; TeX output 1995.11.06:1345'nMK`y cmr10132d*'nMdM8&XQ cmr12KAPITELIVZ-Nff cmbx12KombinatorikffundGraphen-~,N cmbx121.=SchlichteGraphen#,GraphensindeinbSesonderswicrhtigesHilfmittelderInformatik.Sie@gehyorenzwrarnichtdirektindasGebietderalgebraischenGrundstrukturen!undderlinearenAlgebra."?SiewrerdenjedoSchhyau ginBewreisenverwendet,gebSenAnlazurKonstruktionvonspSeziellenOMatrizenundsindengvrerwandtOmitgeometriscrhenund=skrombinatorischenProblemenundbSesonderenAbzyahlungen.Wir4wrollendaherindiesemKapiteleinigeelementareEigenschaf-tenvronGraphenerlyautern.捍De nition1.1.sDieyMenge'g cmmi12A ,(!", cmsy10AI=ffa;bgja;bI2AgP(A)heit4@ cmti12Menge35derungeffordneten35PaareXinPA.De nition1.2.sEin1GrffaphisteinTVripSel(V;E;n9)1bestehendausderMengeV74derKnotent(engl.vrertex,vertices),derMengeEQderB:Kanten'(engl.BPedge)undderEndpunktbildungOX:`Ew !V*rV:FSyureineKanrtek2IEĚheiendieKnotenaundbmitn9(kg)^=fa;bgEndpunktevronk.+EineKanrtek undeinKnotenaheieninzident,wrennaeinEndpunktvonk ist.EineKanteheit4eineSchlinge,cwrennn9(kg)=fag4einelementigeMengeist.EinBGraphheitschlicht,a&wrenn{injektivistundderGraphohne.m133'nM134aIV.UUKOMBINA*TORIKUNDGRAPHENd&MScrhlingen1p0v2.036ff"T01p1v3.036ff"T10p1v4.036ff"T01p0=fTURu cmex100URBURBURBfiUR@ʍ S0O0+K1;G0 S0O0+K1;G1 S1O1+K0;G1 S0O1+K1;G0fTAC1ACCACCACCfiACA6:wrobSei`5V=hfv1;:::ʚ;v4gundELdargestelltistdurcrhdie1-eninderMatrix.DieseMatrixstelltdenGraphen'yݍ!$8̎:$O linew10::::"C:%cy8缎ٻݟ$8̎:$< lcirclew10r"C$r:Wr"CWr>5dar.eDiee{MatrixmruspiegelsymmetrischzurDiagonalensein,wreil`;jederKantenureinungeordnetesPaarfv2cmmi8id;vjf gzugeordnetwird.aDDe nition1.4.sEinTeilgrffapheinesTT=YaufdieIsomorphieX20P u԰ =[Yp20 Qgzuscrhlieen.@Wiridenti zierenent-langEn9,F,alsoE WVE&Vp.Seif:WVXuo!VY ObijektivEundfG(EX)=EYP,wrobSeif(EX)=fff(a);f(b)gjfa;bg2Eg.DannistfG(VX 1VXnEX)UR=VY eVYnEYP: yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘Beispiel1.12.%G8Q8[8e8hAEG8HQ8 H[8He8HhAUHvzHlzHbzHXzHU'EHvzlz bzXzU'UU'V \wџ V c"{V i%V k[h k[VJd뱟 VJ^AVJW]VJU'hJUfV*̎qڟV*̎G8fm8缎G8rzrU'VrrAVrU' rrA rPPI԰i1=z % ' z J%J 'TJJ JJ(J  J (T ʹџSsގʹџsގNkV*̎IV*̎zfm8缎zrbrʹџVr(Vrʹџ r( r,dennS'nML2.UUEBENEGRAPHENa8137d&M"卍G8 N= O"} G8 JN=JO"}TJyJJs%JrAJyJ  s% rAT U'SsގU'sގG8rzrU'VrrAVrU' rrA rPPI԰i1=zzzz(EzHz HzHzH(UHbHbHbHbHʹџEHbb bbʹџUʹџV _{ V %V ϟV ~h ~VJ[ VJ(VJ~VJʹџhJzrbrʹџVr(Vrʹџ r( r=7͍2.Eb`eneGraphen&;WirX{bSeginnendiesenAbscrhnittmitzweieinfachenProblemenausderGraphenrtheorie,diezuihrerLyosungschontie iegendeallgemeinereSyatzebSenyotigen.YProbleme2.1.(1)RGegebSenGseiendreiHyausera1;a2;a3AKund=dreiVVersorgungsanscrhlSyussea4;a5;a6b(fSyurGas,7WVasserund=Strom).eKannZmanalledreiHyauserandieVVersorgungso=anscrhlieen,dasichdieLeitungennicht-yubSerschneiden?C )4*̎+*̎-*̎R8SR8SR8SR8SSϑR8SR8SޑR8SR8SFSR8R8R8R8FR8FR8FR8єFR8ϑQ⧌QÏR6Q͏Q׏QᏚR4QFQF۔F⧌єFR6ǔFFFR4R8rϑR8rFR8rqϑqFq a1 na2 a3 o?a4 o?na5 o?a6Y=KannderGraphmitderAdjazenzmatrixFՙ[36ffa1^a2Ea3ڨa4pMa5a6tH^ffA ʍa136ff"[0=g0W0rJ1'11a236ff"[0=g0W0rJ1'11a336ff"[0=g0W0rJ1'11a436ff"[1=g1W1rJ0'00a536ff"[1=g1W1rJ0'00a636ff"[1=g1W1rJ0'00I,=inderEbSeneohnebpxUberscrhneidungenrealisiertwerden?,ܠ'nM138aIV.UUKOMBINA*TORIKUNDGRAPHENd&M)ו(2)=(Prffoblem35derKyonigsbergerBr'yucken)vfፍff{ ff8缎|ffܞff{{ 8缎|ܟ{p;Rp;REոsގE/psގ||'s̎'s̎Ps̎Ps̎ڍ s̎ڍ s̎5s̎5s̎Ms̎Ms̎bvs̎bvs̎Ռ"9̟s Ą9 M9̎ 9EՌ"9̟sڹĄ9EE M9̎ڹ9))e̟sܟĄ9ܟ9[Q!6- cmcsc10West[QBKneiphof[QPregelDWC A VBaDQ=Gibt-eseinenWVegvronA;BȭoSderC EnachDS,-der5yuberjede=der7BrSyucrkengenaueinmalfSyuhrt?(Euler1736)xDiegestelltenProblemebSenyotigeneinigewreitereBegri e.H De nition2.2.\(1)EinpendlicrherGraphheitebffenerGraph,=wrennxersichdurchPunkteundKurvenohnepxUbSerschnei-=dungeninderEbSenerealisierenlyat.)ו(2)=EinMWeffgWderLyangenineinemGraphenXbSestehrtaus=einerendlicrhenFVolgevonKantenk1;:::ʚ;kn gmitn9(k1)g==fa0;a1g;n9(k2)Ɣ=fa1;a2g;:::ʚ;n9(kid)Ɣ=fai1AV;aidg;n9(knP)==fan1;anPg:a0 heitA2nfangspunkt,San Schlupunkt#des=WVeges,s.bSeiderheienEndpunkteXzvronW:EinWVegheit=geschlossenoSdereineSchleife, wrenna0 y=uan q gilt,sonst=heitero en.!EinWVegheiteinfach,wrennalleKno-=tenda0;a1;:::ʚ;an ôdesdWVegespaarwreiseverschiedensind=mitAusnahmederEndpunkte.,DerWVegvrona0 nach=a0 >heit~trivial.~EinKrffeis|uisteineeinfacrhenicht-triviale=Scrhleife.H Satz2.3.QJeffderLWegvonanachbineinemGraphenXenthyalteinen35einfachenWeffgvonanachb.l&Beweis.XFSyuromaUR=bistdertrivialeWVegeinfacrh.oSeia6=bundk1;:::ʚ;kn+1derOWVegvronanachb.FSyurn(=1OistWeinfach.Enrthalte\jederWVegderLyangeneineneinfachenWVeg.aSeieniUR<8'nML2.UUEBENEGRAPHENa8139d&Mjmit[/ai -t=Țaj 9gegebSen.[Dannistk1;:::ʚ;kid;kjv+1B;:::;kn+1einWVeg, denn n9(kid)UR=fai1AV;ajf g;(kjv+1B)UR=fajf ;ajv+1g. Da dieLyangediesesfnWVegeskleineralsn+1fnist,fenrthyaltereineneinfachenWVegvronanachb. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘_ꍍDe nition2.4.sDerjA2bstandd(a;b)zwreierKnotenaundbineinemtGraphenXeistdiekleinsteLyangeeines(einfacrhen)WVegesvron.anachb.eWVenneskeinenWVegvonanachbgibt,edannsetzenwird(a;b)UR=1.EsgeltendieGesetzeeinerMetrik)ו(1)=d(a;b)UR=0genaudann,wrennaUR=b;)ו(2)=d(a;b)UR=d(b;a)fSyurallea;bUR2V;)ו(3)=d(a;c)URd(a;b)+d(b;c)fSyurallea;b;cUR2V:Ein)Graphheitzusammenhyangend,SwrennjezweiseinerKnotendurcrhaeinenWVegverbundensind.aEinGraph*" mzerfyallt-l\4QinseineZusammenhangskrompSonenten,weilderZusammenhangzwreierKnoten(d(a;b)UR<1)einebpxAquivXalenzrelationist._ꍍDe nition2.5.sJedegeometriscrheRealisierungeinesebSenenGrapheninderEbSenezerlegtdieEbeneinzusammenhyangen-deGebiete,vrondenengenaueines,dasA2uengebiet,nicrhtbSe-scrhryanktist.Ah`Am`Ar` At鲟Ah`@o鲝@h`T"$y鲟W~鲟W鲟Wy鲝h`ry鲟Wry鲝rrund~П~ @П@~fk"$#П@*"@#ПW*" l~r#ПWr#Пr4"r ǕsindzwreiebSeneRealisierungendesselbenGraphen.Satz2.6.Q(Euler)SeiXm=(V;E;n9)einzusammenhyangenderebffenernichtleererGraphundGdieMengederGebietedesGra-phen.35Danngilt60jVpjjEj+jGj=2:35(EulerschePolyeffderformel)&Beweis.XInduktionVnacrhjEj.WSeijEj=1.WDannVbSesitztXgenaueeineKanrteundentwedereinenKnoten(dieKanteistei-neScrhlinge)oSderzweiKnoten.Mehrtretennichtauf,weilXzusammenhyangend^ist._ImerstenFVallgiltjGjF=2;jVpj=1^undjVpj3jEj+jGjUR=2:LImzwreitenFVallgiltjGjk=1;jVj=2LundF'nM140aIV.UUKOMBINA*TORIKUNDGRAPHENd&MjVpj> jEj+jGjUR=2.SeizdieBehauptungricrhtig,wennzjEjUR=n.SeiɍXeinzusammenhyangenderebSenerGraphmitjEj=ng +1:FVall1:(XibSesitzteinenEndpunkta(mitd(a)UR=1)mitanhyangen-derKanrtekg(n9(k)~;=fa;bg).DDannistauchX20==~;(Vn!kfag;EՂnfkgg;n9)aeinzusammenhyangenderebSenerGraph.bDieAnzahlderGebietevreryandertsichnicht,wweildurchkOkeinGebietabge-scrhlossenwerdenkXann.Alsoist2UR=(jVpj1)(jEj1)+jGjUR=jVpjjEj+jGj:FVall2:AEsgibtkreineEndpunkte.Seikhmitn9(kg)/ =fa;bgeineKanrteaaufderBegrenzungeinesendlichenGebietes.bEinsolchesGebieteexistiert,esonstistXWeinzusammenhyangenderGraphmitjVpjEKnotenundjEj=jVj+1EKanrten,EinsbSesonderemiteinemEndpunkt.=WirW.=45>.29>.=18,swrassvnichtmyoglichist.K5:Esist ؏jVpj=5undjjEj=10.5Dann5ist3jVj6=156=9UR<10=jEjinWidersprucrhzuFVolgerungo2.7 yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘1-Bemerkung2.9.|R3Mit:FVolgerungdo2.8istaucrhdasVersorgungs-problem2.1(1)gelyost,undzwrarnegativ. Da}wirjetzteinigeGraphengefundenhabSen,dienicrht}ebensind,erhebtXsicrhdieFVrage,ŐobesnoSchweiteresolcheGraphengibt.DarSyubSergibtderSatzvronKuratowskiAuskunft,EdenwirhiernrurcangebSenwollen,weilseinBeweisweitereHilfsmittelbSenyotigt.Um?dieAussagedesSatzeszuvrerstehen,vbSenyotigenwirerstnocrheinenwreiterenBegri .De nition2.10.yEinscrhlichterGraphY=UR(Vp20j;E20P;n9200oSder(mXg2)(n2)=(2mǀ+mn2n)+4m<4.EskyonnenhyocrhstensfolgendeFyalleauftreten:-ʍ<mUR=3;inUR=3;$(m2)(n2)UR=1;TVetraeder,<mUR=4;inUR=3;$(m2)(n2)UR=2;WSyurfel,<mUR=3;inUR=4;$(m2)(n2)UR=2;Oktaeder,<mUR=5;inUR=3;$(m2)(n2)UR=3;DoSdekXaeder,<mUR=3;inUR=5;$(m2)(n2)UR=3;Ikrosaeder./De nition2.13.yGibt}esineinemGraphenXneinengescrhlos-senen^WVegW,tderjedeKanrteausEX genaueinmalenthyaltundjedenmKnoten(mindestens)einmalenrthyalt,soheitXeinEu-lerscher35GrffaphundWneineEulerscheLinie.Satz2.14.XF'yur35einenGrffaphenX$sindyaquivalent:)ו(1)=X$ist35einEulerscherGrffaph.)ו(2)=JeffderKnotenvonXhatgeradenGradundXistein=zusammenhyangender,35endlicherGrffaph.|&Beweis.X(1)UR=)(2):{EineEulerscrheLinie,|dieineinenKno-tenhineinlyauft, mruihnaufeineranderenKanteauchwiedervrerlassen.BeijedemBesucheinesKnotenswerden2weitereKan-ten8bSelegt.8Manbeacrhte,8da8hierScrhlingenbeiderBestimmrungn6'nML2.UUEBENEGRAPHENa8143d&MdesjGradesvronKnotendoppSeltgezyahltwerden.wEsistklar,daX+zusammenhyangendundendlicrhist.@(2)UR=)(1):+WVennjEjUR=1;+dannistXvronderFormAݯ  cr;.+Wenn껍jEjUR=2,odann.hatX߱dieFVormݯ    ~O;r*ooSderݯ  O;r~O;r.InbSeidenFyallenistM̎‘;̎uτ̎6Y̎ÇЄ̎/U̎(!ހ̎wmQ̎Ȅ̎1̎a)̎ŮA=̎PR̎Eh̎Ɛ| ̎ڙ ̎$孳̎m̎ǵ3̎a̎C̎ȉӟ-̎gI ̎Ue9̎X̎ɜm柉̎j潪̎!A̎cr̎ʤ}̎I̎pşs̎ќn쨋̎qޥ̎#e̎۟L˄̎D턀̎mY1̎ҕ̎Ҽ?0̎⹟k(̎q̎.`̎R̎v[ф̎ә̎ӼX7̎Ic̎W5̎ 9𗭄̎@˄̎_̎~\̎Ԝ񟡄̎Ժ!V̎'̎l̎uY̎)̎Cݟ?̎]bÄ̎vA̎Վz̎զ ao̎ռ̎Au̎WA̎S̎d̎&Y'ф̎9cu̎Kǟĝ̎]̎nd̎̎֏Y̎֞Wuֺ֭̎̎ܟS̎Q;̎ԠɄ̎̎QPׄ̎W̎̎ 9U̎2̎I̎"Ka̎)i̎/r̎5r!̎9ޟ̎>*̎A~̎DUDŽ̎FE̎HE̎I}̎I˞f[̎M̎6̟̎̎pe̎UI!̎|7̎Χ̎mq̎9ŝ̎%՟̎˟̎(̎4ş̎ɟ̎5݄̎=x̎}̎n|̈́̎A5qw̎Ve{̎џXل̎>K̎‘=̎u/̎6Y̎Ç̎/̎(!^̎wm܍̎̎1̎a6̎ŮA̎Py߄̎Ed+̎Ɛ|Mф̎ڙ6ф̎$+̎m߄̎ǵ3̎}̎C@̎ȉӟ]̎gԄ̎Ug̎XJЄ̎ɜm-U̎j4̎!̎cr1̎ʤ}̎g̎$o ̎cM̎ˢc*[̎1 ̎YM̎Y۟̎̕q̎s̎ }L̎Eg%ʄ̎~̎ͷr̎̎&ԟÄ̎]XS̎Γ-=̎̎̎1̎eozi̎Ϙ9L]̎]d̎۟ń̎,̎\̎Ќ[̎л(̈́̎?̎½̎Dv̎pşYDŽ̎ќn$S̎q9̎#y̎۟̎DH^̎mY̎ҕV̎Ҽ?Y̎⹟a̎&m̎.~̎R̎vq ̎ә3-̎ӼX̎I{̎u̎ 951̎@̎_O̎~pL̎Ԝ-=̎Ժ!鈄̎-̎`,̎u̎) 8̎Cݟ E̎]b F̎vA ݄̎Վz ̎զ ko̎ռ !?̎A i̎W ̎S >˄̎ z̎&Y ̎9c V̎Kǟ A̎] ̎n h݄̎ 2̎֏Y̎֞ui֭̎"ֺ̈́̎ܟϋ̎{̎Ԡ'̎̎Q|̎%̎̎ 9w̎̎ŕ̎"Kk؄̎)u̎/l̎5Z̎9ޟ̎>̎A~D]̎DU̎F+̎H'̎Ia̎I˞f̎- ʍWirfSyugeneinenzusyatzlicrhen*" RXRSyuckweg-l\I̎\s̎])Q쨋̎]TTޥ̎]e̎]L˄̎]П턀̎]<1̎^"̎^I"0̎^ok(̎^pq̎^`̎^߄̎_g[ф̎_&̎_I;7̎_k,c̎_wW5̎_𗭄̎_̀˄̎_ڟ̎` \̎`)񟡄̎`GV̎`cƟ'̎`l̎`XY̎`̎`?̎`EÄ̎a$̎a]̎a2ao̎aIݟ̎a`$u̎av:A̎a6̎ad̎a<'ф̎aFu̎aتĝ̎ah̎ad̎b o̎b<̎b+cWu̎b9̎bGS̎bTQ;̎baɄ̎bml̎by4Pׄ̎bҟW̎bʟ̎bU̎bȟ2̎bΟI̎b.a̎bti̎br̎br!̎b̎b*̎ba̎b8DŽ̎biE̎bՈE̎bn}̎b֮f[̎FbM̎Fï̎G#ԟ̎GSe̎G,!̎H@_7̎HΧ̎Hڟq̎IWŝ̎I̎J ̎Jg(̎J̎K̎Ks݄̎Kџx̎L!}̎LxQ|̈́̎Lqw̎M#9e{̎MwXل̎MˉK̎NΟ=̎NqX/̎N<̎Oz̎Oe̎O^̎PP܍̎PR̎P̎Po6̎Q;$̎Q3y߄̎QҜd+̎R_Mф̎Rg|6ф̎R+̎R߄̎SB̎S}̎S|@̎T]̎T\JԄ̎T8g̎T借JЄ̎U)P-U̎UlM4̎U̎UU1̎V1`̎Vqşg̎Vo ̎VM̎W/F*[̎Wm ̎W<M̎W澟̎X"q̎X]Пs̎X`L̎XJ%ʄ̎Y ̟̎YDkr̎Y|d̎YÄ̎YdXS̎Z k-=̎ZU̟̎Z̟̎Z̎ZRzi̎[%L]̎[W@d̎[ń̎[̎[ȟ̎\[̎\H(̈́̎\vɟ?̎\d½̎\Y̎\YDŽ̎])Q$S̎]TT9̎]y̎]̎]ПH^̎]<̎^"V̎^I"Y̎^oa̎^p&m̎^~̎^߄̎_gq ̎_&3-̎_I;̎_k,{̎_wu̎_51̎_̀̎_ڟO̎` pL̎`)-=̎`G鈄̎`cƟ-̎``,̎`X̎` 8̎` E̎`E F̎a$ ݄̎a] ̎a2 ko̎aIݟ !?̎a`$ i̎av: ̎a6 >˄̎a z̎a< ̎aF V̎aت A̎ah ̎a h݄̎b o 2̎b<̎b+cui̎b9"̈́̎bGϋ̎bT{̎ba'̎bml̎by4|̎bҟ%̎bʟ̎bw̎bȟ̎bΟŕ̎b.k؄̎btu̎bl̎bZ̎b̎b̎baD]̎b8̎bi+̎bՈ'̎bna̎b֮f̎FbM̎F 6̎G8ӄ̎Hf$̎H<-̎I+̎IU̎J>w̎Jܟ5U̎KMZ̎K̎LV̎Lğń̎M[>!̎Ml1̎NZ] ̎N=}̎OT?X̎O>r̎PI ̎Pl}̎Q8{̎QX-̎R"̎R,ń̎S ̎Sx ̎S* !N̎TV4 .U̎T 9̎U. 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