; TeX output 2008.03.09:1040Oō>;%Ŏ*Oō>;%ō>;Nff cmbx125.%NVfektorr3Uaumex src:2kap5.1K`y cmr10DielineareAlgebraistdieTheoriederV*ektorroaume.VektorenundV*ek- torroaumeRTtreteninRUvielfacherGestaltundinvielenAnwendungenRTauf.So-wohl,#die,$T*echnik,alsauchdie,$theoretischePhysikkommenohne,$denBegri desV*ektorraumesnichtaus.InAnwendungenwerdenhoau gV*ektorenver-wendet,4um3dieLagevonPunkteninderEbGene,imRaumoGdersogarinhooherdimensionalenRoaumendurchihreKoGordinatenzubGeschreiben.EsgibtjedoGchauchvieleandereBeispielefGourV*ektorroaume,dieindenprakti-schenDAnwendungensehrwichtigsind.WirCnennenhiernureinigeGebiete,in8denendie9V*ektorroaumealszentralesHilfsmittelverwendet8werden:lineareGleichungssysteme,Approximationstheorie,Kryptographie,StoGchastik,`fOko-nomie,0Spieltheorie,ComputerGraphik,0Statik,Genetik,ComputerT*omo-graphie,elektrischeNetzwerke.DerBegri desV*ektorraumesgreiftalsoweit1ӞoubGerydieyMathematikhinaus,istabGerauchgrundlegendfGourdenAufbaudergesamtenUUweiterenMathematik.% N cmbx125.1**Grundb`egri e,UntervektorraumeO  src:23kap5.1Wirde nierenindiesemAbschnittdenfGourunszentralenBegri einesV*ek-torraumes.&%Wirwerdeneinesehr&$allgemeineDe nitiongebGen.DieDe nitionbGeziehtUUsichdabGeiaufeinenalsfestvorausgesetztenKoorpGer b> cmmi10K.H"V cmbx10De nitionT5.1.1fA src:29kap5.1Sei~KBimfolgendeneinfestgewoahlterKoorpGer.SeineEle-mentewerdenauch': cmti10Skalar}'eYgenannt.EineMengeVzusammenmiteinerAddition{PVq !", cmsy108V3(v[;wD)7!v+w 2VH src:34kap5.1undUUeinerMultiplikqationmitSkalarenausK͍~;K8V3( z;v[ٲ)7! BZv"2V΍ src:36kap5.1heitein V;ektorr}'aumIk(GoubGerdemKoorpGerK,auchK-V*ektorraum), wenndiefolgendenUUGesetzeerfGoulltsind:g1.% src:41kap5.1(V9;+)UUisteineabGelscheGruppe,2.% src:42kap5.18 z; N42K(;v"2V8[ Ҵ:( PVv[ٲ)=( Ҵ9 )v[ٲ](AssoziativgesetzderMultiplikqa-%tion),iOō>;o cmr91424`5.V:ektorrg3aume%ō>;ꁲ3.% src:45kap5.18 В2K(;v[;w 2V8[ BZ8(v+wD)= BZv+ wD]UU(1.Distributivgesetz), 4.% src:48kap5.18 z; N42K(;v"2V8[( BZ+8 )v"= BZv+ v.(2.UUDistributivgesetz),5.% src:51kap5.1fGourUU1inK qgilt8v"2V8[18v=v[ٲ]UU(GesetzvonderEins).Ҿ" src:55kap5.1DieZsElementeZteinesV*ektorraumesVWwerdenV;ektor}'enֲgenannt.DasZsneu-traleiElementderGruppGe(V9;+)iwirdmit0Ӹ2ҵVvbezeichnetundheitNull-vektor.sWirswerdeninZukunftgrundsoatzlichdenMultiplikqationspunktfort-lassenUUundschreibGen zv":= BZ8v[ٲ.<BeispieleT5.1.2e㧲1.r src:65kap5.1O enbaristderKoorpGerKselbstmitseinerAddition%undUUMultiplikqationeinV*ektorraum.2.% src:68kap5.1DeruV*ektorraum0,ugenanntderNullvektorr}'aum,dernuruauseinemEle-%ment;M65.1GrundbAegri e,TUn9tervektorrg3aume9143%ō>;ꁲ6.% src:117kap5.1W*ennjLjeinKoorpGeristunddenKoorpGerKƸ髵LalsUnterkoorpGerenthoalt, %danniistiLmitderAdditioneineabGelscheGruppe.DieiMultiplikqationvon%Elementen#kaus#jLmitElementen#jausKڇerfGoullto enbar#jalleV*ektorraum-%gesetze.OAlsoistLeinV*ektorraumoubGerdemKoorperK.Insbesondere%ist|ReinV*ektorraumo{ubGerQ,weiteristCeinV*ektorraumoubGerRund%schlielichUUistauchCeinV*ektorraumroubGerQ.`b" src:129kap5.1WirkommenzueinerallgemeinenMethoGde,neueV*ektorroaumeausschonvorhandenenUUzukonstruieren.LemmaT5.1.3YUI src:133kap5.1SeiVein9V;ektorr}'aumundµI}eineMenge.DannistdieMengederq Abbildungen5pAbb(I;V8)=u cmex10Q 8IzV=V^I @mitq komp}'onentenweisenOperatio-neneinV;ektorr}'aum.KOBeweis.: src:139kap5.1WieHbGeiIdenGruppeninIKapitel3de nierenwirdieAdditionvonF*amiliendurch(viTL)+(wi):=(vi +wi).DieMultiplikqationmitSkalarenwirddurch z(viTL) := ( vi) de niert.Dadie V*ektorraumgesetzeinjederKompGo-nenteUUeinzelnerfGoulltsind,sindsieauchfGourdieF*amilienerfGoullt.KNBeispieleT5.1.4e㧲1.r src:149kap5.1(HauptbGeispiel<-fourV*ektorroaume):<.DaKIeinVektor-%raum"ist,ist"auchK^IponachLemma"5.1.3einV*ektorraumfGourjedeMenge%I.2.% src:154kap5.1Wirde nierendenV*ektorraumK^n ualsK^IދmitI-=*Lf1;:::;ng.DieEle-%mentesindn-T*upGel( 1|s;:::; nq~)mitKoezientenausK.Siewerden%auch;Zeilenvektor}'enÞderLoangen;1444`5.V:ektorrg3aume%ō>;% src:188kap5.1heienodiej-tenSp}'altenoѲderMatrix.mheitdieZeilenzahl,nndieSpal- %tenzahl.InsbGesonderekoonnenMatrizengleicherZeilen-undSpaltenzahl%addiertUUwerdenundmitSkqalarenmultipliziertwerden.5.% src:195kap5.1Die!F*olgenreellerZahlenR^qymsbm7N ٲbildenbGeikomponentenweiser!Operation%einentV*ektorraumƑoubGerdenreellensZahlen(kurzeinenreellenVektor-%raum),UUdenF;olgenr}'aum.6.% src:200kap5.1DiereellenF*unktionenAbbB(R;R)bildeneinenreellenVektorraum,den%F;unktionenr}'aum,XwennmanAdditionXundMultiplikqationmitSkalaren%aufwZdenW*ertenderFunktionende niert:(fc+Og[ٲ)( z)=ʵf( )+g[ٲ( )wZund%( zf)( )= f( ).LemmaT5.1.5YUI src:209kap5.1(R}'echengesetze]inV;ektorroaumen)\Sei7VAeinJK-Vektorr}'aum.Danngeltenf֞ourElemente z; N42K(;v[;wD;2V2undf֞ourdieElemente0K;1K |˸2궵KKundp0V 2V8:1.% src:214kap5.10Kv"=0V = z0V,2.% src:215kap5.1( z)v"=( v[ٲ)= (v[ٲ),3.% src:216kap5.1 zv"=0V =W) В=0K _8v=0V./Beweis.: src:222kap5.11.WirbGezeichnendieNullinK,undinVPmitdemselbGenSymbol0.Ausm0vKɲ=(0I6+I70)vKȲ=0v+0vɯerhaltenmwirmdurchKGourzen0=0v[ٲ.Analoggilt궵 z0= (08+0)= 08+ 0." src:227kap5.12.-Wir.weisennach,.da( z)vdasinverseElement.bGeiderAdditionzu궵 zvoist.Esistnoamlich zvf9+ _( )v.=( ٲ+ `( ))v=0v=0.EbGensoist궵 zv+8 (v[ٲ)= z(v+8(v[ٲ))= z0=0." src:233kap5.13.>W*enn> Ui=K0gilt,brauchenwirnichtszu>zeigen.W*enn zvɲ=K0und궵 .6=%.0'dist,'cdanngibteseinInverses'd z^1 ,undesistv=%.1v=%/( z^1 z)v=궵 z^1 ( zv[ٲ)= ^1 0=0,UUwaszuzeigenwar." src:240kap5.1InjedemV*ektorraum(6=10)wirdesTeilmengengebGen,dieselbstwiedereinen>V*ektorraumbilden.EinBeispieldafGourkennenwirschonalsBeispiel5.1.2Y5.ZDerdortde nierteV*ektorraumV=istT*eilmengevonR^4|s.DasfGouhrtunsUUzudemBegri desUntervektorraumes.De nitionT5.1.6fA src:247kap5.1SeiVڲeinV*ektorraumoubGerdemKoorpGerK.EinenichtleereT*eilmengeUUU3V9vonVheitUntervektorr}'aum,wenngelten" src:252kap5.11.SfGouralleu;u^0Q2Ukistu6 +u^02U,Sd.h.UkistbGezouglichSderAdditionvon궵V9abgeschlossen," src:255kap5.12.fGouralle̵ub2bUundalle k2Kist zub2U,d.h.UistunterderMultiplikqationUUmitSkalarenabgeschlossen." src:260kap5.1ManiNsiehtleicht,dajederiOUntervektorraumselbstwiedereinV*ektorraumwird, 3mitderAddition 2undderMultiplikqationmitSkalarenwie 2inVFde -niert.WirprGoufendashiernichtnach,bGemerkenaber,dawirsoeineFGoullevon0BeispielenfGour/V*ektorroaumeerhalten,ohnedawiralleAxiomefGoureinenV*ektorraumain`jedemEinzelfallnachrechnenamGoussen.ZurDe nitionvonUn-tervektorroaumen/werden/wirimmereineT*eilmengevonElementen/miteiner.}Oō>;M65.1GrundbAegri e,TUn9tervektorrg3aume9145%ō>;궲gemeinsamenEigenschaftbildenunduntersuchen,obdieseEigenschaftbGeim Bilden]svonSummen]rundProGduktenmitSkqalarenerhaltenbleibt.Beispiel5.1.2UU5.istsogewonnenworden.BeispielT5.1.7[ src:274kap5.1SeiUUI7eineMenge.Dannist=K(IJ)T˲:=f(viTL)2KIMjfGourUUnurendlichviele[*i2I7giltVvid6=0g src:277kap5.1einUntervektorraumvonK^IM.W*ennmannoamlichzweiF*amilien(viTL)und (wiTL).inK^(IJ)Dzhat,sogiltauchfGourdieSumme.(vi)_+(wi)0T=0U(vi+wi),.danur7(endlich7'vieleT*ermeviPѲ+witvonNull7'verschiedensind.EbGenso7'sindauchin`der_F*amilie z(viTL)(=)( vi)_nur`endlichviele_T*ermevon_Nullverschieden.Dieser~V*ektorraumist}natGourlichnurdannverschiedenvonK^IM,}wennI{`eineunendlicheUUMengeist." src:287kap5.1EinDweiteresBeispielistderDDurchschnittvonmehrerenUntervektorroaum-en.LemmaT5.1.8YUI src:291kap5.1Seien` Uimit~i 2!I6=;UntervektorroaumedesV;ektorr}'aumes궵V8.DannistauchXJT i2I&Ui3einUntervektorr}'aumvonXJV.Beweis.: src:298kap5.1Seienu;u^02繟T =i2I(UiVϲundsei 22繵K.Danngiltu;u^02縵UiVϲfGouralle궵iD2I.Dadie蘆UiCUntervektorroaumesind,giltdannu+u^09; zuD2CUiCfGouralle궵i,d8alsoauchd9uv+wu^09; zu2T i2IYUiTL.DamitsinddieBedingungena)undb)fGoureinenUntervektorraumerfGoullt.SicheristauchT ;8i2IPUi:-nichtleer,weilderV*ektorZ 0Z inallenUntervektorroaumenZ UiWunddamitimDurchschnittZ enthaltenist." src:309kap5.1Um$auchden$trivialenDurchschnittmitI=;zu$erfassen,de nierenwir궟T@ i2;*tUid:=V8.LemmaT5.1.9YUI src:314kap5.1SeienU1|s;:::;Un n X tմi=1㉵UiLt궲:={fu2V8jesgibtV;ektor}'engui7Ǹ2{Uif֞our i=1;:::;nmitku=u1+D::::3+D;unq~geinUntervektorr}'aumvonXJV8.Beweis.: src:323kap5.1Seien"u;u^0Q2Pލ USn% USi=1tJUi>nundsei В2K.DanngibtesV*ektorenuiTL;u^0;Zid2궵Uip(i=1;:::;n)#mit$u=u1j+::: +un!und#u^0Q=u^0l1j+:::Cu^0፴nq~.$FGour#u+u^0~\und zu궲erhoaltߴman߳dannuM+Mu^0Q=(u1+u^0l1|s)+:::E+(un+u^0፴nq~)ߴund߳ zu= u1+M::: unq~.DamithabGenwirwegenuy+u^09; zu2PލuRn%uRi=1IUidieBedingungenfGoureinenUntervektorraum!erfGoullt.Schlielich!istPލ O\n% O\i=1nSUimtrivialerweisenichtleer,weil0=08+:::g+02Pލ USn% USi=1tJUigilt.@sOō>;1464`5.V:ektorrg3aume%ō>;" src:335kap5.1W*ennmaneineunendlicheFamilievonVektoren(viTLji:2:I)miteiner bGeliebigenIndexmengeIhatundnurendlichvieleV*ektorenvi;[vonNullverschiedenmsind,dannmmoochtemmangenaudieseV*ektorenaddieren.WirbGe-merkenAzzunoachst,daA{manzudieserendlichenSummeviZcmr51 L++:::++viO \cmmi5n;,wobGeidievi1;l;:::;vin ߦgenaudiejenigenV*ektorensind,dievonNullverschiedensind,auchAnoGchbGeliebigAendlichvieleExemplaredesNullvektorsAaddierenkqann,oh-ne~diese~Summezuoandern.EsistabGerrecht~unbGequem,immer~daraufhinwei-senzumGoussen,damannungenauoGdermindestensߞoubGerallediejenigenV*ek-torenmvi繲einerlF*amilie(viTLji2I)msummiert,dievonNullverschiedenmsind.ManschreibtfdahereP i2I viZfGourdieseeSummederendlichvielenvoneNullverschie-denenV*ektoren.Eshandeltsichalsogenaugenommennichtumeineunend-licheSumme,sondernlediglichumdieSummevonendlichvielenV*ektoren.Man+kqannzweisolcheSummen,addieren:P fi2I~uiٲ+P Jȟi2Ivid=P USi2I#ò(ui+viTL)undVmitVeinemSkqalarmultiplizieren: "P B]i2Iuui=>P Vyi2I$( zuiTL),dajeweilsins-gesamtCnurBendlichvieleT*ermevonBNullverschiedensind.DiesenBBegri wol-len_wir_jetztzurDe nitionderunendlichenSummevonUntervektorroaumenverwenden.6׍De nitionT5.1.10l src:362kap5.1SeiWI6=ĸ;eineMengeundV(UiTLji2õI)eineunendlicheF*amilieUUvonUntervektorroaumendesV*ektorraumesV8.Dannde nierenwir/aX 70i2I?ҵUid:=fX 7i2IquiTLj8i2I[ui2UiTL]UUundnurendlichevieleg_ui6=0g:r" src:370kap5.1ManUUbGeweistwiezuvor6֍LemmaT5.1.11_G src:373kap5.1SeiӲ(UiTLji2I)eineF;amilievonUntervektorroaumendesV;ek-torr}'aumesfV8.DannistauchXJP慟i2I_Ui3einUntervektorraumvonXJV8." src:378kap5.1EsȕhandeltȖsichhiertatsoachlichȕumeineechteunendlicheȕSummevonȕUn-tervektorroaumen,>d.h.alleUntervektorroaumeder=SummekoonnenvomNull-vektorraumverschiedensein.EswerdenabGertrotzdemnurendlicheSummenvonUUV*ektorenverwendet.t" src:384kap5.1ManXkqannYleichtwiederRechenregelnYfGourdasRechnenYmitUntervek-torroaumenٞUi-vonVbGeweisen.ٝWirfGouhrenhiernureinigerelevqanteRegelnohneUUBeweisan:FdA׵U1S+8U2C=U2+U1|s;Aײ(U1S+8U2|s)+U3C=U1+(U2+U3|s);Aײ(U1S\8U2|s)+(U1\U3|s)U1\8(U2+U3|s);AU1S+8(U2\U3|s)(U1S+U2|s)\(U1+U3|s);Aײ08+U3=U;Aײ08\U3=0;AVqIJ+8U3=V9;AVqĸ\8U3=U;AײwennZ.U1CU3Ȳgilt,UUdannistK(U1S+8U2|s)\U3C=U1+(U2\U3|s);(moGdularesUUGesetz).ROō>;M65.1GrundbAegri e,TUn9tervektorrg3aume9147%ō>;w'VUbungenT5.1.12l1.yV src:407kap5.1W*elchederfolgendenMengensindUntervektorroaume %derUUangegebGenenreellenV*ektorroaume?)a)7x src:410kap5.1f(7;*2;/"3;1484`5.V:ektorrg3aume%ō>;ꁲ6.% src:482kap5.1Zeigen( Sie:Ein( V*ektorraumkqannnicht( Vereinigungvon( zwei( echtenUn- %tervektorroaumenUUsein.7.% src:485kap5.1ZeigenSie:EnthoaltderGrundkoorpGerunendlichvieleElemente,sokqann%einؼV*ektorraumٞoubGerdiesemKoorperؽnichtؼV*ereinigungvonendlichvie-%lenlechtenUntervektorroaumensein.(Hinweis:ManschlieedurchWi-%derspruchuunduverwendedasuDirichletscheSchubfachprinzip:uIstVdoGch%V*ereinigungvonendlichenvielenUntervektorroaumenU1|s;:::;Unq~,sokqann%mandnsokleinwiecmooglichwoahlen.IndieserSituationgibtesu1M2^۵U1%undǵu2 2]~U2|s,diejeweilsinkeinemanderenUntervektorraumliegen.%(W*arum?)bFGournU+T1bverschiedenebZahlen1|s;:::;n+1<2KbGetrachte%manUUdieV*ektorenu1S+81|su2;:::;u1+8n+1u2.)8.% src:499kap5.1InUU3.6.10wurdedieMengederreellenPolynomfunktionen&h3P*=ffڧ:R!/Rj9n2N9 0|s;:::; n82R8x2R[f(x)=>n X tմi=0㉵ iTLxi]goL% src:504kap5.1eingefGouhrt.UUZeigenSie,daPeinreellerV*ektorraumist.9.% src:507kap5.1InՄ3.6.7wurdeՃgezeigt,dadieMengeZ=(2)einKoorpGer(mitzweiEle-%menten)UUist.ZeigenSie:)a)7x src:510kap5.1DieUUMengef0;a;b;cgUUmitderdurchdieGruppGentafel,C1+L͟ ffš<0ʾԵaӇGbc.ff+ޟfd㏲0[ ff k0NaXb%Ycağ ff Ga0T)c%b>:b  ff ab c0%"a9cn ff cb~a%GF0,V 7x src:520kap5.1bGeschriebenen8abelschen8GruppenstrukturundeinergeeeignetenMul-7xtiplikqation:mit:Skalarenistein:V*ektorraum؞oubGerdemKoorpGerZ=(2).)b)7x src:523kap5.1FGourUUjedenZ=(2)-V*ektorraumV9gilt8v"2V8[v+8v=0].*#2c)7x src:525kap5.1EsS gibtkeineZ=(2)-V*ektorraumstrukturSaufderMengef0;a;b;cg,7xderenUUAdditiondurchdieGruppGentafel,V 1+L͟ ffš<0ʾԵaӇGbc.ff+ޟfd㏲0[ ff k0NaXb%Ycağ ff GabT)c%GF0>:b  ff ab c0%"a9cn ff c0~a%b7x src:535kap5.1bGeschriebenUUwird.10.% src:538kap5.1SeiUUV9einR-V*ektorraum.ZeigenSie:Mitderdurch"؍dva(v[;wD)8+(x;y[ٲ) =(v+8x;w}ò+y[ٲ)n0( BZ+8 i)(v[;wD) =( zv8 wD; w}ò+ v[ٲ)"׍% src:545kap5.1fGourv[;wD;x;yJ2NpVound z; Ս2NpRbGeschriebenenAdditionundMultiplikqa-%tionUUmitSkqalarenistVqĸ8V9einC-V*ektorraum.v]Oō>;5.2Lineark9ombinationen,TBasen,Dimension9149%ō>;ꀲ11.% src:549kap5.1BeweisenKSieLdasmoGdulareGesetz:SindV80einK-V*ektorraumundU1|s, %U2|s,U3VUntervektorroaumemitU1U3|s,dannist(U1+ZU2|s)Z\U3=%U1S+8(U2\U3|s).%W؍5.2**Linearkombinationen,Basen,Dimensionٍ src:4kap5.2NachdemywirbishernurganzeV*ektorroaumeystudierthabGen,solljetztdaseigentlicheRechnenmitV*ektorenbGetrachtetwerden.DawirinjedemV*ek-torraumfV*ektorenfaddierenkoonnen,auchmehralszweiV*ektoren,unddieseV*ektorenqzudemqmitElementenausdemKoorpGermultipliziertwerdenqkoonnen,koonnenUUwirallgemeinereAusdrGouckeUUderfolgendenF*ormbilden:c&~ n zX tzѢi=1/V iTLvid= 1|sv1S+8:::g+8 nq~vn:  src:13kap5.2ImvorhergehendenAbschnitthabGenwirsolcheSummensogarfGourF*amilienmitunendlichvielenV*ektorengebildet,sofernnurendlichvielederV*ektorenvon?Nullverschiedensind.Daskqann?ineinemAusdruckderF*ormP i2IG) iTLvi궲z.B. dadurchgeschehen,danurendlichvieleSkqalare i UvonNullverschie-denJsind,KoGderauchdadurch,KdanurendlichvieleKV*ektorenviivonKNullver-schiedenHsind.Dahersetzenwirallgemein,wennwireineSummederF*orm궟Pxi2I, iTLvi~IJschreibGen,*ximmerstillschweigendvoraus,*wdanurendlichvielederProGdukteUU iTLvid6=0sind.⍍De nitionT5.2.1fA src:26kap5.2EinexSummeP Ni2I˵ iTLviIJmitwvid2V\und i2K,wobGeinurendlich)viele iTLvid6=0)sind,wirdLine}'arkombinationderV*ektorenvi}ڲmitdenKo}'ezienten igenannt.UUFGourn=1UUde nierenwirq1 JX ti=1껵 iTLvid:= 1|sv1::B src:33kap5.2FGourUUn=0,alsoeineleereSumme(ohneSummanden),de nierenwirpX tڈi2 iTLvid=ñ0 X tմi=1㉵ ivi:=0:3De nitionT5.2.2kA1.x src:41kap5.2Seien\V?einV*ektorraum,X0#V@eine[Teilmengeund%v92?aVdeinV*ektor.Wirsagen,davZvonXfcline}'arMabhoangigist,wennes%eine@EDarstellungv=NPv@L2X!Ŋ vNvgibt,oGdergenauer,wennesV*ektoren%v1|s;:::;vn2X;undYSkqalareX 1;:::; n2K~usoXgibt,Ydav=PލXn%Xi=12O iTLvi%gilt,d.h.davȲeineLinearkombinationderV*ektorenv1|s;:::;vn mist.Wir%lassenUUdabGeiauchdieMooglichkeitenn=0UUundn=1UUzu.2.% src:54kap5.2DieMengedervoneinerT*eilmengeX'9DVһlinearabhoangigenV*ektoren%heitdievonXterzeugteoGderaufgesp}'annte$MengehXi.IstX=&;,so%giltUUh;i=f0g.Oō>;1504`5.V:ektorrg3aume%ō>;ꁲ3.% src:60kap5.2Eine)T*eilmenge*XzεVeinesVektorraumesVwirdErzeugendenmenge %genannt,kwennkjederV*ektorvHz2좵VlinearabhoangigvonX4ist,d.h.wenn%jeder0\V*ektorausVi@eineLinearkombination0[von0\VektorenausX>ist.Mit%anderenW*ortengiltV<=YhXigenaudann,wennXeineErzeugenden-%mengeUUvonV9ist.4.% src:68kap5.2DerV*ektorraumVGheitendlich>gerzeugt,wenneseineendlicheErzeu-%gendenmengeUUfGourV9gibt.5.% src:72kap5.2EineT*eilmengeXP4mVӲeinesVektorraumesVӲheit-line}'arBunabhoangig,%wenn8{keiner8zderV*ektorenausX]vondenoubrigenV*ektorenausX]linear%abhoangigxist.yGleichbGedeutenddamityistdiefolgendeAussage:Sind vf2%KXfGourallev2F#XjqsogegebGen,daP/ʟv@L2X!s vNv=F#0gilt,danngilt vp=0%fGourallev"2X.IstXnichtlinearunabhoangig,soheitXline}'ar vabhoangig." src:86kap5.2Aus^dieserDe nition]folgtunmittelbar,dajedeT*eilmengeeinerlinearunabhoangigen Menge wiederlinearunabhoangigist,unddajedeObGermengeeinerXErzeugendenmengewiedereineErzeugendenmengeist.AuerdemistjedeUUObGermengeeinerlinearabhoangigenMengelinearabhoangig.LemmaT5.2.3YUI src:93kap5.2SeiOX0NVeineJT;eilmengedesVektorr}'aumesݵV8.DannistdievonXJX\erzeugteMengeTBhXieinUntervektorr}'aumvonV8.Beweis.: src:98kap5.2Sicherist02hXialsLinearkombinationohneSummanden.Alsoist궸hXi6=;.|Seien{vj7+8 x2)xl src:106kap5.2undpQʵ v1C= (JgX 7x2X? x1 Wx)=X 7x2Xͯ( x1 W)xӍ src:109kap5.2ebGenfallsUUElementevonhXi.AlsoisthXieinUntervektorraum.BeispieleT5.2.4e㧲1.r src:116kap5.2ImUUV*ektorraumR^2Ȳgiltu(7;6)=3(1;2)85(2;0):% src:118kap5.2AlsoIist(7;6)vonderHMengef(1;2);(2;0)glinearabhoangig.EbGensoist %(5;7)vonderMengef(1;0);(1;1);(0;1)glinearabhoangig.Esgiltnoamlich{"(5;7)=2(1;0)8+3(1;1)+4(0;1):% src:123kap5.2EineunsererAufgabGenwirdessein,dieKoGezienten(hier2,3und%4)zu nden,dieineinerLinearkombinationzurDarstellungvon(5;7)%verwendetcwerdenbmGoussen.Siewerdenbimallgemeinennichteindeutig%bGestimmtUUsein,d.h.wirwerdenverschiedeneW*ahlmooglichkeitenhabGen.>Oō>;5.2Lineark9ombinationen,TBasen,Dimension9151%ō>;ꁲ2.% src:129kap5.2ImUUV*ektorraumR^3Ȳgilt4t(1;2;5)=2(1;2;3)8+(1)(3;2;1):% src:131kap5.2JedoGch8ist(1;0;0)8vonderMengef(1;2;3);(3;2;1)g8nichtlinearabhoangig. %GoabGeUUesnoamlich ^ϲund qmit4G?(1;0;0)= z(1;2;3)8+ (3;2;1);% src:135kap5.2soUUwoaren ^ϲund qLoosungendeslinearenGleichungssystems vd*1 BZ+83 =1;*ʲ2 BZ+82 =0;*ʲ3 BZ+81 =0:!4% src:142kap5.2DiesesGleichungssystemhatabGero enbar~keineLoosung.(Dieletzten%bGeidenGleichungenlassensichnurdurch Ћ= N-=0erfGoullen.Damit%kqannUUabGerdieersteGleichungUUnichterfGoulltwerden.)3.% src:147kap5.2WirFbGezeichnenmitei,=S(0;:::;1;:::;0)FdieEV*ektoreninK^n !mit1an%derai-tenStelleund0anallenaanderenStellen.DieMengederV*ektoren%feiTLji=1;2;:::;ngoisteineoErzeugendenmengefGourdenV*ektorraumK^n(,%dennUUesgiltfGouralleV*ektorenQ(1|s;:::;nq~)=>n X tմi=1㉵iTLei:#% src:153kap5.2W*eiterhinbGemerkenwir,dafeiTLgeinelinearunabhoangigeMengeist.%Nehmen"wirnoamlichein"ݵeiw(ausdieserMengeheraus,sokqannmandurch%Linearkombinationender7oubrigenejƲnursolcheV*ektorendarstellen,die%anUUderi-tenStelleeine0habGen,insbesonderealsonichtUUeiTL.4.% src:160kap5.2SeiaICeinebbGeliebigeMenge.Wirde niereneineAbbildung嶲:ԵItQI%'!4xf0;1gUUdurch4D`(i;j):=^ 1fGourUUi=j, 0fGourUUi6=j.)䍑% src:165kap5.2DieseIfAbbildungheitauchKr}'onecker^1_F;unktion,IfKroneckerDelta ɲoGder%Kr}'oneckerSymbol.UUManschreibtoftij :=`(i;j).DieV*ektoren#;1524`5.V:ektorrg3aume%ō>;% src:176kap5.2dain(iTL)nurendlichvieleKompGonentenvonNullverschiedensind. %W*eiterhin,bGemerkenwir,-dafeiTLjipӸ2Ig,einelinearunabhoangigeMenge%ist.;NehmenwirnoamlicheineiiausdieserMengeheraus,sokqannman%durchLinearkombinationender8oubrigenejƲnursolcheV*ektorendarstel-%len,;5.2Lineark9ombinationen,TBasen,Dimension9153%ō>;Beweis.: src:247kap5.2DieUUAussagewurdeschonimBeispiel5.2.44.gezeigt.]" src:251kap5.2DauderBegri derBasisfGourdielineareAlgebraundanalytischeGeometrie von"hoochsterWichtigkeitist,wollenwirweiteredazuoaquivqalenteEigenschaf-tenUUstudieren.8SatzT5.2.8I src:256kap5.2SeiVein V;ektorr}'aumundBfJVeineT;eilmenge. B%istgenaudanneineBasisvonvV8,wenneszuje}'demV;ektor'wC2V}eindeutigdur}'chvwb}'estimmteKoezientenXJ vf2KKmitv"2BXgibt,sodal(w =(X 7v@L2Bw vNv[:fBeweis.: src:264kap5.2Sei"BeineBasis.Dann"loatsichjedesw 2VZalsLinearkombinationder|b;2Bvdarstellen,|weilBeineErzeugendenmengebildet.UmdieEin-deutigkeitderDarstellungimSatz,d.h.derKoGezienteninderDarstellung,zuzeigen,nehmenwiranwG=RcP v@L2B / vNv==RcP v@L2B vv[ٲ.WirerhaltendurchUmstellenUUderGleichung4X 7jv@L2Bpϲ( v.8 vN)v"=0:f src:271kap5.2DaԵB,FeinelinearunabhoangigeMengeist,folgt v/ vf=0fGourallev"2B,EoGder궵 vf= vfGourallev"2Bq.AlsoistdieDarstellungvonw3alsLinearkombinationderUUv"2BƲeindeutig." src:277kap5.2SeiumgekehrtjederV*ektoreindeutigalsLinearkombinationderv`2B궲darstellbar,soistBCeeineErzeugendenmenge.W*eiteristderNullvektor0eindeutigdarstellbarals0<=<P v@L2B0v[ٲ,d.h.fGoureineLinearkombination0<=궟Pxv@L2B0 vNvRymunotwendig v6=0fGourallev/¸2Bwgelten.DamitistBabGerlinearUUunabhoangigundeineErzeugendenmenge,alsoeineBasis.]" src:286kap5.2WirbwerdenauntenfGourbGeliebigeV*ektorroaumeaVFzeigen,dasieimmereineBasis*bGesitzen.DieserBeweisist*jedochnichtkonstruktiv,fGouhrtalsonichtzureAngabGeeeinerkonkretenBasis.ManhatjedoGchhoau gdasProblem,daeineZkonkrete[BasiszumRechnenbGenootigtwird.DeshalbbGeweisenwirdiesenSatzgesondertineinembGesonderseinfachenF*all,indemwirkonstruktiveineBasisangebGenkoonnen.DieseBasiswirdnurendlichvieleElementehabGen.ImTallgemeinenTgibtesabGerauchV*ektorroaume,dielediglicheineunendlicheBasisUUbGesitzen,diemannichtUUkonkretangebGenkqann.8SatzT5.2.9I src:298kap5.2Je}'derendlicherzeugteV;ektorraumbesitzteineendlicheBasis.Beweis.: src:302kap5.2Sei㗸fb1|s;:::;bnq~g㖲eineendlicheErzeugendenmengevonV8.W*enndieErzeugendenmengelinearunabhoangigist,dannistsieeineBasis.Istsieje-doGchJlinearJabhoangig,sokoonnenwirnachLemma5.2.5einwausdieserMengeentfernen,sodadieverbleibGendeMengewiedereineErzeugendenmengeist.SiekhatldannabGernurnoGchknDC1Elemente.kNachendlichlvielenSchrittenmuediesereProzeabbrechenmiteinerelinearunabhoangigenErzeugenden-menge(bGeigeeigneterNumerierung)fb1|s;:::;bmg.DieseistdanneineBasisfGourUUV8.NOō>;1544`5.V:ektorrg3aume%ō>;" src:315kap5.2WirhabGenindemBeweissogarmehrbewiesen,noamlichdieAussage, dajedeendlicheErzeugendenmengeeineBasisenthoalt.Mankqannnunmitnichtkonstruktiven%Mitteln$derMengenlehreeinenwesentlich%allgemeinerenSatze-bGeweisen.ImBeweiswirddasZornscheLemma(2.3.7)verwendet.WirzeigenUUzunoachstSatzT5.2.10O src:323kap5.2(Steinitzscher^2 Austauschsatz)SeienSVjeinV;ektorr}'aum,EZVeineErzeugendenmengeund&XJ (V3eineline}'arunabhoangigeMenge.DanngibteseineT;eilmenge?F*EmitraFp'\ X=;,sodaXz[ FeineBasisvon궵Vist.Beweis.: src:332kap5.2WirUUbildendiefolgendeMenge=+EZw:=fD5EjD\8X=;UUundUXD[8X7linearUUunabhoangigRzg: src:335kap5.2DieseMengeistunterderInklusioneinegeordneteMenge.(SieistT*eilmenge derUUPotenzmengevonE.)" src:339kap5.2Wirzeigen,dajedetotalgeordneteT*eilmengevonZRWeineobGereSchrankebGesitzt.?Ist?dietotalgeordneteT*eilmengeleer,soisteineobGereSchrankedurch궸;E,UUalso;2Z gegebGen." src:345kap5.2SeiY_Zxnichtleerundtotalgeordnet.WirbildenFc^0&:=^S fD{2^Y}g.O enbarUUgiltD5Fc^0fGouralleD2Y}." src:350kap5.2Umzuzeigen,daFc^0inZ{liegt,weisenwirzunoachstFc^0d7\2nX=;nach.Ist궵x2Fc^0M\͵X,soistʵxinsbGesondereinFc^01Ȳ,alsoineinerderT*eilmengenDG,derenV*ereinigungFc^0Kist.AlsogibteseinDָ2QY{mitx2QDq\pTXqeimWiderspruchzuUUD52Z_." src:358kap5.2W*eitermGoussenwirzeigen,daFc^0z[Xlinearunabhoangigist.Seienalso궵 v 2,K|mitzv2,Fc^0`[.LX\gegebGen,sodayPSv@L2F 0ncmsy50[X0z? vNv=0ygilt.W*enn1ӞoubGerhauptKoezienten vwܸ6=0indieserDarstellungauftreten,dannauchsolchemitv&2LFc^01Ȳ,weiljaܵXalleinlinearunabhoangigist.Andererseitssindnur@endlichviele@µ v Ƹ6=Ox0mooglich.@Jedeszugehoorigevliegtschonineinem궵Dq"2*Y},esspielenalsoendlichvielesolcheDG'seineRolle.DadieT*eilmenge궸Y0tZtotalgeordnet.'war,gibtunter.&diesenendlichvielenDG's.&eingrootes궵DG^0V,indemdannalleinderLinearkombinationverwendetenv[ٲ'smitvonNull݂verschiedenen݃KoGezientenliegen.݃DaabGerD^0[Xelinearunabhoangigist,m#mGoussenm"dieKoGezientenalleNullsein.AlsoistFc^0z[HX6wiederumlinearunabhoangig.UUDamitistmitFc^0eineobGereSchrankeUUfourY'Ҳgefunden." src:378kap5.2Nach,#dem,$ZornschenLemma,$2enthoalt,$alsoZeinmaximalesElementFc.Nachm4De nitionvonZ8giltschonm5F0\hX=;undF[hX6linearunabhoangig.Wirzeigen5nun6noGch,daF1[XeineBasisbildet.6Dazubleibtnurzu6zeigen,da궵FǸ[|8X?einevErzeugendenmengewist.ZunoachstbGemerkenvwir,daesgenGougt,alleElementeAausEWβalsBLinearkombinationvonElementeausFzJ[X#darzustellen.Denn8kqann7manjedenV*ektorausE>IJalsLinearkombinationvon8V*ektoren궟X-ff/f J:-=2 {ErnstTSteinitz(1871{1928)ԈOō>;5.2Lineark9ombinationen,TBasen,Dimension9155%ō>;궲aus|F2[SX^erhalten,sokqannmanauchjedenanderenV*ektorausV6`als Linearkombination Uvon VV*ektorenausFo[ߵX8erhalten.Istnun Vu2Enichtals+LinearkombinationvonV*ektoren+ausF+>[ǯXmdarstellbar,dannhatjedeLinearkombinationderF*orm u:bu|+P :v@L2F[X+}R vNv?=qf0notwendigerweisedieKoGezientenƵ u 4=ѵ v =0,denn u6=0wGourdenachDivisiondurch u궲eine>Darstellung=u=P 8v@L2F[X* ^ z1፴u vNvBergebGen,unddie vmGoussenauchalle_Nullsein,weilFt[?X(linearunabhoangigist.Alsoistfug[Fs[X(linearunabhoangig.OAuerdemOistsicherlichO(fug-[-Fc)\X=;OܲundOdamitistfug[-F*2Z_.Dau=2 8ܵFundFmaximalinZxist,habGenwireinenWidersprucherhalten.Somit[kqann[jederV*ektorausE alsLinearkombination[vonElementen[aus궵Fo[8X7geschriebGenUUwerden,Fo[8X7istalsoeineBasisvonV8.(U !)" src:407kap5.2Aus Idiesem JmoachtigenSatz JmitsehrabstraktemBeweisgehennunun-mittelbarUUeineReihevonF*olgerungenhervor.F olgerungT5.2.11p>1.}l. src:412kap5.2Je}'derV;ektorraumbesitzteineBasis.2.% src:413kap5.2In0Zje}'der0[ErzeugendenmengeeinesV;ektorraumes0[isteineBasisenthalten.3.% src:415kap5.2Je}'delinearunabhoangigeMengeloatsichzueinerBasisergoanzen.Beweis.: src:420kap5.2AllefOdreifPAussagenfolgenunmittelbar,wennwirfeststellen,daje-der̰V*ektorraum̱eineErzeugendenmengeundeinelinearunabhoangigeMen-gen enthoalt.Dern gesamteV*ektorraumistabGern eineErzeugendenmengeunddie~leereMengeisteinelinear~unabhoangigeMenge.DieleereMengeenthoaltnoamlich9keinen8V*ektor,deralsLinearkombinationder8" mo &ubrigenV*ektorenL\darstellbarUUwoare.F olgerungT5.2.12kE src:431kap5.2DiefolgendenAussagenf֞oureineT;eilmengeBm1einesVek-torr}'aumesfVsindxoaquivalent:1.% src:434kap5.2BXisteineBasisvonXJV8.2.% src:435kap5.2BXisteineminimaleErzeugendenmenge.3.% src:436kap5.2BXisteinemaximalline}'arunabhoangigeMenge.Beweis.: src:441kap5.2Wirstellenzunoachstfest,dakeineechteT*eilmengeE,vonBEr-zeugendenmengeH?vonV#ist,denneinV*ektorb[2B[BnеE̲loatH?sichnichtalsLinearkombinationvonElementenausEMdarstellen,daB0linearunabhoangigist.ĉW*eiteristĊjedeechteĉObGermengeXkvonBDlinearabhoangig,denndiehinzukommendenOElementesindLinearkombinationenvonElementenausBq.DamitUUist1.= q˸)2.und1.=)3.gezeigt." src:450kap5.2W*ennlBzܲeineminimaleErzeugendenmengeist,ksoenthoaltsieeineBasis궵C.DieseistauchErzeugendenmenge,mualsowegenderMinimalitoatmit궵BoubGereinstimmen.UUDamitgilt2.= q˸)1." src:455kap5.2W*ennBaeinemaximallinearunabhoangigeMengeist,dannloatsiesichzu|einer{BasisCergoanzen.DaCauchlinear{unabhoangigist,mu{BI=CunddamitUU3.= q˸)1.gelten.恠Oō>;1564`5.V:ektorrg3aume%ō>;" src:461kap5.2WirebGeschoaftigeneunsjetztmitdemAbzoahlenvonElementeneinlinear unabhoangigenMengenundBasen.DazuwollenwirimRestdiesesAbschnittsvoraussetzen,xdawdiebGetrachtetenV*ektorroaumeendlichwerzeugtsind.Einigeder/AussagenwGourden/auchausdemSteinitzschen/Austauschsatzfolgen.FGoursieUUistjedoGchaucheineexpliziteKonstruktionvonInteresse.LemmaT5.2.13_G src:470kap5.2WennderV;ektorr}'aumဵVVvonderMengexfb1|s;:::;bnq~gk궵Verzeugttwir}'dtunddieMenge5fc1|s;:::;cmgin9Vlinearunabhoangigist,danngiltm'̸n.WeiterhingibtesV;ektor}'enLbm+1;:::;bn UhausderMen-gederWbi (nachge}'eigneterUmnumerierung),sodaVvonderMenge궸fc1|s;:::;cm;bm+1;:::;bnq~gerzeugtwir}'d.Beweis.: src:481kap5.2WirbGeweisendasLemmadurchvollstoandigeInduktionnachm.FGour궵m=03istnichts3zuzeigen.2GeltedasLemmafGourallelinearunabhoangigenMengen&vonmV*ektoren.Sei&dieMengefc1|s;:::;cm+1glinearunabhoangig.Dann5istauchfc1|s;:::;cmglinear6unabhoangig.NachInduktionsannahmegibtes'V*ektoren&bm+1;:::;bnq~,sodaV durchfc1|s;:::;cm;bm+1;:::;bnq~g'erzeugtwird.UUInsbGesonderegiltDgScm+1= 1|sc1S+8:::g+8 mcm {+ m+1bm+1~+:::+ nq~bn: src:491kap5.2WirFzeigenmr²+r1n.FW*enndasnichtEderFFallist,dannEistnachInduktions- voraussetzung um=n,also ttreteninderSummekeineSummandenderF*orm궵 iTLbi^auf. bDamit cwGourdeabGerdieGleichungfGour bcm+1zeigen,dadieMenge궸fc1|s;:::;cm+1g#linear#abhoangigist.DasisteinWiderspruchzurV*orausset-zung.EFGougenwirjetztFdenV*ektorcm+1zuderListehinzu,soerhaltenwireine,>Erzeugendenmenge,=fc1|s;:::;cm+1,bm+1;:::;bnq~g.W*egen,=obigerDarstel-lungvoncm+1KListdieMengelinearabhoangig.WirkoonneneinenV*ektorausderListefortlassen,noamlichdenerstenV*ektor,dereineLinearkombinationdervorhergehendenV*ektorenist.Danunfc1|s;:::;cm+1glinearunabhoangigist,istdieserV*ektorausdenbm+1;:::;bn SYzuwoahlen.Wirerhaltenschlie-licheineErzeugendenmengevonnV*ektoren,diedieVektorenc1|s;:::;cm+1궲enthoalt." src:509kap5.2Man;bGeachte,dadasvorhergehendeAlgorithmusfGourdieBerechnungV=einerBasisverwenden,wenneineendlicheErzeugendenmengeUUgegebGenist.F olgerungT5.2.14p>1.}l. src:517kap5.2SeiVeinendlicherzeugterV;ektorr}'aum.Dannhaben%jezweiBasenvonXJVgleichvieleElemente.2.% src:520kap5.2Wennt'VeineBasismitunendlichvielenElementenb}'esitzt,dannhat%auchje}'deandereBasisvonXJVunendlichvieleElemente.Beweis.: src:527kap5.2Seien;5.2Lineark9ombinationen,TBasen,Dimension9157%ō>;궲endlicheT*eilmengevonfciTLglinearunabhoangig,bGesitztalsonachdemvor- hergehendenwLemmawhoochstensnElemente.wF*olglichistauchwfciTLjiȸ2ǵIgeineendliche4Menge5mithoochstens5nElementen.Damit5ist2.bGewiesen.V*ertau-schenwirjetztdieRollenderbi+undderciTL,somunoGchmalsnachdemvorstehenden!Lemmadie!MengedercivmindestensnElementebGesitzen.Da-mitUUistauch1.bGewiesen.\P" src:540kap5.2W*ennLqfb1|s;:::;bnq~gLpeineBasisfGourdenV*ektorraumVUist,soistdieZahln궲nurjdurchdenjV*ektorraumselbstbGestimmt.VkqannjzwarvieleverschiedeneBasenhabGen,jedochhabenalleBasendieselbeAnzahlvonElementen.DamitistVneineUinteressanteVInvqariantefGourdenV*ektorraumV8,UdieunabhoangigvonderUUgewoahltenBasisist.DasfGouhrtunszuderʍDe nitionT5.2.15l src:549kap5.2W*enn}derVektorraumVaeineendlicheBasisbGesitzt,sowird8dieAnzahl9nderV*ektorenderBasisDimensiongenannt:dim1V˲=n.SonstUUsagenwir,dadieDimensionunendlichist:dimV=1.F olgerungT5.2.16kE src:557kap5.2SeiVeinXJn-dimensionalerV;ektorr}'aum.Danngelten:1.% src:559kap5.2jeTBn8+1V;ektor}'ensindlinearabhoangig,2.% src:560kap5.2Vkannnichtdur}'cheineMengevonXJn81V;ektorenerzeugtwerden." src:565kap5.2BeweisUUfolgtunmittelbaraus5.2.13.F olgerungT5.2.17kE src:568kap5.2SeiVeinXJn-dimensionalerV;ektorr}'aum.Danngelten:1.% src:570kap5.2je}'delinearunabhoangigeMengevonXJnV;ektorenisteinBasis,2.% src:572kap5.2je}'deErzeugendenmengef֞ourtVvonXJnV;ektorenisteineBasis.\PBeweis.: src:578kap5.21.JedelinearunabhoangigeMengeloatsichzueinerBasisver-vollstoandigen,wdiexjedoGchnachx5.2.161.nichtmehrxalsnElementehabGenkqann.UUAlsoistdiegegebGeneMengeselbstschoneineBasis." src:583kap5.22.9JedeErzeugendenmengefGourVrenthoaltnach5.2.162.eineBasis,diejedoGchSnachSnichtwenigeralsnSElementehabGenkqann.AlsoSistdiegegebeneMengeUUselbstschoneineBasis.\QSatzT5.2.18O src:590kap5.2SeiPյVein^n-dimensionalerKV;ektorr}'aumundTUceinUntervek-torr}'aumSvonV8.DannSistFnUjeinendlichdimensionalerSV;ektorraum,undSesgiltdimU3n.IstdimU=dimnV8,soistU=V8.Beweis.: src:597kap5.2EineBasisvonUbGestehtaushoochstensnlinearunabhoangigenV*ek-torenwegen5.2.161.BesitztUeineBasisausnm=ndim9ĵV9lV*ektoren,soistdiesenach5.2.171.schoneineBasisvonV8,alsoerzeugtsieganzV.DaherfolgtUUU3=V8.w'VUbungenT5.2.19l1.yV src:607kap5.2ImV*ektorraumR^3TabGetrachtenwirdieV*ektorenv=%(1;2;1)UUundw =(1;2;1).)a)7x src:610kap5.2ZeigenSie,daderV*ektor(1;2;5)eineLinearkombinationvonʵvund7xw8ist. Oō>;1584`5.V:ektorrg3aume%ō>;)b)7x src:612kap5.2Zeigen9Sie,9daderV*ektor(3;4;0)keine9Linearkombinationvon9v 7xundUUw8ist.2.)a)7x src:618kap5.2Entscheiden USie,ob TdieV*ektoren(1;0;2), U(2;1;4)und U(1;1;0)eine7xBasisUUdesR^3Ȳbilden.)b)7x src:620kap5.2EntscheidenSie,obdieV*ektoren(1;0;2),(3;1;1)und(2;1;3)7xeineUUBasisdesR^3Ȳbilden.3.% src:624kap5.2Sei2V=R^4und1U3=f(72x;x;7y[;7z9V)>䶸jx+2yt+3z7=0gR^4|s.Bestimmen%SieUUeineBasisvonV8,dieeineBasisvonUlpenthoalt.4.% src:628kap5.2SeiV~einn-dimensionalerV*ektorraum.DanngibteseineT*eilmengeT*%V8,UUsodafGourjedesv"2TdieMengeTon8fv[ٸgeineBasisvonV9ist.5.% src:632kap5.2Sei֌Vpein֍endlichdimensionalerV*ektorraum.U1RundU2SseienzweiUnter-%vektorroaumeUUmitU1S\8U2C=f0g.ZeigenSie:dimVdimnU1S+8dim6U2|s.6.% src:636kap5.2SeiU8einUntervektorraumdesendlichdimensionalenV*ektorraumsVmit%dim8U3=dimnV8.UUZeigenSieU=V8.7.% src:639kap5.2U1Bund U2seienUntervektorroaumevonR^3BmitdimvU1C=1unddimU2C=%2.UUZeigenSie}U1S+8U2C=R3,U1S\8U2=f0g:ꁲ8.% src:643kap5.2ZeigenSie,dadiePolynomfunktionen1;x;x^2|s;x^3 gin끼R^R ylinearun-%abhoangig(sind.)(Hinweis:Betrachten)SiedieAbleitungenvonLinearkom-%binationenUUderPolynomfunktionen.)9.% src:649kap5.2BestimmenSieeinelinearunabhoangigeErzeugendenmengefGourdenUn-%tervektorraumUUh1;x^2S+82x;x^282x;2x1iR^R5.10.% src:653kap5.2BestimmenSieeineBasisfGourdenUntervektorraumP3(qderPolynomfunk-%tionenǯvomǮGradkleineroGdergleich3imV*ektorraumallerF*unktionen%vonUURnachR.11.% src:657kap5.2Sei7K=ЎF3 M=ЏZ=(3)derKoorpGermitdrei8Elementen.BestimmenSie%eine_Basis_fGourdenUntervektorraumaller_Polynomfunktionenvom_Grad%kleineroGdergleich3imK-V*ektorraumF:F3l3 ?'allerAbbildungenvonF3%nachUUF3|s.12.% src:663kap5.2WievieleUUBasenhateindreidimensionalerZ=(2)-V*ektorraum?13.% src:666kap5.2ZeigenBSie,dafsin G(x);cos7(x)geineAlinearunabhoangigeMengeinR^R%bildet.b (V*erwendenSieb dazuIhreSchulkenntnisse*oubGerb dieF*unktionen%sin1(x)UUundcos(x).)14.% src:671kap5.2SeiU derUntervektorraumvonR^R5,dervonsin<(x)undcosY(x)erzeugt%wird.ZeigenSie,dafGourjedenWinkel'giltsinE(' +x)2Uundcosay(' +%x)2U.'Zeigen'Sieauerdem,dafsin G('t+x);cos7('+x)g'eineBasisfGour%Ulpbildet.15.% src:678kap5.2ZeigenSie,dafsin G(x);cos7(x);tanr(x)geinelinearunabhoangigeMengein%R^R㊲bildet.16.% src:681kap5.2Sei;ȵVtein;endlichdimensionalerV*ektorraumundUReinUntervektorraum%vonV8.v1|s;:::;vn fseienlinearunabhoangigeV*ektorenvonV8.ZeigenSie%daUUfolgendeAussagenoaquivqalentsind:)a)7x src:686kap5.2Ergoanztzmanv1|s;:::;vn둲durcheineBasiszvonU,soistdieentstehende7xMengeUUlinearunabhoangig.3Oō>; 5.3DirekteTSummen9159%ō>;)b)7x src:688kap5.2DerNullvektoristdereinzigeV*ektor,dergleichzeitigLinearkombi- 7xnationUUvonv1|s;:::;vnӲistundinUlpliegt.17.% src:693kap5.2EntscheidenUUSie,welcheUUderfolgendenAussagenrichtigUUsind(ja/nein).)a)7x src:696kap5.2SeiXizeineMengevonlinearunabhoangigenV*ektorenineinemVek-7xtorraum.UUDannistauchjedeT*eilmengevonX7linearunabhoangig.)b)7x src:699kap5.2Sei&XxeinErzeugendensystem&desV*ektorraumesV8.Dannistauch7xjedeUUT*eilmengevonX7einErzeugendensystemvonV8.*#2c)7x src:702kap5.2Jedem MengevonV*ektorenineinemVektorraumloatsichzueiner7xBasisUUergoanzen.18.% src:706kap5.2Wir>bGetrachtendie>reellenZahlenalsV*ektorraumǞoubGerdenrationalen%ZahlenUU(vgl.Beispiel5.1.26.).ZeigenSie:)a)7x src:710kap5.2dieBV*ektoren1,Pp PfeE2undCPp PfeE3sindlinearunabhoangig(Hinweis:BBino-7xmisches\F*ormel,s[Primfaktorzerlegung:KanndieQuadratwurzeleiner7xPrimzahlrationalsein?Mansollteu.a.zeigen,daPp ޟPfeE6eirrationalist.))b)7x src:715kap5.2PpUWPfeE7istUUkeineLinearkombinationvonPp PfeE3undPp PfeE5.19.% src:719kap5.2Seien Qv1|s;:::;vn ~βlinearabhoangigeV*ektoren PindemVektorraum PVRoF5ubGer%dem,KoorpGer,еKmitderEigenschaft,dajenȇ1von,diesenV*ektoren%linearUUunabhoangigsind.Seien9Rk1|sv1S+8:::g+8nq~vn8=0% src:724kap5.2und :͵1|sv1S+8:::g+8nq~vn8=0ˍ% src:726kap5.2zwei՛Linearkombinationen,՚bGeidenenjeweilsnicht՚alleKoGezientenNull%sind.UUZeigenSie,daeseineZahl2K qmitUUderEigenschaft9RjIJ=j% src:730kap5.2fGourUUallejY=1;:::;ngibt.&a5.3**DirekteSummen src:4kap5.3InAbschnitt1habGenwirschonSummenvonUntervektorroaumendiskutiert. HierUUwollenwireinenbGesondersschoonenSpGezialfalldavonbGetrachten.ˍDe nitionT5.3.1fA src:9kap5.3Seien[U1UundU2TUntervektorroaume[desV*ektorraumesV8.W*ennU1d\4U2C=0undU1+4U2C=Vgelten,dannheitVeineYdir}'ekte Summe궲der MbGeiden NUntervektorroaume.WirschreibGen NV=U1DҵU2|s.W*eiterheienU1궲undU2_dir}'ekteSummanden_OvonV8.U2heitdir}'ektesKomplementIJzuU1in궵V8." src:20kap5.3DerfolgendeSatzverhilftunszueinerVielzahlvonBeispielen.ErzeigtinderWT*at,WdajederUntervektorraumalsWdirekterSummandineinerdirektenSummeauftritt.DasisteineganzbGesondereEigenschaftvonV*ektorroaumen,dieUUausderExistenzeinerBasisfGourjedenV*ektorraumfolgt..%Oō>;1604`5.V:ektorrg3aume%ō>;SatzT5.3.2I src:27kap5.3SeiUeinUntervektorr}'aumdesV;ektorraumesV8.Danngibtes eindir}'ektesKomplementzuXJU.Beweis.: src:33kap5.3SeiBfuiTLjir2IgeineABasisfGourU.DadieseMengelinearunabhoangigist,kqannsienach5.2.113.zueinerBasisfuiTLjid2IgȲ_@[fvj6jj+2J9gڲfortgesetztwerden.SeiU^0dervonfvj6jjY2J9g(alsBasis)erzeugteUntervektorraum.Wirzeigen,daU^0}meindirektesKomplementzuU4ist.Seiv826_VgegebGen.vhateineUUBasisdarstellungqˍ~v"=(X 7i2Iq iTLui)8+(X 7 jg2J j6vj): 8 src:42kap5.3Die$AbGeiden$BKlammerausdrouckeliegen$BjedoGchinU;]bzw.in$BU^0T.DamitistV=궵Un߲+WĵU^0T.UmUn޸\U^0=Q0zuzeigen,woahleneinvp+2Un߸\WĵU^0T.Dannhatv߄zweiBasisdarstellungenmv"=(X 7i2Iq iTLui)8+0=0+(X 7 jg2Jq j6vj); 8 src:48kap5.3weilOvzsowohlinUfalsauchOinU^04liegt.WirhabGenbeiOdenDarstellungendieBasenvonU3bzw.U^0verwendetundnoGcheineLinearkombinationderrestlichenx?Basiselemente,x>dieNullergibt,hinzugefGougt.W*egen5.2.8stimmendiefKoGezientenIouberein:g i;Բ=0fourallei牸2IHundf j5=0fourgallejz2牵J9.DamitUUistabGerv"=0undUO\8U^0l=0." src:57kap5.3Es*'ist*(nichtnurdie*(direkteSummevonzwei*(Untervektorroaumeninter-essant,G[sondernauchdieG\direkteSummebGeliebigvielerUntervektorroaume.Die|De nitionhierfGouristkomplizierter,{alsdieDe nitioneinerdirektenSum-meIvonzweiJV*ektorroaumen.DeswegenhabGenwirdenJeinfachenF*allzunoachstgesondertUUbGetrachtet.De nitionT5.3.3fA src:65kap5.3Sei(UiTLji2I)eineF*amilievonUntervektorroaumendesV*ektorraumesUUV8.WennvX 7#i2IUid=Vl src:68kap5.3undT8jY2I[Ujo\xX 8i2IJ;i6=j@Uid=0]㐍 src:71kap5.3gelten,cdannheitbV&Geine(inner}'e) PdirekteSummedercUntervektorroaume궵UiTL.vWirschreibGenVg0=.MLJi2IٵUi.W*eiterheiendieUntervektorroaumevUidir}'ekteSummandenvonCV8.W*ennfGourdieIndexmengeI=f1;:::;nggilt,soschreibGenUUwirauchV=U1S8:::g8Unq~." src:79kap5.3W*eilderBegri derdirektenSummebGeinahegenausostarkist,wiederei-nersBasis,wollenswireineReihevonEigenschaften nden,sdiedazuoaquivqalentsind.=Oō>; 5.3DirekteTSummen9161%ō>;SatzT5.3.4I src:84kap5.3Sei(UiTLjiϸ2I)@eine?F;amilievonUntervektorroaumendesVektor- r}'aumesV8.E͵V~istEgenaudanndirekteSummederYZUiTL,EwennsichjederV;ek-torv23V# auf)genaueine(WeisealsSummeeinerF;amilievonV;ektor}'en궲(uid2UiTLji2I)schr}'eibenloat:(v"=P USi2IkuiTL.Beweis.: src:92kap5.3SeiUUV=L ㌟i2I\UiundhabGev"2V9zweiSummendarstellungenv"=X 7Ŵi2I㉵uid=X 7Ŵi2Iu0፴iTL:c src:95kap5.3Dann(ist(uj^Ųu^0;Zj]Ҳ='%P`i2IJ;i6=j,=u^0;Ziųui{q='&0,alsouj='&u^0;Zj_=fGouralle(j2I.SeiumgekehrtjederV*ektorv"2V2veindeutigalsSummedarstellbar.ZunoachstistdannsicherjederV*ektorv"2VralsSummedarstellbar,alsogiltV=P USi2IkUiTL.IstgabGerv"2Uj۲\P 3Bi2IJ;i6=j(UiTL,sogiltv=uj۲+0=0+P 3Ai2IJ;i6=j(ui߳fGourggeeigneteV*ektoren_uj6(=ѵv[ٲ)Ҹ2Uj und^ui2UiTL.W*egen^derEindeutigkeitfolgtdaraus궵ujIJ=0=v[ٲ,UUalsogiltUjo\8P i2IJ;i6=j*NUid=0.F olgerungT5.3.5eG src:108kap5.3Sei8eBeine3Basisf֞ourden3V;ektorr}'aumV8.Dannist&dVloeinedir}'ekteSummedereindimensionalenUntervektorroaumeTB(Kbjb2Bq): V=͟M b2BKb:" src:114kap5.3BeweiscwfolgtmitcvdemvorhergehendenSatzunmittelbarausderEigen-schaft,UUdajederV*ektoreineeindeutigeBasisdarstellunghat.SatzT5.3.6I src:119kap5.3Seit߲(UiTLjiUز=1;:::;n)peineF;amiliepvonUntervektorroaumendesendlichdimensionalenKV;ektorr}'aumeskV8.VL/istJgenaudanndirekteJSummeder궵UiTL,wennXJPލ慴n%i=1|Uid=VundpPލ*n%*i=1Idim0Ui=dimnVgelten.Beweis.: src:127kap5.3SeienֵBi_= Bfbi1P;:::;biki gBasenfGourdieUntervektorroaumeֵUil"(fGour궵i&='1;:::;n).+Danngilt,dimfUiTr=kiTL.,SeiB:='Sލ U~n% U~i=1tuBi.DaVJSummeder궵UilistJundJ dieUikvondenMengenBilerzeugtwerden,istBʐo enbareineErzeugendenmengeUUfGourV8." src:134kap5.3"= )LȲ\8:uSeiuVneinedirekteSummederUiTL.DannistdieV*ereinigungB}7:=궟Sލ@ n%@ i=1+_BiӲeine5disjunkte5V*ereinigung.Istnoamlichi<6=jund5b<2Bi"\VBjsj궵Ui\UjH㜟Pލq״n%qi=1;i6=j,VUi\UjI=0, so istb㝲=0,kqann alsokeinBasiselementsein." src:141kap5.3Wirzeigen,daBeineBasisfGourVist.W*ennwirdasgezeigthabGen,istnoamlich7Pލ*rn%*ri=1Iidim/Ui==;Pލ vn% vi=1mki==;jBqj=<=dimV8.8Sei7Pލ*rn%*ri=1IiPލ'פki%'פk+B=18ߵ ikܵbik =0, 㖍dannwistxwegendereindeutigenDarstellbarkeit5.3.4Pލ bki% bk+B=1 ikܵbik =0fGouralle궵i=1;:::;n.HDaHBigBasisist,folgtalso ik =0fGouralleiundkP.DamitistB궲linearUUunabhoangigundfolglicheineBasis." src:151kap5.3"(UX=i>\8:Q{GelteQznunPލ߶n%߶i=1Ui=kTV_undPލ߶n%߶i=1dim0TUi=kUdimV8.DaQzBeineErzeugendenmenge;1624`5.V:ektorrg3aume%ō>;궲vonVڜnach5.2.172.SeinunujIJ=Pލ USn% USi=1;i6=j+ҵuid2UjT\ѨPލ _n% _i=1;i6=j)bUiTL,soerhalten wirUUalsBasisdarstellung c]; ujIJ=jkj YX k+B=1S jgkist.ZunoachstistB++(i궵kP);+(jhk)=dimq(U1O\;ܵU2|s);+dim2U1dim(U1\;ݵU2|s)+dim2U2;ݲdim(U1\U2|s).DarausUUfolgtdiebGehaupteteDimensionsformel.BeispieleT5.3.9e㧲1.r src:225kap5.3SeiI^eineMengemitmindestenszweiElementen.Die%Uif:=[heiTLi[=Kei sindGUnterroaumevonGK^(IJ) .DadieMengefeiTLgeine%BasisUUvonK^(IJ)bildet,siehtmansofort,dagiltK^(IJ)T˲=L ㌟i2I\KeiTL.2.% src:231kap5.3WirOAschlieendiesenAbschnittmitOBdemunsschonbGekqanntenBeispiel%5.1.2UU5.desV*ektorraumesbOō>; 5.3DirekteTSummen9163%ō>;A޵U3:=f(1|s;2;3;4)j1;2;3;4C2R;1S+82+3+4C=0g:% src:236kap5.3ErUUisteinUntervektorraumUUdesV*ektorraumesqV:=f(1|s;2;3;4)j1;2;3;4C2Rg;% src:239kap5.3denn Zwenn [zweiV*ektoren(1|s;2;3;4);(1;2;3;4)2U$vgegebGen Zsind, %wennValsoV1ݲ+;k2+3+4C=0Vund1޲+;j2+3+4C=0VgeltenVundwenn В2%KJOgegebGen4ist,3sogeltenauch(11+1|s)+(2+2|s)+(3+3|s)+(41+4)=0%und z1%+q 2+q 3+q 4ј=U$0,d.h.(1|s;2;3;4)q+(1|s;2;3;4)U$2U%U%und z(1|s;2;3;4)x2U.U 0hatnach5.2.45.eineBasis(1;1;0;0),%(1;0;1;0),(1;0;0;1),hatalsodieDimension3.JederV*ektorv^2U%loatUUsicheindeutiginderF*ormTv"= 1|s(1;1;0;0)8+ 2(1;0;1;0)8+ 3(1;0;0;1)% src:253kap5.3darstellen,kqannalsoalleindurchdieAngabGedesT*ripGels( 1|s; 2; 3)ein-%deutig\bGeschriebenwerden.Bei]festgehaltenerBasisdesV*ektorraumes%Uj}koonnenSbdamitdessenElementealleinSadurchdieAngabGeihrerKoef-% ziententripGel*angegeben)werden.DieSummezweierV*ektorenunddas%ProGdukt miteinemSkqalar ergibtfourdieKoeziententripel komponen-%tenweise7Additionbzw.Multiplikqation.Sogilt8z.B.fGourdieV*ektorenbzw.%derenUUSumme:G\(6;1;2;3)=1(1;1;0;0)8+2(1;0;1;0)8+3(1;0;0;1)% src:264kap5.3mitUUdemKoGeziententripelUU(1;2;3)undG\(4;2;0;2)=2(1;1;0;0)8+0(1;0;1;0)8+2(1;0;0;1)% src:266kap5.3mitUUdemKoGeziententripelUU(2;0;2)ergibtdbZ(6;1;2;3)8+(4;2;0;2)=(10;3;2;5)= bZ=3(1;1;0;0)8+2(1;0;1;0)8+5(1;0;0;1)% src:271kap5.3mitUU(1;2;3)8+(2;0;2)=(3;2;5).% src:274kap5.3EindirektesKomplementzuUinܼR^4|Nkoonnenwir nden,wennwirdie %BasisVvonUrzueinerBasisvonR^4Eɲvervollstoandigen.WDaskqannaufsehr%vielfoaltigeUUW*eisegeschehen.InsbGesonderesinddieVektorenoB(1;1;0;0);(1;0;1;0);(1;0;0;1);ei% src:279kap5.3fGourxjedeW*ahlyvonia=1;2;3;4einexBasisvonR^4|s,alsoistjederder %Untervektorroaume[ReieindirektesKomplementvon\U.Wirempfehlen%demUULeser,noGchweiteredirekteKomplementevonUlpzusuchen.=hw'VUbungenT5.3.10l1.yV src:289kap5.3SeienV܄undW/zweiV*ektorroaume꽞oubGerdemKoorpGer%K.yOō>;1644`5.V:ektorrg3aume%ō>;)a)7x src:292kap5.3ZeigenUUSie,dadas(kqartesische)ProGduktVqĸ8WmitderAdditionn(v[;wD)8+(v0*;wD0):=(v+8v0*;w}ò+wD0)7x src:295kap5.3undUUderMultiplikqationmitSkalarenz(v[;wD):=(v;wD)7x src:297kap5.3einUUV*ektorraumist. )b)7x src:298kap5.3ZeigenSie:HatɵVݮeineBasisausnV*ektorenundWXeineBasisaus7xmUUV*ektoren,sohatVqĸ8WeineBasisausn+mV*ektoren.2.% src:303kap5.3ZeigenUUSie)a)7x src:305kap5.3Span(18+x;1x)+Span(x^2Sx;x^2S1)=Spanq(1;x;x^2|s):)b)7x src:306kap5.3IstUUdieSummeeinedirekteSumme?*#2c)7x src:307kap5.3BerechnenUUSiedieDimensiondesDurchschnitts.3.% src:310kap5.3SeicP@derUntervektorraumcvoncR^R5,dervondenF*unktionenf1;x;x^2|s;::: UOg%aufgespanntwird.WirnennenPmdenRaumderPolynomfunktionen.Zei-%genuSie,udaP|diedirekteSummederRoaumePgn:=h1;x^2|s;x^4;x^6;::: UOiuund%Pu P:=hx;x^3|s;x^5;::: UOiderPolynomemitgeradenbzw.ungeradenExpGo-%nentenUUist.4.% src:318kap5.3ZeigenUUSie,daR5C=UO8V8,wobGeiSi_U3:=fx2R5' ' ' ' |p^1!201?0N12!301?1N1U.=^^5Yx=0wtgR% src:324kap5.3und(V:=fx2R5|sjx1C=2t;x2=s8+t;x3=3s+t;x4=s;x5=2t;s;t2Rg:ꁲ5.% src:332kap5.3SeienеV=\9f(7;*2;/"2;G OE)T,j;2RgundϵWȲ=f(7;*;*!;=c D㕲)Jq̸j %2Rg.UBestimmenVSieUnterroaumeU1|s,U2,VU3CR^4,soVdaUi'0V=R^4%fGourUUi=1;2;3gilt,U1S\8U2C=0undU1\8U3C=Wc.$V5.4**LineareAbbildungen src:4kap5.4Wie"bGeiderDiskussionderalgebraischenGrundstrukturenHalbgruppe,Mo-noid]und]GruppGewollenwirjetztauchfGourV*ektorroaumedenBegri einesHomomorphismusUUeinfGouhren.V" src:9kap5.4W*ennJxwirJwirgendwelchePunkte,GeradenoGderJwbeliebigePunktmengenineinem|V*ektorraumhabGen,sowollen}wirdiesesinnvollindemvorgegebGenenV*ektorraumbGewegenkoonnenodersiesogarineinenanderenV*ektorraum궟"UhinGoubGerbringenL\koonnen,z.B.durcheinePro8jektionoGderdurcheineStre-ckung.&DerdafGourgeeignetemathematische&Begri istderdesHomomorphis-mus+von+V*ektorroaumenoGderderlinearenAbbildung.LineareAbbildungenzwischencendlichdimensionalenV*ektorroaumenkoonnencinsehreinfacherW*ei-semitMatrizenbGeschriebenwerden.WirwerdendieseT*echnikausfGouhrlichinUUAbschnitt5.5darstellen.ROō>;35.4LineareTAbbildungen9165%ō>;De nitionT5.4.1fA src:23kap5.4SeiYHKceinbGeliebigerKoorper.SeienYGV,undWֲzweiV*ek- torroaume,oAubGerK.SeiAschlielichAfڧ:V!WeineAbbildungvonVyinWc.f궲heiteineline}'areAbbildunggoGdereinHomomorphismus,wenndiefolgendenGesetzeUUerfGoulltsind:7 src:31kap5.4f(v1S+8v2|s)=f(v1|s)8+f(v2|s)UUfGourallev1;v2ȲinV8,7 src:33kap5.4f(v[ٲ)=f(v[ٲ)UUfGouralle2K qundUUv"2V8. src:37kap5.4WiebGeianderenalgebraischenStrukturen(vgl.3.2.4und3.2.5)sprechenwirauchbGeiHomomorphismenvonV*ektorroaumenf:V!W=~voneinemIso-morphismus,)wenn)f=bijektivist(unddamiteinenUmkehrhomomorphismusbGesitzt).ZweiV*ektorroaumeheienisomorph,wenneseinenIsomorphismuszwischenUUihnengibt. src:46kap5.4EininjektiverHomomorphismusvonV*ektorroaumenf:nVRP!W?~heitMo-nomorphismus. src:49kap5.4Einl+surjektiverl,Homomorphismusvonl,V*ektorroaumenf:(V& & !3WϻheitEpi-morphismus. src:52kap5.4EinbHomomorphismusvonV*ektorroaumenbfڧ:V!VmitV=Qup(f)=Zi (f)heitUUEndomorphismus. src:56kap5.4EinIsomorphismusvonV*ektorroaumenf0:nV!%VmitV=Qu(f)=Zi R0(f)heitUUAutomorphismus." src:61kap5.4W*egen8derersten7BedingungistfDzaucheinHomomorphismusvonabGel-schenGruppGen.Insbesondereerhoaltmanf(0)=0.O ensichtlichloatsichdieseUUDe nitionauchverwenden,umallgemeinzuzeigenuXf(&n X ti=1qiTLvi)=>n X tմi=1㉵iTLf(vi):; src:67kap5.4Damit+werden,allewesentlichenOpGerationen,ineinemV*ektorraumvonli-nearensAbbildungenrespGektiert.sEsgeltenimoubrigensinngemoawiederdieAusfGouhrungenUUvonKapitel3,insbGesondereLemmaT5.4.2YUI src:73kap5.4Seienf:PV5?q!õW#und'g*:W%j!,mZձzweiline}'areAbbildun-gen.BDannistBauch7g[f:V<߸!Zeineline}'areBAbbildung.WeiterhinistdieidentischeAbbildungvdid ˻V:VD8! QVeineline}'areAbbildung.Beweis.: src:80kap5.4WirUUbrauchendiebGeidenBedingungennurauszuschreibGen:N-g[f(v1S+8v2|s)=g(f(v1|s)8+f(v2|s))=g[f(v1|s)8+g[f(v2|s) src:82kap5.4und zਵg[f(v)=g[ٲ(f(v))=g[f(v): src:84kap5.4FGourUUdieidentischeUUAbbildungistdieAussagenoGchtrivialer." src:88kap5.4LinearedAbbildungendoGderHomomorphismenhabGenofteineweitreichendegeometrischeUUBedeutung,wiediefolgendenBeispielezeigen. Oō>;1664`5.V:ektorrg3aume%ō>;BeispieleT5.4.3e㧲1.r src:95kap5.4Wir@>wollen@?einerstesBeispielfGoureinelineareAbbildung %angebGen.'Dazu(verwendenwir(dieV*ektorroaumeV=ʼR^3|undWGZ=˼R^2|s.%DieUUAbbildungfڧ:V!Wseide niertdurch6ݵf(u;[;):=(;);% src:100kap5.4alsoHdieHPro8jektiondesdreidimensionalenRaumesaufdiex-zp-EbGene(ent- %langUUdery[ٲ-Achse).Wirrechnenschnellnach,da6dKďf((1|s;e($1|s;1)8+(2|s;2;2))=f(1S+82|s;1+82|s;1+82|s)e($=(1S+82|s;1+2|s)=(1;1)8+(2;2)e($=f(1|s;1;1)8+f(2|s;2;2)\% src:111kap5.4undUUauchdtܵf((u;[;))=f(;[;)==(u;)=(;)=f(;[;)Ź% src:118kap5.4gelten.Damitistf2einelineareAbbildung.Entsprechendkoonnenwirdie%Pro8jektionenPaufQdiex-y[ٲ-EbGenebzw.aufdiey[ٲ-zp-EbGenealslineareAb-%bildungenau assen.JasogardiePro8jektionenaufdieeinzelnenAchsen,%dieUUx-Achse,diey[ٲ-Achseunddiezp-Achse,sindlineareAbbildungen.2.% src:125kap5.4DieUUAbbildung]GZfڧ:R2C3(u;[ٲ)7!(<$33133wfe (֍2fg=Vp=Vfeª2+<$l1lwfe (֍2 G=Vp=Vfeª2;<$33133wfe (֍2fg=Vp=Vfeª2+<$l1lwfe (֍2 G=Vp=Vfeª2)2R2d% src:129kap5.4stellt[YdieDrehungderreellenEbGene[ZumdenNullpunktunddenWinkel%von45^o -dar(immathematischenDrehsinn{dertechnischeDrehsinn%wirdrechtsdrehendoGderimUhrzeigersinngerechnet).ZurAbkGourzung%seiUUa:= K1K&fes2 )PpHPfeE2I.Danngilt&)_dJf((X1|s;1)8+(2|s;2))=f(1S+82|s;1+82|s)X=(a(1S+82|s)+a(1+2|s);a(1+2|s)+a(1+2|s)X=(a1S+8a1|s;a1+a1|s)+(a2+a2|s;a2+a2|s)X=f(1|s;1)8+f(2|s;2);,6dQ'f((u;mg[ٲ))=f(u;)=(a+8a;a+8a)=mg=(a+8a[;a+a[ٲ)=f(u;):ź% src:148kap5.4DamitUUistfheinHomomorphismusvonV*ektorroaumen.S" src:152kap5.4MankqanneinelineareAbbildungfڧ:V!W?^aufeinenUntervektorraum궵U3VײeinschroankenGundGerhoaltsoeinelineareAbbildungfjU yղ:U31!JWc,denndieV*ertroaglichkeitmitderAdditionvonV*ektorenundderMultiplikqationmitSkqalarenbleibtnatGourlicherhalten.DieF*rage,obaucheineEinschroankunginderUUBildmengeWmooglichist,bGeantwortetdasfolgendeLemma.S󍍍LemmaT5.4.4YUI src:161kap5.4Sei;35.4LineareTAbbildungen9167%ō>;Beweis.: src:168kap5.4Seieny!f(u);f(u^09)i2jf(U)mitu;u^0{2jU;gegebGen,undsei2iK. Danngeltenf(u)+f(u^09)=f(u+u^09)2f(U)undf(u)=f(u)2f(U),weilUeinUntervektorraumist,alsoug+u^0 r2<9Uundu2Ugelten.DamitistUUf(U)einUntervektorraum." src:176kap5.4Wir@8koonnen@7alsoauchdenZielvektorraumWDzeinerlinearenAbbildung궵fRͲ:?>Vx! x!^W40einschroanken,РjedoGchСnichtbGeliebigРwiedasbGeimQuellvek-torraumV(V derF*allV)war,sondernnuraufeinenUntervektorraum,derV(denUntervektorraumNgf(V8)Nfenthoalt.SchroankenwirVJweiterein,soistNfaucheineweitereUUEinschroankungvonWmooglich." src:185kap5.4Andere(wichtigeEigenschaftenvon'V*ektorroaumenwerdenbGeilinearenAbbildungennichterhalten,wieetwadieDimensionoGderdieEigenschafteinerv>MengevonV*ektoren,Basiszusein.HiergeltenkompliziertereZusam-menhoange.BesondersdieBasiseigenschaftspielteineausgezeichneteRollefGourlineareAbbildungen.SiehoangtnoamlichengmitdemBegri desfreienV*ektorraumesKzusammen,Jwieerin3.3.1fGourdiealgebraischenStrukturenHalbgruppGe,/;Monoid/:bzw.Gruppeschon/:de niertwordenist./:WirbGemerkenzunoachst,UUda3.3.3auchimF*allevonV*ektorroaumengilt:SatzT5.4.5N1.[p src:199kap5.4IstqVmit:BG!R޵Vein~fr}'eier~V;ektorraumouberderMenge%Bq,soistinjektiv.2.% src:201kap5.4SindVoundV8^0ըmitb1R:Bø!'RVnund^0:Bø!V8^0էfr}'eie΋V;ektorroaume,Ίso%gibtgenaueinenHomomorphismusffڧ:VD8! QV8^0mitC qNBq׃FVo::fd#O line10- MH*V8^0W1#feۊc?ÄӴfY}r0o @o @Đo @ʋ_@ʋ_R% src:209kap5.4kommutativ(d.h.f=^09),undpfvisteinIsomorphismus.Beweis.: src:215kap5.4DerUBeweisVvon3.3.3Vkqannwoortlich soVubGernommenwerden,VwennmandieUUGruppGef1;1gdurchdeneindimensionalenV*ektorraumK qersetzt." src:220kap5.4Der;Zusammenhangdes;1684`5.V:ektorrg3aume%ō>;Beweis.: src:240kap5.41.WGegebGenseieneinV*ektorraumWYundeineAbbildung :~B 궸!"̵Wc._Zuzeigenist,daes_genaueinenHomomorphismusf릲:V!WgibtmitUUf= z:9 qȵBqͬV::fd#ά- M<jW:р#feѳݟ?ÄMfKR+  @ @ @ٟ@ٟR src:249kap5.4WirczeigenzunoachstdieEindeutigkeit,weilcdannschonersichtlichwird,wiedieExistenzzuzeigenist.Seienf$%undglnlineareAbbildungenvonVIynachW궲mit z(biTL)=f(bi)=g[ٲ(bi)fGourallei.Seivh2V bGeliebiggewoahlt.DannloatsichUUv.darstellenalsv"=Pލ USn% USi=1tJiTLbi.UUDafhundglinearsind,giltdZ f(v[ٲ)p=f(Pލ ;n% ;i=12iTLbi)=Pލ USn% USi=1tJif(bi)p=Pލ USn% USi=1tJiTLg[ٲ(bi)=g(Pލ ;n% ;i=12iTLbi)=g(v):qǍ src:261kap5.4AlsoUUgiltfڧ=g[ٲ." src:263kap5.4Istnur 0gegebGenundv"=Pލ USn% USi=1tJiTLbid2V8,sokonstruierenwireinelineareAbbildungUUfhdurchuXŵf(v[ٲ):=>n X tմi=1㉵iTL z(bi):; src:267kap5.4DadieBasisdarstellungvonvoeindeutigist,d.h.dieKoGezientenih4durchv궲eindeutigMbGestimmtLsind,istmitdieserDe nitioneineAbbildungfڧ:V!W궲gegebGen.DurcheineleichteRechnungzeigtmanjetztf(v?+v[ٟ^0*)=f(v[ٲ)+f(v[ٟ^0*)und f(v[ٲ)#=#f(v). DamitistfeinelineareAbbildungunderfGoullto enbar궵 z(biTL)=f(bi)=f(bi)UUfGourallei,also В=f." src:276kap5.42.eWirebGezeichnendieElementevoneB勲mitbi 26Bq,i2I-unddieBildelemente$mitb^0;Zi R=(biTL)2(Bq)=Bq^0N.$DieMengeBq^0s)istlinearun-abhoangig.̓Sei̔noamlichPZΟiYµiTLb^0;Ziɲ=8}0.Wirde nierenfGouri8}2Iveine̓Abbil-dungO i:RB&$!%۵Kkmit iTL(bj6)R:=ij ,NdasKroneckerOSymbGol.Derindu-zierteqHomomorphismusfi β:KVf d!K,derqexistiert,weil(V9;)freiist,hatalsodieEigenschaftfiTL(b^0;Zj6)x=fi(bj6)= i(bj6):=ij .Damitfolgt0t=sfiTL(0)=fi(P ;joj6b^0;Zj)t=sPCj%jfi(b^0;Zj)t=i,}alle}KoGezientensindalsoNull,dieMengeBq^0(istlinearunabhoangig.WirergoanzennunBq^0durcheineMengejCܸVzueinerBasisvonV8.SeiUղdervonC!ֲerzeugteUntervektor-raum.Wirde niereneinenHomomorphismusp1:0V!CUdurch˵p(b^0;ZiTL):=0und6Jp(c)=cfGour6Iallec2C.DerHomomorphismuspist6InachT*eil1.wohlde- niertUUundeindeutigbGestimmt.ErmachtdasDiagrammC qUBqRV`::fd#ά- M⺴jdU&֟#feZ?;FpKV ` @` @` @[@[RͅOō>;35.4LineareTAbbildungen9169%ō>; src:299kap5.4mit$ z(biTL)=0#fGourallei2Ikommutativ.Dann#muabGerp#dieNullabbildung sein(wiederumnachT*eil1.),undesgiltp(c)<\=0fGourallec<[2<\C.DaCRͲT*eileinerWBasisWist,kqanndasfGourkeinenV*ektorausCgelten.AlsoistCo=R;unddamitUUBq^0eineBasisvonV8." src:306kap5.43.~Wirde nierenV:=GK^(BW=){undG:B" !ҵVbdurch(b):=eb²(vgl.~5.2.44.).4SeiWkòeinV*ektorraumund5 В:BGG!WeineAbbildung.Dannde nierenwirWfcU:OƵV!oW durchf(bD):=P b2BRb z(b).WManrechnetsofortXnach,da궵f1ein Homomorphismus ist.W*eitergiltf(b)=f(ebD)=P USb0bb0 < z(b^09)= (b),alsofܲ= z.Giltauchg[= yfGoureinenHomomorphismusg:V!Wc,soisttg[ٲ(bD)`=`g(P ;b2Bµbeb)`=`P ڟb2Bcabg(eb)`=P ۟b2Bcbbg[(b)=`P ڟb2Bcab z(b)=궵f(bD),UUalsoistfڧ=g[ٲ." src:321kap5.4Die0in1.0bGewieseneEigenschafteinerBasisinbezug0auflineareAbbil-dungenCistoauerstwichtig.CSieDbGesagtzunoachst,daeinelineareAbbildungnuraufeinerBasisvorgeschriebGenwerdenmu.DaraufkqannsiezudemnoGchbGeliebiggewoahltwerden.DanngibteseineeindeutigbGestimmtelineareF*ort-setzung." src:329kap5.4AndrerseitsnbGedeutetderSatzabermauch,dazweilineareAbbildungenschonZgleichYsind,wennsienurYaufeinerBasis woubGereinstimmen.WirhabGendamit4]eine4^leichteMethoGde,4^umfour4^beliebigelineare4^AbbildungenfeststellenzuUUkoonnen,obsiegleichsind." src:336kap5.4T*eil1.diesesSatzeszusammenmitderT*atsache,dajederV*ektorraumeinePBasisObGesitzt(5.2.111.),sinddereigentlicheGrundPdafGour,dadieTheo-riederV*ektorroaumeeinfacheristalsanderealgebraischeTheorien.DamitistjederhvV*ektorraumfrei.ImhuallgemeinenistesabGernichthvwahr,dahvjedesMo-dellfGoureinealgebraischeStruktur(alsojedeGruppGe,jedeHalbgruppGeoderjedesUUMonoid)freiist." src:346kap5.4Im Zusammenhangmiteiner linearenAbbildungkommt einembGestimm-tenUntervektorraumeinebGesondereBedeutungzu.ErwirdimfolgendenLemmaUUeingefGouhrt.LemmaT5.4.7YUI src:351kap5.4Seifڧ:VD8! QWveineline}'areAbbildung.DannistdieMengebKeG(f):=fv"2V8jf(v[ٲ)=0g src:354kap5.4einUntervektorr}'aumvonV,dersogenannteKernvonXJf.Beweis.: src:359kap5.4Da16o ensichtlich0525Kenr(f)wegen17f(0)5=50,genGougteszuzeigen, damitv[;v^02}Ke(f)und}2}Kzauchvֲ+v^0*;vٺ2}Ke(f)gilt.Ausf(v[ٲ)}=궵f(v[ٟ^0*)=0UUfolgtabGerf(v+8v[ٟ^0*)=0UUundf(v[ٲ)=f(v[ٲ)=0.LemmaT5.4.8YUI src:367kap5.4Sei`f:nQV5q!YõWeine}line}'are}Abbildung.fistgenaudanninjektiv,wennXJKe/(f)=0gilt.DOō>;1704`5.V:ektorrg3aume%ō>;Beweis.: src:372kap5.4Istfinjektiv,soist0Z2Vo enbardereinzigeV*ektor,derauf 0a2bW}޲abgebildetOwird,NalsoistKeS4(f)=b0.IstNumgekehrtKeS4(f)=a0und궵f(v[ٲ)=ߵf(v^0*),p4sop3folgt0=f(v)JɸJʵf(v^0*)=f(vJʵv^0*),p3alsovJɵv^02Ke,(f)=0.DamitUUistabGerv"=v[ٟ^0gundfhinjektiv.|" src:379kap5.4DerKKernderLlinearenAbbildungfڧ:V!WOڲisteinSpGezialfalldesschonbGekqannten1Begri es1desUrbildseinesV*ektorsw 2W=oGdersogardesUrbildseinerUUMengeM3WvonV*ektoren.|yjf1 (wD):=fv"2V8jf(v[ٲ)=wg;{w*f1 (M):=fv"2V8jf(v[ٲ)2Mg:KLemmaT5.4.9YUI src:387kap5.4Ist۸ft:aV(!?1WLoeineline}'areAbbildungundist۹v2af^1 (wD),insb}'esonderealso5f^1 (wD)nichtle}'er,sogilt[+f1 (wD)=v+8Keq(f)=fv+8v[ٟ0*jv[ٟ0*2Ke(f)g:|Beweis.: src:395kap5.4Seiv[ٟ^02mKe"R(f).Danngiltf(v۲+v[ٟ^0*)m=f(v[ٲ)+f(v[ٟ^0*)m=w+0=wD,also!istv-N+tv[ٟ^0*2f^1 (wD).Istnunumgekehrtv[ٟ^00?c2f^1 (wD),sogiltf(v[ٟ^00Iuv[ٲ)=궵f(v[ٟ^00xK)Tf(v[ٲ) c=wTwRF=0,alsoistv^07u:= cv^00ITvi<2KeFH(f).DamiterhoaltmanabGerUUv[ٟ^00?c=v+8(v[ٟ^00+v[ٲ)=v+v[ٟ^0*2v+Keq(f).UUDaswarzuzeigen.|" src:403kap5.4Wir\habGen[alsoinsbesondere[gesehen,daKeA(f)=f^1 (0)[gilt.\W*eiterhinsiehtuman,daderV*ektor0nurintf^1 (0)liegtundinkeinerderanderenMengenUUf^1 (wD),mitw 6=0,dennesgiltimmerf(0)=0.c" src:409kap5.4@fUbGerdieBerechnungdesKernseinerlinearenAbbildungwerdenwirinKapiteln6nmehrerfahren.HierkoonnenwirjedoGchschoneinenfundierteAussage1ӞoubGerʉdieGrooeʈdesKernsodergenauerouberseineʈDimensionmachen.EsgiltnoamlichJSatzT5.4.10O src:416kap5.4(Dimensionssatz=bf֞our=cHomomorphismen)SeienŵVvGeinn-dimen-sionalerV;ektorr}'aumundpfڧ:VD8! QWveinelineareAbbildung.Danngiltjidim{a(Ke 8(f))8+dim(Bi t(f))=dimq(V8):Beweis.: src:424kap5.4WirSwoahlenSfGourKe(f)zunoachsteineBasisb1|s;:::;bk됲.Dieseistei-neL>linearL=unabhoangigeMengeinV!undkqanndaherzueinerBasisb1|s;:::;bk됵;bk+B+1 ;:::;bn fortgesetztwerden.WirbGehauptennun,dadieV*ektoren궵f(bk+B+1 );:::;f(bnq~)allepaarweiseverschiedensindundeineBasisvonBi (f)bilden.lIstnoamlichlf(biTL)=f(bj6)lmitlk(i;j,solistf(biG\bj6)=0,also 궵bi;?bj2Ke(f).XDamitXgibteseineLinearkombinationXbi;>bj=Pލ [@k% [@r7=1 rmbr.W*egen}0derlinearenUnabhoangigkeitderb1|s;:::;bn sinddamitdie r !ϲ=-0,undqesgiltbid=bj6.IstrweiterPލ n% r7=k+B+1(h rmf(br)=0,qalsof(Pލ ;n% ;r7=k+B+1%U rmbr)=0,썑sogiltPލ=ϴn%=r7=k+B+1*< rmbr uʸ2)KeA(f)undPލ=ϴn%=r7=k+B+1 rmbr u˲=(Pލck%cr7=1ΰ rbr.W*egenderlinearenUnabhoangigkeitderb1|s;:::;bn ergibtsichwieder rlղ=30,alsosindנOō>;35.4LineareTAbbildungen9171%ō>;궲die'f(bk+B+1 );:::;f(bnq~)linearunabhoangig.Um'zuzeigen,dasieeineBasis fGourn X *r7=1㉵ rmf(br)= n ܖX r7=k+B+1 rmf(br); \u src:447kap5.4weildieV*ektorenf(b1|s)>==:::M!=f(bk됲)==0sind.Damitistgezeigt,dadieV*ektorenƵf(bk+B+1 );:::;f(bnq~)eineBasisdesBildesBi :(f)ist.DieDimensiondesSBildesRistalsodim2(Bi t(f))=n޸k=dimq(V8)dimG(Ke 8(f)),SwieRdieF*ormelimUUSatzbGehauptet.De nitionT5.4.11l src:456kap5.4DieDimensiondimh](Bi t(f))einerlinearenAbbildungf궲heitUUauchR}'ang7ҲderlinearenAbbildungundwirdmitrg c(f)bGezeichnet.F olgerungT5.4.12kE src:462kap5.4Sei f:eVH!Wpeineline}'are AbbildungundseienV9;Wendlichdimensional.EXfXistgenaudannEWbijektivo}'dereinIsomorphismus,wenn궲Ke #(f)=0LundLdimo(V8)=dimq(Wc)gelten.InLdiesemF;allestimmenderR}'angvonfvunddieDimensionvonVѡoub}'erein.Beweis.: src:470kap5.4SeizunoachstfDbijektiv.DannistnachLemma5.4.8Ke(f)# =0.W*egene5.4.10giltfdanndim(V8)=dimq(Bi t(f)).eDaf&surjektivist,istBi (f)=궵Wc,UUalsogiltauchdim(V8)=dimq(W)." src:475kap5.4UmndieoUmkehrungzuzeigen,bGeachtennwirzunoachst,ndanach5.4.8f궲schon injektiv ist.DannfolgtabGerdim=(Bi t(f)-=dimؠ(V8)=dim(Wc). Es gibtalsoinBi )(f)eineBasisvonn=dimq(Wc)V*ektoren.Nach5.4.10istdieseaucheineUUBasisfGourWc,alsoBi 1(f)=W.UUDamitistfhauchsurjektiv,alsobijektiv." src:482kap5.4DieP2AussagePoP3ubGerdenRangfolgtunmittelbarausderGleichungdim(V8)=dim$d(Wc).F olgerungT5.4.13kE src:486kap5.4Seifw:V˸:!W'eineline}'areAbbildungundseiVT|end-lichdimensional.Danngilt~H8dimKes(f)8+rg G(f)=dimnV9:Beweis.: src:491kap5.4folgtUUunmittelbarausdemDimensionssatz5.4.10.F olgerungT5.4.14kE src:496kap5.4Seif 3:V0t!ljWBeineline}'areAbbildungundseidim V0= dim&@ Wvendlich.Dannsindxoaquivalent2Oō>;1724`5.V:ektorrg3aume%ō>;1.% src:500kap5.4fvisteinIsomorphismus. 2.% src:501kap5.4fvisteinEpimorphismus.3.% src:502kap5.4fvisteinMonomorphismus.[ʍBeweis.: src:507kap5.4DieBzfzAquivqalenzvon1.und3.yfolgtunmittelbaraus5.4.12.Auer-dem?folgt?2.aus1.Ist2.gegebGen,sofolgtnachdemDimensionssatz,dadim&@ Ke2x(f)V=W0,alsoauchKe!(f)V=0,giltunddahermit5.4.8dieBehaup-tungUU3.[ˍ" src:514kap5.4Wir und|jedeF;amilievon{Homomorphismen߲(fiA:FUi}!&sWc)%genaueinHomomorphismush6fڧ:VD8! QWexistiert,sodadieDiagr}'ammeA򍍍հ|UiհՃVߟ9fdȍά-HPjiTj WWyfeي?C*fTC*MfiX@X@ǐX@ȋ9@ȋ9R% src:543kap5.4f֞ouralleTBi2I\kommutier}'en.% src:545kap5.4Inw{diesemw|F;allesinddieHomomorphismen;ߵjid:Ui_!&V_injektiv.Weiter%istCV(inner}'e)PdirektePSummederBilderdOjiTL(Ui).PµVzusammenmitder%F;amiliew/(ji*l: Ui n!DɵV8ji2I)heitauch(oauer}'e)direkteSummeder%V;ektorroaumeTBUiTL.[ˍBeweis.: src:554kap5.41.WieschonbGeifrouherenBeweisenzeigenwirzunoachstdieEindeu-tigkeit.und.danndieExistenzdesHomomorphismusf.SeienfAundgܲmit궵fjic=͵g[ji=̵finB(fGourallei)gegebGen.FoureinenV*ektorvj=̟Pi2Iuic2͵VG=궟L*i2I-BUi(`istdannf(v[ٲ)U=Vf(P ;i/uiTL)=P(i'f(uiTL)V=P(i'fjiTL(ui)=VP(i'fi(ui)=궟Pxi#wg[jiTL(ui)K=K͟Pig(ui)K=g(P ;i/uiTL)K=g(v).>Alsogiltf_\=K̵g.DieRechnungist0mitunsererDe nitionderSumme/(vgl.Bemerkungvor5.1.10)Pqkip_ui궲durchfGouhrbar,UUweilnurendlichvieleT*ermevonNullverschiedensind.ϠOō>;35.4LineareTAbbildungen9173%ō>;" src:566kap5.4UmjetztdieExistenzvonfzuzeigen,de nierenwirf(v[ٲ)7:=P Li@fiTL(ui). Damit7isteine8wohlde nierteAbbildungf(ʲ:;1744`5.V:ektorrg3aume%ō>; src:644kap5.4dieMengeallerHomomorphismenvonVnachWc.DannistHom)KUܲ(V9;W)ein Untervektorraum;vonAbb%(V9;Wc).Esistnoamlich0G2Hom\K (V9;Wc).W*enn궵fV;g"2HomqKR$(V9;Wc),nYdannnZgelten(f~|+jg[ٲ)(vŲ+v^0*)=f(vƲ+jv^0*)+g(vŲ+jv^0*)=f(v)j+궵f(v[ٟ^0*) +g[ٲ(v) + g(v^0)=f(v[ٲ) +g(v)+ f(v^0*)+g(v^0*)=(f++ g)(v) +(f++g)(v^0*)und(f+og[ٲ)(v)=f(v[ٲ)o+g(v)=f(v[ٲ)o+g(v)=(f(v[ٲ)o+g(v))=(f+g[ٲ)(v),also4ist4f +gȲwiedereinHomomorphismus.IngleicherW*eisezeigtman,damitUUfhauchfwiedereinHomomorphismusist." src:655kap5.4DerV*ektorraumV8^ :=FGHomKS(V9;K)heitdualerV;ektorr}'aum.CIDieEle-menteUUvonV8^ 'heienline}'areF;unktionale." src:661kap5.4W*ennƊVneinendlichdimensionalerVektorraumist,dannhabGenVnund궵V8^ XdieselbGeDimensionundsinddaherisomorphzueinander.W*ennnoamlich궵b1|s;:::;bnD{eineBasisvonV ist,dannistf1;:::;fnD{mitfiTL(bj6):=ij eineBasisvonUUV8^Ȳ,wiemanleichtnachrechnet." src:669kap5.4IstUUV9einV*ektorraummiteinerBasisBq,soistdieAbbildungqˍ\ hB $:V3v"=3#X b2B bDb7!( bjb2Bq)2K(BW=) src:673kap5.4ein"bijektiverHomomorphismus,also#einIsomorphismus,wegendereindeu-tigenUUBasisdarstellungjedesV*ektorsv"2V8.De nitionT5.4.17l src:678kap5.4SeiB{ eineBasisdesV*ektorraumesV8.DerIsomorphis-musUUhB $:V!K^(BW=).heitKo}'ordinatensystemfGourUUV9zurBasisBq.F olgerungT5.4.18kE src:684kap5.4F֞ourje}'denV;ektorraumVdgibteseinenIsomorphismus궵VT͍W[+3W[=n X tմi=1㉵ iTLbid7!( iji=1;:::;n)2Knq~:MDe nitionT5.4.19l src:700kap5.4Eine]\lineareAbbildungpy:V ] [!ֵV@mit]\p^2P=pwirdeinePr}'ojektionoGderUUidempotentH-genannt.SatzT5.4.20O src:706kap5.4Seip:VD8! QVeinePr}'ojektion.DanngiltRV=Ke(p)8Bi T(p):Beweis.: src:711kap5.4Ke 8(p)lundBi I6(p)lsindUntervektorroaumelvonV8.lFGourvI2"VgiltvI= (vcp(v[ٲ))c +p(v)jhundjgesistp(vc p(v))=p(v)cc p^2|s(v)=0,jgalsojhvc p(v)2Ke(p),undp(v[ٲ) [2Bi (p).DamitistVD?=KeD@(p)+Bi (p).W*ennvg42KeD@(p)\Bi (p),dannUUistv"=p(wD)=p^2|s(w)=p(v[ٲ)=0,UUalsoistKe:(p)8\Bi T(p)=0.@Oō>;35.4LineareTAbbildungen9175%ō>;SatzT5.4.21O src:720kap5.4Sei@[V/=V8^0oSV8^00UV.;Dann;gibtesgenaueinePr}'ojektionp:V 궸.!" VmitV8^05=Ke(p)undpV8^00 n=Bi (p).`Beweis.: src:726kap5.4Seiݵv"2VK²mitdereindeutigenDarstellungv=v[ٟ^0+v[ٟ^00)gegebGen.Wirde nierenp(v[ٲ):=v^00xK.Mansiehtleicht,dapeinelineareAbbildungundeinePro8jektionistunddaV8^0M=FjKeO(p)undV8^00 =FjBi "(p)gilt.W*ennp^0:FjVOM!ŸV궲eineX[Pro8jektionmitXZV8^0?=!Ke(p^09)undV8^00 !x=!Bi (p^0)ist,dannXZistp^0(v[ٟ^0*)"=!0fGouralledv[ٟ^0 ȸ2ඵV8^0.FGourdv[ٟ^00Y2V8^00 giltv[ٟ^00Y=p(wD^00aU)=p^2|s(wD^00)=p(v[ٟ^00xK)dfGourdeinwD^00B 2V8,alsoUUistp(v[ٟ^0b+8v[ٟ^00xK)=v[ٟ^00?c=p(v[ٟ^0+8v[ٟ^00xK).aw'VUbungenT5.4.22l1.yV src:740kap5.4SeiUUK qeinKoorpGer.De nierenSie`i*fڧ:K2 !K23;(x;y[ٲ)7!(ax8+by[;cx+dy)a% src:742kap5.4fGourUUa;b;c;d2K.)a)7x src:744kap5.4ZeigenUUSie,dafheinelineareAbbildungist.)b)7x src:745kap5.4De nierenUUSieng":K2 !K23;(x;y[ٲ)7!(dx8by[;cx+ay)a7x src:747kap5.4ZeigenUUSie:l!(fLo8g[ٲ)(x;y)=(adbc)(x;y[ٲ)=(gf)(x;y[ٲ)*#2c)7x src:749kap5.4SchlieenUUSie:fhistgenaudannbijektiv,wennad8bc6=0UUist. 2.% src:753kap5.4De nierenUUSiefGour'2R:GIfڧ:R2C C! R2|s;(x;y[ٲ)7!(xcosߵ'8ysinG';xsinn'8+ycos')% src:756kap5.4ZeichnenSiedieBilderderkqanonischenBasisvektorenineinKoGordina- %tensystemڇein.چErkloarenSieanhanddiesesBildes,dadieAbbildungf%eineDrehungbGeschreibt.BestimmenSiedenDrehsinnunddenDrehwin-%kel.BestimmenSiemitHilfedervorhergehendenAufgabGedieUmkehrab-%bildungAundAerloauternSie,daauchdieUmkehrabbildungeineDrehung%ist.UUBestimmenSieDrehsinnundDrehwinkelUUderUmkehrabbildung.3.% src:765kap5.4SeijPfH:V͛͝!bUWeinelinearejQAbbildungzwischenzweijPV*ektorroaumen.%ZeigenSie:IstU޸õWY~einUntervektorraumvonWc,soistf^1 (U)ein%UntervektorraumUUvonV8.4.% src:770kap5.4Seif4:ԦV  !-WZeinebijektivelineareAbbildung.ZeigenSie,daauch%dieUUUmkehrabbildunglinearist.5.% src:773kap5.4SeienzV^undyWB zweiV*ektorroaumeundv1|s;:::;vn OVektorenausV8,%w1|s;:::;wnӲV*ektorenUUausWc.)a)7x src:777kap5.4Zeigen{Sie:{Sindv1|s;:::;vnrlinearunabhoangig,sogibtesmindestens7xeine|YlineareAbbildung|XfV:ǵV몸!pWmitf(vj6)=wjfGouralle|XjER=7x1;:::;n.)b)7x src:780kap5.4Zeigen}Sie:Erzeugen}v1|s;:::;vndenV*ektorraumV8,sogibteshooch-7xstens:einelineareAbbildungfY:EzV~^~\!ֵWSmitf(vj6)=EywjqpfGouralle7xjY=1;:::;n.SXOō>;1764`5.V:ektorrg3aume%ō>;ꁲ6.% src:785kap5.4Sei*fڧ:V!WeinelineareAbbildung*zwischenzweiV*ektorroaumen.Sei %v1|s;:::;vnӲeineUUBasisvonV8.)a)7x src:789kap5.4ZeigenSie,daf/genaudanninjektivist,wennf(v1|s);:::;f(vnq~)li-7xnearUUunabhoangigsind.)b)7x src:792kap5.4ZeigenSie,dafgenaudannsurjektivist,wennf(v1|s);:::;f(vnq~)ein7xErzeugendensystemUUvonWist.7.% src:796kap5.4Seien*ҵVcund*ӵWaV*ektorroaumeundf>v:*Vc̸c!WeinHomomorphismus.%ZeigenUUSie:)a)7x src:799kap5.4@fAquivqalentUUsind:>7i.I?q src:801kap5.4fhistUUinjektiv.;ii.I?q src:802kap5.4FGour*jeden)V*ektorraumUEundalleHomomorphismens;t"z:U99!I?qV9mitUUfs=ftUUgilts=t.9"iii.I?q src:804kap5.4EsUUgibteinenHomomorphismusg":W**!V9mitg[fڧ=id oV8.)b)7x src:807kap5.4@fAquivqalentUUsind:>7i.I?q src:809kap5.4fhistUUsurjektiv.;ii.I?q src:810kap5.4FGour]jedenV*ektorraum^Xg?undalleHomomorphismens;ty:xWI?qK?o!XX7mitUUsfڧ=tfhgilts=t.9"iii.I?q src:812kap5.4EsUUgibteinenHomomorphismusg":W**!V9mitfg=id oW5T.8.% src:817kap5.4SeiLV /einV*ektorraumhoKubGerK.U1LundU2seienUntervektorroaumeLvon%V9mitUUV=U1S8U2|s.ZeigenSie,dadieAbbildungtfڧ:U1S8U2C C! V9;(u1|s;u2)7!u1S+8u2% src:821kap5.4ein)Isomorphismus)ist,wobGei)U1]Ӹ_U2diein)derAufgabe)1erkloarteV*ek- %torraumstrukturUUtroagt.9.% src:825kap5.4De nierenUUSie[fڧ:R2C C! R2|s;(x;y[ٲ)7!(x=38+2y[=3;x=3+2y=3))a)7x src:829kap5.4ZeigenUUSie,dafLo8fڧ=fhist. )b)7x src:830kap5.4BestimmenUUSieKernundBildvonf.ZeigenSie:R2C=Ke(f)8Bi T(f)*#2c)7x src:832kap5.4ZeichnenƕSieƖKe{(f)undBi (f)ƖineinKoGordinatenkreuzein.Beschrei-7xbGenUUSieanhanddiesesBildesdieAbbildungf.)d)7x src:835kap5.4EntscheidenUUSie,obfhbijektivist.10.% src:838kap5.4Seii^VAeinendlichdimensionaleri]V*ektorraumundf :{V!`!^! ڵVAeinelineare%Abbildung.UUZeigenSie:)a)7x src:841kap5.4EsUUgeltend|0V2PKeV5(f)9WKe<(f^2)RѲKeR(f^3)-VK:::{GVV2KBi'(f)9 Bi(f^2)RH Bi$~(f^3)-VK:::Ǎ)b)7x src:848kap5.4W*enn; Ket(f^r1)F=Ke~(f^r7+14); gilt,;!danngiltauchKet(f^r1)F=FKe~(f^r7+iy )7xundUUBi 1(f^r1)=Bi (f^r7+iy )UUfGourallei>0.eӠOō>;L5.5DieTdarstellendeMatrix9177%ō>;*#2c)7x src:851kap5.4(Fitting-L}'emma:)^3EsgibteinnG>GƲ0,sodaV=Ke(f^n )lYBi H(f^n). 7x(Hinweis:Manzeige,daeseinn=rN"wieinT*eilb)gibt.Dannkqann7xman`Ke(f^n )@p\Bi (f^n)=0`bGeweisen`undmitDimensionsargumenten7xdieUUAussagezeigen.))d)7x src:856kap5.4(Fitting-Zerle}'gung:)fmistYdirekteYSummeeinesAutomorphismus7xfj:Biڭ:(fnP)ɲ:Bi (f^n )!QBi-(f^n)ܝundܜeinesnilp}'otentenEndomorphismus7x(einesUUEndomorphismusg.mitg[ٟ^r=0)fj:Ke v:(fnP):Ke(f^n )!/Ke(f^n ).11.% src:859kap5.4SeiUUfڧ:R^4C C! R^3Ȳdie(eindeutigbGestimmte)R-lineareAbbildungmit(d6Wf(0;1;2;3)ǡ=(3;5;2)6Wf(1;2;3;0)ǡ=(0;3;3)6Wf(2;3;0;1)ǡ=(1;1;0)6Wf(3;0;1;2)ǡ=(2;3;1):% src:867kap5.4BestimmenUUSieeineBasisvonKe:(f).12.% src:869kap5.4SeiVeinV*ektorraumundpt:V! VeinePro8jektion.ZeigenSie,da%esUUgenaueinePro8jektionq":V!V9gibt,sodagilt:9 pq"=q[p=0p8+q=id oV% src:873kap5.4DrGouckenUUSieKernundBildvonq.durchKernundBildvonpaus. 13.% src:876kap5.4Sei4cVmHeinendlichdimensionaler4dV*ektorraum.Esgibtgenaudanneinen%Homomorphismus$f:yV!+V mitKe (f)=Bi U(f),%wenn$dieDimension%vonUUV9geradeist.14.% src:880kap5.4SeixpVTeinV*ektorraumundv1|s;:::;vneinexoBasisvonV8.FGouri=1;:::;n%sei>fid:V!KdiejenigelineareAbbildung,>dieaufdergegebGenenBasis%durchOҵfiTL(vj6)=ij% src:885kap5.4bGestimmtUUist(vgl.Beispiel5.4.16).ZeigenSie:)a)7x src:887kap5.4FGourUUallev"2V9gilt:v=Pލ USn% USi=1tJfiTL(v[ٲ)vi)b)7x src:889kap5.4FGourUUallefڧ2V8^ :=Homq(V9;K)UUgilt:f=Pލ USn% USi=1tJf(viTL)fiꀲ15.% src:893kap5.4Sei>V!einendlichdimensionalerV*ektorraum.=ZeigenSie,daV8^ ebGenfalls%endlichdimensionalUUistunddieselbGeDimensionwieV9hat.16.% src:897kap5.4SeiKq۲einKoorpGerundV=pK^(N]) .ZeigenSie,daesUntervektorroaume%U1|s,UUU2CV9gibtmitVT͍+3=2U1T͍+3=U2ȲundV=U1S8U2|s.'5.5**DiedarstellendeMatrix src:4kap5.5BesonderseinfachlassensichHomomorphismenfڧ:V!Wdarstellen,wenndieVV*ektorroaumeVI;undWsinderFormKn ղgegebGensind.Dazude nierenwir7zunoachsteineMultiplikqationvon8Matrizen(zurDe nitionvgl.Abschnitt1).궟fff/f J:-=3 {HansTFitting(1906-1938)veOō>;1784`5.V:ektorrg3aume%ō>;De nitionT5.5.1fA src:11kap5.5SeienֵMeinemkkn-Matrixund׵NeinenkkrG-Matrix.Wir de nieren&.dasProGduktderbeiden&/MatrizenM=IundN,genanntMatrizen-pr}'odukt,UUalseinem8rG-MatrixUUdurch-#ʩH:MO8Nf^D=`PލN7n%N7jg=1#O ij Cظ8 jgkdervorherigenBemerkungh>miteinandermultiplizierenh>lassen.EsgeltenUUimeinzelnen:-qǍdXMO8(NPc)=(MON)PG; Ʋ(M1*)XMO8(N+Pc)=MON+MPG; Ʋ(M2*)X(MO+8N)P*=MPo+NPG; Ʋ(M3*)XMO8(N)=(8M)N3=(MON); Ʋ(M4*)XEm {8M3=M=MO8EnӲfGourGM2K^nm: Ʋ(M5*)BeispielT5.5.2[ src:59kap5.5MitҩdiesenHilfsmittelnkoonnenwirҨjetztdasbGekqannteBei-qҍspielFderlinearenAbbildungGfP:=TVv8v6!WղmitfZ70 7@ gx ( CZ&1 &A #Բ:=^ g Dp ^auchanders%bGeschreiben.UUFourZ0 @   Z1 A D2R3Ȳgiltnoamlich/c1fZ70 7@ gx ( CZ&1 &A=^ µ 4^L=^ 4160)80 4060)810x^:5Z80 8@ !  Z(1 (A ѵ:3Oō>;L5.5DieTdarstellendeMatrix9179%ō>; src:71kap5.5W*egen/!derobGen/ angegebenen/!Rechenregeln(M3)und(M4)folgtdirekt,da die;1804`5.V:ektorrg3aume%ō>;" src:125kap5.5DiesesErgebniswerdenwirspoatervielverwenden.ManbGeachtejedoch, da^edasErgebnisnurfGourV*ektorroaumeder^dFormKngilt,nicht^eabGerfourandereV*ektorroaume,.Fz.B.Untervektorroaume.FvonKnq~..GAusderF*olgerungergibtsichweiter,!da derRangvonx䍑ͫcM`mitderDimensiondesvondenSpaltenvekto-renvonMaufgespanntenUntervektorraumesMoubGereinstimmt.Wirde nierendaherU9De nitionT5.5.5fA src:134kap5.5Der^Sp}'altenrangC9rgQr(M)einer_MatrixMyistdieDimensiondesUUvondenSpaltenvektorenvonMlpaufgespanntenUntervektorraumes." src:139kap5.5DerKZeilenr}'angeinerMatrixMfistLdieDimensiondesvondenZeilenvek-torenUUvonMlpaufgespanntenUntervektorraumes.U:" src:145kap5.5InZLemma5.4.2[habGenwirgezeigt,dadieV*erknGoupfungzweierlinea-rerMAbbildungenwiedereinelineareMAbbildungergibt.FGourV*ektorroaumederF*ormUUKnӲerhaltenwirdenfolgendenZusammenhang.F olgerungT5.5.6eG src:151kap5.5Seienõfl:ܵKr k~ !Km e^undĵgY:Km wڳ!ؐKn >Bzweiline}'areAbbildungeny{mitdeny|darstellendenMatrizenMbzw.N.DannistNpMdiedarstellendeMatrixderline}'arenAbbildungg[fڧ:Kr4 x!@Knq~,d.h.esgilt`x䍒fyb@Nx䍒"c>Mz=x䍑 dNO8M:_ src:156kap5.5Weiterhin hat dieidentischeAbbildungid z:Kn8 |!CKndiedarstellendeMatrix궵Enq~.!lBeweis.: src:161kap5.5W*enn|zf=x䍑CcUMOzundgd.=x䍑bVNβgelten,so|{giltfGourjedenVektorX0Bfi@u71... #mXg1gCfigA'R2+궵Km UdieEGleichungEg[fX707Bfi7@1... (mX$1$Cfi$A&S==N0ĸ(MX0Bfi@g1... SmX'1'Cfi'A"瘲)=(N0ĸM)X0Bfi@f1... RmX'1'Cfi'A&-Qwegen (M1).}Das}istdieersteBehauptung.DiezweiteBehauptungfolgtdurch(M5)._De nitionT5.5.7fA src:173kap5.5WirnenneneineMatrixM 4:invertierb}'aroGder reguloar,wennƷesƶMatrizenNѲundN^0 gibtmitM2N3=Em _QundN^0M=Enq~.ƶNҲ(bzw.궵N^0T)B[heitdannauchinverseMatrixzuM.IsteineB\Matrixnichtreguloar,soheitUUsieauchsinguloar.U:" src:184kap5.5Esistleichtzusehen,dadieinverseMatrixzuMeindeutigbGestimmtist,denngiltN^0mM=En 'undMlN=Em,sofolgtN^0K=N^0lEm R=궵N^0<MN3=EnBfN=N.XWirWwerdendaherdieseeindeutigbGestimmteinverseMatrix)zuM@auchmitM^1obGezeichnen.AufMethoGden)derBerechnungvoninversenMatrizenwerdenwirimnoachstenKapiteleingehen.W*egenderobGendargestellten[Zusammenhoange[zwischenlinearenAbbildungenundMatrizenfolgtUUnununmittelbar.F olgerungT5.5.8eG src:195kap5.5F֞oureineinvertierb}'areMatrixMgiltҍd.Mr1=(x䍑:cM ʪ)^1 t.)Oō>;L5.5DieTdarstellendeMatrix9181%ō>;BeispieleT5.5.9e㧲1.r src:201kap5.5DieneueingefGouhrtenBegri esollennunaneinigenBei- %spielenPFerloautertPEwerden.ZunoachstbGetrachtenwirPEdielineareAbbildungqҍ%f=x䍑>cMҩ:R2s q!qR3mit{M=Z0 @n1n0n0n1n0n0Z$S1 $SA.:Dannzgiltf7^ S1 S2Lo^!=Z0 @n1n2\0Zī1 A!Ų.%DieselineareAbbildungistinjektiv,abGernichtsurjektiv.SiebGettetdie%(1|s;2)-EbGeneUUindenR3Ȳein. 2.% src:213kap5.5DielineareAbbildungfƋ=x䍑cM`mitM=Z0 @111ZN1 NA!k-bildetdiereelleGerade%RaufdieRaumdiagonaledesR30ab.SieistebGenfallsinjektivundnicht%surjektiv.q΍3.% src:218kap5.5DielineareAbbildungf߄=x䍑cMxmitM=^ 10*0 01*01}^< pro8jiziertdenR3%aufdie(1|s;2)-EbGene(,diewirunswohlindenR3!eingebGettetvorstellen%koonnen,dieabGergenaugenommenderR2 ]ist).Sieistsurjektiv,abGer%nichtUUinjektiv.4.% src:226kap5.5V*erwendenwirM>6='(1=3;1=3;1=3);soerhaltenwireinePro8jektiondes%R3 CaufdieGeradeR.Sieistsurjektiv,abGernichtinjektiv.Dieselineare%AbbildungergibteinePro8jektionaufdieRaumdiagonale,wennwirnoGch%die obGenbesprochene AbbildungmitN3=Z0 @ 11 11 11Zj1 jAnachschalten. Diekom-'%pGoniertelineareAbbildungx䍑zdNO8M NloatdieElementederRaumdiagonalen%fest.UUDiedarstellendeMatrixistpNO8M3=Z0 @ 11=3&11=3?11=3 11=3&11=3?11=3 11=3&11=3?11=3ZOt1 OtAZG:8% src:238kap5.5DamitBYhabGenwireinelineareAbbildung,diewederinjektivnochsurjektiv%ist.5.% src:241kap5.5EinBeispielfGoureinebijektivelineareAbbildungistdieDrehungder%EbGeneUUR2Ȳum30^9mitderMatrixgkbεM3=^ 41=28Pp 7PfeE3?1=2O1=29\m1=28Pp 7PfeE3^M^gi:gu% src:247kap5.5Durch1siewirdderBasisvektor^ 81 80㖟^q۲inderx1|s-RichtungaufdenV*ek-%tor`^ |1=28Pp 7PfeE3;1=23-\^?w0abgebildet,`d.h.um30^ Dnachlinksgedreht,undder%Basisvektor^ 0 1Ȼ^<&inderx2|s-RichtungaufdenV*ektor^1=2 1=28Pp 7PfeE32V^9g.Dieqύ%Drehung'ist(alsoeineLinksdrehung.ImmathematischenSinnwirdeine%DrehungV^immerV]nachlinksV]gerechnet,woahrendV]imtechnischenV]Sinneine%DrehungUUimmernachrechtsgerechnetwird.ߠOō>;1824`5.V:ektorrg3aume%ō>;" src:261kap5.5WirhattenobGenschonbGemerkt,dalineareAbbildungensichnurdann durchMultiplikqationmitMatrizendarstellenlassen,wennderV*ektorraumvon8der8F*ormKn ist.FGourV*ektorroaumevonandererForm,8z.B.Untervek-torroaume#von#еKnq~,V*ektorroaumederF*ormHom(V9;Wc)oGderK^nm khabenwirjedoGchYdinYcSatz5.4.6eingutesHilfsmittelzurBeschreibungvonYclinearenAbbil-dungen,T8dasT7sogarauchzueinerBeschreibungmitHilfevonT7MatrizenfGouhrt.WirwerdenindenfolgendenBetrachtungenBasenimmermitIndexmen-genderF*ormf1;:::;ngindizieren,damiteinegewisseReihenfolgebGeidenBasisvektoren,denMatrixeintroagenundderSummationfestgelegtist.WirnennenxeinewF*amilie(biTLji=1;:::;n)vonxV*ektorenineinemV*ektorraumV궲eine'Basisfamilie,'wenndieMengefbiTLji=1;:::;ngeine'BasisvonV`istunddieUUV*ektorenmitverschiedenenUUIndizespaarweiseverschiedensind.^ߍDe nitionTundLemma5.5.10Ȼ src:280kap5.5Seien"VundWzweiV;ektorroaumemitdenBasisfamilien:(b1|s;:::;bm)von:Vsund(c1;:::;cnq~)von:Wc.SeigQ:ȵV.r!hWeinepline}'areoAbbildung.DannistgHdurchdieV;orgabederoWerteg[ٲ(biTL)2W;i=1;:::;mr5schonr6eindeutigb}'estimmt.DieBildvektorenr6habeneineeindeutigeBasisdarstellunguXcg[ٲ(bj6)=>n X tմi=1㉵ ij Cظ8ciTL:L` (D2 9)S src:288kap5.5Also#ist#dur}'chgieinenDDm-MatrixM3=( ij )b}'estimmt.DieMatrixM:heit궲darstellendeMatrix derline}'arenAbbildungg;L5.5DieTdarstellendeMatrix9183%ō>;" src:330kap5.5Wir9bGetrachten:einenSpGezialfalldesvorhergehendenLemmas.SeifxͲ:e?U 궸!$BlV~eineEbijektiveElineareAbbildung.SeiUnҲ=WWc.WirwoahlendieselbGenBasisfamilienp(biTL)undp(di).SeigP=ϵf^1 .DannpergibtdieZusammensetzung궵g[f߲derQbGeidenPAbbildungendieidentischeQAbbildungid $:U~!;U.FGourdiesegilt%abGer&id *}(biTL)=PijCz8bj Ѳmit&demKroneckerSymbGol(ij ).&DiedarstellendeMatrix="istalsodieEinheitsmatrixEnq~.WirerhaltendaherfGourdasMatrizen-proGdukt+( ij )wn( jgk<)c{=c|En $undsymmetrisch( jgk)wn( ij )c{=c|Enq~.*DieMatrix( ij ):ist:damitinvertierbar.:O enbarlassen:sichdieseSchlGousse:auchumkeh-ren.UUWirhabGengezeigt:*F olgerungT5.5.12kE src:346kap5.5Wir}'d&dielineareAbbildungfڧ:VD8! QWHdurchdieMatrix궲( ij )"(b}'ez֞ouglichzweierbeliebigerBasisfamilien!vonVbeziehungsweiseWc)dar}'gestellt,IsoHistfgenaudannbijektiv,wenndieMatrix( ij )invertierb}'arist.:+F olgerungT5.5.13kE src:354kap5.5Einer}'eguloareMatrixM2K^nm -istquadratisch,d.h.esgiltm=n.GBeweis.: src:359kap5.5Nachf5.4.12istx䍑ceMQueinelineareAbbildungzwischenedenRoaumenKm궲undUUKnӲgleicherDimension,alsom=n.FF olgerungT5.5.14kE src:365kap5.5Eine96Matrix95istgenaudannr}'eguloaroder96invertierbar,wennsiequadr}'atischistundihrRangmitihrerZeilenzahloubereinstimmt.Beweis.: src:370kap5.5IsteineMatrixMreguloar,sofolgtdieBehauptungnach5.4.12.Ists dies MatrixM&quadratischundstimmenRangundZeilenzahl'oubGerein,soverschwindetderKernderlinearenAbbildungx䍑0cMpnach5.4.13.W*eiterstimmen|IdieDimensionenvonQuelleund|HZielderAbbildungx䍑cM Yo;1844`5.V:ektorrg3aume%ō>;" src:408kap5.5WirbGetrachtenjetzteinenV*ektorraumV ԲmitzweiBasisfamilien (b1|s;:::;bnq~)und(c1;:::;cnq~).DasichjederV*ektoreindeutigalsLinearkombi-nationS.derBasiselementeS/schreibGenS.loat,gibteseindeutigbGestimmteKoe-zientenUU ij `Mmitbid=Pލ USn% USjg=1V ij cj6.)ɍDe nitionT5.5.16l src:416kap5.5FGour Sden SV*ektorraumV seienzweiBasisfamilien(b1|s;:::;bnq~)UUund(c1;:::;cnq~)gegebGenmitፍסbjIJ=>n X tմi=1㉵ ij ciLe(D3 )<Í src:419kap5.5DietMatrixT*=( ij )uheitT;r}'ansformationsmatrix5Bf֞our5AdieBasistransforma-tionvon(biTL)UUnach(ci)." src:426kap5.5Seiid /@(bj6)=bjIJ=Pލ USn% USi=1tJ ijMB ciTL:DabGeiseiendieKoezientendieselbenwieobGen8bestimmt.7NachF*olgerung75.5.12istdieseMatrixinvertierbar,da7dieidentischeUUAbbildunginvertierbarUUist.DarausfolgtLemmaT5.5.17_G src:432kap5.5Je}'deT;ransformationsmatrixf֞oureineBasistransformationistinvertierb}'ar." src:436kap5.5O enbarfistgauchjedegF*amilie(bj6jj=1;:::;n)vonV*ektorenmitbjF5=궟Pލxn%xi=1- ij Cظ8cieineUUBasis,wenndieMatrix( ij )invertierbarist. " src:442kap5.5Wir"leitenjetztnoGchdieT*ransformationsformelfourdieT*ransformationder"KoGezienteneinesV*ektorsbei!einerBasistransformationher.SeienwieobGenVeinV*ektorraummitzweiBasisfamilien(b1|s;:::;bnq~)und(c1;:::;cnq~).SeiZ'( ij )dieT*ransformationsmatrix.Z&SeischlielichZ'vK=$rPލn%jg=1  jjbj [= g$궟Pލxn%xi=1- i2ci,einbGeliebigerV*ektorinV8.Danngiltvр=uPލn%jg=1!9 j蒸bj S=y궟Pލxn%xjg=1.zH j%LPލ }n% }i=1~ ij ELcit='Pލbn%bi=1ϵ ij Cظ8 j6`f5$MciTL.fW*egenderEindeutig-q͍keitUUderBasisdarstellungerhaltenwiralsoe4 id=>n X tjg=1㉵ ij Cظ8 j6:Le(D4 ) " src:457kap5.5EsbGestehteinengerZusammenhangzwischendendarstellendenMatrizenvonUUHomomorphismenundKoGordinatensystemen.)ʍSatzT5.5.18O src:462kap5.5Seienh-VܮundSWYV;ektorroaumemitdenBasisfamilienh.Bղ=(bj6jj޴=L)1;:::;m)jbzw.CF=(ciTLji=1;:::;n).Seiof_:L*V I!sW;eineline}'a-r}'eb0Abbildung.DieMatrixtM3=( ij )istb1genaudanndarstellendeMatrixvon궵fvb}'ez֞ouglichderBasisfamilienXJBXundpC,wenndasDiagrammD qfVq(Wlߟ::fd"ά-ʮ&_fbqKmnKnlO32fdά- ~bzQM3#fefӟ?fChmC:#fem۟?ĴhmB Oō>;L5.5DieTdarstellendeMatrix9185%ō>; src:472kap5.5kommutiert.Beweis.: src:476kap5.5Sei*NB0=+( ij )die*darstellendeMatrixvonf.EsisthCڵf>=x䍑ec+MhB 궲genauUUdann,wennfGourjedenBasisvektorbjgilt`Zu( ij ji=1;:::;n)=hCڲ(&n X ti=1q ijciTL)=hCڵf(bj6)(PW=x䍑īcM hB (bj6)=m X k+B=1S ikܵk+Bj iT=( ij ji=1;:::;n);捑 src:483kap5.5genauUUdann,wennM3=N.SatzT5.5.19O src:487kap5.5SeienCB%=m(biTL)undiC$Ѳ=m(ci)BasisfamiliendesV;ektorr}'aumes궵V8.DieMatrixŵTistgenaudanndieT;r}'ansformationsmatrixf֞ourdieBasi-str}'ansformationevon*(biTL)nach(ciTL),wenndasDiagr}'ammderKoordinaten-systeme.RiKnaxKnFƞ32fd(-ά- ;ūbzQw1TRԍhmC\@\@X@XRpJVoVRahmB^^b0b0  src:497kap5.5kommutiert.Beweis.: src:501kap5.5IstTMdieT*ransformationsmatrix,sogiltbj=id N(bj6)=PލM1n%M1i=1l( ij ciTL.DamitUUkommutiertdasDiagrammEqfVq_Vlߟ::fd#ά-x9iduKnnKnRݞ32fd.ά- HbzQT3#fefӟ?fChmC:#fem۟?ĴhmB src:510kap5.5undwdamitauchdasDiagrammimSatz.vEsistklar,daauchdieUmkehrunggilt." src:514kap5.5HierausergibtsichnundiewichtigeF*ormelמoubGerdiefAnderungderdar-stellendenUUMatrixbGeiKoordinatentransformationen.SatzT5.5.20O src:518kap5.5Seien.vVeinjV;ektorr}'aummitdenjBasisfamilienBˆ=K(bj6jjݠ=1;:::;m)mund#Bq^0 D=(b^0;Zj6jjO%=1;:::;m)lund#W~einmV;ektorr}'aummitdenBa-sisfamilien@*C"B=k'(ciTLjik&=1;:::;n){undPC^0{=(c^0;Zijik'=1;:::;n).{Seien@*STdieT;r}'ansformationsmatrixDf֞ourDdieBasistransformationvon 5BBnach 4Bq^0|undMZTdieT;r}'ansformationsmatrixf֞ourdieBasistransformationvon]CnachC^0U.Sei궵fڧ:VD8! QWdIeineline}'areAbbildungmitderdarstellendenMatrix4Mb}'ez֞ouglichderNBasisfamilienBlund׵C.DannMist&TcMS^1;1864`5.V:ektorrg3aume%ō>;Beweis.: src:532kap5.5DasUUDiagramm=3pJkmƵVpJfVvs8҄fd#ά-AidpJpJlߟ8҄fd"ά-Ԭ_fpJ(WpJ W 8҄fd!.ά- 1idgiyKmbqKmzsW32fdά- bzQ"Sar1lO32fdά- ~bzQMnKngKnK՞32fd.ά- AbzQ|ToAXfeot?텧^'YhóB;ǟ0:Xfem۟?RmKhmB3Xfefӟ?RhmC,Xfe_˟?텧 _;hóCW0΍ src:549kap5.5kommutiert. DieuntereGesamtabbildungistdabGei8q?d1ȍ(TcMSr1 P)/I.Nach5.5.18 istUUdannTcMS^1VdiedarstellendeMatrixfGourf." src:554kap5.5Eine!weitere"OpGeration,dieaufMatrizenausgeGoubtwerdenkqann,istdieT;r}'ansposition.{IstzM3=( ij )einem-.n-Matrix,soistM^tc:=( k+Bl}X)mit k+Bl Dp:=궵 l `k Ѳmitzkd=1;:::;nyundlF_=1;:::;myeinenWWm-Matrix,dieT;r}'ansponierte궲oGderUUtr}'ansponierteMatrixvonMlpgenanntwird." src:565kap5.5ManstellesichdieseOpGerationsovor,dadasKoGezientenschemaanderCDiagonalen 11x;:::; ii(;:::ܲgespiegeltCwird,d.h.CdadieT*ermelinksun-terhalbdieserDiagonalenrechtsobGerhalbderDiagonalenzustehenkommenundNumgekehrt,MinsbGesondere,dadieDiagonalefestbleibt.DieT*ranspGonier-teUUzurMatrix M3=Z0 @ 1112 1314 1516Z"l1 "lAqҍ src:576kap5.5wirdUUalsoMtc=^ 4163)85 4264)860x^9:qύ src:580kap5.5Dieseo[OpGerationkqanndaheroZauchaufnichtquadratischeMatrizenangewendetwerden.UUDamitwerdenausZeilenvektorenSpaltenvektorenundumgekehrt." src:585kap5.5Mandsiehtnunleichtein,edadieT*ranspGositioneinHomomorphismuszwischenUUV*ektorroaumenvonMatrizenist,allgemeinerda!qǍd}( zMO+8 N)^tLn= M^tQ+8 N^tq;}(M^tq)^tLn=M;}(MO8N)^tLn=N^tQM^t src:592kap5.5gelten.w'VUbungenT5.5.21l1.yV src:597kap5.5ZeigenrSieqdiefolgendenRechenregelnfGourdieMatri-%zenmultiplikqation:)a)7x src:600kap5.5FGourUUM32K^nm,N2K^knundP*2K1ɍpvkògilt:(MO8N)P*=MO(NPc))b)7x src:602kap5.5FGourkMv2[K^nm,N2[K^nm LundkPO2\K^kn \gilt:(M^+GǵN)GȸP=[(M^GǵPc)+7x(NO8Pc)*#2c)7x src:604kap5.5FGourrM2ѵK^nm,N2ѵK^kn >undP[`2ҵK^kn =gilt:McyL](Ncx+L^Pc)=(ML^N)L]+7x(MO8Pc)Oō>;L5.5DieTdarstellendeMatrix9187%ō>;)d)7x src:606kap5.5FGour M2K^nm,N2K^kn und2K&gilt:(M)N=Mɸ(N)= 7x(MO8N)*#2e)7x src:609kap5.5FGourUUM32K^nm gilt:Em {8M=MOEn8=Mꁲ2.% src:613kap5.5SeiOV2dervonNdenF*unktionensin#m(x)undcos?(x)erzeugteUntervektor-%raumbdesV*ektorraumesR^RUM=Abbc(R;R).BestimmenSieeinedarstellen-%deUUMatrixderlinearenAbbildungj<$d= wfe 뎟 (֍dx":V!V9:Ѝꁲ3.% src:619kap5.5Seii^VAeinendlichdimensionaleri]V*ektorraumundf :{V!`!^! ڵVAeinelineare%AbbildungUUmitfLo8fڧ=id oV8.ImGrundkoorpGerK qsei1+16=0.)a)7x src:623kap5.5SeiFV+ j:=fv"2Vjf(v[ٲ)=vgFundV :=fv"2Vjf(v)=vg.FZeigen7xSie:V=V+'V.(Hinweis:ErkloarenSie,wodieV*oraussetzung̞oubGer7xdenUUGrundkoorpGereingeht.))b)7x src:627kap5.5ZeigenSie,daeseineBasisvonVٯgibt,fGourdiediedarstellende7xMatrixzvonflaufzderDiagonalennurdieEintroage1zund1und7xauerhalbUUderDiagonalennurdenEintrag0hat.4.% src:633kap5.5Sei UM3=Z0 @dꨲ0 2,W11810x0 1 00x1Z:v1 :vAqҍ% src:637kap5.5Berechnen!mSiemitHilfeder!lT*ransformationsformelausSatz5.5.20die%darstellendeUUMatrixvonx䍑cMuTbGezouglichUUderBasis!qҍg>v1C=Z0 @dꨲ1 10ZN81 N8A/v2=Z0 @dꨲ01 1ZN81 N8Av2=Z0 @d 1 1 1Z1 A!c% src:644kap5.5vonUUQ3|s.5.% src:646kap5.5Betrachten:sSie:rdieBasis(1;1;0);(1;0;1);(1;1;1):sdesV*ektorraumes%Q^3|s.)BestimmenSiedie(T*ransformationsmatrixdesBasiswechsels)vondie-%ser{Basisaufdiekqanonische{BasisunddieT*ransformationsmatrixdes%Basiswechsels0vonderkqanonischenBasis0aufdieseBasis.ZeigenSie,da%bGeideUUT*ransformationsmatrizenzueinanderinversUUsind.6.% src:654kap5.5Seienv1|s;:::;vn /undw1;:::;wn /BasendesV*ektorraumesV8.T@seidie%T*ransformationsmatrix Tdes SBasiswechselsvon(viTL)nach S(wiTL).ZeigenSie,%daŵTc^1ɲdieT*ransformationsmatrixdesBasiswechselsvon(wiTL)nach(viTL)%ist.7.% src:660kap5.5SeientFb1C=(0;1;1),tGb2=(1;0;1),tFb3=(1;1;0),tGc1=(2;1;1),tFc2=(1;2;1)%undǵc3=d(1;1;2).BestimmenSiedieT*ransformationsmatrixSGSvonder%Basis(biTL)aufdieBasis(ci)vonR^3yunddieT*ransformationsmatrixvon%derUUBasis(ciTL)aufdieBasis(bi).8.% src:667kap5.5Seiеv1|s;:::;vn 4NeineBasisdesV*ektorraumesV8.SeiT=}( ij )}2K^nn jeine%invertierbareUUMatrix.FGourjY=1;:::;nsetze"$Oō>;1884`5.V:ektorrg3aume%ō̍wjIJ:=>n X tմi=1㉵ ij vi(% src:671kap5.5ZeigenUUSie,daw1|s;:::;wnӲebGenfallseineBasisvonV9ist. 9.% src:674kap5.5EntscheidenUUSie,obdiefolgendeAussagerichtigUUist(ja/nein).%SeiNA2K^nm ~undMBG2K^mnO.EsgelteABG=Em.DannMgiltauchBqA=Enq~.10.% src:679kap5.5Seik:$V=8 >< >:X 0 Bfi @Hw#x]yszX `ͫ1 `Cfi `A+2R4|s |s |s |s |s |s |s Fw}ò+8x+y+z7=09 >= >;!~k% src:683kap5.5undUUseifڧ:V!V9derdurch$.i׵fX707Bfi7@ (w#x>5yT"zXA*1A*CfiA*A!C=X0Bfi@ 11'p1>1Q!0P1#1>1Q!0P1'p1:1Q!0P0'p0>0Q!1XX1ʫ1X1CfiX1Ac*X808Bfi8@ w ~x y zXӫ1CfiA$-% src:687kap5.5de nierteSHomomorphismus.RBestimmenSiediedarstellendeMatrixvon%fhbGezouglichUUderBasisvonVX0Bfi@@1뱸1@0@0X]x1]xCfi]xA!;X0Bfi@01 Q10X1CfiA$;X0Bfi@001 Q1X1CfiA:5ٍ5.6**Restklassenraume,aneRaume; src:4kap5.6DadieV*ektorraumstruktureinealgebraischeGrundstrukturist,kqannmanwie]in^Kapitel3Abschnitt4KongruenzrelationenundRestklassenstudieren.Wieuin3.4nennenvwireineufAquivqalenzrelationRGi3V.dKVYeineKongruenz-relation|fGourdenV*ektorraumV8,wenn|ReinUntervektorraumvonV6ٸV궲ist.cW*ennR*einebKongruenzrelationfGourVGist,danngiltwiederdieAussagevon3.4.5,daVq=RgenaueineStruktureinesV*ektorraumestroagt,sodadieRestklassenabbildungUUj:V!Vq=RieinelineareAbbildungist. SatzT5.6.1I src:17kap5.6DieL Zuor}'dnung,L diejedemL UntervektorraummU3VdieKongru-enzr}'elationXJRU yոVqĸ8Vmitjgm?RU yղ:=f(v[;wD)2Vqĸ8V8jvw 2Ugjf src:20kap5.6zuor}'dnet,Wistbijektiv.DieWUmkehrabbildungordnetjederKongruenzrelation궵R߸Vqĸ8VdenUntervektorr}'aumlUR Vz:=fv8wDj(v[;w)2RǸg src:23kap5.6zu.3Oō>;-35.6Restklassenrg3aume,TaneRg3aume9189%ō>;Beweis.: src:27kap5.6DaXjederWV*ektorraumaucheine(abGelsche)GruppeXist,istRU ݁ 궵V;VeUntergruppGe.Four2KCund(v[;wD)2RU ?>ist(v[;wD)=(v;wD)2RU,denn}3vww =(vxwD)2U.DamitistRU /tatsoachlicheineKongruenzrelati-on.RPgegebGen,soistwiederumUSZwiein3.5.3eineUntergruppGe.Four;1904`5.V:ektorrg3aume%ō>;궲wirschonbGeiderDiskussionvondirektenKomplementengesehenhabGen.Bei RingenistdieseAussagez.B.falsch.KeinerderRingeZ=nZmitnb>1istzu&einem&Unterringvon&Zisomorph,weilinZkeinElement&deradditivenOrdnungnexistiert,d.h.esgibtkeinElementx2Z,x6=0,mitnx=0,wasabGerinZ=nZz.B.fGourdieEinsgilt.Mansolltedahervermeiden,Vq=U궲mitirgendeinemUntervektorraumvonV.kzuidenti zierenoGdersichauchnureineUUsolcheIdenti zierungvorzustellen. Ս" src:113kap5.6MitdenElementenvonVq=UkqannmanjedoGchinsehrnatGourlicherW*eiseeineQandereV*orstellungverbinden.EinsolchesElement,einanerRaum,hat|dieF*orm|v =v+SU=fv+uju2Ug.|Erentsteht|also|durch">V*erschie-bungL\deslUntervektorraumesUвumdenV*ektorv2V8.DadieElementevonĵVq=U޲einePartitionbilden,werdensichzweisolcheanenUnterroaumemit5)demselbGen5(ULDnichtschneiden5)(esseidenn,siestimmen|EoubGerein).ManbGetrachtet`siedann`auchalsparalleleaneUnterroaume.W*eiteroubGerdeckensiedengesamtenV*ektorraumV8,wegenV=S ofvi]+ Ujv"2V8g.DamitistVq=U궲einhinteressantesweitereshBeispielfGoureinenV*ektorraum,noamlichdieMengederDzuEU_inV)parallelenanenUnterroaumemitT*ranslationsraumU.DasistUUdaheraucheinGrundfGourdiefolgendeDe nition.XDe nitionT5.6.5fA src:130kap5.6Sei Am=v+HU:einanerUnterraumvonV%mitdemT*ranslationsraumY\U.Y[DannistdieDimensiondim (A)vonAde niertalsdieDimensionUUvonU.X" src:135kap5.6EigentlichmGoutemanhierzunoachstzeigen,daU욲durchAeindeutigbGestimmtUUist.MansiehtabGerleichtU3=fv8wDjv[;w 2Ag." src:140kap5.6W*ennmaneinenVektorineinemanenUnterraumv[ٟ^0*2vA+tgU3=:Ahat,soLakqannL`manzudiesemV*ektorbGeliebigeV*ektorenu2Uc|addieren,ohneLadengegebGenenJanenJUnterraumAzuverlassen,Jdennzuv[ٟ^0texistierteinu^0Q2U궲mitﱵv[ٟ^0l=[v+ȵu^09.FGouruZ2U̲giltdannv[ٟ^0ڲ+ǵu=Zv+(u^0n+u)2Zv+ȵUv=A.DamitUUhateineOpGeration,dieT;r}'anslationsoperation yrõA8U33(v[ٟ0*;u)7!v[ٟ0b+8u2A: src:149kap5.6DieUUV*ektorenausUlpverschiebGenUUalsoA㏲"insichL\8.XSatzT5.6.6I src:152kap5.6Sei]ff:׵V !ϵWeineline}'areAbbildungundsei]U:=Ke(f). Wenndf^1 (wD) 6=;,dannistkA :=f^1(wD)einanerUnterr}'aumvondVwmitT;r}'anslationsraumXJU. Beweis.: src:158kap5.6folgtUUunmittelbaraus5.4.9.w'VUbungenT5.6.7fϽ1.s src:164kap5.6SeiUUV=R^4Ȳund oKU3=h(7191#;02=0 98)>;(8181-1<1 B)F;i:)a)7x src:167kap5.6BestimmenUUSieeineBasisfGourVq=U.VoOō>;-35.6Restklassenrg3aume,TaneRg3aume9191%ō>;)b)7x src:168kap5.6BestimmenUUSieeindirektesKomplementU^0:zuU. *#2c)7x src:169kap5.6BestimmenzSieeinedarstellendeMatrixyfGourdenIsomorphismusU^07x9x!F?V!Vq=U.2.% src:173kap5.6Sei6U3:=Spanq((1;1;0;0);(0;0;1;1))Q^4|s.BestimmenSieeineBasisvon%Q^4|s=U.3.% src:176kap5.6SeiV߲einV*ektorraum.U1AoundU2seienzweiUntervektorroaumevonV8.%ZeigenUUSie,dadieAbbildungpYU1|s=(U1S\8U2)!/(U1+8U2)=U2; #v }7!(v% src:180kap5.6einUUIsomorphismusist.(1.Isomorphiesatz) 4.% src:183kap5.6SeienUUx;y[;z72R^5Ȳlinearunabhoangig.ZeigenSie,daujA:=f zx8+ y+ 8zpj BZ+ + UP=1g% src:187kap5.6einvanerUnterraumvonR^5uistundbGestimmenSiedenT*ranslations-%raumUUUlpzuA.W*elcheDimensionhatA?gSOō>;%ŎmOō>;%ō>;6.%NMatrizenffundlineareGleichungssystemex src:2kap6.1Eine—derschoonstenAnwendungender–TheoriederlinearenAbbildungenist dieTheoriederlinearenGleichungssysteme.IsteinemVWn-MatrixM%undein3V*ektor4b"22"3Km WβgegebGen,somoochte3mangernalleV*ektorenx"32"2Kn궲bGestimmen,UUdiedieGleichung`?MO8x=ba src:8kap6.1oGderUUinKomponentenschreibweiseUUdielinearenGleichungen!zxp 11 Ƹ81H6+:::+ҵ 1n Ѹ8n{+=% 1ԍR.R.R.<.<.<.].].].vߵ m1 81H6+:::++ mn8n{+=𗞵 mLB%(6:1)! src:17kap6.1erfGoullen.&Wir&werdensehen,daeinengerZusammenhangmitderMatrizen-rechnung9bGesteht.8Auerdemliefertunsdiebisherentwickelte8TheorieschooneMethoGdenUUzumAundenderLoosungenlinearerGleichungssysteme.${6.1**LineareGleichungssysteme src:24kap6.1WirbGefassenunsindiesemerstenAbschnittmitdentheoretischenGrundla-genGderGlinearenGleichungssysteme.GInsbGesonderemachenwirweitreichendeabstrakteܩAussagen#ǞoܪubGermooglicheLoosungen.ErstimnoachstenAbschnittܩge-bGenȕwirMethodenzurBerechnungȕvonȔLoosungenan.Wirwissendannschon,waswiranLoosungenzuerwartenhabGenundwelcheEigenschaftensiehabGenwerden.De nitionT6.1.1fA src:27kap6.1Eine[Gleichung[(6.1)mitbGekqanntenGrooen ij f und k궲und UnbGekqannten!i!lnenntman einline}'aresGleichungssystem^fGour dieiTL.DieMenge\ظfx2Knq~jMO8x=bg src:33kap6.1heitUULoosungsmengedeslinearenGleichungssystems." src:37kap6.1Wire3wissen,e4dadieMultiplikqationvonlinksmiteinerMatrixM|Neineli-neareAbbildungvonKn9nachKm Uist.Daherkoonnenwiralleimvorhergehen-denKapitelerworbGenenKenntnisseauflineareGleichungssystemeanwenden.BezeichnenUUwirwieimvorhergehendenKapitelfڧ=x䍑īcM ²,soistmZOō>;1944`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;x߃f1 (b)=fx2KmOjMO8x=bg src:44kap6.1dieUULoosungsmengedeslinearenGleichungssystems.De nitionT6.1.2fA src:47kap6.1DasSlineareGleichungssystemSM޵x=bheithomo}'gen, wennUUb=0gilt,sonstheitesinhomo}'gen." src:53kap6.1EinxersterwichtigerxSatzoubGeryLoosungenvonlinearenGleichungssystemenergibtUUsichunmittelbarauseinigenschonbGewiesenenBehauptungen.SatzT6.1.3I src:58kap6.1DieHLoosungsmengeLeinesline}'arenHGleichungssystemshM˭x=bisteinanerUnterr}'aumvonT~Knq~.Istb=0,soistdieLoosungsmengePvUdesOhomo}'genenGleichungssystemseinUntervektorraumO vonKnq~.IstAx0˒eineLoosungdesinhomo}'genenGleichungssystemsMoXxA=@bund"UִderLoosungs-r}'aumdeshomogenenGleichungssystemsMxagx,i=0,sogiltf֞ourdieLoosungs-mengedesinhomo}'genenGleichungssystemsfL=x0S+8U.Beweis.: src:71kap6.1Nach`Satz5.6.6`istLA=f^1 (b)@=x0+@Keyo(f)ein`anerUnterraumvonUUKnq~,dennU3=fx2KnjMO8x=0g=Ke(f)." src:76kap6.1EshgiltauchhdieUmkehrungdesvorstehendenSatzes.hMankqannsogarallgemeinaneUnterroaumemitHilfevonlinearenGleichungssystemenbGe-schreibGen.SatzT6.1.4I src:81kap6.1Sei:]BG=x0"+kULein5aner5Unterr}'aumdesKnq~.Danngibteseinline}'aresGleichungssystem,dessenLoosungsmengeTBBXist.Beweis.: src:87kap6.1ManwoahleeinelineareAbbildungf :{Kn C C!rKm _mitKe.(f)z=U 궲und fU=x䍑|cAM . Dasistimmermooglich,wennmj+jdim(U)AAnist. DenndannkqannmaneineBasisvonU':zueinerBasisvonKn verloangern,diedim(U)Basisvektoren#von#U;aufNullinKm abbildenunddierestlichenn*dim(U)Basisvektoren@Haufeineentsprechende@GAnzahlverschiedenerBasisvektorenvon궵Km Qabbilden.Damitwirdnach5.4.61.einelineareAbbildungfڧ:Kn8 8!Km궲mitKe(f)U+undeinem(ndim5`(U))-dimensionalenBildraumde niert.W*egenLdesDimensionssatzes5.4.10muLdannsogarKe(f)=Ucgelten.LWeitersetzeUUmanb:=f(x0|s).UUDannistBƲdieLoosungsmengevonMO8x=b." src:102kap6.1Dieon-MatrixXundMU+>xT=TbYeinline}'aresGlei-chungssystem,dasmindestenseineLoosungb}'esitzt.DannistdieDimensiondesLoosungsr}'aumesfn8rg G(M).Beweis.: src:114kap6.1folgtUUausdemDimensionssatz5.4.10:Ke:(x䍑:cM ʪ)8+rg G(M)=n.xʠOō>;Vg6.1LineareTGleic9hungssysteme9195%ō>;" src:118kap6.1MitHilfedesRangesvonMatrizenkoonnenwirnungenauangebGen,unter welchenTBedingungenUeinlinearesGleichungssystemTLoosungenbGesitztundwannUULoosungeneindeutigbGestimmtsind.SatzT6.1.6I src:124kap6.1Sei!lMx=beinline}'aresGleichungssystemmiteiner0mn-Matrix.Danngelten:1.% src:127kap6.1DasGleichungssystemistgenaudannloosb}'ar,wenngiltrg(M;b)Jk=%rg.(M).2.% src:129kap6.1Das'Gleichungssystemistgenaudann&f֞ouralleb6 2Km iloosb}'ar,'wenngilt%rg.(M)=m.3.% src:131kap6.1Ist6@das6AGleichungssystemloosb}'ar,soistdieLoosunggenaudanneindeutig,%wenngiltrg (M)=n.Beweis.: src:137kap6.11.DieMatrix(M;b)entstehtausderMatrixM dadurch,daderV*ektor50b51alsSpaltenvektorzur50MatrixMLKrechtshinzugefGougt50wird.DerRangvon-(M;b)-istdieDimensiondesdurchbundalleSpaltenvektorenvon-̵M궲aufgespannten.LUntervektorraumes.MvonKm..MDieserUntervektorraum.Menthoaltden{[lediglichvondenSpaltenvektorenvonMvaufgespanntenUntervektor-raum.DiesebGeidenUntervektorroaumehabengleicheDimensiongenaudann,wennbԵbbղlinearabhoangigvonbdenSpaltenvektorenvonbյMyist.GenaudannistabGer(das)Gleichungssystemloosbar,)denndiegesuchtenW*erte)fGour1|s;:::;m궲sindVdieKoGezientendererforderlichenLinearkombinationderZeilenvekto-ren;1964`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;w'VUbungenT6.1.9fϽ1.s src:196kap6.1EntscheidenUUSie,obdaslineareGleichungssystem!qҍZz0 z@#1%1'0 #1%0'1#0%1'1ZЫ1 AZ%y0 %y@ɐ"x 4y!zZ1 Ax=Z0 @ 11 10 10Zj1 jA% src:201kap6.1loosbarUUist.BestimmenSiegegebGenenfallsdieLoosungen. 2.% src:203kap6.1EntscheidenUUSie,obdaslineareGleichungssystemZ0 @,1,10,1%01,0%11Z_1 _AZ 0 @sxͭyðzZu1 uA\=Z0 @ 11 10 10Zj1 jA% src:208kap6.1loosbarUUist.BestimmenSiegegebGenenfallsdieLoosungen.3.% src:210kap6.1EntscheidenUUSie,obdaslineareGleichungssystemZ}\0 }\@I1I1'0I1,0'1I0,1'1ZЫ1 AZ%y0 %y@ɐ"x4y!zZ1 Ax=Z0 @P1P0 11Z1 A% src:215kap6.1loosbarUUist.BestimmenSiegegebGenenfallsdieLoosungen.4.% src:217kap6.1GebGenSienotwendigeundhinreichendeBedingungenfGourf 1|s; 2; 1; 2g%an,UUsodagiltqǍdHO׸f(x1|s;x2)j 1x1S+8 2x2C=0g\f(x1;x2)j 1x1S+ 2x2C=0gy=f(0;0)g:ꁲ5.% src:226kap6.1ZeigenSie:DaslineareGleichungssystemMՈnx=bistgenaudannloosbar,%wennderV*ektorbeineLinearkombinationderSpaltenvektorenvonAist.6.% src:230kap6.1EntscheidenUUSie,obdiefolgendeAussagerichtigUUist(ja/nein).%Betrachtenx Sieeinx inhomogeneslinearesGleichungssystemx Mʸx=b,%dasgenausovieleGleichungenwieUnbGestimmteumfat.W*enndasGlei-%chungssystemeineeindeutigeLoosungbGesitzt,soistesauchfGourjedean-%dereUUrechteSeiteb^0#loosbar.7.% src:238kap6.1BestimmenUUSieein В2R,sodagilt!qҍd58Z0 @ 1 2 3ZN21 N2AG+4Z0 @ 2 3 1ZN21 N2A BZZ0 @ 1 1 1ZN21 N2AK=Z0 @ 116 125 119Zk1 kA#G:ꁲ8.% src:244kap6.1FindenUUSie ^ϲund qmit BZZ80 8@ 1 0 3ZN21 N2AG+8 Z0 @ 1 1 1ZN21 N2AK=Z0 @²52 111Zk1 kA>Oō>;6.2DasTGausc9heEliminationsverfahren9197%ō>;6.2**DasGauscheEliminationsverfahren src:4kap6.2Die\bishergefundenen[AussagenyoubGerlineareGleichungssystemesind\vor- wiegend|theoretischerArt.Wir|wendenunsjetztpraktischenLoosungswegenzu.[EinesZderbGekqanntestenundwirkungsvollstenV*erfahrenistdasGauscheEliminationsverfahren.MDazuwandeltmandieerweiterteo}'ezientenmatrix궲(M;b)-BnacheinemgenauvorgeschriebGenen-AAlgorithmusineineMatrixbGe-sondersQeinfacherGestalt,ineineRsogenannteStufenmatrix,um.AusdieserloatUsichdieTLoosungsmengeeinfachablesen.GleichzeitigloatTsichauchderRang Jdes IGleichungssystemsdirekt IablesenunddieT*atsache,obdasGlei-chungssystemroUUubGerhauptLoosungenbesitzt." src:19kap6.2EsgibtzweiimwesentlichenoaquivqalenteW*ege,dieeinzelnenSchrittedesGauschenCIEliminationsverfahrensCJdurchzufGouhren,dieMultiplikqationCJderer-weitertenKoGezientenmatrixmitgeeignetenElementarmatrizenvonlinksoGder~@dieDurchfouhrungelementarer~?Zeilenumformungen~@dererweitertenKo-ezientenmatrix.mBeideV*erfahrennsindleichtalsAlgorithmennaufdemCom-puterTzuUimplementieren.WirbGeschreibenUhierT(zunoachst)dasUV*erfahrenmitHilfeUUderelementarenZeilenumformungen.BemerkungT6.2.1n src:31kap6.2SeiXeinYlinearesGleichungssystemMx=bXgegebGen.O enbar:o:andern:wiranderLoosungsmengenichts,:wennwir:einederGlei-chungenJ'miteinemSkqalarfaktor6=0J&multiplizieren.J'DasloauftaufdieMul-tiplikqationderentsprechendenZeilevon(M;b)mit2 6=20hinaus.InsbGeson-dere2koonnen3wireinensolchenProzerGouckgoangigmachen,indem3wirdieselbGeGleichung'mitdeminversen'F*aktor'^1-multiplizieren.EbGensooandernwiranderLoosungsmengenichts,wennwireinVielfacheseinerGleichungzuei-neranderenGleichungaddieren.AuchdiesenProzekoonnenwirnoamlichrGouckgoangigCmachen,indemwirdasDgleicheVielfacheabziehen.Erloauftaufdie2Additioneines2VielfacheneinerZeilezueineranderenZeiledererweiter-ten;1984`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;" src:70kap6.2Elementare#aZeilenumformungenanderMatrixM:|undanderMatrix (M;0)rbGewirkeneingeschroanktaufMsicherlichdasselbGe,weilsieaufderNullspaltegarkeinefAnderunghervorrufen.Der(Spalten-)RangderMatrix궵MXist>abGer=nach6.1.5gleichderZeilenzahlvonMXminusDimension=desLoosungsraumes.W DaderLoosungsraumW vonMȸ䭵xt=t0sichbGeielementarenZeilenumformungen.von.(M;0)nicht.מo.andertunddieZeilenzahlvon(M;0)ebGenfalls_konstant`bleibt,oandertsichinsbGesondereauchderRangderMatrix궵Mlpnicht.UUWirhabGenalsoerhalten:WF olgerungT6.2.3eG src:82kap6.2Elementar}'e6Zeilenumformungen5einerMatrixlassender}'en(Sp}'alten-)Ranginvariant." src:86kap6.2DurchPAnwendunggeeigneterPelementarerZeilenumformungenloatsichnun;8eineMatrixwesentlichvereinfachen,;7noamlichaufdieF*ormeinerStufen-matrix.De nitionT6.2.4fA src:91kap6.2EineMatrixS6;isteineStufenmatrix, E[wennfGourjezweiaufeinanderfolgende8;Zeilenaiundai+1vonSȲfolgendesgilt:8 k+Bjkε:::bv k+Bnβ08 @. @. @.0HOϫ1OCOCOCOCOCOCOCOCOCfiOALB%(6:2);nǍ" src:115kap6.2Eina4linearesGleichungssystema4MgPx=bhatgenaudanneineStufenmatrixalsUUerweiterteKoGezientenmatrix,wennesdiefolgendeF*ormhat:C,>O٣ 1j1 뒸8j1uA+:::ɥO:::׈ֲ+8 1n ѸnfIJ=ur 1uA 2j2 뒸8j2+:::ɥO:::׈ֲ+8 2n ѸnfIJ=ur 2ԍ...$.$.$. k+BjkҮ8jk.>+62:::+8 k+Bn nfIJ== kfò0f=- k+B+1fò0f=0...$.$.$.f0f=0LB%(6:3)CV src:133kap6.2mitUUj1C<j2<:::8;6.2DasTGausc9heEliminationsverfahren9199%ō>;SatzT6.2.5I src:136kap6.2Je}'de0Matrixe8MHloat0sichdurch0Anwendunggeeigneter0elementa- r}'erZeilenumformungenineineStufenmatrix+S'tumformen. Beweis.: src:142kap6.2WirPwollenPdenBeweisdurchPvollstoandigeInduktionnachPderAnzahlderbSpaltenvonbMydurchfGouhren.bDazubGeschreibenbwireinenAlgorithmusE궲bGestehendausmehrerenelementarenZeilenumformungen.DieserwirdaufeineagMatrixangewendetundergibtafeineMatrixmitkleinererSpaltenzahl,woGdurchUUeinerekursiveAnwendungmooglichwird.Algorithm9usT6.2.6r src:151kap6.2(Algorithm9us͸EiderUmformungenvonεM,Eli-minationsalgorithm9us):" src:155kap6.2E1|s:ׂW*ennׁdieersteSpaltevonMnurׂmitNullenbGesetztist,sofGouhrenwirgarUUkeineUmformungendurchundgehenunmittelbarzuSchrittE5Ȳweiter.9" src:160kap6.2E2|s:DW*ennderKoGezientinderDerstenZeileunddererstenSpaltevonNullUUverschiedenist,sogehenwirunmittelbarzuSchrittE4Ȳweiter." src:165kap6.2E3|s:mW*ennlderKoGezientindererstenZeileunddererstenSpalteNullistGundFeinvonNullverschiedenerKoGezientGindererstenSpalteundder궵i-tenCZeilevonM^steht,sovertauschenwirdiei-teZeilemitdererstenZeile,fGouhrenUUalsoeineelementareZeilenumformungdritterArtdurch." src:173kap6.2WirbGemerkenandieserStelle,dahiero enbarmehrereW*ahlmooglich-keiten2bGestehen.Wir1werdendaraufzurGouckkommen,wenn1wirspoaterdasPivot-(Drehpunkt-)V*erfahrenUUbGesprechen.:" src:180kap6.2WirkoonnenalsonachdieserUmformungdavonausgehen,daindererstenZeileunderstenSpalteeinvonNullverschiedenerKoGezient 11궲steht.UUSeienjetztdieKoGezientendererstenSpalte'Fs:( 11x; 21;:::; m1 )tLn=V0BBfi@8䍍յ 11յ 217ˋ.ˋ.ˋ. 1 m1V 1 C Cfi A+Aõ:+f" src:189kap6.2E4|s:uIndersoerhaltenenMatrixaddierentwirdas( 䍐 z111 ) i1P-facheudererstenZeilezuri-tenZeilefGourallei˱=2;:::;n.DassindelementareZeile-numformungeniqzweiterArt.Dadurcherreichenirwir,daindererstenSpaltederUUV*ektor( 11x;0;:::;0)^tګmitUU 11 ?6=0steht." src:198kap6.2Damit"ist"einSchrittdesAlgorithmusE̲vollstoandigbGeschrieben."AmSchluUUhabGenwirdurchAnwendungvonE:MaufMlpeineMatrix'~卑vN3=V0BBfi@ 1 11'_ 12AMZ:::X 1n!0'_ 22AMZ:::X 2n=w.=w.=w.-KD.-KD.-KD.AMZ:::^.^.^.!0&K m2AMZ:::V mnVjë1jCjCfijA'~䍑 src:206kap6.2erhalten,ܪderenܫersteSpalteentwederܪderNullvektorܪoGderderV*ektor( 11x;0;:::;0)^tLn6=0UUist.POō>;2004`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;" src:211kap6.2E5|s:IstderersteSpaltenvektorvonNderNullvektor,sobGetrachtenwir jetzteineT*eilmatrixderMatrixN3=( ij ji=1;:::;m;jY=1;:::;n),noamlichdieUUMatrixp@N0l:=V0BBfi@յ 12) 13Cߵ:::Z 1nյ 22) 23Cߵ:::Z 2nl.l.l./././.a .a .a . 1 m2(nе m3Cߵ:::YV mnVm3H1m3HCm3HCfim3HAw:%_ src:222kap6.2ImUUanderenF*allmit( 11x;0;:::;0)^tLn6=0UUalsersterSpaltebGetrachtenUUwir(;Np@N0l:=V0BBfi@յ 22) 23Cߵ:::Z 2nյ 32) 33Cߵ:::Z 3nl.l.l./././.a .a .a . 1 m2(nе m3Cߵ:::YV mnVm3H1m3HCm3HCfim3HAw:*T" src:233kap6.2W*ennhwirheineelementareZeilenumformunghanderMatrixN^0N>vorneh-men,OsoNkoonnenwirdieselbGeelementareZeilenumformungauchanNdergrooe-ren=Matrix=NT9vornehmen,ohneinNT8dieersteSpalte(0;0;:::;0)^ttbzw.( 11x;0;:::;0)^t _zu veroandern.DassiehtmansofortfGourjedeeinzelnedermoogli-chen}elementaren|Zeilenumformungen,weil|durchsiein|dererstenSpaltenurdie}Nullen|bGetro ensind.InF*alledeserstenSpaltenvektors}( 11x;0;:::;0)^t궲wird auch dieersteZeilederMatrixN$nicht geoandert,weil fGourdieseZeilekeineUUUmformungenvonN^0:induziertwerden.v" src:246kap6.2DadieMatrixN^0jkleineralsdieMatrixM1ist(gemessenanderAn-zahl,derSpalten),kqannmansie+pGerInduktionsannahmedurchendlichvieleelementareZeilenumformungenineineStufenmatrixumformen.DieselbGenUmformungen@machendannabGerauchdieAMatrizenM [bzw.NzuStufen-matrizen.DerProzebrichtnatGourlichab,wenndieMatrixN^0den?angegebGenenUmformungsverfahren>kqannmanjetztlineareGlei-chungssystemeyaufeineywesentlichyeinfachereF*ormbringen,ynoamlichdieF*orm(6.3).UUDasfGouhrtzudemfolgendenbSatzT6.2.7I src:267kap6.2(DashGauscheEliminationsverfahr}'en)SeiAMM=6#x@==aheinli-ne}'aresGleichungssystem.ManloostdiesesGleichungssystem,indemman궲(M;a)(azunoachst(bmitelementar}'enZeilenumformungenaufStufenformIJ(ST;b)bringt.1IstinderDarstellung0(6.3)desGleichungssystemsinStufenformdann궵 k+B+1=^0{(o}'derzkeinehֵk`+G1-teGleichungvorhanden),soistdasGleichungs-systemloosb}'ar,sonstnicht.ManerhoaltalleLoosungen,indemmanf֞ouralle궵jv=Y2 gfi1|s;:::;ik됸g&Fb}'eliebigeWertef֞ourdie桵j\woahltunddannmitHilfevon(6.3)dier}'estlichenWertederti1;l;:::;ik GRmitHilfederF;ormelnjOō>;6.2DasTGausc9heEliminationsverfahren9201%ō ֍֬{Pik= 䍐 z1K[k+Bik ( k$p Vn џX t8jg=ik_+1f k+Bj<j6)7...-{i2= 䍐 z12i2 7߲( 2S n ZџX t8jg=i2 +1 2j3j6)v{i1= 䍐 z11i1 7߲( 1S n ZџX t8jg=i1 +1 1j3j6)LB%(6:4)GV src:290kap6.2(R֞ouckwoartssubstitution)ausr}'echnet.Beweis.: src:294kap6.2DieLoosungsmengenderlinearenGleichungssystemeMu]x#Ӳ=aund 궵S  x=bhstimmenƄogubGerein,wenndieMatrix(ST;b)ausderMatrix(M;a)durchelementareo[Zeilenumformungenhervorgeht,daoZsichnachderBemerkung6.2.1die;2024`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;SatzT6.2.10O src:345kap6.2Je}'depelementareZeilenumformung(undpdamitjedeF;olgevon elementar}'enտZeilenumformungen)վaneinerMatrix MistEr}'gebniseinerMul-tiplikation6Vvonlinksmiteinerr}'eguloaren6VMatrixjU,genanntUmformungsma-trix.\7Beweis.: src:352kap6.2JedeelementareZeilenumformunganeinerMatrixMkqannbGeschrie-bGenwerdendurchMultiplikqationmiteinerMatrixUi aufMزvonlinks.DasgehtUUausdenfolgendenMatrizenproGduktenhervor..\6PBS0BSBBSBBSBBSBBSBfiBS@ȍM!1\!:::r7Q0:::L08N>n.N>n.N>n.sS.sS.sS.i.i.i.M!0\!:::q̦:::L0N>n.N>n.N>n.sS.sS.sS.i.i.i.M!0\!:::r7Q0:::L1PO1OCOCOCOCOCfiOA0P808B8B8B8B8Bfi8@qɍ1 11(;:::? 1n7=S.=S.=S.F]3.F]3.F]3.ű i1(;:::@k in=S.=S.=S.F]3.F]3.F]3. m1(;:::>H mnPRG1RGCRGCRGCRGCRGCfiRGA^j`=U1S8MLx5=P0BBBBBfi@qɍY 11*{:::B 1n7...ID.ID.ID. 1 i1*{:::@h# in...ID.ID.ID. E m1*{:::A0 mnPV1VCVCVCVCVCfiVA+썑 src:377kap6.2DiepzurMultiplikqationqvonlinksverwendeteMatrixU1 hatqEinseninderDiagonalen(bis)aufdenKoGezienten iiﰲ=,istalsovonderF*ormEn+,(궲1)Eii(,ۮwobGeiۭallgemeinEn M,dieEinheitsmatrixundEij 榲einemitNullenundeinemKoGezienten1anderStelle(i;j)bGesetzteMatrixbezeichnen.DiezurMultiplikqationPverwendeteMatrixhatEnx+/(^1 n/1)Eii yzalsinverseMatrix.SieUUistdaherinvertierbarUUundheitElementarmatrixersterArt." src:389kap6.2W*eiterUUist;ÍH0a00aB0aB0aB0aB0aB0aB0aB0aB0aBfi0a@ꬍ:̧1I̩:::nwS:::S:::08;.;.;.m.m.m._wQ1nwS:::!;.;.;....m.m.m.1;.;.;.m.m.m.:̧0I̩:::nwS:::S:::1HL1LCLCLCLCLCLCLCLCLCfiLAEF808B8B8B8B8B8B8B8B8B8Bfi8@u1 11(;:::? 1n7=S.=S.=S.F]3.F]3.F]3.ű i1(;:::@k in=S.=S.=S.F]3.F]3.F]3.T jg1(;:::? jgnꨍ=S.=S.=S.F]3.F]3.F]3. m1(;:::>H mnFRG1RGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCfiRGA^j`=U2S8Ml_㍑iK-=D0BBBBBBBBBBBfi@N<) 11E:::ks 1n7"߲.".".q.q.q. 1 i1 +8 jg1E:::[9 in ~+8 jgnꨍ"߲.".".q.q.q. jg1E:::k jgn"߲.".".q.q.q.c m1E:::i mnD+ګ1+C+C+C+C+C+C+C+C+C+C+Cfi+A:Oō>;6.2DasTGausc9heEliminationsverfahren9203%ō>; src:423kap6.2DiepzurMultiplikqationqvonlinksverwendeteMatrixU2 hatqEinseninder DiagonalenundeinenKoGezienten ij o=d۲miti6=dj.AlleanderenKoGe-zientensindNull.DieseMatrix,diemanalsEn$+^Eij schreibGenkqann,hatalsgInverseEnEEij rundistdamitinvertierbar.SieheitElementarmatrixzweiterArt." src:434kap6.2SchlielichUUist?H0̩00̩B0̩B0̩B0̩B0̩B0̩B0̩B0̩B0̩Bfi0̩@ꬍ;7R1J7T:::n::::::7P08H mnFRG1RGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCRGCfiRGA^j`=U3S8Mo([=F0BBBBBBBBBBfi@uյ 11),s:::@e/ 1n7ˋ.ˋ.ˋ.Fk.Fk.Fk.⹵ jg1),s:::@ jgnꨍˋ.ˋ.ˋ.Fk.Fk.Fk.S i1),s:::@C inˋ.ˋ.ˋ.Fk.Fk.Fk. 1 m1),s:::> mnFSq1SqCSqCSqCSqCSqCSqCSqCSqCSqCSqCfiSqA](:=uR src:468kap6.2DiepzurMultiplikqationqvonlinksverwendeteMatrixU3 hatqEinseninderDiagonalenUundUNullenanallenanderenStellenmitAusnahmevon ii O=궵 jgj >=0m7und ij ޲= jgi=1m7fGoureinPaari6=j.DieseMatrixm8istzusichselbstinversUUundheitElementarmatrixdritterArt." src:477kap6.2WirhabGenalsogesehen,damanelementareZeilenumformungendurchMultiplikqationvonlinksmitgewissen(invertierbaren)Elementarmatrizenerzeugen[kqann.Damitkannauch[jedeF*olgevonelementarenZeilenumfor-mungendurchMultiplikqationmiteinerreguloarenMatrix,demProGduktderElementarmatrizen,UUbGeschriebenUUwerden.BemerkungT6.2.11s src:487kap6.2W*enn wir dasGleichungssystem M{dx=bauf dieobGen?beschriebene@W*eisegeloosthabGenundanschlieendeinGleichungssys-temtMvjx=cloosenmGoussen,somGoussenwirtdasgesamteEliminationsverfahrenneuĵdurchrechnen.ĴEslohntĴsichinĴdiesenFoallenvonvornhereinĴeineetwasumfangreichereOUmformungvorzunehmen.WirOersetzenbGeiderUmformungin1]Stufenform1^dieMatrix(M;b)durchdieMatrix(M;Em),wobGeiEm dieEinheitsmatrix{7ist.Dannformenwir{8dieseMatrixaufStufenformnachdembGekqanntenV*erfahrenunderhalteneineMatrixderForm(ST;A).InsbGesonderehatdieMatrixS%{Stufenform.DabGeisteuertderfUbGergangvonMaufS%{dieW*ahl[der\elementarenZeilenumformungen,und\diesewiederumscha eneineROō>;2044`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;궲entsprechendeCUmformungvonEm ޲aufA.DDaAausEmdurchelementare SpaltenumformungenPWhervorgehtundPXEm reguloarist(alsovomPXRangm),istauchUUAreguloar.X" src:505kap6.2Die?}so?|gewonneneMatrixAistdieimvorhergehendenSatzbGeschriebeneUmformungsmatrix.DieelementarenZeilenumformungenvon(M;Em)las-senUUsichnoamlichwiefolgtbGeschreiben:yb)UO8(M;Em)=(U8M;UEm)=(ST;A);y src:509kap6.2worausUUU3=Afolgt.InsbGesondereistSZ=A8M.Y" src:513kap6.2FGoureinbGeliebigeslinearesGleichungssystemderF*ormMxҲ=berhoaltmandanndieZeilenstufenformalsS>mx=(AnM)x=Ab.W*ennmanalsojetzt'die(MatrizenSnundAbGerechnethat,genGougtes,fGourjedeW*ahlvonbnur궵A8bUUzubGerechnenundSm8x=AbUUdurchRGouckwoartssubstitutionzuloosen.I w'VUbungenT6.2.12l1.yV src:524kap6.2Seien2MK20K^nm;N2/K^mn Matrizenmit1derEigen-%schaftεMӵN3=Em.ZeigenSie,dasM)SpaltenrangmundN)Zeilenrang%mUUhat.2.% src:528kap6.2V*erwendenglSiegkdaGauschegkEliminationsverfahren,umgkdiefolgenden%GleichungssystemeUUzuloosen:)a)7x src:531kap6.2d4xD+ 4yNҲ+4z-=J242xD ڵyNҲ+z-=-9xD ٲ2yNҲ+3z-=K1I )b)7x src:535kap6.2d 2xļ+2yܭ=t-2۵yӲ+ԕzܭ=;K4 xӲ+ԕzܭ=;K1I *#2c)7x src:539kap6.2ds?x*[+y2yεwGp=լ3s>2x4r+4z+2wGp=6s?x*[+y2y4rzGp=լ6s>2x*[zy4r+z+εwGp=3!I )d)7x src:544kap6.2d͵x+U3y_2zv==\w=9;92x+U4yv=+=[2w=9:103xU5y+_2zv==\w=r15͵xUy_3zv=+=[2w=9;6466.3**InverseMatrizen,dieLU-ZerlegungunddiePivot-Metho`deBč src:5kap6.3In(diesemAbschnittsindwiranquadratischen(nn)-MatrizenM@ unddendurchlsiebGeschriebenenlGleichungssystemenM}fux=alinteressiert.Nach6.2.9"gOō>;?6.3In9verseTMatrizen,dieLU-ZerlegungunddiePiv9ot-MethoAde9205%ō>;궲istPdieMatrixPMggenaudannreguloaroGderinvertierbar,wennPdieStufenmatrix zuUUMlpgenaunStufenhat,d.h.wennsiedenRangnhat." src:13kap6.3Wir}wollen}zunoachsteinenAlgorithmus}zurBerechnungder}InverseneinerMatrixMherleiten.DazuveroandernwirMdenin6.2.6eingefGouhrtenAlgorithmus궸EBzu]einem]AlgorithmusJ,undzwarfGougenwirvordemSchritt]E4einenweiterennSchritteinundnergoanzendenSchrittE4|s,sodanunsereneuerAlgo-rithmusUUJ.7aussechsSchrittenbGesteht:DAlgorithm9usT6.3.1r src:21kap6.3(J6zumTGau-Jordan-V erfahren)" src:23kap6.3J1C=E1|s, UVJ2=E2|s, UVJ3=E3|s,k" src:28kap6.3J4|s:DDerKoGezient 11 indererstenZeileunderstenDSpalteistvonNullverschieden.3WirmultiplizierendieersteZeile3derMatrixmit 䍐 z111 ,sodanunmehrUUanderlinkenobGerenEckederMatrixeineEinssteht.l" src:35kap6.3J5|s:_n0gn:::v21~3 :1(j16?+1):::<40ߴ:::_60_7:::Am 1n<41<5 :2(j26?+1)ߴ:::_60_7:::Am 2nԍ{.{.{. Ǩ. Ǩ. Ǩ._61_7::: k+Bn 60 Ǩ. Ǩ. Ǩ. 60F̏1̏C̏C̏C̏C̏C̏C̏C̏C̏C̏CfȉA>O" src:70kap6.3Der[hierfGour[notwendigezusoatzlicheRechenaufwandist[dabGeigeringfougig,insbGesondere,qdabeiderBestimmungderLoosungeineslinearenGleichungs-systems\die[RGouckwoartssubstitutionvereinfacht[wirdzueinereinfachenSub-stitution3S,v\tj1 = 1SβX j8jg>j1 ;j62fj1;::: ;jk_gAL 1j3jv\tj2 = 2SβX j8jg>j2 ;j62fj1;::: ;jk_gAL 2j3j8捍 . . .uujk = k$p X j8jg>jk_;j62fj1 ;::: ;jkgBNK k+Bj<j/Oō>;2064`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;" src:85kap6.3Nach֟fUbGergangzurStufenformmitdemAlgorithmusJbGeginnendie StufenJjeweilsmit1.W*eitersindKdieSpaltenvektorenandenStufenjeweilskqanonischeUUEinheitsvektoren.P" src:91kap6.3W*enn5wir4denAlgorithmusJfnun4aufeineMatrix(M;Enq~)anwendenund׵M2dabGeireguloarist,dannerhaltenwir(Enq~;A),wobGeidieStufenform궵SvoniMinbGesonderseinfacherjF*ormalsEinheitsmatrixauftretenmu,da궵M denRangеnhat,alsoallekqanonischenEinheitsvektoreninderStufenformauftreten.W*eiterwissenwiraus6.2.11,daEnƲ=HAMgilt,sodaAdieinverseUUMatrixzuMlpist.𼍍Algorithm9usT6.3.2r src:100kap6.3(Algorithm9us,zurBestimmung,derInversenei-nerMatrix)W*ennfjM}einereguloarefkMatrixistundderAlgorithmusJ?Lauf(M;Enq~)UUangewendetwird,soerhoaltmanalsErgebnis(En;M^1 ӏ)." src:107kap6.3WirUUhabGensogarallgemeinerdenfolgendenSatzbewiesen.SatzT6.3.3I src:110kap6.3Sei~MԿeine(quadr}'atische)7ngn-Matrix.DieMatrixMԿistgenaudanninvertierb}'ar,wennsiedurchelementareZeilenumformungenineineEinheitsmatrix?oiub}'ergef֞ouhrtwerdenhkann.IstdasderF;all,soerhoaltmandieinverseMatrixzu1M,indemmandieselb}'enZeilenumformungen,mitdenenmanU4MindieEinheitsmatrixoub}'erf֞ouhrt,aufdieEinheitsmatrixinderselbenR}'eihenfolgeanwendet.;卍Beweis.: src:121kap6.3DiewUmformungmitwelementarenZeilenumformungengeschiehtnach6.2.10und6.2.11immerdurchMultiplikqationmitinvertierbarenMatrizenU궲vonlinks.EsgiltalsoUt|]`(M;Enq~)"Z=(Ut{]aM;Ut|]`Enq~)=(En;A)genaudann,wennUUUO8M3=Enq~,U8En8=Aist,alsowennA=U3=M^1(ist.;䍑" src:129kap6.3Wir0?habGen0>gesehen,damanelementareZeilenumformungen0?durchMul-tiplikqationvonlinksmitgewissen(invertierbaren)Elementarmatrizenerzeu-gengzkqann.g{DasichfGourjedeinvertierbaregzMatrixM~dieEinheitsmatrixEn궲durchgeeigneteelementareZeilenumformungenindieinverseMatrixM^11ӞoubGerfouhrenloat,erhaltenwirmitdenentsprechendenElementarmatrizen궵F1|s;:::;Frdie_GleichungF13Y:::sFr$En s=(M^1oGderF13Y:::sFroɲ='M^1 ӏ:궲Da]Mydieinverse^Matrix]vonM^1ist,]koonnenwirauchMxindieserW*eiseschreibGenUUundhabengezeigt:F olgerungT6.3.4eG src:142kap6.3Je}'deCinvertierbareBMatrixloatsichalsPr}'oduktBvonEle-mentarmatrizendarstellen." src:146kap6.3Inw6.2.3whabGenwirschongesehen,dasichderSpaltenrangeinerMatrixbGei&elementarenZeilenumformungennichtoandert.&EroandertsichdaherauchnichtcbGeicMultiplikqationmiteinerinvertierbarenMatrixcAvonlinks.Dadielinearen^Abbildungenx䍑JdMA=x䍑ceMx䍑b Au:eKm n n!EcKnundx䍑0c^M:Km o n!EdKndasselbGeBildOhabGen,NoNandertsichderSpaltenrangvonMjauchOnichtbGeiOMultiplikqationmiteinerinvertierbarenMatrixAvonrechtsbzw.bGeielementarenSpalte-numformungen.@Oō>;?6.3In9verseTMatrizen,dieLU-ZerlegungunddiePiv9ot-MethoAde9207%ō>;F olgerungT6.3.5eG src:158kap6.3Elementar}'enZeilen-bzw.nSpaltenumformungeneinerMa- trix9Rlassender}'en9S(Spalten-)Rang9Rinvariant.Insb}'esondere9Rist,*rg:c(AMBq)…=rg(M)f֞ourinvertierb}'areMatrizenXJA;Bq./0" src:164kap6.3Man`istoftadaraninteressiert,eineMatrixineinebGesonderseinfacheF*ormyumzuwandeln.zDabGeimuznatGourlichdiezMethoGdefourzdieUmformungfestgelegtwerden.EinsolchebGesonderseinfacheF*ormnenntmanhoau gauchNormalformUUderMatrix./1SatzT6.3.6I src:170kap6.3(Normalformensatz)tˍ1.% src:173kap6.3Zuje}'derMatrix+MgibtesinvertierbareMatrizenXJAundpBXmitɍYM3=A^ ĵEi0 00&K`^/R|Bq:ˍ% src:176kap6.3Dab}'eiistEi bdieEinheitsmatrixmitiZeilenundSp}'altenund̞i=%RangBasistransformationenbGewirkenMultiplikqation=vonlinksbzw.rechtsmitinvertierbarenUUMatrizen:M3=A^ ĵEigز0 0g0&^/Bq:qύ" src:201kap6.32.EW*egenFolgerungF6.3.4lassensichdieinvertierbarenMatrizenFAundB궲bzw.nihreInversennalsnProGduktevonElementarmatrizennschreibGen,diedannentsprechendeUUZeilen-undSpaltenumformungenUUbGewirken." src:207kap6.3Man kqanndie AussageausT*eil1.desSatzesauchsoausdrGoucken: zujederMatrixM#gibteseineeindeutigbGestimmteZahliundinvertierbareMatrizen궵A^0#undUUBq^0N,sodagilt1A09MBq0²=^ 4Ei H0=0 H0'.^06 :/8 src:212kap6.3InsbGesonderepistdiepZahli=rg Q(M)pdurchdenSpaltenrangMvonM²festgelegt.Da dieAussage!wedervonZeilennoGch!vonSpaltenabhoangigist,!erhaltenwir/1F olgerungT6.3.7eG src:219kap6.3DeriZeilenr}'ang @undderSpaltenrangeinerMatrixԭMstimmenoub}'erein.SOō>;2084`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;" src:224kap6.3SchoninderBemerkung6.2.11habGenwirdieBedeutungundmoogliche AnwendungenderUmformungsmatrixerkqannt.InsbGesonderehabenwirge-sehen,wdavUmformungsmatrizenimmerreguloarunddamitquadratischsind.WirUUwollensieetwassystematischereinsetzen.Dazude nierenwirDe nitionT6.3.8fA src:232kap6.3EineaquadratischeaMatrixP'heitPermutationsmatrix,wenn_sie_sichalsein_ProGduktvon_ElementarmatrizendesTyps_U3wschrei-bGenQloat.EinequadratischeMatrixL(lower)heitunter}'e|0Dreiecksmatrix,wennFalleKoGezientenE ij >mitiOQgjܲunterhalbderHauptdiagonalenNullsind.EinenMatrixD=heitDiagonalmatrix,wennmsiesowohleineobGeremalsaucheineͶuntere͵Dreiecksmatrixist,͵d.h.wenn͵dieeinzigvonNullverschiedenenKoGezientenUUaufderHauptdiagonalenliegen." src:250kap6.3Wir&%bGeachten,dafGoureine&®uloareobGereDreiecksmatrixalleKoGezien-tenNaufOderHauptdiagonalenvonNullverschiedenNseinmGoussen,sonstkoonntemanusievaufStufenformbringen,bGeidermindestenseineStufemehralseinenSchritto"einrGoucktL\8,owaspfGoureinereguloareMatrixnichtmooglichpist,denndannwGourdedieletzteZeilederNullvektor.DamitisteinereguloareobGereDreiecks-matrixUUauchschoninStufenformgegebGen.LemmaT6.3.9YUI src:260kap6.3DasqPr}'oduktvonzweiunterenpDreiecksmatrizenisteineun-ter}'eDreiecksmatrix.Beweis.: src:265kap6.3Wir bGetrachteneinenKoGezientendesProGduktsa'E:=Pލ n% jg=1׵ ij jgk\궲fGourFi;?6.3In9verseTMatrizen,dieLU-ZerlegungunddiePiv9ot-MethoAde9209%ō>;궵j-ten^uZeilezur^vi-tenZeilenicht^ubGeein utwirddurchdievorherigeoGderan- schlieendehV*ertauschungzweierandererhZeilen.DadieUmformungsmatrizendurch,#die,$ZeilenopGerationeneindeutigbestimmtsind,$-siesindjadasErgeb-nis`derentsprechenden`Umformungender`Einheitsmatrix-,giltdieAussageauchfGourdieentsprechendenUmformungsmatrizen.W*ennmanjedoGchdiel2`-teZeile͚mitderkP-tenZeilevertauscht͚unddanndiejetztk-teZeilemitmulti-plizierthundzurhi-tenZeileaddiert,dannistdasdasselbGe,wiedieAdditiondes궵-fachensderl2`-tenrZeilezuri-tenZeileunddieanschlieendeV*ertauschungderUUl2`-tenZeilemitderkP-tenZeile.DamitfolgtauchdiezweiteGleichung." src:316kap6.3WirqwerdendenAlgorithmusEVϲzum֟fUbGergangzurStufenmatrixnochmalsgenauerstudieren.ZuBeginnjedesReduktionsschrittesfGouhrenwirmitE3eje-weils!eineV*ertauschungvonZeilenoGdereineMultiplikqationmiteinerMatrix궵Pk+Bl}X,kN<9l|durch.DannerfolgenmehrereMultiplikqationenmitMatrizenderF*orm{ȵUk+Bj<(){mitjeweilsverschiedenen{F*aktoren.BeimnoachstenRedukti-onsschritt>gwird>fderZeilenzoahlerkum1erhooht.DieF*olgederUmformungengeschriebGenGmitHdenUmformungsmatrizenH(undjeweilsHpassendenF*aktoren궵)UUkqanndannsogeschriebGenwerdenDe*Uk+Bk+1w#():::Uk+Bm +()Pk+Bl}XUk+B1;k():::Pk+B1;l `0x:::%6M3=ST: src:329kap6.3DadieMatrixPk+Bl TCandenMatrizenUij ()miti;2104`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;Algorithm9usT6.3.13x src:365kap6.3(Algorithm9uszurLU-Zerlegung)1Wir&wollen'ei- nen`AlgorithmusazurLU-ZerlegungangebGen.DazubGetrachten`wirdieMatrix(M;Enq~;En;En),aufdiewirausdemGauschenAlgorithmusgewonneneele-mentarejZeilenopGerationeniundzusoatzlicheiMatrizenmultiplikqationenanwen-den.BeiderDurchfGouhrungdiesesAlgorithmusparallelzumGaualgorithmusseiDinEeinemZwischenschrittdarausDdieMatrix(TV;L;PG;Enq~)entstandenDmitdenzusoatzlichenEigenschaftenLPcM3=T,LeineuntereDreiecksmatrixund궵PeineUUPermutationsmatrix." src:377kap6.3-W*ennderGauscheAlgorithmusnuneineAdditioneinesVielfachenei-nerZeilezueineranderenZeileerfordert,soistdiesdurcheineUmformungs-matrixRUigegebGen.DiesewendenwirlediglichRaufdieT*eilmatrix(TV;L)anunderhaltenK(UTV;UL;PG;Enq~)KmitKULPcM3=UTundULKuntereDreiecksmatrix,d.h.UUwirwendendieelementareZeilenumformungnurauf(TV;L)an." src:386kap6.3-3 W*enn3 derGauscheAlgorithmus3 eineV*ertauschungvon3 zweiZeilen3 er-fordert,soistdiesdurcheineweitereUmformungsmatrixUgegebGen.DieelementarefZeilenumformungewendenwiraufedieganzeMatrix(TV;L;PG;Enq~)anwundxerhalten(UTV;UL;UPG;U).wAnschlieendxmultiplizierenwirxULvonrechts@mit@̵U,dabGeideMatrizenexplizitzurV*erfGougungstehen,undersetzen궵U.wiederdurchdieEinheitsmatrix,habGendanachalso(UTV;ULU;UPG;Enq~)mitULUUPcMV=:ULPMU=;UT,wegenUUV=:Enq~.DawieindenobGendurchgefGouhrten'f'UbGerlegungen&ULUBnurfGour'untereDreiecksmatrizen'durch-gefGouhrtwird,derenEintroageauerhalbderDiagonalendurchdieV*ertau-schungOzwarPumgestelltwerden,PabGernichtausPdemunterenPDreieckherausgetauschtUUwerden(6.3.10),bleibtULUlpeinereguloareuntereDreiecksmatrix." src:403kap6.3DasV*erfahrenbrichtab,sobaldwireineStufenmatrixSTuanstellevonT궲erhaltenLhabGen,alsoL(ST;L;PG;Enq~)LmitLPcM3=S,wobeiLLeinereguloareuntereDreiecksmatrix,"[PeinePermutationsmatrixund"ZSeineStufenmatrixsind.DaauchL^1WeinereguloareuntereDreiecksmatrixist,istmitPcM=L^1 tS궲dasUUZielerreicht." src:411kap6.3Wirzwollen{dieAnwendungder{LU-Zerlegungdiskutieren.W*enndasli-neareGleichungssystemM~~bxt߲=t޵bzuloosenistundPcM=LSQ'gilt,sofolgt궵LSxv=PcMx=Pb.DasGleichungssystemkqanngeloostwerden,indemman궵c:=Pcb`bGerechnet,adasGleichungssystemLy"=cadurchV*orwoartssubstitutionwieUUin6.2.7mit(ʍ|1= 1|s;2= 2S821x1ԍ...wn= n^8n1 X t䂴jg=1fҵnj (*j1iʍ src:424kap6.3wobGeiUsL=(ij ),UrundschlielichUrdieLoosungyKindasGleichungssystemSx=y궲einsetztUUunddiesesdurchRGouckwoartssubstitutionloost.(Oō>;?6.3In9verseTMatrizen,dieLU-ZerlegungunddiePiv9ot-MethoAde9211%ō>;BeispielT6.3.14a^ src:429kap6.3WirschlieendiesenAbschnittmiteinemBeispielfGourdas angegebGeneUUV*erfahren.WirwollendaslineareGleichungssystem!Ydh2yūDz+r3z݊=Q"2i2u#u+ꔵxūDz+r3z݊=Q"1i3u#u+3x+hϵyūDz+r6z݊=Q"4!Y src:437kap6.3mithHilfedesLU-V*erfahrensloosen.DazuibGetrachtenhwirdiefolgendenMatri-zenUUundMatrixumformungen:!YZSr׫0 Sr@]݀0l݂0{݄2݆3݈1݊0݌0ݎ1ݐ0ݒ0ݔ1ݖ0ݘ0]݀2l݂1{݄0݆3݈0݊1݌0ݎ0ݐ1ݒ0ݔ0ݖ1ݘ0]݀3l݂3{݄1݆6݈0݊0݌1ݎ0ݐ0ݒ1ݔ0ݖ0ݘ1ZA1 AA src:443kap6.3wirdUUdurchV*ertauschendererstenundzweitenZeileumgewandeltin!YZQ90 Q9@[2j1y03010Ĥ0Ӥ1⤯0010[0j0y23100Ĥ1Ӥ0⤯0100[3j3y16001Ĥ0Ӥ0⤯1001ZO^1 O^A : src:450kap6.3WirCmultiplizierenDdieT*eilmatrixULmitU^vonrechtsCundersetzenU^durch궵Enq~: ZQ90 Q9@[2j1y03100Ĥ0Ӥ1⤯0100[0j0y23010Ĥ1Ӥ0⤯0010[3j3y16001Ĥ0Ӥ0⤯1001ZO^1 O^A :J src:457kap6.3DieFnoachsteEUmformungerfolgtdurchEAdditiondes( 33333&fes2bٲ)-fachenEdererstenZeileUUzurdrittenZeileinderT*eilmatrix(TV;L):!ˍZA0 A@La2^1q݃03k12020202120212020La0^0q݃23k02120212020202120La0[c1:5q݃1݅1:51:52021202021202021Z%ݚ1 %ݚA0HC:!Y src:465kap6.3SchlielichUUerfolgteinV*ertauschenderzweitenmitderdrittenZeileZC䛫0 C@NOD2a21tf031k0k0k0k1k0k1k0!k0NOD0]OF1:5tf1h1:5݈1:5k0k1k0k0k1k0k0!k1NOD0a20tf230k1k0k1k0k0k0k1!k0Z(}1 (}A!ˍ src:472kap6.3und^eineMultiplikqationderT*eilmatrixULmitUyvonrechts(undErsetzenvonUUUlpdurchEnq~):!̍ZA0 A@La2^1q݃03k12020202120212020La0[c1:5q݃1݅1:51:52120202021202120La0^0q݃23k02021212020202021Z%ݚ1 %ݚA0HC: src:479kap6.3Wirj'invertierennundieuntereDreiecksmatrixunderhalteninderobigenNotationOō>;2124`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ōF"tASZ=Z0 @ 12 R120Et3 1011:521A1:5 10 R022Et3ZPj1 PjAZU; L=Z0 @P1#020 11:5#120P0#021Z91 9AD5;P*=Z0 @ 1011+10 1010+11 1110+10Z1n1 1nA;?6.3In9verseTMatrizen,dieLU-ZerlegungunddiePiv9ot-MethoAde9213%ō>;% src:554kap6.3DieUUMatrixderpartiellenAbleitungenistET2DGfڧ:=^Gy"Ax 42x R2y,r^5z:EV% src:556kap6.3EntscheidenUUSie,wannDGfhinvertierbarist. 2.% src:558kap6.3EntscheidenUUSie,wann!EXZ0 @x1?<0B1x?<1B01xZ)1 )A!EY% src:561kap6.3invertierbarUUist.3.% src:563kap6.3FindenUUSieInverseUUfGourdiefolgendenMatrizenZi60 i6@xn246t9߸143xn011Z91 9AĤ;Z0 @2&2942&6= 0 Q3"q3= 5ZHX1 HXAR;3ӒXcī0cBfic@r1䍸2<3r0r011r1nm222r4r023r1Xv1vCfivAÈ;X0Bfi@ Q111s0D2 Q2S11s1@u1 Q331s2@u2 Q121s1D0XON<1ONSie>diefolgendenGleichungssysteme>unterV*erwendung>derinver-%senUUKoGezientenmatrizen)a)7x src:590kap6.3dVεx 2y+3z*=;4 y z>+]w*=82x +2y2z>+\4w*=:122y3z>+]w*=4#P)b)7x src:596kap6.3dVεx + y>+\2w*=3V2x y+ z>]w*=3V3x +3y+2z>\2w*=5Vεx +2y+ z*=3#W5.% src:604kap6.3Ein~Bankkundemoochte~Geld~infestverzinslichen~PapierenderKategorien%AAA,rAPundBanlegen.DiesPapierederKategorieAAAerbringen6%%Zinsen,;2144`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;*#2c)7x src:616kap6.3seineDTGesamtanlageDMD80000.-bGetroagtunddiejoahrlicheZinsein- 7xnahmeUUDM5800.-bGetragensoll?6.% src:620kap6.3FindenUUSieLU-ZerlegungenvondenMatrizen!qҍ̏M1C=Z0 @P2'p6:2 13#8:0P4'p9:2ZAj1 AjA/w;6.4EinTKapitelCoAdierungstheorie9215%ō>;De nitionT6.4.1fA src:33kap6.4(Worterbuc9hderCoQdierung)QmEinCo}'deȲisteineMen- ge¼Cyײ(vonZeichen,diegeeignet»sind,InformationenzuspGeichern»undzu1ӞoubGermitteln).EineChi r}'e`(odereineV;erschl֞ousselungJ(Co}'dierungKoderChif-frierung})isteineAbbildungfڧ:C1C C! C2cOeinesCoGdesineinenanderen.EineDe}'chi rierung|NeinerChi reѵfڧ:C1C C! C2EisteineAbbildungg":C2C C! C1Emit궵g[fC=id .ܴDieܳQuelleeinerChi ref:C1%' %%!ڵC2Y&heitKlartext,einElementdes4Klartextesheit3Nachrichtenwort.EinElementdesBildeseinerChi reheitDECo}'dewort.EineCoGdierungDDheitlineareoCodierung,wennDDC1undC2궲V*ektorroaume6Esindundfڧ:C1C C! C2eine6DlineareAbbildungist.Sinnvoll6EsindnurUUCoGdierungenf,dieinjektivsind.BeispieleT6.4.2` src:55kap6.41.WSprachenWimSinnevonW3.1.6,d.h.bGeliebigeMengenvon궟"UstringsL\oGderUUWoorternroubereinembeliebigenAlphabetA." src:59kap6.42.DasZahlensystem,d.h.diemitdenZi ern0;:::;9unddenZeichen:궲undUUdargestelltenZahlen." src:63kap6.43.ODasPMorsealphabGet,dasmitdenZeichen:(dit)und(dah)aufgebautwird." src:66kap6.44.RDieq[ٲ-Runddiezp-GruppGeninderMorsesprache,dassindGruppGenvondreiBuchstabGendes(BuchstabGen-)Alphabets,diemitq bzw.z PbGeginnen,z.B.UUqth=Standort." src:71kap6.45.UUDieBarcoGdeszurBezeichnungUUvonW*arenimSupGermarkt." src:73kap6.46.b1DerISBN-CoGde(InternationalStandardb2BookNumber),wiez.B.3-519-02211-7,UUwobGeidieeinzelnenGruppenfolgendesbedeuten:<3UU=Erscheinungsland<519UU=V*erlag<02211UU=fortlaufendeBuchnummer<7UU=PrGoufnummer.Die"PrGoufungaufeinekorrekte "fUbGertragung(F*ehlererkennung)geschiehtimBeispielK^durch]fK]UbGerproufungvon10$$3+95+81+79+60+52+4궲2+31+21+170(moGd11).MDieLRestklassenbGerechnungmoGdulo11kqannwieinBeispiel3.6.45.durchBildungderalternierendenQuersummevorgenommenUUwerden." src:88kap6.47.EBeliebigerFT*extderUmgangssprachekqannineinenlinearenCoGdeK^n궲fGourͩKF=GFc(q[ٲ)ŞoͨubGersetztwerden,indemmanzunoachstdenT*extjeweilsinGruppGen,vonl_^BuchstabGenundAbstoande(undevtl.,sonstigeZeichen)zu-sammenfat.cBeiderV*erwendungbvonca;:::;zp;A;:::;Z(;Zwischenr}'aumƲsindalso'53^l9rverschiedenesolcheT*extgruppGenmooglich.'DiesenweistmanineinerbGeliebigfestzulegendenW*eiseebensovieleverschiedeneElementeinK^n zu. _DamitUUbGestimmtsichlaus53^lq[ٟ^n "alslxn8&hs;2164`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;De nitionT6.4.3fA src:108kap6.4SeirK^n einlinearersCoGde.DieHamming^1|s-MetrikaufK^n 궲istdieAbbildungd:K^nPK^nﲸ !ɼN U0'Tmitd(x;y[ٲ):=Anzahlderi2f1;:::;ng궲mit;id6=iTL.istdieAbbildungk:kV:WK^n  !GN"ӟ0+einer(kP;n)-linearenCoGdierung궵fhistUUde niertalsT~isZkfk:=Minßbkf(x)kjx2Kk;x6=0b :궟 Љff/f J:-=1 {Ric9hardTW.Hamming(1915{1998)͠Oō>;6.4EinTKapitelCoAdierungstheorie9217%ō>;" src:187kap6.4WirMUbGemerken,daxdl2dkBi@(f)genaudann,wennh(x)dl=dk0.Einsolche Kontrollabbildungexistiertimmer,wiewirz.B.in6.1.4gesehenhabGen.W*ei-teristkfkb=bMin∸fd(f(x);f(y[ٲ))jx;y]2bK^k;x6=by[ٸg,weild(f(x);f(y[ٲ))b=궵d(f(x)8f(y[ٲ);0)=d(f(x8y[ٲ);0)=kf(x8y[ٲ)k." src:195kap6.4ImUUfolgendenSatzgehenwirvonderallgemeinenV*orstellungaus:鍍B&9ff+Ŷ Ǎ ffKlartext* ffffff+ŶFtfCoGdierungl/KK!P9ff$E Ǎ ffSender#x ffffff$E[ԿfUbGertragung/StoorungG%!čgF 9ff6w㎍ff9Empfoanger5ffffff6wFh4DecoGdierungl5ī!W9ff+Ŷ Ǎ ffKlartext* ffffff+Ŷ  src:208kap6.4Es^wirdalso^einKlartextcoGdiert,oubereine^InformationsleitungzumEm-pfoanger[ߞoubGermittelt,(wobeiderT*extaufgrundderCodierungeventuellauchabhoorsicherist,)wirdaufder ΟfUbGertragungsstreckemitStoorungenverschiede-nervArtwveroandertundbGeimEmpfoangerwiederdecoGdiert.WirwollenMetho-den} nden,}dieF*ehlerbGeiderfUbGertragungzuerkennenundmooglichstauchzukorrigieren.W*ennalsoxeincoGdiertesausgesandtesW*ortistundyndasempfangene'W*ortist,dannsoll(festgestelltwerden,obestatsoachlichdurchdie(CoGdierungentstanden)istoderveroandertwurdeundob)mandarausdasW*ortxrekonstruierenkqann.WennbGeieinerCodierungf]:IK^k; 9!5ȵK^n 6F*eh-ler!SanhoochstensrhpStellendeshoo!RubGertragenenW*ortesimmererkqanntwerdenkoonnen,sosagenwir,dadieCoGdierungr-fehlerentdeckendist.W*ennFehleranhoochstenssStellendurchdierestlicheInformationimIoubGertragenenW*ortkorrigiertUUwerdenkoonnen,soheitdieCoGdierungs-fehlerkorrigierend.SatzT6.4.8I src:228kap6.4Seifڧ:K^kiĸ !uK^n eineG(kP;n)-line}'areACodierung,@seiC~4:=Bi (f)undseiy"2K^n(.x1.% src:231kap6.4(F;ehler}'erkennung:)WenneseinEHx2C8mitsx6=yܾgibt,soda d(x;y[ٲ)<%kfk,dannisty?c="2 C,d.h.dasWortyistkeinCo}'dewort,alsofalsch.2.% src:235kap6.4(F;ehlerkorr}'ektur:)K Wenneseinmx2C'gibtK mit=d(x;y[ٲ)< K1K&fes2 )kfk,danngilt%f֞ourUXallez2%C(;z6=x[d(x;y[ٲ)%;2184`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;BeispieleT6.4.9` src:262kap6.41.oParitoats-PrGoufungs-CoGdes(Parity-Check-CoGdes):Sein[ 궲2undkŲ=-n__1undf:.K^k Jٸ J!K^n 82gegebGendurchf( 1|s;:::; n1).=( 1|s;:::; nq~)vmit n8=( 1!+{::: +{ n1).vO enbaristfIeinMonomorphismus.W*eiteristaUָ2UղBi 2I(f)genaudann,wennPލ95n%95i=1X, i"=U0.Wennq=U2ist,dannwirdjedeungeradeAnzahlvonF*ehlerndadurcherkqannt,daPލn%i=1 i=W1gilt.EingeradeAnzahlvonF*ehlernwirdnichterkqannt.FGourxs2Bi O(f)und궵x426=0mGoussenmindestenszweiKoGezientenvonNullverschiedensein,alsoistkfk=2.DamitkqannzwareinF*ehler(undsogareineungeradeAnzahlvonF*ehlern)erkqanntwerden,jedoGchergibtsichkeineMooglichkeitzurKor-rekturJ'vonJ(F*ehlern.DieseCoGdierungenwerdenJ(z.B.inPCsverwendet,J'wenn8-Bit~W*orte~in9-BitSpGeicherngespeichertwerden~unddas9.BitdurchdieAbbildungUUfhbGestimmtwird." src:280kap6.42. yWiederholungscoGde: zEineeinfacheMooglichkeiteiner zsichererenLyfUbGer-tragungTaufeinerTgestoortenfUbGertragungsstreckeTistdiedreifachefUbGertra-gungQ\jedeseinzelnenW*ortes.Q[DabGeiistnk!=k"3kundf~:K^k θ !xK^n ydurch궵f(x)=(x;x;x)(gegebGen.Dasistwiedereine)lineareCodierung.Mansiehtsofort,dakfk=3ist,alsoistnach6.4.8dieseCoGdierung2-fehlerentdeckendundUU1-fehlerkorrigierend." src:290kap6.4W*ennwvdiebGeidenVektorroaumeK^k "undK^n dieselbGeDimensionhaben,dannmudieCoGdierungf CeinIsomorphismussein.Dannistkfkն=յ1undeineF*ehlerentdeckungoGder-Korrekturo enbarnichtmooglich.kfkhoangtalsoo enbarUUauchvondengegebGenenDimensionenab.SatzT6.4.10O src:298kap6.4Sei:f:*K^k ׸ !>K^n ^Heine (kP;n)-lineare-CoGdierungY7h+:K^n궸.!" K^nkceine8Kontr}'ollabbildung.9SeiBQdiezugehoorigeKontr}'ollmatrix.DannsindAjevkfkba1Sp}'altenvektorenAvon~Blinearunabhoangig,undesgibt3kfkline}'ar abhoangige Spaltenvektoren,d.h. kfkistdieMinimalzahlvonline}'arabhoangigenSp}'altenvektorenvonXJBq.Beweis.: src:308kap6.4Seix=PiTLeid2Bi (f)einvonNullverschiedenerV*ektormitkxk=궸kfkiminimal.DannsindgenaukfkjF*aktoreni:vonNullverschieden.W*egen0=h(x)=BàC0x=PiTLbiDzsindZ{dieZzkfkSpaltenvektorenZ{bilinearabhoangig.SeieineXHT*eilmengeIf1;:::;ngXImitjIj=kfk>1XHgegebGenundXIseiP 惟i2I_iTLbid=0mitii6=0fGourallei2I.Dannisth(P ;i2ISiTLei)=Pӟi2Iibii=0,alsoistߵx=P=i2IiTLei2Bi (f).DannsindmindestenskfkverschiedeneSkqalare궵iJϸ6=0, cwasnachV*oraussetzungausgeschlossenist,oGderesistx=0, cunddamitUUsindalleid=0.DieMengederfbiTLji2Igistalsolinearunabhoangig.F olgerungT6.4.11kE src:326kap6.4F֞ourje}'deTB(kP;n)-lineareCodierungvdfڧ:K^kiĸ !uK^n gilt kfkn8kw+1:Beweis.: src:331kap6.4DerRangjederKontrollmatrixzufmistnkP.Damitsindjenk>+1 V*ektorentdertKontrollmatrixlinearabhoangig.NachdemvorhergehendenSatzistUUalsokfkn8kw+1.Oō>;6.4EinTKapitelCoAdierungstheorie9219%ō>;" src:336kap6.4DieKontrollmatrixkqannherangezogenwerden,umF*ehlerinderPПfUbGer- tragungjzuerkennenundevtl.zukorrigieren.InsbGesonderekqannmitihrdieAnzahl#derF*ehler"abgeschoatztwerden.WirbGezeichnen"dieSpaltenvektorenvonUUBƲmitbid2K^nk+,alsoBG=(b1|s;:::;bnq~).F olgerungT6.4.12kE src:343kap6.41.=SeiBĵx2Bi ׉(f),=undseienb}'eiderfUbertragunggenau궵tF;ehleraufgetr}'eten.Wenn7y2ĵK^n GnderempfangeneWertist,dannistdieminimaleAnzahlderKo}'ezientenXJi3mitBqy"=PiTLbihoochstensft." src:349kap6.42.Seiεx2Bi 3(f),seienb}'eiderfUbertragunggenauWtF;ehleraufgetreten,undyseiTt< K1K&fes2 )kfk.Wennxݵy"2K^nderempfangenezWertist,danngibtestein- 8deutigb}'estimmteKoezienten^.imitBqy-=ğP iTLbi.DerHfUbertragungsfehleristdannXJP-iTLei,undesgiltx=y8PqõiTLei.Beweis.: src:359kap6.4MitM1.kqanndieAnzahlNderaufgetretenenF*ehlernachuntenab-geschoatztwerden.SeiP-iTLeiIder4͟fUbGertragungsfehler,d.h.y,=޵x/+PiTLei.DannistBqy-=0 >.!WK^n XmitBi c3(f)=KeRW(x䍑WbB /:K^n @궸!"͵K^nrV=)UUzukonstruieren,waswegenr5=dimnKe!US(x䍑WbB9)immermooglichist.BeispieleT6.4.13f src:393kap6.41.UUSeiK~4=Z=11Z.SeidieKontrollmatrix" r BG:=Z0 @ 1211+12:11I10X10g11 1112+10:10I12X11g12 1010+11:12I11X12g11Zmv1 mvAxG:!qҍ src:399kap6.4DannSkqannTmannachrechnen,SdadieMinimalzahlvonlinearabhoangigenSpaltenvektoren4ist.EineentsprechendeCoGdierungsmatrixfourdieCoGdie-rungUUfڧ:K^4 !K^7gewinntmanausderBasisdesKernsvonx䍑nbB k.SieistOō>;2204`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō;kƵA:=L0BBBBBBBfi@²9#978I17 1#272I152#172I13 110#070I100!11070I100#05110I100#070I18LOs1OsCOsCOsCOsCOsCOsCOsCfiOsAZG:8ڍ src:413kap6.4DieseGCoGdierunghatdieHamming-Norm4,Hkqannalso3F*ehlererkennenund einenUUF*ehlerkorrigieren." src:416kap6.42.UUSeiK~4=Z=2Z.SeidieKontrollmatrix!r BG:=Z0 @ 1110+10:11I11X10g11 1011+10:11I10X11g11 1010+11:10I11X11g11Zmv1 mvAxG:!卑 src:422kap6.4DannSkqannTmannachrechnen,SdadieMinimalzahlvonlinearabhoangigenSpaltenvektoren3ist.EineentsprechendeCoGdierungsmatrixfourdieCoGdie-rungUUfڧ:K^4 !K^7ist.qǍǵA:=L0BBBBBBBfi@ 1110+11:11 1111+10:11 1011+11:11 1110+10:10 1011+10:10 1010+11:10 1010+10:11L@p1@pC@pC@pC@pC@pC@pC@pCfi@pAKG:4>Ӎ src:434kap6.4DieseGCoGdierunghatdieHamming-Norm3,Hkqannalso2F*ehlererkennenundeinenUUF*ehlerkorrigieren. De nitionT6.4.14l src:439kap6.4SeiaK}ein`bGeliebigerKoorper.DieMenge`derF*olgen궵K[[x]]U:=f'V:N ~0!'1Kg=Vf( 0|s; 1;::: UO)j i2UKg=K^N"^0ZheitnH(forma-ler)UUPotenzr}'eihenring~o7ubGerK. LemmaT6.4.15_G src:447kap6.4K[[x]]isteinRingunterdenfolgendenOp}'erationen: src:449kap6.4('8+ [ٲ)(n)='(n)8+ (n); src:450kap6.4('8 [ٲ)(n)=Pލ USn% USi=0tJ'(i) (n8i): src:453kap6.4DasEinselementistdieF;olgeTB(1;0;0;::: UO).Beweis.: src:457kap6.4UnterderAdditionliegtsogareinV*ektorraumvornachdemHaupt-bGeispielݓfourݔV*ektorroaume5.1.4.DieAssoziativitoatundDistributivitoatderMultiplikqation'[ist'\eineeinfacheRechenGoubung.'[DieEigenschaftdesEinsele-mentsfolgtausderT*atsache,dabGeiderMultiplikqationdieSummejeweilsaufUUeineneinzigenSummandenzusammenfoallt.De nitionT6.4.16l src:467kap6.4SeizEK1`einbGeliebigerzDKoorper.zEDieMengederendlichwer-tigenUUF*olgen,Oō>;6.4EinTKapitelCoAdierungstheorie9221%ō>;EK[x]=K(Nk֟0 R),:=f( iTL)2KN"0 jUUfGournurendlichviele^ i2N 0|lgilt%C id6=0gL src:476kap6.4heitO(formaler)NPolynomringoubGerK.DieElementevonK[x]NheienPoly- nome.5LemmaT6.4.17_G src:482kap6.4K[x]isteinUnterringvonXJK[[x]].LBeweis.: src:486kap6.4NachBeispiel5.1.7istK[x]K[[x]]einUntervektorraum.Esbleibtnur9die9AbgeschlossenheitbGezouglichder9Multiplikqationzuzeigen.W*ennalso( iTL)|und( i)in{K[x]gegebGensind,diebeidenur{noch|Koezienten|Nullfour (荑Indizes>nhabGen,dannsindin( iTL)wv( i)=(Pލ ;i% ;jg=0 j6 ij J)alleKoGezientenmitUUIndexi>2nUUNull,denninderSummesindalleSummandenNull.BemerkungT6.4.18s src:497kap6.4InõK[x]bGezeichnenwirx{ϲ:={(0;1;0;0;0;:::).Dannist궵x^2 Z3=ݿ(0;0;1;0;0;::: UO)."Allgemein!istx^n O>=en dieF*olge"miteinerEinsanderpn.G+.F1-stenStelleundNullqsonst.In5.2.4(4)habGenwirgezeigt,dadie_Mengederei bzw.hierdieMengederx^i eine^BasisfGourK[x]bilden.JederEV*ektorausE׵K[x]loatsichdaherineindeutigerW*eise(miteindeutigbGestimmtenKoezienten)alsPލ Kn% Ki=0B iTLx^id= 08ʲ+W 1|sx+:::#U+ nq~x^nschreibGen.DieobGenangegebeneMultiplikqationistdanndiebGekqannteMultiplikationvonKPolynomen.DieJeindeutigbGestimmteZahlnmitJ n΅6=]0und n+ia=]0fGouralle i/2N>heitderGr}'addesPolynoms( iTL)/2K[x]bnf0g. n heitderhoochsteKoGezientdesPolynoms.MansiehtdurchBetrachtungderhoochstenKoGezientenUUsofortein,daK[x]einnullteilerfreierRingist.5LemmaT6.4.19_G src:517kap6.4DieOPolynomeNinⲵK[x]vomGr}'adehoochstenspnbildeneinenV;ektorr}'aumXJPn ederDimensionn8+1.Beweis.: src:522kap6.4DiesenPolynomemwerdenvonmdenlinearunabhoangigenPolynomen1=x^0|s;x;x^2;x^3;:::;x^nӲerzeugt.SatzT6.4.20O src:527kap6.4ImFPolynomringµK[x]giltEderEuklidischeDivisionsalgorith-mus:zuje}'demPaar ufV;g2~K[x]vonPolynomenmitg6=~0gibteseinein-deutig|b}'estimmtes}PaarvonPolynomenoߵq[;r82ѵK[x](QuotientundR}'est),sodagiltSffڧ=q8g+rLundBGradXhq(rG);2224`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;BemerkungT6.4.21s src:558kap6.41.DEinPolynomf(x)inDK[x]vomGradnhathooch- stens9n:NullstelleninK.Seiennoamlich 1|s;:::; kʲNullstellenvon:f(x),dannistf(x)=(x 1|s)(x 2):::(x k됲)g[ٲ(x), alsokW.n.NachdemDivisionsalgorithmusListLnoamlichf(x)bM=bL(x\ 1|s)[g1(x)[+ 1.LW*ennLmanfGourixdenW*ert 1ݲeinsetzt,dannerhoaltman0= 1|s.iFGourjedeweitereNull-stelle i\ivonf(x)istdannabGer0=f( iTL)=( i[ 1|s)g[ٲ( i),alsosinddie궵 2|s;:::; kwNullstellenvong1(x).DurchInduktionnachdemGraderhoaltmandieUUbGehaupteteAussage." src:572kap6.42.GV*onGPolynomeninK[x]koonnenwirwieimreellenF*allAbleitungenbilden,Ehierformale^Ableitungengenannt.WirbildenFnoamlichdieeindeutigbGestimmtelineareAbbildungd=dxB:K[x]BB!K[x],indemwiraufderBasis(x^iTL)kvorschreibGenkʵd=dx(x^i)/:=ix^i1(fGourkʵi=0ksolld=dx(x^0|s)=00gelten).Die8WProGduktregel8VgiltauchhierfGour,dennesistd=dx(x^iTLx^j6)=(i+j)x^i+jg12=궵ix^i1 x^j_+ljx^iTLx^jg1Dz=Hd=dx(x^i)x^j+lx^id=dx(x^j6).DarausleitetsichwegenderLinearitoatUUdieProGduktregelab:p1d=dx(fg[ٲ)=d=dx(f)g+8fd=dx(g[ٲ):" src:586kap6.4Seien6kT̲undn5mitk<ngegebGenundseig`einPolynomvom6GradnkP. Dann,de niertgdie+folgendelineareAbbildungg{:)Pk+B1G,3f27!(g[f22Pn1.Wir1"bGetrachtendieentsprechende1#lineareAbbildungaufdenKoGordinaten-systemenbHg -:+K^rO O!zK^n(.HW*ennIg۲=+Pލ =nk% =i=0 iTLx^i唲ist,dannistdiedarstellendeMatrixXvonXgibGezouglichXderXBasen1;x;x^2|s;:::;x^kD bzw.1;x;x^2|s;:::;x^ngegebGendurchYbM3=.0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBfi@  04n0aqQ:::A20 12L 0O0aqQ:::A20sl.sl.sl.1S.5.9m.LT.P8n.T.].].].8sl.sl.sl.LT.P8n.T.a.e.iƣ.].].].sl.sl.sl.bq 1|G 0sl.sl.sl.|G 1 1 nk].].].cV0,|5 nk].].].sl.sl.sl.LT.P8n.T.].].].8sl.sl.sl.a.e.iƣ.].].]. V01L:::dƤ0w nk.1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCfiA{;aꦍ src:608kap6.4wieUUmansofortausdemPolynomproGduktN;\g[fڧ=nk \X txi=0ϵ iTLxik+B1 X tgjg=0Q j6xjIJ=n1 %-X et=0 (k+B1 X thjg=0R tj | j)xt  src:612kap6.4abliest.NРOō>;6.4EinTKapitelCoAdierungstheorie9223%ō>;De nitionT6.4.22l src:615kap6.4EineCoGdierungderF*orm bg \:K^k !kK^n 3mitGradd(g[ٲ) 궵n8kheitUUPolynomc}'ode.UDe nitionT6.4.23l src:621kap6.4Ein=CoGdierung=hJ>:K^k !7(K^n f:heitzyklisch,=wennfGouralleax(=)(1|s;:::;nq~)2Bi؝(h)`gilt(nq~;1|s;:::;n1)(2)Bi؝(h).Also`istjedezyklischeUUV*ertauschungeinesCoGdeworteswiedereinCoGdewort.VSatzT6.4.24O src:630kap6.4SeienyеkundnlmitEk<nmge}'geben.SeiGg"2Pnk{vommGradnU:U;keinT;eilervonx^n \޲12K[x].Dannistderdur}'chgx]erzeugtePolynomcodeeinzyklischerCo}'de.gAheitdanneinGeneratorpGolynomf֞ourdenzyklischenCo}'de.䍍Beweis.: src:638kap6.4Seiig[g^0=׵x^n޸F`1.Dannistx^nZV=g[g^0pr+F`1.Seigfg=ص 0Ҳ+F` 1|sx+:::7g+궵 n1x^n1tDarstellungeinesCoGdewortes( 0|s;:::; n1).Wirmultiplizierendiese\EGleichung\Fmitxunderhaltenxg[f=}Q 0|sx*++ 1x^2d+:::z+ n1x^n ϲ=궵 0|sx'+ 1x^2+:::+ n1(g[g^0C9+'1)= n1+ 0|sx+ 1x^2+:::+ n1g[g^0ounddarausY n1j+x 0|sx+ 1x^2b+:::w+ n2x^n1'=yxg[f n1g[g^0&=yg(xf궵 n1g[ٟ^0*).DaGradh(xfS n1g[ٟ^0)nT1SGrad(g[ٲ)=k 1gilt,istalsoauch( n1; 0|s;:::; n2)UUeinCoGdewortundderPolynomcoGdezyklisch.BemerkungT6.4.25s src:654kap6.4EsgiltauchdieUmkehrungdesSatzes.SeifIF:5K^r궸!# K^n einzyklischerCoGde.DanngibteseinPolynomg 264Pnkmitgزteilt궵x^n ~1,dasdiesenzyklischenCoGdeerzeugt.WirbGenootigendenBeweishiernicht.U" src:660kap6.4SeivK`޲=µGFc(q[ٲ)mitq=p^tEundpeinervPrimzahl.InK. giltp²=1+궵:::"}+!1޸޹0(moGdp).Dannist(x 1)^p ~ =x^pr1inK[x],dennnachderbinomischenlF*ormelist(xgh1)^pfj=Pލ USp% USi=0tJ^%{fp&Fli,.^55*(1)^pi x^id=x^p1lund^ sp >i&[^I=&hp::: (pi+1)ʉfe- q1::: iGsb0(moGdp),NweilOpalsPrimzahlindiesemBruchnichtNgekGourztwerdenUUkqann.Damitist(x81)^pkJ(x1)^k=x^p21." src:670kap6.4MitdiesenHilfsmittelnkoonnenwirjetztPolynomeangebGen,dieeinenzyklischenUUCoGdegrootmooglicherHamming-Normerzeugen.SatzT6.4.26O src:675kap6.4Derdur}'chgk:=^(xWʸWɲ1)^pkHo ruberKz=_GFc(q[ٲ)generiertezykli-scheCo}'dehatdieHamming-NormXJp8kw+1.䍍Beweis.: src:680kap6.4FGour|kY)=1|istV@bg1ƭ:K^1;2244`6.MatrizenTundlineareGleic9hungssysteme%ō>;궲koonnenwir 0 6=K0annehmen.FGour۵f"۸6=0giltGrad(gk됵f)L=Grada(gk)"+ Grad*<(f)=(pkP)+GradYb(f)pkP,kalsoistauch i 06=0fGoureinji>궲0.KDannistdaszugehoorigePolynomK 0Y+O 1|sxN+:::eE+ p1Ƶx^p1==b,gk됵fu=(xcd1)^pkJf.pWirbildenpdieformaleAbleitungunderhalten 1qֲ+d2 2|sxc+궵:::"_+*(p1) p1Ƶx^p2=2Q(gk됵f)^0=(p*kP)(x1)^pk+B1Wfݹ+(x1)^pkJf^0=(x1)^p(k+B+1)((pkP)fP+(x1)f^0Ȳ). EDaherist( 1|s;2 2;:::;(p1) p1Ƶ;0)2궲Bi*(rbgk+B+1Н)UUeinElementkleinererNorm.Damitistkrbgk+B+1k;%ō>;7.%NEigenwerttheoriex src:2kap7.1DiebDeterminanteeinerquadratischenbMatrixoGdereinesEndomorphismus istfeinefderwichtigstenInvqarianten.fMitihrkqannmanfeststellen,obeineMatrixKHinvertierbarKGist.SiegestattetesabGerauch,geometrischeKHEigenschafteneines(Endomorphismusgenauer(zustudieren.DieswirdimAbschnittooubGerEigenwerteUUgeschehen.&Ea7.1**Determinantenb src:11kap7.1WirfGouhrendenBegri derDeterminanteaufeinewenig(oublicheW*eiseein.Die?verwendeteMethoGde>fouhrtbesondersschnellzu>denwichtigstenEigen-schaften.t De nitionT7.1.1fA src:16kap7.1EineAbbildung"=:K^nn Jظ J!mKC!heiteineDeterminanten-funktion,UUwenngelten&@ (1) (Bq)=(A),falls zBausA {durchAdditioneinerZeilezueineranderenZeileentsteht, zund&@ (2) (Bq)= BZ8(A),fallsUUBƲausAdurchMultiplikqationeinerZeilemiteinemF*aktor ^ϲentsteht.SatzT7.1.2I src:29kap7.1Sei:K^nnﲸ 3!KKeineDeterminantenfunktion.Danngilt1.% src:32kap7.1(A)=0f֞ouralleTBA2K^nn mitR}'ang}(A)(Fij ( z)A)=(A)F(7:1a) src:49kap7.1wobGeiiOō>;2264`7.Eigen9werttheorie%ō\oFij ( z)8Z0 @8䍍 a17R.R.R. anZ߫1 A$=D0BBBBBBBBBBBfi@N<Na17!K.!K.!K. 1ai,+ BZajꨍ!K.!K.!K.paj!K.!K.!K.ӂanD:ڙ1:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙC:ڙCfi:ڙAEEB:>X src:54kap7.1ElementarmatrizendritterArtderF*ormPij koonnengeschriebGenwerdenals 궵Pij fв=[ٵFiTL(1)Fij Fj6(1)FjgiFi(1)Fij,d.h.dieV*ertauschungzweierZeilenkqann?\mit?[elementarenZeilenopGerationenersterundzweiterArtdargestelltwerden,UUinsbGesonderegilti(Pij A)=(A):LB%(7:3)i src:60kap7.1Also gibt eszujederinvertierbaren MatrixB7}einenvonNullverschiedenenF*aktorUUbmitI(BQ8A)=b(A)p src:63kap7.1fGouralleMatrizenA,denndieF*aktoren,diemanbGeieinerZerlegungvon궵BI5inElementarmatrizenerhoalt,hoangennurvonŵBI5undnichtvonAab.IstRang(A)މ<ފn,cfdannhatdieStufenformceB²BAA=SvonAalsletzteZeiledenNullvektor.UUDahergilt(A)=b^1 t(S)=0UUwegen(2)." src:70kap7.12._IstRang(A)=n_und(Enq~)=0,_soist(A)=(AMEn)=aMM(En)=0,UUalso=0.i" src:75kap7.1WirvergleichenDeterminantenfunktionenunderhaltendabGeidenBegri derUUDeterminante.pF olgerungT7.1.3eG src:79kap7.1Seienz1|s;2C:K^nnﲸ 3!KmzDeterminantenfunktionen.]DanngilttA1|s(Enq~)2(A)=1|s(A)2(En):Beweis.: src:85kap7.1(A)+:=+1|s(Enq~)2(A)`ٸ1|s(A)2(En)JistebGenfallsKeineDetermi-nantenfunktion,#Gda#Fsie(1)und(2)erfGoullt.W*eiterist(Enq~)=0.Also#Gist궵=0UUunddamitdieBehauptungbGewiesen.iF olgerungT7.1.4eG src:93kap7.1SeiJ%:K^nn Б!!ŵKgeineEKDeterminantenfunktionmit궵(Enq~)=1.Danngilt(A8Bq)=(A)(B)f֞ouralleTBA;BG2K^nn(:Beweis.: src:99kap7.11|s(A):=(A3Bq)+isteineDeterminantenfunktion+wegen+(7.1)und(7.2).UUAlsofolgtmit2C=aus7.1.3궵(A8Bq)=1|s(A)82(Enq~)=1(Enq~)82(A)=(Bq)8(A):iDe nitionT7.1.5fA src:108kap7.1Eine^Abbildung|:K^nn C C!]K>zheit^(zeilen-)multiline}'ar,wennoPoQaufgefatalsAbbildungaufdemn-T*upGelderZeilenvektoreninoPjedemArgumentUU(injederZeile)linearist,d.h.wennOō>;]7.1Determinan9ten9227%ō VL{Ե8P0BBBBBfi@1ȍ ׵a17... x8... QanPz1zCzCzCzCzCfizA#s+P0BBBBBfi@8卍 ׵a17... ,y... QanPz1zCzCzCzCzCfizA$=P0BBBBBfi@8卍a179*.9*.9*. Qx+y9*.9*.9*.?banP0ȫ10C0C0C0C0Cfi0A;9qgiltI;:28⍍SatzT7.1.6I src:122kap7.1Zuje}'dem(ngilteseineeindeutigbestimmteDeterminantenfunk- tionвdet:5hK^nn ^ >!קKmitEdet(Enq~)=1.mDieseDeterminantenfunktionistmultiline}'ar.EIst8õ : K^nn 2/ vk!KeineDeterminantenfunktion,sogiltf֞ouralle궵A2K^nny(A)=det(A)8(Enq~):Beweis.: src:131kap7.1Die@}Eindeutigkeit:@~Seien1 und2 Determinantenfunktionmit궵1|s(Enq~))=1*=2(Enq~).^Nach^7.1.3folgtdann1|s(A)*=)1(A)2(Enq~)=궵1|s(Enq~)2(A)=2|s(A).FGourdenExistenzbGeweisverwendenwirvollstoandigeInduktion];nachn.FGourn~=~1ist]:det:K^1l1 z3( z)~7! e2KWo enbareineDeterminantenfunktion\mit]det(E1|s)=1.Sieistauerdem](multi-)linear.SeidieUUExistenzfGourn81UUbGewiesen,undsei1KcA=Z0 @8䍍 G 11'ܵb17...*.*.*. 1 n1'VbnZ2l&1 2l&A=?2Knn(:UUSeiqȵBk=P0BBBBBfi@qɍ Gb17G.G.G.\qHb tbkG.G.G. 1bnP1CCCCCfiA$2K䍑n1n1e;4ꪍ src:147kap7.1wobGeiuZdieuYZeilebk`fortzulassenist.Dassollmit\qIZbbk angedeutetwerden.NachInduktionsannahmeUistdetw(Bk됲)Tde niertundmultilinearindenZeilenbiTL.WirUUde nierenodet}%(A):=#n X k+B=1R(1)k+B+1 k+B1 detv;(Bk됲):LB%(7:4)捑 src:153kap7.1DieqAbbildungdetsistmultilinearindenZeilen.WirqzeigendiesesfGourdieersteUUZeile:#}􈐍o9detX~0~Bfi~@.2 11 Ʋ+8 ^ z0l11ob1S+8b^0l1...r[.r[.r[.1 n1ֵbnXR 1R CfiR A%Po9=(1)^1+1v( 11 Ʋ+8 ^ z0l11x)det8(B1|s)=}Oō>;2284`7.Eigen9werttheorie%ōHxԍOB^+ n  X k+B=2(1)^k+B+1 k+B1(det8(Bk됲)8+det(B^q0vk됲))EB]= n  X k+B=1(1)^k+B+1 k+B1 detv;(Bk됲)8+ n  X k+B=1(1)^k+B+1 k+B1 detv;(B^q0vk됲)$,EB]=8detZ0 @8䍍G 116ܵb17".".".9.9.9. 1 n16VbnZAl&1 Al&ALe+detX808Bfi8@. ^ z0l115b^0l1")Ų.").").8.8.8.  n15wbnX@1@Cfi@AKH:> src:180kap7.1InsbGesondereUUist(2)erfoullt. " src:182kap7.1WirbGetrachtenwiedernurdenSpGezialfallZ=[=1und( ^ z0l11xb^0l1|s)Z=( 21xb2|s),UUsoist#& kdetZ50 5@8䍍@L 11 Ʋ+8 21}>b1S+8b27S.S.S.|<.|<.|<.Mz n1bnZm1 mA=detZUP0 UP@8䍍: 117b17#F5.#F5.#F5.:.:.:. n16bnZA^1 A^AL?+8detZ0 @8䍍G 216Vb27".".".1 n16Vb1Z@w1 @wA# src:193kap7.1wobGeiinderletztenMatrixdieersteundzweiteZeilegleichsind.In(7.4)fal-lendamitderersteundzweiteSummandfortundbGeiB3|s;:::;Bn9sindjeweilsersteundzweiteZeilegleich.Dadet(Bk됲)eineDeterminantenfunktionist,istdet!F(Bk됲)=0UUfGourk=3;:::;n:MankqannnoamlicheineNullzeileerhalten." src:200kap7.1SchlielichGistdet(Enq~),S=,R1,weildet(En1),S=1.GEndlichFist(A),S=궵(A)det8(Enq~)=(En)det8(A)UUnach7.1.3.De nitionT7.1.7fA src:206kap7.1DieDeterminantenfunktiondet:pK^nn  !xK heitDeter-minante." src:210kap7.1DieuRechenregelnfGourDeterminantenfunktionenvergebGenjetztdiewich-tigstenUUEigenschaftenderDeterminante.F olgerungT7.1.8eG src:214kap7.11.DieDeterminanteeinerMatrixistgenaudannNull,wenndieZeilenbzw.Sp}'altenderMatrixlinearabhoangigsind." src:218kap7.12.gDiefDeterminanteeinerMatrixoandertsichnicht,wennmanzueinerZeileeineLine}'arkombinationderanderenZeilenaddiert." src:222kap7.13.;DieDeterminanteeinerMatrixo;andertihrV;orzeichen,wennmanzweiSp}'altenvertauscht." src:225kap7.14.detww(A8Bq)=det(A)8detp(B):" src:227kap7.15.detww(8A)=^n^8detp(A):" src:229kap7.16.detww(A^tV)=det(A):" src:231kap7.17.EsgiltdetZ0 @8䍍 118:::N 1n7$f].$f].$f].8%A.;]7.1Determinan9ten9229%ō>;Beweis.: src:241kap7.12.2Zunoachst1istwegen(1)1dieAdditioneinerZeilezueineranderen mooglich.rEinVielfachesr derjtenZeilekqannebGenfallsausitenZeileaddiertwerden,indemmanzunoachstdiejteZeilemit G6=0multipliziert,dannaddiert,danndiej-teZeilemit z^1 dmultipliziert.W*egen(2)oandertsichdieDeterminanteFnicht.FDerProzekqannfGourmehrereZeilenwiederholtwerden." src:250kap7.11.W*enndieZeilenlinearabhoangigsind,istderRang<nundnach7.1.21.dieDeterminanteNull.IstRangAd=dn,alsoAreguloar,soistnach7.1.4det!F(A)8detp(A^1 t)=det(A8A^1)=det(Enq~)=1,UUalsodet8(A)6=0:" src:256kap7.13.UUfolgtaus(7.3)" src:258kap7.14.UUist7.1.4" src:260kap7.15.UUfolgtaus(2),fGourjedeZeileeinmalangewendet." src:263kap7.16.'"W*egen(A^tV)^1 =(A^1 t)^txistAgenaudanninvertierbar,'"wennA^txinver-tierbarist.NurindiesemF*allistdieBehauptungzuzeigen.AistProGduktvonElementarmatrizenA[=\F1V:::WиVFk됲.DannistA^t=\F^ctvkB$V:::WѸVF^ctl1:DafGourElementarmatrizenFigiltdetl=(F^ct;Zi)=det(FiTL),genauerfGourElementarmatrizen!Ídp\FiersterUUArtUdet(FiTL)= z;{"#FizweiterUUArtUdet(FiTL)=1;}FidritterUUArtUdet(FiTL)=1!𤍑 src:275kap7.1(wieNinM(7.1),(7.2),(7.3)mitA=Enq~),Nistalsodet(A^tV)=det(A)NnachT*eil4." src:278kap7.17.jiW*enneinesderjh ii z=0,dannistRangA<n,alsodetM(A)=0=궵 11 /ϸ:::y nn b:dW*ennallec ii *Ǹ6=/0sind,ddannkoonnenVielfachederunterenZeilenPzuPdenobGerenZeilensoaddiertwerden,daeineDiagonalmatrixmit궵 11x;:::; nn S̲inderDiagonalenentsteht.DieDeterminanteoandertsichnicht.Nachv(2)aufjedeZeileangewendetfolgtdet(A)= 11 S#:::PS$ nn det6(Enq~)=궵 11 Ƹ8:::g8 nn b:jBeispieleT7.1.9` src:290kap7.11.UUdet8( z)= " src:292kap7.12.UUdet㍟^ꩵ ,Y Dj -43^>W= zø8 8 ύ" src:296kap7.13. b-3detZqk0 qk@|& 1+ 1, 1|& 2+ 2, 2|& 3+ 3, 3Z1 A7= 1'detS^o 22 2o 32 3>5b^$df 2'detS^o 12 1o 32 3>5b^Gʶ+8 3'detS^o 12 1o 22 2>5b^%ۍ5Bi= 1|s 2 3S8 1 3v[ 28 2 1v[ 3+8 2 3 1+8 3 1 28 3 2 1 (<=q 1,7g 1SͲ 1za 1 1S׼@[gwxq 2,7g 2SͲ 2za 2 2S׼@[gwxq 3,7g 3SͲ 3za 3 3z(RegelUUvonSarrus)!4 kOō>;2304`7.Eigen9werttheorie%ō>;" src:328kap7.1DietBerechnungvonDeterminantenistukompliziert.WirgebGennureine MethoGdeWdazuan.XEinealgorithmischschnellereMethoGdeXerhoaltman,wennman#bGeielementarenZeilenumformungenin"geschickterW*eisedieDetermi-nantenderverwendetenElementarmatrizensammelt,bisdurchZeilenumfor-mungenUUdieEinheitsmatrixerreichtist.,De nitionT7.1.10l src:336kap7.1SeiAA02K^nn(.MitAij werdedieausAdurchStreichungder Ai-ten BZeileundj-tenSpalteentstehendeMatrixinK䍑n1n1PbGezeichnet.Aij궲heitUUdannauchStr}'eichungsmatrix,det8(Aij )Streichungsdeterminante.-SatzT7.1.11O src:346kap7.1(Entwicklungssatz}nachderj-tenSp}'alte)SeiaA2K^nn !gegeben.DannistqCdet(A)=>n X tմi=18(1)i+j . ijdet0(Aij ):<Beweis.: src:353kap7.1Wir3vertauschen3inAdiej-teSpalteschrittweisemit3denvorher-gehendenPSpalten,bisQsieanersterStelltesteht.DieseneueMatrixA^0҉hatdet!F(A^09)=(1)^jgidet1(A)mundmdamitdetP(A^0)=Pލ |n% |i=1@(1)^i+1 tO ijdet0(Aij )alsDeterminante.UUDarausfolgtdieBehauptung.~JBemerkungT7.1.12s src:362kap7.11.W*egendetK(A^tV)=det(A)folgtaucheinentsprechen-derUUEntwicklungssatznachderi-tenZeile:󢍍qCdet(A)=>n X tjg=18(1)i+j . ijdet0(Aij ):" src:367kap7.12.&Zur&praktischenBerechnungkqann&manalsojeweils&eineEntwicklungnacheinerbGesondersgeeigneten(mitmooglichstvielenNullenbGesetzten)ZeileoGderUUSpaltedurchfouhren,z.B. 'detZ7Z 0 7Z @AIJ0PĴ1_Ķ2AIJ3PĴ7_Ķ1AIJ0PĴ1_Ķ0Zfo_1 fo_Aqx=(1)4S80det^41)6247)610xߟ^:3+(1)51det^40)6243)610xߟ^(~]|B+(1)6S80det^40)6143)670xߟ^:k=6# src:375kap7.1durchUUEntwicklungnachderdrittenZeile." src:377kap7.13.FGourA2K^nnListdet~C(A)=P US(1) :1@L(1)_Þ :2@L(2)::: 1Ý :n@L(n) Gmitgeeigne-tenkV*orzeichen,wobGeikdurchallePermutationenderkZahlenf1;:::;ngloauft,alsogѵn!Summandende niert.AusjederZeileundjederSpaltekommtginje-dem[der[ProGduktegenaueinKoGezientvor.[Dassieht[mandurch[vollstoandigeInduktion undAuswertung derEntwicklungnacheinerZeile. Dennin(7.4)kommen/indet(Aij )aus.jederZeilevonAauerder.i-tenundjederSpaltevonWAauerWderj-tenindenSummandenjeweilsgenaueinF*aktorvor,undman \erhoalt [(n1)!Summanden. \Alsoergibt(7.4)insgesamtn(n1)!=n!Summanden.٠Oō>;]7.1Determinan9ten9231%ō>;" src:392kap7.1DieDeterminanteeinerMatrixkqannzurBerechnungderinversenMatrix verwendetUUwerden.Dazude nierenwirDe nitionTundF olgerung7.1.13X src:396kap7.1Sei*AA2BK^nn =undB1=( ij )mit) ij :=(1)^i+j0det(Ajgi )de niert.BXheitKomplementoarmatrix'zuA.DamitistѵA8BG=det(A)Enq~: src:401kap7.1IstAr}'eguloar,soistA^1 =<$1Kwfe* (֍det (A)"X-Bq:{Beweis.: src:406kap7.1Es9istP k^P ikܵ k+Bj iT=P USk@(1)^jg+k̵ ik jdetN(Ajgk<)=det(A)ij ,9dennfGour궵i3%=3&jOist/dies/derEntwicklungssatznach/derj-tenZeile.IstjedoGchi3&6=3%j,soFkoonnenwirdiesenAusdruckFebGenfallsnachdemEntwicklungssatznachderj-tenZeilealsDeterminanteeinerMatrixA^0Pײau assen,dieausAdurchErsetzenkderj-tenZeiledurchdiei-teZeileentstandenist.DieseMatrixistsinguloar,UUalsoistdet8(A^09)=0:SatzT7.1.14O src:417kap7.1(Cr}'amersche^1lRegel){SeiUAnβ=(a1|s;:::;anq~)2K^nn einer}'eguloareMatrixAmitBdenSp}'altenvektoren֤aiTL.DannAhatdasline}'areAGleichungssystem궵A8x=bdieLoosung'jY&(id=<$1Kwfe* (֍det (A)$det1e(a1|s;:::;ai1 ;b;ai+1 tO;:::;anq~):ՍBeweis.: src:428kap7.1(Die?eindeutig?bGestimmte)Loosungistx=A^1;2324`7.Eigen9werttheorie%ō>;De nitionT7.1.16l src:460kap7.1FGourAeinenEndomorphismusAfڧ:V!Vzemitdarstellender Matrix6MN de nieren6wirdieDeterminantedet(f)?:=det"(M):Sie6istnach7.1.15UUunabhoangigvonderW*ahlderBasisfamilie.q΍w'VUbungenT7.1.17l1.yV src:470kap7.1Zeigen%Sie,da^ Aa(b^ und$^c @dZ^ genaudannlinearqύ%unabhoangigUUsind,wennad8bc6=0UUist.2.% src:475kap7.1BerechnenKSieKelementargeometrisch(mitSchulkenntnissen)KdenFloachen-%inhaltUUdesParallelogrammsmitdenEckpunktenq΍E^a0a0 ^&;^ ĵa 1b^;^ ĵa8+c b8+d"2U^+9q;^ "c dޟ^:#% src:481kap7.1V*ergleichenUUSieIhrErgebnismitderDeterminantevon^ \qac ۴bd"^)0.3.% src:484kap7.1SeienUUx1|s;x2;x3C2K qElementeUUeinesKoorpGersK.ZeigenSie:!qҍSdetZb@0 b@@o1@11mx1Eyx2y x3mx^2l1Eyx^2l2y x^2l3ZW@1 W@AY=(x3S8x2|s)(x3x1|s)(x2x1|s):" ꁲ4.% src:490kap7.1EntscheidenUUSie,obdiefolgendeAussagerichtigUUist(ja/nein).%SindalleStreichungsdeterminanteneinerquadratischenMatrixNull,so%istUUauchdieDeterminantedieserMatrixNull.'7.2**EigenwerteundEigenvektoren src:4kap7.2EigenwerteundEigenvektorenhabGenbreiteAnwendungsbGereiche,u.a.bGeiDi erentialgleichungen,NinderMT*echnikundderPhysik.MWirbGeschroankenunshierUUaufendlichdimensionaleV*ektorroaumeundihreEndomorphismen." src:10kap7.2SeiKimJfolgendenV씸6=0einV*ektorraumundf?:V씸!CV.einEndomor-phismus.De nitionT7.2.1fA src:14kap7.2EiniSkqalar2K /heitieinEigenwert[vonf,wennesein궵v"2V9;v6=0UUgibtmitOf(v[ٲ)=v: src:18kap7.2EinT%V*ektorv"2V9;v6=0T%mitf(v[ٲ)=vheiteinEigenvektorgzumEigenwert궵.DieMengeV:=HxfvQ2V8jf(v[ٲ)=HyvgheitEigenr}'aumgXzumEigenwert.DieUUMengef2KjUUEigenwertvonE?fgUUheitSp}'ektrumvonf.BemerkungT7.2.2n src:28kap7.2V ٲistDeinDUntervektorraumvonDV8.DieEigenvektorenzuUUsindgenaudievonNullverschiedenenV*ektoreninV>:.Oō>;7.3DasTc9harakteristischePolynom9233%ō>;BeispieleT7.2.3` src:34kap7.21.SeifN:;Vss!Vɲnichtinjektiv.Dannist0einEigenwert vonŵfSundKe۪(f)=V0 oB6=0.EsgibtnoamlicheinvN2ϵVۨmitvN6=0und궵f(v[ٲ)=0,alsof(v[ٲ)=0:;v.W*eiteristv"2Ke(f)(UX)f(v[ٲ)=0:;v"(UX)v2V0|s." src:41kap7.22.~dFGouridB: VDjDh!OVHist1dereinzigeEigenwert,~eund~desistVDj= V1|s.EsistnoamlichUUid (v[ٲ)=v"=18v.fGourUUallev2V8." src:45kap7.23.~Die}lineareAbbildungx䍑 *cM߁:BYK2 ̸ !#K2 NmitMYt=^Iu1Iw0Iu0Iw2# ^0#hatdieEigenwerteUU1und2unddieEigenroaumeV1C=`n qğ^x 0n0^!`o+und?V2=`n qğ^n0x R^!`o(YIJ.SatzT7.2.4I src:54kap7.2SeiencfiTLji2Ig/p}'aarweise0verschiedeneEigenwerte0voncf.DanngiltPi2IVi 0J=i2I pVii2.Beweis.: src:59kap7.2WirmGoussenzeigen,daausPvi=H0mitvi2HVi Efolgtvi=H0fGouralle Ni2I. MW*enndasnichtderF*all Mist,danngibteseineSummePލ n% i=1̀vid=0kGourzester!Loange!n>0.O enbar!sindineinersolchenSummeallevio6=0.Darausifolgtn 2.iEsistPލ Un% Ui=1LiTLvi:(f)Vn %(f^n ).*#2c)7x src:99kap7.2Findenh"Sieh!einf:mVQO!VundeinenEigenwerth"vonf,h"sodagilt7xV>:(f)$Vn %(f^n ).'7.3**DascharakteristischePolynom src:4kap7.3ZurBestimmungvonEigenwertenunddamitauchvonEigenroaumenverwen-detmanhoau gdascharakteristischePolynom.DamitwirdderZusammen-hangUUzwischenEigenwertenundDeterminantenhergestellt.Oō>;2344`7.Eigen9werttheorie%ō>;De nitionT7.3.1fA src:10kap7.3Seif(V endlichdimensionalmitf'BasisfamilieBq,undseifڧ:V 궸!"͵V9einUUEndomorphismusmitderdarstellendenMatrixM." src:14kap7.3FGourUU2K qheitdetvv(fLo8id 7)=0 src:16kap7.3dieUUchar}'akteristischeGleichung7Ҳvonf.8oM\(x):=det(MO8xEnq~)8 src:19kap7.3heitUUdaschar}'akteristischePolynomo vonM.LemmaT7.3.2YUI src:25kap7.3M\(x)isteinPolynomvonGr}'adpn.Esgiltf֞ourtM3=( ij )I/M\(x)=(1)n^8b7xnn 8X ti=1UQ ii(xn1Ҳ+8:::g8detp(M)bBeweis.: src:32kap7.3NachUUBemerkung7.1.123.isthKdetvs(M)=X 8(1) :1@L(1)^8:::g8 :n@L(n):8č src:35kap7.3FGour)det(M[DxEnq~))sinddieF*aktoreninderDiagonalenvonderForm iim!Dx.Die)hoochstePotenz(vonxergibtsich,(wennalleF*aktorenim(ProGduktaufderDiagonaleneliegen,alsoffGour"=id o,mit( 11 !x)!::: 쬸( nn x)=(1)^n!x^n+(1)^n1XP} ii(x^n1+T*ermevomGradn 2.WennimProGdukteinFaktornichty aufderDiagonalenliegt,somuyauchy noGcheinzweiterF*aktorauerhalbderesDiagonalenerauftreten.DerPolynomgraddesProGduktsistdannnCC2.Um؎denkonstanten؎KoGezientendesPolynoms؏zuerhalten,setzemanx=0ein.UUDannistderkonstanteUUKoGezientgleichdet8(MO80Enq~)=det(M).8SatzT7.3.3I src:51kap7.3SeidimV=n<1;fڧ2HomqKR$(V9;V8).Danngiltf֞ourt2K:궵istEigenwertvonXJfڧ(UX)det(fLo8idUW)=0.8Beweis.: src:58kap7.3GEigenwertGvonfڧ(UX)9v"6=0[f(v[ٲ)=v](UX)9v"6=0[(f0޸NidUW)(v)=0](UX)fLo8id nichtUUbijektiv()det(fLo8idUW)=0.BemerkungT7.3.4n src:66kap7.31.UUVR=Ke(fLo8idUW)." src:68kap7.32.EsgibthoochstensnW*ertemitdetު(feR idUW)=0,weildascha-rakteristischePolynomdet(MxEnq~)hoochstensnNullstellenhatundweildet!F(fTA]idUW)Q=Pdet(MXxEnq~),bwobGeiMA]EnӎeinedarstellendebMatrixfGour궵fLo8id ist." src:74kap7.33.UUfڧ:V!V9hathoochstensnverschiedeneEigenwerte.De nitionT7.3.5fA src:79kap7.31.LEineNullstelleeinesKPolynomsf(x)hatdieVielfach-heitkP,wennf(x)durch(x|})^kQ(ohneRest)teilbarist,abGernichtdurch(x8)^k+B+1 ." src:84kap7.32.EinEigenwertderMatrixMbzw.desEndomorphismusf*hatdiealgebr}'aischeВVielfachheit!ek=5(f/ ;),FwennGeralsNullstelledescharakte-ristischenUUPolynomsdieVielfachheitkhat." src:91kap7.33.EinEigenwertderMatrixMbzw.desEndomorphismusf*hatdiege}'ometrischeVielfachheitkP,UUwennk=dimnV>:.ѠOō>;7.3DasTc9harakteristischePolynom9235%ō>;SatzT7.3.6I src:99kap7.3Sei$dim-zVB= n< 1Jundӵf<2HomK!(V9;V8).Sei#2Keein EigenwertvonXJf.Dannist(f/ ;)dimnV>:.Beweis.: src:105kap7.3Seim(v1|s;:::;vk됲)eineBasisfamilievonnVƧund(v1;:::;vnq~)eineF*ort-setzungzueinerBasisfamilievonV8.DannistbGezouglichdieserBasisfamiliedieUUdarstellendeMatrixvonfhvonderF*orm3exM3=L0BBBBBBBfi@͟1µ=m0Lff'R.+xߟ./\l.Lff\m0<µLff 1ffffcޟ*0?UYffIM^1 LqG1qGCqGCqGCqGCqGCqGCqGCfiqGAEund6%det!F(MN~7bxEnq~)=f8=(7cx)^k"det(M^1xEnk)ԕdurchԖEntwicklungennachderUU1.bisr.Spalte.w'VUbungenT7.3.7fϽ1.s src:127kap7.3Bestimmen\Sie\diereellenbzw.komplexenEigenwerte%von=u^DcosRȵ'tsinn'ʲsinĐ'cosV'vS^}o:ۍꁲ2.% src:133kap7.3BestimmenUUSiedieEigenwerteUUundEigenroaumevonf卍Zhk0 hk@rQ2S3U1rQ0S10rQ0S21ZH1 HAƲundUUvonZA0 A@𫬲211010003ZVY1 VYAꁲ3.% src:139kap7.3EntscheidenUUSie,obdiefolgendeAussagerichtigUUist(ja/nein).%DieXSummedergeometrischenXVielfachheitenXeinesEndomorphismusei-%nesendlichdimensionalenV*ektorraumesistgeradedieDimensiondieses%V*ektorraumes.4.% src:145kap7.3SeilA=^ 4aIb Hced!^6퍑% src:149kap7.3Zeigen}Sie|A =.Wx^2m.SpurR(A).+det1A,wobGei|foureinen.n-Matrix%M3=( ij )UUdieSpurde niertistalsSpur(M):=Pލ USn% USi=1tJ ii(.5.% src:155kap7.3ZeigenPSiePfGourdenindervorangehendenAufgabGede niertenBegri der%Spur:)a)7x src:158kap7.3DieUUAbbildungSpur:K^nnﲸ !ɵK qistlinear.)b)7x src:159kap7.3EsUUgiltSpur(ABq)=Spur\q(BA)UUfGouralleA;BG2K^nn(.*#2c)7x src:161kap7.3EsmgiltmimallgemeinennichtmSpur(ABqC)=Spur\q(BAC)mfGourmA;B;C~427xK^nn(.)d)7x src:163kap7.3SeiyVղeinendlichdimensionalerV*ektorraumyundfR:õV稸!jVԲeine7xlinearefAbbildung.SeiBײeineBasisfamilievonV;JundMdiedarstel-7xlende@uMatrix@vvonfTbGezouglich@uBq.@vZeigenSie,daSpur(M)nicht@uvon7xderRW*ahlvonBòabhoangt(sodaalsoSpur+(f)3h:=Spur(M)Rwohlde-7x niertUUist).+Oō>;2364`7.Eigen9werttheorie%ō>;7.4**DiagonalisierbareMatrizenundEndomorphismen쇍 src:4kap7.4Gewisse"quadratische#Matrizenbzw.Endomorphismenkqannmandurchge- schickteKW*ahleinerKBasisaufeinebGesonderseinfacheF*orm,dieDiagonal-form,bringen.WirwollendieseEndomorphismencharakterisierenundihreEigenschaftenUUstudieren.eDe nitionT7.4.1fA src:11kap7.41.2׵fKҸ28CHom K O(V9;V8)heit2diagonalisierb}'ar,wenneseineBasisfamilieBvonV=sogibt,dadiedarstellendeMatrixvonfbzgl.BeineDiagonalmatrixUUist." src:17kap7.42.QEineQMatrixM 2lK^nn zheitdiagonalisierb}'ar,wenneseinereguloareMatrixUUSsogibt,daSMS^1VeineUUDiagonalmatrixist.dSatzT7.4.2I src:25kap7.4F֞ourtfڧ2Homqk(V9;V8)sindxoaquivalentD1.% src:27kap7.4fvistdiagonalisierb}'ar,2.% src:28kap7.4esgibtinXJVeineBasisausEigenvektor}'envonf,3.)EXa)7x src:32kap7.4f/ (x)isteinPr}'oduktvonLine}'arfaktorenXJ(i,8x);)1b)7x src:34kap7.4f֞ouralleEigenwerteTBi3vonXJfvgilt(f/ ;iTL)=dimnVii2;4.% src:37kap7.4istf1|s;:::;k됸gdasSp}'ektrumvonXJf,soistGϵV=V1 ^:8:::g8Vk Y:Beweis.: src:44kap7.41:(UX)2::weildieBasisfamilie,bGezouglichderf5einedarstellen- de}MatrixinDiagonalformhat,}eineBasisfamilieausEigenvektoren}ist:궵f(viTL)=ivi:" src:49kap7.41:s= k)s4:s:Vi 'Vgilt immer.DaVi &?eineBasisvonVenthoalt,ist궵V=Vii2:" src:53kap7.44:7= Ti)73:7:uW*egenf/ (x)=(x1|s)^i1 ; :::(xk됲)^ik g[ٲ(x)uist 궵n`c=Pލk%i=1 dim0bVi ɕPލk%i=1 (f/ ;iTL)n;JalsoJgiltGleichheit,insbGesonde-reUU(f/ ;iTL)=dimnVi undg[ٲ(x)= В2K(:" src:60kap7.43:= V)2::n=Pލ2k%2i=1Q(f/ ;iTL)=Pލ2k%2i=1Qdim0hVi ܚimpliziertshwegen7.3.6dieaGleichungbVT=Ը^k;Zi=1 tOVii2.InsbGesonderehatVEeineBasis(-familie)vonEigenvektoren.{BeispieleT7.4.3` src:68kap7.41.ZUU0 UU@0$23 41$13 0 2$23 5Z:1ɫ1 :1AFGistUUdiagonalisierbarwegen.GZ,0 ,@71J0\271J2\170F1\1ZcV1 cVAZm0 m@xd2d0d0xd0d1d0xd0d0d3ZU1 UAZy0 y@63ȫǸ2r4䧸1̏V1Vv1䧸1̏V1Vv2Z䮫1 AkDz=Z0 @P0#224P1#120 12#225Z91 9AD5: src:75kap7.4Es8ist8M\(x)=detZUP0 UP@x=612^&-4 14>418x^&-02=612U.058xZmӫ1 mAyO=(x)(1-.x)(5x)+82(5䍑궵x)+8(1x)=x^3)"+6x^211x+6=(x1)(x2)(x3):;Da(M\(x);1)=;Oō>;f7.4DiagonalisierbareTMatrizenundEndomorphismen9237%ō>;궵(M\(x);2)=(M(x);3)=1,aistanach7.3.6dimV1C=dimnV2=dimV3=1, alsoM diagonalisierbarmitSMS^1!=Z0 @;2;0,;0 ;0;1,;0;0;0,;3Z2Y1 2YA;Z.DieMatrizenSpbzw.䍑궵S^1sindT*ransformationsmatrizen.Wennb1|s;b2;b3 &ZeineBasisvonK3aus Eigenvektorenist,danntransformiertS^1dieBasise1|s;e2;e3 <`inb1;b2;b3,undUUesgiltsS1=(b1|s;b2;b3):஍ src:87kap7.4Die*Eigenvektoren*erhoaltmanausdemlinearenGleichungssystem*(M궵iTLEnq~)8x=0:" src:90kap7.42.UUM3=^ 4161 4061!xߟ^,*istnichtUUdiagonalisierbar,weil!!1^M\(x)=detUP^\l18xEDe1$Ti0='^.0.1.1"A0,y^9Xist%oubGerR\ nicht\diagonalisierbar,weilM\(x)'=det#x^, xDYӸ10'1CExS''^_b=x^2}+ 1keineNullstellenhat,MalsokeineEigenwertebzw.UUEigenvektorenhat.MlpisteineDrehungum90^!஍w'VUbungenT7.4.4fϽ1.s src:110kap7.4Istq΍9^@1A1@0A1몟^R}% src:112kap7.4diagonalisierbar?2.% src:114kap7.4FindenSieeinediagonalisierbareMatrix,diedasselbGecharakteristische%PolynomUUwie^ \q1\s1 \q0\s1"^,hat.3.% src:118kap7.4ZeigenUUSie:Z0 @ 20+0 03+2 00+1Z2j1 2jA>istdiagonalisierbar.%4.% src:123kap7.4ZeigenUUSie:Z0 @ 20+0 01+2 00+1Z2j1 2jA>istnichtUUdiagonalisierbar. 5.% src:127kap7.4EntscheidenUUSie,obdiefolgendeAussagerichtigUUist(ja/nein).%Eine)Matrix(istgenaudanndiagonalisierbar,wennihrcharakteristisches%PolynomUUinLinearfaktorenzerfoallt.6.)a)7x src:135kap7.4SeiMӲdiagonalisierbaralsD5=SMS^1 P.ZeigenSie:DG^n=SM^nS^1 P.)b)7x src:137kap7.4BerechnenUUSiemitHilfedesT*eils1.M^10 VfGourM3=^ 4162 4062!xߟ^*:NOō>;2384`7.Eigen9werttheorie%ō>;7.5**Potenzmetho`dezurBestimmungdominanterEigenwerte (R.v.Mises) src:8kap7.5Wir_habGen_gesehen,daEigenwerteeine_bGesondereBedeutunghabGenund habGenwauchschonvMethoGdenkennengelernt,siezubGerechnen.vEsgibteinnumerisches_V*erfahren,^gewisseEigenwerte_noaherungsweisezu_bGestimmen,dasUUwirzumAbschludiesesKapitelsbGesprechenwollen.لDe nitionT7.5.1fA src:15kap7.5Seiwfڧ:Kn8 8!KneindiagonalisierbarerEndomorphismusmitqdenqEigenwerten1|s;:::nq~,qwobGeiEigenwerteentsprechendqihrerViel-fachheitgezoahltwerden.SeiKj=NRoGderCundseij1|sjN>Mj2j:::Bjnq~j.DannUUheit1ȲeindominanterEigenwert.SatzT7.5.2I src:27kap7.5Sei91Zein4dominanter4EigenwertvonJfO:Kn \? {!=Knq~.Sei9yF2궵Knnnf0gundseiy[ٟ^(m)+:=Af(y[ٟ^(n1)IͲ)@=f^m*(y[ٲ),y^(0):=@y$undseiy^(m)+= ƍ(y:[ٱ(m)l14v;:::;y:[ٱ(m)]"n)^t2:Knq~.#Dannkonver}'gieren#dieF;olgenb  1 M&fe mm፱1G#Xy:[ٱ(m)Zi4vjm2N Ɵ0w9b . Insb}'esondereQist)lim}mDc=⋟PniTLxi,und2seixi 6ײ=(ikܸjkP).Dannfolgt(j1|sj>j2j:::=㎸)1C6=0))1.f(y[ٲ)=y(1) f=X㉵iTLf(xi)=XiTLixid=1S8XUQib<$ i ֟wfe Qʟ (֍1ӟb7*xiund|1<$gK!1c(wfe m (֍:ml1s-8y[ٟ(m)=<$1D1Kwfe m (֍:ml1pfm*(y[ٲ)=X㉵iTLb<$ i ֟wfe Qʟ (֍1ӟb7*ߴm ŵxiTL:Q" src:52kap7.5FGourUUgenGougendgroemwirdލ6j<$ rŲ133wfe$ ϡ䍴m+r1劵y:[ٱ(m+r7)6k~<$ 1lwfe m (֍:ml1 8y:[ٱ(m)6k4vj=jjδn X tiei=2iTLb<$ i ֟wfe Qʟ (֍1ӟb7*ߴm ş^(,9b<$.׵i-ßwfe Qʟ (֍19yb>ߴrD81^\tikܸj$nH̴n iX tjGci=2yjiTLj8jb<$\iȊwfe Qʟ (֍1Mbޟߴr`1jjikܸjj<$Gi33wfe Qʟ (֍1 0jm _<1U src:61kap7.5daUUausj1|sj>jiTLjUUfolgtjfiGi33Lɉfe QʟX,1 0j<1.$" src:64kap7.5W*ennUUlim8m! 1 391/@&fe mm፱1>Iey:[ٱ(m)Zi6=0,UUdannistfGourgenGougendgroem$s1,>jፍ ^1ff&feΟQkm+1΍1gy:[ٱ(m+1)Zi33Qfe3̟  ;c1 &fe bmw1ܵy:[ٱ(m)Zi8.81j=j<$133wfe Qʟ (֍1<$ly:[ٱ(m+1)Zilwfe; y:[ٱ(m)Zi$1j=j<$133wfe Qʟ (֍1 0jj<$33y:[ٱ(m+1)Zi33wfe; y:[ٱ(m)Zi!޸1|sj'T}βalsolimLm! 1^0^<$׵y:[ٱ(m+1)Ziןwfe; y:[ٱ(m)Zi\^߀.=1|s:]Oō>;7.5P9otenzmethoAde`zur`Bestimmungdominanter`Eigenwerte)(R.v.`Mises)E239%ōEWBeispielT7.5.3[ src:78kap7.5FGourUUfڧ:Kn8 8!KnӲverwendenwirx䍑cM:R3C C! R3Ȳmitqҍ궵M3=Z0 @P1'p2:1 P7'p6:1 14#4>1ZI1ȫ1 I1AUGundUUy"=Z0 @ 11 11 11Zj1 jAk.Dannist5pRMn`= zffppy[ٟ^(0) e zffݵy[ٟ^(1) e zffy[ٟ^(2) e zffy[ٟ^(3) e zffh@y[ٟ^(4) e zffg^12l1 ų zffD ^23l1 ų zff ^34l1?>ff>fd G1=2!>1L͟ ff;1L͟ ffN62L͟ ff^U33L͟ ffsbu282L͟ ff)2553L͟ ff>16:5L͟ ff`8:54L͟ ff9:05 G7=6!>1L͟ ff;1L͟ ffI512L͟ ff^U93L͟ ffsbu852L͟ ff)7653L͟ ff>7:75L͟ ff`9:16L͟ ff8:984G4(\1L͟ ff;1L͟ ffG 7L͟ ffV763L͟ ffkW567L͟ ffbx5103L͟ ff 9L͟ ff9L͟ ff9+R<F olgerungT7.5.4eG src:98kap7.5Wenn-limmD6413>20o26k9Zv1 vAH:rOō>;%ŎOō>;%ō>;8.%NEuklidischeffVfektorr3Uaumex src:2kap8.1WirfGouhrenindiesemKapitelweiteregeometrischeEigenschaftenfGoureinem V*ektorraum?ein,insbGesondere>LoangenvonVektorenund>WinkelzwischenV*ektoren.Damitgelingtesnun,vieleelementargeometrischeAussagenzubGeweisen.}W*esentlichesHilfsmittelhierfGour~wirddaszusoatzlichesStrukturda-tumUUdesSkqalarproGdukts.F" src:11kap8.1WirqsetzenindiesemKapitelvoraus,daalleV*ektorroaumeoubGerdemKoorpGerUURde niertsind,alsoreelleV*ektorroaumesind.&F8.1**Sk@alarpro`dukteF src:17kap8.1DerzentraleneueBegri istderdesSkqalarproGdukts,einesProGduktszwischenV*ektoren,UUdasreelleWerteannimmt.De nitionT8.1.1fA src:21kap8.1Sei zVB^einR-V*ektorraum. {EineAbbildungO.:TVܸV,9,7!궼RheiteineBiline}'arformVaufV8,wenn8y៸2ǵV[V3Ƶx7![ٲ(x;y)Ǹ2R]Homomorphismuslundm8x2V8[V˸3y"7![ٲ(x;y)2R]Homomorphismus.EineUUBilinearform.heit1nichtausge}'artet,UUwenn8x2V9;x6=0[[ٲ(x;V8)6=0UUund[ٲ(V9;x)6=0];1symmetrisch,UUwenn8x;y"2V8[[ٲ(x;y)=(y;x)];1p}'ositivde nit,UUwenn8x2V9;x6=0[[ٲ(x;x)>0]:궲EinecpGositivde nite,symmetrischeBilinearformheiteinSkalarpr}'oduktVYauf궵V8.lEinreellerV*ektorraumVrzusammenmiteinemSkqalarproGduktfheitEuklidischer^1ZV;ektorr}'aum.WirUUschreibGendannauchhx;y[ٸi:=(x;y):BeispieleT8.1.2` src:46kap8.11.s0UUfGour1ɵx6=0.iDiesesSkqalarproGduktheitkanoni-schesSkalarpr}'oduktH-desUURnq~:" src:54kap8.12.$Das%noachsteBeispielsiehtzunoachst%rechtexotischaus.Es%istabGerGrundlageK[fGourKZgroeT*eilederAnalysis,insbGesonderederF*unktionalanalysisundderTheoriederDi erentialgleichungen,aufdiewirindiesemBuchnichtweiterUUeingehenkoonnen.궟Pff/f J:-=1 {EuklidTca.300v.Chr.ϠOō>;2424`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ōVm" src:60kap8.1SeiAV,=cIff:T[0;1]cG!ƐRjfhstetigZg.ADannist[ٲ(fV;g)cH:=cIīRj 1 # -05f(x)g(x)dx 궲einSkqalarproGdukt.DieBilinearitoatundSymmetrieinfsundgWsindtrivial. Istf6=0,soistīRj D1 # R0kf(x)f(x)dx>0.Esgibtnoamlicheinx0 `2[0;1]mit궵f(x0|s).=/a6=0.k0Dak1f~stetigist,istauchf^2 2stetigundf^2(x0|s)/=.a^2 >0.Danngibteszu"p{:= 1&fes2 Sa^27jein^>0mitjf^2(x)|f^2(x0|s)jpz<p{"fGourallexmit궸jxhhx0|sj><>`.Alsoistf^2(x)> q1q&fes2 a^2fGourallexUUmitjxhx0|sj<Ҫ:UUDarausfolgt궟īRja1 #0 |f^2(x)dx K1K&fes2 )a^2S8'>0:_s; src:93kap8.1,s O linew10- ӍG!̎9H69~*َ8f *̎9ܢSfd1Ҏ1 #fe?ѓ 1fe?fdfe6fdfefdfe:fdfefRfdfefdfeńfdfenfdfe"柄fdfe@֟ᨄfdfel%fdfe>fdfeKfdfe烈 fdfeZ'fdfeG񷽄fdferŸ񮯄fdfevfdfe*fdfeޟfdfe!ÄfdfeMFxɄfdfexlOfdfe_*fdfebQofdfeC7fdfe'ʟ4QfdfeS~$fdfe2߄fdfe8fdfe֚fdfeNGfdfe.fdfeYfdfej𨑄fdfeifdfeҟfdfej|fdfe4:Tfdfe_>;fdfe''fdfeV}fdfe gfdfeޒfdfe:rSfdfef&SfdfeڟfdfeufdfeBYfdfe=لfdfe@ fdfel^fdfe凄fdfeƟڄfdfez̈́fdfe.fdfeFgfdferFfdfeJ%#fdfe/fdfekfdfe!fNfdfeM_fdfexΟufdfeOfdfe6*OfdfeKfdfe'pfdfeSRCfdfe=fdfeefdfen<fdfe "fdfe -֟ۄfdfe Yfdfe >afdfe ffdfe ܦ9܄fdfe!Z fdfe!4fdfe!_Ÿ߄fdfe!vքfdfe!*R7fdfe!ޟ"Ufdfe"fdfe":Ffdfe"e鎋fdfe"\fdfe"b)7fdfe"fdfe#ʟfdfe#@~茮fdfe#l2Wfdfe#!fdfe#Úfdfe#N fdfe$|?fdfe$FD=fdfe$rj Efdfe$ѷfdfe$ҟfdfe$]>fdfe%!:"Ufdfe%Lqfdfe%xfdfe%VmPfdfe% /fdfe%ۄfdfe&'r fdfe&S&tfdfe&~ڟ4fdfe&fdfe&Bτfdfe'qfdfe'-/3fdfe'Y^Lfdfe'τfdfe'Ɵe1fdfe'z fdfe(.„fdfe(3fdfe(_Ofdfe(J fdfe(mfdfe(ⲟyfdfe)f1fdfe):)fdfe)eΟߞ?fdfe)Sfdfe)6 *fdfe)޽fdfe*qfdfe*@R$fdfe*lfdfe*݊fdfe*n;lfdfe*"DŽfdfe+֟ܝfdfe+FM7fdfe+r>Jfdfe+۪DŽfdfe+ɦY;fdfe+Zfdfe,!ڳ؄fdfe,LŸ_fdfe,xv fdfe,*ٷfdfe,ޟafdfe, fdfe-'Fص"fdfe-R]DŽfdfe-S]fdfe-~fdfe-oװfdfe-#Z"fdfe.ןƄfdfe.-֯fdfe.Y?[ʄfdfe.(fdfe.յ"fdfe.[bfdfe/΄fdfe/3ßԿfdfe/_wn΄fdfe/+fdfe/ߟ0fdfe/ⓟӀ3fdfe0G1ڄfdfe09fdfe0eҖ؄fdfe0cJ-fdfe0*fdfe0˟Ѳfdfe1gЄfdfe1@3fdfe1kʄfdfe1Њfdfe1OB2fdfe1,fdfe2ϲքfdfe2Fkkfdfe2r%΄fdfe2ӟ9fdfe2ɇΛfdfe2;Vfdfe3 fdfe3L{fdfe3xW͌fdfe3 Jfdfe3Ͽ fdfe3s fdfe4''̇fdfe4R۟GԄfdfe4~fdfe4Cfdfe4ˋfdfe5Nfdfe5-_fdfe5YPfdfe5ǟʙzfdfe5{^ifdfe5/#fdfe6քfdfe63ɰfdfe6_Kwfdfe6?rfdfe6fdfe6gвfdfe7ȚNfdfe79ϟdFfdfe7e/ fdfe77jfdfe7 fdfe7蟟ǒfdfe8S_fdfe8@-:fdfe8kBfdfe8o fdfe8#ƙfdfe8ןiZfdfe99fdfe9F? fdfe9qܲfdfe9ůfdfe9[Łfdfe9UJfdfe: ß) fdfe:Lwքfdfe:x+Մfdfe:ߟĨfdfe:ϓ-fdfe:GUfdfe;&-fdfe;Rrfdfe;~c?fdfe;÷fdfe;˟ÑFfdfe<kԄfdfe<-3Ffdfe Ffdfe>9 fdfe>eWƄfdfe> ~fdfe>afdfe>sFfdfe?'*„fdfe??۟jfdfe?kfdfe?Cfdfe?zfdfe? fdfe@_fdfe@F}[fdfe@qǟgfdfe@{Qofdfe@/;fdfe@'hfdfeA  fdfeALKfdfeAwfdfeAVfdfeAg„fdfeAKfdfeB&ϟfdfeBRfdfeB~7VfdfeB럿xfdfeB՟jfdfeCS\fdfeC-O:fdfeCXBfdfeCo7,fdfeC#+fdfeCן fdfeDrfdfeD3? fdfeD^<fdfeDzfdfeD[ՄfdfeD<fdfeE ߄fdfeE9wRfdfeEe+fdfeEߟJfdfeEИfdfeEG fdfeFɁfdfeF?fdfeFkcQfdfeFÆfdfeF˟fdfeFBfdfeF5fdfeG@fdfeGE_fdfeGq҄fdfeGY݄fdfeG yfdfeG̯fdfeH r{fdfeHL%ՄfdfeHw؟̄fdfeHOfdfeH>qfdfeH)fdfeI&jfdfeIRWMfdfeI~ fdfeI ńfdfeIpXfdfeJ# fdfeJ,֟+`fdfeJX6fdfeJŸ߲fdfe[ju%fdfe[(kufdfe[۟ϲsfdfe[펟fdfe\AAfdfe\DЊtfdfe\pKfdfe\Z5fdfe\ gfdfe\ѲJfdfe]sfdfe]K&Ifdfe]vٟҖfdfe]fdfe]?1qfdfe]Ӏfdfe^%έfdfe^QXofdfe^} n=fdfe^Կ*fdfe^qfdfe_$b9fdfe_+ןմfdfe_Wfdfe_=[ufdfe_֯fdfe_ڣWfdfe`VYfdfe`2 ׯfdfe`]Rfdfe`o]fdfe`]fdfe`şشׄfdfe`x `fdfea +aRfdfea8ޟٶfdfead yfdfeaD_fdfeaڳLfdfea窟Rfdfeb]X„fdfeb?۪fdfebjßfdfebvLfdfeb)ܜfdfebܟDfdfec;AfdfecEB݉fdfecpnfdfec$fdfec[qGfdfec޽JfdfedfdfedKtSfdfedw'ߝfdfedڟ窄fdfed΍0fdfed@yBfdfee%HfdfeeQfdfee}YO{fdfee ᕦfdfeeԿ;fdfefr Zfdfef,%dĄfdfefW؟⨺fdfeffdfef>.ƄfdfefpڄfdfegXfdfeg2Wgfdfeg^ 3fdfegsfdfegpȄfdfeg#Zfdfeh ֟/fdfeh8lfdfehd<fdfeh$fdfeh!fdfehU] fdfei旆fdfei>ўfdfeijn fdfei!C݄fdfeiԟ|fdfei퇟糑fdfej:„fdfejD!&fdfejpW.fdfejSgfdfej fdfejTfdfekl(̄fdfekK[fdfekvҟ:fdfek2fdfek8Tfdfek!fdfel%RfdfelQQ{fdfel}갌fdfel„fdfelj bfdfem9fdfem+Пf*fdfemWTfdfem6뽞fdfem蟄fdfemڜfdfenOf%fdfepjFmfdfep̟gfdfepfdfep2ZfdfeqƿfdfeqD.fdfeqpKjfdfeq fdfeqDZ=\fdfeqdYڄfdferu]fdferJʟfdferv} fdfer0̄fdfercfdferfdfes%IhfdfesP&Ԅfdfes|>fdfesbTZfdfesjfdfesȟfdfet+{ fdfetW.jfdfet𻿄fdfet~fdfetGfdfeufdfeu1)fdfeu]`fdfeu$fdfeuƟ4fdfeuyBƄfdfev ,QVfdfev7ߟ^ӄfdfevcl:fdfevExfdfevHfdfev櫟fdfew^񚂄fdfew>fdfewiğhfdfeww8fdfew*fdfewݟǟfdfex8fdfexDCղfdfexo"fdfexqfdfex\*fdfex܄fdfeyŸjfdfeyJufdfeyv(Vfdfey۟#fdfey͎fdfeyAfdfez$2fdfea6kx0*R'"37 Y\x4y"=f^2(x)" src:97kap8.1FGourdieEinfGouhrungdergeometrischenBegri einEuklidischenV*ek-torroaumen:0ist:/diefolgendeCauchy-Schwarzsche:0Ungleichungvon:0bGesondererBedeutung.SatzT8.1.3I src:102kap8.1(Cauchy^2|s-Schwarz^3scheUngleichung)Sei(V9;[ٲ)einEuklidischerV;ektorr}'aum.Danngiltf֞ouralleTBx;y"2Vin>(8.1).GelteschlielichGleichheit>in(8.1).W*ennxLt=0>oGder궵y"=0,1dann2sindxundyW linearabhoangig.Seialsox6=0und1y"6=0.Dann1ist50;p8.1Sk|ralarproAdukte9243%ō^ #%hx8<$lhx;xilwfe (֍:hx;y[ٸiFay[;xgd<$33hx;xi33wfe (֍:hx;y[ٸi y[ٸi=hx;xi82<$33hx;xi33wfe (֍:hx;y[ٸi hx;y[ٸi+<$lhx;xihx;xilwfe/N6 (֍t$hx;y[ٸihx;yi3|hy[;yi卍gd=hx;xi82<$33hx;xihx;y[ٸi33wfe. (֍ ӎhx;y[ٸi3yX+<$lhx;y[ٸihx;yilwfe.e (֍hx;y[ٸihx;yi34hx;ximgd=hx;xi82hx;xi+hx;xi=0:19 src:158kap8.1DaUU.pGositivde nitist,folgtx8<$lhx;xilwfe (֍:hx;y[ٸiFay"=0unddarausdieBehauptung.#" src:163kap8.1JetzthabGenwiralleHilfsmittelbereit,umWinkelundLoangenein- zufGouhren.썍De nitionT8.1.4fA src:167kap8.11.Sei(V9;h;i)einEuklidischerV*ektorraum.ZweiV*ektoren궵x;y"2V9heienUUortho}'gonal3oGdersenkrecht(x?y[ٲ),UUwennhx;yi=0:" src:174kap8.12.UUW*egenhx;y[ٸi^2Chx;xihy;yiUUgilt1<$hx;y[ٸiKwfeBe ɍs0p s0feЍhx;xi!s0p+s0feӟЍhy[;yiJZ1 src:178kap8.1(fGourUUx;y"6=0)alsoexistiertgenauein'2[0;[ٲ]mitcosU'=<$ȸhx;y[ٸiKwfeBe ɍs0p s0feЍhx;xi!s0p+s0feӟЍhy[;yiGn:'UUheitderWinkel]޲zwischenxundy[ٲ.WirschreibGen(x;y[ٲ):=':BemerkungT8.1.5n src:189kap8.11.UUx?y"(UX)G(x;y[ٲ)= KK&feox~2 : " src:192kap8.12.UUx;y.linearabhoangig(UX)G(x;y[ٲ)2f0;[ٸg:덍w'VUbungenT8.1.6fϽ1.s src:198kap8.1Stellen*Sie*fest,welche*derfolgendenBildungenein%SkqalarproGduktǿde nierenundwelchenicht.ǿGebGenSieggf.an,welche%Axiomeverletztsind.FGourx=(1|s;2;3);ybݲ=(1;2;3)2R^3 +Wseien%de niert:)a)7x src:204kap8.1hx;y[ٸi:=1|s1S+833,)b)7x src:206kap8.1hx;y[ٸi:=^uDZ2l1:^2l1,+8^uDZ2l2^2l2,+8^uDZ2l3^2l3L,*#2c)7x src:208kap8.1hx;y[ٸi:=41|s1S+822+8333,)d)7x src:210kap8.1hx;y[ٸi:=1|s1S822+833,*#2e)7x src:212kap8.1hx;y[ٸi:=1|s2S+821+833.2.% src:216kap8.1SeibV(=DM2derV*ektorraumderbreellen2AA2-Matrizen.StellenSiefest,%obUUdurchU捑QZh^ a1b cPMd/g^(6;^ ĵukCx yBz!^)){i=au8+bx+bycx+cy+dzG% src:227kap8.1einUUSkqalarproGduktde niertwird.3.% src:229kap8.1BenutzenUUSiedasSkqalarproGduktn<hfV;g[ٸi=cZi 1@UR04f(x)g(x)dx;rX% src:231kap8.1umUUdenW*ertvonhfV;g[ٸiauszurechnenfGourOō>;2444`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;)a)7x src:233kap8.1fڧ=cos*(2[x),UUg"=sin6(2x). )b)7x src:234kap8.1fڧ=x,UUg"=e^x.*#2c)7x src:235kap8.1fڧ=tan &feox~47_x,UUg"=1.4.% src:238kap8.1SeiUUP2ȲderV*ektorraumderreellenPolynomevomGrad2.)a)7x src:241kap8.1ZeigenUUSie,daP2ȲmitQIha2|sx2S+8a1x+a0;b2x2S+b1x+b0i:=a0|sb0S+a1b1S+a2b27x src:244kap8.1einUUEuklidischerV*ektorraumist. )b)7x src:245kap8.1BestimmenUUSiejjpjjfGourp=18+2x+x^2|s.*#2c)7x src:246kap8.1BestimmenPKSiedenWinkelPLzwischenPKpi[=1.+5x+2x^2̾undq4=7x28+4x9x^2|s.)d)7x src:248kap8.1BestimmenSiedenWinkelzwischenݵp=xx^26Pundq"=7+3x+3x^2|s.5.% src:252kap8.1SeirP2derV*ektorraumrderreellenPolynomevomGrad2mitdem%SkqalarproGdukt64!hp;q[ٸi=cZi 1@UR04p(x)q(x)dx:@R)a)7x src:256kap8.1BestimmenUUSiejjpjjfGourp=18+2x+x^2|s.)b)7x src:257kap8.1BestimmenPKSiedenWinkelPLzwischenPKpi[=1.+5x+2x^2̾undq4=7x28+4x9x^2|s.*#2c)7x src:259kap8.1BestimmenSiedenWinkelzwischenݵp=xx^26Pundq"=7+3x+3x^2|s.6.% src:263kap8.1Zeigen\SiemitHilfeder\Cauchy-Schwarzschen\Ungleichung,dafGouralle%a;b2RUUundalleWinkel'gilt:}(ٟacos7(')8+bsin ('))-u2qa2S+8b2|s:ꁲ7.% src:269kap8.1Zeigen\SiemitHilfeder\Cauchy-Schwarzschen\Ungleichung,dafGouralle %pGositiveUUreellenZahlena1|s;:::;anӲgiltq΍nn2C(a1S+8:::g+8anq~)DՒ^<$O 1Me9wfe ţ (֍a1Z+8:::g+<$Ij1lwfe (֍anY^:qύꁲ8.% src:275kap8.1Zeigen\SiemitHilfeder\Cauchy-Schwarzschen\Ungleichung,dafGouralle%reellenUUZahlena1|s;:::;anӲgiltsR9(a1S+8:::g+8anq~)2Cn2|s(a21+:::g+a2፴nq~):ꁲ9.% src:281kap8.1DieNV*ektoren(1;0;:::;0);(0;1;:::;0);:::;(0;0;:::;1)NwerdenalsKanten %des_EinheitswGourfels_imR^naufgefat(jedeKantetrittmehrfachauf,wie%oft?).3Zeigen4Sie,daderWinkel'zwischenderDiagonalen(1;1;:::;1)%undUUdenKantendieGleichung'j]cos(')=<$C1KwfeU 3ፍpUWfe3荵n>% src:288kap8.1erfGoullen.Oō>;ϴ8.2NormierteTV:ektorrg3aume9245%ō>;8.2**NormierteVektorraume src:4kap8.2DieQBildungderLoangeoGderNormeinesV*ektorsineinemEuklidischenVek- torraumkerfGoulltkdieGesetzeeinerNorm.EsgibtvieleBeispielevonnormiertenV*ektorroaumen,zauchvon{solchen,dienichtaus{einemEuklidischenV*ektor-raumUUentstehen.De nitionT8.2.1fA src:11kap8.2SeiUUV9einR-V*ektorraum.EineAbbildungtk:k:V3x7!kxk2R src:13kap8.2heitUUNorm,wenn1.% src:15kap8.2k zxk=j jkxk; ꁲ2.% src:16kap8.2kx8+y[ٸkkxk8+kykꁲ3.% src:17kap8.2kxk=0=㎸)x=0. src:19kap8.2(V9;k:k)UUheitnormierterV;ektorr}'aum.x2V9heitUUnormiert,wennkxk=1.BemerkungT8.2.2n src:26kap8.2IstE(V9;k:k)einnormierterDV*ektorraum,soistkxk0EfGouralle6x2V8.5Esistnoamlich0=j0jkxk=k0&&xk=kx+(x)kkxk&+kxk=궸kxk8+j1jkxk=2kxk.SatzT8.2.3I src:34kap8.2SeiO(V9;h;i)J4einEuklidischerV;ektorr}'aum.Dannist= kxkܲ:=궟s0p귟s0feЍhx;xi9%eineNormauf{V8.kxkheitNormo}'derLoangevonXJx.Beweis.: src:43kap8.21.UUk zxk=s0p s0fe$UЍh x; xi4=@p o@fe 됟 r2s0p s0feЍhx;xi:v3=j jkxk. fl" src:47kap8.22.kx7+8y[ٸk^2C=hx+y[;x+y[ٸi=hx;xi7+2hx;y[ٸi7+hy;yihx;xi8+72s0p s0fejЍhx;yir2&+궸hy[;yihx;xia+2s0p s0fe.eЍhx;xihy[;yi8+hy[;yi=(kxka+ky[ٸk)^2C= `)kx+aykkxka+kyk." src:55kap8.23.UUkxk=0=㎸)s0p s0feЍhx;xi'5L=0=)hx;xi=0=)x=0." src:60kap8.2MitqdenGesetzenderNormundpdesSkqalarproGduktskoonnenwirjetzt einigeUUderwichtigstenUUgeometrischenSoatzebGeweisen.SatzT8.2.4I src:64kap8.2(Pythagor}'as^4|s)1.% src:66kap8.28x;y"2V8[x?y= ?g)kx8+y[ٸk^2C=kxk^2S+kyk^2|s].2.% src:69kap8.28x;y"2V8[kx8+y[ٸk^2C=kxk^2S+ky[ٸk^2+2hx;y[ٸi].Beweis.: src:75kap8.21.UUx?y"= ?g)2hx;y[ٸi=0." src:77kap8.22.UUkx8+y[ٸk^2C=hx+y;x+yi=kxk^2S+82hx;yi+kyk^2|s.LemmaT8.2.5YUI src:82kap8.28x;y"2Vqĸn8f0g[hx;y[ٸi=kxkkykcos7(G(x;y))].Beweis.: src:87kap8.2kxkky[ٸkcos7(G(x;y))=kxkky[ٸk8&h1ihx;y@Lilʉfe:kxkky@Lk Y=hx;y[ٸi.궟 1ff/f J:-=4 {PythagorasT(580{500)Oō>;2464`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;SatzT8.2.6I src:92kap8.2(CosinusSatz)0&8x;y"2Vqĸn8f0g[kxy[ٸk2C=kxk2S+ky[ٸk22kxkky[ٸkcos7(G(x;y)):O src:121kap8.2?fd ά-G!fe9H69 9 "9 ,9 69 @9 J9 K[8 a*D_ D]D[ DYDWDUDU[팒D9 D9 D9 D9 D9# D9- D97 Ds8TDs8 &s6 0s4 :s2 Ds0 Ns. Xs, Y, 9 9 sR9 H9 H tH  ٌsR'HsR'HHs'X&sR'X0s'X:sR'XDs'XK[XsR'R'!sR'#柷R'&s柭R'(-ٟk*ٟ[X4ٟj[X>ٟ[XHٟj[XRٟ[XYXU[W۲ٌZ[ό\۲Ō_[aSGx-9гy0^*x8yVL'I̎D⓰̎1̎̄̎J⼁̎*UK̎D@3̎^5̎wQ̎̎fׄ̎Ú6̎ܞ-̎|ԟ̎G4̎OO̎WiI̎_q샜̎g읇̎o ̎v~ҭ̎~;g̎N;̎;#)̎=̎,Xʄ̎t̎Z̎Ʉ̎RR̎8g̎#̎"̎˗4̎P֢̎m̎ۦU̎̎ҟ̎[!ÍBeweis.: src:127kap8.2kxL^L_y[ٸk^2C=kxk^2Ѳ+kyk^2Ѹ2hx;yi=kxk^2Ѳ+L_kyk^2L_2kxkkykcos7(G(x;y))." src:132kap8.2WirhabGengezeigt,daEuklidischeV*ektorroaumeauchnormierteV*ek- torroaume"sind.Jetztzeigenwir,!danormierteV*ektorroaumeauchmetri-sche Roaumesind.SchlielichsinddannmetrischeRoaumeauchtopGologischeRoaume.&JededieserF*olgerungenisteineechte&Folgerung,alsonicht&umkehr-bar.LemmaT8.2.7YUI src:140kap8.2Sei(V9;k:k)einnormierterV;ektorr}'aum.Dannistdurchd=:궵Vqĸ8V3(x;y[ٲ)7!kxy[ٸk2ReineMetrikauf{Vge}'geben.(vgl.6.4.4)Beweis.: src:146kap8.21.UUd(x;y[ٲ)=kx8yk=0(UX)x8y"=0()x=y[ٲ." src:149kap8.22.UUd(x;y[ٲ)=kx8yk=j81jkyxk=d(y;x)." src:151kap8.23.Gd(x;zp)OS=kx<+zkOS=k(x<*<+y[ٲ)+(yzp)kOSkx<+y[ٸk+kyzpkOS=궵d(x;y[ٲ)8+d(y;zp).BemerkungT8.2.8n src:156kap8.2Seio}(X:;d)eino|metrischerRaum(vgl.4.2.4und6.4.4).DannUUgilt8x6=y[ٲ[d(x;y)>0]:Beweis.: src:162kap8.22d(x;y[ٲ)=d(x;y[ٲ)>x+d(y;x)d(x;x)=0=)d(x;y[ٲ)0:]x6=y0= Mc)궵d(x;y[ٲ)>0:" src:167kap8.2Wirj'fGouhrenj(nurgewisseo eneMengenineinemmetrischenRaumein,de nieren@jedoGch@nicht,wasgenauein@topGologischerRaumist,da@wirdiesenBegri UUspoaternichtUUweiterbrauchen.Oō>;ϴ8.2NormierteTV:ektorrg3aume9247%ō>;De nitionT8.2.9fA src:173kap8.2Sei(M;d)einmetrischerRaum.Seir,q2TR^+ Unf0gund 궵aP2M._DannheitK(a;rG)P:=fb2Mjd(a;b)rGg_ab}'geschlosseneKugelgum궵aN1mitN2demR}'adius SrG.K(a;r)e:=fbeڸ2Mjd(a;b)n X tմi=18hx;biTLibid=>n X tմi=1㉸kxkcos7(G(x;biTL))bi und&)kxk2C=>n X tմi=18hx;biTLi2|s:궟V؉ff/f J:-=5 {Jo-="q% cmsy6uRrgenTAmandusGram(1850{1916) -=6 {ErhardtTSc9hmidt(1876-1959)Oō>;2484`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;Beweis.: src:259kap8.2hP ;i ⇸hx;biTLibi;bj6iX=Phx;biTLihbi;bj6iX=hx;bj6iIKfGourIJallebj,IJalsogilt 궸hP ;hx;biTLibi;y[ٸie=hx;y[ٸifGouralleyU>2eVߜoGderhP ;i ⇸hx;biTLibin̵x;y[ٸid=e0.Ins-bGesondereͨisthP ;i ⇸hx;biTLibi}Ը)x;P 8i/hx;biibi}Ը)xi=0,ͨalsoP [hx;biibid=x.Dannfolgt궸kxk^2C=hx;xi=hP ;i ⇸hx;biTLibi;P 8johx;bj6ibji=P USihx;biTLi^2|s.HSatzT8.2.14O src:275kap8.2Sei MV>XeinsEuklidischerV;ektorr}'aumtundseiU3V>Xeinendlich-dimensionaler Untervektorr}'aum.DanngiltV=;ϴ8.2NormierteTV:ektorrg3aume9249%ō>;w'VUbungenT8.2.20l1.yV src:362kap8.2ZeigenE(Sie,dainE'einemEuklidischenV*ektorraumV %gilt'jxոhx;y[ٸi=<$K1Kwfe (֍4 'bm~jjx8+yjj2Sjjxyjj2|sbp~ :֍ꁲ2.% src:367kap8.2ZeigenUUSie,daineinemEuklidischenV*ektorraumV9gilt_n"jjx8+y[ٸjj2S+jjxyjj2C=2jjxjj2S+2jjyjj2|s:`ꁲ3.% src:371kap8.2ZeigenUUSie:wennineinemnormiertenV*ektorraumVXjjx8+y[ٸjj2Sjjxyjj2% src:373kap8.2linearinxundinyEist,dannistV"einEuklidischerV*ektorraumundjjxjj%dieUUdurcheinSkqalarproGduktde nierteNorm.4.% src:377kap8.2Betrachten Sie R^4 JalsEuklidischenV*ektorraummitdemkqanonischen%SkqalarproGdukt.UUSeienu;x;y[;z72R^4ȲgegebenUUmitr&dx$u=(1;0;0;1);j~x=(1;2;0;1);w`ny"=(1;1;2;1); |z7=(2;2;3;2):`)a)7x src:386kap8.2Zeigen9'Sie,da9(jezweidergegebGenenV*ektorenorthogonalzueinander7xsindundnormierenSiediegegebGenenV*ektorenzueinerOrthonor-7xmalbasis.)b)7x src:389kap8.2DrGouckenBSiedenBV*ektor(1;1;1;1)BalsLinearkombinationdenBgefun-7xdenenUUOrthonormalbasisaus.5.% src:393kap8.2Betrachten Sie R^2 JalsEuklidischenV*ektorraummitdemkqanonischen%SkqalarproGdukt.2Benutzen2SiedasGram-Schmidtsche2Orthonormalisie-%rungsverfahren,UUumausjederderMengen_@f(1;3);(2;2)gUWbzw.Bf(1;0);(3;5)g% src:399kap8.2eineUUOrthonormalbasiszumachen.6.% src:401kap8.2Betrachten Sie R^4 JalsEuklidischenV*ektorraummitdemkqanonischen%SkqalarproGdukt.2Benutzen2SiedasGram-Schmidtsche2Orthonormalisie-%rungsverfahren,UUumausderMenge`]Xf(0;2;1;0);(1;1;0;0);(1;2;0;1);(1;0;0;1)g% src:406kap8.2eineUUOrthonormalbasiszumachen.7.% src:408kap8.2Betrachten Sie R^3 JalsEuklidischenV*ektorraummitdemkqanonischen%SkqalarproGdukt.zSeiUR^3GderUntervektorraum,zdervondenV*ektoren%(0;1;2)und(1;0;1)erzeugtwird.BenutzenSiedasGram-Schmidtsche%Orthonormalisierungsverfahren,՗umeineOrthonormalbasisvonU첲zu n-%den.8.% src:415kap8.2SeirP2derV*ektorraumrderreellenPolynomevomGrad2mitdem%SkqalarproGdukt6Mhp;q[ٸi=cZi 1@UR1np(x)q(x)dx:;>Oō>;2504`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;)a)7x src:419kap8.2BenutzenCSiedasBGram-SchmidtscheOrthonormalisierungsverfah- 7xren,6umausderMengef1;x;x^2|sg6ɲeineOrthonormalbasiszumachen.7x(SieUUerhaltendieerstendreinormalisiertenLegendre^7ȲPolynome.))b)7x src:424kap8.2DrGouckensSiediefolgendenPolynomealsLinearkombinationender7xgefundenenUULegendrePolynomeaus:18+x+2x2|s;34x2;5+2x:ꁲ9.% src:429kap8.2ZeigenSie,daineinemEuklidischenV*ektorraumjjxjjP=Qjjy[ٸjjgenau%dannUUgilt,wennx8+y.undUUxyzueinanderUUorthogonalsind.$8.3**DieHessescheNormalform src:4kap8.3Eine?schoone>Anwendungdes>SkqalarproGduktsineinemEuklidischenV*ektor-raumistdieHessesche^8cgNormalform,mitdereinanerUnterraumbGeschrie-bGenUUwerdenkqann.,De nitionTundLemma8.3.1 src:10kap8.3SeiyVeinendlichdimensionalerEuklidi-scher:V;ektorr}'aum.Seia+U,Uein:anerUnterraum*tvonV8,undb^0l1|s;:::;b^0vkeineOrthonormalb}'asisvonU^?.DanngiltqP덍S a8+Up=fx2V8j8z72U^? 4:hzp;x8ai=0gp=fx2V8j8i=1;:::;k:hb^0;ZiTL;x8ai=0g: src:21kap8.3DieGleichungenhuiTL;x8ai=0, src:23kap8.3heienHessescheUUNormalformvona8+U.Beweis.: src:28kap8.3hzp;xi6=hz;ai7(UX)hz;xai7=60(UX)x a2U^??S=UR()x2궵a8+U.LemmaT8.3.2YUI src:35kap8.3Seiӵb2V8.Danngibtesgenaueinq[xf2aK +K Umitѵbx2궵U^?.Beweis.: src:40kap8.3bѸa1s21rUU^? =%)ba1r=u+u^? t= )1rb(a+u)=1ru^?..Mit궵xH:=ea˜+u#gilt#bx=eu^? e2U^?.#Seib˜™xd2U^?;b™˜x^0흸2eU^?;x;x^0흸2궵a8+U3= )xx^0Q2U^? \U3=0=㎸)x=x^09." src:48kap8.3AusYderBeschreibungYeinesanenUnterraumeserhaltenYwirjetztleichtdenUUAbstandvonbGeliebigenPunktenzuihm.,SatzT8.3.3I src:52kap8.3Seib8x_2U^?;x2a8+U.DanngiltlEӸkb8xk=Minnfkb8xkjx2a8+UgkbxkW?heitAbstandvonbW>nacha+U,x#heitW?F*upunktfdesLotes~von궵bauf{a8+U.궟 .ff/f J:-=7 {AdrienTMarieLegendre(1752-1833) -=8 {LudwigTOttoHesse(1811-1874)HOō>;8.3DieTHessesc9heNormalform9251%ō>;Beweis.: src:63kap8.3kb+V+Uxk^2C=k(bx)+(x:x)k^2C=kbxk^2Ȳ+kx9xk^2kb+Uxk^2 궲wegenUUb8x_2U^?;xĸx2U.*F olgerungT8.3.4eG src:70kap8.3kb5ϸxk=kPލ 8k% 8i=12hb5ϸ5εa;u^0;ZiTLiu^0;Zik=p fe:hP ;hu:0;ZiTL;b8air2Jwist~derAbstandvonXJbnacha8+U.*Beweis.: src:76kap8.38.3.1ڵ= +)`bʸx>E2aU^? вundڵba=au+(bx)= ׸)`hba;u^0;ZiTLi=궸hb8x;u^0;ZiTLi=㎸)kbxk=kP 8hb8x;u^0;ZiTLiu^0;Zik=kP 8hb8a;u^0;ZiTLiu^0;Zik." src:84kap8.3Der|F*all}einesanenUnterraumesderKoGdimension1istderbGekqanntesteF*allderHesseschenNormalform.Erergibtsichleichtausdenbisherigen*fUbGerlegungen.斍BemerkungT8.3.5n src:89kap8.3Ist:dimU3=n1,:so:istdimU^? 4=1.Ist:u^0eineOrtho-normalbasisVvonUU^?,soliegenzweiPunkteb;b^0genaudann"faufderselbGenSeiteL\von aX+WU,wennhu^09;bWXaiundhu^0;b^0qXaidasselbGeV*orzeichenhaben.궸hxa;u^09i=0istdanndieHessescheNormalformvona+U* undjhba;u^09ij궲derUUAbstandvonbzua8+U.敍w'VUbungenT8.3.6fϽ1.s src:100kap8.3Betrachten1FSieR^3 als1EEuklidischenV*ektorraummit%demxkqanonischenSkalarproGdukt.SeiwU¸R^3EderUntervektorraum,xder%vonYAdenY@V*ektoren( 33333&fes5bٵ;0; ۱4۟&fes5 )und(0;1;0)YAerzeugtwird.DrGouckenSieYAden%V*ektor^xB}=B|(1;2;3)als_Summevonzwei_V*ektorenxB}=B|y+j;2524`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>CK(Min\g@L2UncZixb@ta|(f(x)8g[ٲ(x))2|sdx=cZi b@URa](f(x)8p(f(x)))2|sdx;% src:137kap8.3d.h.UUp(f)istdiebGestequadratischeApproximationvonfhinU.#Oh8.4**Isometrieni src:4kap8.4WieM3bGeiallenbisherstudiertenStrukturengibtM4esauchfourdieStrukturEu- klidischerV*ektorroaumestrukturerhaltendeAbbildungen,dieIsometrienge-nanntUUwerden.SieerhalteninsbGesondereWinkelundLoangen.;De nitionT8.4.1fA src:11kap8.4Seien(V9;h;i);(W;h;i)V*ektorroaumemitSkqalarproGdukt.EineUUAbbildungfڧ:V!WheitIsometrie(ortho}'gonaleAbbildung),wenncCj 8x;y"2V:hf(x);f(y[ٲ)i=hx;yi:cB궸OG(V9;h;i)kX=ff~2GL=(V8)jfhIsometrie0gisteineUntergruppevonGL(V8),genanntUUortho}'gonaleGruppe.;SatzT8.4.2I src:25kap8.4EineIsometries&f :Vu !DWYisteinMonomorphismusvonV;ektorroaumen.cBBeweis.: src:30kap8.41.Esisthf( zx+ y[ٲ) f(x) f(y[ٲ);f( zx+ y[ٲ) f(x) f(y[ٲ)i=궸hf( zx+ y[ٲ);f( zx+ y[ٲ)i+ ^2hf(x);f(x)i+ ^2hf(y[ٲ);f(y[ٲ)i2 zhf( x+궵 y[ٲ);f(x)iS2 hf( zx+ y[ٲ);f(y)iSR2 z hf(x);f(y[ٲ)i=h zxS+ y[; zx+ y[ٸi+궵 z^2hx;xi + ^2hy[;yi 2 zh x + y[;xi2 h zx+ y[;yi 2 z hx;y[ٸi=h zx + yi궵 zx78 y[; x+8 y# zx y[ٸi=0.Darausfolgtf( zx+8 y[ٲ)= zf(x)+8 f(y[ٲ).AlsoUUistfheinHomomorphismus." src:51kap8.42.UUf(x)=0=㎸)0=hf(x);f(x)i=hx;xi=㎸)x=0.cCSatzT8.4.3I src:56kap8.4Seifڧ2End(V8) undV ein EuklidischerV;ektorr}'aum.Gelteg8v"2궵V8[kf(v[ٲ)k=kvk].DannistfveineIsometrie.Beweis.: src:62kap8.4Aushx;y[ٸiku=kt1=2(hxz+y;xz+yizhx;xihy[;yi)ku=kt1=2(kxz+yk^2kxk^2S8ky[ٸk^2|s),UUgenanntPolarisierung,folgtodD޸hf(x);f(y[ٲ)izPݲ= K1K&fes2 )(kf(x)8+f(y[ٲ)k^2Skf(x)k^2Skf(y[ٲ)k^2|s) hzP= K1K&fes2 )(kx8+y[ٸk^2Skxk^2ky[ٸk^2|s)zP=hx;y[ٸi:w'VUbungenT8.4.4fϽ1.s src:76kap8.4DrehenSiedenR^3HSumdiex-AchseumdenWinkel[=3%undUUbGestimmenSiedenBildvektordesV*ektors(1;2;4).2.% src:80kap8.4ImwR^4emitdenKoGordinatenu;x;y[;zZ werdewzunoachsteinevDrehungum%dieyk zp-EbGenemitdemWinkel[=4undsoGdanneineDrehungumdie%u7x-EbGeneumdenWinkel[=4vorgenommen.Wiesiehtdiegesamte%DrehmatrixUUaus?3.% src:86kap8.4ImwR^4emitdenKoGordinatenu;x;y[;zZ werdewzunoachsteinevDrehungum%dieyk zp-EbGenemitdemWinkel[=3undsoGdanneineDrehungumdie%xܸݵy[ٲ-EbGenePumdenWinkel=4vorgenommen.QWiesiehtdiegesamte%DrehmatrixUUaus?jOō>;ְ%8.5OrthogonaleTMatrizen9253%ō>;8.5**OrthogonaleMatrizenIe src:4kap8.5DieTzuUIsometriengehoorigenMatrizensinddieorthogonalenMatrizenals darstellendeՍMatrizenbzgl.einerOrthonormalbasis.ՎWirwollensieindiesemAbschnittUUstudieren. De nitionT8.5.1fA src:10kap8.5EineRMatrixMA2m&GL (n;R)heitortho}'gonal,$wennfGourdieUUtranspGonierteMatrixM^tƲgiltM^tc=M^1 ӏ. BemerkungT8.5.2n src:17kap8.5W*enneMorthogonalist,dsofolgtMM^t K=WڵMM^1+i=궵E= -)*1=detbE=det(MM^tq)*=(det8M)^2= )jdet(M)j=1.Eineorthogo-naleUUMatrixMlpheiteigentlichortho}'gonal,wenndet㍵M3=1gilt." src:24kap8.5O(n):=fM32GL(n;R)jM^tc=M^1 ӏgUUheitortho}'gonaleGruppe." src:28kap8.5SO UX(n):=fM32ꪲO 6(n)jdet8M=1gUUheitsp}'ezielleorthogonaleGruppe.SatzT8.5.3I src:34kap8.5Sein_VheiniendlichdimensionalerEuklidischeriV;ektorr}'aummitOrthonormalb}'asisrZBq.9Ein8Homomorphismusf2iEnd(V8)ist8genaudannei-neIsometrie(ortho}'gonaleAbbildung),wenndiedarstellendeMatrixMvon궵fvbzgl.BXeineortho}'gonaleMatrixist.Beweis.: src:44kap8.5SeienK(1|s;:::;nq~)^tLn=xbzw.M<%dydieKoGordinatenvektorenKvonx2V궲bzw.uf(x)vbGezouglichderBasisvBq.Sei"=(1|s;:::;nq~)^t̲Koordinatenvektorvon궵y"2V8.UUDanngilt-;2544`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;1.% src:81kap8.5Mistortho}'gonal. 2.% src:82kap8.5DieSp}'altenvektorenvonXJMbildeneineOrthonormalbasisf֞ourtRnq~.3.% src:84kap8.5DieZeilenvektor}'envonXJMbildeneineOrthonormalbasisf֞ourtR^nq~.Beweis.: src:90kap8.5W*ennMòorthogonalist,dannistauchdieT*ranspGonierteM^t ?or-thogonal.âDeshalbágehen(2)~(UX)~(3)ineinanderdurchT*ranspGonieren ouber.W*eiter ist M^tqMZa=CFEn ø(UX)8i;j[m^t;ZiVmj y=ij ]CE() Spaltenvon M'sindOrthonormalbasis" src:97kap8.5Eine[orthogonaleMatrixloatsichdurchKoGordinatentransformationineine bGesonderseinfacheF*ormS/ouberfouhren. WirnennendieseF*ormNormal-formAeinerorthogonalenAAbbildung.DerBeweisistetwasAschwieriger.WirverweisenwdenxLeserhierzuaufspGezielleLehrboucherundverzichtenxhieraufeineUUDarstellungdesBeweises.͍SatzT8.5.6I src:104kap8.5(NormalformUUvonorthogonalenAbbildungen)" src:108kap8.5SeiVein8endlichdimensionalerEuklidischerV;ektorr}'aumundfڧ2End(V8)ortho}'gonal.=9DanngibteseineOrthonormalbasisZBq,bez֞ouglichderdiedarstel-lendeMatrix+MvonXJfvdieF;ormhatGōJv|M3=>0BBBBBBBBBBBBBBfi@ 11ʂ:::Ʋ08.!&Z.%Sڟ.?.?.?.3,1Bd1㍍Y.^ .bN.p&B1&AA17):.):.):..M.D͟. 10ُ:::Ar>@1@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@Cfi@AO src:130kap8.5mitAid=^ 4cos1('iTL)5sin ('iTL) \msin('iTL)9;ccosF('iTL)^Y^" src:135kap8.5OhneUUBeweis.F olgerungT8.5.7eG src:138kap8.5Sei4MteineZortho}'gonaleYMatrix.Danngibteseineortho-gonaleMatrix+Tc,sodaTMT^1dieF;ormhatGō=ܳTcMT1=>0BBBBBBBBBBBBBBfi@ 11ʂ:::Ʋ08.!&Z.%Sڟ.?.?.?.3,1Bd1㍍Y.^ .bN.p&B1&AA17):.):.):..M.D͟. 10ُ:::Ar>@1@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@C@Cfi@AuOō>;ְ%8.5OrthogonaleTMatrizen9255%ō>;Beweis.: src:161kap8.5M'stelltbzgl.derOrthonormalbasisеe1|s;:::;enOeineIsometrief$`dar. Eine6Basistransformationvon7(eiTL)zueineranderenOrthonormalbasisB wirdwegen18.5.3und5.5.18durcheine1orthogonaleMatrixTgegebGen.MitderT*ransformationsformelUUaus5.5.20folgtdieBehauptung." src:169kap8.5EinUUinteressanteAnwendungderNormalformistF olgerungT8.5.8eG src:172kap8.5Eine|KugelimA8R3Iwer}'deumihren|Mittelpunkt(miteinereigentlichortho}'gonalenMatrix)bewegt.DanngibteszweiPunkteaufderOb}'er oache,diefestbleiben.Beweis.: src:178kap8.5DieUUMatrixhatwegendet㍵M3=1dieF*orm!qҍZU0 U@1fq0)00cos(7'²sinn'09sin'ݎcosŵ'ZK«1 KA"  src:181kap8.5und!stelltdahereineDrehungum!den(1dimensionalen)Eigenraumzu1dar.SatzT8.5.9I src:186kap8.5SeiM32R^nnq~.Danngelten:1.% src:188kap8.5M^tŲ= SM(Msymmetrisch)= ")allekomplexenEigenwertevonMsind%r}'eell.2.% src:192kap8.5M^tc=MzP(Mantisymmetrisch)c5= )c5allec6komplexenEigenwertevon'M%sindr}'einimaginoar.3.% src:196kap8.5M^tc=M^1(Mmortho}'gonal)Q=Ǹ)QalleRkomplexenEigenwertevonMlhaben%denBetr}'agvd1.Beweis.: src:203kap8.51.~und}2.:OpGeriereMaufCnq~.Sei&\=&[1undgelteM^t̲=&[M.Sei궵geinEigenwertfvongM*mitEigenvektorgzp.Danngilt~fegz*ttz7=~fegz6*t cz=~fegz6*tMz= ލ궵~fegz*tt}fe ʪMgttz7=(}fe ʪM ʪzȲ)^tVz= fe u$z u"t8= feW$Wz u"tq˵zp;IJalsoŵ= feW$W,wobGeiş~fegz 2CnpBderkonjugiertkomplexe>4V*ektor>3zuzʲistund}fe ʪM=MUOgilt,wennM32R^nnq~.Ist=1,>4soist궲wegenUU= feW$ IJreell.Ist=1,soistwegen= feW$ *reinimaginoar. k" src:218kap8.53.:Aus~fegz *t z;=g~fegz⅟*t g۵Enq~z;=g~fegz⅟*tM^tqMz=g~fegz⅟*t}fe ʪM2t۵Mz=g(}feȟMzȲ)^tVMz=g( fe u$z u)^tVz=궟 feW$ ~fegz*ttzfolgtUU feW$ *=1,UUalsohatdenBetrag1." src:226kap8.5UmbGeliebigeEuklidischeV*ektorroaumezugewinnen,brauchtmaneinSkqalarproGdukt. -Im .Rn {isteinSkqalarproGduktimmergegebGeninderF*orm궸hb;ci=b^tVScUUmiteinerMatrixS,diepGositivde nitist.De nitionT8.5.10l src:233kap8.5EinWMatrixSZ2R^nnղheitp}'ositivde nit,RwennRnRdRn83궲(x;y[ٲ)7!x^tVSy"2RUUeinepGositivde nitesymmetrischeBilinearformist.SatzT8.5.11O src:241kap8.5SeiٶS2 R^nnq~.ܵShjistgenaudannp}'ositivde nit,wenneseineinvertierb}'areMatrix+MgibtmitSZ=M^tqM.Oō>;2564`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;Beweis.: src:246kap8.5SeiSLpGositivde nit.DanngibteseineOrthonormalbasisB0fGour 궼Rn mitmdemndurchSde niertenSkqalarproGdukt.W*egenb^t;ZiVSbj =s<ij eist(b1|s;:::;bnq~)^tVS(b1;:::;bnq~)=EnundWmitM=(b1|s;:::;bnq~)^1folgtS^b=յM^tqM.W*enn;X8.6AdjungierteTAbbildungen9257%ō>;Beweis.: src:18kap8.6Da풵Ijbilinearist,ist[ٲ(x;)imzweitenArgumentlinear,alsoein Element[1vonHom0(V9;R)=V8^Ȳ.W*eiterist[ٟ^( zxD+ y[;)(zp)=( zxD+D y;zp)=궵 z[ٲ(x;zp)+ (y;zp)J= z[ٟ^(x)(z)+ [ٟ^(y[ٲ)(z)J=( z[ٟ^(x)+ [ٟ^(y[ٲ))(zp),alsogilt[ٟ^( zx,+ y[ٲ)= [ٟ^(x),+ [ٟ^(y[ٲ).^istalsoeinHomomorphismus.W*enn궵[ٟ^(x)=08ist,7dannist[ٟ^(x)(zp)=[ٲ(x;z)=07fGour8allez'2V8.8W*eil'nichtausgeartetUUist,folgtx=0.UUDamitist[ٟ^JeinMonomorphismus.F olgerungT8.6.2eG src:33kap8.6Sei9s9eine_nichtausge}'artete`Bilinearformauf`einemend-lichdimensionalenBV;ektorr}'aumV8.DannBist5[ٟ^|:V<!V^ {einIsomorphis-mus.Beweis.: src:39kap8.6NachP5.4.16istPdimPV=dimnV8^Ȳ,alsoist[ٟ^EnachP5.4.12einIsomor-phismus." src:43kap8.6EineweiterewichtigeKonstruktionistdievonadjungiertenEndomor-phismen.UUDieseKonstruktionfGouhrtzueinemAutomorphismusvonEnd@(V8).U SatzT8.6.3I src:48kap8.6Seien̵pAundVMLwieiinh8.6.2.Zuje}'dem˵fڧ2End(V8)gibtesgenaueinXJf^ad Ƹ2End(V8)mitknq8x;y"2V8[[ٲ(x;f(y))=(fad (x);y)]:f^ad heitdiezuXJfvadjungierteUUAbbildung.Beweis.: src:57kap8.6Eswistv[ٲ(x;f())2V8^Ȳ.Alsogibtesnach8.6.2genaueinElement 궵f^ad (x)2VAmitĵ[ٟ^(f^ad(x))=[ٲ(f^ad(x);)=[ٲ(x;f()).õf^ad (x)hoangtlinearvonxab,denn[ٲ(f^ad ( zxRX+ y);zp)=( zxRX+ y;f(zp))=ĵ z(x;f(zp))RX+궵 [ٲ(y;f(zp))J= z[ٲ(f^ad (x);zp)+ (f^ad (y);zp)J=[ٲ( zf^ad (x)+ f^ad(y[ٲ);zp)=fGouralleAz72V8.BAlsoist[ٟ^(f^ad ( zx+ y[ٲ))=^( zf^ad (x)+ f^ad(y[ٲ)),Aalsof^ad( zx+궵 y[ٲ)= zf^ad (x)8+ f^ad (y[ٲ).UUO enbaristf^ad PeindeutigbGestimmt.F olgerungT8.6.4eG src:76kap8.6Seieeine symmetrische, nichtausge}'arteteBilinearformaufdemendlichdimensionalenV;ektorr}'aumXJV8.DannistdieAbbildungz1End(V8)3fڧ7!fad Ƹ2End(V) src:80kap8.6ein'involutorischerAntiautomorphismusdesEndomorphismenringes(versu- chenSiemitdieserAussageIhr}'eF;reundezubeeindrucken),d.h.1.% src:84kap8.6(fLo+8g[ٲ)^ad 7=f^ad 3+g^ad B,2.% src:85kap8.6(fLo8g[ٲ)^ad 7=g^ad {ظf^ad ,3.% src:86kap8.6(idUW)^ad 7=id o,4.% src:87kap8.6(f^ad )^ad 7=f.Beweis.: src:92kap8.61.[ٲ((f}~+ig)^ad(x);y)A=A(x;(f}}+ig)(y))A=A(x;f(y))i+i(x;g(y))A=궵[ٲ(f^ad (x);y)+[ٲ(g^ad B(x);y)5=[ٲ((f^ad 3+g^ad B)(x);y)fGouralleyl24VSimpliziert궵[ٟ^((fLo+8g[ٲ)^ad(x))=^((f^ad 3+8g^ad B)(x)),UUalsofolgt1." src:99kap8.62.ZO[ٲ((fO<1g)^ad(x);y)c=[ٲ(x;f(g(y)))c=[ٲ(f^ad (x);g(y))c=[ٲ(g^ad B(f^ad (x));y)=,)2:Oō>;2584`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;" src:104kap8.63.UUtrivial " src:106kap8.64.[ٲ((f^ad )^ad(x);y)#=#ٵ(x;f^ad (y))#=[ٲ(f^ad(y);x)#=[ٲ(y;f(x))#=궵[ٲ(f(x);y),UUalso(f^ad )^ad 7=fV:u" src:111kap8.6MitderKonstruktionvonadjungiertenEndomorphismenergibtsichdieinteressanteF*rage,unterwelchenUmstoandenfyundf^adoubGereinstimmen.SolchḛEndomorphismeṉnennenwirselbstadjungiert.SiehabGensehrweitrei-chendeUUBedeutunginderPhysik,derGeometrieundinderAnalysis.᭍De nitionT8.6.5fA src:119kap8.6fڧ2End(V8)UUheitselbstadjungiert,wennf^ad Ʋ=fhgilt.ᬍLemmaT8.6.6YUI src:125kap8.6Bil (V8)'9:=':f:V8_TV`Y!˓RjBiline}'arform>QgisteinV;ektor-r}'aum.Beweis.: src:130kap8.6Bil (V8)YݸY޲AbbS(VV9;R)GisteinUntervektorraum,FwieGmanleichtsieht.SatzT8.6.7I src:135kap8.6Seieinenichtausge}'artetesymmetrischeBilinearformaufrVundpdimƵV<1.Dannistub1 ):End(V8)3fڧ7![ٲ(;f())2Bilj(V)v src:139kap8.6einIsomorphismus.Beweis.: src:143kap8.6O enbarPistQ[ٲ(;f())eineBilinearform.W*eiteristwegen b( zf h+궵 g[ٲ)=(;( zfe+ֵ g)())= z(;f())+׵ (;g())= z b(f)+  (g[ٲ)diefAbbildung einHomomorphismus.W*enn b(f))=0fist,esoist8x;yb2궵V8[[ٲ(x;f(y))!="0]:Alsogilt8yA2V8[f(y[ٲ)="0]unddamitf=0.Daherist궵  `@injektiv.Seischlielichk2ߥBil6(V8).Dannist!Dz(x;)ߥ2V^ȵ;alsogibtesgenaueinf(x)q2rV֤mit!Dz(x;)=q[ٲ(f(x);):Esistf2End (V8),denn궵[ٲ(f( zx+ y);)=!Dz( zx+ y;)= z!Dz(x;)+ (y[;)= z[ٲ(f(x);)2궵 [ٲ(f(y);)e=f( zf(x) + f(y);):Wirbilden b(f^ad )e=f[ٲ(;f^ad)e=궵[ٲ(f;)=!Dz(;)UUundhabGendamit surjektivgezeigt.BemerkungT8.6.8n src:164kap8.6Aufa)jedema(V mitdimV<1gibteseinenichtausgearte-teKsymmetrischeBilinearform.InsbGesondereListeinSkqalarproduktnichtausge-artet.Seinoamlichb1|s;:::;bnRYeineBasisvon۵V8.Dannist[ٲ(P 8 iTLbi;P ㋵ j6bj):=궟P # iTL j6[ٲ(bi;bj)=P iTL jij Ynicht`ausgeartetaundsymmetrisch,denn[ٲ(x;V8)=0UUimpliziert[ٲ(P 8 iTLbi;bj6)=0= jfGourUUallejR:ᬍ" src:175kap8.6WirroUUubGertragenunserebisherigenBetrachtungenUUnunmehraufMatrizen.᭍SatzT8.6.9I src:179kap8.6Sei"dimwVu=n<1;B0eineBasisund&H[ٲ(biTL;bj6)=ij (einenichtausge}'artetesymmetrischeBilinearform.UnterdenIsomorphismenOjnRnnT΍ 2q~ !End'x(V8)8[ɴǥv!wBil(V)u src:184kap8.6mit(M)dervonXJMbzgl.BXdar}'gestelltenHomomorphismusgilt:5Oō>;X8.6AdjungierteTAbbildungen9259%ō>;1.% src:188kap8.6oaquivalentsindf֞ourtM32R^nn )EXa)7x src:190kap8.6M^tc=M(Mistsymmetrisch),)1b)7x src:192kap8.6(M)istselbstadjungiert,)1c)7x src:193kap8.6 b(M)istsymmetrisch;2.% src:195kap8.6oaquivalentsindf֞ourtM32R^nn8:)EXa)7x src:197kap8.6Mr}'eguloar,)1b)7x src:199kap8.6(M)Automorphismus,)1c)7x src:200kap8.6 b(M)nichtausge}'artet.Beweis.: src:206kap8.61.UUSeifڧ:=(M),alsof(bj6)=Pލ USn% USi=1tJ ij bimitM3=( ij ):Esgilt" src:209kap8.69ݍ74M^tc=MaT,(UX)8i;j[ ij = jgi ]aT,(UX)8i;j[[ٲ(P ;k$s k+Biܵbk됵;bj6)= jgi =[ٲ(biTL;P 8k k+Bj;2604`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ō>;8.7**DieHauptachsentransformation src:5kap8.7WirhabGenschondaraufhingewiesen,daselbstadjungierteEndomorphis- meneineVielzahlvonwichtigenAnwendungenhabGen.DaheristesvonbGe-sonderemInteresse,ihredarstellendenMatrizenzustudierenundsiedurchgeeigneteW*ahlderBasisineinebGesonderseinfacheF*ormzubringen.HierbGegegnen#wir"nocheinmal"Eigenwertenund"Eigenvektoren.Die"einfachsteF*ormUUderdarstellendenMatrizenstelltsichalsDiagonalformheraus.SatzT8.7.1I src:15kap8.7(Hauptachsentr}'ansformation vonselbstadjungiertenEndomor-phismen)+FSei0 Vd)einendlichdimensionalerEuklidischerV;ektorr}'aum+Eundsei궵f2^End (V8)D&selbstadjungiert.JDanngibtD%eseineOrthonormalb}'asisKBĖausEigenvektor}'envonXJfvundpfistdiagonalisierb}'ar.Beweis.: src:29kap8.7durchUUvollstoandigeInduktionnachn=dimnV8." src:31kap8.7FGourUUn=0istnichtszuzeigen." src:33kap8.7GeltederSatzfGournh1undseidim>VwF=>bn.DascharakteristischePoly-nomf/ (x)hat(nachdemF*undamentalsatzderAlgebra)nkomplexeNull-stellen,qYdieqXallereellsind(8.5.81.).Seiȸ2ɼReinEigenwertzuqYfmiteinemEigenvektorbn mitkbnq~k|=1.SeiUᘲ=(Rbn)^?.DannistdimUᘲ=|n1einEuklidischerV*ektorraum.Weiteristf(U).U,dennfGouru.2Ugilt궸hf(u);bnq~i=hu;f(bnq~)i=hu;bnq~i=hu;bnq~i=0.?EsistfjU selbstadjungiert,weilZhu1|s;f(u2)i=hf(u1|s);u2i[gilt.ZSeib1|s;:::;bn1ELeine[Orthonormalbasisvon궵UausEigenvektorenvonfjU.Dannistb1|s;:::;bnYeineOrthonormalbasisvon궵V9ausUUEigenvektorenvonf.SatzT8.7.2I src:51kap8.7(Hauptachsentr}'ansformation8f֞oursymmetrischeMatrizen)SeiSZ2궼R^nn JeineـsymmetrischeMatrix.Danngibteseineortho}'gonaleMatrixTc,sodaTcST^1Diagonalformhat.DieEintroageinderDiagonalenvon#8㍒TctST*=Z0 @8䍍 11;507"J.&x#.*.ڦ08}˵nZEoH1 EoHA# src:62kap8.7sindcdieEigenwertevonLƵSunddieHt1|s;:::;tn mit{;T卲=(t1;:::;tnq~)cdiezu-gehoorigenEigenvektor}'en.Beweis.: src:68kap8.7x䍑hbS n:=Rn !뱼Rn ist#selbstadjungiert$(8.6.9),folglichexistierteineOr-thonormalbasisUUt1|s;:::;tnӲausEigenvektoren:UUStjIJ=j6tj=tjo8joGder$#sST*=ToZ80 8@8䍍 19f07!.%g.)J.Ln06nZCy1 CyA$j src:75kap8.7oGdereTc^1 ST=hD0oderTc^tST=hD,weilTLorthogonalist(wobGeifD0dieDiagonalmatrixUUist).Oō>;f8.7DieTHauptac9hsentransformation9261%ō>;" src:79kap8.7Der8Zusammenhangzwischen8 symmetrischen8MatrizenundBilinearfor- men'bringtuns&zuderF*rage,unterwelchen&UmstoandendieBilinearformenSkqalarproGdukte sind.Diese F*ragekoonnenwirzumAbschluleichtbGeantwor-ten.F olgerungT8.7.3eG src:85kap8.7Einec{symmetrischeczMatrixistgenaudannp}'ositivde nit,wennalleEigenwertep}'ositivsind.Beweis.: src:91kap8.7Sei^õSPpGositivde nit.Seib1|s;:::;bnAwiein8.7.2.Dannistid=b^t;ZiVSbi=궸kbiTLk^2bS>0.0Seienalle0ܵid>0,soistfGourx=PiTLbi,0das0SkqalarproGduktbzgl.S궲gegebGenUUdurchqǍd[}hx;xiS{=(P 8iTLbi)^tVS(Pj6bj)=PiTLj6b^t;ZiVSbj{=PiTLj6jb^t;ZiVbjIJ=P^2;Zi9Vid>0:\qw'VUbungenT8.7.4fϽ1.s src:106kap8.7Finden|SiedieDimensionenderEigenroaumederfol-%gendenUUsymmetrischenMatrizen:&qǍZ:b0 :b@E 1T 1c1E 1T 1c1E 1T 1c1Zi1 iAta;Z 0 @1,r4G!2R401C22,r2C2ZRY1 RYA\;X 0 Bfi @R 33533&fes3.?J 33433&fes3JLѲ0 bG$1bG$&fes3R 33433&fes3 1W101Wӟ&fe:3JLѲ0]0b 33433&fes3M02E0FiB2a]0 ,1,&fes3.?J 33433&fes3JLѲ0]0b 33533&fes3Xm1mCfimAꁲ2.% src:125kap8.7T*ransformierenESiediefolgendenFMatrizenaufHauptachsenundgebGen%SieUUdieT*ransformationsmatrixan: l^{5d3PpUWPfeE3u43PpUWPfeE3+1d^k;Z 0 @S250H36x01s3O#0R3650H23Z\[1 \[Af;4 Zf2ī0 f2@t2d1+1pm1H2+1pm1d1<2Zt1 tA;X 0 Bfi @R5(2?0R0R2%T2?0R0R0(0;t2R2R0(0?2R5XYN=1YN=CfiYN=Ac:Oō>;2624`8.Euklidisc9heTV:ektorrg3aume%ŎL;O`b {"q% cmsy6Aacmr6o cmr9': cmti10"V cmbx10N cmbx12Nff cmbx12qymsbm7 msbm10 !", cmsy10 O!cmsy7 0ncmsy5 b> cmmi10 0ercmmi7O \cmmi5K`y cmr10ٓRcmr7Zcmr5O linew10O line10u cmex10