
y(v)n(orhandenen)j(zu)i(k)n(onstruieren.)165 1185 y Fq(Lemma)k(5.1.3)40
b Fp(Sei)31 b Fr(V)41 b Fp(ein)23 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)22
b(und)31 b Fr(I)e Fp(eine)23 b(Menge.)h(Dann)d(ist)i(die)g(Menge)165
1285 y(der)30 b(A)n(bbildungen)35 b Ft(Abb\()p Fr(I)7
b(;)14 b(V)19 b Ft(\))24 b(=)1260 1223 y Fj(Q)1339 1310
y Fk(I)1391 1285 y Fr(V)42 b Ft(=)22 b Fr(V)1635 1255
y Fk(I)1702 1285 y Fp(mit)28 b(komp)l(onentenweisen)i(Op)l(er)l(atio-)
165 1384 y(nen)g(ein)g(V)-6 b(ektorr)l(aum.)165 1536
y(Beweis.)44 b Ft(Wie)31 b(b)r(ei)h(den)f(Grupp)r(en)h(in)f(Kapitel)g
(3)f(de\014nieren)h(wir)g(die)g(Addition)h(v)n(on)165
1636 y(F)-7 b(amilien)25 b(durc)n(h)g(\()p Fr(v)803 1648
y Fk(i)831 1636 y Ft(\))13 b(+)g(\()p Fr(w)1045 1648
y Fk(i)1073 1636 y Ft(\))23 b(:=)g(\()p Fr(v)1311 1648
y Fk(i)1352 1636 y Ft(+)13 b Fr(w)1489 1648 y Fk(i)1516
1636 y Ft(\).)26 b(Die)f(Multiplik)-5 b(ation)25 b(mit)h(Sk)-5
b(alaren)23 b(wird)165 1736 y(durc)n(h)34 b Fr(\013)p
Ft(\()p Fr(v)530 1748 y Fk(i)558 1736 y Ft(\))g(:=)f(\()p
Fr(\013v)870 1748 y Fk(i)899 1736 y Ft(\))h(de\014niert.)g(Da)g(die)g
(V)-7 b(ektorraumgesetze)32 b(in)i(jeder)g(Komp)r(o-)165
1835 y(nen)n(te)28 b(einzeln)g(erf)763 1839 y(\177)761
1835 y(ullt)g(sind,)g(sind)f(sie)h(auc)n(h)f(f)1631 1839
y(\177)1629 1835 y(ur)g(die)h(F)-7 b(amilien)28 b(erf)2304
1839 y(\177)2302 1835 y(ullt.)165 1987 y Fq(Beispiele)i(5.1.4)81
b Ft(1.)41 b(\(Hauptb)r(eispiel)j(f)1553 1991 y(\177)1551
1987 y(ur)g(V)-7 b(ektorr)1950 1991 y(\177)1950 1987
y(aume\):)42 b(Da)i Fr(K)49 b Ft(ein)43 b(V)-7 b(ektor-)313
2087 y(raum)25 b(ist,)i(ist)f(auc)n(h)f Fr(K)1051 2057
y Fk(I)1115 2087 y Ft(nac)n(h)g(Lemma)h(5.1.3)e(ein)i(V)-7
b(ektorraum)25 b(f)2417 2091 y(\177)2415 2087 y(ur)h(jede)h(Menge)313
2186 y Fr(I)7 b Ft(.)207 2286 y(2.)41 b(Wir)29 b(de\014nieren)h(den)g
(V)-7 b(ektorraum)28 b Fr(K)1561 2256 y Fk(n)1635 2286
y Ft(als)h Fr(K)1839 2256 y Fk(I)1906 2286 y Ft(mit)h
Fr(I)k Ft(=)25 b Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
Fo(g)p Ft(.)29 b(Die)h(Ele-)313 2386 y(men)n(te)39 b(sind)g(n-T)-7
b(up)r(el)40 b(\()p Fr(\013)1164 2398 y Fl(1)1202 2386
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)1439 2398 y Fk(n)1484
2386 y Ft(\))40 b(mit)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)e(aus)h
Fr(K)6 b Ft(.)39 b(Sie)g(w)n(erden)313 2485 y(auc)n(h)32
b Fp(Zeilenvektor)l(en)41 b Ft(der)33 b(L)1276 2489 y(\177)1276
2485 y(ange)f Fr(n)h Ft(genann)n(t.)f(Die)i(zuv)n(or)e(angegeb)r(enen)g
(Bei-)313 2585 y(spiele)27 b(2.)h(und)g(3.)f(fallen)h(un)n(ter)f(diese)
g(Konstruktion.)207 2684 y(3.)41 b(Der)19 b(V)-7 b(ektorraum)18
b Fr(K)987 2696 y Fk(n)1050 2684 y Ft(soll)h(eb)r(enfalls)g(als)f
Fr(K)1716 2654 y Fk(I)1773 2684 y Ft(de\014niert)h(sein)g(mit)h
Fr(I)30 b Ft(=)22 b Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
Fo(g)p Ft(.)313 2784 y(Seine)28 b(Elemen)n(te)f(sollen)g(jedo)r(c)n(h)h
(als)f Fp(Sp)l(altenvektor)l(en)1485 2887 y Fj(0)1485
3037 y(@)1576 2931 y Fr(\013)1629 2943 y Fl(1)1610 3011
y Ft(.)1610 3044 y(.)1610 3077 y(.)1572 3177 y Fr(\013)1625
3189 y Fk(n)1684 2887 y Fj(1)1684 3037 y(A)313 3324 y
Ft(gesc)n(hrieb)r(en)f(w)n(erden.)207 3424 y(4.)41 b(Der)46
b(V)-7 b(ektorraum)45 b Fr(K)1047 3393 y Fk(n)1041 3444
y(m)1157 3424 y Ft(=)54 b Fr(K)1353 3393 y Fk(m)p Fi(\002)p
Fk(n)1554 3424 y Ft(wird)46 b(als)f Fr(K)1982 3393 y
Fk(I)2066 3424 y Ft(mit)i Fr(I)60 b Ft(=)54 b Fo(f)p
Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)p Fo(g)30 b(\002)313
3523 y(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Fo(g)26
b Ft(de\014niert.)i(Wir)g(sc)n(hreib)r(en)f(jeden)h(V)-7
b(ektor)27 b(als)f(rec)n(h)n(tec)n(kiges)g(Sc)n(hema)1250
3631 y Fj(0)1250 3780 y(@)1349 3675 y Fr(\013)1402 3687
y Fl(11)1569 3675 y Fr(:)14 b(:)g(:)95 b(\013)1814 3687
y Fl(1)p Fk(n)1399 3754 y Ft(.)1399 3788 y(.)1399 3821
y(.)1816 3754 y(.)1816 3788 y(.)1816 3821 y(.)1336 3920
y Fr(\013)1389 3932 y Fk(m)p Fl(1)1569 3920 y Fr(:)14
b(:)g(:)83 b(\013)1802 3932 y Fk(mn)1920 3631 y Fj(1)1920
3780 y(A)313 4072 y Ft(und)28 b(nennen)g(einen)f(solc)n(hen)g(V)-7
b(ektor)27 b(eine)g Fr(m)18 b Fo(\002)g Fr(n)p Ft(-)p
Fp(Matrix)38 b Ft(\(Plural:)26 b(Matrizen\).)313 4172
y(Die)32 b(Zeilen)n(v)n(ektoren)e(der)h(F)-7 b(orm)32
b(\()p Fr(\013)1481 4184 y Fk(i)p Fl(1)1542 4172 y Fr(;)14
b(:::;)g(\013)1738 4184 y Fk(in)1807 4172 y Ft(\))32
b(hei\031en)f(dab)r(ei)h(die)g Fr(i)p Ft(-ten)f Fp(Zeilen)313
4272 y Ft(der)c(Matrix,)g(die)h(Spalten)n(v)n(ektoren)e(der)h(F)-7
b(orm)1470 4360 y Fj(0)1470 4506 y(B)1470 4559 y(@)1560
4423 y Fr(\013)1613 4435 y Fl(1)p Fk(j)1610 4514 y Ft(.)1610
4547 y(.)1610 4580 y(.)1556 4680 y Fr(\013)1609 4692
y Fk(nj)1699 4360 y Fj(1)1699 4506 y(C)1699 4559 y(A)p
eop end
%%Page: 144 5
TeXDict begin 144 4 bop 165 100 a Fn(144)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)313 282
y Ft(hei\031en)30 b(die)h Fr(j)5 b Ft(-ten)30 b Fp(Sp)l(alten)37
b Ft(der)30 b(Matrix.)g Fr(m)g Ft(hei\031t)g(die)h Fp(Zeilenzahl)p
Ft(,)h Fr(n)e Ft(die)h Fp(Sp)l(al-)313 382 y(tenzahl)p
Ft(.)g(Insb)r(esondere)e(k)1160 386 y(\177)1160 382 y(onnen)g(Matrizen)
h(gleic)n(her)e(Zeilen-)i(und)g(Spaltenzahl)313 482 y(addiert)d(w)n
(erden)g(und)h(mit)g(Sk)-5 b(alaren)27 b(m)n(ultipliziert)h(w)n(erden.)
207 581 y(5.)41 b(Die)35 b(F)-7 b(olgen)33 b(reeller)g(Zahlen)h
Fm(R)1336 551 y Fh(N)1428 581 y Ft(bilden)h(b)r(ei)f(k)n(omp)r(onen)n
(ten)n(w)n(eiser)e(Op)r(eration)313 681 y(einen)37 b(V)-7
b(ektorraum)1011 685 y(\177)1008 681 y(ub)r(er)38 b(den)f(reellen)g
(Zahlen)g(\(kurz)g(einen)g(reellen)g(V)-7 b(ektor-)313
780 y(raum\),)27 b(den)h Fp(F)-6 b(olgenr)l(aum)p Ft(.)207
880 y(6.)41 b(Die)31 b(reellen)e(F)-7 b(unktionen)31
b(Abb\()p Fm(R)p Fr(;)14 b Fm(R)p Ft(\))31 b(bilden)g(einen)f(reellen)g
(V)-7 b(ektorraum,)29 b(den)313 980 y Fp(F)-6 b(unktionenr)l(aum)p
Ft(,)35 b(w)n(enn)h(man)g(Addition)g(und)h(Multiplik)-5
b(ation)37 b(mit)f(Sk)-5 b(alaren)313 1079 y(auf)29 b(den)g(W)-7
b(erten)29 b(der)f(F)-7 b(unktionen)29 b(de\014niert:)g(\()p
Fr(f)f Ft(+)19 b Fr(g)s Ft(\)\()p Fr(\013)p Ft(\))25
b(=)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))20 b(+)e Fr(g)s
Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))30 b(und)313 1179 y(\()p Fr(\013f)9
b Ft(\)\()p Fr(\014)t Ft(\))24 b(=)f Fr(\013f)9 b Ft(\()p
Fr(\014)t Ft(\).)165 1345 y Fq(Lemma)32 b(5.1.5)40 b
Fp(\(R)l(e)l(chengesetze)29 b(in)g(V)-6 b(ektorr)1681
1349 y(\177)1682 1345 y(aumen\))29 b(Sei)38 b Fr(V)48
b Fp(ein)36 b Fr(K)6 b Fp(-V)-6 b(ektorr)l(aum.)165 1444
y(Dann)25 b(gelten)f(f)648 1448 y(\177)648 1444 y(ur)h(Elemente)31
b Fr(\013;)14 b(\014)28 b Fo(2)23 b Fr(K)q(;)14 b(v)s(;)g(w)r(;)g
Fo(2)24 b Fr(V)44 b Fp(und)24 b(f)2002 1448 y(\177)2002
1444 y(ur)h(die)h(Elemente)31 b Ft(0)2645 1456 y Fk(K)2708
1444 y Fr(;)14 b Ft(1)2787 1456 y Fk(K)2874 1444 y Fo(2)165
1544 y Fr(K)36 b Fp(und)h Ft(0)485 1556 y Fk(V)566 1544
y Fo(2)23 b Fr(V)c Fp(:)204 1693 y(1.)42 b Ft(0)355 1705
y Fk(K)418 1693 y Fr(v)27 b Ft(=)22 b(0)614 1705 y Fk(V)695
1693 y Ft(=)g Fr(\013)p Ft(0)877 1705 y Fk(V)935 1693
y Fp(,)204 1793 y(2.)42 b Ft(\()p Fo(\000)p Fr(\013)p
Ft(\))p Fr(v)27 b Ft(=)22 b Fo(\000)p Ft(\()p Fr(\013v)s
Ft(\))i(=)f Fr(\013)p Ft(\()p Fo(\000)p Fr(v)s Ft(\))p
Fp(,)204 1892 y(3.)42 b Fr(\013v)27 b Ft(=)22 b(0)562
1904 y Fk(V)643 1892 y Ft(=)-15 b Fo(\))23 b Fr(\013)h
Ft(=)e(0)1005 1904 y Fk(K)1087 1892 y Fo(_)d Fr(v)26
b Ft(=)d(0)1357 1904 y Fk(V)1414 1892 y Fp(.)165 2066
y(Beweis.)44 b Ft(1.)25 b(Wir)h(b)r(ezeic)n(hnen)f(die)h(Null)g(in)g
Fr(K)31 b Ft(und)26 b(in)g Fr(V)45 b Ft(mit)26 b(demselb)r(en)g(Sym)n
(b)r(ol)g(0.)165 2166 y(Aus)j(0)p Fr(v)e Ft(=)d(\(0)19
b(+)f(0\))p Fr(v)28 b Ft(=)c(0)p Fr(v)d Ft(+)e(0)p Fr(v)31
b Ft(erhalten)d(wir)g(durc)n(h)g(K)2009 2170 y(\177)2007
2166 y(urzen)g(0)c(=)f(0)p Fr(v)s Ft(.)29 b(Analog)e(gilt)165
2266 y Fr(\013)p Ft(0)c(=)g Fr(\013)p Ft(\(0)c(+)f(0\))23
b(=)f Fr(\013)p Ft(0)d(+)f Fr(\013)p Ft(0.)290 2365 y(2.)29
b(Wir)h(w)n(eisen)g(nac)n(h,)f(da\031)g(\()p Fo(\000)p
Fr(\013)p Ft(\))p Fr(v)34 b Ft(das)c(in)n(v)n(erse)e(Elemen)n(t)i(b)r
(ei)g(der)g(Addition)g(zu)165 2465 y Fr(\013v)42 b Ft(ist.)c(Es)f(ist)h
(n)748 2469 y(\177)748 2465 y(amlic)n(h)f Fr(\013v)29
b Ft(+)c(\()p Fo(\000)p Fr(\013)p Ft(\))p Fr(v)44 b Ft(=)c(\()p
Fr(\013)26 b Ft(+)e(\()p Fo(\000)p Fr(\013)p Ft(\)\))p
Fr(v)45 b Ft(=)39 b(0)p Fr(v)k Ft(=)d(0.)d(Eb)r(enso)g(ist)165
2564 y Fr(\013v)22 b Ft(+)c Fr(\013)p Ft(\()p Fo(\000)p
Fr(v)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\013)p Ft(\()p Fr(v)f Ft(+)c(\()p
Fo(\000)p Fr(v)s Ft(\)\))24 b(=)f Fr(\013)p Ft(0)g(=)f(0.)290
2664 y(3.)35 b(W)-7 b(enn)35 b Fr(\013)i Ft(=)e(0)g(gilt,)g(brauc)n
(hen)f(wir)h(nic)n(h)n(ts)g(zu)g(zeigen.)g(W)-7 b(enn)35
b Fr(\013v)40 b Ft(=)35 b(0)g(und)165 2764 y Fr(\013)g
Fo(6)p Ft(=)f(0)g(ist,)h(dann)f(gibt)h(es)f(ein)g(In)n(v)n(erses)f
Fr(\013)1585 2734 y Fi(\000)p Fl(1)1675 2764 y Ft(,)h(und)h(es)f(ist)h
Fr(v)i Ft(=)d(1)p Fr(v)j Ft(=)d(\()p Fr(\013)2611 2734
y Fi(\000)p Fl(1)2701 2764 y Fr(\013)p Ft(\))p Fr(v)39
b Ft(=)165 2863 y Fr(\013)218 2833 y Fi(\000)p Fl(1)308
2863 y Ft(\()p Fr(\013v)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\013)633
2833 y Fi(\000)p Fl(1)722 2863 y Ft(0)g(=)g(0,)k(w)n(as)f(zu)i(zeigen)f
(w)n(ar.)290 3037 y(In)j(jedem)g(V)-7 b(ektorraum)28
b(\()p Fo(6)p Ft(=)f(0\))i(wird)h(es)f(T)-7 b(eilmengen)30
b(geb)r(en,)f(die)h(selbst)g(wieder)165 3137 y(einen)36
b(V)-7 b(ektorraum)34 b(bilden.)h(Ein)g(Beispiel)g(daf)1728
3141 y(\177)1726 3137 y(ur)g(k)n(ennen)g(wir)g(sc)n(hon)f(als)g
(Beispiel)165 3236 y(5.1.2)d(5.)g(Der)h(dort)g(de\014nierte)g(V)-7
b(ektorraum)30 b Fr(V)51 b Ft(ist)32 b(T)-7 b(eilmenge)32
b(v)n(on)f Fm(R)2485 3206 y Fl(4)2522 3236 y Ft(.)h(Das)g(f)2774
3240 y(\177)2772 3236 y(uhrt)165 3336 y(uns)c(zu)g(dem)g(Begri\013)e
(des)i(Un)n(terv)n(ektorraumes.)165 3502 y Fq(De\014nition)j(5.1.6)40
b Ft(Sei)21 b Fr(V)40 b Ft(ein)21 b(V)-7 b(ektorraum)1646
3506 y(\177)1644 3502 y(ub)r(er)20 b(dem)i(K)2067 3506
y(\177)2067 3502 y(orp)r(er)d Fr(K)6 b Ft(.)20 b(Eine)h(nic)n(h)n
(tleere)165 3601 y(T)-7 b(eilmenge)28 b Fr(U)k Fo(\022)22
b Fr(V)47 b Ft(v)n(on)27 b Fr(V)46 b Ft(hei\031t)55 b
Fp(Untervektorr)l(aum)p Ft(,)27 b(w)n(enn)h(gelten)290
3701 y(1.)f(f)409 3705 y(\177)407 3701 y(ur)h(alle)f
Fr(u;)14 b(u)799 3671 y Fi(0)844 3701 y Fo(2)24 b Fr(U)36
b Ft(ist)28 b Fr(u)18 b Ft(+)g Fr(u)1329 3671 y Fi(0)1374
3701 y Fo(2)24 b Fr(U)9 b Ft(,)27 b(d.h.)h Fr(U)37 b
Ft(ist)27 b(b)r(ez)2068 3705 y(\177)2066 3701 y(uglic)n(h)h(der)f
(Addition)h(v)n(on)165 3801 y Fr(V)47 b Ft(abgesc)n(hlossen,)290
3900 y(2.)40 b(f)422 3904 y(\177)420 3900 y(ur)h(alle)f
Fr(u)k Fo(2)h Fr(U)50 b Ft(und)41 b(alle)f Fr(\013)45
b Fo(2)g Fr(K)h Ft(ist)41 b Fr(\013u)k Fo(2)g Fr(U)9
b Ft(,)40 b(d.h.)h Fr(U)50 b Ft(ist)40 b(un)n(ter)h(der)165
4000 y(Multiplik)-5 b(ation)29 b(mit)f(Sk)-5 b(alaren)26
b(abgesc)n(hlossen.)290 4166 y(Man)20 b(sieh)n(t)f(leic)n(h)n(t,)h
(da\031)f(jeder)h(Un)n(terv)n(ektorraum)e(selbst)i(wieder)f(ein)h(V)-7
b(ektorraum)165 4265 y(wird,)34 b(mit)g(der)f(Addition)h(und)g(der)f
(Multiplik)-5 b(ation)35 b(mit)f(Sk)-5 b(alaren)32 b(wie)i(in)g
Fr(V)52 b Ft(de\014-)165 4365 y(niert.)30 b(Wir)g(pr)641
4369 y(\177)639 4365 y(ufen)g(das)g(hier)f(nic)n(h)n(t)h(nac)n(h,)f(b)r
(emerk)n(en)h(ab)r(er,)f(da\031)g(wir)h(so)f(eine)h(F)2802
4369 y(\177)2800 4365 y(ulle)165 4465 y(v)n(on)24 b(Beispielen)g(f)734
4469 y(\177)732 4465 y(ur)h(V)-7 b(ektorr)1112 4469 y(\177)1112
4465 y(aume)23 b(erhalten,)h(ohne)g(da\031)g(wir)g(alle)g(Axiome)g(f)
2638 4469 y(\177)2636 4465 y(ur)h(einen)165 4564 y(V)-7
b(ektorraum)24 b(in)h(jedem)h(Einzelfall)e(nac)n(hrec)n(hnen)g(m)1860
4568 y(\177)1858 4564 y(ussen.)h(Zur)f(De\014nition)i(v)n(on)e(Un-)165
4664 y(terv)n(ektorr)530 4668 y(\177)530 4664 y(aumen)g(w)n(erden)i
(wir)g(immer)g(eine)h(T)-7 b(eilmenge)26 b(v)n(on)g(Elemen)n(ten)g(mit)
h(einer)p eop end
%%Page: 145 6
TeXDict begin 145 5 bop 1397 100 a Fn(5.1)43 b(Grundb)r(egri\013e,)26
b(Un)n(terv)n(ektorr)2485 103 y(\177)2485 100 y(aume)150
b(145)165 282 y Ft(gemeinsamen)24 b(Eigensc)n(haft)e(bilden)j(und)f(un)
n(tersuc)n(hen,)f(ob)h(diese)g(Eigensc)n(haft)f(b)r(eim)165
382 y(Bilden)37 b(v)n(on)e(Summen)i(und)g(Pro)r(dukten)e(mit)i(Sk)-5
b(alaren)35 b(erhalten)h(bleibt.)g(Beispiel)165 482 y(5.1.2)27
b(5.)g(ist)h(so)f(gew)n(onnen)f(w)n(orden.)165 648 y
Fq(Beispiel)k(5.1.7)40 b Ft(Sei)27 b Fr(I)35 b Ft(eine)28
b(Menge.)f(Dann)h(ist)507 830 y Fr(K)584 796 y Fl(\()p
Fk(I)5 b Fl(\))697 830 y Ft(:=)22 b Fo(f)p Ft(\()p Fr(v)921
842 y Fk(i)949 830 y Ft(\))h Fo(2)h Fr(K)1160 796 y Fk(I)1197
830 y Fo(j)p Ft(f)1247 834 y(\177)1245 830 y(ur)k(n)n(ur)f(endlic)n(h)h
(viele)f Fr(i)c Fo(2)g Fr(I)35 b Ft(gilt)28 b Fr(v)2366
842 y Fk(i)2417 830 y Fo(6)p Ft(=)22 b(0)p Fo(g)165 1013
y Ft(ein)39 b(Un)n(terv)n(ektorraum)c(v)n(on)j Fr(K)1218
983 y Fk(I)1255 1013 y Ft(.)h(W)-7 b(enn)38 b(man)g(n)1803
1017 y(\177)1803 1013 y(amlic)n(h)g(zw)n(ei)g(F)-7 b(amilien)38
b(\()p Fr(v)2692 1025 y Fk(i)2720 1013 y Ft(\))h(und)165
1112 y(\()p Fr(w)256 1124 y Fk(i)285 1112 y Ft(\))c(in)g
Fr(K)533 1082 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))657 1112 y Ft(hat,)34
b(so)g(gilt)h(auc)n(h)f(f)1328 1116 y(\177)1326 1112
y(ur)h(die)g(Summe)g(\()p Fr(v)1955 1124 y Fk(i)1983
1112 y Ft(\))23 b(+)g(\()p Fr(w)2217 1124 y Fk(i)2245
1112 y Ft(\))35 b(=)g(\()p Fr(v)2484 1124 y Fk(i)2535
1112 y Ft(+)23 b Fr(w)2682 1124 y Fk(i)2710 1112 y Ft(\),)35
b(da\031)165 1212 y(n)n(ur)27 b(endlic)n(h)f(viele)h(T)-7
b(erme)26 b Fr(v)1083 1224 y Fk(i)1127 1212 y Ft(+)16
b Fr(w)1267 1224 y Fk(i)1322 1212 y Ft(v)n(on)26 b(Null)h(v)n(ersc)n
(hieden)e(sind.)i(Eb)r(enso)f(sind)h(auc)n(h)165 1312
y(in)33 b(der)f(F)-7 b(amilie)33 b Fr(\013)p Ft(\()p
Fr(v)837 1324 y Fk(i)865 1312 y Ft(\))f(=)f(\()p Fr(\013v)1150
1324 y Fk(i)1178 1312 y Ft(\))i(n)n(ur)f(endlic)n(h)g(viele)h(T)-7
b(erme)32 b(v)n(on)g(Null)h(v)n(ersc)n(hieden.)165 1411
y(Dieser)e(V)-7 b(ektorraum)29 b(ist)i(nat)1125 1415
y(\177)1123 1411 y(urlic)n(h)f(n)n(ur)g(dann)h(v)n(ersc)n(hieden)e(v)n
(on)h Fr(K)2404 1381 y Fk(I)2441 1411 y Ft(,)h(w)n(enn)f
Fr(I)38 b Ft(eine)165 1511 y(unendlic)n(he)28 b(Menge)f(ist.)290
1677 y(Ein)18 b(w)n(eiteres)g(Beispiel)h(ist)g(der)f(Durc)n(hsc)n
(hnitt)h(v)n(on)f(mehreren)g(Un)n(terv)n(ektorr)2747
1681 y(\177)2747 1677 y(aum-)165 1777 y(en.)165 1943
y Fq(Lemma)32 b(5.1.8)40 b Fp(Seien)c Fr(U)1030 1955
y Fk(i)1087 1943 y Fp(mit)i Fr(i)23 b Fo(2)h Fr(I)31
b Fo(6)p Ft(=)23 b Fo(;)29 b Fp(Untervektorr)2066 1947
y(\177)2067 1943 y(aume)h(des)h(V)-6 b(ektorr)l(aumes)165
2042 y Fr(V)19 b Fp(.)30 b(Dann)g(ist)f(auch)836 1980
y Fj(T)905 2067 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1025 2042 y Fr(U)1082
2054 y Fk(i)1139 2042 y Fp(ein)h(Untervektorr)l(aum)f(von)37
b Fr(V)19 b Fp(.)165 2217 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)33
b Fr(u;)14 b(u)837 2187 y Fi(0)892 2217 y Fo(2)980 2154
y Fj(T)1049 2242 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1169 2217 y Fr(U)1226
2229 y Fk(i)1287 2217 y Ft(und)33 b(sei)g Fr(\013)g Fo(2)g
Fr(K)6 b Ft(.)33 b(Dann)g(gilt)g Fr(u;)14 b(u)2407 2187
y Fi(0)2462 2217 y Fo(2)33 b Fr(U)2607 2229 y Fk(i)2667
2217 y Ft(f)2694 2221 y(\177)2692 2217 y(ur)h(alle)165
2316 y Fr(i)d Fo(2)h Fr(I)7 b Ft(.)33 b(Da)f(die)h Fr(U)744
2328 y Fk(i)804 2316 y Ft(Un)n(terv)n(ektorr)1275 2320
y(\177)1275 2316 y(aume)d(sind,)j(gilt)g(dann)f Fr(u)22
b Ft(+)f Fr(u)2272 2286 y Fi(0)2295 2316 y Fr(;)14 b(\013u)31
b Fo(2)h Fr(U)2608 2328 y Fk(i)2668 2316 y Ft(f)2695
2320 y(\177)2693 2316 y(ur)h(alle)165 2416 y Fr(i)p Ft(,)j(also)g(auc)n
(h)g Fr(u)23 b Ft(+)h Fr(u)842 2386 y Fi(0)865 2416 y
Fr(;)14 b(\013u)38 b Fo(2)1134 2354 y Fj(T)1203 2441
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1323 2416 y Fr(U)1380 2428 y Fk(i)1407
2416 y Ft(.)f(Damit)g(sind)f(die)h(Bedingungen)f(a\))g(und)h(b\))165
2516 y(f)192 2520 y(\177)190 2516 y(ur)24 b(einen)h(Un)n(terv)n
(ektorraum)c(erf)1253 2520 y(\177)1251 2516 y(ullt.)k(Sic)n(her)e(ist)h
(auc)n(h)1971 2453 y Fj(T)2040 2540 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2160
2516 y Fr(U)2217 2528 y Fk(i)2268 2516 y Ft(nic)n(h)n(t)g(leer,)g(w)n
(eil)g(der)165 2615 y(V)-7 b(ektor)19 b(0)g(in)h(allen)f(Un)n(terv)n
(ektorr)1238 2619 y(\177)1238 2615 y(aumen)e Fr(U)1552
2627 y Fk(i)1599 2615 y Ft(und)j(damit)g(im)g(Durc)n(hsc)n(hnitt)f(en)n
(thalten)165 2715 y(ist.)290 2889 y(Um)26 b(auc)n(h)g(den)g(trivialen)g
(Durc)n(hsc)n(hnitt)g(mit)g Fr(I)k Ft(=)23 b Fo(;)j Ft(zu)g(erfassen,)f
(de\014nieren)h(wir)165 2927 y Fj(T)235 3014 y Fk(i)p
Fi(2;)355 2989 y Fr(U)412 3001 y Fk(i)462 2989 y Ft(:=)d
Fr(V)c Ft(.)165 3155 y Fq(Lemma)32 b(5.1.9)40 b Fp(Seien)63
b Fr(U)1057 3167 y Fl(1)1094 3155 y Fr(;)14 b(:::;)g(U)1294
3167 y Fk(n)1395 3155 y Fp(Untervektorr)1858 3159 y(\177)1859
3155 y(aume)56 b(des)h(V)-6 b(ektorr)l(aumes)63 b Fr(V)19
b Fp(.)165 3254 y(Dann)30 b(ist)f(auch)1135 3400 y Fr(U)1192
3412 y Fl(1)1247 3400 y Ft(+)18 b Fr(:)c(:)g(:)19 b Ft(+)f
Fr(U)1586 3412 y Fk(n)1654 3400 y Ft(=)1781 3296 y Fk(n)1741
3321 y Fj(X)1748 3498 y Fk(i)p Fl(=1)1875 3400 y Fr(U)1932
3412 y Fk(i)165 3627 y Ft(:=)24 b Fo(f)p Fr(u)f Fo(2)h
Fr(V)19 b Fo(j)30 b Fp(es)h(gibt)f(V)-6 b(ektor)l(en)36
b Fr(u)1253 3639 y Fk(i)1305 3627 y Fo(2)24 b Fr(U)1441
3639 y Fk(i)1498 3627 y Fp(f)1523 3631 y(\177)1523 3627
y(ur)40 b Fr(i)23 b Ft(=)h(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)30
b Fp(mit)38 b Fr(u)23 b Ft(=)h Fr(u)2457 3639 y Fl(1)2512
3627 y Ft(+)19 b Fr(:)14 b(:)g(:)19 b Ft(+)f Fr(u)2843
3639 y Fk(n)2888 3627 y Fo(g)165 3726 y Fp(ein)30 b(Untervektorr)l(aum)
f(von)37 b Fr(V)19 b Fp(.)165 3900 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)24
b Fr(u;)14 b(u)828 3870 y Fi(0)873 3900 y Fo(2)952 3838
y Fj(P)1039 3859 y Fk(n)1039 3925 y(i)p Fl(=1)1165 3900
y Fr(U)1222 3912 y Fk(i)1273 3900 y Ft(und)25 b(sei)f
Fr(\013)f Fo(2)h Fr(K)6 b Ft(.)23 b(Dann)i(gibt)f(es)g(V)-7
b(ektoren)23 b Fr(u)2711 3912 y Fk(i)2739 3900 y Fr(;)14
b(u)2824 3870 y Fi(0)2824 3922 y Fk(i)2874 3900 y Fo(2)165
4000 y Fr(U)222 4012 y Fk(i)272 4000 y Ft(\()p Fr(i)23
b Ft(=)g(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\))22 b(mit)h
Fr(u)f Ft(=)h Fr(u)1127 4012 y Fl(1)1172 4000 y Ft(+)8
b Fr(:)14 b(:)g(:)6 b Ft(+)i Fr(u)1469 4012 y Fk(n)1536
4000 y Ft(und)23 b Fr(u)1745 3970 y Fi(0)1790 4000 y
Ft(=)g Fr(u)1926 3970 y Fi(0)1926 4021 y Fl(1)1971 4000
y Ft(+)8 b Fr(:)14 b(:)g(:)f(u)2202 3970 y Fi(0)2202
4021 y Fk(n)2246 4000 y Ft(.)23 b(F)2348 4004 y(\177)2346
4000 y(ur)f Fr(u)8 b Ft(+)g Fr(u)2624 3970 y Fi(0)2668
4000 y Ft(und)22 b Fr(\013u)165 4100 y Ft(erh)281 4104
y(\177)281 4100 y(alt)i(man)f(dann)h Fr(u)11 b Ft(+)g
Fr(u)969 4070 y Fi(0)1014 4100 y Ft(=)22 b(\()p Fr(u)1181
4112 y Fl(1)1229 4100 y Ft(+)11 b Fr(u)1353 4070 y Fi(0)1353
4120 y Fl(1)1389 4100 y Ft(\))g(+)g Fr(:)j(:)g(:)d Ft(+)g(\()p
Fr(u)1772 4112 y Fk(n)1827 4100 y Ft(+)g Fr(u)1951 4070
y Fi(0)1951 4120 y Fk(n)1995 4100 y Ft(\))24 b(und)g
Fr(\013u)f Ft(=)g Fr(\013u)2526 4112 y Fl(1)2574 4100
y Ft(+)11 b Fr(:)j(:)g(:)f(\013u)2861 4112 y Fk(n)2906
4100 y Ft(.)165 4199 y(Damit)39 b(hab)r(en)f(wir)g(w)n(egen)g
Fr(u)25 b Ft(+)g Fr(u)1313 4169 y Fi(0)1335 4199 y Fr(;)14
b(\013u)41 b Fo(2)1610 4137 y Fj(P)1698 4158 y Fk(n)1698
4224 y(i)p Fl(=1)1823 4199 y Fr(U)1880 4211 y Fk(i)1946
4199 y Ft(die)d(Bedingungen)g(f)2625 4203 y(\177)2623
4199 y(ur)g(einen)165 4299 y(Un)n(terv)n(ektorraum)21
b(erf)911 4303 y(\177)909 4299 y(ullt.)i(Sc)n(hlie\031lic)n(h)f(ist)
1591 4237 y Fj(P)1679 4257 y Fk(n)1679 4324 y(i)p Fl(=1)1804
4299 y Fr(U)1861 4311 y Fk(i)1912 4299 y Ft(trivialerw)n(eise)e(nic)n
(h)n(t)j(leer,)f(w)n(eil)165 4399 y(0)h(=)g(0)18 b(+)g
Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g(0)k Fo(2)802 4336 y Fj(P)889 4357
y Fk(n)889 4424 y(i)p Fl(=1)1015 4399 y Fr(U)1072 4411
y Fk(i)1127 4399 y Ft(gilt.)p eop end
%%Page: 146 7
TeXDict begin 146 6 bop 165 100 a Fn(146)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)290 282
y Ft(W)f(enn)40 b(man)g(eine)g(unendlic)n(he)g(F)-7 b(amilie)40
b(v)n(on)f(V)-7 b(ektoren)39 b(\()p Fr(v)2252 294 y Fk(i)2280
282 y Fo(j)p Fr(i)k Fo(2)h Fr(I)7 b Ft(\))40 b(mit)h(einer)165
382 y(b)r(eliebigen)g(Indexmenge)f Fr(I)48 b Ft(hat)41
b(und)g(n)n(ur)f(endlic)n(h)h(viele)f(V)-7 b(ektoren)40
b Fr(v)2536 394 y Fk(i)2605 382 y Ft(v)n(on)g(Null)165
482 y(v)n(ersc)n(hieden)27 b(sind,)i(dann)f(m)1084 486
y(\177)1084 482 y(oc)n(h)n(te)g(man)g(genau)g(diese)g(V)-7
b(ektoren)28 b(addieren.)g(Wir)g(b)r(e-)165 581 y(merk)n(en)f(zun)585
585 y(\177)585 581 y(ac)n(hst,)f(da\031)g(man)h(zu)g(dieser)f(endlic)n
(hen)h(Summe)h Fr(v)2208 593 y Fk(i)2231 601 y Fg(1)2285
581 y Ft(+)17 b Fr(:)d(:)g(:)j Ft(+)g Fr(v)2603 593 y
Fk(i)2626 601 y Ff(n)2671 581 y Ft(,)28 b(w)n(ob)r(ei)165
681 y(die)22 b Fr(v)333 693 y Fk(i)356 701 y Fg(1)394
681 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)618 693 y Fk(i)641
701 y Ff(n)709 681 y Ft(genau)21 b(diejenigen)h(V)-7
b(ektoren)21 b(sind,)h(die)g(v)n(on)f(Null)i(v)n(ersc)n(hieden)d(sind,)
165 780 y(auc)n(h)e(no)r(c)n(h)h(b)r(eliebig)g(endlic)n(h)f(viele)h
(Exemplare)e(des)i(Nullv)n(ektors)e(addieren)h(k)-5 b(ann,)19
b(oh-)165 880 y(ne)i(diese)g(Summe)g(zu)858 884 y(\177)858
880 y(andern.)f(Es)g(ist)g(ab)r(er)g(rec)n(h)n(t)g(un)n(b)r(equem,)h
(immer)g(darauf)f(hin)n(w)n(ei-)165 980 y(sen)i(zu)h(m)480
984 y(\177)478 980 y(ussen,)f(da\031)g(man)g(n)n(un)g(genau)g(o)r(der)f
(mindestens)2050 984 y(\177)2048 980 y(ub)r(er)h(alle)g(diejenigen)g(V)
-7 b(ek-)165 1079 y(toren)21 b Fr(v)416 1091 y Fk(i)465
1079 y Ft(einer)g(F)-7 b(amilie)22 b(\()p Fr(v)1020 1091
y Fk(i)1048 1079 y Fo(j)p Fr(i)h Fo(2)g Fr(I)7 b Ft(\))22
b(summiert,)f(die)h(v)n(on)e(Null)i(v)n(ersc)n(hieden)e(sind.)h(Man)165
1179 y(sc)n(hreibt)k(daher)703 1117 y Fj(P)791 1204 y
Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)911 1179 y Fr(v)951 1191 y Fk(i)1004
1179 y Ft(f)1031 1183 y(\177)1029 1179 y(ur)g(diese)g(Summe)g(der)g
(endlic)n(h)g(vielen)g(v)n(on)f(Null)i(v)n(ersc)n(hie-)165
1279 y(denen)g(V)-7 b(ektoren.)25 b(Es)f(handelt)i(sic)n(h)f(also)f
(genau)h(genommen)g(nic)n(h)n(t)g(um)h(eine)f(unend-)165
1378 y(lic)n(he)30 b(Summe,)g(sondern)f(lediglic)n(h)g(um)h(die)g
(Summe)g(v)n(on)f(endlic)n(h)h(vielen)g(V)-7 b(ektoren.)165
1478 y(Man)26 b(k)-5 b(ann)25 b(zw)n(ei)h(solc)n(he)e(Summen)i
(addieren:)1671 1416 y Fj(P)1759 1503 y Fk(i)p Fi(2)p
Fk(I)1879 1478 y Fr(u)1927 1490 y Fk(i)1969 1478 y Ft(+)2048
1416 y Fj(P)2135 1503 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2256 1478
y Fr(v)2296 1490 y Fk(i)2347 1478 y Ft(=)2434 1416 y
Fj(P)2522 1503 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2628 1478 y Ft(\()p
Fr(u)2708 1490 y Fk(i)2750 1478 y Ft(+)14 b Fr(v)2869
1490 y Fk(i)2897 1478 y Ft(\))165 1577 y(und)28 b(mit)h(einem)f(Sk)-5
b(alar)26 b(m)n(ultiplizieren:)i Fr(\013)1589 1515 y
Fj(P)1677 1602 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1797 1577 y Fr(u)1845
1589 y Fk(i)1895 1577 y Ft(=)1983 1515 y Fj(P)2071 1602
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2177 1577 y Ft(\()p Fr(\013u)2310
1589 y Fk(i)2338 1577 y Ft(\),)g(da)f(jew)n(eils)h(ins-)165
1677 y(gesam)n(t)21 b(n)n(ur)h(endlic)n(h)g(viele)g(T)-7
b(erme)21 b(v)n(on)g(Null)i(v)n(ersc)n(hieden)e(sind.)h(Diesen)g
(Begri\013)f(w)n(ol-)165 1777 y(len)28 b(wir)g(jetzt)h(zur)e
(De\014nition)i(der)e(unendlic)n(hen)i(Summe)f(v)n(on)f(Un)n(terv)n
(ektorr)2691 1781 y(\177)2691 1777 y(aumen)165 1876 y(v)n(erw)n(enden.)
165 2028 y Fq(De\014nition)k(5.1.10)40 b Ft(Sei)e Fr(I)48
b Fo(6)p Ft(=)40 b Fo(;)e Ft(eine)g(Menge)g(und)h(\()p
Fr(U)2033 2040 y Fk(i)2061 2028 y Fo(j)p Fr(i)h Fo(2)h
Fr(I)7 b Ft(\))39 b(eine)f(unendlic)n(he)165 2127 y(F)-7
b(amilie)28 b(v)n(on)f(Un)n(terv)n(ektorr)1085 2131 y(\177)1085
2127 y(aumen)e(des)j(V)-7 b(ektorraumes)26 b Fr(V)19
b Ft(.)27 b(Dann)h(de\014nieren)g(wir)398 2206 y Fj(X)406
2384 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)531 2285 y Fr(U)588 2297 y
Fk(i)639 2285 y Ft(:=)22 b Fo(f)791 2206 y Fj(X)800 2384
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)925 2285 y Fr(u)973 2297 y Fk(i)1000
2285 y Fo(j8)p Fr(i)h Fo(2)g Fr(I)7 b Ft([)p Fr(u)1313
2297 y Fk(i)1363 2285 y Fo(2)24 b Fr(U)1499 2297 y Fk(i)1526
2285 y Ft(])k(und)g(n)n(ur)f(endlic)n(he)h(viele)f Fr(u)2453
2297 y Fk(i)2503 2285 y Fo(6)p Ft(=)c(0)p Fo(g)p Fr(:)290
2521 y Ft(Man)k(b)r(ew)n(eist)h(wie)g(zuv)n(or)165 2672
y Fq(Lemma)k(5.1.11)39 b Fp(Sei)31 b Ft(\()p Fr(U)1019
2684 y Fk(i)1047 2672 y Fo(j)p Fr(i)22 b Fo(2)i Fr(I)7
b Ft(\))22 b Fp(eine)g(F)-6 b(amilie)23 b(von)f(Untervektorr)2369
2676 y(\177)2370 2672 y(aumen)f(des)i(V)-6 b(ek-)165
2772 y(torr)l(aumes)37 b Fr(V)19 b Fp(.)30 b(Dann)f(ist)h(auch)1235
2710 y Fj(P)1323 2797 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1443 2772
y Fr(U)1500 2784 y Fk(i)1557 2772 y Fp(ein)g(Untervektorr)l(aum)f(von)
37 b Fr(V)18 b Fp(.)290 2923 y Ft(Es)k(handelt)h(sic)n(h)g(hier)g(tats)
1158 2927 y(\177)1158 2923 y(ac)n(hlic)n(h)f(um)h(eine)g(ec)n(h)n(te)g
(unendlic)n(he)g(Summe)h(v)n(on)e(Un-)165 3023 y(terv)n(ektorr)530
3027 y(\177)530 3023 y(aumen,)27 b(d.h.)j(alle)f(Un)n(terv)n(ektorr)
1613 3027 y(\177)1613 3023 y(aume)e(der)i(Summe)g(k)2319
3027 y(\177)2319 3023 y(onnen)g(v)n(om)g(Null-)165 3123
y(v)n(ektorraum)21 b(v)n(ersc)n(hieden)h(sein.)h(Es)g(w)n(erden)f(ab)r
(er)h(trotzdem)g(n)n(ur)f(endlic)n(he)h(Summen)165 3222
y(v)n(on)k(V)-7 b(ektoren)27 b(v)n(erw)n(endet.)290 3402
y(Man)42 b(k)-5 b(ann)42 b(leic)n(h)n(t)g(wieder)g(Rec)n(henregeln)f(f)
1773 3406 y(\177)1771 3402 y(ur)h(das)g(Rec)n(hnen)g(mit)g(Un)n(terv)n
(ek-)165 3501 y(torr)305 3505 y(\177)305 3501 y(aumen)31
b Fr(U)633 3513 y Fk(i)692 3501 y Ft(v)n(on)g Fr(V)51
b Ft(b)r(ew)n(eisen.)32 b(Wir)g(f)1526 3505 y(\177)1524
3501 y(uhren)g(hier)g(n)n(ur)f(einige)g(relev)-5 b(an)n(te)32
b(Regeln)165 3601 y(ohne)c(Bew)n(eis)e(an:)540 3737 y
Fr(U)597 3749 y Fl(1)653 3737 y Ft(+)18 b Fr(U)793 3749
y Fl(2)853 3737 y Ft(=)k Fr(U)997 3749 y Fl(2)1053 3737
y Ft(+)c Fr(U)1193 3749 y Fl(1)1230 3737 y Fr(;)540 3837
y Ft(\()p Fr(U)629 3849 y Fl(1)685 3837 y Ft(+)g Fr(U)825
3849 y Fl(2)862 3837 y Ft(\))h(+)f Fr(U)1053 3849 y Fl(3)1113
3837 y Ft(=)k Fr(U)1257 3849 y Fl(1)1313 3837 y Ft(+)c(\()p
Fr(U)1485 3849 y Fl(2)1540 3837 y Ft(+)g Fr(U)1680 3849
y Fl(3)1717 3837 y Ft(\))p Fr(;)540 3937 y Ft(\()p Fr(U)629
3949 y Fl(1)685 3937 y Fo(\\)h Fr(U)816 3949 y Fl(2)853
3937 y Ft(\))f(+)g(\()p Fr(U)1075 3949 y Fl(1)1131 3937
y Fo(\\)h Fr(U)1262 3949 y Fl(3)1299 3937 y Ft(\))k Fo(\032)g
Fr(U)1499 3949 y Fl(1)1554 3937 y Fo(\\)c Ft(\()p Fr(U)1717
3949 y Fl(2)1773 3937 y Ft(+)f Fr(U)1913 3949 y Fl(3)1950
3937 y Ft(\))p Fr(;)540 4036 y(U)597 4048 y Fl(1)653
4036 y Ft(+)g(\()p Fr(U)825 4048 y Fl(2)880 4036 y Fo(\\)h
Fr(U)1011 4048 y Fl(3)1048 4036 y Ft(\))k Fo(\032)g Ft(\()p
Fr(U)1280 4048 y Fl(1)1336 4036 y Ft(+)18 b Fr(U)1476
4048 y Fl(2)1513 4036 y Ft(\))g Fo(\\)h Ft(\()p Fr(U)1726
4048 y Fl(1)1782 4036 y Ft(+)f Fr(U)1922 4048 y Fl(3)1959
4036 y Ft(\))p Fr(;)540 4136 y Ft(0)g(+)g Fr(U)32 b Ft(=)23
b Fr(U;)540 4235 y Ft(0)18 b Fo(\\)h Fr(U)32 b Ft(=)22
b(0)p Fr(;)540 4335 y(V)38 b Ft(+)18 b Fr(U)31 b Ft(=)23
b Fr(V)5 b(;)540 4435 y(V)38 b Fo(\\)18 b Fr(U)32 b Ft(=)23
b Fr(U;)540 4534 y Ft(w)n(enn)28 b Fr(U)812 4546 y Fl(1)872
4534 y Fo(\032)22 b Fr(U)1016 4546 y Fl(3)1081 4534 y
Ft(gilt,)28 b(dann)f(ist)623 4634 y(\()p Fr(U)712 4646
y Fl(1)768 4634 y Ft(+)18 b Fr(U)908 4646 y Fl(2)945
4634 y Ft(\))h Fo(\\)f Fr(U)1126 4646 y Fl(3)1186 4634
y Ft(=)23 b Fr(U)1331 4646 y Fl(1)1386 4634 y Ft(+)18
b(\()p Fr(U)1558 4646 y Fl(2)1614 4634 y Fo(\\)h Fr(U)1745
4646 y Fl(3)1782 4634 y Ft(\))p Fr(;)14 b Ft(\(mo)r(dulares)27
b(Gesetz\).)p eop end
%%Page: 147 8
TeXDict begin 147 7 bop 1397 100 a Fn(5.1)43 b(Grundb)r(egri\013e,)26
b(Un)n(terv)n(ektorr)2485 103 y(\177)2485 100 y(aume)150
b(147)178 266 y Fq(\177)165 282 y(Ubungen)32 b(5.1.12)81
b Ft(1.)41 b(W)-7 b(elc)n(he)23 b(der)f(folgenden)g(Mengen)g(sind)h(Un)
n(terv)n(ektorr)2738 286 y(\177)2738 282 y(aume)313 382
y(der)k(angegeb)r(enen)g(reellen)g(V)-7 b(ektorr)1482
386 y(\177)1482 382 y(aume?)345 482 y(a\))42 b Fo(f)p
Ft(\()13 b Fr(\025;)84 b Ft(2)p Fr(\025;)f Ft(3)p Fr(\025)13
b Ft(\))i Fo(j)p Fr(\025)23 b Fo(2)h Fm(R)p Fo(g)e(\032)h
Fm(R)1494 451 y Fl(3)1531 482 y Ft(,)341 581 y(b\))42
b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(\025;)84 b Ft(2)p Fr(\025;)f Ft(3)p
Fr(\025)13 b Ft(\))i Fo(j)p Fr(\025)23 b Fo(2)h Fm(Q)p
Fo(g)e(\032)g Fm(R)1498 551 y Fl(3)1536 581 y Ft(,)350
681 y(c\))42 b Fo(f)p Ft(\()13 b(1)18 b(+)g Fr(\025;)84
b Ft(1)18 b Fo(\000)g Fr(\025)c Ft(\))g Fo(j)p Fr(\025)24
b Fo(2)f Fm(R)p Fo(g)g(\032)f Fm(R)1542 651 y Fl(2)1579
681 y Ft(,)341 780 y(d\))42 b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(\030)t(;)83
b(\021)s(;)h(\020)20 b Ft(\))j Fo(2)h Fm(R)1095 750 y
Fl(3)1132 780 y Fo(j)p Fr(\030)1195 750 y Fl(2)1251 780
y Ft(+)18 b Fr(\021)1378 750 y Fl(2)1434 780 y Ft(+)g
Fr(\020)1559 750 y Fl(2)1620 780 y Ft(=)k(1)p Fo(g)g(\032)h
Fm(R)1961 750 y Fl(3)1998 780 y Ft(,)350 880 y(e\))42
b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(\030)t(;)83 b(\021)s(;)h(\020)20
b Ft(\))j Fo(2)h Fm(R)1095 850 y Fl(3)1132 880 y Fo(j)p
Ft(2)p Fr(\030)e Ft(+)c(3)p Fr(\021)26 b Ft(=)d Fr(\020)6
b Fo(g)23 b(\032)f Fm(R)1789 850 y Fl(3)1826 880 y Ft(,)355
980 y(f)6 b(\))43 b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(\030)t(;)83
b(\021)s(;)h(\020)20 b Ft(\))j Fo(2)h Fm(R)1095 950 y
Fl(3)1132 980 y Fo(j)p Fr(\030)t(\021)i Ft(=)d Fr(\020)6
b Fo(g)23 b(\032)g Fm(R)1605 950 y Fl(3)1642 980 y Ft(,)345
1079 y(g\))42 b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(x;)84 b(y)s(;)e(z)18
b Ft(\))c Fo(j)p Fr(x)1024 1049 y Fl(2)1080 1079 y Ft(+)k(3)p
Fr(xy)j Ft(+)d Fr(y)1441 1049 y Fl(2)1501 1079 y Ft(=)23
b(0)p Fo(g)f(\032)g Fm(R)1842 1049 y Fl(3)1880 1079 y
Ft(,)341 1179 y(h\))42 b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(x;)84 b(y)s(;)e(z)18
b Ft(\))c Fo(j)p Fr(x)1024 1149 y Fl(2)1080 1179 y Fo(\000)k
Ft(2)p Fr(xy)j Ft(+)d Fr(y)1441 1149 y Fl(2)1501 1179
y Ft(=)23 b(0)p Fo(g)f(\032)g Fm(R)1842 1149 y Fl(3)1880
1179 y Ft(,)364 1279 y(i\))42 b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(x;)84
b(y)s(;)e(z)18 b Ft(\))c Fo(j)p Fr(x)1024 1248 y Fl(2)1081
1279 y Ft(+)19 b(3)p Fr(xy)j Ft(+)d Fr(y)1445 1248 y
Fl(2)1507 1279 y Ft(=)25 b(0)p Fo(g)f(\032)h Fm(C)1855
1248 y Fl(3)1921 1279 y Ft(\(reeller)j(o)r(der)h(k)n(omplexer)e(Un-)461
1378 y(terv)n(ektorraum\).)207 1478 y(2.)41 b(Stellen)26
b(Sie)g(fest,)h(ob)e(die)i(folgenden)e(Summen)i(de\014niert)f(sind,)g
(und)g(b)r(estimmen)313 1577 y(Sie)i(ihre)f(W)-7 b(erte,)28
b(so)n(w)n(eit)e(m)1199 1581 y(\177)1199 1577 y(oglic)n(h:)345
1677 y(a\))42 b(2)17 b Fo(\001)i Ft(\()14 b(0)p Fr(;)83
b Ft(1)13 b(\))19 b(+)f(5)g Fo(\001)g Ft(\()c(1)p Fr(;)83
b Ft(1)13 b(\))19 b Fo(\000)f Ft(4)g Fo(\001)h Ft(\()14
b(2)p Fr(;)82 b Ft(1)14 b(\),)341 1876 y(b\))42 b(2)17
b Fo(\001)562 1709 y Fj(0)562 1859 y(@)648 1777 y Ft(3)648
1876 y(1)648 1976 y(2)704 1709 y Fj(1)704 1859 y(A)795
1876 y Ft(+)h(5)g Fo(\001)g Ft(\()d(1)p Fr(;)82 b Ft(0)p
Fr(;)h Ft(1)13 b(\),)350 2076 y(c\))42 b(\()14 b(1)p
Fr(;)82 b Ft(0)p Fr(;)h Ft(1)13 b(\))19 b(+)f(\()c(0)p
Fr(;)83 b Ft(1)p Fr(;)f Ft(0)p Fr(;)h Ft(1)13 b(\).)207
2175 y(3.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(w)n(elc)n(he)f(der)g
(folgenden)g(Aussagen)g(ric)n(h)n(tig)f(sind)i(\(ja/nein\).)345
2275 y(a\))42 b(Sei)27 b Fr(V)47 b Ft(ein)28 b(V)-7 b(ektorraum)1284
2279 y(\177)1282 2275 y(ub)r(er)28 b Fr(K)6 b Ft(.)27
b(Dann)h(gilt)f(f)2000 2279 y(\177)1998 2275 y(ur)h(alle)f
Fr(v)f Fo(2)e Fr(V)19 b Ft(:)27 b(0)p Fr(v)f Ft(=)d(0.)341
2374 y(b\))42 b(Sei)26 b Fr(V)45 b Ft(ein)26 b(V)-7 b(ektorraum)1278
2378 y(\177)1276 2374 y(ub)r(er)26 b Fr(K)32 b Ft(und)26
b Fr(v)j Ft(ein)e(V)-7 b(ektor)25 b(aus)h Fr(V)19 b Ft(,)26
b(der)g(nic)n(h)n(t)g(der)461 2474 y(Nullv)n(ektor)g(ist.)i(Dann)g
(folgt)f(aus)g Fr(\013v)g Ft(=)c(0,)k(da\031)g Fr(\013)c
Ft(=)g(0)k(ist.)207 2574 y(4.)41 b(Sei)22 b Fr(V)41 b
Ft(ein)22 b(V)-7 b(ektorraum)1115 2578 y(\177)1112 2574
y(ub)r(er)22 b(dem)h(K)1538 2578 y(\177)1538 2574 y(orp)r(er)d
Fr(K)6 b Ft(,)22 b(und)h(sei)f Fr(X)28 b Ft(eine)22 b(Menge.)g(Zeigen)
313 2673 y(Sie,)h(da\031)e(die)i(Menge)f(aller)g(Abbildungen)h(Abb\()p
Fr(X)r(;)14 b(V)19 b Ft(\))k(v)n(on)f Fr(X)29 b Ft(nac)n(h)22
b Fr(V)41 b Ft(in)23 b(Bezug)313 2773 y(auf)28 b(die)f(V)-7
b(erkn)804 2777 y(\177)802 2773 y(upfungen)633 2956 y(Abb\()p
Fr(X)r(;)14 b(V)19 b Ft(\))g Fo(\002)f Ft(Abb\()p Fr(X)r(;)c(V)19
b Ft(\))k Fo(\000)-48 b(!)23 b Ft(Abb)q(\()p Fr(X)r(;)14
b(V)k Ft(\))p Fr(;)c Ft(\()p Fr(f)t(;)g(g)s Ft(\))24
b Fo(7!)f Fr(f)k Ft(+)18 b Fr(g)313 3138 y Ft(mit)28
b(\()p Fr(f)f Ft(+)18 b Fr(g)s Ft(\)\()p Fr(x)p Ft(\))24
b(:=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))19 b(+)f Fr(g)s
Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))28 b(und)829 3321 y Fr(K)c Fo(\002)18
b Ft(Abb\()p Fr(X)r(;)c(V)19 b Ft(\))k Fo(\000)-48 b(!)23
b Ft(Abb)q(\()p Fr(X)r(;)14 b(V)k Ft(\))p Fr(;)c Ft(\()p
Fr(\013;)g(f)9 b Ft(\))24 b Fo(7!)f Fr(\013f)313 3504
y Ft(mit)32 b(\()p Fr(\013f)9 b Ft(\)\()p Fr(x)p Ft(\))30
b(:=)f Fr(\013)p Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\)\))33
b(ein)e(V)-7 b(ektorraum)30 b(ist.)h(\(Sie)h(sollen)f(also)f(die)h(V)-7
b(ektor-)313 3603 y(raumaxiome)26 b(detailliert)1167
3607 y(\177)1164 3603 y(ub)r(erpr)1409 3607 y(\177)1407
3603 y(ufen.\))207 3703 y(5.)41 b(Sei)846 3802 y Fr(G)24
b Ft(:=)f Fo(f)p Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fm(R)g Fo(\000)-49
b(!)23 b Fm(R)h Fo(j)f(8)p Fr(x)g Fo(2)h Fm(R)14 b Ft([)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fo(\000)p Fr(x)p Ft(\))23 b(=)f Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\)])p Fo(g)313 3952 y Ft(der)27 b(Raum)h(der)f
(geraden)f(F)-7 b(unktionen)28 b(und)814 4134 y Fr(U)k
Ft(:=)22 b Fo(f)p Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fm(R)g Fo(\000)-49
b(!)23 b Fm(R)g Fo(j)h(8)p Fr(x)f Fo(2)h Fm(R)14 b Ft([)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fo(\000)p Fr(x)p Ft(\))23 b(=)f Fo(\000)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\)])p Fo(g)313 4317 y Ft(der)27
b(Raum)h(der)f(ungeraden)f(F)-7 b(unktionen.)345 4417
y(a\))42 b(Zeigen)52 b(Sie,)h(da\031)g Fr(G)g Ft(und)h
Fr(U)62 b Ft(Un)n(terv)n(ektorr)2014 4421 y(\177)2014
4417 y(aume)51 b(des)i(V)-7 b(ektorraumes)461 4516 y(Abb\()p
Fm(R)p Fr(;)14 b Fm(R)p Ft(\))28 b(sind.)341 4616 y(b\))42
b(Zeigen)26 b(Sie:)i(Abb)q(\()p Fm(R)p Fr(;)14 b Fm(R)p
Ft(\))23 b(=)g Fr(G)c Ft(+)f Fr(U)9 b Ft(.)p eop end
%%Page: 148 9
TeXDict begin 148 8 bop 165 100 a Fn(148)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)207 282
y Ft(6.)41 b(Zeigen)25 b(Sie:)i(Ein)f(V)-7 b(ektorraum)25
b(k)-5 b(ann)26 b(nic)n(h)n(t)g(V)-7 b(ereinigung)25
b(v)n(on)h(zw)n(ei)f(ec)n(h)n(ten)h(Un-)313 382 y(terv)n(ektorr)678
386 y(\177)678 382 y(aumen)f(sein.)207 482 y(7.)41 b(Zeigen)29
b(Sie:)i(En)n(th)917 486 y(\177)917 482 y(alt)e(der)h(Grundk)1469
486 y(\177)1469 482 y(orp)r(er)f(unendlic)n(h)h(viele)g(Elemen)n(te,)g
(so)f(k)-5 b(ann)313 581 y(ein)32 b(V)-7 b(ektorraum)917
585 y(\177)915 581 y(ub)r(er)32 b(diesem)f(K)1452 585
y(\177)1452 581 y(orp)r(er)g(nic)n(h)n(t)h(V)-7 b(ereinigung)31
b(v)n(on)g(endlic)n(h)h(vie-)313 681 y(len)37 b(ec)n(h)n(ten)f(Un)n
(terv)n(ektorr)1194 685 y(\177)1194 681 y(aumen)f(sein.)h(\(Hin)n(w)n
(eis:)h(Man)f(sc)n(hlie\031e)g(durc)n(h)g(Wi-)313 780
y(derspruc)n(h)27 b(und)j(v)n(erw)n(ende)d(das)h(Diric)n(hletsc)n(he)g
(Sc)n(h)n(ubfac)n(hprinzip:)g(Ist)h Fr(V)47 b Ft(do)r(c)n(h)313
880 y(V)-7 b(ereinigung)21 b(v)n(on)f(endlic)n(hen)h(vielen)h(Un)n
(terv)n(ektorr)1977 884 y(\177)1977 880 y(aumen)d Fr(U)2293
892 y Fl(1)2330 880 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(U)2571
892 y Fk(n)2616 880 y Ft(,)22 b(so)e(k)-5 b(ann)313 980
y(man)30 b Fr(n)h Ft(so)f(klein)g(wie)h(m)1109 984 y(\177)1109
980 y(oglic)n(h)f(w)1410 984 y(\177)1410 980 y(ahlen.)g(In)h(dieser)f
(Situation)g(gibt)h(es)f Fr(u)2687 992 y Fl(1)2752 980
y Fo(2)e Fr(U)2892 992 y Fl(1)313 1079 y Ft(und)41 b
Fr(u)540 1091 y Fl(2)621 1079 y Fo(2)k Fr(U)778 1091
y Fl(2)815 1079 y Ft(,)c(die)f(jew)n(eils)h(in)f(k)n(einem)h(anderen)e
(Un)n(terv)n(ektorraum)g(liegen.)313 1179 y(\(W)-7 b(arum?\))37
b(F)777 1183 y(\177)775 1179 y(ur)f Fr(n)24 b Ft(+)g(1)36
b(v)n(ersc)n(hiedene)f(Zahlen)h Fr(\025)1947 1191 y Fl(1)1984
1179 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\025)2217 1191 y Fk(n)p
Fl(+1)2384 1179 y Fo(2)38 b Fr(K)k Ft(b)r(etrac)n(h)n(te)313
1279 y(man)27 b(die)h(V)-7 b(ektoren)27 b Fr(u)1032 1291
y Fl(1)1087 1279 y Ft(+)19 b Fr(\025)1219 1291 y Fl(1)1256
1279 y Fr(u)1304 1291 y Fl(2)1341 1279 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(u)
1574 1291 y Fl(1)1629 1279 y Ft(+)k Fr(\025)1760 1291
y Fk(n)p Fl(+1)1889 1279 y Fr(u)1937 1291 y Fl(2)1974
1279 y Ft(.\))207 1378 y(8.)41 b(In)28 b(3.6.10)e(wurde)h(die)h(Menge)f
(der)g(reellen)g(P)n(olynomfunktionen)431 1612 y Fr(P)34
b Ft(=)23 b Fo(f)p Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fm(R)g Fo(\000)-48
b(!)23 b Fm(R)p Fo(j9)p Fr(n)g Fo(2)h Fm(N)14 b Fo(9)p
Fr(\013)1426 1624 y Fl(0)1463 1612 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)1700
1624 y Fk(n)1769 1612 y Fo(2)23 b Fm(R)p Fo(8)p Fr(x)h
Fo(2)f Fm(R)p Ft([)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))24
b(=)2497 1508 y Fk(n)2457 1533 y Fj(X)2464 1710 y Fk(i)p
Fl(=0)2591 1612 y Fr(\013)2644 1624 y Fk(i)2672 1612
y Fr(x)2719 1578 y Fk(i)2747 1612 y Ft(])p Fo(g)313 1856
y Ft(eingef)525 1860 y(\177)523 1856 y(uhrt.)k(Zeigen)e(Sie,)i(da\031)f
Fr(P)40 b Ft(ein)27 b(reeller)g(V)-7 b(ektorraum)26 b(ist.)207
1956 y(9.)41 b(In)32 b(3.6.7)e(wurde)i(gezeigt,)f(da\031)g(die)h(Menge)
f Fm(Z)p Fr(=)p Ft(\(2\))h(ein)g(K)2187 1960 y(\177)2187
1956 y(orp)r(er)e(\(mit)j(zw)n(ei)e(Ele-)313 2055 y(men)n(ten\))d(ist.)
g(Zeigen)f(Sie:)345 2155 y(a\))42 b(Die)28 b(Menge)f
Fo(f)p Ft(0)p Fr(;)14 b(a;)g(b;)g(c)p Fo(g)25 b Ft(mit)j(der)g(durc)n
(h)f(die)g(Grupp)r(en)n(tafel)1525 2326 y(+)p 1601 2356
4 100 v 26 w(0)e Fr(a)k(b)k(c)p 1513 2359 365 4 v 1536
2429 a Ft(0)p 1600 2459 4 100 v 38 w(0)25 b Fr(a)k(b)k(c)1535
2529 y(a)p 1600 2559 V 35 w(a)26 b Ft(0)k Fr(c)j(b)1539
2628 y(b)p 1600 2658 V 44 w(b)f(c)e Ft(0)c Fr(a)1539
2728 y(c)p 1600 2758 V 43 w(c)33 b(b)c(a)d Ft(0)461 2896
y(b)r(esc)n(hrieb)r(enen)18 b(ab)r(elsc)n(hen)g(Grupp)r(enstruktur)g
(und)h(einer)f(geeeigneten)f(Mul-)461 2996 y(tiplik)-5
b(ation)27 b(mit)g(Sk)-5 b(alaren)26 b(ist)h(ein)g(V)-7
b(ektorraum)2052 3000 y(\177)2050 2996 y(ub)r(er)27 b(dem)g(K)2485
3000 y(\177)2485 2996 y(orp)r(er)e Fm(Z)p Fr(=)p Ft(\(2\).)341
3095 y(b\))42 b(F)517 3099 y(\177)515 3095 y(ur)27 b(jeden)h
Fm(Z)p Fr(=)p Ft(\(2\)-V)-7 b(ektorraum)26 b Fr(V)47
b Ft(gilt)27 b Fo(8)p Fr(v)g Fo(2)c Fr(V)c Ft([)p Fr(v)j
Ft(+)c Fr(v)26 b Ft(=)d(0].)350 3195 y(c\))42 b(Es)35
b(gibt)h(k)n(eine)f Fm(Z)p Fr(=)p Ft(\(2\)-V)-7 b(ektorraumstruktur)34
b(auf)i(der)f(Menge)g Fo(f)p Ft(0)p Fr(;)14 b(a;)g(b;)g(c)p
Fo(g)p Ft(,)461 3294 y(deren)27 b(Addition)h(durc)n(h)f(die)h(Grupp)r
(en)n(tafel)1525 3461 y(+)p 1601 3491 V 26 w(0)d Fr(a)k(b)k(c)p
1513 3494 365 4 v 1536 3564 a Ft(0)p 1600 3594 4 100
v 38 w(0)25 b Fr(a)k(b)k(c)1535 3663 y(a)p 1600 3693
V 35 w(a)c(b)k(c)d Ft(0)1539 3763 y Fr(b)p 1600 3793
V 44 w(b)i(c)e Ft(0)c Fr(a)1539 3863 y(c)p 1600 3892
V 43 w(c)k Ft(0)c Fr(a)j(b)461 4031 y Ft(b)r(esc)n(hrieb)r(en)e(wird.)
165 4130 y(10.)41 b(Sei)28 b Fr(V)46 b Ft(ein)28 b Fm(R)p
Ft(-V)-7 b(ektorraum.)26 b(Zeigen)h(Sie:)h(Mit)g(der)f(durc)n(h)984
4297 y(\()p Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))20 b(+)e(\()p Fr(x;)c(y)s
Ft(\))28 b(=)23 b(\()p Fr(v)f Ft(+)c Fr(x;)c(w)21 b Ft(+)d
Fr(y)s Ft(\))919 4396 y(\()p Fr(\013)h Ft(+)f Fr(\014)t(i)p
Ft(\))h Fo(\001)f Ft(\()p Fr(v)s(;)c(w)r Ft(\))29 b(=)23
b(\()p Fr(\013v)f Fo(\000)c Fr(\014)t(w)r(;)c(\013w)23
b Ft(+)18 b Fr(\014)t(v)s Ft(\))313 4564 y(f)340 4568
y(\177)338 4564 y(ur)30 b Fr(v)s(;)14 b(w)r(;)g(x;)g(y)31
b Fo(2)d Fr(V)49 b Ft(und)31 b Fr(\013;)14 b(\014)32
b Fo(2)c Fm(R)i Ft(b)r(esc)n(hrieb)r(enen)g(Addition)h(und)g(Multiplik)
-5 b(a-)313 4664 y(tion)28 b(mit)g(Sk)-5 b(alaren)26
b(ist)i Fr(V)38 b Fo(\002)18 b Fr(V)46 b Ft(ein)28 b
Fm(C)p Ft(-V)-7 b(ektorraum.)p eop end
%%Page: 149 10
TeXDict begin 149 9 bop 1168 100 a Fn(5.2)43 b(Lineark)n(om)n
(binationen,)26 b(Basen,)h(Dimension)152 b(149)165 282
y Ft(11.)41 b(Bew)n(eisen)32 b(Sie)h(das)g(mo)r(dulare)f(Gesetz:)i
(Sind)f Fr(V)52 b Ft(ein)34 b Fr(K)6 b Ft(-V)-7 b(ektorraum)31
b(und)i Fr(U)2869 294 y Fl(1)2906 282 y Ft(,)313 382
y Fr(U)370 394 y Fl(2)407 382 y Ft(,)c Fr(U)516 394 y
Fl(3)579 382 y Fo(\032)c Fr(V)49 b Ft(Un)n(terv)n(ektorr)1237
386 y(\177)1237 382 y(aume)26 b(mit)k Fr(U)1668 394 y
Fl(1)1731 382 y Fo(\032)25 b Fr(U)1878 394 y Fl(3)1915
382 y Ft(,)30 b(dann)f(ist)g(\()p Fr(U)2383 394 y Fl(1)2440
382 y Ft(+)19 b Fr(U)2581 394 y Fl(2)2618 382 y Ft(\))h
Fo(\\)g Fr(U)2802 394 y Fl(3)2865 382 y Ft(=)313 482
y Fr(U)370 494 y Fl(1)425 482 y Ft(+)e(\()p Fr(U)597
494 y Fl(2)653 482 y Fo(\\)h Fr(U)784 494 y Fl(3)821
482 y Ft(\).)165 792 y Fs(5.2)42 b(Lineark)m(om)m(binationen,)f(Basen,)
d(Dimension)165 981 y Ft(Nac)n(hdem)f(wir)g(bisher)f(n)n(ur)h(ganze)f
(V)-7 b(ektorr)1622 985 y(\177)1622 981 y(aume)36 b(studiert)h(hab)r
(en,)g(soll)g(jetzt)h(das)165 1081 y(eigen)n(tlic)n(he)30
b(Rec)n(hnen)h(mit)h(V)-7 b(ektoren)30 b(b)r(etrac)n(h)n(tet)g(w)n
(erden.)h(Da)f(wir)h(in)g(jedem)g(V)-7 b(ek-)165 1180
y(torraum)27 b(V)-7 b(ektoren)28 b(addieren)f(k)1224
1184 y(\177)1224 1180 y(onnen,)h(auc)n(h)g(mehr)g(als)f(zw)n(ei)h(V)-7
b(ektoren,)28 b(und)g(diese)165 1280 y(V)-7 b(ektoren)20
b(zudem)h(mit)f(Elemen)n(ten)g(aus)g(dem)h(K)1692 1284
y(\177)1692 1280 y(orp)r(er)d(m)n(ultipliziert)j(w)n(erden)e(k)2689
1284 y(\177)2689 1280 y(onnen,)165 1380 y(k)209 1384
y(\177)209 1380 y(onnen)28 b(wir)f(allgemeinere)f(Ausdr)1294
1384 y(\177)1292 1380 y(uc)n(k)n(e)h(der)g(folgenden)g(F)-7
b(orm)27 b(bilden:)1053 1503 y Fk(n)1013 1528 y Fj(X)1020
1705 y Fk(i)p Fl(=1)1147 1607 y Fr(\013)1200 1619 y Fk(i)1228
1607 y Fr(v)1268 1619 y Fk(i)1319 1607 y Ft(=)c Fr(\013)1460
1619 y Fl(1)1497 1607 y Fr(v)1537 1619 y Fl(1)1593 1607
y Ft(+)18 b Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(\013)1927 1619 y
Fk(n)1973 1607 y Fr(v)2013 1619 y Fk(n)2058 1607 y Fr(:)165
1845 y Ft(Im)31 b(v)n(orhergehenden)d(Absc)n(hnitt)j(hab)r(en)g(wir)f
(solc)n(he)f(Summen)i(sogar)d(f)2511 1849 y(\177)2509
1845 y(ur)j(F)-7 b(amilien)165 1945 y(mit)26 b(unendlic)n(h)f(vielen)g
(V)-7 b(ektoren)24 b(gebildet,)h(sofern)f(n)n(ur)g(endlic)n(h)h(viele)f
(der)h(V)-7 b(ektoren)165 2044 y(v)n(on)26 b(Null)i(v)n(ersc)n(hieden)d
(sind.)j(Das)e(k)-5 b(ann)27 b(in)g(einem)g(Ausdruc)n(k)g(der)f(F)-7
b(orm)2573 1982 y Fj(P)2660 2069 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2780
2044 y Fr(\013)2833 2056 y Fk(i)2861 2044 y Fr(v)2901
2056 y Fk(i)165 2144 y Ft(z.B.)31 b(dadurc)n(h)f(gesc)n(hehen,)g
(da\031)g(n)n(ur)g(endlic)n(h)h(viele)g(Sk)-5 b(alare)29
b Fr(\013)2213 2156 y Fk(i)2272 2144 y Ft(v)n(on)h(Null)h(v)n(ersc)n
(hie-)165 2244 y(den)26 b(sind,)g(o)r(der)f(auc)n(h)g(dadurc)n(h,)f
(da\031)h(n)n(ur)g(endlic)n(h)h(viele)f(V)-7 b(ektoren)25
b Fr(v)2402 2256 y Fk(i)2456 2244 y Ft(v)n(on)f(Null)j(v)n(er-)165
2343 y(sc)n(hieden)32 b(sind.)f(Daher)h(setzen)f(wir)h(allgemein,)f(w)n
(enn)g(wir)g(eine)h(Summe)g(der)g(F)-7 b(orm)165 2381
y Fj(P)253 2468 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)373 2443 y Fr(\013)426
2455 y Fk(i)454 2443 y Fr(v)494 2455 y Fk(i)548 2443
y Ft(sc)n(hreib)r(en,)26 b(immer)g(stillsc)n(h)n(w)n(eigend)f(v)n
(oraus,)f(da\031)i(n)n(ur)f(endlic)n(h)i(viele)f(der)165
2543 y(Pro)r(dukte)h Fr(\013)584 2555 y Fk(i)612 2543
y Fr(v)652 2555 y Fk(i)703 2543 y Fo(6)p Ft(=)22 b(0)28
b(sind.)165 2698 y Fq(De\014nition)j(5.2.1)40 b Ft(Eine)22
b(Summe)1325 2636 y Fj(P)1412 2723 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1533
2698 y Fr(\013)1586 2710 y Fk(i)1613 2698 y Fr(v)1653
2710 y Fk(i)1704 2698 y Ft(mit)h Fr(v)1891 2710 y Fk(i)1942
2698 y Fo(2)h Fr(V)41 b Ft(und)24 b Fr(\013)2325 2710
y Fk(i)2376 2698 y Fo(2)f Fr(K)6 b Ft(,)22 b(w)n(ob)r(ei)h(n)n(ur)165
2798 y(endlic)n(h)k(viele)f Fr(\013)691 2810 y Fk(i)718
2798 y Fr(v)758 2810 y Fk(i)809 2798 y Fo(6)p Ft(=)d(0)j(sind,)g(wird)g
Fp(Line)l(arkombination)35 b Ft(der)25 b(V)-7 b(ektoren)26
b Fr(v)2595 2810 y Fk(i)2649 2798 y Ft(mit)h(den)165
2897 y Fp(Ko)l(e\016zienten)35 b Fr(\013)723 2909 y Fk(i)778
2897 y Ft(genann)n(t.)27 b(F)1173 2901 y(\177)1171 2897
y(ur)g Fr(n)c Ft(=)g(1)k(de\014nieren)h(wir)1287 3034
y Fl(1)1244 3058 y Fj(X)1250 3235 y Fk(i)p Fl(=1)1377
3137 y Fr(\013)1430 3149 y Fk(i)1458 3137 y Fr(v)1498
3149 y Fk(i)1549 3137 y Ft(:=)23 b Fr(\013)1713 3149
y Fl(1)1750 3137 y Fr(v)1790 3149 y Fl(1)1828 3137 y
Fr(:)165 3380 y Ft(F)221 3384 y(\177)219 3380 y(ur)28
b Fr(n)23 b Ft(=)f(0,)28 b(also)e(eine)i(leere)f(Summe)h(\(ohne)g
(Summanden\),)g(de\014nieren)f(wir)1110 3545 y Fj(X)1136
3722 y Fk(i)p Fi(2)1244 3624 y Fr(\013)1297 3636 y Fk(i)1325
3624 y Fr(v)1365 3636 y Fk(i)1416 3624 y Ft(=)1547 3521
y Fl(0)1503 3545 y Fj(X)1510 3722 y Fk(i)p Fl(=1)1637
3624 y Fr(\013)1690 3636 y Fk(i)1718 3624 y Fr(v)1758
3636 y Fk(i)1809 3624 y Ft(:=)c(0)p Fr(:)165 3867 y Fq(De\014nition)31
b(5.2.2)81 b Ft(1.)42 b(Seien)29 b Fr(V)49 b Ft(ein)30
b(V)-7 b(ektorraum,)28 b Fr(X)33 b Fo(\032)26 b Fr(V)49
b Ft(eine)29 b(T)-7 b(eilmenge)30 b(und)313 3966 y Fr(v)g
Fo(2)d Fr(V)49 b Ft(ein)30 b(V)-7 b(ektor.)30 b(Wir)g(sagen,)f(da\031)g
Fr(v)k Ft(v)n(on)c Fr(X)37 b Fp(line)l(ar)32 b(abh)2271
3970 y(\177)2272 3966 y(angig)40 b Ft(ist,)30 b(w)n(enn)f(es)313
4066 y(eine)35 b(Darstellung)g Fr(v)k Ft(=)1125 4004
y Fj(P)1213 4091 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(X)1370 4066 y Fr(\013)1423
4078 y Fk(v)1462 4066 y Fr(v)g Ft(gibt,)c(o)r(der)g(genauer,)f(w)n(enn)
h(es)g(V)-7 b(ektoren)313 4166 y Fr(v)353 4178 y Fl(1)390
4166 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)615 4178 y Fk(n)690
4166 y Fo(2)29 b Fr(X)38 b Ft(und)32 b(Sk)-5 b(alare)30
b Fr(\013)1396 4178 y Fl(1)1433 4166 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\013)
1671 4178 y Fk(n)1745 4166 y Fo(2)30 b Fr(K)37 b Ft(so)30
b(gibt,)i(da\031)e Fr(v)j Ft(=)2567 4103 y Fj(P)2655
4124 y Fk(n)2655 4191 y(i)p Fl(=1)2780 4166 y Fr(\013)2833
4178 y Fk(i)2861 4166 y Fr(v)2901 4178 y Fk(i)313 4265
y Ft(gilt,)d(d.h.)g(da\031)f Fr(v)k Ft(eine)c(Lineark)n(om)n(bination)f
(der)h(V)-7 b(ektoren)29 b Fr(v)2310 4277 y Fl(1)2348
4265 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)2572 4277 y Fk(n)2647
4265 y Ft(ist.)30 b(Wir)313 4365 y(lassen)d(dab)r(ei)g(auc)n(h)g(die)h
(M)1183 4369 y(\177)1183 4365 y(oglic)n(hk)n(eiten)f
Fr(n)22 b Ft(=)h(0)k(und)h Fr(n)23 b Ft(=)g(1)k(zu.)207
4465 y(2.)41 b(Die)30 b(Menge)g(der)f(v)n(on)g(einer)h(T)-7
b(eilmenge)29 b Fr(X)k Fo(\032)26 b Fr(V)49 b Ft(linear)29
b(abh)2297 4469 y(\177)2297 4465 y(angigen)g(V)-7 b(ektoren)313
4564 y(hei\031t)33 b(die)f(v)n(on)g Fr(X)39 b Fp(erzeugte)g
Ft(o)r(der)32 b Fp(aufgesp)l(annte)j(Menge)40 b Fo(h)p
Fr(X)7 b Fo(i)p Ft(.)33 b(Ist)g Fr(X)k Ft(=)32 b Fo(;)p
Ft(,)g(so)313 4664 y(gilt)c Fo(h;i)23 b Ft(=)f Fo(f)p
Ft(0)p Fo(g)p Ft(.)p eop end
%%Page: 150 11
TeXDict begin 150 10 bop 165 100 a Fn(150)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)207 282
y Ft(3.)41 b(Eine)32 b(T)-7 b(eilmenge)32 b Fr(X)37 b
Fo(\032)30 b Fr(V)51 b Ft(eines)32 b(V)-7 b(ektorraumes)31
b Fr(V)51 b Ft(wird)32 b Fp(Erzeugendenmenge)313 382
y Ft(genann)n(t,)c(w)n(enn)g(jeder)g(V)-7 b(ektor)28
b Fr(v)f Fo(2)e Fr(V)47 b Ft(linear)28 b(abh)1953 386
y(\177)1953 382 y(angig)f(v)n(on)g Fr(X)35 b Ft(ist,)29
b(d.h.)f(w)n(enn)313 482 y(jeder)e(V)-7 b(ektor)26 b(aus)g
Fr(V)45 b Ft(eine)27 b(Lineark)n(om)n(bination)d(v)n(on)i(V)-7
b(ektoren)25 b(aus)h Fr(X)33 b Ft(ist.)27 b(Mit)313 581
y(anderen)32 b(W)-7 b(orten)33 b(gilt)g Fr(V)50 b Ft(=)32
b Fo(h)p Fr(X)7 b Fo(i)33 b Ft(genau)f(dann,)h(w)n(enn)g
Fr(X)39 b Ft(eine)33 b(Erzeugenden-)313 681 y(menge)27
b(v)n(on)g Fr(V)47 b Ft(ist.)207 780 y(4.)41 b(Der)33
b(V)-7 b(ektorraum)33 b Fr(V)52 b Ft(hei\031t)34 b Fp(end)t(lich)j
(erzeugt)p Ft(,)c(w)n(enn)h(es)f(eine)h(endlic)n(he)g(Erzeu-)313
880 y(gendenmenge)27 b(f)852 884 y(\177)850 880 y(ur)h
Fr(V)46 b Ft(gibt.)207 980 y(5.)41 b(Eine)29 b(T)-7 b(eilmenge)30
b Fr(X)j Fo(\032)26 b Fr(V)49 b Ft(eines)29 b(V)-7 b(ektorraumes)28
b Fr(V)49 b Ft(hei\031t)59 b Fp(line)l(ar)33 b(unabh)2714
984 y(\177)2715 980 y(angig)p Ft(,)313 1079 y(w)n(enn)26
b(k)n(einer)g(der)h(V)-7 b(ektoren)26 b(aus)g Fr(X)33
b Ft(v)n(on)26 b(den)1828 1083 y(\177)1826 1079 y(ubrigen)g(V)-7
b(ektoren)26 b(aus)g Fr(X)33 b Ft(linear)313 1179 y(abh)447
1183 y(\177)447 1179 y(angig)23 b(ist.)i(Gleic)n(h)n(b)r(edeutend)g
(damit)g(ist)g(die)f(folgende)h(Aussage:)e(Sind)i Fr(\013)2811
1191 y Fk(v)2874 1179 y Fo(2)313 1279 y Fr(K)36 b Ft(f)447
1283 y(\177)445 1279 y(ur)30 b(alle)f Fr(v)i Fo(2)c Fr(X)37
b Ft(so)29 b(gegeb)r(en,)h(da\031)1572 1216 y Fj(P)1660
1303 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(X)1817 1279 y Fr(\013)1870 1291
y Fk(v)1909 1279 y Fr(v)g Ft(=)d(0)j(gilt,)g(dann)g(gilt)g
Fr(\013)2729 1291 y Fk(v)2796 1279 y Ft(=)d(0)313 1378
y(f)340 1382 y(\177)338 1378 y(ur)c(alle)f Fr(v)27 b
Fo(2)c Fr(X)7 b Ft(.)22 b(Ist)h Fr(X)29 b Ft(nic)n(h)n(t)23
b(linear)f(unabh)1724 1382 y(\177)1724 1378 y(angig,)g(so)g(hei\031t)h
Fr(X)29 b Fp(line)l(ar)d(abh)2713 1382 y(\177)2714 1378
y(angig)p Ft(.)290 1544 y(Aus)33 b(dieser)f(De\014nition)h(folgt)g
(unmittelbar,)g(da\031)f(jede)h(T)-7 b(eilmenge)33 b(einer)f(linear)165
1644 y(unabh)391 1648 y(\177)391 1644 y(angigen)24 b(Menge)h(wieder)g
(linear)g(unabh)1672 1648 y(\177)1672 1644 y(angig)f(ist,)h(und)h
(da\031)e(jede)i(Ob)r(ermenge)165 1743 y(einer)36 b(Erzeugendenmenge)e
(wieder)i(eine)g(Erzeugendenmenge)e(ist.)i(Au\031erdem)g(ist)165
1843 y(jede)28 b(Ob)r(ermenge)f(einer)g(linear)g(abh)1347
1847 y(\177)1347 1843 y(angigen)f(Menge)h(linear)g(abh)2281
1847 y(\177)2281 1843 y(angig.)165 2009 y Fq(Lemma)32
b(5.2.3)40 b Fp(Sei)k Fr(X)c Fo(\032)34 b Fr(V)54 b Fp(eine)36
b(T)-6 b(eilmenge)37 b(des)f(V)-6 b(ektorr)l(aumes)42
b Fr(V)19 b Fp(.)36 b(Dann)f(ist)165 2109 y(die)c(von)37
b Fr(X)f Fp(erzeugte)29 b(Menge)37 b Fo(h)p Fr(X)7 b
Fo(i)29 b Fp(ein)h(Untervektorr)l(aum)f(von)37 b Fr(V)19
b Fp(.)165 2283 y(Beweis.)44 b Ft(Sic)n(her)23 b(ist)g(0)g
Fo(2)g(h)p Fr(X)7 b Fo(i)24 b Ft(als)f(Lineark)n(om)n(bination)e(ohne)j
(Summanden.)g(Also)f(ist)165 2383 y Fo(h)p Fr(X)7 b Fo(i)34
b(6)p Ft(=)f Fo(;)p Ft(.)g(Seien)h Fr(v)798 2395 y Fk(j)867
2383 y Ft(=)965 2320 y Fj(P)1052 2408 y Fk(x)p Fi(2)p
Fk(X)1212 2383 y Fr(\013)1265 2395 y Fk(xj)1337 2383
y Fr(x)h Ft(mit)f Fr(j)k Ft(=)33 b(1)p Fr(;)14 b Ft(2)33
b(zw)n(ei)h(b)r(eliebige)f(Elemen)n(te)h(aus)165 2482
y Fo(h)p Fr(X)7 b Fo(i)p Ft(.)28 b(Sei)g(w)n(eiter)f
Fr(\014)g Fo(2)d Fr(K)6 b Ft(.)27 b(Dann)h(sind)557 2682
y Fr(v)597 2694 y Fl(1)653 2682 y Ft(+)18 b Fr(v)776
2694 y Fl(2)836 2682 y Ft(=)23 b(\()967 2603 y Fj(X)956
2781 y Fk(x)p Fi(2)p Fk(X)1112 2682 y Fr(\013)1165 2694
y Fk(x)p Fl(1)1240 2682 y Fr(x)p Ft(\))c(+)f(\()1464
2603 y Fj(X)1453 2781 y Fk(x)p Fi(2)p Fk(X)1608 2682
y Fr(\013)1661 2694 y Fk(x)p Fl(2)1736 2682 y Fr(x)p
Ft(\))24 b(=)1937 2603 y Fj(X)1927 2781 y Fk(x)p Fi(2)p
Fk(X)2068 2682 y Ft(\()p Fr(\013)2153 2694 y Fk(x)p Fl(1)2247
2682 y Ft(+)18 b Fr(\013)2383 2694 y Fk(x)p Fl(2)2458
2682 y Ft(\))p Fr(x)165 2943 y Ft(und)932 3042 y Fr(\014)t(v)1023
3054 y Fl(1)1084 3042 y Ft(=)23 b Fr(\014)t Ft(\()1266
2963 y Fj(X)1255 3141 y Fk(x)p Fi(2)p Fk(X)1411 3042
y Fr(\013)1464 3054 y Fk(x)p Fl(1)1539 3042 y Fr(x)p
Ft(\))h(=)1740 2963 y Fj(X)1729 3141 y Fk(x)p Fi(2)p
Fk(X)1871 3042 y Ft(\()p Fr(\014)t(\013)2007 3054 y Fk(x)p
Fl(1)2082 3042 y Ft(\))p Fr(x)165 3274 y Ft(eb)r(enfalls)k(Elemen)n(te)
f(v)n(on)g Fo(h)p Fr(X)7 b Fo(i)p Ft(.)28 b(Also)f(ist)h
Fo(h)p Fr(X)7 b Fo(i)27 b Ft(ein)h(Un)n(terv)n(ektorraum.)165
3449 y Fq(Beispiele)i(5.2.4)81 b Ft(1.)41 b(Im)28 b(V)-7
b(ektorraum)26 b Fm(R)1598 3419 y Fl(2)1663 3449 y Ft(gilt)1153
3631 y(\()p Fo(\000)p Ft(7)p Fr(;)14 b Ft(6\))22 b(=)h(3\(1)p
Fr(;)14 b Ft(2\))j Fo(\000)h Ft(5\(2)p Fr(;)c Ft(0\))p
Fr(:)313 3814 y Ft(Also)24 b(ist)g(\()p Fo(\000)p Ft(7)p
Fr(;)14 b Ft(6\))24 b(v)n(on)g(der)g(Menge)f Fo(f)p Ft(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(2\))p Fr(;)g Ft(\(2)p Fr(;)g Ft(0\))p Fo(g)23
b Ft(linear)g(abh)2313 3818 y(\177)2313 3814 y(angig.)g(Eb)r(enso)h
(ist)313 3914 y(\(5)p Fr(;)14 b Ft(7\))21 b(v)n(on)f(der)h(Menge)g
Fo(f)p Ft(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\(1)p Fr(;)g
Ft(1\))p Fr(;)g Ft(\(0)p Fr(;)g Ft(1\))p Fo(g)19 b Ft(linear)i(abh)2156
3918 y(\177)2156 3914 y(angig.)e(Es)i(gilt)g(n)2691 3918
y(\177)2691 3914 y(amlic)n(h)1021 4096 y(\(5)p Fr(;)14
b Ft(7\))23 b(=)g(2\(1)p Fr(;)14 b Ft(0\))j(+)h(3\(1)p
Fr(;)c Ft(1\))k(+)g(4\(0)p Fr(;)c Ft(1\))p Fr(:)313 4279
y Ft(Eine)41 b(unserer)f(Aufgab)r(en)i(wird)f(es)g(sein,)h(die)f(Ko)r
(e\016zien)n(ten)g(\(hier)h(2,)f(3)g(und)313 4379 y(4\))33
b(zu)h(\014nden,)f(die)h(in)f(einer)g(Lineark)n(om)n(bination)e(zur)i
(Darstellung)g(v)n(on)g(\(5)p Fr(;)14 b Ft(7\))313 4478
y(v)n(erw)n(endet)38 b(w)n(erden)h(m)1086 4482 y(\177)1084
4478 y(ussen.)g(Sie)h(w)n(erden)e(im)i(allgemeinen)f(nic)n(h)n(t)g
(eindeutig)313 4578 y(b)r(estimm)n(t)28 b(sein,)g(d.)g(h.)g(wir)f(w)n
(erden)g(v)n(ersc)n(hiedene)f(W)-7 b(ahlm)2229 4582 y(\177)2229
4578 y(oglic)n(hk)n(eiten)26 b(hab)r(en.)p eop end
%%Page: 151 12
TeXDict begin 151 11 bop 1168 100 a Fn(5.2)43 b(Lineark)n(om)n
(binationen,)26 b(Basen,)h(Dimension)152 b(151)207 282
y Ft(2.)41 b(Im)28 b(V)-7 b(ektorraum)26 b Fm(R)959 252
y Fl(3)1024 282 y Ft(gilt)971 458 y(\()p Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(5\))21 b(=)i(2\(1)p Fr(;)14
b Ft(2)p Fr(;)g Ft(3\))j(+)h(\()p Fo(\000)p Ft(1\)\(3)p
Fr(;)c Ft(2)p Fr(;)g Ft(1\))p Fr(:)313 634 y Ft(Jedo)r(c)n(h)k(ist)g
(\(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))k(v)n(on)f(der)h(Menge)g
Fo(f)p Ft(\(1)p Fr(;)c Ft(2)p Fr(;)g Ft(3\))p Fr(;)g
Ft(\(3)p Fr(;)g Ft(2)p Fr(;)g Ft(1\))p Fo(g)h Ft(nic)n(h)n(t)k(linear)e
(abh)2725 638 y(\177)2725 634 y(angig.)313 734 y(G)378
738 y(\177)378 734 y(ab)r(e)28 b(es)f(n)676 738 y(\177)676
734 y(amlic)n(h)g Fr(\013)h Ft(und)g Fr(\014)k Ft(mit)1057
910 y(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))22 b(=)g Fr(\013)p
Ft(\(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(3\))k(+)g Fr(\014)t
Ft(\(3)p Fr(;)c Ft(2)p Fr(;)g Ft(1\))p Fr(;)313 1086
y Ft(so)27 b(w)475 1090 y(\177)475 1086 y(aren)g Fr(\013)h
Ft(und)g Fr(\014)k Ft(L)1038 1090 y(\177)1038 1086 y(osungen)26
b(des)i(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungssystems)1388 1257
y(1)p Fr(\013)18 b Ft(+)g(3)p Fr(\014)29 b Ft(=)23 b(1)p
Fr(;)1388 1356 y Ft(2)p Fr(\013)18 b Ft(+)g(2)p Fr(\014)29
b Ft(=)23 b(0)p Fr(;)1388 1456 y Ft(3)p Fr(\013)18 b
Ft(+)g(1)p Fr(\014)29 b Ft(=)23 b(0)p Fr(:)313 1633 y
Ft(Dieses)39 b(Gleic)n(h)n(ungssystem)e(hat)i(ab)r(er)g(o\013en)n(bar)f
(k)n(eine)g(L)2220 1637 y(\177)2220 1633 y(osung.)g(\(Die)i(letzten)313
1732 y(b)r(eiden)e(Gleic)n(h)n(ungen)f(lassen)g(sic)n(h)g(n)n(ur)g
(durc)n(h)g Fr(\013)j Ft(=)g Fr(\014)k Ft(=)39 b(0)e(erf)2466
1736 y(\177)2464 1732 y(ullen.)h(Damit)313 1832 y(k)-5
b(ann)28 b(ab)r(er)f(die)g(erste)g(Gleic)n(h)n(ung)g(nic)n(h)n(t)h(erf)
1726 1836 y(\177)1724 1832 y(ullt)g(w)n(erden.\))207
1932 y(3.)41 b(Wir)33 b(b)r(ezeic)n(hnen)g(mit)g Fr(e)1108
1944 y Fk(i)1168 1932 y Ft(=)e(\(0)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g
Ft(1)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0\))32 b(die)h(V)-7
b(ektoren)33 b(in)g Fr(K)2532 1902 y Fk(n)2609 1932 y
Ft(mit)h(1)e(an)313 2031 y(der)c Fr(i)p Ft(-ten)f(Stelle)i(und)f(0)g
(an)f(allen)h(anderen)f(Stellen.)i(Die)f(Menge)g(der)g(V)-7
b(ektoren)313 2131 y Fo(f)p Fr(e)394 2143 y Fk(i)421
2131 y Fo(j)14 b Fr(i)24 b Ft(=)g(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p
Fr(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(n)p Fo(g)28 b Ft(ist)h(eine)f(Erzeugendenmenge)f
(f)2061 2135 y(\177)2059 2131 y(ur)i(den)f(V)-7 b(ektorraum)27
b Fr(K)2861 2101 y Fk(n)2906 2131 y Ft(,)313 2231 y(denn)h(es)f(gilt)h
(f)788 2235 y(\177)786 2231 y(ur)f(alle)h(V)-7 b(ektoren)1220
2469 y(\()p Fr(\030)1288 2481 y Fl(1)1326 2469 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(\030)1547 2481 y Fk(n)1592 2469 y Ft(\))23
b(=)1774 2365 y Fk(n)1735 2390 y Fj(X)1741 2567 y Fk(i)p
Fl(=1)1869 2469 y Fr(\030)1905 2481 y Fk(i)1933 2469
y Fr(e)1972 2481 y Fk(i)1999 2469 y Fr(:)313 2722 y Ft(W)-7
b(eiterhin)39 b(b)r(emerk)n(en)e(wir,)h(da\031)f Fo(f)p
Fr(e)1518 2734 y Fk(i)1545 2722 y Fo(g)h Ft(eine)g(linear)f(unabh)2273
2726 y(\177)2273 2722 y(angige)g(Menge)h(ist.)313 2821
y(Nehmen)26 b(wir)g(n)824 2825 y(\177)824 2821 y(amlic)n(h)g(ein)g
Fr(e)1259 2833 y Fk(i)1312 2821 y Ft(aus)g(dieser)f(Menge)g(heraus,)g
(so)h(k)-5 b(ann)26 b(man)g(durc)n(h)313 2921 y(Lineark)n(om)n
(binationen)j(der)1257 2925 y(\177)1255 2921 y(ubrigen)h
Fr(e)1597 2933 y Fk(j)1663 2921 y Ft(n)n(ur)g(solc)n(he)g(V)-7
b(ektoren)30 b(darstellen,)g(die)313 3021 y(an)d(der)g
Fr(i)p Ft(-ten)h(Stelle)g(eine)f(0)h(hab)r(en,)f(insb)r(esondere)g
(also)g(nic)n(h)n(t)g Fr(e)2407 3033 y Fk(i)2435 3021
y Ft(.)207 3120 y(4.)41 b(Sei)g Fr(I)49 b Ft(eine)41
b(b)r(eliebige)g(Menge.)g(Wir)g(de\014nieren)h(eine)f(Abbildung)h
Fr(\016)49 b Ft(:)c Fr(I)35 b Fo(\002)27 b Fr(I)313 3220
y Fo(\000)-48 b(!)23 b(f)p Ft(0)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fo(g)25
b Ft(durc)n(h)1164 3369 y Fr(\016)s Ft(\()p Fr(i;)14
b(j)5 b Ft(\))23 b(:=)1507 3252 y Fj(\032)1583 3320 y
Ft(1)82 b(f)1734 3324 y(\177)1732 3320 y(ur)28 b Fr(i)23
b Ft(=)f Fr(j)5 b Ft(,)1583 3419 y(0)82 b(f)1734 3423
y(\177)1732 3419 y(ur)28 b Fr(i)23 b Fo(6)p Ft(=)f Fr(j)5
b Ft(.)313 3570 y(Diese)27 b(Abbildung)h(hei\031t)f(auc)n(h)g
Fp(Kr)l(one)l(cker)1711 3540 y Fl(1)1778 3570 y Fp(F)-6
b(unktion)p Ft(,)26 b Fp(Kr)l(one)l(cker)k(Delta)k Ft(o)r(der)313
3670 y Fp(Kr)l(one)l(cker)c(Symb)l(ol)p Ft(.)e(Man)g(sc)n(hreibt)f(oft)
g Fr(\016)1680 3682 y Fk(ij)1762 3670 y Ft(:=)22 b Fr(\016)s
Ft(\()p Fr(i;)14 b(j)5 b Ft(\).)28 b(Die)g(V)-7 b(ektoren)1338
3846 y Fr(e)1377 3858 y Fk(i)1427 3846 y Ft(:=)23 b(\()p
Fr(\016)1607 3858 y Fk(ij)1666 3846 y Fo(j)p Fr(j)28
b Fo(2)23 b Fr(I)7 b Ft(\))313 4022 y(liegen)34 b(in)g(dem)h(V)-7
b(ektorraum)33 b Fr(K)1388 3992 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))1477
4022 y Ft(,)35 b(denn)f(es)g(ist)g(n)n(ur)g(eine)g(Komp)r(onen)n(te)g
(v)n(on)313 4121 y(Null)d(v)n(ersc)n(hieden.)e(Die)i(Menge)f(der)h(V)-7
b(ektoren)30 b Fo(f)p Fr(e)1971 4133 y Fk(i)1997 4121
y Fo(j)p Fr(i)e Fo(2)g Fr(I)7 b Fo(g)31 b Ft(ist)f(eine)h(Erzeugen-)313
4221 y(denmenge)c(f)727 4225 y(\177)725 4221 y(ur)h(den)g(V)-7
b(ektorraum)26 b Fr(K)1525 4191 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))1615
4221 y Ft(,)27 b(denn)h(es)g(gilt)f(f)2140 4225 y(\177)2138
4221 y(ur)h(alle)f(V)-7 b(ektoren)1351 4409 y(\()p Fr(\030)1419
4421 y Fk(i)1447 4409 y Ft(\))23 b(=)1590 4330 y Fj(X)1595
4508 y Fk(j)s Fi(2)p Fk(I)1724 4409 y Fr(\030)1760 4421
y Fk(j)1795 4409 y Fr(e)1834 4421 y Fk(j)1868 4409 y
Fr(;)p 165 4578 394 4 v 195 4632 a Fe(1)255 4664 y Fn(Leop)r(old)k
(Kronec)n(k)n(er)e(\(1823{1891\))p eop end
%%Page: 152 13
TeXDict begin 152 12 bop 165 100 a Fn(152)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)313 282
y Ft(da)41 b(in)g(\()p Fr(\030)620 294 y Fk(i)649 282
y Ft(\))g(n)n(ur)g(endlic)n(h)g(viele)g(Komp)r(onen)n(ten)g(v)n(on)f
(Null)i(v)n(ersc)n(hieden)e(sind.)313 382 y(W)-7 b(eiterhin)31
b(b)r(emerk)n(en)g(wir,)f(da\031)g Fo(f)p Fr(e)1489 394
y Fk(i)1516 382 y Fo(j)p Fr(i)e Fo(2)h Fr(I)7 b Fo(g)31
b Ft(eine)g(linear)f(unabh)2430 386 y(\177)2430 382 y(angige)g(Menge)
313 482 y(ist.)k(Nehmen)g(wir)g(n)985 486 y(\177)985
482 y(amlic)n(h)f(ein)h Fr(e)1435 494 y Fk(i)1497 482
y Ft(aus)f(dieser)g(Menge)g(heraus,)g(so)g(k)-5 b(ann)34
b(man)313 581 y(durc)n(h)d(Lineark)n(om)n(binationen)d(der)1494
585 y(\177)1492 581 y(ubrigen)i Fr(e)1834 593 y Fk(j)1900
581 y Ft(n)n(ur)h(solc)n(he)f(V)-7 b(ektoren)30 b(darstel-)313
681 y(len,)d(die)g(an)f(der)h Fr(i)p Ft(-ten)f(Stelle)h(eine)g(0)g(hab)
r(en,)g(insb)r(esondere)f(also)f(nic)n(h)n(t)i Fr(e)2688
693 y Fk(i)2715 681 y Ft(.)g(Man)313 780 y(b)r(eac)n(h)n(te,)34
b(da\031)g(die)h Fr(e)989 792 y Fk(i)1051 780 y Ft(jedo)r(c)n(h)f(nic)n
(h)n(t)h(den)g(V)-7 b(ektorraum)33 b Fr(K)2240 750 y
Fk(I)2312 780 y Ft(erzeugen,)h(w)n(eil)g(es)313 880 y(V)-7
b(ektoren)26 b(\(F)-7 b(amilien\))27 b(mit)g(unendlic)n(h)f(vielen)h(v)
n(on)e(Null)i(v)n(ersc)n(hiedenen)e(Ko)r(e\016-)313 980
y(zien)n(ten)e(geb)r(en)f(k)-5 b(ann,)23 b(jedo)r(c)n(h)g(jede)g
(\(endlic)n(he!\))g(Lineark)n(om)n(bination)2574 917
y Fj(P)2662 1005 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2782 980 y Fr(\013)2835
992 y Fk(i)2863 980 y Fr(e)2902 992 y Fk(i)313 1079 y
Ft(n)n(ur)j(endlic)n(h)g(viele)h(v)n(on)e(Null)i(v)n(ersc)n(hiedene)e
(Ko)r(e\016zien)n(ten)h(hab)r(en)g(k)-5 b(ann.)27 b(Die)g
Fr(e)2902 1091 y Fk(i)313 1179 y Ft(liegen)d(ab)r(er)f(auc)n(h)h(in)g
Fr(K)1091 1149 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))1205 1179 y Ft(und)24
b(sind)h(o\013en)n(bar)e(sogar)f(eine)i(Erzeugendenmenge)313
1279 y(f)340 1283 y(\177)338 1279 y(ur)k(diesen)f(Un)n(terv)n
(ektorraum.)207 1378 y(5.)41 b(Sei)24 b(n)n(un)f Fr(V)42
b Ft(:=)23 b Fo(f)p Ft(\()p Fr(\030)913 1390 y Fl(1)950
1378 y Fr(;)14 b(\030)1023 1390 y Fl(2)1061 1378 y Fr(;)g(\030)1134
1390 y Fl(3)1171 1378 y Fr(;)g(\030)1244 1390 y Fl(4)1282
1378 y Ft(\))p Fo(j)p Fr(\030)1373 1390 y Fl(1)1411 1378
y Fr(;)g(\030)1484 1390 y Fl(2)1521 1378 y Fr(;)g(\030)1594
1390 y Fl(3)1632 1378 y Fr(;)g(\030)1705 1390 y Fl(4)1765
1378 y Fo(2)24 b Fm(R)p Fr(;)14 b(\030)1977 1390 y Fl(1)2025
1378 y Ft(+)c Fr(\030)2136 1390 y Fl(2)2184 1378 y Ft(+)g
Fr(\030)2295 1390 y Fl(3)2343 1378 y Ft(+)g Fr(\030)2454
1390 y Fl(4)2515 1378 y Ft(=)22 b(0)p Fo(g)p Fr(:)h Ft(Dann)313
1478 y(liegen)35 b(die)h(V)-7 b(ektoren)36 b(\()p Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\),)34
b(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p
Fr(;)g Ft(0\))34 b(und)i(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14
b Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))34 b(in)i Fr(V)55
b Ft(und)313 1577 y(bilden)26 b(eine)f(Erzeugendenmenge)e(f)1473
1581 y(\177)1471 1577 y(ur)i Fr(V)19 b Ft(.)25 b(W)-7
b(eiter)26 b(ist)f(diese)g(Menge)f(auc)n(h)h(linear)313
1677 y(unabh)539 1681 y(\177)539 1677 y(angig.)h(Den)j(Bew)n(eis)d
(hierf)1397 1681 y(\177)1395 1677 y(ur)1504 1681 y(\177)1502
1677 y(ub)r(erlassen)g(wir)h(dem)h(Leser)f(zur)2602 1660
y(\177)2591 1677 y(Ubung.)165 1839 y Fq(Lemma)32 b(5.2.5)40
b Fp(Die)d(Menge)44 b Fr(B)e Fp(im)c(V)-6 b(ektorr)l(aum)43
b Fr(V)56 b Fp(ist)37 b(genau)g(dann)h(line)l(ar)g(ab-)165
1939 y(h)206 1943 y(\177)207 1939 y(angig,)27 b(wenn)e(\(mindestens\))h
(ein)f(V)-6 b(ektor)34 b Fr(w)26 b Fo(2)d Fr(B)30 b Fp(Line)l
(arkombination)d(der)2663 1943 y(\177)2663 1939 y(ubrigen)165
2038 y(V)-6 b(ektor)l(en)29 b(ist:)1230 2138 y Fr(w)d
Ft(=)1487 2059 y Fj(X)1403 2238 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)s(;v)r
Fi(6)p Fl(=)p Fk(w)1705 2138 y Fr(\013)1758 2150 y Fk(v)1798
2138 y Fr(v)s(:)165 2374 y Fp(Wenn)i(die)h(letzte)f(Be)l(dingung)h(erf)
1258 2378 y(\177)1258 2374 y(ul)t(lt)g(ist,)g(dann)f(sind)h(die)g(von)
35 b Fr(B)d Fp(und)c(von)35 b Fr(B)20 b Fo(n)14 b(f)p
Fr(w)r Fo(g)165 2473 y Fp(erzeugten)30 b(Mengen)g(gleich:)1237
2649 y Fo(h)p Fr(B)t Fo(i)24 b Ft(=)f Fo(h)p Fr(B)f Fo(n)c(f)p
Fr(w)r Fo(gi)p Fr(:)165 2826 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Die)31
b(erste)e(Behauptung)i(ist)f(genau)g(die)g(De\014nition)i(der)e
(linearen)f(Abh)2813 2830 y(\177)2813 2826 y(an-)165
2925 y(gigk)n(eit.)e(In)h(der)f(zw)n(eiten)h(Behauptung)f(ist)h(die)g
(Inklusion)f Fo(h)p Fr(B)c Fo(n)18 b(f)p Fr(w)r Fo(gi)23
b(\032)g(h)p Fr(B)t Fo(i)28 b Ft(trivia-)165 3025 y(lerw)n(eise)d(w)n
(ahr.)g(Sei)i(also)e Fr(u)d Ft(=)1154 2963 y Fj(P)1241
3050 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)1392 3025 y Fr(\014)1439 3037
y Fk(v)1479 3025 y Fr(v)29 b Ft(und)e Fr(w)e Ft(=)1885
2963 y Fj(P)1973 3050 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)s(;v)r Fi(6)p
Fl(=)p Fk(w)2279 3025 y Fr(\013)2332 3037 y Fk(v)2372
3025 y Fr(v)s(:)h Ft(Setzen)h(wir)e Fr(w)165 3124 y Ft(in)j(die)g
(erste)f(Summe)h(ein,)g(so)f(erhalten)g(wir)1068 3312
y Fr(u)22 b Ft(=)1310 3234 y Fj(X)1226 3412 y Fk(v)r
Fi(2)p Fk(B)s(;v)r Fi(6)p Fl(=)p Fk(w)1515 3312 y Ft(\()p
Fr(\014)1594 3324 y Fk(v)1652 3312 y Ft(+)c Fr(\014)1782
3324 y Fk(w)1836 3312 y Fr(\013)1889 3324 y Fk(v)1928
3312 y Ft(\))p Fr(v)s(;)165 3574 y Ft(also)27 b(die)h(geforderte)e
(Eigensc)n(haft.)290 3742 y(Wir)j(b)r(eac)n(h)n(ten)f(insb)r(esondere,)
g(da\031)g(eine)h(Menge)g Fr(B)k Ft(linear)28 b(abh)2380
3746 y(\177)2380 3742 y(angig)f(ist,)i(w)n(enn)165 3842
y(sie)19 b(den)f(Nullv)n(ektor)g(en)n(th)985 3846 y(\177)985
3842 y(alt.)g(Andererseits)g(ist)g(die)h(leere)f(Menge)g(linear)f
(unabh)2712 3846 y(\177)2712 3842 y(angig.)165 3941 y(Sie)28
b(ist)g(im)g(Nullv)n(ektorraum)e(auc)n(h)h(eine)h(Erzeugendenmenge.)165
4103 y Fq(De\014nition)j(5.2.6)40 b Ft(Sei)21 b Fr(V)39
b Ft(ein)20 b(V)-7 b(ektorraum.)20 b(Eine)g(Menge)g Fr(B)27
b Fo(\032)c Fr(V)39 b Ft(hei\031t)20 b(eine)h Fp(Basis)165
4203 y Ft(f)192 4207 y(\177)190 4203 y(ur)i Fr(V)c Ft(,)j(w)n(enn)g
(die)h(Menge)e Fr(B)27 b Ft(linear)21 b(unabh)1542 4207
y(\177)1542 4203 y(angig)g(und)i(eine)f(Erzeugendenmenge)f(v)n(on)165
4302 y Fr(V)47 b Ft(ist.)165 4465 y Fq(Satz)33 b(5.2.7)40
b Fp(Die)34 b(Menge)41 b Fo(f)p Fr(e)1131 4477 y Fk(i)1158
4465 y Fo(j)p Fr(i)30 b Fo(2)g Fr(I)7 b Fo(g)34 b Fp(ist)g(eine)g
(Basis)h(f)2000 4469 y(\177)2000 4465 y(ur)f(den)g(V)-6
b(ektorr)l(aum)39 b Fr(K)2814 4434 y Fl(\()p Fk(I)5 b
Fl(\))2904 4465 y Fp(,)165 4564 y(genannt)27 b(die)h
Ft(k)-5 b(anonisc)n(he)23 b(Basis)p Fp(.)j(Insb)l(esonder)l(e)i(ist)34
b Fo(f)p Fr(e)1952 4576 y Fk(i)1979 4564 y Fo(j)p Fr(i)23
b Fo(2)g(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Fo(gg)26
b Fp(eine)h(Basis)165 4664 y(f)190 4668 y(\177)190 4664
y(ur)39 b Fr(K)386 4634 y Fk(n)431 4664 y Fp(.)p eop
end
%%Page: 153 14
TeXDict begin 153 13 bop 1168 100 a Fn(5.2)43 b(Lineark)n(om)n
(binationen,)26 b(Basen,)h(Dimension)152 b(153)165 282
y Fp(Beweis.)44 b Ft(Die)28 b(Aussage)e(wurde)i(sc)n(hon)e(im)i
(Beispiel)g(5.2.4)e(4.)h(gezeigt.)290 423 y(Da)20 b(der)g(Begri\013)g
(der)g(Basis)f(f)1185 427 y(\177)1183 423 y(ur)h(die)h(lineare)e
(Algebra)h(und)h(analytisc)n(he)e(Geometrie)165 523 y(v)n(on)k(h)364
527 y(\177)364 523 y(oc)n(hster)f(Wic)n(h)n(tigk)n(eit)h(ist,)h(w)n
(ollen)f(wir)g(w)n(eitere)g(dazu)2085 527 y(\177)2085
523 y(aquiv)-5 b(alen)n(te)23 b(Eigensc)n(haf-)165 622
y(ten)28 b(studieren.)165 768 y Fq(Satz)33 b(5.2.8)40
b Fp(Sei)f Fr(V)49 b Fp(ein)31 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)29
b(und)39 b Fr(B)28 b Fo(\032)c Fr(V)49 b Fp(eine)31 b(T)-6
b(eilmenge.)31 b Fr(B)k Fp(ist)30 b(genau)165 868 y(dann)h(eine)g
(Basis)h(von)38 b Fr(V)19 b Fp(,)31 b(wenn)f(es)h(zu)f(je)l(dem)i(V)-6
b(ektor)39 b Fr(w)28 b Fo(2)d Fr(V)50 b Fp(eindeutig)31
b(dur)l(ch)37 b Fr(w)165 968 y Fp(b)l(estimmte)30 b(Ko)l(e\016zienten)
36 b Fr(\013)1115 980 y Fk(v)1178 968 y Fo(2)23 b Fr(K)35
b Fp(mit)j Fr(v)26 b Fo(2)d Fr(B)34 b Fp(gibt,)d(so)f(da\031)1308
1129 y Fr(w)c Ft(=)1487 1050 y Fj(X)1481 1228 y Fk(v)r
Fi(2)p Fk(B)1627 1129 y Fr(\013)1680 1141 y Fk(v)1720
1129 y Fr(v)s(:)165 1356 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Sei)26
b Fr(B)k Ft(eine)c(Basis.)f(Dann)h(l)1360 1360 y(\177)1360
1356 y(a\031t)f(sic)n(h)h(jedes)g Fr(w)g Fo(2)d Fr(V)45
b Ft(als)25 b(Lineark)n(om)n(bination)165 1456 y(der)37
b Fr(b)i Fo(2)g Fr(B)i Ft(darstellen,)c(w)n(eil)g Fr(B)k
Ft(eine)c(Erzeugendenmenge)f(bildet.)i(Um)f(die)h(Ein-)165
1556 y(deutigk)n(eit)25 b(der)f(Darstellung)g(im)g(Satz,)h(d.h.)g(der)f
(Ko)r(e\016zien)n(ten)g(in)h(der)f(Darstellung,)165 1655
y(zu)31 b(zeigen,)f(nehmen)g(wir)g(an)g Fr(w)h Ft(=)1311
1593 y Fj(P)1398 1680 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)1549 1655
y Fr(\013)1602 1667 y Fk(v)1642 1655 y Fr(v)g Ft(=)1805
1593 y Fj(P)1892 1680 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)2043 1655
y Fr(\014)2090 1667 y Fk(v)2130 1655 y Fr(v)s Ft(.)g(Wir)f(erhalten)g
(durc)n(h)165 1755 y(Umstellen)f(der)e(Gleic)n(h)n(ung)1206
1837 y Fj(X)1199 2015 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)1332 1916
y Ft(\()p Fr(\013)1417 1928 y Fk(v)1475 1916 y Fo(\000)18
b Fr(\014)1605 1928 y Fk(v)1645 1916 y Ft(\))p Fr(v)26
b Ft(=)d(0)p Fr(:)165 2144 y Ft(Da)f Fr(B)27 b Ft(eine)22
b(linear)f(unabh)998 2148 y(\177)998 2144 y(angige)g(Menge)h(ist,)g
(folgt)g Fr(\013)1883 2156 y Fk(v)1930 2144 y Fo(\000)7
b Fr(\014)2049 2156 y Fk(v)2112 2144 y Ft(=)22 b(0)g(f)2290
2148 y(\177)2288 2144 y(ur)g(alle)g Fr(v)k Fo(2)d Fr(B)k
Ft(o)r(der)165 2243 y Fr(\013)218 2255 y Fk(v)281 2243
y Ft(=)c Fr(\014)416 2255 y Fk(v)479 2243 y Ft(f)506
2247 y(\177)504 2243 y(ur)i(alle)f Fr(v)i Fo(2)d Fr(B)t
Ft(.)i(Also)f(ist)g(die)h(Darstellung)e(v)n(on)h Fr(w)j
Ft(als)c(Lineark)n(om)n(bination)165 2343 y(der)28 b
Fr(v)e Fo(2)d Fr(B)32 b Ft(eindeutig.)290 2443 y(Sei)i(umgek)n(ehrt)f
(jeder)g(V)-7 b(ektor)34 b(eindeutig)g(als)f(Lineark)n(om)n(bination)e
(der)j Fr(v)i Fo(2)e Fr(B)165 2542 y Ft(darstellbar,)k(so)h(ist)h
Fr(B)j Ft(eine)d(Erzeugendenmenge.)e(W)-7 b(eiter)39
b(ist)h(der)f(Nullv)n(ektor)g(0)165 2642 y(eindeutig)30
b(darstellbar)f(als)g(0)d(=)1233 2580 y Fj(P)1320 2667
y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)1471 2642 y Ft(0)p Fr(v)s Ft(,)k(d.h.)h(f)1805
2646 y(\177)1803 2642 y(ur)f(eine)g(Lineark)n(om)n(bination)d(0)g(=)165
2679 y Fj(P)253 2766 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(B)404 2742 y
Fr(\013)457 2754 y Fk(v)497 2742 y Fr(v)36 b Ft(m)n(u\031)c(not)n(w)n
(endig)g Fr(\013)1215 2754 y Fk(v)1286 2742 y Ft(=)g(0)g(f)1484
2746 y(\177)1482 2742 y(ur)h(alle)f Fr(v)j Fo(2)e Fr(B)k
Ft(gelten.)32 b(Damit)i(ist)f Fr(B)k Ft(ab)r(er)165 2841
y(linear)27 b(unabh)622 2845 y(\177)622 2841 y(angig)g(und)h(eine)f
(Erzeugendenmenge,)f(also)h(eine)g(Basis.)290 2982 y(Wir)22
b(w)n(erden)f(un)n(ten)h(f)985 2986 y(\177)983 2982 y(ur)g(b)r
(eliebige)g(V)-7 b(ektorr)1698 2986 y(\177)1698 2982
y(aume)20 b Fr(V)41 b Ft(zeigen,)22 b(da\031)f(sie)g(immer)h(eine)165
3082 y(Basis)34 b(b)r(esitzen.)h(Dieser)f(Bew)n(eis)g(ist)g(jedo)r(c)n
(h)h(nic)n(h)n(t)f(k)n(onstruktiv,)g(f)2386 3086 y(\177)2384
3082 y(uhrt)h(also)e(nic)n(h)n(t)165 3181 y(zur)28 b(Angab)r(e)g(einer)
g(k)n(onkreten)f(Basis.)g(Man)h(hat)g(jedo)r(c)n(h)g(h)2091
3185 y(\177)2091 3181 y(au\014g)f(das)h(Problem,)f(da\031)165
3281 y(eine)c(k)n(onkrete)e(Basis)h(zum)h(Rec)n(hnen)g(b)r(en)1514
3285 y(\177)1514 3281 y(otigt)f(wird.)h(Deshalb)g(b)r(ew)n(eisen)f(wir)
g(diesen)165 3381 y(Satz)g(gesondert)d(in)j(einem)f(b)r(esonders)g
(einfac)n(hen)g(F)-7 b(all,)21 b(in)h(dem)f(wir)g(k)n(onstruktiv)f
(eine)165 3480 y(Basis)32 b(angeb)r(en)h(k)762 3484 y(\177)762
3480 y(onnen.)f(Diese)i(Basis)d(wird)i(n)n(ur)g(endlic)n(h)g(viele)f
(Elemen)n(te)h(hab)r(en.)165 3580 y(Im)28 b(allgemeinen)f(gibt)h(es)f
(ab)r(er)g(auc)n(h)g(V)-7 b(ektorr)1671 3584 y(\177)1671
3580 y(aume,)26 b(die)i(lediglic)n(h)f(eine)h(unendlic)n(he)165
3679 y(Basis)f(b)r(esitzen,)h(die)g(man)f(nic)n(h)n(t)h(k)n(onkret)e
(angeb)r(en)h(k)-5 b(ann.)165 3825 y Fq(Satz)33 b(5.2.9)40
b Fp(Je)l(der)30 b(end)t(lich)h(erzeugte)f(V)-6 b(ektorr)l(aum)29
b(b)l(esitzt)g(eine)i(end)t(liche)g(Basis.)165 3966 y(Beweis.)44
b Ft(Sei)32 b Fo(f)p Fr(b)698 3978 y Fl(1)734 3966 y
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)955 3978 y Fk(n)1000 3966
y Fo(g)32 b Ft(eine)g(endlic)n(he)g(Erzeugendenmenge)f(v)n(on)g
Fr(V)19 b Ft(.)32 b(W)-7 b(enn)33 b(die)165 4066 y(Erzeugendenmenge)d
(linear)g(unabh)1350 4070 y(\177)1350 4066 y(angig)g(ist,)h(dann)h(ist)
f(sie)g(eine)g(Basis.)f(Ist)h(sie)g(je-)165 4166 y(do)r(c)n(h)19
b(linear)f(abh)711 4170 y(\177)711 4166 y(angig,)g(so)g(k)1084
4170 y(\177)1084 4166 y(onnen)h(wir)f(nac)n(h)h(Lemma)f(5.2.5)g(ein)h
Fr(w)j Ft(aus)c(dieser)h(Menge)165 4265 y(en)n(tfernen,)25
b(so)e(da\031)h(die)g(v)n(erbleib)r(ende)g(Menge)g(wieder)g(eine)g
(Erzeugendenmenge)f(ist.)165 4365 y(Sie)34 b(hat)f(dann)g(ab)r(er)g(n)n
(ur)f(no)r(c)n(h)h Fr(n)22 b Fo(\000)g Ft(1)33 b(Elemen)n(te.)g(Nac)n
(h)g(endlic)n(h)g(vielen)g(Sc)n(hritten)165 4465 y(m)n(u\031)j(dieser)g
(Proze\031)e(abbrec)n(hen)i(mit)h(einer)f(linear)g(unabh)2126
4469 y(\177)2126 4465 y(angigen)f(Erzeugenden-)165 4564
y(menge)30 b(\(b)r(ei)g(geeigneter)e(Numerierung\))i
Fo(f)p Fr(b)1604 4576 y Fl(1)1640 4564 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)
1861 4576 y Fk(m)1923 4564 y Fo(g)p Ft(.)29 b(Diese)h(ist)g(dann)g
(eine)f(Basis)165 4664 y(f)192 4668 y(\177)190 4664 y(ur)f
Fr(V)19 b Ft(.)p eop end
%%Page: 154 15
TeXDict begin 154 14 bop 165 100 a Fn(154)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)290 282
y Ft(Wir)38 b(hab)r(en)h(in)g(dem)g(Bew)n(eis)f(sogar)e(mehr)i(b)r
(ewiesen,)h(n)2191 286 y(\177)2191 282 y(amlic)n(h)g(die)f(Aussage,)165
382 y(da\031)29 b(jede)h(endlic)n(he)f(Erzeugendenmenge)f(eine)h(Basis)
g(en)n(th)2094 386 y(\177)2094 382 y(alt.)g(Man)h(k)-5
b(ann)29 b(n)n(un)h(mit)165 482 y(nic)n(h)n(tk)n(onstruktiv)n(en)h
(Mitteln)i(der)f(Mengenlehre)f(einen)h(w)n(esen)n(tlic)n(h)f
(allgemeineren)165 581 y(Satz)d(b)r(ew)n(eisen.)g(Im)h(Bew)n(eis)e
(wird)h(das)f(Zornsc)n(he)g(Lemma)h(\(2.3.7\))f(v)n(erw)n(endet.)g(Wir)
165 681 y(zeigen)g(zun)543 685 y(\177)543 681 y(ac)n(hst)165
847 y Fq(Satz)33 b(5.2.10)40 b Fp(\(Steinitzscher)1155
817 y Fl(2)1213 847 y Fp(A)n(ustauschsatz\))21 b(Seien)28
b Fr(V)40 b Fp(ein)21 b(V)-6 b(ektorr)l(aum,)21 b Fr(E)29
b Fo(\032)22 b Fr(V)165 946 y Fp(eine)34 b(Erzeugendenmenge)f(und)42
b Fr(X)35 b Fo(\032)29 b Fr(V)52 b Fp(eine)33 b(line)l(ar)h(unabh)2173
950 y(\177)2174 946 y(angige)g(Menge.)h(Dann)165 1046
y(gibt)30 b(es)f(eine)h(T)-6 b(eilmenge)36 b Fr(F)f Fo(\032)22
b Fr(E)35 b Fp(mit)h Fr(F)29 b Fo(\\)18 b Fr(X)29 b Ft(=)23
b Fo(;)p Fp(,)29 b(so)g(da\031)38 b Fr(X)24 b Fo([)17
b Fr(F)41 b Fp(eine)30 b(Basis)g(von)165 1146 y Fr(V)49
b Fp(ist.)165 1320 y(Beweis.)44 b Ft(Wir)27 b(bilden)h(die)g(folgende)f
(Menge)508 1503 y Fo(Z)j Ft(:=)22 b Fo(f)p Fr(D)j Fo(\032)e
Fr(E)5 b Fo(j)p Fr(D)20 b Fo(\\)f Fr(X)29 b Ft(=)23 b
Fo(;)k Ft(und)h Fr(D)21 b Fo([)e Fr(X)34 b Ft(linear)26
b(unabh)2328 1507 y(\177)2328 1503 y(angig)o Fo(g)p Fr(:)165
1685 y Ft(Diese)e(Menge)f(ist)g(un)n(ter)g(der)g(Inklusion)g(eine)h
(geordnete)e(Menge.)h(\(Sie)h(ist)f(T)-7 b(eilmenge)165
1785 y(der)28 b(P)n(otenzmenge)e(v)n(on)h Fr(E)5 b Ft(.\))290
1910 y(Wir)21 b(zeigen,)f(da\031)g(jede)i(total)e(geordnete)g(T)-7
b(eilmenge)21 b(v)n(on)f Fo(Z)28 b Ft(eine)20 b(ob)r(ere)h(Sc)n(hrank)n
(e)165 2009 y(b)r(esitzt.)f(Ist)e(die)h(total)f(geordnete)g(T)-7
b(eilmenge)18 b(leer,)g(so)g(ist)h(eine)g(ob)r(ere)f(Sc)n(hrank)n(e)f
(durc)n(h)165 2109 y Fo(;)23 b(\032)g Fr(E)5 b Ft(,)27
b(also)g Fo(;)22 b(2)i(Z)34 b Ft(gegeb)r(en.)290 2233
y(Sei)f Fo(Y)38 b(\032)31 b(Z)40 b Ft(nic)n(h)n(t)32
b(leer)g(und)h(total)g(geordnet.)e(Wir)i(bilden)g Fr(F)2329
2203 y Fi(0)2383 2233 y Ft(:=)2502 2171 y Fj(S)2572 2233
y Fo(f)p Fr(D)g Fo(2)e(Y)7 b(g)p Ft(.)165 2333 y(O\013en)n(bar)27
b(gilt)g Fr(D)f Fo(\032)c Fr(F)901 2303 y Fi(0)952 2333
y Ft(f)979 2337 y(\177)977 2333 y(ur)28 b(alle)f Fr(D)e
Fo(2)f(Y)7 b Ft(.)290 2457 y(Um)24 b(zu)f(zeigen,)g(da\031)g
Fr(F)1037 2427 y Fi(0)1083 2457 y Ft(in)h Fo(Z)30 b Ft(liegt,)23
b(w)n(eisen)g(wir)g(zun)1994 2461 y(\177)1994 2457 y(ac)n(hst)g
Fr(F)2270 2427 y Fi(0)2303 2457 y Fo(\\)10 b Fr(X)30
b Ft(=)22 b Fo(;)h Ft(nac)n(h.)g(Ist)165 2557 y Fr(x)h
Fo(2)f Fr(F)379 2527 y Fi(0)412 2557 y Fo(\\)9 b Fr(X)e
Ft(,)23 b(so)f(ist)h Fr(x)h Ft(insb)r(esondere)e(in)h
Fr(F)1517 2527 y Fi(0)1540 2557 y Ft(,)g(also)f(in)h(einer)g(der)g(T)-7
b(eilmengen)22 b Fr(D)r Ft(,)i(deren)165 2657 y(V)-7
b(ereinigung)30 b Fr(F)690 2627 y Fi(0)743 2657 y Ft(ist.)h(Also)f
(gibt)g(es)g(ein)h Fr(D)e Fo(2)f(Y)38 b Ft(mit)31 b Fr(x)d
Fo(2)g Fr(D)22 b Fo(\\)f Fr(X)36 b Ft(im)31 b(Widerspruc)n(h)165
2756 y(zu)d Fr(D)d Fo(2)f(Z)7 b Ft(.)290 2881 y(W)-7
b(eiter)32 b(m)633 2885 y(\177)631 2881 y(ussen)g(wir)g(zeigen,)g
(da\031)f Fr(F)1509 2851 y Fi(0)1554 2881 y Fo([)22 b
Fr(X)38 b Ft(linear)32 b(unabh)2200 2885 y(\177)2200
2881 y(angig)f(ist.)h(Seien)g(also)165 2980 y Fr(\013)218
2992 y Fk(v)301 2980 y Fo(2)43 b Fr(K)i Ft(mit)40 b Fr(v)47
b Fo(2)c Fr(F)929 2950 y Fi(0)978 2980 y Fo([)27 b Fr(X)46
b Ft(gegeb)r(en,)39 b(so)g(da\031)1809 2918 y Fj(P)1896
3005 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(F)2027 2989 y Fd(0)2050 3005
y Fi([)p Fk(X)2172 2980 y Fr(\013)2225 2992 y Fk(v)2264
2980 y Fr(v)46 b Ft(=)d(0)c(gilt.)h(W)-7 b(enn)168 3084
y(\177)165 3080 y(ub)r(erhaupt)33 b(Ko)r(e\016zien)n(ten)f
Fr(\013)1130 3092 y Fk(v)1200 3080 y Fo(6)p Ft(=)f(0)g(in)i(dieser)f
(Darstellung)f(auftreten,)i(dann)f(auc)n(h)165 3180 y(solc)n(he)f(mit)h
Fr(v)g Fo(2)e Fr(F)790 3150 y Fi(0)813 3180 y Ft(,)i(w)n(eil)f(ja)g
Fr(X)38 b Ft(allein)31 b(linear)g(unabh)1931 3184 y(\177)1931
3180 y(angig)f(ist.)i(Andererseits)e(sind)165 3279 y(n)n(ur)35
b(endlic)n(h)g(viele)g Fr(\013)866 3291 y Fk(v)942 3279
y Fo(6)p Ft(=)g(0)g(m)1188 3283 y(\177)1188 3279 y(oglic)n(h.)f(Jedes)h
(zugeh)1895 3283 y(\177)1895 3279 y(orige)e Fr(v)39 b
Ft(liegt)c(sc)n(hon)f(in)i(einem)165 3379 y Fr(D)29 b
Fo(2)d(Y)7 b Ft(,)30 b(es)g(spielen)f(also)f(endlic)n(h)i(viele)f(solc)
n(he)g Fr(D)r Ft('s)g(eine)h(Rolle.)f(Da)h(die)f(T)-7
b(eilmenge)165 3479 y Fo(Y)42 b(\032)35 b(Z)41 b Ft(totalgeordnet)34
b(w)n(ar,)f(gibt)i(un)n(ter)f(diesen)h(endlic)n(h)f(vielen)h
Fr(D)r Ft('s)f(ein)h(gr)2745 3483 y(\177)2745 3479 y(o\031tes)165
3578 y Fr(D)236 3548 y Fi(0)260 3578 y Ft(,)41 b(in)g(dem)g(dann)g
(alle)g(in)g(der)g(Lineark)n(om)n(bination)d(v)n(erw)n(endeten)i
Fr(v)s Ft('s)h(mit)h(v)n(on)165 3678 y(Null)33 b(v)n(ersc)n(hiedenen)e
(Ko)r(e\016zien)n(ten)g(liegen.)h(Da)g(ab)r(er)f Fr(D)2045
3648 y Fi(0)2090 3678 y Fo([)22 b Fr(X)38 b Ft(linear)31
b(unabh)2735 3682 y(\177)2735 3678 y(angig)165 3778 y(ist,)e(m)376
3782 y(\177)374 3778 y(ussen)f(die)h(Ko)r(e\016zien)n(ten)f(alle)g
(Null)h(sein.)f(Also)g(ist)h Fr(F)2127 3747 y Fi(0)2169
3778 y Fo([)19 b Fr(X)35 b Ft(wiederum)28 b(linear)165
3877 y(unabh)391 3881 y(\177)391 3877 y(angig.)f(Damit)h(ist)g(mit)g
Fr(F)1226 3847 y Fi(0)1277 3877 y Ft(eine)f(ob)r(ere)g(Sc)n(hrank)n(e)f
(f)2051 3881 y(\177)2049 3877 y(ur)i Fo(Y)35 b Ft(gefunden.)290
4002 y(Nac)n(h)26 b(dem)g(Zornsc)n(hen)f(Lemma)h(2)g(en)n(th)1595
4006 y(\177)1595 4002 y(alt)g(also)f Fo(Z)33 b Ft(ein)27
b(maximales)e(Elemen)n(t)h Fr(F)12 b Ft(.)165 4101 y(Nac)n(h)20
b(De\014nition)h(v)n(on)e Fo(Z)27 b Ft(gilt)20 b(sc)n(hon)f
Fr(F)d Fo(\\)s Fr(X)30 b Ft(=)22 b Fo(;)e Ft(und)g Fr(F)c
Fo([)s Fr(X)27 b Ft(linear)19 b(unabh)2551 4105 y(\177)2551
4101 y(angig.)g(Wir)165 4201 y(zeigen)25 b(n)n(un)g(no)r(c)n(h,)f
(da\031)h Fr(F)g Fo([)13 b Fr(X)31 b Ft(eine)25 b(Basis)f(bildet.)i
(Dazu)f(bleibt)g(n)n(ur)g(zu)g(zeigen,)f(da\031)165 4301
y Fr(F)16 b Fo([)t Fr(X)27 b Ft(eine)21 b(Erzeugendenmenge)e(ist.)h
(Zun)1541 4305 y(\177)1541 4301 y(ac)n(hst)g(b)r(emerk)n(en)g(wir,)g
(da\031)g(es)g(gen)2644 4305 y(\177)2642 4301 y(ugt,)g(alle)165
4400 y(Elemen)n(te)j(aus)f Fr(E)28 b Ft(als)23 b(Lineark)n(om)n
(bination)d(v)n(on)i(Elemen)n(te)h(aus)f Fr(F)f Fo([)9
b Fr(X)30 b Ft(darzustellen.)165 4500 y(Denn)40 b(k)-5
b(ann)38 b(man)h(jeden)g(V)-7 b(ektor)38 b(aus)g Fr(E)44
b Ft(als)38 b(Lineark)n(om)n(bination)f(v)n(on)h(V)-7
b(ektoren)p 165 4569 394 4 v 195 4623 a Fe(2)255 4654
y Fn(Ernst)26 b(Steinitz)g(\(1871{1928\))p eop end
%%Page: 155 16
TeXDict begin 155 15 bop 1168 100 a Fn(5.2)43 b(Lineark)n(om)n
(binationen,)26 b(Basen,)h(Dimension)152 b(155)165 282
y Ft(aus)41 b Fr(F)f Fo([)28 b Fr(X)47 b Ft(erhalten,)41
b(so)g(k)-5 b(ann)41 b(man)h(auc)n(h)e(jeden)i(anderen)f(V)-7
b(ektor)41 b(aus)g Fr(V)60 b Ft(als)165 382 y(Lineark)n(om)n(bination)
32 b(v)n(on)g(V)-7 b(ektoren)33 b(aus)g Fr(F)i Fo([)22
b Fr(X)40 b Ft(erhalten.)33 b(Ist)h(n)n(un)g Fr(u)e Fo(2)i
Fr(E)k Ft(nic)n(h)n(t)165 482 y(als)c(Lineark)n(om)n(bination)f(v)n(on)
g(V)-7 b(ektoren)34 b(aus)g Fr(F)h Fo([)24 b Fr(X)41
b Ft(darstellbar,)33 b(dann)h(hat)h(jede)165 581 y(Lineark)n(om)n
(bination)29 b(der)i(F)-7 b(orm)30 b Fr(\013)1299 593
y Fk(u)1343 581 y Fr(u)20 b Ft(+)1496 519 y Fj(P)1584
606 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(F)9 b Fi([)p Fk(X)1836 581 y Fr(\013)1889
593 y Fk(v)1929 581 y Fr(v)32 b Ft(=)c(0)i(not)n(w)n(endigerw)n(eise)f
(die)165 681 y(Ko)r(e\016zien)n(ten)38 b Fr(\013)727
693 y Fk(u)810 681 y Ft(=)i Fr(\013)968 693 y Fk(v)1048
681 y Ft(=)f(0,)f(denn)g Fr(\013)1521 693 y Fk(u)1605
681 y Fo(6)p Ft(=)h(0)f(w)1851 685 y(\177)1849 681 y(urde)f(nac)n(h)h
(Division)f(durc)n(h)h Fr(\013)2886 693 y Fk(u)165 780
y Ft(eine)33 b(Darstellung)e Fr(u)g Ft(=)f Fo(\000)1045
718 y Fj(P)1132 805 y Fk(v)r Fi(2)p Fk(F)9 b Fi([)p Fk(X)1385
780 y Fr(\013)1438 750 y Fi(\000)p Fl(1)1438 801 y Fk(u)1528
780 y Fr(\013)1581 792 y Fk(v)1620 780 y Fr(v)36 b Ft(ergeb)r(en,)31
b(und)i(die)g Fr(\013)2393 792 y Fk(v)2465 780 y Ft(m)2536
784 y(\177)2534 780 y(ussen)f(auc)n(h)165 880 y(alle)c(Null)g(sein,)g
(w)n(eil)g Fr(F)j Fo([)19 b Fr(X)34 b Ft(linear)27 b(unabh)1577
884 y(\177)1577 880 y(angig)g(ist.)h(Also)g(ist)g Fo(f)p
Fr(u)p Fo(g)17 b([)i Fr(F)31 b Fo([)19 b Fr(X)34 b Ft(linear)165
980 y(unabh)391 984 y(\177)391 980 y(angig.)18 b(Au\031erdem)h(ist)g
(sic)n(herlic)n(h)f(\()p Fo(f)p Fr(u)p Fo(g)q([)q Fr(F)12
b Ft(\))q Fo(\\)q Fr(X)31 b Ft(=)23 b Fo(;)c Ft(und)g(damit)h(ist)f
Fo(f)p Fr(u)p Fo(g)q([)q Fr(F)35 b Fo(2)165 1079 y(Z)7
b Ft(.)22 b(Da)h Fr(u)31 b(=)-51 b Fo(2)24 b Fr(F)34
b Ft(und)22 b Fr(F)34 b Ft(maximal)22 b(in)g Fo(Z)29
b Ft(ist,)23 b(hab)r(en)f(wir)g(einen)g(Widerspruc)n(h)g(erhalten.)165
1179 y(Somit)37 b(k)-5 b(ann)36 b(jeder)g(V)-7 b(ektor)35
b(aus)h Fr(E)41 b Ft(als)36 b(Lineark)n(om)n(bination)e(v)n(on)h
(Elemen)n(ten)h(aus)165 1279 y Fr(F)31 b Fo([)19 b Fr(X)33
b Ft(gesc)n(hrieb)r(en)27 b(w)n(erden,)g Fr(F)j Fo([)19
b Fr(X)34 b Ft(ist)28 b(also)e(eine)i(Basis)f(v)n(on)f
Fr(V)19 b Ft(.)28 b(\(U\013)6 b(!\))290 1453 y(Aus)34
b(diesem)f(m)812 1457 y(\177)812 1453 y(ac)n(h)n(tigen)g(Satz)g(mit)h
(sehr)f(abstraktem)g(Bew)n(eis)f(gehen)i(n)n(un)f(un-)165
1553 y(mittelbar)28 b(eine)g(Reihe)f(v)n(on)g(F)-7 b(olgerungen)26
b(herv)n(or.)165 1719 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.2.11)78
b Fp(1.)42 b(Je)l(der)30 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)29 b(b)l(esitzt)h(eine)g
(Basis.)204 1818 y(2.)42 b(In)26 b(je)l(der)i(Erzeugendenmenge)f(eines)
g(V)-6 b(ektorr)l(aumes)26 b(ist)g(eine)h(Basis)h(enthalten.)204
1918 y(3.)42 b(Je)l(de)30 b(line)l(ar)g(unabh)948 1922
y(\177)949 1918 y(angige)h(Menge)g(l)1494 1922 y(\177)1495
1918 y(a\031t)e(sich)i(zu)e(einer)h(Basis)h(er)l(g)2460
1922 y(\177)2461 1918 y(anzen.)165 2092 y(Beweis.)44
b Ft(Alle)28 b(drei)g(Aussagen)f(folgen)h(unmittelbar,)g(w)n(enn)g(wir)
g(feststellen,)h(da\031)e(je-)165 2192 y(der)k(V)-7 b(ektorraum)31
b(eine)g(Erzeugendenmenge)f(und)i(eine)f(linear)g(unabh)2480
2196 y(\177)2480 2192 y(angige)f(Men-)165 2291 y(ge)37
b(en)n(th)440 2295 y(\177)440 2291 y(alt.)f(Der)h(gesam)n(te)e(V)-7
b(ektorraum)36 b(ist)h(ab)r(er)f(eine)h(Erzeugendenmenge)e(und)165
2391 y(die)29 b(leere)g(Menge)f(ist)h(eine)g(linear)g(unabh)1510
2395 y(\177)1510 2391 y(angige)e(Menge.)i(Die)g(leere)g(Menge)f(en)n
(th)2832 2395 y(\177)2832 2391 y(alt)165 2491 y(n)211
2495 y(\177)211 2491 y(amlic)n(h)38 b(k)n(einen)f(V)-7
b(ektor,)37 b(der)h(als)f(Lineark)n(om)n(bination)e(der)2220
2540 y(")2260 2495 y(\177)2258 2491 y(ubrigen)i(V)-7
b(ektoren)h(\\)165 2590 y(darstellbar)26 b(w)641 2594
y(\177)641 2590 y(are.)165 2765 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(5.2.12)40 b Fp(Die)24 b(folgenden)i(A)n(ussagen)e(f)1795
2769 y(\177)1795 2765 y(ur)g(eine)h(T)-6 b(eilmenge)32
b Fr(B)c Fp(eines)d(V)-6 b(ek-)165 2864 y(torr)l(aumes)37
b Fr(V)48 b Fp(sind)839 2868 y(\177)839 2864 y(aquivalent:)204
3014 y(1.)42 b Fr(B)34 b Fp(ist)29 b(eine)i(Basis)g(von)36
b Fr(V)19 b Fp(.)204 3113 y(2.)42 b Fr(B)34 b Fp(ist)29
b(eine)i(minimale)g(Erzeugendenmenge.)204 3213 y(3.)42
b Fr(B)34 b Fp(ist)29 b(eine)i(maximal)f(line)l(ar)h(unabh)1488
3217 y(\177)1489 3213 y(angige)g(Menge.)165 3387 y(Beweis.)44
b Ft(Wir)33 b(stellen)g(zun)1049 3391 y(\177)1049 3387
y(ac)n(hst)g(fest,)g(da\031)f(k)n(eine)h(ec)n(h)n(te)g(T)-7
b(eilmenge)33 b Fr(E)38 b Ft(v)n(on)32 b Fr(B)37 b Ft(Er-)165
3487 y(zeugendenmenge)e(v)n(on)g Fr(V)54 b Ft(ist,)36
b(denn)g(ein)f(V)-7 b(ektor)35 b Fr(b)h Fo(2)h Fr(B)28
b Fo(n)23 b Fr(E)40 b Ft(l)2293 3491 y(\177)2293 3487
y(a\031t)35 b(sic)n(h)g(nic)n(h)n(t)h(als)165 3587 y(Lineark)n(om)n
(bination)24 b(v)n(on)h(Elemen)n(ten)g(aus)h Fr(E)31
b Ft(darstellen,)25 b(da)g Fr(B)30 b Ft(linear)25 b(unabh)2735
3591 y(\177)2735 3587 y(angig)165 3686 y(ist.)40 b(W)-7
b(eiter)40 b(ist)f(jede)h(ec)n(h)n(te)f(Ob)r(ermenge)g
Fr(X)46 b Ft(v)n(on)39 b Fr(B)k Ft(linear)c(abh)2352
3690 y(\177)2352 3686 y(angig,)f(denn)i(die)165 3786
y(hinzuk)n(ommenden)23 b(Elemen)n(te)g(sind)g(Lineark)n(om)n
(binationen)e(v)n(on)i(Elemen)n(ten)f(aus)h Fr(B)t Ft(.)165
3885 y(Damit)28 b(ist)g(1.)g(=)-15 b Fo(\))28 b Ft(2.)f(und)h(1.)f(=)
-14 b Fo(\))28 b Ft(3.)f(gezeigt.)290 3985 y(W)-7 b(enn)33
b Fr(B)38 b Ft(eine)33 b(minimale)g(Erzeugendenmenge)e(ist,)i(so)f(en)n
(th)2308 3989 y(\177)2308 3985 y(alt)i(sie)e(eine)h(Basis)165
4085 y Fr(C)6 b Ft(.)33 b(Diese)g(ist)g(auc)n(h)f(Erzeugendenmenge,)e
(m)n(u\031)j(also)e(w)n(egen)h(der)g(Minimalit)2698 4089
y(\177)2698 4085 y(at)h(mit)165 4184 y Fr(B)262 4188
y Ft(\177)260 4184 y(ub)r(ereinstimmen.)28 b(Damit)h(gilt)e(2.)g(=)-14
b Fo(\))28 b Ft(1.)290 4284 y(W)-7 b(enn)33 b Fr(B)j
Ft(eine)c(maximal)g(linear)f(unabh)1609 4288 y(\177)1609
4284 y(angige)g(Menge)h(ist,)g(dann)g(l)2520 4288 y(\177)2520
4284 y(a\031t)g(sie)g(sic)n(h)165 4384 y(zu)24 b(einer)e(Basis)g
Fr(C)30 b Ft(erg)883 4388 y(\177)883 4384 y(anzen.)21
b(Da)i Fr(C)30 b Ft(auc)n(h)22 b(linear)h(unabh)1996
4388 y(\177)1996 4384 y(angig)e(ist,)j(m)n(u\031)e Fr(B)28
b Ft(=)22 b Fr(C)30 b Ft(und)165 4483 y(damit)e(3.)f(=)-14
b Fo(\))28 b Ft(1.)f(gelten.)p eop end
%%Page: 156 17
TeXDict begin 156 16 bop 165 100 a Fn(156)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)290 282
y Ft(Wir)36 b(b)r(esc)n(h)666 286 y(\177)666 282 y(aftigen)g(uns)h
(jetzt)g(mit)g(dem)g(Abz)1806 286 y(\177)1806 282 y(ahlen)f(v)n(on)g
(Elemen)n(ten)g(in)h(linear)165 382 y(unabh)391 386 y(\177)391
382 y(angigen)21 b(Mengen)g(und)h(Basen.)f(Dazu)g(w)n(ollen)g(wir)g(im)
h(Rest)g(dieses)f(Absc)n(hnitts)165 482 y(v)n(oraussetzen,)j(da\031)h
(die)h(b)r(etrac)n(h)n(teten)g(V)-7 b(ektorr)1716 486
y(\177)1716 482 y(aume)24 b(endlic)n(h)i(erzeugt)f(sind.)h(Einige)165
581 y(der)g(Aussagen)g(w)736 585 y(\177)734 581 y(urden)g(auc)n(h)g
(aus)g(dem)g(Steinitzsc)n(hen)h(Austausc)n(hsatz)e(folgen.)h(F)2852
585 y(\177)2850 581 y(ur)165 681 y(sie)i(ist)g(jedo)r(c)n(h)f(auc)n(h)g
(eine)h(explizite)g(Konstruktion)e(v)n(on)h(In)n(teresse.)165
847 y Fq(Lemma)32 b(5.2.13)39 b Fp(Wenn)j(der)h(V)-6
b(ektorr)l(aum)49 b Fr(V)61 b Fp(von)43 b(der)g(Menge)49
b Fo(f)p Fr(b)2475 859 y Fl(1)2512 847 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)
2732 859 y Fk(n)2777 847 y Fo(g)46 b(\032)165 946 y Fr(V)65
b Fp(erzeugt)44 b(wir)l(d)j(und)e(die)h(Menge)52 b Fo(f)p
Fr(c)1473 958 y Fl(1)1510 946 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)1730
958 y Fk(m)1793 946 y Fo(g)45 b Fp(in)52 b Fr(V)64 b
Fp(line)l(ar)46 b(unabh)2579 950 y(\177)2580 946 y(angig)h(ist,)165
1046 y(dann)41 b(gilt)49 b Fr(m)43 b Fo(\024)f Fr(n)p
Fp(.)f(Weiterhin)h(gibt)f(es)f(V)-6 b(ektor)l(en)47 b
Fr(b)1970 1058 y Fk(m)p Fl(+1)2116 1046 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)
2337 1058 y Fk(n)2422 1046 y Fp(aus)41 b(der)g(Men-)165
1146 y(ge)49 b(der)57 b Fr(b)498 1158 y Fk(i)573 1146
y Fp(\(nach)49 b(ge)l(eigneter)f(Umnumerierung\),)g(so)g(da\031)57
b Fr(V)67 b Fp(von)48 b(der)g(Menge)165 1245 y Fo(f)p
Fr(c)243 1257 y Fl(1)280 1245 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)501
1257 y Fk(m)564 1245 y Fr(;)g(b)637 1257 y Fk(m)p Fl(+1)783
1245 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1004 1257 y Fk(n)1048
1245 y Fo(g)30 b Fp(erzeugt)f(wir)l(d.)165 1420 y(Beweis.)44
b Ft(Wir)23 b(b)r(ew)n(eisen)g(das)g(Lemma)g(durc)n(h)g(v)n(ollst)1848
1424 y(\177)1848 1420 y(andige)f(Induktion)i(nac)n(h)f
Fr(m)p Ft(.)g(F)2852 1424 y(\177)2850 1420 y(ur)165 1519
y Fr(m)34 b Ft(=)e(0)i(ist)g(nic)n(h)n(ts)f(zu)h(zeigen.)f(Gelte)h(das)
g(Lemma)f(f)1920 1523 y(\177)1918 1519 y(ur)h(alle)f(linear)g(unabh)
2652 1523 y(\177)2652 1519 y(angigen)165 1619 y(Mengen)h(v)n(on)g
Fr(m)g Ft(V)-7 b(ektoren.)34 b(Sei)h(die)f(Menge)g Fo(f)p
Fr(c)1768 1631 y Fl(1)1805 1619 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)2026
1631 y Fk(m)p Fl(+1)2173 1619 y Fo(g)34 b Ft(linear)f(unabh)2712
1623 y(\177)2712 1619 y(angig.)165 1719 y(Dann)23 b(ist)g(auc)n(h)f
Fo(f)p Fr(c)765 1731 y Fl(1)802 1719 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)1022
1731 y Fk(m)1085 1719 y Fo(g)22 b Ft(linear)g(unabh)1601
1723 y(\177)1601 1719 y(angig.)g(Nac)n(h)g(Induktionsannahme)g(gibt)165
1818 y(es)29 b(V)-7 b(ektoren)29 b Fr(b)655 1830 y Fk(m)p
Fl(+1)802 1818 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1022 1830
y Fk(n)1067 1818 y Ft(,)29 b(so)g(da\031)f Fr(V)48 b
Ft(durc)n(h)29 b Fo(f)p Fr(c)1790 1830 y Fl(1)1827 1818
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)2047 1830 y Fk(m)2110 1818
y Fr(;)g(b)2183 1830 y Fk(m)p Fl(+1)2330 1818 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g
(b)2551 1830 y Fk(n)2595 1818 y Fo(g)29 b Ft(erzeugt)165
1918 y(wird.)f(Insb)r(esondere)e(gilt)568 2100 y Fr(c)604
2112 y Fk(m)p Fl(+1)774 2100 y Ft(=)d Fr(\013)915 2112
y Fl(1)952 2100 y Fr(c)988 2112 y Fl(1)1044 2100 y Ft(+)18
b Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(\013)1378 2112 y Fk(m)1441
2100 y Fr(c)1477 2112 y Fk(m)1559 2100 y Ft(+)g Fr(\013)1695
2112 y Fk(m)p Fl(+1)1842 2100 y Fr(b)1878 2112 y Fk(m)p
Fl(+1)2043 2100 y Ft(+)g Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(\013)2377
2112 y Fk(n)2423 2100 y Fr(b)2459 2112 y Fk(n)2504 2100
y Fr(:)165 2283 y Ft(Wir)25 b(zeigen)f Fr(m)12 b Ft(+)g(1)22
b Fo(\024)g Fr(n)p Ft(.)j(W)-7 b(enn)25 b(das)f(nic)n(h)n(t)g(der)g(F)
-7 b(all)24 b(ist,)h(dann)f(ist)h(nac)n(h)f(Induktions-)165
2383 y(v)n(oraussetzung)f Fr(m)g Ft(=)g Fr(n)p Ft(,)i(also)f(treten)h
(in)h(der)f(Summe)g(k)n(eine)g(Summanden)h(der)f(F)-7
b(orm)165 2482 y Fr(\013)218 2494 y Fk(i)246 2482 y Fr(b)282
2494 y Fk(i)343 2482 y Ft(auf.)34 b(Damit)g(w)838 2486
y(\177)836 2482 y(urde)f(ab)r(er)g(die)g(Gleic)n(h)n(ung)g(f)1784
2486 y(\177)1782 2482 y(ur)h Fr(c)1931 2494 y Fk(m)p
Fl(+1)2111 2482 y Ft(zeigen,)f(da\031)g(die)h(Menge)165
2582 y Fo(f)p Fr(c)243 2594 y Fl(1)280 2582 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)501 2594 y Fk(m)p Fl(+1)648 2582
y Fo(g)33 b Ft(linear)h(abh)1095 2586 y(\177)1095 2582
y(angig)f(ist.)h(Das)g(ist)h(ein)f(Widerspruc)n(h)g(zur)g(V)-7
b(orausset-)165 2682 y(zung.)33 b(F)448 2686 y(\177)446
2682 y(ugen)g(wir)g(jetzt)g(den)g(V)-7 b(ektor)33 b Fr(c)1469
2694 y Fk(m)p Fl(+1)1649 2682 y Ft(zu)g(der)g(Liste)f(hinzu,)i(so)e
(erhalten)h(wir)165 2781 y(eine)27 b(Erzeugendenmenge)d
Fo(f)p Fr(c)1132 2793 y Fl(1)1169 2781 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)
1390 2793 y Fk(m)p Fl(+1)1536 2781 y Ft(,)27 b Fr(b)1622
2793 y Fk(m)p Fl(+1)1769 2781 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1989
2793 y Fk(n)2034 2781 y Fo(g)p Ft(.)26 b(W)-7 b(egen)26
b(obiger)f(Darstel-)165 2881 y(lung)30 b(v)n(on)f Fr(c)547
2893 y Fk(m)p Fl(+1)723 2881 y Ft(ist)h(die)g(Menge)f(linear)g(abh)1611
2885 y(\177)1611 2881 y(angig.)f(Wir)i(k)2072 2885 y(\177)2072
2881 y(onnen)f(einen)h(V)-7 b(ektor)29 b(aus)165 2980
y(der)h(Liste)f(fortlassen,)g(n)961 2984 y(\177)961 2980
y(amlic)n(h)g(den)h(ersten)f(V)-7 b(ektor,)29 b(der)h(eine)f(Lineark)n
(om)n(bination)165 3080 y(der)j(v)n(orhergehenden)e(V)-7
b(ektoren)31 b(ist.)h(Da)g(n)n(un)g Fo(f)p Fr(c)1796
3092 y Fl(1)1833 3080 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)2054
3092 y Fk(m)p Fl(+1)2201 3080 y Fo(g)31 b Ft(linear)g(unabh)2735
3084 y(\177)2735 3080 y(angig)165 3180 y(ist,)i(ist)f(dieser)g(V)-7
b(ektor)31 b(aus)h(den)g Fr(b)1294 3192 y Fk(m)p Fl(+1)1441
3180 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1661 3192 y Fk(n)1738
3180 y Ft(zu)33 b(w)1914 3184 y(\177)1914 3180 y(ahlen.)f(Wir)g
(erhalten)f(sc)n(hlie\031-)165 3279 y(lic)n(h)i(eine)g
(Erzeugendenmenge)e(v)n(on)h Fr(n)g Ft(V)-7 b(ektoren,)33
b(die)f(die)h(V)-7 b(ektoren)32 b Fr(c)2524 3291 y Fl(1)2562
3279 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)2782 3291 y Fk(m)p
Fl(+1)165 3379 y Ft(en)n(th)324 3383 y(\177)324 3379
y(alt.)290 3553 y(Man)24 b(b)r(eac)n(h)n(te,)g(da\031)f(das)h(v)n
(orhergehende)e(Lemma)i(im)h(Gegensatz)e(zum)i(Steinitz-)165
3653 y(sc)n(hen)g(Austausc)n(hsatz)f(k)n(onstruktiv)g(ist.)h(In)h(der)e
(T)-7 b(at)25 b(k)-5 b(ann)25 b(man)g(die)h(Bew)n(eissc)n(hritte)165
3753 y(als)19 b(Algorithm)n(us)g(f)777 3757 y(\177)775
3753 y(ur)g(die)g(Berec)n(hn)n(ung)f(einer)h(Basis)f(v)n(erw)n(enden,)h
(w)n(enn)g(eine)g(endlic)n(he)165 3852 y(Erzeugendenmenge)26
b(gegeb)r(en)h(ist.)165 4018 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(5.2.14)78 b Fp(1.)42 b(Sei)31 b Fr(V)41 b Fp(ein)22
b(end)t(lich)i(erzeugter)e(V)-6 b(ektorr)l(aum.)22 b(Dann)f(hab)l(en)
313 4118 y(je)30 b(zwei)h(Basen)f(von)37 b Fr(V)48 b
Fp(gleich)31 b(viele)g(Elemente.)204 4218 y(2.)42 b(Wenn)j
Fr(V)57 b Fp(eine)40 b(Basis)g(mit)f(unend)t(lich)h(vielen)g(Elementen)
f(b)l(esitzt,)g(dann)g(hat)313 4317 y(auch)30 b(je)l(de)h(ander)l(e)f
(Basis)h(von)37 b Fr(V)48 b Fp(unend)t(lich)31 b(viele)g(Elemente.)165
4491 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)33 b Fo(f)p Fr(b)782 4503
y Fl(1)818 4491 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1038 4503
y Fk(n)1083 4491 y Fo(g)32 b Ft(und)h Fo(f)p Fr(c)1406
4503 y Fk(i)1434 4491 y Fo(j)p Fr(i)e Fo(2)g Fr(I)7 b
Fo(g)33 b Ft(zw)n(ei)f(Basen)g(des)g(V)-7 b(ektorraumes)31
b Fr(V)19 b Ft(.)165 4591 y(Die)40 b(Indexmenge)f Fr(I)46
b Ft(darf)39 b(hier)g(zun)1375 4595 y(\177)1375 4591
y(ac)n(hst)g(sogar)e(unendlic)n(h)j(sein.)f(Dann)g(ist)h(jede)p
eop end
%%Page: 157 18
TeXDict begin 157 17 bop 1168 100 a Fn(5.2)43 b(Lineark)n(om)n
(binationen,)26 b(Basen,)h(Dimension)152 b(157)165 282
y Ft(endlic)n(he)34 b(T)-7 b(eilmenge)33 b(v)n(on)g Fo(f)p
Fr(c)1133 294 y Fk(i)1160 282 y Fo(g)h Ft(linear)e(unabh)1698
286 y(\177)1698 282 y(angig,)h(b)r(esitzt)h(also)f(nac)n(h)g(dem)h(v)n
(or-)165 382 y(hergehenden)28 b(Lemma)h(h)990 386 y(\177)990
382 y(oc)n(hstens)f Fr(n)g Ft(Elemen)n(te.)h(F)-7 b(olglic)n(h)28
b(ist)h(auc)n(h)f Fo(f)p Fr(c)2489 394 y Fk(i)2516 382
y Fo(j)p Fr(i)d Fo(2)g Fr(I)7 b Fo(g)28 b Ft(eine)165
482 y(endlic)n(he)j(Menge)f(mit)h(h)958 486 y(\177)958
482 y(oc)n(hstens)f Fr(n)h Ft(Elemen)n(ten.)f(Damit)h(ist)g(2.)f(b)r
(ewiesen.)h(V)-7 b(ertau-)165 581 y(sc)n(hen)39 b(wir)f(jetzt)i(die)f
(Rollen)f(der)h Fr(b)1364 593 y Fk(i)1430 581 y Ft(und)g(der)g
Fr(c)1798 593 y Fk(i)1825 581 y Ft(,)g(so)f(m)n(u\031)h(no)r(c)n(hmals)
f(nac)n(h)g(dem)165 681 y(v)n(orstehenden)25 b(Lemma)h(die)g(Menge)f
(der)h Fr(c)1535 693 y Fk(i)1589 681 y Ft(mindestens)g
Fr(n)g Ft(Elemen)n(te)f(b)r(esitzen.)i(Da-)165 780 y(mit)i(ist)e(auc)n
(h)g(1.)h(b)r(ewiesen.)290 949 y(W)-7 b(enn)28 b Fo(f)p
Fr(b)603 961 y Fl(1)639 949 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)860
961 y Fk(n)905 949 y Fo(g)26 b Ft(eine)i(Basis)e(f)1387
953 y(\177)1385 949 y(ur)h(den)h(V)-7 b(ektorraum)26
b Fr(V)46 b Ft(ist,)28 b(so)f(ist)g(die)g(Zahl)g Fr(n)165
1049 y Ft(n)n(ur)h(durc)n(h)g(den)h(V)-7 b(ektorraum)27
b(selbst)h(b)r(estimm)n(t.)h Fr(V)47 b Ft(k)-5 b(ann)29
b(zw)n(ar)e(viele)h(v)n(ersc)n(hiedene)165 1149 y(Basen)20
b(hab)r(en,)h(jedo)r(c)n(h)g(hab)r(en)g(alle)g(Basen)f(dieselb)r(e)h
(Anzahl)g(v)n(on)f(Elemen)n(ten.)h(Damit)165 1248 y(ist)26
b Fr(n)g Ft(eine)f(in)n(teressan)n(te)g(In)n(v)-5 b(arian)n(te)24
b(f)1392 1252 y(\177)1390 1248 y(ur)i(den)g(V)-7 b(ektorraum)24
b Fr(V)19 b Ft(,)26 b(die)g(unabh)2581 1252 y(\177)2581
1248 y(angig)e(v)n(on)165 1348 y(der)k(gew)448 1352 y(\177)448
1348 y(ahlten)f(Basis)f(ist.)i(Das)f(f)1248 1352 y(\177)1246
1348 y(uhrt)h(uns)g(zu)g(der)165 1511 y Fq(De\014nition)j(5.2.15)40
b Ft(W)-7 b(enn)31 b(der)f(V)-7 b(ektorraum)30 b Fr(V)49
b Ft(eine)31 b(endlic)n(he)g(Basis)e(b)r(esitzt,)j(so)165
1610 y(wird)g(die)g(Anzahl)g Fr(n)g Ft(der)g(V)-7 b(ektoren)31
b(der)h(Basis)f Fp(Dimension)38 b Ft(genann)n(t:)32 b(dim)14
b Fr(V)49 b Ft(=)30 b Fr(n)p Ft(.)165 1710 y(Sonst)e(sagen)e(wir,)i
(da\031)e(die)i(Dimension)g(unendlic)n(h)g(ist:)g(dim)14
b Fr(V)42 b Ft(=)22 b Fo(1)p Ft(.)165 1873 y Fq(F)-8
b(olgerung)31 b(5.2.16)40 b Fp(Sei)e Fr(V)49 b Fp(ein)36
b Fr(n)p Fp(-dimensionaler)31 b(V)-6 b(ektorr)l(aum.)30
b(Dann)f(gelten:)204 2020 y(1.)42 b(je)37 b Fr(n)18 b
Ft(+)g(1)29 b Fp(V)-6 b(ektor)l(en)29 b(sind)h(line)l(ar)h(abh)1516
2024 y(\177)1517 2020 y(angig,)204 2120 y(2.)42 b Fr(V)49
b Fp(kann)29 b(nicht)h(dur)l(ch)g(eine)h(Menge)f(von)36
b Fr(n)19 b Fo(\000)f Ft(1)29 b Fp(V)-6 b(ektor)l(en)29
b(erzeugt)g(wer)l(den.)290 2283 y(Beweis)g Ft(folgt)e(unmittelbar)h
(aus)f(5.2.13.)165 2446 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.2.17)40
b Fp(Sei)e Fr(V)49 b Fp(ein)36 b Fr(n)p Fp(-dimensionaler)31
b(V)-6 b(ektorr)l(aum.)30 b(Dann)f(gelten:)204 2593 y(1.)42
b(je)l(de)31 b(line)l(ar)f(unabh)930 2597 y(\177)931
2593 y(angige)h(Menge)g(von)36 b Fr(n)30 b Fp(V)-6 b(ektor)l(en)29
b(ist)g(ein)h(Basis,)204 2693 y(2.)42 b(je)l(de)31 b(Erzeugendenmenge)f
(f)1225 2697 y(\177)1225 2693 y(ur)39 b Fr(V)48 b Fp(von)37
b Fr(n)29 b Fp(V)-6 b(ektor)l(en)29 b(ist)h(eine)g(Basis.)165
2862 y(Beweis.)44 b Ft(1.)h(Jede)h(linear)g(unabh)1277
2866 y(\177)1277 2862 y(angige)e(Menge)i(l)1860 2866
y(\177)1860 2862 y(a\031t)g(sic)n(h)g(zu)g(einer)f(Basis)h(v)n(er-)165
2961 y(v)n(ollst)360 2965 y(\177)360 2961 y(andigen,)37
b(die)g(jedo)r(c)n(h)h(nac)n(h)f(5.2.16)f(1.)h(nic)n(h)n(t)h(mehr)f
(als)g Fr(n)h Ft(Elemen)n(te)f(hab)r(en)165 3061 y(k)-5
b(ann.)28 b(Also)f(ist)h(die)g(gegeb)r(ene)f(Menge)g(selbst)g(sc)n(hon)
g(eine)h(Basis.)290 3160 y(2.)35 b(Jede)f(Erzeugendenmenge)g(f)1343
3164 y(\177)1341 3160 y(ur)h Fr(V)54 b Ft(en)n(th)1716
3164 y(\177)1716 3160 y(alt)35 b(nac)n(h)f(5.2.16)f(2.)i(eine)g(Basis,)
f(die)165 3260 y(jedo)r(c)n(h)28 b(nac)n(h)f(nic)n(h)n(t)g(w)n(eniger)g
(als)f Fr(n)i Ft(Elemen)n(te)f(hab)r(en)h(k)-5 b(ann.)27
b(Also)h(ist)f(die)h(gegeb)r(ene)165 3360 y(Menge)g(selbst)f(sc)n(hon)g
(eine)h(Basis.)165 3529 y Fq(Satz)33 b(5.2.18)40 b Fp(Sei)k
Fr(V)55 b Fp(ein)42 b Fr(n)p Fp(-dimensionaler)37 b(V)-6
b(ektorr)l(aum)35 b(und)44 b Fr(U)h Fp(ein)36 b(Untervek-)165
3628 y(torr)l(aum)g(von)43 b Fr(V)18 b Fp(.)37 b(Dann)e(ist)44
b Fr(U)h Fp(ein)36 b(end)t(lichdimensionaler)k(V)-6 b(ektorr)l(aum,)35
b(und)h(es)165 3728 y(gilt)i Ft(dim)15 b Fr(U)31 b Fo(\024)23
b Fr(n)p Fp(.)30 b(Ist)37 b Ft(dim)14 b Fr(U)32 b Ft(=)23
b(dim)14 b Fr(V)19 b Fp(,)30 b(so)g(ist)38 b Fr(U)31
b Ft(=)23 b Fr(V)c Fp(.)165 3897 y(Beweis.)44 b Ft(Eine)24
b(Basis)g(v)n(on)g Fr(U)34 b Ft(b)r(esteh)n(t)25 b(aus)f(h)1607
3901 y(\177)1607 3897 y(oc)n(hstens)g Fr(n)h Ft(linear)f(unabh)2464
3901 y(\177)2464 3897 y(angigen)f(V)-7 b(ek-)165 3997
y(toren)33 b(w)n(egen)f(5.2.16)g(1.)g(Besitzt)i Fr(U)42
b Ft(eine)33 b(Basis)f(aus)h Fr(n)f Ft(=)g(dim)14 b Fr(V)52
b Ft(V)-7 b(ektoren,)33 b(so)f(ist)165 4096 y(diese)e(nac)n(h)f(5.2.17)
g(1.)g(sc)n(hon)g(eine)h(Basis)f(v)n(on)g Fr(V)19 b Ft(,)30
b(also)f(erzeugt)g(sie)h(ganz)f Fr(V)19 b Ft(.)30 b(Daher)165
4196 y(folgt)e Fr(U)k Ft(=)22 b Fr(V)d Ft(.)178 4349
y Fq(\177)165 4365 y(Ubungen)32 b(5.2.19)81 b Ft(1.)41
b(Im)32 b(V)-7 b(ektorraum)31 b Fm(R)1662 4335 y Fl(3)1731
4365 y Ft(b)r(etrac)n(h)n(ten)g(wir)h(die)g(V)-7 b(ektoren)31
b Fr(v)j Ft(=)313 4465 y(\(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g
Ft(1\))27 b(und)h Fr(w)d Ft(=)e(\(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p
Fr(;)g Fo(\000)p Ft(1\).)345 4564 y(a\))42 b(Zeigen)21
b(Sie,)h(da\031)f(der)g(V)-7 b(ektor)21 b(\(1)p Fr(;)14
b Ft(2)p Fr(;)g Ft(5\))21 b(eine)h(Lineark)n(om)n(bination)e(v)n(on)h
Fr(v)k Ft(und)461 4664 y Fr(w)30 b Ft(ist.)p eop end
%%Page: 158 19
TeXDict begin 158 18 bop 165 100 a Fn(158)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)341 282
y Ft(b\))42 b(Zeigen)34 b(Sie,)h(da\031)f(der)h(V)-7
b(ektor)34 b(\(3)p Fr(;)14 b Ft(4)p Fr(;)g Ft(0\))34
b(k)n(eine)h(Lineark)n(om)n(bination)e(v)n(on)h Fr(v)461
382 y Ft(und)28 b Fr(w)i Ft(ist.)207 482 y(2.)73 b(a\))42
b(En)n(tsc)n(heiden)24 b(Sie,)h(ob)g(die)h(V)-7 b(ektoren)24
b(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(2\),)25 b(\(2)p Fr(;)14
b Ft(1)p Fr(;)g Ft(4\))24 b(und)h(\(1)p Fr(;)14 b Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))24 b(eine)461 581 y(Basis)i(des)i
Fm(R)881 551 y Fl(3)945 581 y Ft(bilden.)341 681 y(b\))42
b(En)n(tsc)n(heiden)29 b(Sie,)h(ob)g(die)g(V)-7 b(ektoren)30
b(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(2\),)29 b(\(3)p Fr(;)14
b Ft(1)p Fr(;)g Fo(\000)p Ft(1\))29 b(und)h(\()p Fo(\000)p
Ft(2)p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)g Ft(3\))461 780
y(eine)27 b(Basis)g(des)g Fm(R)1051 750 y Fl(3)1116 780
y Ft(bilden.)207 880 y(3.)41 b(Sei)26 b Fr(V)41 b Ft(=)23
b Fm(R)682 850 y Fl(4)745 880 y Ft(und)j Fr(U)31 b Ft(=)23
b Fo(f)p Ft(\()14 b(2)p Fr(x;)g(x;)g Ft(7)p Fr(y)s(;)g
Ft(7)p Fr(z)i Ft(\))e Fo(j)p Fr(x)g Ft(+)g(2)p Fr(y)i
Ft(+)e(3)p Fr(z)26 b Ft(=)c(0)p Fo(g)h(\032)f Fm(R)2438
850 y Fl(4)2475 880 y Ft(.)k(Bestimmen)313 980 y(Sie)i(eine)f(Basis)g
(v)n(on)g Fr(V)19 b Ft(,)27 b(die)h(eine)g(Basis)e(v)n(on)h
Fr(U)37 b Ft(en)n(th)2039 984 y(\177)2039 980 y(alt.)207
1079 y(4.)k(Sei)24 b Fr(V)43 b Ft(ein)24 b Fr(n)p Ft(-dimensionaler)e
(V)-7 b(ektorraum.)23 b(Dann)h(gibt)f(es)h(eine)g(T)-7
b(eilmenge)23 b Fr(T)35 b Fo(\032)313 1179 y Fr(V)19
b Ft(,)28 b(so)e(da\031)h(f)716 1183 y(\177)714 1179
y(ur)h(jedes)g Fr(v)e Fo(2)d Fr(T)39 b Ft(die)28 b(Menge)f
Fr(T)j Fo(n)18 b(f)p Fr(v)s Fo(g)26 b Ft(eine)i(Basis)f(v)n(on)f
Fr(V)47 b Ft(ist.)207 1279 y(5.)41 b(Sei)24 b Fr(V)42
b Ft(ein)24 b(endlic)n(hdimensionaler)e(V)-7 b(ektorraum.)22
b Fr(U)1976 1291 y Fl(1)2037 1279 y Ft(und)i Fr(U)2256
1291 y Fl(2)2316 1279 y Ft(seien)g(zw)n(ei)f(Un)n(ter-)313
1378 y(v)n(ektorr)576 1382 y(\177)576 1378 y(aume)i(mit)k
Fr(U)1005 1390 y Fl(1)1060 1378 y Fo(\\)19 b Fr(U)1191
1390 y Fl(2)1251 1378 y Ft(=)j Fo(f)p Ft(0)p Fo(g)p Ft(.)27
b(Zeigen)g(Sie:)g(dim)15 b Fr(V)42 b Fo(\025)22 b Ft(dim)14
b Fr(U)2472 1390 y Fl(1)2528 1378 y Ft(+)k(dim)c Fr(U)2820
1390 y Fl(2)2857 1378 y Ft(.)207 1478 y(6.)41 b(Sei)22
b Fr(U)30 b Ft(ein)22 b(Un)n(terv)n(ektorraum)d(des)i(endlic)n
(hdimensionalen)g(V)-7 b(ektorraums)20 b Fr(V)41 b Ft(mit)313
1577 y(dim)14 b Fr(U)32 b Ft(=)23 b(dim)14 b Fr(V)19
b Ft(.)27 b(Zeigen)g(Sie)h Fr(U)k Ft(=)22 b Fr(V)d Ft(.)207
1677 y(7.)41 b Fr(U)370 1689 y Fl(1)430 1677 y Ft(und)23
b Fr(U)648 1689 y Fl(2)708 1677 y Ft(seien)g(Un)n(terv)n(ektorr)1378
1681 y(\177)1378 1677 y(aume)e(v)n(on)h Fm(R)1805 1647
y Fl(3)1865 1677 y Ft(mit)i(dim)14 b Fr(U)2222 1689 y
Fl(1)2282 1677 y Ft(=)22 b(1)h(und)g(dim)15 b Fr(U)2805
1689 y Fl(2)2865 1677 y Ft(=)313 1777 y(2.)27 b(Zeigen)g(Sie)1039
1876 y Fr(U)1096 1888 y Fl(1)1151 1876 y Ft(+)18 b Fr(U)1291
1888 y Fl(2)1351 1876 y Ft(=)23 b Fm(R)1499 1842 y Fl(3)1559
1876 y Fo(,)g Fr(U)1722 1888 y Fl(1)1777 1876 y Fo(\\)c
Fr(U)1908 1888 y Fl(2)1968 1876 y Ft(=)k Fo(f)p Ft(0)p
Fo(g)p Fr(:)207 2026 y Ft(8.)41 b(Zeigen)48 b(Sie,)i(da\031)e(die)h(P)n
(olynomfunktionen)f(1)p Fr(;)14 b(x;)g(x)2075 1996 y
Fl(2)2113 2026 y Fr(;)g(x)2197 1996 y Fl(3)2283 2026
y Ft(in)50 b Fm(R)2462 1996 y Fh(R)2557 2026 y Ft(linear)e(un-)313
2125 y(abh)447 2129 y(\177)447 2125 y(angig)23 b(sind.)h(\(Hin)n(w)n
(eis:)g(Betrac)n(h)n(ten)f(Sie)h(die)g(Ableitungen)h(v)n(on)e(Lineark)n
(om-)313 2225 y(binationen)k(der)h(P)n(olynomfunktionen.\))207
2325 y(9.)41 b(Bestimmen)30 b(Sie)g(eine)g(linear)f(unabh)1516
2329 y(\177)1516 2325 y(angige)g(Erzeugendenmenge)f(f)2527
2329 y(\177)2525 2325 y(ur)i(den)g(Un-)313 2424 y(terv)n(ektorraum)25
b Fo(h)p Ft(1)p Fr(;)14 b(x)1018 2394 y Fl(2)1074 2424
y Ft(+)k(2)p Fr(x;)c(x)1330 2394 y Fl(2)1386 2424 y Fo(\000)k
Ft(2)p Fr(x;)c Ft(2)p Fr(x)k Fo(\000)g Ft(1)p Fo(i)23
b(\022)g Fm(R)2030 2394 y Fh(R)2076 2424 y Ft(.)165 2524
y(10.)41 b(Bestimmen)22 b(Sie)h(eine)f(Basis)f(f)1272
2528 y(\177)1270 2524 y(ur)h(den)g(Un)n(terv)n(ektorraum)e
Fr(P)2223 2536 y Fl(3)2283 2524 y Ft(der)i(P)n(olynomfunk-)313
2623 y(tionen)31 b(v)n(om)g(Grad)g(kleiner)f(o)r(der)h(gleic)n(h)g(3)g
(im)g(V)-7 b(ektorraum)30 b(aller)h(F)-7 b(unktionen)313
2723 y(v)n(on)27 b Fm(R)g Ft(nac)n(h)g Fm(R)p Ft(.)165
2823 y(11.)41 b(Sei)d Fr(K)45 b Ft(=)40 b Fm(F)729 2835
y Fl(3)806 2823 y Ft(=)f Fm(Z)p Fr(=)p Ft(\(3\))f(der)f(K)1369
2827 y(\177)1369 2823 y(orp)r(er)g(mit)h(drei)f(Elemen)n(ten.)h
(Bestimmen)g(Sie)313 2922 y(eine)28 b(Basis)f(f)728 2926
y(\177)726 2922 y(ur)h(den)g(Un)n(terv)n(ektorraum)e(aller)h(P)n
(olynomfunktionen)g(v)n(om)g(Grad)313 3022 y(kleiner)37
b(o)r(der)g(gleic)n(h)h(3)f(im)h Fr(K)6 b Ft(-V)-7 b(ektorraum)36
b Fm(F)1868 2985 y Fh(F)1904 2993 y Fg(3)1868 3044 y
Fl(3)1978 3022 y Ft(aller)h(Abbildungen)h(v)n(on)f Fm(F)2892
3034 y Fl(3)313 3122 y Ft(nac)n(h)27 b Fm(F)560 3134
y Fl(3)597 3122 y Ft(.)165 3221 y(12.)41 b(Wieviele)28
b(Basen)e(hat)i(ein)g(dreidimensionaler)e Fm(Z)p Fr(=)p
Ft(\(2\)-V)-7 b(ektorraum?)165 3321 y(13.)41 b(Zeigen)d(Sie,)h(da\031)f
Fo(f)p Ft(sin\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b Ft(cos\()p
Fr(x)p Ft(\))p Fo(g)39 b Ft(eine)g(linear)f(unabh)2169
3325 y(\177)2169 3321 y(angige)g(Menge)g(in)h Fm(R)2883
3291 y Fh(R)313 3421 y Ft(bildet.)e(\(V)-7 b(erw)n(enden)36
b(Sie)h(dazu)f(Ihre)g(Sc)n(h)n(ulk)n(enn)n(tnisse)2179
3425 y(\177)2177 3421 y(ub)r(er)g(die)h(F)-7 b(unktionen)313
3520 y(sin\()p Fr(x)p Ft(\))29 b(und)f(cos)o(\()p Fr(x)p
Ft(\).\))165 3620 y(14.)41 b(Sei)33 b Fr(U)41 b Ft(der)33
b(Un)n(terv)n(ektorraum)d(v)n(on)i Fm(R)1579 3590 y Fh(R)1626
3620 y Ft(,)g(der)h(v)n(on)f(sin\()p Fr(x)p Ft(\))i(und)f(cos)o(\()p
Fr(x)p Ft(\))h(erzeugt)313 3719 y(wird.)25 b(Zeigen)f(Sie,)h(da\031)f
(f)1118 3723 y(\177)1116 3719 y(ur)g(jeden)i(Wink)n(el)e
Fr(')i Ft(gilt)e(sin\()p Fr(')13 b Ft(+)g Fr(x)p Ft(\))24
b Fo(2)f Fr(U)34 b Ft(und)25 b(cos)o(\()p Fr(')13 b Ft(+)313
3819 y Fr(x)p Ft(\))24 b Fo(2)f Fr(U)9 b Ft(.)26 b(Zeigen)g(Sie)g
(au\031erdem,)f(da\031)g Fo(f)p Ft(sin\()p Fr(')16 b
Ft(+)f Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)f Ft(cos)o(\()p Fr(')i Ft(+)f
Fr(x)p Ft(\))p Fo(g)27 b Ft(eine)f(Basis)f(f)2852 3823
y(\177)2850 3819 y(ur)313 3919 y Fr(U)36 b Ft(bildet.)165
4018 y(15.)41 b(Zeigen)23 b(Sie,)g(da\031)g Fo(f)p Ft(sin)o(\()p
Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b Ft(cos\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)g
Ft(tan)q(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fo(g)24 b Ft(eine)f(linear)g(unabh)2345
4022 y(\177)2345 4018 y(angige)f(Menge)h(in)313 4118
y Fm(R)373 4088 y Fh(R)447 4118 y Ft(bildet.)165 4218
y(16.)41 b(Sei)27 b Fr(V)46 b Ft(ein)27 b(endlic)n(hdimensionaler)e(V)
-7 b(ektorraum)26 b(und)h Fr(U)36 b Ft(ein)26 b(Un)n(terv)n(ektorraum)
313 4317 y(v)n(on)32 b Fr(V)19 b Ft(.)33 b Fr(v)638 4329
y Fl(1)675 4317 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)900 4329
y Fk(n)978 4317 y Ft(seien)33 b(linear)f(unabh)1649 4321
y(\177)1649 4317 y(angige)f(V)-7 b(ektoren)32 b(v)n(on)g
Fr(V)19 b Ft(.)33 b(Zeigen)f(Sie)313 4417 y(da\031)27
b(folgende)g(Aussagen)1163 4421 y(\177)1163 4417 y(aquiv)-5
b(alen)n(t)27 b(sind:)345 4516 y(a\))42 b(Erg)593 4520
y(\177)593 4516 y(anzt)18 b(man)j Fr(v)986 4528 y Fl(1)1023
4516 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)1248 4528 y Fk(n)1314
4516 y Ft(durc)n(h)20 b(eine)g(Basis)g(v)n(on)g Fr(U)9
b Ft(,)20 b(so)g(ist)g(die)h(en)n(tstehende)461 4616
y(Menge)27 b(linear)g(unabh)1183 4620 y(\177)1183 4616
y(angig.)p eop end
%%Page: 159 20
TeXDict begin 159 19 bop 1959 100 a Fn(5.3)42 b(Direkte)25
b(Summen)151 b(159)341 282 y Ft(b\))42 b(Der)30 b(Nullv)n(ektor)g(ist)h
(der)f(einzige)g(V)-7 b(ektor,)30 b(der)h(gleic)n(hzeitig)e(Lineark)n
(om)n(bi-)461 382 y(nation)e(v)n(on)g Fr(v)916 394 y
Fl(1)953 382 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)1178 394 y
Fk(n)1251 382 y Ft(ist)27 b(und)i(in)e Fr(U)37 b Ft(liegt.)165
482 y(17.)k(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(w)n(elc)n(he)f(der)g
(folgenden)g(Aussagen)g(ric)n(h)n(tig)f(sind)i(\(ja/nein\).)345
581 y(a\))42 b(Sei)30 b Fr(X)36 b Ft(eine)30 b(Menge)g(v)n(on)f(linear)
g(unabh)1761 585 y(\177)1761 581 y(angigen)g(V)-7 b(ektoren)30
b(in)g(einem)g(V)-7 b(ek-)461 681 y(torraum.)26 b(Dann)i(ist)g(auc)n(h)
f(jede)h(T)-7 b(eilmenge)27 b(v)n(on)g Fr(X)34 b Ft(linear)27
b(unabh)2628 685 y(\177)2628 681 y(angig.)341 780 y(b\))42
b(Sei)34 b Fr(X)41 b Ft(ein)34 b(Erzeugendensystem)f(des)h(V)-7
b(ektorraumes)33 b Fr(V)19 b Ft(.)35 b(Dann)f(ist)h(auc)n(h)461
880 y(jede)27 b(T)-7 b(eilmenge)28 b(v)n(on)f Fr(X)34
b Ft(ein)27 b(Erzeugendensystem)f(v)n(on)h Fr(V)19 b
Ft(.)350 980 y(c\))42 b(Jede)36 b(Menge)g(v)n(on)g(V)-7
b(ektoren)36 b(in)h(einem)g(V)-7 b(ektorraum)35 b(l)2308
984 y(\177)2308 980 y(a\031t)i(sic)n(h)f(zu)h(einer)461
1079 y(Basis)26 b(erg)789 1083 y(\177)789 1079 y(anzen.)165
1179 y(18.)41 b(Wir)35 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)g(die)g(reellen)g(Zahlen)f
(als)h(V)-7 b(ektorraum)2203 1183 y(\177)2201 1179 y(ub)r(er)35
b(den)h(rationalen)313 1279 y(Zahlen)27 b(\(vgl.)g(Beispiel)h(5.1.2)e
(6.\).)i(Zeigen)f(Sie:)345 1378 y(a\))42 b(die)31 b(V)-7
b(ektoren)30 b(1,)1050 1309 y Fo(p)p 1119 1309 42 4 v
69 x Ft(2)g(und)1361 1309 y Fo(p)p 1430 1309 V 69 x Ft(3)g(sind)h
(linear)f(unabh)2141 1382 y(\177)2141 1378 y(angig)g(\(Hin)n(w)n(eis:)h
(Bino-)461 1478 y(misc)n(he)d(F)-7 b(ormel,)28 b(Primfaktorzerlegung:)d
(Kann)j(die)h(Quadrat)n(wurzel)e(einer)461 1577 y(Primzahl)21
b(rational)h(sein?)g(Man)h(sollte)f(u.a.)h(zeigen,)f(da\031)2292
1509 y Fo(p)p 2361 1509 V 68 x Ft(6)h(irrational)e(ist.\))341
1677 y(b\))461 1608 y Fo(p)p 530 1608 V 69 x Ft(7)27
b(ist)h(k)n(eine)f(Lineark)n(om)n(bination)e(v)n(on)1793
1608 y Fo(p)p 1862 1608 V 69 x Ft(3)i(und)2097 1608 y
Fo(p)p 2167 1608 V 2167 1677 a Ft(5)o(.)165 1777 y(19.)41
b(Seien)34 b Fr(v)576 1789 y Fl(1)613 1777 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)838 1789 y Fk(n)917 1777 y Ft(linear)33
b(abh)1288 1781 y(\177)1288 1777 y(angige)f(V)-7 b(ektoren)33
b(in)g(dem)h(V)-7 b(ektorraum)33 b Fr(V)2767 1781 y Ft(\177)2765
1777 y(ub)r(er)313 1876 y(dem)i(K)565 1880 y(\177)565
1876 y(orp)r(er)e Fr(K)40 b Ft(mit)35 b(der)f(Eigensc)n(haft,)g(da\031)
g(je)h Fr(n)23 b Fo(\000)f Ft(1)34 b(v)n(on)g(diesen)h(V)-7
b(ektoren)313 1976 y(linear)27 b(unabh)770 1980 y(\177)770
1976 y(angig)f(sind.)i(Seien)1224 2152 y Fr(\025)1272
2164 y Fl(1)1310 2152 y Fr(v)1350 2164 y Fl(1)1406 2152
y Ft(+)18 b Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(\025)1735 2164 y
Fk(n)1781 2152 y Fr(v)1821 2164 y Fk(n)1889 2152 y Ft(=)23
b(0)313 2328 y(und)1222 2428 y Fr(\026)1272 2440 y Fl(1)1310
2428 y Fr(v)1350 2440 y Fl(1)1406 2428 y Ft(+)18 b Fr(:)c(:)g(:)k
Ft(+)g Fr(\026)1737 2440 y Fk(n)1782 2428 y Fr(v)1822
2440 y Fk(n)1891 2428 y Ft(=)k(0)313 2574 y(zw)n(ei)h(Lineark)n(om)n
(binationen,)e(b)r(ei)j(denen)g(jew)n(eils)f(nic)n(h)n(t)h(alle)f(Ko)r
(e\016zien)n(ten)g(Null)313 2673 y(sind.)28 b(Zeigen)f(Sie,)g(da\031)g
(es)h(eine)f(Zahl)g Fr(\025)d Fo(2)f Fr(K)33 b Ft(mit)c(der)e(Eigensc)n
(haft)1457 2849 y Fr(\026)1507 2861 y Fk(j)1565 2849
y Ft(=)c Fr(\025\025)1749 2861 y Fk(j)313 3026 y Ft(f)340
3030 y(\177)338 3026 y(ur)28 b(alle)f Fr(j)h Ft(=)22
b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)27 b Ft(gibt.)165 3344
y Fs(5.3)42 b(Direkte)37 b(Summen)165 3542 y Ft(In)26
b(Absc)n(hnitt)g(1)g(hab)r(en)f(wir)h(sc)n(hon)f(Summen)h(v)n(on)f(Un)n
(terv)n(ektorr)2294 3546 y(\177)2294 3542 y(aumen)e(diskutiert.)165
3642 y(Hier)28 b(w)n(ollen)f(wir)g(einen)h(b)r(esonders)e(sc)n(h)1459
3646 y(\177)1459 3642 y(onen)h(Sp)r(ezialfall)h(da)n(v)n(on)e(b)r
(etrac)n(h)n(ten.)165 3804 y Fq(De\014nition)31 b(5.3.1)40
b Ft(Seien)28 b Fr(U)1123 3816 y Fl(1)1188 3804 y Ft(und)g
Fr(U)1411 3816 y Fl(2)1476 3804 y Ft(Un)n(terv)n(ektorr)1947
3808 y(\177)1947 3804 y(aume)d(des)j(V)-7 b(ektorraumes)26
b Fr(V)19 b Ft(.)165 3904 y(W)-7 b(enn)23 b Fr(U)452
3916 y Fl(1)497 3904 y Fo(\\)8 b Fr(U)617 3916 y Fl(2)676
3904 y Ft(=)23 b(0)f(und)g Fr(U)1045 3916 y Fl(1)1090
3904 y Ft(+)8 b Fr(U)1220 3916 y Fl(2)1279 3904 y Ft(=)23
b Fr(V)41 b Ft(gelten,)22 b(dann)g(hei\031t)g Fr(V)41
b Ft(eine)j Fp(dir)l(ekte)26 b(Summe)165 4004 y Ft(der)f(b)r(eiden)h
(Un)n(terv)n(ektorr)1040 4008 y(\177)1040 4004 y(aume.)d(Wir)i(sc)n
(hreib)r(en)g Fr(V)41 b Ft(=)23 b Fr(U)2043 4016 y Fl(1)2094
4004 y Fo(\010)14 b Fr(U)2230 4016 y Fl(2)2266 4004 y
Ft(.)25 b(W)-7 b(eiter)25 b(hei\031en)g Fr(U)2892 4016
y Fl(1)165 4103 y Ft(und)31 b Fr(U)391 4115 y Fl(2)458
4103 y Fp(dir)l(ekte)h(Summanden)k Ft(v)n(on)29 b Fr(V)19
b Ft(.)30 b Fr(U)1546 4115 y Fl(2)1613 4103 y Ft(hei\031t)f
Fp(dir)l(ektes)k(Komplement)38 b Ft(zu)30 b Fr(U)2793
4115 y Fl(1)2860 4103 y Ft(in)165 4203 y Fr(V)19 b Ft(.)290
4365 y(Der)j(folgende)g(Satz)h(v)n(erhilft)f(uns)g(zu)h(einer)f
(Vielzahl)g(v)n(on)g(Beispielen.)g(Er)g(zeigt)g(in)165
4465 y(der)28 b(T)-7 b(at,)27 b(da\031)g(jeder)h(Un)n(terv)n(ektorraum)
d(als)i(direkter)g(Summand)h(in)g(einer)f(direkten)165
4564 y(Summe)g(auftritt.)f(Das)f(ist)h(eine)g(ganz)e(b)r(esondere)h
(Eigensc)n(haft)g(v)n(on)f(V)-7 b(ektorr)2667 4568 y(\177)2667
4564 y(aumen,)165 4664 y(die)28 b(aus)f(der)g(Existenz)g(einer)h(Basis)
e(f)1373 4668 y(\177)1371 4664 y(ur)i(jeden)g(V)-7 b(ektorraum)26
b(folgt.)p eop end
%%Page: 160 21
TeXDict begin 160 20 bop 165 100 a Fn(160)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Fq(Satz)33 b(5.3.2)40 b Fp(Sei)i Fr(U)g Fp(ein)33 b(Untervektorr)l
(aum)f(des)i(V)-6 b(ektorr)l(aumes)40 b Fr(V)18 b Fp(.)34
b(Dann)f(gibt)g(es)165 382 y(ein)d(dir)l(ektes)h(Komplement)f(zu)35
b Fr(U)9 b Fp(.)165 556 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)31 b Fo(f)p
Fr(u)709 568 y Fk(i)735 556 y Fo(j)p Fr(i)e Fo(2)g Fr(I)7
b Fo(g)30 b Ft(eine)h(Basis)f(f)1436 560 y(\177)1434
556 y(ur)h Fr(U)9 b Ft(.)31 b(Da)g(diese)g(Menge)f(linear)g(unabh)2735
560 y(\177)2735 556 y(angig)165 656 y(ist,)h(k)-5 b(ann)31
b(sie)f(nac)n(h)g(5.2.11)f(3.)i(zu)f(einer)h(Basis)e
Fo(f)p Fr(u)1801 668 y Fk(i)1828 656 y Fo(j)p Fr(i)f
Fo(2)g Fr(I)7 b Fo(g)2092 646 y Ft(_)2076 656 y Fo([f)p
Fr(v)2213 668 y Fk(j)2248 656 y Fo(j)p Fr(j)33 b Fo(2)c
Fr(J)8 b Fo(g)30 b Ft(fortgesetzt)165 756 y(w)n(erden.)22
b(Sei)h Fr(U)662 725 y Fi(0)708 756 y Ft(der)g(v)n(on)f
Fo(f)p Fr(v)1081 768 y Fk(j)1115 756 y Fo(j)p Fr(j)28
b Fo(2)c Fr(J)8 b Fo(g)22 b Ft(\(als)h(Basis\))f(erzeugte)g(Un)n(terv)n
(ektorraum.)e(Wir)165 855 y(zeigen,)30 b(da\031)f Fr(U)665
825 y Fi(0)718 855 y Ft(ein)g(direktes)h(Komplemen)n(t)f(zu)h
Fr(U)38 b Ft(ist.)30 b(Sei)g Fr(v)g Fo(2)d Fr(V)49 b
Ft(gegeb)r(en.)29 b Fr(v)k Ft(hat)165 955 y(eine)28 b(Basisdarstellung)
1053 1149 y Fr(v)e Ft(=)d(\()1239 1071 y Fj(X)1248 1249
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1373 1149 y Fr(\013)1426 1161 y
Fk(i)1454 1149 y Fr(u)1502 1161 y Fk(i)1529 1149 y Ft(\))c(+)f(\()1695
1071 y Fj(X)1696 1249 y Fk(j)s Fi(2)p Fk(J)1829 1149
y Fr(\014)1876 1161 y Fk(j)1911 1149 y Fr(v)1951 1161
y Fk(j)1986 1149 y Ft(\))p Fr(:)165 1422 y Ft(Die)27
b(b)r(eiden)f(Klammerausdr)1118 1426 y(\177)1116 1422
y(uc)n(k)n(e)e(liegen)h(jedo)r(c)n(h)h(in)h Fr(U)34 b
Ft(bzw.)26 b(in)h Fr(U)2333 1392 y Fi(0)2356 1422 y Ft(.)f(Damit)g(ist)
h Fr(V)42 b Ft(=)165 1522 y Fr(U)29 b Ft(+)19 b Fr(U)401
1491 y Fi(0)424 1522 y Ft(.)29 b(Um)g Fr(U)g Fo(\\)19
b Fr(U)862 1491 y Fi(0)911 1522 y Ft(=)25 b(0)k(zu)g(zeigen,)g(w)1518
1526 y(\177)1518 1522 y(ahlen)g(ein)g Fr(v)g Fo(2)d Fr(U)i
Fo(\\)20 b Fr(U)2252 1491 y Fi(0)2275 1522 y Ft(.)29
b(Dann)g(hat)g Fr(v)k Ft(zw)n(ei)165 1621 y(Basisdarstellungen)906
1816 y Fr(v)26 b Ft(=)c(\()1091 1737 y Fj(X)1100 1915
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1226 1816 y Fr(\013)1279 1828 y
Fk(i)1306 1816 y Fr(u)1354 1828 y Fk(i)1381 1816 y Ft(\))d(+)f(0)23
b(=)f(0)c(+)g(\()1842 1737 y Fj(X)1843 1915 y Fk(j)s
Fi(2)p Fk(J)1976 1816 y Fr(\014)2023 1828 y Fk(j)2058
1816 y Fr(v)2098 1828 y Fk(j)2134 1816 y Ft(\))p Fr(;)165
2088 y Ft(w)n(eil)36 b Fr(v)j Ft(so)n(w)n(ohl)34 b(in)i
Fr(U)44 b Ft(als)36 b(auc)n(h)f(in)h Fr(U)1412 2058 y
Fi(0)1470 2088 y Ft(liegt.)g(Wir)g(hab)r(en)g(b)r(ei)g(den)g
(Darstellungen)165 2188 y(die)f(Basen)e(v)n(on)g Fr(U)43
b Ft(bzw.)34 b Fr(U)1085 2158 y Fi(0)1142 2188 y Ft(v)n(erw)n(endet)f
(und)i(no)r(c)n(h)f(eine)g(Lineark)n(om)n(bination)e(der)165
2288 y(restlic)n(hen)c(Basiselemen)n(te,)g(die)h(Null)g(ergibt,)g
(hinzugef)1982 2292 y(\177)1980 2288 y(ugt.)g(W)-7 b(egen)28
b(5.2.8)g(stimmen)165 2387 y(die)34 b(Ko)r(e\016zien)n(ten)811
2391 y(\177)808 2387 y(ub)r(erein:)g Fr(\013)1188 2399
y Fk(i)1248 2387 y Ft(=)e(0)h(f)1447 2391 y(\177)1445
2387 y(ur)g(alle)g Fr(i)f Fo(2)h Fr(I)40 b Ft(und)34
b Fr(\014)2159 2399 y Fk(j)2226 2387 y Ft(=)e(0)h(f)2425
2391 y(\177)2423 2387 y(ur)g(alle)g Fr(j)k Fo(2)c Fr(J)8
b Ft(.)165 2487 y(Damit)28 b(ist)g(ab)r(er)f Fr(v)g Ft(=)22
b(0)27 b(und)h Fr(U)g Fo(\\)18 b Fr(U)1338 2457 y Fi(0)1385
2487 y Ft(=)k(0.)290 2661 y(Es)34 b(ist)g(nic)n(h)n(t)h(n)n(ur)f(die)h
(direkte)f(Summe)h(v)n(on)f(zw)n(ei)g(Un)n(terv)n(ektorr)2461
2665 y(\177)2461 2661 y(aumen)e(in)n(ter-)165 2761 y(essan)n(t,)j
(sondern)g(auc)n(h)f(die)i(direkte)f(Summe)h(b)r(eliebig)g(vieler)f(Un)
n(terv)n(ektorr)2715 2765 y(\177)2715 2761 y(aume.)165
2860 y(Die)24 b(De\014nition)f(hierf)859 2864 y(\177)857
2860 y(ur)f(ist)h(k)n(omplizierter,)f(als)g(die)h(De\014nition)g(einer)
f(direkten)h(Sum-)165 2960 y(me)h(v)n(on)e(zw)n(ei)h(V)-7
b(ektorr)901 2964 y(\177)901 2960 y(aumen.)22 b(Desw)n(egen)g(hab)r(en)
i(wir)e(den)i(einfac)n(hen)f(F)-7 b(all)23 b(zun)2742
2964 y(\177)2742 2960 y(ac)n(hst)165 3060 y(gesondert)k(b)r(etrac)n(h)n
(tet.)165 3226 y Fq(De\014nition)k(5.3.3)40 b Ft(Sei)f(\()p
Fr(U)1083 3238 y Fk(i)1110 3226 y Fo(j)p Fr(i)i Fo(2)h
Fr(I)7 b Ft(\))39 b(eine)g(F)-7 b(amilie)38 b(v)n(on)g(Un)n(terv)n
(ektorr)2537 3230 y(\177)2537 3226 y(aumen)e(des)165
3325 y(V)-7 b(ektorraumes)26 b Fr(V)19 b Ft(.)28 b(W)-7
b(enn)1349 3346 y Fj(X)1358 3524 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1483
3425 y Fr(U)1540 3437 y Fk(i)1591 3425 y Ft(=)22 b Fr(V)165
3653 y Ft(und)1079 3752 y Fo(8)p Fr(j)28 b Fo(2)23 b
Fr(I)7 b Ft([)p Fr(U)1388 3764 y Fk(j)1441 3752 y Fo(\\)1569
3673 y Fj(X)1515 3852 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)e(;i)p Fi(6)p
Fl(=)p Fk(j)1756 3752 y Fr(U)1813 3764 y Fk(i)1864 3752
y Ft(=)22 b(0])165 3992 y(gelten,)41 b(dann)g(hei\031t)g
Fr(V)59 b Ft(eine)41 b Fp(\(inner)l(e\))h(dir)l(ekte)h(Summe)j
Ft(der)41 b(Un)n(terv)n(ektorr)2738 3996 y(\177)2738
3992 y(aume)165 4092 y Fr(U)222 4104 y Fk(i)250 4092
y Ft(.)e(Wir)h(sc)n(hreib)r(en)f Fr(V)62 b Ft(=)1087
4030 y Fj(L)1180 4117 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1300 4092
y Fr(U)1357 4104 y Fk(i)1384 4092 y Ft(.)40 b(W)-7 b(eiter)40
b(hei\031en)f(die)h(Un)n(terv)n(ektorr)2614 4096 y(\177)2614
4092 y(aume)d Fr(U)2902 4104 y Fk(i)165 4191 y Fp(dir)l(ekte)30
b(Summanden)j Ft(v)n(on)26 b Fr(V)19 b Ft(.)28 b(W)-7
b(enn)27 b(f)1447 4195 y(\177)1445 4191 y(ur)g(die)g(Indexmenge)g
Fr(I)j Ft(=)23 b Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)e(;)i(n)p
Fo(g)27 b Ft(gilt,)g(so)165 4291 y(sc)n(hreib)r(en)g(wir)h(auc)n(h)f
Fr(V)42 b Ft(=)22 b Fr(U)1104 4303 y Fl(1)1160 4291 y
Fo(\010)c Fr(:)c(:)g(:)k Fo(\010)g Fr(U)1498 4303 y Fk(n)1543
4291 y Ft(.)290 4457 y(W)-7 b(eil)22 b(der)f(Begri\013)f(der)i
(direkten)f(Summe)h(b)r(einahe)f(genauso)f(stark)g(ist,)i(wie)f(der)g
(ei-)165 4557 y(ner)f(Basis,)g(w)n(ollen)f(wir)h(eine)g(Reihe)h(v)n(on)
e(Eigensc)n(haften)h(\014nden,)g(die)h(dazu)2558 4561
y(\177)2558 4557 y(aquiv)-5 b(alen)n(t)165 4656 y(sind.)p
eop end
%%Page: 161 22
TeXDict begin 161 21 bop 1959 100 a Fn(5.3)42 b(Direkte)25
b(Summen)151 b(161)165 282 y Fq(Satz)33 b(5.3.4)40 b
Fp(Sei)g Ft(\()p Fr(U)853 294 y Fk(i)880 282 y Fo(j)p
Fr(i)26 b Fo(2)g Fr(I)7 b Ft(\))31 b Fp(eine)h(F)-6 b(amilie)32
b(von)f(Untervektorr)2245 286 y(\177)2246 282 y(aumen)g(des)h(V)-6
b(ektor-)165 382 y(r)l(aumes)42 b Fr(V)19 b Fp(.)36 b
Fr(V)55 b Fp(ist)35 b(genau)h(dann)f(dir)l(ekte)i(Summe)d(der)45
b Fr(U)2071 394 y Fk(i)2099 382 y Fp(,)36 b(wenn)f(sich)h(je)l(der)h(V)
-6 b(ek-)165 482 y(tor)50 b Fr(v)d Fo(2)c Fr(V)60 b Fp(auf)41
b(genau)g(eine)g(Weise)h(als)f(Summe)f(einer)h(F)-6 b(amilie)43
b(von)e(V)-6 b(ektor)l(en)165 581 y Ft(\()p Fr(u)245
593 y Fk(i)296 581 y Fo(2)23 b Fr(U)431 593 y Fk(i)459
581 y Fo(j)p Fr(i)f Fo(2)i Fr(I)7 b Ft(\))30 b Fp(schr)l(eib)l(en)g(l)
1094 585 y(\177)1095 581 y(a\031t:)35 b Fr(v)26 b Ft(=)1424
519 y Fj(P)1512 606 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1632 581 y Fr(u)1680
593 y Fk(i)1707 581 y Fp(.)165 756 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)27
b Fr(V)42 b Ft(=)793 693 y Fj(L)885 780 y Fk(i)p Fi(2)p
Fk(I)1005 756 y Fr(U)1062 768 y Fk(i)1117 756 y Ft(und)28
b(hab)r(e)g Fr(v)e Fo(2)e Fr(V)46 b Ft(zw)n(ei)28 b
(Summendarstellungen)1194 963 y Fr(v)f Ft(=)1348 884
y Fj(X)1357 1063 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1482 963 y Fr(u)1530
975 y Fk(i)1580 963 y Ft(=)1668 884 y Fj(X)1677 1063
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1802 963 y Fr(u)1850 929 y Fi(0)1850
984 y Fk(i)1877 963 y Fr(:)165 1229 y Ft(Dann)35 b(ist)g
Fr(u)568 1241 y Fk(j)625 1229 y Fo(\000)23 b Fr(u)761
1199 y Fi(0)761 1251 y Fk(j)830 1229 y Ft(=)929 1167
y Fj(P)1016 1254 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)5 b(;i)p Fi(6)p
Fl(=)p Fk(j)1262 1229 y Fr(u)1310 1199 y Fi(0)1310 1251
y Fk(i)1360 1229 y Fo(\000)22 b Fr(u)1495 1241 y Fk(i)1557
1229 y Ft(=)34 b(0,)g(also)g Fr(u)1977 1241 y Fk(j)2046
1229 y Ft(=)g Fr(u)2193 1199 y Fi(0)2193 1251 y Fk(j)2262
1229 y Ft(f)2289 1233 y(\177)2287 1229 y(ur)g(alle)g
Fr(j)40 b Fo(2)34 b Fr(I)7 b Ft(.)35 b(Sei)165 1329 y(umgek)n(ehrt)24
b(jeder)h(V)-7 b(ektor)24 b Fr(v)i Fo(2)d Fr(V)44 b Ft(eindeutig)25
b(als)f(Summe)h(darstellbar.)e(Zun)2629 1333 y(\177)2629
1329 y(ac)n(hst)h(ist)165 1428 y(dann)e(sic)n(her)f(jeder)h(V)-7
b(ektor)21 b Fr(v)26 b Fo(2)d Fr(V)41 b Ft(als)21 b(Summe)i
(darstellbar,)d(also)h(gilt)g Fr(V)42 b Ft(=)2614 1366
y Fj(P)2702 1453 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2822 1428 y Fr(U)2879
1440 y Fk(i)2906 1428 y Ft(.)165 1528 y(Ist)21 b(ab)r(er)g
Fr(v)26 b Fo(2)e Fr(U)664 1540 y Fk(j)704 1528 y Fo(\\)764
1466 y Fj(P)852 1553 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)5 b(;i)p Fi(6)p
Fl(=)p Fk(j)1097 1528 y Fr(U)1154 1540 y Fk(i)1182 1528
y Ft(,)21 b(so)f(gilt)h Fr(v)26 b Ft(=)d Fr(u)1664 1540
y Fk(j)1704 1528 y Ft(+)5 b(0)22 b(=)h(0)5 b(+)2043 1466
y Fj(P)2130 1553 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)g(;i)p Fi(6)p Fl(=)p
Fk(j)2376 1528 y Fr(u)2424 1540 y Fk(i)2472 1528 y Ft(f)2499
1532 y(\177)2497 1528 y(ur)21 b(geeignete)165 1627 y(V)-7
b(ektoren)32 b Fr(u)571 1639 y Fk(j)606 1627 y Ft(\(=)f
Fr(v)s Ft(\))g Fo(2)h Fr(U)984 1639 y Fk(j)1051 1627
y Ft(und)h Fr(u)1270 1639 y Fk(i)1328 1627 y Fo(2)e Fr(U)1471
1639 y Fk(i)1499 1627 y Ft(.)h(W)-7 b(egen)32 b(der)g(Eindeutigk)n(eit)
g(folgt)h(daraus)165 1727 y Fr(u)213 1739 y Fk(j)271
1727 y Ft(=)23 b(0)f(=)h Fr(v)s Ft(,)28 b(also)e(gilt)i
Fr(U)976 1739 y Fk(j)1029 1727 y Fo(\\)1103 1665 y Fj(P)1190
1752 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)5 b(;i)p Fi(6)p Fl(=)p Fk(j)1436
1727 y Fr(U)1493 1739 y Fk(i)1543 1727 y Ft(=)23 b(0.)165
1901 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.3.5)40 b Fp(Sei)35 b
Fr(B)c Fp(eine)c(Basis)h(f)1506 1905 y(\177)1506 1901
y(ur)f(den)f(V)-6 b(ektorr)l(aum)33 b Fr(V)19 b Fp(.)27
b(Dann)f(ist)34 b Fr(V)46 b Fp(eine)165 2001 y(dir)l(ekte)31
b(Summe)e(der)h(eindimensionalen)i(Untervektorr)1997
2005 y(\177)1998 2001 y(aume)k Ft(\()p Fr(K)6 b(b)p Fo(j)p
Fr(b)22 b Fo(2)h Fr(B)t Ft(\))p Fp(:)1321 2200 y Fr(V)41
b Ft(=)1499 2121 y Fj(M)1498 2300 y Fk(b)p Fi(2)p Fk(B)1639
2200 y Fr(K)6 b(b:)290 2462 y Fp(Beweis)38 b Ft(folgt)e(mit)h(dem)f(v)n
(orhergehenden)f(Satz)h(unmittelbar)h(aus)e(der)h(Eigen-)165
2561 y(sc)n(haft,)28 b(da\031)f(jeder)g(V)-7 b(ektor)27
b(eine)h(eindeutige)f(Basisdarstellung)f(hat.)165 2728
y Fq(Satz)33 b(5.3.6)40 b Fp(Sei)46 b Ft(\()p Fr(U)859
2740 y Fk(i)886 2728 y Fo(j)p Fr(i)36 b Ft(=)f(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p Ft(\))36 b Fp(eine)i(F)-6 b(amilie)38
b(von)f(Untervektorr)2537 2732 y(\177)2538 2728 y(aumen)g(des)165
2827 y(end)t(lichdimensionalen)29 b(V)-6 b(ektorr)l(aumes)32
b Fr(V)19 b Fp(.)26 b Fr(V)45 b Fp(ist)25 b(genau)h(dann)f(dir)l(ekte)i
(Summe)e(der)165 2927 y Fr(U)222 2939 y Fk(i)250 2927
y Fp(,)30 b(wenn)528 2865 y Fj(P)615 2885 y Fk(n)615
2952 y(i)p Fl(=1)741 2927 y Fr(U)798 2939 y Fk(i)848
2927 y Ft(=)23 b Fr(V)48 b Fp(und)1204 2865 y Fj(P)1292
2885 y Fk(n)1292 2952 y(i)p Fl(=1)1418 2927 y Ft(dim)14
b Fr(U)1627 2939 y Fk(i)1677 2927 y Ft(=)23 b(dim)14
b Fr(V)49 b Fp(gelten.)165 3101 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)34
b Fr(B)768 3113 y Fk(i)829 3101 y Ft(=)f Fo(f)p Fr(b)1005
3113 y Fk(i)p Fl(1)1065 3101 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1286
3113 y Fk(ik)1344 3121 y Ff(i)1374 3101 y Fo(g)34 b Ft(Basen)f(f)1727
3105 y(\177)1725 3101 y(ur)h(die)g(Un)n(terv)n(ektorr)2449
3105 y(\177)2449 3101 y(aume)e Fr(U)2732 3113 y Fk(i)2793
3101 y Ft(\(f)2852 3105 y(\177)2850 3101 y(ur)165 3201
y Fr(i)h Ft(=)g(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\).)34
b(Dann)g(gilt)g(dim)14 b Fr(U)1284 3213 y Fk(i)1344 3201
y Ft(=)33 b Fr(k)1485 3213 y Fk(i)1513 3201 y Ft(.)h(Sei)g
Fr(B)j Ft(:=)1931 3138 y Fj(S)2000 3159 y Fk(n)2000 3226
y(i)p Fl(=1)2126 3201 y Fr(B)2189 3213 y Fk(i)2216 3201
y Ft(.)d(Da)g Fr(V)52 b Ft(Summe)35 b(der)165 3300 y
Fr(U)222 3312 y Fk(i)285 3300 y Ft(ist)h(und)g(die)g
Fr(U)782 3312 y Fk(i)845 3300 y Ft(v)n(on)e(den)i(Mengen)f
Fr(B)1556 3312 y Fk(i)1620 3300 y Ft(erzeugt)f(w)n(erden,)h(ist)h
Fr(B)k Ft(o\013en)n(bar)34 b(eine)165 3400 y(Erzeugendenmenge)26
b(f)913 3404 y(\177)911 3400 y(ur)i Fr(V)19 b Ft(.)290
3549 y(")328 3500 y(=)-14 b Fo(\))-6 b Ft(\\)6 b(:)28
b(Sei)h Fr(V)48 b Ft(eine)28 b(direkte)h(Summe)g(der)f
Fr(U)1735 3512 y Fk(i)1762 3500 y Ft(.)h(Dann)g(ist)g(die)g(V)-7
b(ereinigung)28 b Fr(B)g Ft(:=)165 3537 y Fj(S)235 3558
y Fk(n)235 3624 y(i)p Fl(=1)360 3599 y Fr(B)423 3611
y Fk(i)486 3599 y Ft(eine)35 b(disjunkte)g(V)-7 b(ereinigung.)34
b(Ist)h(n)1694 3603 y(\177)1694 3599 y(amlic)n(h)g Fr(i)g
Fo(6)p Ft(=)f Fr(j)40 b Ft(und)c Fr(b)e Fo(2)i Fr(B)2602
3611 y Fk(i)2653 3599 y Fo(\\)23 b Fr(B)2794 3611 y Fk(j)2865
3599 y Fo(\032)165 3699 y Fr(U)222 3711 y Fk(i)272 3699
y Fo(\\)f Fr(U)406 3711 y Fk(j)473 3699 y Fo(\032)570
3637 y Fj(P)658 3657 y Fk(n)658 3724 y(i)p Fl(=1)p Fk(;i)p
Fi(6)p Fl(=)p Fk(j)908 3699 y Fr(U)965 3711 y Fk(i)1015
3699 y Fo(\\)g Fr(U)1149 3711 y Fk(j)1216 3699 y Ft(=)32
b(0,)h(so)f(ist)i Fr(b)e Ft(=)f(0,)i(k)-5 b(ann)33 b(also)f(k)n(ein)h
(Basiselemen)n(t)165 3799 y(sein.)290 3898 y(Wir)d(zeigen,)f(da\031)h
Fr(B)k Ft(eine)c(Basis)f(f)1411 3902 y(\177)1409 3898
y(ur)h Fr(V)49 b Ft(ist.)30 b(W)-7 b(enn)31 b(wir)e(das)h(gezeigt)f
(hab)r(en,)h(ist)165 3998 y(n)211 4002 y(\177)211 3998
y(amlic)n(h)479 3935 y Fj(P)567 3956 y Fk(n)567 4023
y(i)p Fl(=1)692 3998 y Ft(dim)14 b Fr(U)901 4010 y Fk(i)956
3998 y Ft(=)1047 3935 y Fj(P)1135 3956 y Fk(n)1135 4023
y(i)p Fl(=1)1260 3998 y Fr(k)1303 4010 y Fk(i)1358 3998
y Ft(=)26 b Fo(j)p Fr(B)t Fo(j)i Ft(=)e(dim)14 b Fr(V)19
b Ft(.)30 b(Sei)2089 3935 y Fj(P)2177 3956 y Fk(n)2177
4023 y(i)p Fl(=1)2302 3935 y Fj(P)2390 3956 y Fk(k)2425
3964 y Ff(i)2390 4023 y Fk(k)q Fl(=1)2529 3998 y Fr(\013)2582
4010 y Fk(ik)2646 3998 y Fr(b)2682 4010 y Fk(ik)2773
3998 y Ft(=)d(0,)165 4113 y(dann)d(ist)f(w)n(egen)g(der)g(eindeutigen)h
(Darstellbark)n(eit)d(5.3.4)2058 4051 y Fj(P)2145 4071
y Fk(k)2180 4079 y Ff(i)2145 4138 y Fk(k)q Fl(=1)2284
4113 y Fr(\013)2337 4125 y Fk(ik)2401 4113 y Fr(b)2437
4125 y Fk(ik)2524 4113 y Ft(=)i(0)g(f)2704 4117 y(\177)2702
4113 y(ur)h(alle)165 4213 y Fr(i)f Ft(=)g(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(.)27 b(Da)g Fr(B)826 4225 y
Fk(i)881 4213 y Ft(Basis)f(ist,)h(folgt)g(also)f Fr(\013)1645
4225 y Fk(ik)1733 4213 y Ft(=)d(0)j(f)1916 4217 y(\177)1914
4213 y(ur)i(alle)e Fr(i)h Ft(und)h Fr(k)s Ft(.)f(Damit)h(ist)f
Fr(B)165 4312 y Ft(linear)g(unabh)622 4316 y(\177)622
4312 y(angig)g(und)h(folglic)n(h)f(eine)g(Basis.)290
4461 y(")328 4412 y Fo(\()-14 b Ft(=)-6 b(\\)6 b(:)35
b(Gelte)h(n)n(un)964 4350 y Fj(P)1052 4370 y Fk(n)1052
4437 y(i)p Fl(=1)1177 4412 y Fr(U)1234 4424 y Fk(i)1299
4412 y Ft(=)g Fr(V)55 b Ft(und)1677 4350 y Fj(P)1764
4370 y Fk(n)1764 4437 y(i)p Fl(=1)1890 4412 y Ft(dim)14
b Fr(U)2099 4424 y Fk(i)2163 4412 y Ft(=)36 b(dim)15
b Fr(V)j Ft(.)36 b(Da)g Fr(B)k Ft(eine)165 4512 y(Erzeugendenmenge)25
b(ist,)i(gilt)g Fo(j)p Fr(B)t Fo(j)d(\025)e Ft(dim)14
b Fr(V)42 b Ft(=)1724 4449 y Fj(P)1812 4470 y Fk(n)1812
4536 y(i)p Fl(=1)1937 4512 y Ft(dim)14 b Fr(U)2146 4524
y Fk(i)2197 4512 y Fo(\025)22 b(j)p Fr(B)t Fo(j)p Ft(,)28
b(also)d(ist)i Fo(j)p Fr(B)t Fo(j)d Ft(=)165 4611 y(dim)15
b Fr(V)39 b Ft(und)22 b Fr(B)j Ft(eine)c(disjunkte)g(V)-7
b(ereinigung)20 b(der)h Fr(B)1820 4623 y Fk(i)1847 4611
y Ft(.)g(Insb)r(esondere)f(ist)h Fr(B)k Ft(eine)c(Basis)p
eop end
%%Page: 162 23
TeXDict begin 162 22 bop 165 100 a Fn(162)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Ft(v)n(on)21 b Fr(V)41 b Ft(nac)n(h)21 b(5.2.17)f(2.)i(Sei)g(n)n(un)g
Fr(u)1250 294 y Fk(j)1307 282 y Ft(=)1395 220 y Fj(P)1482
241 y Fk(n)1482 307 y(i)p Fl(=1)p Fk(;i)p Fi(6)p Fl(=)p
Fk(j)1733 282 y Fr(u)1781 294 y Fk(i)1831 282 y Fo(2)i
Fr(U)1967 294 y Fk(j)2008 282 y Fo(\\)2070 220 y Fj(P)2158
241 y Fk(n)2158 307 y(i)p Fl(=1)p Fk(;i)p Fi(6)p Fl(=)p
Fk(j)2408 282 y Fr(U)2465 294 y Fk(i)2493 282 y Ft(,)e(so)f(erhalten)
165 382 y(wir)28 b(als)f(Basisdarstellung)774 651 y Fr(u)822
663 y Fk(j)880 651 y Ft(=)994 538 y Fk(k)1029 546 y Ff(j)968
572 y Fj(X)967 751 y Fk(k)q Fl(=1)1102 651 y Fr(\013)1155
663 y Fk(j)s(k)1227 651 y Fr(b)1263 663 y Fk(j)s(k)1352
651 y Ft(+)18 b(0)23 b(=)g(0)18 b(+)1826 547 y Fk(n)1787
572 y Fj(X)1731 751 y Fk(i)p Fl(=1)p Fk(;i)p Fi(6)p Fl(=)p
Fk(j)2006 546 y(k)2041 554 y Ff(i)1977 572 y Fj(X)1984
751 y Fk(l)p Fl(=1)2111 651 y Fr(\013)2164 663 y Fk(il)2213
651 y Fr(b)2249 663 y Fk(il)2297 651 y Fr(:)165 919 y
Ft(Da)37 b Fr(B)k Ft(eine)36 b(Basis)g(ist)h(und)g(wir)f(zw)n(ei)g
(Basisdarstellungen)f(hab)r(en,)i(v)n(ersc)n(h)n(winden)165
1019 y(alle)c(Ko)r(e\016zien)n(ten.)f(Also)h(ist)g Fr(u)1211
1031 y Fk(j)1277 1019 y Ft(=)e(0.)i(Das)g(gilt)f(f)1821
1023 y(\177)1819 1019 y(ur)h(alle)g Fr(j)j Ft(=)c(1)p
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(.)33 b(Daher)f(ist)165
1118 y Fr(U)222 1130 y Fk(j)275 1118 y Fo(\\)349 1056
y Fj(P)437 1077 y Fk(n)437 1143 y(i)p Fl(=1)p Fk(;i)p
Fi(6)p Fl(=)p Fk(j)687 1118 y Fr(U)744 1130 y Fk(i)795
1118 y Ft(=)22 b(0.)28 b(Es)f(gilt)g(somit)h Fr(V)42
b Ft(=)22 b Fr(U)1700 1130 y Fl(1)1756 1118 y Fo(\010)c
Fr(:)c(:)g(:)k Fo(\010)g Fr(U)2094 1130 y Fk(n)2139 1118
y Ft(.)165 1293 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.3.7)40 b
Fp(Seien)34 b Fr(U)1132 1305 y Fl(1)1169 1293 y Fr(;)14
b(U)1263 1305 y Fl(2)1327 1293 y Fp(Untervektorr)1790
1297 y(\177)1791 1293 y(aume)27 b(des)h(end)t(lichdimensionalen)165
1392 y(V)-6 b(ektorr)l(aumes)36 b Fr(V)19 b Fp(.)832
1375 y(\177)818 1392 y(Aquivalent)30 b(sind)204 1542
y(1.)42 b Fr(V)g Ft(=)23 b Fr(U)548 1554 y Fl(1)603 1542
y Fo(\010)18 b Fr(U)743 1554 y Fl(2)780 1542 y Fp(.)204
1642 y(2.)42 b Fr(V)g Ft(=)23 b Fr(U)548 1654 y Fl(1)603
1642 y Ft(+)18 b Fr(U)743 1654 y Fl(2)810 1642 y Fp(und)37
b Ft(dim)15 b Fr(V)42 b Ft(=)22 b(dim)14 b Fr(U)1520
1654 y Fl(1)1576 1642 y Ft(+)k(dim)c Fr(U)1868 1654 y
Fl(2)1905 1642 y Fp(.)204 1741 y(3.)42 b Ft(0)23 b(=)f
Fr(U)522 1753 y Fl(1)578 1741 y Fo(\\)c Fr(U)708 1753
y Fl(2)775 1741 y Fp(und)38 b Ft(dim)14 b Fr(V)42 b Ft(=)23
b(dim)14 b Fr(U)1486 1753 y Fl(1)1541 1741 y Ft(+)k(dim)d
Fr(U)1834 1753 y Fl(2)1870 1741 y Fp(.)165 1916 y(Beweis.)44
b Ft(Es)31 b(ist)h(n)n(ur)g(zu)g(zeigen,)g(da\031)f(aus)h(3.)f(folgt)h
Fr(V)50 b Ft(=)30 b Fr(U)2126 1928 y Fl(1)2184 1916 y
Ft(+)21 b Fr(U)2327 1928 y Fl(2)2364 1916 y Ft(.)32 b(Basen)g
Fr(B)2731 1928 y Fl(1)2800 1916 y Ft(v)n(on)165 2015
y Fr(U)222 2027 y Fl(1)292 2015 y Ft(und)h Fr(B)526 2027
y Fl(2)596 2015 y Ft(v)n(on)f Fr(U)815 2027 y Fl(2)885
2015 y Ft(sind)h(w)n(egen)f(0)f(=)g Fr(U)1544 2027 y
Fl(1)1603 2015 y Fo(\\)22 b Fr(U)1737 2027 y Fl(2)1807
2015 y Ft(sic)n(her)32 b(disjunkt.)i(Es)e(folgt)g(sogar,)165
2115 y(da\031)41 b Fr(B)49 b Ft(:=)c Fr(B)644 2127 y
Fl(1)697 2105 y Ft(_)681 2115 y Fo([)q Fr(B)800 2127
y Fl(2)878 2115 y Ft(linear)40 b(unabh)1348 2119 y(\177)1348
2115 y(angig)g(ist.)h(W)-7 b(egen)41 b(der)g(Bedingung)f(dim)14
b Fr(V)65 b Ft(=)165 2214 y(dim)15 b Fr(U)375 2226 y
Fl(1)430 2214 y Ft(+)j(dim)c Fr(U)722 2226 y Fl(2)787
2214 y Ft(ist)28 b Fr(B)j Ft(dann)d(ab)r(er)f(eine)h(Basis)e(und)i
(damit)g Fr(V)42 b Ft(=)23 b Fr(U)2420 2226 y Fl(1)2475
2214 y Ft(+)18 b Fr(U)2615 2226 y Fl(2)2652 2214 y Ft(.)165
2389 y Fq(Satz)33 b(5.3.8)40 b Fp(\(Dimensionssatz)34
b(f)1268 2393 y(\177)1268 2389 y(ur)f(Untervektorr)1844
2393 y(\177)1845 2389 y(aume\))h(Seien)40 b Fr(U)2398
2401 y Fl(1)2469 2389 y Fp(und)i Fr(U)2702 2401 y Fl(2)2772
2389 y Fp(end-)165 2488 y(lichdimensionale)33 b(Untervektorr)1256
2492 y(\177)1257 2488 y(aume)d(des)g(V)-6 b(ektorr)l(aumes)36
b Fr(V)19 b Fp(.)30 b(Dann)f(gilt)645 2671 y Ft(dim)14
b Fr(U)854 2683 y Fl(1)910 2671 y Ft(+)k(dim)c Fr(U)1202
2683 y Fl(2)1262 2671 y Ft(=)23 b(dim\()p Fr(U)1577 2683
y Fl(1)1633 2671 y Ft(+)18 b Fr(U)1773 2683 y Fl(2)1810
2671 y Ft(\))g(+)g(dim)q(\()p Fr(U)2171 2683 y Fl(1)2226
2671 y Fo(\\)h Fr(U)2357 2683 y Fl(2)2394 2671 y Ft(\))p
Fr(:)165 2854 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Sei)g Fr(C)56 b Ft(=)50
b Fo(f)p Fr(c)940 2866 y Fl(1)977 2854 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)
1198 2866 y Fk(k)1238 2854 y Fo(g)44 b Ft(eine)g(Basis)f(v)n(on)g
Fr(U)1974 2866 y Fl(1)2040 2854 y Fo(\\)30 b Fr(U)2182
2866 y Fl(2)2219 2854 y Ft(.)44 b(Wir)g(setzen)g Fr(C)50
b Ft(zu)165 2953 y(Basen)e(v)n(on)g Fr(U)665 2965 y Fl(1)750
2953 y Ft(bzw.)h Fr(U)1022 2965 y Fl(2)1108 2953 y Ft(fort:)f
Fr(B)1374 2965 y Fl(1)1469 2953 y Ft(=)58 b Fo(f)p Fr(c)1670
2965 y Fl(1)1706 2953 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)1927
2965 y Fk(k)1968 2953 y Fr(;)g(a)2049 2965 y Fk(k)q Fl(+1)2173
2953 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(a)2402 2965 y Fk(i)2429
2953 y Fo(g)48 b Ft(und)h Fr(B)2769 2965 y Fl(2)2865
2953 y Ft(=)165 3053 y Fo(f)p Fr(c)243 3065 y Fl(1)280
3053 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)501 3065 y Fk(k)541
3053 y Fr(;)g(b)614 3065 y Fk(k)q Fl(+1)739 3053 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f
(;)h(b)959 3065 y Fk(j)994 3053 y Fo(g)p Ft(.)22 b(Wir)h(zeigen,)g
(da\031)f(dann)h Fr(B)k Ft(:=)22 b Fo(f)p Fr(c)2146 3065
y Fl(1)2183 3053 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)2404 3065
y Fk(k)2444 3053 y Fr(;)g(a)2525 3065 y Fk(k)q Fl(+1)2650
3053 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(a)2879 3065 y Fk(i)2906
3053 y Fr(;)165 3153 y(b)201 3165 y Fk(k)q Fl(+1)326
3153 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(b)546 3165 y Fk(j)581 3153
y Fo(g)22 b Ft(eine)g(Basis)f(f)1048 3157 y(\177)1046
3153 y(ur)h Fr(U)1204 3165 y Fl(1)1248 3153 y Ft(+)7
b Fr(U)1377 3165 y Fl(2)1436 3153 y Ft(ist.)23 b(Zun)1713
3157 y(\177)1713 3153 y(ac)n(hst)e(ist)h Fr(B)27 b Ft(eine)22
b(Erzeugendenmen-)165 3252 y(ge,)32 b(denn)g(alle)f(V)-7
b(ektoren)32 b(aus)f Fr(U)1229 3264 y Fl(1)1298 3252
y Ft(bzw.)h Fr(U)1553 3264 y Fl(2)1622 3252 y Ft(lassen)f(sic)n(h)g
(als)g(Lineark)n(om)n(binationen)165 3352 y(darstellen,)g(also)f(auc)n
(h)h(alle)g(V)-7 b(ektoren)31 b(aus)f Fr(U)1662 3364
y Fl(1)1720 3352 y Ft(+)21 b Fr(U)1863 3364 y Fl(2)1899
3352 y Ft(.)32 b(Au\031erdem)f(ist)g Fr(B)36 b Ft(linear)30
b(un-)165 3451 y(abh)299 3455 y(\177)299 3451 y(angig,)f(denn)i(w)n
(enn)969 3389 y Fj(P)1056 3410 y Fk(k)1056 3476 y(r)r
Fl(=1)1191 3451 y Fr(\015)1234 3463 y Fk(r)1271 3451
y Fr(c)1307 3463 y Fk(r)1364 3451 y Ft(+)1448 3389 y
Fj(P)1536 3410 y Fk(i)1536 3476 y(s)p Fl(=1)1670 3451
y Fr(\013)1723 3463 y Fk(s)1758 3451 y Fr(a)1802 3463
y Fk(s)1858 3451 y Ft(+)1942 3389 y Fj(P)2030 3410 y
Fk(j)2030 3476 y(t)p Fl(=1)2157 3451 y Fr(\014)2204 3463
y Fk(t)2233 3451 y Fr(b)2269 3463 y Fk(t)2326 3451 y
Ft(=)c(0)i(ist,)i(dann)f(ist)165 3567 y Fr(v)d Ft(:=)342
3504 y Fj(P)430 3525 y Fk(k)430 3592 y(r)r Fl(=1)565
3567 y Fr(\015)608 3579 y Fk(r)644 3567 y Fr(c)680 3579
y Fk(r)733 3567 y Ft(+)814 3504 y Fj(P)902 3525 y Fk(i)902
3592 y(s)p Fl(=1)1035 3567 y Fr(\013)1088 3579 y Fk(s)1124
3567 y Fr(a)1168 3579 y Fk(s)1226 3567 y Ft(=)c Fo(\000)1393
3504 y Fj(P)1480 3525 y Fk(j)1480 3592 y(t)p Fl(=1)1607
3567 y Fr(\014)1654 3579 y Fk(t)1683 3567 y Fr(b)1719
3579 y Fk(t)1771 3567 y Fo(2)g Fr(U)1906 3579 y Fl(1)1959
3567 y Fo(\\)17 b Fr(U)2088 3579 y Fl(2)2125 3567 y Ft(,)26
b(also)g(sind)g(alle)g Fr(\013)2718 3579 y Fk(s)2777
3567 y Ft(=)d(0,)165 3666 y(w)n(eil)f Fr(C)29 b Ft(Basis)21
b(v)n(on)g Fr(U)835 3678 y Fl(1)879 3666 y Fo(\\)7 b
Fr(U)998 3678 y Fl(2)1058 3666 y Ft(ist.)22 b(Eb)r(enso)g(sieh)n(t)g
(man,)g(da\031)f(alle)h Fr(\014)2214 3678 y Fk(t)2266
3666 y Ft(=)h(0.)e(Dann)i(ist)f(ab)r(er)165 3766 y(in)33
b(der)f(urspr)608 3770 y(\177)606 3766 y(unglic)n(hen)f(Summe)1280
3704 y Fj(P)1368 3724 y Fk(k)1368 3791 y(r)r Fl(=1)1503
3766 y Fr(\015)1546 3778 y Fk(r)1582 3766 y Fr(c)1618
3778 y Fk(r)1686 3766 y Ft(=)f(0.)i(Damit)h(sind)f(auc)n(h)f(die)i
Fr(\015)2702 3778 y Fk(r)2769 3766 y Ft(=)e(0.)165 3866
y(Das)23 b(zeigt,)f(da\031)g Fr(B)27 b Ft(eine)22 b(Basis)g(v)n(on)g
Fr(U)1370 3878 y Fl(1)1415 3866 y Ft(+)8 b Fr(U)1545
3878 y Fl(2)1605 3866 y Ft(ist.)23 b(Jetzt)f(gilt)h(dim\()p
Fr(U)2312 3878 y Fl(1)2358 3866 y Ft(+)8 b Fr(U)2488
3878 y Fl(2)2525 3866 y Ft(\))23 b(=)g Fr(k)11 b Ft(+)d(\()p
Fr(i)g Fo(\000)165 3965 y Fr(k)s Ft(\))i(+)g(\()p Fr(j)16
b Fo(\000)10 b Fr(k)s Ft(\))23 b(=)g(dim\()p Fr(U)901
3977 y Fl(1)948 3965 y Fo(\\)10 b Fr(U)1070 3977 y Fl(2)1108
3965 y Ft(\))g(+)g(dim)15 b Fr(U)1435 3977 y Fl(1)1482
3965 y Fo(\000)10 b Ft(dim\()p Fr(U)1784 3977 y Fl(1)1831
3965 y Fo(\\)g Fr(U)1953 3977 y Fl(2)1991 3965 y Ft(\))g(+)g(dim)k
Fr(U)2317 3977 y Fl(2)2365 3965 y Fo(\000)c Ft(dim\()p
Fr(U)2667 3977 y Fl(1)2714 3965 y Fo(\\)g Fr(U)2836 3977
y Fl(2)2874 3965 y Ft(\).)165 4065 y(Daraus)27 b(folgt)g(die)h(b)r
(ehauptete)g(Dimensionsformel.)165 4239 y Fq(Beispiele)i(5.3.9)81
b Ft(1.)41 b(Sei)30 b Fr(I)37 b Ft(eine)29 b(Menge)h(mit)g(mindestens)g
(zw)n(ei)f(Elemen)n(ten.)h(Die)313 4339 y Fr(U)370 4351
y Fk(i)433 4339 y Ft(:=)36 b Fo(h)p Fr(e)628 4351 y Fk(i)656
4339 y Fo(i)g Ft(=)g Fr(K)6 b(e)941 4351 y Fk(i)1003
4339 y Ft(sind)36 b(Un)n(terr)1428 4343 y(\177)1428 4339
y(aume)e(v)n(on)h Fr(K)1898 4309 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))1988
4339 y Ft(.)35 b(Da)h(die)f(Menge)g Fo(f)p Fr(e)2682
4351 y Fk(i)2709 4339 y Fo(g)g Ft(eine)313 4438 y(Basis)26
b(v)n(on)h Fr(K)763 4408 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))880
4438 y Ft(bildet,)29 b(sieh)n(t)e(man)h(sofort,)e(da\031)h(gilt)h
Fr(K)2158 4408 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))2270 4438 y Ft(=)2358
4376 y Fj(L)2450 4463 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2570 4438
y Fr(K)h(e)2686 4450 y Fk(i)2713 4438 y Ft(.)207 4538
y(2.)41 b(Wir)36 b(sc)n(hlie\031en)e(diesen)i(Absc)n(hnitt)g(mit)h(dem)
f(uns)g(sc)n(hon)e(b)r(ek)-5 b(ann)n(ten)36 b(Beispiel)313
4638 y(5.1.2)26 b(5.)i(des)f(V)-7 b(ektorraumes)p eop
end
%%Page: 163 24
TeXDict begin 163 23 bop 1959 100 a Fn(5.3)42 b(Direkte)25
b(Summen)151 b(163)545 282 y Fr(U)32 b Ft(:=)22 b Fo(f)p
Ft(\()p Fr(\030)854 294 y Fl(1)892 282 y Fr(;)14 b(\030)965
294 y Fl(2)1002 282 y Fr(;)g(\030)1075 294 y Fl(3)1113
282 y Fr(;)g(\030)1186 294 y Fl(4)1223 282 y Ft(\))p
Fo(j)p Fr(\030)1314 294 y Fl(1)1352 282 y Fr(;)g(\030)1425
294 y Fl(2)1462 282 y Fr(;)g(\030)1535 294 y Fl(3)1573
282 y Fr(;)g(\030)1646 294 y Fl(4)1706 282 y Fo(2)24
b Fm(R)p Fr(;)14 b(\030)1918 294 y Fl(1)1974 282 y Ft(+)k
Fr(\030)2093 294 y Fl(2)2149 282 y Ft(+)g Fr(\030)2268
294 y Fl(3)2324 282 y Ft(+)g Fr(\030)2443 294 y Fl(4)2503
282 y Ft(=)23 b(0)p Fo(g)p Fr(:)313 454 y Ft(Er)k(ist)g(ein)h(Un)n
(terv)n(ektorraum)d(des)j(V)-7 b(ektorraumes)938 627
y Fr(V)42 b Ft(:=)23 b Fo(f)p Ft(\()p Fr(\030)1249 639
y Fl(1)1286 627 y Fr(;)14 b(\030)1359 639 y Fl(2)1397
627 y Fr(;)g(\030)1470 639 y Fl(3)1507 627 y Fr(;)g(\030)1580
639 y Fl(4)1618 627 y Ft(\))p Fo(j)p Fr(\030)1709 639
y Fl(1)1746 627 y Fr(;)g(\030)1819 639 y Fl(2)1857 627
y Fr(;)g(\030)1930 639 y Fl(3)1967 627 y Fr(;)g(\030)2040
639 y Fl(4)2101 627 y Fo(2)23 b Fm(R)p Fo(g)p Fr(;)313
799 y Ft(denn)j(w)n(enn)f(zw)n(ei)g(V)-7 b(ektoren)24
b(\()p Fr(\030)1324 811 y Fl(1)1362 799 y Fr(;)14 b(\030)1435
811 y Fl(2)1473 799 y Fr(;)g(\030)1546 811 y Fl(3)1583
799 y Fr(;)g(\030)1656 811 y Fl(4)1694 799 y Ft(\))p
Fr(;)g Ft(\()p Fr(\021)1836 811 y Fl(1)1873 799 y Fr(;)g(\021)1951
811 y Fl(2)1989 799 y Fr(;)g(\021)2067 811 y Fl(3)2104
799 y Fr(;)g(\021)2182 811 y Fl(4)2220 799 y Ft(\))23
b Fo(2)g Fr(U)34 b Ft(gegeb)r(en)25 b(sind,)313 898 y(w)n(enn)19
b(also)f Fr(\030)713 910 y Fl(1)753 898 y Ft(+)r Fr(\030)856
910 y Fl(2)895 898 y Ft(+)r Fr(\030)998 910 y Fl(3)1037
898 y Ft(+)r Fr(\030)1140 910 y Fl(4)1200 898 y Ft(=)23
b(0)c(und)g Fr(\021)1547 910 y Fl(1)1587 898 y Ft(+)r
Fr(\021)1695 910 y Fl(2)1734 898 y Ft(+)r Fr(\021)1842
910 y Fl(3)1881 898 y Ft(+)r Fr(\021)1989 910 y Fl(4)2049
898 y Ft(=)j(0)d(gelten)g(und)h(w)n(enn)f Fr(\013)24
b Fo(2)313 998 y Fr(K)j Ft(gegeb)r(en)20 b(ist,)i(so)f(gelten)g(auc)n
(h)f(\()p Fr(\030)1444 1010 y Fl(1)1488 998 y Ft(+)6
b Fr(\021)1600 1010 y Fl(1)1637 998 y Ft(\))g(+)g(\()p
Fr(\030)1814 1010 y Fl(2)1857 998 y Ft(+)g Fr(\021)1969
1010 y Fl(2)2006 998 y Ft(\))g(+)g(\()p Fr(\030)2183
1010 y Fl(3)2227 998 y Ft(+)g Fr(\021)2339 1010 y Fl(3)2375
998 y Ft(\))g(+)g(\()p Fr(\030)2552 1010 y Fl(4)2596
998 y Ft(+)g Fr(\021)2708 1010 y Fl(4)2745 998 y Ft(\))23
b(=)g(0)313 1098 y(und)31 b Fr(\013\030)571 1110 y Fl(1)629
1098 y Ft(+)20 b Fr(\013\030)803 1110 y Fl(2)861 1098
y Ft(+)g Fr(\013\030)1035 1110 y Fl(3)1093 1098 y Ft(+)g
Fr(\013\030)1267 1110 y Fl(4)1333 1098 y Ft(=)27 b(0,)j(d.h.)h(\()p
Fr(\030)1757 1110 y Fl(1)1795 1098 y Fr(;)14 b(\030)1868
1110 y Fl(2)1905 1098 y Fr(;)g(\030)1978 1110 y Fl(3)2016
1098 y Fr(;)g(\030)2089 1110 y Fl(4)2126 1098 y Ft(\))21
b(+)f(\()p Fr(\021)2337 1110 y Fl(1)2374 1098 y Fr(;)14
b(\021)2452 1110 y Fl(2)2490 1098 y Fr(;)g(\021)2568
1110 y Fl(3)2605 1098 y Fr(;)g(\021)2683 1110 y Fl(4)2720
1098 y Ft(\))28 b Fo(2)g Fr(U)313 1197 y Ft(und)41 b
Fr(\013)p Ft(\()p Fr(\030)613 1209 y Fl(1)652 1197 y
Fr(;)14 b(\030)725 1209 y Fl(2)762 1197 y Fr(;)g(\030)835
1209 y Fl(3)873 1197 y Fr(;)g(\030)946 1209 y Fl(4)983
1197 y Ft(\))46 b Fo(2)g Fr(U)9 b Ft(.)40 b Fr(U)50 b
Ft(hat)41 b(nac)n(h)g(5.2.4)e(5.)i(eine)g(Basis)f(\()p
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g
Ft(0\),)313 1297 y(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p
Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\),)30 b(\()p Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\),)29 b(hat)j(also)e(die)i
(Dimension)g(3.)f(Jeder)g(V)-7 b(ektor)31 b Fr(v)i Fo(2)d
Fr(U)313 1396 y Ft(l)336 1400 y(\177)336 1396 y(a\031t)d(sic)n(h)g
(eindeutig)h(in)g(der)f(F)-7 b(orm)698 1569 y Fr(v)27
b Ft(=)22 b Fr(\013)905 1581 y Fl(1)943 1569 y Ft(\()p
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g
Ft(0\))i(+)i Fr(\013)1503 1581 y Fl(2)1540 1569 y Ft(\()p
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))j(+)h
Fr(\013)2101 1581 y Fl(3)2138 1569 y Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))313
1741 y(darstellen,)23 b(k)-5 b(ann)24 b(also)f(allein)g(durc)n(h)h(die)
g(Angab)r(e)g(des)f(T)-7 b(rip)r(els)24 b(\()p Fr(\013)2447
1753 y Fl(1)2485 1741 y Fr(;)14 b(\013)2575 1753 y Fl(2)2612
1741 y Fr(;)g(\013)2702 1753 y Fl(3)2739 1741 y Ft(\))24
b(ein-)313 1840 y(deutig)37 b(b)r(esc)n(hrieb)r(en)h(w)n(erden.)e(Bei)i
(festgehaltener)e(Basis)h(des)g(V)-7 b(ektorraumes)313
1940 y Fr(U)45 b Ft(k)459 1944 y(\177)459 1940 y(onnen)35
b(damit)h(dessen)g(Elemen)n(te)f(allein)h(durc)n(h)f(die)h(Angab)r(e)g
(ihrer)f(Ko)r(ef-)313 2040 y(\014zien)n(ten)n(trip)r(el)e(angegeb)r(en)
f(w)n(erden.)h(Die)h(Summe)f(zw)n(eier)f(V)-7 b(ektoren)33
b(und)h(das)313 2139 y(Pro)r(dukt)f(mit)h(einem)g(Sk)-5
b(alar)32 b(ergibt)h(f)1582 2143 y(\177)1580 2139 y(ur)h(die)f(Ko)r
(e\016zien)n(ten)n(trip)r(el)g(k)n(omp)r(onen-)313 2239
y(ten)n(w)n(eise)23 b(Addition)i(bzw.)e(Multiplik)-5
b(ation.)25 b(So)e(gilt)h(z.B.)g(f)2183 2243 y(\177)2181
2239 y(ur)g(die)g(V)-7 b(ektoren)23 b(bzw.)313 2338 y(deren)k(Summe:)
590 2511 y(\()p Fo(\000)p Ft(6)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g
Ft(2)p Fr(;)g Ft(3\))21 b(=)i(1\()p Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))i(+)i(2\()p
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))h(+)j(3\()p
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))313
2683 y(mit)28 b(dem)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)n(trip)r(el)f(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(3\))27 b(und)590 2855 y(\()p
Fo(\000)p Ft(4)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g
Ft(2\))21 b(=)i(2\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p
Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))i(+)i(0\()p Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))h(+)j(2\()p
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))313
3027 y(mit)28 b(dem)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)n(trip)r(el)f(\(2)p
Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(2\))27 b(ergibt)818 3198 y(\()p
Fo(\000)p Ft(6)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(2)p Fr(;)g
Ft(3\))j(+)h(\()p Fo(\000)p Ft(4)p Fr(;)c Ft(2)p Fr(;)g
Ft(0)p Fr(;)g Ft(2\))21 b(=)h(\()p Fo(\000)p Ft(10)p
Fr(;)14 b Ft(3)p Fr(;)g Ft(2)p Fr(;)g Ft(5\))21 b(=)818
3298 y(=)i(3\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g
Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))i(+)i(2\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)c
Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))i(+)i(5\()p Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))313
3471 y(mit)28 b(\(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(3\))k(+)g(\(2)p
Fr(;)c Ft(0)p Fr(;)g Ft(2\))21 b(=)i(\(3)p Fr(;)14 b
Ft(2)p Fr(;)g Ft(5\).)313 3662 y(Ein)33 b(direktes)f(Komplemen)n(t)h
(zu)g Fr(U)42 b Ft(in)34 b Fm(R)1664 3632 y Fl(4)1734
3662 y Ft(k)1778 3666 y(\177)1778 3662 y(onnen)f(wir)g(\014nden,)g(w)n
(enn)g(wir)g(die)313 3761 y(Basis)d(v)n(on)h Fr(U)40
b Ft(zu)31 b(einer)g(Basis)g(v)n(on)f Fm(R)1553 3731
y Fl(4)1622 3761 y Ft(v)n(erv)n(ollst)1929 3765 y(\177)1929
3761 y(andigen.)f(Das)i(k)-5 b(ann)31 b(auf)h(sehr)313
3861 y(vielf)465 3865 y(\177)465 3861 y(altige)27 b(W)-7
b(eise)28 b(gesc)n(hehen.)e(Insb)r(esondere)h(sind)h(die)g(V)-7
b(ektoren)924 4033 y(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b
Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))p Fr(;)g
Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)o
Fr(;)g Ft(1\))p Fr(;)g(e)2297 4045 y Fk(i)313 4205 y
Ft(f)340 4209 y(\177)338 4205 y(ur)41 b(jede)g(W)-7 b(ahl)40
b(v)n(on)g Fr(i)k Ft(=)h(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g
Ft(3)p Fr(;)g Ft(4)38 b(eine)j(Basis)e(v)n(on)h Fm(R)2186
4175 y Fl(4)2223 4205 y Ft(,)h(also)e(ist)i(jeder)g(der)313
4305 y(Un)n(terv)n(ektorr)784 4309 y(\177)784 4305 y(aume)28
b Fm(R)p Fr(e)1105 4317 y Fk(i)1164 4305 y Ft(ein)j(direktes)f
(Komplemen)n(t)h(v)n(on)f Fr(U)9 b Ft(.)31 b(Wir)f(empfehlen)313
4404 y(dem)e(Leser,)f(no)r(c)n(h)g(w)n(eitere)g(direkte)g(Komplemen)n
(te)g(v)n(on)g Fr(U)36 b Ft(zu)28 b(suc)n(hen.)178 4548
y Fq(\177)165 4564 y(Ubungen)k(5.3.10)81 b Ft(1.)41 b(Seien)31
b Fr(V)49 b Ft(und)30 b Fr(W)43 b Ft(zw)n(ei)29 b(V)-7
b(ektorr)2073 4568 y(\177)2073 4564 y(aume)2298 4568
y(\177)2296 4564 y(ub)r(er)30 b(dem)h(K)2738 4568 y(\177)2738
4564 y(orp)r(er)313 4664 y Fr(K)6 b Ft(.)p eop end
%%Page: 164 25
TeXDict begin 164 24 bop 165 100 a Fn(164)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)345 282
y Ft(a\))42 b(Zeigen)26 b(Sie,)i(da\031)f(das)g(\(k)-5
b(artesisc)n(he\))27 b(Pro)r(dukt)g Fr(V)37 b Fo(\002)18
b Fr(W)40 b Ft(mit)28 b(der)f(Addition)1067 437 y(\()p
Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))20 b(+)e(\()p Fr(v)1450 403 y
Fi(0)1474 437 y Fr(;)c(w)1572 403 y Fi(0)1596 437 y Ft(\))23
b(:=)g(\()p Fr(v)f Ft(+)c Fr(v)1982 403 y Fi(0)2005 437
y Fr(;)c(w)21 b Ft(+)d Fr(w)2266 403 y Fi(0)2290 437
y Ft(\))461 592 y(und)28 b(der)f(Multiplik)-5 b(ation)28
b(mit)g(Sk)-5 b(alaren)1349 747 y Fr(\025)p Ft(\()p Fr(v)s(;)14
b(w)r Ft(\))25 b(:=)d(\()p Fr(\025v)s(;)14 b(\025w)r
Ft(\))461 902 y(ein)27 b(V)-7 b(ektorraum)27 b(ist.)341
1002 y(b\))42 b(Zeigen)29 b(Sie:)h(Hat)h Fr(V)49 b Ft(eine)30
b(Basis)f(aus)h Fr(n)g Ft(V)-7 b(ektoren)30 b(und)g Fr(W)42
b Ft(eine)31 b(Basis)e(aus)461 1102 y Fr(m)e Ft(V)-7
b(ektoren,)27 b(so)g(hat)h Fr(V)37 b Fo(\002)18 b Fr(W)40
b Ft(eine)27 b(Basis)g(aus)g Fr(n)18 b Ft(+)g Fr(m)28
b Ft(V)-7 b(ektoren.)207 1201 y(2.)41 b(Zeigen)27 b(Sie)345
1301 y(a\))42 b(Span)o(\(1)19 b(+)f Fr(x;)c Ft(1)k Fo(\000)g
Fr(x)p Ft(\))h(+)f(Span\()p Fr(x)1483 1271 y Fl(2)1540
1301 y Fo(\000)g Fr(x;)c(x)1754 1271 y Fl(2)1810 1301
y Fo(\000)k Ft(1\))23 b(=)g(Span)o(\(1)p Fr(;)14 b(x;)g(x)2499
1271 y Fl(2)2537 1301 y Ft(\))p Fr(:)341 1400 y Ft(b\))42
b(Ist)27 b(die)h(Summe)g(eine)g(direkte)f(Summe?)350
1500 y(c\))42 b(Berec)n(hnen)26 b(Sie)i(die)g(Dimension)g(des)f(Durc)n
(hsc)n(hnitts.)207 1600 y(3.)41 b(Sei)20 b Fr(P)32 b
Ft(der)19 b(Un)n(terv)n(ektorraum)e(v)n(on)i Fm(R)1513
1570 y Fh(R)1559 1600 y Ft(,)h(der)g(v)n(on)f(den)h(F)-7
b(unktionen)20 b Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(x;)g(x)2717
1570 y Fl(2)2754 1600 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)p Fo(g)313 1699
y Ft(aufgespann)n(t)21 b(wird.)i(Wir)f(nennen)h Fr(P)34
b Ft(den)23 b(Raum)f(der)g(P)n(olynomfunktionen.)g(Zei-)313
1799 y(gen)e(Sie,)g(da\031)g Fr(P)32 b Ft(die)21 b(direkte)f(Summe)h
(der)f(R)1726 1803 y(\177)1726 1799 y(aume)g Fr(P)1993
1811 y Fk(g)2055 1799 y Ft(:=)j Fo(h)p Ft(1)p Fr(;)14
b(x)2324 1769 y Fl(2)2361 1799 y Fr(;)g(x)2445 1769 y
Fl(4)2483 1799 y Fr(;)g(x)2567 1769 y Fl(6)2604 1799
y Fr(;)g(:)g(:)g(:)p Fo(i)21 b Ft(und)313 1899 y Fr(P)366
1911 y Fk(u)444 1899 y Ft(:=)33 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)728
1868 y Fl(3)766 1899 y Fr(;)g(x)850 1868 y Fl(5)888 1899
y Fr(;)g(:)g(:)g(:)p Fo(i)34 b Ft(der)g(P)n(olynome)e(mit)j(geraden)e
(bzw.)h(ungeraden)f(Exp)r(o-)313 1998 y(nen)n(ten)28
b(ist.)207 2098 y(4.)41 b(Zeigen)27 b(Sie,)h(da\031)e
Fm(R)949 2110 y Fl(5)1010 2098 y Ft(=)c Fr(U)28 b Fo(\010)18
b Fr(V)g Ft(,)28 b(w)n(ob)r(ei)879 2298 y Fr(U)k Ft(:=)23
b Fo(f)p Fr(x)g Fo(2)g Fm(R)1329 2310 y Fl(5)1380 2178
y Fj(\014)1380 2227 y(\014)1380 2277 y(\014)1380 2327
y(\014)1408 2181 y(\022)1483 2248 y Ft(1)83 b(2)f(1)h(0)f(1)1483
2348 y(2)h(3)f(1)h(1)f(1)2037 2181 y Fj(\023)2111 2298
y Fr(x)24 b Ft(=)f(0)9 b Fo(g)313 2498 y Ft(und)337 2653
y Fr(V)42 b Ft(:=)22 b Fo(f)p Fr(x)h Fo(2)h Fm(R)788
2665 y Fl(5)825 2653 y Fo(j)p Fr(x)895 2665 y Fl(1)956
2653 y Ft(=)e(2)p Fr(t;)14 b(x)1199 2665 y Fl(2)1260
2653 y Ft(=)22 b Fr(s)d Ft(+)f Fr(t;)c(x)1602 2665 y
Fl(3)1662 2653 y Ft(=)23 b(3)p Fr(s)18 b Ft(+)g Fr(t;)c(x)2046
2665 y Fl(4)2106 2653 y Ft(=)23 b Fr(s;)14 b(x)2317 2665
y Fl(5)2378 2653 y Ft(=)22 b(2)p Fr(t;)14 b(s;)g(t)22
b Fo(2)i Fm(R)p Fo(g)p Fr(:)207 2808 y Ft(5.)41 b(Seien)31
b Fr(V)46 b Ft(=)28 b Fo(f)p Ft(\()14 b Fr(\025;)83 b
Ft(2)p Fr(\025;)g Ft(2)p Fr(\026;)g(\026)14 b Ft(\))g
Fo(j)p Fr(\025;)g(\026)28 b Fo(2)g Fm(R)p Fo(g)i Ft(und)h
Fr(W)40 b Ft(=)28 b Fo(f)p Ft(\()13 b Fr(\025;)84 b(\025;)f(\025;)h
(\025)14 b Ft(\))g Fo(j)313 2908 y Fr(\025)23 b Fo(2)h
Fm(R)p Fo(g)p Ft(.)d(Bestimmen)h(Sie)g(Un)n(terr)1405
2912 y(\177)1405 2908 y(aume)f Fr(U)1677 2920 y Fl(1)1714
2908 y Ft(,)h Fr(U)1816 2920 y Fl(2)1853 2908 y Ft(,)g
Fr(U)1955 2920 y Fl(3)2015 2908 y Fo(\032)g Fm(R)2162
2878 y Fl(4)2200 2908 y Ft(,)g(so)f(da\031)g Fr(U)2549
2920 y Fk(i)2583 2908 y Fo(\010)7 b Fr(V)41 b Ft(=)23
b Fm(R)2892 2878 y Fl(4)313 3007 y Ft(f)340 3011 y(\177)338
3007 y(ur)28 b Fr(i)22 b Ft(=)h(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p
Fr(;)g Ft(3)26 b(gilt,)i Fr(U)1038 3019 y Fl(1)1093 3007
y Fo(\\)19 b Fr(U)1224 3019 y Fl(2)1284 3007 y Ft(=)j(0)28
b(und)g Fr(U)1664 3019 y Fl(1)1719 3007 y Fo(\\)19 b
Fr(U)1850 3019 y Fl(3)1910 3007 y Ft(=)j Fr(W)12 b Ft(.)165
3309 y Fs(5.4)42 b(Lineare)d(Abbildungen)165 3490 y Ft(Wie)26
b(b)r(ei)f(der)g(Diskussion)f(der)h(algebraisc)n(hen)e(Grundstrukturen)
h(Halbgrupp)r(e,)h(Mo-)165 3590 y(noid)36 b(und)h(Grupp)r(e)g(w)n
(ollen)e(wir)h(jetzt)h(auc)n(h)e(f)1692 3594 y(\177)1690
3590 y(ur)i(V)-7 b(ektorr)2082 3594 y(\177)2082 3590
y(aume)35 b(den)h(Begri\013)f(eines)165 3690 y(Homomorphism)n(us)27
b(einf)978 3694 y(\177)976 3690 y(uhren.)290 3867 y(W)-7
b(enn)28 b(wir)f(irgendw)n(elc)n(he)e(Punkte,)j(Geraden)e(o)r(der)h(b)r
(eliebige)g(Punktmengen)g(in)165 3966 y(einem)k(V)-7
b(ektorraum)28 b(hab)r(en,)j(so)e(w)n(ollen)g(wir)h(diese)g(sinn)n(v)n
(oll)f(in)h(dem)g(v)n(orgegeb)r(enen)165 4066 y(V)-7
b(ektorraum)38 b(b)r(ew)n(egen)g(k)1023 4070 y(\177)1023
4066 y(onnen)g(o)r(der)h(sie)f(sogar)f(in)i(einen)f(anderen)g(V)-7
b(ektorraum)165 4215 y(")204 4166 y(hin)321 4170 y(\177)319
4166 y(ub)r(erbringen)h(\\)37 b(k)873 4170 y(\177)873
4166 y(onnen,)32 b(z.B.)g(durc)n(h)g(eine)g(Pro)5 b(jektion)31
b(o)r(der)h(durc)n(h)f(eine)i(Stre-)165 4265 y(c)n(kung.)26
b(Der)g(daf)701 4269 y(\177)699 4265 y(ur)g(geeignete)f(mathematisc)n
(he)g(Begri\013)h(ist)g(der)g(des)g(Homomorphis-)165
4365 y(m)n(us)35 b(v)n(on)f(V)-7 b(ektorr)786 4369 y(\177)786
4365 y(aumen)33 b(o)r(der)h(der)g(linearen)g(Abbildung.)h(Lineare)f
(Abbildungen)165 4465 y(zwisc)n(hen)28 b(endlic)n(hdimensionalen)f(V)-7
b(ektorr)1582 4469 y(\177)1582 4465 y(aumen)27 b(k)1893
4469 y(\177)1893 4465 y(onnen)h(in)g(sehr)g(einfac)n(her)f(W)-7
b(ei-)165 4564 y(se)32 b(mit)h(Matrizen)e(b)r(esc)n(hrieb)r(en)h(w)n
(erden.)f(Wir)h(w)n(erden)f(diese)h(T)-7 b(ec)n(hnik)32
b(ausf)2680 4568 y(\177)2678 4564 y(uhrlic)n(h)165 4664
y(in)c(Absc)n(hnitt)g(5.5)f(darstellen.)p eop end
%%Page: 165 26
TeXDict begin 165 25 bop 1820 100 a Fn(5.4)43 b(Lineare)26
b(Abbildungen)150 b(165)165 282 y Fq(De\014nition)31
b(5.4.1)40 b Ft(Sei)c Fr(K)42 b Ft(ein)36 b(b)r(eliebiger)f(K)1695
286 y(\177)1695 282 y(orp)r(er.)g(Seien)h Fr(V)55 b Ft(und)37
b Fr(W)48 b Ft(zw)n(ei)35 b(V)-7 b(ek-)165 382 y(torr)305
386 y(\177)305 382 y(aume)527 386 y(\177)525 382 y(ub)r(er)27
b Fr(K)6 b Ft(.)26 b(Sei)i(sc)n(hlie\031lic)n(h)d Fr(f)32
b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(W)39 b
Ft(eine)27 b(Abbildung)g(v)n(on)f Fr(V)46 b Ft(in)28
b Fr(W)12 b Ft(.)27 b Fr(f)165 482 y Ft(hei\031t)i(eine)h
Fp(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung)38 b Ft(o)r(der)28 b(ein)h
Fp(Homomorphismus)p Ft(,)i(w)n(enn)e(die)h(folgenden)165
581 y(Gesetze)e(erf)568 585 y(\177)566 581 y(ullt)g(sind:)464
681 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)586 693 y Fl(1)642 681 y
Ft(+)18 b Fr(v)765 693 y Fl(2)803 681 y Ft(\))23 b(=)g
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)1068 693 y Fl(1)1105 681 y Ft(\))19
b(+)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)1361 693 y Fl(2)1398 681
y Ft(\))28 b(f)1485 685 y(\177)1483 681 y(ur)g(alle)f
Fr(v)1782 693 y Fl(1)1819 681 y Fr(;)14 b(v)1896 693
y Fl(2)1961 681 y Ft(in)28 b Fr(V)19 b Ft(,)464 780 y
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\025v)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\025f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))28 b(f)1041 784 y(\177)1039 780
y(ur)g(alle)f Fr(\025)d Fo(2)f Fr(K)33 b Ft(und)28 b
Fr(v)e Fo(2)e Fr(V)19 b Ft(.)165 880 y(Wie)25 b(b)r(ei)g(anderen)e
(algebraisc)n(hen)f(Strukturen)i(\(vgl.)g(3.2.4)f(und)i(3.2.5\))e
(sprec)n(hen)h(wir)165 980 y(auc)n(h)32 b(b)r(ei)g(Homomorphismen)f(v)n
(on)g(V)-7 b(ektorr)1633 984 y(\177)1633 980 y(aumen)31
b Fr(f)39 b Ft(:)30 b Fr(V)49 b Fo(\000)-48 b(!)30 b
Fr(W)44 b Ft(v)n(on)31 b(einem)h Fp(Iso-)165 1079 y(morphismus)p
Ft(,)c(w)n(enn)e Fr(f)35 b Ft(bijektiv)26 b(ist)h(\(und)g(damit)f
(einen)g(Umk)n(ehrhomomorphism)n(us)165 1179 y(b)r(esitzt\).)33
b(Zw)n(ei)f(V)-7 b(ektorr)972 1183 y(\177)972 1179 y(aume)30
b(hei\031en)i Fp(isomorph)p Ft(,)i(w)n(enn)e(es)g(einen)g(Isomorphism)n
(us)165 1279 y(zwisc)n(hen)27 b(ihnen)h(gibt.)165 1378
y(Ein)k(injektiv)n(er)g(Homomorphism)n(us)e(v)n(on)h(V)-7
b(ektorr)1817 1382 y(\177)1817 1378 y(aumen)31 b Fr(f)39
b Ft(:)30 b Fr(V)50 b Fo(\000)-49 b(!)31 b Fr(W)44 b
Ft(hei\031t)32 b Fp(Mo-)165 1478 y(nomorphismus)p Ft(.)165
1577 y(Ein)c(surjektiv)n(er)g(Homomorphism)n(us)f(v)n(on)g(V)-7
b(ektorr)1845 1581 y(\177)1845 1577 y(aumen)27 b Fr(f)33
b Ft(:)24 b Fr(V)44 b Fo(\000)-49 b(!)25 b Fr(W)40 b
Ft(hei\031t)28 b Fp(Epi-)165 1677 y(morphismus)p Ft(.)165
1777 y(Ein)20 b(Homomorphism)n(us)e(v)n(on)h(V)-7 b(ektorr)1407
1781 y(\177)1407 1777 y(aumen)19 b Fr(f)31 b Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)39 b Ft(mit)20
b Fr(V)42 b Ft(=)23 b(Qu)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))24 b(=)e(Zi\()p
Fr(f)9 b Ft(\))165 1876 y(hei\031t)28 b Fp(Endomorphismus)p
Ft(.)165 1976 y(Ein)j(Isomorphism)n(us)e(v)n(on)h(V)-7
b(ektorr)1330 1980 y(\177)1330 1976 y(aumen)30 b Fr(f)37
b Ft(:)29 b Fr(V)47 b Fo(\000)-48 b(!)28 b Fr(V)50 b
Ft(mit)31 b Fr(V)48 b Ft(=)28 b(Qu)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))29
b(=)f(Zi\()p Fr(f)9 b Ft(\))165 2076 y(hei\031t)28 b
Fp(A)n(utomorphismus)p Ft(.)290 2242 y(W)-7 b(egen)31
b(der)f(ersten)h(Bedingung)f(ist)h Fr(f)40 b Ft(auc)n(h)30
b(ein)h(Homomorphism)n(us)e(v)n(on)i(ab)r(el-)165 2341
y(sc)n(hen)j(Grupp)r(en.)g(Insb)r(esondere)f(erh)1391
2345 y(\177)1391 2341 y(alt)g(man)h Fr(f)9 b Ft(\(0\))33
b(=)g(0.)g(O\013ensic)n(h)n(tlic)n(h)g(l)2643 2345 y(\177)2643
2341 y(a\031t)h(sic)n(h)165 2441 y(diese)28 b(De\014nition)g(auc)n(h)f
(v)n(erw)n(enden,)g(um)h(allgemein)f(zu)g(zeigen)1088
2685 y Fr(f)9 b Ft(\()1210 2582 y Fk(n)1170 2607 y Fj(X)1176
2783 y Fk(i)p Fl(=1)1304 2685 y Fr(\025)1352 2697 y Fk(i)1380
2685 y Fr(v)1420 2697 y Fk(i)1448 2685 y Ft(\))23 b(=)1630
2582 y Fk(n)1591 2607 y Fj(X)1597 2783 y Fk(i)p Fl(=1)1725
2685 y Fr(\025)1773 2697 y Fk(i)1801 2685 y Fr(f)9 b
Ft(\()p Fr(v)1923 2697 y Fk(i)1951 2685 y Ft(\))p Fr(:)165
2941 y Ft(Damit)38 b(w)n(erden)f(alle)g(w)n(esen)n(tlic)n(hen)g(Op)r
(erationen)f(in)i(einem)f(V)-7 b(ektorraum)37 b(v)n(on)f(li-)165
3040 y(nearen)28 b(Abbildungen)h(resp)r(ektiert.)f(Es)g(gelten)h(im)
1853 3044 y(\177)1851 3040 y(ubrigen)f(sinngem)2448 3044
y(\177)2448 3040 y(a\031)f(wieder)h(die)165 3140 y(Ausf)333
3144 y(\177)331 3140 y(uhrungen)g(v)n(on)f(Kapitel)g(3,)g(insb)r
(esondere)165 3306 y Fq(Lemma)32 b(5.4.2)40 b Fp(Seien)g
Fr(f)g Ft(:)31 b Fr(V)51 b Fo(\000)-47 b(!)32 b Fr(W)46
b Fp(und)c Fr(g)34 b Ft(:)d Fr(W)43 b Fo(\000)-46 b(!)31
b Fr(Z)40 b Fp(zwei)35 b(line)l(ar)l(e)g(A)n(bbildun-)165
3406 y(gen.)h(Dann)f(ist)g(auch)43 b Fr(g)s(f)e Ft(:)34
b Fr(V)52 b Fo(\000)-46 b(!)33 b Fr(Z)41 b Fp(eine)36
b(line)l(ar)l(e)g(A)n(bbildung.)g(Weiterhin)h(ist)e(die)165
3505 y(identische)d(A)n(bbildung)37 b Ft(id)1014 3517
y Fk(V)1095 3505 y Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-46 b(!)23
b Fr(V)49 b Fp(eine)30 b(line)l(ar)l(e)g(A)n(bbildung.)165
3680 y(Beweis.)44 b Ft(Wir)27 b(brauc)n(hen)g(die)h(b)r(eiden)g
(Bedingungen)f(n)n(ur)g(auszusc)n(hreib)r(en:)649 3862
y Fr(g)s(f)9 b Ft(\()p Fr(v)814 3874 y Fl(1)869 3862
y Ft(+)18 b Fr(v)992 3874 y Fl(2)1030 3862 y Ft(\))23
b(=)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)1370 3874
y Fl(1)1407 3862 y Ft(\))19 b(+)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)1663
3874 y Fl(2)1700 3862 y Ft(\)\))24 b(=)f Fr(g)s(f)9 b
Ft(\()p Fr(v)2041 3874 y Fl(1)2077 3862 y Ft(\))19 b(+)f
Fr(g)s(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2376 3874 y Fl(2)2413 3862
y Ft(\))165 4045 y(und)1020 4144 y Fr(g)s(f)g Ft(\()p
Fr(\025v)s Ft(\))24 b(=)e Fr(g)s Ft(\()p Fr(\025f)9 b
Ft(\()p Fr(v)s Ft(\)\))24 b(=)f Fr(\025g)s(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))p Fr(:)165 4294 y Ft(F)221 4298 y(\177)219
4294 y(ur)28 b(die)g(iden)n(tisc)n(he)f(Abbildung)h(ist)g(die)g
(Aussage)e(no)r(c)n(h)h(trivialer.)290 4468 y(Lineare)19
b(Abbildungen)h(o)r(der)f(Homomorphismen)g(hab)r(en)h(oft)g(eine)g(w)n
(eitreic)n(hende)165 4568 y(geometrisc)n(he)26 b(Bedeutung,)i(wie)f
(die)h(folgenden)g(Beispiele)f(zeigen.)p eop end
%%Page: 166 27
TeXDict begin 166 26 bop 165 100 a Fn(166)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Fq(Beispiele)30 b(5.4.3)81 b Ft(1.)41 b(Wir)19 b(w)n(ollen)f(ein)g
(erstes)g(Beispiel)g(f)2032 286 y(\177)2030 282 y(ur)h(eine)g(lineare)f
(Abbildung)313 382 y(angeb)r(en.)33 b(Dazu)g(v)n(erw)n(enden)f(wir)h
(die)g(V)-7 b(ektorr)1866 386 y(\177)1866 382 y(aume)32
b Fr(V)51 b Ft(=)32 b Fm(R)2348 352 y Fl(3)2418 382 y
Ft(und)i Fr(W)44 b Ft(=)32 b Fm(R)2869 352 y Fl(2)2906
382 y Ft(.)313 482 y(Die)c(Abbildung)g Fr(f)k Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(W)39 b Ft(sei)28
b(de\014niert)f(durc)n(h)1293 641 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\030)t(;)14 b(\021)s(;)g(\020)6 b Ft(\))24 b(:=)f(\()p
Fr(\030)t(;)14 b(\020)6 b Ft(\))p Fr(;)313 801 y Ft(also)18
b(die)h(Pro)5 b(jektion)17 b(des)i(dreidimensionalen)f(Raumes)g(auf)h
(die)g Fr(x)p Ft(-)p Fr(z)t Ft(-Eb)r(ene)f(\(en)n(t-)313
900 y(lang)27 b(der)g Fr(y)s Ft(-Ac)n(hse\).)g(Wir)h(rec)n(hnen)f(sc)n
(hnell)g(nac)n(h,)g(da\031)629 1059 y Fr(f)9 b Ft(\(\()p
Fr(\030)779 1071 y Fl(1)817 1059 y Fr(;\021)881 1071
y Fl(1)918 1059 y Fr(;)14 b(\020)991 1071 y Fl(1)1029
1059 y Ft(\))k(+)h(\()p Fr(\030)1231 1071 y Fl(2)1268
1059 y Fr(;)14 b(\021)1346 1071 y Fl(2)1384 1059 y Fr(;)g(\020)1457
1071 y Fl(2)1494 1059 y Ft(\)\))24 b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\030)1787 1071 y Fl(1)1843 1059 y Ft(+)18 b Fr(\030)1962
1071 y Fl(2)2000 1059 y Fr(;)c(\021)2078 1071 y Fl(1)2134
1059 y Ft(+)k Fr(\021)2258 1071 y Fl(2)2295 1059 y Fr(;)c(\020)2368
1071 y Fl(1)2424 1059 y Ft(+)k Fr(\020)2543 1071 y Fl(2)2581
1059 y Ft(\))840 1158 y(=)k(\()p Fr(\030)995 1170 y Fl(1)1052
1158 y Ft(+)c Fr(\030)1171 1170 y Fl(2)1208 1158 y Fr(;)c(\020)1281
1170 y Fl(1)1337 1158 y Ft(+)k Fr(\020)1456 1170 y Fl(2)1494
1158 y Ft(\))23 b(=)g(\()p Fr(\030)1705 1170 y Fl(1)1743
1158 y Fr(;)14 b(\020)1816 1170 y Fl(1)1853 1158 y Ft(\))19
b(+)f(\()p Fr(\030)2055 1170 y Fl(2)2093 1158 y Fr(;)c(\020)2166
1170 y Fl(2)2203 1158 y Ft(\))840 1258 y(=)22 b Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(\030)1045 1270 y Fl(1)1083 1258 y Fr(;)14
b(\021)1161 1270 y Fl(1)1198 1258 y Fr(;)g(\020)1271
1270 y Fl(1)1309 1258 y Ft(\))k(+)g Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\030)1560 1270 y Fl(2)1598 1258 y Fr(;)14 b(\021)1676
1270 y Fl(2)1713 1258 y Fr(;)g(\020)1786 1270 y Fl(2)1824
1258 y Ft(\))313 1414 y(und)28 b(auc)n(h)963 1492 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\()p Fr(\030)t(;)14 b(\021)s(;)g(\020)6
b Ft(\)\))25 b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\025\030)t(;)14
b(\025\021)s(;)g(\025\020)6 b Ft(\))25 b(=)1093 1592
y(=)e(\()p Fr(\025\030)t(;)14 b(\025\020)6 b Ft(\))25
b(=)e Fr(\025)p Ft(\()p Fr(\030)t(;)14 b(\020)6 b Ft(\))24
b(=)f Fr(\025f)9 b Ft(\()p Fr(\030)t(;)14 b(\021)s(;)g(\020)6
b Ft(\))313 1723 y(gelten.)25 b(Damit)g(ist)g Fr(f)34
b Ft(eine)25 b(lineare)f(Abbildung.)h(En)n(tsprec)n(hend)f(k)2441
1727 y(\177)2441 1723 y(onnen)h(wir)f(die)313 1823 y(Pro)5
b(jektionen)32 b(auf)h(die)g Fr(x)p Ft(-)p Fr(y)s Ft(-Eb)r(ene)g(bzw.)h
(auf)f(die)g Fr(y)s Ft(-)p Fr(z)t Ft(-Eb)r(ene)f(als)h(lineare)f(Ab-)
313 1923 y(bildungen)26 b(au\013assen.)f(Ja)g(sogar)e(die)j(Pro)5
b(jektionen)24 b(auf)i(die)f(einzelnen)h(Ac)n(hsen,)313
2022 y(die)i Fr(x)p Ft(-Ac)n(hse,)f(die)h Fr(y)s Ft(-Ac)n(hse)f(und)h
(die)f Fr(z)t Ft(-Ac)n(hse,)g(sind)g(lineare)g(Abbildungen.)207
2122 y(2.)41 b(Die)28 b(Abbildung)592 2316 y Fr(f)k Ft(:)23
b Fm(R)771 2282 y Fl(2)831 2316 y Fo(3)h Ft(\()p Fr(\030)t(;)14
b(\021)s Ft(\))24 b Fo(7!)f Ft(\()1267 2260 y(1)p 1267
2297 42 4 v 1267 2373 a(2)1319 2243 y Fo(p)p 1388 2243
V 73 x Ft(2)o Fr(\030)g Ft(+)1581 2260 y(1)p 1581 2297
V 1581 2373 a(2)1632 2243 y Fo(p)p 1701 2243 V 73 x Ft(2)p
Fr(\021)s(;)14 b Fo(\000)1899 2260 y Ft(1)p 1899 2297
V 1899 2373 a(2)1950 2243 y Fo(p)p 2019 2243 V 73 x Ft(2)p
Fr(\030)22 b Ft(+)2212 2260 y(1)p 2212 2297 V 2212 2373
a(2)2264 2243 y Fo(p)p 2333 2243 V 73 x Ft(2)p Fr(\021)s
Ft(\))h Fo(2)g Fm(R)2612 2282 y Fl(2)313 2499 y Ft(stellt)28
b(die)g(Dreh)n(ung)f(der)h(reellen)f(Eb)r(ene)h(um)g(den)g(Nullpunkt)h
(und)f(den)g(Wink)n(el)313 2598 y(v)n(on)38 b(45)565
2568 y Fk(o)641 2598 y Ft(dar)g(\(im)i(mathematisc)n(hen)f(Drehsinn)g
({)g(der)f(tec)n(hnisc)n(he)h(Drehsinn)313 2698 y(wird)g(rec)n(h)n
(tsdrehend)e(o)r(der)h(im)i(Uhrzeigersinn)d(gerec)n(hnet\).)h(Zur)h
(Abk)2682 2702 y(\177)2680 2698 y(urzung)313 2797 y(sei)27
b Fr(a)c Ft(:=)621 2765 y Fl(1)p 621 2779 34 4 v 621
2826 a(2)664 2729 y Fo(p)p 733 2729 42 4 v 68 x Ft(2.)k(Dann)h(gilt)621
2964 y Fr(f)9 b Ft(\(\()p Fr(\030)771 2976 y Fl(1)809
2964 y Fr(;)14 b(\021)887 2976 y Fl(1)924 2964 y Ft(\))19
b(+)f(\()p Fr(\030)1126 2976 y Fl(2)1164 2964 y Fr(;)c(\021)1242
2976 y Fl(2)1279 2964 y Ft(\)\))24 b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\030)1572 2976 y Fl(1)1628 2964 y Ft(+)18 b Fr(\030)1747
2976 y Fl(2)1785 2964 y Fr(;)c(\021)1863 2976 y Fl(1)1918
2964 y Ft(+)k Fr(\021)2042 2976 y Fl(2)2080 2964 y Ft(\))735
3064 y(=)23 b(\()p Fr(a)p Ft(\()p Fr(\030)967 3076 y
Fl(1)1023 3064 y Ft(+)18 b Fr(\030)1142 3076 y Fl(2)1180
3064 y Ft(\))g(+)g Fr(a)p Ft(\()p Fr(\021)1430 3076 y
Fl(1)1487 3064 y Ft(+)g Fr(\021)1611 3076 y Fl(2)1648
3064 y Ft(\))p Fr(;)c Fo(\000)p Fr(a)p Ft(\()p Fr(\030)1894
3076 y Fl(1)1950 3064 y Ft(+)k Fr(\030)2069 3076 y Fl(2)2107
3064 y Ft(\))g(+)g Fr(a)p Ft(\()p Fr(\021)2357 3076 y
Fl(1)2413 3064 y Ft(+)g Fr(\021)2537 3076 y Fl(2)2575
3064 y Ft(\))735 3163 y(=)23 b(\()p Fr(a\030)935 3175
y Fl(1)991 3163 y Ft(+)18 b Fr(a\021)1159 3175 y Fl(1)1196
3163 y Fr(;)c Fo(\000)p Fr(a\030)1378 3175 y Fl(1)1434
3163 y Ft(+)k Fr(a\021)1602 3175 y Fl(1)1639 3163 y Ft(\))h(+)f(\()p
Fr(a\030)1885 3175 y Fl(2)1941 3163 y Ft(+)g Fr(a\021)2109
3175 y Fl(2)2146 3163 y Fr(;)c Fo(\000)p Fr(a\030)2328
3175 y Fl(2)2384 3163 y Ft(+)k Fr(a\021)2552 3175 y Fl(2)2589
3163 y Ft(\))735 3263 y(=)23 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\030)941
3275 y Fl(1)978 3263 y Fr(;)14 b(\021)1056 3275 y Fl(1)1093
3263 y Ft(\))19 b(+)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\030)1345 3275
y Fl(2)1383 3263 y Fr(;)14 b(\021)1461 3275 y Fl(2)1498
3263 y Ft(\))p Fr(;)680 3431 y(f)9 b Ft(\()p Fr(\025)p
Ft(\()p Fr(\030)t(;\021)s Ft(\)\))24 b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\025\030)t(;)14 b(\025\021)s Ft(\))24 b(=)f(\()p Fr(a\025\030)g
Ft(+)18 b Fr(a\025\021)s(;)c Fo(\000)p Fr(a\025\030)23
b Ft(+)18 b Fr(a\025\021)s Ft(\))24 b(=)905 3530 y(=)f
Fr(\025)p Ft(\()p Fr(a\030)g Ft(+)18 b Fr(a\021)s(;)c
Fo(\000)p Fr(a\030)22 b Ft(+)c Fr(a\021)s Ft(\))24 b(=)e
Fr(\025f)9 b Ft(\()p Fr(\030)t(;)14 b(\021)s Ft(\))p
Fr(:)313 3662 y Ft(Damit)28 b(ist)g Fr(f)36 b Ft(ein)28
b(Homomorphism)n(us)e(v)n(on)h(V)-7 b(ektorr)2009 3666
y(\177)2009 3662 y(aumen.)290 3814 y(Man)23 b(k)-5 b(ann)24
b(eine)g(lineare)f(Abbildung)h Fr(f)31 b Ft(:)24 b Fr(V)42
b Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(W)36 b Ft(auf)24 b(einen)f(Un)n(terv)n
(ektorraum)165 3914 y Fr(U)32 b Fo(\032)23 b Fr(V)38
b Ft(einsc)n(hr)681 3918 y(\177)681 3914 y(ank)n(en)17
b(und)i(erh)1184 3918 y(\177)1184 3914 y(alt)f(so)h(eine)g(lineare)f
(Abbildung)h Fr(f)9 b Fo(j)2286 3926 y Fk(U)2364 3914
y Ft(:)23 b Fr(U)32 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(W)12 b
Ft(,)19 b(denn)165 4014 y(die)j(V)-7 b(ertr)483 4018
y(\177)483 4014 y(aglic)n(hk)n(eit)19 b(mit)j(der)f(Addition)h(v)n(on)f
(V)-7 b(ektoren)21 b(und)h(der)f(Multiplik)-5 b(ation)22
b(mit)165 4113 y(Sk)-5 b(alaren)25 b(bleibt)h(nat)853
4117 y(\177)851 4113 y(urlic)n(h)f(erhalten.)f(Die)i(F)-7
b(rage,)24 b(ob)h(auc)n(h)g(eine)h(Einsc)n(hr)2571 4117
y(\177)2571 4113 y(ankung)d(in)165 4213 y(der)28 b(Bildmenge)f
Fr(W)40 b Ft(m)905 4217 y(\177)905 4213 y(oglic)n(h)26
b(ist,)i(b)r(ean)n(t)n(w)n(ortet)f(das)g(folgende)g(Lemma.)165
4365 y Fq(Lemma)32 b(5.4.4)40 b Fp(Sei)49 b Fr(f)j Ft(:)44
b Fr(V)62 b Fo(\000)-46 b(!)43 b Fr(W)53 b Fp(eine)41
b(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung)f(und)49 b Fr(U)j Fo(\032)43
b Fr(V)60 b Fp(ein)165 4465 y(Untervektorr)l(aum.)29
b(Dann)f(ist)h(das)h(Bild)38 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(U)g
Ft(\))23 b Fo(\032)g Fr(W)41 b Fp(von)35 b Fr(U)j Fp(ein)29
b(Untervektorr)l(aum)165 4564 y(von)42 b Fr(W)12 b Fp(.)36
b(Den)f(V)-6 b(ektorr)l(aum)41 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(V)19
b Ft(\))36 b Fp(nennt)e(man)h(al)t(lgemein)i(das)f Ft(Bild)e(v)n(on)h
Fr(f)9 b Fp(,)35 b(o)l(der)165 4664 y(einfach)j Ft(Bi\()p
Fr(f)9 b Ft(\))p Fp(.)p eop end
%%Page: 167 28
TeXDict begin 167 27 bop 1820 100 a Fn(5.4)43 b(Lineare)26
b(Abbildungen)150 b(167)165 282 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Seien)37
b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)p Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p
Fr(u)1037 252 y Fi(0)1059 282 y Ft(\))39 b Fo(2)h Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(U)g Ft(\))37 b(mit)g Fr(u;)14 b(u)1736 252
y Fi(0)1797 282 y Fo(2)39 b Fr(U)46 b Ft(gegeb)r(en,)37
b(und)g(sei)g Fr(\025)i Fo(2)h Fr(K)6 b Ft(.)165 382
y(Dann)33 b(gelten)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)p Ft(\))21
b(+)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)1043 352 y Fi(0)1066 382
y Ft(\))31 b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)21 b Ft(+)g Fr(u)1509
352 y Fi(0)1532 382 y Ft(\))31 b Fo(2)g Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(U)g Ft(\))32 b(und)g Fr(\025f)9 b Ft(\()p Fr(u)p Ft(\))31
b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\025u)p Ft(\))31 b Fo(2)g Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(U)g Ft(\),)165 482 y(w)n(eil)30 b Fr(U)39
b Ft(ein)30 b(Un)n(terv)n(ektorraum)d(ist,)j(also)f Fr(u)20
b Ft(+)f Fr(u)1733 451 y Fi(0)1783 482 y Fo(2)27 b Fr(U)39
b Ft(und)30 b Fr(\025u)d Fo(2)g Fr(U)39 b Ft(gelten.)30
b(Damit)165 581 y(ist)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(U)g Ft(\))28
b(ein)f(Un)n(terv)n(ektorraum.)290 756 y(Wir)35 b(k)510
760 y(\177)510 756 y(onnen)g(also)f(auc)n(h)h(den)g(Zielv)n(ektorraum)e
Fr(W)47 b Ft(einer)35 b(linearen)g(Abbildung)165 855
y Fr(f)52 b Ft(:)44 b Fr(V)63 b Fo(\000)-49 b(!)44 b
Fr(W)52 b Ft(einsc)n(hr)962 859 y(\177)962 855 y(ank)n(en,)38
b(jedo)r(c)n(h)i(nic)n(h)n(t)g(b)r(eliebig)g(wie)g(das)f(b)r(eim)i
(Quellv)n(ek-)165 955 y(torraum)35 b Fr(V)55 b Ft(der)35
b(F)-7 b(all)36 b(w)n(ar,)f(sondern)g(n)n(ur)h(auf)g(einen)g(Un)n(terv)
n(ektorraum,)d(der)j(den)165 1054 y(Un)n(terv)n(ektorraum)25
b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(V)19 b Ft(\))28 b(en)n(th)1186
1058 y(\177)1186 1054 y(alt.)f(Sc)n(hr)1493 1058 y(\177)1493
1054 y(ank)n(en)f(wir)h Fr(V)47 b Ft(w)n(eiter)27 b(ein,)g(so)g(ist)g
(auc)n(h)g(eine)165 1154 y(w)n(eitere)g(Einsc)n(hr)722
1158 y(\177)722 1154 y(ankung)f(v)n(on)h Fr(W)39 b Ft(m)1357
1158 y(\177)1357 1154 y(oglic)n(h.)290 1353 y(Andere)i(wic)n(h)n(tige)f
(Eigensc)n(haften)g(v)n(on)h(V)-7 b(ektorr)1916 1357
y(\177)1916 1353 y(aumen)40 b(w)n(erden)g(b)r(ei)i(linearen)165
1453 y(Abbildungen)d(nic)n(h)n(t)g(erhalten,)e(wie)i(et)n(w)n(a)e(die)i
(Dimension)f(o)r(der)g(die)g(Eigensc)n(haft)165 1553
y(einer)29 b(Menge)f(v)n(on)g(V)-7 b(ektoren,)28 b(Basis)g(zu)g(sein.)h
(Hier)f(gelten)h(k)n(ompliziertere)e(Zusam-)165 1652
y(menh)363 1656 y(\177)363 1652 y(ange.)38 b(Besonders)f(die)h
(Basiseigensc)n(haft)f(spielt)h(eine)h(ausgezeic)n(hnete)d(Rolle)165
1752 y(f)192 1756 y(\177)190 1752 y(ur)f(lineare)e(Abbildungen.)i(Sie)f
(h)1285 1756 y(\177)1285 1752 y(angt)g(n)1527 1756 y(\177)1527
1752 y(amlic)n(h)g(eng)g(mit)g(dem)h(Begri\013)e(des)h(freien)165
1851 y(V)-7 b(ektorraumes)37 b(zusammen,)h(wie)g(er)g(in)g(3.3.1)f(f)
1754 1855 y(\177)1752 1851 y(ur)h(die)g(algebraisc)n(hen)e(Strukturen)
165 1951 y(Halbgrupp)r(e,)26 b(Monoid)g(bzw.)h(Grupp)r(e)f(sc)n(hon)g
(de\014niert)g(w)n(orden)g(ist.)g(Wir)h(b)r(emerk)n(en)165
2051 y(zun)294 2055 y(\177)294 2051 y(ac)n(hst,)g(da\031)g(3.3.3)g(auc)
n(h)g(im)h(F)-7 b(alle)27 b(v)n(on)g(V)-7 b(ektorr)1836
2055 y(\177)1836 2051 y(aumen)26 b(gilt:)165 2217 y Fq(Satz)33
b(5.4.5)78 b Fp(1.)43 b(Ist)36 b Fr(V)48 b Fp(mit)37
b Fr(\023)23 b Ft(:)g Fr(B)k Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(V)48
b Fp(ein)30 b(fr)l(eier)g(V)-6 b(ektorr)l(aum)2368 2221
y(\177)2368 2217 y(ub)l(er)29 b(der)g(Menge)313 2316
y Fr(B)t Fp(,)h(so)g(ist)38 b Fr(\023)30 b Fp(injektiv.)204
2416 y(2.)42 b(Sind)e Fr(V)51 b Fp(und)40 b Fr(V)854
2386 y Fi(0)908 2416 y Fp(mit)g Fr(\023)27 b Ft(:)f Fr(B)31
b Fo(\000)-46 b(!)26 b Fr(V)51 b Fp(und)40 b Fr(\023)1698
2386 y Fi(0)1748 2416 y Ft(:)26 b Fr(B)31 b Fo(\000)-46
b(!)26 b Fr(V)2086 2386 y Fi(0)2141 2416 y Fp(fr)l(eie)33
b(V)-6 b(ektorr)2602 2420 y(\177)2603 2416 y(aume,)32
b(so)313 2516 y(gibt)e(genau)g(einen)g(Homomorphismus)38
b Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-46 b(!)23 b
Fr(V)2024 2485 y Fi(0)2077 2516 y Fp(mit)1374 2693 y
Fr(B)352 b(V)p 1466 2666 299 4 v 1682 2664 a Fc(-)1603
2648 y Fk(\023)1778 3111 y Fr(V)1844 3080 y Fi(0)p 1821
3021 4 299 v 1823 3021 a Fc(?)1751 2886 y Fk(f)1517 2896
y(\023)1542 2871 y Fd(0)1466 2806 y Fc(@)1549 2889 y(@)1632
2972 y(@)1682 3021 y(@)-83 b(R)313 3262 y Fp(kommutativ)30
b(\(d.h.)h Fr(f)9 b(\023)23 b Ft(=)g Fr(\023)1183 3232
y Fi(0)1207 3262 y Ft(\))p Fp(,)30 b(und)38 b Fr(f)g
Fp(ist)30 b(ein)g(Isomorphismus.)165 3436 y(Beweis.)44
b Ft(Der)23 b(Bew)n(eis)f(v)n(on)g(3.3.3)f(k)-5 b(ann)23
b(w)1508 3440 y(\177)1508 3436 y(ortlic)n(h)1767 3440
y(\177)1764 3436 y(ub)r(ernommen)g(w)n(erden,)g(w)n(enn)f(man)165
3536 y(die)28 b(Grupp)r(e)g Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b Fo(\000)p
Ft(1)p Fo(g)25 b Ft(durc)n(h)i(den)h(eindimensionalen)f(V)-7
b(ektorraum)27 b Fr(K)33 b Ft(ersetzt.)290 3710 y(Der)21
b(Zusammenhang)f(des)h(Begri\013es)f(der)h(Basis)f(und)i(eines)f
(freien)g(V)-7 b(ektorraumes)165 3810 y(wird)28 b(durc)n(h)f(den)h
(folgenden)f(Satz)g(hergestellt.)165 3976 y Fq(Satz)33
b(5.4.6)78 b Fp(1.)43 b(Seien)34 b Fr(V)46 b Fp(ein)28
b(V)-6 b(ektorr)l(aum)27 b(und)36 b Fr(B)31 b Fp(eine)d(Basis)h(von)34
b Fr(V)19 b Fp(.)28 b(Dann)f(ist)313 4076 y Fr(V)44 b
Fp(zusammen)25 b(mit)g(der)h(Inklusionsabbildung)34 b
Fr(\023)23 b Ft(:)g Fr(B)28 b Fo(\000)-47 b(!)24 b Fr(V)44
b Fp(ein)25 b(\()2402 4080 y(\177)2403 4076 y(au\031er)l(er\))g(fr)l
(eier)313 4175 y(V)-6 b(ektorr)l(aum)765 4179 y(\177)765
4175 y(ub)l(er)29 b(der)i(Menge)36 b Fr(B)e Fp(\(im)c(Sinne)g(von)g
(3.3.1\).)204 4275 y(2.)42 b(Seien)35 b Fr(B)e Fp(eine)c(Menge,)h
Fr(V)48 b Fp(ein)29 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)28 b(und)37
b Fr(\023)23 b Ft(:)g Fr(B)k Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(V)48
b Fp(eine)29 b(A)n(bbildung,)313 4375 y(so)e(da\031)35
b Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(\023)p Ft(\))27 b Fp(ein)g(fr)l(eier)h(V)-6
b(ektorr)l(aum)1595 4379 y(\177)1595 4375 y(ub)l(er)35
b Fr(B)c Fp(ist.)c(Dann)e(ist)i(das)g(Bild)36 b Fr(\023)p
Ft(\()p Fr(B)t Ft(\))25 b Fo(\032)313 4474 y Fr(V)49
b Fp(eine)30 b(Basis)h(von)36 b Fr(V)19 b Fp(.)204 4574
y(3.)42 b(Sei)c Fr(B)c Fp(eine)c(Menge.)h(Dann)e(gibt)h(es)f(einen)h
(fr)l(eien)h(V)-6 b(ektorr)l(aum)35 b Ft(\()p Fr(V)5
b(;)14 b(\023)p Ft(\))2646 4578 y Fp(\177)2646 4574 y(ub)l(er)39
b Fr(B)t Fp(.)p eop end
%%Page: 168 29
TeXDict begin 168 28 bop 165 100 a Fn(168)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Fp(Beweis.)44 b Ft(1.)c(Gegeb)r(en)i(seien)f(ein)g(V)-7
b(ektorraum)40 b Fr(W)53 b Ft(und)41 b(eine)h(Abbildung)f
Fr(\013)46 b Ft(:)g Fr(B)165 382 y Fo(\000)-48 b(!)24
b Fr(W)12 b Ft(.)28 b(Zu)f(zeigen)h(ist,)g(da\031)f(es)h(genau)f(einen)
h(Homomorphism)n(us)f Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)43 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(W)40 b Ft(gibt)165 482 y(mit)29 b Fr(f)9
b(\023)23 b Ft(=)f Fr(\013)p Ft(:)1293 576 y Fr(B)352
b(V)p 1384 549 299 4 v 1600 547 a Fc(-)1521 531 y Fk(\023)1703
991 y Fr(W)n(:)p 1739 904 4 299 v 1741 904 a Fc(?)1669
769 y Fk(f)1439 767 y(\013)1384 689 y Fc(@)1467 772 y(@)1550
855 y(@)1600 904 y(@)-83 b(R)165 1112 y Ft(Wir)28 b(zeigen)g(zun)713
1116 y(\177)713 1112 y(ac)n(hst)f(die)i(Eindeutigk)n(eit,)e(w)n(eil)h
(dann)g(sc)n(hon)f(ersic)n(h)n(tlic)n(h)g(wird,)h(wie)165
1211 y(die)e(Existenz)f(zu)g(zeigen)g(ist.)h(Seien)f
Fr(f)34 b Ft(und)26 b Fr(g)i Ft(lineare)c(Abbildungen)i(v)n(on)f
Fr(V)44 b Ft(nac)n(h)25 b Fr(W)165 1311 y Ft(mit)33 b
Fr(\013)p Ft(\()p Fr(b)443 1323 y Fk(i)471 1311 y Ft(\))f(=)e
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)748 1323 y Fk(i)775 1311 y Ft(\))32
b(=)e Fr(g)s Ft(\()p Fr(b)1045 1323 y Fk(i)1072 1311
y Ft(\))j(f)1164 1315 y(\177)1162 1311 y(ur)f(alle)g
Fr(i)p Ft(.)g(Sei)h Fr(v)h Fo(2)e Fr(V)51 b Ft(b)r(eliebig)32
b(gew)2363 1315 y(\177)2363 1311 y(ahlt.)g(Dann)h(l)2814
1315 y(\177)2814 1311 y(a\031t)165 1411 y(sic)n(h)28
b Fr(v)i Ft(darstellen)d(als)g Fr(v)g Ft(=)1058 1348
y Fj(P)1146 1369 y Fk(n)1146 1436 y(i)p Fl(=1)1271 1411
y Fr(\025)1319 1423 y Fk(i)1348 1411 y Fr(b)1384 1423
y Fk(i)1411 1411 y Ft(.)h(Da)f Fr(f)36 b Ft(und)28 b
Fr(g)j Ft(linear)c(sind,)g(gilt)755 1597 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))25 b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()1107 1534 y Fj(P)1195
1555 y Fk(n)1195 1622 y(i)p Fl(=1)1320 1597 y Fr(\025)1368
1609 y Fk(i)1396 1597 y Fr(b)1432 1609 y Fk(i)1460 1597
y Ft(\))23 b(=)1602 1534 y Fj(P)1690 1555 y Fk(n)1690
1622 y(i)p Fl(=1)1816 1597 y Fr(\025)1864 1609 y Fk(i)1892
1597 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)2010 1609 y Fk(i)2037 1597
y Ft(\))937 1696 y(=)1025 1634 y Fj(P)1113 1655 y Fk(n)1113
1721 y(i)p Fl(=1)1238 1696 y Fr(\025)1286 1708 y Fk(i)1314
1696 y Fr(g)s Ft(\()p Fr(b)1425 1708 y Fk(i)1453 1696
y Ft(\))23 b(=)f Fr(g)s Ft(\()1670 1634 y Fj(P)1758 1655
y Fk(n)1758 1721 y(i)p Fl(=1)1884 1696 y Fr(\025)1932
1708 y Fk(i)1960 1696 y Fr(b)1996 1708 y Fk(i)2023 1696
y Ft(\))h(=)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))p Fr(:)165
1875 y Ft(Also)28 b(gilt)f Fr(f)32 b Ft(=)22 b Fr(g)s
Ft(.)290 1975 y(Ist)g(n)n(ur)g Fr(\013)h Ft(gegeb)r(en)e(und)i
Fr(v)j Ft(=)1253 1912 y Fj(P)1340 1933 y Fk(n)1340 2000
y(i)p Fl(=1)1466 1975 y Fr(\025)1514 1987 y Fk(i)1542
1975 y Fr(b)1578 1987 y Fk(i)1628 1975 y Fo(2)e Fr(V)19
b Ft(,)j(so)f(k)n(onstruieren)g(wir)h(eine)g(lineare)165
2074 y(Abbildung)29 b Fr(f)36 b Ft(durc)n(h)1195 2236
y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23 b(:=)1525 2132 y Fk(n)1486
2157 y Fj(X)1492 2334 y Fk(i)p Fl(=1)1619 2236 y Fr(\025)1667
2248 y Fk(i)1696 2236 y Fr(\013)p Ft(\()p Fr(b)1817 2248
y Fk(i)1845 2236 y Ft(\))p Fr(:)165 2458 y Ft(Da)j(die)f
(Basisdarstellung)f(v)n(on)h Fr(v)j Ft(eindeutig)e(ist,)g(d.h.)g(die)f
(Ko)r(e\016zien)n(ten)g Fr(\025)2601 2470 y Fk(i)2655
2458 y Ft(durc)n(h)g Fr(v)165 2558 y Ft(eindeutig)d(b)r(estimm)n(t)g
(sind,)g(ist)g(mit)g(dieser)f(De\014nition)h(eine)g(Abbildung)g
Fr(f)31 b Ft(:)24 b Fr(V)42 b Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(W)165
2657 y Ft(gegeb)r(en.)f(Durc)n(h)g(eine)g(leic)n(h)n(te)g(Rec)n(hn)n
(ung)f(zeigt)h(man)g(jetzt)h Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)h
Ft(+)d Fr(v)2345 2627 y Fi(0)2369 2657 y Ft(\))23 b(=)g
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))e(+)g Fr(f)i Ft(\()p Fr(v)2873
2627 y Fi(0)2897 2657 y Ft(\))165 2757 y(und)30 b Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(\025v)s Ft(\))27 b(=)f Fr(\025f)9 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\).)30 b(Damit)g(ist)g Fr(f)38 b Ft(eine)29
b(lineare)g(Abbildung)h(und)g(erf)2487 2761 y(\177)2485
2757 y(ullt)f(o\013en)n(bar)165 2856 y Fr(\013)p Ft(\()p
Fr(b)286 2868 y Fk(i)314 2856 y Ft(\))24 b(=)e Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(b)575 2868 y Fk(i)602 2856 y Ft(\))24 b(=)e
Fr(f)9 b(\023)p Ft(\()p Fr(b)892 2868 y Fk(i)920 2856
y Ft(\))28 b(f)1007 2860 y(\177)1005 2856 y(ur)g(alle)f
Fr(i)p Ft(,)g(also)g Fr(\013)c Ft(=)g Fr(f)9 b(\023)p
Ft(.)290 2956 y(2.)44 b(Wir)h(b)r(ezeic)n(hnen)g(die)g(Elemen)n(te)f(v)
n(on)g Fr(B)49 b Ft(mit)c Fr(b)2044 2968 y Fk(i)2123
2956 y Fo(2)52 b Fr(B)t Ft(,)45 b Fr(i)51 b Fo(2)h Fr(I)g
Ft(und)45 b(die)165 3056 y(Bildelemen)n(te)e(mit)g Fr(b)878
3026 y Fi(0)878 3077 y Fk(i)954 3056 y Ft(=)k Fr(\023)p
Ft(\()p Fr(b)1163 3068 y Fk(i)1191 3056 y Ft(\))i Fo(2)f
Fr(\023)p Ft(\()p Fr(B)t Ft(\))h(=)f Fr(B)1764 3026 y
Fi(0)1787 3056 y Ft(.)43 b(Die)g(Menge)f Fr(B)2366 3026
y Fi(0)2433 3056 y Ft(ist)g(linear)g(un-)165 3155 y(abh)299
3159 y(\177)299 3155 y(angig.)d(Sei)h(n)748 3159 y(\177)748
3155 y(amlic)n(h)1025 3093 y Fj(P)1113 3180 y Fk(i)1154
3155 y Fr(\025)1202 3167 y Fk(i)1230 3155 y Fr(b)1266
3125 y Fi(0)1266 3177 y Fk(i)1337 3155 y Ft(=)j(0.)c(Wir)h
(de\014nieren)g(f)2148 3159 y(\177)2146 3155 y(ur)g Fr(i)i
Fo(2)i Fr(I)j Ft(eine)40 b(Abbil-)165 3255 y(dung)h Fr(\013)439
3267 y Fk(i)511 3255 y Ft(:)j Fr(B)k Fo(\000)-48 b(!)44
b Fr(K)i Ft(mit)41 b Fr(\013)1168 3267 y Fk(i)1195 3255
y Ft(\()p Fr(b)1263 3267 y Fk(j)1298 3255 y Ft(\))k(:=)f
Fr(\016)1544 3267 y Fk(ij)1602 3255 y Ft(,)c(das)g(Kronec)n(k)n(er)e
(Sym)n(b)r(ol.)i(Der)g(indu-)165 3355 y(zierte)45 b(Homomorphism)n(us)f
Fr(f)1147 3367 y Fk(i)1226 3355 y Ft(:)53 b Fr(V)71 b
Fo(\000)-49 b(!)53 b Fr(K)6 b Ft(,)44 b(der)h(existiert,)g(w)n(eil)g
(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(\023)p Ft(\))46 b(frei)f(ist,)165
3454 y(hat)i(also)e(die)h(Eigensc)n(haft)f Fr(f)1173
3466 y Fk(i)1200 3454 y Ft(\()p Fr(b)1268 3424 y Fi(0)1268
3476 y Fk(j)1303 3454 y Ft(\))54 b(=)g Fr(f)1549 3466
y Fk(i)1576 3454 y Fr(\023)p Ft(\()p Fr(b)1673 3466 y
Fk(j)1709 3454 y Ft(\))g(=)f Fr(\013)1966 3466 y Fk(i)1994
3454 y Ft(\()p Fr(b)2062 3466 y Fk(j)2097 3454 y Ft(\))h(:=)g
Fr(\016)2362 3466 y Fk(ij)2420 3454 y Ft(.)47 b(Damit)f(folgt)165
3554 y(0)39 b(=)g Fr(f)391 3566 y Fk(i)418 3554 y Ft(\(0\))g(=)g
Fr(f)708 3566 y Fk(i)735 3554 y Ft(\()767 3492 y Fj(P)855
3579 y Fk(j)904 3554 y Fr(\025)952 3566 y Fk(j)987 3554
y Fr(b)1023 3524 y Fi(0)1023 3575 y Fk(j)1058 3554 y
Ft(\))g(=)1233 3492 y Fj(P)1320 3579 y Fk(j)1369 3554
y Fr(\025)1417 3566 y Fk(j)1453 3554 y Fr(f)1494 3566
y Fk(i)1521 3554 y Ft(\()p Fr(b)1589 3524 y Fi(0)1589
3575 y Fk(j)1624 3554 y Ft(\))g(=)g Fr(\025)1847 3566
y Fk(i)1875 3554 y Ft(,)e(alle)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)g(sind)g(also)165
3653 y(Null,)c(die)f(Menge)f Fr(B)849 3623 y Fi(0)905
3653 y Ft(ist)h(linear)f(unabh)1486 3657 y(\177)1486
3653 y(angig.)g(Wir)h(erg)2020 3657 y(\177)2020 3653
y(anzen)e(n)n(un)i Fr(B)2493 3623 y Fi(0)2549 3653 y
Ft(durc)n(h)f(eine)165 3753 y(Menge)d Fr(C)j Fo(\032)24
b Fr(V)47 b Ft(zu)28 b(einer)g(Basis)f(v)n(on)h Fr(V)19
b Ft(.)28 b(Sei)h Fr(U)37 b Ft(der)28 b(v)n(on)f Fr(C)35
b Ft(erzeugte)27 b(Un)n(terv)n(ektor-)165 3853 y(raum.)32
b(Wir)h(de\014nieren)g(einen)f(Homomorphism)n(us)g Fr(p)f
Ft(:)g Fr(V)51 b Fo(\000)-49 b(!)32 b Fr(U)41 b Ft(durc)n(h)32
b Fr(p)p Ft(\()p Fr(b)2677 3823 y Fi(0)2677 3874 y Fk(i)2705
3853 y Ft(\))g(:=)f(0)165 3952 y(und)c Fr(p)p Ft(\()p
Fr(c)p Ft(\))d(=)e Fr(c)27 b Ft(f)673 3956 y(\177)671
3952 y(ur)g(alle)f Fr(c)d Fo(2)g Fr(C)6 b Ft(.)27 b(Der)g(Homomorphism)
n(us)e Fr(p)h Ft(ist)h(nac)n(h)f(T)-7 b(eil)27 b(1.)f(w)n(ohlde-)165
4052 y(\014niert)i(und)g(eindeutig)g(b)r(estimm)n(t.)g(Er)f(mac)n(h)n
(t)g(das)g(Diagramm)1306 4229 y Fr(B)352 b(V)p 1398 4203
299 4 v 1614 4201 a Fc(-)1535 4184 y Fk(\023)1722 4644
y Fr(U)p 1753 4558 4 299 v 1755 4558 a Fc(?)1687 4415
y Fk(p)1453 4421 y(\013)1398 4342 y Fc(@)1481 4425 y(@)1564
4508 y(@)1614 4558 y(@)-83 b(R)p eop end
%%Page: 169 30
TeXDict begin 169 29 bop 1820 100 a Fn(5.4)43 b(Lineare)26
b(Abbildungen)150 b(169)165 282 y Ft(mit)25 b Fr(\013)p
Ft(\()p Fr(b)435 294 y Fk(i)463 282 y Ft(\))f(=)e(0)i(f)699
286 y(\177)697 282 y(ur)h(alle)f Fr(i)f Fo(2)g Fr(I)32
b Ft(k)n(omm)n(utativ.)23 b(Dann)i(m)n(u\031)f(ab)r(er)g
Fr(p)g Ft(die)h(Nullabbildung)165 382 y(sein)30 b(\(wiederum)g(nac)n(h)
f(T)-7 b(eil)30 b(1.\),)g(und)h(es)e(gilt)h Fr(p)p Ft(\()p
Fr(c)p Ft(\))d(=)g(0)i(f)2038 386 y(\177)2036 382 y(ur)h(alle)g
Fr(c)c Fo(2)i Fr(C)6 b Ft(.)30 b(Da)g Fr(C)36 b Ft(T)-7
b(eil)165 482 y(einer)28 b(Basis)e(ist,)i(k)-5 b(ann)28
b(das)f(f)1100 486 y(\177)1098 482 y(ur)h(k)n(einen)f(V)-7
b(ektor)27 b(aus)g Fr(C)34 b Ft(gelten.)28 b(Also)f(ist)h
Fr(C)i Ft(=)22 b Fo(;)28 b Ft(und)165 581 y(damit)g Fr(B)472
551 y Fi(0)523 581 y Ft(eine)g(Basis)f(v)n(on)f Fr(V)19
b Ft(.)290 681 y(3.)30 b(Wir)g(de\014nieren)g Fr(V)46
b Ft(:=)27 b Fr(K)1223 651 y Fl(\()p Fk(B)s Fl(\))1361
681 y Ft(und)k Fr(\023)c Ft(:)h Fr(B)j Fo(\000)-48 b(!)27
b Fr(V)49 b Ft(durc)n(h)30 b Fr(\023)p Ft(\()p Fr(b)p
Ft(\))e(:=)e Fr(e)2501 693 y Fk(b)2565 681 y Ft(\(vgl.)j(5.2.4)165
780 y(4.\).)c(Sei)h Fr(W)37 b Ft(ein)25 b(V)-7 b(ektorraum)24
b(und)i Fr(\013)d Ft(:)g Fr(B)k Fo(\000)-48 b(!)23 b
Fr(W)37 b Ft(eine)25 b(Abbildung.)h(Dann)f(de\014nieren)165
880 y(wir)30 b Fr(f)36 b Ft(:)28 b Fr(V)46 b Fo(\000)-48
b(!)27 b Fr(W)43 b Ft(durc)n(h)29 b Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\030)1134 892 y Fk(b)1168 880 y Ft(\))28 b(:=)1343
818 y Fj(P)1431 905 y Fk(b)p Fi(2)p Fk(B)1575 880 y Fr(\030)1611
892 y Fk(b)1645 880 y Fr(\013)p Ft(\()p Fr(b)p Ft(\).)j(Man)f(rec)n
(hnet)g(sofort)f(nac)n(h,)h(da\031)165 980 y Fr(f)35
b Ft(ein)26 b(Homomorphism)n(us)e(ist.)i(W)-7 b(eiter)26
b(gilt)g Fr(f)9 b(\023)p Ft(\()p Fr(b)p Ft(\))23 b(=)g
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(e)2010 992 y Fk(b)2043 980 y Ft(\))23
b(=)2186 917 y Fj(P)2273 1005 y Fk(b)2302 988 y Fd(0)2343
980 y Fr(\016)2380 992 y Fk(bb)2438 976 y Fd(0)2465 980
y Fr(\013)p Ft(\()p Fr(b)2586 950 y Fi(0)2609 980 y Ft(\))h(=)e
Fr(\013)p Ft(\()p Fr(b)p Ft(\),)165 1079 y(also)32 b
Fr(f)9 b(\023)30 b Ft(=)h Fr(\013)p Ft(.)i(Gilt)g(auc)n(h)f
Fr(g)s(\023)e Ft(=)h Fr(\013)i Ft(f)1339 1083 y(\177)1337
1079 y(ur)f(einen)h(Homomorphism)n(us)e Fr(g)i Ft(:)e
Fr(V)50 b Fo(\000)-48 b(!)30 b Fr(W)12 b Ft(,)33 b(so)165
1179 y(ist)e Fr(g)s Ft(\()p Fr(\030)395 1191 y Fk(b)429
1179 y Ft(\))d(=)g Fr(g)s Ft(\()657 1117 y Fj(P)744 1204
y Fk(b)p Fi(2)p Fk(B)889 1179 y Fr(\030)925 1191 y Fk(b)959
1179 y Fr(e)998 1191 y Fk(b)1031 1179 y Ft(\))g(=)1184
1117 y Fj(P)1271 1204 y Fk(b)p Fi(2)p Fk(B)1416 1179
y Fr(\030)1452 1191 y Fk(b)1486 1179 y Fr(g)s Ft(\()p
Fr(e)1600 1191 y Fk(b)1633 1179 y Ft(\))g(=)1786 1117
y Fj(P)1873 1204 y Fk(b)p Fi(2)p Fk(B)2018 1179 y Fr(\030)2054
1191 y Fk(b)2088 1179 y Fr(g)s(\023)p Ft(\()p Fr(b)p
Ft(\))g(=)2381 1117 y Fj(P)2468 1204 y Fk(b)p Fi(2)p
Fk(B)2613 1179 y Fr(\030)2649 1191 y Fk(b)2683 1179 y
Fr(\013)p Ft(\()p Fr(b)p Ft(\))h(=)165 1279 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(\030)283 1291 y Fk(b)317 1279 y Ft(\),)28
b(also)e(ist)i Fr(f)k Ft(=)22 b Fr(g)s Ft(.)290 1453
y(Die)35 b(in)g(1.)f(b)r(ewiesene)h(Eigensc)n(haft)f(einer)g(Basis)g
(in)h(b)r(ezug)f(auf)h(lineare)f(Abbil-)165 1553 y(dungen)c(ist)576
1557 y(\177)576 1553 y(au\031erst)e(wic)n(h)n(tig.)h(Sie)g(b)r(esagt)g
(zun)1707 1557 y(\177)1707 1553 y(ac)n(hst,)h(da\031)e(eine)i(lineare)f
(Abbildung)165 1652 y(n)n(ur)c(auf)g(einer)g(Basis)f(v)n(orgesc)n
(hrieb)r(en)e(w)n(erden)j(m)n(u\031.)f(Darauf)h(k)-5
b(ann)25 b(sie)g(zudem)g(no)r(c)n(h)165 1752 y(b)r(eliebig)f(gew)607
1756 y(\177)607 1752 y(ahlt)g(w)n(erden.)f(Dann)h(gibt)g(es)f(eine)h
(eindeutig)g(b)r(estimm)n(te)h(lineare)e(F)-7 b(ort-)165
1851 y(setzung.)290 2051 y(Andrerseits)32 b(b)r(edeutet)i(der)f(Satz)g
(ab)r(er)g(auc)n(h,)f(da\031)h(zw)n(ei)f(lineare)h(Abbildungen)165
2150 y(sc)n(hon)e(gleic)n(h)f(sind,)i(w)n(enn)f(sie)g(n)n(ur)g(auf)g
(einer)g(Basis)1906 2154 y(\177)1904 2150 y(ub)r(ereinstimmen.)h(Wir)f
(hab)r(en)165 2250 y(damit)c(eine)g(leic)n(h)n(te)f(Metho)r(de,)h(um)g
(f)1368 2254 y(\177)1366 2250 y(ur)f(b)r(eliebige)h(lineare)f
(Abbildungen)h(feststellen)165 2350 y(zu)h(k)320 2354
y(\177)320 2350 y(onnen,)f(ob)h(sie)f(gleic)n(h)g(sind.)290
2549 y(T)-7 b(eil)30 b(1.)g(dieses)g(Satzes)g(zusammen)g(mit)h(der)f(T)
-7 b(atsac)n(he,)30 b(da\031)f(jeder)h(V)-7 b(ektorraum)165
2648 y(eine)24 b(Basis)f(b)r(esitzt)h(\(5.2.11)e(1.\),)i(sind)g(der)f
(eigen)n(tlic)n(he)g(Grund)h(daf)2311 2652 y(\177)2309
2648 y(ur,)f(da\031)g(die)h(Theo-)165 2748 y(rie)g(der)f(V)-7
b(ektorr)697 2752 y(\177)697 2748 y(aume)22 b(einfac)n(her)h(ist)h(als)
f(andere)g(algebraisc)n(he)f(Theorien.)h(Damit)h(ist)165
2848 y(jeder)k(V)-7 b(ektorraum)27 b(frei.)i(Im)f(allgemeinen)g(ist)g
(es)g(ab)r(er)g(nic)n(h)n(t)g(w)n(ahr,)f(da\031)h(jedes)g(Mo-)165
2947 y(dell)i(f)351 2951 y(\177)349 2947 y(ur)g(eine)f(algebraisc)n(he)
e(Struktur)j(\(also)e(jede)i(Grupp)r(e,)g(jede)g(Halbgrupp)r(e)f(o)r
(der)165 3047 y(jedes)f(Monoid\))f(frei)h(ist.)290 3246
y(Im)d(Zusammenhang)f(mit)i(einer)f(linearen)g(Abbildung)g(k)n(omm)n(t)
g(einem)h(b)r(estimm-)165 3346 y(ten)38 b(Un)n(terv)n(ektorraum)d(eine)
j(b)r(esondere)f(Bedeutung)g(zu.)h(Er)e(wird)i(im)g(folgenden)165
3445 y(Lemma)28 b(eingef)674 3449 y(\177)672 3445 y(uhrt.)165
3611 y Fq(Lemma)k(5.4.7)40 b Fp(Sei)e Fr(f)32 b Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(W)41 b Fp(eine)31
b(line)l(ar)l(e)f(A)n(bbildung.)h(Dann)e(ist)h(die)g(Menge)1059
3794 y Ft(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))24 b(:=)e Fo(f)p Fr(v)k
Fo(2)e Fr(V)18 b Fo(j)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24
b(=)f(0)p Fo(g)165 3977 y Fp(ein)30 b(Untervektorr)l(aum)f(von)h(V,)g
(der)h(so)l(genannte)e Ft(Kern)g Fp(von)36 b Fr(f)9 b
Fp(.)165 4151 y(Beweis.)44 b Ft(Da)34 b(o\013ensic)n(h)n(tlic)n(h)h(0)f
Fo(2)h Ft(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))35 b(w)n(egen)f Fr(f)9
b Ft(\(0\))34 b(=)h(0,)f(gen)2310 4155 y(\177)2308 4151
y(ugt)g(es)h(zu)g(zeigen,)165 4251 y(da\031)c(mit)g Fr(v)s(;)14
b(v)604 4221 y Fi(0)657 4251 y Fo(2)29 b Ft(Ke\()p Fr(f)9
b Ft(\))31 b(und)h Fr(\025)d Fo(2)h Fr(K)36 b Ft(auc)n(h)31
b Fr(v)24 b Ft(+)c Fr(v)1819 4221 y Fi(0)1843 4251 y
Fr(;)14 b(\025v)32 b Fo(2)e Ft(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))32
b(gilt.)f(Aus)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))30 b(=)165
4350 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)290 4320 y Fi(0)314 4350
y Ft(\))23 b(=)g(0)k(folgt)g(ab)r(er)g Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)22 b Ft(+)c Fr(v)1174 4320 y Fi(0)1197 4350 y Ft(\))24
b(=)e(0)28 b(und)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\025v)s Ft(\))23
b(=)g Fr(\025f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b(=)f(0.)165
4525 y Fq(Lemma)32 b(5.4.8)40 b Fp(Sei)46 b Fr(f)f Ft(:)37
b Fr(V)56 b Fo(\000)-47 b(!)37 b Fr(W)49 b Fp(eine)38
b(line)l(ar)l(e)g(A)n(bbildung.)g Fr(f)46 b Fp(ist)38
b(genau)f(dann)165 4624 y(injektiv,)32 b(wenn)k Ft(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))23 b(=)g(0)29 b Fp(gilt.)p eop end
%%Page: 170 31
TeXDict begin 170 30 bop 165 100 a Fn(170)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Fp(Beweis.)44 b Ft(Ist)c Fr(f)49 b Ft(injektiv,)41
b(so)f(ist)h(0)j Fo(2)g Fr(V)60 b Ft(o\013en)n(bar)39
b(der)h(einzige)g(V)-7 b(ektor,)40 b(der)g(auf)165 382
y(0)34 b Fo(2)g Fr(W)46 b Ft(abgebildet)33 b(wird,)h(also)f(ist)h(Ke\()
p Fr(f)9 b Ft(\))33 b(=)h(0.)f(Ist)h(umgek)n(ehrt)g(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))34 b(=)f(0)h(und)165 482 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))25 b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)561 451 y
Fi(0)585 482 y Ft(\),)29 b(so)e(folgt)i(0)24 b(=)g Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))19 b Fo(\000)g Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)1504 451 y Fi(0)1527 482 y Ft(\))25 b(=)f Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)22 b Fo(\000)d Fr(v)1944 451 y Fi(0)1967
482 y Ft(\),)29 b(also)f Fr(v)22 b Fo(\000)c Fr(v)2407
451 y Fi(0)2455 482 y Fo(2)25 b Ft(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))24
b(=)h(0.)165 581 y(Damit)j(ist)g(ab)r(er)f Fr(v)g Ft(=)22
b Fr(v)922 551 y Fi(0)973 581 y Ft(und)28 b Fr(f)37 b
Ft(injektiv.)290 753 y(Der)24 b(Kern)f(der)h(linearen)g(Abbildung)g
Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(W)36
b Ft(ist)24 b(ein)h(Sp)r(ezialfall)f(des)g(sc)n(hon)165
853 y(b)r(ek)-5 b(ann)n(ten)27 b(Begri\013es)f(des)g(Urbilds)g(eines)h
(V)-7 b(ektors)25 b Fr(w)h Fo(2)d Fr(W)39 b Ft(o)r(der)26
b(sogar)e(des)i(Urbilds)165 952 y(einer)i(Menge)f Fr(M)k
Fo(\032)23 b Fr(W)40 b Ft(v)n(on)26 b(V)-7 b(ektoren.)1013
1133 y Fr(f)1063 1099 y Fi(\000)p Fl(1)1151 1133 y Ft(\()p
Fr(w)r Ft(\))25 b(:=)d Fo(f)p Fr(v)k Fo(2)e Fr(V)18 b
Fo(j)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b(=)f Fr(w)r
Fo(g)p Fr(;)989 1313 y(f)1039 1279 y Fi(\000)p Fl(1)1128
1313 y Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\))23 b(:=)g Fo(f)p Fr(v)j
Fo(2)d Fr(V)c Fo(j)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24
b Fo(2)f Fr(M)9 b Fo(g)p Fr(:)165 1478 y Fq(Lemma)32
b(5.4.9)40 b Fp(Ist)g Fr(f)c Ft(:)28 b Fr(V)47 b Fo(\000)-46
b(!)28 b Fr(W)45 b Fp(eine)32 b(line)l(ar)l(e)i(A)n(bbildung)f(und)f
(ist)40 b Fr(v)31 b Fo(2)e Fr(f)2689 1448 y Fi(\000)p
Fl(1)2777 1478 y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))p Fp(,)165 1578
y(insb)l(esonder)l(e)i(also)36 b Fr(f)871 1547 y Fi(\000)p
Fl(1)960 1578 y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))31 b Fp(nicht)f(le)l(er,)g(so)g
(gilt)762 1758 y Fr(f)812 1724 y Fi(\000)p Fl(1)901 1758
y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))24 b(=)f Fr(v)e Ft(+)d(Ke\()p
Fr(f)9 b Ft(\))23 b(=)g Fo(f)p Fr(v)e Ft(+)d Fr(v)1838
1724 y Fi(0)1861 1758 y Fo(j)p Fr(v)1927 1724 y Fi(0)1974
1758 y Fo(2)23 b Ft(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))p Fo(g)p Fr(:)165
1938 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Sei)33 b Fr(v)664 1908 y Fi(0)720
1938 y Fo(2)g Ft(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\).)34 b(Dann)f(gilt)h
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)25 b Ft(+)d Fr(v)1741 1908 y Fi(0)1764
1938 y Ft(\))33 b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23
b(+)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2317 1908 y Fi(0)2341 1938
y Ft(\))33 b(=)f Fr(w)25 b Ft(+)c(0)32 b(=)g Fr(w)r Ft(,)165
2038 y(also)25 b(ist)h Fr(v)19 b Ft(+)14 b Fr(v)625 2008
y Fi(0)672 2038 y Fo(2)23 b Fr(f)800 2008 y Fi(\000)p
Fl(1)889 2038 y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\).)k(Ist)f(n)n(un)g(umgek)n(ehrt)f
Fr(v)1799 2008 y Fi(00)1865 2038 y Fo(2)f Fr(f)1994 2008
y Fi(\000)p Fl(1)2082 2038 y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\),)k(so)d(gilt)h
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2629 2008 y Fi(00)2686 2038 y Fo(\000)15
b Fr(v)s Ft(\))24 b(=)165 2138 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)290
2108 y Fi(00)333 2138 y Ft(\))20 b Fo(\000)e Fr(f)9 b
Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))26 b(=)f Fr(w)d Fo(\000)d Fr(w)28
b Ft(=)d(0,)k(also)e(ist)j Fr(v)1505 2108 y Fi(0)1553
2138 y Ft(:=)25 b Fr(v)1709 2108 y Fi(00)1771 2138 y
Fo(\000)19 b Fr(v)29 b Fo(2)d Ft(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\).)29
b(Damit)h(erh)2647 2142 y(\177)2647 2138 y(alt)e(man)165
2237 y(ab)r(er)f Fr(v)395 2207 y Fi(00)461 2237 y Ft(=)c
Fr(v)e Ft(+)d(\()p Fr(v)768 2207 y Fi(00)830 2237 y Fo(\000)g
Fr(v)s Ft(\))23 b(=)g Fr(v)f Ft(+)c Fr(v)1287 2207 y
Fi(0)1333 2237 y Fo(2)24 b Fr(v)d Ft(+)d(Ke\()p Fr(f)9
b Ft(\).)28 b(Das)f(w)n(ar)f(zu)i(zeigen.)290 2409 y(Wir)22
b(hab)r(en)h(also)f(insb)r(esondere)g(gesehen,)f(da\031)h(Ke\()p
Fr(f)9 b Ft(\))23 b(=)g Fr(f)2191 2379 y Fi(\000)p Fl(1)2279
2409 y Ft(\(0\))g(gilt.)g(W)-7 b(eiterhin)165 2509 y(sieh)n(t)34
b(man,)f(da\031)f(der)h(V)-7 b(ektor)33 b(0)g(n)n(ur)g(in)g
Fr(f)1551 2479 y Fi(\000)p Fl(1)1640 2509 y Ft(\(0\))g(liegt)g(und)h
(in)g(k)n(einer)e(der)h(anderen)165 2609 y(Mengen)28
b Fr(f)527 2578 y Fi(\000)p Fl(1)615 2609 y Ft(\()p Fr(w)r
Ft(\),)h(mit)g Fr(w)c Fo(6)p Ft(=)e(0,)k(denn)h(es)f(gilt)h(immer)g
Fr(f)9 b Ft(\(0\))22 b(=)h(0.)300 2789 y(\177)290 2806
y(Ub)r(er)32 b(die)g(Berec)n(hn)n(ung)e(des)h(Kerns)g(einer)g(linearen)
g(Abbildung)i(w)n(erden)e(wir)g(in)165 2906 y(Kapitel)20
b(6)g(mehr)g(erfahren.)f(Hier)h(k)1280 2910 y(\177)1280
2906 y(onnen)g(wir)f(jedo)r(c)n(h)h(sc)n(hon)g(eine)g(fundierte)g
(Aussage)168 3009 y(\177)165 3005 y(ub)r(er)j(die)h(Gr)580
3009 y(\177)580 3005 y(o\031e)e(des)g(Kerns)g(o)r(der)h(genauer)1587
3009 y(\177)1585 3005 y(ub)r(er)g(seine)g(Dimension)g(mac)n(hen.)g(Es)f
(gilt)165 3105 y(n)211 3109 y(\177)211 3105 y(amlic)n(h)165
3270 y Fq(Satz)33 b(5.4.10)40 b Fp(\(Dimensionssatz)27
b(f)1309 3274 y(\177)1309 3270 y(ur)g(Homomorphismen\))h(Seien)34
b Fr(V)46 b Fp(ein)33 b Fr(n)p Fp(-dimen-)165 3369 y(sionaler)e(V)-6
b(ektorr)l(aum)30 b(und)37 b Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42
b Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(W)42 b Fp(eine)30 b(line)l(ar)l(e)g(A)n
(bbildung.)h(Dann)e(gilt)886 3550 y Ft(dim\(Ke\()p Fr(f)9
b Ft(\)\))19 b(+)f(dim\(Bi)q(\()p Fr(f)9 b Ft(\)\))23
b(=)g(dim\()p Fr(V)c Ft(\))p Fr(:)165 3730 y Fp(Beweis.)44
b Ft(Wir)36 b(w)719 3734 y(\177)719 3730 y(ahlen)f(f)975
3734 y(\177)973 3730 y(ur)h(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))36
b(zun)1469 3734 y(\177)1469 3730 y(ac)n(hst)f(eine)h(Basis)f
Fr(b)2132 3742 y Fl(1)2169 3730 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)2389
3742 y Fk(k)2430 3730 y Ft(.)36 b(Diese)f(ist)h(ei-)165
3830 y(ne)28 b(linear)e(unabh)732 3834 y(\177)732 3830
y(angige)g(Menge)h(in)h Fr(V)46 b Ft(und)28 b(k)-5 b(ann)27
b(daher)g(zu)g(einer)g(Basis)f Fr(b)2608 3842 y Fl(1)2645
3830 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2866 3842 y Fk(k)2906
3830 y Fr(;)165 3929 y(b)201 3941 y Fk(k)q Fl(+1)326
3929 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(b)546 3941 y Fk(n)646 3929
y Ft(fortgesetzt)53 b(w)n(erden.)h(Wir)h(b)r(ehaupten)g(n)n(un,)f
(da\031)g(die)h(V)-7 b(ektoren)165 4029 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(b)283 4041 y Fk(k)q Fl(+1)408 4029 y Ft(\))p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(f)9 b Ft(\()p Fr(b)743 4041 y Fk(n)787
4029 y Ft(\))32 b(alle)e(paarw)n(eise)f(v)n(ersc)n(hieden)h(sind)h(und)
g(eine)g(Basis)f(v)n(on)g(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))165 4129
y(bilden.)38 b(Ist)e(n)624 4133 y(\177)624 4129 y(amlic)n(h)h
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)1017 4141 y Fk(i)1044 4129 y Ft(\))38
b(=)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)1335 4141 y Fk(j)1369 4129
y Ft(\))37 b(mit)h Fr(k)j Fo(\024)c Fr(i;)14 b(j)5 b
Ft(,)37 b(so)f(ist)h Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)2305 4141
y Fk(i)2356 4129 y Fo(\000)24 b Fr(b)2481 4141 y Fk(j)2516
4129 y Ft(\))38 b(=)g(0,)e(also)165 4243 y Fr(b)201 4255
y Fk(i)247 4243 y Fo(\000)18 b Fr(b)366 4255 y Fk(j)424
4243 y Fo(2)24 b Ft(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\).)28 b(Damit)g(gibt)g(es)g
(eine)f(Lineark)n(om)n(bination)f Fr(b)2211 4255 y Fk(i)2257
4243 y Fo(\000)18 b Fr(b)2376 4255 y Fk(j)2434 4243 y
Ft(=)2522 4180 y Fj(P)2609 4201 y Fk(k)2609 4268 y(r)r
Fl(=1)2744 4243 y Fr(\013)2797 4255 y Fk(r)2834 4243
y Fr(b)2870 4255 y Fk(r)2906 4243 y Ft(.)165 4342 y(W)-7
b(egen)37 b(der)g(linearen)g(Unabh)1161 4346 y(\177)1161
4342 y(angigk)n(eit)f(der)g Fr(b)1714 4354 y Fl(1)1751
4342 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1972 4354 y Fk(n)2054
4342 y Ft(sind)37 b(damit)h(die)f Fr(\013)2685 4354 y
Fk(r)2761 4342 y Ft(=)i(0,)165 4442 y(und)26 b(es)f(gilt)h
Fr(b)606 4454 y Fk(i)656 4442 y Ft(=)d Fr(b)780 4454
y Fk(j)814 4442 y Ft(.)j(Ist)f(w)n(eiter)1228 4380 y
Fj(P)1316 4400 y Fk(n)1316 4467 y(r)r Fl(=)p Fk(k)q Fl(+1)1538
4442 y Fr(\014)1585 4454 y Fk(r)1622 4442 y Fr(f)9 b
Ft(\()p Fr(b)1740 4454 y Fk(r)1776 4442 y Ft(\))24 b(=)e(0,)j(also)g
Fr(f)9 b Ft(\()2256 4380 y Fj(P)2343 4400 y Fk(n)2343
4467 y(r)r Fl(=)p Fk(k)q Fl(+1)2565 4442 y Fr(\014)2612
4454 y Fk(r)2649 4442 y Fr(b)2685 4454 y Fk(r)2722 4442
y Ft(\))23 b(=)g(0,)165 4564 y(so)39 b(gilt)437 4502
y Fj(P)525 4522 y Fk(n)525 4589 y(r)r Fl(=)p Fk(k)q Fl(+1)747
4564 y Fr(\014)794 4576 y Fk(r)831 4564 y Fr(b)867 4576
y Fk(r)945 4564 y Fo(2)j Ft(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))39
b(und)1474 4502 y Fj(P)1562 4522 y Fk(n)1562 4589 y(r)r
Fl(=)p Fk(k)q Fl(+1)1784 4564 y Fr(\014)1831 4576 y Fk(r)1868
4564 y Fr(b)1904 4576 y Fk(r)1982 4564 y Ft(=)2088 4502
y Fj(P)2176 4522 y Fk(k)2176 4589 y(r)r Fl(=1)2311 4564
y Fr(\013)2364 4576 y Fk(r)2400 4564 y Fr(b)2436 4576
y Fk(r)2473 4564 y Ft(.)g(W)-7 b(egen)39 b(der)165 4664
y(linearen)33 b(Unabh)727 4668 y(\177)727 4664 y(angigk)n(eit)g(der)g
Fr(b)1274 4676 y Fl(1)1311 4664 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1531
4676 y Fk(n)1610 4664 y Ft(ergibt)33 b(sic)n(h)g(wieder)h
Fr(\014)2343 4676 y Fk(r)2412 4664 y Ft(=)f(0,)g(also)g(sind)p
eop end
%%Page: 171 32
TeXDict begin 171 31 bop 1820 100 a Fn(5.4)43 b(Lineare)26
b(Abbildungen)150 b(171)165 282 y Ft(die)35 b Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(b)424 294 y Fk(k)q Fl(+1)548 282 y Ft(\))p
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(f)9 b Ft(\()p Fr(b)883 294
y Fk(n)928 282 y Ft(\))35 b(linear)e(unabh)1458 286 y(\177)1458
282 y(angig.)h(Um)g(zu)h(zeigen,)f(da\031)g(sie)g(eine)g(Basis)165
382 y(f)192 386 y(\177)190 382 y(ur)c(Bi)o(\()p Fr(f)9
b Ft(\))30 b(bilden,)g(sei)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s
Ft(\))29 b(mit)h Fr(v)f Ft(=)1419 320 y Fj(P)1507 340
y Fk(n)1507 407 y(r)r Fl(=1)1642 382 y Fr(\014)1689 394
y Fk(r)1725 382 y Fr(b)1761 394 y Fk(r)1827 382 y Ft(ein)g(b)r
(eliebiger)g(V)-7 b(ektor)29 b(in)g(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\).)165
482 y(Dann)28 b(gilt)643 726 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s
Ft(\))23 b(=)g Fr(f)9 b Ft(\()1032 622 y Fk(n)993 647
y Fj(X)995 823 y Fk(r)r Fl(=1)1126 726 y Fr(\014)1173
738 y Fk(r)1210 726 y Fr(b)1246 738 y Fk(r)1283 726 y
Ft(\))23 b(=)1465 622 y Fk(n)1426 647 y Fj(X)1427 823
y Fk(r)r Fl(=1)1559 726 y Fr(\014)1606 738 y Fk(r)1643
726 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)1761 738 y Fk(r)1797 726
y Ft(\))24 b(=)2022 622 y Fk(n)1982 647 y Fj(X)1940 826
y Fk(r)r Fl(=)p Fk(k)q Fl(+1)2158 726 y Fr(\014)2205
738 y Fk(r)2242 726 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)2360 738
y Fk(r)2396 726 y Ft(\))p Fr(;)165 995 y Ft(w)n(eil)33
b(die)g(V)-7 b(ektoren)32 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)954
1007 y Fl(1)991 995 y Ft(\))32 b(=)f Fr(:)14 b(:)g(:)32
b Ft(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)1494 1007 y Fk(k)1534
995 y Ft(\))32 b(=)f(0)i(sind.)g(Damit)g(ist)g(gezeigt,)f(da\031)g(die)
165 1094 y(V)-7 b(ektoren)33 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)642
1106 y Fk(k)q Fl(+1)767 1094 y Ft(\))p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(f)9
b Ft(\()p Fr(b)1102 1106 y Fk(n)1146 1094 y Ft(\))34
b(eine)g(Basis)f(des)g(Bildes)g(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))34
b(ist.)g(Die)g(Dimension)165 1194 y(des)21 b(Bildes)g(ist)g(also)f
(dim\(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\)\))24 b(=)e Fr(n)5 b Fo(\000)g
Fr(k)26 b Ft(=)c(dim)q(\()p Fr(V)d Ft(\))5 b Fo(\000)g
Ft(dim\(Ke\()p Fr(f)k Ft(\)\),)22 b(wie)f(die)g(F)-7
b(ormel)165 1294 y(im)28 b(Satz)g(b)r(ehauptet.)165 1468
y Fq(De\014nition)j(5.4.11)40 b Ft(Die)f(Dimension)h(dim\(Bi\()p
Fr(f)9 b Ft(\)\))40 b(einer)f(linearen)g(Abbildung)h
Fr(f)165 1568 y Ft(hei\031t)28 b(auc)n(h)f Fp(R)l(ang)35
b Ft(der)27 b(linearen)g(Abbildung)h(und)g(wird)f(mit)h(rg)q(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))27 b(b)r(ezeic)n(hnet.)165 1734 y Fq(F)-8
b(olgerung)31 b(5.4.12)40 b Fp(Sei)34 b Fr(f)k Ft(:)31
b Fr(V)49 b Fo(\000)-46 b(!)30 b Fr(W)45 b Fp(eine)34
b(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung)f(und)f(seien)h Fr(V)5
b(;)14 b(W)165 1833 y Fp(end)t(lichdimensional.)32 b
Fr(f)j Fp(ist)28 b(genau)f(dann)g(bijektiv)i(o)l(der)f(ein)f
(Isomorphismus,)i(wenn)165 1933 y Ft(Ke\()p Fr(f)9 b
Ft(\))23 b(=)g(0)k Fp(und)g Ft(dim\()p Fr(V)19 b Ft(\))24
b(=)e(dim)q(\()p Fr(W)12 b Ft(\))27 b Fp(gelten.)h(In)f(diesem)i(F)-6
b(al)t(le)28 b(stimmen)f(der)i(R)l(ang)165 2033 y(von)h
Fr(f)39 b Fp(und)29 b(die)i(Dimension)f(von)g Fr(V)1374
2037 y Fp(\177)1374 2033 y(ub)l(er)l(ein.)165 2207 y(Beweis.)44
b Ft(Sei)39 b(zun)756 2211 y(\177)756 2207 y(ac)n(hst)g
Fr(f)48 b Ft(bijektiv.)40 b(Dann)g(ist)f(nac)n(h)g(Lemma)g(5.4.8)f
(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))42 b(=)h(0.)165 2307 y(W)-7 b(egen)26
b(5.4.10)d(gilt)j(dann)f(dim)q(\()p Fr(V)19 b Ft(\))k(=)g(dim\(Bi\()p
Fr(f)9 b Ft(\)\).)26 b(Da)g Fr(f)34 b Ft(surjektiv)25
b(ist,)h(ist)f(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))24 b(=)165 2406
y Fr(W)12 b Ft(,)28 b(also)f(gilt)g(auc)n(h)g(dim)q(\()p
Fr(V)19 b Ft(\))k(=)g(dim\()p Fr(W)12 b Ft(\).)290 2506
y(Um)33 b(die)g(Umk)n(ehrung)f(zu)g(zeigen,)g(b)r(eac)n(h)n(ten)g(wir)h
(zun)2071 2510 y(\177)2071 2506 y(ac)n(hst,)f(da\031)f(nac)n(h)h(5.4.8)
g Fr(f)165 2605 y Ft(sc)n(hon)d(injektiv)h(ist.)g(Dann)g(folgt)f(ab)r
(er)g(dim)q(\(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))26 b(=)g(dim)q(\()p
Fr(V)19 b Ft(\))27 b(=)f(dim\()p Fr(W)12 b Ft(\).)30
b(Es)f(gibt)165 2705 y(also)22 b(in)g(Bi\()p Fr(f)9 b
Ft(\))22 b(eine)h(Basis)e(v)n(on)g Fr(n)i Ft(=)g(dim\()p
Fr(W)12 b Ft(\))23 b(V)-7 b(ektoren.)22 b(Nac)n(h)g(5.4.10)e(ist)j
(diese)f(auc)n(h)165 2805 y(eine)28 b(Basis)f(f)580 2809
y(\177)578 2805 y(ur)g Fr(W)12 b Ft(,)28 b(also)e(Bi\()p
Fr(f)9 b Ft(\))24 b(=)e Fr(W)12 b Ft(.)28 b(Damit)g(ist)g
Fr(f)36 b Ft(auc)n(h)27 b(surjektiv,)g(also)g(bijektiv.)290
2904 y(Die)19 b(Aussage)748 2908 y(\177)745 2904 y(ub)r(er)h(den)f
(Rang)f(folgt)h(unmittelbar)h(aus)e(der)h(Gleic)n(h)n(ung)g(dim\()p
Fr(V)g Ft(\))24 b(=)165 3004 y(dim)q(\()p Fr(W)12 b Ft(\).)165
3178 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.4.13)40 b Fp(Sei)34
b Fr(f)40 b Ft(:)31 b Fr(V)50 b Fo(\000)-46 b(!)31 b
Fr(W)46 b Fp(eine)34 b(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung)g(und)e(sei)i
Fr(V)53 b Fp(end-)165 3278 y(lichdimensional.)34 b(Dann)29
b(gilt)1048 3461 y Ft(dim)15 b(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))19
b(+)f(rg\()p Fr(f)9 b Ft(\))23 b(=)g(dim)14 b Fr(V)5
b(:)165 3643 y Fp(Beweis.)44 b Ft(folgt)27 b(unmittelbar)h(aus)f(dem)h
(Dimensionssatz)f(5.4.10.)165 3818 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(5.4.14)40 b Fp(Sei)31 b Fr(f)i Ft(:)25 b Fr(V)43 b
Fo(\000)-46 b(!)24 b Fr(W)43 b Fp(eine)31 b(line)l(ar)l(e)g(A)n
(bbildung)g(und)g(sei)g Ft(dim)14 b Fr(V)44 b Ft(=)165
3917 y(dim)15 b Fr(W)41 b Fp(end)t(lich.)32 b(Dann)d(sind)1157
3921 y(\177)1158 3917 y(aquivalent)p eop end
%%Page: 172 33
TeXDict begin 172 32 bop 165 100 a Fn(172)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)204 282
y Fp(1.)42 b Fr(f)c Fp(ist)30 b(ein)g(Isomorphismus.)204
382 y(2.)42 b Fr(f)c Fp(ist)30 b(ein)g(Epimorphismus.)204
482 y(3.)42 b Fr(f)c Fp(ist)30 b(ein)g(Monomorphismus.)165
651 y(Beweis.)44 b Ft(Die)649 633 y(\177)638 651 y(Aquiv)-5
b(alenz)34 b(v)n(on)e(1.)h(und)h(3.)e(folgt)h(unmittelbar)h(aus)f
(5.4.12.)e(Au\031er-)165 750 y(dem)36 b(folgt)f(2.)g(aus)f(1.)h(Ist)g
(2.)g(gegeb)r(en,)g(so)f(folgt)h(nac)n(h)g(dem)g(Dimensionssatz,)g
(da\031)165 850 y(dim)15 b(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))31
b(=)g(0,)h(also)f(auc)n(h)h(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))32
b(=)e(0,)i(gilt)h(und)g(daher)e(mit)i(5.4.8)e(die)i(Behaup-)165
949 y(tung)28 b(3.)290 1118 y(Wir)33 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(jetzt)i
(no)r(c)n(h)f(den)g(Zusammenhang)f(zwisc)n(hen)h(Homomorphis-)165
1218 y(men)28 b(und)g(direkten)g(Summen.)165 1381 y Fq(Satz)33
b(5.4.15)78 b Fp(1.)42 b(Sei)36 b Fr(V)42 b Ft(=)1132
1319 y Fj(L)1224 1406 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1345 1381
y Fr(U)1402 1393 y Fk(i)1455 1381 y Fp(eine)27 b(\(inner)l(e\))53
b(dir)l(ekte)28 b(Summe)d(von)i(Unter-)313 1481 y(vektorr)566
1485 y(\177)567 1481 y(aumen.)33 b(Seien)40 b Fr(W)k
Fp(ein)33 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)32 b(und)41 b Ft(\()p
Fr(f)2068 1493 y Fk(i)2124 1481 y Ft(:)29 b Fr(U)2233
1493 y Fk(i)2289 1481 y Fo(\000)-47 b(!)29 b Fr(W)12
b Fo(j)p Fr(i)28 b Fo(2)h Fr(I)7 b Ft(\))33 b Fp(eine)313
1580 y(F)-6 b(amilie)26 b(von)f(Homomorphismen.)j(Dann)c(gibt)h(es)g
(genau)g(einen)g(Homomorphis-)313 1680 y(mus)36 b Fr(f)31
b Ft(:)24 b Fr(V)42 b Fo(\000)-47 b(!)23 b Fr(W)12 b
Fp(,)31 b(so)f(da\031)g(die)h(Diagr)l(amme)1391 1854
y Fr(U)1448 1866 y Fk(i)1773 1854 y Fr(V)p 1499 1833
249 4 v 1665 1831 a Fc(-)1598 1807 y Fk(\023)1623 1815
y Ff(i)1761 2233 y Fr(W)p 1804 2147 4 258 v 1806 2147
a Fc(?)1734 2033 y Fk(f)-257 b(f)1541 2041 y Ff(i)1491
1973 y Fc(@)1574 2056 y(@)1657 2139 y(@)1665 2147 y(@)-83
b(R)313 2382 y Fp(f)338 2386 y(\177)338 2382 y(ur)30
b(al)t(le)37 b Fr(i)23 b Fo(2)g Fr(I)37 b Fp(kommutier)l(en.)204
2482 y(2.)42 b(Seien)h Fr(U)608 2494 y Fk(i)635 2482
y Fp(,)38 b Fr(i)d Fo(2)h Fr(I)7 b Fp(,)37 b(V)-6 b(ektorr)1229
2486 y(\177)1230 2482 y(aume.)37 b(Dann)f(gibt)h(es)g(einen)g(V)-6
b(ektorr)l(aum)42 b Fr(V)55 b Fp(und)313 2582 y(eine)40
b(F)-6 b(amilie)41 b(von)g(Homomorphismen)47 b Ft(\()p
Fr(j)1745 2594 y Fk(i)1815 2582 y Ft(:)41 b Fr(U)1936
2594 y Fk(i)2005 2582 y Fo(\000)-46 b(!)41 b Fr(V)19
b Ft(\))p Fp(,)40 b(so)g(da\031)h(f)2623 2586 y(\177)2623
2582 y(ur)e(je)l(den)313 2681 y(V)-6 b(ektorr)l(aum)38
b Fr(W)44 b Fp(und)31 b(je)l(de)i(F)-6 b(amilie)34 b(von)e
(Homomorphismen)40 b Ft(\()p Fr(f)2461 2693 y Fk(i)2516
2681 y Ft(:)27 b Fr(U)2623 2693 y Fk(i)2678 2681 y Fo(\000)-46
b(!)27 b Fr(W)12 b Ft(\))313 2781 y Fp(genau)21 b(ein)h(Homomorphismus)
30 b Fr(f)i Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-46 b(!)23 b
Fr(W)33 b Fp(existiert,)22 b(so)g(da\031)g(die)g(Diagr)l(amme)1391
2970 y Fr(U)1448 2982 y Fk(i)1773 2970 y Fr(V)p 1499
2949 249 4 v 1665 2947 a Fc(-)1597 2921 y Fk(j)1624 2929
y Ff(i)1761 3350 y Fr(W)p 1804 3263 4 258 v 1806 3263
a Fc(?)1734 3149 y Fk(f)-257 b(f)1541 3157 y Ff(i)1491
3089 y Fc(@)1574 3172 y(@)1657 3255 y(@)1665 3263 y(@)-83
b(R)313 3499 y Fp(f)338 3503 y(\177)338 3499 y(ur)30
b(al)t(le)37 b Fr(i)23 b Fo(2)g Fr(I)37 b Fp(kommutier)l(en.)313
3598 y(In)28 b(diesem)i(F)-6 b(al)t(le)30 b(sind)g(die)f
(Homomorphismen)37 b Fr(j)1937 3610 y Fk(i)1988 3598
y Ft(:)23 b Fr(U)2091 3610 y Fk(i)2142 3598 y Fo(\000)-46
b(!)23 b Fr(V)47 b Fp(injektiv.)31 b(Weiter)313 3698
y(ist)44 b Fr(V)54 b Fp(\(inner)l(e\))36 b(dir)l(ekte)h(Summe)e(der)h
(Bilder)47 b Fr(j)1905 3710 y Fk(i)1932 3698 y Ft(\()p
Fr(U)2021 3710 y Fk(i)2049 3698 y Ft(\))p Fp(.)37 b Fr(V)54
b Fp(zusammen)36 b(mit)g(der)313 3797 y(F)-6 b(amilie)47
b Ft(\()p Fr(j)693 3809 y Fk(i)761 3797 y Ft(:)40 b Fr(U)881
3809 y Fk(i)949 3797 y Fo(\000)-46 b(!)40 b Fr(V)19 b
Fo(j)p Fr(i)39 b Fo(2)i Fr(I)7 b Ft(\))39 b Fp(hei\031t)h(auch)f(\()
1916 3801 y(\177)1917 3797 y(au\031er)l(e\))g(dir)l(ekte)h(Summe)f(der)
313 3897 y(V)-6 b(ektorr)584 3901 y(\177)585 3897 y(aume)36
b Fr(U)871 3909 y Fk(i)898 3897 y Fp(.)165 4066 y(Beweis.)44
b Ft(1.)25 b(Wie)g(sc)n(hon)g(b)r(ei)h(fr)1163 4070 y(\177)1161
4066 y(uheren)f(Bew)n(eisen)f(zeigen)h(wir)g(zun)2302
4070 y(\177)2302 4066 y(ac)n(hst)g(die)h(Eindeu-)165
4166 y(tigk)n(eit)35 b(und)g(dann)f(die)h(Existenz)f(des)h
(Homomorphism)n(us)e Fr(f)9 b Ft(.)34 b(Seien)h Fr(f)43
b Ft(und)35 b Fr(g)j Ft(mit)165 4265 y Fr(f)9 b(j)249
4277 y Fk(i)310 4265 y Ft(=)34 b Fr(g)s(j)486 4277 y
Fk(i)547 4265 y Ft(=)f Fr(f)686 4277 y Fk(i)747 4265
y Ft(\(f)806 4269 y(\177)804 4265 y(ur)i(alle)e Fr(i)p
Ft(\))h(gegeb)r(en.)g(F)1573 4269 y(\177)1571 4265 y(ur)g(einen)g(V)-7
b(ektor)33 b Fr(v)k Ft(=)2358 4203 y Fj(P)2446 4290 y
Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2566 4265 y Fr(u)2614 4277 y Fk(i)2675
4265 y Fo(2)d Fr(V)53 b Ft(=)165 4303 y Fj(L)258 4390
y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)378 4365 y Fr(U)435 4377 y Fk(i)494
4365 y Ft(ist)32 b(dann)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))31
b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()1189 4303 y Fj(P)1277 4390 y Fk(i)1318
4365 y Fr(u)1366 4377 y Fk(i)1393 4365 y Ft(\))31 b(=)1550
4303 y Fj(P)1638 4390 y Fk(i)1679 4365 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(u)1809 4377 y Fk(i)1836 4365 y Ft(\))30 b(=)1993 4303
y Fj(P)2080 4390 y Fk(i)2122 4365 y Fr(f)9 b(j)2206 4377
y Fk(i)2233 4365 y Ft(\()p Fr(u)2313 4377 y Fk(i)2341
4365 y Ft(\))30 b(=)2498 4303 y Fj(P)2585 4390 y Fk(i)2627
4365 y Fr(f)2668 4377 y Fk(i)2695 4365 y Ft(\()p Fr(u)2775
4377 y Fk(i)2802 4365 y Ft(\))h(=)165 4402 y Fj(P)253
4489 y Fk(i)294 4465 y Fr(g)s(j)371 4477 y Fk(i)399 4465
y Ft(\()p Fr(u)479 4477 y Fk(i)506 4465 y Ft(\))36 b(=)675
4402 y Fj(P)762 4489 y Fk(i)804 4465 y Fr(g)s Ft(\()p
Fr(u)927 4477 y Fk(i)954 4465 y Ft(\))g(=)f Fr(g)s Ft(\()1197
4402 y Fj(P)1284 4489 y Fk(i)1326 4465 y Fr(u)1374 4477
y Fk(i)1401 4465 y Ft(\))h(=)f Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)s
Ft(\).)h(Also)f(gilt)g Fr(f)44 b Ft(=)35 b Fr(g)s Ft(.)g(Die)h(Rec)n
(hn)n(ung)165 4564 y(ist)41 b(mit)g(unserer)f(De\014nition)h(der)f
(Summe)h(\(vgl.)f(Bemerkung)g(v)n(or)f(5.1.10\))2725
4502 y Fj(P)2812 4589 y Fk(i)2854 4564 y Fr(u)2902 4576
y Fk(i)165 4664 y Ft(durc)n(hf)398 4668 y(\177)396 4664
y(uhrbar,)27 b(w)n(eil)g(n)n(ur)g(endlic)n(h)h(viele)f(T)-7
b(erme)28 b(v)n(on)e(Null)j(v)n(ersc)n(hieden)d(sind.)p
eop end
%%Page: 173 34
TeXDict begin 173 33 bop 1820 100 a Fn(5.4)43 b(Lineare)26
b(Abbildungen)150 b(173)290 282 y Ft(Um)30 b(jetzt)h(die)f(Existenz)f
(v)n(on)g Fr(f)38 b Ft(zu)30 b(zeigen,)g(de\014nieren)f(wir)h
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))27 b(:=)2569 220 y Fj(P)2657
307 y Fk(i)2698 282 y Fr(f)2739 294 y Fk(i)2766 282 y
Ft(\()p Fr(u)2846 294 y Fk(i)2874 282 y Ft(\).)165 382
y(Damit)j(ist)f(eine)g(w)n(ohlde\014nierte)g(Abbildung)h
Fr(f)k Ft(:)26 b Fr(V)44 b Fo(\000)-48 b(!)25 b Fr(W)41
b Ft(gegeb)r(en,)29 b(w)n(eil)g(die)g(Dar-)165 482 y(stellung)h
Fr(v)g Ft(=)638 419 y Fj(P)726 506 y Fk(i)767 482 y Fr(u)815
494 y Fk(i)873 482 y Ft(nac)n(h)f(5.3.4)f(eindeutig)i(ist.)g(Man)g(rec)
n(hnet)f(sofort)g(nac)n(h,)h(da\031)f Fr(f)165 581 y
Ft(ein)f(Homomorphism)n(us)e(ist)i(und)g(die)g(Bedingung)f
Fr(f)9 b(j)1892 593 y Fk(i)1942 581 y Ft(=)23 b Fr(f)2071
593 y Fk(i)2126 581 y Ft(f)2153 585 y(\177)2151 581 y(ur)28
b(alle)f Fr(i)22 b Fo(2)i Fr(I)35 b Ft(erf)2708 585 y(\177)2706
581 y(ullt.)290 681 y(2.)24 b(Die)h(Konstruktion)e(v)n(on)g
Fr(V)44 b Ft(ist)24 b(analog)f(zur)h(Konstruktion)f(des)h
Fr(n)p Ft(-fac)n(hen)g(Pro-)165 780 y(dukts)j(eines)g(V)-7
b(ektorraumes)25 b Fr(V)46 b Ft(mit)27 b(sic)n(h)f(selbst)h(\(5.1.3)f
(und)h(5.1.7\).)f(Wir)g(de\014nieren)340 949 y Fr(V)42
b Ft(:=)23 b Fo(f)p Ft(\()p Fr(u)663 961 y Fk(i)690 949
y Fo(j)p Fr(i)g Fo(2)g Fr(I)7 b Ft(\))p Fo(j8)p Fr(i)23
b Fo(2)h Fr(I)7 b Ft([)p Fr(u)1232 961 y Fk(i)1282 949
y Fo(2)23 b Fr(U)1417 961 y Fk(i)1445 949 y Ft(])p Fr(;)14
b(u)1553 961 y Fk(i)1603 949 y Fo(6)p Ft(=)22 b(0)28
b(f)1787 953 y(\177)1785 949 y(ur)f(n)n(ur)g(endlic)n(h)h(viele)g
Fr(i)22 b Fo(2)i Fr(I)7 b Fo(g)p Fr(:)165 1117 y Ft(Man)28
b(rec)n(hnet)g(sofort)f(nac)n(h,)h(da\031)g Fr(V)47 b
Ft(mit)29 b(k)n(omp)r(onen)n(ten)n(w)n(eiser)d(Addition)i(und)h(Mul-)
165 1216 y(tiplik)-5 b(ation)36 b(mit)h(Sk)-5 b(alaren)34
b(ein)i(V)-7 b(ektorraum)35 b(ist.)h(F)1888 1220 y(\177)1886
1216 y(ur)f Fr(i)h Fo(2)h Fr(I)43 b Ft(seien)35 b Fr(j)2481
1228 y Fk(i)2546 1216 y Ft(:)h Fr(U)2662 1228 y Fk(i)2726
1216 y Fo(\000)-48 b(!)36 b Fr(V)165 1316 y Ft(de\014niert)d(durc)n(h)e
Fr(j)769 1328 y Fk(i)797 1316 y Ft(\()p Fr(u)877 1328
y Fk(i)905 1316 y Ft(\))g(:=)f(\()p Fr(u)1166 1286 y
Fi(0)1166 1338 y Fk(j)1201 1316 y Fo(j)p Fr(j)35 b Fo(2)c
Fr(I)7 b Ft(\))33 b(mit)g Fr(u)1692 1286 y Fi(0)1692
1338 y Fk(i)1750 1316 y Ft(=)d Fr(u)1893 1328 y Fk(i)1952
1316 y Ft(und)j Fr(u)2171 1286 y Fi(0)2171 1338 y Fk(j)2236
1316 y Ft(=)d(0)i(f)2432 1320 y(\177)2430 1316 y(ur)g
Fr(j)k Fo(6)p Ft(=)30 b Fr(i)p Ft(,)i(also)165 1416 y(die)e(F)-7
b(amilie,)30 b(die)f(an)g(der)g Fr(i)p Ft(-ten)g(Stelle)h(den)g(Ein)n
(trag)e Fr(u)1952 1428 y Fk(i)2008 1416 y Ft(hat)i(und)g(an)f(allen)g
(anderen)165 1515 y(Stellen)34 b(Null)f(ist.)g(Es)f(ist)g(auc)n(h)g
(unmittelbar)h(klar,)f(da\031)g(die)h Fr(j)2211 1527
y Fk(i)2271 1515 y Ft(Homomorphismen)165 1615 y(sind.)290
1714 y(Sei)49 b(n)n(un)f(ein)h(V)-7 b(ektorraum)47 b
Fr(W)60 b Ft(und)49 b(eine)g(F)-7 b(amilie)48 b(v)n(on)g
(Homomorphismen)165 1814 y(\()p Fr(f)238 1826 y Fk(i)309
1814 y Ft(:)c Fr(U)433 1826 y Fk(i)503 1814 y Fo(\000)-48
b(!)43 b Fr(W)12 b Ft(\))40 b(gegeb)r(en.)g(Wir)f(m)1411
1818 y(\177)1409 1814 y(ussen)h(die)g(Existenz)f(und)h(Eindeutigk)n
(eit)f(ei-)165 1914 y(nes)j(Homomorphism)n(us)d Fr(f)55
b Ft(:)46 b Fr(V)65 b Fo(\000)-49 b(!)46 b Fr(W)54 b
Ft(mit)42 b Fr(f)9 b(j)1820 1926 y Fk(i)1893 1914 y Ft(=)45
b Fr(f)2044 1926 y Fk(i)2113 1914 y Ft(f)2140 1918 y(\177)2138
1914 y(ur)d(alle)e Fr(i)46 b Fo(2)g Fr(I)j Ft(zeigen.)165
2013 y(Wieder)28 b(zeigen)g(wir)g(zun)977 2017 y(\177)977
2013 y(ac)n(hst)f(die)i(Eindeutigk)n(eit.)e(Seien)i Fr(f)36
b Ft(und)29 b Fr(g)i Ft(Homomorphis-)165 2113 y(men)i(v)n(on)f
Fr(V)52 b Ft(in)33 b Fr(W)45 b Ft(mit)33 b Fr(f)9 b(j)1078
2125 y Fk(i)1138 2113 y Ft(=)31 b Fr(f)1275 2125 y Fk(i)1334
2113 y Ft(=)g Fr(g)s(j)1507 2125 y Fk(i)1535 2113 y Ft(.)h(Dann)h(ist)g
Fr(g)s Ft(\(\()p Fr(u)2096 2125 y Fk(i)2124 2113 y Ft(\)\))f(=)f
Fr(g)s Ft(\()2391 2051 y Fj(P)2479 2138 y Fk(i)p Fi(2)p
Fk(I)2599 2113 y Fr(j)2633 2125 y Fk(i)2661 2113 y Ft(\()p
Fr(u)2741 2125 y Fk(i)2768 2113 y Ft(\)\))i(=)165 2150
y Fj(P)253 2237 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)373 2213 y Fr(g)s(j)450
2225 y Fk(i)478 2213 y Ft(\()p Fr(u)558 2225 y Fk(i)585
2213 y Ft(\))27 b(=)734 2150 y Fj(P)822 2237 y Fk(i)p
Fi(2)p Fk(I)942 2213 y Fr(f)983 2225 y Fk(i)1010 2213
y Ft(\()p Fr(u)1090 2225 y Fk(i)1118 2213 y Ft(\))f(=)1267
2150 y Fj(P)1355 2237 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1475 2213
y Fr(f)9 b(j)1559 2225 y Fk(i)1586 2213 y Ft(\()p Fr(u)1666
2225 y Fk(i)1694 2213 y Ft(\))26 b(=)g Fr(f)9 b Ft(\()1925
2150 y Fj(P)2013 2237 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2133 2213
y Fr(j)2167 2225 y Fk(i)2195 2213 y Ft(\()p Fr(u)2275
2225 y Fk(i)2302 2213 y Ft(\)\))27 b(=)f Fr(f)9 b Ft(\(\()p
Fr(u)2646 2225 y Fk(i)2673 2213 y Ft(\)\),)30 b(also)165
2312 y Fr(f)i Ft(=)23 b Fr(g)s Ft(.)f(Um)i(die)f(Existenz)g(zu)g
(zeigen,)f(de\014nieren)h(wir)g Fr(f)9 b Ft(\(\()p Fr(u)2078
2324 y Fk(i)2105 2312 y Ft(\)\))24 b(:=)2303 2250 y Fj(P)2391
2337 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2511 2312 y Fr(f)2552 2324
y Fk(i)2579 2312 y Ft(\()p Fr(u)2659 2324 y Fk(i)2687
2312 y Ft(\).)f(Man)165 2412 y(rec)n(hnet)34 b(sofort)f(nac)n(h,)h
(da\031)g Fr(f)42 b Ft(:)35 b Fr(V)53 b Fo(\000)-49 b(!)35
b Fr(W)46 b Ft(ein)34 b(Homomorphism)n(us)f(ist.)i(W)-7
b(eiter)34 b(ist)165 2511 y Fr(f)9 b(j)249 2523 y Fk(i)277
2511 y Ft(\()p Fr(u)357 2523 y Fk(i)384 2511 y Ft(\))24
b(=)e Fr(f)9 b Ft(\(\()p Fr(u)689 2481 y Fi(0)689 2533
y Fk(j)724 2511 y Ft(\)\))23 b(=)899 2449 y Fj(P)987
2536 y Fk(j)s Fi(2)p Fk(I)1114 2511 y Fr(f)1155 2523
y Fk(j)1190 2511 y Ft(\()p Fr(u)1270 2481 y Fi(0)1270
2533 y Fk(j)1305 2511 y Ft(\))g(=)g Fr(f)1489 2523 y
Fk(i)1516 2511 y Ft(\()p Fr(u)1596 2523 y Fk(i)1623 2511
y Ft(\),)i(w)n(eil)f(alle)f(anderen)h(T)-7 b(erme)23
b(Null)i(sind,)165 2611 y(also)i(ist)h Fr(f)9 b(j)532
2623 y Fk(i)582 2611 y Ft(=)23 b Fr(f)711 2623 y Fk(i)738
2611 y Ft(.)290 2711 y(Wir)k(zeigen)f(n)n(un)h(die)g(b)r(eiden)g
(letzten)h(Aussagen)e(v)n(on)g(2.)g(Erf)2269 2715 y(\177)2267
2711 y(ulle)g Fr(V)46 b Ft(und)28 b(\()p Fr(j)2748 2723
y Fk(i)2799 2711 y Ft(:)23 b Fr(U)2902 2723 y Fk(i)165
2810 y Fo(\000)-48 b(!)36 b Fr(V)19 b Ft(\))36 b(die)f(Bedingungen)g(v)
n(on)g(T)-7 b(eil)35 b(2.)g(des)g(Satzes.)g(\(Sie)h(m)2199
2814 y(\177)2197 2810 y(ussen)f(nic)n(h)n(t)h(genauso)165
2910 y(k)n(onstruiert)27 b(sein,)i(wie)f(wir)g(das)f(ob)r(en)i(angegeb)
r(en)e(hab)r(en.\))i(Sei)f Fr(i)c Fo(2)h Fr(I)35 b Ft(fest)29
b(gew)2764 2914 y(\177)2764 2910 y(ahlt.)165 3010 y(W)250
3014 y(\177)250 3010 y(ahle)37 b(Homomorphismen)e Fr(f)1170
3022 y Fk(j)1242 3010 y Ft(:)j Fr(U)1360 3022 y Fk(j)1432
3010 y Fo(\000)-48 b(!)37 b Fr(U)1626 3022 y Fk(i)1690
3010 y Ft(f)1717 3014 y(\177)1715 3010 y(ur)g(alle)f
Fr(j)42 b Fo(2)c Fr(I)43 b Ft(mit)37 b Fr(f)2442 3022
y Fk(i)2507 3010 y Ft(=)g(id)2679 3022 y Fk(U)2724 3030
y Ff(i)2791 3010 y Ft(und)165 3109 y Fr(f)206 3121 y
Fk(j)266 3109 y Ft(=)25 b(0)k(f)454 3113 y(\177)452 3109
y(ur)g(alle)g Fr(j)h Fo(6)p Ft(=)25 b Fr(i)p Ft(.)k(Dann)g(k)1219
3113 y(\177)1219 3109 y(onnen)f(wir)h(nac)n(h)f(2.)h(den)g
(Homomorphism)n(us)f Fr(f)34 b Ft(:)25 b Fr(V)165 3209
y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(U)345 3221 y Fk(i)400 3209
y Ft(b)r(estimmen)29 b(und)f(erhalten)f Fr(f)9 b(j)1396
3221 y Fk(i)1446 3209 y Ft(=)23 b(id)1603 3221 y Fk(U)1648
3229 y Ff(i)1679 3209 y Ft(.)k(Daher)h(ist)f Fr(j)2127
3221 y Fk(i)2183 3209 y Ft(injektiv.)290 3308 y(Wir)21
b(zeigen)g(jetzt)i Fr(V)42 b Ft(=)1058 3246 y Fj(L)1151
3333 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)1271 3308 y Fr(j)1305 3320
y Fk(i)1333 3308 y Ft(\()p Fr(U)1422 3320 y Fk(i)1449
3308 y Ft(\).)22 b(Sei)g Fr(W)35 b Ft(:=)1878 3246 y
Fj(P)1965 3333 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2085 3308 y Fr(j)2119
3320 y Fk(i)2147 3308 y Ft(\()p Fr(U)2236 3320 y Fk(i)2264
3308 y Ft(\))22 b(und)g(seien)f(\()p Fr(f)2748 3320 y
Fk(i)2799 3308 y Ft(:)i Fr(U)2902 3320 y Fk(i)165 3408
y Fo(\000)-48 b(!)25 b Fr(W)12 b Ft(\))24 b(=)h(\()p
Fr(j)592 3420 y Fk(i)644 3408 y Ft(:)g Fr(U)749 3420
y Fk(i)801 3408 y Fo(\000)-48 b(!)24 b Fr(W)12 b Ft(\))29
b(f)1103 3412 y(\177)1101 3408 y(ur)g(alle)f Fr(i)c Fo(2)h
Fr(I)7 b Ft(.)29 b(Dann)f(gibt)h(es)f(genau)g(einen)h(Homomor-)165
3508 y(phism)n(us)d Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-49
b(!)23 b Fr(W)38 b Ft(mit)27 b Fr(f)9 b(j)1167 3520 y
Fk(i)1217 3508 y Ft(=)23 b Fr(j)1339 3520 y Fk(i)1367
3508 y Ft(.)j(Sei)g Fr(\023)d Ft(:)g Fr(W)35 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(V)45 b Ft(die)26 b(Ein)n(b)r(ettungsabbildung.)165
3607 y(Dann)36 b(ist)f Fr(\023j)584 3619 y Fk(i)649 3607
y Ft(=)g Fr(j)783 3619 y Fk(i)846 3607 y Ft(und)h Fr(\023f)9
b(j)1133 3619 y Fk(i)1197 3607 y Ft(=)35 b Fr(j)1331
3619 y Fk(i)1359 3607 y Ft(.)h(W)-7 b(egen)35 b(der)g(Eindeutigk)n(eit)
g(folgt)g Fr(\023f)45 b Ft(=)35 b(id)2848 3619 y Fk(V)2906
3607 y Ft(.)165 3707 y(Damit)28 b(ist)g Fr(\023)g Ft(surjektiv)g(\(und)
g(nac)n(h)f(Konstruktion)f(injektiv\),)j(also)d(ist)i
Fr(W)35 b Ft(=)23 b Fr(V)c Ft(.)290 3807 y(Sei)30 b Fr(x)f
Fo(2)f Fr(U)642 3819 y Fk(i)700 3807 y Ft(mit)j Fr(j)889
3819 y Fk(i)917 3807 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))d(=)g Fr(x)1196
3776 y Fi(0)1247 3807 y Fo(2)h Fr(j)1365 3819 y Fk(i)1392
3807 y Ft(\()p Fr(U)1481 3819 y Fk(i)1509 3807 y Ft(\))21
b Fo(\\)1637 3744 y Fj(P)1725 3832 y Fk(j)s Fi(2)p Fk(I)5
b(;j)s Fi(6)p Fl(=)p Fk(i)1977 3807 y Fr(j)2011 3819
y Fk(j)2047 3807 y Ft(\()p Fr(U)2136 3819 y Fk(j)2171
3807 y Ft(\).)30 b(Wir)h(de\014nieren)f(wie)165 3906
y(ob)r(en)i Fr(W)42 b Ft(:=)30 b Fr(U)665 3918 y Fk(i)725
3906 y Ft(und)i Fr(f)936 3918 y Fk(j)1001 3906 y Ft(:=)e(id)1188
3918 y Fk(U)1233 3926 y Ff(i)1295 3906 y Ft(f)1322 3910
y(\177)1320 3906 y(ur)i Fr(j)k Ft(=)29 b Fr(i)j Ft(und)g
Fr(f)1867 3918 y Fk(j)1932 3906 y Ft(=)e(0)h(sonst.)h(Wieder)g
(erhalten)165 4006 y(wir)26 b(einen)g(eindeutig)g(b)r(estimm)n(ten)h
(Homomorphism)n(us)e Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(U)2397 4018 y Fk(i)2450 4006 y Ft(mit)k Fr(f)9
b(j)2685 4018 y Fk(j)2743 4006 y Ft(=)22 b Fr(f)2871
4018 y Fk(j)2906 4006 y Ft(.)165 4105 y(W)-7 b(egen)35
b Fr(x)487 4075 y Fi(0)544 4105 y Ft(=)643 4043 y Fj(P)731
4130 y Fk(j)s Fi(6)p Fl(=)p Fk(i)854 4105 y Fr(j)888
4117 y Fk(j)923 4105 y Ft(\()p Fr(u)1003 4117 y Fk(j)1038
4105 y Ft(\))g(ist)f Fr(x)h Ft(=)f Fr(f)9 b(j)1492 4117
y Fk(i)1519 4105 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))35 b(=)f Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(x)1893 4075 y Fi(0)1917 4105 y Ft(\))34
b(=)2082 4043 y Fj(P)2169 4130 y Fk(j)s Fi(6)p Fl(=)p
Fk(i)2293 4105 y Fr(f)9 b(j)2377 4117 y Fk(j)2411 4105
y Ft(\()p Fr(u)2491 4117 y Fk(j)2526 4105 y Ft(\))35
b(=)e(0,)h(also)165 4205 y Fr(x)212 4175 y Fi(0)259 4205
y Ft(=)23 b(0)k(und)h(damit)g Fr(j)856 4217 y Fk(i)884
4205 y Ft(\()p Fr(U)973 4217 y Fk(i)1000 4205 y Ft(\))19
b Fo(\\)1125 4143 y Fj(P)1212 4230 y Fk(j)s Fi(2)p Fk(I)5
b(;j)s Fi(6)p Fl(=)p Fk(i)1465 4205 y Fr(j)1499 4217
y Fk(j)1534 4205 y Ft(\()p Fr(U)1623 4217 y Fk(j)1658
4205 y Ft(\))23 b(=)g(0.)165 4365 y Fq(Beispiel)30 b(5.4.16)39
b Ft(Der)54 b(Begri\013)g(des)g(Homomorphism)n(us)e(\(v)n(on)i(V)-7
b(ektorr)2658 4369 y(\177)2658 4365 y(aumen\))165 4465
y(f)192 4469 y(\177)190 4465 y(uhrt)33 b(uns)f(zu)g(einem)g(neuen)g(V)
-7 b(ektorraum.)31 b(W)-7 b(enn)32 b Fr(V)51 b Ft(und)33
b Fr(W)43 b Ft(V)-7 b(ektorr)2533 4469 y(\177)2533 4465
y(aume)31 b(sind,)165 4564 y(so)c(sei)612 4664 y(Hom)785
4676 y Fk(K)849 4664 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(W)e Ft(\))23
b(:=)g Fo(f)p Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(W)12 b Fo(j)p Fr(f)36 b Ft(Homomorphism)n(us)n
Fo(g)p eop end
%%Page: 174 35
TeXDict begin 174 34 bop 165 100 a Fn(174)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Ft(die)24 b(Menge)e(aller)h(Homomorphismen)f(v)n(on)g
Fr(V)42 b Ft(nac)n(h)23 b Fr(W)12 b Ft(.)23 b(Dann)g(ist)g(Hom)2491
294 y Fk(K)2555 282 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(W)e Ft(\))24
b(ein)165 382 y(Un)n(terv)n(ektorraum)33 b(v)n(on)h(Abb)q(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b(W)e Ft(\).)36 b(Es)e(ist)h(n)1741 386
y(\177)1741 382 y(amlic)n(h)g(0)g Fo(2)h Ft(Hom)2355
394 y Fk(K)2419 382 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(W)e Ft(\).)36
b(W)-7 b(enn)165 482 y Fr(f)t(;)14 b(g)26 b Fo(2)d Ft(Hom)564
494 y Fk(K)628 482 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(W)e Ft(\),)21
b(dann)f(gelten)g(\()p Fr(f)12 b Ft(+)s Fr(g)s Ft(\)\()p
Fr(v)6 b Ft(+)s Fr(v)1770 451 y Fi(0)1795 482 y Ft(\))23
b(=)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)d Ft(+)s Fr(v)2177 451 y
Fi(0)2201 482 y Ft(\))s(+)s Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)g Ft(+)s
Fr(v)2536 451 y Fi(0)2561 482 y Ft(\))23 b(=)g Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))s(+)165 581 y Fr(f)g Ft(\()p Fr(v)290
551 y Fi(0)314 581 y Ft(\))g(+)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)s
Ft(\))g(+)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)780 551 y Fi(0)803 581
y Ft(\))24 b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))g(+)g
Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))g(+)g Fr(f)g Ft(\()p Fr(v)1544
551 y Fi(0)1568 581 y Ft(\))g(+)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)1801
551 y Fi(0)1824 581 y Ft(\))24 b(=)e(\()p Fr(f)c Ft(+)9
b Fr(g)s Ft(\)\()p Fr(v)s Ft(\))g(+)g(\()p Fr(f)18 b
Ft(+)9 b Fr(g)s Ft(\)\()p Fr(v)2712 551 y Fi(0)2735 581
y Ft(\))24 b(und)165 681 y(\()p Fr(f)d Ft(+)12 b Fr(g)s
Ft(\)\()p Fr(\025v)s Ft(\))24 b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\025v)s Ft(\))j(+)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(\025v)s Ft(\))24
b(=)f Fr(\025f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))j(+)g Fr(\025g)s
Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\025)p Ft(\()p Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))j(+)g Fr(g)s Ft(\()p Fr(v)s Ft(\)\))24
b(=)f Fr(\025)p Ft(\()p Fr(f)e Ft(+)12 b Fr(g)s Ft(\)\()p
Fr(v)s Ft(\),)165 780 y(also)26 b(ist)h Fr(f)d Ft(+)16
b Fr(g)30 b Ft(wieder)c(ein)g(Homomorphism)n(us.)g(In)g(gleic)n(her)g
(W)-7 b(eise)26 b(zeigt)g(man,)h(da\031)165 880 y(mit)i
Fr(f)36 b Ft(auc)n(h)27 b Fr(\026f)36 b Ft(wieder)27
b(ein)h(Homomorphism)n(us)e(ist.)290 980 y(Der)k(V)-7
b(ektorraum)29 b Fr(V)982 950 y Fi(\003)1047 980 y Ft(:=)e(Hom)1335
992 y Fk(K)1399 980 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(K)6 b Ft(\))30
b(hei\031t)g Fp(dualer)j(V)-6 b(ektorr)l(aum)p Ft(.)59
b(Die)31 b(Ele-)165 1079 y(men)n(te)d(v)n(on)f Fr(V)636
1049 y Fi(\003)702 1079 y Ft(hei\031en)g Fp(line)l(ar)l(e)j(F)-6
b(unktionale)p Ft(.)290 1179 y(W)f(enn)40 b Fr(V)59 b
Ft(ein)39 b(endlic)n(hdimensionaler)g(V)-7 b(ektorraum)38
b(ist,)i(dann)g(hab)r(en)f Fr(V)59 b Ft(und)165 1279
y Fr(V)232 1248 y Fi(\003)300 1279 y Ft(dieselb)r(e)29
b(Dimension)h(und)f(sind)g(daher)g(isomorph)f(zueinander.)h(W)-7
b(enn)29 b(n)2691 1283 y(\177)2691 1279 y(amlic)n(h)165
1378 y Fr(b)201 1390 y Fl(1)238 1378 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)459
1390 y Fk(n)527 1378 y Ft(eine)23 b(Basis)g(v)n(on)f
Fr(V)43 b Ft(ist,)23 b(dann)h(ist)f Fr(f)1639 1390 y
Fl(1)1676 1378 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(f)1902 1390
y Fk(n)1970 1378 y Ft(mit)24 b Fr(f)2159 1390 y Fk(i)2186
1378 y Ft(\()p Fr(b)2254 1390 y Fk(j)2289 1378 y Ft(\))f(:=)g
Fr(\016)2492 1390 y Fk(ij)2574 1378 y Ft(eine)g(Basis)165
1478 y(v)n(on)k Fr(V)389 1448 y Fi(\003)427 1478 y Ft(,)h(wie)g(man)f
(leic)n(h)n(t)g(nac)n(hrec)n(hnet.)290 1644 y(Ist)h Fr(V)46
b Ft(ein)28 b(V)-7 b(ektorraum)26 b(mit)i(einer)g(Basis)e
Fr(B)t Ft(,)i(so)f(ist)h(die)g(Abbildung)770 1838 y Fr(h)818
1850 y Fk(B)898 1838 y Ft(:)c Fr(V)41 b Fo(3)24 b Fr(v)i
Ft(=)1270 1760 y Fj(X)1267 1938 y Fk(b)p Fi(2)p Fk(B)1408
1838 y Fr(\013)1461 1850 y Fk(b)1494 1838 y Fr(b)d Fo(7!)g
Ft(\()p Fr(\013)1744 1850 y Fk(b)1778 1838 y Fo(j)p Fr(b)f
Fo(2)i Fr(B)t Ft(\))f Fo(2)h Fr(K)2216 1804 y Fl(\()p
Fk(B)s Fl(\))165 2100 y Ft(ein)30 b(bijektiv)n(er)f(Homomorphism)n(us,)
f(also)g(ein)h(Isomorphism)n(us,)f(w)n(egen)g(der)h(eindeu-)165
2200 y(tigen)f(Basisdarstellung)d(jedes)j(V)-7 b(ektors)27
b Fr(v)f Fo(2)e Fr(V)19 b Ft(.)165 2366 y Fq(De\014nition)31
b(5.4.17)40 b Ft(Sei)33 b Fr(B)k Ft(eine)c(Basis)f(des)h(V)-7
b(ektorraumes)31 b Fr(V)19 b Ft(.)33 b(Der)g(Isomorphis-)165
2465 y(m)n(us)28 b Fr(h)387 2477 y Fk(B)467 2465 y Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(K)803 2435 y Fl(\()p
Fk(B)s Fl(\))939 2465 y Ft(hei\031t)j Fp(Ko)l(or)l(dinatensystem)35
b Ft(f)1894 2469 y(\177)1892 2465 y(ur)28 b Fr(V)46 b
Ft(zur)27 b(Basis)g Fr(B)t Ft(.)165 2631 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(5.4.18)40 b Fp(F)948 2635 y(\177)948 2631 y(ur)g(je)l(den)h(V)-6
b(ektorr)l(aum)41 b Fr(V)59 b Fp(gibt)41 b(es)g(einen)g(Isomorphismus)
165 2731 y Fr(V)258 2709 y Fo(\030)258 2735 y Ft(=)349
2731 y Fr(K)426 2701 y Fl(\()p Fk(I)5 b Fl(\))546 2731
y Fp(f)571 2735 y(\177)571 2731 y(ur)32 b(eine)f(ge)l(eignet)h(gew)1310
2735 y(\177)1311 2731 y(ahlte)h(Menge)f Fr(I)7 b Fp(.)31
b(Ist)g Fr(V)50 b Fp(end)t(lichdimensional,)36 b(so)165
2831 y(ist)30 b Fr(V)372 2808 y Fo(\030)372 2835 y Ft(=)460
2831 y Fr(K)537 2800 y Fk(n)581 2831 y Fp(,)g(wob)l(ei)h
Fr(n)23 b Ft(=)g(dim)14 b Fr(V)19 b Fp(.)165 3005 y(Beweis.)44
b Ft(Man)34 b(rec)n(hnet)f(sofort)g(nac)n(h,)h(da\031)f
Fr(h)1656 3017 y Fk(B)1747 3005 y Ft(ein)h(Homomorphism)n(us)e(ist.)j
(Es)e(ist)165 3105 y(auc)n(h)d(klar,)g(da\031)g Fr(h)767
3117 y Fk(B)854 3105 y Ft(bijektiv)h(ist.)g(Ist)g Fr(B)h
Ft(=)c Fo(f)p Fr(b)1693 3117 y Fl(1)1729 3105 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1950 3117 y Fk(n)1994 3105 y Fo(g)30
b Ft(eine)h(endlic)n(he)g(Menge,)f(so)165 3204 y(sc)n(hreib)r(en)d(wir)
h Fr(h)722 3216 y Fk(B)806 3204 y Ft(auc)n(h)f(in)h(der)f(F)-7
b(orm)684 3445 y Fr(h)732 3457 y Fk(B)812 3445 y Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(3)23 b Fr(v)j Ft(=)1220 3341 y Fk(n)1180
3366 y Fj(X)1186 3543 y Fk(i)p Fl(=1)1314 3445 y Fr(\013)1367
3457 y Fk(i)1395 3445 y Fr(b)1431 3457 y Fk(i)1481 3445
y Fo(7!)d Ft(\()p Fr(\013)1672 3457 y Fk(i)1700 3445
y Fo(j)p Fr(i)g Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p
Ft(\))23 b Fo(2)g Fr(K)2343 3457 y Fk(n)2388 3445 y Fr(:)165
3710 y Fq(De\014nition)31 b(5.4.19)40 b Ft(Eine)27 b(lineare)g
(Abbildung)i Fr(p)23 b Ft(:)g Fr(V)43 b Fo(\000)-49 b(!)24
b Fr(V)47 b Ft(mit)28 b Fr(p)2378 3680 y Fl(2)2439 3710
y Ft(=)23 b Fr(p)28 b Ft(wird)f(eine)165 3810 y Fp(Pr)l(ojektion)36
b Ft(o)r(der)27 b Fp(idemp)l(otent)36 b Ft(genann)n(t.)165
3976 y Fq(Satz)d(5.4.20)40 b Fp(Sei)e Fr(p)23 b Ft(:)g
Fr(V)42 b Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(V)49 b Fp(eine)30 b(Pr)l(ojektion.)h
(Dann)f(gilt)1198 4159 y Fr(V)42 b Ft(=)23 b(Ke)o(\()p
Fr(p)p Ft(\))c Fo(\010)f Ft(Bi\()p Fr(p)p Ft(\))p Fr(:)165
4341 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Ke)o(\()p Fr(p)p Ft(\))29 b(und)g(Bi\()p
Fr(p)p Ft(\))f(sind)h(Un)n(terv)n(ektorr)1749 4345 y(\177)1749
4341 y(aume)d(v)n(on)h Fr(V)19 b Ft(.)29 b(F)2301 4345
y(\177)2299 4341 y(ur)f Fr(v)g Fo(2)c Fr(V)48 b Ft(gilt)28
b Fr(v)g Ft(=)165 4441 y(\()p Fr(v)6 b Fo(\000)s Fr(p)p
Ft(\()p Fr(v)s Ft(\)\))s(+)s Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))22
b(und)f(es)e(ist)i Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)6 b Fo(\000)s
Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)s Ft(\)\))24 b(=)e Fr(p)p Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))s Fo(\000)s Fr(p)1833 4411 y Fl(2)1871 4441
y Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))i(=)e(0,)e(also)f Fr(v)6 b Fo(\000)s
Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b Fo(2)f Ft(Ke\()p Fr(p)p
Ft(\),)165 4540 y(und)35 b Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))f
Fo(2)g Ft(Bi\()p Fr(p)p Ft(\).)g(Damit)g(ist)h Fr(V)52
b Ft(=)33 b(Ke\()p Fr(p)p Ft(\))23 b(+)f(Bi\()p Fr(p)p
Ft(\).)34 b(W)-7 b(enn)35 b Fr(v)h Fo(2)e Ft(Ke\()p Fr(p)p
Ft(\))23 b Fo(\\)g Ft(Bi\()p Fr(p)p Ft(\),)165 4640 y(dann)28
b(ist)g Fr(v)e Ft(=)d Fr(p)p Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))h(=)e
Fr(p)963 4610 y Fl(2)1000 4640 y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))j(=)d
Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))i(=)f(0,)k(also)f(ist)i(Ke\()p
Fr(p)p Ft(\))18 b Fo(\\)h Ft(Bi\()p Fr(p)p Ft(\))k(=)g(0.)p
eop end
%%Page: 175 36
TeXDict begin 175 35 bop 1820 100 a Fn(5.4)43 b(Lineare)26
b(Abbildungen)150 b(175)165 282 y Fq(Satz)33 b(5.4.21)40
b Fp(Sei)k Fr(V)51 b Ft(=)33 b Fr(V)1080 252 y Fi(0)1125
282 y Fo(\010)22 b Fr(V)1279 252 y Fi(00)1322 282 y Fp(.)35
b(Dann)g(gibt)g(es)h(genau)f(eine)h(Pr)l(ojektion)43
b Fr(p)32 b Ft(:)h Fr(V)165 382 y Fo(\000)-46 b(!)23
b Fr(V)49 b Fp(mit)37 b Fr(V)612 352 y Fi(0)659 382 y
Ft(=)22 b(Ke\()p Fr(p)p Ft(\))30 b Fp(und)38 b Fr(V)1223
352 y Fi(00)1288 382 y Ft(=)23 b(Bi\()p Fr(p)p Ft(\))p
Fp(.)165 544 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)25 b Fr(v)i Fo(2)c
Fr(V)44 b Ft(mit)26 b(der)g(eindeutigen)f(Darstellung)g
Fr(v)h Ft(=)d Fr(v)2224 514 y Fi(0)2261 544 y Ft(+)14
b Fr(v)2383 514 y Fi(00)2451 544 y Ft(gegeb)r(en.)25
b(Wir)165 644 y(de\014nieren)e Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)s
Ft(\))h(:=)f Fr(v)866 614 y Fi(00)908 644 y Ft(.)h(Man)f(sieh)n(t)g
(leic)n(h)n(t,)g(da\031)f Fr(p)h Ft(eine)g(lineare)g(Abbildung)h(und)f
(eine)165 744 y(Pro)5 b(jektion)29 b(ist)h(und)g(da\031)g
Fr(V)1093 714 y Fi(0)1143 744 y Ft(=)d(Ke)o(\()p Fr(p)p
Ft(\))k(und)f Fr(V)1708 714 y Fi(00)1778 744 y Ft(=)d(Bi\()p
Fr(p)p Ft(\))j(gilt.)g(W)-7 b(enn)31 b Fr(p)2541 714
y Fi(0)2591 744 y Ft(:)c Fr(V)46 b Fo(\000)-48 b(!)27
b Fr(V)165 843 y Ft(eine)h(Pro)5 b(jektion)26 b(mit)i
Fr(V)967 813 y Fi(0)1014 843 y Ft(=)23 b(Ke)o(\()p Fr(p)1277
813 y Fi(0)1300 843 y Ft(\))28 b(und)h Fr(V)1593 813
y Fi(00)1659 843 y Ft(=)23 b(Bi\()p Fr(p)1903 813 y Fi(0)1926
843 y Ft(\))28 b(ist,)g(dann)g(ist)g Fr(p)2491 813 y
Fi(0)2514 843 y Ft(\()p Fr(v)2589 813 y Fi(0)2613 843
y Ft(\))23 b(=)g(0)k(f)2852 847 y(\177)2850 843 y(ur)165
943 y(alle)h Fr(v)361 913 y Fi(0)408 943 y Fo(2)d Fr(V)555
913 y Fi(0)578 943 y Ft(.)j(F)685 947 y(\177)683 943
y(ur)g Fr(v)833 913 y Fi(00)900 943 y Fo(2)c Fr(V)1046
913 y Fi(00)1116 943 y Ft(gilt)k Fr(v)1307 913 y Fi(00)1374
943 y Ft(=)23 b Fr(p)p Ft(\()p Fr(w)1597 913 y Fi(00)1641
943 y Ft(\))h(=)f Fr(p)1827 913 y Fl(2)1864 943 y Ft(\()p
Fr(w)1957 913 y Fi(00)2001 943 y Ft(\))h(=)f Fr(p)p Ft(\()p
Fr(v)2262 913 y Fi(00)2305 943 y Ft(\))29 b(f)2393 947
y(\177)2391 943 y(ur)f(ein)g Fr(w)2693 913 y Fi(00)2760
943 y Fo(2)c Fr(V)19 b Ft(,)165 1043 y(also)27 b(ist)h
Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)565 1012 y Fi(0)607 1043 y Ft(+)18
b Fr(v)733 1012 y Fi(00)775 1043 y Ft(\))24 b(=)e Fr(v)961
1012 y Fi(00)1027 1043 y Ft(=)h Fr(p)p Ft(\()p Fr(v)1232
1012 y Fi(0)1274 1043 y Ft(+)18 b Fr(v)1400 1012 y Fi(00)1442
1043 y Ft(\).)178 1189 y Fq(\177)165 1205 y(Ubungen)32
b(5.4.22)81 b Ft(1.)41 b(Sei)28 b Fr(K)33 b Ft(ein)28
b(K)1444 1209 y(\177)1444 1205 y(orp)r(er.)e(De\014nieren)i(Sie)873
1376 y Fr(f)k Ft(:)23 b Fr(K)1069 1342 y Fl(2)1129 1376
y Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(K)1328 1342 y Fl(2)1365 1376
y Fr(;)14 b Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\))24 b Fo(7!)f Ft(\()p
Fr(ax)c Ft(+)f Fr(by)s(;)c(cx)k Ft(+)g Fr(dy)s Ft(\))313
1547 y(f)340 1551 y(\177)338 1547 y(ur)28 b Fr(a;)14
b(b;)g(c;)g(d)22 b Fo(2)h Fr(K)6 b Ft(.)345 1646 y(a\))42
b(Zeigen)26 b(Sie,)i(da\031)f Fr(f)36 b Ft(eine)28 b(lineare)f
(Abbildung)h(ist.)341 1746 y(b\))42 b(De\014nieren)27
b(Sie)918 1917 y Fr(g)f Ft(:)d Fr(K)1107 1883 y Fl(2)1167
1917 y Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(K)1366 1883 y Fl(2)1403
1917 y Fr(;)14 b Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\))24 b Fo(7!)f
Ft(\()p Fr(dx)c Fo(\000)f Fr(by)s(;)c Fo(\000)p Fr(cx)k
Ft(+)g Fr(ay)s Ft(\))461 2088 y(Zeigen)26 b(Sie:)898
2258 y(\()p Fr(f)h Fo(\016)18 b Fr(g)s Ft(\)\()p Fr(x;)c(y)s
Ft(\))24 b(=)e(\()p Fr(ad)d Fo(\000)f Fr(bc)p Ft(\)\()p
Fr(x;)c(y)s Ft(\))24 b(=)e(\()p Fr(g)f Fo(\016)d Fr(f)9
b Ft(\)\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))350 2429 y(c\))42 b(Sc)n(hlie\031en)27
b(Sie:)g Fr(f)37 b Ft(ist)27 b(genau)g(dann)h(bijektiv,)g(w)n(enn)f
Fr(ad)19 b Fo(\000)f Fr(bc)23 b Fo(6)p Ft(=)f(0)27 b(ist.)207
2529 y(2.)41 b(De\014nieren)28 b(Sie)f(f)869 2533 y(\177)867
2529 y(ur)h Fr(')23 b Fo(2)h Fm(R)p Ft(:)592 2700 y Fr(f)31
b Ft(:)24 b Fm(R)771 2665 y Fl(2)831 2700 y Fo(\000)-49
b(!)24 b Fm(R)1014 2665 y Fl(2)1051 2700 y Fr(;)14 b
Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\))23 b Fo(7!)g Ft(\()p Fr(x)14
b Ft(cos)g Fr(')19 b Fo(\000)f Fr(y)e Ft(sin)e Fr(';)g(x)g
Ft(sin)g Fr(')19 b Ft(+)f Fr(y)f Ft(cos)c Fr(')p Ft(\))313
2871 y(Zeic)n(hnen)30 b(Sie)g(die)g(Bilder)f(der)h(k)-5
b(anonisc)n(hen)29 b(Basisv)n(ektoren)f(in)i(ein)g(Ko)r(ordina-)313
2970 y(tensystem)i(ein.)g(Erkl)1026 2974 y(\177)1026
2970 y(aren)e(Sie)i(anhand)g(dieses)f(Bildes,)h(da\031)f(die)h
(Abbildung)h Fr(f)313 3070 y Ft(eine)22 b(Dreh)n(ung)g(b)r(esc)n
(hreibt.)g(Bestimmen)h(Sie)f(den)h(Drehsinn)f(und)h(den)g(Dreh)n(win-)
313 3169 y(k)n(el.)e(Bestimmen)g(Sie)g(mit)h(Hilfe)f(der)g(v)n
(orhergehenden)e(Aufgab)r(e)i(die)g(Umk)n(ehrab-)313
3269 y(bildung)27 b(und)h(erl)871 3273 y(\177)871 3269
y(autern)e(Sie,)h(da\031)f(auc)n(h)g(die)h(Umk)n(ehrabbildung)g(eine)g
(Dreh)n(ung)313 3369 y(ist.)h(Bestimmen)g(Sie)f(Drehsinn)h(und)g(Dreh)n
(wink)n(el)f(der)g(Umk)n(ehrabbildung.)207 3468 y(3.)41
b(Sei)c Fr(f)46 b Ft(:)38 b Fr(V)57 b Fo(\000)-48 b(!)38
b Fr(W)49 b Ft(eine)36 b(lineare)g(Abbildung)h(zwisc)n(hen)f(zw)n(ei)g
(V)-7 b(ektorr)2667 3472 y(\177)2667 3468 y(aumen.)313
3568 y(Zeigen)32 b(Sie:)h(Ist)g Fr(U)40 b Fo(\032)32
b Fr(W)45 b Ft(ein)33 b(Un)n(terv)n(ektorraum)d(v)n(on)i
Fr(W)12 b Ft(,)33 b(so)f(ist)h Fr(f)2571 3538 y Fi(\000)p
Fl(1)2660 3568 y Ft(\()p Fr(U)9 b Ft(\))33 b(ein)313
3668 y(Un)n(terv)n(ektorraum)25 b(v)n(on)i Fr(V)19 b
Ft(.)207 3767 y(4.)41 b(Sei)33 b Fr(f)40 b Ft(:)32 b
Fr(V)51 b Fo(\000)-49 b(!)32 b Fr(W)45 b Ft(eine)33 b(bijektiv)n(e)g
(lineare)f(Abbildung.)i(Zeigen)e(Sie,)h(da\031)f(auc)n(h)313
3867 y(die)c(Umk)n(ehrabbildung)f(linear)f(ist.)207 3966
y(5.)41 b(Seien)49 b Fr(V)67 b Ft(und)49 b Fr(W)61 b
Ft(zw)n(ei)48 b(V)-7 b(ektorr)1471 3970 y(\177)1471 3966
y(aume)48 b(und)h Fr(v)1940 3978 y Fl(1)1977 3966 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)2202 3978 y Fk(n)2296 3966 y Ft(V)-7
b(ektoren)48 b(aus)g Fr(V)19 b Ft(,)313 4066 y Fr(w)372
4078 y Fl(1)410 4066 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(w)653
4078 y Fk(n)726 4066 y Ft(V)-7 b(ektoren)27 b(aus)h Fr(W)12
b Ft(.)345 4166 y(a\))42 b(Zeigen)28 b(Sie:)h(Sind)g
Fr(v)1113 4178 y Fl(1)1151 4166 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)1375
4178 y Fk(n)1449 4166 y Ft(linear)29 b(unabh)1908 4170
y(\177)1908 4166 y(angig,)e(so)h(gibt)h(es)g(mindestens)461
4265 y(eine)37 b(lineare)f(Abbildung)i Fr(f)47 b Ft(:)39
b Fr(V)58 b Fo(\000)-48 b(!)39 b Fr(W)49 b Ft(mit)38
b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2142 4277 y Fk(j)2177 4265 y
Ft(\))39 b(=)g Fr(w)2411 4277 y Fk(j)2484 4265 y Ft(f)2511
4269 y(\177)2509 4265 y(ur)e(alle)g Fr(j)44 b Ft(=)461
4365 y(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(.)341 4465
y(b\))42 b(Zeigen)28 b(Sie:)h(Erzeugen)e Fr(v)1285 4477
y Fl(1)1323 4465 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)1547 4477
y Fk(n)1622 4465 y Ft(den)29 b(V)-7 b(ektorraum)27 b
Fr(V)19 b Ft(,)29 b(so)g(gibt)f(es)h(h)2779 4469 y(\177)2779
4465 y(oc)n(h-)461 4564 y(stens)34 b(eine)i(lineare)e(Abbildung)h
Fr(f)44 b Ft(:)36 b Fr(V)54 b Fo(\000)-48 b(!)35 b Fr(W)47
b Ft(mit)36 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2333 4576 y Fk(j)2368
4564 y Ft(\))36 b(=)f Fr(w)2595 4576 y Fk(j)2665 4564
y Ft(f)2692 4568 y(\177)2690 4564 y(ur)h(alle)461 4664
y Fr(j)28 b Ft(=)22 b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
Ft(.)p eop end
%%Page: 176 37
TeXDict begin 176 36 bop 165 100 a Fn(176)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)207 282
y Ft(6.)41 b(Sei)26 b Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(W)38 b Ft(eine)26 b(lineare)g(Abbildung)g(zwisc)n(hen)g(zw)
n(ei)g(V)-7 b(ektorr)2535 286 y(\177)2535 282 y(aumen.)25
b(Sei)313 382 y Fr(v)353 394 y Fl(1)390 382 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)615 394 y Fk(n)688 382 y Ft(eine)28
b(Basis)e(v)n(on)h Fr(V)19 b Ft(.)345 482 y(a\))42 b(Zeigen)30
b(Sie,)h(da\031)g Fr(f)39 b Ft(genau)31 b(dann)g(injektiv)g(ist,)h(w)n
(enn)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2370 494 y Fl(1)2408 482
y Ft(\))p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(f)9 b Ft(\()p Fr(v)2747
494 y Fk(n)2792 482 y Ft(\))31 b(li-)461 581 y(near)26
b(unabh)871 585 y(\177)871 581 y(angig)h(sind.)341 681
y(b\))42 b(Zeigen)22 b(Sie,)i(da\031)f Fr(f)32 b Ft(genau)23
b(dann)h(surjektiv)f(ist,)h(w)n(enn)g Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)2346 693 y Fl(1)2383 681 y Ft(\))p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(f)9
b Ft(\()p Fr(v)2722 693 y Fk(n)2767 681 y Ft(\))24 b(ein)461
780 y(Erzeugendensystem)i(v)n(on)g Fr(W)40 b Ft(ist.)207
880 y(7.)h(Seien)35 b Fr(V)53 b Ft(und)35 b Fr(W)47 b
Ft(V)-7 b(ektorr)1212 884 y(\177)1212 880 y(aume)33 b(und)i
Fr(f)43 b Ft(:)35 b Fr(V)53 b Fo(\000)-48 b(!)34 b Fr(W)47
b Ft(ein)35 b(Homomorphism)n(us.)313 980 y(Zeigen)27
b(Sie:)345 1079 y(a\))471 1062 y(\177)461 1079 y(Aquiv)-5
b(alen)n(t)27 b(sind:)520 1179 y(i.)42 b Fr(f)36 b Ft(ist)28
b(injektiv.)497 1279 y(ii.)42 b(F)664 1283 y(\177)662
1279 y(ur)29 b(jeden)h(V)-7 b(ektorraum)28 b Fr(U)39
b Ft(und)29 b(alle)g(Homomorphismen)g Fr(s;)14 b(t)26
b Ft(:)g Fr(U)35 b Fo(\000)-49 b(!)608 1378 y Fr(V)47
b Ft(mit)28 b Fr(f)9 b(s)22 b Ft(=)h Fr(f)9 b(t)27 b
Ft(gilt)h Fr(s)23 b Ft(=)g Fr(t)p Ft(.)474 1478 y(iii.)42
b(Es)27 b(gibt)h(einen)f(Homomorphism)n(us)g Fr(g)e Ft(:)e
Fr(W)35 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)47 b Ft(mit)28 b
Fr(g)s(f)j Ft(=)23 b(id)2658 1490 y Fk(V)2716 1478 y
Ft(.)341 1577 y(b\))471 1560 y(\177)461 1577 y(Aquiv)-5
b(alen)n(t)27 b(sind:)520 1677 y(i.)42 b Fr(f)36 b Ft(ist)28
b(surjektiv.)497 1777 y(ii.)42 b(F)664 1781 y(\177)662
1777 y(ur)c(jeden)h(V)-7 b(ektorraum)37 b Fr(X)45 b Ft(und)38
b(alle)g(Homomorphismen)g Fr(s;)14 b(t)40 b Ft(:)h Fr(W)608
1876 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(X)34 b Ft(mit)28 b Fr(sf)k
Ft(=)22 b Fr(tf)36 b Ft(gilt)28 b Fr(s)23 b Ft(=)g Fr(t)p
Ft(.)474 1976 y(iii.)42 b(Es)27 b(gibt)h(einen)f(Homomorphism)n(us)g
Fr(g)e Ft(:)e Fr(W)35 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)47
b Ft(mit)28 b Fr(f)9 b(g)25 b Ft(=)e(id)2658 1988 y Fk(W)2733
1976 y Ft(.)207 2076 y(8.)41 b(Sei)32 b Fr(V)50 b Ft(ein)32
b(V)-7 b(ektorraum)1153 2080 y(\177)1150 2076 y(ub)r(er)32
b Fr(K)6 b Ft(.)31 b Fr(U)1534 2088 y Fl(1)1603 2076
y Ft(und)h Fr(U)1830 2088 y Fl(2)1898 2076 y Ft(seien)g(Un)n(terv)n
(ektorr)2577 2080 y(\177)2577 2076 y(aume)d(v)n(on)313
2175 y Fr(V)46 b Ft(mit)29 b Fr(V)42 b Ft(=)22 b Fr(U)794
2187 y Fl(1)850 2175 y Fo(\010)c Fr(U)990 2187 y Fl(2)1027
2175 y Ft(.)27 b(Zeigen)g(Sie,)h(da\031)f(die)h(Abbildung)964
2358 y Fr(f)j Ft(:)23 b Fr(U)1139 2370 y Fl(1)1195 2358
y Fo(\002)18 b Fr(U)1335 2370 y Fl(2)1395 2358 y Fo(\000)-49
b(!)23 b Fr(V)5 b(;)14 b Ft(\()p Fr(u)1687 2370 y Fl(1)1724
2358 y Fr(;)g(u)1809 2370 y Fl(2)1846 2358 y Ft(\))23
b Fo(7!)h Fr(u)2056 2370 y Fl(1)2111 2358 y Ft(+)18 b
Fr(u)2242 2370 y Fl(2)313 2540 y Ft(ein)26 b(Isomorphism)n(us)f(ist,)h
(w)n(ob)r(ei)g Fr(U)1441 2552 y Fl(1)1494 2540 y Fo(\002)15
b Fr(U)1631 2552 y Fl(2)1694 2540 y Ft(die)26 b(in)h(der)f(Aufgab)r(e)g
(1)g(erkl)2597 2544 y(\177)2597 2540 y(arte)e(V)-7 b(ek-)313
2640 y(torraumstruktur)26 b(tr)1000 2644 y(\177)1000
2640 y(agt.)207 2740 y(9.)41 b(De\014nieren)28 b(Sie)761
2922 y Fr(f)k Ft(:)23 b Fm(R)940 2888 y Fl(2)1000 2922
y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fm(R)1183 2888 y Fl(2)1220 2922
y Fr(;)14 b Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\))24 b Fo(7!)f Ft(\()p
Fr(x=)p Ft(3)18 b(+)g(2)p Fr(y)s(=)p Ft(3)p Fr(;)c(x=)p
Ft(3)i(+)i(2)p Fr(y)s(=)p Ft(3\))345 3105 y(a\))42 b(Zeigen)26
b(Sie,)i(da\031)f Fr(f)g Fo(\016)18 b Fr(f)32 b Ft(=)22
b Fr(f)37 b Ft(ist.)341 3205 y(b\))42 b(Bestimmen)27
b(Sie)h(Kern)f(und)h(Bild)g(v)n(on)f Fr(f)9 b Ft(.)27
b(Zeigen)g(Sie:)1334 3387 y Fm(R)1394 3353 y Fl(2)1455
3387 y Ft(=)22 b(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))18 b Fo(\010)g
Ft(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))350 3570 y(c\))42 b(Zeic)n(hnen)22
b(Sie)h(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))23 b(und)g(Bi\()p Fr(f)9
b Ft(\))23 b(in)h(ein)f(Ko)r(ordinatenkreuz)e(ein.)i(Besc)n(hrei-)461
3670 y(b)r(en)28 b(Sie)f(anhand)h(dieses)f(Bildes)g(die)h(Abbildung)g
Fr(f)9 b Ft(.)341 3769 y(d\))42 b(En)n(tsc)n(heiden)26
b(Sie,)i(ob)g Fr(f)36 b Ft(bijektiv)28 b(ist.)165 3869
y(10.)41 b(Sei)28 b Fr(V)48 b Ft(ein)28 b(endlic)n(hdimensionaler)f(V)
-7 b(ektorraum)27 b(und)i Fr(f)k Ft(:)24 b Fr(V)43 b
Fo(\000)-49 b(!)25 b Fr(V)47 b Ft(eine)28 b(lineare)313
3968 y(Abbildung.)g(Zeigen)f(Sie:)345 4068 y(a\))42 b(Es)26
b(gelten)1036 4167 y(0)37 b Fo(\032)25 b Ft(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))25 b Fo(\032)g Ft(Ke)o(\()p Fr(f)1718
4137 y Fl(2)1755 4167 y Ft(\))h Fo(\032)e Ft(Ke\()p Fr(f)2086
4137 y Fl(3)2123 4167 y Ft(\))h Fo(\032)f Fr(:)14 b(:)g(:)1024
4267 y(V)43 b Fo(\033)35 b Ft(Bi)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))35
b Fo(\033)g Ft(Bi)o(\()p Fr(f)1708 4236 y Fl(2)1746 4267
y Ft(\))g Fo(\033)f Ft(Bi\()p Fr(f)2076 4236 y Fl(3)2113
4267 y Ft(\))h Fo(\033)24 b Fr(:)14 b(:)g(:)341 4423
y Ft(b\))42 b(W)-7 b(enn)35 b(Ke\()p Fr(f)887 4393 y
Fk(r)923 4423 y Ft(\))h(=)f(Ke\()p Fr(f)1275 4393 y Fk(r)r
Fl(+1)1395 4423 y Ft(\))h(gilt,)f(dann)g(gilt)g(auc)n(h)f(Ke\()p
Fr(f)2398 4393 y Fk(r)2434 4423 y Ft(\))i(=)f(Ke\()p
Fr(f)2786 4393 y Fk(r)r Fl(+)p Fk(i)2897 4423 y Ft(\))461
4523 y(und)28 b(Bi)o(\()p Fr(f)790 4493 y Fk(r)827 4523
y Ft(\))23 b(=)g(Bi\()p Fr(f)1134 4493 y Fk(r)r Fl(+)p
Fk(i)1245 4523 y Ft(\))28 b(f)1332 4527 y(\177)1330 4523
y(ur)g(alle)f Fr(i)c(>)f Ft(0.)p eop end
%%Page: 177 38
TeXDict begin 177 37 bop 1725 100 a Fn(5.5)43 b(Die)26
b(darstellende)g(Matrix)152 b(177)350 282 y Ft(c\))42
b(\()p Fp(Fitting-L)l(emma:)p Ft(\))1089 252 y Fl(3)1157
282 y Ft(Es)29 b(gibt)i(ein)f Fr(n)d(>)g Ft(0,)j(so)f(da\031)g
Fr(V)46 b Ft(=)27 b(Ke\()p Fr(f)2483 252 y Fk(n)2528
282 y Ft(\))20 b Fo(\010)g Ft(Bi\()p Fr(f)2829 252 y
Fk(n)2874 282 y Ft(\).)461 382 y(\(Hin)n(w)n(eis:)25
b(Man)f(zeige,)h(da\031)f(es)h(ein)g Fr(n)e Ft(=)g Fr(r)28
b Ft(wie)d(in)g(T)-7 b(eil)25 b(b\))h(gibt.)f(Dann)g(k)-5
b(ann)461 482 y(man)27 b(Ke\()p Fr(f)829 451 y Fk(n)874
482 y Ft(\))19 b Fo(\\)g Ft(Bi\()p Fr(f)1163 451 y Fk(n)1208
482 y Ft(\))24 b(=)f(0)28 b(b)r(ew)n(eisen)f(und)i(mit)f
(Dimensionsargumen)n(ten)461 581 y(die)f(Aussage)g(zeigen.\))341
681 y(d\))42 b(\()p Fp(Fitting-Zerle)l(gung:)p Ft(\))p
Fr(f)70 b Ft(ist)61 b(direkte)g(Summe)g(eines)g(Automorphism)n(us)461
780 y Fr(f)9 b Fo(j)534 795 y Fl(Bi)o(\()p Fk(f)663 779
y Ff(n)704 795 y Fl(\))764 780 y Ft(:)31 b(Bi\()p Fr(f)982
750 y Fk(n)1027 780 y Ft(\))f Fo(\000)-48 b(!)30 b Ft(Bi\()p
Fr(f)1383 750 y Fk(n)1428 780 y Ft(\))j(und)f(eines)g
Fp(nilp)l(otenten)g Ft(Endomorphism)n(us)461 880 y(\(eines)27
b(Endomorphism)n(us)f Fr(g)k Ft(mit)f Fr(g)1617 850 y
Fk(r)1676 880 y Ft(=)23 b(0\))k Fr(f)9 b Fo(j)1938 895
y Fl(Ke)o(\()p Fk(f)2083 878 y Ff(n)2124 895 y Fl(\))2177
880 y Ft(:)23 b(Ke)o(\()p Fr(f)2406 850 y Fk(n)2451 880
y Ft(\))h Fo(\000)-49 b(!)23 b Ft(Ke\()p Fr(f)2813 850
y Fk(n)2858 880 y Ft(\).)165 980 y(11.)41 b(Sei)28 b
Fr(f)j Ft(:)23 b Fm(R)625 950 y Fl(4)686 980 y Fo(\000)-49
b(!)23 b Fm(R)868 950 y Fl(3)933 980 y Ft(die)28 b(\(eindeutig)g(b)r
(estimm)n(te\))h Fm(R)p Ft(-lineare)d(Abbildung)i(mit)1156
1161 y Fr(f)9 b Ft(\(0)p Fr(;)41 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(2)p
Fr(;)g Ft(3\))27 b(=)c(\(3)p Fr(;)41 b Ft(5)p Fr(;)g
Ft(2\))1156 1261 y Fr(f)9 b Ft(\(1)p Fr(;)41 b Ft(2)p
Fr(;)g Ft(3)p Fr(;)g Ft(0\))27 b(=)c(\(0)p Fr(;)41 b
Ft(3)p Fr(;)g Ft(3\))1156 1361 y Fr(f)9 b Ft(\(2)p Fr(;)41
b Ft(3)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))27 b(=)c(\(1)p Fr(;)41
b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))1156 1460 y Fr(f)9 b Ft(\(3)p
Fr(;)41 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(2\))27 b(=)c(\(2)p
Fr(;)41 b Ft(3)p Fr(;)g Ft(1\))p Fr(:)313 1644 y Ft(Bestimmen)28
b(Sie)g(eine)f(Basis)g(v)n(on)g(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\).)165
1743 y(12.)41 b(Sei)31 b Fr(V)50 b Ft(ein)31 b(V)-7 b(ektorraum)30
b(und)h Fr(p)e Ft(:)f Fr(V)48 b Fo(\000)-48 b(!)28 b
Fr(V)50 b Ft(eine)31 b(Pro)5 b(jektion.)30 b(Zeigen)g(Sie,)h(da\031)313
1843 y(es)c(genau)g(eine)h(Pro)5 b(jektion)26 b Fr(q)g
Ft(:)d Fr(V)42 b Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(V)47 b Ft(gibt,)28
b(so)f(da\031)g(gilt:)1114 2026 y Fr(pq)f Ft(=)d Fr(q)s(p)g
Ft(=)f(0)166 b Fr(p)18 b Ft(+)g Fr(q)26 b Ft(=)d(id)2070
2038 y Fk(V)313 2208 y Ft(Dr)411 2212 y(\177)409 2208
y(uc)n(k)n(en)k(Sie)h(Kern)e(und)i(Bild)g(v)n(on)f Fr(q)k
Ft(durc)n(h)c(Kern)g(und)h(Bild)f(v)n(on)g Fr(p)h Ft(aus.)165
2308 y(13.)41 b(Sei)35 b Fr(V)54 b Ft(ein)35 b(endlic)n(hdimensionaler)
e(V)-7 b(ektorraum.)34 b(Es)g(gibt)h(genau)f(dann)h(einen)313
2408 y(Homomorphism)n(us)30 b Fr(f)37 b Ft(:)29 b Fr(V)48
b Fo(\000)-49 b(!)29 b Fr(V)50 b Ft(mit)32 b(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))29 b(=)g(Bi)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\),)32
b(w)n(enn)f(die)g(Dimension)313 2507 y(v)n(on)c Fr(V)46
b Ft(gerade)26 b(ist.)165 2607 y(14.)41 b(Sei)29 b Fr(V)48
b Ft(ein)28 b(V)-7 b(ektorraum)28 b(und)h Fr(v)1346 2619
y Fl(1)1384 2607 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)1608 2619
y Fk(n)1682 2607 y Ft(eine)29 b(Basis)f(v)n(on)g Fr(V)19
b Ft(.)29 b(F)2405 2611 y(\177)2403 2607 y(ur)f Fr(i)d
Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)313 2707 y Ft(sei)27
b Fr(f)474 2719 y Fk(i)524 2707 y Ft(:)c Fr(V)42 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(K)32 b Ft(diejenige)27 b(lineare)f(Abbildung,)i(die)f(auf)g
(der)f(gegeb)r(enen)g(Basis)313 2806 y(durc)n(h)1414
2906 y Fr(f)1455 2918 y Fk(i)1482 2906 y Ft(\()p Fr(v)1554
2918 y Fk(j)1590 2906 y Ft(\))d(=)g Fr(\016)1770 2918
y Fk(ij)313 3055 y Ft(b)r(estimm)n(t)28 b(ist)g(\(vgl.)g(Beispiel)f
(5.4.16\).)f(Zeigen)h(Sie:)345 3155 y(a\))42 b(F)517
3159 y(\177)515 3155 y(ur)27 b(alle)g Fr(v)g Fo(2)c Fr(V)46
b Ft(gilt:)28 b Fr(v)e Ft(=)1337 3093 y Fj(P)1425 3113
y Fk(n)1425 3180 y(i)p Fl(=1)1550 3155 y Fr(f)1591 3167
y Fk(i)1619 3155 y Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))p Fr(v)1766 3167
y Fk(i)341 3254 y Ft(b\))42 b(F)517 3258 y(\177)515 3254
y(ur)27 b(alle)g Fr(f)32 b Fo(2)23 b Fr(V)991 3224 y
Fi(\003)1052 3254 y Ft(:=)g(Hom\()p Fr(V)5 b(;)14 b(K)6
b Ft(\))28 b(gilt:)f Fr(f)32 b Ft(=)1926 3192 y Fj(P)2013
3213 y Fk(n)2013 3279 y(i)p Fl(=1)2139 3254 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)2261 3266 y Fk(i)2289 3254 y Ft(\))p Fr(f)2362
3266 y Fk(i)165 3354 y Ft(15.)41 b(Sei)24 b Fr(V)43 b
Ft(ein)24 b(endlic)n(hdimensionaler)e(V)-7 b(ektorraum.)23
b(Zeigen)g(Sie,)h(da\031)f Fr(V)2553 3324 y Fi(\003)2615
3354 y Ft(eb)r(enfalls)313 3454 y(endlic)n(hdimensional)k(ist)h(und)g
(dieselb)r(e)g(Dimension)f(wie)h Fr(V)47 b Ft(hat.)165
3553 y(16.)41 b(Sei)31 b Fr(K)36 b Ft(ein)31 b(K)759
3557 y(\177)759 3553 y(orp)r(er)f(und)h Fr(V)48 b Ft(=)28
b Fr(K)1417 3523 y Fl(\()p Fh(N)10 b Fl(\))1526 3553
y Ft(.)31 b(Zeigen)f(Sie,)h(da\031)f(es)h(Un)n(terv)n(ektorr)2738
3557 y(\177)2738 3553 y(aume)313 3653 y Fr(U)370 3665
y Fl(1)407 3653 y Ft(,)d Fr(U)515 3665 y Fl(2)575 3653
y Fo(\032)22 b Fr(V)47 b Ft(gibt)27 b(mit)i Fr(V)1170
3631 y Fo(\030)1170 3657 y Ft(=)1257 3653 y Fr(U)1314
3665 y Fl(1)1374 3631 y Fo(\030)1374 3657 y Ft(=)1462
3653 y Fr(U)1519 3665 y Fl(2)1583 3653 y Ft(und)f Fr(V)42
b Ft(=)23 b Fr(U)1984 3665 y Fl(1)2039 3653 y Fo(\010)18
b Fr(U)2179 3665 y Fl(2)2216 3653 y Ft(.)165 3977 y Fs(5.5)42
b(Die)c(darstellende)h(Matrix)165 4180 y Ft(Besonders)21
b(einfac)n(h)h(lassen)f(sic)n(h)h(Homomorphismen)f Fr(f)32
b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(W)34 b
Ft(darstellen,)21 b(w)n(enn)165 4280 y(die)34 b(V)-7
b(ektorr)581 4284 y(\177)581 4280 y(aume)33 b Fr(V)52
b Ft(und)34 b Fr(W)46 b Ft(in)34 b(der)f(F)-7 b(orm)33
b Fr(K)1751 4292 y Fk(n)1830 4280 y Ft(gegeb)r(en)g(sind.)h(Dazu)f
(de\014nieren)165 4379 y(wir)25 b(zun)435 4383 y(\177)435
4379 y(ac)n(hst)f(eine)h(Multiplik)-5 b(ation)26 b(v)n(on)e(Matrizen)g
(\(zur)h(De\014nition)g(vgl.)g(Absc)n(hnitt)165 4479
y(1\).)p 165 4553 394 4 v 195 4607 a Fe(3)255 4638 y
Fn(Hans)h(Fitting)g(\(1906-1938\))p eop end
%%Page: 178 39
TeXDict begin 178 38 bop 165 100 a Fn(178)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Fq(De\014nition)31 b(5.5.1)40 b Ft(Seien)24 b Fr(M)33
b Ft(eine)25 b Fr(m)12 b Fo(\002)g Fr(n)p Ft(-Matrix)22
b(und)j Fr(N)33 b Ft(eine)24 b Fr(n)12 b Fo(\002)g Fr(r)r
Ft(-Matrix.)23 b(Wir)165 382 y(de\014nieren)35 b(das)e(Pro)r(dukt)h
(der)g(b)r(eiden)h(Matrizen)f Fr(M)43 b Ft(und)35 b Fr(N)9
b Ft(,)34 b(genann)n(t)g Fp(Matrizen-)165 482 y(pr)l(o)l(dukt)p
Ft(,)28 b(als)f(eine)h Fr(m)18 b Fo(\002)g Fr(r)r Ft(-Matrix)28
b(durc)n(h)600 684 y Fr(M)f Fo(\001)18 b Fr(N)34 b Ft(=)938
592 y Fj(\020)987 622 y(P)1075 643 y Fk(n)1075 709 y(j)s
Fl(=1)1208 684 y Fr(\013)1261 696 y Fk(ij)1338 684 y
Fo(\001)18 b Fr(\014)1426 696 y Fk(j)s(k)1498 684 y Fo(j)p
Fr(i)23 b Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)p Ft(;)g
Fr(k)26 b Ft(=)c(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(r)2418
592 y Fj(\021)850 935 y Ft(=)938 743 y Fj(0)938 890 y(B)938
943 y(@)1037 738 y(P)1125 759 y Fk(n)1125 826 y(j)s Fl(=1)1257
801 y Fr(\013)1310 813 y Fl(1)p Fk(j)1397 801 y Fo(\001)19
b Fr(\014)1486 813 y Fk(j)s Fl(1)1650 801 y Fr(:)14 b(:)g(:)1842
738 y Fj(P)1930 759 y Fk(n)1930 826 y(j)s Fl(=1)2063
801 y Fr(\013)2116 813 y Fl(1)p Fk(j)2202 801 y Fo(\001)19
b Fr(\014)2291 813 y Fk(j)s(r)1284 904 y Ft(.)1284 937
y(.)1284 970 y(.)2089 904 y(.)2089 937 y(.)2089 970 y(.)1024
1008 y Fj(P)1112 1028 y Fk(n)1112 1095 y(j)s Fl(=1)1245
1070 y Fr(\013)1298 1082 y Fk(mj)1410 1070 y Fo(\001)f
Fr(\014)1498 1082 y Fk(j)s Fl(1)1650 1070 y Fr(:)c(:)g(:)1829
1008 y Fj(P)1917 1028 y Fk(n)1917 1095 y(j)s Fl(=1)2050
1070 y Fr(\013)2103 1082 y Fk(mj)2215 1070 y Fo(\001)19
b Fr(\014)2304 1082 y Fk(j)s(r)2385 743 y Fj(1)2385 890
y(C)2385 943 y(A)2472 935 y Fr(:)165 1240 y Ft(Man)31
b(k)-5 b(ann)31 b(also)e(zw)n(ei)h(Matrizen)g(genau)g(dann)h
(miteinander)f(m)n(ultiplizieren,)h(w)n(enn)165 1339
y(die)41 b(Anzahl)g(der)f(Spalten)h(der)f(ersten)g(Matrix)g(mit)h(der)f
(Anzahl)h(der)f(Zeilen)h(der)165 1439 y(zw)n(eiten)28
b(Matrix)742 1443 y(\177)740 1439 y(ub)r(ereinstimm)n(t.)290
1605 y(Die)e(Kronec)n(k)n(er)d(F)-7 b(unktion)27 b(\(vgl.)e(5.2.4)g
(4.\))h(gibt)g(Anla\031)f(zur)h(De\014nition)g(der)g
Fp(Ein-)165 1704 y(heitsmatrix)39 b Fr(E)669 1716 y Fk(n)737
1704 y Ft(=)23 b(\()p Fr(\016)894 1716 y Fk(ij)952 1704
y Fo(j)p Fr(i;)14 b(j)28 b Fo(2)23 b(f)p Ft(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Fo(g)p Ft(\))23 b Fo(2)g Fr(K)1751
1674 y Fk(n)1745 1725 y(n)1796 1704 y Ft(.)k(Es)g(ist)h(also)1036
2098 y Fr(E)1097 2110 y Fk(n)1166 2098 y Ft(=)1253 1831
y Fj(0)1253 1978 y(B)1253 2027 y(B)1253 2077 y(B)1253
2127 y(B)1253 2180 y(@)1340 1882 y Ft(1)82 b(0)h(0)f
Fr(:)14 b(:)g(:)83 b Ft(0)1340 1981 y(0)f(1)h(0)f Fr(:)14
b(:)g(:)83 b Ft(0)1340 2081 y(0)f(0)h(1)f Fr(:)14 b(:)g(:)83
b Ft(0)1349 2148 y(.)1349 2181 y(.)1349 2214 y(.)1474
2148 y(.)1474 2181 y(.)1474 2214 y(.)1598 2148 y(.)1598
2181 y(.)1598 2214 y(.)1903 2148 y(.)1903 2181 y(.)1903
2214 y(.)1340 2314 y(0)f(0)h(0)f Fr(:)14 b(:)g(:)83 b
Ft(1)1949 1831 y Fj(1)1949 1978 y(C)1949 2027 y(C)1949
2077 y(C)1949 2127 y(C)1949 2180 y(A)2035 2098 y Fr(:)290
2484 y Ft(Einige)31 b(Rec)n(henregeln)g(lassen)f(sic)n(h)i(leic)n(h)n
(t)f(nac)n(hrec)n(hnen)g(und)h(w)n(erden)f(hier)h(n)n(ur)165
2583 y(angegeb)r(en.)c(Bei)h(Matrizenpro)r(dukten)g(nehmen)g(wir)g
(immer)g(an,)g(da\031)f(sic)n(h)h(die)g(Ma-)165 2683
y(trizen)f(nac)n(h)g(der)g(v)n(orherigen)e(Bemerkung)h(miteinander)h(m)
n(ultiplizieren)g(lassen.)g(Es)165 2783 y(gelten)g(im)g(einzelnen:)737
2960 y Fr(M)f Fo(\001)18 b Ft(\()p Fr(N)28 b Fo(\001)18
b Fr(P)12 b Ft(\))23 b(=)g(\()p Fr(M)k Fo(\001)19 b Fr(N)9
b Ft(\))18 b Fo(\001)h Fr(P)r(;)511 b Ft(\(M1\))737 3059
y Fr(M)27 b Fo(\001)18 b Ft(\()p Fr(N)28 b Ft(+)18 b
Fr(P)12 b Ft(\))23 b(=)f Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(N)27
b Ft(+)18 b Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(P)r(;)343 b Ft(\(M2\))737
3159 y(\()p Fr(M)27 b Ft(+)18 b Fr(N)9 b Ft(\))18 b Fo(\001)h
Fr(P)35 b Ft(=)22 b Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(P)30 b
Ft(+)18 b Fr(N)27 b Fo(\001)19 b Fr(P)r(;)368 b Ft(\(M3\))737
3259 y Fr(M)27 b Fo(\001)18 b Ft(\()p Fr(\025)h Fo(\001)g
Fr(N)9 b Ft(\))23 b(=)f(\()p Fr(\025)e Fo(\001)e Fr(M)9
b Ft(\))18 b Fo(\001)h Fr(N)32 b Ft(=)22 b Fr(\025)d
Fo(\001)g Ft(\()p Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(N)9 b Ft(\))p
Fr(;)25 b Ft(\(M4\))737 3358 y Fr(E)798 3370 y Fk(m)879
3358 y Fo(\001)19 b Fr(M)31 b Ft(=)23 b Fr(M)32 b Ft(=)22
b Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(E)1532 3370 y Fk(n)1605 3358
y Ft(f)1632 3362 y(\177)1630 3358 y(ur)28 b Fr(M)j Fo(2)24
b Fr(K)2005 3328 y Fk(n)1999 3379 y(m)2061 3358 y Fr(:)117
b Ft(\(M5\))165 3537 y Fq(Beispiel)30 b(5.5.2)40 b Ft(Mit)32
b(diesen)f(Hilfsmitteln)j(k)1683 3541 y(\177)1683 3537
y(onnen)d(wir)g(jetzt)i(das)e(b)r(ek)-5 b(ann)n(te)32
b(Bei-)165 3732 y(spiel)e(der)g(linearen)f(Abbildung)h
Fr(f)36 b Ft(:)27 b Fr(V)46 b Fo(\000)-49 b(!)27 b Fr(W)42
b Ft(mit)31 b Fr(f)1914 3565 y Fj(0)1914 3714 y(@)2002
3632 y Fr(\030)2000 3732 y(\021)2001 3831 y(\020)2058
3565 y Fj(1)2058 3714 y(A)2158 3732 y Ft(:=)2273 3615
y Fj(\022)2349 3682 y Fr(\030)2348 3782 y(\020)2404 3615
y Fj(\023)2495 3732 y Ft(auc)n(h)e(anders)165 4039 y(b)r(esc)n(hreib)r
(en.)f(F)695 4043 y(\177)693 4039 y(ur)799 3872 y Fj(0)799
4022 y(@)888 3939 y Fr(\030)886 4039 y(\021)887 4139
y(\020)944 3872 y Fj(1)944 4022 y(A)1040 4039 y Fo(2)23
b Fm(R)1178 4051 y Fl(3)1243 4039 y Ft(gilt)k(n)1436
4043 y(\177)1436 4039 y(amlic)n(h)823 4429 y Fr(f)886
4262 y Fj(0)886 4412 y(@)975 4330 y Fr(\030)973 4429
y(\021)974 4529 y(\020)1031 4262 y Fj(1)1031 4412 y(A)1126
4429 y Ft(=)1214 4312 y Fj(\022)1290 4379 y Fr(\030)1289
4479 y(\020)1345 4312 y Fj(\023)1430 4429 y Ft(=)1517
4312 y Fj(\022)1592 4379 y Ft(1)83 b(0)f(0)1592 4479
y(0)h(0)f(1)1897 4312 y Fj(\023)1976 4429 y Fo(\001)2018
4262 y Fj(0)2018 4412 y(@)2106 4330 y Fr(\030)2104 4429
y(\021)2105 4529 y(\020)2162 4262 y Fj(1)2162 4412 y(A)2249
4429 y Fr(:)p eop end
%%Page: 179 40
TeXDict begin 179 39 bop 1725 100 a Fn(5.5)43 b(Die)26
b(darstellende)g(Matrix)152 b(179)165 282 y Ft(W)-7 b(egen)27
b(der)f(ob)r(en)g(angegeb)r(enen)f(Rec)n(henregeln)h(\(M3\))g(und)h
(\(M4\))g(folgt)f(direkt,)g(da\031)165 482 y(die)g(Multiplik)-5
b(ation)26 b(der)f(Spalten)n(v)n(ektoren)1587 315 y Fj(0)1587
464 y(@)1676 382 y Fr(\030)1674 482 y(\021)1675 581 y(\020)1732
315 y Fj(1)1732 464 y(A)1830 482 y Ft(v)n(on)g(links)g(mit)h(der)f
(angegeb)r(enen)165 676 y(Matrix)30 b(eine)h(lineare)f(Abbildung)h
(ist.)g(Allgemein)f(halten)h(wir)f(den)h(folgenden)f(Satz)165
776 y(fest.)165 942 y Fq(Satz)j(5.5.3)40 b Fp(Sei)31
b Fr(M)g Fp(eine)e Fr(m)r Fo(\002)r Fr(n)p Fp(-Matrix.)23
b(Die)g(Multiplikation)h(auf)f(Sp)l(altenvektor)l(en)165
1041 y(aus)48 b Fr(K)405 1053 y Fk(n)491 1041 y Fp(von)42
b(links)f(mit)49 b Fr(M)h Fp(ist)41 b(eine)h(line)l(ar)l(e)g(A)n
(bbildung)49 b Fr(f)j Ft(:)44 b Fr(K)2399 1053 y Fk(n)2488
1041 y Fo(\000)-46 b(!)43 b Fr(K)2704 1053 y Fk(m)2808
1041 y Fp(mit)165 1261 y Fr(f)229 1069 y Fj(0)229 1215
y(B)229 1268 y(@)319 1136 y Fr(\030)355 1148 y Fl(1)343
1220 y Fp(.)343 1253 y(.)343 1286 y(.)315 1386 y Fr(\030)351
1398 y Fk(n)411 1069 y Fj(1)411 1215 y(C)411 1268 y(A)506
1261 y Ft(=)23 b Fr(M)k Fo(\001)743 1069 y Fj(0)743 1215
y(B)743 1268 y(@)834 1136 y Fr(\030)870 1148 y Fl(1)858
1220 y Fp(.)858 1253 y(.)858 1286 y(.)830 1386 y Fr(\030)866
1398 y Fk(n)925 1069 y Fj(1)925 1215 y(C)925 1268 y(A)1021
1261 y Ft(=)1109 1069 y Fj(0)1109 1215 y(B)1109 1268
y(@)1208 1136 y Fr(\021)1249 1148 y Fl(1)1235 1220 y
Fp(.)1235 1253 y(.)1235 1286 y(.)1195 1386 y Fr(\021)1236
1398 y Fk(m)1313 1069 y Fj(1)1313 1215 y(C)1313 1268
y(A)1386 1261 y Fp(,)j(wob)l(ei)1267 1643 y Fr(\021)1308
1655 y Fk(i)1359 1643 y Ft(=)22 b(\()1518 1539 y Fk(n)1478
1564 y Fj(X)1481 1741 y Fk(j)s Fl(=1)1612 1643 y Fr(\013)1665
1655 y Fk(ij)1724 1643 y Fr(\030)1760 1655 y Fk(j)1795
1643 y Ft(\))932 b(\()p Fp(D1)q Ft(\))165 1935 y Fp(gilt.)31
b(Wir)g(b)l(ezeichnen)g(diese)h(line)l(ar)l(e)f(A)n(bbildung)f
Fr(f)39 b Fp(auch)31 b(mit)2228 1914 y Fj(c)2218 1935
y Fr(M)i Ft(:)24 b Fr(K)2450 1947 y Fk(n)2519 1935 y
Fo(\000)-47 b(!)24 b Fr(K)2715 1947 y Fk(m)2778 1935
y Fp(.)31 b(Zu)165 2035 y(je)l(der)37 b(line)l(ar)l(en)f(A)n(bbildung)
44 b Fr(f)e Ft(:)35 b Fr(K)1307 2047 y Fk(n)1385 2035
y Fo(\000)-46 b(!)34 b Fr(K)1592 2047 y Fk(m)1691 2035
y Fp(gibt)i(es)g(genau)f(eine)i(Matrix)46 b Fr(M)e Fp(mit)165
2134 y Fr(f)32 b Ft(=)336 2113 y Fj(c)326 2134 y Fr(M)8
b Fp(,)30 b(genannt)59 b Ft(darstellende)27 b(Matrix)p
Fp(.)165 2309 y(Beweis.)44 b Ft(Die)30 b(erste)f(Aussage)f(ist)i(wie)f
(sc)n(hon)g(gesagt)f(eine)h(F)-7 b(olge)29 b(der)g(Rec)n(henregeln)165
2408 y(\(M3\))g(und)g(\(M4\).)f(Ist)h(umgek)n(ehrt)e
Fr(f)33 b Ft(:)24 b Fr(K)1503 2420 y Fk(n)1572 2408 y
Fo(\000)-48 b(!)24 b Fr(K)1767 2420 y Fk(m)1858 2408
y Ft(eine)k(lineare)f(Abbildung,)i(so)f(er-)165 2508
y(halten)21 b(wir)g Fr(n)g Ft(V)-7 b(ektoren)21 b Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(e)1088 2520 y Fk(j)1122 2508 y Ft(\))p Fr(;)14
b(j)28 b Ft(=)23 b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)21
b Ft(in)g Fr(K)1799 2520 y Fk(m)1862 2508 y Ft(,)g(die)g(eine)g
(eindeutig)g(b)r(estimm)n(te)165 2608 y(Basisdarstellung)1212
2769 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(e)1333 2781 y Fk(j)1368 2769
y Ft(\))23 b(=)1541 2665 y Fk(m)1511 2690 y Fj(X)1517
2867 y Fk(i)p Fl(=1)1644 2769 y Fr(\013)1697 2781 y Fk(ij)1774
2769 y Fo(\001)c Fr(e)1855 2781 y Fk(i)2760 2769 y Ft(\(D2\))165
3017 y(hab)r(en.)28 b(Wir)g(erhalten)g(also)e(eine)i(Matrix)g
Fr(M)k Ft(=)23 b(\()p Fr(\013)1829 3029 y Fk(ij)1888
3017 y Ft(\))28 b(und)g(b)r(ehaupten)g Fr(f)33 b Ft(=)2694
2996 y Fj(c)2684 3017 y Fr(M)8 b Ft(.)28 b(Da)165 3132
y(so)n(w)n(ohl)34 b Fr(f)45 b Ft(als)35 b(auc)n(h)874
3111 y Fj(c)864 3132 y Fr(M)44 b Ft(lineare)35 b(Abbildungen)h(sind,)g
(gen)2098 3136 y(\177)2096 3132 y(ugt)g(es)f(nac)n(h)g(5.4.6,)g(ihre)
165 3232 y(Op)r(eration)27 b(auf)h(den)f(Basisv)n(ektoren)f(zu)h(v)n
(ergleic)n(hen.)f(Es)h(ist)848 3534 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(e)969 3546 y Fk(j)1004 3534 y Ft(\))23 b(=)1177 3431
y Fk(m)1147 3455 y Fj(X)1153 3632 y Fk(i)p Fl(=1)1281
3534 y Fr(\013)1334 3546 y Fk(ij)1392 3534 y Fr(e)1431
3546 y Fk(i)1482 3534 y Ft(=)1569 3343 y Fj(0)1569 3489
y(B)1569 3542 y(@)1669 3406 y Fr(\013)1722 3418 y Fl(1)p
Fk(j)1718 3497 y Ft(.)1718 3530 y(.)1718 3563 y(.)1656
3663 y Fr(\013)1709 3675 y Fk(mj)1817 3343 y Fj(1)1817
3489 y(C)1817 3542 y(A)1912 3534 y Ft(=)g Fr(M)k Fo(\001)18
b Fr(e)2188 3546 y Fk(j)2223 3534 y Fr(;)165 3862 y Ft(also)38
b(ist)h Fr(f)50 b Ft(=)678 3842 y Fj(c)668 3862 y Fr(M)8
b Ft(.)39 b(Insb)r(esondere)f(ergibt)1586 3842 y Fj(c)1576
3862 y Fr(M)9 b Ft(\()p Fr(e)1737 3874 y Fk(j)1772 3862
y Ft(\))42 b(=)f Fr(M)35 b Fo(\001)26 b Fr(e)2156 3874
y Fk(j)2229 3862 y Ft(die)39 b Fr(j)5 b Ft(-te)39 b(Spalte)g(der)165
3978 y(Matrix)25 b Fr(M)9 b Ft(.)24 b(Deshalb)h(ist)g
Fr(M)33 b Ft(durc)n(h)1360 3957 y Fj(c)1350 3978 y Fr(M)e
Ft(=)23 b Fr(f)33 b Ft(eindeutig)25 b(b)r(estimm)n(t.)h(Au\031erdem)e
(wird)165 4077 y(das)g(Bild)h(v)n(on)f Fr(f)34 b Ft(v)n(on)23
b(den)i(V)-7 b(ektoren)24 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(e)1493
4089 y Fk(j)1528 4077 y Ft(\),)25 b(also)f(v)n(on)g(den)g(Spalten)n(v)n
(ektoren)g(v)n(on)g Fr(M)165 4177 y Ft(aufgespann)n(t.)165
4351 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.5.4)40 b Fp(Sei)29 b
Fr(f)j Ft(:)23 b Fr(K)1175 4363 y Fk(m)1260 4351 y Fo(\000)-46
b(!)23 b Fr(K)1456 4363 y Fk(n)1530 4351 y Fp(eine)29
b(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung.)f(Dann)g(ist)f(der)i
Fr(i)p Fp(-)165 4451 y(te)25 b(Sp)l(altenvektor)g(der)h(darstel)t
(lenden)g(Matrix)f Fr(M)34 b Fp(mit)1943 4430 y Fj(c)1933
4451 y Fr(M)e Ft(=)23 b Fr(f)33 b Fp(ge)l(geb)l(en)25
b(dur)l(ch)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(e)2844 4463 y Fk(i)2871
4451 y Ft(\))p Fp(.)165 4563 y(Weiter)29 b(ist)f(das)g(Bild)i(von)1043
4542 y Fj(c)1033 4563 y Fr(M)37 b Fp(der)28 b(von)g(den)h(Sp)l
(altenvektor)l(en)f(von)g Fr(M)37 b Fp(aufgesp)l(annte)165
4663 y(Untervektorr)l(aum)29 b(von)h Fr(K)1037 4675 y
Fk(n)1082 4663 y Fp(.)p eop end
%%Page: 180 41
TeXDict begin 180 40 bop 165 100 a Fn(180)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)290 282
y Ft(Dieses)31 b(Ergebnis)e(w)n(erden)h(wir)h(sp)1406
286 y(\177)1406 282 y(ater)f(viel)h(v)n(erw)n(enden.)f(Man)h(b)r(eac)n
(h)n(te)f(jedo)r(c)n(h,)165 382 y(da\031)19 b(das)g(Ergebnis)f(n)n(ur)h
(f)958 386 y(\177)956 382 y(ur)h(V)-7 b(ektorr)1331 386
y(\177)1331 382 y(aume)18 b(der)i(F)-7 b(orm)19 b Fr(K)1960
394 y Fk(n)2024 382 y Ft(gilt,)h(nic)n(h)n(t)f(ab)r(er)g(f)2592
386 y(\177)2590 382 y(ur)h(andere)165 482 y(V)-7 b(ektorr)441
486 y(\177)441 482 y(aume,)25 b(z.B.)i(Un)n(terv)n(ektorr)1323
486 y(\177)1323 482 y(aume)d(v)n(on)h Fr(K)1767 494 y
Fk(n)1812 482 y Ft(.)h(Aus)h(der)f(F)-7 b(olgerung)25
b(ergibt)h(sic)n(h)165 581 y(w)n(eiter,)31 b(da\031)g(der)g(Rang)g(v)n
(on)1139 560 y Fj(c)1129 581 y Fr(M)40 b Ft(mit)32 b(der)f(Dimension)h
(des)f(v)n(on)g(den)h(Spalten)n(v)n(ekto-)165 681 y(ren)25
b(v)n(on)f Fr(M)34 b Ft(aufgespann)n(ten)24 b(Un)n(terv)n(ektorraumes)
1840 685 y(\177)1838 681 y(ub)r(ereinstimm)n(t.)h(Wir)g(de\014nieren)
165 780 y(daher)165 941 y Fq(De\014nition)31 b(5.5.5)40
b Ft(Der)22 b Fp(Sp)l(altenr)l(ang)52 b Ft(rg\()p Fr(M)9
b Ft(\))23 b(einer)f(Matrix)f Fr(M)31 b Ft(ist)23 b(die)f(Dimension)165
1041 y(des)28 b(v)n(on)f(den)g(Spalten)n(v)n(ektoren)f(v)n(on)h
Fr(M)37 b Ft(aufgespann)n(ten)26 b(Un)n(terv)n(ektorraumes.)290
1140 y(Der)e Fp(Zeilenr)l(ang)57 b Ft(einer)23 b(Matrix)h
Fr(M)33 b Ft(ist)24 b(die)g(Dimension)h(des)f(v)n(on)f(den)i(Zeilen)n
(v)n(ek-)165 1240 y(toren)i(v)n(on)g Fr(M)36 b Ft(aufgespann)n(ten)27
b(Un)n(terv)n(ektorraumes.)290 1400 y(In)39 b(Lemma)g(5.4.2)f(hab)r(en)
i(wir)f(gezeigt,)f(da\031)h(die)g(V)-7 b(erkn)2179 1404
y(\177)2177 1400 y(upfung)40 b(zw)n(eier)e(linea-)165
1500 y(rer)27 b(Abbildungen)h(wieder)f(eine)g(lineare)f(Abbildung)i
(ergibt.)f(F)2213 1504 y(\177)2211 1500 y(ur)h(V)-7 b(ektorr)2594
1504 y(\177)2594 1500 y(aume)26 b(der)165 1600 y(F)-7
b(orm)28 b Fr(K)455 1612 y Fk(n)527 1600 y Ft(erhalten)f(wir)g(den)h
(folgenden)f(Zusammenhang.)165 1760 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(5.5.6)40 b Fp(Seien)g Fr(f)50 b Ft(:)42 b Fr(K)1308
1772 y Fk(r)1385 1760 y Fo(\000)-46 b(!)42 b Fr(K)1600
1772 y Fk(m)1702 1760 y Fp(und)d Fr(g)44 b Ft(:)e Fr(K)2095
1772 y Fk(m)2199 1760 y Fo(\000)-46 b(!)41 b Fr(K)2413
1772 y Fk(n)2498 1760 y Fp(zwei)f(line)l(ar)l(e)165 1860
y(A)n(bbildungen)30 b(mit)e(den)h(darstel)t(lenden)i(Matrizen)e
Fr(M)38 b Fp(bzw.)29 b Fr(N)9 b Fp(.)29 b(Dann)g(ist)g
Fr(N)c Fo(\001)17 b Fr(M)37 b Fp(die)165 1959 y(darstel)t(lende)32
b(Matrix)e(der)g(line)l(ar)l(en)g(A)n(bbildung)h Fr(g)s(f)g
Ft(:)23 b Fr(K)1977 1971 y Fk(r)2036 1959 y Fo(\000)-46
b(!)23 b Fr(K)2232 1971 y Fk(n)2277 1959 y Fp(,)30 b(d.h.)h(es)f(gilt)
1307 2112 y Fj(b)1285 2133 y Fr(N)1371 2112 y Fj(c)1361
2133 y Fr(M)h Ft(=)1614 2112 y Fj(d)1561 2133 y Fr(N)c
Fo(\001)19 b Fr(M)8 b(:)165 2306 y Fp(Weiterhin)23 b(hat)f(die)g
(identische)h(A)n(bbildung)f Ft(id)h(:)g Fr(K)1775 2318
y Fk(n)1843 2306 y Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(K)2039 2318
y Fk(n)2105 2306 y Fp(die)g(darstel)t(lende)g(Matrix)165
2406 y Fr(E)226 2418 y Fk(n)272 2406 y Fp(.)165 2687
y(Beweis.)44 b Ft(W)-7 b(enn)29 b Fr(f)34 b Ft(=)893
2666 y Fj(c)883 2687 y Fr(M)j Ft(und)30 b Fr(g)d Ft(=)1348
2666 y Fj(b)1326 2687 y Fr(N)38 b Ft(gelten,)29 b(so)f(gilt)h(f)1979
2691 y(\177)1977 2687 y(ur)g(jeden)g(V)-7 b(ektor)2576
2495 y Fj(0)2576 2641 y(B)2576 2695 y(@)2676 2563 y Fr(\030)2712
2575 y Fl(1)2701 2646 y Ft(.)2701 2679 y(.)2701 2712
y(.)2663 2812 y Fr(\030)2699 2824 y Fk(m)2776 2495 y
Fj(1)2776 2641 y(C)2776 2695 y(A)2874 2687 y Fo(2)165
3044 y Fr(K)236 3056 y Fk(m)326 3044 y Ft(die)27 b(Gleic)n(h)n(ung)g
Fr(g)s(f)953 2852 y Fj(0)953 2998 y(B)953 3052 y(@)1052
2920 y Fr(\030)1088 2932 y Fl(1)1077 3003 y Ft(.)1077
3036 y(.)1077 3069 y(.)1039 3169 y Fr(\030)1075 3181
y Fk(m)1153 2852 y Fj(1)1153 2998 y(C)1153 3052 y(A)1248
3044 y Ft(=)c Fr(N)j Fo(\001)18 b Ft(\()p Fr(M)26 b Fo(\001)1649
2852 y Fj(0)1649 2998 y(B)1649 3052 y(@)1749 2920 y Fr(\030)1785
2932 y Fl(1)1774 3003 y Ft(.)1774 3036 y(.)1774 3069
y(.)1736 3169 y Fr(\030)1772 3181 y Fk(m)1849 2852 y
Fj(1)1849 2998 y(C)1849 3052 y(A)1922 3044 y Ft(\))d(=)g(\()p
Fr(N)j Fo(\001)18 b Fr(M)9 b Ft(\))17 b Fo(\001)2411
2852 y Fj(0)2411 2998 y(B)2411 3052 y(@)2510 2920 y Fr(\030)2546
2932 y Fl(1)2535 3003 y Ft(.)2535 3036 y(.)2535 3069
y(.)2497 3169 y Fr(\030)2533 3181 y Fk(m)2610 2852 y
Fj(1)2610 2998 y(C)2610 3052 y(A)2710 3044 y Ft(w)n(egen)165
3268 y(\(M1\).)k(Das)g(ist)f(die)h(erste)f(Behauptung.)h(Die)g(zw)n
(eite)f(Behauptung)g(folgt)h(durc)n(h)f(\(M5\).)165 3433
y Fq(De\014nition)31 b(5.5.7)40 b Ft(Wir)e(nennen)g(eine)g(Matrix)f
Fr(M)84 b Fp(invertierb)l(ar)48 b Ft(o)r(der)75 b Fp(r)l(e)l(gul)2828
3437 y(\177)2829 3433 y(ar)p Ft(,)165 3533 y(w)n(enn)23
b(es)g(Matrizen)f Fr(N)32 b Ft(und)24 b Fr(N)1153 3503
y Fi(0)1199 3533 y Ft(gibt)f(mit)g Fr(M)18 b Fo(\001)9
b Fr(N)32 b Ft(=)23 b Fr(E)1891 3545 y Fk(m)1977 3533
y Ft(und)h Fr(N)2215 3503 y Fi(0)2247 3533 y Fo(\001)9
b Fr(M)32 b Ft(=)22 b Fr(E)2540 3545 y Fk(n)2586 3533
y Ft(.)h Fr(N)32 b Ft(\(bzw.)165 3633 y Fr(N)241 3603
y Fi(0)264 3633 y Ft(\))c(hei\031t)f(dann)g(auc)n(h)53
b Fp(inverse)34 b Ft(Matrix)26 b(zu)h Fr(M)9 b Ft(.)27
b(Ist)g(eine)g(Matrix)g(nic)n(h)n(t)g(regul)2732 3637
y(\177)2732 3633 y(ar,)e(so)165 3732 y(hei\031t)j(sie)f(auc)n(h)55
b Fp(singul)926 3736 y(\177)927 3732 y(ar)p Ft(.)290
3893 y(Es)31 b(ist)h(leic)n(h)n(t)g(zu)g(sehen,)g(da\031)f(die)i(in)n
(v)n(erse)d(Matrix)h(zu)i Fr(M)40 b Ft(eindeutig)32 b(b)r(estimm)n(t)
165 3992 y(ist,)38 b(denn)g(gilt)f Fr(N)760 3962 y Fi(0)808
3992 y Fo(\001)25 b Fr(M)48 b Ft(=)38 b Fr(E)1149 4004
y Fk(n)1232 3992 y Ft(und)g Fr(M)c Fo(\001)25 b Fr(N)48
b Ft(=)38 b Fr(E)1850 4004 y Fk(m)1914 3992 y Ft(,)f(so)g(folgt)g
Fr(N)2363 3962 y Fi(0)2425 3992 y Ft(=)i Fr(N)2605 3962
y Fi(0)2653 3992 y Fo(\001)25 b Fr(E)2762 4004 y Fk(m)2865
3992 y Ft(=)165 4092 y Fr(N)241 4062 y Fi(0)271 4092
y Fo(\001)7 b Fr(M)15 b Fo(\001)7 b Fr(N)32 b Ft(=)23
b Fr(E)675 4104 y Fk(n)727 4092 y Fo(\001)7 b Fr(N)32
b Ft(=)22 b Fr(N)9 b Ft(.)22 b(Wir)g(w)n(erden)f(daher)g(diese)g
(eindeutig)h(b)r(estimm)n(te)h(in)n(v)n(erse)165 4192
y(Matrix)j(zu)g Fr(M)35 b Ft(auc)n(h)26 b(mit)g Fr(M)1101
4162 y Fi(\000)p Fl(1)1216 4192 y Ft(b)r(ezeic)n(hnen.)h(Auf)g(Metho)r
(den)g(der)e(Berec)n(hn)n(ung)g(v)n(on)165 4291 y(in)n(v)n(ersen)d
(Matrizen)h(w)n(erden)f(wir)h(im)g(n)1410 4295 y(\177)1410
4291 y(ac)n(hsten)g(Kapitel)g(eingehen.)f(W)-7 b(egen)23
b(der)g(ob)r(en)165 4391 y(dargestellten)k(Zusammenh)1094
4395 y(\177)1094 4391 y(ange)g(zwisc)n(hen)g(linearen)g(Abbildungen)h
(und)h(Matrizen)165 4491 y(folgt)f(n)n(un)g(unmittelbar)165
4664 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(5.5.8)40 b Fp(F)900 4668
y(\177)900 4664 y(ur)29 b(eine)i(invertierb)l(ar)l(e)f(Matrix)h
Fr(M)38 b Fp(gilt)2236 4638 y Fj(d)2207 4664 y Fr(M)2297
4640 y Fi(\000)p Fl(1)2409 4664 y Ft(=)22 b(\()2538 4643
y Fj(c)2528 4664 y Fr(M)9 b Ft(\))2650 4634 y Fi(\000)p
Fl(1)2740 4664 y Fp(.)p eop end
%%Page: 181 42
TeXDict begin 181 41 bop 1725 100 a Fn(5.5)43 b(Die)26
b(darstellende)g(Matrix)152 b(181)165 282 y Fq(Beispiele)30
b(5.5.9)81 b Ft(1.)41 b(Die)22 b(neu)f(eingef)1459 286
y(\177)1457 282 y(uhrten)g(Begri\013e)f(sollen)h(n)n(un)g(an)g(einigen)
g(Bei-)313 382 y(spielen)27 b(erl)678 386 y(\177)678
382 y(autert)g(w)n(erden.)g(Zun)1377 386 y(\177)1377
382 y(ac)n(hst)g(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(wir)h(die)h(lineare)f(Abbildung)
313 577 y Fr(f)42 b Ft(=)504 556 y Fj(c)494 577 y Fr(M)g
Ft(:)33 b Fm(R)733 589 y Fl(2)804 577 y Fo(\000)-49 b(!)34
b Fm(R)997 589 y Fl(3)1068 577 y Ft(mit)g Fr(M)42 b Ft(=)1447
410 y Fj(0)1447 559 y(@)1533 477 y Ft(1)83 b(0)1533 577
y(0)g(1)1533 676 y(0)g(0)1713 410 y Fj(1)1713 559 y(A)1800
577 y Fr(:)34 b Ft(Dann)g(gilt)f Fr(f)2305 459 y Fj(\022)2380
527 y Fr(\030)2416 539 y Fl(1)2380 626 y Fr(\030)2416
638 y Fl(2)2467 459 y Fj(\023)2562 577 y Ft(=)2660 410
y Fj(0)2660 559 y(@)2746 477 y Fr(\030)2782 489 y Fl(1)2746
577 y Fr(\030)2782 589 y Fl(2)2762 676 y Ft(0)2833 410
y Fj(1)2833 559 y(A)2906 577 y Ft(.)313 771 y(Diese)e(lineare)e
(Abbildung)j(ist)e(injektiv,)i(ab)r(er)e(nic)n(h)n(t)g(surjektiv.)h
(Sie)f(b)r(ettet)i(die)313 871 y(\()p Fr(\030)381 883
y Fl(1)419 871 y Fr(;)14 b(\030)492 883 y Fl(2)529 871
y Ft(\)-Eb)r(ene)28 b(in)g(den)f Fm(R)1155 883 y Fl(3)1220
871 y Ft(ein.)207 1070 y(2.)41 b(Die)33 b(lineare)e(Abbildung)i
Fr(f)39 b Ft(=)1339 1049 y Fj(c)1329 1070 y Fr(M)i Ft(mit)33
b Fr(M)39 b Ft(=)1824 903 y Fj(0)1824 1053 y(@)1910 970
y Ft(1)1910 1070 y(1)1910 1170 y(1)1965 903 y Fj(1)1965
1053 y(A)2070 1070 y Ft(bildet)33 b(die)f(reelle)g(Gerade)313
1265 y Fm(R)d Ft(auf)h(die)f(Raumdiagonale)f(des)h Fm(R)1474
1277 y Fl(3)1541 1265 y Ft(ab.)g(Sie)g(ist)h(eb)r(enfalls)g(injektiv)f
(und)h(nic)n(h)n(t)313 1364 y(surjektiv.)207 1509 y(3.)41
b(Die)33 b(lineare)f(Abbildung)h Fr(f)40 b Ft(=)1343
1488 y Fj(c)1332 1509 y Fr(M)i Ft(mit)33 b Fr(M)40 b
Ft(=)1829 1392 y Fj(\022)1904 1459 y Ft(1)83 b(0)f(0)1904
1559 y(0)h(1)f(0)2209 1392 y Fj(\023)2302 1509 y Ft(pro)5
b(jiziert)32 b(den)h Fm(R)2892 1521 y Fl(3)313 1659 y
Ft(auf)25 b(die)h(\()p Fr(\030)651 1671 y Fl(1)689 1659
y Fr(;)14 b(\030)762 1671 y Fl(2)799 1659 y Ft(\)-Eb)r(ene)26
b(\(,die)f(wir)g(uns)h(w)n(ohl)f(in)g(den)h Fm(R)2091
1671 y Fl(3)2153 1659 y Ft(eingeb)r(ettet)h(v)n(orstellen)313
1758 y(k)357 1762 y(\177)357 1758 y(onnen,)38 b(die)g(ab)r(er)f(genau)g
(genommen)h(der)f Fm(R)1865 1770 y Fl(2)1940 1758 y Ft(ist\).)i(Sie)f
(ist)g(surjektiv,)g(ab)r(er)313 1858 y(nic)n(h)n(t)27
b(injektiv.)207 1957 y(4.)41 b(V)-7 b(erw)n(enden)29
b(wir)g Fr(M)35 b Ft(=)26 b(\(1)p Fr(=)p Ft(3)p Fr(;)14
b Ft(1)p Fr(=)p Ft(3)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(=)p Ft(3\))p
Fr(;)25 b Ft(so)k(erhalten)g(wir)g(eine)h(Pro)5 b(jektion)27
b(des)313 2057 y Fm(R)373 2069 y Fl(3)440 2057 y Ft(auf)i(die)h(Gerade)
e Fm(R)p Ft(.)i(Sie)f(ist)h(surjektiv,)f(ab)r(er)g(nic)n(h)n(t)h
(injektiv.)g(Diese)f(lineare)313 2157 y(Abbildung)c(ergibt)f(eine)h
(Pro)5 b(jektion)23 b(auf)h(die)h(Raumdiagonale,)e(w)n(enn)h(wir)g(no)r
(c)n(h)313 2351 y(die)h(ob)r(en)g(b)r(espro)r(c)n(hene)g(Abbildung)h
(mit)f Fr(N)32 b Ft(=)1851 2185 y Fj(0)1851 2334 y(@)1937
2252 y Ft(1)1937 2351 y(1)1937 2451 y(1)1993 2185 y Fj(1)1993
2334 y(A)2091 2351 y Ft(nac)n(hsc)n(halten.)24 b(Die)h(k)n(om-)313
2572 y(p)r(onierte)c(lineare)g(Abbildung)1348 2551 y
Fj(d)1296 2572 y Fr(N)27 b Fo(\001)18 b Fr(M)30 b Ft(l)1565
2576 y(\177)1565 2572 y(a\031t)21 b(die)h(Elemen)n(te)f(der)g
(Raumdiagonalen)313 2671 y(fest.)28 b(Die)g(darstellende)f(Matrix)g
(ist)1078 2903 y Fr(N)g Fo(\001)19 b Fr(M)32 b Ft(=)1414
2736 y Fj(0)1414 2885 y(@)1501 2803 y Ft(1)p Fr(=)p Ft(3)81
b(1)p Fr(=)p Ft(3)h(1)p Fr(=)p Ft(3)1501 2903 y(1)p Fr(=)p
Ft(3)f(1)p Fr(=)p Ft(3)h(1)p Fr(=)p Ft(3)1501 3003 y(1)p
Fr(=)p Ft(3)f(1)p Fr(=)p Ft(3)h(1)p Fr(=)p Ft(3)2054
2736 y Fj(1)2054 2885 y(A)2141 2903 y Fr(:)313 3151 y
Ft(Damit)19 b(hab)r(en)g(wir)f(eine)h(lineare)f(Abbildung,)h(die)g(w)n
(eder)f(injektiv)h(no)r(c)n(h)f(surjektiv)313 3250 y(ist.)207
3350 y(5.)41 b(Ein)g(Beispiel)g(f)829 3354 y(\177)827
3350 y(ur)g(eine)h(bijektiv)n(e)f(lineare)f(Abbildung)i(ist)f(die)h
(Dreh)n(ung)f(der)313 3450 y(Eb)r(ene)27 b Fm(R)625 3462
y Fl(2)690 3450 y Ft(um)h(30)917 3419 y Fi(\016)982 3450
y Ft(mit)g(der)g(Matrix)1091 3644 y Fr(M)j Ft(=)1291
3527 y Fj(\022)1366 3594 y Ft(1)p Fr(=)p Ft(2)17 b Fo(\001)1551
3525 y(p)p 1620 3525 42 4 v 69 x Ft(3)135 b Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(=)p Ft(2)1451 3694 y(1)p Fr(=)p Ft(2)167 b(1)p
Fr(=)p Ft(2)17 b Fo(\001)1929 3625 y(p)p 1998 3625 V
69 x Ft(3)2053 3527 y Fj(\023)2128 3644 y Fr(:)313 3905
y Ft(Durc)n(h)35 b(sie)f(wird)h(der)f(Basisv)n(ektor)1497
3788 y Fj(\022)1572 3855 y Ft(1)1572 3954 y(0)1627 3788
y Fj(\023)1723 3905 y Ft(in)h(der)g Fr(x)2025 3917 y
Fl(1)2062 3905 y Ft(-Ric)n(h)n(tung)g(auf)f(den)h(V)-7
b(ek-)313 4112 y(tor)460 3995 y Fj(\022)535 4062 y Ft(1)p
Fr(=)p Ft(2)17 b Fo(\001)720 3994 y(p)p 789 3994 V 68
x Ft(3)620 4162 y(1)p Fr(=)p Ft(2)844 3995 y Fj(\023)946
4112 y Ft(abgebildet,)41 b(d.h.)g(um)g(30)1803 4082 y
Fi(\016)1881 4112 y Ft(nac)n(h)g(links)f(gedreh)n(t,)g(und)i(der)313
4320 y(Basisv)n(ektor)764 4203 y Fj(\022)839 4270 y Ft(0)839
4370 y(1)895 4203 y Fj(\023)990 4320 y Ft(in)34 b(der)f
Fr(x)1289 4332 y Fl(2)1327 4320 y Ft(-Ric)n(h)n(tung)g(auf)h(den)g(V)-7
b(ektor)2304 4203 y Fj(\022)2432 4270 y Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(=)p Ft(2)2379 4370 y(1)p Fr(=)p Ft(2)17 b Fo(\001)2563
4301 y(p)p 2632 4301 V 69 x Ft(3)2688 4203 y Fj(\023)2749
4320 y Ft(.)34 b(Die)313 4465 y(Dreh)n(ung)29 b(ist)h(also)f(eine)g
(Linksdreh)n(ung.)g(Im)h(mathematisc)n(hen)f(Sinn)i(wird)e(eine)313
4564 y(Dreh)n(ung)e(immer)h(nac)n(h)f(links)g(gerec)n(hnet,)g(w)1757
4568 y(\177)1757 4564 y(ahrend)g(im)h(tec)n(hnisc)n(hen)f(Sinn)h(eine)
313 4664 y(Dreh)n(ung)f(immer)h(nac)n(h)f(rec)n(h)n(ts)f(gerec)n(hnet)h
(wird.)p eop end
%%Page: 182 43
TeXDict begin 182 42 bop 165 100 a Fn(182)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)290 282
y Ft(Wir)29 b(hatten)h(ob)r(en)f(sc)n(hon)g(b)r(emerkt,)g(da\031)g
(lineare)f(Abbildungen)i(sic)n(h)f(n)n(ur)g(dann)165
382 y(durc)n(h)34 b(Multiplik)-5 b(ation)34 b(mit)g(Matrizen)g
(darstellen)f(lassen,)f(w)n(enn)i(der)f(V)-7 b(ektorraum)165
482 y(v)n(on)35 b(der)f(F)-7 b(orm)35 b Fr(K)777 494
y Fk(n)856 482 y Ft(ist.)h(F)1059 486 y(\177)1057 482
y(ur)e(V)-7 b(ektorr)1446 486 y(\177)1446 482 y(aume)34
b(v)n(on)g(anderer)g(F)-7 b(orm,)35 b(z.B.)f(Un)n(terv)n(ek-)165
581 y(torr)305 585 y(\177)305 581 y(aume)f(v)n(on)h Fr(K)767
593 y Fk(n)811 581 y Ft(,)h(V)-7 b(ektorr)1145 585 y(\177)1145
581 y(aume)33 b(der)h(F)-7 b(orm)34 b(Hom\()p Fr(V)5
b(;)14 b(W)e Ft(\))34 b(o)r(der)g Fr(K)2469 551 y Fk(n)2463
602 y(m)2560 581 y Ft(hab)r(en)h(wir)165 681 y(jedo)r(c)n(h)20
b(in)f(Satz)h(5.4.6)e(ein)i(gutes)f(Hilfsmittel)h(zur)f(Besc)n
(hreibung)f(v)n(on)h(linearen)g(Abbil-)165 780 y(dungen,)28
b(das)f(sogar)e(auc)n(h)i(zu)h(einer)f(Besc)n(hreibung)f(mit)j(Hilfe)f
(v)n(on)f(Matrizen)g(f)2751 784 y(\177)2749 780 y(uhrt.)165
880 y(Wir)38 b(w)n(erden)f(in)h(den)g(folgenden)g(Betrac)n(h)n(tungen)e
(Basen)h(immer)h(mit)g(Indexmen-)165 980 y(gen)32 b(der)h(F)-7
b(orm)32 b Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)e(;)i(n)p
Fo(g)32 b Ft(indizieren,)g(damit)h(eine)g(gewisse)e(Reihenfolge)h(b)r
(ei)h(den)165 1079 y(Basisv)n(ektoren,)e(den)j(Matrixein)n(tr)1304
1083 y(\177)1304 1079 y(agen)d(und)j(der)e(Summation)i(festgelegt)f
(ist.)g(Wir)165 1179 y(nennen)f(eine)g(F)-7 b(amilie)32
b(\()p Fr(b)994 1191 y Fk(i)1021 1179 y Fo(j)p Fr(i)d
Ft(=)h(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\))31 b(v)n(on)g(V)-7
b(ektoren)31 b(in)h(einem)g(V)-7 b(ektorraum)30 b Fr(V)165
1279 y Ft(eine)d Fp(Basisfamilie)p Ft(,)i(w)n(enn)d(die)g(Menge)g
Fo(f)p Fr(b)1511 1291 y Fk(i)1538 1279 y Fo(j)p Fr(i)d
Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Fo(g)26 b Ft(eine)g(Basis)f(v)
n(on)g Fr(V)45 b Ft(ist)27 b(und)165 1378 y(die)h(V)-7
b(ektoren)27 b(mit)h(v)n(ersc)n(hiedenen)f(Indizes)g(paarw)n(eise)f(v)n
(ersc)n(hieden)g(sind.)165 1522 y Fq(De\014nition)31
b(und)h(Lemma)g(5.5.10)39 b Fp(Seien)22 b Fr(V)41 b Fp(und)21
b Fr(W)33 b Fp(zwei)23 b(V)-6 b(ektorr)2444 1526 y(\177)2445
1522 y(aume)21 b(mit)h(den)165 1622 y(Basisfamilien)38
b Ft(\()p Fr(b)755 1634 y Fl(1)793 1622 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)
1013 1634 y Fk(m)1076 1622 y Ft(\))35 b Fp(von)h Fr(V)54
b Fp(und)34 b Ft(\()p Fr(c)1644 1634 y Fl(1)1682 1622
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)1903 1634 y Fk(n)1948 1622
y Ft(\))35 b Fp(von)g Fr(W)12 b Fp(.)36 b(Sei)f Fr(g)h
Ft(:)d Fr(V)51 b Fo(\000)-46 b(!)33 b Fr(W)165 1722 y
Fp(eine)23 b(line)l(ar)l(e)g(A)n(bbildung.)g(Dann)f(ist)g
Fr(g)j Fp(dur)l(ch)d(die)i(V)-6 b(or)l(gab)l(e)22 b(der)h(Werte)f
Fr(g)s Ft(\()p Fr(b)2539 1734 y Fk(i)2566 1722 y Ft(\))h
Fo(2)h Fr(W)n(;)14 b(i)23 b Ft(=)165 1821 y(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)37 b Fp(schon)h(eindeutig)f(b)l(estimmt.)g(Die)h
(Bildvektor)l(en)g(hab)l(en)g(eine)f(eindeutige)165 1921
y(Basisdarstel)t(lung)1207 2082 y Fr(g)s Ft(\()p Fr(b)1318
2094 y Fk(j)1353 2082 y Ft(\))23 b(=)1535 1979 y Fk(n)1496
2004 y Fj(X)1502 2180 y Fk(i)p Fl(=1)1629 2082 y Fr(\013)1682
2094 y Fk(ij)1759 2082 y Fo(\001)c Fr(c)1837 2094 y Fk(i)1864
2082 y Fr(:)872 b Ft(\()p Fp(D2)q Ft(\))165 2287 y Fp(A)n(lso)27
b(ist)f(dur)l(ch)g Fr(g)j Fp(eine)d Fr(n)11 b Fo(\002)g
Fr(m)p Fp(-Matrix)25 b Fr(M)32 b Ft(=)22 b(\()p Fr(\013)1722
2299 y Fk(ij)1781 2287 y Ft(\))k Fp(b)l(estimmt.)g(Die)h(Matrix)f
Fr(M)35 b Fp(hei\031t)165 2387 y Ft(darstellende)k(Matrix)80
b Fp(der)41 b(line)l(ar)l(en)g(A)n(bbildung)g Fr(g)i
Fp(b)l(ez)2035 2391 y(\177)2035 2387 y(uglich)f(der)f(Basisfamilien)165
2486 y Ft(\()p Fr(b)233 2498 y Fl(1)271 2486 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)491 2498 y Fk(m)554 2486 y Ft(\))27
b Fp(von)h Fr(V)47 b Fp(und)27 b Ft(\()p Fr(c)1092 2498
y Fl(1)1129 2486 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)1350 2498
y Fk(n)1395 2486 y Ft(\))28 b Fp(von)f Fr(W)12 b Fp(.)28
b(Die)g(Kenntnis)f(von)h Fr(M)36 b Fp(al)t(lein)29 b(\(und)165
2586 y(die)g(Kenntnis)d(der)i(Basisfamilien)i(von)d Fr(V)46
b Fp(und)27 b Fr(W)12 b Fp(\))27 b(b)l(estimmt)g(nach)h(Satz)e(5.4.6)k
(den)165 2686 y(Homomorphismus)i Fr(g)g Fp(schon)e(vol)t(lst)1338
2690 y(\177)1339 2686 y(andig.)290 2785 y(Ist)f(eine)i(b)l(eliebige)h
Fr(m)18 b Fo(\002)g Fr(n)p Fp(-Matrix)30 b Fr(M)39 b
Fp(ge)l(geb)l(en,)30 b(so)h(wir)l(d)f(dur)l(ch)h(die)g(ob)l(en)f(ange-)
165 2885 y(geb)l(ene)g(F)-6 b(ormel)31 b(genau)e(eine)i(line)l(ar)l(e)f
(A)n(bbildung)g Fr(g)i Fp(b)l(estimmt,)e(da)h(die)f(Bildvektor)l(en)165
2985 y(der)h(Basisvektor)l(en)g Fr(b)871 2997 y Fk(j)935
2985 y Fp(b)l(eliebig)h(gew)1354 2989 y(\177)1355 2985
y(ahlt)f(wer)l(den)f(d)1842 2989 y(\177)1842 2985 y(urfen.)290
3084 y(Ist)d Fr(V)41 b Ft(=)23 b Fr(K)659 3096 y Fk(m)722
3084 y Fp(,)k Fr(W)35 b Ft(=)23 b Fr(K)1046 3096 y Fk(n)1091
3084 y Fp(,)k Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-46
b(!)23 b Fr(W)39 b Fp(eine)27 b(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung,)g(so)g
(stimmt)e(die)165 3184 y(darstel)t(lende)38 b(Matrix)e
Fr(M)45 b Fp(von)36 b Fr(f)43 b Ft(=)1394 3163 y Fj(c)1384
3184 y Fr(M)h Fp(mit)36 b(der)g(so)l(eb)l(en)g(de\014nierten)g(Matrix)
2783 3188 y(\177)2783 3184 y(ub)l(e-)165 3284 y(r)l(ein,)24
b(wenn)e(wir)h(als)h(Basisfamilien)h(in)e(den)g(b)l(eiden)h(V)-6
b(ektorr)2096 3288 y(\177)2097 3284 y(aumen)22 b(die)i(kanonischen)165
3383 y(Basisfamilien)33 b Ft(\()p Fr(e)753 3395 y Fk(i)781
3383 y Ft(\))d Fp(verwenden.)h(Der)e(L)l(eser)h(kann)g(das)g(leicht)h
(nachr)l(e)l(chnen.)165 3527 y Fq(Lemma)h(5.5.11)39 b
Fp(Seien)g(dr)l(ei)f(V)-6 b(ektorr)1468 3531 y(\177)1469
3527 y(aume)44 b Fr(U)9 b Fp(,)38 b Fr(V)57 b Fp(und)46
b Fr(W)k Fp(ge)l(geb)l(en)39 b(zusammen)165 3627 y(mit)32
b(Basisfamilien)40 b Ft(\()p Fr(b)910 3639 y Fk(i)938
3627 y Ft(\))p Fp(,)32 b Ft(\()p Fr(c)1095 3639 y Fk(i)1123
3627 y Ft(\))f Fp(b)l(eziehungsweise)39 b Ft(\()p Fr(d)1865
3639 y Fk(i)1893 3627 y Ft(\))p Fp(,)32 b(seien)g(weiter)g(line)l(ar)l
(e)g(A)n(bbil-)165 3727 y(dungen)37 b Fr(f)d Ft(:)25
b Fr(U)34 b Fo(\000)-46 b(!)25 b Fr(V)50 b Fp(und)39
b Fr(g)28 b Ft(:)d Fr(V)44 b Fo(\000)-46 b(!)25 b Fr(W)43
b Fp(mit)31 b(darstel)t(lenden)h(Matrizen)38 b Fr(M)i
Fp(bzw.)31 b Fr(N)165 3826 y Fp(ge)l(geb)l(en,)g(so)f(ist)37
b Fr(N)28 b Fo(\001)18 b Fr(M)39 b Fp(die)30 b(darstel)t(lende)i
(Matrix)e(von)36 b Fr(g)s(f)31 b Ft(:)24 b Fr(U)31 b
Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(W)12 b Fp(.)165 3964 y(Beweis.)44
b Ft(Seien)27 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)816 3976 y Fk(k)857
3964 y Ft(\))23 b(=)1000 3902 y Fj(P)1087 3989 y Fk(j)1136
3964 y Fr(\013)1189 3976 y Fk(j)s(k)1280 3964 y Fo(\001)18
b Fr(c)1357 3976 y Fk(j)1420 3964 y Ft(und)28 b Fr(g)s
Ft(\()p Fr(c)1697 3976 y Fk(j)1731 3964 y Ft(\))c(=)1874
3902 y Fj(P)1962 3989 y Fk(i)2004 3964 y Fr(\014)2051
3976 y Fk(ij)2127 3964 y Fo(\001)19 b Fr(d)2212 3976
y Fk(i)2240 3964 y Ft(.)27 b(Dann)h(ist)823 4192 y Fr(g)s(f)9
b Ft(\()p Fr(b)984 4204 y Fk(k)1024 4192 y Ft(\))24 b(=)e
Fr(g)s Ft(\()1273 4089 y Fk(m)1242 4114 y Fj(X)1245 4290
y Fk(j)s Fl(=1)1376 4192 y Fr(\013)1429 4204 y Fk(j)s(k)1519
4192 y Fo(\001)d Fr(c)1597 4204 y Fk(j)1632 4192 y Ft(\))k(=)1805
4089 y Fk(m)1775 4114 y Fj(X)1777 4290 y Fk(j)s Fl(=1)1908
4192 y Fr(\013)1961 4204 y Fk(j)s(k)2052 4192 y Fo(\001)18
b Fr(g)s Ft(\()p Fr(c)2204 4204 y Fk(j)2239 4192 y Ft(\))705
4535 y(=)824 4431 y Fk(m)793 4456 y Fj(X)796 4633 y Fk(j)s
Fl(=1)927 4535 y Fr(\013)980 4547 y Fk(j)s(k)1070 4535
y Fo(\001)1155 4431 y Fk(r)1112 4456 y Fj(X)1118 4633
y Fk(i)p Fl(=1)1245 4535 y Fr(\014)1292 4547 y Fk(ij)1369
4535 y Fo(\001)h Fr(d)1454 4547 y Fk(i)1505 4535 y Ft(=)1636
4431 y Fk(r)1592 4456 y Fj(X)1598 4633 y Fk(i)p Fl(=1)1726
4368 y Fj(0)1726 4518 y(@)1829 4431 y Fk(m)1799 4456
y Fj(X)1801 4633 y Fk(j)s Fl(=1)1932 4535 y Fr(\014)1979
4547 y Fk(ij)2038 4535 y Fr(\013)2091 4547 y Fk(j)s(k)2163
4368 y Fj(1)2163 4518 y(A)2254 4535 y Fo(\001)f Fr(d)2338
4547 y Fk(i)2366 4535 y Fr(:)p eop end
%%Page: 183 44
TeXDict begin 183 43 bop 1725 100 a Fn(5.5)43 b(Die)26
b(darstellende)g(Matrix)152 b(183)290 282 y Ft(Wir)31
b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(einen)h(Sp)r(ezialfall)f(des)h(v)n
(orhergehenden)d(Lemmas.)j(Sei)f Fr(f)37 b Ft(:)28 b
Fr(U)165 382 y Fo(\000)-48 b(!)36 b Fr(V)54 b Ft(eine)36
b(bijektiv)n(e)f(lineare)g(Abbildung.)h(Sei)f Fr(U)45
b Ft(=)36 b Fr(W)12 b Ft(.)35 b(Wir)h(w)2370 386 y(\177)2370
382 y(ahlen)f(dieselb)r(en)165 482 y(Basisfamilien)28
b(\()p Fr(b)739 494 y Fk(i)767 482 y Ft(\))g(und)h(\()p
Fr(d)1069 494 y Fk(i)1098 482 y Ft(\).)f(Sei)h Fr(g)e
Ft(=)d Fr(f)1522 451 y Fi(\000)p Fl(1)1611 482 y Ft(.)29
b(Dann)f(ergibt)g(die)h(Zusammensetzung)165 581 y Fr(g)s(f)40
b Ft(der)31 b(b)r(eiden)h(Abbildungen)h(die)e(iden)n(tisc)n(he)h
(Abbildung)g(id:)14 b Fr(U)38 b Fo(\000)-48 b(!)30 b
Fr(U)9 b Ft(.)31 b(F)2645 585 y(\177)2643 581 y(ur)g(diese)165
681 y(gilt)24 b(ab)r(er)f(id\()p Fr(b)629 693 y Fk(i)656
681 y Ft(\))h(=)799 619 y Fj(P)901 681 y Fr(\016)938
693 y Fk(ij)1006 681 y Fo(\001)10 b Fr(b)1075 693 y Fk(j)1134
681 y Ft(mit)24 b(dem)f(Kronec)n(k)n(er)e(Sym)n(b)r(ol)i(\()p
Fr(\016)2210 693 y Fk(ij)2269 681 y Ft(\).)h(Die)g(darstellende)165
780 y(Matrix)j(ist)g(also)e(die)i(Einheitsmatrix)f Fr(E)1482
792 y Fk(n)1528 780 y Ft(.)h(Wir)g(erhalten)f(daher)g(f)2325
784 y(\177)2323 780 y(ur)h(das)f(Matrizen-)165 880 y(pro)r(dukt)31
b(\()p Fr(\013)572 892 y Fk(ij)631 880 y Ft(\))21 b Fo(\001)f
Ft(\()p Fr(\014)806 892 y Fk(j)s(k)878 880 y Ft(\))28
b(=)g Fr(E)1092 892 y Fk(n)1168 880 y Ft(und)j(symmetrisc)n(h)f(\()p
Fr(\014)1900 892 y Fk(j)s(k)1972 880 y Ft(\))21 b Fo(\001)f
Ft(\()p Fr(\013)2153 892 y Fk(ij)2212 880 y Ft(\))29
b(=)e Fr(E)2426 892 y Fk(n)2472 880 y Ft(.)k(Die)g(Matrix)165
980 y(\()p Fr(\013)250 992 y Fk(ij)309 980 y Ft(\))c(ist)g(damit)g(in)n
(v)n(ertierbar.)e(O\013en)n(bar)g(lassen)h(sic)n(h)h(diese)f(Sc)n(hl)
2293 984 y(\177)2291 980 y(usse)g(auc)n(h)h(umk)n(eh-)165
1079 y(ren.)h(Wir)f(hab)r(en)h(gezeigt)165 1239 y Fq(F)-8
b(olgerung)31 b(5.5.12)40 b Fp(Wir)l(d)26 b(die)i(line)l(ar)l(e)f(A)n
(bbildung)f Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-46
b(!)23 b Fr(W)38 b Fp(dur)l(ch)26 b(die)i(Matrix)165
1339 y Ft(\()p Fr(\013)250 1351 y Fk(ij)309 1339 y Ft(\))39
b Fp(\(b)l(ez)520 1343 y(\177)520 1339 y(uglich)h(zweier)f(b)l
(eliebiger)i(Basisfamilien)g(von)e Fr(V)57 b Fp(b)l(eziehungsweise)40
b Fr(W)12 b Fp(\))165 1438 y(dar)l(gestel)t(lt,)34 b(so)f(ist)f
Fr(f)41 b Fp(genau)32 b(dann)h(bijektiv,)h(wenn)e(die)i(Matrix)f
Ft(\()p Fr(\013)2385 1450 y Fk(ij)2443 1438 y Ft(\))g
Fp(invertierb)l(ar)165 1538 y(ist.)165 1697 y Fq(F)-8
b(olgerung)31 b(5.5.13)40 b Fp(Eine)e(r)l(e)l(gul)1266
1701 y(\177)1267 1697 y(ar)l(e)g(Matrix)g Fr(M)46 b Fo(2)37
b Fr(K)1993 1667 y Fk(n)1987 1718 y(m)2088 1697 y Fp(ist)g(quadr)l
(atisch,)j(d.h.)f(es)165 1797 y(gilt)31 b Fr(m)22 b Ft(=)h
Fr(n)p Fp(.)165 1961 y(Beweis.)44 b Ft(Nac)n(h)22 b(5.4.12)f(ist)1045
1940 y Fj(c)1035 1961 y Fr(M)32 b Ft(eine)23 b(lineare)f(Abbildung)h
(zwisc)n(hen)g(den)g(R)2533 1965 y(\177)2533 1961 y(aumen)g
Fr(K)2867 1973 y Fk(m)165 2060 y Ft(und)28 b Fr(K)402
2072 y Fk(n)475 2060 y Ft(gleic)n(her)e(Dimension,)i(also)e
Fr(m)d Ft(=)g Fr(n)p Ft(.)165 2224 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(5.5.14)40 b Fp(Eine)k(Matrix)g(ist)f(genau)g(dann)h(r)l(e)l(gul)2164
2228 y(\177)2165 2224 y(ar)f(o)l(der)i(invertierb)l(ar,)165
2324 y(wenn)30 b(sie)g(quadr)l(atisch)h(ist)f(und)f(ihr)i(R)l(ang)e
(mit)h(ihr)l(er)g(Zeilenzahl)2316 2328 y(\177)2316 2324
y(ub)l(er)l(einstimmt.)165 2487 y(Beweis.)44 b Ft(Ist)c(eine)h(Matrix)e
Fr(M)49 b Ft(regul)1401 2491 y(\177)1401 2487 y(ar,)39
b(so)g(folgt)i(die)f(Behauptung)g(nac)n(h)g(5.4.12.)165
2587 y(Ist)d(die)g(Matrix)g Fr(M)45 b Ft(quadratisc)n(h)35
b(und)j(stimmen)f(Rang)f(und)i(Zeilenzahl)2638 2591 y(\177)2636
2587 y(ub)r(erein,)165 2687 y(so)j(v)n(ersc)n(h)n(windet)f(der)g(Kern)h
(der)f(linearen)h(Abbildung)2083 2666 y Fj(c)2072 2687
y Fr(M)50 b Ft(nac)n(h)41 b(5.4.13.)e(W)-7 b(eiter)165
2786 y(stimmen)38 b(die)f(Dimensionen)h(v)n(on)e(Quelle)h(und)h(Ziel)f
(der)f(Abbildung)2519 2765 y Fj(c)2509 2786 y Fr(M)2638
2790 y Ft(\177)2636 2786 y(ub)r(erein.)165 2886 y(Nac)n(h)28
b(5.4.12)d(ist)j(dann)951 2865 y Fj(c)941 2886 y Fr(M)36
b Ft(in)n(v)n(ertierbar,)25 b(also)i(auc)n(h)g Fr(M)9
b Ft(.)290 3049 y(Ist)29 b(eine)g(lineare)g(Abbildung)h
Fr(f)k Ft(:)26 b Fr(K)1461 3061 y Fk(m)1549 3049 y Fo(\000)-48
b(!)25 b Fr(K)1745 3061 y Fk(n)1819 3049 y Ft(durc)n(h)k(Multiplik)-5
b(ation)30 b(mit)g(einer)165 3149 y(Matrix)c Fr(M)35
b Ft(gegeb)r(en,)26 b(also)f Fr(f)32 b Ft(=)1231 3128
y Fj(c)1220 3149 y Fr(M)9 b Ft(,)26 b(so)g(k)-5 b(ann)27
b(man)f(den)g(Rang)g(v)n(on)g Fr(f)35 b Ft(leic)n(h)n(t)26
b(aus)g(der)165 3249 y(Matrix)e(b)r(erec)n(hnen.)f(Es)g(ist)h(n)1121
3253 y(\177)1121 3249 y(amlic)n(h)g(die)g(Menge)g(der)f(Spalten)n(v)n
(ektoren)f(v)n(on)i Fr(M)32 b Ft(eine)165 3348 y(Erzeugendenmenge)22
b(des)i(Bildes)f(v)n(on)g Fr(f)9 b Ft(,)24 b(da)f Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(e)1748 3360 y Fk(i)1775 3348 y Ft(\))24
b(=)e Fr(M)d Fo(\001)11 b Fr(e)2091 3360 y Fk(i)2142
3348 y Ft(der)24 b Fr(i)p Ft(-te)f(Spalten)n(v)n(ektor)165
3448 y(der)36 b(Matrix)f Fr(M)45 b Ft(ist,)36 b(und)g(das)f(Bild)h(der)
g(Basisfamilie)f(\()p Fr(e)2082 3460 y Fl(1)2119 3448
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(e)2342 3460 y Fk(m)2405 3448
y Ft(\))36 b(un)n(ter)g Fr(f)44 b Ft(eine)165 3548 y(Erzeugendenmenge)
30 b(v)n(on)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(K)1203 3560 y Fk(m)1266
3548 y Ft(\))31 b(ist.)g(Um)h(also)e(den)i(Rang)e(v)n(on)g
Fr(f)40 b Ft(zu)31 b(b)r(erec)n(hnen,)165 3647 y(gen)292
3651 y(\177)290 3647 y(ugt)j(es,)g(die)g(maximale)g(Anzahl,)g(genann)n
(t)68 b Fp(\(Sp)l(alten-\))35 b(R)l(ang)g(der)i(Matrix)44
b Fr(M)9 b Ft(,)165 3747 y(v)n(on)23 b(linear)g(unabh)771
3751 y(\177)771 3747 y(angigen)g(Spalten)n(v)n(ektoren)f(v)n(on)g
Fr(M)33 b Ft(zu)23 b(b)r(estimmen.)i(Diese)f(bilden)165
3846 y(gerade)18 b(eine)h(Basisfamilie)e(v)n(on)i Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(K)1333 3858 y Fk(m)1395 3846 y Ft(\).)19
b(Die)g(Dimension)g(des)g(Kernes)f(dieser)g(linearen)165
3946 y(Abbildung)29 b(ergibt)e(sic)n(h)g(dann)g(aus)g(dem)h(Satz)g
(5.4.13.)165 4106 y Fq(Lemma)k(5.5.15)39 b Fp(Der)33
b(R)l(ang)f(der)i(line)l(ar)l(en)f(A)n(bbildung)2046
4085 y Fj(c)2035 4106 y Fr(M)42 b Fp(ist)33 b(die)g(maximale)h(A)n(n-)
165 4205 y(zahl)d(der)f(line)l(ar)h(unabh)928 4209 y(\177)929
4205 y(angigen)g(Sp)l(altenvektor)l(en)f(von)36 b Fr(M)9
b Fp(.)290 4365 y Ft(Wir)20 b(w)n(erden)f(sp)806 4369
y(\177)806 4365 y(ater)f(zeigen,)i(da\031)f(die)h(maximale)f(Anzahl)g
(v)n(on)g(linear)g(unabh)2749 4369 y(\177)2749 4365 y(angi-)165
4465 y(gen)i(Spalten)n(v)n(ektoren)f(mit)i(der)g(maximalen)e(Anzahl)i
(v)n(on)f(linear)f(unabh)2492 4469 y(\177)2492 4465 y(angigen)h(Zei-)
165 4564 y(len)n(v)n(ektoren)j(v)n(on)g Fr(M)877 4568
y Ft(\177)875 4564 y(ub)r(ereinstimm)n(t,)h(so)g(da\031)f(man)h
(gelegen)n(tlic)n(h)f(eine)h(v)n(ereinfac)n(h)n(te)165
4664 y(Berec)n(hn)n(ung)h(des)i(Ranges)e(v)n(on)h Fr(M)37
b Ft(durc)n(hf)1555 4668 y(\177)1553 4664 y(uhren)27
b(k)-5 b(ann.)p eop end
%%Page: 184 45
TeXDict begin 184 44 bop 165 100 a Fn(184)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)290 282
y Ft(Wir)63 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(jetzt)i(einen)g(V)-7
b(ektorraum)62 b Fr(V)82 b Ft(mit)63 b(zw)n(ei)g(Basisfamilien)165
382 y(\()p Fr(b)233 394 y Fl(1)271 382 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)
491 394 y Fk(n)536 382 y Ft(\))25 b(und)h(\()p Fr(c)825
394 y Fl(1)862 382 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)1083
394 y Fk(n)1128 382 y Ft(\).)25 b(Da)g(sic)n(h)g(jeder)g(V)-7
b(ektor)25 b(eindeutig)g(als)f(Lineark)n(om)n(bi-)165
482 y(nation)k(der)f(Basiselemen)n(te)f(sc)n(hreib)r(en)h(l)1487
486 y(\177)1487 482 y(a\031t,)g(gibt)h(es)f(eindeutig)h(b)r(estimm)n
(te)g(Ko)r(e\016-)165 581 y(zien)n(ten)g Fr(\013)502
593 y Fk(ij)588 581 y Ft(mit)g Fr(b)776 593 y Fk(i)827
581 y Ft(=)914 519 y Fj(P)1002 539 y Fk(n)1002 606 y(j)s
Fl(=1)1135 581 y Fr(\013)1188 593 y Fk(ij)1247 581 y
Fr(c)1283 593 y Fk(j)1317 581 y Ft(.)165 732 y Fq(De\014nition)j
(5.5.16)40 b Ft(F)953 736 y(\177)951 732 y(ur)77 b(den)g(V)-7
b(ektorraum)77 b Fr(V)96 b Ft(seien)77 b(zw)n(ei)g(Basisfamilien)165
832 y(\()p Fr(b)233 844 y Fl(1)271 832 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)
491 844 y Fk(n)536 832 y Ft(\))28 b(und)g(\()p Fr(c)830
844 y Fl(1)867 832 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)1088
844 y Fk(n)1133 832 y Ft(\))28 b(gegeb)r(en)f(mit)1302
1055 y Fr(b)1338 1067 y Fk(j)1396 1055 y Ft(=)1523 952
y Fk(n)1483 976 y Fj(X)1490 1153 y Fk(i)p Fl(=1)1617
1055 y Fr(\013)1670 1067 y Fk(ij)1729 1055 y Fr(c)1765
1067 y Fk(i)2760 1055 y Ft(\(D3\))165 1290 y(Die)e(Matrix)f
Fr(T)34 b Ft(=)22 b(\()p Fr(\013)842 1302 y Fk(ij)901
1290 y Ft(\))j(hei\031t)48 b Fp(T)-6 b(r)l(ansformationsmatrix)28
b(f)2071 1294 y(\177)2071 1290 y(ur)f(die)h(Basistr)l(ansforma-)165
1389 y(tion)i(von)35 b Ft(\()p Fr(b)567 1401 y Fk(i)594
1389 y Ft(\))28 b Fp(nach)35 b Ft(\()p Fr(c)926 1401
y Fk(i)954 1389 y Ft(\).)290 1540 y(Sei)24 b(id\()p Fr(b)557
1552 y Fk(j)592 1540 y Ft(\))f(=)g Fr(b)771 1552 y Fk(j)828
1540 y Ft(=)916 1478 y Fj(P)1004 1498 y Fk(n)1004 1565
y(i)p Fl(=1)1129 1540 y Fr(\013)1182 1552 y Fk(ij)1251
1540 y Fo(\001)10 b Fr(c)1320 1552 y Fk(i)1348 1540 y
Fr(:)24 b Ft(Dab)r(ei)g(seien)f(die)h(Ko)r(e\016zien)n(ten)f(dieselb)r
(en)h(wie)165 1640 y(ob)r(en)32 b(b)r(estimm)n(t.)h(Nac)n(h)f(F)-7
b(olgerung)30 b(5.5.12)g(ist)j(diese)e(Matrix)h(in)n(v)n(ertierbar,)d
(da)j(die)165 1739 y(iden)n(tisc)n(he)c(Abbildung)g(in)n(v)n(ertierbar)
d(ist.)j(Daraus)f(folgt)165 1890 y Fq(Lemma)32 b(5.5.17)39
b Fp(Je)l(de)j(T)-6 b(r)l(ansformationsmatrix)42 b(f)1888
1894 y(\177)1888 1890 y(ur)f(eine)g(Basistr)l(ansformation)165
1990 y(ist)30 b(invertierb)l(ar.)290 2141 y Ft(O\013en)n(bar)j(ist)h
(auc)n(h)f(jede)i(F)-7 b(amilie)34 b(\()p Fr(b)1508 2153
y Fk(j)1543 2141 y Fo(j)p Fr(j)k Ft(=)c(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h
(n)p Ft(\))34 b(v)n(on)f(V)-7 b(ektoren)34 b(mit)g Fr(b)2796
2153 y Fk(j)2865 2141 y Ft(=)165 2178 y Fj(P)253 2199
y Fk(n)253 2265 y(i)p Fl(=1)379 2240 y Fr(\013)432 2252
y Fk(ij)509 2240 y Fo(\001)18 b Fr(c)586 2252 y Fk(i)641
2240 y Ft(eine)28 b(Basis,)f(w)n(enn)g(die)h(Matrix)f(\()p
Fr(\013)1762 2252 y Fk(ij)1821 2240 y Ft(\))h(in)n(v)n(ertierbar)d
(ist.)290 2419 y(Wir)34 b(leiten)g(jetzt)g(no)r(c)n(h)g(die)f(T)-7
b(ransformationsformel)31 b(f)2119 2423 y(\177)2117 2419
y(ur)j(die)g(T)-7 b(ransformation)165 2519 y(der)30 b(Ko)r(e\016zien)n
(ten)f(eines)h(V)-7 b(ektors)28 b(b)r(ei)j(einer)e(Basistransformation)
e(her.)i(Seien)h(wie)165 2618 y(ob)r(en)f Fr(V)49 b Ft(ein)29
b(V)-7 b(ektorraum)28 b(mit)h(zw)n(ei)g(Basisfamilien)f(\()p
Fr(b)1971 2630 y Fl(1)2008 2618 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2229
2630 y Fk(n)2274 2618 y Ft(\))29 b(und)h(\()p Fr(c)2571
2630 y Fl(1)2608 2618 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)2829
2630 y Fk(n)2874 2618 y Ft(\).)165 2718 y(Sei)45 b(\()p
Fr(\013)401 2730 y Fk(ij)460 2718 y Ft(\))f(die)h(T)-7
b(ransformationsmatrix.)42 b(Sei)i(sc)n(hlie\031lic)n(h)f
Fr(v)55 b Ft(=)2358 2656 y Fj(P)2446 2676 y Fk(n)2446
2743 y(j)s Fl(=1)2579 2718 y Fr(\014)2626 2730 y Fk(j)2690
2718 y Fo(\001)30 b Fr(b)2779 2730 y Fk(j)2865 2718 y
Ft(=)165 2767 y Fj(P)253 2788 y Fk(n)253 2854 y(i)p Fl(=1)379
2829 y Fr(\015)422 2841 y Fk(i)480 2829 y Fo(\001)h Fr(c)570
2841 y Fk(i)643 2829 y Ft(ein)46 b(b)r(eliebiger)g(V)-7
b(ektor)45 b(in)h Fr(V)19 b Ft(.)46 b(Dann)g(gilt)g Fr(v)57
b Ft(=)2353 2767 y Fj(P)2441 2788 y Fk(n)2441 2854 y(j)s
Fl(=1)2574 2829 y Fr(\014)2621 2841 y Fk(j)2687 2829
y Fo(\001)30 b Fr(b)2776 2841 y Fk(j)2865 2829 y Ft(=)165
2907 y Fj(P)253 2928 y Fk(n)253 2994 y(j)s Fl(=1)386
2969 y Fr(\014)433 2981 y Fk(j)492 2969 y Fo(\001)540
2907 y Fj(P)627 2928 y Fk(n)627 2994 y(i)p Fl(=1)753
2969 y Fr(\013)806 2981 y Fk(ij)889 2969 y Fo(\001)24
b Fr(c)972 2981 y Fk(i)1038 2969 y Ft(=)1140 2907 y Fj(P)1228
2928 y Fk(n)1228 2994 y(i)p Fl(=1)1353 2877 y Fj(\020)1403
2907 y(P)1490 2928 y Fk(n)1490 2994 y(j)s Fl(=1)1623
2969 y Fr(\013)1676 2981 y Fk(ij)1753 2969 y Fo(\001)19
b Fr(\014)1842 2981 y Fk(j)1877 2877 y Fj(\021)1951 2969
y Fo(\001)24 b Fr(c)2034 2981 y Fk(i)2062 2969 y Ft(.)36
b(W)-7 b(egen)37 b(der)f(Eindeutig-)165 3089 y(k)n(eit)28
b(der)f(Basisdarstellung)f(erhalten)h(wir)g(also)1251
3308 y Fr(\015)1294 3320 y Fk(i)1345 3308 y Ft(=)1472
3205 y Fk(n)1433 3230 y Fj(X)1435 3406 y Fk(j)s Fl(=1)1567
3308 y Fr(\013)1620 3320 y Fk(ij)1697 3308 y Fo(\001)18
b Fr(\014)1785 3320 y Fk(j)1820 3308 y Fr(:)917 b Ft(\(D4\))290
3550 y(Es)20 b(b)r(esteh)n(t)h(ein)g(enger)f(Zusammenhang)g(zwisc)n
(hen)g(den)h(darstellenden)g(Matrizen)165 3649 y(v)n(on)27
b(Homomorphismen)g(und)h(Ko)r(ordinatensystemen.)165
3800 y Fq(Satz)33 b(5.5.18)40 b Fp(Seien)53 b Fr(V)66
b Fp(und)55 b Fr(W)k Fp(V)-6 b(ektorr)1621 3804 y(\177)1622
3800 y(aume)46 b(mit)h(den)g(Basisfamilien)56 b Fr(B)j
Ft(=)165 3900 y(\()p Fr(b)233 3912 y Fk(j)268 3900 y
Fo(j)p Fr(j)41 b Ft(=)35 b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)p
Ft(\))37 b Fp(bzw.)g Fr(C)42 b Ft(=)36 b(\()p Fr(c)1293
3912 y Fk(i)1321 3900 y Fo(j)p Fr(i)f Ft(=)g(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\))p Fp(.)37 b(Sei)46 b Fr(f)e
Ft(:)36 b Fr(V)54 b Fo(\000)-46 b(!)36 b Fr(W)49 b Fp(eine)37
b(line)l(a-)165 3999 y(r)l(e)28 b(A)n(bbildung.)h(Die)g(Matrix)38
b Fr(M)32 b Ft(=)23 b(\()p Fr(\013)1392 4011 y Fk(ij)1451
3999 y Ft(\))28 b Fp(ist)g(genau)g(dann)g(darstel)t(lende)i(Matrix)f
(von)165 4099 y Fr(f)39 b Fp(b)l(ez)351 4103 y(\177)351
4099 y(uglich)30 b(der)h(Basisfamilien)39 b Fr(B)34 b
Fp(und)k Fr(C)6 b Fp(,)30 b(wenn)g(das)g(Diagr)l(amm)1307
4277 y Fr(V)355 b(W)p 1398 4251 288 4 v 1602 4249 a Fc(-)1522
4221 y Fk(f)1273 4686 y Fr(K)1344 4698 y Fk(m)1697 4686
y Fr(K)1768 4698 y Fk(n)p 1431 4666 242 4 v 1590 4664
a Fc(-)1534 4644 y Fj(b)1517 4648 y Fk(M)p 1753 4606
4 299 v 1755 4606 a Fc(?)1788 4472 y Fk(h)1827 4480 y
Ff(C)p 1339 4606 V 1340 4606 a Fc(?)1219 4472 y Fk(h)1258
4480 y Ff(B)p eop end
%%Page: 185 46
TeXDict begin 185 45 bop 1725 100 a Fn(5.5)43 b(Die)26
b(darstellende)g(Matrix)152 b(185)165 282 y Fp(kommutiert.)165
457 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)34 b Fr(N)44 b Ft(=)34 b(\()p
Fr(\014)911 469 y Fk(ij)970 457 y Ft(\))h(die)f(darstellende)g(Matrix)g
(v)n(on)g Fr(f)9 b Ft(.)34 b(Es)g(ist)h Fr(h)2496 469
y Fk(C)2551 457 y Fr(f)43 b Ft(=)2745 436 y Fj(c)2735
457 y Fr(M)8 b(h)2872 469 y Fk(B)165 556 y Ft(genau)27
b(dann,)h(w)n(enn)f(f)877 560 y(\177)875 556 y(ur)h(jeden)g(Basisv)n
(ektor)d Fr(b)1682 568 y Fk(j)1744 556 y Ft(gilt)753
808 y(\()p Fr(\014)832 820 y Fk(ij)890 808 y Fo(j)p Fr(i)e
Ft(=)g(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\))23 b(=)g
Fr(h)1520 820 y Fk(C)1575 808 y Ft(\()1647 705 y Fk(n)1607
730 y Fj(X)1613 906 y Fk(i)p Fl(=1)1741 808 y Fr(\014)1788
820 y Fk(ij)1847 808 y Fr(c)1883 820 y Fk(i)1910 808
y Ft(\))h(=)e Fr(h)2101 820 y Fk(C)2157 808 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(b)2275 820 y Fk(j)2309 808 y Ft(\))729 1143
y(=)827 1122 y Fj(c)816 1143 y Fr(M)g(h)954 1155 y Fk(B)1011
1143 y Ft(\()p Fr(b)1079 1155 y Fk(j)1114 1143 y Ft(\))23
b(=)1288 1039 y Fk(m)1257 1064 y Fj(X)1257 1243 y Fk(k)q
Fl(=1)1392 1143 y Fr(\013)1445 1155 y Fk(ik)1509 1143
y Fr(\016)1546 1155 y Fk(k)q(j)1641 1143 y Ft(=)f(\()p
Fr(\013)1813 1155 y Fk(ij)1872 1143 y Fo(j)p Fr(i)h Ft(=)f(1)p
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p Ft(\))p Fr(;)165 1367 y
Ft(genau)27 b(dann,)h(w)n(enn)f Fr(M)32 b Ft(=)23 b Fr(N)9
b Ft(.)165 1541 y Fq(Satz)33 b(5.5.19)40 b Fp(Seien)f
Fr(B)33 b Ft(=)28 b(\()p Fr(b)1153 1553 y Fk(i)1180 1541
y Ft(\))33 b Fp(und)41 b Fr(C)35 b Ft(=)28 b(\()p Fr(c)1675
1553 y Fk(i)1703 1541 y Ft(\))33 b Fp(Basisfamilien)i(des)f(V)-6
b(ektorr)l(aumes)165 1641 y Fr(V)19 b Fp(.)39 b(Die)f(Matrix)48
b Fr(T)h Fp(ist)38 b(genau)g(dann)g(die)g(T)-6 b(r)l
(ansformationsmatrix)39 b(f)2477 1645 y(\177)2477 1641
y(ur)f(die)h(Basi-)165 1741 y(str)l(ansformation)f(von)43
b Ft(\()p Fr(b)1011 1753 y Fk(i)1038 1741 y Ft(\))37
b Fp(nach)44 b Ft(\()p Fr(c)1388 1753 y Fk(i)1416 1741
y Ft(\))p Fp(,)37 b(wenn)f(das)h(Diagr)l(amm)h(der)f(Ko)l(or)l
(dinaten-)165 1840 y(systeme)1240 2247 y Fr(K)1311 2259
y Fk(n)1738 2247 y Fr(K)1809 2259 y Fk(n)p 1380 2227
334 4 v 1631 2225 a Fc(-)1530 2205 y Fj(b)1523 2209 y
Fk(T)1765 2075 y(h)1804 2083 y Ff(C)1605 2034 y Fc(@)1688
2117 y(@)1738 2167 y(@)-83 b(R)1514 1921 y Fr(V)1242
2075 y Fk(h)1281 2083 y Ff(B)1406 2034 y Fc(\000)1323
2117 y(\000)1273 2167 y(\000)g(\011)165 2374 y Fp(kommutiert.)165
2549 y(Beweis.)44 b Ft(Ist)32 b Fr(T)44 b Ft(die)32 b(T)-7
b(ransformationsmatrix,)30 b(so)i(gilt)g Fr(b)2025 2561
y Fk(j)2091 2549 y Ft(=)f(id\()p Fr(b)2324 2561 y Fk(j)2359
2549 y Ft(\))g(=)2518 2486 y Fj(P)2605 2507 y Fk(n)2605
2574 y(i)p Fl(=1)2731 2549 y Fr(\013)2784 2561 y Fk(ij)2843
2549 y Fr(c)2879 2561 y Fk(i)2906 2549 y Ft(.)165 2648
y(Damit)d(k)n(omm)n(utiert)f(das)g(Diagramm)1307 2840
y Fr(V)367 b(V)p 1398 2814 299 4 v 1614 2812 a Fc(-)1520
2796 y Fl(id)1282 3249 y Fr(K)1353 3261 y Fk(n)1697 3249
y Fr(K)1768 3261 y Fk(n)p 1422 3229 251 4 v 1590 3227
a Fc(-)1530 3207 y Fj(b)1524 3211 y Fk(T)p 1753 3169
4 299 v 1755 3169 a Fc(?)1788 3036 y Fk(h)1827 3044 y
Ff(C)p 1339 3169 V 1340 3169 a Fc(?)1219 3036 y Fk(h)1258
3044 y Ff(B)165 3410 y Ft(und)24 b(damit)g(auc)n(h)e(das)h(Diagramm)f
(im)i(Satz.)f(Es)g(ist)g(klar,)f(da\031)h(auc)n(h)f(die)i(Umk)n(ehrung)
165 3509 y(gilt.)290 3684 y(Hieraus)30 b(ergibt)g(sic)n(h)g(n)n(un)g
(die)h(wic)n(h)n(tige)f(F)-7 b(ormel)1918 3688 y(\177)1916
3684 y(ub)r(er)30 b(die)2257 3666 y(\177)2247 3684 y(Anderung)g(der)g
(dar-)165 3783 y(stellenden)e(Matrix)f(b)r(ei)h(Ko)r(ordinaten)n
(transformationen.)165 3949 y Fq(Satz)33 b(5.5.20)40
b Fp(Seien)j Fr(V)55 b Fp(ein)37 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)36
b(mit)h(den)g(Basisfamilien)46 b Fr(B)40 b Ft(=)35 b(\()p
Fr(b)2732 3961 y Fk(j)2767 3949 y Fo(j)p Fr(j)41 b Ft(=)165
4049 y(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)p Ft(\))35 b Fp(und)42
b Fr(B)774 4019 y Fi(0)828 4049 y Ft(=)31 b(\()p Fr(b)992
4019 y Fi(0)992 4071 y Fk(j)1027 4049 y Fo(j)p Fr(j)36
b Ft(=)31 b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)p Ft(\))34
b Fp(und)42 b Fr(W)k Fp(ein)35 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)33
b(mit)h(den)h(Ba-)165 4149 y(sisfamilien)46 b Fr(C)d
Ft(=)36 b(\()p Fr(c)866 4161 y Fk(i)894 4149 y Fo(j)p
Fr(i)h Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\))37
b Fp(und)46 b Fr(C)1674 4118 y Fi(0)1734 4149 y Ft(=)36
b(\()p Fr(c)1903 4118 y Fi(0)1903 4170 y Fk(i)1931 4149
y Fo(j)p Fr(i)g Ft(=)h(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
Ft(\))p Fp(.)37 b(Seien)44 b Fr(S)e Fp(die)165 4248 y(T)-6
b(r)l(ansformationsmatrix)37 b(f)1059 4252 y(\177)1059
4248 y(ur)e(die)i(Basistr)l(ansformation)g(von)42 b Fr(B)e
Fp(nach)j Fr(B)2633 4218 y Fi(0)2691 4248 y Fp(und)h
Fr(T)165 4348 y Fp(die)33 b(T)-6 b(r)l(ansformationsmatrix)32
b(f)1192 4352 y(\177)1192 4348 y(ur)g(die)g(Basistr)l(ansformation)i
(von)k Fr(C)g Fp(nach)g Fr(C)2738 4318 y Fi(0)2762 4348
y Fp(.)32 b(Sei)165 4447 y Fr(f)g Ft(:)23 b Fr(V)42 b
Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(W)37 b Fp(eine)25 b(line)l(ar)l(e)h(A)n
(bbildung)f(mit)g(der)h(darstel)t(lenden)g(Matrix)35
b Fr(M)f Fp(b)l(ez)2719 4451 y(\177)2719 4447 y(uglich)165
4547 y(der)g(Basisfamilien)42 b Fr(B)36 b Fp(und)41 b
Fr(C)6 b Fp(.)33 b(Dann)f(ist)41 b Fr(T)12 b(M)d(S)1803
4517 y Fi(\000)p Fl(1)1923 4547 y Fp(die)33 b(darstel)t(lende)i(Matrix)
e(von)165 4647 y Fr(f)39 b Fp(b)l(ez)351 4651 y(\177)351
4647 y(uglich)30 b(der)h(Basisfamilien)39 b Fr(B)1326
4617 y Fi(0)1379 4647 y Fp(und)f Fr(C)1616 4617 y Fi(0)1640
4647 y Fp(.)p eop end
%%Page: 186 47
TeXDict begin 186 46 bop 165 100 a Fn(186)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Fp(Beweis.)44 b Ft(Das)27 b(Diagramm)892 486 y Fr(V)367
b(V)p 983 459 299 4 v 1199 457 a Fc(-)1105 441 y Fl(id)p
1398 459 288 4 v 1602 457 a Fc(-)1522 430 y Fk(f)1710
486 y Fr(W)337 b(W)p 1825 459 276 4 v 2017 457 a Fc(-)1935
441 y Fl(id)859 812 y Fr(K)930 824 y Fk(m)1273 812 y
Fr(K)1344 824 y Fk(m)p 1017 792 233 4 v 1166 790 a Fc(-)1076
770 y Fj(b)1072 774 y Fk(S)1116 748 y Fd(\000)p Fg(1)p
1431 792 242 4 v 1590 790 a Fc(-)1534 770 y Fj(b)1517
774 y Fk(M)1697 812 y Fr(K)1768 824 y Fk(n)2112 812 y
Fr(K)2183 824 y Fk(n)p 1837 792 251 4 v 2005 790 a Fc(-)1945
770 y Fj(b)1938 774 y Fk(T)p 924 732 4 216 v 925 732
a Fc(?)782 636 y Fk(h)821 652 y Ff(B)866 640 y Fd(0)p
1339 732 V 1340 732 a Fc(?)1373 640 y Fk(h)1412 648 y
Ff(B)p 1753 732 V 1755 732 a Fc(?)1635 640 y Fk(h)1674
648 y Ff(C)p 2168 732 V 2170 732 a Fc(?)2203 636 y Fk(h)2242
652 y Ff(C)2286 640 y Fd(0)165 1004 y Ft(k)n(omm)n(utiert.)33
b(Die)h(un)n(tere)f(Gesam)n(tabbildung)g(ist)h(dab)r(ei)2203
977 y Fj(d)2083 1004 y Ft(\()p Fr(T)12 b(M)d(S)2322 980
y Fi(\000)p Fl(1)2410 1004 y Ft(\).)34 b(Nac)n(h)f(5.5.18)165
1103 y(ist)28 b(dann)g Fr(T)12 b(M)d(S)696 1073 y Fi(\000)p
Fl(1)811 1103 y Ft(die)28 b(darstellende)f(Matrix)f(f)1710
1107 y(\177)1708 1103 y(ur)i Fr(f)9 b Ft(.)290 1278 y(Eine)31
b(w)n(eitere)g(Op)r(eration,)g(die)g(auf)h(Matrizen)f(ausge)2035
1282 y(\177)2033 1278 y(ubt)g(w)n(erden)g(k)-5 b(ann,)31
b(ist)h(die)165 1377 y Fp(T)-6 b(r)l(ansp)l(osition)p
Ft(.)24 b(Ist)e Fr(M)32 b Ft(=)22 b(\()p Fr(\013)1102
1389 y Fk(ij)1161 1377 y Ft(\))h(eine)f Fr(m)8 b Fo(\002)g
Fr(n)p Ft(-Matrix,)21 b(so)g(ist)i Fr(M)2204 1347 y Fk(t)2256
1377 y Ft(:=)f(\()p Fr(\014)2445 1389 y Fk(k)q(l)2508
1377 y Ft(\))g(mit)h Fr(\014)2756 1389 y Fk(k)q(l)2841
1377 y Ft(:=)165 1477 y Fr(\013)218 1489 y Fk(lk)310
1477 y Ft(mit)30 b Fr(k)e Ft(=)d(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)29
b Ft(und)h Fr(l)d Ft(=)e(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)29
b Ft(eine)g Fr(n)19 b Fo(\002)g Fr(m)p Ft(-Matrix,)28
b(die)i Fp(T)-6 b(r)l(ansp)l(onierte)165 1577 y Ft(o)r(der)27
b Fp(tr)l(ansp)l(onierte)j(Matrix)66 b Ft(v)n(on)27 b
Fr(M)36 b Ft(genann)n(t)27 b(wird.)290 1776 y(Man)33
b(stelle)g(sic)n(h)f(diese)h(Op)r(eration)f(so)g(v)n(or,)f(da\031)i
(das)f(Ko)r(e\016zien)n(tensc)n(hema)f(an)165 1876 y(der)c(Diagonalen)f
Fr(\013)793 1888 y Fl(11)863 1876 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\013)1101
1888 y Fk(ii)1152 1876 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)27 b Ft(gespiegelt)f(wird,)h
(d.h.)g(da\031)f(die)i(T)-7 b(erme)26 b(links)h(un-)165
1975 y(terhalb)e(dieser)f(Diagonalen)g(rec)n(h)n(ts)f(ob)r(erhalb)i
(der)f(Diagonalen)g(zu)h(stehen)g(k)n(ommen)165 2075
y(und)e(umgek)n(ehrt,)e(insb)r(esondere,)g(da\031)h(die)g(Diagonale)e
(fest)j(bleibt.)g(Die)f(T)-7 b(ransp)r(onier-)165 2174
y(te)28 b(zur)f(Matrix)1278 2353 y Fr(M)k Ft(=)1478 2186
y Fj(0)1478 2335 y(@)1564 2253 y Ft(1)83 b(2)1564 2353
y(3)g(4)1564 2453 y(5)g(6)1744 2186 y Fj(1)1744 2335
y(A)165 2597 y Ft(wird)28 b(also)1194 2726 y Fr(M)1284
2692 y Fk(t)1336 2726 y Ft(=)1423 2609 y Fj(\022)1498
2676 y Ft(1)83 b(3)f(5)1498 2776 y(2)h(4)f(6)1803 2609
y Fj(\023)1878 2726 y Fr(:)165 2921 y Ft(Diese)21 b(Op)r(eration)e(k)-5
b(ann)20 b(daher)f(auc)n(h)h(auf)g(nic)n(h)n(tquadratisc)n(he)e
(Matrizen)i(angew)n(endet)165 3020 y(w)n(erden.)27 b(Damit)h(w)n(erden)
f(aus)g(Zeilen)n(v)n(ektoren)f(Spalten)n(v)n(ektoren)g(und)i(umgek)n
(ehrt.)290 3220 y(Man)40 b(sieh)n(t)g(n)n(un)g(leic)n(h)n(t)f(ein,)i
(da\031)e(die)h(T)-7 b(ransp)r(osition)39 b(ein)h(Homomorphism)n(us)165
3319 y(zwisc)n(hen)27 b(V)-7 b(ektorr)785 3323 y(\177)785
3319 y(aumen)27 b(v)n(on)g(Matrizen)g(ist,)h(allgemeiner)e(da\031)1045
3496 y(\()p Fr(\013M)i Ft(+)18 b Fr(\014)t(N)9 b Ft(\))1481
3466 y Fk(t)1534 3496 y Ft(=)22 b Fr(\013M)1764 3466
y Fk(t)1812 3496 y Ft(+)c Fr(\014)t(N)2022 3466 y Fk(t)2051
3496 y Fr(;)1045 3596 y Ft(\()p Fr(M)1167 3566 y Fk(t)1196
3596 y Ft(\))1228 3566 y Fk(t)1281 3596 y Ft(=)k Fr(M)t(;)1045
3696 y Ft(\()p Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(N)9 b Ft(\))1335
3666 y Fk(t)1387 3696 y Ft(=)23 b Fr(N)1551 3666 y Fk(t)1598
3696 y Fo(\001)c Fr(M)1730 3666 y Fk(t)165 3875 y Ft(gelten.)178
4025 y Fq(\177)165 4041 y(Ubungen)32 b(5.5.21)81 b Ft(1.)41
b(Zeigen)29 b(Sie)h(die)g(folgenden)g(Rec)n(henregeln)e(f)2453
4045 y(\177)2451 4041 y(ur)i(die)g(Matri-)313 4140 y(zenm)n(ultiplik)-5
b(ation:)345 4240 y(a\))42 b(F)517 4244 y(\177)515 4240
y(ur)27 b Fr(M)32 b Fo(2)23 b Fr(K)889 4210 y Fk(n)883
4260 y(m)946 4240 y Ft(,)k Fr(N)32 b Fo(2)24 b Fr(K)1251
4210 y Fk(k)1245 4260 y(n)1319 4240 y Ft(und)k Fr(P)35
b Fo(2)23 b Fr(K)1728 4200 y Fk(p)1722 4265 y(k)1793
4240 y Ft(gilt:)28 b(\()p Fr(M)f Fo(\001)19 b Fr(N)9
b Ft(\))18 b Fo(\001)h Fr(P)35 b Ft(=)22 b Fr(M)28 b
Fo(\001)18 b Ft(\()p Fr(N)28 b Fo(\001)18 b Fr(P)12 b
Ft(\))341 4339 y(b\))42 b(F)517 4343 y(\177)515 4339
y(ur)28 b Fr(M)33 b Fo(2)24 b Fr(K)892 4309 y Fk(n)886
4360 y(m)949 4339 y Ft(,)k Fr(N)33 b Fo(2)25 b Fr(K)1257
4309 y Fk(n)1251 4360 y(m)1342 4339 y Ft(und)k Fr(P)36
b Fo(2)24 b Fr(K)1754 4309 y Fk(k)1748 4360 y(n)1823
4339 y Ft(gilt:)k(\()p Fr(M)g Ft(+)19 b Fr(N)9 b Ft(\))19
b Fo(\001)g Fr(P)36 b Ft(=)24 b(\()p Fr(M)k Fo(\001)19
b Fr(P)12 b Ft(\))19 b(+)461 4439 y(\()p Fr(N)27 b Fo(\001)19
b Fr(P)12 b Ft(\))350 4539 y(c\))42 b(F)517 4543 y(\177)515
4539 y(ur)28 b Fr(M)33 b Fo(2)25 b Fr(K)893 4509 y Fk(n)887
4559 y(m)950 4539 y Ft(,)j Fr(N)34 b Fo(2)25 b Fr(K)1259
4509 y Fk(k)1253 4559 y(n)1328 4539 y Ft(und)k Fr(P)36
b Fo(2)25 b Fr(K)1741 4509 y Fk(k)1735 4559 y(n)1810
4539 y Ft(gilt:)k Fr(M)e Fo(\001)20 b Ft(\()p Fr(N)28
b Ft(+)18 b Fr(P)12 b Ft(\))25 b(=)f(\()p Fr(M)k Fo(\001)19
b Fr(N)9 b Ft(\))20 b(+)461 4638 y(\()p Fr(M)27 b Fo(\001)18
b Fr(P)12 b Ft(\))p eop end
%%Page: 187 48
TeXDict begin 187 47 bop 1725 100 a Fn(5.5)43 b(Die)26
b(darstellende)g(Matrix)152 b(187)341 282 y Ft(d\))42
b(F)517 286 y(\177)515 282 y(ur)33 b Fr(M)42 b Fo(2)34
b Fr(K)916 252 y Fk(n)910 303 y(m)972 282 y Ft(,)g Fr(N)42
b Fo(2)34 b Fr(K)1304 252 y Fk(k)1298 303 y(n)1378 282
y Ft(und)g Fr(\025)g Fo(2)f Fr(K)39 b Ft(gilt:)34 b(\()p
Fr(\025M)9 b Ft(\))23 b Fo(\001)g Fr(N)42 b Ft(=)33 b
Fr(M)e Fo(\001)23 b Ft(\()p Fr(\025N)9 b Ft(\))34 b(=)461
382 y Fr(\025)p Ft(\()p Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(N)9
b Ft(\))350 482 y(e\))42 b(F)517 486 y(\177)515 482 y(ur)27
b Fr(M)32 b Fo(2)23 b Fr(K)889 451 y Fk(n)883 502 y(m)973
482 y Ft(gilt:)28 b Fr(E)1205 494 y Fk(m)1287 482 y Fo(\001)18
b Fr(M)32 b Ft(=)23 b Fr(M)k Fo(\001)18 b Fr(E)1739 494
y Fk(n)1808 482 y Ft(=)k Fr(M)207 581 y Ft(2.)41 b(Sei)32
b Fr(V)51 b Ft(der)32 b(v)n(on)f(den)h(F)-7 b(unktionen)32
b(sin\()p Fr(x)p Ft(\))h(und)g(cos)o(\()p Fr(x)p Ft(\))g(erzeugte)e(Un)
n(terv)n(ektor-)313 681 y(raum)22 b(des)h(V)-7 b(ektorraumes)21
b Fm(R)1248 651 y Fh(R)1317 681 y Ft(=)i(Abb)q(\()p Fm(R)p
Fr(;)14 b Fm(R)p Ft(\).)23 b(Bestimmen)g(Sie)g(eine)g(darstellen-)313
780 y(de)28 b(Matrix)f(der)g(linearen)g(Abbildung)1420
946 y Fr(d)p 1397 983 91 4 v 1397 1059 a(dx)1520 1002
y Ft(:)d Fr(V)41 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)5 b(:)207
1208 y Ft(3.)41 b(Sei)28 b Fr(V)48 b Ft(ein)28 b(endlic)n
(hdimensionaler)f(V)-7 b(ektorraum)27 b(und)i Fr(f)k
Ft(:)24 b Fr(V)43 b Fo(\000)-49 b(!)25 b Fr(V)47 b Ft(eine)28
b(lineare)313 1307 y(Abbildung)g(mit)g Fr(f)f Fo(\016)18
b Fr(f)32 b Ft(=)23 b(id)1231 1319 y Fk(V)1288 1307 y
Ft(.)28 b(Im)g(Grundk)1746 1311 y(\177)1746 1307 y(orp)r(er)e
Fr(K)34 b Ft(sei)27 b(1)18 b(+)g(1)k Fo(6)p Ft(=)h(0.)345
1407 y(a\))42 b(Sei)19 b Fr(V)634 1419 y Fl(+)712 1407
y Ft(:=)k Fo(f)p Fr(v)j Fo(2)d Fr(V)42 b Fo(j)23 b Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b(=)e Fr(v)s Fo(g)d Ft(und)g
Fr(V)1722 1419 y Fi(\000)1802 1407 y Ft(:=)j Fo(f)p Fr(v)k
Fo(2)d Fr(V)42 b Fo(j)24 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23
b(=)g Fo(\000)p Fr(v)s Fo(g)p Ft(.)18 b(Zeigen)461 1506
y(Sie:)k Fr(V)42 b Ft(=)23 b Fr(V)838 1518 y Fl(+)902
1506 y Fo(\010)8 b Fr(V)1023 1518 y Fi(\000)1079 1506
y Ft(.)23 b(\(Hin)n(w)n(eis:)f(Erkl)1639 1510 y(\177)1639
1506 y(aren)f(Sie,)i(w)n(o)e(die)i(V)-7 b(oraussetzung)2767
1510 y(\177)2765 1506 y(ub)r(er)461 1606 y(den)27 b(Grundk)897
1610 y(\177)897 1606 y(orp)r(er)g(eingeh)n(t.\))341 1706
y(b\))42 b(Zeigen)37 b(Sie,)i(da\031)e(es)h(eine)h(Basis)e(v)n(on)h
Fr(V)57 b Ft(gibt,)38 b(f)2090 1710 y(\177)2088 1706
y(ur)h(die)f(die)h(darstellende)461 1805 y(Matrix)d(v)n(on)g
Fr(f)46 b Ft(auf)37 b(der)g(Diagonalen)f(n)n(ur)h(die)g(Ein)n(tr)2237
1809 y(\177)2237 1805 y(age)e(1)i(und)g Fo(\000)p Ft(1)g(und)461
1905 y(au\031erhalb)26 b(der)h(Diagonalen)f(n)n(ur)h(den)h(Ein)n(trag)e
(0)h(hat.)207 2005 y(4.)41 b(Sei)1252 2183 y Fr(M)31
b Ft(=)1452 2016 y Fj(0)1452 2166 y(@)1569 2083 y Ft(0)89
b(2)57 b Fo(\000)p Ft(1)1569 2182 y(1)g Fo(\000)p Ft(1)f(0)1537
2282 y Fo(\000)p Ft(1)g(0)89 b(1)1918 2016 y Fj(1)1918
2166 y(A)313 2428 y Ft(Berec)n(hnen)33 b(Sie)i(mit)f(Hilfe)h(der)f(T)-7
b(ransformationsformel)32 b(aus)h(Satz)i(5.5.20)d(die)313
2527 y(darstellende)27 b(Matrix)g(v)n(on)1219 2506 y
Fj(c)1209 2527 y Fr(M)36 b Ft(b)r(ez)1450 2531 y(\177)1448
2527 y(uglic)n(h)27 b(der)h(Basis)860 2805 y Fr(v)900
2817 y Fl(1)960 2805 y Ft(=)1048 2638 y Fj(0)1048 2787
y(@)1165 2704 y Ft(1)1133 2804 y Fo(\000)p Ft(1)1165
2904 y(0)1252 2638 y Fj(1)1252 2787 y(A)1421 2805 y Fr(v)1461
2817 y Fl(2)1522 2805 y Ft(=)1609 2638 y Fj(0)1609 2787
y(@)1727 2704 y Ft(0)1727 2804 y(1)1694 2904 y Fo(\000)p
Ft(1)1813 2638 y Fj(1)1813 2787 y(A)1982 2805 y Fr(v)2022
2817 y Fl(2)2083 2805 y Ft(=)2171 2638 y Fj(0)2171 2787
y(@)2256 2704 y Ft(1)2256 2804 y(1)2256 2904 y(1)2310
2638 y Fj(1)2310 2787 y(A)313 3082 y Ft(v)n(on)f Fm(Q)535
3094 y Fl(3)572 3082 y Ft(.)207 3182 y(5.)41 b(Betrac)n(h)n(ten)34
b(Sie)h(die)g(Basis)f(\(1)p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(;)g Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g
Fo(\000)p Ft(1\))p Fr(;)g Ft(\(1)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g
Ft(1\))31 b(des)k(V)-7 b(ektorraumes)313 3281 y Fm(Q)378
3251 y Fl(3)415 3281 y Ft(.)21 b(Bestimmen)h(Sie)f(die)h(T)-7
b(ransformationsmatrix)19 b(des)i(Basisw)n(ec)n(hsels)e(v)n(on)h(die-)
313 3381 y(ser)36 b(Basis)g(auf)i(die)f(k)-5 b(anonisc)n(he)36
b(Basis)g(und)i(die)f(T)-7 b(ransformationsmatrix)34
b(des)313 3481 y(Basisw)n(ec)n(hsels)24 b(v)n(on)i(der)g(k)-5
b(anonisc)n(hen)25 b(Basis)h(auf)g(diese)g(Basis.)g(Zeigen)f(Sie,)i
(da\031)313 3580 y(b)r(eide)h(T)-7 b(ransformationsmatrizen)25
b(zueinander)i(in)n(v)n(ers)f(sind.)207 3680 y(6.)41
b(Seien)c Fr(v)579 3692 y Fl(1)617 3680 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)
841 3692 y Fk(n)924 3680 y Ft(und)38 b Fr(w)1159 3692
y Fl(1)1197 3680 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(w)1440 3692
y Fk(n)1523 3680 y Ft(Basen)36 b(des)i(V)-7 b(ektorraumes)35
b Fr(V)19 b Ft(.)38 b Fr(T)48 b Ft(sei)37 b(die)313 3779
y(T)-7 b(ransformationsmatrix)23 b(des)j(Basisw)n(ec)n(hsels)d(v)n(on)i
(\()p Fr(v)2057 3791 y Fk(i)2086 3779 y Ft(\))h(nac)n(h)f(\()p
Fr(w)2429 3791 y Fk(i)2457 3779 y Ft(\).)i(Zeigen)e(Sie,)313
3879 y(da\031)d Fr(T)526 3849 y Fi(\000)p Fl(1)638 3879
y Ft(die)i(T)-7 b(ransformationsmatrix)20 b(des)j(Basisw)n(ec)n(hsels)e
(v)n(on)i(\()p Fr(w)2521 3891 y Fk(i)2549 3879 y Ft(\))h(nac)n(h)f(\()p
Fr(v)2869 3891 y Fk(i)2897 3879 y Ft(\))313 3979 y(ist.)207
4078 y(7.)41 b(Seien)20 b Fr(b)558 4090 y Fl(1)618 4078
y Ft(=)j(\(0)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(1\),)19 b Fr(b)1048
4090 y Fl(2)1108 4078 y Ft(=)k(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p
Fr(;)g Ft(1\),)19 b Fr(b)1538 4090 y Fl(3)1598 4078 y
Ft(=)k(\(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\),)19 b Fr(c)2028
4090 y Fl(1)2088 4078 y Ft(=)k(\(2)p Fr(;)14 b Ft(1)p
Fr(;)g Ft(1\),)19 b Fr(c)2518 4090 y Fl(2)2579 4078 y
Ft(=)j(\(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(1\))313 4178
y(und)31 b Fr(c)518 4190 y Fl(3)583 4178 y Ft(=)d(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(2\).)30 b(Bestimmen)h(Sie)g(die)f(T)-7
b(ransformationsmatrix)28 b Fr(S)36 b Ft(v)n(on)30 b(der)313
4278 y(Basis)f(\()p Fr(b)600 4290 y Fk(i)627 4278 y Ft(\))i(auf)e(die)h
(Basis)f(\()p Fr(c)1255 4290 y Fk(i)1283 4278 y Ft(\))h(v)n(on)f
Fm(R)1564 4247 y Fl(3)1632 4278 y Ft(und)h(die)g(T)-7
b(ransformationsmatrix)27 b(v)n(on)313 4377 y(der)g(Basis)g(\()p
Fr(c)741 4389 y Fk(i)769 4377 y Ft(\))h(auf)f(die)h(Basis)f(\()p
Fr(b)1388 4389 y Fk(i)1415 4377 y Ft(\).)207 4477 y(8.)41
b(Sei)31 b Fr(v)490 4489 y Fl(1)528 4477 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)
752 4489 y Fk(n)829 4477 y Ft(eine)31 b(Basis)f(des)h(V)-7
b(ektorraumes)30 b Fr(V)19 b Ft(.)31 b(Sei)g Fr(T)40
b Ft(=)29 b(\()p Fr(\013)2429 4489 y Fk(ij)2488 4477
y Ft(\))g Fo(2)g Fr(K)2710 4447 y Fk(n)2704 4497 y(n)2786
4477 y Ft(eine)313 4576 y(in)n(v)n(ertierbare)c(Matrix.)i(F)1156
4580 y(\177)1154 4576 y(ur)h Fr(j)g Ft(=)22 b(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)27 b Ft(setze)p eop end
%%Page: 188 49
TeXDict begin 188 48 bop 165 100 a Fn(188)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)1350 336
y Fr(w)1409 348 y Fk(j)1468 336 y Ft(:=)1618 233 y Fk(n)1579
257 y Fj(X)1585 434 y Fk(i)p Fl(=1)1712 336 y Fr(\013)1765
348 y Fk(ij)1824 336 y Fr(v)1864 348 y Fk(i)313 578 y
Ft(Zeigen)27 b(Sie,)h(da\031)e Fr(w)948 590 y Fl(1)986
578 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(w)1230 590 y Fk(n)1303
578 y Ft(eb)r(enfalls)28 b(eine)f(Basis)g(v)n(on)g Fr(V)46
b Ft(ist.)207 678 y(9.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(ob)f(die)h
(folgende)f(Aussage)f(ric)n(h)n(tig)h(ist)h(\(ja/nein\).)313
778 y(Sei)c Fr(A)f Fo(2)h Fr(K)684 748 y Fk(n)678 798
y(m)764 778 y Ft(und)h Fr(B)i Fo(2)d Fr(K)1173 748 y
Fk(m)1167 798 y(n)1235 778 y Ft(.)g(Es)g(gelte)f Fr(AB)28
b Ft(=)22 b Fr(E)1891 790 y Fk(m)1955 778 y Ft(.)i(Dann)g(gilt)g(auc)n
(h)f Fr(B)t(A)h Ft(=)f Fr(E)2861 790 y Fk(n)2906 778
y Ft(.)165 877 y(10.)41 b(Sei)890 1097 y Fr(V)h Ft(=)1068
902 y Fj(8)1068 977 y(>)1068 1002 y(<)1068 1151 y(>)1068
1176 y(:)1152 906 y(0)1152 1052 y(B)1152 1105 y(@)1238
948 y Fr(w)1245 1048 y(x)1247 1147 y(y)1248 1247 y(z)1314
906 y Fj(1)1314 1052 y(C)1314 1105 y(A)1409 1097 y Fo(2)24
b Fm(R)1548 1109 y Fl(4)1585 902 y Fj(\014)1585 952 y(\014)1585
1002 y(\014)1585 1052 y(\014)1585 1101 y(\014)1585 1151
y(\014)1585 1201 y(\014)1626 1097 y Fr(w)d Ft(+)e Fr(x)f
Ft(+)g Fr(y)k Ft(+)c Fr(z)26 b Ft(=)d(0)2279 902 y Fj(9)2279
977 y(>)2279 1002 y(=)2279 1151 y(>)2279 1176 y(;)313
1375 y Ft(und)28 b(sei)f Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42
b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)46 b Ft(der)28 b(durc)n(h)878
1681 y Fr(f)942 1490 y Fj(0)942 1636 y(B)942 1689 y(@)1028
1532 y Fr(w)1035 1632 y(x)1037 1731 y(y)1038 1831 y(z)1104
1490 y Fj(1)1104 1636 y(C)1104 1689 y(A)1200 1681 y Ft(=)1287
1490 y Fj(0)1287 1636 y(B)1287 1689 y(@)1374 1532 y Fo(\000)p
Ft(1)114 b(1)147 b(1)115 b(0)1406 1632 y(1)g Fo(\000)p
Ft(1)f(1)h(0)1406 1731 y(1)147 b(1)115 b Fo(\000)p Ft(1)82
b(0)1406 1831 y(0)147 b(0)g(0)115 b(1)1996 1490 y Fj(1)1996
1636 y(C)1996 1689 y(A)2087 1681 y Fo(\001)2129 1490
y Fj(0)2129 1636 y(B)2129 1689 y(@)2215 1532 y Fr(w)2223
1632 y(x)2224 1731 y(y)2225 1831 y(z)2291 1490 y Fj(1)2291
1636 y(C)2291 1689 y(A)313 1987 y Ft(de\014nierte)25
b(Homomorphism)n(us.)e(Bestimmen)i(Sie)h(die)f(darstellende)f(Matrix)g
(v)n(on)313 2087 y Fr(f)36 b Ft(b)r(ez)514 2091 y(\177)512
2087 y(uglic)n(h)28 b(der)f(Basis)f(v)n(on)h Fr(V)1133
2201 y Fj(0)1133 2347 y(B)1133 2401 y(@)1252 2244 y Ft(1)1220
2343 y Fo(\000)p Ft(1)1252 2443 y(0)1252 2543 y(0)1340
2201 y Fj(1)1340 2347 y(C)1340 2401 y(A)1426 2393 y Fr(;)1463
2201 y Fj(0)1463 2347 y(B)1463 2401 y(@)1582 2244 y Ft(0)1582
2343 y(1)1550 2443 y Fo(\000)p Ft(1)1582 2543 y(0)1669
2201 y Fj(1)1669 2347 y(C)1669 2401 y(A)1756 2393 y Fr(;)1793
2201 y Fj(0)1793 2347 y(B)1793 2401 y(@)1912 2244 y Ft(0)1912
2343 y(0)1912 2443 y(1)1879 2543 y Fo(\000)p Ft(1)1999
2201 y Fj(1)1999 2347 y(C)1999 2401 y(A)2086 2393 y Fr(:)165
2838 y Fs(5.6)42 b(Restklassenr)963 2843 y(\177)964 2838
y(aume,)e(a\016ne)e(R)1676 2843 y(\177)1677 2838 y(aume)165
3031 y Ft(Da)c(die)f(V)-7 b(ektorraumstruktur)32 b(eine)h(algebraisc)n
(he)e(Grundstruktur)i(ist,)h(k)-5 b(ann)33 b(man)165
3130 y(wie)23 b(in)f(Kapitel)g(3)g(Absc)n(hnitt)h(4)f
(Kongruenzrelationen)e(und)j(Restklassen)e(studieren.)165
3230 y(Wie)30 b(in)g(3.4)f(nennen)h(wir)g(eine)1192 3213
y(\177)1181 3230 y(Aquiv)-5 b(alenzrelation)29 b Fr(R)e
Fo(\032)g Fr(V)38 b Fo(\002)20 b Fr(V)48 b Ft(eine)30
b(Kongruenz-)165 3330 y(relation)37 b(f)507 3334 y(\177)505
3330 y(ur)g(den)g(V)-7 b(ektorraum)36 b Fr(V)19 b Ft(,)37
b(w)n(enn)h Fr(R)f Ft(ein)h(Un)n(terv)n(ektorraum)d(v)n(on)h
Fr(V)44 b Fo(\002)24 b Fr(V)165 3429 y Ft(ist.)30 b(W)-7
b(enn)30 b Fr(R)g Ft(eine)f(Kongruenzrelation)e(f)1534
3433 y(\177)1532 3429 y(ur)i Fr(V)48 b Ft(ist,)30 b(dann)f(gilt)g
(wieder)g(die)g(Aussage)165 3529 y(v)n(on)24 b(3.4.5,)f(da\031)g
Fr(V)9 b(=R)26 b Ft(genau)d(eine)h(Struktur)h(eines)f(V)-7
b(ektorraumes)22 b(tr)2408 3533 y(\177)2408 3529 y(agt,)i(so)g(da\031)f
(die)165 3628 y(Restklassenabbildung)k Fr(\027)h Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)9 b(=R)28 b Ft(eine)g(lineare)f
(Abbildung)h(ist.)165 3787 y Fq(Satz)33 b(5.6.1)40 b
Fp(Die)28 b(Zuor)l(dnung,)f(die)h(je)l(dem)g(Untervektorr)l(aum)34
b Fr(U)d Fo(\032)23 b Fr(V)46 b Fp(die)29 b(Kongru-)165
3886 y(enzr)l(elation)37 b Fr(R)658 3898 y Fk(U)737 3886
y Fo(\032)22 b Fr(V)38 b Fo(\002)18 b Fr(V)48 b Fp(mit)910
4056 y Fr(R)973 4068 y Fk(U)1051 4056 y Ft(:=)23 b Fo(f)p
Ft(\()p Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))24 b Fo(2)f Fr(V)38 b
Fo(\002)18 b Fr(V)h Fo(j)p Fr(v)i Fo(\000)d Fr(w)26 b
Fo(2)e Fr(U)9 b Fo(g)165 4225 y Fp(zuor)l(dnet,)36 b(ist)g(bijektiv.)j
(Die)d(Umkehr)l(abbildung)i(or)l(dnet)e(je)l(der)h(Kongruenzr)l
(elation)165 4325 y Fr(R)24 b Fo(\032)f Fr(V)37 b Fo(\002)18
b Fr(V)49 b Fp(den)30 b(Untervektorr)l(aum)1083 4494
y Fr(U)1140 4506 y Fk(R)1217 4494 y Ft(:=)23 b Fo(f)p
Fr(v)e Fo(\000)d Fr(w)r Fo(j)p Ft(\()p Fr(v)s(;)c(w)r
Ft(\))25 b Fo(2)e Fr(R)q Fo(g)165 4664 y Fp(zu.)p eop
end
%%Page: 189 50
TeXDict begin 189 49 bop 1438 100 a Fn(5.6)42 b(Restklassenr)1995
103 y(\177)1995 100 y(aume,)27 b(a\016ne)f(R)2484 103
y(\177)2484 100 y(aume)151 b(189)165 282 y Fp(Beweis.)44
b Ft(Da)39 b(jeder)h(V)-7 b(ektorraum)38 b(auc)n(h)h(eine)g(\(ab)r
(elsc)n(he\))h(Grupp)r(e)g(ist,)f(ist)h Fr(R)2766 294
y Fk(U)2865 282 y Fo(\032)165 382 y Fr(V)25 b Fo(\002)5
b Fr(V)40 b Ft(Un)n(tergrupp)r(e.)20 b(F)955 386 y(\177)953
382 y(ur)h Fr(\025)j Fo(2)f Fr(K)k Ft(und)21 b(\()p Fr(v)s(;)14
b(w)r Ft(\))25 b Fo(2)e Fr(R)1831 394 y Fk(U)1908 382
y Ft(ist)e Fr(\025)p Ft(\()p Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))25
b(=)e(\()p Fr(\025v)s(;)14 b(\025w)r Ft(\))25 b Fo(2)e
Fr(R)2850 394 y Fk(U)2906 382 y Ft(,)165 482 y(denn)e
Fr(\025v)7 b Fo(\000)t Fr(\025w)28 b Ft(=)22 b Fr(\025)p
Ft(\()p Fr(v)7 b Fo(\000)t Fr(w)r Ft(\))26 b Fo(2)d Fr(U)9
b Ft(.)20 b(Damit)i(ist)e Fr(R)1671 494 y Fk(U)1748 482
y Ft(tats)1887 486 y(\177)1887 482 y(ac)n(hlic)n(h)f(eine)i
(Kongruenzrelati-)165 581 y(on.)e(Ist)f Fr(R)h Ft(gegeb)r(en,)f(so)g
(ist)h(wiederum)f Fr(U)27 b Ft(wie)19 b(in)g(3.5.3)e(eine)h(Un)n
(tergrupp)r(e.)g(F)2607 585 y(\177)2605 581 y(ur)h Fr(\025)k
Fo(2)h Fr(K)165 681 y Ft(und)c Fr(v)5 b Fo(\000)r Fr(w)26
b Fo(2)e Fr(U)656 693 y Fk(R)729 681 y Ft(mit)d(\()p
Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))24 b Fo(2)f Fr(R)e Ft(gilt)e
Fr(\025)p Ft(\()p Fr(v)s(;)14 b(w)r Ft(\))25 b Fo(2)e
Fr(R)q Ft(,)d(also)e Fr(\025)p Ft(\()p Fr(v)5 b Fo(\000)r
Fr(w)r Ft(\))25 b(=)e Fr(\025v)5 b Fo(\000)r Fr(\025w)27
b Fo(2)c Fr(U)2852 693 y Fk(R)2906 681 y Ft(.)165 780
y(Damit)28 b(ist)g Fr(U)595 792 y Fk(R)677 780 y Ft(ein)g(Un)n(terv)n
(ektorraum.)290 955 y(Wir)d(sc)n(hreib)r(en)h Fr(V)9
b(=U)32 b Ft(:=)22 b Fr(V)9 b(=R)1280 967 y Fk(U)1336
955 y Ft(.)26 b(Nac)n(h)f(3.5.4)f(ist)i Fr(v)18 b Ft(+)c
Fr(U)32 b Ft(=)22 b Fo(f)p Fr(v)c Ft(+)c Fr(u)p Fo(j)p
Fr(u)22 b Fo(2)h Fr(U)9 b Fo(g)25 b Ft(dann)165 1054
y(das)i(allgemeine)g(Elemen)n(t)h(des)f(Restklassenraumes)f
Fr(V)9 b(=U)g Ft(.)165 1220 y Fq(De\014nition)31 b(5.6.2)40
b Ft(Eine)31 b(T)-7 b(eilmenge)31 b Fr(v)24 b Ft(+)c
Fr(U)40 b Ft(in)32 b(einem)f(V)-7 b(ektorraum)30 b Fr(V)50
b Ft(b)r(ez)2716 1224 y(\177)2714 1220 y(uglic)n(h)165
1320 y(eines)26 b(Un)n(terv)n(ektorraumes)d Fr(U)35 b
Ft(hei\031t)26 b(auc)n(h)51 b Fp(a\016ner)29 b(Unterr)l(aum)e(von)h
Fr(V)47 b Fp(mit)29 b(T)-6 b(r)l(ans-)165 1420 y(lationsr)l(aum)30
b Fr(U)9 b Ft(.)165 1586 y Fq(Satz)33 b(5.6.3)40 b Fp(\(F)-6
b(aktorisierungssatz)42 b(f)1407 1590 y(\177)1407 1586
y(ur)g(V)-6 b(ektorr)1800 1590 y(\177)1801 1586 y(aume\))41
b(Sei)51 b Fr(f)i Ft(:)44 b Fr(V)64 b Fo(\000)-46 b(!)44
b Fr(W)54 b Fp(eine)165 1685 y(line)l(ar)l(e)33 b(A)n(bbildung)g(und)41
b Fr(U)c Fo(\032)27 b Fr(V)51 b Fp(ein)33 b(Untervektorr)l(aum.)f(Wenn)
38 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(U)g Ft(\))28 b(=)g(0)p Fp(,)k(dann)165
1785 y(gibt)e(es)g(genau)g(eine)g(line)l(ar)l(e)h(A)n(bbildung)p
1504 1717 50 4 v 37 w Fr(f)h Ft(:)23 b Fr(V)9 b(=U)32
b Fo(\000)-46 b(!)23 b Fr(W)12 b Fp(,)30 b(so)g(da\031)1282
1959 y Fr(V)318 b(V)9 b(=U)p 1373 1940 250 4 v 1540 1938
a Fc(-)1479 1922 y Fk(\027)1685 2382 y Fr(W)p 1729 2295
4 299 v 1730 2295 a Fc(?)p 1658 2118 39 4 v 1658 2169
a Fk(f)1432 2161 y(f)1373 2080 y Fc(@)1456 2163 y(@)1539
2246 y(@)1589 2295 y(@)-83 b(R)165 2536 y Fp(kommutiert.)165
2710 y(Beweis.)44 b Ft(v)n(erl)617 2714 y(\177)617 2710
y(auft)19 b(analog)f(zum)h(Bew)n(eis)g(v)n(on)g(3.5.5.)f(Einzig)h(neu)h
(ist)g(die)f(Behauptung,)165 2810 y(da\031)p 336 2742
50 4 v 41 w Fr(f)50 b Ft(auc)n(h)41 b(mit)h(der)f(Multiplik)-5
b(ation)42 b(mit)g(Sk)-5 b(alaren)41 b(v)n(ertr)2210
2814 y(\177)2210 2810 y(aglic)n(h)e(ist:)p 2613 2742
V 42 w Fr(f)8 b Ft(\()p Fr(\025)p 2742 2764 44 4 v(v)t
Ft(\))47 b(=)p 165 2842 50 4 v 165 2910 a Fr(f)9 b Ft(\()p
247 2842 92 4 v Fr(\025v)t Ft(\))23 b(=)p 482 2842 50
4 v 23 w Fr(f)8 b(\027)d Ft(\()p Fr(\025v)s Ft(\))25
b(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\025v)s Ft(\))24 b(=)e Fr(\025f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\025)p 1526 2842 V(f)9
b Ft(\()p 1608 2864 44 4 v Fr(v)s Ft(\).)165 3084 y Fq(Satz)33
b(5.6.4)40 b Fp(Sei)k Fr(U)f Fo(\032)33 b Fr(V)55 b Fp(ein)36
b(Untervektorr)l(aum)f(und)43 b Fr(U)2108 3054 y Fi(0)2167
3084 y Fp(ein)36 b(dir)l(ektes)g(Komple-)165 3184 y(ment)29
b(zu)36 b Fr(U)9 b Fp(.)30 b(Dann)f(ist)38 b Fr(f)31
b Ft(:)23 b Fr(U)1148 3154 y Fi(0)1249 3137 y Fk(\023)1194
3184 y Fo(\000)-14 b(!)23 b Fr(V)1490 3137 y Fk(\027)1441
3184 y Fo(\000)-14 b(!)23 b Fr(V)9 b(=U)39 b Fp(ein)30
b(Isomorphismus.)165 3358 y(Beweis.)44 b Ft(Es)33 b(ist)h
Fr(V)53 b Ft(=)33 b Fr(U)f Fo(\010)22 b Fr(U)1168 3328
y Fi(0)1191 3358 y Ft(.)34 b(Wir)g(de\014nieren)g(die)h(Umk)n
(ehrabbildung)h(\026)-45 b Fr(g)36 b Ft(:)e Fr(V)9 b(=U)165
3458 y Fo(\000)-48 b(!)25 b Fr(U)356 3427 y Fi(0)408
3458 y Ft(zu)30 b Fr(f)37 b Ft(durc)n(h)29 b(die)g(T)-7
b(eilabbildungen)29 b(auf)g(den)g(direkten)g(Summanden)g(\()p
Fr(g)2752 3470 y Fl(1)2815 3458 y Ft(:)c Fr(U)165 3557
y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(U)354 3527 y Fi(0)377 3557
y Ft(\))g(=)g(0)i(und)h(\()p Fr(g)823 3569 y Fl(2)883
3557 y Ft(:)d Fr(U)995 3527 y Fi(0)1041 3557 y Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(U)1230 3527 y Fi(0)1253 3557 y Ft(\))g(=)g(id)1465
3569 y Fk(U)1516 3553 y Fd(0)1543 3557 y Ft(.)i(Nac)n(h)g(5.4.15)e(ist)
j(die)f(lineare)g(Abbildung)165 3657 y Fr(g)48 b Ft(:)e
Fr(V)64 b Fo(\000)-48 b(!)45 b Fr(U)645 3627 y Fi(0)709
3657 y Ft(dadurc)n(h)c(eindeutig)g(b)r(estimm)n(t.)h(Da)f
Fr(g)s Ft(\()p Fr(U)9 b Ft(\))45 b(=)g Fr(g)2337 3669
y Fl(1)2374 3657 y Ft(\()p Fr(U)9 b Ft(\))46 b(=)f(0,)40
b(folgt)165 3756 y(nac)n(h)27 b(5.6.3,)f(da\031)h Fr(g)j
Ft(durc)n(h)c(eine)i(eindeutig)f(b)r(estimm)n(te)h(lineare)f(Abbildung)
j(\026)-45 b Fr(g)26 b Ft(:)d Fr(V)9 b(=U)165 3856 y
Fo(\000)-48 b(!)26 b Fr(U)357 3826 y Fi(0)410 3856 y
Ft(faktorisiert)i(w)n(erden)g(k)-5 b(ann,)30 b(da\031)e(also)h(insb)r
(esondere)i(\026)-45 b Fr(g)s(\027)31 b Ft(=)26 b Fr(g)32
b Ft(gilt.)d(Dann)h(ist)165 3956 y Fr(f)12 b Ft(\026)-45
b Fr(g)s Ft(\()s(\026)g Fr(v)s Ft(\))30 b(=)e Fr(f)9
b(g)s Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))30 b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(g)934 3968 y Fl(1)970 3956 y Ft(\()p Fr(u)p Ft(\))21
b(+)g Fr(g)1229 3968 y Fl(2)1266 3956 y Ft(\()p Fr(u)1346
3926 y Fi(0)1369 3956 y Ft(\)\))30 b(=)e Fr(f)9 b(g)1646
3971 y Fl(\()1676 3956 y Fr(u)1724 3926 y Fi(0)1747 3956
y Ft(\))29 b(=)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)2032 3926 y Fi(0)2055
3956 y Ft(\))29 b(=)g Fr(\027)5 b Ft(\()p Fr(u)2336 3926
y Fi(0)2359 3956 y Ft(\))30 b(=)f Fr(\027)5 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))30 b(=)i(\026)-45 b Fr(v)33 b Ft(=)165 4055
y(id)q(\()s(\026)-45 b Fr(v)s Ft(\),)24 b(w)n(enn)f Fr(v)j
Fo(2)e Fr(V)42 b Ft(die)23 b(Zerlegung)f Fr(v)27 b Ft(=)22
b Fr(u)10 b Ft(+)g Fr(u)1677 4025 y Fi(0)1722 4055 y
Ft(b)r(ez)1846 4059 y(\177)1844 4055 y(uglic)n(h)23 b
Fr(V)42 b Ft(=)23 b Fr(U)c Fo(\010)10 b Fr(U)2477 4025
y Fi(0)2523 4055 y Ft(hat.)23 b(W)-7 b(eiter)165 4155
y(ist)31 b(\026)-45 b Fr(g)s(f)9 b Ft(\()p Fr(u)454 4125
y Fi(0)476 4155 y Ft(\))24 b(=)h(\026)-45 b Fr(g)s(\027)5
b Ft(\()p Fr(u)788 4125 y Fi(0)811 4155 y Ft(\))24 b(=)e
Fr(g)s Ft(\()p Fr(u)1077 4125 y Fi(0)1100 4155 y Ft(\))h(=)g
Fr(u)1291 4125 y Fi(0)1337 4155 y Ft(=)g(id\()p Fr(u)1574
4125 y Fi(0)1597 4155 y Ft(\).)28 b(Also)f(gelten)h Fr(f)12
b Ft(\026)-45 b Fr(g)25 b Ft(=)d(id)28 b(und)j(\026)-45
b Fr(g)s(f)32 b Ft(=)22 b(id.)290 4329 y(Die)35 b(im)h(v)n
(orhergehenden)d(Satz)i(gezeigte)f(Eigensc)n(haft,)g(da\031)g(der)h
(Restklassen-)165 4429 y(raum)30 b Fr(V)9 b(=U)39 b Ft(auc)n(h)29
b(zu)h(einem)g(Un)n(terv)n(ektorraum)e Fr(U)1855 4399
y Fi(0)1908 4429 y Ft(v)n(on)h Fr(V)49 b Ft(isomorph)29
b(ist,)h(ist)g(eine)165 4529 y(sehr)23 b(seltene)h(Eigensc)n(haft)e(v)n
(on)h(algebraisc)n(hen)e(Strukturen.)j(Der)f(Un)n(terv)n(ektorraum)165
4628 y Fr(U)231 4598 y Fi(0)283 4628 y Ft(ist)29 b(ja)g(auc)n(h)g(durc)
n(h)f Fr(V)9 b(=U)38 b Ft(o)r(der)28 b(durc)n(h)h Fr(U)37
b Ft(k)n(einesw)n(egs)27 b(eindeutig)i(b)r(estimm)n(t,)h(wie)p
eop end
%%Page: 190 51
TeXDict begin 190 50 bop 165 100 a Fn(190)153 b(5.)42
b(V)-6 b(ektorr)788 103 y(\177)788 100 y(aume)165 282
y Ft(wir)23 b(sc)n(hon)e(b)r(ei)i(der)f(Diskussion)g(v)n(on)g(direkten)
h(Komplemen)n(ten)f(gesehen)g(hab)r(en.)g(Bei)165 382
y(Ringen)32 b(ist)h(diese)f(Aussage)f(z.B.)h(falsc)n(h.)g(Keiner)f(der)
h(Ringe)g Fm(Z)p Fr(=n)p Fm(Z)g Ft(mit)h Fr(n)d(>)g Ft(1)i(ist)165
482 y(zu)j(einem)f(Un)n(terring)g(v)n(on)g Fm(Z)g Ft(isomorph,)g(w)n
(eil)g(in)g Fm(Z)h Ft(k)n(ein)f(Elemen)n(t)g(der)g(additiv)n(en)165
581 y(Ordn)n(ung)f Fr(n)g Ft(existiert,)h(d.h.)g(es)f(gibt)h(k)n(ein)g
(Elemen)n(t)f Fr(x)h Fo(2)f Fm(Z)p Ft(,)h Fr(x)g Fo(6)p
Ft(=)f(0,)g(mit)h Fr(nx)g Ft(=)f(0,)165 681 y(w)n(as)g(ab)r(er)f(in)i
Fm(Z)p Fr(=n)p Fm(Z)f Ft(z.B.)h(f)1064 685 y(\177)1062
681 y(ur)f(die)h(Eins)e(gilt.)i(Man)f(sollte)g(daher)g(v)n(ermeiden,)f
Fr(V)9 b(=U)165 780 y Ft(mit)25 b(irgendeinem)f(Un)n(terv)n(ektorraum)f
(v)n(on)g Fr(V)44 b Ft(zu)24 b(iden)n(ti\014zieren)h(o)r(der)f(sic)n(h)
g(auc)n(h)g(n)n(ur)165 880 y(eine)k(solc)n(he)f(Iden)n(ti\014zierung)g
(v)n(orzustellen.)290 1072 y(Mit)i(den)h(Elemen)n(ten)e(v)n(on)h
Fr(V)9 b(=U)38 b Ft(k)-5 b(ann)29 b(man)g(jedo)r(c)n(h)g(in)g(sehr)f
(nat)2419 1076 y(\177)2417 1072 y(urlic)n(her)g(W)-7
b(eise)165 1172 y(eine)36 b(andere)f(V)-7 b(orstellung)35
b(v)n(erbinden.)g(Ein)h(solc)n(hes)f(Elemen)n(t,)g(ein)h(a\016ner)f
(Raum,)165 1271 y(hat)29 b(die)g(F)-7 b(orm)32 b(\026)-45
b Fr(v)28 b Ft(=)d Fr(v)d Ft(+)d Fr(U)34 b Ft(=)25 b
Fo(f)p Fr(v)d Ft(+)d Fr(u)p Fo(j)p Fr(u)24 b Fo(2)i Fr(U)9
b Fo(g)p Ft(.)28 b(Er)g(en)n(tsteh)n(t)h(also)f(durc)n(h)2565
1320 y(")2603 1271 y(V)-7 b(ersc)n(hie-)165 1371 y(bung)h(\\)42
b(des)37 b(Un)n(terv)n(ektorraumes)d Fr(U)46 b Ft(um)37
b(den)f(V)-7 b(ektor)37 b Fr(v)k Fo(2)d Fr(V)19 b Ft(.)37
b(Da)g(die)g(Elemen)n(te)165 1471 y(v)n(on)31 b Fr(V)9
b(=U)41 b Ft(eine)32 b(P)n(artition)f(bilden,)h(w)n(erden)f(sic)n(h)h
(zw)n(ei)f(solc)n(he)g(a\016nen)h(Un)n(terr)2736 1475
y(\177)2736 1471 y(aume)165 1570 y(mit)k(demselb)r(en)f
Fr(U)44 b Ft(nic)n(h)n(t)35 b(sc)n(hneiden)f(\(es)h(sei)g(denn,)g(sie)g
(stimmen)2407 1574 y(\177)2405 1570 y(ub)r(erein\).)g(Man)165
1670 y(b)r(etrac)n(h)n(tet)28 b(sie)g(dann)g(auc)n(h)f(als)g(parallele)
g(a\016ne)h(Un)n(terr)2011 1674 y(\177)2011 1670 y(aume.)f(W)-7
b(eiter)2525 1674 y(\177)2523 1670 y(ub)r(erdec)n(k)n(en)165
1769 y(sie)23 b(den)g(gesam)n(ten)f(V)-7 b(ektorraum)21
b Fr(V)e Ft(,)k(w)n(egen)f Fr(V)42 b Ft(=)1777 1707 y
Fj(S)1846 1769 y Fo(f)p Fr(v)12 b Ft(+)d Fr(U)g Fo(j)p
Fr(v)25 b Fo(2)f Fr(V)19 b Fo(g)p Ft(.)j(Damit)h(ist)g
Fr(V)9 b(=U)165 1869 y Ft(ein)29 b(in)n(teressan)n(tes)d(w)n(eiteres)i
(Beispiel)f(f)1439 1873 y(\177)1437 1869 y(ur)i(einen)f(V)-7
b(ektorraum,)27 b(n)2291 1873 y(\177)2291 1869 y(amlic)n(h)h(die)h
(Menge)165 1969 y(der)j(zu)g Fr(U)41 b Ft(in)32 b Fr(V)51
b Ft(parallelen)31 b(a\016nen)g(Un)n(terr)1621 1973 y(\177)1621
1969 y(aume)g(mit)i(T)-7 b(ranslationsraum)30 b Fr(U)9
b Ft(.)31 b(Das)165 2068 y(ist)d(daher)f(auc)n(h)g(ein)h(Grund)f(f)1132
2072 y(\177)1130 2068 y(ur)h(die)g(folgende)f(De\014nition.)165
2229 y Fq(De\014nition)k(5.6.5)40 b Ft(Sei)h Fr(A)k Ft(=)g
Fr(v)30 b Ft(+)d Fr(U)50 b Ft(ein)41 b(a\016ner)f(Un)n(terraum)g(v)n
(on)g Fr(V)60 b Ft(mit)41 b(dem)165 2329 y(T)-7 b(ranslationsraum)26
b Fr(U)9 b Ft(.)27 b(Dann)h(ist)g(die)g(Dimension)g(dim\()p
Fr(A)p Ft(\))h(v)n(on)e Fr(A)h Ft(de\014niert)g(als)f(die)165
2428 y(Dimension)h(v)n(on)f Fr(U)9 b Ft(.)290 2589 y(Eigen)n(tlic)n(h)
39 b(m)762 2593 y(\177)760 2589 y(u\031te)h(man)g(hier)g(zun)1462
2593 y(\177)1462 2589 y(ac)n(hst)f(zeigen,)h(da\031)f
Fr(U)49 b Ft(durc)n(h)40 b Fr(A)g Ft(eindeutig)165 2688
y(b)r(estimm)n(t)29 b(ist.)f(Man)f(sieh)n(t)h(ab)r(er)f(leic)n(h)n(t)g
Fr(U)32 b Ft(=)22 b Fo(f)p Fr(v)g Fo(\000)c Fr(w)r Fo(j)p
Fr(v)s(;)c(w)26 b Fo(2)e Fr(A)p Fo(g)p Ft(.)290 2880
y(W)-7 b(enn)25 b(man)f(einen)h(V)-7 b(ektor)24 b(in)g(einem)h
(a\016nen)f(Un)n(terraum)g Fr(v)2243 2850 y Fi(0)2290
2880 y Fo(2)f Fr(v)15 b Ft(+)d Fr(U)32 b Ft(=:)22 b Fr(A)j
Ft(hat,)165 2980 y(so)i(k)-5 b(ann)27 b(man)h(zu)f(diesem)g(V)-7
b(ektor)27 b(b)r(eliebige)g(V)-7 b(ektoren)27 b Fr(u)c
Fo(2)g Fr(U)36 b Ft(addieren,)27 b(ohne)g(den)165 3080
y(gegeb)r(enen)g(a\016nen)g(Un)n(terraum)g Fr(A)g Ft(zu)h(v)n
(erlassen,)d(denn)j(zu)f Fr(v)2186 3050 y Fi(0)2237 3080
y Ft(existiert)g(ein)g Fr(u)2739 3050 y Fi(0)2785 3080
y Fo(2)c Fr(U)165 3179 y Ft(mit)34 b Fr(v)366 3149 y
Fi(0)420 3179 y Ft(=)d Fr(v)25 b Ft(+)d Fr(u)716 3149
y Fi(0)739 3179 y Ft(.)32 b(F)850 3183 y(\177)848 3179
y(ur)h Fr(u)e Fo(2)h Fr(U)41 b Ft(gilt)33 b(dann)f Fr(v)1632
3149 y Fi(0)1677 3179 y Ft(+)22 b Fr(u)31 b Ft(=)g Fr(v)25
b Ft(+)c(\()p Fr(u)2170 3149 y Fi(0)2215 3179 y Ft(+)g
Fr(u)p Ft(\))32 b Fo(2)f Fr(v)25 b Ft(+)d Fr(U)40 b Ft(=)31
b Fr(A)p Ft(.)165 3279 y(Damit)d(hat)g(eine)g(Op)r(eration,)e(die)i
Fp(T)-6 b(r)l(anslationsop)l(er)l(ation)1008 3453 y Fr(A)19
b Fo(\002)f Fr(U)32 b Fo(3)23 b Ft(\()p Fr(v)1414 3418
y Fi(0)1438 3453 y Fr(;)14 b(u)p Ft(\))23 b Fo(7!)g Fr(v)1727
3418 y Fi(0)1769 3453 y Ft(+)18 b Fr(u)k Fo(2)i Fr(A:)165
3626 y Ft(Die)k(V)-7 b(ektoren)27 b(aus)h Fr(U)36 b Ft(v)n(ersc)n(hieb)
r(en)26 b(also)h Fr(A)1611 3675 y Ft(")1649 3626 y(in)h(sic)n(h)-6
b(\\)6 b(.)165 3787 y Fq(Satz)33 b(5.6.6)40 b Fp(Sei)46
b Fr(f)h Ft(:)37 b Fr(V)57 b Fo(\000)-47 b(!)38 b Fr(W)50
b Fp(eine)38 b(line)l(ar)l(e)g(A)n(bbildung)g(und)g(sei)47
b Fr(U)f Ft(:=)37 b(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))p Fp(.)165
3886 y(Wenn)36 b Fr(f)466 3856 y Fi(\000)p Fl(1)555 3886
y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))25 b Fo(6)p Ft(=)e Fo(;)p Fp(,)31
b(dann)f(ist)38 b Fr(A)24 b Ft(:=)f Fr(f)1471 3856 y
Fi(\000)p Fl(1)1560 3886 y Ft(\()p Fr(w)r Ft(\))31 b
Fp(ein)g(a\016ner)f(Unterr)l(aum)f(von)37 b Fr(V)49 b
Fp(mit)165 3986 y(T)-6 b(r)l(anslationsr)l(aum)37 b Fr(U)9
b Fp(.)165 4151 y(Beweis.)44 b Ft(folgt)27 b(unmittelbar)h(aus)f
(5.4.9.)178 4301 y Fq(\177)165 4317 y(Ubungen)32 b(5.6.7)82
b Ft(1.)41 b(Sei)27 b Fr(V)42 b Ft(=)23 b Fm(R)1331 4286
y Fl(4)1396 4317 y Ft(und)924 4490 y Fr(U)32 b Ft(=)22
b Fo(h)p Ft(\()15 b(1)82 b(1)h(0)f(0)14 b(\))g Fr(;)g
Ft(\()g(1)82 b Fo(\000)p Ft(1)h(1)f(1)13 b(\))q Fo(i)p
Fr(:)345 4664 y Ft(a\))42 b(Bestimmen)27 b(Sie)h(eine)g(Basis)e(f)1441
4668 y(\177)1439 4664 y(ur)i Fr(V)9 b(=U)g Ft(.)p eop
end
%%Page: 191 52
TeXDict begin 191 51 bop 1438 100 a Fn(5.6)42 b(Restklassenr)1995
103 y(\177)1995 100 y(aume,)27 b(a\016ne)f(R)2484 103
y(\177)2484 100 y(aume)151 b(191)341 282 y Ft(b\))42
b(Bestimmen)27 b(Sie)h(ein)g(direktes)f(Komplemen)n(t)g
Fr(U)2030 252 y Fi(0)2081 282 y Ft(zu)h Fr(U)9 b Ft(.)350
382 y(c\))42 b(Bestimmen)33 b(Sie)h(eine)f(darstellende)g(Matrix)f(f)
1992 386 y(\177)1990 382 y(ur)i(den)f(Isomorphism)n(us)f
Fr(U)2906 352 y Fi(0)461 482 y Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(V)42
b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)9 b(=U)g Ft(.)207 581 y(2.)41
b(Sei)23 b Fr(U)32 b Ft(:=)23 b(Span\(\(1)p Fr(;)14 b
Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\(0)p
Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(1\)\))20 b Fo(\032)i
Fm(Q)1781 551 y Fl(4)1818 581 y Ft(.)h(Bestimmen)h(Sie)f(eine)g(Basis)f
(v)n(on)313 681 y Fm(Q)378 651 y Fl(4)415 681 y Fr(=U)9
b Ft(.)207 780 y(3.)41 b(Sei)31 b Fr(V)50 b Ft(ein)32
b(V)-7 b(ektorraum.)30 b Fr(U)1229 792 y Fl(1)1297 780
y Ft(und)i Fr(U)1524 792 y Fl(2)1592 780 y Ft(seien)f(zw)n(ei)g(Un)n
(terv)n(ektorr)2456 784 y(\177)2456 780 y(aume)e(v)n(on)h
Fr(V)19 b Ft(.)313 880 y(Zeigen)27 b(Sie,)h(da\031)e(die)i(Abbildung)
937 1063 y Fr(U)994 1075 y Fl(1)1031 1063 y Fr(=)p Ft(\()p
Fr(U)1162 1075 y Fl(1)1217 1063 y Fo(\\)19 b Fr(U)1348
1075 y Fl(2)1385 1063 y Ft(\))k Fo(\000)-48 b(!)23 b
Ft(\()p Fr(U)1652 1075 y Fl(1)1708 1063 y Ft(+)18 b Fr(U)1848
1075 y Fl(2)1885 1063 y Ft(\))p Fr(=U)2016 1075 y Fl(2)2052
1063 y Fr(;)f Ft(\026)-45 b Fr(v)27 b Fo(7!)f Ft(\026)-45
b Fr(v)313 1245 y Ft(ein)28 b(Isomorphism)n(us)e(ist.)h(\(1.)h
(Isomorphiesatz\))207 1345 y(4.)41 b(Seien)28 b Fr(x;)14
b(y)s(;)g(z)26 b Fo(2)d Fm(R)898 1315 y Fl(5)963 1345
y Ft(linear)k(unabh)1420 1349 y(\177)1420 1345 y(angig.)g(Zeigen)f
(Sie,)i(da\031)972 1528 y Fr(A)23 b Ft(:=)g Fo(f)p Fr(\013x)c
Ft(+)f Fr(\014)t(y)j Ft(+)d Fr(\015)5 b(z)t Fo(j)p Fr(\013)18
b Ft(+)g Fr(\014)23 b Ft(+)18 b Fr(\015)28 b Ft(=)22
b(1)p Fo(g)313 1710 y Ft(ein)33 b(a\016ner)f(Un)n(terraum)g(v)n(on)h
Fm(R)1364 1680 y Fl(5)1434 1710 y Ft(ist)g(und)g(b)r(estimmen)h(Sie)f
(den)g(T)-7 b(ranslations-)313 1810 y(raum)27 b Fr(U)36
b Ft(zu)28 b Fr(A)p Ft(.)g(W)-7 b(elc)n(he)28 b(Dimension)g(hat)f
Fr(A)p Ft(?)p eop end
%%Page: 192 53
TeXDict begin 192 52 bop eop end
%%Page: 193 54
TeXDict begin 193 53 bop 165 282 a Fu(6.)42 b(Matrizen)k(und)e(lineare)
i(Gleic)l(h)l(ungssysteme)165 1279 y Ft(Eine)31 b(der)g(sc)n(h)620
1283 y(\177)620 1279 y(onsten)f(An)n(w)n(endungen)h(der)g(Theorie)f
(der)h(linearen)f(Abbildungen)i(ist)165 1378 y(die)i(Theorie)f(der)g
(linearen)g(Gleic)n(h)n(ungssysteme.)f(Ist)i(eine)g Fr(m)22
b Fo(\002)g Fr(n)p Ft(-Matrix)32 b Fr(M)43 b Ft(und)165
1478 y(ein)d(V)-7 b(ektor)39 b Fr(b)j Fo(2)h Fr(K)840
1490 y Fk(m)942 1478 y Ft(gegeb)r(en,)c(so)f(m)1475 1482
y(\177)1475 1478 y(oc)n(h)n(te)h(man)g(gern)g(alle)g(V)-7
b(ektoren)38 b Fr(x)43 b Fo(2)g Fr(K)2884 1490 y Fk(n)165
1577 y Ft(b)r(estimmen,)29 b(die)f(die)f(Gleic)n(h)n(ung)1376
1734 y Fr(M)g Fo(\001)18 b Fr(x)24 b Ft(=)e Fr(b)165
1890 y Ft(o)r(der)27 b(in)h(Komp)r(onen)n(tensc)n(hreib)n(w)n(eise)d
(die)j(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungen)1000 2042 y Fr(\013)1053
2054 y Fl(11)1142 2042 y Fo(\001)18 b Fr(\030)1219 2054
y Fl(1)1297 2042 y Ft(+)c Fr(:)g(:)g(:)g Ft(+)40 b Fr(\013)1645
2054 y Fl(1)p Fk(n)1742 2042 y Fo(\001)18 b Fr(\030)1819
2054 y Fk(n)1905 2042 y Ft(=)40 b Fr(\014)2057 2054 y
Fl(1)1117 2130 y Ft(.)1117 2163 y(.)1117 2196 y(.)1717
2130 y(.)1717 2163 y(.)1717 2196 y(.)2041 2130 y(.)2041
2163 y(.)2041 2196 y(.)987 2296 y Fr(\013)1040 2308 y
Fk(m)p Fl(1)1155 2296 y Fo(\001)18 b Fr(\030)1232 2308
y Fl(1)1297 2296 y Ft(+)c Fr(:)g(:)g(:)g Ft(+)27 b Fr(\013)1632
2308 y Fk(mn)1754 2296 y Fo(\001)19 b Fr(\030)1832 2308
y Fk(n)1905 2296 y Ft(=)27 b Fr(\014)2044 2308 y Fk(m)2758
2170 y Ft(\(6)p Fr(:)p Ft(1\))165 2449 y(erf)262 2453
y(\177)260 2449 y(ullen.)g(Wir)f(w)n(erden)f(sehen,)h(da\031)f(ein)i
(enger)e(Zusammenhang)g(mit)h(der)g(Matrizen-)165 2548
y(rec)n(hn)n(ung)c(b)r(esteh)n(t.)h(Au\031erdem)g(liefert)f(uns)h(die)g
(bisher)g(en)n(t)n(wic)n(k)n(elte)e(Theorie)h(sc)n(h)2805
2552 y(\177)2805 2548 y(one)165 2648 y(Metho)r(den)28
b(zum)g(Au\016nden)h(der)e(L)1313 2652 y(\177)1313 2648
y(osungen)g(linearer)f(Gleic)n(h)n(ungssysteme.)165 2951
y Fs(6.1)42 b(Lineare)d(Gleic)m(h)m(ungssysteme)165 3133
y Ft(Wir)25 b(b)r(efassen)g(uns)g(in)g(diesem)g(ersten)g(Absc)n(hnitt)g
(mit)h(den)f(theoretisc)n(hen)f(Grundla-)165 3233 y(gen)j(der)g
(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungssysteme.)g(Insb)r(esondere)h(mac)n(hen)f
(wir)h(w)n(eitreic)n(hende)165 3333 y(abstrakte)c(Aussagen)895
3337 y(\177)893 3333 y(ub)r(er)g(m)1149 3337 y(\177)1149
3333 y(oglic)n(he)g(L)1472 3337 y(\177)1472 3333 y(osungen.)g(Erst)g
(im)h(n)2150 3337 y(\177)2150 3333 y(ac)n(hsten)f(Absc)n(hnitt)h(ge-)
165 3432 y(b)r(en)g(wir)f(Metho)r(den)g(zur)g(Berec)n(hn)n(ung)e(v)n
(on)h(L)1635 3436 y(\177)1635 3432 y(osungen)h(an.)f(Wir)h(wissen)g
(dann)g(sc)n(hon,)165 3532 y(w)n(as)i(wir)g(an)g(L)629
3536 y(\177)629 3532 y(osungen)g(zu)h(erw)n(arten)e(hab)r(en)h(und)h(w)
n(elc)n(he)f(Eigensc)n(haften)g(sie)g(hab)r(en)165 3632
y(w)n(erden.)165 3782 y Fq(De\014nition)31 b(6.1.1)40
b Ft(Eine)c(Gleic)n(h)n(ung)f(\(6.1\))h(mit)h(b)r(ek)-5
b(ann)n(ten)36 b(Gr)2317 3786 y(\177)2317 3782 y(o\031en)f
Fr(\013)2572 3794 y Fk(ij)2667 3782 y Ft(und)h Fr(\014)2888
3794 y Fk(k)165 3882 y Ft(und)24 b(Un)n(b)r(ek)-5 b(ann)n(ten)24
b Fr(\030)864 3894 y Fk(i)915 3882 y Ft(nenn)n(t)f(man)g(ein)h
Fp(line)l(ar)l(es)i(Gleichungssystem)54 b Ft(f)2466 3886
y(\177)2464 3882 y(ur)23 b(die)g Fr(\030)2731 3894 y
Fk(i)2759 3882 y Ft(.)h(Die)165 3981 y(Menge)1190 4081
y Fo(f)p Fr(x)f Fo(2)h Fr(K)1452 4093 y Fk(n)1496 4081
y Fo(j)p Fr(M)j Fo(\001)19 b Fr(x)k Ft(=)g Fr(b)p Fo(g)165
4215 y Ft(hei\031t)28 b Fp(L)424 4219 y(\177)425 4215
y(osungsmenge)34 b Ft(des)27 b(linearen)g(Gleic)n(h)n(ungssystems.)290
4365 y(Wir)h(wissen,)g(da\031)f(die)h(Multiplik)-5 b(ation)29
b(v)n(on)e(links)h(mit)h(einer)f(Matrix)f Fr(M)37 b Ft(eine)28
b(li-)165 4465 y(neare)20 b(Abbildung)i(v)n(on)e Fr(K)1003
4477 y Fk(n)1069 4465 y Ft(nac)n(h)g Fr(K)1329 4477 y
Fk(m)1412 4465 y Ft(ist.)i(Daher)e(k)1830 4469 y(\177)1830
4465 y(onnen)h(wir)f(alle)h(im)g(v)n(orhergehen-)165
4564 y(den)h(Kapitel)e(erw)n(orb)r(enen)g(Kenn)n(tnisse)g(auf)h
(lineare)f(Gleic)n(h)n(ungssysteme)g(an)n(w)n(enden.)165
4664 y(Bezeic)n(hnen)27 b(wir)h(wie)f(im)h(v)n(orhergehenden)e(Kapitel)
h Fr(f)k Ft(=)2067 4643 y Fj(c)2057 4664 y Fr(M)9 b Ft(,)27
b(so)g(ist)p eop end
%%Page: 194 55
TeXDict begin 194 54 bop 165 100 a Fn(194)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)1004
282 y Fr(f)1054 248 y Fi(\000)p Fl(1)1142 282 y Ft(\()p
Fr(b)p Ft(\))c(=)g Fo(f)p Fr(x)g Fo(2)h Fr(K)1621 248
y Fk(m)1683 282 y Fo(j)p Fr(M)j Fo(\001)19 b Fr(x)k Ft(=)g
Fr(b)p Fo(g)165 465 y Ft(die)28 b(L)351 469 y(\177)351
465 y(osungsmenge)e(des)h(linearen)g(Gleic)n(h)n(ungssystems.)165
631 y Fq(De\014nition)k(6.1.2)40 b Ft(Das)34 b(lineare)f(Gleic)n(h)n
(ungssystem)g Fr(M)e Fo(\001)23 b Fr(x)35 b Ft(=)e Fr(b)h
Ft(hei\031t)g Fp(homo)l(gen)p Ft(,)165 731 y(w)n(enn)28
b Fr(b)23 b Ft(=)f(0)27 b(gilt,)h(sonst)f(hei\031t)h(es)f
Fp(inhomo)l(gen)p Ft(.)290 897 y(Ein)22 b(erster)f(wic)n(h)n(tiger)g
(Satz)1196 901 y(\177)1194 897 y(ub)r(er)h(L)1432 901
y(\177)1432 897 y(osungen)f(v)n(on)h(linearen)f(Gleic)n(h)n
(ungssystemen)165 996 y(ergibt)27 b(sic)n(h)h(unmittelbar)f(aus)h
(einigen)f(sc)n(hon)g(b)r(ewiesenen)g(Behauptungen.)165
1162 y Fq(Satz)33 b(6.1.3)40 b Fp(Die)24 b(L)815 1166
y(\177)816 1162 y(osungsmenge)30 b Fr(L)24 b Fp(eines)g(line)l(ar)l(en)
g(Gleichungssystems)32 b Fr(M)14 b Fo(\001)6 b Fr(x)24
b Ft(=)f Fr(b)165 1262 y Fp(ist)38 b(ein)g(a\016ner)h(Unterr)l(aum)e
(von)44 b Fr(K)1387 1274 y Fk(n)1432 1262 y Fp(.)38 b(Ist)45
b Fr(b)38 b Ft(=)f(0)p Fp(,)h(so)g(ist)g(die)h(L)2349
1266 y(\177)2350 1262 y(osungsmenge)44 b Fr(U)165 1362
y Fp(des)28 b(homo)l(genen)h(Gleichungssystems)f(ein)g(Untervektorr)l
(aum)f(von)34 b Fr(K)2442 1374 y Fk(n)2487 1362 y Fp(.)28
b(Ist)34 b Fr(x)2715 1374 y Fl(0)2781 1362 y Fp(eine)165
1461 y(L)216 1465 y(\177)217 1461 y(osung)d(des)h(inhomo)l(genen)g
(Gleichungssystems)39 b Fr(M)28 b Fo(\001)20 b Fr(x)26
b Ft(=)f Fr(b)31 b Fp(und)39 b Fr(U)h Fp(der)32 b(L)2659
1465 y(\177)2660 1461 y(osungs-)165 1561 y(r)l(aum)g(des)g(homo)l
(genen)g(Gleichungssystems)39 b Fr(M)29 b Fo(\001)19
b Fr(x)27 b Ft(=)f(0)p Fp(,)32 b(so)g(gilt)f(f)2358 1565
y(\177)2358 1561 y(ur)h(die)h(L)2659 1565 y(\177)2660
1561 y(osungs-)165 1660 y(menge)d(des)g(inhomo)l(genen)h
(Gleichungssystems)38 b Fr(L)22 b Ft(=)h Fr(x)1989 1672
y Fl(0)2045 1660 y Ft(+)18 b Fr(U)9 b Fp(.)165 1835 y(Beweis.)44
b Ft(Nac)n(h)27 b(Satz)h(5.6.6)f(ist)h Fr(L)23 b Ft(=)g
Fr(f)1412 1805 y Fi(\000)p Fl(1)1501 1835 y Ft(\()p Fr(b)p
Ft(\))h(=)f Fr(x)1760 1847 y Fl(0)1817 1835 y Ft(+)18
b(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))29 b(ein)f(a\016ner)f(Un)n(terraum)165
1934 y(v)n(on)g Fr(K)393 1946 y Fk(n)438 1934 y Ft(,)h(denn)g
Fr(U)j Ft(=)23 b Fo(f)p Fr(x)g Fo(2)g Fr(K)1129 1946
y Fk(n)1174 1934 y Fo(j)p Fr(M)k Fo(\001)19 b Fr(x)k
Ft(=)g(0)p Fo(g)f Ft(=)h(Ke)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\).)290
2109 y(Es)36 b(gilt)g(auc)n(h)g(die)h(Umk)n(ehrung)f(des)g(v)n
(orstehenden)f(Satzes.)h(Man)h(k)-5 b(ann)36 b(sogar)165
2208 y(allgemein)31 b(a\016ne)f(Un)n(terr)1003 2212 y(\177)1003
2208 y(aume)g(mit)i(Hilfe)f(v)n(on)f(linearen)g(Gleic)n(h)n
(ungssystemen)g(b)r(e-)165 2308 y(sc)n(hreib)r(en.)165
2474 y Fq(Satz)j(6.1.4)40 b Fp(Sei)35 b Fr(B)28 b Ft(=)22
b Fr(x)984 2486 y Fl(0)1034 2474 y Ft(+)12 b Fr(U)34
b Fp(ein)27 b(a\016ner)h(Unterr)l(aum)d(des)34 b Fr(K)2242
2486 y Fk(n)2287 2474 y Fp(.)27 b(Dann)f(gibt)h(es)g(ein)165
2574 y(line)l(ar)l(es)k(Gleichungssystem,)g(dessen)f(L)1472
2578 y(\177)1473 2574 y(osungsmenge)36 b Fr(B)e Fp(ist.)165
2748 y(Beweis.)44 b Ft(Man)32 b(w)738 2752 y(\177)738
2748 y(ahle)h(eine)g(lineare)f(Abbildung)h Fr(f)40 b
Ft(:)32 b Fr(K)1988 2760 y Fk(n)2065 2748 y Fo(\000)-49
b(!)32 b Fr(K)2267 2760 y Fk(m)2362 2748 y Ft(mit)i(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))32 b(=)f Fr(U)165 2860 y Ft(und)g Fr(f)k
Ft(=)512 2839 y Fj(c)502 2860 y Fr(M)9 b Ft(.)30 b(Das)f(ist)i(immer)f
(m)1261 2864 y(\177)1261 2860 y(oglic)n(h,)f(w)n(enn)h
Fr(m)20 b Ft(+)f(dim)q(\()p Fr(U)9 b Ft(\))27 b Fo(\025)g
Fr(n)i Ft(ist.)i(Denn)f(dann)165 2960 y(k)-5 b(ann)34
b(man)g(eine)f(Basis)g(v)n(on)g Fr(U)42 b Ft(zu)34 b(einer)f(Basis)g(v)
n(on)g Fr(K)2007 2972 y Fk(n)2085 2960 y Ft(v)n(erl)2220
2964 y(\177)2220 2960 y(angern,)f(die)h(dim)q(\()p Fr(U)9
b Ft(\))165 3060 y(Basisv)n(ektoren)24 b(v)n(on)h Fr(U)35
b Ft(auf)26 b(Null)h(in)f Fr(K)1425 3072 y Fk(m)1513
3060 y Ft(abbilden)h(und)f(die)g(restlic)n(hen)g Fr(n)15
b Fo(\000)f Ft(dim)q(\()p Fr(U)9 b Ft(\))165 3159 y(Basisv)n(ektoren)16
b(auf)j(eine)g(en)n(tsprec)n(hende)f(Anzahl)g(v)n(ersc)n(hiedener)f
(Basisv)n(ektoren)f(v)n(on)165 3259 y Fr(K)236 3271 y
Fk(m)322 3259 y Ft(abbilden.)22 b(Damit)h(wird)g(nac)n(h)f(5.4.6)f(1.)h
(eine)h(lineare)e(Abbildung)i Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(K)2605
3271 y Fk(n)2673 3259 y Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(K)2867
3271 y Fk(m)165 3358 y Ft(mit)33 b(Ke)o(\()p Fr(f)9 b
Ft(\))30 b Fo(\033)f Fr(U)41 b Ft(und)32 b(einem)f(\()p
Fr(n)22 b Fo(\000)e Ft(dim)q(\()p Fr(U)9 b Ft(\)\)-dimensionalen)31
b(Bildraum)g(de\014niert.)165 3458 y(W)-7 b(egen)19 b(des)g
(Dimensionssatzes)f(5.4.10)f(m)n(u\031)i(dann)g(sogar)e(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))24 b(=)e Fr(U)28 b Ft(gelten.)19 b(W)-7
b(eiter)165 3558 y(setze)28 b(man)f Fr(b)c Ft(:=)g Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(x)852 3570 y Fl(0)889 3558 y Ft(\).)28 b(Dann)g(ist)g
Fr(B)k Ft(die)27 b(L)1593 3562 y(\177)1593 3558 y(osungsmenge)f(v)n(on)
h Fr(M)g Fo(\001)19 b Fr(x)k Ft(=)g Fr(b)p Ft(.)290 3732
y(Die)37 b(Einsic)n(h)n(t,)f(nac)n(h)g(der)h(ein)g(lineares)e(Gleic)n
(h)n(ungssystem)h(als)g(lineare)g(Abbil-)165 3832 y(dung)j
(aufgefa\031t)e(w)n(erden)h(k)-5 b(ann,)39 b(l)1307 3836
y(\177)1307 3832 y(a\031t)e(auc)n(h)h(Aussagen)2048 3836
y(\177)2046 3832 y(ub)r(er)g(die)h(Dimension)f(des)165
3931 y(L)217 3935 y(\177)217 3931 y(osungsraumes)26 b(zu.)165
4097 y Fq(Satz)33 b(6.1.5)40 b Fp(Sei)50 b Fr(M)g Fp(eine)e
Fr(m)27 b Fo(\002)g Fr(n)p Fp(-Matrix)41 b(und)50 b Fr(M)35
b Fo(\001)27 b Fr(x)45 b Ft(=)f Fr(b)d Fp(ein)g(line)l(ar)l(es)h(Glei-)
165 4197 y(chungssystem,)34 b(das)g(mindestens)f(eine)h(L)1529
4201 y(\177)1530 4197 y(osung)f(b)l(esitzt.)g(Dann)g(ist)g(die)i
(Dimension)165 4297 y(des)c(L)361 4301 y(\177)362 4297
y(osungsr)l(aumes)36 b Fr(n)18 b Fo(\000)g Ft(rg\()p
Fr(M)9 b Ft(\))p Fp(.)165 4484 y(Beweis.)44 b Ft(folgt)27
b(aus)g(dem)h(Dimensionssatz)f(5.4.10:)f(Ke)o(\()1993
4463 y Fj(c)1983 4484 y Fr(M)9 b Ft(\))19 b(+)f(rg\()p
Fr(M)9 b Ft(\))23 b(=)g Fr(n)p Ft(.)p eop end
%%Page: 195 56
TeXDict begin 195 55 bop 1622 100 a Fn(6.1)42 b(Lineare)27
b(Gleic)n(h)n(ungssysteme)152 b(195)290 282 y Ft(Mit)25
b(Hilfe)g(des)f(Ranges)g(v)n(on)g(Matrizen)g(k)1614 286
y(\177)1614 282 y(onnen)g(wir)g(n)n(un)h(genau)e(angeb)r(en,)h(un)n
(ter)165 382 y(w)n(elc)n(hen)38 b(Bedingungen)g(ein)h(lineares)e(Gleic)
n(h)n(ungssystem)g(L)2180 386 y(\177)2180 382 y(osungen)h(b)r(esitzt)h
(und)165 482 y(w)n(ann)27 b(L)436 486 y(\177)436 482
y(osungen)g(eindeutig)h(b)r(estimm)n(t)g(sind.)165 648
y Fq(Satz)33 b(6.1.6)40 b Fp(Sei)j Fr(M)30 b Fo(\001)22
b Fr(x)31 b Ft(=)g Fr(b)j Fp(ein)g(line)l(ar)l(es)h(Gleichungssystem)g
(mit)f(einer)44 b Fr(m)21 b Fo(\002)h Fr(n)p Fp(-)165
747 y(Matrix.)31 b(Dann)e(gelten:)204 897 y(1.)42 b(Das)50
b(Gleichungssystem)i(ist)e(genau)h(dann)f(l)1834 901
y(\177)1835 897 y(osb)l(ar,)i(wenn)e(gilt)59 b Ft(rg\()p
Fr(M)t(;)14 b(b)p Ft(\))61 b(=)313 996 y(rg\()p Fr(M)9
b Ft(\))p Fp(.)204 1096 y(2.)42 b(Das)32 b(Gleichungssystem)g(ist)g
(genau)g(dann)g(f)1746 1100 y(\177)1746 1096 y(ur)f(al)t(le)40
b Fr(b)26 b Fo(2)h Fr(K)2238 1108 y Fk(m)2332 1096 y
Fp(l)2352 1100 y(\177)2353 1096 y(osb)l(ar,)33 b(wenn)f(gilt)313
1196 y Ft(rg\()p Fr(M)9 b Ft(\))23 b(=)g Fr(m)p Fp(.)204
1295 y(3.)42 b(Ist)26 b(das)i(Gleichungssystem)f(l)1260
1299 y(\177)1261 1295 y(osb)l(ar,)h(so)f(ist)g(die)h(L)1902
1299 y(\177)1903 1295 y(osung)e(genau)h(dann)g(eindeutig,)313
1395 y(wenn)i(gilt)38 b Ft(rg)q(\()p Fr(M)9 b Ft(\))23
b(=)f Fr(n)p Fp(.)165 1569 y(Beweis.)44 b Ft(1.)32 b(Die)h(Matrix)g(\()
p Fr(M)t(;)14 b(b)p Ft(\))32 b(en)n(tsteh)n(t)h(aus)g(der)f(Matrix)g
Fr(M)42 b Ft(dadurc)n(h,)32 b(da\031)g(der)165 1669 y(V)-7
b(ektor)26 b Fr(b)h Ft(als)f(Spalten)n(v)n(ektor)f(zur)h(Matrix)g
Fr(M)35 b Ft(rec)n(h)n(ts)25 b(hinzugef)2223 1673 y(\177)2221
1669 y(ugt)i(wird.)f(Der)h(Rang)165 1768 y(v)n(on)34
b(\()p Fr(M)t(;)14 b(b)p Ft(\))35 b(ist)g(die)g(Dimension)f(des)h(durc)
n(h)f Fr(b)g Ft(und)h(alle)g(Spalten)n(v)n(ektoren)e(v)n(on)h
Fr(M)165 1868 y Ft(aufgespann)n(ten)26 b(Un)n(terv)n(ektorraumes)e(v)n
(on)h Fr(K)1657 1880 y Fk(m)1720 1868 y Ft(.)h(Dieser)g(Un)n(terv)n
(ektorraum)e(en)n(th)2832 1872 y(\177)2832 1868 y(alt)165
1968 y(den)38 b(lediglic)n(h)e(v)n(on)h(den)g(Spalten)n(v)n(ektoren)f
(v)n(on)g Fr(M)46 b Ft(aufgespann)n(ten)36 b(Un)n(terv)n(ektor-)165
2067 y(raum.)25 b(Diese)g(b)r(eiden)g(Un)n(terv)n(ektorr)1354
2071 y(\177)1354 2067 y(aume)e(hab)r(en)i(gleic)n(he)f(Dimension)h
(genau)f(dann,)165 2167 y(w)n(enn)k Fr(b)g Ft(linear)f(abh)809
2171 y(\177)809 2167 y(angig)g(v)n(on)g(den)h(Spalten)n(v)n(ektoren)f
(v)n(on)g Fr(M)37 b Ft(ist.)28 b(Genau)g(dann)g(ist)165
2267 y(ab)r(er)k(das)g(Gleic)n(h)n(ungssystem)f(l)1206
2271 y(\177)1206 2267 y(osbar,)g(denn)i(die)f(gesuc)n(h)n(ten)g(W)-7
b(erte)32 b(f)2462 2271 y(\177)2460 2267 y(ur)h Fr(\030)2608
2279 y Fl(1)2645 2267 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\030)2866
2279 y Fk(m)165 2366 y Ft(sind)28 b(die)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)f(der)g
(erforderlic)n(hen)f(Lineark)n(om)n(bination)g(der)h(Zeilen)n(v)n
(ekto-)165 2466 y(ren)g(v)n(on)f Fr(M)35 b Ft(zur)27
b(Darstellung)f(v)n(on)g Fr(b)p Ft(,)g(also)1576 2403
y Fj(P)1664 2424 y Fk(m)1664 2491 y(i)p Fl(=1)1789 2466
y Fr(\030)1825 2478 y Fk(i)1853 2466 y Fr(a)1897 2478
y Fk(i)1948 2466 y Ft(=)c Fr(b)27 b Ft(mit)g(Spalten)n(v)n(ektoren)f
Fr(a)2902 2478 y Fk(i)165 2565 y Ft(v)n(on)e Fr(M)9 b
Ft(,)25 b(w)n(as)e(n)n(ur)i(eine)f(andere)g(Sc)n(hreib)n(w)n(eise)f
(des)i(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungssystems)f(ist.)290
2665 y(2.)31 b(Das)h(Gleic)n(h)n(ungssystem)f(ist)g(genau)h(dann)f(f)
1831 2669 y(\177)1829 2665 y(ur)h(alle)g Fr(b)f Ft(l)2187
2669 y(\177)2187 2665 y(osbar,)f(w)n(enn)i(die)g(Ab-)165
2765 y(bildung)478 2744 y Fj(c)468 2765 y Fr(M)39 b Ft(surjektiv)31
b(ist,)f(genau)g(dann,)h(w)n(enn)f(die)h(Spalten)n(v)n(ektoren)e(v)n
(on)h Fr(M)39 b Ft(den)165 2864 y(ganzen)27 b(Raum)h
Fr(K)759 2876 y Fk(m)849 2864 y Ft(aufspannen,)f(genau)g(dann,)h(w)n
(enn)f(rg\()p Fr(M)9 b Ft(\))24 b(=)e Fr(m)28 b Ft(gilt.)290
2977 y(3.)35 b(Es)h(ist)g(w)n(egen)f(5.4.10)f(rg\()p
Fr(M)9 b Ft(\))37 b(=)g Fr(n)f Ft(genau)f(dann,)h(w)n(enn)g(der)f(Kern)
g(v)n(on)2850 2956 y Fj(c)2840 2977 y Fr(M)165 3076 y
Ft(Null)k(ist.)f(Das)f(b)r(edeutet)i(ab)r(er)e(die)h(Eindeutigk)n(eit)f
(der)g(L)2105 3080 y(\177)2105 3076 y(osungen)g(aller)g(l)2652
3080 y(\177)2652 3076 y(osbaren)165 3176 y(Gleic)n(h)n(ungen)27
b Fr(M)g Fo(\001)19 b Fr(x)k Ft(=)g Fr(b)p Ft(.)165 3350
y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(6.1.7)40 b Fp(Sei)k Fr(M)g
Fp(eine)36 b(quadr)l(atische)43 b Ft(\()p Fr(n)23 b Fo(\002)f
Fr(n)p Ft(\))p Fp(-Matrix.)36 b(Dann)f(sind)h(die)165
3450 y(folgenden)c(A)n(ussagen)901 3454 y(\177)902 3450
y(aquivalent:)204 3599 y(1.)42 b Fr(M)c Fp(ist)30 b(r)l(e)l(gul)717
3603 y(\177)718 3599 y(ar)g(o)l(der)g(invertierb)l(ar.)204
3699 y(2.)42 b(F)367 3703 y(\177)367 3699 y(ur)29 b(al)t(le)38
b Fr(b)22 b Fo(2)i Fr(K)848 3711 y Fk(m)940 3699 y Fp(ist)38
b Fr(M)27 b Fo(\001)18 b Fr(x)24 b Ft(=)e Fr(b)30 b Fp(l)1458
3703 y(\177)1459 3699 y(osb)l(ar.)204 3798 y(3.)42 b(Das)30
b(line)l(ar)l(e)g(Gleichungssystem)37 b Fr(M)27 b Fo(\001)19
b Fr(x)k Ft(=)g(0)29 b Fp(hat)h(nur)f(die)i(triviale)g(L)2568
3802 y(\177)2569 3798 y(osung.)165 3973 y(Beweis.)44
b Ft(Wir)26 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(die)h(durc)n(h)g
Fr(M)35 b Ft(dargestellte)25 b(lineare)g(Abbildung)2665
3952 y Fj(c)2655 3973 y Fr(M)31 b Ft(:)23 b Fr(K)2884
3985 y Fk(n)165 4072 y Fo(\000)-48 b(!)38 b Fr(K)374
4084 y Fk(n)419 4072 y Ft(.)f(Sie)g(ist)g(nac)n(h)f(5.4.14)f(genau)h
(dann)h(bijektiv,)g(w)n(enn)g(sie)g(injektiv)g(ist)g(und)165
4172 y(dieses)23 b(genau)g(dann,)h(w)n(enn)f(sie)h(surjektiv)f(ist.)h
(Die)g(Bedingung)f(2.)g(ist)2419 4176 y(\177)2419 4172
y(aquiv)-5 b(alen)n(t)23 b(zur)165 4272 y(Surjektivit)550
4276 y(\177)550 4272 y(at)28 b(der)f(linearen)g(Abbildung)1528
4251 y Fj(c)1517 4272 y Fr(M)9 b Ft(,)28 b(die)g(Bedingung)f(3.)g(zur)g
(Injektivit)2777 4276 y(\177)2777 4272 y(at.)165 4446
y Fq(Bemerkung)32 b(6.1.8)39 b Ft(W)-7 b(enn)28 b(die)f(Matrix)f
Fr(M)36 b Ft(regul)1855 4450 y(\177)1855 4446 y(ar)25
b(ist,)i(dann)g(erh)2416 4450 y(\177)2416 4446 y(alt)g(man)g(durc)n(h)
165 4546 y Fr(x)212 4558 y Fl(0)274 4546 y Ft(:=)c Fr(M)475
4516 y Fi(\000)p Fl(1)582 4546 y Fo(\001)c Fr(b)28 b
Ft(die)g(\(eindeutig)g(b)r(estimm)n(te\))h(L)1705 4550
y(\177)1705 4546 y(osung)e(des)h(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungssys-)165
4645 y(tems)h Fr(M)f Fo(\001)19 b Fr(x)k Ft(=)g Fr(b)p
Ft(.)k(Es)g(ist)h(n)1037 4649 y(\177)1037 4645 y(amlic)n(h)f
Fr(M)g Fo(\001)19 b Fr(x)1499 4657 y Fl(0)1560 4645 y
Ft(=)j Fr(M)27 b Fo(\001)19 b Fr(M)1887 4615 y Fi(\000)p
Fl(1)1994 4645 y Fo(\001)f Fr(b)23 b Ft(=)g Fr(E)2243
4657 y Fk(n)2307 4645 y Fo(\001)18 b Fr(b)23 b Ft(=)g
Fr(b)p Ft(.)p eop end
%%Page: 196 57
TeXDict begin 196 56 bop 165 100 a Fn(196)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)178
266 y Fq(\177)165 282 y(Ubungen)32 b(6.1.9)82 b Ft(1.)41
b(En)n(tsc)n(heiden)26 b(Sie,)i(ob)g(das)f(lineare)f(Gleic)n(h)n
(ungssystem)1110 393 y Fj(0)1110 543 y(@)1196 460 y Ft(1)83
b(1)f(0)1196 560 y(1)h(0)f(1)1196 660 y(0)h(1)f(1)1500
393 y Fj(1)1500 543 y(A)1587 393 y(0)1587 543 y(@)1673
460 y Fr(x)1675 560 y(y)1676 660 y(z)1735 393 y Fj(1)1735
543 y(A)1830 560 y Ft(=)1918 393 y Fj(0)1918 543 y(@)2005
460 y Ft(1)2005 560 y(0)2005 660 y(0)2060 393 y Fj(1)2060
543 y(A)313 838 y Ft(l)336 842 y(\177)336 838 y(osbar)26
b(ist.)i(Bestimmen)g(Sie)g(gegeb)r(enenfalls)e(die)i(L)1994
842 y(\177)1994 838 y(osungen.)207 937 y(2.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27
b(Sie,)h(ob)f(das)g(lineare)g(Gleic)n(h)n(ungssystem)1077
1048 y Fj(0)1077 1197 y(@)1164 1115 y Ft(1)82 b Fo(\000)p
Ft(1)g(0)1164 1215 y(1)115 b(0)f(1)1164 1315 y(0)h(1)f(1)1533
1048 y Fj(1)1533 1197 y(A)1619 1048 y(0)1619 1197 y(@)1706
1115 y Fr(x)1708 1215 y(y)1708 1315 y(z)1767 1048 y Fj(1)1767
1197 y(A)1863 1215 y Ft(=)1950 1048 y Fj(0)1950 1197
y(@)2037 1115 y Ft(1)2037 1215 y(0)2037 1315 y(0)2092
1048 y Fj(1)2092 1197 y(A)313 1493 y Ft(l)336 1497 y(\177)336
1493 y(osbar)26 b(ist.)i(Bestimmen)g(Sie)g(gegeb)r(enenfalls)e(die)i(L)
1994 1497 y(\177)1994 1493 y(osungen.)207 1592 y(3.)41
b(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(ob)f(das)g(lineare)g(Gleic)n(h)n
(ungssystem)1045 1703 y Fj(0)1045 1852 y(@)1131 1770
y Ft(1)83 b Fo(\000)p Ft(1)f(0)1131 1870 y(1)115 b(0)g(1)1131
1969 y(0)g(1)g(1)1500 1703 y Fj(1)1500 1852 y(A)1587
1703 y(0)1587 1852 y(@)1673 1770 y Fr(x)1675 1870 y(y)1676
1969 y(z)1735 1703 y Fj(1)1735 1852 y(A)1830 1870 y Ft(=)1918
1703 y Fj(0)1918 1852 y(@)2037 1770 y Ft(1)2037 1870
y(0)2005 1969 y Fo(\000)p Ft(1)2124 1703 y Fj(1)2124
1852 y(A)313 2148 y Ft(l)336 2152 y(\177)336 2148 y(osbar)26
b(ist.)i(Bestimmen)g(Sie)g(gegeb)r(enenfalls)e(die)i(L)1994
2152 y(\177)1994 2148 y(osungen.)207 2247 y(4.)41 b(Geb)r(en)24
b(Sie)f(not)n(w)n(endige)f(und)h(hinreic)n(hende)g(Bedingungen)f(f)2286
2251 y(\177)2284 2247 y(ur)h Fo(f)p Fr(\013)2481 2259
y Fl(1)2518 2247 y Fr(;)14 b(\013)2608 2259 y Fl(2)2645
2247 y Fr(;)g(\014)2729 2259 y Fl(1)2767 2247 y Fr(;)g(\014)2851
2259 y Fl(2)2888 2247 y Fo(g)313 2347 y Ft(an,)27 b(so)g(da\031)g(gilt)
600 2524 y Fo(f)p Ft(\()p Fr(x)721 2536 y Fl(1)759 2524
y Fr(;)14 b(x)843 2536 y Fl(2)880 2524 y Ft(\))p Fo(j)p
Fr(\013)988 2536 y Fl(1)1026 2524 y Fr(x)1073 2536 y
Fl(1)1129 2524 y Ft(+)k Fr(\013)1265 2536 y Fl(2)1303
2524 y Fr(x)1350 2536 y Fl(2)1410 2524 y Ft(=)23 b(0)p
Fo(g)18 b(\\)g(f)p Ft(\()p Fr(x)1794 2536 y Fl(1)1832
2524 y Fr(;)c(x)1916 2536 y Fl(2)1953 2524 y Ft(\))p
Fo(j)p Fr(\014)2055 2536 y Fl(1)2093 2524 y Fr(x)2140
2536 y Fl(1)2196 2524 y Ft(+)k Fr(\014)2326 2536 y Fl(2)2363
2524 y Fr(x)2410 2536 y Fl(2)2471 2524 y Ft(=)23 b(0)p
Fo(g)1432 2624 y Ft(=)g Fo(f)p Ft(\(0)p Fr(;)14 b Ft(0\))p
Fo(g)p Fr(:)207 2802 y Ft(5.)41 b(Zeigen)21 b(Sie:)g(Das)h(lineare)e
(Gleic)n(h)n(ungssystem)h Fr(M)14 b Fo(\001)6 b Fr(x)24
b Ft(=)f Fr(b)e Ft(ist)g(genau)g(dann)h(l)2712 2806 y(\177)2712
2802 y(osbar,)313 2902 y(w)n(enn)f(der)g(V)-7 b(ektor)20
b Fr(b)h Ft(eine)g(Lineark)n(om)n(bination)e(der)i(Spalten)n(v)n
(ektoren)e(v)n(on)i Fr(A)g Ft(ist.)207 3002 y(6.)41 b(En)n(tsc)n
(heiden)27 b(Sie,)h(ob)f(die)h(folgende)f(Aussage)f(ric)n(h)n(tig)h
(ist)h(\(ja/nein\).)313 3101 y(Betrac)n(h)n(ten)36 b(Sie)h(ein)g
(inhomogenes)f(lineares)g(Gleic)n(h)n(ungssystem)g Fr(M)d
Fo(\001)25 b Fr(x)39 b Ft(=)f Fr(b)p Ft(,)313 3201 y(das)23
b(genauso)f(viele)i(Gleic)n(h)n(ungen)f(wie)h(Un)n(b)r(estimm)n(te)h
(umfa\031t.)f(W)-7 b(enn)24 b(das)f(Glei-)313 3301 y(c)n(h)n
(ungssystem)28 b(eine)h(eindeutige)g(L)1457 3305 y(\177)1457
3301 y(osung)f(b)r(esitzt,)i(so)e(ist)i(es)f(auc)n(h)f(f)2533
3305 y(\177)2531 3301 y(ur)h(jede)h(an-)313 3400 y(dere)d(rec)n(h)n(te)
g(Seite)h Fr(b)977 3370 y Fi(0)1027 3400 y Ft(l)1050
3404 y(\177)1050 3400 y(osbar.)207 3500 y(7.)41 b(Bestimmen)28
b(Sie)g(ein)f Fr(\013)d Fo(2)f Fm(R)p Ft(,)28 b(so)f(da\031)g(gilt)838
3778 y(5)18 b Fo(\001)939 3611 y Fj(0)939 3760 y(@)1026
3678 y Ft(1)1026 3778 y(2)1026 3877 y(3)1081 3611 y Fj(1)1081
3760 y(A)1172 3778 y Ft(+)g(4)g Fo(\001)1357 3611 y Fj(0)1357
3760 y(@)1443 3678 y Ft(2)1443 3778 y(3)1443 3877 y(1)1499
3611 y Fj(1)1499 3760 y(A)1590 3778 y Fo(\000)g Fr(\013)h
Fo(\001)1786 3611 y Fj(0)1786 3760 y(@)1873 3678 y Ft(1)1873
3778 y(1)1873 3877 y(1)1928 3611 y Fj(1)1928 3760 y(A)2024
3778 y Ft(=)2111 3611 y Fj(0)2111 3760 y(@)2198 3678
y Ft(16)2198 3778 y(25)2198 3877 y(19)2295 3611 y Fj(1)2295
3760 y(A)2381 3778 y Fr(:)207 4055 y Ft(8.)41 b(Finden)28
b(Sie)g Fr(\013)g Ft(und)g Fr(\014)k Ft(mit)1060 4333
y Fr(\013)19 b Fo(\001)1174 4166 y Fj(0)1174 4315 y(@)1260
4233 y Ft(1)1260 4333 y(0)1260 4432 y(3)1315 4166 y Fj(1)1315
4315 y(A)1406 4333 y Ft(+)f Fr(\014)23 b Fo(\001)1601
4166 y Fj(0)1601 4315 y(@)1687 4233 y Ft(1)1687 4333
y(1)1687 4432 y(1)1743 4166 y Fj(1)1743 4315 y(A)1838
4333 y Ft(=)1926 4166 y Fj(0)1926 4315 y(@)2033 4233
y Ft(5)2033 4333 y(2)2012 4432 y(11)2109 4166 y Fj(1)2109
4315 y(A)p eop end
%%Page: 197 58
TeXDict begin 197 57 bop 1288 100 a Fn(6.2)42 b(Das)26
b(Gau\031sc)n(he)h(Eliminationsv)n(erfahren)153 b(197)165
282 y Fs(6.2)42 b(Das)c(Gau\031sc)m(he)h(Eliminationsv)m(erfahren)165
486 y Ft(Die)f(bisher)g(gefundenen)g(Aussagen)1408 490
y(\177)1405 486 y(ub)r(er)g(lineare)f(Gleic)n(h)n(ungssysteme)f(sind)i
(v)n(or-)165 585 y(wiegend)29 b(theoretisc)n(her)e(Art.)i(Wir)g(w)n
(enden)g(uns)g(jetzt)h(praktisc)n(hen)d(L)2469 589 y(\177)2469
585 y(osungsw)n(egen)165 685 y(zu.)f(Eines)e(der)h(b)r(ek)-5
b(ann)n(testen)25 b(und)g(wirkungsv)n(ollsten)e(V)-7
b(erfahren)25 b(ist)g(das)f(Gau\031sc)n(he)165 785 y(Eliminationsv)n
(erfahren.)e(Dazu)h(w)n(andelt)g(man)g(die)h Fp(erweiterte)i(Ko)l
(e\016zientenmatrix)165 884 y Ft(\()p Fr(M)t(;)14 b(b)p
Ft(\))35 b(nac)n(h)f(einem)h(genau)f(v)n(orgesc)n(hrieb)r(enen)e
(Algorithm)n(us)i(in)g(eine)h(Matrix)f(b)r(e-)165 984
y(sonders)d(einfac)n(her)g(Gestalt,)h(in)g(eine)g(sogenann)n(te)e
(Stufenmatrix,)j(um.)f(Aus)g(dieser)165 1083 y(l)188
1087 y(\177)188 1083 y(a\031t)i(sic)n(h)f(die)h(L)700
1087 y(\177)700 1083 y(osungsmenge)e(einfac)n(h)h(ablesen.)h(Gleic)n
(hzeitig)f(l)2292 1087 y(\177)2292 1083 y(a\031t)g(sic)n(h)g(auc)n(h)h
(der)165 1183 y(Rang)f(des)h(Gleic)n(h)n(ungssystems)e(direkt)h
(ablesen)g(und)h(die)g(T)-7 b(atsac)n(he,)32 b(ob)h(das)g(Glei-)165
1283 y(c)n(h)n(ungssystem)688 1287 y(\177)686 1283 y(ub)r(erhaupt)27
b(L)1141 1287 y(\177)1141 1283 y(osungen)g(b)r(esitzt.)290
1482 y(Es)d(gibt)h(zw)n(ei)f(im)h(w)n(esen)n(tlic)n(hen)1343
1486 y(\177)1343 1482 y(aquiv)-5 b(alen)n(te)24 b(W)-7
b(ege,)24 b(die)h(einzelnen)g(Sc)n(hritte)f(des)165 1582
y(Gau\031sc)n(hen)i(Eliminationsv)n(erfahrens)f(durc)n(hzuf)1757
1586 y(\177)1755 1582 y(uhren,)i(die)g(Multiplik)-5 b(ation)27
b(der)g(er-)165 1681 y(w)n(eiterten)37 b(Ko)r(e\016zien)n(tenmatrix)g
(mit)h(geeigneten)e(Elemen)n(tarmatrizen)g(v)n(on)g(links)165
1781 y(o)r(der)29 b(die)g(Durc)n(hf)739 1785 y(\177)737
1781 y(uhrung)f(elemen)n(tarer)g(Zeilen)n(umform)n(ungen)g(der)g(erw)n
(eiterten)g(Ko-)165 1880 y(e\016zien)n(tenmatrix.)d(Beide)f(V)-7
b(erfahren)25 b(sind)g(leic)n(h)n(t)f(als)g(Algorithmen)h(auf)g(dem)g
(Com-)165 1980 y(puter)g(zu)h(implemen)n(tieren.)f(Wir)g(b)r(esc)n
(hreib)r(en)g(hier)f(\(zun)2035 1984 y(\177)2035 1980
y(ac)n(hst\))i(das)e(V)-7 b(erfahren)25 b(mit)165 2080
y(Hilfe)k(der)e(elemen)n(taren)g(Zeilen)n(umform)n(ungen.)165
2246 y Fq(Bemerkung)32 b(6.2.1)39 b Ft(Sei)f(ein)g(lineares)f(Gleic)n
(h)n(ungssystem)f Fr(M)e Fo(\001)25 b Fr(x)40 b Ft(=)f
Fr(b)f Ft(gegeb)r(en.)165 2345 y(O\013en)n(bar)514 2349
y(\177)514 2345 y(andern)d(wir)f(an)h(der)g(L)1275 2349
y(\177)1275 2345 y(osungsmenge)e(nic)n(h)n(ts,)i(w)n(enn)g(wir)g(eine)g
(der)f(Glei-)165 2445 y(c)n(h)n(ungen)27 b(mit)h(einem)f(Sk)-5
b(alarfaktor)25 b Fr(\025)f Fo(6)p Ft(=)f(0)j(m)n(ultiplizieren.)i(Das)
f(l)2310 2449 y(\177)2310 2445 y(auft)g(auf)h(die)f(Mul-)165
2545 y(tiplik)-5 b(ation)30 b(der)g(en)n(tsprec)n(henden)f(Zeile)g(v)n
(on)g(\()p Fr(M)t(;)14 b(b)p Ft(\))30 b(mit)g Fr(\025)d
Fo(6)p Ft(=)f(0)j(hinaus.)h(Insb)r(eson-)165 2644 y(dere)23
b(k)385 2648 y(\177)385 2644 y(onnen)f(wir)g(einen)h(solc)n(hen)f
(Proze\031)f(r)1562 2648 y(\177)1560 2644 y(uc)n(kg)1727
2648 y(\177)1727 2644 y(angig)f(mac)n(hen,)i(indem)i(wir)e(dieselb)r(e)
165 2744 y(Gleic)n(h)n(ung)34 b(mit)h(dem)g(in)n(v)n(ersen)e(F)-7
b(aktor)33 b Fr(\025)1555 2714 y Fi(\000)p Fl(1)1679
2744 y Ft(m)n(ultiplizieren.)i(Eb)r(enso)2530 2748 y(\177)2530
2744 y(andern)f(wir)165 2844 y(an)29 b(der)g(L)479 2848
y(\177)479 2844 y(osungsmenge)f(nic)n(h)n(ts,)h(w)n(enn)h(wir)f(ein)g
(Vielfac)n(hes)g(einer)g(Gleic)n(h)n(ung)g(zu)g(ei-)165
2943 y(ner)39 b(anderen)f(Gleic)n(h)n(ung)h(addieren.)g(Auc)n(h)g
(diesen)g(Proze\031)e(k)2235 2947 y(\177)2235 2943 y(onnen)i(wir)f(n)
2691 2947 y(\177)2691 2943 y(amlic)n(h)165 3043 y(r)200
3047 y(\177)198 3043 y(uc)n(kg)365 3047 y(\177)365 3043
y(angig)31 b(mac)n(hen,)j(indem)g(wir)f(das)g(gleic)n(he)g(Vielfac)n
(he)h(abziehen.)f(Er)g(l)2637 3047 y(\177)2637 3043 y(auft)h(auf)165
3142 y(die)27 b(Addition)g(eines)f(Vielfac)n(hen)h(einer)f(Zeile)g(zu)h
(einer)f(anderen)f(Zeile)i(der)f(erw)n(eiter-)165 3242
y(ten)36 b(Matrix)e(\()p Fr(M)t(;)14 b(b)p Ft(\))36 b(hinaus.)e(Sc)n
(hlie\031lic)n(h)h(k)1609 3246 y(\177)1609 3242 y(onnen)g(wir)f(in)i
(demselb)r(en)f(Sinne)h(auc)n(h)165 3342 y(zw)n(ei)d(Gleic)n(h)n(ungen)
g(bzw.)g(zw)n(ei)g(Zeilen)g(miteinander)g(v)n(ertausc)n(hen.)f(Das)g(f)
2615 3346 y(\177)2613 3342 y(uhrt)i(uns)165 3441 y(zu)28
b(der)f(folgenden)h(De\014nition.)165 3607 y Fq(De\014nition)j(6.2.2)40
b Ft(Sei)22 b Fr(N)31 b Ft(eine)23 b(Matrix.)e(Eine)h
Fp(elementar)l(e)j(Zeilenumformung)g(ers-)165 3707 y(ter)k(A)n(rt)34
b Fr(Z)509 3719 y Fl(1)600 3707 y Ft(ist)27 b(die)f(Multiplik)-5
b(ation)28 b(einer)e(Zeile)h(v)n(on)f Fr(N)35 b Ft(mit)28
b(einem)f(F)-7 b(aktor)25 b Fr(\025)f Fo(6)p Ft(=)f(0.)165
3807 y(Eine)g Fp(elementar)l(e)j(Zeilenumformung)g(zweiter)f(A)n(rt)31
b Fr(Z)1914 3819 y Fl(2)1974 3807 y Ft(ist)23 b(die)g(Addition)g(eines)
g(Viel-)165 3906 y(fac)n(hen)29 b(einer)g(Zeile)f(zu)h(einer)g(anderen)
f(Zeile.)h(Eine)g Fp(elementar)l(e)i(Zeilenumformung)165
4006 y(dritter)f(A)n(rt)35 b Fr(Z)641 4018 y Fl(3)706
4006 y Ft(ist)27 b(die)h(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)26
b(zw)n(eier)h(Zeilen.)290 4172 y(Ist)j Fr(N)39 b Ft(die)31
b(erw)n(eiterte)e(Matrix)h(eines)g(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungssystems,)
g(so)2680 4176 y(\177)2680 4172 y(andern)165 4271 y(elemen)n(tare)34
b(Zeilen)n(umform)n(ungen)g(die)h(L)1531 4275 y(\177)1531
4271 y(osungsmenge)e(des)h(linearen)g(Gleic)n(h)n(ungs-)165
4371 y(systems)c(nic)n(h)n(t,)g(d.h.)h(die)g(Gleic)n(h)n(ungssysteme)e
Fr(M)f Fo(\001)21 b Fr(x)28 b Ft(=)f Fr(b)j Ft(und)g
Fr(M)2367 4341 y Fi(0)2410 4371 y Fo(\001)21 b Fr(x)28
b Ft(=)f Fr(b)2657 4341 y Fi(0)2710 4371 y Ft(hab)r(en)165
4471 y(dieselb)r(en)35 b(L)582 4475 y(\177)582 4471 y(osungsmengen,)e
(w)n(enn)i(\()p Fr(M)1501 4441 y Fi(0)1524 4471 y Fr(;)14
b(b)1597 4441 y Fi(0)1620 4471 y Ft(\))35 b(aus)f(\()p
Fr(M)t(;)14 b(b)p Ft(\))35 b(durc)n(h)f(An)n(w)n(endung)g(v)n(on)165
4570 y(endlic)n(h)28 b(vielen)g(elemen)n(taren)e(Zeilen)n(umform)n
(ungen)h(herv)n(orgeh)n(t.)p eop end
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TeXDict begin 198 58 bop 165 100 a Fn(198)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)290
282 y Ft(Elemen)n(tare)41 b(Zeilen)n(umform)n(ungen)h(an)g(der)g
(Matrix)g Fr(M)51 b Ft(und)43 b(an)g(der)f(Matrix)165
382 y(\()p Fr(M)t(;)14 b Ft(0\))40 b(b)r(ewirk)n(en)f(eingesc)n(hr)1130
386 y(\177)1130 382 y(ankt)f(auf)i Fr(M)48 b Ft(sic)n(herlic)n(h)39
b(dasselb)r(e,)g(w)n(eil)g(sie)h(auf)g(der)165 482 y(Nullspalte)31
b(gar)e(k)n(eine)935 464 y(\177)925 482 y(Anderung)h(herv)n(orrufen.)f
(Der)h(\(Spalten-\)Rang)h(der)f(Matrix)165 581 y Fr(M)48
b Ft(ist)40 b(ab)r(er)e(nac)n(h)h(6.1.5)f(gleic)n(h)g(der)h(Zeilenzahl)
g(v)n(on)f Fr(M)48 b Ft(min)n(us)39 b(Dimension)g(des)165
681 y(L)217 685 y(\177)217 681 y(osungsraumes.)34 b(Da)i(der)g(L)1121
685 y(\177)1121 681 y(osungsraum)e(v)n(on)h Fr(M)d Fo(\001)25
b Fr(x)37 b Ft(=)g(0)e(sic)n(h)h(b)r(ei)g(elemen)n(taren)165
780 y(Zeilen)n(umform)n(ungen)e(v)n(on)g(\()p Fr(M)t(;)14
b Ft(0\))34 b(nic)n(h)n(t)1554 784 y(\177)1554 780 y(andert)g(und)h
(die)g(Zeilenzahl)f(v)n(on)g(\()p Fr(M)t(;)14 b Ft(0\))165
880 y(eb)r(enfalls)24 b(k)n(onstan)n(t)e(bleibt,)1093
884 y(\177)1093 880 y(andert)h(sic)n(h)g(insb)r(esondere)g(auc)n(h)g
(der)g(Rang)g(der)g(Matrix)165 980 y Fr(M)37 b Ft(nic)n(h)n(t.)27
b(Wir)h(hab)r(en)g(also)e(erhalten:)165 1133 y Fq(F)-8
b(olgerung)31 b(6.2.3)40 b Fp(Elementar)l(e)24 b(Zeilenumformungen)g
(einer)g(Matrix)g(lassen)g(der)l(en)165 1233 y(\(Sp)l(alten-\)R)l(ang)
29 b(invariant.)290 1386 y Ft(Durc)n(h)35 b(An)n(w)n(endung)h
(geeigneter)e(elemen)n(tarer)h(Zeilen)n(umform)n(ungen)f(l)2641
1390 y(\177)2641 1386 y(a\031t)i(sic)n(h)165 1486 y(n)n(un)27
b(eine)g(Matrix)f(w)n(esen)n(tlic)n(h)g(v)n(ereinfac)n(hen,)g(n)1712
1490 y(\177)1712 1486 y(amlic)n(h)g(auf)h(die)g(F)-7
b(orm)26 b(einer)h(Stufen-)165 1586 y(matrix.)165 1739
y Fq(De\014nition)k(6.2.4)40 b Ft(Eine)e(Matrix)g Fr(S)43
b Ft(ist)c(eine)f Fp(Stufenmatrix)p Ft(,)76 b(w)n(enn)38
b(f)2558 1743 y(\177)2556 1739 y(ur)h(je)g(zw)n(ei)165
1839 y(aufeinanderfolgende)26 b(Zeilen)g Fr(a)1199 1851
y Fk(i)1254 1839 y Ft(und)h Fr(a)1463 1851 y Fk(i)p Fl(+1)1601
1839 y Ft(v)n(on)f Fr(S)31 b Ft(folgendes)26 b(gilt:)h(w)n(enn)g(die)f
(link)n(en)165 1939 y Fr(k)35 b Ft(Ko)r(e\016zien)n(ten)c(v)n(on)g
Fr(a)950 1951 y Fk(i)1010 1939 y Ft(Null)h(sind,)g(so)f(sind)h(die)g
(link)n(en)f Fr(k)25 b Ft(+)20 b(1)32 b(Ko)r(e\016zien)n(ten)f(v)n(on)
165 2038 y Fr(a)209 2050 y Fk(i)p Fl(+1)349 2038 y Ft(Null)d(\(o)r(der)
f Fr(a)794 2050 y Fk(i)p Fl(+1)933 2038 y Ft(ist)h(der)f(Nullv)n
(ektor\):)453 2199 y Fo(8)p Fr(i)22 b Ft(=)h(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(m;)42 b(k)25 b Ft(=)e(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h
(n)480 2299 y Ft([\()p Fo(8)p Fr(j)29 b Ft(=)22 b(1)p
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(k)s Ft([)p Fr(\013)1080 2311
y Fk(ij)1161 2299 y Ft(=)23 b(0]\))g Fo(\))g Ft(\()p
Fo(8)p Fr(j)28 b Ft(=)23 b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(k)21
b Ft(+)d(1[)p Fr(\013)2194 2314 y Fl(\()p Fk(i)p Fl(+1\))p
Fk(j)2411 2299 y Ft(=)23 b(0]\)])p Fr(:)165 2457 y Ft(Damit)28
b(hat)g(eine)g(Stufenmatrix)g(die)f(folgende)h(F)-7 b(orm)744
2559 y Fj(0)744 2706 y(B)744 2755 y(B)744 2805 y(B)744
2855 y(B)744 2905 y(B)744 2955 y(B)744 3004 y(B)744 3054
y(B)744 3104 y(B)744 3157 y(@)831 2606 y Ft(0)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0)p Fr(;)g(\013)1189 2618 y Fl(1)p
Fk(j)1249 2626 y Fg(1)1395 2606 y Fr(:)g(:)g(:)457 b(:)14
b(:)g(:)84 b(\013)2183 2618 y Fl(1)p Fk(n)1369 2706 y
Fr(\013)1422 2718 y Fl(2)p Fk(j)1482 2726 y Fg(2)1632
2706 y Fr(:)14 b(:)g(:)220 b(:)14 b(:)g(:)84 b(\013)2183
2718 y Fl(2)p Fk(n)1843 2796 y Ft(.)1843 2830 y(.)1843
2863 y(.)2185 2796 y(.)2185 2830 y(.)2185 2863 y(.)1602
2962 y Fr(\013)1655 2974 y Fk(k)q(j)1718 2983 y Ff(k)1949
2962 y Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\013)2182 2974 y Fk(k)q(n)2175
3062 y Ft(0)2185 3129 y(.)2185 3162 y(.)2185 3195 y(.)2175
3295 y(0)2277 2559 y Fj(1)2277 2706 y(C)2277 2755 y(C)2277
2805 y(C)2277 2855 y(C)2277 2905 y(C)2277 2955 y(C)2277
3004 y(C)2277 3054 y(C)2277 3104 y(C)2277 3157 y(A)2758
2950 y Ft(\(6)p Fr(:)p Ft(2\))290 3444 y(Ein)19 b(lineares)g(Gleic)n(h)
n(ungssystem)f Fr(M)12 b Fo(\001)s Fr(x)23 b Ft(=)f Fr(b)e
Ft(hat)g(genau)e(dann)i(eine)g(Stufenmatrix)165 3544
y(als)27 b(erw)n(eiterte)g(Ko)r(e\016zien)n(tenmatrix,)g(w)n(enn)g(es)g
(die)h(folgende)f(F)-7 b(orm)27 b(hat:)663 3700 y Fr(\013)716
3712 y Fl(1)p Fk(j)776 3720 y Fg(1)832 3700 y Fo(\001)18
b Fr(\030)909 3712 y Fk(j)936 3720 y Fg(1)973 3700 y
Ft(+)c Fr(:)g(:)g(:)525 b(:)14 b(:)g(:)k Ft(+)g Fr(\013)1925
3712 y Fl(1)p Fk(n)2022 3700 y Fo(\001)h Fr(\030)2100
3712 y Fk(n)2170 3700 y Ft(=)69 b Fr(\014)2351 3712 y
Fl(1)973 3800 y Fr(\013)1026 3812 y Fl(2)p Fk(j)1086
3820 y Fg(2)1142 3800 y Fo(\001)19 b Fr(\030)1220 3812
y Fk(j)1247 3820 y Fg(2)1284 3800 y Ft(+)14 b Fr(:)g(:)g(:)214
b(:)14 b(:)g(:)k Ft(+)g Fr(\013)1925 3812 y Fl(2)p Fk(n)2022
3800 y Fo(\001)h Fr(\030)2100 3812 y Fk(n)2170 3800 y
Ft(=)69 b Fr(\014)2351 3812 y Fl(2)1284 3888 y Ft(.)1284
3921 y(.)1284 3955 y(.)2334 3888 y(.)2334 3921 y(.)2334
3955 y(.)1284 4054 y Fr(\013)1337 4066 y Fk(k)q(j)1400
4075 y Ff(k)1460 4054 y Fo(\001)19 b Fr(\030)1538 4066
y Fk(j)1565 4075 y Ff(k)1606 4054 y Ft(+)o Fr(:)14 b(:)g(:)19
b Ft(+)f Fr(\013)1922 4066 y Fk(k)q(n)2022 4054 y Fo(\001)h
Fr(\030)2100 4066 y Fk(n)2170 4054 y Ft(=)67 b Fr(\014)2349
4066 y Fk(k)2104 4154 y Ft(0)24 b(=)h Fr(\014)2307 4166
y Fk(k)q Fl(+1)2104 4253 y Ft(0)f(=)90 b(0)2122 4342
y(.)2122 4375 y(.)2122 4408 y(.)2334 4342 y(.)2334 4375
y(.)2334 4408 y(.)2104 4508 y(0)24 b(=)90 b(0)2758 4105
y(\(6)p Fr(:)p Ft(3\))165 4664 y(mit)29 b Fr(j)352 4676
y Fl(1)412 4664 y Fr(<)23 b(j)534 4676 y Fl(2)594 4664
y Fr(<)g(:)14 b(:)g(:)23 b(<)f(j)923 4676 y Fk(k)987
4664 y Fo(\024)h Fr(n)28 b Ft(.)p eop end
%%Page: 199 60
TeXDict begin 199 59 bop 1288 100 a Fn(6.2)42 b(Das)26
b(Gau\031sc)n(he)h(Eliminationsv)n(erfahren)153 b(199)165
282 y Fq(Satz)33 b(6.2.5)40 b Fp(Je)l(de)27 b(Matrix)37
b Fr(M)e Fp(l)1215 286 y(\177)1216 282 y(a\031t)26 b(sich)h(dur)l(ch)g
(A)n(nwendung)f(ge)l(eigneter)h(elementa-)165 382 y(r)l(er)j
(Zeilenumformungen)g(in)g(eine)g(Stufenmatrix)39 b Fr(S)34
b Fp(umformen.)165 540 y(Beweis.)44 b Ft(Wir)19 b(w)n(ollen)f(den)i
(Bew)n(eis)e(durc)n(h)h(v)n(ollst)1723 544 y(\177)1723
540 y(andige)e(Induktion)j(nac)n(h)e(der)h(Anzahl)165
640 y(der)28 b(Spalten)g(v)n(on)f Fr(M)37 b Ft(durc)n(hf)1117
644 y(\177)1115 640 y(uhren.)28 b(Dazu)g(b)r(esc)n(hreib)r(en)g(wir)f
(einen)i(Algorithm)n(us)e Fo(E)165 739 y Ft(b)r(estehend)40
b(aus)e(mehreren)g(elemen)n(taren)g(Zeilen)n(umform)n(ungen.)f(Dieser)i
(wird)f(auf)165 839 y(eine)f(Matrix)e(angew)n(endet)h(und)h(ergibt)e
(eine)i(Matrix)e(mit)i(kleinerer)e(Spaltenzahl,)165 939
y(w)n(o)r(durc)n(h)27 b(eine)h(rekursiv)n(e)d(An)n(w)n(endung)j(m)1548
943 y(\177)1548 939 y(oglic)n(h)e(wird.)165 1097 y Fq(Algorithm)m(us)31
b(6.2.6)40 b(\(Algorithm)m(us)c Fo(E)45 b Fq(der)38 b(Umform)m(ungen)f
(v)m(on)h Fr(M)9 b Fq(,)37 b(Eli-)165 1196 y(minationsalgorithm)m(us\))
290 1318 y Fo(E)334 1330 y Fl(1)371 1318 y Ft(:)24 b(W)-7
b(enn)24 b(die)f(erste)g(Spalte)h(v)n(on)f Fr(M)32 b
Ft(n)n(ur)23 b(mit)h(Nullen)g(b)r(esetzt)g(ist,)g(so)f(f)2584
1322 y(\177)2582 1318 y(uhren)h(wir)165 1417 y(gar)j(k)n(eine)g(Umform)
n(ungen)g(durc)n(h)g(und)h(gehen)f(unmittelbar)h(zu)g(Sc)n(hritt)g
Fo(E)2584 1429 y Fl(5)2648 1417 y Ft(w)n(eiter.)290 1539
y Fo(E)334 1551 y Fl(2)371 1539 y Ft(:)35 b(W)-7 b(enn)36
b(der)f(Ko)r(e\016zien)n(t)g(in)h(der)f(ersten)g(Zeile)g(und)h(der)f
(ersten)g(Spalte)g(v)n(on)165 1638 y(Null)29 b(v)n(ersc)n(hieden)d
(ist,)i(so)e(gehen)i(wir)f(unmittelbar)h(zu)f(Sc)n(hritt)h
Fo(E)2294 1650 y Fl(4)2359 1638 y Ft(w)n(eiter.)290 1760
y Fo(E)334 1772 y Fl(3)371 1760 y Ft(:)33 b(W)-7 b(enn)34
b(der)f(Ko)r(e\016zien)n(t)g(in)g(der)g(ersten)g(Zeile)g(und)h(der)f
(ersten)f(Spalte)i(Null)165 1859 y(ist)f(und)h(ein)f(v)n(on)f(Null)h(v)
n(ersc)n(hiedener)e(Ko)r(e\016zien)n(t)h(in)i(der)e(ersten)g(Spalte)h
(und)h(der)165 1959 y Fr(i)p Ft(-ten)24 b(Zeile)f(v)n(on)g
Fr(M)32 b Ft(steh)n(t,)24 b(so)f(v)n(ertausc)n(hen)f(wir)h(die)h
Fr(i)p Ft(-te)f(Zeile)g(mit)h(der)f(ersten)g(Zeile,)165
2058 y(f)192 2062 y(\177)190 2058 y(uhren)28 b(also)f(eine)g(elemen)n
(tare)g(Zeilen)n(umform)n(ung)f(dritter)i(Art)g(durc)n(h.)290
2180 y(Wir)k(b)r(emerk)n(en)f(an)h(dieser)f(Stelle,)h(da\031)f(hier)h
(o\013en)n(bar)e(mehrere)h(W)-7 b(ahlm)2691 2184 y(\177)2691
2180 y(oglic)n(h-)165 2279 y(k)n(eiten)41 b(b)r(estehen.)g(Wir)f(w)n
(erden)g(darauf)g(zur)1673 2283 y(\177)1671 2279 y(uc)n(kk)n(ommen,)f
(w)n(enn)h(wir)g(sp)2625 2283 y(\177)2625 2279 y(ater)g(das)165
2379 y(Piv)n(ot-\(Drehpunkt-\)V)-7 b(erfahren)27 b(b)r(esprec)n(hen.)
290 2500 y(Wir)41 b(k)516 2504 y(\177)516 2500 y(onnen)g(also)f(nac)n
(h)g(dieser)h(Umform)n(ung)f(da)n(v)n(on)g(ausgehen,)g(da\031)g(in)i
(der)165 2600 y(ersten)f(Zeile)g(und)g(ersten)f(Spalte)h(ein)h(v)n(on)e
(Null)h(v)n(ersc)n(hiedener)e(Ko)r(e\016zien)n(t)i Fr(\013)2859
2612 y Fl(11)165 2699 y Ft(steh)n(t.)28 b(Seien)g(jetzt)g(die)g(Ko)r
(e\016zien)n(ten)f(der)g(ersten)h(Spalte)957 3026 y(\()p
Fr(\013)1042 3038 y Fl(11)1112 3026 y Fr(;)14 b(\013)1202
3038 y Fl(21)1273 3026 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)1510
3038 y Fk(m)p Fl(1)1606 3026 y Ft(\))1638 2991 y Fk(t)1691
3026 y Ft(=)1779 2809 y Fj(0)1779 2955 y(B)1779 3005
y(B)1779 3058 y(@)1878 2853 y Fr(\013)1931 2865 y Fl(11)1878
2953 y Fr(\013)1931 2965 y Fl(21)1928 3032 y Ft(.)1928
3065 y(.)1928 3098 y(.)1865 3198 y Fr(\013)1918 3210
y Fk(m)p Fl(1)2028 2809 y Fj(1)2028 2955 y(C)2028 3005
y(C)2028 3058 y(A)2115 3026 y Fr(:)290 3389 y Fo(E)334
3401 y Fl(4)371 3389 y Ft(:)32 b(In)g(der)f(so)g(erhaltenen)g(Matrix)g
(addieren)g(wir)h(das)f(\()p Fo(\000)p Fr(\013)2269 3353
y Fi(\000)p Fl(1)2269 3411 y(11)2358 3389 y Ft(\))22
b Fo(\001)f Fr(\013)2509 3401 y Fk(i)p Fl(1)2570 3389
y Ft(-fac)n(he)31 b(der)165 3488 y(ersten)i(Zeile)f(zur)g
Fr(i)p Ft(-ten)h(Zeile)f(f)1202 3492 y(\177)1200 3488
y(ur)h(alle)f Fr(i)f Ft(=)g(2)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
Ft(.)33 b(Das)f(sind)h(elemen)n(tare)f(Zeile-)165 3588
y(n)n(umform)n(ungen)c(zw)n(eiter)f(Art.)i(Dadurc)n(h)f(erreic)n(hen)f
(wir,)g(da\031)h(in)g(der)g(ersten)g(Spalte)165 3687
y(der)g(V)-7 b(ektor)27 b(\()p Fr(\013)664 3699 y Fl(11)734
3687 y Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0\))1071
3657 y Fk(t)1128 3687 y Ft(mit)28 b Fr(\013)1333 3699
y Fl(11)1427 3687 y Fo(6)p Ft(=)22 b(0)27 b(steh)n(t.)290
3809 y(Damit)43 b(ist)g(ein)f(Sc)n(hritt)h(des)f(Algorithm)n(us)g
Fo(E)50 b Ft(v)n(ollst)2069 3813 y(\177)2069 3809 y(andig)41
b(b)r(esc)n(hrieb)r(en.)i(Am)165 3908 y(Sc)n(hlu\031)28
b(hab)r(en)f(wir)h(durc)n(h)f(An)n(w)n(endung)g(v)n(on)g
Fo(E)35 b Ft(auf)27 b Fr(M)37 b Ft(eine)27 b(Matrix)986
4236 y Fr(N)32 b Ft(=)1172 4020 y Fj(0)1172 4166 y(B)1172
4216 y(B)1172 4269 y(@)1259 4062 y Fr(\013)1312 4074
y Fl(11)1478 4062 y Fr(\014)1525 4074 y Fl(12)1691 4062
y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\014)1931 4074 y Fl(1)p Fk(n)1300
4162 y Ft(0)136 b Fr(\014)1525 4174 y Fl(22)1691 4162
y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\014)1931 4174 y Fl(2)p Fk(n)1309
4245 y Ft(.)1309 4278 y(.)1309 4311 y(.)1525 4245 y(.)1525
4278 y(.)1525 4311 y(.)143 b Fr(:)14 b(:)g(:)1935 4245
y Ft(.)1935 4278 y(.)1935 4311 y(.)1300 4411 y(0)123
b Fr(\014)1512 4423 y Fk(m)p Fl(2)1691 4411 y Fr(:)14
b(:)g(:)83 b(\014)1918 4423 y Fk(mn)2036 4020 y Fj(1)2036
4166 y(C)2036 4216 y(C)2036 4269 y(A)165 4564 y Ft(erhalten,)57
b(deren)f(erste)h(Spalte)g(en)n(t)n(w)n(eder)e(der)i(Nullv)n(ektor)f(o)
r(der)g(der)h(V)-7 b(ektor)165 4664 y(\()p Fr(\013)250
4676 y Fl(11)321 4664 y Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h
Ft(0\))658 4634 y Fk(t)710 4664 y Fo(6)p Ft(=)23 b(0)k(ist.)p
eop end
%%Page: 200 61
TeXDict begin 200 60 bop 165 100 a Fn(200)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)290
282 y Fo(E)334 294 y Fl(5)371 282 y Ft(:)32 b(Ist)g(der)g(erste)f
(Spalten)n(v)n(ektor)g(v)n(on)g Fr(N)41 b Ft(der)32 b(Nullv)n(ektor,)f
(so)g(b)r(etrac)n(h)n(ten)h(wir)165 382 y(jetzt)22 b(eine)f(T)-7
b(eilmatrix)21 b(der)g(Matrix)f Fr(N)32 b Ft(=)23 b(\()p
Fr(\014)1587 394 y Fk(ij)1645 382 y Fo(j)p Fr(i)g Ft(=)g(1)p
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m;)g(j)27 b Ft(=)c(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(\),)21 b(n)2691 386 y(\177)2691
382 y(amlic)n(h)165 482 y(die)28 b(Matrix)934 726 y Fr(N)1010
692 y Fi(0)1056 726 y Ft(:=)1167 510 y Fj(0)1167 656
y(B)1167 706 y(B)1167 759 y(@)1266 552 y Fr(\014)1313
564 y Fl(12)1493 552 y Fr(\014)1540 564 y Fl(13)1706
552 y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\014)1946 564 y Fl(1)p Fk(n)1266
652 y Fr(\014)1313 664 y Fl(22)1493 652 y Fr(\014)1540
664 y Fl(23)1706 652 y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\014)1946
664 y Fl(2)p Fk(n)1314 735 y Ft(.)1314 768 y(.)1314 801
y(.)1540 735 y(.)1540 768 y(.)1540 801 y(.)1950 735 y(.)1950
768 y(.)1950 801 y(.)1254 901 y Fr(\014)1301 913 y Fk(m)p
Fl(2)1480 901 y Fr(\014)1527 913 y Fk(m)p Fl(3)1706 901
y Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\014)1933 913 y Fk(mn)2051 510
y Fj(1)2051 656 y(C)2051 706 y(C)2051 759 y(A)2137 726
y Fr(:)165 1037 y Ft(Im)28 b(anderen)f(F)-7 b(all)28
b(mit)g(\()p Fr(\013)1006 1049 y Fl(11)1077 1037 y Fr(;)14
b Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0\))1414 1007 y Fk(t)1466
1037 y Fo(6)p Ft(=)22 b(0)27 b(als)g(erster)g(Spalte)h(b)r(etrac)n(h)n
(ten)f(wir)934 1371 y Fr(N)1010 1336 y Fi(0)1056 1371
y Ft(:=)1167 1154 y Fj(0)1167 1300 y(B)1167 1350 y(B)1167
1403 y(@)1266 1196 y Fr(\014)1313 1208 y Fl(22)1493 1196
y Fr(\014)1540 1208 y Fl(23)1706 1196 y Fr(:)14 b(:)g(:)96
b(\014)1946 1208 y Fl(2)p Fk(n)1266 1296 y Fr(\014)1313
1308 y Fl(32)1493 1296 y Fr(\014)1540 1308 y Fl(33)1706
1296 y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\014)1946 1308 y Fl(3)p Fk(n)1314
1379 y Ft(.)1314 1412 y(.)1314 1445 y(.)1540 1379 y(.)1540
1412 y(.)1540 1445 y(.)1950 1379 y(.)1950 1412 y(.)1950
1445 y(.)1254 1545 y Fr(\014)1301 1557 y Fk(m)p Fl(2)1480
1545 y Fr(\014)1527 1557 y Fk(m)p Fl(3)1706 1545 y Fr(:)14
b(:)g(:)83 b(\014)1933 1557 y Fk(mn)2051 1154 y Fj(1)2051
1300 y(C)2051 1350 y(C)2051 1403 y(A)2137 1371 y Fr(:)290
1727 y Ft(W)-7 b(enn)37 b(wir)f(eine)h(elemen)n(tare)e(Zeilen)n(umform)
n(ung)h(an)g(der)g(Matrix)g Fr(N)2597 1697 y Fi(0)2657
1727 y Ft(v)n(orneh-)165 1826 y(men,)25 b(so)e(k)507
1830 y(\177)507 1826 y(onnen)h(wir)f(dieselb)r(e)i(elemen)n(tare)e
(Zeilen)n(umform)n(ung)g(auc)n(h)g(an)h(der)g(gr)2783
1830 y(\177)2783 1826 y(o\031e-)165 1926 y(ren)43 b(Matrix)g
Fr(N)52 b Ft(v)n(ornehmen,)43 b(ohne)g(in)h Fr(N)52 b
Ft(die)44 b(erste)e(Spalte)i(\(0)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f
(;)h Ft(0\))2691 1896 y Fk(t)2763 1926 y Ft(bzw.)165
2026 y(\()p Fr(\013)250 2038 y Fl(11)321 2026 y Fr(;)g
Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0\))658 1996 y Fk(t)708
2026 y Ft(zu)21 b(v)n(er)924 2030 y(\177)924 2026 y(andern.)e(Das)i
(sieh)n(t)f(man)h(sofort)f(f)1996 2030 y(\177)1994 2026
y(ur)h(jede)g(einzelne)g(der)f(m)2772 2030 y(\177)2772
2026 y(ogli-)165 2125 y(c)n(hen)k(elemen)n(taren)f(Zeilen)n(umform)n
(ungen,)g(w)n(eil)g(durc)n(h)h(sie)f(in)h(der)f(ersten)h(Spalte)g(n)n
(ur)165 2225 y(die)33 b(Nullen)g(b)r(etro\013en)f(sind.)h(In)g(F)-7
b(alle)32 b(des)g(ersten)g(Spalten)n(v)n(ektors)e(\()p
Fr(\013)2492 2237 y Fl(11)2563 2225 y Fr(;)14 b Ft(0)p
Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0\))2900 2195 y Fk(t)165 2325
y Ft(wird)34 b(auc)n(h)f(die)g(erste)g(Zeile)h(der)f(Matrix)g
Fr(N)42 b Ft(nic)n(h)n(t)34 b(ge)1946 2329 y(\177)1946
2325 y(andert,)e(w)n(eil)h(f)2438 2329 y(\177)2436 2325
y(ur)h(diese)f(Zeile)165 2424 y(k)n(eine)28 b(Umform)n(ungen)f(v)n(on)g
Fr(N)1153 2394 y Fi(0)1203 2424 y Ft(induziert)h(w)n(erden.)290
2546 y(Da)38 b(die)h(Matrix)f Fr(N)942 2516 y Fi(0)1004
2546 y Ft(kleiner)g(als)g(die)h(Matrix)f Fr(M)47 b Ft(ist)39
b(\(gemessen)f(an)g(der)g(An-)165 2645 y(zahl)29 b(der)g(Spalten\),)h
(k)-5 b(ann)29 b(man)g(sie)g(p)r(er)g(Induktionsannahme)f(durc)n(h)h
(endlic)n(h)g(viele)165 2745 y(elemen)n(tare)39 b(Zeilen)n(umform)n
(ungen)f(in)h(eine)h(Stufenmatrix)f(umformen.)h(Dieselb)r(en)165
2845 y(Umform)n(ungen)33 b(mac)n(hen)f(dann)h(ab)r(er)f(auc)n(h)g(die)h
(Matrizen)f Fr(M)41 b Ft(bzw.)33 b Fr(N)42 b Ft(zu)33
b(Stufen-)165 2944 y(matrizen.)e(Der)h(Proze\031)d(bric)n(h)n(t)i(nat)
1346 2948 y(\177)1344 2944 y(urlic)n(h)f(ab,)i(w)n(enn)f(die)g(Matrix)g
Fr(N)2435 2914 y Fi(0)2490 2944 y Ft(n)n(ull)g(Spalten)165
3044 y(o)r(der)c(n)n(ull)h(Zeilen)g(hat.)290 3166 y(Insgesam)n(t)38
b(hab)r(en)i(wir)f(damit)h(einen)g(Algorithm)n(us)f Fo(E)47
b Ft(b)r(esc)n(hrieb)r(en,)39 b(der)h(mit)165 3265 y(Hilfe)h(v)n(on)e
(elemen)n(taren)g(Zeilen)n(umform)n(ungen)f(aus)h(einer)h(b)r
(eliebigen)f(Matrix)h Fr(M)165 3365 y Ft(eine)28 b(Stufenmatrix)g
Fr(S)k Ft(mac)n(h)n(t.)290 3610 y(Mit)26 b(den)g(angegeb)r(enen)f
(Umform)n(ungsv)n(erfahren)e(k)-5 b(ann)26 b(man)g(jetzt)g(lineare)f
(Glei-)165 3710 y(c)n(h)n(ungssysteme)19 b(auf)i(eine)g(w)n(esen)n
(tlic)n(h)e(einfac)n(here)h(F)-7 b(orm)20 b(bringen,)g(n)2354
3714 y(\177)2354 3710 y(amlic)n(h)g(die)h(F)-7 b(orm)165
3809 y(\(6.3\).)28 b(Das)f(f)579 3813 y(\177)577 3809
y(uhrt)h(zu)g(dem)g(folgenden)165 3966 y Fq(Satz)33 b(6.2.7)40
b Fp(\(Das)h(Gau\031sche)h(Eliminationsverfahr)l(en\))h(Sei)50
b Fr(M)36 b Fo(\001)26 b Fr(x)44 b Ft(=)f Fr(a)e Fp(ein)h(li-)165
4066 y(ne)l(ar)l(es)49 b(Gleichungssystem.)g(Man)g(l)1380
4070 y(\177)1381 4066 y(ost)g(dieses)g(Gleichungssystem,)h(indem)f(man)
165 4166 y Ft(\()p Fr(M)t(;)14 b(a)p Ft(\))35 b Fp(zun)555
4170 y(\177)556 4166 y(achst)f(mit)h(elementar)l(en)f
(Zeilenumformungen)h(auf)g(Stufenform)41 b Ft(\()p Fr(S;)14
b(b)p Ft(\))165 4265 y Fp(bringt.)23 b(Ist)e(in)h(der)g(Darstel)t(lung)
g(\(6.3\))h(des)g(Gleichungssystems)f(in)g(Stufenform)g(dann)165
4365 y Fr(\014)212 4377 y Fk(k)q Fl(+1)361 4365 y Ft(=)i(0)30
b Fp(\(o)l(der)h(keine)38 b Fr(k)21 b Ft(+)e(1)p Fp(-te)29
b(Gleichung)j(vorhanden\),)g(so)f(ist)f(das)h(Gleichungs-)165
4465 y(system)39 b(l)466 4469 y(\177)467 4465 y(osb)l(ar,)g(sonst)f
(nicht.)h(Man)g(erh)1501 4469 y(\177)1502 4465 y(alt)g(al)t(le)h(L)1849
4469 y(\177)1850 4465 y(osungen,)e(indem)h(man)g(f)2684
4469 y(\177)2684 4465 y(ur)f(al)t(le)165 4564 y Fr(j)g(=)-52
b Fo(2)24 b(f)p Fr(i)377 4576 y Fl(1)413 4564 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(i)627 4576 y Fk(k)667 4564 y Fo(g)26
b Fp(b)l(eliebige)i(Werte)e(f)1331 4568 y(\177)1331 4564
y(ur)g(die)34 b Fr(\030)1612 4576 y Fk(j)1673 4564 y
Fp(w)1727 4568 y(\177)1728 4564 y(ahlt)27 b(und)f(dann)g(mit)g(Hilfe)h
(von)g(\(6.3\))165 4664 y(die)k(r)l(estlichen)f(Werte)g(der)39
b Fr(\030)1115 4676 y Fk(i)1138 4684 y Fg(1)1176 4664
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\030)1396 4676 y Fk(i)1419
4685 y Ff(k)1490 4664 y Fp(mit)30 b(Hilfe)h(der)f(F)-6
b(ormeln)p eop end
%%Page: 201 62
TeXDict begin 201 61 bop 1288 100 a Fn(6.2)42 b(Das)26
b(Gau\031sc)n(he)h(Eliminationsv)n(erfahren)153 b(201)1024
336 y Fr(\030)1060 348 y Fk(i)1083 357 y Ff(k)1154 336
y Ft(=)22 b Fr(\013)1294 301 y Fi(\000)p Fl(1)1294 361
y Fk(k)q(i)1353 370 y Ff(k)1395 336 y Ft(\()p Fr(\014)1474
348 y Fk(k)1534 336 y Fo(\000)1709 233 y Fk(n)1670 257
y Fj(X)1617 434 y Fk(j)s Fl(=)p Fk(i)1721 443 y Ff(k)1758
434 y Fl(+1)1842 336 y Fr(\013)1895 348 y Fk(k)q(j)1967
336 y Fr(\030)2003 348 y Fk(j)2038 336 y Ft(\))1599 512
y Fp(.)1599 546 y(.)1599 579 y(.)1026 746 y Fr(\030)1062
758 y Fk(i)1085 766 y Fg(2)1163 746 y Ft(=)h Fr(\013)1304
710 y Fi(\000)p Fl(1)1304 769 y(2)p Fk(i)1360 777 y Fg(2)1397
746 y Ft(\()p Fr(\014)1476 758 y Fl(2)1532 746 y Fo(\000)1705
642 y Fk(n)1666 667 y Fj(X)1615 844 y Fk(j)s Fl(=)p Fk(i)1719
852 y Fg(2)1753 844 y Fl(+1)1837 746 y Fr(\013)1890 758
y Fl(2)p Fk(j)1958 746 y Fr(\030)1994 758 y Fk(j)2029
746 y Ft(\))1026 1001 y Fr(\030)1062 1013 y Fk(i)1085
1021 y Fg(1)1163 1001 y Ft(=)g Fr(\013)1304 965 y Fi(\000)p
Fl(1)1304 1024 y(1)p Fk(i)1360 1032 y Fg(1)1397 1001
y Ft(\()p Fr(\014)1476 1013 y Fl(1)1532 1001 y Fo(\000)1705
897 y Fk(n)1666 922 y Fj(X)1615 1099 y Fk(j)s Fl(=)p
Fk(i)1719 1107 y Fg(1)1753 1099 y Fl(+1)1837 1001 y Fr(\013)1890
1013 y Fl(1)p Fk(j)1958 1001 y Fr(\030)1994 1013 y Fk(j)2029
1001 y Ft(\))2758 679 y(\(6)p Fr(:)p Ft(4\))165 1272
y Fp(\(R)260 1276 y(\177)260 1272 y(uckw)435 1276 y(\177)436
1272 y(artssubstitution\))29 b(ausr)l(e)l(chnet.)165
1446 y(Beweis.)44 b Ft(Die)30 b(L)687 1450 y(\177)687
1446 y(osungsmengen)d(der)i(linearen)g(Gleic)n(h)n(ungssysteme)f
Fr(M)h Fo(\001)19 b Fr(x)27 b Ft(=)e Fr(a)30 b Ft(und)165
1546 y Fr(S)9 b Fo(\001)c Fr(x)24 b Ft(=)e Fr(b)f Ft(stimmen)800
1550 y(\177)798 1546 y(ub)r(erein,)g(w)n(enn)f(die)h(Matrix)f(\()p
Fr(S;)14 b(b)p Ft(\))21 b(aus)f(der)h(Matrix)f(\()p Fr(M)t(;)14
b(a)p Ft(\))21 b(durc)n(h)165 1645 y(elemen)n(tare)f(Zeilen)n(umform)n
(ungen)f(herv)n(orgeh)n(t,)e(da)j(sic)n(h)g(nac)n(h)g(der)f(Bemerkung)g
(6.2.1)165 1745 y(die)30 b(L)353 1749 y(\177)353 1745
y(osungsmengen)f(eines)h(linearen)f(Gleic)n(h)n(ungssystems)f(b)r(ei)j
(elemen)n(taren)e(Zeile-)165 1845 y(n)n(umform)n(ungen)f(der)g(erw)n
(eiterten)f(Gleic)n(h)n(ungsmatrix)g(nic)n(h)n(t)2185
1849 y(\177)2185 1845 y(andern.)g(Das)i(im)f(Satz)165
1944 y(b)r(ehauptete)h(V)-7 b(erhalten)28 b(der)g(L)1172
1948 y(\177)1172 1944 y(osungen)g(ist)g(dann)g(ab)r(er)g(direkt)g(aus)g
(der)g(F)-7 b(orm)27 b(\(6.3\))165 2044 y(durc)n(h)h(Au\015)553
2048 y(\177)553 2044 y(osung)f(nac)n(h)g(den)h(v)n(erbleib)r(enden)f
Fr(\030)1706 2056 y Fk(i)1762 2044 y Ft(abzulesen.)290
2218 y(Mit)32 b(diesem)f(Satz)g(k)961 2222 y(\177)961
2218 y(onnen)g(wir)g(so)n(w)n(ohl)e(eine)j(partikul)2091
2222 y(\177)2091 2218 y(are)e(L)2285 2222 y(\177)2285
2218 y(osung)g(eines)h(linea-)165 2318 y(ren)h(inhomogenen)g(Gleic)n(h)
n(ungssystems)f(b)r(estimmen)j(als)d(auc)n(h)h(den)h(L)2499
2322 y(\177)2499 2318 y(osungsraum)165 2417 y(eines)k(linearen)e
(homogenen)h(Gleic)n(h)n(ungssystems.)f(Damit)i(k)-5
b(ann)36 b(man)g(dann)h(nac)n(h)165 2517 y(Satz)28 b(6.1.2)e(die)i
(gesam)n(te)e(L)1050 2521 y(\177)1050 2517 y(osungsmenge)g(eines)i
(inhomogenen)f(Gleic)n(h)n(ungssystems)165 2617 y(bilden.)290
2816 y(Da)i(sic)n(h)f(der)h(\(Spalten-\)Rang)g(einer)f(Matrix)g(b)r(ei)
i(An)n(w)n(endung)f(des)f(Gau\031sc)n(hen)165 2916 y(Eliminationsv)n
(erfahrens)21 b(nic)n(h)n(t)1221 2920 y(\177)1221 2916
y(andern,)h(k)1560 2920 y(\177)1560 2916 y(onnen)h(wir)f(ihn)h(an)g
(der)f(zugeh)2533 2920 y(\177)2533 2916 y(origen)f(Stu-)165
3015 y(fenmatrix)k(ablesen.)g(Der)g(Rang)g(einer)f(Stufenmatrix)i(ist)f
(ab)r(er)g(o\013en)n(bar)f(die)h(Anzahl)165 3115 y(der)39
b(Stufen.Durc)n(h)h(Addition)f(geeigneter)f(Vielfac)n(her)g(der)h
(ersten)f(Spalte)h(zu)g(den)165 3214 y(anderen)f(Spalten)h(k)845
3218 y(\177)845 3214 y(onnen)f(wir)g(in)h(den)f(anderen)g(Spalten)h(an)
f(erster)f(Stelle)i(Nul-)165 3314 y(len)33 b(erhalten.)g(Eb)r(enso)f
(erhalten)h(wir)f(durc)n(h)h(Addition)h(geeigneter)d(Vielfac)n(her)i
(der)165 3414 y(Spalte)c(der)f(zw)n(eiten)h(Stufe)g(auc)n(h)f(an)g(der)
h(zw)n(eiten)f(Stellen)h(lauten)g(Nullen.)g(So)f(wird)165
3513 y(jede)h(Spalte)f(en)n(t)n(w)n(eder)f(der)g(Nullv)n(ektor)g(o)r
(der)h(ein)g(Einheitsv)n(ektor.)f(Durc)n(h)g(Umk)n(eh-)165
3613 y(ren)33 b(dieses)g(V)-7 b(erfahrens)32 b(sieh)n(t)h(man,)g
(da\031)g(alle)f(Spalten)i(Lineark)n(om)n(binationen)d(der)165
3713 y(Stufen)e(sind,)f(die)g(selbst)f(linear)g(unabh)1447
3717 y(\177)1447 3713 y(angig)f(sind.)i(Wir)g(erhalten)f(also)165
3879 y Fq(Satz)33 b(6.2.8)40 b Fp(Der)c(\(Sp)l(alten-\)R)l(ang)g(einer)
g(Matrix)47 b Fr(M)e Fp(ist)36 b(die)i(A)n(nzahl)e(der)h(Stufen)165
3978 y(einer)d(aus)39 b Fr(M)j Fp(dur)l(ch)33 b(das)h(Gau\031sche)f
(Eliminationsverfahr)l(en)j(erhaltenen)d(Stufen-)165
4078 y(matrix.)165 4244 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(6.2.9)40
b Fp(Eine)e(quadr)l(atische)45 b Ft(\()p Fr(n)25 b Fo(\002)e
Fr(n)p Ft(\))p Fp(-Matrix)38 b(ist)g(genau)f(dann)h(inver-)165
4344 y(tierb)l(ar,)31 b(wenn)f(ein)g(zugeh)1011 4348
y(\177)1012 4344 y(orige)h(Stufenmatrix)39 b Fr(n)29
b Fp(Stufen)g(hat.)165 4518 y(Beweis.)44 b Ft(Dann)28
b(hat)f(n)900 4522 y(\177)900 4518 y(amlic)n(h)g(die)h(Stufenmatrix)g
(den)g(Rang)f Fr(n)p Ft(.)p eop end
%%Page: 202 63
TeXDict begin 202 62 bop 165 100 a Fn(202)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Fq(Satz)33 b(6.2.10)40 b Fp(Je)l(de)d(elementar)l(e)g
(Zeilenumformung)g(\(und)g(damit)g(je)l(de)h(F)-6 b(olge)38
b(von)165 382 y(elementar)l(en)24 b(Zeilenumformungen\))g(an)f(einer)h
(Matrix)34 b Fr(M)e Fp(ist)24 b(Er)l(gebnis)g(einer)g(Mul-)165
482 y(tiplikation)29 b(von)e(links)g(mit)g(einer)g(r)l(e)l(gul)1429
486 y(\177)1430 482 y(ar)l(en)f(Matrix)37 b Fr(U)9 b
Fp(,)27 b(genannt)f(Umformungsma-)165 581 y(trix.)165
725 y(Beweis.)44 b Ft(Jede)21 b(elemen)n(tare)f(Zeilen)n(umform)n(ung)g
(an)h(einer)g(Matrix)g Fr(M)30 b Ft(k)-5 b(ann)21 b(b)r(esc)n(hrie-)165
825 y(b)r(en)31 b(w)n(erden)e(durc)n(h)g(Multiplik)-5
b(ation)31 b(mit)f(einer)g(Matrix)f Fr(U)2091 837 y Fk(i)2148
825 y Ft(auf)h Fr(M)39 b Ft(v)n(on)29 b(links.)g(Das)165
925 y(geh)n(t)f(aus)f(den)g(folgenden)h(Matrizenpro)r(dukten)f(herv)n
(or.)554 1018 y Fj(0)554 1164 y(B)554 1214 y(B)554 1264
y(B)554 1314 y(B)554 1363 y(B)554 1417 y(@)640 1077 y
Ft(1)83 b Fr(:)14 b(:)g(:)86 b Ft(0)g Fr(:)14 b(:)g(:)83
b Ft(0)650 1143 y(.)650 1177 y(.)650 1210 y(.)957 1143
y(.)957 1177 y(.)957 1210 y(.)1265 1143 y(.)1265 1177
y(.)1265 1210 y(.)640 1309 y(0)g Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\025)g(:)14
b(:)g(:)83 b Ft(0)650 1376 y(.)650 1410 y(.)650 1443
y(.)957 1376 y(.)957 1410 y(.)957 1443 y(.)1265 1376
y(.)1265 1410 y(.)1265 1443 y(.)640 1542 y(0)g Fr(:)14
b(:)g(:)86 b Ft(0)g Fr(:)14 b(:)g(:)83 b Ft(1)1311 1018
y Fj(1)1311 1164 y(C)1311 1214 y(C)1311 1264 y(C)1311
1314 y(C)1311 1363 y(C)1311 1417 y(A)1403 1309 y Fo(\001)1444
1018 y Fj(0)1444 1164 y(B)1444 1214 y(B)1444 1264 y(B)1444
1314 y(B)1444 1363 y(B)1444 1417 y(@)1543 1064 y Fr(\013)1596
1076 y Fl(11)1763 1064 y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\013)2009
1076 y Fl(1)p Fk(n)1594 1143 y Ft(.)1594 1177 y(.)1594
1210 y(.)2010 1143 y(.)2010 1177 y(.)2010 1210 y(.)1548
1309 y Fr(\013)1601 1321 y Fk(i)p Fl(1)1763 1309 y Fr(:)14
b(:)g(:)100 b(\013)2013 1321 y Fk(in)1594 1389 y Ft(.)1594
1422 y(.)1594 1455 y(.)2010 1389 y(.)2010 1422 y(.)2010
1455 y(.)1531 1555 y Fr(\013)1584 1567 y Fk(m)p Fl(1)1763
1555 y Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\013)1996 1567 y Fk(mn)2114
1018 y Fj(1)2114 1164 y(C)2114 1214 y(C)2114 1264 y(C)2114
1314 y(C)2114 1363 y(C)2114 1417 y(A)2209 1309 y Ft(=)23
b Fr(U)2354 1321 y Fl(1)2409 1309 y Fo(\001)c Fr(M)1119
1944 y Ft(=)1207 1653 y Fj(0)1207 1799 y(B)1207 1849
y(B)1207 1899 y(B)1207 1948 y(B)1207 1998 y(B)1207 2051
y(@)1313 1699 y Fr(\013)1366 1711 y Fl(11)1539 1699 y
Fr(:)14 b(:)g(:)102 b(\013)1791 1711 y Fl(1)p Fk(n)1363
1778 y Ft(.)1363 1811 y(.)1363 1845 y(.)1792 1778 y(.)1792
1811 y(.)1792 1845 y(.)1293 1944 y Fr(\025\013)1394 1956
y Fk(i)p Fl(1)1539 1944 y Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\025\013)1820
1956 y Fk(in)1363 2024 y Ft(.)1363 2057 y(.)1363 2090
y(.)1792 2024 y(.)1792 2057 y(.)1792 2090 y(.)1300 2190
y Fr(\013)1353 2202 y Fk(m)p Fl(1)1539 2190 y Fr(:)14
b(:)g(:)89 b(\013)1778 2202 y Fk(mn)1903 1653 y Fj(1)1903
1799 y(C)1903 1849 y(C)1903 1899 y(C)1903 1948 y(C)1903
1998 y(C)1903 2051 y(A)165 2308 y Ft(Die)39 b(zur)e(Multiplik)-5
b(ation)39 b(v)n(on)e(links)g(v)n(erw)n(endete)g(Matrix)g
Fr(U)2194 2320 y Fl(1)2269 2308 y Ft(hat)h(Einsen)f(in)i(der)165
2408 y(Diagonalen)22 b(bis)i(auf)f(den)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)g
Fr(\014)1548 2420 y Fk(ii)1622 2408 y Ft(=)g Fr(\025)p
Ft(,)h(ist)f(also)f(v)n(on)h(der)g(F)-7 b(orm)23 b Fr(E)2645
2420 y Fk(n)2700 2408 y Ft(+)10 b(\()p Fr(\025)g Fo(\000)165
2507 y Ft(1\))p Fr(E)300 2519 y Fk(ii)352 2507 y Ft(,)32
b(w)n(ob)r(ei)f(allgemein)h Fr(E)1081 2519 y Fk(n)1158
2507 y Ft(die)g(Einheitsmatrix)f(und)i Fr(E)2099 2519
y Fk(ij)2190 2507 y Ft(eine)f(mit)g(Nullen)h(und)165
2607 y(einem)25 b(Ko)r(e\016zien)n(ten)g(1)f(an)g(der)h(Stelle)g(\()p
Fr(i;)14 b(j)5 b Ft(\))24 b(b)r(esetzte)i(Matrix)e(b)r(ezeic)n(hnen.)g
(Die)i(zur)165 2707 y(Multiplik)-5 b(ation)28 b(v)n(erw)n(endete)f
(Matrix)g(hat)g Fr(E)1626 2719 y Fk(n)1690 2707 y Ft(+)17
b(\()p Fr(\025)1852 2676 y Fi(\000)p Fl(1)1960 2707 y
Fo(\000)h Ft(1\))p Fr(E)2178 2719 y Fk(ii)2257 2707 y
Ft(als)27 b(in)n(v)n(erse)f(Matrix.)165 2806 y(Sie)i(ist)g(daher)f(in)n
(v)n(ertierbar)e(und)j(hei\031t)g Fp(Elementarmatrix)i(erster)f(A)n(rt)
p Ft(.)290 2906 y(W)-7 b(eiter)28 b(ist)402 3012 y Fj(0)402
3158 y(B)402 3208 y(B)402 3258 y(B)402 3307 y(B)402 3357
y(B)402 3407 y(B)402 3457 y(B)402 3507 y(B)402 3557 y(B)402
3610 y(@)488 3054 y Ft(1)83 b Fr(:)14 b(:)g(:)207 b(:)14
b(:)g(:)214 b(:)14 b(:)g(:)83 b Ft(0)497 3120 y(.)497
3154 y(.)497 3187 y(.)1418 3120 y(.)1418 3154 y(.)1418
3187 y(.)793 3286 y(1)f Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\025)497
3353 y Ft(.)497 3387 y(.)497 3420 y(.)1110 3353 y(.)1110
3387 y(.)1110 3420 y(.)1418 3353 y(.)1418 3387 y(.)1418
3420 y(.)1100 3519 y(1)497 3586 y(.)497 3619 y(.)497
3653 y(.)1418 3586 y(.)1418 3619 y(.)1418 3653 y(.)488
3752 y(0)g Fr(:)14 b(:)g(:)207 b(:)14 b(:)g(:)214 b(:)14
b(:)g(:)83 b Ft(1)1464 3012 y Fj(1)1464 3158 y(C)1464
3208 y(C)1464 3258 y(C)1464 3307 y(C)1464 3357 y(C)1464
3407 y(C)1464 3457 y(C)1464 3507 y(C)1464 3557 y(C)1464
3610 y(A)1555 3403 y Fo(\001)1596 2987 y Fj(0)1596 3133
y(B)1596 3183 y(B)1596 3233 y(B)1596 3283 y(B)1596 3332
y(B)1596 3382 y(B)1596 3432 y(B)1596 3482 y(B)1596 3532
y(B)1596 3581 y(B)1596 3635 y(@)1696 3029 y Fr(\013)1749
3041 y Fl(11)1915 3029 y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\013)2161
3041 y Fl(1)p Fk(n)1746 3109 y Ft(.)1746 3142 y(.)1746
3175 y(.)2162 3109 y(.)2162 3142 y(.)2162 3175 y(.)1700
3275 y Fr(\013)1753 3287 y Fk(i)p Fl(1)1915 3275 y Fr(:)14
b(:)g(:)101 b(\013)2166 3287 y Fk(in)1746 3354 y Ft(.)1746
3387 y(.)1746 3420 y(.)2162 3354 y(.)2162 3387 y(.)2162
3420 y(.)1697 3520 y Fr(\013)1750 3532 y Fk(j)s Fl(1)1915
3520 y Fr(:)14 b(:)g(:)97 b(\013)2162 3532 y Fk(j)s(n)1746
3611 y Ft(.)1746 3644 y(.)1746 3677 y(.)2162 3611 y(.)2162
3644 y(.)2162 3677 y(.)1683 3777 y Fr(\013)1736 3789
y Fk(m)p Fl(1)1915 3777 y Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\013)2148
3789 y Fk(mn)2266 2987 y Fj(1)2266 3133 y(C)2266 3183
y(C)2266 3233 y(C)2266 3283 y(C)2266 3332 y(C)2266 3382
y(C)2266 3432 y(C)2266 3482 y(C)2266 3532 y(C)2266 3581
y(C)2266 3635 y(A)2362 3403 y Ft(=)22 b Fr(U)2506 3415
y Fl(2)2562 3403 y Fo(\001)c Fr(M)874 4303 y Ft(=)962
3862 y Fj(0)962 4008 y(B)962 4058 y(B)962 4108 y(B)962
4157 y(B)962 4207 y(B)962 4257 y(B)962 4307 y(B)962 4357
y(B)962 4406 y(B)962 4456 y(B)962 4506 y(B)962 4559 y(@)1179
3923 y Fr(\013)1232 3935 y Fl(11)1516 3923 y Fr(:)c(:)g(:)218
b(\013)1884 3935 y Fl(1)p Fk(n)1229 4003 y Ft(.)1229
4036 y(.)1229 4069 y(.)1885 4003 y(.)1885 4036 y(.)1885
4069 y(.)1048 4169 y Fr(\013)1101 4181 y Fk(i)p Fl(1)1181
4169 y Ft(+)18 b Fr(\025\013)1365 4181 y Fk(j)s Fl(1)1516
4169 y Fr(:)c(:)g(:)83 b(\013)1749 4181 y Fk(in)1836
4169 y Ft(+)18 b Fr(\025\013)2020 4181 y Fk(j)s(n)1229
4259 y Ft(.)1229 4293 y(.)1229 4326 y(.)1885 4259 y(.)1885
4293 y(.)1885 4326 y(.)1180 4425 y Fr(\013)1233 4437
y Fk(j)s Fl(1)1516 4425 y Fr(:)c(:)g(:)219 b(\013)1885
4437 y Fk(j)s(n)1229 4516 y Ft(.)1229 4549 y(.)1229 4582
y(.)1885 4516 y(.)1885 4549 y(.)1885 4582 y(.)1166 4682
y Fr(\013)1219 4694 y Fk(m)p Fl(1)1516 4682 y Fr(:)14
b(:)g(:)205 b(\013)1871 4694 y Fk(mn)2111 3862 y Fj(1)2111
4008 y(C)2111 4058 y(C)2111 4108 y(C)2111 4157 y(C)2111
4207 y(C)2111 4257 y(C)2111 4307 y(C)2111 4357 y(C)2111
4406 y(C)2111 4456 y(C)2111 4506 y(C)2111 4559 y(A)2197
4303 y Fr(:)p eop end
%%Page: 203 64
TeXDict begin 203 63 bop 1288 100 a Fn(6.2)42 b(Das)26
b(Gau\031sc)n(he)h(Eliminationsv)n(erfahren)153 b(203)165
282 y Ft(Die)39 b(zur)e(Multiplik)-5 b(ation)39 b(v)n(on)e(links)g(v)n
(erw)n(endete)g(Matrix)g Fr(U)2194 294 y Fl(2)2269 282
y Ft(hat)h(Einsen)f(in)i(der)165 382 y(Diagonalen)30
b(und)h(einen)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)f Fr(\014)1538 394
y Fk(ij)1625 382 y Ft(=)d Fr(\025)k Ft(mit)h Fr(i)c Fo(6)p
Ft(=)f Fr(j)5 b Ft(.)31 b(Alle)g(anderen)f(Ko)r(e\016-)165
482 y(zien)n(ten)g(sind)f(Null.)i(Diese)e(Matrix,)g(die)h(man)f(als)g
Fr(E)1870 494 y Fk(n)1935 482 y Ft(+)19 b Fr(\025E)2128
494 y Fk(ij)2217 482 y Ft(sc)n(hreib)r(en)29 b(k)-5 b(ann,)29
b(hat)165 581 y(als)f(In)n(v)n(erse)f Fr(E)635 593 y
Fk(n)699 581 y Fo(\000)18 b Fr(\025E)891 593 y Fk(ij)979
581 y Ft(und)28 b(ist)h(damit)f(in)n(v)n(ertierbar.)e(Sie)j(hei\031t)f
Fp(Elementarmatrix)165 681 y(zweiter)j(A)n(rt)p Ft(.)290
805 y(Sc)n(hlie\031lic)n(h)c(ist)405 942 y Fj(0)405 1088
y(B)405 1138 y(B)405 1187 y(B)405 1237 y(B)405 1287 y(B)405
1337 y(B)405 1387 y(B)405 1436 y(B)405 1486 y(B)405 1539
y(@)492 983 y Ft(1)82 b Fr(:)14 b(:)g(:)208 b(:)14 b(:)g(:)207
b(:)14 b(:)g(:)83 b Ft(0)501 1050 y(.)501 1083 y(.)501
1117 y(.)1414 1050 y(.)1414 1083 y(.)1414 1117 y(.)796
1216 y(0)g Fr(:)14 b(:)g(:)82 b Ft(1)501 1283 y(.)501
1316 y(.)501 1349 y(.)805 1283 y(.)805 1316 y(.)805 1349
y(.)1110 1283 y(.)1110 1316 y(.)1110 1349 y(.)1414 1283
y(.)1414 1316 y(.)1414 1349 y(.)796 1449 y(1)h Fr(:)14
b(:)g(:)82 b Ft(0)501 1516 y(.)501 1549 y(.)501 1582
y(.)1414 1516 y(.)1414 1549 y(.)1414 1582 y(.)492 1682
y(0)g Fr(:)14 b(:)g(:)208 b(:)14 b(:)g(:)207 b(:)14 b(:)g(:)83
b Ft(1)1460 942 y Fj(1)1460 1088 y(C)1460 1138 y(C)1460
1187 y(C)1460 1237 y(C)1460 1287 y(C)1460 1337 y(C)1460
1387 y(C)1460 1436 y(C)1460 1486 y(C)1460 1539 y(A)1551
1333 y Fo(\001)1593 917 y Fj(0)1593 1063 y(B)1593 1113
y(B)1593 1162 y(B)1593 1212 y(B)1593 1262 y(B)1593 1312
y(B)1593 1362 y(B)1593 1411 y(B)1593 1461 y(B)1593 1511
y(B)1593 1564 y(@)1692 959 y Fr(\013)1745 971 y Fl(11)1912
959 y Fr(:)14 b(:)g(:)95 b(\013)2157 971 y Fl(1)p Fk(n)1742
1038 y Ft(.)1742 1071 y(.)1742 1105 y(.)2159 1038 y(.)2159
1071 y(.)2159 1105 y(.)1697 1204 y Fr(\013)1750 1216
y Fk(i)p Fl(1)1912 1204 y Fr(:)14 b(:)g(:)100 b(\013)2162
1216 y Fk(in)1742 1284 y Ft(.)1742 1317 y(.)1742 1350
y(.)2159 1284 y(.)2159 1317 y(.)2159 1350 y(.)1693 1450
y Fr(\013)1746 1462 y Fk(j)s Fl(1)1912 1450 y Fr(:)14
b(:)g(:)97 b(\013)2159 1462 y Fk(j)s(n)1742 1540 y Ft(.)1742
1573 y(.)1742 1607 y(.)2159 1540 y(.)2159 1573 y(.)2159
1607 y(.)1679 1706 y Fr(\013)1732 1718 y Fk(m)p Fl(1)1912
1706 y Fr(:)14 b(:)g(:)82 b(\013)2144 1718 y Fk(mn)2263
917 y Fj(1)2263 1063 y(C)2263 1113 y(C)2263 1162 y(C)2263
1212 y(C)2263 1262 y(C)2263 1312 y(C)2263 1362 y(C)2263
1411 y(C)2263 1461 y(C)2263 1511 y(C)2263 1564 y(A)2358
1333 y Ft(=)23 b Fr(U)2503 1345 y Fl(3)2558 1333 y Fo(\001)c
Fr(M)1114 2254 y Ft(=)1201 1838 y Fj(0)1201 1985 y(B)1201
2034 y(B)1201 2084 y(B)1201 2134 y(B)1201 2184 y(B)1201
2234 y(B)1201 2283 y(B)1201 2333 y(B)1201 2383 y(B)1201
2433 y(B)1201 2486 y(@)1301 1881 y Fr(\013)1354 1893
y Fl(11)1520 1881 y Fr(:)14 b(:)g(:)96 b(\013)1766 1893
y Fl(1)p Fk(n)1351 1960 y Ft(.)1351 1993 y(.)1351 2026
y(.)1767 1960 y(.)1767 1993 y(.)1767 2026 y(.)1302 2126
y Fr(\013)1355 2138 y Fk(j)s Fl(1)1520 2126 y Fr(:)14
b(:)g(:)97 b(\013)1767 2138 y Fk(j)s(n)1351 2217 y Ft(.)1351
2250 y(.)1351 2283 y(.)1767 2217 y(.)1767 2250 y(.)1767
2283 y(.)1306 2383 y Fr(\013)1359 2395 y Fk(i)p Fl(1)1520
2383 y Fr(:)14 b(:)g(:)101 b(\013)1771 2395 y Fk(in)1351
2462 y Ft(.)1351 2495 y(.)1351 2528 y(.)1767 2462 y(.)1767
2495 y(.)1767 2528 y(.)1288 2628 y Fr(\013)1341 2640
y Fk(m)p Fl(1)1520 2628 y Fr(:)14 b(:)g(:)83 b(\013)1753
2640 y Fk(mn)1871 1838 y Fj(1)1871 1985 y(C)1871 2034
y(C)1871 2084 y(C)1871 2134 y(C)1871 2184 y(C)1871 2234
y(C)1871 2283 y(C)1871 2333 y(C)1871 2383 y(C)1871 2433
y(C)1871 2486 y(A)1958 2254 y Fr(:)165 2765 y Ft(Die)39
b(zur)e(Multiplik)-5 b(ation)39 b(v)n(on)e(links)g(v)n(erw)n(endete)g
(Matrix)g Fr(U)2194 2777 y Fl(3)2269 2765 y Ft(hat)h(Einsen)f(in)i(der)
165 2864 y(Diagonalen)c(und)h(Nullen)h(an)f(allen)f(anderen)g(Stellen)i
(mit)f(Ausnahme)g(v)n(on)g Fr(\014)2777 2876 y Fk(ii)2865
2864 y Ft(=)165 2964 y Fr(\014)212 2976 y Fk(j)s(j)302
2964 y Ft(=)24 b(0)k(und)h Fr(\014)675 2976 y Fk(ij)758
2964 y Ft(=)24 b Fr(\014)894 2976 y Fk(j)s(i)977 2964
y Ft(=)g(1)k(f)1163 2968 y(\177)1161 2964 y(ur)g(ein)h(P)n(aar)d
Fr(i)e Fo(6)p Ft(=)g Fr(j)5 b Ft(.)28 b(Diese)h(Matrix)e(ist)i(zu)f
(sic)n(h)g(selbst)165 3064 y(in)n(v)n(ers)f(und)h(hei\031t)f
Fp(Elementarmatrix)j(dritter)g(A)n(rt)p Ft(.)290 3188
y(Wir)h(hab)r(en)f(also)g(gesehen,)g(da\031)g(man)g(elemen)n(tare)g
(Zeilen)n(umform)n(ungen)g(durc)n(h)165 3288 y(Multiplik)-5
b(ation)43 b(v)n(on)f(links)g(mit)g(gewissen)f(\(in)n(v)n
(ertierbaren\))g(Elemen)n(tarmatrizen)165 3387 y(erzeugen)35
b(k)-5 b(ann.)37 b(Damit)f(k)-5 b(ann)36 b(auc)n(h)g(jede)g(F)-7
b(olge)36 b(v)n(on)f(elemen)n(taren)g(Zeilen)n(umfor-)165
3487 y(m)n(ungen)c(durc)n(h)g(Multiplik)-5 b(ation)31
b(mit)h(einer)e(regul)1807 3491 y(\177)1807 3487 y(aren)g(Matrix,)g
(dem)h(Pro)r(dukt)g(der)165 3587 y(Elemen)n(tarmatrizen,)26
b(b)r(esc)n(hrieb)r(en)i(w)n(erden.)165 3761 y Fq(Bemerkung)k(6.2.11)39
b Ft(W)-7 b(enn)43 b(wir)f(das)f(Gleic)n(h)n(ungssystem)g
Fr(M)c Fo(\001)28 b Fr(x)48 b Ft(=)f Fr(b)42 b Ft(auf)g(die)165
3861 y(ob)r(en)34 b(b)r(esc)n(hrieb)r(ene)f(W)-7 b(eise)33
b(gel)1208 3865 y(\177)1208 3861 y(ost)f(hab)r(en)i(und)g(ansc)n
(hlie\031end)e(ein)h(Gleic)n(h)n(ungssys-)165 3960 y(tem)21
b Fr(M)13 b Fo(\001)t Fr(x)23 b Ft(=)g Fr(c)d Ft(l)682
3964 y(\177)682 3960 y(osen)g(m)931 3964 y(\177)929 3960
y(ussen,)g(so)f(m)1332 3964 y(\177)1330 3960 y(ussen)i(wir)f(das)f
(gesam)n(te)g(Eliminationsv)n(erfahren)165 4060 y(neu)32
b(durc)n(hrec)n(hnen.)e(Es)g(lohn)n(t)i(sic)n(h)e(in)i(diesen)f(F)1779
4064 y(\177)1779 4060 y(allen)g(v)n(on)g(v)n(ornherein)e(eine)i(et)n(w)
n(as)165 4159 y(umfangreic)n(here)26 b(Umform)n(ung)h(v)n(orzunehmen.)g
(Wir)g(ersetzen)g(b)r(ei)h(der)f(Umform)n(ung)165 4259
y(in)35 b(Stufenform)h(die)f(Matrix)f(\()p Fr(M)t(;)14
b(b)p Ft(\))35 b(durc)n(h)f(die)h(Matrix)f(\()p Fr(M)t(;)14
b(E)2268 4271 y Fk(m)2331 4259 y Ft(\),)36 b(w)n(ob)r(ei)e
Fr(E)2725 4271 y Fk(m)2823 4259 y Ft(die)165 4359 y(Einheitsmatrix)28
b(ist.)h(Dann)h(formen)e(wir)h(diese)f(Matrix)g(auf)h(Stufenform)h(nac)
n(h)e(dem)165 4458 y(b)r(ek)-5 b(ann)n(ten)23 b(V)-7
b(erfahren)22 b(und)h(erhalten)f(eine)g(Matrix)g(der)g(F)-7
b(orm)22 b(\()p Fr(S;)14 b(A)p Ft(\).)23 b(Insb)r(esondere)165
4558 y(hat)30 b(die)g(Matrix)f Fr(S)34 b Ft(Stufenform.)c(Dab)r(ei)g
(steuert)f(der)1947 4541 y(\177)1937 4558 y(Ub)r(ergang)f(v)n(on)h
Fr(M)38 b Ft(auf)30 b Fr(S)k Ft(die)165 4658 y(W)-7 b(ahl)25
b(der)e(elemen)n(taren)g(Zeilen)n(umform)n(ungen,)g(und)i(diese)f
(wiederum)g(sc)n(ha\013en)f(eine)p eop end
%%Page: 204 65
TeXDict begin 204 64 bop 165 100 a Fn(204)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Ft(en)n(tsprec)n(hende)33 b(Umform)n(ung)f(v)n(on)h
Fr(E)1395 294 y Fk(m)1491 282 y Ft(auf)g Fr(A)p Ft(.)h(Da)f
Fr(A)g Ft(aus)g Fr(E)2204 294 y Fk(m)2300 282 y Ft(durc)n(h)g(elemen)n
(tare)165 382 y(Spalten)n(umform)n(ungen)27 b(herv)n(orgeh)n(t)e(und)j
Fr(E)1601 394 y Fk(m)1692 382 y Ft(regul)1873 386 y(\177)1873
382 y(ar)e(ist)h(\(also)g(v)n(om)g(Rang)f Fr(m)p Ft(\),)i(ist)165
482 y(auc)n(h)f Fr(A)h Ft(regul)632 486 y(\177)632 482
y(ar.)290 599 y(Die)f(so)f(gew)n(onnene)g(Matrix)g Fr(A)i
Ft(ist)f(die)g(im)g(v)n(orhergehenden)e(Satz)i(b)r(esc)n(hrieb)r(ene)
165 698 y(Umform)n(ungsmatrix.)32 b(Die)h(elemen)n(taren)f(Zeilen)n
(umform)n(ungen)g(v)n(on)g(\()p Fr(M)t(;)14 b(E)2676
710 y Fk(m)2739 698 y Ft(\))33 b(las-)165 798 y(sen)28
b(sic)n(h)f(n)519 802 y(\177)519 798 y(amlic)n(h)g(wie)h(folgt)f(b)r
(esc)n(hreib)r(en:)818 943 y Fr(U)g Fo(\001)19 b Ft(\()p
Fr(M)t(;)14 b(E)1159 955 y Fk(m)1222 943 y Ft(\))24 b(=)e(\()p
Fr(U)28 b Fo(\001)18 b Fr(M)t(;)c(U)28 b Fo(\001)18 b
Fr(E)1832 955 y Fk(m)1895 943 y Ft(\))24 b(=)e(\()p Fr(S;)14
b(A)p Ft(\))p Fr(;)165 1088 y Ft(w)n(oraus)26 b Fr(U)32
b Ft(=)23 b Fr(A)k Ft(folgt.)h(Insb)r(esondere)f(ist)g
Fr(S)h Ft(=)23 b Fr(A)18 b Fo(\001)h Fr(M)9 b Ft(.)290
1205 y(F)346 1209 y(\177)344 1205 y(ur)32 b(ein)g(b)r(eliebiges)g
(lineares)e(Gleic)n(h)n(ungssystem)h(der)h(F)-7 b(orm)31
b Fr(M)f Fo(\001)22 b Fr(x)30 b Ft(=)g Fr(b)i Ft(erh)2833
1209 y(\177)2833 1205 y(alt)165 1305 y(man)26 b(dann)f(die)g
(Zeilenstufenform)h(als)e Fr(S)19 b Fo(\001)14 b Fr(x)23
b Ft(=)g(\()p Fr(A)14 b Fo(\001)g Fr(M)9 b Ft(\))14 b
Fo(\001)g Fr(x)23 b Ft(=)g Fr(A)14 b Fo(\001)g Fr(b)p
Ft(.)25 b(W)-7 b(enn)26 b(man)f(also)165 1404 y(jetzt)g(die)f(Matrizen)
f Fr(S)28 b Ft(und)c Fr(A)g Ft(b)r(erec)n(hnet)g(hat,)f(gen)1827
1408 y(\177)1825 1404 y(ugt)h(es,)f(f)2112 1408 y(\177)2110
1404 y(ur)h(jede)g(W)-7 b(ahl)23 b(v)n(on)g Fr(b)h Ft(n)n(ur)165
1504 y Fr(A)19 b Fo(\001)g Fr(b)27 b Ft(zu)h(b)r(erec)n(hnen)f(und)h
Fr(S)23 b Fo(\001)c Fr(x)k Ft(=)g Fr(A)18 b Fo(\001)h
Fr(b)27 b Ft(durc)n(h)g(R)1775 1508 y(\177)1773 1504
y(uc)n(kw)1958 1508 y(\177)1958 1504 y(artssubstitution)g(zu)h(l)2693
1508 y(\177)2693 1504 y(osen.)178 1631 y Fq(\177)165
1647 y(Ubungen)k(6.2.12)81 b Ft(1.)41 b(Seien)d Fr(M)49
b Fo(2)40 b Fr(K)1536 1617 y Fk(n)1530 1668 y(m)1593
1647 y Fr(;)14 b(N)49 b Fo(2)40 b Fr(K)1918 1617 y Fk(m)1912
1668 y(n)2018 1647 y Ft(Matrizen)e(mit)g(der)f(Eigen-)313
1747 y(sc)n(haft)25 b Fr(M)e Fo(\001)14 b Fr(N)32 b Ft(=)22
b Fr(E)939 1759 y Fk(m)1003 1747 y Ft(.)j(Zeigen)g(Sie,)h(das)f
Fr(M)34 b Ft(Spaltenrang)24 b Fr(m)i Ft(und)f Fr(N)35
b Ft(Zeilenrang)313 1847 y Fr(m)28 b Ft(hat.)207 1946
y(2.)41 b(V)-7 b(erw)n(enden)36 b(Sie)h(da\031)e(Gau\031sc)n(he)h
(Eliminationsv)n(erfahren,)e(um)j(die)g(folgenden)313
2046 y(Gleic)n(h)n(ungssysteme)26 b(zu)i(l)1152 2050
y(\177)1152 2046 y(osen:)345 2146 y(a\))1341 2244 y(4)p
Fr(x)d Ft(+)g(4)p Fr(y)i Ft(+)d(4)p Fr(z)k Ft(=)47 b(24)1341
2344 y(2)p Fr(x)25 b Fo(\000)66 b Fr(y)28 b Ft(+)66 b
Fr(z)28 b Ft(=)c Fo(\000)p Ft(9)1383 2444 y Fr(x)h Fo(\000)g
Ft(2)p Fr(y)i Ft(+)d(3)p Fr(z)k Ft(=)89 b(1)341 2571
y(b\))1362 2670 y(2)p Fr(x)25 b Ft(+)f(2)p Fr(y)184 b
Ft(=)25 b Fo(\000)p Ft(2)1607 2770 y Fr(y)i Ft(+)e Fr(z)j
Ft(=)89 b(4)1404 2869 y Fr(x)224 b Ft(+)25 b Fr(z)j Ft(=)89
b(1)350 2997 y(c\))1274 3096 y Fr(x)25 b Ft(+)g(2)p Fr(y)225
b Fo(\000)66 b Fr(w)28 b Ft(=)89 b(3)1232 3195 y(2)p
Fr(x)225 b Ft(+)24 b(4)p Fr(z)k Ft(+)d(2)p Fr(w)i Ft(=)d
Fo(\000)p Ft(6)1274 3295 y Fr(x)h Ft(+)g(2)p Fr(y)i Fo(\000)66
b Fr(z)246 b Ft(=)89 b(6)1232 3395 y(2)p Fr(x)25 b Fo(\000)66
b Fr(y)28 b Ft(+)66 b Fr(z)28 b Ft(+)66 b Fr(w)28 b Ft(=)c
Fo(\000)p Ft(3)341 3522 y(d\))1286 3621 y Fr(x)h Ft(+)f(3)p
Fr(y)j Fo(\000)e Ft(2)p Fr(z)j Fo(\000)66 b Fr(w)27 b
Ft(=)131 b(9)1244 3721 y(2)p Fr(x)25 b Ft(+)f(4)p Fr(y)226
b Ft(+)24 b(2)p Fr(w)j Ft(=)89 b(10)1179 3821 y Fo(\000)p
Ft(3)p Fr(x)25 b Fo(\000)f Ft(5)p Fr(y)j Ft(+)e(2)p Fr(z)j
Fo(\000)66 b Fr(w)27 b Ft(=)e Fo(\000)p Ft(15)1286 3920
y Fr(x)g Fo(\000)66 b Fr(y)27 b Fo(\000)e Ft(3)p Fr(z)j
Ft(+)c(2)p Fr(w)j Ft(=)131 b(6)165 4205 y Fs(6.3)42 b(In)m(v)m(erse)c
(Matrizen,)g(die)g(LU-Zerlegung)h(und)f(die)165 4321
y(Piv)m(ot-Metho)s(de)165 4564 y Ft(In)27 b(diesem)f(Absc)n(hnitt)h
(sind)f(wir)g(an)g(quadratisc)n(hen)e(\()p Fr(n)16 b
Fo(\002)f Fr(n)p Ft(\)-Matrizen)26 b Fr(M)34 b Ft(und)27
b(den)165 4664 y(durc)n(h)20 b(sie)g(b)r(esc)n(hrieb)r(enen)g(Gleic)n
(h)n(ungssystemen)f Fr(M)12 b Fo(\001)s Fr(x)23 b Ft(=)g
Fr(a)d Ft(in)n(teressiert.)f(Nac)n(h)g(6.2.9)p eop end
%%Page: 205 66
TeXDict begin 205 65 bop 527 100 a Fn(6.3)43 b(In)n(v)n(erse)25
b(Matrizen,)i(die)e(LU-Zerlegung)h(und)f(die)g(Piv)n(ot-Metho)r(de)152
b(205)165 282 y Ft(ist)20 b(die)f(Matrix)f Fr(M)28 b
Ft(genau)19 b(dann)g(regul)1387 286 y(\177)1387 282 y(ar)e(o)r(der)i
(in)n(v)n(ertierbar,)e(w)n(enn)i(die)g(Stufenmatrix)165
382 y(zu)28 b Fr(M)36 b Ft(genau)27 b Fr(n)h Ft(Stufen)g(hat,)g(d.h.)g
(w)n(enn)f(sie)h(den)g(Rang)f Fr(n)g Ft(hat.)290 569
y(Wir)20 b(w)n(ollen)g(zun)829 573 y(\177)829 569 y(ac)n(hst)g(einen)h
(Algorithm)n(us)f(zur)g(Berec)n(hn)n(ung)f(der)h(In)n(v)n(ersen)g
(einer)165 669 y(Matrix)27 b(herleiten.)g(Dazu)h(v)n(er)1134
673 y(\177)1134 669 y(andern)d(wir)i(den)h(in)g(6.2.6)e(eingef)2216
673 y(\177)2214 669 y(uhrten)h(Algorithm)n(us)165 769
y Fo(E)44 b Ft(zu)36 b(einem)h(Algorithm)n(us)e Fo(J)15
b Ft(,)37 b(und)f(zw)n(ar)f(f)1642 773 y(\177)1640 769
y(ugen)h(wir)g(v)n(or)f(dem)h(Sc)n(hritt)h Fo(E)2667
781 y Fl(4)2740 769 y Ft(einen)165 868 y(w)n(eiteren)28
b(Sc)n(hritt)h(ein)f(und)h(erg)1185 872 y(\177)1185 868
y(anzen)e(den)i(Sc)n(hritt)f Fo(E)1897 880 y Fl(4)1934
868 y Ft(,)h(so)f(da\031)f(unsere)h(neuer)g(Algo-)165
968 y(rithm)n(us)g Fo(J)43 b Ft(aus)27 b(sec)n(hs)g(Sc)n(hritten)h(b)r
(esteh)n(t:)165 1125 y Fq(Algorithm)m(us)j(6.3.1)40 b(\()p
Fo(J)47 b Fq(zum)32 b(Gau\031-Jordan-V)-8 b(erfahren\))290
1225 y Fo(J)346 1237 y Fl(1)406 1225 y Ft(=)23 b Fo(E)538
1237 y Fl(1)575 1225 y Ft(,)111 b Fo(J)765 1237 y Fl(2)825
1225 y Ft(=)23 b Fo(E)957 1237 y Fl(2)994 1225 y Ft(,)111
b Fo(J)1184 1237 y Fl(3)1245 1225 y Ft(=)22 b Fo(E)1376
1237 y Fl(3)1413 1225 y Ft(,)290 1346 y Fo(J)346 1358
y Fl(4)383 1346 y Ft(:)28 b(Der)f(Ko)r(e\016zien)n(t)f
Fr(\013)1061 1358 y Fl(11)1159 1346 y Ft(in)h(der)g(ersten)f(Zeile)h
(und)g(ersten)g(Spalte)g(ist)g(v)n(on)g(Null)165 1446
y(v)n(ersc)n(hieden.)34 b(Wir)h(m)n(ultiplizieren)g(die)g(erste)f
(Zeile)g(der)h(Matrix)f(mit)h Fr(\013)2543 1410 y Fi(\000)p
Fl(1)2543 1468 y(11)2633 1446 y Ft(,)g(so)f(da\031)165
1545 y(n)n(unmehr)28 b(an)f(der)g(link)n(en)h(ob)r(eren)f(Ec)n(k)n(e)f
(der)h(Matrix)g(eine)h(Eins)f(steh)n(t.)290 1667 y Fo(J)346
1679 y Fl(5)383 1667 y Ft(:)g(In)g(der)g(so)f(erhaltenen)g(Matrix)g
(addieren)h(wir)f(das)g(\()p Fo(\000)p Fr(\013)2237 1679
y Fk(i)p Fl(1)2298 1667 y Ft(\)-fac)n(he)g(der)h(ersten)165
1767 y(Zeile)32 b(zur)g Fr(i)p Ft(-ten)f(Zeile)h(f)949
1771 y(\177)947 1767 y(ur)g(alle)g Fr(i)e Ft(=)g(2)p
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p Ft(.)32 b(Das)g(sind)g(elemen)n(tare)f
(Zeilen)n(umfor-)165 1866 y(m)n(ungen)39 b(zw)n(eiter)f(Art.)h(Dadurc)n
(h)f(erreic)n(hen)f(wir,)h(da\031)g(in)h(der)g(ersten)f(Spalte)h(der)
165 1966 y(V)-7 b(ektor)27 b(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)f
(;)h Ft(0\))846 1936 y Fk(t)903 1966 y Ft(steh)n(t.)290
2087 y Fo(J)346 2099 y Fl(6)383 2087 y Ft(:)37 b(Nac)n(h)f(rekursiv)n
(er)e(Durc)n(hf)1309 2091 y(\177)1307 2087 y(uhrung)i(der)g(Sc)n
(hritte)g Fo(J)2130 2099 y Fl(1)2167 2087 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g
Fo(J)2408 2099 y Fl(5)2482 2087 y Ft(erhalten)36 b(wir)165
2187 y(eine)20 b(Stufenmatrix)g(mit)h Fr(k)26 b Ft(:=)c(rg\()p
Fr(M)9 b Ft(\))20 b(Stufen,)h(die)f(auf)g(den)g(Stufen)h(die)f(Ko)r
(e\016zien)n(ten)165 2287 y Fr(\013)218 2299 y Fk(ij)268
2307 y Ff(i)325 2287 y Ft(=)25 b(1)k(hab)r(en.)g(Nunmehr)h(addieren)e
(wir)h(f)1636 2291 y(\177)1634 2287 y(ur)g(alle)f Fr(i)e
Ft(=)f Fr(k)s(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(1)29 b(\(also)f(r)2576
2291 y(\177)2574 2287 y(uc)n(kw)2759 2291 y(\177)2759
2287 y(arts\))165 2386 y(das)40 b(\()p Fo(\000)p Fr(\013)476
2398 y Fk(ij)534 2386 y Ft(\)-fac)n(he)f(der)h Fr(i)p
Ft(-ten)f(Zeile)h(zur)f Fr(j)5 b Ft(-ten)40 b(Zeile)f(f)2010
2390 y(\177)2008 2386 y(ur)h(alle)g Fr(j)48 b Ft(=)43
b(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(j)2742 2398 y Fk(i)2796
2386 y Fo(\000)27 b Ft(1)165 2486 y(und)39 b(erreic)n(hen)e(dadurc)n
(h,)g(da\031)g(auc)n(h)1436 2490 y(\177)1433 2486 y(ub)r(er)h(den)h
(mit)f(1)g(b)r(esetzten)g(Stufen)h(jew)n(eils)165 2585
y(Ko)r(e\016zien)n(ten)27 b(0)h(stehen.)f(Die)i(Matrix)e(hat)g(also)g
(die)g(F)-7 b(orm)707 2671 y Fj(0)707 2817 y(B)707 2867
y(B)707 2916 y(B)707 2966 y(B)707 3016 y(B)707 3066 y(B)707
3116 y(B)707 3166 y(B)707 3215 y(B)707 3265 y(B)707 3318
y(@)792 2732 y Ft(0)25 b Fr(:)14 b(:)g(:)24 b Ft(1)h
Fr(\013)1100 2747 y Fl(1\()p Fk(j)1186 2755 y Fg(1)1219
2747 y Fl(+1\))1358 2732 y Fr(:)14 b(:)g(:)25 b Ft(0)335
b Fr(:)14 b(:)g(:)25 b Ft(0)f Fr(:)14 b(:)g(:)27 b(\013)2222
2744 y Fl(1)p Fk(n)1480 2831 y Ft(1)d Fr(\013)1599 2846
y Fl(2\()p Fk(j)1685 2854 y Fg(2)1718 2846 y Fl(+1\))1857
2831 y Fr(:)14 b(:)g(:)25 b Ft(0)f Fr(:)14 b(:)g(:)27
b(\013)2222 2843 y Fl(2)p Fk(n)1988 2920 y Ft(.)1988
2953 y(.)1988 2986 y(.)2223 2920 y(.)2223 2953 y(.)2223
2986 y(.)1979 3086 y(1)d Fr(:)14 b(:)g(:)25 b(\013)2220
3098 y Fk(k)q(n)2214 3185 y Ft(0)2223 3274 y(.)2223 3307
y(.)2223 3340 y(.)2214 3440 y(0)2315 2671 y Fj(1)2315
2817 y(C)2315 2867 y(C)2315 2916 y(C)2315 2966 y(C)2315
3016 y(C)2315 3066 y(C)2315 3116 y(C)2315 3166 y(C)2315
3215 y(C)2315 3265 y(C)2315 3318 y(A)290 3604 y Ft(Der)j(hierf)617
3608 y(\177)615 3604 y(ur)f(not)n(w)n(endige)g(zus)1271
3608 y(\177)1271 3604 y(atzlic)n(he)g(Rec)n(henaufw)n(and)g(ist)h(dab)r
(ei)g(geringf)2757 3608 y(\177)2755 3604 y(ugig,)165
3704 y(insb)r(esondere,)g(da)g(b)r(ei)h(der)f(Bestimm)n(ung)h(der)f(L)
1753 3708 y(\177)1753 3704 y(osung)f(eines)i(linearen)e(Gleic)n(h)n
(ungs-)165 3803 y(systems)j(die)g(R)675 3807 y(\177)673
3803 y(uc)n(kw)858 3807 y(\177)858 3803 y(artssubstitution)f(v)n
(ereinfac)n(h)n(t)g(wird)h(zu)g(einer)f(einfac)n(hen)h(Sub-)165
3903 y(stitution)983 3998 y Fr(\030)1019 4010 y Fk(j)1046
4018 y Fg(1)1111 3998 y Ft(=)22 b Fr(\014)1245 4010 y
Fl(1)1301 3998 y Fo(\000)1588 3919 y Fj(X)1384 4101 y
Fk(j)s(>j)1493 4109 y Fg(1)1527 4101 y Fk(;j)s Fi(62f)p
Fk(j)1683 4109 y Fg(1)1716 4101 y Fk(;:::)o(;j)1842 4110
y Ff(k)1878 4101 y Fi(g)1912 3998 y Fr(\013)1965 4010
y Fl(1)p Fk(j)2033 3998 y Fr(\030)2069 4010 y Fk(j)983
4211 y Fr(\030)1019 4223 y Fk(j)1046 4231 y Fg(2)1111
4211 y Ft(=)g Fr(\014)1245 4223 y Fl(2)1301 4211 y Fo(\000)1588
4133 y Fj(X)1384 4315 y Fk(j)s(>j)1493 4323 y Fg(2)1527
4315 y Fk(;j)s Fi(62f)p Fk(j)1683 4323 y Fg(1)1716 4315
y Fk(;:::)o(;j)1842 4324 y Ff(k)1878 4315 y Fi(g)1912
4211 y Fr(\013)1965 4223 y Fl(2)p Fk(j)2033 4211 y Fr(\030)2069
4223 y Fk(j)1111 4396 y Ft(.)1111 4429 y(.)1111 4462
y(.)979 4579 y Fr(\030)1015 4591 y Fk(j)1042 4600 y Ff(k)1111
4579 y Ft(=)g Fr(\014)1245 4591 y Fk(k)1305 4579 y Fo(\000)1594
4501 y Fj(X)1388 4682 y Fk(j)s(>j)1497 4691 y Ff(k)1534
4682 y Fk(;j)s Fi(62f)p Fk(j)1690 4690 y Fg(1)1723 4682
y Fk(;:::)o(;j)1849 4691 y Ff(k)1886 4682 y Fi(g)1920
4579 y Fr(\013)1973 4591 y Fk(k)q(j)2044 4579 y Fr(\030)2080
4591 y Fk(j)p eop end
%%Page: 206 67
TeXDict begin 206 66 bop 165 100 a Fn(206)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)290
282 y Ft(Nac)n(h)525 265 y(\177)514 282 y(Ub)r(ergang)39
b(zur)g(Stufenform)i(mit)f(dem)g(Algorithm)n(us)f Fo(J)56
b Ft(b)r(eginnen)40 b(die)165 382 y(Stufen)33 b(jew)n(eils)e(mit)h(1.)f
(W)-7 b(eiter)31 b(sind)g(die)h(Spalten)n(v)n(ektoren)e(an)h(den)g
(Stufen)h(jew)n(eils)165 482 y(k)-5 b(anonisc)n(he)27
b(Einheitsv)n(ektoren.)290 669 y(W)-7 b(enn)38 b(wir)g(den)f(Algorithm)
n(us)g Fo(J)54 b Ft(n)n(un)38 b(auf)f(eine)h(Matrix)f(\()p
Fr(M)t(;)14 b(E)2458 681 y Fk(n)2504 669 y Ft(\))38 b(an)n(w)n(enden)
165 769 y(und)d Fr(M)43 b Ft(dab)r(ei)34 b(regul)873
773 y(\177)873 769 y(ar)e(ist,)i(dann)g(erhalten)g(wir)f(\()p
Fr(E)1911 781 y Fk(n)1957 769 y Fr(;)14 b(A)p Ft(\),)35
b(w)n(ob)r(ei)e(die)i(Stufenform)165 868 y Fr(S)f Ft(v)n(on)29
b Fr(M)37 b Ft(in)30 b(b)r(esonders)e(einfac)n(her)g(F)-7
b(orm)29 b(als)f(Einheitsmatrix)h(auftreten)g(m)n(u\031,)f(da)165
968 y Fr(M)33 b Ft(den)25 b(Rang)f Fr(n)g Ft(hat,)h(also)e(alle)h(k)-5
b(anonisc)n(hen)24 b(Einheitsv)n(ektoren)f(in)i(der)f(Stufenform)165
1068 y(auftreten.)32 b(W)-7 b(eiter)31 b(wissen)g(wir)g(aus)g(6.2.11,)f
(da\031)h Fr(E)1872 1080 y Fk(n)1946 1068 y Ft(=)e Fr(A)22
b Fo(\001)f Fr(M)40 b Ft(gilt,)31 b(so)g(da\031)f Fr(A)i
Ft(die)165 1167 y(in)n(v)n(erse)26 b(Matrix)h(zu)h Fr(M)36
b Ft(ist.)165 1324 y Fq(Algorithm)m(us)31 b(6.3.2)40
b(\(Algorithm)m(us)33 b(zur)j(Bestimm)m(ung)d(der)h(In)m(v)m(ersen)i
(ei-)165 1424 y(ner)d(Matrix\))e Ft(W)-7 b(enn)28 b Fr(M)37
b Ft(eine)28 b(regul)1397 1428 y(\177)1397 1424 y(are)f(Matrix)g(ist)i
(und)f(der)g(Algorithm)n(us)f Fo(J)44 b Ft(auf)165 1524
y(\()p Fr(M)t(;)14 b(E)380 1536 y Fk(n)426 1524 y Ft(\))28
b(angew)n(endet)f(wird,)g(so)g(erh)1366 1528 y(\177)1366
1524 y(alt)g(man)h(als)f(Ergebnis)f(\()p Fr(E)2236 1536
y Fk(n)2281 1524 y Fr(;)14 b(M)2408 1494 y Fi(\000)p
Fl(1)2497 1524 y Ft(\).)290 1681 y(Wir)27 b(hab)r(en)h(sogar)e
(allgemeiner)g(den)i(folgenden)f(Satz)h(b)r(ewiesen.)165
1838 y Fq(Satz)33 b(6.3.3)40 b Fp(Sei)31 b Fr(M)h Fp(eine)23
b(\(quadr)l(atische\))k Fr(n)s Fo(\002)s Fr(n)p Fp(-Matrix.)d(Die)f
(Matrix)33 b Fr(M)e Fp(ist)23 b(genau)165 1938 y(dann)42
b(invertierb)l(ar,)g(wenn)f(sie)h(dur)l(ch)f(elementar)l(e)g
(Zeilenumformungen)g(in)h(eine)165 2037 y(Einheitsmatrix)730
2041 y(\177)730 2037 y(ub)l(er)l(gef)979 2041 y(\177)979
2037 y(uhrt)31 b(wer)l(den)h(kann.)f(Ist)g(das)h(der)g(F)-6
b(al)t(l,)33 b(so)f(erh)2511 2041 y(\177)2512 2037 y(alt)g(man)f(die)
165 2137 y(inverse)i(Matrix)g(zu)39 b Fr(M)9 b Fp(,)32
b(indem)h(man)g(dieselb)l(en)g(Zeilenumformungen,)h(mit)e(denen)165
2237 y(man)k Fr(M)j Fp(in)29 b(die)i(Einheitsmatrix)1278
2241 y(\177)1278 2237 y(ub)l(erf)1455 2241 y(\177)1455
2237 y(uhrt,)e(auf)h(die)h(Einheitsmatrix)g(in)e(derselb)l(en)165
2336 y(R)l(eihenfolge)j(anwendet.)165 2496 y(Beweis.)44
b Ft(Die)21 b(Umform)n(ung)f(mit)h(elemen)n(taren)e(Zeilen)n(umform)n
(ungen)g(gesc)n(hieh)n(t)h(nac)n(h)165 2596 y(6.2.10)k(und)h(6.2.11)f
(immer)h(durc)n(h)f(Multiplik)-5 b(ation)26 b(mit)g(in)n(v)n
(ertierbaren)d(Matrizen)h Fr(U)165 2695 y Ft(v)n(on)29
b(links.)g(Es)g(gilt)g(also)g Fr(U)f Fo(\001)20 b Ft(\()p
Fr(M)t(;)14 b(E)1325 2707 y Fk(n)1370 2695 y Ft(\))27
b(=)e(\()p Fr(U)k Fo(\001)20 b Fr(M)t(;)14 b(U)28 b Fo(\001)20
b Fr(E)1991 2707 y Fk(n)2036 2695 y Ft(\))26 b(=)g(\()p
Fr(E)2278 2707 y Fk(n)2324 2695 y Fr(;)14 b(A)p Ft(\))30
b(genau)e(dann,)165 2795 y(w)n(enn)g Fr(U)f Fo(\001)19
b Fr(M)31 b Ft(=)23 b Fr(E)767 2807 y Fk(n)812 2795 y
Ft(,)28 b Fr(U)f Fo(\001)19 b Fr(E)1050 2807 y Fk(n)1118
2795 y Ft(=)k Fr(A)28 b Ft(ist,)g(also)e(w)n(enn)i Fr(A)23
b Ft(=)g Fr(U)31 b Ft(=)23 b Fr(M)2255 2765 y Fi(\000)p
Fl(1)2371 2795 y Ft(ist.)290 2955 y(Wir)j(hab)r(en)h(gesehen,)f(da\031)
f(man)h(elemen)n(tare)g(Zeilen)n(umform)n(ungen)f(durc)n(h)h(Mul-)165
3054 y(tiplik)-5 b(ation)27 b(v)n(on)e(links)g(mit)i(gewissen)e(\(in)n
(v)n(ertierbaren\))f(Elemen)n(tarmatrizen)g(erzeu-)165
3154 y(gen)36 b(k)-5 b(ann.)37 b(Da)g(sic)n(h)f(f)901
3158 y(\177)899 3154 y(ur)g(jede)h(in)n(v)n(ertierbare)d(Matrix)i
Fr(M)45 b Ft(die)37 b(Einheitsmatrix)f Fr(E)2884 3166
y Fk(n)165 3253 y Ft(durc)n(h)e(geeignete)f(elemen)n(tare)g(Zeilen)n
(umform)n(ungen)g(in)h(die)g(in)n(v)n(erse)f(Matrix)g
Fr(M)2840 3223 y Fi(\000)p Fl(1)168 3357 y Ft(\177)165
3353 y(ub)r(erf)356 3357 y(\177)354 3353 y(uhren)43 b(l)628
3357 y(\177)628 3353 y(a\031t,)e(erhalten)h(wir)g(mit)g(den)h(en)n
(tsprec)n(henden)e(Elemen)n(tarmatrizen)165 3453 y Fr(F)218
3465 y Fl(1)256 3453 y Fr(;)14 b(:::;)g(F)452 3465 y
Fk(r)523 3453 y Ft(die)34 b(Gleic)n(h)n(ung)f Fr(F)1110
3465 y Fl(1)1170 3453 y Fo(\001)23 b Fr(:)14 b(:)g(:)22
b Fo(\001)h Fr(F)1434 3465 y Fk(r)1493 3453 y Fo(\001)g
Fr(E)1600 3465 y Fk(n)1679 3453 y Ft(=)33 b Fr(M)1867
3423 y Fi(\000)p Fl(1)1989 3453 y Ft(o)r(der)g Fr(F)2235
3465 y Fl(1)2295 3453 y Fo(\001)23 b Fr(:)14 b(:)g(:)22
b Fo(\001)h Fr(F)2559 3465 y Fk(r)2629 3453 y Ft(=)33
b Fr(M)2817 3423 y Fi(\000)p Fl(1)2906 3453 y Fr(:)165
3552 y Ft(Da)e Fr(M)39 b Ft(die)31 b(in)n(v)n(erse)e(Matrix)h(v)n(on)f
Fr(M)1365 3522 y Fi(\000)p Fl(1)1485 3552 y Ft(ist,)h(k)1670
3556 y(\177)1670 3552 y(onnen)g(wir)g(auc)n(h)g Fr(M)40
b Ft(in)30 b(dieser)g(W)-7 b(eise)165 3652 y(sc)n(hreib)r(en)27
b(und)h(hab)r(en)g(gezeigt:)165 3809 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(6.3.4)40 b Fp(Je)l(de)e(invertierb)l(ar)l(e)h(Matrix)f(l)1836
3813 y(\177)1837 3809 y(a\031t)g(sich)g(als)h(Pr)l(o)l(dukt)f(von)g
(Ele-)165 3909 y(mentarmatrizen)30 b(darstel)t(len.)290
4066 y Ft(In)f(6.2.3)e(hab)r(en)i(wir)f(sc)n(hon)g(gesehen,)g(da\031)g
(sic)n(h)h(der)f(Spaltenrang)g(einer)g(Matrix)165 4166
y(b)r(ei)f(elemen)n(taren)e(Zeilen)n(umform)n(ungen)g(nic)n(h)n(t)1707
4170 y(\177)1707 4166 y(andert.)h(Er)2107 4170 y(\177)2107
4166 y(andert)g(sic)n(h)f(daher)h(auc)n(h)165 4265 y(nic)n(h)n(t)i(b)r
(ei)h(Multiplik)-5 b(ation)29 b(mit)f(einer)g(in)n(v)n(ertierbaren)e
(Matrix)h Fr(A)i Ft(v)n(on)e(links.)h(Da)g(die)165 4365
y(linearen)g(Abbildungen)987 4344 y Fj(d)971 4365 y Fr(M)9
b(A)23 b Ft(=)1245 4344 y Fj(c)1235 4365 y Fr(M)1344
4344 y Fj(b)1324 4365 y Fr(A)h Ft(:)g Fr(K)1528 4377
y Fk(m)1614 4365 y Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(K)1808 4377
y Fk(n)1881 4365 y Ft(und)2057 4344 y Fj(c)2047 4365
y Fr(M)32 b Ft(:)24 b Fr(K)2278 4377 y Fk(m)2364 4365
y Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(K)2558 4377 y Fk(n)2631 4365
y Ft(dasselb)r(e)165 4465 y(Bild)g(hab)r(en,)605 4469
y(\177)605 4465 y(andert)f(sic)n(h)g(der)g(Spaltenrang)f(v)n(on)h
Fr(M)32 b Ft(auc)n(h)22 b(nic)n(h)n(t)i(b)r(ei)g(Multiplik)-5
b(ation)165 4564 y(mit)35 b(einer)e(in)n(v)n(ertierbaren)f(Matrix)i
Fr(A)g Ft(v)n(on)f(rec)n(h)n(ts)g(bzw.)h(b)r(ei)g(elemen)n(taren)f
(Spalte-)165 4664 y(n)n(umform)n(ungen.)p eop end
%%Page: 207 68
TeXDict begin 207 67 bop 527 100 a Fn(6.3)43 b(In)n(v)n(erse)25
b(Matrizen,)i(die)e(LU-Zerlegung)h(und)f(die)g(Piv)n(ot-Metho)r(de)152
b(207)165 282 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(6.3.5)40 b Fp(Elementar)l(e)d
(Zeilen-)g(bzw.)h(Sp)l(altenumformungen)e(einer)i(Ma-)165
382 y(trix)43 b(lassen)h(der)l(en)g(\(Sp)l(alten-\)R)l(ang)e
(invariant.)j(Insb)l(esonder)l(e)f(ist)51 b Ft(rg\()p
Fr(AM)9 b(B)t Ft(\))49 b(=)165 482 y(rg)q(\()p Fr(M)9
b Ft(\))29 b Fp(f)449 486 y(\177)449 482 y(ur)h(invertierb)l(ar)l(e)h
(Matrizen)37 b Fr(A;)14 b(B)t Fp(.)290 641 y Ft(Man)41
b(ist)g(oft)h(daran)e(in)n(teressiert,)g(eine)h(Matrix)g(in)g(eine)g(b)
r(esonders)g(einfac)n(he)165 740 y(F)-7 b(orm)33 b(umzu)n(w)n(andeln.)g
(Dab)r(ei)g(m)n(u\031)g(nat)1495 744 y(\177)1493 740
y(urlic)n(h)f(die)h(Metho)r(de)g(f)2248 744 y(\177)2246
740 y(ur)h(die)f(Umform)n(ung)165 840 y(festgelegt)22
b(w)n(erden.)f(Ein)g(solc)n(he)g(b)r(esonders)f(einfac)n(he)i(F)-7
b(orm)21 b(nenn)n(t)h(man)g(h)2564 844 y(\177)2564 840
y(au\014g)f(auc)n(h)165 940 y(Normalform)27 b(der)g(Matrix.)165
1099 y Fq(Satz)33 b(6.3.6)40 b Fp(\(Normalformensatz\))204
1244 y(1.)i(Zu)29 b(je)l(der)i(Matrix)40 b Fr(M)e Fp(gibt)30
b(es)g(invertierb)l(ar)l(e)h(Matrizen)37 b Fr(A)30 b
Fp(und)38 b Fr(B)c Fp(mit)1248 1460 y Fr(M)e Ft(=)23
b Fr(A)1525 1343 y Fj(\022)1600 1411 y Fr(E)1661 1423
y Fk(i)1773 1411 y Ft(0)1623 1510 y(0)108 b(0)1829 1343
y Fj(\023)1904 1460 y Fr(B)t(:)313 1677 y Fp(Dab)l(ei)49
b(ist)55 b Fr(E)767 1689 y Fk(i)843 1677 y Fp(die)49
b(Einheitsmatrix)g(mit)56 b Fr(i)47 b Fp(Zeilen)i(und)e(Sp)l(alten)h
(und)56 b Fr(i)g Ft(=)313 1777 y(Rang)o(\()p Fr(M)9 b
Ft(\))p Fp(.)204 1876 y(2.)42 b(Je)l(de)e(Matrix)51 b
Fr(M)e Fp(l)955 1880 y(\177)956 1876 y(a\031t)40 b(sich)h(dur)l(ch)f
(elementar)l(e)h(Zeilen-)f(und)g(Sp)l(altenumfor-)313
2021 y(mungen)29 b(auf)h(die)h(F)-6 b(orm)1132 1904 y
Fj(\022)1207 1971 y Fr(E)1268 1983 y Fk(i)1381 1971 y
Ft(0)1231 2071 y(0)108 b(0)1436 1904 y Fj(\023)1527 2021
y Fp(bringen.)165 2229 y(Beweis.)44 b Ft(1.)34 b(Wir)h(fassen)f
Fr(M)44 b Ft(als)34 b(darstellende)g(Matrix)g(einer)h(linearen)f
(Abbildung)165 2329 y Fr(f)i Ft(:)26 b Fr(V)46 b Fo(\000)-48
b(!)26 b Fr(W)42 b Ft(b)r(ez)755 2333 y(\177)753 2329
y(uglic)n(h)30 b(fester)f(Basen)g(v)n(on)g Fr(V)49 b
Ft(bzw.)30 b Fr(W)42 b Ft(auf.)29 b(W)-7 b(enn)31 b(wir)e(eine)h(neue)
165 2429 y(Basisfamilie)19 b(f)643 2433 y(\177)641 2429
y(ur)h Fr(V)39 b Ft(w)887 2433 y(\177)887 2429 y(ahlen,)20
b(indem)g(wir)f(eine)h(Basisfamilie)f(durc)n(h)h(ein)g(Komplemen)n(t)
165 2528 y Fr(U)31 b Ft(v)n(on)21 b(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))22
b(legen)g(und)g(mit)h(einer)e(Basisfamilie)g(v)n(on)h(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))22 b(zu)h(einer)e(Basisfamilie)165 2628
y(v)n(on)36 b Fr(V)55 b Ft(v)n(erv)n(ollst)741 2632 y(\177)741
2628 y(andigen,)34 b(dann)i(ist)h(das)e(Bild)i(der)f(Basisfamilie)f(v)n
(on)g Fr(U)46 b Ft(un)n(ter)36 b Fr(f)165 2727 y Ft(aus)25
b(Dimensionsgr)803 2731 y(\177)801 2727 y(unden)g(eine)g(Basisfamilie)f
(v)n(on)h(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\).)25 b(W)-7 b(enn)26 b(wir)f(diese)g(zu)
h(einer)165 2827 y(Basisfamilie)d(v)n(on)g Fr(W)35 b
Ft(v)n(erv)n(ollst)1193 2831 y(\177)1193 2827 y(andigen,)21
b(dann)j(hat)f(die)h(darstellende)f(Matrix)g(v)n(on)g
Fr(f)165 2972 y Ft(b)r(ez)289 2976 y(\177)287 2972 y(uglic)n(h)29
b(dieser)g(neuen)g(Basisfamilien)f(die)i(F)-7 b(orm)1871
2855 y Fj(\022)1946 2922 y Fr(E)2007 2934 y Fk(i)2118
2922 y Ft(0)1970 3022 y(0)106 b(0)2173 2855 y Fj(\023)2264
2972 y Ft(mit)29 b Fr(i)d Ft(=)f(Rang)o(\()p Fr(M)9 b
Ft(\).)165 3117 y(Die)24 b(Basistransformationen)d(b)r(ewirk)n(en)h
(Multiplik)-5 b(ation)24 b(v)n(on)f(links)g(bzw.)g(rec)n(h)n(ts)g(mit)
165 3262 y(in)n(v)n(ertierbaren)j(Matrizen:)h Fr(M)32
b Ft(=)22 b Fr(A)1351 3145 y Fj(\022)1426 3212 y Fr(E)1487
3224 y Fk(i)1598 3212 y Ft(0)1450 3311 y(0)106 b(0)1654
3145 y Fj(\023)1728 3262 y Fr(B)t(:)290 3406 y Ft(2.)22
b(W)-7 b(egen)23 b(F)-7 b(olgerung)22 b(6.3.4)g(lassen)g(sic)n(h)g(die)
h(in)n(v)n(ertierbaren)e(Matrizen)h Fr(A)i Ft(und)f Fr(B)165
3506 y Ft(bzw.)29 b(ihre)f(In)n(v)n(ersen)f(als)h(Pro)r(dukte)f(v)n(on)
h(Elemen)n(tarmatrizen)f(sc)n(hreib)r(en,)h(die)g(dann)165
3606 y(en)n(tsprec)n(hende)f(Zeilen-)g(und)h(Spalten)n(umform)n(ungen)f
(b)r(ewirk)n(en.)290 3769 y(Man)c(k)-5 b(ann)24 b(die)g(Aussage)e(aus)i
(T)-7 b(eil)23 b(1.)h(des)f(Satzes)g(auc)n(h)g(so)g(ausdr)2395
3773 y(\177)2393 3769 y(uc)n(k)n(en:)g(zu)g(jeder)165
3868 y(Matrix)f Fr(M)31 b Ft(gibt)22 b(es)g(eine)g(eindeutig)h(b)r
(estimm)n(te)g(Zahl)e Fr(i)h Ft(und)h(in)n(v)n(ertierbare)d(Matrizen)
165 3968 y Fr(A)227 3938 y Fi(0)279 3968 y Ft(und)28
b Fr(B)512 3938 y Fi(0)535 3968 y Ft(,)g(so)f(da\031)g(gilt)1159
4113 y Fr(A)1221 4079 y Fi(0)1245 4113 y Fr(M)9 b(B)1402
4079 y Fi(0)1448 4113 y Ft(=)1535 3996 y Fj(\022)1610
4063 y Fr(E)1671 4075 y Fk(i)1782 4063 y Ft(0)1634 4163
y(0)106 b(0)1837 3996 y Fj(\023)1912 4113 y Fr(:)165
4305 y Ft(Insb)r(esondere)20 b(ist)g(die)g(Zahl)g Fr(i)j
Ft(=)f(rg\()p Fr(M)9 b Ft(\))21 b(durc)n(h)f(den)g(Spaltenrang)39
b(v)n(on)20 b Fr(M)29 b Ft(festgelegt.)165 4405 y(Da)24
b(die)f(Aussage)g(w)n(eder)f(v)n(on)h(Zeilen)g(no)r(c)n(h)g(v)n(on)g
(Spalten)g(abh)2143 4409 y(\177)2143 4405 y(angig)f(ist,)i(erhalten)f
(wir)165 4564 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(6.3.7)40 b Fp(Der)47
b(Zeilenr)l(ang)94 b(und)46 b(der)h(Sp)l(altenr)l(ang)g(einer)g(Matrix)
58 b Fr(M)165 4664 y Fp(stimmen)503 4668 y(\177)503 4664
y(ub)l(er)l(ein.)p eop end
%%Page: 208 69
TeXDict begin 208 68 bop 165 100 a Fn(208)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)290
282 y Ft(Sc)n(hon)32 b(in)i(der)e(Bemerkung)g(6.2.11)f(hab)r(en)i(wir)g
(die)g(Bedeutung)g(und)g(m)2682 286 y(\177)2682 282 y(oglic)n(he)165
382 y(An)n(w)n(endungen)g(der)f(Umform)n(ungsmatrix)f(erk)-5
b(ann)n(t.)32 b(Insb)r(esondere)g(hab)r(en)h(wir)f(ge-)165
482 y(sehen,)26 b(da\031)e(Umform)n(ungsmatrizen)g(immer)h(regul)1812
486 y(\177)1812 482 y(ar)f(und)i(damit)f(quadratisc)n(h)f(sind.)165
581 y(Wir)k(w)n(ollen)f(sie)g(et)n(w)n(as)g(systematisc)n(her)f
(einsetzen.)i(Dazu)f(de\014nieren)h(wir)165 747 y Fq(De\014nition)j
(6.3.8)40 b Ft(Eine)c(quadratisc)n(he)f(Matrix)g Fr(P)48
b Ft(hei\031t)37 b Fp(Permutationsmatrix)p Ft(,)165 847
y(w)n(enn)f(sie)g(sic)n(h)g(als)g(ein)g(Pro)r(dukt)g(v)n(on)f(Elemen)n
(tarmatrizen)g(des)h(T)n(yps)f Fr(U)2622 859 y Fl(3)2696
847 y Ft(sc)n(hrei-)165 946 y(b)r(en)i(l)356 950 y(\177)356
946 y(a\031t.)e(Eine)g(quadratisc)n(he)g(Matrix)g Fr(L)g
Ft(\(lo)n(w)n(er\))g(hei\031t)h Fp(unter)l(e)g(Dr)l(eie)l(cksmatrix)p
Ft(,)165 1046 y(w)n(enn)k(alle)g(Ko)r(e\016zien)n(ten)g
Fr(\013)1121 1058 y Fk(ij)1220 1046 y Ft(mit)h Fr(i)i(<)h(j)h
Ft(ob)r(erhalb)40 b(der)g(Hauptdiagonalen)f(der)165 1146
y(Matrix)32 b(Null)h(sind.)f(Eine)g(Matrix)g Fr(U)41
b Ft(\(upp)r(er\))33 b(hei\031t)f Fp(ob)l(er)l(e)j(Dr)l(eie)l
(cksmatrix)p Ft(,)d(w)n(enn)165 1245 y(alle)k(Ko)r(e\016zien)n(ten)f
Fr(\013)885 1257 y Fk(ij)979 1245 y Ft(mit)i Fr(i)f(>)g(j)41
b Ft(un)n(terhalb)35 b(der)g(Hauptdiagonalen)g(Null)h(sind.)165
1345 y(Eine)d(Matrix)f Fr(D)j Ft(hei\031t)e Fp(Diagonalmatrix)p
Ft(,)67 b(w)n(enn)33 b(sie)f(so)n(w)n(ohl)g(eine)g(ob)r(ere)h(als)f
(auc)n(h)165 1445 y(eine)g(un)n(tere)f(Dreiec)n(ksmatrix)f(ist,)i(d.h.)
g(w)n(enn)f(die)h(einzig)f(v)n(on)g(Null)h(v)n(ersc)n(hiedenen)165
1544 y(Ko)r(e\016zien)n(ten)27 b(auf)h(der)f(Hauptdiagonalen)g(liegen.)
290 1710 y(Wir)f(b)r(eac)n(h)n(ten,)g(da\031)f(f)1009
1714 y(\177)1007 1710 y(ur)h(eine)g(regul)1462 1714 y(\177)1462
1710 y(are)e(ob)r(ere)i(Dreiec)n(ksmatrix)e(alle)i(Ko)r(e\016zien-)165
1810 y(ten)g(auf)f(der)g(Hauptdiagonalen)f(v)n(on)g(Null)h(v)n(ersc)n
(hieden)f(sein)h(m)2233 1814 y(\177)2231 1810 y(ussen,)g(sonst)g(k)2729
1814 y(\177)2729 1810 y(onn)n(te)165 1910 y(man)e(sie)g(auf)g
(Stufenform)h(bringen,)e(b)r(ei)i(der)e(mindestens)i(eine)f(Stufe)h
(mehr)f(als)f(einen)165 2009 y(Sc)n(hritt)437 2058 y(")475
2009 y(einr)616 2013 y(\177)614 2009 y(uc)n(kt)-6 b(\\)6
b(,)24 b(w)n(as)g(f)1044 2013 y(\177)1042 2009 y(ur)h(eine)g(regul)1495
2013 y(\177)1495 2009 y(are)e(Matrix)h(nic)n(h)n(t)h(m)2178
2013 y(\177)2178 2009 y(oglic)n(h)f(ist,)h(denn)g(dann)165
2109 y(w)227 2113 y(\177)225 2109 y(urde)f(die)g(letzte)h(Zeile)f(der)f
(Nullv)n(ektor.)h(Damit)g(ist)h(eine)f(regul)2243 2113
y(\177)2243 2109 y(are)e(ob)r(ere)i(Dreiec)n(ks-)165
2208 y(matrix)j(auc)n(h)g(sc)n(hon)g(in)h(Stufenform)g(gegeb)r(en.)165
2374 y Fq(Lemma)k(6.3.9)40 b Fp(Das)30 b(Pr)l(o)l(dukt)g(von)h(zwei)g
(unter)l(en)e(Dr)l(eie)l(cksmatrizen)i(ist)f(eine)h(un-)165
2474 y(ter)l(e)f(Dr)l(eie)l(cksmatrix.)165 2648 y(Beweis.)44
b Ft(Wir)29 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)g(einen)h(Ko)r(e\016zien)n(ten)f(des)
g(Pro)r(dukts)g Fr(a)d Ft(:=)2478 2586 y Fj(P)2566 2607
y Fk(n)2566 2673 y(j)s Fl(=1)2699 2648 y Fr(\013)2752
2660 y Fk(ij)2810 2648 y Fr(\014)2857 2660 y Fk(j)s(k)165
2773 y Ft(f)192 2777 y(\177)190 2773 y(ur)34 b Fr(i)e(<)g(k)s
Ft(.)h(Da)g Fr(\013)754 2785 y Fk(ij)846 2773 y Ft(=)f(0)g(f)1044
2777 y(\177)1042 2773 y(ur)i Fr(i)e(<)g(j)38 b Ft(gilt,)c(ist)f
Fr(a)g Ft(=)1857 2711 y Fj(P)1944 2731 y Fk(i)1944 2798
y(j)s Fl(=1)2077 2773 y Fr(\013)2130 2785 y Fk(ij)2189
2773 y Fr(\014)2236 2785 y Fk(j)s(k)2307 2773 y Ft(.)h(Da)f
Fr(\014)2549 2785 y Fk(j)s(k)2653 2773 y Ft(=)f(0)h(f)2852
2777 y(\177)2850 2773 y(ur)165 2898 y Fr(j)28 b(<)23
b(k)30 b Ft(gilt,)c(ist)h Fr(a)c Ft(=)827 2836 y Fj(P)915
2856 y Fk(i)915 2923 y(j)s Fl(=)p Fk(k)1051 2898 y Fr(\013)1104
2910 y Fk(ij)1163 2898 y Fr(\014)1210 2910 y Fk(j)s(k)1281
2898 y Ft(.)k(W)-7 b(egen)27 b Fr(j)h(<)22 b(k)30 b Ft(sind)d(also)f(k)
n(eine)g(Summanden)h(zu)165 2997 y(addieren,)g(und)h(es)g(folgt)f
Fr(a)c Ft(=)g(0.)290 3172 y(F)346 3176 y(\177)344 3172
y(ur)h Fr(\025)g Fo(2)f Fr(K)30 b Ft(b)r(ezeic)n(hne)25
b Fr(U)1126 3184 y Fk(ij)1184 3172 y Ft(\()p Fr(\025)p
Ft(\))h(die)e(Umform)n(ungsmatrix,)g(die)g(die)h(Addition)g(des)165
3271 y Fr(\025)p Ft(-fac)n(hen)h(der)f Fr(j)5 b Ft(-ten)25
b(Zeile)g(zur)g Fr(i)p Ft(-ten)g(Zeile)h(induziert.)f(Nac)n(h)g(den)
2323 3254 y(\177)2313 3271 y(Ub)r(erlegungen)g(im)165
3371 y(Bew)n(eis)d(v)n(on)g(6.2.10)e(ist)j Fr(U)988 3383
y Fk(ij)1046 3371 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))h(dann)e(eine)g
(Einheitsmatrix)g(mit)h(einem)g(zus)2609 3375 y(\177)2609
3371 y(atzlic)n(hen)165 3471 y(Ein)n(trag)38 b Fr(\025)i
Ft(in)g(der)f Fr(i)p Ft(-Zeile)g(und)h Fr(j)5 b Ft(-ten)39
b(Spalte.)h(W)-7 b(eiter)40 b(b)r(ezeic)n(hnen)f(wir)g(mit)i
Fr(P)2867 3483 y Fk(k)q(l)165 3570 y Ft(die)29 b(Umform)n(ungsmatrix,)d
(die)j(die)f(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)27 b(der)h Fr(k)s
Ft(-ten)g(und)g(der)g Fr(l)r Ft(-ten)f(Zeilen)165 3670
y(induziert.)165 3836 y Fq(Lemma)32 b(6.3.10)39 b Fp(Seien)e
Fr(i)22 b(<)h(k)j(<)c(l)r Fp(.)30 b(Dann)f(gelten)783
4013 y Fr(P)836 4025 y Fk(k)q(l)899 4013 y Fr(U)956 4025
y Fk(ij)1014 4013 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))24 b(=)e
Fr(U)1294 4025 y Fk(ij)1353 4013 y Ft(\()p Fr(\025)p
Ft(\))p Fr(P)1518 4025 y Fk(k)q(l)1780 4013 y Fp(f)1805
4017 y(\177)1805 4013 y(ur)30 b Fr(j)37 b(=)-51 b Fo(2)24
b(f)p Fr(i;)14 b(k)s(;)g(l)r Fo(g)p Fr(;)783 4113 y(P)836
4125 y Fk(k)q(l)899 4113 y Fr(U)956 4125 y Fk(ik)1020
4113 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))24 b(=)e Fr(U)1300 4125
y Fk(il)1349 4113 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))p Fr(P)1514
4125 y Fk(k)q(l)1577 4113 y Fr(;)783 4212 y(P)836 4224
y Fk(k)q(l)899 4212 y Fr(U)956 4224 y Fk(il)1004 4212
y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))i(=)f Fr(U)1285 4224 y Fk(ik)1349
4212 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))p Fr(P)1514 4224 y Fk(k)q(l)1577
4212 y Fr(:)165 4391 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Die)e(letzte)g(Gleic)n(h)n
(ung)f(folgt)g(aus)h(der)f(v)n(orletzten)g(Gleic)n(h)n(ung,)g(w)n(eil)g
(die)165 4491 y(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)41 b(der)h Fr(k)s
Ft(-ten)g(mit)g(der)g Fr(l)r Ft(-ten)g(Zeile)f(zu)i(sic)n(h)e(selbst)h
(in)n(v)n(ers)f(ist,)h(also)165 4591 y Fr(P)218 4603
y Fk(k)q(l)281 4591 y Fr(P)334 4603 y Fk(k)q(l)419 4591
y Ft(=)23 b Fr(E)568 4603 y Fk(n)638 4591 y Ft(gilt.)h(Die)h(erste)f
(Gleic)n(h)n(ung)g(gilt,)g(w)n(eil)h(die)f(Addition)h(des)f
Fr(\025)p Ft(-fac)n(hen)h(der)p eop end
%%Page: 209 70
TeXDict begin 209 69 bop 527 100 a Fn(6.3)43 b(In)n(v)n(erse)25
b(Matrizen,)i(die)e(LU-Zerlegung)h(und)f(die)g(Piv)n(ot-Metho)r(de)152
b(209)165 282 y Fr(j)5 b Ft(-ten)28 b(Zeile)g(zur)f Fr(i)p
Ft(-ten)h(Zeile)g(nic)n(h)n(t)f(b)r(eein\015u\031t)i(wird)e(durc)n(h)h
(die)g(v)n(orherige)d(o)r(der)j(an-)165 382 y(sc)n(hlie\031ende)19
b(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)19 b(zw)n(eier)g(anderer)g(Zeilen.)g(Da)h
(die)g(Umform)n(ungsmatrizen)165 482 y(durc)n(h)26 b(die)h(Zeilenop)r
(erationen)e(eindeutig)h(b)r(estimm)n(t)h(sind)g(-)f(sie)g(sind)g(ja)g
(das)g(Ergeb-)165 581 y(nis)i(der)g(en)n(tsprec)n(henden)f(Umform)n
(ungen)h(der)f(Einheitsmatrix)g(-,)h(gilt)g(die)g(Aussage)165
681 y(auc)n(h)22 b(f)383 685 y(\177)381 681 y(ur)g(die)g(en)n(tsprec)n
(henden)f(Umform)n(ungsmatrizen.)g(W)-7 b(enn)23 b(man)f(jedo)r(c)n(h)g
(die)g Fr(l)r Ft(-te)165 780 y(Zeile)h(mit)h(der)f Fr(k)s
Ft(-ten)g(Zeile)g(v)n(ertausc)n(h)n(t)e(und)j(dann)f(die)h(jetzt)g
Fr(k)s Ft(-te)f(Zeile)g(mit)g Fr(\025)h Ft(m)n(ulti-)165
880 y(pliziert)c(und)h(zur)e Fr(i)p Ft(-ten)h(Zeile)f(addiert,)h(dann)g
(ist)g(das)f(dasselb)r(e,)h(wie)g(die)g(Addition)g(des)165
980 y Fr(\025)p Ft(-fac)n(hen)32 b(der)f Fr(l)r Ft(-ten)g(Zeile)h(zur)f
Fr(i)p Ft(-ten)h(Zeile)f(und)h(die)g(ansc)n(hlie\031ende)f(V)-7
b(ertausc)n(h)n(ung)165 1079 y(der)28 b Fr(l)r Ft(-ten)f(Zeile)g(mit)h
(der)f Fr(k)s Ft(-ten)h(Zeile.)f(Damit)h(folgt)g(auc)n(h)f(die)h(zw)n
(eite)f(Gleic)n(h)n(ung.)290 1251 y(Wir)20 b(w)n(erden)g(den)g
(Algorithm)n(us)f Fo(E)28 b Ft(zum)1600 1234 y(\177)1589
1251 y(Ub)r(ergang)20 b(zur)f(Stufenmatrix)i(no)r(c)n(hmals)165
1351 y(genauer)i(studieren.)h(Zu)g(Beginn)g(jedes)g(Reduktionssc)n
(hrittes)f(f)2215 1355 y(\177)2213 1351 y(uhren)i(wir)e(mit)i
Fo(E)2778 1363 y Fl(3)2839 1351 y Ft(je-)165 1450 y(w)n(eils)f(eine)g
(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)23 b(v)n(on)h(Zeilen)g(o)r(der)g(eine)g
(Multiplik)-5 b(ation)25 b(mit)g(einer)f(Matrix)165 1550
y Fr(P)218 1562 y Fk(k)q(l)281 1550 y Ft(,)30 b Fr(k)f(<)e(l)k
Ft(durc)n(h.)f(Dann)g(erfolgen)e(mehrere)h(Multiplik)-5
b(ationen)31 b(mit)f(Matrizen)g(der)165 1649 y(F)-7 b(orm)29
b Fr(U)442 1661 y Fk(k)q(j)513 1649 y Ft(\()p Fr(\025)p
Ft(\))h(mit)g(jew)n(eils)e(v)n(ersc)n(hiedenen)g(F)-7
b(aktoren)27 b Fr(\025)p Ft(.)j(Beim)f(n)2313 1653 y(\177)2313
1649 y(ac)n(hsten)f(Redukti-)165 1749 y(onssc)n(hritt)e(wird)h(der)f
(Zeilenz)1131 1753 y(\177)1131 1749 y(ahler)g Fr(k)k
Ft(um)d(1)g(erh)1738 1753 y(\177)1738 1749 y(oh)n(t.)f(Die)h(F)-7
b(olge)26 b(der)h(Umform)n(ungen)165 1849 y(gesc)n(hrieb)r(en)j(mit)i
(den)f(Umform)n(ungsmatrizen)f(\(und)i(jew)n(eils)f(passenden)f(F)-7
b(aktoren)165 1948 y Fr(\025)p Ft(\))29 b(k)-5 b(ann)27
b(dann)h(so)f(gesc)n(hrieb)r(en)f(w)n(erden)568 2128
y Fr(U)625 2140 y Fk(k)q(k)q Fl(+1)786 2128 y Ft(\()p
Fr(\025)p Ft(\))14 b Fr(:)g(:)g(:)h(U)1081 2140 y Fk(k)q(m)1180
2128 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))p Fr(P)1345 2140 y Fk(k)q(l)1409
2128 y Fr(U)1466 2140 y Fk(k)q Fi(\000)p Fl(1)p Fk(;k)1648
2128 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))f Fr(:)g(:)g(:)g(P)1938
2140 y Fk(k)q Fi(\000)p Fl(1)p Fk(;l)2100 2124 y Fd(0)2142
2128 y Fr(:)g(:)g(:)f(M)32 b Ft(=)23 b Fr(S:)165 2308
y Ft(Da)32 b(die)g(Matrix)f Fr(P)774 2320 y Fk(k)q(l)869
2308 y Ft(an)g(den)h(Matrizen)f Fr(U)1563 2320 y Fk(ij)1622
2308 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))h(mit)h Fr(i)d(<)f(k)35
b Ft(gem)2302 2312 y(\177)2302 2308 y(a\031)30 b(Lemma)i(6.3.10)165
2408 y(v)n(orb)r(eigezogen)19 b(w)n(erden)h(k)-5 b(ann,)22
b(ohne)f(die)g(Indizes)g Fr(i)g Ft(zu)1933 2412 y(\177)1933
2408 y(andern,)g(k)-5 b(ann)21 b(man)g(dieselb)r(en)165
2507 y(Umform)n(ungen)28 b(auc)n(h)f(in)g(der)h(F)-7
b(orm)871 2687 y Fr(U)928 2699 y Fk(k)q(k)q Fl(+1)1090
2687 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))14 b Fr(:)g(:)g(:)g(U)1384
2699 y Fl(1)p Fk(m)1480 2687 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))p
Fr(P)1645 2699 y Fk(k)q(l)1722 2687 y Fr(:)g(:)g(:)g(P)1886
2699 y Fl(1)p Fk(l)1940 2683 y Fd(0)1967 2687 y Fr(M)32
b Ft(=)23 b Fr(S)165 2867 y Ft(gesc)n(hrieb)r(en)f(w)n(erden.)f(Das)h
(Pro)r(dukt)g(der)g(Umform)n(ungsmatrizen)f Fr(U)2389
2879 y Fk(i)2416 2867 y Ft(\()p Fr(\025)p Ft(\))i(ergibt)f(eine)165
2967 y(un)n(tere)34 b(Dreiec)n(ksmatrix)f Fr(L)p Ft(,)h(das)g(Pro)r
(dukt)f(der)h(Matrizen)g Fr(P)2176 2979 y Fk(i)2238 2967
y Ft(eine)g(P)n(erm)n(utations-)165 3066 y(matrix)e Fr(P)12
b Ft(.)33 b(Also)f(erh)869 3070 y(\177)869 3066 y(alt)g(man)g
Fr(LP)12 b(M)40 b Ft(=)31 b Fr(S)5 b Ft(.)32 b(Durc)n(h)g(Multiplik)-5
b(ation)33 b(v)n(on)f(links)h(mit)165 3166 y Fr(L)222
3136 y Fi(\000)p Fl(1)342 3166 y Ft(ergibt)c(sic)n(h)h(die)h(Gleic)n(h)
n(ung)f Fr(P)12 b(M)36 b Ft(=)28 b Fr(L)1611 3136 y Fi(\000)p
Fl(1)1699 3166 y Fr(S)5 b Ft(.)30 b(Da)h(auc)n(h)f(die)g(In)n(v)n
(ersen)f(v)n(on)h(Um-)165 3266 y(form)n(ungsmatrizen)g(wieder)i(Umform)
n(ungsmatrizen)e(desselb)r(en)i(T)n(yps)f(sind,)h(erh)2833
3270 y(\177)2833 3266 y(alt)165 3365 y(man)165 3530 y
Fq(Satz)h(6.3.11)40 b Fp(Zu)34 b(je)l(der)h(Matrix)45
b Fr(M)e Fp(gibt)35 b(eine)h(Stufenmatrix)43 b Fr(S)5
b Fp(,)35 b(eine)g(unter)l(e)e(r)l(e-)165 3629 y(gul)268
3633 y(\177)269 3629 y(ar)l(e)d(Dr)l(eie)l(cksmatrix)40
b Fr(L)30 b Fp(und)f(eine)h(Permutationsmatrix)40 b Fr(P)12
b Fp(,)30 b(so)g(da\031)g(gilt)1349 3809 y Fr(P)12 b(M)32
b Ft(=)22 b Fr(LS:)165 3989 y Fq(Satz)33 b(6.3.12)40
b Fp(\()696 3993 y(\177)696 3989 y(ub)l(er)h(die)i(LU-Zerle)l(gung)e
(von)h(r)l(e)l(gul)1906 3993 y(\177)1907 3989 y(ar)l(en)g(Matrizen\))g
(Ist)49 b Fr(M)i Fp(eine)165 4089 y(r)l(e)l(gul)333 4093
y(\177)334 4089 y(ar)l(e)24 b(Matrix,)g(so)g(gibt)f(es)h(eine)g(r)l(e)l
(gul)1449 4093 y(\177)1450 4089 y(ar)l(e)f(ob)l(er)l(e)h(Dr)l(eie)l
(cksmatrix)34 b Fr(U)9 b Fp(,)23 b(eine)h(r)l(e)l(gul)2817
4093 y(\177)2818 4089 y(ar)l(e)165 4188 y(unter)l(e)29
b(Dr)l(eie)l(cksmatrix)40 b Fr(L)29 b Fp(und)h(eine)g
(Permutationsmatrix)39 b Fr(P)12 b Fp(,)30 b(so)h(da\031)1347
4368 y Fr(P)12 b(M)31 b Ft(=)23 b Fr(LU:)165 4548 y Fp(Beweis.)44
b Ft(F)538 4552 y(\177)536 4548 y(ur)19 b(eine)g(regul)977
4552 y(\177)977 4548 y(are)e(Matrix)h(ergibt)g(sic)n(h)h(die)g
(Stufenform)g(als)g(regul)2604 4552 y(\177)2604 4548
y(are)e(ob)r(ere)165 4648 y(Dreiec)n(ksmatrix.)26 b(Daher)i(ergibt)f
(sic)n(h)g(die)h(F)-7 b(olgerung)26 b(aus)h(dem)h(Satz.)p
eop end
%%Page: 210 71
TeXDict begin 210 70 bop 165 100 a Fn(210)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Fq(Algorithm)m(us)k(6.3.13)39 b(\(Algorithm)m(us)f(zur)h
Fr(LU)9 b Fq(-Zerlegung\))33 b Ft(Wir)g(w)n(ollen)f(ei-)165
382 y(nen)23 b(Algorithm)n(us)e(zur)h Fr(LU)9 b Ft(-Zerlegung)20
b(angeb)r(en.)i(Dazu)g(b)r(etrac)n(h)n(ten)g(wir)f(die)i(Matrix)165
482 y(\()p Fr(M)t(;)14 b(E)380 494 y Fk(n)426 482 y Fr(;)g(E)524
494 y Fk(n)569 482 y Fr(;)g(E)667 494 y Fk(n)713 482
y Ft(\),)22 b(auf)h(die)f(wir)g(aus)g(dem)g(Gau\031sc)n(hen)f
(Algorithm)n(us)h(gew)n(onnene)f(ele-)165 581 y(men)n(tare)k(Zeilenop)r
(erationen)g(und)h(zus)1434 585 y(\177)1434 581 y(atzlic)n(he)f
(Matrizenm)n(ultiplik)-5 b(ationen)25 b(an)n(w)n(en-)165
681 y(den.)d(Bei)f(der)h(Durc)n(hf)867 685 y(\177)865
681 y(uhrung)f(dieses)g(Algorithm)n(us)f(parallel)h(zum)h
(Gau\031algorithm)n(us)165 780 y(sei)29 b(in)g(einem)h(Zwisc)n(hensc)n
(hritt)d(daraus)h(die)h(Matrix)f(\()p Fr(T)7 b(;)14 b(L;)g(P)r(;)g(E)
2274 792 y Fk(n)2319 780 y Ft(\))30 b(en)n(tstanden)f(mit)165
880 y(den)23 b(zus)433 884 y(\177)433 880 y(atzlic)n(hen)f(Eigensc)n
(haften)f Fr(LP)12 b(M)31 b Ft(=)23 b Fr(T)12 b Ft(,)22
b Fr(L)g Ft(eine)h(un)n(tere)f(Dreiec)n(ksmatrix)f(und)165
980 y Fr(P)40 b Ft(eine)28 b(P)n(erm)n(utationsmatrix.)290
1104 y(-)d(W)-7 b(enn)26 b(der)g(Gau\031sc)n(he)e(Algorithm)n(us)h(n)n
(un)h(eine)f(Addition)h(eines)g(Vielfac)n(hen)f(ei-)165
1204 y(ner)e(Zeile)g(zu)h(einer)f(anderen)f(Zeile)h(erfordert,)g(so)f
(ist)i(dies)f(durc)n(h)g(eine)g(Umform)n(ungs-)165 1303
y(matrix)c Fr(U)28 b Ft(gegeb)r(en.)19 b(Diese)g(w)n(enden)g(wir)g
(lediglic)n(h)g(auf)g(die)g(T)-7 b(eilmatrix)19 b(\()p
Fr(T)7 b(;)14 b(L)p Ft(\))19 b(an)g(und)165 1403 y(erhalten)27
b(\()p Fr(U)9 b(T)e(;)14 b(U)9 b(L;)14 b(P)r(;)g(E)992
1415 y Fk(n)1037 1403 y Ft(\))27 b(mit)h Fr(U)9 b(LP)j(M)31
b Ft(=)22 b Fr(U)9 b(T)39 b Ft(und)27 b Fr(U)9 b(L)27
b Ft(un)n(tere)g(Dreiec)n(ksmatrix,)165 1503 y(d.h.)h(wir)g(w)n(enden)f
(die)h(elemen)n(tare)f(Zeilen)n(umform)n(ung)f(n)n(ur)h(auf)h(\()p
Fr(T)7 b(;)14 b(L)p Ft(\))27 b(an.)290 1627 y(-)f(W)-7
b(enn)27 b(der)f(Gau\031sc)n(he)g(Algorithm)n(us)f(eine)i(V)-7
b(ertausc)n(h)n(ung)25 b(v)n(on)h(zw)n(ei)g(Zeilen)g(er-)165
1727 y(fordert,)38 b(so)f(ist)h(dies)g(durc)n(h)g(eine)g(w)n(eitere)f
(Umform)n(ungsmatrix)g Fr(U)46 b Ft(gegeb)r(en.)38 b(Die)165
1826 y(elemen)n(tare)29 b(Zeilen)n(umform)n(ung)g(w)n(enden)g(wir)h
(auf)f(die)h(ganze)f(Matrix)g(\()p Fr(T)7 b(;)14 b(L;)g(P)r(;)g(E)2852
1838 y Fk(n)2897 1826 y Ft(\))165 1926 y(an)39 b(und)h(erhalten\()p
Fr(U)9 b(T)e(;)14 b(U)9 b(L;)14 b(U)9 b(P)r(;)14 b(U)9
b Ft(\).)37 b(Ansc)n(hlie\031end)i(m)n(ultiplizieren)h(wir)e
Fr(U)9 b(L)39 b Ft(v)n(on)165 2026 y(rec)n(h)n(ts)26
b(mit)i Fr(U)9 b Ft(,)27 b(da)f(b)r(eide)i(Matrizen)e(explizit)h(zur)g
(V)-7 b(erf)1945 2030 y(\177)1943 2026 y(ugung)26 b(stehen,)h(und)h
(ersetzen)165 2125 y Fr(U)43 b Ft(wieder)34 b(durc)n(h)f(die)h
(Einheitsmatrix,)f(hab)r(en)h(danac)n(h)f(also)g(\()p
Fr(U)9 b(T)e(;)14 b(U)9 b(LU;)14 b(U)9 b(P)r(;)14 b(E)2853
2137 y Fk(n)2897 2125 y Ft(\))165 2225 y(mit)38 b Fr(U)9
b(LU)g(U)g(P)j(M)47 b Ft(=)39 b Fr(U)9 b(LP)j(M)47 b
Ft(=)39 b Fr(U)9 b(T)j Ft(,)36 b(w)n(egen)g Fr(U)9 b(U)48
b Ft(=)39 b Fr(E)2077 2237 y Fk(n)2123 2225 y Ft(.)e(Da)h(wie)f(in)h
(den)f(ob)r(en)165 2325 y(durc)n(hgef)477 2329 y(\177)475
2325 y(uhrten)756 2307 y(\177)746 2325 y(Ub)r(erlegungen)30
b Fr(U)9 b(LU)39 b Ft(n)n(ur)31 b(f)1675 2329 y(\177)1673
2325 y(ur)g(un)n(tere)f(Dreiec)n(ksmatrizen)g(durc)n(h-)165
2424 y(gef)271 2428 y(\177)269 2424 y(uhrt)39 b(wird,)g(deren)g(Ein)n
(tr)1116 2428 y(\177)1116 2424 y(age)e(au\031erhalb)h(der)g(Diagonalen)
g(durc)n(h)h(die)g(V)-7 b(ertau-)165 2524 y(sc)n(h)n(ung)30
b(zw)n(ar)f(umgestellt)h(w)n(erden,)g(ab)r(er)f(nic)n(h)n(t)h(aus)g
(dem)h(un)n(teren)f(Dreiec)n(k)f(heraus)165 2623 y(getausc)n(h)n(t)e(w)
n(erden)g(\(6.3.10\),)f(bleibt)i Fr(U)9 b(LU)36 b Ft(eine)28
b(regul)1949 2627 y(\177)1949 2623 y(are)d(un)n(tere)j(Dreiec)n
(ksmatrix.)290 2748 y(Das)j(V)-7 b(erfahren)30 b(bric)n(h)n(t)h(ab,)g
(sobald)f(wir)h(eine)g(Stufenmatrix)g Fr(S)36 b Ft(anstelle)31
b(v)n(on)f Fr(T)165 2848 y Ft(erhalten)19 b(hab)r(en,)g(also)f(\()p
Fr(S;)c(L;)g(P)r(;)g(E)1266 2860 y Fk(n)1312 2848 y Ft(\))19
b(mit)h Fr(LP)12 b(M)31 b Ft(=)22 b Fr(S)5 b Ft(,)19
b(w)n(ob)r(ei)g Fr(L)f Ft(eine)h(regul)2571 2852 y(\177)2571
2848 y(are)f(un)n(tere)165 2947 y(Dreiec)n(ksmatrix,)33
b Fr(P)46 b Ft(eine)35 b(P)n(erm)n(utationsmatrix)c(und)k
Fr(S)k Ft(eine)34 b(Stufenmatrix)h(sind.)165 3047 y(Da)e(auc)n(h)f
Fr(L)561 3017 y Fi(\000)p Fl(1)683 3047 y Ft(eine)h(regul)1040
3051 y(\177)1040 3047 y(are)e(un)n(tere)h(Dreiec)n(ksmatrix)f(ist,)i
(ist)g(mit)g Fr(P)12 b(M)41 b Ft(=)31 b Fr(L)2785 3017
y Fi(\000)p Fl(1)2873 3047 y Fr(S)165 3147 y Ft(das)c(Ziel)h(erreic)n
(h)n(t.)290 3313 y(Wir)k(w)n(ollen)g(die)h(An)n(w)n(endung)f(der)g
Fr(LU)9 b Ft(-Zerlegung)29 b(diskutieren.)k(W)-7 b(enn)33
b(das)e(li-)165 3412 y(neare)f(Gleic)n(h)n(ungssystem)g
Fr(M)f Fo(\001)21 b Fr(x)29 b Ft(=)g Fr(b)h Ft(zu)h(l)1589
3416 y(\177)1589 3412 y(osen)g(ist)g(und)g Fr(P)12 b(M)38
b Ft(=)28 b Fr(LS)35 b Ft(gilt,)c(so)f(folgt)165 3512
y Fr(LS)5 b(x)29 b Ft(=)f Fr(P)12 b(M)d(x)29 b Ft(=)f
Fr(P)12 b(b)p Ft(.)31 b(Das)f(Gleic)n(h)n(ungssystem)g(k)-5
b(ann)31 b(gel)2072 3516 y(\177)2072 3512 y(ost)f(w)n(erden,)h(indem)g
(man)165 3611 y Fr(c)23 b Ft(:=)g Fr(P)12 b(b)23 b Ft(b)r(erec)n(hnet,)
h(das)f(Gleic)n(h)n(ungssystem)g Fr(Ly)i Ft(=)e Fr(c)h
Ft(durc)n(h)f(V)-7 b(orw)2356 3615 y(\177)2356 3611 y(artssubstitution)
165 3711 y(wie)28 b(in)g(6.2.7)e(mit)1196 3789 y Fr(\021)1237
3801 y Fl(1)1302 3789 y Ft(=)d Fr(\015)1433 3801 y Fl(1)1470
3789 y Fr(;)1196 3889 y(\021)1237 3901 y Fl(2)1302 3889
y Ft(=)g Fr(\015)1433 3901 y Fl(2)1489 3889 y Fo(\000)18
b Fr(\025)1620 3901 y Fl(21)1690 3889 y Fr(\021)1731
3901 y Fl(1)1302 3977 y Ft(.)1302 4010 y(.)1302 4044
y(.)1188 4223 y Fr(\021)1229 4235 y Fk(n)1302 4223 y
Ft(=)23 b Fr(\015)1433 4235 y Fk(n)1497 4223 y Fo(\000)1580
4119 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1583 4144 y Fj(X)1585 4321
y Fk(j)s Fl(=1)1706 4223 y Fr(\025)1754 4235 y Fk(nj)1830
4223 y Fr(\021)1871 4235 y Fk(j)165 4461 y Ft(w)n(ob)r(ei)c
Fr(L)k Ft(=)f(\()p Fr(\025)639 4473 y Fk(ij)699 4461
y Ft(\),)d(und)h(sc)n(hlie\031lic)n(h)e(die)i(L)1493
4465 y(\177)1493 4461 y(osung)e Fr(y)k Ft(in)e(das)e(Gleic)n(h)n
(ungssystem)h Fr(S)5 b(x)23 b Ft(=)f Fr(y)165 4561 y
Ft(einsetzt)28 b(und)g(dieses)f(durc)n(h)h(R)1169 4565
y(\177)1167 4561 y(uc)n(kw)1352 4565 y(\177)1352 4561
y(artssubstitution)e(l)1975 4565 y(\177)1975 4561 y(ost.)p
eop end
%%Page: 211 72
TeXDict begin 211 71 bop 527 100 a Fn(6.3)43 b(In)n(v)n(erse)25
b(Matrizen,)i(die)e(LU-Zerlegung)h(und)f(die)g(Piv)n(ot-Metho)r(de)152
b(211)165 282 y Fq(Beispiel)30 b(6.3.14)39 b Ft(Wir)30
b(sc)n(hlie\031en)f(diesen)h(Absc)n(hnitt)h(mit)f(einem)g(Beispiel)g(f)
2702 286 y(\177)2700 282 y(ur)g(das)165 382 y(angegeb)r(ene)d(V)-7
b(erfahren.)27 b(Wir)g(w)n(ollen)g(das)g(lineare)g(Gleic)n(h)n
(ungssystem)1531 558 y(2)p Fr(y)g Ft(+)e(3)p Fr(z)i Ft(=)e(2)1124
658 y(2)p Fr(u)f Ft(+)66 b Fr(x)225 b Ft(+)25 b(3)p Fr(z)i
Ft(=)e(1)1124 758 y(3)p Fr(u)f Ft(+)h(3)p Fr(x)g Ft(+)66
b Fr(y)27 b Ft(+)e(6)p Fr(z)i Ft(=)e(4)165 936 y(mit)g(Hilfe)g(des)f
Fr(LU)9 b Ft(-V)-7 b(erfahrens)22 b(l)1232 940 y(\177)1232
936 y(osen.)i(Dazu)g(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(wir)h(die)g(folgenden)g
(Matri-)165 1035 y(zen)k(und)g(Matrixumform)n(ungen:)693
1145 y Fj(0)693 1295 y(@)779 1213 y Ft(0)83 b(0)f(2)h(3)f(1)h(0)f(0)h
(1)g(0)f(0)h(1)f(0)h(0)779 1312 y(2)g(1)f(0)h(3)f(0)h(1)f(0)h(0)g(1)f
(0)h(0)f(1)h(0)779 1412 y(3)g(3)f(1)h(6)f(0)h(0)f(1)h(0)g(0)f(1)h(0)f
(0)h(1)2329 1145 y Fj(1)2329 1295 y(A)165 1589 y Ft(wird)28
b(durc)n(h)f(V)-7 b(ertausc)n(hen)27 b(der)g(ersten)g(und)h(zw)n(eiten)
g(Zeile)f(umgew)n(andelt)g(in)674 1699 y Fj(0)674 1848
y(@)761 1766 y Ft(2)82 b(1)h(0)f(3)h(0)g(1)f(0)h(0)f(1)h(0)f(0)h(1)f(0)
761 1866 y(0)g(0)h(2)f(3)h(1)g(0)f(0)h(1)f(0)h(0)f(1)h(0)f(0)761
1966 y(3)g(3)h(1)f(6)h(0)g(0)f(1)h(0)f(0)h(1)f(0)h(0)f(1)2311
1699 y Fj(1)2311 1848 y(A)2397 1866 y Fr(:)165 2143 y
Ft(Wir)24 b(m)n(ultiplizieren)g(die)g(T)-7 b(eilmatrix)23
b Fr(U)9 b(L)24 b Ft(mit)g Fr(U)33 b Ft(v)n(on)23 b(rec)n(h)n(ts)g(und)
h(ersetzen)f Fr(U)33 b Ft(durc)n(h)165 2242 y Fr(E)226
2254 y Fk(n)272 2242 y Ft(:)674 2266 y Fj(0)674 2416
y(@)761 2334 y Ft(2)82 b(1)h(0)f(3)h(1)g(0)f(0)h(0)f(1)h(0)f(1)h(0)f(0)
761 2433 y(0)g(0)h(2)f(3)h(0)g(1)f(0)h(1)f(0)h(0)f(0)h(1)f(0)761
2533 y(3)g(3)h(1)f(6)h(0)g(0)f(1)h(0)f(0)h(1)f(0)h(0)f(1)2311
2266 y Fj(1)2311 2416 y(A)2397 2433 y Fr(:)165 2690 y
Ft(Die)33 b(n)367 2694 y(\177)367 2690 y(ac)n(hste)f(Umform)n(ung)f
(erfolgt)h(durc)n(h)f(Addition)i(des)f(\()p Fo(\000)2198
2657 y Fl(3)p 2198 2671 34 4 v 2198 2718 a(2)2241 2690
y Ft(\)-fac)n(hen)g(der)g(ersten)165 2789 y(Zeile)c(zur)f(dritten)h
(Zeile)f(in)h(der)f(T)-7 b(eilmatrix)27 b(\()p Fr(T)7
b(;)14 b(L)p Ft(\):)545 2904 y Fj(0)545 3054 y(@)632
2971 y Ft(2)115 b(1)f(0)h(3)180 b(1)147 b(0)82 b(0)h(0)f(1)h(0)f(1)h(0)
f(0)632 3071 y(0)115 b(0)f(2)h(3)180 b(0)147 b(1)82 b(0)h(1)f(0)h(0)f
(0)h(1)f(0)632 3171 y(0)g(1)p Fr(:)p Ft(5)g(1)h(1)p Fr(:)p
Ft(5)f Fo(\000)p Ft(1)p Fr(:)p Ft(5)g(0)g(1)h(0)f(0)h(1)f(0)h(0)f(1)
2440 2904 y Fj(1)2440 3054 y(A)2526 3071 y Fr(:)165 3348
y Ft(Sc)n(hlie\031lic)n(h)27 b(erfolgt)g(ein)h(V)-7 b(ertausc)n(hen)27
b(der)g(zw)n(eiten)g(mit)i(der)e(dritten)h(Zeile)564
3458 y Fj(0)564 3607 y(@)650 3525 y Ft(2)115 b(1)g(0)g(3)179
b(1)147 b(0)83 b(0)f(0)h(1)f(0)h(1)f(0)h(0)650 3625 y(0)g(1)p
Fr(:)p Ft(5)f(1)g(1)p Fr(:)p Ft(5)g Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(:)p Ft(5)g(0)h(1)f(0)h(0)f(1)h(0)f(0)h(1)650 3724
y(0)115 b(0)g(2)g(3)179 b(0)147 b(1)83 b(0)f(1)h(0)f(0)h(0)f(1)h(0)2458
3458 y Fj(1)2458 3607 y(A)165 3906 y Ft(und)31 b(eine)g(Multiplik)-5
b(ation)31 b(der)f(T)-7 b(eilmatrix)30 b Fr(U)9 b(L)30
b Ft(mit)h Fr(U)39 b Ft(v)n(on)30 b(rec)n(h)n(ts)f(\(und)i(Ersetzen)165
4006 y(v)n(on)c Fr(U)37 b Ft(durc)n(h)27 b Fr(E)710 4018
y Fk(n)755 4006 y Ft(\):)545 4120 y Fj(0)545 4270 y(@)632
4188 y Ft(2)115 b(1)f(0)h(3)180 b(1)147 b(0)82 b(0)h(0)f(1)h(0)f(1)h(0)
f(0)632 4287 y(0)g(1)p Fr(:)p Ft(5)g(1)h(1)p Fr(:)p Ft(5)f
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(:)p Ft(5)g(1)g(0)h(0)f(0)h(1)f(0)h(1)f(0)632
4387 y(0)115 b(0)f(2)h(3)180 b(0)147 b(0)82 b(1)h(1)f(0)h(0)f(0)h(0)f
(1)2440 4120 y Fj(1)2440 4270 y(A)2526 4287 y Fr(:)165
4564 y Ft(Wir)37 b(in)n(v)n(ertieren)e(n)n(un)i(die)g(un)n(tere)f
(Dreiec)n(ksmatrix)f(und)i(erhalten)f(in)h(der)f(obigen)165
4664 y(Notation)p eop end
%%Page: 212 73
TeXDict begin 212 72 bop 165 100 a Fn(212)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)286
369 y Fr(S)h Ft(=)452 203 y Fj(0)452 352 y(@)539 270
y Ft(2)115 b(1)g(0)f(3)539 369 y(0)82 b(1)p Fr(:)p Ft(5)h(1)f(1)p
Fr(:)p Ft(5)539 469 y(0)115 b(0)g(2)f(3)1097 203 y Fj(1)1097
352 y(A)1183 369 y Ft(;)97 b Fr(L)23 b Ft(=)1471 203
y Fj(0)1471 352 y(@)1589 270 y Ft(1)115 b(0)83 b(0)1557
369 y(1)p Fr(:)p Ft(5)f(1)h(0)1589 469 y(0)115 b(0)83
b(1)1926 203 y Fj(1)1926 352 y(A)2013 369 y Ft(;)96 b
Fr(P)35 b Ft(=)2308 203 y Fj(0)2308 352 y(@)2394 270
y Ft(0)83 b(1)g(0)2394 369 y(0)g(0)g(1)2394 469 y(1)g(0)g(0)2699
203 y Fj(1)2699 352 y(A)2785 369 y Fr(:)165 647 y Ft(Wir)28
b(b)r(erec)n(hnen)f Fr(c)c Ft(=)g Fr(P)12 b(b)27 b Ft(als)1020
742 y Fj(0)1020 891 y(@)1107 809 y Ft(1)1107 909 y(4)1107
1008 y(2)1162 742 y Fj(1)1162 891 y(A)1258 909 y Ft(=)1345
742 y Fj(0)1345 891 y(@)1432 809 y Ft(0)82 b(1)h(0)1432
909 y(0)f(0)h(1)1432 1008 y(1)f(0)h(0)1736 742 y Fj(1)1736
891 y(A)1823 742 y(0)1823 891 y(@)1909 809 y Ft(2)1909
909 y(1)1909 1008 y(4)1965 742 y Fj(1)1965 891 y(A)2051
909 y Fr(;)165 1186 y Ft(l)188 1190 y(\177)188 1186 y(osen)27
b(das)g(Gleic)n(h)n(ungssystem)g Fr(Ly)e Ft(=)e Fr(c)k
Ft(und)h(erhalten)1312 1464 y Fr(y)e Ft(=)1466 1297 y
Fj(0)1466 1447 y(@)1585 1364 y Ft(1)1553 1464 y(2)p Fr(:)p
Ft(5)1585 1564 y(2)1673 1297 y Fj(1)1673 1447 y(A)1759
1464 y Fr(;)165 1742 y Ft(sc)n(hlie\031lic)n(h)h(hat)g(das)h(Gleic)n(h)
n(ungssystem)e Fr(S)5 b(x)23 b Ft(=)g Fr(y)30 b Ft(die)e(partikul)2230
1746 y(\177)2230 1742 y(are)e(L)2420 1746 y(\177)2420
1742 y(osung)1342 2061 y Fr(x)1389 2073 y Fl(0)1450 2061
y Ft(=)1538 1869 y Fj(0)1538 2015 y(B)1538 2068 y(@)1624
1911 y Ft(0)1624 2011 y(1)1624 2111 y(1)1624 2210 y(0)1680
1869 y Fj(1)1680 2015 y(C)1680 2068 y(A)165 2380 y Ft(und)i(eine)g
(Basis)f(des)g(L)914 2384 y(\177)914 2380 y(osungsraumes)e(des)j
(homogenen)e(Gleic)n(h)n(ungssystems)h(ist)1293 2699
y Fr(a)1337 2711 y Fl(1)1398 2699 y Ft(=)1485 2507 y
Fj(0)1485 2653 y(B)1485 2707 y(@)1572 2550 y Ft(1)p Fr(:)p
Ft(5)1604 2649 y(0)1572 2749 y(1)p Fr(:)p Ft(5)1572 2849
y Fo(\000)p Ft(1)1692 2507 y Fj(1)1692 2653 y(C)1692
2707 y(A)1778 2699 y Fr(:)165 3018 y Ft(Damit)i(ist)g(auc)n(h)f(die)h
(k)n(omplette)f(L)1312 3022 y(\177)1312 3018 y(osung)g(des)g(urspr)1886
3022 y(\177)1884 3018 y(unglic)n(hen)g(Gleic)n(h)n(ungssystems)165
3118 y(gefunden.)290 3284 y(Bisher)f(hatten)g(wir)g(b)r(ei)h(allen)f
(Algorithmen)g(in)h(der)f(W)-7 b(ahl)28 b(der)f(Zeile,)g(die)h(durc)n
(h)165 3384 y(V)-7 b(ertausc)n(hen)34 b(an)h(die)g(ob)r(erste)f(Stelle)
h(k)n(ommen)f(soll,)g(k)n(eine)h(F)-7 b(estlegung)34
b(getro\013en.)165 3483 y(Da)40 b(der)g(Computer)g(b)r(eim)g(Rec)n
(hnen)g(mit)h(Gleitk)n(ommazahlen)e(jedo)r(c)n(h)h(ungenaue)165
3583 y(Resultate)26 b(erzielt,)f(hat)h(sic)n(h)f(die)h(folgende)f(F)-7
b(estlegung)25 b(der)g(zu)h(w)2287 3587 y(\177)2287 3583
y(ahlenden)f(Zeile)h(als)165 3682 y(b)r(esonders)37 b(g)601
3686 y(\177)599 3682 y(unstig)h(erwiesen.)f(In)h(jedem)g(Sc)n(hritt)g
Fo(E)1920 3694 y Fl(3)1957 3682 y Ft(,)g(den)g(man)g(im)g(Gau\031-)f(o)
r(der)165 3782 y(Gau\031-Jordan-V)-7 b(erfahren)24 b(durc)n(hf)1279
3786 y(\177)1277 3782 y(uhrt:)290 3907 y Fo(E)341 3877
y Fi(0)334 3927 y Fl(3)397 3907 y Ft(v)n(ertausc)n(he)h(man)h(die)h
(erste)f(Zeile)g(mit)h(einer)f(Zeile,)g(die)h(in)f(der)g(ersten)g
(Spalte)165 4006 y(einen)e(dem)g(Betrag)f(nac)n(h)g(m)1083
4010 y(\177)1083 4006 y(oglic)n(hst)g(gro\031en)f(Ko)r(e\016zien)n(ten)
h(hat,)h(also)f(mit)h(der)g Fr(i)p Ft(-ten)165 4106 y(Zeile,)i(w)n(enn)
f Fo(j)p Fr(\013)673 4118 y Fk(i)p Fl(1)734 4106 y Fo(j)e(\025)g(j)p
Fr(\013)944 4118 y Fk(j)s Fl(1)1012 4106 y Fo(j)j Ft(f)1088
4110 y(\177)1086 4106 y(ur)f(alle)g Fr(j)j Fo(6)p Ft(=)23
b Fr(i)p Ft(.)i(Einen)h(solc)n(hen)e(Ko)r(e\016zien)n(ten)h
Fr(\013)2637 4118 y Fk(i)p Fl(1)2724 4106 y Ft(nenn)n(t)165
4206 y(man)j(ein)g Fp(Pivot-)i(o)l(der)h(Dr)l(ehpunktelement)p
Ft(.)178 4356 y Fq(\177)165 4372 y(Ubungen)h(6.3.15)81
b Ft(1.)41 b(Sei)28 b Fr(f)k Ft(:)23 b Fm(R)1320 4341
y Fl(2)1380 4372 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fm(R)1563 4341
y Fl(2)1628 4372 y Ft(die)k(Abbildung)1249 4482 y Fj(\022)1324
4550 y Fr(x)1326 4649 y(y)1386 4482 y Fj(\023)1470 4599
y Fo(7!)1576 4482 y Fj(\022)1739 4550 y Fr(xy)1651 4649
y(x)1698 4619 y Fl(2)1754 4649 y Ft(+)18 b Fr(y)1881
4619 y Fl(2)1932 4482 y Fj(\023)p eop end
%%Page: 213 74
TeXDict begin 213 73 bop 527 100 a Fn(6.3)43 b(In)n(v)n(erse)25
b(Matrizen,)i(die)e(LU-Zerlegung)h(und)f(die)g(Piv)n(ot-Metho)r(de)152
b(213)313 282 y Ft(Die)28 b(Matrix)f(der)g(partiellen)g(Ableitungen)i
(ist)1272 509 y Fr(D)r(f)j Ft(:=)1526 392 y Fj(\022)1624
459 y Fr(y)127 b(x)1601 558 y Ft(2)p Fr(x)83 b Ft(2)p
Fr(y)1872 392 y Fj(\023)1947 509 y Fr(:)313 735 y Ft(En)n(tsc)n(heiden)
27 b(Sie,)h(w)n(ann)f Fr(D)r(f)36 b Ft(in)n(v)n(ertierbar)25
b(ist.)207 835 y(2.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(w)n(ann)1284
944 y Fj(0)1284 1094 y(@)1370 1011 y Fo(\000)p Fr(x)118
b Ft(1)153 b(0)1405 1111 y(1)118 b Fo(\000)p Fr(x)g Ft(1)1405
1211 y(0)153 b(1)118 b Fo(\000)p Fr(x)1886 944 y Fj(1)1886
1094 y(A)313 1387 y Ft(in)n(v)n(ertierbar)25 b(ist.)207
1487 y(3.)41 b(Finden)28 b(Sie)g(In)n(v)n(erse)e(f)1036
1491 y(\177)1034 1487 y(ur)i(die)f(folgenden)h(Matrizen)878
1596 y Fj(0)878 1746 y(@)997 1663 y Ft(2)147 b(4)g(6)965
1763 y Fo(\000)p Ft(1)82 b Fo(\000)p Ft(4)g Fo(\000)p
Ft(3)997 1863 y(0)147 b(1)115 b Fo(\000)p Ft(1)1546 1596
y Fj(1)1546 1746 y(A)1633 1763 y Fr(;)1670 1596 y Fj(0)1670
1746 y(@)1788 1663 y Ft(2)147 b(2)115 b Fo(\000)p Ft(4)1788
1763 y(2)147 b(6)g(0)1756 1863 y Fo(\000)p Ft(3)82 b
Fo(\000)p Ft(3)114 b(5)2254 1596 y Fj(1)2254 1746 y(A)2341
1763 y Fr(;)828 2001 y Fj(0)828 2148 y(B)828 2201 y(@)946
2044 y Ft(1)h Fo(\000)p Ft(2)g(3)g(0)946 2143 y(0)148
b(1)114 b Fo(\000)p Ft(1)83 b(1)914 2243 y Fo(\000)p
Ft(2)115 b(2)f Fo(\000)p Ft(2)83 b(4)946 2343 y(0)148
b(2)114 b Fo(\000)p Ft(3)83 b(1)1537 2001 y Fj(1)1537
2148 y(C)1537 2201 y(A)1623 2193 y Fr(;)1660 2001 y Fj(0)1660
2148 y(B)1660 2201 y(@)1747 2044 y Ft(1)115 b(1)f(0)h(2)1747
2143 y(2)82 b Fo(\000)p Ft(1)g(1)h Fo(\000)p Ft(1)1747
2243 y(3)115 b(3)f(2)83 b Fo(\000)p Ft(2)1747 2343 y(1)115
b(2)f(1)h(0)2305 2001 y Fj(1)2305 2148 y(C)2305 2201
y(A)2391 2193 y Fr(:)207 2478 y Ft(4.)41 b(L)365 2482
y(\177)365 2478 y(osen)26 b(Sie)h(die)g(folgenden)g(Gleic)n(h)n
(ungssysteme)e(un)n(ter)i(V)-7 b(erw)n(endung)26 b(der)h(in)n(v)n(er-)
313 2578 y(sen)g(Ko)r(e\016zien)n(tenmatrizen)345 2678
y(a\))1306 2776 y Fr(x)f Fo(\000)e Ft(2)p Fr(y)j Ft(+)e(3)p
Fr(z)245 b Ft(=)89 b(4)1510 2876 y Fr(y)27 b Fo(\000)66
b Fr(z)28 b Ft(+)66 b Fr(w)28 b Ft(=)c Fo(\000)p Ft(8)1200
2976 y Fo(\000)p Ft(2)p Fr(x)h Ft(+)f(2)p Fr(y)j Fo(\000)e
Ft(2)p Fr(z)i Ft(+)e(4)p Fr(w)i Ft(=)47 b(12)1468 3075
y(2)p Fr(y)27 b Fo(\000)e Ft(3)p Fr(z)i Ft(+)66 b Fr(w)28
b Ft(=)c Fo(\000)p Ft(4)341 3225 y(b\))1306 3324 y Fr(x)i
Ft(+)66 b Fr(y)225 b Ft(+)25 b(2)p Fr(w)i Ft(=)d(3)1265
3423 y(2)p Fr(x)h Fo(\000)66 b Fr(y)27 b Ft(+)66 b Fr(z)28
b Fo(\000)66 b Fr(w)28 b Ft(=)c(3)1265 3523 y(3)p Fr(x)h
Ft(+)f(3)p Fr(y)j Ft(+)e(2)p Fr(z)i Fo(\000)e Ft(2)p
Fr(w)i Ft(=)d(5)1306 3622 y Fr(x)i Ft(+)e(2)p Fr(y)j
Ft(+)66 b Fr(z)246 b Ft(=)24 b(3)207 3767 y(5.)41 b(Ein)20
b(Bankkunde)g(m)958 3771 y(\177)958 3767 y(oc)n(h)n(te)g(Geld)h(in)g
(festv)n(erzinslic)n(hen)f(P)n(apieren)f(der)h(Kategorien)313
3867 y(AAA,)33 b(A)f(und)g(B)g(anlegen.)f(Die)i(P)n(apiere)d(der)h
(Kategorie)f(AAA)j(erbringen)d(6\045)313 3966 y(Zinsen,)38
b(die)g(der)f(Kategorie)f(A)i(7\045)f(Zinsen)h(und)g(die)g(der)g
(Kategorie)d(B)j(10\045)313 4066 y(Zinsen.)e(Der)f(Kunde)h(m)1121
4070 y(\177)1121 4066 y(oc)n(h)n(te)g(dopp)r(elt)g(so)n(viel)f(Geld)h
(in)g(der)g(Kategorie)d(AAA)313 4166 y(anlegen,)k(als)g(in)h(der)g
(Kategorie)d(B.)j(Wieviel)g(Geld)g(m)n(u\031)g(der)f(Kunde)h(in)g(den)
313 4265 y(einzelnen)28 b(Kategorien)d(anlegen,)i(w)n(enn)345
4365 y(a\))42 b(seine)35 b(Gesam)n(tanlage)e(DM)j(50000.-)d(b)r(etr)
1832 4369 y(\177)1832 4365 y(agt)i(und)h(die)f(j)2323
4369 y(\177)2323 4365 y(ahrlic)n(he)g(Zinsein-)461 4465
y(nahme)27 b(DM)h(3620.-)e(b)r(etragen)h(soll,)341 4564
y(b\))42 b(seine)35 b(Gesam)n(tanlage)e(DM)j(60000.-)d(b)r(etr)1832
4568 y(\177)1832 4564 y(agt)i(und)h(die)f(j)2323 4568
y(\177)2323 4564 y(ahrlic)n(he)g(Zinsein-)461 4664 y(nahme)27
b(DM)h(4300.-)e(b)r(etragen)h(soll,)p eop end
%%Page: 214 75
TeXDict begin 214 74 bop 165 100 a Fn(214)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)350
282 y Ft(c\))42 b(seine)35 b(Gesam)n(tanlage)e(DM)j(80000.-)d(b)r(etr)
1832 286 y(\177)1832 282 y(agt)i(und)h(die)f(j)2323 286
y(\177)2323 282 y(ahrlic)n(he)g(Zinsein-)461 382 y(nahme)27
b(DM)h(5800.-)e(b)r(etragen)h(soll?)207 482 y(6.)41 b(Finden)28
b(Sie)g Fr(LU)9 b Ft(-Zerlegungen)25 b(v)n(on)i(den)h(Matrizen)1210
759 y Fr(M)1291 771 y Fl(1)1351 759 y Ft(=)1439 592 y
Fj(0)1439 742 y(@)1558 660 y Ft(2)147 b(6)115 b(2)1525
759 y Fo(\000)p Ft(3)83 b Fo(\000)p Ft(8)f(0)1558 859
y(4)147 b(9)115 b(2)1959 592 y Fj(1)1959 742 y(A)1224
1149 y Fr(M)1305 1161 y Fl(2)1365 1149 y Ft(=)1453 983
y Fj(0)1453 1132 y(@)1539 1050 y Ft(6)83 b Fo(\000)p
Ft(2)f(0)1539 1149 y(9)h Fo(\000)p Ft(1)f(1)1539 1249
y(3)115 b(7)g(5)1908 983 y Fj(1)1908 1132 y(A)1995 1149
y Fr(:)207 1394 y Ft(7.)41 b(L)365 1398 y(\177)365 1394
y(osen)e(Sie)h(mittels)h(des)f(V)-7 b(erfahrens)39 b(der)h
Fr(LU)9 b Ft(-Zerlegung)37 b(die)j(linearen)f(Glei-)313
1493 y(c)n(h)n(ungssysteme)1057 1538 y Fj(0)1057 1684
y(B)1057 1737 y(@)1176 1580 y Ft(0)147 b(1)g(0)g(2)1144
1680 y Fo(\000)p Ft(2)82 b Fo(\000)p Ft(1)g Fo(\000)p
Ft(1)114 b(4)1176 1779 y(2)147 b(3)g(1)g(0)1176 1879
y(2)g(2)g(2)115 b Fo(\000)p Ft(1)1831 1538 y Fj(1)1831
1684 y(C)1831 1737 y(A)1922 1730 y Fo(\001)18 b Fr(x)24
b Ft(=)f Fr(b)2158 1742 y Fk(i)313 2016 y Ft(f)340 2020
y(\177)338 2016 y(ur)793 2239 y Fr(b)829 2251 y Fl(1)889
2239 y Ft(=)977 2047 y Fj(0)977 2194 y(B)977 2247 y(@)1063
2090 y Ft(2)1063 2189 y(3)1063 2289 y(1)1063 2389 y(0)1119
2047 y Fj(1)1119 2194 y(C)1119 2247 y(A)1205 2239 y Fr(;)14
b(b)1278 2251 y Fl(2)1338 2239 y Ft(=)1426 2047 y Fj(0)1426
2194 y(B)1426 2247 y(@)1512 2090 y Ft(1)1512 2189 y(0)1512
2289 y(2)1512 2389 y(2)1568 2047 y Fj(1)1568 2194 y(C)1568
2247 y(A)1765 2239 y Ft(und)111 b Fr(b)2050 2251 y Fl(3)2110
2239 y Ft(=)2197 2047 y Fj(0)2197 2194 y(B)2197 2247
y(@)2284 2090 y Ft(0)2284 2189 y(0)2284 2289 y(1)2284
2389 y(2)2339 2047 y Fj(1)2339 2194 y(C)2339 2247 y(A)2426
2239 y Fr(:)165 2694 y Fs(6.4)42 b(Ein)37 b(Kapitel)h(Co)s
(dierungstheorie)165 2898 y Ft(Wir)24 b(w)n(ollen)g(die)g(Erk)n(enn)n
(tnisse)1200 2902 y(\177)1198 2898 y(ub)r(er)g(lineare)f(Abbildungen)i
(und)f(Matrizen)g(v)n(erw)n(en-)165 2997 y(den,)h(um)g(Probleme)e(der)h
(linearen)g(Co)r(dierung)f(zu)i(form)n(ulieren)e(und)i(zu)f(l)2536
3001 y(\177)2536 2997 y(osen.)g(Dazu)165 3097 y(legen)33
b(wir)f(uns)h(ein)h(W)914 3101 y(\177)914 3097 y(orterbuc)n(h)e(an,)g
(das)h(die)g(Bedeutung)g(gewisser)e(Ob)5 b(jekte)33 b(aus)165
3197 y(der)28 b(linearen)e(Algebra)h(in)h(Ausdr)1253
3201 y(\177)1251 3197 y(uc)n(k)n(e)e(der)i(Co)r(dierungstheorie)2269
3201 y(\177)2267 3197 y(ub)r(ersetzt.)290 3396 y(Wir)g(w)n(erden)g(in)h
(diesem)g(Absc)n(hnitt)g(als)f(Grundk)1906 3400 y(\177)1906
3396 y(orp)r(er)g(durc)n(hgehend)f(den)i(end-)165 3496
y(lic)n(hen)k(K)473 3500 y(\177)473 3496 y(orp)r(er)e
Fr(K)37 b Ft(:=)32 b Fr(GF)12 b Ft(\()p Fr(q)s Ft(\))33
b(mit)h Fr(q)h Ft(Elemen)n(ten)e(v)n(erw)n(enden.)e Fr(GF)45
b Ft(ist)33 b(dab)r(ei)g(eine)165 3595 y(Abk)319 3599
y(\177)317 3595 y(urzung)f(f)626 3599 y(\177)624 3595
y(ur)g(das)f(W)-7 b(ort)31 b(Galois-F)-7 b(eld.)31 b(Man)h(k)-5
b(ann)32 b(zeigen,)f(da\031)g(es)g(genau)g(dann)165 3695
y(einen)23 b(K)442 3699 y(\177)442 3695 y(orp)r(er)d(mit)j
Fr(q)i Ft(Elemen)n(ten)d(gibt,)g(w)n(enn)g Fr(q)j Ft(ein)d(Primzahlp)r
(otenz)g(ist,)g(d.h.)g(w)n(enn)165 3794 y(es)i(eine)g(Primzahl)g
Fr(p)g Ft(und)g(eine)h(nat)1298 3798 y(\177)1296 3794
y(urlic)n(he)e(Zahl)h Fr(n)g Ft(mit)h Fr(q)h Ft(=)c Fr(p)2163
3764 y Fk(n)2233 3794 y Ft(gibt.)i(Dieser)g(K)2738 3798
y(\177)2738 3794 y(orp)r(er)165 3894 y(ist)k(zudem)g(durc)n(h)f(die)h
(Angab)r(e)f(v)n(on)g Fr(q)k Ft(bis)c(auf)h(Isomorphie)f(eindeutig)g(b)
r(estimm)n(t.)290 4093 y(Wir)19 b(k)n(ennen)g(bisher)g(lediglic)n(h)g
(die)g(endlic)n(hen)h(K)1826 4097 y(\177)1826 4093 y(orp)r(er)d
Fr(GF)12 b Ft(\()p Fr(p)p Ft(\))24 b(=)f Fm(Z)p Fr(=p)p
Fm(Z)c Ft(f)2624 4097 y(\177)2622 4093 y(ur)g(Prim-)165
4193 y(zahlen)i Fr(p)p Ft(.)h(Da)f(die)g(meisten)h(An)n(w)n(endungen)f
(jedo)r(c)n(h)g(n)n(ur)g(den)h(K)2201 4197 y(\177)2201
4193 y(orp)r(er)e Fm(Z)p Fr(=)p Ft(2)p Fm(Z)h Ft(mit)h(zw)n(ei)165
4293 y(Elemen)n(ten)35 b(\(bin)729 4297 y(\177)729 4293
y(ares)f(System)h(der)f(Computer!\))h(b)r(en)n(utzen,)h(w)n(ollen)e
(wir)g(die)h(Kon-)165 4392 y(struktion)g(der)684 4396
y(\177)681 4392 y(ubrigen)g(K)1054 4396 y(\177)1054 4392
y(orp)r(er)e Fr(GF)12 b Ft(\()p Fr(q)s Ft(\))36 b(hier)e(nic)n(h)n(t)h
(durc)n(hf)2171 4396 y(\177)2169 4392 y(uhren)g(und)g(v)n(erw)n(eisen)
165 4492 y(den)28 b(in)n(teressierten)f(Leser)f(auf)i(Lehrb)1404
4496 y(\177)1402 4492 y(uc)n(her)e(der)i(Algebra.)p eop
end
%%Page: 215 76
TeXDict begin 215 75 bop 1499 100 a Fn(6.4)43 b(Ein)26
b(Kapitel)g(Co)r(dierungstheorie)153 b(215)165 282 y
Fq(De\014nition)31 b(6.4.1)40 b(\(W)985 286 y(\177)985
282 y(orterbuc)m(h)33 b(der)e(Co)s(dierung\))c Ft(Ein)g
Fp(Co)l(de)35 b Ft(ist)28 b(eine)f(Men-)165 382 y(ge)39
b Fr(C)46 b Ft(\(v)n(on)39 b(Zeic)n(hen,)g(die)h(geeignet)e(sind,)i
(Informationen)f(zu)g(sp)r(eic)n(hern)g(und)h(zu)168
486 y(\177)165 482 y(ub)r(ermitteln\).)32 b(Eine)d Fp(Chi\013r)l(e)38
b Ft(o)r(der)29 b(eine)h Fp(V)-6 b(erschl)1780 486 y(\177)1780
482 y(usselung)37 b Ft(\()p Fp(Co)l(dierung)i Ft(o)r(der)30
b Fp(Chif-)165 581 y(frierung)7 b Ft(\))26 b(ist)e(eine)g(Abbildung)g
Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(C)1379 593 y Fl(1)1440 581 y Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(C)1622 593 y Fl(2)1683 581 y Ft(eines)h(Co)r(des)g(in)g
(einen)g(anderen.)g(Eine)165 681 y Fp(De)l(chi\013rierung)30
b Ft(einer)21 b(Chi\013re)h Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fr(C)1354
693 y Fl(1)1415 681 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(C)1597
693 y Fl(2)1656 681 y Ft(ist)f(eine)f(Abbildung)h Fr(g)k
Ft(:)d Fr(C)2503 693 y Fl(2)2564 681 y Fo(\000)-49 b(!)23
b Fr(C)2745 693 y Fl(1)2805 681 y Ft(mit)165 780 y Fr(g)s(f)39
b Ft(=)30 b(id.)i(Die)h(Quelle)e(einer)h(Chi\013re)g
Fr(f)39 b Ft(:)30 b Fr(C)1604 792 y Fl(1)1672 780 y Fo(\000)-48
b(!)30 b Fr(C)1861 792 y Fl(2)1931 780 y Ft(hei\031t)i
Fp(Klartext)p Ft(,)f(ein)h(Elemen)n(t)165 880 y(des)g(Klartextes)e
(hei\031t)i Fp(Nachrichtenwort)p Ft(.)i(Ein)d(Elemen)n(t)h(des)f
(Bildes)h(einer)f(Chi\013re)165 980 y(hei\031t)36 b Fp(Co)l(dewort)p
Ft(.)h(Eine)e(Co)r(dierung)f(hei\031t)h Fp(line)l(ar)l(e)j(Co)l
(dierung)p Ft(,)f(w)n(enn)e Fr(C)2586 992 y Fl(1)2659
980 y Ft(und)h Fr(C)2892 992 y Fl(2)165 1079 y Ft(V)-7
b(ektorr)441 1083 y(\177)441 1079 y(aume)26 b(sind)g(und)h
Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(C)1178 1091 y Fl(1)1239 1079 y
Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(C)1420 1091 y Fl(2)1485 1079
y Ft(eine)j(lineare)g(Abbildung)h(ist.)g(Sinn)n(v)n(oll)f(sind)165
1179 y(n)n(ur)h(Co)r(dierungen)g Fr(f)9 b Ft(,)28 b(die)f(injektiv)i
(sind.)165 1345 y Fq(Beispiele)h(6.4.2)39 b Ft(1.)28
b(Sprac)n(hen)e(im)i(Sinne)g(v)n(on)f(3.1.6,)g(d.h.)h(b)r(eliebige)g
(Mengen)f(v)n(on)165 1493 y(")204 1445 y(strings)-6 b(\\)32
b(o)r(der)27 b(W)786 1449 y(\177)786 1445 y(ortern)1038
1449 y(\177)1036 1445 y(ub)r(er)g(einem)h(b)r(eliebigen)g(Alphab)r(et)g
Fr(A)p Ft(.)290 1544 y(2.)h(Das)g(Zahlensystem,)g(d.h.)g(die)h(mit)g
(den)g(Zi\013ern)f(0)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(9)29
b(und)h(den)f(Zeic)n(hen)g Fr(:)165 1644 y Ft(und)f Fo(\000)g
Ft(dargestellten)e(Zahlen.)290 1743 y(3.)d(Das)g(Morsealphab)r(et,)f
(das)h(mit)h(den)g(Zeic)n(hen)f Fr(:)g Ft(\(dit\))i(und)f
Fo(\000)f Ft(\(dah\))h(aufgebaut)165 1843 y(wird.)290
1943 y(4.)j(Die)h Fr(q)s Ft(-)f(und)h(die)g Fr(z)t Ft(-Grupp)r(en)f(in)
g(der)h(Morsesprac)n(he,)c(das)j(sind)h(Grupp)r(en)g(v)n(on)165
2042 y(drei)39 b(Buc)n(hstab)r(en)f(des)h(\(Buc)n(hstab)r(en-\)Alphab)r
(ets,)g(die)g(mit)h Fr(q)i Ft(bzw.)d Fr(z)j Ft(b)r(eginnen,)165
2142 y(z.B.)28 b(qth)g(=)f(Standort.)290 2242 y(5.)g(Die)h(Barco)r(des)
e(zur)h(Bezeic)n(hn)n(ung)g(v)n(on)g(W)-7 b(aren)27 b(im)h(Sup)r
(ermarkt.)290 2341 y(6.)36 b(Der)g(ISBN-Co)r(de)g(\(In)n(ternational)f
(Standard)h(Bo)r(ok)g(Num)n(b)r(er\),)g(wie)h(z.B.)f(3-)165
2441 y(519-02211-7,)23 b(w)n(ob)r(ei)k(die)h(einzelnen)g(Grupp)r(en)g
(folgendes)f(b)r(edeuten:)504 2540 y(3)h(=)f(Ersc)n(hein)n(ungsland)504
2640 y(519)g(=)g(V)-7 b(erlag)504 2740 y(02211)26 b(=)h(fortlaufende)g
(Buc)n(hn)n(ummer)504 2839 y(7)h(=)f(Pr)758 2843 y(\177)756
2839 y(ufn)n(ummer.)165 2939 y(Die)32 b(Pr)412 2943 y(\177)410
2939 y(ufung)f(auf)g(eine)h(k)n(orrekte)1304 2922 y(\177)1294
2939 y(Ub)r(ertragung)e(\(F)-7 b(ehlererk)n(enn)n(ung\))31
b(gesc)n(hieh)n(t)f(im)165 3039 y(Beispiel)d(durc)n(h)717
3021 y(\177)706 3039 y(Ub)r(erpr)967 3043 y(\177)965
3039 y(ufung)h(v)n(on)e(10)17 b Fo(\001)h Ft(3)f(+)g(9)h
Fo(\001)g Ft(5)f(+)g(8)h Fo(\001)f Ft(1)h(+)f(7)g Fo(\001)h
Ft(9)g(+)f(6)g Fo(\001)h Ft(0)g(+)f(5)g Fo(\001)h Ft(2)f(+)h(4)f
Fo(\001)165 3138 y Ft(2)k(+)g(3)f Fo(\001)i Ft(1)e(+)h(2)g
Fo(\001)g Ft(1)f(+)h(1)g Fo(\001)g Ft(7)29 b Fo(\021)g
Ft(0\(mo)r(d)f(11\).)j(Die)h(Restklassen)n(b)r(erec)n(hn)n(ung)e(mo)r
(dulo)h(11)165 3238 y(k)-5 b(ann)33 b(wie)g(in)g(Beispiel)g(3.6.4)e(5.)
i(durc)n(h)f(Bildung)h(der)f(alternierenden)g(Quersumme)165
3337 y(v)n(orgenommen)26 b(w)n(erden.)290 3437 y(7.)k(Beliebiger)f(T)-7
b(ext)30 b(der)g(Umgangssprac)n(he)e(k)-5 b(ann)30 b(in)g(einen)h
(linearen)e(Co)r(de)h Fr(K)2884 3407 y Fk(n)165 3537
y Ft(f)192 3541 y(\177)190 3537 y(ur)i Fr(K)j Ft(=)29
b Fr(GF)12 b Ft(\()p Fr(q)s Ft(\))770 3541 y(\177)767
3537 y(ub)r(ersetzt)32 b(w)n(erden,)f(indem)h(man)f(zun)2015
3541 y(\177)2015 3537 y(ac)n(hst)g(den)h(T)-7 b(ext)32
b(jew)n(eils)f(in)165 3636 y(Grupp)r(en)k(v)n(on)f Fr(l)i
Ft(Buc)n(hstab)r(en)f(und)g(Abst)1551 3640 y(\177)1551
3636 y(ande)f(\(und)i(evtl.)e(sonstige)g(Zeic)n(hen\))g(zu-)165
3736 y(sammenfa\031t.)d(Bei)h(der)f(V)-7 b(erw)n(endung)31
b(v)n(on)f Fr(a;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(z)t(;)g(A;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(Z)q
(;)p Fp(Zwischenr)l(aum)38 b Ft(sind)165 3836 y(also)25
b(53)414 3805 y Fk(l)465 3836 y Ft(v)n(ersc)n(hiedene)g(solc)n(he)g(T)
-7 b(extgrupp)r(en)26 b(m)1742 3840 y(\177)1742 3836
y(oglic)n(h.)f(Diesen)h(w)n(eist)g(man)g(in)h(einer)165
3935 y(b)r(eliebig)j(festzulegenden)f(W)-7 b(eise)29
b(eb)r(enso)g(viele)g(v)n(ersc)n(hiedene)f(Elemen)n(te)h(in)g
Fr(K)2749 3905 y Fk(n)2823 3935 y Ft(zu.)165 4044 y(Damit)f(b)r(estimm)
n(t)h(sic)n(h)e Fr(l)i Ft(aus)e(53)1242 4013 y Fk(l)1290
4044 y Fo(\024)22 b Fr(q)1417 4013 y Fk(n)1490 4044 y
Ft(als)27 b Fr(l)e Fo(\024)d Fr(n)d Fo(\001)1889 4003
y Fl(ln\()p Fk(q)r Fl(\))p 1872 4024 174 4 v 1872 4072
a(ln\(53\))2056 4044 y Ft(.)290 4219 y(Wir)44 b(w)n(erden)f(im)i
(folgenden)e(n)n(ur)h(lineare)f(Co)r(des)h(der)f(F)-7
b(orm)44 b Fr(C)57 b Ft(=)50 b Fr(K)2716 4189 y Fk(n)2805
4219 y Ft(mit)165 4319 y Fr(K)33 b Ft(=)26 b Fr(GF)12
b Ft(\()p Fr(q)s Ft(\))31 b(v)n(erw)n(enden)d(mit)j(der)e(linearen)h
(Chi\013rierung)f Fr(f)35 b Ft(:)27 b Fr(K)2321 4289
y Fk(k)2388 4319 y Fo(\000)-48 b(!)27 b Fr(K)2592 4289
y Fk(n)2636 4319 y Ft(.)j(W)-7 b(egen)165 4418 y(der)30
b(not)n(w)n(endigen)f(Dec)n(hi\013rierung)g(wird)h Fr(f)38
b Ft(immer)30 b(als)f(Monomorphism)n(us)g(v)n(oraus-)165
4518 y(gesetzt.)p eop end
%%Page: 216 77
TeXDict begin 216 76 bop 165 100 a Fn(216)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Fq(De\014nition)k(6.4.3)40 b Ft(Sei)30 b Fr(K)1062
252 y Fk(n)1137 282 y Ft(ein)g(linearer)f(Co)r(de.)h(Die)g
Fp(Hamming)2319 252 y Fl(1)2357 282 y Fp(-Metrik)39 b
Ft(auf)30 b Fr(K)2884 252 y Fk(n)165 382 y Ft(ist)22
b(die)f(Abbildung)h Fr(d)h Ft(:)g Fr(K)993 352 y Fk(n)1043
382 y Fo(\002)5 b Fr(K)1190 352 y Fk(n)1258 382 y Fo(\000)-48
b(!)23 b Fm(N)1454 394 y Fl(0)1513 382 y Ft(mit)f Fr(d)p
Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))23 b(:=)e(Anzahl)g(der)g
Fr(i)i Fo(2)g(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n)p
Fo(g)165 482 y Ft(mit)25 b Fr(\030)350 494 y Fk(i)401
482 y Fo(6)p Ft(=)e Fr(\021)530 494 y Fk(i)558 482 y
Ft(.)h(Die)g(Au\013assung)g(ist)g(hierb)r(ei,)h(da\031)e
Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))25 b(die)f(Anzahl)g(der)g(Ko)r
(e\016zien-)165 581 y(ten)f(v)n(on)f Fr(x)h Ft(angibt,)f(die)g(in)h
Fr(y)i Ft(anders)c(\(falsc)n(h\))i(angegeb)r(en)e(w)n(erden.)h(Der)g(W)
-7 b(ert)22 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))165
681 y(hei\031t)22 b Fp(Hamming-A)n(bstand)30 b Ft(v)n(on)21
b Fr(x)i Ft(und)f Fr(y)s Ft(.)f(Die)i Fp(Hamming-Gewichtsfunktion)29
b Ft(ist)22 b(die)165 780 y(Abbildung)34 b Fo(k)p Fr(:)p
Fo(k)d Ft(:)h Fr(K)849 750 y Fk(n)926 780 y Fo(\000)-49
b(!)33 b Fm(N)1131 792 y Fl(0)1202 780 y Ft(mit)g Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)f Ft(:=)f Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b Ft(0\).)34
b(Das)f(ist)g(die)g(Anzahl)g(der)g(v)n(on)165 880 y(Null)c(v)n(ersc)n
(hiedenen)d(Komp)r(onen)n(ten)h(v)n(on)g Fr(x)p Ft(.)165
1043 y Fq(De\014nition)k(6.4.4)40 b Ft(Ein)24 b(P)n(aar)f(\()p
Fr(M)t(;)14 b(d)p Ft(\))25 b(hei\031t)g Fp(metrischer)j(R)l(aum)e(mit)h
(der)g(Metrik)35 b Fr(d)p Ft(,)165 1142 y(w)n(enn)28
b Fr(M)36 b Ft(eine)28 b(Menge)f(und)h Fr(d)23 b Ft(:)g
Fr(M)k Fo(\002)18 b Fr(M)32 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fm(R)k
Ft(eine)h(Abbildung)g(sind)g(mit)207 1290 y(1.)41 b Fo(8)p
Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(M)9 b Ft([)p Fr(d)p Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))23 b(=)g(0)f Fo(\()-14 b(\))24 b
Fr(x)f Ft(=)g Fr(y)s Ft(],)207 1389 y(2.)41 b Fo(8)p
Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(M)9 b Ft([)p Fr(d)p Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))23 b(=)g Fr(d)p Ft(\()p Fr(y)s(;)14
b(x)p Ft(\)],)207 1489 y(3.)41 b Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)s(;)g(z)26
b Fo(2)e Fr(M)9 b Ft([)p Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(z)t
Ft(\))23 b Fo(\024)f Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))20
b(+)e Fr(d)p Ft(\()p Fr(y)s(;)c(z)t Ft(\)])27 b(\(Dreiec)n(ksungleic)n
(h)n(ung\).)165 1652 y Fq(Lemma)32 b(6.4.5)40 b Fp(Die)30
b(Hamming-Metrik)g(ist)g(eine)g(Metrik)h(auf)47 b Fr(K)2346
1621 y Fk(n)2391 1652 y Fp(.)165 1820 y(Beweis.)d Ft(folgt)27
b(unmittelbar)h(aus)f(der)g(De\014nition.)290 1989 y(Wir)j(v)n(ermerk)n
(en)f(no)r(c)n(h)h(eine)g(leic)n(h)n(t)g(einzusehende)g(zus)2081
1993 y(\177)2081 1989 y(atzlic)n(he)g(T)-7 b(ranslationsin-)165
2089 y(v)i(arianz)22 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))23 b(=)g Fr(d)p Ft(\()p Fr(x)8 b Ft(+)g Fr(z)t(;)14
b(y)d Ft(+)d Fr(z)t Ft(\),)20 b(die)i(zeigt,)g(da\031)g
Fr(d)g Ft(durc)n(h)g(das)g(Hamming-Gewic)n(h)n(t)165
2188 y Fo(k)p Fr(:)p Fo(k)27 b Ft(sc)n(hon)g(v)n(ollst)723
2192 y(\177)723 2188 y(andig)f(b)r(estimm)n(t)j(ist,)e(denn)h
Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b(=)f Fo(k)p Fr(x)18
b Fo(\000)g Fr(y)s Fo(k)p Ft(.)290 2383 y(Ein)27 b(w)n(eiteres)e(b)r
(ek)-5 b(ann)n(tes)27 b(Beispiel)g(f)1478 2387 y(\177)1476
2383 y(ur)g(eine)g(Metrik)g(ist)g(der)f(reelle)g(V)-7
b(ektorraum)165 2483 y Fm(R)225 2453 y Fk(n)298 2483
y Ft(mit)28 b(der)g(sogenann)n(ten)e(Euklidisc)n(hen)h(Metrik)g(\(vgl.)
h(Kapitel)f(8\))1091 2765 y Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))23 b(=)1437 2596 y Fj(v)1437 2642 y(u)1437 2692
y(u)1437 2742 y(t)p 1525 2596 457 4 v 1564 2662 a Fk(n)1525
2686 y Fj(X)1531 2863 y Fk(i)p Fl(=1)1645 2765 y Ft(\()p
Fr(\030)1713 2777 y Fk(i)1759 2765 y Fo(\000)18 b Fr(\021)1883
2777 y Fk(i)1911 2765 y Ft(\))1943 2741 y Fl(2)1981 2765
y Fr(:)165 3040 y Fq(Lemma)32 b(6.4.6)40 b Fp(F)796 3044
y(\177)796 3040 y(ur)29 b(das)i(Hamming-Gewicht)38 b
Fo(k)p Fr(:)p Fo(k)23 b Ft(:)g Fr(K)2015 3009 y Fk(n)2082
3040 y Fo(\000)-46 b(!)23 b Fm(N)2281 3052 y Fl(0)2348
3040 y Fp(gelten)204 3187 y(1.)42 b Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)22
b Ft(=)h(0)g Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(x)g Ft(=)g(0)p Fr(;)204
3286 y Fp(2.)42 b Fo(8)p Fr(\025)24 b Fo(6)p Ft(=)e(0[)p
Fo(k)p Fr(\025x)p Fo(k)h Ft(=)f Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)p
Ft(])p Fr(;)204 3386 y Fp(3.)42 b Fo(k)p Fr(x)18 b Ft(+)g
Fr(y)s Fo(k)23 b(\024)f(k)p Fr(x)p Fo(k)c Ft(+)g Fo(k)p
Fr(y)s Fo(k)p Fr(:)165 3555 y Fp(Beweis.)44 b Ft(leic)n(h)n(t)24
b(nac)n(hzurec)n(hnen,)g(da)g Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)h Ft(die)g(Anzahl)g
(der)f(v)n(on)g(Null)i(v)n(ersc)n(hiedenen)165 3654 y(Komp)r(onen)n
(ten)h(v)n(on)g Fr(x)h Ft(ist.)165 3823 y Fq(De\014nition)j(6.4.7)40
b Ft(Ein)c(Monomorphism)n(us)f Fr(f)46 b Ft(:)38 b Fr(K)1915
3793 y Fk(k)1993 3823 y Fo(\000)-49 b(!)38 b Fr(K)2207
3793 y Fk(n)2288 3823 y Ft(wird)e(eine)h(\()p Fr(k)s(;)14
b(n)p Ft(\))36 b Fp(-)165 3923 y(line)l(ar)l(e)e(Co)l(dierung)39
b Ft(genann)n(t.)30 b(Die)h(darstellende)f(Matrix)g(v)n(on)g
Fr(f)40 b Ft(hei\031t)31 b Fp(erzeugende)165 4022 y(Matrix)p
Ft(.)37 b(Eine)g(lineare)e(Abbildung)i Fr(h)h Ft(:)g
Fr(K)1585 3992 y Fk(n)1668 4022 y Fo(\000)-49 b(!)38
b Fr(K)1882 3992 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)2052 4022 y
Ft(hei\031t)e Fp(Kontr)l(ol)t(labbildung)p Ft(,)165 4122
y(w)n(enn)21 b(Ke)o(\()p Fr(h)p Ft(\))j(=)e(Bi\()p Fr(f)9
b Ft(\).)21 b(Die)g(darstellende)f(Matrix)g(v)n(on)g
Fr(h)g Ft(hei\031t)h Fp(Kontr)l(ol)t(lmatrix)p Ft(.)g(Die)165
4222 y Fp(Hamming-Norm)32 b Ft(o)r(der)25 b(der)g Fp(Hamming-A)n
(bstand)34 b Ft(einer)25 b(\()p Fr(k)s(;)14 b(n)p Ft(\)-linearen)25
b(Co)r(dierung)165 4321 y Fr(f)37 b Ft(ist)27 b(de\014niert)h(als)875
4498 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)22 b Ft(:=)h(Min)1301 4431
y Fj(\010)1349 4498 y Fo(k)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fo(k)14 b(j)p Fr(x)23 b Fo(2)h Fr(K)1857 4464
y Fk(k)1897 4498 y Fr(;)14 b(x)24 b Fo(6)p Ft(=)e(0)2134
4431 y Fj(\011)2196 4498 y Fr(:)p 165 4578 394 4 v 195
4632 a Fe(1)255 4664 y Fn(Ric)n(hard)j(W.)h(Hamming)g(\(1915{1998\))p
eop end
%%Page: 217 78
TeXDict begin 217 77 bop 1499 100 a Fn(6.4)43 b(Ein)26
b(Kapitel)g(Co)r(dierungstheorie)153 b(217)290 282 y
Ft(Wir)36 b(b)r(emerk)n(en,)f(da\031)g Fr(x)i Fo(2)f
Ft(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))36 b(genau)f(dann,)h(w)n(enn)f
Fr(h)p Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))i(=)g(0.)e(Ein)g(solc)n(he)165
382 y(Kon)n(trollabbildung)24 b(existiert)g(immer,)h(wie)h(wir)e(z.B.)h
(in)h(6.1.4)d(gesehen)i(hab)r(en.)g(W)-7 b(ei-)165 482
y(ter)41 b(ist)f Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)44 b Ft(=)g(Min)p
Fo(f)p Fr(d)p Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\))p Fo(j)p Fr(x;)14
b(y)49 b Fo(2)c Fr(K)1747 451 y Fk(k)1787 482 y Fr(;)14
b(x)45 b Fo(6)p Ft(=)f Fr(y)s Fo(g)p Ft(,)c(w)n(eil)h
Fr(d)p Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14
b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\))46 b(=)165 581 y Fr(d)p
Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))20 b Fo(\000)e
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b Ft(0\))23 b(=)f
Fr(d)p Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)19 b Fo(\000)f Fr(y)s
Ft(\))p Fr(;)c Ft(0\))23 b(=)g Fo(k)p Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(x)18 b Fo(\000)g Fr(y)s Ft(\))p Fo(k)p Ft(.)290 778
y(Im)28 b(folgenden)f(Satz)h(gehen)f(wir)g(v)n(on)g(der)g(allgemeinen)g
(V)-7 b(orstellung)27 b(aus:)p 549 941 364 4 v 549 1048
4 108 v 577 1023 a(Klartext)p 909 1048 V 549 1051 364
4 v 968 968 a(Co)r(dierung)1089 1023 y Fo(\000)-14 b(!)p
1399 941 302 4 v 1399 1048 4 108 v 205 w Ft(Sender)p
1697 1048 V 1399 1051 302 4 v 1766 946 a(\177)1756 963
y(Ub)r(ertragung/St)2339 967 y(\177)2339 963 y(orung)2084
1023 y Fo(\000)f(!)p 857 1179 453 4 v 857 1302 4 124
v 886 1261 a Ft(Empf)1083 1265 y(\177)1083 1261 y(anger)p
1306 1302 V 857 1305 453 4 v 1365 1206 a(Deco)r(dierung)1525
1261 y Fo(\000)g(!)p 1874 1179 364 4 v 1874 1286 4 108
v 244 w Ft(Klartext)p 2234 1286 V 1874 1289 364 4 v 165
1419 a(Es)36 b(wird)g(also)f(ein)h(Klartext)g(co)r(diert,)1463
1423 y(\177)1460 1419 y(ub)r(er)h(eine)f(Informationsleitung)f(zum)i
(Em-)165 1519 y(pf)236 1523 y(\177)236 1519 y(anger)463
1523 y(\177)461 1519 y(ub)r(ermittelt,)27 b(\(w)n(ob)r(ei)e(der)g(T)-7
b(ext)26 b(aufgrund)f(der)g(Co)r(dierung)g(ev)n(en)n(tuell)g(auc)n(h)
165 1619 y(abh)299 1623 y(\177)299 1619 y(orsic)n(her)c(ist,\))j(wird)f
(auf)g(der)1239 1601 y(\177)1229 1619 y(Ub)r(ertragungsstrec)n(k)n(e)d
(mit)k(St)2220 1623 y(\177)2220 1619 y(orungen)e(v)n(ersc)n(hiede-)165
1718 y(ner)i(Art)g(v)n(er)568 1722 y(\177)568 1718 y(andert)e(und)j(b)r
(eim)f(Empf)1387 1722 y(\177)1387 1718 y(anger)f(wieder)h(deco)r
(diert.)f(Wir)h(w)n(ollen)g(Metho-)165 1818 y(den)29
b(\014nden,)h(die)f(F)-7 b(ehler)29 b(b)r(ei)g(der)1276
1801 y(\177)1266 1818 y(Ub)r(ertragung)e(zu)i(erk)n(ennen)f(und)i(m)
2457 1822 y(\177)2457 1818 y(oglic)n(hst)e(auc)n(h)165
1918 y(zu)34 b(k)n(orrigieren.)d(W)-7 b(enn)35 b(also)d
Fr(x)j Ft(ein)e(co)r(diertes)h(ausgesandtes)e(W)-7 b(ort)33
b(ist)h(und)g Fr(y)j Ft(das)165 2017 y(empfangene)32
b(W)-7 b(ort)33 b(ist,)f(dann)h(soll)f(festgestellt)g(w)n(erden,)g(ob)g
(es)g(tats)2442 2021 y(\177)2442 2017 y(ac)n(hlic)n(h)g(durc)n(h)165
2117 y(die)e(Co)r(dierung)f(en)n(tstanden)h(ist)g(o)r(der)f(v)n(er)1551
2121 y(\177)1551 2117 y(andert)f(wurde)h(und)h(ob)g(man)f(daraus)g(das)
165 2216 y(W)-7 b(ort)30 b Fr(x)h Ft(rek)n(onstruieren)d(k)-5
b(ann.)30 b(W)-7 b(enn)31 b(b)r(ei)g(einer)e(Co)r(dierung)h
Fr(f)35 b Ft(:)28 b Fr(K)2425 2186 y Fk(k)2492 2216 y
Fo(\000)-48 b(!)27 b Fr(K)2696 2186 y Fk(n)2771 2216
y Ft(F)-7 b(eh-)165 2316 y(ler)34 b(an)g(h)460 2320 y(\177)460
2316 y(oc)n(hstens)f Fr(r)38 b Ft(Stellen)c(des)1303
2320 y(\177)1300 2316 y(ub)r(ertragenen)f(W)-7 b(ortes)34
b(immer)g(erk)-5 b(ann)n(t)34 b(w)n(erden)165 2416 y(k)209
2420 y(\177)209 2416 y(onnen,)25 b(so)e(sagen)h(wir,)g(da\031)g(die)h
(Co)r(dierung)e Fr(r)r Ft(-fehleren)n(tdec)n(k)n(end)h(ist.)h(W)-7
b(enn)25 b(F)-7 b(ehler)165 2515 y(an)25 b(h)324 2519
y(\177)324 2515 y(oc)n(hstens)f Fr(s)h Ft(Stellen)g(durc)n(h)g(die)g
(restlic)n(he)f(Information)g(im)2244 2519 y(\177)2242
2515 y(ub)r(ertragenen)f(W)-7 b(ort)165 2615 y(k)n(orrigiert)25
b(w)n(erden)i(k)858 2619 y(\177)858 2615 y(onnen,)h(so)f(hei\031t)g
(die)h(Co)r(dierung)f Fr(s)p Ft(-fehlerk)n(orrigierend.)165
2779 y Fq(Satz)33 b(6.4.8)40 b Fp(Sei)e Fr(f)32 b Ft(:)23
b Fr(K)958 2749 y Fk(k)1021 2779 y Fo(\000)-46 b(!)23
b Fr(K)1223 2749 y Fk(n)1297 2779 y Fp(eine)36 b Ft(\()p
Fr(k)s(;)14 b(n)p Ft(\))p Fp(-line)l(ar)l(e)30 b(Co)l(dierung,)h(sei)38
b Fr(C)29 b Ft(:=)23 b(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))165 2879
y Fp(und)30 b(sei)38 b Fr(y)26 b Fo(2)e Fr(K)687 2848
y Fk(n)731 2879 y Fp(.)204 3027 y(1.)42 b(\(F)-6 b(ehler)l
(erkennung:\))29 b(Wenn)g(es)g(ein)36 b Fr(x)23 b Fo(2)h
Fr(C)35 b Fp(mit)i Fr(x)24 b Fo(6)p Ft(=)e Fr(y)32 b
Fp(gibt,)e(so)f(da\031)39 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))24 b Fr(<)313 3126 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)p Fp(,)29
b(dann)h(ist)37 b Fr(y)e(=)-51 b Fo(2)23 b Fr(C)6 b Fp(,)31
b(d.h.)g(das)g(Wort)37 b Fr(y)c Fp(ist)c(kein)i(Co)l(dewort,)g(also)g
(falsch.)204 3226 y(2.)42 b(\(F)-6 b(ehlerkorr)l(ektur:\))28
b(Wenn)f(es)h(ein)34 b Fr(x)23 b Fo(2)h Fr(C)33 b Fp(gibt)28
b(mit)35 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b Fr(<)2383
3193 y Fl(1)p 2383 3207 34 4 v 2383 3255 a(2)2426 3226
y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)p Fp(,)26 b(dann)i(gilt)313 3326
y(f)338 3330 y(\177)338 3326 y(ur)36 b(al)t(le)43 b Fr(z)38
b Fo(2)d Fr(C)q(;)14 b(z)38 b Fo(6)p Ft(=)c Fr(x)p Ft([)p
Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))36 b Fr(<)e(d)p Ft(\()p
Fr(z)t(;)14 b(y)s Ft(\)])p Fp(,)36 b(d.h.)i Fr(x)e Fp(ist)g(das)h
(einzige)g(Element)313 3425 y(von)i Fr(C)f Fp(mit)32
b(dem)h(ge)l(geb)l(enen)g(A)n(bstand)40 b Fr(d)p Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))33 b Fp(und)f(somit)h(eindeutig)g(dur)l(ch)38
b Fr(y)313 3525 y Fp(b)l(estimmt.)165 3696 y(Beweis.)44
b Ft(1.)27 b(W)-7 b(enn)28 b Fr(y)d Fo(2)f Fr(C)33 b
Ft(w)1106 3700 y(\177)1106 3696 y(are,)27 b(so)f(w)1429
3700 y(\177)1429 3696 y(are)h Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14
b(y)s Ft(\))24 b Fo(\025)e(k)p Fr(f)9 b Fo(k)26 b Ft(o)r(der)h
Fr(x)c Ft(=)g Fr(y)30 b Ft(nac)n(h)d(De\014ni-)165 3795
y(tion)h(v)n(on)f Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)p Ft(.)290 3895
y(2.)29 b(F)440 3899 y(\177)438 3895 y(ur)g Fr(z)g Fo(2)d
Fr(C)36 b Ft(und)30 b Fr(z)f Fo(6)p Ft(=)c Fr(x)30 b
Ft(gilt)g(2)p Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))26
b Fr(<)f Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)25 b(\024)g Fr(d)p Ft(\()p
Fr(x;)14 b(z)t Ft(\))26 b Fo(\024)g Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14
b(y)s Ft(\))20 b(+)f Fr(d)p Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b(z)t
Ft(\),)165 3995 y(also)27 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))24 b Fr(<)e(d)p Ft(\()p Fr(z)t(;)14 b(y)s Ft(\).)290
4166 y(W)-7 b(enn)27 b(b)r(ei)h(der)813 4148 y(\177)802
4166 y(Ub)r(ertragung)e(v)n(on)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(a)p
Ft(\))27 b(w)n(eniger)f(als)2068 4133 y Fl(1)p 2068 4147
V 2068 4194 a(2)2111 4166 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)26 b
Ft(F)-7 b(ehler)27 b(aufgetreten)165 4265 y(sind)41 b(und)f
Fr(y)47 b Fo(2)d Fr(K)796 4235 y Fk(n)881 4265 y Ft(empfangen)c(wurde,)
g(dann)g(ist)h(also)e Fr(x)44 b Fo(2)g Fr(C)j Ft(mit)41
b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))45 b Fr(<)175 4332
y Fl(1)p 175 4346 V 175 4394 a(2)218 4365 y Fo(k)p Fr(f)9
b Fo(k)25 b Ft(das)525 4369 y(\177)523 4365 y(ub)r(ertragene)f(Elemen)n
(t)h Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(a)p Ft(\).)26 b(Somit)g(ist)f(eine)h(lineare)f
(Co)r(dierung)f(immer)165 4465 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)18
b(\000)h Ft(1-fehlererk)n(ennend)27 b(und)i([)1269 4432
y Fl(1)p 1269 4446 V 1269 4493 a(2)1312 4465 y Ft(\()p
Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)19 b(\000)f Ft(1\)]-fehlerk)n(orrigierend.)26
b(Es)i(k)n(omm)n(t)g(also)165 4564 y(jetzt)36 b(darauf)f(an,)f(Co)r
(dierungen)h Fr(f)44 b Ft(mit)35 b(m)1586 4568 y(\177)1586
4564 y(oglic)n(hst)f(gro\031er)f(Norm)i Fo(k)p Fr(f)9
b Fo(k)33 b Ft(zu)j(\014nden.)165 4664 y(Wir)28 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f
(einige)p eop end
%%Page: 218 79
TeXDict begin 218 78 bop 165 100 a Fn(218)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Fq(Beispiele)j(6.4.9)39 b Ft(1.)29 b(P)n(arit)1083
286 y(\177)1083 282 y(ats-Pr)1310 286 y(\177)1308 282
y(ufungs-Co)r(des)24 b(\(P)n(arit)n(y-Chec)n(k-Co)r(des\):)i(Sei)i
Fr(n)d Fo(\025)165 382 y Ft(2)42 b(und)g Fr(k)50 b Ft(=)d
Fr(n)27 b Fo(\000)h Ft(1)42 b(und)g Fr(f)55 b Ft(:)48
b Fr(K)1312 352 y Fk(k)1399 382 y Fo(\000)-49 b(!)47
b Fr(K)1622 352 y Fk(n)1709 382 y Ft(gegeb)r(en)41 b(durc)n(h)h
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\013)2422 394 y Fl(1)2459 382 y Fr(;)14
b(:::;)g(\013)2655 394 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)2785 382
y Ft(\))48 b(=)165 482 y(\()p Fr(\013)250 494 y Fl(1)288
482 y Fr(;)14 b(:::;)g(\013)484 494 y Fk(n)529 482 y
Ft(\))21 b(mit)g Fr(\013)780 494 y Fk(n)848 482 y Ft(=)i
Fo(\000)p Ft(\()p Fr(\013)1086 494 y Fl(1)1127 482 y
Ft(+)t Fr(:)14 b(:)g(:)t Ft(+)t Fr(\013)1419 494 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fl(1)1549 482 y Ft(\).)20 b(O\013en)n(bar)g(ist)g
Fr(f)29 b Ft(ein)21 b(Monomorphism)n(us.)165 581 y(W)-7
b(eiter)31 b(ist)f Fr(a)e Fo(2)g Ft(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))31
b(genau)e(dann,)i(w)n(enn)1629 519 y Fj(P)1716 539 y
Fk(n)1716 606 y(i)p Fl(=1)1842 581 y Fr(\013)1895 593
y Fk(i)1950 581 y Ft(=)d(0.)i(W)-7 b(enn)31 b Fr(q)f
Ft(=)e(2)i(ist,)g(dann)165 681 y(wird)j(jede)g(ungerade)e(Anzahl)i(v)n
(on)f(F)-7 b(ehlern)32 b(dadurc)n(h)g(erk)-5 b(ann)n(t,)32
b(da\031)2466 619 y Fj(P)2554 639 y Fk(n)2554 706 y(i)p
Fl(=1)2679 681 y Fr(\013)2732 693 y Fk(i)2792 681 y Ft(=)f(1)165
780 y(gilt.)g(Ein)g(gerade)f(Anzahl)h(v)n(on)f(F)-7 b(ehlern)31
b(wird)f(nic)n(h)n(t)h(erk)-5 b(ann)n(t.)31 b(F)2296
784 y(\177)2294 780 y(ur)g Fr(x)e Fo(2)g Ft(Bi\()p Fr(f)9
b Ft(\))31 b(und)165 880 y Fr(x)c Fo(6)p Ft(=)g(0)i(m)473
884 y(\177)471 880 y(ussen)h(mindestens)f(zw)n(ei)h(Ko)r(e\016zien)n
(ten)f(v)n(on)g(Null)h(v)n(ersc)n(hieden)f(sein,)g(also)165
980 y(ist)k Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)31 b Ft(=)h(2.)g(Damit)i(k)-5
b(ann)33 b(zw)n(ar)e(ein)i(F)-7 b(ehler)33 b(\(und)h(sogar)c(eine)j
(ungerade)f(Anzahl)165 1079 y(v)n(on)f(F)-7 b(ehlern\))31
b(erk)-5 b(ann)n(t)31 b(w)n(erden,)g(jedo)r(c)n(h)g(ergibt)g(sic)n(h)g
(k)n(eine)g(M)2241 1083 y(\177)2241 1079 y(oglic)n(hk)n(eit)f(zur)h
(Kor-)165 1179 y(rektur)c(v)n(on)f(F)-7 b(ehlern.)28
b(Diese)f(Co)r(dierungen)f(w)n(erden)h(z.B.)g(in)h(PCs)e(v)n(erw)n
(endet,)g(w)n(enn)165 1279 y(8-Bit)j(W)-7 b(orte)28 b(in)i(9-Bit)e(Sp)r
(eic)n(hern)h(gesp)r(eic)n(hert)f(w)n(erden)g(und)h(das)g(9.)f(Bit)i
(durc)n(h)e(die)165 1378 y(Abbildung)h Fr(f)36 b Ft(b)r(estimm)n(t)28
b(wird.)290 1478 y(2.)33 b(Wiederholungsco)r(de:)g(Eine)g(einfac)n(he)g
(M)1743 1482 y(\177)1743 1478 y(oglic)n(hk)n(eit)f(einer)h(sic)n
(hereren)2732 1460 y(\177)2721 1478 y(Ub)r(er-)165 1577
y(tragung)i(auf)h(einer)f(gest)987 1581 y(\177)987 1577
y(orten)1222 1560 y(\177)1212 1577 y(Ub)r(ertragungsstrec)n(k)n(e)e
(ist)j(die)g(dreifac)n(he)2625 1560 y(\177)2615 1577
y(Ub)r(ertra-)165 1677 y(gung)f(jedes)h(einzelnen)g(W)-7
b(ortes.)36 b(Dab)r(ei)g(ist)g Fr(n)g Ft(=)g(3)p Fr(k)j
Ft(und)d Fr(f)45 b Ft(:)37 b Fr(K)2353 1647 y Fk(k)2430
1677 y Fo(\000)-49 b(!)37 b Fr(K)2643 1647 y Fk(n)2724
1677 y Ft(durc)n(h)165 1777 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))34 b(=)f(\()p Fr(x;)14 b(x;)g(x)p Ft(\))35 b(gegeb)r(en.)e(Das)h
(ist)f(wieder)h(eine)f(lineare)g(Co)r(dierung.)g(Man)g(sieh)n(t)165
1876 y(sofort,)21 b(da\031)h Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)21
b Ft(=)i(3)e(ist,)i(also)e(ist)h(nac)n(h)f(6.4.8)g(diese)h(Co)r
(dierung)f(2-fehleren)n(tdec)n(k)n(end)165 1976 y(und)28
b(1-fehlerk)n(orrigierend.)290 2142 y(W)-7 b(enn)38 b(die)f(b)r(eiden)g
(V)-7 b(ektorr)1228 2146 y(\177)1228 2142 y(aume)36 b
Fr(K)1535 2112 y Fk(k)1612 2142 y Ft(und)i Fr(K)1865
2112 y Fk(n)1947 2142 y Ft(dieselb)r(e)f(Dimension)g(hab)r(en,)165
2242 y(dann)c(m)n(u\031)g(die)g(Co)r(dierung)f Fr(f)41
b Ft(ein)33 b(Isomorphism)n(us)e(sein.)i(Dann)g(ist)g
Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)31 b Ft(=)g(1)i(und)165 2341 y(eine)21
b(F)-7 b(ehleren)n(tdec)n(kung)20 b(o)r(der)g(-Korrektur)f(o\013en)n
(bar)g(nic)n(h)n(t)i(m)2154 2345 y(\177)2154 2341 y(oglic)n(h.)f
Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)20 b Ft(h)2608 2345 y(\177)2608
2341 y(angt)g(also)165 2441 y(o\013en)n(bar)27 b(auc)n(h)g(v)n(on)g
(den)g(gegeb)r(enen)g(Dimensionen)h(ab.)165 2607 y Fq(Satz)33
b(6.4.10)40 b Fp(Sei)j Fr(f)f Ft(:)32 b Fr(K)1030 2577
y Fk(k)1103 2607 y Fo(\000)-46 b(!)32 b Fr(K)1314 2577
y Fk(n)1394 2607 y Fp(eine)42 b Ft(\()p Fr(k)s(;)14 b(n)p
Ft(\)-lineare)32 b(Co)r(dierung)j Fp(und)43 b Fr(h)33
b Ft(:)f Fr(K)2884 2577 y Fk(n)165 2707 y Fo(\000)-46
b(!)23 b Fr(K)367 2676 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)524 2707
y Fp(eine)h(Kontr)l(ol)t(labbildung.)h(Sei)33 b Fr(B)27
b Fp(die)e(zugeh)1941 2711 y(\177)1942 2707 y(orige)g(Kontr)l(ol)t
(lmatrix.)f(Dann)165 2806 y(sind)36 b(je)42 b Fo(k)p
Fr(f)9 b Fo(k)22 b(\000)g Ft(1)34 b Fp(Sp)l(altenvektor)l(en)i(von)42
b Fr(B)d Fp(line)l(ar)d(unabh)2094 2810 y(\177)2095 2806
y(angig,)h(und)e(es)h(gibt)44 b Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)165
2906 y Fp(line)l(ar)44 b(abh)534 2910 y(\177)535 2906
y(angige)g(Sp)l(altenvektor)l(en,)g(d.h.)g Fo(k)p Fr(f)9
b Fo(k)41 b Fp(ist)i(die)g(Minimalzahl)j(von)c(line)l(ar)165
3005 y(abh)286 3009 y(\177)287 3005 y(angigen)32 b(Sp)l(altenvektor)l
(en)e(von)36 b Fr(B)t Fp(.)165 3180 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)23
b Fr(x)g Ft(=)769 3117 y Fj(P)870 3180 y Fr(\025)918
3192 y Fk(i)947 3180 y Fr(e)986 3192 y Fk(i)1036 3180
y Fo(2)g Ft(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))23 b(ein)g(v)n(on)g(Null)g(v)n(ersc)n
(hiedener)e(V)-7 b(ektor)22 b(mit)i Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)f
Ft(=)165 3279 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)23 b Ft(minimal.)h(Dann)h(sind)f
(genau)f Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)23 b Ft(F)-7 b(aktoren)23
b Fr(\025)1845 3291 y Fk(i)1897 3279 y Ft(v)n(on)g(Null)i(v)n(ersc)n
(hieden.)d(W)-7 b(egen)165 3379 y(0)23 b(=)g Fr(h)p Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))g(=)g Fr(B)6 b Fo(\001)r Fr(x)24 b Ft(=)841
3317 y Fj(P)942 3379 y Fr(\025)990 3391 y Fk(i)1018 3379
y Fr(b)1054 3391 y Fk(i)1101 3379 y Ft(sind)c(die)f Fo(k)p
Fr(f)9 b Fo(k)19 b Ft(Spalten)n(v)n(ektoren)e Fr(b)2183
3391 y Fk(i)2230 3379 y Ft(linear)i(abh)2587 3383 y(\177)2587
3379 y(angig.)f(Sei)165 3479 y(eine)i(T)-7 b(eilmenge)19
b Fr(I)30 b Fo(\022)23 b(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)e(;)i(n)p
Fo(g)19 b Ft(mit)h Fo(j)p Fr(I)7 b Fo(j)23 b Ft(=)g Fo(k)p
Fr(f)9 b Fo(k)r(\000)r Ft(1)17 b(gegeb)r(en)i(und)h(sei)2430
3416 y Fj(P)2517 3504 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2638 3479
y Fr(\025)2686 3491 y Fk(i)2714 3479 y Fr(b)2750 3491
y Fk(i)2800 3479 y Ft(=)j(0)165 3578 y(mit)40 b Fr(\025)377
3590 y Fk(i)447 3578 y Fo(6)p Ft(=)i(0)d(f)662 3582 y(\177)660
3578 y(ur)g(alle)g Fr(i)i Fo(2)i Fr(I)7 b Ft(.)39 b(Dann)h(ist)f
Fr(h)p Ft(\()1659 3516 y Fj(P)1747 3603 y Fk(i)p Fi(2)p
Fk(I)1867 3578 y Fr(\025)1915 3590 y Fk(i)1943 3578 y
Fr(e)1982 3590 y Fk(i)2009 3578 y Ft(\))k(=)2190 3516
y Fj(P)2278 3603 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)2398 3578 y Fr(\025)2446
3590 y Fk(i)2474 3578 y Fr(b)2510 3590 y Fk(i)2580 3578
y Ft(=)f(0,)c(also)165 3678 y(ist)33 b Fr(x)e Ft(=)459
3616 y Fj(P)547 3703 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)667 3678 y
Fr(\025)715 3690 y Fk(i)743 3678 y Fr(e)782 3690 y Fk(i)840
3678 y Fo(2)g Ft(Bi)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\).)33 b(Dann)f(sind)h
(mindestens)f Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)31 b Ft(v)n(ersc)n(hiedene)f(Sk)-5
b(alare)165 3778 y Fr(\025)213 3790 y Fk(i)274 3778 y
Fo(6)p Ft(=)33 b(0,)g(w)n(as)f(nac)n(h)h(V)-7 b(oraussetzung)32
b(ausgesc)n(hlossen)f(ist,)j(o)r(der)f(es)g(ist)h Fr(x)f
Ft(=)g(0,)g(und)165 3877 y(damit)28 b(sind)g(alle)f Fr(\025)781
3889 y Fk(i)832 3877 y Ft(=)c(0.)k(Die)h(Menge)f(der)h
Fo(f)p Fr(b)1650 3889 y Fk(i)1676 3877 y Fo(j)p Fr(i)23
b Fo(2)h Fr(I)7 b Fo(g)27 b Ft(ist)h(also)e(linear)h(unabh)2681
3881 y(\177)2681 3877 y(angig.)165 4051 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(6.4.11)40 b Fp(F)948 4055 y(\177)948 4051 y(ur)29 b(je)l(de)37
b Ft(\()p Fr(k)s(;)14 b(n)p Ft(\))p Fp(-line)l(ar)l(e)30
b(Co)l(dierung)39 b Fr(f)31 b Ft(:)23 b Fr(K)2329 4021
y Fk(k)2393 4051 y Fo(\000)-47 b(!)24 b Fr(K)2595 4021
y Fk(n)2669 4051 y Fp(gilt)1244 4234 y Fo(k)p Fr(f)9
b Fo(k)22 b(\024)g Fr(n)d Fo(\000)f Fr(k)j Ft(+)d(1)p
Fr(:)165 4417 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Der)22 b(Rang)f(jeder)i(Kon)n
(trollmatrix)d(zu)i Fr(f)31 b Ft(ist)22 b Fr(n)8 b Fo(\000)g
Fr(k)s Ft(.)21 b(Damit)i(sind)f(je)h Fr(n)8 b Fo(\000)g
Fr(k)i Ft(+)e(1)165 4516 y(V)-7 b(ektoren)20 b(der)g(Kon)n(trollmatrix)
e(linear)i(abh)1570 4520 y(\177)1570 4516 y(angig.)f(Nac)n(h)h(dem)g(v)
n(orhergehenden)e(Satz)165 4616 y(ist)28 b(also)f Fo(k)p
Fr(f)9 b Fo(k)21 b(\024)i Fr(n)18 b Fo(\000)g Fr(k)k
Ft(+)c(1.)p eop end
%%Page: 219 80
TeXDict begin 219 79 bop 1499 100 a Fn(6.4)43 b(Ein)26
b(Kapitel)g(Co)r(dierungstheorie)153 b(219)290 282 y
Ft(Die)34 b(Kon)n(trollmatrix)d(k)-5 b(ann)34 b(herangezogen)d(w)n
(erden,)j(um)g(F)-7 b(ehler)33 b(in)h(der)2732 265 y(\177)2721
282 y(Ub)r(er-)165 382 y(tragung)27 b(zu)i(erk)n(ennen)e(und)i(evtl.)f
(zu)h(k)n(orrigieren.)c(Insb)r(esondere)j(k)-5 b(ann)28
b(mit)h(ihr)f(die)165 482 y(Anzahl)j(der)g(F)-7 b(ehler)30
b(abgesc)n(h)1133 486 y(\177)1133 482 y(atzt)g(w)n(erden.)g(Wir)h(b)r
(ezeic)n(hnen)g(die)g(Spalten)n(v)n(ektoren)165 581 y(v)n(on)c
Fr(B)32 b Ft(mit)c Fr(b)605 593 y Fk(i)656 581 y Fo(2)23
b Fr(K)811 551 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)944 581 y Ft(,)28
b(also)e Fr(B)i Ft(=)22 b(\()p Fr(b)1407 593 y Fl(1)1444
581 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1665 593 y Fk(n)1710
581 y Ft(\).)165 747 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(6.4.12)40
b Fp(1.)c(Sei)44 b Fr(x)33 b Fo(2)h Ft(Bi\()p Fr(f)9
b Ft(\))p Fp(,)35 b(und)g(seien)h(b)l(ei)g(der)2261 730
y(\177)2247 747 y(Ub)l(ertr)l(agung)e(genau)165 847 y
Fr(t)h Fp(F)-6 b(ehler)35 b(aufgetr)l(eten.)f(Wenn)40
b Fr(y)34 b Fo(2)e Fr(K)1438 817 y Fk(n)1516 847 y Fp(der)j(empfangene)
h(Wert)e(ist,)g(dann)h(ist)f(die)165 946 y(minimale)d(A)n(nzahl)f(der)h
(Ko)l(e\016zienten)36 b Fr(\025)1506 958 y Fk(i)1564
946 y Fp(mit)h Fr(B)t(y)26 b Ft(=)1944 884 y Fj(P)2045
946 y Fr(\025)2093 958 y Fk(i)2121 946 y Fr(b)2157 958
y Fk(i)2214 946 y Fp(h)2255 950 y(\177)2256 946 y(ochstens)37
b Fr(t)p Fp(.)290 1046 y(2.)e(Sei)43 b Fr(x)31 b Fo(2)h
Ft(Bi)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))p Fp(,)35 b(seien)g(b)l(ei)f(der)1477
1029 y(\177)1463 1046 y(Ub)l(ertr)l(agung)f(genau)41
b Fr(t)34 b Fp(F)-6 b(ehler)35 b(aufgetr)l(eten,)165
1146 y(und)22 b(sei)32 b Fr(t)23 b(<)601 1113 y Fl(1)p
601 1127 34 4 v 601 1174 a(2)644 1146 y Fo(k)p Fr(f)9
b Fo(k)p Fp(.)21 b(Wenn)29 b Fr(y)c Fo(2)f Fr(K)1290
1116 y Fk(n)1357 1146 y Fp(der)f(empfangene)h(Wert)e(ist,)h(dann)f
(gibt)h(es)30 b Fr(t)22 b Fp(ein-)165 1255 y(deutig)31
b(b)l(estimmte)e(Ko)l(e\016zienten)37 b Fr(\025)1357
1267 y Fk(i)1415 1255 y Fp(mit)g Fr(B)t(y)27 b Ft(=)1796
1193 y Fj(P)1897 1255 y Fr(\025)1945 1267 y Fk(i)1973
1255 y Fr(b)2009 1267 y Fk(i)2036 1255 y Fp(.)k(Der)2271
1238 y(\177)2257 1255 y(Ub)l(ertr)l(agungsfehler)165
1355 y(ist)f(dann)496 1293 y Fj(P)598 1355 y Fr(\025)646
1367 y Fk(i)674 1355 y Fr(e)713 1367 y Fk(i)740 1355
y Fp(,)g(und)g(es)g(gilt)38 b Fr(x)23 b Ft(=)g Fr(y)e
Fo(\000)1514 1293 y Fj(P)1615 1355 y Fr(\025)1663 1367
y Fk(i)1691 1355 y Fr(e)1730 1367 y Fk(i)1758 1355 y
Fp(.)165 1529 y(Beweis.)44 b Ft(Mit)c(1.)f(k)-5 b(ann)40
b(die)g(Anzahl)g(der)f(aufgetretenen)g(F)-7 b(ehler)40
b(nac)n(h)f(un)n(ten)h(ab-)165 1629 y(gesc)n(h)358 1633
y(\177)358 1629 y(atzt)32 b(w)n(erden.)g(Sei)984 1567
y Fj(P)1086 1629 y Fr(\026)1136 1641 y Fk(i)1163 1629
y Fr(e)1202 1641 y Fk(i)1262 1629 y Ft(der)1421 1612
y(\177)1411 1629 y(Ub)r(ertragungsfehler,)f(d.h.)i Fr(y)i
Ft(=)c Fr(x)22 b Ft(+)2661 1567 y Fj(P)2762 1629 y Fr(\026)2812
1641 y Fk(i)2840 1629 y Fr(e)2879 1641 y Fk(i)2906 1629
y Ft(.)165 1729 y(Dann)40 b(ist)g Fr(B)t(y)47 b Ft(=)c
Fr(B)t(x)27 b Ft(+)1025 1666 y Fj(P)1127 1729 y Fr(\026)1177
1741 y Fk(i)1204 1729 y Fr(B)t(e)1310 1741 y Fk(i)1381
1729 y Ft(=)1489 1666 y Fj(P)1591 1729 y Fr(\026)1641
1741 y Fk(i)1668 1729 y Fr(b)1704 1741 y Fk(i)1732 1729
y Ft(.)40 b(Seien)g(genau)f Fr(t)h Ft(F)-7 b(ehler)39
b(aufgetre-)165 1828 y(ten,)31 b(so)f(ist)h(die)f(Anzahl)h(der)f
(Summanden)h Fr(t)p Ft(.)g(W)-7 b(enn)31 b(in)g(2.)f(w)n(eniger)f(als)
2565 1796 y Fl(1)p 2565 1810 V 2565 1857 a(2)2608 1828
y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)29 b Ft(F)-7 b(eh-)165 1928 y(ler)38
b(aufgetreten)g(sind,)h(dann)f(ist)h(die)g(Anzahl)f(der)g(Summanden)h
(in)g(der)f(Darstel-)165 2028 y(lung)32 b Fr(B)t(y)h
Ft(=)590 1965 y Fj(P)691 2028 y Fr(\026)741 2040 y Fk(i)769
2028 y Fr(b)805 2040 y Fk(i)864 2028 y Ft(kleiner)e(als)1278
1995 y Fl(1)p 1278 2009 V 1278 2056 a(2)1321 2028 y Fo(k)p
Fr(f)9 b Fo(k)p Ft(,)30 b(also)h(sind)h(die)g(v)n(erw)n(endeten)f
Fr(b)2515 2040 y Fk(i)2574 2028 y Ft(linear)g(un-)165
2127 y(abh)299 2131 y(\177)299 2127 y(angig.)h(W)-7 b(enn)35
b Fr(B)t(y)g Ft(=)1032 2065 y Fj(P)1133 2127 y Fr(\025)1181
2139 y Fk(j)1217 2127 y Fr(b)1253 2139 y Fk(j)1321 2127
y Ft(eine)e(w)n(eitere)g(Darstellung)g(ist)h(und)g(die)f(Anzahl)165
2227 y(der)j(Summanden)g(minimal,)f(insb)r(esondere)g(also)g(kleiner)g
(als)2244 2194 y Fl(1)p 2244 2208 V 2244 2255 a(2)2287
2227 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)p Ft(,)35 b(ist,)h(dann)f(ist)165
2264 y Fj(P)267 2326 y Fr(\026)317 2338 y Fk(i)344 2326
y Fr(b)380 2338 y Fk(i)427 2326 y Fo(\000)510 2264 y
Fj(P)612 2326 y Fr(\025)660 2338 y Fk(j)695 2326 y Fr(b)731
2338 y Fk(j)791 2326 y Ft(=)24 b(0)k(mit)h(w)n(eniger)e(als)h
Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)27 b Ft(Summanden.)j(Nac)n(h)e(6.4.10)e(sind)j
(die)165 2426 y(v)n(erw)n(endeten)i Fr(b)683 2438 y Fk(i)742
2426 y Ft(linear)g(unabh)1203 2430 y(\177)1203 2426 y(angig,)g(also)f
(stimmen)j(die)e Fr(\025)2149 2438 y Fk(i)2209 2426 y
Ft(mit)i(den)f Fr(\026)2577 2438 y Fk(i)2638 2430 y Ft(\177)2636
2426 y(ub)r(erein,)165 2526 y(d.h.)d(die)f(Darstellung)g
Fr(B)t(y)f Ft(=)1137 2463 y Fj(P)1239 2526 y Fr(\026)1289
2538 y Fk(i)1317 2526 y Fr(b)1353 2538 y Fk(i)1408 2526
y Ft(mit)i(w)n(eniger)e(als)1999 2493 y Fl(1)p 1999 2507
V 1999 2554 a(2)2042 2526 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)27 b
Ft(Summanden)i(ist)f(ein-)165 2625 y(deutig,)g(und)g(der)f(F)-7
b(ehler)27 b(ist)h Fr(y)21 b Fo(\000)c Fr(x)24 b Ft(=)1420
2563 y Fj(P)1521 2625 y Fr(\025)1569 2637 y Fk(i)1597
2625 y Fr(e)1636 2637 y Fk(i)1663 2625 y Ft(.)k(Man)f(b)r(eac)n(h)n(te)
g(hier)g(jedo)r(c)n(h,)h(da\031)f(der)165 2725 y(F)-7
b(ehler)28 b(n)n(ur)f(un)n(ter)g(der)g(Annahme)h Fr(t)23
b(<)1455 2692 y Fl(1)p 1455 2706 V 1455 2754 a(2)1498
2725 y Fo(k)p Fr(f)9 b Fo(k)26 b Ft(k)n(orrigiert)f(w)n(erden)i(k)n
(onn)n(te.)290 2899 y(Man)40 b(k)-5 b(ann)40 b(die)h(Minimalzahl)f(v)n
(on)f(linear)h(abh)1891 2903 y(\177)1891 2899 y(angigen)f(V)-7
b(ektoren)40 b(in)g Fr(B)45 b Ft(und)165 2999 y(damit)34
b(die)g(Hamming-Norm)f(v)n(on)g Fr(f)42 b Ft(b)r(estimmen,)35
b(daher)e(ist)g(es)h(sinn)n(v)n(oll)e(eine)i(b)r(e-)165
3099 y(liebige)g(Kon)n(trollmatrix)f Fr(B)1077 3068 y
Fi(0)1134 3099 y Ft(zu)i(k)n(onstruieren)e(und)h(dann)h(aus)e(ihr)i
(die)f(Co)r(dierung)165 3198 y Fr(f)e Ft(:)23 b Fr(K)361
3168 y Fk(r)420 3198 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(K)620
3168 y Fk(n)685 3198 y Ft(abzuleiten.)c(Man)h(k)-5 b(ann)20
b(dann)g Fr(B)k Ft(unmittelbar)c(mit)g(einem)g(m)2654
3202 y(\177)2654 3198 y(oglic)n(hst)165 3298 y(gro\031en)e(Minim)n(um)i
(an)g(linear)e(abh)1259 3302 y(\177)1259 3298 y(angigen)g(V)-7
b(ektoren)20 b(k)n(onstruieren.)e(Dazu)h(brauc)n(hen)165
3397 y(wir)29 b(lediglic)n(h)g(einen)g(Monomorphism)n(us)f
Fr(f)34 b Ft(:)26 b Fr(K)1728 3367 y Fk(r)1790 3397 y
Fo(\000)-48 b(!)25 b Fr(K)1992 3367 y Fk(n)2066 3397
y Ft(mit)30 b(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))26 b(=)f(Ke\()2683
3376 y Fj(b)2666 3397 y Fr(B)30 b Ft(:)25 b Fr(K)2884
3367 y Fk(n)165 3507 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(K)365
3477 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(r)494 3507 y Ft(\))28 b(zu)g(k)n
(onstruieren,)e(w)n(as)g(w)n(egen)h Fr(r)f Ft(=)d(dim)14
b(Ke)o(\()2024 3486 y Fj(b)2006 3507 y Fr(B)5 b Ft(\))28
b(immer)f(m)2461 3511 y(\177)2461 3507 y(oglic)n(h)g(ist.)165
3673 y Fq(Beispiele)j(6.4.13)39 b Ft(1.)27 b(Sei)h Fr(K)h
Ft(=)22 b Fm(Z)p Fr(=)p Ft(11)p Fm(Z)p Ft(.)27 b(Sei)h(die)g(Kon)n
(trollmatrix)948 3956 y Fr(B)f Ft(:=)1148 3789 y Fj(0)1148
3938 y(@)1235 3856 y Ft(2)82 b(1)h(2)f(1)h(0)g(0)f(1)1235
3956 y(1)g(2)h(0)f(0)h(2)g(1)f(2)1235 4055 y(0)g(0)h(1)f(2)h(1)g(2)f(1)
2037 3789 y Fj(1)2037 3938 y(A)2124 3956 y Fr(:)165 4233
y Ft(Dann)38 b(k)-5 b(ann)38 b(man)f(nac)n(hrec)n(hnen,)f(da\031)h(die)
h(Minimalzahl)f(v)n(on)g(linear)g(abh)2653 4237 y(\177)2653
4233 y(angigen)165 4333 y(Spalten)n(v)n(ektoren)31 b(4)h(ist.)h(Eine)f
(en)n(tsprec)n(hende)g(Co)r(dierungsmatrix)e(f)2443 4337
y(\177)2441 4333 y(ur)j(die)g(Co)r(die-)165 4433 y(rung)27
b Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(K)555 4403 y Fl(4)615 4433 y
Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(K)815 4403 y Fl(7)879 4433 y
Ft(gewinn)n(t)j(man)h(aus)f(der)g(Basis)g(des)g(Kerns)g(v)n(on)2441
4412 y Fj(b)2423 4433 y Fr(B)t Ft(.)h(Sie)g(ist)p eop
end
%%Page: 220 81
TeXDict begin 220 80 bop 165 100 a Fn(220)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)1074
560 y Fr(A)d Ft(:=)1271 219 y Fj(0)1271 365 y(B)1271
415 y(B)1271 465 y(B)1271 515 y(B)1271 565 y(B)1271 614
y(B)1271 664 y(B)1271 717 y(@)1378 262 y Ft(9)124 b(9)g(8)103
b(7)1378 361 y(1)124 b(2)g(2)103 b(5)1378 461 y(2)124
b(1)g(2)103 b(3)1357 560 y(10)g(0)124 b(0)103 b(0)1378
660 y(0)g(10)g(0)g(0)1378 760 y(0)124 b(0)103 b(10)82
b(0)1378 859 y(0)124 b(0)g(0)103 b(8)1910 219 y Fj(1)1910
365 y(C)1910 415 y(C)1910 465 y(C)1910 515 y(C)1910 565
y(C)1910 614 y(C)1910 664 y(C)1910 717 y(A)1997 560 y
Fr(:)165 1026 y Ft(Diese)26 b(Co)r(dierung)f(hat)g(die)h(Hamming-Norm)e
(4,)h(k)-5 b(ann)26 b(also)e(3)h(F)-7 b(ehler)25 b(erk)n(ennen)g(und)
165 1126 y(einen)j(F)-7 b(ehler)28 b(k)n(orrigieren.)290
1226 y(2.)f(Sei)h Fr(K)g Ft(=)23 b Fm(Z)p Fr(=)p Ft(2)p
Fm(Z)p Ft(.)k(Sei)h(die)g(Kon)n(trollmatrix)948 1505
y Fr(B)f Ft(:=)1148 1338 y Fj(0)1148 1488 y(@)1235 1405
y Ft(1)82 b(0)h(0)f(1)h(1)g(0)f(1)1235 1505 y(0)g(1)h(0)f(1)h(0)g(1)f
(1)1235 1605 y(0)g(0)h(1)f(0)h(1)g(1)f(1)2037 1338 y
Fj(1)2037 1488 y(A)2124 1505 y Fr(:)165 1780 y Ft(Dann)38
b(k)-5 b(ann)38 b(man)f(nac)n(hrec)n(hnen,)f(da\031)h(die)h
(Minimalzahl)f(v)n(on)g(linear)g(abh)2653 1784 y(\177)2653
1780 y(angigen)165 1880 y(Spalten)n(v)n(ektoren)31 b(3)h(ist.)h(Eine)f
(en)n(tsprec)n(hende)g(Co)r(dierungsmatrix)e(f)2443 1884
y(\177)2441 1880 y(ur)j(die)g(Co)r(die-)165 1979 y(rung)27
b Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(K)555 1949 y Fl(4)615 1979 y
Fo(\000)-49 b(!)24 b Fr(K)815 1949 y Fl(7)879 1979 y
Ft(ist)1137 2365 y Fr(A)f Ft(:=)1333 2024 y Fj(0)1333
2170 y(B)1333 2219 y(B)1333 2269 y(B)1333 2319 y(B)1333
2369 y(B)1333 2419 y(B)1333 2469 y(B)1333 2522 y(@)1419
2066 y Ft(1)83 b(0)f(1)h(1)1419 2166 y(1)g(1)f(0)h(1)1419
2265 y(0)g(1)f(1)h(1)1419 2365 y(1)g(0)f(0)h(0)1419 2464
y(0)g(1)f(0)h(0)1419 2564 y(0)g(0)f(1)h(0)1419 2664 y(0)g(0)f(0)h(1)
1848 2024 y Fj(1)1848 2170 y(C)1848 2219 y(C)1848 2269
y(C)1848 2319 y(C)1848 2369 y(C)1848 2419 y(C)1848 2469
y(C)1848 2522 y(A)1935 2365 y Fr(:)165 2799 y Ft(Diese)26
b(Co)r(dierung)f(hat)g(die)h(Hamming-Norm)e(3,)h(k)-5
b(ann)26 b(also)e(2)h(F)-7 b(ehler)25 b(erk)n(ennen)g(und)165
2898 y(einen)j(F)-7 b(ehler)28 b(k)n(orrigieren.)165
3063 y Fq(De\014nition)j(6.4.14)40 b Ft(Sei)50 b Fr(K)56
b Ft(ein)50 b(b)r(eliebiger)g(K)1800 3067 y(\177)1800
3063 y(orp)r(er.)f(Die)i(Menge)f(der)g(F)-7 b(olgen)165
3162 y Fr(K)6 b Ft([[)p Fr(x)p Ft(]])39 b(:=)f Fo(f)p
Fr(')g Ft(:)g Fm(N)815 3174 y Fl(0)890 3162 y Fo(\000)-48
b(!)38 b Fr(K)6 b Fo(g)37 b Ft(=)h Fo(f)p Ft(\()p Fr(\013)1414
3174 y Fl(0)1451 3162 y Fr(;)14 b(\013)1541 3174 y Fl(1)1579
3162 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)o Ft(\))p Fo(j)p Fr(\013)1820
3174 y Fk(i)1887 3162 y Fo(2)38 b Fr(K)6 b Fo(g)37 b
Ft(=)h Fr(K)2316 3132 y Fh(N)2369 3140 y Fg(0)2442 3162
y Ft(hei\031t)f(\(forma-)165 3262 y(ler\))28 b Fp(Potenzr)l(eihenring)
967 3266 y Ft(\177)965 3262 y(ub)r(er)g Fr(K)6 b Ft(.)165
3426 y Fq(Lemma)32 b(6.4.15)39 b Fr(K)6 b Ft([[)p Fr(x)p
Ft(]])30 b Fp(ist)g(ein)g(R)n(ing)f(unter)g(den)h(folgenden)h(Op)l(er)l
(ationen:)248 3575 y Ft(\()p Fr(')19 b Ft(+)f Fr( )s
Ft(\)\()p Fr(n)p Ft(\))24 b(=)f Fr(')p Ft(\()p Fr(n)p
Ft(\))c(+)f Fr( )s Ft(\()p Fr(n)p Ft(\))p Fr(;)248 3674
y Ft(\()p Fr(')h Fo(\001)g Fr( )s Ft(\)\()p Fr(n)p Ft(\))24
b(=)709 3612 y Fj(P)797 3632 y Fk(n)797 3699 y(i)p Fl(=0)923
3674 y Fr(')p Ft(\()p Fr(i)p Ft(\))p Fr( )s Ft(\()p Fr(n)19
b Fo(\000)f Fr(i)p Ft(\))p Fr(:)165 3823 y Fp(Das)30
b(Einselement)g(ist)g(die)h(F)-6 b(olge)36 b Ft(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)o Ft(\))p
Fp(.)165 3994 y(Beweis.)44 b Ft(Un)n(ter)22 b(der)g(Addition)i(liegt)e
(sogar)f(ein)i(V)-7 b(ektorraum)21 b(v)n(or)g(nac)n(h)h(dem)h(Haupt-)
165 4094 y(b)r(eispiel)41 b(f)503 4098 y(\177)501 4094
y(ur)f(V)-7 b(ektorr)896 4098 y(\177)896 4094 y(aume)39
b(5.1.4.)h(Die)g(Assoziativit)1953 4098 y(\177)1953 4094
y(at)g(und)h(Distributivit)2699 4098 y(\177)2699 4094
y(at)g(der)165 4193 y(Multiplik)-5 b(ation)35 b(ist)g(eine)f(einfac)n
(he)h(Rec)n(hen)1606 4197 y(\177)1604 4193 y(ubung.)f(Die)h(Eigensc)n
(haft)e(des)h(Einsele-)165 4293 y(men)n(ts)c(folgt)g(aus)f(der)g(T)-7
b(atsac)n(he,)29 b(da\031)g(b)r(ei)h(der)g(Multiplik)-5
b(ation)30 b(die)g(Summe)g(jew)n(eils)165 4393 y(auf)e(einen)g
(einzigen)f(Summanden)h(zusammenf)1720 4397 y(\177)1720
4393 y(allt.)165 4564 y Fq(De\014nition)j(6.4.16)40 b
Ft(Sei)29 b Fr(K)34 b Ft(ein)29 b(b)r(eliebiger)f(K)1714
4568 y(\177)1714 4564 y(orp)r(er.)g(Die)h(Menge)f(der)h(endlic)n(h)n(w)
n(er-)165 4664 y(tigen)f(F)-7 b(olgen)p eop end
%%Page: 221 82
TeXDict begin 221 81 bop 1499 100 a Fn(6.4)43 b(Ein)26
b(Kapitel)g(Co)r(dierungstheorie)153 b(221)254 282 y
Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])23 b(=)g Fr(K)612 248 y Fl(\()p
Fh(N)691 256 y Fg(0)723 248 y Fl(\))776 282 y Ft(:=)g
Fo(f)p Ft(\()p Fr(\013)1014 294 y Fk(i)1042 282 y Ft(\))g
Fo(2)g Fr(K)1252 248 y Fh(N)1305 256 y Fg(0)1342 282
y Fo(j)k Ft(f)1419 286 y(\177)1417 282 y(ur)h(n)n(ur)f(endlic)n(h)h
(viele)f Fr(i)c Fo(2)g Fm(N)2353 294 y Fl(0)2418 282
y Ft(gilt)28 b Fr(\013)2619 294 y Fk(i)2669 282 y Fo(6)p
Ft(=)23 b(0)p Fo(g)165 434 y Ft(hei\031t)31 b(\(formaler\))e
Fp(Polynomring)1276 438 y Ft(\177)1274 434 y(ub)r(er)h
Fr(K)6 b Ft(.)30 b(Die)h(Elemen)n(te)f(v)n(on)g Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])30 b(hei\031en)g Fp(Poly-)165 534
y(nome)p Ft(.)165 681 y Fq(Lemma)i(6.4.17)39 b Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])30 b Fp(ist)g(ein)g(Unterring)f(von)36
b Fr(K)6 b Ft([[)p Fr(x)p Ft(]])p Fp(.)165 825 y(Beweis.)44
b Ft(Nac)n(h)21 b(Beispiel)h(5.1.7)e(ist)i Fr(K)6 b Ft([)p
Fr(x)p Ft(])23 b Fo(\022)g Fr(K)6 b Ft([[)p Fr(x)p Ft(]])22
b(ein)g(Un)n(terv)n(ektorraum.)d(Es)j(bleibt)165 925
y(n)n(ur)27 b(die)f(Abgesc)n(hlossenheit)g(b)r(ez)1250
929 y(\177)1248 925 y(uglic)n(h)g(der)h(Multiplik)-5
b(ation)27 b(zu)g(zeigen.)f(W)-7 b(enn)27 b(also)165
1024 y(\()p Fr(\013)250 1036 y Fk(i)278 1024 y Ft(\))f(und)f(\()p
Fr(\014)578 1036 y Fk(i)606 1024 y Ft(\))g(in)g Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])25 b(gegeb)r(en)f(sind,)h(die)f(b)r(eide)i(n)n(ur)
e(no)r(c)n(h)h(Ko)r(e\016zien)n(ten)f(Null)h(f)2852 1028
y(\177)2850 1024 y(ur)165 1134 y(Indizes)d Fr(>)h(n)f
Ft(hab)r(en,)g(dann)g(sind)g(in)h(\()p Fr(\013)1412 1146
y Fk(i)1440 1134 y Ft(\))7 b Fo(\001)g Ft(\()p Fr(\014)1588
1146 y Fk(i)1616 1134 y Ft(\))24 b(=)e(\()1791 1071 y
Fj(P)1879 1092 y Fk(i)1879 1158 y(j)s Fl(=0)2012 1134
y Fr(\013)2065 1146 y Fk(j)2100 1134 y Fr(\014)2147 1146
y Fk(i)p Fi(\000)p Fk(j)2258 1134 y Ft(\))g(alle)g(Ko)r(e\016zien)n
(ten)165 1233 y(mit)29 b(Index)e Fr(i)c(>)f Ft(2)p Fr(n)27
b Ft(Null,)i(denn)f(in)g(der)f(Summe)h(sind)g(alle)f(Summanden)h(Null.)
165 1377 y Fq(Bemerkung)k(6.4.18)39 b Ft(In)32 b Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])31 b(b)r(ezeic)n(hnen)g(wir)g Fr(x)e
Ft(:=)g(\(0)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p
Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g(:::)p Ft(\).)29 b(Dann)i(ist)165
1476 y Fr(x)212 1446 y Fl(2)290 1476 y Ft(=)40 b(\(0)p
Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p
Fr(;)g(:)g(:)g(:)n Ft(\).)38 b(Allgemein)g(ist)g Fr(x)1583
1446 y Fk(n)1669 1476 y Ft(=)i Fr(e)1813 1488 y Fk(n)1896
1476 y Ft(die)e(F)-7 b(olge)38 b(mit)g(einer)g(Eins)f(an)165
1576 y(der)j Fr(n)26 b Ft(+)g(1-sten)39 b(Stelle)h(und)g(Null)g(sonst.)
f(In)g(5.2.4)g(\(4\))g(hab)r(en)h(wir)f(gezeigt,)g(da\031)165
1676 y(die)h(Menge)e(der)h Fr(e)781 1688 y Fk(i)848 1676
y Ft(bzw.)g(hier)g(die)g(Menge)g(der)g Fr(x)1855 1645
y Fk(i)1922 1676 y Ft(eine)g(Basis)f(f)2359 1680 y(\177)2357
1676 y(ur)h Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])40 b(bilden.)165
1775 y(Jeder)35 b(V)-7 b(ektor)35 b(aus)g Fr(K)6 b Ft([)p
Fr(x)p Ft(])35 b(l)1058 1779 y(\177)1058 1775 y(a\031t)g(sic)n(h)g
(daher)g(in)g(eindeutiger)g(W)-7 b(eise)36 b(\(mit)g(eindeutig)165
1875 y(b)r(estimm)n(ten)27 b(Ko)r(e\016zien)n(ten\))e(als)1267
1813 y Fj(P)1355 1833 y Fk(n)1355 1900 y(i)p Fl(=0)1480
1875 y Fr(\013)1533 1887 y Fk(i)1561 1875 y Fr(x)1608
1845 y Fk(i)1659 1875 y Ft(=)e Fr(\013)1800 1887 y Fl(0)1852
1875 y Ft(+)14 b Fr(\013)1984 1887 y Fl(1)2021 1875 y
Fr(x)h Ft(+)f Fr(:)g(:)g(:)g Ft(+)g Fr(\013)2405 1887
y Fk(n)2450 1875 y Fr(x)2497 1845 y Fk(n)2569 1875 y
Ft(sc)n(hreib)r(en.)165 1975 y(Die)41 b(ob)r(en)f(angegeb)r(ene)f
(Multiplik)-5 b(ation)41 b(ist)g(dann)f(die)g(b)r(ek)-5
b(ann)n(te)41 b(Multiplik)-5 b(ation)165 2074 y(v)n(on)30
b(P)n(olynomen.)f(Die)i(eindeutig)g(b)r(estimm)n(te)g(Zahl)f
Fr(n)h Ft(mit)g Fr(\013)2188 2086 y Fk(n)2261 2074 y
Fo(6)p Ft(=)c(0)j(und)h Fr(\013)2647 2086 y Fk(n)p Fl(+)p
Fk(i)2795 2074 y Ft(=)d(0)165 2174 y(f)192 2178 y(\177)190
2174 y(ur)i(alle)f Fr(i)d Fo(2)h Fm(N)44 b Ft(hei\031t)29
b(der)h Fp(Gr)l(ad)39 b Ft(des)29 b(P)n(olynoms)f(\()p
Fr(\013)1879 2186 y Fk(i)1907 2174 y Ft(\))f Fo(2)g Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])19 b Fo(n)h(f)p Ft(0)p Fo(g)p Ft(.)28
b Fr(\013)2529 2186 y Fk(n)2604 2174 y Ft(hei\031t)i(der)165
2273 y(h)211 2277 y(\177)211 2273 y(oc)n(hste)22 b(Ko)r(e\016zien)n(t)f
(des)h(P)n(olynoms.)e(Man)i(sieh)n(t)g(durc)n(h)g(Betrac)n(h)n(tung)e
(der)i(h)2659 2277 y(\177)2659 2273 y(oc)n(hsten)165
2373 y(Ko)r(e\016zien)n(ten)27 b(sofort)g(ein,)h(da\031)f
Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])27 b(ein)h(n)n(ullteilerfreier)f(Ring)g
(ist.)165 2521 y Fq(Lemma)32 b(6.4.19)39 b Fp(Die)27
b(Polynome)g(in)32 b Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])26 b
Fp(vom)h(Gr)l(ade)g(h)2083 2525 y(\177)2084 2521 y(ochstens)33
b Fr(n)26 b Fp(bilden)h(einen)165 2620 y(V)-6 b(ektorr)l(aum)36
b Fr(P)677 2632 y Fk(n)752 2620 y Fp(der)30 b(Dimension)37
b Fr(n)18 b Ft(+)g(1)p Fp(.)165 2764 y(Beweis.)44 b Ft(Diese)39
b(P)n(olynome)f(w)n(erden)g(v)n(on)h(den)g(linear)g(unabh)2211
2768 y(\177)2211 2764 y(angigen)f(P)n(olynomen)165 2863
y(1)23 b(=)g Fr(x)365 2833 y Fl(0)402 2863 y Fr(;)14
b(x;)g(x)570 2833 y Fl(2)608 2863 y Fr(;)g(x)692 2833
y Fl(3)730 2863 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)961 2833 y
Fk(n)1035 2863 y Ft(erzeugt.)165 3007 y Fq(Satz)33 b(6.4.20)40
b Fp(Im)i(Polynomring)51 b Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])43
b Fp(gilt)g(der)g(Euklidische)h(Divisionsalgorith-)165
3107 y(mus:)33 b(zu)g(je)l(dem)h(Paar)43 b Fr(f)t(;)14
b(g)31 b Fo(2)e Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])33 b Fp(von)h(Polynomen)g
(mit)41 b Fr(g)31 b Fo(6)p Ft(=)e(0)j Fp(gibt)i(es)f(ein)g(ein-)165
3206 y(deutig)e(b)l(estimmtes)f(Paar)i(von)f(Polynomen)38
b Fr(q)s(;)14 b(r)27 b Fo(2)e Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p
Ft(])30 b Fp(\(Quotient)g(und)g(R)l(est\),)g(so)165 3306
y(da\031)g(gilt)694 3406 y Fr(f)i Ft(=)22 b Fr(q)g Fo(\001)c
Fr(g)j Ft(+)d Fr(r)203 b Fp(und)213 b Ft(Grad)o(\()p
Fr(r)r Ft(\))24 b Fr(<)f Ft(Grad)o(\()p Fr(g)s Ft(\))p
Fr(:)165 3549 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Wir)30 b(zeigen)f(zun)1033
3553 y(\177)1033 3549 y(ac)n(hst)h(die)g(Eindeutigk)n(eit)g(der)f
(Zerlegung.)g(Sei)h Fr(f)36 b Ft(=)27 b Fr(q)s(g)c Ft(+)165
3649 y Fr(r)45 b Ft(=)d Fr(q)394 3619 y Fi(0)417 3649
y Fr(g)29 b Ft(+)c Fr(r)615 3619 y Fi(0)678 3649 y Ft(mit)40
b(Grad)o(\()p Fr(r)r Ft(\))j Fr(<)f Ft(Grad)o(\()p Fr(g)s
Ft(\))d(und)h(Grad)o(\()p Fr(r)2045 3619 y Fi(0)2069
3649 y Ft(\))j Fr(<)e Ft(Grad\()p Fr(g)s Ft(\).)e(Dann)g(ist)165
3748 y(\()p Fr(q)13 b Fo(\000)d Fr(q)362 3718 y Fi(0)386
3748 y Ft(\))p Fr(g)j Ft(+)d(\()p Fr(r)i Fo(\000)e Fr(r)741
3718 y Fi(0)765 3748 y Ft(\))24 b(=)e(0.)h(Da)h(auc)n(h)e(Grad\()p
Fr(r)12 b Fo(\000)e Fr(r)1697 3718 y Fi(0)1722 3748 y
Ft(\))23 b Fr(<)g Ft(Grad)o(\()p Fr(g)s Ft(\))h(gilt,)f(ist)h(\()p
Fr(q)13 b Fo(\000)d Fr(q)2656 3718 y Fi(0)2679 3748 y
Ft(\))p Fr(g)26 b Ft(=)d(0.)165 3848 y(Insb)r(esondere)34
b(m)n(u\031)g(der)h(h)1053 3852 y(\177)1053 3848 y(oc)n(hste)f(Ko)r
(e\016zien)n(t)g(v)n(on)g(\()p Fr(q)26 b Fo(\000)d Fr(q)2121
3818 y Fi(0)2144 3848 y Ft(\))p Fr(g)38 b Ft(Null)d(sein,)g(w)n(as)f(n)
n(ur)165 3948 y(geh)n(t,)i(w)n(enn)g Fr(q)27 b Fo(\000)c
Fr(q)794 3918 y Fi(0)855 3948 y Ft(=)36 b(0)f(gilt.)h(Dann)h(ist)f(ab)r
(er)f(auc)n(h)g Fr(r)27 b Fo(\000)d Fr(r)2161 3918 y
Fi(0)2222 3948 y Ft(=)36 b(0)g(und)g(damit)g(die)165
4047 y(Eindeutigk)n(eit)27 b(gezeigt.)290 4166 y(W)-7
b(enn)35 b(der)g(Grad)f(v)n(on)g Fr(f)43 b Ft(kleiner)35
b(ist,)g(als)f(der)g(Grad)h(v)n(on)f Fr(g)s Ft(,)g(dann)h(setzen)g(wir)
165 4265 y Fr(q)26 b Ft(=)d(0)j(und)h Fr(r)f Ft(=)d Fr(f)9
b Ft(.)26 b(W)-7 b(enn)27 b(Grad)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))24
b(=)e Fr(n)16 b Ft(+)g(1)26 b(ist)h(und)g(der)f(Satz)g(f)2290
4269 y(\177)2288 4265 y(ur)h(P)n(olynome)e(v)n(om)165
4365 y(Grad)e Fr(n)h Ft(sc)n(hon)f(b)r(ewiesen)h(ist,)g(dann)f(sei)h
Fr(\015)k Ft(:=)22 b Fr(\013)1707 4377 y Fk(n)p Fl(+1)1837
4365 y Fr(=\014)1926 4377 y Fk(k)1990 4365 y Ft(der)h(Quotien)n(t)g
(der)h(h)2659 4369 y(\177)2659 4365 y(oc)n(hsten)165
4465 y(Ko)r(e\016zien)n(ten)29 b Fr(\013)718 4477 y Fk(n)p
Fl(+1)876 4465 y Ft(v)n(on)f Fr(f)38 b Ft(und)29 b Fr(\014)1327
4477 y Fk(k)1397 4465 y Ft(v)n(on)f Fr(g)s Ft(.)g(Dann)h(ist)g
Fr(f)2042 4434 y Fi(0)2090 4465 y Ft(:=)c Fr(f)j Fo(\000)19
b Fr(\015)5 b(g)31 b Ft(ein)e(P)n(olynom)165 4564 y(v)n(om)f(Grad)f
(kleiner)h(o)r(der)g(gleic)n(h)f Fr(n)p Ft(.)h(Wir)g(k)1565
4568 y(\177)1565 4564 y(onnen)g(also)f(sc)n(hreib)r(en)h
Fr(f)2393 4534 y Fi(0)2440 4564 y Ft(=)23 b Fr(q)2568
4534 y Fi(0)2592 4564 y Fr(g)e Ft(+)e Fr(r)31 b Ft(mit)165
4664 y(Grad\()p Fr(r)r Ft(\))24 b Fr(<)f Ft(Grad)o(\()p
Fr(g)s Ft(\).)28 b(Also)f(ist)h Fr(f)k Ft(=)22 b(\()p
Fr(\013)d Ft(+)f Fr(q)1599 4634 y Fi(0)1623 4664 y Ft(\))p
Fr(g)j Ft(+)d Fr(r)30 b Ft(mit)f(Grad)o(\()p Fr(r)r Ft(\))24
b Fr(<)f Ft(Grad)o(\()p Fr(g)s Ft(\).)p eop end
%%Page: 222 83
TeXDict begin 222 82 bop 165 100 a Fn(222)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Fq(Bemerkung)32 b(6.4.21)39 b Ft(1.)c(Ein)g(P)n(olynom)f
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))36 b(in)g Fr(K)6 b Ft([)p
Fr(x)p Ft(])35 b(v)n(om)g(Grad)g Fr(n)g Ft(hat)g(h)2779
286 y(\177)2779 282 y(oc)n(h-)165 382 y(stens)24 b Fr(n)f
Ft(Nullstellen)h(in)g Fr(K)6 b Ft(.)23 b(Seien)g(n)1326
386 y(\177)1326 382 y(amlic)n(h)g Fr(\013)1640 394 y
Fl(1)1678 382 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)1915 394
y Fk(k)1979 382 y Ft(Nullstellen)25 b(v)n(on)d Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\),)24 b(dann)165 482 y(ist)34 b
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))34 b(=)f(\()p Fr(x)24 b
Fo(\000)e Fr(\013)823 494 y Fl(1)860 482 y Ft(\))h Fo(\001)g
Ft(\()p Fr(x)g Fo(\000)f Fr(\013)1203 494 y Fl(2)1241
482 y Ft(\))g Fo(\001)h Fr(:)14 b(:)g(:)23 b Fo(\001)f
Ft(\()p Fr(x)i Fo(\000)e Fr(\013)1749 494 y Fk(k)1790
482 y Ft(\))h Fo(\001)f Fr(g)s Ft(\()p Fr(x)p Ft(\),)35
b(also)e Fr(k)j Fo(\024)d Fr(n)p Ft(.)h(Nac)n(h)f(dem)165
581 y(Divisionsalgorithm)n(us)h(ist)i(n)1128 585 y(\177)1128
581 y(amlic)n(h)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))37 b(=)f(\()p
Fr(x)25 b Fo(\000)e Fr(\013)1945 593 y Fl(1)1982 581
y Ft(\))h Fo(\001)g Fr(g)2125 593 y Fl(1)2162 581 y Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))h(+)e Fr(\014)2433 593 y Fl(1)2470 581 y
Ft(.)36 b(W)-7 b(enn)36 b(man)165 681 y(f)192 685 y(\177)190
681 y(ur)30 b Fr(x)g Ft(den)f(W)-7 b(ert)30 b Fr(\013)797
693 y Fl(1)863 681 y Ft(einsetzt,)g(dann)f(erh)1518 685
y(\177)1518 681 y(alt)g(man)g(0)c(=)h Fr(\014)2035 693
y Fl(1)2072 681 y Ft(.)k(F)2181 685 y(\177)2179 681 y(ur)f(jede)g(w)n
(eitere)g(Null-)165 780 y(stelle)34 b Fr(\013)437 792
y Fk(i)498 780 y Ft(v)n(on)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))34 b(ist)f(dann)h(ab)r(er)e(0)h(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\013)1690 792 y Fk(i)1718 780 y Ft(\))33 b(=)f(\()p
Fr(\013)1965 792 y Fk(i)2015 780 y Fo(\000)22 b Fr(\013)2155
792 y Fl(1)2192 780 y Ft(\))p Fr(g)s Ft(\()p Fr(\013)2352
792 y Fk(i)2380 780 y Ft(\),)34 b(also)f(sind)g(die)165
880 y Fr(\013)218 892 y Fl(2)256 880 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)
493 892 y Fk(k)556 880 y Ft(Nullstellen)22 b(v)n(on)e
Fr(g)1153 892 y Fl(1)1190 880 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\).)j(Durc)n(h)e
(Induktion)h(nac)n(h)f(dem)h(Grad)e(erh)2654 884 y(\177)2654
880 y(alt)h(man)165 980 y(die)28 b(b)r(ehauptete)g(Aussage.)290
1079 y(2.)35 b(V)-7 b(on)36 b(P)n(olynomen)d(in)j Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])36 b(k)1361 1083 y(\177)1361 1079
y(onnen)f(wir)g(wie)g(im)h(reellen)f(F)-7 b(all)36 b(Ableitungen)165
1179 y(bilden,)c(hier)f Fp(formale)j(A)n(bleitungen)j
Ft(genann)n(t.)31 b(Wir)g(bilden)g(n)2191 1183 y(\177)2191
1179 y(amlic)n(h)g(die)g(eindeutig)165 1279 y(b)r(estimm)n(te)g
(lineare)e(Abbildung)i Fr(d=dx)c Ft(:)g Fr(K)6 b Ft([)p
Fr(x)p Ft(])28 b Fo(\000)-49 b(!)27 b Fr(K)6 b Ft([)p
Fr(x)p Ft(],)30 b(indem)h(wir)f(auf)g(der)f(Basis)165
1378 y(\()p Fr(x)244 1348 y Fk(i)273 1378 y Ft(\))37
b(v)n(orsc)n(hreib)r(en)d Fr(d=dx)p Ft(\()p Fr(x)1085
1348 y Fk(i)1114 1378 y Ft(\))39 b(:=)e Fr(ix)1386 1348
y Fk(i)p Fi(\000)p Fl(1)1536 1378 y Ft(\(f)1595 1382
y(\177)1593 1378 y(ur)g Fr(i)g Ft(=)h(0)e(soll)g Fr(d=dx)p
Ft(\()p Fr(x)2367 1348 y Fl(0)2406 1378 y Ft(\))i(=)g(0)e(gelten\).)165
1478 y(Die)27 b(Pro)r(duktregel)e(gilt)i(auc)n(h)f(hierf)1322
1482 y(\177)1320 1478 y(ur,)g(denn)h(es)g(ist)g Fr(d=dx)p
Ft(\()p Fr(x)2116 1448 y Fk(i)2144 1478 y Fr(x)2191 1448
y Fk(j)2227 1478 y Ft(\))c(=)g(\()p Fr(i)16 b Ft(+)g
Fr(j)5 b Ft(\))p Fr(x)2646 1448 y Fk(i)p Fl(+)p Fk(j)s
Fi(\000)p Fl(1)2865 1478 y Ft(=)165 1577 y Fr(ix)241
1547 y Fk(i)p Fi(\000)p Fl(1)354 1577 y Fr(x)401 1547
y Fk(j)457 1577 y Ft(+)19 b Fr(j)5 b(x)627 1547 y Fk(i)655
1577 y Fr(x)702 1547 y Fk(j)s Fi(\000)p Fl(1)850 1577
y Ft(=)27 b Fr(d=dx)p Ft(\()p Fr(x)1196 1547 y Fk(i)1225
1577 y Ft(\))p Fr(x)1304 1547 y Fk(j)1359 1577 y Ft(+)20
b Fr(x)1491 1547 y Fk(i)1519 1577 y Fr(d=dx)p Ft(\()p
Fr(x)1773 1547 y Fk(j)1809 1577 y Ft(\).)31 b(Daraus)e(leitet)i(sic)n
(h)e(w)n(egen)h(der)165 1677 y(Linearit)453 1681 y(\177)453
1677 y(at)d(die)h(Pro)r(duktregel)e(ab:)931 1860 y Fr(d=dx)p
Ft(\()p Fr(f)9 b(g)s Ft(\))24 b(=)e Fr(d=dx)p Ft(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))p Fr(g)22 b Ft(+)c Fr(f)9 b(d=dx)p Ft(\()p
Fr(g)s Ft(\))p Fr(:)290 2042 y Ft(Seien)25 b Fr(k)j Ft(und)d
Fr(n)g Ft(mit)h Fr(k)g(<)c(n)j Ft(gegeb)r(en)g(und)g(sei)g
Fr(g)i Ft(ein)e(P)n(olynom)f(v)n(om)g(Grad)g Fr(n)13
b Fo(\000)g Fr(k)s Ft(.)165 2142 y(Dann)30 b(de\014niert)f
Fr(g)j Ft(die)e(folgende)f(lineare)f(Abbildung)i Fr(g)f
Ft(:)c Fr(P)2105 2154 y Fk(k)q Fi(\000)p Fl(1)2258 2142
y Fo(3)h Fr(f)34 b Fo(7!)26 b Fr(g)s(f)34 b Fo(2)27 b
Fr(P)2776 2154 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)2906 2142 y Ft(.)165
2242 y(Wir)35 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(die)h(en)n(tsprec)n(hende)f
(lineare)g(Abbildung)h(auf)g(den)g(Ko)r(ordinaten-)165
2341 y(systemen)30 b Fj(b)-46 b Fr(g)29 b Ft(:)d Fr(K)721
2311 y Fk(r)783 2341 y Fo(\000)-48 b(!)26 b Fr(K)986
2311 y Fk(n)1031 2341 y Ft(.)k(W)-7 b(enn)30 b Fr(g)f
Ft(=)1481 2279 y Fj(P)1568 2299 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)1568
2366 y(i)p Fl(=0)1716 2341 y Fr(\015)1759 2353 y Fk(i)1786
2341 y Fr(x)1833 2311 y Fk(i)1891 2341 y Ft(ist,)h(dann)f(ist)h(die)g
(darstellende)165 2441 y(Matrix)19 b(v)n(on)g Fr(g)j
Ft(b)r(ez)769 2445 y(\177)767 2441 y(uglic)n(h)d(der)g(Basen)g(1)p
Fr(;)14 b(x;)g(x)1582 2411 y Fl(2)1619 2441 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(x)
1851 2411 y Fk(k)1911 2441 y Ft(bzw.)20 b(1)p Fr(;)14
b(x;)g(x)2307 2411 y Fl(2)2344 2441 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(x)2576
2411 y Fk(n)2641 2441 y Ft(gegeb)r(en)165 2540 y(durc)n(h)814
3287 y Fr(M)32 b Ft(=)1014 2573 y Fj(0)1014 2719 y(B)1014
2769 y(B)1014 2818 y(B)1014 2868 y(B)1014 2918 y(B)1014
2968 y(B)1014 3018 y(B)1014 3067 y(B)1014 3117 y(B)1014
3167 y(B)1014 3217 y(B)1014 3267 y(B)1014 3316 y(B)1014
3366 y(B)1014 3416 y(B)1014 3466 y(B)1014 3516 y(B)1014
3566 y(B)1014 3615 y(B)1014 3665 y(B)1014 3715 y(B)1014
3765 y(B)1014 3818 y(@)1149 2611 y Fr(\015)1192 2623
y Fl(0)1428 2611 y Ft(0)330 b Fr(:)14 b(:)g(:)151 b Ft(0)1149
2711 y Fr(\015)1192 2723 y Fl(1)1409 2711 y Fr(\015)1452
2723 y Fl(0)1648 2711 y Ft(0)110 b Fr(:)14 b(:)g(:)151
b Ft(0)1178 2794 y(.)1178 2827 y(.)1178 2860 y(.)1405
2802 y(.)1438 2827 y(.)1470 2852 y(.)1625 2802 y(.)1657
2827 y(.)1690 2852 y(.)2057 2794 y(.)2057 2827 y(.)2057
2860 y(.)1178 2927 y(.)1178 2960 y(.)1178 2993 y(.)1625
2935 y(.)1657 2960 y(.)1690 2985 y(.)1805 2935 y(.)1837
2960 y(.)1870 2985 y(.)2057 2927 y(.)2057 2960 y(.)2057
2993 y(.)1178 3060 y(.)1178 3093 y(.)1178 3127 y(.)608
b Fr(\015)1852 3139 y Fl(1)2028 3127 y Fr(\015)2071 3139
y Fl(0)1178 3210 y Ft(.)1178 3243 y(.)1178 3276 y(.)827
b Fr(\015)2071 3288 y Fl(1)1101 3426 y Fr(\015)1144 3438
y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)2057 3359 y Ft(.)2057 3392 y(.)2057
3426 y(.)1169 3578 y(0)150 b Fr(\015)1404 3590 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fk(k)2057 3512 y Ft(.)2057 3545 y(.)2057 3578
y(.)1178 3664 y(.)1178 3698 y(.)1178 3731 y(.)1625 3673
y(.)1657 3698 y(.)1690 3723 y(.)2057 3664 y(.)2057 3698
y(.)2057 3731 y(.)1178 3798 y(.)1178 3831 y(.)1178 3864
y(.)1805 3806 y(.)1837 3831 y(.)1870 3856 y(.)2057 3798
y(.)2057 3831 y(.)2057 3864 y(.)1169 3964 y(0)190 b Fr(:)14
b(:)g(:)330 b Ft(0)110 b Fr(\015)2023 3976 y Fk(n)p Fi(\000)p
Fk(k)2171 2573 y Fj(1)2171 2719 y(C)2171 2769 y(C)2171
2818 y(C)2171 2868 y(C)2171 2918 y(C)2171 2968 y(C)2171
3018 y(C)2171 3067 y(C)2171 3117 y(C)2171 3167 y(C)2171
3217 y(C)2171 3267 y(C)2171 3316 y(C)2171 3366 y(C)2171
3416 y(C)2171 3466 y(C)2171 3516 y(C)2171 3566 y(C)2171
3615 y(C)2171 3665 y(C)2171 3715 y(C)2171 3765 y(C)2171
3818 y(A)2257 3287 y Fr(;)165 4100 y Ft(wie)28 b(man)f(sofort)g(aus)g
(dem)h(P)n(olynompro)r(dukt)769 4360 y Fr(g)s(f)j Ft(=)972
4256 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)977 4281 y Fj(X)983 4458
y Fk(i)p Fl(=0)1116 4360 y Fr(\015)1159 4372 y Fk(i)1186
4360 y Fr(x)1233 4326 y Fk(i)1275 4256 y(k)q Fi(\000)p
Fl(1)1276 4281 y Fj(X)1278 4458 y Fk(j)s Fl(=0)1411 4360
y Fr(\014)1458 4372 y Fk(j)1493 4360 y Fr(x)1540 4326
y Fk(j)1598 4360 y Ft(=)1686 4256 y Fk(n)p Fi(\000)p
Fl(1)1689 4281 y Fj(X)1694 4457 y Fk(t)p Fl(=0)1812 4360
y Ft(\()1844 4256 y Fk(k)q Fi(\000)p Fl(1)1845 4281 y
Fj(X)1847 4458 y Fk(j)s Fl(=0)1979 4360 y Fr(\015)2022
4372 y Fk(t)p Fi(\000)p Fk(j)2134 4360 y Fr(\014)2181
4372 y Fk(j)2216 4360 y Ft(\))p Fr(x)2295 4326 y Fk(t)165
4627 y Ft(abliest.)p eop end
%%Page: 223 84
TeXDict begin 223 83 bop 1499 100 a Fn(6.4)43 b(Ein)26
b(Kapitel)g(Co)r(dierungstheorie)153 b(223)165 282 y
Fq(De\014nition)31 b(6.4.22)40 b Ft(Eine)28 b(Co)r(dierung)h(der)f(F)-7
b(orm)29 b Fj(b)-46 b Fr(g)28 b Ft(:)d Fr(K)2051 252
y Fk(k)2117 282 y Fo(\000)-48 b(!)25 b Fr(K)2319 252
y Fk(n)2393 282 y Ft(mit)30 b(Grad)o(\()p Fr(g)s Ft(\))c
Fo(\024)165 382 y Fr(n)19 b Fo(\000)f Fr(k)30 b Ft(hei\031t)e
Fp(Polynomc)l(o)l(de)p Ft(.)165 546 y Fq(De\014nition)j(6.4.23)40
b Ft(Ein)35 b(Co)r(dierung)f Fr(h)h Ft(:)h Fr(K)1688
516 y Fk(k)1764 546 y Fo(\000)-48 b(!)35 b Fr(K)1976
516 y Fk(n)2056 546 y Ft(hei\031t)g Fp(zyklisch)p Ft(,)i(w)n(enn)e(f)
2852 550 y(\177)2850 546 y(ur)165 646 y(alle)k Fr(x)i
Ft(=)g(\()p Fr(\030)591 658 y Fl(1)629 646 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(\030)850 658 y Fk(n)895 646 y Ft(\))42
b Fo(2)g Ft(Bi)o(\()p Fr(h)p Ft(\))e(gilt)e(\()p Fr(\030)1525
658 y Fk(n)1571 646 y Fr(;)14 b(\030)1644 658 y Fl(1)1681
646 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(\030)1902 658 y Fk(n)p Fi(\000)p
Fl(1)2032 646 y Ft(\))42 b Fo(2)g Ft(Bi\()p Fr(h)p Ft(\).)d(Also)f(ist)
h(jede)165 746 y(zyklisc)n(he)27 b(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)26
b(eines)i(Co)r(dew)n(ortes)e(wieder)h(ein)h(Co)r(dew)n(ort.)165
910 y Fq(Satz)33 b(6.4.24)40 b Fp(Seien)29 b Fr(k)c Fp(und)31
b Fr(n)22 b Fp(mit)30 b Fr(k)c(<)d(n)f Fp(ge)l(geb)l(en.)i(Sei)31
b Fr(g)25 b Fo(2)f Fr(P)2225 922 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(k)2381
910 y Fp(vom)f(Gr)l(ad)32 b Fr(n)s Fo(\000)s Fr(k)165
1010 y Fp(ein)j(T)-6 b(eiler)35 b(von)41 b Fr(x)770 980
y Fk(n)837 1010 y Fo(\000)21 b Ft(1)31 b Fo(2)g Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(])p Fp(.)35 b(Dann)f(ist)g(der)h(dur)l(ch)40
b Fr(g)d Fp(erzeugte)d(Polynomc)l(o)l(de)165 1110 y(ein)f(zyklischer)h
(Co)l(de.)g Fr(g)h Fp(hei\031t)e(dann)f(ein)h Ft(Generatorp)r(olynom)e
Fp(f)2299 1114 y(\177)2299 1110 y(ur)h(den)h(zyklischen)165
1209 y(Co)l(de.)165 1381 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)28 b Fr(g)s(g)702
1351 y Fi(0)749 1381 y Ft(=)23 b Fr(x)884 1351 y Fk(n)949
1381 y Fo(\000)18 b Ft(1.)28 b(Dann)h(ist)f Fr(x)1514
1351 y Fk(n)1584 1381 y Ft(=)c Fr(g)s(g)1759 1351 y Fi(0)1800
1381 y Ft(+)19 b(1.)28 b(Sei)g Fr(g)s(f)k Ft(=)24 b Fr(\013)2369
1393 y Fl(0)2425 1381 y Ft(+)19 b Fr(\013)2562 1393 y
Fl(1)2599 1381 y Fr(x)g Ft(+)g Fr(:)14 b(:)g(:)19 b Ft(+)165
1481 y Fr(\013)218 1493 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)349 1481
y Fr(x)396 1451 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)567 1481 y Ft(Darstellung)41
b(eines)f(Co)r(dew)n(ortes)g(\()p Fr(\013)1791 1493 y
Fl(0)1828 1481 y Fr(;)14 b(:::;)g(\013)2024 1493 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fl(1)2155 1481 y Ft(\).)41 b(Wir)g(m)n(ultiplizieren)165
1580 y(diese)36 b(Gleic)n(h)n(ung)g(mit)h Fr(x)f Ft(und)h(erhalten)e
Fr(xg)s(f)46 b Ft(=)37 b Fr(\013)1856 1592 y Fl(0)1893
1580 y Fr(x)25 b Ft(+)f Fr(\013)2107 1592 y Fl(1)2144
1580 y Fr(x)2191 1550 y Fl(2)2253 1580 y Ft(+)g Fr(:)14
b(:)g(:)24 b Ft(+)f Fr(\013)2604 1592 y Fk(n)p Fi(\000)p
Fl(1)2735 1580 y Fr(x)2782 1550 y Fk(n)2865 1580 y Ft(=)165
1680 y Fr(\013)218 1692 y Fl(0)256 1680 y Fr(x)18 b Ft(+)f
Fr(\013)456 1692 y Fl(1)493 1680 y Fr(x)540 1650 y Fl(2)595
1680 y Ft(+)g Fr(:)d(:)g(:)j Ft(+)g Fr(\013)926 1692
y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1057 1680 y Ft(\()p Fr(g)s(g)1175
1650 y Fi(0)1215 1680 y Ft(+)g(1\))23 b(=)f Fr(\013)1534
1692 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1682 1680 y Ft(+)17 b Fr(\013)1817
1692 y Fl(0)1854 1680 y Fr(x)h Ft(+)f Fr(\013)2054 1692
y Fl(1)2091 1680 y Fr(x)2138 1650 y Fl(2)2194 1680 y
Ft(+)g Fr(:)d(:)g(:)j Ft(+)g Fr(\013)2525 1692 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fl(1)2655 1680 y Fr(g)s(g)2741 1650 y Fi(0)2791
1680 y Ft(und)165 1780 y(daraus)35 b Fr(\013)495 1792
y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)649 1780 y Ft(+)24 b Fr(\013)791
1792 y Fl(0)828 1780 y Fr(x)h Ft(+)f Fr(\013)1042 1792
y Fl(1)1079 1780 y Fr(x)1126 1749 y Fl(2)1188 1780 y
Ft(+)f Fr(:)14 b(:)g(:)24 b Ft(+)g Fr(\013)1539 1792
y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(2)1669 1780 y Fr(x)1716 1749 y
Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1884 1780 y Ft(=)37 b Fr(xg)s(f)32
b Fo(\000)24 b Fr(\013)2291 1792 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)2421
1780 y Fr(g)s(g)2507 1749 y Fi(0)2567 1780 y Ft(=)37
b Fr(g)s Ft(\()p Fr(xf)c Fo(\000)165 1879 y Fr(\013)218
1891 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)349 1879 y Fr(g)392 1849
y Fi(0)415 1879 y Ft(\).)26 b(Da)f(Grad)o(\()p Fr(xf)f
Fo(\000)14 b Fr(\013)1087 1891 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1217
1879 y Fr(g)1260 1849 y Fi(0)1283 1879 y Ft(\))24 b Fo(\024)e
Fr(n)14 b Fo(\000)g Ft(1)g Fo(\000)g Ft(Grad\()p Fr(g)s
Ft(\))23 b(=)g Fr(k)17 b Fo(\000)d Ft(1)25 b(gilt,)h(ist)f(also)g(auc)n
(h)165 1979 y(\()p Fr(\013)250 1991 y Fk(n)p Fi(\000)p
Fl(1)381 1979 y Fr(;)14 b(\013)471 1991 y Fl(0)508 1979
y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(\013)746 1991 y Fk(n)p Fi(\000)p
Fl(2)876 1979 y Ft(\))28 b(ein)g(Co)r(dew)n(ort)e(und)i(der)f(P)n
(olynomco)r(de)f(zyklisc)n(h.)165 2151 y Fq(Bemerkung)32
b(6.4.25)39 b Ft(Es)g(gilt)h(auc)n(h)f(die)h(Umk)n(ehrung)f(des)h
(Satzes.)f(Sei)h Fr(f)52 b Ft(:)43 b Fr(K)2893 2121 y
Fk(r)165 2250 y Fo(\000)-48 b(!)27 b Fr(K)369 2220 y
Fk(n)443 2250 y Ft(ein)j(zyklisc)n(her)e(Co)r(de.)i(Dann)g(gibt)g(es)f
(ein)h(P)n(olynom)f Fr(g)g Fo(2)e Fr(P)2391 2262 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fk(k)2555 2250 y Ft(mit)j Fr(g)j Ft(teilt)165
2350 y Fr(x)212 2320 y Fk(n)279 2350 y Fo(\000)20 b Ft(1,)31
b(das)f(diesen)h(zyklisc)n(hen)f(Co)r(de)h(erzeugt.)f(Wir)h(b)r(en)2100
2354 y(\177)2100 2350 y(otigen)g(den)g(Bew)n(eis)g(hier)165
2450 y(nic)n(h)n(t.)290 2614 y(Sei)37 b Fr(K)44 b Ft(=)38
b Fr(GF)12 b Ft(\()p Fr(q)s Ft(\))38 b(mit)g Fr(q)k Ft(=)c
Fr(p)1309 2584 y Fk(t)1375 2614 y Ft(und)g Fr(p)e Ft(einer)h(Primzahl.)
f(In)h Fr(K)43 b Ft(gilt)37 b Fr(p)h Ft(=)g(1)25 b(+)165
2714 y Fr(:)14 b(:)g(:)26 b Ft(+)f(1)40 b Fo(\021)g Ft(0\(mo)r(d)27
b Fr(p)p Ft(\).)38 b(Dann)h(ist)f(\()p Fr(x)26 b Fo(\000)f
Ft(1\))1591 2684 y Fk(p)1670 2714 y Ft(=)40 b Fr(x)1822
2684 y Fk(p)1886 2714 y Fo(\000)25 b Ft(1)37 b(in)i Fr(K)6
b Ft([)p Fr(x)p Ft(],)38 b(denn)g(nac)n(h)g(der)165 2863
y(binomisc)n(hen)20 b(F)-7 b(ormel)20 b(ist)g(\()p Fr(x)s
Fo(\000)s Ft(1\))1234 2833 y Fk(p)1296 2863 y Ft(=)1384
2801 y Fj(P)1471 2821 y Fk(p)1471 2888 y(i)p Fl(=0)1597
2746 y Fj(\022)1672 2813 y Fr(p)1678 2913 y(i)1727 2746
y Fj(\023)1802 2863 y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1973 2833
y Fk(p)p Fi(\000)p Fk(i)2087 2863 y Fr(x)2134 2833 y
Fk(i)2185 2863 y Ft(=)j Fr(x)2320 2833 y Fk(p)2362 2863
y Fo(\000)s Ft(1)c(und)2650 2746 y Fj(\022)2725 2813
y Fr(p)2731 2913 y(i)2780 2746 y Fj(\023)2865 2863 y
Ft(=)175 2994 y Fk(p)p Fi(\001)p Fk(:::)o Fi(\001)p Fl(\()p
Fk(p)p Fi(\000)p Fk(i)p Fl(+1\))p 175 3015 379 4 v 287
3063 a(1)p Fi(\001)p Fk(:::)o Fi(\001)p Fk(i)594 3034
y Fo(\021)31 b Ft(0\(mo)r(d)c Fr(p)p Ft(\),)33 b(w)n(eil)f
Fr(p)g Ft(als)g(Primzahl)f(in)h(diesem)g(Bruc)n(h)g(nic)n(h)n(t)g(gek)
2784 3038 y(\177)2782 3034 y(urzt)165 3134 y(w)n(erden)27
b(k)-5 b(ann.)28 b(Damit)g(ist)g(\()p Fr(x)19 b Fo(\000)f
Ft(1\))1301 3104 y Fk(p)p Fi(\000)p Fk(k)1428 3134 y
Ft(\()p Fr(x)h Fo(\000)f Ft(1\))1683 3104 y Fk(k)1747
3134 y Ft(=)k Fr(x)1881 3104 y Fk(p)1939 3134 y Fo(\000)c
Ft(1.)290 3331 y(Mit)39 b(diesen)f(Hilfsmitteln)h(k)1231
3335 y(\177)1231 3331 y(onnen)f(wir)g(jetzt)h(P)n(olynome)e(angeb)r
(en,)h(die)g(einen)165 3431 y(zyklisc)n(hen)27 b(Co)r(de)h(gr)850
3435 y(\177)850 3431 y(o\031tm)1035 3435 y(\177)1035
3431 y(oglic)n(her)c(Hamming-Norm)j(erzeugen.)165 3595
y Fq(Satz)33 b(6.4.26)40 b Fp(Der)31 b(dur)l(ch)37 b
Fr(g)1104 3607 y Fk(k)1171 3595 y Ft(:=)25 b(\()p Fr(x)20
b Fo(\000)f Ft(1\))1541 3565 y Fk(p)p Fi(\000)p Fk(k)1699
3599 y Fp(\177)1699 3595 y(ub)l(er)39 b Fr(K)32 b Ft(=)25
b Fr(GF)12 b Ft(\()p Fr(q)s Ft(\))32 b Fp(generierte)f(zykli-)165
3695 y(sche)g(Co)l(de)g(hat)f(die)h(Hamming-Norm)36 b
Fr(p)18 b Fo(\000)g Fr(k)j Ft(+)d(1)p Fp(.)165 3867 y(Beweis.)44
b Ft(F)538 3871 y(\177)536 3867 y(ur)28 b Fr(k)h Ft(=)24
b(1)29 b(ist)44 b Fj(b)-61 b Fr(g)1032 3879 y Fl(1)1094
3867 y Ft(:)25 b Fr(K)1219 3837 y Fl(1)1281 3867 y Fo(\000)-48
b(!)25 b Fr(K)1483 3837 y Fk(p)1550 3867 y Ft(gegeb)r(en)j(durc)n(h)g
Fr(g)2141 3879 y Fl(1)2178 3867 y Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))e(=)f
Fr(\013)20 b Fo(\001)f Ft(\()p Fr(x)h Fo(\000)f Ft(1\))2783
3837 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)2906 3867 y Ft(.)165 3966
y(Nun)i(ist)f(\()p Fr(x)s Fo(\000)s Ft(1\)\()p Fr(x)s
Fo(\000)s Ft(1\))896 3936 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)1041
3966 y Ft(=)j(\()p Fr(x)s Fo(\000)s Ft(1\))1353 3936
y Fk(p)1414 3966 y Ft(=)g Fr(x)1549 3936 y Fk(p)1590
3966 y Fo(\000)s Ft(1)f(=)h(\()p Fr(x)s Fo(\000)s Ft(1\)\()p
Fr(x)2113 3936 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)2239 3966 y Ft(+)s
Fr(x)2354 3936 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(2)2480 3966 y Ft(+)s
Fr(:)14 b(:)g(:)r Ft(+)s Fr(x)s Ft(+)s(1\).)165 4066
y(Da)29 b Fr(K)6 b Ft([)p Fr(x)p Ft(])28 b(n)n(ullteilerfrei)g(ist,)g
(ist)h(\()p Fr(x)19 b Fo(\000)g Ft(1\))1476 4036 y Fk(p)p
Fi(\000)p Fl(1)1623 4066 y Ft(=)24 b Fr(x)1759 4036 y
Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)1901 4066 y Ft(+)19 b Fr(x)2032
4036 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(2)2174 4066 y Ft(+)g Fr(:)14
b(:)g(:)19 b Ft(+)f Fr(x)h Ft(+)g(1.)28 b(Damit)165 4166
y(erhalten)f(wir)f Fr(g)670 4178 y Fl(1)725 4166 y Fo(\001)17
b Fr(\013)23 b Ft(=)g Fr(\013)18 b Fo(\001)f Ft(\()p
Fr(x)1119 4136 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)1260 4166 y Ft(+)g
Fr(x)1389 4136 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(2)1530 4166 y Ft(+)g
Fr(:)d(:)g(:)j Ft(+)g Fr(x)h Ft(+)f(1\),)27 b(also)f
Fj(b)-46 b Fr(g)2285 4178 y Fl(1)2321 4166 y Ft(\()p
Fr(\013)p Ft(\))25 b(=)d(\()p Fr(\013;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\013)p
Ft(\).)165 4265 y(O\013en)n(bar)27 b(hat)g(diese)h(Co)r(dierung)f(nac)n
(h)g(De\014nition)h(die)g(Hamming-Norm)e Fr(p)p Ft(.)290
4365 y(F)346 4369 y(\177)344 4365 y(ur)31 b Fr(k)i Ft(=)c
Fr(p)j Ft(ist)g Fr(g)858 4377 y Fk(p)925 4365 y Ft(=)e(1,)h(also)g
Fj(b)-47 b Fr(g)1326 4377 y Fk(p)1394 4365 y Ft(:)30
b Fr(K)1524 4335 y Fk(p)1591 4365 y Fo(\000)-48 b(!)30
b Fr(K)1798 4335 y Fk(p)1867 4365 y Ft(die)i(iden)n(tisc)n(he)f
(Abbildung)i(mit)165 4465 y(der)28 b(Hamming-Norm)e(1.)290
4564 y(Wir)31 b(zeigen)f(jetzt)i Fo(k)q Fj(b)-47 b Fr(g)991
4576 y Fk(k)q Fl(+1)1115 4564 y Fo(k)29 b Fr(<)f Fo(k)q
Fj(b)-47 b Fr(g)1361 4576 y Fk(k)1401 4564 y Fo(k)31
b Ft(f)1501 4568 y(\177)1499 4564 y(ur)g(alle)f(0)f Fo(\024)f
Fr(k)k(<)c(p)p Ft(.)j(Sei)g(\()p Fr(\013)2414 4576 y
Fl(0)2452 4564 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)2689
4576 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)2813 4564 y Ft(\))29 b Fo(2)165
4664 y Ft(Bi\()q Fj(b)-47 b Fr(g)319 4676 y Fk(k)360
4664 y Ft(\))23 b(ein)f(Co)r(dew)n(ort)g(minimaler)g(Norm.)g(W)-7
b(eil)23 b(wir)f(einen)g(zyklisc)n(hen)g(Co)r(de)g(hab)r(en,)p
eop end
%%Page: 224 85
TeXDict begin 224 84 bop 165 100 a Fn(224)153 b(6.)42
b(Matrizen)27 b(und)d(lineare)j(Gleic)n(h)n(ungssysteme)165
282 y Ft(k)209 286 y(\177)209 282 y(onnen)39 b(wir)g
Fr(\013)673 294 y Fl(0)752 282 y Fo(6)p Ft(=)j(0)c(annehmen.)h(F)1426
286 y(\177)1424 282 y(ur)g Fr(f)51 b Fo(6)p Ft(=)41 b(0)e(gilt)g(Grad)o
(\()p Fr(g)2237 294 y Fk(k)2278 282 y Fr(f)9 b Ft(\))42
b(=)f(Grad\()p Fr(g)2766 294 y Fk(k)2806 282 y Ft(\))27
b(+)165 382 y(Grad\()p Fr(f)9 b Ft(\))40 b(=)f(\()p Fr(p)25
b Fo(\000)g Fr(k)s Ft(\))g(+)g(Grad)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))40
b Fo(\025)g Fr(p)25 b Fo(\000)f Fr(k)s Ft(,)38 b(also)e(ist)i(auc)n(h)f
Fr(\013)2259 394 y Fk(i)2327 382 y Fo(6)p Ft(=)i(0)f(f)2538
386 y(\177)2536 382 y(ur)f(ein)h Fr(i)i(>)165 482 y Ft(0.)c(Dann)f(ist)
h(das)f(zugeh)986 486 y(\177)986 482 y(orige)f(P)n(olynom)g
Fr(\013)1605 494 y Fl(0)1666 482 y Ft(+)24 b Fr(\013)1808
494 y Fl(1)1845 482 y Fr(x)g Ft(+)g Fr(:)14 b(:)g(:)23
b Ft(+)h Fr(\013)2267 494 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)2390
482 y Fr(x)2437 451 y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)2597 482
y Ft(=)36 b Fr(g)2738 494 y Fk(k)2779 482 y Fr(f)45 b
Ft(=)165 581 y(\()p Fr(x)26 b Fo(\000)e Ft(1\))433 551
y Fk(p)p Fi(\000)p Fk(k)560 581 y Fr(f)9 b Ft(.)36 b(Wir)h(bilden)g
(die)g(formale)f(Ableitung)h(und)g(erhalten)g Fr(\013)2510
593 y Fl(1)2572 581 y Ft(+)24 b(2)p Fr(\013)2756 593
y Fl(2)2793 581 y Fr(x)h Ft(+)165 681 y Fr(:)14 b(:)g(:)23
b Ft(+)g(\()p Fr(p)g Fo(\000)g Ft(1\))p Fr(\013)685 693
y Fk(p)p Fi(\000)p Fl(1)808 681 y Fr(x)855 651 y Fk(p)p
Fi(\000)p Fl(2)1014 681 y Ft(=)34 b(\()p Fr(g)1185 693
y Fk(k)1226 681 y Fr(f)9 b Ft(\))1308 651 y Fi(0)1366
681 y Ft(=)35 b(\()p Fr(p)23 b Fo(\000)f Fr(k)s Ft(\)\()p
Fr(x)j Fo(\000)d Ft(1\))1993 651 y Fk(p)p Fi(\000)p Fk(k)q
Fi(\000)p Fl(1)2205 681 y Fr(f)32 b Ft(+)22 b(\()p Fr(x)i
Fo(\000)f Ft(1\))2630 651 y Fk(p)p Fi(\000)p Fk(k)2757
681 y Fr(f)2807 651 y Fi(0)2865 681 y Ft(=)165 780 y(\()p
Fr(x)14 b Fo(\000)g Ft(1\))411 750 y Fk(p)p Fi(\000)p
Fl(\()p Fk(k)q Fl(+1\))673 780 y Ft(\(\()p Fr(p)g Fo(\000)g
Fr(k)s Ft(\))p Fr(f)22 b Ft(+)14 b(\()p Fr(x)g Fo(\000)g
Ft(1\))p Fr(f)1388 750 y Fi(0)1409 780 y Ft(\).)25 b(Daher)g(ist)g(\()p
Fr(\013)1933 792 y Fl(1)1971 780 y Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(\013)2103
792 y Fl(2)2140 780 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(\()p
Fr(p)g Fo(\000)g Ft(1\))p Fr(\013)2618 792 y Fk(p)p Fi(\000)p
Fl(1)2740 780 y Fr(;)g Ft(0\))23 b Fo(2)165 880 y Ft(Bi\()q
Fj(b)-47 b Fr(g)319 892 y Fk(k)q Fl(+1)444 880 y Ft(\))28
b(ein)g(Elemen)n(t)f(kleinerer)g(Norm.)g(Damit)h(ist)g
Fo(k)q Fj(b)-47 b Fr(g)2015 892 y Fk(k)q Fl(+1)2139 880
y Fo(k)22 b Fr(<)h Fo(k)q Fj(b)-47 b Fr(g)2373 892 y
Fk(k)2413 880 y Fo(k)27 b Ft(und)885 1045 y(1)c(=)g Fo(k)q
Fj(b)-47 b Fr(g)1120 1057 y Fk(p)1157 1045 y Fo(k)23
b Fr(<)f Fo(k)q Fj(b)-47 b Fr(g)1391 1057 y Fk(p)p Fi(\000)p
Fl(1)1514 1045 y Fo(k)22 b Fr(<)h(:)14 b(:)g(:)23 b(<)g
Fo(k)q Fj(b)-47 b Fr(g)1956 1057 y Fl(1)1992 1045 y Fo(k)23
b Ft(=)f Fr(p;)165 1211 y Ft(w)n(oraus)k Fo(k)q Fj(b)-47
b Fr(g)527 1223 y Fk(k)567 1211 y Fo(k)23 b Ft(=)f Fr(p)c
Fo(\000)g Fr(k)k Ft(+)c(1)27 b(folgt.)178 1352 y Fq(\177)165
1368 y(Ubungen)32 b(6.4.27)81 b Ft(1.)41 b(Die)28 b(folgende)g(Co)r
(dierung)e(sei)i(gegeb)r(en)1000 1520 y Fr(f)9 b Ft(\(00\))22
b(=)g(000000)p Fr(;)81 b(f)9 b Ft(\(10\))22 b(=)g(101101)p
Fr(;)1000 1620 y(f)9 b Ft(\(01\))22 b(=)g(010011)p Fr(;)81
b(f)9 b Ft(\(11\))22 b(=)g(111110)p Fr(:)345 1777 y Ft(a\))42
b(Zeigen)26 b(Sie,)i(da\031)f Fr(f)36 b Ft(eine)28 b(lineare)f(Co)r
(dierung)g(ist.)341 1876 y(b\))42 b(Bestimmen)27 b(Sie)h(die)g
(erzeugende)e(Matrix.)350 1976 y(c\))42 b(Finden)34 b(Sie)g(eine)g(Kon)
n(trollabbildung)d(und)k(die)f(zugeh)2280 1980 y(\177)2280
1976 y(orige)d(Kon)n(trollma-)461 2075 y(trix.)341 2175
y(d\))42 b(Bestimmen)27 b(Sie)h(den)g(Hamming-Abstand)f(v)n(on)g
Fr(f)9 b Ft(.)350 2275 y(e\))42 b(En)n(tzi\013ern)27
b(Sie)g(folgende)h(W)-7 b(orte)987 2440 y(100000)p Fr(;)14
b Ft(101111)p Fr(;)g Ft(0)o(10)o(01)o(0)p Fr(;)g Ft(0)o(10)o(10)o(1)p
Fr(;)g Ft(0)o(11)o(11)o(0)p Fr(:)207 2605 y Ft(2.)41
b(Finden)28 b(Sie)g(je)g(eine)f(\(3,6\)-Co)r(dierung)g
Fr(f)36 b Ft(mit)28 b Fo(jj)p Fr(f)9 b Fo(jj)23 b Ft(=)g
Fr(n)k Ft(f)2176 2609 y(\177)2174 2605 y(ur)h Fr(n)23
b Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(3)p Fr(;)g Ft(4.)207
2705 y(3.)41 b(Sei)28 b Fr(K)g Ft(=)23 b Fm(Z)p Fr(=)p
Ft(\(2\).)28 b(Zeigen)e(Sie:)345 3095 y(a\))42 b Fr(A)23
b Ft(:=)657 2754 y Fj(0)657 2900 y(B)657 2950 y(B)657
3000 y(B)657 3049 y(B)657 3099 y(B)657 3149 y(B)657 3199
y(B)657 3252 y(@)743 2796 y Ft(1)83 b(0)f(0)h(0)743 2896
y(1)g(1)f(0)h(0)743 2995 y(0)g(1)f(1)h(0)743 3095 y(1)g(0)f(1)h(1)743
3195 y(0)g(1)f(0)h(1)743 3294 y(0)g(0)f(1)h(0)743 3394
y(0)g(0)f(0)h(1)1172 2754 y Fj(1)1172 2900 y(C)1172 2950
y(C)1172 3000 y(C)1172 3049 y(C)1172 3099 y(C)1172 3149
y(C)1172 3199 y(C)1172 3252 y(A)1272 3095 y Ft(ist)28
b(eine)g(Co)r(dierungsmatrix.)341 3485 y(b\))42 b(Finden)28
b(Sie)f(eine)h(geeignete)f(Kon)n(trollmatrix)e(dazu.)350
3585 y(c\))42 b(Bestimmen)27 b(Sie)h(den)g(Hamming-Abstand)f(des)h(Co)r
(des.)341 3685 y(d\))42 b(Es)26 b(w)n(erden)h(die)h(Nac)n(hric)n(h)n
(ten)1154 3799 y Fj(0)1154 3945 y(B)1154 3995 y(B)1154
4045 y(B)1154 4095 y(B)1154 4145 y(B)1154 4194 y(B)1154
4244 y(B)1154 4297 y(@)1241 3842 y Ft(1)1241 3941 y(0)1241
4041 y(1)1241 4140 y(1)1241 4240 y(1)1241 4340 y(0)1241
4439 y(0)1296 3799 y Fj(1)1296 3945 y(C)1296 3995 y(C)1296
4045 y(C)1296 4095 y(C)1296 4145 y(C)1296 4194 y(C)1296
4244 y(C)1296 4297 y(A)1382 4140 y Fr(;)1419 3799 y Fj(0)1419
3945 y(B)1419 3995 y(B)1419 4045 y(B)1419 4095 y(B)1419
4145 y(B)1419 4194 y(B)1419 4244 y(B)1419 4297 y(@)1506
3842 y Ft(1)1506 3941 y(1)1506 4041 y(1)1506 4140 y(1)1506
4240 y(0)1506 4340 y(1)1506 4439 y(0)1561 3799 y Fj(1)1561
3945 y(C)1561 3995 y(C)1561 4045 y(C)1561 4095 y(C)1561
4145 y(C)1561 4194 y(C)1561 4244 y(C)1561 4297 y(A)1758
4140 y Ft(und)2021 3799 y Fj(0)2021 3945 y(B)2021 3995
y(B)2021 4045 y(B)2021 4095 y(B)2021 4145 y(B)2021 4194
y(B)2021 4244 y(B)2021 4297 y(@)2108 3842 y Ft(0)2108
3941 y(0)2108 4041 y(0)2108 4140 y(0)2108 4240 y(1)2108
4340 y(0)2108 4439 y(1)2163 3799 y Fj(1)2163 3945 y(C)2163
3995 y(C)2163 4045 y(C)2163 4095 y(C)2163 4145 y(C)2163
4194 y(C)2163 4244 y(C)2163 4297 y(A)461 4592 y Ft(empfangen.)f
(Analysieren)g(Sie!)p eop end
%%Page: 225 86
TeXDict begin 225 85 bop 165 282 a Fu(7.)42 b(Eigen)l(w)l(erttheorie)
165 1279 y Ft(Die)37 b(Determinan)n(te)f(einer)g(quadratisc)n(hen)f
(Matrix)h(o)r(der)g(eines)g(Endomorphism)n(us)165 1378
y(ist)h(eine)g(der)f(wic)n(h)n(tigsten)g(In)n(v)-5 b(arian)n(ten.)35
b(Mit)i(ihr)f(k)-5 b(ann)37 b(man)f(feststellen,)h(ob)f(eine)165
1478 y(Matrix)19 b(in)n(v)n(ertierbar)d(ist.)k(Sie)f(gestattet)g(es)f
(ab)r(er)h(auc)n(h,)f(geometrisc)n(he)f(Eigensc)n(haften)165
1577 y(eines)35 b(Endomorphism)n(us)d(genauer)i(zu)g(studieren.)g(Dies)
h(wird)f(im)h(Absc)n(hnitt)2767 1581 y(\177)2765 1577
y(ub)r(er)165 1677 y(Eigen)n(w)n(erte)26 b(gesc)n(hehen.)165
1995 y Fs(7.1)42 b(Determinan)m(ten)165 2192 y Ft(Wir)32
b(f)365 2196 y(\177)363 2192 y(uhren)h(den)f(Begri\013)g(der)f
(Determinan)n(te)i(auf)f(eine)g(w)n(enig)2274 2196 y(\177)2272
2192 y(ublic)n(he)g(W)-7 b(eise)32 b(ein.)165 2292 y(Die)h(v)n(erw)n
(endete)e(Metho)r(de)h(f)1134 2296 y(\177)1132 2292 y(uhrt)h(b)r
(esonders)e(sc)n(hnell)h(zu)g(den)g(wic)n(h)n(tigsten)f(Eigen-)165
2391 y(sc)n(haften.)165 2553 y Fq(De\014nition)g(7.1.1)40
b Ft(Eine)29 b(Abbildung)h Fr(\001)c Ft(:)g Fr(K)1672
2523 y Fk(n)1666 2573 y(n)1743 2553 y Fo(\000)-49 b(!)27
b Fr(K)34 b Ft(hei\031t)c(eine)f Fp(Determinanten-)165
2653 y(funktion)p Ft(,)f(w)n(enn)g(gelten)318 2752 y(\()p
Fr(\001)p Ft(1\))83 b Fr(\001)p Ft(\()p Fr(B)t Ft(\))24
b(=)e Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p Ft(\),)165 2852 y(falls)j
Fr(B)30 b Ft(aus)24 b Fr(A)i Ft(durc)n(h)f(Addition)g(einer)g(Zeile)g
(zu)g(einer)g(anderen)g(Zeile)f(en)n(tsteh)n(t,)i(und)318
2951 y(\()p Fr(\001)p Ft(2\))83 b Fr(\001)p Ft(\()p Fr(B)t
Ft(\))24 b(=)e Fr(\013)d Fo(\001)g Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)p Ft(\),)165 3051 y(falls)28 b Fr(B)k Ft(aus)27
b Fr(A)h Ft(durc)n(h)f(Multiplik)-5 b(ation)28 b(einer)f(Zeile)h(mit)g
(einem)g(F)-7 b(aktor)26 b Fr(\013)i Ft(en)n(tsteh)n(t.)165
3213 y Fq(Satz)33 b(7.1.2)40 b Fp(Sei)e Fr(\001)24 b
Ft(:)f Fr(K)978 3182 y Fk(n)972 3233 y(n)1046 3213 y
Fo(\000)-47 b(!)23 b Fr(K)36 b Fp(eine)30 b(Determinantenfunktion.)f
(Dann)g(gilt)204 3359 y(1.)42 b Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p
Ft(\))24 b(=)f(0)29 b Fp(f)716 3363 y(\177)716 3359 y(ur)h(al)t(le)37
b Fr(A)23 b Fo(2)h Fr(K)1230 3329 y Fk(n)1224 3379 y(n)1304
3359 y Fp(mit)30 b(R)l(ang)7 b Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))23
b Fr(<)g(n;)204 3459 y Fp(2.)42 b Fr(\001)23 b Ft(=)g(0)p
Fp(,)29 b(fal)t(ls)39 b Fr(\001)p Ft(\()p Fr(E)937 3471
y Fk(n)982 3459 y Ft(\))24 b(=)e(0)p Fr(:)165 3625 y
Fp(Beweis.)44 b Ft(1.)24 b(F)627 3629 y(\177)625 3625
y(ur)h(Elemen)n(tarmatrizen)e(zw)n(eiter)i(Art)g(v)n(on)f(der)h(F)-7
b(orm)24 b Fr(F)2442 3637 y Fk(ij)2524 3625 y Ft(=)f
Fr(E)2673 3637 y Fk(n)2732 3625 y Ft(+)13 b Fr(E)2871
3637 y Fk(ij)165 3725 y Ft(gilt)28 b(nac)n(h)f(6.2.10)1228
3825 y Fr(\001)p Ft(\()p Fr(F)1382 3837 y Fk(ij)1442
3825 y Fr(A)p Ft(\))c(=)g Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))p
Fr(:)893 b Ft(\(7)p Fr(:)p Ft(1\))165 3969 y(F)221 3973
y(\177)219 3969 y(ur)24 b(Elemen)n(tarmatrizen)e(erster)h(Art)h(v)n(on)
f(der)h(F)-7 b(orm)24 b Fr(F)1977 3981 y Fk(i)2005 3969
y Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))g(=)e Fr(E)2294 3981 y Fk(n)2351
3969 y Ft(+)11 b(\()p Fr(\013)g Fo(\000)g Ft(1\))p Fr(E)2734
3981 y Fk(ii)2809 3969 y Ft(gilt)1158 4145 y Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(F)1312 4157 y Fk(i)1341 4145 y Ft(\()p Fr(\013)p
Ft(\))p Fr(A)p Ft(\))24 b(=)f Fr(\013\001)p Ft(\()p Fr(A)p
Ft(\))p Fr(:)823 b Ft(\(7)p Fr(:)p Ft(2\))165 4320 y(Daraus)48
b(folgt)h(f)712 4324 y(\177)710 4320 y(ur)h(Elemen)n(tarmatrizen)d(der)
i(F)-7 b(orm)48 b Fr(F)2036 4332 y Fk(ij)2095 4320 y
Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))60 b(=)f Fr(E)2457 4332 y Fk(n)2535
4320 y Ft(+)32 b Fr(\013E)2746 4332 y Fk(ij)2865 4320
y Ft(=)165 4419 y Fr(F)218 4431 y Fk(j)254 4419 y Ft(\()p
Fr(\013)339 4389 y Fi(\000)p Fl(1)429 4419 y Ft(\))p
Fr(F)514 4431 y Fk(ij)573 4419 y Fr(F)626 4431 y Fk(j)661
4419 y Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))1181 4519 y Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(F)1335 4531 y Fk(ij)1394 4519 y Ft(\()p Fr(\013)p
Ft(\))p Fr(A)p Ft(\))25 b(=)e Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p
Ft(\))802 b(\(7)p Fr(:)p Ft(1)p Fr(a)p Ft(\))165 4664
y(w)n(ob)r(ei)p eop end
%%Page: 226 87
TeXDict begin 226 86 bop 165 100 a Fn(226)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)928 643 y Fr(F)981 655 y Fk(ij)1040
643 y Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))20 b Fo(\001)1218 477 y
Fj(0)1218 626 y(@)1309 521 y Fr(a)1353 533 y Fl(1)1338
600 y Ft(.)1338 633 y(.)1338 666 y(.)1305 766 y Fr(a)1349
778 y Fk(n)1408 477 y Fj(1)1408 626 y(A)1503 643 y Ft(=)1591
203 y Fj(0)1591 349 y(B)1591 399 y(B)1591 448 y(B)1591
498 y(B)1591 548 y(B)1591 598 y(B)1591 648 y(B)1591 697
y(B)1591 747 y(B)1591 797 y(B)1591 847 y(B)1591 900 y(@)1819
264 y Fr(a)1863 276 y Fl(1)1849 343 y Ft(.)1849 377 y(.)1849
410 y(.)1677 509 y Fr(a)1721 521 y Fk(i)1767 509 y Ft(+)e
Fr(\013)h Fo(\001)g Fr(a)2008 521 y Fk(j)1849 600 y Ft(.)1849
633 y(.)1849 666 y(.)1821 766 y Fr(a)1865 778 y Fk(j)1849
857 y Ft(.)1849 890 y(.)1849 923 y(.)1816 1023 y Fr(a)1860
1035 y Fk(n)2057 203 y Fj(1)2057 349 y(C)2057 399 y(C)2057
448 y(C)2057 498 y(C)2057 548 y(C)2057 598 y(C)2057 648
y(C)2057 697 y(C)2057 747 y(C)2057 797 y(C)2057 847 y(C)2057
900 y(A)2143 643 y Fr(:)165 1159 y Ft(Elemen)n(tarmatrizen)28
b(dritter)g(Art)i(der)e(F)-7 b(orm)29 b Fr(P)1724 1171
y Fk(ij)1812 1159 y Ft(k)1856 1163 y(\177)1856 1159 y(onnen)g(gesc)n
(hrieb)r(en)e(w)n(erden)i(als)165 1259 y Fr(P)218 1271
y Fk(ij)322 1259 y Ft(=)44 b Fr(F)484 1271 y Fk(i)512
1259 y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))p Fr(F)736 1271 y Fk(ij)794
1259 y Fr(F)847 1271 y Fk(j)883 1259 y Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))p Fr(F)1107 1271 y Fk(j)s(i)1165 1259 y Fr(F)1218
1271 y Fk(i)1246 1259 y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))p Fr(F)1470
1271 y Fk(ij)1529 1259 y Ft(,)c(d.h.)h(die)g(V)-7 b(ertausc)n(h)n(ung)
39 b(zw)n(eier)g(Zeilen)165 1358 y(k)-5 b(ann)36 b(mit)f(elemen)n
(taren)g(Zeilenop)r(erationen)f(erster)g(und)h(zw)n(eiter)g(Art)g
(dargestellt)165 1458 y(w)n(erden,)27 b(insb)r(esondere)g(gilt)1196
1636 y Fr(\001)p Ft(\()p Fr(P)1350 1648 y Fk(ij)1409
1636 y Fr(A)p Ft(\))d(=)f Fo(\000)p Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)p Ft(\))p Fr(:)860 b Ft(\(7)p Fr(:)p Ft(3\))165
1813 y(Also)31 b(gibt)g(es)f(zu)h(jeder)g(in)n(v)n(ertierbaren)d
(Matrix)i Fr(B)35 b Ft(einen)c(v)n(on)f(Null)i(v)n(ersc)n(hiedenen)165
1913 y(F)-7 b(aktor)27 b Fr(b)g Ft(mit)1215 2013 y Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(B)c Fo(\001)18 b Fr(A)p Ft(\))24 b(=)e Fr(b\001)p
Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))165 2159 y(f)192 2163 y(\177)190
2159 y(ur)39 b(alle)g(Matrizen)f Fr(A)p Ft(,)h(denn)g(die)g(F)-7
b(aktoren,)38 b(die)h(man)g(b)r(ei)g(einer)g(Zerlegung)e(v)n(on)165
2259 y Fr(B)f Ft(in)c(Elemen)n(tarmatrizen)d(erh)1203
2263 y(\177)1203 2259 y(alt,)i(h)1400 2263 y(\177)1400
2259 y(angen)g(n)n(ur)g(v)n(on)f Fr(B)36 b Ft(und)31
b(nic)n(h)n(t)h(v)n(on)e Fr(A)i Ft(ab.)f(Ist)165 2358
y(Rang\()p Fr(A)p Ft(\))24 b Fr(<)g(n)p Ft(,)k(dann)g(hat)g(die)g
(Stufenform)h Fr(B)22 b Fo(\001)d Fr(A)24 b Ft(=)g Fr(S)33
b Ft(v)n(on)27 b Fr(A)h Ft(als)g(letzte)g(Zeile)g(den)165
2458 y(Nullv)n(ektor.)f(Daher)g(gilt)h Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)p Ft(\))c(=)f Fr(b)1338 2428 y Fi(\000)p Fl(1)1426
2458 y Fr(\001)p Ft(\()p Fr(S)5 b Ft(\))24 b(=)f(0)k(w)n(egen)f(\()p
Fr(\001)p Ft(2\).)290 2558 y(2.)19 b(Ist)h(Rang\()p Fr(A)p
Ft(\))j(=)g Fr(n)c Ft(und)h Fr(\001)p Ft(\()p Fr(E)1306
2570 y Fk(n)1352 2558 y Ft(\))k(=)e(0,)e(so)e(ist)i Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))k(=)f Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)s Fo(\001)s
Fr(E)2341 2570 y Fk(n)2386 2558 y Ft(\))h(=)e Fr(a)s
Fo(\001)s Fr(\001)p Ft(\()p Fr(E)2764 2570 y Fk(n)2809
2558 y Ft(\))i(=)165 2657 y(0,)k(also)e Fr(\001)d Ft(=)g(0.)290
2827 y(Wir)h(v)n(ergleic)n(hen)f(Determinan)n(tenfunktionen)i(und)f
(erhalten)g(dab)r(ei)g(den)h(Begri\013)165 2926 y(der)j(Determinan)n
(te.)165 3089 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(7.1.3)40 b Fp(Seien)29
b Fr(\001)1139 3101 y Fl(1)1176 3089 y Fr(;)14 b(\001)1282
3101 y Fl(2)1343 3089 y Ft(:)23 b Fr(K)1466 3059 y Fk(n)1460
3110 y(n)1534 3089 y Fo(\000)-47 b(!)24 b Fr(K)k Fp
(Determinantenfunktionen.)22 b(Dann)165 3189 y(gilt)970
3289 y Fr(\001)1039 3301 y Fl(1)1076 3289 y Ft(\()p Fr(E)1169
3301 y Fk(n)1215 3289 y Ft(\))p Fr(\001)1316 3301 y Fl(2)1354
3289 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))h(=)g Fr(\001)1660 3301 y
Fl(1)1697 3289 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))p Fr(\001)1892
3301 y Fl(2)1931 3289 y Ft(\()p Fr(E)2024 3301 y Fk(n)2070
3289 y Ft(\))p Fr(:)165 3458 y Fp(Beweis.)44 b Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))27 b(:=)f Fr(\001)887 3470 y Fl(1)924
3458 y Ft(\()p Fr(E)1017 3470 y Fk(n)1063 3458 y Ft(\))p
Fr(\001)1164 3470 y Fl(2)1202 3458 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))20
b Fo(\000)g Fr(\001)1502 3470 y Fl(1)1539 3458 y Ft(\()p
Fr(A)p Ft(\))p Fr(\001)1734 3470 y Fl(2)1772 3458 y Ft(\()p
Fr(E)1865 3470 y Fk(n)1911 3458 y Ft(\))30 b(ist)g(eb)r(enfalls)g(eine)
f(Determi-)165 3558 y(nan)n(tenfunktion,)e(da)e(sie)h(\()p
Fr(\001)p Ft(1\))g(und)h(\()p Fr(\001)p Ft(2\))f(erf)1662
3562 y(\177)1660 3558 y(ullt.)h(W)-7 b(eiter)26 b(ist)g
Fr(\001)p Ft(\()p Fr(E)2376 3570 y Fk(n)2422 3558 y Ft(\))d(=)g(0.)i
(Also)h(ist)165 3657 y Fr(\001)e Ft(=)e(0)27 b(und)h(damit)g(die)g
(Behauptung)f(b)r(ewiesen.)165 3827 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(7.1.4)40 b Fp(Sei)61 b Fr(\001)j Ft(:)f Fr(K)1313 3797
y Fk(n)1307 3847 y(n)1421 3827 y Fo(\000)-46 b(!)64 b
Fr(K)57 b Fp(eine)c(Determinantenfunktion)e(mit)165 3926
y Fr(\001)p Ft(\()p Fr(E)327 3938 y Fk(n)373 3926 y Ft(\))24
b(=)e(1)p Fp(.)30 b(Dann)f(gilt)38 b Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)19 b Fo(\001)g Fr(B)t Ft(\))k(=)g Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)p Ft(\))p Fr(\001)p Ft(\()p Fr(B)t Ft(\))32 b Fp(f)1877
3930 y(\177)1877 3926 y(ur)d(al)t(le)38 b Fr(A;)14 b(B)27
b Fo(2)c Fr(K)2494 3896 y Fk(n)2488 3947 y(n)2539 3926
y Fr(:)165 4096 y Fp(Beweis.)44 b Fr(\001)551 4108 y
Fl(1)588 4096 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))24 b(:=)f Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(A)16 b Fo(\001)g Fr(B)t Ft(\))27 b(ist)f(eine)h(Determinan)n
(tenfunktion)f(w)n(egen)g(\(7.1\))g(und)165 4195 y(\(7.2\).)i(Also)f
(folgt)g(mit)i Fr(\001)987 4207 y Fl(2)1047 4195 y Ft(=)23
b Fr(\001)28 b Ft(aus)f(7.1.3)165 4295 y Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)20 b Fo(\001)e Fr(B)t Ft(\))24 b(=)e Fr(\001)668
4307 y Fl(1)706 4295 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))d Fo(\001)f
Fr(\001)961 4307 y Fl(2)999 4295 y Ft(\()p Fr(E)1092
4307 y Fk(n)1138 4295 y Ft(\))23 b(=)g Fr(\001)1350 4307
y Fl(1)1387 4295 y Ft(\()p Fr(E)1480 4307 y Fk(n)1526
4295 y Ft(\))c Fo(\001)f Fr(\001)1687 4307 y Fl(2)1724
4295 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))24 b(=)f Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(B)t Ft(\))c Fo(\001)g Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))p
Fr(:)165 4465 y Fq(De\014nition)31 b(7.1.5)40 b Ft(Eine)29
b(Abbildung)h Fr(\001)c Ft(:)f Fr(K)1671 4434 y Fk(n)1665
4485 y(n)1742 4465 y Fo(\000)-49 b(!)26 b Fr(K)35 b Ft(hei\031t)29
b Fp(\(zeilen-\))j(multiline)l(ar)p Ft(,)165 4564 y(w)n(enn)20
b Fr(\001)h Ft(aufgefa\031t)e(als)h(Abbildung)g(auf)h(dem)f
Fr(n)p Ft(-T)-7 b(up)r(el)20 b(der)g(Zeilen)n(v)n(ektoren)e(in)j(jedem)
165 4664 y(Argumen)n(t)28 b(\(in)g(jeder)f(Zeile\))h(linear)f(ist,)h
(d.h.)g(w)n(enn)p eop end
%%Page: 227 88
TeXDict begin 227 87 bop 2023 100 a Fn(7.1)42 b(Determinan)n(ten)151
b(227)635 509 y Fr(\025)19 b Fo(\001)f Fr(\001)826 217
y Fj(0)826 363 y(B)826 413 y(B)826 463 y(B)826 513 y(B)826
563 y(B)826 616 y(@)917 270 y Fr(a)961 282 y Fl(1)946
349 y Ft(.)946 382 y(.)946 415 y(.)934 515 y Fr(x)946
582 y Ft(.)946 615 y(.)946 648 y(.)913 748 y Fr(a)957
760 y Fk(n)1016 217 y Fj(1)1016 363 y(C)1016 413 y(C)1016
463 y(C)1016 513 y(C)1016 563 y(C)1016 616 y(A)1107 509
y Ft(+)g Fr(\026)g Fo(\001)h Fr(\001)1383 217 y Fj(0)1383
363 y(B)1383 413 y(B)1383 463 y(B)1383 513 y(B)1383 563
y(B)1383 616 y(@)1473 262 y Fr(a)1517 274 y Fl(1)1502
341 y Ft(.)1502 374 y(.)1502 407 y(.)1492 507 y Fr(y)1502
590 y Ft(.)1502 623 y(.)1502 656 y(.)1469 756 y Fr(a)1513
768 y Fk(n)1572 217 y Fj(1)1572 363 y(C)1572 413 y(C)1572
463 y(C)1572 513 y(C)1572 563 y(C)1572 616 y(A)1668 509
y Ft(=)k Fr(\001)1839 217 y Fj(0)1839 363 y(B)1839 413
y(B)1839 463 y(B)1839 513 y(B)1839 563 y(B)1839 616 y(@)2030
262 y Fr(a)2074 274 y Fl(1)2059 341 y Ft(.)2059 374 y(.)2059
407 y(.)1925 507 y Fr(\025x)c Ft(+)f Fr(\026y)2059 590
y Ft(.)2059 623 y(.)2059 656 y(.)2026 756 y Fr(a)2070
768 y Fk(n)2230 217 y Fj(1)2230 363 y(C)2230 413 y(C)2230
463 y(C)2230 513 y(C)2230 563 y(C)2230 616 y(A)2317 509
y Ft(gilt)o Fr(:)165 926 y Fq(Satz)33 b(7.1.6)40 b Fp(Zu)25
b(je)l(dem)34 b Fr(n)25 b Fp(gilt)i(es)f(eine)g(eindeutig)h(b)l
(estimmte)e(Determinantenfunk-)165 1025 y(tion)48 b Ft(det)43
b(:)h Fr(K)657 995 y Fk(n)651 1046 y(n)744 1025 y Fo(\000)-46
b(!)44 b Fr(K)i Fp(mit)i Ft(det)q(\()p Fr(E)1385 1037
y Fk(n)1431 1025 y Ft(\))43 b(=)g(1)p Fp(.)e(Diese)g
(Determinantenfunktion)f(ist)165 1125 y(multiline)l(ar.)d(Ist)43
b Fr(\001)33 b Ft(:)h Fr(K)991 1095 y Fk(n)985 1145 y(n)1069
1125 y Fo(\000)-46 b(!)33 b Fr(K)41 b Fp(eine)36 b
(Determinantenfunktion,)g(so)f(gilt)h(f)2686 1129 y(\177)2686
1125 y(ur)g(al)t(le)165 1225 y Fr(A)24 b Fo(2)f Fr(K)406
1194 y Fk(n)400 1245 y(n)1111 1324 y Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(A)p Ft(\))h(=)f(det\()p Fr(A)p Ft(\))c Fo(\001)g Fr(\001)p
Ft(\()p Fr(E)1882 1336 y Fk(n)1928 1324 y Ft(\))p Fr(:)165
1499 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Die)g(Eindeutigk)n(eit:)f(Seien)h
Fr(\001)1503 1511 y Fl(1)1584 1499 y Ft(und)g Fr(\001)1835
1511 y Fl(2)1916 1499 y Ft(Determinan)n(tenfunktion)g(mit)165
1598 y Fr(\001)234 1610 y Fl(1)272 1598 y Ft(\()p Fr(E)365
1610 y Fk(n)411 1598 y Ft(\))37 b(=)g(1)g(=)g Fr(\001)832
1610 y Fl(2)870 1598 y Ft(\()p Fr(E)963 1610 y Fk(n)1008
1598 y Ft(\).)g(Nac)n(h)f(7.1.3)f(folgt)h(dann)g Fr(\001)2013
1610 y Fl(1)2050 1598 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))i(=)f Fr(\001)2385
1610 y Fl(1)2423 1598 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))p Fr(\001)2618
1610 y Fl(2)2656 1598 y Ft(\()p Fr(E)2749 1610 y Fk(n)2795
1598 y Ft(\))h(=)165 1698 y Fr(\001)234 1710 y Fl(1)272
1698 y Ft(\()p Fr(E)365 1710 y Fk(n)411 1698 y Ft(\))p
Fr(\001)512 1710 y Fl(2)549 1698 y Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))24
b(=)f Fr(\001)856 1710 y Fl(2)893 1698 y Ft(\()p Fr(A)p
Ft(\).)k(F)1125 1702 y(\177)1123 1698 y(ur)e(den)h(Existenzb)r(ew)n
(eis)f(v)n(erw)n(enden)f(wir)i(v)n(ollst)2695 1702 y(\177)2695
1698 y(andige)165 1797 y(Induktion)37 b(nac)n(h)e Fr(n)p
Ft(.)h(F)926 1801 y(\177)924 1797 y(ur)h Fr(n)g Ft(=)g(1)e(ist)i(det)g
(:)h Fr(K)1721 1767 y Fl(1)1715 1818 y(1)1795 1797 y
Fo(3)f Ft(\()p Fr(\013)p Ft(\))i Fo(7!)e Fr(\013)h Fo(2)f
Fr(K)42 b Ft(o\013en)n(bar)35 b(eine)165 1897 y(Determinan)n
(tenfunktion)26 b(mit)h(det\()p Fr(E)1395 1909 y Fl(1)1433
1897 y Ft(\))c(=)g(1.)i(Sie)g(ist)h(au\031erdem)f(\(m)n(ulti-\)linear.)
g(Sei)165 1997 y(die)j(Existenz)f(f)662 2001 y(\177)660
1997 y(ur)h Fr(n)18 b Fo(\000)g Ft(1)27 b(b)r(ewiesen,)h(und)g(sei)623
2412 y Fr(A)23 b Ft(=)796 2245 y Fj(0)796 2394 y(@)887
2289 y Fr(\013)940 2301 y Fl(11)1101 2289 y Fr(b)1137
2301 y Fl(1)937 2368 y Ft(.)937 2402 y(.)937 2435 y(.)1126
2368 y(.)1126 2402 y(.)1126 2435 y(.)883 2534 y Fr(\013)936
2546 y Fk(n)p Fl(1)1097 2534 y Fr(b)1133 2546 y Fk(n)1192
2245 y Fj(1)1192 2394 y(A)1287 2412 y Fo(2)h Fr(K)1443
2378 y Fk(n)1437 2432 y(n)1487 2412 y Fr(:)k Ft(Sei)g
Fr(B)1735 2424 y Fk(k)1799 2412 y Ft(=)1886 2120 y Fj(0)1886
2266 y(B)1886 2316 y(B)1886 2366 y(B)1886 2416 y(B)1886
2466 y(B)1886 2519 y(@)1977 2166 y Fr(b)2013 2178 y Fl(1)2002
2246 y Ft(.)2002 2279 y(.)2002 2312 y(.)1990 2390 y Fj(b)1975
2412 y Fr(b)2011 2424 y Fk(k)2002 2491 y Ft(.)2002 2524
y(.)2002 2558 y(.)1973 2657 y Fr(b)2009 2669 y Fk(n)2068
2120 y Fj(1)2068 2266 y(C)2068 2316 y(C)2068 2366 y(C)2068
2416 y(C)2068 2466 y(C)2068 2519 y(A)2163 2412 y Fo(2)c
Fr(K)2319 2376 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)2313 2434 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fl(1)2448 2412 y Fr(;)165 2851 y Ft(w)n(ob)r(ei)29
b(die)f(Zeile)h Fr(b)772 2863 y Fk(k)841 2851 y Ft(fortzulassen)e(ist.)
i(Das)g(soll)f(mit)1921 2829 y Fj(b)1906 2851 y Fr(b)1942
2863 y Fk(k)2011 2851 y Ft(angedeutet)h(w)n(erden.)f(Nac)n(h)165
2951 y(Induktionsannahme)38 b(ist)g(det\()p Fr(B)1255
2963 y Fk(k)1296 2951 y Ft(\))h(de\014niert)f(und)g(m)n(ultilinear)g
(in)g(den)g(Zeilen)g Fr(b)2879 2963 y Fk(i)2906 2951
y Ft(.)165 3050 y(Wir)28 b(de\014nieren)927 3196 y(det)q(\()p
Fr(A)p Ft(\))c(:=)1343 3092 y Fk(n)1304 3117 y Fj(X)1303
3296 y Fk(k)q Fl(=1)1424 3196 y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1595
3161 y Fk(k)q Fl(+1)1720 3196 y Fr(\013)1773 3208 y Fk(k)q
Fl(1)1860 3196 y Ft(det)q(\()p Fr(B)2071 3208 y Fk(k)2112
3196 y Ft(\))p Fr(:)591 b Ft(\(7)p Fr(:)p Ft(4\))165
3420 y(Die)38 b(Abbildung)f(det)g(ist)g(m)n(ultilinear)g(in)g(den)g
(Zeilen.)g(Wir)f(zeigen)h(dieses)f(f)2709 3424 y(\177)2707
3420 y(ur)h(die)165 3519 y(erste)27 b(Zeile:)923 3723
y(det)1053 3531 y Fj(0)1053 3677 y(B)1053 3730 y(@)1222
3596 y Fr(\025\013)1323 3608 y Fl(11)1412 3596 y Ft(+)18
b Fr(\026\013)1598 3566 y Fi(0)1598 3617 y Fl(11)1752
3596 y Fr(\025b)1836 3608 y Fl(1)1892 3596 y Ft(+)g Fr(\026b)2061
3566 y Fi(0)2061 3617 y Fl(1)1434 3683 y Ft(.)1434 3717
y(.)1434 3750 y(.)1913 3683 y(.)1913 3717 y(.)1913 3750
y(.)1380 3849 y Fr(\013)1433 3861 y Fk(n)p Fl(1)1884
3849 y Fr(b)1920 3861 y Fk(n)2111 3531 y Fj(1)2111 3677
y(C)2111 3730 y(A)923 4037 y Ft(=)23 b(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))1182 4007 y Fl(1+1)1303 4037 y Ft(\()p Fr(\025\013)1436
4049 y Fl(11)1526 4037 y Ft(+)18 b Fr(\026\013)1712 4007
y Fi(0)1712 4057 y Fl(11)1782 4037 y Ft(\))c(det)q(\()p
Fr(B)2039 4049 y Fl(1)2076 4037 y Ft(\))23 b(=)p eop
end
%%Page: 228 89
TeXDict begin 228 88 bop 165 100 a Fn(228)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)658 336 y Ft(+)762 233 y Fk(n)723
257 y Fj(X)723 436 y Fk(k)q Fl(=2)843 336 y Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))1014 306 y Fk(k)q Fl(+1)1139 336 y Fr(\013)1192
348 y Fk(k)q Fl(1)1266 336 y Ft(\()p Fr(\025)14 b Ft(det)q(\()p
Fr(B)1571 348 y Fk(k)1612 336 y Ft(\))19 b(+)f Fr(\026)c
Ft(det\()p Fr(B)2024 306 y Fi(0)2020 360 y Fk(k)2061
336 y Ft(\)\))575 582 y(=)23 b Fr(\025)751 478 y Fk(n)711
503 y Fj(X)711 681 y Fk(k)q Fl(=1)832 582 y Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))1003 551 y Fk(k)q Fl(+1)1127 582 y Fr(\013)1180
594 y Fk(k)q Fl(1)1268 582 y Ft(det)q(\()p Fr(B)1479
594 y Fk(k)1520 582 y Ft(\))18 b(+)g Fr(\026)1743 478
y Fk(n)1703 503 y Fj(X)1703 681 y Fk(k)q Fl(=1)1824 582
y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1995 551 y Fk(k)q Fl(+1)2120
582 y Fr(\013)2173 594 y Fk(k)q Fl(1)2261 582 y Ft(det\()p
Fr(B)2475 551 y Fi(0)2471 605 y Fk(k)2512 582 y Ft(\))575
885 y(=)23 b Fr(\025)c Fo(\001)f Ft(det)900 718 y Fj(0)900
867 y(@)991 762 y Fr(\013)1044 774 y Fl(11)1205 762 y
Fr(b)1241 774 y Fl(1)1041 842 y Ft(.)1041 875 y(.)1041
908 y(.)1230 842 y(.)1230 875 y(.)1230 908 y(.)987 1008
y Fr(\013)1040 1020 y Fk(n)p Fl(1)1201 1008 y Fr(b)1237
1020 y Fk(n)1296 718 y Fj(1)1296 867 y(A)1387 885 y Ft(+)g
Fr(\026)c Ft(det)1663 693 y Fj(0)1663 839 y(B)1663 892
y(@)1753 758 y Fr(\013)1806 728 y Fi(0)1806 779 y Fl(11)1968
758 y Fr(b)2004 728 y Fi(0)2004 779 y Fl(1)1803 846 y
Ft(.)1803 879 y(.)1803 912 y(.)1993 846 y(.)1993 879
y(.)1993 912 y(.)1749 1012 y Fr(\013)1802 1024 y Fk(n)p
Fl(1)1964 1012 y Fr(b)2000 1024 y Fk(n)2058 693 y Fj(1)2058
839 y(C)2058 892 y(A)2145 885 y Fr(:)165 1159 y Ft(Insb)r(esondere)27
b(ist)h(\()p Fr(\001)p Ft(2\))g(erf)1076 1163 y(\177)1074
1159 y(ullt.)290 1258 y(Wir)39 b(b)r(etrac)n(h)n(ten)f(wieder)h(n)n(ur)
g(den)g(Sp)r(ezialfall)g Fr(\025)k Ft(=)e Fr(\026)i Ft(=)e(1)e(und)g
(\()p Fr(\013)2646 1228 y Fi(0)2646 1279 y Fl(11)2717
1258 y Fr(b)2753 1228 y Fi(0)2753 1279 y Fl(1)2790 1258
y Ft(\))k(=)165 1358 y(\()p Fr(\013)250 1370 y Fl(21)321
1358 y Fr(b)357 1370 y Fl(2)394 1358 y Ft(\),)28 b(so)f(ist)316
1655 y(det)445 1488 y Fj(0)445 1638 y(@)532 1532 y Fr(\013)585
1544 y Fl(11)673 1532 y Ft(+)18 b Fr(\013)809 1544 y
Fl(21)1046 1532 y Fr(b)1082 1544 y Fl(1)1137 1532 y Ft(+)g
Fr(b)1256 1544 y Fl(2)694 1612 y Ft(.)694 1645 y(.)694
1678 y(.)1158 1612 y(.)1158 1645 y(.)1158 1678 y(.)640
1778 y Fr(\013)693 1790 y Fk(n)p Fl(1)1129 1778 y Fr(b)1165
1790 y Fk(n)1307 1488 y Fj(1)1307 1638 y(A)1403 1655
y Ft(=)k(det)1619 1488 y Fj(0)1619 1638 y(@)1710 1532
y Fr(\013)1763 1544 y Fl(11)1924 1532 y Fr(b)1960 1544
y Fl(1)1760 1612 y Ft(.)1760 1645 y(.)1760 1678 y(.)1949
1612 y(.)1949 1645 y(.)1949 1678 y(.)1706 1778 y Fr(\013)1759
1790 y Fk(n)p Fl(1)1920 1778 y Fr(b)1956 1790 y Fk(n)2015
1488 y Fj(1)2015 1638 y(A)2106 1655 y Ft(+)c(det)2318
1488 y Fj(0)2318 1638 y(@)2409 1532 y Fr(\013)2462 1544
y Fl(21)2619 1532 y Fr(b)2655 1544 y Fl(2)2459 1612 y
Ft(.)2459 1645 y(.)2459 1678 y(.)2405 1778 y Fr(\013)2458
1790 y Fk(n)p Fl(1)2619 1778 y Fr(b)2655 1790 y Fl(1)2706
1488 y Fj(1)2706 1638 y(A)165 1952 y Ft(w)n(ob)r(ei)23
b(in)h(der)f(letzten)g(Matrix)g(die)h(erste)e(und)i(zw)n(eite)f(Zeile)g
(gleic)n(h)g(sind.)g(In)h(\(7.4\))f(fal-)165 2052 y(len)h(damit)f(der)f
(erste)h(und)g(zw)n(eite)g(Summand)h(fort)e(und)i(b)r(ei)f
Fr(B)2169 2064 y Fl(3)2207 2052 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(B)2454
2064 y Fk(n)2522 2052 y Ft(sind)23 b(jew)n(eils)165 2151
y(erste)i(und)h(zw)n(eite)f(Zeile)g(gleic)n(h.)g(Da)h(det\()p
Fr(B)1566 2163 y Fk(k)1607 2151 y Ft(\))g(eine)f(Determinan)n
(tenfunktion)h(ist,)g(ist)165 2251 y(det)q(\()p Fr(B)376
2263 y Fk(k)417 2251 y Ft(\))d(=)g(0)k(f)656 2255 y(\177)654
2251 y(ur)h Fr(k)e Ft(=)c(3)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(n:)28
b Ft(Man)f(k)-5 b(ann)28 b(n)1682 2255 y(\177)1682 2251
y(amlic)n(h)f(eine)h(Nullzeile)g(erhalten.)290 2351 y(Sc)n(hlie\031lic)
n(h)39 b(ist)g(det)q(\()p Fr(E)1044 2363 y Fk(n)1089
2351 y Ft(\))44 b(=)e(1,)d(w)n(eil)h(det\()p Fr(E)1765
2363 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1896 2351 y Ft(\))j(=)g(1.)c(Endlic)n(h)g
(ist)h Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))k(=)165 2450 y
Fr(\001)p Ft(\()p Fr(A)p Ft(\))14 b(det)r(\()p Fr(E)584
2462 y Fk(n)629 2450 y Ft(\))24 b(=)e Fr(\001)p Ft(\()p
Fr(E)934 2462 y Fk(n)980 2450 y Ft(\))14 b(det)q(\()p
Fr(A)p Ft(\))28 b(nac)n(h)f(7.1.3.)165 2625 y Fq(De\014nition)k(7.1.7)
40 b Ft(Die)34 b(Determinan)n(tenfunktion)g(det)e(:)h
Fr(K)2165 2595 y Fk(n)2159 2645 y(n)2242 2625 y Fo(\000)-48
b(!)33 b Fr(K)38 b Ft(hei\031t)c Fp(Deter-)165 2724 y(minante)p
Ft(.)290 2890 y(Die)k(Rec)n(henregeln)e(f)994 2894 y(\177)992
2890 y(ur)i(Determinan)n(tenfunktionen)g(ergeb)r(en)f(jetzt)i(die)f
(wic)n(h-)165 2990 y(tigsten)28 b(Eigensc)n(haften)e(der)i(Determinan)n
(te.)165 3156 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(7.1.8)40 b Fp(1.)g(Die)f
(Determinante)g(einer)g(Matrix)h(ist)f(genau)g(dann)g(Nul)t(l,)165
3256 y(wenn)30 b(die)h(Zeilen)f(bzw.)g(Sp)l(alten)g(der)g(Matrix)h
(line)l(ar)f(abh)2015 3260 y(\177)2016 3256 y(angig)i(sind.)290
3355 y(2.)f(Die)g(Determinante)g(einer)g(Matrix)1560
3359 y(\177)1561 3355 y(andert)g(sich)h(nicht,)f(wenn)g(man)f(zu)h
(einer)165 3455 y(Zeile)g(eine)f(Line)l(arkombination)i(der)e(ander)l
(en)g(Zeilen)h(addiert.)290 3554 y(3.)d(Die)f(Determinante)f(einer)i
(Matrix)1541 3558 y(\177)1542 3554 y(andert)f(ihr)h(V)-6
b(orzeichen,)28 b(wenn)f(man)f(zwei)165 3654 y(Sp)l(alten)k
(vertauscht.)290 3754 y(4.)g Ft(det)q(\()p Fr(A)19 b
Fo(\001)f Fr(B)t Ft(\))24 b(=)e(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))d
Fo(\001)g Ft(det\()p Fr(B)t Ft(\))p Fr(:)290 3853 y Fp(5.)30
b Ft(det)q(\()p Fr(\025)19 b Fo(\001)f Fr(A)p Ft(\))24
b(=)f Fr(\025)897 3823 y Fk(n)961 3853 y Fo(\001)18 b
Ft(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))p Fr(:)290 3953 y Fp(6.)30
b Ft(det)q(\()p Fr(A)597 3923 y Fk(t)627 3953 y Ft(\))23
b(=)g(det\()p Fr(A)p Ft(\))p Fr(:)290 4167 y Fp(7.)30
b(Es)g(gilt)38 b Ft(det)787 4000 y Fj(0)787 4150 y(@)873
4044 y Fr(\013)926 4056 y Fl(11)1085 4044 y Fr(:)14 b(:)g(:)92
b(\013)1327 4056 y Fl(1)p Fk(n)922 4124 y Fp(.)922 4157
y(.)922 4190 y(.)1086 4132 y(.)1121 4157 y(.)1155 4182
y(.)1327 4124 y(.)1327 4157 y(.)1327 4190 y(.)914 4290
y Ft(0)129 b Fr(:)14 b(:)g(:)88 b(\013)1323 4302 y Fk(nn)1424
4000 y Fj(1)1424 4150 y(A)1519 4167 y Ft(=)23 b Fr(\013)1660
4179 y Fl(11)1749 4167 y Fo(\001)18 b Fr(:)c(:)g(:)19
b Fo(\001)f Fr(\013)2000 4179 y Fk(nn)2086 4167 y Fr(;)165
4376 y Fp(d.h.)30 b(die)g(Determinante)d(einer)i(ob)l(er)l(en)f(Dr)l
(eie)l(cksmatrix)h(ist)f(das)h(Pr)l(o)l(dukt)f(al)t(ler)i(Ele-)165
4476 y(mente)g(auf)g(der)g(Diagonalen.)p eop end
%%Page: 229 90
TeXDict begin 229 89 bop 2023 100 a Fn(7.1)42 b(Determinan)n(ten)151
b(229)165 282 y Fp(Beweis.)44 b Ft(2.)22 b(Zun)712 286
y(\177)712 282 y(ac)n(hst)g(ist)i(w)n(egen)e(\()p Fr(\001)p
Ft(1\))h(die)g(Addition)g(einer)g(Zeile)f(zu)h(einer)g(anderen)165
382 y(m)234 386 y(\177)234 382 y(oglic)n(h.)d(Ein)g(Vielfac)n(hes)g
(der)f Fr(j)5 b Fo(\000)p Ft(ten)21 b(Zeile)f(k)-5 b(ann)20
b(eb)r(enfalls)g(aus)g Fr(i)p Fo(\000)p Ft(ten)g(Zeile)g(addiert)165
482 y(w)n(erden,)34 b(indem)g(man)g(zun)1054 486 y(\177)1054
482 y(ac)n(hst)g(die)g Fr(j)5 b Fo(\000)p Ft(te)33 b(Zeile)h(mit)h
Fr(\013)f Fo(6)p Ft(=)f(0)h(m)n(ultipliziert,)g(dann)165
581 y(addiert,)22 b(dann)f(die)h Fr(j)5 b Ft(-te)22 b(Zeile)f(mit)h
Fr(\013)1347 551 y Fi(\000)p Fl(1)1459 581 y Ft(m)n(ultipliziert.)g(W)
-7 b(egen)22 b(\()p Fr(\001)p Ft(2\))2408 585 y(\177)2408
581 y(andert)f(sic)n(h)g(die)165 681 y(Determinan)n(te)27
b(nic)n(h)n(t.)h(Der)f(Proze\031)e(k)-5 b(ann)27 b(f)1578
685 y(\177)1576 681 y(ur)g(mehrere)f(Zeilen)h(wiederholt)g(w)n(erden.)
290 780 y(1.)e(W)-7 b(enn)26 b(die)g(Zeilen)g(linear)e(abh)1350
784 y(\177)1350 780 y(angig)h(sind,)g(ist)h(der)f(Rang)g
Fr(<)e(n)i Ft(und)h(nac)n(h)f(7.1.2)165 880 y(1.)31 b(die)f(Determinan)
n(te)h(Null.)g(Ist)g(Rang)f Fr(A)f Ft(=)e Fr(n)p Ft(,)k(also)f
Fr(A)h Ft(regul)2209 884 y(\177)2209 880 y(ar,)e(so)h(ist)g(nac)n(h)g
(7.1.4)165 980 y(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))19 b Fo(\001)f
Ft(det)q(\()p Fr(A)677 950 y Fi(\000)p Fl(1)766 980 y
Ft(\))24 b(=)e(det)q(\()p Fr(A)d Fo(\001)f Fr(A)1241
950 y Fi(\000)p Fl(1)1331 980 y Ft(\))23 b(=)g(det\()p
Fr(E)1682 992 y Fk(n)1728 980 y Ft(\))g(=)g(1,)k(also)f(det)q(\()p
Fr(A)p Ft(\))e Fo(6)p Ft(=)e(0)p Fr(:)290 1079 y Ft(3.)27
b(folgt)h(aus)f(\(7.3\))290 1179 y(4.)g(ist)h(7.1.4)290
1279 y(5.)f(folgt)h(aus)f(\()p Fr(\001)p Ft(2\),)h(f)975
1283 y(\177)973 1279 y(ur)f(jede)h(Zeile)g(einmal)f(angew)n(endet.)290
1378 y(6.)f(W)-7 b(egen)26 b(\()p Fr(A)741 1348 y Fk(t)770
1378 y Ft(\))802 1348 y Fi(\000)p Fl(1)915 1378 y Ft(=)d(\()p
Fr(A)1097 1348 y Fi(\000)p Fl(1)1186 1378 y Ft(\))1218
1348 y Fk(t)1274 1378 y Ft(ist)j Fr(A)h Ft(genau)e(dann)h(in)n(v)n
(ertierbar,)e(w)n(enn)i Fr(A)2668 1348 y Fk(t)2724 1378
y Ft(in)n(v)n(er-)165 1478 y(tierbar)k(ist.)h(Nur)g(in)h(diesem)e(F)-7
b(all)31 b(ist)g(die)g(Behauptung)g(zu)g(zeigen.)g Fr(A)g
Ft(ist)g(Pro)r(dukt)165 1577 y(v)n(on)e(Elemen)n(tarmatrizen)e
Fr(A)f Ft(=)f Fr(F)1275 1589 y Fl(1)1332 1577 y Fo(\001)19
b Fr(:)14 b(:)g(:)19 b Fo(\001)h Fr(F)1586 1589 y Fk(k)1627
1577 y Ft(.)29 b(Dann)h(ist)f Fr(A)2085 1547 y Fk(t)2140
1577 y Ft(=)c Fr(F)2295 1547 y Fk(t)2283 1601 y(k)2344
1577 y Fo(\001)19 b Fr(:)14 b(:)g(:)19 b Fo(\001)h Fr(F)2610
1547 y Fk(t)2598 1598 y Fl(1)2639 1577 y Fr(:)29 b Ft(Da)g(f)2852
1581 y(\177)2850 1577 y(ur)165 1677 y(Elemen)n(tarmatrizen)20
b Fr(F)931 1689 y Fk(i)980 1677 y Ft(gilt)h(det\()p Fr(F)1333
1647 y Fk(t)1321 1699 y(i)1362 1677 y Ft(\))j(=)e(det)q(\()p
Fr(F)1706 1689 y Fk(i)1734 1677 y Ft(\),)f(genauer)f(f)2140
1681 y(\177)2138 1677 y(ur)h(Elemen)n(tarmatrizen)1075
1856 y Fr(F)1128 1868 y Fk(i)1183 1856 y Ft(erster)27
b(Art)53 b(det\()p Fr(F)1795 1868 y Fk(i)1823 1856 y
Ft(\))23 b(=)g Fr(\013;)1022 1955 y(F)1075 1967 y Fk(i)1131
1955 y Ft(zw)n(eiter)k(Art)53 b(det\()p Fr(F)1795 1967
y Fk(i)1823 1955 y Ft(\))23 b(=)g(1)p Fr(;)1043 2055
y(F)1096 2067 y Fk(i)1152 2055 y Ft(dritter)k(Art)53
b(det\()p Fr(F)1795 2067 y Fk(i)1823 2055 y Ft(\))23
b(=)g Fo(\000)p Ft(1)165 2238 y(\(wie)j(in)g(\(7.1\),)f(\(7.2\),)g
(\(7.3\))g(mit)h Fr(A)d Ft(=)g Fr(E)1456 2250 y Fk(n)1501
2238 y Ft(\),)j(ist)f(also)g(det\()p Fr(A)2069 2208 y
Fk(t)2099 2238 y Ft(\))e(=)g(det\()p Fr(A)p Ft(\))j(nac)n(h)f(T)-7
b(eil)26 b(4.)290 2337 y(7.)36 b(W)-7 b(enn)37 b(eines)g(der)f
Fr(\013)1053 2349 y Fk(ii)1142 2337 y Ft(=)i(0,)e(dann)h(ist)f(Rang)g
Fr(A)j(<)e(n)p Ft(,)g(also)e(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))j(=)g(0)g(=)165
2437 y Fr(\013)218 2449 y Fl(11)311 2437 y Fo(\001)23
b Fr(:)14 b(:)g(:)22 b Fo(\001)h Fr(\013)575 2449 y Fk(nn)661
2437 y Fr(:)34 b Ft(W)-7 b(enn)34 b(alle)g Fr(\013)1171
2449 y Fk(ii)1255 2437 y Fo(6)p Ft(=)f(0)h(sind,)f(dann)h(k)1891
2441 y(\177)1891 2437 y(onnen)g(Vielfac)n(he)f(der)g(un)n(teren)165
2537 y(Zeilen)28 b(zu)f(den)h(ob)r(eren)f(Zeilen)g(so)g(addiert)g(w)n
(erden,)g(da\031)f(eine)i(Diagonalmatrix)e(mit)165 2636
y Fr(\013)218 2648 y Fl(11)289 2636 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)
526 2648 y Fk(nn)637 2636 y Ft(in)25 b(der)f(Diagonalen)f(en)n(tsteh)n
(t.)h(Die)h(Determinan)n(te)2305 2640 y(\177)2305 2636
y(andert)f(sic)n(h)g(nic)n(h)n(t.)165 2736 y(Nac)n(h)g(\()p
Fr(\001)p Ft(2\))g(auf)g(jede)g(Zeile)g(angew)n(endet)f(folgt)g(det)q
(\()p Fr(A)p Ft(\))h(=)e Fr(\013)2113 2748 y Fl(11)2195
2736 y Fo(\001)11 b Fr(:)j(:)g(:)d Fo(\001)g Fr(\013)2424
2748 y Fk(nn)2521 2736 y Fo(\001)g Ft(det\()p Fr(E)2763
2748 y Fk(n)2809 2736 y Ft(\))24 b(=)165 2836 y Fr(\013)218
2848 y Fl(11)307 2836 y Fo(\001)19 b Fr(:)14 b(:)g(:)k
Fo(\001)h Fr(\013)559 2848 y Fk(nn)645 2836 y Fr(:)165
3006 y Fq(Beispiele)30 b(7.1.9)39 b Ft(1.)28 b(det\()p
Fr(\013)p Ft(\))c(=)f Fr(\013)290 3155 y Ft(2.)k(det)511
3038 y Fj(\022)586 3105 y Fr(\013)84 b(\014)589 3205
y(\015)96 b(\016)788 3038 y Fj(\023)872 3155 y Ft(=)23
b Fr(\013\016)f Fo(\000)c Fr(\015)5 b(\014)290 3296 y
Ft(3.)815 3474 y(det)944 3308 y Fj(0)944 3457 y(@)1031
3375 y Fr(\013)1084 3387 y Fl(1)1204 3375 y Fr(\014)1251
3387 y Fl(1)1371 3375 y Fr(\015)1414 3387 y Fl(1)1031
3474 y Fr(\013)1084 3486 y Fl(2)1204 3474 y Fr(\014)1251
3486 y Fl(2)1371 3474 y Fr(\015)1414 3486 y Fl(2)1031
3574 y Fr(\013)1084 3586 y Fl(3)1204 3574 y Fr(\014)1251
3586 y Fl(3)1371 3574 y Fr(\015)1414 3586 y Fl(3)1465
3308 y Fj(1)1465 3457 y(A)1561 3474 y Ft(=)23 b Fr(\013)1702
3486 y Fl(1)1753 3474 y Ft(det)1882 3357 y Fj(\022)1957
3425 y Fr(\014)2004 3437 y Fl(2)2124 3425 y Fr(\015)2167
3437 y Fl(2)1957 3524 y Fr(\014)2004 3536 y Fl(3)2124
3524 y Fr(\015)2167 3536 y Fl(3)2218 3357 y Fj(\023)834
3779 y Fo(\000)p Fr(\013)952 3791 y Fl(2)1002 3779 y
Ft(det)1131 3662 y Fj(\022)1206 3729 y Fr(\014)1253 3741
y Fl(1)1374 3729 y Fr(\015)1417 3741 y Fl(1)1206 3829
y Fr(\014)1253 3841 y Fl(3)1374 3829 y Fr(\015)1417 3841
y Fl(3)1468 3662 y Fj(\023)1547 3779 y Ft(+)18 b Fr(\013)1683
3791 y Fl(3)1734 3779 y Ft(det)1864 3662 y Fj(\022)1939
3729 y Fr(\014)1986 3741 y Fl(1)2106 3729 y Fr(\015)2149
3741 y Fl(1)1939 3829 y Fr(\014)1986 3841 y Fl(2)2106
3829 y Fr(\015)2149 3841 y Fl(2)2200 3662 y Fj(\023)442
3971 y Ft(=)23 b Fr(\013)583 3983 y Fl(1)620 3971 y Fr(\014)667
3983 y Fl(2)704 3971 y Fr(\015)747 3983 y Fl(3)803 3971
y Fo(\000)18 b Fr(\013)939 3983 y Fl(1)976 3971 y Fr(\014)1023
3983 y Fl(3)1061 3971 y Fr(v)s(\015)1147 3983 y Fl(2)1203
3971 y Fo(\000)g Fr(\013)1339 3983 y Fl(2)1376 3971 y
Fr(\014)1423 3983 y Fl(1)1460 3971 y Fr(v)s(\015)1546
3983 y Fl(3)1602 3971 y Ft(+)g Fr(\013)1738 3983 y Fl(2)1775
3971 y Fr(\014)1822 3983 y Fl(3)1860 3971 y Fr(\015)1903
3983 y Fl(1)1958 3971 y Ft(+)g Fr(\013)2094 3983 y Fl(3)2132
3971 y Fr(\014)2179 3983 y Fl(1)2216 3971 y Fr(\015)2259
3983 y Fl(2)2315 3971 y Fo(\000)g Fr(\013)2451 3983 y
Fl(3)2488 3971 y Fr(\014)2535 3983 y Fl(2)2572 3971 y
Fr(\015)2615 3983 y Fl(1)340 4388 y Ft(=)441 4189 y Fr(\013)494
4201 y Fl(1)772 4189 y Fr(\014)819 4201 y Fl(1)1100 4189
y Fr(\015)1143 4201 y Fl(1)1425 4189 y Fr(\013)1478 4201
y Fl(1)1755 4189 y Fr(\014)1802 4201 y Fl(1)615 4289
y Fm(\037)250 b(\036)-69 b(\037)245 b(\036)-69 b(\037)256
b(\036)441 4388 y Fr(\013)494 4400 y Fl(2)772 4388 y
Fr(\014)819 4400 y Fl(2)1100 4388 y Fr(\015)1143 4400
y Fl(2)1425 4388 y Fr(\013)1478 4400 y Fl(2)1755 4388
y Fr(\014)1802 4400 y Fl(2)615 4488 y Fm(\036)250 b(\036)-69
b(\037)245 b(\036)-69 b(\037)256 b(\037)441 4587 y Fr(\013)494
4599 y Fl(3)772 4587 y Fr(\014)819 4599 y Fl(3)1100 4587
y Fr(\015)1143 4599 y Fl(3)1425 4587 y Fr(\013)1478 4599
y Fl(3)1755 4587 y Fr(\014)1802 4599 y Fl(3)2047 4388
y Ft(\(Regel)27 b(v)n(on)g(Sarrus\))p eop end
%%Page: 230 91
TeXDict begin 230 90 bop 165 100 a Fn(230)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)290 282 y Ft(Die)32 b(Berec)n(hn)n(ung)f(v)n
(on)g(Determinan)n(ten)h(ist)g(k)n(ompliziert.)g(Wir)g(geb)r(en)g(n)n
(ur)f(eine)165 382 y(Metho)r(de)f(dazu)g(an.)f(Eine)h(algorithmisc)n(h)
e(sc)n(hnellere)g(Metho)r(de)i(erh)2406 386 y(\177)2406
382 y(alt)g(man,)f(w)n(enn)165 482 y(man)i(b)r(ei)h(elemen)n(taren)e
(Zeilen)n(umform)n(ungen)g(in)i(gesc)n(hic)n(kter)d(W)-7
b(eise)31 b(die)g(Determi-)165 581 y(nan)n(ten)24 b(der)g(v)n(erw)n
(endeten)f(Elemen)n(tarmatrizen)f(sammelt,)i(bis)g(durc)n(h)f(Zeilen)n
(umfor-)165 681 y(m)n(ungen)28 b(die)f(Einheitsmatrix)g(erreic)n(h)n(t)
g(ist.)165 844 y Fq(De\014nition)k(7.1.10)40 b Ft(Sei)30
b Fr(A)d Fo(2)g Fr(K)1281 814 y Fk(n)1275 865 y(n)1326
844 y Ft(.)j(Mit)h Fr(A)1603 856 y Fk(ij)1692 844 y Ft(w)n(erde)e(die)h
(aus)f Fr(A)i Ft(durc)n(h)e(Streic)n(h)n(ung)165 944
y(der)d Fr(i)p Ft(-ten)f(Zeile)h(und)g Fr(j)5 b Ft(-ten)26
b(Spalte)g(en)n(tstehende)g(Matrix)f(in)i Fr(K)2226 908
y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)2220 966 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)2381
944 y Ft(b)r(ezeic)n(hnet.)f Fr(A)2870 956 y Fk(ij)165
1044 y Ft(hei\031t)i(dann)f(auc)n(h)g Fp(Str)l(eichungsmatrix)p
Ft(,)h(det\()p Fr(A)1686 1056 y Fk(ij)1745 1044 y Ft(\))g
Fp(Str)l(eichungsdeterminante)p Ft(.)165 1207 y Fq(Satz)33
b(7.1.11)40 b Fp(\(Entwicklungssatz)29 b(nach)g(der)39
b Fr(j)5 b Fp(-ten)28 b(Sp)l(alte\))h(Sei)38 b Fr(A)23
b Fo(2)h Fr(K)2563 1177 y Fk(n)2557 1228 y(n)2636 1207
y Fp(ge)l(geb)l(en.)165 1307 y(Dann)30 b(ist)946 1452
y Ft(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))23 b(=)1339 1348 y Fk(n)1299
1373 y Fj(X)1305 1550 y Fk(i)p Fl(=1)1419 1452 y Ft(\()p
Fo(\000)p Ft(1\))1590 1418 y Fk(i)p Fl(+)p Fk(j)1699
1452 y Fr(\013)1752 1464 y Fk(ij)1825 1452 y Ft(det\()p
Fr(A)2034 1464 y Fk(ij)2093 1452 y Ft(\))p Fr(:)165 1695
y Fp(Beweis.)44 b Ft(Wir)35 b(v)n(ertausc)n(hen)e(in)i
Fr(A)g Ft(die)g Fr(j)5 b Ft(-te)35 b(Spalte)f(sc)n(hritt)n(w)n(eise)g
(mit)h(den)g(v)n(orher-)165 1794 y(gehenden)e(Spalten,)h(bis)f(sie)g
(an)g(erster)f(Stellte)i(steh)n(t.)g(Diese)f(neue)h(Matrix)e
Fr(A)2752 1764 y Fi(0)2809 1794 y Ft(hat)165 1894 y(det)q(\()p
Fr(A)375 1864 y Fi(0)399 1894 y Ft(\))24 b(=)g(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))715 1864 y Fk(j)s Fi(\000)p Fk(i)839 1894 y Ft(det\()p
Fr(A)p Ft(\))30 b(und)e(damit)h(det\()p Fr(A)1726 1864
y Fi(0)1750 1894 y Ft(\))c(=)1896 1832 y Fj(P)1983 1852
y Fk(n)1983 1919 y(i)p Fl(=1)2095 1894 y Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))2266 1864 y Fk(i)p Fl(+1)2377 1894 y Fr(\013)2430
1906 y Fk(ij)2503 1894 y Ft(det\()p Fr(A)2712 1906 y
Fk(ij)2771 1894 y Ft(\))k(als)165 1994 y(Determinan)n(te.)f(Daraus)e
(folgt)i(die)g(Behauptung.)165 2164 y Fq(Bemerkung)k(7.1.12)39
b Ft(1.)25 b(W)-7 b(egen)24 b(det\()p Fr(A)1524 2134
y Fk(t)1554 2164 y Ft(\))g(=)e(det\()p Fr(A)p Ft(\))k(folgt)f(auc)n(h)f
(ein)g(en)n(tsprec)n(hen-)165 2263 y(der)k(En)n(t)n(wic)n(klungssatz)d
(nac)n(h)i(der)g Fr(i)p Ft(-ten)g(Zeile:)946 2504 y(det)q(\()p
Fr(A)p Ft(\))c(=)1339 2400 y Fk(n)1299 2425 y Fj(X)1302
2602 y Fk(j)s Fl(=1)1419 2504 y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1590
2470 y Fk(i)p Fl(+)p Fk(j)1699 2504 y Fr(\013)1752 2516
y Fk(ij)1825 2504 y Ft(det\()p Fr(A)2034 2516 y Fk(ij)2093
2504 y Ft(\))p Fr(:)290 2766 y Ft(2.)34 b(Zur)g(praktisc)n(hen)f(Berec)
n(hn)n(ung)g(k)-5 b(ann)34 b(man)h(also)e(jew)n(eils)h(eine)h(En)n(t)n
(wic)n(klung)165 2866 y(nac)n(h)22 b(einer)f(b)r(esonders)g(geeigneten)
g(\(mit)i(m)1577 2870 y(\177)1577 2866 y(oglic)n(hst)e(vielen)g(Nullen)
i(b)r(esetzten\))f(Zeile)165 2965 y(o)r(der)27 b(Spalte)h(durc)n(hf)839
2969 y(\177)837 2965 y(uhren,)f(z.B.)330 3239 y(det)460
3072 y Fj(0)460 3221 y(@)546 3139 y Ft(0)83 b(1)f(2)546
3239 y(3)h(7)f(1)546 3339 y(0)h(1)f(0)850 3072 y Fj(1)850
3221 y(A)946 3239 y Ft(=)23 b(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1205
3205 y Fl(4)1260 3239 y Fo(\001)c Ft(0)f Fo(\001)g Ft(det)1532
3122 y Fj(\022)1607 3189 y Ft(1)83 b(2)1607 3289 y(7)g(1)1787
3122 y Fj(\023)1867 3239 y Ft(+)18 b(\()p Fo(\000)p Ft(1\))2121
3205 y Fl(5)2176 3239 y Fo(\001)h Ft(1)e Fo(\001)i Ft(det)2448
3122 y Fj(\022)2523 3189 y Ft(0)83 b(2)2523 3289 y(3)g(1)2703
3122 y Fj(\023)1032 3575 y Ft(+\()p Fo(\000)p Ft(1\))1268
3541 y Fl(6)1323 3575 y Fo(\001)18 b Ft(0)g Fo(\001)h
Ft(det)1595 3458 y Fj(\022)1670 3525 y Ft(0)82 b(1)1670
3625 y(3)g(7)1850 3458 y Fj(\023)1934 3575 y Ft(=)22
b(6)165 3767 y(durc)n(h)28 b(En)n(t)n(wic)n(klung)e(nac)n(h)h(der)g
(dritten)h(Zeile.)290 3867 y(3.)21 b(F)432 3871 y(\177)430
3867 y(ur)h Fr(A)h Fo(2)g Fr(K)771 3837 y Fk(n)765 3887
y(n)838 3867 y Ft(ist)e(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))i(=)1300
3805 y Fj(P)1388 3892 y Fk(\033)1432 3867 y Ft(\()p Fo(\006)p
Ft(1\))p Fr(\013)1656 3882 y Fl(1)p Fk(\033)r Fl(\(1\))1825
3867 y Fo(\001)6 b Fr(\013)1907 3882 y Fl(2)p Fk(\033)r
Fl(\(2\))2077 3867 y Fo(\001)g Fr(:)14 b(:)g(:)7 b Fo(\001)f
Fr(\013)2292 3882 y Fk(n\033)r Fl(\()p Fk(n)p Fl(\))2492
3867 y Ft(mit)23 b(geeigne-)165 3966 y(ten)e(V)-7 b(orzeic)n(hen,)19
b(w)n(ob)r(ei)g Fr(\033)24 b Ft(durc)n(h)c(alle)f(P)n(erm)n(utationen)g
(der)g(Zahlen)h Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)e(;)i(n)p
Fo(g)20 b Ft(l)2761 3970 y(\177)2761 3966 y(auft,)165
4066 y(also)27 b Fr(n)p Ft(!)i(Summanden)f(de\014niert.)h(Aus)f(jeder)g
(Zeile)g(und)h(jeder)f(Spalte)g(k)n(omm)n(t)g(in)g(je-)165
4166 y(dem)20 b(der)f(Pro)r(dukte)g(genau)g(ein)g(Ko)r(e\016zien)n(t)g
(v)n(or.)g(Das)g(sieh)n(t)g(man)h(durc)n(h)f(v)n(ollst)2695
4170 y(\177)2695 4166 y(andige)165 4265 y(Induktion)31
b(und)f(Ausw)n(ertung)g(der)f(En)n(t)n(wic)n(klung)g(nac)n(h)h(einer)f
(Zeile.)h(Denn)h(in)f(\(7.4\))165 4365 y(k)n(ommen)h(in)g(det\()p
Fr(A)810 4377 y Fk(ij)869 4365 y Ft(\))g(aus)f(jeder)h(Zeile)g(v)n(on)f
Fr(A)h Ft(au\031er)e(der)i Fr(i)p Ft(-ten)f(und)h(jeder)g(Spalte)165
4465 y(v)n(on)c Fr(A)h Ft(au\031er)f(der)g Fr(j)5 b Ft(-ten)28
b(in)f(den)h(Summanden)h(jew)n(eils)e(genau)g(ein)h(F)-7
b(aktor)26 b(v)n(or,)h(und)165 4564 y(man)e(erh)463 4568
y(\177)463 4564 y(alt)g(\()p Fr(n)14 b Fo(\000)g Ft(1\)!)24
b(Summanden.)i(Also)f(ergibt)g(\(7.4\))f(insgesam)n(t)g
Fr(n)14 b Fo(\001)g Ft(\()p Fr(n)g Fo(\000)g Ft(1\)!)22
b(=)g Fr(n)p Ft(!)165 4664 y(Summanden.)p eop end
%%Page: 231 92
TeXDict begin 231 91 bop 2023 100 a Fn(7.1)42 b(Determinan)n(ten)151
b(231)290 282 y Ft(Die)25 b(Determinan)n(te)g(einer)g(Matrix)f(k)-5
b(ann)25 b(zur)g(Berec)n(hn)n(ung)f(der)g(in)n(v)n(ersen)g(Matrix)165
382 y(v)n(erw)n(endet)j(w)n(erden.)g(Dazu)h(de\014nieren)f(wir)165
548 y Fq(De\014nition)k(und)h(F)-8 b(olgerung)31 b(7.1.13)39
b Fp(Sei)c Fr(A)c Fo(2)g Fr(K)1931 518 y Fk(n)1925 568
y(n)2009 548 y Fp(und)j Fr(B)h Ft(=)30 b(\()p Fr(\014)2449
560 y Fk(ij)2507 548 y Ft(\))35 b Fp(mit)e Fr(\014)2775
560 y Fk(ij)2865 548 y Ft(=)165 648 y(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))336 617 y Fk(i)p Fl(+)p Fk(j)459 648 y Ft(det)q(\()p
Fr(A)669 660 y Fk(j)s(i)728 648 y Ft(\))d Fp(de\014niert.)g
Fr(B)k Fp(hei\031t)c Ft(Komplemen)n(t)1914 652 y(\177)1914
648 y(armatrix)57 b Fp(zu)29 b Fr(A)p Fp(.)i(Damit)e(ist)1211
830 y Fr(A)19 b Fo(\001)g Fr(B)27 b Ft(=)22 b(det)q(\()p
Fr(A)p Ft(\))p Fr(E)1814 842 y Fk(n)1860 830 y Fr(:)165
1052 y Fp(Ist)30 b Fr(A)g Fp(r)l(e)l(gul)549 1056 y(\177)550
1052 y(ar,)g(so)g(ist)g Fr(A)967 1022 y Fi(\000)p Fl(1)1079
1052 y Ft(=)1277 996 y(1)p 1177 1033 243 4 v 1177 1109
a(det\()p Fr(A)p Ft(\))1429 1052 y Fr(B)t(:)165 1283
y Fp(Beweis.)44 b Ft(Es)26 b(ist)713 1221 y Fj(P)800
1308 y Fk(k)855 1283 y Fr(\013)908 1295 y Fk(ik)972 1283
y Fr(\014)1019 1295 y Fk(k)q(j)1114 1283 y Ft(=)1202
1221 y Fj(P)1289 1308 y Fk(k)1330 1283 y Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(1\))1501 1253 y Fk(j)s Fl(+)p Fk(k)1624 1283 y Fr(\013)1677
1295 y Fk(ik)1755 1283 y Ft(det\()p Fr(A)1964 1295 y
Fk(j)s(k)2036 1283 y Ft(\))e(=)e(det)q(\()p Fr(A)p Ft(\))17
b Fo(\001)g Fr(\016)2515 1295 y Fk(ij)2573 1283 y Ft(,)27
b(denn)g(f)2852 1287 y(\177)2850 1283 y(ur)165 1383 y
Fr(i)35 b Ft(=)f Fr(j)40 b Ft(ist)35 b(dies)f(der)h(En)n(t)n(wic)n
(klungssatz)d(nac)n(h)i(der)h Fr(j)5 b Ft(-ten)34 b(Zeile.)h(Ist)g
(jedo)r(c)n(h)f Fr(i)h Fo(6)p Ft(=)f Fr(j)5 b Ft(,)165
1482 y(so)35 b(k)319 1486 y(\177)319 1482 y(onnen)g(wir)g(diesen)h
(Ausdruc)n(k)e(eb)r(enfalls)i(nac)n(h)f(dem)h(En)n(t)n(wic)n
(klungssatz)d(nac)n(h)165 1582 y(der)c Fr(j)5 b Ft(-ten)29
b(Zeile)g(als)f(Determinan)n(te)h(einer)g(Matrix)f Fr(A)1916
1552 y Fi(0)1969 1582 y Ft(au\013assen,)g(die)i(aus)e
Fr(A)i Ft(durc)n(h)165 1682 y(Ersetzen)e(der)g Fr(j)5
b Ft(-ten)28 b(Zeile)g(durc)n(h)g(die)g Fr(i)p Ft(-te)g(Zeile)g(en)n
(tstanden)g(ist.)h(Diese)f(Matrix)g(ist)165 1781 y(singul)378
1785 y(\177)378 1781 y(ar,)f(also)f(ist)i(det\()p Fr(A)994
1751 y Fi(0)1018 1781 y Ft(\))c(=)e(0)p Fr(:)165 1956
y Fq(Satz)33 b(7.1.14)40 b Fp(\(Cr)l(amersche)1121 1926
y Fl(1)1192 1956 y Fp(R)l(e)l(gel\))33 b(Sei)41 b Fr(A)29
b Ft(=)f(\()p Fr(a)1858 1968 y Fl(1)1895 1956 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(a)2124 1968 y Fk(n)2169 1956 y Ft(\))29
b Fo(2)g Fr(K)2391 1926 y Fk(n)2385 1976 y(n)2468 1956
y Fp(eine)k(r)l(e)l(gul)2817 1960 y(\177)2818 1956 y(ar)l(e)165
2055 y(Matrix)i(mit)e(den)h(Sp)l(altenvektor)l(en)41
b Fr(a)1404 2067 y Fk(i)1431 2055 y Fp(.)35 b(Dann)e(hat)h(das)h(line)l
(ar)l(e)f(Gleichungssystem)165 2155 y Fr(A)19 b Fo(\001)g
Fr(x)k Ft(=)g Fr(b)29 b Fp(die)i(L)698 2159 y(\177)699
2155 y(osung)740 2372 y Fr(\030)776 2384 y Fk(i)827 2372
y Ft(=)1025 2316 y(1)p 925 2353 V 925 2429 a(det\()p
Fr(A)p Ft(\))1191 2372 y(det\()p Fr(a)1382 2384 y Fl(1)1419
2372 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(a)1648 2384 y Fk(i)p
Fi(\000)p Fl(1)1760 2372 y Fr(;)g(b;)g(a)1914 2384 y
Fk(i)p Fl(+1)2025 2372 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(a)2254
2384 y Fk(n)2299 2372 y Ft(\))p Fr(:)165 2611 y Fp(Beweis.)44
b Ft(\(Die)g(eindeutig)g(b)r(estimm)n(te\))g(L)1563 2615
y(\177)1563 2611 y(osung)f(ist)g Fr(x)50 b Ft(=)g Fr(A)2220
2581 y Fi(\000)p Fl(1)2338 2611 y Fo(\001)29 b Fr(b)49
b Ft(=)2680 2579 y Fl(1)p 2599 2593 194 4 v 2599 2640
a(det\()p Fk(A)p Fl(\))2803 2611 y Fr(B)t(b)p Ft(.)165
2725 y(W)-7 b(enn)34 b Fr(b)f Ft(=)f(\()p Fr(\014)651
2737 y Fk(i)679 2725 y Ft(\))i(ist)g(und)f Fr(B)k Ft(=)c(\()p
Fr(\014)1315 2737 y Fk(ij)1373 2725 y Ft(\))h(die)g(Komplemen)n(t)2043
2729 y(\177)2043 2725 y(armatrix)d(zu)j Fr(A)g Ft(ist,)f(dann)165
2825 y(ist)k(det\()p Fr(A)p Ft(\))p Fr(\030)567 2837
y Fk(i)633 2825 y Ft(=)735 2762 y Fj(P)823 2783 y Fk(m)823
2849 y(j)s Fl(=1)956 2825 y Fr(\014)1003 2837 y Fk(ij)1061
2825 y Fr(\014)1108 2837 y Fk(j)1181 2825 y Ft(=)1283
2762 y Fj(P)1370 2783 y Fk(n)1370 2849 y(j)s Fl(=1)1489
2825 y Ft(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1660 2794 y Fk(i)p Fl(+)p
Fk(j)1769 2825 y Fr(\014)1816 2837 y Fk(j)1865 2825 y
Ft(det)q(\()p Fr(A)2075 2837 y Fk(j)s(i)2134 2825 y Ft(\))g(=)g(det)q
(\()p Fr(a)2497 2837 y Fl(1)2534 2825 y Fr(;)14 b(:::;)g(a)2721
2837 y Fk(i)p Fi(\000)p Fl(1)2834 2825 y Fr(;)g(b;)165
2924 y(a)209 2936 y Fk(i)p Fl(+1)321 2924 y Fr(;)g(:::;)g(a)508
2936 y Fk(n)553 2924 y Ft(\),)28 b(w)n(oraus)e(die)i(Behauptung)f
(folgt.)290 3099 y(Bisher)e(hab)r(en)h(wir)f(lediglic)n(h)g(Determinan)
n(ten)h(v)n(on)f(Matrizen)g(b)r(etrac)n(h)n(tet.)g(Jetzt)165
3198 y(w)n(enden)35 b(wir)f(uns)h(Determinan)n(ten)g(f)1383
3202 y(\177)1381 3198 y(ur)f(Endomorphismen)g(v)n(on)g(endlic)n
(hdimensio-)165 3298 y(nalen)28 b(V)-7 b(ektorr)663 3302
y(\177)663 3298 y(aumen)26 b(zu.)165 3464 y Fq(Satz)33
b(7.1.15)40 b Fp(Sei)j Fr(V)53 b Fp(ein)35 b(end)t(lichdimensionaler)j
(V)-6 b(ektorr)l(aum)34 b(und)43 b Fr(f)d Ft(:)32 b Fr(V)51
b Fo(\000)-46 b(!)31 b Fr(V)165 3563 y Fp(ein)c(Endomorphismus.)h(Sei)
35 b Fr(B)30 b Fp(eine)d(Basisfamilie)i(von)k Fr(V)19
b Fp(.)27 b(Dann)e(ist)h(die)h(Determi-)165 3663 y(nante)i(der)g
(darstel)t(lenden)h(Matrix)f(von)35 b Fr(f)i Fp(b)l(ez)1665
3667 y(\177)1665 3663 y(uglich)f Fr(B)d Fp(unabh)2219
3667 y(\177)2220 3663 y(angig)d(von)f(der)g(Wahl)165
3763 y(von)37 b Fr(B)t Fp(.)165 3937 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)27
b Fr(B)k Ft(und)d Fr(B)1025 3907 y Fi(0)1075 3937 y Ft(Basisfamilien)e
(v)n(on)h Fr(V)19 b Ft(.)27 b(Sei)g Fr(S)32 b Ft(die)27
b(Basistransformation)165 4037 y(v)n(on)d Fr(B)29 b Ft(nac)n(h)23
b Fr(B)670 4007 y Fi(0)718 4037 y Ft(und)i Fr(M)33 b
Ft(die)25 b(darstellende)e(Matrix)h(v)n(on)g Fr(f)33
b Ft(bzgl.)24 b Fr(B)t Ft(.)g(Nac)n(h)g(5.5.20)f(ist)165
4136 y(dann)28 b Fr(S)5 b(M)k(S)575 4106 y Fi(\000)p
Fl(1)691 4136 y Ft(die)27 b(darstellende)g(Matrix)g(v)n(on)g
Fr(f)36 b Ft(bzgl.)28 b Fr(B)2063 4106 y Fi(0)2086 4136
y Ft(.)g(W)-7 b(eiter)28 b(ist)784 4314 y(det)q(\()p
Fr(S)5 b(M)k(S)1134 4283 y Fi(\000)p Fl(1)1222 4314 y
Ft(\))23 b(=)g(det\()p Fr(S)5 b Ft(\))14 b(det)q(\()p
Fr(M)9 b Ft(\))14 b(det\()p Fr(S)2101 4283 y Fi(\000)p
Fl(1)2190 4314 y Ft(\))24 b(=)1014 4413 y(det\()p Fr(S)5
b(S)1273 4383 y Fi(\000)p Fl(1)1362 4413 y Ft(\))14 b(det\()p
Fr(M)9 b Ft(\))24 b(=)e(det\()p Fr(M)9 b Ft(\))p Fr(:)p
165 4496 394 4 v 195 4550 a Fe(1)255 4582 y Fn(Gabriel)27
b(Cramer)g(\(1704{1752\))p eop end
%%Page: 232 93
TeXDict begin 232 92 bop 165 100 a Fn(232)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)165 282 y Fq(De\014nition)31
b(7.1.16)40 b Ft(F)953 286 y(\177)951 282 y(ur)18 b(einen)h
(Endomorphism)n(us)e Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-49
b(!)23 b Fr(V)38 b Ft(mit)19 b(darstellender)165 382
y(Matrix)35 b Fr(M)43 b Ft(de\014nieren)35 b(wir)g(die)g(Determinan)n
(te)f(det)q(\()p Fr(f)9 b Ft(\))35 b(:=)g(det\()p Fr(M)9
b Ft(\))p Fr(:)36 b Ft(Sie)f(ist)g(nac)n(h)165 482 y(7.1.15)26
b(unabh)631 486 y(\177)631 482 y(angig)h(v)n(on)f(der)i(W)-7
b(ahl)27 b(der)h(Basisfamilie.)178 677 y Fq(\177)165
693 y(Ubungen)k(7.1.17)81 b Ft(1.)41 b(Zeigen)d(Sie,)h(da\031)1616
576 y Fj(\022)1691 643 y Fr(a)1695 743 y(b)1749 576 y
Fj(\023)1849 693 y Ft(und)2025 576 y Fj(\022)2104 643
y Fr(c)2100 743 y(d)2157 576 y Fj(\023)2257 693 y Ft(genau)f(dann)g
(linear)313 838 y(unabh)539 842 y(\177)539 838 y(angig)26
b(sind,)i(w)n(enn)g Fr(ad)18 b Fo(\000)g Fr(bc)23 b Fo(6)p
Ft(=)f(0)28 b(ist.)207 937 y(2.)41 b(Berec)n(hnen)18
b(Sie)h(elemen)n(targeometrisc)n(h)e(\(mit)i(Sc)n(h)n(ulk)n(enn)n
(tnissen\))g(den)g(Fl)2696 941 y(\177)2696 937 y(ac)n(hen-)313
1037 y(inhalt)28 b(des)f(P)n(arallelogramms)d(mit)k(den)g(Ec)n
(kpunkten)1072 1148 y Fj(\022)1147 1215 y Ft(0)1147 1315
y(0)1202 1148 y Fj(\023)1277 1265 y Fr(;)1314 1148 y
Fj(\022)1389 1215 y Fr(a)1393 1315 y(b)1447 1148 y Fj(\023)1522
1265 y Fr(;)1559 1148 y Fj(\022)1633 1215 y Fr(a)19 b
Ft(+)f Fr(c)1634 1315 y(b)g Ft(+)g Fr(d)1828 1148 y Fj(\023)1903
1265 y Fr(;)1940 1148 y Fj(\022)2019 1215 y Fr(c)2015
1315 y(d)2072 1148 y Fj(\023)2147 1265 y Fr(:)313 1555
y Ft(V)-7 b(ergleic)n(hen)27 b(Sie)g(Ihr)h(Ergebnis)e(mit)i(der)f
(Determinan)n(te)h(v)n(on)2342 1438 y Fj(\022)2417 1505
y Fr(a)86 b(c)2421 1605 y(b)h(d)2601 1438 y Fj(\023)2662
1555 y Ft(.)207 1700 y(3.)41 b(Seien)28 b Fr(x)577 1712
y Fl(1)614 1700 y Fr(;)14 b(x)698 1712 y Fl(2)736 1700
y Fr(;)g(x)820 1712 y Fl(3)881 1700 y Fo(2)23 b Fr(K)33
b Ft(Elemen)n(te)27 b(eines)h(K)1695 1704 y(\177)1695
1700 y(orp)r(ers)e Fr(K)6 b Ft(.)27 b(Zeigen)g(Sie:)690
1978 y(det)819 1811 y Fj(0)819 1960 y(@)927 1878 y Ft(1)126
b(1)g(1)906 1978 y Fr(x)953 1990 y Fl(1)1073 1978 y Fr(x)1120
1990 y Fl(2)1241 1978 y Fr(x)1288 1990 y Fl(3)906 2077
y Fr(x)953 2047 y Fl(2)953 2098 y(1)1073 2077 y Fr(x)1120
2047 y Fl(2)1120 2098 y(2)1241 2077 y Fr(x)1288 2047
y Fl(2)1288 2098 y(3)1339 1811 y Fj(1)1339 1960 y(A)1435
1978 y Ft(=)23 b(\()p Fr(x)1602 1990 y Fl(3)1658 1978
y Fo(\000)18 b Fr(x)1788 1990 y Fl(2)1826 1978 y Ft(\)\()p
Fr(x)1937 1990 y Fl(3)1994 1978 y Fo(\000)g Fr(x)2124
1990 y Fl(1)2161 1978 y Ft(\)\()p Fr(x)2272 1990 y Fl(2)2329
1978 y Fo(\000)g Fr(x)2459 1990 y Fl(1)2497 1978 y Ft(\))p
Fr(:)207 2260 y Ft(4.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(ob)f(die)h
(folgende)f(Aussage)f(ric)n(h)n(tig)h(ist)h(\(ja/nein\).)313
2360 y(Sind)i(alle)g(Streic)n(h)n(ungsdeterminan)n(ten)f(einer)g
(quadratisc)n(hen)g(Matrix)g(Null,)i(so)313 2459 y(ist)d(auc)n(h)f(die)
g(Determinan)n(te)h(dieser)f(Matrix)g(Null.)165 2783
y Fs(7.2)42 b(Eigen)m(w)m(erte)37 b(und)h(Eigen)m(v)m(ektoren)165
2986 y Ft(Eigen)n(w)n(erte)f(und)h(Eigen)n(v)n(ektoren)e(hab)r(en)i
(breite)g(An)n(w)n(endungsb)r(ereic)n(he,)f(u.a.)h(b)r(ei)165
3086 y(Di\013eren)n(tialgleic)n(h)n(ungen,)23 b(in)i(der)e(T)-7
b(ec)n(hnik)24 b(und)h(der)e(Ph)n(ysik.)g(Wir)h(b)r(esc)n(hr)2568
3090 y(\177)2568 3086 y(ank)n(en)f(uns)165 3186 y(hier)28
b(auf)f(endlic)n(hdimensionale)g(V)-7 b(ektorr)1498 3190
y(\177)1498 3186 y(aume)27 b(und)h(ihre)f(Endomorphismen.)290
3385 y(Sei)32 b(im)h(folgenden)f Fr(V)49 b Fo(6)p Ft(=)31
b(0)g(ein)i(V)-7 b(ektorraum)31 b(und)h Fr(f)40 b Ft(:)30
b Fr(V)50 b Fo(\000)-48 b(!)30 b Fr(V)52 b Ft(ein)32
b(Endomor-)165 3485 y(phism)n(us.)165 3651 y Fq(De\014nition)f(7.2.1)40
b Ft(Ein)28 b(Sk)-5 b(alar)27 b Fr(\025)e Fo(2)f Fr(K)34
b Ft(hei\031t)28 b(ein)h Fp(Eigenwert)37 b Ft(v)n(on)27
b Fr(f)9 b Ft(,)28 b(w)n(enn)g(es)g(ein)165 3750 y Fr(v)f
Fo(2)c Fr(V)5 b(;)14 b(v)26 b Fo(6)p Ft(=)d(0)k(gibt)h(mit)1356
3850 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23 b(=)g Fr(\025v)s(:)165
3999 y Ft(Ein)28 b(V)-7 b(ektor)27 b Fr(v)f Fo(2)d Fr(V)5
b(;)14 b(v)27 b Fo(6)p Ft(=)22 b(0)27 b(mit)i Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23 b(=)g Fr(\025v)31 b Ft(hei\031t)c(ein)h
Fp(Eigenvektor)38 b Ft(zum)28 b(Eigen)n(w)n(ert)165 4099
y Fr(\025)p Ft(.)j(Die)g(Menge)e Fr(V)736 4111 y Fk(\025)808
4099 y Ft(:=)d Fo(f)p Fr(v)k Fo(2)e Fr(V)19 b Fo(j)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))28 b(=)e Fr(\025v)s Fo(g)31
b Ft(hei\031t)f Fp(Eigenr)l(aum)37 b Ft(zum)30 b(Eigen)n(w)n(ert)f
Fr(\025)p Ft(.)165 4199 y(Die)f(Menge)g Fo(f)p Fr(\025)23
b Fo(2)g Fr(K)6 b Fo(j)p Fr(\025)28 b Ft(Eigen)n(w)n(ert)d(v)n(on)i
Fr(f)9 b Fo(g)27 b Ft(hei\031t)h Fp(Sp)l(ektrum)33 b
Ft(v)n(on)27 b Fr(f)9 b Ft(.)165 4365 y Fq(Bemerkung)32
b(7.2.2)39 b Fr(V)961 4377 y Fk(\025)1041 4365 y Ft(ist)c(ein)h(Un)n
(terv)n(ektorraum)d(v)n(on)i Fr(V)18 b Ft(.)36 b(Die)g(Eigen)n(v)n
(ektoren)165 4464 y(zu)28 b Fr(\025)g Ft(sind)g(genau)f(die)g(v)n(on)g
(Null)h(v)n(ersc)n(hiedenen)f(V)-7 b(ektoren)27 b(in)h
Fr(V)2263 4476 y Fk(\025)2307 4464 y Ft(.)p eop end
%%Page: 233 94
TeXDict begin 233 93 bop 1491 100 a Fn(7.3)43 b(Das)26
b(c)n(harakteristisc)n(he)g(P)n(olynom)152 b(233)165
282 y Fq(Beispiele)30 b(7.2.3)39 b Ft(1.)30 b(Sei)g Fr(f)35
b Ft(:)27 b Fr(V)46 b Fo(\000)-48 b(!)26 b Fr(V)49 b
Ft(nic)n(h)n(t)30 b(injektiv.)g(Dann)h(ist)f(0)f(ein)h(Eigen)n(w)n(ert)
165 382 y(v)n(on)38 b Fr(f)47 b Ft(und)39 b(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))42 b(=)e Fr(V)1008 394 y Fl(0)1087 382
y Fo(6)p Ft(=)h(0.)d(Es)f(gibt)i(n)1651 386 y(\177)1651
382 y(amlic)n(h)f(ein)h Fr(v)44 b Fo(2)d Fr(V)58 b Ft(mit)39
b Fr(v)44 b Fo(6)p Ft(=)d(0)d(und)165 482 y Fr(f)9 b
Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))24 b(=)e(0,)j(also)f Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))24 b(=)e(0)13 b Fo(\001)g Fr(v)s Ft(.)26
b(W)-7 b(eiter)25 b(ist)g Fr(v)h Fo(2)e Ft(Ke)o(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))24 b Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)s Ft(\))23 b(=)g(0)13 b Fo(\001)g Fr(v)26 b Fo(\()-14
b(\))24 b Fr(v)i Fo(2)d Fr(V)2868 494 y Fl(0)2906 482
y Ft(.)290 581 y(2.)28 b(F)439 585 y(\177)437 581 y(ur)h(id)d(:)f
Fr(V)44 b Fo(\000)-48 b(!)25 b Fr(V)48 b Ft(ist)29 b(1)g(der)f(einzige)
h(Eigen)n(w)n(ert,)e(und)i(es)g(ist)g Fr(V)44 b Ft(=)25
b Fr(V)2633 593 y Fl(1)2671 581 y Ft(.)k(Es)f(ist)165
681 y(n)211 685 y(\177)211 681 y(amlic)n(h)g(id\()p Fr(v)s
Ft(\))c(=)e Fr(v)27 b Ft(=)22 b(1)c Fo(\001)h Fr(v)31
b Ft(f)1118 685 y(\177)1116 681 y(ur)c(alle)h Fr(v)e
Fo(2)d Fr(V)c Ft(.)290 830 y(3.)39 b(Die)i(lineare)e(Abbildung)1269
809 y Fj(c)1259 830 y Fr(M)52 b Ft(:)44 b Fr(K)1530 842
y Fl(2)1610 830 y Fo(\000)-48 b(!)43 b Fr(K)1824 842
y Fl(2)1901 830 y Ft(mit)e Fr(M)52 b Ft(=)2307 713 y
Fj(\022)2382 780 y Ft(1)83 b(0)2382 880 y(0)g(2)2562
713 y Fj(\023)2663 830 y Ft(hat)40 b(die)165 1038 y(Eigen)n(w)n(erte)26
b(1)h(und)h(2)f(und)i(die)e(Eigenr)1433 1042 y(\177)1433
1038 y(aume)f Fr(V)1701 1050 y Fl(1)1762 1038 y Ft(=)1850
946 y Fj(n)1905 921 y(\022)1980 988 y Fr(\013)1986 1088
y Ft(0)2047 921 y Fj(\023)2108 946 y(o)2191 1038 y Ft(und)i
Fr(V)2405 1050 y Fl(2)2466 1038 y Ft(=)2554 946 y Fj(n)2609
921 y(\022)2689 988 y Ft(0)2684 1088 y Fr(\014)2749 921
y Fj(\023)2810 946 y(o)2866 1038 y Ft(.)165 1254 y Fq(Satz)33
b(7.2.4)40 b Fp(Seien)28 b Fo(f)p Fr(\025)927 1266 y
Fk(i)955 1254 y Fo(j)p Fr(i)23 b Fo(2)g Fr(I)7 b Fo(g)21
b Fp(p)l(aarweise)j(verschie)l(dene)g(Eigenwerte)e(von)29
b Fr(f)9 b Fp(.)22 b(Dann)165 1353 y(gilt)315 1291 y
Fj(P)403 1378 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)523 1353 y Fr(V)571
1365 y Fk(\025)610 1373 y Ff(i)664 1353 y Ft(=)h Fo(\010)817
1365 y Fk(i)p Fi(2)p Fk(I)923 1353 y Fr(V)971 1365 y
Fk(\025)1010 1373 y Ff(i)1041 1353 y Fp(.)165 1528 y(Beweis.)44
b Ft(Wir)30 b(m)724 1532 y(\177)722 1528 y(ussen)g(zeigen,)f(da\031)h
(aus)1531 1465 y Fj(P)1633 1528 y Fr(v)1673 1540 y Fk(i)1728
1528 y Ft(=)d(0)j(mit)g Fr(v)2086 1540 y Fk(i)2141 1528
y Fo(2)e Fr(V)2272 1540 y Fk(\025)2311 1548 y Ff(i)2373
1528 y Ft(folgt)h Fr(v)2606 1540 y Fk(i)2662 1528 y Ft(=)d(0)k(f)2852
1532 y(\177)2850 1528 y(ur)165 1627 y(alle)c Fr(i)d Fo(2)g
Fr(I)7 b Ft(.)26 b(W)-7 b(enn)26 b(das)g(nic)n(h)n(t)g(der)f(F)-7
b(all)26 b(ist,)g(dann)g(gibt)g(es)f(eine)h(Summe)2496
1565 y Fj(P)2584 1585 y Fk(n)2584 1652 y(i)p Fl(=1)2709
1627 y Fr(v)2749 1639 y Fk(i)2800 1627 y Ft(=)d(0)165
1727 y(k)211 1731 y(\177)209 1727 y(urzester)33 b(L)582
1731 y(\177)582 1727 y(ange)h Fr(n)g(>)f Ft(0.)h(O\013en)n(bar)f(sind)i
(in)f(einer)g(solc)n(hen)f(Summe)i(alle)f Fr(v)2704 1739
y Fk(i)2766 1727 y Fo(6)p Ft(=)g(0.)165 1826 y(Daraus)27
b(folgt)i Fr(n)24 b Fo(\025)f Ft(2.)28 b(Es)g(ist)1133
1764 y Fj(P)1221 1785 y Fk(n)1221 1851 y(i)p Fl(=1)1346
1826 y Fr(\025)1394 1838 y Fk(i)1422 1826 y Fr(v)1462
1838 y Fk(i)1514 1826 y Ft(=)1603 1764 y Fj(P)1691 1785
y Fk(n)1691 1851 y(i)p Fl(=1)1816 1826 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(v)1938 1838 y Fk(i)1966 1826 y Ft(\))24 b(=)g Fr(f)9
b Ft(\()2193 1764 y Fj(P)2281 1785 y Fk(n)2281 1851 y(i)p
Fl(=1)2406 1826 y Fr(v)2446 1838 y Fk(i)2474 1826 y Ft(\))24
b(=)g Fr(f)9 b Ft(\(0\))24 b(=)g(0)165 1926 y(eb)r(enso)i(wie)580
1864 y Fj(P)668 1884 y Fk(n)668 1951 y(i)p Fl(=1)793
1926 y Fr(\025)841 1938 y Fl(1)879 1926 y Fr(v)919 1938
y Fk(i)970 1926 y Ft(=)c Fr(\025)1105 1938 y Fl(1)1157
1864 y Fj(P)1245 1884 y Fk(n)1245 1951 y(i)p Fl(=1)1370
1926 y Fr(v)1410 1938 y Fk(i)1461 1926 y Ft(=)h(0.)i(Die)i(Di\013erenz)
f(ist)2253 1864 y Fj(P)2341 1884 y Fk(n)2341 1951 y(i)p
Fl(=2)2452 1926 y Ft(\()p Fr(\025)2532 1938 y Fk(i)2576
1926 y Fo(\000)15 b Fr(\025)2704 1938 y Fl(1)2741 1926
y Ft(\))p Fr(v)2813 1938 y Fk(i)2865 1926 y Ft(=)165
2026 y(0,)24 b(eine)f(Summe)i(k)758 2030 y(\177)756 2026
y(urzerer)c(L)1085 2030 y(\177)1085 2026 y(ange)i(mit)h(v)n(on)f(Null)h
(v)n(ersc)n(hiedenen)f(Summanden)h(\()p Fr(\025)2826
2038 y Fk(i)2865 2026 y Fo(\000)165 2125 y Fr(\025)213
2137 y Fl(1)251 2125 y Ft(\))p Fr(v)323 2137 y Fk(i)351
2125 y Ft(,)k(ein)g(Widerspruc)n(h.)165 2300 y Fq(De\014nition)j(7.2.5)
40 b Ft(Eigen)n(w)n(erte,)77 b(Eigen)n(v)n(ektoren,)38
b(Eigenr)2164 2304 y(\177)2164 2300 y(aume)g(und)i(Sp)r(ektrum)165
2399 y(einer)c(quadratisc)n(hen\(!\))e(Matrix)h Fr(M)44
b Ft(sind)36 b(die)g(der)f(linearen)g(Abbildung)2638
2378 y Fj(c)2628 2399 y Fr(M)45 b Ft(:)36 b Fr(K)2884
2411 y Fk(n)165 2499 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(K)359
2511 y Fk(n)404 2499 y Ft(.)178 2649 y Fq(\177)165 2665
y(Ubungen)32 b(7.2.6)82 b Ft(1.)41 b(Zeigen)20 b(Sie:)h(Eine)g(nilp)r
(oten)n(te)g(Matrix)42 b(\(eine)21 b(Matrix)g Fr(M)30
b Ft(mit)313 2765 y Fr(M)403 2735 y Fk(n)471 2765 y Ft(=)22
b(0\))28 b(hat)f(n)n(ur)h(den)f(Eigen)n(w)n(ert)f(0.)207
2864 y(2.)41 b(Bestimmen)27 b(Sie)f(die)h(Eigen)n(w)n(erte)d(und)j(die)
g(Eigen)n(v)n(ektoren)d(der)i(folgenden)g(Ma-)313 2964
y(trix:)1416 2976 y Fj(0)1416 3125 y(@)1502 3042 y Ft(1)56
b(1)h(1)1502 3142 y(1)24 b Fo(\000)p Ft(1)g(1)1502 3241
y(1)56 b(0)h(0)1753 2976 y Fj(1)1753 3125 y(A)207 3387
y Ft(3.)41 b(Hab)r(e)28 b Fr(f)j Ft(:)23 b Fr(V)42 b
Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)47 b Ft(einen)27 b(Eigen)n(w)n(ert)f
Fr(\025)p Ft(.)i(Zeigen)f(Sie:)345 3486 y(a\))42 b Fr(f)511
3456 y Fk(n)583 3486 y Ft(hat)28 b(einen)f(Eigen)n(w)n(ert)f
Fr(\025)1384 3456 y Fk(n)1430 3486 y Ft(.)341 3586 y(b\))42
b(Es)26 b(gilt)i Fr(V)773 3598 y Fk(\025)817 3586 y Ft(\()p
Fr(f)9 b Ft(\))23 b Fo(\022)g Fr(V)1090 3598 y Fk(\025)1129
3582 y Ff(n)1175 3586 y Ft(\()p Fr(f)1257 3556 y Fk(n)1302
3586 y Ft(\).)350 3686 y(c\))42 b(Finden)28 b(Sie)h(ein)f
Fr(f)33 b Ft(:)24 b Fr(V)43 b Fo(\000)-49 b(!)25 b Fr(V)47
b Ft(und)28 b(einen)h(Eigen)n(w)n(ert)d Fr(\025)j Ft(v)n(on)e
Fr(f)9 b Ft(,)28 b(so)g(da\031)f(gilt)461 3785 y Fr(V)509
3797 y Fk(\025)552 3785 y Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\))24 b
Fm($)e Fr(V)825 3797 y Fk(\025)864 3781 y Ff(n)910 3785
y Ft(\()p Fr(f)992 3755 y Fk(n)1037 3785 y Ft(\).)165
4109 y Fs(7.3)42 b(Das)c(c)m(harakteristisc)m(he)g(P)m(olynom)165
4313 y Ft(Zur)22 b(Bestimm)n(ung)h(v)n(on)e(Eigen)n(w)n(erten)g(und)i
(damit)g(auc)n(h)f(v)n(on)g(Eigenr)2389 4317 y(\177)2389
4313 y(aumen)f(v)n(erw)n(en-)165 4412 y(det)31 b(man)g(h)545
4416 y(\177)545 4412 y(au\014g)f(das)g(c)n(harakteristisc)n(he)f(P)n
(olynom.)g(Damit)i(wird)g(der)f(Zusammen-)165 4512 y(hang)d(zwisc)n
(hen)g(Eigen)n(w)n(erten)f(und)i(Determinan)n(ten)g(hergestellt.)p
eop end
%%Page: 234 95
TeXDict begin 234 94 bop 165 100 a Fn(234)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)165 282 y Fq(De\014nition)31
b(7.3.1)40 b Ft(Sei)20 b Fr(V)39 b Ft(endlic)n(hdimensional)19
b(mit)i(Basisfamilie)d Fr(B)t Ft(,)j(und)f(sei)f Fr(f)32
b Ft(:)23 b Fr(V)165 382 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fr(V)47
b Ft(ein)27 b(Endomorphism)n(us)f(mit)j(der)e(darstellenden)g(Matrix)g
Fr(M)9 b Ft(.)290 482 y(F)346 486 y(\177)344 482 y(ur)27
b Fr(\025)d Fo(2)f Fr(K)33 b Ft(hei\031t)1217 581 y(det\()p
Fr(f)28 b Fo(\000)18 b Fr(\025)g Fo(\001)h Ft(id\))k(=)g(0)165
712 y(die)28 b Fp(char)l(akteristische)k(Gleichung)k
Ft(v)n(on)27 b Fr(f)9 b Ft(.)1069 863 y Fr(\037)1121
875 y Fk(M)1195 863 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))24 b(:=)f(det\()p
Fr(M)k Fo(\000)18 b Fr(x)h Fo(\001)g Fr(E)1948 875 y
Fk(n)1993 863 y Ft(\))165 1014 y(hei\031t)28 b(das)f
Fp(char)l(akteristische)32 b(Polynom)63 b Ft(v)n(on)27
b Fr(M)9 b Ft(.)165 1162 y Fq(Lemma)32 b(7.3.2)40 b Fr(\037)794
1174 y Fk(M)867 1162 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))31 b Fp(ist)f(ein)g
(Polynom)h(von)f(Gr)l(ad)39 b Fr(n)p Fp(.)30 b(Es)g(gilt)g(f)2380
1166 y(\177)2380 1162 y(ur)39 b Fr(M)31 b Ft(=)23 b(\()p
Fr(\013)2784 1174 y Fk(ij)2843 1162 y Ft(\))608 1382
y Fr(\037)660 1394 y Fk(M)733 1382 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))h(=)f(\()p
Fo(\000)p Ft(1\))1127 1348 y Fk(n)1190 1382 y Fo(\001)1232
1315 y Fj(\000)1270 1382 y Fr(x)1317 1348 y Fk(n)1381
1382 y Fo(\000)1503 1279 y Fk(n)1464 1303 y Fj(X)1470
1480 y Fk(i)p Fl(=1)1598 1382 y Fr(\013)1651 1394 y Fk(ii)1702
1382 y Fr(x)1749 1348 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1898 1382
y Ft(+)18 b Fr(:)c(:)g(:)k Fo(\006)g Ft(det)q(\()p Fr(M)9
b Ft(\))2449 1315 y Fj(\001)165 1606 y Fp(Beweis.)44
b Ft(Nac)n(h)27 b(Bemerkung)f(7.1.12)g(3.)i(ist)868 1770
y(det\()p Fr(M)9 b Ft(\))24 b(=)1248 1691 y Fj(X)1288
1865 y Fk(\033)1368 1770 y Ft(\()p Fo(\006)p Ft(1\))p
Fr(\013)1592 1785 y Fl(1)p Fk(\033)r Fl(\(1\))1773 1770
y Fo(\001)19 b Fr(:)14 b(:)g(:)k Fo(\001)h Fr(\013)2025
1785 y Fk(n\033)r Fl(\()p Fk(n)p Fl(\))2203 1770 y Fr(:)165
1996 y Ft(F)221 2000 y(\177)219 1996 y(ur)24 b(det\()p
Fr(M)c Fo(\000)11 b Fr(xE)754 2008 y Fk(n)799 1996 y
Ft(\))24 b(sind)f(die)h(F)-7 b(aktoren)23 b(in)h(der)f(Diagonalen)f(v)n
(on)h(der)h(F)-7 b(orm)23 b Fr(\013)2722 2008 y Fk(ii)2784
1996 y Fo(\000)11 b Fr(x)p Ft(.)165 2095 y(Die)25 b(h)359
2099 y(\177)359 2095 y(oc)n(hste)f(P)n(otenz)f(v)n(on)h
Fr(x)h Ft(ergibt)f(sic)n(h,)g(w)n(enn)g(alle)g(F)-7 b(aktoren)24
b(im)g(Pro)r(dukt)g(auf)h(der)165 2195 y(Diagonalen)d(liegen,)h(also)f
(f)1036 2199 y(\177)1034 2195 y(ur)h Fr(\033)k Ft(=)22
b(id,)i(mit)f(\()p Fr(\013)1645 2207 y Fl(11)1725 2195
y Fo(\000)9 b Fr(x)p Ft(\))g Fo(\001)g Fr(:)14 b(:)g(:)d
Fo(\001)e Ft(\()p Fr(\013)2144 2207 y Fk(nn)2241 2195
y Fo(\000)g Fr(x)p Ft(\))23 b(=)g(\()p Fo(\000)p Ft(1\))2676
2165 y Fk(n)2730 2195 y Fo(\001)9 b Fr(x)2809 2165 y
Fk(n)2865 2195 y Ft(+)165 2294 y(\()p Fo(\000)p Ft(1\))336
2264 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)480 2232 y Fj(P)581 2294
y Fr(\013)634 2306 y Fk(ii)686 2294 y Fr(x)733 2264 y
Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)863 2294 y Ft(+)23 b(T)-7 b(erme)22
b(v)n(om)g(Grad)g Fo(\024)h Fr(n)9 b Fo(\000)g Ft(2.)21
b(W)-7 b(enn)23 b(im)g(Pro)r(dukt)f(ein)h(F)-7 b(aktor)165
2394 y(nic)n(h)n(t)21 b(auf)f(der)g(Diagonalen)g(liegt,)g(so)g(m)n
(u\031)g(auc)n(h)g(no)r(c)n(h)g(ein)h(zw)n(eiter)e(F)-7
b(aktor)20 b(au\031erhalb)165 2494 y(der)28 b(Diagonalen)f(auftreten.)h
(Der)g(P)n(olynomgrad)e(des)i(Pro)r(dukts)f(ist)h(dann)g
Fo(\024)c Fr(n)18 b Fo(\000)h Ft(2.)165 2593 y(Um)24
b(den)g(k)n(onstan)n(ten)f(Ko)r(e\016zien)n(ten)g(des)g(P)n(olynoms)f
(zu)i(erhalten,)f(setze)g(man)g Fr(x)h Ft(=)f(0)165 2693
y(ein.)28 b(Dann)g(ist)g(der)f(k)n(onstan)n(te)f(Ko)r(e\016zien)n(t)h
(gleic)n(h)g(det)q(\()p Fr(M)g Fo(\000)18 b Ft(0)g Fo(\001)h
Fr(E)2332 2705 y Fk(n)2377 2693 y Ft(\))k(=)g(det\()p
Fr(M)9 b Ft(\).)165 2836 y Fq(Satz)33 b(7.3.3)40 b Fp(Sei)e
Ft(dim)15 b Fr(V)42 b Ft(=)22 b Fr(n)h(<)g Fo(1)p Fr(;)14
b(f)31 b Fo(2)24 b Ft(Hom)1697 2848 y Fk(K)1761 2836
y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(V)19 b Ft(\))p Fp(.)30 b(Dann)f(gilt)i(f)2433
2840 y(\177)2433 2836 y(ur)38 b Fr(\025)24 b Fo(2)f Fr(K)6
b Fp(:)165 2935 y Fr(\025)30 b Fp(ist)g(Eigenwert)h(von)36
b Fr(f)c Fo(\()-14 b(\))23 b Ft(det\()p Fr(f)28 b Fo(\000)18
b Fr(\025)p Ft(id\))24 b(=)e(0)p Fp(.)165 3078 y(Beweis.)44
b Fr(\025)19 b Ft(Eigen)n(w)n(ert)e(v)n(on)h Fr(f)32
b Fo(\()-14 b(\))23 b(9)p Fr(v)k Fo(6)p Ft(=)22 b(0[)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23 b(=)g Fr(\025v)s Ft(])h
Fo(\()-14 b(\))23 b(9)p Fr(v)j Fo(6)p Ft(=)d(0[\()p Fr(f)10
b Fo(\000)q Fr(\025)p Ft(id)o(\)\()p Fr(v)s Ft(\))25
b(=)165 3178 y(0])e Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(f)k Fo(\000)18
b Fr(\025)p Ft(id)29 b(nic)n(h)n(t)e(bijektiv)h Fo(\()-14
b(\))24 b Ft(det\()p Fr(f)j Fo(\000)18 b Fr(\025)p Ft(id)q(\))23
b(=)g(0.)165 3321 y Fq(Bemerkung)32 b(7.3.4)39 b Ft(1.)28
b Fr(V)1054 3333 y Fk(\025)1121 3321 y Ft(=)22 b(Ke\()p
Fr(f)27 b Fo(\000)18 b Fr(\025)p Ft(id)q(\).)290 3421
y(2.)41 b(Es)f(gibt)i(h)757 3425 y(\177)757 3421 y(oc)n(hstens)e
Fr(n)h Ft(W)-7 b(erte)42 b Fr(\025)g Ft(mit)f(det)q(\()p
Fr(f)36 b Fo(\000)27 b Fr(\025)p Ft(id)q(\))46 b(=)g(0,)40
b(w)n(eil)h(das)g(c)n(ha-)165 3520 y(rakteristisc)n(he)30
b(P)n(olynom)f(det)q(\()p Fr(M)g Fo(\000)21 b Fr(xE)1480
3532 y Fk(n)1526 3520 y Ft(\))31 b(h)1635 3524 y(\177)1635
3520 y(oc)n(hstens)g Fr(n)g Ft(Nullstellen)h(hat)f(und)g(w)n(eil)165
3620 y(det)q(\()p Fr(f)c Fo(\000)19 b Fr(\025)p Ft(id\))24
b(=)g(det\()p Fr(M)j Fo(\000)19 b Fr(\025E)1175 3632
y Fk(n)1221 3620 y Ft(\),)28 b(w)n(ob)r(ei)g Fr(M)f Fo(\000)18
b Fr(\025E)1840 3632 y Fk(n)1914 3620 y Ft(eine)28 b(darstellende)g
(Matrix)f(f)2852 3624 y(\177)2850 3620 y(ur)165 3720
y Fr(f)g Fo(\000)18 b Fr(\025)p Ft(id)29 b(ist.)290 3819
y(3.)e Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-49 b(!)24
b Fr(V)46 b Ft(hat)28 b(h)1002 3823 y(\177)1002 3819
y(oc)n(hstens)f Fr(n)g Ft(v)n(ersc)n(hiedene)f(Eigen)n(w)n(erte.)165
3966 y Fq(De\014nition)31 b(7.3.5)40 b Ft(1.)25 b(Eine)f(Nullstelle)i
Fr(\025)f Ft(eines)g(P)n(olynoms)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))25 b(hat)g(die)g Fp(Vielfach-)165 4066 y(heit)42
b Fr(k)s Ft(,)33 b(w)n(enn)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))34 b(durc)n(h)f(\()p Fr(x)23 b Fo(\000)f Fr(\025)p
Ft(\))1365 4036 y Fk(k)1440 4066 y Ft(\(ohne)33 b(Rest\))h(teilbar)e
(ist,)i(ab)r(er)e(nic)n(h)n(t)i(durc)n(h)165 4166 y(\()p
Fr(x)20 b Fo(\000)e Fr(\025)p Ft(\))427 4136 y Fk(k)q
Fl(+1)552 4166 y Ft(.)290 4265 y(2.)33 b(Ein)g(Eigen)n(w)n(ert)e
Fr(\025)j Ft(der)f(Matrix)g Fr(M)42 b Ft(bzw.)33 b(des)g(Endomorphism)n
(us)f Fr(f)42 b Ft(hat)33 b(die)165 4365 y Fp(algebr)l(aische)i
(Vielfachheit)70 b Fr(k)29 b Ft(=)e Fr(\026)p Ft(\()p
Fr(\037)1421 4377 y Fk(f)1464 4365 y Fr(;)14 b(\025)p
Ft(\),)30 b(w)n(enn)g(er)f(als)g(Nullstelle)i(des)e(c)n(harakte-)165
4465 y(ristisc)n(hen)e(P)n(olynoms)f(die)i(Vielfac)n(hheit)g
Fr(k)i Ft(hat.)290 4564 y(3.)j(Ein)g(Eigen)n(w)n(ert)e
Fr(\025)j Ft(der)f(Matrix)g Fr(M)42 b Ft(bzw.)33 b(des)g(Endomorphism)n
(us)f Fr(f)42 b Ft(hat)33 b(die)165 4664 y Fp(ge)l(ometrische)f
(Vielfachheit)66 b Fr(k)s Ft(,)27 b(w)n(enn)h Fr(k)d
Ft(=)e(dim)14 b Fr(V)1816 4676 y Fk(\025)1860 4664 y
Ft(.)p eop end
%%Page: 235 96
TeXDict begin 235 95 bop 1491 100 a Fn(7.3)43 b(Das)26
b(c)n(harakteristisc)n(he)g(P)n(olynom)152 b(235)165
282 y Fq(Satz)33 b(7.3.6)40 b Fp(Sei)49 b Ft(dim)14 b
Fr(V)61 b Ft(=)41 b Fr(n)h(<)f Fo(1)f Fp(und)49 b Fr(f)h
Fo(2)42 b Ft(Hom)2005 294 y Fk(K)2069 282 y Ft(\()p Fr(V)5
b(;)14 b(V)19 b Ft(\))p Fp(.)41 b(Sei)49 b Fr(\025)42
b Fo(2)g Fr(K)k Fp(ein)165 382 y(Eigenwert)31 b(von)36
b Fr(f)9 b Fp(.)30 b(Dann)f(ist)38 b Fr(\026)p Ft(\()p
Fr(\037)1311 394 y Fk(f)1354 382 y Fr(;)14 b(\025)p Ft(\))24
b Fo(\025)e Ft(dim)14 b Fr(V)1782 394 y Fk(\025)1826
382 y Fp(.)165 523 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)29 b(\()p Fr(v)689
535 y Fl(1)727 523 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(v)951
535 y Fk(k)992 523 y Ft(\))30 b(eine)f(Basisfamilie)g(v)n(on)f
Fr(V)1893 535 y Fk(\025)1967 523 y Ft(und)h(\()p Fr(v)2206
535 y Fl(1)2244 523 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)2469
535 y Fk(n)2514 523 y Ft(\))30 b(eine)f(F)-7 b(ort-)165
622 y(setzung)32 b(zu)g(einer)g(Basisfamilie)f(v)n(on)g
Fr(V)19 b Ft(.)32 b(Dann)h(ist)f(b)r(ez)2013 626 y(\177)2011
622 y(uglic)n(h)g(dieser)f(Basisfamilie)165 722 y(die)d(darstellende)f
(Matrix)g(v)n(on)g Fr(f)36 b Ft(v)n(on)27 b(der)g(F)-7
b(orm)846 1150 y Fr(M)31 b Ft(=)1046 809 y Fj(0)1046
955 y(B)1046 1005 y(B)1046 1055 y(B)1046 1105 y(B)1046
1154 y(B)1046 1204 y(B)1046 1254 y(B)1046 1307 y(@)1216
920 y Fr(\025)266 b Ft(0)p 1658 962 4 183 v 1352 1028
a(.)1384 1053 y(.)1416 1078 y(.)p 1658 1128 V 1787 1086
a Fo(\003)1219 1252 y Ft(0)g Fr(\025)p 1658 1294 V 1133
1297 823 4 v 1375 1438 a Ft(0)p 1658 1480 4 183 v 328
w Fr(M)1835 1408 y Fl(1)1968 809 y Fj(1)1968 955 y(C)1968
1005 y(C)1968 1055 y(C)1968 1105 y(C)1968 1154 y(C)1968
1204 y(C)1968 1254 y(C)1968 1307 y(A)2083 1150 y Ft(und)165
1600 y(det)q(\()p Fr(M)19 b Fo(\000)10 b Fr(xE)596 1612
y Fk(n)641 1600 y Ft(\))24 b(=)e Fr(\037)836 1612 y Fk(f)902
1600 y Ft(=)h(\()p Fr(\025)10 b Fo(\000)g Fr(x)p Ft(\))1234
1570 y Fk(k)1286 1600 y Fo(\001)g Ft(det)q(\()p Fr(M)1557
1570 y Fl(1)1604 1600 y Fo(\000)g Fr(xE)1787 1612 y Fk(n)p
Fi(\000)p Fk(k)1921 1600 y Ft(\))24 b(durc)n(h)f(En)n(t)n(wic)n
(klungen)f(nac)n(h)165 1700 y(der)28 b(1.)f(bis)g(r.)h(Spalte.)178
1824 y Fq(\177)165 1840 y(Ubungen)k(7.3.7)82 b Ft(1.)41
b(Bestimmen)28 b(Sie)g(die)g(reellen)f(bzw.)h(k)n(omplexen)f(Eigen)n(w)
n(erte)313 1940 y(v)n(on)1272 1952 y Fj(\022)1347 2019
y Ft(cos)13 b Fr(')84 b Fo(\000)14 b Ft(sin)f Fr(')1352
2118 y Ft(sin)h Fr(')122 b Ft(cos)13 b Fr(')1872 1952
y Fj(\023)1947 2069 y Fr(:)207 2243 y Ft(2.)41 b(Bestimmen)28
b(Sie)g(die)f(Eigen)n(w)n(erte)f(und)i(Eigenr)1843 2247
y(\177)1843 2243 y(aume)e(v)n(on)867 2320 y Fj(0)867
2470 y(@)953 2388 y Ft(2)83 b(3)f Fo(\000)p Ft(1)953
2487 y(0)h(1)115 b(0)953 2587 y(0)83 b(2)115 b(1)1322
2320 y Fj(1)1322 2470 y(A)1492 2487 y Ft(und)28 b(v)n(on)1912
2320 y Fj(0)1912 2470 y(@)1998 2388 y Ft(2)83 b(1)f(1)1998
2487 y(0)h(1)f(0)1998 2587 y(0)h(0)f(3)2303 2320 y Fj(1)2303
2470 y(A)207 2736 y Ft(3.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27 b(Sie,)h(ob)f(die)h
(folgende)f(Aussage)f(ric)n(h)n(tig)h(ist)h(\(ja/nein\).)313
2836 y(Die)g(Summe)g(der)g(geometrisc)n(hen)e(Vielfac)n(hheiten)i
(eines)f(Endomorphism)n(us)f(ei-)313 2935 y(nes)k(endlic)n
(hdimensionalen)f(V)-7 b(ektorraumes)29 b(ist)h(gerade)e(die)i
(Dimension)h(dieses)313 3035 y(V)-7 b(ektorraumes.)207
3134 y(4.)41 b(Sei)1375 3263 y Fr(A)23 b Ft(=)1548 3146
y Fj(\022)1622 3213 y Fr(a)87 b(b)1626 3313 y(c)g(d)1806
3146 y Fj(\023)313 3448 y Ft(Zeigen)39 b(Sie)h Fr(\037)786
3460 y Fk(A)883 3448 y Ft(=)i Fr(x)1037 3417 y Fl(2)1101
3448 y Fo(\000)26 b Ft(Spur\()p Fr(A)p Ft(\))h(+)f(det)15
b Fr(A)p Ft(,)40 b(w)n(ob)r(ei)f(f)2136 3452 y(\177)2134
3448 y(ur)g(eine)h Fr(n)26 b Fo(\002)g Fr(n)p Ft(-Matrix)313
3547 y Fr(M)32 b Ft(=)22 b(\()p Fr(\013)598 3559 y Fk(ij)657
3547 y Ft(\))28 b(die)g(Spur)f(de\014niert)h(ist)g(als)f(Spur\()p
Fr(M)9 b Ft(\))23 b(:=)2077 3485 y Fj(P)2164 3505 y Fk(n)2164
3572 y(i)p Fl(=1)2290 3547 y Fr(\013)2343 3559 y Fk(ii)2394
3547 y Ft(.)207 3647 y(5.)41 b(Zeigen)27 b(Sie)g(f)736
3651 y(\177)734 3647 y(ur)h(den)f(in)h(der)f(v)n(orangehenden)f(Aufgab)
r(e)h(de\014nierten)h(Begri\013)f(der)313 3746 y(Spur:)345
3846 y(a\))42 b(Die)28 b(Abbildung)g(Spur)23 b(:)g Fr(K)1337
3816 y Fk(n)1331 3867 y(n)1405 3846 y Fo(\000)-49 b(!)23
b Fr(K)33 b Ft(ist)28 b(linear.)341 3946 y(b\))42 b(Es)26
b(gilt)i(Spur\()p Fr(AB)t Ft(\))c(=)f(Spur)o(\()p Fr(B)t(A)p
Ft(\))29 b(f)1620 3950 y(\177)1618 3946 y(ur)f(alle)f
Fr(A;)14 b(B)27 b Fo(2)d Fr(K)2222 3916 y Fk(n)2216 3966
y(n)2266 3946 y Ft(.)350 4045 y(c\))42 b(Es)19 b(gilt)h(im)g
(allgemeinen)g(nic)n(h)n(t)g(Spur\()p Fr(AB)t(C)6 b Ft(\))24
b(=)f(Spur\()p Fr(B)t(AC)6 b Ft(\))21 b(f)2485 4049 y(\177)2483
4045 y(ur)f Fr(A;)14 b(B)t(;)g(C)30 b Fo(2)461 4145 y
Fr(K)538 4115 y Fk(n)532 4165 y(n)582 4145 y Ft(.)341
4245 y(d\))42 b(Sei)37 b Fr(V)56 b Ft(ein)37 b(endlic)n(hdimensionaler)
f(V)-7 b(ektorraum)36 b(und)h Fr(f)48 b Ft(:)39 b Fr(V)58
b Fo(\000)-49 b(!)39 b Fr(V)56 b Ft(eine)461 4344 y(lineare)24
b(Abbildung.)h(Sei)g Fr(B)k Ft(eine)c(Basisfamilie)f(v)n(on)g
Fr(V)44 b Ft(und)26 b Fr(M)33 b Ft(die)25 b(darstel-)461
4444 y(lende)i(Matrix)f(v)n(on)g Fr(f)36 b Ft(b)r(ez)1310
4448 y(\177)1308 4444 y(uglic)n(h)26 b Fr(B)t Ft(.)i(Zeigen)e(Sie,)h
(da\031)f(Spur\()p Fr(M)9 b Ft(\))27 b(nic)n(h)n(t)g(v)n(on)461
4543 y(der)i(W)-7 b(ahl)30 b(v)n(on)f Fr(B)34 b Ft(abh)1215
4547 y(\177)1215 4543 y(angt)29 b(\(so)g(da\031)g(also)f(Spur\()p
Fr(f)9 b Ft(\))27 b(:=)f(Spur\()p Fr(M)9 b Ft(\))30 b(w)n(ohlde-)461
4643 y(\014niert)d(ist\).)p eop end
%%Page: 236 97
TeXDict begin 236 96 bop 165 100 a Fn(236)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)165 282 y Fs(7.4)g(Diagonalisierbare)e
(Matrizen)e(und)g(Endomorphismen)165 481 y Ft(Gewisse)31
b(quadratisc)n(he)f(Matrizen)h(bzw.)h(Endomorphismen)e(k)-5
b(ann)32 b(man)f(durc)n(h)g(ge-)165 581 y(sc)n(hic)n(kte)k(W)-7
b(ahl)36 b(einer)f(Basis)g(auf)g(eine)h(b)r(esonders)f(einfac)n(he)g(F)
-7 b(orm,)35 b(die)h(Diagonal-)165 680 y(form,)31 b(bringen.)f(Wir)h(w)
n(ollen)g(diese)f(Endomorphismen)g(c)n(harakterisieren)e(und)k(ihre)165
780 y(Eigensc)n(haften)27 b(studieren.)165 942 y Fq(De\014nition)k
(7.4.1)40 b Ft(1.)34 b Fr(f)44 b Fo(2)35 b Ft(Hom)1296
954 y Fk(K)1360 942 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(V)19 b
Ft(\))36 b(hei\031t)e Fp(diagonalisierb)l(ar)p Ft(,)39
b(w)n(enn)c(es)f(eine)165 1042 y(Basisfamilie)24 b Fr(B)30
b Ft(v)n(on)24 b Fr(V)44 b Ft(so)24 b(gibt,)h(da\031)f(die)i
(darstellende)e(Matrix)g(v)n(on)h Fr(f)33 b Ft(bzgl.)25
b Fr(B)k Ft(eine)165 1141 y(Diagonalmatrix)d(ist.)290
1241 y(2.)35 b(Eine)h(Matrix)f Fr(M)45 b Fo(2)37 b Fr(K)1169
1211 y Fk(n)1163 1262 y(n)1250 1241 y Ft(hei\031t)f Fp(diagonalisierb)l
(ar)p Ft(,)75 b(w)n(enn)36 b(es)f(eine)h(regul)2819 1245
y(\177)2819 1241 y(are)165 1341 y(Matrix)27 b Fr(S)33
b Ft(so)27 b(gibt,)g(da\031)g Fr(S)5 b(M)k(S)1180 1311
y Fi(\000)p Fl(1)1296 1341 y Ft(eine)28 b(Diagonalmatrix)d(ist.)165
1503 y Fq(Satz)33 b(7.4.2)40 b Fp(F)668 1507 y(\177)668
1503 y(ur)e Fr(f)32 b Fo(2)23 b Ft(Hom)1110 1515 y Fk(k)1151
1503 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b(V)19 b Ft(\))30 b Fp(sind)1580
1507 y(\177)1581 1503 y(aquivalent)204 1650 y(1.)42 b
Fr(f)c Fp(ist)30 b(diagonalisierb)l(ar,)204 1750 y(2.)42
b(es)30 b(gibt)g(in)36 b Fr(V)49 b Fp(eine)30 b(Basis)h(aus)e
(Eigenvektor)l(en)i(von)37 b Fr(f)9 b Fp(,)204 1849 y(3.)72
b(a\))42 b Fr(\037)513 1861 y Fk(f)556 1849 y Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))30 b Fp(ist)g(ein)g(Pr)l(o)l(dukt)g(von)g(Line)l(arfaktor)
l(en)37 b Ft(\()p Fr(\025)2062 1861 y Fk(i)2109 1849
y Fo(\000)18 b Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)347 1949 y Fp(b\))42
b(f)486 1953 y(\177)486 1949 y(ur)29 b(al)t(le)i(Eigenwerte)37
b Fr(\025)1235 1961 y Fk(i)1293 1949 y Fp(von)f Fr(f)j
Fp(gilt)f Fr(\026)p Ft(\()p Fr(\037)1820 1961 y Fk(f)1863
1949 y Fr(;)14 b(\025)1948 1961 y Fk(i)1976 1949 y Ft(\))23
b(=)g(dim)14 b Fr(V)2319 1961 y Fk(\025)2358 1969 y Ff(i)2389
1949 y Fr(;)204 2049 y Fp(4.)42 b(ist)c Fo(f)p Fr(\025)528
2061 y Fl(1)565 2049 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\025)797
2061 y Fk(k)838 2049 y Fo(g)30 b Fp(das)g(Sp)l(ektrum)f(von)37
b Fr(f)9 b Fp(,)29 b(so)h(ist)1245 2225 y Fr(V)41 b Ft(=)23
b Fr(V)1470 2237 y Fk(\025)1509 2245 y Fg(1)1565 2225
y Fo(\010)18 b Fr(:)c(:)g(:)k Fo(\010)g Fr(V)1894 2237
y Fk(\025)1933 2246 y Ff(k)1974 2225 y Fr(:)165 2402
y Fp(Beweis.)44 b Ft(1)p Fr(:)39 b Fo(\()-14 b(\))39
b Ft(2)p Fr(:)g Ft(:)f(w)n(eil)f(die)h(Basisfamilie,)e(b)r(ez)1879
2406 y(\177)1877 2402 y(uglic)n(h)i(der)f Fr(f)46 b Ft(eine)37
b(darstellen-)165 2502 y(de)46 b(Matrix)f(in)h(Diagonalform)d(hat,)j
(eine)g(Basisfamilie)e(aus)h(Eigen)n(v)n(ektoren)e(ist:)165
2601 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)287 2613 y Fk(i)315 2601
y Ft(\))23 b(=)g Fr(\025)506 2613 y Fk(i)534 2601 y Fr(v)574
2613 y Fk(i)602 2601 y Fr(:)290 2701 y Ft(1)p Fr(:)28
b Ft(=)-14 b Fo(\))29 b Ft(4)p Fr(:)f Ft(:)h Fo(\010)p
Fr(V)804 2713 y Fk(\025)843 2721 y Ff(i)902 2701 y Fo(\022)f
Fr(V)50 b Ft(gilt)31 b(immer.)g(Da)g Fo(\010)p Fr(V)1778
2713 y Fk(\025)1817 2721 y Ff(i)1879 2701 y Ft(eine)g(Basis)f(v)n(on)g
Fr(V)50 b Ft(en)n(th)2690 2705 y(\177)2690 2701 y(alt,)31
b(ist)165 2801 y Fr(V)42 b Ft(=)23 b Fo(\010)p Fr(V)456
2813 y Fk(\025)495 2821 y Ff(i)526 2801 y Fr(:)290 2900
y Ft(4)p Fr(:)59 b Ft(=)-14 b Fo(\))60 b Ft(3)p Fr(:)g
Ft(:)49 b(W)-7 b(egen)50 b Fr(\037)1147 2912 y Fk(f)1190
2900 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))61 b(=)f(\()p Fr(x)33 b Fo(\000)g
Fr(\025)1745 2912 y Fl(1)1783 2900 y Ft(\))1815 2870
y Fk(i)1838 2878 y Fg(1)1908 2900 y Fo(\001)h Fr(:)14
b(:)g(:)33 b Fo(\001)g Ft(\()p Fr(x)h Fo(\000)f Fr(\025)2410
2912 y Fk(k)2451 2900 y Ft(\))2483 2870 y Fk(i)2506 2879
y Ff(k)2580 2900 y Fo(\001)h Fr(g)s Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))50
b(ist)165 3014 y Fr(n)37 b Ft(=)352 2952 y Fj(P)440 2973
y Fk(k)440 3039 y(i)p Fl(=1)566 3014 y Ft(dim)14 b Fr(V)766
3026 y Fk(\025)805 3034 y Ff(i)872 3014 y Fo(\024)973
2952 y Fj(P)1061 2973 y Fk(k)1061 3039 y(i)p Fl(=1)1186
3014 y Fr(\026)p Ft(\()p Fr(\037)1320 3026 y Fk(f)1364
3014 y Fr(;)g(\025)1449 3026 y Fk(i)1477 3014 y Ft(\))36
b Fo(\024)g Fr(n;)g Ft(also)e(gilt)i(Gleic)n(hheit,)g(insb)r(esonde-)
165 3114 y(re)27 b Fr(\026)p Ft(\()p Fr(\037)396 3126
y Fk(f)440 3114 y Fr(;)14 b(\025)525 3126 y Fk(i)553
3114 y Ft(\))23 b(=)g(dim)14 b Fr(V)896 3126 y Fk(\025)935
3134 y Ff(i)994 3114 y Ft(und)28 b Fr(g)s Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))c(=)e Fr(\013)i Fo(2)f Fr(K)q(:)290 3228 y Ft(3)p
Fr(:)38 b Ft(=)-14 b Fo(\))38 b Ft(2)p Fr(:)g Ft(:)h
Fr(n)f Ft(=)921 3166 y Fj(P)1009 3186 y Fk(k)1009 3253
y(i)p Fl(=1)1135 3228 y Fr(\026)p Ft(\()p Fr(\037)1269
3240 y Fk(f)1312 3228 y Fr(;)14 b(\025)1397 3240 y Fk(i)1425
3228 y Ft(\))39 b(=)1599 3166 y Fj(P)1686 3186 y Fk(k)1686
3253 y(i)p Fl(=1)1812 3228 y Ft(dim)14 b Fr(V)2012 3240
y Fk(\025)2051 3248 y Ff(i)2119 3228 y Ft(impliziert)37
b(w)n(egen)f(7.3.6)165 3328 y(die)k(Gleic)n(h)n(ung)e
Fr(V)62 b Ft(=)42 b Fo(\010)992 3298 y Fk(k)992 3349
y(i)p Fl(=1)1103 3328 y Fr(V)1151 3340 y Fk(\025)1190
3348 y Ff(i)1221 3328 y Ft(.)e(Insb)r(esondere)e(hat)h
Fr(V)58 b Ft(eine)39 b(Basis\(-familie\))g(v)n(on)165
3427 y(Eigen)n(v)n(ektoren.)165 3691 y Fq(Beispiele)30
b(7.4.3)39 b Ft(1.)897 3524 y Fj(0)897 3673 y(@)1015
3591 y Ft(0)115 b(2)83 b(4)1015 3691 y(1)115 b(1)83 b(0)983
3790 y Fo(\000)p Ft(2)f(2)h(5)1352 3524 y Fj(1)1352 3673
y(A)1452 3691 y Ft(ist)28 b(diagonalisierbar)d(w)n(egen)371
3908 y Fj(0)371 4058 y(@)458 3975 y Ft(1)114 b(0)h(2)458
4075 y(1)f(2)h(1)458 4175 y(0)82 b Fo(\000)p Ft(1)g(1)827
3908 y Fj(1)827 4058 y(A)913 3908 y(0)913 4058 y(@)1000
3975 y Ft(2)g(0)h(0)1000 4075 y(0)f(1)h(0)1000 4175 y(0)f(0)h(3)1304
3908 y Fj(1)1304 4058 y(A)1390 3908 y(0)1390 4058 y(@)1509
3975 y Ft(3)115 b Fo(\000)p Ft(2)82 b Fo(\000)p Ft(4)1477
4075 y Fo(\000)p Ft(1)114 b(1)147 b(1)1477 4175 y Fo(\000)p
Ft(1)114 b(1)147 b(2)1975 3908 y Fj(1)1975 4058 y(A)2071
4075 y Ft(=)2158 3908 y Fj(0)2158 4058 y(@)2277 3975
y Ft(0)115 b(2)82 b(4)2277 4075 y(1)115 b(1)82 b(0)2245
4175 y Fo(\000)p Ft(2)g(2)g(5)2614 3908 y Fj(1)2614 4058
y(A)2700 4075 y Fr(:)165 4459 y Ft(Es)26 b(ist)h Fr(\037)448
4471 y Fk(M)522 4459 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))d(=)f(det)874
4292 y Fj(0)874 4442 y(@)960 4360 y Fo(\000)p Fr(x)158
b Ft(2)231 b(4)995 4459 y(1)118 b(1)18 b Fo(\000)g Fr(x)158
b Ft(0)963 4559 y Fo(\000)p Ft(2)i(2)d(5)18 b Fo(\000)g
Fr(x)1633 4292 y Fj(1)1633 4442 y(A)1729 4459 y Ft(=)k(\()p
Fo(\000)p Fr(x)p Ft(\)\(1)17 b Fo(\000)f Fr(x)p Ft(\)\(5)i
Fo(\000)e Fr(x)p Ft(\))h(+)f(8)g Fo(\000)h Ft(2\(5)f
Fo(\000)165 4664 y Fr(x)p Ft(\))6 b(+)g(8\(1)g Fo(\000)g
Fr(x)p Ft(\))22 b(=)g Fo(\000)p Fr(x)814 4634 y Fl(3)857
4664 y Ft(+)6 b(6)p Fr(x)1017 4634 y Fl(2)1059 4664 y
Fo(\000)g Ft(11)p Fr(x)g Ft(+)g(6)20 b(=)j Fo(\000)p
Ft(\()p Fr(x)6 b Fo(\000)g Ft(1\)\()p Fr(x)g Fo(\000)g
Ft(2\)\()p Fr(x)g Fo(\000)g Ft(3\))p Fr(:)19 b Ft(Da)i
Fr(\026)p Ft(\()p Fr(\037)2545 4676 y Fk(M)2619 4664
y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b Ft(1\))24 b(=)p eop
end
%%Page: 237 98
TeXDict begin 237 97 bop 851 100 a Fn(7.4)43 b(Diagonalisierbare)28
b(Matrizen)f(und)d(Endomorphismen)152 b(237)165 282 y
Fr(\026)p Ft(\()p Fr(\037)299 294 y Fk(M)373 282 y Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b Ft(2\))24 b(=)f Fr(\026)p Ft(\()p
Fr(\037)841 294 y Fk(M)915 282 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b Ft(3\))23 b(=)g(1,)c(ist)h(nac)n(h)f(7.3.6)g(dim)14
b Fr(V)2019 294 y Fl(1)2080 282 y Ft(=)22 b(dim)15 b
Fr(V)2368 294 y Fl(2)2428 282 y Ft(=)23 b(dim)14 b Fr(V)2716
294 y Fl(3)2777 282 y Ft(=)23 b(1,)165 482 y(also)32
b Fr(M)41 b Ft(diagonalisierbar)30 b(mit)k Fr(S)5 b(M)k(S)1425
451 y Fi(\000)p Fl(1)1544 482 y Ft(=)1641 315 y Fj(0)1641
464 y(@)1727 382 y Ft(2)83 b(0)f(0)1727 482 y(0)h(1)f(0)1727
581 y(0)h(0)f(3)2032 315 y Fj(1)2032 464 y(A)2104 482
y Ft(.)33 b(Die)g(Matrizen)g Fr(S)k Ft(bzw.)165 686 y
Fr(S)221 656 y Fi(\000)p Fl(1)349 686 y Ft(sind)i(T)-7
b(ransformationsmatrizen.)36 b(W)-7 b(enn)39 b Fr(b)1790
698 y Fl(1)1827 686 y Fr(;)14 b(b)1900 698 y Fl(2)1937
686 y Fr(;)g(b)2010 698 y Fl(3)2085 686 y Ft(eine)39
b(Basis)e(v)n(on)h Fr(K)2733 698 y Fl(3)2809 686 y Ft(aus)165
786 y(Eigen)n(v)n(ektoren)f(ist,)j(dann)f(transformiert)f
Fr(S)1662 756 y Fi(\000)p Fl(1)1790 786 y Ft(die)i(Basis)e
Fr(e)2203 798 y Fl(1)2240 786 y Fr(;)14 b(e)2316 798
y Fl(2)2353 786 y Fr(;)g(e)2429 798 y Fl(3)2505 786 y
Ft(in)40 b Fr(b)2650 798 y Fl(1)2687 786 y Fr(;)14 b(b)2760
798 y Fl(2)2796 786 y Fr(;)g(b)2869 798 y Fl(3)2906 786
y Ft(,)165 885 y(und)28 b(es)g(gilt)1229 985 y Fr(S)1285
951 y Fi(\000)p Fl(1)1397 985 y Ft(=)23 b(\()p Fr(b)1553
997 y Fl(1)1590 985 y Fr(;)14 b(b)1663 997 y Fl(2)1700
985 y Fr(;)g(b)1773 997 y Fl(3)1810 985 y Ft(\))p Fr(:)165
1125 y Ft(Die)44 b(Eigen)n(v)n(ektoren)c(erh)1004 1129
y(\177)1004 1125 y(alt)i(man)h(aus)f(dem)h(linearen)f(Gleic)n(h)n
(ungssystem)g(\()p Fr(M)c Fo(\000)165 1225 y Fr(\025)213
1237 y Fk(i)241 1225 y Fr(E)302 1237 y Fk(n)348 1225
y Ft(\))19 b Fo(\001)f Fr(x)24 b Ft(=)e(0)p Fr(:)290
1374 y Ft(2.)27 b Fr(M)32 b Ft(=)582 1257 y Fj(\022)657
1324 y Ft(1)83 b(1)657 1424 y(0)g(1)837 1257 y Fj(\023)926
1374 y Ft(ist)28 b(nic)n(h)n(t)f(diagonalisierbar,)e(w)n(eil)789
1649 y Fr(\037)841 1661 y Fk(M)914 1649 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))f(=)f(det)1266 1532 y Fj(\022)1341 1599 y Ft(1)18
b Fo(\000)g Fr(x)158 b Ft(1)1416 1699 y(0)f(1)17 b Fo(\000)h
Fr(x)1819 1532 y Fj(\023)1903 1649 y Ft(=)23 b(\(1)18
b Fo(\000)g Fr(x)p Ft(\))2245 1615 y Fl(2)2283 1649 y
Fr(;)165 1866 y Ft(also)25 b(1)g(einziger)g(Eigen)n(w)n(ert)f(der)h
(algebraisc)n(hen)e(Vielfac)n(hheit)j(2)g(ist,)g(und)g(w)n(eil)f(\()p
Fr(M)f Fo(\000)165 2016 y Fr(\025E)274 2028 y Fl(2)312
2016 y Ft(\))p Fr(x)g Ft(=)503 1899 y Fj(\022)578 1966
y Ft(0)82 b(1)578 2065 y(0)g(0)758 1899 y Fj(\023)833
2016 y Fr(x)23 b Ft(=)g(0)j(einen)i(1-dimensionalen)e(L)1937
2020 y(\177)1937 2016 y(osungsraum)f Fr(E)2455 2028 y
Fl(1)2515 2016 y Ft(=)e Fr(K)g Fo(\001)2738 1899 y Fj(\022)2813
1966 y Ft(1)2813 2065 y(0)2868 1899 y Fj(\023)165 2160
y Ft(hat.)290 2289 y(3.)44 b Fr(M)60 b Ft(=)655 2172
y Fj(\022)730 2239 y Ft(0)83 b Fo(\000)p Ft(1)730 2339
y(1)115 b(0)975 2172 y Fj(\023)1080 2289 y Ft(ist)1215
2293 y(\177)1213 2289 y(ub)r(er)44 b Fm(R)h Ft(nic)n(h)n(t)f
(diagonalisierbar,)e(w)n(eil)i Fr(\037)2628 2301 y Fk(M)2701
2289 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))53 b(=)165 2497 y(det)294
2380 y Fj(\022)369 2447 y Fo(\000)p Fr(x)86 b Fo(\000)p
Ft(1)405 2546 y(1)117 b Fo(\000)p Fr(x)690 2380 y Fj(\023)792
2497 y Ft(=)40 b Fr(x)944 2467 y Fl(2)1007 2497 y Ft(+)25
b(1)38 b(k)n(eine)f(Nullstellen)i(hat,)f Fr(M)47 b Ft(also)37
b(k)n(eine)g(Eigen)n(w)n(erte)165 2641 y(bzw.)28 b(Eigen)n(v)n(ektoren)
d(hat.)j Fr(M)36 b Ft(ist)28 b(eine)f(Dreh)n(ung)h(um)g(90)2040
2611 y Fi(\016)2077 2641 y Ft(!)178 2782 y Fq(\177)165
2798 y(Ubungen)k(7.4.4)82 b Ft(1.)41 b(Ist)1463 2826
y Fj(\022)1538 2893 y Ft(1)83 b(1)1538 2993 y(0)g(1)1718
2826 y Fj(\023)313 3128 y Ft(diagonalisierbar?)207 3228
y(2.)41 b(Finden)33 b(Sie)f(eine)g(diagonalisierbare)d(Matrix,)i(die)h
(dasselb)r(e)g(c)n(harakteristisc)n(he)313 3373 y(P)n(olynom)26
b(wie)808 3256 y Fj(\022)883 3323 y Ft(1)82 b(1)883 3423
y(0)g(1)1062 3256 y Fj(\023)1151 3373 y Ft(hat.)207 3630
y(3.)41 b(Zeigen)27 b(Sie:)733 3463 y Fj(0)733 3613 y(@)819
3531 y Ft(2)83 b(0)f(0)819 3630 y(0)h(3)f(2)819 3730
y(0)h(0)f(1)1124 3463 y Fj(1)1124 3613 y(A)1224 3630
y Ft(ist)28 b(diagonalisierbar.)207 3937 y(4.)41 b(Zeigen)27
b(Sie:)733 3770 y Fj(0)733 3920 y(@)819 3838 y Ft(2)83
b(0)f(0)819 3937 y(0)h(1)f(2)819 4037 y(0)h(0)f(1)1124
3770 y Fj(1)1124 3920 y(A)1224 3937 y Ft(ist)28 b(nic)n(h)n(t)f
(diagonalisierbar.)207 4137 y(5.)41 b(En)n(tsc)n(heiden)27
b(Sie,)h(ob)f(die)h(folgende)f(Aussage)f(ric)n(h)n(tig)h(ist)h
(\(ja/nein\).)313 4236 y(Eine)d(Matrix)g(ist)g(genau)g(dann)g
(diagonalisierbar,)e(w)n(enn)i(ihr)g(c)n(harakteristisc)n(hes)313
4336 y(P)n(olynom)h(in)i(Linearfaktoren)e(zerf)1449 4340
y(\177)1449 4336 y(allt.)207 4436 y(6.)73 b(a\))42 b(Sei)22
b Fr(M)31 b Ft(diagonalisierbar)20 b(als)i Fr(D)j Ft(=)d
Fr(S)5 b(M)k(S)1800 4405 y Fi(\000)p Fl(1)1889 4436 y
Ft(.)22 b(Zeigen)g(Sie:)h Fr(D)2415 4405 y Fk(n)2483
4436 y Ft(=)g Fr(S)5 b(M)2717 4405 y Fk(n)2761 4436 y
Fr(S)2817 4405 y Fi(\000)p Fl(1)2906 4436 y Ft(.)341
4585 y(b\))42 b(Berec)n(hnen)26 b(Sie)i(mit)g(Hilfe)g(des)g(T)-7
b(eils)27 b(1.)h Fr(M)1870 4555 y Fl(10)1967 4585 y Ft(f)1994
4589 y(\177)1992 4585 y(ur)g Fr(M)k Ft(=)2299 4468 y
Fj(\022)2374 4535 y Ft(1)83 b(2)2374 4635 y(0)g(2)2554
4468 y Fj(\023)2629 4585 y Fr(:)p eop end
%%Page: 238 99
TeXDict begin 238 98 bop 165 100 a Fn(238)153 b(7.)42
b(Eigen)n(w)n(erttheorie)165 282 y Fs(7.5)g(P)m(otenzmetho)s(de)c(zur)f
(Bestimm)m(ung)h(dominan)m(ter)165 399 y(Eigen)m(w)m(erte)75
b(\(R.)36 b(v.)i(Mises\))165 578 y Ft(Wir)f(hab)r(en)f(gesehen,)g
(da\031)f(Eigen)n(w)n(erte)f(eine)j(b)r(esondere)e(Bedeutung)h(hab)r
(en)h(und)165 678 y(hab)r(en)i(auc)n(h)f(sc)n(hon)g(Metho)r(den)g(k)n
(ennengelern)n(t,)g(sie)g(zu)h(b)r(erec)n(hnen.)f(Es)g(gibt)g(ein)165
777 y(n)n(umerisc)n(hes)g(V)-7 b(erfahren,)38 b(gewisse)g(Eigen)n(w)n
(erte)f(n)1840 781 y(\177)1840 777 y(aherungsw)n(eise)f(zu)j(b)r
(estimmen,)165 877 y(das)27 b(wir)h(zum)g(Absc)n(hlu\031)f(dieses)g
(Kapitels)g(b)r(esprec)n(hen)g(w)n(ollen.)165 1025 y
Fq(De\014nition)k(7.5.1)40 b Ft(Sei)26 b Fr(f)31 b Ft(:)23
b Fr(K)1170 1037 y Fk(n)1238 1025 y Fo(\000)-48 b(!)23
b Fr(K)1432 1037 y Fk(n)1502 1025 y Ft(ein)j(diagonalisierbarer)c
(Endomorphism)n(us)165 1125 y(mit)38 b(den)f(Eigen)n(w)n(erten)e
Fr(\025)1022 1137 y Fl(1)1060 1125 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(\025)1255
1137 y Fk(n)1301 1125 y Ft(,)37 b(w)n(ob)r(ei)f(Eigen)n(w)n(erte)f(en)n
(tsprec)n(hend)h(ihrer)g(Viel-)165 1224 y(fac)n(hheit)29
b(gez)596 1228 y(\177)596 1224 y(ahlt)g(w)n(erden.)f(Sei)h
Fr(K)i Ft(=)25 b Fm(R)k Ft(o)r(der)g Fm(C)g Ft(und)h(sei)e
Fo(j)p Fr(\025)2130 1236 y Fl(1)2168 1224 y Fo(j)e Fr(>)f
Fo(j)p Fr(\025)2378 1236 y Fl(2)2415 1224 y Fo(j)h(\025)f
Fr(:)14 b(:)g(:)25 b Fo(\025)g(j)p Fr(\025)2837 1236
y Fk(n)2883 1224 y Fo(j)p Ft(.)165 1324 y(Dann)j(hei\031t)g
Fr(\025)646 1336 y Fl(1)711 1324 y Ft(ein)g Fp(dominanter)i(Eigenwert)p
Ft(.)165 1472 y Fq(Satz)j(7.5.2)40 b Fp(Sei)k Fr(\025)816
1484 y Fl(1)888 1472 y Fp(ein)36 b(dominanter)f(Eigenwert)h(von)42
b Fr(f)f Ft(:)32 b Fr(K)2256 1484 y Fk(n)2333 1472 y
Fo(\000)-46 b(!)33 b Fr(K)2539 1484 y Fk(n)2583 1472
y Fp(.)j(Sei)44 b Fr(y)35 b Fo(2)165 1572 y Fr(K)236
1584 y Fk(n)307 1572 y Fo(n)25 b(f)p Ft(0)p Fo(g)38 b
Fp(und)i(sei)48 b Fr(y)901 1542 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1057
1572 y Ft(:=)41 b Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(y)1312 1542 y Fl(\()p
Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1\))1494 1572 y Ft(\))41 b(=)g Fr(f)1723
1542 y Fk(m)1786 1572 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fp(,)f
Fr(y)2003 1542 y Fl(\(0\))2133 1572 y Ft(:=)h Fr(y)i
Fp(und)c(sei)49 b Fr(y)2709 1542 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))2865
1572 y Ft(=)165 1688 y(\()p Fr(y)241 1645 y Fl(\()p Fk(m)p
Fl(\))238 1710 y(1)356 1688 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(y)585
1645 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))582 1697 y Fk(n)699 1688
y Ft(\))731 1658 y Fk(t)787 1688 y Fo(2)26 b Fr(K)939
1700 y Fk(n)983 1688 y Fp(.)32 b(Dann)e(konver)l(gier)l(en)j(die)f(F)-6
b(olgen)2162 1620 y Fj(\000)2245 1655 y Ft(1)p 2210 1669
112 4 v 2210 1731 a Fr(\025)2258 1697 y Fk(m)2258 1752
y Fl(1)2351 1688 y Fo(\001)19 b Fr(y)2437 1645 y Fl(\()p
Fk(m)p Fl(\))2434 1711 y Fk(i)2552 1688 y Fo(j)p Fr(m)26
b Fo(2)g Fm(N)2828 1700 y Fl(0)2866 1620 y Fj(\001)2904
1688 y Fp(.)165 1896 y(Insb)l(esonder)l(e)31 b(ist)38
b Ft(lim)894 1908 y Fk(m)p Fo(\000)-47 b(!)p Fi(1)1177
1847 y Fr(y)1221 1804 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1218 1870
y Fk(i)p 1135 1876 244 4 v 1135 1967 a Fr(y)1179 1923
y Fl(\()p Fk(m)p Fi(\000)p Fl(1\))1176 1990 y Fk(i)1412
1896 y Ft(=)24 b Fr(\025)1549 1908 y Fl(1)1617 1896 y
Fp(f)1642 1900 y(\177)1642 1896 y(ur)31 b(al)t(le)37
b Fr(i)p Fp(,)31 b(f)2026 1900 y(\177)2026 1896 y(ur)f(die)38
b Ft(lim)2394 1908 y Fk(m)p Fo(\000)-46 b(!)p Fi(1)2684
1863 y Ft(1)p 2649 1877 112 4 v 2649 1939 a Fr(\025)2697
1905 y Fk(m)2697 1960 y Fl(1)2770 1896 y Fr(y)2814 1852
y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))2811 1919 y Fk(i)165 2056 y Fo(6)p
Ft(=)23 b(0)29 b Fp(gilt.)165 2200 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)f
Fr(x)761 2212 y Fl(1)799 2200 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1030
2212 y Fk(n)1119 2200 y Ft(eine)43 b(Basis)g(aus)f(Eigen)n(v)n(ektoren)
f(v)n(on)h Fr(f)52 b Ft(zu)43 b(den)h(Ei-)165 2300 y(gen)n(w)n(erten)e
Fr(\025)621 2312 y Fl(1)659 2300 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\025)891
2312 y Fk(n)937 2300 y Ft(.)43 b(Sei)g Fr(y)52 b Ft(=)1358
2238 y Fj(P)1460 2300 y Fr(\021)1501 2312 y Fk(i)1529
2300 y Fr(x)1576 2312 y Fk(i)1604 2300 y Ft(,)43 b(und)g(sei)g
Fr(x)2034 2312 y Fk(i)2111 2300 y Ft(=)49 b(\()p Fr(\030)2293
2312 y Fk(ik)2358 2300 y Fo(j)p Fr(k)s Ft(\).)43 b(Dann)g(folgt)165
2399 y(\()p Fo(j)p Fr(\025)268 2411 y Fl(1)306 2399 y
Fo(j)23 b Fr(>)g Fo(j)p Fr(\025)511 2411 y Fl(2)549 2399
y Fo(j)p Fr(:::)g Ft(=)-14 b Fo(\))23 b Fr(\025)869 2411
y Fl(1)930 2399 y Fo(6)p Ft(=)f(0\))408 2596 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))23 b(=)g Fr(y)721 2561 y Fl(\(1\))833
2596 y Ft(=)920 2517 y Fj(X)1054 2596 y Fr(\021)1095
2608 y Fk(i)1123 2596 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)1252 2608
y Fk(i)1280 2596 y Ft(\))23 b(=)1423 2517 y Fj(X)1557
2596 y Fr(\021)1598 2608 y Fk(i)1626 2596 y Fr(\025)1674
2608 y Fk(i)1702 2596 y Fr(x)1749 2608 y Fk(i)1800 2596
y Ft(=)f Fr(\025)1935 2608 y Fl(1)1992 2596 y Fo(\001)2033
2517 y Fj(X)2167 2596 y Fr(\021)2208 2608 y Fk(i)2236
2528 y Fj(\000)2288 2539 y Fr(\025)2336 2551 y Fk(i)p
2284 2577 86 4 v 2284 2653 a Fr(\025)2332 2665 y Fl(1)2379
2528 y Fj(\001)2417 2596 y Fr(x)2464 2608 y Fk(i)2520
2596 y Ft(und)858 2784 y(1)p 823 2821 112 4 v 823 2897
a Fr(\025)871 2869 y Fk(m)871 2919 y Fl(1)962 2840 y
Fo(\001)d Fr(y)1048 2806 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1186
2840 y Ft(=)1318 2784 y(1)p 1283 2821 V 1283 2897 a Fr(\025)1331
2869 y Fk(m)1331 2919 y Fl(1)1405 2840 y Fr(f)1455 2806
y Fk(m)1517 2840 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))24 b(=)1736 2762
y Fj(X)1870 2840 y Fr(\021)1911 2852 y Fk(i)1939 2773
y Fj(\000)1992 2784 y Fr(\025)2040 2796 y Fk(i)p 1987
2821 86 4 v 1987 2897 a Fr(\025)2035 2909 y Fl(1)2083
2773 y Fj(\001)2121 2790 y Fk(m)2184 2840 y Fr(x)2231
2852 y Fk(i)2259 2840 y Fr(:)290 3017 y Ft(F)346 3021
y(\177)344 3017 y(ur)j(gen)577 3021 y(\177)575 3017 y(ugend)g(gro\031e)
f Fr(m)i Ft(wird)455 3232 y Fo(j)565 3176 y Ft(1)p 488
3213 196 4 v 488 3295 a Fr(\025)536 3259 y Fk(m)p Fl(+)p
Fk(r)536 3317 y Fl(1)693 3232 y Fr(y)737 3189 y Fl(\()p
Fk(m)p Fl(+)p Fk(r)r Fl(\))734 3257 y Fk(k)954 3232 y
Fo(\000)1082 3176 y Ft(1)p 1047 3213 112 4 v 1047 3289
a Fr(\025)1095 3261 y Fk(m)1095 3311 y Fl(1)1168 3232
y Fr(y)1212 3189 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1209 3257 y Fk(k)1327
3232 y Fo(j)23 b Ft(=)f Fo(j)1537 3128 y Fk(n)1497 3153
y Fj(X)1503 3330 y Fk(i)p Fl(=2)1631 3232 y Fr(\021)1672
3244 y Fk(i)1700 3165 y Fj(\000)1753 3176 y Fr(\025)1801
3188 y Fk(i)p 1748 3213 86 4 v 1748 3289 a Fr(\025)1796
3301 y Fl(1)1844 3165 y Fj(\001)1882 3182 y Fk(m)1945
3115 y Fj(\022)2006 3165 y(\000)2059 3176 y Fr(\025)2107
3188 y Fk(i)p 2054 3213 V 2054 3289 a Fr(\025)2102 3301
y Fl(1)2149 3165 y Fj(\001)2187 3182 y Fk(r)2243 3232
y Fo(\000)c Ft(1)2368 3115 y Fj(\023)2428 3232 y Fr(\030)2464
3244 y Fk(ik)2529 3232 y Fo(j)23 b(\024)916 3433 y Fk(n)876
3458 y Fj(X)882 3635 y Fk(i)p Fl(=2)1010 3537 y Fo(j)p
Fr(\021)1074 3549 y Fk(i)1102 3537 y Fo(j)18 b(\001)h(j)1208
3470 y Fj(\000)1261 3481 y Fr(\025)1309 3493 y Fk(i)p
1256 3518 V 1256 3594 a Fr(\025)1304 3606 y Fl(1)1352
3470 y Fj(\001)1390 3487 y Fk(r)1445 3537 y Fo(\000)f
Ft(1)p Fo(j)g(\001)g(j)p Fr(\030)1711 3549 y Fk(ik)1776
3537 y Fo(j)h(\001)f(j)1897 3481 y Fr(\025)1945 3493
y Fk(i)p 1892 3518 V 1892 3594 a Fr(\025)1940 3606 y
Fl(1)1988 3537 y Fo(j)2011 3503 y Fk(m)2097 3537 y Fr(<)23
b(\017)165 3780 y Ft(da)28 b(aus)f Fo(j)p Fr(\025)500
3792 y Fl(1)537 3780 y Fo(j)d Fr(>)e Fo(j)p Fr(\025)742
3792 y Fk(i)770 3780 y Fo(j)28 b Ft(folgt)f Fo(j)1050
3741 y Fr(\025)1098 3753 y Fk(i)p 1046 3760 V 1046 3821
a Fr(\025)1094 3833 y Fl(1)1141 3780 y Fo(j)c Fr(<)g
Ft(1.)290 3929 y(W)-7 b(enn)28 b(lim)640 3941 y Fk(m)p
Fo(\000)-48 b(!)p Fi(1)928 3896 y Ft(1)p 893 3910 112
4 v 893 3972 a Fr(\025)941 3938 y Fk(m)941 3993 y Fl(1)1015
3929 y Fr(y)1059 3886 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1056 3952
y Fk(i)1196 3929 y Fo(6)p Ft(=)23 b(0,)k(dann)h(ist)f(f)1726
3933 y(\177)1724 3929 y(ur)h(gen)1958 3933 y(\177)1956
3929 y(ugend)f(gro\031e)f Fr(m)413 4232 y(\017)d(>)g
Fo(j)667 4109 y Fl(1)p 601 4123 166 4 v 601 4180 a Fk(\025)640
4153 y Ff(m)p Fg(+1)640 4200 y(1)776 4141 y Fr(y)820
4098 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(+1\))817 4164 y Fk(i)p 591 4213
429 4 v 709 4277 a Fl(1)p 678 4291 95 4 v 678 4339 a
Fk(\025)717 4319 y Ff(m)717 4359 y Fg(1)783 4310 y Fr(y)827
4267 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))824 4333 y Fk(i)1047 4232
y Fo(\000)18 b Ft(1)p Fo(j)23 b Ft(=)g Fo(j)1361 4176
y Ft(1)p 1339 4213 86 4 v 1339 4289 a Fr(\025)1387 4301
y Fl(1)1453 4232 y Fo(\001)1504 4176 y Fr(y)1548 4133
y Fl(\()p Fk(m)p Fl(+1\))1545 4199 y Fk(i)p 1504 4213
243 4 v 1546 4310 a Fr(y)1590 4267 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1587
4333 y Fk(i)1775 4232 y Fo(\000)18 b Ft(1)p Fo(j)23 b
Ft(=)g Fo(j)2089 4176 y Ft(1)p 2067 4213 86 4 v 2067
4289 a Fr(\025)2115 4301 y Fl(1)2162 4232 y Fo(jj)2218
4176 y Fr(y)2262 4133 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(+1\))2259 4199
y Fk(i)p 2218 4213 243 4 v 2260 4310 a Fr(y)2304 4267
y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))2301 4333 y Fk(i)2489 4232 y Fo(\000)18
b Fr(\025)2620 4244 y Fl(1)2658 4232 y Fo(j)1043 4563
y Ft(also)95 b(lim)1223 4613 y Fk(m)p Fo(\000)-49 b(!)p
Fi(1)1448 4446 y Fj(\022)1519 4507 y Fr(y)1563 4464 y
Fl(\()p Fk(m)p Fl(+1\))1560 4530 y Fk(i)p 1519 4544 V
1561 4641 a Fr(y)1605 4598 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1602
4664 y Fk(i)1771 4446 y Fj(\023)1856 4563 y Ft(=)22 b
Fr(\025)1991 4575 y Fl(1)2029 4563 y Fr(:)p eop end
%%Page: 239 100
TeXDict begin 239 99 bop 165 100 a Fn(7.5)43 b(P)n(otenzmetho)r(de)20
b(zur)g(Bestimm)n(ung)g(dominan)n(ter)g(Eigen)n(w)n(erte)41
b(\(R.)19 b(v.)h(Mises\))172 b(239)165 283 y Fq(Beispiel)30
b(7.5.3)40 b Ft(F)817 287 y(\177)815 283 y(ur)27 b Fr(f)32
b Ft(:)23 b Fr(K)1111 295 y Fk(n)1179 283 y Fo(\000)-49
b(!)23 b Fr(K)1372 295 y Fk(n)1445 283 y Ft(v)n(erw)n(enden)j(wir)2007
262 y Fj(c)1996 283 y Fr(M)32 b Ft(:)23 b Fm(R)2215 295
y Fl(3)2275 283 y Fo(\000)-48 b(!)23 b Fm(R)2458 295
y Fl(3)2523 283 y Ft(mit)165 477 y Fr(M)32 b Ft(=)366
310 y Fj(0)366 460 y(@)484 378 y Ft(1)148 b(2)114 b Fo(\000)p
Ft(1)484 477 y(7)148 b(6)114 b Fo(\000)p Ft(1)452 577
y Fo(\000)p Ft(4)82 b Fo(\000)p Ft(4)115 b(1)950 310
y Fj(1)950 460 y(A)1051 477 y Ft(und)28 b Fr(y)d Ft(=)1371
310 y Fj(0)1371 460 y(@)1457 378 y Ft(1)1457 477 y(1)1457
577 y(1)1513 310 y Fj(1)1513 460 y(A)1585 477 y Ft(.)j(Dann)g(ist)685
771 y Fr(M)p 916 801 4 104 v 164 w(y)974 741 y Fl(\(0\))p
1074 801 V 1088 771 a Fr(y)1132 741 y Fl(\(1\))p 1232
801 V 1261 771 a Fr(y)1305 741 y Fl(\(2\))p 1404 801
V 1475 771 a Fr(y)1519 741 y Fl(\(3\))p 1618 801 V 1730
771 a Fr(y)1774 741 y Fl(\(4\))p 1874 801 V 1888 771
a Fo(\031)23 b Fr(\025)2024 741 y Fl(12)2024 791 y(1)p
2105 801 V 2119 771 a Fo(\031)g Fr(\025)2255 741 y Fl(23)2255
791 y(1)p 2336 801 V 2351 771 a Fo(\031)f Fr(\025)2486
741 y Fl(34)2486 791 y(1)p 525 804 2045 4 v 602 874 a
Ft(1)89 b(2)24 b Fo(\000)p Ft(1)p 917 904 4 100 v 116
w(1)p 1075 904 V 116 w(2)p 1233 904 V 88 w(33)p 1405
904 V 89 w(282)p 1620 904 V 88 w(2553)p 1876 904 V 82
w(16)p Fr(:)p Ft(5)p 2107 904 V 82 w(8)p Fr(:)p Ft(54)p
2338 904 V 82 w(9)p Fr(:)p Ft(05)602 973 y(7)89 b(6)24
b Fo(\000)p Ft(1)p 917 1003 V 116 w(1)p 1075 1003 V 74
w(12)p 1233 1003 V 88 w(93)p 1405 1003 V 89 w(852)p 1620
1003 V 88 w(7653)p 1876 1003 V 82 w(7)p Fr(:)p Ft(75)p
2107 1003 V 82 w(9)p Fr(:)p Ft(16)p 2338 1003 V 82 w(8)p
Fr(:)p Ft(98)537 1073 y Fo(\000)p Ft(4)g Fo(\000)p Ft(4)89
b(1)p 917 1103 V 116 w(1)p 1075 1103 V 51 w Fo(\000)p
Ft(7)p 1233 1103 V 24 w Fo(\000)p Ft(63)p 1406 1103 V
23 w Fo(\000)p Ft(567)p 1620 1103 V 23 w Fo(\000)p Ft(5103)p
1876 1103 V 188 w(9)p 2106 1103 V 189 w(9)p 2337 1103
V 189 w(9)165 1280 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(7.5.4)40
b Fp(Wenn)34 b Ft(lim)1210 1292 y Fk(m)p Fo(\000)-46
b(!)p Fi(1)1500 1248 y Ft(1)p 1465 1262 112 4 v 1465
1324 a Fr(\025)1513 1290 y Fk(m)1513 1345 y Fl(1)1587
1280 y Fr(y)1631 1250 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1768 1280
y Ft(=)23 b Fr(z)j Fo(6)p Ft(=)d(0)p Fp(,)28 b(dann)h(ist)36
b Fr(z)c Fp(Eigenvektor)165 1410 y(zu)k Fr(\025)328 1422
y Fl(1)366 1410 y Fp(.)165 1585 y(Beweis.)44 b Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(z)t Ft(\))22 b(=)h Fr(f)799 1518 y Fj(\000)836
1585 y Ft(lim)952 1597 y Fk(m)p Fo(\000)-49 b(!)p Fi(1)1239
1552 y Ft(1)p 1204 1566 V 1204 1628 a Fr(\025)1252 1594
y Fk(m)1252 1649 y Fl(1)1326 1585 y Fr(y)1370 1555 y
Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))1485 1518 y Fj(\001)1546 1585 y
Ft(=)22 b(lim)1749 1597 y Fk(m)p Fo(\000)-49 b(!)p Fi(1)2036
1552 y Ft(1)p 2001 1566 V 2001 1628 a Fr(\025)2049 1594
y Fk(m)2049 1649 y Fl(1)2123 1585 y Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(y)2249 1555 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(\))2363 1585 y Ft(\))24
b(=)165 1743 y(lim)281 1755 y Fk(m)p Fo(\000)-49 b(!)p
Fi(1)523 1743 y Fr(\025)571 1755 y Fl(1)611 1743 y Fo(\001)750
1711 y Ft(1)p 646 1725 248 4 v 646 1814 a Fr(\025)694
1771 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(+1\))694 1836 y(1)904 1743 y
Fr(y)948 1713 y Fl(\()p Fk(m)p Fl(+1\))1170 1743 y Ft(=)23
b Fr(\025)1306 1755 y Fl(1)1346 1743 y Fo(\001)r Fr(z)t
Ft(.)c(\(Dab)r(ei)h(ist)g Fr(f)28 b Ft(als)19 b(lineare)g(Abbildung)h
(stetig.\))178 1977 y Fq(\177)165 1993 y(Ubungen)32 b(7.5.5)82
b Ft(1.)41 b(Stellen)32 b(Sie)h(fest,)f(ob)g(die)g(folgenden)g
(Matrizen)g(dominan)n(te)313 2093 y(Eigen)n(w)n(erte)26
b(b)r(esitzen)i(und)g(b)r(estimmen)g(Sie)g(diese.)493
2253 y Fj(\022)568 2321 y Ft(3)83 b Fo(\000)p Ft(1)568
2420 y(2)115 b(0)813 2253 y Fj(\023)888 2370 y Fr(;)1008
2253 y Fj(\022)1083 2321 y Fo(\000)p Ft(1)f(4)1115 2420
y(1)h Fo(\000)p Ft(1)1392 2253 y Fj(\023)1467 2370 y
Fr(;)1586 2203 y Fj(0)1586 2353 y(@)1673 2271 y Ft(4)g(0)g(0)1673
2370 y(2)82 b Fo(\000)p Ft(5)h(0)1673 2470 y(1)115 b(3)g(6)2042
2203 y Fj(1)2042 2353 y(A)2128 2370 y Fr(;)2248 2203
y Fj(0)2248 2353 y(@)2335 2271 y Ft(2)82 b(1)h(0)2335
2370 y(1)f(2)h(0)2335 2470 y(0)f(0)h(4)2639 2203 y Fj(1)2639
2353 y(A)2726 2370 y Fr(:)207 2648 y Ft(2.)41 b(V)-7
b(erw)n(enden)24 b(Sie)h(die)f(P)n(otenzmetho)r(de,)g(um)h(einen)g
(dominan)n(ten)f(Eigen)n(w)n(ert)f(und)313 2748 y(einen)28
b(zugeh)738 2752 y(\177)738 2748 y(origen)e(Eigen)n(v)n(ektor)f(der)i
(folgenden)g(Matrix)g(zu)h(b)r(estimmen:)1274 2858 y
Fj(0)1274 3008 y(@)1393 2926 y Ft(4)147 b(3)g(6)1393
3025 y(4)126 b(13)105 b(20)1360 3125 y Fo(\000)p Ft(2)83
b Fo(\000)p Ft(6)f Fo(\000)p Ft(9)1859 2858 y Fj(1)1859
3008 y(A)1945 3025 y Fr(:)p eop end
%%Page: 240 101
TeXDict begin 240 100 bop eop end
%%Page: 241 102
TeXDict begin 241 101 bop 165 282 a Fu(8.)42 b(Euklidisc)l(he)k(V)-11
b(ektorr)1473 288 y(\177)1474 282 y(aume)165 1279 y Ft(Wir)30
b(f)363 1283 y(\177)361 1279 y(uhren)h(in)f(diesem)g(Kapitel)g(w)n
(eitere)f(geometrisc)n(he)g(Eigensc)n(haften)g(f)2610
1283 y(\177)2608 1279 y(ur)h(einem)165 1378 y(V)-7 b(ektorraum)38
b(ein,)i(insb)r(esondere)e(L)1356 1382 y(\177)1356 1378
y(angen)g(v)n(on)g(V)-7 b(ektoren)39 b(und)h(Wink)n(el)f(zwisc)n(hen)
165 1478 y(V)-7 b(ektoren.)38 b(Damit)h(gelingt)f(es)h(n)n(un,)f(viele)
h(elemen)n(targeometrisc)n(he)d(Aussagen)h(zu)165 1577
y(b)r(ew)n(eisen.)30 b(W)-7 b(esen)n(tlic)n(hes)29 b(Hilfsmittel)h
(hierf)1602 1581 y(\177)1600 1577 y(ur)g(wird)f(das)g(zus)2166
1581 y(\177)2166 1577 y(atzlic)n(hes)f(Strukturda-)165
1677 y(tum)h(des)e(Sk)-5 b(alarpro)r(dukts.)290 1872
y(Wir)40 b(setzen)f(in)h(diesem)g(Kapitel)f(v)n(oraus,)f(da\031)h(alle)
g(V)-7 b(ektorr)2341 1876 y(\177)2341 1872 y(aume)2576
1876 y(\177)2573 1872 y(ub)r(er)40 b(dem)165 1972 y(K)230
1976 y(\177)230 1972 y(orp)r(er)26 b Fm(R)i Ft(de\014niert)g(sind,)g
(also)e(reelle)h(V)-7 b(ektorr)1723 1976 y(\177)1723
1972 y(aume)26 b(sind.)165 2292 y Fs(8.1)42 b(Sk)-6 b(alarpro)s(dukte)
165 2491 y Ft(Der)23 b(zen)n(trale)e(neue)h(Begri\013)g(ist)g(der)g
(des)g(Sk)-5 b(alarpro)r(dukts,)21 b(eines)h(Pro)r(dukts)g(zwisc)n(hen)
165 2591 y(V)-7 b(ektoren,)27 b(das)h(reelle)f(W)-7 b(erte)27
b(annimm)n(t.)165 2754 y Fq(De\014nition)k(8.1.1)40 b
Ft(Sei)34 b Fr(V)52 b Ft(ein)34 b Fm(R)p Ft(-V)-7 b(ektorraum.)31
b(Eine)j(Abbildung)g Fr(\033)i Ft(:)d Fr(V)41 b Fo(\002)22
b Fr(V)52 b Fo(\000)-49 b(!)165 2854 y Fm(R)42 b Ft(hei\031t)f(eine)g
Fp(Biline)l(arform)50 b Ft(auf)42 b Fr(V)19 b Ft(,)41
b(w)n(enn)g Fo(8)p Fr(y)49 b Fo(2)d Fr(V)19 b Ft([)p
Fr(V)65 b Fo(3)46 b Fr(x)g Fo(7!)g Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))47 b Fo(2)f Fm(R)p Ft(])165 2953
y(Homomorphism)n(us)36 b(und)i Fo(8)p Fr(x)j Fo(2)f Fr(V)19
b Ft([)p Fr(V)58 b Fo(3)40 b Fr(y)j Fo(7!)c Fr(\033)s
Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))41 b Fo(2)f Fm(R)p Ft(])e(Homomorphism)n
(us.)165 3053 y(Eine)28 b(Bilinearform)e Fr(\033)31 b
Ft(hei\031t)414 3152 y Fp(nichtausge)l(artet)p Ft(,)d(w)n(enn)g
Fo(8)p Fr(x)23 b Fo(2)h Fr(V)5 b(;)14 b(x)23 b Fo(6)p
Ft(=)g(0[)p Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(V)19 b Ft(\))24
b Fo(6)p Ft(=)e(0)28 b(und)g Fr(\033)s Ft(\()p Fr(V)5
b(;)14 b(x)p Ft(\))24 b Fo(6)p Ft(=)f(0];)414 3252 y
Fp(symmetrisch)p Ft(,)29 b(w)n(enn)e Fo(8)p Fr(x;)14
b(y)27 b Fo(2)c Fr(V)c Ft([)p Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14
b(y)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b(x)p
Ft(\)];)414 3352 y Fp(p)l(ositiv)31 b(de\014nit)p Ft(,)d(w)n(enn)g
Fo(8)p Fr(x)23 b Fo(2)h Fr(V)5 b(;)14 b(x)23 b Fo(6)p
Ft(=)g(0[)p Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(x)p Ft(\))24
b Fr(>)f Ft(0])p Fr(:)165 3451 y Ft(Eine)28 b(p)r(ositiv)g(de\014nite,)
h(symmetrisc)n(he)e(Bilinearform)g(hei\031t)h(ein)g Fp(Skalarpr)l(o)l
(dukt)37 b Ft(auf)165 3551 y Fr(V)19 b Ft(.)37 b(Ein)f(reeller)g(V)-7
b(ektorraum)35 b Fr(V)56 b Ft(zusammen)36 b(mit)i(einem)f(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt)35 b Fr(\033)40 b Ft(hei\031t)165 3651
y Fp(Euklidischer)604 3620 y Fl(1)674 3651 y Fp(V)-6
b(ektorr)l(aum)p Ft(.)55 b(Wir)27 b(sc)n(hreib)r(en)g(dann)h(auc)n(h)f
Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23 b Ft(:=)g Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))p Fr(:)165 3814 y Fq(Beispiele)30
b(8.1.2)39 b Ft(1.)29 b(In)f Fr(V)44 b Ft(=)24 b Fm(R)1243
3826 y Fk(n)1317 3814 y Ft(ist)29 b Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))25 b(:=)g Fr(x)1861 3784 y Fk(t)1890
3814 y Fr(y)j Ft(=)2048 3751 y Fj(P)2136 3772 y Fk(n)2136
3839 y(i)p Fl(=1)2261 3814 y Fr(\030)2297 3826 y Fk(i)2325
3814 y Fr(\021)2366 3826 y Fk(i)2423 3814 y Ft(ein)g(Sk)-5
b(alarpro-)165 3913 y(dukt.)22 b(Sic)n(her)e(ist)h(n)773
3917 y(\177)773 3913 y(amlic)n(h)g Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b(=)f Fr(x)1433 3883 y Fk(t)1463
3913 y Fr(y)g Ft(bilinear,)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14
b(y)s Ft(\))24 b(=)2198 3851 y Fj(P)2299 3913 y Fr(\030)2335
3925 y Fk(i)2363 3913 y Fr(\021)2404 3925 y Fk(i)2453
3913 y Ft(symmetrisc)n(h,)165 4013 y(und)29 b(es)f(ist)g
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(x)p Ft(\))26 b(=)906 3951
y Fj(P)1008 4013 y Fr(\030)1048 3983 y Fl(2)1044 4035
y Fk(i)1109 4013 y Fr(>)e Ft(0)j(f)1294 4017 y(\177)1292
4013 y(ur)h Fr(x)c Fo(6)p Ft(=)g(0.)k(Dieses)g(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt)27 b(hei\031t)i Fp(kanoni-)165 4113
y(sches)i(Skalarpr)l(o)l(dukt)36 b Ft(des)28 b Fm(R)1111
4125 y Fk(n)1156 4113 y Fr(:)290 4212 y Ft(2.)40 b(Das)h(n)620
4216 y(\177)620 4212 y(ac)n(hste)f(Beispiel)h(sieh)n(t)f(zun)1545
4216 y(\177)1545 4212 y(ac)n(hst)h(rec)n(h)n(t)e(exotisc)n(h)h(aus.)h
(Es)f(ist)h(ab)r(er)165 4312 y(Grundlage)27 b(f)599 4316
y(\177)597 4312 y(ur)g(gro\031e)e(T)-7 b(eile)28 b(der)f(Analysis,)f
(insb)r(esondere)h(der)g(F)-7 b(unktionalanalysis)165
4411 y(und)24 b(der)f(Theorie)f(der)h(Di\013eren)n(tialgleic)n(h)n
(ungen,)f(auf)h(die)g(wir)g(in)g(diesem)g(Buc)n(h)g(nic)n(h)n(t)165
4511 y(w)n(eiter)k(eingehen)h(k)798 4515 y(\177)798 4511
y(onnen.)p 165 4578 394 4 v 195 4632 a Fe(1)255 4664
y Fn(Euklid)e(ca.)g(300)h(v.Chr.)p eop end
%%Page: 242 103
TeXDict begin 242 102 bop 165 100 a Fn(242)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)290 283 y Ft(Sei)41 b Fr(V)63 b Ft(=)45 b
Fo(f)p Fr(f)9 b Ft(:)k([0)p Fr(;)h Ft(1])43 b Fo(\000)-48
b(!)45 b Fm(R)14 b Fo(j)g Fr(f)36 b Ft(stetig)o Fo(g)p
Ft(.)41 b(Dann)g(ist)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)t(;)14
b(g)s Ft(\))45 b(:=)2416 216 y Fj(R)2471 237 y Fl(1)2455
313 y(0)2522 283 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(g)s
Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(dx)165 383 y Ft(ein)34 b(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt.)31 b(Die)j(Bilinearit)1373 387 y(\177)1373
383 y(at)e(und)i(Symmetrie)f(in)g Fr(f)42 b Ft(und)33
b Fr(g)j Ft(sind)d(trivial.)165 491 y(Ist)39 b Fr(f)49
b Fo(6)p Ft(=)40 b(0,)e(so)f(ist)835 424 y Fj(R)891 445
y Fl(1)875 520 y(0)942 491 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fr(f)g Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(dx)42 b(>)f
Ft(0.)c(Es)h(gibt)g(n)1959 495 y(\177)1959 491 y(amlic)n(h)g(ein)g
Fr(x)2426 503 y Fl(0)2504 491 y Fo(2)j Ft([0)p Fr(;)14
b Ft(1])38 b(mit)165 591 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)294
603 y Fl(0)332 591 y Ft(\))38 b(=)g Fr(a)g Fo(6)p Ft(=)g(0.)e(Da)g
Fr(f)46 b Ft(stetig)36 b(ist,)h(ist)g(auc)n(h)f Fr(f)1782
560 y Fl(2)1855 591 y Ft(stetig)h(und)g Fr(f)2316 560
y Fl(2)2353 591 y Ft(\()p Fr(x)2432 603 y Fl(0)2470 591
y Ft(\))h(=)g Fr(a)2687 560 y Fl(2)2762 591 y Fr(>)g
Ft(0.)165 690 y(Dann)32 b(gibt)e(es)h(zu)g Fr(")d Ft(:=)975
658 y Fl(1)p 975 672 34 4 v 975 719 a(2)1019 690 y Fr(a)1063
660 y Fl(2)1131 690 y Ft(ein)j Fr(\016)g(>)d Ft(0)j(mit)g
Fo(j)p Fr(f)1730 660 y Fl(2)1767 690 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))22 b Fo(\000)e Fr(f)2035 660 y Fl(2)2072 690 y
Ft(\()p Fr(x)2151 702 y Fl(0)2189 690 y Ft(\))p Fo(j)29
b Fr(<)f(")j Ft(f)2463 694 y(\177)2461 690 y(ur)g(alle)f
Fr(x)i Ft(mit)165 790 y Fo(j)p Fr(x)21 b Fo(\000)e Fr(x)387
802 y Fl(0)425 790 y Fo(j)27 b Fr(<)g(\016)s Ft(.)j(Also)f(ist)h
Fr(f)1017 760 y Fl(2)1054 790 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))e
Fr(>)1295 757 y Fl(1)p 1295 771 V 1295 818 a(2)1338 790
y Fr(a)1382 760 y Fl(2)1449 790 y Ft(f)1476 794 y(\177)1474
790 y(ur)i(alle)f Fr(x)g Ft(mit)f Fo(j)p Fr(x)20 b Fo(\000)g
Fr(x)2187 802 y Fl(0)2225 790 y Fo(j)27 b Fr(<)f(\016)o(:)h
Ft(Daraus)g(folgt)165 844 y Fj(R)221 864 y Fl(1)205 940
y(0)272 911 y Fr(f)322 880 y Fl(2)359 911 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fr(dx)d Fo(\025)682 878 y Fl(1)p 682 892 V 682
939 a(2)725 911 y Fr(a)769 880 y Fl(2)825 911 y Fo(\001)18
b Fr(\016)26 b(>)d Ft(0)p Fr(:)p 1016 1592 1063 7 v 1996
1589 a Fb(-)p 1071 1648 7 591 v 1075 1140 a(6)p 1075
1238 355 7 v 1426 1589 7 355 v 1075 1413 414 4 v 1368
1589 4 296 v 1487 1589 4 414 v 1120 1590 4 4 v 1122 1590
V 1123 1590 V 1125 1590 V 1126 1590 V 1127 1590 V 1129
1590 V 1130 1590 V 1132 1590 V 1133 1590 V 1135 1589
V 1136 1589 V 1137 1589 V 1139 1589 V 1140 1589 V 1142
1588 V 1143 1588 V 1144 1588 V 1146 1587 V 1147 1587
V 1149 1587 V 1150 1586 V 1152 1586 V 1153 1585 V 1154
1585 V 1156 1584 V 1157 1584 V 1159 1584 V 1160 1583
V 1161 1582 V 1163 1582 V 1164 1581 V 1166 1581 V 1167
1580 V 1169 1579 V 1170 1579 V 1171 1578 V 1173 1577
V 1174 1577 V 1176 1576 V 1177 1575 V 1178 1575 V 1180
1574 V 1181 1573 V 1183 1572 V 1184 1571 V 1186 1570
V 1187 1570 V 1188 1569 V 1190 1568 V 1191 1567 V 1193
1566 V 1194 1565 V 1196 1564 V 1197 1563 V 1198 1562
V 1200 1561 V 1201 1560 V 1203 1559 V 1204 1558 V 1205
1556 V 1207 1555 V 1208 1554 V 1210 1553 V 1211 1552
V 1213 1550 V 1214 1549 V 1215 1548 V 1217 1547 V 1218
1545 V 1220 1544 V 1221 1543 V 1222 1541 V 1224 1540
V 1225 1539 V 1227 1537 V 1228 1536 V 1230 1534 V 1231
1533 V 1232 1531 V 1234 1530 V 1235 1528 V 1237 1527
V 1238 1525 V 1239 1524 V 1241 1522 V 1242 1521 V 1244
1519 V 1245 1517 V 1247 1516 V 1248 1514 V 1249 1512
V 1251 1510 V 1252 1509 V 1254 1507 V 1255 1505 V 1256
1503 V 1258 1502 V 1259 1500 V 1261 1498 V 1262 1496
V 1264 1494 V 1265 1492 V 1266 1490 V 1268 1488 V 1269
1486 V 1271 1484 V 1272 1482 V 1273 1480 V 1275 1478
V 1276 1476 V 1278 1474 V 1279 1472 V 1281 1470 V 1282
1468 V 1283 1465 V 1285 1463 V 1286 1461 V 1288 1459
V 1289 1457 V 1290 1454 V 1292 1452 V 1293 1450 V 1295
1447 V 1296 1445 V 1298 1443 V 1299 1440 V 1300 1438
V 1302 1436 V 1303 1433 V 1305 1431 V 1306 1428 V 1307
1426 V 1309 1423 V 1310 1421 V 1312 1418 V 1313 1416
V 1315 1413 V 1316 1410 V 1317 1408 V 1319 1405 V 1320
1403 V 1322 1400 V 1323 1397 V 1324 1394 V 1326 1392
V 1327 1389 V 1329 1386 V 1330 1383 V 1332 1381 V 1333
1378 V 1333 1378 V 1334 1375 V 1336 1372 V 1337 1369
V 1339 1367 V 1340 1364 V 1341 1361 V 1343 1358 V 1344
1356 V 1346 1353 V 1347 1350 V 1349 1348 V 1350 1345
V 1351 1343 V 1353 1340 V 1354 1337 V 1356 1335 V 1357
1332 V 1358 1330 V 1360 1327 V 1361 1325 V 1363 1322
V 1364 1320 V 1366 1318 V 1367 1315 V 1368 1313 V 1370
1310 V 1371 1308 V 1373 1306 V 1374 1304 V 1376 1301
V 1377 1299 V 1378 1297 V 1380 1295 V 1381 1292 V 1383
1290 V 1384 1288 V 1385 1286 V 1387 1284 V 1388 1282
V 1390 1280 V 1391 1277 V 1393 1275 V 1394 1273 V 1395
1271 V 1397 1269 V 1398 1267 V 1400 1265 V 1401 1264
V 1402 1262 V 1404 1260 V 1405 1258 V 1407 1256 V 1408
1254 V 1410 1252 V 1411 1250 V 1412 1249 V 1414 1247
V 1415 1245 V 1417 1243 V 1418 1242 V 1419 1240 V 1421
1238 V 1422 1237 V 1424 1235 V 1425 1233 V 1427 1232
V 1428 1230 V 1429 1229 V 1431 1227 V 1432 1226 V 1434
1224 V 1435 1223 V 1436 1221 V 1438 1220 V 1439 1218
V 1441 1217 V 1442 1216 V 1444 1214 V 1445 1213 V 1446
1212 V 1448 1210 V 1449 1209 V 1451 1208 V 1452 1206
V 1453 1205 V 1455 1204 V 1456 1203 V 1458 1202 V 1459
1200 V 1461 1199 V 1462 1198 V 1463 1197 V 1465 1196
V 1466 1195 V 1468 1194 V 1469 1193 V 1470 1192 V 1472
1191 V 1473 1190 V 1475 1189 V 1476 1188 V 1478 1187
V 1479 1186 V 1480 1185 V 1482 1184 V 1483 1184 V 1485
1183 V 1486 1182 V 1487 1181 V 1489 1180 V 1490 1180
V 1492 1179 V 1493 1178 V 1495 1177 V 1496 1177 V 1497
1176 V 1499 1176 V 1500 1175 V 1502 1174 V 1503 1174
V 1504 1173 V 1506 1173 V 1507 1172 V 1509 1172 V 1510
1171 V 1512 1171 V 1513 1170 V 1514 1170 V 1516 1169
V 1517 1169 V 1519 1169 V 1520 1168 V 1521 1168 V 1523
1168 V 1524 1167 V 1526 1167 V 1527 1167 V 1529 1167
V 1530 1166 V 1531 1166 V 1533 1166 V 1534 1166 V 1536
1166 V 1537 1166 V 1538 1165 V 1540 1165 V 1541 1165
V 1543 1165 V 1544 1165 V 1546 1165 V 1546 1165 V 1547
1165 V 1548 1165 V 1550 1165 V 1551 1165 V 1553 1165
V 1554 1166 V 1556 1166 V 1557 1166 V 1558 1166 V 1560
1166 V 1561 1166 V 1563 1167 V 1564 1167 V 1565 1167
V 1567 1167 V 1568 1168 V 1570 1168 V 1571 1168 V 1573
1169 V 1574 1169 V 1575 1169 V 1577 1170 V 1578 1170
V 1580 1171 V 1581 1171 V 1582 1172 V 1584 1172 V 1585
1173 V 1587 1173 V 1588 1174 V 1590 1174 V 1591 1175
V 1592 1175 V 1594 1176 V 1595 1177 V 1597 1177 V 1598
1178 V 1599 1179 V 1601 1180 V 1602 1180 V 1604 1181
V 1605 1182 V 1607 1183 V 1608 1183 V 1609 1184 V 1611
1185 V 1612 1186 V 1614 1187 V 1615 1188 V 1616 1189
V 1618 1190 V 1619 1191 V 1621 1192 V 1622 1193 V 1624
1194 V 1625 1195 V 1626 1196 V 1628 1197 V 1629 1198
V 1631 1199 V 1632 1200 V 1633 1202 V 1635 1203 V 1636
1204 V 1638 1205 V 1639 1206 V 1641 1208 V 1642 1209
V 1643 1210 V 1645 1212 V 1646 1213 V 1648 1214 V 1649
1216 V 1650 1217 V 1652 1218 V 1653 1220 V 1655 1221
V 1656 1223 V 1658 1224 V 1659 1226 V 1660 1227 V 1662
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V 1669 1237 V 1670 1238 V 1672 1240 V 1673 1242 V 1675
1243 V 1676 1245 V 1677 1247 V 1679 1249 V 1680 1250
V 1682 1252 V 1683 1254 V 1684 1256 V 1686 1258 V 1687
1260 V 1689 1262 V 1690 1263 V 1692 1265 V 1693 1267
V 1694 1269 V 1696 1271 V 1697 1273 V 1699 1275 V 1700
1277 V 1701 1280 V 1703 1282 V 1704 1284 V 1706 1286
V 1707 1288 V 1709 1290 V 1710 1292 V 1711 1295 V 1713
1297 V 1714 1299 V 1716 1301 V 1717 1304 V 1718 1306
V 1720 1308 V 1721 1310 V 1723 1313 V 1724 1315 V 1726
1318 V 1727 1320 V 1728 1322 V 1730 1325 V 1731 1327
V 1733 1330 V 1734 1332 V 1735 1335 V 1737 1337 V 1738
1340 V 1740 1343 V 1741 1345 V 1743 1348 V 1744 1350
V 1745 1353 V 1747 1356 V 1748 1358 V 1750 1361 V 1751
1364 V 1752 1367 V 1754 1369 V 1755 1372 V 1757 1375
V 1758 1378 V 1758 1378 V 1760 1381 V 1761 1383 V 1762
1386 V 1764 1389 V 1765 1392 V 1767 1394 V 1768 1397
V 1770 1400 V 1771 1403 V 1772 1405 V 1774 1408 V 1775
1410 V 1777 1413 V 1778 1416 V 1779 1418 V 1781 1421
V 1782 1423 V 1784 1426 V 1785 1428 V 1787 1431 V 1788
1433 V 1789 1436 V 1791 1438 V 1792 1440 V 1794 1443
V 1795 1445 V 1796 1447 V 1798 1450 V 1799 1452 V 1801
1454 V 1802 1457 V 1804 1459 V 1805 1461 V 1806 1463
V 1808 1465 V 1809 1468 V 1811 1470 V 1812 1472 V 1813
1474 V 1815 1476 V 1816 1478 V 1818 1480 V 1819 1482
V 1821 1484 V 1822 1486 V 1823 1488 V 1825 1490 V 1826
1492 V 1828 1494 V 1829 1496 V 1830 1498 V 1832 1500
V 1833 1501 V 1835 1503 V 1836 1505 V 1838 1507 V 1839
1509 V 1840 1510 V 1842 1512 V 1843 1514 V 1845 1516
V 1846 1517 V 1847 1519 V 1849 1521 V 1850 1522 V 1852
1524 V 1853 1525 V 1855 1527 V 1856 1528 V 1857 1530
V 1859 1531 V 1860 1533 V 1862 1534 V 1863 1536 V 1864
1537 V 1866 1539 V 1867 1540 V 1869 1541 V 1870 1543
V 1872 1544 V 1873 1545 V 1874 1547 V 1876 1548 V 1877
1549 V 1879 1550 V 1880 1552 V 1881 1553 V 1883 1554
V 1884 1555 V 1886 1556 V 1887 1558 V 1889 1559 V 1890
1560 V 1891 1561 V 1893 1562 V 1894 1563 V 1896 1564
V 1897 1565 V 1898 1566 V 1900 1567 V 1901 1568 V 1903
1569 V 1904 1570 V 1906 1570 V 1907 1571 V 1908 1572
V 1910 1573 V 1911 1574 V 1913 1575 V 1914 1575 V 1915
1576 V 1917 1577 V 1918 1577 V 1920 1578 V 1921 1579
V 1923 1579 V 1924 1580 V 1925 1581 V 1927 1581 V 1928
1582 V 1930 1582 V 1931 1583 V 1932 1584 V 1934 1584
V 1935 1584 V 1937 1585 V 1938 1585 V 1940 1586 V 1941
1586 V 1942 1587 V 1944 1587 V 1945 1587 V 1947 1588
V 1948 1588 V 1950 1588 V 1951 1589 V 1952 1589 V 1954
1589 V 1955 1589 V 1957 1589 V 1958 1590 V 1959 1590
V 1961 1590 V 1962 1590 V 1964 1590 V 1965 1590 V 1967
1590 V 1968 1590 V 1969 1590 V 1971 1590 V 1016 1258
a Fr(a)1406 1648 y(x)1453 1660 y Fl(0)1087 1353 y Fr(")1382
1577 y(\016)1724 1234 y(y)j Ft(=)d Fr(f)1929 1204 y Fl(2)1966
1234 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))290 1873 y(F)346 1877 y(\177)344
1873 y(ur)49 b(die)h(Einf)781 1877 y(\177)779 1873 y(uhrung)f(der)g
(geometrisc)n(hen)f(Begri\013e)g(in)i(Euklidisc)n(hen)e(V)-7
b(ek-)165 1973 y(torr)305 1977 y(\177)305 1973 y(aumen)26
b(ist)h(die)g(folgende)f(Cauc)n(h)n(y-Sc)n(h)n(w)n(arzsc)n(he)d
(Ungleic)n(h)n(ung)j(v)n(on)f(b)r(esonderer)165 2072
y(Bedeutung.)165 2238 y Fq(Satz)33 b(8.1.3)40 b Fp(\(Cauchy)914
2208 y Fl(2)952 2238 y Fp(-Schwarz)1275 2208 y Fl(3)1313
2238 y Fp(sche)23 b(Ungleichung\))g(Sei)32 b Ft(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b(\033)s Ft(\))23 b Fp(ein)g(Euklidischer)165
2338 y(V)-6 b(ektorr)l(aum.)30 b(Dann)f(gilt)h(f)1038
2342 y(\177)1038 2338 y(ur)g(al)t(le)37 b Fr(x;)14 b(y)26
b Fo(2)e Fr(V)1143 2520 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)1335
2486 y Fl(2)1396 2520 y Fo(\024)22 b(h)p Fr(x;)14 b(x)p
Fo(i)20 b(\001)f(h)p Fr(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)p Fr(:)806
b Ft(\(8)p Fr(:)p Ft(1\))165 2703 y Fp(Weiterhin)31 b(gilt:)k
Fr(x;)14 b(y)33 b Fp(line)l(ar)e(abh)1243 2707 y(\177)1244
2703 y(angig)g Fo(\()-14 b(\))24 b(h)p Fr(x;)14 b(y)s
Fo(i)1833 2673 y Fl(2)1893 2703 y Ft(=)23 b Fo(h)p Fr(x;)14
b(x)p Fo(i)20 b(\001)e(h)p Fr(y)s(;)c(y)s Fo(i)p Fr(:)165
2877 y Fp(Beweis.)44 b Ft(F)538 2881 y(\177)536 2877
y(ur)29 b Fr(y)f Ft(=)d(0)k(ist)g(die)g(Aussage)f(des)h(Satzes)g(klar.)
f(Sei)h(also)f Fr(y)g Fo(6)p Ft(=)d(0)p Fr(:)k Ft(Zun)2742
2881 y(\177)2742 2877 y(ac)n(hst)165 2977 y(gilt)624
3077 y(0)23 b Fo(\024)g(h)p Fr(x)c Fo(\000)f Fr(\013y)s(;)c(x)19
b Fo(\000)f Fr(\013y)s Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(h)p Fr(x;)14
b(x)p Fo(i)20 b(\000)e Ft(2)p Fr(\013)p Fo(h)p Fr(x;)c(y)s
Fo(i)19 b Ft(+)f Fr(\013)2221 3042 y Fl(2)2258 3077 y
Fo(h)p Fr(y)s(;)c(y)s Fo(i)p Fr(:)165 3226 y Ft(Wir)28
b(setzen)f Fr(\013)d Ft(:=)f Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)p
Fr(=)p Fo(h)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)27 b Ft(und)h(m)n(ultiplizieren)g
(mit)g Fo(h)p Fr(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)p Fr(:)28 b Ft(Das)f(ergibt)771
3409 y(0)c Fo(\024)f(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(ih)p Fr(y)s(;)g(y)s
Fo(i)20 b(\000)e Ft(2)p Fo(h)p Fr(x;)c(y)s Fo(ih)p Fr(x;)g(y)s
Fo(i)19 b Ft(+)f Fo(h)p Fr(x;)c(y)s Fo(ih)p Fr(x;)g(y)s
Fo(i)1134 3591 y Ft(=)22 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(ih)p
Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)20 b(\000)e(h)p Fr(x;)c(y)s Fo(i)1900
3557 y Fl(2)1938 3591 y Fr(:)290 3741 y Ft(Sei)31 b(n)n(un)g
Fr(x)d Ft(=)g Fr(\014)t(y)s Ft(.)j(Dann)g(ist)g Fo(h)p
Fr(x;)14 b(y)s Fo(ih)p Fr(x;)g(y)s Fo(i)30 b Ft(=)e Fr(\014)1816
3711 y Fl(2)1853 3741 y Fo(h)p Fr(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)2042
3711 y Fl(2)2108 3741 y Ft(=)27 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p
Fo(ih)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)p Fr(;)33 b Ft(also)c(gilt)165
3841 y(Gleic)n(hheit)36 b(in)f(\(8.1\).)g(Gelte)h(sc)n(hlie\031lic)n(h)
e(Gleic)n(hheit)h(in)h(\(8.1\).)f(W)-7 b(enn)36 b Fr(x)g
Ft(=)f(0)g(o)r(der)165 3940 y Fr(y)26 b Ft(=)d(0,)h(dann)h(sind)f
Fr(x)i Ft(und)f Fr(y)i Ft(linear)d(abh)1452 3944 y(\177)1452
3940 y(angig.)f(Sei)i(also)f Fr(x)f Fo(6)p Ft(=)g(0)h(und)h
Fr(y)h Fo(6)p Ft(=)d(0.)h(Dann)h(ist)165 4083 y(0)e Fr(<)g
Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(ih)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)24
b Ft(=)e Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)1005 4053 y Fl(2)1043
4083 y Ft(,)22 b(also)e(ist)i Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23
b(6)p Ft(=)g(0.)e(Wir)g(zeigen)g(jetzt,)h(da\031)f Fr(x)j
Ft(=)2679 4027 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)p 2679 4064
197 4 v 2681 4140 a(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(i)2885 4083 y
Fr(y)165 4227 y Ft(gilt.)28 b(Dann)g(sind)g(n)783 4231
y(\177)783 4227 y(amlic)n(h)f Fr(x)h Ft(und)g Fr(y)i
Ft(linear)d(abh)1725 4231 y(\177)1725 4227 y(angig.)g(Es)f(ist)p
165 4296 394 4 v 195 4350 a Fe(2)255 4381 y Fn(Baron)h(August-Louis)e
(Cauc)n(h)n(y)g(\(1789{1857\))195 4438 y Fe(3)255 4470
y Fn(Hermann)g(Amandus)g(Sc)n(h)n(w)n(arz)h(\(1843{1921\))p
eop end
%%Page: 243 104
TeXDict begin 243 103 bop 2013 100 a Fn(8.1)42 b(Sk)l(alarpro)r(dukte)
151 b(243)313 318 y Fo(h)p Fr(x)19 b Fo(\000)504 262
y(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)p 504 299 197 4 v 506 375 a(h)p
Fr(x;)g(y)s Fo(i)710 318 y Fr(y)s(;)g(x)25 b Fo(\000)938
262 y(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)p 938 299 V 940 375 a(h)p
Fr(x;)g(y)s Fo(i)1144 318 y Fr(y)s Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(h)p
Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)19 b(\000)f Ft(2)1680 262 y Fo(h)p
Fr(x;)c(x)p Fo(i)p 1680 299 V 1682 375 a(h)p Fr(x;)g(y)s
Fo(i)1886 318 y(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(i)19 b Ft(+)2190 262
y Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(ih)p Fr(x;)g(x)p Fo(i)p 2190
299 393 4 v 2194 375 a(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(ih)p Fr(x;)g(y)s
Fo(i)2593 318 y(h)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)863 514 y Ft(=)23
b Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)20 b(\000)e Ft(2)1301 458
y Fo(h)p Fr(x;)c(x)p Fo(ih)p Fr(x;)g(y)s Fo(i)p 1301
495 389 4 v 1398 571 a(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(i)1717 514
y Ft(+)1810 458 y Fo(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(ih)p Fr(x;)g(y)s
Fo(i)p 1810 495 386 4 v 1810 571 a(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(ih)p
Fr(x;)g(y)s Fo(i)2206 514 y(h)p Fr(x;)g(x)p Fo(i)863
661 y Ft(=)23 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)20 b(\000)e
Ft(2)p Fo(h)p Fr(x;)c(x)p Fo(i)19 b Ft(+)f Fo(h)p Fr(x;)c(x)p
Fo(i)24 b Ft(=)f(0)p Fr(:)165 875 y Ft(Da)28 b Fr(\033)j
Ft(p)r(ositiv)d(de\014nit)g(ist,)g(folgt)f Fr(x)19 b
Fo(\000)1396 818 y(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)p 1396 856
197 4 v 1398 932 a(h)p Fr(x;)g(y)s Fo(i)1602 875 y Fr(y)26
b Ft(=)d(0)k(und)h(daraus)e(die)i(Behauptung.)290 1067
y(Jetzt)47 b(hab)r(en)h(wir)f(alle)g(Hilfsmittel)i(b)r(ereit,)f(um)f
(Wink)n(el)h(und)g(L)2536 1071 y(\177)2536 1067 y(angen)e(ein-)165
1166 y(zuf)275 1170 y(\177)273 1166 y(uhren.)165 1317
y Fq(De\014nition)31 b(8.1.4)40 b Ft(1.)22 b(Sei)g(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b Fo(h)p Fr(;)g Fo(i)p Ft(\))23 b(ein)f(Euklidisc)n(her)f
(V)-7 b(ektorraum.)20 b(Zw)n(ei)i(V)-7 b(ektoren)165
1416 y Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(V)46 b Ft(hei\031en)28
b Fp(ortho)l(gonal)65 b Ft(o)r(der)27 b Fp(senkr)l(e)l(cht)63
b Ft(\()p Fr(x)24 b Fo(?)f Fr(y)s Ft(\),)28 b(w)n(enn)f
Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)24 b Ft(=)e(0)p Fr(:)290 1516
y Ft(2.)27 b(W)-7 b(egen)28 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)842
1486 y Fl(2)903 1516 y Fo(\024)22 b(h)p Fr(x;)14 b(x)p
Fo(ih)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)29 b Ft(gilt)1077 1720 y
Fo(\000)p Ft(1)22 b Fo(\024)1483 1664 y(h)p Fr(x;)14
b(y)s Fo(i)p 1304 1701 552 4 v 1304 1718 a Fj(p)p 1387
1718 197 4 v 71 x Fo(h)p Fr(x;)g(x)p Fo(i)1583 1718 y
Fj(p)p 1666 1718 189 4 v 71 x Fo(h)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)1888
1720 y(\024)23 b Ft(1)165 1941 y(\(f)224 1945 y(\177)222
1941 y(ur)28 b Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(6)p Ft(=)d(0\))28
b(also)e(existiert)h(genau)g(ein)h Fr(')23 b Fo(2)h Ft([0)p
Fr(;)14 b(\031)s Ft(])27 b(mit)1112 2146 y(cos)o Fr(')d
Ft(=)1577 2089 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)p 1398 2126
552 4 v 1398 2143 a Fj(p)p 1481 2143 197 4 v 71 x Fo(h)p
Fr(x;)g(x)p Fo(i)1678 2143 y Fj(p)p 1761 2143 189 4 v
71 x Fo(h)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)1959 2146 y Fr(:)165
2367 y(')28 b Ft(hei\031t)g(der)f Fp(Winkel)37 b Ft(zwisc)n(hen)27
b Fr(x)h Ft(und)g Fr(y)s Ft(.)g(Wir)f(sc)n(hreib)r(en)g
Fr(\002)r Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))25 b(:=)d Fr(':)165
2517 y Fq(Bemerkung)32 b(8.1.5)39 b Ft(1.)28 b Fr(x)23
b Fo(?)g Fr(y)j Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(\002)r Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b(=)1785 2484 y Fk(\031)p 1785
2498 41 4 v 1789 2546 a Fl(2)1836 2517 y Fr(:)290 2617
y Ft(2.)j Fr(x;)14 b(y)31 b Ft(linear)c(abh)903 2621
y(\177)903 2617 y(angig)f Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(\002)r
Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b Fo(2)g(f)p Ft(0)p Fr(;)14
b(\031)s Fo(g)p Fr(:)178 2751 y Fq(\177)165 2767 y(Ubungen)32
b(8.1.6)82 b Ft(1.)41 b(Stellen)i(Sie)g(fest,)g(w)n(elc)n(he)f(der)h
(folgenden)f(Bildungen)h(ein)313 2866 y(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)38
b(de\014nieren)i(und)g(w)n(elc)n(he)f(nic)n(h)n(t.)g(Geb)r(en)i(Sie)e
(ggf.)h(an,)f(w)n(elc)n(he)313 2966 y(Axiome)g(v)n(erletzt)f(sind.)h(F)
1206 2970 y(\177)1204 2966 y(ur)g Fr(x)j Ft(=)f(\()p
Fr(\030)1585 2978 y Fl(1)1623 2966 y Fr(;)14 b(\030)1696
2978 y Fl(2)1733 2966 y Fr(;)g(\030)1806 2978 y Fl(3)1844
2966 y Ft(\))p Fr(;)g(y)44 b Ft(=)e(\()p Fr(\021)2178
2978 y Fl(1)2215 2966 y Fr(;)14 b(\021)2293 2978 y Fl(2)2331
2966 y Fr(;)g(\021)2409 2978 y Fl(3)2446 2966 y Ft(\))42
b Fo(2)g Fm(R)2677 2936 y Fl(3)2753 2966 y Ft(seien)313
3066 y(de\014niert:)345 3165 y(a\))g Fo(h)p Fr(x;)14
b(y)s Fo(i)23 b Ft(:=)g Fr(\030)823 3177 y Fl(1)860 3165
y Fr(\021)901 3177 y Fl(1)957 3165 y Ft(+)18 b Fr(\030)1076
3177 y Fl(3)1114 3165 y Fr(\021)1155 3177 y Fl(3)1192
3165 y Ft(,)341 3265 y(b\))42 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s
Fo(i)23 b Ft(:=)g Fr(\030)827 3235 y Fl(2)823 3286 y(1)864
3265 y Fr(\021)908 3235 y Fl(2)905 3286 y(1)964 3265
y Ft(+)18 b Fr(\030)1087 3235 y Fl(2)1083 3286 y(2)1125
3265 y Fr(\021)1169 3235 y Fl(2)1166 3286 y(2)1224 3265
y Ft(+)g Fr(\030)1347 3235 y Fl(2)1343 3286 y(3)1385
3265 y Fr(\021)1429 3235 y Fl(2)1426 3286 y(3)1466 3265
y Ft(,)350 3365 y(c\))42 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23
b Ft(:=)g(4)p Fr(\030)865 3377 y Fl(1)902 3365 y Fr(\021)943
3377 y Fl(1)999 3365 y Ft(+)18 b Fr(\030)1118 3377 y
Fl(2)1155 3365 y Fr(\021)1196 3377 y Fl(2)1252 3365 y
Ft(+)g(3)p Fr(\030)1413 3377 y Fl(3)1450 3365 y Fr(\021)1491
3377 y Fl(3)1529 3365 y Ft(,)341 3464 y(d\))42 b Fo(h)p
Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23 b Ft(:=)g Fr(\030)823 3476 y Fl(1)860
3464 y Fr(\021)901 3476 y Fl(1)957 3464 y Fo(\000)18
b Fr(\030)1076 3476 y Fl(2)1114 3464 y Fr(\021)1155 3476
y Fl(2)1211 3464 y Ft(+)g Fr(\030)1330 3476 y Fl(3)1367
3464 y Fr(\021)1408 3476 y Fl(3)1446 3464 y Ft(,)350
3564 y(e\))42 b Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23 b Ft(:=)g
Fr(\030)823 3576 y Fl(1)860 3564 y Fr(\021)901 3576 y
Fl(2)957 3564 y Ft(+)18 b Fr(\030)1076 3576 y Fl(2)1114
3564 y Fr(\021)1155 3576 y Fl(1)1211 3564 y Ft(+)g Fr(\030)1330
3576 y Fl(3)1367 3564 y Fr(\021)1408 3576 y Fl(3)1446
3564 y Ft(.)207 3663 y(2.)41 b(Sei)28 b Fr(V)43 b Ft(=)23
b Fr(M)707 3675 y Fl(2)772 3663 y Ft(der)28 b(V)-7 b(ektorraum)27
b(der)g(reellen)h(2)18 b Fo(\002)g Ft(2-Matrizen.)27
b(Stellen)i(Sie)f(fest,)313 3763 y(ob)f(durc)n(h)679
3949 y Fo(h)711 3831 y Fj(\022)787 3899 y Fr(a)86 b(b)790
3998 y(c)h(d)970 3831 y Fj(\023)1045 3949 y Fr(;)1082
3831 y Fj(\022)1157 3899 y Fr(u)c(x)1159 3998 y(y)90
b(z)1349 3831 y Fj(\023)1410 3949 y Fo(i)24 b Ft(=)e
Fr(au)c Ft(+)g Fr(bx)h Ft(+)f Fr(by)i Fo(\000)e Fr(cx)h
Ft(+)f Fr(cy)j Ft(+)d Fr(dz)313 4150 y Ft(ein)28 b(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt)26 b(de\014niert)i(wird.)207 4250 y(3.)41
b(Ben)n(utzen)27 b(Sie)h(das)f(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)1189
4461 y Fo(h)p Fr(f)t(;)14 b(g)s Fo(i)23 b Ft(=)1489 4348
y Fj(Z)1572 4368 y Fl(1)1535 4537 y(0)1623 4461 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(g)s Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(dx;)313 4664 y Ft(um)28 b(den)g(W)-7 b(ert)28 b(v)n(on)e
Fo(h)p Fr(f)t(;)14 b(g)s Fo(i)28 b Ft(auszurec)n(hnen)e(f)1731
4668 y(\177)1729 4664 y(ur)p eop end
%%Page: 244 105
TeXDict begin 244 104 bop 165 100 a Fn(244)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)345 282 y Ft(a\))42 b Fr(f)31 b Ft(=)23 b(cos)o(\(2)p
Fr(\031)s(x)p Ft(\),)29 b Fr(g)c Ft(=)e(sin\(2)p Fr(\031)s(x)p
Ft(\).)341 382 y(b\))42 b Fr(f)31 b Ft(=)23 b Fr(x)p
Ft(,)28 b Fr(g)e Ft(=)c Fr(e)911 352 y Fk(x)953 382 y
Ft(.)350 482 y(c\))42 b Fr(f)31 b Ft(=)23 b(tan)765 449
y Fk(\031)p 765 463 41 4 v 769 510 a Fl(4)815 482 y Fr(x)p
Ft(,)29 b Fr(g)c Ft(=)e(1.)207 581 y(4.)41 b(Sei)28 b
Fr(P)500 593 y Fl(2)565 581 y Ft(der)f(V)-7 b(ektorraum)27
b(der)g(reellen)g(P)n(olynome)f(v)n(om)h(Grad)g Fo(\024)22
b Ft(2.)345 681 y(a\))42 b(Zeigen)26 b(Sie,)i(da\031)f
Fr(P)1090 693 y Fl(2)1155 681 y Ft(mit)679 863 y Fo(h)p
Fr(a)755 875 y Fl(2)792 863 y Fr(x)839 829 y Fl(2)895
863 y Ft(+)18 b Fr(a)1022 875 y Fl(1)1059 863 y Fr(x)h
Ft(+)f Fr(a)1252 875 y Fl(0)1289 863 y Fr(;)c(b)1362
875 y Fl(2)1399 863 y Fr(x)1446 829 y Fl(2)1502 863 y
Ft(+)k Fr(b)1621 875 y Fl(1)1658 863 y Fr(x)h Ft(+)f
Fr(b)1843 875 y Fl(0)1880 863 y Fo(i)23 b Ft(:=)g Fr(a)2090
875 y Fl(0)2127 863 y Fr(b)2163 875 y Fl(0)2219 863 y
Ft(+)18 b Fr(a)2346 875 y Fl(1)2383 863 y Fr(b)2419 875
y Fl(1)2474 863 y Ft(+)g Fr(a)2601 875 y Fl(2)2638 863
y Fr(b)2674 875 y Fl(2)461 1046 y Ft(ein)27 b(Euklidisc)n(her)g(V)-7
b(ektorraum)26 b(ist.)341 1146 y(b\))42 b(Bestimmen)27
b(Sie)h Fo(jj)p Fr(p)p Fo(jj)g Ft(f)1216 1150 y(\177)1214
1146 y(ur)g Fr(p)22 b Ft(=)h Fo(\000)p Ft(1)18 b(+)g(2)p
Fr(x)g Ft(+)g Fr(x)1918 1116 y Fl(2)1956 1146 y Ft(.)350
1245 y(c\))42 b(Bestimmen)36 b(Sie)f(den)h(Wink)n(el)g(zwisc)n(hen)f
Fr(p)i Ft(=)f Fo(\000)p Ft(1)23 b(+)g(5)p Fr(x)h Ft(+)g(2)p
Fr(x)2541 1215 y Fl(2)2614 1245 y Ft(und)36 b Fr(q)k
Ft(=)461 1345 y(2)17 b(+)i(4)p Fr(x)f Fo(\000)g Ft(9)p
Fr(x)883 1315 y Fl(2)920 1345 y Ft(.)341 1445 y(d\))42
b(Bestimmen)22 b(Sie)h(den)g(Wink)n(el)f(zwisc)n(hen)h
Fr(p)f Ft(=)h Fr(x)8 b Fo(\000)g Fr(x)2114 1414 y Fl(2)2175
1445 y Ft(und)23 b Fr(q)j Ft(=)d(7)8 b(+)g(3)p Fr(x)g
Ft(+)g(3)p Fr(x)2869 1414 y Fl(2)2906 1445 y Ft(.)207
1544 y(5.)41 b(Sei)c Fr(P)509 1556 y Fl(2)583 1544 y
Ft(der)g(V)-7 b(ektorraum)36 b(der)g(reellen)g(P)n(olynome)g(v)n(om)g
(Grad)g Fo(\024)i Ft(2)e(mit)i(dem)313 1644 y(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)
1197 1798 y Fo(h)p Fr(p;)14 b(q)s Fo(i)24 b Ft(=)1491
1685 y Fj(Z)1574 1706 y Fl(1)1537 1874 y(0)1625 1798
y Fr(p)p Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(q)s Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fr(dx:)345 2000 y Ft(a\))42 b(Bestimmen)27 b(Sie)h
Fo(jj)p Fr(p)p Fo(jj)g Ft(f)1216 2004 y(\177)1214 2000
y(ur)g Fr(p)22 b Ft(=)h Fo(\000)p Ft(1)18 b(+)g(2)p Fr(x)g
Ft(+)g Fr(x)1918 1969 y Fl(2)1956 2000 y Ft(.)341 2099
y(b\))42 b(Bestimmen)36 b(Sie)f(den)h(Wink)n(el)g(zwisc)n(hen)f
Fr(p)i Ft(=)f Fo(\000)p Ft(1)23 b(+)g(5)p Fr(x)h Ft(+)g(2)p
Fr(x)2541 2069 y Fl(2)2614 2099 y Ft(und)36 b Fr(q)k
Ft(=)461 2199 y(2)17 b(+)i(4)p Fr(x)f Fo(\000)g Ft(9)p
Fr(x)883 2169 y Fl(2)920 2199 y Ft(.)350 2298 y(c\))42
b(Bestimmen)22 b(Sie)h(den)g(Wink)n(el)f(zwisc)n(hen)h
Fr(p)f Ft(=)h Fr(x)8 b Fo(\000)g Fr(x)2114 2268 y Fl(2)2175
2298 y Ft(und)23 b Fr(q)j Ft(=)d(7)8 b(+)g(3)p Fr(x)g
Ft(+)g(3)p Fr(x)2869 2268 y Fl(2)2906 2298 y Ft(.)207
2398 y(6.)41 b(Zeigen)27 b(Sie)h(mit)h(Hilfe)f(der)g(Cauc)n(h)n(y-Sc)n
(h)n(w)n(arzsc)n(hen)c(Ungleic)n(h)n(ung,)j(da\031)g(f)2700
2402 y(\177)2698 2398 y(ur)h(alle)313 2498 y Fr(a;)14
b(b)22 b Fo(2)i Fm(R)j Ft(und)i(alle)e(Wink)n(el)g Fr(')h
Ft(gilt:)1046 2680 y(\()p Fr(a)14 b Ft(cos)o(\()p Fr(')p
Ft(\))19 b(+)f Fr(b)c Ft(sin\()p Fr(')p Ft(\)\))1770
2639 y Fl(2)1830 2680 y Fo(\024)23 b Fr(a)1962 2646 y
Fl(2)2017 2680 y Ft(+)18 b Fr(b)2136 2646 y Fl(2)2173
2680 y Fr(:)207 2863 y Ft(7.)41 b(Zeigen)27 b(Sie)h(mit)h(Hilfe)f(der)g
(Cauc)n(h)n(y-Sc)n(h)n(w)n(arzsc)n(hen)c(Ungleic)n(h)n(ung,)j(da\031)g
(f)2700 2867 y(\177)2698 2863 y(ur)h(alle)313 2963 y(p)r(ositiv)n(e)f
(reellen)g(Zahlen)g Fr(a)1199 2975 y Fl(1)1237 2963 y
Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1465 2975 y Fk(n)1538 2963
y Ft(gilt)913 3190 y Fr(n)963 3156 y Fl(2)1024 3190 y
Fo(\024)22 b Ft(\()q Fr(a)1188 3202 y Fl(1)1243 3190
y Ft(+)c Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(a)1568 3202 y Fk(n)1614
3190 y Ft(\))1660 3073 y Fj(\022)1751 3134 y Ft(1)p 1731
3171 82 4 v 1731 3247 a Fr(a)1775 3259 y Fl(1)1840 3190
y Ft(+)g Fr(:)c(:)g(:)19 b Ft(+)2155 3134 y(1)p 2132
3171 90 4 v 2132 3247 a Fr(a)2176 3259 y Fk(n)2231 3073
y Fj(\023)2306 3190 y Fr(:)207 3418 y Ft(8.)41 b(Zeigen)27
b(Sie)h(mit)h(Hilfe)f(der)g(Cauc)n(h)n(y-Sc)n(h)n(w)n(arzsc)n(hen)c
(Ungleic)n(h)n(ung,)j(da\031)g(f)2700 3422 y(\177)2698
3418 y(ur)h(alle)313 3518 y(reellen)f(Zahlen)g Fr(a)892
3530 y Fl(1)929 3518 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(a)1158
3530 y Fk(n)1231 3518 y Ft(gilt)957 3701 y(\()p Fr(a)1033
3713 y Fl(1)1089 3701 y Ft(+)k Fr(:)c(:)g(:)19 b Ft(+)f
Fr(a)1415 3713 y Fk(n)1460 3701 y Ft(\))1492 3666 y Fl(2)1552
3701 y Fo(\024)23 b Fr(n)1690 3666 y Fl(2)1727 3701 y
Ft(\()p Fr(a)1803 3666 y Fl(2)1803 3721 y(1)1859 3701
y Ft(+)18 b Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(a)2184 3666 y Fl(2)2184
3721 y Fk(n)2229 3701 y Ft(\))p Fr(:)207 3883 y Ft(9.)41
b(Die)19 b(V)-7 b(ektoren)19 b(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p
Fr(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\(0)p Fr(;)g
Ft(1)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i Ft(0\))p Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g
Ft(\(0)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i Ft(1\))19
b(w)n(erden)f(als)h(Kan)n(ten)313 3983 y(des)28 b(Einheitsw)816
3987 y(\177)814 3983 y(urfels)f(im)h Fm(R)1218 3953 y
Fk(n)1292 3983 y Ft(aufgefa\031t)f(\(jede)h(Kan)n(te)f(tritt)i(mehrfac)
n(h)e(auf,)h(wie)313 4082 y(oft?\).)e(Zeigen)f(Sie,)h(da\031)f(der)g
(Wink)n(el)g Fr(')h Ft(zwisc)n(hen)f(der)g(Diagonalen)g(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i Ft(1\))313 4182
y(und)28 b(den)g(Kan)n(ten)f(die)g(Gleic)n(h)n(ung)1381
4399 y(cos)o(\()p Fr(')p Ft(\))d(=)1771 4343 y(1)p 1732
4380 120 4 v 1732 4397 a Fo(p)p 1801 4397 50 4 v 60 x
Fr(n)313 4625 y Ft(erf)410 4629 y(\177)408 4625 y(ullen.)p
eop end
%%Page: 245 106
TeXDict begin 245 105 bop 1724 100 a Fn(8.2)43 b(Normierte)26
b(V)-6 b(ektorr)2484 103 y(\177)2484 100 y(aume)151 b(245)165
282 y Fs(8.2)42 b(Normierte)37 b(V)-9 b(ektorr)1270 287
y(\177)1271 282 y(aume)165 486 y Ft(Die)28 b(Bildung)g(der)f(L)824
490 y(\177)824 486 y(ange)f(o)r(der)h(Norm)g(eines)g(V)-7
b(ektors)27 b(in)h(einem)g(Euklidisc)n(hen)e(V)-7 b(ek-)165
585 y(torraum)19 b(erf)578 589 y(\177)576 585 y(ullt)i(die)f(Gesetze)g
(einer)f(Norm.)h(Es)f(gibt)h(viele)g(Beispiele)g(v)n(on)f(normierten)
165 685 y(V)-7 b(ektorr)441 689 y(\177)441 685 y(aumen,)32
b(auc)n(h)h(v)n(on)f(solc)n(hen,)g(die)h(nic)n(h)n(t)g(aus)g(einem)g
(Euklidisc)n(hen)f(V)-7 b(ektor-)165 785 y(raum)27 b(en)n(tstehen.)165
951 y Fq(De\014nition)k(8.2.1)40 b Ft(Sei)28 b Fr(V)46
b Ft(ein)28 b Fm(R)p Ft(-V)-7 b(ektorraum.)26 b(Eine)h(Abbildung)1141
1133 y Fo(k)p Fr(:)p Fo(k)22 b Ft(:)h Fr(V)42 b Fo(3)24
b Fr(x)f Fo(7!)g(k)p Fr(x)p Fo(k)g(2)g Fm(R)165 1316
y Ft(hei\031t)28 b Fp(Norm)p Ft(,)g(w)n(enn)207 1465
y(1.)41 b Fo(k)p Fr(\013x)p Fo(k)23 b Ft(=)g Fo(j)p Fr(\013)p
Fo(jk)p Fr(x)p Fo(k)p Fr(;)207 1565 y Ft(2.)41 b Fo(k)p
Fr(x)18 b Ft(+)g Fr(y)s Fo(k)23 b(\024)f(k)p Fr(x)p Fo(k)c
Ft(+)g Fo(k)p Fr(y)s Fo(k)207 1665 y Ft(3.)41 b Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)22 b Ft(=)h(0)g(=)-15 b Fo(\))24 b Fr(x)f
Ft(=)g(0.)165 1814 y(\()p Fr(V)5 b(;)14 b Fo(k)p Fr(:)p
Fo(k)p Ft(\))28 b(hei\031t)f Fp(normierter)j(V)-6 b(ektorr)l(aum)p
Ft(.)27 b Fr(x)d Fo(2)f Fr(V)47 b Ft(hei\031t)27 b Fp(normiert)p
Ft(,)56 b(w)n(enn)28 b Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)22 b Ft(=)h(1.)165
1980 y Fq(Bemerkung)32 b(8.2.2)39 b Ft(Ist)21 b(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b Fo(k)p Fr(:)p Fo(k)p Ft(\))21 b(ein)g(normierter)e(V)-7
b(ektorraum,)20 b(so)g(ist)h Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)h(\025)h
Ft(0)d(f)2852 1984 y(\177)2850 1980 y(ur)165 2080 y(alle)j
Fr(x)h Fo(2)f Fr(V)c Ft(.)k(Es)g(ist)g(n)845 2084 y(\177)845
2080 y(amlic)n(h)g(0)f(=)h Fo(j)p Ft(0)p Fo(jk)p Fr(x)p
Fo(k)f Ft(=)h Fo(k)p Ft(0)10 b Fo(\001)g Fr(x)p Fo(k)21
b Ft(=)i Fo(k)p Fr(x)10 b Ft(+)g(\()p Fo(\000)p Fr(x)p
Ft(\))p Fo(k)22 b(\024)g(k)p Fr(x)p Fo(k)10 b Ft(+)g
Fo(k)g(\000)g Fr(x)p Fo(k)20 b Ft(=)165 2179 y Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)e Ft(+)g Fo(j)h(\000)f Ft(1)p Fo(jk)p Fr(x)p
Fo(k)k Ft(=)h(2)p Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)p Ft(.)165 2345
y Fq(Satz)33 b(8.2.3)40 b Fp(Sei)61 b Ft(\()p Fr(V)5
b(;)14 b Fo(h)p Fr(;)g Fo(i)p Ft(\))53 b Fp(ein)g(Euklidischer)h(V)-6
b(ektorr)l(aum.)52 b(Dann)g(ist)60 b Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)j
Ft(:=)165 2374 y Fj(p)p 248 2374 197 4 v 71 x Fo(h)p
Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)31 b Fp(eine)g(Norm)e(auf)48 b Fr(V)19
b Fp(.)30 b Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)f Fp(hei\031t)h Ft(Norm)f
Fp(o)l(der)i Ft(L)2010 2449 y(\177)2010 2445 y(ange)e
Fp(von)36 b Fr(x)p Fp(.)165 2633 y(Beweis.)44 b Ft(1.)27
b Fo(k)p Fr(\013x)p Fo(k)c Ft(=)869 2562 y Fj(p)p 952
2562 304 4 v 71 x Fo(h)p Fr(\013x;)14 b(\013x)p Fo(i)25
b Ft(=)1365 2560 y Fo(p)p 1435 2560 91 4 v 1435 2633
a Fr(\013)1488 2609 y Fl(2)1525 2562 y Fj(p)p 1608 2562
197 4 v 71 x Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)25 b Ft(=)d Fo(j)p
Fr(\013)p Fo(jk)p Fr(x)p Fo(k)p Ft(.)290 2744 y(2.)g
Fo(k)p Fr(x)8 b Ft(+)g Fr(y)s Fo(k)633 2714 y Fl(2)692
2744 y Ft(=)22 b Fo(h)p Fr(x)8 b Ft(+)g Fr(y)s(;)14 b(x)8
b Ft(+)g Fr(y)s Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p
Fo(i)8 b Ft(+)g(2)p Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)8 b Ft(+)g
Fo(h)p Fr(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)23 b(\024)f(h)p Fr(x;)14
b(x)p Fo(i)8 b Ft(+)g(2)2543 2673 y Fj(p)p 2627 2673
230 4 v 2627 2744 a Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)2819 2720
y Fl(2)2865 2744 y Ft(+)165 2855 y Fo(h)p Fr(y)s(;)g(y)s
Fo(i)23 b(\024)g(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)s Ft(+)s(2)773
2784 y Fj(p)p 857 2784 386 4 v 857 2855 a Fo(h)p Fr(x;)g(x)p
Fo(ih)p Fr(y)s(;)g(y)s Fo(i)t Ft(+)s Fo(h)p Fr(y)s(;)g(y)s
Fo(i)23 b Ft(=)f(\()p Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)s Ft(+)s Fo(k)p
Fr(y)s Fo(k)p Ft(\))2006 2825 y Fl(2)2065 2855 y Ft(=)-14
b Fo(\))23 b(k)p Fr(x)s Ft(+)s Fr(y)s Fo(k)f(\024)h(k)p
Fr(x)p Fo(k)s Ft(+)s Fo(k)p Fr(y)s Fo(k)p Ft(.)290 2966
y(3.)k Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)c Ft(=)f(0)h(=)-14 b Fo(\))845
2895 y Fj(p)p 928 2895 197 4 v 71 x Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p
Fo(i)24 b Ft(=)f(0)f(=)-14 b Fo(\))23 b(h)p Fr(x;)14
b(x)p Fo(i)25 b Ft(=)d(0)h(=)-14 b Fo(\))23 b Fr(x)g
Ft(=)g(0.)290 3141 y(Mit)40 b(den)f(Gesetzen)g(der)g(Norm)g(und)g(des)g
(Sk)-5 b(alarpro)r(dukts)38 b(k)2355 3145 y(\177)2355
3141 y(onnen)h(wir)f(jetzt)165 3240 y(einige)28 b(der)f(wic)n(h)n
(tigsten)g(geometrisc)n(hen)f(S)1562 3244 y(\177)1562
3240 y(atze)h(b)r(ew)n(eisen.)165 3406 y Fq(Satz)33 b(8.2.4)40
b Fp(\(Pythagor)l(as)1043 3376 y Fl(4)1082 3406 y Fp(\))204
3556 y(1.)i Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(V)18 b
Ft([)p Fr(x)24 b Fo(?)f Fr(y)i Ft(=)-14 b Fo(\))23 b(k)p
Fr(x)c Ft(+)f Fr(y)s Fo(k)1337 3526 y Fl(2)1396 3556
y Ft(=)23 b Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)1615 3526 y Fl(2)1670
3556 y Ft(+)18 b Fo(k)p Fr(y)s Fo(k)1881 3526 y Fl(2)1917
3556 y Ft(])p Fp(.)204 3655 y(2.)42 b Fo(8)p Fr(x;)14
b(y)26 b Fo(2)e Fr(V)18 b Ft([)p Fo(k)p Fr(x)h Ft(+)f
Fr(y)s Fo(k)955 3625 y Fl(2)1014 3655 y Ft(=)23 b Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)1233 3625 y Fl(2)1288 3655 y Ft(+)18 b Fo(k)p
Fr(y)s Fo(k)1499 3625 y Fl(2)1554 3655 y Ft(+)g(2)p Fo(h)p
Fr(x;)c(y)s Fo(i)p Ft(])p Fp(.)165 3830 y(Beweis.)44
b Ft(1.)27 b Fr(x)c Fo(?)g Fr(y)j Ft(=)-14 b Fo(\))23
b Ft(2)p Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23 b Ft(=)f(0.)290
3929 y(2.)27 b Fo(k)p Fr(x)19 b Ft(+)f Fr(y)s Fo(k)659
3899 y Fl(2)718 3929 y Ft(=)23 b Fo(h)p Fr(x)c Ft(+)f
Fr(y)s(;)c(x)k Ft(+)g Fr(y)s Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)1534 3899 y Fl(2)1589 3929 y Ft(+)18 b(2)p
Fo(h)p Fr(x;)c(y)s Fo(i)19 b Ft(+)f Fo(k)p Fr(y)s Fo(k)2136
3899 y Fl(2)2172 3929 y Ft(.)165 4104 y Fq(Lemma)32 b(8.2.5)40
b Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)d Fr(V)38 b Fo(n)18 b(f)p
Ft(0)p Fo(g)p Ft([)p Fo(h)p Fr(x;)c(y)s Fo(i)22 b Ft(=)g
Fo(k)p Fr(x)p Fo(kk)p Fr(y)s Fo(k)14 b Ft(cos)n(\()p
Fr(\002)r Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\)\)])p Fp(.)165 4291
y(Beweis.)44 b Fo(k)p Fr(x)p Fo(kk)p Fr(y)s Fo(k)14 b
Ft(cos)m(\()p Fr(\002)r Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\)\))25
b(=)d Fo(k)p Fr(x)p Fo(kk)p Fr(y)s Fo(k)17 b(\001)1656
4251 y Fi(h)p Fk(x;y)r Fi(i)p 1624 4272 210 4 v 1624
4320 a(k)p Fk(x)p Fi(kk)p Fk(y)r Fi(k)1867 4291 y Ft(=)23
b Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)p Ft(.)p 165 4388 394 4
v 195 4441 a Fe(4)255 4473 y Fn(Pythagoras)27 b(\(580{500\))p
eop end
%%Page: 246 107
TeXDict begin 246 106 bop 165 100 a Fn(246)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)165 282 y Fq(Satz)33 b(8.2.6)40 b Fp(\(Cosinus)30
b(Satz\))399 465 y Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(V)37
b Fo(n)18 b(f)p Ft(0)p Fo(g)p Ft([)p Fo(k)p Fr(x)f Fo(\000)h
Fr(y)s Fo(k)1244 431 y Fl(2)1304 465 y Ft(=)k Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)1522 431 y Fl(2)1577 465 y Ft(+)c Fo(k)p
Fr(y)s Fo(k)1788 431 y Fl(2)1843 465 y Fo(\000)g Ft(2)p
Fo(k)p Fr(x)p Fo(kk)p Fr(y)s Fo(k)c Ft(cos)l(\()p Fr(\002)r
Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\)\))p Fr(:)p 1193 1405 1063 4
v 2173 1403 a Fc(-)p 1250 1463 4 591 v 1252 955 a(6)1252
1404 y Fb( )1335 1387 y( )1418 1371 y( )1501 1354 y( )1584
1337 y( )1667 1321 y( )1750 1304 y( )1759 1302 y( )1944
1876 y(D)1927 1793 y(D)1911 1710 y(D)1894 1627 y(D)1878
1544 y(D)1861 1461 y(D)1844 1378 y(D)1843 1369 y(D)1252
1487 y(D)1269 1570 y(D)1285 1653 y(D)1302 1736 y(D)1318
1819 y(D)1335 1902 y(D)1352 1985 y(D)1353 1994 y(D )1453
1978 y( )1536 1961 y( )1619 1945 y( )1702 1928 y( )1785
1911 y( )1868 1895 y( )1878 1893 y( )1252 1404 y(\001)1293
1321 y(\001)1329 1251 y(\001)1169 1404 y(H)1086 1362
y(H)1016 1327 y(H)1016 1286 y(\001)1057 1203 y(\001)1092
1132 y(\001)1287 1168 y(H)1204 1126 y(H)1134 1091 y(H)1370
1188 y(X)1453 1209 y(X)1536 1230 y(X)1619 1251 y(X)1702
1271 y(X)1759 1286 y(X)1370 1168 y(\003)1391 1085 y(\003)1412
1002 y(\003)1432 918 y(\003)1453 835 y(\003)1467 778
y(\003)1488 716 y(X)1571 737 y(X)1654 757 y(X)1737 778
y(X)1820 799 y(X)1878 813 y(X)1843 1286 y(\003)1863 1203
y(\003)1884 1120 y(\003)1905 1037 y(\003)1926 954 y(\003)1940
896 y(\003)1276 1250 y Fr(x)1512 1321 y(y)1535 1191 y(x)19
b Fo(\000)f Fr(y)1311 1357 y(')p 1314 1277 7 7 v 1314
1278 V 1315 1278 V 1316 1278 V 1317 1279 V 1318 1279
V 1319 1280 V 1320 1280 V 1320 1281 V 1321 1281 V 1322
1282 V 1323 1282 V 1324 1283 V 1324 1283 V 1325 1284
V 1326 1284 V 1327 1285 V 1328 1285 V 1328 1285 V 1329
1286 V 1330 1286 V 1331 1287 V 1332 1287 V 1332 1288
V 1333 1289 V 1334 1289 V 1335 1290 V 1335 1290 V 1336
1291 V 1337 1291 V 1337 1292 V 1338 1292 V 1339 1293
V 1340 1293 V 1340 1294 V 1341 1294 V 1342 1295 V 1342
1295 V 1343 1296 V 1344 1297 V 1344 1297 V 1345 1298
V 1346 1298 V 1346 1299 V 1347 1299 V 1348 1300 V 1348
1301 V 1349 1301 V 1350 1302 V 1350 1302 V 1351 1303
V 1352 1303 V 1352 1304 V 1353 1305 V 1353 1305 V 1354
1306 V 1355 1307 V 1355 1307 V 1356 1308 V 1356 1308
V 1357 1309 V 1358 1310 V 1358 1310 V 1359 1311 V 1359
1312 V 1360 1312 V 1360 1313 V 1361 1313 V 1362 1314
V 1362 1315 V 1363 1315 V 1363 1316 V 1364 1317 V 1364
1317 V 1365 1318 V 1365 1319 V 1366 1319 V 1366 1320
V 1367 1321 V 1367 1322 V 1368 1322 V 1368 1323 V 1369
1324 V 1369 1324 V 1370 1325 V 1370 1326 V 1371 1326
V 1371 1327 V 1372 1328 V 1372 1329 V 1372 1329 V 1373
1330 V 1373 1331 V 1374 1332 V 1374 1332 V 1375 1333
V 1375 1334 V 1375 1334 V 1376 1335 V 1376 1336 V 1377
1337 V 1377 1338 V 1377 1338 V 1378 1339 V 1378 1340
V 1379 1341 V 1379 1341 V 1379 1342 V 1380 1343 V 1380
1344 V 1380 1344 V 1381 1345 V 1381 1346 V 1381 1347
V 1382 1348 V 1382 1348 V 1382 1349 V 1383 1350 V 1383
1351 V 1383 1352 V 1384 1353 V 1384 1353 V 1384 1354
V 1384 1355 V 1385 1356 V 1385 1357 V 1385 1358 V 1386
1358 V 1386 1359 V 1386 1360 V 1386 1361 V 1387 1362
V 1387 1363 V 1387 1364 V 1387 1364 V 1387 1365 V 1388
1366 V 1388 1367 V 1388 1368 V 1388 1369 V 1389 1370
V 1389 1371 V 1389 1371 V 1389 1372 V 1389 1373 V 1390
1374 V 1390 1375 V 1390 1376 V 1390 1377 V 1390 1378
V 1390 1379 V 165 2278 a Fp(Beweis.)44 b Fo(k)p Fr(x)r
Fo(\000)r Fr(y)s Fo(k)726 2248 y Fl(2)786 2278 y Ft(=)22
b Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)1004 2248 y Fl(2)1044 2278 y Ft(+)r
Fo(k)p Fr(y)s Fo(k)1239 2248 y Fl(2)1277 2278 y Fo(\000)r
Ft(2)p Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(k)p
Fr(x)p Fo(k)1820 2248 y Fl(2)1859 2278 y Ft(+)r Fo(k)p
Fr(y)s Fo(k)2054 2248 y Fl(2)2093 2278 y Fo(\000)r Ft(2)p
Fo(k)p Fr(x)p Fo(kk)p Fr(y)s Fo(k)14 b Ft(cos)l(\()p
Fr(\002)r Ft(\()p Fr(x;)g(y)s Ft(\)\).)290 2453 y(Wir)39
b(hab)r(en)g(gezeigt,)g(da\031)f(Euklidisc)n(he)h(V)-7
b(ektorr)1936 2457 y(\177)1936 2453 y(aume)38 b(auc)n(h)g(normierte)g
(V)-7 b(ek-)165 2552 y(torr)305 2556 y(\177)305 2552
y(aume)41 b(sind.)i(Jetzt)f(zeigen)f(wir,)h(da\031)g(normierte)f(V)-7
b(ektorr)2262 2556 y(\177)2262 2552 y(aume)41 b(auc)n(h)h(metri-)165
2652 y(sc)n(he)30 b(R)407 2656 y(\177)407 2652 y(aume)g(sind.)g(Sc)n
(hlie\031lic)n(h)f(sind)h(dann)g(metrisc)n(he)g(R)2064
2656 y(\177)2064 2652 y(aume)f(auc)n(h)h(top)r(ologisc)n(he)165
2752 y(R)226 2756 y(\177)226 2752 y(aume.)c(Jede)g(dieser)g(F)-7
b(olgerungen)24 b(ist)j(eine)f(ec)n(h)n(te)f(F)-7 b(olgerung,)25
b(also)g(nic)n(h)n(t)h(umk)n(ehr-)165 2851 y(bar.)165
3017 y Fq(Lemma)32 b(8.2.7)40 b Fp(Sei)i Ft(\()p Fr(V)5
b(;)14 b Fo(k)p Fr(:)p Fo(k)p Ft(\))34 b Fp(ein)g(normierter)g(V)-6
b(ektorr)l(aum.)34 b(Dann)g(ist)g(dur)l(ch)40 b Fr(d)31
b Ft(:)165 3117 y Fr(V)38 b Fo(\002)18 b Fr(V)42 b Fo(3)23
b Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b Fo(7!)f(k)p Fr(x)18
b Fo(\000)g Fr(y)s Fo(k)k(2)i Fm(R)30 b Fp(eine)g(Metrik)g(auf)48
b Fr(V)h Fp(ge)l(geb)l(en.)30 b(\(vgl.)h(6.4.4\))165
3291 y(Beweis.)44 b Ft(1.)27 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14
b(y)s Ft(\))24 b(=)e Fo(k)p Fr(x)d Fo(\000)f Fr(y)s Fo(k)k
Ft(=)h(0)f Fo(\()-14 b(\))24 b Fr(x)19 b Fo(\000)f Fr(y)25
b Ft(=)e(0)g Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(x)g Ft(=)g Fr(y)s
Ft(.)290 3391 y(2.)k Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24
b(=)f Fo(k)p Fr(x)18 b Fo(\000)g Fr(y)s Fo(k)k Ft(=)h
Fo(j)18 b(\000)g Ft(1)p Fo(jk)p Fr(y)j Fo(\000)d Fr(x)p
Fo(k)23 b Ft(=)f Fr(d)p Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b(x)p Ft(\).)290
3491 y(3.)40 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(z)t Ft(\))44
b(=)g Fo(k)p Fr(x)27 b Fo(\000)f Fr(z)t Fo(k)43 b Ft(=)h
Fo(k)p Ft(\()p Fr(x)27 b Fo(\000)f Fr(y)s Ft(\))h(+)f(\()p
Fr(y)k Fo(\000)d Fr(z)t Ft(\))p Fo(k)43 b(\024)g(k)p
Fr(x)27 b Fo(\000)g Fr(y)s Fo(k)f Ft(+)g Fo(k)p Fr(y)j
Fo(\000)e Fr(z)t Fo(k)43 b Ft(=)165 3590 y Fr(d)p Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))20 b(+)e Fr(d)p Ft(\()p Fr(y)s(;)c(z)t
Ft(\).)165 3765 y Fq(Bemerkung)32 b(8.2.8)39 b Ft(Sei)e(\()p
Fr(X)r(;)14 b(d)p Ft(\))38 b(ein)e(metrisc)n(her)g(Raum)h(\(vgl.)f
(4.2.4)g(und)h(6.4.4\).)165 3864 y(Dann)28 b(gilt)g Fo(8)p
Fr(x)23 b Fo(6)p Ft(=)g Fr(y)s Ft([)p Fr(d)p Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b Fr(>)e Ft(0])p Fr(:)165 4039
y Fp(Beweis.)44 b Ft(2)p Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))24 b(=)f Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))19
b(+)f Fr(d)p Ft(\()p Fr(y)s(;)c(x)p Ft(\))25 b Fo(\025)e
Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(x)p Ft(\))25 b(=)e(0)g(=)-14
b Fo(\))23 b Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))25 b
Fo(\025)e Ft(0)p Fr(:)k(x)d Fo(6)p Ft(=)f Fr(y)j Ft(=)-14
b Fo(\))165 4138 y Fr(d)p Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24
b Fr(>)f Ft(0)p Fr(:)290 4313 y Ft(Wir)36 b(f)494 4317
y(\177)492 4313 y(uhren)h(n)n(ur)f(gewisse)g(o\013ene)g(Mengen)h(in)f
(einem)h(metrisc)n(hen)f(Raum)h(ein,)165 4412 y(de\014nieren)27
b(jedo)r(c)n(h)g(nic)n(h)n(t,)g(w)n(as)f(genau)g(ein)h(top)r(ologisc)n
(her)e(Raum)i(ist,)g(da)g(wir)f(diesen)165 4512 y(Begri\013)h(sp)513
4516 y(\177)513 4512 y(ater)g(nic)n(h)n(t)h(w)n(eiter)f(brauc)n(hen.)p
eop end
%%Page: 247 108
TeXDict begin 247 107 bop 1724 100 a Fn(8.2)43 b(Normierte)26
b(V)-6 b(ektorr)2484 103 y(\177)2484 100 y(aume)151 b(247)165
282 y Fq(De\014nition)31 b(8.2.9)40 b Ft(Sei)e(\()p Fr(M)t(;)14
b(d)p Ft(\))39 b(ein)f(metrisc)n(her)g(Raum.)g(Sei)g
Fr(r)43 b Fo(2)e Fm(R)2480 252 y Fl(+)2561 282 y Fo(n)25
b(f)p Ft(0)p Fo(g)37 b Ft(und)165 382 y Fr(a)24 b Fo(2)g
Fr(M)9 b Ft(.)27 b(Dann)i(hei\031t)e Fr(K)6 b Ft(\()p
Fr(a)p Ft(;)14 b Fr(r)r Ft(\))25 b(:=)e Fo(f)p Fr(b)g
Fo(2)g Fr(M)9 b Fo(j)p Fr(d)p Ft(\()p Fr(a;)14 b(b)p
Ft(\))24 b Fo(\024)f Fr(r)r Fo(g)28 b Fp(ab)l(geschlossene)k(Kugel)37
b Ft(um)165 482 y Fr(a)f Ft(mit)g(dem)g Fp(R)l(adius)43
b Fr(r)r Ft(.)36 b Fr(K)1050 494 y Fi(\016)1088 482 y
Ft(\()p Fr(a)p Ft(;)14 b Fr(r)r Ft(\))38 b(:=)e Fo(f)p
Fr(b)g Fo(2)g Fr(M)9 b Fo(j)p Fr(d)p Ft(\()p Fr(a;)14
b(b)p Ft(\))37 b Fr(<)f(r)r Fo(g)g Ft(hei\031t)g Fp(o\013ene)h(Kugel)p
Ft(.)165 581 y Fr(U)45 b Fo(\022)36 b Fr(M)45 b Ft(hei\031t)35
b Fp(o\013en)p Ft(,)72 b(w)n(enn)35 b(es)h(zu)f(jedem)i
Fr(a)f Fo(2)h Fr(U)44 b Ft(ein)36 b Fr(r)j Fo(2)e Fm(R)2322
551 y Fl(+)2400 581 y Fo(n)24 b(f)p Ft(0)p Fo(g)34 b
Ft(gibt)i(mit)165 681 y Fr(K)236 693 y Fi(\016)274 681
y Ft(\()p Fr(a)p Ft(;)14 b Fr(r)r Ft(\))24 b Fo(\022)f
Fr(U)9 b Ft(.)165 836 y Fq(Bemerkung)32 b(8.2.10)39 b
Ft(Jeder)27 b(metrisc)n(he)g(Raum)h(ist)f(ein)h(top)r(ologisc)n(her)e
(Raum.)165 991 y Fq(De\014nition)31 b(8.2.11)40 b Ft(Sei)g(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b Fo(h)p Fr(;)g Fo(i)p Ft(\))41 b(ein)g(endlic)n
(hdimensionaler)e(Euklidisc)n(her)f(V)-7 b(ek-)165 1091
y(torraum.)32 b(Eine)h(Basis)f Fr(b)971 1103 y Fl(1)1007
1091 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1228 1103 y Fk(n)1306
1091 y Ft(v)n(on)32 b Fr(V)52 b Ft(hei\031t)33 b Fp(Orthonormalb)l
(asis)41 b Ft(v)n(on)32 b Fr(V)19 b Ft(,)33 b(w)n(enn)165
1191 y(gilt)28 b Fo(h)p Fr(b)381 1203 y Fk(i)409 1191
y Fr(;)14 b(b)482 1203 y Fk(j)516 1191 y Fo(i)23 b Ft(=)g
Fr(\016)696 1203 y Fk(ij)754 1191 y Ft(.)290 1346 y(Alle)32
b(V)-7 b(ektoren)32 b(in)g(einer)g(Orthonormalbasis)d(hab)r(en)j(also)f
(die)h(L)2425 1350 y(\177)2425 1346 y(ange)f(1)g(und)i(je)165
1446 y(zw)n(ei)28 b(v)n(ersc)n(hiedene)e(Basisv)n(ektoren)f(sind)i
(senkrec)n(h)n(t)g(zueinander.)165 1601 y Fq(Satz)33
b(8.2.12)40 b Fp(\(Gr)l(am)901 1571 y Fl(5)938 1601 y
Fp(-)30 b(Schmidtsches)1474 1571 y Fl(6)1542 1601 y Fp
(Orthonormalisierungsverfahr)l(en\))165 1701 y(Sei)i
Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b Fo(h)p Fr(:;)g(:)p Fo(i)p Ft(\))33
b Fp(ein)g(end)t(lichdimensionaler)i(Euklidischer)f(V)-6
b(ektorr)l(aum.)32 b(Dann)f(exis-)165 1800 y(tiert)f(eine)g
(Orthonormalb)l(asis)h(von)37 b Fr(V)19 b Fp(.)165 1957
y(Beweis.)44 b Ft(Der)37 b(Bew)n(eis)g(zeigt)g(ein)g(V)-7
b(erfahren)37 b(zur)g(Konstruktion)f(einer)h(Orthonor-)165
2056 y(malbasis)27 b(auf.)h(Das)f(V)-7 b(erfahren)27
b(selbst)h(ist)f(f)1587 2060 y(\177)1585 2056 y(ur)h(viele)f(Rec)n(hn)n
(ungen)g(sehr)g(wic)n(h)n(tig.)290 2156 y(Sei)h(\()p
Fr(c)492 2168 y Fl(1)529 2156 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)750
2168 y Fk(n)795 2156 y Ft(\))28 b(eine)f(Basis)g(v)n(on)g
Fr(V)19 b Ft(.)27 b(Wir)h(bilden)g(induktiv)966 2320
y Fr(b)1002 2332 y Fl(1)1062 2320 y Ft(:=)1231 2288 y
Fl(1)p 1182 2302 131 4 v 1182 2349 a Fi(k)p Fk(c)1246
2357 y Fg(1)1278 2349 y Fi(k)1322 2320 y Fr(c)1358 2332
y Fl(1)1395 2320 y Ft(;)966 2433 y Fr(d)1009 2445 y Fk(r)r
Fl(+1)1153 2433 y Ft(:=)22 b Fr(c)1299 2445 y Fk(r)r
Fl(+1)1439 2433 y Fo(\000)1522 2371 y Fj(P)1609 2392
y Fk(r)1609 2458 y(i)p Fl(=1)1721 2433 y Fo(h)p Fr(c)1789
2445 y Fk(r)r Fl(+1)1910 2433 y Fr(;)14 b(b)1983 2445
y Fk(i)2010 2433 y Fo(i)p Fr(b)2078 2445 y Fk(i)2106
2433 y Ft(;)966 2533 y Fr(b)1002 2545 y Fk(r)r Fl(+1)1145
2533 y Ft(:=)1353 2501 y Fl(1)p 1266 2515 207 4 v 1266
2562 a Fi(k)p Fk(d)1335 2570 y Ff(r)q Fg(+1)1439 2562
y Fi(k)1483 2533 y Fr(d)1526 2545 y Fk(r)r Fl(+1)1647
2533 y Fr(:)165 2717 y Ft(Der)30 b(mittlere)g(Ausdruc)n(k)f
Fr(d)1061 2729 y Fk(r)r Fl(+1)1209 2717 y Ft(:=)e Fr(c)1360
2729 y Fk(r)r Fl(+1)1500 2717 y Fo(\000)1585 2655 y Fj(P)1672
2676 y Fk(r)1672 2742 y(i)p Fl(=1)1784 2717 y Fo(h)p
Fr(c)1852 2729 y Fk(r)r Fl(+1)1973 2717 y Fr(;)14 b(b)2046
2729 y Fk(i)2073 2717 y Fo(i)p Fr(b)2141 2729 y Fk(i)2199
2717 y Ft(stellt)30 b(die)g(Pro)5 b(jektion)165 2817
y(des)25 b(Basisv)n(ektors)d Fr(d)824 2829 y Fk(r)r Fl(+1)970
2817 y Ft(auf)i(den)h(v)n(on)f(den)h Fr(b)1605 2829 y
Fl(1)1642 2817 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1862 2829
y Fk(r)1923 2817 y Ft(aufgespann)n(ten)24 b(Un)n(terv)n(ektor-)165
2917 y(raum)j(dar,)g(wie)h(wir)f(im)h(folgenden)f(sehen)h(w)n(erden.)
290 3016 y(Mit)h(der)g(Konstruktion)e(wird)i(\()p Fr(b)1365
3028 y Fl(1)1402 3016 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1622
3028 y Fk(n)1667 3016 y Ft(\))29 b(eine)g(Orthonormalbasis.)d(Zun)2742
3020 y(\177)2742 3016 y(ac)n(hst)165 3116 y(sind)35 b(die)g
Fr(b)525 3128 y Fk(i)587 3116 y Ft(normiert,)e(denn)i(f)1195
3120 y(\177)1193 3116 y(ur)g Fr(x)g Fo(6)p Ft(=)f(0)g(ist)h
Fo(k)1775 3083 y Fl(1)p 1739 3097 106 4 v 1739 3145 a
Fi(k)p Fk(x)p Fi(k)1854 3116 y Fr(x)p Fo(k)g Ft(=)2123
3083 y Fl(1)p 2087 3097 V 2087 3145 a Fi(k)p Fk(x)p Fi(k)2203
3116 y Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)f Ft(=)g(1.)g(W)-7 b(eiter)35
b(ist)165 3234 y Fo(h)p Fr(b)233 3246 y Fk(j)268 3234
y Fr(;)14 b(d)348 3246 y Fk(r)r Fl(+1)469 3234 y Fo(i)35
b Ft(=)f Fo(h)p Fr(b)703 3246 y Fk(j)738 3234 y Fr(;)14
b(c)811 3246 y Fk(r)r Fl(+1)931 3234 y Fo(i)23 b(\000)1074
3172 y Fj(P)1162 3192 y Fk(r)1162 3259 y(i)p Fl(=1)1273
3234 y Fo(h)p Fr(b)1341 3246 y Fk(i)1369 3234 y Fr(;)14
b(c)1442 3246 y Fk(r)r Fl(+1)1562 3234 y Fo(ih)p Fr(b)1662
3246 y Fk(j)1698 3234 y Fr(;)g(b)1771 3246 y Fk(i)1798
3234 y Fo(i)34 b Ft(=)g Fo(h)p Fr(b)2031 3246 y Fk(j)2066
3234 y Fr(;)14 b(c)2139 3246 y Fk(r)r Fl(+1)2260 3234
y Fo(i)23 b(\000)g(h)p Fr(b)2471 3246 y Fk(j)2505 3234
y Fr(;)14 b(c)2578 3246 y Fk(r)r Fl(+1)2699 3234 y Fo(i)35
b Ft(=)f(0)p Fr(;)165 3334 y Ft(also)22 b(auc)n(h)g Fo(h)p
Fr(b)586 3346 y Fk(j)621 3334 y Fr(;)14 b(b)694 3346
y Fk(r)r Fl(+1)815 3334 y Fo(i)23 b Ft(=)g(0)f(f)1049
3338 y(\177)1047 3334 y(ur)h Fr(j)28 b(<)23 b(r)11 b
Ft(+)e(1.)22 b(W)-7 b(egen)23 b Fr(c)1807 3346 y Fk(r)r
Fl(+1)1951 3334 y Fo(62)g(h)p Fr(b)2097 3346 y Fl(1)2134
3334 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2355 3346 y Fk(r)2391
3334 y Fo(i)24 b Ft(=)e Fo(h)p Fr(c)2602 3346 y Fl(1)2640
3334 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)2860 3346 y Fk(r)2897
3334 y Fo(i)165 3433 y Ft(\(Ind.)32 b(Ann.\))f(ist)g
Fr(d)776 3445 y Fk(r)r Fl(+1)925 3433 y Fo(6)p Ft(=)c(0.)k(Au\031erdem)
f(ist)h Fr(b)1670 3445 y Fk(r)r Fl(+1)1818 3433 y Fo(2)d(h)p
Fr(c)1969 3445 y Fk(r)r Fl(+1)2090 3433 y Fr(;)14 b(b)2163
3445 y Fl(1)2200 3433 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2421
3445 y Fk(r)2457 3433 y Fo(i)31 b Ft(und)g Fr(c)2725
3445 y Fk(r)r Fl(+1)2874 3433 y Fo(2)165 3533 y(h)p Fr(b)233
3545 y Fl(1)271 3533 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)491
3545 y Fk(r)r Fl(+1)611 3533 y Fo(i)p Ft(,)28 b(also)f(ist)h
Fo(h)p Fr(b)1045 3545 y Fl(1)1082 3533 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)
1303 3545 y Fk(r)r Fl(+1)1423 3533 y Fo(i)23 b Ft(=)g
Fo(h)p Fr(c)1634 3545 y Fl(1)1671 3533 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(c)
1892 3545 y Fk(r)r Fl(+1)2013 3533 y Fo(i)p Ft(.)165
3690 y Fq(Satz)33 b(8.2.13)40 b Fp(Sei)c Fr(V)46 b Fp(ein)27
b(Euklidischer)j(V)-6 b(ektorr)l(aum)26 b(der)i(Dimension)34
b Fr(n)23 b(<)f Fo(1)p Fp(.)28 b(Sei)165 3789 y Fr(B)g
Ft(=)22 b(\()p Fr(b)411 3801 y Fl(1)448 3789 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)669 3801 y Fk(n)714 3789 y Ft(\))30
b Fp(eine)g(Orthonormalb)l(asis)h(von)36 b Fr(V)49 b
Fp(und)38 b Fr(x)23 b Fo(2)h Fr(V)19 b Fp(.)30 b(Dann)f(gelten)666
4021 y Fr(x)23 b Ft(=)864 3917 y Fk(n)824 3942 y Fj(X)830
4118 y Fk(i)p Fl(=1)944 4021 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(b)1096
4033 y Fk(i)1124 4021 y Fo(i)p Fr(b)1192 4033 y Fk(i)1243
4021 y Ft(=)1370 3917 y Fk(n)1330 3942 y Fj(X)1336 4118
y Fk(i)p Fl(=1)1464 4021 y Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)g Ft(cos)n(\()p
Fr(\002)r Ft(\()p Fr(x;)g(b)1968 4033 y Fk(i)1997 4021
y Ft(\)\))p Fr(b)2097 4033 y Fk(i)2295 4021 y Fp(und)1212
4337 y Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)1343 4303 y Fl(2)1403 4337
y Ft(=)1530 4234 y Fk(n)1490 4259 y Fj(X)1496 4435 y
Fk(i)p Fl(=1)1610 4337 y Fo(h)p Fr(x;)g(b)1762 4349 y
Fk(i)1790 4337 y Fo(i)1822 4303 y Fl(2)1860 4337 y Fr(:)p
165 4490 394 4 v 195 4543 a Fe(5)255 4575 y Fn(Jo)295
4543 y Fa(\016)340 4575 y Fn(rgen)26 b(Amandus)f(Gram)h(\(1850{1916\))
195 4632 y Fe(6)255 4664 y Fn(Erhardt)g(Sc)n(hmidt)f(\(1876-1959\))p
eop end
%%Page: 248 109
TeXDict begin 248 108 bop 165 100 a Fn(248)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)165 282 y Fp(Beweis.)44 b Fo(h)514 220 y Fj(P)602
307 y Fk(i)629 282 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(b)781 294 y Fk(i)809
282 y Fo(i)p Fr(b)877 294 y Fk(i)905 282 y Fr(;)g(b)978
294 y Fk(j)1012 282 y Fo(i)51 b Ft(=)1209 220 y Fj(P)1297
282 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(b)1449 294 y Fk(i)1477 282 y
Fo(ih)p Fr(b)1577 294 y Fk(i)1605 282 y Fr(;)g(b)1678
294 y Fk(j)1712 282 y Fo(i)51 b Ft(=)e Fo(h)p Fr(x;)14
b(b)2061 294 y Fk(j)2096 282 y Fo(i)45 b Ft(f)2200 286
y(\177)2198 282 y(ur)f(alle)f Fr(b)2525 294 y Fk(j)2560
282 y Ft(,)g(also)g(gilt)165 382 y Fo(h)197 320 y Fj(P)285
382 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(b)437 394 y Fk(i)465 382 y Fo(i)p
Fr(b)533 394 y Fk(i)561 382 y Fr(;)g(y)s Fo(i)41 b Ft(=)g
Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)39 b Ft(f)1079 386 y(\177)1077
382 y(ur)g(alle)f Fr(y)44 b Fo(2)d Fr(V)58 b Ft(o)r(der)38
b Fo(h)1875 320 y Fj(P)1963 407 y Fk(i)1990 382 y Fo(h)p
Fr(x;)14 b(b)2142 394 y Fk(i)2170 382 y Fo(i)p Fr(b)2238
394 y Fk(i)2292 382 y Fo(\000)25 b Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)42
b Ft(=)e(0.)f(Ins-)165 482 y(b)r(esondere)23 b(ist)g
Fo(h)690 419 y Fj(P)778 506 y Fk(i)806 482 y Fo(h)p Fr(x;)14
b(b)958 494 y Fk(i)986 482 y Fo(i)p Fr(b)1054 494 y Fk(i)1091
482 y Fo(\000)c Fr(x;)1250 419 y Fj(P)1337 506 y Fk(i)1365
482 y Fo(h)p Fr(x;)k(b)1517 494 y Fk(i)1545 482 y Fo(i)p
Fr(b)1613 494 y Fk(i)1650 482 y Fo(\000)c Fr(x)p Fo(i)23
b Ft(=)f(0,)h(also)2164 419 y Fj(P)2252 482 y Fo(h)p
Fr(x;)14 b(b)2404 494 y Fk(i)2432 482 y Fo(i)p Fr(b)2500
494 y Fk(i)2551 482 y Ft(=)22 b Fr(x)p Ft(.)i(Dann)165
581 y(folgt)165 681 y Fo(k)p Fr(x)p Fo(k)296 651 y Fl(2)356
681 y Ft(=)f Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)24 b Ft(=)f Fo(h)783
619 y Fj(P)871 706 y Fk(i)898 681 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(b)1050
693 y Fk(i)1078 681 y Fo(i)p Fr(b)1146 693 y Fk(i)1174
681 y Fr(;)1211 619 y Fj(P)1298 706 y Fk(j)1333 681 y
Fo(h)p Fr(x;)g(b)1485 693 y Fk(j)1521 681 y Fo(i)p Fr(b)1589
693 y Fk(j)1624 681 y Fo(i)23 b Ft(=)1766 619 y Fj(P)1854
706 y Fk(i)1882 681 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(b)2034 693 y
Fk(i)2062 681 y Fo(i)2094 651 y Fl(2)2131 681 y Ft(.)165
852 y Fq(Satz)33 b(8.2.14)40 b Fp(Sei)34 b Fr(V)44 b
Fp(ein)25 b(Euklidischer)i(V)-6 b(ektorr)l(aum)25 b(und)g(sei)34
b Fr(U)e Fo(\022)22 b Fr(V)44 b Fp(ein)26 b(end)t(lich-)165
952 y(dimensionaler)32 b(Untervektorr)l(aum.)e(Dann)g(gilt)38
b Fr(V)43 b Ft(=)23 b Fr(U)28 b Fo(\010)18 b Fr(U)2163
922 y Fi(?)2219 952 y Fp(,)31 b(wob)l(ei)39 b Fr(U)2574
922 y Fi(?)2654 952 y Ft(:=)23 b Fo(f)p Fr(v)k Fo(2)165
1052 y Fr(V)19 b Fo(j8)p Fr(u)k Fo(2)g Fr(U)9 b Ft([)p
Fo(h)p Fr(u;)14 b(v)s Fo(i)23 b Ft(=)g(0])p Fo(g)29 b
Fp(das)h Ft(orthogonale)c(Komplemen)n(t)59 b Fp(von)36
b Fr(U)i Fp(ist.)165 1223 y(Beweis.)44 b Fr(U)d Ft(erbt)33
b(das)f(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)31 b(v)n(on)h Fr(V)19
b Ft(.)32 b(Sei)h Fr(b)1920 1235 y Fl(1)1957 1223 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2178 1235 y Fk(n)2255 1223 y Ft(eine)33
b(Orthonormal-)165 1323 y(basis)25 b(v)n(on)f Fr(U)9
b Ft(.)25 b(Sei)g Fr(f)32 b Ft(:)23 b Fr(V)42 b Fo(\000)-48
b(!)23 b Fr(U)31 b Fo(\022)23 b Fr(V)44 b Ft(de\014niert)25
b(durc)n(h)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))23 b(:=)2213
1260 y Fj(P)2301 1281 y Fk(n)2301 1348 y(i)p Fl(=1)2412
1323 y Fo(h)p Fr(v)s(;)14 b(b)2560 1335 y Fk(i)2588 1323
y Fo(i)p Fr(b)2656 1335 y Fk(i)2684 1323 y Ft(.)25 b(Dann)165
1422 y(gilt)j(f)340 1426 y(\177)338 1422 y(ur)g(alle)f
Fr(u)22 b Fo(2)i Fr(U)1123 1534 y(f)9 b Ft(\()p Fr(u)p
Ft(\))22 b(=)1395 1455 y Fj(X)1515 1534 y Fo(h)p Fr(u;)14
b(b)1668 1546 y Fk(i)1695 1534 y Fo(i)p Fr(b)1763 1546
y Fk(i)1814 1534 y Ft(=)22 b Fr(u:)165 1698 y Ft(Insb)r(esondere)33
b(gilt)h(Bi\()p Fr(f)9 b Ft(\))33 b(=)f Fr(U)9 b Ft(.)34
b(W)-7 b(eiter)34 b(ist)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))33
b(=)g(0)f Fo(\()-14 b(\))2213 1636 y Fj(P)2300 1698 y
Fo(h)p Fr(v)s(;)14 b(b)2448 1710 y Fk(i)2476 1698 y Fo(i)p
Fr(b)2544 1710 y Fk(i)2605 1698 y Ft(=)32 b(0)h Fo(\()-14
b(\))165 1798 y(8)p Fr(i)40 b Ft(=)f(1)p Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(n)p
Ft([)p Fo(h)p Fr(v)s(;)g(b)832 1810 y Fk(i)859 1798 y
Fo(i)40 b Ft(=)g(0])f Fo(\()-14 b(\))40 b(8)p Fr(u)g
Fo(2)g Fr(U)9 b Ft([)p Fo(h)p Fr(v)s(;)14 b(u)p Fo(i)40
b Ft(=)f(0])h Fo(\()-14 b(\))40 b Fr(v)j Fo(2)d Fr(U)2527
1768 y Fi(?)2583 1798 y Ft(.)e(Also)f(ist)165 1897 y
Fr(U)231 1867 y Fi(?)316 1897 y Ft(=)29 b(Ke)o(\()p Fr(f)9
b Ft(\))32 b(ein)f(Un)n(terv)n(ektorraum.)e(W)-7 b(eiter)32
b(ist)f Fr(f)1915 1867 y Fl(2)1952 1897 y Ft(\()p Fr(v)s
Ft(\))f(=)e Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(f)g Ft(\()p Fr(v)s Ft(\)\))30
b(=)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\),)31 b(w)n(eil)165
1997 y Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))45 b Fo(2)g Fr(U)9
b Ft(,)41 b(also)e Fr(f)826 1967 y Fl(2)907 1997 y Ft(=)44
b Fr(f)54 b Ft(=)-15 b Fo(\))45 b Fr(V)63 b Ft(=)44 b(Ke\()p
Fr(f)9 b Ft(\))27 b Fo(\010)g Ft(Bi)o(\()p Fr(f)9 b Ft(\))41
b(und)g(Ke\()p Fr(f)9 b Ft(\))44 b(=)g Fr(U)2694 1967
y Fi(?)2791 1997 y Ft(und)165 2097 y(Bi\()p Fr(f)9 b
Ft(\))23 b(=)g Fr(U)32 b Ft(=)-14 b Fo(\))23 b Fr(V)42
b Ft(=)22 b Fr(U)27 b Fo(\010)18 b Fr(U)1128 2067 y Fi(?)1212
2097 y Ft(\(vgl.)27 b(5.4.20\).)165 2268 y Fq(Bemerkung)32
b(8.2.15)39 b Ft(Die)h(ob)r(en)g(k)n(onstruierte)e(Abbildung)i
Fr(f)52 b Ft(:)43 b Fr(V)62 b Fo(\000)-48 b(!)43 b Fr(V)58
b Ft(hei\031t)165 2368 y Fp(Pr)l(ojektion)41 b(auf)e(den)g
(Untervektorr)l(aum)k Fr(U)9 b Ft(.)38 b(Wir)f(w)n(erden)g(sp)2231
2372 y(\177)2231 2368 y(ater)g(\(8.5.4\))g(zeigen,)165
2468 y(da\031)27 b Fr(f)36 b Ft(nic)n(h)n(t)28 b(v)n(on)f(der)g(W)-7
b(ahl)28 b(der)f(Orthonormalbasis)e Fr(b)1978 2480 y
Fl(1)2015 2468 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)2235 2480
y Fk(n)2308 2468 y Ft(v)n(on)26 b Fr(U)37 b Ft(abh)2692
2472 y(\177)2692 2468 y(angt.)165 2632 y Fq(F)-8 b(olgerung)31
b(8.2.16)40 b Fp(Sei)30 b Fr(V)40 b Fp(ein)21 b(end)t
(lichdimensionaler)k(Euklidischer)f(V)-6 b(ektorr)l(aum.)165
2731 y(Ist)37 b Fr(U)32 b Fo(\022)23 b Fr(V)48 b Fp(ein)31
b(Untervektorr)l(aum,)e(so)h(gelten)204 2880 y(1.)42
b Fr(V)g Ft(=)23 b Fr(U)k Fo(\010)18 b Fr(U)724 2850
y Fi(?)809 2880 y Fp(und)38 b Ft(dim)14 b Fr(V)42 b Ft(=)23
b(dim)14 b Fr(U)27 b Ft(+)18 b(dim)d Fr(U)1849 2850 y
Fi(?)1904 2880 y Fp(.)204 2979 y(2.)42 b Fr(U)379 2949
y Fi(??)510 2979 y Ft(=)22 b Fr(U)9 b Fp(.)165 3151 y(Beweis.)44
b Ft(1.)27 b(ist)h(trivial)290 3251 y(2.)36 b(W)-7 b(egen)36
b Fo(h)p Fr(u;)14 b(u)832 3220 y Fi(0)855 3251 y Fo(i)38
b Ft(=)g(0)e(f)1133 3255 y(\177)1131 3251 y(ur)g(alle)h
Fr(u)g Fo(2)h Fr(U)46 b Ft(und)36 b Fr(u)1911 3220 y
Fi(0)1972 3251 y Fo(2)i Fr(U)2131 3220 y Fi(?)2224 3251
y Ft(ist)f Fr(U)46 b Fo(\022)38 b Fr(U)2621 3220 y Fi(??)2728
3251 y Ft(.)f(Aus)165 3350 y(Dimensionsgr)657 3354 y(\177)655
3350 y(unden)27 b(folgt)h Fr(U)k Ft(=)22 b Fr(U)1337
3320 y Fi(??)165 3522 y Fq(De\014nition)31 b(8.2.17)40
b Ft(Sei)26 b Fr(V)45 b Ft(ein)26 b(Euklidisc)n(her)f(V)-7
b(ektorraum)25 b(und)h(seien)g Fr(U)2606 3534 y Fl(1)2643
3522 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(U)2884 3534 y Fk(n)165
3621 y Ft(Un)n(terv)n(ektorr)636 3625 y(\177)636 3621
y(aume)26 b(v)n(on)g Fr(V)19 b Ft(.)28 b Fr(V)47 b Ft(ist)27
b Fp(ortho)l(gonale)32 b(Summe)61 b Ft(der)27 b Fr(U)2312
3633 y Fk(i)2339 3621 y Ft(,)h(w)n(enn)207 3770 y(1.)41
b Fr(V)h Ft(=)23 b Fr(U)548 3782 y Fl(1)603 3770 y Ft(+)18
b Fr(:)c(:)g(:)k Ft(+)g Fr(U)941 3782 y Fk(n)986 3770
y Ft(,)207 3869 y(2.)41 b Fo(8)p Fr(i)23 b Fo(6)p Ft(=)f
Fr(j)5 b Ft([)p Fr(U)617 3881 y Fk(i)668 3869 y Fo(?)22
b Fr(U)812 3881 y Fk(j)847 3869 y Ft(]\()28 b(d.h.)g
Fo(8)p Fr(x)c Fo(2)f Fr(U)1348 3881 y Fk(i)1375 3869
y Fr(;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(U)1615 3881 y Fk(j)1649
3869 y Ft([)p Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)24 b Ft(=)f(0]\).)165
4034 y Fq(Bemerkung)32 b(8.2.18)39 b Ft(Eine)27 b(orthogonale)f(Summe)i
(ist)g(eine)f(direkte)h(Summe.)165 4205 y Fp(Beweis.)44
b Ft(Sei)615 4143 y Fj(P)703 4230 y Fk(i)745 4205 y Fr(u)793
4217 y Fk(i)843 4205 y Ft(=)22 b(0.)28 b(Dann)g(ist)f
Fo(h)p Fr(u)1443 4217 y Fk(j)1478 4205 y Fr(;)14 b(u)1563
4217 y Fk(j)1598 4205 y Fo(i)23 b Ft(=)f Fo(h)1772 4143
y Fj(P)1860 4230 y Fk(i)1902 4205 y Fr(u)1950 4217 y
Fk(i)1977 4205 y Fr(;)14 b(u)2062 4217 y Fk(j)2096 4205
y Fo(i)24 b Ft(=)e(0,)28 b(also)e Fr(u)2546 4217 y Fk(j)2604
4205 y Ft(=)c(0.)165 4377 y Fq(Satz)33 b(8.2.19)40 b
Fp(Je)l(der)29 b(end)t(lichdimensionale)j(Euklidische)g(V)-6
b(ektorr)l(aum)28 b(ist)h(eine)g(or-)165 4476 y(tho)l(gonale)i(Summe)e
(von)h(eindimensionalen)i(Untervektorr)2105 4480 y(\177)2106
4476 y(aumen.)165 4648 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)18 b Fr(b)642
4660 y Fl(1)679 4648 y Fr(;)c(:)g(:)g(:)g(;)g(b)900 4660
y Fk(n)963 4648 y Ft(eine)19 b(Orthonormalbasis.)d(Dann)j(ist)g
Fr(V)42 b Ft(=)22 b Fm(R)p Fr(b)2410 4660 y Fl(1)2470
4648 y Fo(?)h Fr(:)14 b(:)g(:)23 b Fo(?)f Fm(R)p Fr(b)2861
4660 y Fk(n)2906 4648 y Ft(.)p eop end
%%Page: 249 110
TeXDict begin 249 109 bop 1724 100 a Fn(8.2)43 b(Normierte)26
b(V)-6 b(ektorr)2484 103 y(\177)2484 100 y(aume)151 b(249)178
266 y Fq(\177)165 282 y(Ubungen)32 b(8.2.20)81 b Ft(1.)41
b(Zeigen)27 b(Sie,)g(da\031)f(in)i(einem)f(Euklidisc)n(hen)f(V)-7
b(ektorraum)26 b Fr(V)313 382 y Ft(gilt)1002 516 y Fo(h)p
Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)24 b Ft(=)1316 460 y(1)p 1316 497
42 4 v 1316 573 a(4)1381 449 y Fj(\000)1419 516 y Fo(jj)p
Fr(x)19 b Ft(+)f Fr(y)s Fo(jj)1704 482 y Fl(2)1760 516
y Fo(\000)g(jj)p Fr(x)h Fo(\000)f Fr(y)s Fo(jj)2128 482
y Fl(2)2165 449 y Fj(\001)2217 516 y Fr(:)207 679 y Ft(2.)41
b(Zeigen)27 b(Sie,)h(da\031)e(in)i(einem)g(Euklidisc)n(hen)f(V)-7
b(ektorraum)26 b Fr(V)47 b Ft(gilt)914 845 y Fo(jj)p
Fr(x)19 b Ft(+)f Fr(y)s Fo(jj)1199 811 y Fl(2)1255 845
y Ft(+)g Fo(jj)p Fr(x)h Fo(\000)f Fr(y)s Fo(jj)1623 811
y Fl(2)1683 845 y Ft(=)k(2)p Fo(jj)p Fr(x)p Fo(jj)1951
811 y Fl(2)2007 845 y Ft(+)c(2)p Fo(jj)p Fr(y)s Fo(jj)2268
811 y Fl(2)2305 845 y Fr(:)207 1011 y Ft(3.)41 b(Zeigen)27
b(Sie:)h(w)n(enn)f(in)h(einem)g(normierten)f(V)-7 b(ektorraum)26
b Fr(V)1248 1177 y Fo(jj)p Fr(x)19 b Ft(+)f Fr(y)s Fo(jj)1533
1143 y Fl(2)1589 1177 y Fo(\000)g(jj)p Fr(x)h Fo(\000)f
Fr(y)s Fo(jj)1957 1143 y Fl(2)313 1343 y Ft(linear)23
b(in)i Fr(x)f Ft(und)h(in)f Fr(y)j Ft(ist,)d(dann)h(ist)f
Fr(V)43 b Ft(ein)24 b(Euklidisc)n(her)f(V)-7 b(ektorraum)23
b(und)h Fo(jj)p Fr(x)p Fo(jj)313 1443 y Ft(die)k(durc)n(h)f(ein)h(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt)26 b(de\014nierte)i(Norm.)207 1542 y(4.)41
b(Betrac)n(h)n(ten)e(Sie)h Fm(R)955 1512 y Fl(4)1032
1542 y Ft(als)f(Euklidisc)n(hen)g(V)-7 b(ektorraum)39
b(mit)h(dem)g(k)-5 b(anonisc)n(hen)313 1642 y(Sk)g(alarpro)r(dukt.)26
b(Seien)i Fr(u;)14 b(x;)g(y)s(;)g(z)26 b Fo(2)d Fm(R)1548
1612 y Fl(4)1613 1642 y Ft(gegeb)r(en)k(mit)1116 1802
y Fr(u)c Ft(=)g(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(0)p
Fr(;)g Ft(1\))p Fr(;)23 b(x)g Ft(=)g(\()p Fo(\000)p Ft(1)p
Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))p Fr(;)991
1902 y(y)26 b Ft(=)c(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)14 b
Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)g Ft(2)p Fr(;)g Ft(1\))p Fr(;)28
b(z)e Ft(=)d(\(2)p Fr(;)14 b Ft(2)p Fr(;)g Ft(3)p Fr(;)g
Fo(\000)p Ft(2\))p Fr(:)345 2069 y Ft(a\))42 b(Zeigen)17
b(Sie,)i(da\031)e(je)i(zw)n(ei)f(der)g(gegeb)r(enen)g(V)-7
b(ektoren)18 b(orthogonal)e(zueinander)461 2169 y(sind)31
b(und)h(normieren)f(Sie)h(die)f(gegeb)r(enen)g(V)-7 b(ektoren)31
b(zu)h(einer)f(Orthonor-)461 2268 y(malbasis.)341 2368
y(b\))42 b(Dr)559 2372 y(\177)557 2368 y(uc)n(k)n(en)26
b(Sie)h(den)g(V)-7 b(ektor)27 b(\(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p
Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(1\))25 b(als)h(Lineark)n(om)n(bination)f(den)i
(gefun-)461 2468 y(denen)g(Orthonormalbasis)e(aus.)207
2567 y(5.)41 b(Betrac)n(h)n(ten)e(Sie)h Fm(R)955 2537
y Fl(2)1032 2567 y Ft(als)f(Euklidisc)n(hen)g(V)-7 b(ektorraum)39
b(mit)h(dem)g(k)-5 b(anonisc)n(hen)313 2667 y(Sk)g(alarpro)r(dukt.)42
b(Ben)n(utzen)h(Sie)g(das)g(Gram-Sc)n(hmidtsc)n(he)f(Orthonormalisie-)
313 2766 y(rungsv)n(erfahren,)25 b(um)j(aus)f(jeder)h(der)f(Mengen)791
2932 y Fo(f)p Ft(\(1)p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(3\))p Fr(;)g
Ft(\(2)p Fr(;)g Ft(2\))p Fo(g)191 b Ft(bzw.)j Fo(f)p
Ft(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\(3)p Fr(;)g Fo(\000)p
Ft(5\))p Fo(g)313 3099 y Ft(eine)28 b(Orthonormalbasis)c(zu)k(mac)n
(hen.)207 3198 y(6.)41 b(Betrac)n(h)n(ten)e(Sie)h Fm(R)955
3168 y Fl(4)1032 3198 y Ft(als)f(Euklidisc)n(hen)g(V)-7
b(ektorraum)39 b(mit)h(dem)g(k)-5 b(anonisc)n(hen)313
3298 y(Sk)g(alarpro)r(dukt.)42 b(Ben)n(utzen)h(Sie)g(das)g(Gram-Sc)n
(hmidtsc)n(he)f(Orthonormalisie-)313 3397 y(rungsv)n(erfahren,)25
b(um)j(aus)f(der)g(Menge)777 3563 y Fo(f)p Ft(\(0)p Fr(;)14
b Ft(2)p Fr(;)g Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))p Fr(;)g Ft(\(1)p
Fr(;)g Fo(\000)p Ft(1)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))p
Fr(;)g Ft(\(1)p Fr(;)g Ft(2)p Fr(;)g Ft(0)p Fr(;)g Fo(\000)p
Ft(1)o(\))p Fr(;)g Ft(\(1)p Fr(;)g Ft(0)o Fr(;)g Ft(0)p
Fr(;)g Ft(1)o(\))p Fo(g)313 3729 y Ft(eine)28 b(Orthonormalbasis)c(zu)k
(mac)n(hen.)207 3829 y(7.)41 b(Betrac)n(h)n(ten)e(Sie)h
Fm(R)955 3799 y Fl(3)1032 3829 y Ft(als)f(Euklidisc)n(hen)g(V)-7
b(ektorraum)39 b(mit)h(dem)g(k)-5 b(anonisc)n(hen)313
3929 y(Sk)g(alarpro)r(dukt.)28 b(Sei)h Fr(U)k Fo(\022)25
b Fm(R)1255 3899 y Fl(3)1321 3929 y Ft(der)k(Un)n(terv)n(ektorraum,)d
(der)j(v)n(on)f(den)h(V)-7 b(ektoren)313 4028 y(\(0)p
Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(2\))23 b(und)h(\()p Fo(\000)p
Ft(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(1\))22 b(erzeugt)i(wird.)f(Ben)n
(utzen)h(Sie)g(das)f(Gram-Sc)n(hmidtsc)n(he)313 4128
y(Orthonormalisierungsv)n(erfahren,)c(um)24 b(eine)f(Orthonormalbasis)e
(v)n(on)h Fr(U)33 b Ft(zu)23 b(\014n-)313 4228 y(den.)207
4327 y(8.)41 b(Sei)c Fr(P)509 4339 y Fl(2)583 4327 y
Ft(der)g(V)-7 b(ektorraum)36 b(der)g(reellen)g(P)n(olynome)g(v)n(om)g
(Grad)g Fo(\024)i Ft(2)e(mit)i(dem)313 4427 y(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)
1190 4581 y Fo(h)p Fr(p;)14 b(q)s Fo(i)23 b Ft(=)1484
4468 y Fj(Z)1567 4489 y Fl(1)1530 4657 y Fi(\000)p Fl(1)1633
4581 y Fr(p)p Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(q)s Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fr(dx:)p eop end
%%Page: 250 111
TeXDict begin 250 110 bop 165 100 a Fn(250)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)345 282 y Ft(a\))42 b(Ben)n(utzen)j(Sie)h(das)f(Gram-Sc)n
(hmidtsc)n(he)g(Orthonormalisierungsv)n(erfah-)461 382
y(ren,)26 b(um)h(aus)f(der)g(Menge)g Fo(f)p Ft(1)p Fr(;)14
b(x;)g(x)1573 352 y Fl(2)1610 382 y Fo(g)26 b Ft(eine)h
(Orthonormalbasis)d(zu)j(mac)n(hen.)461 482 y(\(Sie)h(erhalten)f(die)g
(ersten)h(drei)f(normalisierten)f(Legendre)2370 451 y
Fl(7)2434 482 y Ft(P)n(olynome.\))341 581 y(b\))42 b(Dr)559
585 y(\177)557 581 y(uc)n(k)n(en)c(Sie)i(die)g(folgenden)f(P)n(olynome)
f(als)h(Lineark)n(om)n(binationen)f(der)461 681 y(gefundenen)27
b(Legendre)g(P)n(olynome)f(aus:)1187 838 y(1)18 b(+)g
Fr(x)h Ft(+)f(2)p Fr(x)1568 804 y Fl(2)1605 838 y Fr(;)c
Ft(3)k Fo(\000)g Ft(4)p Fr(x)1874 804 y Fl(2)1911 838
y Fr(;)c Ft(5)k(+)g(2)p Fr(x:)207 995 y Ft(9.)41 b(Zeigen)d(Sie,)i
(da\031)e(in)i(einem)f(Euklidisc)n(hen)g(V)-7 b(ektorraum)38
b Fo(jj)p Fr(x)p Fo(jj)43 b Ft(=)f Fo(jj)p Fr(y)s Fo(jj)d
Ft(genau)313 1095 y(dann)27 b(gilt,)h(w)n(enn)g Fr(x)19
b Ft(+)f Fr(y)30 b Ft(und)e Fr(x)19 b Fo(\000)f Fr(y)30
b Ft(zueinander)d(orthogonal)f(sind.)165 1399 y Fs(8.3)42
b(Die)c(Hessesc)m(he)g(Normalform)165 1582 y Ft(Eine)33
b(sc)n(h)475 1586 y(\177)475 1582 y(one)f(An)n(w)n(endung)g(des)h(Sk)-5
b(alarpro)r(dukts)32 b(in)h(einem)g(Euklidisc)n(hen)f(V)-7
b(ektor-)165 1681 y(raum)24 b(ist)g(die)g(Hessesc)n(he)974
1651 y Fl(8)1034 1681 y Ft(Normalform,)f(mit)i(der)e(ein)i(a\016ner)e
(Un)n(terraum)g(b)r(esc)n(hrie-)165 1781 y(b)r(en)28
b(w)n(erden)f(k)-5 b(ann.)165 1932 y Fq(De\014nition)31
b(und)h(Lemma)g(8.3.1)39 b Fp(Sei)55 b Fr(V)72 b Fp(ein)54
b(end)t(lichdimensionaler)k(Euklidi-)165 2032 y(scher)35
b(V)-6 b(ektorr)l(aum.)34 b(Sei)g Fr(a)21 b Ft(+)g Fr(U)43
b Fp(ein)34 b(a\016ner)h(Unterr)l(aum)66 b(von)34 b Fr(V)19
b Fp(,)35 b(und)e Fr(b)2631 2001 y Fi(0)2631 2052 y Fl(1)2668
2032 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2889 2001 y Fi(0)2889
2055 y Fk(k)165 2131 y Fp(eine)31 b(Orthonormalb)l(asis)g(von)f
Fr(U)1233 2101 y Fi(?)1289 2131 y Fp(.)g(Dann)f(gilt)695
2284 y Fr(a)18 b Ft(+)g Fr(U)34 b Ft(=)22 b Fo(f)p Fr(x)i
Fo(2)f Fr(V)c Fo(j8)p Fr(z)26 b Fo(2)e Fr(U)1555 2254
y Fi(?)1634 2284 y Ft(:)f Fo(h)p Fr(z)t(;)14 b(x)k Fo(\000)g
Fr(a)p Fo(i)23 b Ft(=)g(0)p Fo(g)931 2383 y Ft(=)f Fo(f)p
Fr(x)i Fo(2)f Fr(V)c Fo(j8)p Fr(i)k Ft(=)f(1)p Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)f(;)h(k)26 b Ft(:)d Fo(h)p Fr(b)1893 2353
y Fi(0)1893 2405 y Fk(i)1921 2383 y Fr(;)14 b(x)19 b
Fo(\000)f Fr(a)p Fo(i)23 b Ft(=)g(0)p Fo(g)p Fr(:)165
2537 y Fp(Die)30 b(Gleichungen)1286 2637 y Fo(h)p Fr(u)1366
2649 y Fk(i)1394 2637 y Fr(;)14 b(x)19 b Fo(\000)f Fr(a)p
Fo(i)23 b Ft(=)g(0)165 2771 y Fp(hei\031en)31 b Ft(Hessesc)n(he)26
b(Normalform)i Fp(von)i Fr(a)19 b Ft(+)f Fr(U)9 b Fp(.)165
2920 y(Beweis.)44 b Fo(h)p Fr(z)t(;)14 b(x)p Fo(i)29
b Ft(=)g Fo(h)p Fr(z)t(;)14 b(a)p Fo(i)29 b(\()-14 b(\))30
b(h)p Fr(z)t(;)14 b(x)20 b Fo(\000)h Fr(a)p Fo(i)29 b
Ft(=)g(0)g Fo(\()-14 b(\))30 b Fr(x)21 b Fo(\000)g Fr(a)29
b Fo(2)h Fr(U)2290 2890 y Fi(??)2427 2920 y Ft(=)e Fr(U)38
b Fo(\()-14 b(\))30 b Fr(x)g Fo(2)165 3020 y Fr(a)19
b Ft(+)f Fr(U)9 b Ft(.)165 3169 y Fq(Lemma)32 b(8.3.2)40
b Fp(Sei)f Fr(b)24 b Fo(2)h Fr(V)19 b Fp(.)31 b(Dann)f(gibt)h(es)f
(genau)h(ein)37 b Fr(x)2080 3181 y Fi(\016)2143 3169
y Fo(2)25 b Fr(a)19 b Ft(+)g Fr(U)39 b Fp(mit)f Fr(b)19
b Fo(\000)g Fr(x)2811 3181 y Fi(\016)2874 3169 y Fo(2)165
3268 y Fr(U)231 3238 y Fi(?)287 3268 y Fp(.)165 3417
y(Beweis.)44 b Fr(b)22 b Fo(\000)h Fr(a)35 b Fo(2)g Fr(U)d
Fo(\010)23 b Fr(U)1040 3387 y Fi(?)1130 3417 y Ft(=)-14
b Fo(\))35 b Fr(b)23 b Fo(\000)f Fr(a)35 b Ft(=)f Fr(u)23
b Ft(+)g Fr(u)1830 3387 y Fi(?)1920 3417 y Ft(=)-14 b
Fo(\))35 b Fr(b)23 b Fo(\000)f Ft(\()p Fr(a)i Ft(+)e
Fr(u)p Ft(\))35 b(=)f Fr(u)2684 3387 y Fi(?)2740 3417
y Ft(.)h(Mit)165 3517 y Fr(x)212 3529 y Fi(\016)285 3517
y Ft(:=)f Fr(a)23 b Ft(+)f Fr(u)34 b Ft(gilt)h Fr(b)22
b Fo(\000)h Fr(x)991 3529 y Fi(\016)1063 3517 y Ft(=)34
b Fr(u)1210 3487 y Fi(?)1300 3517 y Fo(2)h Fr(U)1456
3487 y Fi(?)1511 3517 y Ft(.)g(Sei)f Fr(b)23 b Fo(\000)f
Fr(x)35 b Fo(2)g Fr(U)2093 3487 y Fi(?)2148 3517 y Fr(;)14
b(b)23 b Fo(\000)f Fr(x)2378 3487 y Fi(0)2436 3517 y
Fo(2)35 b Fr(U)2592 3487 y Fi(?)2648 3517 y Fr(;)14 b(x;)g(x)2816
3487 y Fi(0)2874 3517 y Fo(2)165 3617 y Fr(a)19 b Ft(+)f
Fr(U)32 b Ft(=)-15 b Fo(\))23 b Fr(x)c Fo(\000)f Fr(x)752
3586 y Fi(0)799 3617 y Fo(2)23 b Fr(U)943 3586 y Fi(?)1018
3617 y Fo(\\)18 b Fr(U)32 b Ft(=)23 b(0)f(=)-14 b Fo(\))23
b Fr(x)h Ft(=)e Fr(x)1694 3586 y Fi(0)1718 3617 y Ft(.)290
3766 y(Aus)28 b(der)f(Besc)n(hreibung)g(eines)g(a\016nen)h(Un)n
(terraumes)e(erhalten)i(wir)f(jetzt)h(leic)n(h)n(t)165
3865 y(den)g(Abstand)g(v)n(on)f(b)r(eliebigen)h(Punkten)f(zu)h(ihm.)165
4016 y Fq(Satz)33 b(8.3.3)40 b Fp(Sei)e Fr(b)19 b Fo(\000)f
Fr(x)947 4028 y Fi(\016)1008 4016 y Fo(2)24 b Fr(U)1153
3986 y Fi(?)1208 4016 y Fr(;)14 b(x)1292 4028 y Fi(\016)1354
4016 y Fo(2)23 b Fr(a)c Ft(+)f Fr(U)9 b Fp(.)30 b(Dann)f(gilt)899
4174 y Fo(k)p Fr(b)17 b Fo(\000)i Fr(x)1125 4186 y Fi(\016)1163
4174 y Fo(k)k Ft(=)f Fp(Min)q Fo(fk)p Fr(b)17 b Fo(\000)h
Fr(x)p Fo(kj)p Fr(x)24 b Fo(2)f Fr(a)18 b Ft(+)g Fr(U)9
b Fo(g)165 4331 y(k)p Fr(b)14 b Fo(\000)f Fr(x)382 4343
y Fi(\016)421 4331 y Fo(k)27 b Fp(hei\031t)h Ft(Abstand)g
Fp(von)35 b Fr(b)27 b Fp(nach)35 b Fr(a)14 b Ft(+)g Fr(U)9
b Fp(,)27 b Fr(x)1762 4343 y Fi(\016)1829 4331 y Fp(hei\031t)h
Ft(F)-7 b(u\031punkt)26 b(des)f(Lotes)55 b Fp(von)165
4430 y Fr(b)30 b Fp(auf)47 b Fr(a)19 b Ft(+)f Fr(U)9
b Fp(.)p 165 4490 394 4 v 195 4543 a Fe(7)255 4575 y
Fn(Adrien)25 b(Marie)i(Legendre)f(\(1752-1833\))195 4632
y Fe(8)255 4664 y Fn(Ludwig)g(Otto)g(Hesse)g(\(1811-1874\))p
eop end
%%Page: 251 112
TeXDict begin 251 111 bop 1626 100 a Fn(8.3)43 b(Die)26
b(Hessesc)n(he)g(Normalform)153 b(251)165 282 y Fp(Beweis.)44
b Fo(k)p Fr(b)10 b Fo(\000)g Fr(x)p Fo(k)734 252 y Fl(2)792
282 y Ft(=)23 b Fo(k)p Ft(\()p Fr(b)10 b Fo(\000)g Fr(x)1122
294 y Fi(\016)1159 282 y Ft(\))g(+)g(\()p Fr(x)1355 294
y Fi(\016)1403 282 y Fo(\000)g Fr(x)p Ft(\))p Fo(k)1599
252 y Fl(2)1658 282 y Ft(=)23 b Fo(k)p Fr(b)10 b Fo(\000)g
Fr(x)1956 294 y Fi(\016)1993 282 y Fo(k)2035 252 y Fl(2)2081
282 y Ft(+)g Fo(k)p Fr(x)2245 294 y Fi(\016)2292 282
y Fo(\000)g Fr(x)p Fo(k)2456 252 y Fl(2)2516 282 y Fo(\025)23
b(k)p Fr(b)10 b Fo(\000)g Fr(x)2814 294 y Fi(\016)2850
282 y Fo(k)2892 252 y Fl(2)165 382 y Ft(w)n(egen)27 b
Fr(b)18 b Fo(\000)g Fr(x)596 394 y Fi(\016)658 382 y
Fo(2)23 b Fr(U)802 352 y Fi(?)858 382 y Fr(;)14 b(x)942
394 y Fi(\016)999 382 y Fo(\000)k Fr(x)24 b Fo(2)f Fr(U)9
b Ft(.)165 541 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.3.4)40 b Fo(k)p
Fr(b)17 b Fo(\000)h Fr(x)1071 553 y Fi(\016)1110 541
y Fo(k)23 b Ft(=)f Fo(k)1318 479 y Fj(P)1405 499 y Fk(k)1405
566 y(i)p Fl(=1)1517 541 y Fo(h)p Fr(b)c Fo(\000)g Fr(a;)c(u)1815
511 y Fi(0)1815 563 y Fk(i)1842 541 y Fo(i)p Fr(u)1922
511 y Fi(0)1922 563 y Fk(i)1949 541 y Fo(k)23 b Ft(=)2102
471 y Fj(p)p 2185 471 483 4 v 8 x(P)2272 541 y Fo(h)p
Fr(u)2352 512 y Fi(0)2352 564 y Fk(i)2380 541 y Fr(;)14
b(b)k Fo(\000)g Fr(a)p Fo(i)2630 517 y Fl(2)2697 541
y Fp(ist)30 b(der)165 641 y(A)n(bstand)g(von)36 b Fr(b)30
b Fp(nach)36 b Fr(a)19 b Ft(+)f Fr(U)9 b Fp(.)165 800
y(Beweis.)44 b Ft(8.3.1)30 b(=)-14 b Fo(\))30 b Fr(b)21
b Fo(\000)g Fr(x)1038 812 y Fi(\016)1107 800 y Fo(2)31
b Fr(U)1259 770 y Fi(?)1347 800 y Ft(und)h Fr(b)21 b
Fo(\000)g Fr(a)30 b Ft(=)g Fr(u)21 b Ft(+)g(\()p Fr(b)g
Fo(\000)g Fr(x)2206 812 y Fi(\016)2244 800 y Ft(\))31
b(=)-14 b Fo(\))30 b(h)p Fr(b)21 b Fo(\000)g Fr(a;)14
b(u)2775 770 y Fi(0)2775 821 y Fk(i)2802 800 y Fo(i)31
b Ft(=)165 899 y Fo(h)p Fr(b)19 b Fo(\000)f Fr(x)382
911 y Fi(\016)420 899 y Fr(;)c(u)505 869 y Fi(0)505 921
y Fk(i)532 899 y Fo(i)24 b Ft(=)-14 b Fo(\))23 b(k)p
Fr(b)17 b Fo(\000)h Fr(x)970 911 y Fi(\016)1009 899 y
Fo(k)k Ft(=)h Fo(k)1217 837 y Fj(P)1304 899 y Fo(h)p
Fr(b)18 b Fo(\000)g Fr(x)1520 911 y Fi(\016)1559 899
y Fr(;)c(u)1644 869 y Fi(0)1644 921 y Fk(i)1671 899 y
Fo(i)p Fr(u)1751 869 y Fi(0)1751 921 y Fk(i)1779 899
y Fo(k)22 b Ft(=)h Fo(k)1987 837 y Fj(P)2074 899 y Fo(h)p
Fr(b)18 b Fo(\000)g Fr(a;)c(u)2372 869 y Fi(0)2372 921
y Fk(i)2399 899 y Fo(i)p Fr(u)2479 869 y Fi(0)2479 921
y Fk(i)2507 899 y Fo(k)p Ft(.)290 1059 y(Der)23 b(F)-7
b(all)22 b(eines)h(a\016nen)f(Un)n(terraumes)g(der)g(Ko)r(dimension)g
(1)h(ist)g(der)f(b)r(ek)-5 b(ann)n(teste)165 1158 y(F)e(all)41
b(der)f(Hessesc)n(hen)g(Normalform.)f(Er)h(ergibt)g(sic)n(h)h(leic)n(h)
n(t)f(aus)g(den)h(bisherigen)176 1240 y(\177)165 1258
y(Ub)r(erlegungen.)165 1415 y Fq(Bemerkung)32 b(8.3.5)39
b Ft(Ist)27 b(dim)15 b Fr(U)31 b Ft(=)23 b Fr(n)16 b
Fo(\000)h Ft(1,)26 b(so)g(ist)h(dim)14 b Fr(U)2037 1385
y Fi(?)2116 1415 y Ft(=)23 b(1.)j(Ist)h Fr(u)2465 1385
y Fi(0)2515 1415 y Ft(eine)f(Ortho-)165 1514 y(normalbasis)k(v)n(on)h
Fr(U)854 1484 y Fi(?)910 1514 y Ft(,)g(so)g(liegen)g(zw)n(ei)g(Punkte)g
Fr(b;)14 b(b)1897 1484 y Fi(0)1951 1514 y Ft(genau)31
b(dann)2407 1563 y(")2445 1514 y(auf)g(derselb)r(en)165
1614 y(Seite)-6 b(\\)31 b(v)n(on)25 b Fr(a)14 b Ft(+)g
Fr(U)9 b Ft(,)23 b(w)n(enn)j Fo(h)p Fr(u)1104 1584 y
Fi(0)1127 1614 y Fr(;)14 b(b)g Fo(\000)g Fr(a)p Fo(i)23
b Ft(und)j Fo(h)p Fr(u)1636 1584 y Fi(0)1659 1614 y Fr(;)14
b(b)1732 1584 y Fi(0)1769 1614 y Fo(\000)g Fr(a)p Fo(i)24
b Ft(dasselb)r(e)h(V)-7 b(orzeic)n(hen)24 b(hab)r(en.)165
1714 y Fo(h)p Fr(x)15 b Fo(\000)f Fr(a;)g(u)467 1683
y Fi(0)490 1714 y Fo(i)23 b Ft(=)g(0)i(ist)g(dann)h(die)f(Hessesc)n(he)
g(Normalform)f(v)n(on)g Fr(a)14 b Ft(+)g Fr(U)34 b Ft(und)26
b Fo(jh)p Fr(b)14 b Fo(\000)g Fr(a;)g(u)2851 1683 y Fi(0)2874
1714 y Fo(ij)165 1813 y Ft(der)28 b(Abstand)f(v)n(on)g
Fr(b)h Ft(zu)f Fr(a)19 b Ft(+)f Fr(U)9 b Ft(.)178 1954
y Fq(\177)165 1970 y(Ubungen)32 b(8.3.6)82 b Ft(1.)41
b(Betrac)n(h)n(ten)g(Sie)j Fm(R)1608 1940 y Fl(3)1688
1970 y Ft(als)e(Euklidisc)n(hen)h(V)-7 b(ektorraum)42
b(mit)313 2070 y(dem)32 b(k)-5 b(anonisc)n(hen)30 b(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt.)30 b(Sei)i Fr(U)38 b Fo(\022)29 b Fm(R)1918
2040 y Fl(3)1986 2070 y Ft(der)i(Un)n(terv)n(ektorraum,)f(der)313
2169 y(v)n(on)35 b(den)h(V)-7 b(ektoren)36 b(\()1047
2137 y Fl(3)p 1047 2151 34 4 v 1047 2198 a(5)1090 2169
y Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)1216 2137 y Fl(4)p 1216 2151
V 1216 2198 a(5)1259 2169 y Ft(\))36 b(und)g(\(0)p Fr(;)14
b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))35 b(erzeugt)h(wird.)g(Dr)2419
2173 y(\177)2417 2169 y(uc)n(k)n(en)f(Sie)h(den)313 2269
y(V)-7 b(ektor)29 b Fr(x)f Ft(=)f(\(1)p Fr(;)14 b Ft(2)p
Fr(;)g Ft(3\))29 b(als)g(Summe)i(v)n(on)e(zw)n(ei)g(V)-7
b(ektoren)30 b Fr(x)d Ft(=)g Fr(y)c Ft(+)c Fr(z)34 b
Ft(mit)c Fr(y)g Fo(2)d Fr(U)313 2369 y Ft(und)h Fr(z)e
Fo(2)e Fr(U)689 2339 y Fi(?)772 2369 y Ft(aus.)207 2468
y(2.)41 b(Zeigen)19 b(Sie,)g(da\031)g(die)g(L)1042 2472
y(\177)1042 2468 y(osungsmenge)f(der)h(Gleic)n(h)n(ung)g(5)p
Fr(x)r Fo(\000)r Ft(3)p Fr(y)5 b Ft(+)r Fr(z)24 b Ft(=)f(2)c(eine)g
(a\016ne)313 2568 y(Eb)r(ene)34 b Fr(A)h Ft(=)f Fr(a)22
b Ft(+)h Fr(U)43 b Ft(im)35 b(Euklidisc)n(hen)e(V)-7
b(ektorraum)33 b Fm(R)2167 2538 y Fl(3)2239 2568 y Ft(ist)i(und)f(b)r
(estimmen)313 2668 y(Sie)29 b(die)h(Hessesc)n(he)e(Normalform)g(daf)
1548 2672 y(\177)1546 2668 y(ur.)i(Finden)g(Sie)f(den)h(F)-7
b(u\031punkt)30 b(v)n(on)e Fr(x)f Ft(=)313 2767 y(\(1)p
Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(2)p Fr(;)g Ft(4\))26 b(in)i Fr(A)g
Ft(und)g(seinen)f(Abstand)h(zu)g Fr(A)p Ft(.)207 2867
y(3.)41 b(Im)28 b(Euklidisc)n(hen)f Fm(R)986 2837 y Fl(3)1051
2867 y Ft(sei)g(die)h(Gerade)e Fr(G)i Ft(durc)n(h)1063
3034 y Fr(x)c Ft(=)e(2)p Fr(t;)14 b(y)25 b Ft(=)e Fo(\000)p
Fr(t;)14 b(z)26 b Ft(=)c(4)p Fr(t)83 b Ft(\()p Fr(t)23
b Fo(2)h Fm(R)p Ft(\))313 3202 y(gegeb)r(en.)g(Finden)i(Sie)f(den)g(F)
-7 b(u\031punkt)25 b(v)n(on)f(\(2)p Fr(;)14 b Ft(1)p
Fr(;)g Ft(1\))24 b(in)h Fr(G)g Ft(und)g(seinen)g(Abstand)313
3301 y(zu)j Fr(G)p Ft(.)207 3401 y(4.)41 b(Im)25 b Fm(R)497
3371 y Fl(3)558 3401 y Ft(seien)g(die)f(Geraden)g Fr(G)1284
3413 y Fl(1)1345 3401 y Ft(=)e Fr(a)1476 3413 y Fl(1)1526
3401 y Ft(+)12 b Fr(U)1660 3413 y Fl(1)1721 3401 y Ft(und)25
b Fr(G)1949 3413 y Fl(2)2009 3401 y Ft(=)e Fr(a)2141
3413 y Fl(2)2190 3401 y Ft(+)12 b Fr(U)2324 3413 y Fl(2)2386
3401 y Ft(gegeb)r(en,)24 b(w)n(ob)r(ei)1131 3563 y Fr(a)1175
3575 y Fl(1)1235 3563 y Ft(=)f(\(1)p Fr(;)14 b Ft(0)p
Fr(;)g Ft(1\))p Fr(;)101 b(a)1755 3575 y Fl(2)1815 3563
y Ft(=)23 b(\(2)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))p Fr(;)1053
3663 y(U)1110 3675 y Fl(1)1170 3663 y Ft(=)23 b Fo(h)p
Ft(\(1)p Fr(;)14 b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))p Fo(i)p Fr(;)24
b(U)1690 3675 y Fl(2)1750 3663 y Ft(=)f Fo(h)p Ft(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(2\))p Fo(i)p Fr(:)313 3831
y Ft(Finden)37 b(Sie)g(den)g(Abstand)g(zwisc)n(hen)f
Fr(G)1673 3843 y Fl(1)1747 3831 y Ft(und)h Fr(G)1987
3843 y Fl(2)2062 3831 y Ft(\(d.h.)g(das)f(Minim)n(um)i(der)313
3930 y(Abst)486 3934 y(\177)486 3930 y(ande)28 b Fo(jj)p
Fr(p)18 b Fo(\000)g Fr(q)s Fo(jj)28 b Ft(f)1015 3934
y(\177)1013 3930 y(ur)g Fr(p)22 b Fo(2)i Fr(G)1328 3942
y Fl(1)1393 3930 y Ft(und)k Fr(q)e Fo(2)e Fr(G)1766 3942
y Fl(2)1803 3930 y Ft(\).)207 4030 y(5.)41 b(Sei)24 b
Fr(V)42 b Ft(der)24 b(Euklidisc)n(he)f(V)-7 b(ektorraum)22
b(der)h(stetigen)h(F)-7 b(unktionen)24 b Fr(f)32 b Ft(:)23
b([)p Fr(a;)14 b(b)p Ft(])22 b Fo(\000)-48 b(!)23 b Fm(R)313
4130 y Ft(mit)28 b(dem)g(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)1191
4355 y Fo(h)p Fr(f)t(;)14 b(g)s Fo(i)23 b Ft(=)1491 4242
y Fj(Z)1574 4262 y Fk(b)1537 4430 y(a)1621 4355 y Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(g)s Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(dx:)313 4564 y Ft(Sei)33 b Fr(U)41 b Fo(\022)32 b
Fr(V)52 b Ft(ein)33 b(endlic)n(hdimensionaler)f(Un)n(terv)n(ektorraum)e
(und)k Fr(p)e Ft(:)g Fr(V)51 b Fo(\000)-49 b(!)32 b Fr(U)313
4664 y Ft(die)c(orthogonale)d(Pro)5 b(jektion.)26 b(Zeigen)h(Sie,)h
(da\031)e(f)1937 4668 y(\177)1935 4664 y(ur)i Fr(f)k
Fo(2)23 b Fr(V)47 b Ft(gilt)p eop end
%%Page: 252 113
TeXDict begin 252 112 bop 165 100 a Fn(252)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)624 332 y Ft(Min)769 344 y Fk(g)r Fi(2)p Fk(U)918
219 y Fj(Z)1001 240 y Fk(b)964 408 y(a)1034 332 y Ft(\()p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))20 b Fo(\000)e Fr(g)s Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\)\))1516 298 y Fl(2)1554 332 y Fr(dx)24 b
Ft(=)1755 219 y Fj(Z)1838 240 y Fk(b)1801 408 y(a)1872
332 y Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))19 b Fo(\000)f
Fr(p)p Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\)\)\))2466
298 y Fl(2)2504 332 y Fr(dx;)313 523 y Ft(d.h.)28 b Fr(p)p
Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\))28 b(ist)f(die)h(b)r(este)g(quadratisc)n(he)e
(Appro)n(ximation)54 b(v)n(on)27 b Fr(f)36 b Ft(in)28
b Fr(U)9 b Ft(.)165 816 y Fs(8.4)42 b(Isometrien)165
989 y Ft(Wie)28 b(b)r(ei)g(allen)f(bisher)g(studierten)g(Strukturen)h
(gibt)f(es)g(auc)n(h)g(f)2222 993 y(\177)2220 989 y(ur)g(die)h
(Struktur)f(Eu-)165 1089 y(klidisc)n(her)32 b(V)-7 b(ektorr)816
1093 y(\177)816 1089 y(aume)31 b(strukturerhaltende)h(Abbildungen,)h
(die)g(Isometrien)f(ge-)165 1188 y(nann)n(t)c(w)n(erden.)f(Sie)h
(erhalten)f(insb)r(esondere)f(Wink)n(el)i(und)g(L)2156
1192 y(\177)2156 1188 y(angen.)165 1331 y Fq(De\014nition)j(8.4.1)40
b Ft(Seien)47 b(\()p Fr(V)5 b(;)14 b Fo(h)p Fr(;)g Fo(i)p
Ft(\))p Fr(;)g Ft(\()p Fr(W)n(;)g Fo(h)p Fr(;)g Fo(i)p
Ft(\))49 b(V)-7 b(ektorr)1980 1335 y(\177)1980 1331 y(aume)46
b(mit)h(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt.)165 1431 y(Eine)28 b(Abbildung)g
Fr(f)j Ft(:)24 b Fr(V)42 b Fo(\000)-49 b(!)23 b Fr(W)40
b Ft(hei\031t)27 b Fp(Isometrie)k(\(ortho)l(gonale)g(A)n(bbildung\),)56
b Ft(w)n(enn)885 1575 y Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)d
Fr(V)42 b Ft(:)189 b Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fo(i)24 b Ft(=)f
Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)p Fr(:)165 1720 y Fo(O)r Ft(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b Fo(h)p Fr(;)g Fo(i)p Ft(\))47 b(=)d Fo(f)p
Fr(f)53 b Fo(2)46 b Ft(GL\()p Fr(V)19 b Ft(\))p Fo(j)p
Fr(f)37 b Ft(Isometrie)26 b Fo(g)41 b Ft(ist)g(eine)f(Un)n(tergrupp)r
(e)h(v)n(on)f(GL\()p Fr(V)19 b Ft(\),)165 1819 y(genann)n(t)27
b Fp(ortho)l(gonale)32 b(Grupp)l(e)p Ft(.)165 1962 y
Fq(Satz)h(8.4.2)40 b Fp(Eine)48 b(Isometrie)54 b Fr(f)64
b Ft(:)55 b Fr(V)74 b Fo(\000)-47 b(!)55 b Fr(W)60 b
Fp(ist)47 b(ein)h(Monomorphismus)h(von)165 2062 y(V)-6
b(ektorr)436 2066 y(\177)437 2062 y(aumen.)165 2198 y(Beweis.)44
b Ft(1.)22 b(Es)f(ist)i Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\013x)f
Ft(+)g Fr(\014)t(y)s Ft(\))g Fo(\000)g Fr(\013f)h Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))f Fo(\000)g Fr(\014)t(f)h Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(\013x)f Ft(+)g Fr(\014)t(y)s
Ft(\))g Fo(\000)g Fr(\013f)h Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))f Fo(\000)g
Fr(\014)t(f)h Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fo(i)23 b Ft(=)165
2298 y Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\013x)31 b Ft(+)e Fr(\014)t(y)s
Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(\013x)30 b Ft(+)f
Fr(\014)t(y)s Ft(\))p Fo(i)h Ft(+)f Fr(\013)1310 2267
y Fl(2)1348 2298 y Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fo(i)31 b Ft(+)e
Fr(\014)1947 2267 y Fl(2)1985 2298 y Fo(h)p Fr(f)9 b
Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\))p Fo(i)29 b(\000)g Ft(2)p Fr(\013)p Fo(h)p Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(\013x)31 b Ft(+)165 2397 y Fr(\014)t(y)s
Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fo(i)18
b(\000)f Ft(2)p Fr(\014)t Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(\013x)17
b Ft(+)g Fr(\014)t(y)s Ft(\))p Fr(;)d(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\))p Fo(i)17 b(\000)f Ft(2)p Fr(\013\014)t Fo(h)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p
Fr(y)s Ft(\))p Fo(i)24 b Ft(=)f Fo(h)p Fr(\013x)18 b
Ft(+)e Fr(\014)t(y)s(;)e(\013x)k Ft(+)e Fr(\014)t(y)s
Fo(i)i Ft(+)165 2497 y Fr(\013)218 2467 y Fl(2)256 2497
y Fo(h)p Fr(x;)c(x)p Fo(i)9 b Ft(+)g Fr(\014)585 2467
y Fl(2)623 2497 y Fo(h)p Fr(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)9 b(\000)g
Ft(2)p Fr(\013)p Fo(h)p Fr(\013x)g Ft(+)g Fr(\014)t(y)s(;)14
b(x)p Fo(i)9 b(\000)g Ft(2)p Fr(\014)t Fo(h)p Fr(\013x)g
Ft(+)g Fr(\014)t(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)9 b(\000)g Ft(2)p
Fr(\013\014)t Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)22 b Ft(=)h
Fo(h)p Fr(\013x)9 b Ft(+)g Fr(\014)t(y)j Fo(\000)165
2596 y Fr(\013x)k Fo(\000)e Fr(\014)t(y)s(;)g(\013x)i
Ft(+)e Fr(\014)t(y)k Fo(\000)c Fr(\013x)i Fo(\000)e Fr(\014)t(y)s
Fo(i)24 b Ft(=)e(0.)k(Daraus)e(folgt)i Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(\013x)15 b Ft(+)g Fr(\014)t(y)s Ft(\))23 b(=)g Fr(\013f)9
b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))16 b(+)e Fr(\014)t(f)9 b Ft(\()p
Fr(y)s Ft(\).)165 2696 y(Also)28 b(ist)f Fr(f)37 b Ft(ein)27
b(Homomorphism)n(us.)290 2796 y(2.)g Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))24 b(=)e(0)h(=)-14 b Fo(\))23 b Ft(0)f(=)h
Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(f)9
b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fo(i)25 b Ft(=)d Fo(h)p Fr(x;)14
b(x)p Fo(i)25 b Ft(=)-14 b Fo(\))23 b Fr(x)g Ft(=)g(0.)165
2932 y Fq(Satz)33 b(8.4.3)40 b Fp(Sei)33 b Fr(f)f Fo(2)23
b Ft(End\()p Fr(V)c Ft(\))24 b Fp(und)33 b Fr(V)43 b
Fp(ein)24 b(Euklidischer)j(V)-6 b(ektorr)l(aum.)24 b(Gelte)30
b Fo(8)p Fr(v)d Fo(2)165 3031 y Fr(V)19 b Ft([)p Fo(k)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(v)s Ft(\))p Fo(k)23 b Ft(=)f Fo(k)p
Fr(v)s Fo(k)p Ft(])p Fp(.)30 b(Dann)f(ist)38 b Fr(f)g
Fp(eine)30 b(Isometrie.)165 3167 y(Beweis.)44 b Ft(Aus)31
b Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)29 b Ft(=)f(1)p Fr(=)p Ft(2\()p
Fo(h)p Fr(x)20 b Ft(+)g Fr(y)s(;)14 b(x)21 b Ft(+)f Fr(y)s
Fo(i)g(\000)g(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)22 b(\000)f(h)p
Fr(y)s(;)14 b(y)s Fo(i)p Ft(\))28 b(=)g(1)p Fr(=)p Ft(2\()p
Fo(k)p Fr(x)19 b Ft(+)i Fr(y)s Fo(k)2808 3137 y Fl(2)2865
3167 y Fo(\000)165 3267 y(k)p Fr(x)p Fo(k)296 3237 y
Fl(2)352 3267 y Fo(\000)d(k)p Fr(y)s Fo(k)563 3237 y
Fl(2)598 3267 y Ft(\),)29 b(genann)n(t)d(P)n(olarisierung,)f(folgt)570
3411 y Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14
b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fo(i)25 b Ft(=)1113 3378
y Fl(1)p 1113 3392 34 4 v 1113 3440 a(2)1156 3411 y Ft(\()p
Fo(k)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))19 b(+)f Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fo(k)1693 3381 y Fl(2)1748 3411
y Fo(\000)18 b(k)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fo(k)2076
3381 y Fl(2)2131 3411 y Fo(\000)18 b(k)p Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(y)s Ft(\))p Fo(k)2456 3381 y Fl(2)2493 3411 y Ft(\))1015
3511 y(=)1113 3478 y Fl(1)p 1113 3492 V 1113 3540 a(2)1156
3511 y Ft(\()p Fo(k)p Fr(x)19 b Ft(+)f Fr(y)s Fo(k)1465
3481 y Fl(2)1520 3511 y Fo(\000)g(k)p Fr(x)p Fo(k)1734
3481 y Fl(2)1789 3511 y Fo(\000)g(k)p Fr(y)s Fo(k)2000
3481 y Fl(2)2036 3511 y Ft(\))1015 3611 y(=)23 b Fo(h)p
Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)p Fr(:)178 3751 y Fq(\177)165 3767
y(Ubungen)32 b(8.4.4)82 b Ft(1.)41 b(Drehen)23 b(Sie)g(den)h
Fm(R)1587 3737 y Fl(3)1647 3767 y Ft(um)f(die)h Fr(x)p
Ft(-Ac)n(hse)f(um)g(den)h(Wink)n(el)f Fr(\031)s(=)p Ft(3)313
3867 y(und)28 b(b)r(estimmen)g(Sie)g(den)g(Bildv)n(ektor)e(des)i(V)-7
b(ektors)27 b(\(1)p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(2)p Fr(;)g
Ft(4\).)207 3966 y(2.)41 b(Im)33 b Fm(R)505 3936 y Fl(4)574
3966 y Ft(mit)g(den)g(Ko)r(ordinaten)e Fr(u;)14 b(x;)g(y)s(;)g(z)35
b Ft(w)n(erde)d(zun)2076 3970 y(\177)2076 3966 y(ac)n(hst)f(eine)i
(Dreh)n(ung)f(um)313 4066 y(die)e Fr(y)23 b Fo(\000)d
Fr(z)t Ft(-Eb)r(ene)28 b(mit)j(dem)f(Wink)n(el)h Fr(\031)s(=)p
Ft(4)e(und)h(so)r(dann)g(eine)g(Dreh)n(ung)g(um)g(die)313
4166 y Fr(u)21 b Fo(\000)g Fr(x)p Ft(-Eb)r(ene)33 b(um)g(den)f(Wink)n
(el)h Fr(\031)s(=)p Ft(4)e(v)n(orgenommen.)g(Wie)i(sieh)n(t)f(die)g
(gesam)n(te)313 4265 y(Drehmatrix)27 b(aus?)207 4365
y(3.)41 b(Im)33 b Fm(R)505 4335 y Fl(4)574 4365 y Ft(mit)g(den)g(Ko)r
(ordinaten)e Fr(u;)14 b(x;)g(y)s(;)g(z)35 b Ft(w)n(erde)d(zun)2076
4369 y(\177)2076 4365 y(ac)n(hst)f(eine)i(Dreh)n(ung)f(um)313
4465 y(die)e Fr(y)23 b Fo(\000)d Fr(z)t Ft(-Eb)r(ene)28
b(mit)j(dem)f(Wink)n(el)h Fr(\031)s(=)p Ft(3)e(und)h(so)r(dann)g(eine)g
(Dreh)n(ung)g(um)g(die)313 4564 y Fr(x)22 b Fo(\000)g
Fr(y)s Ft(-Eb)r(ene)32 b(um)h(den)g(Wink)n(el)g Fr(\031)s(=)p
Ft(4)f(v)n(orgenommen.)f(Wie)i(sieh)n(t)f(die)h(gesam)n(te)313
4664 y(Drehmatrix)27 b(aus?)p eop end
%%Page: 253 114
TeXDict begin 253 113 bop 1782 100 a Fn(8.5)43 b(Orthogonale)27
b(Matrizen)152 b(253)165 282 y Fs(8.5)42 b(Orthogonale)c(Matrizen)165
484 y Ft(Die)i(zu)g(Isometrien)f(geh)997 488 y(\177)997
484 y(origen)f(Matrizen)h(sind)h(die)f(orthogonalen)f(Matrizen)h(als)
165 584 y(darstellende)23 b(Matrizen)g(bzgl.)g(einer)g
(Orthonormalbasis.)e(Wir)i(w)n(ollen)g(sie)h(in)f(diesem)165
683 y(Absc)n(hnitt)29 b(studieren.)165 848 y Fq(De\014nition)i(8.5.1)40
b Ft(Eine)35 b(Matrix)h Fr(M)45 b Fo(2)37 b Ft(GL\()p
Fr(n;)14 b Fm(R)p Ft(\))36 b(hei\031t)g Fp(ortho)l(gonal)p
Ft(,)73 b(w)n(enn)36 b(f)2852 852 y(\177)2850 848 y(ur)165
948 y(die)28 b(transp)r(onierte)f(Matrix)54 b Fr(M)1204
917 y Fk(t)1261 948 y Ft(gilt)27 b Fr(M)1498 917 y Fk(t)1550
948 y Ft(=)c Fr(M)1728 917 y Fi(\000)p Fl(1)1817 948
y Ft(.)165 1112 y Fq(Bemerkung)32 b(8.5.2)39 b Ft(W)-7
b(enn)41 b Fr(M)50 b Ft(orthogonal)38 b(ist,)i(so)g(folgt)g
Fr(M)9 b(M)2370 1082 y Fk(t)2443 1112 y Ft(=)44 b Fr(M)9
b(M)2732 1082 y Fi(\000)p Fl(1)2865 1112 y Ft(=)165 1212
y Fr(E)31 b Ft(=)-14 b Fo(\))25 b Ft(1)g(=)h(det)14 b
Fr(E)30 b Ft(=)25 b(det)q(\()p Fr(M)9 b(M)1212 1182 y
Fk(t)1240 1212 y Ft(\))26 b(=)f(\(det)15 b Fr(M)9 b Ft(\))1672
1182 y Fl(2)1735 1212 y Ft(=)-15 b Fo(\))26 b(j)14 b
Ft(det\()p Fr(M)9 b Ft(\))p Fo(j)26 b Ft(=)f(1.)k(Eine)f(orthogo-)165
1311 y(nale)g(Matrix)f Fr(M)36 b Ft(hei\031t)27 b Fp(eigentlich)32
b(ortho)l(gonal)p Ft(,)57 b(w)n(enn)27 b(det)14 b Fr(M)32
b Ft(=)23 b(1)k(gilt.)290 1419 y(O)354 1411 y(\()p Fr(n)p
Ft(\))d(:=)f Fo(f)p Fr(M)31 b Fo(2)23 b Ft(GL\()p Fr(n;)14
b Fm(R)p Ft(\))p Fo(j)p Fr(M)1276 1381 y Fk(t)1328 1411
y Ft(=)23 b Fr(M)1506 1381 y Fi(\000)p Fl(1)1595 1411
y Fo(g)k Ft(hei\031t)h Fp(ortho)l(gonale)j(Grupp)l(e)p
Ft(.)290 1511 y(SO\()p Fr(n)p Ft(\))23 b(:=)g Fo(f)p
Fr(M)31 b Fo(2)881 1519 y Ft(O)946 1511 y(\()p Fr(n)p
Ft(\))p Fo(j)14 b Ft(det)g Fr(M)32 b Ft(=)23 b(1)p Fo(g)j
Ft(hei\031t)i Fp(sp)l(eziel)t(le)j(ortho)l(gonale)h(Grupp)l(e)p
Ft(.)165 1675 y Fq(Satz)h(8.5.3)40 b Fp(Sei)54 b Fr(V)63
b Fp(ein)46 b(end)t(lichdimensionaler)j(Euklidischer)e(V)-6
b(ektorr)l(aum)44 b(mit)165 1775 y(Orthonormalb)l(asis)39
b Fr(B)t Fp(.)30 b(Ein)h(Homomorphismus)38 b Fr(f)33
b Fo(2)24 b Ft(End\()p Fr(V)19 b Ft(\))30 b Fp(ist)g(genau)g(dann)h
(ei-)165 1875 y(ne)g(Isometrie)h(\(ortho)l(gonale)h(A)n(bbildung\),)f
(wenn)f(die)h(darstel)t(lende)h(Matrix)42 b Fr(M)e Fp(von)165
1974 y Fr(f)f Fp(bzgl.)30 b Fr(B)k Fp(eine)c(ortho)l(gonale)i(Matrix)e
(ist.)165 2146 y(Beweis.)44 b Ft(Seien)19 b(\()p Fr(\020)758
2158 y Fl(1)796 2146 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\020)1016
2158 y Fk(n)1062 2146 y Ft(\))1094 2116 y Fk(t)1146 2146
y Ft(=)23 b Fr(\020)i Ft(bzw.)20 b Fr(M)10 b Fo(\001)q
Fr(\020)25 b Ft(die)19 b(Ko)r(ordinaten)n(v)n(ektoren)d(v)n(on)i
Fr(x)24 b Fo(2)f Fr(V)165 2246 y Ft(bzw.)f Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))21 b(b)r(ez)659 2250 y(\177)657 2246 y(uglic)n(h)g(der)g
(Basis)f Fr(B)t Ft(.)h(Sei)h Fr(\021)k Ft(=)d(\()p Fr(\021)1707
2258 y Fl(1)1744 2246 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\021)1970
2258 y Fk(n)2015 2246 y Ft(\))2047 2216 y Fk(t)2098 2246
y Ft(Ko)r(ordinaten)n(v)n(ektor)k(v)n(on)165 2346 y Fr(y)26
b Fo(2)e Fr(V)18 b Ft(.)28 b(Dann)g(gilt)501 2538 y Fo(h)p
Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)24 b Ft(=)f Fo(h)837 2459 y Fj(X)885
2636 y Fk(i)971 2538 y Fr(\020)1007 2550 y Fk(i)1035
2538 y Fr(b)1071 2550 y Fk(i)1098 2538 y Fr(;)1135 2459
y Fj(X)1179 2636 y Fk(j)1269 2538 y Fr(\021)1310 2550
y Fk(j)1345 2538 y Fr(b)1381 2550 y Fk(j)1415 2538 y
Fo(i)h Ft(=)1558 2459 y Fj(X)1581 2636 y Fk(i;j)1692
2538 y Fr(\020)1728 2550 y Fk(i)1756 2538 y Fr(\021)1797
2550 y Fk(j)1832 2538 y Fo(h)p Fr(b)1900 2550 y Fk(i)1928
2538 y Fr(;)14 b(b)2001 2550 y Fk(j)2035 2538 y Fo(i)24
b Ft(=)e Fr(\020)2220 2504 y Fk(t)2250 2538 y Fr(\021)k
Ft(=)d Fo(h)p Fr(\020)6 b(;)14 b(\021)s Fo(i)165 2802
y Ft(und)28 b(damit)564 2983 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(y)s
Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fo(i)24 b(\()-14
b(\))23 b Fr(\020)1528 2949 y Fk(t)1558 2983 y Fr(\021)j
Ft(=)d(\()p Fr(M)9 b(\020)d Ft(\))1909 2949 y Fk(t)1939
2983 y Fr(M)j(\021)26 b Ft(=)c Fr(\020)2225 2949 y Fk(t)2255
2983 y Fr(M)2345 2949 y Fk(t)2374 2983 y Fr(M)9 b(\021)s(:)165
3163 y Ft(Diese)401 3167 y(\177)401 3163 y(aquiv)-5 b(alen)n(ten)42
b(Aussagen)f(gelten)i(f)1567 3167 y(\177)1565 3163 y(ur)f(alle)g
Fr(x;)14 b(y)51 b Fo(2)e Fr(V)61 b Ft(genau)42 b(dann,)g(w)n(enn)165
3263 y Fr(M)255 3233 y Fk(t)284 3263 y Fr(M)32 b Ft(=)22
b Fr(E)545 3275 y Fk(n)619 3263 y Ft(ist.)27 b(Man)h(setze)f(f)1179
3267 y(\177)1177 3263 y(ur)h(die)g Fr(x)g Ft(bzw)f Fr(y)k
Ft(Elemen)n(te)c(aus)g Fr(B)32 b Ft(ein.)165 3435 y Fq(Bemerkung)g
(8.5.4)39 b Ft(Eine)h(T)-7 b(ransformationsmatrix)37
b(f)2017 3439 y(\177)2015 3435 y(ur)j(eine)g(Basistransforma-)165
3535 y(tion)29 b(zwisc)n(hen)f(Orthonormalbasen)e(ist)j(also)f(insb)r
(esondere)g(eine)g(orthogonale)f(Ma-)165 3634 y(trix.)290
3734 y(Wir)k(k)n(ommen)f(zur)915 3738 y(\177)913 3734
y(uc)n(k)h(auf)g(die)g(Pro)5 b(jektion)29 b(auf)i(einen)g(Un)n(terv)n
(ektorraum,)e(wie)165 3834 y(sie)34 b(in)h(\(8.2.14\))e(und)h
(\(8.2.15\))f(de\014niert)i(wurde.)f(W)-7 b(enn)34 b
Fr(b)2081 3846 y Fl(1)2118 3834 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2339
3846 y Fk(n)2418 3834 y Ft(und)34 b Fr(c)2626 3846 y
Fl(1)2664 3834 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)2884 3846
y Fk(n)165 3933 y Ft(Orthonormalbasen)25 b(sind)j(und)g
Fr(c)1245 3945 y Fk(i)1296 3933 y Ft(=)1383 3871 y Fj(P)1485
3933 y Fr(\013)1538 3945 y Fk(ij)1596 3933 y Fr(b)1632
3945 y Fk(j)1695 3933 y Ft(ist,)g(dann)f(ist)250 4054
y Fj(X)298 4231 y Fk(i)370 4133 y Fo(h)p Fr(v)s(;)14
b(c)518 4145 y Fk(i)546 4133 y Fo(i)p Fr(c)614 4145 y
Fk(i)665 4133 y Ft(=)756 4054 y Fj(X)752 4233 y Fk(i;j;k)879
4133 y Fo(h)p Fr(v)s(;)g(\013)1044 4145 y Fk(ij)1103
4133 y Fr(b)1139 4145 y Fk(j)1174 4133 y Fo(i)p Fr(\013)1259
4145 y Fk(ik)1324 4133 y Fr(b)1360 4145 y Fk(k)1423 4133
y Ft(=)1511 4054 y Fj(X)1529 4233 y Fk(j;k)1645 4054
y Fj(X)1693 4231 y Fk(i)1778 4133 y Fr(\013)1831 4145
y Fk(ij)1890 4133 y Fr(\013)1943 4145 y Fk(ik)2007 4133
y Fo(h)p Fr(v)s(;)g(b)2155 4145 y Fk(j)2190 4133 y Fo(i)p
Fr(b)2258 4145 y Fk(k)2322 4133 y Ft(=)2410 4054 y Fj(X)2454
4231 y Fk(j)2530 4133 y Fo(h)p Fr(v)s(;)g(b)2678 4145
y Fk(j)2713 4133 y Fo(i)p Fr(b)2781 4145 y Fk(k)2821
4133 y Fr(:)165 4399 y Ft(Also)29 b(ist)g(die)h(Pro)5
b(jektion)27 b Fr(f)34 b Ft(:)26 b Fr(V)44 b Fo(\000)-48
b(!)26 b Fr(V)48 b Ft(v)n(on)28 b(der)h(W)-7 b(ahl)29
b(der)g(Orthonormalbasis)d(v)n(on)165 4499 y Fr(U)37
b Ft(unabh)485 4503 y(\177)485 4499 y(angig.)165 4664
y Fq(Satz)c(8.5.5)40 b Fp(F)-6 b(olgende)31 b(A)n(ussagen)1326
4668 y(\177)1326 4664 y(ub)l(er)38 b Fr(M)32 b Fo(2)23
b Fm(R)1767 4634 y Fk(n)1767 4684 y(n)1842 4664 y Fp(sind)2020
4668 y(\177)2021 4664 y(aquivalent.)p eop end
%%Page: 254 115
TeXDict begin 254 114 bop 165 100 a Fn(254)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)204 282 y Fp(1.)42 b Fr(M)c Fp(ist)30 b(ortho)l(gonal.)204
382 y(2.)42 b(Die)30 b(Sp)l(altenvektor)l(en)g(von)36
b Fr(M)j Fp(bilden)30 b(eine)h(Orthonormalb)l(asis)g(f)2454
386 y(\177)2454 382 y(ur)38 b Fm(R)2632 394 y Fk(n)2678
382 y Fp(.)204 482 y(3.)k(Die)30 b(Zeilenvektor)l(en)h(von)36
b Fr(M)i Fp(bilden)31 b(eine)f(Orthonormalb)l(asis)i(f)2414
486 y(\177)2414 482 y(ur)38 b Fm(R)2592 451 y Fk(n)2637
482 y Fp(.)165 622 y(Beweis.)44 b Ft(W)-7 b(enn)39 b
Fr(M)47 b Ft(orthogonal)36 b(ist,)j(dann)f(ist)h(auc)n(h)e(die)i(T)-7
b(ransp)r(onierte)37 b Fr(M)2760 591 y Fk(t)2827 622
y Ft(or-)165 721 y(thogonal.)30 b(Deshalb)h(gehen)g(\(2\))e
Fo(\()-14 b(\))30 b Ft(\(3\))h(ineinander)g(durc)n(h)f(T)-7
b(ransp)r(onieren)2744 725 y(\177)2742 721 y(ub)r(er.)165
821 y(W)g(eiter)40 b(ist)h Fr(M)664 791 y Fk(t)692 821
y Fr(M)53 b Ft(=)43 b Fr(E)995 833 y Fk(n)1084 821 y
Fo(\()-14 b(\))44 b(8)p Fr(i;)14 b(j)5 b Ft([)p Fr(m)1527
791 y Fk(t)1527 842 y(i)1556 821 y Fr(m)1629 833 y Fk(j)1707
821 y Ft(=)44 b Fr(\016)1853 833 y Fk(ij)1911 821 y Ft(])g
Fo(\()-14 b(\))40 b Ft(Spalten)g(v)n(on)f Fr(M)49 b Ft(sind)165
920 y(Orthonormalbasis)290 1061 y(Eine)37 b(orthogonale)e(Matrix)i(l)
1262 1065 y(\177)1262 1061 y(a\031t)g(sic)n(h)g(durc)n(h)g(Ko)r
(ordinaten)n(transformation)d(in)165 1160 y(eine)g(b)r(esonders)f
(einfac)n(he)g(F)-7 b(orm)1280 1164 y(\177)1278 1160
y(ub)r(erf)1469 1164 y(\177)1467 1160 y(uhren.)34 b(Wir)f(nennen)h
(diese)f(F)-7 b(orm)33 b(Normal-)165 1260 y(form)i(einer)g
(orthogonalen)e(Abbildung.)j(Der)f(Bew)n(eis)g(ist)g(et)n(w)n(as)f(sc)n
(h)n(wieriger.)f(Wir)165 1359 y(v)n(erw)n(eisen)c(den)h(Leser)f(hierzu)
h(auf)h(sp)r(ezielle)f(Lehrb)1860 1363 y(\177)1858 1359
y(uc)n(her)f(und)h(v)n(erzic)n(h)n(ten)f(hier)h(auf)165
1459 y(eine)e(Darstellung)f(des)g(Bew)n(eises.)165 1605
y Fq(Satz)33 b(8.5.6)40 b Ft(\(Normalform)27 b(v)n(on)f(orthogonalen)g
(Abbildungen\))290 1704 y Fp(Sei)k Fr(V)40 b Fp(ein)22
b(end)t(lichdimensionaler)j(Euklidischer)e(V)-6 b(ektorr)l(aum)21
b(und)29 b Fr(f)j Fo(2)23 b Ft(End\()p Fr(V)c Ft(\))165
1804 y Fp(ortho)l(gonal.)29 b(Dann)e(gibt)g(es)g(eine)g(Orthonormalb)l
(asis)36 b Fr(B)t Fp(,)27 b(b)l(ez)2146 1808 y(\177)2146
1804 y(uglich)h(der)g(die)g(darstel-)165 1903 y(lende)j(Matrix)40
b Fr(M)e Fp(von)f Fr(f)h Fp(die)31 b(F)-6 b(orm)30 b(hat)618
2498 y Fr(M)i Ft(=)818 1982 y Fj(0)818 2128 y(B)818 2178
y(B)818 2228 y(B)818 2278 y(B)818 2327 y(B)818 2377 y(B)818
2427 y(B)818 2477 y(B)818 2527 y(B)818 2576 y(B)818 2626
y(B)818 2676 y(B)818 2726 y(B)818 2776 y(B)818 2829 y(@)905
2039 y Ft(1)1158 b Fr(:)14 b(:)g(:)118 b Ft(0)1036 2114
y Fp(.)1071 2139 y(.)1105 2164 y(.)2328 2106 y(.)2328
2139 y(.)2328 2172 y(.)1220 2272 y Ft(1)1347 2371 y Fo(\000)p
Ft(1)1542 2454 y Fp(.)1577 2478 y(.)1612 2504 y(.)1727
2611 y Fo(\000)p Ft(1)1917 2711 y Fr(A)1979 2723 y Fl(1)913
2790 y Fp(.)913 2823 y(.)913 2857 y(.)2106 2799 y(.)2141
2823 y(.)2176 2849 y(.)905 2956 y Ft(0)88 b Fr(:)14 b(:)g(:)1159
b(A)2353 2968 y Fk(r)2404 1982 y Fj(1)2404 2128 y(C)2404
2178 y(C)2404 2228 y(C)2404 2278 y(C)2404 2327 y(C)2404
2377 y(C)2404 2427 y(C)2404 2477 y(C)2404 2527 y(C)2404
2576 y(C)2404 2626 y(C)2404 2676 y(C)2404 2726 y(C)2404
2776 y(C)2404 2829 y(A)165 3154 y Fp(mit)38 b Fr(A)386
3166 y Fk(i)437 3154 y Ft(=)524 3037 y Fj(\022)599 3105
y Ft(cos\()p Fr(')797 3117 y Fk(i)825 3105 y Ft(\))85
b Fo(\000)14 b Ft(sin)o(\()p Fr(')1208 3117 y Fk(i)1237
3105 y Ft(\))604 3204 y(sin\()p Fr(')792 3216 y Fk(i)820
3204 y Ft(\))125 b(cos)o(\()p Fr(')1174 3216 y Fk(i)1202
3204 y Ft(\))1283 3037 y Fj(\023)290 3345 y Ft(Ohne)27
b(Bew)n(eis.)165 3491 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.5.7)40
b Fp(Sei)f Fr(M)g Fp(eine)31 b(ortho)l(gonale)i(Matrix.)e(Dann)f(gibt)h
(es)g(eine)g(ortho-)165 3590 y(gonale)g(Matrix)40 b Fr(T)12
b Fp(,)30 b(so)g(da\031)38 b Fr(T)12 b(M)d(T)1308 3560
y Fi(\000)p Fl(1)1425 3590 y Fp(die)31 b(F)-6 b(orm)30
b(hat)514 4184 y Fr(T)12 b(M)d(T)726 4150 y Fi(\000)p
Fl(1)835 4184 y Ft(=)923 3669 y Fj(0)923 3815 y(B)923
3865 y(B)923 3915 y(B)923 3964 y(B)923 4014 y(B)923 4064
y(B)923 4114 y(B)923 4164 y(B)923 4213 y(B)923 4263 y(B)923
4313 y(B)923 4363 y(B)923 4413 y(B)923 4462 y(B)923 4516
y(@)1010 3726 y Ft(1)1158 b Fr(:)14 b(:)g(:)117 b Ft(0)1141
3801 y Fp(.)1175 3826 y(.)1210 3851 y(.)2432 3793 y(.)2432
3826 y(.)2432 3859 y(.)1325 3959 y Ft(1)1451 4058 y Fo(\000)p
Ft(1)1647 4140 y Fp(.)1682 4165 y(.)1716 4190 y(.)1831
4298 y Fo(\000)p Ft(1)2022 4398 y Fr(A)2084 4410 y Fl(1)1018
4477 y Fp(.)1018 4510 y(.)1018 4543 y(.)2211 4485 y(.)2246
4510 y(.)2280 4535 y(.)1010 4643 y Ft(0)88 b Fr(:)14
b(:)g(:)1158 b(A)2457 4655 y Fk(r)2508 3669 y Fj(1)2508
3815 y(C)2508 3865 y(C)2508 3915 y(C)2508 3964 y(C)2508
4014 y(C)2508 4064 y(C)2508 4114 y(C)2508 4164 y(C)2508
4213 y(C)2508 4263 y(C)2508 4313 y(C)2508 4363 y(C)2508
4413 y(C)2508 4462 y(C)2508 4516 y(A)p eop end
%%Page: 255 116
TeXDict begin 255 115 bop 1782 100 a Fn(8.5)43 b(Orthogonale)27
b(Matrizen)152 b(255)165 282 y Fp(Beweis.)44 b Fr(M)34
b Ft(stellt)26 b(bzgl.)f(der)g(Orthonormalbasis)d Fr(e)1851
294 y Fl(1)1888 282 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(e)2112
294 y Fk(n)2182 282 y Ft(eine)25 b(Isometrie)g Fr(f)34
b Ft(dar.)165 382 y(Eine)22 b(Basistransformation)e(v)n(on)h(\()p
Fr(e)1322 394 y Fk(i)1350 382 y Ft(\))i(zu)f(einer)g(anderen)g
(Orthonormalbasis)d(B)j(wird)165 482 y(w)n(egen)34 b(8.5.3)g(und)h
(5.5.18)e(durc)n(h)h(eine)h(orthogonale)d(Matrix)i Fr(T)46
b Ft(gegeb)r(en.)34 b(Mit)i(der)165 581 y(T)-7 b(ransformationsformel)
25 b(aus)i(5.5.20)f(folgt)i(die)f(Behauptung.)290 756
y(Ein)g(in)n(teressan)n(te)f(An)n(w)n(endung)i(der)f(Normalform)f(ist)
165 922 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.5.8)40 b Fp(Eine)30
b(Kugel)e(im)36 b Fm(R)1465 934 y Fl(3)1531 922 y Fp(wer)l(de)30
b(um)e(ihr)l(en)i(Mittelpunkt)f(\(mit)g(einer)165 1021
y(eigentlich)42 b(ortho)l(gonalen)f(Matrix\))f(b)l(ewe)l(gt.)h(Dann)e
(gibt)h(es)g(zwei)h(Punkte)e(auf)i(der)165 1121 y(Ob)l(er\015)384
1125 y(\177)385 1121 y(ache,)31 b(die)g(fest)f(bleib)l(en.)165
1295 y(Beweis.)44 b Ft(Die)28 b(Matrix)f(hat)g(w)n(egen)g(det)14
b Fr(M)32 b Ft(=)23 b(1)k(die)g(F)-7 b(orm)1143 1406
y Fj(0)1143 1555 y(@)1230 1473 y Ft(1)151 b(0)255 b(0)1230
1573 y(0)82 b(cos)13 b Fr(')83 b Fo(\000)14 b Ft(sin)g
Fr(')1230 1672 y Ft(0)87 b(sin)13 b Fr(')123 b Ft(cos)13
b Fr(')1879 1406 y Fj(1)1879 1555 y(A)165 1855 y Ft(und)35
b(stellt)g(daher)e(eine)h(Dreh)n(ung)g(um)h(den)f(\(1)p
Fo(\000)p Ft(dimensionalen\))g(Eigenraum)e(zu)j(1)165
1955 y(dar.)165 2129 y Fq(Satz)e(8.5.9)40 b Fp(Sei)e
Fr(M)32 b Fo(2)24 b Fm(R)1014 2099 y Fk(n)1014 2150 y(n)1059
2129 y Fp(.)30 b(Dann)f(gelten:)204 2278 y(1.)42 b Fr(M)403
2248 y Fk(t)457 2278 y Ft(=)25 b Fr(M)40 b Fp(\()p Fr(M)f
Fp(symmetrisch\))32 b Ft(=)-14 b Fo(\))31 b Fp(al)t(le)h(komplexen)g
(Eigenwerte)f(von)38 b Fr(M)i Fp(sind)313 2378 y(r)l(e)l(el)t(l.)204
2478 y(2.)i Fr(M)403 2448 y Fk(t)455 2478 y Ft(=)22 b
Fo(\000)p Fr(M)37 b Fp(\()p Fr(M)f Fp(antisymmetrisch\))29
b Ft(=)-14 b Fo(\))28 b Fp(al)t(le)i(komplexen)f(Eigenwerte)g(von)35
b Fr(M)313 2577 y Fp(sind)30 b(r)l(ein)g(imagin)906 2581
y(\177)907 2577 y(ar.)204 2677 y(3.)42 b Fr(M)403 2647
y Fk(t)455 2677 y Ft(=)22 b Fr(M)632 2647 y Fi(\000)p
Fl(1)745 2677 y Fp(\()p Fr(M)32 b Fp(ortho)l(gonal\))25
b Ft(=)-14 b Fo(\))24 b Fp(al)t(le)h(komplexen)f(Eigenwerte)h(von)30
b Fr(M)i Fp(hab)l(en)313 2777 y(den)e(Betr)l(ag)38 b
Ft(1)p Fp(.)165 2951 y(Beweis.)44 b Ft(1.)29 b(und)h(2.:)f(Op)r(eriere)
f Fr(M)38 b Ft(auf)30 b Fm(C)1524 2963 y Fk(n)1569 2951
y Ft(.)g(Sei)f Fr(\017)d Ft(=)g Fo(\006)p Ft(1)i(und)i(gelte)f
Fr(M)2501 2921 y Fk(t)2556 2951 y Ft(=)d Fr(\017M)9 b
Ft(.)29 b(Sei)165 3051 y Fr(\025)d Ft(ein)g(Eigen)n(w)n(ert)e(v)n(on)g
Fr(M)34 b Ft(mit)27 b(Eigen)n(v)n(ektor)22 b Fr(z)t Ft(.)j(Dann)h(gilt)
f Fr(\025)p 2140 3005 43 4 v(z)2183 3019 y Fk(t)2212
3051 y Fr(z)i Ft(=)p 2365 3005 V 22 w Fr(z)2408 3019
y Fk(t)2437 3051 y Fr(\025z)g Ft(=)p 2638 3005 V 22 w
Fr(z)2680 3019 y Fk(t)2710 3051 y Fr(M)9 b(z)26 b Ft(=)165
3165 y Fr(\017)p 199 3119 V(z)241 3133 y Fk(t)p 271 3098
90 4 v 271 3165 a Fr(M)360 3112 y Fk(t)389 3165 y Fr(z)h
Ft(=)22 b Fr(\017)p Ft(\()p 608 3098 V Fr(M)9 b(z)s Ft(\))772
3134 y Fk(t)802 3165 y Fr(z)26 b Ft(=)d Fr(\017)p 989
3097 91 4 v(\025z)1079 3111 y Fk(t)1131 3165 y Ft(=)g
Fr(\017)p 1253 3097 49 4 v(\025z)1343 3111 y Fk(t)1373
3165 y Fr(z)t(;)h Ft(also)f Fr(\025)h Ft(=)f Fr(\017)p
1820 3097 V(\025)p Ft(,)i(w)n(ob)r(ei)p 2148 3119 43
4 v 24 w Fr(z)h Fo(2)e Fm(C)2352 3177 y Fk(n)2422 3165
y Ft(der)g(k)n(onjugiert)165 3264 y(k)n(omplexe)i(V)-7
b(ektor)27 b(zu)g Fr(z)j Ft(ist)d(und)p 1260 3197 90
4 v 27 w Fr(M)32 b Ft(=)22 b Fr(M)36 b Ft(gilt,)27 b(w)n(enn)f
Fr(M)32 b Fo(2)24 b Fm(R)2212 3234 y Fk(n)2212 3285 y(n)2257
3264 y Ft(.)j(Ist)g Fr(\017)22 b Ft(=)h(1,)k(so)f(ist)h
Fr(\025)165 3364 y Ft(w)n(egen)g Fr(\025)d Ft(=)p 571
3296 49 4 v 22 w Fr(\025)k Ft(reell.)g(Ist)f Fr(\017)c
Ft(=)g Fo(\000)p Ft(1,)j(so)h(ist)h Fr(\025)g Ft(w)n(egen)f
Fr(\025)c Ft(=)g Fo(\000)p 2039 3296 V Fr(\025)28 b Ft(rein)f(imagin)
2526 3368 y(\177)2526 3364 y(ar.)290 3477 y(3.:)32 b(Aus)p
584 3431 43 4 v 33 w Fr(z)626 3445 y Fk(t)656 3477 y
Fr(z)i Ft(=)p 825 3431 V 31 w Fr(z)868 3445 y Fk(t)897
3477 y Fr(E)958 3489 y Fk(n)1003 3477 y Fr(z)h Ft(=)p
1173 3431 V 31 w Fr(z)1216 3445 y Fk(t)1245 3477 y Fr(M)1335
3447 y Fk(t)1364 3477 y Fr(M)9 b(z)34 b Ft(=)p 1623 3431
V 31 w Fr(z)1665 3445 y Fk(t)p 1695 3410 90 4 v 1695
3477 a Fr(M)1784 3424 y Fk(t)1813 3477 y Fr(M)9 b(z)35
b Ft(=)c(\()p 2105 3410 132 4 v Fr(M)9 b(z)s Ft(\))2269
3447 y Fk(t)2298 3477 y Fr(M)g(z)35 b Ft(=)c(\()p 2590
3409 91 4 v Fr(\025z)t Ft(\))2713 3447 y Fk(t)2742 3477
y Fr(\025z)36 b Ft(=)p 165 3509 49 4 v 165 3576 a Fr(\025)q(\025)p
262 3531 43 4 v(z)304 3545 y Fk(t)334 3576 y Fr(z)31
b Ft(folgt)p 595 3509 49 4 v 27 w Fr(\025\025)24 b Ft(=)f(1,)k(also)f
(hat)i Fr(\025)g Ft(den)g(Betrag)e(1.)290 3751 y(Um)41
b(b)r(eliebige)g(Euklidisc)n(he)g(V)-7 b(ektorr)1549
3755 y(\177)1549 3751 y(aume)39 b(zu)i(gewinnen,)g(brauc)n(h)n(t)f(man)
h(ein)165 3850 y(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt.)41 b(Im)h Fm(R)946
3862 y Fk(n)1033 3850 y Ft(ist)g(ein)g(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)40
b(immer)i(gegeb)r(en)f(in)h(der)g(F)-7 b(orm)165 3950
y Fo(h)p Fr(b;)14 b(c)p Fo(i)23 b Ft(=)g Fr(b)485 3920
y Fk(t)514 3950 y Fr(S)5 b(c)27 b Ft(mit)h(einer)g(Matrix)f
Fr(S)5 b Ft(,)27 b(die)h(p)r(ositiv)f(de\014nit)i(ist.)165
4116 y Fq(De\014nition)i(8.5.10)40 b Ft(Ein)21 b(Matrix)h
Fr(S)28 b Fo(2)23 b Fm(R)1533 4086 y Fk(n)1533 4137 y(n)1600
4116 y Ft(hei\031t)f Fp(p)l(ositiv)k(de\014nit)p Ft(,)44
b(w)n(enn)22 b Fm(R)2621 4128 y Fk(n)2674 4116 y Fo(\002)7
b Fm(R)2806 4128 y Fk(n)2874 4116 y Fo(3)165 4216 y Ft(\()p
Fr(x;)14 b(y)s Ft(\))24 b Fo(7!)f Fr(x)534 4186 y Fk(t)564
4216 y Fr(S)5 b(y)25 b Fo(2)f Fm(R)j Ft(eine)h(p)r(ositiv)g(de\014nite)
g(symmetrisc)n(he)e(Bilinearform)h(ist.)165 4382 y Fq(Satz)33
b(8.5.11)40 b Fp(Sei)49 b Fr(S)d Fo(2)c Fm(R)1075 4352
y Fk(n)1075 4402 y(n)1121 4382 y Fp(.)e Fr(S)45 b Fp(ist)40
b(genau)g(dann)h(p)l(ositiv)g(de\014nit,)g(wenn)e(es)i(eine)165
4481 y(invertierb)l(ar)l(e)31 b(Matrix)40 b Fr(M)f Fp(gibt)30
b(mit)37 b Fr(S)28 b Ft(=)23 b Fr(M)1627 4451 y Fk(t)1655
4481 y Fr(M)9 b Fp(.)p eop end
%%Page: 256 117
TeXDict begin 256 116 bop 165 100 a Fn(256)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)165 282 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Sei)d Fr(S)47
b Ft(p)r(ositiv)41 b(de\014nit.)h(Dann)g(gibt)g(es)f(eine)h
(Orthonormalbasis)c Fr(B)46 b Ft(f)2852 286 y(\177)2850
282 y(ur)165 382 y Fm(R)225 394 y Fk(n)316 382 y Ft(mit)h(dem)f(durc)n
(h)g Fr(S)k Ft(de\014nierten)c(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt.)45
b(W)-7 b(egen)46 b Fr(b)2373 352 y Fk(t)2373 404 y(i)2402
382 y Fr(S)5 b(b)2494 394 y Fk(j)2582 382 y Ft(=)53 b
Fr(\016)2737 394 y Fk(ij)2841 382 y Ft(ist)165 482 y(\()p
Fr(b)233 494 y Fl(1)271 482 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)491
494 y Fk(n)536 482 y Ft(\))568 451 y Fk(t)597 482 y Fr(S)5
b Ft(\()p Fr(b)721 494 y Fl(1)758 482 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)979
494 y Fk(n)1024 482 y Ft(\))23 b(=)g Fr(E)1228 494 y
Fk(n)1301 482 y Ft(und)28 b(mit)g Fr(M)k Ft(=)23 b(\()p
Fr(b)1888 494 y Fl(1)1925 482 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2146
494 y Fk(n)2190 482 y Ft(\))2222 451 y Fi(\000)p Fl(1)2340
482 y Ft(folgt)27 b Fr(S)h Ft(=)23 b Fr(M)2788 451 y
Fk(t)2816 482 y Fr(M)9 b Ft(.)165 581 y(W)-7 b(enn)36
b Fr(S)k Ft(=)35 b Fr(M)689 551 y Fk(t)718 581 y Fr(M)44
b Ft(gilt,)35 b(dann)g(ist)h(\()p Fr(b)1428 593 y Fl(1)1465
581 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1685 593 y Fk(n)1730
581 y Ft(\))1762 551 y Fk(t)1792 581 y Fr(S)5 b Ft(\()p
Fr(b)1916 593 y Fl(1)1952 581 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)2173
593 y Fk(n)2218 581 y Ft(\))36 b(=)f Fr(E)2447 593 y
Fk(n)2492 581 y Ft(,)g(w)n(enn)g(man)165 681 y(\()p Fr(b)233
693 y Fl(1)271 681 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)491
693 y Fk(n)536 681 y Ft(\))31 b(=)f Fr(M)784 651 y Fi(\000)p
Fl(1)905 681 y Ft(de\014niert.)j(Also)f(ist)g Fr(b)1609
651 y Fk(t)1609 702 y(i)1638 681 y Fr(S)5 b(b)1730 693
y Fk(j)1795 681 y Ft(=)31 b Fr(\016)1928 693 y Fk(ij)1986
681 y Ft(.)h(Damit)h(wird)f(die)h(durc)n(h)e Fr(S)165
780 y Ft(de\014nierte)d(Bilinearform)e(ein)i(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)26
b(und)i Fr(S)33 b Ft(p)r(ositiv)27 b(de\014nit.)178 939
y Fq(\177)165 955 y(Ubungen)32 b(8.5.12)81 b Ft(1.)41
b(V)-7 b(erv)n(ollst)1327 959 y(\177)1327 955 y(andigen)26
b(Sie)i(die)g(Matrix)1356 1066 y Fj(0)1356 1215 y(@)1443
1125 y Ft(0)1604 1092 y Fl(1)p 1577 1106 88 4 v 1577
1115 a Fi(p)p 1632 1115 34 3 v 48 x Fl(2)1758 1125 y
Fo(\003)1443 1224 y Ft(1)115 b(0)h Fo(\003)1443 1324
y Ft(0)1604 1291 y Fl(1)p 1577 1305 88 4 v 1577 1314
a Fi(p)p 1632 1314 34 3 v 48 x Fl(2)1758 1324 y Fo(\003)1813
1066 y Fj(1)1813 1215 y(A)313 1510 y Ft(zu)28 b(einer)f(orthogonalen)e
(Matrix.)207 1610 y(2.)41 b(V)-7 b(erv)n(ollst)633 1614
y(\177)633 1610 y(andigen)26 b(Sie)i(die)f(Matrix)1285
1724 y Fj(0)1285 1874 y(@)1372 1779 y Fo(\000)1447 1747
y Fl(1)p 1446 1761 34 4 v 1446 1808 a(2)1610 1747 y(1)p
1582 1761 88 4 v 1582 1769 a Fi(p)p 1637 1769 34 3 v
49 x Fl(2)1800 1747 y(1)p 1800 1761 34 4 v 1800 1808
a(2)1414 1870 y(1)p 1387 1884 88 4 v 1387 1893 a Fi(p)p
1441 1893 34 3 v 1441 1941 a Fl(2)1605 1903 y Ft(0)1800
1870 y Fl(1)p 1773 1884 88 4 v 1773 1893 a Fi(p)p 1827
1893 34 3 v 1827 1941 a Fl(2)1410 2003 y Fo(\003)153
b(\003)c(\003)1884 1724 y Fj(1)1884 1874 y(A)313 2172
y Ft(zu)28 b(einer)f(orthogonalen)e(Matrix.)207 2272
y(3.)41 b(Sei)1206 2451 y Fr(M)32 b Ft(=)1406 2284 y
Fj(0)1406 2433 y(@)1493 2351 y Ft(1)82 b Fo(\000)p Ft(2)115
b(1)1493 2451 y(1)g(0)g Fo(\000)p Ft(1)1493 2550 y(0)g(1)147
b(1)1926 2284 y Fj(1)1926 2433 y(A)2013 2451 y Fr(:)313
2695 y Ft(Zeigen)35 b(Sie,)g(da\031)g Fr(M)44 b Ft(in)n(v)n(ertierbar)
33 b(ist)i(und)h(b)r(estimmen)g(Sie)g(die)f(gem)2654
2699 y(\177)2654 2695 y(a\031)f(Satz)313 2795 y(8.5.11)c(zugeh)765
2799 y(\177)765 2795 y(orige)f(p)r(ositiv)j(de\014nite)g(Matrix)f
Fr(S)5 b Ft(.)31 b(Bestimmen)h(Sie)f(den)h(Wink)n(el)313
2894 y(zwisc)n(hen)24 b(den)i(V)-7 b(ektoren)24 b(\(1)p
Fr(;)14 b Ft(0)p Fr(;)g Ft(0\))24 b(und)h(\(0)p Fr(;)14
b Ft(1)p Fr(;)g Ft(0\))24 b(bzgl.)h(des)g(durc)n(h)f
Fr(S)30 b Ft(de\014nierten)313 2994 y(Sk)-5 b(alarpro)r(dukts)26
b(auf)i Fm(R)1089 2964 y Fl(3)1126 2994 y Ft(.)207 3093
y(4.)41 b(Zeigen)27 b(Sie,)h(da\031)1306 3288 y Fr(S)g
Ft(=)1472 3121 y Fj(0)1472 3271 y(@)1559 3189 y Ft(2)82
b(2)h(2)1559 3288 y(2)f(5)h(3)1559 3388 y(2)f(3)h(3)1863
3121 y Fj(1)1863 3271 y(A)313 3533 y Ft(eine)28 b(p)r(ositiv)f
(de\014nite)h(Matrix)f(ist.)165 3856 y Fs(8.6)42 b(Adjungierte)c
(Abbildungen)165 4060 y Ft(Das)23 b(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)23
b(eines)g(endlic)n(hdimensionalen)g(Euklidisc)n(hen)f(V)-7
b(ektorraumes)22 b Fr(V)165 4159 y Ft(induziert)29 b(eine)g(Vielzahl)g
(v)n(on)f(in)n(teressan)n(ten)g(Isomorphismen.)g(Zun)2413
4163 y(\177)2413 4159 y(ac)n(hst)g(b)r(etrac)n(h-)165
4259 y(ten)k(wir)f(einen)h(k)-5 b(anonisc)n(hen)31 b(Isomorphism)n(us)f
(zwisc)n(hen)h Fr(V)50 b Ft(und)32 b(und)g(dem)g(dualen)165
4359 y(V)-7 b(ektorraum)27 b Fr(V)692 4329 y Fi(\003)753
4359 y Ft(=)22 b(Hom)1013 4371 y Fh(R)1060 4359 y Ft(\()p
Fr(V)5 b(;)14 b Fm(R)p Ft(\).)165 4525 y Fq(Lemma)32
b(8.6.1)40 b Fp(Sei)48 b Fr(\033)c Fp(eine)c(nichtausge)l(artete)h
(Biline)l(arform)h(auf)58 b Fr(V)19 b Fp(.)41 b(Dann)e(ist)165
4624 y Fr(\033)215 4594 y Fi(\003)277 4624 y Ft(:)23
b Fr(V)42 b Fo(3)23 b Fr(x)h Fo(7!)f Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b Fo(\000)p Ft(\))24 b Fo(2)f Fr(V)1100 4594
y Fi(\003)1162 4624 y Ft(=)f(Hom)1422 4636 y Fh(R)1468
4624 y Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14 b Fm(R)p Ft(\))30 b Fp(ein)g
(Monomorphismus.)p eop end
%%Page: 257 118
TeXDict begin 257 117 bop 1672 100 a Fn(8.6)42 b(Adjungierte)26
b(Abbildungen)150 b(257)165 282 y Fp(Beweis.)44 b Ft(Da)32
b Fr(\033)k Ft(bilinear)c(ist,)h(ist)g Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b Fo(\000)p Ft(\))33 b(im)g(zw)n(eiten)g(Argumen)n(t)f
(linear,)g(also)f(ein)165 382 y(Elemen)n(t)20 b(v)n(on)e(Hom\()p
Fr(V)5 b(;)14 b Fm(R)p Ft(\))24 b(=)e Fr(V)1197 352 y
Fi(\003)1235 382 y Ft(.)e(W)-7 b(eiter)20 b(ist)f Fr(\033)1695
352 y Fi(\003)1734 382 y Ft(\()p Fr(\013x)r Ft(+)r Fr(\014)t(y)s(;)14
b Fo(\000)p Ft(\)\()p Fr(z)t Ft(\))24 b(=)e Fr(\033)s
Ft(\()p Fr(\013x)r Ft(+)r Fr(\014)t(y)s(;)14 b(z)t Ft(\))25
b(=)165 482 y Fr(\013\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(z)t Ft(\))24
b(+)e Fr(\014)t(\033)s Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b(z)t Ft(\))34
b(=)g Fr(\013\033)1095 451 y Fi(\003)1134 482 y Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\)\()p Fr(z)t Ft(\))23 b(+)f Fr(\014)t(\033)1563
451 y Fi(\003)1602 482 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\()p Fr(z)t
Ft(\))34 b(=)g(\()p Fr(\013\033)2085 451 y Fi(\003)2124
482 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))24 b(+)e Fr(\014)t(\033)2447
451 y Fi(\003)2486 482 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\)\()p Fr(z)t
Ft(\),)34 b(also)165 581 y(gilt)25 b Fr(\033)360 551
y Fi(\003)399 581 y Ft(\()p Fr(\013x)13 b Ft(+)g Fr(\014)t(y)s
Ft(\))24 b(=)e Fr(\013\033)963 551 y Fi(\003)1002 581
y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))13 b(+)g Fr(\014)t(\033)1305 551
y Fi(\003)1345 581 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\).)25 b Fr(\033)1551
551 y Fi(\003)1614 581 y Ft(ist)g(also)f(ein)h(Homomorphism)n(us.)f(W)
-7 b(enn)165 681 y Fr(\033)215 651 y Fi(\003)254 681
y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))30 b(=)f(0)i(ist,)h(dann)f(ist)h
Fr(\033)1086 651 y Fi(\003)1125 681 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\)\()p Fr(z)t Ft(\))e(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14
b(z)t Ft(\))30 b(=)f(0)i(f)1932 685 y(\177)1930 681 y(ur)g(alle)g
Fr(z)i Fo(2)d Fr(V)19 b Ft(.)31 b(W)-7 b(eil)32 b Fr(\033)j
Ft(nic)n(h)n(t)165 780 y(ausgeartet)26 b(ist,)i(folgt)g
Fr(x)23 b Ft(=)g(0.)k(Damit)h(ist)g Fr(\033)1571 750
y Fi(\003)1637 780 y Ft(ein)g(Monomorphism)n(us.)165
946 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.6.2)40 b Fp(Sei)j Fr(\033)37
b Fp(eine)e(nichtausge)l(artete)f(Biline)l(arform)i(auf)f(einem)f(end-)
165 1045 y(lichdimensionalen)39 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)41
b Fr(V)19 b Fp(.)36 b(Dann)e(ist)44 b Fr(\033)1852 1015
y Fi(\003)1924 1045 y Ft(:)33 b Fr(V)52 b Fo(\000)-46
b(!)33 b Fr(V)2282 1015 y Fi(\003)2356 1045 y Fp(ein)i(Isomorphis-)165
1145 y(mus.)165 1310 y(Beweis.)44 b Ft(Nac)n(h)27 b(5.4.16)e(ist)j(dim)
14 b Fr(V)42 b Ft(=)23 b(dim)14 b Fr(V)1598 1280 y Fi(\003)1636
1310 y Ft(,)28 b(also)e(ist)i Fr(\033)2019 1280 y Fi(\003)2085
1310 y Ft(nac)n(h)f(5.4.12)e(ein)j(Isomor-)165 1409 y(phism)n(us.)290
1575 y(Eine)37 b(w)n(eitere)h(wic)n(h)n(tige)f(Konstruktion)f(ist)i
(die)g(v)n(on)f(adjungierten)h(Endomor-)165 1674 y(phismen.)28
b(Diese)g(Konstruktion)e(f)1274 1678 y(\177)1272 1674
y(uhrt)j(zu)e(einem)h(Automorphism)n(us)f(v)n(on)g(End)o(\()p
Fr(V)20 b Ft(\).)165 1835 y Fq(Satz)33 b(8.6.3)40 b Fp(Seien)32
b Fr(\033)d Fp(und)34 b Fr(V)44 b Fp(wie)27 b(in)e(8.6.2.)k(Zu)c(je)l
(dem)33 b Fr(f)e Fo(2)24 b Ft(End)o(\()p Fr(V)c Ft(\))25
b Fp(gibt)h(es)g(genau)165 1934 y(ein)37 b Fr(f)362 1904
y Fl(ad)458 1934 y Fo(2)24 b Ft(End)o(\()p Fr(V)c Ft(\))30
b Fp(mit)892 2108 y Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)26 b Fo(2)e Fr(V)18
b Ft([)p Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)c(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\)\))25 b(=)d Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)1857 2073 y Fl(ad)1932
2108 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(y)s Ft(\)])p
Fr(:)165 2281 y(f)215 2251 y Fl(ad)319 2281 y Fp(hei\031t)29
b(die)i(zu)36 b Fr(f)i Ft(adjungierte)27 b(Abbildung)p
Fp(.)165 2446 y(Beweis.)44 b Ft(Es)31 b(ist)h Fr(\033)s
Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fo(\000)p Ft(\)\))31
b Fo(2)g Fr(V)1284 2416 y Fi(\003)1322 2446 y Ft(.)h(Also)g(gibt)g(es)f
(nac)n(h)h(8.6.2)e(genau)h(ein)h(Elemen)n(t)165 2546
y Fr(f)215 2516 y Fl(ad)289 2546 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))24
b Fo(2)f Fr(V)44 b Ft(mit)26 b Fr(\033)794 2516 y Fi(\003)833
2546 y Ft(\()p Fr(f)915 2516 y Fl(ad)989 2546 y Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\)\))e(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)1376 2516
y Fl(ad)1450 2546 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b
Fo(\000)p Ft(\))24 b(=)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9
b Ft(\()p Fo(\000)p Ft(\)\).)27 b Fr(f)2283 2516 y Fl(ad)2356
2546 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))f(h)2539 2550 y(\177)2539
2546 y(angt)f(linear)165 2646 y(v)n(on)41 b Fr(x)h Ft(ab,)f(denn)g
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)925 2615 y Fl(ad)1000 2646 y Ft(\()p
Fr(\013x)28 b Ft(+)f Fr(\014)t(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b(z)t
Ft(\))46 b(=)g Fr(\033)s Ft(\()p Fr(\013x)29 b Ft(+)e
Fr(\014)t(y)s(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(z)t Ft(\)\))45
b(=)h Fr(\013\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p
Fr(z)t Ft(\)\))29 b(+)165 2745 y Fr(\014)t(\033)s Ft(\()p
Fr(y)s(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(z)t Ft(\)\))36 b(=)g Fr(\013\033)s
Ft(\()p Fr(f)890 2715 y Fl(ad)964 2745 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fr(;)14 b(z)t Ft(\))24 b(+)f Fr(\014)t(\033)s
Ft(\()p Fr(f)1482 2715 y Fl(ad)1557 2745 y Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\))p Fr(;)14 b(z)t Ft(\))35 b(=)g Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(\013f)2097 2715 y Fl(ad)2172 2745 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))24 b(+)f Fr(\014)t(f)2496 2715 y Fl(ad)2570 2745
y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b(z)t Ft(\))35 b(f)2852
2749 y(\177)2850 2745 y(ur)165 2845 y(alle)22 b Fr(z)27
b Fo(2)c Fr(V)c Ft(.)j(Also)g(ist)h Fr(\033)911 2815
y Fi(\003)949 2845 y Ft(\()p Fr(f)1031 2815 y Fl(ad)1105
2845 y Ft(\()p Fr(\013x)8 b Ft(+)g Fr(\014)t(y)s Ft(\)\))24
b(=)e Fr(\033)1638 2815 y Fi(\003)1677 2845 y Ft(\()p
Fr(\013f)1812 2815 y Fl(ad)1886 2845 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))8 b(+)g Fr(\014)t(f)2179 2815 y Fl(ad)2253 2845
y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\),)23 b(also)e Fr(f)2650 2815
y Fl(ad)2724 2845 y Ft(\()p Fr(\013x)8 b Ft(+)165 2944
y Fr(\014)t(y)s Ft(\))24 b(=)e Fr(\013f)506 2914 y Fl(ad)580
2944 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))e(+)e Fr(\014)t(f)895 2914
y Fl(ad)969 2944 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\).)28 b(O\013en)n(bar)e(ist)i
Fr(f)1635 2914 y Fl(ad)1736 2944 y Ft(eindeutig)g(b)r(estimm)n(t.)165
3110 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.6.4)40 b Fp(Sei)51 b
Fr(\033)45 b Fp(eine)d(symmetrische,)h(nichtausge)l(artete)g(Biline)l
(arform)165 3209 y(auf)31 b(dem)f(end)t(lichdimensionalen)j(V)-6
b(ektorr)l(aum)35 b Fr(V)19 b Fp(.)30 b(Dann)g(ist)f(die)i(A)n
(bbildung)1014 3383 y Ft(End\()p Fr(V)19 b Ft(\))24 b
Fo(3)f Fr(f)32 b Fo(7!)23 b Fr(f)1625 3348 y Fl(ad)1721
3383 y Fo(2)h Ft(End\()p Fr(V)19 b Ft(\))165 3556 y Fp(ein)30
b(involutorischer)i(A)n(ntiautomorphismus)e(des)g(Endomorphismenringes)
j(\(versu-)165 3656 y(chen)e(Sie)f(mit)f(dieser)i(A)n(ussage)f(Ihr)l(e)
g(F)-6 b(r)l(eunde)29 b(zu)g(b)l(e)l(eindrucken\),)i(d.h.)204
3801 y(1.)42 b Ft(\()p Fr(f)27 b Ft(+)18 b Fr(g)s Ft(\))571
3771 y Fl(ad)668 3801 y Ft(=)23 b Fr(f)806 3771 y Fl(ad)898
3801 y Ft(+)18 b Fr(g)1024 3771 y Fl(ad)1097 3801 y Fp(,)204
3901 y(2.)42 b Ft(\()p Fr(f)27 b Fo(\001)19 b Fr(g)s
Ft(\))530 3871 y Fl(ad)627 3901 y Ft(=)j Fr(g)757 3871
y Fl(ad)849 3901 y Fo(\001)d Fr(f)941 3871 y Fl(ad)1014
3901 y Fp(,)204 4001 y(3.)42 b Ft(\(id\))446 3970 y Fl(ad)544
4001 y Ft(=)22 b(id)p Fp(,)204 4100 y(4.)42 b Ft(\()p
Fr(f)395 4070 y Fl(ad)469 4100 y Ft(\))501 4070 y Fl(ad)598
4100 y Ft(=)23 b Fr(f)9 b Fp(.)165 4265 y(Beweis.)44
b Ft(1.)29 b Fr(\033)s Ft(\(\()p Fr(f)h Ft(+)20 b Fr(g)s
Ft(\))921 4235 y Fl(ad)994 4265 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(y)s Ft(\))28 b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14
b Ft(\()p Fr(f)30 b Ft(+)19 b Fr(g)s Ft(\)\()p Fr(y)s
Ft(\)\))28 b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p
Fr(y)s Ft(\)\))21 b(+)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(g)s
Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\))29 b(=)165 4365 y Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(f)297 4335 y Fl(ad)372 4365 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(y)s Ft(\))23 b(+)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(g)831
4335 y Fl(ad)906 4365 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14
b(y)s Ft(\))34 b(=)g Fr(\033)s Ft(\(\()p Fr(f)1427 4335
y Fl(ad)1524 4365 y Ft(+)22 b Fr(g)1654 4335 y Fl(ad)1728
4365 y Ft(\)\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(y)s Ft(\))35
b(f)2046 4369 y(\177)2044 4365 y(ur)f(alle)g Fr(y)i Fo(2)e
Fr(V)53 b Ft(impliziert)165 4465 y Fr(\033)215 4434 y
Fi(\003)254 4465 y Ft(\(\()p Fr(f)28 b Ft(+)18 b Fr(g)s
Ft(\))545 4434 y Fl(ad)618 4465 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\)\))25
b(=)d Fr(\033)923 4434 y Fi(\003)962 4465 y Ft(\(\()p
Fr(f)1076 4434 y Fl(ad)1168 4465 y Ft(+)c Fr(g)1294 4434
y Fl(ad)1368 4465 y Ft(\)\()p Fr(x)p Ft(\)\),)29 b(also)e(folgt)g(1.)
290 4564 y(2.)g Fr(\033)s Ft(\(\()p Fr(f)h Fo(\001)19
b Fr(g)s Ft(\))682 4534 y Fl(ad)756 4564 y Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\))p Fr(;)14 b(y)s Ft(\))24 b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(g)s Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\)\))25
b(=)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)1800 4534 y Fl(ad)1874 4564
y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(g)s Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\)\))24 b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(g)2442 4534 y Fl(ad)2516
4564 y Ft(\()p Fr(f)2598 4534 y Fl(ad)2672 4564 y Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\)\))p Fr(;)14 b(y)s Ft(\))165 4664 y(=)-14
b Fo(\))23 b Ft(2)p Fr(:)p eop end
%%Page: 258 119
TeXDict begin 258 118 bop 165 100 a Fn(258)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)290 282 y Ft(3.)27 b(trivial)290 382 y(4.)54
b Fr(\033)s Ft(\(\()p Fr(f)573 352 y Fl(ad)647 382 y
Ft(\))679 352 y Fl(ad)754 382 y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p
Fr(;)14 b(y)s Ft(\))68 b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14
b(f)1394 352 y Fl(ad)1469 382 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\))68
b(=)f Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)1941 352 y Fl(ad)2015 382
y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b(x)p Ft(\))69 b(=)e
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p
Ft(\)\))69 b(=)165 482 y Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(y)s Ft(\),)29 b(also)e(\()p
Fr(f)822 451 y Fl(ad)896 482 y Ft(\))928 451 y Fl(ad)1025
482 y Ft(=)22 b Fr(f)t(:)290 654 y Ft(Mit)30 b(der)f(Konstruktion)f(v)n
(on)h(adjungierten)g(Endomorphismen)g(ergibt)g(sic)n(h)g(die)165
754 y(in)n(teressan)n(te)38 b(F)-7 b(rage,)38 b(un)n(ter)h(w)n(elc)n
(hen)g(Umst)1640 758 y(\177)1640 754 y(anden)h Fr(f)48
b Ft(und)40 b Fr(f)2214 724 y Fl(ad)2329 758 y Ft(\177)2327
754 y(ub)r(ereinstimmen.)165 853 y(Solc)n(he)23 b(Endomorphismen)f
(nennen)h(wir)g(selbstadjungiert.)g(Sie)g(hab)r(en)h(sehr)e(w)n
(eitrei-)165 953 y(c)n(hende)28 b(Bedeutung)f(in)h(der)f(Ph)n(ysik,)g
(der)g(Geometrie)g(und)h(in)g(der)f(Analysis.)165 1118
y Fq(De\014nition)k(8.6.5)40 b Fr(f)32 b Fo(2)23 b Ft(End\()p
Fr(V)c Ft(\))28 b(hei\031t)f Fp(selbstadjungiert)p Ft(,)57
b(w)n(enn)27 b Fr(f)2417 1088 y Fl(ad)2514 1118 y Ft(=)c
Fr(f)36 b Ft(gilt.)165 1283 y Fq(Lemma)c(8.6.6)40 b Ft(Bil\()p
Fr(V)19 b Ft(\))26 b(:=)g Fo(f)p Fr(\033)j Ft(:)d Fr(V)39
b Fo(\002)19 b Fr(V)45 b Fo(\000)-46 b(!)26 b Fm(R)p
Fo(j)p Fr(\033)33 b Fp(Biline)l(arform)g Fo(g)e Fp(ist)g(ein)h(V)-6
b(ektor-)165 1383 y(r)l(aum.)165 1556 y(Beweis.)44 b
Ft(Bil\()p Fr(V)19 b Ft(\))36 b Fo(\022)g Ft(Abb\()p
Fr(V)43 b Fo(\002)24 b Fr(V)5 b(;)14 b Fm(R)p Ft(\))35
b(ist)h(ein)f(Un)n(terv)n(ektorraum,)f(wie)h(man)g(leic)n(h)n(t)165
1655 y(sieh)n(t.)165 1828 y Fq(Satz)e(8.6.7)40 b Fp(Sei)47
b Fr(\033)42 b Fp(eine)d(nichtausge)l(artete)g(symmetrische)h(Biline)l
(arform)h(auf)56 b Fr(V)165 1928 y Fp(und)38 b Ft(dim)15
b Fr(V)41 b(<)23 b Fo(1)p Fp(.)30 b(Dann)f(ist)818 2109
y Fr(\011)869 2121 y Fk(\033)937 2109 y Ft(:)23 b(End\()p
Fr(V)c Ft(\))k Fo(3)h Fr(f)31 b Fo(7!)23 b Fr(\033)s
Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fo(\000)p Ft(\)\))24
b Fo(2)f Ft(Bil\()p Fr(V)c Ft(\))165 2290 y Fp(ein)30
b(Isomorphismus.)165 2462 y(Beweis.)44 b Ft(O\013en)n(bar)21
b(ist)i Fr(\033)s Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p
Fo(\000)p Ft(\)\))22 b(eine)h(Bilinearform.)e(W)-7 b(eiter)23
b(ist)f(w)n(egen)g Fr(\011)2677 2474 y Fk(\033)2721 2462
y Ft(\()p Fr(\013f)c Ft(+)165 2562 y Fr(\014)t(g)s Ft(\))24
b(=)e Fr(\033)s Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b Ft(\()p Fr(\013f)26
b Ft(+)16 b Fr(\014)t(g)s Ft(\)\()p Fo(\000)p Ft(\)\))24
b(=)f Fr(\013\033)s Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b(f)9 b
Ft(\()p Fo(\000)p Ft(\)\))17 b(+)f Fr(\014)t(\033)s Ft(\()p
Fo(\000)p Fr(;)e(g)s Ft(\()p Fo(\000)p Ft(\)\))24 b(=)e
Fr(\013\011)2418 2574 y Fk(\033)2463 2562 y Ft(\()p Fr(f)9
b Ft(\))17 b(+)f Fr(\014)t(\011)2777 2574 y Fk(\033)2822
2562 y Ft(\()p Fr(g)s Ft(\))165 2662 y(die)30 b(Abbildung)g
Fr(\011)762 2674 y Fk(\033)836 2662 y Ft(ein)g(Homomorphism)n(us.)e(W)
-7 b(enn)30 b Fr(\011)1964 2674 y Fk(\033)2009 2662 y
Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\))26 b(=)g(0)j(ist,)h(so)f(ist)g
Fo(8)p Fr(x;)14 b(y)30 b Fo(2)165 2761 y Fr(V)19 b Ft([)p
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\))34
b(=)e(0])p Fr(:)h Ft(Also)g(gilt)g Fo(8)p Fr(y)i Fo(2)e
Fr(V)18 b Ft([)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))33 b(=)f(0])h(und)g
(damit)h Fr(f)41 b Ft(=)31 b(0.)i(Daher)g(ist)165 2861
y Fr(\011)216 2873 y Fk(\033)294 2861 y Ft(injektiv.)h(Sei)f(sc)n
(hlie\031lic)n(h)f Fr(\034)42 b Fo(2)32 b Ft(Bil\()p
Fr(V)19 b Ft(\).)34 b(Dann)f(ist)g Fr(\034)9 b Ft(\()p
Fr(x;)14 b Fo(\000)p Ft(\))34 b Fo(2)e Fr(V)2417 2831
y Fi(\003)2455 2861 y Fr(;)h Ft(also)f(gibt)h(es)165
2960 y(genau)38 b(ein)g Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))42
b Fo(2)f Fr(V)57 b Ft(mit)39 b Fr(\034)9 b Ft(\()p Fr(x;)14
b Fo(\000)p Ft(\))42 b(=)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)9 b
Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))p Fr(:)40
b Ft(Es)d(ist)i Fr(f)49 b Fo(2)41 b Ft(End\()p Fr(V)19
b Ft(\),)39 b(denn)165 3060 y Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)9
b Ft(\()p Fr(\013x)23 b Ft(+)e Fr(\014)t(y)s Ft(\))p
Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))30 b(=)f Fr(\034)9 b Ft(\()p
Fr(\013x)23 b Ft(+)e Fr(\014)t(y)s(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))29
b(=)h Fr(\013\034)9 b Ft(\()p Fr(x;)14 b Fo(\000)p Ft(\))23
b(+)d Fr(\014)t(\034)9 b Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b Fo(\000)p
Ft(\))31 b(=)e Fr(\013\033)s Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))32 b Fo(2)165
3160 y Fr(\014)t(\033)s Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\))p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))41 b(=)f Fr(\033)s
Ft(\()p Fr(\013f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))27 b(+)e Fr(\014)t(f)9
b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))p
Fr(:)38 b Ft(Wir)g(bilden)g Fr(\011)2042 3172 y Fk(\033)2087
3160 y Ft(\()p Fr(f)2169 3130 y Fl(ad)2242 3160 y Ft(\))j(=)f
Fr(\033)s Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b(f)2654 3130 y Fl(ad)2727
3160 y Fo(\000)p Ft(\))41 b(=)165 3259 y Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(f)9 b Fo(\000)p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))23 b(=)g
Fr(\034)9 b Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))28
b(und)g(hab)r(en)f(damit)h Fr(\011)1614 3271 y Fk(\033)1687
3259 y Ft(surjektiv)f(gezeigt.)165 3432 y Fq(Bemerkung)32
b(8.6.8)39 b Ft(Auf)21 b(jedem)f Fr(V)39 b Ft(mit)20
b(dim)14 b Fr(V)42 b(<)23 b Fo(1)d Ft(gibt)f(es)h(eine)g(nic)n(h)n
(tausgearte-)165 3532 y(te)h(symmetrisc)n(he)f(Bilinearform.)g(Insb)r
(esondere)f(ist)i(ein)g(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)20 b(nic)n(h)n(tausge-)
165 3631 y(artet.)k(Sei)g(n)564 3635 y(\177)564 3631
y(amlic)n(h)f Fr(b)861 3643 y Fl(1)898 3631 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1119 3643 y Fk(n)1187 3631 y Ft(eine)24
b(Basis)f(v)n(on)g Fr(V)c Ft(.)24 b(Dann)g(ist)g Fr(\033)s
Ft(\()2249 3569 y Fj(P)2351 3631 y Fr(\013)2404 3643
y Fk(i)2432 3631 y Fr(b)2468 3643 y Fk(i)2495 3631 y
Fr(;)2532 3569 y Fj(P)2634 3631 y Fr(\014)2681 3643 y
Fk(j)2716 3631 y Fr(b)2752 3643 y Fk(j)2786 3631 y Ft(\))f(:=)165
3669 y Fj(P)267 3731 y Fr(\013)320 3743 y Fk(i)348 3731
y Fr(\014)395 3743 y Fk(j)430 3731 y Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(b)548 3743 y Fk(i)575 3731 y Fr(;)14 b(b)648 3743
y Fk(j)683 3731 y Ft(\))23 b(=)826 3669 y Fj(P)927 3731
y Fr(\013)980 3743 y Fk(i)1008 3731 y Fr(\014)1055 3743
y Fk(j)1090 3731 y Fr(\016)1127 3743 y Fk(ij)1208 3731
y Ft(nic)n(h)n(t)f(ausgeartet)e(und)j(symmetrisc)n(h,)e(denn)i
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(V)20 b Ft(\))165 3830 y(=)j(0)k
(impliziert)h Fr(\033)s Ft(\()778 3768 y Fj(P)880 3830
y Fr(\013)933 3842 y Fk(i)961 3830 y Fr(b)997 3842 y
Fk(i)1024 3830 y Fr(;)14 b(b)1097 3842 y Fk(j)1132 3830
y Ft(\))23 b(=)g(0)f(=)h Fr(\013)1480 3842 y Fk(j)1543
3830 y Ft(f)1570 3834 y(\177)1568 3830 y(ur)k(alle)h
Fr(j:)290 3996 y Ft(Wir)461 4000 y(\177)458 3996 y(ub)r(ertragen)f
(unsere)g(bisherigen)g(Betrac)n(h)n(tungen)f(n)n(unmehr)h(auf)h
(Matrizen.)165 4161 y Fq(Satz)33 b(8.6.9)40 b Fp(Sei)51
b Ft(dim)14 b Fr(V)66 b Ft(=)45 b Fr(n)h(<)g Fo(1)p Fr(;)14
b(B)47 b Fp(eine)c(Basis)g(und)51 b Fr(\033)s Ft(\()p
Fr(b)2318 4173 y Fk(i)2346 4161 y Fr(;)14 b(b)2419 4173
y Fk(j)2454 4161 y Ft(\))46 b(=)g Fr(\016)2680 4173 y
Fk(ij)2781 4161 y Fp(eine)165 4260 y(nichtausge)l(artete)30
b(symmetrische)h(Biline)l(arform.)i(Unter)c(den)h(Isomorphismen)1103
4462 y Fm(R)1163 4428 y Fk(n)1163 4483 y(n)1252 4415
y(\010)1208 4462 y Fo(\000)-14 b(!)p Ft(End)o(\()p Fr(V)19
b Ft(\))1646 4414 y Fk(\010)1691 4422 y Ff(\033)1621
4462 y Fo(\000)-14 b(!)p Ft(Bil\()p Fr(V)20 b Ft(\))165
4643 y Fp(mit)38 b Fr(\010)p Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\))30
b Fp(der)g(von)37 b Fr(M)h Fp(bzgl.)31 b Fr(B)j Fp(dar)l(gestel)t(lten)
c(Homomorphismus)h(gilt:)p eop end
%%Page: 259 120
TeXDict begin 259 119 bop 1672 100 a Fn(8.6)42 b(Adjungierte)26
b(Abbildungen)150 b(259)204 282 y Fp(1.)312 286 y(\177)313
282 y(aquivalent)31 b(sind)f(f)911 286 y(\177)911 282
y(ur)38 b Fr(M)32 b Fo(2)24 b Fm(R)1281 252 y Fk(n)1281
303 y(n)343 382 y Fp(a\))42 b Fr(M)551 352 y Fk(t)602
382 y Ft(=)23 b Fr(M)38 b Fp(\()p Fr(M)h Fp(ist)29 b
Ft(symmetrisc)n(h)p Fp(\),)347 482 y(b\))42 b Fr(\010)p
Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\))30 b Fp(ist)f(selbstadjungiert,)347
581 y(c\))42 b Fr(\011)512 593 y Fk(\033)556 581 y Fr(\010)p
Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\))30 b Fp(ist)g(symmetrisch;)204
681 y(2.)312 685 y(\177)313 681 y(aquivalent)h(sind)f(f)911
685 y(\177)911 681 y(ur)38 b Fr(M)32 b Fo(2)24 b Fm(R)1281
651 y Fk(n)1281 701 y(n)1349 681 y Ft(:)343 780 y Fp(a\))42
b Fr(M)c Fp(r)l(e)l(gul)748 784 y(\177)749 780 y(ar,)347
880 y(b\))k Fr(\010)p Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\))30 b Fp(A)n
(utomorphismus,)347 980 y(c\))42 b Fr(\011)512 992 y
Fk(\033)556 980 y Fr(\010)p Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\))30
b Fp(nicht)g(ausge)l(artet.)165 1121 y(Beweis.)44 b Ft(1.)27
b(Sei)h Fr(f)j Ft(:=)23 b Fr(\010)p Ft(\()p Fr(M)9 b
Ft(\),)28 b(also)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(b)1436 1133 y
Fk(j)1470 1121 y Ft(\))24 b(=)1613 1059 y Fj(P)1701 1079
y Fk(n)1701 1146 y(i)p Fl(=1)1826 1121 y Fr(\013)1879
1133 y Fk(ij)1938 1121 y Fr(b)1974 1133 y Fk(i)2029 1121
y Ft(mit)k Fr(M)k Ft(=)22 b(\()p Fr(\013)2466 1133 y
Fk(ij)2525 1121 y Ft(\))p Fr(:)28 b Ft(Es)f(gilt)464
1349 y Fr(M)554 1319 y Fk(t)606 1349 y Ft(=)c Fr(M)33
b Fo(\()-14 b(\))23 b(8)p Fr(i;)14 b(j)5 b Ft([)p Fr(\013)1210
1361 y Fk(ij)1292 1349 y Ft(=)22 b Fr(\013)1432 1361
y Fk(j)s(i)1491 1349 y Ft(])808 1448 y Fo(\()-14 b(\))23
b(8)p Fr(i;)14 b(j)5 b Ft([)p Fr(\033)s Ft(\()1239 1386
y Fj(P)1327 1473 y Fk(k)1382 1448 y Fr(\013)1435 1460
y Fk(k)q(i)1499 1448 y Fr(b)1535 1460 y Fk(k)1576 1448
y Fr(;)14 b(b)1649 1460 y Fk(j)1683 1448 y Ft(\))24 b(=)e
Fr(\013)1879 1460 y Fk(j)s(i)1961 1448 y Ft(=)h Fr(\033)s
Ft(\()p Fr(b)2167 1460 y Fk(i)2195 1448 y Fr(;)2232 1386
y Fj(P)2319 1473 y Fk(k)2374 1448 y Fr(\013)2427 1460
y Fk(k)q(j)2499 1448 y Fr(b)2535 1460 y Fk(k)2575 1448
y Ft(\)])808 1548 y Fo(\()-14 b(\))23 b(8)p Fr(i;)14
b(j)5 b Ft([)p Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)k Ft(\()p Fr(b)1357
1560 y Fk(i)1385 1548 y Ft(\))p Fr(;)14 b(b)1490 1560
y Fk(j)1525 1548 y Ft(\))23 b(=)g Fr(\033)s Ft(\()p Fr(b)1786
1560 y Fk(i)1814 1548 y Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(b)1969
1560 y Fk(j)2003 1548 y Ft(\)\)])808 1648 y Fo(\()-14
b(\))23 b Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p Fo(\000)p
Ft(\))p Fr(;)14 b Fo(\000)p Ft(\))24 b(=)e Fr(\033)s
Ft(\()p Fo(\000)p Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fo(\000)p Ft(\)\))808
1748 y Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(f)1033 1718 y Fl(ad)1130
1748 y Ft(=)g Fr(f)808 1848 y Fo(\()-14 b(\))23 b(8)p
Fr(x;)14 b(y)s Ft([)p Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\()p
Fr(x)p Ft(\))p Fr(;)14 b(y)s Ft(\))25 b(=)d Fr(\033)s
Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\)])808
1947 y Fo(\()-14 b(\))23 b(8)p Fr(x;)14 b(y)s Ft([)p
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(y)s(;)g(f)9 b Ft(\()p Fr(x)p Ft(\)\))25
b(=)d Fr(\033)s Ft(\()p Fr(x;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s
Ft(\)\)])808 2047 y Fo(\()-14 b(\))23 b Fr(\011)1034
2059 y Fk(\033)1079 2047 y Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\))28
b(symmetrisc)n(h)o Fr(:)290 2193 y Ft(2.)f Fr(M)36 b
Ft(regul)680 2197 y(\177)680 2193 y(ar)26 b Fo(\()-14
b(\))23 b Fr(f)37 b Ft(bijektiv)513 2337 y Fo(\()-14
b(\))25 b(8)p Fr(y)s Ft([)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))22
b(=)h(0)g(=)-15 b Fo(\))24 b Fr(y)h Ft(=)e(0])513 2437
y Fo(\()-14 b(\))25 b(8)p Fr(y)s Ft([)p Fr(\011)854 2449
y Fk(\033)898 2437 y Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\)\()p Fr(V)c(;)14
b(y)s Ft(\))24 b(=)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(V)5 b(;)14
b(f)9 b Ft(\()p Fr(y)s Ft(\)\))24 b(=)f(0)f(=)-14 b Fo(\))23
b Fr(y)j Ft(=)c(0])690 2536 y(\(1.)27 b(H)876 2540 y(\177)876
2536 y(alfte)h(v)n(on)f Fr(\011)1271 2548 y Fk(\033)1316
2536 y Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\))28 b(nic)n(h)n(tausgeartet)n(\))513
2637 y Fo(\()-14 b(\))25 b Fr(f)740 2606 y Fl(ad)841
2637 y Ft(bijektiv)j(\(8.6.4\))513 2737 y Fo(\()-14 b(\))25
b(8)p Fr(y)s Ft([)p Fr(\011)854 2749 y Fk(\033)898 2737
y Ft(\()p Fr(f)9 b Ft(\)\()p Fr(y)s(;)14 b(V)19 b Ft(\))k(=)g
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(y)s(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(V)19
b Ft(\)\))24 b(=)e Fr(\033)s Ft(\()p Fr(f)1954 2707 y
Fl(ad)2029 2737 y Ft(\()p Fr(y)s Ft(\))p Fr(;)14 b(V)19
b Ft(\))k(=)g(0)f(=)-14 b Fo(\))690 2837 y Fr(y)25 b
Ft(=)e(0]\(2.)k(H)1095 2841 y(\177)1095 2837 y(alfte)h(v)n(on)f
Fr(\011)1490 2849 y Fk(\033)1535 2837 y Ft(\()p Fr(f)9
b Ft(\))27 b(nic)n(h)n(tausgeartet)o(\))p Fr(:)165 2991
y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.6.10)40 b Fp(In)f Fm(R)1072
3003 y Fk(n)1150 2991 y Fp(ist)i Fr(\034)e Ft(:)29 b
Fm(R)1465 3003 y Fk(n)1532 2991 y Fo(\002)20 b Fm(R)1677
3003 y Fk(n)1751 2991 y Fo(3)30 b Ft(\()p Fr(x;)14 b(y)s
Ft(\))30 b Fo(7!)f Fr(x)2217 2961 y Fk(t)2247 2991 y
Fr(M)9 b(y)31 b Fo(2)f Fm(R)j Fp(eine)h(Bili-)165 3090
y(ne)l(arform)i(und)e(je)l(de)i(Biline)l(arform)h(auf)53
b Fm(R)1591 3102 y Fk(n)1670 3090 y Fp(ist)35 b(von)g(dieser)h
(Gestalt.)f Fr(\034)44 b Fp(ist)35 b(genau)165 3190 y(dann)30
b(symmetrisch)61 b(\(nichtausge)l(artet\),)e(wenn)36
b Fr(M)j Fp(symmetrisch)30 b(\(r)l(e)l(gul)2605 3194
y(\177)2606 3190 y(ar\))g(ist.)165 3331 y(Beweis.)44
b Ft(F)538 3335 y(\177)536 3331 y(ur)27 b(die)h(Basis)f
Fr(B)g Ft(=)22 b(\()p Fr(e)1241 3343 y Fl(1)1279 3331
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(e)1502 3343 y Fk(n)1547 3331
y Ft(\))28 b(und)g Fr(\033)j Ft(wie)d(in)f(8.6.8)g(gilt)460
3498 y Fr(\011)511 3510 y Fk(\033)555 3498 y Fr(\010)p
Ft(\()p Fr(M)9 b Ft(\)\()p Fr(e)835 3510 y Fk(i)863 3498
y Fr(;)14 b(e)939 3510 y Fk(j)974 3498 y Ft(\))23 b(=)g
Fr(\033)s Ft(\()p Fr(e)1238 3510 y Fk(i)1280 3419 y Fj(X)1321
3597 y Fk(k)1413 3498 y Fr(\013)1466 3510 y Fk(k)q(j)1538
3498 y Fr(e)1577 3510 y Fk(k)1618 3498 y Ft(\))g(=)g
Fr(\013)1814 3510 y Fk(ij)1895 3498 y Ft(=)g Fr(e)2022
3463 y Fk(t)2022 3518 y(i)2051 3498 y Fr(M)9 b(e)2180
3510 y Fk(j)2237 3498 y Ft(=)23 b Fr(\034)9 b Ft(\()p
Fr(e)2441 3510 y Fk(i)2469 3498 y Fr(;)14 b(e)2545 3510
y Fk(j)2580 3498 y Ft(\))p Fr(:)178 3722 y Fq(\177)165
3738 y(Ubungen)32 b(8.6.11)81 b Ft(1.)41 b(Sei)35 b Fo(h)p
Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)36 b Ft(das)e(k)-5 b(anonisc)n(he)34
b(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)33 b(auf)i Fm(R)2711 3708 y
Fk(n)2791 3738 y Ft(und)313 3837 y(sei)27 b Fr(A)h Ft(eine)g
Fr(n)18 b Fo(\002)g Fr(n)p Ft(-Matrix.)27 b(Zeigen)g(Sie)1285
3987 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(Ay)s Fo(i)24 b Ft(=)e Fo(h)p
Fr(A)1744 3953 y Fk(t)1774 3987 y Fr(x;)14 b(y)s Fo(i)p
Fr(:)207 4137 y Ft(2.)73 b(a\))42 b(Zeigen)21 b(Sie,)i(da\031)e(auf)i
Fr(R)1220 4149 y Fl(2)1280 4137 y Ft(durc)n(h)e Fr(x)1554
4106 y Fk(t)1584 4137 y Fr(S)5 b(y)25 b Ft(ein)d(Sk)-5
b(alarpro)r(dukt)22 b(de\014niert)g(ist)h(mit)461 4286
y Fr(S)k Ft(=)627 4169 y Fj(\022)734 4236 y Ft(2)115
b Fo(\000)p Ft(1)702 4336 y Fo(\000)p Ft(1)f(1)1011 4169
y Fj(\023)1072 4286 y Ft(.)341 4436 y(b\))42 b(Bestimmen)29
b(Sie)g(b)r(ez)1154 4440 y(\177)1152 4436 y(uglic)n(h)g(dieses)g(Sk)-5
b(alarpro)r(dukts)28 b(die)h(adjungierte)g(Ma-)461 4585
y(trix)e(zu)h Fr(M)j Ft(=)931 4468 y Fj(\022)1006 4535
y Ft(2)82 b(3)1006 4635 y(1)g(1)1186 4468 y Fj(\023)1247
4585 y Ft(.)p eop end
%%Page: 260 121
TeXDict begin 260 120 bop 165 100 a Fn(260)153 b(8.)42
b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)165 282 y Fs(8.7)42 b(Die)c(Hauptac)m(hsen)m(transformation)
165 486 y Ft(Wir)g(hab)r(en)g(sc)n(hon)g(darauf)f(hingewiesen,)g
(da\031)h(selbstadjungierte)f(Endomorphis-)165 585 y(men)31
b(eine)f(Vielzahl)g(v)n(on)g(wic)n(h)n(tigen)f(An)n(w)n(endungen)h(hab)
r(en.)h(Daher)e(ist)i(es)f(v)n(on)f(b)r(e-)165 685 y(sonderem)i(In)n
(teresse,)g(ihre)h(darstellenden)f(Matrizen)g(zu)h(studieren)g(und)g
(sie)g(durc)n(h)165 785 y(geeignete)g(W)-7 b(ahl)33 b(der)f(Basis)f(in)
i(eine)f(b)r(esonders)g(einfac)n(he)g(F)-7 b(orm)32 b(zu)g(bringen.)g
(Hier)165 884 y(b)r(egegnen)38 b(wir)g(no)r(c)n(h)f(einmal)h(Eigen)n(w)
n(erten)f(und)h(Eigen)n(v)n(ektoren.)e(Die)j(einfac)n(hste)165
984 y(F)-7 b(orm)28 b(der)f(darstellenden)g(Matrizen)g(stellt)h(sic)n
(h)f(als)g(Diagonalform)f(heraus.)165 1150 y Fq(Satz)33
b(8.7.1)40 b Fp(\(Hauptachsentr)l(ansformation)51 b(von)f
(selbstadjungierten)h(Endomor-)165 1249 y(phismen\))36
b(Sei)43 b Fr(V)54 b Fp(ein)35 b(end)t(lichdimensionaler)j
(Euklidischer)f(V)-6 b(ektorr)l(aum)34 b(und)h(sei)165
1349 y Fr(f)42 b Fo(2)34 b Ft(End\()p Fr(V)19 b Ft(\))36
b Fp(selbstadjungiert.)72 b(Dann)35 b(gibt)h(es)f(eine)h(Orthonormalb)l
(asis)73 b Fr(B)39 b Fp(aus)165 1449 y(Eigenvektor)l(en)31
b(von)36 b Fr(f)j Fp(und)f Fr(f)g Fp(ist)30 b(diagonalisierb)l(ar.)165
1623 y(Beweis.)44 b Ft(durc)n(h)27 b(v)n(ollst)910 1627
y(\177)910 1623 y(andige)f(Induktion)i(nac)n(h)f Fr(n)c
Ft(=)f(dim)15 b Fr(V)j Ft(.)290 1723 y(F)346 1727 y(\177)344
1723 y(ur)27 b Fr(n)c Ft(=)g(0)k(ist)h(nic)n(h)n(ts)f(zu)h(zeigen.)290
1822 y(Gelte)i(der)g(Satz)g(f)874 1826 y(\177)872 1822
y(ur)g Fr(n)19 b Fo(\000)h Ft(1)29 b(und)i(sei)f(dim)14
b Fr(V)46 b Ft(=)26 b Fr(n)p Ft(.)k(Das)g(c)n(harakteristisc)n(he)d(P)n
(oly-)165 1922 y(nom)k Fr(\037)405 1934 y Fk(f)448 1922
y Ft(\()p Fr(x)p Ft(\))h(hat)e(\(nac)n(h)h(dem)f(F)-7
b(undamen)n(talsatz)31 b(der)f(Algebra\))g Fr(n)g Ft(k)n(omplexe)g
(Null-)165 2022 y(stellen,)f(die)g(alle)f(reell)g(sind)h(\(8.5.8)e
(1.\).)i(Sei)f Fr(\025)d Fo(2)g Fm(R)k Ft(ein)f(Eigen)n(w)n(ert)f(zu)i
Fr(f)37 b Ft(mit)29 b(einem)165 2121 y(Eigen)n(v)n(ektor)35
b Fr(b)669 2133 y Fk(n)752 2121 y Ft(mit)j Fo(k)p Fr(b)992
2133 y Fk(n)1036 2121 y Fo(k)i Ft(=)f(1.)e(Sei)h Fr(U)49
b Ft(=)39 b(\()p Fm(R)p Fr(b)1806 2133 y Fk(n)1851 2121
y Ft(\))1883 2091 y Fi(?)1939 2121 y Ft(.)f(Dann)g(ist)g(dim)14
b Fr(U)49 b Ft(=)39 b Fr(n)25 b Fo(\000)g Ft(1)165 2221
y(ein)40 b(Euklidisc)n(her)e(V)-7 b(ektorraum.)39 b(W)-7
b(eiter)40 b(ist)f Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(U)g Ft(\))43 b
Fo(\022)g Fr(U)9 b Ft(,)39 b(denn)h(f)2398 2225 y(\177)2396
2221 y(ur)g Fr(u)i Fo(2)i Fr(U)k Ft(gilt)165 2320 y Fo(h)p
Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)p Ft(\))p Fr(;)14 b(b)432 2332
y Fk(n)477 2320 y Fo(i)23 b Ft(=)g Fo(h)p Fr(u;)14 b(f)9
b Ft(\()p Fr(b)855 2332 y Fk(n)899 2320 y Ft(\))p Fo(i)24
b Ft(=)f Fo(h)p Fr(u;)14 b(\025b)1276 2332 y Fk(n)1321
2320 y Fo(i)23 b Ft(=)g Fr(\025)p Fo(h)p Fr(u;)14 b(b)1665
2332 y Fk(n)1710 2320 y Fo(i)23 b Ft(=)g(0.)j(Es)g(ist)h
Fr(f)9 b Fo(j)2248 2332 y Fk(U)2331 2320 y Ft(selbstadjungiert,)165
2420 y(w)n(eil)22 b Fo(h)p Fr(u)408 2432 y Fl(1)445 2420
y Fr(;)14 b(f)9 b Ft(\()p Fr(u)612 2432 y Fl(2)648 2420
y Ft(\))p Fo(i)24 b Ft(=)e Fo(h)p Fr(f)9 b Ft(\()p Fr(u)985
2432 y Fl(1)1022 2420 y Ft(\))p Fr(;)14 b(u)1139 2432
y Fl(2)1176 2420 y Fo(i)22 b Ft(gilt.)g(Sei)f Fr(b)1558
2432 y Fl(1)1595 2420 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1816
2432 y Fk(n)p Fi(\000)p Fl(1)1967 2420 y Ft(eine)21 b(Orthonormalbasis)
e(v)n(on)165 2520 y Fr(U)33 b Ft(aus)24 b(Eigen)n(v)n(ektoren)d(v)n(on)
i Fr(f)9 b Fo(j)1163 2532 y Fk(U)1219 2520 y Ft(.)24
b(Dann)g(ist)g Fr(b)1635 2532 y Fl(1)1672 2520 y Fr(;)14
b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1893 2532 y Fk(n)1962 2520 y Ft(eine)24
b(Orthonormalbasis)d(v)n(on)165 2619 y Fr(V)47 b Ft(aus)27
b(Eigen)n(v)n(ektoren)e(v)n(on)i Fr(f)9 b Ft(.)165 2794
y Fq(Satz)33 b(8.7.2)40 b Fp(\(Hauptachsentr)l(ansformation)22
b(f)1691 2798 y(\177)1691 2794 y(ur)g(symmetrische)g(Matrizen\))g(Sei)
30 b Fr(S)e Fo(2)165 2893 y Fm(R)225 2863 y Fk(n)225
2914 y(n)302 2893 y Fp(eine)33 b(symmetrische)g(Matrix.)g(Dann)e(gibt)i
(es)f(eine)g(ortho)l(gonale)i(Matrix)64 b Fr(T)12 b Fp(,)32
b(so)165 2993 y(da\031)39 b Fr(T)12 b(S)5 b(T)511 2963
y Fi(\000)p Fl(1)628 2993 y Fp(Diagonalform)32 b(hat.)e(Die)g(Eintr)
1663 2997 y(\177)1664 2993 y(age)h(in)f(der)g(Diagonalen)h(von)1076
3285 y Fr(T)1137 3251 y Fk(t)1166 3285 y Fr(S)5 b(T)33
b Ft(=)1392 3118 y Fj(0)1392 3268 y(@)1479 3163 y Fr(\025)1527
3175 y Fl(1)1864 3163 y Ft(0)1654 3250 y Fp(.)1688 3275
y(.)1723 3300 y(.)1501 3408 y Ft(0)295 b Fr(\025)1886
3420 y Fk(n)1945 3118 y Fj(1)1945 3268 y(A)165 3582 y
Fp(sind)39 b(die)f(Eigenwerte)h(von)44 b Fr(S)e Fp(und)c(die)45
b Fr(t)1548 3594 y Fl(1)1585 3582 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(t)1800
3594 y Fk(n)1882 3582 y Fp(mit)46 b Fr(T)i Ft(=)37 b(\()p
Fr(t)2310 3594 y Fl(1)2348 3582 y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(t)2562
3594 y Fk(n)2607 3582 y Ft(\))38 b Fp(die)h(zu-)165 3682
y(geh)282 3686 y(\177)283 3682 y(origen)32 b(Eigenvektor)l(en.)165
3856 y(Beweis.)494 3835 y Fj(b)482 3856 y Fr(S)f Ft(:)c
Fm(R)674 3868 y Fk(n)746 3856 y Fo(\000)-48 b(!)27 b
Fm(R)933 3868 y Fk(n)1008 3856 y Ft(ist)j(selbstadjungiert)f
(\(8.6.9\),)h(folglic)n(h)f(existiert)g(eine)h(Or-)165
3956 y(thonormalbasis)c Fr(t)773 3968 y Fl(1)810 3956
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(t)1025 3968 y Fk(n)1098 3956
y Ft(aus)27 b(Eigen)n(v)n(ektoren:)e Fr(S)5 b(t)1896
3968 y Fk(j)1953 3956 y Ft(=)23 b Fr(\025)2089 3968 y
Fk(j)2125 3956 y Fr(t)2155 3968 y Fk(j)2213 3956 y Ft(=)f
Fr(t)2330 3968 y Fk(j)2384 3956 y Fo(\001)c Fr(\025)2473
3968 y Fk(j)2536 3956 y Ft(o)r(der)1066 4256 y Fr(S)5
b(T)34 b Ft(=)23 b Fr(T)29 b Fo(\001)1413 4089 y Fj(0)1413
4239 y(@)1499 4133 y Fr(\025)1547 4145 y Fl(1)1874 4133
y Ft(0)1673 4221 y(.)1705 4246 y(.)1737 4271 y(.)1521
4379 y(0)285 b Fr(\025)1896 4391 y Fk(n)1955 4089 y Fj(1)1955
4239 y(A)165 4558 y Ft(o)r(der)40 b Fr(T)426 4528 y Fi(\000)p
Fl(1)515 4558 y Fr(S)5 b(T)55 b Ft(=)45 b Fr(D)e Ft(o)r(der)d
Fr(T)1158 4528 y Fk(t)1186 4558 y Fr(S)5 b(T)56 b Ft(=)44
b Fr(D)r Ft(,)d(w)n(eil)f Fr(T)52 b Ft(orthogonal)39
b(ist)i(\(w)n(ob)r(ei)f Fr(D)j Ft(die)165 4658 y(Diagonalmatrix)26
b(ist\).)p eop end
%%Page: 261 122
TeXDict begin 261 121 bop 1456 100 a Fn(8.7)43 b(Die)26
b(Hauptac)n(hsen)n(transformation)152 b(261)290 282 y
Ft(Der)35 b(Zusammenhang)f(zwisc)n(hen)g(symmetrisc)n(hen)g(Matrizen)h
(und)g(Bilinearfor-)165 382 y(men)d(bringt)f(uns)h(zu)f(der)g(F)-7
b(rage,)30 b(un)n(ter)h(w)n(elc)n(hen)g(Umst)2006 386
y(\177)2006 382 y(anden)h(die)f(Bilinearformen)165 482
y(Sk)-5 b(alarpro)r(dukte)25 b(sind.)h(Diese)g(F)-7 b(rage)25
b(k)1429 486 y(\177)1429 482 y(onnen)g(wir)h(zum)g(Absc)n(hlu\031)f
(leic)n(h)n(t)h(b)r(ean)n(t)n(w)n(or-)165 581 y(ten.)165
747 y Fq(F)-8 b(olgerung)31 b(8.7.3)40 b Fp(Eine)29 b(symmetrische)g
(Matrix)f(ist)h(genau)f(dann)g(p)l(ositiv)i(de\014nit,)165
847 y(wenn)g(al)t(le)h(Eigenwerte)f(p)l(ositiv)h(sind.)165
1021 y(Beweis.)44 b Ft(Sei)19 b Fr(S)25 b Ft(p)r(ositiv)19
b(de\014nit.)i(Sei)f Fr(b)1383 1033 y Fl(1)1419 1021
y Fr(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(b)1640 1033 y Fk(n)1704 1021
y Ft(wie)20 b(in)g(8.7.2.)e(Dann)i(ist)g Fr(\025)2519
1033 y Fk(i)2570 1021 y Ft(=)j Fr(b)2694 991 y Fk(t)2694
1043 y(i)2723 1021 y Fr(S)5 b(b)2815 1033 y Fk(i)2865
1021 y Ft(=)165 1121 y Fo(k)p Fr(b)243 1133 y Fk(i)270
1121 y Fo(k)312 1091 y Fl(2)312 1144 y Fk(S)383 1121
y Fr(>)22 b Ft(0.)27 b(Seien)f(alle)g Fr(\025)976 1133
y Fk(i)1027 1121 y Fr(>)d Ft(0,)j(so)g(ist)g(f)1448 1125
y(\177)1446 1121 y(ur)h Fr(x)c Ft(=)1710 1059 y Fj(P)1811
1121 y Fr(\020)1847 1133 y Fk(i)1875 1121 y Fr(b)1911
1133 y Fk(i)1939 1121 y Ft(,)j(das)g(Sk)-5 b(alarpro)r(dukt)25
b(bzgl.)h Fr(S)165 1220 y Ft(gegeb)r(en)h(durc)n(h)756
1398 y Fo(h)p Fr(x;)14 b(x)p Fo(i)951 1410 y Fk(S)1026
1398 y Ft(=)22 b(\()1145 1335 y Fj(P)1247 1398 y Fr(\020)1283
1410 y Fk(i)1311 1398 y Fr(b)1347 1410 y Fk(i)1374 1398
y Ft(\))1406 1368 y Fk(t)1436 1398 y Fr(S)5 b Ft(\()1524
1335 y Fj(P)1625 1398 y Fr(\020)1661 1410 y Fk(j)1697
1398 y Fr(b)1733 1410 y Fk(j)1767 1398 y Ft(\))24 b(=)1910
1335 y Fj(P)2012 1398 y Fr(\020)2048 1410 y Fk(i)2076
1398 y Fr(\020)2112 1410 y Fk(j)2147 1398 y Fr(b)2183
1368 y Fk(t)2183 1419 y(i)2212 1398 y Fr(S)5 b(b)2304
1410 y Fk(j)1026 1497 y Ft(=)1113 1435 y Fj(P)1215 1497
y Fr(\020)1251 1509 y Fk(i)1279 1497 y Fr(\020)1315 1509
y Fk(j)1350 1497 y Fr(\025)1398 1509 y Fk(j)1434 1497
y Fr(b)1470 1467 y Fk(t)1470 1519 y(i)1498 1497 y Fr(b)1534
1509 y Fk(j)1592 1497 y Ft(=)1680 1435 y Fj(P)1781 1497
y Fr(\020)1823 1467 y Fl(2)1817 1519 y Fk(i)1861 1497
y Fr(\025)1909 1509 y Fk(i)1960 1497 y Fr(>)23 b Ft(0)p
Fr(:)178 1676 y Fq(\177)165 1692 y(Ubungen)32 b(8.7.4)82
b Ft(1.)41 b(Finden)c(Sie)h(die)f(Dimensionen)g(der)g(Eigenr)2429
1696 y(\177)2429 1692 y(aume)f(der)h(fol-)313 1792 y(genden)27
b(symmetrisc)n(hen)g(Matrizen:)486 1944 y Fj(0)486 2093
y(@)573 2011 y Ft(1)82 b(1)h(1)573 2111 y(1)f(1)h(1)573
2210 y(1)f(1)h(1)877 1944 y Fj(1)877 2093 y(A)964 2111
y Fr(;)1084 1944 y Fj(0)1084 2093 y(@)1203 2011 y Ft(1)114
b Fo(\000)p Ft(4)h(2)1170 2111 y Fo(\000)p Ft(4)g(1)f
Fo(\000)p Ft(2)1203 2210 y(2)g Fo(\000)p Ft(2)82 b Fo(\000)p
Ft(2)1668 1944 y Fj(1)1668 2093 y(A)1755 2111 y Fr(;)1875
1919 y Fj(0)1875 2065 y(B)1875 2118 y(@)1961 1961 y Fo(\000)2036
1929 y Fl(5)p 2036 1943 34 4 v 2036 1990 a(3)2162 1961
y Fo(\000)2237 1929 y Fl(4)p 2236 1943 V 2236 1990 a(3)2395
1961 y Ft(0)2594 1929 y Fl(1)p 2594 1943 V 2594 1990
a(3)1961 2061 y Fo(\000)2036 2028 y Fl(4)p 2036 2042
V 2036 2090 a(3)2188 2028 y(10)p 2188 2042 67 4 v 2204
2090 a(3)2395 2061 y Ft(0)115 b Fo(\000)2627 2028 y Fl(4)p
2626 2042 34 4 v 2626 2090 a(3)1999 2161 y Ft(0)159 b(0)120
b Fo(\000)p Ft(2)h(0)2003 2228 y Fl(1)p 2003 2242 V 2003
2289 a(3)2162 2260 y Fo(\000)2237 2228 y Fl(4)p 2236
2242 V 2236 2289 a(3)2395 2260 y Ft(0)115 b Fo(\000)2627
2228 y Fl(5)p 2626 2242 V 2626 2289 a(3)2683 1919 y Fj(1)2683
2065 y(C)2683 2118 y(A)207 2430 y Ft(2.)41 b(T)-7 b(ransformieren)30
b(Sie)i(die)h(folgenden)e(Matrizen)h(auf)g(Hauptac)n(hsen)g(und)g(geb)r
(en)313 2530 y(Sie)c(die)f(T)-7 b(ransformationsmatrix)25
b(an:)897 2674 y Fj(\022)1027 2741 y Ft(5)138 b(3)1249
2673 y Fo(p)p 1318 2673 42 4 v 68 x Ft(3)972 2841 y(3)1014
2772 y Fo(p)p 1083 2772 V 69 x Ft(3)105 b Fo(\000)p Ft(1)1373
2674 y Fj(\023)1448 2791 y Fr(;)1568 2624 y Fj(0)1568
2774 y(@)1675 2692 y Fo(\000)p Ft(2)135 b(0)115 b Fo(\000)p
Ft(36)1708 2791 y(0)135 b Fo(\000)p Ft(3)g(0)1654 2891
y Fo(\000)p Ft(36)114 b(0)h Fo(\000)p Ft(23)2236 2624
y Fj(1)2236 2774 y(A)2322 2791 y Fr(;)848 3056 y Fj(0)848
3205 y(@)967 3123 y Ft(2)g Fo(\000)p Ft(1)82 b Fo(\000)p
Ft(1)935 3223 y Fo(\000)p Ft(1)114 b(2)h Fo(\000)p Ft(1)935
3322 y Fo(\000)p Ft(1)82 b Fo(\000)p Ft(1)114 b(2)1433
3056 y Fj(1)1433 3205 y(A)1520 3223 y Fr(;)1639 3031
y Fj(0)1639 3177 y(B)1639 3230 y(@)1726 3073 y Ft(5)h(2)147
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3273 y(0)g(0)g Fo(\000)p Ft(2)82 b(2)1726 3372 y(0)115
b(0)147 b(2)115 b(5)2284 3031 y Fj(1)2284 3177 y(C)2284
3230 y(A)2371 3223 y Fr(:)p eop end
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b(Euklidisc)n(he)26 b(V)-6 b(ektorr)1195 103 y(\177)1195
100 y(aume)p eop end
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