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y(ur)g(die)g(Informatik)f(wic)o(h)o(tig)108 1581 y(sind,)g(eine)f(ganz) i(w)o(esen)o(tlic)o(he)d(Rolle)h(spielen.)108 1688 y Fr(De\014nition)j(1.1.)i Ft(Sei)11 b Fq(G)h Ft(eine)f(Menge.)g(Eine)g (\(bin)1057 1690 y(\177)1057 1688 y(are\))h Fp(Op)n(er)n(ation)f Ft(o)q(der)108 1746 y Fp(V)l(erkn)232 1748 y(\177)232 1746 y(upfung)25 b Ft(in)d Fq(G)g Ft(ist)g(eine)g(Abbildung)f Fq(\015)27 b Ft(:)d Fq(G)16 b Fo(\002)f Fq(G)24 b Fo(\000)-8 b(!)23 b Fq(G)p Ft(.)g(Das)108 1804 y(Bild)16 b Fq(\015)s Ft(\(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\)\))17 b(eines)g(P)o(aares)h(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))15 b Fo(2)h Fq(G)c Fo(\002)g Fq(G)17 b Ft(wird)h(je)f(nac)o(h)g(Kon)o(text)108 1862 y(b)q(ezeic)o(hnet)e (mit)412 1969 y Fq(a)c Fo(\001)g Fq(b;)24 b(a)11 b Ft(+)g Fq(b;)23 b(ab;)h(a)11 b Fo(\\)g Fq(b;)24 b(a)10 b Fo([)i Fq(b;)23 b(a)11 b Fo(\000)g Fq(b;)108 2075 y Ft(d.h.)j(statt)h(des)g(v) o(orangestellten)f(F)l(unktionszeic)o(hens)e(\()p Fp(Pr)1207 2077 y(\177)1207 2075 y(a\014x)6 b Ft(notation)108 2133 y(o)q(der)12 b Fp(umgekehrte)i(p)n(olnische)f(Notation)p Ft(\))f Fq(\015)s Ft(\(\()p Fq(a;)c(b)p Ft(\)\))i(o)q(der)h(einfac)o(h) f Fq(\015)s Ft(\()p Fq(a;)e(b)p Ft(\))108 2191 y(v)o(erw)o(endet)18 b(man)g(gew)535 2193 y(\177)535 2191 y(ohnlic)o(h)h(ein)f(zwisc)o(hen)g (die)h(zw)o(ei)f(Argumen)o(te)f Fq(a)767 2291 y Fu(91)p eop %%Page: 92 3 92 2 bop 108 117 a Fu(92)195 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(und)k Fq(b)e Ft(gestelltes)g(F)l (unktionszeic)o(hen)f(\()p Fp(In\014x)6 b Ft(notation\).)23 b(Ein)f(nac)o(hge-)108 283 y(stelltes)f(F)l(unktionszeic)o(hen,)e(z.B.) h Fq(ab)p Ft(+,)h(wird)g(auc)o(h)h Fp(Post\014x)6 b Ft(notation)108 341 y(o)q(der)17 b Fp(p)n(olnische)h(Notation)f Ft(genann)o(t.)108 424 y Fr(De\014nition)h(1.2.)i Ft(Sei)c Fo(\016)e Ft(:)g Fq(G)d Fo(\002)g Fq(G)k Fo(3)f Ft(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))14 b Fo(7!)g Fq(a)d Fo(\016)g Fq(b)j Fo(2)g Fq(G)j Ft(eine)f(Op)q(era-)108 482 y(tion.)g(F)255 484 y(\177)254 482 y(ur)g(die)g(Op)q(eration)g(gilt)g(das)174 553 y(\(1\))21 b Fp(Assoziativ)5 b Ft(gesetz:)15 b Fo(\()-8 b(\))13 b(8)p Fq(a;)8 b(b;)g(c)k Fo(2)i Fq(G)p Ft([\()p Fq(a)9 b Fo(\016)g Fq(b)p Ft(\))g Fo(\016)g Fq(c)14 b Ft(=)f Fq(a)c Fo(\016)g Ft(\()p Fq(b)g Fo(\016)g Fq(c)p Ft(\)])p Fq(:)161 611 y Ft(\(2)204 618 y Fn(l)217 611 y Ft(\))21 b(Gesetz)h(v)o(om)e Fp(linksneutr)n(alen)26 b(Element)e Ft(:)p Fo(\()-8 b(\))21 b(9)p Fq(e)1224 618 y Fn(l)1260 611 y Fo(2)j Fq(G)p Fo(8)p Fq(a)f Fo(2)257 669 y Fq(G)p Ft([)p Fq(e)332 676 y Fn(l)355 669 y Fo(\016)11 b Fq(a)j Ft(=)g Fq(a)p Ft(];)155 727 y(\(2)198 734 y Fn(r)217 727 y Ft(\))21 b(Gesetz)e(v)o(om)e Fp(r)n(e)n(chtsneutr)n(alen)k (Element)g Ft(:)p Fo(\()-8 b(\))18 b(9)p Fq(e)1233 734 y Fn(r)1271 727 y Fo(2)h Fq(G)p Fo(8)p Fq(a)e Fo(2)257 785 y Fq(G)p Ft([)p Fq(a)10 b Fo(\016)h Fq(e)404 792 y Fn(r)437 785 y Ft(=)j Fq(a)p Ft(];)161 843 y(\(3)204 850 y Fn(l)217 843 y Ft(\))21 b(Gesetz)11 b(v)o(om)f Fp(linksinversen)16 b(Element)d Ft(\(falls)f(ein)f(linksneutrales)257 902 y(Elemen)o(t)i Fq(e)471 909 y Fn(l)500 902 y Ft(existiert\):)h Fo(\()-8 b(\))16 b(8)p Fq(a)c Fo(2)i Fq(G)p Fo(9)p Fq(a)1035 883 y Fm(0)1060 902 y Fo(2)g Fq(G)p Ft([)p Fq(a)1185 883 y Fm(0)1208 902 y Fo(\016)d Fq(a)i Ft(=)h Fq(e)1358 909 y Fn(l)1371 902 y Ft(];)155 960 y(\(3)198 967 y Fn(r)217 960 y Ft(\))21 b(Gesetz)f(v)o(om)e Fp(r)n(e)n(chtsinversen)k(Element)g Ft(\(falls)e(ein)f(rec)o(h)o(tsneu-)257 1018 y(trales)14 b(Elemen)o(t)f Fq(e)602 1025 y Fn(r)635 1018 y Ft(existiert\):)g Fo(\()-8 b(\))14 b(8)p Fq(a)e Fo(2)i Fq(G)p Fo(9)p Fq(a)1167 1000 y Fm(0)o(0)1202 1018 y Fo(2)g Fq(G)p Ft([)p Fq(a)8 b Fo(\016)g Fq(a)1394 1000 y Fm(0)o(0)1429 1018 y Ft(=)257 1076 y Fq(e)280 1083 y Fn(r)298 1076 y Ft(];)174 1134 y(\(4\))21 b Fp(Kommutativ)5 b Ft(gesetz:)16 b Fo(\()-8 b(\))16 b(8)p Fq(a;)8 b(b)k Fo(2)i Fq(G)p Ft([)p Fq(a)c Fo(\016)h Fq(b)j Ft(=)g Fq(b)d Fo(\016)g Fq(a)p Ft(])p Fq(:)117 1256 y Fp(\177)108 1266 y(Ubung:)18 b Ft(F)l(orm)o(ulieren)13 b(Sie)i(das)i(Assoziativgesetz)e(in)h(P)o(ost\014xnotation.)108 1324 y(W)l(arum)g(w)o(erden)f(dab)q(ei)i(k)o(eine)d(Klammern)g(b)q(en) 1023 1326 y(\177)1023 1324 y(otigt?)108 1432 y(Das)i(Assoziativgesetz)e (k)m(ann)i(nat)752 1434 y(\177)751 1432 y(urlic)o(h)e(auc)o(h)h(b)q(ei) g(mehr)f(als)h(drei)f(F)l(ak-)108 1490 y(toren)h(eingesetzt)e(w)o (erden)h(und)h(gestattet)g(auc)o(h)f(dann)i(b)q(eliebiges)d(Um-)108 1548 y(klammern.)k(Das)k(k)m(ann)g(auc)o(h)g(formal)e(b)q(ewiesen)h(w)o (erden.)f(Man)i(k)m(ann)108 1606 y(daher)c(b)q(ei)f(der)g(Pro)q (duktbildung)h(die)e(Klammern)e(v)1106 1608 y(\177)1106 1606 y(ollig)j(fortlassen.)108 1689 y Fr(De\014nition)i(1.3.)i Ft(Eine)c(Menge)h Fq(G)g Ft(zusammen)d(mit)h(einer)h(Op)q(eration)108 1747 y Fq(\015)h Ft(:)c Fq(G)f Fo(\002)f Fq(G)j Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(G)k Ft(hei\031t)174 1818 y(\(1\))k Fp(Halb)n(grupp)n(e)p Ft(:)16 b Fo(\()-8 b(\))16 b Ft(\(1\))g(gilt;)174 1876 y(\(2\))21 b Fp(Monoid)16 b Ft(:)g Fo(\()-8 b(\))15 b Ft(\(1\),)h(\(2)706 1883 y Fn(l)720 1876 y Ft(\))g(und)g(\(2)895 1883 y Fn(r)915 1876 y Ft(\))g(gelten;)174 1934 y(\(3\))21 b Fp(Grupp)n(e)p Ft(:)15 b Fo(\()-8 b(\))15 b Ft(\(1\),)h(\(2)683 1941 y Fn(l)697 1934 y Ft(\),)g(\(2)789 1941 y Fn(r)808 1934 y Ft(\),)g(\(3)900 1941 y Fn(l)913 1934 y Ft(\))g(und)h(\(3)1089 1941 y Fn(r)1108 1934 y Ft(\))f(gelten;)174 1992 y(\(4\))21 b Fp(kommutative)40 b Ft(o)q(der)20 b Fp(ab)n(elsche)41 b Ft(Grupp)q(e)20 b(:)f Fo(\()-8 b(\))19 b Ft(\(1\),)h(\(2\),)f(\(3\)) 257 2050 y(und)d(\(4\))h(gelten.)108 2133 y Fr(Beispiele)f(1.4.)k Ft(a\))14 b(\()p Fl(N)p Fq(;)8 b Ft(+\))i(ist)j(eine)f(Halbgrupp)q(e,)h (ab)q(er)g(k)o(ein)f(Monoid.)108 2191 y(b\))17 b(\()p Fl(N)p Fq(;)8 b Fo(\001)p Ft(\))13 b(ist)j(ein)g(Monoid,)g(ab)q(er)h(k) o(eine)d(Grupp)q(e.)p eop %%Page: 93 4 93 3 bop 310 117 a Fu(1.)18 b(HALBGR)o(UPPEN,)g(MONOIDE)g(UND)g(GR)o (UPPEN)161 b(93)108 225 y Ft(c\))16 b(Die)g(Menge)g Fq(G)e Ft(:=)f(Abb\()p Fq(M)r(;)8 b(M)d Ft(\))17 b(der)f(Abbildungen)g(v)o(on) g Fq(M)21 b Ft(in)16 b(sic)o(h)108 283 y(zusammen)e(mit)h(der)i(Komp)q (osition)f Fo(\016)g Ft(v)o(on)h(Abbildungen)f(ist)g(ein)g(Mo-)108 341 y(noid,)g(ab)q(er)h(k)o(eine)e(Grupp)q(e.)108 399 y(d\))23 b(Die)f(Menge)g(der)g(bijektiv)o(en)e(Abbildungen)i Fq(f)29 b Ft(:)24 b Fo(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(g)24 b(\000)-8 b(!)108 458 y(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(g)16 b Ft(wird)g(mit)e(der)i(Komp) q(osition)f Fo(\016)h Ft(v)o(on)g(Abbildungen)f(w)o(egen)108 516 y(I.)20 b(2.22)i(eine)e(Grupp)q(e)i Fq(S)586 523 y Fn(n)609 516 y Ft(,)f(die)f(sogenann)o(te)i Fp(symmetrische)f(Grupp)n (e)108 574 y Ft(o)q(der)c Fp(Permutationsgrupp)n(e)p Ft(.)108 632 y(e\))f(\()p Fl(Z)-13 b Fq(;)7 b Ft(+\))14 b(ist)i(eine)f(k)o(omm)o(utativ)n(e)e(Grupp)q(e.)108 690 y(f)s(\))j Fl(R)194 672 y Fm(\002)235 690 y Ft(:=)d Fl(R)t Fo(n)c(f)p Ft(0)p Fo(g)16 b Ft(zusammen)d(mit)h(der)i(Multiplik) m(ation)e(ist)h(eine)g(k)o(om-)108 748 y(m)o(utativ)o(e)f(Grupp)q(e.) 108 806 y(g\))f Fl(R)7 b Ft(zusammen)j(mit)h(der)i(Multiplik)m(ation)e (ist)h(ein)g(Monoid,)h(ab)q(er)g(k)o(eine)108 864 y(Grupp)q(e.)108 922 y(h\))k(Die)f(P)o(otenzmenge)f Fo(P)t Ft(\()p Fq(M)5 b Ft(\))16 b(einer)g(Menge)g Fq(M)22 b Ft(zusammen)14 b(mit)h(dem)108 981 y(Durc)o(hsc)o(hnitt)g Fo(\\)i Ft(ist)f(ein)g (Monoid,)g(ab)q(er)g(k)o(eine)f(Grupp)q(e.)108 1039 y(i\))g(W)l(enn)g Fq(G)g Ft(und)g Fq(H)k Ft(Halbgrupp)q(en)d(\(Monoide,)e(Grupp)q(en\))h (sind,)g(dann)108 1097 y(ist)25 b(auc)o(h)g Fq(G)17 b Fo(\002)g Fq(H)29 b Ft(eine)23 b(Halbgrupp)q(e)j(\(ein)e(Monoid,)g (eine)g(Grupp)q(e\))108 1155 y(mit)d(der)294 1185 y(")317 1155 y(k)o(omp)q(onen)o(ten)o(w)o(eisen)m(\\)i(Multiplik)m(ation)e(\()p Fq(g)r(;)8 b(h)p Ft(\))15 b Fo(\001)h Ft(\()p Fq(g)1312 1137 y Fm(0)1323 1155 y Fq(;)8 b(h)1373 1137 y Fm(0)1385 1155 y Ft(\))25 b(=)108 1213 y(\()p Fq(g)r(g)177 1195 y Fm(0)189 1213 y Fq(;)8 b(hh)267 1195 y Fm(0)279 1213 y Ft(\).)15 b(Im)f(F)l(alle)g(v)o(on)i(Monoiden)f(ist)h(dann)g(\()p Fq(e)1065 1220 y Fn(G)1094 1213 y Fq(;)8 b(e)1139 1220 y Fn(H)1172 1213 y Ft(\))16 b(das)g(neutrale)108 1271 y(Elemen)o(t.)i(Im)h(F)l(alle)g(v)o(on)i(Grupp)q(en)g(ist)g(\()p Fq(g)941 1253 y Fm(\000)p Fk(1)988 1271 y Fq(;)8 b(h)1038 1253 y Fm(\000)p Fk(1)1085 1271 y Ft(\))21 b(das)g(in)o(v)o(erse)e (Ele-)108 1329 y(men)o(t)c(v)o(on)h(\()p Fq(g)r(;)8 b(h)p Ft(\).)108 1387 y(j\))14 b(Bei)e(Halbgrupp)q(en)i(\(Monoiden,)g(Grupp)q (en\))g(mit)e(n)o(ur)h(endlic)o(h)f(vielen)108 1445 y(Elemen)o(ten)e(k) m(ann)k(man)d(die)h(V)l(erkn)767 1447 y(\177)766 1445 y(upfung)h(auc)o(h)f(in)h(F)l(orm)e(einer)h(T)l(ab)q(el-)108 1504 y(le,)j(genann)o(t)i Fp(V)l(erkn)483 1506 y(\177)483 1504 y(ufungstafel)i Ft(o)q(der)e Fp(Multiplikationstafel)35 b Ft(angeb)q(en.)108 1562 y(Das)21 b(folgende)f(ist)f(ein)h(Beispiel)e (f)759 1564 y(\177)758 1562 y(ur)h(eine)g(Multiplik)m(ationstafel)g (einer)108 1620 y(Grupp)q(e)e Fq(G)d Ft(=)g Fo(f)p Fq(e;)8 b(a;)g(b)p Fo(g)15 b Ft(mit)f(drei)i(Elemen)o(ten:)p 176 1695 2 59 v 203 1677 a(e)44 b(a)e(b)p 108 1696 275 2 v 134 1737 a(e)p 176 1754 2 59 v 47 w(e)i(a)e(b)132 1795 y(a)p 176 1812 V 44 w(a)g(b)47 b(e)129 1853 y(b)p 176 1871 V 42 w(b)g(e)d(a)117 2006 y Fp(\177)108 2017 y(Ubung:)21 b Ft(Man)e(zeige,)e(da\031)j(f)638 2019 y(\177)637 2017 y(ur)f(eine)f(Halbgrupp)q(e)h(\(Monoid,)g(Grupp)q(e\))108 2075 y Fq(G)h Ft(und)g(eine)f(Menge)g Fq(I)k Ft(auc)o(h)c(die)g(Menge)g (Abb\()p Fq(I)t(;)8 b(G)p Ft(\))19 b(=)1225 2042 y Fj(Q)1265 2086 y Fn(I)1293 2075 y Fq(G)h Ft(=)f Fq(G)1446 2057 y Fn(I)108 2133 y Ft(mit)i(der)295 2163 y(")317 2133 y(k)o(omp)q(onen)o(ten)o(w)o(eisen)m(\\)i(Multiplik)m(ation)f(eine)f (Halbgrupp)q(e)108 2191 y(\(Monoid,)16 b(Grupp)q(e\))h(bildet.)p eop %%Page: 94 5 94 4 bop 108 117 a Fu(94)195 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Fr(Bemerkung)e(1.5.)j Ft(In)15 b(einem)e(Monoid)j(gibt)f(es)g(n)o(ur)g(ein)g(linksneutra-)108 283 y(les)f(Elemen)o(t)e Fq(e)390 290 y Fn(l)417 283 y Ft(und)i(ein)g(rec)o(h)o(tsneutrales)f(Elemen)o(t)f Fq(e)1134 290 y Fn(r)1166 283 y Ft(und)j(diese)f(sind)108 341 y(gleic)o(h.)d(Es)i(ist)g(n)412 343 y(\177)412 341 y(amlic)o(h)d Fq(e)587 348 y Fn(l)613 341 y Ft(=)k Fq(e)688 348 y Fn(l)704 341 y Fo(\016)t Fq(e)756 348 y Fn(r)788 341 y Ft(=)g Fq(e)863 348 y Fn(r)882 341 y Fq(:)e Ft(Wir)g(sprec)o(hen) g(dann)h(einfac)o(h)108 399 y(v)o(om)i Fp(neutr)n(alen)k(Element)p Ft(.)108 458 y(W)l(enn)e(in)f(einer)f(Halbgrupp)q(e)i(die)e(Gesetze)h (\()p Fq(b)987 465 y Fn(l)1000 458 y Ft(\))g(und)h(\()p Fq(c)1173 465 y Fn(l)1186 458 y Ft(\))f(erf)1278 460 y(\177)1277 458 y(ullt)f(sind,)108 516 y(so)20 b(sind)f(auc)o(h)f(\()p Fq(b)434 523 y Fn(r)453 516 y Ft(\))h(und)g(\()p Fq(c)631 523 y Fn(r)650 516 y Ft(\))g(erf)745 518 y(\177)744 516 y(ullt)e(und)i(die)f(Links-)i(und)f(Rec)o(h)o(tsin-)108 574 y(v)o(ersen)c Fq(a)283 556 y Fm(0)310 574 y Ft(bzw.)g Fq(a)449 556 y Fm(0)o(0)485 574 y Ft(eines)g(Elemen)o(ts)e Fq(a)j Ft(sind)f(eindeutig)g(b)q(estimm)o(t)d(und)108 632 y(stimmen)312 634 y(\177)311 632 y(ub)q(erein.)19 b(Sei)h(n)613 634 y(\177)613 632 y(amlic)o(h)f Fq(a)800 614 y Fm(0)811 632 y Fq(a)i Ft(=)g Fq(e)940 639 y Fn(l)973 632 y Ft(und)h(~)-25 b Fq(aa)1127 614 y Fm(0)1159 632 y Ft(=)22 b Fq(e)1242 639 y Fn(l)1254 632 y Ft(,)e(dann)i(ist)108 690 y Fq(aa)160 672 y Fm(0)194 690 y Ft(=)i Fq(e)279 697 y Fn(l)291 690 y Ft(\()p Fq(aa)362 672 y Fm(0)373 690 y Ft(\))f(=)h(\()q(~)-25 b Fq(a)o(a)547 672 y Fm(0)558 690 y Ft(\)\()p Fq(aa)648 672 y Fm(0)659 690 y Ft(\))24 b(=)f(~)-24 b Fq(a)o Ft(\(\()p Fq(a)852 672 y Fm(0)864 690 y Fq(a)p Ft(\))p Fq(a)935 672 y Fm(0)945 690 y Ft(\))24 b(=)g(~)-25 b Fq(a)p Ft(\()p Fq(e)1117 697 y Fn(l)1129 690 y Fq(a)1155 672 y Fm(0)1166 690 y Ft(\))24 b(=)g(~)-25 b Fq(aa)1322 672 y Fm(0)1356 690 y Ft(=)23 b Fq(e)1440 697 y Fn(l)1453 690 y Fq(:)108 748 y Ft(W)l(eiter)e(ist)h Fq(ae)394 755 y Fn(l)429 748 y Ft(=)i Fq(a)p Ft(\()p Fq(a)562 730 y Fm(0)573 748 y Fq(a)p Ft(\))f(=)g(\()p Fq(aa)773 730 y Fm(0)784 748 y Ft(\))p Fq(a)g Ft(=)h Fq(e)937 755 y Fn(l)949 748 y Fq(a)f Ft(=)h Fq(a:)d Ft(Also)g(ist)h Fq(e)1333 755 y Fn(l)1368 748 y Ft(auc)o(h)108 806 y(rec)o(h)o (tsneutrales)e(Elemen)o(t)f(und)j Fq(a)773 788 y Fm(0)805 806 y Ft(auc)o(h)f(Rec)o(h)o(tsin)o(v)o(erses)e(v)o(on)i Fq(a)p Ft(.)g(Ist)108 864 y Fq(a)134 846 y Fm(0)146 864 y Fq(a)13 b Ft(=)i Fq(e)h Ft(und)g Fq(a)q Ft(\026)-25 b Fq(a)14 b Ft(=)g Fq(e)p Ft(,)i(so)h(ist)f Fq(a)699 846 y Fm(0)725 864 y Ft(=)e Fq(a)803 846 y Fm(0)814 864 y Fq(e)g Ft(=)g Fq(a)929 846 y Fm(0)940 864 y Fq(a)q Ft(\026)-25 b Fq(a)14 b Ft(=)g Fq(e)q Ft(\026)-25 b Fq(a)13 b Ft(=)i(\026)-24 b Fq(a)o(:)16 b Ft(Damit)g(sind)108 922 y(linksin)o(v)o(erse)11 b(und)j(rec)o(h)o(tsin)o(v)o(erse)c(Elemen) o(te)h(v)o(on)i Fq(a)g Ft(gleic)o(h)f(und)i(eindeu-)108 981 y(tig)i(b)q(estimm)o(t.)c(Wir)j(sprec)o(hen)g(dann)h(einfac)o(h)e (v)o(om)g Fp(inversen)19 b(Element)108 1039 y Fq(a)134 1021 y Fm(0)165 1039 y Ft(v)o(on)h Fq(a)p Ft(.)f(Das)i(in)o(v)o(erse)d (Elemen)o(t)g(v)o(on)i Fq(a)904 1021 y Fm(0)935 1039 y Ft(ist)f Fq(a)p Ft(,)h(denn)g Fq(aa)1241 1021 y Fm(0)1271 1039 y Ft(=)h Fq(e:)e Ft(Das)108 1097 y(in)o(v)o(erse)h(Elemen)o(t)e(v) o(on)k Fq(ab)e Ft(ist)h Fq(b)730 1079 y Fm(0)742 1097 y Fq(a)768 1079 y Fm(0)779 1097 y Ft(,)g(denn)g Fq(b)959 1079 y Fm(0)970 1097 y Fq(a)996 1079 y Fm(0)1007 1097 y Fq(ab)h Ft(=)g Fq(b)1157 1079 y Fm(0)1169 1097 y Fq(eb)f Ft(=)i Fq(b)1316 1079 y Fm(0)1327 1097 y Fq(b)f Ft(=)g Fq(e)p Ft(.)108 1155 y(W)l(enn)f(die)f(Op)q(eration)h(durc)o(h)f Fq(a)14 b Fo(\001)g Fq(b;)8 b(ab;)g(a)k Fo(\003)j Fq(b)20 b Ft(o)q(der)h Fq(a)14 b Fo(\016)g Fq(b)20 b Ft(b)q(ezeic)o(hnet)108 1213 y(wird,)c(sc)o(hreibt)g(man)f(f)541 1215 y(\177)540 1213 y(ur)i(das)g(In)o(v)o(erse)e(v)o(on)i Fq(a)f Ft(gew)1072 1215 y(\177)1072 1213 y(ohnlic)o(h)g Fq(a)1268 1195 y Fm(\000)p Fk(1)1314 1213 y Ft(.)h(W)l(enn)108 1271 y(die)e(Op)q (eration)g(durc)o(h)g Fq(a)9 b Ft(+)f Fq(b)15 b Ft(b)q(ezeic)o(hnet)f (wird,)g(sc)o(hreibt)g(man)h(f)1336 1273 y(\177)1335 1271 y(ur)g(das)108 1329 y(In)o(v)o(erse)g Fo(\000)p Fq(a)g Ft(o)q(der)i(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))p Fq(:)108 1436 y Ft(Bei)12 b(k)o(onkreten)f(Beispielen,)f(wie)i(z.B.)e(der)j (Grupp)q(e)g(\()p Fl(R)m Fq(;)7 b Ft(+\),)i(ist)k(man)e(oft)108 1494 y(geneigt,)j(auc)o(h)g Fp(unend)r(liche)k(Summen)e Ft(zu)e(bilden)f(und)h(sie)g(wie)g(die)f(end-)108 1552 y(lic)o(hen)22 b(Summen)e(zu)i(b)q(ehandeln.)h(Das)h(ist)f(jedo)q(c)o (h)g(prinzipiell)d(nic)o(h)o(t)108 1610 y(m)150 1612 y(\177)150 1610 y(oglic)o(h.)e(Wir)i(k)435 1612 y(\177)435 1610 y(onnen)h(die)f(Summe)d(o)q(der)k(das)g(Pro)q(dukt)h(v)o(on)e (genau)108 1668 y(zw)o(ei)13 b(Elemen)o(ten)e(bilden.)i(Durc)o(h)h (Iteration)f(k)979 1670 y(\177)979 1668 y(onnen)h(wir)g(die)f(Addition) 108 1726 y(bzw.)i(Multiplik)m(ation)e(auc)o(h)h(auf)h(F)l(amilien)d(v)o (on)j Fq(n)g Ft(Elemen)o(ten)d(ausdeh-)108 1785 y(nen,)g(w)o(ob)q(ei)g Fq(n)i Fo(2)g Fl(N)d Ft(ist,)g(so)i(da\031)g(Ausdr)828 1787 y(\177)827 1785 y(uc)o(k)o(e)e(der)h(F)l(orm)f Fq(a)1163 1792 y Fk(1)1186 1785 y Ft(+)s Fq(a)1253 1792 y Fk(2)1275 1785 y Ft(+)s Fq(:)d(:)g(:)r Ft(+)s Fq(a)1443 1792 y Fn(n)108 1843 y Ft(sinn)o(v)o(oll)k(sind.)h(Es)g(ist)g(ab)q(er)h(k)o (eine)e(unendlic)o(he)f(Summe)f(\(Pro)q(dukt\))k(mit)108 1901 y(diesen)19 b(Mitteln)e(de\014nierbar.)i(Die)f(b)q(ei)h(reellen)e (Zahlen)i(de\014nierbaren)108 1959 y(unendlic)o(hen)f(Summen)f(und)j (Pro)q(dukte)g(leb)q(en)f(v)o(on)g(der)h(Kon)o(v)o(ergenz)108 2017 y(v)o(on)13 b(F)l(olgen)g(v)o(on)f(endlic)o(hen)f(T)l(eilsumme)o (n)f(\(-pro)q(dukten\).)j(Die)g(meisten)108 2075 y(Reihen)24 b(k)o(on)o(v)o(ergieren)e(nic)o(h)o(t.)g(Und)i(selbst)g(w)o(enn)g(sie)g (k)o(on)o(v)o(ergieren,)108 2133 y(k)m(ann)d(man)e(z.B.)f(das)j(Komm)o (utativgesetz)c(nic)o(h)o(t)h(un)o(b)q(esc)o(hr)1269 2135 y(\177)1269 2133 y(ankt)i(v)o(er-)108 2191 y(w)o(enden.)15 b(Hier)f(spielt)g(eine)g(zus)698 2193 y(\177)698 2191 y(atzlic)o(he)g(Struktur)h(der)g(reellen)e(Zahlen,)p eop %%Page: 95 6 95 5 bop 310 117 a Fu(1.)18 b(HALBGR)o(UPPEN,)g(MONOIDE)g(UND)g(GR)o (UPPEN)161 b(95)108 225 y Ft(die)16 b(Norm)f(o)q(der)h(der)g(Absolutb)q (etrag,)h(eine)e(w)o(esen)o(tlic)o(he)f(Rolle.)108 326 y Fr(De\014nition)k(1.6.)i Ft(Sei)15 b Fq(A)g Ft(eine)g(Menge)h(und)g Fq(A)998 308 y Fm(\003)1033 326 y Ft(die)f(Menge)g(aller)g(end-)108 385 y(lic)o(hen)g(F)l(olgen)h(in)g Fq(A)296 486 y(A)333 465 y Fm(\003)366 486 y Ft(:=)e Fo(f)p Ft(\()p Fq(\013;)8 b(n)p Ft(\))p Fo(j)p Fq(n)14 b Fo(2)g Fl(N)713 493 y Fm(\016)742 486 y Fo(^)27 b Fq(\013)14 b Ft(:)g Fo(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(g)13 b(\000)-8 b(!)13 b Fq(A)p Fo(g)p Fq(:)108 587 y(A)145 569 y Fm(\003)189 587 y Ft(hei\031t)23 b(auc)o(h)h Fp(Kle)n(ene)j(A)o(bschlu\031)e Ft(v)o(on)f Fq(A)p Ft(.)g Fq(A)f Ft(hei\031t)h Fp(A)o(lphab)n(et)p Ft(,)g(die)108 645 y(Elemen)o(te)14 b Fq(a)g Fo(2)g Fq(A)i Fp(Buchstab)n(en)p Ft(,)h(die)f(Elemen)o(te)e(v)o(on)i Fq(A)1152 627 y Fm(\003)1188 645 y Fp(W)1237 647 y(\177)1237 645 y(orter)p Ft(.)f(Eine)108 703 y(b)q(eliebige)20 b(Menge)g(v)o(on)g (W)621 705 y(\177)621 703 y(ortern)774 705 y(\177)772 703 y(ub)q(er)h(einem)e(Alphab)q(et)h Fq(A)g Ft(wird)h(in)108 762 y(der)14 b(Informatik)d(auc)o(h)j Fp(Spr)n(ache)g Ft(genann)o(t.)f(Die)g(V)l(erkn)1131 764 y(\177)1130 762 y(upfung)h(in)f Fq(A)1382 744 y Fm(\003)1415 762 y Ft(ist)108 820 y(de\014niert)j(durc)o(h)326 908 y Fo(\016)d Ft(:)h Fq(A)429 890 y Fm(\003)459 908 y Fo(\002)d Fq(A)546 890 y Fm(\003)579 908 y Fo(3)j Ft(\(\()p Fq(a)690 915 y Fk(1)709 908 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)853 915 y Fn(m)886 908 y Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(b)967 915 y Fk(1)986 908 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)1125 915 y Fn(n)1148 908 y Ft(\)\))13 b Fo(7!)487 966 y Ft(\()p Fq(a)532 973 y Fk(1)551 966 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)695 973 y Fn(m)728 966 y Fq(;)g(b)771 973 y Fk(1)790 966 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)929 973 y Fn(n)952 966 y Ft(\))14 b Fo(2)g Fq(A)1069 948 y Fm(\003)108 1065 y Ft(o)q(der)j(genauer)274 1167 y Fo(\016)c Ft(:)h Fq(A)377 1146 y Fm(\003)407 1167 y Fo(\002)d Fq(A)494 1146 y Fm(\003)527 1167 y Fo(3)j Ft(\(\()p Fq(\013;)8 b(m)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(\014)s(;)g(n)p Ft(\)\))13 b Fo(7!)g Ft(\()p Fq(\015)s(;)8 b(m)j Ft(+)g Fq(n)p Ft(\))j Fo(2)g Fq(A)1282 1146 y Fm(\003)108 1268 y Ft(mit)352 1378 y Fq(\015)s Ft(\()p Fq(i)p Ft(\))f(:=)514 1291 y Fj(8)514 1328 y(<)514 1403 y(:)551 1344 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(i)p Ft(\))167 b(f)820 1346 y(\177)819 1344 y(ur)16 b(1)e Fo(\024)g Fq(i)f Fo(\024)h Fq(m;)551 1414 y(\014)s Ft(\()p Fq(i)9 b Fo(\000)i Fq(m)p Ft(\))65 b(f)820 1416 y(\177)819 1414 y(ur)16 b Fq(m)e(<)f(i)h Fo(\024)g Fq(m)c Ft(+)h Fq(n:)108 1525 y Fr(Lemma)16 b(1.7.)k Ft(\()p Fq(A)471 1507 y Fm(\003)490 1525 y Fq(;)8 b Fo(\016)p Ft(\))17 b Fp(ist)h(ein)h(Monoid,)e(genannt)j (das)d Ft(\()p Fp(intern)p Ft(\))i(freie)108 1583 y(v)o(on)34 b Fq(A)17 b Ft(erzeugte)f Fp(Monoid.)158 1693 y Fi(Beweis.)k Ft(Wir)j(sc)o(hreib)q(en)g(statt)g(\()p Fq(a)864 1700 y Fk(1)884 1693 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(a)1027 1700 y Fn(m)1060 1693 y Ft(\))24 b(einfac)o(h)e Fq(a)1301 1700 y Fk(1)1329 1693 y Fq(:)8 b(:)g(:)f(a)1420 1700 y Fn(m)1453 1693 y Fq(:)108 1752 y Ft(Dann)17 b(ist)f Fq(a)334 1759 y Fk(1)362 1752 y Fq(:)8 b(:)g(:)g(a)454 1759 y Fn(m)497 1752 y Fo(\016)j Fq(b)554 1759 y Fk(1)582 1752 y Fq(:)d(:)g(:)g(b)669 1759 y Fn(n)706 1752 y Ft(=)14 b Fq(a)784 1759 y Fk(1)811 1752 y Fq(:)8 b(:)g(:)g(a)903 1759 y Fn(m)936 1752 y Fq(b)957 1759 y Fk(1)984 1752 y Fq(:)g(:)g(:)g(b)1071 1759 y Fn(n)1110 1752 y Ft(und)148 1847 y(\()p Fq(a)193 1854 y Fk(1)221 1847 y Fq(:)g(:)g(:)f(a)312 1854 y Fn(m)356 1847 y Fo(\016)k Fq(b)413 1854 y Fk(1)441 1847 y Fq(:)d(:)g(:)f(b)527 1854 y Fn(n)551 1847 y Ft(\))k Fo(\016)g Fq(c)638 1854 y Fk(1)666 1847 y Fq(:)d(:)g(:)f(c)752 1854 y Fn(r)785 1847 y Ft(=)14 b Fq(a)863 1854 y Fk(1)890 1847 y Fq(:)8 b(:)g(:)g(a)982 1854 y Fn(m)1015 1847 y Fq(b)1036 1854 y Fk(1)1064 1847 y Fq(:)g(:)g(:)f(b)1150 1854 y Fn(n)1184 1847 y Fo(\016)k Fq(c)1241 1854 y Fk(1)1269 1847 y Fq(:)d(:)g(:)g(c)1356 1854 y Fn(r)1389 1847 y Ft(=)191 1905 y Fq(a)217 1912 y Fk(1)244 1905 y Fq(:)g(:)g(:)g(a)336 1912 y Fn(m)369 1905 y Fq(b)390 1912 y Fk(1)417 1905 y Fq(:)g(:)g(:)g(b)504 1912 y Fn(n)527 1905 y Fq(c)548 1912 y Fk(1)576 1905 y Fq(:)g(:)g(:)g(c)663 1912 y Fn(r)696 1905 y Ft(=)13 b Fq(a)773 1912 y Fk(1)801 1905 y Fq(:)8 b(:)g(:)g(a)893 1912 y Fn(m)937 1905 y Fo(\016)j Ft(\()p Fq(b)1013 1912 y Fk(1)1040 1905 y Fq(:)d(:)g(:)g(b)1127 1912 y Fn(n)1161 1905 y Fo(\016)j Fq(c)1218 1912 y Fk(1)1246 1905 y Fq(:)d(:)g(:)g(c)1333 1912 y Fn(r)1352 1905 y Ft(\))p Fq(:)108 2007 y Ft(Das)17 b(neutrale)e(Elemen)o(t)e(ist)i(\()p Fo(;)p Fq(;)8 b Ft(0\))16 b(mit)d Fo(;)h Ft(:)f Fo(;)h(\000)-8 b(!)13 b Fq(A)i Ft(leere)f(Abbildung.)108 2065 y(Dab)q(ei)19 b(fassen)g(wir)g Fo(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b Ft(0)p Fo(g)18 b Ft(als)h(leere)e(Menge)i(auf.)f(Die)g(leere)f (end-)108 2124 y(lic)o(he)f(F)l(olge)h(\()p Fo(;)p Fq(;)8 b Ft(0\))18 b(in)f Fq(A)573 2106 y Fm(\003)610 2124 y Ft(o)q(der)h(das)h Fp(le)n(er)n(e)f(Wort)f Ft(wird)h(oft)g(auc)o(h)f (mit)f Fq(\017)108 2182 y Ft(b)q(ezeic)o(hnet.)e(O\013en)o(bar)j(gilt)e Fq(\017a)693 2189 y Fk(1)721 2182 y Fq(:)8 b(:)g(:)f(a)812 2189 y Fn(n)849 2182 y Ft(=)14 b Fq(a)927 2189 y Fk(1)955 2182 y Fq(:)8 b(:)g(:)f(a)1046 2189 y Fn(n)1083 2182 y Ft(=)14 b Fq(a)1161 2189 y Fk(1)1189 2182 y Fq(:)8 b(:)g(:)f(a)1280 2189 y Fn(n)1303 2182 y Fq(\017:)p 1385 2155 33 2 v 1385 2184 2 30 v 1416 2184 V 1385 2186 33 2 v eop %%Page: 96 7 96 6 bop 108 117 a Fu(96)195 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Fr(De\014nition)f(1.8.)i Ft(Sei)i(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))24 b(eine)e(Halbgrupp)q(e)h (und)h Fq(A)h Fo(\032)h Fq(G)e Ft(eine)108 283 y(T)l(eilmenge.)13 b(Wir)j(de\014nieren)g(eine)f(T)l(eilmenge)1019 271 y(\026)1007 283 y Fq(A)e Fo(\032)g Fq(G)k Ft(durc)o(h)314 361 y(\026)301 373 y Fq(A)c Ft(:=)h Fo(f)p Fq(a)468 380 y Fk(1)498 373 y Fo(\016)d Fq(:)d(:)g(:)i Fo(\016)h Fq(a)664 380 y Fn(m)697 373 y Fo(j)p Fq(m)i Fo(2)i Fl(N)9 b Fo(^)27 b Fq(a)942 380 y Fk(1)961 373 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)1105 380 y Fn(m)1152 373 y Fo(2)14 b Fq(A)p Fo(g)p Fq(:)108 464 y Ft(W)l(enn)i(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))17 b(ein)e(Monoid)i(ist,)e(dann)i(de\014niert)f(man)304 541 y(\026)291 554 y Fq(A)e Ft(:=)f Fo(f)p Fq(a)458 561 y Fk(1)488 554 y Fo(\016)e Fq(:)d(:)g(:)i Fo(\016)h Fq(a)654 561 y Fn(m)687 554 y Fo(j)p Fq(m)j Fo(2)g Fl(N)837 561 y Fm(\016)865 554 y Fo(^)28 b Fq(a)952 561 y Fk(1)971 554 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)1115 561 y Fn(m)1162 554 y Fo(2)14 b Fq(A)p Fo(g)p Fq(;)108 644 y Ft(w)o(ob)q(ei)i(im)f(F)l (alle)g Fq(m)e Ft(=)h(0)i(das)h(leere)e(Pro)q(dukt)i(das)g(neutrale)e (Elemen)o(t)f Fq(e)108 702 y Ft(sei.)i(W)l(enn)g(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))16 b(eine)f(Grupp)q(e)i(ist,)f(dann)h (de\014niert)e(man)219 780 y(\026)206 793 y Fq(A)f Ft(:=)f Fo(f)p Fq(a)373 772 y Fn(\017)387 777 y Fh(1)373 805 y Fk(1)417 793 y Fo(\016)e Fq(:)d(:)g(:)j Fo(\016)f Fq(a)583 772 y Fn(\017)597 776 y Fg(m)583 805 y Fn(m)629 793 y Fo(j)p Fq(m)j Fo(2)h Fl(N)778 800 y Fm(\016)807 793 y Fo(^)27 b Fq(a)893 800 y Fn(i)921 793 y Fo(2)14 b Fq(A)d Fo(^)27 b Fq(\017)1096 800 y Fn(i)1124 793 y Fo(2)14 b(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(gg)p Fq(:)108 883 y Ft(Man)16 b(l)234 885 y(\177)234 883 y(a\031t)f(also)h(b)q(ei)f (der)g(Pro)q(duktbildung)h(als)f(F)l(aktoren)g(auc)o(h)g(In)o(v)o(erse) 108 941 y(v)o(on)j(Elemen)o(ten)e(aus)j Fq(A)f Ft(zu.)682 929 y(\026)669 941 y Fq(A)g Ft(hei\031t)g(die)f(v)o(on)i Fq(A)e Fp(erzeugte)j Ft(Menge)e(in)108 999 y Fq(G)p Ft(.)f(W)l(enn)f Fq(G)e Ft(=)432 987 y(\026)419 999 y Fq(A)o Ft(,)i(dann)h(hei\031t)f Fq(G)h Ft(v)o(on)f Fq(A)g Fp(erzeugt)p Ft(.)108 1090 y(Man)h(spric)o(h)o(t)e(v)o(on)h(den)g(Mengen)g(der)g(F)l(orm)973 1077 y(\026)960 1090 y Fq(A)g Ft(auc)o(h)g(als)g(durc)o(h)g Fq(A)g Ft(v)o(on)108 1177 y(")131 1148 y(innen)m(\\)e(erzeugt,)d(w)o (eil)g(alle)f(ihre)h(Elemen)o(te)e(einzeln)h(aus)j Fq(A)e Ft(k)o(onstruiert)108 1206 y(w)o(erden.)19 b(In)h(1.12)h(w)o(erden)f (wir)g(auc)o(h)g(eine)f(Metho)q(de)i(k)o(ennen)e(lernen,)108 1264 y(wie)d(man)f(die)h(Menge)551 1251 y(\026)538 1264 y Fq(A)g Ft(v)o(on)683 1294 y(")705 1264 y(au\031en)m(\\)k(erzeugen)c (k)m(ann.)108 1354 y Fr(De\014nition)i(1.9.)i Ft(Eine)h(T)l(eilmenge)e Fq(B)26 b Fo(\032)d Fq(G)f Ft(in)f(einer)g(Halbgrupp)q(e,)108 1412 y(einem)14 b(Monoid)j(o)q(der)f(einer)g(Grupp)q(e)g(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))17 b(hei\031t)174 1484 y(\(1\))k Fp(Unterhalb)n(grupp)n(e)p Ft(,)16 b(w)o(enn)g Fo(8)p Fq(a;)8 b(b)k Fo(2)i Fq(B)s Ft([)p Fq(a)c Fo(\016)h Fq(b)i Fo(2)i Fq(B)s Ft(];)174 1542 y(\(2\))21 b Fp(Untermonoid)p Ft(,)h(w)o(enn)f Fq(B)k Ft(Un)o(terhalbgrupp)q(e)c(ist)h(und)g Fq(e)h Fo(2)g Fq(B)257 1600 y Ft(gilt;)174 1658 y(\(3\))e Fp(Unter)n(grupp)n(e)p Ft(,)16 b(,)g(w)o(enn)g Fo(8)p Fq(a;)8 b(b)13 b Fo(2)h Fq(B)s Ft([)p Fq(a)c Fo(\016)h Fq(b)j Fo(2)h Fq(B)f Fo(^)28 b Fq(a)1207 1640 y Fm(\000)p Fk(1)1268 1658 y Fo(2)15 b Fq(B)s Ft(])g(und)257 1717 y(w)o(enn)h Fq(B)g Fo(6)p Ft(=)e Fo(;)p Fq(:)108 1807 y Ft(Eine)19 b(Un)o(tergrupp)q(e)g(ist)g(insb)q(esondere)g(ein)g(Un)o (termonoid,)e(w)o(eil)h(auc)o(h)108 1865 y Fq(e)24 b Ft(=)h Fq(a)15 b Fo(\016)g Fq(a)325 1847 y Fm(\000)p Fk(1)397 1865 y Fo(2)24 b Fq(B)i Ft(gilt.)21 b(Wir)h(sagen)i(auc)o(h,)e (da\031)h Fq(B)i Ft(un)o(ter)d(der)h(Bil-)108 1923 y(dung)17 b(v)o(on)e(Pro)q(dukten,)h(des)f(neutralen)g(Elemen)o(ts)f(bzw.)h(v)o (on)g(In)o(v)o(ersen)108 1981 y Fp(ab)n(geschlossen)21 b Ft(ist.)d(Eine)g(Un)o(terhalbgrupp)q(e)g(\(-monoid,)f(-grupp)q(e\))j (ist)108 2039 y(selbst)c(eine)g(Halbgrupp)q(e)g(\(Monoid,)g(Grupp)q (e\).)108 2133 y Fr(Lemma)g(1.10.)k Fp(Sei)15 b Ft(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))14 b Fp(eine)h(Halb)n(grupp)n(e,)f(ein)h (Monoid)f(o)n(der)f(eine)108 2191 y(Grupp)n(e)24 b(und)g(sei)h Fq(A)h Fo(\032)g Fq(G)f Fp(eine)h(T)l(eilmenge.)g(Dann)f(ist)f(die)h (von)g Fq(A)p eop %%Page: 97 8 97 7 bop 310 117 a Fu(1.)18 b(HALBGR)o(UPPEN,)g(MONOIDE)g(UND)g(GR)o (UPPEN)161 b(97)108 225 y Fp(erzeugte)25 b(Menge)478 212 y Ft(\026)466 225 y Fq(A)d Fp(die)i(kleinste)h(Unterhalb)n(grupp)n (e)f(\(-monoid)g(bzw.)108 283 y(-grupp)n(e\),)18 b(die)g Fq(A)f Fp(enth)541 285 y(\177)541 283 y(alt.)158 375 y Fi(Beweis.)381 362 y Ft(\026)368 375 y Fq(A)22 b Ft(ist)g(so)g (de\014niert,)f(da\031)i(es)f(un)o(ter)f(der)h(Multiplik)m(ation)108 433 y(\(bzw.)14 b Fq(e)g Fo(2)336 420 y Ft(\026)323 433 y Fq(A)p Ft(,)g(bzw.)g(In)o(v)o(ersen)o(bildung\))f(v)o(on)h(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))15 b(abgesc)o(hlossen)g(ist.)108 491 y(Es)d(ist)f(daher)378 478 y(\026)365 491 y Fq(A)g Ft(eine)f(Un)o(terhalbgrupp)q(e)h(\(-monoid,)f(-grupp)q(e\).)i(Ist)f (ab)q(er)108 549 y Fq(B)17 b Fo(\032)c Fq(G)j Ft(eine)e(Un)o (terhalbgrupp)q(e)h(\(-monoid,)f(-grupp)q(e\))i(mit)e Fq(A)f Fo(\032)h Fq(B)s Ft(,)g(so)108 607 y(gilt)20 b(auc)o(h)331 595 y(\026)318 607 y Fq(A)h Fo(\032)f Fq(B)s Ft(;)f(also)i(ist)695 595 y(\026)682 607 y Fq(A)f Ft(kleinste)f(Un)o(terstruktur)g(v)o(on)i Fq(G)f Ft(mit)108 665 y Fq(A)14 b Fo(\032)224 653 y Ft(\026)211 665 y Fq(A:)p 310 638 33 2 v 310 667 2 30 v 341 667 V 310 669 33 2 v 108 754 a Fr(Satz)19 b(1.11.)h Fp(Seien)d Ft(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))16 b Fp(eine)g(Halb)n(grupp)n(e)g (\(Monoid,)f(Grupp)n(e\))g(und)108 812 y(seien)23 b Fq(B)274 819 y Fn(i)288 812 y Fp(,)e Fq(i)h Fo(2)f Fq(I)k Fp(Unterhalb)n(grupp)n (en)e(\(-monoide,)f(-grupp)n(en\).)g(Dann)108 870 y(ist)177 837 y Fj(T)211 881 y Fn(i)p Fm(2)p Fn(I)275 870 y Fq(B)312 877 y Fn(i)344 870 y Fp(wie)n(der)17 b(Unterhalb)n(grupp)n(e)i (\(-monoid,)e(-grupp)n(e\).)158 962 y Fi(Beweis.)j Ft(W)l(enn)14 b(jedes)g(der)g Fq(B)742 969 y Fn(i)771 962 y Ft(un)o(ter)g(der)g (Multiplik)m(ation)f(\(1)h Fo(2)g Fq(B)1439 969 y Fn(i)1453 962 y Ft(,)108 1020 y(In)o(v)o(ersen)o(bildung\))h(abgesc)o(hlossen)i (ist,)g(dann)g(auc)o(h)g(der)g(Durc)o(hsc)o(hnitt)108 1045 y Fj(T)151 1078 y Fq(B)188 1085 y Fn(i)202 1078 y Fq(:)p 265 1051 V 265 1080 2 30 v 296 1080 V 265 1082 33 2 v 108 1167 a Fr(Satz)i(1.12.)h Fp(Sei)25 b Ft(\()p Fq(G;)8 b Fo(\016)p Ft(\))24 b Fp(eine)h(Halb)n(grupp)n(e)f(\(Monoid,)f (Grupp)n(e\))g(und)108 1225 y Fq(A)14 b Fo(\032)f Fq(G)18 b Fp(eine)h(T)l(eilmenge.)h(Dann)d(ist)325 1301 y Ft(\026)312 1314 y Fq(A)c Ft(=)414 1272 y Fj(\\)460 1314 y Fo(f)p Fq(B)k Fo(\032)c Fq(G)p Fo(j)p Fq(B)21 b Fp(Unterstruktur)29 b Fo(^)g Fq(A)13 b Fo(\032)h Fq(B)s Fo(g)p Fq(:)158 1410 y Fi(Beweis.)20 b Ft(Da)457 1397 y(\026)444 1410 y Fq(A)13 b Ft(un)o(ter)h(den)f(zugelassenen)h Fq(B)j Ft(ist,)c(gilt)1210 1440 y(")1233 1410 y Fo(\033)m Ft(\\)s(.)g(Da)i(der)108 1468 y(Durc)o(hsc)o(hnitt)j(wieder)h(eine)f(Un)o(terstruktur)g(ist,)h (die)f Fq(A)h Ft(en)o(th)1296 1470 y(\177)1296 1468 y(alt,)f(und)108 1526 y(da)189 1513 y(\026)176 1526 y Fq(A)e Ft(kleinste)f(solc)o(he)g (Un)o(terstruktur)g(ist,)h(gilt)1031 1556 y(")1053 1526 y Fo(\032)m Ft(\\)s(.)p 1178 1499 V 1178 1528 2 30 v 1209 1528 V 1178 1530 33 2 v 108 1668 a(Die)f(Erzeugung)h(v)o(on)541 1656 y(\026)528 1668 y Fq(A)f Ft(m)o(u\031)g(man)f(als)i(eine)e (Erzeugung)i(v)o(on)1298 1698 y(")1321 1668 y(au\031en)m(\\)108 1726 y(au\013assen.)21 b(Der)e(Mec)o(hanism)o(us)e(der)j(Gewinn)o(ung)f (der)g(einzelnen)f(Ele-)108 1785 y(men)o(te)f(aus)i Fq(A)g Ft(wird)g(nic)o(h)o(t)e(angegeb)q(en.)i(Man)g(erh)1075 1787 y(\177)1075 1785 y(alt)g(mit)e(dieser)h(Me-)108 1843 y(tho)q(de)h(zw)o(ar)g(sehr)f(sc)o(hnell)f(die)h(Existenz)f(des)i (gew)1080 1845 y(\177)1079 1843 y(unsc)o(h)o(ten)f(Ob)s(jekts.)108 1901 y(Die)f(Metho)q(de)h(ist)f(ab)q(er)h(nic)o(h)o(t)e(k)o (onstruktiv,)h(w)o(eil)f(man)h(k)o(einen)1351 1890 y(\177)1345 1901 y(Ub)q(er-)108 1959 y(blic)o(k)226 1961 y(\177)225 1959 y(ub)q(er)g(alle)f(Un)o(terhalbgrupp)q(en)g(\(-monoide,)f(-grupp)q (en\))j(hat,)e(die)108 2017 y Fq(A)g Ft(umfassen.)f(Man)h(k)m(ann)h (einzelne)d(Elemen)o(te)f(v)o(on)1117 2004 y(\026)1104 2017 y Fq(A)i Ft(nic)o(h)o(t)g(angeb)q(en.)108 2075 y(Im)10 b(F)l(alle)h(v)o(on)g(k)o(omplizie)o(rteren)d(algebraisc)o(hen)j (Gebilden)g(ist)g(es)h(jedo)q(c)o(h)108 2133 y(oft)17 b(sehr)f(sc)o(h)o(w)o(er,)f(die)h(Konstruktion)g(der)g(Elemen)o(te)e (explizit)g(anzuge-)108 2191 y(b)q(en.)h(Das)h(w)o(ar)f(sc)o(hon)g(f) 551 2193 y(\177)550 2191 y(ur)g(Grupp)q(en)g(k)o(omplizierter,)c(als)k (f)1210 2193 y(\177)1209 2191 y(ur)g(Monoide.)p eop %%Page: 98 9 98 8 bop 108 117 a Fu(98)195 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(Dann)c(en)o(t)o(wic)o(k)o(elt)c(die)i (Metho)q(de)h(der)f(Durc)o(hsc)o(hnittsbildung)g(erst)h(ihre)108 283 y(ganze)j(Kraft.)528 392 y Fr(2.)27 b(Homomorphism)o(en)108 529 y Ft(Nac)o(hdem)10 b(wir)h(n)o(un)h(erste)f(Beispiele)e(und)j (Eigensc)o(haften)f(v)o(on)g(gewissen)108 587 y(algebraisc)o(hen)18 b(Strukturen)f(k)o(ennen,)g(folgt)h(n)o(un)g(die)f(Einf)1222 589 y(\177)1221 587 y(uhrung)i(v)o(on)108 645 y(Abbildungen,)g(die)h (mit)e(der)i(gegeb)q(enen)g(Struktur)h(v)o(ertr)1224 647 y(\177)1224 645 y(aglic)o(h)d(sind,)108 703 y(sogenann)o(ten)f (Homomorphismen.)108 793 y Fr(De\014nition)h(2.1.)i Ft(Seien)12 b(\()p Fq(G;)c Fo(\016)p Ft(\))14 b(und)f(\()p Fq(H)q(;)8 b Fo(\001)p Ft(\))13 b(Halbgrupp)q(en)h(\(Monoide,)108 851 y(Grupp)q(en\).)f(Eine)f(Abbildung)g Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(G)g Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(H)k Ft(hei\031t)12 b(ein)g Fp(Homomorphis-)108 909 y(mus)k Ft(v)o(on)174 981 y(\(1\))21 b(Halbgrupp)q(en,)14 b(w)o(enn)g Fo(8)p Fq(g)737 988 y Fk(1)756 981 y Fq(;)8 b(g)801 988 y Fk(2)834 981 y Fo(2)14 b Fq(G)p Ft([)p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)1004 988 y Fk(1)1032 981 y Fo(\016)i Fq(g)1087 988 y Fk(2)1107 981 y Ft(\))13 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)1262 988 y Fk(1)1283 981 y Ft(\))i Fo(\001)g Fq(f)e Ft(\()p Fq(g)1401 988 y Fk(2)1420 981 y Ft(\)],)174 1039 y(\(2\))21 b(Monoiden,)11 b(w)o(enn)g Fo(8)p Fq(g)665 1046 y Fk(1)684 1039 y Fq(;)d(g)729 1046 y Fk(2)763 1039 y Fo(2)14 b Fq(G)p Ft([)p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)933 1046 y Fk(1)955 1039 y Fo(\016)r Fq(g)1005 1046 y Fk(2)1024 1039 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)1180 1046 y Fk(1)1200 1039 y Ft(\))r Fo(\001)r Fq(f)g Ft(\()p Fq(g)1308 1046 y Fk(2)1328 1039 y Ft(\)])p Fq(;)10 b Ft(und)257 1097 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)328 1104 y Fn(G)357 1097 y Ft(\))20 b(=)g Fq(e)477 1104 y Fn(H)511 1097 y Fq(;)f Ft(\(w)o(ob)q(ei)h Fq(e)728 1104 y Fn(G)777 1097 y Fo(2)g Fq(G)h Ft(und)f Fq(e)1013 1104 y Fn(H)1066 1097 y Fo(2)h Fq(H)j Ft(die)19 b(neutralen)257 1155 y(Elemen)o(te)13 b(sind\),)174 1214 y(\(3\))21 b(Grupp)q(en,)16 b(w)o(enn)g Fo(8)p Fq(g)653 1221 y Fk(1)672 1214 y Fq(;)8 b(g)717 1221 y Fk(2)751 1214 y Fo(2)14 b Fq(G)p Ft([)p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)921 1221 y Fk(1)952 1214 y Fo(\016)11 b Fq(g)1011 1221 y Fk(2)1031 1214 y Ft(\))j(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)1187 1221 y Fk(1)1207 1214 y Ft(\))11 b Fo(\001)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)1333 1221 y Fk(2)1354 1214 y Ft(\)])p Fq(:)108 1303 y Fr(Lemma)16 b(2.2.)k Fp(Ist)d Fq(f)i Ft(:)14 b Fq(G)g Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(H)22 b Fp(ein)c(Homomorphismus)f(von)h(Grup-)108 1361 y(p)n(en,)g(so)f(gilt)i Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)430 1368 y Fn(G)459 1361 y Ft(\))14 b(=)g Fq(e)567 1368 y Fn(H)617 1361 y Fp(und)k Fo(8)p Fq(g)d Fo(2)f Fq(G)p Ft([)p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)952 1343 y Fm(\000)p Fk(1)1000 1361 y Ft(\))13 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))1176 1343 y Fm(\000)p Fk(1)1224 1361 y Ft(])p Fq(:)158 1454 y Fi(Beweis.)20 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)439 1461 y Fn(G)469 1454 y Ft(\))j Fo(\001)h Fq(f)c Ft(\()p Fq(e)590 1461 y Fn(G)619 1454 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)775 1461 y Fn(G)813 1454 y Fo(\016)j Fq(e)869 1461 y Fn(G)898 1454 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)1054 1461 y Fn(G)1084 1454 y Ft(\))13 b(=)-8 b Fo(\))14 b Fq(h)8 b Fo(\001)h Fq(h)14 b Ft(=)f Fq(h)j Ft(f)1422 1456 y(\177)1421 1454 y(ur)108 1512 y Fq(h)e Ft(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)273 1519 y Fn(G)302 1512 y Ft(\))p Fq(:)14 b Ft(=)-8 b Fo(\))13 b Fq(h)h Ft(=)g Fq(h)564 1494 y Fm(\000)p Fk(1)622 1512 y Fo(\001)d Fq(h)g Fo(\001)g Fq(h)j Ft(=)g Fq(h)833 1494 y Fm(\000)p Fk(1)891 1512 y Fo(\001)d Fq(h)j Ft(=)g Fq(e)1033 1519 y Fn(H)1080 1512 y Ft(=)-8 b Fo(\))13 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)1244 1519 y Fn(G)1273 1512 y Ft(\))14 b(=)g Fq(e)1381 1519 y Fn(H)1414 1512 y Fq(:)108 1570 y(f)5 b Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))200 1552 y Fm(\000)p Fk(1)261 1570 y Fo(\001)14 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))20 b(=)g Fq(e)482 1577 y Fn(H)535 1570 y Ft(=)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)663 1577 y Fn(G)693 1570 y Ft(\))20 b(=)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)862 1552 y Fm(\000)p Fk(1)923 1570 y Fo(\016)14 b Fq(g)r Ft(\))20 b(=)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)1156 1552 y Fm(\000)p Fk(1)1204 1570 y Ft(\))13 b Fo(\016)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))20 b(=)-8 b Fo(\))108 1629 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))200 1611 y Fm(\000)p Fk(1)262 1629 y Ft(=)13 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)386 1611 y Fm(\000)p Fk(1)434 1629 y Ft(\))p Fq(:)p 515 1601 33 2 v 515 1631 2 30 v 546 1631 V 515 1633 33 2 v 108 1718 a Fr(Lemma)16 b(2.3.)k Fp(Seien)k Fq(G;)8 b(H)q(;)g(K)28 b Fp(Halb)n(grupp)n(en)23 b Ft(\()p Fp(Monoide,)g(Grupp) n(en)p Ft(\))108 1776 y Fp(und)g Fq(f)k Ft(:)21 b Fq(G)i Fo(\000)-9 b(!)22 b Fq(H)q(;)8 b(f)550 1758 y Fm(0)584 1776 y Ft(:)22 b Fq(H)k Fo(\000)-9 b(!)22 b Fq(K)k Fp(Homomorphismen.) 21 b(Dann)h(ist)108 1834 y(auch)i Fq(f)259 1816 y Fm(0)271 1834 y Fq(f)31 b Ft(:)26 b Fq(G)g Fo(\000)-9 b(!)25 b Fq(K)j Fp(ein)d(Homomorphismus.)d(Weiter)i(ist)g Ft(id)1398 1841 y Fn(G)1453 1834 y Ft(:)108 1893 y Fq(G)15 b Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G)k Fp(ein)g(Homomorphismus.)158 1986 y Fi(Beweis.)i Ft(\()p Fq(f)416 1967 y Fm(0)428 1986 y Fq(f)5 b Ft(\)\()p Fq(g)518 1993 y Fk(1)541 1986 y Fo(\001)r Fq(g)580 1993 y Fk(2)600 1986 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)714 1967 y Fm(0)726 1986 y Ft(\()p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)816 1993 y Fk(1)836 1986 y Ft(\))r Fo(\001)r Fq(f)g Ft(\()p Fq(g)944 1993 y Fk(2)966 1986 y Ft(\)\))13 b(=)h(\()p Fq(f)1117 1967 y Fm(0)1129 1986 y Fq(f)5 b Ft(\)\()p Fq(g)1219 1993 y Fk(1)1239 1986 y Ft(\))r Fo(\001)r Ft(\()p Fq(f)1324 1967 y Fm(0)1337 1986 y Fq(f)g Ft(\)\()p Fq(g)1427 1993 y Fk(2)1448 1986 y Ft(\))108 2044 y(und)17 b(\()p Fq(f)254 2026 y Fm(0)266 2044 y Fq(f)5 b Ft(\)\()p Fq(e)356 2051 y Fn(G)385 2044 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)499 2026 y Fm(0)511 2044 y Ft(\()p Fq(e)553 2051 y Fn(H)586 2044 y Ft(\))g(=)g Fq(e)694 2051 y Fn(K)727 2044 y Fq(:)p 790 2017 V 790 2046 2 30 v 821 2046 V 790 2048 33 2 v 108 2133 a Fr(De\014nition)k (2.4.)i Ft(Ein)e(Homomorphism)n(us)d Fq(f)23 b Ft(:)16 b Fq(G)h Fo(\000)-8 b(!)16 b Fq(H)23 b Ft(hei\031t)17 b Fp(Iso-)108 2191 y(morphismus)p Ft(,)g(w)o(enn)i(es)f(einen)g (Homomorphism)n(us)e Fq(f)1144 2173 y Fm(0)1174 2191 y Ft(:)i Fq(H)k Fo(\000)-9 b(!)18 b Fq(G)h Ft(so)p eop %%Page: 99 10 99 9 bop 547 117 a Fu(2.)18 b(HOMOMORPHISMEN)399 b(99)108 225 y Ft(gibt,)23 b(da\031)h Fq(f)5 b(f)386 207 y Fm(0)423 225 y Ft(=)26 b(id)527 232 y Fn(H)584 225 y Ft(und)d Fq(f)717 207 y Fm(0)729 225 y Fq(f)31 b Ft(=)25 b(id)888 232 y Fn(G)926 225 y Fq(:)d Ft(W)l(enn)h(es)g(einen)f(Isomor-)108 283 y(phism)o(us)17 b Fq(f)22 b Ft(:)16 b Fq(G)h Fo(\000)-8 b(!)16 b Fq(H)22 b Ft(gibt,)c(dann)g(hei\031en)g Fq(G)g Ft(und)g Fq(H)23 b Fp(isomorph)p Ft(,)16 b(in)108 341 y(Zeic)o(hen)f Fq(G)338 327 y Fo(\030)338 343 y Ft(=)391 341 y Fq(H)q(:)108 438 y Fr(Bemerkung)i(2.5.)j Ft(Isomorphe)d(Ob)s (jekte)g(sind)h(f)1065 440 y(\177)1064 438 y(ur)h(alle)e(mathemati-)108 496 y(sc)o(hen)12 b(Betrac)o(h)o(tungen)g(als)g(gleic)o(h)o(w)o(ertig)e (anzusehen.)i(Man)h(k)m(ann)g(n)1385 498 y(\177)1385 496 y(am-)108 554 y(lic)o(h)19 b(die)h(V)l(erkn)414 556 y(\177)413 554 y(upfung)h(v)o(on)f(zw)o(ei)g(Elemen)o(ten)d(auc)o(h)k (durc)o(h)f(die)g(V)l(er-)108 613 y(kn)162 615 y(\177)161 613 y(upfung)13 b(der)g(en)o(tsprec)o(henden)d(Elemen)o(te)g(im)h(dazu) i(isomorphen)e(Ob-)108 671 y(jekt)16 b(ausdr)323 673 y(\177)322 671 y(uc)o(k)o(en,)f(d.h.)g(f)586 673 y(\177)585 671 y(ur)h(einen)f(Isomorphism)o(us)f Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(G)g Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(H)20 b Ft(und)108 729 y Fq(a;)8 b(b)13 b Fo(2)h Fq(G)j Ft(gilt)541 801 y Fq(a)11 b Fo(\001)g Fq(b)i Ft(=)h Fq(f)718 780 y Fm(\000)p Fk(1)765 801 y Ft(\()p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))11 b Fo(\001)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\)\))p Fq(:)108 885 y Ft(Ist)21 b Fq(f)26 b Ft(:)21 b Fq(G)h Fo(\000)-9 b(!)22 b Fq(H)j Ft(ein)20 b(bijektiv)o(er)e(Homomorphism)n(us,)f(so)22 b(ist)e Fq(f)26 b Ft(ein)108 943 y(Isomorphism)o(us,)13 b(denn)i(f)589 945 y(\177)588 943 y(ur)g(die)g(eindeutig)f(b)q(estimm)o (te)e(Umk)o(ehrabbil-)108 1001 y(dung)i Fq(f)256 983 y Fm(\000)p Fk(1)304 1001 y Fq(H)k Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G)g Ft(gilt)f Fq(f)621 983 y Fm(\000)p Fk(1)669 1001 y Ft(\()p Fq(h)716 1008 y Fk(1)741 1001 y Fo(\001)5 b Fq(h)788 1008 y Fk(2)808 1001 y Ft(\))14 b(=)f Fq(f)921 983 y Fm(\000)p Fk(1)969 1001 y Ft(\()p Fq(f)5 b(f)1046 983 y Fm(\000)p Fk(1)1094 1001 y Ft(\()p Fq(h)1141 1008 y Fk(1)1161 1001 y Ft(\))g Fo(\001)g Fq(f)g(f)1262 983 y Fm(\000)p Fk(1)1310 1001 y Ft(\()p Fq(h)1357 1008 y Fk(2)1377 1001 y Ft(\)\))14 b(=)108 1059 y Fq(f)137 1041 y Fm(\000)p Fk(1)185 1059 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(f)262 1041 y Fm(\000)p Fk(1)310 1059 y Ft(\()p Fq(h)357 1066 y Fk(1)376 1059 y Ft(\))11 b Fo(\001)g Fq(f)460 1041 y Fm(\000)p Fk(1)508 1059 y Ft(\()p Fq(h)555 1066 y Fk(2)575 1059 y Ft(\)\))i(=)h Fq(f)707 1041 y Fm(\000)p Fk(1)755 1059 y Ft(\()p Fq(h)802 1066 y Fk(1)821 1059 y Ft(\))d Fo(\001)g Fq(f)905 1041 y Fm(\000)p Fk(1)953 1059 y Ft(\()p Fq(h)1000 1066 y Fk(2)1020 1059 y Ft(\))16 b(und)g Fq(f)1181 1041 y Fm(\000)p Fk(1)1229 1059 y Ft(\()p Fq(e)1271 1066 y Fn(H)1304 1059 y Ft(\))e(=)g Fq(e)1412 1066 y Fn(G)1441 1059 y Fq(:)108 1177 y Fr(Lemma)i(2.6.)k Fp(Wenn)25 b Fq(f)33 b Ft(:)27 b Fq(G)g Fo(\000)-8 b(!)27 b Fq(H)i Fp(ein)c(Homomorphismus)f(ist,)108 1235 y(dann)e(ist)g Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))22 b Fp(eine)g(Unter-Halb)n(grupp)n(e)h Ft(\()p Fp(-Monoid,)f(-Grupp)n(e)p Ft(\))f Fp(von)108 1293 y Fq(H)t Fp(.)158 1397 y Fi(Beweis.)f Ft(Seien)g Fq(h)528 1404 y Fk(1)548 1397 y Fq(;)8 b(h)598 1404 y Fk(2)640 1397 y Fo(2)22 b Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\).)21 b(Dann)h(gibt)f(es)g Fq(g)1172 1404 y Fk(1)1192 1397 y Fq(;)8 b(g)1237 1404 y Fk(2)1279 1397 y Fo(2)22 b Fq(G)f Ft(mit)108 1455 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)179 1462 y Fk(1)200 1455 y Ft(\))18 b(=)g Fq(h)321 1462 y Fk(1)340 1455 y Fq(;)8 b(f)d Ft(\()p Fq(g)433 1462 y Fk(2)454 1455 y Ft(\))18 b(=)g Fq(h)575 1462 y Fk(2)594 1455 y Ft(.)h(Da)g Fq(f)24 b Ft(ein)18 b(Homomorphism)o(us)e(ist,)i(ist)g Fq(h)1420 1462 y Fk(1)1453 1455 y Fo(\001)108 1513 y Fq(h)136 1520 y Fk(2)170 1513 y Ft(=)c Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)293 1520 y Fk(1)313 1513 y Ft(\))p Fo(\001)p Fq(f)g Ft(\()p Fq(g)417 1520 y Fk(2)437 1513 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)593 1520 y Fk(1)614 1513 y Fo(\001)p Fq(g)651 1520 y Fk(2)671 1513 y Ft(\))13 b Fo(2)h Ft(Bi\()p Fq(f)5 b Ft(\).)10 b(Im)f(Monoidfall)i(ist)g(au\031erdem)108 1572 y Fq(e)131 1579 y Fn(H)180 1572 y Ft(=)k Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)304 1579 y Fn(G)333 1572 y Ft(\))15 b Fo(2)g Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\).)17 b(Ist)g(sc)o(hlie\031lic)o(h)d Fq(f)23 b Ft(ein)16 b(Homomorphism)n(us)f(v)o(on)108 1630 y(Grupp)q(en,)i(dann)g(ist)f Fq(h)545 1612 y Fm(\000)p Fk(1)606 1630 y Ft(=)e Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))750 1612 y Fm(\000)p Fk(1)811 1630 y Ft(=)14 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(g)936 1612 y Fm(\000)p Fk(1)983 1630 y Ft(\))14 b Fo(2)g Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\).)p 1241 1603 33 2 v 1241 1632 2 30 v 1272 1632 V 1241 1634 33 2 v 108 1726 a Fr(Beispiel)17 b(2.7.)j Ft(Ein)11 b(wic)o(h)o(tiges)f(Beispiel)f(f) 907 1728 y(\177)906 1726 y(ur)i(einen)g(Isomorphism)o(us)e(ist)108 1785 y(die)17 b(Exp)q(onen)o(tial-Abbildung)h(o)q(der)g Fq(e)p Ft(-F)l(unktion.)f(Die)h(reellen)e(Zahlen)108 1843 y(bilden)g(un)o(ter)g(der)g(Addition)f(eine)h(Grupp)q(e)h(\()p Fl(R)m Fq(;)7 b Ft(+\).)14 b(W)l(eiter)h(bildet)g(die)108 1901 y(Menge)i Fl(R)298 1908 y Fk(+)341 1901 y Ft(der)g(p)q(ositiv)o (en)f(reellen)f(Zahlen)h(un)o(ter)g(der)h(Multiplik)m(ation)108 1959 y(eine)e(Grupp)q(e)h(\()p Fl(R)437 1966 y Fk(+)463 1959 y Fq(;)8 b Fo(\001)p Ft(\).)15 b(Die)g(F)l(unktionalgleic)o(h)o (ung)e(f)1093 1961 y(\177)1092 1959 y(ur)j(die)e(Exp)q(onen)o(ti-)108 2017 y(alfunktion)19 b(exp)o(\()p Fq(a)13 b Ft(+)f Fq(b)p Ft(\))18 b(=)g(exp\()p Fq(a)p Ft(\))12 b Fo(\001)g Ft(exp\()p Fq(b)p Ft(\))18 b(b)q(esagt)i(genau)g(da\031)f(diese)108 2075 y(Abbildung)g(ein)g(Homomorphism)n(us)e(ist.)i(Da)h(sie)f (bijektiv)f(ist,)h(ist)g(sie)108 2133 y(ein)g(Isomorphism)o(us.)e(Die)h (Umk)o(ehrabbildung)f(ist)j(eb)q(enfalls)e(ein)h(Iso-)108 2191 y(morphism)o(us)10 b(und)i(gen)544 2193 y(\177)543 2191 y(ugt)h(der)f(Gleic)o(h)o(ung)f(log)q(\()p Fq(a)s Fo(\001)s Fq(b)p Ft(\))h(=)i(log)q(\()p Fq(a)p Ft(\))s(+)s(log)o(\()p Fq(b)p Ft(\).)p eop %%Page: 100 11 100 10 bop 108 117 a Fu(100)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(Man)e(merk)o(e)e(sic)o(h)h(zudem,)e (da\031)k(die)e(Grupp)q(en)i(\()p Fl(R)m Fq(;)7 b Ft(+\))14 b(und)j(\()p Fl(R)1303 232 y Fk(+)1330 225 y Fq(;)8 b Fo(\001)p Ft(\))16 b(zu-)108 283 y(einander)g(isomorph)g(sind.)224 409 y Fr(3.)28 b(F)-5 b(reie)17 b(Halbgrupp)r(en,)h(Monoide)g(und)h (Grupp)r(en)108 552 y Ft(Eine)27 b(b)q(esonders)g(n)493 554 y(\177)492 552 y(utzlic)o(he)e(Art)h(v)o(on)h(Strukturen)g(sind)f (die)h(freien)108 611 y(Strukturen.)17 b(Man)h(k)o(enn)o(t)e(sie)h (\(bis)h(auf)g(Isomorphie\),)e(w)o(enn)h(man)g(n)o(ur)108 669 y(ihre)i(erzeugenden)f(Elemen)o(te)e(k)o(enn)o(t.)i(Sie)g(erlaub)q (en)h(es)g(auc)o(h,)f(b)q(eson-)108 727 y(ders)c(einfac)o(h)f (Homomorphisme)o(n)e(in)j(andere)g(Strukturen)f(zu)h(k)o(onstru-)108 785 y(ieren.)c(Allerdings)g(geh)o(t)h(ihre)g(De\014nition)g(v)o(on)g (einer)g(b)q(esonderen)g(Eigen-)108 843 y(sc)o(haft)18 b(aus,)f(die)g(sie)g(hab)q(en,)h(einer)e(sogenann)o(ten)i(univ)o (ersellen)d(Eigen-)108 901 y(sc)o(haft.)20 b(Daher)g(ist)g(ihre)f (De\014nition)h(nic)o(h)o(t)e(ganz)j(leic)o(h)o(t)d(v)o(erst)1301 903 y(\177)1301 901 y(andlic)o(h.)108 959 y(Erst)h(nac)o(h)f(dem)f(Bew) o(eis)g(ihrer)h(Existenz)g(\(und)g(Eindeutigk)o(eit\))f(k)m(ann)108 1017 y(man)f(diese)f(Eigensc)o(haft)h(b)q(esser)h(v)o(erstehen.)108 1116 y Fr(De\014nition)h(3.1.)i Ft(Sei)e Fq(A)h Ft(eine)f(Menge.)g (Eine)g(Halbgrupp)q(e)i(\(Monoid,)108 1174 y(Grupp)q(e\))f Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))18 b(zusammen)e(mit)g(einer)i(Abbildung)g Fq(\023)g Ft(:)f Fq(A)h Fo(\000)-9 b(!)18 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))108 1232 y(hei\031t)12 b(eine)g(\(extern\))g Fp(fr)n(eie)h(Halb)n(grupp)n(e)i(\(Monoid,)e(Grupp)n(e\))p Ft(,)36 b(w)o(enn)13 b(zu)108 1290 y(jeder)j(Halbgrupp)q(e)h(\(Monoid,) g(Grupp)q(e\))g Fq(G)g Ft(und)g(zu)g(jeder)f(Abbildung)108 1348 y Fq(\013)28 b Ft(:)f Fq(A)f Fo(\000)-8 b(!)27 b Fq(G)d Ft(genau)h(ein)f(Homomorphism)n(us)d Fq(f)33 b Ft(:)27 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))26 b Fo(\000)-9 b(!)27 b Fq(G)108 1406 y Ft(existiert,)14 b(so)j(da\031)626 1473 y Fq(A)173 b(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p 675 1461 150 2 v 783 1460 a Ff(-)743 1452 y Fn(\023)719 1530 y(\013)702 1510 y Ff(H)743 1531 y(H)785 1552 y(H)793 1556 y(H)-42 b(j)874 1602 y Fq(G)p 892 1556 2 67 v 893 1556 a Ff(?)909 1531 y Fn(f)108 1671 y Ft(k)o(omm)o(utie)o(rt.)108 1769 y Fr(Bemerkung)17 b(3.2.)j Ft(Die)i(Abbildung)g Fq(\023)g Ft(ist)g(immer)d(injektiv,)h(so)j(da\031)108 1827 y(man)17 b Fq(A)h Ft(als)f(T)l(eilmenge)f(v)o(on)h Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))17 b(au\013assen)i(k)m(ann.)f(Dann)h(b)q(edeutet)108 1885 y(die)i(obige)h(De\014nition,)f(da\031)h(sic)o(h)f(jede)g(b)q (eliebige)f(Zuordn)o(ung)j Fq(\013)f Ft(v)o(on)108 1944 y(Elemen)o(ten)13 b(aus)j Fq(G)g Ft(zu)g(den)f(Elemen)o(ten)e(aus)j Fq(A)g Ft(auf)g(genau)g(eine)e(W)l(eise)108 2002 y(zu)e(einem)d (Homomorphism)n(us)h(v)o(on)h Fq(F)c Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))k(nac)o(h)h Fq(G)g Ft(fortsetzen)f(l)1306 2004 y(\177)1306 2002 y(a\031t)h(und)108 2060 y(da\031)20 b(jeder)f(Homomorphism)n(us)e Fq(f)24 b Ft(:)19 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))18 b Fo(\000)-9 b(!)19 b Fq(G)h Ft(sc)o(hon)f(v)o(ollst)1351 2062 y(\177)1351 2060 y(andig)108 2118 y(durc)o(h)g(die)g(W)l(erte)g(b)q(estimm)n(t)e (ist,)i(die)f(er)h(auf)h(Elemen)o(ten)d(aus)j Fq(A)f Ft(an-)108 2176 y(nimm)o(t.)p eop %%Page: 101 12 101 11 bop 237 117 a Fu(3.)17 b(FREIE)h(HALBGR)o(UPPEN,)g(MONOIDE)h (UND)f(GR)o(UPPEN)66 b(101)108 225 y Fr(Satz)19 b(3.3.)85 b Ft(\(1\))21 b Fp(Ist)f Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))18 b Fp(mit)h Fq(\023)f Ft(:)f Fq(A)g Fo(\000)-9 b(!)17 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))18 b Fp(eine)j(fr)n(eie)e(Halb-)257 283 y(grupp)n(e)e Ft(\()p Fp(Monoid,)g(Grupp)n(e)p Ft(\))p Fp(,)g(so)g(ist)g Fq(\023)h Fp(injektiv.)174 341 y Ft(\(2\))j Fp(Sind)d Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))17 b Fp(und)i Fq(F)636 323 y Fm(0)647 341 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))e Fp(mit)h Fq(\023)d Ft(:)g Fq(A)f Fo(\000)-8 b(!)14 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))17 b Fp(und)i Fq(\023)1280 323 y Fm(0)1306 341 y Ft(:)c Fq(A)f Fo(\000)-8 b(!)257 399 y Fq(F)296 381 y Fm(0)307 399 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))16 b Fp(fr)n(eie)h(Halb)n(grupp)n(en)g Ft(\()p Fp(Monoide,)g(Grupp)n(en)p Ft(\))p Fp(,)f(so)h(gibt)g(ge-)257 458 y(nau)h(einen)h(Homomorphismus)d Fq(f)j Ft(:)13 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))13 b Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(F)1214 439 y Fm(0)1225 458 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))k Fp(mit)697 555 y Fq(A)174 b(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p 746 544 150 2 v 854 543 a Ff(-)814 535 y Fn(\023)789 618 y(\023)801 606 y Fe(0)773 593 y Ff(H)815 614 y(H)856 634 y(H)865 638 y(H)-42 b(j)902 680 y Fq(F)941 662 y Fm(0)952 680 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p 963 638 2 67 v 964 638 a Ff(?)981 614 y Fn(f)257 778 y Fp(kommutativ)18 b(\(d.h.)f Fq(f)5 b(\023)15 b Ft(=)e Fq(\023)768 760 y Fm(0)780 778 y Ft(\))18 b Fp(und)f Fq(f)23 b Fp(ist)18 b(ein)g(Isomorphismus.)158 889 y Fi(Beweis.)i Ft(\(1\))g Fo(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)19 b Ft(mit)f(der)h (Multiplik)m(ation)f(ist)h(eine)f(Grupp)q(e)108 948 y(\(Halbgrupp)q(e,) f(Monoid\).)g(Sei)f Fq(\023)g Ft(:)f Fq(A)g Fo(\000)-9 b(!)15 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))16 b(nic)o(h)o(t)g(injektiv.)f (Dann)108 1006 y(gibt)25 b(es)f Fq(a;)8 b(b)27 b Fo(2)g Fq(A)d Ft(mit)f Fq(\023)p Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))k(=)h Fq(\023)p Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))c(und)g Fq(a)k Fo(6)p Ft(=)f Fq(b)p Ft(.)d(Wir)g(de\014nieren)108 1109 y Fq(\013)h Ft(:)e Fq(A)h Fo(\000)-9 b(!)24 b(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)22 b Ft(durc)o(h)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(c)p Ft(\))i(=)866 1022 y Fj(8)866 1060 y(<)866 1134 y(:)903 1076 y Ft(1)88 b Fq(c)14 b Fo(6)p Ft(=)g Fq(a)903 1146 y Fo(\000)p Ft(1)49 b Fq(c)14 b Ft(=)g Fq(a)1132 1109 y Ft(.)22 b(Dann)h(ist)f(1)j(=)108 1213 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))17 b(=)f Fq(f)5 b(\023)p Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))17 b(=)f Fq(f)5 b(\023)p Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))16 b(=)h Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))f(=)g Fo(\000)p Ft(1,)i(ein)f(Widerspruc)o(h.)f(Also)i(ist)f Fq(\023)108 1271 y Ft(injektiv.)108 1329 y(\(2\))22 b(Die)e(erste)h(Aussage,)g (da\031)h(genau)f(ein)f(Homomorphism)o(us)e Fq(f)26 b Ft(mit)108 1388 y Fq(f)5 b(\023)15 b Ft(=)f Fq(\023)238 1369 y Fm(0)266 1388 y Ft(existiert,)h(ist)h(die)g(De\014nition)g (einer)f(freien)g(Halbgrupp)q(e)i(\(Mo-)108 1446 y(noid,)h(Grupp)q (e\).)f(Eb)q(enso)i(gibt)e(es)h(\(genau\))g(einen)f(Homomorphism)n(us) 108 1504 y Fq(f)137 1486 y Fm(0)163 1504 y Ft(:)c Fq(F)229 1486 y Fm(0)240 1504 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))h Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))k(mit)f Fq(f)662 1486 y Fm(0)674 1504 y Fq(\023)691 1486 y Fm(0)717 1504 y Ft(=)j Fq(\023)p Ft(.)f(Damit)f(ist)g Fq(f)5 b(f)1079 1486 y Fm(0)1092 1504 y Fq(\023)1109 1486 y Fm(0)1135 1504 y Ft(=)13 b Fq(\023)1203 1486 y Fm(0)1229 1504 y Ft(=)h(id)1321 1512 y Fn(F)1348 1502 y Fe(0)1360 1512 y Fk(\()p Fn(A)p Fk(\))1424 1504 y Fq(\023)1441 1486 y Fm(0)1453 1504 y Ft(,)108 1562 y(also)k Fq(f)5 b(f)265 1544 y Fm(0)293 1562 y Ft(=)16 b(id)388 1570 y Fn(F)415 1560 y Fe(0)426 1570 y Fk(\()p Fn(A)p Fk(\))482 1562 y Ft(,)h(w)o(eil)f(\()p Fq(F)671 1544 y Fm(0)682 1562 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(;)8 b(\023)796 1544 y Fm(0)807 1562 y Ft(\))17 b(frei)g(ist,)g(und)g(es)h(ist)f Fq(f)1268 1544 y Fm(0)1280 1562 y Fq(f)5 b(\023)16 b Ft(=)g Fq(\023)g Ft(=)108 1620 y(id)149 1628 y Fn(F)5 b Fk(\()p Fn(A)p Fk(\))240 1620 y Fq(\023)p Ft(,)19 b(also)g Fq(f)419 1602 y Fm(0)431 1620 y Fq(f)24 b Ft(=)18 b(id)575 1628 y Fn(F)5 b Fk(\()p Fn(A)p Fk(\))659 1620 y Ft(,)18 b(w)o(eil)f(\()p Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(;)h(\023)p Ft(\))18 b(frei)g(ist.)g(Also)h(ist)f Fq(f)24 b Ft(ein)108 1678 y(Isomorphism)o(us.)p 488 1651 33 2 v 488 1680 2 30 v 519 1680 V 488 1682 33 2 v 108 1843 a(Wir)11 b(hab)q(en)h(sc)o(hon)g (in)f(1.7)g(freie)g(Monoide)g(k)o(ennengelern)o(t,)e(jedo)q(c)o(h)i (nic)o(h)o(t)108 1901 y(durc)o(h)24 b(die)g(ob)q(en)h(gegeb)q(ene)f (Abbildungseigensc)o(haft.)f(Diese)g(Abbil-)108 1959 y(dungseigensc)o(haft)16 b(b)q(ew)o(eisen)e(wir)h(im)e(folgenden)i (Satz.)g(Eb)q(enso)h(geb)q(en)108 2017 y(wir)h(hier)f(die)g (Konstruktion)h(einer)e(freien)h(Halbgrupp)q(e)h(an.)g(Die)f(Kon-)108 2075 y(struktion)j(einer)f(freien)f(Grupp)q(e)j(ist)e(sc)o(h)o (wieriger.)f(Da)i(wir)g(sie)f(sp)1382 2077 y(\177)1382 2075 y(ater)108 2133 y(nic)o(h)o(t)h(b)q(en)311 2135 y(\177)311 2133 y(otigen,)g(w)o(ollen)g(wir)g(diese)g(Konstruktion)h (auc)o(h)g(hier)f(nic)o(h)o(t)108 2191 y(angeb)q(en.)p eop %%Page: 102 13 102 12 bop 108 117 a Fu(102)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Fr(Satz)g(3.4.)85 b Ft(\(1\))21 b Fp(Sei)16 b Fq(A)f Fp(eine)h(Menge.)h(Dann)e(ist)h Fq(A)1126 207 y Fm(\003)1160 225 y Fp(zusammen)g(mit)257 283 y(der)h(Einb)n(ettung)j(von)e Fq(A)f Fp(in)h Fq(A)829 265 y Fm(\003)865 283 y Fp(fr)n(eies)f(Monoid.)174 341 y Ft(\(2\))k Fp(Sei)e Fq(A)f Fp(eine)h(Menge.)g(Dann)g(ist)f Fq(A)912 323 y Fm(\003)943 341 y Fo(n)12 b(f)p Fq(")p Fo(g)18 b Fp(zusammen)g(mit)h(der)257 399 y(Einb)n(ettung)g(von)f Fq(A)f Fp(in)h Fq(A)743 381 y Fm(\003)774 399 y Fo(n)11 b(f)p Fq(")p Fo(g)17 b Fp(fr)n(eie)g(Halb)n(grupp)n(e.)158 482 y Fi(Beweis.)j Ft(\(1\))25 b(Sei)e Fq(\013)28 b Ft(:)e Fq(A)h Fo(\000)-8 b(!)27 b Fq(G)d Ft(eine)f(Abbildung)h(in)g(ein)f(Mo-) 108 541 y(noid)j Fq(G)p Ft(.)f(Wir)g(de\014nieren)g Fq(f)35 b Ft(:)29 b Fq(A)782 522 y Fm(\003)830 541 y Fo(\000)-8 b(!)29 b Fq(G)d Ft(durc)o(h)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)1224 548 y Fk(1)1252 541 y Fq(:)j(:)g(:)g(a)1344 548 y Fn(n)1367 541 y Ft(\))29 b(:=)108 599 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)184 606 y Fk(1)204 599 y Ft(\))11 b Fo(\001)g Fq(:)d(:)g(:)j Fo(\001)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)429 606 y Fn(n)453 599 y Ft(\))16 b(f)504 601 y(\177)503 599 y(ur)h Fq(n)e Fo(\025)f Ft(1)j(und)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(")p Ft(\))14 b(:=)h Fq(e)996 606 y Fn(G)1025 599 y Ft(.)h(\(Wir)g(de\014nieren)g(das)108 657 y(0-fac)o(he)h(Pro)q(dukt)g(v)o(on)g(Elemen)o(ten)c(in)k Fq(G)g Ft(als)f Fq(e)1009 664 y Fn(G)1039 657 y Ft(.\))g Fq(f)22 b Ft(ist)16 b(eine)g(w)o(ohlde-)108 715 y(\014nierte)i (Abbildung,)g(w)o(eil)g(durc)o(h)g(jedes)h(Elemen)o(t)d Fq(a)1117 722 y Fk(1)1145 715 y Fq(:)8 b(:)g(:)f(a)1236 722 y Fn(n)1278 715 y Fo(2)18 b Fq(A)1366 697 y Fm(\003)1404 715 y Ft(die)108 773 y(Komp)q(onen)o(ten)d Fq(a)448 780 y Fk(1)467 773 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)611 780 y Fn(n)647 773 y Fo(2)14 b Fq(A)h Ft(eindeutig)g(stimm)n(t)e(sind.) i(Sie)f(w)o(erden)108 831 y(b)q(en)185 833 y(\177)185 831 y(otigt,)k(um)e(den)i(W)l(ert)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)693 838 y Fk(1)721 831 y Fq(:)j(:)g(:)f(a)812 838 y Fn(n)836 831 y Ft(\))17 b(zu)g(b)q(esc)o(hreib)q(en.)g(Es)h(ist)f Fq(f)23 b Ft(ein)108 889 y(Homomorphism)o(us,)9 b(denn)j Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)706 896 y Fk(1)734 889 y Fq(:)j(:)g(:)g(a)826 896 y Fn(n)852 889 y Fo(\016)s Fq(b)901 896 y Fk(1)929 889 y Fq(:)g(:)g(:)f(b)1015 896 y Fn(r)1034 889 y Ft(\))14 b(=)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)1195 896 y Fk(1)1214 889 y Ft(\))s Fo(\001)s Fq(:)8 b(:)g(:)s Fo(\001)s Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)1407 896 y Fn(n)1431 889 y Ft(\))s Fo(\001)108 947 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(b)179 954 y Fk(1)199 947 y Ft(\))q Fo(\001)q Fq(:)g(:)g(:)q Fo(\001)q Fq(\013)p Ft(\()p Fq(b)379 954 y Fn(r)398 947 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)557 954 y Fk(1)578 947 y Fo(\001)q Fq(:)j(:)g(:)p Fo(\001)q Fq(a)692 954 y Fn(n)716 947 y Ft(\))q Fo(\001)q Fq(f)d Ft(\()p Fq(b)820 954 y Fk(1)841 947 y Fo(\001)q Fq(:)j(:)g(:)q Fo(\001)q Fq(b)951 954 y Fn(r)969 947 y Ft(\))k(und)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(")p Ft(\))14 b(=)f Fq(e)1271 954 y Fn(G)1301 947 y Ft(.)e(W)l(eiter)108 1005 y(ist)17 b Fq(f)5 b(\023)p Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))15 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))15 b(=)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)p Ft(\),)j(also)g Fq(f)5 b(\023)16 b Ft(=)f Fq(\013)p Ft(.)h(Um)f(die)i(Eindeutigk)o(eit)e(v)o(on)108 1064 y Fq(f)22 b Ft(mit)15 b Fq(f)5 b(\023)15 b Ft(=)f Fq(\013)j Ft(zu)f(zeigen,)g(sei)g Fq(f)731 1045 y Fm(0)757 1064 y Ft(:)e Fq(A)822 1045 y Fm(\003)855 1064 y Fo(\000)-8 b(!)14 b Fq(G)j Ft(ein)f(Homomorphism)n(us)108 1122 y(mit)11 b Fq(f)223 1104 y Fm(0)235 1122 y Fq(\023)j Ft(=)g Fq(\013)p Ft(.)f(Dann)h(ist)e Fq(f)598 1104 y Fm(0)610 1122 y Ft(\()p Fq(a)655 1129 y Fk(1)683 1122 y Fq(:)c(:)g(:)f(a)774 1129 y Fn(n)798 1122 y Ft(\))13 b(=)h Fq(f)911 1104 y Fm(0)923 1122 y Ft(\()p Fq(a)968 1129 y Fk(1)992 1122 y Fo(\016)t Fq(:)8 b(:)g(:)s Fo(\016)t Fq(a)1137 1129 y Fn(n)1160 1122 y Ft(\))14 b(=)g Fq(f)1274 1104 y Fm(0)1286 1122 y Ft(\()p Fq(a)1331 1129 y Fk(1)1350 1122 y Ft(\))t Fo(\001)t Fq(:)8 b(:)g(:)t Fo(\001)108 1180 y Fq(f)137 1162 y Fm(0)149 1180 y Ft(\()p Fq(a)194 1187 y Fn(n)217 1180 y Ft(\))15 b(=)f Fq(f)332 1162 y Fm(0)344 1180 y Fq(\023)p Ft(\()p Fq(a)406 1187 y Fk(1)426 1180 y Ft(\))d Fo(\001)g Fq(:)d(:)g(:)j Fo(\001)g Fq(f)604 1162 y Fm(0)616 1180 y Fq(\023)p Ft(\()p Fq(a)678 1187 y Fn(n)701 1180 y Ft(\))k(=)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)863 1187 y Fk(1)883 1180 y Ft(\))d Fo(\001)g Fq(:)d(:)g(:)j Fo(\001)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)1108 1187 y Fn(n)1131 1180 y Ft(\))k(=)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)1291 1187 y Fk(1)1319 1180 y Fq(:)j(:)g(:)g(a) 1411 1187 y Fn(n)1434 1180 y Ft(\))p Fq(:)108 1238 y Ft(W)l(eiter)15 b(ist)h Fq(f)362 1220 y Fm(0)374 1238 y Ft(\()p Fq(")p Ft(\))e(=)g Fq(e)524 1245 y Fn(G)567 1238 y Ft(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(")p Ft(\))p Fq(:)16 b Ft(Also)g(gilt)f Fq(f)964 1220 y Fm(0)990 1238 y Ft(=)f Fq(f)5 b Ft(.)108 1296 y(\(2\))14 b(Der)e(Bew)o(eis)g(v)o(erl)512 1298 y(\177)512 1296 y(auft)g(eb)q(enso)h(wie)g(in)f(T)l(eil)g(\(1\).)h (Allerdings)f(m)1355 1298 y(\177)1354 1296 y(ussen)108 1354 y(alle)k(Referenzen)e(zu)i Fq(")e Fo(2)g Fq(A)632 1336 y Fm(\003)668 1354 y Ft(fortgelassen)i(w)o(erden.)p 1145 1327 33 2 v 1145 1356 2 30 v 1176 1356 V 1145 1358 33 2 v 108 1480 a(Man)c(k)m(ann)g(auc)o(h)f(zeigen,)f(da\031)i(es)f(zu) g(jeder)g(Menge)g Fq(A)g Ft(eine)f(freie)g(Grupp)q(e)108 1538 y Fq(\023)26 b Ft(:)f Fq(A)g Fo(\000)-9 b(!)26 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))21 b(gibt.)i(Die)g(Konstruktion)g(ist)g (jedo)q(c)o(h)g(w)o(esen)o(tlic)o(h)108 1596 y(k)o(omplizierte)o(r.)d (Wir)i(hab)q(en)i(eine)e(solc)o(he)g(Konstruktion)h(daher)g(hier)108 1654 y(nic)o(h)o(t)15 b(mit)g(aufgenommen.)108 1737 y Fr(Beispiele)h(3.5.)86 b Ft(\(1\))21 b(\()p Fl(N)p Fq(;)8 b Ft(+\))i(ist)i(freie)f(Halbgrupp)q(e)1170 1739 y(\177)1168 1737 y(ub)q(er)i Fq(A)g Ft(=)h Fo(f)p Ft(1)p Fo(g)p Fq(:)174 1796 y Ft(\(2\))21 b(\()p Fl(N)308 1803 y Fk(0)325 1796 y Fq(;)8 b Ft(+\))16 b(ist)g(freies)g(Monoid)794 1798 y(\177)792 1796 y(ub)q(er)h Fq(A)c Ft(=)h Fo(f)p Ft(1)p Fo(g)p Fq(:)174 1854 y Ft(\(3\))21 b(\()p Fl(Z)-14 b Fq(;)8 b Ft(+\))13 b(ist)j(freie)f(Grupp)q(e)753 1856 y(\177)751 1854 y(ub)q(er)i Fq(A)c Ft(=)h Fo(f)p Ft(1)p Fo(g)p Fq(:)288 1949 y Fr(4.)28 b(Kongruenzrelationen)17 b(und)i(Restklassen)108 2075 y Ft(Wir)12 b(hab)q(en)h(gesehen,)f (da\031)h(die)f(freien)f(Strukturen)h(b)q(esonders)h(g)1315 2077 y(\177)1314 2075 y(unstige)108 2133 y(Eigensc)o(haften)e(hab)q (en.)g(Wir)f(k)o(ennen)g(jedo)q(c)o(h)h(Beispiele)d(v)o(on)j(Halbgrup-) 108 2191 y(p)q(en,)21 b(Monoiden)g(bzw.)f(Grupp)q(en,)h(die)f(nic)o(h)o (t)g(frei)f(sind.)i(Wir)f(w)o(erden)p eop %%Page: 103 14 103 13 bop 268 117 a Fu(4.)17 b(K)o(ONGR)o(UENZRELA)m(TIONEN)h(UND)g (RESTKLASSEN)98 b(103)108 225 y Ft(in)22 b(diesem)f(Absc)o(hnitt)g (zeigen,)g(da\031)j(sic)o(h)e(alle)f(solc)o(hen)h(Ob)s(jekte)f(zu-)108 283 y(mindest)14 b(mit)h(Hilfe)f(v)o(on)i(freien)e(Ob)s(jekten)h(b)q (esc)o(hreib)q(en)g(lassen.)h(Dazu)108 341 y(f)124 343 y(\177)123 341 y(uhren)h(wir)f(zun)422 343 y(\177)422 341 y(ac)o(hst)g(eine)g(allgemeine)d(Konstruktion)k(der)g(Restklas-)108 399 y(sen)o(bildung)11 b(ein,)g(wie)g(wir)g(sie)g(b)q(ei)g(der)g (Bildung)g(v)o(on)1087 389 y(\177)1081 399 y(Aquiv)m(alenzklassen)108 458 y(in)167 460 y(\177)167 458 y(ahnlic)o(her)16 b(W)l(eise)h(auc)o(h) h(sc)o(hon)f(fr)805 460 y(\177)804 458 y(uher)h(k)o(ennengelern)o(t)e (hab)q(en.)i(Der)108 516 y(sogleic)o(h)h(einzuf)420 518 y(\177)419 516 y(uhrende)g(Begri\013)h(der)g(Kongruenzrelation)f (spielt)h(f)1422 518 y(\177)1421 516 y(ur)108 574 y(Halbgrupp)q(en)j (\(Monoide,)f(Grupp)q(en\))i(dieselb)q(e)d(Rolle,)h(wie)g(der)g(Be-)108 632 y(gri\013)i(der)315 621 y(\177)309 632 y(Aquiv)m(alenzrelation)e(f) 746 634 y(\177)745 632 y(ur)h(Mengen.)g(Insb)q(esondere)h(w)o(erden)108 690 y(wir)19 b(P)o(artitionen)f(nac)o(h)h(einer)f(Kongruenzrelation)h (bilden)f(und)h(einen)108 748 y(F)l(aktorisierungssatz)e(b)q(ew)o (eisen.)108 832 y Fr(De\014nition)h(4.1.)i Ft(Sei)c Fq(G)i Ft(eine)e(Halbgrupp)q(e)i(\(Monoid,)f(Grupp)q(e\).)h(Ei-)108 890 y(ne)25 b(T)l(eilmenge)e Fq(R)30 b Fo(\032)f Fq(G)18 b Fo(\002)f Fq(G)26 b Ft(hei\031t)f Fp(Kongruenzr)n(elation)p Ft(,)i(w)o(enn)e Fq(R)108 948 y Ft(eine)221 937 y(\177)215 948 y(Aquiv)m(alenzrelation)c(und)i(eine)f(Un)o(ter-Halbgrupp)q(e)h (\(-Monoid,)108 1006 y(-Grupp)q(e\))17 b(v)o(on)e Fq(G)10 b Fo(\002)g Fq(G)16 b Ft(ist.)f(Dab)q(ei)h(ist)f(die)g(Multiplik)m (ation)f(auf)i Fq(G)11 b Fo(\002)e Fq(G)108 1064 y Ft(k)o(omp)q(onen)o (ten)o(w)o(eise)14 b(de\014niert:)h(\()p Fq(g)766 1071 y Fk(1)786 1064 y Fq(;)8 b(g)831 1071 y Fk(2)851 1064 y Ft(\))j Fo(\001)g Ft(\()p Fq(g)950 1046 y Fm(0)948 1076 y Fk(1)968 1064 y Fq(;)d(g)1015 1046 y Fm(0)1013 1076 y Fk(2)1033 1064 y Ft(\))13 b(=)h(\()p Fq(g)1159 1071 y Fk(1)1190 1064 y Fo(\001)d Fq(g)1240 1046 y Fm(0)1238 1076 y Fk(1)1258 1064 y Fq(;)d(g)1303 1071 y Fk(2)1334 1064 y Fo(\001)j Fq(g)1384 1046 y Fm(0)1382 1076 y Fk(2)1402 1064 y Ft(\).)117 1137 y Fp(\177)108 1148 y(Ubung:)21 b Ft(Sei)e Fq(G)i Ft(eine)d(Grupp)q(e.)i(Sei)f Fq(R)h Fo(\032)g Fq(G)13 b Fo(\002)h Fq(G)20 b Ft(eine)e(Kongruenzre-)108 1206 y(lation)g(f)264 1208 y(\177)263 1206 y(ur)g(die)g Fp(Halb)s Ft(grupp)q(e)i Fq(G)p Ft(.)e(Man)g(zeige,)f(da\031)i Fq(R)g Ft(dann)f(auc)o(h)h(eine)108 1264 y(Kongruenzrelation)d(f)533 1266 y(\177)532 1264 y(ur)h(die)e(Grupp)q(e)i Fq(G)g Ft(ist.)108 1322 y(\(Hin)o(w)o(eis:)11 b(Ist)j(\()p Fq(g)r(;)8 b(h)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)g(so)g(auc)o(h)f(\()p Fq(h;)8 b(g)r Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(h)977 1304 y Fm(\000)p Fk(1)1024 1322 y Fq(;)g(h)1074 1304 y Fm(\000)p Fk(1)1121 1322 y Ft(\))14 b(und)g(\()p Fq(g)1293 1304 y Fm(\000)p Fk(1)1340 1322 y Fq(;)8 b(g)1387 1304 y Fm(\000)p Fk(1)1434 1322 y Ft(\).)108 1380 y(Dann)17 b(ist)f(\()p Fq(h)355 1362 y Fm(\000)p Fk(1)403 1380 y Fq(;)8 b(h)453 1362 y Fm(\000)p Fk(1)500 1380 y Ft(\)\()p Fq(h;)g(g)r Ft(\)\()p Fq(g)676 1362 y Fm(\000)p Fk(1)723 1380 y Fq(;)g(g)770 1362 y Fm(\000)p Fk(1)817 1380 y Ft(\))14 b(=)g(\()p Fq(g)946 1362 y Fm(\000)p Fk(1)993 1380 y Fq(;)8 b(h)1043 1362 y Fm(\000)p Fk(1)1090 1380 y Ft(\))14 b Fo(2)g Fq(R)p Ft(.\))108 1464 y Fr(Satz)19 b(4.2.)h Fp(Wenn)f Fq(R)c Fo(\032)g Fq(G)d Fo(\002)f Fq(G)19 b Fp(eine)g(Kongruenzr)n(elation)h (auf)e Fq(G)h Fp(ist,)108 1522 y(dann)e(tr)266 1524 y(\177)266 1522 y(agt)g Fq(G=R)h Fp(genau)g(eine)g(Struktur)f(einer)g(Halb)n (grupp)n(e)g Ft(\()p Fp(Monoid,)108 1580 y(Grupp)n(e)p Ft(\))p Fp(,)k(so)h(da\031)h(die)f(R)n(estklassenabbildung)j Fq(\027)h Ft(:)c Fq(G)h Fo(\000)-8 b(!)22 b Fq(G=R)i Fp(ein)108 1638 y(Homomorphismus)16 b(ist.)158 1722 y Fi(Beweis.)k Ft(Im)j(Halbgrupp)q(enfall)i(de\014nieren)f(wir)g(eine)g (Op)q(eration)108 1780 y(auf)17 b Fq(G=R)h Ft(durc)o(h)d(das)i(k)o(omm) o(utativ)n(e)c(Diagramm)501 1866 y Fq(G)e Fo(\002)g Fq(G)174 b(G=R)13 b Fo(\002)e Fq(G=R)p 651 1854 149 2 v 758 1853 a Ff(-)692 1842 y Fn(\027)r Fm(\002)p Fn(\027)706 1923 y(\013)657 1896 y Ff(P)698 1910 y(P)740 1924 y(P)781 1938 y(P)815 1949 y(P)-42 b(q)893 1990 y Fq(G=R)p 942 1949 2 67 v 943 1949 a Ff(?)960 1924 y Fn(f)108 2075 y Ft(mit)15 b Fq(\013)p Ft(\()p Fq(g)r(;)8 b(h)p Ft(\))15 b(:=)p 422 2036 90 2 v 13 w Fq(g)f Fo(\001)c Fq(h)q Ft(.)16 b(Die)g(Abbildung)g Fq(f)21 b Ft(existiert)15 b(und)i(ist)f(eindeutig) 108 2133 y(b)q(estimm)o(t,)f(w)o(eil)i(f)458 2135 y(\177)457 2133 y(ur)i(\()p Fq(g)r(;)8 b(g)613 2115 y Fm(0)624 2133 y Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(h;)g(h)762 2115 y Fm(0)774 2133 y Ft(\))17 b Fo(2)h Fq(R)h Ft(auc)o(h)g(\()p Fq(g)r(;)8 b(g)1126 2115 y Fm(0)1137 2133 y Ft(\))13 b Fo(\001)f Ft(\()p Fq(h;)c(h)1292 2115 y Fm(0)1304 2133 y Ft(\))17 b(=)h(\()p Fq(g)d Fo(\001)108 2191 y Fq(h;)8 b(g)183 2173 y Fm(0)208 2191 y Fo(\001)13 b Fq(h)263 2173 y Fm(0)275 2191 y Ft(\))18 b Fo(2)h Fq(R)g Fo(\032)g Fq(G)13 b Fo(\002)g Fq(G)20 b Ft(gilt.)e(Ist)h(also)h Fq(g)g Fo(\030)f Fq(g)1044 2173 y Fm(0)1075 2191 y Ft(und)g Fq(h)g Fo(\030)g Fq(h)1308 2173 y Fm(0)1319 2191 y Ft(,)g(so)h(ist)p eop %%Page: 104 15 104 14 bop 108 117 a Fu(104)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 226 y Fq(g)8 b Fo(\001)e Fq(h)14 b Fo(\030)g Fq(g)279 208 y Fm(0)296 226 y Fo(\001)6 b Fq(h)344 208 y Fm(0)356 226 y Ft(,)13 b(also)p 478 187 90 2 v 14 w Fq(g)g Fo(\001)e Fq(h)j Ft(=)p 633 187 113 2 v 14 w Fq(g)658 212 y Fm(0)681 226 y Fo(\001)d Fq(h)734 212 y Fm(0)759 226 y Ft(und)j(damit)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(g)r(;)8 b(h)p Ft(\))14 b(=)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(g)1278 208 y Fm(0)1290 226 y Fq(;)8 b(h)1340 208 y Fm(0)1351 226 y Ft(\))14 b(Wir)108 285 y(sc)o(hreib)q(en)f(die)f(Multiplik)m (ation)g Fq(f)5 b Ft(\()p 760 258 26 2 v Fq(g)s(;)p 808 245 29 2 v 8 w(h)o Ft(\))14 b(als)p 938 258 26 2 v 13 w Fq(g)7 b Fo(\001)p 987 245 29 2 v 5 w Fq(h)p Ft(,)13 b(also)h(gilt)p 1221 258 26 2 v 13 w Fq(g)7 b Fo(\001)p 1270 245 29 2 v 5 w Fq(h)14 b Ft(=)p 1364 245 90 2 v 14 w Fq(g)f Fo(\001)e Fq(h)p Ft(.)108 343 y(Die)i(Multiplik)m(ation)f Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(G=R)6 b Fo(\002)f Fq(G=R)16 b Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G=R)h Ft(ist)e(assoziativ)h(w)o(egen)p 108 374 26 2 v 108 401 a Fq(g)j Fo(\001)c Ft(\()p 194 361 29 2 v Fq(h)i Fo(\001)p 265 361 28 2 v 14 w Fq(k)r Ft(\))21 b(=)p 392 374 26 2 v 22 w Fq(g)16 b Fo(\001)e Ft(\()p 478 361 92 2 v Fq(h)d Fo(\001)g Fq(k)r Ft(\))21 b(=)p 669 358 191 2 v 22 w Fq(g)13 b Fo(\001)e Ft(\()p Fq(h)g Fo(\001)g Fq(k)r Ft(\))21 b(=)p 940 358 V 22 w(\()p Fq(g)13 b Fo(\001)e Fq(h)p Ft(\))g Fo(\001)g Fq(k)23 b Ft(=)p 1211 358 128 2 v 22 w(\()p Fq(g)13 b Fo(\001)e Fq(h)p Ft(\))j Fo(\001)p 1380 361 28 2 v 14 w Fq(k)24 b Ft(=)108 459 y(\()p 127 432 26 2 v Fq(g)16 b Fo(\001)p 193 419 29 2 v 13 w Fq(h)p Ft(\))d Fo(\001)p 280 419 28 2 v 13 w Fq(k)r Ft(.)19 b(W)l(eiter)f(ist)h(die)g (Restklassenabbildung)g Fq(\027)k Ft(:)18 b Fq(G)i Fo(\000)-9 b(!)19 b Fq(G=R)108 517 y Ft(ein)i(Homomorphism)o(us)e(w)o(egen)i Fq(\027)s Ft(\()p Fq(g)c Fo(\001)e Fq(h)p Ft(\))23 b(=)p 993 477 90 2 v 23 w Fq(g)13 b Fo(\001)e Fq(h)24 b Ft(=)p 1167 491 26 2 v 23 w Fq(g)17 b Fo(\001)p 1235 477 29 2 v 14 w Fq(h)23 b Ft(=)h Fq(\027)s Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))15 b Fo(\001)108 575 y Fq(\027)s Ft(\()p Fq(h)p Ft(\).)23 b(Sc)o(hlie\031lic)o(h)c(ist)k Fq(f)k Ft(eindeutig)22 b(dadurc)o(h)h(festgelegt,)e(da\031)i Fq(\027)j Ft(ein)108 633 y(Homomorphism)o(us)15 b(ist,)i(denn)h Fq(f)5 b Ft(\()p 761 607 26 2 v Fq(g)r(;)p 808 594 29 2 v 8 w(h)p Ft(\))16 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(\027)s Ft(\()p Fq(g)r Ft(\))p Fq(;)j(\027)s Ft(\()p Fq(h)p Ft(\)\))17 b(=)h(\(da)g Fq(\027)j Ft(ein)108 691 y(Homomorphism)o(us)c(ist\))i Fq(\027)s Ft(\()p Fq(g)d Fo(\001)e Fq(h)p Ft(\))20 b(=)p 839 652 90 2 v 20 w Fq(g)13 b Fo(\001)e Fq(h)p Ft(.)20 b(Im)e(F)l(alle)h(v)o(on)h(Monoiden)108 749 y(k)o(omm)o(t)10 b(das)j(neutrale)f(Elemen)o(t)e Fq(e)k Fo(2)g Fq(G)f Ft(hinzu.)f(W)l(egen)p 1157 723 23 2 v 12 w Fq(e)t Fo(\001)p 1202 723 26 2 v 4 w Fq(g)j Ft(=)p 1292 722 84 2 v 14 w Fq(e)c Fo(\001)g Fq(g)16 b Ft(=)p 1441 723 26 2 v 13 w Fq(g)108 808 y Ft(und)p 207 781 V 18 w Fq(g)e Fo(\001)p 269 781 23 2 v 11 w Fq(e)h Ft(=)p 361 780 84 2 v 16 w Fq(g)e Fo(\001)e Fq(e)k Ft(=)p 514 781 26 2 v 16 w Fq(g)k Ft(ist)p 625 781 23 2 v 17 w Fq(e)e Ft(neutrales)g(Elemen)o(t)e(in)h Fq(G=R)p Ft(.)j(W)l(eiter)d(ist)108 866 y Fq(\027)s Ft(\()p Fq(e)p Ft(\))e(=)p 262 839 V 14 w Fq(e)o Ft(.)e(Im)d(F)l(alle)i(v)o(on) h(Grupp)q(en)g(k)o(ommen)d(in)o(v)o(erse)h(Elemen)o(te)e(hinzu.)108 924 y(Es)17 b(ist)p 244 883 73 2 v 15 w Fq(g)269 909 y Fm(\000)p Fk(1)327 924 y Fo(\001)p 351 897 26 2 v 10 w Fq(g)f Ft(=)p 442 883 134 2 v 14 w Fq(g)467 909 y Fm(\000)p Fk(1)525 924 y Fo(\001)11 b Fq(g)16 b Ft(=)p 641 897 23 2 v 14 w Fq(e)d Ft(=)p 729 883 134 2 v 14 w Fq(g)g Fo(\001)e Fq(g)815 909 y Fm(\000)p Fk(1)876 924 y Ft(=)p 928 897 26 2 v 14 w Fq(g)i Fo(\001)p 988 883 73 2 v 10 w Fq(g)1013 909 y Fm(\000)p Fk(1)1060 924 y Ft(,)j(also)g(ist)p 1255 883 V 16 w Fq(g)1280 909 y Fm(\000)p Fk(1)1343 924 y Ft(in)o(v)o(ers)108 982 y(zu)p 173 956 26 2 v 16 w Fq(g)j Ft(und)d Fq(G=R)i Ft(damit)d(eine)g(Grupp)q(e.)p 894 955 33 2 v 894 984 2 30 v 925 984 V 894 986 33 2 v 108 1084 a Fr(Beispiele)h(4.3.)86 b Ft(\(1\))21 b(In)16 b Fl(N)e Ft(ist)i(die)g(P)o(artition)479 1176 y(\026)479 1187 y(1)e(=)g Fo(f)p Ft(1)p Fo(g)p Fq(;)665 1176 y Ft(\026)665 1187 y(2)g(=)g Fo(f)p Ft(2)p Fo(g)p Fq(;)851 1176 y Ft(\026)851 1187 y(3)g(=)g Fo(f)p Fq(n)g Fo(2)g Fl(N)p Fo(j)p Fq(n)e Fo(\025)h Ft(3)p Fo(g)257 1289 y Ft(v)o(on)j(einer)f(Kongruenzrelation) h(abgeleitet,)f(denn)h(in)565 1391 y Fq(R)e Ft(=)g Fo(f)p Ft(\()p Fq(r)o(;)8 b(s)p Ft(\))p Fo(j)p Fq(r)o(;)g(s)k Fo(\025)i Ft(3)d Fo(_)h Fq(r)j Ft(=)f Fq(s)p Fo(g)257 1494 y Ft(gilt)j(\()p Fq(r)o(;)8 b(s)p Ft(\))k(+)g(\()p Fq(r)553 1476 y Fm(0)565 1494 y Fq(;)c(s)610 1476 y Fm(0)621 1494 y Ft(\))17 b(=)g(\()p Fq(r)c Ft(+)f Fq(r)839 1476 y Fm(0)851 1494 y Fq(;)c(s)k Ft(+)g Fq(s)981 1476 y Fm(0)993 1494 y Ft(\))17 b Fo(2)f Fq(R)p Ft(,)j(wie)e(man)g(durc)o(h)257 1552 y(Nac)o(hrec)o(hnen)10 b(sofort)k(sieh)o(t.)d(Dann)i(hat)g Fl(N)p Fq(=R)e Ft(die)h(folgende)g(V)l(er-)257 1610 y(kn)311 1612 y(\177)310 1610 y(upfungstafel:)700 1682 y(+)p 763 1686 2 43 v 814 1671 a(\026)814 1682 y(1)903 1671 y(\026)903 1682 y(2)993 1671 y(\026)993 1682 y(3)p 763 1694 2 9 v 690 1696 344 2 v 763 1712 2 17 v 706 1742 a(\026)706 1753 y(1)p 763 1770 2 59 v 814 1742 a(\026)814 1753 y(2)903 1742 y(\026)903 1753 y(3)993 1742 y(\026)993 1753 y(3)706 1800 y(\026)706 1811 y(2)p 763 1828 V 814 1800 a(\026)814 1811 y(3)903 1800 y(\026)903 1811 y(3)993 1800 y(\026)993 1811 y(3)706 1858 y(\026)706 1869 y(3)p 763 1887 V 814 1858 a(\026)814 1869 y(3)903 1858 y(\026)903 1869 y(3)993 1858 y(\026)993 1869 y(3)174 1959 y(\(2\))21 b(Sei)i Fq(n)28 b Fo(2)f Fl(N)492 1966 y Fk(0)534 1959 y Ft(fest)d(gew)714 1961 y(\177)714 1959 y(ahlt.)g(In)g Fl(Z)p Fo(\002)16 b Fl(Z)8 b Ft(sei)23 b Fq(R)28 b Ft(:=)f Fo(f)p Ft(\()p Fq(r)o(;)8 b(s)p Ft(\))26 b Fo(2)257 2017 y Fl(Z)o Fo(\002)15 b Fl(Z)-14 b Fo(j9)p Fq(q)22 b Fo(2)j Fl(Z)-14 b Ft([)p Fq(q)13 b Fo(\001)i Fq(n)25 b Ft(=)f Fq(r)16 b Fo(\000)f Fq(s)p Ft(])p Fo(g)p Ft(.)21 b(Man)i(sieh)o(t)e(leic)o(h)o(t,)f(da\031) j Fq(R)257 2075 y Ft(eine)g(Kongruenzrelation)h(\(bzgl.)g(der)g (Addition)f(v)o(on)h Fl(Z)-13 b Ft(\))21 b(ist.)257 2133 y(Die)14 b(Kongruenzklassen)i Fl(Z)-14 b Fq(=R)14 b Ft(sind)h Fo(f)973 2123 y Ft(\026)973 2133 y(0)p Fq(;)1019 2123 y Ft(\026)1019 2133 y(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)p 1161 2096 115 2 v 8 w(n)11 b Fo(\000)g Ft(1)p Fo(g)k Ft(im)f(F)l(al-)257 2191 y(le)22 b Fq(n)i(>)h Ft(0)e(und)g Fo(f)607 2181 y Ft(\026)607 2191 y(0)p Fq(;)8 b Fo(\006)692 2181 y Ft(\026)692 2191 y(1)p Fq(;)g Fo(\006)777 2181 y Ft(\026)777 2191 y(2)p Fq(;)g Fo(\006)862 2181 y Ft(\026)862 2191 y(3)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)g Fo(g)22 b Ft(f)1037 2193 y(\177)1036 2191 y(ur)h Fq(n)i Ft(=)f(0.)f(Die)f(V)l(er-)p eop %%Page: 105 16 105 15 bop 268 117 a Fu(4.)17 b(K)o(ONGR)o(UENZRELA)m(TIONEN)h(UND)g (RESTKLASSEN)98 b(105)257 225 y Ft(kn)311 227 y(\177)310 225 y(upfungstafel)16 b(f)602 227 y(\177)601 225 y(ur)g Fq(n)e(>)g Ft(0)j(ist)f(w)o(egen)i(\026)-26 b Fq(r)12 b Ft(+)h(\026)-26 b Fq(s)14 b Ft(=)p 1184 191 107 2 v 14 w Fq(r)e Ft(+)f Fq(s)390 320 y Ft(+)p 482 324 2 45 v 545 283 25 2 v 117 w(0)p 696 283 V 127 w(1)p 834 283 V 114 w(2)p 972 283 V 114 w(3)114 b Fq(:)8 b(:)g(:)p 1241 283 115 2 v 73 w(n)j Fo(\000)g Ft(1)p 482 333 2 9 v 352 335 1021 2 v 482 351 2 17 v 397 355 25 2 v 397 392 a(0)p 482 409 2 59 v 545 355 25 2 v 124 w(0)p 696 355 V 127 w(1)p 834 355 V 114 w(2)p 972 355 V 114 w(3)114 b Fq(:)8 b(:)g(:)p 1241 355 115 2 v 73 w(n)j Fo(\000)g Ft(1)p 397 413 25 2 v 397 450 a(1)p 482 467 2 59 v 545 413 25 2 v 124 w(1)p 696 413 V 127 w(2)p 834 413 V 114 w(3)p 972 413 V 114 w(4)114 b Fq(:)8 b(:)g(:)p 1286 413 V 118 w Ft(0)410 497 y(.)410 514 y(.)410 530 y(.)p 482 530 2 63 v 559 497 a(.)559 514 y(.)559 530 y(.)709 497 y(.)709 514 y(.)709 530 y(.)848 497 y(.)848 514 y(.)848 530 y(.)986 497 y(.)986 514 y(.)986 530 y(.)1300 497 y(.)1300 514 y(.)1300 530 y(.)p 482 555 2 25 v 352 559 115 2 v 352 596 a Fq(n)j Fo(\000)g Ft(1)p 482 613 2 59 v 500 559 115 2 v 34 w Fq(n)g Fo(\000)g Ft(1)p 696 559 25 2 v 82 w(0)p 834 559 V 114 w(1)p 972 559 V 114 w(2)114 b Fq(:)8 b(:)g(:)p 1241 559 115 2 v 73 w(n)j Fo(\000)g Ft(2)257 695 y(Im)19 b(F)l(alle)h Fq(n)i Ft(=)h(0)e(ist)g Fq(R)h Ft(die)e(Gleic)o(hheitsrelation)f(auf)i Fl(Z)5 b Ft(und)257 753 y Fl(Z)-14 b Fq(=R)360 739 y Fo(\030)361 755 y Ft(=)413 753 y Fl(Z)o Ft(\(als)16 b(Grupp)q(en\).)g(In)f(diesem)f (Beispiel)f(sc)o(hreib)q(en)i(wir)257 811 y(auc)o(h)j(\()p Fq(n)p Ft(\))e(:=)g Fq(R)j Ft(und)f(damit)f Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))16 b(f)976 813 y(\177)975 811 y(ur)i Fq(n)e(>)h Ft(0)h(bzw.)g Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(0\))1428 798 y Fo(\030)1428 813 y Ft(=)257 869 y Fl(Z)g Ft(.)17 b(Die)i(hier)f(b)q(etrac)o(h)o(tete)776 859 y(\177)770 869 y(Aquiv)m(alenzrelation)f(\()p Fq(n)p Ft(\))j(ist)f(die)g(in)257 928 y(Beispiel)14 b(I.)h(4.2)i(\(3\))f(b)q (etrac)o(h)o(tete.)257 986 y(Die)349 975 y(\177)343 986 y(Aquiv)m(alenzrelation)11 b(\()p Fq(n)p Ft(\))j(ist)f(auc)o(h)g(eine)g (Kongruenzrelati-)257 1044 y(on)i(b)q(ez)396 1046 y(\177)395 1044 y(uglic)o(h)f(der)g(Multiplik)m(ation)g(auf)h Fl(Z)-13 b Ft(.)11 b Fl(Z)o Ft(ist)j(dann)i(ein)e(Mo-)257 1102 y(noid.)c(Die)h(V)l(erkn)585 1104 y(\177)584 1102 y(upfungstafel)f(f) 870 1104 y(\177)869 1102 y(ur)h Fq(n)j Ft(=)g(6)d(ist)g(w)o(egen)h (\026)-26 b Fq(r)r Fo(\001)r Ft(\026)g Fq(s)13 b Ft(=)p 1384 1075 83 2 v 14 w Fq(r)g Fo(\001)e Fq(s)578 1196 y Fo(\001)p 629 1196 2 39 v 680 1185 a Ft(\026)680 1196 y(0)769 1185 y(\026)769 1196 y(1)858 1185 y(\026)858 1196 y(2)948 1185 y(\026)948 1196 y(3)1037 1185 y(\026)1037 1196 y(4)1127 1185 y(\026)1127 1196 y(5)p 629 1204 2 9 v 556 1206 612 2 v 629 1222 2 17 v 572 1252 a(\026)572 1263 y(0)p 629 1280 2 59 v 680 1252 a(\026)680 1263 y(0)769 1252 y(\026)769 1263 y(0)858 1252 y(\026)858 1263 y(0)948 1252 y(\026)948 1263 y(0)1037 1252 y(\026)1037 1263 y(0)1127 1252 y(\026)1127 1263 y(0)572 1310 y(\026)572 1321 y(1)p 629 1338 V 680 1310 a(\026)680 1321 y(0)769 1310 y(\026)769 1321 y(1)858 1310 y(\026)858 1321 y(2)948 1310 y(\026)948 1321 y(3)1037 1310 y(\026)1037 1321 y(4)1127 1310 y(\026)1127 1321 y(5)572 1368 y(\026)572 1379 y(2)p 629 1397 V 680 1368 a(\026)680 1379 y(0)769 1368 y(\026)769 1379 y(2)858 1368 y(\026)858 1379 y(4)948 1368 y(\026)948 1379 y(0)1037 1368 y(\026)1037 1379 y(2)1127 1368 y(\026)1127 1379 y(4)572 1427 y(\026)572 1437 y(3)p 629 1455 V 680 1427 a(\026)680 1437 y(0)769 1427 y(\026)769 1437 y(3)858 1427 y(\026)858 1437 y(0)948 1427 y(\026)948 1437 y(3)1037 1427 y(\026)1037 1437 y(0)1127 1427 y(\026)1127 1437 y(3)572 1485 y(\026)572 1495 y(4)p 629 1513 V 680 1485 a(\026)680 1495 y(0)769 1485 y(\026)769 1495 y(4)858 1485 y(\026)858 1495 y(2)948 1485 y(\026)948 1495 y(0)1037 1485 y(\026)1037 1495 y(4)1127 1485 y(\026)1127 1495 y(2)572 1543 y(\026)572 1553 y(5)p 629 1571 V 680 1543 a(\026)680 1553 y(0)769 1543 y(\026)769 1553 y(5)858 1543 y(\026)858 1553 y(4)948 1543 y(\026)948 1553 y(3)1037 1543 y(\026)1037 1553 y(2)1127 1543 y(\026)1127 1553 y(1)108 1653 y Fr(Satz)19 b(4.4.)h Ft(\(F)l(aktorisierungssatz)c(o)q (der)f(Homomorphiesatz\))31 b Fp(Sei)18 b Fq(f)h Ft(:)108 1711 y Fq(G)25 b Fo(\000)-9 b(!)25 b Fq(G)314 1693 y Fm(0)349 1711 y Fp(ein)f(Homomorphismus)d(von)j(Halb)n(grupp)n(en)g Ft(\()p Fp(Monoiden,)108 1769 y(Grupp)n(en)p Ft(\))f Fp(und)g Fq(R)h Fp(eine)g(Kongruenzr)n(elation)h(in)e Fq(G)p Fp(.)g(Wenn)h(f)1322 1771 y(\177)1322 1769 y(ur)f(al)r(le)108 1827 y Ft(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)k Fp(gilt)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))p Fp(,)17 b(dann)g(gibt)h(es)g(genau)g(einen)h (Homomor-)108 1885 y(phismus)307 1872 y Ft(\026)296 1885 y Fq(f)g Ft(:)14 b Fq(G=R)h Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(G)613 1867 y Fm(0)625 1885 y Fp(,)18 b(so)f(da\031)626 1980 y Fq(G)177 b(G=H)p 677 1969 152 2 v 787 1968 a Ff(-)743 1960 y Fn(\027)723 2038 y(f)704 2018 y Ff(H)745 2038 y(H)787 2059 y(H)795 2063 y(H)-42 b(j)870 2110 y Fq(G)908 2092 y Fm(0)p 894 2063 2 67 v 895 2063 a Ff(?)919 2032 y Fk(\026)911 2041 y Fn(f)108 2191 y Fp(kommutiert.)p eop %%Page: 106 17 106 16 bop 108 117 a Fu(106)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)158 225 y Fi(Beweis.)h Ft(Nac)o(h)j(I.)g(4.9)h (existiert)e(genau)i(eine)f(Abbildung)1351 212 y(\026)1340 225 y Fq(f)29 b Ft(mit)119 270 y(\026)108 283 y Fq(f)6 b(\027)19 b Ft(=)c Fq(f)5 b Ft(.)18 b(Wir)f(zeigen)f(daher)i(n)o(ur,)e (da\031)885 270 y(\026)875 283 y Fq(f)23 b Ft(ein)16 b(Homomorphism)n(us)f(ist.)108 341 y(Da)20 b Fq(\027)h Ft(nac)o(h)e(4.2)g(ein)f(Homomorphism)n(us)e(ist)i(gilt)1085 328 y(\026)1074 341 y Fq(f)6 b Ft(\()q(\026)-25 b Fq(a)12 b Fo(\001)1186 328 y Ft(\026)1188 341 y Fq(b)o Ft(\))18 b(=)1312 328 y(\026)1301 341 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(\027)s Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))13 b Fo(\001)108 399 y Fq(\027)s Ft(\()p Fq(b)p Ft(\)\))26 b(=)313 386 y(\026)302 399 y Fq(f)6 b Ft(\()p Fq(\027)s Ft(\()p Fq(a)15 b Fo(\001)h Fq(b)p Ft(\)\))25 b(=)g(\()645 386 y(\026)634 399 y Fq(f)6 b(\027)s Ft(\)\()p Fq(a)15 b Fo(\001)h Fq(b)p Ft(\))25 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)15 b Fo(\001)h Fq(b)p Ft(\))25 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))15 b Fo(\001)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))26 b(=)108 458 y(\()138 444 y(\026)127 458 y Fq(f)6 b(\027)s Ft(\)\()p Fq(a)p Ft(\))g Fo(\001)g Ft(\()322 444 y(\026)312 458 y Fq(f)f(\027)s Ft(\)\()p Fq(b)p Ft(\))14 b(=)522 444 y(\026)512 458 y Fq(f)5 b Ft(\()q(\026)-25 b Fq(a)p Ft(\))6 b Fo(\001)642 444 y Ft(\026)631 458 y Fq(f)f Ft(\()677 444 y(\026)679 458 y Fq(b)p Ft(\))14 b(und)g(im)e(F)l(alle)h(v)o(on)h(Monoiden)1335 444 y(\026)1325 458 y Fq(f)5 b Ft(\()r(\026)-26 b Fq(e)p Ft(\))14 b(=)108 516 y(\()138 502 y(\026)127 516 y Fq(f)6 b(\027)s Ft(\)\()p Fq(e)p Ft(\))13 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(e)p Ft(\))14 b(=)f Fq(e:)p 569 489 33 2 v 569 518 2 30 v 600 518 V 569 520 33 2 v 108 615 a Ft(Der)19 b(v)o(orstehende)e (Satz)i(ist)f(das)h(allgemeine)c(und)k(einzige)e(Hilfmitte)o(l,)108 673 y(um)12 b(einen)g(Homomorphism)n(us)719 660 y(\026)708 673 y Fq(f)20 b Ft(:)13 b Fq(G=R)i Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(G)1025 655 y Fm(0)1050 673 y Ft(zu)g(de\014nieren.)f(W)l(enn)108 731 y(man)19 b(einen)g(solc)o(hen)g(Homomorphism)n(us)e(k)o (onstruieren)i(soll,)g(so)h(m)o(u\031)108 789 y(man)11 b(zun)288 791 y(\177)288 789 y(ac)o(hst)g(einen)f(Homomorphism)n(us)f Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(G)g Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G)1180 771 y Fm(0)1203 789 y Ft(k)o(onstruieren)108 847 y(und)21 b(dann)g(die)f(V)l(oraussetzungen)h(des)f(Satzes)h(erf)1094 849 y(\177)1093 847 y(ullen.)d(Wir)i(w)o(ollen)108 906 y(das)d(an)g(einigen)e(Beispielen)f(studieren.)108 1005 y Fr(Beispiele)i(4.5.)86 b Ft(\(1\))21 b(De\014niert)d(die)f(folgende)i (Angab)q(e)g(einen)e(Ho-)257 1063 y(momorphism)n(us:)607 1162 y Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(6\))11 b Fo(3)17 b Ft(\026)-27 b Fq(n)14 b Fo(7!)i Ft(\026)-26 b Fq(n)14 b Fo(2)g Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\)?)257 1262 y(Hier)17 b(ist)h(eine)f(Eigenheit)g(der)h (Notation)g(der)g(Restklassen)g(b)q(e-)257 1320 y(sonders)24 b(zu)e(b)q(eac)o(h)o(ten.)g(Es)i(ist)885 1309 y(\026)885 1320 y(0)i Fo(2)f Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(6\))21 b(die)h(Menge)1379 1309 y(\026)1379 1320 y(0)k(=)257 1378 y Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Fo(\006)p Ft(6)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(12)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(18)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)g Fo(g)p Ft(.)23 b(W)l(eiter)f(ist) 998 1367 y(\026)998 1378 y(0)27 b Fo(2)f Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(3\))21 b(eine)i(g)1377 1380 y(\177)1377 1378 y(anz-)257 1436 y(lic)o(h)14 b(andere)h(Menge,)f(n)698 1438 y(\177)698 1436 y(amlic)o(h)853 1425 y(\026)853 1436 y(0)g(=)g Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Fo(\006)p Ft(3)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(6)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(9)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)g Fo(g)p Ft(.)15 b(Der)257 1494 y(Leser)20 b(m)431 1496 y(\177)431 1494 y(oge)f(sic)o(h)g(die)h(Elemen)o(te)920 1483 y(\026)920 1494 y(1)h Fo(2)f Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(6\))18 b(und)1254 1483 y(\026)1254 1494 y(1)j Fo(2)f Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))257 1552 y(in)17 b(en)o(tsprec)o(hender)f(Sc)o(hreib)o(w)o (eise)f(klarmac)o(hen.)g(Bei)h(V)l(erw)o(en-)257 1610 y(dung)25 b(der)e(Sc)o(hreib)o(w)o(eise)h(\026)-26 b Fq(n)24 b Ft(m)o(u\031)f(also)h(immer)d(klar)j(sein,)f(in)257 1668 y(w)o(elc)o(her)12 b(Menge)i(dieses)f(Elemen)o(t)f(liegen)h(soll.) g(Wir)h(sind)g(insb)q(e-)257 1726 y(sondere)f(mit)e(der)i(obigen)h (Angab)q(e)f(w)o(eit)f(v)o(on)h(einer)g(iden)o(tisc)o(hen)257 1785 y(Abbildung)j(en)o(tfern)o(t.)257 1843 y(Die)i(wic)o(h)o(tigste)f (F)l(rage)i(ist)f(jedo)q(c)o(h,)g(ob)h(die)f(ob)q(en)h(angegeb)q(ene) 257 1901 y(Zuordn)o(ung)13 b(o)q(der)g(Relation)f(eine)g(\(w)o (ohlde\014nierte\))f(Abbildung)257 1959 y(ist.)j(Es)h(k)430 1961 y(\177)430 1959 y(onnen)g(n)599 1961 y(\177)599 1959 y(amlic)o(h)e(v)o(ersc)o(hiedene)f(Zahlen)j Fq(n)f Fo(2)g Fl(Z)n Ft(gleic)o(he)257 2017 y(Elemen)o(te)19 b(\026)-27 b Fq(n)20 b Fo(2)g Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(6\))18 b(b)q(estimmen,)e(z.B.)1077 2006 y(\026)1077 2017 y(1)k(=)1178 2006 y(\026)1178 2017 y(7.)g(Wir)f(hab)q(en)257 2075 y(also)j(zw)o(ei)e(v)o(ersc)o(hiedene)f(Repr)862 2077 y(\177)862 2075 y(asen)o(tan)o(ten)j(f)1128 2077 y(\177)1127 2075 y(ur)1194 2065 y(\026)1194 2075 y(1)q(,)f(n)1281 2077 y(\177)1281 2075 y(amlic)o(h)e(1)257 2133 y(und)e(7.)f(Dann)i(m)o (u\031)d(man)759 2135 y(\177)758 2133 y(ub)q(erpr)901 2135 y(\177)900 2133 y(ufen,)h(da\031)h(in)g(jedem)d(solc)o(hen)257 2191 y(F)l(all)i(die)g(Bilder)i(\026)-27 b Fq(n)15 b Fo(2)g Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))14 b(nic)o(h)o(t)i(v)o(on)h(der)f(b)q (esonderen)h(W)l(ahl)p eop %%Page: 107 18 107 17 bop 268 117 a Fu(4.)17 b(K)o(ONGR)o(UENZRELA)m(TIONEN)h(UND)g (RESTKLASSEN)98 b(107)257 225 y Ft(des)17 b(Repr)446 227 y(\177)446 225 y(asen)o(tan)o(ten)f Fq(n)i Ft(f)753 227 y(\177)752 225 y(ur)h(\026)-26 b Fq(n)17 b Ft(abh)939 227 y(\177)939 225 y(angt.)h(Also)e(ist)h(der)g(F)l(akto-)257 283 y(risierungssatz)f(einzusetzen.)e(Das)j(gesc)o(hieh)o(t)e(so:)257 341 y(Die)h(Abbildung)g Fq(\013)f Ft(:=)g Fq(\027)723 348 y Fk(3)757 341 y Ft(:)f Fl(Z)o Fo(\000)-9 b(!)15 b Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))14 b(\(die)i(Restklassenab-)257 399 y(bildung\))g(ist)g(nac)o(h)h(4.2)g(ein)e(Homomorphism)o(us.)e(F) 1239 401 y(\177)1238 399 y(ur)j Fq(R)f Ft(=)f(\(6\))257 458 y(ist)21 b(\()p Fq(n;)8 b(r)q Ft(\))24 b Fo(2)g Fq(R)e Ft(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g Fq(n)15 b Fo(\000)g Fq(r)24 b Ft(=)g Fq(q)16 b Fo(\001)f Ft(6)22 b(f)1337 460 y(\177)1336 458 y(ur)g(ein)257 516 y Fq(q)i Fo(2)f Fl(Z)-13 b Ft(.)18 b(Dann)k(gilt)f(ab)q(er)h Fq(\013)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))h(=)g Fq(\027)972 523 y Fk(3)992 516 y Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))g(=)f Fq(\027)1166 523 y Fk(3)1186 516 y Ft(\()p Fq(r)16 b Ft(+)f Fq(q)h Fo(\001)e Ft(6\))24 b(=)257 574 y Fq(\027)281 581 y Fk(3)301 574 y Ft(\()p Fq(r)15 b Ft(+)e(2)p Fq(q)j Fo(\001)e Ft(3\))21 b(=)f Fq(\027)644 581 y Fk(3)664 574 y Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))h(=)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\).)f(Also)g(gibt)g(es)h(genau)f(einen)257 632 y(Homomorphism)n(us) 14 b Fq(f)20 b Ft(:)14 b Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(6\))12 b Fo(\000)-8 b(!)14 b Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))14 b(mit)h Fq(f)5 b(\027)1225 639 y Fk(6)1259 632 y Ft(=)14 b Fq(\027)1335 639 y Fk(3)1355 632 y Ft(,)i(d.h.)257 690 y(mit)j Fq(f)5 b Ft(\()r(\026)-26 b Fq(n)p Ft(\))23 b(=)f Fq(\027)554 697 y Fk(3)573 690 y Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))g(=)j(\026)-27 b Fq(n)q Ft(,)20 b(also)i(der)f(gew)1060 692 y(\177)1059 690 y(unsc)o(h)o(te)f(Homomor-)257 748 y(phism)o(us.)257 806 y(Wie)15 b(sind)i(wir)f(n)o(un)g(gerade)g(auf)h(den)f(Homomorphism) n(us)e Fq(\013)g Ft(:=)257 864 y Fq(\027)281 871 y Fk(3)317 864 y Ft(gek)o(ommen.)f(Da)j(das)h(Dreiec)o(k)702 973 y Fl(Z)161 b(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(6\))p 742 961 154 2 v 854 960 a Ff(-)809 952 y Fn(\027)791 1030 y(\013)774 1010 y Ff(H)815 1031 y(H)857 1051 y(H)865 1056 y(H)-42 b(j)907 1097 y Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))p 964 1056 2 67 v 965 1056 a Ff(?)981 1031 y Fn(f)257 1205 y Ft(k)o(omm)n(utiere)o (n)17 b(soll,)h(m)o(u\031,)f(falls)i Fq(f)935 1207 y Ft(\177)934 1205 y(ub)q(erhaupt)h(existiert,)d Fq(\013)i Ft(=)257 1264 y Fq(f)5 b(\027)22 b Ft(sein.)17 b(Dann)i(ergibt)f(sic)o (h)f(ab)q(er)i Fq(\013)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))e(=)h Fq(f)5 b(\027)1156 1271 y Fk(6)1176 1264 y Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))17 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()r(\026)-26 b Fq(n)p Ft(\))18 b(=)259 1322 y(\026)-26 b Fq(n)14 b Ft(=)f Fq(\027)375 1329 y Fk(3)395 1322 y Ft(\()p Fq(n)p Ft(\).)174 1380 y(\(2\))21 b(De\014niert)15 b(die)h(folgende)g(Angab)q(e)h(einen)e(Homomorphism)n (us:)607 1495 y Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(6\))11 b Fo(3)17 b Ft(\026)-27 b Fq(n)14 b Fo(7!)i Ft(\026)-26 b Fq(n)14 b Fo(2)g Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(4\)?)257 1610 y(Wieder)11 b(setzen)h(wir)g(den)g(F)l(aktorisierungssatz)g(ein.)g(Als)f(Homo-)257 1668 y(morphism)o(us)g Fq(\013)j Ft(:)f Fl(Z)n Fo(\000)-9 b(!)14 b Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(4\))11 b(m)906 1670 y(\177)905 1668 y(ussen)h(wir)h(wie)g(zuv)o(or)g Fq(\013)h Ft(=)g Fq(\027)1447 1675 y Fk(4)257 1726 y Ft(w)292 1728 y(\177)292 1726 y(ahlen.)e(F)465 1728 y(\177)464 1726 y(ur)g(\()p Fq(n;)c(r)q Ft(\))14 b Fo(2)g Ft(\(6\),)f(also)g Fq(n)h Ft(=)f Fq(r)5 b Ft(+)s Fq(q)g Fo(\001)s Ft(6)13 b(ist)f Fq(\027)1209 1733 y Fk(4)1229 1726 y Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))i(=)f Fq(\027)1385 1733 y Fk(4)1405 1726 y Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))257 1785 y(o)q(der)g(\()p Fq(n;)8 b(r)q Ft(\))14 b Fo(2)g Ft(\(4\))e(zu)h(zeigen,)e(also)h(m)964 1787 y(\177)963 1785 y(ussen)g(wir)g(pr)1216 1787 y(\177)1215 1785 y(ufen,)g(ob)h Fq(n)s Fo(\000)257 1843 y Fq(r)h Ft(auc)o(h)g(durc)o(h)e(4)i(teilbar)e (ist,)h(w)o(enn)g(es)g(durc)o(h)g(6)h(teilbar)e(ist.)h(Das)257 1901 y(ist)e(o\013en)o(bar)i(nic)o(h)o(t)e(der)g(F)l(all)g(und)i (liefert)d(und)i(sc)o(hon)g(ein)f(Gegen-)257 1959 y(b)q(eispiel.)g(In)h Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(6\))10 b(ist)690 1948 y(\026)690 1959 y(6)k(=)780 1948 y(\026)780 1959 y(0)g(=)g Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Fo(\006)p Ft(6)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(12)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(18)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)g Fo(g)p Ft(.)k(Ab)q(er)257 2017 y(in)23 b Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(4\))22 b(ist)536 2006 y(\026)536 2017 y(6)27 b(=)g Fo(f)p Ft(2)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(4)p Fq(;)g Ft(6)p Fq(;)g Fo(\000)p Ft(8)p Fq(;)g Ft(10)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)g Fo(g)27 b(6)p Ft(=)g Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Fo(\006)p Ft(4)p Fq(;)g Fo(\006)p Ft(8)17 b Fo(\006)257 2075 y Ft(12)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)g Fo(g)27 b Ft(=)509 2065 y(\026)509 2075 y(0)q(,)c(also)i(k)m(ann)f(die) f(angegeb)q(ene)i(Relation)e(k)o(eine)257 2133 y(Abbildung)g(sein,)f(w) o(eil)h(ein)f(Elemen)o(t)1013 2123 y(\026)1013 2133 y(6)27 b(=)1128 2123 y(\026)1128 2133 y(0)f Fo(2)h Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(6\))21 b(zw)o(ei)257 2191 y(v)o(ersc)o(hiedene)13 b(Bilder)683 2181 y(\026)683 2191 y(6)h Fo(6)p Ft(=)773 2181 y(\026)773 2191 y(0)j(in)f Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(4\))14 b(hat.)p eop %%Page: 108 19 108 18 bop 108 117 a Fu(108)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)174 225 y Ft(\(3\))i(De\014niert)15 b(die)h(folgende)g(Angab)q(e)h(einen)e(Homomorphism)n(us:)597 318 y Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))11 b Fo(3)17 b Ft(\026)-27 b Fq(n)14 b Fo(7!)p 879 277 49 2 v 14 w Fq(n)908 304 y Fk(3)942 318 y Fo(2)g Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(3\)?)257 411 y(Der)21 b(Homomorphism)n(us)e Fq(\013)j Ft(:)g Fl(Z)6 b Fo(\000)-9 b(!)22 b Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(3\))19 b(m)o(u\031)h(die)g (Abbil-)257 469 y(dung)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))g(=)p 557 428 V 19 w Fq(n)586 455 y Fk(3)625 469 y Ft(sein.)f(Das)h(ist)f (tats)992 471 y(\177)992 469 y(ac)o(hlic)o(h)g(ein)f(Homomor-)257 527 y(phism)o(us,)c(denn)387 620 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(n)e Ft(+)f Fq(r)q Ft(\))j(=)p 635 578 171 2 v 14 w(\()p Fq(n)d Ft(+)g Fq(r)q Ft(\))785 606 y Fk(3)819 620 y Ft(=)p 871 579 466 2 v 14 w Fq(n)900 606 y Fk(3)931 620 y Ft(+)g(3)p Fq(n)1033 606 y Fk(2)1053 620 y Fq(r)h Ft(+)f(3)p Fq(nr)1212 606 y Fk(2)1244 620 y Ft(+)g Fq(r)1316 606 y Fk(3)257 713 y Ft(und)512 781 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))g(+)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))k(=)p 828 740 49 2 v 13 w Fq(n)857 767 y Fk(3)888 781 y Ft(+)p 937 740 44 2 v 11 w Fq(r)960 767 y Fk(3)994 781 y Ft(=)p 1046 740 152 2 v 14 w Fq(n)1075 767 y Fk(3)1106 781 y Ft(+)c Fq(r)1178 767 y Fk(3)1198 781 y Fq(:)257 862 y Ft(Die)h(b)q(eiden)h(rec)o(h)o (ten)e(Seiten)h(der)h(Gleic)o(h)o(ungen)e(stimmen)1355 864 y(\177)1354 862 y(ub)q(er-)257 920 y(ein,)j(w)o(eil)f Fq(n)474 902 y Fk(3)502 920 y Ft(+)8 b(3)p Fq(n)601 902 y Fk(2)622 920 y Fq(r)h Ft(+)f(3)p Fq(nr)775 902 y Fk(2)804 920 y Ft(+)g Fq(r)873 902 y Fk(3)902 920 y Fo(\000)g Fq(n)978 902 y Fk(3)1006 920 y Fo(\000)g Fq(r)1076 902 y Fk(3)1110 920 y Ft(=)13 b(\()p Fq(n)1209 902 y Fk(2)1229 920 y Fq(r)d Ft(+)e Fq(nr)1359 902 y Fk(2)1379 920 y Ft(\))g Fo(\001)g Ft(3.)257 978 y(Ist)18 b(w)o(eiterhin)g Fq(n)g Fo(\030)g Fq(r)q Ft(,)h(d.h.)f Fq(n)13 b Fo(\000)f Fq(r)20 b Ft(=)e Fq(q)c Fo(\001)f Ft(3,)18 b(so)i(ist)e Fq(n)1279 960 y Fk(3)1317 978 y Ft(=)g(\()p Fq(r)d Ft(+)257 1036 y Fq(q)g Fo(\001)e Ft(3\))364 1018 y Fk(3)404 1036 y Ft(=)20 b Fq(r)485 1018 y Fk(3)519 1036 y Ft(+)13 b(\()p Fq(r)612 1018 y Fk(2)632 1036 y Fq(q)i Fo(\001)e Ft(3)h(+)g Fq(r)q(q)833 1018 y Fk(2)866 1036 y Fo(\001)f Ft(9)h(+)g Fq(q)1007 1018 y Fk(3)1039 1036 y Fo(\001)g Ft(9\))g Fo(\001)f Ft(3,)20 b(also)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))h(=)p 257 1053 49 2 v 257 1094 a Fq(n)286 1080 y Fk(3)333 1094 y Ft(=)p 398 1053 44 2 v 27 w Fq(r)421 1080 y Fk(3)468 1094 y Ft(=)27 b Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\).)d(Damit)f(sind)h(die)f(V)l(oraussetzungen)i(des)257 1152 y(F)l(aktorisierungssatzes)16 b(erf)780 1154 y(\177)779 1152 y(ullt.)257 1210 y(T)l(ats)350 1212 y(\177)350 1210 y(ac)o(hlic)o(h)j(k)m(ann)h(man)f(leic)o(h)o(t)f(nac)o(hrec)o(hnen,)g (da\031)j(die)e(gege-)257 1268 y(b)q(ene)d(Abbildung)g(sogar)h(die)f (iden)o(tisc)o(he)e(Abbildung)i(ist.)108 1361 y Fr(Satz)j(4.6.)h Fp(Sei)14 b Fq(f)20 b Ft(:)13 b Fq(G)h Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(G)673 1343 y Fm(0)699 1361 y Fp(ein)i(Homomorphismus)d(von)j(Halb) n(grup-)108 1419 y(p)n(en)21 b Ft(\()p Fp(Monoiden,)f(Grupp)n(en)p Ft(\))p Fp(.)g(Dann)h(ist)f(die)g(zu)g Fq(f)26 b Fp(geh)1176 1421 y(\177)1176 1419 y(orige)1310 1409 y(\177)1302 1419 y(Aquiva-)108 1478 y(lenzr)n(elation)c Fq(a)d Fo(\030)g Fq(b)f Ft(:)p Fo(\()-8 b(\))18 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))19 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))21 b(\()p Fp(vgl.)g(I.)f Ft(4.3\))h Fp(eine)g(Kongru-)108 1536 y(enzr)n(elation.)158 1634 y Fi(Beweis.)f Ft(Sei)j Fq(R)k Fo(\032)g Fq(G)16 b Fo(\002)g Fq(G)24 b Ft(die)f(gegeb)q(ene)1062 1623 y(\177)1056 1634 y(Aquiv)m(alenzrelation.)108 1692 y(Seien)h(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(a)418 1674 y Fm(0)428 1692 y Fq(;)g(b)471 1674 y Fm(0)482 1692 y Ft(\))29 b Fo(2)f Fq(R)p Ft(.)d(Dann)g(ist)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)16 b Fo(\001)h Fq(a)1031 1674 y Fm(0)1042 1692 y Ft(\))28 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))16 b Fo(\001)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)1370 1674 y Fm(0)1381 1692 y Ft(\))29 b(=)108 1750 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))12 b Fo(\001)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)302 1732 y Fm(0)314 1750 y Ft(\))15 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)12 b Fo(\001)f Fq(b)p Ft(\),)16 b(also)i(auc)o(h)f(\()p Fq(a)11 b Fo(\001)g Fq(a)899 1732 y Fm(0)910 1750 y Fq(;)d(b)j Fo(\001)h Fq(b)1011 1732 y Fm(0)1022 1750 y Ft(\))j Fo(2)h Fq(R)p Ft(.)h(Eb)q(enso)h(ist)e(im)108 1808 y(Monoidfall)c(\()p Fq(e;)c(e)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)e(w)o(eil)e Fq(R)j Ft(eine)823 1797 y(\177)817 1808 y(Aquiv)m(alenzrelation)c(ist.) j(Sc)o(hlie\031-)108 1866 y(lic)o(h)g(ist)i(im)e(F)l(alle)g(v)o(on)i (Grupp)q(en)g(mit)e(\()p Fq(a;)c(b)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)g Ft(auc)o(h)g(\()p Fq(a)1199 1848 y Fm(\000)p Fk(1)1246 1866 y Fq(;)8 b(b)1289 1848 y Fm(\000)p Fk(1)1336 1866 y Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)108 1924 y(denn)i Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)301 1906 y Fm(\000)p Fk(1)349 1924 y Ft(\))13 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))526 1906 y Fm(\000)p Fk(1)587 1924 y Ft(=)14 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))727 1906 y Fm(\000)p Fk(1)788 1924 y Ft(=)14 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)909 1906 y Fm(\000)p Fk(1)956 1924 y Ft(\))p Fq(:)p 1037 1897 33 2 v 1037 1926 2 30 v 1068 1926 V 1037 1928 33 2 v 108 2017 a Fr(Bemerkung)17 b(4.7.)j Ft(Mit)10 b(der)h(Konstruktion)h(v)o(on)f Fq(G=R)h Ft(erh)1244 2019 y(\177)1244 2017 y(alt)f(man)f(ei-)108 2075 y(ne)k(Bijektion)e (zwisc)o(hen)g(der)i(Menge)f(aller)f(Kongruenzrelationen)i(in)f Fq(G)108 2133 y Ft(und)g(der)f(Menge)g(aller)f(m)580 2135 y(\177)580 2133 y(oglic)o(hen)f(Restklassenob)s(jekte)h Fq(G=R)p Ft(,)i(d.h.)f(der)108 2191 y(Menge)f(aller)f(P)o(artitionen)g (v)o(on)h Fq(G)p Ft(,)g(die)f(die)g(Struktur)h(einer)f(Halbgrupp)q(e)p eop %%Page: 109 20 109 19 bop 268 117 a Fu(4.)17 b(K)o(ONGR)o(UENZRELA)m(TIONEN)h(UND)g (RESTKLASSEN)98 b(109)108 225 y Ft(\(Monoid,)16 b(Grupp)q(e\))g(so)h (tragen,)f(da\031)h Fq(\027)g Ft(:)c Fq(G)i Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G=R)j Ft(ein)e(Homomor-)108 283 y(phism)o(us)h(wird)h (\(vgl.)f(I.)g(4.7\).)h(Die)g(Aussagen)h(v)o(on)f(I.)f(4.10)1236 285 y(\177)1235 283 y(ub)q(ertragen)108 341 y(sic)o(h)21 b(sinngem)385 343 y(\177)385 341 y(a\031.)g(Insb)q(esondere)g(ist)h(Bi) o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))22 b(eine)e(Un)o(ter-Halbgrupp)q(e)108 399 y(\(-Monoid,)f(-Grupp)q(e\))h(f)569 401 y(\177)568 399 y(ur)g(einen)e(Homomorphism)n(us)f Fq(f)24 b Ft(:)18 b Fq(G)i Fo(\000)-9 b(!)19 b Fq(G)1441 381 y Fm(0)1453 399 y Ft(,)108 458 y(und)e(die)f(v)o(on)g Fq(\027)i Ft(:)c Fq(G=R)h Fo(\000)-8 b(!)14 b Fq(G)694 439 y Fm(0)723 458 y Ft(induzierte)g(Abbildung)j Fq(\027)1218 439 y Fm(0)1244 458 y Ft(:)d Fq(G=R)h Fo(\000)-8 b(!)108 516 y Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))15 b(ist)f(ein)g(Isomorphism)o(us,)e(w)o (ob)q(ei)j Fq(R)g Ft(die)f(zu)g Fq(f)20 b Ft(geh)1173 518 y(\177)1173 516 y(orige)14 b(Kongru-)108 574 y(enzrelation)i(ist.) 108 682 y Fr(De\014nition)i(4.8.)i Ft(Sei)c Fq(G)i Ft(eine)f(Halbgrupp) q(e)h(\(Monoid,)f(Grupp)q(e\),)g(die)108 740 y(v)o(on)25 b(einer)f(Menge)h Fq(A)g Ft(erzeugt)f(wird.)h(Dann)h(gibt)f(es)g(nac)o (h)g(3.1)g(ge-)108 798 y(nau)f(einen)e(Homomorphism)n(us)f Fq(f)31 b Ft(:)25 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))24 b Fo(\000)-9 b(!)26 b Fq(G)p Ft(,)d(der)g(die)f(Inklu-)108 856 y(sion)j Fq(\013)j Ft(:)f Fq(A)g Fo(\000)-8 b(!)27 b Fq(G)e Ft(fortsetzt.)f(Eine)f Fp(R)n(elation)j(f)1104 858 y(\177)1104 856 y(ur)e Fq(G)g Fp(bzgl.)i Fq(A)e Ft(ist)108 914 y(ein)i(P)o(aar)h(\()p Fq(w)377 921 y Fk(1)396 914 y Fq(;)8 b(w)453 921 y Fk(2)473 914 y Ft(\))26 b(in)g Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))17 b Fo(\002)g Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))25 b(mit)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(w)1094 921 y Fk(1)1114 914 y Ft(\))31 b(=)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(w)1315 921 y Fk(2)1335 914 y Ft(\).)26 b(Die)108 972 y(Menge)e(der)g(Relationen)f(f)632 974 y(\177)631 972 y(ur)i Fq(G)f Ft(b)q(ez)837 974 y(\177)836 972 y(uglic)o(h)f Fq(A)h Ft(b)q(ezeic)o(hnen)e(wir)i(mit)108 1031 y Fq(R)145 1038 y Fn(G)175 1031 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))13 b(:=)h Fo(f)p Ft(\()p Fq(w)408 1038 y Fk(1)427 1031 y Fq(;)8 b(w)484 1038 y Fk(2)503 1031 y Ft(\))14 b Fo(2)g Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))j Fo(\002)h Fq(F)c Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fo(j)p Fq(f)e Ft(\()p Fq(w)968 1038 y Fk(1)987 1031 y Ft(\))13 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(w)1154 1038 y Fk(2)1174 1031 y Ft(\))p Fo(g)p Ft(.)108 1126 y Fr(F)-5 b(olgerung)20 b(4.9.)g Fp(Die)13 b(Menge)j(der)d(R)n(elationen)i(f)1053 1128 y(\177)1053 1126 y(ur)f Fq(G)g Fp(b)n(ez)1228 1128 y(\177)1228 1126 y(uglich)h Fq(A)e Fp(ist)108 1184 y(eine)19 b(Kongruenzr)n(elation)g(auf)f Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fp(.)158 1286 y Fi(Beweis.)20 b Fq(R)405 1293 y Fn(G)435 1286 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))14 b(ist)g(die)g (Kongruenzrelation,)f(die)h(durc)o(h)g(den)g(Ho-)108 1344 y(momorphism)o(us)f Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))12 b Fo(\000)-8 b(!)14 b Fq(G)i Ft(induziert)f(wird.)p 1155 1317 33 2 v 1155 1346 2 30 v 1186 1346 V 1155 1348 33 2 v 108 1440 a Fr(Satz)k(4.10.)h Fp(Je)n(de)f(Halb)n(grupp)n(e)g Ft(\()p Fp(Monoid,)g(Grupp)n(e)p Ft(\))f Fp(ist)h(isomorph)e(zu)108 1498 y(einem)i(Objekt)g Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(=R)p Fp(,)17 b(wob)n(ei)h Fq(R)g Fp(eine)h(Kongruenzr)n(elation)g(ist.)158 1600 y Fi(Beweis.)h Ft(Sei)i Fq(A)g Ft(eine)g(Erzeugendenmenge)f(v)o(on)h Fq(G)p Ft(.)h(Eine)f(solc)o(he)108 1658 y(existiert)17 b(immer,)e(z.B.)j Fq(A)g Ft(=)g Fq(G)p Ft(.)h(Es)g(gibt)g(ab)q(er)g(im) e(allgemeinen)g(sehr)108 1716 y(viel)i(kleinere)f(Erzeugendenmengen)h (f)858 1718 y(\177)857 1716 y(ur)h Fq(G)p Ft(.)h(Sei)e Fq(R)j Ft(:=)e Fq(R)1246 1723 y Fn(G)1276 1716 y Ft(\()p Fq(A)p Ft(\).)f(Wir)108 1774 y(de\014nieren)f(einen)g(surjektiv)o(en)g (Homomorphism)n(us)e Fq(f)24 b Ft(:)19 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))17 b Fo(\000)-8 b(!)18 b Fq(G)108 1832 y Ft(durc)o(h)e(das)h(k)o(omm)o(utativ)n(e)c(Diagramm)626 1921 y Fq(A)173 b(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p 675 1909 150 2 v 783 1908 a Ff(-)743 1900 y Fn(\023)719 1978 y(\013)702 1958 y Ff(H)743 1979 y(H)785 2000 y(H)793 2004 y(H)-42 b(j)867 2045 y Fq(G;)p 892 2004 2 67 v 893 2004 a Ff(?)909 1979 y Fn(f)108 2133 y Ft(w)o(ob)q(ei)20 b Fq(\013)f Ft(:)g Fq(A)f Fo(\000)-8 b(!)18 b Fq(G)i Ft(die)f(Inklusionsabbildung)g (ist.)g(Da)h Fq(A)e Fo(\032)h Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))108 2191 y(und)18 b(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))18 b(nac)o(h)f(2.6)h(eine)e (Un)o(ter-Halbgrupp)q(e)h(\(-Monoid,)h(-Grupp)q(e\))p eop %%Page: 110 21 110 20 bop 108 117 a Fu(110)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(v)o(on)h Fq(G)g Ft(ist,)e(ist)i(nac)o(h) f(1.10)h Fq(G)g Ft(=)770 212 y(\026)757 225 y Fq(A)f Fo(\032)g Ft(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))20 b Fo(\032)f Fq(G)p Ft(,)g(also)h(Bi)o(\()p Fq(f)5 b Ft(\))20 b(=)f Fq(G)108 283 y Ft(und)e(damit)e Fq(f)21 b Ft(surjektiv.)108 341 y(Dann)c(induziert)d Fq(f)20 b Ft(:)13 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))13 b Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G)i Ft(nac)o(h)g(I.)f(4.9)h(und)g(I.)f(4.10)h(\(3\))g(einen)108 399 y(bijektiv)o(en)e(Homomorphism)n(us)743 386 y(\026)732 399 y Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(=R)13 b Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(G)p Ft(,)k(so)f(da\031)591 478 y Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))104 b Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(=R)p 716 467 81 2 v 755 466 a Ff(-)747 458 y Fn(\027)725 536 y(f)706 516 y Ff(H)747 536 y(H)789 557 y(H)797 561 y(H)-42 b(j)877 607 y Fq(G)p 896 561 2 67 v 897 561 a Ff(?)920 530 y Fk(\026)913 539 y Fn(f)108 678 y Ft(k)o(omm)o(utie)o(rt,)22 b(denn)533 664 y(\026)522 678 y Fq(f)6 b Ft(\()p 571 651 55 2 v Fq(w)606 685 y Fk(1)642 678 y Fo(\001)p 673 651 V 17 w Fq(w)708 685 y Fk(2)728 678 y Ft(\))28 b(=)852 664 y(\026)841 678 y Fq(f)6 b Ft(\()p 890 650 146 2 v Fq(w)925 685 y Fk(1)955 678 y Fo(\001)11 b Fq(w)1015 685 y Fk(2)1035 678 y Ft(\))28 b(=)1159 664 y(\026)1149 678 y Fq(f)5 b(\027)s Ft(\()p Fq(w)1259 685 y Fk(1)1296 678 y Fo(\001)17 b Fq(w)1362 685 y Fk(2)1381 678 y Ft(\))29 b(=)108 736 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(w)191 743 y Fk(1)224 736 y Fo(\001)13 b Fq(w)286 743 y Fk(2)305 736 y Ft(\))19 b(=)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(w)482 743 y Fk(1)502 736 y Ft(\))13 b Fo(\001)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(w)643 743 y Fk(2)663 736 y Ft(\))19 b(=)768 723 y(\026)757 736 y Fq(f)5 b(\027)s Ft(\()p Fq(w)867 743 y Fk(1)887 736 y Ft(\))13 b Fo(\001)956 723 y Ft(\026)946 736 y Fq(f)5 b(\027)s Ft(\()p Fq(w)1056 743 y Fk(2)1076 736 y Ft(\))18 b(=)1180 723 y(\026)1170 736 y Fq(f)5 b Ft(\()p 1218 709 55 2 v Fq(w)1253 743 y Fk(1)1273 736 y Ft(\))12 b Fo(\001)1342 723 y Ft(\026)1331 736 y Fq(f)5 b Ft(\()p 1379 709 V Fq(w)1414 743 y Fk(2)1434 736 y Ft(\).)108 794 y(Im)15 b(F)l(alle)g(v)o(on)h(Monoiden)g(gilt)g(zus)773 796 y(\177)773 794 y(atzlic)o(h)939 781 y(\026)929 794 y Fq(f)5 b Ft(\()s(\026)-27 b Fq(")p Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(")p Ft(\))14 b(=)f Fq(e:)p 1325 767 33 2 v 1325 796 2 30 v 1356 796 V 1325 798 33 2 v 108 877 a Fr(Bemerkung)k(4.11.)j Ft(Zur)j(Darstellung)g(einer)f(Halbgrupp)q(e)i (\(Mono-)108 935 y(id,)f(Grupp)q(e\))h Fq(G)g Ft(in)f(der)g(F)l(orm)f Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(=R)24 b Ft(gen)1015 937 y(\177)1014 935 y(ugt)g(es)f(also,)h(eine)e(Er-)108 993 y(zeugendenmenge)h Fq(A)g Ft(f)564 995 y(\177)563 993 y(ur)i Fq(G)f Ft(und)h(eine)e(Erzeugendenmenge)g Fq(B)k Ft(f)1422 995 y(\177)1421 993 y(ur)108 1051 y Fq(R)17 b Fo(\032)f Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))k Fo(\002)h Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))16 b(anzugeb)q(en.)i(Gibt)f(man)g(eine)g (Menge)g Fq(A)g Ft(und)h(ei-)108 1109 y(ne)g(T)l(eilmenge)e Fq(B)k Fo(\032)e Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))k Fo(\002)h Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))18 b(v)o(or,)f(so)i(k)m(ann)g(man)f (daraus)i(eine)108 1167 y(kleinste)13 b(Kongruenzrelation)i Fq(R)f Fo(\032)g Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))h Fo(\002)g Fq(F)f Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))k(mit)i Fq(B)k Fo(\032)c Fq(R)i Ft(bilden)108 1226 y(durc)o(h)e Fq(R)i Ft(:=)359 1192 y Fj(T)394 1226 y Fo(f)p Fq(S)h Fo(\032)e Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))e Fo(\002)g Fq(F)i Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fo(j)p Fq(S)14 b Ft(Kongruenzrelation)f Fo(^)p Fq(A)h Fo(\032)f Fq(S)s Fo(g)p Ft(.)108 1284 y(Damit)18 b(de\014nieren)g Fq(A)h Ft(und)g Fq(B)j Ft(eine)c(Halbgrupp)q(e)h (\(Monoid,)g(Grupp)q(e\))108 1342 y Fq(F)7 b Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))p Fq(=R)16 b Ft(durc)o(h)g Fp(Erzeugende)i Fq(A)e Ft(und)g Fp(R)n(elationen)i Fq(B)s Ft(.)508 1437 y Fr(5.)28 b(Restklassengrupp)r(en)108 1560 y Ft(Bei)11 b(den)i(Grupp)q(en)g(h)507 1562 y(\177)507 1560 y(angt)g(die)f (Restklassen)o(bildung)g(mit)e(gewissen)j(Un-)108 1619 y(tergrupp)q(en)23 b(mit)d(einer)h(ganz)h(b)q(esonderen)h(Eigensc)o (haft)f(zusammen,)108 1677 y(die)16 b(man)g(normale)f(Un)o(tergrupp)q (en)i(nenn)o(t.)e(Genauer)i(gibt)g(es)g(eine)e(Bi-)108 1735 y(jektion)j(zwisc)o(hen)f(allen)h(normalen)f(Un)o(tergrupp)q(en)h (einer)f(Grupp)q(e)i Fq(G)108 1793 y Ft(und)i(allen)f (Kongruenzrelationen)g(auf)h Fq(G)p Ft(.)g(Die)f(et)o(w)o(as)g (unhandlic)o(hen)108 1851 y(Kongruenzrelationen)h(lassen)g(sic)o(h)g (also)h(durc)o(h)e(einfac)o(here)g(normale)108 1909 y(Un)o(tergrupp)q (en)c(erzetzen.)f(Auc)o(h)g(die)g(F)l(aktorgrupp)q(en)j(o)q(der)f (Restklas-)108 1967 y(sengrupp)q(en)g(lassen)g(sic)o(h)e(damit)g (einfac)o(her)g(b)q(esc)o(hreib)q(en.)108 2050 y Fr(De\014nition)j (5.1.)i Ft(Eine)28 b(Un)o(tergrupp)q(e)g Fq(H)k Ft(einer)c(Grupp)q(e)h Fq(G)g Ft(hei\031t)108 2108 y Fp(Normalteiler)17 b Ft(\(o)q(der)g Fp(normale)h(Unter)n(grupp)n(e)p Ft(\),)e(w)o(enn)435 2191 y Fo(8)p Fq(g)f Fo(2)f Fq(G;)8 b(h)14 b Fo(2)g Fq(H)t Fo(9)p Fq(h)798 2171 y Fm(0)824 2191 y Fo(2)g Fq(H)t Ft([)p Fq(g)r(h)g Ft(=)f Fq(h)1075 2171 y Fm(0)1087 2191 y Fq(g)r Ft(])p Fq(:)p eop %%Page: 111 22 111 21 bop 504 117 a Fu(5.)18 b(RESTKLASSENGR)o(UPPEN)334 b(111)108 227 y Fr(Bemerkung)17 b(5.2.)522 217 y Ft(\177)516 227 y(Aquiv)m(alen)o(t)h(dazu)i(ist,)f(da\031)i(f)1083 229 y(\177)1082 227 y(ur)e(alle)g Fq(g)j Fo(2)e Fq(G)g Ft(gilt)108 285 y Fq(g)r(H)t(g)202 267 y Fm(\000)p Fk(1)274 285 y Ft(=)25 b Fo(f)p Fq(g)r(hg)440 267 y Fm(\000)p Fk(1)487 285 y Fo(j)p Fq(h)f Fo(2)h Fq(H)t Fo(g)g(\032)f Fq(H)j Ft(o)q(der)c(da\031)g(f)1065 287 y(\177)1064 285 y(ur)f(alle)g Fq(g)27 b Fo(2)d Fq(G)f Ft(gilt)108 343 y Fq(g)r(H)18 b Ft(=)c Fq(H)t(g)r(:)108 402 y Ft(Die)22 b(Bedingung)g(l)466 404 y(\177)466 402 y(a\031t)h(sic)o(h)e(b)q (esonders)j(einfac)o(h)d(f)1076 404 y(\177)1075 402 y(ur)h(ab)q(elsc)o (he)g(\(k)o(om-)108 460 y(m)o(utativ)o(e\))17 b(Grupp)q(en)j Fq(G)g Ft(erf)658 462 y(\177)657 460 y(ullen,)e(es)h(ist)g(n)951 462 y(\177)951 460 y(amlic)o(h)e Fq(g)r(h)j Ft(=)f Fq(hg)j Ft(f)1329 462 y(\177)1328 460 y(ur)d(alle)108 518 y Fq(h)14 b Fo(2)h Fq(H)20 b Ft(und)d(alle)e Fq(g)h Fo(2)f Fq(G)p Ft(.)h(Zu)g Fq(g)j Ft(und)d Fq(h)h Ft(k)m(ann)g(man)e(also)i(immer)c Fq(h)h Fo(2)g Fq(H)108 576 y Ft(w)143 578 y(\177)143 576 y(ahlen,)g(um)e(die)h(Bedingung)h(f)699 578 y(\177)698 576 y(ur)f(die)h(Normalit)1027 578 y(\177)1027 576 y(at)e(zu)h(erf)1201 578 y(\177)1200 576 y(ullen.)f(Es)i(gilt)108 634 y(also:)j(jede)f(Un)o (tergrupp)q(e)g(einer)g(ab)q(elsc)o(hen)g(Grupp)q(e)i(ist)e(eine)g (normale)108 692 y(Un)o(tergrpp)q(e.)108 777 y Fr(Satz)j(5.3.)h Fp(Sei)e Fq(G)g Fp(eine)h(Grupp)n(e.)d(Die)i(Zuor)n(dnungen)482 861 y Fo(P)t Ft(\()p Fq(G)p Ft(\))c Fo(3)g Fq(H)k Fo(7!)c Fq(R)g Fo(2)g(P)t Ft(\()p Fq(G)d Fo(\002)g Fq(G)p Ft(\))108 945 y Fp(mit)18 b Fq(R)c Ft(:=)f Fo(f)p Ft(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))p Fo(j)p Fq(ab)506 927 y Fm(\000)p Fk(1)566 945 y Fo(2)14 b Fq(H)t Fo(g)j Fp(und)482 1029 y Fo(P)t Ft(\()p Fq(G)11 b Fo(\002)g Fq(G)p Ft(\))j Fo(3)g Fq(R)h Fo(7!)e Fq(H)19 b Fo(2)14 b(P)t Ft(\()p Fq(G)p Ft(\))108 1113 y Fp(mit)21 b Fq(H)k Ft(:=)20 b Fo(f)p Fq(ab)409 1095 y Fm(\000)p Fk(1)455 1113 y Fo(j)p Ft(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))19 b Fo(2)i Fq(R)p Fo(g)g Fp(de\014nier)n(en)i(eine)f (Bijektion)g(zwischen)108 1171 y(der)c(Menge)i(der)e(Normalteiler)h Fq(H)j Fp(von)d Fq(G)f Fp(und)h(der)f(Menge)h(der)f(Kon-)108 1229 y(gruenzr)n(elationen)i Fq(R)e Fp(auf)f Fq(G)p Fp(.)158 1313 y Fi(Beweis.)j Ft(1.)d(Behauptung:)h(W)l(enn)f Fq(H)k Ft(ein)c(Normalteiler)d(ist,)j(dann)108 1372 y(ist)f Fq(R)f Ft(:=)e Fo(f)p Ft(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))p Fo(j)p Fq(ab)486 1353 y Fm(\000)p Fk(1)545 1372 y Fo(2)14 b Fq(H)t Fo(g)j Ft(eine)e(Kongruenzrelation.)108 1430 y(Bew)o(eis:)22 b Fq(R)i Ft(ist)f(re\015exiv,)f(w)o(eil)g Fq(a)16 b Fo(\001)g Fq(a)822 1412 y Fm(\000)p Fk(1)895 1430 y Ft(=)26 b Fq(e)g Fo(2)g Fq(H)i Ft(f)1151 1432 y(\177)1150 1430 y(ur)c(alle)f Fq(a)j Fo(2)g Fq(G)108 1488 y Ft(gilt.)21 b(Ist)h(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(b;)g(c)p Ft(\))22 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)f(so)h(ist)e Fq(a)15 b Fo(\001)f Fq(b)903 1470 y Fm(\000)p Fk(1)950 1488 y Fq(;)8 b(b)15 b Fo(\001)f Fq(c)1057 1470 y Fm(\000)p Fk(1)1128 1488 y Fo(2)24 b Fq(H)t Ft(,)d(also)i(auc)o(h)108 1546 y Fq(a)15 b Fo(\001)g Fq(c)199 1528 y Fm(\000)p Fk(1)271 1546 y Ft(=)24 b(\()p Fq(a)15 b Fo(\001)g Fq(b)443 1528 y Fm(\000)p Fk(1)490 1546 y Ft(\))g Fo(\001)g Ft(\()p Fq(b)g Fo(\001)g Fq(c)658 1528 y Fm(\000)p Fk(1)705 1546 y Ft(\))25 b Fo(2)f Fq(H)t Ft(.)f(Also)f(ist)g(\()p Fq(a;)8 b(c)p Ft(\))24 b Fo(2)g Fq(R)f Ft(und)g Fq(R)108 1604 y Ft(damit)17 b(transitiv.)f(Ist)i(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))16 b Fo(2)g Fq(R)p Ft(,)i(so)h(ist)e Fq(a)12 b Fo(\001)g Fq(b)993 1586 y Fm(\000)p Fk(1)1056 1604 y Fo(2)17 b Fq(H)t Ft(,)g(also)i Fq(b)11 b Fo(\001)h Fq(a)1365 1586 y Fm(\000)p Fk(1)1429 1604 y Ft(=)108 1668 y(\()p Fq(b)148 1650 y Fm(\000)p Fk(1)195 1668 y Ft(\))214 1642 y Fm(\000)p Fk(1)276 1668 y Fo(\001)j Fq(a)331 1650 y Fm(\000)p Fk(1)401 1668 y Ft(=)23 b(\()p Fq(a)14 b Fo(\001)h Fq(b)571 1650 y Fm(\000)p Fk(1)618 1668 y Ft(\))637 1642 y Fm(\000)p Fk(1)707 1668 y Fo(2)23 b Fq(H)j Ft(und)c(damit)f(\()p Fq(b;)8 b(a)p Ft(\))22 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(.)f(Daher)108 1726 y(ist)c Fq(R)g Ft(eine)341 1716 y(\177)335 1726 y(Aquiv)m(alenzrelation.)d (Bisher)i(hab)q(en)h(wir)g(n)o(ur)g(v)o(erw)o(endet,)108 1785 y(da\031)g Fq(H)j Ft(eine)15 b(Un)o(tergrupp)q(e)i(v)o(on)f Fq(G)h Ft(ist.)f(Seien)g(jetzt)g(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(c;)g(d)p Ft(\))14 b Fo(2)g Fq(R)p Ft(.)108 1843 y(Dann)k(ist)f Fq(a)12 b Fo(\001)f Fq(b)394 1825 y Fm(\000)p Fk(1)441 1843 y Fq(;)d(c)k Fo(\001)f Fq(d)546 1825 y Fm(\000)p Fk(1)609 1843 y Fo(2)16 b Fq(H)22 b Ft(und)17 b(damit)f(\()p Fq(a)c Fo(\001)f Fq(c)p Ft(\))h Fo(\001)f Ft(\()p Fq(b)h Fo(\001)f Fq(d)p Ft(\))1240 1825 y Fm(\000)p Fk(1)1304 1843 y Ft(=)k Fq(a)c Fo(\001)h Fq(c)g Fo(\001)108 1901 y Fq(d)133 1883 y Fm(\000)p Fk(1)193 1901 y Fo(\001)g Fq(b)240 1883 y Fm(\000)p Fk(1)304 1901 y Ft(=)17 b Fq(a)12 b Fo(\001)g Fq(h)h Fo(\001)f Fq(b)511 1883 y Fm(\000)p Fk(1)575 1901 y Ft(=)17 b Fq(h)658 1883 y Fm(0)682 1901 y Fo(\001)12 b Fq(a)g Fo(\001)g Fq(b)793 1883 y Fm(\000)p Fk(1)857 1901 y Fo(2)17 b Fq(H)t Ft(,)h(w)o(ob)q(ei)g Fq(h)f Ft(=)g Fq(c)12 b Fo(\001)h Fq(d)1308 1883 y Fm(\000)p Fk(1)1372 1901 y Fo(2)k Fq(H)108 1959 y Ft(und)j Fq(a)13 b Fo(\001)h Fq(h)20 b Ft(=)g Fq(h)410 1941 y Fm(0)435 1959 y Fo(\001)13 b Fq(a)p Ft(,)19 b(w)o(eil)f Fq(H)25 b Ft(ein)19 b(Normalteiler)d(ist.)j(Damit)g(ist)h(auc)o(h)108 2017 y(\()p Fq(a)7 b Fo(\001)g Fq(c;)h(b)f Fo(\001)g Fq(d)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(.)h(Nac)o(h)e(der)653 2006 y(\177)647 2017 y(Ubung)i(im)d(Ansc)o(hlu\031)i(an)g(4.1)h(ist)f Fq(R)h Ft(damit)108 2075 y(eine)h(Kongruenzrelation.)108 2133 y(2.)24 b(Behauptung:)f(W)l(enn)h Fq(R)g Ft(eine)e (Kongruenzrelation)i(ist,)f(dann)h(ist)108 2191 y Fq(H)18 b Ft(:=)c Fo(f)p Fq(ab)304 2173 y Fm(\000)p Fk(1)350 2191 y Fo(j)p Ft(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)p Fo(g)j Ft(ein)e(Normalteiler.)p eop %%Page: 112 23 112 22 bop 108 117 a Fu(112)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(Bew)o(eis:)i Fq(H)27 b Ft(ist)c(eine)e(Un)o(tergrupp)q(e)i(v)o(on)f Fq(G)p Ft(.)h(W)l(egen)g (\()p Fq(e;)8 b(e)p Ft(\))23 b Fo(2)j Fq(R)d Ft(ist)108 283 y Fq(e)14 b Ft(=)f Fq(e)e Fo(\001)g Fq(e)278 265 y Fm(\000)p Fk(1)339 283 y Fo(2)j Fq(H)t Ft(.)108 341 y(Ist)19 b Fq(x)f Ft(=)g Fq(a)12 b Fo(\001)h Fq(b)371 323 y Fm(\000)p Fk(1)436 341 y Fo(2)19 b Fq(H)k Ft(mit)17 b(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))17 b Fo(2)i Fq(R)p Ft(,)f(so)i(ist)f(auc)o (h)f(\()p Fq(b;)8 b(a)p Ft(\))18 b Fo(2)g Fq(R)p Ft(,)h(also)108 406 y Fq(x)136 388 y Fm(\000)p Fk(1)197 406 y Ft(=)14 b(\()p Fq(a)c Fo(\001)h Fq(b)350 388 y Fm(\000)p Fk(1)397 406 y Ft(\))416 379 y Fm(\000)p Fk(1)477 406 y Ft(=)j Fq(b)d Fo(\001)g Fq(a)612 388 y Fm(\000)p Fk(1)672 406 y Fo(2)j Fq(H)t Ft(.)108 464 y(Seien)e(sc)o(hlie\031lic)o(h)e Fq(x)j Ft(=)h Fq(a)s Fo(\001)s Fq(b)619 446 y Fm(\000)p Fk(1)678 464 y Ft(und)f Fq(y)j Ft(=)d Fq(c)s Fo(\001)s Fq(d)929 446 y Fm(\000)p Fk(1)990 464 y Ft(in)f Fq(H)17 b Ft(mit)10 b(\()p Fq(a;)e(b)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(c;)g(d)p Ft(\))13 b Fo(2)108 522 y Fq(R)p Ft(.)18 b(Dann)g(ist)f(auc)o(h)h(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))j Fo(\001)g Ft(\()p Fq(b)679 504 y Fm(\000)p Fk(1)726 522 y Fq(;)d(b)769 504 y Fm(\000)p Fk(1)816 522 y Ft(\))k Fo(\001)g Ft(\()p Fq(c;)c(d)p Ft(\))k Fo(\001)f Ft(\()p Fq(d)1060 504 y Fm(\000)p Fk(1)1108 522 y Fq(;)d(d)1155 504 y Fm(\000)p Fk(1)1202 522 y Ft(\))16 b(=)g(\()p Fq(a)11 b Fo(\001)h Fq(b)1394 504 y Fm(\000)p Fk(1)1453 522 y Fo(\001)108 580 y Fq(c)i Fo(\001)g Fq(d)196 562 y Fm(\000)p Fk(1)243 580 y Fq(;)8 b(b)13 b Fo(\001)h Fq(b)348 562 y Fm(\000)p Fk(1)409 580 y Fo(\001)f Fq(d)h Fo(\001)g Fq(d)528 562 y Fm(\000)p Fk(1)575 580 y Ft(\))21 b(=)f(\()p Fq(a)13 b Fo(\001)h Fq(b)780 562 y Fm(\000)p Fk(1)841 580 y Fo(\001)f Fq(c)h Fo(\001)f Fq(d)955 562 y Fm(\000)p Fk(1)1003 580 y Fq(;)8 b(e)p Ft(\))20 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)f(also)h Fq(x)13 b Fo(\001)h Fq(y)22 b Ft(=)108 638 y Fq(a)11 b Fo(\001)g Fq(b)191 620 y Fm(\000)p Fk(1)249 638 y Fo(\001)g Fq(c)g Fo(\001)g Fq(d)356 620 y Fm(\000)p Fk(1)414 638 y Fo(\001)g Fq(e)462 620 y 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Fm(\000)p Fk(1)691 812 y Fq(;)h(e)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)h(also)g Fq(y)g Ft(:=)e Fq(c)7 b Fo(\001)g Fq(a)g Fo(\001)g Fq(b)1205 794 y Fm(\000)p Fk(1)1259 812 y Fo(\001)g Fq(c)1301 794 y Fm(\000)p Fk(1)1362 812 y Fo(2)14 b Fq(H)t Ft(.)108 871 y(Zu)19 b Fq(x)e Ft(=)g Fq(a)12 b Fo(\001)h Fq(b)370 852 y Fm(\000)p Fk(1)435 871 y Ft(und)19 b Fq(c)f Ft(ist)g(damit)f(ein)h Fq(y)h Fo(2)f Fq(H)23 b Ft(gefunden)18 b(mit)f Fq(y)d Fo(\001)e Fq(c)18 b Ft(=)108 929 y Fq(c)7 b Fo(\001)g Fq(a)g Fo(\001)g Fq(b)232 911 y Fm(\000)p Fk(1)288 929 y Fo(\001)g Fq(c)330 911 y Fm(\000)p Fk(1)384 929 y Fo(\001)g Fq(c)14 b Ft(=)g Fq(c)7 b Fo(\001)g Fq(a)g Fo(\001)g Fq(b)616 911 y Fm(\000)p Fk(1)678 929 y Ft(=)14 b Fq(c)7 b Fo(\001)g Fq(x)p Ft(.)14 b(Damit)f(ist)i Fq(H)j Ft(ein)c(Normalteiler.)108 987 y(3.)h(Behauptung:)h(Die)e(Hin)o(tereinanderausf)942 989 y(\177)941 987 y(uhrung)h Fq(H)j Fo(7!)c Fq(R)g Fo(7!)g Fq(H)1388 969 y Fm(0)1415 987 y Ft(ist)108 1045 y(die)i(Iden)o(tit)332 1047 y(\177)332 1045 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Fq(ab)1085 1793 y Fm(\000)p Fk(1)1145 1811 y Fo(2)f Fq(H)19 b Ft(und)c(daher)108 1869 y(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)312 1851 y Fm(0)324 1869 y Ft(,)g(also)g Fq(R)g Fo(\032)g Fq(R)588 1851 y Fm(0)600 1869 y Ft(.)f(Sei)g(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)907 1851 y Fm(0)919 1869 y Ft(.)f(Dann)h(gilt)f Fq(ab)1206 1851 y Fm(\000)p Fk(1)1267 1869 y Fo(2)h Fq(H)t Ft(,)f(also)108 1927 y(gibt)18 b(es)g(\()p Fq(c;)8 b(d)p Ft(\))16 b Fo(2)h Fq(R)h Ft(mit)e Fq(cd)633 1909 y Fm(\000)p Fk(1)697 1927 y Ft(=)g Fq(ab)798 1909 y Fm(\000)p Fk(1)845 1927 y Ft(.)h(W)l(egen)h(\()p Fq(b;)8 b(b)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(d)1203 1909 y Fm(\000)p Fk(1)1250 1927 y Fq(;)g(d)1297 1909 y Fm(\000)p Fk(1)1344 1927 y Ft(\))16 b Fo(2)h Fq(R)108 1985 y Ft(folgt)i(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))16 b(=)h(\()p Fq(ab)467 1967 y Fm(\000)p Fk(1)514 1985 y Fq(b;)8 b(b)p Ft(\))16 b(=)h(\()p Fq(cd)733 1967 y Fm(\000)p Fk(1)781 1985 y Fq(b;)8 b(b)p Ft(\))16 b(=)i(\()p Fq(c;)8 b(d)p Ft(\)\()p Fq(d)1086 1967 y Fm(\000)p Fk(1)1133 1985 y Fq(;)g(d)1180 1967 y Fm(\000)p Fk(1)1228 1985 y Ft(\)\()p Fq(b;)g(b)p Ft(\))16 b Fo(2)h Fq(R)p Ft(,)108 2043 y(also)g(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))13 b Fo(2)h Fq(R)j Ft(und)f(damit)f(auc)o(h)h Fq(R)817 2025 y Fm(0)844 2043 y Fo(\032)d Fq(R)p Ft(.)p 996 2016 33 2 v 996 2046 2 30 v 1027 2046 V 996 2048 33 2 v 108 2133 a Fr(Bemerkung)k(5.4.)j Ft(Man)j(sc)o(hreibt)f(n)o(un)g(auc)o(h)h Fq(G=H)30 b Ft(:=)24 b Fq(G=R)p Ft(.)g(Die)108 2191 y(Kongruenzklassen) p 504 2165 26 2 v 15 w Fq(a)14 b Ft(lassen)h(sic)o(h)f(sc)o(hreib)q(en) g(als)p 1063 2165 V 14 w Fq(a)g Ft(=)g Fo(f)p Fq(b)f Fo(2)h Fq(G)p Fo(j)p Ft(\()p Fq(b;)8 b(a)p Ft(\))13 b Fo(2)p eop %%Page: 113 24 113 23 bop 504 117 a Fu(5.)18 b(RESTKLASSENGR)o(UPPEN)334 b(113)108 225 y Fq(R)p Fo(g)26 b Ft(=)f Fo(f)p Fq(b)p Fo(j9)p Fq(h)g Fo(2)h Fq(H)t Ft([)p Fq(b)15 b Fo(\001)g Fq(a)608 207 y Fm(\000)p Fk(1)681 225 y Ft(=)25 b Fq(h)p Ft(])p Fo(g)g Ft(=)g Fo(f)p Fq(b)p Fo(j9)p Fq(h)g Fo(2)h Fq(H)t Ft([)p Fq(b)e Ft(=)i Fq(h)16 b Fo(\001)f Fq(a)p Ft(])p Fo(g)25 b Ft(=)108 283 y Fq(H)19 b Fo(\001)14 b Fq(a)21 b Ft(=)h Fq(a)14 b Fo(\001)g Fq(H)t Ft(.)21 b(Die)f(V)l(erkn)670 285 y(\177)669 283 y(upfung)h(in)g Fq(G=H)26 b Ft(ist)p 1099 257 26 2 v 20 w Fq(a)14 b Fo(\001)p 1167 244 21 2 v 14 w Fq(b)22 b Ft(=)p 1270 244 83 2 v 22 w Fq(a)10 b Fo(\001)h Fq(b)21 b Ft(o)q(der)108 341 y(\()p Fq(a)11 b Fo(\001)g Fq(H)t Ft(\))g Fo(\001)g Ft(\()p Fq(b)g Fo(\001)g Fq(H)t Ft(\))j(=)g(\()p Fq(a)c Fo(\001)h Fq(b)p Ft(\))g Fo(\001)g Fq(H)q(:)108 426 y Fr(De\014nition)18 b(5.5.)i Ft(Sei)15 b Fq(H)21 b Ft(ein)15 b(Normalteiler)f(v)o(on)i Fq(G)p Ft(.)g(Die)g(Grupp)q(e)554 510 y Fq(G=H)j Ft(=)14 b Fo(f)p Fq(a)c Fo(\001)h Fq(H)t Fo(j)p Fq(a)j Fo(2)g Fq(G)p Fo(g)108 594 y Ft(hei\031t)i Fp(R)n(estklassengrupp)n(e)34 b Ft(o)q(der)16 b Fp(F)l(aktor)n(grupp)n(e)h(von)g Fq(G)g Fp(mo)n(dulo)f Fq(H)t Ft(.)108 677 y Fr(Satz)j(5.6.)h Ft(\(F)l(aktorisierungs-)25 b(o)q(der)h(Homomorphiesatz)d(f)1269 679 y(\177)1268 677 y(ur)i(Grup-)108 735 y(p)q(en\))50 b Fp(Sei)25 b Fq(f)33 b Ft(:)27 b Fq(G)h Fo(\000)-9 b(!)28 b Fq(G)653 717 y Fm(0)689 735 y Fp(ein)e(Homomorphismus)e(von)h(Grupp)n (en)108 794 y(und)c Fq(H)k Fp(ein)c(Normalteiler)g(in)g Fq(G)p Fp(.)g(Wenn)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(H)t Ft(\))20 b(=)g Fo(f)p Fq(e)1165 801 y Fn(G)1192 792 y Fe(0)1205 794 y Fo(g)p Fp(,)g(dann)i(gibt)108 852 y(es)c(genau)h(einen)g (Homomorphismus)p 840 812 30 2 v 16 w Fq(f)g Ft(:)14 b Fq(G=H)19 b Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(G)1164 834 y Fm(0)1176 852 y Fp(,)j(so)g(da\031)626 931 y Fq(G)177 b(G=H)p 677 920 152 2 v 787 919 a Ff(-)743 911 y Fn(\027)723 989 y(f)704 969 y Ff(H)745 989 y(H)787 1010 y(H)795 1014 y(H)-42 b(j)870 1062 y Fq(G)908 1044 y Fm(0)p 894 1014 2 67 v 895 1014 a Ff(?)p 911 966 21 2 v 911 994 a Fn(f)108 1127 y Fp(kommutiert.)158 1211 y Fi(Beweis.)20 b Ft(Nac)o(h)12 b(I.)f(4.9)h(existiert)p 790 1172 30 2 v 10 w Fq(f)18 b Ft(eindeutig)11 b(als)h(Abbildung,)f(w)o(enn)108 1269 y(f)124 1271 y(\177)123 1269 y(ur)22 b(alle)f Fq(a;)8 b(b)23 b Fo(2)g Fq(G)g Ft(mit)d(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))23 b Fo(2)g Fq(R)g Ft(gilt)e Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))23 b(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\).)21 b(Ab)q(er)h(w)o(enn)108 1328 y(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))20 b Fo(2)h Fq(R)g Ft(ist,)e(dann)i (ist)f Fq(a)14 b Fo(\001)g Fq(b)719 1310 y Fm(\000)p Fk(1)786 1328 y Fo(2)21 b Fq(H)t Ft(,)f(also)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)14 b Fo(\001)f Fq(b)1156 1310 y Fm(\000)p Fk(1)1203 1328 y Ft(\))21 b(=)g Fq(e)1325 1335 y Fn(G)1352 1326 y Fe(0)1385 1328 y Ft(und)108 1386 y(damit)f Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))21 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\),)20 b(denn)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))14 b Fo(\001)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))896 1368 y Fm(\000)p Fk(1)965 1386 y Ft(=)21 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)14 b Fo(\001)g Fq(b)1161 1368 y Fm(\000)p Fk(1)1208 1386 y Ft(\))21 b(=)g Fq(e)1330 1393 y Fn(G)1357 1384 y Fe(0)1371 1386 y Ft(.)f(Da)108 1444 y(die)13 b(Multiplik)m(ation)g(in)g Fq(G=H)19 b Ft(auf)c(den)e(Repr)951 1446 y(\177)951 1444 y(asen)o(tan)o(ten)h(durc)o(hgef)1376 1446 y(\177)1375 1444 y(uhrt)108 1502 y(wird,)f(gilt)g(\(wie)h(im)e(Bew)o(eis)g(v)o(on)h (4.2\))p 828 1462 V 14 w Fq(f)6 b Ft(\()p 877 1476 26 2 v Fq(a)f Fo(\001)p 928 1462 21 2 v 6 w Fq(b)p Ft(\))13 b(=)p 1033 1462 30 2 v 14 w Fq(f)5 b Ft(\()p 1081 1462 83 2 v Fq(a)11 b Fo(\001)g Fq(b)p Ft(\))j(=)p 1248 1462 30 2 v 13 w Fq(f)6 b(\027)s Ft(\()p Fq(a)g Fo(\001)g Fq(b)p Ft(\))13 b(=)108 1560 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)11 b Fo(\001)g Fq(b)p Ft(\))j(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))11 b Fo(\001)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))14 b(=)p 607 1520 V 14 w Fq(f)6 b(\027)s Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))11 b Fo(\001)p 764 1520 V 11 w Fq(f)5 b(\027)s Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))14 b(=)p 945 1520 V 14 w Fq(f)6 b Ft(\()p 994 1534 26 2 v Fq(a)o Ft(\))11 b Fo(\001)p 1074 1520 30 2 v 11 w Fq(f)6 b Ft(\()p 1123 1520 21 2 v Fq(b)o Ft(\))p Fq(;)16 b Ft(also)h(ist)p 1358 1520 30 2 v 16 w Fq(f)22 b Ft(ein)108 1618 y(Homomorphism)o(us.)p 553 1591 33 2 v 553 1620 2 30 v 584 1620 V 553 1622 33 2 v 108 1702 a Fr(Beispiele)16 b(5.7.)86 b Ft(\(1\))21 b(Sei)15 b Fq(n)f Fo(2)g Fl(N)p Ft(.)g(Dann)j(ist)379 1786 y Fq(S)409 1793 y Fn(n)446 1786 y Ft(:=)d Fo(ff)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(g)13 b(\000)-8 b(!)13 b(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(gj)p Fq(a)16 b Ft(bijektiv)e Fo(g)257 1870 y Ft(un)o(ter)h(der)h(V)l (erkn)597 1872 y(\177)596 1870 y(upfung)g(v)o(on)g(Abbildungen)f(eine)g (Grupp)q(e)h(\(I.)257 1928 y(2.22\).)d Fq(S)419 1935 y Fn(n)456 1928 y Ft(hei\031t)f Fp(symmetrische)j(Grupp)n(e)25 b Ft(o)q(der)14 b Fp(Permutations-)257 1986 y(grupp)n(e)p Ft(.)28 b(Nac)o(h)14 b(\(I)q(I.)f(4.6\))i(ist)f Fq(S)836 1993 y Fn(n)874 1986 y Ft(eine)f(Grupp)q(e)i(mit)d Fq(n)p Ft(!)i(Elemen-)257 2044 y(ten.)h Fq(S)384 2051 y Fn(n)424 2044 y Ft(hat)i(Erzeugende)456 2085 y Fj( )489 2128 y Ft(1)p Fq(;)8 b Ft(2)p Fq(;)g Ft(3)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b(n)489 2186 y Ft(2)p Fq(;)g Ft(1)p Fq(;)g Ft(3)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b(n)753 2085 y Fj(!)810 2158 y Ft(und)916 2085 y Fj( )949 2128 y Ft(1)p Fq(;)g Ft(2)p Fq(;)g Ft(3)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)951 2186 y Ft(2)p Fq(;)g Ft(3)p Fq(;)g Ft(4)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b Ft(1)1212 2085 y Fj(!)1253 2158 y Fq(:)p eop %%Page: 114 25 114 24 bop 108 117 a Fu(114)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)257 225 y Ft(Eine)j(andere)h(Erzeugendenmenge)f(ist)g Fo(f)p Fq(\033)1097 232 y Fn(i)1111 225 y Fo(g)k(\032)f Fq(S)1256 232 y Fn(n)1302 225 y Ft(f)1318 227 y(\177)1317 225 y(ur)e Fq(i)j Ft(=)257 283 y(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)j Fo(\000)g Ft(1)16 b(mit)516 448 y Fq(\033)544 455 y Fn(i)557 448 y Ft(\()p Fq(k)r Ft(\))e(:=)702 336 y Fj(8)702 373 y(>)702 386 y(>)702 398 y(<)702 473 y(>)702 485 y(>)702 498 y(:)738 380 y Fq(i)d Ft(+)g(1)p Fq(;)65 b Ft(f)934 382 y(\177)933 380 y(ur)16 b Fq(k)g Ft(=)e Fq(i;)738 450 y(i;)149 b Ft(f)934 452 y(\177)933 450 y(ur)16 b Fq(k)g Ft(=)e Fq(i)d Ft(+)g(1)p Fq(;)738 519 y(k)r(;)139 b Ft(sonst.)257 613 y(Die)16 b Fq(\033)374 620 y Fn(i)404 613 y Ft(hei\031en)f Fp(T)l(r)n(ansp)n(ositionen.)257 671 y Ft(Die)j Fq(\033)376 678 y Fn(i)409 671 y Ft(erf)466 673 y(\177)465 671 y(ullen)f(die)h(Relationen)h Fq(\033)943 678 y Fn(i)956 671 y Fq(\033)984 678 y Fn(j)1021 671 y Ft(=)f Fq(\033)1105 678 y Fn(j)1123 671 y Fq(\033)1151 678 y Fn(i)1184 671 y Ft(f)1200 673 y(\177)1199 671 y(ur)g Fq(i)g(<)h(j)d Fo(\000)c Ft(1)257 729 y(und)24 b(1)k Fo(\024)f Fq(i;)8 b(j)30 b Fo(\024)d Fq(n)16 b Fo(\000)g Ft(1)p Fq(;)24 b Ft(und)h Fq(\033)931 736 y Fn(i)945 729 y Fq(\033)973 736 y Fn(i)p Fk(+1)1032 729 y Fq(\033)1060 736 y Fn(i)1101 729 y Ft(=)i Fq(\033)1194 736 y Fn(i)p Fk(+1)1253 729 y Fq(\033)1281 736 y Fn(i)1295 729 y Fq(\033)1323 736 y Fn(i)p Fk(+1)1406 729 y Ft(f)1422 731 y(\177)1421 729 y(ur)257 787 y(1)15 b Fo(\024)f Fq(i)h Fo(\024)f Fq(n)e Fo(\000)f Ft(2,)16 b(und)i Fq(\033)708 769 y Fk(2)706 800 y Fn(i)741 787 y Ft(=)d(id)i(f)868 789 y(\177)867 787 y(ur)f(1)f Fo(\024)g Fq(i)f Fo(\024)h Fq(n)c Fo(\000)g Ft(1.)17 b(Man)g(k)m(ann)257 845 y Fq(S)287 852 y Fn(n)326 845 y Ft(auc)o(h)e(darstellen)g(als)h Fq(F)7 b Ft(\()p Fo(f)p Fq(\033)846 852 y Fk(1)865 845 y Fq(;)h(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\033)1010 852 y Fn(n)p Fm(\000)p Fk(1)1079 845 y Fo(g)p Ft(\))p Fq(=R)p Ft(,)15 b(w)o(ob)q(ei)h Fq(R)g Ft(die)257 903 y(v)o(on)11 b(den)g(Relationen)g(\()p Fq(\033)718 910 y Fn(i)732 903 y Fq(\033)760 910 y Fn(j)778 903 y Fq(;)d(\033)828 910 y Fn(j)845 903 y Fq(\033)873 910 y Fn(i)887 903 y Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fq(\033)975 910 y Fn(i)989 903 y Fq(\033)1017 910 y Fn(i)p Fk(+1)1076 903 y Fq(\033)1104 910 y Fn(i)1117 903 y Fq(;)g(\033)1167 910 y Fn(i)p Fk(+1)1226 903 y Fq(\033)1254 910 y Fn(i)1268 903 y Fq(\033)1296 910 y Fn(i)p Fk(+1)1355 903 y Ft(\))j(und)257 962 y(\()p Fq(\033)304 969 y Fn(i)318 962 y Fq(\033)346 969 y Fn(i)359 962 y Fq(;)d(")p Ft(\))16 b(erzeugte)g (Kongruenzrelation)g(ist.)174 1020 y(\(2\))21 b(Die)h(Un)o(tergrupp)q (e)g Fq(A)681 1027 y Fn(n)728 1020 y Fo(\032)i Fq(S)821 1027 y Fn(n)867 1020 y Ft(mit)c Fq(A)999 1027 y Fn(n)1047 1020 y Ft(=)k Fo(f)p Fq(s)1157 1027 y Fk(1)1192 1020 y Fo(\001)15 b Fq(:)8 b(:)g(:)14 b Fo(\001)h Fq(s)1345 1027 y Fk(2)p Fn(t)1378 1020 y Fo(j)p Fq(t)23 b Fo(2)257 1078 y Fl(N)289 1085 y Fk(0)317 1078 y Fo(^)11 b Fq(s)384 1085 y Fn(i)412 1078 y Fo(2)j(f)p Fq(\033)512 1085 y Fk(1)531 1078 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\033)677 1085 y Fn(n)p Fm(\000)p Fk(1)745 1078 y Fo(gg)16 b Ft(hei\031t)f(Grupp) q(e)i(der)e Fp(ger)n(aden)j(Per-)257 1136 y(mutationen)p Ft(.)g(Man)f(k)m(ann)g(zeigen,)f(da\031)i Fq(A)1050 1143 y Fn(n)1088 1136 y Fo(\032)d Fq(S)1172 1143 y Fn(n)1212 1136 y Ft(ein)i(Normal-)257 1194 y(teiler)e(ist)h(und)h(da\031)g Fq(A)677 1201 y Fn(n)714 1194 y Fo(6)p Ft(=)d Fq(S)796 1201 y Fn(n)836 1194 y Ft(gilt)i(\()p Fq(n)f Fo(\025)f Ft(2\).)i(Dann)h(hat)g Fq(S)1361 1201 y Fn(n)1385 1194 y Fq(=)m(A)1443 1201 y Fn(n)257 1252 y Ft(genau)e(2)h(Elemen)o(te)p 647 1213 41 2 v 11 w(id)f(und)p 799 1226 48 2 v 15 w Fq(\033)827 1259 y Fk(1)847 1252 y Ft(,)f(denn)h(f)1009 1254 y(\177)1008 1252 y(ur)g Fq(s)1092 1259 y Fk(1)1120 1252 y Fo(\001)8 b Fq(:)g(:)g(:)f Fo(\001)h Fq(s)1252 1259 y Fn(t)1281 1252 y Fo(2)14 b Fq(S)1358 1259 y Fn(n)1396 1252 y Ft(gilt)257 1310 y Fq(s)280 1317 y Fk(1)313 1310 y Fo(\001)f Fq(:)8 b(:)g(:)k Fo(\001)h Fq(s)460 1317 y Fn(t)494 1310 y Fo(\030)20 b Ft(id)f(\()p Fq(s)655 1317 y Fk(1)688 1310 y Fo(\001)13 b Fq(:)8 b(:)g(:)k Fo(\001)h Fq(s)835 1317 y Fn(t)863 1310 y Fo(\001)g Ft(id)931 1289 y Fm(\000)p Fk(1)997 1310 y Fo(2)20 b Fq(A)1087 1317 y Fn(n)1110 1310 y Ft(\),)f(w)o(enn)g Fq(t)g Ft(gerade)257 1368 y(ist,)c(und)g Fq(s)457 1375 y Fk(1)486 1368 y Fo(\001)10 b Fq(:)e(:)g(:)g Fo(\001)i Fq(s)623 1375 y Fn(t)651 1368 y Fo(\030)k Fq(\033)732 1375 y Fk(1)767 1368 y Ft(\()p Fq(s)809 1375 y Fk(1)838 1368 y Fo(\001)9 b Fq(:)f(:)g(:)h Fo(\001)g Fq(s)974 1375 y Fn(t)998 1368 y Fo(\001)g Fq(\033)1049 1375 y Fk(1)1083 1368 y Fo(2)14 b Fq(A)1167 1375 y Fn(n)1190 1368 y Ft(\),)h(w)o(enn)g Fq(t)g Ft(un-)257 1426 y(gerade)h(ist.)g(Dab) q(ei)g(seien)g(die)f Fq(s)855 1433 y Fn(i)885 1426 y Ft(T)l(ransp)q(ositionen.)i(Es)g(gen)1397 1428 y(\177)1396 1426 y(ugt)257 1485 y(Elemen)o(te)11 b(der)j(F)l(orm)e Fq(s)698 1492 y Fk(1)724 1485 y Fo(\001)6 b Fq(:)i(:)g(:)e Fo(\001)g Fq(s)851 1492 y Fn(t)881 1485 y Ft(zu)13 b(b)q(etrac)o(h)o (ten,)g(w)o(eil)g Fq(s)1317 1492 y Fn(i)1345 1485 y Ft(=)g Fq(s)1419 1464 y Fm(\000)p Fk(1)1419 1496 y Fn(i)257 1543 y Ft(gilt.)i(Die)h(Multiplik)m(ationstafel)e(m)o(u\031)h(daher)733 1633 y Fo(\001)p 796 1640 2 51 v 847 1594 41 2 v 100 w Ft(id)p 959 1607 48 2 v 71 w Fq(\033)987 1640 y Fk(1)p 796 1649 2 9 v 700 1651 323 2 v 796 1667 2 17 v 719 1671 41 2 v 719 1710 a Ft(id)p 796 1728 2 61 v 847 1671 41 2 v 87 w(id)p 959 1684 48 2 v 71 w Fq(\033)987 1717 y Fk(1)p 716 1744 V 716 1771 a Fq(\033)744 1778 y Fk(1)p 796 1788 2 61 v 847 1744 48 2 v 847 1771 a Fq(\033)875 1778 y Fk(1)p 959 1731 41 2 v 959 1771 a Ft(id)257 1869 y(sein.)i(Die)i(Abbildung)p 704 1830 30 2 v 18 w Fq(f)k Ft(:)17 b Fq(S)812 1876 y Fn(n)836 1869 y Fq(=)m(A)894 1876 y Fn(n)935 1869 y Fo(\000)-8 b(!)17 b(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)19 b Ft(mit)p 1303 1830 V 17 w Fq(f)5 b Ft(\()p 1351 1830 41 2 v(id\))18 b(=)257 1927 y(1)p Fq(;)p 303 1888 30 2 v 8 w(f)5 b Ft(\()p 351 1901 V Fq(\033)381 1934 y Fk(1)401 1927 y Ft(\))16 b(=)g Fo(\000)p Ft(1)i(ist)g(ein)f(Isomorphism)o(us,)e(w)o(enn)i(man)g Fo(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)257 1985 y Ft(als)16 b(Grupp)q(e)h(mit)d(der)i(gew)762 1987 y(\177)762 1985 y(ohnlic)o(hen)g(Multiplik)m(ation)f(au\013a\031t:)750 2065 y Fo(\001)p 801 2065 2 33 v 63 w Ft(1)58 b(-1)p 801 2074 2 9 v 728 2076 254 2 v 801 2092 2 17 v 752 2132 a(1)p 801 2150 2 59 v 51 w(1)g(-1)744 2191 y(-1)p 801 2208 V 35 w(-1)g(1)41 b Fq(:)p eop %%Page: 115 26 115 25 bop 504 117 a Fu(5.)18 b(RESTKLASSENGR)o(UPPEN)334 b(115)257 248 y Ft(Der)19 b(Homomorphism)n(us)e Fq(S)786 255 y Fn(n)859 222 y(\027)829 248 y Fo(\000)-9 b(!)19 b Fq(S)958 255 y Fn(n)982 248 y Fq(=)m(A)1040 255 y Fn(n)p 1113 191 21 2 v 1113 219 a(f)1083 248 y Fo(\000)-9 b(!)19 b(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)20 b Ft(hei\031t)257 307 y Fp(Signatur)g Ft(o)q(der)g Fp(V)l(orzeichen)p Ft(:)h(sgn)f(:=)p 996 267 30 2 v 19 w Fq(f)5 b(\027)s Ft(.)19 b(Eine)g(P)o(erm)o(utation) 257 365 y Fq(\034)k Fo(2)17 b Fq(S)381 372 y Fn(n)423 365 y Ft(hei\031t)h Fp(ger)n(ade)p Ft(,)g(w)o(enn)f(sie)h(sic)o(h)g (als)g(Pro)q(dukt)h(einer)e(ge-)257 423 y(raden)i(Anzahl)g(v)o(on)g(T)l (ransp)q(ositionen)h(sc)o(hreib)q(en)f(l)1250 425 y(\177)1250 423 y(a\031t.)g(Sonst)257 481 y(hei\031t)e(sie)g Fp(unger)n(ade)p Ft(.)35 b Fq(\034)22 b Fo(2)17 b Fq(S)812 488 y Fn(n)853 481 y Ft(ist)g(genau)h(dann)g(gerade,)g(w)o(enn)257 539 y(sgn\()p Fq(\034)6 b Ft(\))14 b(=)g(1)i(gilt.)108 646 y Fr(Satz)j(5.8.)h Ft(\(Ca)o(yley\))38 b Fp(Sei)20 b Fq(G)g Fp(eine)g(end)r(liche)i(Grupp)n(e.)d(Dann)h(gibt)g(es)108 704 y(eine)d(Unter)n(grupp)n(e)f Fq(U)21 b Fp(einer)c (Permutationsgrupp)n(e)f Fq(S)1135 711 y Fn(n)1159 704 y Fp(,)f(zu)h(der)g Fq(G)g Fp(iso-)108 762 y(morph)h(ist.)158 882 y Fi(Beweis.)j Ft(Hab)q(e)d Fq(G)f Ft(genau)h Fq(n)g Ft(Elemen)o(te)c(und)j(sei)554 989 y Fq(G)e Ft(=)g Fo(f)p Fq(e)f Ft(=)h Fq(a)797 996 y Fk(1)816 989 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)960 996 y Fn(n)983 989 y Fo(g)p Fq(:)108 1096 y Ft(Jedem)18 b Fq(a)i Fo(2)g Fq(G)g Ft(ordnen)h(wir)e(die)g(P)o(erm)o (utation)f Fq(\033)1071 1103 y Fn(a)1112 1096 y Ft(:)h Fo(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(g)20 b(\000)-8 b(!)108 1154 y(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fo(g)15 b Ft(zu)f(mit)f Fq(a)8 b Fo(\001)g Fq(a)577 1161 y Fn(i)604 1154 y Ft(=)14 b Fq(a)682 1162 y Fn(\033)702 1166 y Fg(a)720 1162 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\))762 1154 y Fq(:)g Ft(O\013en)o(bar)h(gibt)g(es)f(zu)h(jedem)d(Index)108 1212 y Fq(i)19 b Ft(genau)h(einen)f(Index)g Fq(\033)586 1219 y Fn(a)606 1212 y Ft(\()p Fq(i)p Ft(\))g(mit)f Fq(a)13 b Fo(\001)g Fq(a)865 1219 y Fn(i)898 1212 y Ft(=)19 b Fq(a)981 1220 y Fn(\033)1001 1224 y Fg(a)1020 1220 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\))1061 1212 y Fq(:)g Ft(Daher)h(ist)g Fq(\033)1343 1219 y Fn(a)1383 1212 y Ft(eine)108 1271 y(Abbildung.)10 b(Die)h(Umk)o(ehrabbildung)e(v)o(on)h Fq(\033)946 1278 y Fn(a)978 1271 y Ft(ist)h Fq(\034)19 b Ft(:=)14 b Fq(\033)1175 1279 y Fn(a)1194 1269 y Fe(\000)p Fh(1)1237 1271 y Ft(,)c(denn)h Fq(a)1401 1278 y Fn(i)1429 1271 y Ft(=)108 1329 y Fq(a)134 1311 y Fm(\000)p Fk(1)189 1329 y Fo(\001)d Fq(a)g Fo(\001)g Fq(a)293 1336 y Fn(i)319 1329 y Ft(=)14 b Fq(a)397 1311 y Fm(\000)p Fk(1)451 1329 y Fo(\001)8 b Fq(a)499 1336 y Fn(\033)519 1340 y Fg(a)538 1336 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\))593 1329 y Ft(=)14 b Fq(a)671 1336 y Fn(\034)t Fk(\()p Fn(\033)725 1340 y Fg(a)743 1336 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\)\))813 1329 y Ft(und)g Fq(a)934 1336 y Fn(i)962 1329 y Ft(=)g Fq(a)8 b Fo(\001)g Fq(a)1096 1311 y Fm(\000)p Fk(1)1149 1329 y Fo(\001)g Fq(a)1197 1336 y Fn(i)1225 1329 y Ft(=)13 b Fq(a)8 b Fo(\001)g Fq(a)1358 1336 y Fn(")p Fk(\()p Fn(i)p Fk(\))1429 1329 y Ft(=)108 1387 y Fq(a)134 1395 y Fn(\033)154 1399 y Fg(a)173 1395 y Fk(\()p Fn(\034)t Fk(\()p Fn(i)p Fk(\)\))261 1387 y Ft(,)18 b(also)g(gilt)f Fq(\034)6 b Ft(\()p Fq(\033)554 1394 y Fn(a)574 1387 y Ft(\()p Fq(i)p Ft(\)\))16 b(=)g Fq(i)g Ft(=)g Fq(\033)833 1394 y Fn(a)853 1387 y Ft(\()p Fq(\034)6 b Ft(\()p Fq(i)p Ft(\)\).)17 b(Damit)f(ist)i Fq(\033)1254 1394 y Fn(a)1292 1387 y Ft(bijektiv,)108 1445 y(also)e(eine)e(P)o(erm)o(utation.)f(Wir)i(hab)q(en)h(somit)d (eine)i(Abbildung)f Fq(\033)i Ft(:)d Fq(G)h Fo(3)108 1503 y Fq(a)g Fo(7!)f Fq(\033)239 1510 y Fn(a)274 1503 y Fo(2)h Fq(S)351 1510 y Fn(n)390 1503 y Ft(de\014niert.)g(W)l(egen)h Fq(a)777 1511 y Fn(\033)797 1517 y Fg(a)p Fe(\001)p Fg(b)839 1511 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\))894 1503 y Ft(=)f(\()p Fq(a)9 b Fo(\001)g Fq(b)p Ft(\))g Fo(\001)h Fq(a)1122 1510 y Fn(i)1149 1503 y Ft(=)k Fq(a)9 b Fo(\001)g Fq(b)g Fo(\001)g Fq(a)1338 1510 y Fn(i)1366 1503 y Ft(=)14 b Fq(a)9 b Fo(\001)108 1561 y Fq(a)134 1569 y Fn(\033)154 1575 y Fg(b)170 1569 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\))225 1561 y Ft(=)14 b Fq(a)303 1569 y Fn(\033)323 1573 y Fg(a)342 1569 y Fk(\()p Fn(\033)376 1575 y Fg(b)391 1569 y Fk(\()p Fn(i)p Fk(\)\))457 1561 y Ft(ist)d Fq(\033)548 1568 y Fn(a)p Fm(\001)p Fn(b)607 1561 y Ft(=)j Fq(\033)687 1568 y Fn(a)708 1561 y Fo(\016)p Fq(\033)761 1568 y Fn(b)777 1561 y Ft(,)d(also)g(ist)g Fq(\033)h Ft(ein)e(Homomorphism)o(us.)108 1619 y(Sc)o(hlie\031lic)o(h)f (ist)i Fq(\033)i Ft(injektiv,)c(denn)i(aus)i Fq(\033)857 1626 y Fn(a)891 1619 y Ft(=)h Fq(\033)971 1626 y Fn(b)999 1619 y Ft(folgt)e Fq(a)h Ft(=)h Fq(a)q Fo(\001)q Fq(e)f Ft(=)h Fq(a)q Fo(\001)q Fq(a)1396 1626 y Fk(1)1429 1619 y Ft(=)108 1677 y Fq(a)134 1685 y Fn(\033)154 1689 y Fg(a)173 1685 y Fk(\(1\))244 1677 y Ft(=)23 b Fq(a)331 1685 y Fn(\033)351 1691 y Fg(b)367 1685 y Fk(\(1\))438 1677 y Ft(=)g Fq(b)15 b Fo(\001)g Fq(a)590 1684 y Fk(1)633 1677 y Ft(=)24 b Fq(b)e Ft(Sei)f Fq(U)29 b Ft(:=)23 b(Bi)o(\()p Fq(\033)r Ft(\).)e(Dann)i(ist)f Fq(U)28 b Ft(eine)108 1735 y(Un)o(tergrupp)q(e)19 b(v)o(on)g Fq(S)522 1742 y Fn(n)565 1735 y Ft(und)h(der)f(eingesc)o(hr)948 1737 y(\177)948 1735 y(ankte)f(Homomorphism)n(us)108 1794 y Fq(\033)138 1776 y Fm(0)163 1794 y Ft(:)c Fq(G)g Fo(\000)-9 b(!)14 b Ft(Bi)o(\()p Fq(\033)r Ft(\))f(=)h Fq(U)22 b Ft(bijektiv,)14 b(also)j(ein)e(Isomorphism)o(us.)p 1320 1767 33 2 v 1320 1796 2 30 v 1351 1796 V 1320 1798 33 2 v 108 1901 a Fr(De\014nition)j(5.9.)85 b Ft(\(1\))21 b(Sei)14 b Fq(G)h Ft(eine)e(endlic)o(he)f(Grupp)q(e.)i(Die)g(Anzahl)257 1959 y(der)i(Elemen)o(te)d(v)o(on)j Fq(G)h Ft(hei\031t)f Fp(Or)n(dnung)h Ft(v)o(on)f Fq(G:)174 2017 y Ft(\(2\))21 b(Sei)15 b Fq(a)f Fo(2)g Fq(G)j Ft(ein)f(Elemen)o(t)e(einer)h(b)q (eliebigen)g(Grupp)q(e.)h(W)l(enn)h(es)257 2075 y(ein)i(kleinstes)g Fq(n)i Fo(2)f Fl(N)f Ft(gibt)h(mit)e Fq(a)917 2057 y Fn(n)961 2075 y Ft(=)i Fq(a)13 b Fo(\001)h Fq(:)8 b(:)g(:)13 b Fo(\001)g Fq(a)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(-mal\)=)19 b Fq(e)p Ft(,)257 2133 y(dann)f(hei\031t)g Fq(n)f Ft(die)g Fp(Or)n(dnung)i Ft(v)o(on)e Fq(a)p Ft(.)g(Gibt)h(es)f(k)o(ein)g(solc)o(hes)g Fq(n)p Ft(,)257 2191 y(so)g(sagen)g(wir,)e(da\031)i(die)f(Ordn)o(ung)h (v)o(on)f Fq(a)g Ft(unendlic)o(h)e(ist.)p eop %%Page: 116 27 116 26 bop 108 117 a Fu(116)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(Man)14 b(b)q(eac)o(h)o(te,)f(da\031)i (dieser)e(Begri\013)g(einer)g(Ordn)o(ung)h(nic)o(h)o(ts)f(zu)h(tun)g (hat)108 283 y(mit)h(dem)f(Begri\013)i(einer)f(geordneten)i(Menge.)108 383 y Fr(Bemerkung)g(5.10.)j Ft(W)l(enn)k(es)h(ein)e Fq(n)28 b Fo(2)g Fl(N)22 b Ft(mit)h Fq(a)1138 365 y Fn(n)1188 383 y Ft(=)28 b Fq(e)c Ft(gibt,)g(so)108 441 y(gibt)18 b(es)f(auc)o(h)g(ein)g(kleinstes)f(solc)o(hes)h Fq(n)p Ft(,)g(da)g Fl(N)f Ft(w)o(ohlgeordnet)h(ist.)g(Wir)108 499 y(b)q(etrac)o(h)o(ten)h(jetzt)g(ein)f(Elemen)o(t)f Fq(a)i Fo(2)f Fq(G)i Ft(in)f(einer)g(endlic)o(hen)e(Grupp)q(e.)108 558 y(W)l(enn)24 b Fq(a)280 539 y Fn(r)324 558 y Ft(=)i Fq(a)414 539 y Fn(s)455 558 y Ft(ist)d(und)h Fq(r)j(<)f(s)p Ft(,)d(so)h(ist)f Fq(a)976 539 y Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)1065 558 y Ft(=)i Fq(e)p Ft(,)e(denn)g Fq(a)1340 539 y Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)1429 558 y Ft(=)108 616 y Fq(a)134 598 y Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)197 616 y Fq(a)223 598 y Fn(r)241 616 y Ft(\()p Fq(a)286 598 y Fn(s)304 616 y Ft(\))323 598 y Fm(\000)p Fk(1)384 616 y Ft(=)14 b Fq(a)462 598 y Fn(s)480 616 y Ft(\()p Fq(a)525 598 y Fn(s)543 616 y Ft(\))562 598 y Fm(\000)p Fk(1)623 616 y Ft(=)g Fq(e:)108 689 y Ft(Wir)k(b)q(etrac)o(h)o(ten)f(die)g(F)l(olge)g Fq(a;)8 b(a)736 671 y Fk(2)755 689 y Fq(;)g(a)803 671 y Fk(3)822 689 y Fq(;)g(a)870 671 y Fk(4)890 689 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)f Ft(.)17 b(Die)h(Elemen)o(te)c(k)1339 691 y(\177)1339 689 y(onnen)108 747 y(nic)o(h)o(t)f(alle)h(paarw)o(eise)g(v)o(ersc)o (hieden)e(sein,)i(denn)g(sie)g(liegen)f(in)h Fq(G)h Ft(und)g Fq(G)108 805 y Ft(ist)e(endlic)o(h.)d(Sei)i(n)o(un)h Fq(s)f Ft(die)g(kleinste)f(Zahl,)h(so)i(da\031)f(ein)f Fq(r)i Ft(mit)d(1)j Fo(\024)g Fq(r)h(<)f(s)108 863 y Ft(existiert)9 b(mit)g Fq(a)401 845 y Fn(r)434 863 y Ft(=)14 b Fq(a)512 845 y Fn(s)530 863 y Ft(.)c(Sei)g Fq(n)k Ft(:=)g Fq(s)p Fo(\000)p Fq(r)q Ft(.)c(Dann)i(ist)e Fq(a)1060 845 y Fn(n)1097 863 y Ft(=)k Fq(e)p Ft(,)c(die)g(Elemen)o(te) 108 921 y Fq(a;)e(a)182 903 y Fk(2)201 921 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)345 903 y Fn(n)381 921 y Ft(sind)13 b(alle)f(paarw)o(eise)h (v)o(ersc)o(hieden)e(\(denn)i Fq(n)h Ft(=)f Fq(s)t Fo(\000)t Fq(r)j(<)e(s)p Ft(,)108 980 y(w)o(eil)j Fq(r)i Fo(\025)e Ft(1\).)h(Damit)f(ist)h Fq(n)g Ft(die)g(Ordn)o(ung)g(v)o(on)g Fq(a)p Ft(.)g(F)1123 982 y(\177)1122 980 y(ur)g Fq(t)f(>)g(n)h Ft(gibt)h(es)108 1038 y(eindeutig)h(b)q(estimm)o(te)d Fq(q)22 b Ft(und)f Fq(r)h Ft(mit)d Fq(t)i Ft(=)g Fq(q)r(n)14 b Ft(+)g Fq(r)22 b Ft(und)f(0)h Fo(\024)f Fq(r)i(<)e(n)p Ft(.)108 1096 y(Dann)h(ist)e Fq(a)343 1078 y Fn(t)379 1096 y Ft(=)i Fq(a)465 1078 y Fn(q)q(n)p Fk(+)p Fn(r)571 1096 y Ft(=)f Fq(a)656 1078 y Fn(q)q(n)697 1096 y Fq(a)723 1078 y Fn(r)763 1096 y Ft(=)g(\()p Fq(a)867 1078 y Fn(n)890 1096 y Ft(\))909 1078 y Fn(q)928 1096 y Fq(a)954 1078 y Fn(r)994 1096 y Ft(=)h Fq(e)1077 1078 y Fn(q)1096 1096 y Fq(a)1122 1078 y Fn(r)1162 1096 y Ft(=)f Fq(a)1247 1078 y Fn(r)1266 1096 y Ft(.)f(Also)h(ist)108 1154 y Fo(f)p Fq(a;)8 b(a)207 1136 y Fk(2)226 1154 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)370 1136 y Fn(n)393 1154 y Fo(g)13 b Ft(=)h Fo(f)p Fq(a;)8 b(a)582 1136 y Fk(2)601 1154 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(a)744 1136 y Fn(n)767 1154 y Fq(;)g(a)815 1136 y Fn(n)p Fk(+1)883 1154 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)g Fo(g)p Ft(.)16 b(W)l(eiter)f(ist)h Fq(a)1277 1136 y Fn(i)1301 1154 y Fo(\001)11 b Fq(a)1352 1136 y Fn(n)p Fm(\000)p Fn(i)1429 1154 y Ft(=)108 1212 y Fq(a)134 1194 y Fn(n)179 1212 y Ft(=)23 b Fq(e)d Ft(f)299 1214 y(\177)298 1212 y(ur)h(1)i Fo(\024)f Fq(i)g(<)g(n)p Ft(,)e(d.h.)h(alle)f(Elemen)o(te)e(in)j Fo(f)p Fq(a;)8 b(a)1211 1194 y Fk(2)1230 1212 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)1374 1194 y Fn(n)p Fm(\000)p Fk(1)1442 1212 y Fo(g)108 1270 y Ft(hab)q(en)16 b(ihr)e(in)o(v)o(erses)f(Elemen)o(t)f (eb)q(enfalls)j(in)f(dieser)g(Menge.)g(Insgesam)o(t)108 1328 y(ist)j(damit)e Fq(U)k Ft(=)14 b Fo(f)p Fq(a;)8 b(a)521 1310 y Fk(2)540 1328 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)684 1310 y Fn(n)707 1328 y Fo(g)16 b Ft(eine)g(Un)o(tergrupp)q(e)g (der)g(Ordn)o(ung)h Fq(n)p Ft(,)108 1386 y(die)f(v)o(on)g Fq(a)g Fp(erzeugte)j(zyklische)f(Unter)n(grupp)n(e)33 b Ft(v)o(on)16 b Fq(G)p Ft(.)108 1460 y(Wir)f(hab)q(en)h(damit)e (allgemein)f(b)q(ewiesen,)i(da\031)h(ein)e(Elemen)o(t)f(der)i(Ord-)108 1518 y(n)o(ung)k Fq(n)f Ft(eine)g(Un)o(tergrupp)q(e)f(der)h(Ordn)o(ung) h Fq(n)f Ft(erzeugt.)g(Hat)g(das)h(Ele-)108 1576 y(men)o(t)g Fq(a)h Ft(unendlic)o(he)e(Ordn)o(ung)j(\(in)f(einer)f(unendlic)o(hen)g (Grupp)q(e)i Fq(G)p Ft(\),)108 1634 y(so)f(hat)f(die)f(v)o(on)h Fq(a)g Ft(erzeugte)f(Un)o(tergrupp)q(e)p 964 1592 76 2 v 18 w Fo(f)p Fq(a)p Fo(g)h Ft(eb)q(enfalls)f(unendlic)o(h)108 1692 y(viele)d(Elemen)o(te.)108 1766 y(Man)f(b)q(eac)o(h)o(te,)e (da\031)j(es)f(in)f(einer)f(unendlic)o(hen)g(Grupp)q(e)j(Elemen)o(te)10 b(end-)108 1824 y(lic)o(her)k(Ordn)o(ung)i(geb)q(en)g(k)m(ann.)f(In)g (\()p Fl(R)t Fo(n)9 b(f)p Ft(0)p Fo(g)p Fq(;)f Fo(\001)p Ft(\))16 b(hat)g(z.B.)d(\(-1\))j(die)f(Ord-)108 1882 y(n)o(ung)i(2.)108 2007 y Fr(Satz)i(5.11.)h Ft(\(Lagrange\))15 b Fp(In)e(einer)h(end)r(lichen)i(Grupp)n(e)c Fq(G)i Fp(ist)f(die)h(Or)n (d-)108 2065 y(nung)21 b(je)n(der)f(Unter)n(grupp)n(e)g Fq(U)25 b Fp(ein)20 b(T)l(eiler)h(der)e(Or)n(dnung)i(der)e(Grupp)n(e.) 108 2124 y(Insb)n(esonder)n(e)e(ist)e(die)i(Or)n(dnung)f(je)n(des)g (Elements)i(ein)e(T)l(eiler)h(der)f(Or)n(d-)108 2182 y(nung)j(der)e(Grupp)n(e.)p eop %%Page: 117 28 117 27 bop 537 120 a Fu(6.)18 b(RINGE)f(UND)h(K)893 112 y(\177)887 120 y(ORPER)367 b(117)158 225 y Fi(Beweis.)20 b Ft(Wir)12 b(de\014nieren)f(auf)i Fq(G)g Ft(eine)e(P)o(artition)h Fq(G=U)20 b Ft(:=)13 b Fo(f)p Fq(aU)5 b Fo(j)p Fq(a)13 b Fo(2)108 283 y Fq(G)p Fo(g)p Ft(,)20 b(w)o(ob)q(ei)f Fq(aU)24 b Ft(:=)19 b Fo(f)p Fq(au)p Fo(j)p Fq(u)f Fo(2)i Fq(U)5 b Fo(g)p Fq(:)19 b Ft(W)l(egen)g Fq(e)g Fo(2)h Fq(U)25 b Ft(gilt)19 b Fq(a)f Fo(2)i Fq(aU)5 b Ft(,)19 b(also)108 341 y(ist)176 308 y Fj(S)211 352 y Fn(a)p Fm(2)p Fn(G)291 341 y Fq(aU)g Ft(=)14 b Fq(G)p Ft(.)j(Sei)f Fq(c)e Fo(2)g Fq(aU)i Fo(\\)c Fq(bU)5 b Ft(.)16 b(Dann)h(ist)f Fq(c)e Ft(=)g Fq(au)1201 348 y Fk(1)1235 341 y Ft(=)g Fq(bu)1336 348 y Fk(2)1355 341 y Ft(,)i(also)108 399 y Fq(a)h Ft(=)g Fq(bu)255 406 y Fk(2)274 399 y Fq(u)302 379 y Fm(\000)p Fk(1)302 410 y(1)366 399 y Fo(2)g Fq(bU)24 b Ft(und)18 b Fq(au)f Ft(=)g Fq(bu)768 406 y Fk(2)787 399 y Fq(u)815 379 y Fm(\000)p Fk(1)815 410 y(1)862 399 y Fq(u)g Fo(2)g Fq(bU)5 b Ft(.)18 b(Damit)f(ist)h Fq(aU)k Fo(\032)16 b Fq(bU)108 458 y Ft(und)24 b(analog)g Fq(bU)30 b Fo(\032)25 b Fq(aU)5 b Ft(,)23 b(d.h.)f Fq(aU)30 b Ft(=)c Fq(bU)5 b Ft(.)22 b(Damit)g(ist)h(gezeigt,)f(da\031)108 516 y Fq(G=U)e Ft(eine)12 b(P)o(artition)i(ist.)e(Zwisc)o(hen)h Fq(aU)18 b Ft(und)c Fq(U)19 b Ft(gibt)13 b(es)h(eine)e(bijektiv)o(e)108 574 y(Abbildung)19 b Fq(aU)25 b Fo(3)19 b Fq(x)g Fo(7!)g Fq(a)629 556 y Fm(\000)p Fk(1)676 574 y Fq(x)g Fo(2)h Fq(U)5 b Ft(,)19 b(denn)h(w)o(enn)f Fq(x)g Ft(=)g Fq(au)p Ft(,)g(dann)h(ist)108 632 y Fq(a)134 614 y Fm(\000)p Fk(1)181 632 y Fq(x)i Ft(=)h Fq(a)318 614 y Fm(\000)p Fk(1)365 632 y Fq(au)f Ft(=)g Fq(u)g Fo(2)h Fq(U)5 b Ft(.)22 b(Die)e(Umk)o(ehrabbildung)f(ist)j Fq(U)28 b Fo(3)22 b Fq(u)h Fo(7!)108 690 y Fq(au)13 b Fo(2)h Fq(aU)5 b Ft(.)15 b(Daher)g(hab)q(en)g(alle)f(Klassen)h Fq(aU)k Ft(der)c(P)o(artition)f(gleic)o(h)f(viele)108 748 y(Elemen)o(te,)g(et)o (w)o(a)j Fq(r)i Ft(Elemen)o(te.)13 b(Da)k Fq(G)e Ft(=)899 715 y Fj(S)942 748 y Fq(aU)21 b Ft(eine)15 b(V)l(ereinigung)h(v)o(on) 108 806 y Fq(s)h Ft(paarw)o(eise)f(disjunkten)g(Mengen)g(ist,)g(hat)h Fq(G)g Ft(genau)h Fq(s)11 b Fo(\001)g Fq(r)18 b Ft(Elemen)o(te,)108 864 y(also)c(ist)g Fq(r)o(;)f Ft(die)g(Ordn)o(ung)h(v)o(on)f Fq(U)5 b Ft(,)14 b(ein)f(T)l(eiler)f(der)i(Ordn)o(ung)g(v)o(on)f Fq(G:)p 1434 837 33 2 v 1434 867 2 30 v 1465 867 V 1434 869 33 2 v 108 956 a Fr(Bemerkung)k(5.12.)j Ft(Wir)k(wissen)g(zun)887 958 y(\177)887 956 y(ac)o(hst)g(nic)o(h)o(t,)f(wieviele)e(paar-)108 1014 y(w)o(eise)12 b(v)o(ersc)o(hiedene)e(\(und)i(damit)f(auc)o(h)i (disjunkte\))f(Mengen)g(der)g(F)l(orm)108 1072 y Fq(aU)21 b Ft(wir)16 b(hab)q(en.)g(Es)g(k)524 1074 y(\177)524 1072 y(onnen)g Fq(a)f Ft(und)h Fq(b)g Ft(v)o(ersc)o(hieden)d(sein,)i (und)h(es)g(k)m(ann)108 1130 y(trotzdem)j Fq(aU)27 b Ft(=)21 b Fq(bU)26 b Ft(gelten.)20 b(Da)h(ab)q(er)g Fq(G)h Ft(endlic)o(h)d(ist,)h(k)1247 1132 y(\177)1247 1130 y(onnen)h(n)o(ur) 108 1189 y(endlic)o(h)15 b(viele)f(\(ob)q(en)j Fq(s)p Ft(\))f(solc)o(he)g(Klassen)g(auftreten.)108 1289 y Fr(Bemerkung)h (5.13.)j Ft(Bezeic)o(hnen)15 b(wir)i Fq(U)5 b Fo(n)p Fq(G)16 b Ft(:=)f Fo(f)p Fq(U)5 b(a)p Fo(j)p Fq(a)15 b Fo(2)h Fq(G)p Fo(g)p Ft(,)h(so)h(ist)108 1347 y(dies)j(eb)q(enfalls)g (eine)g(P)o(artition)g(v)o(on)g Fq(G)p Ft(.)g(Die)g(P)o(artitionen)g Fq(U)5 b Fo(n)p Fq(G)22 b Ft(und)108 1405 y Fq(G=U)j Ft(sind)19 b(im)d(allgemeinen)g(v)o(ersc)o(hieden.)g(Es)j(gilt)f Fq(U)5 b Fo(n)p Fq(G)19 b Ft(=)e Fq(G=U)25 b Ft(ge-)108 1464 y(nau)19 b(dann,)g(w)o(enn)f Fq(U)24 b Ft(ein)18 b(Normalteiler)d(ist.)j(Wir)g(b)q(eac)o(h)o(ten)g(dazu)g(die)108 1522 y(De\014nition)f(5.1.)f(Damit)g(ist)h(n)o(ur)f(zu)h(zeigen,)e (da\031)j Fq(aU)i Ft(=)14 b Fq(U)5 b(b)17 b Ft(impliziert)108 1580 y Fq(aU)k Ft(=)15 b Fq(U)5 b(a)p Ft(.)17 b(Ab)q(er)g(aus)h Fq(aU)j Ft(=)15 b Fq(U)5 b(b)18 b Ft(folgt)f Fq(a)e Fo(2)h Fq(U)5 b(b)18 b Ft(und)f(damit)f(wie)h(ob)q(en)108 1638 y Fq(U)5 b(b)14 b Ft(=)g Fq(U)5 b(a)p Ft(.)527 1760 y Fr(6.)28 b(Ringe)18 b(und)h(K)916 1762 y(\177)916 1760 y(orp)r(er)108 1843 y Ft(Bei)c(den)g(Mengen)g(v)o(on)h(Zahlen,)e(et)o (w)o(a)i(den)f(ganzen)h(o)q(der)g(den)g(k)o(omple-)108 1901 y(xen)k(Zahlen,)f(hab)q(en)h(wir)g(Beispiele)d(gefunden,)j(b)q(ei) f(denen)h(zw)o(ei)e(v)o(er-)108 1959 y(sc)o(hiedene)10 b(V)l(erkn)447 1961 y(\177)446 1959 y(upfungen,)g(z.B.)f(die)h (Addition)h(und)g(die)f(Multiplik)m(ati-)108 2017 y(on,)15 b(auftreten.)e(Die)h(b)q(eiden)g(V)l(erkn)778 2019 y(\177)777 2017 y(upfungen)g(erf)1044 2019 y(\177)1043 2017 y(ullen)e(Eigensc)o (haften,)108 2075 y(die)j(n)o(ur)h(mit)e(b)q(eiden)h(V)l(erkn)646 2077 y(\177)645 2075 y(upfungen)g(gemeinsam)e(ausgedr)1268 2077 y(\177)1267 2075 y(uc)o(kt)j(w)o(er-)108 2133 y(den)21 b(k)231 2135 y(\177)231 2133 y(onnen,)g(wie)f(das)i(Assoziativgesetz.)d (Wir)i(w)o(erden)f(daher)h(jetzt)108 2191 y(die)16 b(Axiome)e(dieser)h (Beispiele)f(b)q(etrac)o(h)o(ten)h(und)i(sie)f(v)o(erallgemei)o(nern.)p eop %%Page: 118 29 118 28 bop 108 117 a Fu(118)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Fr(De\014nition)f(6.1.)i Ft(Ein)e Fp(R)o(ing)g Ft(ist)g(ein)g(T)l(rip)q(el)g(\()p Fq(R;)8 b Ft(+)p Fq(;)g Fo(\001)p Ft(\))18 b(mit)f(folgenden)108 283 y(Eigensc)o(haften)174 354 y(\(1\))k(\()p Fq(R;)8 b Ft(+\))16 b(ist)g(eine)g(ab)q(elsc)o(he)f(Grupp)q(e,)174 412 y(\(2\))21 b(\()p Fq(R;)8 b Fo(\001)p Ft(\))16 b(ist)g(eine)f (Halbgrupp)q(e,)174 470 y(\(3\))21 b(Es)16 b(gelten)g(die)g (Distributiv-Gesetze)441 555 y Fo(8)p Fq(a;)8 b(b;)g(c;)g Fo(2)j Fq(R)p Ft([)42 b Fq(a)11 b Fo(\001)g Ft(\()p Fq(b)f Ft(+)h Fq(c)p Ft(\))j(=)g Fq(a)d Fo(\001)g Fq(b)f Ft(+)h Fq(a)g Fo(\001)g Fq(c)16 b Fo(^)741 613 y Ft(\()p Fq(a)11 b Ft(+)g Fq(b)p Ft(\))f Fo(\001)h Fq(c)j Ft(=)g Fq(a)d Fo(\001)g Fq(c)g Ft(+)g Fq(b)f Fo(\001)h Fq(c)17 b Ft(])257 699 y(\(w)o(ob)q(ei)g(die)f(Multiplik)m(ation)g(st)853 701 y(\177)853 699 y(ark)o(er)h(bindet)f(\(also)i(Pr)1301 701 y(\177)1301 699 y(azedenz)257 757 y(hat\),)e(als)g(die)g(Addition:) f Fq(a)c Fo(\001)g Fq(b)g Ft(+)g Fq(c)i Ft(=)h(\()p Fq(a)d Fo(\001)g Fq(b)p Ft(\))f(+)h Fq(c)p Ft(\).)108 843 y(Ein)g(Ring)g(\()p Fq(R;)d Ft(+)p Fq(;)g Fo(\001)p Ft(\))i(hei\031t)h Fp(R)o(ing)h(mit)h (Einselement)g Ft(o)q(der)f Fp(unit)1256 845 y(\177)1256 843 y(ar)n(er)g(R)o(ing)p Ft(,)108 901 y(w)o(enn)33 b(\()p Fq(R;)8 b Fo(\001)p Ft(\))16 b(ein)g(Monoid)g(ist.)g(Ein)g(Ring)h (hei\031t)f Fp(kommutativer)i(R)o(ing)p Ft(,)108 959 y(w)o(enn)33 b(\()p Fq(R;)8 b Fo(\001)p Ft(\))17 b(k)o(omm)o(utativ)d (ist.)i(Ein)g(Ring)h(hei\031t)f Fp(nul)r(lteile)q(rfr)n(ei)p Ft(,)i(w)o(enn)108 1017 y(gilt:)37 b Fo(8)p Fq(a;)8 b(b)16 b Fo(2)i Fq(R)p Ft([)p Fq(a)13 b Fo(\001)f Fq(b)18 b Ft(=)g(0)h(=)-8 b Fo(\))17 b Fq(a)h Ft(=)g(0)13 b Fo(_)g Fq(b)18 b Ft(=)g(0])p Fq(:)g Ft(Wir)g(sc)o(hreib)q(en)g(im)108 1075 y(folgenden)13 b(das)h Fp(Pr)n(o)n(dukt)e Fq(a)5 b Fo(\001)g Fq(b)12 b Ft(auc)o(h)h(als)g Fq(ab)p Ft(.)g(Das)h(neutrale) e(Elemen)o(t)f(v)o(on)108 1134 y(\()p Fq(R;)d Ft(+\))21 b(wird)f(mit)e Fp(Nul)r(l)k Ft(o)q(der)f(0)f(b)q(ezeic)o(hnet.)e(Das)j (neutrale)f(Elemen)o(t)108 1192 y(v)o(on)c(\()p Fq(R;)8 b Fo(\001)p Ft(\))15 b(f)342 1194 y(\177)341 1192 y(ur)h(einen)e(unit) 616 1194 y(\177)616 1192 y(aren)h(Ring)h(wird)f(mit)f(Eins)h(o)q(der)h (1)g(b)q(ezeic)o(h-)108 1250 y(net.)g(Die)g(V)l(erkn)423 1252 y(\177)422 1250 y(upfungen)g(+)e(:)g Fq(R)e Fo(\002)f Fq(R)k Fo(\000)-9 b(!)15 b Fq(R)i Ft(bzw.)f Fo(\001)e Ft(:)g Fq(R)e Fo(\002)f Fq(R)j Fo(\000)-8 b(!)14 b Fq(R)108 1308 y Ft(hei\031en)h Fp(A)n(ddition)g Ft(bzw.)f Fp(Multiplikation)p Ft(.)i(Das)g(In)o(v)o(erse)e(eines)g(Elemen)o(ts)108 1366 y Fq(a)21 b Fo(2)h Fq(R)f Ft(un)o(ter)f(der)h(Addition)f(wird)h (mit)d Fo(\000)p Fq(a)j Ft(o)q(der)g(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))f(b)q(ezeic)o(hnet,)108 1424 y(un)o(ter)c(der)g(Multiplik)m (ation)f(\(falls)h(es)g(existiert\))e(mit)h Fq(a)1142 1406 y Fm(\000)p Fk(1)1188 1424 y Ft(.)108 1511 y Fr(Lemma)h(6.2.)k Fp(\(R)n(e)n(chengesetze)i(in)e(R)o(ingen\))i(Seien)f Fq(a;)8 b(b)19 b Fo(2)g Fq(R)p Fp(.)i(Dann)108 1569 y(gilt)174 1640 y Ft(\(1\))g(0)p Fq(a)14 b Ft(=)f Fq(a)p Ft(0)h(=)g(0)p Fq(;)174 1698 y Ft(\(2\))21 b(\()p Fo(\000)p Fq(ab)p Ft(\))13 b(=)g(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))p Fq(b)g Ft(=)h Fq(a)p Ft(\()p Fo(\000)p Fq(b)p Ft(\))p Fq(;)174 1756 y Ft(\(3\))21 b(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\)\()p Fo(\000)p Fq(b)p Ft(\))12 b(=)i Fq(ab;)174 1814 y Ft(\(4\))21 b(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))13 b(=)h(\()p Fo(\000)p Ft(1\))p Fq(a:)174 1872 y Ft(\(5\))21 b Fp(Wenn)d Ft(0)c(=)g(1)p Fp(,)k(dann)g(ist)f Fq(R)e Ft(=)f Fo(f)p Ft(0)p Fo(g)p Fq(:)158 1959 y Fi(Beweis.)20 b Ft(\(1\))f(Es)g(ist)f(0)p Fq(a)g Ft(=)f(\(0)c(+)g(0\))p Fq(a)18 b Ft(=)f(0)p Fq(a)c Ft(+)f(0)p Fq(a)p Ft(.)18 b(Durc)o(h)h(Subtra-)108 2017 y(hieren)d(v)o(on)g(0)p Fq(a)g Ft(\(Addieren)f(v)o(on)h(\()p Fo(\000)p Ft(0)p Fq(a)p Ft(\)\))g(erh)964 2019 y(\177)964 2017 y(alt)g(man)g(0)e(=)g(0)p Fq(a)p Ft(.)i(Analog)108 2075 y(ergibt)g(sic)o(h)g(0)e(=)g Fq(a)p Ft(0)p Fq(:)108 2133 y Ft(\(2\))k(Es)g(ist)g Fq(ab)11 b Ft(+)h(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))p Fq(b)k Ft(=)g(\()p Fq(a)c Ft(+)g(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\)\))p Fq(b)j Ft(=)h(0)p Fq(b)h Ft(=)f(0,)h(also)i (ist)e(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))p Fq(b)f Ft(=)108 2191 y(\()p Fo(\000)p Fq(ab)p Ft(\))g(in)o(v)o(ers)e(zu)i Fq(ab)p Ft(.)g(Analog)g(ist)g Fq(a)p Ft(\()p Fo(\000)p Fq(b)p Ft(\))d(=)h(\()p Fo(\000)p Fq(ab)p Ft(\))p Fq(:)p eop %%Page: 119 30 119 29 bop 537 120 a Fu(6.)18 b(RINGE)f(UND)h(K)893 112 y(\177)887 120 y(ORPER)367 b(119)108 225 y Ft(\(3\))17 b(Es)g(ist)f(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\)\()p Fo(\000)p Fq(b)p Ft(\))c(=)i(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\()p Fo(\000)p Fq(b)p Ft(\)\))e(=)i(\()p Fo(\000)p Ft(\()p Fo(\000)p Fq(ab)p Ft(\)\))f(=)g Fq(ab:)108 283 y Ft(\(4\))k(Es)g(ist)f(\()p Fo(\000)p Ft(1\))p Fq(a)d Ft(=)h(\()p Fo(\000)p Ft(1)p Fq(a)p Ft(\))f(=)h(\()p Fo(\000)p Fq(a)p Ft(\))p Fq(:)108 341 y Ft(\(5\))j(Sei)e(0)g(=)e(1)k(und)g Fq(a)c Fo(2)h Fq(R)p Ft(.)i(Dann)i(ist)e Fq(a)d Ft(=)h(1)p Fq(a)g Ft(=)f(0)p Fq(a)h Ft(=)g(0)p Fq(:)p 1257 314 33 2 v 1257 343 2 30 v 1288 343 V 1257 345 33 2 v 108 429 a Fr(De\014nition)k(6.3.)i Ft(Seien)h Fq(R)h Ft(und)g Fq(S)i Ft(Ringe)e(und)g Fq(f)28 b Ft(:)23 b Fq(R)h Fo(\000)-9 b(!)23 b Fq(S)i Ft(eine)108 487 y(Abbildung.)16 b Fq(f)21 b Ft(hei\031t)16 b Fp(Homomorphismus)g (von)j(R)o(ingen)p Ft(,)d(w)o(enn)186 574 y Fo(8)p Fq(a;)8 b(b)k Fo(2)i Fq(R)p Ft([)p Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)11 b Ft(+)g Fq(b)p Ft(\))i(=)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))11 b(+)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))11 b Fo(^)h Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)11 b Fo(\001)f Fq(b)p Ft(\))k(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(a)p Ft(\))11 b Fo(\001)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(b)p Ft(\)])p Fq(:)108 661 y Ft(Seien)13 b Fq(R)i Ft(und)f Fq(S)j Ft(unit)514 663 y(\177)514 661 y(are)d(Ringe)g(und)g Fq(f)19 b Ft(:)14 b Fq(R)g Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(S)j Ft(eine)c(Abbildung.)g Fq(f)108 719 y Ft(hei\031t)j Fp(Homomorphismus)f (von)j(unit)804 721 y(\177)804 719 y(ar)n(en)f(R)o(ingen)p Ft(,)f(w)o(enn)g Fq(f)j Ft(:)13 b Fq(R)i Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(S)108 778 y Ft(ein)i(Homomorphism)n(us)e(v)o(on)i(Ringen)g(ist)g (und)g(gilt)g Fq(f)5 b Ft(\(1\))15 b(=)e(1.)108 865 y Fr(Beispiele)j(6.4.)k Ft(\(1\))i(\()p Fl(Z)-13 b Fq(;)8 b Ft(+)p Fq(;)f Fo(\001)p Ft(\))p Fq(;)h Ft(\()p Fl(Q)n Fq(;)f Ft(+)p Fq(;)h Fo(\001)p Ft(\))p Fq(;)g Ft(\()p Fl(R)-6 b Fq(;)7 b Ft(+)p Fq(;)h Fo(\001)p Ft(\))19 b(und)j(\()p Fl(C)6 b Fq(;)i Ft(+)p Fq(;)g Fo(\001)p Ft(\))25 b(sind)108 923 y(unit)195 925 y(\177)195 923 y(are)16 b(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)c (Ringe.)j(\()p Fl(N)772 930 y Fk(0)790 923 y Fq(;)8 b Ft(+)p Fq(;)g Fo(\001)p Ft(\))15 b(ist)h(k)o(ein)e(Ring,)i(w)o(eil)e (\()p Fl(N)1370 930 y Fk(0)1388 923 y Fq(;)8 b Ft(+\))108 981 y(k)o(eine)15 b(Grupp)q(e)i(ist.)108 1052 y(\(2\))d(Sei)e Fq(n)i Fo(2)g Fl(N)381 1059 y Fk(0)412 1052 y Ft(fest)e(gew)580 1054 y(\177)580 1052 y(ahlt.)h(Dann)h(ist)f Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))10 b(mit)h(der)i(Addition)f(und)108 1111 y(Multiplik)m(ation)23 b(der)h(Kongruenzklassen)g(de\014niert)f (durc)o(h)h(Addition)108 1169 y(und)17 b(Multiplik)m(ation)e(der)h (Repr)714 1171 y(\177)714 1169 y(asen)o(tan)o(ten)f(wie)h(in)g (4.3\(2\))p 491 1230 24 2 v 491 1256 a Fq(r)d Ft(+)p 575 1230 23 2 v 11 w Fq(s)h Ft(=)p 663 1222 107 2 v 13 w Fq(r)f Ft(+)e Fq(s;)p 889 1230 24 2 v 105 w(r)i Fo(\001)p 948 1230 23 2 v 10 w Fq(s)h Ft(=)p 1037 1230 47 2 v 14 w Fq(r)q(s)108 1343 y Ft(ein)i(unit)274 1345 y(\177)274 1343 y(arer)g(k)o(omm)n(utativ)o(er)d(Ring.)i(W)l(egen)i(4.2)f(und)h (4.3\(2\))f(sind)h(n)o(ur)108 1401 y(die)f(Distributivgesetze)e(zu)i (pr)698 1403 y(\177)697 1401 y(ufen:)p 108 1462 24 2 v 108 1489 a Fq(r)10 b Fo(\001)e Ft(\()p 181 1462 23 2 v Fq(s)g Ft(+)p 258 1453 18 2 v 8 w Fq(t)o Ft(\))14 b(=)p 360 1462 24 2 v 14 w Fq(r)9 b Fo(\001)f Ft(\()p 432 1453 101 2 v Fq(s)j Ft(+)g Fq(t)p Ft(\))j(=)p 618 1446 162 2 v 14 w Fq(r)q Ft(\()p Fq(s)d Ft(+)g Fq(t)p Ft(\))i(=)p 845 1453 148 2 v 14 w Fq(r)q(s)e Ft(+)g Fq(r)q(t)j Ft(=)p 1058 1462 47 2 v 14 w Fq(r)q(s)8 b Ft(+)p 1158 1453 41 2 v 8 w Fq(r)q(t)14 b Ft(=)p 1265 1462 24 2 v 14 w Fq(r)9 b Fo(\001)p 1318 1462 23 2 v 8 w Fq(s)f Ft(+)p 1395 1462 24 2 v 8 w Fq(r)i Fo(\001)p 1449 1453 18 2 v 8 w Fq(t)108 1576 y Ft(und)17 b(analog)542 1638 y(\()p 561 1612 24 2 v Fq(r)12 b Ft(+)p 644 1612 23 2 v 11 w Fq(s)p Ft(\))f Fo(\001)p 722 1603 18 2 v 11 w Fq(t)j Ft(=)p 806 1612 24 2 v 14 w Fq(r)e Fo(\001)p 865 1603 18 2 v 11 w Fq(t)f Ft(+)p 943 1612 23 2 v 11 w Fq(s)g Fo(\001)p 1002 1603 18 2 v 11 w Fq(t)o(:)108 1726 y Ft(\(3\))17 b(Restklassen)o(tests:)e(Sei)g Fq(\013)f Ft(:)g Fl(N)d Fo(\000)-8 b(!)13 b Fl(Z)p Ft(eine)i(Abbildung,)g(deren)h(Bild)108 1785 y(eine)d(endlic)o(he)e(T)l(eilmenge)g Fq(X)19 b Fo(\032)13 b Fl(Z)m Ft(ist)h(und)f(f)948 1787 y(\177)947 1785 y(ur)h(die)f(gilt)g Fo(8)p Fq(r)h Fo(2)g Fl(N)p Ft([)p 1325 1742 93 2 v Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))e(=)p 108 1816 24 2 v 108 1843 a Fq(r)r Ft(],)17 b(w)o(ob)q(ei)g(die)h (Restklassen)f(in)h Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))16 b(f)873 1845 y(\177)872 1843 y(ur)i(ein)f(festes)g Fq(n)g Fo(2)g Fl(Z)q Ft(b)q(etrac)o(h-)108 1901 y(tet)23 b(w)o(erden.)g(Dann)h(gilt)p 612 1858 176 2 v 23 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)13 b Ft(+)e Fq(s)p Ft(\))26 b(=)p 878 1858 245 2 v 26 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))11 b(+)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))24 b(und)p 1251 1858 152 2 v 24 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)13 b Fo(\001)e Fq(s)p Ft(\))26 b(=)p 108 1917 221 2 v 108 1959 a Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))12 b Fo(\001)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\),)22 b(denn)p 489 1917 176 2 v 21 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)13 b Ft(+)e Fq(s)p Ft(\))24 b(=)p 750 1925 107 2 v 23 w Fq(r)12 b Ft(+)f Fq(s)24 b Ft(=)p 941 1917 93 2 v 23 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))g(=)p 1118 1917 245 2 v 23 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))12 b(+)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))22 b(und)p 108 1975 152 2 v 108 2017 a Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)13 b Fo(\001)e Fq(s)p Ft(\))j(=)p 326 1990 83 2 v 14 w Fq(r)f Fo(\001)e Fq(s)j Ft(=)p 475 1991 24 2 v 14 w Fq(r)f Fo(\001)p 535 1991 23 2 v 11 w Fq(s)h Ft(=)p 624 1975 93 2 v 14 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))e Fo(\001)p 753 1975 V 11 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))i(=)p 912 1975 221 2 v 15 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))d Fo(\001)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))p Fq(:)17 b Ft(Diese)e(F)l(ormeln)108 2075 y(gestatten)g(eine)423 2065 y(\177)417 2075 y(Ub)q(erpr)570 2077 y(\177)569 2075 y(ufung)f(v)o(on)h(Additions-)f(und)h(Multiplik)m(ations-)108 2133 y(aufgab)q(en,)21 b(indem)c(man)i Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)c Fo(\001)e Fq(s)p Ft(\))20 b(und)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))14 b Fo(\001)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))20 b(v)o(ergleic)o(h)o(t.)c(Diese)108 2191 y(m)151 2193 y(\177)150 2191 y(ussen)22 b(k)o(ongruen)o(t)h(mo)q(dulo)f Fq(n)h Ft(sein.)f(Da)i Fq(X)j Ft(eine)22 b(endlic)o(he)f(Menge)p eop %%Page: 120 31 120 30 bop 108 117 a Fu(120)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(ist,)d(sind)f(diese)h(Kongruenzen)g (leic)o(h)o(t)d(zu)902 227 y(\177)901 225 y(ub)q(erpr)1044 227 y(\177)1043 225 y(ufen.)j(W)l(enn)g(der)f(v)o(er-)108 283 y(mein)o(tlic)n(he)f(W)l(ert)j(des)h(Pro)q(duktes)g Fq(r)13 b Fo(\001)e Fq(s)17 b Ft(un)o(ter)g Fq(\013)h Ft(nic)o(h)o(t)e(k)o(ongruen)o(t)h(zu)108 341 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))12 b Fo(\001)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\))17 b(ist)g(\(letzteres)e(Pro)q(dukt)j(ist)f(leic)o(h)o (ter)e(zu)h(b)q(erec)o(hnen,)g(evtl.)108 399 y(aufgrund)24 b(einer)d(expliziten)f(Multiplik)m(ationstab)q(elle)g(auf)j Fq(X)t Ft(\),)f(so)h(ist)108 458 y(b)q(ei)14 b(der)f(Berec)o(hn)o(ung)f (v)o(on)i Fq(r)7 b Fo(\001)f Fq(s)13 b Ft(ein)g(F)l(ehler)f (aufgetreten.)h(Analoges)h(gilt)108 516 y(f)124 518 y(\177)123 516 y(ur)i(Summen.)108 590 y(\(4\))k(Die)f(Abbildung)g Fq(\014)i Ft(:)e Fl(N)e Fo(\000)-9 b(!)19 b Fl(Z)s Ft(sei)g(die)g (sogenann)o(te)h(Quersumme)108 648 y(\(der)c(Dezimaldarstellung\),)d (d.h.)i Fq(\014)s Ft(\()p Fq(a)841 655 y Fn(r)869 648 y Fo(\001)c Ft(10)942 630 y Fn(r)972 648 y Ft(+)f Fq(a)1046 655 y Fn(r)q Fm(\000)p Fk(1)1110 648 y Ft(10)1158 630 y Fn(r)q Fm(\000)p Fk(1)1233 648 y Ft(+)g Fq(:)e(:)g(:)i Ft(+)g Fq(a)1423 655 y Fk(1)1453 648 y Fo(\001)108 706 y Ft(10)j(+)f Fq(a)245 713 y Fk(0)264 706 y Ft(\))k(:=)f Fq(a)392 713 y Fk(0)423 706 y Ft(+)d Fq(a)499 713 y Fk(1)530 706 y Ft(+)g Fq(:)c(:)g(:)j Ft(+)h Fq(a)725 713 y Fn(r)q Fm(\000)p Fk(1)800 706 y Ft(+)g Fq(a)876 713 y Fn(r)894 706 y Ft(.)17 b(Dann)i(ist)e(10)1176 688 y Fn(i)1206 706 y Fo(\021)f Ft(1)33 b(mo)q(d)17 b(9,)108 764 y(w)o(eil)c(10)h Fo(\021)g Ft(1)34 b(mo)q(d)16 b(9,)d(und)h(damit)f Fq(a)799 771 y Fn(i)819 764 y Fo(\001)6 b Ft(10)887 746 y Fn(i)915 764 y Fo(\021)14 b Fq(a)994 771 y Fn(i)1041 764 y Ft(mo)q(d)i(9)e(und)g Fq(a)1310 771 y Fn(r)1335 764 y Fo(\001)6 b Ft(10)1403 746 y Fn(r)1429 764 y Ft(+)108 822 y Fq(:)i(:)g(:)k Ft(+)h Fq(a)255 829 y Fk(0)293 822 y Fo(\021)19 b Fq(a)377 829 y Fn(r)408 822 y Ft(+)13 b Fq(:)8 b(:)g(:)13 b Ft(+)f Fq(a)606 829 y Fk(0)659 822 y Ft(mo)q(d)k(9.)j(Also)g(ist)p 1010 780 92 2 v 19 w Fq(\014)s Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))f(=)p 1177 796 24 2 v 19 w Fq(r)i Ft(f)1235 824 y(\177)1234 822 y(ur)f(alle)f Fq(r)i Fo(2)108 881 y Fl(N)p Ft(.)c(Sei)i Fq(\013)g Ft(die)g(iterierte)e(Quersummen)o(bil)o(dung)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))i(=)g Fq(\014)10 b(:)e(:)g(:)g(:)g(:)g (:)f(\014)s Ft(\()p Fq(r)q Ft(\),)108 939 y(so)19 b(oft)f(iteriert,)e (bis)i(eine)f(einstellige)f(Zahl)i(herausk)o(omm)o(t.)d(Dann)k(gilt)p 108 954 93 2 v 108 997 a Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))h(=)p 278 954 196 2 v 20 w Fq(\014)10 b(:)e(:)g(:)g(\014)s Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))19 b(=)g Fq(:)8 b(:)g(:)19 b Ft(=)p 684 954 92 2 v 19 w Fq(\014)s Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))g(=)p 853 970 24 2 v 20 w Fq(r)q Ft(.)g(Au\031erdem)f(hat)i Fq(\013)g Ft(das)g(Bild)108 1055 y Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Ft(1)p Fq(;)g Ft(2)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b Ft(9)p Fo(g)22 b Ft(=)g Fq(X)q(:)f Ft(In)g Fq(X)k Ft(sind)c(2)h(Zahlen)e Fq(a)h Ft(und)g Fq(b)g Ft(genau)h(dann)108 1113 y(k)o(ongruen)o(t)15 b(mo)q(dulo)g(9,)g(w)o(enn)f(sie)h(gleic)o(h)f(sind)h(o)q(der)g(0)h (und)f(9)g(sind.)g(Die)108 1171 y Fp(Neunerpr)n(ob)n(e)e Ft(f)402 1173 y(\177)401 1171 y(ur)f(die)g(Multiplik)m(ation)f(nat)921 1173 y(\177)920 1171 y(urlic)o(her)f(Zahlen)i(ergibt)g(sic)o(h)108 1229 y(damit:)18 b(die)i(iterierte)e(Quersumme)f(des)j(Pro)q(dukts)g Fq(r)15 b Fo(\001)f Fq(s)20 b Ft(stimm)n(t)d(mit)108 1287 y(der)23 b(Quersumme)c(des)k(Pro)q(dukts)h(der)e(iterierten)f (Quersummen)f(der)108 1345 y(einzelnen)h(F)l(aktoren)540 1347 y(\177)539 1345 y(ub)q(erein,)h(es)h(sei)g(denn,)f(da\031)i(sic)o (h)f(Resultate)f(0)108 1404 y(und)17 b(9)f(ergeb)q(en.)108 1478 y(\(5\))j(Die)e(Abbildung)g Fq(\014)i Ft(:)e Fl(Z)p Fo(\000)-8 b(!)16 b Fl(Z)r Ft(sei)h(die)h(sogenann)o(te)g (alternierende)108 1536 y(Quersumme,)10 b(d.h.)j Fq(\014)s Ft(\()p Fq(a)561 1543 y Fn(r)584 1536 y Fo(\001)5 b Ft(10)651 1518 y Fn(r)676 1536 y Ft(+)g Fq(:)j(:)g(:)d Ft(+)g Fq(a)851 1543 y Fk(0)871 1536 y Ft(\))14 b(=)f(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1056 1518 y Fn(r)1075 1536 y Fq(a)1101 1543 y Fn(r)1125 1536 y Ft(+)5 b(\()p Fo(\000)p Ft(1\))1269 1518 y Fn(r)q Fm(\000)p Fk(1)1334 1536 y Fq(a)1360 1543 y Fn(r)q Fm(\000)p Fk(1)1429 1536 y Ft(+)108 1594 y Fq(:)j(:)g(:)13 b Ft(+)h Fq(a)257 1601 y Fk(0)296 1594 y Ft(auf)21 b Fl(N)d Ft(und)j Fq(\014)s Ft(\()p Fo(\000)p Fq(r)q Ft(\))f(:=)g Fo(\000)p Fq(\014)s Ft(\()p Fq(r)q Ft(\).)f(W)l(egen)h Fo(\000)p Ft(10)h Fo(\021)f Ft(1)34 b(mo)q(d)16 b(11)108 1652 y(ergibt)21 b(sic)o(h)e(wie)i(zuv)o(or)f Fq(\014)s Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))h Fo(\021)g Fq(r)34 b Ft(mo)q(d)17 b(11)p Fq(:)k Ft(Sei)f Fq(\013)h Ft(die)f(iterierte)e(al-)108 1710 y(ternierende)c(Quersumme)e(\(station)797 1712 y(\177)797 1710 y(ar)k(un)o(ter)f(w)o(eiterer)e(Quersummen-)108 1768 y(bildung\).)19 b(Dann)i(ist)p 527 1726 93 2 v 19 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))g(=)p 697 1742 24 2 v 19 w Fq(r)g Ft(f)756 1770 y(\177)755 1768 y(ur)f(alle)f Fq(r)i Fo(2)f Fl(N)d Ft(und)j(die)f(Bildmenge)108 1827 y(v)o(on)g Fq(\013)g Ft(ist)g Fq(X)k Ft(=)18 b Fo(f\000)p Ft(9)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(8)p Fq(;)g Fo(\000)p Ft(7)g Fq(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b Ft(0)p Fq(;)g Ft(1)p Fq(;)g Ft(2)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b Ft(9)p Fo(g)p Ft(.)18 b(Wieder)g(gilt)h (eine)108 1885 y(en)o(tsprec)o(hende)d Fp(Elferpr)n(ob)n(e)g Ft(f)670 1887 y(\177)669 1885 y(ur)h(Summen)d(und)j(Pro)q(dukte:)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)c Fo(\001)f Fq(s)p Ft(\))j Fo(\021)108 1943 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))d Fo(\001)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\)\))34 b(mo)q(d)16 b(11)p Fq(:)108 2017 y Ft(\(6\))25 b(Sc)o(hneidet)e(man)g(b)q(ei)h(der) g(Bin)796 2019 y(\177)796 2017 y(ardarstellung)g(einer)g(nat)1298 2019 y(\177)1297 2017 y(urlic)o(hen)108 2075 y(Zahl)15 b(alle)f(v)o(orderen)h(Stellen,)e(bis)i(auf)h(die)e(letzten)g(8)h (Stellen)f(ab:)h Fq(\013)p Ft(\()p Fq(a)1425 2082 y Fn(r)1453 2075 y Fo(\001)108 2133 y Ft(2)132 2115 y Fn(r)162 2133 y Ft(+)10 b Fq(:)e(:)g(:)i Ft(+)g Fq(a)352 2140 y Fk(1)382 2133 y Fo(\001)g Ft(2)h(+)g Fq(a)516 2140 y Fk(0)535 2133 y Ft(\))j(=)f Fq(a)645 2140 y Fk(7)675 2133 y Fo(\001)e Ft(2)724 2115 y Fk(7)754 2133 y Ft(+)f Fq(:)e(:)g(:)i Ft(+)g Fq(a)944 2140 y Fk(1)974 2133 y Fo(\001)g Ft(2)h(+)g Fq(a)1108 2140 y Fk(0)1143 2133 y Ft(mit)j Fq(a)1258 2140 y Fn(i)1285 2133 y Fo(2)h(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Ft(1)p Fo(g)p Ft(,)108 2191 y(so)25 b(gilt)e(wieder)g Fq(\013)p Ft(\(2)506 2173 y Fk(8)527 2191 y Ft(\))k Fo(\021)g Ft(0)33 b(mo)q(d)16 b(2)830 2173 y Fk(8)850 2191 y Ft(,)24 b(also)p 993 2149 93 2 v 24 w Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))k(=)p 1178 2165 24 2 v 27 w Fq(r)d Ft(in)f Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\(256\).)p eop %%Page: 121 32 121 31 bop 537 120 a Fu(6.)18 b(RINGE)f(UND)h(K)893 112 y(\177)887 120 y(ORPER)367 b(121)108 225 y Ft(Die)22 b(Bildmenge)e(v)o(on)i Fq(\013)h Ft(ist)f Fq(X)29 b Ft(=)24 b Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b Ft(255)p Fo(g)p Ft(.)23 b(Damit)f(ist)g Fq(X)27 b Ft(so-)108 283 y(gar)20 b(ein)e(v)o(ollst)391 285 y(\177)391 283 y(andiges)h(Repr)671 285 y(\177)671 283 y(asen)o(tan)o(tensystem)e(f)1079 285 y(\177)1078 283 y(ur)i Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(256\))17 b(und)j(es)108 341 y(gilt)e Fq(\013)p Ft(\()p Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))13 b Fo(\001)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(s)p Ft(\)\))17 b(=)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(r)e Fo(\001)e Fq(s)p Ft(\),)18 b(d.h.)f(den)h(Repr)1043 343 y(\177)1043 341 y(asen)o(tan)o(ten)f(v)o(on)p 1382 315 24 2 v 18 w Fq(r)c Fo(\001)p 1444 315 23 2 v 13 w Fq(s)108 399 y Ft(in)21 b Fq(X)k Ft(\014ndet)c(man)f(durc)o(h)g(Bestimm)n(ung)e(des) j(Repr)1112 401 y(\177)1112 399 y(asen)o(tan)o(ten)g(in)f Fq(X)108 458 y Ft(v)o(on)p 201 430 83 2 v 17 w Fq(r)12 b Fo(\001)f Fq(s)p Ft(.)16 b(Diese)g(b)q(esonders)h(einfac)o(he)e (Bildung)h(der)g(Restklassen)g(und)108 516 y(Repr)212 518 y(\177)212 516 y(asen)o(tan)o(ten)h(ist)g(die)g(Grundlage)h(f)862 518 y(\177)861 516 y(ur)f(die)g(Rec)o(henop)q(erationen)g(in)108 574 y(CPUs)e(z.B.)d(in)i(8)g(Bit-Registern.)f(Addition)g(und)h (Multiplik)m(ation)f(k)m(ann)108 632 y(man)e(wie)g(b)q(ei)h(nat)441 634 y(\177)440 632 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)g(durc)o(hf)914 634 y(\177)913 632 y(uhren)g(und)h(dann)h(die)e(h)1358 634 y(\177)1358 632 y(oher-)108 690 y(w)o(ertigen)i(Stellen)f(\(die)560 679 y(\177)554 690 y(Ub)q(ertr)698 692 y(\177)698 690 y(age\))i(fortlassen.)g(Dann)g(erh)1228 692 y(\177)1228 690 y(alt)f(man)g(die)108 748 y(Rec)o(henregeln)i(eines)g(Ringes,)h (z.B.)e Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(256\))p Fq(:)108 836 y Fr(De\014nition)18 b(6.5.)i Ft(Ein)12 b Fp(K)601 838 y(\177)601 836 y(orp)n(er)g Ft(ist)g(ein)g(k)o(omm)o(utativ)n(er)e (Ring,)i(b)q(ei)g(dem)108 894 y(die)23 b(v)o(on)g(0)h(v)o(ersc)o (hiedenen)d(Elemen)o(te)g(b)q(ei)i(der)h(Multiplik)m(ation)e(eine)108 952 y(Grupp)q(e)17 b(bilden.)108 1039 y Fr(Bemerkung)g(6.6.)j Ft(Sei)13 b Fq(R)i Ft(ein)e(unit)807 1041 y(\177)807 1039 y(arer)h(Ring.)f(Eine)h Fp(Kongruenzr)n(ela-)108 1098 y(tion)h Ft(\()p Fq(R;)8 b(R;)g(S)s Ft(\))14 b(\(mit)e Fq(S)17 b Fo(\032)d Fq(R)7 b Fo(\002)f Fq(R)p Ft(\))14 b(auf)g Fq(R)h Ft(ist)f(eine)1076 1087 y(\177)1070 1098 y(Aquiv)m(alenzrelation)108 1156 y(auf)22 b Fq(R)p Ft(,)g(so)h(da\031)f Fq(S)j Ft(ein)c(Un)o(terring)g(v)o(on)h Fq(R)15 b Fo(\002)g Fq(R)22 b Ft(ist,)f(d.h.)g(so)o(w)o(ohl)h(ei-)108 1214 y(ne)d(Un)o(tergrupp)q(e)g(v)o(on)g(\()p Fq(R)13 b Fo(\002)g Fq(R;)8 b Ft(+\))20 b(als)f(auc)o(h)g(ein)f(Un)o(termonoid)g(v)o(on)108 1272 y(\()p Fq(R)9 b Fo(\002)f Fq(R;)g Fo(\001)p Ft(\).)14 b(Dann)i(bilden)e(die)699 1261 y(\177)693 1272 y(Aquiv)m(alenzklassen)f Fq(R=S)18 b Ft(wieder)c(einen)108 1330 y(unit)195 1332 y(\177)195 1330 y(aren)22 b(Ring)g(und)g Fq(\027)27 b Ft(:)c Fq(R)h Fo(\000)-9 b(!)23 b Fq(R=S)j Ft(ist)c(ein)f (Ringhomomorphis-)108 1388 y(m)o(us.)16 b(W)l(eiter)g(gilt)g(der)h(F)l (aktorisierungssatz)h(f)998 1390 y(\177)997 1388 y(ur)f(unit)1147 1390 y(\177)1147 1388 y(are)g(Ringe:)g(eine)108 1446 y(eindeutige)e(F)l(aktorisierung)p 663 1407 30 2 v 16 w Fq(f)22 b Ft(existiert)15 b(mit)630 1527 y Fq(R)183 b(R=S)p 680 1515 159 2 v 797 1514 a Ff(-)749 1506 y Fn(\027)726 1585 y(f)707 1564 y Ff(H)748 1585 y(H)790 1606 y(H)798 1610 y(H)-42 b(j)873 1657 y Fq(R)910 1639 y Fm(0)p 897 1610 2 67 v 898 1610 a Ff(?)p 914 1561 21 2 v 914 1589 a Fn(f)108 1726 y Ft(falls)16 b(f)226 1728 y(\177)225 1726 y(ur)g(alle)g(\()p Fq(r)o(;)8 b(r)462 1708 y Fm(0)473 1726 y Ft(\))14 b Fo(2)g Fq(S)19 b Ft(gilt)d Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(r)q Ft(\))14 b(=)g Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(r)916 1708 y Fm(0)928 1726 y Ft(\))p Fq(:)114 1774 y Ft(\177)108 1785 y(Ahnlic)o(h)20 b(wie)i(wir)g(b)q(ei)f(Grupp)q(en)i (Kongruenzrelationen)e(durc)o(h)h(nor-)108 1843 y(male)c(Un)o(tergrupp) q(en)h Fq(H)24 b Fo(\032)18 b Fq(G)i Ft(b)q(esc)o(hrieb)q(en)f(hab)q (en,)h(k)1179 1845 y(\177)1179 1843 y(onnen)f(wir)g(im)108 1901 y(F)l(alle)c(v)o(on)h(unit)404 1903 y(\177)404 1901 y(aren)g(Ringen)g(Kongruenzrelationen)g(durc)o(h)g(zw)o(eiseiti-)108 1959 y(ge)h(Ideale)f Fq(I)h Fo(\032)e Fq(R)i Ft(b)q(esc)o(hreib)q(en.)e (Dab)q(ei)i(hei\031t)f(eine)g(T)l(eilmenge)e Fq(I)k Fo(\032)c Fq(R)108 2017 y Ft(ein)20 b(zw)o(eiseitiges)e(Ideal,)i(w)o(enn)g Fq(I)k Ft(eine)19 b(Un)o(tergrupp)q(e)h(v)o(on)g(\()p Fq(R;)8 b Ft(+\))21 b(ist)108 2075 y(und)g(f)226 2077 y(\177)225 2075 y(ur)e(alle)h Fq(r)h Fo(2)g Fq(R)f Ft(und)g Fq(i)g Fo(2)h Fq(I)i Ft(gilt)c Fq(r)q(i;)8 b(ir)21 b Fo(2)g Fq(R)p Ft(.)f(Aus)g(einem)d(zw)o(ei-)108 2133 y(seitigen)e(Ideal)g Fq(I)i Fo(\032)c Fq(R)j Ft(gewinn)o(t)g(man)e (eine)h(Kongruenzrelation)g(durc)o(h)108 2191 y Fq(S)26 b Ft(:=)c Fo(f)p Ft(\()p Fq(r)o(;)8 b(r)348 2173 y Fm(0)360 2191 y Ft(\))23 b Fo(2)g Fq(R)p Fo(j)p Fq(r)16 b Fo(\000)f Fq(r)624 2173 y Fm(0)658 2191 y Fo(2)24 b Fq(I)t Fo(g)c Ft(und)i(umgek)o(ehrt)e(erh)1204 2193 y(\177)1204 2191 y(alt)h(man)g(aus)p eop %%Page: 122 33 122 32 bop 108 117 a Fu(122)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(einer)24 b(Kongruenzrelation)g Fq(S)j Ft(auf)e Fq(R)g Ft(ein)f(zw)o(eiseitiges)e(Ideal)i(durc)o(h)108 283 y Fq(I)18 b Ft(:=)13 b Fo(f)p Fq(r)f Fo(\000)f Fq(r)345 265 y Fm(0)357 283 y Fo(j)p Ft(\()p Fq(r)o(;)d(r)456 265 y Fm(0)467 283 y Ft(\))14 b Fo(2)g Fq(S)s Ft(.)i(Man)g(sc)o(hreibt) f(dann)i(auc)o(h)f Fq(R=S)i Ft(=:)13 b Fq(R=I)t(:)108 341 y Ft(Die)23 b(Elemen)o(te)d(in)j Fq(R=I)28 b Ft(sind)23 b(v)o(on)g(der)g(F)l(orm)g Fq(r)17 b Ft(+)f Fq(I)29 b Ft(=)c Fo(f)p Fq(r)18 b Ft(+)d Fq(i)p Fo(j)p Fq(i)25 b Fo(2)108 399 y Fq(I)t Ft(.)18 b(Die)h(Addition)f(und)i(Multiplik)m (ation)d(auf)j Fq(R=I)j Ft(ist)c(de\014niert)f(durc)o(h)108 458 y(\()p Fq(r)10 b Ft(+)e Fq(I)t Ft(\))g(+)h(\()p Fq(r)347 439 y Fm(0)367 458 y Ft(+)f Fq(I)t Ft(\))13 b(:=)h(\()p Fq(r)c Ft(+)e Fq(r)657 439 y Fm(0)669 458 y Ft(\))g(+)h Fq(I)18 b Ft(und)d(\()p Fq(r)10 b Ft(+)e Fq(I)t Ft(\))g Fo(\001)g Ft(\()p Fq(r)1093 439 y Fm(0)1114 458 y Ft(+)g Fq(I)t Ft(\))13 b(:=)h Fq(r)c Fo(\001)e Fq(r)1361 439 y Fm(0)1381 458 y Ft(+)h Fq(I)t Ft(.)108 516 y(Das)17 b(gilt)f(w)o(egen)p 437 489 24 2 v 16 w Fq(r)c Ft(+)p 520 478 35 2 v 11 w Fq(r)543 501 y Fm(0)569 516 y Ft(=)p 621 478 119 2 v 14 w Fq(r)g Ft(+)f Fq(r)727 501 y Fm(0)756 516 y Ft(und)p 853 489 24 2 v 16 w Fq(r)i Fo(\001)p 913 478 35 2 v 11 w Fq(r)936 501 y Fm(0)961 516 y Ft(=)p 1013 478 95 2 v 14 w Fq(r)g Fo(\001)d Fq(r)1095 501 y Fm(0)1107 516 y Fq(:)108 603 y Fr(Satz)19 b(6.7.)h Fp(F)372 605 y(\177)372 603 y(ur)15 b Fq(n)f Fo(2)g Fl(N)556 610 y Fk(0)590 603 y Fp(ist)i Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(n)p Ft(\))13 b Fp(genau)k(dann)g(ein)g(K)1170 605 y(\177)1170 603 y(orp)n(er,)e(wenn)i Fq(n)108 662 y Fp(eine)i(Primzahl)e(ist.)158 747 y Fi(Beweis.)j Ft(Sei)h Fq(p)i Ft(=)f Fq(n)f Ft(eine)g(Primzahl.)e (Die)h(Elemen)o(te)f(v)o(on)i Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))108 806 y(sind)21 b Fo(f)p 241 768 25 2 v Ft(0)p Fq(;)p 287 768 V 8 w Ft(1)p Fq(;)p 333 768 V 8 w Ft(2)p Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)p 475 768 110 2 v 8 w(p)11 b Fo(\000)g Ft(1)q Fo(g)p Ft(.)19 b(Sei)h(0)h Fq(<)g(k)h(<)f(p)p Ft(.)f(Dann)i(gibt)e(es)g Fq(a;)8 b(b)20 b Fo(2)h Fl(Z)108 864 y Ft(mit)14 b Fq(ak)d Ft(+)f Fq(bp)k Ft(=)f(1,)j(w)o(eil)e Fq(k)k Ft(und)d Fq(p)h Ft(teilerfremd)d(sind.)i(Damit)f(ist)p 1329 837 26 2 v 15 w Fq(a)9 b Fo(\001)p 1388 824 28 2 v 10 w Fq(k)16 b Ft(=)p 108 882 53 2 v 108 922 a Fq(ak)e Ft(+)p 223 882 21 2 v 12 w Fq(b)f Fo(\001)p 283 895 25 2 v 12 w Fq(p)k Ft(=)p 379 882 158 2 v 17 w Fq(ak)c Ft(+)e Fq(bp)17 b Ft(=)p 609 885 25 2 v 17 w(1,)h(denn)p 786 895 V 18 w Fq(p)f Ft(=)p 882 885 V 17 w(0)i(in)f Fl(Z)-14 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(p)p Ft(\),)16 b(also)i(ist)p 1299 895 26 2 v 18 w Fq(a)g Ft(in)o(v)o(ers)108 980 y(zu)p 173 940 28 2 v 16 w Fq(k)h Ft(und)d(damit)f Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))14 b(ein)h(K)702 982 y(\177)702 980 y(orp)q(er.)108 1038 y(Sei)23 b(jetzt)f Fq(n)i Ft(k)o(eine)d (Primzahl.)g(Ist)j Fq(n)h Ft(=)h(0,)d(so)h(ist)p 1128 1001 25 2 v 23 w(2)j Fo(6)p Ft(=)1242 1027 y(\026)1242 1038 y(0)q(.)c(W)1354 1040 y(\177)1354 1038 y(are)p 1442 1001 V 23 w(2)108 1096 y(in)o(v)o(ertierbar,)14 b(et)o(w)o(a)p 501 1059 V 17 w(1)h(=)p 592 1059 V 14 w(2)d Fo(\001)p 653 1070 26 2 v 11 w Fq(a)p Ft(,)k(so)h(w)804 1098 y(\177)804 1096 y(are)g(1)e Fo(\021)g Ft(2)p Fq(a)33 b Ft(mo)q(d)16 b(0,)h(also)g(2)p Fq(a)e Ft(=)f(1)108 1154 y(in)k Fl(Z)-13 b Ft(.)15 b(Das)k(ist)f(ab)q(er)g(nic)o(h)o(t)f(m)673 1156 y(\177)673 1154 y(oglic)o(h.)f(Ist)i Fq(n)f Ft(=)h(1,)g(so)h(hat)f Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(1\))16 b(genau)108 1212 y(ein)k(Elemen)o(t.)c (Ab)q(er)k Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\(1\))p Fo(8)o(f)p 695 1175 25 2 v Ft(0)m Fo(g)20 b Ft(=)g Fo(;)g Ft(k)m(ann)h(k)o(eine)d (Grupp)q(e)j(sein.)e(Ist)108 1270 y(sc)o(hlie\031lic)o(h)9 b Fq(n)14 b(>)g Ft(1,)e(so)g(m)o(u\031)f Fq(n)h Ft(ein)f(Pro)q(dukt)i (sein:)e Fq(n)j Ft(=)f Fq(ab)p Ft(,)e(mit)f(1)k Fq(<)g(a)g(<)108 1329 y(n)p Ft(,)f(sonst)h(w)321 1331 y(\177)321 1329 y(are)f(es)g(eine)f(Primzahl.)f(Dann)j(ist)p 964 1292 V 13 w(0)g(=)p 1054 1302 30 2 v 14 w Fq(n)g Ft(=)p 1148 1302 26 2 v 13 w Fq(a)5 b Fo(\001)p 1198 1289 21 2 v 5 w Fq(b)o Ft(,)12 b(ab)q(er)p 1351 1302 26 2 v 14 w Fq(a)h Fo(6)p Ft(=)p 1442 1292 25 2 v 14 w(0)108 1387 y(und)p 206 1347 21 2 v 17 w Fq(b)g Fo(6)p Ft(=)h(0.)i(W)396 1389 y(\177)396 1387 y(are)p 478 1360 V 17 w Fq(c)11 b Fo(\001)p 535 1360 26 2 v 11 w Fq(a)i Ft(=)p 626 1350 25 2 v 14 w(1)q(,)i(so)i(w)775 1389 y(\177)775 1387 y(are)p 857 1350 V 17 w(0)d(=)p 947 1360 21 2 v 14 w Fq(c)d Fo(\001)p 1004 1350 25 2 v 11 w Ft(0)j(=)p 1094 1360 21 2 v 14 w Fq(c)d Fo(\001)p 1151 1360 26 2 v 11 w Fq(a)g Fo(\001)p 1213 1347 21 2 v 11 w Fq(b)i Ft(=)p 1299 1350 25 2 v 14 w(1)e Fo(\001)p 1359 1347 21 2 v 11 w Fq(b)j Ft(=)p 1446 1347 V 14 w Fq(b)108 1445 y Ft(im)h(Widerspruc)o(h)g(zu)p 531 1405 V 16 w Fq(b)f Fo(6)p Ft(=)g(0)p Fq(:)p 704 1418 33 2 v 704 1447 2 30 v 735 1447 V 704 1449 33 2 v 108 1530 a Fr(Beispiele)i(6.8.)k Fl(Q)p Fq(;)8 b Fl(R)-6 b Fq(;)8 b Fl(C)23 b Ft(sind)16 b(K)745 1532 y(\177)745 1530 y(orp)q(er,)g(jedo)q(c)o(h)g(nic)o(h)o(t)f Fl(N)f Ft(und)j Fl(Z)-14 b Fq(:)108 1615 y Fr(Bemerkung)17 b(6.9.)j Ft(Sei)f Fq(R)g Ft(ein)g(unit)823 1617 y(\177)823 1615 y(arer)g(Ring)g(und)h Fq(X)j Ft(eine)18 b(Menge.)108 1673 y(Dann)k(ist)f(Abb)o(\()p Fq(X)q(;)8 b(R)p Ft(\))23 b(=)f Fo(f)p Fq(\013)f Ft(:)h Fq(X)k Fo(\000)-9 b(!)22 b Fq(R)p Fo(j)p Fq(\013)f Ft(Abbildung)p Fo(g)f Ft(ein)h(Ring)108 1731 y(mit)15 b(den)h(Op)q(erationen)188 1816 y(\()p Fq(\013)11 b Ft(+)g Fq(\014)s Ft(\)\()p Fq(x)p Ft(\))i(:=)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))e(+)g Fq(\014)s Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fq(;)104 b Ft(\()p Fq(\013)12 b Fo(\001)f Fq(\014)s Ft(\)\()p Fq(x)p Ft(\))h(:=)i Fq(\013)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))d Fo(\001)g Fq(\014)s Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fq(:)108 1901 y Ft(Es)184 1903 y(\177)183 1901 y(ub)q(ertragen)22 b(sic)o(h)f(die)g(algebraisc)o(hen)h(Eigensc)o(haften)f(v)o(on)h Fq(R)g Ft(auf)108 1959 y Fq(R)145 1941 y Fn(X)205 1959 y Ft(=)k(Abb\()p Fq(X)q(;)8 b(R)p Ft(\).)24 b(So)g(ist)f(z.B.)f(die)g (Eins)i(in)f Fq(R)1096 1941 y Fn(X)1153 1959 y Ft(gegeb)q(en)h(durc)o (h)108 2017 y Fq(\013)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))14 b(=)g(1)f(f)324 2019 y(\177)323 2017 y(ur)g(alle)f Fq(x)h Fo(2)h Fq(X)t Ft(.)f(Ist)g Fq(R)g Ft(ein)f(K)859 2019 y(\177)859 2017 y(orp)q(er,)h(so)g(ist)g Fq(R)1156 1999 y Fn(X)1203 2017 y Ft(k)o(ein)f(K)1341 2019 y(\177)1341 2017 y(orp)q(er,)108 2075 y(denn)19 b Fq(\013)f Fo(6)p Ft(=)g(0)h(b)q(edeutet)g(nic)o(h)o (t,)d(da\031)k Fq(\013)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))e Fo(6)p Ft(=)g(0)h(f)1045 2077 y(\177)1044 2075 y(ur)g(alle)f Fq(x)f Fo(2)h Fq(X)t Ft(\(dann)108 2133 y(k)134 2135 y(\177)134 2133 y(onn)o(te)j(man)f Fq(\013)417 2115 y Fm(\000)p Fk(1)464 2133 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))i(=)g Fq(\013)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))709 2115 y Fm(\000)p Fk(1)777 2133 y Ft(de\014nieren\),)d(sondern)j(n)o(ur,)e(da\031)i(es)108 2191 y(mindestens)17 b(ein)i Fq(x)e Fo(2)i Fq(X)k Ft(gibt)c(mit)e Fq(\013)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))h Fo(6)p Ft(=)g(0.)h(W)l(enn)g(dann)g (ab)q(er)h(f)1422 2193 y(\177)1421 2191 y(ur)p eop %%Page: 123 34 123 33 bop 371 117 a Fu(7.)17 b(BOOLESCHE)i(RINGE)f(UND)g(ALGEBREN)200 b(123)108 225 y Ft(ein)13 b(w)o(eiteres)f Fq(y)j Fo(2)f Fq(X)k Ft(gilt)12 b Fq(\013)p Ft(\()p Fq(y)r Ft(\))i(=)g(0,)f(dann)h(l) 939 227 y(\177)939 225 y(a\031t)f(sic)o(h)g Fq(\013)1144 207 y Fm(\000)p Fk(1)1204 225 y Ft(an)h(der)f(Stelle)108 283 y Fq(y)18 b Ft(nic)o(h)o(t)d(sinn)o(v)o(oll)g(de\014nieren.)108 368 y Fr(De\014nition)j(6.10.)i Ft(Sei)26 b Fl(K)k Ft(der)d(K)787 370 y(\177)787 368 y(orp)q(er)g Fl(Q)p Fq(;)8 b Fl(R)18 b Ft(o)q(der)27 b Fl(C)6 b Ft(.)30 b(Die)c(Menge)108 426 y Fl(K)q Ft([)p Fq(x)p Ft(])f(:=)e Fo(f)p Fq(\013)h Ft(:)f Fl(K)k Fo(\000)-8 b(!)23 b Fl(K)q Fo(j9)p Fq(a)669 433 y Fk(0)691 426 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(a)834 433 y Fn(n)881 426 y Fo(2)24 b Fl(K)p Fo(8)p Fq(b)h Fo(2)f Fl(K)p Ft([)p Fq(\013)p Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))j(=)c Fq(a)1346 433 y Fn(n)1369 426 y Fq(b)1390 408 y Fn(n)1429 426 y Ft(+)108 484 y Fq(:)8 b(:)g(:)15 b Ft(+)h Fq(a)261 491 y Fk(1)280 484 y Fq(b)f Ft(+)h Fq(a)396 491 y Fk(0)415 484 y Fo(g)p Ft(])22 b(ist)h(ein)f(Un)o(terring)g(v)o(on)h Fl(K)50 b Ft(und)24 b(hei\031t)e Fp(R)o(ing)i(der)108 543 y(Polynom\(-funktionen\))c Ft(auf)e Fl(K)p Ft(.)i(Wir)d(sc)o(hreib) q(en)1055 509 y Fj(P)1099 523 y Fn(n)1099 555 y(i)p Fk(=0)1166 543 y Fq(a)1192 550 y Fn(i)1206 543 y Fq(x)1234 525 y Fn(i)1263 543 y Ft(=)f Fq(a)1343 550 y Fn(n)1366 543 y Fq(x)1394 525 y Fn(n)1429 543 y Ft(+)108 601 y Fq(:)8 b(:)g(:)f Ft(+)h Fq(a)245 608 y Fk(1)264 601 y Fq(x)g Ft(+)g Fq(a)372 608 y Fk(0)405 601 y Ft(:=)13 b Fq(\013)p Ft(,)i(w)o(enn)f Fq(\013)p Ft(\()p Fq(b)p Ft(\))g(=)g Fq(a)836 608 y Fn(n)859 601 y Fq(b)880 583 y Fn(n)911 601 y Ft(+)8 b Fq(:)g(:)g(:)f Ft(+)h Fq(a)1094 608 y Fk(1)1113 601 y Fq(b)g Ft(+)g Fq(a)13 b Ft(=)h(0)h(f)1334 603 y(\177)1333 601 y(ur)f(alle)108 659 y Fq(b)19 b Fo(2)g Fl(K)q Ft(.)i(Die)e(Addition)g(ist)g(gegeb)q(en)h(durc)o(h)965 626 y Fj(P)1008 639 y Fn(n)1008 671 y(i)p Fk(=0)1076 659 y Fq(a)1102 666 y Fn(i)1116 659 y Fq(x)1144 641 y Fn(i)1171 659 y Ft(+)1222 626 y Fj(P)1265 639 y Fn(n)1265 671 y(i)p Fk(=0)1333 659 y Fq(b)1354 666 y Fn(i)1368 659 y Fq(x)1396 641 y Fn(i)1429 659 y Ft(=)108 684 y Fj(P)152 697 y Fn(n)152 729 y(i)p Fk(=0)211 717 y Ft(\()p Fq(a)256 724 y Fn(i)280 717 y Ft(+)10 b Fq(b)349 724 y Fn(i)363 717 y Ft(\))p Fq(x)410 699 y Fn(i)424 717 y Ft(,)15 b(die)g(Multiplik)m(ation)g(durc)o(h)987 684 y Fj(P)1031 697 y Fn(m)1031 729 y(i)p Fk(=0)1099 717 y Fq(a)1125 724 y Fn(i)1138 717 y Fq(x)1166 699 y Fn(i)1190 717 y Fo(\001)1214 684 y Fj(P)1258 697 y Fn(n)1258 729 y(j)r Fk(=0)1330 717 y Fq(b)1351 724 y Fn(j)1369 717 y Fq(x)1397 699 y Fn(j)1429 717 y Ft(=)108 750 y Fj(P)152 762 y Fn(m)p Fk(+)p Fn(n)152 796 y(k)q Fk(=0)259 750 y Fj(P)303 763 y Fn(k)303 795 y(i)p Fk(=0)386 783 y Fq(a)412 790 y Fn(i)426 783 y Fq(b)447 790 y Fn(k)q Fm(\000)p Fn(i)508 783 y Fq(x)536 765 y Fn(k)557 783 y Ft(,)g(wie)h(man)f(leic)o (h)o(t)g(nac)o(hrec)o(hnet.)108 867 y Fr(Bemerkung)i(6.11.)j Ft(Au\031er)h(den)g(genann)o(ten)g(K)1068 869 y(\177)1068 867 y(orp)q(ern)g Fl(Q)p Fq(;)8 b Fl(R)-6 b Fq(;)8 b Fl(C)27 b Ft(und)108 925 y Fl(Z)-13 b Fq(=)p Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))14 b(\()p Fq(p)i Ft(Primzahl\))e(gibt)j(es)f(no)q(c)o(h)g (viele)e(w)o(eitere.)g(Insb)q(esondere)j(gibt)108 983 y(es)e(einen)f(endlic)o(hen)f(K)542 985 y(\177)542 983 y(orp)q(er)i(mit)e Fq(n)i Ft(Elemen)o(ten)d(genau)j(dann,)g(w)o(enn)f Fq(n)108 1041 y Ft(v)o(on)i(der)g(F)l(orm)f Fq(p)436 1023 y Fn(r)472 1041 y Ft(mit)f(einer)i(Primzahl)e Fq(p)j Ft(ist.)e(Die)h(endlic)o(hen)e(K)1354 1043 y(\177)1354 1041 y(orp)q(er)108 1100 y(mit)f Fq(p)220 1081 y Fn(r)254 1100 y Ft(Elemen)o(ten)e(hei\031en)j(auc)o(h)h Fp(Galois-F)l(elder)g Fq(GF)7 b Ft(\()p Fq(p)1173 1081 y Fn(r)1192 1100 y Ft(\).)14 b(Sie)g(w)o(erden)108 1158 y(insb)q(esondere)j(in)f(der)g(Co)q (dierungstheorie)g(v)o(erw)o(endet.)374 1256 y Fr(7.)28 b(Bo)r(olesc)n(he)17 b(Ringe)h(und)h(Algebren)108 1339 y Ft(Auc)o(h)26 b(in)g(der)g(P)o(otenzmenge)f(einer)g(Menge)h(hab)q(en) i(wir)e(zw)o(ei)f(V)l(er-)108 1397 y(kn)162 1399 y(\177)161 1397 y(upfungen)14 b(b)q(etrac)o(h)o(tet,)f(den)h(Durc)o(hsc)o(hnitt)e Fo(\\)i Ft(und)g(die)g(V)l(ereinigung)108 1455 y Fo([)p Ft(.)19 b(Sie)g(erf)313 1457 y(\177)312 1455 y(ullen)f(et)o(w)o(as)h (andere)g(Gesetze,)f(als)h(wir)g(sie)g(f)1179 1457 y(\177)1178 1455 y(ur)g(Ringe)g(und)108 1514 y(K)146 1516 y(\177)146 1514 y(orp)q(er)h(k)o(ennengelern)o(t)d(hab)q(en.)i(Diese)g(Gesetze)f (sind)h(jedo)q(c)o(h)g(b)q(eson-)108 1572 y(ders)13 b(wic)o(h)o(tig,)e (w)o(eil)h(man)f(sie)i(nic)o(h)o(t)e(n)o(ur)i(in)f(P)o(otenzmengen)f (\014ndet,)i(son-)108 1630 y(dern)j(auc)o(h)h(b)q(ei)e(Ausdr)544 1632 y(\177)543 1630 y(uc)o(k)o(en)g(mit)g(logisc)o(hen)g(V)l(erkn)1105 1632 y(\177)1104 1630 y(upfungszeic)o(hen.)108 1714 y Fr(De\014nition)j(7.1.)i Ft(Sei)c(\()p Fq(A;)8 b Fo([)p Fq(;)g Fo(\\)p Fq(;)737 1696 y Fm(0)757 1714 y Ft(\))17 b(ein)g(Quadrup)q(el)g(mit)f(einer)g(Menge)108 1772 y Fq(A)p Ft(,)g(bin)243 1774 y(\177)243 1772 y(aren)h(Op)q(erationen)g Fo([)f Ft(:)e Fq(A)d Fo(\002)h Fq(A)i Fo(\000)-8 b(!)15 b Fq(A)h Ft(und)i Fo(\\)d Ft(:)g Fq(A)c Fo(\002)g Fq(A)k Fo(\000)-9 b(!)15 b Fq(A)108 1830 y Ft(und)24 b(einer)e(1-stelligen)h (Op)q(eration)816 1812 y Fm(0)854 1830 y Ft(:)i Fq(A)h Fo(\000)-9 b(!)26 b Fq(A)p Ft(.)d(Das)h(Quadrup)q(el)108 1888 y(\()p Fq(A;)8 b Fo([)p Fq(;)g Fo(\\)p Fq(;)288 1870 y Fm(0)307 1888 y Ft(\))15 b(hei\031t)g(eine)f Fp(Bo)n(olesche)j (A)o(lgebr)n(a)p Ft(,)e(w)o(enn)g(f)1110 1890 y(\177)1109 1888 y(ur)g(alle)f Fq(a;)8 b(b;)g(c)13 b Fo(2)h Fq(A)108 1946 y Ft(gelten:)174 2017 y(\(1\))21 b(\()p Fq(a)10 b Fo([)i Fq(b)p Ft(\))e Fo([)i Fq(c)i Ft(=)f Fq(a)e Fo([)g Ft(\()p Fq(b)g Fo([)g Fq(c)p Ft(\))p Fq(;)106 b Ft(\()p Fq(a)10 b Fo(\\)i Fq(b)p Ft(\))e Fo(\\)i Fq(c)i Ft(=)f Fq(a)e Fo(\\)g Ft(\()p Fq(b)g Fo(\\)g Fq(c)p Ft(\),)174 2075 y(\(2\))21 b Fq(a)10 b Fo(\\)i Ft(\()p Fq(b)e Fo([)i Fq(c)p Ft(\))i(=)f(\()p Fq(a)e Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(c)p Ft(\))p Fq(;)257 2133 y(a)f Fo([)i Ft(\()p Fq(b)e Fo(\\)i Fq(c)p Ft(\))i(=)f(\()p Fq(a)e Fo([)g Fq(b)p Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo([)g Fq(c)p Ft(\),)174 2191 y(\(3\))21 b Fq(a)10 b Fo([)i Fq(b)h Ft(=)h Fq(b)d Fo([)g Fq(a;)105 b(a)11 b Fo(\\)g Fq(b)j Ft(=)f Fq(b)e Fo(\\)h Fq(a)p Ft(,)p eop %%Page: 124 35 124 34 bop 108 117 a Fu(124)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)174 225 y Ft(\(4\))i(es)h(gibt)g(ein)g(Elemen)o(t)e (0)k Fo(2)h Fq(A)p Ft(,)c(so)i(da\031)g(f)1067 227 y(\177)1066 225 y(ur)g(alle)e Fq(a)j Fo(2)g Fq(A)e Ft(gilt)257 283 y(0)11 b Fo([)h Fq(a)h Ft(=)h Fq(a)p Ft(,)174 341 y(\(5\))21 b(es)h(gibt)g(ein)g(Elemen)o(t)e(1)k Fo(2)h Fq(A)p Ft(,)c(so)i(da\031)g (f)1067 343 y(\177)1066 341 y(ur)g(alle)e Fq(a)j Fo(2)g Fq(A)e Ft(gilt)257 399 y(1)11 b Fo(\\)h Fq(a)h Ft(=)h Fq(a)p Ft(,)174 458 y(\(6\))21 b Fq(a)10 b Fo([)i Fq(a)364 439 y Fm(0)389 458 y Ft(=)i(1)p Fq(;)105 b(a)11 b Fo(\\)g Fq(a)691 439 y Fm(0)716 458 y Ft(=)j(0.)108 562 y Fr(Beispiele)i(7.2.) 86 b Ft(\(1\))21 b Fo(P)t Ft(\()p Fq(A)p Ft(\),)e(die)i(P)o(otenzmenge) d(einer)i(Menge)g Fq(A)p Ft(,)257 620 y(zusammen)13 b(mit)i(der)g(gew) 749 622 y(\177)749 620 y(ohnlic)o(hen)h(V)l(ereinigung)f Fo([)p Ft(,)h(dem)e(ge-)257 678 y(w)292 680 y(\177)292 678 y(ohnlic)o(hen)h(Durc)o(hsc)o(hnitt)h Fo(\\)g Ft(und)h(der)f (Komplemen)o(tbi)o(ldung)257 736 y Fq(B)297 718 y Fm(0)322 736 y Ft(:=)d Fq(A)e Fo(n)g Fq(B)19 b Ft(ist)d(eine)f(Bo)q(olesc)o(he)g (Algebra.)174 794 y(\(2\))21 b Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Ft(1)p Fo(g)14 b Ft(=)g Fq(B)j Ft(mit)c Fq(a)8 b Fo([)g Fq(b)k Ft(=)i(max)o(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))14 b(und)g Fq(a)8 b Fo(\\)g Fq(b)13 b Ft(=)h(min)n(\()p Fq(a;)8 b(b)p Ft(\))14 b(ist)257 852 y(eine)h(Bo)q(olesc)o(he)h(Algebra.)174 910 y(\(3\))21 b Fo(P)t Ft(\()p Fq(A)p Ft(\))27 b(mit)g Fq(B)21 b Fo([)f Fq(C)37 b Ft(=)28 b(Durc)o(hsc)o(hnitt)g(\(!\))f(v)o (on)h Fq(B)j Ft(und)d Fq(C)t Ft(,)257 969 y Fq(B)18 b Fo(\\)e Fq(C)29 b Ft(=)23 b(V)l(ereinigung)f(v)o(on)h Fq(B)j Ft(und)e Fq(C)i Ft(und)e Fq(B)1234 950 y Fm(0)1270 969 y Ft(=)i Fq(A)15 b Fo(n)h Fq(B)257 1027 y Ft(ist)g(eine)f(Bo)q (olesc)o(he)h(Algebra.)108 1131 y Fr(Satz)j(7.3.)h Fp(F)372 1133 y(\177)372 1131 y(ur)d(eine)h(Bo)n(olesche)h(A)o(lgebr)n(a)f Ft(\()p Fq(A;)8 b Fo([)p Fq(;)g Fo(\\)p Fq(;)1119 1113 y Fm(0)1138 1131 y Ft(\))17 b Fp(und)h(Elemente)108 1189 y Fq(a;)8 b(b)13 b Fo(2)h Fq(A)j Fp(gelten)174 1263 y Ft(\(1\))k Fp(das)e(Nul)r(lelement)k Ft(0)c Fp(und)h(das)e(Einselement) k Ft(1)d Fp(sind)h(eindeutig)257 1321 y(b)n(estimmt,)174 1379 y Ft(\(2\))h Fq(a)10 b Fo(\\)i Fq(b)h Ft(=)h(0)e Fo(^)f Fq(a)f Fo([)i Fq(b)h Ft(=)h(1)g(=)-8 b Fo(\))14 b Fq(a)829 1361 y Fm(0)854 1379 y Ft(=)f Fq(b)p Fp(,)174 1437 y Ft(\(3\))21 b Fq(a)283 1419 y Fm(0)o(0)317 1437 y Ft(=)14 b Fq(a)p Fp(,)174 1495 y Ft(\(4\))21 b(0)281 1477 y Fm(0)307 1495 y Ft(=)13 b(1)p Fp(,)18 b Ft(1)439 1477 y Fm(0)465 1495 y Ft(=)c(0)p Fp(,)174 1554 y Ft(\(5\))21 b Fq(a)10 b Fo([)i Fq(a)h Ft(=)h Fq(a)f Ft(=)h Fq(a)d Fo(\\)g Fq(a)p Fp(,)174 1612 y Ft(\(6\))21 b Fq(a)10 b Fo([)i Ft(1)i(=)g(1)p Fq(;)8 b(a)j Fo(\\)g Ft(0)j(=)g(0)p Fp(,)174 1670 y Ft(\(7\))21 b Fq(a)10 b Fo([)i Ft(\()p Fq(a)e Fo(\\)i Fq(b)p Ft(\))h(=)h Fq(a;)107 b(a)11 b Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo([)g Fq(b)p Ft(\))i(=)h Fq(a)p Fp(,)174 1728 y Ft(\(8\))21 b(\()p Fq(a)10 b Fo([)i Fq(b)p Ft(\))397 1710 y Fm(0)422 1728 y Ft(=)i Fq(a)500 1710 y Fm(0)522 1728 y Fo(\\)d Fq(b)587 1710 y Fm(0)599 1728 y Fq(;)d Ft(\()p Fq(a)i Fo(\\)h Fq(b)p Ft(\))760 1710 y Fm(0)786 1728 y Ft(=)i Fq(a)863 1710 y Fm(0)886 1728 y Fo([)e Fq(b)951 1710 y Fm(0)962 1728 y Fp(.)158 1843 y Fi(Beweis.)20 b Ft(\(1\))d(\()p Fq(A;)8 b Fo([)p Fq(;)g Ft(0\))16 b(und)g(\()p Fq(A;)8 b Fo(\\)p Fq(;)g Ft(1\))16 b(sind)h(Monoide.)108 1901 y(\(2\))c Fq(a)209 1883 y Fm(0)234 1901 y Ft(=)h Fq(a)312 1883 y Fm(0)325 1901 y Fo([)s Ft(0)h(=)e Fq(a)477 1883 y Fm(0)491 1901 y Fo([)s Ft(\()p Fq(a)s Fo(\\)s Fq(b)p Ft(\))g(=)h(\()p Fq(a)761 1883 y Fm(0)774 1901 y Fo([)s Fq(a)p Ft(\))s Fo(\\)s Ft(\()p Fq(a)939 1883 y Fm(0)952 1901 y Fo([)s Fq(b)p Ft(\))g(=)f(1)s Fo(\\)s Ft(\()p Fq(a)1201 1883 y Fm(0)1215 1901 y Fo([)s Fq(b)p Ft(\))h(=)f Fq(a)1382 1883 y Fm(0)1396 1901 y Fo([)s Fq(b)p Ft(.)108 1959 y(V)l(ertausc)o(h)o(t)g(man)f(die)h (Rollen)g(v)o(on)g Fq(a)796 1941 y Fm(0)821 1959 y Ft(und)h Fq(b)p Ft(,)f(so)h(erh)1089 1961 y(\177)1089 1959 y(alt)f(man)f Fq(b)i Ft(=)g Fq(a)1377 1941 y Fm(0)1394 1959 y Fo([)5 b Fq(b)p Ft(,)108 2017 y(also)17 b Fq(a)232 1999 y Fm(0)257 2017 y Ft(=)d Fq(b)p Ft(.)108 2075 y(\(3\))j Fq(a)213 2057 y Fm(0)235 2075 y Fo([)11 b Fq(a)j Ft(=)g(1)i(und)h Fq(a)535 2057 y Fm(0)557 2075 y Fo(\\)11 b Fq(a)j Ft(=)g(0)i (impliziert)d(nac)o(h)j(\(2\))h Fq(a)1173 2057 y Fm(0)o(0)1207 2075 y Ft(=)d Fq(a)p Ft(.)108 2133 y(\(4\))j(W)l(egen)f(1)11 b Fo(\\)g Ft(0)j(=)g(0)j(und)f(1)11 b Fo([)h Ft(0)i(=)g(1)i(und)h (\(2\))f(folgt)g(0)1173 2115 y Fm(0)1199 2133 y Ft(=)e(1.)i(Aus)g (\(3\))108 2191 y(folgt)h(0)d(=)g(0)335 2173 y Fm(00)370 2191 y Ft(=)g(1)446 2173 y Fm(0)458 2191 y Ft(.)p eop %%Page: 125 36 125 35 bop 371 117 a Fu(7.)17 b(BOOLESCHE)i(RINGE)f(UND)g(ALGEBREN)200 b(125)108 225 y Ft(\(5\))14 b Fq(a)5 b Fo([)g Fq(a)13 b Ft(=)g(\()p Fq(a)5 b Fo([)g Fq(a)p Ft(\))g Fo(\\)g Ft(1)13 b(=)h(\()p Fq(a)5 b Fo([)g Fq(a)p Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo([)g Fq(a)898 207 y Fm(0)907 225 y Ft(\))14 b(=)g Fq(a)5 b Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(a)1175 207 y Fm(0)1184 225 y Ft(\))14 b(=)g Fq(a)5 b Fo([)g Ft(0)14 b(=)f Fq(a)p Ft(.)108 283 y(W)l(eiter)h(ist)h Fq(a)9 b Fo(\\)f Fq(a)14 b Ft(=)g(\()p Fq(a)8 b Fo(\\)h Fq(a)p Ft(\))f Fo([)h Ft(0)14 b(=)g(\()p Fq(a)9 b Fo(\\)g Fq(a)p Ft(\))f Fo([)h Ft(\()p Fq(a)f Fo(\\)h Fq(a)1091 265 y Fm(0)1102 283 y Ft(\))14 b(=)g Fq(a)8 b Fo(\\)h Ft(\()p Fq(a)g Fo([)g Fq(a)1385 265 y Fm(0)1396 283 y Ft(\))14 b(=)108 341 y Fq(a)d Fo(\\)g Ft(1)j(=)g Fq(a)p Ft(.)108 399 y(\(6\))f Fq(a)s Fo([)s Ft(1)i(=)e Fq(a)s Fo([)s Fq(a)s Fo([)s Fq(a)494 381 y Fm(0)520 399 y Ft(=)h Fq(a)s Fo([)s Fq(a)663 381 y Fm(0)689 399 y Ft(=)g(1)e(und)h Fq(a)s Fo(\\)s Ft(0)i(=)f Fq(a)s Fo(\\)s Fq(a)s Fo(\\)s Fq(a)1183 381 y Fm(0)1209 399 y Ft(=)f Fq(a)s Fo(\\)s Fq(a)1351 381 y Fm(0)1377 399 y Ft(=)h(0.)108 458 y(\(7\))j Fq(a)10 b Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)h Fq(b)p Ft(\))i(=)h(\()p Fq(a)c Fo([)h Fq(a)p Ft(\))f Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo([)h Fq(b)p Ft(\))i(=)h Fq(a)c Fo(\\)h Ft(\()p Fq(a)f Fo([)h Fq(b)p Ft(\).)k(Wir)g(w)o(eisen)g(jetzt)108 516 y Fq(a)8 b Fo([)h Ft(\()p Fq(a)f Fo(\\)h Fq(b)p Ft(\))k(=)h Fq(a)410 498 y Fm(0)o(0)446 516 y Ft(nac)o(h.)g(Es)i(ist)f Fq(a)8 b Fo([)h Ft(\()p Fq(a)f Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))h Fo([)f Fq(a)994 498 y Fm(0)1019 516 y Ft(=)14 b(1)9 b Fo([)g Ft(\()p Fq(a)f Fo(\\)h Fq(b)p Ft(\))k(=)h(1)h(und)108 574 y(\()p Fq(a)d Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\)\))g Fo(\\)g Fq(a)454 556 y Fm(0)482 574 y Ft(=)17 b(\()p Fq(a)11 b Fo(\\)i Ft(\()p Fq(a)e Fo([)i Fq(b)p Ft(\)\))f Fo(\\)g Fq(a)883 556 y Fm(0)911 574 y Ft(=)k(0)d Fo(\\)f Ft(\()p Fq(a)g Fo([)g Fq(b)p Ft(\))k(=)h(0,)g(also)i(ist)108 632 y(nac)o(h)d(\(2\))h(und)g(\(3\))f Fq(a)11 b Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))j(=)f Fq(a)790 614 y Fm(0)o(0)825 632 y Ft(=)h Fq(a)p Ft(.)108 690 y(\(8\))e(Es)h(ist)e (\()p Fq(a)355 672 y Fm(0)369 690 y Fo(\\)r Fq(b)425 672 y Fm(0)436 690 y Ft(\))r Fo([)r Fq(a)r Fo([)r Fq(b)j Ft(=)g(\()p Fq(a)687 672 y Fm(0)700 690 y Fo([)r Fq(a)r Fo([)r Fq(b)p Ft(\))r Fo(\\)r Ft(\()p Fq(b)915 672 y Fm(0)928 690 y Fo([)r Fq(a)r Fo([)r Fq(b)p Ft(\))g(=)g(\(1)r Fo([)r Fq(b)p Ft(\))r Fo(\\)r Ft(\(1)r Fo([)r Fq(a)p Ft(\))h(=)108 748 y(1)10 b Fo([)g Ft(1)15 b(=)e(1)j(und)g Fq(a)438 730 y Fm(0)459 748 y Fo(\\)10 b Fq(b)523 730 y Fm(0)544 748 y Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)f Fo([)h Fq(b)p Ft(\))k(=)g(\()p Fq(a)835 730 y Fm(0)856 748 y Fo(\\)c Fq(b)920 730 y Fm(0)941 748 y Fo(\\)g Fq(a)p Ft(\))f Fo([)h Ft(\()p Fq(a)1126 730 y Fm(0)1147 748 y Fo(\\)g Fq(b)1211 730 y Fm(0)1232 748 y Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))j(=)h(\(0)c Fo(\\)108 806 y Fq(b)129 788 y Fm(0)141 806 y Ft(\))5 b Fo([)g Ft(\(0)g Fo(\\)g Fq(a)315 788 y Fm(0)327 806 y Ft(\))14 b(=)g(0)5 b Fo([)g Ft(0)15 b(=)e(0.)h(Damit)e(und)h(mit)f (\(2\))i(folgt)f(\()p Fq(a)5 b Fo([)g Fq(b)p Ft(\))1263 788 y Fm(0)1288 806 y Ft(=)14 b Fq(a)1366 788 y Fm(0)1382 806 y Fo(\\)5 b Fq(b)1441 788 y Fm(0)1453 806 y Ft(.)108 864 y(W)l(eiter)15 b(folgt)i(\()p Fq(a)10 b Fo(\\)i Fq(b)p Ft(\))518 846 y Fm(0)543 864 y Ft(=)i(\()p Fq(a)640 846 y Fm(0)o(0)672 864 y Fo(\\)d Fq(b)737 846 y Fm(0)o(0)758 864 y Ft(\))777 846 y Fm(0)802 864 y Ft(=)j(\()p Fq(a)899 846 y Fm(0)921 864 y Fo([)e Fq(b)987 846 y Fm(0)998 864 y Ft(\))1017 846 y Fm(00)1052 864 y Ft(=)i Fq(a)1130 846 y Fm(0)1152 864 y Fo([)d Fq(b)1217 846 y Fm(0)1229 864 y Ft(.)p 1291 837 33 2 v 1291 867 2 30 v 1322 867 V 1291 869 33 2 v 108 950 a Fr(De\014nition)18 b(7.4.)i Ft(Ein)i(Ring)h Fq(R)g Ft(hei\031t)f(ein)g Fp(Bo)n(olescher)i(R)o(ing)p Ft(,)f(w)o(enn)108 1009 y(gilt)16 b Fo(8)p Fq(r)e Fo(2)g Fq(R)p Ft([)p Fq(r)381 990 y Fk(2)415 1009 y Ft(=)g Fq(r)q Ft(].)108 1095 y Fr(Satz)19 b(7.5.)h Fp(Sei)g Fq(R)f Fp(ein)h(Bo)n(olescher)f(R)o(ing.)g(Dann)g(ist)g Fq(R)h Fp(kommutativ,)108 1153 y(und)e(es)g(gilt)g Fo(8)p Fq(r)c Fo(2)g Fq(R)p Ft([)p Fq(r)f Ft(+)e Fq(r)k Ft(=)f(0])p Fp(.)158 1240 y Fi(Beweis.)20 b Ft(F)401 1242 y(\177)400 1240 y(ur)14 b Fq(r)o(;)8 b(s)13 b Fo(2)h Fq(R)h Ft(ist)e Fq(r)8 b Ft(+)e Fq(s)14 b Ft(=)g(\()p Fq(r)8 b Ft(+)e Fq(s)p Ft(\))1001 1222 y Fk(2)1034 1240 y Ft(=)13 b Fq(r)1108 1222 y Fk(2)1135 1240 y Ft(+)6 b Fq(r)q(s)g Ft(+)g Fq(sr)i Ft(+)e Fq(s)1395 1222 y Fk(2)1429 1240 y Ft(=)108 1299 y Fq(r)f Ft(+)t Fq(r)q(s)t Ft(+)t Fq(sr)g Ft(+)t Fq(s)15 b Ft(=)-8 b Fo(\))14 b Fq(r)q(s)t Ft(+)t Fq(sr)h Ft(=)f(0.)f(F)781 1301 y(\177)780 1299 y(ur)g Fq(s)g Ft(=)h Fq(r)g Ft(folgt)f Fq(r)5 b Ft(+)t Fq(r)16 b Ft(=)e Fq(r)1254 1281 y Fk(2)1278 1299 y Ft(+)t Fq(r)1343 1281 y Fk(2)1377 1299 y Ft(=)g(0.)108 1357 y(Damit)g(ist)h Fq(r)g Ft(=)f Fo(\000)p Fq(r)h Ft(und)h(auc)o(h)e Fq(r)q(s)h Ft(=)e Fo(\000)p Fq(r)q(s)p Ft(.)i(Aus)g Fq(r)q(s)8 b Ft(+)g Fq(sr)15 b Ft(=)f(0)i(folgt)f(n)o(un)108 1415 y Fq(r)q(s)f Ft(=)g Fq(sr)q Ft(.)p 329 1388 V 329 1417 2 30 v 360 1417 V 329 1419 33 2 v 108 1501 a Fr(Satz)19 b(7.6.)85 b Ft(\(1\))21 b Fp(Sei)j Ft(\()p Fq(A;)8 b Fo([)p Fq(;)g Fo(\\)p Fq(;)756 1483 y Fm(0)775 1501 y Ft(\))22 b Fp(eine)i(Bo)n(olesche)g(A)o(lgebr)n(a.)f(Dann)257 1559 y(ist)17 b Ft(\()p Fq(A;)8 b Ft(+)p Fq(;)g Fo(\001)p Ft(\))17 b Fp(ein)h(Bo)n(olescher)g(R)o(ing)f(mit)454 1644 y Fq(r)c Ft(+)e Fq(s)41 b Ft(:=)14 b(\()p Fq(r)e Fo(\\)f Fq(s)788 1626 y Fm(0)800 1644 y Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(r)916 1626 y Fm(0)939 1644 y Fo(\\)g Fq(s)p Ft(\))50 b(\(=)14 b Fq(r)q Fo(4)p Fq(s)p Ft(\))p Fq(;)478 1703 y(r)f Fo(\001)e Fq(s)41 b Ft(:=)14 b Fq(r)e Fo(\\)f Fq(s:)174 1789 y Ft(\(2\))21 b Fp(Sei)c Ft(\()p Fq(A;)8 b Ft(+)p Fq(;)g Fo(\001)p Ft(\))15 b Fp(ein)i(Bo)n(olescher)g(R)o(ing.) f(Dann)g(ist)g Ft(\()p Fq(A;)8 b Fo([)p Fq(;)g Fo(\\)p Fq(;)1357 1771 y Fm(0)1377 1789 y Ft(\))16 b Fp(ei-)257 1848 y(ne)i(Bo)n(olesche)h(A)o(lgebr)n(a)f(mit)626 1930 y Fq(r)13 b Fo([)e Fq(s)41 b Ft(:=)14 b Fq(r)e Ft(+)f Fq(s)g Ft(+)g Fq(r)i Fo(\001)e Fq(s;)626 1988 y(r)i Fo(\\)e Fq(s)41 b Ft(:=)14 b Fq(r)e Fo(\001)f Fq(s;)693 2046 y(r)716 2028 y Fm(0)769 2046 y Ft(:=)j(1)d(+)g Fq(r)o(:)158 2133 y Fi(Beweis.)20 b Ft(\(1\))13 b(1.)g(\()p Fq(a)t Ft(+)t Fq(b)p Ft(\))t(+)t Fq(c)e Ft(=)i(\(\(\()p Fq(a)t Fo(\\)t Fq(b)899 2115 y Fm(0)909 2133 y Ft(\))t Fo([)t Ft(\()p Fq(a)1014 2115 y Fm(0)1028 2133 y Fo(\\)t Fq(b)p Ft(\)\))t Fo(\\)t Fq(c)1186 2115 y Fm(0)1197 2133 y Ft(\))t Fo([)t Ft(\(\(\()p Fq(a)t Fo(\\)t Fq(b)1402 2115 y Fm(0)1411 2133 y Ft(\))t Fo([)108 2191 y Ft(\()p Fq(a)153 2173 y Fm(0)165 2191 y Fo(\\)q Fq(b)p Ft(\)\))258 2173 y Fm(0)270 2191 y Fo(\\)q Fq(c)p Ft(\))h(=)g(\()p Fq(a)q Fo(\\)q Fq(b)511 2173 y Fm(0)522 2191 y Fo(\\)q Fq(c)577 2173 y Fm(0)589 2191 y Ft(\))q Fo([)q Ft(\()p Fq(a)688 2173 y Fm(0)699 2191 y Fo(\\)q Fq(b)q Fo(\\)q Fq(c)810 2173 y Fm(0)821 2191 y Ft(\))q Fo([)q Ft(\(\()p Fq(a)939 2173 y Fm(0)951 2191 y Fo([)q Fq(b)p Ft(\))q Fo(\\)q Ft(\()p Fq(a)q Fo([)q Fq(b)1161 2173 y Fm(0)1170 2191 y Ft(\))q Fo(\\)q Fq(c)p Ft(\))g(=)d(\(durc)o(h)p eop %%Page: 126 37 126 36 bop 108 117 a Fu(126)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(Au\015)199 227 y(\177)199 225 y(osen)13 b(des)f(rec)o(h)o(ten)f(Ausdruc)o(ks\))h(\()p Fq(a)s Fo(\\)s Fq(b)909 207 y Fm(0)925 225 y Fo(\\)s Fq(c)982 207 y Fm(0)994 225 y Ft(\))s Fo([)s Ft(\()p Fq(a)1097 207 y Fm(0)1112 225 y Fo(\\)s Fq(b)s Fo(\\)s Fq(c)1229 207 y Fm(0)1242 225 y Ft(\))s Fo([)s Ft(\()p Fq(a)1345 207 y Fm(0)1361 225 y Fo(\\)s Fq(b)1418 207 y Fm(0)1433 225 y Fo(\\)108 283 y Fq(c)p Ft(\))f Fo([)f Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)h Fq(b)f Fo(\\)h Fq(c)p Ft(\))16 b(und)g(eb)q(enso)h(w)o(egen)e(der)h(Symmetrie)c(des)k(Ausdruc)o(ks)108 341 y Fq(a)9 b Ft(+)g(\()p Fq(b)g Ft(+)h Fq(c)p Ft(\))j(=)h(\()p Fq(a)9 b Fo(\\)h Fq(b)510 323 y Fm(0)530 341 y Fo(\\)g Fq(c)594 323 y Fm(0)605 341 y Ft(\))g Fo([)f Ft(\()p Fq(a)721 323 y Fm(0)742 341 y Fo(\\)g Fq(b)g Fo(\\)h Fq(c)878 323 y Fm(0)889 341 y Ft(\))g Fo([)f Ft(\()p Fq(a)1005 323 y Fm(0)1026 341 y Fo(\\)g Fq(b)1089 323 y Fm(0)1110 341 y Fo(\\)g Fq(c)p Ft(\))h Fo([)f Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)h Fo(\\)f Fq(c)p Ft(\).)108 399 y(2.)15 b Fq(a)8 b Ft(+)g Fq(b)14 b Ft(=)g Fq(b)8 b Ft(+)g Fq(a)p Ft(,)14 b(w)o(eil)g(V)l(ereinigung)g(und)h(Durc)o(hsc)o(hnitt)f(k)o (omm)o(utativ)108 458 y(sind.)108 516 y(3.)j Fq(a)10 b Ft(+)i(0)i(=)g(\()p Fq(a)d Fo(\\)h Ft(0)464 498 y Fm(0)476 516 y Ft(\))f Fo([)g Ft(\()p Fq(a)595 498 y Fm(0)618 516 y Fo(\\)g Ft(0\))k(=)f(\()p Fq(a)d Fo(\\)g Ft(1\))h Fo([)f Ft(0)k(=)f Fq(a)p Ft(,)h(also)i(existiert)e(ein)108 574 y(neutrales)h(Elemen)o(t.)108 632 y(4.)e Fq(a)6 b Ft(+)g Fq(a)14 b Ft(=)g(\()p Fq(a)6 b Fo(\\)g Fq(a)444 614 y Fm(0)456 632 y Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)565 614 y Fm(0)583 632 y Fo(\\)g Fq(a)p Ft(\))14 b(=)g(0,)g(also)h (existieren)d(in)o(v)o(erse)g(Elemen)o(te.)108 690 y(5.)k(\()p Fq(A;)8 b Fo(\001)p Ft(\))16 b(ist)g(ein)f(Monoid.)108 748 y(6.)g(\()p Fq(a)8 b Ft(+)g Fq(b)p Ft(\))g Fo(\001)g Fq(c)14 b Ft(=)g(\(\()p Fq(a)481 730 y Fm(0)500 748 y Fo(\\)8 b Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)745 730 y Fm(0)758 748 y Ft(\)\))g Fo(\\)g Fq(c)14 b Ft(=)g(\()p Fq(a)977 730 y Fm(0)997 748 y Fo(\\)8 b Fq(b)g Fo(\\)g Fq(c)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)1312 730 y Fm(0)1333 748 y Fo(\\)g Fq(c)p Ft(\))15 b(=)108 806 y(\()p Fq(a)s Fo(\\)s Fq(c)s Fo(\\)s Ft(\()p Fq(b)292 788 y Fm(0)305 806 y Fo([)s Fq(c)362 788 y Fm(0)374 806 y Ft(\)\))s Fo([)s Ft(\(\()p Fq(a)515 788 y Fm(0)528 806 y Fo([)s Fq(c)585 788 y Fm(0)597 806 y Ft(\))s Fo(\\)s Fq(b)s Fo(\\)s Fq(c)p Ft(\))d(=)i(\()p Fq(a)s Fo(\\)s Fq(c)s Fo(\\)s Ft(\()p Fq(b)s Fo(\\)s Fq(c)p Ft(\))1082 788 y Fm(0)1092 806 y Ft(\))s Fo([)s Ft(\(\()p Fq(a)p Fo(\\)p Ft(\))1266 788 y Fm(0)1280 806 y Fo(\\)s Fq(b)s Fo(\\)s Fq(c)p Ft(\))f(=)108 864 y Fq(a)e Fo(\001)g Fq(c)g Ft(+)f Fq(b)h Fo(\001)g Fq(c:)16 b Ft(Damit)f(ist)h Fq(A)f Ft(ein)h(Ring.)g(W)l(egen)g Fq(a)10 b Fo(\\)h Fq(a)j Ft(=)g Fq(a)f Ft(=)h Fq(a)c Fo(\001)h Fq(a)16 b Ft(ist)g Fq(A)108 922 y Ft(ein)g(Bo)q(olesc)o(her)f(Ring.)108 981 y(\(2\))i(1.)f Fq(a)11 b Fo([)g Fq(b)j Ft(=)f Fq(a)e Ft(+)g Fq(b)g Ft(+)g Fq(a)f Fo(\001)h Fq(b)j Ft(=)g Fq(b)d Ft(+)g Fq(a)f Ft(+)h Fq(b)g Fo(\001)g Fq(a)i Ft(=)h Fq(b)d Fo([)g Fq(a)p Ft(.)108 1039 y(2.)k(\()p Fq(a)9 b Fo([)g Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Fq(c)14 b Ft(=)g(\()p Fq(a)8 b Ft(+)h Fq(b)g Ft(+)g Fq(ab)p Ft(\))f(+)h Fq(c)g Ft(+)g(\()p Fq(a)f Ft(+)h Fq(b)g Ft(+)g Fq(ab)p Ft(\))p Fq(c)k Ft(=)g Fq(a)c Ft(+)g Fq(b)g Ft(+)f Fq(c)h Ft(+)g Fq(ab)g Ft(+)108 1097 y Fq(ac)i Ft(+)g Fq(bc)g Ft(+)g Fq(abc)i Ft(=)h Fq(a)c Ft(+)h(\()p Fq(b)g Ft(+)g Fq(c)g Ft(+)g Fq(bc)p Ft(\))g(+)g Fq(a)p Ft(\()p Fq(b)f Ft(+)h Fq(c)g Ft(+)g Fq(bc)p Ft(\))j(=)g Fq(a)c Fo([)i Ft(\()p Fq(b)e Fo([)i Fq(c)p Ft(\).)108 1155 y(3.)k(0)c Fo([)f Fq(a)j Ft(=)f(0)f(+)f Fq(a)g Ft(+)g(0)p Fq(a)i Ft(=)h Fq(a)p Ft(.)108 1213 y(4.)19 b Fq(a)13 b Fo([)g Fq(a)276 1195 y Fm(0)305 1213 y Ft(=)18 b Fq(a)13 b Ft(+)g Fq(a)477 1195 y Fm(0)501 1213 y Ft(+)g Fq(aa)604 1195 y Fm(0)633 1213 y Ft(=)18 b Fq(a)12 b Ft(+)h(1)h(+)e Fq(a)h Ft(+)g Fq(a)f Ft(+)h Fq(a)18 b Ft(=)g(1)h(und)g Fq(a)13 b Fo(\\)g Fq(a)1399 1195 y Fm(0)1429 1213 y Ft(=)108 1271 y Fq(a)p Ft(\(1)e(+)g Fq(a)p Ft(\))j(=)f Fq(a)e Ft(+)g Fq(a)j Ft(=)f(0.)108 1329 y(5.)j(\()p Fq(A;)8 b Fo(\\)p Fq(;)g Ft(1\))17 b(ist)f(trivialerw) o(eise)d(ein)j(k)o(omm)n(utativ)o(e)o(s)e(Monoid.)108 1387 y(6.)i Fq(a)10 b Fo(\\)g Ft(\()p Fq(b)g Fo([)h Fq(c)p Ft(\))i(=)h Fq(a)p Ft(\()p Fq(b)c Ft(+)g Fq(c)g Ft(+)g Fq(bc)p Ft(\))k(=)g Fq(ab)9 b Ft(+)h Fq(ac)g Ft(+)g Fq(abc)j Ft(=)h Fq(ab)c Ft(+)g Fq(ac)g Ft(+)g Fq(abac)j Ft(=)108 1445 y(\()p Fq(a)s Fo(\\)s Fq(b)p Ft(\))s Fo([)s Ft(\()p Fq(a)s Fo(\\)s Fq(c)p Ft(\))g(und)g Fq(a)s Fo([)s Ft(\()p Fq(b)s Fo(\\)s Fq(c)p Ft(\))h(=)g Fq(a)s Ft(+)s Fq(bc)s Ft(+)s Fq(abc)g Ft(=)f Fq(a)s Ft(+)s Fq(ab)s Ft(+)s Fq(ab)s Ft(+)s Fq(ac)s Ft(+)s Fq(bc)s Ft(+)108 1504 y Fq(abc)t Ft(+)t Fq(ac)t Ft(+)t Fq(abc)t Ft(+)t Fq(abc)h Ft(=)g(\()p Fq(a)t Ft(+)t Fq(b)t Ft(+)t Fq(ab)p Ft(\)\()p Fq(a)t Ft(+)t Fq(c)t Ft(+)t Fq(ac)p Ft(\))g(=)g(\()p Fq(a)t Fo([)t Fq(b)p Ft(\))t Fo(\\)t Ft(\()p Fq(a)t Fo([)t Fq(c)p Ft(\).)p 1434 1477 33 2 v 1434 1506 2 30 v 1465 1506 V 1434 1508 33 2 v 108 1610 a Fr(Bemerkung)j(7.7.)j Ft(T)l(ats)609 1612 y(\177)609 1610 y(ac)o(hlic)o(h)15 b(erh)840 1612 y(\177)840 1610 y(alt)g(man)g(w)o(ec)o(hselseitig)e(aus)k(den)108 1668 y(Strukturen)i(der)f(Bo)q(olesc)o(hen)g(Algebra)g(und)h(des)g(Bo)q (olesc)o(hen)f(Ringes)108 1726 y(und)c(b)q(eim)d(zw)o(eimaligen)595 1716 y(\177)589 1726 y(Ub)q(ergang)j(die)e(alten)h(Strukturen)g(zur) 1316 1728 y(\177)1315 1726 y(uc)o(k.)e(Es)108 1785 y(ist)j(n)201 1787 y(\177)201 1785 y(amlic)o(h)e Fq(a)7 b Ft(+)g Fq(b)g Ft(+)g Fq(ab)k Ft(=)j(\(\(\()p Fq(a)7 b Fo(\\)g Fq(b)767 1767 y Fm(0)777 1785 y Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)888 1767 y Fm(0)905 1785 y Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\)\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\)\))g Fo([)g Ft(\(\(\()p Fq(a)f Fo(\\)h Fq(b)1399 1767 y Fm(0)1408 1785 y Ft(\))g Fo([)108 1843 y Ft(\()p Fq(a)153 1825 y Fm(0)170 1843 y Fo(\\)f Fq(b)p Ft(\)\))268 1825 y Fm(0)285 1843 y Fo(\\)g Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))12 b(=)h(\(\(1)6 b Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo([)g Fq(b)p Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)825 1825 y Fm(0)840 1843 y Fo([)g Fq(b)900 1825 y Fm(0)911 1843 y Ft(\))g Fo(\\)g Ft(1\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)1108 1825 y Fm(0)1123 1843 y Fo([)g Fq(b)1183 1825 y Fm(0)1194 1843 y Ft(\)\))g Fo([)g Ft(\(\(1)g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)g Fo([)108 1901 y Fq(b)p Ft(\))j Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)244 1883 y Fm(0)264 1901 y Fo([)h Fq(b)328 1883 y Fm(0)339 1901 y Ft(\))f Fo(\\)g Ft(1\))452 1883 y Fm(0)473 1901 y Fo(\\)g Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))14 b(=)f(\(\()p Fq(a)c Fo([)g Fq(b)p Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(a)948 1883 y Fm(0)968 1901 y Fo([)g Fq(b)1031 1883 y Fm(0)1043 1901 y Ft(\)\))g Fo([)g Ft(\(\(\()p Fq(a)1215 1883 y Fm(0)1235 1901 y Fo(\\)g Fq(b)1298 1883 y Fm(0)1310 1901 y Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)f Fo(\\)108 1959 y Fq(b)p Ft(\)\))g Fo(\\)g Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))14 b(=)f(\()p Fq(a)441 1941 y Fm(0)461 1959 y Fo(\\)8 b Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)706 1941 y Fm(0)717 1959 y Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)830 1941 y Fm(0)850 1959 y Fo(\\)g Fq(b)912 1941 y Fm(0)931 1959 y Fo(\\)g Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)g Fo(\\)g Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))14 b(=)108 2017 y(\()p Fq(a)153 1999 y Fm(0)172 2017 y Fo(\\)7 b Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)412 1999 y Fm(0)425 2017 y Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Fq(b)p Ft(\))15 b(=)f(\()p Fq(a)735 1999 y Fm(0)753 2017 y Fo(\\)7 b Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\()p Fq(a)g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(b)1012 1999 y Fm(0)1033 2017 y Fo([)g Fq(b)p Ft(\)\))14 b(=)f(\()p Fq(a)1242 1999 y Fm(0)1261 2017 y Fo(\\)7 b Fq(b)p Ft(\))g Fo([)g Fq(a)15 b Ft(=)108 2075 y(\()p Fq(a)153 2057 y Fm(0)176 2075 y Fo([)c Fq(a)p Ft(\))f Fo(\\)i Ft(\()p Fq(a)e Fo([)i Fq(b)p Ft(\))h(=)h(1)d Fo(\\)h Ft(\()p Fq(a)e Fo([)i Fq(b)p Ft(\))h(=)h Fq(a)d Fo([)g Fq(b)p Ft(.)108 2133 y(W)l(eiter)h(ist)g(\()p Fq(a)t Fo(\\)t Fq(b)433 2115 y Fm(0)444 2133 y Ft(\))t Fo([)t Ft(\()p Fq(a)549 2115 y Fm(0)564 2133 y Fo(\\)t Fq(b)p Ft(\))i(=)f Fq(a)p Ft(\(1)t(+)t Fq(b)p Ft(\))t(+)t(\(1)t(+)t Fq(a)p Ft(\))p Fq(b)t Ft(+)t Fq(a)p Ft(\(1)t(+)t Fq(b)p Ft(\)\(1)t(+)t Fq(a)p Ft(\))p Fq(b)e Ft(=)108 2191 y Fq(a)16 b Ft(+)g Fq(ab)g Ft(+)g Fq(b)f Ft(+)i Fq(ab)e Ft(+)h Fq(ab)g Ft(+)g Fq(ab)f Ft(+)h Fq(ab)g Ft(+)g Fq(ab)26 b Ft(=)g Fq(a)16 b Ft(+)g Fq(b)p Ft(.)23 b(Sc)o(hlie\031lic)o(h)e(ist)p eop %%Page: 127 38 127 37 bop 371 117 a Fu(7.)17 b(BOOLESCHE)i(RINGE)f(UND)g(ALGEBREN)200 b(127)108 225 y Ft(1)12 b(+)f Fq(a)i Ft(=)h(\(1)327 207 y Fm(0)350 225 y Fo(\\)d Fq(a)p Ft(\))g Fo([)g Ft(\(1)h Fo(\\)f Fq(a)619 207 y Fm(0)630 225 y Ft(\))j(=)g(\(0)d Fo(\\)g Fq(a)p Ft(\))g Fo([)g Fq(a)939 207 y Fm(0)964 225 y Ft(=)j(0)e Fo([)f Fq(a)1122 207 y Fm(0)1147 225 y Ft(=)j Fq(a)1225 207 y Fm(0)1236 225 y Ft(.)108 312 y Fr(Bemerkung)j(7.8.)j Ft(Bo)q(olesc)o(he)10 b(Algebren)g(und)h(Bo)q (olesc)o(he)f(Ringe)h(sind)108 370 y(algebraisc)o(he)h(Strukturen.)g (Es)h(lassen)g(sic)o(h)f(Kongruenzrelationen)g(und)108 428 y(Restklassenstrukturen)j(bilden.)f(Der)i(F)l(aktorisierungssatz)g (gilt.)e(Jede)108 486 y(Bo)q(olesc)o(he)j(Algebra)g(l)532 488 y(\177)532 486 y(a\031t)h(sic)o(h)f(als)h(Restsklassenalgebra)g (einer)f(freien)108 545 y(Bo)q(olesc)o(hen)j(Algebra)g(darstellen,)f (insb)q(esondere)h(durc)o(h)g(Erzeugende)108 603 y(und)i(Relationen.)f (W)l(enn)g Fq(A)h Ft(eine)e(Bo)q(olesc)o(he)h(Algebra)g(ist,)g(dann)i (ist)108 661 y(auc)o(h)d(Abb)o(\()p Fq(X)q(;)8 b(A)p Ft(\))20 b(=)f Fq(A)569 643 y Fn(X)622 661 y Ft(eine)g(Bo)q(olesc)o(he) f(Algebra)h(mit)f(k)o(omp)q(onen-)108 719 y(ten)o(w)o(eisen)d(Op)q (erationen.)108 830 y(Man)k(w)o(ei\031)e(viel)429 832 y(\177)427 830 y(ub)q(er)i(die)e(Struktur)h(v)o(on)h(Bo)q(olesc)o(hen)e (Algebren.)g(Be-)108 888 y(sonders)k(im)d(endlic)o(hen)f(F)l(all)i(k)m (ann)i(man)d(diese)h(Struktur)h(v)o(ollst)1351 890 y(\177)1351 888 y(andig)108 946 y(b)q(esc)o(hreib)q(en.)15 b(Wir)h(geb)q(en)g(hier) g(den)g(en)o(tsprec)o(henden)e(Satz)i(zur)g(Infor-)108 1004 y(mation)g(an,)g(ohne)g(allerdings)g(den)g(Bew)o(eis)f(durc)o (hzuf)1130 1006 y(\177)1129 1004 y(uhren.)108 1091 y Fr(Satz)k(7.9.)h Fp(Je)n(de)12 b(end)r(liche)j(Bo)n(olesche)f(A)o (lgebr)n(a)f(ist)f(isomorph)g(zur)g(Bo)n(o-)108 1149 y(leschen)30 b(A)o(lgebr)n(a)f(auf)g(der)f(Potenzmenge)i Fo(P)t Ft(\()p Fq(M)5 b Ft(\))29 b Fp(einer)g(end)r(lichen)108 1207 y(Menge)17 b Fq(M)5 b Fp(.)16 b(Sie)g(ist)g(au\031er)n(dem)f (isomorph)g(zu)g(einer)i(Bo)n(oleschen)g(A)o(lge-)108 1265 y(br)n(a)12 b(der)h(F)l(orm)f Fq(B)433 1247 y Fn(n)456 1265 y Fp(,)h(wob)n(ei)g Fq(B)j Ft(=)e Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Ft(1)p Fo(g)13 b Fp(die)g(Struktur)h(einer)f(Bo)n(oleschen)108 1323 y(A)o(lgebr)n(a)18 b(wie)g(in)g(Beispiel)24 b Ft(7.2)18 b(\(2\))g Fp(tr)816 1325 y(\177)816 1323 y(agt.)108 1409 y Fr(De\014nition)g(7.10.)i Ft(Sei)11 b Fq(A)g Ft(eine)g(Bo)q(olesc)o (he)g(Algebra.)g(Eine)g(Abbildung)108 1467 y Fq(f)25 b Fo(2)19 b Ft(Abb\()p Fq(A)356 1449 y Fn(n)379 1467 y Fq(;)8 b(A)p Ft(\))19 b(aus)h(der)f(Bo)q(olesc)o(hen)g(Algebra)g (Abb\()p Fq(A)1241 1449 y Fn(n)1264 1467 y Fq(;)8 b(A)p Ft(\))19 b(hei\031t)108 1525 y Fp(Bo)n(olesche)33 b(F)l(unktion)h Ft(mit)c(W)l(erten)i(in)g Fq(A)p Ft(.)f(Wir)h(sc)o(hreib)q(en)f Fq(f)47 b Ft(=)108 1583 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)184 1590 y Fk(1)204 1583 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)350 1590 y Fn(n)373 1583 y Ft(\).)108 1641 y(Die)k(Bo)q(olesc)o(hen)f(F)l (unktionen)g Fq(x)720 1648 y Fn(i)748 1641 y Ft(:)i Fq(A)r Fo(\002)r Fq(:)8 b(:)g(:)q Fo(\002)r Fq(A)13 b Fo(3)h Ft(\()p Fq(a)1097 1648 y Fk(1)1117 1641 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(a)1260 1648 y Fn(n)1283 1641 y Ft(\))14 b Fo(7!)g Fq(a)1406 1648 y Fn(i)1433 1641 y Fo(2)108 1700 y Fq(A)j Ft(hei\031en)f Fp(Pr)n(ojektionen)i Ft(\(o)q(der)g Fp(V)l(ariable)p Ft(\),)f(die)f(Bo)q(olesc)o(hen)h(F)l(unktio-)108 1758 y(nen)12 b Fq(A)s Fo(\002)s Fq(:)c(:)g(:)q Fo(\002)s Fq(A)13 b Fo(3)h Ft(\()p Fq(a)521 1765 y Fk(1)540 1758 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)684 1765 y Fn(n)707 1758 y Ft(\))13 b Fo(7!)h Fq(b)g Fo(2)g Fq(A)d Ft(f)949 1760 y(\177)948 1758 y(ur)i(festes)e Fq(b)j Fo(2)g Fq(A)e Fp(konstante)108 1816 y(A)o(bbildungen)p Ft(.)21 b(Da)e(sie)f(in)h(der) f(Bo)q(olesc)o(hen)g(Algebra)g(Abb\()p Fq(A)1283 1798 y Fn(n)1306 1816 y Fq(;)8 b(A)p Ft(\))17 b(lie-)108 1874 y(gen,)h(k)m(ann)g(man)f(die)g(kleinste)f(v)o(on)h(den)h(Konstan)o(ten) g Fq(b)e Fo(2)g Fq(A)i Ft(und)g(den)108 1932 y(V)l(ariablen)i Fq(x)360 1939 y Fk(1)379 1932 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)525 1939 y Fn(n)568 1932 y Ft(\(mit)19 b Fo([)p Ft(,)h Fo(\\)p Ft(,)815 1914 y Fm(0)826 1932 y Ft(\))h(erzeugte)e(Bo)q (olesc)o(he)g(Un)o(teral-)108 1990 y(gebra)24 b Fq(A)p Ft([)p Fq(x)327 1997 y Fk(1)346 1990 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)492 1997 y Fn(n)515 1990 y Ft(])25 b Fo(\032)h Ft(Abb\()p Fq(A)766 1972 y Fn(n)789 1990 y Fq(;)8 b(A)p Ft(\))23 b(bilden.)f Fq(A)p Ft([)p Fq(x)1136 1997 y Fk(1)1155 1990 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)1301 1997 y Fn(n)1324 1990 y Ft(])23 b(hei\031t)108 2048 y(Bo)q(olesc)o(he)16 b(Algebra)g(der)g Fp(Polynomfunktionen)p Ft(.)108 2133 y Fr(Bemerkung)h(7.11.)j Ft(Die)k(freie)e(Bo)q(olesc)o(he)h(Algebra) 1179 2135 y(\177)1178 2133 y(ub)q(er)h(den)g(Er-)108 2191 y(zeugenden)15 b Fq(X)383 2198 y Fk(1)403 2191 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(X)561 2198 y Fn(n)601 2191 y Ft(mit)13 b(Konstan)o(ten)j Fq(A)f Ft(ist)h Fq(A)p Ft([)p Fq(X)1161 2198 y Fk(1)1180 2191 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(X)1338 2198 y Fn(n)1362 2191 y Ft(],)14 b(die)p eop %%Page: 128 39 128 38 bop 108 117 a Fu(128)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Ft(Algebra)25 b(der)g(formalen)f(Ausdr)734 227 y(\177)733 225 y(uc)o(k)o(e,)f(die)h(mit)f(Elemen)o(ten)g Fq(a)28 b Fo(2)h Fq(A)p Ft(,)108 283 y Fq(X)148 290 y Fk(1)168 283 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(X)326 290 y Fn(n)350 283 y Fq(;)g Fo([)p Fq(;)g Fo(\\)17 b Ft(und)575 265 y Fm(0)603 283 y Ft(gebildet)f(w)o(erden)g(k)981 285 y(\177)981 283 y(onnen)h(mo)q(dulo)f(den)h(Re-)108 341 y(lationen)24 b(f)319 343 y(\177)318 341 y(ur)f(Bo)q(olesc)o(he)g (Algebren,)f(hei\031t)i(Bo)q(olesc)o(he)f(Algebra)g(der)108 399 y Fp(Polynome)337 401 y Ft(\177)335 399 y(ub)q(er)c Fq(A)p Ft(.)f(Die)g(Abbildung)g Fq(X)892 406 y Fn(i)924 399 y Fo(7!)f Fq(x)1019 406 y Fn(i)1052 399 y Ft(induziert)g(einen)g (Ho-)108 458 y(momorphism)o(us)c(v)o(on)j(Bo)q(olesc)o(hen)g(Algebren) 434 544 y Fq(A)p Ft([)p Fq(X)525 551 y Fk(1)544 544 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(X)702 551 y Fn(n)726 544 y Ft(])13 b Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(A)p Ft([)p Fq(x)926 551 y Fk(1)945 544 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)1091 551 y Fn(n)1114 544 y Ft(])p Fq(:)108 631 y Ft(Man)17 b(un)o(tersc)o(heidet)d(daher)j(P)o(olynome)d(und)j(P)o (olynomfunktionen.)108 724 y Fr(Satz)i(7.12.)85 b Ft(\(1\))21 b Fp(Zu)d(je)n(der)f(Bo)n(oleschen)i(Polynomfunktion)724 811 y Fq(f)g Ft(:)14 b Fq(A)832 790 y Fn(n)869 811 y Fo(\000)-9 b(!)14 b Fq(A)257 898 y Fp(gibt)k(es)g(genau)h(eine)f Ft(disjunktiv)o(e)d(Normalform)365 985 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)441 992 y Fk(1)461 985 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)607 992 y Fn(n)630 985 y Ft(\))14 b(=)764 943 y Fj([)714 1037 y Fk(\()p Fn(i)740 1042 y Fh(1)757 1037 y Fn(;:::)5 b(;i)824 1041 y Fg(n)845 1037 y Fk(\))868 985 y Fq(a)894 992 y Fn(i)906 997 y Fh(1)922 992 y Fn(;:::)h(;i)990 996 y Fg(n)1024 985 y Fo(\\)11 b Fq(x)1096 964 y Fn(i)1108 969 y Fh(1)1096 997 y Fk(1)1138 985 y Fo(\\)g Fq(:)d(:)g(:)j Fo(\\)g Fq(x)1323 964 y Fn(i)1335 968 y Fg(n)1323 997 y Fn(n)257 1125 y Fp(mit)17 b Fq(i)362 1132 y Fn(j)394 1125 y Fo(2)d(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)p Fp(,)18 b(wob)n(ei)g Fq(x)793 1107 y Fk(1)793 1137 y Fn(i)826 1125 y Ft(=)c Fq(x)906 1132 y Fn(i)937 1125 y Fp(und)k Fq(x)1061 1104 y Fm(\000)p Fk(1)1061 1136 y Fn(i)1121 1125 y Ft(=)c Fq(x)1201 1107 y Fm(0)1201 1137 y Fn(i)1232 1125 y Fp(sei.)174 1183 y Ft(\(2\))21 b Fp(Zu)e(je)n(der)f(Bo)n(oleschen)j(Polynomfunktion)f Fq(f)i Ft(:)17 b Fq(A)1199 1165 y Fn(n)1238 1183 y Fo(\000)-8 b(!)16 b Fq(A)j Fp(gibt)257 1241 y(es)f(genau)g(eine)h Ft(k)o(onjunktiv)o(e)14 b(Normalform)365 1328 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)441 1335 y Fk(1)461 1328 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)607 1335 y Fn(n)630 1328 y Ft(\))14 b(=)764 1286 y Fj(\\)714 1381 y Fk(\()p Fn(i)740 1386 y Fh(1)757 1381 y Fn(;:::)5 b(;i)824 1385 y Fg(n)845 1381 y Fk(\))868 1328 y Fq(a)894 1335 y Fn(i)906 1340 y Fh(1)922 1335 y Fn(;:::)h(;i)990 1339 y Fg(n)1024 1328 y Fo([)11 b Fq(x)1096 1307 y Fn(i)1108 1312 y Fh(1)1096 1340 y Fk(1)1138 1328 y Fo([)g Fq(:)d(:)g(:)j Fo([)g Fq(x)1323 1307 y Fn(i)1335 1311 y Fg(n)1323 1340 y Fn(n)257 1463 y Fp(mit)17 b Fq(i)362 1470 y Fn(j)394 1463 y Fo(2)d(f)p Ft(1)p Fq(;)8 b Fo(\000)p Ft(1)p Fo(g)p Fp(.)158 1552 y Fi(Beweis.)20 b Ft(Wir)14 b(b)q(ew)o(eisen)g(lediglic)o(h)f(T)l(eil)h(\(1\))h(des)f (Satzes.)h(Zun)1357 1554 y(\177)1357 1552 y(ac)o(hst)108 1610 y(w)o(eisen)25 b(wir)g(die)f(Existenz)h(einer)f(disjunktiv)o(en)f (Normalform)g(nac)o(h.)108 1668 y(W)l(enn)16 b(eine)e(P)o (olynomfunktion)h Fq(f)21 b Ft(gegeb)q(en)16 b(ist,)f(so)h(w)o(enden)f (wir)g(ev)o(en-)108 1726 y(tuell)g(mehrfac)o(h)g(die)h(Gleic)o(h)o (ungen)e(v)o(on)j(Satz)f(7.3)h(\(2\))f(an,)h(um)e(die)h(Bil-)108 1785 y(dung)21 b(des)e(Komplemen)o(ts)d(auf)k(die)f(einzelnen)f (Konstan)o(ten)i(o)q(der)g(V)l(a-)108 1843 y(riablen)14 b(zu)g(ziehen.)f(Dann)i(v)o(erw)o(enden)e(wir)h(das)h (Distributivgesetz)e(7.1)108 1901 y(\(2\))h(i\),)f(um)g(den)h(Durc)o (hsc)o(hnitt)e Fo(\\)i Ft(nac)o(h)g(innen)g(auf)g(die)f(einzelnen)f (Kon-)108 1959 y(stan)o(ten)24 b(und)g(V)l(ariablen)f(zu)h(ziehen.)e(W) l(egen)i(der)g(Komm)o(utativi)o(t)1426 1961 y(\177)1426 1959 y(at)108 2017 y(und)e(7.3)g(\(3\))g(erhalten)f(wir)g(einen)g (Ausdruc)o(k)f(wie)i(in)f(der)g(disjunkti-)108 2075 y(v)o(en)j (Normalform,)d(jedo)q(c)o(h)j(ist)g(es)g(m)845 2077 y(\177)845 2075 y(oglic)o(h,)e(da\031)j(nic)o(h)o(t)e(alle)g(T)l(erme)108 2133 y Fq(a)134 2140 y Fn(i)146 2145 y Fh(1)163 2140 y Fn(;:::)5 b(;i)230 2144 y Fg(n)263 2133 y Fo(\\)k Fq(x)333 2112 y Fn(i)345 2117 y Fh(1)333 2144 y Fk(1)374 2133 y Fo(\\)h Fq(:)e(:)g(:)g Fo(\\)i Fq(x)554 2115 y Fn(i)566 2119 y Fg(n)554 2146 y Fn(n)605 2133 y Ft(mit)j(allen)i(V)l(ariablen)g Fq(x)1056 2140 y Fk(1)1075 2133 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)1221 2140 y Fn(n)1259 2133 y Ft(auftreten.)108 2191 y(In)14 b(diesem)e(F)l(alle)h(b)q(ek)o(omm)o(t)e(man)i(die)g (fehlenden)g(V)l(ariablen)g Fq(x)1295 2198 y Fn(i)1309 2191 y Ft(,)g(indem)p eop %%Page: 129 40 129 39 bop 371 117 a Fu(7.)17 b(BOOLESCHE)i(RINGE)f(UND)g(ALGEBREN)200 b(129)108 225 y Ft(man)13 b(den)g(en)o(tsprec)o(henden)f(Ausdruc)o(k)h (mit)e(1)j(=)g Fq(x)1062 232 y Fn(i)1081 225 y Fo([)5 b Fq(x)1147 207 y Fm(0)1147 237 y Fn(i)1175 225 y Ft(sc)o(hneidet)12 b(und)108 283 y(den)k(obigen)g(Proze\031)g(wiederholt.)e(Zuletzt)g (fasse)i(man)f(Ausdr)1285 285 y(\177)1284 283 y(uc)o(k)o(e)f(mit)108 341 y(gleic)o(hen)g(Komp)q(onen)o(ten)g Fq(x)634 320 y Fn(i)646 325 y Fh(1)634 352 y Fk(1)673 341 y Fo(\\)9 b Fq(:)f(:)g(:)g Fo(\\)h Fq(x)851 323 y Fn(i)863 327 y Fg(n)851 354 y Fn(n)901 341 y Ft(zusammen,)j(indem)h(man)h(die)108 399 y(zugeh)230 401 y(\177)230 399 y(origen)k(Konstan)o(ten)f Fq(a)666 406 y Fn(i)678 411 y Fh(1)695 406 y Fn(;:::)5 b(;i)762 410 y Fg(n)803 399 y Ft(und)17 b Fq(b)922 406 y Fn(i)934 411 y Fh(1)951 406 y Fn(;:::)5 b(;i)1018 410 y Fg(n)1059 399 y Ft(in)17 b Fq(A)g Ft(v)o(ereinigt.)e(Das)108 458 y(ergibt)h(die)g(gew)410 460 y(\177)409 458 y(unsc)o(h)o(te)f (Normalform.)108 516 y(Um)21 b(die)g(Eindeutigk)o(eit)g(der)h (disjunktiv)o(en)e(Normalform)g(zu)i(zeigen,)108 574 y(w)143 576 y(\177)143 574 y(ahlen)17 b(wir)f(ein)f Fq(n)p Ft(-T)l(up)q(el)i(\()p Fq(k)664 581 y Fk(1)684 574 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(k)826 581 y Fn(n)850 574 y Ft(\))16 b(und)h(setzen)f(wir)g(in)340 670 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)416 677 y Fk(1)436 670 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)582 677 y Fn(n)605 670 y Ft(\))14 b(=)689 628 y Fj([)744 670 y Fq(a)770 677 y Fn(i)782 682 y Fh(1)799 677 y Fn(;:::)5 b(;i)866 681 y Fg(n)900 670 y Fo(\\)11 b Fq(x)972 649 y Fn(i)984 654 y Fh(1)972 682 y Fk(1)1015 670 y Fo(\\)g Fq(:)d(:)g(:)i Fo(\\)h Fq(x)1199 649 y Fn(i)1211 653 y Fg(n)1199 682 y Fn(n)108 762 y Ft(Argumen)o(te)j Fq(I)382 769 y Fk(1)401 762 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(I)541 769 y Fn(n)580 762 y Ft(ein)16 b(mit)525 897 y Fq(I)547 904 y Fn(j)578 897 y Ft(=)630 809 y Fj(8)630 847 y(<)630 922 y(:)667 863 y Ft(1)p Fq(;)24 b Ft(falls)16 b Fq(k)856 870 y Fn(j)889 863 y Ft(=)d(1)p Fq(;)667 933 y Ft(0)p Fq(;)24 b Ft(falls)16 b Fq(k)856 940 y Fn(j)889 933 y Ft(=)d Fo(\000)p Ft(1)p Fq(:)108 1031 y Ft(Dann)27 b(v)o(ersc)o(h)o(winden)c(alle)i(T)l(erme)f(der)i(disjunktiv)o(en)e (Normalform,)108 1090 y(bis)d(auf)h(den)f(T)l(erm)f(zum)g(Index)g(\()p Fq(k)803 1097 y Fk(1)823 1090 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(k)966 1097 y Fn(n)990 1090 y Ft(\).)20 b(Wir)h(erhalten)g (damit)108 1148 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(I)178 1155 y Fk(1)198 1148 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(I)338 1155 y Fn(n)360 1148 y Ft(\))14 b(=)g Fq(a)471 1155 y Fn(k)489 1160 y Fh(1)506 1155 y Fn(;:::)5 b(;k)579 1159 y Fg(n)603 1148 y Ft(.)16 b(Man)g(k)m(ann)h(also)g(aus)g Fq(f)k Ft(allein)15 b(die)1302 1177 y(")1324 1148 y(Ko)q(e\016-)108 1206 y(zien)o(ten)m(\\)k(der)e(disjunktiv)o(en)f(Normalform)f(erhalten.)h (Diese)h(ist)g(damit)108 1264 y(eindeutig.)108 1322 y(Hin)o(w)o(eis)k (zur)i(Gewinn)o(ung)g(der)g(Ko)q(e\016zien)o(ten)f Fq(a)1066 1329 y Fn(i)1078 1334 y Fh(1)1095 1329 y Fn(;:::)5 b(;i)1162 1333 y Fg(n)1208 1322 y Ft(in)22 b(den)h(Nor-)108 1380 y(malformen)f(aus)j(der)f(gegeb)q(enen)h(P)o(olynomfunktion.)d(Es)j (ist)f(durc)o(h)108 1438 y(Einsetzen)16 b(ersic)o(h)o(tlic)o(h,)c (da\031)18 b(f)680 1440 y(\177)679 1438 y(ur)529 1573 y Fq(I)551 1580 y Fn(j)583 1573 y Ft(=)634 1486 y Fj(8)634 1523 y(<)634 1598 y(:)671 1540 y Ft(1)p Fq(;)25 b Ft(falls)16 b Fq(i)853 1547 y Fn(j)884 1540 y Ft(=)e(1)p Fq(;)671 1610 y Ft(0)p Fq(;)25 b Ft(falls)16 b Fq(i)853 1617 y Fn(j)884 1610 y Ft(=)e Fo(\000)p Ft(1)p Fq(;)108 1711 y Ft(in)19 b(der)f(disjunktiv)o(en)f(Normalform)g(gilt)h Fq(a)925 1718 y Fn(i)937 1723 y Fh(1)954 1718 y Fn(;:::)5 b(;i)1021 1722 y Fg(n)1062 1711 y Ft(=)18 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(I)1188 1718 y Fk(1)1208 1711 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(I)1348 1718 y Fn(n)1370 1711 y Ft(\).)19 b(In)108 1769 y(der)d(k)o(onjunktiv)o(en)f(Normalform)f(setze)h(man)529 1904 y Fq(I)551 1911 y Fn(j)583 1904 y Ft(=)634 1817 y Fj(8)634 1854 y(<)634 1929 y(:)671 1870 y Ft(0)p Fq(;)25 b Ft(falls)16 b Fq(i)853 1877 y Fn(j)884 1870 y Ft(=)e(1)p Fq(;)671 1940 y Ft(1)p Fq(;)25 b Ft(falls)16 b Fq(i)853 1947 y Fn(j)884 1940 y Ft(=)e Fo(\000)p Ft(1)p Fq(;)108 2041 y Ft(ein)i(und)g(erh)352 2043 y(\177)352 2041 y(alt)g Fq(a)451 2048 y Fn(i)463 2053 y Fh(1)480 2048 y Fn(;:::)5 b(;i)547 2052 y Fg(n)584 2041 y Ft(=)14 b Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(I)706 2048 y Fk(1)726 2041 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(I)865 2048 y Fn(n)888 2041 y Ft(\).)p 969 2014 33 2 v 969 2044 2 30 v 1000 2044 V 969 2046 33 2 v 108 2133 a Fr(Beispiel)17 b(7.13.)j Ft(Die)12 b(disjunktiv)o(e)g(Normalform)e(v) o(on)j(\()p Fq(x)1192 2140 y Fk(1)1216 2133 y Fo([)5 b Fq(x)1282 2140 y Fk(2)1301 2133 y Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(x)1410 2140 y Fk(1)1433 2133 y Fo(\\)108 2191 y Fq(x)136 2173 y Fm(0)136 2204 y Fk(2)156 2191 y Ft(\))22 b(ist)h(1)16 b Fo(\\)f Fq(x)388 2198 y Fk(1)423 2191 y Fo(\\)h Fq(x)500 2173 y Fm(0)500 2204 y Fk(2)520 2191 y Ft(,)22 b(w)o(eil)f Fq(f)5 b Ft(\(0)p Fq(;)j Ft(0\))26 b(=)f Fq(f)5 b Ft(\(0)p Fq(;)j Ft(1\))26 b(=)e Fq(f)5 b Ft(\(1)p Fq(;)j Ft(1\))26 b(=)f(0)e(und)p eop %%Page: 130 41 130 40 bop 108 117 a Fu(130)174 b(I)q(I)q(I.)18 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o (UNDSTR)o(UKTUREN)108 225 y Fq(f)5 b Ft(\(1)p Fq(;)j Ft(0\))15 b(=)f(1)i(ist.)g(T)l(ats)527 227 y(\177)527 225 y(ac)o(hlic)o(h)f(ist)204 330 y(\()p Fq(x)251 337 y Fk(1)281 330 y Fo([)c Fq(x)353 337 y Fk(2)373 330 y Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(x)494 337 y Fk(1)525 330 y Fo(\\)g Fq(x)597 312 y Fm(0)597 342 y Fk(2)616 330 y Ft(\))j(=)g(\()p Fq(x)748 337 y Fk(1)778 330 y Fo(\\)e Fq(x)851 337 y Fk(1)881 330 y Fo(\\)g Fq(x)954 312 y Fm(0)954 342 y Fk(2)973 330 y Ft(\))f Fo([)g Ft(\()p Fq(x)1094 337 y Fk(2)1125 330 y Fo(\\)g Fq(x)1197 337 y Fk(1)1228 330 y Fo(\\)g Fq(x)1300 312 y Fm(0)1300 342 y Fk(2)1333 330 y Ft(=)391 388 y(\()p Fq(x)438 395 y Fk(1)468 388 y Fo(\\)h Fq(x)541 370 y Fm(0)541 400 y Fk(2)560 388 y Ft(\))f Fo([)g Ft(0)k(=)e Fq(x)752 395 y Fk(1)783 388 y Fo(\\)e Fq(x)855 370 y Fm(0)855 400 y Fk(2)889 388 y Ft(=)i(1)f Fo(\\)f Fq(x)1048 395 y Fk(1)1079 388 y Fo(\\)g Fq(x)1151 370 y Fm(0)1151 400 y Fk(2)1170 388 y Fq(:)108 557 y Ft(Bo)q(olesc)o(he)18 b(P)o(olynome)f(stellen)h (eine)f(b)q(esonders)j(einfac)o(he)d(Klasse)i(v)o(on)108 615 y(Bo)q(olesc)o(hen)14 b(F)l(unktionen)g(dar.)g(In)g(einem)e(Sp)q (ezialfall)h(fallen)g(diese)h(b)q(ei-)108 673 y(den)20 b(Begri\013e)f(jedo)q(c)o(h)g(sogar)j(zusammen.)16 b(Wir)k(form)o (ulieren)d(hier)i(n)o(ur)108 731 y(den)d(en)o(tsprec)o(henden)f(Satz)h (ohne)h(Bew)o(eis.)108 848 y Fr(Satz)i(7.14.)h Fp(Ist)k Fq(B)k Ft(=)d Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Ft(1)p Fo(g)p Fp(,)24 b(so)g(ist)f(je)n(de)h(Bo)n(olesche)h(F)l(unktion)g(in)108 906 y Ft(Abb\()p Fq(B)258 888 y Fn(n)281 906 y Fq(;)8 b(B)s Ft(\))17 b Fp(ein)h(Bo)n(olesches)h(Polynom.)108 1023 y Fr(Bemerkung)e(7.15.)j Ft(\()564 1025 y(\177)563 1023 y(ub)q(er)14 b(Gatter\))g(Eine)f(\(tec)o(hnisc)o(he)e (Realisierung)108 1081 y(einer\))17 b(Bo)q(olesc)o(hen)g(F)l(unktion)h Fq(f)k Ft(:)16 b Fq(B)827 1063 y Fn(n)867 1081 y Fo(\000)-9 b(!)16 b Fq(B)21 b Ft(mit)16 b Fq(B)j Ft(=)e Fo(f)p Ft(0)p Fq(;)8 b Ft(1)p Fo(g)18 b Ft(hei\031t)108 1139 y(ein)e(Gatter.)162 1232 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)238 1239 y Fk(1)258 1232 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)404 1239 y Fn(n)427 1232 y Ft(\))14 b(=)f Fq(x)539 1239 y Fk(1)570 1232 y Fo(\\)e Fq(x)642 1239 y Fk(2)673 1232 y Fo(\\)g Fq(:)d(:)g(:)i Fo(\\)i Fq(x)858 1239 y Fn(n)972 1232 y Ft(hei\031t)k(UND-Gatter,)162 1290 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)238 1297 y Fk(1)258 1290 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)404 1297 y Fn(n)427 1290 y Ft(\))14 b(=)f Fq(x)539 1297 y Fk(1)570 1290 y Fo([)e Fq(x)642 1297 y Fk(2)673 1290 y Fo([)g Fq(:)d(:)g(:)i Fo([)i Fq(x)858 1297 y Fn(n)972 1290 y Ft(hei\031t)k(ODER-Gatter,)162 1348 y Fq(f)j Ft(:)14 b Fq(B)i Fo(\000)-8 b(!)13 b Fq(B)19 b Ft(mit)c Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))13 b(=)h Fq(x)714 1330 y Fm(0)972 1348 y Ft(hei\031t)i(NICHT-Gatter)988 1406 y(o)q(der)h(In)o(v)o(erter,)162 1464 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)238 1471 y Fk(1)258 1464 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)f(;)h(x)395 1471 y Fn(n)419 1464 y Ft(\))13 b(=)h(\()p Fq(x)550 1471 y Fk(1)581 1464 y Fo(\\)d Fq(x)653 1471 y Fk(2)683 1464 y Fo(\\)h Fq(:)c(:)g(:)i Fo(\\)h Fq(x)868 1471 y Fn(n)891 1464 y Ft(\))910 1446 y Fm(0)972 1464 y Ft(hei\031t)16 b(NAND-Gatter,)162 1522 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)238 1529 y Fk(1)258 1522 y Fq(;)j(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)404 1529 y Fn(n)427 1522 y Ft(\))14 b(=)f(\()p Fq(x)558 1529 y Fk(1)589 1522 y Fo([)e Fq(x)661 1529 y Fk(2)692 1522 y Fo([)g Fq(:)d(:)g(:)i Fo([)i Fq(x)877 1529 y Fn(n)900 1522 y Ft(\))919 1504 y Fm(0)972 1522 y Ft(hei\031t)k(NOR-Gatter,)162 1580 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)238 1587 y Fk(1)258 1580 y Fq(;)j(x)308 1587 y Fk(2)327 1580 y Ft(\))14 b(=)g(\()p Fq(x)459 1587 y Fk(1)489 1580 y Fo([)e Fq(x)562 1587 y Fk(2)581 1580 y Ft(\))600 1562 y Fm(0)626 1580 y Ft(=)h Fq(x)705 1587 y Fk(1)739 1580 y Fo(#)g Fq(x)805 1587 y Fk(2)972 1580 y Ft(hei\031t)j(Pierce-Gatter,)162 1638 y Fq(f)5 b Ft(\()p Fq(x)238 1645 y Fk(1)258 1638 y Fq(;)j(x)308 1645 y Fk(2)327 1638 y Ft(\))14 b(=)g(\()p Fq(x)459 1645 y Fk(1)489 1638 y Fo(\\)e Fq(x)562 1645 y Fk(2)581 1638 y Ft(\))600 1620 y Fm(0)626 1638 y Ft(=)h Fq(x)705 1645 y Fk(1)725 1638 y Fo(j)p Fq(x)767 1645 y Fk(2)972 1638 y Ft(hei\031t)j(She\013er-Gatter.)108 1742 y(Die)g(zugeh)319 1744 y(\177)319 1742 y(origen)g(Gatter-Sym)o(b)q(ole)f(sind:)108 1865 y(US)h(Norm:)326 2096 y Fc(And)449 1918 y Fb(\034)p 449 1992 4 9 v 449 2060 a(\035)p 285 2060 99 4 v 285 1918 V 284 2058 4 142 v 238 2013 48 4 v 238 1965 V 451 1989 V 614 2096 a Fc(Or)p 514 2013 61 4 v 514 1965 V 727 1989 48 4 v 609 1918 4 4 v 610 1918 V 611 1918 V 613 1918 V 614 1918 V 615 1918 V 616 1918 V 617 1918 V 619 1918 V 620 1918 V 621 1918 V 622 1918 V 623 1919 V 625 1919 V 626 1919 V 627 1919 V 628 1919 V 629 1919 V 630 1919 V 632 1919 V 633 1919 V 634 1920 V 635 1920 V 636 1920 V 637 1920 V 638 1920 V 639 1920 V 640 1920 V 642 1921 V 643 1921 V 644 1921 V 645 1921 V 646 1921 V 647 1922 V 648 1922 V 649 1922 V 650 1922 V 651 1922 V 652 1923 V 653 1923 V 654 1923 V 655 1923 V 656 1924 V 657 1924 V 658 1924 V 659 1924 V 660 1925 V 661 1925 V 662 1925 V 663 1926 V 664 1926 V 665 1926 V 666 1927 V 667 1927 V 668 1927 V 669 1928 V 669 1928 V 670 1928 V 671 1929 V 672 1929 V 673 1929 V 674 1930 V 675 1930 V 676 1931 V 676 1931 V 677 1931 V 678 1932 V 679 1932 V 680 1933 V 681 1933 V 682 1934 V 682 1934 V 683 1934 V 684 1935 V 685 1935 V 686 1936 V 686 1936 V 687 1937 V 688 1937 V 689 1938 V 689 1938 V 690 1939 V 691 1939 V 692 1940 V 692 1940 V 693 1941 V 694 1941 V 695 1942 V 695 1942 V 696 1943 V 697 1944 V 697 1944 V 698 1945 V 699 1945 V 699 1946 V 700 1947 V 701 1947 V 701 1948 V 702 1948 V 703 1949 V 703 1950 V 704 1950 V 704 1951 V 705 1952 V 706 1952 V 706 1953 V 707 1953 V 708 1954 V 708 1955 V 709 1956 V 709 1956 V 710 1957 V 710 1958 V 711 1958 V 711 1959 V 712 1960 V 713 1960 V 713 1961 V 714 1962 V 714 1963 V 715 1963 V 715 1964 V 716 1965 V 716 1966 V 717 1967 V 717 1967 V 718 1968 V 718 1969 V 718 1970 V 719 1971 V 719 1971 V 720 1972 V 720 1973 V 721 1974 V 721 1975 V 721 1976 V 722 1976 V 722 1977 V 723 1978 V 723 1979 V 723 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Fq(;)g(x)475 629 y Fk(3)494 622 y Ft(\)\))18 b(zw)o(ei)e(Eing)756 624 y(\177)756 622 y(ange)i Fq(x)899 629 y Fk(1)937 622 y Ft(der)f(b)q(eiden)g(Gatter)h Fq(f)23 b Ft(und)108 680 y Fq(g)c Ft(parallel)c(gesc)o(haltet.)108 738 y(Eine)e(Seriensc)o(haltung)f(v)o(on)h(Gattern)g(wird)g(als)g (Einsetzen)f(einer)g(F)l(unk-)108 796 y(tion)17 b(in)e(eine)h(andere)g (F)l(unktion)g(angesehen.)g(So)h(ist)f(z.B.)572 879 y(\()p Fq(x)619 886 y Fk(1)649 879 y Fo([)11 b Fq(x)721 886 y Fk(2)741 879 y Ft(\))g Fo(\\)g Ft(\()p Fq(x)862 886 y Fk(1)893 879 y Fo(\\)g Fq(x)965 859 y Fm(0)965 892 y Fk(2)984 879 y Ft(\))108 962 y(realisierbar)j(durc)o(h)g(die)g (folgende)g(Zusammensc)o(haltung)f(v)o(on)h(Gattern)597 1003 y Fb(\034)p 597 1076 4 9 v 597 1145 a(\035)p 528 1145 5 4 v 528 1003 V 597 1239 a(\034)p 597 1313 4 9 v 597 1381 a(\035)p 528 1381 5 4 v 528 1239 V 762 1145 a(\034)p 762 1218 4 9 v 762 1286 a(\035)p 693 1286 5 4 v 693 1145 V 927 1027 a(\034)p 927 1100 4 9 v 927 1168 a(\035)p 858 1168 5 4 v 858 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