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y(\177)1195 1854 y(ur)h(nat)1325 1856 y(\177)1324 1854 y(urlic)o(he)108 1912 y(Zahlen)f(angeb)q(en.)h(Diese)f(Eigensc)o (haften)g(nenn)o(t)g(man)g(auc)o(h)g(die)g(P)o(eano-)108 1970 y(Axiome.)108 2075 y(Die)f(Existenz)g(einzelner)e(nat)654 2077 y(\177)653 2075 y(urlic)o(her)i(Zahlen)g(\(z.B.)f(zw)o(ei)g(o)q (der)i(drei\))f(ist)108 2133 y(in)16 b(den)f(logisc)o(hen)g (Grundlagen,)h(die)f(wir)h(hier)f(v)o(erw)o(enden,)f(en)o(thalten,)108 2191 y(w)o(eil)19 b(man)h(einzelne)f(Ob)s(jekte)g(neb)q(eneinander)h (stellen)f(k)m(ann)i(und)g(sie)767 2291 y Fn(59)p eop %%Page: 60 2 60 1 bop 108 120 a Fn(60)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(damit)e(abz)323 227 y(\177)323 225 y(ahlen)h(k)m(ann.)f(Die)h(Existenz)f(der)g Fm(Menge)k(al)r(ler)f(nat)1295 227 y(\177)1295 225 y(urlichen)108 283 y(Zahlen)j Fq(ist)e(dadurc)o(h)g(jedo)q(c)o(h)h(nic)o(h)o(t)e (gegeb)q(en.)h(Das)h(ist)f(n)1222 285 y(\177)1222 283 y(amlic)o(h)f(eine)108 341 y(Menge)d(mit)e(unendlic)o(h)h(vielen)f (Elemen)o(ten.)f(Wir)i(wissen)h(bisher)g(nic)o(h)o(t)108 399 y(einmal,)e(ob)j(es)406 401 y(\177)405 399 y(ub)q(erhaupt)h (irgendeine)d(Menge)h(mit)f(unendlic)o(h)g(vielen)108 458 y(Elemen)o(ten)i(gibt.)j(Daher)g(m)662 460 y(\177)661 458 y(ussen)f(wir)h(die)f(Existenz)g(der)h(Menge)f(al-)108 516 y(ler)c(nat)249 518 y(\177)248 516 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)h(zus)662 518 y(\177)662 516 y(atzlic)o(h)e(durc)o(h)i(ein)f(mengen)o(theoretisc) o(hes)108 574 y(Axiom)f(fordern.)108 682 y(Das)f(Rec)o(hnen)e(mit)f (nat)550 684 y(\177)549 682 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)i(ist)f(ein)h(w)o (esen)o(tlic)o(h)d(k)o(omplexe-)108 740 y(rer)16 b(V)l(organg.)h(Bev)o (or)e(wir)616 742 y(\177)614 740 y(ub)q(erhaupt)i(die)f(Addition)g(v)o (on)g(nat)1298 742 y(\177)1297 740 y(urlic)o(hen)108 798 y(Zahlen)24 b(einf)355 800 y(\177)354 798 y(uhren)g(k)526 800 y(\177)526 798 y(onnen,)g(w)o(as)h(erst)f(im)e(Absc)o(hnitt)i(3)g (gesc)o(hehen)108 856 y(wird,)17 b(m)277 858 y(\177)276 856 y(ussen)g(wir)h(stark)o(e)f(Hilfsmittel)882 858 y(\177)881 856 y(ub)q(er)h(Rekursion)g(und)g(Induk-)108 914 y(tion)f(b)q (ereitstellen.)108 997 y Fo(De\014nition)h(1.1.)i Fq(Ein)c(T)l(rip)q (el)f(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\))14 b(b)q(estehend)i(aus)h(einer)e(Menge)108 1055 y Fl(N)p Fq(,)21 b(einem)h(Elemen)o(t)f(1)26 b Fj(2)h Fl(N)21 b Fq(und)j(einer)f(Abbildung)g Fk(\026)j Fq(:)g Fl(N)e Fj(\000)-8 b(!)26 b Fl(N)p Fq(,)108 1113 y(genann)o(t)17 b Fm(Nachfolgerfunktion)p Fq(,)i(hei\031t)d(\(eine\))f Fm(Menge)k(der)f(nat)1295 1115 y(\177)1295 1113 y(urlichen)108 1172 y(Zahlen)p Fq(,)33 b(w)o(enn)16 b(die)g(folgenden)g(Axiome)e(erf) 955 1174 y(\177)954 1172 y(ullt)h(sind:)141 1242 y(\(P1\))21 b(1)14 b Fj(2)g Fl(N)p Fq(,)g(\()421 1272 y(")443 1242 y(1)j(ist)f(eine)f(nat)723 1244 y(\177)722 1242 y(urlic)o(he)g(Zahl)m (\\)s(\),)141 1300 y(\(P2\))21 b Fk(\026)i Fq(:)f Fl(N)f Fj(\000)-9 b(!)23 b Fl(N)c Fq(ist)i(eine)g(Abbildung,)f(\()1008 1330 y(")1031 1300 y(jede)h(nat)1209 1302 y(\177)1208 1300 y(urlic)o(he)f(Zahl)257 1358 y(b)q(esitzt)c(einen)f(eindeutig)g(b) q(estimm)o(ten)e(Nac)o(hfolger)m(\\)s(\),)141 1416 y(\(P3\))21 b Fj(8)p Fk(n)h Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))f Fj(6)p Fq(=)h(1],)e(\()710 1446 y(")733 1416 y(1)h(ist)f(k)o(ein)g(Nac)o(hfolger)g(einer)g(nat)1405 1418 y(\177)1404 1416 y(ur-)257 1475 y(lic)o(hen)14 b(Zahl)m(\\)s(\),) 141 1533 y(\(P4\))21 b Fk(\026)f Fq(ist)f(injektiv,)e(\()590 1562 y(")612 1533 y(nat)683 1535 y(\177)682 1533 y(urlic)o(he)i(Zahlen) g(mit)e(gleic)o(hen)h(Nac)o(hfol-)257 1591 y(gern)e(sind)g(gleic)o(h)m (\\)s(\),)141 1649 y(\(P5\))21 b(\(Prinzip)15 b(der)h(v)o(ollst)646 1651 y(\177)646 1649 y(andigen)g(Induktion\))340 1732 y Fj(8)p Fk(E)g Fj(\032)d Fl(N)p Fq([\(1)f Fj(2)i Fk(E)g Fj(^)d(8)p Fk(n)i Fj(2)h Fk(E)s Fq([)p Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g Fj(2)g Fk(E)s Fq(]\))f(=)-8 b Fj(\))14 b Fk(E)i Fq(=)e Fl(N)p Fq(])p Fk(;)257 1815 y Fq(\()276 1845 y(")298 1815 y(eine)i(Eigensc)o(haft,)g(die)g(der)h(1)g(zuk)o(omm) o(t)c(und)k(mit)e(einer)h(b)q(e-)257 1873 y(liebigen)g(nat)508 1875 y(\177)507 1873 y(urlic)o(hen)g(Zahl)h(auc)o(h)g(ihrem)f(Nac)o (hfolger,)g(k)o(omm)o(t)257 1931 y(allen)f(nat)444 1933 y(\177)443 1931 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)h(zu)m(\\)s(\).)108 2014 y(Wir)k(sc)o(hreib)q(en)f(mit)f(der)h(Nac)o(hfolgerfunktion)g Fk(\026)h Fq(und)g Fk(n)g Fj(2)h Fl(N)c Fq(h)1363 2016 y(\177)1363 2014 y(au\014g)108 2072 y Fk(n)11 b Fq(+)g(1)k(:=)e Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(:)p eop %%Page: 61 3 61 2 bop 464 120 a Fn(1.)18 b(DIE)g(NA)m(T)702 112 y(\177)697 120 y(URLICHEN)f(ZAHLEN)316 b(61)108 225 y Fo(Axiom)17 b(6.)j Fq(\(Existenz)c(der)g(Menge)g(der)g(nat)965 227 y(\177)964 225 y(urlic)o(hen)f(Zahlen\))108 283 y(Es)i(existiert)e (eine)g(Menge)h(der)g(nat)777 285 y(\177)776 283 y(urlic)o(hen)f (Zahlen)h(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\).)108 442 y(Wie)20 b(wic)o(h)o(tig)f(die)h(F)l(orderung)h(nac)o(h)f(der)g (Existenz)g(einer)f(Menge)h(der)108 500 y(nat)179 502 y(\177)178 500 y(urlic)o(hen)13 b(Zahlen)h(ist,)f(ersieh)o(t)g(man)h (aus)g(dem)f(folgenden)h(Satz.)g(Nur)108 558 y(w)o(enn)k(es)g(eine)f (Menge)h(der)f(nat)711 560 y(\177)710 558 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)h (gibt,)f(k)m(ann)i(es)1355 560 y(\177)1354 558 y(ub)q(er-)108 616 y(haupt)24 b(auc)o(h)f(andere)g(unendlic)o(he)e(Mengen)i(geb)q(en.) g(Die)f(Menge)h(der)108 675 y(nat)179 677 y(\177)178 675 y(urlic)o(hen)d(Zahlen)g(k)m(ann)i(man)d(als)i(den)g(kleinsten)e (Protot)o(yp)j(einer)108 733 y(unendlic)o(hen)15 b(Menge)i (au\013assen.)h(W)l(eiter)d(k)m(ann)j(man)e(in)g(jeder)g(unend-)108 791 y(lic)o(hen)e(Menge)i(ein)f(Mo)q(dell)g(f)659 793 y(\177)658 791 y(ur)h(eine)f(Menge)g(v)o(on)h(nat)1138 793 y(\177)1137 791 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)108 849 y(\014nden.)h(Wir)f (erinnern)g(no)q(c)o(h)i(einmal)c(an)k(unsere)f(De\014nition)f(einer)g (un-)108 907 y(endlic)o(hen)e(Menge)g Fk(M)20 b Fq(\(Kap.I.)13 b(2.29)i(und)f(Kap.I.2.31\).)g(Es)g(m)o(u\031)f(zu)h(ihr)108 965 y(eine)k(\(Selbst-\)Abbildung)h Fk(\025)g Fq(:)f Fk(M)24 b Fj(\000)-9 b(!)18 b Fk(M)25 b Fq(geb)q(en,)18 b(die)h(injektiv)e(ab)q(er)108 1023 y(nic)o(h)o(t)e(surjektiv)g(ist.) 108 1142 y(Zum)23 b(Bew)o(eis)f(des)i(folgenden)f(Satzes)h(b)q(en)949 1144 y(\177)949 1142 y(otigen)g(wir)g(zun)1271 1144 y(\177)1271 1142 y(ac)o(hst)f(ein)108 1200 y(Lemma.)108 1306 y Fo(Lemma)16 b(1.2.)k Fm(Seien)i Fk(M)k Fm(eine)c(Menge,)g Fk(\025)f Fq(:)f Fk(M)25 b Fj(\000)-8 b(!)20 b Fk(M)26 b Fm(eine)c(A)o(bbil-)108 1364 y(dung)d(und)f Fk(m)c Fj(2)g Fk(M)23 b Fm(ein)c(Element.)g(Dann)f (gibt)h(es)f(in)g Fk(M)23 b Fm(eine)18 b(kleinste)108 1423 y(T)l(eilmenge)i Fk(N)j Fm(mit)17 b Fk(\025)p Fq(\()p Fk(N)5 b Fq(\))15 b Fj(\032)e Fk(N)23 b Fm(und)18 b Fk(m)13 b Fj(2)h Fk(N)5 b Fm(.)158 1529 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Wir)d(b)q(etrac)o (h)o(ten)f(die)g(Menge)h Fh(M)f Fq(aller)h(T)l(eilmengen)d Fk(A)h Fj(\032)108 1587 y Fk(M)5 b Fq(,)23 b(f)213 1589 y(\177)212 1587 y(ur)g(die)g(gilt)f Fk(\025)p Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))k Fj(\032)f Fk(A)e Fq(und)g Fk(m)i Fj(2)h Fk(A)p Fq(.)c(Diese)h(Menge)f(en)o(th)1410 1589 y(\177)1410 1587 y(alt)108 1645 y(sic)o(herlic)o(h)12 b Fk(M)19 b Fq(als)c(Elemen)o(t.)c(Nun)j(bilden)f(wir)h(den)g(Durc)o(hsc)o(hnitt) 1372 1647 y(\177)1370 1645 y(ub)q(er)108 1703 y(alle)i(so)h(gefundenen) f(T)l(eilmengen)402 1802 y Fk(N)j Fq(:=)526 1761 y Fg(\\)572 1802 y Fj(f)p Fk(A)13 b Fj(\032)h Fk(M)5 b Fj(j)p Fk(\025)p Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))14 b Fj(\032)f Fk(A;)8 b(m)13 b Fj(2)h Fk(A)p Fj(g)p Fk(:)108 1901 y Fq(O\013en)o(bar)19 b(ist)g(dann)g Fk(m)f Fj(2)g Fk(N)5 b Fq(.)18 b(F)727 1903 y(\177)726 1901 y(ur)h Fk(n)f Fj(2)g Fk(N)24 b Fq(ist)18 b Fk(n)h Fq(in)f(allen)g(genann)o(ten)108 1959 y(T)l(eilmengen)c Fk(A)i Fq(en)o(thalten,)g(also)h(auc)o(h)f Fk(\025)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\).)h(Damit)e(ist)h(auc)o(h)h Fk(\025)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d Fj(2)108 2017 y Fk(N)5 b Fq(.)19 b Fk(N)24 b Fq(ist)18 b(daher)i(die)e(kleinste)f(T)l(eilmenge)f(v)o(on) j Fk(M)24 b Fq(mit)17 b Fk(m)h Fj(2)g Fk(N)24 b Fq(und)108 2075 y Fk(\025)p Fq(\()p Fk(N)5 b Fq(\))15 b Fj(\032)e Fk(N)5 b Fq(.)108 2133 y(Insb)q(esondere)14 b(ist)f(diese)g(kleinste)e (T)l(eilmenge)g Fk(N)19 b Fq(in)13 b Fk(M)19 b Fq(mit)11 b Fk(\025)p Fq(\()p Fk(N)5 b Fq(\))15 b Fj(\032)e Fk(N)108 2191 y Fq(und)k Fk(m)c Fj(2)h Fk(N)22 b Fq(eindeutig)15 b(b)q(estimm)o(t.)p 844 2164 33 2 v 844 2194 2 30 v 875 2194 V 844 2196 33 2 v eop %%Page: 62 4 62 3 bop 108 120 a Fn(62)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(Man)13 b(k)m(ann)g(sic)o(h)f(diese)g(kleinste)g(T)l(eilmenge)e Fk(N)18 b Fq(in)12 b Fk(M)18 b Fq(v)o(orstellen)11 b(als)i(die)108 283 y(Menge)i(der)h(Elemen)o(te,)c(die)j(man)g(aus)h Fk(m)f Fq(durc)o(h)h(b)q(eliebig)e(h)1246 285 y(\177)1246 283 y(au\014ge)j(An-)108 341 y(w)o(endung)h(v)o(on)f Fk(\025)h Fq(erh)521 343 y(\177)521 341 y(alt,)f(also)h(die)f(Menge)g Fj(f)p Fk(m;)8 b(\025)p Fq(\()p Fk(m)p Fq(\))p Fk(;)g(\025)p Fq(\()p Fk(\025)p Fq(\()p Fk(m)p Fq(\)\))p Fk(;)g(:)g(:)g(:)f Fj(g)p Fq(.)108 399 y(Leider)21 b(ist)f(es)h(rec)o(h)o(t)f(sc)o(h)o (wierig,)f(diese)h(Menge)h(formal)f(ric)o(h)o(tig)f(anzu-)108 458 y(geb)q(en,)26 b(dashalb)h(hab)q(en)g(wir)f(den)g(unansc)o(haulic)o (hen,)f(ab)q(er)h(mathe-)108 516 y(matisc)o(h)12 b(b)q(equemen)f(W)l (eg)i(der)g(Durc)o(hsc)o(hnittsbildung)f(eingesc)o(hlagen.)108 574 y(Wir)17 b(w)o(erden)g(diese)f(Motho)q(de)i(b)q(ei)e(den)h (algebraisc)o(hen)g(Strukturen)g(in)108 632 y(Kapitel)f(4)g(h)349 634 y(\177)349 632 y(au\014g)i(v)o(erw)o(enden.)108 724 y Fo(Satz)h(1.3.)h Fm(Die)e(folgenden)h(A)o(ussagen)g(sind)968 726 y(\177)968 724 y(aquivalent:)174 795 y Fq(\(1\))i Fm(Es)c(existiert)i(eine)f(Menge)h(der)e(nat)928 797 y(\177)928 795 y(urlichen)i(Zahlen.)174 853 y Fq(\(2\))i Fm(Es)c(existiert)i(eine)f(unend)r(liche)j(Menge.)158 945 y Fi(Beweis.)f Fq(W)l(enn)14 b(es)f(eine)g(Menge)g(der)g(nat)961 947 y(\177)960 945 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)g(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\))108 1003 y(gibt,)18 b(so)h(ist)f Fk(\026)g Fq(nac)o(h)g(\(P4\))h(injektiv)d(und)j(nac)o(h)f (\(P3\))g(nic)o(h)o(t)f(surjektiv.)108 1061 y(Also)f(ist)g Fl(N)f Fq(eine)g(unendlic)o(he)f(Menge.)108 1119 y(Sei)21 b(umgek)o(ehrt)e Fk(M)27 b Fq(eine)21 b(unendlic)o(he)f(Menge)h(und)h Fk(\025)f Fq(eine)g(injektiv)o(e)108 1177 y(und)e(nic)o(h)o(t)e (surjektiv)o(e)g(Abbildung)h(v)o(on)g Fk(M)24 b Fq(in)18 b Fk(M)5 b Fq(.)19 b(Dann)g(gibt)g(es)f(ein)108 1235 y(Elemen)o(t)d Fk(m)g Fj(2)h Fk(M)5 b Fq(,)17 b(das)h(nic)o(h)o(t)e(im) f(Bild)h(v)o(on)h Fk(\025)h Fq(liegt.)d(Wir)i(b)q(etrac)o(h)o(ten)108 1293 y(jetzt)e(die)f(kleinste)g(T)l(eilmenge)f Fk(N)19 b Fj(\032)14 b Fk(M)20 b Fq(mit)14 b Fk(\025)p Fq(\()p Fk(N)5 b Fq(\))14 b Fj(\032)g Fk(N)21 b Fq(und)15 b Fk(m)f Fj(2)g Fk(N)5 b Fq(.)108 1352 y(Sei)21 b Fk(\027)26 b Fq(:)c Fk(N)27 b Fj(\000)-8 b(!)22 b Fk(N)27 b Fq(die)20 b(Einsc)o(hr)756 1354 y(\177)756 1352 y(ankung)i(v)o(on)f Fk(\025)h Fq(auf)f(die)g(T)l(eilmenge)108 1410 y Fk(N)5 b Fq(.)16 b(Wir)g(zeigen,)e(da\031)j(f)548 1412 y(\177)547 1410 y(ur)f(\()p Fk(N)r(;)8 b(m;)g(\027)s Fq(\))17 b(die)e(P)o (eano-Axiome)f(erf)1278 1412 y(\177)1277 1410 y(ullt)h(sind.)108 1468 y(O\013en)o(bar)k(ist)f Fk(\027)j Fq(als)e(Einsc)o(hr)662 1470 y(\177)662 1468 y(ankung)f(v)o(on)h Fk(\025)f Fq(wieder)g (injektiv,)e(und)j(es)108 1526 y(gilt)14 b Fj(8)p Fk(n)e Fj(2)j Fk(N)5 b Fq([)p Fk(\027)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))13 b Fj(6)p Fq(=)h Fk(m)p Fq(],)f(da)i Fk(m)f Fq(nic)o(h)o(t)e(im)h(Bild)g (v)o(on)h Fk(\025)g Fq(liegt.)f(Es)i(bleibt)108 1584 y(n)o(ur)k(die)f(G)319 1586 y(\177)318 1584 y(ultigk)o(eit)f(des)i (Prinzips)f(der)h(v)o(ollst)995 1586 y(\177)995 1584 y(andigen)f(Induktion)h(f)1422 1586 y(\177)1421 1584 y(ur)108 1642 y(\()p Fk(N)r(;)8 b(m;)g(\027)s Fq(\))18 b(zu)g(zeigen.)e(Ist)h Fk(E)j Fj(\032)c Fk(N)23 b Fq(mit)15 b Fk(m)h Fj(2)h Fk(E)k Fq(und)d Fj(8)p Fk(n)d Fj(2)h Fk(E)s Fq([)p Fk(\027)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g Fj(2)108 1700 y Fk(E)s Fq(],)g(dann)h(gilt)e(f)415 1702 y(\177)414 1700 y(ur)i Fk(E)i Fq(auc)o(h)d(die)g(Bedingung)g Fk(\027)s Fq(\()p Fk(E)s Fq(\))e Fj(\032)f Fk(E)20 b Fq(bzw.)c Fk(\025)p Fq(\()p Fk(E)s Fq(\))e Fj(\032)108 1758 y Fk(E)s Fq(.)19 b(W)l(eil)e Fk(N)24 b Fq(die)18 b(kleinste)f(solc)o(he)h(Menge) g(ist)h(und)g Fk(E)i Fj(\032)d Fk(N)24 b Fq(gilt,)17 b(folgt)108 1817 y Fk(E)i Fq(=)d Fk(N)5 b Fq(.)17 b(Damit)f(ist)h(die)g (G)632 1819 y(\177)631 1817 y(ultigk)o(eit)f(des)h(Prinzips)g(der)g(v)o (ollst)1302 1819 y(\177)1302 1817 y(andigen)108 1875 y(Induktion)f(\(P5\))h(b)q(ewiesen.)p 696 1848 33 2 v 696 1877 2 30 v 727 1877 V 696 1879 33 2 v 108 2017 a(Die)j (Konstruktion)h(einer)f(Menge)g(der)h(nat)949 2019 y(\177)948 2017 y(urlic)o(hen)e(Zahlen)h(in)h(einer)108 2075 y(b)q(eliebigen)10 b(unendlic)o(hen)g(Menge)h(k)m(ann)h(zu)f(rec)o(h)o(t)1040 2077 y(\177)1038 2075 y(ub)q(errasc)o(henden)g(Bei-)108 2133 y(spielen)19 b(f)288 2135 y(\177)287 2133 y(uhren.)f(Die)h (Abbildung)g Fk(f)25 b Fq(:)18 b Fl(R)890 2115 y Ff(+)936 2133 y Fj(3)h Fk(x)g Fj(7!)g Fk(x)1132 2115 y Ff(2)1165 2133 y Fq(+)13 b(1)19 b Fj(2)h Fl(R)1345 2115 y Ff(+)1391 2133 y Fq(v)o(on)108 2191 y(den)f(p)q(ositiv)o(en)g(rellen)e(Zahlen)i (in)g(sic)o(h)f(ist)h(b)q(ek)m(ann)o(tlic)o(h)f(injektiv)f(und)p eop %%Page: 63 5 63 4 bop 464 120 a Fn(1.)18 b(DIE)g(NA)m(T)702 112 y(\177)697 120 y(URLICHEN)f(ZAHLEN)316 b(63)108 225 y Fq(es)18 b(gilt)f(1)23 b Fk(=)-30 b Fj(2)17 b Fk(f)5 b Fq(\()p Fl(R)427 207 y Ff(+)454 225 y Fq(\).)17 b(Eine)g(Menge)g(der)h(nat)931 227 y(\177)930 225 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)g(in)g Fl(R)1370 207 y Ff(+)1415 225 y Fq(ist)108 283 y(dann)g Fk(N)i Fq(=)14 b Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b Fq(2)p Fk(;)g Fq(5)p Fk(;)g Fq(26)p Fk(;)g(:)g(:)g(:)h Fj(g)p Fq(.)108 386 y(Aus)26 b(den)g(vielen)e(wic)o(h)o(tigen)g(Eigensc)o(haften,)h(die)g (eine)g(Menge)h(v)o(on)108 444 y(nat)179 446 y(\177)178 444 y(urlic)o(hen)20 b(Zahlen)g(b)q(esitzt,)g(ist)h(das)g(Zahlenrec)o (hnen)f(in)g Fl(N)f Fq(herv)o(or-)108 502 y(zuheb)q(en.)14 b(Bev)o(or)g(wir)h(ab)q(er)g(die)f(einfac)o(hsten)g(Rec)o(henop)q (erationen)g(ein-)108 560 y(f)124 562 y(\177)123 560 y(uhren)g(k)285 562 y(\177)285 560 y(onnen,)g(m)483 562 y(\177)482 560 y(ussen)f(wir)h(eines)f(der)h(wic)o(h)o(tigsten)f(Bew)o (eisprinzipi-)108 618 y(en)19 b(studieren,)e(den)i(Bew)o(eis)e(durc)o (h)h(v)o(ollst)915 620 y(\177)915 618 y(andige)g(Induktion.)g(Es)h (gibt)108 676 y(dazu)g(viele)d(V)l(arian)o(ten.)h(Wir)g(w)o(ollen)h (lediglic)o(h)d(zw)o(ei)i(da)o(v)o(on)h(angeb)q(en.)108 734 y(Sie)d(alle)h(bauen)g(auf)g(dem)e(P)o(eano-Axion)i(\(P5\))h(auf.)e (W)l(eiter)g(b)q(en)1336 736 y(\177)1336 734 y(otigen)108 792 y(wir)j(ein)g(v)o(or)h(allem)d(in)i(der)g(Informatik)f(und)i (mathematisc)o(he)o(n)d(Logik)108 851 y(wic)o(h)o(tiges)f(Hilfsmit)o (tel,)d(die)j(De\014nition)g(v)o(on)h(Abbildungen)e(durc)o(h)i(pri-)108 909 y(mitiv)o(e)f(Rekursion,)j(b)q(ev)o(or)g(wir)g(die)g(einfac)o (hsten)f(Rec)o(henop)q(erationen)108 967 y(in)j(der)g(Menge)f(der)h (nat)575 969 y(\177)574 967 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(einf)1007 969 y(\177)1006 967 y(uhren)f(k)1173 969 y(\177)1173 967 y(onnen.)h(Dieses)108 1025 y(Hilfmittel)12 b(w)o(erden)k(wir)g(im)f (n)679 1027 y(\177)679 1025 y(ac)o(hsten)h(P)o(aragraphen)h(b)q(eprec)o (hen.)108 1108 y Fo(Satz)i(1.4.)h Fm(\()360 1110 y(\177)360 1108 y(ub)n(er)d(den)h(Beweis)h(dur)n(ch)e(vol)r(lst)965 1110 y(\177)965 1108 y(andige)j(Induktion\):)108 1166 y(F)140 1168 y(\177)140 1166 y(ur)15 b(je)n(de)g(nat)367 1168 y(\177)367 1166 y(urliche)h(Zahl)f Fk(n)f Fj(2)g Fl(N)e Fm(sei)k(eine)f(A)o(ussage)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))f Fm(formuliert.)108 1224 y(Daf)185 1226 y(\177)185 1224 y(ur)i(gelte)129 1279 y(Induktionsanfang:)93 b Fh(A)p Fq(\(1\))18 b Fm(ist)f(richtig)h(\(wahr\))f(und)129 1337 y(Induktionsannahme:)43 b(aus)18 b(der)f(R)o(ichtigkeit)h(von)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))129 1395 y Fm(Induktionsschlu\031:)103 b(folgt)19 b(die)e(R)o(ichtigkeit)i(von)f Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\))p Fm(.)108 1454 y(Dann)18 b(ist)g Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))f Fm(f)440 1456 y(\177)440 1454 y(ur)g(al)r(le)i Fk(n)14 b Fj(2)g Fl(N)i Fm(richtig.)108 1512 y(\(F)l(ormal:)h Fq(\()p Fh(A)p Fq(\(1\))11 b Fj(^)h(8)p Fk(n)g Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))e(=)-8 b Fj(\))13 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)e Fq(+)g(1\)]\))j(=)-8 b Fj(\))13 b(8)p Fk(n)f Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)]\))158 1595 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Sei)h Fk(E)26 b Fq(:=)c Fj(f)p Fk(n)h Fj(2)g Fl(N)p Fj(j)p Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fj(g)p Fk(:)18 b Fq(Es)k(gilt)f(1)i Fj(2)g Fk(E)i Fq(und)d Fj(8)p Fk(n)f Fj(2)108 1653 y Fk(E)s Fq([)p Fk(n)12 b Fq(+)f(1)16 b Fj(2)f Fk(E)s Fq(])i(w)o(egen)g(der)g (Induktionsv)o(oraussetzungen.)g(Nac)o(h)f(\(P5\))108 1711 y(ist)g Fk(E)h Fq(=)d Fl(N)p Fq(,)g(also)j Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)].)p 772 1684 33 2 v 772 1713 2 30 v 803 1713 V 772 1715 33 2 v 108 1839 a(V)l(arian)o(ten)19 b(dieses)g(Satzes)g(sind) h(v)o(or)f(allem)e(Induktionsaussagen,)j(die)108 1897 y(erst)c(v)o(on)g(einer)g(v)o(orgegeb)q(enen)g(Zahl)g Fk(n)857 1904 y Ff(0)891 1897 y Fj(2)e Fl(N)g Fq(an)j(gelten:)312 1980 y Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)390 1987 y Ff(0)410 1980 y Fq(\))11 b Fj(^)g(8)p Fk(n)i Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(n)d Fj(\025)j Fk(n)770 1987 y Ff(0)801 1980 y Fj(^)d Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))j(=)-8 b Fj(\))13 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)e Fq(+)g(1\)]\))472 2063 y(=)-8 b Fj(\))14 b(8)p Fk(n)e Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(n)e Fj(\025)h Fk(n)851 2070 y Ff(0)885 2063 y Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)])p Fk(:)108 2133 y Fq(Diese)h(Aussage)h(w)o(erden)f(wir)g (an)h(dieser)f(Stelle)f(nic)o(h)o(t)g(b)q(ew)o(eisen,)g(zumal)108 2191 y(wir)21 b(die)g(Ordn)o(ung)g Fk(m)h Fj(\024)g Fk(n)g Fq(auf)f(den)g(nat)922 2193 y(\177)921 2191 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h (no)q(c)o(h)h(gar)p eop %%Page: 64 6 64 5 bop 108 120 a Fn(64)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(nic)o(h)o(t)k(k)o (ennen.)f(Die)h(Aussage)i(ergibt)e(sic)o(h)g(sp)1009 227 y(\177)1009 225 y(ater)h(ab)q(er)g(ganz)h(leic)o(h)o(t)108 283 y(aus)c(dem)e(Beispiel)e(einer)i(Menge)h(v)o(on)g(nat)937 285 y(\177)936 283 y(urlic)o(hen)f(Zahlen,)g(die)h(eine)108 341 y(T)l(eilmenge)c Fk(T)23 b Fq(v)o(on)17 b Fl(N)e Fq(ist)i(mit)e(derselb)q(en)i(Nac)o(hfolgerabbildung,)f(dem)108 399 y(Anfangselemen)o(t)11 b Fk(n)488 406 y Ff(0)508 399 y Fq(,)i(und)g(deren)g(Elemen)o(te)d(gerade)k(diejenigen)e Fk(n)h Fj(2)i Fl(N)108 458 y Fq(sind,)23 b(f)248 460 y(\177)247 458 y(ur)f(die)h Fk(n)430 465 y Ff(0)474 458 y Fj(\024)i Fk(n)e Fq(gilt,)f(also)h(\()p Fj(f)p Fk(n)i Fj(2)h Fl(N)p Fj(j)p Fk(n)1033 465 y Ff(0)1075 458 y Fj(\024)f Fk(n)p Fj(g)p Fk(;)8 b(n)1244 465 y Ff(0)1264 458 y Fk(;)g(\026)p Fq(\).)22 b(\(vgl.)108 516 y(Beispiel)14 b(3.8)j(\(2\)\).)108 637 y(F)141 639 y(\177)140 637 y(ur)h(den)f(n)324 639 y(\177)324 637 y(ac)o(hsten)g(Satz)h(setzen)e(wir)i(v)o(oraus,)f (da\031)h(die)f(Ordn)o(ung)h(v)o(on)108 695 y Fl(N)g Fq(sc)o(hon)i(b)q(ek)m(ann)o(t)h(ist.)e(Diese)g(Ordn)o(ung)i(wird)e(zw) o(ar)h(erst)g(in)g(3.3)g(ein-)108 753 y(gef)170 755 y(\177)169 753 y(uhrt)g(w)o(erden.)f(Der)h(Satz)g(geh)748 755 y(\177)748 753 y(ort)g(jedo)q(c)o(h)g(systematisc)o(h)e(in)h(diesen)108 812 y(Absc)o(hnitt)339 814 y(\177)337 812 y(ub)q(er)h(v)o(ollst)568 814 y(\177)568 812 y(andige)g(Induktion.)f(Er)h(wird)g(zur)g (Herleitung)108 870 y(des)d(Ordn)o(ungsb)q(egri\013es)g(in)f Fl(N)e Fq(auc)o(h)i(nic)o(h)o(t)f(v)o(erw)o(endet.)108 984 y Fo(Satz)k(1.5.)h Fm(\()360 986 y(\177)360 984 y(ub)n(er)d(die)h (starke)g(vol)r(lst)799 986 y(\177)799 984 y(andige)i(Induktion\))108 1042 y(F)140 1044 y(\177)140 1042 y(ur)15 b(je)n(de)g(nat)367 1044 y(\177)367 1042 y(urliche)h(Zahl)f Fk(n)f Fj(2)g Fl(N)e Fm(sei)k(eine)f(A)o(ussage)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))f Fm(formuliert.)108 1100 y(Daf)185 1102 y(\177)185 1100 y(ur)i(gelte)129 1154 y(Induktionsanfang:)93 b Fh(A)p Fq(\(1\))p Fm(,)129 1212 y(Induktionsannahme:)43 b(aus)18 b Fj(8)p Fk(i)12 b Fj(\024)h Fk(n)p Fq([)p Fh(A)p Fq(\()p Fk(i)p Fq(\)])p Fm(,)j(d.h.)h(aus)650 1271 y Fh(A)p Fq(\(1\))p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(i)p Fq(\))p Fk(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fm(,)129 1329 y(Induktionsschlu\031:)103 b(folgt)19 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\))p Fm(.)108 1388 y(Dann)18 b(gilt)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))e Fm(f)455 1390 y(\177)455 1388 y(ur)g(al)r(le)i Fk(n)14 b Fj(2)g Fl(N)p Fm(.)158 1501 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Wir)g(de\014nieren)f Fh(B)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))h(:)p Fj(\()-8 b(\))20 b(8)p Fk(i)f Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(i)e Fj(\024)i Fk(n)h Fq(=)-8 b Fj(\))20 b Fh(A)p Fq(\()p Fk(i)p Fq(\)])p Fk(:)108 1560 y Fq(Dann)25 b(gelten)e Fh(B)p Fq(\(1\))g(und)h Fj(8)p Fk(n)h Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fh(B)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d(=)-8 b Fj(\))25 b Fh(B)p Fq(\()p Fk(n)16 b Fq(+)g(1\)].)23 b(Also)h(ist)108 1618 y Fj(8)p Fk(n)13 b Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fh(B)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)])f(und)k(damit)d(auc)o(h)j Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)].)p 1091 1591 33 2 v 1091 1620 2 30 v 1121 1620 V 1091 1622 33 2 v 503 1754 a Fo(2.)28 b(Primitiv)n(e)16 b(Rekursion)108 1901 y Fq(Wir)c(w)o(ollen)f(eine)g(Abbildung)h Fk(')i Fq(:)f Fk(X)18 b Fj(\000)-8 b(!)13 b Fk(X)k Fq(iterieren,)10 b(also)i Fk(')1290 1883 y Ff(2)1324 1901 y Fq(:=)h Fk('')p Fq(,)108 1959 y Fk(')140 1941 y Fe(n)p Ff(+1)229 1959 y Fq(:=)20 b Fk('')365 1941 y Fe(n)409 1959 y Fq(bilden.)f(Diese)g(zun) 782 1961 y(\177)782 1959 y(ac)o(hst)h(ganz)h(einfac)o(h)e(ersc)o (heinende)108 2017 y(Bildung)k(bringt)h(eine)f(grundlegende)h(Sc)o(h)o (wierigk)o(eit)c(mit)i(sic)o(h.)h(Wir)108 2075 y(wissen)h(nic)o(h)o(t,) e(ob)i Fk(')518 2057 y Fe(n)564 2075 y Fq(f)580 2077 y(\177)579 2075 y(ur)g Fm(al)r(le)h Fk(n)i Fj(2)f Fl(N)21 b Fq(mit)h(den)h(gew)1193 2077 y(\177)1192 2075 y(unsc)o(h)o(ten)h(Ei-) 108 2133 y(gensc)o(haften)d(de\014niert)f(ist.)g(Dab)q(ei)h(hilft)f (zun)990 2135 y(\177)990 2133 y(ac)o(hst)g(auc)o(h)h(no)q(c)o(h)g(nic)o (h)o(t)108 2191 y(das)c(Prinzip)e(der)h(v)o(ollst)565 2193 y(\177)565 2191 y(andigen)f(Induktion.)g(Desw)o(egen)h(b)q(esc)o (hr)1342 2193 y(\177)1342 2191 y(ank)o(en)p eop %%Page: 65 7 65 6 bop 511 117 a Fn(2.)17 b(PRIMITIVE)h(REKURSION)361 b(65)108 225 y Fq(wir)20 b(uns)h(zun)366 227 y(\177)366 225 y(ac)o(hst)f(darauf,)h(f)683 227 y(\177)682 225 y(ur)f(ein)g (Elemen)o(t)d Fk(c)k Fj(2)g Fk(X)k Fq(die)19 b(Elemen)o(te)108 283 y Fk(')140 265 y Fe(n)164 283 y Fq(\()p Fk(c)p Fq(\))13 b Fj(2)h Fk(X)21 b Fq(zu)16 b(de\014nieren,)f(genau)i(eine)e(Abbildung) 543 366 y Fk(\013)f Fq(:)f Fl(N)f Fj(3)i Fk(n)g Fj(7!)g Fk(')845 346 y Fe(n)868 366 y Fq(\()p Fk(c)p Fq(\))g Fj(2)g Fk(X)108 450 y Fq(zu)i(de\014nieren.)f(Das)i(gesc)o(hieh)o(t)e (in)h(dem)f(folgenden)h(Satz.)108 533 y Fo(Satz)j(2.1.)h Fm(\()360 535 y(\177)360 533 y(ub)n(er)j(die)g(einfache)i(R)n (ekursion\):)46 b(Sei)23 b Fk(X)28 b Fm(eine)c(Menge,)108 591 y Fk(c)14 b Fj(2)h Fk(X)22 b Fm(ein)c(Element)h(und)f Fk(')d Fq(:)e Fk(X)19 b Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(X)22 b Fm(eine)d(A)o(bbildung.)g(Dann)g(gibt)108 649 y(es)f(genau)h(eine)f(A)o (bbildung)i Fk(\013)14 b Fq(:)f Fl(N)f Fj(\000)-8 b(!)13 b Fk(X)22 b Fm(mit)174 720 y Fq(\(1\))f Fk(\013)p Fq(\(1\))14 b(=)g Fk(c)p Fm(,)174 778 y Fq(\(2\))21 b Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)9 b Fq(+)i(1\))k(=)e Fk(')p Fq(\()p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\)])p Fm(,)108 849 y(d.h.)k(so)h(da\031)f(das)g(Diagr)n(amm)730 931 y Fl(N)217 b(N)p 772 917 195 2 v 925 916 a Fd(-)859 902 y Fe(\026)723 1100 y Fk(X)209 b(X)p 779 1084 181 2 v 918 1083 a Fd(-)858 1105 y Fe(')p 744 1053 2 108 v 745 1053 a Fd(?)761 1007 y Fe(\013)p 993 1053 V 994 1053 a Fd(?)1010 1007 y Fe(\013)542 1012 y Fj(f)p Fq(1)p Fj(g)637 971 y Fd(\010)645 966 y(\010)-42 b(*)637 1049 y(H)645 1053 y(H)g(j)654 941 y Fe(\023)646 1069 y(\015)108 1178 y Fm(kommutiert,)18 b(wob)n(ei)g Fk(\015)s Fq(\(1\))c(=)g Fk(c)p Fm(,)j Fk(\023)p Fq(\(1\))e(=)f(1)p Fk(:)158 1262 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Quelle)12 b(und)i(Ziel)f(f)721 1264 y(\177)720 1262 y(ur)g(die)h(gesuc)o(h)o(te)e(Abbildung)i Fk(\013)g Fq(stehen)108 1320 y(fest.)19 b(Wir)h(suc)o(hen)f(den)g (Graphen)i(v)o(on)e Fk(\013)p Fq(.)h(Dazu)g(b)q(etrac)o(h)o(ten)f(wir)g (die)108 1378 y(Abbildung)c(\()p Fk(\026)8 b Fj(\002)g Fk(')p Fq(\))14 b(:)f Fl(N)6 b Fj(\002)i Fk(X)18 b Fj(3)c Fq(\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))14 b Fj(7!)f Fq(\()p Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(x)p Fq(\)\))14 b Fj(2)g Fl(N)6 b Fj(\002)i Fk(X)19 b Fq(und)108 1436 y(das)f(Elemen)o(t)c(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))14 b Fj(2)h Fl(N)10 b Fj(\002)h Fk(X)t Fq(.)16 b(Nac)o(h)g(Lemma)f(1.2)i(sei)f Fk(G)h Fq(die)f(kleinste)108 1494 y(T)l(eilmenge)e(v)o(on)i Fl(N)9 b Fj(\002)i Fk(X)21 b Fq(mit)14 b(\()p Fk(\026)d Fj(\002)g Fk(')p Fq(\)\()p Fk(G)p Fq(\))j Fj(\032)g Fk(G)j Fq(und)f(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)p Fq(.)108 1552 y(1\))j(Es)g(ist)f(\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)h Fj(\()-8 b(\))14 b Fq(\(\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))13 b(=)h(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))k Fj(_)f(9)p Fq(\()p Fk(n;)d(x)p Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)p Fq([\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))14 b(=)108 1610 y(\()p Fk(n)t Fq(+)t(1)p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(x)p Fq(\)\)].)k(Hierb)q(ei)f(gilt)656 1640 y(")678 1610 y Fj(\()-8 b Fq(=)m(\\)16 b(w)o(egen)c(der)h (De\014nition)f(v)o(on)h Fk(G)p Fq(.)g(Die)108 1668 y(Ric)o(h)o(tung) 322 1698 y(")345 1668 y(=)-8 b Fj(\))m Fq(\\)23 b(erh)537 1670 y(\177)537 1668 y(alt)e(man)f(aus)h(der)g(folgenden)g(Argumen)o (tation:)108 1726 y(Angenommen,)10 b(die)i(F)l(olgerung)h(gilt)f(nic)o (h)o(t.)f(Dann)i(gibt)g(es)f(ein)g(\()p Fk(m;)c(y)r Fq(\))13 b Fj(2)108 1785 y Fk(G)20 b Fq(mit)e(\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))19 b Fj(6)p Fq(=)g(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))20 b(und)g Fj(8)p Fq(\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))18 b Fj(2)i Fk(G)p Fq([\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))18 b Fj(6)p Fq(=)i(\()p Fk(n)13 b Fq(+)h(1)p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(x)p Fq(\)\)].)108 1843 y(Dann)24 b(gilt)e(\()p Fk(\026)15 b Fj(\002)g Fk(')p Fq(\)\()p Fk(G)h Fj(n)f(f)p Fq(\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))p Fj(g)p Fq(\))23 b Fj(\032)i Fk(G)15 b Fj(n)h(f)p Fq(\()p Fk(m;)8 b(y)r Fq(\))p Fj(g)21 b Fq(und)i(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))24 b Fj(2)108 1901 y Fk(G)5 b Fj(n)g(f)p Fq(\()p Fk(m;)j(y)r Fq(\))p Fj(g)p Fq(.)k(Das)i(k)m(ann)g(ab)q(er)g (nic)o(h)o(t)e(sein,)g(w)o(eil)g Fk(G)i Fq(die)e(kleinste)g(Menge)108 1959 y(mit)j(diesen)g(Eigensc)o(haften)h(ist.)108 2017 y(2\))e Fk(G)h Fq(ist)e(Graph)i(einer)e(Abbildung)g(v)o(on)h Fl(N)e Fq(nac)o(h)i Fk(X)t Fq(.)g(Wir)f(zeigen)g(durc)o(h)108 2075 y(v)o(ollst)223 2077 y(\177)223 2075 y(andige)j(Induktion)h Fj(8)p Fk(n)d Fj(2)h Fl(N)p Fj(9)p Fk(x)d Fj(2)k Fk(X)t Fq([\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))14 b Fj(2)h Fk(G)p Fq(])p Fk(:)i Fq(Sei)f(also)i Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))108 2133 y(die)e(Induktionsaussage)h Fj(9)p Fk(x)d Fj(2)g Fk(X)t Fq([\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))13 b Fj(2)h Fk(G)p Fq(].)108 2191 y(Induktionsanfang:)j Fh(A)p Fq(\(1\))g(gilt)e(w)o(egen) h(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)p Fq(.)p eop %%Page: 66 8 66 7 bop 108 120 a Fn(66)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(Induktionsannahme:)d (Gelte)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\),)f(d.h.)h Fj(9)p Fk(x)d Fj(2)h Fk(X)t Fq([\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)p Fq(].)108 283 y(Induktionssc)o(hlu\031:)i(W)l(egen)g (\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1)p Fk(;)d(')p Fq(\()p Fk(x)p Fq(\)\))14 b Fj(2)g Fk(G)i Fq(gilt)g Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\).)108 341 y(Damit)k(folgt)i(die)e(Behauptung.)108 399 y(W)l(eiter)h(zeigen)h(wir)g(durc)o(h)g(v)o(ollst)752 401 y(\177)752 399 y(andige)g(Induktion:)f Fj(8)p Fk(n)f Fj(2)g Fl(N)h Fj(8)p Fk(x;)8 b(y)15 b Fj(2)108 458 y Fk(X)t Fq([\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))16 b Fj(2)h Fk(G)c Fj(^)f Fq(\()p Fk(n;)c(y)r Fq(\))17 b Fj(2)f Fk(G)i Fq(=)-8 b Fj(\))16 b Fk(x)g Fq(=)h Fk(y)r Fq(].)f(Sei)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))h(die)f(Induktions-)108 516 y(aussage)h Fj(8)p Fk(x;)8 b(y)14 b Fj(2)g Fk(X)t Fq([\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))13 b Fj(2)h Fk(G)e Fj(^)f Fq(\()p Fk(n;)d(y)r Fq(\))13 b Fj(2)h Fk(G)h Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(x)g Fq(=)h Fk(y)r Fq(].)108 574 y(Induktionsanfang:)20 b(Sei)e(\(1)p Fk(;)8 b(x)p Fq(\))18 b Fj(2)g Fk(G)h Fq(und)g(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))18 b Fj(2)g Fk(G)p Fq(.)h(Angenommen)108 632 y Fk(x)f Fj(6)p Fq(=)g Fk(c)p Fq(.)g(W)l(egen)h(1\))g(gibt)f(es)h (\()p Fk(n;)8 b(z)r Fq(\))18 b Fj(2)g Fk(G)p Fq([\(1)p Fk(;)8 b(x)p Fq(\))18 b(=)g(\()p Fk(n)13 b Fq(+)f(1)p Fk(;)c(')p Fq(\()p Fk(z)r Fq(\)\)],)18 b(also)108 690 y(1)d(=)f Fk(n)d Fq(+)h(1)17 b(im)d(Widerspruc)o(h)i(zu)g(\(P3\).)h (Also)f(ist)g Fk(x)e Fq(=)g Fk(c)p Fq(.)i(Daraus)i(folgt)108 748 y Fh(A)p Fq(\(1\).)108 806 y(Induktionsannahme:)k(Gelte)f Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\),)h(d.h.)g Fj(8)p Fk(x;)8 b(y)24 b Fj(2)h Fk(X)t Fq([\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))24 b Fj(2)h Fk(G)15 b Fj(^)108 864 y Fq(\()p Fk(n;)8 b(y)r Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)g Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(x)h Fq(=)g Fk(y)r Fq(].)108 922 y(Induktionssc)o(hlu\031:)f(Seien)f Fk(x;)c(y)15 b Fj(2)f Fk(X)k Fq(gegeb)q(en)c(mit)e(\()p Fk(n)5 b Fq(+)g(1)p Fk(;)j(x)p Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(G)g Fq(und)108 981 y(\()p Fk(n)f Fq(+)f(1)p Fk(;)c(y)r Fq(\))17 b Fj(2)g Fk(G)p Fq(.)h(Da)h Fk(n)f Fq(durc)o(h)g Fk(n)13 b Fq(+)f(1)19 b(eindeutig)e(festgelegt)g(ist)h(\()p Fk(\026)h Fq(ist)108 1039 y(injektiv\),)e(gibt)i(es)g(\(nac)o(h)g(1\)\))g Fk(u;)8 b(v)19 b Fj(2)g Fk(G)g Fq(mit)f(\()p Fk(n;)8 b(u)p Fq(\))18 b Fj(2)g Fk(G;)8 b Fq(\()p Fk(n;)g(v)r Fq(\))18 b Fj(2)h Fk(G)108 1097 y Fq(und)14 b Fk(')p Fq(\()p Fk(u)p Fq(\))f(=)h Fk(x)f Fq(und)h Fk(')p Fq(\()p Fk(v)r Fq(\))f(=)h Fk(y)r Fq(,)e(w)o(egen)h(\()p Fk(n)5 b Fq(+)g(1)p Fk(;)j(')p Fq(\()p Fk(u)p Fq(\)\))15 b(=)e(\()p Fk(n)5 b Fq(+)g(1)p Fk(;)j(x)p Fq(\))14 b(und)108 1155 y(\()p Fk(n)f Fq(+)g(1)p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(v)r Fq(\)\))17 b(=)h(\()p Fk(n)13 b Fq(+)g(1)p Fk(;)8 b(y)r Fq(\).)18 b(Nac)o(h)g(Induktionsannahme)g(ist)h Fk(u)f Fq(=)g Fk(v)r Fq(,)108 1213 y(also)f Fk(x)d Fq(=)f Fk(')p Fq(\()p Fk(u)p Fq(\))h(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(v)r Fq(\))f(=)h Fk(y)r Fq(.)108 1271 y(Also)i(ist)g Fk(\013)e Fq(:=)g(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b(X)q(;)g(G)p Fq(\))15 b(eine)g(Abbildung.)108 1329 y(3\))20 b Fk(\013)f Fq(erf)278 1331 y(\177)277 1329 y(ullt)f(die)g(Bedingungen)h Fk(\013)p Fq(\(1\))g(=)f Fk(c)h Fq(und)g Fj(8)p Fk(n)e Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)i(1\))19 b(=)108 1387 y Fk(')p Fq(\()p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\)],)j(denn)g(\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))24 b Fj(2)g Fk(G)e Fq(und)h(\()p Fk(n)15 b Fq(+)g(1)p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(x)p Fq(\)\))24 b Fj(2)g Fk(G)e Fq(impliziere)o(n)108 1445 y Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))14 b(=)g Fk(x)i Fq(und)h Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\))j(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(x)p Fq(\))g(=)f Fk('\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\).)108 1504 y(4\))22 b(Es)g(bleibt)e(zu)i(zeigen,)e(da\031)i Fk(\013)g Fq(eindeutig)e(b)q(estimm)o(t)e(ist.)j(Sei)g(also)108 1562 y Fk(\014)16 b Fq(:)e Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(X)h Fq(mit)10 b Fk(\014)s Fq(\(1\))j(=)h Fk(c)d Fq(und)h Fj(8)p Fk(n)h Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\014)s Fq(\()o Fk(n)q Fq(+)q(1\))e(=)h Fk('\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)])e(gegeb)q(en.) 108 1620 y(Wir)19 b(zeigen)f(durc)o(h)h(v)o(ollst)614 1622 y(\177)614 1620 y(andige)f(Induktion)h Fj(8)p Fk(n)e Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))e(=)h Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)].)108 1678 y(Sei)e Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(die)g(Induktionsaussage)h Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d(=)g Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\).)108 1736 y(Induktionsanfang:)j(Es)g(ist)f Fk(\013)p Fq(\(1\))e(=)g Fk(c)g Fq(=)g Fk(\014)s Fq(\(1\),)h(also)i(gilt)f Fh(A)p Fq(\(1\).)108 1794 y(Induktionsannahme:)f(Sei)h Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))e(=)g Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\).)108 1852 y(Induktionssc)o(hlu\031:)21 b(Dann)h(ist)f Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)16 b Fq(+)e(1\))23 b(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))g(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))f(=)108 1910 y Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\).)108 1969 y(Damit)k(gilt)h Fk(\013)e Fq(=)g Fk(\014)s Fq(.)p 536 1941 33 2 v 536 1971 2 30 v 567 1971 V 536 1973 33 2 v 108 2133 a(In)22 b(diesem)d(Satz)j(ist)g(das)g(Hilfsmittel)c(der)k(v)o(ollst)1072 2135 y(\177)1072 2133 y(andigen)f(Induktion)108 2191 y(gleic)o(h)12 b(mehrfac)o(h)g(angew)o(endet)h(w)o(orden.)g(Damit)f (hab)q(en)i(wir)f(jetzt)g(ab)q(er)p eop %%Page: 67 9 67 8 bop 511 117 a Fn(2.)17 b(PRIMITIVE)h(REKURSION)361 b(67)108 225 y Fq(auc)o(h)15 b(die)f(M)344 227 y(\177)344 225 y(oglic)o(hk)o(eit,)e(die)i(F)l(unktion)h Fk(')890 207 y Fe(n)928 225 y Fq(f)944 227 y(\177)943 225 y(ur)g(alle)f Fk(n)g Fj(2)h Fq(zu)g(de\014nieren.)108 283 y(Wir)20 b(sc)o(hreib)q(en)g(einfac)o(h)f Fk(')631 265 y Ff(1)651 283 y Fq(\()p Fk(c)p Fq(\))h(=)h Fk(c)f Fq(und)h Fk(')964 265 y Fe(n)p Ff(+1)1032 283 y Fq(\()p Fk(c)p Fq(\))g(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(')1254 265 y Fe(n)1277 283 y Fq(\()p Fk(c)p Fq(\)\).)f(F)1422 285 y(\177)1421 283 y(ur)108 341 y(festgew)264 343 y(\177)264 341 y(ahltes)15 b Fk(c)e Fj(2)h Fk(X)19 b Fq(gibt)14 b(es)g(damit)f(eine)h(Abbildung)f Fk(')p Fq(\(\)\()p Fk(c)p Fq(\))h(:)f Fl(N)f Fj(\000)-8 b(!)108 399 y Fk(X)20 b Fq(gegeb)q(en,)15 b(w)o(ob)q(ei)g Fk(')p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\()p Fk(c)p Fq(\))f(=)g Fk(')759 381 y Fe(n)782 399 y Fq(\()p Fk(c)p Fq(\))h(gelte.)f(Da)i(damit)e(der)h (W)l(ert)g(f)1422 401 y(\177)1421 399 y(ur)108 458 y(jedes)j Fk(c)g Fj(2)g Fk(X)23 b Fq(eindeutig)18 b(festgelegt)g(ist,)g(hab)q(en) i(wir)e(auc)o(h)g(die)g(Abbil-)108 516 y(dungen)i Fk(')314 498 y Fe(n)356 516 y Fq(:)f Fk(X)k Fj(\000)-9 b(!)19 b Fk(X)24 b Fq(f)631 518 y(\177)630 516 y(ur)19 b(alle)f Fk(n)h Fj(2)g Fl(N)e Fq(de\014niert.)h(H)1182 518 y(\177)1182 516 y(au\014g)i(brauc)o(h)o(t)108 574 y(man)g(zur)g(rekursiv)o(en)f (De\014nition)i(v)o(on)f(Abbildungen)g(et)o(w)o(as)h(k)o(ompli-)108 632 y(ziertere)e(Bedingungen)i(an)g(die)f(Rekursion.)g(Der)h(einfac)o (hste)f(F)l(all)g(ist)108 690 y(der)108 774 y Fo(Satz)f(2.2.)h Fm(\()360 776 y(\177)360 774 y(ub)n(er)k(die)g(primitive)g(R)n (ekursion\):)g(Sei)h Fk(X)j Fm(eine)d(Menge,)108 832 y Fk(c)15 b Fj(2)f Fk(X)22 b Fm(ein)d(Element)g(und)f Fk(')d Fq(:)f Fl(N)9 b Fj(\002)i Fk(X)19 b Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(X)22 b Fm(eine)d(A)o(bbildung.)h(Dann)108 890 y(gibt)f(es)e(genau)i(eine)g(A)o(bbildung)g Fk(\013)14 b Fq(:)g Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(X)22 b Fm(mit)174 961 y Fq(\(1\))f Fk(\013)p Fq(\(1\))14 b(=)g Fk(c)p Fm(,)174 1019 y Fq(\(2\))21 b Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)9 b Fq(+)i(1\))k(=)e Fk(')p Fq(\()p Fk(n;)8 b(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\)])p Fm(,)108 1090 y(d.h.)17 b(so)h(da\031)f(das)g(Diagr)n(amm)730 1172 y Fl(N)217 b(N)p 772 1159 195 2 v 925 1158 a Fd(-)859 1143 y Fe(\026)677 1339 y Fl(N)9 b Fj(\002)i Fk(X)164 b(X)p 825 1325 135 2 v 918 1324 a Fd(-)881 1347 y Fe(')p 744 1295 2 108 v 745 1295 a Fd(?)761 1249 y Ff(\(id)17 b Fe(;\013)p Ff(\))p 993 1295 V 994 1295 a Fd(?)1010 1248 y Fe(\013)542 1253 y Fj(f)p Fq(1)p Fj(g)637 1212 y Fd(\010)645 1208 y(\010)-42 b(*)637 1291 y(H)645 1295 y(H)g(j)654 1183 y Fe(\023)646 1310 y(\015)108 1420 y Fm(kommutiert,)24 b(wob)n(ei)g Fk(\015)s Fq(\(1\))i(=)f(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))p Fm(,)23 b Fk(\023)p Fq(\(1\))j(=)f(1)f Fm(und)g Fq(\(id)f Fk(;)8 b(\013)p Fq(\)\()p Fk(n)p Fq(\))25 b(:=)108 1478 y(\()p Fk(n;)8 b(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))p Fm(.)158 1562 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Wir)e(w)o(enden)h(2.1)g (an)g(auf)g Fl(N)11 b Fj(\002)h Fk(X)t Fq(,)19 b(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))18 b Fj(2)g Fl(N)11 b Fj(\002)h Fk(X)23 b Fq(und)108 1620 y Fk( )18 b Fq(:)d Fl(N)10 b Fj(\002)h Fk(X)20 b Fj(\000)-8 b(!)16 b Fl(N)9 b Fj(\002)j Fk(X)t Fq(,)17 b Fk( )r Fq(\()p Fk(n;)8 b(x)p Fq(\))15 b(:=)h(\()p Fk(n)11 b Fq(+)h(1)p Fk(;)c(')p Fq(\()p Fk(n;)g(x)p Fq(\)\).)17 b(Dann)h(gibt)g(es)108 1678 y(genau)j(eine)e(Abbildung)g Fk(\014)k Fq(:)d Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)20 b Fl(N)12 b Fj(\002)h Fk(X)25 b Fq(mit)18 b Fk(\014)s Fq(\(1\))i(=)g(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))20 b(und)108 1736 y Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\))j(=)g Fk( )r Fq(\()p Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))h(f)557 1738 y(\177)556 1736 y(ur)h(alle)f Fk(n)f Fj(2)g Fk(N)5 b Fq(:)713 1822 y Fl(N)217 b(N)p 755 1808 195 2 v 908 1807 a Fd(-)842 1793 y Fe(\026)660 1989 y Fl(N)9 b Fj(\002)i Fk(X)113 b Fl(N)9 b Fj(\002)i Fk(X)q(:)p 808 1975 84 2 v 850 1974 a Fd(-)837 2005 y Fe( )p 727 1945 2 108 v 728 1945 a Fd(?)744 1899 y Fe(\014)p 976 1945 V 977 1945 a Fd(?)993 1899 y Fe(\014)525 1903 y Fj(f)p Fq(1)p Fj(g)620 1862 y Fd(\010)628 1857 y(\010)-42 b(*)620 1940 y(H)628 1945 y(H)g(j)637 1832 y Fe(\023)629 1960 y(\015)108 2075 y Fq(Durc)o(h)22 b Fk(\014)j Fq(w)o(erden)c (eindeutig)g(Abbildungen)h Fk(\032)i Fq(:)f Fl(N)f Fj(\000)-8 b(!)23 b Fl(N)d Fq(und)j Fk(\013)h Fq(:)108 2133 y Fl(N)13 b Fj(\000)-9 b(!)15 b Fk(X)21 b Fq(de\014niert)16 b(mit)e Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(=)h(\()p Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(;)8 b(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\).)17 b(F)1070 2135 y(\177)1069 2133 y(ur)f(diese)g(Abbildun-)108 2191 y(gen)e(gilt)g Fk(\032)p Fq(\(1\))g(=)g(1,)g Fk(\013)p Fq(\(1\))h(=)e Fk(c)h Fq(und)h(\()p Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)7 b Fq(+)g(1\))p Fk(;)h(\013)p Fq(\()p Fk(n)f Fq(+)g(1\)\))13 b(=)h Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)7 b Fq(+)g(1\))13 b(=)p eop %%Page: 68 10 68 9 bop 108 120 a Fn(68)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fk( )r Fq(\()p Fk(\014)s Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))26 b(=)g Fk( )r Fq(\()p Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(;)8 b(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))27 b(=)f(\()p Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))16 b(+)h(1)p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(;)g(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\)\),)23 b(also)i(ist)108 283 y Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)13 b Fq(+)f(1\))17 b(=)g Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))c(+)f(1)18 b(und)h Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)12 b Fq(+)h(1\))k(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(;)8 b(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\).)18 b(Da)g(die)g(Ab-)108 341 y(bildung)e Fk(\032)f Fq(ab)q(er)h Fk(\032)p Fq(\(1\))e(=)g(1)i(und)g Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)9 b Fq(+)h(1\))k(=)g Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))9 b(+)h(1)k(=)g Fk(\026\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))i(erf)1395 343 y(\177)1394 341 y(ullt)108 399 y(und)f(eb)q(enso)h(id)22 b(\(1\))15 b(=)e(1)j(und)f(id)22 b(\()p Fk(n)8 b Fq(+)g(1\))15 b(=)e Fk(\026)8 b Fq(id)24 b(\()p Fk(n)p Fq(\))15 b(gilt,)e(ist)i Fk(\032)f Fq(=)g(id)108 458 y(nac)o(h)i(2.1,)h(also)f(ist)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)c Fq(+)f(1\))j(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(n;)8 b(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\).)108 516 y(Ist)25 b Fk(\013)220 498 y Fa(0)262 516 y Fq(:)k Fl(N)e Fj(\000)-8 b(!)29 b Fk(X)h Fq(gegeb)q(en)25 b(mit)f Fk(\013)868 498 y Fa(0)880 516 y Fq(\(1\))30 b(=)f Fk(c)d Fq(und)f Fk(\013)1223 498 y Fa(0)1235 516 y Fq(\()p Fk(n)18 b Fq(+)f(1\))30 b(=)108 574 y Fk(')p Fq(\()p Fk(n;)8 b(\013)241 556 y Fa(0)253 574 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))24 b(f)379 576 y(\177)378 574 y(ur)g(alle)f Fk(n)k Fj(2)h Fl(N)p Fq(,)21 b(so)k(erf)854 576 y(\177)853 574 y(ullt)e Fk(\014)981 556 y Fa(0)1019 574 y Fq(:)j Fl(N)f Fj(\000)-8 b(!)27 b Fl(N)14 b Fj(\002)i Fk(X)28 b Fq(mit)108 632 y Fk(\014)139 614 y Fa(0)150 632 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))21 b(:=)f(\()p Fk(n;)8 b(\013)411 614 y Fa(0)423 632 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))21 b(die)e(Bedingungen)h Fk(\014)939 614 y Fa(0)950 632 y Fq(\(1\))i(=)e(\(1)p Fk(;)8 b(\013)1188 614 y Fa(0)1200 632 y Fq(\(1\)\))22 b(=)e(\(1)p Fk(;)8 b(c)p Fq(\))108 690 y(und)24 b Fk(\014)244 672 y Fa(0)255 690 y Fq(\()p Fk(n)17 b Fq(+)f(1\))27 b(=)f(\()p Fk(n)16 b Fq(+)g(1)p Fk(;)8 b(\013)703 672 y Fa(0)716 690 y Fq(\()p Fk(n)16 b Fq(+)g(1\)\))27 b(=)g(\()p Fk(n)16 b Fq(+)g(1)p Fk(;)8 b(')p Fq(\()p Fk(n;)g(\013)1285 672 y Fa(0)1297 690 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\)\))27 b(=)108 748 y Fk( )r Fq(\()p Fk(n;)8 b(\013)243 730 y Fa(0)255 748 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))14 b(=)f Fk( )r Fq(\()p Fk(\014)490 730 y Fa(0)501 748 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\),)j(also)g(ist)g Fk(\014)h Fq(=)c Fk(\014)909 730 y Fa(0)936 748 y Fq(und)k(damit)e Fk(\013)f Fq(=)g Fk(\013)1303 730 y Fa(0)1315 748 y Fq(.)p 1377 721 33 2 v 1377 750 2 30 v 1408 750 V 1377 752 33 2 v 108 908 a(Wir)22 b(k)o(ommen)d(jetzt)i(zu)g(den)h(Grundlagen)h(der) e(nat)1132 910 y(\177)1131 908 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)108 966 y(zur)177 968 y(\177)176 966 y(uc)o(k.)14 b(Wir)g(hatten)h(sc)o (hon)g(gefordert,)f(da\031)i(eine)e(Menge)g(der)h(nat)1378 968 y(\177)1377 966 y(urli-)108 1024 y(c)o(hen)e(Zahlen)h(existieren)e (soll.)i(Es)g(ist)g(ab)q(er)g(zun)1006 1026 y(\177)1006 1024 y(ac)o(hst)g(nic)o(h)o(t)f(klar,)g(ob)i(es)108 1082 y(hier)j(v)o(ersc)o(hiedene)d(W)l(ahlm)643 1084 y(\177)643 1082 y(oglic)o(hk)o(eite)o(n)g(f)926 1084 y(\177)925 1082 y(ur)j(diese)g(Menge)f(gibt.)h(Wir)108 1140 y(w)o(erden)24 b(in)f(Beispiel)f(3.8)i(tats)703 1142 y(\177)703 1140 y(ac)o(hlic)o(h)f(v)o(ersc)o(hiedene)e(Mengen)j(ange-)108 1198 y(b)q(en,)18 b(die)f(die)g(P)o(eano-)i(Axiome)c(erf)778 1200 y(\177)777 1198 y(ullen)i(und)h(damit)e(als)i(Mengen)g(der)108 1256 y(nat)179 1258 y(\177)178 1256 y(urlic)o(hen)i(Zahlen)h(in)h(F)l (rage)f(k)o(ommen.)d(Damit)i(w)1140 1258 y(\177)1140 1256 y(are)i(es)f(m)1331 1258 y(\177)1331 1256 y(oglic)o(h,)108 1315 y(da\031)d(sp)247 1317 y(\177)247 1315 y(ateres)f(Rec)o(hnen)f (mit)f(nat)748 1317 y(\177)747 1315 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)i(v)o(on)f (der)h(W)l(ahl)g(der)108 1373 y(Menge)c(abh)339 1375 y(\177)339 1373 y(angt,)h(w)o(as)g(nat)623 1375 y(\177)622 1373 y(urlic)o(h)e(rec)o(h)o(t)g(unsinnig)i(w)1103 1375 y(\177)1103 1373 y(are.)f(Desw)o(egen)g(ist)108 1431 y(der)j(folgende)g(Satz)h(wic)o(h)o(tig.)108 1538 y Fo(Satz)i(2.3.)h Fm(\(von)29 b(der)g(Eindeutigkeit)i(der)d(Menge)i(der)f(nat)1295 1540 y(\177)1295 1538 y(urlichen)108 1596 y(Zahlen\):)46 b(Seien)24 b Fq(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\))20 b Fm(und)j Fq(\()p Fk(A;)8 b(a;)g(\027)s Fq(\))22 b Fm(Mengen)i(der)e(nat)1295 1598 y(\177)1295 1596 y(urlichen)108 1654 y(Zahlen.)i(Dann)g(gibt)h(es)e(genau)i(eine)f(A)o(bbildung)i Fk(\013)f Fq(:)f Fl(N)f Fj(\000)-9 b(!)25 b Fk(A)e Fm(mit)108 1712 y Fk(\013)p Fq(\(1\))15 b(=)f Fk(a)j Fm(und)g Fk(\013\026)e Fq(=)f Fk(\027)s(\013)p Fm(,)k(und)g(diese)g(A)o(bbildung)h(ist)f (bijektiv.)158 1820 y Fi(Beweis.)i Fq(:)d(Nac)o(h)f(2.1)h(folgt)g (Existenz)f(und)h(Eindeutigk)o(eit)e(v)o(on)i Fk(\013)e Fq(:)108 1878 y Fl(N)d Fj(\000)-8 b(!)13 b Fk(A)g Fq(mit)f Fk(\013)p Fq(\(1\))i(=)g Fk(a)p Fq(,)f Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)5 b Fq(+)g(1\))15 b(=)f Fk(\027)s Fq(\()p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\).)f(Eb)q(enso)i(gibt)e(es)h(genau)108 1936 y(ein)i Fk(\014)g Fq(:)d Fk(A)h Fj(\000)-9 b(!)14 b Fl(N)p Fq(,)g(so)j(da\031)g(das)g(Diagramm)727 2030 y Fk(A)212 b(A)p 776 2014 188 2 v 922 2013 a Fd(-)860 2005 y Fe(\027)731 2193 y Fl(N)e(N)p Fk(:)p 773 2180 V 919 2179 a Fd(-)856 2202 y Fe(\026)p 745 2150 2 108 v 746 2150 a Fd(?)762 2104 y Fe(\014)p 994 2150 V 995 2150 a Fd(?)1011 2104 y Fe(\014)542 2108 y Fj(f)p Fk(a)p Fj(g)638 2067 y Fd(\010)646 2063 y(\010)-42 b(*)638 2146 y(H)646 2150 y(H)g(j)p eop %%Page: 69 11 69 10 bop 199 120 a Fn(3.)18 b(DIE)f(STR)o(UKTUREN)h(A)o(UF)h(DEN)f(NA) m(T)967 112 y(\177)962 120 y(URLICHEN)g(ZAHLEN)50 b(69)108 225 y Fq(k)o(omm)o(utie)o(rt.)17 b(Insgesam)o(t)i(hab)q(en)i(wir)g Fk(\014)s(\013)p Fq(\(1\))f(=)h Fk(\014)s Fq(\()p Fk(a)p Fq(\))f(=)h(1)g(=)f(id)j(\(1\))108 283 y(und)16 b Fj(8)p Fk(n)d Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\014)r(\013)p Fq(\()p Fk(n)7 b Fq(+)i(1\))14 b(=)g Fk(\014)s(\027)s(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(=)g Fk(\026\014)s(\013)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)])h(und)g Fj(8)p Fk(n)e Fj(2)h Fl(N)p Fq([id)20 b(\()p Fk(n)10 b Fq(+)108 341 y(1\))20 b(=)f Fk(\026)8 b Fq(id)23 b(\()p Fk(n)p Fq(\)].)c(W)l(egen)g(der)g(Eindeutigk)o(eit)e (in)i(2.1)h(folgt)g Fk(\014)s(\013)e Fq(=)h(id)k(.)108 399 y(Analog)17 b(sieh)o(t)e(man)h Fk(\013\014)g Fq(=)e(id)667 406 y Fe(A)695 399 y Fq(.)p 757 372 33 2 v 757 402 2 30 v 788 402 V 757 404 33 2 v 108 493 a Fo(Bemerkung)j(2.4.)j Fq(Wir)c(b)q(emerk)o(en,)e(da\031)k Fk(\013)f Fq(die)f(gesam)o(te)f (bisher)h(b)q(e-)108 551 y(k)m(ann)o(te)262 581 y(")285 551 y(Struktur)m(\\)g(v)o(on)d Fl(N)e Fq(erh)705 553 y(\177)705 551 y(alt)i(w)o(egen)f Fk(\013)p Fq(\(1\))j(=)f Fk(a)e Fq(und)i Fk(\013\026)g Fq(=)g Fk(\027)s(\013)g Fq(\(es)108 609 y(ist)f(gleic)o(hg)320 611 y(\177)319 609 y(ultig,)f(ob)h(man)g(erst)g(den)g(Nac)o(hfolger)g(in)g Fl(N)e Fq(bildet)h(und)i(dann)108 668 y(nac)o(h)f Fk(A)e Fq(geh)o(t,)h(o)q(der)h(gleic)o(h)e(nac)o(h)h Fk(A)g Fq(geh)o(t)g(und)h(dann)g(dort)g(den)f(Nac)o(hfol-)108 726 y(ger)i(bildet\).)e(Man)i(k)o(enn)o(t)f(den)687 755 y(")709 726 y(Nac)o(hfolger)m(\\)k(in)c Fk(A)g Fq(w)o(egen)h Fk(\027)j Fq(=)d Fk(\013\026\013)1405 708 y Fa(\000)p Ff(1)1453 726 y Fq(.)108 784 y(Eb)q(enso)h(k)o(enn)o(t)e(man)g(die)590 814 y(")612 784 y(Eins)m(\\)18 b(in)13 b Fk(A)g Fq(:)h Fk(\013)p Fq(\(1\))g(=)g Fk(a)p Fq(.)f(Wir)g(w)1219 786 y(\177)1219 784 y(ahlen)h(daher)108 842 y(eine)f(Menge)g(der)g(nat)511 844 y(\177)510 842 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\))k(fest)h(aus)h(und)g(b)q(ezeic)o (h-)108 900 y(nen)20 b(sie)f(fortan)i(als)f Fm(die)h(Menge)h(der)f(nat) 903 902 y(\177)903 900 y(urlichen)h(Zahlen)p Fq(.)f(Nac)o(h)e(der)108 958 y(v)o(orhergehenden)f(Bemerkung)d(ist)j(das)h(k)o(eine)d(Einsc)o (hr)1164 960 y(\177)1164 958 y(ankung.)i(In)g(je-)108 1016 y(der)i(anderen)h(Menge)f(der)g(nat)704 1018 y(\177)703 1016 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(k)1083 1018 y(\177)1083 1016 y(onn)o(te)g(die)g(Theorie)108 1074 y(genauso)25 b(aufgebaut)g(w)o(erden)e(und)h(erg)878 1076 y(\177)878 1074 y(ab)q(e)977 1076 y(\177)976 1074 y(ub)q(er)g(die)e(bijektiv)o(e)g (Ab-)108 1132 y(bildung)h Fk(\013)g Fq(dieselb)q(en)f(Resultate)g (\(dieselb)q(en)f(Primzahlen,)g(dieselb)q(e)108 1191 y(Primzahlzerlegung)14 b(etc.\).)226 1318 y Fo(3.)28 b(Die)17 b(Strukturen)h(auf)h(den)g(nat)971 1320 y(\177)969 1318 y(urlic)n(hen)f(Zahlen)108 1458 y Fq(Wir)h(w)o(ollen)g(in)g (diesem)e(Absc)o(hnitt)i(die)899 1460 y(\177)897 1458 y(ublic)o(hen)f(Regeln)h(des)g(Rec)o(h-)108 1516 y(nens)g(mit)f(den)h (nat)481 1518 y(\177)480 1516 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)g(en)o(t)o(wic)o (k)o(eln.)e(Dab)q(ei)j(w)o(erden)g(wir)108 1575 y(uns)14 b(auf)h(die)e(einfac)o(he)f(Rekursion)h(st)802 1577 y(\177)801 1575 y(utzen)h(und)g(mit)e(ihr)h(zun)1263 1577 y(\177)1263 1575 y(ac)o(hst)h(Ad-)108 1633 y(dition)f(und)h(Multiplik)m(ation)d(v)o (on)j(nat)818 1635 y(\177)817 1633 y(urlic)o(hen)e(Zahlen)h (de\014nieren.)e(Mit)108 1691 y(Hilfe)k(der)h(primitiv)o(e)o(n)e (Rekursion)i(k)m(ann)h(man)f(dann)h(auc)o(h)f(das)h(P)o(oten-)108 1749 y(zieren)e(v)o(on)h(nat)412 1751 y(\177)411 1749 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(einf)836 1751 y(\177)835 1749 y(uhren.)108 1843 y Fo(De\014nition)i(und)h(Lemma)c(3.1.)86 b Fq(\(1\))21 b(Sei)g Fk(m)h Fj(2)i Fl(N)p Fq(.)19 b(Wir)i(de\014nie-) 257 1901 y(ren)16 b(die)f(Abbildung)h Fk(\013)690 1908 y Fe(m)737 1901 y Fq(:)e Fl(N)d Fj(\000)-8 b(!)14 b Fl(N)g Fq(durc)o(h)i(die)f(Bedingungen)372 1959 y Fk(\013)403 1966 y Fe(m)436 1959 y Fq(\(1\))g(=)e Fk(m)e Fq(+)g(1,)372 2017 y Fj(8)p Fk(n)i Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\013)567 2024 y Fe(m)598 2017 y Fq(\()p Fk(n)d Fq(+)g(1\))j(=)g Fk(\013)846 2024 y Fe(m)879 2017 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d(+)g(1])257 2075 y(\(b)q(ez)349 2077 y(\177)348 2075 y(uglic)o(h)k Fk(m)c Fq(+)g(1)j(=)g Fk(\026)p Fq(\()p Fk(m)p Fq(\))g Fj(2)g Fl(N)p Fq(,)g Fk(\032)h Fq(:)e Fl(N)f Fj(\000)-8 b(!)13 b Fl(N)p Fq(,)h Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))h(=)f Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\).)257 2133 y(Wir)j(k)384 2135 y(\177)383 2133 y(urzen)f Fk(\013)547 2140 y Fe(m)581 2133 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(=:)f Fk(m)c Fq(+)h Fk(n)18 b Fq(ab.)f(Die)g(Abbildung)g Fl(N)10 b Fj(\002)i Fl(N)h Fj(3)257 2191 y Fq(\()p Fk(m;)8 b(n)p Fq(\))13 b Fj(7!)h Fk(m)d Fq(+)g Fk(n)j Fj(2)g Fl(N)g Fq(hei\031t)i Fm(A)n(ddition)p Fq(.)p eop %%Page: 70 12 70 11 bop 108 120 a Fn(70)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)174 225 y Fq(\(2\))j(Sei)e Fk(m)g Fj(2)h Fl(N)p Fq(.)e(Wir)h(de\014nieren)g(die)g(Abbildung)g Fk(\026)1200 232 y Fe(m)1253 225 y Fq(:)h Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)20 b Fl(N)257 283 y Fq(durc)o(h)c(die)f(Bedingungen)372 341 y Fk(\026)401 348 y Fe(m)435 341 y Fq(\(1\))f(=)g Fk(m)p Fq(,)372 399 y Fj(8)p Fk(n)f Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\026)565 406 y Fe(m)596 399 y Fq(\()p Fk(n)d Fq(+)g(1\))31 b(=)13 b Fk(\026)858 406 y Fe(m)892 399 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))e(+)g Fk(m)p Fq(])257 458 y(\(b)q(ez)349 460 y(\177)348 458 y(uglic)o(h)g Fk(m)j Fj(2)g Fl(N)p Fq(,)c Fk(\032)k Fq(:)g Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)14 b Fl(N)p Fq(,)c Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))k(=)g Fk(n)t Fq(+)t Fk(m)p Fq(\).)f(Wir)f(k)1351 460 y(\177)1350 458 y(urzen)257 516 y Fk(\026)286 523 y Fe(m)319 516 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))i(=:)g Fk(m)q Fj(\001)q Fk(n)d Fq(ab.)h(Die)e(Abbildung)h Fl(N)q Fj(\002)q Fl(N)f Fj(3)k Fq(\()p Fk(m;)8 b(n)p Fq(\))14 b Fj(7!)f Fk(m)q Fj(\001)q Fk(n)h Fj(2)257 574 y Fl(N)g Fq(hei\031t)i Fm(Multiplikation.)174 632 y Fq(\(3\))21 b(Sei)e Fk(m)h Fj(2)g Fl(N)p Fq(.)e(Wir)i(de\014nieren)f(die)g(Abbildung)g Fk(\032)1198 639 y Fe(m)1252 632 y Fq(:)h Fl(N)e Fj(\000)-8 b(!)20 b Fl(N)257 690 y Fq(durc)o(h)c(die)f(Bedingungen)372 748 y Fk(\032)397 755 y Fe(m)431 748 y Fq(\(1\))f(=)f Fk(m)p Fq(,)372 806 y Fj(8)p Fk(n)g Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\032)561 813 y Fe(m)592 806 y Fq(\()p Fk(n)d Fq(+)g(1\))j(=)g Fk(\032)834 813 y Fe(m)867 806 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d Fj(\001)g Fk(m)p Fq(])257 864 y(\(b)q(ez)349 866 y(\177)348 864 y(uglic)o(h)18 b Fk(m)i Fj(2)f Fl(N)p Fq(,)f Fk(\032)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))h(=)h Fk(n)14 b Fj(\001)f Fk(m)p Fq(\).)19 b(Wir)g(k)1135 866 y(\177)1134 864 y(urzen)g Fk(\032)1295 871 y Fe(m)1328 864 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))h(=:)257 922 y Fk(m)300 904 y Fe(n)342 922 y Fq(ab.)f(Die)g(Abbildung)g Fl(N)11 b Fj(\002)h Fl(N)17 b Fj(3)i Fq(\()p Fk(m;)8 b(n)p Fq(\))18 b Fj(7!)h Fk(m)1218 904 y Fe(n)1260 922 y Fj(2)g Fl(N)e Fq(hei\031t)257 981 y Fm(Potenzier)n(en)p Fq(.)158 1073 y Fi(Beweis.)j Fq(In)d(allen)g(drei)g(F)679 1075 y(\177)679 1073 y(allen)f(existieren)g(die)g(Abbildungen)h(und)108 1131 y(sind)j(eindeutig)e(b)q(estimm)o(t)f(w)o(egen)i(2.1)h Fk(\013)911 1138 y Ff(1)931 1131 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))f(=)g Fk(n)14 b Fq(+)f(1)20 b(und)g Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(=)108 1189 y Fk(n)p Fq(+1)12 b(k)237 1191 y(\177)237 1189 y(onnen)g(tats)457 1191 y(\177)457 1189 y(ac)o(hlic)o(h)d(inden)o (ti\014ziert)g(w)o(erden)h(w)o(egen)h Fk(\013)1227 1196 y Ff(1)1247 1189 y Fq(\(1\))j(=)g Fk(\026)p Fq(\(1\))108 1248 y(und)j Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(\013)400 1255 y Ff(1)417 1248 y Fq(\()p Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\))h(=)e Fk(\026)p Fq(\()p Fk(\013)696 1255 y Ff(1)716 1248 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)\)])j(und)g Fj(8)p Fk(n)d Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(\026)g(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(=)g Fk(\026)i(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\)],)108 1306 y(also)h(w)o(egen)f Fk(\013)382 1313 y Ff(1)416 1306 y Fq(=)d Fk(\026)p Fq(.)p 559 1279 33 2 v 559 1308 2 30 v 590 1308 V 559 1310 33 2 v 108 1455 a(Man)22 b(m)o(u\031)f(sic)o (h)f(die)h(Bedeutung)h(der)f(Rekursionsformeln)f(klar)h(ma-)108 1513 y(c)o(hen,)i(um)f(zu)i(v)o(erstehen,)e(da\031)i(mit)e(diesen)h (Konstruktionen)h(et)o(w)o(as)108 1571 y(ganz)18 b(Allt)307 1573 y(\177)307 1571 y(aglic)o(hes)d(gemein)o(t)g(ist.)i(Die)g (Rekursionsformel)f(f)1245 1573 y(\177)1244 1571 y(ur)h(die)g(Ad-)108 1629 y(dition)e(ist)g(gegeb)q(en)h(durc)o(h)e Fk(m)9 b Fq(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))14 b(=)f(\()p Fk(m)c Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g(1,)15 b(also)g(einfac)o(h)108 1687 y(durc)o(h)k(einen)e(Sp)q(ezialfall)h(des)g(Assoziativgesetzes)g (f)1120 1689 y(\177)1119 1687 y(ur)h(die)f(Addition.)108 1745 y(Bei)12 b(der)g(Multiplik)m(ation)f(ist)i(die)f(Bedingung)h Fk(m)t Fj(\001)t Fq(\()p Fk(n)t Fq(+)t(1\))g(=)g(\()p Fk(m)t Fj(\001)t Fk(n)p Fq(\))t(+)t Fk(m)p Fq(,)108 1803 y(also)g(ein)f(einfac)o(her)f(F)l(all)g(des)i(Distributivgesetzes.)d (Sc)o(hlie\031lic)o(h)f(fordern)108 1861 y(wir)18 b(f)210 1863 y(\177)209 1861 y(ur)h(das)g(P)o(otenzieren)e Fk(m)673 1843 y Fe(n)p Ff(+1)759 1861 y Fq(=)g Fk(m)857 1843 y Fe(n)893 1861 y Fj(\001)c Fk(m)p Fq(.)k(Daher)i(sind)g(einige)e(ein-) 108 1920 y(fac)o(he)g(F)266 1922 y(\177)266 1920 y(alle)e(der)i(Rec)o (henregeln)e(f)754 1922 y(\177)753 1920 y(ur)i(nat)887 1922 y(\177)886 1920 y(urlic)o(he)f(Zahlen)g(sc)o(hon)h(in)g(der)108 1978 y(De\014nition)k(angelegt.)f(Die)g(anderen)h(Rec)o(henregeln)e(m)o (u\031)g(man)h(aller-)108 2036 y(dings)d(b)q(ew)o(eisen.)108 2133 y Fo(Satz)i(3.2.)h Fm(\(R)n(e)n(chengesetz)f(f)666 2135 y(\177)666 2133 y(ur)e(nat)798 2135 y(\177)798 2133 y(urliche)i(Zahlen\):)108 2191 y(F)140 2193 y(\177)140 2191 y(ur)e(al)r(le)i Fk(m;)8 b(n;)g(t)13 b Fj(2)h Fl(N)i Fm(gilt:)p eop %%Page: 71 13 71 12 bop 199 120 a Fn(3.)18 b(DIE)f(STR)o(UKTUREN)h(A)o(UF)h(DEN)f(NA) m(T)967 112 y(\177)962 120 y(URLICHEN)g(ZAHLEN)50 b(71)174 225 y Fq(\(1\))21 b Fk(m)11 b Fq(+)g Fk(n)i Fq(=)h Fk(n)d Fq(+)g Fk(m)p Fq(;)108 b Fk(m)10 b Fj(\001)h Fk(n)j Fq(=)g Fk(n)d Fj(\001)g Fk(m)p Fm(;)174 283 y Fq(\(2\))21 b(\()p Fk(m)10 b Fq(+)h Fk(n)p Fq(\))h(+)f Fk(t)i Fq(=)h Fk(m)d Fq(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g Fk(t)p Fq(\);)107 b(\()p Fk(m)11 b Fj(\001)f Fk(n)p Fq(\))i Fj(\001)e Fk(t)k Fq(=)g Fk(m)c Fj(\001)h Fq(\()p Fk(n)g Fj(\001)g Fk(t)p Fq(\))p Fm(;)174 341 y Fq(\(3\))21 b Fk(t)12 b Fq(+)g Fk(m)17 b Fq(=)f Fk(t)c Fq(+)h Fk(n)k Fq(=)-8 b Fj(\))16 b Fk(m)h Fq(=)f Fk(n)p Fq(;)108 b Fk(t)12 b Fj(\001)g Fk(m)17 b Fq(=)g Fk(t)11 b Fj(\001)i Fk(n)k Fq(=)-8 b Fj(\))16 b Fk(m)h Fq(=)f Fk(n)p Fm(;)257 399 y(\(K)314 401 y(\177)314 399 y(urzungsgesetz\))174 458 y Fq(\(4\))21 b Fk(m)11 b Fj(\001)f Fq(\()p Fk(n)i Fq(+)f Fk(t)p Fq(\))i(=)h Fk(m)c Fj(\001)h Fk(n)h Fq(+)f Fk(m)f Fj(\001)h Fk(t)p Fm(;)174 516 y Fq(\(5\))21 b(1)11 b Fj(\001)g Fk(n)j Fq(=)g Fk(n)p Fm(.)158 622 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Zun)452 624 y(\177)452 622 y(ac)o(hst)15 b(w)o(eisen)f(wir)h(die)f(Rec)o(hnengesetze)f(f)1250 624 y(\177)1249 622 y(ur)h(die)h(Ad-)108 680 y(dition)h(nac)o(h.)108 739 y(\(1\))24 b(i\))g(Wir)f(wissen)h(sc)o(hon)f Fk(m)16 b Fq(+)g(\()p Fk(n)h Fq(+)f(1\))27 b(=)f(\()p Fk(m)16 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g(1.)24 b(Durc)o(h)108 797 y(Induktion)16 b(nac)o(h)g Fk(m)g Fq(b)q(ew)o(eisen)g(wir)g(zun)871 799 y(\177)871 797 y(ac)o(hst)g(1)11 b(+)g Fk(m)j Fq(=)f Fk(m)e Fq(+)g(1.)16 b(Es)h(ist)108 855 y(1)d(+)f(1)21 b(=)e(1)14 b(+)g(1.)19 b(Ist)h(1)14 b(+)f Fk(m)19 b Fq(=)h Fk(m)13 b Fq(+)h(1,)19 b(so)i(ist)e(auc)o(h)h(1)14 b(+)f(\()p Fk(m)g Fq(+)g(1\))21 b(=)108 913 y(\(1)t(+)t Fk(m)p Fq(\))t(+)t(1)14 b(=)f(\()p Fk(m)t Fq(+)t(1\))t(+)t(1.)f(Also)h(folgt)g(die)f (Behauptung.)g(Jetzt)g(zeigen)108 971 y(wir)17 b Fk(m)12 b Fq(+)f(\()p Fk(n)h Fq(+)g(1\))k(=)f(\()p Fk(m)d Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))f(+)h(1)k(=)g(\()p Fk(m)11 b Fq(+)h(1\))g(+)g Fk(n)17 b Fq(durc)o(h)g(Induktion)108 1029 y(nac)o(h)g Fk(n)p Fq(.)f(Wir)g(brauc)o(hen)g(n)o(ur)g(die)g(letzte)f(Gleic)o(h)o (ung)g(zu)i(zeigen.)e(Es)i(ist)108 1087 y(\()p Fk(m)10 b Fq(+)f(1\))h(+)g(1)k(=)g(\()p Fk(m)9 b Fq(+)h(1\))g(+)g(1.)15 b(Ist)h(\()p Fk(m)9 b Fq(+)h Fk(n)p Fq(\))g(+)f(1)15 b(=)e(\()p Fk(m)d Fq(+)f(1\))i(+)e Fk(n)p Fq(,)16 b(so)g(ist)108 1145 y(\()p Fk(m)c Fq(+)h(\()p Fk(n)g Fq(+)f(1\)\))h(+)f(1)18 b(=)g(\(\()p Fk(m)12 b Fq(+)h Fk(n)p Fq(\))f(+)h(1\))g(+)f(1)18 b(=)f(\(\()p Fk(m)c Fq(+)f(1\))h(+)g Fk(n)p Fq(\))f(+)h(1)18 b(=)108 1203 y(\()p Fk(m)e Fq(+)g(1\))g(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\),)23 b(also)h(folgt)g(die)e(Behauptung.)i(Jetzt)f(k)o(omme)o (n)108 1262 y(wir)13 b(endlic)o(h)f(zum)g(Komm)o(utativ)o(gesetz)e(der) j(Addition,)f(das)i(wir)f(wieder)108 1320 y(durc)o(h)j(Induktion)g(nac) o(h)g Fk(n)h Fq(zeigen.)e(Es)i(ist)f Fk(m)11 b Fq(+)g(1)j(=)g(1)d(+)h Fk(m)p Fq(,)j(wie)h(ob)q(en)108 1378 y(gezeigt.)e(Ist)g Fk(m)8 b Fq(+)g Fk(n)13 b Fq(=)h Fk(n)8 b Fq(+)g Fk(m)p Fq(,)14 b(so)h(folgt)g Fk(m)8 b Fq(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))13 b(=)h(\()p Fk(m)8 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g(1)13 b(=)108 1436 y(\()p Fk(n)e Fq(+)f Fk(m)p Fq(\))g(+)g(1)k(=)g(\()p Fk(n)c Fq(+)g(1\))h(+)f Fk(m)16 b Fq(nac)o(h)g(dem)e(v)o(orher)h (Gezeigten,)g(und)h(wir)108 1494 y(sind)g(fertig.)108 1552 y(\(2\))21 b(i\))g(Das)g(Assoziativgesetz)f(w)o(eisen)g(wir)g (durc)o(h)h(Induktion)f(nac)o(h)h Fk(t)108 1610 y Fq(nac)o(h.)f(Es)h (ist)f(\()p Fk(m)14 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g(1)21 b(=)g Fk(m)14 b Fq(+)f(\()p Fk(n)h Fq(+)g(1\))21 b(nac)o(h)f (De\014nition.)g(Gilt)108 1668 y(\()p Fk(m)7 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g Fk(t)13 b Fq(=)h Fk(m)7 b Fq(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g Fk(t)p Fq(\),)12 b(so)j(folgt)f(\()p Fk(m)7 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g(\()p Fk(t)g Fq(+)g(1\))13 b(=)g(\(\()p Fk(m)7 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))g(+)108 1726 y Fk(t)p Fq(\))g(+)g(1)14 b(=)g(\()p Fk(m)7 b Fq(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g Fk(t)p Fq(\)\))g(+)g(1)13 b(=)g Fk(m)7 b Fq(+)g(\(\()p Fk(n)g Fq(+)g Fk(t)p Fq(\))g(+)g(1\))13 b(=)h Fk(m)7 b Fq(+)g(\()p Fk(n)g Fq(+)g(\()p Fk(t)g Fq(+)g(1\)\).)108 1785 y(\(3\))13 b(i\))f(Induktion)g(nac)o(h)h Fk(t)p Fq(:)f(Ist)g(1)t(+)t Fk(m)h Fq(=)h(1)t(+)t Fk(n)p Fq(,)d(so)j(ist)e(nac)o(h)g(\(P4\))i Fk(m)f Fq(=)h Fk(n)p Fq(.)108 1843 y(F)l(olgt)f(aus)h Fk(t)t Fq(+)t Fk(m)f Fq(=)h Fk(t)t Fq(+)t Fk(n)e Fq(f)607 1845 y(\177)606 1843 y(ur)h(jede)f(W)l(ahl)h(v)o(on)g Fk(m)f Fq(und)h Fk(n)g Fq(immer)d Fk(m)j Fq(=)h Fk(n)p Fq(,)108 1901 y(so)h(folgt)e(\()p Fk(t)6 b Fq(+)g(1\))g(+)g Fk(m)13 b Fq(=)h(\()p Fk(t)6 b Fq(+)g(1\))g(+)g Fk(n)13 b Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fq(1)6 b(+)g(\()p Fk(t)g Fq(+)g Fk(m)p Fq(\))12 b(=)i(1)6 b(+)g(\()p Fk(t)g Fq(+)g Fk(n)p Fq(\))13 b(=)-8 b Fj(\))108 1959 y Fk(t)11 b Fq(+)g Fk(m)i Fq(=)h Fk(t)d Fq(+)g Fk(n)j Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(m)h Fq(=)f Fk(n)p Fq(.)108 2017 y(Wir)25 b(k)o(ommen)d(n)o(un)k(zu)f(den)g(Rec)o (hengesetzen)e(der)j(Multiplik)m(ation.)108 2075 y(Nac)o(h)16 b(De\014nition)g(gilt)g Fk(m)10 b Fj(\001)h Fq(1)j(=)g Fk(m)i Fq(und)h Fk(m)10 b Fj(\001)h Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))k(=)e(\() p Fk(m)e Fj(\001)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g Fk(m)p Fq(.)108 2133 y(\(5\))k(Aus)e(der)h(De\014nition)g(folgt)g(1)6 b Fj(\001)g Fq(1)15 b(=)f(1.)f(W)l(enn)h(1)6 b Fj(\001)g Fk(n)15 b Fq(=)f Fk(n)g Fq(gilt,)f(so)h(folgt)108 2191 y(1)e Fj(\001)f Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))j(=)g(\(1)d Fj(\001)g Fk(n)p Fq(\))g(+)g(1)j(=)g Fk(n)d Fq(+)g(1.)p eop %%Page: 72 14 72 13 bop 108 120 a Fn(72)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(\(1\))13 b(ii\))e(Wir)g(zeigen)h(zun)554 227 y(\177)554 225 y(ac)o(hst)g(\()p Fk(n)r Fq(+)r(1\))r Fj(\001)r Fk(m)j Fq(=)f Fk(n)r Fj(\001)r Fk(m)r Fq(+)r Fk(m)f Fq(durc)o(h)f(Induktion)108 283 y(nac)o(h)j Fk(m)p Fq(.)f(Es)i(ist)e(\()p Fk(n)9 b Fq(+)f(1\))h Fj(\001)f Fq(1)14 b(=)g Fk(n)8 b Fq(+)g(1)15 b(=)e Fk(n)c Fj(\001)f Fq(1)h(+)f(1.)15 b(W)l(enn)g(\()p Fk(n)8 b Fq(+)g(1\))h Fj(\001)f Fk(m)14 b Fq(=)108 341 y Fk(n)d Fj(\001)g Fk(m)f Fq(+)g Fk(m)16 b Fq(gilt,)f(so)i(ist)f(\()p Fk(n)10 b Fq(+)h(1\))g Fj(\001)g Fq(\()p Fk(m)f Fq(+)g(1\))15 b(=)e(\()p Fk(n)e Fq(+)g(1\))g Fj(\001)f Fk(m)g Fq(+)h(\()p Fk(n)g Fq(+)f(1\))15 b(=)108 399 y Fk(n)c Fj(\001)g Fk(m)f Fq(+)g Fk(m)h Fq(+)f Fk(n)h Fq(+)g(1)j(=)g Fk(n)c Fj(\001)h Fk(m)f Fq(+)h Fk(n)g Fq(+)f Fk(m)g Fq(+)h(1)j(=)g Fk(n)d Fj(\001)f Fq(\()p Fk(m)h Fq(+)f(1\))h(+)g(\()p Fk(m)f Fq(+)h(1\).)108 458 y(W)l(eiter)16 b(ist)g(nac)o(h)h(\(5\))g(1)12 b Fj(\001)f Fk(m)j Fq(=)h Fk(m)f Fq(=)g Fk(m)e Fj(\001)f Fq(1.)16 b(W)l(enn)h Fk(n)11 b Fj(\001)h Fk(m)i Fq(=)g Fk(m)d Fj(\001)h Fk(n)17 b Fq(gilt,)108 516 y(so)g(ist)f(\()p Fk(n)11 b Fq(+)g(1\))h Fj(\001)f Fk(m)i Fq(=)h Fk(n)d Fj(\001)g Fk(m)g Fq(+)g Fk(m)i Fq(=)h Fk(m)d Fj(\001)g Fk(n)g Fq(+)g Fk(m)i Fq(=)h Fk(m)d Fj(\001)g Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\).)108 574 y(\(4\))24 b(Es)g(ist)f Fk(m)16 b Fj(\001)g Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))27 b(=)f Fk(m)16 b Fj(\001)g Fk(n)g Fq(+)g Fk(m)26 b Fq(=)g Fk(m)16 b Fj(\001)f Fk(n)i Fq(+)f Fk(m)f Fj(\001)h Fq(1.)24 b(W)l(enn)108 632 y Fk(m)15 b Fj(\001)g Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g Fk(t)p Fq(\))24 b(=)g Fk(m)14 b Fj(\001)h Fk(n)h Fq(+)f Fk(m)f Fj(\001)h Fk(t)22 b Fq(gilt,)f(so)i(folgt)g Fk(m)14 b Fj(\001)h Fq(\()p Fk(n)h Fq(+)f(\()p Fk(t)f Fq(+)h(1\)\))25 b(=)108 690 y Fk(m)q Fj(\001)q Fq(\(\()p Fk(n)q Fq(+)q Fk(t)p Fq(\))q(+)q(1\))14 b(=)g Fk(m)q Fj(\001)q Fq(\()p Fk(n)q Fq(+)q Fk(t)p Fq(\))q(+)q Fk(m)g Fq(=)g Fk(m)q Fj(\001)q Fk(n)q Fq(+)q Fk(m)q Fj(\001)q Fk(t)q Fq(+)q Fk(m)f Fq(=)h Fk(m)q Fj(\001)q Fk(n)q Fq(+)q Fk(m)q Fj(\001)q Fq(\()p Fk(t)q Fq(+)q(1\).)108 748 y(\(2\))f(ii\))f(Es)h(ist)g(\()p Fk(m)t Fj(\001)t Fk(n)p Fq(\))t Fj(\001)t Fq(1)g(=)h Fk(m)t Fj(\001)t Fk(n)f Fq(=)h Fk(m)t Fj(\001)t Fq(\()p Fk(n)t Fj(\001)t Fq(1\).)e(Ist)g(\()p Fk(m)t Fj(\001)t Fk(n)p Fq(\))t Fj(\001)t Fk(t)h Fq(=)g Fk(m)t Fj(\001)t Fq(\()p Fk(n)t Fj(\001)t Fk(t)p Fq(\),)108 806 y(so)j(folgt)f(\()p Fk(m)9 b Fj(\001)f Fk(n)p Fq(\))h Fj(\001)g Fq(\()p Fk(t)f Fq(+)h(1\))14 b(=)g(\()p Fk(m)8 b Fj(\001)h Fk(n)p Fq(\))g Fj(\001)f Fk(t)h Fq(+)f Fk(m)h Fj(\001)f Fk(n)14 b Fq(=)g Fk(m)9 b Fj(\001)f Fq(\()p Fk(n)h Fj(\001)g Fk(t)p Fq(\))f(+)h Fk(m)f Fj(\001)h Fk(n)14 b Fq(=)108 864 y Fk(m)d Fj(\001)g Fq(\(\()p Fk(n)g Fj(\001)g Fk(t)p Fq(\))g(+)g Fk(n)p Fq(\))i(=)h Fk(m)d Fj(\001)g Fq(\()p Fk(n)g Fj(\001)g Fq(\()p Fk(t)g Fq(+)g(1\)\).)108 922 y(\(3\))19 b(ii\))f(Diesen)g(Bew)o (eis)f(stellen)g(wir)i(bis)f(zum)f(Bew)o(eis)g(des)i(Satzes)f(3.5)108 981 y(zur)177 983 y(\177)176 981 y(uc)o(k.)p 311 953 33 2 v 311 983 2 30 v 342 983 V 311 985 33 2 v 108 1092 a(Die)26 b(nat)278 1094 y(\177)277 1092 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)g (tragen)i(no)q(c)o(h)f(eine)f(w)o(eitere)g(in)o(teressan)o(te)108 1150 y(Struktur.)14 b(Sie)f(bilden)g(eine)g(total)h(geordnete)g(Menge.) f(Die)g(Eigensc)o(haf-)108 1208 y(ten)j(dieser)g(Ordn)o(ung)g(un)o (tersuc)o(hen)f(wir)h(im)f(folgenden.)g(Insb)q(esondere)108 1266 y(wird)j(sic)o(h)f(herausstellen,)g(da\031)i(diese)e(Ordn)o(ung)h (zus)1114 1268 y(\177)1114 1266 y(atzlic)o(he)e(wic)o(h)o(tige)108 1324 y(Eigensc)o(haften)d(hat,)g(sie)f(ist)h(eine)f(W)l(ohlordn)o(ung.) i(Zun)1138 1326 y(\177)1138 1324 y(ac)o(hst)f(de\014nieren)108 1383 y(wir)j(diese)g(Ordn)o(ung)g(auf)h Fl(N)p Fq(.)108 1494 y Fo(De\014nition)h(und)h(Satz)g(3.3.)h Fq(Auf)14 b Fl(N)f Fq(ist)i(eine)f(totale)h(Ordn)o(ung)g(gege-)108 1552 y(b)q(en)i(durc)o(h)f Fk(m)d Fj(\024)h Fk(n)g Fq(:)p Fj(\()-8 b(\))12 b Fq(\()p Fk(m)i Fq(=)g Fk(n)d Fj(_)g(9)p Fk(p)j Fj(2)g Fl(N)p Fq([)p Fk(p)9 b Fq(+)i Fk(m)j Fq(=)f Fk(n)p Fq(]\).)158 1664 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Die)11 b(Re\015exivit)658 1666 y(\177)658 1664 y(at)f(ist)h(unmittelbar)f(klar.)g(F)1178 1666 y(\177)1177 1664 y(ur)i(den)f(Bew)o(eis)108 1722 y(der)16 b(T)l(ransitivit)418 1724 y(\177)418 1722 y(at)f(sei)g Fk(a)f Fj(\024)f Fk(b)j Fq(und)g Fk(b)d Fj(\024)h Fk(c)p Fq(.)h(W)l(enn)h(in)f(einem)e(der)j(b)q(eiden)108 1780 y(F)140 1782 y(\177)140 1780 y(alle)c(Gleic)o(hheit)e(gilt,)h(so)i (folgt)g(unmittelbar)d Fk(a)k Fj(\024)f Fk(c)p Fq(.)f(Sei)g(also)h Fk(a)s Fq(+)s Fk(s)h Fq(=)g Fk(b)108 1838 y Fq(und)19 b Fk(b)12 b Fq(+)g Fk(t)17 b Fq(=)h Fk(c)p Fq(.)g(Dann)h(folgt)f Fk(a)12 b Fq(+)h Fk(s)f Fq(+)h Fk(t)k Fq(=)g Fk(c)p Fq(,)h(also)h Fk(a)e Fj(\024)g Fk(c)p Fq(.)h(Sei)f Fk(a)g Fj(\024)g Fk(b)p Fq(,)108 1896 y Fk(b)25 b Fj(\024)g Fk(a)d Fq(und)i Fk(a)g Fj(6)p Fq(=)h Fk(b)p Fq(.)e(Dann)g(gilt)g Fk(a)15 b Fq(+)g Fk(s)25 b Fq(=)g Fk(b)e Fq(und)g Fk(b)16 b Fq(+)f Fk(t)25 b Fq(=)g Fk(a)p Fq(,)d(also)108 1954 y Fk(a)15 b Fq(+)f Fk(s)h Fq(+)g Fk(t)f Fq(+)h(1)23 b(=)g Fk(a)14 b Fq(+)h(1,)21 b(nac)o(h)h(3.2)g(\(3\))g(i\))f(also)h Fk(s)15 b Fq(+)f Fk(t)g Fq(+)h(1)23 b(=)g(1)f(im)108 2012 y(Widerspruc)o(h)e(zu)f(\(P3\).)i(Damit)d(gilt)i(auc)o(h)g(die)f (An)o(tisymme)o(trie)o(.)e(Die)108 2070 y(Eigensc)o(haft)e(der)g (totalen)g(Ordn)o(ung)g(folgt)g(aus)h(der)f(W)l(ohlordn)o(ung)h(der)108 2128 y(nat)179 2130 y(\177)178 2128 y(urlic)o(hen)f(Zahlen,)h(die)f (wir)h(sogleic)o(h)g(zeigen)f(w)o(erden.)p 1240 2101 V 1240 2131 2 30 v 1271 2131 V 1240 2133 33 2 v eop %%Page: 73 15 73 14 bop 199 120 a Fn(3.)18 b(DIE)f(STR)o(UKTUREN)h(A)o(UF)h(DEN)f(NA) m(T)967 112 y(\177)962 120 y(URLICHEN)g(ZAHLEN)50 b(73)108 225 y Fo(De\014nition)18 b(3.4.)i Fq(Eine)d(Ordn)o(ung)h(auf)h(einer)e (Menge)g Fk(A)h Fq(hei\031t)f Fm(Wohl-)108 283 y(or)n(dnung)p Fq(,)c(w)o(enn)g(jede)g(nic)o(h)o(tleere)e(T)l(eilmenge)f(v)o(on)j Fk(A)g Fq(ein)g(kleinstes)f(Ele-)108 341 y(men)o(t)j(b)q(esitzt.)108 447 y Fo(Satz)k(3.5.)85 b Fq(\(1\))21 b Fj(8)p Fk(m;)8 b(n;)g(p)13 b Fj(2)h Fl(N)p Fq([)p Fk(m)d Fj(\024)j Fk(n)g Fj(\()-8 b(\))13 b Fk(p)e Fq(+)g Fk(m)j Fj(\024)f Fk(p)f Fq(+)f Fk(n)p Fq(])p Fm(,)174 505 y Fq(\(2\))21 b Fj(8)p Fk(m;)8 b(n;)g(p)k Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(m)d Fj(\024)j Fk(n)g Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(p)f Fj(\001)f Fk(m)i Fj(\024)h Fk(p)d Fj(\001)g Fk(n)p Fq(])p Fm(,)174 563 y Fq(\(3\))21 b Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([1)e Fj(\024)i Fk(n)p Fq(])p Fm(,)174 621 y Fq(\(4\))21 b Fj(8)p Fk(n)12 b Fj(2)i Fl(N)p Fq([)p Fk(n)e Fj(6)p Fq(=)i Fk(n)d Fq(+)g(1])p Fm(,)174 680 y Fq(\(5\))21 b Fj(f)p Fk(m)13 b Fj(2)h Fl(N)p Fj(j)p Fk(n)e Fj(\024)i Fk(m)c Fj(^)i Fk(m)h Fj(\024)h Fk(n)d Fq(+)g(1)p Fj(g)j Fq(=)g Fj(f)p Fk(n;)8 b(n)j Fq(+)g(1)p Fj(g)p Fm(,)174 738 y Fq(\(6\))21 b Fl(N)15 b Fm(mit)j Fj(\024)f Fm(ist)g(wohlge)n(or)n(dnet.)158 855 y Fi(Beweis.)j Fq(\(1\))e(Gelte)e Fk(m)f Fj(\024)g Fk(n)p Fq(.)i(W)l(enn)h Fk(m)d Fq(=)g Fk(n)i Fq(gilt,)g(dann)h(ist)f (nic)o(h)o(ts)108 913 y(zu)j(zeigen.)e(Sei)i Fk(m)13 b Fq(+)g Fk(t)20 b Fq(=)g Fk(n)p Fq(.)f(Dann)i(folgt)f Fk(p)14 b Fq(+)g Fk(m)f Fq(+)g Fk(t)20 b Fq(=)g Fk(p)14 b Fq(+)f Fk(n)p Fq(,)20 b(also)108 971 y Fk(p)15 b Fq(+)f Fk(m)20 b Fj(\024)h Fk(p)15 b Fq(+)f Fk(n)p Fq(.)20 b(Sei)g(umgek)o (ehrt)e Fk(p)c Fq(+)g Fk(m)21 b Fj(\024)g Fk(p)14 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(.)20 b(W)l(enn)h Fk(m)g Fj(\024)f Fk(n)108 1029 y Fq(ist,)c(ist)h(nic)o(h)o(ts)f(zu)g(zeigen.)g(W)l(enn)g(jedo)q (c)o(h)h Fk(m)d Fj(\025)h Fk(n)i Fq(gilt,)f(dann)h(ist)g(nac)o(h)108 1087 y(dem)22 b(ersten)h(T)l(eil)f(der)h(Aussage)g Fk(p)17 b Fq(+)e Fk(m)26 b Fj(\025)f Fk(p)16 b Fq(+)g Fk(n)p Fq(,)23 b(zusammen)d(mit)108 1145 y(der)d(anderen)g(Ungleic)o(h)o(ung)f (erh)725 1147 y(\177)725 1145 y(alt)h(man)f Fk(p)d Fq(+)e Fk(m)k Fq(=)h Fk(p)c Fq(+)g Fk(n)p Fq(.)17 b(Nac)o(h)f(dem)108 1203 y(K)147 1205 y(\177)146 1203 y(urzungsgesetzt)h(ergibt)e(sic)o(h)h Fk(m)d Fq(=)h Fk(n)p Fq(.)108 1262 y(\(2\))19 b(Gelte)e Fk(m)f Fj(\024)h Fk(n)p Fq(.)h(Dann)h(folgt)f Fk(p)13 b Fj(\001)f Fk(n)17 b Fq(=)g Fk(p)c Fj(\001)f Fq(\()p Fk(m)g Fq(+)g Fk(t)p Fq(\))k(=)h Fk(p)c Fj(\001)f Fk(m)g Fq(+)g Fk(p)h Fj(\001)f Fk(t)p Fq(,)108 1320 y(also)17 b Fk(p)12 b Fj(\001)f Fk(m)i Fj(\024)h Fk(p)d Fj(\001)g Fk(n)p Fq(.)108 1378 y(\(3\))20 b(Es)g(ist)g(1)g Fj(\024)f Fq(1.)h(W)l(eiter)e(folgt)i(aus)h(1)f Fj(\024)f Fk(n)h Fq(und)g(1)14 b(+)f Fk(t)19 b Fq(=)h Fk(n)g Fq(sofort)108 1436 y(1)10 b(+)f Fk(t)g Fq(+)g(1)15 b(=)e Fk(n)d Fq(+)f(1,)16 b(also)f(1)g Fj(\024)e Fk(n)d Fq(+)f(1.)15 b(Ist)h(jedo)q(c)o(h)f(1)f Fj(\024)g Fk(n)h Fq(und)h(1)e(=)g Fk(n)p Fq(,)h(so)108 1494 y(folgt)i(1)11 b(+)g(1)j(=)g Fk(n)d Fq(+)g(1,)17 b(also)f(wieder)g(1)e Fj(\024)g Fk(n)d Fq(+)g(1.)108 1552 y(\(4\))21 b(Sei)g Fk(E)j Fq(=)e Fj(f)p Fk(n)g Fj(2)g Fl(N)p Fj(j)p Fk(n)d Fj(6)p Fq(=)j Fk(n)14 b Fq(+)g(1)p Fj(g)p Fq(.)21 b(1)h Fj(2)g Fk(E)i Fq(w)o(egen)c(\(P3\).)h(Sei)g Fk(n)g Fj(2)108 1610 y Fk(E)c Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(n)h Fj(6)p Fq(=)g Fk(n)7 b Fq(+)g(1)15 b(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))i Fj(6)p Fq(=)e Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)7 b Fq(+)g(1\))16 b(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(n)7 b Fq(+)g(1)15 b Fj(2)f Fk(E)j Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(E)k Fq(=)d Fl(N)p Fq(.)108 1668 y(\(5\))21 b(O\013en)o(bar)f(erf)452 1670 y(\177)451 1668 y(ullen)f Fk(m)h Fq(=)h Fk(n)f Fq(und)h Fk(m)f Fq(=)h Fk(n)14 b Fq(+)g(1)20 b(die)g(Bedingungen)108 1726 y Fk(n)14 b Fj(\024)g Fk(m)d Fq(und)h Fk(m)i Fj(\024)f Fk(n)r Fq(+)r(1.)f(Sei)f(jetzt)g Fk(m)j Fj(6)p Fq(=)f Fk(n)f Fq(und)g Fk(n)i Fj(\024)g Fk(m)d Fq(und)i Fk(m)g Fj(\024)h Fk(n)r Fq(+)r(1.)108 1785 y(Dann)h(ist)f Fk(m)f Fq(=)h Fk(n)7 b Fq(+)g Fk(t)13 b Fq(f)540 1787 y(\177)539 1785 y(ur)h(ein)f Fk(t)h Fj(2)g Fl(N)p Fq(,)d(also)k Fk(n)7 b Fq(+)g Fk(t)13 b Fj(\024)g Fk(n)7 b Fq(+)g(1.)13 b(W)l(egen)h(1)g Fj(\024)g Fk(t)108 1843 y Fq(gilt)i(auc)o(h)g Fk(n)10 b Fq(+)h(1)j Fj(\024)g Fk(n)c Fq(+)h Fk(t)k Fq(und)i(damit)d Fk(m)g Fq(=)f Fk(n)e Fq(+)g Fk(t)i Fq(=)h Fk(n)c Fq(+)h(1.)16 b(Also)g(sind)108 1901 y(die)g(b)q(eiden)g(angegeb)q(enen)h(Mengen)e (gleic)o(h.)108 1959 y(\(6\))22 b(Sei)f Fk(I)27 b Fj(\032)c Fl(N)p Fq(,)c Fk(I)26 b Fj(6)p Fq(=)d Fj(;)p Fq(.)e(Sei)g Fk(A)i Fq(:=)g Fj(f)p Fk(n)g Fj(2)g Fl(N)p Fj(j8)p Fk(i)c Fj(2)24 b Fk(I)t Fq([)p Fk(n)e Fj(\024)h Fk(i)p Fq(])p Fj(g)p Fq(.)d(Wir)108 2017 y(w)o(ollen)f(zeigen,)g(da\031)i Fk(A)13 b Fj(\\)g Fk(I)24 b Fj(6)p Fq(=)c Fj(;)p Fq(.)f(W)l(enn)h(n)949 2019 y(\177)949 2017 y(amlic)o(h)e(dann)i Fk(r)h Fj(2)g Fk(A)13 b Fj(\\)h Fk(I)t Fq(,)108 2075 y(dann)19 b(gilt)e Fj(8)p Fk(i)e Fj(2)i Fk(I)t Fq([)p Fk(r)g Fj(\024)f Fk(i)p Fq(],)h(d.h.)g Fk(r)h Fj(2)f Fk(I)22 b Fq(ist)17 b(das)i(kleinste)d (Elemen)o(t)g(v)o(on)108 2133 y Fk(I)t Fq(.)21 b(Wir)g(nehmen)e(jetzt)i (an,)g(da\031)h Fk(A)14 b Fj(\\)h Fk(I)26 b Fq(=)d Fj(;)p Fq(.)d(Nac)o(h)h(\(3\))h(ist)f(1)i Fj(2)f Fk(A)p Fq(.)108 2191 y(Sei)g Fk(n)k Fj(2)f Fk(A)e Fq(und)g(sei)f Fk(i)j Fj(2)g Fk(I)t Fq(.)d(W)l(egen)h Fk(A)15 b Fj(\\)h Fk(I)29 b Fq(=)c Fj(;)e Fq(ist)f Fk(n)31 b(=)-29 b Fj(2)25 b Fk(I)t Fq(,)d(also)p eop %%Page: 74 16 74 15 bop 108 120 a Fn(74)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fk(n)h Fj(6)p Fq(=)g Fk(i)p Fq(.)f(W)l(eiter)g(ist)h Fk(n)g Fj(\024)f Fk(i)p Fq(,)g(also)i(existiert)d(ein)i Fk(t)f Fj(2)h Fl(N)e Fq(mit)g Fk(n)c Fq(+)g Fk(t)19 b Fq(=)f Fk(i)p Fq(.)108 283 y(W)l(egen)j(1)g Fj(\024)g Fk(t)f Fq(ist)g Fk(n)14 b Fq(+)g(1)21 b Fj(\024)g Fk(n)14 b Fq(+)g Fk(t)21 b Fq(=)g Fk(i)p Fq(,)e(also)i(ist)g(auc)o(h)f Fk(n)14 b Fq(+)g(1)21 b Fj(2)g Fk(A)p Fq(.)108 341 y(Nac)o(h)f (Induktionsprinzip)g(ist)g(daher)h Fk(A)g Fq(=)g Fl(N)e Fq(und)h Fk(I)25 b Fj(\032)c Fl(N)e Fq(=)i Fk(A)p Fq(,)f(ein)108 399 y(Widerspruc)o(h)c(zu)g Fk(A)10 b Fj(\\)i Fk(I)17 b Fq(=)d Fj(;)p Fq(.)p 731 372 33 2 v 731 402 2 30 v 762 402 V 731 404 33 2 v 158 500 a Fi(Beweis.)20 b Fq(v)o(on)d(3.2)g (\(3\))g(ii\))f(Aus)h(1)12 b Fj(\001)g Fk(m)i Fq(=)h(1)d Fj(\001)f Fk(n)17 b Fq(folgt)g Fk(m)e Fq(=)g Fk(n)p Fq(.)i(W)l(enn)108 558 y(aus)22 b Fk(t)15 b Fj(\001)f Fk(m)23 b Fq(=)f Fk(t)15 b Fj(\001)f Fk(n)22 b Fq(die)e(Gleic)o(h)o(ung)h Fk(m)h Fq(=)h Fk(n)e Fq(folgt,)h(so)g(sc)o(hlie\031en)e(wir)108 616 y(wie)j(folgt.)h(Sei)f(\()p Fk(t)16 b Fq(+)g(1\))g Fj(\001)g Fk(m)27 b Fq(=)f(\()p Fk(t)16 b Fq(+)g(1\))h Fj(\001)f Fk(n)p Fq(.)23 b(W)l(enn)h Fk(m)i Fq(=)g Fk(n)p Fq(,)e(dann)108 675 y(sind)e(wir)f(sc)o(hon)h(fertig.)f(Sonst)i(gilt)e Fk(n)i Fj(\024)g Fk(m)f Fq(o)q(der)g Fk(m)h Fj(\024)g Fk(n)p Fq(.)e(Bis)g(auf)108 733 y(Um)o(b)q(enenn)o(ung)f(k)462 735 y(\177)462 733 y(onnen)h(wir)g Fk(n)i Fj(\024)f Fk(m)f Fq(mit)e Fk(n)c Fq(+)f Fk(s)23 b Fq(=)f Fk(m)f Fq(annehmen.)108 791 y(Dann)i(ist)e Fk(t)15 b Fj(\001)g Fk(n)g Fq(+)f Fk(n)h Fq(+)g(1)24 b(=)f(\()p Fk(t)14 b Fq(+)h(1\))g Fj(\001)g Fk(n)g Fq(+)g(1)23 b(=)h(\()p Fk(t)14 b Fq(+)h(1\))g Fj(\001)g Fk(m)f Fq(+)h(1)24 b(=)108 849 y(\()p Fk(t)13 b Fq(+)g(1\))g Fj(\001)g Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g Fk(s)p Fq(\))f(+)h(1)19 b(=)g Fk(t)12 b Fj(\001)h Fk(n)g Fq(+)g Fk(n)g Fq(+)g Fk(t)f Fj(\001)h Fk(s)g Fq(+)g(1,)19 b(nac)o(h)g(3.2)g (\(3\))g(i\))g(also)108 907 y(1)14 b(=)g Fk(t)8 b Fj(\001)g Fk(s)g Fq(+)g(1)16 b(im)d(Widerspruc)o(h)h(zu)h(\(P3\).)g(Also)g(k)m (ann)g Fk(n)8 b Fq(+)g Fk(s)15 b Fq(=)e Fk(m)i Fq(nic)o(h)o(t)108 965 y(ein)o(treten.)f(Es)j(gilt)f(daher)g Fk(n)e Fq(=)g Fk(m)p Fq(.)p 817 938 V 817 967 2 30 v 848 967 V 817 969 33 2 v 108 1066 a Fo(Bemerkung)j(3.6.)j Fq(Die)11 b(letzte)f(Aussage)i(des)g(Satzes)g(ist)f(ein)g(wic)o(h)o(tiges)108 1124 y(mathematisc)o(hes)f(Bew)o(eismi)o(ttel)o(,)f(das)14 b(man)d(auc)o(h)h(die)1130 1154 y(")1152 1124 y(Jagd)i(nac)o(h)e(dem) 108 1182 y(kleinsten)18 b(V)l(erbrec)o(her)m(\\)j(nenn)o(t.)d(W)l(enn)h (man)f(eine)h(Aussage)g Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))h(f)1422 1184 y(\177)1421 1182 y(ur)108 1240 y(alle)f Fk(n)h Fj(2)g Fl(N)e Fq(b)q(ew)o(eisen)h(will)g(und)h(eine)e(v)o(ollst)975 1242 y(\177)975 1240 y(andige)h(Induktion)h(k)o(om-)108 1298 y(pliziert)g(wird,)g(so)i(hilft)e(h)609 1300 y(\177)609 1298 y(au\014g)j(die)d(folgende)h(Argumen)o(tation.)e(Man)108 1356 y(nimm)o(t)13 b(an,)i(da\031)i(es)f(Elemen)o(te)c Fk(r)k Fj(2)e Fl(N)f Fq(gibt,)j(f)965 1358 y(\177)964 1356 y(ur)f(die)g(die)g(Aussage)i Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))108 1415 y(falsc)o(h)12 b(ist.)g(Dann)h(gibt)f(es)h(nac)o(h)f(T)l (eil)f(\(4\))i(des)f(Satzes)h(auc)o(h)f(ein)g(kleinstes)108 1473 y(solc)o(hes)19 b Fk(n)302 1480 y Ff(0)340 1473 y Fj(2)g Fl(N)p Fq(,)e(f)471 1475 y(\177)470 1473 y(ur)i(das)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)703 1480 y Ff(0)722 1473 y Fq(\))f(falsc)o(h)g (ist.)f(Das)i(Elemen)o(t)d Fk(n)1307 1480 y Ff(0)1346 1473 y Fq(nenn)o(t)108 1531 y(man)h(oft)g(auc)o(h)g(den)g(kleinsten)713 1561 y(")735 1531 y(V)l(erbrec)o(her)m(\\)s(.)e(Man)j(zeigt)e(dann,)i (da\031)108 1589 y(diese)c(Bedingung)g(zu)g(einem)e(Widerspruc)o(h)h(f) 975 1591 y(\177)974 1589 y(uhrt.)h(Es)g(gibt)g(also)h(k)o(eine)108 1647 y(Elemen)o(te)e Fk(n)i Fj(2)f Fl(N)p Fq(,)g(f)492 1649 y(\177)491 1647 y(ur)i(die)f(die)h(Aussage)g(falsc)o(h)g(ist.)f (Sie)g(ist)h(daher)h(f)1422 1649 y(\177)1421 1647 y(ur)108 1705 y(alle)e Fk(n)e Fj(2)g Fl(N)g Fq(ric)o(h)o(tig.)108 1843 y(Der)21 b(Begri\013)f(der)g(W)l(ohlordn)o(ung)i(hat)f(eine)e(w)o (eitere)g(ungemein)g(wic)o(h-)108 1901 y(tige)k(Bedeutung)g(in)f(der)h (Mengenlehre.)e(Es)j(gibt)f(n)1133 1903 y(\177)1133 1901 y(amlic)o(h)e(ein)h(w)o(ei-)108 1959 y(teres)f(Axiom)d(der)j (Mengenlehre)772 1961 y(\177)770 1959 y(ub)q(er)g(die)f(W)l(ohlordn)o (ung.)i(F)1324 1961 y(\177)1323 1959 y(ur)e(vie-)108 2017 y(le)i(An)o(w)o(endungen)h(sind)g(die)f(dazu)807 2019 y(\177)807 2017 y(aquiv)m(alen)o(ten)g(\(und)h(damit)f(auc)o(h)108 2075 y(als)j(Axiome)d(der)i(Mengenlehre)f(v)o(erw)o(endbaren\))g (Aussagen)i(eb)q(enso)108 2133 y(wic)o(h)o(tig.)17 b(Wir)g(k)418 2135 y(\177)418 2133 y(onnen)i(sie)e(hier)g(n)o(ur)h(f)841 2135 y(\177)840 2133 y(ur)g(sp)950 2135 y(\177)950 2133 y(atere)h(An)o(w)o(endungen)e(for-)108 2191 y(m)o(ulieren,)c(ab)q(er)k (ihre)534 2181 y(\177)528 2191 y(Aquiv)m(alenz)e(nic)o(h)o(t)g(b)q(ew)o (eisen.)p eop %%Page: 75 17 75 16 bop 199 120 a Fn(3.)18 b(DIE)f(STR)o(UKTUREN)h(A)o(UF)h(DEN)f(NA) m(T)967 112 y(\177)962 120 y(URLICHEN)g(ZAHLEN)50 b(75)108 225 y Fo(Axiom)17 b(7.)j Fq(Jede)11 b(Menge)g(k)m(ann)g(w)o (ohlgeordnet)g(w)o(erden,)f(d.h.)h(auf)g(jeder)108 283 y(Menge)16 b(gibt)g(es)g(eine)g(W)l(ohlordn)o(ung.)108 382 y Fo(Satz)j(3.7.)h Fm(Unter)28 b(den)592 384 y(\177)592 382 y(ubrigen)h(Axiomen)f(der)f(Mengenlehr)n(e)i(sind)108 442 y(\177)108 440 y(aquivalent:)174 513 y Fq(\(1\))21 b Fm(\(Wohlor)n(dnungsaxiom\))34 b(Je)n(de)g(Menge)h(kann)h(wohlge)n (or)n(dnet)257 571 y(wer)n(den.)174 629 y Fq(\(2\))21 b Fm(\(Zornsches)j(L)n(emma\))f(Besitzt)i(in)f(einer)h(ge)n(or)n (dneten)g(Menge)257 687 y Fk(A)17 b Fm(je)n(de)g(total)h(ge)n(or)n (dnete)g(T)l(eilmenge)h(eine)g(ob)n(er)n(e)e(Schr)n(anke,)h(so)257 746 y(b)n(esitzt)g Fk(A)f Fm(ein)h(maximales)g(Element.)174 804 y Fq(\(3\))j Fm(\(A)o(uswahlaxiom\))d(Zu)h(je)n(der)e(Menge)j Fk(M)g Fj(6)p Fq(=)15 b Fj(;)j Fm(gibt)h(es)f(eine)i(A)o(b-)257 862 y(bildung)f Fk(f)g Fq(:)13 b Fj(P)t Fq(\()p Fk(M)5 b Fq(\))14 b Fj(\000)-8 b(!)13 b Fk(M)23 b Fm(mit)18 b(der)f(Eigenschaft)550 960 y Fj(8)p Fk(U)h Fj(2)c(P)t Fq(\()p Fk(M)5 b Fq(\))11 b Fj(n)g(f;g)p Fq([)p Fk(f)5 b Fq(\()p Fk(U)g Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(U)5 b Fq(])p Fk(:)257 1089 y Fm(")283 1059 y(Es)17 b(gibt)h(eine)g(A)o(bbildung)h Fk(f)5 b Fm(,)17 b(die)g(aus)g(je)n(der)g(nichtle)n(er)n(en)h(T)l(eil-) 257 1117 y(menge)27 b Fk(U)j Fm(von)d Fk(M)j Fm(eines)d(ihr)n(er)d (Elemente,)k(n)1181 1119 y(\177)1181 1117 y(amlich)e Fk(f)5 b Fq(\()p Fk(U)g Fq(\))p Fm(,)257 1175 y(ausw)360 1177 y(\177)360 1175 y(ahlt.)m(\\)108 1342 y Fq(Bev)o(or)17 b(wir)h(w)o(eitere)f(Eigensc)o(haften)h(der)g(nat)974 1344 y(\177)973 1342 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(studie-)108 1400 y(ren,)c(w)o(ollen)g(wir)h(einige)f(Beispiele)e(f)790 1402 y(\177)789 1400 y(ur)j(Mengen)g(der)f(nat)1185 1402 y(\177)1184 1400 y(urlic)o(hen)g(Zah-)108 1458 y(len)i(anf)254 1460 y(\177)253 1458 y(uhren)g(und)h(erinnern)e(dazu)i(no)q(c)o(hmals)e (an)i(den)f(Satz)g(2.3.)108 1557 y Fo(Beispiele)g(3.8.)86 b Fq(\(1\))21 b(Ein)34 b(durc)o(h)f(Axiom)f(6)i(gegeb)q(enes)g(T)l(rip) q(el)257 1615 y(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\))14 b(ist)i(eine)g(Menge)f(der)h(nat)917 1617 y(\177)916 1615 y(urlic)o(hen)g(Zahlen.)174 1673 y(\(2\))21 b(Sei)13 b Fk(n)362 1680 y Ff(0)395 1673 y Fj(2)i Fl(N)c Fq(eine)i(nat)655 1675 y(\177)654 1673 y(urlic)o(he)f(Zahl.)i(Dann)g(ist)g(die)f(Menge)g Fk(N)19 b Fq(:=)257 1731 y Fj(f)p Fk(n)14 b Fj(2)g Fl(N)p Fj(j)p Fk(n)447 1738 y Ff(0)478 1731 y Fj(\024)g Fk(n)p Fj(g)e Fq(zusammen)e(mit)g Fk(n)946 1738 y Ff(0)978 1731 y Fq(und)i(der)g(Einsc)o(hr)1311 1733 y(\177)1311 1731 y(ankung)257 1789 y Fk(\026)p Fj(j)300 1796 y Fe(N)349 1789 y Fq(v)o(on)k Fk(\026)g Fq(als)f Fk(\026)p Fj(j)601 1796 y Fe(N)649 1789 y Fq(:)e Fk(N)20 b Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(N)21 b Fq(eine)14 b(Menge)h(der)h(nat)1298 1791 y(\177)1297 1789 y(urlic)o(hen)257 1847 y(Zahlen.)174 1906 y(\(3\))21 b Fl(N)289 1913 y Ff(0)320 1906 y Fq(:=)14 b Fl(N)9 b Fj([)i(f)p Fq(0)p Fj(g)16 b Fq(zusammen)e(mit)h(0)h(und)h Fk(\026)1057 1887 y Fa(0)1085 1906 y Fq(mit)537 2050 y Fk(\026)566 2029 y Fa(0)578 2050 y Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d(=)710 1963 y Fg(8)710 2000 y(<)710 2075 y(:)747 2016 y Fk(\026)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))p Fk(;)114 b Fq(f)987 2018 y(\177)986 2016 y(ur)16 b Fk(n)e Fj(2)g Fl(N)p Fk(;)747 2086 y Fq(1)p Fk(;)186 b Fq(f)987 2088 y(\177)986 2086 y(ur)16 b Fk(n)e Fq(=)g(0)p Fk(;)257 2191 y Fq(ist)i(eine)f(Menge)h(der)g(nat)736 2193 y(\177)735 2191 y(urlic)o(hen)f(Zahlen.)p eop %%Page: 76 18 76 17 bop 108 120 a Fn(76)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)174 225 y Fq(\(4\))j Fl(N)289 232 y Ff(0)316 225 y Fj(\002)9 b Fl(N)396 232 y Ff(0)429 225 y Fq(zusammen)k(mit)h(\(0)p Fk(;)8 b Fq(0\))16 b(und)f Fk(\027)i Fq(:)d Fl(N)1077 232 y Ff(0)1104 225 y Fj(\002)9 b Fl(N)1184 232 y Ff(0)1216 225 y Fj(\000)-9 b(!)14 b Fl(N)1342 232 y Ff(0)1369 225 y Fj(\002)9 b Fl(N)1449 232 y Ff(0)257 283 y Fq(mit)390 406 y Fk(\027)s Fq(\()p Fk(m;)f(n)p Fq(\))14 b(:=)628 319 y Fg(8)628 357 y(<)628 431 y(:)665 373 y Fq(\()p Fk(m)d Fq(+)g(1)p Fk(;)d(n)j Fj(\000)g Fq(1\))p Fk(;)114 b Fq(falls)16 b Fk(n)d(>)h Fq(0)p Fk(;)665 443 y Fq(\(0)p Fk(;)8 b(m)j Fq(+)g(1\))p Fk(;)204 b Fq(falls)16 b Fk(n)d Fq(=)h(0)p Fk(;)257 539 y Fq(ist)i(eine)f(Menge)h(der)g(nat)736 541 y(\177)735 539 y(urlic)o(hen)f(Zahlen.)108 684 y(Das)27 b(letzte)e(Beispiel)f(ist)i(et)o(w)o(as)g(k)o(omplizierter)d(und)j (zeigt,)f(da\031)j(es)108 742 y(h)135 744 y(\177)135 742 y(au\014g)c(nic)o(h)o(t)d(sofort)j(ersic)o(h)o(tlic)o(h)19 b(ist,)j(ob)h(man)f(ein)g(Mo)q(dell)g(f)1315 744 y(\177)1314 742 y(ur)h(eine)108 800 y(Menge)17 b(der)g(nat)421 802 y(\177)420 800 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)g(v)o(or)g(sic)o(h)f(hat.)i(Dab)q (ei)g(gibt)f(es)g(einen)108 858 y(einfac)o(hen)g(T)l(ric)o(k,)g(neue)h (Mo)q(delle)f(zu)h(k)o(onstruieren.)f(Dazu)i(gehen)f(wir)108 916 y(no)q(c)o(h)c(einmal)d(auf)17 b(2.3)c(zur)603 918 y(\177)602 916 y(uc)o(k.)f(W)l(enn)h(man)f(zw)o(ei)g(Mengen)h(der)g (nat)1378 918 y(\177)1377 916 y(urli-)108 975 y(c)o(hen)h(Zahlen)h(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)p Fq(\))14 b(und)h(\()p Fk(A;)8 b(a;)g(\027)s Fq(\))14 b(hat,)h(dann)h(gibt)f(es)g(eine)f (bijekti-)108 1033 y(v)o(e)i(Abbildung)g Fk(\013)e Fq(:)g Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(A)p Fq(,)h(die)h(die)g(gegeb)q(enen)g (Strukturen)g(erh)1396 1035 y(\177)1396 1033 y(alt.)108 1091 y(Hat)21 b(man)e(n)o(un)h(n)o(ur)h(eine)e(Menge)h Fk(A)g Fq(und)h(eine)e(bijektiv)o(e)f(Abbildung)108 1149 y Fk(\013)d Fq(:)g Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)15 b Fk(A)p Fq(,)h(so)h(k)m(ann)g(man)f(auf)i Fk(A)e Fq(eine)g(Struktur)g(einer)g (Menge)h(v)o(on)108 1207 y(nat)179 1209 y(\177)178 1207 y(urlic)o(hen)c(Zahlen)h(imm)o(er)d(einf)748 1209 y(\177)747 1207 y(uhren.)i(Man)h(de\014niert)f(die)1272 1237 y(")1294 1207 y(Eins)m(\\)18 b(in)108 1265 y Fk(A)h Fq(durc)o(h)g Fk(\013)p Fq(\(1\))h(und)g(die)e(Nac)o(hfolgerabbildung)h Fk(\027)k Fq(:)18 b Fk(A)h Fj(\000)-9 b(!)19 b Fk(A)g Fq(durc)o(h)108 1323 y Fk(\027)e Fq(:=)d Fk(\013\026\013)306 1305 y Fa(\000)p Ff(1)354 1323 y Fq(.)d(Dann)i(k)m(ann)g(man)e(leic)o (h)o(t)e(nac)o(hpr)996 1325 y(\177)995 1323 y(ufen,)j(da\031)h(\()p Fk(A;)8 b(a;)g(\027)s Fq(\))j(eine)108 1381 y(Menge)16 b(der)f(nat)418 1383 y(\177)417 1381 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)g(ist.)h (So)g(ist)g(auc)o(h)f(unser)h(Beispiel)e(\(4\))108 1440 y(en)o(tstanden.)20 b(Der)h(Leser)g(mag)f(v)o(ersuc)o(hen,)f(die)h (bijektiv)o(e)e(Abbildung)108 1498 y Fk(\013)c Fq(:)g Fl(N)e Fj(\000)-9 b(!)14 b Fl(N)351 1505 y Ff(0)379 1498 y Fj(\002)d Fl(N)461 1505 y Ff(0)495 1498 y Fq(zu)16 b(\014nden.)108 1610 y(Man)i(nenn)o(t)f(eine)f(Menge)h Fk(A)h Fm(abz)740 1612 y(\177)740 1610 y(ahlb)n(ar)g(unend)r(lich)p Fq(,)i(w)o(enn)d(es)g(eine)g(bi-)108 1668 y(jektiv)o(e)g(Abbildung)i Fk(\013)g Fq(:)f Fl(N)f Fj(\000)-9 b(!)18 b Fk(A)h Fq(gibt.)g(Die)f (Abbildung)h(wird)g(dann)108 1726 y(auc)o(h)k(eine)e Fm(A)o(bz)413 1728 y(\177)413 1726 y(ahlung)j Fq(v)o(on)e Fk(A)g Fq(genann)o(t.)g(O\013en)o(bar)h(k)m(ann)g(man)e(jede)108 1785 y(abz)181 1787 y(\177)181 1785 y(ahlbar)f(unendlic)o(he)d(Menge)h (mit)f(der)h(Struktur)h(einer)f(Menge)g(der)108 1843 y(nat)179 1845 y(\177)178 1843 y(urlic)o(hen)12 b(Zahlen)h(v)o (ersehen.)e(Abz)812 1845 y(\177)812 1843 y(ahlbar)i(unendlic)o(he)f (Mengen)h(sind)108 1901 y Fl(Z)-13 b Fq(,)16 b Fl(Z)m Fj(\002)d Fl(Z)-14 b Fq(,)16 b Fl(Q)p Fq(,)g Fl(Q)11 b Fj(\002)i Fl(Q)8 b Fj(\002)j Fl(Q)m Fq(,)19 b Fl(Q)678 1883 y Fe(n)718 1901 y Fq(und)h(viele)e(andere)h(mehr.)e(Die)i(jew)o (eils)108 1959 y(induzierte)c(Struktur)h(einer)f(Menge)g(der)h(nat)964 1961 y(\177)963 1959 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)g(auf)i(den)108 2017 y(genann)o(ten)j(Mengen)f(h)559 2019 y(\177)559 2017 y(angt)i(selbstv)o(erst)898 2019 y(\177)898 2017 y(andlic)o(h)d(v)o(on)h(der)g(gew)1333 2019 y(\177)1333 2017 y(ahlten)108 2075 y(Abz)194 2077 y(\177)194 2075 y(ahlung)h(ab.)g(Selbst)g(auf)h Fl(N)d Fq(mit)g(1)j Fj(2)f Fl(N)e Fq(k)m(ann)j(man)e(v)o(ersc)o(hiedene)108 2133 y(Nac)o(hfolgerfunktionen)d Fk(\026)608 2140 y Fe(i)637 2133 y Fq(:)e Fl(N)e Fj(\000)-8 b(!)14 b Fl(N)h Fq(angeb)q(en,)i(mit)e (denen)h(\()p Fl(N)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fk(;)g(\026)1435 2140 y Fe(i)1448 2133 y Fq(\))108 2191 y(eine)22 b(Menge)h(der)g(nat) 540 2193 y(\177)539 2191 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(wird.)g(Man)g(k)m (ann)h(also)g(sehr)p eop %%Page: 77 19 77 18 bop 199 120 a Fn(3.)18 b(DIE)f(STR)o(UKTUREN)h(A)o(UF)h(DEN)f(NA) m(T)967 112 y(\177)962 120 y(URLICHEN)g(ZAHLEN)50 b(77)108 225 y Fq(exotisc)o(he)21 b(Beispiele)f(f)548 227 y(\177)547 225 y(ur)j(Mengen)f(der)g(nat)966 227 y(\177)965 225 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(\014nden.)108 283 y(Beispiele)15 b(f)328 285 y(\177)327 283 y(ur)j(unendlic)o(he)e(Mengen,)g(die)h(nic)o (h)o(t)f(abz)1108 285 y(\177)1108 283 y(ahlbar)i(sind,)g(sind)108 341 y Fl(R)m Fq(,)h Fl(C)31 b Fq(und)23 b(Abb\()p Fl(R)m Fk(;)7 b Fl(R)-6 b Fq(\))22 b(=)i Fl(R)17 b Fq(,)22 b(die)f(Menge)h (der)g(reellen)e(F)l(unktionen.)108 399 y(Diese)249 389 y(\177)242 399 y(Ub)q(erlegungen)h(f)572 401 y(\177)571 399 y(uhren)g(jetzt)f(ab)q(er)h(sc)o(hon)g(in)f(das)i(Gebiet)e(der)108 458 y(Kardinalzahlen,)15 b(die)h(wir)g(nic)o(h)o(t)f(w)o(eiter)g(b)q (etrac)o(h)o(ten)h(w)o(ollen.)108 568 y(Eine)k(der)g(wic)o(h)o(tigen)f (Rec)o(henregeln)f(in)i(den)g(nat)1062 570 y(\177)1061 568 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(ist)108 626 y(die)12 b(Division)g(mit)f (Rest,)h(die)g(in)g(der)h(Zahlen)o(theorie)e(eine)h(grundlegende)108 684 y(Bedeutung)h(hat.)f(Wir)h(b)q(ew)o(eisen)f(sie)g(hier)g(v)o(or)g (allem,)e(um)i(in)g(der)g(F)l(olge-)108 742 y(rung)g(eine)e(Aussage)497 744 y(\177)496 742 y(ub)q(er)h(die)g(Darstellung)g(des)g(gr)1056 744 y(\177)1056 742 y(o\031ten)h(gemeinsamen)108 800 y(T)l(eilers)g(zw)o(eier)g(Zahlen)g(zu)h(erhalten.)f(Der)h(dort)g (angegeb)q(ene)h(Algorith-)108 859 y(m)o(us)21 b(ist)i(Grundlage)g (vieler)d(zahlen)o(theoretisc)o(her)h(Programmpak)o(ete)108 917 y(auf)c(Computern.)108 1027 y(Wir)c(geb)q(en)h(die)f(Division)g (mit)f(Rest)h(gleic)o(h)f(f)951 1029 y(\177)950 1027 y(ur)i(die)f(Menge)g(der)g(ganzen)108 1085 y(Zahlen)19 b(an,)g(w)o(eil)f(sie)h(in)f(dieser)h(Menge)f(ihre)h(v)o(olle)e(N)1145 1087 y(\177)1144 1085 y(utzlic)o(hk)o(eit)f(en)o(t-)108 1143 y(wic)o(k)o(elt.)d(Man)k(k)m(ann)f(auc)o(h)g(leic)o(h)o(t)e(die)h (Division)h(mit)e(Rest)i(f)1246 1145 y(\177)1245 1143 y(ur)g(nat)1378 1145 y(\177)1377 1143 y(urli-)108 1201 y(c)o(he)11 b(Zahlen)h(form)o(ulieren)d(und)j(b)q(ew)o(eisen.)e(Wie)h (man)g(formal)g(die)g(Menge)108 1260 y(der)19 b(ganzen)h(Zahlen)f Fl(Z)r Fq(einf)649 1262 y(\177)648 1260 y(uhrt,)g(w)o(erden)f(wir)h (erst)g(im)e(5.)j(Absc)o(hnitt)108 1318 y(dieses)c(Kapitels)g (diskutieren.)108 1406 y Fo(Satz)j(3.9.)h Fm(\(Division)e(mit)f(R)n (est\))g(Es)g(gilt)232 1493 y Fj(8)p Fk(x)12 b Fj(2)i Fl(Z)-13 b Fk(;)8 b(n)j Fj(2)j Fl(N)p Fj(9)p Fk(q)f Fj(2)h Fl(Z)-13 b Fk(;)7 b(r)13 b Fj(2)h Fl(N)796 1500 y Ff(0)813 1493 y Fq([)p Fk(x)f Fq(=)h Fk(q)r(n)d Fq(+)g Fk(r)h Fj(^)f Fk(r)16 b Fj(\024)d Fk(n)e Fj(\000)g Fq(1])p Fk(;)108 1580 y Fm(und)18 b(in)g(dieser)g(Darstel)r(lung)i(sind)e Fk(q)h Fm(und)f Fk(r)h Fm(dur)n(ch)e Fk(x)h Fm(und)g Fk(n)g Fm(eindeutig)108 1638 y(b)n(estimmt.)158 1726 y Fi(Beweis.)i Fq(Sei)f Fk(M)24 b Fq(:=)18 b Fj(f)p Fk(x)12 b Fj(\000)h Fk(pn)p Fj(j)p Fk(p)20 b Fj(2)e Fl(Z)m Fj(^)13 b Fq(0)19 b Fj(\024)g Fk(x)12 b Fj(\000)h Fk(pn)p Fj(g)p Fq(.)19 b(Dann)h(gilt)108 1785 y Fk(M)i Fj(\032)17 b Fl(N)265 1792 y Ff(0)300 1785 y Fq(und)h Fk(M)k Fj(6)p Fq(=)17 b Fj(;)p Fq(.)g(Denn)h(f)726 1787 y(\177)725 1785 y(ur)g Fk(x)e Fj(\025)h Fq(0)h(ist)g Fk(x)e Fj(2)h Fk(M)23 b Fq(und)18 b(f)1280 1787 y(\177)1279 1785 y(ur)g Fk(x)f(<)f Fq(0)108 1843 y(ist)h Fk(x)11 b Fj(\000)g Fk(xn)j Fq(=)g Fk(x)p Fq(\(1)e Fj(\000)f Fk(n)p Fq(\))j(=)h(\()p Fj(\000)p Fk(x)p Fq(\)\()p Fk(n)c Fj(\000)g Fq(1\))j Fj(\025)h Fq(0,)h(also)h Fk(x)11 b Fj(\000)g Fk(xn)k Fj(2)f Fk(M)5 b Fq(.)17 b(Da)108 1901 y Fl(N)h Fq(und)h(damit)f(auc)o (h)i Fl(N)553 1908 y Ff(0)590 1901 y Fq(w)o(ohlgeordnet)f(sind,)g (existiert)f(ein)h(kleinstes)108 1959 y(Elemen)o(t)d Fk(r)i Fj(2)e Fk(M)24 b Fq(mit)16 b Fk(x)c Fj(\000)g Fk(q)r(n)k Fq(=)g Fk(r)k Fq(o)q(der)e Fk(x)e Fq(=)h Fk(q)r(n)12 b Fq(+)g Fk(r)q Fq(.)18 b(W)l(enn)f Fk(r)h Fj(\025)f Fk(n)p Fq(,)108 2017 y(dann)g(ist)f Fk(r)d Fj(\000)d Fk(n)k Fj(\025)g Fq(0)j(und)f Fk(x)11 b Fj(\000)g Fk(q)r(n)f Fj(\000)h Fk(n)j Fq(=)g Fk(x)d Fj(\000)f Fq(\()p Fk(q)j Fq(+)e(1\))p Fk(n)j Fq(=)g Fk(r)e Fj(\000)f Fk(n)p Fq(,)16 b(also)108 2075 y Fk(r)d Fj(\000)f Fk(n)k Fj(2)g Fk(M)22 b Fq(im)16 b(Widerspruc)o(h)h(dazu,)g(da\031)h Fk(r)h Fq(minim)o(al)14 b(in)j Fk(M)23 b Fq(gew)1382 2077 y(\177)1382 2075 y(ahlt)108 2133 y(ist.)16 b(Damit)f(ist)h Fk(r)f Fj(\024)f Fk(n)d Fj(\000)g Fq(1.)17 b(Um)d(n)o(un)i(die)g(Eindeutigk)o (eit)f(v)o(on)h Fk(q)i Fq(und)e Fk(r)108 2191 y Fq(zu)e(zeigen,)f (gelte)g(auc)o(h)h Fk(x)f Fq(=)h Fk(q)r(n)6 b Fq(+)g Fk(r)16 b Fq(=)d Fk(q)865 2173 y Fa(0)876 2191 y Fk(n)6 b Fq(+)g Fk(r)978 2173 y Fa(0)1005 2191 y Fq(mit)13 b Fk(r)1116 2173 y Fa(0)1141 2191 y Fj(\024)h Fk(n)6 b Fj(\000)g Fq(1)p Fk(;)i(r)1343 2173 y Fa(0)1370 2191 y Fj(2)14 b Fl(N)1449 2198 y Ff(0)p eop %%Page: 78 20 78 19 bop 108 120 a Fn(78)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(und)f Fk(q)230 207 y Fa(0)256 225 y Fj(2)f Fl(Z)-14 b Fq(.)14 b(Ohne)i(Einsc)o(hr)653 227 y(\177)653 225 y(ankung)i(der)e (Allgemeinhei)o(t)e(k)m(ann)k Fk(r)e Fj(\024)f Fk(r)1455 207 y Fa(0)108 283 y Fq(angenommen)d(w)o(erden.)h(Dann)i(ist)f(0)g Fj(\024)g Fk(r)889 265 y Fa(0)907 283 y Fj(\000)7 b Fk(r)15 b Fq(=)f Fk(q)r(n)7 b Fj(\000)g Fk(q)1172 265 y Fa(0)1181 283 y Fk(n)14 b Fq(=)g(\()p Fk(q)8 b Fj(\000)f Fk(q)1395 265 y Fa(0)1405 283 y Fq(\))p Fk(n)p Fq(.)108 341 y(Damit)k(ist)g(auc)o (h)h Fk(q)s Fj(\000)r Fk(q)519 323 y Fa(0)543 341 y Fj(\025)h Fq(0.)f(W)695 343 y(\177)695 341 y(are)g(n)o(un)f Fk(q)s Fj(\000)r Fk(q)953 323 y Fa(0)977 341 y Fj(\025)j Fq(1,)d(so)i(w)1170 343 y(\177)1170 341 y(are)f(\()p Fk(q)s Fj(\000)r Fk(q)1356 323 y Fa(0)1366 341 y Fq(\))p Fk(n)i Fj(\025)108 399 y Fk(n)f Fq(im)e(Widerspruc)o(h)h(zu)g(\()p Fk(q)6 b Fj(\000)t Fk(q)676 381 y Fa(0)686 399 y Fq(\))p Fk(n)14 b Fq(=)g Fk(r)823 381 y Fa(0)839 399 y Fj(\000)t Fk(r)g Fj(\024)g Fk(n)t Fj(\000)t Fq(1.)e(Daher)h(m)o(u\031)e Fk(q)16 b Fq(=)d Fk(q)1455 381 y Fa(0)108 458 y Fq(und)k(dann)g(auc)o (h)f Fk(r)f Fq(=)f Fk(x)d Fj(\000)f Fk(q)r(n)k Fq(=)g Fk(x)c Fj(\000)h Fk(q)851 439 y Fa(0)862 458 y Fk(n)j Fq(=)g Fk(r)980 439 y Fa(0)1008 458 y Fq(gelten.)p 1198 430 33 2 v 1198 460 2 30 v 1229 460 V 1198 462 33 2 v 108 564 a Fo(F)-5 b(olgerung)20 b(3.10.)g Fm(Seien)i Fk(m;)8 b(n)20 b Fj(2)g Fl(Z)5 b Fm(nicht)21 b(b)n(eide)h Fq(0)p Fm(,)f(und)g(sei)g Fk(t)f Fj(2)h Fl(N)108 622 y Fm(gr)151 624 y(\177)151 622 y(o\031ter)d(gemeinsamer)g(T)l(eiler)g (von)g Fk(m)f Fm(und)h Fk(n)p Fm(.)f(Dann)h(gibt)g(es)g Fk(a;)8 b(b)13 b Fj(2)h Fl(Z)108 680 y Fm(mit)k Fk(am)10 b Fq(+)h Fk(bn)j Fq(=)f Fk(t:)158 797 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Sei)e Fk(t)g Fq(kleinstes)g(Elemen)o(t)e(in)i(der)h(Menge)f Fk(M)23 b Fq(:=)18 b Fj(f)p Fk(am)12 b Fq(+)108 856 y Fk(bn)p Fj(j)p Fk(a;)c(b)20 b Fj(2)h Fl(Z)m Fj(^)14 b Fk(am)f Fq(+)h Fk(bn)21 b(>)f Fq(0)p Fj(g)p Fq(.)g(Da)h(die)f(Menge)g (o\013en)o(bar)h(nic)o(h)o(t)e(leer)108 914 y(ist)k(und)g(in)g Fl(N)e Fq(liegt,)g(existiert)h Fk(t)p Fq(,)g(und)h(es)g(ist)g Fk(t)i Fq(=)g Fk(a)1157 921 y Ff(0)1176 914 y Fk(m)15 b Fq(+)h Fk(b)1309 921 y Ff(0)1328 914 y Fk(n:)23 b Fq(Die)108 972 y(Division)f(mit)f(Rest)i(ergibt)f Fk(m)i Fq(=)h Fk(q)r(t)14 b Fq(+)i Fk(r)24 b Fq(mit)d(0)k Fj(\024)f Fk(r)i(<)f(t)p Fq(.)d(W)l(egen)108 1030 y Fk(r)17 b Fq(=)e Fk(m)c Fj(\000)g Fk(q)r(t)j Fq(=)h Fk(m)c Fj(\000)g Fk(q)r(a)567 1037 y Ff(0)586 1030 y Fk(m)g Fj(\000)h Fk(q)r(b)736 1037 y Ff(0)755 1030 y Fk(n)j Fq(=)g(\(1)c Fj(\000)h Fk(q)r(a)1007 1037 y Ff(0)1026 1030 y Fq(\))p Fk(m)f Fj(\000)g Fk(q)r(b)1194 1037 y Ff(0)1213 1030 y Fk(n)17 b Fq(ist)g Fk(r)f Fj(2)f Fk(M)108 1088 y Fq(o)q(der)k Fk(r)f Fq(=)e(0.)i(W)l(eil)f Fk(t)g Fq(in)h Fk(M)23 b Fq(minim)o(al)15 b(ist)j(und)g Fk(r)g(<)f(t)g Fq(gilt,)g(m)o(u\031)g Fk(r)h Fq(=)e(0)108 1146 y(gelten.)21 b(Also)i(ist)f Fk(m)h Fq(=)i Fk(q)r(t)p Fq(.)c(Eb)q(enso)i(erh)912 1148 y(\177)912 1146 y(alt)f(man)f Fk(n)k Fq(=)f Fk(pt)p Fq(.)e(Also)g(ist) 108 1204 y Fk(t)e Fq(ein)g(gemeinsamer)d(T)l(eiler)i(v)o(on)h Fk(m)g Fq(und)h Fk(n)p Fq(.)f(Ist)g Fk(d)h Fj(2)g Fl(N)e Fq(ein)g(w)o(eiterer)108 1262 y(gemeinsamer)d(T)l(eiler)h(v)o(on)i Fk(m)g Fq(und)g Fk(n)p Fq(,)f(so)i(gilt)e Fk(xd)g Fq(=)g Fk(m)h Fq(und)g Fk(y)r(d)f Fq(=)g Fk(n)p Fq(,)108 1320 y(also)g Fk(t)d Fq(=)h Fk(a)320 1327 y Ff(0)339 1320 y Fk(xd)c Fq(+)g Fk(b)475 1327 y Ff(0)494 1320 y Fk(y)r(d)k Fq(=)f(\()p Fk(a)659 1327 y Ff(0)679 1320 y Fk(x)c Fq(+)h Fk(b)789 1327 y Ff(0)808 1320 y Fk(y)r Fq(\))p Fk(d)p Fq(.)17 b(Damit)f(ist)h Fk(d)h Fq(ein)f(T)l(eiler)f(v)o(on)108 1379 y Fk(t)g Fq(und)h Fk(t)f Fq(gr)317 1381 y(\177)317 1379 y(o\031ter)h(gemeinsamer)c(T)l(eiler)i(v)o(on)h Fk(m)g Fq(und)g Fk(n:)p 1209 1352 V 1209 1381 2 30 v 1240 1381 V 1209 1383 33 2 v 108 1485 a Fo(Bemerkung)h(3.11.)j Fq(Einen)f(Algorithm)o(us)e(zur)i(Bestimm)n(ung)d(v)o(on)j Fk(t)p Fq(,)108 1543 y Fk(a)134 1550 y Ff(0)170 1543 y Fq(und)d Fk(b)288 1550 y Ff(0)324 1543 y Fq(aus)h Fk(m)f Fq(und)h Fk(n)d Fj(6)p Fq(=)f(0)k(erh)771 1545 y(\177)771 1543 y(alt)f(man)f(so:)108 1601 y(1.)d(Sc)o(hritt:)f(man)g(f)449 1603 y(\177)448 1601 y(uhre)h(eine)f(Division)h(mit)e(Rest)i(aus:)g Fk(m)h Fq(=)h Fk(q)t Fj(\001)s Fk(n)s Fq(+)s Fk(r)e Fq(und)108 1659 y(0)21 b Fj(\024)f Fk(r)i(<)f(n:)f Fq(Das)h(k)m(ann)f(man)g(z.B.)e (mit)h(den)h(in)g(Computersprac)o(hen)108 1717 y(v)o(orhandenen)j(Op)q (erationen)h Fk(q)j Fq(=)f(div)o(\()p Fk(m;)8 b(n)p Fq(\))23 b(und)h Fk(r)j Fq(=)e(mo)q(d\()p Fk(m;)8 b(n)p Fq(\))108 1775 y(durc)o(hf)245 1777 y(\177)244 1775 y(uhren.)108 1833 y(2.)16 b(Sc)o(hritt:)f(man)g(iteriere)f(den)h(1.)h(Sc)o(hritt,)f (indem)f(man)h Fk(m)g Fq(durc)o(h)h Fk(n)p Fq(,)f Fk(n)108 1891 y Fq(durc)o(h)h Fk(r)i Fq(ersetzt,)d(bis)h Fk(r)f Fq(=)f(0)i(ein)o(tritt.)186 1994 y Fk(m)229 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1527 y Fq(:=)f Fk(n;)42 b(n)421 1534 y Fa(\000)p Ff(1)482 1527 y Fq(:=)13 b Fk(m;)41 b(m)688 1534 y Fa(\000)p Ff(1)748 1527 y Fq(=)14 b(0)e Fj(\001)e Fk(n)889 1534 y Fa(\000)p Ff(1)948 1527 y Fq(+)h Fk(r)1019 1534 y Fa(\000)p Ff(1)1066 1527 y Fk(;)41 b Fq(0)14 b Fj(\024)g Fk(r)1234 1534 y Fa(\000)p Ff(1)1295 1527 y Fk(<)g(n)1376 1534 y Fa(\000)p Ff(1)1423 1527 y Fk(:)108 1612 y Fq(Damit)j(hat)h(man)e Fk(r)480 1619 y Fa(\000)p Ff(2)543 1612 y Fq(:=)g Fk(n)640 1619 y Fa(\000)p Ff(1)703 1612 y Fq(=)g Fk(m)g Fq(=)g(1)c Fj(\001)g Fk(m)g Fq(+)g(0)g Fj(\001)g Fk(n)17 b Fq(und)h Fk(r)1266 1619 y Fa(\000)p Ff(1)1329 1612 y Fq(=)e Fk(n)h Fq(=)108 1670 y(0)c Fj(\001)g Fk(m)f Fq(+)h(1)g Fj(\001)f Fk(n)p Fq(.)19 b(Dann)g(k)m(ann)g(man)f(die)g(iterativ)o(e)f(An)o(w)o(endung)h(der)g (Di-)108 1728 y(vision)e(mit)f(Rest)i(in)f(jedem)f(Sc)o(hritt)g(b)q (egleiten)h(v)o(on)h(der)f(angegeb)q(enen)108 1786 y(Umsc)o(hreibung)11 b(der)j(P)o(aare)f(\()p Fk(a)686 1793 y Fe(i)700 1786 y Fk(;)8 b(b)743 1793 y Fe(i)756 1786 y Fq(\))14 b(und)g(\()p Fk(a)929 1793 y Fe(i)p Ff(+1)987 1786 y Fk(;)8 b(b)1030 1793 y Fe(i)p Ff(+1)1089 1786 y Fq(\).)13 b(W)l(enn)g(der)g(Algo-)108 1844 y(rithm)o(us)k(dann)h(abbric)o(h)o(t,)f(hat)i(man)e(insb)q (esondere)i(die)e(Ko)q(e\016zien)o(ten)108 1902 y(der)f(Darstellung)h Fk(r)477 1909 y Fe(k)q Fa(\000)p Ff(1)557 1902 y Fq(=)d Fk(am)c Fq(+)h Fk(bn)16 b Fq(erhalten.)558 2000 y Fo(4.)28 b(Anzahlaussagen)108 2133 y Fq(Nac)o(hdem)15 b(in)h(Kapitel)f(I)h(in)g (De\014nition)h(2.29)g(eine)e(abstrakte)i(De\014niti-)108 2191 y(on)i(v)o(on)g(endlic)o(hen)d(Mengen)i(ohne)h(R)831 2193 y(\177)830 2191 y(uc)o(kgri\013)f(auf)h(nat)1163 2193 y(\177)1162 2191 y(urlic)o(he)e(Zahlen)p eop %%Page: 80 22 80 21 bop 108 120 a Fn(80)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(gegeb)q(en)j(wurde)f (und)h(jetzt)e(die)h(nat)820 227 y(\177)819 225 y(urlic)o(hen)f(Zahlen) h(mit)e(vielen)h(ih-)108 283 y(rer)g(Eigensc)o(haften)f(auc)o(h)h(zur)g (V)l(erf)794 285 y(\177)793 283 y(ugung)g(stehen,)f(k)1135 285 y(\177)1135 283 y(onnen)h(wir)g(auc)o(h)108 341 y(die)k(viel)e (ansc)o(haulic)o(here)g(Besc)o(hreibung)h(endlic)o(her)f(Mengen)i(geb)q (en,)108 399 y(n)135 401 y(\177)135 399 y(amlic)o(h)14 b(mit)h(Hilfe)g(der)h(endlic)o(hen)f(durc)o(h)h(eine)f(nat)1106 401 y(\177)1105 399 y(urlic)o(he)g(Zahl)h(fest-)108 458 y(gelegten)j(Anzahl)f(der)h(Elemen)o(te)d(in)j(einer)f(Menge.)h(Wir)f (w)o(erden)h(da-)108 516 y(nac)o(h)c(in)f(diesem)e(Absc)o(hnitt)i(f)675 518 y(\177)674 516 y(ur)g(eine)g(Reihe)g(v)o(on)g(Mengen)g(die)g (Anzahl)108 574 y(ihrer)i(Elemen)o(te)d(genau)k(b)q(estimmen.)108 670 y Fo(Satz)i(4.1.)h Fm(Die)f(Menge)h Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)17 b Fq(:=)e Fj(f)p Fk(i)i Fj(2)f Fl(N)p Fj(j)p Fq(1)f Fj(\024)h Fk(i)g Fj(\024)h Fk(n)p Fj(g)h Fm(ist)h(end-)108 728 y(lich.)158 824 y Fi(Beweis.)h Fq(Sei)i Fk(\013)j Fq(:)g Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)24 b(\000)-8 b(!)25 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)22 b Fq(injektiv.)f(Es)i(ist)108 882 y(nac)o(h)16 b(Kapitel)g(I)f(2.30)i (zu)f(zeigen,)f(da\031)i Fk(\013)f Fq(surjektiv)f(ist.)h(Wir)f(b)q(ew)o (eisen)108 940 y(das)24 b(durc)o(h)e(v)o(ollst)460 942 y(\177)460 940 y(andige)g(Induktion)g(nac)o(h)g Fk(n)p Fq(.)h(Die)f(Behauptung)h(ist)108 998 y(klar)d(f)227 1000 y(\177)226 998 y(ur)f Fk(n)h Fq(=)g(1.)g(Sei)f Fk(\013)h Fq(:)g Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)13 b Fq(+)g(1)p Fj(g)21 b(\000)-9 b(!)20 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)13 b Fq(+)g(1)p Fj(g)21 b Fq(eine)108 1056 y(injektiv)o(e)16 b(Abbildung)i(und)h Fk(\013)681 1038 y Fa(0)710 1056 y Fq(:)e Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)18 b(\000)-9 b(!)18 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)k Fq(+)g(1)p Fj(g)19 b Fq(die)108 1114 y(Einsc)o(hr)268 1116 y(\177)268 1114 y(ankung)e(v)o(on)f Fk(\013)p Fq(.)108 1172 y(1.)c(F)l(all:)e(Bi)o(\()p Fk(\013)360 1154 y Fa(0)372 1172 y Fq(\))k Fj(\022)g(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fq(.)j(Dann)h(ist)g Fk(\013)926 1154 y Fa(0)949 1172 y Fq(injektiv)e(und)i(nac)o(h)g (Induk-)108 1230 y(tionsannahme)k(damit)f(auc)o(h)h(surjektiv,)e(also)j (bijektiv.)d(Da)j Fk(\013)f Fq(injektiv)108 1288 y(ist,)g(ist)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)c Fq(+)f(1\))21 b Fk(=)-30 b Fj(2)15 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)16 b Fq(,)g(also)h Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)12 b Fq(+)f(1\))k(=)f Fk(n)e Fq(+)f(1.)16 b(Damit)g(ist)108 1347 y Fk(\013)h Fq(surjektiv.)108 1405 y(2.)24 b(F)l(all:)f(W)l(enn)h(Bi)o(\()p Fk(\013)531 1387 y Fa(0)543 1405 y Fq(\))j Fj(6\032)f(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fq(,)24 b(dann)g(gibt)g(es)g(genau)h(ein)e Fk(i)108 1463 y Fq(mit)d Fk(\013)234 1445 y Fa(0)246 1463 y Fq(\()p Fk(i)p Fq(\))i(=)h Fk(n)15 b Fq(+)g(1)23 b(=)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(i)p Fq(\).)e(Da)h Fk(\013)g Fq(injektiv)e(ist,)h(gibt)g(es)h(auc)o(h)f(ein) 108 1521 y Fk(j)k Fj(2)d(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)21 b Fq(mit)e Fk(\013)p Fq(\()p Fk(n)c Fq(+)f(1\))22 b(=)g Fk(j)s Fq(.)e(Sei)g(n)o(un)h Fk(\014)j Fq(:)e Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)21 b(\000)-8 b(!)108 1579 y(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)16 b Fq(de\014niert)g(durc)o(h)522 1716 y Fk(\014)s Fq(\()p Fk(m)p Fq(\))d(=)698 1629 y Fg(8)698 1666 y(<)698 1741 y(:)735 1683 y Fk(\013)p Fq(\()p Fk(m)p Fq(\))p Fk(;)48 b(m)14 b Fj(6)p Fq(=)g Fk(i;)735 1753 y(j;)140 b(m)14 b Fq(=)g Fk(i:)108 1854 y(\013)g Fq(injektiv)d(=)-8 b Fj(\))14 b Fk(\014)h Fq(surjektiv)d(=)-8 b Fj(\))13 b Fq(alle)g(Zahlen)f Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)c(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)d Fq(+)g(1)p Fj(g)g(n)g(f)p Fk(j;)j(n)d Fq(+)108 1912 y(1)p Fj(g)25 b Fq(k)o(ommen)c(in)j(Bi)o(\()p Fk(\013)p Fq(\))h(v)o(or,)e(ab)q(er)i(auc)o(h)f Fk(n)17 b Fq(+)f(1)25 b(und)f Fk(j)s Fq(,)g(also)h(ist)f Fk(\013)108 1970 y Fq(surjektiv.)p 356 1943 33 2 v 356 1972 2 30 v 387 1972 V 356 1974 33 2 v 108 2061 a Fo(Satz)19 b(4.2.)h Fm(Seien)f Fk(m;)8 b(n)17 b Fm(nat)651 2063 y(\177)651 2061 y(urliche)i(Zahlen.) 174 2133 y Fq(\(1\))i Fm(Es)30 b(gibt)i(dann)f(und)h(nur)e(dann)i(eine) g(injektive)g(A)o(bbildung)257 2191 y Fk(\013)14 b Fq(:)f Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)14 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fm(,)17 b(wenn)i Fk(m)13 b Fj(\024)h Fk(n)k Fm(gilt.)p eop %%Page: 81 23 81 22 bop 560 117 a Fn(4.)17 b(ANZAHLA)o(USSA)o(GEN)411 b(81)174 225 y Fq(\(2\))21 b Fm(Es)27 b(gibt)i(dann)f(und)g(nur)g(dann) h(eine)f(surjektive)h(A)o(bbildung)257 283 y Fk(\013)14 b Fq(:)f Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)14 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fm(,)17 b(wenn)i Fk(m)13 b Fj(\025)h Fk(n)k Fm(gilt.)174 341 y Fq(\(3\))j Fm(Es)31 b(gibt)h(dann)g(und)g (nur)g(dann)g(eine)g(bijektive)h(A)o(bbildung)257 399 y Fk(\013)14 b Fq(:)f Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)14 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fm(,)17 b(wenn)i Fk(m)13 b Fq(=)h Fk(n)k Fm(gilt.)158 512 y Fi(Beweis.)i Fq(\(1\))f(W)l(enn)f Fk(m)f Fj(\024)g Fk(n)p Fq(,)h(dann)h(ist)f(die)g(Inklusionsabbildung) 108 571 y(eine)11 b(injektiv)o(e)e(Abbildung.)i(W)l(enn)h Fk(m)i(>)f(n)f Fq(ist,)f(dann)i(ist)f(die)f(Komp)q(osi-)108 629 y(tion)19 b Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)474 602 y Fe(\013)446 629 y Fj(\000)-10 b(!f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)18 b Fk(,)-8 b Fj(!)16 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)18 b Fq(eb)q(enfalls)g(injektiv,)108 687 y(also)g(nac)o(h)f(4.1)g (surjektiv,)f(ab)q(er)i Fk(m)e Fq(ist)h(nic)o(h)o(t)f(n)o(ur)h(im)e (Bild)h(dieser)h(Ab-)108 745 y(bildung)f(w)o(egen)g Fk(m)e(>)g(n)p Fq(.)i(Widerspruc)o(h.)f(Damit)g(ist)h Fk(m)d Fj(\024)h Fk(n:)108 803 y Fq(\(2\))j(Sei)e Fk(m)f Fj(\025)f Fk(n:)j Fq(Dann)i(ist)544 952 y Fk(\013)p Fq(\()p Fk(i)p Fq(\))c(=)695 865 y Fg(8)695 902 y(<)695 977 y(:)732 918 y Fk(i)56 b Fq(1)15 b Fj(\024)e Fk(i)h Fj(\024)f Fk(n)732 988 y Fq(1)49 b Fk(n)14 b(<)g(i)g Fj(\024)f Fk(m)108 1100 y Fq(eine)j(surjektiv)o(e)e(Abbildung)i Fk(\013)e Fq(:)f Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)14 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fq(.)108 1159 y(Sei)18 b Fk(\013)g Fq(surjektiv.)e(Sei)i Fk(\014)h Fq(:)d Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)17 b(\000)-9 b(!)17 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)g(;)g(m)p Fj(g)p Fk(;)g(g)r Fq(\()p Fk(i)p Fq(\))16 b(=)i(klein-)108 1217 y(stes)f Fk(j)f Fq(:)e Fk(\013)p Fq(\()p Fk(j)s Fq(\))g(=)g Fk(i:)108 1275 y Fq(Damit)21 b(ist)h Fk(\014)i Fq(eine)d(Abbildung)g(und)h(injektiv.)e (=)-8 b Fj(\))22 b Fq(\(nac)o(h)f(T)l(eil)g(\(1\)\))108 1333 y Fk(n)14 b Fj(\024)g Fk(m)p Fq(.)108 1391 y(\(3\))k(W)l(enn)f Fk(n)f Fq(=)g Fk(m)h Fq(ist,)g(dann)h(ist)f(die)g(iden)o(tisc)o(he)e (Abbildung)i(eine)g(bi-)108 1449 y(jektiv)o(e)c(Abbildung.)i(W)l(enn)g Fk(\013)f Fq(:)g Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)13 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)15 b Fq(bijektiv)108 1507 y(ist,)20 b(dann)h(ist)g Fk(m)g Fj(\024)f Fk(n)h Fq(nac)o(h)g(T)l(eil)e(1)i(und)g Fk(m)g Fj(\025)g Fk(n)f Fq(nac)o(h)h(T)l(eil)e(2,)i(also)108 1565 y Fk(m)14 b Fq(=)g Fk(n)p Fq(.)p 308 1538 33 2 v 308 1568 2 30 v 339 1568 V 308 1570 33 2 v 108 1668 a(Jetzt)23 b(hab)q(en)h(wir)f(die)f (Hilfsmittel)d(zur)k(V)l(erf)995 1670 y(\177)994 1668 y(ugung,)g(um)f(zu)h(zeigen,)108 1726 y(da\031)e(die)f(Endlic)o(hk)o (eit)d(einer)i(Menge)h(damit)f(zusammenf)1215 1728 y(\177)1215 1726 y(all)o(t,)e(da\031)k(sie)108 1785 y(mit)16 b(den)h(nat)363 1787 y(\177)362 1785 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(bis)g(zu)g(einer)f(b)q (estimm)o(ten)e(Zahl)j Fk(n)h Fq(ab-)108 1843 y(gez)176 1845 y(\177)176 1843 y(ahlt)c(w)o(erden)e(k)m(ann.)i(Der)g(Bew)o(eis)e (des)h(folgenden)h(Satzes)f(wird)h(auc)o(h)108 1901 y(ergeb)q(en,)e (da\031)h(die)f(Anzahl)f(der)h(Elemen)o(te)d(einer)j(endlic)o(hen)e (Menge)i(v)o(on)108 1959 y(der)17 b(W)l(ahl)g(der)f(Abz)491 1961 y(\177)491 1959 y(ahlung,)g(d.h.)g(v)o(on)h(der)f(Reihenfolge,)g (wie)g(die)g(Ele-)108 2017 y(men)o(te)c(abgez)370 2019 y(\177)370 2017 y(ahlt)i(w)o(erden,)f(unabh)778 2019 y(\177)778 2017 y(angig)j(ist.)d(Die)h(zun)1149 2019 y(\177)1149 2017 y(ac)o(hst)g(so)g(selbst-)108 2075 y(v)o(erst)212 2077 y(\177)212 2075 y(andlic)o(h)22 b(ersc)o(heinende)g(T)l(atsac)o (he,)h(da\031)h(jede)f(Abz)1197 2077 y(\177)1197 2075 y(ahlung)h(einer)108 2133 y(endlic)o(hen)15 b(Menge)g(zu)h(derselb)q (en)g(Anzahl)g(v)o(on)g(Elemen)o(ten)d(f)1275 2135 y(\177)1274 2133 y(uhrt,)j(hat)108 2191 y(einen)h(rec)o(h)o(t)g(k)o(omplizi)o (erten)e(Bew)o(eis,)g(den)j(wir)f(auc)o(h)h(als)g(Bew)o(eis)e(\(mit)p eop %%Page: 82 24 82 23 bop 108 120 a Fn(82)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(einem)e(Stern\))j (markiert)d(hab)q(en,)j(der)g(in)f(der)g(V)l(orlesung)h(ausgelassen)108 283 y(w)o(erden)d(k)m(ann.)108 381 y Fo(Satz)j(4.3.)h Fm(Eine)g(Menge)h Fk(A)d Fj(6)p Fq(=)g Fj(;)h Fm(ist)h(genau)h(dann)f (end)r(lich,)i(wenn)f(es)108 439 y(ein)26 b Fk(m)g Fj(2)h Fl(N)c Fm(und)i(eine)h(bijektive)g(A)o(bbildung)h Fk(\014)i Fq(:)e Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)26 b(\000)-8 b(!)108 497 y Fk(A)19 b Fm(gibt.)i Fk(m)e Fm(ist)h(dur)n(ch)f Fk(A)g Fm(eindeutig)j(b)n(estimmt)e(und)g (wir)n(d)f Fq(Anzahl)g Fm(der)108 555 y(Elemente)h(von)e Fk(A)f Fm(genannt.)158 652 y Fi(Beweis)332 634 y Fa(\003)351 652 y Fi(.)k Fq(Die)11 b(eine)g(Ric)o(h)o(tung)f(des)i(Bew)o(eises)e (ist)i(rec)o(h)o(t)e(einfac)o(h.)g(Sei)108 710 y Fk(\014)17 b Fq(:)e Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)14 b(\000)-8 b(!)14 b Fk(A)j Fq(eine)f(bijektiv)o(e)e(Abbildung.)i (Sei)g Fk(\015)i Fq(:)c Fk(A)h Fj(\000)-9 b(!)15 b Fk(A)108 769 y Fq(injektiv.)h(Dann)k(ist)e(auc)o(h)g Fk(\014)654 750 y Fa(\000)p Ff(1)700 769 y Fk(\015)s(\014)i Fq(:)d Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)17 b(\000)-8 b(!)17 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)18 b Fq(in-)108 827 y(jektiv,)9 b(also)j(auc)o(h)e (surjektiv.)g(Damit)f(wird)i(dann)g(auc)o(h)g Fk(\015)17 b Fq(=)d Fk(\014)s(\014)1299 809 y Fa(\000)p Ff(1)1345 827 y Fk(\015)s(\014)s(\014)1435 809 y Fa(\000)p Ff(1)108 885 y Fq(surjektiv,)h(also)i(ist)f Fk(A)g Fq(endlic)o(h.)108 957 y(Die)c(andere)g(Ric)o(h)o(tung)g(des)g(Bew)o(eises)f(ist)h(die)g (eigen)o(tlic)o(h)e(wic)o(h)o(tige)g(Aus-)108 1015 y(sage)17 b(des)e(Satzes.)h(Wir)f(erl)613 1017 y(\177)613 1015 y(autern)g(zun)842 1017 y(\177)842 1015 y(ac)o(hst)h(die)f(Idee)f (dieses)i(l)1302 1017 y(\177)1302 1015 y(angeren)108 1073 y(Bew)o(eises.)11 b(Wir)h(w)o(ollen)g(die)g(v)o(orgegeb)q(ene)g (Menge)g(so)h(abz)1189 1075 y(\177)1189 1073 y(ahlen)g(wie)f(wir)108 1131 y(es)h(uns)h(naiv)f(v)o(orstellen.)e(Dazu)i(b)q(en)783 1133 y(\177)783 1131 y(otigen)h(wir)f(eine)f(Abz)1191 1133 y(\177)1191 1131 y(ahlabbildung)108 1189 y(v)o(on)21 b Fl(N)e Fq(in)i Fk(A)p Fq(.)f(Wir)g(ho\013en,)i(da\031)g(wir)e(nic)o (h)o(t)g(alle)g(nat)1133 1191 y(\177)1132 1189 y(urlic)o(hen)g(Zahlen) 108 1248 y(b)q(en)185 1250 y(\177)185 1248 y(otigen,)g(ab)q(er)g(ob)h (das)g(geh)o(t,)e(w)o(erden)g(wir)h(erst)g(sp)1152 1250 y(\177)1152 1248 y(ater)g(feststellen)108 1306 y(k)134 1308 y(\177)134 1306 y(onnen.)g(Eine)g(Abbildung)g Fl(N)e Fj(\000)-8 b(!)20 b Fk(A)g Fq(k)m(ann)h(mit)d(einfac)o(her)h(Rekursi-) 108 1364 y(on)e(de\014niert)e(w)o(erden.)g(Der)g(Anfang)i(ist)e(leic)o (h)o(t:)f(wir)h(w)1141 1366 y(\177)1141 1364 y(ahlen)h(irgendein)108 1422 y(Elemen)o(t)d(v)o(on)i Fk(A)p Fq(,)f(das)i(wir)e(als)i(erstes)e (abz)903 1424 y(\177)903 1422 y(ahlen.)h(Die)f(F)l(ortsetzung)i(der)108 1480 y(Abz)194 1482 y(\177)194 1480 y(ahlung)23 b(ist)f(k)o(omplizier)o (ter.)d(W)l(enn)k(wir)f(sc)o(hon)h Fk(n)f Fq(Elemen)o(te)e(aus)108 1538 y Fk(A)h Fq(abgez)285 1540 y(\177)285 1538 y(ahlt)g(hab)q(en,)g (dann)g(m)722 1540 y(\177)721 1538 y(ussen)f(wir)g(das)i(n)1062 1540 y(\177)1062 1538 y(ac)o(hste)f(abzuz)1337 1540 y(\177)1337 1538 y(ahlen-)108 1596 y(de)16 b(Elemen)o(t)d(angeb)q(en.)k(Es)f(darf)g (nic)o(h)o(t)f(un)o(ter)h(den)f(sc)o(hon)i(abgez)1334 1598 y(\177)1334 1596 y(ahlten)108 1654 y(Elemen)o(ten)f(v)o(ork)o (ommen.)f(Deshalb)20 b(gen)894 1656 y(\177)893 1654 y(ugt)f(es)g(f)1058 1656 y(\177)1057 1654 y(ur)g(die)f(einfac)o(he)g(Re-)108 1712 y(kursion)c(nic)o(h)o(t,)e(lediglic)o(h)f(das)k(letzte)d(abgez)933 1714 y(\177)933 1712 y(ahlte)h(Elemen)o(t)f(zu)h(k)o(ennen,)108 1771 y(man)e(m)o(u\031)f(die)g(T)l(eilmenge)f Fk(U)16 b Fq(aller)11 b(bisher)g(abgez)1025 1773 y(\177)1025 1771 y(ahlten)g(Elemen)o(te)d(k)o(en-)108 1829 y(nen.)16 b(Dann)h(k)m(ann)f(man)g(daraus)h(das)g(n)843 1831 y(\177)843 1829 y(ac)o(hste)e(abzuz)1112 1831 y(\177)1112 1829 y(ahlende)h(Elemen) o(t)108 1887 y(festlegen,)g(indem)f(man)i(ein)f(Elemen)o(t)f(aus)j(dem) e(Kompleme)o(n)o(t)e(v)o(on)j Fk(U)108 1945 y Fq(in)c Fk(A)g Fq(w)247 1947 y(\177)247 1945 y(ahlt.)g(Es)g(k)o(omm)o(t)d(also) k(eine)e(V)l(arian)o(te)g(des)h(Ausw)o(ahlaxioms)f(mit)108 2003 y(ins)18 b(Spiel,)e(w)o(eil)h(wir)g(zu)h(jeder)f(T)l(eilmenge)e Fk(U)23 b Fq(ein)18 b(Elemen)o(t)d(au\031erhalb)108 2061 y(w)143 2063 y(\177)143 2061 y(ahlen)i(m)317 2063 y(\177)316 2061 y(ussen.)d(Diese)i(form)o(ulieren)d(wir)j(zun)1005 2063 y(\177)1005 2061 y(ac)o(hst.)108 2133 y(Sei)21 b(also)i Fk(A)f Fj(6)p Fq(=)i Fj(;)d Fq(endlic)o(h.)f(Wir)h(b)q(en)o(utzen)h (eine)e(Ausw)o(ahlabbildung)108 2191 y Fk(f)f Fq(:)14 b Fj(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))t Fj(n)t(f;g)f(\000)-9 b(!)14 b Fk(A)e Fq(\(vgl.)g(3.7\))h(mit)e Fk(f)5 b Fq(\()p Fk(U)g Fq(\))15 b Fj(2)f Fk(U)k Fq(f)1080 2193 y(\177)1079 2191 y(ur)13 b(alle)f(T)l(eilmengen)p eop %%Page: 83 25 83 24 bop 560 117 a Fn(4.)17 b(ANZAHLA)o(USSA)o(GEN)411 b(83)108 225 y Fk(U)24 b Fj(6)p Fq(=)19 b Fj(;)f Fq(v)o(on)h Fk(A)p Fq(.)f(W)l(eiter)g(sei)h Fk(g)h Fq(:)e Fj(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))13 b Fj(n)f(f)p Fk(A)p Fj(g)18 b(\000)-8 b(!)18 b Fk(A)h Fq(die)f(Abbildung)108 283 y Fk(g)r Fq(\()p Fk(U)5 b Fq(\))14 b(:=)g Fk(f)5 b Fq(\()p Fk(A)s Fj(n)s Fk(U)g Fq(\).)12 b(Dann)h(gilt)f Fk(g)r Fq(\()p Fk(U)5 b Fq(\))20 b Fk(=)-30 b Fj(2)15 b Fk(U)i Fq(f)928 285 y(\177)927 283 y(ur)c(alle)e(T)l(eilmengen)f Fk(U)19 b Fj(6)p Fq(=)14 b Fk(A)108 341 y Fq(v)o(on)i Fk(A)p Fq(.)108 415 y(Sei)g Fk(X)j Fq(:=)13 b Fj(f)p Fq(\()p Fk(a;)8 b(U)d Fq(\))p Fj(j)p Fk(a)13 b Fj(2)i Fk(U;)8 b(U)19 b Fj(2)14 b(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))p Fj(g)g(\032)g Fk(A)c Fj(\002)h(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\).)16 b(Wir)g(de\014nieren)108 473 y(eine)g(Abbildung)f Fk(')f Fq(:)f Fk(X)19 b Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(X)20 b Fq(durc)o(h)298 620 y Fk(')p Fq(\()p Fk(a;)8 b(U)d Fq(\))13 b(:=)533 533 y Fg(8)533 570 y(<)533 645 y(:)570 586 y Fq(\()p Fk(g)r Fq(\()p Fk(U)5 b Fq(\))p Fk(;)j(U)16 b Fj([)11 b(f)p Fk(g)r Fq(\()p Fk(U)5 b Fq(\))p Fj(g)p Fq(\))66 b(f)1057 588 y(\177)1056 586 y(ur)16 b Fk(U)j Fj(6)p Fq(=)14 b Fk(A)o(;)570 656 y Fq(\()p Fk(a;)8 b(A)p Fq(\))348 b(f)1057 658 y(\177)1056 656 y(ur)16 b Fk(U)j Fq(=)14 b Fk(A)o(:)108 766 y Fq(W)l(eiter)21 b(legen)g(wir)h(ein)f(Elemen)o(t)f Fk(a)799 773 y Ff(1)842 766 y Fj(2)j Fk(A)f Fq(und)g(damit)f(ein)g(Elemen)o(t)108 824 y(\()p Fk(a)153 831 y Ff(1)173 824 y Fk(;)8 b(U)228 831 y Ff(1)247 824 y Fq(\))14 b Fj(2)g Fk(X)21 b Fq(mit)14 b Fk(U)510 831 y Ff(1)544 824 y Fq(:=)f Fj(f)p Fk(a)660 831 y Ff(1)679 824 y Fj(g)k Fq(fest.)108 898 y(Nac)o(h)23 b(Satz)h(2.1)f(gibt)h(es)f(genau)h(eine)f(Abbildung,)f(d.h.)h(eine)f(F) l(olge,)108 956 y Fk(\013)28 b Fq(:)e Fl(N)f Fj(\000)-8 b(!)27 b Fk(X)h Fq(mit)22 b Fk(\013)p Fq(\(1\))28 b(=)f(\()p Fk(a)768 963 y Ff(1)788 956 y Fk(;)8 b(U)843 963 y Ff(1)862 956 y Fq(\))24 b(und)h Fk(\013)p Fq(\()p Fk(r)18 b Fq(+)e(1\))27 b(=)g Fk(')p Fq(\()p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(r)q Fq(\)\).)108 1015 y(Wir)21 b(sc)o(hreib)q(en)f(\()p Fk(a)476 1022 y Fe(r)495 1015 y Fk(;)8 b(U)550 1022 y Fe(r)569 1015 y Fq(\))22 b(:=)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(r)q Fq(\))g(und)f(erhalten)g(so) h(\()p Fk(a)1205 1022 y Fe(r)q Ff(+1)1268 1015 y Fk(;)8 b(U)1323 1022 y Fe(r)q Ff(+1)1387 1015 y Fq(\))23 b(=)108 1073 y Fk(')p Fq(\()p Fk(a)185 1080 y Fe(r)204 1073 y Fk(;)8 b(U)259 1080 y Fe(r)278 1073 y Fq(\),)15 b(also)375 1222 y Fk(a)401 1229 y Fe(r)q Ff(+1)479 1222 y Fq(=)531 1135 y Fg(8)531 1172 y(<)531 1247 y(:)568 1188 y Fk(g)r Fq(\()p Fk(U)645 1195 y Fe(r)664 1188 y Fq(\))p Fk(;)162 b Fq(w)o(enn)16 b Fk(U)1018 1195 y Fe(r)1051 1188 y Fj(6)p Fq(=)e Fk(A)p Fq(,)568 1258 y Fk(a)594 1265 y Fe(r)612 1258 y Fk(;)233 b Fq(w)o(enn)16 b Fk(U)1018 1265 y Fe(r)1051 1258 y Fq(=)e Fk(A)p Fq(,)375 1371 y Fk(U)408 1378 y Fe(r)q Ff(+1)486 1371 y Fq(=)538 1284 y Fg(8)538 1321 y(<)538 1396 y(:)575 1338 y Fk(U)608 1345 y Fe(r)638 1338 y Fj([)e(f)p Fk(a)734 1345 y Fe(r)q Ff(+1)797 1338 y Fj(g)p Fk(;)65 b Fq(w)o(enn)16 b Fk(U)1060 1345 y Fe(r)1093 1338 y Fj(6)p Fq(=)d Fk(A)p Fq(,)575 1408 y Fk(A;)275 b Fq(w)o(enn)16 b Fk(U)1060 1415 y Fe(r)1093 1408 y Fq(=)d Fk(A)p Fq(.)108 1520 y(Wir)j(k)233 1522 y(\177)233 1520 y(onnen)h(uns)f Fk(U)499 1527 y Fe(r)535 1520 y Fq(als)g(die)g(Menge)g Fj(f)p Fk(a)894 1527 y Ff(1)913 1520 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)1057 1527 y Fe(r)1075 1520 y Fj(g)14 b Fq(=)g Fj(f)p Fk(a)1217 1527 y Fe(i)1230 1520 y Fj(j)p Fq(1)g Fj(\024)g Fk(i)g Fj(\024)f Fk(r)q Fj(g)108 1579 y Fq(v)o(orstellen,)18 b(jedo)q(c)o(h)i(ist)g(nic)o(h)o(t)f(klar,)g(da\031)i Fk(U)945 1586 y Fe(r)984 1579 y Fq(tats)1065 1581 y(\177)1065 1579 y(ac)o(hlic)o(h)e(diese)g(F)l(orm)108 1637 y(hat.)108 1711 y(Im)d(F)l(alle)g Fk(U)335 1718 y Fe(r)370 1711 y Fj(6)p Fq(=)g Fk(A)g Fq(ist)i(n)o(un)f Fk(a)670 1718 y Fe(r)q Ff(+1)749 1711 y Fq(=)f Fk(g)r Fq(\()p Fk(U)880 1718 y Fe(r)899 1711 y Fq(\))21 b Fk(=)-29 b Fj(2)16 b Fk(U)1016 1718 y Fe(r)1035 1711 y Fq(,)h(also)g Fk(U)1197 1718 y Fe(r)1232 1711 y Fl($)f Fk(U)1313 1718 y Fe(r)q Ff(+1)1377 1711 y Fq(.)h(Im)108 1769 y(F)l(alle)i Fk(U)262 1776 y Fe(r)302 1769 y Fq(=)h Fk(A)f Fq(ist)h Fk(U)521 1776 y Fe(r)560 1769 y Fj(\032)g Fk(U)652 1776 y Fe(r)q Ff(+1)716 1769 y Fq(.)g(Sei)f Fk(r)j(<)e(s)g Fq(und)g Fk(U)1111 1776 y Fe(r)1151 1769 y Fj(6)p Fq(=)g Fk(A)p Fq(.)f(Dann)i(ist)108 1827 y Fk(U)141 1834 y Fe(r)178 1827 y Fl($)d Fk(U)261 1834 y Fe(r)q Ff(+1)325 1827 y Fq(.)g(Ist)g Fk(U)464 1834 y Fe(r)501 1827 y Fl($)g Fk(U)584 1834 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)643 1827 y Fq(,)g(so)h(ist)g(dann)g Fk(U)965 1834 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)1042 1827 y Fj(\032)e Fk(U)1131 1834 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)p Ff(+1)1236 1827 y Fq(,)h(also)h(auc)o(h)108 1885 y Fk(U)141 1892 y Fe(r)181 1885 y Fl($)j Fk(U)268 1892 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)p Ff(+1)372 1885 y Fq(.)e(Damit)f(ist)h(mit)f(v)o(ollst)842 1887 y(\177)842 1885 y(andiger)h(Induktion)g Fk(U)1281 1892 y Fe(r)1321 1885 y Fl($)h Fk(U)1407 1892 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)108 1943 y Fq(f)124 1945 y(\177)123 1943 y(ur)16 b(alle)g Fk(t)d Fj(2)h Fl(N)p Fq(,)g(insb)q(esondere)j(also)f Fk(U)830 1950 y Fe(r)863 1943 y Fl($)e Fk(U)942 1950 y Fe(s)961 1943 y Fq(.)108 2017 y(Sei)j Fk(r)h(<)e(s)i Fq(und)g Fk(U)455 2024 y Fe(r)491 2017 y Fj(6)p Fq(=)e Fk(A)p Fq(.)h(Wir)g(zeigen)g(jetzt,)f(da\031)j(dann)g Fk(a)1232 2024 y Fe(r)1266 2017 y Fj(6)p Fq(=)e Fk(a)1347 2024 y Fe(s)1383 2017 y Fq(gilt.)108 2075 y(F)141 2077 y(\177)140 2075 y(ur)k Fk(s)g Fq(=)g Fk(r)15 b Fq(+)f(1)21 b(hab)q(en)g(wir)f Fk(a)707 2082 y Fe(s)747 2075 y Fq(=)h Fk(a)832 2082 y Fe(r)q Ff(+1)922 2075 y Fk(=)-30 b Fj(2)22 b Fk(U)1004 2082 y Fe(r)1043 2075 y Fq(und)f(w)o(egen)f Fk(a)1320 2082 y Fe(r)1360 2075 y Fj(2)h Fk(U)1447 2082 y Fe(r)108 2133 y Fq(gilt)d Fk(a)223 2140 y Fe(s)258 2133 y Fj(6)p Fq(=)g Fk(a)340 2140 y Fe(r)358 2133 y Fq(.)g(Ist)g Fk(s)g Fq(=)f Fk(r)d Fq(+)e Fk(t)18 b Fq(und)h Fk(a)808 2140 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)884 2133 y Fj(6)p Fq(=)e Fk(a)965 2140 y Fe(r)984 2133 y Fq(,)g(so)i(gibt)g(es)f(zw)o(ei) f(F)1380 2135 y(\177)1380 2133 y(alle.)108 2191 y(Ist)i Fk(U)216 2198 y Fe(s)254 2191 y Fq(=)f Fk(A)p Fq(,)h(so)g(ist)g Fk(a)539 2198 y Fe(r)q Ff(+)p Fe(t)p Ff(+1)662 2191 y Fq(=)g Fk(a)745 2198 y Fe(s)p Ff(+1)827 2191 y Fq(=)g Fk(a)910 2198 y Fe(s)946 2191 y 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Fq(.)g(Sei)h Fk(m)e Fj(2)h Fl(N)f Fq(die)h(kleinste)g(solc)o(he)g(Zahl,)108 769 y(d.h.)d(die)f(kleinste)g(Zahl)h(in)g Fj(f)p Fk(s)j Fj(2)g Fl(N)p Fj(j)p Fk(U)793 776 y Fe(s)823 769 y Fq(=)g Fk(A)p Fj(g)p Fq(.)c(Wir)h(zeigen)f(jetzt,)g(da\031)i(die)108 828 y(Abbildung)17 b Fk(\014)h Fq(:)e Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)15 b(\000)-9 b(!)16 b Fk(A)h Fq(mit)f Fk(\014)s Fq(\()p Fk(i)p Fq(\))e(=)i Fk(a)1096 835 y Fe(i)1127 828 y Fq(bijektiv)g(ist.)h(F)1422 830 y(\177)1421 828 y(ur)108 886 y(alle)f Fk(r)g(<)e(m)i Fq(ist)g Fk(U)448 893 y Fe(i)477 886 y Fj(6)p Fq(=)e Fk(A)i Fq(und)h(daher)f(sind)h(alle)f Fk(a)1035 893 y Fe(r)1070 886 y Fq(f)1086 888 y(\177)1085 886 y(ur)g Fk(r)g Fj(2)e(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)108 944 y Fq(paarw)o(eise)22 b(v)o(ersc)o(hieden,)d(d.h.)h Fk(\014)k Fq(ist)e(injektiv.)d(Sei)i(n)o(un)g Fk(a)i Fj(2)g Fk(A)e Fq(und)108 1002 y Fk(a)g(=)-30 b Fj(2)15 b Fq(Bi)o(\()p Fk(\014)s Fq(\).)h(Dann)i(ist)f Fk(a)e Fj(6)p Fq(=)g 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b(4.4.)85 b Fq(\(1\))21 b Fm(\(Dirichletsches)e(Schubf)1095 1330 y(\177)1095 1328 y(acherprinzip\):)257 1386 y(Wenn)28 b(man)f Fk(n)g Fm(Objekte)i(auf)e Fk(m)g Fm(Schubf)1070 1388 y(\177)1070 1386 y(acher)h(verteilt)h(und)257 1444 y Fk(n)21 b(>)h(m)f Fm(ist,)h(dann)g(gibt)h(es)e(mindestens)i(ein)g (Schubfach,)g(das)257 1502 y(mehr)n(er)n(e)16 b(Objekte)k(enth)708 1504 y(\177)708 1502 y(alt.)174 1560 y Fq(\(2\))h Fm(Wenn)28 b(man)f Fk(n)g Fm(Objekte)i(auf)e Fk(m)g Fm(Schubf)1070 1562 y(\177)1070 1560 y(acher)h(verteilt)h(und)257 1619 y Fk(n)14 b(<)f(m)18 b Fm(ist,)f(dann)h(gibt)g(es)g(mindestens)h(ein)f (le)n(er)n(es)g(Schubfach.)158 1702 y Fi(Beweis.)i Fq(\(1\))15 b Fk(\013)f Fq(:)f Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)14 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)14 b Fq(und)g Fk(n)g(>)g(m)g Fq(impli-)108 1760 y(ziert,)g(da\031)h Fk(\013)h Fq(nic)o(h)o(t)d (injektiv)g(ist.)h(Also)h(existiert)e(ein)h(Sc)o(h)o(ubfac)o(h)g Fk(j)k Fq(und)108 1818 y(Ob)s(jekte)d Fk(i)312 1825 y Ff(1)332 1818 y Fk(;)8 b(i)371 1825 y Ff(2)406 1818 y Fq(mit)14 b Fk(\013)p Fq(\()p Fk(i)562 1825 y Ff(1)582 1818 y Fq(\))g(=)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(i)734 1825 y Ff(2)753 1818 y Fq(\))g(=)g Fk(j:)108 1876 y Fq(\(2\))k Fk(\013)e Fq(:)g Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)16 b(\000)-9 b(!)16 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(m)p Fj(g)17 b Fq(und)g Fk(n)g(<)e(m)j Fq(implizi)o(ert,)c(da\031)k Fk(\013)108 1934 y Fq(nic)o(h)o(t)g (surjektiv)f(ist.)h(Also)g(existiert)f(ein)h(Sc)o(h)o(ubfac)o(h)g Fk(j)k Fq(mit)16 b Fk(\013)1302 1916 y Fa(\000)p Ff(1)1350 1934 y Fq(\()p Fk(j)s Fq(\))i(=)108 1992 y Fj(;)p Fk(:)p 195 1965 V 195 1994 2 30 v 226 1994 V 195 1996 33 2 v 108 2075 a Fo(De\014nition)g(4.5.)i Fq(Wir)e(b)q(ezeic)o(hnen)e(mit)g Fl(N)950 2082 y Ff(0)985 2075 y Fj(3)i Fk(n)f Fj(7!)g Fk(n)p Fq(!)g Fj(2)g Fl(N)f Fq(die)i(ein-)108 2133 y(deutig)g(b)q (estimm)n(te)c(Abbildung)j(mit)f(0!)g(:=)f(1)p Fk(;)8 b Fq(1!)16 b(=)g(1)i(und)g(\()p Fk(n)12 b Fq(+)g(1\)!)k(=)108 2191 y Fk(n)p Fq(!)11 b Fj(\001)g Fq(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))p Fk(:)16 b Fq(\(2.2\))p eop %%Page: 85 27 85 26 bop 560 117 a Fn(4.)17 b(ANZAHLA)o(USSA)o(GEN)411 b(85)108 225 y Fo(Satz)19 b(4.6.)h Fm(Es)d(gibt)i Fk(n)p Fq(!)e Fm(verschie)n(dene)i(bijektive)g(A)o(bbildungen)469 314 y Fk(\013)c Fq(:)e Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)14 b(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fj(g)p Fk(:)108 404 y Fm(Diese)18 b(A)o(bbildungen)i(hei\031en)f Fq(P)o(erm)o(utationen)p Fm(.)158 496 y Fi(Beweis.)h Fq(\(durc)o(h)f(v)o(ollst)642 498 y(\177)642 496 y(andige)f(Induktion\))h(Wir)f(b)q(ew)o(eisen)h (allge-)108 554 y(meiner:)13 b(Sind)j Fk(A;)8 b(B)17 b Fq(Mengen)e(mit)f(je)h Fk(n)h Fq(Elemen)o(ten,)d(dann)j(gibt)g(es)f (ge-)108 612 y(nau)i Fk(n)p Fq(!)g(Bijektionen)d(v)o(on)j Fk(A)f Fq(nac)o(h)g Fk(B)s Fq(.)g(Ist)g Fk(n)f Fq(=)f(1,)j(so)g(ist)f (das)h(klar.)f(Sei)108 670 y(die)e(Behauptung)i(f)476 672 y(\177)475 670 y(ur)f(Mengen)f(mit)f Fk(n)i Fq(Elemen)o(ten)d(ric)o (h)o(tig.)h(Seien)h Fk(A)g Fq(=)108 729 y Fj(f)p Fk(a)159 736 y Ff(1)187 729 y Fk(:)8 b(:)g(:)16 b(;)8 b(a)309 736 y Fe(n)p Ff(+1)377 729 y Fj(g)14 b Fq(und)h Fk(B)h Fq(=)e Fj(f)p Fk(b)663 736 y Ff(1)682 729 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)821 736 y Fe(n)p Ff(+1)903 729 y Fq(Mengen)14 b(mit)f Fk(n)7 b Fq(+)g(1)15 b(Elemen-)108 787 y(ten.)d(Wir)g (de\014nieren)f Fk(A)552 794 y Fe(i)580 787 y Fq(:=)i Fk(A)s Fj(n)s(f)p Fk(a)764 794 y Fe(i)777 787 y Fj(g)p Fk(;)8 b(B)861 794 y Fe(i)889 787 y Fq(:=)13 b Fk(B)6 b Fj(n)s(f)p Fk(b)1071 794 y Fe(i)1084 787 y Fj(g)p Fk(:)12 b Fq(Sei)g Fk(\013)i Fq(:)f Fk(A)h Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(B)108 845 y Fq(eine)19 b(Bijektion)f(mit)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)595 852 y Fe(n)p Ff(+1)663 845 y Fq(\))i(=)f Fk(b)780 852 y Fe(i)794 845 y Fq(.)g(Dann)i(ist)e Fk(\013)1065 827 y Fa(0)1097 845 y Fq(:)g Fk(A)1167 852 y Fe(n)1209 845 y Fj(\000)-8 b(!)19 b Fk(B)1346 852 y Fe(i)1380 845 y Fq(wie-)108 903 y(der)e(bijektiv)f(mit)f Fk(\013)493 885 y Fa(0)505 903 y Fq(\()p Fk(a)550 910 y Fe(j)568 903 y Fq(\))g(=)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)731 910 y Fe(j)750 903 y Fq(\).)h(Umgek)o(ehrt)f(k)m(ann)j(jede)e(Bijektion)108 961 y Fk(\013)139 943 y Fa(0)179 961 y Fq(:)26 b Fk(A)256 968 y Fe(n)307 961 y Fj(\000)-9 b(!)27 b Fk(B)451 968 y Fe(i)490 961 y Fq(zu)c(einer)h(Bijektion)e Fk(\013)28 b Fq(:)f Fk(A)f Fj(\000)-8 b(!)27 b Fk(B)g Fq(fortgesetzt)108 1062 y(w)o(erden)17 b(durc)o(h)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)490 1069 y Fe(j)508 1062 y Fq(\))f(=)597 975 y Fg(8)597 1012 y(<)597 1087 y(:)633 1029 y Fk(\013)664 1011 y Fa(0)676 1029 y Fq(\()p Fk(a)721 1036 y Fe(j)739 1029 y Fq(\))49 b Fk(j)17 b Fj(\024)c Fk(n)633 1098 y(b)654 1105 y Fe(i)807 1098 y Fk(j)k Fq(=)d Fk(n)d Fq(+)g(1)1014 1062 y(.)17 b(Nac)o(h)g(Induktionsan-)108 1165 y(nahme)e(gibt)i(es)f Fk(n)p Fq(!)g(bijektiv)o(e)e Fk(\013)711 1147 y Fa(0)737 1165 y Fq(:)f Fk(A)801 1172 y Fe(n)838 1165 y Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(B)969 1172 y Fe(i)983 1165 y Fq(,)i(also)h(auc)o(h)f Fk(n)p Fq(!)g(bijektiv)o(e)108 1223 y(Abbildungen)e Fk(\013)g Fq(:)f Fk(A)h Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(B)i Fq(mit)d Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)829 1230 y Fe(n)852 1223 y Fq(\))h(=)g Fk(b)958 1230 y Fe(i)971 1223 y Fq(.)g(Es)g(gibt)h Fk(n)7 b Fq(+)g(1)13 b(M)1327 1225 y(\177)1327 1223 y(oglic)o(h-)108 1281 y(k)o(eiten)h(f)267 1283 y(\177)266 1281 y(ur)i(die)f(W)l(ahl)h(v)o(on) g Fk(b)646 1288 y Fe(i)660 1281 y Fq(,)f(also)i(insgesam)o(t)e Fk(n)p Fq(!)9 b Fj(\001)i Fq(\()p Fk(n)f Fq(+)g(1\))k(=)g(\()p Fk(n)c Fq(+)h(1\)!)108 1339 y(bijektiv)o(e)j(Abbildungen)i Fk(\013)11 b Fj(\001)g Fk(A)i Fj(\000)-8 b(!)13 b Fk(B)s Fq(.)p 908 1312 33 2 v 908 1341 2 30 v 939 1341 V 908 1343 33 2 v 108 1429 a Fo(Satz)19 b(4.7.)h Fm(Seien)g Fk(A)15 b Fq(=)h Fj(f)p Fk(a)630 1436 y Ff(1)649 1429 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)793 1436 y Fe(m)825 1429 y Fj(g)19 b Fm(und)f Fk(B)h Fq(=)c Fj(f)p Fk(b)1120 1436 y Ff(1)1139 1429 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)1278 1436 y Fe(n)1301 1429 y Fj(g)18 b Fm(end)r(li-)108 1487 y(che)k(Mengen)h(mit)d Fk(m)h Fm(bzw.)h Fk(n)f Fm(Elementen.)i(Dann)e (gibt)h(es)g Fk(n)1288 1469 y Fe(m)1342 1487 y Fm(A)o(bbil-)108 1545 y(dungen)d(von)g Fk(A)e Fm(nach)h Fk(B)s Fm(.)158 1637 y Fi(Beweis.)i Fq(Durc)o(h)12 b(Induktion)g(nac)o(h)g Fk(m)p Fq(:)f(F)944 1639 y(\177)943 1637 y(ur)i Fk(m)g Fq(=)h(1)e(gibt)h(es)f(o\013en)o(bar)108 1695 y Fk(n)k Fq(=)f Fk(n)235 1677 y Ff(1)272 1695 y Fq(Abbildungen)i Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)638 1702 y Ff(1)658 1695 y Fq(\))e(=)h Fk(b)767 1702 y Fe(i)780 1695 y Fq(.)h(Sei)g(die)f(Behauptung)i(f)1263 1697 y(\177)1262 1695 y(ur)f Fk(m)g Fq(und)108 1753 y(alle)d Fk(n)g Fj(2)g Fl(N)e Fq(w)o(ahr)j(und)g(sei)f Fk(A)f Fq(=)h Fj(f)p Fk(a)767 1760 y Ff(1)786 1753 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)930 1760 y Fe(m)p Ff(+1)1008 1753 y Fj(g)p Fq(.)14 b(Dann)h(l)1205 1755 y(\177)1205 1753 y(a\031t)g(sic)o(h)e(jede)108 1812 y(Abbildung)i Fk(\013)378 1793 y Fa(0)404 1812 y Fq(:)e Fj(f)p Fk(a)482 1819 y Ff(1)501 1812 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)645 1819 y Fe(m)678 1812 y Fj(g)13 b(\000)-8 b(!)13 b(f)p Fk(b)856 1819 y Ff(1)876 1812 y Fk(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(b)1014 1819 y Fe(n)1038 1812 y Fj(g)14 b Fq(fortsetzen)h(zu)g (einer)108 1870 y(Abbildung)i Fk(\013)f Fq(:)e Fk(A)h Fj(\000)-8 b(!)15 b Fk(B)20 b Fq(durc)o(h)c(die)h(F)l(estsetzung)g Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)1187 1877 y Ff(\()1202 1870 y Fk(m)12 b Fq(+)f(1\))16 b(:=)f Fk(b)1453 1877 y Fe(i)108 1928 y Fq(\(und)21 b Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)305 1935 y Fe(j)323 1928 y Fq(\))g(=)g Fk(\013)453 1910 y Fa(0)465 1928 y Fq(\()p Fk(a)510 1935 y Fe(j)528 1928 y Fq(\))g(f)584 1930 y(\177)583 1928 y(ur)f(1)h Fj(\024)g Fk(J)26 b Fj(\024)21 b Fk(m)p Fq(\))f(und)h(jede)f(Abbildung)g Fk(\013)h Fq(:)108 1986 y Fk(A)14 b Fj(\000)-9 b(!)14 b Fk(B)k Fq(k)o(omm)n(t)13 b(auf)i(diese)g(W)l(eise)f(v)o(or.)h(Also)g(gibt)g(es)h Fk(n)1199 1968 y Fe(m)1241 1986 y Fj(\001)9 b Fk(n)14 b Fq(=)g Fk(n)1388 1968 y Fe(m)p Ff(+1)108 2044 y Fq(Abbildungen)i(v)o (on)g Fk(A)g Fq(nac)o(h)g Fk(B)s Fq(.)p 759 2017 V 759 2046 2 30 v 790 2046 V 759 2048 33 2 v 108 2133 a Fo(De\014nition)i (und)h(Lemma)c(4.8.)20 b Fq(Sei)f Fk(B)j Fj(\032)c Fk(A)h Fq(eine)g(T)l(eilmenge.)d(Die)108 2191 y Fm(char)n(akteristische)26 b(F)l(unktion)h Fk(\037)730 2198 y Fe(B)785 2191 y Fq(v)o(on)e Fk(B)i Fq(ist)e(die)g(Abbildung)f Fk(\037)1394 2198 y Fe(B)1453 2191 y Fq(:)p eop %%Page: 86 28 86 27 bop 108 120 a Fn(86)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fk(A)c Fj(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fq(0)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fj(g)16 b Fq(mit)565 337 y Fk(\037)596 344 y Fe(B)626 337 y Fq(\()p Fk(a)p Fq(\))d(=)755 250 y Fg(8)755 287 y(<)755 362 y(:)792 304 y Fq(0)49 b Fk(a)14 b Fj(62)g Fk(B)792 373 y Fq(1)49 b Fk(a)14 b Fj(2)g Fk(B)s(:)108 465 y Fq(Dann)25 b(ist)e Fj(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))j Fj(3)g Fk(B)j Fj(7!)e Fk(\037)696 472 y Fe(B)752 465 y Fj(2)g Fq(Abb)o(\()p Fk(A;)8 b Fj(f)p Fq(0)p Fk(;)g Fq(1)p Fj(g)p Fq(\))27 b(=)f Fj(f)p Fq(0)p Fk(;)8 b Fq(1)p Fj(g)1330 447 y Fe(A)1383 465 y Fq(eine)108 523 y(bijektiv)o(e)14 b(Abbildung.)158 614 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Die)c(Umk)o(ehrabbildung)f(ist)i Fk(\013)e Fj(7!)f Fk(B)k Fq(:=)c Fj(f)p Fk(a)g Fj(2)h Fk(A)p Fj(j)p Fk(\013)p Fq(\()p Fk(a)p Fq(\))g(=)108 672 y(1)p Fj(g)f Fq(=)g Fk(\013)254 654 y Fa(\000)p Ff(1)302 672 y Fq(\(1\))p Fk(:)p 426 645 33 2 v 426 674 2 30 v 457 674 V 426 676 33 2 v 108 763 a Fo(F)-5 b(olgerung)20 b(4.9.)g Fm(Sei)i Fk(A)f Fm(eine)h(end)r(liche)i(Menge)f(mit)e Fk(n)h Fm(Elementen.)108 821 y(Dann)13 b(b)n(esitzt)g Fk(A)g Fm(genau)g Fq(2)588 803 y Fe(n)625 821 y Fm(T)l(eilmengen,)i(d.h.)d(die)h(Potenzmenge)i Fj(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))108 880 y Fm(b)n(esitzt)j(genau)h Fq(2)420 862 y Fe(n)461 880 y Fm(Elemente.)158 975 y Fi(Beweis.)h Fj(P)t Fq(\()p Fk(A)p Fq(\))i(und)h Fj(f)p Fq(1)p Fk(;)8 b Fq(2)p Fj(g)728 957 y Fe(A)780 975 y Fq(hab)q(en)23 b(gleic)o(h)f(viele,)e(also)j(2)1335 957 y Fe(n)1382 975 y Fq(Ele-)108 1033 y(men)o(te.)p 299 1006 V 299 1035 2 30 v 330 1035 V 299 1037 33 2 v 108 1149 a Fo(De\014nition)18 b(4.10.)i Fq(Der)j Fm(Binomialko)n (e\016zient)1036 1076 y Fg( )1069 1115 y Fk(n)1072 1183 y(r)1098 1076 y Fg(!)1155 1149 y Fq(ist)g(die)g(Anzahl)108 1237 y(der)c Fk(r)q Fq(-elemen)o(tigen)d(T)l(eilmengen)h(einer)h(Menge) g Fk(A)h Fq(mit)e Fk(n)i Fq(Elemen)o(ten)108 1326 y(f)124 1328 y(\177)123 1326 y(ur)h(0)h Fj(\024)f Fk(r)h Fj(\024)f Fk(n)p Fq(.)g(Wir)f(de\014nieren)g(f)802 1328 y(\177)801 1326 y(ur)h Fk(r)i(>)e Fq(0:)1027 1253 y Fg( )1076 1292 y Fk(n)1060 1360 y Fj(\000)p Fk(r)1122 1253 y Fg(!)1175 1326 y Fq(:=)f(0,)h(und)h(f)1422 1328 y(\177)1421 1326 y(ur)108 1455 y Fk(m)14 b(>)g(n)p Fq(:)275 1381 y Fg( )315 1421 y Fk(n)308 1489 y(m)351 1381 y Fg(!)398 1455 y Fq(:=)f(0.)108 1583 y(Beac)o(h)o(te:)305 1510 y Fg( )338 1550 y Fk(n)341 1617 y Fq(0)367 1510 y Fg(!)414 1583 y Fq(=)466 1510 y Fg( )499 1550 y Fk(n)499 1617 y(n)528 1510 y Fg(!)575 1583 y Fq(=)g(1)p Fk(:)108 1745 y Fo(F)-5 b(olgerung)20 b(4.11.)505 1712 y Fg(P)548 1725 y Fe(n)548 1757 y(r)q Ff(=0)621 1672 y Fg( )654 1711 y Fk(n)657 1779 y(r)683 1672 y Fg(!)729 1745 y Fq(=)14 b(2)805 1724 y Fe(n)829 1745 y Fk(:)158 1871 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Durc)o(h)h(Abz)606 1873 y(\177)606 1871 y(ahlen)g(der)g Fk(r)q Fq(-elemen)o(tigen)e(T)l (eilmengen)g(f)1422 1873 y(\177)1421 1871 y(ur)108 1929 y(alle)d Fk(r)q Fq(.)p 283 1902 V 283 1931 2 30 v 314 1931 V 283 1933 33 2 v 108 2020 a Fo(Satz)j(4.12.)h Fm(F)400 2022 y(\177)400 2020 y(ur)d(al)r(le)i Fk(n)14 b Fj(2)g Fl(N)678 2027 y Ff(0)713 2020 y Fm(und)k Fq(0)c Fj(\024)g Fk(r)h Fj(\024)f Fk(n)j Fm(gilt)494 2069 y Fg( )566 2108 y Fk(n)526 2176 y(r)c Fj(\000)e Fq(1)635 2069 y Fg(!)679 2142 y Fq(+)728 2069 y Fg( )761 2108 y Fk(n)764 2176 y(r)790 2069 y Fg(!)837 2142 y Fq(=)888 2069 y Fg( )921 2108 y Fk(n)g Fq(+)g(1)966 2176 y Fk(r)1035 2069 y Fg(!)1068 2142 y Fk(:)p eop %%Page: 87 29 87 28 bop 560 117 a Fn(4.)17 b(ANZAHLA)o(USSA)o(GEN)411 b(87)158 225 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Bezeic)o(hne)d Fj(j)p Fk(B)s Fj(j)h Fq(die)g(Anzahl)h(der)g(Elemen)o(te)d(v)o(on)j Fk(B)s Fq(.)f(Sei)108 283 y Fk(A)c Fq(eine)g(Menge)g(mit)e Fk(n)7 b Fq(+)g(1)16 b(Elemen)o(ten)11 b(und)k(sei)f Fk(a)f Fj(2)i Fk(A)p Fq(,)e Fk(A)1211 265 y Fa(0)1236 283 y Fq(:=)g Fk(A)7 b Fj(n)g(f)p Fk(a)p Fj(g)p Fq(.)108 341 y(Dann)17 b(ist)185 385 y Fg(\020)210 411 y Fe(n)p Ff(+1)235 451 y Fe(r)277 385 y Fg(\021)315 434 y Fq(=)367 371 y Fg(\014)367 396 y(\014)367 421 y(\014)367 446 y(\014)381 385 y(n)409 434 y Fk(U)i Fj(\032)13 b Fk(A)550 384 y Fg(\014)550 409 y(\014)550 434 y(\014)p Fj(j)p Fk(U)5 b Fj(j)14 b Fq(=)f Fk(r)718 385 y Fg(o)746 371 y(\014)746 396 y(\014)746 421 y(\014)746 446 y(\014)185 533 y Fq(=)237 471 y Fg(\014)237 496 y(\014)237 521 y(\014)237 546 y(\014)251 485 y(n)279 533 y Fk(U)19 b Fj(\032)13 b Fk(A)420 483 y Fg(\014)420 508 y(\014)420 533 y(\014)p Fk(a)g Fj(2)h Fk(U)j Fj(^)11 b(j)p Fk(U)5 b Fj(j)14 b Fq(=)g Fk(r)769 485 y Fg(o)806 527 y Fq(_)797 533 y Fj([)830 485 y Fg(n)858 533 y Fk(U)19 b Fj(\032)13 b Fk(A)999 483 y Fg(\014)999 508 y(\014)999 533 y(\014)p Fk(a)g Fj(62)h Fk(U)j Fj(^)11 b(j)p Fk(U)5 b Fj(j)14 b Fq(=)f Fk(r)1347 485 y Fg(o)1375 471 y(\014)1375 496 y(\014)1375 521 y(\014)1375 546 y(\014)185 633 y Fq(=)237 571 y Fg(\014)237 595 y(\014)237 620 y(\014)237 645 y(\014)251 585 y(n)279 633 y Fk(U)19 b Fj(\032)13 b Fk(A)420 583 y Fg(\014)420 608 y(\014)420 633 y(\014)p Fj(9)p Fk(V)25 b Fj(\032)13 b Fk(A)604 615 y Fa(0)615 633 y Fq([)p Fk(U)19 b Fq(=)14 b Fk(V)782 627 y Fq(_)772 633 y Fj([f)p Fk(a)p Fj(g)d(^)g(j)p Fk(V)g Fj(j)j Fq(=)g Fk(r)e Fj(\000)f Fq(1])1191 585 y Fg(o)1228 627 y Fq(_)1219 633 y Fj([)490 684 y Fg(n)518 732 y Fk(U)19 b Fj(\032)14 b Fk(A)660 714 y Fa(0)671 683 y Fg(\014)671 707 y(\014)671 732 y(\014)p Fj(j)p Fk(U)5 b Fj(j)14 b Fq(=)f Fk(r)839 684 y Fg(o)867 670 y(\014)867 695 y(\014)867 720 y(\014)867 745 y(\014)185 832 y Fq(=)237 770 y Fg(\014)237 795 y(\014)237 820 y(\014)237 844 y(\014)251 784 y(n)279 832 y Fk(V)25 b Fj(\032)13 b Fk(A)421 814 y Fa(0)433 782 y 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(esetzt)g(und)f(das)g(Inner)n(e)g(dadur)n(ch)108 1261 y(ausf)194 1263 y(\177)194 1261 y(ul)r(lt,)c(da\031)f(man)g(je)g(zwei)g (neb)n(eneinander)i(stehende)f(Zahlen)g(addiert)108 1319 y(und)i(darunter)g(zwischen)g(ihnen)h(notiert:)228 1351 y Fg( )261 1390 y Fq(0)261 1458 y(0)285 1351 y Fg(!)587 1424 y Fm(1)228 1480 y Fg( )261 1519 y Fq(1)261 1587 y Fk(r)285 1480 y Fg(!)545 1553 y Fm(1)59 b(1)228 1608 y Fg( )261 1648 y Fq(2)261 1715 y Fk(r)285 1608 y Fg(!)502 1681 y Fm(1)h(2)g(1)898 1608 y Fg( )971 1648 y Fk(n)931 1715 y(r)13 b Fj(\000)d Fq(1)1040 1608 y Fg(!)1143 1681 y Fq(+)1252 1608 y Fg( )1285 1648 y Fk(n)1288 1715 y(r)1314 1608 y Fg(!)228 1737 y( )261 1776 y Fq(3)261 1844 y Fk(r)285 1737 y Fg(!)460 1810 y Fm(1)60 b(3)f(3)h(1)1073 1737 y Fg( )1106 1776 y Fk(n)11 b Fq(+)g(1)1151 1844 y Fk(r)1219 1737 y Fg(!)228 1866 y( )261 1905 y Fq(4)261 1973 y Fk(r)285 1866 y Fg(!)418 1939 y Fm(1)59 b(4)h(6)g(4)f(1)108 2053 y(Je)n(der)23 b(Eintr)n(ag)h(dieses)g(Dr)n(eie)n(cks)f(in)h(der)f Fk(n)p Fm(-ten)i(Zeile)g(an)e(der)h Fk(r)q Fm(-ten)108 2142 y(Stel)r(le)d(enth)332 2144 y(\177)332 2142 y(alt)d(dann)g(den)h (Wert)743 2069 y Fg( )776 2108 y Fk(n)779 2176 y(r)805 2069 y Fg(!)838 2142 y Fm(.)p eop %%Page: 88 30 88 29 bop 108 120 a Fn(88)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 258 y Fo(Satz)h(4.14.)h Fm(F)400 260 y(\177)400 258 y(ur)d Fq(0)d Fj(\024)g Fk(r)h Fj(\024)e Fk(n)18 b Fm(gilt)774 185 y Fg( )807 225 y Fk(n)810 292 y(r)836 185 y Fg(!)883 258 y Fq(=)1019 225 y Fk(n)p Fq(!)p 940 247 202 2 v 940 292 a Fk(r)q Fq(!\()p Fk(n)11 b Fj(\000)g Fk(r)q Fq(\)!)158 419 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Durc)o(h)c(v)o(ollst)630 421 y(\177)630 419 y(andige)g(Induktion)g (nac)o(h)g Fk(n)g Fq(b)q(ew)o(eisen)g(wir)229 564 y Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))d(:)p Fj(\()-8 b(\))13 b(8)p Fk(r)h Fj(2)g Fl(N)602 503 y Fg(\024)622 564 y Fq(0)g Fj(\024)g Fk(r)h Fj(\024)e Fk(n)h Fq(=)-8 b Fj(\))939 491 y Fg( )971 530 y Fk(n)974 598 y(r)1001 491 y Fg(!)1047 564 y Fq(=)1184 530 y Fk(n)p Fq(!)p 1104 552 V 1104 598 a Fk(r)q Fq(!\()p Fk(n)11 b Fj(\000)g Fk(r)q Fq(\)!)1311 503 y Fg(\025)1333 564 y Fk(:)108 749 y Fq(Induktionsanfang:)h(Es)f(ist)629 676 y Fg( )661 715 y Fq(1)661 783 y(0)686 676 y Fg(!)733 749 y Fq(=)i(1)i(=)916 715 y(1!)p 879 738 112 2 v 879 783 a(0!)c Fj(\001)g Fq(1!)1007 749 y(und)1099 676 y Fg( )1132 715 y Fq(1)1132 783 y(1)1156 676 y Fg(!)1203 749 y Fq(=)j(1)g(=)1387 715 y(1!)p 1350 738 V 1350 783 a(1!)d Fj(\001)g Fq(0!)1467 749 y Fk(:)108 840 y Fq(Induktionsannahme:) k(Sei)h Fh(A)p Fq(\()p Fk(n)p Fq(\))g(w)o(ahr.)108 899 y(Induktionssc)o(hlu\031:)129 961 y Fg( )162 1000 y Fk(n)11 b Fq(+)g(1)207 1068 y Fk(r)275 961 y Fg(!)322 1034 y Fq(=)374 961 y Fg( )447 1000 y Fk(n)407 1068 y(r)h Fj(\000)f Fq(1)515 961 y Fg(!)559 1034 y Fq(+)608 961 y Fg( )641 1000 y Fk(n)644 1068 y(r)670 961 y Fg(!)717 1034 y Fq(=)957 1000 y Fk(n)p Fq(!)p 774 1022 410 2 v 774 1068 a(\()p Fk(r)h Fj(\000)f Fq(1\)!\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fk(r)h Fq(+)f(1\)!)1199 1034 y(+)1333 1000 y Fk(n)p Fq(!)p 1253 1022 202 2 v 1253 1068 a Fk(r)q Fq(!\()p Fk(n)g Fj(\000)g Fk(r)q Fq(\)!)129 1155 y(=)186 1121 y Fk(n)p Fq(!)f Fj(\001)h Fk(r)i Fq(+)e Fk(n)p Fq(!\()p Fk(n)g Fq(+)g(1)g Fj(\000)g Fk(r)q Fq(\))p 186 1143 441 2 v 263 1189 a Fk(r)q Fq(!\()p Fk(n)g Fq(+)g(1)g Fj(\000)g Fk(r)q Fq(\)!)645 1155 y(=)781 1121 y(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\)!)p 702 1143 325 2 v 702 1189 a Fk(r)q Fq(!\(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\))g Fj(\000)g Fk(r)q Fq(\)!)108 1297 y(f)124 1299 y(\177)123 1297 y(ur)16 b(1)f Fj(\024)e Fk(r)i Fj(\024)f Fk(n:)108 1382 y Fq(F)141 1384 y(\177)140 1382 y(ur)20 b Fk(r)i Fq(=)e(0)g(ist)424 1309 y Fg( )457 1349 y Fk(n)11 b Fq(+)g(1)502 1416 y(0)571 1309 y Fg(!)617 1382 y Fq(=)j(1)g(=)783 1349 y(\()p Fk(n)d Fq(+)g(1\)!)p 764 1371 203 2 v 764 1416 a(0!\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\)!)992 1382 y(und)20 b(f)1109 1384 y(\177)1108 1382 y(ur)g Fk(r)i Fq(=)e Fk(n)14 b Fq(+)f(1)21 b(ist)108 1438 y Fg( )141 1477 y Fk(n)11 b Fq(+)g(1)141 1545 y Fk(n)g Fq(+)g(1)255 1438 y Fg(!)301 1511 y Fq(=)17 b(1)d(=)470 1477 y(\()p Fk(n)d Fq(+)g(1\)!)p 451 1499 V 451 1545 a(\()p Fk(n)g Fq(+)g(1\)!0!)659 1511 y Fk(:)p 721 1484 33 2 v 721 1513 2 30 v 752 1513 V 721 1515 33 2 v 108 1659 a Fo(Satz)19 b(4.15.)h Fm(\(Die)13 b(binomische)h(F)l(ormel\))g(F) 936 1661 y(\177)936 1659 y(ur)e(al)r(le)j Fk(a;)8 b(b)13 b Fj(2)h Fl(R)7 b Fm(und)14 b Fk(n)f Fj(2)i Fl(N)108 1717 y Fm(gilt)515 1837 y Fq(\()p Fk(a)10 b Fq(+)h Fk(b)p Fq(\))659 1816 y Fe(n)696 1837 y Fq(=)768 1783 y Fe(n)749 1795 y Fg(X)748 1886 y Fe(r)q Ff(=0)818 1764 y Fg( )851 1803 y Fk(n)854 1871 y(r)880 1764 y Fg(!)913 1837 y Fk(a)939 1816 y Fe(r)958 1837 y Fk(b)979 1816 y Fe(n)p Fa(\000)p Fe(r)1046 1837 y Fk(:)158 2001 y Fi(Beweis.)20 b Fq(Beim)i(Ausm)o (ultipli)o(zi)o(eren)f(k)o(omm)n(t)g Fk(a)1098 1983 y Fe(r)1141 2001 y Fq(so)k(oft)f(v)o(or,)f(wie)108 2090 y(man)16 b Fk(r)h Fq(F)l(aktoren)f(aus)h Fk(n)f Fq(F)l(aktoren)g(ausw) 903 2092 y(\177)903 2090 y(ahlen)h(k)m(ann,)g(also)1263 2017 y Fg( )1296 2056 y Fk(n)1299 2124 y(r)1325 2017 y Fg(!)1374 2090 y Fq(mal.)108 2182 y(Die)f(restlic)o(hen)e Fk(n)e Fj(\000)e Fk(r)18 b Fq(F)l(aktoren)e(ergeb)q(en)g Fk(b)951 2164 y Fe(n)p Fa(\000)p Fe(r)1019 2182 y Fq(.)p 1081 2155 V 1081 2184 2 30 v 1112 2184 V 1081 2186 33 2 v eop %%Page: 89 31 89 30 bop 284 117 a Fn(5.)18 b(EIN)g(KURZER)g(A)o(UFBA)o(U)h(DES)f (ZAHLENSYSTEMS)136 b(89)287 225 y Fo(5.)28 b(Ein)18 b(kurzer)g(Aufbau)h (des)g(Zahlensystems)108 363 y Fq(In)f(diesem)f(kurzen)g(Absc)o(hnitt)h (w)o(ollen)f(wir)h(andeuten,)g(wie)g(man)g(n)o(un)108 421 y(mit)i(den)i(f)317 423 y(\177)316 421 y(ur)g(die)f(nat)539 423 y(\177)538 421 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)g(gew)o(onnenen)h(Eigensc)o (haften)108 480 y(das)f(w)o(eitere)e(Zahlsystem)f(en)o(t)o(wic)o(k)o (elt)f(w)o(erden)j(k)m(ann.)g(Wir)g(geb)q(en)g(le-)108 538 y(diglic)o(h)e(die)g(Konstruktionen)h(der)f(Mengen)h(der)g(ganzen)g (Zahlen,)f(der)108 596 y(rationalen)d(Zahlen,)f(der)h(reellen)e(Zahlen) h(und)h(der)g(k)o(omplexen)d(Zahlen)108 654 y(an,)k(ohne)g(jew)o(eils)f (die)g(Rec)o(hengesetze)f(herzuleiten.)g(Lediglic)o(h)g(f)1343 656 y(\177)1342 654 y(ur)i(die)108 712 y(k)o(omplexen)e(Zahlen)i (de\014nieren)g(wir)g(die)g(Addition)g(und)g(die)g(Multipli-)108 770 y(k)m(ation.)108 861 y Fo(De\014nition)i(5.1.)i Fq(Die)c(Menge)g (der)g Fm(ganzen)j(Zahlen)f Fl(Z)p Fq(wird)e(wie)g(folgt)108 919 y(de\014niert.)e(Auf)g Fl(N)7 b Fj(\002)h Fl(N)13 b Fq(bildet)h(man)g(eine)886 909 y(\177)880 919 y(Aquiv)m (alenzrelation)f Fj(\030)i Fq(durc)o(h)436 1011 y(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fq(\))13 b Fj(\030)g Fq(\()p Fk(c;)8 b(d)p Fq(\))14 b(:)p Fj(\()-8 b(\))13 b Fk(a)e Fq(+)g Fk(d)j Fq(=)g Fk(b)c Fq(+)h Fk(c:)108 1102 y Fq(Die)16 b(Menge)g(der)443 1091 y(\177)437 1102 y(Aquiv)m(alenzklassen)e Fl(N)9 b Fj(\002)i Fl(N)p Fk(=)h Fj(\030)k Fq(ist)g(dann)h Fl(Z)-13 b Fk(:)108 1160 y Fq(Man)17 b(fasse)f(die)g(Klasse)p 567 1118 107 2 v 16 w(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fq(\))16 b(als)g Fk(a)11 b Fj(\000)g Fk(b)16 b Fq(auf.)108 1251 y Fo(De\014nition)i (5.2.)i Fq(Die)h(Menge)h(der)g Fm(r)n(ationalen)h(Zahlen)h Fl(Q)19 b Fq(wird)j(wie)108 1309 y(folgt)c(de\014niert.)f(Auf)g Fl(Z)l Fj(\002)12 b Fq(\()p Fl(Z)l Fj(n)g(f)p Fq(0)p Fj(g)p Fq(\))18 b(bildet)e(man)h(eine)1181 1299 y(\177)1175 1309 y(Aquiv)m(alenzre-)108 1367 y(lation)f Fj(\030)g Fq(durc)o(h)496 1458 y(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fq(\))13 b Fj(\030)g Fq(\()p Fk(c;)8 b(d)p Fq(\))14 b(:)p Fj(\()-8 b(\))13 b Fk(ad)h Fq(=)g Fk(cb:)108 1550 y Fq(Dann)i(de\014niert)e(man) f Fl(Q)f Fq(:=)h Fl(Z)-9 b Fj(\002)8 b Fq(\()p Fl(Z)-9 b Fj(n)8 b(f)p Fq(0)p Fj(g)p Fq(\))p Fk(=)15 b Fj(\030)f Fq(und)h(k)1125 1552 y(\177)1124 1550 y(urzt)p 1225 1507 V 14 w(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fq(\))14 b(durc)o(h)113 1588 y Fe(a)p 113 1596 19 2 v 115 1625 a(b)153 1608 y Fq(ab.)108 1699 y Fo(De\014nition)k(5.3.)i Fq(Die)c(Menge)h(der)g Fm(r)n(e)n(el)r(len)j(Zahlen)e Fl(R)11 b Fq(wird)17 b(wie)f(folgt)108 1757 y(de\014niert.)22 b(Eine)g(T)l(eilmenge)f Fk(a)j Fj(\032)h Fl(Q)20 b Fq(hei\031t)j Fm(De)n(dekindscher)i(Schnitt)p Fq(,)108 1815 y(w)o(enn)174 1887 y(\(1\))c Fk(a)13 b Fj(6)p Fq(=)h Fj(;)d(^)g Fk(a)j Fj(6)p Fq(=)f Fl(Q)p Fk(;)174 1945 y Fq(\(2\))21 b Fj(8)p Fk(x)12 b Fj(2)i Fk(a)p Fj(8)p Fk(y)g Fj(2)g Fl(Q)p Fq([)p Fk(x)c Fj(\024)k Fk(y)h Fq(=)-8 b Fj(\))13 b Fk(y)j Fj(2)e Fk(a)p Fq(])p Fk(;)174 2003 y Fq(\(3\))21 b Fk(a)c Fq(en)o(th)394 2005 y(\177)394 2003 y(alt)g(k)o(ein)f(kleinstes)g(Elemen)o(t)f(\(bzgl.)i (der)g(Ordn)o(ung)h(v)o(on)257 2061 y Fl(Q)p Fq(\))p Fk(:)108 2133 y Fq(Die)13 b(Menge)f Fl(R)7 b Fq(der)12 b(reellen)g(Zahlen)g(ist)h(die)f(Menge)g(der)h(Dedekindsc)o(hen)108 2191 y(Sc)o(hnitte.)23 b(Eine)i(reelle)d(Zahl)j(ist)f(also)i(ein)e (Dedekindsc)o(her)f(Sc)o(hnitt.)p eop %%Page: 90 32 90 31 bop 108 120 a Fn(90)371 b(I)q(I.)18 b(NA)m(T)676 112 y(\177)671 120 y(URLICHE)g(ZAHLEN)108 225 y Fq(Nac)o(h)k(Einf)329 227 y(\177)328 225 y(uhrung)g(der)g(Ordn)o(ung)h(in)e(der)h(Mange)h (der)f(reellen)e(Zah-)108 283 y(len)d(und)h(der)f(Iden)o(ti\014zierung) f(der)h(rationalen)h(Zahlen)f(mit)e(sp)q(eziellen)108 341 y(reellen)f(Zahlen)h(stellt)g(sic)o(h)f(dann)j(heraus,)e(da\031)i (der)e(zugeh)1224 343 y(\177)1224 341 y(orige)h(Dede-)108 399 y(kindsc)o(he)11 b(Sc)o(hnitt)g(f)483 401 y(\177)482 399 y(ur)h(eine)f(reelle)f(Zahl)i Fk(r)i Fq(aus)e(allen)g(rationalen)g (Zahlen)108 458 y Fk(x)k Fq(mit)f Fk(r)g(<)f(x)i Fq(b)q(esteh)o(t.)108 541 y Fo(De\014nition)i(5.4.)i Fq(Die)f(Menge)h(der)f Fm(komplexen)k(Zahlen)e Fl(C)29 b Fq(ist)20 b Fl(R)7 b Fj(\002)14 b Fl(R)108 599 y Fq(mit)19 b(den)h(Rec)o(henop)q (erationen)g(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fq(\))13 b(+)h(\()p Fk(c;)8 b(d)p Fq(\))21 b(=)g(\()p Fk(a)13 b Fq(+)h Fk(c;)8 b(b)14 b Fq(+)f Fk(d)p Fq(\))21 b(und)108 657 y(\()p Fk(a;)8 b(b)p Fq(\))i Fj(\001)h Fq(\()p Fk(c;)d(d)p Fq(\))14 b(=)g(\()p Fk(ac)d Fj(\000)g Fk(bd;)d(ad)i Fq(+)h Fk(bc)p Fq(\))p Fk(:)16 b Fq(Es)h(ist)f Fk(i)d Fq(:=)g(\(0)p Fk(;)8 b Fq(1\))p Fk(:)p eop %%Trailer end userdict /end-hook known{end-hook}if %%EOF