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y(Grundstrukturen)h(und)g(der)f(linearen)f(Algebra.)g(Sie)h(w)o(erden)g (jedo)q(c)o(h)108 1288 y(h)135 1290 y(\177)135 1288 y(au\014g)12 b(in)f(Bew)o(eisen)f(v)o(erw)o(endet,)f(geb)q(en)i(Anla\031)g(zur)g (Konstruktion)h(v)o(on)108 1347 y(sp)q(eziellen)20 b(Matrizen)i(und)g (sind)g(eng)g(v)o(erw)o(andt)g(mit)e(geometrisc)o(hen)108 1405 y(und)14 b(k)o(om)o(binatorisc)o(hen)d(Problemen)h(und)h(b)q (esonderen)h(Abz)1261 1407 y(\177)1261 1405 y(ahlungen.)108 1463 y(Wir)d(w)o(ollen)f(daher)h(in)g(diesem)e(Kapitel)h(einige)f (elemen)o(tare)f(Eigensc)o(haf-)108 1521 y(ten)16 b(v)o(on)g(Graphen)h (erl)540 1523 y(\177)540 1521 y(autern.)108 1624 y Fl(De\014nition)h (1.1.)i Fn(Die)e(Menge)g Fk(A)12 b Fj(\016)h Fk(A)k Fn(=)h Fj(ff)p Fk(a;)8 b(b)p Fj(gj)p Fk(a;)g(b)15 b Fj(2)j Fk(A)p Fj(g)g(\032)f(P)t Fn(\()p Fk(A)p Fn(\))108 1682 y(hei\031t)f Fi(Menge)j(der)e(unge)n(or)n(dneten)i(Paar)n(e)h Fn(in)32 b Fk(A)p Fn(.)108 1785 y Fl(De\014nition)18 b(1.2.)i Fn(Ein)k Fi(Gr)n(aph)i Fn(ist)e(ein)g(T)l(rip)q(el)f(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))24 b(b)q(estehend)108 1843 y(aus)16 b(der)f(Menge)f Fk(V)26 b Fn(der)15 b Fi(Knoten)21 b Fn(\(engl.)14 b(v)o(ertex,)f(v)o(ertices\),)f(der)j(Menge)108 1901 y Fk(E)21 b Fn(der)c Fi(Kanten)24 b Fn(\(engl.)16 b(edge\))i(und)g(der)f Fi(Endpunktbildung)25 b Fk(\031)18 b Fn(:)e Fk(E)j Fj(\000)-8 b(!)108 1959 y Fk(V)26 b Fj(\016)14 b Fk(V)s(:)21 b Fn(F)300 1961 y(\177)299 1959 y(ur)g(eine)f(Kan)o(te)g Fk(k)k Fj(2)f Fk(E)h Fn(hei\031en)c(die)g(Knoten)i Fk(a)e Fn(und)i Fk(b)e Fn(mit)108 2017 y Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))f(=)f Fj(f)p Fk(a;)8 b(b)p Fj(g)19 b Fi(Endpunkte)24 b Fn(v)o(on)c Fk(k)r Fn(.)e(Eine)h(Kan)o(te)g Fk(k)i Fn(und)f(ein)e(Knoten)108 2075 y Fk(a)h Fn(hei\031en)g Fi(inzident)p Fn(,)h(w)o(enn)f Fk(a)g Fn(ein)f(Endpunkt)i(v)o(on)f Fk(k)i Fn(ist.)e(Eine)g(Kan)o(te)108 2133 y(hei\031t)g(eine)f Fi(Schlinge)p Fn(,)k(w)o(enn)d Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))f(=)h Fj(f)p Fk(a)p Fj(g)f Fn(einelemen)o(ti)o(ge)e(Menge)j(ist.) 108 2191 y(Ein)11 b(Graph)h(hei\031t)f Fi(schlicht)p Fn(,)23 b(w)o(enn)11 b Fk(\031)i Fn(injektiv)c(ist)i(und)g(der)g(Graph) h(ohne)756 2291 y Fo(133)p eop %%Page: 134 3 134 2 bop 108 117 a Fo(134)235 b(IV.)17 b(K)o(OMBINA)m(TORIK)i(UND)f (GRAPHEN)108 225 y Fn(Sc)o(hlingen)12 b(ist.)g(Ein)h(Graph)h(hei\031t)e Fi(end)r(lich)p Fn(,)27 b(w)o(enn)13 b(er)f(n)o(ur)h(endlic)o(h)e (viele)108 283 y(Kan)o(ten)16 b(und)h(Knoten)f(b)q(esitzt.)108 373 y Fl(Bemerkung)h(1.3.)j Fn(Ein)25 b(endlic)o(her)e(sc)o(hlic)o(h)o (ter)g(Graph)j(wird)e(h)1363 375 y(\177)1363 373 y(au\014g)108 431 y(durc)o(h)16 b(seine)g Fi(A)n(djazenzmatrix)22 b Fn(dargestellt;)15 b(z.B.)p 436 535 2 59 v 486 518 a Fk(v)510 525 y Fh(1)595 518 y Fk(v)619 525 y Fh(2)703 518 y Fk(v)727 525 y Fh(3)811 518 y Fk(v)835 525 y Fh(4)p 344 537 528 2 v 360 578 a Fk(v)384 585 y Fh(1)p 436 595 2 59 v 486 578 a Fn(0)85 b(0)f(1)g(0)360 636 y Fk(v)384 643 y Fh(2)p 436 653 V 486 636 a Fn(0)h(0)f(1)g(1)360 694 y Fk(v)384 701 y Fh(3)p 436 711 V 486 694 a Fn(1)h(1)f(0)g(1)360 752 y Fk(v)384 759 y Fh(4)p 436 769 V 486 752 a Fn(0)h(1)f(1)g(0)885 656 y(=)936 533 y Fg(0)936 606 y(B)936 631 y(B)936 656 y(B)936 683 y(@)973 568 y Fn(0)42 b(0)f(1)h(0)973 626 y(0)g(0)f(1)h(1)973 684 y(1)g(1)f(0)h(1)973 742 y(0)g(1)f(1)h(0)1195 533 y Fg(1)1195 606 y(C)1195 631 y(C)1195 656 y(C)1195 683 y(A)108 883 y Fn(w)o(ob)q(ei)18 b Fk(V)29 b Fn(=)17 b Fj(f)p Fk(v)409 890 y Fh(1)428 883 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(v)570 890 y Fh(4)589 883 y Fj(g)18 b Fn(und)g Fk(E)k Fn(dargestellt)17 b(ist)h(durc)o(h)g(die)f(1-en)i(in)108 942 y(der)d(Matrix.)f(Diese)h(Matrix)g(stellt)f(den)h(Graphen)p 668 1259 4 237 v 669 1259 a Ff(\000)711 1217 y(\000)752 1176 y(\000)794 1134 y(\000)835 1093 y(\000)864 1064 y(\000)p 669 1261 237 4 v 904 1259 4 237 v 669 1259 a Fe(r)224 b(r)669 1023 y(r)g(r)108 1365 y Fn(dar.)23 b(Die)f(Matrix)f(m) o(u\031)g(spiegelsymmetr)o(isc)o(h)e(zur)j(Diagonalen)h(sein,)108 1423 y(w)o(eil)17 b(jeder)h(Kan)o(te)f(n)o(ur)h(ein)g(ungeordnetes)g(P) o(aar)h Fj(f)p Fk(v)1113 1430 y Fd(i)1127 1423 y Fk(;)8 b(v)1173 1430 y Fd(j)1190 1423 y Fj(g)18 b Fn(zugeordnet)108 1481 y(wird.)108 1578 y Fl(De\014nition)g(1.4.)i Fn(Ein)15 b Fi(T)l(eilgr)n(aph)k Fn(eines)30 b(Graphen)15 b(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))15 b(b)q(esteh)o(t)108 1636 y(aus)g(T)l(eilmengen)c Fk(E)485 1643 y Fh(1)518 1636 y Fj(\032)j Fk(E)s(;)8 b(V)660 1643 y Fh(1)694 1636 y Fj(\032)13 b Fk(V)f Fn(,)h(so)h(da\031)g Fk(\031)r Fn(\()p Fk(E)1044 1643 y Fh(1)1064 1636 y Fn(\))f Fj(\032)h Fk(V)1177 1643 y Fh(1)1203 1636 y Fj(\016)6 b Fk(V)1262 1643 y Fh(1)1295 1636 y Fn(gilt.)13 b(Ein)108 1695 y(T)l(eilgraph)h(\() p Fk(V)371 1702 y Fh(1)391 1695 y Fk(;)8 b(E)449 1702 y Fh(1)468 1695 y Fn(\))14 b(hei\031t)f Fi(sp)n(annender)j(T)l(eilgr)n (aph)p Fn(,)26 b(w)o(enn)14 b Fk(V)1263 1702 y Fh(1)1297 1695 y Fn(=)f Fk(V)25 b Fn(ist.)108 1753 y(Ein)19 b(T)l(eilgraph)h(\()p Fk(V)470 1760 y Fh(1)490 1753 y Fk(;)8 b(E)548 1760 y Fh(1)567 1753 y Fn(\))20 b(hei\031t)f Fi(ges)795 1755 y(\177)795 1753 y(attigter)i(T)l(eilgr)n(aph)j Fn(o)q(der)39 b Fi(von)23 b Fk(V)1446 1760 y Fh(1)108 1811 y Fi(induziert)p Fn(,)16 b(w)o(enn)g Fk(\031)481 1793 y Fc(\000)p Fh(1)528 1811 y Fn(\()p Fk(V)575 1818 y Fh(1)606 1811 y Fj(\016)11 b Fk(V)670 1818 y Fh(1)690 1811 y Fn(\))j(=)g Fk(E)811 1818 y Fh(1)831 1811 y Fk(:)108 1901 y Fl(De\014nition)k(1.5.)i Fn(Sei)k Fk(X)33 b Fn(=)c(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))24 b(ein)g(endlic)o(her)f(Graph.)j(Der)108 1959 y Fi(Gr)n(ad)19 b Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))c(eines)g(Knotens)h Fk(a)d Fj(2)h Fk(V)27 b Fn(ist)15 b(die)f(Anzahl)h(der)g(mit)e Fk(a)i Fn(inzidie-)108 2017 y(renden)h(Kan)o(ten,)f(w)o(ob)q(ei)h(eine) e(Sc)o(hlinge)h(mit)f(Endpunkt)i Fk(a)g Fn(dopp)q(elt)g(zu)108 2075 y(z)130 2077 y(\177)130 2075 y(ahlen)g(ist.)g Fk(a)d Fj(2)h Fk(V)28 b Fn(hei\031t)16 b Fi(isolierter)21 b Fn(Punkt,)16 b(w)o(enn)g Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))e(=)g(0.)108 2133 y(Allgemein)8 b(gilt)j(f)430 2135 y(\177)429 2133 y(ur)g(einen)g(endlic)o(hen)e(sc)o(hlic)o(h)o(ten)g(Graphen)j(0)i Fj(\024)g Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))g Fj(\024)108 2191 y(j)p Fk(V)d Fj(j)g(\000)g Fn(1)p Fk(:)16 b(a)e Fj(2)g Fk(V)27 b Fn(hei\031t)16 b(ein)g Fi(Endknoten)22 b Fn(in)16 b Fk(X)t Fn(,)g(w)o(enn)g Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))e(=)f(1.)p eop %%Page: 135 4 135 3 bop 525 117 a Fo(1.)17 b(SCHLICHTE)h(GRAPHEN)354 b(135)108 225 y Fn(Sind)13 b(je)g(zw)o(ei)f(v)o(ersc)o(hiedene)f (Knoten)j(eines)e(endlic)o(hen)g(sc)o(hlic)o(h)o(ten)f(Gra-)108 283 y(phen)21 b Fk(X)k Fn(durc)o(h)c(eine)f(Kan)o(te)h(v)o(erbunden,)e (so)j(hei\031t)e Fk(X)26 b Fi(vol)r(lst)1316 285 y(\177)1316 283 y(andig)p Fn(.)108 341 y(Die)18 b Fi(V)l(ervol)r(lst)383 343 y(\177)383 341 y(andigung)27 b Fn(eines)17 b(endlic)o(hen)g(sc)o (hlic)o(h)o(ten)f(Graphen)j Fk(X)j Fn(=)108 399 y(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))16 b(ist)g(\()p Fk(V)s(;)8 b(V)22 b Fj(\016)11 b Fk(V)s(;)d Fn(id\).)108 549 y(Ein)k(erstes)f (einfac)o(hes)g(ab)q(er)h(w)o(eitreic)o(hendes)d(Abz)1036 551 y(\177)1036 549 y(ahlprinzip)h(ist)i(in)f(dem)108 607 y(folgenden)16 b(Satz)h(angegeb)q(en.)108 705 y Fl(Satz)i(1.6.)h Fi(In)15 b(einem)g(end)r(lichen)i(schlichten)g(Gr)n(aphen)c Fk(X)18 b Fn(=)c(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))108 763 y Fi(gilt)624 790 y Fg(X)618 882 y Fd(a)p Fc(2)p Fd(V)697 832 y Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))14 b(=)g(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)p Fk(:)158 967 y Fb(Beweis.)20 b Fn(Jede)e(Kan)o(te) h(in)f Fk(E)k Fn(hat)e(zw)o(ei)d(Endpunkte,)h(die)h(b)q(eide)f(in)108 1025 y(der)e(link)o(en)f(Summe)e(b)q(er)579 1027 y(\177)578 1025 y(uc)o(ksic)o(h)o(tigt)h(w)o(erden.)h(Sie)g(wird)h(also)h(links)e (ge-)108 1083 y(nau)i(zw)o(eimal)d(gez)457 1085 y(\177)457 1083 y(ahlt.)p 603 1056 33 2 v 603 1085 2 30 v 634 1085 V 603 1087 33 2 v 108 1176 a Fl(F)-5 b(olgerung)20 b(1.7.)g Fi(Die)j(A)o(nzahl)h(der)g(Knoten)h(unger)n(aden)g(Gr)n(ades)d(in)108 1234 y(einem)d(end)r(lichen)h(schlichten)f(Gr)n(aphen)e(ist)h(ger)n (ade.)108 1389 y Fn(Eb)q(enso)g(wie)f(b)q(ei)g(algebraisc)o(hen)f (Grundstrukturen)i(gibt)f(es)g(auc)o(h)g(b)q(ei)108 1447 y(Graphen)c(Homomorphism)o(en,)c(also)j(Abbildungen,)f(die)g(die)g(b)q (esondere)108 1505 y(Struktur)16 b(v)o(on)h(Graphen)f(b)q(er)670 1507 y(\177)669 1505 y(uc)o(ksic)o(h)o(tigen.)108 1598 y Fl(De\014nition)i(1.8.)i Fn(Seien)c Fk(X)21 b Fn(=)15 b(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))17 b(und)h Fk(Y)27 b Fn(=)16 b(\()p Fk(V)1185 1580 y Fc(0)1197 1598 y Fk(;)8 b(E)1258 1580 y Fc(0)1269 1598 y Fk(;)g(\031)1321 1580 y Fc(0)1332 1598 y Fn(\))18 b(Gra-)108 1657 y(phen.)f(Ein)g Fi(Homomorphismus)i Fk(f)i Fn(:)15 b Fk(X)k Fj(\000)-9 b(!)15 b Fk(Y)28 b Fn(b)q(esteh)o(t)17 b(aus)h(zw)o(ei)e(Ab-)108 1715 y(bildungen)g Fk(f)357 1722 y Fd(V)402 1715 y Fn(:)d Fk(V)25 b Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(V)615 1697 y Fc(0)627 1715 y Fk(;)8 b(f)673 1722 y Fd(E)717 1715 y Fn(:)13 b Fk(E)k Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(E)930 1697 y Fc(0)958 1715 y Fn(mit)243 1808 y Fj(8)p Fk(k)h Fj(2)f Fk(E)s Fn([)p Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))e(=)i Fj(f)p Fk(a;)8 b(b)p Fj(g)13 b Fn(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(\031)826 1787 y Fc(0)837 1808 y Fk(f)861 1815 y Fd(E)891 1808 y Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))h(=)g Fj(f)p Fk(f)1071 1815 y Fd(v)1091 1808 y Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))p Fk(;)8 b(f)1201 1815 y Fd(v)1221 1808 y Fn(\()p Fk(b)p Fn(\))p Fj(g)p Fn(])p Fk(:)108 1901 y Fn(Es)20 b(w)o(erden)e(also)i(Knoten)f(auf)g(Knoten)h (und)f(Kan)o(ten)g(auf)g(Kan)o(ten)g(so)108 1959 y(abgebildet,)d (da\031)h(ihre)e(Inzidenz)g(erhalten)h(bleibt.)108 2017 y(Ein)k Fi(Isomorphismus)i Fk(f)j Fn(:)19 b Fk(X)k Fj(\000)-8 b(!)19 b Fk(Y)31 b Fn(ist)19 b(ein)g(Homomorphism)n(us,)e(zu)108 2075 y(dem)i(ein)h(w)o(eiterer)f(Homomorphism)n(us)f Fk(g)23 b Fn(:)d Fk(Y)32 b Fj(\000)-8 b(!)21 b Fk(X)k Fn(existiert)18 b(mit)108 2133 y Fk(g)r(f)23 b Fn(=)17 b(id)276 2140 y Fd(X)328 2133 y Fn(und)h Fk(f)5 b(g)20 b Fn(=)d(id)594 2140 y Fd(Y)625 2133 y Fn(.)h(Zw)o(ei)f(Graphen)h (hei\031en)g Fi(isomorph)p Fn(,)f(w)o(enn)108 2191 y(zwisc)o(hen)e (ihnen)h(ein)g(Isomorphism)o(us)e(existiert.)p eop %%Page: 136 5 136 4 bop 108 117 a Fo(136)235 b(IV.)17 b(K)o(OMBINA)m(TORIK)i(UND)f (GRAPHEN)108 225 y Fn(Selbst)d(b)q(ei)f(endlic)o(hen)f(Graphen)i(ist)g (es)f(oft)h(nic)o(h)o(t)f(leic)o(h)o(t,)e(zu)i(erk)o(ennen,)108 283 y(ob)g(zw)o(ei)d(gegeb)q(ene)i(Graphen)h(isomorph)e(sind.)h(F)1033 285 y(\177)1032 283 y(ur)g(diesen)f(Zw)o(ec)o(k)f(w)o(ol-)108 341 y(len)16 b(wir)g(jetzt)f(ein)h(kleines)f(Hilfsmitte)o(l)e(en)o(t)o (wic)o(k)o(eln.)108 441 y Fl(De\014nition)18 b(1.9.)i Fn(Sei)g Fk(Y)33 b Fn(=)22 b(\()p Fk(V)740 423 y Fc(0)752 441 y Fk(;)8 b(E)813 423 y Fc(0)824 441 y Fn(\))21 b(ein)f(T)l (eilgraph)h(des)g(sc)o(hlic)o(h)o(ten)108 499 y(Graphen)d Fk(X)h Fn(=)14 b(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\).)16 b(Dann)h(ist)g Fk(X)f Fj(n)11 b Fk(Y)26 b Fn(:=)14 b(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)15 b Fj(n)c Fk(E)1244 481 y Fc(0)1256 499 y Fn(\))16 b(ein)g(T)l(eil-)108 557 y(graph)j(v)o(on)g Fk(X)t Fn(,)f(genann)o(t)g Fi(Komplement)j(von)i Fk(Y)29 b Fi(in)23 b Fk(X)t Fn(.)18 b(Das)h Fi(Komple-)108 615 y(ment)25 b Fn(eines)19 b(sc)o(hlic)o(h)o(ten)e(Graphen)j Fk(X)j Fn(=)c(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))19 b(ist)g(sein)g(Komple-)108 673 y(men)o(t)c(in)g(der)h(V)l(erv)o(ollst) 561 675 y(\177)561 673 y(andigung.)108 773 y Fl(Beispiele)g(1.10.)k Fn(1\))d(Das)g(Komplemen)n(t)d(v)o(on)p 217 985 4 119 v 218 987 119 4 v 335 985 4 119 v 218 985 a Fe(r)106 b(r)218 867 y(r)g(r)450 926 y Fn(in)114 b Ff(\000)622 908 y(\000)605 967 y(@)622 985 y(@)p 662 985 V 664 987 119 4 v 664 868 V 780 985 4 119 v 799 926 a(@)782 908 y(@)799 967 y(\000)782 985 y(\000)-160 b Fe(r)106 b(r)664 867 y(r)g(r)605 926 y(r)224 b(r)102 b Fn(ist)113 b Ff(\000)1138 908 y(\000)1120 967 y(@)1138 985 y(@)p 1179 868 119 4 v 1315 926 a(@)1297 908 y(@)1315 967 y(\000)1297 985 y(\000)-160 b Fe(r)106 b(r)1179 867 y(r)g(r)1120 926 y(r)224 b(r)108 1068 y Fn(2\))17 b(Das)g(Komplemen)n(t)d(v)o(on)p 528 1280 4 119 v 530 1280 a Ff(\000)571 1238 y(\000)606 1203 y(\000)p 530 1281 119 4 v 646 1280 4 119 v 530 1280 a Fe(r)106 b(r)530 1162 y(r)g(r)762 1221 y Fn(ist)1004 1280 y Ff(@)962 1238 y(@)927 1203 y(@)927 1280 y Fe(r)g(r)927 1162 y(r)g(r)108 1395 y Fl(Satz)19 b(1.11.)h Fi(Zwei)f(schlichte)i(Gr)n (aphen)d(sind)h(genau)h(dann)g(isomorph,)108 1454 y(wenn)f(ihr)n(e)e (Komplemente)j(isomorph)c(sind.)158 1562 y Fb(Beweis.)k Fn(Da)27 b(das)f(dopp)q(elte)g(Komplemen)n(t)d(eines)i(Graphen)i(der) 108 1620 y(Graph)g(selbst)e(ist,)g(gen)580 1622 y(\177)579 1620 y(ugt)i(es)e(aus)i(der)e(Isomorphie)f Fk(X)1267 1606 y Fj(\030)1267 1622 y Fn(=)1335 1620 y Fk(Y)37 b Fn(auf)108 1678 y(die)24 b(Isomorphie)f Fk(X)498 1660 y Fc(0)538 1664 y Fj(\030)539 1680 y Fn(=)605 1678 y Fk(Y)644 1660 y Fc(0)680 1678 y Fn(zu)h(sc)o(hlie\031en.)f(Wir)h(iden)o (ti\014zieren)e(en)o(t-)108 1736 y(lang)27 b Fk(\031)r Fn(,)e(also)h Fk(E)34 b Fj(\032)c Fk(V)f Fj(\016)18 b Fk(V)11 b Fn(.)26 b(Sei)f Fk(f)36 b Fn(:)30 b Fk(V)938 1743 y Fd(X)1002 1736 y Fj(\000)-8 b(!)30 b Fk(V)1141 1743 y Fd(Y)1198 1736 y Fn(bijektiv)24 b(und)108 1794 y Fk(f)5 b Fn(\()p Fk(E)192 1801 y Fd(X)226 1794 y Fn(\))19 b(=)g Fk(E)357 1801 y Fd(Y)387 1794 y Fn(,)g(w)o(ob)q(ei)g Fk(f)5 b Fn(\()p Fk(E)645 1801 y Fd(X)679 1794 y Fn(\))19 b(=)g Fj(ff)p Fk(f)5 b Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))p Fk(;)j(f)d Fn(\()p Fk(b)p Fn(\))p Fj(gjf)p Fk(a;)j(b)p Fj(g)17 b(2)i Fk(E)s Fj(g)p Fn(.)g(Dann)108 1852 y(ist)d Fk(f)5 b Fn(\()p Fk(V)252 1859 y Fd(X)298 1852 y Fj(\016)11 b Fk(V)362 1859 y Fd(X)407 1852 y Fj(n)g Fk(E)479 1859 y Fd(X)513 1852 y Fn(\))j(=)f Fk(V)625 1859 y Fd(Y)667 1852 y Fj(\016)e Fk(V)731 1859 y Fd(Y)773 1852 y Fj(n)g Fk(E)845 1859 y Fd(Y)875 1852 y Fk(:)p 938 1825 33 2 v 938 1854 2 30 v 969 1854 V 938 1856 33 2 v 108 1952 a Fl(Beispiel)17 b(1.12.)297 2108 y Ff(\010)339 2087 y(\010)380 2066 y(\010)422 2045 y(\010)433 2040 y(\010)297 2128 y(H)339 2149 y(H)380 2170 y(H)422 2191 y(H)433 2196 y(H)492 2108 y(H)450 2087 y(H)409 2066 y(H)367 2045 y(H)356 2040 y(H)492 2128 y(\010)450 2149 y(\010)409 2170 y(\010)367 2191 y(\010)356 2196 y(\010)-42 b(\012)384 2155 y(\012)412 2114 y(\012)439 2072 y(\012)447 2061 y(\012)447 2196 y(J)419 2155 y(J)391 2114 y(J)364 2072 y(J)356 2061 y(J)p 355 2196 4 178 v 473 2196 V 297 2110 237 4 v 297 2108 a Fe(r)224 b(r)356 2196 y(r)106 b(r)356 2019 y(r)g(r)645 2094 y Fj(\030)645 2110 y Fn(=)795 2108 y Ff(\012)823 2066 y(\012)826 2061 y(\012)795 2149 y(J)823 2191 y(J)826 2196 y(J)1003 2108 y(J)976 2066 y(J)972 2061 y(J)1003 2149 y(\012)976 2191 y(\012)972 2196 y(\012)p 854 2198 119 4 v 854 2021 V 852 2196 4 178 v 970 2196 V 795 2110 237 4 v 795 2108 a Fe(r)224 b(r)854 2196 y(r)106 b(r)854 2019 y(r)g(r)1129 2108 y Fn(,)15 b(denn)p eop %%Page: 137 6 137 5 bop 574 117 a Fo(2.)17 b(EBENE)j(GRAPHEN)403 b(137)297 368 y Ff(\012)325 327 y(\012)328 321 y(\012)297 410 y(J)325 451 y(J)328 457 y(J)506 368 y(J)478 327 y(J)474 321 y(J)506 410 y(\012)478 451 y(\012)474 457 y(\012)p 356 459 119 4 v 356 281 V 297 368 a Fe(r)224 b(r)356 457 y(r)106 b(r)356 280 y(r)g(r)645 355 y Fj(\030)645 370 y Fn(=)795 368 y Ff(\010)836 348 y(\010)878 327 y(\010)919 306 y(\010)931 301 y(\010)795 389 y(H)836 410 y(H)878 431 y(H)919 451 y(H)931 457 y(H)990 368 y(H)948 348 y(H)907 327 y(H)865 306 y(H)854 301 y(H)990 389 y(\010)948 410 y(\010)907 431 y(\010)865 451 y(\010)854 457 y(\010)-42 b(\012)882 415 y(\012)909 374 y(\012)937 332 y(\012)944 321 y(\012)944 457 y(J)917 415 y(J)889 374 y(J)861 332 y(J)854 321 y(J)795 368 y Fe(r)224 b(r)854 457 y(r)106 b(r)854 280 y(r)g(r)560 623 y Fl(2.)27 b(Eb)r(ene)18 b(Graphen)108 781 y Fn(Wir)k(b)q(eginnen)g (diesen)g(Absc)o(hnitt)f(mit)f(zw)o(ei)h(einfac)o(hen)g(Problemen)108 839 y(aus)f(der)g(Graphen)o(theorie,)e(die)h(zu)g(ihrer)g(L)948 841 y(\177)948 839 y(osung)i(sc)o(hon)f(tie\015iegende)108 897 y(allgemeinere)13 b(S)414 899 y(\177)414 897 y(atze)j(b)q(en)594 899 y(\177)594 897 y(otigen.)108 1019 y Fl(Probleme)h(2.1.)85 b Fn(\(1\))21 b(Gegeb)q(en)15 b(seien)f(drei)g(H)1066 1021 y(\177)1066 1019 y(auser)g Fk(a)1217 1026 y Fh(1)1236 1019 y Fk(;)8 b(a)1284 1026 y Fh(2)1304 1019 y Fk(;)g(a)1352 1026 y Fh(3)1385 1019 y Fn(und)257 1077 y(drei)i(V)l(ersorgungsansc)o (hl)739 1079 y(\177)738 1077 y(usse)i Fk(a)863 1084 y Fh(4)882 1077 y Fk(;)c(a)930 1084 y Fh(5)949 1077 y Fk(;)g(a)997 1084 y Fh(6)1027 1077 y Fn(\(f)1062 1079 y(\177)1061 1077 y(ur)j(Gas,)h(W)l(asser)f(und)257 1136 y(Strom\).)j(Kann)i(man)f (alle)f(drei)h(H)897 1138 y(\177)897 1136 y(auser)h(an)g(die)f(V)l (ersorgung)h(so)257 1194 y(ansc)o(hlie\031en,)e(da\031)j(sic)o(h)e(die) h(Leitungen)g(nic)o(h)o(t)1144 1196 y(\177)1142 1194 y(ub)q(ersc)o(hneiden?)p 727 1472 4 178 v 860 1472 V 993 1472 V 729 1336 a Ff(S)760 1378 y(S)791 1419 y(S)822 1461 y(S)831 1472 y(S)862 1336 y(S)893 1378 y(S)924 1419 y(S)955 1461 y(S)963 1472 y(S)831 1336 y(\023)799 1378 y(\023)768 1419 y(\023)737 1461 y(\023)729 1472 y(\023)963 1336 y(\023)932 1378 y(\023)901 1419 y(\023)870 1461 y(\023)862 1472 y(\023)729 1323 y(Q)770 1350 y(Q)812 1378 y(Q)853 1406 y(Q)895 1433 y(Q)936 1461 y(Q)953 1472 y(Q)953 1323 y(\021)911 1350 y(\021)870 1378 y(\021)828 1406 y(\021)787 1433 y(\021)745 1461 y(\021)729 1472 y(\021)729 1295 y Fe(r)121 b(r)g(r)729 1472 y(q)k(q)g(q)706 1277 y Fk(a)732 1284 y Fh(1)839 1277 y Fk(a)865 1284 y Fh(2)972 1277 y Fk(a)998 1284 y Fh(3)706 1511 y Fk(a)732 1518 y Fh(4)839 1511 y Fk(a)865 1518 y Fh(5)972 1511 y Fk(a)998 1518 y Fh(6)257 1594 y Fn(Kann)17 b(der)f(Graph)h(mit)d(der) i(Adjazenzmatrix)p 577 1730 2 59 v 627 1712 a Fk(a)653 1719 y Fh(1)738 1712 y Fk(a)764 1719 y Fh(2)848 1712 y Fk(a)874 1719 y Fh(3)958 1712 y Fk(a)984 1719 y Fh(4)1069 1712 y Fk(a)1095 1719 y Fh(5)1179 1712 y Fk(a)1205 1719 y Fh(6)p 483 1731 758 2 v 499 1772 a Fk(a)525 1779 y Fh(1)p 577 1789 2 59 v 627 1772 a Fn(0)87 b(0)f(0)g(1)h(1)f(1)499 1830 y Fk(a)525 1837 y Fh(2)p 577 1847 V 627 1830 a Fn(0)h(0)f(0)g(1)h (1)f(1)499 1888 y Fk(a)525 1895 y Fh(3)p 577 1906 V 627 1888 a Fn(0)h(0)f(0)g(1)h(1)f(1)499 1946 y Fk(a)525 1953 y Fh(4)p 577 1964 V 627 1946 a Fn(1)h(1)f(1)g(0)h(0)f(0)499 2004 y Fk(a)525 2011 y Fh(5)p 577 2022 V 627 2004 a Fn(1)h(1)f(1)g(0)h (0)f(0)499 2062 y Fk(a)525 2069 y Fh(6)p 577 2080 V 627 2062 a Fn(1)h(1)f(1)g(0)h(0)f(0)257 2191 y(in)16 b(der)g(Eb)q(ene)g (ohne)669 2181 y(\177)663 2191 y(Ub)q(ersc)o(hneidungen)f(realisiert)g (w)o(erden?)p eop %%Page: 138 7 138 6 bop 108 117 a Fo(138)235 b(IV.)17 b(K)o(OMBINA)m(TORIK)i(UND)f (GRAPHEN)174 225 y Fn(\(2\))j(\()p Fi(Pr)n(oblem)c(der)h(K)589 227 y(\177)589 225 y(onigsb)n(er)n(ger)g(Br)897 227 y(\177)897 225 y(ucken)p Fn(\))p 531 719 107 4 v 673 719 237 4 v 944 719 95 4 v 1074 719 107 4 v 531 328 V 673 328 237 4 v 944 328 95 4 v 1074 328 107 4 v 566 600 71 4 v 566 447 V 732 541 119 4 v 732 506 V 944 600 95 4 v 944 447 V 636 717 4 119 v 636 445 V 671 717 V 671 445 V 907 717 V 907 445 V 943 717 V 943 445 V 1037 717 V 1037 445 V 1073 717 V 1073 445 V 730 540 4 1 v 730 600 a Fe(\031)p 673 600 1 4 v 730 447 a(\030)p 730 504 4 1 v 673 447 1 4 v 848 540 4 1 v 848 600 a(\032)p 908 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b(Ein)12 b Fi(We)n(g)17 b Fk(W)j Fn(der)12 b Fi(L)628 1269 y(\177)628 1267 y(ange)17 b Fk(n)c Fn(in)g(einem)d(Graphen)j Fk(X)k Fn(b)q(esteh)o(t)c(aus)257 1325 y(einer)i(endlic)o(hen)g(F)l(olge)h(v)o (on)g(Kan)o(ten)g Fk(k)1009 1332 y Fh(1)1030 1325 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(k)1172 1332 y Fd(n)1212 1325 y Fn(mit)15 b Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)1376 1332 y Fh(1)1395 1325 y Fn(\))g(=)257 1383 y Fj(f)p Fk(a)308 1390 y Fh(0)327 1383 y Fk(;)8 b(a)375 1390 y Fh(1)394 1383 y Fj(g)p Fk(;)g(\031)r Fn(\()p Fk(k)515 1390 y Fh(2)534 1383 y Fn(\))16 b(=)g Fj(f)p Fk(a)674 1390 y Fh(1)693 1383 y Fk(;)8 b(a)741 1390 y Fh(2)760 1383 y Fj(g)p Fk(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\031)r Fn(\()p Fk(k)977 1390 y Fd(i)990 1383 y Fn(\))16 b(=)g Fj(f)p Fk(a)1130 1390 y Fd(i)p Fc(\000)p Fh(1)1188 1383 y Fk(;)8 b(a)1236 1390 y Fd(i)1250 1383 y Fj(g)p Fk(;)g(\031)r Fn(\()p Fk(k)1371 1390 y Fd(n)1394 1383 y Fn(\))16 b(=)257 1441 y Fj(f)p Fk(a)308 1448 y Fd(n)p Fc(\000)p Fh(1)376 1441 y Fk(;)8 b(a)424 1448 y Fd(n)447 1441 y Fj(g)p Fk(:)24 b(a)536 1448 y Fh(0)580 1441 y Fn(hei\031t)h Fi(A)o(nfangspunkt)p Fn(,)h Fk(a)1064 1448 y Fd(n)1112 1441 y Fi(Schlu\031punkt)33 b Fn(des)257 1499 y(W)l(eges,)22 b(b)q(eide)g(hei\031en)g Fi(Endpunkte)28 b Fn(v)o(on)23 b Fk(W)o(:)f Fn(Ein)g(W)l(eg)h(hei\031t)257 1558 y Fi(geschlossen)i Fn(o)q(der)c(eine)e Fi(Schleife)p Fn(,)i(w)o(enn)f Fk(a)1088 1565 y Fh(0)1127 1558 y Fn(=)g Fk(a)1211 1565 y Fd(n)1254 1558 y Fn(gilt,)f(sonst)257 1616 y(hei\031t)24 b(er)g Fi(o\013en)p Fn(.)g(Ein)h(W)l(eg)f(hei\031t)g Fi(einfach)p Fn(,)h(w)o(enn)f(alle)g(Kno-)257 1674 y(ten)d Fk(a)372 1681 y Fh(0)391 1674 y Fk(;)8 b(a)439 1681 y Fh(1)458 1674 y Fk(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)602 1681 y Fd(n)646 1674 y Fn(des)21 b(W)l(eges)g(paarw)o(eise)h(v)o(ersc)o (hieden)d(sind)257 1732 y(mit)f(Ausnahme)g(der)i(Endpunkte.)f(Der)h(W)l (eg)f Fk(\036)h Fn(v)o(on)g Fk(a)1329 1739 y Fh(0)1368 1732 y Fn(nac)o(h)257 1790 y Fk(a)283 1797 y Fh(0)321 1790 y Fn(hei\031t)e Fi(trivial)p Fn(.)h(Ein)f Fi(Kr)n(eis)23 b Fn(ist)18 b(eine)g(einfac)o(he)f(nic)o(h)o(t-triviale)257 1848 y(Sc)o(hleife.)108 1932 y Fl(Satz)i(2.3.)h Fi(Je)n(der)c(We)n(g)g (von)h Fk(a)f Fi(nach)h Fk(b)f Fi(in)g(einem)i(Gr)n(aphen)d Fk(X)21 b Fi(enth)1412 1934 y(\177)1412 1932 y(alt)108 1990 y(einen)e(einfachen)g(We)n(g)f(von)g Fk(a)f Fi(nach)h Fk(b)p Fi(.)158 2075 y Fb(Beweis.)i Fn(F)401 2077 y(\177)400 2075 y(ur)14 b Fk(a)g Fn(=)g Fk(b)g Fn(ist)g(der)g(triviale)e(W)l(eg)j (einfac)o(h.)d(Sei)i Fk(a)f Fj(6)p Fn(=)h Fk(b)g Fn(und)108 2133 y Fk(k)133 2140 y Fh(1)153 2133 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(k)296 2140 y Fd(n)p Fh(+1)386 2133 y Fn(der)20 b(W)l(eg)h(v)o(on)f Fk(a)h Fn(nac)o(h)f Fk(b)p Fn(.)g(F)937 2135 y(\177)936 2133 y(ur)h Fk(n)g Fn(=)h(1)f(ist)f Fk(W)28 b Fn(einfac)o(h.)108 2191 y(En)o(thalte)16 b(jeder)f(W)l(eg)h(der)g(L) 650 2193 y(\177)650 2191 y(ange)h Fk(n)f Fn(einen)f(einfac)o(hen)f(W)l (eg.)i(Seien)f Fk(i)f(<)p eop %%Page: 139 8 139 7 bop 574 117 a Fo(2.)17 b(EBENE)j(GRAPHEN)403 b(139)108 225 y Fk(j)25 b Fn(mit)c Fk(a)275 232 y Fd(i)313 225 y Fn(=)j Fk(a)401 232 y Fd(j)441 225 y Fn(gegeb)q(en.)e(Dann)h(ist)f Fk(k)883 232 y Fh(1)903 225 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(k)1046 232 y Fd(i)1060 225 y Fk(;)g(k)1107 232 y Fd(j)r Fh(+1)1170 225 y Fk(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(k)1313 232 y Fd(n)p Fh(+1)1404 225 y Fn(ein)108 283 y(W)l(eg,)13 b(denn)f Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)416 290 y Fd(i)430 283 y Fn(\))i(=)g Fj(f)p Fk(a)566 290 y Fd(i)p Fc(\000)p Fh(1)624 283 y Fk(;)8 b(a)672 290 y Fd(j)690 283 y Fj(g)p Fk(;)g(\031)r Fn(\()p Fk(k)811 290 y Fd(j)r Fh(+1)874 283 y Fn(\))14 b(=)g Fj(f)p Fk(a)1010 290 y Fd(j)1027 283 y Fk(;)8 b(a)1075 290 y Fd(j)r Fh(+1)1138 283 y Fj(g)p Fn(.)k(Da)i(die)d(L)1368 285 y(\177)1368 283 y(ange)108 341 y(dieses)j(W)l(eges)g(kleiner)e(als)j Fk(n)7 b Fn(+)g(1)14 b(ist,)f(en)o(th)912 343 y(\177)912 341 y(alt)h(er)f(einen)g(einfac)o (hen)g(W)l(eg)108 399 y(v)o(on)j Fk(a)g Fn(nac)o(h)g Fk(b)p Fn(.)p 440 372 33 2 v 440 402 2 30 v 471 402 V 440 404 33 2 v 108 484 a Fl(De\014nition)i(2.4.)i Fn(Der)e Fi(A)o(bstand)24 b Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fn(\))18 b(zw)o(eier)f(Knoten)h Fk(a)g Fn(und)h Fk(b)f Fn(in)108 542 y(einem)12 b(Graphen)j Fk(X)k Fn(ist)14 b(die)g(kleinste)e(L)853 544 y(\177)853 542 y(ange)k(eines)d(\(einfac)o(hen\))g(W)l(eges)108 600 y(v)o(on)g Fk(a)f Fn(nac)o(h)h Fk(b)p Fn(.)f(W)l(enn)h(es)f(k)o (einen)f(W)l(eg)i(v)o(on)g Fk(a)f Fn(nac)o(h)h Fk(b)f Fn(gibt,)h(dann)g(setzen)108 658 y(wir)j Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fn(\))14 b(=)f Fj(1)p Fn(.)j(Es)h(gelten)e(die)h(Gesetze) f(einer)h Fi(Metrik)174 729 y Fn(\(1\))21 b Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fn(\))13 b(=)h(0)i(genau)h(dann,)g(w)o(enn)f Fk(a)d Fn(=)h Fk(b;)174 787 y Fn(\(2\))21 b Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fn(\))13 b(=)h Fk(d)p Fn(\()p Fk(b;)8 b(a)p Fn(\))16 b(f)618 789 y(\177)617 787 y(ur)g(alle)f Fk(a;)8 b(b)13 b Fj(2)h Fk(V)s(;)174 845 y Fn(\(3\))21 b Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(c)p Fn(\))13 b Fj(\024)h Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fn(\))i(+)h Fk(d)p Fn(\()p Fk(b;)d(c)p Fn(\))17 b(f)806 847 y(\177)805 845 y(ur)f(alle)f Fk(a;)8 b(b;)g(c)13 b Fj(2)h Fk(V)s(:)108 916 y Fn(Ein)f(Graph)h(hei\031t)f Fi(zusammenh)708 918 y(\177)708 916 y(angend)p Fn(,)28 b(w)o(enn)12 b(je)h(zw)o(ei)f(seiner)g(Knoten)108 974 y(durc)o(h)18 b(einen)f(W)l(eg)i(v)o(erbunden)e(sind.)h(Ein)g(Graph) 1092 1004 y(")1114 974 y(zerf)1192 976 y(\177)1192 974 y(allt)m(\\)i(in)e(seine)108 1032 y(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten,) i(w)o(eil)i(der)h(Zusammenhang)e(zw)o(eier)108 1091 y(Knoten)c(\()p Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fn(\))13 b Fk(<)h Fj(1)p Fn(\))i(eine)689 1080 y(\177)683 1091 y(Aquiv)m(alenzrelation)e(ist.) 108 1175 y Fl(De\014nition)k(2.5.)i Fn(Jede)26 b(geometrisc)o(he)f (Realisierung)h(eines)h(eb)q(enen)108 1233 y(Graphen)22 b(in)e(der)h(Eb)q(ene)g(zerlegt)e(die)i(Eb)q(ene)g(in)f(zusammenh)1328 1235 y(\177)1328 1233 y(angen-)108 1291 y(de)g(Gebiete,)e(v)o(on)h (denen)h(genau)g(eines,)e(das)j Fi(A)o(u\031engebiet)p Fn(,)h(nic)o(h)o(t)c(b)q(e-)108 1349 y(sc)o(hr)194 1351 y(\177)194 1349 y(ankt)e(ist.)435 1424 y Ff(A)456 1465 y(A)477 1507 y(A)485 1524 y(A)435 1424 y(@)465 1453 y(@)p 435 1384 142 4 v 506 1524 a(\001)527 1482 y(\001)548 1441 y(\001)556 1424 y(\001)506 1453 y(\000)535 1424 y(\000)435 1382 y Fe(r)506 1524 y(r)506 1453 y(r)577 1382 y(r)806 1453 y Fn(und)253 b Ff(\000)1169 1424 y(\000)1140 1494 y(@)1169 1524 y(@)p 1140 1455 V 1210 1424 a(@)1240 1453 y(@)1210 1524 y(\000)1240 1494 y(\000)1140 1453 y Fe(r)1210 1524 y(r)1210 1382 y(r)1281 1453 y(r)108 1589 y Fn(sind)16 b(zw)o(ei)g(eb)q(ene)f(Realisierungen)g(desselb)q(en) h(Graphen.)108 1674 y Fl(Satz)j(2.6.)h Fn(\(Euler\))j Fi(Sei)h Fk(X)29 b Fn(=)c(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))23 b Fi(ein)h(zusammenh)1274 1676 y(\177)1274 1674 y(angender)108 1732 y(eb)n(ener)18 b(nichtle)n(er)n(er)e(Gr)n(aph)f (und)i Fk(G)f Fi(die)h(Menge)g(der)f(Gebiete)i(des)e(Gr)n(a-)108 1790 y(phen.)i(Dann)g(gilt)225 1874 y Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)28 b(\000)h(j)p Fk(E)s Fj(j)f Fn(+)g Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)k Fn(=)f(2)p Fk(:)17 b Fi(\(Eulersche)i(Polye)n(derformel\))158 1959 y Fb(Beweis.)h Fn(Induktion)i(nac)o(h)g Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)p Fn(.)f(Sei)h Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)i Fn(=)f(1.)f(Dann)h(b)q(esitzt) f Fk(X)108 2017 y Fn(genau)c(eine)e(Kan)o(te)h(und)g(en)o(t)o(w)o(eder) e(einen)h(Knoten)h(\(die)g(Kan)o(te)f(ist)h(ei-)108 2075 y(ne)k(Sc)o(hlinge\))e(o)q(der)j(zw)o(ei)d(Knoten.)i(Mehr)f(treten)g (nic)o(h)o(t)g(auf,)h(w)o(eil)e Fk(X)108 2133 y Fn(zusammenh)360 2135 y(\177)360 2133 y(angend)e(ist.)g(Im)g(ersten)g(F)l(all)h(gilt)f Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)g Fn(=)g(2)p Fk(;)8 b Fj(j)p Fk(V)k Fj(j)17 b Fn(=)g(1)h(und)108 2191 y Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)17 b(\000)g(j)p Fk(E)s Fj(j)f Fn(+)h Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)d Fn(=)g(2)p Fk(:)e Fn(Im)g(zw)o(eiten)f(F)l(all)h(gilt)g Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)27 b Fn(=)g(1)p Fk(;)8 b Fj(j)p Fk(V)j Fj(j)26 b Fn(=)h(2)13 b(und)p eop %%Page: 140 9 140 8 bop 108 117 a Fo(140)235 b(IV.)17 b(K)o(OMBINA)m(TORIK)i(UND)f (GRAPHEN)108 225 y Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)f(\000)f(j)p Fk(E)s Fj(j)24 b Fn(+)h Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)14 b Fn(=)f(2.)j(Sei)e(die)h (Behauptung)h(ric)o(h)o(tig,)d(w)o(enn)j Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)d Fn(=)h Fk(n)p Fn(.)108 283 y(Sei)h Fk(X)20 b Fn(ein)15 b(zusammenh)576 285 y(\177)576 283 y(angender)f(eb)q(ener)h(Graph)i (mit)d Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)29 b Fn(=)h Fk(n)10 b Fn(+)g(1)p Fk(:)108 341 y Fn(F)l(all)i(1:)g Fk(X)k Fn(b)q(esitzt)c(einen)f (Endpunkt)i Fk(a)e Fn(\(mit)g Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))i(=)h(1\))f (mit)d(anh)1325 343 y(\177)1325 341 y(angen-)108 399 y(der)19 b(Kan)o(te)g Fk(k)r Fn(\()p Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))f(=)h Fj(f)p Fk(a;)8 b(b)p Fj(g)p Fn(\).)17 b(Dann)j(ist)f(auc)o(h)g Fk(X)1096 381 y Fc(0)1127 399 y Fn(=)f(\()p Fk(V)24 b Fj(n)13 b(f)p Fk(a)p Fj(g)p Fk(;)8 b(E)16 b Fj(n)108 458 y(f)p Fk(k)r Fj(g)p Fk(;)8 b(\031)r Fn(\))18 b(ein)f(zusammenh)606 460 y(\177)606 458 y(angender)f(eb)q (ener)i(Graph.)h(Die)e(Anzahl)h(der)108 516 y(Gebiete)24 b(v)o(er)362 518 y(\177)362 516 y(andert)f(sic)o(h)h(nic)o(h)o(t,)f(w)o (eil)g(durc)o(h)h Fk(k)j Fn(k)o(ein)c(Gebiet)h(abge-)108 574 y(sc)o(hlossen)15 b(w)o(erden)f(k)m(ann.)h(Also)f(ist)g(2)g(=)g(\() p Fj(j)p Fk(V)d Fj(j)d(\000)g Fn(1\))g Fj(\000)g Fn(\()p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)g(\000)g Fn(1\))g(+)g Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)k Fn(=)108 632 y Fj(j)p Fk(V)f Fj(j)g(\000)g(j)p Fk(E)s Fj(j)g Fn(+)g Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)p Fk(:)108 690 y Fn(F)l(all)20 b(2:)h(Es)g(gibt)g(k)o(eine)e(Endpunkte.)h(Sei)h Fk(k)h Fn(mit)d Fk(\031)r Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))i(=)h Fj(f)p Fk(a;)8 b(b)p Fj(g)20 b Fn(eine)108 748 y(Kan)o(te)c(auf)h(der)f (Begrenzung)f(eines)h(endlic)o(hen)e(Gebietes.)h(Ein)h(solc)o(hes)108 806 y(Gebiet)e(existiert,)e(sonst)j(ist)e Fk(X)19 b Fn(ein)13 b(zusammenh)1039 808 y(\177)1039 806 y(angender)f(Graph)j(mit)108 864 y Fj(j)p Fk(V)c Fj(j)18 b Fn(Knoten)g(und)g Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)e Fn(=)g Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)h(\000)g Fn(1)18 b(Kan)o(ten,)f(insb)q(esondere)h(mit)e(einem)108 922 y(Endpunkt.)i(Wir)f(en)o(tfernen)f Fk(k)k Fn(aus)e Fk(X)k Fn(und)c(erhalten)f(einen)g(Graphen)108 981 y Fk(X)c Fj(n)8 b(f)p Fk(k)r Fj(g)p Fn(,)15 b(der)f(ein)h(Gebiet)f(w)o(eniger)g (als)h Fk(X)20 b Fn(hat,)14 b(also)i(2)f(=)g Fj(j)p Fk(V)c Fj(j)e(\000)f Fn(\()p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)g(\000)108 1039 y Fn(1\))k(+)f(\()p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)g(\000)g Fn(1\))j(=)g Fj(j)p Fk(V)d Fj(j)g(\000)f(j)p Fk(E)s Fj(j)h Fn(+)g Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)p Fk(:)p 850 1012 33 2 v 850 1041 2 30 v 881 1041 V 850 1043 33 2 v 108 1129 a Fl(F)-5 b(olgerung)20 b(2.7.)g Fi(Sei)d Fk(X)k Fi(ein)d(zusammenh)946 1131 y(\177)946 1129 y(angender)g(eb)n(ener)g(schlich-)108 1187 y(ter)h(Gr)n(aph)e(mit)i(mindestens)h(2)f(Kanten.)h(Dann)f(ist)g Fn(3)p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)d(\024)g Fn(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)j Fi(und)108 1246 y Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)14 b(\024)f Fn(3)p Fj(j)p Fk(V)f Fj(j)f(\000)g Fn(6)p Fk(:)17 b Fi(A)o(u\031er)n (dem)g(gilt)i Fk(d)14 b Fn(=)g Fi(min)p Fj(f)p Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))p Fj(j)p Fk(a)f Fj(2)h Fk(V)d Fj(g)j(\024)g Fn(5)p Fk(:)158 1340 y Fb(Beweis.)20 b Fn(Jedes)e(innere)f(Gebiet)g (wird)h(v)o(on)f(mindestens)f(3)j(Kan)o(ten)108 1398 y(b)q(egrenzt,)j(w)o(eil)e Fk(X)26 b Fn(sc)o(hlic)o(h)o(t)20 b(ist.)h(Jede)h(Kan)o(te)f(grenzt)h(an)g(h)1288 1400 y(\177)1288 1398 y(oc)o(hstens)108 1456 y(2)h(Gebiete.)d(Also)i(ist)f (3)p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)j(\024)f Fn(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)f Fn(,)g(w)o(enn)g(wir)f(die)h(Inzidenzpaare)108 1514 y(\(Kan)o(te,)c(Gebiet\))f(z)488 1516 y(\177)488 1514 y(ahlen.)g(Das)i(gilt)f(auc)o(h,)f(w)o(enn)h(n)o(ur)g(2)g(Kan)o (ten)g(und)108 1573 y(k)o(ein)13 b(inneres)h(Gebiet)g(existieren.)e (Mit)h(dem)g(Satz)i(v)o(on)f(Euler)g(folgt)g(2)h(=)108 1631 y Fj(j)p Fk(V)c Fj(j)e(\000)f(j)p Fk(E)s Fj(j)g Fn(+)g Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)14 b(\024)g(j)p Fk(V)d Fj(j)d(\000)g(j)p Fk(E)s Fj(j)h Fn(+)734 1611 y Fh(2)p 734 1619 18 2 v 734 1648 a(3)756 1631 y Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)14 b Fn(=)g Fj(j)p Fk(V)d Fj(j)d(\000)1016 1611 y Fh(1)p 1016 1619 V 1016 1648 a(3)1039 1631 y Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)p Fn(,)14 b(o)q(der)i(3)p Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)d(\000)h Fn(6)14 b Fj(\025)108 1689 y(j)p Fk(E)s Fj(j)p Fn(.)j(W)l(eiter)g(ist)h Fk(d)13 b Fj(\001)f(j)p Fk(V)f Fj(j)16 b(\024)h Fn(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)g(\024)f Fn(6)p Fj(j)p Fk(V)c Fj(j)g(\000)g Fn(12,)18 b(ein)f(Widerspruc)o(h)h(f)1422 1691 y(\177)1421 1689 y(ur)108 1747 y Fk(d)c Fj(\025)g Fn(6)p Fk(:)p 287 1720 33 2 v 287 1749 2 30 v 318 1749 V 287 1751 33 2 v 108 1838 a Fl(F)-5 b(olgerung)20 b(2.8.)g Fi(Die)d(b)n(eiden)i(Gr)n (aphen)220 2037 y Fk(K)261 2044 y Fh(3)p Fd(;)p Fh(3)323 2037 y Fn(=)p 423 2120 4 178 v 555 2120 V 688 2120 V 424 1984 a Ff(S)455 2026 y(S)487 2067 y(S)518 2109 y(S)526 2120 y(S)557 1984 y(S)588 2026 y(S)619 2067 y(S)651 2109 y(S)659 2120 y(S)526 1984 y(\023)495 2026 y(\023)464 2067 y(\023)433 2109 y(\023)424 2120 y(\023)659 1984 y(\023)628 2026 y(\023)597 2067 y(\023)565 2109 y(\023)557 2120 y(\023)424 1971 y(Q)466 1998 y(Q)507 2026 y(Q)549 2054 y(Q)590 2081 y(Q)632 2109 y(Q)648 2120 y(Q)648 1971 y(\021)607 1998 y(\021)565 2026 y(\021)524 2054 y(\021)482 2081 y(\021)441 2109 y(\021)424 2120 y(\021)424 1943 y Fe(r)121 b(r)g(r)424 2120 y(r)g(r)g(r)796 2037 y Fi(und)68 b Fk(K)983 2044 y Fh(5)1017 2037 y Fn(=)1118 2020 y Ff(C)1129 2061 y(C)1139 2103 y(C)1143 2120 y(C)1118 2012 y(c)1160 2044 y(c)1201 2078 y(c)1243 2111 y(c)1254 2120 y(c)p 1118 1980 213 4 v 1118 1978 a(\021)1160 1951 y(\021)1183 1935 y(\021)1154 2120 y(\002)1168 2079 y(\002)1181 2037 y(\002)1195 1996 y(\002)1209 1954 y(\002)1211 1949 y(\002)p 1154 2122 142 4 v 1154 2120 a(#)1195 2087 y(#)1237 2054 y(#)1278 2020 y(#)1289 2012 y(#)1282 2120 y(B)1268 2079 y(B)1254 2037 y(B)1240 1996 y(B)1226 1954 y(B)1225 1949 y(B)1296 2120 y(\003)1306 2079 y(\003)1316 2037 y(\003)1321 2020 y(\003)1289 1978 y(Q)1248 1951 y(Q)1225 1935 y(Q)1118 1978 y Fe(r)1154 2120 y(r)1225 1908 y(r)1296 2120 y(r)1331 1978 y(r)108 2191 y Fi(sind)18 b(nicht)g(eb)n(en.)p eop %%Page: 141 10 141 9 bop 574 117 a Fo(2.)17 b(EBENE)j(GRAPHEN)403 b(141)158 225 y Fb(Beweis.)20 b Fk(K)409 232 y Fh(3)p Fd(;)p Fh(3)473 225 y Fn(:)d(Es)h(ist)g Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)16 b Fn(=)g(6)i(und)g Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)e Fn(=)g(9.)i(W)1165 227 y(\177)1165 225 y(are)g Fk(K)1289 232 y Fh(3)p Fd(;)p Fh(3)1354 225 y Fn(eb)q(en,)108 283 y(so)23 b(m)217 285 y(\177)216 283 y(u\031te)e Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)j Fn(=)g(2)15 b Fj(\000)g(j)p Fk(V)c Fj(j)k Fn(+)g Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)24 b Fn(=)g(5)e(gelten.)f (Jedes)h(Gebiet)g(wird)108 341 y(v)o(on)i(mindestens)d(4)j(Kan)o(ten)f (b)q(egrenzt)g(\(es)h(gibt)f(k)o(eine)f(Dreiec)o(k)o(e)f(in)108 399 y Fk(K)149 406 y Fh(3)p Fd(;)p Fh(3)197 399 y Fn(\).)16 b(Jede)g(Kan)o(te)h(grenzt)f(an)i(2)f(Gebiete)e(an.)i(Also)g(ist)f(4)p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)f(\024)g Fn(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)p Fk(:)108 458 y Fn(Dann)20 b(w)278 460 y(\177)278 458 y(are)e(ab)q(er)h(20)g(=)e(4)c Fj(\001)g Fn(5)18 b Fj(\024)f Fn(2)c Fj(\001)f Fn(9)18 b(=)g(18,)h(w)o(as)g(nic)o(h)o(t)e(m)1261 460 y(\177)1261 458 y(oglic)o(h)f(ist.)108 516 y Fk(K)149 523 y Fh(5)185 516 y Fn(:)g(Es)h(ist)o Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)16 b Fn(=)g(5)h(und)f Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)g Fn(=)g(10.)h(Dann)i (ist)e(3)p Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)h(\000)g Fn(6)k(=)g(15)d Fj(\000)e Fn(6)17 b(=)108 574 y(9)d Fk(<)g Fn(10)h(=)f Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)i Fn(in)f(Widerspruc)o(h)h(zu)g(F)l(olgerung)h(2.7)p 1142 547 33 2 v 1142 576 2 30 v 1173 576 V 1142 578 33 2 v 108 674 a Fl(Bemerkung)g(2.9.)j Fn(Mit)d(F)l(olgerung)h(2.8)g(ist)g (auc)o(h)f(das)h(V)l(ersorgungs-)108 732 y(problem)d(2.1)i(\(1\))f(gel) 515 734 y(\177)515 732 y(ost,)g(und)h(zw)o(ar)f(negativ.)108 869 y(Da)d(wir)g(jetzt)e(einige)h(Graphen)h(gefunden)g(hab)q(en,)f(die) g(nic)o(h)o(t)g(eb)q(en)g(sind,)108 927 y(erhebt)20 b(sic)o(h)f(die)g (F)l(rage,)g(ob)i(es)e(no)q(c)o(h)h(w)o(eitere)e(solc)o(he)i(Graphen)g (gibt.)108 985 y(Dar)189 987 y(\177)188 985 y(ub)q(er)h(gibt)g(der)f (Satz)g(v)o(on)g(Kurato)o(wski)h(Auskunft,)e(den)h(wir)g(hier)108 1044 y(n)o(ur)11 b(angeb)q(en)h(w)o(ollen,)e(w)o(eil)f(sein)i(Bew)o (eis)f(w)o(eitere)f(Hilfsmittel)e(b)q(en)1352 1046 y(\177)1352 1044 y(otigt.)108 1102 y(Um)k(die)h(Aussage)i(des)f(Satzes)f(zu)h(v)o (erstehen,)e(b)q(en)1051 1104 y(\177)1051 1102 y(otigen)i(wir)g(erst)f (no)q(c)o(h)108 1160 y(einen)k(w)o(eiteren)e(Begri\013.)108 1260 y Fl(De\014nition)k(2.10.)i Fn(Ein)12 b(sc)o(hlic)o(h)o(ter)f (Graph)j Fk(Y)25 b Fn(=)13 b(\()p Fk(V)1117 1242 y Fc(0)1128 1260 y Fk(;)8 b(E)1189 1242 y Fc(0)1201 1260 y Fk(;)g(\031)1253 1242 y Fc(0)1264 1260 y Fn(\))13 b(en)o(tsteh)o(t)108 1318 y(aus)20 b(dem)d(sc)o(hlic)o(h)o(ten)f(Graphen)j Fk(X)j Fn(=)c(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))17 b(durc)o(h)i Fi(einfache)h(Un-)108 1376 y(terteilung)g(der)d(Kante)k Fk(k)16 b Fj(2)e Fk(E)s Fn(,)i(w)o(enn)g(gelten)306 1473 y Fk(V)345 1455 y Fc(0)399 1473 y Fn(=)41 b Fk(V)22 b Fj([)12 b(f)p Fk(a)p Fj(g)j Fn(mit)g Fk(a)e Fj(62)h Fk(V)s(;)306 1531 y(E)345 1513 y Fc(0)399 1531 y Fn(=)41 b(\()p Fk(E)14 b Fj(n)d(f)p Fk(k)r Fj(g)p Fn(\))g Fj([)g(f)p Fk(l)q(;)d(m)p Fj(g)15 b Fn(mit)g Fk(l)q(;)8 b(m)19 b(=)-30 b Fj(2)14 b Fk(E)s(;)8 b(k)16 b Fj(2)e Fk(E)s(;)263 1590 y(\031)r Fn(\()p Fk(k)r Fn(\))41 b(=)g Fj(f)p Fk(b;)8 b(c)p Fj(g)p Fk(;)g(\031)644 1571 y Fc(0)654 1590 y Fn(\()p Fk(l)q Fn(\))14 b(=)f Fj(f)p Fk(a;)8 b(b)p Fj(g)p Fk(;)g(\031)944 1571 y Fc(0)954 1590 y Fn(\()p Fk(m)p Fn(\))14 b(=)g Fj(f)p Fk(a;)8 b(c)p Fj(g)p Fk(:)108 1688 y(Y)22 b Fn(en)o(tsteh)o(t)10 b(aus)i Fk(X)j Fn(durc)o(h)10 b Fi(Unterteilung)p Fn(,)k(w)o(enn)c Fk(Y)22 b Fn(durc)o(h)11 b(eine)e(endlic)o(he)108 1746 y(F)l(olge)16 b(v)o(on)g(einfac)o(hen)f(Un)o(terteilungen)g(aus)i Fk(X)j Fn(en)o(tsteh)o(t.)108 1847 y Fl(Satz)f(2.11.)h Fn(\(Kurato)o(wski\))d Fi(Ein)g(schlichter)h(end)r(licher)h(Gr)n(aph)c (ist)i(ge-)108 1905 y(nau)f(dann)g(eb)n(en,)g(wenn)h(er)e(keinen)i(T)l (eilgr)n(aphen)f(b)n(esitzt,)g(der)f(eine)h(Un-)108 1963 y(terteilung)k(von)e Fk(K)460 1970 y Fh(3)p Fd(;)p Fh(3)525 1963 y Fi(o)n(der)f Fk(K)674 1970 y Fh(5)711 1963 y Fi(ist.)108 2133 y Fn(Eine)h(w)o(eitere)e(sc)o(h)457 2135 y(\177)457 2133 y(one)h(An)o(w)o(endung)h(der)f(Eulersc)o(hen)g(P)o(oly)o (ederformel)108 2191 y(ist)f(die)g(Aufz)356 2193 y(\177)356 2191 y(ahlung)g(der)g(m)641 2193 y(\177)641 2191 y(oglic)o(hen)e (Platonisc)o(hen)i(K)1153 2193 y(\177)1153 2191 y(orp)q(er.)p eop %%Page: 142 11 142 10 bop 108 117 a Fo(142)235 b(IV.)17 b(K)o(OMBINA)m(TORIK)i(UND)f (GRAPHEN)108 225 y Fl(Bemerkung)f(2.12.)j Fn(\()p Fi(Platonische)d(K) 859 227 y(\177)859 225 y(orp)n(er)p Fn(\))d(Ein)g(Platonisc)o(her)g(K) 1407 227 y(\177)1407 225 y(or-)108 283 y(p)q(er)k(b)q(esteh)o(t)f(aus)h (einer)e(Realisierung)g(eines)g(sc)o(hlic)o(h)o(ten)f(Graphen)j(auf)108 341 y(der)24 b(2)p Fj(\000)p Fn(Sph)344 343 y(\177)344 341 y(are)g Fk(S)466 323 y Fh(2)510 341 y Fn(\(Kugelob)q(er\015)774 343 y(\177)774 341 y(ac)o(he\),)f(so)i(da\031)f(alle)g(en)o(tstehenden) 108 399 y(Gebiete)f(k)o(ongruen)o(t)g(sind)h(und)g(sic)o(h)e(in)i (jedem)d(Knoten)j(gleic)o(h)e(vie-)108 458 y(le)f(Gebiete)f(tre\013en.) h(Sei)g Fk(m)g Fn(die)f(Anzahl)h(der)g(Kan)o(ten)g(bzw.)g(Knoten)108 516 y(eines)14 b(\(jeden\))g(Gebietes,)f Fk(n)h Fn(die)g(Anzahl)g(der)g (Gebiete,)f(die)g(einen)h(Kno-)108 574 y(ten)22 b(gemeinsam)c(hab)q (en.)k(Wir)f(setzen)g(w)o(eiterhin)f Fk(m;)8 b(n)23 b Fj(\025)g Fn(3)f(v)o(oraus.)108 632 y(Sc)o(hneiden)i(wir)h(ein)g (Gebiet)g(auf,)g(so)h(en)o(tsteh)o(t)f(ein)f(eb)q(ener)h(Graph,)108 690 y(der)e(das)g(aufgesc)o(hnittene)f(Gebiet)g(als)h(Au\031engebiet)f (hat.)g(Sei)h Fk(P)32 b Fn(=)108 748 y(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s Fn(\))16 b(eine)f(solc)o(he)h(Realisierung)f(eines)g(platonisc)o (hen)h(K)1212 750 y(\177)1212 748 y(orp)q(ers.)g(Also)108 806 y(ist)e(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)g Fn(=)g Fk(m)p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)p Fn(,)f(w)o(enn)h(man)g(die)f(Inzidenzpaare)g(\(Kan)o (ten,)h(Gebiete\))108 864 y(z)130 866 y(\177)130 864 y(ahlt.)21 b(Z)279 866 y(\177)279 864 y(ahlen)g(wir)g(die)g (Inzidenzpaare)g(\(Knoten,)g(Gebiete\),)f(so)i(gilt)108 922 y Fk(m)p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)17 b Fn(=)h Fk(n)p Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)p Fn(.)18 b(Mit)f(Eulers)h(Satz)h(folgt)f(0)g Fk(<)g Fn(2)f(=)h Fj(j)p Fk(V)11 b Fj(j)h(\000)g(j)p Fk(E)s Fj(j)h Fn(+)f Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)18 b Fn(=)108 981 y(\()132 961 y Fd(m)p 132 969 32 2 v 137 998 a(n)179 981 y Fj(\000)234 961 y Fd(m)p 234 969 V 241 998 a Fh(2)282 981 y Fn(+)11 b(1\))p Fj(j)p Fk(G)p Fj(j)27 b Fn(also)580 961 y Fh(2)p Fd(m)p Fc(\000)p Fd(mn)p Fh(+2)p Fd(n)p 580 969 196 2 v 658 998 a Fh(2)p Fd(n)811 981 y Fk(>)k Fn(0)c(o)q(der)g(\()p Fk(m)18 b Fj(\000)g Fn(2\)\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fn(2\))32 b(=)108 1039 y(\()p Fj(\000)p Fn(2)p Fk(m)12 b Fn(+)f Fk(mn)g Fj(\000)h Fn(2)p Fk(n)p Fn(\))g(+)f(4)k Fk(<)g Fn(4.)i(Es)h(k)804 1041 y(\177)804 1039 y(onnen)f(h)975 1041 y(\177)975 1039 y(oc)o(hstens)g(folgende)g(F) 1394 1041 y(\177)1394 1039 y(alle)108 1097 y(auftreten:)252 1169 y Fk(m)d Fn(=)f(3)p Fk(;)42 b(n)14 b Fn(=)g(3)p Fk(;)41 b Fn(\()p Fk(m)11 b Fj(\000)g Fn(2\)\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fn(2\))j(=)g(1)p Fk(;)24 b Fn(T)l(etraeder,)252 1227 y Fk(m)14 b Fn(=)f(4)p Fk(;)42 b(n)14 b Fn(=)g(3)p Fk(;)41 b Fn(\()p Fk(m)11 b Fj(\000)g Fn(2\)\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fn(2\))j(=)g(2)p Fk(;)24 b Fn(W)1111 1229 y(\177)1110 1227 y(urfel,)252 1285 y Fk(m)14 b Fn(=)f(3)p Fk(;)42 b(n)14 b Fn(=)g(4)p Fk(;)41 b Fn(\()p Fk(m)11 b Fj(\000)g Fn(2\)\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fn(2\))j(=)g(2)p Fk(;)24 b Fn(Oktaeder,)252 1343 y Fk(m)14 b Fn(=)f(5)p Fk(;)42 b(n)14 b Fn(=)g(3)p Fk(;)41 b Fn(\()p Fk(m)11 b Fj(\000)g Fn(2\)\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fn(2\))j(=)g(3)p Fk(;)24 b Fn(Do)q(dek)m(aeder,)252 1401 y Fk(m)14 b Fn(=)f(3)p Fk(;)42 b(n)14 b Fn(=)g(5)p Fk(;)41 b Fn(\()p Fk(m)11 b Fj(\000)g Fn(2\)\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fn(2\))j(=)g(3)p Fk(;)24 b Fn(Ik)o(osaeder.)108 1484 y Fl(De\014nition)18 b(2.13.)i Fn(Gibt)e(es)h(in)f(einem)e(Graphen)k Fk(X)j Fn(einen)17 b(gesc)o(hlos-)108 1542 y(senen)e(W)l(eg)g Fk(W)7 b Fn(,)14 b(der)h(jede)f(Kan)o(te)g(aus)i Fk(E)876 1549 y Fd(X)925 1542 y Fn(genau)f(einmal)e(en)o(th)1314 1544 y(\177)1314 1542 y(alt)h(und)108 1601 y(jeden)19 b(Knoten)h(\(mindestens\))e(einmal)g(en)o(th)966 1603 y(\177)966 1601 y(alt,)g(so)j(hei\031t)e Fk(X)24 b Fn(ein)19 b Fi(Eu-)108 1659 y(lerscher)f(Gr)n(aph)35 b Fn(und)17 b Fk(W)23 b Fn(eine)15 b Fi(Eulersche)k(Linie)p Fn(.)108 1744 y Fl(Satz)g(2.14.)h Fi(F)400 1746 y(\177)400 1744 y(ur)d(einen)i(Gr)n(aphen)e Fk(X)k Fi(sind)960 1746 y(\177)960 1744 y(aquivalent:)174 1815 y Fn(\(1\))g Fk(X)h Fi(ist)17 b(ein)h(Eulerscher)h(Gr)n(aph.)174 1873 y Fn(\(2\))i Fi(Je)n(der)j(Knoten)j(von)e Fk(X)30 b Fi(hat)24 b(ger)n(aden)i(Gr)n (ad)d(und)j Fk(X)j Fi(ist)c(ein)257 1931 y(zusammenh)502 1933 y(\177)502 1931 y(angender,)19 b(end)r(licher)g(Gr)n(aph.)158 2017 y Fb(Beweis.)h Fn(\(1\))14 b(=)-8 b Fj(\))14 b Fn(\(2\))g(:)g (Eine)g(Eulersc)o(he)f(Linie,)g(die)h(in)g(einen)g(Kno-)108 2075 y(ten)21 b(hineinl)342 2077 y(\177)342 2075 y(auft,)e(m)o(u\031)g (ihn)i(auf)g(einer)f(anderen)g(Kan)o(te)h(auc)o(h)f(wieder)108 2133 y(v)o(erlassen.)10 b(Bei)g(jedem)f(Besuc)o(h)g(eines)i(Knotens)g (w)o(erden)f(2)i(w)o(eitere)d(Kan-)108 2191 y(ten)k(b)q(elegt.)g(Man)h (b)q(eac)o(h)o(te,)e(da\031)i(hier)f(Sc)o(hlingen)f(b)q(ei)h(der)g (Bestimm)n(ung)p eop %%Page: 143 12 143 11 bop 574 117 a Fo(2.)17 b(EBENE)j(GRAPHEN)403 b(143)108 225 y Fn(des)16 b(Grades)g(v)o(on)f(Knoten)h(dopp)q(elt)f(gez)865 227 y(\177)865 225 y(ahlt)h(w)o(erden.)e(Es)i(ist)f(klar,)g(da\031)108 283 y Fk(X)21 b Fn(zusammenh)421 285 y(\177)421 283 y(angend)14 b(und)j(endlic)o(h)e(ist.)108 380 y(\(2\))f(=)-8 b Fj(\))14 b Fn(\(1\))g(:)f(W)l(enn)g Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)g Fn(=)h(1)p Fk(;)f Fn(dann)h(ist)f Fk(X)k Fn(v)o(on)c(der)g(F)l(orm)1236 391 y Fe(\016\015)1236 325 y(\017\014)1271 391 y(r)1318 380 y Fn(.)g(W)l(enn)108 479 y Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)h Fn(=)g(2,)e(dann)h (hat)f Fk(X)17 b Fn(die)11 b(F)l(orm)746 490 y Fe(\016\015)746 424 y(\017)q(\014)817 490 y(\016\015)817 424 y(\017)q(\014)817 455 y(r)912 479 y Fn(o)q(der)1018 490 y Fe(\016\015)1018 424 y(\017\014)1017 455 y(r)59 b(r)1100 479 y Fn(.)12 b(In)g(b)q(eiden)f(F)1366 481 y(\177)1366 479 y(allen)108 537 y(ist)19 b(die)g(Eulersc)o(he)f(Linie)g(klar.)h(Sei)f(die)h (Aussage)g(w)o(ahr)h(f)1218 539 y(\177)1217 537 y(ur)f(Graphen)108 595 y(mit)c(h)225 597 y(\177)225 595 y(oc)o(hstens)i Fk(n)f Fn(Kan)o(ten.)g(Hab)q(e)h Fk(X)i Fn(=)14 b(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)s(;)g(\031)r Fn(\))16 b Fk(n)11 b Fn(+)g(1)17 b(Kan)o(ten.)f(Sei)108 653 y Fk(a)e Fj(2)g Fk(V)24 b Fn(als)13 b(Anfangspunkt)g(gew)710 655 y(\177)710 653 y(ahlt.)f(Wir)h(bilden)e(einen)h(W)l(eg)h Fk(W)19 b Fn(v)o(on)13 b Fk(a)108 711 y Fn(ausgehend,)j(b)q(ei)e(dem)g(jede)g(Kan)o(te)h(h)811 713 y(\177)811 711 y(oc)o(hstens)g(einmal)e(auftritt.)i(W)l(enn)108 770 y(dieser)h(W)l(eg)h(nic)o(h)o(t)e(mehr)g(zu)i(v)o(erl)749 772 y(\177)749 770 y(angern)f(ist,)g(d.h.)g(k)o(eine)f(Kan)o(te)h(mehr) 108 828 y(aus)21 b(dem)e(letzten)f(Knoten)j(herausf)804 830 y(\177)803 828 y(uhrt,)f(dann)g(m)o(u\031)f(der)h(Endpunkt)108 886 y(dieses)g(W)l(eges)h Fk(a)f Fn(sein,)g(w)o(eil)f(alle)h(anderen)g (b)q(esuc)o(h)o(ten)g(Knoten)h(gera-)108 944 y(den)e(Grad)h(hab)q(en.)g (Sind)f(in)g(diesem)e(W)l(eg)i(alle)g(Kan)o(ten)g(und)g(Knoten)108 1002 y(en)o(thalten,)j(so)i(sind)f(wir)f(fertig.)g(Sonst)i(bilden)e (wir)h Fk(X)d Fj(n)c Fk(W)7 b Fn(.)22 b(Dieser)108 1060 y(Graph)17 b(k)m(ann)f(in)f(Zusammenhangsk)o(omp)q(onen)o(ten)e (zerfallen.)g(Ab)q(er)j(je-)108 1118 y(de)g(Komp)q(onen)o(te)f(hat)h (wieder)f(n)o(ur)h(Knoten)g(v)o(on)f(geradem)g(Grad,)h(und)108 1176 y(hat)22 b(daher)g(Eulersc)o(he)e(Linien.)h(Diese)g(m)912 1178 y(\177)911 1176 y(ussen)f(sic)o(h)h(mit)f Fk(W)28 b Fn(tre\013en,)108 1234 y(w)o(eil)18 b Fk(X)24 b Fn(zusammenh)526 1236 y(\177)526 1234 y(angend)17 b(w)o(ar.)j(Man)f(k)m(ann)h(sie)f (daher)g(mit)f Fk(W)26 b Fn(zu)108 1293 y(einer)15 b(Eulersc)o(hen)h (Linie)f(zusammenf)837 1295 y(\177)836 1293 y(ugen.)p 996 1265 33 2 v 996 1295 2 30 v 1027 1295 V 996 1297 33 2 v 108 1394 a Fl(Bemerkung)i(2.15.)j Fn(\()p Fi(L)594 1396 y(\177)594 1394 y(osung)13 b(des)g(K)844 1396 y(\177)844 1394 y(onigsb)n(er)n(ger)g(Br)1147 1396 y(\177)1147 1394 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908 2168 V 908 2166 V 908 2165 V 908 2163 V 908 2161 V 908 2160 V 908 2158 V 908 2156 V 908 2155 V 908 2153 V 908 2151 V 907 2149 V 907 2148 V 907 2146 V 907 2144 V 907 2142 V 906 2140 V 906 2138 V 906 2137 V 905 2135 V 905 2133 V 904 2131 V 904 2129 V 904 2127 V 903 2125 V 903 2123 V 902 2121 V 902 2118 V 901 2116 V 901 2114 V 900 2112 V 899 2110 V 899 2108 V 898 2105 V 897 2103 V 897 2101 V 896 2099 V 895 2096 V 894 2094 V 894 2092 V eop %%Page: 145 14 145 13 bop 683 120 a Fo(3.)18 b(B)768 112 y(\177)763 120 y(AUME)513 b(145)108 225 y Fn(Dieser)16 b(Graph)h(ist)f(Eulersc)o (h.)666 321 y Fl(3.)28 b(B)778 323 y(\177)778 321 y(aume)108 452 y Fn(Besonders)15 b(h)364 454 y(\177)364 452 y(au\014g)h(b)q(en)o (utzte)e(Graphen)h(in)f(der)h(Informatik)e(sind)i(soge-)108 510 y(nann)o(te)20 b(B)308 512 y(\177)308 510 y(aume.)e(Sie)h(w)o (erden)g(ausf)793 512 y(\177)792 510 y(uhrlic)o(h)g(in)h(anderen)g(V)l (orlesungen)108 569 y(studiert,)h(so)i(da\031)g(wir)f(uns)g(hier)g(mit) e(einer)h(Charakterisierung)h(und)108 627 y(einigen)16 b(Beispielen)d(b)q(egn)605 629 y(\177)604 627 y(ugen)18 b(k)748 629 y(\177)748 627 y(onnen.)108 710 y Fl(De\014nition)g(3.1.)i Fn(Ein)14 b Fi(Baum)19 b Fn(ist)14 b(ein)g(zusammenh)1105 712 y(\177)1105 710 y(angender)e(sc)o(hlic)o(h-)108 768 y(ter)18 b(Graph)g(ohne)g(Kreise.)e(Ein)i Fi(Wald)k Fn(ist)c(ein)f(sc)o (hlic)o(h)o(ter)e(Graph)j(ohne)108 826 y(Kreise.)108 909 y Fl(Satz)h(3.2.)h Fi(Sei)14 b Fk(X)k Fi(ein)d(schlichter)g(Gr)n (aph)d(mit)i Fk(n)f Fi(Knoten)j(und)e Fk(m)f Fi(Kan-)108 967 y(ten.)19 b(Dann)f(sind)445 969 y(\177)445 967 y(aquivalent)174 1037 y Fn(\(1\))j Fk(X)h Fi(ist)17 b(ein)h(Baum.)174 1096 y Fn(\(2\))j Fi(Je)g(zwei)h(Knoten)h(sind)f(in)g Fk(X)k Fi(dur)n(ch)21 b(genau)h(einen)h(We)n(g)f(ver-)257 1154 y(bunden.)174 1212 y Fn(\(3\))f Fk(X)i Fi(ist)d(zusammenh)636 1214 y(\177)636 1212 y(angend)h(und)f(f)918 1214 y(\177)918 1212 y(ur)e(je)n(de)i(Kante)h Fk(k)e Fj(2)e Fk(E)23 b Fi(gilt,)257 1270 y(da\031)17 b Fk(X)f Fj(n)11 b(f)p Fk(k)r Fj(g)i Fn(=)h(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)14 b Fj(n)d(f)p Fk(k)r Fj(g)p Fn(\))17 b Fi(nicht)i(zusammenh)1224 1272 y(\177)1224 1270 y(angend)g(ist.)174 1328 y Fn(\(4\))i Fk(X)h Fi(ist)17 b(zusammenh)632 1330 y(\177)632 1328 y(angend,)i(und)f(es)g(gilt)g Fk(m)c Fn(=)g Fk(n)d Fj(\000)g Fn(1)p Fk(:)174 1386 y Fn(\(5\))21 b Fk(X)26 b Fi(ist)21 b(ein)i(Gr)n(aph)d(ohne)i(Kr)n(eise,)f(und)h(f)1041 1388 y(\177)1041 1386 y(ur)g(je)n(de)f(Kante)i Fk(k)h Fi(im)257 1444 y(Komplement)17 b(von)f Fk(X)j Fi(ist)d Fk(X)10 b Fj([)c(f)p Fk(k)r Fj(g)15 b Fn(=)e(\()p Fk(V)s(;)8 b(E)i Fj([)c(f)p Fk(k)r Fj(g)p Fn(\))15 b Fi(ein)h(Gr)n(aph)257 1502 y(mit)h(genau)i(einem)f(Kr)n(eis.)108 1585 y Fn(Ohne)e(Bew)o(eis.) 108 1668 y Fl(De\014nition)i(3.3.)i Fn(Ein)c(Baum)f(zusammen)f(mit)g (einem)g(ausgezeic)o(hne-)108 1726 y(ten)g(Knoten)g Fk(w)h Fn(\(=)e(W)l(urzel\))g(hei\031t)g(ein)g Fi(Wurzelb)n(aum)p Fn(.)h(Ein)f(Endknoten)108 1785 y(eines)j(W)l(urzelbaumes)f(hei\031t)i Fi(Blatt)p Fn(.)g(Beac)o(h)o(te:)e(Die)h(B)1133 1787 y(\177)1133 1785 y(aume)f(der)h(Infor-)108 1843 y(matik)21 b(bzw.)g(Mathematik)f(w)o(ac)o(hsen)i(im)e(Himmel)o(,)f(d.h.)i(die)h(W) l(urzel)108 1901 y(wird)14 b(immer)d(zuob)q(erst)k(gezeic)o(hnet.)d (Sind)i Fk(a)g Fn(und)h Fk(b)f Fn(b)q(enac)o(h)o(barte)g(Kno-)108 1959 y(ten)d(in)g(einem)e(W)l(urzelbaum)h(und)h(ist)g Fk(d)p Fn(\()p Fk(a;)d(w)q Fn(\))14 b Fk(<)g(d)p Fn(\()p Fk(b;)8 b(w)q Fn(\),)j(so)h(hei\031t)f Fk(a)g Fn(der)108 2017 y Fi(V)l(ater)20 b Fn(v)o(on)13 b Fk(b)h Fn(und)g Fk(b)f Fn(ein)g Fi(Sohn)18 b Fn(v)o(on)13 b Fk(a)p Fn(.)g(W)l(enn)h (jeder)f(Knoten)g(h)1288 2019 y(\177)1288 2017 y(oc)o(hstens)108 2075 y Fk(n)21 b Fn(S)185 2077 y(\177)185 2075 y(ohne)h(hat,)e(so)i (sprec)o(hen)e(wir)h(v)o(on)g(einem)d Fk(n)p Fj(\000)1079 2077 y Fn(\177)1079 2075 y(aren)j Fi(Wurzelb)n(aum)p Fn(.)108 2133 y(W)l(enn)c(jeder)f(Knoten,)h(au\031er)g(den)g(Bl)831 2135 y(\177)831 2133 y(attern,)e(genau)j Fk(n)f Fn(S)1205 2135 y(\177)1205 2133 y(ohne)g(hat,)g(so)108 2191 y(nennen)f(wir)g(den) g(Baum)f(einen)h Fi(r)n(e)n(gul)822 2193 y(\177)822 2191 y(ar)n(en)j Fk(n)p Fj(\000)1002 2193 y Fn(\177)1002 2191 y(aren)e(W)l(urzelbaum.)p eop %%Page: 146 15 146 14 bop 108 117 a Fo(146)235 b(IV.)17 b(K)o(OMBINA)m(TORIK)i(UND)f (GRAPHEN)108 225 y Fl(Bemerkung)f(3.4.)j Fn(Ein)14 b(regul)710 227 y(\177)710 225 y(arer)g(bin)876 227 y(\177)876 225 y(arer)g(W)l(urzelbaum)f(hat)i(genau)108 283 y(einen)c(Knoten)h(v)o(on) f(Grad)i(2,)f(n)685 285 y(\177)685 283 y(amlic)o(h)d(die)i(W)l(urzel.)f (Alle)g(anderen)i(Kno-)108 341 y(ten)k(hab)q(en)g(den)g(Grad)g(1)h(o)q (der)f(3.)g(F)l(olglic)o(h)e(hat)i(er)g(eine)e(ungerade)j(An-)108 399 y(zahl)e(v)o(on)g(Knoten,)g(denn)g(w)o(egen)749 366 y Fg(P)792 410 y Fd(a)p Fc(2)p Fd(V)874 399 y Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))e(=)h(2)p Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)h Fn(gerade)g(und)h (w)o(eil)108 458 y(alle)j(Summanden)f Fk(d)p Fn(\()p Fk(a)p Fn(\))i(au\031er)g Fk(d)p Fn(\()p Fk(w)q Fn(\))h(ungerade)f (sind,)f(m)o(u\031)g(eine)g(un-)108 516 y(gerade)24 b(Anzahl)g(v)o(on)f (Summanden)f(v)o(orliegen.)g(W)l(enn)i(der)g(regul)1402 518 y(\177)1402 516 y(are)108 574 y(bin)176 576 y(\177)176 574 y(are)14 b(Baum)f Fk(n)h Fn(Knoten)h(hat,)f(dann)h(hat)g(er)e(\()p Fk(n)7 b Fn(+)g(1\))p Fk(=)p Fn(2)16 b(Bl)1224 576 y(\177)1224 574 y(atter.)c(Denn)108 632 y(hat)k(er)f Fk(t)g Fn(Bl)332 634 y(\177)332 632 y(atter,)f(so)i(hat)f(er)g Fk(n)10 b Fj(\000)e Fk(t)h Fj(\000)g Fn(1)16 b(Knoten)f(v)o(om)f(Grad)i(3,)f (also)h(ist)108 690 y Fj(j)p Fk(E)s Fj(j)e Fn(=)246 670 y Fh(1)p 246 678 18 2 v 246 707 a(2)279 690 y Fj(\001)d Fn(\()p Fk(t)f Fn(+)h(3)g Fj(\001)g Fn(\()p Fk(n)g Fj(\000)f Fk(t)h Fj(\000)f Fn(1\))i(+)e(2\))15 b(=)e Fk(n)e Fj(\000)g Fn(1.)16 b(Daraus)h(b)q(estimm)o(t)c(sic)o(h)108 748 y Fk(t)19 b Fn(=)g(\()p Fk(n)13 b Fn(+)g(1\))p Fk(=)p Fn(2.)20 b(Die)e(Knoten)i(in)f(einem)e(Baum,)g(deren)i(Grad)h(gr)1377 750 y(\177)1377 748 y(o\031er)108 806 y(als)g(eins)f(ist,)f(hei\031en)h Fi(inner)n(e)i(Knoten)p Fn(.)g(Ein)e(regul)1066 808 y(\177)1066 806 y(arer)g(bin)1237 808 y(\177)1237 806 y(arer)g(Baum)108 864 y(b)q(esitzt)g(also)h(\()p Fk(n)13 b Fj(\000)g Fn(1\))p Fk(=)p Fn(2)20 b(innere)e(Knoten,)h(also)h(genau)g(einen)e(inneren)108 922 y(Knoten)f(w)o(eniger,)e(als)h(er)g(Bl)652 924 y(\177)652 922 y(atter)f(hat.)108 1011 y Fl(Beispiele)h(3.5.)86 b Fn(\(1\))600 1165 y Ff(\000)617 1147 y(\000)659 1224 y(\000)676 1206 y(\000)718 1047 y(\000)736 1029 y(\000)777 1106 y(\000)795 1088 y(\000)-237 b(@)617 1106 y(@)659 1029 y(@)676 1047 y(@)718 1206 y(@)736 1224 y(@)777 1147 y(@)795 1165 y(@)p 659 1108 119 4 v 716 1165 4 119 v -237 w Fe(r)600 1047 y(r)659 1224 y(r)659 1106 y(r)659 988 y(r)718 1165 y(r)718 1106 y(r)718 1047 y(r)777 1224 y(r)777 1106 y(r)777 988 y(r)836 1165 y(r)836 1047 y(r)876 1011 y Fn(ist)16 b(ein)g(Baum.)174 1289 y(\(2\))257 1443 y Ff(\000)298 1401 y(\000)340 1360 y(\000)381 1318 y(\000)392 1307 y(\000)316 1425 y(@)333 1443 y(@)375 1366 y(@)392 1384 y(@)434 1307 y(@)451 1325 y(@)257 1443 y Fe(r)316 1384 y(r)375 1325 y(r)434 1266 y(r)493 1325 y(r)434 1384 y(r)375 1443 y(r)434 1266 y(e)533 1289 y Fn(ist)g(ein)f(regul)785 1291 y(\177)785 1289 y(arer)h(bin)953 1291 y(\177)953 1289 y(arer)g(W)l(urzelbaum.)174 1508 y(\(3\))316 1644 y Ff(@)333 1661 y(@)434 1526 y(@)475 1567 y(@)511 1602 y(@)552 1644 y(@)570 1661 y(@)-355 b(\000)274 1644 y(\000)316 1602 y(\000)357 1561 y(\000)392 1526 y(\000)p 432 1602 V 257 1661 a Fe(r)316 1602 y(r)375 1661 y(r)434 1602 y(r)106 b(r)611 1661 y(r)434 1484 y(r)-12 b(e)665 1508 y Fn(ist)31 b(ein)f(W)l(urzelbaum,)e(der)j(als)g(Baum)257 1726 y(\(Graph\))17 b(zu)f(dem)e(in)i(Beispiel)f(2\))h(gezeigten)g (isomorph)f(ist.)174 1785 y(\(4\))21 b(Die)14 b(V)l(eranstaltung)h (eines)f(Sp)q(ort)o(w)o(ettk)m(ampfes)g(nac)o(h)h(dem)e(k.o.)257 1843 y(System)e(\(der)j(Sieger)e(eines)h(Matc)o(hes)g(k)o(omm)n(t)e (eine)h(Runde)h(w)o(ei-)257 1901 y(ter,)20 b(F)l(reilose)h(sind)g(m)684 1903 y(\177)684 1901 y(oglic)o(h\))f(induziert)g(einen)g(regul)1296 1903 y(\177)1296 1901 y(aren)i(bi-)257 1959 y(n)284 1961 y(\177)284 1959 y(aren)c(W)l(urzelbaum.)d(Die)i(T)l(eilnehmer)e(sind)i (die)g(Bl)1271 1961 y(\177)1271 1959 y(atter,)f(die)257 2017 y(inneren)11 b(Knoten)g(sind)h(die)f(einzelnen)f(T)l(urnierk)1159 2019 y(\177)1159 2017 y(ampfe.)f(Es)j(w)o(er-)257 2075 y(den)j(genau)h Fk(n)9 b Fj(\000)g Fn(1)15 b(T)l(urnierk)798 2077 y(\177)798 2075 y(ampfe)f(statt\014nden,)h(w)o(enn)g Fk(n)g Fn(T)l(eil-)257 2133 y(nehmer)f(gemeldet)g(sind.)174 2191 y(\(5\))21 b(Ein)15 b(algebraisc)o(her)g(Ausdruc)o(k)f(\(\()p Fk(a)9 b Fn(+)h Fk(b)p Fn(\))f Fj(\001)g Fk(c)g Fn(+)h Fk(d)f Fj(\001)h Fn(\()p Fk(e)e Fn(+)i Fk(f)15 b Fj(\001)9 b Fk(g)r Fn(\)\))g Fj(\001)g Fk(h)p eop %%Page: 147 16 147 15 bop 683 120 a Fo(3.)18 b(B)768 112 y(\177)763 120 y(AUME)513 b(147)257 225 y Fn(de\014niert)15 b(einen)g(regul)682 227 y(\177)682 225 y(aren)g(bin)857 227 y(\177)857 225 y(aren)h(Baum)f(mit)f(den)h(Bl)1337 227 y(\177)1337 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b(Auftreten)i(v)o(on)h(nic)o(h)o(t-k)o(omm)n(utati)o(v)o(en)d(Op)q (erationen)j(ist)257 858 y(die)20 b(Reihenfolge)f(in)i(der)f(Sc)o(hic)o (h)o(t)f(der)h(S)1045 860 y(\177)1045 858 y(ohne)h(eines)f(Knotens)257 916 y(zu)c(b)q(eac)o(h)o(ten.)p eop %%Trailer end userdict /end-hook known{end-hook}if %%EOF