%!PS-Adobe-2.0 %%Creator: dvips 5.58 Copyright 1986, 1994 Radical Eye Software %%Title: linalg1.dvi %%CreationDate: Sun Oct 29 07:34:15 2000 %%Pages: 58 %%PageOrder: Ascend %%BoundingBox: 0 0 596 842 %%EndComments %DVIPSCommandLine: DVIPS16 -a linalg1 %DVIPSParameters: dpi=300, compressed, comments removed %DVIPSSource: TeX output 1995.11.06:1343 %%BeginProcSet: texc.pro /TeXDict 250 dict def TeXDict begin /N{def}def /B{bind def}N /S{exch}N /X{S N}B /TR{translate}N /isls false N /vsize 11 72 mul N /hsize 8.5 72 mul N /landplus90{false}def /@rigin{isls{[0 landplus90{1 -1}{-1 1} ifelse 0 0 0]concat}if 72 Resolution div 72 VResolution div neg scale isls{landplus90{VResolution 72 div vsize mul 0 exch}{Resolution -72 div hsize mul 0}ifelse TR}if Resolution VResolution vsize -72 div 1 add mul TR[matrix currentmatrix{dup dup round sub abs 0.00001 lt{round}if} forall round exch round exch]setmatrix}N /@landscape{/isls true N}B /@manualfeed{statusdict /manualfeed true put}B /@copies{/#copies X}B /FMat[1 0 0 -1 0 0]N /FBB[0 0 0 0]N /nn 0 N /IE 0 N /ctr 0 N /df-tail{ /nn 8 dict N nn begin /FontType 3 N /FontMatrix fntrx N /FontBBox FBB N string /base X array /BitMaps X /BuildChar{CharBuilder}N /Encoding IE N end dup{/foo setfont}2 array copy cvx N load 0 nn put /ctr 0 N[}B /df{ /sf 1 N /fntrx FMat N df-tail}B /dfs{div /sf X /fntrx[sf 0 0 sf neg 0 0] N df-tail}B /E{pop nn dup definefont setfont}B /ch-width{ch-data dup length 5 sub get}B /ch-height{ch-data dup length 4 sub get}B /ch-xoff{ 128 ch-data dup length 3 sub get sub}B /ch-yoff{ch-data dup length 2 sub get 127 sub}B /ch-dx{ch-data dup length 1 sub get}B /ch-image{ch-data dup type /stringtype ne{ctr get /ctr ctr 1 add N}if}B /id 0 N /rw 0 N /rc 0 N /gp 0 N /cp 0 N /G 0 N /sf 0 N /CharBuilder{save 3 1 roll S dup /base get 2 index get S /BitMaps get S get /ch-data X pop /ctr 0 N ch-dx 0 ch-xoff ch-yoff ch-height sub ch-xoff ch-width add ch-yoff setcachedevice ch-width ch-height true[1 0 0 -1 -.1 ch-xoff sub ch-yoff .1 sub]/id ch-image N /rw ch-width 7 add 8 idiv string N /rc 0 N /gp 0 N /cp 0 N{rc 0 ne{rc 1 sub /rc X rw}{G}ifelse}imagemask restore}B /G{{id gp get /gp gp 1 add N dup 18 mod S 18 idiv pl S get exec}loop}B /adv{cp add /cp X}B /chg{rw cp id gp 4 index getinterval putinterval dup gp add /gp X adv}B /nd{/cp 0 N rw exit}B /lsh{rw cp 2 copy get dup 0 eq{pop 1}{ dup 255 eq{pop 254}{dup dup add 255 and S 1 and or}ifelse}ifelse put 1 adv}B /rsh{rw cp 2 copy get dup 0 eq{pop 128}{dup 255 eq{pop 127}{dup 2 idiv S 128 and or}ifelse}ifelse put 1 adv}B /clr{rw cp 2 index string putinterval adv}B /set{rw cp fillstr 0 4 index getinterval putinterval adv}B /fillstr 18 string 0 1 17{2 copy 255 put pop}for N /pl[{adv 1 chg} {adv 1 chg nd}{1 add chg}{1 add chg nd}{adv lsh}{adv lsh nd}{adv rsh}{ adv rsh nd}{1 add adv}{/rc X nd}{1 add set}{1 add clr}{adv 2 chg}{adv 2 chg nd}{pop nd}]dup{bind pop}forall N /D{/cc X dup type /stringtype ne{] }if nn /base get cc ctr put nn /BitMaps get S ctr S sf 1 ne{dup dup length 1 sub dup 2 index S get sf div put}if put /ctr ctr 1 add N}B /I{ cc 1 add D}B /bop{userdict /bop-hook known{bop-hook}if /SI save N @rigin 0 0 moveto /V matrix currentmatrix dup 1 get dup mul exch 0 get dup mul add .99 lt{/QV}{/RV}ifelse load def pop pop}N /eop{SI restore showpage userdict /eop-hook known{eop-hook}if}N /@start{userdict /start-hook known{start-hook}if pop /VResolution X /Resolution X 1000 div /DVImag X /IE 256 array N 0 1 255{IE S 1 string dup 0 3 index put cvn put}for 65781.76 div /vsize X 65781.76 div /hsize X}N /p{show}N /RMat[1 0 0 -1 0 0]N /BDot 260 string N /rulex 0 N /ruley 0 N /v{/ruley X /rulex X V}B /V {}B /RV statusdict begin /product where{pop product dup length 7 ge{0 7 getinterval dup(Display)eq exch 0 4 getinterval(NeXT)eq or}{pop false} ifelse}{false}ifelse end{{gsave TR -.1 .1 TR 1 1 scale rulex ruley false RMat{BDot}imagemask grestore}}{{gsave TR -.1 .1 TR rulex ruley scale 1 1 false RMat{BDot}imagemask grestore}}ifelse B /QV{gsave newpath transform round exch round exch itransform moveto rulex 0 rlineto 0 ruley neg rlineto rulex neg 0 rlineto fill grestore}B /a{moveto}B /delta 0 N /tail {dup /delta X 0 rmoveto}B /M{S p delta add tail}B /b{S p tail}B /c{-4 M} B /d{-3 M}B /e{-2 M}B /f{-1 M}B /g{0 M}B /h{1 M}B /i{2 M}B /j{3 M}B /k{ 4 M}B /w{0 rmoveto}B /l{p -4 w}B /m{p -3 w}B /n{p -2 w}B /o{p -1 w}B /q{ p 1 w}B /r{p 2 w}B /s{p 3 w}B /t{p 4 w}B /x{0 S rmoveto}B /y{3 2 roll p a}B /bos{/SS save N}B /eos{SS restore}B end %%EndProcSet TeXDict begin 39158280 55380996 1000 300 300 (H:\PCTEX32/linalg1.dvi) @start /Fa 4 83 df<7E12F012FCB4FC13E013FEA213E0130012FC12F012800F0C6785 2A>45 D63 D<7E7E12607E7E7E7E7E6C7E6C7E13607F7F7F7F7F6D7E6D7E146080808080806E7E6E7E 156081818181816F7E6F7E16608282828282EE0180EE00C0176017202B2C80AA2A>I<13 801201EA03C01207120FEA1FE0123F127FEAFFF0123FEA07F81200133C130E1306130110 10668F2A>82 D E /Fc 2 113 df110 D112 D E /Fe 3 51 df<121FEA3180EA60C0EA40 40EAC060A8EA4040EA60C0EA3180EA1F000B107F8F0F>48 D<1218127812981218AC12FF 08107D8F0F>I<121FEA6180EA40C0EA806012C01200A213C0EA0180EA030012065AEA10 201220EA7FC012FF0B107F8F0F>I E /Ff 10 111 df0 D<126012F0A2126004047D890A>II14 D<1206120FA2120E121EA2121C123C1238A212301270A2126012E012C012400811 7F910A>48 D<3801FF801207000EC7FC12185A5AA35AA2B51280A200C0C7FCA21260A37E 7E120E3807FF80120111167D9218>50 D<13201360EA0FE0EA18C0EA20E0EA60F0EA61B0 EA4190EAC198A2EAC318A312C6A412CCA2EA4C10EA6C301278EA3860EA18C0EA3F80EA30 00A20D1B7E9812>59 D<0040132000C01360AE006013C0383C0780381FFF00EA03F81313 7E9218>91 DI<12 C0A21260A37EA37EA37EA37EA37EA2EA0180A3EA00C0A31360A31330A3131813080D217E 9812>110 D E /Fg 1 1 df<1718173C177C17F8EE01F0EE03E0EE07C0EE0F80EE1F0016 3E5E5E4B5A4B5A4B5A4B5A4BC7FC153E5D5D4A5A4A5A4A5A4A5A4AC8FC143E5C5C495A49 5A495A495A49C9FC133E5B5B485A485A485A485A48CAFC123E5A5A5A12602E2E82AB2A> 0 D E /Fh 4 40 df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i 17 93 df<12C0B3A9021B7A800E>12 D<1430146014C0EB0180EB03005B130E130C5B1338133013705B5B12015B1203A290C7FC 5A1206120EA2120C121CA312181238A45AA75AB3A31270A77EA41218121CA3120C120EA2 120612077E7FA212017F12007F13701330133813187F130E7F7FEB0180EB00C014601430 146377811F>18 D<12C012607E7E7E120E7E7E6C7E7F12007F1370133013381318131CA2 130C130E13061307A27F1480A3130114C0A4EB00E0A71470B3A314E0A7EB01C0A4148013 03A314005BA21306130E130C131CA213181338133013705B5B12015B48C7FC5A120E120C 5A5A5A5A14637F811F>I<141C143C14F8EB01E0EB03C0EB0780EB0F00130E131E5BA35B B3B3A25BA3485AA2485A5B48C7FC120E5A127812E0A21278121C7E7E6C7E7F6C7EA26C7E A31378B3B3A27FA37F130E130FEB0780EB03C0EB01E0EB00F8143C141C167C7B8121>40 D<12E07E127C121E7E6C7E6C7E12017F6C7EA31378B3B3A27FA37FA27F7FEB0380EB01C0 EB00E01478141CA2147814E0EB01C0EB0380EB07005B131EA25BA35BB3B3A25BA3485A5B 1203485A48C7FC121E127C12F05A167C7B8121>I<1318137813F0EA01E0EA03C0EA0780 EA0F005A121E123E123C127CA2127812F8B3A50D25707E25>56 D<12F8B3A51278127CA2 123C123E121E121F7EEA0780EA03C0EA01E0EA00F0137813180D25708025>58 D<137CB3A613F8A313F0120113E0120313C0EA07801300120E5A5A12F012C012F012387E 7E7E1380EA03C013E0120113F0120013F8A3137CB3A60E4D798025>60 D<12F8AE050E708025>62 D81 D<00E0141CB3AD00701438A26C1470A26C14E0001E1301390F8007 C03907E01F803901FFFE0038007FF8EB1FE01E2A7E7F23>83 DI88 DII<00E0ED0380 B3B3A60070ED0700A36C150EA26C5D001E153C000E15386C5D01C0EB01F06C6C495AD800 F8EB0F80017F017FC7FC90381FFFFC010713F001001380293A7E7F2E>II E /Fj 4 81 df<15803901F80100380FFE0338183F0EEA301F38600F8EEAE007130312F0A21278 127C003C130E121CA2EA18061230EA600CEA00181330136013C03801800F3803E01F380F F06F391FF9C7B03960FF87E039007E07C090383C038090381002001C1E7F9C1E>65 DI77 D<3903F003E0380FFC0F39187C18F039301E207000601340EB0FC0 00E0EB807F39F007007E00F81438007C14101520003E1460001E14E0000E14F0120C0018 147812300000143C151CA2150CA201FF130848EBC01848EBF83039060FFFE0486C13C000 08EB1F00000090C7FCA65B130E130820257F9B22>80 D E /Fk 23 121 df11 D23 D<126012F0A2126004047D830A>58 D<130813181330A31360A313C0A3EA0180A3EA0300A21206A35AA35AA35AA35AA35AA20D 217E9812>61 D<14C0A21301A21303130514E01308131813101320A213401380A23801FF F0EB007012025AA25A121838FE03FE17177F961A>65 D<3807FFF83800E00E14071403A2 EA01C01407A2140E3803803CEBFFF0A2EB803C3807001C140EA3000E131CA21438147038 1C01E0B5120018177F961B>II73 D<3807FFF03800E01C14061407A2EA01C0A3140E48485A1470EBFF80EB80E03807007080 A3000E5BA21580A248EB310038FF801E19177F961B>82 DI<38FFC0FF381C00181410A3481320A4 481340A4481380A4EB010013025BEA6008EA3830EA0FC018177E9618>85 D<3AFF83FC1FC03A1C00E007001506150401015B13025DEB04F0EC702001085BA201105B EA0E200271C7FC13401472EB8074120FEB0078120E1470000C1330142022177E9621>87 D97 D<127C1218A45AA4EA6780EA68C0EA7040EA606012C0A4EA80C0A2EA8180EAC10012 46123C0B177E960F>II<133E130CA41318A4EA0730EA18F0EA30701260136012C0A3EA80 C013C4A212C1EA46C8EA38700F177E9612>I<120313801300C7FCA6121C12241246A25A 120C5AA31231A21232A2121C09177F960C>105 D<1318133813101300A6EA01C0EA0220 EA0430A2EA08601200A313C0A4EA0180A4EA630012E312C612780D1D80960E>I110 D112 D114 D<1203A21206A4EAFFC0EA0C00A35AA45A1380A2EA31001232121C0A147F 930D>116 D120 D E /Fl 3 58 df<13065BA25B13381330017FB512F848B6 FCD80380C8FC000EC9FC123C12F01238120E7EEA01806CB612F87F0130C8FC7FA27FA27F 25187E952A>40 D<14036E7EA26E7E811560B612F015FCC8120EED0380ED01E0ED007816 E0ED0380ED0700150CB612F85DC812605DA24A5AA24AC7FC25187E952A>I57 D E /Fm 18 123 df<127012F8A3127005057A8410>46 D66 D70 D<3801F8083807FF18381E0398383800F800301378007013 380060131812E01408A36C13001278127CEA3F8013F86CB4FC000713C0000113E038001F F01301EB00781438143C141C7EA46C13186C1338143000F8136038CF01E038C7FF803880 FE0016247CA21E>83 D<1304130EA3131FA2EB2F801327A2EB43C0A2EBC3E01381A248C6 7EA2487F13FF38020078487FA3487F1218003C131F00FEEB7FE01B1A7F991F>97 D100 DI103 D105 D108 D<00FEEB3F80001FEB0E00EB80041217EA13C0EA11E013F01210137813 7C133C131E130F14841307EB03C4EB01E4A2EB00F4147CA2143C141C140C123800FE1304 191A7E991F>110 DI114 DI<007FB5FC38701E 0700601301124000C0148000801300A300001400B0133F3803FFF0191A7F991D>I<39FF C03F80391E000E001404B2000E5B120F6C5B6C6C5A3800E0C0013FC7FC191A7E991F>I< 3AFFC1FF81FC3A3E007E0078001E013C13701620001F013E13606C1540A22607804F1380 A33A03C0878100A33901E103C2A33900F201E4A215F490387C00F8A301381370A3011013 20261A7F992A>119 D<387FFFE0387803C01270386007801240EB0F00131EA2C65AA25B 5BA2485AA2485A38078020A2EA0F00A2001E136048134014C0EA78011303B5FC131A7E99 19>122 D E /Fn 6 91 df<90387FFF800003B5FCD80780C7FC000CC8FC5A5AA25AA25A A81260A27EA27E120E6C7E0001B512806C7E90C8FCA51418A25C5CA25CB61280A2D80003 C7FC1306A25B5BA25B5BB61280A2D80180C7FCA248C8FC1206A25A120819387DA020>36 D<90387F80403801A0F03906401FC03908800C4000101302381100010021EB00C0124115 40004214001282AA12421241A212216C6C13C0EC03803908400F003806203C38019FF038 007F801A1E7E9C15>67 D<39FFE00FF83930100320390808014090380400C0120CEA0E02 EA0D01380C8080EB4040A2EB2020EB1010EB0808EB0404A2EB0202EB0101EB0080EC4040 1420A2141014081404140200121301123339FFC000C0C812401D1D809B20>78 D81 DI<003FB512803921C08100EA260038580102386002041240495A1200495A495AA249 5A495AA20181C7FCA2EA0102EA0204A248481340485A15C03910200140EC028038204004 384080181460B6FC1A1C7F9B2C>90 D E /Fo 5 54 df<120C121C12EC120CAFEAFFC00A 137D9211>49 D<121FEA60C01360EAF07013301260EA0070A2136013C012011380EA0200 5AEA08101210EA2020EA7FE012FF0C137E9211>II<13 6013E0A2EA016012021206120C120812101220126012C0EAFFFCEA0060A5EA03FC0E137F 9211>II E /Fp 32 111 df0 D<127012F8A3127005057C8E0E>I<6C13026C13060060130C6C13186C13306C13606C13 C03803018038018300EA00C6136C1338A2136C13C6EA018338030180380600C048136048 133048131848130C4813064813021718789727>I<801301AFB7FCA23900018000AEB7FC A220227DA027>6 D14 DI17 D<150C153C15F0EC03C0EC0F00143C14F0EB03C0010FC7 FC133C13F0EA03C0000FC8FC123C12F0A2123C120FEA03C0EA00F0133C130FEB03C0EB00 F0143C140FEC03C0EC00F0153C150C1500A8007FB512F8B612FC1E287C9F27>20 D<12C012F0123C120FEA03C0EA00F0133C130FEB03C0EB00F0143C140FEC03C0EC00F015 3CA215F0EC03C0EC0F00143C14F0EB03C0010FC7FC133C13F0EA03C0000FC8FC123C1270 12C0C9FCA8007FB512F8B612FC1E287C9F27>I24 D<90380FFFFC137FD801F0C7FCEA03800006C8FC5A5A5AA25AA25AA81260A27EA27E7E7E 6C7EEA01E039007FFFFC131F1E1E7C9A27>26 D<4B7EA46F7EA2166082A2161C8282B812 E0A2C9EA0700160E5E1630A25E5EA24B5AA42B1A7D9832>33 D<14C0495AA249C9FCA213 065B5B013FB612E090B7FCD801C0C9FC0007CAFC123E12F8123C120FEA0380C67E017FB6 12E07F0118C9FC7F7F7FA26D7EA26D7E2B1C7D9932>40 D<156081A281A2818181B77E16 E0C91270161CEE0F80EE03E0EE0780EE1E0016381660B75A5EC80003C7FC15065D5DA25D A25D2B1C7D9932>I<01061303A2496D7EA2496D7E01388001301460498090B612F84881 0007C81207000EED03800038ED00E000F01678003816E06CED01C00006ED03006C6C140E 6CB612FC6C5D0160C712306D5C6D5CA26D495AA26D49C7FCA22D1C7E9932>44 D50 DI<1403A21406A2140CA21418A21430A21460A2 14C0A3EB0180A2EB0300A21306A25BA25BA25BA25BA25BA2485AA248C7FCA31206A25AA2 5AA25AA25AA25A1240183079A300>54 D<12C0A812E0A212C0A803127D9400>I<004014 1000C0143000601460A36C14C0A36CEB0180A26CEB0300A33807FFFEA23803000CA36C6C 5AA36C6C5AA2EB6060A36D5AA2EB1980A3010FC7FCA31306A21C2480A21D>II I<14801301EA01F938070F00EA0C03001813801307383006C0A238700CE000601360A338 E01870A31330A31360A413C0A3EAE180A200611360EA6300007313E0A2003313C0123638 1E0180A2380C0300EA0F0EEA0DF80018C7FCA3142A7EA519>I<90380FFFE0017F13FC48 B6FC260387801380D80C07EB1FC000181407003890380003E01270D8600F130112C01200 16C0130EED0380131EED07001506011C5B1510013C13609038380380027FC7FCEB79FCEB 7BE00170C8FCA213F05BA212015BA2485AA248C9FC120623247FA123>80 D<0040144000C014C0B3A40060EB0180A26CEB03006C1306000E131C380780783801FFE0 38007F801A1F7D9D21>91 DI<130CA2131EA31333A2EB6180A2EBC0C0A3 38018060A248487EA300067FA2487FA3487FA2487FA248EB0180A348EB00C015401A1F7D 9D21>94 D<00C0144015C00060EB0180A36CEB0300A26C1306A26C5BA36C5BA26C5BA36C 6C5AA26C6C5AA3EB6180A20133C7FCA2131EA3130CA21A1F7D9D21>I102 D<12F8120FEA03806C7E6C7EB113707F131EEB03C0EB1E0013385B5BB1485A48 5A000FC7FC12F812317DA419>I<12C0B3B3AD02317AA40E>106 D<12C0A21260A37EA37E A37EA37EA37EA36C7EA36C7EA31360A37FA37FA37FA37FA37FA3EB0180A3EB00C0144012 317DA419>110 D E /Fq 10 96 df22 D<1330ABB512FCA2380030 00AB16187E931B>43 D48 D<1206120E12FE120EB1EAFFE00B157D9412> III<1330A2137013F012011370120212041208121812101220124012C0EAFF FEEA0070A5EA03FE0F157F9412>II61 D<12E0A403047D960A>95 D E /Fr 54 123 df<133FEBE180390380E0203907006040000E1370481330003CEB3880A248 EB3900A2143A5A143C1438A212701478003013B83938031840D81C1C13803907E007001B 157E941F>11 D<143EECC18090380300C013044913E05BA25B5BEC01C013801580140339 01000700EB01FEEB021CEB03EE38020007A21580A25AA448EB0F00A2140E141E0014131C 5C00125B00135B382081C0017EC7FC90C8FCA25AA45AA41B2D7FA21C>I<3801E001EA07 F8380FFC02121F38300E04EA600638400308EA8001A200001310EB009014A0A314C0A314 80A31301A3EB0300A41306A31304A218207F9419>I<00071306007F130E120F000E131C A214181438481330147014E014C038380180EB030013065B485A5B13C0EA738000ECC7FC 12F017157E9418>23 D26 D<90387FFF8048B5FC5A390783C000EA0E01486C7E5AA25AA348485AA3495A91C7 FCEA6007130EEA3018EA1870EA07C019157E941C>I<000F1420D811C013407F00001480 9038F00100EB7002EB7804EB38085C133CEB1C205CEB1E806DC7FC130E130F7F5B1317EB 278013431383380103C0EA020180EA04005A487F48EB708048EB390048131E1B1F7F941F >31 D<1503A26F7EA26F7EA216601670821618160E82B812C0A22A0E7D9831>42 D<127012F8A3127005057C840E>58 D<127012F812FCA212741204A41208A21210A21220 1240060F7C840E>I<15181578EC01E0EC0780EC1E001478EB03E0EB0F80013CC7FC13F0 EA03C0000FC8FC123C12F0A2123C120FEA03C0EA00F0133CEB0F80EB03E0EB0078141EEC 0780EC01E0EC007815181D1C7C9926>I<14801301A2EB0300A31306A35BA35BA35BA35B A35BA3485AA448C7FCA31206A35AA35AA35AA35AA35AA311317DA418>I<12C012F0123C 120FEA03C0EA00F0133EEB0F80EB01E0EB0078141EEC0780EC01E0EC0078A2EC01E0EC07 80EC1E001478EB01E0EB0F80013EC7FC13F0EA03C0000FC8FC123C12F012C01D1C7C9926 >I<8114018114031407A2140BA2141314331423EC43E0A21481EB0101A21302A2130413 08A201107FEB1FFFEB20005BA25BA248C7FC120281481478120C001E14F83AFF800FFF80 21237EA225>65 D<90B512F090380F001E81ED0780011E1303A216C0A24914801507A2ED 0F0049131E5D5DEC03E090B55A9038F000F0157881485A151C151EA248485BA35D485A5D 4A5AEC0380000F010FC7FCB512F822227DA125>I<027F138090390380810090380E0063 0138132749131F49130E485A485A48C7FC481404120E121E5A5D4891C7FCA35AA55A1520 A25DA26C5C12704AC7FC6C130200185B001C5B00061330380381C0D800FEC8FC21247DA2 23>I<90B512F090380F003C150E81011EEB0380A2ED01C0A25B16E0A35BA449EB03C0A4 4848EB0780A216005D4848130E5D153C153848485B5D4A5A0207C7FC000F131CB512F023 227DA128>I<027F1340903903C0C08090380E00214913130170130F49EB0700485A485A 48C7FC481402120E121E5A5D4891C7FCA35AA4EC3FFF48EB00F0A34A5A7EA212704A5A7E 001813076C13096CEB1180380380E0D8007FC8FC22247DA226>71 D73 D<903803FFE09038001E00A35CA45CA45CA4495AA4495AA4495AA212381278D8F80F C7FCA2EAF01EEA401C5BEA30E0EA0F801B237DA11B>I77 D<90B512E090380F0038151E150E01 1E1307A449130FA3151E5B153C157815E09038F003C09038FFFE0001F0C7FCA2485AA448 5AA4485AA4120FEAFFF820227DA11F>80 D<147F90380381C090380E0060013813385B49 131C4848131E4848130E48C7FC48140F120E121E5AA25AA348141EA3151C153C5A1578A2 15F015E06C130190381E03C0D87021138039784087000038138E001C13B8000E13F03907 C1C0203800FE8013000101134015C0ECC08014C3ECFF007F5C1478202D7DA227>I<90B5 12C090380F0078151C81011E130F811680A249EB0F00A3151E495B5D15E0EC0380D9FFFC C7FCEBF0076E7E8148486C7EA44848485AA44848485A1680A29138038100120F39FFF801 C6C8127821237DA125>I<903803F81090380E0420903818026090382001E0EB400001C0 13C05B1201A200031480A21500A27FEA01F013FE3800FFE06D7EEB1FF8EB01FCEB003C14 1C80A30020130CA3140800601318141000705B5C00C85BD8C603C7FCEA81FC1C247DA21E >I<001FB512FE391E01E00E001814061230382003C0A200401404A2EB07801280A20000 140049C7FCA4131EA45BA45BA45BA41201387FFFC01F227EA11D>I<3A3FFE01FF803A03 C0003C001530151048485BA448C75AA4001E5CA44849C7FCA4481302A400705B12F05C12 705C5C6C5B5C6C48C8FCEA0606EA01F821237DA121>II<3BFFF03FFC03FF3B1F0003E0 00786C4A137017601740A217800207EB0100A2020B130214135E14236F5A02415BA20281 5B1381000701015B13825E018413E193C7FC018813E2A2019013E413A015E801C013F86E 5A495BA290C75A120600025C30237DA12E>I<90397FF803FF903907E000F84A13E00103 14C09138E001800101EB03001506ECF00401005B6E5AEC7820EC7C405D023DC7FC143E14 1E141FA2142FEC6F8014C790380187C0140301027F1304EB080101107FEB2000497F4913 7848C7FC48147CD80F8013FC3AFFE003FFC028227FA128>II<90387FFFFE90 387E001E0170133C4913784913F090388001E000011303010013C0EC07800002EB0F0014 1EC75A147C14785C495A495A495A130F91C7FC131E4913205B49134012015B4848138048 5A380F0001001EEB03005C485B48137EB512FE1F227DA121>I97 DI<133FEBE080380380C0EA0701EA0E03121C003CC7FCA25AA35AA400 701340A23830018038380200EA1C1CEA07E012157E9415>I<141E14FC141CA31438A414 70A414E01378EA01C4EA0302380601C0120E121C123C383803801278A338F00700A31408 EB0E101270131E38302620EA18C6380F03C017237EA219>I<137EEA038138070080120E 5A5A38780100EA7006EAFFF800F0C7FCA25AA41480A238700300EA3004EA1838EA0FC011 157D9417>I<141EEC638014C71301ECC30014801303A449C7FCA4EBFFF8010EC7FCA65B A55BA55BA4136013E0A25BA21271EAF18090C8FC1262123C192D7EA218>II<13 E0A21201EA00C01300A9121E1223EA4380A21283EA8700A21207120EA35AA3EA38201340 127013801230EA3100121E0B227EA111>105 D<147014F0A214601400A9130FEB3180EB 41C01381A2EA0101A238000380A4EB0700A4130EA45BA45BA3EA7070EAF0605BEA638000 3EC7FC142C81A114>I<393C07E01F3A46183061803A47201880C03A87401D00E0EB801E 141C1300000E90383801C0A4489038700380A2ED070016044801E01308150EA2ED061026 7001C01320D83000EB03C026157E942B>109 D<383C07C0384618603847203038874038 13801300A2000E1370A44813E0A2EB01C014C1003813C2EB038214841301007013883830 00F018157E941D>I<3803C0F03804631CEB740EEA0878EB7007A2140FEA00E0A43801C0 1EA3143C38038038A2EBC07014E038072180EB1E0090C7FCA2120EA45AA3B47E181F8194 18>112 D II<137E138138030080EA0201EA0603140090C7FC120713F0EA03FC6CB4FCEA003FEB07 801303127000F01300A2EAE002EA4004EA3018EA0FE011157E9417>I<136013E0A4EA01 C0A4EA0380EAFFFCEA0380A2EA0700A4120EA45AA31308EA3810A21320EA184013C0EA0F 000E1F7F9E12>I<001E131800231338EA438014701283A2EA8700000713E0120EA3381C 01C0A314C2EB0384A21307380C0988EA0E113803E0F017157E941C>I<001E13E0EA2301 384381F01380008313701430EA870000071320120EA3481340A21480A2EB0100A21302EA 0C04EA0618EA03E014157E9418>I<001EEB181C0023EB383CD84380133EEC701E008314 0E1506EA87000007EBE004120EA3391C01C008A31510A2152001031340EA0C0439070861 803901F03E001F157E9423>I<3801E0F03806310C38081A1C0010133CEA201C14181400 C65AA45BA314083860E01012F0142038E1704038423080383C1F0016157E941C>I<001E 131800231338EA438014701283EA8700A2000713E0120EA3381C01C0A4EB0380A21307EA 0C0B380E1700EA03E7EA0007A2130E1260EAF01C1318485AEA8060EA41C0003FC7FC151F 7E9418>II E /Fs 60 128 df<91380FC0F8913830718E913860F31EECC0F70101EB660C9138800E00 1303A35DEB0700A490B612C090390E003800A45D5BA45D5BA44A5A1370A44A5A13E0A292 C7FC495AA238718E0638F19E0CEB1E1838620C30383C07C0272D82A21E>11 DI<91380FF3809138383F00EC60 7F14C001011337EC800E1303A35DEB0700A35D90B512F890380E0038A25DA35B5DA44948 5AA315C24A5A1370A215881401EC00F04990C7FCA35BA21271EAF18090C9FC1262123C21 2D82A21D>I<91390FE01FE091393838601891396079C01C9139C07B803C0101EB330003 071338028014001303150EA3EB0700151E151C017FB612E0903907001C00130EEE01C015 38A349EC0380A21570A2EE07005BA203E01308EE0E10A25B1720913801C006EE03C093C7 FC01E05B1403A201C090C8FCEA70C738F18F06EB0F0C38620618383C03E02E2D82A22B> I25 D<1480EB010013025B5B5B13305B5BA2485A48C7FCA21206A2120E120C121C 1218A212381230A21270A21260A212E0A35AAD12401260A21220123012107E113278A414 >40 D<13087F130613021303A27F1480AD1303A31400A25BA21306A2130E130CA2131C13 1813381330A25BA25B485AA248C7FC120612045A5A5A5A5A113280A414>I<120E121EA4 1202A21204A21208A21210122012401280070F7D840F>44 DI<127012F8A212F012E005057A840F>I<1207EA0F80A21300120EC7FCAB127012F8A25A 5A09157A940F>58 D<13E0EA01F0A213E013C0C7FCAB120E121EA41202A25AA25AA25A5A 5A5A0C1F7D940F>I<1403A25CA25CA25C142FA2EC4F80A21487A2EB01071302A21304A2 1308131813101320A290387FFFC0EB40031380EA0100A21202A25AA2120C003CEB07E0B4 EB3FFC1E237DA224>65 D<90B512E090380F0038151C151E011E130E150FA349130E151E A2153C4913781570EC01E0EC078090B5FC9038F001E0EC00F01578485A1538153CA24848 1378A315F0485AEC01E0EC03C0EC0700380F001EB512F020227DA122>I<90B512F09038 0F003C150E81011EEB0380A2ED01C0A25B16E0A35BA449EB03C0A44848EB0780A216005D 4848130E5D153C153848485B5DEC03804AC7FC000F131CB512F023227DA125>68 D<90B6128090380F00071501A2131EA21600A25BA2140192C7FCEB7802A21406140EEBFF FCEBF00CA33801E008A21504EC0008485AA25DA248485B15605D1401380F0007B65A2122 7DA121>I<90B6FC90380F000F1503A2131EA21502A25BA214011500EB7802A21406140E EBFFFCEBF00CA33801E008A391C7FC485AA4485AA4120FEAFFF820227DA120>I<027F13 8090390380810090380E00630138132749131F49130E485A485A48C7FC481404120E121E 5A5D4891C7FCA35AA4EC3FFC48EB01E0A34A5AA27E12704A5A7E0018130F001C13130006 0123C7FC380381C1D800FEC8FC212479A226>I<9039FFF87FFC90390F000780A3011EEB 0F00A449131EA4495BA490B512F89038F00078A348485BA44848485AA44848485AA4000F 130739FFF07FF826227DA124>II<9039FFF807FC90390F0001E016C01600011E13025D 15105D495B5D4AC7FC1404495A14181438147CEBF0BCEBF23CEBF41E13F83801F01F497E A2813803C007A26E7EA2EA07806E7EA3000F8039FFF00FFE26227DA125>75 D77 D<01FFEB0FFC90390F8001E01680ECC0000113EB0100A2EB11E0A201211302EB20F0A390 38407804A3143C01805B143E141EA23901001F10140FA2EC0790000214A0A2EC03E0A248 5C1401A2120C001E6D5AB47E26227DA124>I<14FE903807838090380C00E00138137049 13385B4848131C485A48C7FC48141E121E121C123CA25AA348143CA31578A25A15F0A2EC 01E015C06C1303EC0780007014000078130E00385B6C5B6C13E038070380D801FCC7FC1F 2479A225>I<90B512E090380F0038151E150E011E1307A449130FA3151E5B153C157815 E09038F003C09038FFFE0001F0C7FCA2485AA4485AA4485AA4120FEAFFF020227DA121> I<14FE903807838090380C00E0013813704913385B4848133C4848131C48C7FC48141E12 1EA25AA25AA348143CA3153815785A15F0A2EC01E015C01403D8F01E13803970610700EB 810E00385B001C5B000E13E039078380403801FD00EA0001EC808014811500EB0387EB01 FEA25CEB00F01F2D79A225>I<90B512C090380F0070153C151C011E130EA2150FA24913 1EA3153C4913381570EC01E0EC07809038FFFC00EBF00E80EC0380D801E013C0A43903C0 0780A43907800F001501A2EC0702120F39FFF0038CC812F020237DA124>I<903801F020 90380E0C4090381802C0EB3001136001E0138013C01201A200031400A291C7FCA27FEA01 F813FF6C13E06D7EEB1FF8EB03FCEB007C143C80A30020131CA314180060133814300070 5B5C38C80180D8C607C7FCEA81FC1B247DA21B>I<001FB512F8391E03C0380018141812 3038200780A200401410A2EB0F001280A200001400131EA45BA45BA45BA4485AA41203B5 FC1D2277A123>I<393FFE03FF3903C000781560152048481340A448C71280A4001EEB01 00A4481302A4485BA400705B12F05C12705C5C123038380180D81802C7FCEA0E0CEA03F0 202377A124>I<39FFF001FF001FC7127815306C146015401580A2EC0100A214025C1380 5C12075C5CA25CA25C0181C7FCA213C2120313C413C8A213D0A213E05BA25B120190C8FC 202376A124>I<3BFFE07FF00FF83B1F000F8003C0001E913800018017001602A2001F5D A26C495BA2022F5BA291384F802002475B14875EEB010701030181C7FC130201041382A2 01081384158C011013881590132001A013A013C0D8078013C0A201005BA2000691C8FC14 0212042D2376A131>I<90387FFFFE90387E001E0178133C016013784913F0EC01E0EB80 0315C03901000780EC0F00141EC75A147C14785C495A495A495A130F91C7FC131E491340 5B49138012015B3903C00100EA078048485A001E1306A248131E48137CB512FC1F227DA1 1E>90 D97 DI<137EEA01C138030180EA0703EA0E07121C003CC7 FC12381278A35AA45B12701302EA300CEA1830EA0FC011157B9416>I<143CEB03F8EB00 38A31470A414E0A4EB01C013F9EA0185EA0705380E0380A2121C123C383807001278A3EA F00EA31410EB1C201270133C38305C40138C380F078016237BA219>I<13F8EA0384EA0E 02121C123C1238EA7804EAF018EAFFE0EAF000A25AA41302A2EA6004EA7018EA3060EA0F 800F157A9416>I<143E144714CFEB018F1486EB0380A3EB0700A5130EEBFFF0EB0E00A3 5BA55BA55BA55BA45B1201A2EA718012F100F3C7FC1262123C182D82A20F>II<13F0EA0FE0 1200A3485AA4485AA448C7FC131FEB2180EBC0C0380F00E0A2120EA2381C01C0A4383803 80A3EB070400701308130E1410130600E01320386003C016237DA219>I<13C0EA01E013 C0A2C7FCA8121E12231243A25AA3120EA25AA35AA21340EA7080A3EA71001232121C0B21 7BA00F>I<14E01301A2EB00C01400A8131E1323EB43801383A2EA0103A238000700A413 0EA45BA45BA45BA3EA70E0EAF0C0EAF1800063C7FC123C132B82A00F>I<13F0EA07E012 00A3485AA4485AA448C7FCEB01E0EB0210EB0470380E08F01310EB2060EB4000EA1D8000 1EC7FCEA1FC0EA1C70487EA27F142038703840A3EB188012E038600F0014237DA216>I< EA01E0EA0FC01201A3EA0380A4EA0700A4120EA45AA45AA45AA3127112E2A4126412380B 237CA20C>I<391C0F80F8392610C10C39476066063987807807A2EB0070A2000EEBE00E A44848485AA3ED38202638038013401570168015303A7007003100D83003131E23157B94 28>I<38380F80384C30C0384E4060388E8070EA8F00128EA24813E0A4383801C0A3EB03 840070138814081307EB031012E0386001E016157B941B>I<137EEA01C3380381803807 01C0120E001C13E0123C12381278A338F003C0A21480130700701300130E130CEA3018EA 1870EA07C013157B9419>I<3801C1F0380262183804741C3808780CEB700EA2141EEA00 E0A43801C03CA3147838038070A2EBC0E0EBC1C038072380EB1E0090C7FCA2120EA45AA3 EAFFC0171F7F9419>III< 13FCEA018338020080EA0401EA0C03140090C7FC120F13F0EA07FC6C7EEA003E130F7F12 70EAF006A2EAE004EA4008EA2030EA1FC011157D9414>I<13C01201A4EA0380A4EA0700 EAFFF8EA0700A2120EA45AA45AA31310EA7020A213401380EA3100121E0D1F7C9E10>I< 001E1360002313E0EA4380EB81C01283EA8701A238070380120EA3381C0700A31408EB0E 101218121CEB1E20EA0C263807C3C015157B941A>I<381C0180382603C0EA47071303EA 8701EA8E00A2000E13805AA338380100A31302A25B5B1218EA0C30EA07C012157B9416> I<001EEB60E00023EBE0F0384380E1EB81C000831470D887011330A23907038020120EA3 391C070040A31580A2EC0100130F380C0B02380613843803E0F81C157B9420>I<3803C1 E0380462103808347038103CF0EA203814601400C65AA45BA314203861C04012F1148038 E2C100EA4462EA383C14157D9416>I<001E133000231370EA438014E01283EA8700A238 0701C0120EA3381C0380A4EB0700A35BEA0C3EEA03CEEA000EA25B1260EAF0381330485A EA80C0EA4380003EC7FC141F7B9418>I<3801E0203803F0603807F8C038041F80380801 001302C65A5B5B5B5B5B48C7FC120248138038080100485AEA3F06EA61FEEA40FCEA8070 13157D9414>I127 D E /Ft 69 128 df<137E3801C180EA0301380703C0120EEB018090C7FCA5B512C0EA0E 01B0387F87F8151D809C17>12 D25 D 34 D<1380EA0100120212065AA25AA25AA35AA412E0AC1260A47EA37EA27EA27E12027E EA0080092A7C9E10>40 D<7E12407E12307EA27EA27EA37EA41380AC1300A41206A35AA2 5AA25A12205A5A092A7E9E10>I<126012F0A212701210A41220A212401280040C7C830C> 44 DI<126012F0A2126004047C830C>I48 D<5A1207123F12C71207B3A5EAFFF80D1C7C9B15>III<130CA2131C133CA2135C13DC 139CEA011C120312021204120C1208121012301220124012C0B512C038001C00A73801FF C0121C7F9B15>II<13F0 EA030CEA0404EA0C0EEA181E1230130CEA7000A21260EAE3E0EAE430EAE818EAF00C130E EAE0061307A51260A2EA7006EA300E130CEA1818EA0C30EA03E0101D7E9B15>I<124038 7FFF801400A2EA4002485AA25B485AA25B1360134013C0A212015BA21203A41207A66CC7 FC111D7E9B15>III<126012F0A212601200AA126012F0A2126004127C910C>I61 D<1306A3130FA3EB1780A2EB37C01323A2EB43E013 41A2EB80F0A338010078A2EBFFF83802003CA3487FA2000C131F80001E5BB4EBFFF01C1D 7F9C1F>65 DI68 DII<90381F8080EBE061380180 1938070007000E13035A14015A00781300A2127000F01400A6ECFFF0EC0F800070130712 78A212387EA27E6C130B380180113800E06090381F80001C1E7E9C21>I<39FFF0FFF039 0F000F00AC90B5FCEB000FAD39FFF0FFF01C1C7F9B1F>II<39FFF01FE0390F000780EC060014045C5C5C5C5C49C7FC13021306130FEB 17801327EB43C0EB81E013016D7E1478A280143E141E80158015C039FFF03FF01C1C7F9B 20>75 DIIII81 DI<3807E080EA1C19EA 30051303EA600112E01300A36C13007E127CEA7FC0EA3FF8EA1FFEEA07FFC61380130FEB 07C0130313011280A300C01380A238E00300EAD002EACC0CEA83F8121E7E9C17>I<007F B512C038700F010060130000401440A200C014201280A300001400B1497E3803FFFC1B1C 7F9B1E>I<39FFF01FF0390F000380EC0100B3A26C1302138000035BEA01C03800E018EB 7060EB0F801C1D7F9B1F>I<39FFE00FF0391F0003C0EC01806C1400A238078002A213C0 00035BA2EBE00C00011308A26C6C5AA213F8EB7820A26D5AA36D5AA2131F6DC7FCA21306 A31C1D7F9B1F>I<3AFFE1FFC0FF3A1F003E003C001E013C13186C6D1310A32607801F13 20A33A03C0278040A33A01E043C080A33A00F081E100A39038F900F3017913F2A2017E13 7E013E137CA2013C133C011C1338A20118131801081310281D7F9B2B>I<39FFF003FC39 0F8001E00007EB00C06D13800003EB01006D5A000113026C6C5A13F8EB7808EB7C18EB3C 10EB3E20131F6D5A14C06D5AABEB7FF81E1C809B1F>89 D<387FFFF0EA7C01007013E038 6003C0A238400780130F1400131E12005B137C13785BA2485A1203EBC010EA0780A2EA0F 00481330001E13205A14604813E0EAF803B5FC141C7E9B19>I92 D97 D<12FC121CAA137CEA1D87381E0180381C00C014E014601470A6146014E014 C0381E018038190700EA10FC141D7F9C17>IIII<13F8EA018CEA071E1206EA0E0C1300A6EAFFE0EA 0E00B0EA7FE00F1D809C0D>II<12FC121CAA137C1387EA1D03001E13 80121CAD38FF9FF0141D7F9C17>I<1218123CA21218C7FCA712FC121CB0EAFF80091D7F 9C0C>I<12FC121CAAEB0FE0EB0780EB06005B13105B5B13E0121DEA1E70EA1C78133813 3C131C7F130F148038FF9FE0131D7F9C16>107 D<12FC121CB3A9EAFF80091D7F9C0C>I< 39FC7E07E0391C838838391D019018001EEBE01C001C13C0AD3AFF8FF8FF8021127F9124 >IIII<3803E080EA0E19EA1805EA3807EA70 03A212E0A61270A2EA38071218EA0E1BEA03E3EA0003A7EB1FF0141A7F9116>III<1204A4120CA2121C123CEAFFE0EA1C00A91310A5120CEA0E20EA03C00C1A7F 9910>I<38FC1F80EA1C03AD1307120CEA0E1B3803E3F014127F9117>I<38FF07E0383C03 80381C0100A2EA0E02A2EA0F06EA0704A2EA0388A213C8EA01D0A2EA00E0A3134013127F 9116>I<39FF3FC7E0393C0703C0001CEB01801500130B000E1382A21311000713C4A213 203803A0E8A2EBC06800011370A2EB8030000013201B127F911E>I<38FF0FE0381E0700 EA1C06EA0E046C5AEA039013B0EA01E012007F12011338EA021C1204EA0C0E487E003C13 8038FE1FF014127F9116>I<38FF07E0383C0380381C0100A2EA0E02A2EA0F06EA0704A2 EA0388A213C8EA01D0A2EA00E0A31340A25BA212F000F1C7FC12F312661238131A7F9116 >II127 D E /Fu 51 128 df12 D<13181330136013C01201EA03 80EA0700A2120E121E121C123CA35AA412F85AAB7E1278A47EA3121C121E120E7EA2EA03 80EA01C012001360133013180D317BA416>40 D<12C012607E7E121C7E7EA2EA038013C0 120113E0A3EA00F0A413F81378AB13F813F0A4EA01E0A313C012031380EA0700A2120E5A 12185A5A5A0D317DA416>I45 D<1238127C12FEA3127C123807 077C8610>I<13FE3807FFC0380F83E0381F01F0383E00F8A248137CA312FC147EAD007C 137CA36C13F8A2381F01F0380F83E03807FFC03800FE0017207E9F1C>48 D<13181378EA01F812FFA21201B3A7387FFFE0A213207C9F1C>II<13FE3807FFC0380F07E0381E03F0123FEB81F8A3EA1F0314F0120014E0EB07C0 EB1F803801FE007F380007C0EB01F014F8EB00FCA2003C13FE127EB4FCA314FCEA7E0100 7813F8381E07F0380FFFC03801FE0017207E9F1C>I<14E013011303A21307130F131FA2 1337137713E7EA01C71387EA03071207120E120C12181238127012E0B6FCA2380007E0A7 90B5FCA218207E9F1C>I<00301320383E01E0383FFFC0148014005B13F8EA33C00030C7 FCA4EA31FCEA37FF383E0FC0383807E0EA3003000013F0A214F8A21238127C12FEA200FC 13F0A2387007E0003013C0383C1F80380FFF00EA03F815207D9F1C>II<12601278387FFFFEA214FC14F8A214F038E0006014C038C0 0180EB0300A2EA00065B131C131813381378A25BA31201A31203A76C5A17227DA11C>I< 13FE3803FFC0380703E0380E00F05A1478123C123E123F1380EBE0F0381FF9E0EBFFC06C 13806C13C06C13E04813F0381E7FF8383C1FFCEA7807EB01FEEAF000143E141EA36C131C 007813387E001F13F0380FFFC00001130017207E9F1C>II<1470A214F8A3497EA2497EA3EB067FA2010C7F143FA2496C7EA201307F14 0F01707FEB6007A201C07F90B5FC4880EB8001A2D803007F14004880000680A23AFFE007 FFF8A225227EA12A>65 DI68 D70 D76 DI79 DI82 D<3801FE023807FF86381F01FE383C007E007C 131E0078130EA200F81306A27E1400B4FC13E06CB4FC14C06C13F06C13F86C13FC000313 FEEA003F1303EB007F143FA200C0131FA36C131EA26C133C12FCB413F838C7FFE0008013 8018227DA11F>I<003FB512E0A29038801FC0383E003F003C14800038EB7F00485B5C13 01386003FC5C130700005B495A131F5C133F495A91C7FC5B491360485A12035B000714E0 485A5B001FEB01C013C0383F8003007F1307EB003FB6FCA21B227DA122>90 D97 DIII<13FE3807FF80380F87C0381E01 E0003E13F0EA7C0014F812FCA2B5FCA200FCC7FCA3127CA2127E003E13186C1330380FC0 703803FFC0C6130015167E951A>II<3801FE0F3907FFBF80380F87C738 1F03E7391E01E000003E7FA5001E5BEA1F03380F87C0EBFF80D809FEC7FC0018C8FCA212 1C381FFFE06C13F86C13FE001F7F383C003F48EB0F80481307A40078EB0F006C131E001F 137C6CB45A000113C019217F951C>II<121C123E127FA3123E121CC7FCA7B4FCA212 1FB2EAFFE0A20B247EA310>I 107 DI<3AFF07F007F090391FFC1FFC3A1F30 3E303E01401340496C487EA201001300AE3BFFE0FFE0FFE0A22B167E9530>I<38FF07E0 EB1FF8381F307CEB403CEB803EA21300AE39FFE1FFC0A21A167E951F>I<13FE3807FFC0 380F83E0381E00F0003E13F848137CA300FC137EA7007C137CA26C13F8381F01F0380F83 E03807FFC03800FE0017167E951C>I<38FF0FE0EB3FF8381FE07CEB803E497E1580A2EC 0FC0A8EC1F80A29038803F00EBC03EEBE0FCEB3FF8EB0FC090C8FCA8EAFFE0A21A207E95 1F>IIII<487EA41203A21207A2120F123FB5FCA2 EA0F80ABEB8180A5EB8300EA07C3EA03FEEA00F811207F9F16>I<38FF01FEA2381F003E AF147E14FE380F81BE3907FF3FC0EA01FC1A167E951F>I<39FFE01FE0A2391F80070000 0F1306EBC00E0007130C13E000035BA26C6C5AA26C6C5AA2EB7CC0A2137F6D5AA26DC7FC A2130EA21B167F951E>I<39FFE07FC0A2390F801C006C6C5A6C6C5AEBF0606C6C5A3800 F980137F6DC7FC7F80497E1337EB63E0EBC1F03801C0F848487E3807007E000E133E39FF 80FFE0A21B167F951E>120 D<39FFE01FE0A2391F800700000F1306EBC00E0007130C13 E000035BA26C6C5AA26C6C5AA2EB7CC0A2137F6D5AA26DC7FCA2130EA2130CA25B1278EA FC3813305BEA69C0EA7F80001FC8FC1B207F951E>I<387FFFF0A2387C03E0387007C0EA 600F38E01F8000C01300133E137EC65A5B485A00031330EA07E013C0380F8070121F383F 0060003E13E0EA7C03B5FCA214167E9519>I127 D E /Fv 13 118 df<903901FF81FE010FEBEFFF903A7F81FF8F80 D9FE01EB1FC03901F803FE000314FCEA07F0EE0F80020190C7FCA7B712F0A32707F001FC C7FCB3A33A7FFF1FFFE0A32A2A7FA927>11 D<91387FE003903907FFFC07011FEBFF0F90 397FF00F9F9039FF0001FFD801FC7F484880484880484880485A82485A82127FA290CAFC 5AA892B512F87E7F03001300123FA26C7EA26C7E6C7E6C7E6C7E6CB45B90387FF007011F B5129F0107EBFE0F9039007FF0032D297CA835>71 D77 D98 D100 DI<9038FF80F00003EBE3F8390FC1FE1C391F007C7C 48137E003EEB3E10007EEB3F00A6003E133E003F137E6C137C380FC1F8380BFFE0001813 8090C8FC1238A2123C383FFFF814FF6C14C06C14E06C14F0121F383C0007007CEB01F848 1300A4007CEB01F0A2003FEB07E0390FC01F806CB5120038007FF01E287E9A22>103 DI<1207EA0F80EA1FC0EA3FE0A3EA1FC0EA0F80EA0700C7 FCA7EAFFE0A3120FB3A3EAFFFEA30F2B7EAA12>I108 D<38FFC07E9038C1FF809038C30FC0D80FC413E0EBC80701D813F013D0A213 E0B039FFFE3FFFA3201B7D9A25>110 D<38FFC1F0EBC7FCEBC63E380FCC7F13D813D0A2 EBF03EEBE000B0B5FCA3181B7F9A1B>114 D<39FFE07FF0A3000F1307B2140FA2000713 173903F067FF3801FFC738007F87201B7D9A25>117 D E /Fw 89 128 df<1460A214F0A2497E1478EB027C143CEB043E141EEB081F8001107F140701207F 140301407F140101807F140048C77E15780002147C153C48143E151E48141F8148158015 074815C01503007FB612E0A2B712F024237EA229>1 D<3803FFFC38001F806DC7FCA4EB 3FC03801EF7838078F1E380E0F07001E1480003CEB03C0007C14E00078130100F814F0A6 007814E0007C1303003C14C0001EEB0780000E140038078F1E3801EF7838003FC0010FC7 FCA4497E3803FFFC1C227DA123>8 D<90B5FCEB07E06D5AA400F8143E003C1478A2001E 14F0A9120E000FEBC1E0A2000714C0EB83C3000314803901C3C7003800E3CEEB3BDCEB0F F0EB03C0A4497E90B5FC1F227DA126>II<90381FC1F090387037189038C03E3C380180 7C000313783907003800A9B612C03907003800B2143C397FE1FFC01E2380A21C>III<90380FC07F90397031C0809039E00B00402601801E13E0 0003EB3E013807003C91381C00C01600A7B712E03907001C011500B23A7FF1FFCFFE2723 80A229>I22 D<137CEA018738030380000713C0EA0601000E13E0 A514C0EB0380A2EB0E00EAFE38EA0E06EB0380EB01C0A2EB00E014F0A214701478A61470 A2EB70E014C0EB718038FE1F0015237FA218>25 D<127012F8A71270AC1220A61200A512 7012F8A3127005247CA30E>33 DI<127012F812FCA212741204A41208A21210A21220 1240060F7CA20E>39 D<132013401380EA01005A12061204120CA25AA25AA312701260A3 12E0AE1260A312701230A37EA27EA2120412067E7EEA0080134013200B327CA413>I<7E 12407E7E12187E12041206A27EA2EA0180A313C01200A313E0AE13C0A312011380A3EA03 00A21206A21204120C5A12105A5A5A0B327DA413>I<497EB0B612FEA23900018000B01F 227D9C26>43 D<127012F812FCA212741204A41208A21210A212201240060F7C840E>I< EAFFF8A20D02808B10>I<127012F8A3127005057C840E>I48 D<13801203120F12F31203B3A9EA07C0EAFFFE0F217CA018> III<1303A25BA25B1317 A21327136713471387120113071202120612041208A212101220A2124012C0B512F83800 0700A7EB0F80EB7FF015217FA018>I<00101380381E0700EA1FFF5B13F8EA17E00010C7 FCA6EA11F8EA120CEA1C07381803801210380001C0A214E0A4127012F0A200E013C01280 EA4003148038200700EA1006EA0C1CEA03F013227EA018>I<137EEA01C1380300803806 01C0EA0C03121C381801800038C7FCA212781270A2EAF0F8EAF30CEAF4067F00F81380EB 01C012F014E0A51270A3003813C0A238180380001C1300EA0C06EA070CEA01F013227EA0 18>I<12401260387FFFE014C0A23840008038C0010012801302A2485A5BA25B5BA21360 134013C0A21201A25B1203A41207A76CC7FC13237DA118>III<127012F8A312701200AB127012F8A312700515 7C940E>I<127012F8A312701200AB127012F8A312781208A41210A312201240A2051F7C 940E>I61 D63 D<497EA3497EA3EB05E0A2EB09F01308A2EB1078A3497EA3 497EA2EBC01F497EA248B51280EB0007A20002EB03C0A348EB01E0A348EB00F0121C003E EB01F839FF800FFF20237EA225>65 DI<903807E0109038381830EB E0063901C0017039038000F048C7FC000E1470121E001C1430123CA2007C14101278A200 F81400A812781510127C123CA2001C1420121E000E14407E6C6C13803901C001003800E0 02EB381CEB07E01C247DA223>IIII<903807F00890383C0C18EBE002 3901C001B839038000F848C71278481438121E15185AA2007C14081278A200F81400A7EC 1FFF0078EB00F81578127C123CA27EA27E7E6C6C13B86C7E3900E0031890383C0C089038 07F00020247DA226>I<39FFFC3FFF390FC003F039078001E0AE90B5FCEB8001AF390FC0 03F039FFFC3FFF20227EA125>I I<3803FFE038001F007FB3A6127012F8A2130EEAF01EEA401C6C5AEA1870EA07C013237E A119>IIII<39FF8007FF3907C000F8 1570D805E01320EA04F0A21378137C133C7F131F7FEB0780A2EB03C0EB01E0A2EB00F014 F81478143C143E141E140FA2EC07A0EC03E0A21401A21400000E1460121FD8FFE0132020 227EA125>IIIII<3803F020380C0C60EA1802383001E0EA70000060136012E0A21420 A36C1300A21278127FEA3FF0EA1FFE6C7E0003138038003FC0EB07E01301EB00F0A21470 7EA46C1360A26C13C07E38C8018038C60700EA81FC14247DA21B>I<007FB512F8397807 80780060141800401408A300C0140C00801404A400001400B3A3497E3801FFFE1E227EA1 23>I<39FFFC07FF390FC000F86C4813701520B3A5000314407FA2000114806C7E903860 0100EB3006EB1C08EB03F020237EA125>II<3BFFF03FFC03FE3B 1F8007E000F86C486C48137017206E7ED807801540A24A7E2603C0021480A39039E00478 0100011600A2EC083CD800F01402A2EC101E01785CA2EC200F013C5CA20260138890391E 400790A216D090391F8003F0010F5CA2EC00016D5CA20106130001025C2F237FA132>I< 387FFFFE387E003E0078133C007013781260004013F012C0EB01E0388003C0A2EB078012 00EB0F005B131E5BA25BA25B1201EBE001EA03C0A2EA07801403EA0F00001E1302A24813 06140E48131E00F8137EB512FE18227DA11E>90 D<12FEA212C0B3B3A912FEA207317BA4 0E>II<12FEA21206B3B3A912FEA207317FA40E>I<127012F8A3127005057CA10E>95 D97 D<120E12FE121E120EAB131FEB61C0 EB8060380F0030000E1338143C141C141EA7141C143C1438000F1370380C8060EB41C038 083F0017237FA21B>II<14E0130F13011300AB EA01F8EA0704EA0C02EA1C01EA38001278127012F0A7127012781238EA1801EA0C023807 0CF03801F0FE17237EA21B>I I<133E13E33801C780EA0387130748C7FCA9EAFFF80007C7FCB27FEA7FF0112380A20F> I<14703803F198380E1E18EA1C0E38380700A200781380A400381300A2EA1C0EEA1E1CEA 33F00020C7FCA212301238EA3FFE381FFFC06C13E0383000F0481330481318A400601330 A2003813E0380E03803803FE0015217F9518>I<120E12FE121E120EABEB1F80EB60C0EB 80E0380F0070A2120EAF38FFE7FF18237FA21B>I<121C123EA3121CC7FCA8120E127E12 1E120EB1EAFFC00A227FA10E>I<13E0EA01F0A3EA00E01300A81370EA07F012001370B3 A51260EAF0E013C0EA6180EA3F000C2C83A10F>I<120E12FE121E120EABEB03FCEB01F0 14C01480EB02005B5B5B133813F8EA0F1CEA0E1E130E7F1480EB03C0130114E0EB00F014 F838FFE3FE17237FA21A>I<120E12FE121E120EB3ADEAFFE00B237FA20E>I<390E1FC07F 3AFE60E183803A1E807201C03A0F003C00E0A2000E1338AF3AFFE3FF8FFE27157F942A> I<380E1F8038FE60C0381E80E0380F0070A2120EAF38FFE7FF18157F941B>III<3801F82038070460EA0E02EA1C01003813E0EA7800A25AA71278A2EA38 01121CEA0C02EA070CEA01F0C7FCA9EB0FFE171F7E941A>III<1202A41206A3120E121E123EEAFFFCEA0E00AB1304A6EA07081203EA01 F00E1F7F9E13>I<000E137038FE07F0EA1E00000E1370AD14F0A2380601703803827838 00FC7F18157F941B>I<38FF80FE381E00781430000E1320A26C1340A2EB80C000031380 A23801C100A2EA00E2A31374A21338A3131017157F941A>I<39FF8FF87F393E01E03C00 1CEBC01814E0000E1410EB0260147000071420EB04301438D803841340EB8818141CD801 C81380EBD00C140E3900F00F00497EA2EB6006EB400220157F9423>I<38FF83FE381F00 F0000E13C06C1380EB8100EA0383EA01C2EA00E41378A21338133C134E138FEA0187EB03 80380201C0000413E0EA0C00383E01F038FF03FE17157F941A>I<38FF80FE381E007814 30000E1320A26C1340A2EB80C000031380A23801C100A2EA00E2A31374A21338A31310A2 5BA35B12F05B12F10043C7FC123C171F7F941A>I<383FFFC038380380EA300700201300 EA600EEA401C133C1338C65A5B12015B38038040EA07005A000E13C04813805AEA7801EA 7007B5FC12157F9416>II127 D E end %%EndProlog %%BeginSetup %%Feature: *Resolution 300dpi TeXDict begin letter %%EndSetup %%Page: 1 1 1 0 bop 654 682 a Fw(KAPITEL)25 b(I)322 781 y Fv(Grundb)r(egri\013e)f (der)f(Mengenlehre)654 968 y Fu(1.)28 b(Mengen)108 1098 y Fw(An)17 b(den)f(Anfang)h(der)f(Mathematik)f(stellt)h(man)f (gemeinhin)g(die)h(Men-)108 1156 y(genlehre.)i(Sie)g(bietet)g(die)g (Sprac)o(he)g(an,)h(mit)e(der)i(sic)o(h)f(Mathematik)o(er)108 1214 y(v)o(erst)212 1216 y(\177)212 1214 y(andigen)g(k)421 1216 y(\177)421 1214 y(onnen,)f(pr)625 1216 y(\177)625 1214 y(azise,)g(kurz,)g(exakt,)g(ab)q(er)h(f)1157 1216 y(\177)1156 1214 y(ur)g(den)f(Au\031en-)108 1273 y(stehenden)j(auc)o(h) g(oft)g(un)o(v)o(erst)694 1275 y(\177)694 1273 y(andlic)o(h.)e(Ihre)h (elemen)o(taren)f(Grundb)q(e-)108 1331 y(gri\013e)11 b(sind)g(jedo)q(c)o(h)g(leic)o(h)o(t)d(v)o(erst)700 1333 y(\177)700 1331 y(andlic)o(h.)h(Mit)h(der)h(Sprac)o(he)f(der)h(Mengen) 108 1389 y(k)134 1391 y(\177)134 1389 y(onnen)20 b(alle)f(mathematisc)o (he)o(n)e(Ergebnisse)j(und)g(Einsic)o(h)o(ten)e(form)o(u-)108 1447 y(liert)11 b(w)o(erden.)389 1436 y(\177)383 1447 y(Ub)q(er)h(diese)f(Sprac)o(henfunktion)h(und)g(Hilfsfunktion)f(hin-) 108 1505 y(aus)h(ist)f(die)g(Mengenlehre)e(ab)q(er)j(auc)o(h)f(ein)f(T) l(eilgebiet)g(der)h(Mathematik,)108 1563 y(in)k(der)g(w)o(esen)o(tlic)o (he)e(F)l(orsc)o(h)o(ung)i(v)o(or)g(sic)o(h)f(geh)o(t)h(und)h(b)q (esonders)g(tie\015ie-)108 1621 y(gende)h(Resultate)f(in)g(den)g (letzten)f(Jahrzehn)o(ten)h(erzielt)e(w)o(orden)j(sind.)108 1679 y(Wir)f(w)o(erden)g(uns)h(lediglic)o(h)d(mit)g(den)i(Anfangsgr) 1053 1681 y(\177)1052 1679 y(unden)i(der)e(Mengen-)108 1737 y(lehre)f(b)q(efassen)h(und)h(dab)q(ei)e(die)h(der)f(Mathematik)f (zugrunde)i(liegende)108 1796 y(Sprac)o(he)g(ein)355 1798 y(\177)354 1796 y(ub)q(en.)108 1901 y(Als)24 b(Grundb)q(egri\013e) h(v)o(erw)o(endet)e(die)g(Mathematik)g(den)h(Begri\013)g(des)108 1959 y(Elemen)o(ts)17 b(und)i(den)g(der)g(Menge,)f(die)h(man)f(sic)o(h) g(aus)i(Elemen)o(ten)c(zu-)108 2017 y(sammengef)346 2019 y(\177)345 2017 y(ugt)g(v)o(orstellt.)f(Elemen)o(te)g(k)876 2019 y(\177)876 2017 y(onnen)j(im)d(w)o(esen)o(tlic)o(hen)g(alles)108 2075 y(sein,)f(w)o(as)h(wir)f(uns)h(v)o(orstellen)e(k)724 2077 y(\177)724 2075 y(onnen.)h(Und)g(ihre)g(Zusammenfassung)108 2133 y(zu)k(einer)g(Menge)g(sc)o(hein)o(t)f(eine)g(fast)i(triviale)e (Angelegenheit)f(zu)i(sein.)108 2191 y(Man)i(k)m(ann)h(v)o(on)f(der)g (Menge)f(der)h(H)814 2193 y(\177)814 2191 y(orer)g(einer)f(V)l (orlesung)h(sprec)o(hen,)777 2291 y Ft(1)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 108 117 a Ft(2)219 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(v)o(on)f(der)g(Menge)f(aller)g(Elemen)o (tarteil)o(c)o(he)o(n)e(des)j(Univ)o(ersums,)d(v)o(on)j(der)108 283 y(Menge)f(der)f(Sp)q(eic)o(herpl)566 285 y(\177)566 283 y(atze)g(eines)g(Computers,)f(v)o(on)i(der)g(Menge)f(aller)108 341 y(nat)179 343 y(\177)178 341 y(urlic)o(hen)k(Zahlen,)h(v)o(on)g (der)g(Menge)g(aller)f(denkbaren)h(Computer-)108 399 y(programme)c(und)h(v)o(on)g(vielen)f(anderen)h(Mengen.)108 521 y(Eine)j(erste)g(De\014nition)g(des)g(Begri\013es)g(einer)f(Menge)h (geh)o(t)g(auf)h(Georg)108 579 y(Can)o(tor)d(zur)341 581 y(\177)340 579 y(uc)o(k.)e(Er)h(de\014nierte)f(wie)h(folgt:)108 684 y Fu(De\014nition)i(1.1.)i Fw(\(Georg)13 b(Can)o(tor,)g(1845)h(-)f (1918;)h(V)l(ater)e(der)h(Mengen-)108 742 y(lehre\):)19 b(Eine)g Fs(Menge)j Fw(ist)e(eine)f(Zusammenfassung)g(v)o(on)h(b)q (estimm)o(te)o(n)108 800 y(w)o(ohlun)o(tersc)o(hiedenen)f(Ob)s(jekten)g (unserer)h(Ansc)o(hauung)h(o)q(der)g(unse-)108 858 y(res)16 b(Denk)o(ens)g({)g(w)o(elc)o(he)f Fs(Elemente)j Fw(der)e(Menge)f (genann)o(t)i(w)o(erden)e({)i(zu)108 916 y(einem)d(Ganzen.)108 1020 y(Die)h(Bedeutung)g(dieser)g(De\014nition)g(f)821 1022 y(\177)820 1020 y(ur)h(die)f(Mathematik)f(wird)h(durc)o(h)108 1078 y(einen)h(Ausspruc)o(h)g(Hilb)q(erts)f(un)o(terstric)o(hen.)108 1182 y Fu(Zitat)k(1.2.)h Fw(\(Da)o(vid)k(Hilb)q(ert,)g(1862-1943\):)j (Niemand)d(soll)g(uns)i(aus)108 1240 y(dem)20 b(P)o(aradies)h(der)g (Mengenlehre)e(v)o(ertreib)q(en,)g(das)j(Can)o(tor)g(f)1327 1242 y(\177)1326 1240 y(ur)f(uns)108 1299 y(gesc)o(ha\013en)c(hat.)108 1378 y(Da\031)22 b(dieser)e(Begri\013)h(einer)f(Menge)g(jedo)q(c)o(h)h (problematisc)o(h)e(ist,)h(sieh)o(t)108 1436 y(man)g(sc)o(hon)h(daran,) g(da\031)g(zu)f(seiner)g(De\014nition)g(Begri\013e)g(herangezo-)108 1494 y(gen)e(wurden,)f(deren)g(De\014nition)g(selbst)g(fehlt:)f (Zusammenfassung)h(zu)108 1552 y(einem)g(Ganzen,)i(b)q(estimm)o(te)d (Ob)s(jekte,)h(w)o(ohlun)o(tersc)o(hiedene)g(Ob)s(jek-)108 1610 y(te,)i(Denk)o(en,)f(Ansc)o(hauung.)h(T)l(ats)760 1612 y(\177)760 1610 y(ac)o(hlic)o(h)f(wurde)i(zu)f(Beginn)g(unseres) 108 1668 y(Jahrh)o(underts)i(erk)m(ann)o(t,)f(da\031)i(dieser)e (Begri\013)g(der)g(Menge)h(sc)o(hnell)e(zu)108 1726 y(Widerspr)306 1728 y(\177)305 1726 y(uc)o(hen)k(f)468 1728 y(\177)467 1726 y(uhren)h(k)m(ann.)g(Wir)g(geb)q(en)g(einen)f(solc)o(hen)h(Wider-) 108 1785 y(spruc)o(h,)16 b(die)g(Russelsc)o(he)f(An)o(tinomie,)e(am)j (Ende)g(dieses)g(P)o(aragraphen)108 1843 y(an.)i(Der)h(Ausw)o(eg)f(aus) h(diesem)d(Dilemm)o(a)f(w)o(ar)k(eine)e(strenge)h(F)l(assung)108 1901 y(der)k(Mengenlehre)e(in)i(einem)d(axiomatisc)o(hen)h(System,)g (so)i(wie)g(auc)o(h)108 1959 y(die)f(Geometrie)e(axiomatisc)o(h)h (gefa\031t)i(wurde,)f(und)h(das)g(mit)e(gro\031em)108 2017 y(Erfolg.)13 b(Wir)g(w)o(erden)f(daher)i(auc)o(h)f(eine)f(\(nic)o (h)o(t)f(ganz)j(strenge\))f(axioma-)108 2075 y(tisc)o(he)i(F)l(assung)i (der)f(Mengenlehre)e(angeb)q(en.)j(Sie)e(wird)h(uns)g(en)o(tsc)o(hei-) 108 2133 y(den)c(helfen)f(zu)h(sagen,)g(w)o(elc)o(he)e(Mengen)i (gebildet)f(w)o(erden)g(d)1236 2135 y(\177)1235 2133 y(urfen.)g(Man)108 2191 y(wird)i(daher)g(n)o(ur)g(mit)e(denjenigen)i (Mengen)f(und)i(Elemen)o(ten)c(op)q(erieren)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)539 b(3)108 225 y Fw(d)136 227 y(\177)135 225 y(urfen,)16 b(deren)g(Existenz)f(nac)o(h)i (unserer)f(Axiomatik)e(garan)o(tiert)i(wird.)108 283 y(Wir)g(legen)g(zun)408 285 y(\177)408 283 y(ac)o(hst)g(einige)f (Bezeic)o(hn)o(ungen)f(fest.)108 381 y Fu(Bezeic)n(hn)n(ung)20 b(1.3.)f Fw(Im)d(allgemeinen)f(w)o(erden)h(Mengen)h(mit)f(gro\031en)108 439 y(lateinisc)o(hen)21 b(Buc)o(hstab)q(en)i Fr(A;)8 b(B)s(;)g(C)q(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(A)962 446 y Fq(1)981 439 y Fr(;)g(A)1040 446 y Fq(2)1059 439 y Fr(;)g(A)1118 446 y Fq(3)1137 439 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)22 b Fw(Elemen)o(te)108 497 y(mit)12 b(kleinen)h(lateinisc)o(hen)f(Buc)o(hstab)q(en)i Fr(a;)8 b(b;)g(c;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)e(a)1145 504 y Fq(1)1164 497 y Fr(;)8 b(a)1212 504 y Fq(2)1232 497 y Fr(;)g(a)1280 504 y Fq(3)1299 497 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)21 b Fw(b)q(e-)108 556 y(zeic)o(hnet.)h(Die)i(Zugeh)545 558 y(\177)545 556 y(origk)o(eit)f(eines)g(Elemen)o(ts)f Fr(x)i Fw(zu)g(einer)f(Menge)108 614 y Fr(A)c Fw(wird)g(durc)o(h)f Fr(x)h Fp(2)f Fr(A)h Fw(angegeb)q(en,)g(die)g(Nic)o(h)o(t-Zugeh)1169 616 y(\177)1169 614 y(origk)o(eit)d(durc)o(h)108 672 y Fr(x)e Fp(62)g Fr(A:)108 745 y Fw(Die)22 b(folgenden)f(Axiome)e(legen)j(elemen)o(tare) c(Regeln)1159 747 y(\177)1157 745 y(ub)q(er)k(den)g(Um-)108 803 y(gang)g(mit)e(Mengen,)g(Elemen)o(ten)e(und)j(den)g(Zeic)o(hen)e Fp(2)i Fw(bzw.)g Fp(62)g Fw(fest.)108 861 y(Jede)13 b(Kollektion)f(v)o (on)h(Ob)s(jekten,)f(die)g(wir)h(Elemen)o(te,)d(Mengen,)j Fp(2)g Fw(und)108 919 y Fp(62)19 b Fw(nennen,)g(die)f(den)h(Axiomen)e (gen)804 921 y(\177)803 919 y(ugt,)i(k)m(ann)g(als)g(eine)f (Realisierung)108 977 y(der)j(Mengenlehre)e(angesehen)i(w)o(erden.)f (Wir)g(geb)q(en)h(k)o(eine)f(k)o(onkrete)108 1036 y(derartige)e (Realisierung)g(an,)h(d.h.)e(wir)i(geb)q(en)f(k)o(eine)f(exakte)h (De\014niti-)108 1094 y(on)e(v)o(on)e(Elemen)o(ten)f(und)i(Mengen)f (an.)h(Es)h(gen)1004 1096 y(\177)1003 1094 y(ugt,)f(sic)o(h)f(auf)h (die)f(naiv)o(e)108 1152 y(V)l(orstellung)e(zu)h(st)463 1154 y(\177)462 1152 y(utzen,)f(formal)f(in)h(Bew)o(eisen)f(jedo)q(c)o (h)i(n)o(ur)f(die)g(Regeln)108 1210 y(aus)18 b(den)g(Axiomen)d(zu)i(v)o (erw)o(enden.)f(Die)h(b)q(ewiesenen)f(Aussagen)j(sind)108 1268 y(dann)e(f)246 1270 y(\177)245 1268 y(ur)f(jede)g(Realisierung)f (\(Mo)q(dell\))h(ric)o(h)o(tig.)108 1366 y Fu(Axiom)h(1.)j Fw(\(Elemen)o(teb)q(ezeic)n(hn)o(ung)14 b(und)i(Existenz\))174 1439 y(\(1\))21 b(F)290 1441 y(\177)289 1439 y(ur)15 b(jedes)f(Elemen)o(t)f Fr(x)i Fw(und)g(jede)f(Menge)h Fr(A)g Fw(b)q(esteh)o(t)f(genau)i(ei-)257 1497 y(ne)h(der)h(b)q(eiden)f (Bezieh)o(ungen)f(\(genauer:)i(ist)g(genau)g(einer)f(der)257 1555 y(b)q(eiden)11 b(Ausdr)538 1557 y(\177)537 1555 y(uc)o(k)o(e)f(eine)g(w)o(ahre,)h(der)g(andere)g(eine)g(falsc)o(he)f (Aus-)257 1613 y(sage\):)621 1687 y Fr(x)k Fp(2)g Fr(A)p Fw(;)202 b Fr(x)14 b Fp(62)g Fr(A:)257 1772 y Fw(Im)20 b(F)l(alle)g Fr(x)j Fp(2)g Fr(A)e Fw(\(d.h.)g(w)o(enn)g Fr(x)i Fp(2)g Fr(A)e Fw(w)o(ahr)h(ist\))f(sagen)i(wir)257 1860 y(")279 1830 y Fr(x)16 b Fw(ist)h(Elemen)o(t)d(der)i(Menge)g Fr(A)m Fw(\\)s(,)915 1860 y(")937 1830 y Fr(x)g Fw(liegt)g(in)g Fr(A)m Fw(\\)s(,)1238 1860 y(")1260 1830 y Fr(x)h Fw(ist)f(in)g Fr(A)257 1888 y Fw(en)o(thalten)m(\\)s(,)507 1918 y(")530 1888 y Fr(x)d Fw(in)g Fr(A)m Fw(\\)j(o)q(der)806 1918 y(")829 1888 y Fr(x)d Fw(aus)h Fr(A)m Fw(\\)s(.)f(Im)e(F)l(alle)i Fr(x)g Fp(62)h Fr(A)f Fw(\(d.h.)257 1946 y(w)o(enn)h Fr(x)g Fp(2)g Fr(A)h Fw(falsc)o(h)f(ist\))h(sagen)g(wir)956 1976 y(")978 1946 y Fr(x)g Fw(ist)g(nic)o(h)o(t)e(Elemen)o(t)g(der)257 2005 y(Menge)j Fr(A)m Fw(\\)s(.)174 2063 y(\(2\))21 b(Es)16 b(gibt)h(mindestens)d(eine)i(Menge.)174 2121 y(\(3\))21 b(Zu)13 b(jedem)e(Elemen)o(t)f Fr(x)j Fw(gibt)f(es)h(mindestens)e(eine) h(Menge)h Fr(A)f Fw(mit)257 2179 y Fr(x)h Fp(2)h Fr(A)i Fw(\(ist)g(w)o(ahr\).)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 108 117 a Ft(4)219 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Wir)k(w)o(erden)f(b)q(ei)g(der)h(F)l(orm)o (ulierung)d(des)j(n)976 227 y(\177)976 225 y(ac)o(hsten)f(Axioms)f (gewis-)108 283 y(se)f(Sym)o(b)q(ole)e(v)o(erw)o(enden,)g(die)h(den)h (mathematisc)o(he)o(n)d(T)l(ext)j(abk)1351 285 y(\177)1350 283 y(urzen)108 341 y(sollen.)j(Sc)o(hon)h(im)e(v)o(orhergehenden)h (Axiom)e(hab)q(en)k(wir)e(b)q(estimm)o(te)108 399 y(mathematisc)o(he)c (F)l(orm)o(ulierungen)g(v)o(erw)o(endet,)h(die)h(sic)o(h)g(h)1257 401 y(\177)1257 399 y(au\014g)i(wie-)108 458 y(derholen)h(w)o(erden.)g (Wir)g(w)o(erden)f(zun)852 460 y(\177)852 458 y(ac)o(hst)i(folgende)f (Abk)1273 460 y(\177)1272 458 y(urzungen)108 516 y(v)o(erw)o(enden:)375 585 y(f)391 587 y(\177)390 585 y(ur)16 b(alle)582 b Fp(8)375 643 y Fw(es)16 b(gibt)592 b Fp(9)375 702 y Fw(und)652 b Fp(^)375 760 y Fw(o)q(der)640 b Fp(_)375 818 y Fw(dann)17 b(und)g(n)o(ur)f(dann,)g(w)o(enn)180 b Fp(\()-8 b(\))375 876 y Fw(daraus)17 b(folgt)480 b(=)-8 b Fp(\))375 934 y Fw(gilt)16 b(n)o(ur,)f(w)o(enn)435 b Fp(\()-8 b Fw(=)108 1015 y(Im)15 b(Klartext)g(v)o(erw)o(enden)g(wir)h(als)g(Synon)o(yme)157 1088 y(f)173 1090 y(\177)172 1088 y(ur)g(alle)450 b(f)774 1090 y(\177)773 1088 y(ur)16 b(jedes)157 1147 y(es)g(gibt)460 b(es)16 b(existiert)157 1205 y(dann)h(und)f(n)o(ur)g(dann,)h(w)o(enn)48 b(ist)16 b(not)o(w)o(endig)g(und)h(hinreic)o(hend)157 1263 y(dann)g(und)f(n)o(ur)g(dann,)h(w)o(enn)48 b(gilt)16 b(genau)h(dann,)f(w)o(enn)157 1321 y(daraus)h(folgt)348 b(implizie)o(rt)157 1379 y(daraus)17 b(folgt)348 b(ist)16 b(hinreic)o(hend)f(f)1104 1381 y(\177)1103 1379 y(ur)157 1437 y(gilt)g(n)o(ur,)h(w)o(enn)303 b(ist)16 b(not)o(w)o(endig)g(f)1075 1439 y(\177)1074 1437 y(ur)108 1520 y(Es)h(b)q(edarf)h(imme)o(r)c (einiger)i(Gew)735 1522 y(\177)735 1520 y(ohn)o(ung,)h(bis)g(man)e(den) i(Umgang)f(mit)108 1578 y(diesen)k(Zeic)o(hen,)e(Sym)o(b)q(olen)g(und)i (Begri\013en)g(einge)1103 1580 y(\177)1102 1578 y(ubt)f(hat)i(und)f (sic)o(h)108 1636 y(ein)f(k)o(orrektes)g(logisc)o(hes)g(Sc)o (hlie\031en)f(angew)955 1638 y(\177)955 1636 y(ohn)o(t)j(hat.)e(W)l (enn)h(wir)f(die)108 1695 y(Zeic)o(hen)f Fp(8)f Fw(o)q(der)j Fp(9)f Fw(v)o(erw)o(enden,)e(dann)j(w)o(erden)e(unmittelbar)f(danac)o (h)108 1753 y(immer)8 b(die)i(Elemen)o(te)e(genann)o(t)k(w)o(erden,)893 1755 y(\177)892 1753 y(ub)q(er)f(die)f(wir)h(et)o(w)o(as)g(aussagen)108 1811 y(w)o(ollen.)k(Die)h(Aussage,)g(die)f(wir)h(dann)848 1813 y(\177)847 1811 y(ub)q(er)g(diese)g(Elemen)o(te)d(mac)o(hen,)108 1869 y(wird)j(in)g(Klammern)d([)j(und)h(])f(angegeb)q(en)895 1851 y Fq(1)915 1869 y Fw(.)p 108 1990 250 2 v 158 2027 a Fo(1)177 2042 y Ft(Man)h(k)n(ann)f(eine)i(pr)507 2044 y(\177)507 2042 y(azise)g(Syn)o(tax)f(f)767 2044 y(\177)766 2042 y(ur)g(die)g(V)m(erw)o(endung)h(\(und)g(Umform)n(ung\))108 2092 y(dieser)c(Zeic)o(hen)g(und)f(der)g(Mengensym)o(b)q(ole)f (ineinander)h(angeb)q(en.)g(Dann)f(k)n(ann)g(die)108 2142 y(Mathematik)h(in)g(gro\031en)h(T)m(eilen)f(lediglic)o(h)g(als)g (Manipulation)g(solc)o(her)h(Zeic)o(henrei-)108 2191 y(hen)h(durc)o(hgef)342 2193 y(\177)341 2191 y(uhrt)g(w)o(erden.)f (Mehr)h(dazu)f(im)e(Kapitel)1005 2193 y(\177)1004 2191 y(ub)q(er)i(Logik.)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)539 b(5)108 225 y Fu(Axiom)17 b(2.)j Fw(\(Axiom)15 b(der)h(Gleic)o(hheit)e(o)q(der)i (Extensionsaxiom\))108 283 y(Seien)c Fr(A;)c(B)15 b Fw(Mengen.)d(W)l (enn)h(f)687 285 y(\177)686 283 y(ur)f(alle)g(Elemen)o(te)e Fr(x)j Fw(die)f(Aussage)h Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)108 341 y Fw(genau)j(dann)h(gilt,)d(w)o(enn)i Fr(x)d Fp(2)g Fr(B)20 b Fw(gilt,)15 b(so)i(folgt)g Fr(A)d Fw(=)g Fr(B)s(:)i Fw(In)g(mathema-)108 399 y(tisc)o(her)f(Kurzsc)o(hreib)o(w)o(eise:)429 494 y Fp(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)c Fp(2)j Fr(A)g Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(x)g Fp(2)h Fr(B)s Fw(])f(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(A)f Fw(=)h Fr(B)s(:)108 588 y Fw(Der)k(umgek)o(ehrte)d(Sc)o (hlu\031)i Fr(A)e Fw(=)h Fr(B)i Fw(=)-8 b Fp(\))15 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)f Fp(2)i Fr(A)f Fp(\()-8 b(\))15 b Fr(x)h Fw(=)g Fr(B)s Fw(])g(folgt)108 646 y(aus)k(den)g(Eigensc)o (haften)f(der)g(Gleic)o(hheit.)e(W)l(enn)i(n)1111 648 y(\177)1111 646 y(amlic)o(h)e Fr(A)i Fw(und)h Fr(B)108 704 y Fw(gleic)o(h)12 b(sind,)i(dann)g(darf)g(man)e(an)j(jeder)d (Stelle,)g(w)o(o)i Fr(A)f Fw(v)o(erw)o(endet)f(wird,)108 762 y(dieses)i(durc)o(h)f Fr(B)k Fw(ersetzen,)12 b(ohne)j(die)e(logisc) o(he)g(Bedeutung)h(zu)1307 764 y(\177)1307 762 y(andern.)108 878 y(Das)g(Axiom)d(2)i(b)q(edeutet,)f(da\031)i(zw)o(ei)d(Mengen)i (genau)g(dann)h(gleic)o(h)d(sind,)108 936 y(w)o(enn)i(sie)g(dieselb)q (en)f(Elemen)o(te)f(b)q(esitzen.)h(Damit)g(ist)h(klargestellt,)f (da\031)108 994 y(eine)j(Menge)h(allein)f(durc)o(h)h(die)g(Angab)q(e)g (ihrer)g(Elemen)o(te)d(b)q(esc)o(hrieb)q(en)108 1052 y(wird)i(und)h(k)o(eine)d(zus)506 1054 y(\177)506 1052 y(atzlic)o(he)h(Information)g(b)q(esitzen)h(soll.)f(W)l(enn)h(man)108 1110 y(sic)o(h)f(den)g(Begri\013)g(der)h(Menge)f(als)757 1140 y(")780 1110 y(Beh)864 1112 y(\177)864 1110 y(alter)m(\\)j(f)1016 1112 y(\177)1015 1110 y(ur)d(ihre)g(Elemen)o(te)e(v)o(or-)108 1168 y(stellt,)e(dann)i(gibt)g(es)f(k)o(eine)f(v)o(ersc)o(hiedenen)927 1198 y(")950 1168 y(Beh)1034 1170 y(\177)1034 1168 y(alter)m(\\)s(.)g (Man)h(sammelt)108 1226 y(Elemen)o(te)17 b(grunds)468 1228 y(\177)468 1226 y(atzlic)o(h)i(in)h(gleic)o(her)e(W)l(eise.)g(Um)g (festzustellen,)g(ob)108 1284 y(zw)o(ei)d(Mengen)h(gleic)o(h)f(sind,)h (gen)726 1286 y(\177)725 1284 y(ugt)g(es)h(daher,)f(n)o(ur)g(alle)f (ihre)g(Elemen-)108 1343 y(te)h(zu)231 1345 y(\177)230 1343 y(ub)q(erpr)373 1345 y(\177)372 1343 y(ufen.)g(Das)h(wird)f(in)g (Zukunft)g(h)972 1345 y(\177)972 1343 y(au\014g)h(so)g(gesc)o(hehen,)e (da\031)108 1401 y(man)g(zun)292 1403 y(\177)292 1401 y(ac)o(hst)h(zeigt,)e(da\031)j(alle)e(Elemen)o(te)e(einer)i(Menge)g Fr(A)g Fw(auc)o(h)h(Ele-)108 1459 y(men)o(te)d(einer)g(w)o(eiteren)g (Menge)h Fr(B)k Fw(und)c(w)o(eiter)g(da\031)h(alle)f(Elemen)o(te)e(der) 108 1517 y(Menge)17 b Fr(B)i Fw(auc)o(h)e(Elemen)o(te)e(der)h(Menge)h Fr(A)g Fw(sind.)f(W)l(enn)h(man)f(das)i(b)q(e-)108 1575 y(wiesen)e(hat,)h(k)m(ann)g(man)e(dann)i(w)o(egen)g(Axiom)d(2)j (unmittelbar)d Fr(A)g Fw(=)g Fr(B)108 1633 y Fw(folgern.)108 1748 y(Damit)k(hab)q(en)i(wir)g(sc)o(hon)f(einen)g(w)o(eiteren)e (elemen)o(taren)g(Begri\013)i(an-)108 1807 y(gespro)q(c)o(hen.)h(Es)h (k)o(omm)o(t)c(oft)k(v)o(or,)e(da\031)j(alle)d(Elemen)o(te)f(einer)h (Menge)108 1865 y Fr(A)d Fw(auc)o(h)h(Elemen)o(te)c(einer)j(Menge)g Fr(B)j Fw(sind.)d(Wir)g(de\014nieren)f(daher)i(wie)108 1923 y(folgt:)108 2017 y Fu(De\014nition)h(1.4.)85 b Fw(\(1\))21 b(Die)15 b(Menge)g Fr(A)g Fw(hei\031t)h(eine)e Fs(T)l(eilmenge)k Fw(o)q(der)257 2075 y Fs(Untermenge)26 b Fw(der)e(Menge)g Fr(B)i Fw(\(Kurzb)q(ezeic)o(hn)o(ung:)c Fr(A)27 b Fp(\032)g Fr(B)s Fw(\))257 2133 y(genau)d(dann,)g(w)o(enn)f (jedes)h(Elemen)o(t)d(v)o(on)i Fr(A)h Fw(auc)o(h)f(Elemen)o(t)257 2191 y(v)o(on)16 b Fr(B)j Fw(ist:)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 108 117 a Ft(6)219 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)412 225 y Fr(A)c Fp(\032)h Fr(B)i Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))13 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)e Fp(2)j Fr(A)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(])1131 207 y Fq(2)1149 225 y Fw(.)174 283 y(\(2\))21 b(Ist)14 b Fr(A)g Fw(nic)o(h)o(t)f(T)l(eilmenge)e(v)o(on)k Fr(B)s Fw(,)e(so)i(wird)f Fr(A)f Fp(6\032)h Fr(B)j Fw(gesc)o(hrieb)q(en.)174 341 y(\(3\))k Fr(A)g Fw(hei\031t)g(eine)f Fs(e)n(chte)j(T)l(eilmenge)h Fw(v)o(on)d Fr(B)j Fw(\(Kurzb)q(ezeic)o(hn)o(ung:)257 399 y Fr(A)13 b Fn($)h Fr(B)s Fw(\),)i(w)o(enn)g Fr(A)d Fp(\032)h Fr(B)k Fp(^)f Fw(\(und\))f Fr(A)e Fp(6)p Fw(=)g Fr(B)k Fw(gelten.)108 497 y(Bemerkung:)11 b(Das)k(Zeic)o(hen)d Fp(\032)h Fw(hei\031t)g Fs(Inklusion)i Fw(und)f(wird)f(gelesen)1392 526 y(")1415 497 y(ist)108 555 y(T)l(eilmenge)h(v)o(on)m(\\)s(.)i(Es)h (ist)278 648 y Fr(A)d Fp(\032)f Fr(B)44 b Fp(\()-8 b(\))41 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)12 b Fp(2)i Fr(A)f Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(])462 706 y Fp(\()-8 b(\))41 b(8)p Fr(x)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(B)s Fw(])p Fr(:)281 764 y(A)g Fn($)g Fr(B)47 b Fp(\()-8 b(\))41 b Fr(A)14 b Fp(\032)f Fr(B)h Fp(^)27 b(9)p Fr(x)14 b Fp(2)g Fr(B)s Fw([)p Fr(x)e Fp(62)i Fr(A)p Fw(])462 823 y Fp(\()-8 b(\))41 b(8)p Fr(x)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(B)s Fw(])c Fp(^)28 b(9)p Fr(x)13 b Fp(2)h Fr(B)s Fw([)p Fr(x)f Fp(62)h Fr(A)p Fw(])p Fr(:)108 918 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.5.)g Fs(Die)f(folgenden)i(Gesetze)f (gelten)h(f)1125 920 y(\177)1125 918 y(ur)e(die)g(Inklusion)108 976 y(von)f(Mengen)i Fr(A)p Fs(,)d Fr(B)j Fs(und)d Fr(C)t Fs(:)174 1049 y Fw(\(1\))k Fs(R)n(e\015exivit)454 1051 y(\177)454 1049 y(at:)d Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(A)p Fs(.)174 1107 y Fw(\(2\))21 b Fs(T)l(r)n(ansitivit)478 1109 y(\177)478 1107 y(at:)c Fr(A)d Fp(\032)f Fr(B)h Fp(^)d Fr(B)17 b Fp(\032)c Fr(C)k Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(A)f Fp(\032)h Fr(C)q(:)174 1165 y Fw(\(3\))21 b Fs(A)o(ntisymmetrie:)c Fr(A)d Fp(\032)f Fr(B)h Fp(^)d Fr(B)17 b Fp(\032)c Fr(A)h Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(A)g Fw(=)h Fr(B)s(:)158 1269 y Fm(Beweis.)20 b Fw(Wir)h(geb)q(en)h(diesen)f(leic)o(h)o(ten)e(Bew)o (eis)h(aussc)o(hlie\031lic)o(h)g(in)108 1327 y(mathematisc)o(her)10 b(Kurzsc)o(hreib)o(w)o(eise)g(an.)j(Der)g(Leser)g(mag)f(sic)o(h)g(an)i (die-)108 1385 y(ser)i(Stelle)f(in)h(das)h(Lesen)f(dieser)g(K)775 1387 y(\177)774 1385 y(urzelsprac)o(he)f(einarb)q(eiten.)174 1458 y(\(1\))21 b Fp(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)11 b Fp(2)j Fr(A)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)p Fw(])f(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(A)g Fp(\032)h Fr(A:)174 1516 y Fw(\(2\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)f Fp(^)f Fr(B)k Fp(\032)e Fr(C)j Fw(=)-8 b Fp(\))257 1575 y(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)11 b Fp(2)j Fr(A)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(])c Fp(^)27 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)12 b Fp(2)i Fr(B)i Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(x)f Fp(2)h Fr(C)t Fw(])f(=)-8 b Fp(\))257 1633 y(8)p Fr(x)p Fw([\()p Fr(x)11 b Fp(2)j Fr(A)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(\))c Fp(^)h Fw(\()p Fr(x)j Fp(2)g Fr(B)i Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(x)f Fp(2)h Fr(C)t Fw(\)])f(=)-8 b Fp(\))257 1691 y(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)11 b Fp(2)j Fr(A)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(C)t Fw(])e(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(A)f Fp(\032)h Fr(C)q(:)174 1749 y Fw(\(3\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)f Fp(^)f Fr(B)k Fp(\032)e Fr(A)257 1807 y Fw(=)-8 b Fp(\))13 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)f Fp(2)i Fr(A)f Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(])c Fp(^)28 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)11 b Fp(2)j Fr(B)j Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)g Fp(2)h Fr(A)p Fw(])257 1865 y(=)-8 b Fp(\))13 b(8)p Fr(x)p Fw([\()p Fr(x)f Fp(2)i Fr(A)f Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(\))c Fp(^)i Fw(\()p Fr(x)h Fp(2)h Fr(B)j Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)p Fw(\)])257 1923 y(=)-8 b Fp(\))13 b(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)f Fp(2)i Fr(A)f Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)s Fw(])f(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(A)g Fw(=)h Fr(B)s(:)p 157 1954 33 2 v 157 1984 2 30 v 188 1984 V 157 1986 33 2 v 108 2040 250 2 v 158 2077 a Fo(2)177 2092 y Ft(Das)f(Zeic)o(hen)h(:)p Fl(\()-7 b(\))12 b Ft(soll)g(b)q (edeuten,)j(da\031)e(die)g(link)o(e)g(Aussage)h(durc)o(h)g(die)f(rec)o (h)o(te)108 2142 y(Aussage)h(de\014niert)h(wird,)d(d.h.)g(da\031)h(sie) h(durc)o(h)g(De\014nition)1065 2144 y(\177)1065 2142 y(aquiv)n(alen)o(t)e(zur)i(rec)o(h)o(ten)108 2191 y(Aussage)h(ist.)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)539 b(7)108 225 y Fu(Bemerkung)17 b(1.6.)j Fw(\(Notation)d(und)f(Sc)o(hreib)o(w)o(eise)e (v)o(on)i(Mengen\))108 283 y(Sind)11 b Fr(a)240 290 y Fq(1)259 283 y Fr(;)d(a)307 290 y Fq(2)326 283 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)470 290 y Fk(t)495 283 y Fw(genau)k(alle)e(Elemen)o(te)e (einer)h(Menge)i Fr(A)p Fw(,)f(so)h(sc)o(hreibt)108 341 y(man)23 b Fr(A)j Fw(=)g Fp(f)p Fr(a)402 348 y Fq(1)422 341 y Fr(;)8 b(a)470 348 y Fq(2)489 341 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)633 348 y Fk(t)647 341 y Fp(g)p Fr(:)23 b Fw(Die)g(Zeic)o (hen)f Fp(f)i Fw(und)g Fp(g)f Fw(hei\031en)g(dab)q(ei)108 399 y Fs(Mengenklammern)p Fw(.)k(Dann)e(gelten)f Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)29 b Fw(=)f Fp(f)p Fw(2)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)25 b Fw(und)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)29 b Fw(=)108 458 y Fp(f)p Fw(2)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fr(;)g Fw(2)p Fr(;)g Fw(1)p Fr(;)g Fw(1)p Fp(g)p Fw(,)19 b(w)o(eil)e(jew)o(eils)f(b)q(eide)i(Mengen)f(dieselb)q(en)h (Elemen)o(te)d(ha-)108 516 y(b)q(en)i(\(vgl.)e(jedo)q(c)o(h)h(Kapitel)g (I.3)714 518 y(\177)712 516 y(ub)q(er)h(Multimengen\).)108 627 y(Allerdings)k(wissen)h(wir)g(no)q(c)o(h)h(nic)o(h)o(t,)d(ob)j (diese)e(Mengen)1247 629 y(\177)1246 627 y(ub)q(erhaupt)108 686 y(existieren.)e(Aus)i(dem)f(Axiom)f(1)j(k)794 688 y(\177)794 686 y(onnen)f(wir)g(n)o(ur)g(en)o(tnehmen,)e(da\031)108 744 y(es)f(mindestens)e(eine)h(Menge)g(gibt.)h(Mengen,)f(wie)g(die)g (eb)q(en)h(b)q(esc)o(hrie-)108 802 y(b)q(enen,)23 b(w)o(erden)f(wir)g (erst)h(bilden)f(d)817 804 y(\177)816 802 y(urfen,)g(w)o(enn)g(wir)h (das)g(Axiom)e(5)108 860 y(zur)16 b(V)l(erf)282 862 y(\177)281 860 y(ugung)h(hab)q(en)g(w)o(erden.)e(Wir)h(k)877 862 y(\177)877 860 y(onnen)g(also)h(die)f(angegeb)q(enen)108 918 y(Mengen)f(zun)366 920 y(\177)366 918 y(ac)o(hst)g(n)o(ur)g(mit)e (V)l(orb)q(ehalt)i(hinsc)o(hreib)q(en.)e(Wir)i(tun)g(dies,)108 976 y(um)d(dem)g(Leser)h(sc)o(hon)g(jetzt)f(Beispiele)f(an)i(die)g (Hand)g(zu)g(geb)q(en,)g(an)g(de-)108 1034 y(nen)h(er)f(sic)o(h)g(die)g (Begri\013e)g(klar)g(mac)o(hen)f(k)m(ann.)i(No)q(c)o(h)f(k)o (ompliziert)o(er)e(ist)108 1092 y(die)i(Situation)g(b)q(ei)f(den)h (Zahlenmengen,)e(die)h(wir)h(auc)o(h)g(gleic)o(h)f(angeb)q(en)108 1151 y(w)o(erden.)17 b(Ihre)f(Existenz)h(wird)g(erst)h(durc)o(h)f(das)h (Unendlic)o(hk)o(eitsaxi)o(om)108 1209 y(6)j(\(in)f(Kapitel)f(I)q (I.1\))h(gesic)o(hert)f(w)o(erden.)g(Denno)q(c)o(h)i(w)o(ollen)e(wir)h (diese)108 1267 y(Zahlenmengen)c(als)h(v)o(eransc)o(haulic)o(hende)e (Beispiele)g(auc)o(h)i(hier)f(sc)o(hon)108 1325 y(heranziehen.)108 1437 y(Es)h(gelten)f(folgende)g(Elemen)o(tb)q(ezi)o(eh)o(ungen:)608 1526 y(5)f Fp(2)f(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(7)p Fp(g)p Fr(;)411 1584 y(X)t(Z)18 b Fp(2)c(f)p Fr(U)5 b(Y)s(;)j(U)d(Z)q(;)j(X)t(Y)s(;)g(X)t(Z)q(;)g(Z)t (Y)s(;)g(Z)t(Z)t Fp(g)p Fr(;)655 1642 y Fw(6)14 b Fp(62)g(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fp(g)p Fr(:)108 1843 y Fw(Wir)20 b(v)o(erw)o(enden)f(in)h(den)h(folgenden)f(Beispielen) e(Mengen,)i(die)g(allge-)108 1901 y(mein)15 b(b)q(ek)m(ann)o(t)i(sind,) f(deren)h(genaue)g(De\014nition,)f(Konstruktion)h(bzw.)108 1959 y(Existenz)f(wir)g(erst)g(sp)531 1961 y(\177)531 1959 y(ater)g(diskutieren)f(w)o(erden.)108 2017 y(Die)24 b(nat)276 2019 y(\177)275 2017 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(bilden)g(die)g (Menge)g Fn(N)h Fw(=)j Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fr(;)g Fw(4)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)h Fp(g)108 2075 y Fw(nac)o(h)16 b(Axiom)f(6.)h(Wir)g(v)o(erw)o(enden)e(w)o(eiter)h (als)i(Bezeic)o(hn)o(ung)108 2133 y Fn(Z)n Fw(=)d Fp(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fr(;)g Fp(\000)p Fw(1)p Fr(;)g Fw(2)p Fr(;)g Fp(\000)p Fw(2)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)g Fp(g)13 b Fw(=)k(Menge)e(der)h(ganzen)h(Zahlen,)108 2191 y Fn(Q)11 b Fw(=)17 b(Menge)e(der)h(rationalen)h(Zahlen,)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 108 117 a Ft(8)219 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fn(R)8 b Fw(=)16 b(Menge)g(der)g(reellen)f (Zahlen,)108 283 y Fn(C)23 b Fw(=)16 b(Menge)g(der)g(k)o(omplexen)e (Zahlen.)108 394 y(F)141 396 y(\177)140 394 y(ur)22 b(eine)f(Menge)g Fr(A)g Fw(ist)g Fp(f)p Fr(A)p Fp(g)h Fw(eine)e(neue)h(Menge)h(mit)e (genau)i(einem)108 452 y(Elemen)o(t)12 b Fr(A)p Fw(,)h(also)i(gilt)e Fr(A)h Fp(2)g(f)p Fr(A)p Fp(g)p Fr(:)f Fw(Mengen)h(k)961 454 y(\177)961 452 y(onnen)g(also)h(auc)o(h)f(als)g(Ele-)108 510 y(men)o(te)j(v)o(on)i(anderen)g(Mengen)g(auftreten.)f(Es)h(ist)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)19 b(2)g(ff)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(gg)p Fw(,)108 568 y(1)14 b Fp(62)h(ff)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(gg)16 b Fw(und)h(1)d Fp(2)g(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)p Fr(:)16 b Fw(Es)h(gilt)e(nic)o(h)o(t)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)15 b(\032)e(ff)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(gg)p Fr(:)108 630 y Fw(Wir)13 b(b)q(emerk)o(en)d(no) q(c)o(hmals,)h(da\031)j(die)d(Existenz)h(der)h(ob)q(en)g(angegeb)q (enen)108 688 y(Mengen)j(no)q(c)o(h)h(nic)o(h)o(t)e(gesic)o(hert)g (ist.)108 798 y(Ein)f(wic)o(h)o(tiges)f(Prinzip)h(zur)g(Bildung)g(v)o (on)g(Mengen)g(ist)g(die)g(Konstruk-)108 856 y(tion)19 b(v)o(on)f(T)l(eilmengen.)e(W)l(enn)i(man)g(die)f(Elemen)o(te)f(einer)h (gegeb)q(enen)108 915 y(Menge)11 b Fr(A)h Fw(auf)g(b)q(estimm)o(te)c (Eigensc)o(haften)j(hin)h(un)o(tersuc)o(h)o(t,)e(nat)1325 917 y(\177)1324 915 y(urlic)o(he)108 973 y(Zahlen)16 b(z.B.)e(darauf)i(hin,)g(ob)g(sie)f(gerade)h(sind)g(o)q(der)g(nic)o(h)o (t,)e(so)j(m)1357 975 y(\177)1357 973 y(oc)o(h)o(te)108 1031 y(man)c(diejenigen)g(Elemen)o(te,)d(die)j(die)g(gegeb)q(ene)h (Eigensc)o(haft)g(b)q(esitzen,)108 1089 y(zu)k(einer)e(neuen)h(Menge)h Fr(B)i Fw(zusammenfassen.)15 b(Diese)i(wird)g(nat)1346 1091 y(\177)1345 1089 y(urlic)o(h)108 1147 y(eine)g(T)l(eilmenge)e(v)o (on)i Fr(A)g Fw(sein.)g(Eine)g(Eigensc)o(haft)g(f)1094 1149 y(\177)1093 1147 y(ur)h(Elemen)o(te)d(wird)108 1205 y(h)135 1207 y(\177)135 1205 y(au\014g)25 b(auc)o(h)e(ein)g Fs(Pr)524 1207 y(\177)524 1205 y(adikat)g Fw(o)q(der)h(eine)e Fs(A)o(ussage)j Fw(genann)o(t.)e(Es)h(m)o(u\031)108 1263 y(f)124 1265 y(\177)123 1263 y(ur)17 b(die)f(b)q(etrac)o(h)o(teten)g (Elemen)o(te)d(feststehen,)j(ob)h(sie)g(die)f(Eigensc)o(haft)108 1321 y(b)q(esitzen,)f(bzw.)h(ob)h(sie)f(die)f(Aussage)i(erf)887 1323 y(\177)886 1321 y(ullen.)108 1408 y Fu(Axiom)g(3.)j Fw(\(T)l(eilmengenaxiom)13 b(o)q(der)k(Prinzip)e(der)h(Abstraktion\)) 108 1466 y(Sei)11 b Fr(B)j Fw(eine)d(Menge)g(und)h Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))f(ein)g(Pr)806 1468 y(\177)806 1466 y(adik)m(at)i(f)966 1468 y(\177)965 1466 y(ur)e(Elemen)o(te)e Fr(x)j Fw(\(d.h.)f(eine)108 1524 y(Aussage)17 b(f)313 1526 y(\177)312 1524 y(ur)f(Elemen)o(te)d Fr(x)p Fw(,)i(f)660 1526 y(\177)659 1524 y(ur)h(die)g(b)q(ei)f(fester)h(W)l(ahl)g(v)o(on)g Fr(x)g Fw(feststeh)o(t,)108 1582 y(ob)h(sie)f(w)o(ahr)h(o)q(der)g (falsc)o(h)f(ist\).)g(Dann)h(gibt)g(es)f(eine)g(T)l(eilmenge)e Fr(A)i Fw(v)o(on)108 1641 y Fr(B)s Fw(,)h(die)f(genau)i(die)e(Elemen)o (te)f Fr(b)g Fp(2)h Fr(B)j Fw(en)o(th)929 1643 y(\177)929 1641 y(alt,)d(f)1032 1643 y(\177)1031 1641 y(ur)i(die)e Fj(A)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))h(w)o(ahr)g(ist.)108 1699 y(F)141 1701 y(\177)140 1699 y(ur)f Fr(A)g Fw(wird)392 1785 y Fr(A)e Fw(=)f Fp(f)p Fr(b)p Fp(j)p Fr(b)g Fp(2)h Fr(B)g Fp(^)d Fj(A)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))p Fp(g)j Fw(=)f Fp(f)p Fr(b)h Fp(2)g Fr(B)s Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))p Fp(g)108 1872 y Fw(gesc)o(hrieb)q(en.)108 1959 y Fu(Bemerkung)j(1.7.)j Fw(Beispiele)14 b(f)735 1961 y(\177)734 1959 y(ur)i(T)l(eilmengen)e(sind)108 2017 y Fp(f)p Fr(x)g Fp(2)g Fn(N)p Fp(j)p Fr(x)g Fw(gerade)p Fp(g)f Fw(=)k(Menge)e(der)h(geraden)h(nat)1033 2019 y(\177)1032 2017 y(urlic)o(hen)e(Zahlen,)108 2075 y Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)e Fp(2)h Fn(N)9 b Fp(^)j Fr(x)h(<)h Fw(10)p Fp(g)g Fw(=)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b Fw(9)p Fp(g)p Fw(,)108 2133 y Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)13 b Fp(2)h Fn(N)9 b Fp(^)j Fr(x)k Fw(ist)g(Primzahl)p Fp(g)e Fw(=)i(Menge)g(der)g(Primzahlen,)108 2191 y Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)d Fp(2)h Fn(R)5 b Fp(^)12 b Fw(1)i Fp(\024)f Fr(x)h Fp(\024)g Fw(2)p Fp(g)g Fw(=)f([1)p Fr(;)8 b Fw(2])16 b(abgesc)o(hlossenes)h(In)o(terv)m(all,)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)539 b(9)108 225 y Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)13 b Fp(2)h Fn(R)5 b Fp(^)12 b Fw(1)i Fr(<)g(x)f(<)h Fw(2)p Fp(g)g Fw(=)g(\(1)p Fr(;)8 b Fw(2\))17 b(o\013enes)f(In)o(terv)m(all.)108 283 y(Seien)g Fr(b)257 290 y Fq(1)276 283 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)415 290 y Fk(n)452 283 y Fp(2)14 b Fr(B)s Fw(.)h(Dann)i(ist)141 368 y Fp(f)p Fr(b)187 375 y Fq(1)207 368 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(b)345 375 y Fk(n)368 368 y Fp(g)14 b Fw(:=)g Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(B)f Fp(^)e Fw(\()p Fr(x)j Fw(=)g Fr(b)856 375 y Fq(1)886 368 y Fp(_)e Fr(x)h Fw(=)h Fr(b)1045 375 y Fq(2)1075 368 y Fp(_)e Fr(:)c(:)g(:)i Fp(_)h Fr(x)j Fw(=)g Fr(b)1347 375 y Fk(n)1370 368 y Fw(\))p Fp(g)1414 350 y Fq(3)108 453 y Fw(eine)22 b(T)l(eilmenge)d(v)o (on)k Fr(B)s Fw(.)e(F)659 455 y(\177)658 453 y(ur)h Fr(b)i Fp(2)h Fr(B)g Fw(ist)d Fp(f)p Fr(b)p Fp(g)i(\032)g Fr(B)s(:)d Fw(Eine)h(w)o(eitere)108 511 y(T)l(eilmenge)14 b(v)o(on)i Fr(B)j Fw(ist)527 569 y Fp(;)14 b Fw(:=)f Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)g Fp(2)h Fr(B)g Fp(^)d Fr(x)j Fp(62)g Fr(B)s Fp(g)p Fr(:)108 627 y Fw(Sie)i(hei\031t)g Fs(le)n(er)n(e)i(Menge)p Fw(.)f(Es)g(gibt)g(genau)g(eine)e(leere)g(Menge.)h(Diese)g(ist)108 685 y(Un)o(termenge)9 b(jeder)i(Menge)h Fr(B)i Fw(\(w)o(egen)d(Axiom)f (2)i(und)g(Axiom)e(3\).)h(Nac)o(h)108 743 y(Axiom)17 b(1)j(ist)f(bisher)f(allein)g(die)h(Existenz)f(v)o(on)h Fp(;)g Fw(sic)o(hergestellt.)e(F)1422 745 y(\177)1421 743 y(ur)108 801 y Fr(b)d Fp(2)g Fr(B)19 b Fw(ist)d Fp(f)p Fr(b)p Fp(g)d(\032)h Fr(B)s(:)108 861 y Fw(Die)k(Mengen)o(bildung)f Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fw(1)g Fp(\024)g Fr(x)f Fp(\024)h Fw(5)p Fp(g)h Fw(ist)g(nic)o(h)o(t)f(sinn)o(v)o(oll,)f(w)o(eil)h(nic)o (h)o(t)108 919 y(klar)24 b(ist,)f(aus)h(w)o(elc)o(her)e(Grundmenge)g Fr(U)29 b Fw(die)23 b(Elemen)o(te)e(zu)i(w)1352 921 y(\177)1352 919 y(ahlen)108 977 y(sind.)17 b(Wir)h(halten)f(daher)h(oft)g(eine)f (solc)o(he)g(Grundmenge)g Fr(U)5 b Fw(,)17 b(genann)o(t)108 1035 y Fs(Universum)p Fw(,)j(fest,)f(aus)h(der)f Fs(al)r(le)42 b Fw(b)q(etrac)o(h)o(teten)18 b(Elemen)o(te)f(stammen)108 1094 y(sollen.)k(Ist)h(also)g Fr(U)29 b Fw(=)23 b Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(7)p Fr(;)g Fw(9)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)g Fp(g)23 b Fw(=)f(Menge)g(der)f(ungeraden)108 1152 y(Zahlen,)c(so)i(ist)f Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fw(1)e Fp(\024)h Fr(x)f Fp(\024)h Fw(5)p Fp(g)g Fw(=)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fp(g)p Fr(:)18 b Fw(F)1030 1154 y(\177)1029 1152 y(ur)g Fr(U)k Fw(=)16 b Fn(R)c Fw(ist)18 b Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fw(1)f Fp(\024)108 1210 y Fr(x)d Fp(\024)f Fw(5)p Fp(g)i Fw(=)e([1)p Fr(;)8 b Fw(5])16 b(\(abgesc)o(hlossenes)h(In)o(terv)m(all)e(v)o(on)h(1)g(bis) g(5\).)108 1294 y Fu(De\014nition)i(1.8.)i Fw(Seien)15 b Fr(A;)8 b(B)18 b Fw(Mengen.)174 1365 y(\(1\))j(Der)15 b Fs(Dur)n(chschnitt)h Fw(v)o(on)f Fr(A)g Fw(und)g Fr(B)j Fw(ist)d(die)g(T)l(eilmenge)d(derjeni-)257 1423 y(gen)k(Elemen)o(te)e (aus)j Fr(A)p Fw(,)e(die)h(auc)o(h)g(in)g Fr(B)i Fw(liegen:)323 1508 y Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(B)17 b Fw(:)41 b(=)14 b Fp(f)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(A)p Fp(j)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(B)s Fp(g)f Fw(=)h Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(A)d Fp(^)g Fr(x)j Fp(2)g Fr(B)s Fp(g)750 1566 y Fw(=)g Fp(f)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(B)s Fp(j)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(A)p Fp(g)p Fr(:)174 1709 y Fw(\(2\))21 b(Die)f Fs(Komplement)616 1711 y(\177)616 1709 y(armenge)k Fw(v)o(on)d Fr(B)i Fw(in)e Fr(A)f Fw(ist)h(die)f(T)l (eilmenge)257 1767 y(der)d(Elemen)o(te)f(aus)i Fr(A)g Fw(die)f(nic)o(h)o(t)g(in)g Fr(B)k Fw(liegen)c(\()1180 1797 y(")1202 1767 y(A)h(ohne)g(B)m(\\)s(\):)257 1825 y Fr(A)10 b Fp(n)h Fr(B)17 b Fw(:=)c Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)p Fp(j)p Fr(x)k(=)-29 b Fp(2)14 b Fr(B)s Fp(g)p Fr(:)174 1883 y Fw(\(3\))21 b(Zw)o(ei)28 b(Mengen)h Fr(A;)8 b(B)32 b Fw(hei\031en)d Fs(disjunkt)h Fw(o)q(der)g Fs(fr)n(emd)p Fw(,)f(w)o(enn)257 1942 y Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)k Fw(=)e Fp(;)p Fr(:)174 2000 y Fw(\(4\))21 b(Die)h Fs(Komplement)618 2002 y(\177)618 2000 y(armenge)j Fw(v)o(on)d Fr(B)j Fw(im)c(Univ)o (ersum)f Fr(U)28 b Fw(wird)257 2058 y(mit)p 346 2019 40 2 v 14 w Fr(B)19 b Fw(b)q(ezeic)o(hnet.)p 108 2090 250 2 v 158 2127 a Fo(3)177 2142 y Ft(Mit)j(dem)h(Zeic)o(hen)h(:=)f (wird)g(das)g(link)o(e)f(Sym)o(b)q(ol)f(durc)o(h)j(die)f(rec)o(h)o(te)i (Seite)108 2191 y(de\014niert.)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 108 117 a Ft(10)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(An)d(dieser)f(Stelle)f(sollte)h(angemerkt)g (w)o(erden,)g(da\031)h(die)f(Zeic)o(hen)f(=)i(und)108 283 y Fp(,)i Fw(g)198 285 y(\177)198 283 y(anzlic)o(h)g(un)o(tersc)o (hiedlic)o(he)d(Bedeutung)i(hab)q(en.)108 341 y(W)l(enn)g(wir)g(jetzt)g (v)o(on)g(Elemen)o(ten)d(und)k(Mengen)e(als)i(mathematisc)o(he)o(n)108 399 y(Ob)s(jekten)j(sprec)o(hen,)g(so)i(steh)o(t)f(fest,)g(ob)g(zw)o (ei)g(b)q(eliebig)f(v)o(orgegeb)q(ene)108 458 y(Ob)s(jekte)i(gleic)o(h) g(sind)i(o)q(der)f(nic)o(h)o(t.)f(Das)i(Gleic)o(hheitszeic)n(hen)d(ist) i(da-)108 516 y(mit)14 b(zwisc)o(hen)h(Elemen)o(ten)e(bzw.)j(Mengen)f (de\014niert.)g(Mehr)g(no)q(c)o(h,)h(wir)108 574 y(k)134 576 y(\177)134 574 y(onnen)h(sogar)i(einen)d(T)l(est)h(angeb)q(en,)g (mit)e(dem)h(man)g(feststellen)f(\(auf)108 632 y(eine)d(einfac)o(here)g (F)l(rage)h(zur)629 634 y(\177)628 632 y(uc)o(kf)718 634 y(\177)717 632 y(uhren\))f(k)m(ann,)h(ob)g(zw)o(ei)f(Mengen)h (gleic)o(h)108 690 y(sind,)19 b(n)255 692 y(\177)255 690 y(amlic)o(h)e(den)i(im)f(Axiom)f(der)i(Gleic)o(hheit)e(\(Axiom)g (2\))j(angege-)108 748 y(b)q(enen)d(T)l(est.)e(So)i(sind)f(z.)g(B.)f (die)h(folgenden)g(Mengen)g(gleic)o(h:)254 828 y Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fp(g)42 b Fw(=)14 b Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)f Fp(2)h Fn(N)9 b Fp(^)i Fr(x)j(<)f Fw(4)p Fp(g)462 886 y Fw(=)h Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)f Fp(2)h Fn(N)9 b Fp(^)27 b(9)p Fr(y)16 b Fp(2)e(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fp(g)p Fw([)p Fr(x)13 b Fw(=)h(4)e Fp(\000)e Fr(y)r Fw(])p Fp(g)p Fr(:)108 967 y Fw(Die)17 b(Mengenlehre)f(basiert)h(jedo)q(c)o(h)g(auf)h (dem)d(Umgang)i(mit)e(logisc)o(hen)108 1025 y(S)135 1027 y(\177)135 1025 y(atzen,)21 b(sogenann)o(ten)g(Aussagen,)802 1027 y(\177)800 1025 y(ub)q(er)g(die)g(feststeh)o(t,)e(ob)j(sie)e(w)o (ahr)108 1083 y(o)q(der)i(falsc)o(h)f(sind.)g(V)l(ersc)o(hiedene)e (solc)o(he)i(Aussagen)h(k)1175 1085 y(\177)1175 1083 y(onnen)g(logisc)o(h)108 1143 y(\177)108 1141 y(aquiv)m(alen)o(t)d (sein,)g(d.h.)g(v)o(on)g(zw)o(ei)g(logisc)o(hen)f(Aussagen)j Fr(P)27 b Fw(und)20 b Fr(Q)f Fw(ist)108 1199 y Fr(P)k Fw(genau)15 b(dann)h(w)o(ahr,)f(w)o(enn)g Fr(Q)f Fw(w)o(ahr)i(ist.)e (Wir)h(sc)o(hreib)q(en)f(dann)i Fr(P)21 b Fp(,)108 1257 y Fr(Q)p Fw(.)c(Solc)o(he)g(logisc)o(h)490 1259 y(\177)490 1257 y(aquiv)m(alen)o(ten)f(Aussagen)j(k)o(omme)o(n)c(in)i(der)g (Praxis)108 1315 y(v)o(erh)201 1317 y(\177)201 1315 y(altnism)360 1317 y(\177)360 1315 y(a\031ig)11 b(selten)g(in)g(der)h(Mathematik)e (jedo)q(c)o(h)i(sehr)g(h)1270 1317 y(\177)1270 1315 y(au\014g)h(v)o (or.)108 1374 y(Ein)j(Beispiel)e(ist:)169 1472 y(")192 1442 y Fr(n)i Fw(ist)g(die)g(kleinste)f(Primzahl.)m(\\)i Fp(,)875 1472 y Fw(")897 1442 y Fr(n)g Fw(ist)f(die)f(kleinste)g (gerade)607 1500 y(nat)678 1502 y(\177)677 1500 y(urlic)o(he)f(Zahl.)m (\\)108 1569 y(Das)19 b(Gleic)o(hheitszeic)n(hen)c(k)m(ann)k(also)g(n)o (ur)f(zwisc)o(hen)f(Elemen)o(ten)e(bzw.)108 1627 y(Mengen)g(stehen,)f (die)g(dopp)q(elte)h(Implik)m(ation)e(n)o(ur)h(zwisc)o(hen)g(logisc)o (hen)108 1685 y(Aussagen.)h(Insb)q(esondere)g(b)q(eac)o(h)o(te)e(man,)g (da\031)j Fr(A)7 b Fp(\\)g Fr(B)17 b Fw(eine)c(Menge)h(ist,)108 1743 y(w)143 1745 y(\177)143 1743 y(ahrend)j Fr(A)c Fp(\032)h Fr(B)19 b Fw(eine)c(Aussage)i(ist.)108 1801 y(Wir)i(b)q(emerk)o(en)d (auc)o(h)j(no)q(c)o(h,)g(da\031)h(so)o(w)o(ohl)f Fr(P)26 b Fp(,)18 b Fr(Q)h Fw(als)g(auc)o(h)g Fr(A)f Fw(=)g Fr(B)108 1859 y Fw(Aussagen)f(sind,)f(d.)g(h.)g(da\031)h(b)q(ei)f(b)q(eiden)g (Ausdr)1013 1861 y(\177)1012 1859 y(uc)o(k)o(en)f(der)h(W)l(ahrheits-) 108 1917 y(gehalt)h(festgesteh)o(t.)108 2017 y(Wir)f(geb)q(en)h(in)f (der)g(n)515 2019 y(\177)515 2017 y(ac)o(hsten)g(F)l(olgerung)h(eine)e (Reihe)h(v)o(on)g(Regeln)g(f)1422 2019 y(\177)1421 2017 y(ur)108 2075 y(das)22 b(Rec)o(hnen)e(mit)f(Mengen)h(an.)h(Viele)e(der) i(Rec)o(henregeln)e(sind)i(un-)108 2133 y(mittelbar)11 b(klar,)i(andere)g(b)q(en)660 2135 y(\177)660 2133 y(otigen)h(einen)e (et)o(w)o(as)h(ausf)1144 2135 y(\177)1143 2133 y(uhrlic)o(heren)f(Be-) 108 2191 y(w)o(eis.)h(Wir)g(v)o(erzic)o(h)o(ten)e(hier)i(auf)h(Bew)o (eise)e(dieser)h(Aussagen,)h(da)g(wir)f(sie)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)518 b(11)108 225 y Fw(zum)12 b(T)l(eil)g(auc)o(h)i(sp)463 227 y(\177)463 225 y(ater)f(in)g(allgemeinerer)e(F)l(orm)h(in)h(Kapitel)f(I.3)h (wieder)108 283 y(\014nden)20 b(w)o(erden.)e(Lediglic)o(h)g(eine)g (Aussage)i(b)q(ew)o(eisen)f(wir,)g(damit)f(der)108 341 y(Leser)f(sieh)o(t,)e(wie)g(er)h(solc)o(he)g(Bew)o(eise)e(f)850 343 y(\177)849 341 y(uhren)i(sollte.)108 430 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.9.)g Fs(\(R)n(e)n(chenr)n(e)n(geln)e(der)f (Mengenalgebr)n(a\))174 501 y Fw(\(1\))k Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)k Fw(=)e Fr(B)f Fp(\\)f Fr(A)p Fs(,)17 b(\(Kommutativgesetz\))174 559 y Fw(\(2\))k(\()p Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)s Fw(\))e Fp(\\)i Fr(C)17 b Fw(=)d Fr(A)c Fp(\\)i Fw(\()p Fr(B)h Fp(\\)e Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)17 b(\(Assoziativgesetz\))174 617 y Fw(\(3\))k Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(A)h Fw(=)h Fr(A)p Fs(,)j(\(Idemp)n(otenzgesetz\))174 676 y Fw(\(4\))k Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)k Fp(\032)e Fr(A;)107 b(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)k Fp(\032)e Fr(B)s Fs(.)174 734 y Fw(\(5\))21 b Fs(Gilt)k(f)378 736 y(\177)378 734 y(ur)f(eine)i(Menge)g Fr(C)t Fs(:)e Fr(C)30 b Fp(\032)d Fr(A)16 b Fp(^)h Fr(C)30 b Fp(\032)d Fr(B)s Fs(,)d(dann)i(folgt)257 792 y Fr(C)17 b Fp(\032)d Fr(A)c Fp(\\)i Fr(B)s Fs(.)174 850 y Fw(\(6\))21 b Fr(A)10 b Fp(n)h Fr(B)17 b Fw(=)d Fr(A)c Fp(n)h Fw(\()p Fr(A)g Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))p Fs(,)174 908 y Fw(\(7\))21 b Fr(A)10 b Fp(n)h Fw(\()p Fr(A)g Fp(n)g Fr(B)s Fw(\))i(=)h Fr(A)d Fp(\\)g Fr(B)s Fs(,)174 966 y Fw(\(8\))21 b Fr(A)10 b Fp(n)h(;)j Fw(=)g Fr(A;)107 b(A)11 b Fp(n)g Fr(A)i Fw(=)h Fp(;)p Fs(,)174 1024 y Fw(\(9\))21 b(\()p Fr(A)10 b Fp(n)h Fr(B)s Fw(\))j Fp(\032)f Fr(A)p Fs(,)158 1113 y Fm(Beweis.)20 b Fw(Die)12 b(meisten)e(Bew)o(eissc)o(hritte)g(sind)i (unmittelbar)f(einsic)o(h-)108 1171 y(tig.)16 b(Als)f(Muster)g(b)q(ew)o (eisen)g(wir)h(den)g(ersten)f(T)l(eil)g(v)o(on)h(\(8\):)f(W)l(egen)h (1.5)108 1229 y(\(3\))j(ist)f Fr(A)12 b Fp(n)g(;)18 b(\032)f Fr(A)g Fw(und)i Fr(A)e Fp(\032)g Fr(A)12 b Fp(n)g(;)18 b Fw(zu)h(zeigen.)d Fr(A)c Fp(n)h(;)k(\032)g Fr(A)h Fw(gilt)g(w)o(e-) 108 1287 y(gen)e(1.8)h(\(2\).)f(F)401 1289 y(\177)400 1287 y(ur)g Fr(A)d Fp(\032)h Fr(A)c Fp(n)g(;)16 b Fw(hab)q(en)h(wir)f (nac)o(h)f(De\014nition)h(zu)g(zeigen:)108 1346 y Fp(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)e Fp(2)i Fr(A)g Fw(=)-8 b Fp(\))15 b Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)c Fp(n)f(;)p Fw(])p Fr(:)17 b Fw(Sei)g Fr(a)e Fp(2)i Fr(A:)f Fw(Dann)j(ist)e Fr(a)f Fp(2)g Fr(A)h Fw(und)h Fr(a)d Fp(62)i(;)108 1404 y Fw(\(Eigensc)o(haft)e(der)g (leeren)f(Menge\),)g(also)i Fr(a)e Fp(2)g(f)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(A)p Fp(j)p Fr(x)f Fp(62)h(;g)g Fw(=)g Fr(A)8 b Fp(n)h(;)p Fr(:)108 1462 y Fw(Also)21 b(gilt)g Fp(8)p Fr(x)p Fw([)p Fr(x)g Fp(2)h Fr(A)h Fw(=)-8 b Fp(\))22 b Fr(x)g Fp(2)h Fr(A)14 b Fp(n)h(;)p Fw(])20 b(und)i(damit)e(ist)h Fr(A)i Fp(\032)f Fr(A)14 b Fp(n)h(;)108 1520 y Fw(gezeigt.)g(Also)h (gilt)g Fr(A)11 b Fp(n)g(;)i Fw(=)h Fr(A)p Fw(.)p 754 1493 33 2 v 754 1522 2 30 v 785 1522 V 754 1524 33 2 v 108 1607 a(In)i(der)g(folgenden)g(De\014nition)g(v)o(erw)o(enden)f (wir)h(eine)f(t)o(ypisc)o(he)g(Sc)o(hlu\031-)108 1665 y(w)o(eise)f(der)g(Mengenlehre.)f(W)l(enn)i(eine)f(Menge)g Fr(M)20 b Fw(nic)o(h)o(t)13 b(leer)h(ist,)g(dann)108 1723 y(m)o(u\031)k(sie)g(ja)h(mindestens)e(ein)i(Elemen)o(t)d(en)o (thalten.)i(Wir)g(k)1239 1725 y(\177)1239 1723 y(onnen)h(also)108 1781 y(ein)12 b(\(ansonsten)h(b)q(eliebiges\))e(Elemen)o(t)e Fr(a)872 1788 y Fq(0)903 1781 y Fw(aus)k(dieser)e(Menge)h Fr(M)17 b Fw(\014nden)108 1839 y(und)g(damit)e(w)o(eitere)f(Un)o (tersuc)o(h)o(ungen)h(durc)o(hf)1008 1841 y(\177)1007 1839 y(uhren.)108 1926 y Fu(De\014nition)j(1.10.)i Fw(Sei)10 b Fj(M)g Fw(eine)g(Menge,)g(deren)g(Elemen)o(te)e(selbst)j(Men-)108 1984 y(gen)16 b(sind,)g(und)g(sei)f Fj(M)f Fp(6)p Fw(=)f Fp(;)p Fw(.)j(Sei)f Fr(A)760 1991 y Fq(0)793 1984 y Fp(2)f Fj(M)p Fr(:)h Fw(Dann)i(ist)f(der)f Fs(Dur)n(chschnitt)108 2042 y Fw(der)h(Mengen)g(aus)h Fj(M)f Fw(de\014niert)f(als)251 2088 y Fi(\\)298 2129 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)d Fp(2)i Fj(M)p Fp(g)g Fw(:)41 b(=)13 b Fp(f)p Fr(a)p Fp(j)p Fr(a)g Fp(2)h Fr(A)847 2136 y Fq(0)878 2129 y Fp(^)27 b(8)p Fr(A)12 b Fp(2)i Fj(M)p Fw([)p Fr(a)f Fp(2)h Fr(A)p Fw(])p Fp(g)708 2191 y Fw(=)g Fp(f)p Fr(a)p Fp(j8)p Fr(A)d Fp(2)j Fj(M)p Fw([)p Fr(a)f Fp(2)h Fr(A)p Fw(])p Fp(g)p Fr(:)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 108 117 a Ft(12)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Die)i(erste)f(Gleic)o(h)o(ung)f(zeigt,)h (da\031)777 192 y Fi(T)811 225 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)g Fp(2)g Fj(M)p Fp(g)g Fw(als)h(T)l(eilmenge)e(v)o(on)108 283 y Fr(A)145 290 y Fq(0)188 283 y Fw(existiert.)22 b(Dann)i(k)m(ann)663 250 y Fi(T)697 283 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)i Fp(2)g Fj(M)p Fp(g)e Fw(ab)q(er)g(durc)o(h)f(die)g(zw)o (eite)108 341 y(Gleic)o(h)o(ung)17 b(b)q(esc)o(hrieb)q(en)h(w)o(erden)g (und)g(ist)g(daher)h(v)o(on)f(der)g(W)l(ahl)h(v)o(on)108 399 y Fr(A)145 406 y Fq(0)181 399 y Fw(unabh)313 401 y(\177)313 399 y(angig.)108 494 y(Der)e(Leser)g(m)374 496 y(\177)374 494 y(oge)g(sic)o(h)f(klarmac)o(hen,)e(da\031)k(f)941 496 y(\177)940 494 y(ur)f(Durc)o(hsc)o(hnitte)f(die)g(fol-)108 552 y(gende)g(F)l(olgerung)h(gilt.)108 651 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.11.)g Fs(Sei)i Fr(B)i Fs(eine)f(Menge.)g(Es)e(gilt)i Fp(8)p Fr(A)c Fp(2)j Fj(M)p Fw([)p Fr(B)h Fp(\032)e Fr(A)p Fw(])108 710 y Fs(genau)j(dann,)g(wenn)g Fr(B)j Fp(\032)656 676 y Fi(T)690 710 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)c Fp(2)h Fj(M)p Fp(g)p Fr(:)e Fs(Weiter)h(ist)g(der)g(Dur)n(ch-)108 768 y(schnitt)270 734 y Fi(T)304 768 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)17 b Fp(2)h Fj(M)p Fp(g)i Fs(die)g(gr)699 770 y(\177)699 768 y(o\031te)g(Menge)h Fr(X)j Fs(mit)c(der)f (Eigenschaft:)108 826 y Fp(8)p Fr(A)12 b Fp(2)i Fj(M)p Fw([)p Fr(X)k Fp(\032)13 b Fr(A)p Fw(])p Fr(:)108 925 y Fu(Axiom)k(4.)j Fw(\(V)l(ereinigungsmengenaxiom\))174 998 y(\(1\))h(Sind)g Fr(A)h Fw(und)g Fr(B)j Fw(zw)o(ei)20 b(Mengen,)h(dann)i(gibt)f(es)g(eine)e(Menge,)257 1056 y Fs(V)l(er)n(einigungsmenge)e Fw(v)o(on)d Fr(A)g Fw(und)g Fr(B)j Fw(genann)o(t)d(und)h(mit)d Fr(A)8 b Fp([)h Fr(B)257 1114 y Fw(b)q(ezeic)o(hnet,)j(die)i(genau)h(die)f(Elemen)o(te)e(en)o (th)1106 1116 y(\177)1106 1114 y(alt,)h(die)h(in)g Fr(A)g Fw(o)q(der)257 1172 y Fr(B)19 b Fw(en)o(thalten)c(sind:)556 1266 y Fr(A)c Fp([)g Fr(B)17 b Fw(=)c Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fr(x)g Fp(2)h Fr(A)d Fp(_)g Fr(x)j Fp(2)g Fr(B)s Fp(g)p Fr(:)174 1361 y Fw(\(2\))21 b(Sei)f Fj(M)g Fw(eine)g(Menge,)g(deren)g (Elemen)o(te)e(selbst)j(Mengen)f(sind.)257 1419 y(Dann)27 b(gibt)f(es)g(eine)f(Menge,)h Fs(V)l(er)n(einigungsmenge)j Fw(genann)o(t)257 1477 y(und)14 b(mit)439 1444 y Fi(S)474 1477 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)e Fp(2)i Fj(M)p Fp(g)g Fw(b)q(ezeic)o(hnet,)d(die)j(genau)g(die)f(Elemen)o(te)257 1535 y(en)o(th)351 1537 y(\177)351 1535 y(alt,)i(die)h(in)f(mindestens) g(einem)f Fr(A)f Fp(2)h Fj(M)i Fw(liegen:)472 1588 y Fi([)518 1629 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)d Fp(2)h Fj(M)p Fp(g)f Fw(=)h Fp(f)p Fr(x)p Fp(j9)p Fr(A)f Fp(2)h Fj(M)p Fw([)p Fr(x)e Fp(2)i Fr(A)p Fw(])p Fp(g)p Fr(:)108 1727 y Fw(Bemerkung:)h(\(1\))j(folgt)g(nic)o(h)o(t)e(aus)j(\(2\),)e(w)o(eil) g(wir)g(nic)o(h)o(t)f(wissen,)h(ob)i(es)108 1785 y(eine)12 b(Menge)g Fp(f)p Fr(A;)c(B)s Fp(g)k Fw(gibt.)g(Es)h(ist)757 1752 y Fi(S)792 1785 y Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)f Fp(2)j(;g)e Fw(=)h Fp(;)p Fr(;)e Fw(denn)h(mit)d Fj(M)k Fw(=)g Fp(;)108 1844 y Fw(ist)g Fp(f)p Fr(x)p Fp(j9)p Fr(A)e Fp(2)i Fj(M)p Fw([)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(A)p Fw(])p Fp(g)f Fw(=)h Fp(;)p Fw(:)f(w)739 1846 y(\177)739 1844 y(are)h(diese)f(Menge)g(nic)o(h)o(t)f (leer,)g(so)j(g)1392 1846 y(\177)1392 1844 y(ab)q(e)108 1902 y(es)g(ein)g Fr(x)g Fw(in)g(ihr,)g(also)h(w)562 1904 y(\177)562 1902 y(are)f Fr(x)f Fp(2)g Fr(A)h Fw(f)799 1904 y(\177)798 1902 y(ur)g(ein)g Fr(A)e Fp(2)h Fj(M)p Fw(,)g(also)i(w)1238 1904 y(\177)1238 1902 y(are)g Fj(M)d Fp(6)p Fw(=)h Fp(;)p Fw(.)108 1960 y(Das)j(ist)f(ein)g(Widerspruc)o(h!) 108 2075 y(Wir)24 b(geb)q(en)g(jetzt)f(eine)g(Reihe)f(w)o(eiterer)h (wic)o(h)o(tiger)f(Regeln)h(f)1327 2077 y(\177)1326 2075 y(ur)h(das)108 2133 y(Rec)o(hnen)17 b(mit)e(Mengen)i(an.)h(Auc)o(h)e (hier)h(v)o(erzic)o(h)o(ten)d(wir)k(auf)f(ausf)1377 2135 y(\177)1376 2133 y(uhr-)108 2191 y(lic)o(he)e(Bew)o(eise,)f(v)o(erw)o (eisen)g(dazu)j(ab)q(er)f(auf)h(Kapitel)e(I.3.)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)518 b(13)108 225 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.12.)g Fs(\(Weiter)n(e)d(R)n(e)n(chenr)n(e)n (geln)h(der)g(Mengenalgebr)n(a\))108 283 y(Seien)h Fr(A)p Fs(,)e Fr(B)s Fs(,)g Fr(C)k Fs(Mengen)e(und)f Fr(U)23 b Fs(ein)18 b(Universum.)g(Dann)g(gelten)174 358 y Fw(\(1\))j Fr(A)10 b Fp([)i Fr(B)k Fw(=)e Fr(B)f Fp([)f Fr(A)p Fs(,)17 b(\(Kommutativgesetz\))174 416 y Fw(\(2\))k(\()p Fr(A)10 b Fp([)i Fr(B)s Fw(\))e Fp([)i Fr(C)17 b Fw(=)d Fr(A)c Fp([)i Fw(\()p Fr(B)h Fp([)e Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)17 b (\(Assoziativgesetz\))174 475 y Fw(\(3\))k Fr(A)10 b Fp([)i Fr(A)h Fw(=)h Fr(A)p Fs(,)j(\(Idemp)n(otenzgesetz\))174 533 y Fw(\(4\))k Fr(A)10 b Fp(\\)i Fw(\()p Fr(B)h Fp([)f Fr(C)t Fw(\))h(=)h(\()p Fr(A)c Fp(\\)h Fr(B)s Fw(\))g Fp([)g Fw(\()p Fr(A)g Fp(\\)g Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)17 b(\(Distributivgesetze\))257 591 y Fr(A)10 b Fp([)i Fw(\()p Fr(B)h Fp(\\)f Fr(C)t Fw(\))h(=)h(\()p Fr(A)c Fp([)h Fr(B)s Fw(\))g Fp(\\)g Fw(\()p Fr(A)g Fp([)g Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)174 649 y Fw(\(5\))21 b Fr(A)6 b Fp(n)g Fw(\()p Fr(B)j Fp(\\)d Fr(C)t Fw(\))14 b(=)f(\()p Fr(A)6 b Fp(n)g Fr(B)s Fw(\))g Fp([)g Fw(\()p Fr(A)g Fp(n)g Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)16 b(\(de)f(Mor)n(gansche)h(Gesetze\))257 707 y Fr(A)10 b Fp(n)h Fw(\()p Fr(B)j Fp([)d Fr(C)t Fw(\))j(=)f(\()p Fr(A)e Fp(n)g Fr(B)s Fw(\))f Fp(\\)i Fw(\()p Fr(A)e Fp(n)h Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)p 257 723 172 2 v 257 765 a Fw(\()p Fr(B)i Fp(\\)f Fr(C)t Fw(\))h(=)p 494 726 40 2 v 14 w Fr(B)g Fp([)p 589 726 39 2 v 12 w Fr(C)s Fs(,)p 257 781 172 2 v 257 823 a Fw(\()p Fr(B)g Fp([)f Fr(C)t Fw(\))h(=)p 494 784 40 2 v 14 w Fr(B)g Fp(\\)p 589 784 39 2 v 12 w Fr(C)s Fs(,)174 891 y Fw(\(6\))p 257 843 37 2 v 257 851 V 21 w Fr(A)g Fw(=)h Fr(A)p Fs(,)j(\(Gesetz)h(vom)f(dopp)n(elten)i (Komplement\))174 949 y Fw(\(7\))i Fr(A)10 b Fp([)i(;)h Fw(=)h Fr(A;)j(A)10 b Fp(\\)i Fr(U)19 b Fw(=)14 b Fr(A)p Fs(,)j(\(Gesetz)g(von)i(der)e(Identit)1265 951 y(\177)1265 949 y(at\))174 1007 y Fw(\(8\))k Fr(A)10 b Fp([)p 349 968 V 12 w Fr(A)j Fw(=)h Fr(U;)j(A)10 b Fp(\\)p 607 968 V 12 w Fr(A)j Fw(=)h Fp(;)p Fs(,)j(\(Gesetz)h(vom)g(Inversen\))174 1065 y Fw(\(9\))j Fr(A)10 b Fp([)i Fr(U)19 b Fw(=)14 b Fr(U;)j(A)10 b Fp(\\)h(;)j Fw(=)g Fp(;)p Fs(,)j (\(Dominierungsgesetz\))149 1123 y Fw(\(10\))22 b Fr(A)10 b Fp([)i Fw(\()p Fr(A)e Fp(\\)h Fr(B)s Fw(\))j(=)f Fr(A;)8 b(A)i Fp(\\)i Fw(\()p Fr(A)e Fp([)h Fr(B)s Fw(\))j(=)f Fr(A)p Fs(,)k(\(A)o(bsorptionsgesetz\).)149 1181 y Fw(\(11\))22 b(\()p Fr(A)10 b Fp(n)h Fr(B)s Fw(\))g Fp([)g Fr(B)17 b Fw(=)c Fr(A)e Fp([)g Fr(B)s Fs(.)108 1306 y Fu(De\014nition)18 b(1.13.)i Fw(Seien)d Fr(A;)8 b(B)20 b Fw(Mengen.)d(Die)g Fs(symmetrische)i(Di\013e-)108 1364 y(r)n(enz)d Fw(v)o(on)g Fr(A)g Fw(und)h Fr(B)i Fw(ist)d(die)f(Menge)196 1474 y Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)g Fw(:=)e Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)d Fp([)g Fr(B)s Fw(\))p Fp(j)p Fr(x)i Fp(62)h Fr(A)c Fp(\\)i Fr(B)s Fp(g)h Fw(=)h(\()p Fr(A)c Fp([)i Fr(B)s Fw(\))e Fp(n)h Fw(\()p Fr(A)g Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))p Fr(:)108 1585 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.14.)g Fs(\(Weiter)n(e)d(R)n (e)n(chenr)n(e)n(geln)h(der)g(Mengenalgebr)n(a\))174 1660 y Fw(\(1\))j Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)15 b Fw(=)f(\()p Fr(A)d Fp(n)g Fr(B)s Fw(\))f Fp([)i Fw(\()p Fr(B)h Fp(n)e Fr(A)p Fw(\))p Fs(,)174 1718 y Fw(\(2\))21 b Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)15 b Fw(=)f Fr(B)s Fw(\001)p Fr(A)p Fs(,)174 1776 y Fw(\(3\))21 b Fr(A)p Fw(\001\()p Fr(B)s Fw(\001)p Fr(C)t Fw(\))11 b(=)j(\()p Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)s Fw(\)\001)p Fr(C)t Fs(,)174 1834 y Fw(\(4\))21 b Fr(A)p Fw(\001)p Fr(A)12 b Fw(=)i Fp(;)p Fs(,)174 1893 y Fw(\(5\))21 b Fr(A)p Fw(\001)p Fp(;)13 b Fw(=)g Fr(A)p Fs(.)108 2017 y Fu(Bemerkung)k(1.15.)j Fw(\(V)l(enn)c(Diagramme\))e(Man)i(stellt)f (sic)o(h)h(Mengen)108 2075 y(oft)22 b(als)g(T)l(eilmengen)d(der)j(Eb)q (ene,)f(eingegrenzt)g(durc)o(h)g(Kurv)o(en,)f(v)o(or.)108 2133 y(Diese)e(V)l(orstellung)f(hilft)g(Bew)o(eise)g(f)806 2135 y(\177)805 2133 y(ur)h(die)f(genann)o(ten)h(Rec)o(henregeln)108 2191 y(zu)e(\014nden.)g(Sie)g(ersetzt)f(ab)q(er)i(nic)o(h)o(t)e(einen)g (exakten)h(Bew)o(eis.)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 108 117 a Ft(14)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Einzelne)e(Menge:)606 327 y Fr(A)e Fw(=)772 395 y Fh(&\045)772 229 y('$)774 310 y Fg(\000)815 269 y(\000)782 344 y(\000)823 302 y(\000)849 276 y(\000)798 368 y(\000)840 326 y(\000)874 293 y(\000)823 385 y(\000)864 344 y(\000)891 317 y(\000)857 392 y(\000)898 351 y(\000)750 262 y Fr(A)108 514 y Fw(Durc)o(hsc)o(hnitt:)517 607 y Fr(A)d Fp(\\)i Fr(B)k Fw(=)778 674 y Fh(&\045)778 508 y('$)756 542 y Fr(A)861 674 y Fh(&\045)861 508 y('$)863 589 y Fg(\000)880 573 y(\000)887 648 y(\000)904 631 y(\000)870 623 y(\000)897 597 y(\000)1015 542 y Fr(B)108 794 y Fw(V)l(ereinigung:) 517 896 y Fr(A)10 b Fp([)i Fr(B)k Fw(=)778 963 y Fh(&\045)778 797 y('$)863 961 y Fg(\000)904 920 y(\000)780 878 y(\000)822 837 y(\000)805 937 y(\000)846 895 y(\000)880 861 y(\000)788 912 y(\000)829 871 y(\000)856 845 y(\000)829 954 y(\000)871 912 y(\000)897 886 y(\000)756 830 y Fr(A)861 963 y Fh(&\045)861 797 y('$)946 961 y Fg(\000)987 920 y(\000)863 878 y(\000)904 837 y(\000)887 937 y(\000)929 895 y(\000)963 861 y(\000)870 912 y(\000)912 871 y(\000)938 845 y(\000)912 954 y(\000)953 912 y(\000)980 886 y(\000)1015 830 y Fr(B)108 1083 y Fw(Komplemen)o(t:)521 1185 y Fr(A)11 b Fp(n)g Fr(B)16 b Fw(=)774 1253 y Fh(&\045)774 1087 y('$)857 1253 y(&\045)857 1087 y('$)776 1168 y Fg(\000)817 1127 y(\000)784 1202 y(\000)825 1160 y(\000)851 1134 y(\000)800 1226 y(\000)817 1209 y(\000)825 1243 y(\000)826 1242 y(\000)752 1120 y Fr(A)221 b(B)108 1372 y Fw(Symmetrisc)n(he)13 b(Di\013erenz:)524 1500 y Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)j Fw(=)771 1567 y Fh(&\045)771 1401 y('$)854 1567 y(&\045)854 1401 y('$)773 1482 y Fg(\000)814 1441 y(\000)780 1516 y(\000)822 1475 y(\000)848 1448 y(\000)797 1540 y(\000)814 1524 y(\000)822 1557 y(\000)823 1556 y(\000)980 1524 y(\000)938 1565 y(\000)972 1490 y(\000)931 1531 y(\000)904 1557 y(\000)955 1465 y(\000)938 1482 y(\000)931 1448 y(\000)930 1449 y(\000)749 1434 y Fr(A)221 b(B)p 108 1668 264 2 v 108 1710 a Fw(\()p Fr(A)11 b Fp([)g Fr(B)s Fw(\))g Fp(\\)g Fr(C)17 b Fw(=)d(\()p 456 1671 37 2 v Fr(A)d Fp(\\)p 548 1671 40 2 v 11 w Fr(B)s Fw(\))g Fp([)p 662 1671 39 2 v 11 w Fr(C)17 b Fw(:)p 545 1753 485 2 v 545 2121 2 368 v 674 1981 a Fh(&\045)674 1815 y('$)756 1981 y(&\045)756 1815 y('$)715 2063 y(&\045)715 1897 y('$)646 1854 y Fr(A)233 b(B)869 2066 y(C)605 1947 y Fw(1)699 1912 y(2)153 b(3)788 2030 y(4)788 1876 y(5)841 1971 y(6)-131 b(7)788 1947 y(8)p 1028 2121 V 545 2123 485 2 v 108 2191 a(f)124 2193 y(\177)123 2191 y(uhrt)17 b(zu)f(folgendem)e(Bew)o(eis:)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)518 b(15)108 225 y Fr(A)13 b Fp([)f Fr(B)21 b Fw(=)d(2)13 b Fp([)g Fw(3)g Fp([)g Fw(5)g Fp([)g Fw(6)g Fp([)g Fw(7)p Fr(;)27 b(C)22 b Fw(=)c(4)13 b Fp([)g Fw(6)g Fp([)g Fw(7)g Fp([)g Fw(8)p Fr(;)27 b Fw(\()p Fr(A)12 b Fp([)h Fr(B)s Fw(\))f Fp(\\)h Fr(C)22 b Fw(=)108 283 y(6)12 b Fp([)f Fw(7)g Fp([)h Fw(8)p Fr(;)24 b Fw(=)-8 b Fp(\))p 424 241 264 2 v 14 w Fw(\()p Fr(A)10 b Fp([)h Fr(B)s Fw(\))g Fp(\\)g Fr(C)18 b Fw(=)13 b(1)f Fp([)f Fw(2)h Fp([)f Fw(3)g Fp([)h Fw(4)f Fp([)g Fw(5)p Fr(:)p 108 302 37 2 v 108 341 a(A)21 b Fw(=)h(1)15 b Fp([)f Fw(3)h Fp([)f Fw(4)g Fp([)h Fw(6)p Fr(;)p 551 302 40 2 v 29 w(B)24 b Fw(=)e(1)14 b Fp([)h Fw(2)f Fp([)h Fw(4)f Fp([)h Fw(7)p Fr(;)p 997 302 37 2 v 29 w(A)e Fp(\\)p 1095 302 40 2 v 15 w Fr(B)24 b Fw(=)d(1)15 b Fp([)f Fw(4)p Fr(;)p 1368 302 39 2 v 29 w(C)26 b Fw(=)108 399 y(1)12 b Fp([)f Fw(2)g Fp([)h Fw(3)f Fp([)g Fw(5)31 b(=)-8 b Fp(\))13 b Fw(\()p 514 360 37 2 v Fr(A)e Fp(\\)p 606 360 40 2 v 11 w Fr(B)s Fw(\))g Fp([)p 720 360 39 2 v 11 w Fr(C)17 b Fw(=)d(1)e Fp([)f Fw(2)g Fp([)h Fw(3)f Fp([)g Fw(4)h Fp([)f Fw(5)p Fr(:)108 482 y Fu(Bemerkung)17 b(1.16.)j Fw(\(Mengen)d(im)e(Computer\))i(Im)e(Computer)i(w)o(er-)108 541 y(den)c(Mengen)g(v)o(on)g(Zahlen)g(o)q(der)h(Daten)g(gesp)q(eic)o (hert,)d(z.B.)h(die)g(Adress-)108 599 y(daten)g(v)o(on)g(Gesc)o(h)454 601 y(\177)454 599 y(aftspartnern,)f(die)g(statistisc)o(h)g(v)o (erteilten)f(W)l(erte)h(v)o(on)108 657 y(wiederholten)18 b(Strahlungsmessungen,)g(die)g(Buc)o(hstab)q(en)h(des)g(Alpha-)108 715 y(b)q(ets,)d(die)g(nat)376 717 y(\177)375 715 y(urlic)o(hen)f (Zahlen.)108 820 y(Sie)23 b(w)o(erden)g(dann)h(als)f(Menge)g(im)f (obigen)h(Sinn)h(aufgefa\031t)g(w)o(erden)108 878 y(m)151 880 y(\177)150 878 y(ussen,)10 b(w)o(enn)i(mengen)o(theoretisc)o(he)c (Op)q(erationen)k(v)o(ork)o(omm)o(en,)c(z.B.)108 936 y Fp(f)p Fw(Buc)o(hstab)q(en)16 b(des)h(Alphab)q(ets)p Fp(g)f([f)g Fw(Zi\013ern)g(0)p Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b Fw(9)p Fp(g)p Fr(:)108 1041 y Fw(Es)25 b(bieten)f(sic)o(h)g (grunds)588 1043 y(\177)588 1041 y(atzlic)o(h)g(zw)o(ei)g(v)o(ersc)o (hiedene)e(Arten)i(an,)h(wie)108 1099 y(man)16 b(Mengen)g(im)f (Computer)g(realisieren)g(und)i(sp)q(eic)o(hern)f(k)m(ann.)g(Ein-)108 1157 y(mal)j(k)m(ann)i(man)f(alle)g(Elemen)o(te)d(einer)j(Menge)g (einzeln)e(absp)q(eic)o(hern.)108 1215 y(Aufgrund)i(der)e(Endlic)o(hk)o (eit)f(des)i(Sp)q(eic)o(hers)f(k)m(ann)i(man)e(so)h(nat)1346 1217 y(\177)1345 1215 y(urlic)o(h)108 1273 y(n)o(ur)j(v)o(erh)295 1275 y(\177)295 1273 y(altnism)454 1275 y(\177)454 1273 y(a\031ig)e(kleine)h(Menge)g(erfassen,)h(wie)f(das)i(Alphab)q(et,)108 1331 y(die)e(Ein)o(tr)303 1333 y(\177)303 1331 y(age)h(eines)f(Lexik)o (ons)h(o)q(der)g(die)f(Daten)h(einer)f(statistisc)o(hen)108 1389 y(Erhebung,)c(zum)e(Beispiel)g(einer)h(V)l(olksz)891 1391 y(\177)891 1389 y(ahlung.)g(Durc)o(h)g(die)g(Sp)q(eic)o(he-)108 1447 y(rung)f(aller)f(Elemen)o(te)e(einer)i(Menge)g(sind)g(auc)o(h)h (wiederholte)e(Eintr)1396 1449 y(\177)1396 1447 y(age)108 1506 y(desselb)q(en)i(Elemen)o(ts)f(m)576 1508 y(\177)576 1506 y(oglic)o(h,)f(die)h(Ordn)o(ung)i(des)g(Sp)q(eic)o(hers)e(b)q (edingt)108 1564 y(auc)o(h)22 b(eine)e(Ordn)o(ung)i(der)f(Elemen)o(te)e (der)i(Menge.)g(Es)h(en)o(tsteh)o(t)f(eine)108 1622 y(geordnete)15 b(Liste,)f(deren)g(De\014nition)g(und)h(Struktur)g(wir)f(sp)1239 1624 y(\177)1239 1622 y(ater)h(un)o(ter-)108 1680 y(suc)o(hen.)108 1785 y(Ist)21 b(die)g(Datenmenge)g(jedo)q(c)o(h)g(zu)g(gro\031,)h(gar)g (unendlic)o(h,)e(wie)h(z.B.)f Fn(N)108 1843 y Fw(o)q(der)j(2)p Fn(N)p Fw(,)e(so)i(m)o(u\031)e(das)i(Bildungsgesetz)f(selbst)g(abgesp)q (eic)o(hert)g(w)o(er-)108 1901 y(den.)14 b(Die)g(nat)370 1903 y(\177)369 1901 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(b)q(etrac)o(h)o(tet)f (man)h(als)g(die)g(Menge,)f(die)h(1)108 1959 y(en)o(th)202 1961 y(\177)202 1959 y(alt)k(und)g(durc)o(h)f(fortlaufendes)h(Addieren) f(v)o(on)h(1)g(zu)g(imme)o(r)d(neu-)108 2017 y(en)j(Zahlen)f(k)o(omm)o (t,)e(die)i(geraden)h(Zahlen)g(en)o(tstehen)f(aus)h(2)g(und)h(den)108 2075 y(Zahlen,)13 b(die)g(man)g(durc)o(h)g(fortlaufendes)h(Addieren)f (v)o(on)g(2)h(erh)1286 2077 y(\177)1286 2075 y(alt.)f(Man)108 2133 y(hat)23 b(damit)f(zw)o(ar)h(nic)o(h)o(t)e(alle)h(Elemen)o(te)915 2163 y(")937 2133 y(gleic)o(hzeitig)m(\\)i(im)d(Compu-)108 2191 y(ter)f(zur)g(V)l(erf)366 2193 y(\177)365 2191 y(ugung,)f(k)m(ann) i(ab)q(er)f(im)f(Beispiel)e(der)j(nat)1180 2193 y(\177)1179 2191 y(urlic)o(hen)f(Zah-)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 108 117 a Ft(16)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(len)24 b(jede)f(einzelne)f(b)q(eliebig)h(gew) 765 227 y(\177)765 225 y(ahlte)i(nat)967 227 y(\177)966 225 y(urlic)o(he)d(Zahl)i(nac)o(h)g(end-)108 283 y(lic)o(her)d(Rec)o (henzeit)f(erhalten)i(und)h(zum)e(Beispiel)f(auf)j(dem)e(Druc)o(k)o(er) 108 341 y(ausdruc)o(k)o(en.)g(Auf)h(diese)f(W)l(eise)g(k)m(ann)i(man)e (auc)o(h)h(no)q(c)o(h)g(sogenann)o(te)108 399 y(abz)181 401 y(\177)181 399 y(ahlbare)c(Mengen)e(elemen)o(t)o(w)o(e)o(ise)e(b)q (eherrsc)o(hen.)i(Sc)o(hliesslic)o(h)e(k)m(ann)108 458 y(man)h(statt)h(der)f(Angab)q(e)h(eines)e(Bildungsgetzes)h(und)h(damit) e(der)h(Kon-)108 516 y(struktionsm)363 518 y(\177)363 516 y(oglic)o(hk)o(eit)9 b(jedes)i(einzelnen)e(Elemen)o(ts)h(viel)g(gr) 1234 518 y(\177)1234 516 y(o\031ere)i(Men-)108 574 y(gen)19 b(dadurc)o(h)g(b)q(eherrsc)o(hen,)e(da\031)j(man)d(lediglic)o(h)g (einen)g(Algorithm)o(us)108 632 y(angibt,)d(der)g(v)o(on)g(einem)d(v)o (orgegeb)q(enen)j(Elemen)o(t)d(feststellt,)i(ob)h(es)g(der)108 690 y(de\014nierten)g(Menge)h(angeh)627 692 y(\177)627 690 y(ort.)h(Diese)e(Darstellung)h(v)o(on)g(Mengen)g(f)1396 692 y(\177)1396 690 y(allt)108 748 y(jedo)q(c)o(h)k(sc)o(hon)g(un)o (ter)f(die)g(M)658 750 y(\177)658 748 y(oglic)o(hk)o(eiten,)e(T)l (eilmengen)g(\(des)j(Univ)o(er-)108 806 y(sums)231 836 y(")253 806 y(aller)d(Elemen)o(te)l(\\)s(\))e(darzustellen.)108 947 y(Die)h(Menge)f(2)p Fn(N)g Fw(erh)488 949 y(\177)488 947 y(alt)h(man)f(auc)o(h)h(als)g Fp(f)p Fr(t)f Fp(2)g Fn(N)p Fp(j9)p Fr(s)d Fp(2)j Fn(N)p Fw([2)p Fr(s)e Fw(=)h Fr(t)p Fw(])p Fp(g)p Fr(:)h Fw(Diese)108 1005 y(endlic)o(he)d(Zeic)o (henfolge)f(k)m(ann)j(gesp)q(eic)o(hert)f(w)o(erden.)f(H)1141 1007 y(\177)1141 1005 y(au\014g)i(stellt)e(man)108 1063 y(sic)o(h)i(also)h(auf)g(den)f(Standpunkt,)h(da\031)g(ein)f(Univ)o (ersum)e(als)i(Grundmen-)108 1121 y(ge)k(gegeb)q(en)f(ist,)g(b)q(esc)o (hrieb)q(en)f(et)o(w)o(a)h(durc)o(h)g(den)g(Aufbau)h(der)f(v)o(erw)o (en-)108 1179 y(deten)i(Elemen)o(te)e(\(z.B.)h(alle)h(W)l(orte,)g(die)g (man)g(mit)f(Buc)o(hstab)q(en)h(und)108 1237 y(Zi\013ern)g({)h(alphan)o (umerisc)o(h)d({)j(sc)o(hreib)q(en)e(k)m(ann\),)h(und)h(b)q(esc)o (hreibt)e(die)108 1295 y(in)o(teressierenden)g(T)l(eilmengen)g Fr(A)h Fw(v)o(on)h Fr(U)24 b Fw(durc)o(h)19 b(ein)f(Pr)1207 1297 y(\177)1207 1295 y(adik)m(at)i Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\),)108 1354 y(also)f Fr(A)e Fw(=)h Fp(f)p Fr(x)p Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)e Fw(=)h Fp(f)p Fr(x)g Fp(2)h Fr(U)5 b Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)p Fw(,)17 b(durc)o(h)h(das)i(festgestellt)d(w)o(er-)108 1412 y(den)23 b(k)m(ann,)g(ob)h(ein)e(gegeb)q(enes)h(Elemen)o(t)e(der)i (T)l(eilmenge)d(angeh)1390 1414 y(\177)1390 1412 y(ort.)108 1470 y Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))c(ist)g(dann)h(ein)e(Algorithm)o (us,)f(der)i(f)881 1472 y(\177)880 1470 y(ur)g(ein)g(gegeb)q(enes)g (Elemen)o(t)e Fr(x)108 1528 y Fw(einen)i(W)l(ert)g(w)o(ahr)g(\()p Fr(x)e Fp(2)g Fr(A)p Fw(\))h(o)q(der)i(falsc)o(h)f(\()p Fr(x)j(=)-30 b Fp(2)15 b Fr(A)p Fw(\))g(ausgibt.)108 1668 y(F)141 1670 y(\177)140 1668 y(ur)24 b(endlic)o(he)e(elemen)o(t)o (w)n(eise)e(im)i(Computer)h(gesp)q(eic)o(herte)g(Mengen)108 1726 y Fr(U)j Fw(gibt)21 b(es)g(no)q(c)o(h)g(ein)f(w)o(eiteres)g(h)756 1728 y(\177)756 1726 y(au\014g)i(v)o(erw)o(endetes)d(V)l(erfahren,)h (um)108 1785 y(T)l(eilmengen)11 b Fr(A)j Fp(\032)f Fr(U)19 b Fw(zu)14 b(de\014nieren.)e(Man)h(stellt)g(einen)f(w)o(eiteren)g(Sp)q (ei-)108 1843 y(c)o(her)h(zur)g(V)l(erf)381 1845 y(\177)380 1843 y(ugung)h(mit)e(eb)q(enso)i(vielen)e(Bits)h(Sp)q(eic)o(herraum,)e (wie)i(die)108 1901 y(Grundmenge)19 b(Elemen)o(te)e(hat.)i(Jedem)f (Elemen)o(t)f Fr(x)j Fw(v)o(on)f Fr(U)25 b Fw(steh)o(t)20 b(da-)108 1959 y(mit)d(also)i(sein)e(eigener)h(zus)635 1961 y(\177)635 1959 y(atzlic)o(her)e(Sp)q(eic)o(her)h(v)o(on)h(1)h (Bit)e(L)1282 1961 y(\177)1282 1959 y(ange)j(zur)108 2017 y(V)l(erf)198 2019 y(\177)197 2017 y(ugung.)e(Um)f(jetzt)h(eine)f (T)l(eilmenge)f Fr(A)i Fw(zu)g(bilden,)f(sc)o(hreibt)g(man)108 2075 y(f)124 2077 y(\177)123 2075 y(ur)k(diejenigen)f(Elemen)o(te)e Fr(x)k Fp(2)g Fr(U)5 b Fw(,)21 b(die)f(in)h Fr(A)f Fw(liegen,)g(eine)g (1)h(in)g(den)108 2133 y(zu)g Fr(x)g Fw(geh)300 2135 y(\177)300 2133 y(origen)g(Sp)q(eic)o(her.)f(F)698 2135 y(\177)697 2133 y(ur)h(die)f(Elemen)o(te)f Fr(x)j Fp(2)g Fr(U)k Fw(mit)20 b Fr(x)27 b(=)-29 b Fp(2)22 b Fr(A)108 2191 y Fw(sc)o(hreibt)13 b(man)g(eine)g(0)h(in)g(den)f(zugeh)797 2193 y(\177)797 2191 y(origen)h(Sp)q(eic)o(her.)f(Man)h(hat)g(damit)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)518 b(17)108 225 y Fw(eigen)o(tlic)o(h)14 b(eine)h(F)l(unktion)h Fr(\037)664 232 y Fk(A)706 225 y Fw(:)e Fr(U)19 b Fp(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)16 b Fw(de\014niert)g(mit)463 368 y Fr(\037)494 375 y Fk(A)522 368 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))e(=)653 281 y Fi(8)653 318 y(<)653 393 y(:)690 335 y Fw(1)p Fr(;)147 b Fw(f)891 337 y(\177)890 335 y(ur)32 b Fr(x)14 b Fp(2)g Fr(A;)690 405 y Fw(0)p Fr(;)147 b Fw(f)891 407 y(\177)890 405 y(ur)32 b Fr(x)19 b(=)-29 b Fp(2)14 b Fr(A:)108 509 y Fw(Dadurc)o(h)19 b(ist)f(die)f(T)l (eilmenge)f Fr(A)i Fw(ab)q(er)g(o\013ensic)o(h)o(tlic)o(h)e(v)o(ollst) 1266 511 y(\177)1266 509 y(andig)i(b)q(e-)108 567 y(stimm)o(t.)26 b(Die)j(F)l(unktion)g Fr(\037)656 574 y Fk(A)713 567 y Fw(nenn)o(t)g(man)f(auc)o(h)h(c)o(harakteristisc)o(he)108 625 y(F)l(unktion)16 b(v)o(on)g Fr(A)g Fw(\(vgl.)g(auc)o(h)g(Kapitel)f (I.3\).)108 743 y(Zum)f(Beispiel)g(k)m(ann)i(man)e(b)q(ei)i(der)f(Besc) o(hreibung)f(v)o(on)h(F)l(arbmisc)o(h)o(un-)108 801 y(gen)k(aus)g(den)f (3)g(F)l(arb)q(en)h Fr(U)j Fw(:=)17 b Fp(f)p Fw(blau,)h(gr)909 803 y(\177)908 801 y(un,)g(rot)p Fp(g)h Fw(insgesam)o(t)e(2)1350 783 y Fq(3)1387 801 y Fw(=)g(8)108 859 y(v)o(ersc)o(hiedene)c(T)l (eilmengen)g(\014nden.)i(Die)g(T)l(eilmenge)d Fp(f)p Fw(blau,)j(rot)p Fp(g)h Fw(wird)108 917 y(dab)q(ei)h(dann)g(durc)o(h)e (die)h(Bitfolge)f(101)j(de\014niert.)108 1029 y Fu(Bemerkung)f(1.17.)j Fw(\(Mengenop)q(erationen)d(im)d(Computer\))108 1087 y(\(1\))f(Der)g(F)l(all)e(endlic)o(her)g(Mengen:)h(Sind)g(zw)o(ei)f (endlic)o(he)g(Mengen)h Fr(A)g Fw(und)108 1145 y Fr(B)21 b Fw(als)d(geordnete)h(Listen)f(gegeb)q(en,)g(so)h(k)m(ann)g(man)e Fr(A)12 b Fp([)h Fr(B)20 b Fw(darstellen)108 1203 y(durc)o(h)15 b(Bildung)f(einer)g(neuen)g(Liste,)h(in)f(die)g(alle)g(Elemen)o(te)e (aus)k Fr(A)e Fw(und)108 1262 y Fr(B)j Fw(aufgenommen)12 b(w)o(erden,)i(im)e(einfac)o(hsten)i(F)l(all)f(durc)o(h)h(ein)g (Aneinan-)108 1320 y(derh)203 1322 y(\177)203 1320 y(angen)f(der)f (Listen,)f(o)q(der)i(dadurc)o(h,)f(da\031)h(man)e(sic)o(h)g(merkt,)f (da\031)j(die)108 1378 y(Elemen)o(te)f(aus)k Fr(A)8 b Fp([)h Fr(B)17 b Fw(solc)o(he)d(sind,)h(die)f(in)h Fr(A)f Fs(o)n(der)g Fw(in)h Fr(B)j Fw(liegen,)13 b(b)q(eide)108 1436 y(Mengen)k(also)g(zur)g(W)l(ahl)g(eines)f(Elemen)o(ts)f(zul)998 1438 y(\177)998 1436 y(a\031t.)i(Der)g(Durc)o(hsc)o(hnitt)108 1494 y Fr(A)8 b Fp(\\)g Fr(B)18 b Fw(ist)c(f)331 1496 y(\177)330 1494 y(ur)h(die)f(Bildung)g(einer)g(neuen)h(Gesam)o(tmenge)d (sc)o(h)o(wieriger,)108 1552 y(w)o(eil)i(man)f(hier)h(tats)489 1554 y(\177)489 1552 y(ac)o(hlic)o(h)g(eine)g(neue)g(Liste)g(k)o (onstruieren)g(m)o(u\031,)f(zum)108 1610 y(Beispiel)i(nac)o(h)j(dem)d (V)l(erfahren,)i(alle)f(Elemen)o(te)f(aus)j Fr(A)f Fw(zu)g(durc)o (hlau-)108 1668 y(fen)e(\(das)h(sind)f(n)o(ur)g(endlic)o(h)f(viele!\))f (und)i(zu)g(un)o(tersuc)o(hen,)f(ob)h(sie)g(in)g Fr(B)108 1726 y Fw(liegen,)c(und)h(die)f(dab)q(ei)h(gefundenen)f(Elemen)o(te)e (in)j(eine)f(neue)g(Liste)h(auf-)108 1785 y(zunehmen.)17 b(Ab)q(er)i(auc)o(h)g(hier)f(k)m(ann)i(man)e(stattdessen)i(die)e (abstrakte)108 1843 y(Besc)o(hreibung)g(des)g(Durc)o(hsc)o(hnitt)g(v)o (erw)o(enden,)e(also)k(n)o(ur)e(solc)o(he)g(Ele-)108 1901 y(men)o(te,)e(die)i(man)g Fs(sowohl)h Fw(in)g Fr(A)f Fs(als)i(auch)f Fw(in)g Fr(B)i Fw(v)o(or\014ndet)d(\(in)h Fr(A)f Fs(und)108 1959 y Fw(in)d Fr(B)s Fw(\).)257 1948 y(\177)250 1959 y(Ahnlic)o(he)458 1948 y(\177)452 1959 y(Ub)q(erlegungen)f(gelten)h(f)918 1961 y(\177)917 1959 y(ur)f(das)i(Kompleme)o(n)o(t)c Fr(A)c Fp(n)g Fr(B)108 2017 y Fw(und)15 b(die)e(symmetrisc)n(he)e(Di\013erenz)j Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)s Fw(.)e(W)l(enn)i(man)f(T)l(eilmengen)f Fr(A)108 2075 y Fw(und)i Fr(B)h Fw(eines)e(Univ)o(ersums)d Fr(U)18 b Fw(b)q(etrac)o(h)o(tet)13 b(und)g(diese)f(durc)o(h)h (Bitfolgen,)108 2133 y(d.h.)18 b(durc)o(h)g(ihre)g(c)o(harakteristisc)o (hen)f(F)l(unktionen)h Fr(\037)1137 2140 y Fk(A)1184 2133 y Fw(bzw.)g Fr(\037)1331 2140 y Fk(B)1380 2133 y Fw(dar-)108 2191 y(stellt,)f(so)h(ist)g(die)f(V)l(ereinigung)g(einfac)o (h)g(durc)o(h)g(die)g(c)o(harakteristisc)o(he)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 108 117 a Ft(18)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(F)l(unktion)465 297 y Fr(\037)496 304 y Fk(A)p Ff([)p Fk(B)576 297 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))d(=)g(max)n(\() p Fr(\037)848 304 y Fk(A)876 297 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\037)995 304 y Fk(B)1025 297 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\)\))108 382 y(o)q(der)k(durc)o(h)f(die)g(OR)g(Op)q(eration)h(auf)g (den)f(Bitfolgen)g(zu)g(erhalten.)1366 372 y(\177)1360 382 y(Ahn-)108 440 y(lic)o(h)k(erh)267 442 y(\177)267 440 y(alt)h(man)f(den)h(Durc)o(hsc)o(hnitt)g(durc)o(h)470 538 y Fr(\037)501 545 y Fk(A)p Ff(\\)p Fk(B)581 538 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))d(=)h(min)o(\()p Fr(\037)844 545 y Fk(A)872 538 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\037)991 545 y Fk(B)1020 538 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\)\))108 635 y(o)q(der)22 b(durc)o(h)g(die)e(AND)h(Op)q(eration)h(auf)g(den)g (Bitfolgen)f(\(vgl.)f(hierzu)108 693 y(Kapitel)c(I.3\).)108 811 y(\(2\))d(Der)f(F)l(all)g(gro\031er)h(und)g(unendlic)o(her)d (Mengen)i(gestattet)h(nic)o(h)o(t)e(mehr)108 869 y(eine)21 b(elemen)o(t)o(w)n(eise)d(Aufb)q(ereitung)k(der)f(neuen)g(Menge)h Fr(A)14 b Fp([)h Fr(B)s Fw(,)21 b Fr(A)14 b Fp(\\)108 927 y Fr(B)s Fw(,)k Fr(A)13 b Fp(n)g Fr(B)22 b Fw(bzw.)c Fr(A)p Fw(\001)p Fr(B)s Fw(,)g(allein)g(sc)o(hon)h(w)o(eil)e(die)i (Ausgangsmengen)g Fr(A)108 985 y Fw(und)g Fr(B)h Fw(nic)o(h)o(t)d (elemen)o(t)n(w)o(eise)o(,)e(sondern)k(durc)o(h)e(ein)h(Pr)1148 987 y(\177)1148 985 y(adik)m(at)g(gegeb)q(en)108 1043 y(sind.)12 b(V)l(on)h(den)f(neuen)g(Mengen)g(sind)h(also)g(wieder)e (die)h(en)o(tsprec)o(henden)108 1101 y(Pr)160 1103 y(\177)160 1101 y(adik)m(ate)19 b(zu)e(bilden.)g(Dazu)h(v)o(erw)o(enden)f(wir)h (die)f(logisc)o(hen)g(Zeic)o(hen)108 1159 y Fp(_)i Fw(\(o)q(der\),)f Fp(^)h Fw(\(und\))g(und)g Fp(:)f Fw(\(nic)o(h)o(t\).)f(Wir)h(legen)g (au\031erdem)f(ein)h(Uni-)108 1217 y(v)o(ersum)12 b Fr(U)19 b Fw(zugrunde,)13 b(in)h(dem)e(sic)o(h)h(alles)g(abspielt.)g(Seien)g (die)g(Mengen)108 1275 y Fr(A)h Fw(=)f Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(U)5 b Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)12 b Fw(und)i Fr(B)i Fw(=)e Fp(f)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(U)5 b Fp(j)p Fj(B)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)13 b Fw(gegeb)q(en.)f(Dann)i(gelten)217 1373 y Fr(A)c Fp([)i Fr(B)253 b Fw(=)13 b Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(U)5 b Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))11 b Fp(_)g Fj(B)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)p Fr(;)217 1431 y(A)f Fp(\\)i Fr(B)253 b Fw(=)13 b Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(U)5 b Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))11 b Fp(^)g Fj(B)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)p Fr(;)225 1489 y(A)g Fp(n)g Fr(B)236 b Fw(=)14 b Fp(f)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(U)5 b Fp(j)p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))11 b Fp(^)g(:)p Fj(B)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(g)p Fr(;)232 1547 y(A)p Fw(\001)p Fr(B)43 b Fw(=)14 b Fp(f)p Fr(x)f Fp(2)h Fr(U)5 b Fp(j)p Fw(\()p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))11 b Fp(_)g Fj(B)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\)\))f Fp(^)i(:)p Fw(\()p Fj(A)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))e Fp(^)i Fj(B)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\)\))p Fp(g)p Fr(:)108 1644 y Fw(Das)20 b(Rec)o(hnen)f(mit)e(Mengenop)q(erationen)j (k)m(ann)g(also)1161 1646 y(\177)1160 1644 y(ub)q(ersetzt)f(w)o(er-)108 1703 y(den)f(in)g(ein)f(Rec)o(hnen)g(mit)g(Pr)684 1705 y(\177)684 1703 y(adik)m(aten.)h(Die)f(V)l(ereinigung)g(en)o(tspric)o (h)o(t)108 1761 y(dab)q(ei)f(dem)e(logisc)o(hen)i(OR,)f(der)g(Durc)o (hsc)o(hnitt)g(dem)f(logisc)o(hen)i(AND.)108 1819 y(Die)21 b(Komplemen)n(t)477 1821 y(\177)477 1819 y(arm)o(enge)e(k)m(ann)j(mit)d (den)j(logisc)o(hen)e(Op)q(erationen)108 1877 y(AND)15 b(NOT)f(erhalten)h(w)o(erden)f(und)h(die)f(symmetrisc)n(he)e (Di\013erenz)i(mit)108 1935 y(\()j(OR)f(\))h(AND)f(NOT)h(\()f(AND)g (\).)h(Mit)f(diesen)g(Zusammenh)1237 1937 y(\177)1237 1935 y(angen)f(w)o(er-)108 1993 y(den)h(wir)f(uns)h(sp)418 1995 y(\177)418 1993 y(ater)g(no)q(c)o(h)g(genauer)g(b)q(esc)o(h)932 1995 y(\177)932 1993 y(aftigen,)f(v)o(or)h(allem)d(b)q(ei)j(der)108 2051 y(Un)o(tersuc)o(h)o(ung)e(v)o(on)h(Strukturen)g(in)g(der)g(Logik.) g(Bis)g(dahin)g(fassen)h(wir)108 2109 y(die)d(logisc)o(hen)f(Op)q (erationen)h(und)h(Aussagen)g(in)e(ihrer)h(urspr)1252 2111 y(\177)1251 2109 y(unglic)o(hen,)108 2167 y(naiv)o(en)j(Bedeutung) g(auf.)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 668 117 a Ft(1.)17 b(MENGEN)518 b(19)108 225 y Fu(Axiom)17 b(5.)j Fw(\(P)o(otenzmengenaxiom\))108 283 y(Zu)f(jeder)f(Menge)g Fr(A)g Fw(gibt)h(es)g(eine)e(Menge,)h Fs(Potenzmenge)j Fw(v)o(on)e Fr(A)f Fw(ge-)108 341 y(nann)o(t)g(und)f (mit)e Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))h(b)q(ezeic)o(hnet,)f(die)h(genau)i (alle)e(T)l(eilmengen)f(v)o(on)108 399 y Fr(A)h Fw(als)h(Elemen)o(te)c (en)o(th)542 401 y(\177)542 399 y(alt.)i(Diese)h(wird)g(auc)o(h)g(mit) 575 507 y Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))d(=)h Fp(f)p Fr(B)s Fp(j)p Fr(B)i Fp(\032)d Fr(A)p Fp(g)108 614 y Fw(b)q(ezeic)o(hnet.)108 721 y Fu(Beispiele)j(1.18.)k Fp(P)t Fw(\()p Fp(;)p Fw(\))14 b(=)g Fp(f;g)f Fw(ist)h(eine)f(Menge)g(mit)f(einem)g(Elemen)o(t.)108 779 y Fp(P)t Fw(\()p Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)p Fw(\))h(=)h Fp(f;)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a)p Fp(gg)15 b Fw(ist)h(eine)f(Menge)h(mit)f (zw)o(ei)g(Elemen)o(ten.)108 838 y Fp(P)t Fw(\()p Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)p Fw(\))13 b(=)h Fp(f;)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)p Fr(;)g Fp(f)p Fr(b)p Fp(g)p Fr(;)g Fp(f)p Fr(a;)g(b)p Fp(gg)k Fw(ist)j(eine)f(Menge)h(mit)e(vier)h (Elemen-)108 896 y(ten.)108 1003 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.19.)g Fs(\(R)n(e)n(chenr)n(e)n(geln\))174 1078 y Fw(\(1\))h Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))10 b Fp(\\)h(P)t Fw(\()p Fr(B)s Fw(\))i(=)h Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)d Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))p Fs(,)174 1136 y Fw(\(2\))21 b Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))10 b Fp([)h(P)t Fw(\()p Fr(B)s Fw(\))i Fp(\032)h(P)t Fw(\()p Fr(A)c Fp([)i Fr(B)s Fw(\))p Fs(,)174 1194 y Fw(\(3\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)i Fw(=)-8 b Fp(\))13 b(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))h Fp(\032)f(P)t Fw(\()p Fr(B)s Fw(\))p Fs(,)174 1252 y Fw(\(4\))257 1219 y Fi(T)291 1252 y Fp(f)p Fr(B)s Fp(j)p Fr(B)j Fp(2)e(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))p Fp(g)f Fw(=)h Fp(;)p Fs(,)731 1219 y Fi(S)766 1252 y Fp(f)p Fr(B)s Fp(j)p Fr(B)h Fp(2)g(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))p Fp(g)e Fw(=)g Fr(A)p Fs(.)108 1371 y Fw(Jetzt)i(sind)h (wir)g(endlic)o(h)e(so)o(w)o(eit,)h(da\031)h(wir)g(die)f(Existenz)g(v)o (on)g(gewissen)108 1429 y(in)o(teressan)o(ten)i(Mengen)h(b)q(ew)o (eisen)f(k)819 1431 y(\177)819 1429 y(onnen,)g(die)h(wir)f(fr)1178 1431 y(\177)1177 1429 y(uher)h(sc)o(hon)g(in)108 1488 y(Beispielen)c(b)q(etrac)o(h)o(tet)i(hab)q(en,)g(ohne)h(zu)f(wissen,)f (ob)i(sie)f(existieren.)108 1607 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(1.20.)g Fs(Seien)k Fr(a)668 1614 y Fq(1)687 1607 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)831 1614 y Fk(n)876 1607 y Fs(Elemente.)25 b(Dann)e(gibt)g(es)g(ei-)108 1665 y(ne)17 b(Menge)h Fp(f)p Fr(a)380 1672 y Fq(1)399 1665 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)543 1672 y Fk(n)566 1665 y Fp(g)p Fs(.)16 b(Seien)h Fr(A)789 1672 y Fq(1)809 1665 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(A)963 1672 y Fk(n)1003 1665 y Fs(Mengen.)17 b(Dann)g(gibt)g(es)108 1723 y(eine)i(Menge)g Fp(f)p Fr(A)431 1730 y Fq(1)450 1723 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(A)605 1730 y Fk(n)627 1723 y Fp(g)p Fs(.)158 1843 y Fm(Beweis.)20 b Fw(Nac)o(h)c(Axiom)e(1)j(\(3\))g(gibt)f(es)g(zu) g(jedem)f(Elemen)o(t)e Fr(a)1352 1850 y Fk(i)1383 1843 y Fw(eine)108 1901 y(Menge)i Fr(A)300 1908 y Fk(i)330 1901 y Fw(mit)e Fr(a)444 1908 y Fk(i)472 1901 y Fp(2)h Fr(A)556 1908 y Fk(i)570 1901 y Fw(.)h(Nac)o(h)g(Axiom)e(4)j(\(1\))g(k) m(ann)g(man)f(die)g(Mengen)108 1959 y Fr(B)145 1966 y Fq(1)181 1959 y Fw(:=)g Fr(A)285 1966 y Fq(1)304 1959 y Fw(,)i Fr(B)372 1966 y Fq(2)407 1959 y Fw(:=)e Fr(B)511 1966 y Fq(1)542 1959 y Fp([)d Fr(A)624 1966 y Fq(2)644 1959 y Fw(,)k Fr(B)711 1966 y Fq(3)747 1959 y Fw(:=)f Fr(B)851 1966 y Fq(2)882 1959 y Fp([)d Fr(A)964 1966 y Fq(3)984 1959 y Fr(;)c(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(B)1138 1966 y Fk(n)1177 1959 y Fw(:=)15 b Fr(B)1281 1966 y Fk(n)p Ff(\000)p Fq(1)1362 1959 y Fp([)c Fr(A)1443 1966 y Fk(n)108 2017 y Fw(bilden,)g(also)h Fr(B)394 2024 y Fk(n)432 2017 y Fw(=)i(\()p Fr(:)8 b(:)g(:)f Fw(\(\()p Fr(A)643 2024 y Fq(1)665 2017 y Fp([)r Fr(A)737 2024 y Fq(2)757 2017 y Fw(\))r Fp([)r Fr(A)850 2024 y Fq(3)870 2017 y Fw(\))r Fp([)r Fr(:)h(:)g(:)h(A)1030 2024 y Fk(n)p Ff(\000)p Fq(1)1098 2017 y Fw(\))r Fp([)r Fr(A)1191 2024 y Fk(n)1229 2017 y Fw(=)k Fr(A)1317 2024 y Fq(1)1339 2017 y Fp([)r Fr(A)1411 2024 y Fq(2)1433 2017 y Fp([)108 2075 y Fr(A)145 2082 y Fq(3)177 2075 y Fp([)g Fr(:)8 b(:)g(:)j Fp([)i Fr(A)375 2082 y Fk(n)p Ff(\000)p Fq(1)455 2075 y Fp([)g Fr(A)538 2082 y Fk(n)579 2075 y Fw(\(nac)o(h)19 b(1.12)g(\(2\)\).)f (Damit)f(gilt)g Fr(a)1201 2082 y Fq(1)1238 2075 y Fp(2)g Fr(B)1325 2082 y Fk(n)1349 2075 y Fr(;)8 b(a)1397 2082 y Fq(2)1433 2075 y Fp(2)108 2133 y Fr(B)145 2140 y Fk(n)169 2133 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(a)312 2140 y Fk(n)361 2133 y Fp(2)26 b Fr(B)457 2140 y Fk(n)481 2133 y Fw(.)c(Dann)j(ist)e Fp(f)p Fr(a)783 2140 y Fq(1)802 2133 y Fr(;)8 b(a)850 2140 y Fq(2)869 2133 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)1013 2140 y Fk(n)1036 2133 y Fp(g)25 b Fw(:=)g Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(B)1338 2140 y Fk(n)1361 2133 y Fp(j)p Fr(x)g Fw(=)108 2191 y Fr(a)134 2198 y Fq(1)165 2191 y Fp(_)11 b Fr(x)i Fw(=)h Fr(a)328 2198 y Fq(2)359 2191 y Fp(_)d Fr(:)d(:)g(:)f(x)14 b Fw(=)g Fr(a)588 2198 y Fk(n)611 2191 y Fp(g)i Fw(nac)o(h)g(Axiom)e(3)j(eine)e(Menge.)p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 108 117 a Ft(20)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Die)22 b(Mengen)f Fr(A)428 232 y Fq(1)447 225 y Fr(;)8 b(A)506 232 y Fq(2)526 225 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(A)680 232 y Fk(n)725 225 y Fw(sind)22 b(selbst)g(Elemen)o(te,)c(denn)k(es)g(gilt)108 283 y Fr(A)145 290 y Fk(i)174 283 y Fp(2)16 b(P)t Fw(\()p Fr(A)318 290 y Fk(i)331 283 y Fw(\).)h(Dann)h(k)m(ann)g(die)e(erste)h (Aussage)g(dieser)g(F)l(olgerung)g(v)o(er-)108 341 y(w)o(endet)24 b(w)o(erden,)f(um)g(die)g(Existenz)g(der)h(Menge)g Fp(f)p Fr(A)1172 348 y Fq(1)1191 341 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(A)1346 348 y Fk(n)1369 341 y Fp(g)24 b Fw(zu)108 399 y(erhalten.)p 344 372 33 2 v 344 402 2 30 v 375 402 V 344 404 33 2 v 108 483 a(Wir)h(b)q(eenden)g(diesen)f(P)o(aragraphen)j (mit)c(der)i(b)q(er)1128 485 y(\177)1127 483 y(uhm)o(ten)f(Russel-)108 541 y(sc)o(hen)19 b(An)o(tinomie.)d(In)j(der)g(naiv)o(en)g (Mengenlehre,)e(die)i(v)o(ersuc)o(h)o(t,)e(auf)108 599 y(der)g(Mengende\014nition)g(v)o(on)g(Georg)i(Can)o(tor)f(aufzubauen,)f (k)m(ann)h(man)108 657 y(die)j Fs(Menge)i(al)r(ler)h(Mengen)f Fw(eb)q(enfalls)e(bilden.)e(Russel)i(hat)h(dann)g(ge-)108 715 y(zeigt,)c(da\031)h(dieser)f(Begri\013)g(einen)g(Widerspruc)o(h)g (in)g(sic)o(h)g(tr)1252 717 y(\177)1252 715 y(agt.)h(In)f(ei-)108 774 y(nem)11 b(axiomatisc)o(hen)g(Aufbau,)h(wie)g(wir)h(ihn)f(hier)g(b) q(etrac)o(h)o(ten,)g(l)1312 776 y(\177)1312 774 y(ost)g(sic)o(h)108 832 y(dieser)j(Widerspruc)o(h)f(in)h(der)h(Aussage,)f(da\031)h(es)g (nic)o(h)o(t)e(die)g(Menge)h(aller)108 890 y(Mengen)h(geb)q(en)g(k)m (ann.)g(Dieser)f(Bew)o(eis)f(der)i(Nic)o(h)o(t-Existenz)d(einer)i(b)q (e-)108 948 y(stimm)o(ten)e(Menge)i(wird)h(in)646 950 y(\177)646 948 y(ahnlic)o(her)f(F)l(orm)g(in)g(der)h(Informatik)e(dazu) 108 1006 y(v)o(erw)o(endet,)f(zu)i(zeigen,)e(da\031)j(es)f(gewisse)g (Programme,)e(die)h(b)q(estimm)o(te)108 1064 y(F)l(orderungen)g(erf)445 1066 y(\177)444 1064 y(ullen)f(sollen,)g(nic)o(h)o(t)g(geb)q(en)h(k)m (ann,)g(et)o(w)o(a)g(Programme,)108 1122 y(die)20 b(v)o(on)g(b)q (eliebigen)f(v)o(orgegeb)q(enen)h(Programmen)f(mit)g(zugeh)1337 1124 y(\177)1337 1122 y(origen)108 1180 y(Dateneingab)q(en)e (feststellen)e(k)695 1182 y(\177)695 1180 y(onnen,)h(ob)h(sie)e(abbrec) o(hen)h(o)q(der)h(nic)o(h)o(t.)108 1264 y Fu(Bemerkung)g(1.21)h(\(Das)h (Russelsc)n(he)f(P)n(arado)n(xon\).)k Fw(Die)27 b(Men-)108 1322 y(ge)d(aller)e(Mengen)h(existiert)e(nic)o(h)o(t.)h(W)l(enn)h(es)g (n)1057 1324 y(\177)1057 1322 y(amlic)o(h)e(eine)h(Menge)108 1380 y(\012)c(=)g Fp(f)p Fr(A)p Fp(j)p Fr(A)f Fw(ist)f(eine)f(Menge)p Fp(g)j Fw(aller)g(Mengen)g(g)1018 1382 y(\177)1018 1380 y(ab)q(e,)h(dann)g(w)1284 1382 y(\177)1284 1380 y(are)g(auc)o(h)108 1438 y Fr(X)25 b Fw(:=)19 b Fp(f)p Fr(A)h Fp(2)g Fw(\012)p Fp(j)p Fr(A)g Fp(62)g Fr(A)p Fp(g)f Fw(eine)g(Menge)h(und)g(eb)q(enso)g Fr(Y)31 b Fw(:=)20 b(\012)14 b Fp(n)f Fr(X)25 b Fw(=)108 1496 y Fp(f)p Fr(A)19 b Fp(2)g Fw(\012)p Fp(j)p Fr(A)f Fp(2)i Fr(A)p Fp(g)p Fw(.)e(W)542 1498 y(\177)542 1496 y(are)h(n)o(un)h Fr(X)j Fp(2)c Fr(X)t Fw(,)g(so)h(folgte)f(nac)o(h)h (der)f(De\014ni-)108 1554 y(tion)g(v)o(on)g Fr(Y)30 b Fw(daraus)20 b Fr(X)i Fp(2)c Fr(Y)12 b Fw(.)18 b(Da)h(w)o(eiter)f Fr(Y)29 b Fw(=)18 b(\012)13 b Fp(n)g Fr(X)23 b Fw(gilt,)18 b(k)m(ann)h Fr(X)108 1613 y Fw(nic)o(h)o(t)c(Elemen)o(t)f(v)o(on)j Fr(X)k Fw(sein;)15 b(es)i(gilt)e(also)j Fr(X)g Fp(62)d Fr(X)t Fw(.)h(W)1160 1615 y(\177)1160 1613 y(are)h(umgek)o(ehrt)108 1671 y Fr(X)k Fp(62)16 b Fr(X)t Fw(,)i(so)g(folgte)g(daraus)h Fr(X)i Fp(2)16 b Fr(X)22 b Fw(nac)o(h)c(der)f(De\014nition)h(v)o(on)f Fr(X)t Fw(.)h(In)108 1729 y(b)q(eiden)12 b(F)292 1731 y(\177)292 1729 y(allen)f(hab)q(en)h(wir)g(einen)f(Widerspruc)o(h)g(zu) h(Axiom)d(1)k(erhalten.)108 1787 y(Deshalb)k(k)m(ann)g Fr(X)j Fw(nic)o(h)o(t)15 b(existieren)g(und)h(damit)f(auc)o(h)h(nic)o (h)o(t)f(\012.)398 1884 y Fu(2.)27 b(Relationen)17 b(und)i(Abbildungen) 108 2017 y Fw(Wir)j(b)q(eginnen)g(mit)e(einer)h(V)l(orb)q(emerkung)g (zum)f(naiv)o(en)h(Begri\013)h(ei-)108 2075 y(nes)j(P)o(aares.)f(Seien) g Fr(a)g Fw(und)g Fr(b)h Fw(zw)o(ei)e(nic)o(h)o(t)g(not)o(w)o(endig)h (v)o(ersc)o(hiedene)108 2133 y(Elemen)o(te.)c(Ein)j(P)o(aar)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))22 b(hat)i(zw)o(ei)e(Elemen)o(te,)e(eines,)i Fr(a)p Fw(,)g(an)i(er-)108 2191 y(ster)15 b(Stelle,)f(und)h(ein)g(w)o (eiteres,)f Fr(b)p Fw(,)g(an)i(zw)o(eiter)e(Stelle.)f(Dab)q(ei)j(d)1317 2193 y(\177)1316 2191 y(urfen)f Fr(a)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(21)108 225 y Fw(und)17 b Fr(b)f Fw(auc)o(h)h(gleic)o(h)e(sein.)h(Zw)o (ei)f(P)o(aare)i(w)o(erden)f(als)h(gleic)o(h)e(angesehen:)108 283 y(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b(=)h(\()p Fr(x;)8 b(y)r Fw(\))15 b(genau)i(dann,)f(w)o(enn)f Fr(a)f Fw(=)g Fr(x)h Fw(und)h Fr(b)e Fw(=)g Fr(y)j Fw(gelten.)e(H)1364 285 y(\177)1364 283 y(au\014g)108 341 y(spric)o(h)o(t)d(man)g(auc)o(h)h (v)o(on)g(einem)e(geordneten)i(P)o(aar)h(\(im)d(Un)o(tersc)o(hied)g(zu) 108 399 y(einer)k(Menge)g Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)15 b Fw(mit)f(einem)f(\()p Fr(a)h Fw(=)g Fr(b)p Fw(\))h(o)q(der)h(zw)o(ei) f(\()p Fr(a)e Fp(6)p Fw(=)h Fr(b)p Fw(\))h(Elemen-)108 458 y(ten\).)j(Es)g(gilt)g(f)402 460 y(\177)401 458 y(ur)g Fr(a)e Fp(6)p Fw(=)h Fr(b)h Fw(zw)o(ar)g Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)16 b Fw(=)h Fp(f)p Fr(b;)8 b(a)p Fp(g)p Fw(,)16 b(ab)q(er)j(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))16 b Fp(6)p Fw(=)h(\()p Fr(b;)8 b(a)p Fw(\).)108 516 y(Die)13 b(exakte)g(mengen)o(theoretisc)o (he)d(Erfassung)15 b(dieses)e(Begri\013s)h(gibt)f(die)108 599 y Fu(De\014nition)18 b(2.1.)i Fw(Seien)h Fr(a)g Fw(und)i Fr(b)e Fw(zw)o(ei)g(nic)o(h)o(t)g(not)o(w)o(endig)g(v)o(ersc)o(hie-)108 657 y(dene)c(Elemen)o(te.)d(Dann)k(wird)g(das)g(\(geordnete\))f Fs(Paar)g Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))16 b(de\014niert)108 715 y(durc)o(h)555 774 y(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b(:=)h Fp(ff)p Fr(a)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a;)g(b)p Fp(gg)p Fr(:)108 845 y(a)15 b Fw(hei\031t)g Fs(erstes)i(Element)g Fw(des)e(P)o(aares)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\),)14 b Fr(b)h Fw(hei\031t)g Fs(zweites)j(Element)108 903 y Fw(des)f(P)o(aares)f(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\).)108 986 y(Bemerkung:)14 b(Diese)i(Menge)f (existiert)g(nac)o(h)h(1.20.)108 1094 y(Der)c(W)l(ert)g(dieser)f(rec)o (h)o(t)g(unansc)o(haulic)o(hen)g(De\014nition)h(liegt)f(darin,)h (da\031)108 1153 y(man)g(den)h(Begri\013)g(eines)f(P)o(aares)i(so)g (mit)d(Hilfmitte)o(ln)f(der)j(Mengenlehre)108 1211 y(ausdr)225 1213 y(\177)224 1211 y(uc)o(k)o(en)j(k)m(ann)g(und)h(das)f(folgende)g (fundamen)o(tale)e(Lemma)g(b)q(ew)o(ei-)108 1269 y(sen)j(k)m(ann.)108 1352 y Fu(Lemma)f(2.2.)k Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b(=)g(\()p Fr(c;)8 b(d)p Fw(\))14 b Fp(\()-8 b(\))14 b Fr(a)f Fw(=)h Fr(c)d Fp(^)g Fr(b)j Fw(=)g Fr(d)p Fs(.)158 1436 y Fm(Beweis.)368 1466 y Fw(")391 1436 y Fp(\()-8 b Fw(=)m(\\)s(:)16 b(F)l(olgt)h(aus)g(der)g(Eigensc)o(haft)f(der)h (Gleic)o(hheit,)d(da)108 1494 y(man)g(in)h(einem)e(Ausdruc)o(k)h(gleic) o(he)f(Elemen)o(te)f Fr(a)h Fw(=)h Fr(c)h Fw(bzw)g Fr(b)f Fw(=)f Fr(d)j Fw(erset-)108 1552 y(zen)g(darf)h(und)f(dab)q(ei)h(der)f (Ausdruc)o(k)f(gleic)o(h)g(bleibt.)108 1640 y(")131 1610 y(=)-8 b Fp(\))m Fw(\\)s(:)15 b(Wir)h(un)o(tersc)o(heiden)f(zw)o(ei)g (F)809 1612 y(\177)809 1610 y(alle:)108 1668 y(1.)27 b(F)l(all:)f Fr(a)32 b Fw(=)g Fr(b)p Fw(.)27 b(Dann)h(ist)e(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))32 b(=)g(\()p Fr(a;)8 b(a)p Fw(\))31 b(=)h Fp(ff)p Fr(a)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a;)g(a)p Fp(gg)31 b Fw(=)108 1726 y Fp(ff)p Fr(a)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a)p Fp(gg)25 b Fw(=)h Fp(ff)p Fr(a)p Fp(gg)p Fw(.)d(W)l(egen)g Fp(ff)p Fr(c)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(c;)g(d)p Fp(gg)26 b Fw(=)g(\()p Fr(c;)8 b(d)p Fw(\))27 b(=)f(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))26 b(=)108 1785 y Fp(ff)p Fr(a)p Fp(gg)15 b Fw(folgt)i Fp(f)p Fr(c)p Fp(g)c Fw(=)h Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)h Fw(und)i Fp(f)p Fr(c;)8 b(d)p Fp(g)14 b Fw(=)f Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)p Fw(,)i(also)i Fr(c)d Fw(=)f Fr(a)j Fw(und)g Fr(d)e Fw(=)g Fr(a)g Fw(=)108 1843 y Fr(b)p Fw(.)108 1901 y(2.)23 b(F)l(all:)f Fr(a)j Fp(6)p Fw(=)h Fr(b)p Fw(.)c(Dann)i(hat)f Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)22 b Fw(genau)i(zw)o(ei)e(Elemen)o(te.)e(W)l(egen)108 1959 y Fp(ff)p Fr(a)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a;)g(b)p Fp(gg)k Fw(=)i(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b(=)h(\()p Fr(c;)8 b(d)p Fw(\))14 b(=)f Fp(ff)p Fr(c)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(c;)g(d)p Fp(gg)14 b Fw(folgt)h(daher)f Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)13 b(2)108 2017 y(ff)p Fr(c)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(c;)g(d)p Fp(gg)p Fw(,)16 b(also)i(m)o(u\031)d Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)15 b Fw(=)g Fp(f)p Fr(c;)8 b(d)p Fp(g)16 b Fw(gelten)h(\(denn)g Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)14 b Fw(=)h Fp(f)p Fr(c)p Fp(g)108 2075 y Fw(w)144 2077 y(\177)143 2075 y(urde)24 b Fr(a)i Fw(=)h Fr(c)g Fw(=)f Fr(b)e Fw(implizie)o(ren,)c(w)o(as)25 b(nac)o(h)e(V)l (oraussetzung)i(nic)o(h)o(t)108 2133 y(m)150 2135 y(\177)150 2133 y(oglic)o(h)17 b(ist\).)i(Damit)f(ist)h(auc)o(h)g Fr(c)g Fp(6)p Fw(=)g Fr(d)p Fw(.)g(Dann)h(folgt)g Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)e Fw(=)h Fp(f)p Fr(c)p Fp(g)g Fw(und)108 2191 y Fr(a)14 b Fw(=)f Fr(c)p Fw(.)j(Aus)g Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)13 b Fw(=)h Fp(f)p Fr(c;)8 b(d)p Fp(g)16 b Fw(folgt)h(dann)g Fr(b)c Fw(=)h Fr(d)p Fw(.)p 1076 2164 33 2 v 1076 2194 2 30 v 1107 2194 V 1076 2196 33 2 v eop %%Page: 22 22 22 21 bop 108 117 a Ft(22)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fu(De\014nition)h(und)h(Lemma)c(2.3.)20 b Fw(Zu)15 b(je)e(zw)o(ei)g(\(nic)o(h)o(t)g(not)o(w)o(endig)h(v)o(er-) 108 283 y(sc)o(hiedenen\))h(Mengen)h Fr(A)g Fw(und)g Fr(B)j Fw(gibt)d(es)h(die)e(Menge)438 373 y Fr(A)10 b Fp(\002)h Fr(B)17 b Fw(:=)c Fp(f)p Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(a)k Fp(2)i Fr(A)d Fp(^)g Fr(b)j Fp(2)g Fr(B)s Fp(g)p Fr(;)108 463 y Fw(genann)o(t)g Fs(Pr)n(o)n(dukt)e Fw(der)g(Mengen)h Fr(A)g Fw(und)g Fr(B)i Fw(\(auc)o(h)e Fs(Pr)n(o)n(duktmenge,)i(kar-)108 521 y(tesisches)k(Pr)n(o)n(dukt,)d (dir)n(ektes)i(Pr)n(o)n(dukt)p Fw(\).)158 611 y Fm(Beweis.)i Fw(Die)h(Existenz)g(ergibt)g(sic)o(h)g(aus)i(der)e(T)l(atsac)o(he)h(\() p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))22 b Fp(2)108 669 y(P)t Fw(\()p Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)16 b Fp([)g Fr(B)s Fw(\)\),)24 b(denn)g Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)j(2)g(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))g Fp(\032)g(P)t Fw(\()p Fr(A)16 b Fp([)h Fr(B)s Fw(\))23 b(und)i Fp(f)p Fr(a;)8 b(b)p Fp(g)26 b(2)108 727 y(P)t Fw(\()p Fr(A)8 b Fp([)h Fr(B)s Fw(\))14 b(impliziert)e(\()p Fr(a;)c(b)p Fw(\))13 b(=)g Fp(ff)p Fr(a)p Fp(g)p Fr(;)8 b Fp(f)p Fr(a;)g(b)p Fp(gg)k(2)i(P)t Fw(\()p Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)8 b Fp([)h Fr(B)s Fw(\)\).)14 b(Dann)108 785 y(setzen)i(wir)194 875 y Fr(A)10 b Fp(\002)h Fr(B)17 b Fw(:=)c Fp(f)p Fr(x)g Fp(2)i(P)t Fw(\()p Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)10 b Fp([)h Fr(B)s Fw(\)\))p Fp(j9)p Fr(a)h Fp(2)i Fr(A;)8 b(b)13 b Fp(2)h Fr(B)s Fw([)p Fr(x)f Fw(=)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\)])p Fp(g)p Fr(:)108 965 y Fw(Das)20 b(ist)f(genau)g(die)g(Menge)f(aller)g (P)o(aare)i(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))18 b(mit)f(erstem)g(Elemen)o(t)108 1023 y(in)f Fr(A)g Fw(und)h(zw)o(eitem)c(Elemen)o(t)h(in)h Fr(B)s Fw(.)p 854 996 33 2 v 854 1025 2 30 v 885 1025 V 854 1027 33 2 v 108 1167 a(W)l(enn)22 b(die)f(Menge)h Fr(A)g Fw(o)q(der)g(die)f(Menge)h Fr(B)i Fw(leer)d(ist,)h(passiert)g (et)o(w)o(as)108 1225 y(Merkw)256 1227 y(\177)255 1225 y(urdiges.)13 b(Es)i(k)m(ann)g(dann)g(n)764 1227 y(\177)764 1225 y(amlic)o(h)c(k)o(ein)i(P)o(aar)i(in)f Fr(A)7 b Fp(\002)g Fr(B)16 b Fw(geb)q(en,)108 1283 y(denn)22 b(das)g(erste)g (Elemen)o(t)d Fr(a)i Fw(eines)g(solc)o(hen)g(P)o(aares)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))21 b(w)1317 1285 y(\177)1317 1283 y(are)h(ein)108 1341 y(Elemen)o(t)14 b(in)i Fr(A)f Fw(und)i(das)g(zw)o (eite)d(Elemen)o(t)g Fr(b)i Fw(w)1005 1343 y(\177)1005 1341 y(are)g(ein)g(Elemen)o(t)e(in)h Fr(B)s Fw(,)108 1399 y(w)o(as)i(nic)o(h)o(t)f(gleic)o(hzeitig)e(sein)i(darf.)h (Andrerseits)e(gibt)i(es)g(sic)o(her)e(P)o(aare)108 1457 y(der)h(F)l(orm)f(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\),)15 b(w)o(enn)h Fr(A)g Fw(und)h Fr(B)h Fw(nic)o(h)o(t)d(leer)g(sind.)h(Also)g(gilt:)108 1551 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(2.4.)g Fr(A)10 b Fp(\002)h Fr(B)16 b Fw(=)e Fp(;)g(\()-8 b(\))13 b Fr(A)g Fw(=)h Fp(;)k Fs(o)n(der)e Fr(B)h Fw(=)c Fp(;)p Fs(.)108 1644 y Fu(Bemerkung)k(2.5.)j Fw(Wir)d(v)o(erw)o(enden)f(in)h(Zukunft)h (lediglic)o(h)d(die)i(T)l(at-)108 1702 y(sac)o(he,)f(da\031)i(wir)e(zu) g(je)h(zw)o(ei)e(Elemen)o(ten)f Fr(a)i Fw(und)h Fr(b)f Fw(ein)g(P)o(aar)i(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))15 b(\(als)108 1760 y(Menge\))f(bilden)g(k)452 1762 y(\177)452 1760 y(onnen)h(\(Existenz\),)e(da\031)j(die)e(Pro)q(duktmenge)g Fr(A)8 b Fp(\002)g Fr(B)108 1818 y Fw(v)o(on)14 b(P)o(aaren)h (existiert)d(und)j(da\031)g(zw)o(ei)d(P)o(aare)j(genau)g(dann)f(gleic)o (h)f(sind,)108 1876 y(w)o(enn)j(ihre)f(Komp)q(onen)o(ten)g(gleic)o(h)f (sind)i(\(2.2\).)g(Die)f(exakte)g(De\014nition)108 1934 y(wird)h(nic)o(h)o(t)f(mehr)g(w)o(eiter)g(b)q(en)688 1936 y(\177)688 1934 y(otigt.)108 2031 y Fu(De\014nition)j(2.6.)i Fw(Seien)11 b Fr(a;)d(b;)g(c)j Fw(drei)g(\(nic)o(h)o(t)g(not)o(w)o (endig)h(v)o(ersc)o(hiedene\))108 2089 y(Elemen)o(te.)h(Ein)j Fs(T)l(rip)n(el)g Fw(\()p Fr(a;)8 b(b;)g(c)p Fw(\))16 b(ist)g(de\014niert)f(durc)o(h)573 2179 y(\()p Fr(a;)8 b(b;)g(c)p Fw(\))13 b(:=)g(\(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))p Fr(;)g(c)p Fw(\))p Fr(:)p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(23)108 225 y Fu(Bemerkung)17 b(2.7.)j Fw(Analog)d(zu)f(den)g(P)o (aaren)g(gilt)307 310 y(\()p Fr(a;)8 b(b;)g(c)p Fw(\))13 b(=)h(\()p Fr(x;)8 b(y)r(;)g(z)r Fw(\))13 b Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(a)g Fw(=)h Fr(x)d Fp(^)g Fr(b)j Fw(=)f Fr(y)g Fp(^)e Fr(c)j Fw(=)g Fr(z)r(:)108 445 y Fw(Wir)h(k)o(ommen)d(jetzt)i (zu)h(dem)f(zen)o(tralen)f(Begri\013)i(dieses)g(P)o(aragraphen.)108 503 y(Wir)k(w)o(ollen)f(m)405 505 y(\177)405 503 y(oglic)o(hst)e (allgemein)h(Bezieh)o(ungen)g(zwisc)o(hen)g(Elemen-)108 561 y(ten)i(in)g(zw)o(ei)f(Mengen)g Fr(A)h Fw(und)h Fr(B)h Fw(b)q(esc)o(hreib)q(en.)d(Wie)h(k)m(ann)g(man)g(eine)108 619 y(Bezieh)o(ung,)e(eine)g(V)l(erbindung,)h(einen)f(Zusammenhang)g(o) q(der)1338 609 y(\177)1332 619 y(Ahnli-)108 677 y(c)o(hes)h(zwisc)o (hen)f(einem)f(Elemen)o(t)f Fr(a)i Fp(2)g Fr(A)h Fw(und)g(einem)e (Elemen)o(t)g Fr(b)h Fp(2)g Fr(B)108 736 y Fw(m)150 738 y(\177)150 736 y(oglic)o(hst)c(allgemein)f(fassen?)k(Das)f(tun)g(wir,)f (indem)f(wir)i(sc)o(hlic)o(h)o(t)d(und)108 794 y(einfac)o(h)21 b(sagen,)g(ob)h(die)f(gew)669 796 y(\177)668 794 y(unsc)o(h)o(te)g (Bezieh)o(ung)f(zwisc)o(hen)g Fr(a)h Fw(und)h Fr(b)108 852 y Fw(existiert)12 b(o)q(der)i(nic)o(h)o(t.)e(Dann)i(k)689 854 y(\177)689 852 y(onnen)g(wir)f(diejenigen)g(P)o(aare)g(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\),)13 b(f)1422 854 y(\177)1421 852 y(ur)108 910 y(die)h Fr(a)f Fw(in)h(der)f(gew)442 912 y(\177)441 910 y(unsc)o(h)o(ten)h(Bezieh)o(ung)e(zu)i Fr(b)g Fw(steh)o(t,)f(in)h(einer)e(Menge)i Fr(R)108 968 y Fw(zusammenfassen)e(und)j(k)593 970 y(\177)593 968 y(onnen)f(dann)h(genau)f(feststellen,)e(ob)j(eine)e(Be-)108 1026 y(zieh)o(ung)j(zwisc)o(hen)f Fr(a)h Fw(und)g Fr(b)g Fw(b)q(esteh)o(t,)g(indem)e(wir)i(n)1106 1028 y(\177)1106 1026 y(amlic)o(h)e(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)110 1086 y Fw(\177)108 1084 y(ub)q(erpr)251 1086 y(\177)250 1084 y(ufen.)f(Auf)f(diese)g(W)l(eise)g(legen)g(wir)h(den)g (Begri\013)f(der)h(Bezieh)o(ung,)108 1142 y(o)q(der)20 b(wie)e(wir)h(dann)g(sagen)h(w)o(erden,)e(der)h(Relation,)e(in)i(k)o (einer)e(W)l(eise)108 1200 y(w)o(eiter)h(fest,)f(als)i(da\031)h(zwisc)o (hen)d(Elemen)o(ten)f(aus)j Fr(A)f Fw(und)h(solc)o(hen)f(aus)108 1259 y Fr(B)h Fw(eine)c(Bezieh)o(ung)g(b)q(estehen)h(k)m(ann.)108 1317 y(Um)j(Relationen)h(gut)h(un)o(tersc)o(heiden)e(zu)h(k)952 1319 y(\177)952 1317 y(onnen,)g(f)1129 1319 y(\177)1128 1317 y(ugen)h(wir)g(in)f(der)108 1375 y(De\014nition)i(auc)o(h)h(no)q (c)o(h)f(die)g(b)q(eiden)g(Mengen)g Fr(A)g Fw(und)h Fr(B)i Fw(hinzu)d(und)108 1433 y(de\014nieren)15 b(wie)h(folgt:)108 1517 y Fu(De\014nition)i(2.8.)i Fw(Eine)d Fs(R)n(elation)h Fr(\032)f Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))17 b(ist)h(ein)f(T)l(rip)q(el)h(v)o(on)108 1576 y(Mengen)e Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)16 b Fw(mit)e Fr(R)h Fp(\032)e Fr(A)e Fp(\002)g Fr(B)s Fw(.)108 1634 y(Ist)23 b Fr(\032)i Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))23 b(eine)f(Relation,)g(so)h(sc)o(hreib)q (en)f(wir)h(gelegen)o(tlic)o(h)108 1692 y(auc)o(h)576 1751 y Fr(a\032b)14 b Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))12 b Fw(\()p Fr(a;)c(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R:)108 1824 y(\032)j Fw(hei\031t)f(auc)o(h)g(Relation)g(v)o(on)g Fr(A)g Fw(in)g Fr(B)s Fw(,)f(v)o(on)i Fr(A)f Fw(nac)o(h)g Fr(B)j Fw(o)q(der)e(zwisc)o (hen)108 1882 y Fr(A)22 b Fw(und)g Fr(B)s Fw(.)e(Eine)i(Relation)f(der) g(F)l(orm)g Fr(\032)i Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(A;)g(R)p Fw(\))21 b(hei\031t)g Fs(bin)1400 1884 y(\177)1400 1882 y(ar)n(e)108 1940 y(R)n(elation)c Fw(auf)f Fr(A)p Fw(.)108 2075 y(Da)j(der)g(Begri\013)f(der)g(Relation)g(so)h(allgemein)d(form)o (uliert)g(w)o(orden)i(ist,)108 2133 y(wird)j(es)g(viele)e(Beispiele)g (daf)678 2135 y(\177)677 2133 y(ur)i(geb)q(en.)g(Wir)f(geb)q(en)i(hier) e(n)o(ur)h(einige)108 2191 y(w)o(enige)16 b(an,)g(w)o(eitere)f(w)o (erden)g(sic)o(h)h(sp)824 2193 y(\177)824 2191 y(ater)g(ergeb)q(en.)p eop %%Page: 24 24 24 23 bop 108 117 a Ft(24)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fu(Beispiele)f(2.9.)86 b Fw(\(1\))21 b Fr(\032)h Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(A)13 b Fp(\002)h Fr(B)s Fw(\))20 b(hei\031t)h(die)f Fs(gr)1282 227 y(\177)1282 225 y(o\031te)j(R)n(e-)257 283 y(lation)c Fw(zwisc)o(hen)e Fr(A)h Fw(und)h Fr(B)s Fw(.)f(Jedes)g(Elemen)o(t)e Fr(a)h Fp(2)h Fr(A)g Fw(steh)o(t)g(in)257 341 y(Relation)e(o)q(der)g(Bezieh)o (ung)f(zu)h(jedem)e(Elemen)o(t)g Fr(b)g Fp(2)g Fr(B)s Fw(.)174 399 y(\(2\))21 b Fr(\032)d Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g Fp(;)p Fw(\))17 b(hei\031t)h(die)g Fs(kleinste)j Fw(o)q(der)38 b Fs(le)n(er)n(e)20 b(R)n(elation)f Fw(zwi-)257 458 y(sc)o(hen)c Fr(A)g Fw(und)h Fr(B)s Fw(.)e(Dieses)i(ist)f(eine)g (Relation,)f(w)o(eil)g Fp(;)g(\032)g Fr(A)9 b Fp(\002)g Fr(B)s Fw(.)257 516 y(Bei)20 b(ihr)h(steh)o(t)g(k)o(ein)f(Elemen)o(t)e (aus)k Fr(A)f Fw(in)g(Relation)g(zu)g(einem)257 574 y(Elemen)o(t)13 b(in)j Fr(B)s Fw(.)174 632 y(\(3\))21 b Fr(\032)34 b Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(A;)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(a;)g(a)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(a)32 b Fp(2)i Fr(A)p Fp(g)p Fw(\))28 b(hei\031t)g(die)f Fs(identische)j Fw(o)q(der)257 690 y Fs(Gleichheitsr)n(elation)22 b Fw(v)o(on)e Fr(A)p Fw(.)g(Zw)o(ei)f (Elemen)o(te)e(stehen)k(in)f(Re-)257 748 y(lation)14 b(zueinander)g(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g(sie)g(gleic)o(h)f(sind.)h (Diese)257 806 y(Relation)i(ist)g(also)g(aus)h(dem)e(Gleic)o (hheitszeic)n(hen)e(en)o(tstanden.)174 864 y(\(4\))21 b Fr(\032)14 b Fw(=)g(\()p Fn(R)l Fr(;)8 b Fn(R)-6 b Fr(;)8 b Fp(f)p Fw(\()p Fr(x;)f(x)594 846 y Fq(2)611 864 y Fw(\))p Fp(j)p Fr(x)13 b Fp(2)h Fn(R)m Fp(g)p Fw(\))9 b(ist)i(die)f(reelle)g(F)l(unktion)h Fr(x)1308 846 y Fq(2)1327 864 y Fw(.)g(Jedes)257 922 y Fr(x)i Fp(2)h Fn(R)d Fw(steh)o(t)k(n)539 924 y(\177)539 922 y(amlic)o(h)f(in)i (Relation)g(zu)g Fr(x)1041 904 y Fq(2)1074 922 y Fp(2)e Fn(R)m Fw(.)174 981 y(\(5\))21 b(Die)16 b(Relation)328 1090 y Fr(\032)e Fw(=)f(\()p Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))p Fr(;)8 b Fp(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))p Fr(;)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(B)s(;)g(C)t Fw(\))j Fp(2)j(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))c Fp(\002)h(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(B)16 b Fp(\032)d Fr(C)t Fw(\))257 1200 y(ist)i(die)g Fs(T)l(eilmengenr)n (elation)j Fw(auf)e(der)f(Menge)g(der)g(T)l(eilmengen)257 1258 y(v)o(on)h Fr(A)p Fw(,)f(d.h.)h(auf)g(der)g(P)o(otenzmenge)f(v)o (on)h Fr(A)p Fw(.)174 1316 y(\(6\))21 b(Die)e(Relation)g Fr(\032)h Fw(=)g(\()p Fn(N)p Fr(;)8 b Fn(N)o Fr(;)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(m)o(;)g(n)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(m;)f(n)18 b Fp(2)i Fn(N)11 b Fp(^)j Fr(m)19 b Fp(\024)h Fr(n)p Fp(g)p Fw(\))g(ist)257 1374 y(die)14 b Fs(A)o(nor)n(dnungsr)n(elation)h Fp(\024)f Fw(auf)h(den)g(nat)1059 1376 y(\177)1058 1374 y(urlic)o(hen)e(Zahlen.)h(Es)257 1432 y(gilt)23 b Fr(m\032n)j Fp(\()-8 b(\))26 b Fw(\()p Fr(m;)8 b(n)p Fw(\))26 b Fp(2)h Fr(\032)f Fp(\()-8 b(\))26 b Fr(m)g Fp(\024)g Fr(n:)e Fw(Man)g(sc)o(hreibt)257 1490 y(daher)17 b(auc)o(h)f Fr(\032)e Fw(=)j Fp(\024)p Fw(.)f(Eine)g(graphisc)o(he)g(Darstellung)h (f)1302 1492 y(\177)1301 1490 y(ur)f(diese)257 1548 y(Relation)g(ist) 595 1678 y(4)p 651 1695 2 59 v 50 w Fp(\016)33 b(\016)f(\016)h(\017)f (\017)g(\017)h(\017)f(\017)595 1736 y Fw(3)p 651 1753 V 50 w Fp(\016)h(\016)f(\017)h(\017)f(\017)g(\017)h(\017)f(\017)595 1794 y Fw(2)p 651 1811 V 50 w Fp(\016)h(\017)f(\017)h(\017)f(\017)g (\017)h(\017)f(\017)595 1852 y Fw(1)p 651 1869 V 50 w Fp(\017)h(\017)f(\017)h(\017)f(\017)g(\017)h(\017)f(\017)p 595 1871 535 2 v 651 1879 2 9 v 651 1937 2 59 v 669 1920 a Fw(1)i(2)f(3)h(4)f(5)g(6)h(7)f(8)257 2017 y(w)o(ob)q(ei)17 b(die)g(Elemen)o(te)d(aus)k Fr(R)e Fw(=)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(m;)8 b(n)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(m;)g(n)14 b Fp(2)i Fn(N)10 b Fp(^)i Fr(m)j Fp(\024)g Fr(n)p Fp(g)257 2075 y Fw(durc)o(h)e(dic)o(k) o(e)e(Punkte)i(dargestellt)g(sind)h(und)f(die)g(Elemen)o(te)e(aus)257 2133 y Fn(N)s Fp(\002)s Fn(N)n Fw(,)e(die)j(nic)o(h)o(t)f(in)h Fr(R)h Fw(liegen,)d(durc)o(h)i(kleine)f(Kreise)g(dargestellt)257 2191 y(sind.)16 b(An)g(dieser)g(Darstellung)h(sieh)o(t)f(man)g(auc)o(h) g(deutlic)o(h,)f(wie)p eop %%Page: 25 25 25 24 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(25)257 225 y Fw(die)11 b(Relation)g Fr(R)i Fw(als)f(T)l(eilmenge)d (des)j(Pro)q(dukts)h Fn(N)r Fp(\002)r Fn(N)8 b Fw(aufgefa\031t)257 283 y(wird.)174 341 y(\(7\))21 b(Ist)k Fr(B)32 b Fp(\032)e Fr(C)f Fw(eine)c(T)l(eilmenge,)d(so)k(ist)g Fr(\032)k Fw(=)f(\()p Fr(B)s(;)8 b(C)q(;)g(R)p Fw(\))25 b(mit)257 399 y Fr(R)14 b Fw(=)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(b;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(B)c Fp(\002)d Fr(C)t Fp(j)p Fr(b)13 b Fp(2)h Fr(B)s Fp(g)f Fw(eine)h(Relation,)f(genann)o(t)i Fs(Inklu-)257 458 y(sionsr)n(elation)p Fw(.)108 559 y Fu(Bemerkung)i(2.10.)j Fw(Zw)o(ei)13 b(Relationen)g Fr(\032)924 566 y Fq(1)958 559 y Fw(=)g(\()p Fr(A)1065 566 y Fq(1)1085 559 y Fr(;)8 b(B)1144 566 y Fq(1)1163 559 y Fr(;)g(R)1222 566 y Fq(1)1242 559 y Fw(\))14 b(und)g Fr(\032)1395 566 y Fq(2)1429 559 y Fw(=)108 617 y(\()p Fr(A)164 624 y Fq(2)184 617 y Fr(;)8 b(B)243 624 y Fq(2)262 617 y Fr(;)g(R)321 624 y Fq(2)341 617 y Fw(\))j(sind)h(genau)g(dann)h(gleic)o(h,)d(w)o(enn)h Fr(A)1028 624 y Fq(1)1061 617 y Fw(=)j Fr(A)1150 624 y Fq(2)1169 617 y Fw(,)d Fr(B)1231 624 y Fq(1)1265 617 y Fw(=)j Fr(B)1354 624 y Fq(2)1385 617 y Fw(und)108 675 y Fr(R)145 682 y Fq(1)182 675 y Fw(=)i Fr(R)273 682 y Fq(2)311 675 y Fw(gelten.)h(Es)h(sind)g(daher)g(die)f(Relationen)g(\()p Fn(N)p Fr(;)8 b Fn(N)o Fr(;)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(n;)f(n)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(n)14 b Fp(2)108 734 y Fn(N)p Fp(g)p Fw(\))i(und)i(\()p Fn(N)p Fr(;)8 b Fn(R)-5 b Fr(;)7 b Fp(f)p Fw(\()p Fr(n;)h(n)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(n)14 b Fp(2)i Fn(N)p Fp(g)p Fw(\))g(v)o(ersc)o(hieden.)f(Ist)j(eine)e(der)i(Mengen) 108 792 y Fr(A)i Fw(o)q(der)g Fr(B)j Fw(leer,)18 b(so)i(gibt)g(es)g (genau)h(eine)e(Relation)g(zwisc)o(hen)g Fr(A)g Fw(und)108 850 y Fr(B)s Fw(,)k(n)212 852 y(\177)212 850 y(amlic)o(h)e(die)i(leere) f(Relation.)g(F)831 852 y(\177)830 850 y(ur)i Fr(A)h Fw(=)h Fp(;)e Fw(und)g(eine)e(Relation)108 908 y Fr(\032)14 b Fw(=)g(\()p Fp(;)p Fr(;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))16 b(ist)g(n)494 910 y(\177)494 908 y(amlic)o(h)e Fr(R)g Fp(\032)g(;)d(\002)g Fr(B)16 b Fw(=)e Fp(;)i Fw(\(vgl.)f(2.4\),)h(also)h Fr(R)e Fw(=)e Fp(;)p Fw(.)108 1028 y Fu(De\014nition)18 b(2.11.)i Fw(Sei)d Fr(\032)h Fw(=)f(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))18 b(eine)f(Relation.)g(Wir)h(de\014nie-)108 1086 y(ren)174 1160 y(\(1\))j Fs(Quel)r(le)e Fw(v)o(on)d Fr(\032)e Fw(=)g(Qu\()p Fr(\032)p Fw(\))g(:=)f Fr(A)p Fw(,)174 1218 y(\(2\))21 b Fs(Ziel)c Fw(v)o(on)f Fr(\032)e Fw(=)g(Zi)o(\()p Fr(\032)p Fw(\))g(:=)f Fr(B)s Fw(,)174 1276 y(\(3\))21 b Fs(Gr)n(aph)15 b Fw(v)o(on)h Fr(\032)e Fw(=)f(Gr)q(\()p Fr(\032)p Fw(\))h(:=)f Fr(R)p Fw(,)174 1334 y(\(4\))21 b Fs(Urbild)c Fw(v)o(on)f Fr(\032)e Fw(=)f(Ur\()p Fr(\032)p Fw(\))h(:=)f Fp(f)p Fr(a)p Fp(j)p Fr(a)g Fp(2)h Fr(A)d Fp(^)g(9)p Fr(b)i Fp(2)h Fr(B)s Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)p Fw(])p Fp(g)p Fw(,)174 1392 y(\(5\))21 b Fs(Bild)c Fw(v)o(on)f Fr(\032)e Fw(=)g(Bi)o(\()p Fr(\032)p Fw(\))g(:=)f Fp(f)p Fr(b)p Fp(j)p Fr(b)g Fp(2)h Fr(B)g Fp(^)d(9)p Fr(a)i Fp(2)h Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)p Fw(])p Fp(g)p Fw(.)108 1494 y Fu(De\014nition)k (2.12.)i Fw(Seien)e(die)g(Relationen)h Fr(\032)g Fw(=)f(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))19 b(und)g Fr(\033)i Fw(=)108 1552 y(\()p Fr(B)s(;)8 b(C)q(;)g(S)s Fw(\))15 b(gegeb)q(en.)i(Dann)g (hei\031t)f(die)f(Relation)626 1654 y Fr(\033)r(\032)e Fw(:=)h(\()p Fr(A;)8 b(C)q(;)g(T)f Fw(\))108 1756 y(mit)150 1857 y Fr(T)20 b Fw(:=)14 b Fp(f)p Fw(\()p Fr(a;)8 b(c)p Fw(\))p Fp(j)p Fw(\()p Fr(a;)g(c)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(A)d Fp(\002)g Fr(C)j Fp(^)d(9)p Fr(b)j Fp(2)g Fr(B)s Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)d Fp(^)h Fw(\()p Fr(b;)c(c)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(S)s Fw(])p Fp(g)108 1959 y Fw(die)d Fs(Pr)n(o)n(dukt-)f Fw(o)q(der)i Fs(V)l(erkn)602 1961 y(\177)602 1959 y(upfungsr)n(elation)h Fw(v)o(on)e Fr(\032)g Fw(und)g Fr(\033)r Fw(.)f(Gelegen)o(tlic)o(h)108 2017 y(sc)o(hreibt)22 b(man)g(f)429 2019 y(\177)428 2017 y(ur)h(die)f(Pro)q (duktrelation)i(auc)o(h)e Fr(\033)c Fp(\016)d Fr(\032)25 b Fw(:=)g Fr(\033)r(\032)p Fw(.)d(Man)108 2075 y(b)q(eac)o(h)o(te,)15 b(da\031)i Fr(\033)r(\032)f Fw(n)o(ur)g(de\014niert)f(ist,)h(w)o(enn)g (Zi)o(\()p Fr(\032)p Fw(\))e(=)g(Qu\()p Fr(\033)r Fw(\))h(gilt.)g(Man) 108 2133 y(b)q(eac)o(h)o(te)i(w)o(eiterhin)g(die)g(Reihenfolge)g(v)o (on)h Fr(\032)g Fw(und)g Fr(\033)h Fw(in)f(der)f(Pro)q(dukt-)108 2191 y(sc)o(hreib)o(w)o(eise)d Fr(\033)r(\032)p Fw(.)p eop %%Page: 26 26 26 25 bop 108 117 a Ft(26)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Ist)f Fr(\032)h Fw(die)e(T)l (eilmengenrelation)f(v)o(on)i(Beispiel)e(2.9)i(\(5\),)g(so)h(gilt)f Fr(\032\032)e Fw(=)g Fr(\032)p Fw(,)108 283 y(w)o(eil)h Fr(B)i Fp(\032)c Fr(C)20 b Fw(und)c Fr(C)i Fp(\032)13 b Fr(D)18 b Fw(impliziert)13 b Fr(B)j Fp(\032)e Fr(D)q Fw(.)108 382 y(Besonders)k(wic)o(h)o(tige)f(Relationen)g(in)h(der)g (Mathematik)e(sind)i(die)g(Ab-)108 440 y(bildungen,)12 b(die)423 429 y(\177)417 440 y(Aquiv)m(alenzrelationen)e(und)i(die)g (Ordn)o(ungen.)f(Wir)h(b)q(e-)108 498 y(sprec)o(hen)j(zun)383 500 y(\177)383 498 y(ac)o(hst)h(den)g(Begri\013)g(der)g(Abbildung.)f (In)h(der)f(Informatik)108 556 y(w)o(erden)i(oft)h(Abbildungen)f(b)q (en)719 558 y(\177)719 556 y(otigt,)h(die)f(nic)o(h)o(t)f(total)i (de\014niert)f(sind.)108 614 y(Das)g(sind)g(die)e(partiellen)g (Abbildungen.)108 697 y Fu(De\014nition)j(2.13.)i Fw(Eine)c(Relation)h Fr(\013)e Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))16 b(hei\031t)h(eine)f Fs(p)n(arti-)108 755 y(el)r(le)k(A)o(bbildung)p Fw(,)e(w)o(enn)e(gilt)158 838 y Fp(8)p Fr(a)c Fp(2)i Fr(A)i Fp(8)p Fr(b)375 845 y Fq(1)393 838 y Fr(;)8 b(b)436 845 y Fq(2)469 838 y Fp(2)15 b Fr(B)s Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)659 845 y Fq(1)677 838 y Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)e Fp(^)f Fw(\()p Fr(a;)d(b)937 845 y Fq(2)956 838 y Fw(\))14 b Fp(2)g Fr(R)g Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(b)1202 845 y Fq(1)1235 838 y Fw(=)g Fr(b)1308 845 y Fq(2)1327 838 y Fw(])p Fr(:)49 b Fw(\(1\))108 921 y(In)17 b(W)l(orten)h(ausgedr)508 923 y(\177)507 921 y(uc)o(kt)g(hei\031t)f(das,)h(da\031)g(zu)g(jedem)d (Elemen)o(t)g Fr(a)h Fp(2)g Fr(A)108 979 y Fs(h)133 981 y(\177)133 979 y(ochstens)25 b Fw(ein)d(Elemen)o(t)f Fr(b)k Fp(2)h Fr(B)g Fw(mit)c(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))25 b Fp(2)h Fr(R)d Fw(existiert.)f(W)l(enn)108 1037 y(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))27 b Fp(2)g Fr(R)e Fw(gegeb)q(en)g(ist,)e(dann)i (sc)o(hreib)q(en)e(wir)h(f)1107 1039 y(\177)1106 1037 y(ur)g(das)h(eindeutig)108 1096 y(durc)o(h)20 b Fr(a)f Fw(de\014nierte)f Fr(b)i Fw(auc)o(h)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(\(F)l(unktionssc)o(hreib)o(w)o(eise\).)e(Es)j(gilt)108 1154 y(also)d(mit)d(dieser)i(F)l(estlegung)528 1237 y(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)h Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(b)g Fw(=)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))p Fr(:)108 1320 y Fw(Eine)j(w)o(eitere)f(Bezeic)o(hn)o(ungsw)o(eise)e(f)816 1322 y(\177)815 1320 y(ur)j(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))15 b Fp(2)g Fr(R)h Fw(=)g(Gr\()p Fr(\013)p Fw(\))i(ist)f(auc)o(h)108 1378 y Fr(a)169 1351 y Fk(\013)155 1378 y Fp(7!)22 b Fr(b)e Fw(o)q(der)h Fr(a)h Fp(7!)f Fr(b)f Fw(mit)f(der)i(Sprec)o(h)o(w) o(eise)996 1408 y(")1019 1378 y(dem)e(Elemen)o(t)f Fr(a)j Fw(wird)108 1436 y(durc)o(h)16 b Fr(\013)g Fw(das)h(Elemen)o(t)c Fr(b)j Fw(zugeordnet.)m(\\)i(Man)e(nenn)o(t)g Fr(b)g Fw(auc)o(h)f(das)i Fs(Bild)108 1494 y Fw(v)o(on)i Fr(a)g Fw(b)q(ei)g Fr(\013)h Fw(und)f Fr(a)g Fw(ein)g Fs(Urbild)g Fw(v)o(on)g Fr(b)g Fw(b)q(ei)g Fr(\013)p Fw(.)g(Man)h(b)q(eac)o(h)o (te,)e(da\031)i Fr(b)108 1552 y Fw(zw)o(ar)d(durc)o(h)g(die)f(V)l (orgab)q(e)i(v)o(on)f Fr(a)f Fw(eindeutig)g(b)q(estimm)o(t)e(ist,)i (da\031)i(ab)q(er)108 1610 y Fr(a)e Fw(k)o(einesfalls)e(eindeutig)h (durc)o(h)g Fr(b)g Fw(b)q(estimm)o(t)e(ist,)i(w)o(enn)h Fr(b)d Fw(=)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(gilt.)108 1668 y(Das)h(Bild)d(v)o(on)h Fr(\013)h Fw(ist)g(eine)e(T)l(eilmenge)f (v)o(on)j Fr(B)s Fw(,)e(das)j(Urbild)d(v)o(on)i Fr(\013)g Fw(eine)108 1726 y(T)l(eilmenge)j(v)o(on)j Fr(A)p Fw(.)f(Beide)f(T)l (eilmengen)f(k)945 1728 y(\177)945 1726 y(onnen)j(ec)o(h)o(te)e(T)l (eilmengen)108 1785 y(sein.)g(Man)i(nenn)o(t)e(das)i(Bild)e(v)o(on)h Fr(\013)g Fw(auc)o(h)g(den)g Fs(Werteb)n(er)n(eich)g Fw(\(engl.)108 1843 y(range\))g(und)g(das)h(Urbild)d(v)o(on)i Fr(\013)g Fw(den)g Fs(De\014nitionsb)n(er)n(eich)h Fw(\(engl.)e(do-)108 1901 y(main\).)108 1959 y(Eine)28 b(partielle)f(Abbildung)h Fr(\013)34 b Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))28 b(wird)g(auc)o(h)g(mit)f(der)108 2017 y(Sc)o(hreib)o(w)o(eise)17 b Fr(\013)i Fw(:)g Fr(A)f(*)h(B)i Fw(o)q(der)f Fr(A)838 1991 y Fk(\013)825 2017 y Fr(*)e(B)k Fw(b)q(ezeic)o(hnet.)17 b(Gelegen)o(tlic)o(h)108 2075 y(sc)o(hreib)q(en)f(wir)h(auc)o(h)f Fr(\013)f Fw(:)g Fr(A)f Fp(3)h Fr(a)f Fp(7!)h Fr(b)f Fp(2)h Fr(B)20 b Fw(o)q(der)d Fr(A)d Fp(3)h Fr(a)f Fp(7!)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f Fp(2)h Fr(B)s(;)108 2133 y Fw(w)o(ob)q(ei)k(h)276 2135 y(\177)276 2133 y(au\014g)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(auc)o(h)h(ersetzt)e(wird)h(durc)o(h)g (eine)g(F)l(ormel)e(mit)h(der)108 2191 y Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(aus)h Fr(a)f Fw(b)q(erec)o(hnet)f(w)o(erden)h(k)m(ann.)p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(27)108 225 y Fw(Eine)21 b(w)o(esen)o(tlic)o(he)d(Aufgab)q(e)k(wird)e (es)h(wieder)g(sein)f(festzustellen,)f(ob)108 283 y(zw)o(ei)k (partielle)g(Abbildungen)h(gleic)o(h)f(sind)h(o)q(der)h(nic)o(h)o(t,)e (so)i(wie)f(wir)108 341 y(sc)o(hon)13 b(Kriterien)f(daf)512 343 y(\177)511 341 y(ur)h(hab)q(en,)g(ob)h(zw)o(ei)e(Mengen)g(gleic)o (h)g(sind)h(\(Axiom)108 399 y(2\),)20 b(zw)o(ei)e(P)o(aare)i(gleic)o(h) f(sind)g(\(2.2\))h(o)q(der)g(ob)g(zw)o(ei)f(Relationen)g(gleic)o(h)108 458 y(sind)d(\(2.10\).)108 541 y Fu(Bemerkung)h(2.14.)j Fw(Zw)o(ei)h(partielle)f(Abbildungen)i Fr(\013)i Fw(=)f(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))108 599 y(und)17 b Fr(\014)f Fw(=)e(\()p Fr(C)q(;)8 b(D)q(;)g(S)s Fw(\))16 b(sind)g(genau)h(dann)g (gleic)o(h,)e(w)o(enn)h(gelten)520 681 y(Qu\()p Fr(\013)p Fw(\))f(=)e(Qu\()p Fr(\014)s Fw(\))p Fr(;)520 739 y Fw(Zi\()p Fr(\013)p Fw(\))h(=)g(Zi)o(\()p Fr(\014)s Fw(\))p Fr(;)520 797 y Fw(Ur\()p Fr(\013)p Fw(\))g(=)g(Ur)o(\()p Fr(\014)s Fw(\))48 b(und)520 855 y Fp(8)p Fr(a)13 b Fp(2)h Fw(Ur)o(\()p Fr(\013)p Fw(\)[)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))g(=)f Fr(\014)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\)])p Fr(:)108 939 y Fu(De\014nition)18 b(2.15.)i Fw(Eine)i(Relation)h Fr(\013)j Fw(=)g([)p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(])22 b(hei\031t)g(eine)h Fs(A)o(b-)108 997 y(bildung)p Fw(,)e(eine)d Fs(F)l(unktion)j Fw(o)q(der)f(eine)f Fs(F)l(amilie)p Fw(,)h(w)o(enn)f Fr(\013)h Fw(eine)e(partielle)108 1055 y(Abbildung)e(ist)g(und)h(gilt)515 1138 y Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fp(9)p Fr(b)f Fp(2)h Fr(B)s Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)p Fw(])p Fr(:)344 b Fw(\(2\))108 1221 y(Ben)o(utzt)19 b(man)g(f)425 1223 y(\177)424 1221 y(ur)h Fr(\013)g Fw(die)f(Bezeic)o(hn)o(ung)f(F)l (amilie,)f(dann)j(hei\031t)g Fr(A)f Fw(die)108 1279 y Fs(Indexmenge)g Fw(der)d(F)l(amilie.)108 1338 y(Die)f(Bedingungen)g (\(1\))h(und)g(\(2\))f(k)765 1340 y(\177)765 1338 y(onnen)h(wie)f (folgt)g(ausgedr)1268 1340 y(\177)1267 1338 y(uc)o(kt)h(w)o(er-)108 1396 y(den:)c(Zu)g(jedem)e Fr(a)j Fp(2)h Fr(A)e Fw(existiert)f(genau)h (ein)g Fr(b)h Fp(2)i Fr(B)f Fw(mit)d(\()p Fr(a;)d(b)p Fw(\))k Fp(2)j Fr(R)p Fw(.)d(Bei)108 1454 y(einer)g(Abbildung)h (stimmen)d(De\014nitionsb)q(ereic)o(h)i(und)i(Quelle)1296 1456 y(\177)1294 1454 y(ub)q(erein:)108 1512 y(Ur\()p Fr(\013)p Fw(\))g(=)g(Qu\()p Fr(\013)p Fw(\))433 1494 y Fq(4)453 1512 y Fw(.)108 1644 y(W)l(arum)21 b(sind)g(hier)g(drei)g(v) o(ersc)o(hiedene)e(Ausdr)1017 1646 y(\177)1016 1644 y(uc)o(k)o(e,)g(n) 1171 1646 y(\177)1171 1644 y(amlic)o(h)g(Abbil-)108 1702 y(dung,)25 b(F)l(unktion)f(und)h(F)l(amilie,)c(f)783 1704 y(\177)782 1702 y(ur)k(denselb)q(en)f(Begri\013)g(eingef)1376 1704 y(\177)1375 1702 y(uhrt)108 1761 y(w)o(orden?)15 b(Man)f(v)o(erw)o(endet)f(diese)h(Begri\013e)g(in)g(v)o(ersc)o (hiedenem)c(Zusam-)108 1819 y(menhang.)i(V)l(on)g(einer)g(F)l(unktion,) f(statt)i(v)o(on)g(einer)e(Abbildung,)h(spric)o(h)o(t)108 1877 y(man)19 b(oft,)h(w)o(enn)g(das)h(Ziel)e(der)h(Abbildung)f(eine)g (Menge)h(v)o(on)g(Zahlen)108 1935 y(ist.)j(Man)i(denkt)e(dab)q(ei)h (z.B.)e(an)j(die)e(Sin)o(usfunktion)h(\(sin)o(\()p Fr(x)p Fw(\)\))g(o)q(der)108 1993 y(die)16 b(Exp)q(onen)o(tialfunktion)f(\()p Fr(e)680 1975 y Fk(x)716 1993 y Fw(=)e(exp\()p Fr(x)p Fw(\)\).)i(Zum)g(Begri\013)h(der)f(F)l(amilie)108 2051 y(w)o(erden)f(wir)g(no)q(c)o(h)h(mehr)d(im)h(Zusammenhang)g(mit)f(Pro)q (dukten)j(sagen.)p 108 2090 250 2 v 158 2127 a Fo(4)177 2142 y Ft(Wir)10 b(w)o(erden)j(h)421 2144 y(\177)421 2142 y(au\014ger)f(Aussagen)g(v)o(on)f(der)h(F)m(orm)987 2166 y(")1006 2142 y(es)h(gibt)d(genau)i(ein)f(Elemen)o(t)108 2191 y(mit)h(...)m(\\)k(b)q(en)319 2193 y(\177)319 2191 y(otigen)e(und)g(v)o(erw)o(enden)h(daf)789 2193 y(\177)788 2191 y(ur)f(die)g(Abk)985 2193 y(\177)984 2191 y(urzung)g Fl(9)1145 2197 y Fo(1)1164 2191 y Ft(.)p eop %%Page: 28 28 28 27 bop 108 117 a Ft(28)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Wir)f(k)233 227 y(\177)233 225 y(onnen)g(jetzt)g(sc)o(hon)g(andeuten,)g(da\031)h(man)e(sic)o(h)h (b)q(ei)g(einer)f(F)l(ami-)108 283 y(lie)e(mehr)g(die)h(Kollektion)f (der)h(Bildelem)o(en)o(te)d(v)o(orstellt,)h(w)1213 285 y(\177)1213 283 y(ahrend)j(man)108 341 y(b)q(ei)h(einer)f(Abbildung)h (mehr)f(an)i(eine)e(Zuordn)o(ungsv)o(orsc)o(hrift)h(denkt.)108 430 y Fu(De\014nition)i(2.16.)i Fw(Sei)15 b Fr(\013)f Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(B)19 b Fw(eine)c(Abbildung)g(und)i Fr(A)1331 437 y Fq(0)1364 430 y Fp(\032)c Fr(A:)108 488 y Fw(Dann)i(hei\031t)f Fr(\013)p Fp(j)403 495 y Fk(A)429 500 y Fe(0)462 488 y Fw(:=)g(\()p Fr(A)584 495 y Fq(0)603 488 y Fr(;)8 b(B)s(;)g Fw(Gr)o(\()p Fr(\013)p Fw(\))e Fp(\\)g Fw(\()p Fr(A)913 495 y Fq(0)940 488 y Fp(\002)g Fr(B)s Fw(\)\))13 b(die)h Fs(Einschr)1316 490 y(\177)1316 488 y(ankung)108 547 y Fw(v)o(on)i Fr(\013)h Fw(auf)g Fr(A)368 554 y Fq(0)387 547 y Fw(.)f(W)l(eiter)f(de\014nieren)g(wir)525 636 y Fr(\013)p Fw(\()p Fr(A)612 643 y Fq(0)632 636 y Fw(\))f(:=)f Fp(f)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(x)g Fp(2)i Fr(A)992 643 y Fq(0)1011 636 y Fp(g)p Fr(:)108 725 y Fw(F)141 727 y(\177)140 725 y(ur)h Fr(B)239 732 y Fq(0)273 725 y Fp(\032)e Fr(B)k Fw(de\014nieren)e(wir)453 814 y Fr(\013)484 793 y Ff(\000)p Fq(1)531 814 y Fw(\()p Fr(B)587 821 y Fq(0)607 814 y Fw(\))e(:=)f Fp(f)p Fr(x)h Fp(2)g Fr(A)p Fp(j)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))f Fp(2)h Fr(B)1064 821 y Fq(0)1084 814 y Fp(g)p Fr(:)108 903 y Fw(Sc)o(hlie\031lic)o(h)g(sei)579 967 y Fr(\013)610 946 y Ff(\000)p Fq(1)657 967 y Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))g(:=)f Fr(\013)826 946 y Ff(\000)p Fq(1)874 967 y Fw(\()p Fp(f)p Fr(b)p Fp(g)p Fw(\))p Fr(;)108 1043 y Fw(genann)o(t)k Fs(Urbild)h(von)g Fr(b)p Fw(.)108 1186 y(Un)o(ter)f(den)h(vielen)e(v)o (ersc)o(hiedenen)f(Abbildungen)i(spielen)g(die)g(folgen-)108 1244 y(den)f(eine)g(herausragende)h(Rolle.)108 1333 y Fu(De\014nition)h(2.17.)85 b Fw(\(1\))21 b(Eine)11 b(Abbildung)h Fr(\013)i Fw(:)f Fr(A)h Fp(\000)-9 b(!)14 b Fr(B)g Fw(hei\031t)d Fs(sur-)257 1392 y(jektiv)k Fw(o)q(der)f(eine)e Fs(Surjektion)j Fw(o)q(der)f(eine)f(Abbildung)g(v)o(on)g Fr(A)h Fs(auf)257 1450 y Fr(B)s Fw(,)h(w)o(enn)h(gilt)589 1539 y Fp(8)p Fr(b)d Fp(2)h Fr(B)s Fp(9)p Fr(a)e Fp(2)i Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)p Fw(])p Fr(;)270 b Fw(\(3\))257 1628 y(das)19 b(hei\031t,)f(alle)g(Elemen)o(te)e(aus)j (dem)e(Ziel)h(v)o(on)g Fr(\013)h Fw(sind)g(Bilder)257 1686 y(v)o(on)c(Elemen)o(ten)e(aus)j(der)f(Quelle)f(v)o(on)i Fr(\013)p Fw(,)f(also)h(Bi)o(\()p Fr(\013)p Fw(\))f(=)e(Zi\()p Fr(\013)p Fw(\))p Fr(:)174 1744 y Fw(\(2\))21 b(Eine)i(Abbildung)h Fr(\013)j Fw(:)f Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)27 b Fr(B)f Fw(hei\031t)e Fs(injektiv)h Fw(o)q(der)g(eine)257 1802 y Fs(Injektion)17 b Fw(o)q(der)g(eine)e Fs(eineindeutige)37 b Fw(Abbildung,)15 b(w)o(enn)h(gilt:)264 1891 y Fp(8)p Fr(b)d Fp(2)h Fr(B)s Fp(8)p Fr(a)469 1898 y Fq(1)486 1891 y Fr(;)8 b(a)534 1898 y Fq(2)567 1891 y Fp(2)14 b Fr(A)p Fw([\()p Fr(a)710 1898 y Fq(1)729 1891 y Fr(;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)e Fp(^)f Fw(\()p Fr(a)989 1898 y Fq(2)1008 1891 y Fr(;)d(b)p Fw(\))14 b Fp(2)g Fr(R)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(a)1301 1898 y Fq(1)1335 1891 y Fw(=)g Fr(a)1412 1898 y Fq(2)1432 1891 y Fw(])p Fr(;)1404 1949 y Fw(\(4\))257 2007 y(das)22 b(hei\031t,)f(je)g(zw)o(ei)g(v)o(ersc)o(hiedene)e(Elemen) o(te)g(aus)j Fr(A)f Fw(w)o(erden)257 2065 y(auf)16 b(v)o(ersc)o (hiedene)e(Elemen)o(te)g(aus)j Fr(B)h Fw(abgebildet.)174 2124 y(\(3\))j(Eine)j(Abbildung)f Fr(\013)28 b Fw(:)f Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)27 b Fr(B)g Fw(hei\031t)d Fs(bijektiv)i Fw(o)q(der)f(eine)257 2182 y Fs(Bijektion)p Fw(,)17 b(w)o(enn)f Fr(\013)h Fw(injektiv)d(und)j(surjektiv)e(ist.)p eop %%Page: 29 29 29 28 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(29)108 225 y Fu(Bemerkung)17 b(2.18.)j Fw(Ist)26 b Fr(\013)k Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(B)s(;)g(R)p Fw(\))25 b(eine)g(Relation,)g(so)h(de\014-)108 283 y(nieren)20 b(wir)g(eine)g(Relation)g Fr(\013)683 265 y Ff(0)716 283 y Fw(:=)g(\()p Fr(B)s(;)8 b(A;)g(R)965 265 y Ff(0)976 283 y Fw(\))21 b(durc)o(h)f(die)g(Bedingung)108 341 y(\()p Fr(b;)8 b(a)p Fw(\))23 b Fp(2)h Fr(R)332 323 y Ff(0)368 341 y Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))22 b Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))23 b Fp(2)h Fr(R)e Fw(und)h(b)q(ezeic)o(hnen)d Fr(\013)1129 323 y Ff(0)1163 341 y Fw(als)i Fs(Umkehrr)n(e-)108 399 y(lation)p Fw(.)h(Ist)g Fr(\013)g Fw(eine)f(bijektiv)o(e)e (Abbildung,)i(so)h(ist)g Fr(\013)1141 381 y Ff(0)1175 399 y Fw(eb)q(enfalls)g(eine)108 458 y(bijektiv)o(e)14 b(Abbildung.)i(Die)g(Gesetze)f(\(3\))i(und)f(\(4\))h(f)1099 460 y(\177)1098 458 y(ur)g(die)e(Relation)h Fr(\013)108 516 y Fw(sind)h(n)239 518 y(\177)239 516 y(amlic)o(h)e(die)i(Gesetze)f (\(2\))i(bzw)f(\(1\))h(f)933 518 y(\177)932 516 y(ur)f(die)f(Umk)o (ehrrelation)f Fr(\013)1455 498 y Ff(0)108 574 y Fw(und)i(die)f (Gesetze)g(\(1\))i(und)f(\(2\))g(f)738 576 y(\177)737 574 y(ur)g Fr(\013)g Fw(sind)g(die)f(Gesetze)g(\(4\))h(bzw.)f(\(3\))108 632 y(f)124 634 y(\177)123 632 y(ur)g Fr(\013)216 614 y Ff(0)228 632 y Fw(.)108 729 y Fu(Beispiele)g(2.19.)86 b Fw(\(1\))21 b(Die)e(iden)o(tisc)o(he)e(Relation)i(2.9)h(\(3\))g(ist)g (eine)257 787 y(Abbildung,)h(die)h Fs(identische)j(A)o(bbildung)g Fw(o)q(der)e Fs(Identit)1322 789 y(\177)1322 787 y(at)p Fw(,)g(b)q(e-)257 845 y(zeic)o(hnet)14 b(mit)h(1)559 852 y Fk(A)601 845 y Fw(:)f Fr(A)f Fp(\000)-9 b(!)14 b Fr(A)i Fw(o)q(der)h(id)976 852 y Fk(A)1019 845 y Fw(:)c Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)14 b Fr(A:)174 903 y Fw(\(2\))21 b Fn(N)12 b Fp(3)i Fr(n)g Fp(7!)f Fw(2)f Fp(\001)f Fr(n)j Fp(2)g Fn(N)g Fw(ist)i(eine)f(Abbildung.)174 962 y(\(3\))21 b Fn(N)d Fp(3)i Fr(n)h Fp(7!)f Fw(2)14 b Fp(\001)f Fr(n)21 b Fp(2)f(f)p Fw(2)p Fr(;)8 b Fw(4)p Fr(;)g Fw(6)p Fr(;)g Fw(8)p Fr(;)g(:)g(:)g(:)g Fp(g)20 b Fw(ist)g(v)o(ersc)o(hieden)e(v)o (on)i(der)257 1020 y(Abbildung)14 b(un)o(ter)g(\(2\))g(\(die)g(Ziele)f (sind)h(v)o(ersc)o(hieden\).)e(Die)i(Ab-)257 1078 y(bildung)22 b(un)o(ter)f(\(2\))i(ist)f(injektiv,)e(ab)q(er)j(nic)o(h)o(t)d (surjektiv.)h(Die)257 1136 y(Abbildung)16 b(un)o(ter)f(\(3\))i(ist)f (bijektiv.)174 1194 y(\(4\))21 b Fn(R)8 b Fp(3)15 b Fr(r)h Fp(7!)f Fw([)p Fr(r)q Fw(])f Fp(2)h Fn(Z)-13 b Fw(,)13 b(w)o(ob)q(ei)k([)p Fr(r)q Fw(])f(die)g(gr)951 1196 y(\177)951 1194 y(o\031te)h(ganze)g(Zahl)g Fp(\024)d Fr(r)19 b Fw(sei,)257 1252 y(ist)d(surjektiv,)e(ab)q(er)j(nic)o(h)o(t)e(injektiv.)174 1310 y(\(5\))21 b Fn(Q)11 b Fp(3)j Fr(q)h Fp(7!)f Fr(q)h Fp(2)f Fn(R)c Fw(ist)16 b(eine)g(\(injektiv)o(e\))d (Inklusionsabbildung.)174 1368 y(\(6\))21 b Fn(R)16 b Fp(3)23 b Fr(r)h Fp(7!)e Fw(2)507 1350 y Fk(r)548 1368 y Fp(2)h Fn(R)637 1350 y Fq(+)686 1368 y Fw(:=)f Fp(f)p Fr(r)i Fp(2)e Fn(R)m Fp(j)p Fr(r)f(>)h Fw(0)p Fp(g)g Fw(ist)f(eine)f(bijektiv)o(e)257 1426 y(Abbildung.)108 1517 y Fu(Lemma)c(2.20.)k Fs(Seien)h Fr(\013)e Fw(:)e Fr(A)h Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(B)23 b Fs(und)d Fr(\014)g Fw(:)e Fr(B)j Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(C)23 b Fs(A)o(bbildun-)108 1575 y(gen.)c(Dann)g(ist)f(das)f(Pr)n(o)n(dukt)g(o)n(der)h(die)g(Komp)n (osition)35 b Fr(\014)s(\013)15 b Fw(:)f Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)14 b Fr(C)108 1633 y Fs(wie)n(der)k(eine)g(A)o(bbildung.)158 1726 y Fm(Beweis.)i Fw(Wir)i(wissen)g(aus)h(der)f(Diskussion)g(in)g (2.12,)h(da\031)g Fr(A)e Fw(die)108 1785 y(Quelle)e(der)i(Pro)q (duktrelation)g Fr(\014)s(\013)f Fw(ist,)g(und)g(da\031)i Fr(C)i Fw(das)d(Ziel)e(ist.)h(Es)108 1843 y(bleibt)j(zu)h(zeigen,)f (da\031)i(die)f(Pro)q(duktrelation)g(eine)f(Abbildung)h(ist.)108 1901 y(Zu)d(jedem)f Fr(a)i Fp(2)g Fr(A)f Fw(gibt)h(es)f(genau)h(ein)e Fr(b)j Fp(2)f Fr(B)i Fw(mit)c Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(=)g Fr(b)f Fw(\(d.h.)108 1959 y(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))27 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\013)p Fw(\)\).)c(Zu)h(diesem)d Fr(b)27 b Fp(2)h Fr(B)f Fw(gibt)d(es)h(genau)g(ein)f Fr(c)j Fp(2)h Fr(C)108 2017 y Fw(mit)22 b Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))i(=)i Fr(c)d Fw(\(d.h.)f(\()p Fr(b;)8 b(c)p Fw(\))25 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\014)s Fw(\)\),)c(also)i(auc)o(h)f(mit)e (\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\)\()p Fr(a)p Fw(\))k(=)108 2075 y Fr(c)e Fw(\(d.h.)g(\()p Fr(a;)8 b(c)p Fw(\))25 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\)\).)c(Das)i(Elemen)o(t)d Fr(c)k Fp(2)h Fr(C)h Fw(ist)c(auc)o(h)g(durc)o(h)108 2133 y(die)18 b(Bedingung)g(\()p Fr(a;)8 b(c)p Fw(\))16 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\))h(eindeutig)f(festgelegt.)g (Ist)h(n)1327 2135 y(\177)1327 2133 y(amlic)o(h)108 2191 y Fr(c)129 2173 y Ff(0)158 2191 y Fp(2)f Fr(C)22 b Fw(mit)16 b(\()p Fr(a;)8 b(c)444 2173 y Ff(0)455 2191 y Fw(\))17 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\),)f(so)i(gibt)f(es)g(nac)o(h)g (De\014nition)g(2.12)h(ein)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 108 117 a Ft(30)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fr(b)129 207 y Ff(0)159 225 y Fp(2)i Fr(B)j Fw(mit)17 b(\()p Fr(a;)8 b(b)450 207 y Ff(0)461 225 y Fw(\))19 b Fp(2)g Fw(Gr\()p Fr(\013)p Fw(\))g(und)h(\()p Fr(b)837 207 y Ff(0)848 225 y Fr(;)8 b(c)891 207 y Ff(0)902 225 y Fw(\))19 b Fp(2)g Fw(Gr\()p Fr(\014)s Fw(\).)f(Aus)h(der)g(ersten)108 283 y(Bedingung)k(folgt)g Fr(b)498 265 y Ff(0)535 283 y Fw(=)i Fr(b)p Fw(,)d(w)o(eil)g Fr(\013)h Fw(eine)f(Abbildung)h(ist.)f(Damit)g(ist)108 341 y(\()p Fr(b;)8 b(c)191 323 y Ff(0)202 341 y Fw(\))16 b Fp(2)g Fw(Gr\()p Fr(\014)s Fw(\),)g(also)i Fr(c)562 323 y Ff(0)590 341 y Fw(=)d Fr(c)p Fw(,)i(w)o(eil)f Fr(\014)k Fw(eine)c(Abbildung)h(ist.)g(Daher)h(ist)108 399 y Fr(c)23 b Fp(2)g Fr(C)i Fw(mit)20 b(der)h(Eigensc)o(haft)h(\()p Fr(a;)8 b(c)p Fw(\))22 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\))e(durc)o(h)g Fr(a)g Fw(eindeutig)108 458 y(b)q(estimm)o(t.)108 516 y(Wir)c(k)234 518 y(\177)234 516 y(onnen)g(jetzt)g(insb)q(esondere) g(einfac)o(h)f(sc)o(hreib)q(en)g(\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\)\()p Fr(a)p Fw(\))f(=)g Fr(c)h Fw(=)108 574 y Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))d(=)h Fr(\014)s Fw(\()p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\)\).)p 488 547 33 2 v 488 576 2 30 v 519 576 V 488 578 33 2 v 108 673 a Fu(Lemma)i(2.21.)85 b Fw(\(1\))21 b Fs(Seien)26 b Fr(\013)g Fw(:)g Fr(A)g Fp(\000)-9 b(!)26 b Fr(B)s(;)8 b(\014)28 b Fw(:)e Fr(B)i Fp(\000)-8 b(!)26 b Fr(C)h Fs(und)257 731 y Fr(\015)18 b Fw(:)c Fr(C)19 b Fp(\000)-9 b(!)15 b Fr(D)20 b Fs(A)o(bbildungen.)h (Dann)e(ist)f Fw(\()p Fr(\015)s(\014)s Fw(\))p Fr(\013)c Fw(=)h Fr(\015)s Fw(\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\))j Fs(\(As-)257 789 y(soziativgesetz\).)174 848 y Fw(\(2\))j Fs(F)289 850 y(\177)289 848 y(ur)e(A)o(bbildungen)k Fr(\013)18 b Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-8 b(!)18 b Fr(B)k Fs(und)e Fr(\014)h Fw(:)c Fr(C)22 b Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(A)h Fs(und)i Fw(1)1438 855 y Fk(A)257 906 y Fs(gelten:)c Fw(1)434 913 y Fk(A)463 906 y Fr(\014)f Fw(=)e Fr(\014)k Fs(und)e Fr(\013)p Fw(1)754 913 y Fk(a)789 906 y Fw(=)e Fr(\013)p Fs(.)i(\(Gesetz)f(von)h(der)g(Identit)1390 908 y(\177)1390 906 y(at\).)158 1013 y Fm(Beweis.)k Fw(Es)c(ist)g(leic)o(h)o(t)e(zu)h (sehen,)h(da\031)g(die)g(Komp)q(osition)f(der)h(Ab-)108 1071 y(bildungen)j(m)378 1073 y(\177)378 1071 y(oglic)o(h)e(ist,)h (Quelle)f(und)j(Ziel)d(jew)o(eils)1114 1073 y(\177)1113 1071 y(ub)q(ereinstimm)o(en.)108 1129 y(Es)33 b(gen)267 1131 y(\177)266 1129 y(ugt)h(daher)f(\(\()p Fr(\015)s(\014)s Fw(\))p Fr(\013)p Fw(\)\()p Fr(a)p Fw(\))41 b(=)h Fr(\015)s Fw(\()p Fr(\014)s Fw(\()p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\)\)\))f(=)h(\()p Fr(\015)s Fw(\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\)\)\()p Fr(a)p Fw(\),)108 1188 y(\(1)151 1195 y Fk(A)180 1188 y Fr(\014)s Fw(\)\()p Fr(c)p Fw(\))20 b(=)h(1)392 1195 y Fk(A)421 1188 y Fw(\()p Fr(\014)s Fw(\()p Fr(c)p Fw(\)\))g(=)g Fr(\014)s Fw(\()p Fr(c)p Fw(\))e(und)i(\()p Fr(\013)p Fw(1)914 1195 y Fk(A)943 1188 y Fw(\)\()p Fr(a)p Fw(\))g(=)g Fr(\013)p Fw(\(1)1180 1195 y Fk(A)1209 1188 y Fw(\()p Fr(a)p Fw(\)\))g(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))108 1246 y(zu)16 b(sehen.)p 352 1219 V 352 1248 2 30 v 383 1248 V 352 1250 33 2 v 108 1345 a Fu(Satz)j(2.22.)h Fs(Sei)h Fr(\013)d Fw(:)g Fr(A)g Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(B)23 b Fs(eine)e(A)o(bbildung.)h Fr(\013)e Fs(ist)g(genau)h(dann)108 1403 y(bijektiv,)f(wenn)g(es)f(eine)h(A)o(bbildung)g Fr(\014)e Fw(:)d Fr(B)k Fp(\000)-9 b(!)16 b Fr(A)i Fs(mit)g Fr(\013\014)g Fw(=)e(1)1339 1410 y Fk(B)1388 1403 y Fs(und)108 1461 y Fr(\014)s(\013)e Fw(=)f(1)259 1468 y Fk(A)306 1461 y Fs(gibt.)18 b Fr(\014)i Fs(ist)d(eindeutig)j(dur)n(ch)c Fr(\013)i Fs(b)n(estimmt.)108 1569 y Fw(Bemerkung:)13 b(Wir)i(v)o(erw)o(enden)f(die)h(Bezeic)o(hn)o(ung)e Fr(\013)1105 1551 y Ff(\000)p Fq(1)1167 1569 y Fw(:=)g Fr(\014)18 b Fw(und)d(nen-)108 1627 y(nen)h Fr(\013)231 1609 y Ff(\000)p Fq(1)295 1627 y Fw(die)g Fs(inverse)i(A)o(bbildung)h Fw(o)q(der)d Fs(Umkehr)n(abbildung)p Fw(.)158 1726 y Fm(Beweis.)k Fw(Sei)11 b Fr(\013)g Fw(eine)f(bijektiv)o(e)f(Abbildung.) i(Nac)o(h)f(2.18)i(wissen)f(wir,)108 1785 y(da\031)23 b(die)e(Umk)o(ehrrel)o(ation)e Fr(\013)674 1767 y Ff(0)709 1785 y Fw(=)k Fr(\014)h Fw(wieder)d(bijektiv)f(ist.)h(W)l(eiter)g(ist) 108 1843 y(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))22 b Fp(2)i Fw(Gr\()p Fr(\013)p Fw(\))f Fp(\()-8 b(\))23 b Fw(\()p Fr(b;)8 b(a)p Fw(\))22 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\014)s Fw(\).)e(Damit)f(gilt)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(=)g Fr(b)g Fp(\()-8 b(\))108 1901 y Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))20 b(=)g Fr(a)p Fw(.)g(Daraus)h(folgt)g Fr(\014)s(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(=)g Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))g(=)g Fr(a)p Fw(,)g(also)h Fr(\014)s(\013)f Fw(=)h(1)1323 1908 y Fk(A)1351 1901 y Fw(,)f(und)108 1959 y(eb)q(enso)d Fr(\013\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))c(=)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))g(=)f Fr(b;)j Fw(also)h Fr(\013\014)f Fw(=)e(1)913 1966 y Fk(B)944 1959 y Fw(.)108 2017 y(Ist)j(umgek)o(ehrt)d Fr(\014)j Fw(:)d Fr(B)j Fp(\000)-8 b(!)14 b Fr(A)i Fw(mit)f Fr(\014)s(\013)f Fw(=)h(1)940 2024 y Fk(A)986 2017 y Fw(und)i Fr(\013\014)g Fw(=)d(1)1236 2024 y Fk(B)1284 2017 y Fw(gegeb)q(en,)108 2075 y(so)23 b(sc)o(hlie\031en)d(wir)h(so:)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)628 2082 y Fq(1)648 2075 y Fw(\))g(=)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)826 2082 y Fq(2)846 2075 y Fw(\))g(=)-8 b Fp(\))22 b Fr(\014)s(\013)p Fw(\()p Fr(a)1097 2082 y Fq(1)1116 2075 y Fw(\))h(=)g Fr(\014)s(\013)p Fw(\()p Fr(a)1326 2082 y Fq(2)1345 2075 y Fw(\))g(=)-8 b Fp(\))108 2133 y Fr(a)134 2140 y Fq(1)170 2133 y Fw(=)17 b Fr(a)251 2140 y Fq(2)270 2133 y Fw(,)h(w)o(eil)f Fr(\014)s(\013)f Fw(=)h(1)560 2140 y Fk(A)607 2133 y Fw(gilt.)g(Damit)g(ist)g Fr(\013)i Fw(injektiv.)d(F)1207 2135 y(\177)1206 2133 y(ur)i Fr(b)e Fp(2)h Fr(B)k Fw(ist)108 2191 y Fr(\013)p Fw(\()p Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\)\))13 b(=)h Fr(b)p Fw(,)i(also)g(ist)g Fr(\013)h Fw(surjektiv.)p eop %%Page: 31 31 31 30 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(31)108 225 y Fw(Ist)12 b Fr(\014)207 207 y Ff(0)229 225 y Fw(eine)f(w)o(eitere)e(Umk)o(ehrabbildung)h(mit)f Fr(\013\014)1025 207 y Ff(0)1050 225 y Fw(=)14 b(1)1126 232 y Fk(B)1168 225 y Fw(und)e Fr(\014)1292 207 y Ff(0)1303 225 y Fr(\013)i Fw(=)g(1)1424 232 y Fk(A)1453 225 y Fw(,)108 283 y(so)h(ist)f(mit)f(2.21)i Fr(\014)452 265 y Ff(0)477 283 y Fw(=)e(1)552 290 y Fk(A)581 283 y Fr(\014)612 265 y Ff(0)637 283 y Fw(=)h Fr(\014)s(\013\014)782 265 y Ff(0)806 283 y Fw(=)g Fr(\014)s Fw(1)913 290 y Fk(A)955 283 y Fw(=)g Fr(\014)s Fw(,)f(also)i(ist)f Fr(\014)i Fw(eindeutig)108 341 y(durc)o(h)g Fr(\013)h Fw(b)q(estimm)o(t)o(.)p 556 314 33 2 v 556 343 2 30 v 587 343 V 556 345 33 2 v 108 488 a(Mit)e(der)g(Bezeic)o(hn)o(ung)f Fr(\013)596 470 y Ff(\000)p Fq(1)659 488 y Fw(m)o(u\031)h(man)f(v)o(orsic)o(h)o (tig)g(umgehen.)g(Sie)h(w)o(ar)108 547 y(auc)o(h)22 b(sc)o(hon)f(in)g (2.16)h(eingef)663 549 y(\177)662 547 y(uhrt)f(w)o(orden.)g(Dort)h (hatten)g(wir)f(f)1349 549 y(\177)1348 547 y(ur)g(ei-)108 605 y(ne)e(b)q(eliebige)g(Abbildung)f Fr(\013)i Fw(de\014niert)f Fr(\013)902 587 y Ff(\000)p Fq(1)949 605 y Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))g(:=)g Fr(\013)1129 587 y Ff(\000)p Fq(1)1177 605 y Fw(\()p Fp(f)p Fr(b)p Fp(g)p Fw(\))f(=)h Fp(f)p Fr(x)g Fp(2)108 663 y Fr(A)p Fp(j)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))j Fp(2)g(f)p Fr(b)p Fp(gg)p Fw(.)e(Diese)g(Notation)h(darf)h(k)o (einesfalls)d(zu)i(dem)e(Sc)o(hlu\031)108 721 y(v)o(erf)190 723 y(\177)189 721 y(uhren,)e(da\031)i(damit)e Fr(\013)610 703 y Ff(\000)p Fq(1)676 721 y Fw(die)g(Umk)o(ehrabbildung)f(v)o(on)i Fr(\013)h Fw(sei,)e(und)108 779 y(damit)12 b(gar)j(v)o(orausgesetzt)e (w)o(erde,)g(da\031)h(die)f(Abbildung)g Fr(\013)h Fw(bijektiv)e(sei.) 108 837 y(W)l(enn)19 b(die)f(Abbildung)h Fr(\013)g Fw(jedo)q(c)o(h)g (tats)860 839 y(\177)860 837 y(ac)o(hlic)o(h)f(bijektiv)f(ist,)h(dann)i (ist)108 895 y(mit)12 b(der)h(De\014nition)g(v)o(on)g(2.16)h Fr(\013)720 877 y Ff(\000)p Fq(1)768 895 y Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))f(:=)g Fr(\013)936 877 y Ff(\000)p Fq(1)984 895 y Fw(\()p Fp(f)p Fr(b)p Fp(g)p Fw(\))g(=)h Fp(f)p Fr(a)f Fp(2)h Fr(A)p Fp(j)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))g(=)108 953 y Fr(b)p Fp(g)p Fw(,)20 b(d.h.)f Fr(\013)320 935 y Ff(\000)p Fq(1)368 953 y Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))h(=)h Fp(f)p Fr(a)p Fp(g)p Fw(,)e(w)o(enn)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))g(=)h Fr(b)f Fw(gilt.)f(V)l(erw)o(enden)g(wir)h(die)108 1012 y(De\014nition)j(der)f(Umk)o(ehrabbildung,)e(so)k(erhalten)e(wir)g Fr(\013)1233 993 y Ff(\000)p Fq(1)1281 1012 y Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))i(=)h Fr(a)p Fw(,)108 1070 y(w)o(enn)17 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))d(=)h Fr(b)h Fw(gilt.)g(Wir)g (erhalten)g(also)i(aus)f(diesen)f(gleic)o(h)f(b)q(enann-)108 1128 y(ten)h(Ausdr)322 1130 y(\177)321 1128 y(uc)o(k)o(en)e(statt)i (einer)e(einelemen)o(ti)o(gen)f(T)l(eilmenge)g(v)o(on)j Fr(A)f Fw(n)o(ur)108 1186 y(das)21 b(eine)d(Elemen)o(t)f(dieser)i(T)l (eilmenge.)e(Es)j(wird)f(sic)o(h)g(ab)q(er)h(aus)g(dem)108 1244 y(Zusammenhang)c(jew)o(eils)g(ergeb)q(en,)h(w)o(elc)o(he)e(der)i (b)q(eiden)g(De\014nitionen)108 1302 y(gemein)o(t)d(ist.)108 1398 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(2.23.)85 b Fw(\(1\))21 b Fs(Ist)g Fr(\013)f Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-8 b(!)19 b Fr(B)24 b Fs(bijektiv,)e(so)f(ist)f Fr(\013)1385 1380 y Ff(\000)p Fq(1)1453 1398 y Fw(:)257 1456 y Fr(B)c Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(A)k Fs(bijektiv,)i(und)f(es)g(gilt)g Fw(\()p Fr(\013)930 1438 y Ff(\000)p Fq(1)978 1456 y Fw(\))997 1438 y Ff(\000)p Fq(1)1058 1456 y Fw(=)c Fr(\013:)174 1514 y Fw(\(2\))21 b Fs(Sind)f Fr(\013)e Fw(:)f Fr(A)h Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(B)k Fs(und)e Fr(\014)g Fw(:)d Fr(B)j Fp(\000)-8 b(!)17 b Fr(C)23 b Fs(bijektiv,)f(so)d(ist)h Fr(\014)s(\013)d Fw(:)257 1572 y Fr(A)c Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)21 b Fs(bijektiv,)e(und)f(es)g(gilt)g Fw(\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\))979 1554 y Ff(\000)p Fq(1)1040 1572 y Fw(=)c Fr(\013)1123 1554 y Ff(\000)p Fq(1)1170 1572 y Fr(\014)1201 1554 y Ff(\000)p Fq(1)1248 1572 y Fr(:)158 1668 y Fm(Beweis.)20 b Fw(\(1\))14 b(W)l(egen)f(2.22)i(ist)e Fr(\013)795 1650 y Ff(\000)p Fq(1)856 1668 y Fw(eine)f(bijektiv)o(e)f (Abbildung)i(und)108 1726 y(es)18 b(gilt)g Fr(\013)287 1708 y Ff(\000)p Fq(1)334 1726 y Fr(\013)f Fw(=)g(1)h(und)h Fr(\013\013)641 1708 y Ff(\000)p Fq(1)705 1726 y Fw(=)e(1.)h(F)849 1728 y(\177)848 1726 y(ur)g(die)f(Umk)o(ehrabbildung)f(v)o(on)108 1785 y Fr(\013)139 1767 y Ff(\000)p Fq(1)203 1785 y Fw(erhalten)g(wir)h (dann)g(\()p Fr(\013)650 1767 y Ff(\000)p Fq(1)697 1785 y Fw(\))716 1767 y Ff(\000)p Fq(1)764 1785 y Fr(\013)795 1767 y Ff(\000)p Fq(1)857 1785 y Fw(=)d(1)h(=)f Fr(\013\013)1062 1767 y Ff(\000)p Fq(1)1127 1785 y Fw(und)i Fr(\013)1255 1767 y Ff(\000)p Fq(1)1303 1785 y Fw(\()p Fr(\013)1353 1767 y Ff(\000)p Fq(1)1400 1785 y Fw(\))1419 1767 y Ff(\000)p Fq(1)108 1843 y Fw(=)e(1)g(=)g Fr(\013)281 1825 y Ff(\000)p Fq(1)329 1843 y Fr(\013)p Fw(.)e(Damit)g(sind)h(\()p Fr(\013)684 1825 y Ff(\000)p Fq(1)731 1843 y Fw(\))750 1825 y Ff(\000)p Fq(1)810 1843 y Fw(und)g Fr(\013)g Fw(Umk)o (ehrabbildungen)e(v)o(on)108 1901 y Fr(\013)139 1883 y Ff(\000)p Fq(1)203 1901 y Fw(und)17 b(daher)f(nac)o(h)g(2.22)h(gleic) o(h:)e(\()p Fr(\013)855 1883 y Ff(\000)p Fq(1)902 1901 y Fw(\))921 1883 y Ff(\000)p Fq(1)982 1901 y Fw(=)f Fr(\013)p Fw(.)108 1959 y(\(2\))23 b(Wir)f(v)o(erw)o(enden)f(2.21)i(und)g(zeigen) e(mit)g(2.22,)i(da\031)g Fr(\013)1257 1941 y Ff(\000)p Fq(1)1304 1959 y Fr(\014)1335 1941 y Ff(\000)p Fq(1)1404 1959 y Fw(die)108 2017 y(eindeutig)14 b(b)q(estimm)o(te)d(Umk)o (ehrabbildung)h(v)o(on)j Fr(\014)s(\013)f Fw(ist:)g Fr(\013)1228 1999 y Ff(\000)p Fq(1)1276 2017 y Fr(\014)1307 1999 y Ff(\000)p Fq(1)1353 2017 y Fr(\014)s(\013)g Fw(=)108 2075 y Fr(\013)139 2057 y Ff(\000)p Fq(1)187 2075 y Fw(1)211 2082 y Fk(B)241 2075 y Fr(\013)k Fw(=)e Fr(\013)375 2057 y Ff(\000)p Fq(1)423 2075 y Fr(\013)h Fw(=)g(1)550 2082 y Fk(A)596 2075 y Fw(und)i Fr(\014)s(\013\013)789 2057 y Ff(\000)p Fq(1)836 2075 y Fr(\014)867 2057 y Ff(\000)p Fq(1)930 2075 y Fw(=)f Fr(\014)s Fw(1)1041 2082 y Fk(B)1071 2075 y Fr(\014)1102 2057 y Ff(\000)p Fq(1)1165 2075 y Fw(=)f Fr(\014)s(\014)1282 2057 y Ff(\000)p Fq(1)1344 2075 y Fw(=)g(1)1423 2082 y Fk(C)1453 2075 y Fw(.)108 2133 y(Daraus)26 b(folgt,)e(da\031)h Fr(\014)s(\013)f Fw(bijektiv)e(ist)i(und)h(da\031)g(\()p Fr(\014)s(\013)p Fw(\))1171 2115 y Ff(\000)p Fq(1)1245 2133 y Fw(=)j Fr(\013)1342 2115 y Ff(\000)p Fq(1)1389 2133 y Fr(\014)1420 2115 y Ff(\000)p Fq(1)108 2191 y Fw(gilt.)p 241 2164 V 241 2194 2 30 v 272 2194 V 241 2196 33 2 v eop %%Page: 32 32 32 31 bop 108 117 a Ft(32)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Wir)11 b(w)o(enden)g(uns)h(jetzt)e(dem)g (Begri\013)g(der)h(F)l(amilie)e(zu.)h(Nac)o(h)h(De\014nition)108 283 y(ist)j(eine)f(F)l(amilie)d(eine)j(Abbildung.)g(Wir)g(v)o(erbinden) g(mit)f(einer)g(F)l(amilie)108 341 y(jedo)q(c)o(h)24 b(eine)f(andere)g(V)l(orstellung,)g(als)h(mit)e(einer)h(Abbildung.)g (Das)108 399 y(wird)15 b(sc)o(hon)h(aus)g(der)f(Vielzahl)f(der)h(v)o (ersc)o(hiedenen)e(Sc)o(hreib)o(w)o(eisen)g(f)1422 401 y(\177)1421 399 y(ur)108 458 y(eine)j(F)l(amilie)d(deutlic)o(h.)h(Wir)i (de\014nieren)f(zun)976 460 y(\177)976 458 y(ac)o(hst)h(wie)g(folgt.) 108 541 y Fu(De\014nition)i(2.24.)i Fw(Sei)c Fr(f)21 b Fw(:)15 b Fr(I)j Fp(\000)-8 b(!)15 b Fr(A)h Fw(eine)g(F)l(amilie)f (mit)g(Indexmenge)108 599 y(I.)j(Dann)i(hei\031t)f Fr(f)24 b Fw(=:)18 b(\()p Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(i)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(i)18 b Fp(2)h Fr(I)t Fw(\))f(=)g(\()p Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(i)p Fw(\)\))19 b(=)f(\()p Fr(f)1099 606 y Fk(i)1114 599 y Fp(j)p Fr(i)g Fp(2)g Fr(I)t Fw(\))g(=)h(\()p Fr(f)1377 606 y Fk(i)1391 599 y Fw(\))g(=)108 657 y(\()p Fr(a)153 664 y Fk(i)167 657 y Fw(\))d(\(mit)f Fr(a)337 664 y Fk(i)364 657 y Fw(=)f Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(i)p Fw(\)\))16 b(eine)f(F)l(amilie)f (mit)g Fs(Ko)n(e\016zienten)k Fr(a)1214 664 y Fk(i)1244 657 y Fw(aus)f Fr(A)p Fw(.)108 715 y(Ist)f(die)g(Indexmenge)e Fn(N)p Fw(,)g(so)j(hei\031t)e Fr(f)22 b Fw(eine)15 b Fs(F)l(olge)p Fw(.)108 773 y(Ist)i Fr(I)g Fw(=)d Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fp(g)p Fw(,)16 b(so)h(hei\031t)g Fr(f)k Fw(eine)16 b Fs(end)r(liche)k(F)l(olge)e Fw(\(der)e(L)1304 775 y(\177)1304 773 y(ange)h Fr(n)p Fw(\))108 831 y(o)q(der)g(ein)f Fr(n)p Fw(-)p Fs(T)l(up)n(el)p Fw(.)108 960 y(Ein)24 b(Beispiel)f(ist)h(die)g(F)l(amilie)d(\()762 940 y Fq(1)p 762 948 18 2 v 765 977 a Fk(i)785 960 y Fp(j)p Fr(i)27 b Fp(2)h Fn(N)p Fw(\))d(=)j(\(1)p Fr(;)1116 940 y Fq(1)p 1116 948 V 1116 977 a(2)1139 960 y Fr(;)1165 940 y Fq(1)p 1165 948 V 1165 977 a(3)1188 960 y Fr(;)1215 940 y Fq(1)p 1215 948 V 1215 977 a(4)1238 960 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)f Fw(\))28 b(=)f Fr(f)108 1022 y Fw(mit)21 b Fr(f)30 b Fw(:)24 b Fn(N)f Fp(\000)-8 b(!)24 b Fn(Q)c Fw(und)j Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(i)p Fw(\))25 b(:=)805 1003 y Fq(1)p 805 1011 V 808 1039 a Fk(i)828 1022 y Fw(.)d(Hier)f(wird)i (deutlic)o(h,)d(da\031)k(wir)108 1080 y(uns)i(eine)d(F)l(amilie)f(als)j (Kollektion)f(ihrer)g(Ko)q(e\016zien)o(ten)f(v)o(orstellen.)108 1138 y(Die)17 b(Ko)q(e\016zien)o(ten)e(sind)j(mit)d(einem)g(Index)h(v)o (ersehen,)g(der)h(den)g(Platz)108 1197 y(angibt,)23 b(den)g(der)f(Ko)q (e\016zien)o(t)f(in)i(der)f(F)l(amilie)e(einnimm)n(t.)f(Ko)q(e\016zi-) 108 1255 y(en)o(ten)g(k)269 1257 y(\177)269 1255 y(onnen)g(dab)q(ei)g (mehrfac)o(h)e(in)i(einer)f(F)l(amilie)f(v)o(ork)o(omm)o(en,)f(an-)108 1313 y(v)o(ersc)o(hiedenen)c(Pl)461 1315 y(\177)461 1313 y(atzen)i(v)o(esteh)o(t)g(sic)o(h,)f(o)q(der)i(mit)e(v)o(ersc)o (hiedenen)f(Indi-)108 1371 y(zes.)22 b(Damit)f(ist)h(eine)f(F)l(amilie) f(nic)o(h)o(t)h(einfac)o(h)g(eine)h(Menge.)f(Die)h(F)l(a-)108 1429 y(milien)g(\(1)p Fr(;)8 b Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(6\))26 b(und)f(\(3)p Fr(;)8 b Fw(6)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(1\))25 b(sind)g(v)o(ersc)o(hieden,)d(die)i(Mengen)108 1487 y Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(6)p Fp(g)25 b Fw(und)f Fp(f)p Fw(3)p Fr(;)8 b Fw(6)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(1)p Fp(g)25 b Fw(sind)e(jedo)q(c)o(h)h(gleic)o (h.)e(Eb)q(enso)i(sind)g(die)108 1545 y(F)l(amilien)d(\(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(1\))24 b(und)g(\(1)p Fr(;)8 b Fw(2\))24 b(v)o(ersc)o(hieden,)d(w)1044 1547 y(\177)1044 1545 y(ahrend)j(die)f(Mengen)108 1603 y Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(1)p Fp(g)19 b Fw(und)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)18 b Fw(gleic)o(h)f(sind.)h(Das)h(sind)f (Eigensc)o(haften,)f(die)h(wir)108 1661 y(v)o(on)h(F)l(amilien)d(hab)q (en)k(w)o(ollen.)d(Sie)h(sind)h(durc)o(h)g(den)g(Begri\013)f(der)h(Ab-) 108 1720 y(bildung)f(erf)343 1722 y(\177)342 1720 y(ullt.)e(Das)j (erste)e(gegeb)q(ene)h(Beispiel)e(wird)i(durc)o(h)f(die)h(Ab-)108 1778 y(bildung)531 1832 y Fr(f)h Fw(:)41 b Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fr(;)g Fw(4)p Fp(g)43 b(\000)-9 b(!)42 b Fn(N)818 1890 y Fw(1)57 b Fp(7!)g Fw(1;)818 1948 y(2)g Fp(7!)g Fw(3;)818 2007 y(3)g Fp(7!)g Fw(5;)818 2065 y(4)g Fp(7!)g Fw(6)108 2133 y(ausgesdr)290 2135 y(\177)289 2133 y(uc)o(kt.)23 b(Der)h(Leser)f(m)698 2135 y(\177)698 2133 y(oge)g(sic)o(h)f(die)h(w)o(eiteren)f(Beispiele)f(v)o (on)108 2191 y(F)l(amilien)14 b(als)i(Abbildungen)g(darstellen.)p eop %%Page: 33 33 33 32 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(33)108 225 y Fw(Bei)21 b(einer)f(F)l(amilie)f(wird)i(die)g (Indexmenge)f(h)1005 227 y(\177)1005 225 y(au\014g)i(explizit)e (angege-)108 283 y(b)q(en,)14 b(nic)o(h)o(t)f(jedo)q(c)o(h)h(die)f (Menge,)g(aus)i(der)f(die)f(Ko)q(e\016zien)o(ten)f(stammen.)108 341 y(Durc)o(h)k(die)f(De\014nition)h(einer)f(F)l(amilie)e(als)j (Abbildung)g(sind)g(die)f(F)l(ami-)108 399 y(lien)g(\(1)p Fr(;)8 b Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(6\))17 b(v)o(on)e(nat)579 401 y(\177)578 399 y(urlic)o(hen)g(Zahlen)g(und)h(\(1)p Fr(;)8 b Fw(3)p Fr(;)g Fw(5)p Fr(;)g Fw(6\))17 b(v)o(on)e(reellen)108 458 y(Zahlen)h(v)o(ersc)o(hieden,)e(denn)i(es)g(handelt)g(sic)o(h)f(im) f(ersten)i(F)l(all)g(um)f(eine)108 516 y(Abbildung)e Fr(f)20 b Fw(:)13 b Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fr(;)g Fw(4)p Fp(g)15 b(\000)-9 b(!)14 b Fn(N)d Fw(und)j(im)e(zw)o(eiten)g(F)l(all)h(um)f(eine)h(Ab-)108 574 y(bildung)19 b Fr(g)i Fw(:)d Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fr(;)g Fw(3)p Fr(;)g Fw(4)p Fp(g)20 b(\000)-9 b(!)18 b Fn(R)m Fw(.)e(Es)k(stimme)o(n)c(zw)o(ar)j(deren)g(Graphen)110 634 y(\177)108 632 y(ub)q(erein,)d(nic)o(h)o(t)f(jedo)q(c)o(h)h(die)f (Ziele)g(der)h(b)q(eiden)g(Abbildungen.)108 733 y(Man)g(sollte)e(eine)h (F)l(amilie)d(auc)o(h)j(nic)o(h)o(t)f(et)o(w)o(a)h(als)g(eine)g (geordnete)g(Men-)108 791 y(ge)21 b(ansehen,)f(denn)g(in)g(einer)f(F)l (amilie)e(k)885 793 y(\177)885 791 y(onnen)k(\(wie)e(in)h(einem)e(P)o (aar\))108 849 y(Ko)q(e\016zien)o(ten)i(mehrfac)o(h)g(auftreten.)g(Und) h(eine)g(Ordn)o(ung)g(wird)h(n)o(ur)108 907 y(dann)17 b(suggeriert,)f(w)o(enn)g(die)f(Indexmenge)f(sc)o(hon)j(geordnet)f (ist.)114 997 y(\177)108 1008 y(Ahnlic)o(h)11 b(wie)h(wir)g(P)o(aare)g (\(,die)g(wir)g(sp)816 1010 y(\177)816 1008 y(ater)g(auc)o(h)h(als)f(F) l(amilien,)d(genauer)108 1066 y(als)17 b(2-T)l(up)q(el)g(au\013assen)h (w)o(erden,\))d(zur)i(einer)e(Menge)h(v)o(on)g(P)o(aaren,)h(der)108 1124 y(Pro)q(duktmenge,)e(zusammengefa\031t)f(hab)q(en,)j(k)1002 1126 y(\177)1002 1124 y(onnen)f(wir)g(auc)o(h)g(F)l(ami-)108 1182 y(lien)f(zu)h(gr)308 1184 y(\177)308 1182 y(o\031eren)h(Mengen,)f (den)g(Pro)q(dukten,)g(zusammenfassen.)108 1265 y Fu(De\014nition)i (2.25.)i Fw(Sei)h(\()p Fr(A)646 1272 y Fk(i)659 1265 y Fp(j)p Fr(i)i Fp(2)g Fr(I)t Fw(\))e(eine)f(F)l(amilie)f(v)o(on)i (Mengen)g Fr(A)1439 1272 y Fk(i)1453 1265 y Fw(.)108 1324 y(Das)c Fs(Pr)n(o)n(dukt)f Fw(ist)g(de\014niert)f(als)306 1386 y Fi(Y)306 1478 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)367 1427 y Fr(A)404 1434 y Fk(i)432 1427 y Fw(:=)497 1354 y Fi(\()531 1427 y Fr(f)k Fw(:)13 b Fr(I)k Fp(\000)-8 b(!)738 1386 y Fi([)734 1478 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)796 1427 y Fr(A)833 1434 y Fk(i)847 1378 y Fi(\014)847 1402 y(\014)847 1427 y(\014)p Fp(8)p Fr(i)12 b Fp(2)i Fr(I)t Fw([)p Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(i)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(A)1187 1434 y Fk(i)1200 1427 y Fw(])1214 1354 y Fi(\))1256 1427 y Fr(:)108 1550 y Fw(Die)19 b(Abbildungen)f Fr(p)515 1557 y Fk(j)553 1550 y Fw(:)585 1517 y Fi(Q)624 1561 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)688 1550 y Fr(A)725 1557 y Fk(i)757 1550 y Fp(\000)-8 b(!)18 b Fr(A)893 1557 y Fk(j)911 1550 y Fr(;)8 b(f)24 b Fp(7!)18 b Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(j)s Fw(\))20 b(hei\031en)e Fs(Pr)n(ojek-)108 1609 y(tionen)p Fw(,)g(die)e Fr(A)388 1616 y Fk(j)423 1609 y Fw(die)g Fs(F)l(aktor)n(en)h Fw(des)g(Pro)q (dukts.)g(W)l(enn)g Fr(I)h Fw(=)d Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fp(g)108 1667 y Fw(endlic)o(h)15 b(ist,)g(dann)i(sc)o(hreib)q(en)f(wir)g(auc)o(h)446 1778 y Fr(A)483 1785 y Fq(1)514 1778 y Fp(\002)11 b Fr(:)d(:)g(:)i Fp(\002)h Fr(A)719 1785 y Fk(n)756 1778 y Fw(=)825 1724 y Fk(n)809 1736 y Fi(Y)807 1827 y Fk(i)p Fq(=1)873 1778 y Fr(A)910 1785 y Fk(i)937 1778 y Fw(:=)1003 1736 y Fi(Y)1003 1828 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)1064 1778 y Fr(A)1101 1785 y Fk(i)1115 1778 y Fr(:)108 1901 y Fu(Bemerkung)17 b(2.26.)j Fw(Das)g(Pro)q(dukt)g(existiert)d(als)i(Menge,)f(w)o(eil)f Fp(f)p Fr(f)24 b Fw(:)108 1959 y Fr(I)18 b Fp(\000)-9 b(!)242 1926 y Fi(S)276 1969 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)340 1959 y Fr(A)377 1966 y Fk(i)391 1959 y Fp(g)13 b(\032)h(f)p Fr(I)t Fp(g)8 b(\002)h(f)639 1926 y Fi(S)674 1969 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)737 1959 y Fr(A)774 1966 y Fk(i)788 1959 y Fp(g)g(\002)g(P)t Fw(\()p Fr(I)j Fp(\002)1010 1926 y Fi(S)1044 1969 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)1108 1959 y Fr(A)1145 1966 y Fk(i)1159 1959 y Fw(\))j(existiert.)e(Die)108 2017 y(Elemen)o(te)e(des)j(Pro)q(duktes)633 1984 y Fi(Q)672 2027 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(I)736 2017 y Fr(A)773 2024 y Fk(i)800 2017 y Fw(sind)g(F)l(amilien)d(mit)h(einer)h(gemein-)108 2075 y(samen)k(Indexmenge)e Fr(I)t Fw(.)i(Der)g Fr(i)p Fw(-te)h(Ko)q(e\016zien)o(t)e(einer)g(solc)o(hen)h(F)l(amilie)108 2133 y(k)m(ann)h(aus)g(der)f(Menge)f Fr(A)593 2140 y Fk(i)624 2133 y Fw(b)q(eliebig)g(gew)886 2135 y(\177)886 2133 y(ahlt)h(w)o(erden.)f(Alle)g(F)l(amilien,)108 2191 y(die)g(so)h(en)o(tstehen,)e(bilden)g(dann)i(das)g(Pro)q(dukt.)p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 108 117 a Ft(34)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fu(Beispiele)f(2.27.)86 b Fw(\(1\))21 b(Die)16 b(Menge)g(aller)g(Abbildungen)g(v)o(on)h(einer)257 283 y(Menge)g Fr(A)f Fw(in)h(eine)g(Menge)f Fr(B)k Fw(ist)d(ein)g(Pro)q (dukt)h(und)f(wird)g(mit)257 341 y Fp(f)p Fr(f)24 b Fw(:)19 b Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)19 b Fr(B)s Fp(j)p Fr(f)i Fw(Abbildung)p Fp(g)e Fw(=)g(Abb\()p Fr(A;)8 b(B)s Fw(\))18 b(=)1247 308 y Fi(Q)1286 352 y Fk(i)p Ff(2)p Fk(A)1358 341 y Fr(B)1395 348 y Fk(i)1429 341 y Fw(=)257 399 y Fr(B)297 381 y Fk(A)341 399 y Fw(b)q(ezeic)o(hnet.)c(\(Dab)q(ei)j(sei)e Fr(B)861 406 y Fk(i)889 399 y Fw(:=)f Fr(B)k Fw(f)1026 401 y(\177)1025 399 y(ur)f(alle)e Fr(i)f Fp(2)g Fr(A)p Fw(.\))174 458 y(\(2\))21 b Fp(f)p Fr(f)e Fw(:)13 b Fn(N)f Fp(\000)-8 b(!)13 b Fn(R)m Fp(g)d Fw(ist)j(die)f(Menge)g(der)h(F)l(olgen)g(v)o(on) g(reellen)e(Zahlen)257 516 y(und)16 b(wird)g(auc)o(h)h(als)654 482 y Fi(Q)725 516 y Fn(R)7 b Fw(=)14 b Fn(R)33 b Fw(gesc)o(hrieb)q (en.)174 574 y(\(3\))21 b Fp(f)p Fr(f)e Fw(:)13 b Fn(R)8 b Fp(\000)-8 b(!)13 b Fn(R)m Fp(g)g Fw(ist)j(die)g(Menge)g(der)g (reellen)e(F)l(unktionen.)174 632 y(\(4\))21 b Fp(f)p Fr(f)j Fw(:)19 b Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fp(g)19 b(\000)-9 b(!)19 b Fn(C)6 b Fp(g)23 b Fw(ist)c(die)f(Menge)h(der)h(k)o(omplexen)c Fr(n)p Fw(-)257 690 y(T)l(rup)q(el)g(und)g(wird)h(auc)o(h)f(mit)e Fn(C)20 b Fp(\002)11 b Fr(:)d(:)g(:)i Fp(\002)h Fn(C)23 b Fw(=)14 b Fn(C)1159 672 y Fk(n)1201 690 y Fw(b)q(ezeic)o(hnet.)174 748 y(\(5\))21 b(Es)h(gibt)h(eine)e(bijektiv)o(e)f(Abbildung)i(zwisc)o (hen)f(den)h(Mengen)257 806 y Fp(f)p Fr(f)e Fw(:)14 b Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)16 b(\000)-9 b(!)15 b Fr(A)p Fp(g)h Fw(und)h Fr(A)12 b Fp(\002)f Fr(A)p Fw(.)16 b(Sie)g(ordnet)h(jedem)e(2-T)l(up)q(el)257 864 y(\()p Fr(a)302 871 y Fq(1)321 864 y Fr(;)8 b(a)369 871 y Fq(2)388 864 y Fw(\))14 b(=)g(\()p Fr(f)19 b Fw(:)13 b Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b Fw(2)p Fp(g)15 b(!)e Fr(A)p Fw(\))j(das)h(P)o(aar)g(\() p Fr(a)1080 871 y Fq(1)1099 864 y Fr(;)8 b(a)1147 871 y Fq(2)1166 864 y Fw(\))17 b(zu.)108 1015 y(Damit)h(hab)q(en)h(wir)f (die)g(w)o(esen)o(tlic)o(hen)e(Grundtatsac)o(hen)1219 1017 y(\177)1218 1015 y(ub)q(er)i(Abbil-)108 1073 y(dungen)d(und)f (Relationen)f(zusammengestellt.)e(Zum)h(Absc)o(hlu\031)i(disku-)108 1131 y(tieren)20 b(wir)g(jetzt)g(den)h(Begri\013)f(der)g(endlic)o(hen)f (und)i(der)f(unendlic)o(hen)108 1189 y(Menge.)14 b(Da)i(wir)e(die)h (Menge)f(der)h(nat)821 1191 y(\177)820 1189 y(urlic)o(hen)e(Zahlen)i (no)q(c)o(h)g(nic)o(h)o(t)f(zur)108 1247 y(V)l(erf)198 1249 y(\177)197 1247 y(ugung)f(hab)q(en,)g(m)537 1249 y(\177)536 1247 y(ussen)f(wir)h(eine)f(rec)o(h)o(t)f(unansc)o(haulic)o (he)h(De\014niti-)108 1305 y(on)h(einer)f(endlic)o(hen)f(Menge)h(geb)q (en.)g(Um)f(diese)h(De\014nition)g(zu)h(motivie-)108 1364 y(ren,)k(nehmen)f(wir)i(zun)552 1366 y(\177)552 1364 y(ac)o(hst)g(an,)f(da\031)i(die)e(Menge)g Fn(N)f Fw(der)i(nat)1298 1366 y(\177)1297 1364 y(urlic)o(hen)108 1422 y(Zahlen)g(sc)o(hon)h(zur)f(V)l(erf)583 1424 y(\177)582 1422 y(ugung)h(steh)o(t.)e(Dann)j(wird)e(man)g(eine)f(Menge)108 1480 y Fr(A)e Fw(endlic)o(h)e(nennen,)i(w)o(enn)f(sie)h(eine)f(endlic)o (he)f(Anzahl)h(v)o(on)h(Elemen)o(ten)108 1538 y(hat.)k(Wie)f(soll)g (man)g(das)h(ab)q(er)g(feststellen?)f(Man)g(m)o(u\031)g(sie)g(abz)1339 1540 y(\177)1339 1538 y(ahlen,)108 1596 y(und)h(das)g(k)m(ann)h(man)d (mit)g(den)i(nat)786 1598 y(\177)785 1596 y(urlic)o(hen)e(Zahlen)h(so)h (mac)o(hen,)e(da\031)108 1654 y(man)22 b(jedem)e(Elemen)o(t)g(v)o(on)i Fr(A)f Fw(genau)i(eine)e(nat)1049 1656 y(\177)1048 1654 y(urlic)o(he)g(Zahl,)h(v)o(on)g(1)108 1712 y(b)q(eginnend)d(und)f (aufsteigend)g(in)g Fn(N)p Fw(,)e(zuordnet.)i(W)l(enn)g(dieser)f (Proze\031)108 1770 y(b)q(ei)g(einer)f(Zahl)h Fr(n)e Fp(2)g Fn(N)g Fw(abbric)o(h)o(t,)h(so)h(wird)g(man)f(sagen,)h(da\031)h Fr(A)f Fw(genau)108 1828 y Fr(n)g Fw(Elemen)o(te)c(hat.)108 1901 y(Zw)o(ei)d(Probleme)f(ergeb)q(en)i(sic)o(h)g(hier.)e(Zun)886 1903 y(\177)886 1901 y(ac)o(hst)i(ist)g(ein)g(solc)o(her)f(Abz)1386 1903 y(\177)1386 1901 y(ahl-)108 1959 y(proze\031)15 b(no)q(c)o(h)f(nic)o(h)o(t)f(klar)g(mit)g(unseren)h(Hilfsmit)o(teln)d (de\014niert.)i(W)l(eiter)108 2017 y(ist)18 b(auc)o(h)h(nic)o(h)o(t)e (klar,)g(ob)i(die)f(Anzahl)g(der)g(Elemen)o(te)d(v)o(on)k Fr(A)f Fw(v)o(on)g(der)108 2075 y(Reihenfolge,)e(in)g(der)h(wir)f(gez) 679 2077 y(\177)679 2075 y(ahlt)h(hab)q(en,)g(abh)1017 2077 y(\177)1017 2075 y(angt.)h(Das)f(letzte)f(Pro-)108 2133 y(blem)i(w)o(erden)i(wir)g(erst)f(b)q(eim)g(Studium)f(der)i(nat) 1073 2135 y(\177)1072 2133 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)h(in)108 2191 y(Kapitel)h(I)q(I)f(b)q(ehandeln.)h(Das)h(erste)f(Problem)f(wird)h (dadurc)o(h)g(gel)1391 2193 y(\177)1391 2191 y(ost,)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 399 117 a Ft(2.)17 b(RELA)m(TIONEN)h(UND)g(ABBILDUNGEN)250 b(35)108 225 y Fw(da\031)23 b(man)e(sagt,)h Fr(A)f Fw(sei)h(endlic)o (h,)d(w)o(enn)j(es)f(ein)g Fr(n)j Fp(2)f Fn(N)d Fw(und)i(eine)f(bi-)108 283 y(jektiv)o(e)16 b(Abbildung)h(v)o(on)g Fp(f)p Fw(1)p Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fp(g)18 b Fw(in)f Fr(A)g Fw(gibt,)g(n)1094 285 y(\177)1094 283 y(amlic)o(h)e(die)i(v)o(orher)108 341 y(v)o(erw)o(endete)e(Z)392 343 y(\177)392 341 y(ahlabbildung.)108 416 y(Das)h(folgende)f(Lemma)e(wird)i(also)h(diese)e(Grundk)o(enn)o (tnis)h(der)g(nat)1378 418 y(\177)1377 416 y(urli-)108 475 y(c)o(hen)h(Zahlen)g(zun)457 477 y(\177)457 475 y(ac)o(hst)g(v)o (oraussetzen.)108 599 y Fu(Lemma)g(2.28.)k Fs(Seien)j Fr(A)f Fs(und)g Fr(B)j Fs(zwei)d(Mengen)i(mit)e Fr(n)g Fs(Elementen)108 657 y Fw(\()p Fr(n)14 b Fp(2)g Fn(N)p Fw(\))p Fs(.)i(Dann)h(sind)h(f)552 659 y(\177)552 657 y(ur)f(eine)i(A)o(bbildung)g Fr(\013)14 b Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(B)1220 659 y Fs(\177)1220 657 y(aquivalent)174 732 y Fw(\(1\))21 b Fr(\013)d Fs(ist)f(surjektiv,)174 790 y Fw(\(2\))k Fr(\013)d Fs(ist)f(injektiv,)174 848 y Fw(\(3\))k Fr(\013)d Fs(ist)f(bijektiv.)158 972 y Fm(Beweis.)j Fw(Es)h(gen)515 974 y(\177)514 972 y(ugt)h(o\013en)o(bar)g(\(1\))f Fp(\()-8 b(\))20 b Fw(\(2\))h(zu)g(zeigen,)e(da)j(eine)108 1031 y(bijektiv)o(e)g(Abbildung)h(injektiv)f(und)i(surjektiv)f(ist.)g (Sei)h Fr(\013)g Fw(injektiv.)108 1089 y(Die)17 b Fr(n)h Fw(v)o(ersc)o(hiedenen)d(Elemen)o(te)f(aus)k Fr(A)f Fw(hab)q(en)i(also) f Fr(n)f Fw(v)o(ersc)o(hiedene)108 1147 y(Bilder)12 b(in)h Fr(B)s Fw(.)g(Da)h Fr(B)i Fw(n)o(ur)d Fr(n)h Fw(Elemen)o(te)c(en)o(th) 932 1149 y(\177)932 1147 y(alt,)j(sind)g(die)g(Bildelem)o(en)o(te)108 1205 y(sc)o(hon)i(alle)e(Elemen)o(te)f(v)o(on)i Fr(B)s Fw(,)g(also)h(ist)f Fr(\013)g Fw(surjektiv.)f(Sei)h(umgek)o(ehrt)e Fr(\013)108 1263 y Fw(surjektiv.)j(Seien)h Fr(b)473 1270 y Fq(1)493 1263 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(b)631 1270 y Fk(n)671 1263 y Fw(die)16 b(Elemen)o(te)e(v)o(on)j Fr(B)s Fw(.)e(Jedes)i Fr(b)1279 1270 y Fk(i)1309 1263 y Fw(ist)g(Bild)108 1321 y(eines)f(Elemen)o(tes)e Fr(a)487 1328 y Fk(i)518 1321 y Fw(v)o(on)i Fr(A)p Fw(,)g(also)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)851 1328 y Fk(i)865 1321 y Fw(\))e(=)f Fr(b)972 1328 y Fk(i)986 1321 y Fw(.)i(Da)h Fr(\013)g Fw(eine)f(Abbildung)108 1379 y(ist,)23 b(sind)g(die)f(Elemen)o(te)e Fr(a)638 1386 y Fq(1)657 1379 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(a)801 1386 y Fk(n)847 1379 y Fw(alle)22 b(v)o(oneinander)h(v)o (ersc)o(hieden)108 1437 y(und)c(daher)f(genau)h(alle)f(Elemen)o(te)d(v) o(on)j Fr(A)p Fw(.)f Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)1033 1444 y Fk(i)1047 1437 y Fw(\))h(=)f Fr(b)1160 1444 y Fk(i)1192 1437 y Fw(b)q(esagt)i(dann,)108 1496 y(da\031)h(v)o(ersc)o(hiedene)d (Elemen)o(te)f(aus)k Fr(A)f Fw(v)o(ersc)o(hiedene)d(Bilder)i(b)q (esitzen,)108 1554 y(also)f(ist)f Fr(\013)h Fw(injektiv.)p 545 1527 33 2 v 545 1556 2 30 v 576 1556 V 545 1558 33 2 v 108 1732 a(Es)h(folgt)g(aus)g(dem)e(v)o(orausgehenden)i(Lemma)d (insb)q(esondere)j(f)1320 1734 y(\177)1319 1732 y(ur)g(eine)108 1790 y(Menge)k Fr(A)g Fw(mit)e Fr(n)i Fw(Elemen)o(ten,)d(da\031)24 b(jede)d(injektiv)o(e)f(Abbildung)i(v)o(on)108 1848 y Fr(A)17 b Fw(nac)o(h)h Fr(A)f Fw(surjektiv)f(ist.)h(Diese)g(Eigensc)o (haft)g(nehmen)f(wir)h(zum)f(An-)108 1907 y(la\031)f(der)g(folgenden)g (De\014nition)f(v)o(on)h(endlic)o(hen)e(Mengen,)h(die)h(wir)f(jetzt)108 1965 y(ohne)j(V)l(erw)o(endung)e(der)i(nat)658 1967 y(\177)657 1965 y(urlic)o(hen)e(Zahlen)g(geb)q(en)i(k)1168 1967 y(\177)1168 1965 y(onnen.)108 2075 y Fu(De\014nition)h(2.29.)i Fw(Eine)14 b(Menge)g Fr(A)h Fw(hei\031t)f Fs(end)r(lich)p Fw(,)j(w)o(enn)d(jede)g(injek-)108 2133 y(tiv)o(e)d(Abbildung)h Fr(\013)j Fw(:)e Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(A)g Fw(surjektiv)e(ist.) h(W)l(enn)g(eine)g(Menge)g(nic)o(h)o(t)108 2191 y(endlic)o(h)j(ist,)g (so)i(hei\031t)f(sie)g Fs(unend)r(lich)p Fw(.)p eop %%Page: 36 36 36 35 bop 108 117 a Ft(36)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Die)g(Existenz)g(einer)f(unendlic)o(hen)g (Menge)h(w)o(erden)f(wir)h(in)g(Kapitel)g(I)q(I)108 283 y(axiomatisc)o(h)g(fordern.)i(Sie)f(ist)717 285 y(\177)717 283 y(aquiv)m(alen)o(t)g(zur)g(Existenz)g(der)h(Menge)108 341 y(der)d(nat)263 343 y(\177)262 341 y(urlic)o(hen)f(Zahlen.)108 453 y(Die)23 b(f)220 455 y(\177)219 453 y(ur)h(endlic)o(he)d(Mengen)i (gegeb)q(ene)h(De\014nition)f(ist)g(b)q(ei)g(n)1312 455 y(\177)1312 453 y(aherem)108 511 y(Hinsehen)g(et)o(w)o(as)g(sc)o(h)o(w) 567 513 y(\177)567 511 y(ac)o(her,)f(als)h(die)g(Aussage)h(des)g (Lemmas.)d(Aus)108 569 y(dem)e(Lemma)g(geh)o(t)h(n)535 571 y(\177)535 569 y(amlic)o(h)e(f)711 571 y(\177)710 569 y(ur)j(Mengen)f Fr(A)g Fw(mit)f Fr(n)i Fw(Elemen)o(te)d(her-)108 627 y(v)o(or,)i(da\031)h(auc)o(h)g(jede)f(surjektiv)o(e)e(Abbildung)i Fr(\013)i Fw(:)e Fr(A)h Fp(\000)-9 b(!)21 b Fr(A)f Fw(injektiv)108 685 y(ist.)i(T)l(ats)289 687 y(\177)289 685 y(ac)o(hlic)o(h)f(k)m(ann)i (man)e(das)i(f)805 687 y(\177)804 685 y(ur)f(endlic)o(he)e(Mengen)i (jetzt)f(ab)q(er)108 744 y(b)q(ew)o(eisen.)15 b(Es)i(gilt)f(sogar)108 835 y Fu(Satz)j(2.30.)h Fs(F)400 837 y(\177)400 835 y(ur)d(eine)i (Menge)f Fr(A)f Fs(sind)882 837 y(\177)883 835 y(aquivalent)174 907 y Fw(\(1\))k Fr(A)c Fs(ist)g(end)r(lich;)174 965 y Fw(\(2\))k Fs(je)n(de)g(surjektive)h(A)o(bbildung)h(von)f Fr(A)e Fs(nach)i Fr(A)e Fs(ist)h(injektiv)i(\(bi-)257 1023 y(jektiv\);)174 1081 y Fw(\(3\))e Fs(je)n(de)g(injektive)i(A)o (bbildung)g(von)e Fr(A)g Fs(nach)g Fr(A)g Fs(ist)g(surjektiv)h(\(bi-) 257 1139 y(jektiv\).)158 1231 y Fm(Beweis.)e Fw(Ist)c Fr(A)d Fw(=)h Fp(;)i Fw(,)g(so)g(sind)g(\(2\))g(und)h(\(3\))f (trivialerw)o(eise)d(erf)1381 1233 y(\177)1380 1231 y(ullt,)108 1289 y(also)k(auc)o(h)321 1291 y(\177)321 1289 y(aquiv)m(alen)o(t.)e (Sei)h(also)h Fr(A)c Fp(6)p Fw(=)h Fp(;)i Fw(und)g Fr(a)1012 1296 y Fq(0)1046 1289 y Fp(2)e Fr(A)p Fw(.)108 1347 y(\(3\))j Fp(\()-8 b(\))15 b Fw(\(1\))i(ist)f(die)g(v)o(orhergehende)f (De\014nition.)108 1405 y(\(2\))20 b(=)-8 b Fp(\))18 b Fw(\(3\):)h(Sei)g Fr(\013)g Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-9 b(!)19 b Fr(A)g Fw(injektiv.)e(Wir)i(m)1097 1407 y(\177)1096 1405 y(ussen)f(zeigen,)g(da\031)108 1463 y Fr(\013)j Fw(auc)o(h)f(surjektiv)g(ist.)f(Zur)i(V)l(erf)758 1465 y(\177)757 1463 y(ugung)f(hab)q(en)h(wir)f(die)g(Bedingung,)108 1521 y(da\031)h(jede)d(surjektiv)o(e)g(Abbildung)h(v)o(on)g Fr(A)g Fw(nac)o(h)g Fr(A)g Fw(auc)o(h)h(injektiv)d(ist.)108 1579 y(Wie)k(sollen)g(wir)h(diese)e(b)q(eiden)i(Bedingungen)f(v)o (erbinden?)f(O\013en)o(bar)108 1638 y(m)151 1640 y(\177)150 1638 y(ussen)14 b(wir)g(uns)h(zus)516 1640 y(\177)516 1638 y(atzlic)o(h)d(zu)j Fr(\013)f Fw(eine)g(w)o(eitere)e(Abbildung)i (v)o(ersc)o(haf-)108 1696 y(fen,)d(die)g(surjektiv)g(ist,)g(um)g(die)g (Bedingung)h(\(2\))g(ausn)1111 1698 y(\177)1110 1696 y(utzen)g(zu)g(k)1326 1698 y(\177)1326 1696 y(onnen,)108 1754 y(denn)k(v)o(on)f Fr(\013)h Fw(wissen)f(nic)o(h)o(t,)f(da\031)j (es)e(surjektiv)f(ist.)h(Und)g(w)o(enn)h(wir)f(das)108 1812 y(sc)o(hon)20 b(w)282 1814 y(\177)281 1812 y(u\031ten,)g(dann)h (brauc)o(h)o(ten)e(wir)h(nic)o(h)o(ts)e(mehr)h(zu)g(zeigen.)g(Wir)108 1870 y(de\014nieren)c(also)i(eine)f(neue)f(Abbildung)h Fr(\014)g Fw(:)e Fr(A)f Fp(\000)-9 b(!)14 b Fr(A)i Fw(durc)o(h)391 2002 y Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))d(:=)559 1914 y Fi(8)559 1952 y(<)559 2027 y(:)596 1968 y Fr(a;)68 b Fw(falls)16 b Fp(9)p Fr(a)d Fp(2)h Fr(A)p Fw([)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(=)h Fr(b)p Fw(])p Fr(;)596 2038 y(a)622 2045 y Fq(0)642 2038 y Fr(;)48 b Fw(sonst)108 2133 y(und)14 b(ho\013en,)g(da\031)h(wir)f(v)o(on)f(ihr)h(nac)o(h)o(w)o (eisen)e(k)968 2135 y(\177)968 2133 y(onnen,)i(da\031)g(sie)g (surjektiv)108 2191 y(ist.)h(Da)h Fr(\013)g Fw(injektiv)e(ist,)h(gibt)g (es)h(zu)f(v)o(orgegeb)q(enem)f Fr(b)h Fw(h)1169 2193 y(\177)1169 2191 y(oc)o(hstens)h(ein)f Fr(a)p eop %%Page: 37 37 37 36 bop 206 117 a Ft(3.)18 b(MUL)m(TIMENGEN)g(UND)f(FUZZY-MENGEN)j (\(FUZZY)f(SETS\))57 b(37)108 225 y Fw(mit)12 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(=)f Fr(b)p Fw(,)g(damit)g(ist)g Fr(\014)j Fw(eine)c(Abbildung.)h(Da)h(es)g(zu)f(jedem)f Fr(a)h Fw(ein)g Fr(b)108 283 y Fw(gibt)h(mit)f Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(=)f Fr(b)h Fw(und)h(damit)e Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))g(=)g Fr(a)p Fw(,)h(ist)g Fr(\014)i Fw(surjektiv)d(und)i(w)o(egen)108 341 y(\(2\))20 b(dann)h(auc)o(h)e (injektiv.)f(Sei)h(n)o(un)h Fr(b)f Fp(2)h Fr(A)p Fw(.)f(Dann)i(ist)e Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))g(=)h Fr(a)f Fw(mit)108 399 y Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))e(=)g Fr(b)h Fw(o)q(der)g Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))e(=)h Fr(a)612 406 y Fq(0)631 399 y Fr(:)h Fw(Es)h(ist)e(ab)q(er)i(auc)o(h)f Fr(\014)s Fw(\()p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)1158 406 y Fq(0)1177 399 y Fw(\)\))f(=)g Fr(a)1313 406 y Fq(0)1332 399 y Fw(,)h(denn)108 458 y(f)124 460 y(\177)123 458 y(ur)d Fr(b)205 465 y Fq(0)238 458 y Fw(:=)e Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)379 465 y Fq(0)399 458 y Fw(\))i(gilt)f(nac)o(h)g(De\014nition)g Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)927 465 y Fq(0)946 458 y Fw(\))g(=)g Fr(a)1057 465 y Fq(0)1076 458 y Fw(.)g(Da)h Fr(\014)i Fw(injektiv)c(ist,)108 516 y(k)m(ann)k Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))c(=)h Fr(a)407 523 y Fq(0)442 516 y Fw(also)i(n)o(ur)g(f) 643 518 y(\177)642 516 y(ur)g Fr(b)e Fw(=)g Fr(b)812 523 y Fq(0)847 516 y Fw(ein)o(treten.)g(Damit)h(gibt)h(es)g(ab)q(er)108 574 y(f)124 576 y(\177)123 574 y(ur)k(jedes)f Fr(b)h Fp(2)g Fr(A)f Fw(ein)g Fr(a)h Fp(2)g Fr(A)f Fw(mit)f Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(=)g Fr(b)p Fw(.)f(Das)i(b)q(edeutet,)e (da\031)h Fr(\013)108 632 y Fw(surjektiv)15 b(ist.)108 690 y(\(3\)=)-8 b Fp(\))p Fw(\(2\):)11 b(Sei)f Fr(\013)k Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(A)e Fw(surjektiv.)e(Hier)h(m)1030 692 y(\177)1029 690 y(ussen)g(wir)1232 692 y(\177)1232 690 y(ahnlic)o(h)g(wie)108 748 y(im)19 b(v)o(orhergehenden)h(T)l(eil)g (eine)g(w)o(eitere)f(Abbildung)h(de\014nieren,)g(um)108 806 y(die)h(V)l(oraussetzung)i(ausn)o(utzen)f(zu)f(k)852 808 y(\177)852 806 y(onnen.)h(Wir)f(de\014nieren)g(daher)108 864 y Fr(\014)k Fw(:)d Fr(A)g Fp(\000)-9 b(!)23 b Fr(A)e Fw(wie)f(folgt.)h(F)672 866 y(\177)671 864 y(ur)h(jedes)f Fr(a)h Fp(2)g Fr(A)f Fw(ist)g Fr(\013)1130 846 y Ff(\000)p Fq(1)1178 864 y Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h Fp(6)p Fw(=)g Fp(;)p Fw(.)f(Wir)108 922 y(w)143 924 y(\177)143 922 y(ahlen)c(also)g(zu)f(jedem)f Fr(a)e Fp(2)i Fr(A)h Fw(ein)g Fr(a)825 904 y Ff(0)850 922 y Fp(2)e Fr(\013)928 904 y Ff(\000)p Fq(1)976 922 y Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(aus)1126 904 y Fq(5)1163 922 y Fw(und)h(de\014nieren)108 981 y Fr(\014)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))k(:=)g Fr(a)323 962 y Ff(0)334 981 y Fw(.)f(Dann)i(gilt)e Fr(\013\014)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)878 962 y Ff(0)890 981 y Fw(\))g(=)h Fr(a)e Fw(f)1052 983 y(\177)1051 981 y(ur)h(alle)f Fr(a)h Fp(2)h Fr(A)p Fw(,)e(also)108 1039 y(gilt)d Fr(\014)s Fw(\()p Fr(a)272 1046 y Fq(1)291 1039 y Fw(\))e(=)h Fr(\014)s Fw(\()p Fr(a)455 1046 y Fq(2)473 1039 y Fw(\))g(=)-8 b Fp(\))15 b Fr(\013\014)s Fw(\()p Fr(a)710 1046 y Fq(1)729 1039 y Fw(\))g(=)h Fr(\013\014)s Fw(\()p Fr(a)924 1046 y Fq(2)943 1039 y Fw(\))f(=)-8 b Fp(\))15 b Fr(a)1098 1046 y Fq(1)1133 1039 y Fw(=)h Fr(a)1213 1046 y Fq(2)1232 1039 y Fw(.)h(Damit)f(ist)108 1097 y Fr(\014)j Fw(injektiv,)c(nac)o(h)i(\(3\))g(also)g(bijektiv.)e (Sei)h(jetzt)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)1100 1104 y Fq(1)1119 1097 y Fw(\))f(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)1282 1104 y Fq(2)1301 1097 y Fw(\).)i(Dann)108 1155 y(gibt)f(es)g Fr(b)286 1162 y Fq(1)305 1155 y Fr(;)8 b(b)348 1162 y Fq(2)384 1155 y Fw(mit)14 b Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)544 1162 y Fq(1)562 1155 y Fw(\))g(=)g Fr(a)673 1162 y Fq(1)708 1155 y Fw(und)j Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)877 1162 y Fq(2)895 1155 y Fw(\))d(=)g Fr(a)1006 1162 y Fq(2)1025 1155 y Fw(,)i(w)o(eil)e Fr(\014)k Fw(surjektiv)d(ist.)108 1213 y(Es)i(folgt)g Fr(b)311 1220 y Fq(1)344 1213 y Fw(=)d Fr(\013\014)s Fw(\()p Fr(b)498 1220 y Fq(1)518 1213 y Fw(\))g(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)679 1220 y Fq(1)698 1213 y Fw(\))g(=)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)860 1220 y Fq(2)879 1213 y Fw(\))f(=)g Fr(\013\014)s Fw(\()p Fr(b)1066 1220 y Fq(2)1085 1213 y Fw(\))h(=)f Fr(b)1192 1220 y Fq(2)1228 1213 y Fw(und)i(daraus)108 1271 y Fr(a)134 1278 y Fq(1)167 1271 y Fw(=)e Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)290 1278 y Fq(1)309 1271 y Fw(\))g(=)f Fr(\014)s Fw(\()p Fr(b)464 1278 y Fq(2)483 1271 y Fw(\))h(=)g Fr(a)594 1278 y Fq(2)613 1271 y Fw(.)i(Damit)f(ist)h Fr(\013)h Fw(injektiv.)p 1133 1244 33 2 v 1133 1273 2 30 v 1164 1273 V 1133 1275 33 2 v 108 1355 a Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(2.31.)85 b Fw(\(1\))21 b Fs(Eine)f(Menge)h Fr(A)e Fs(ist)g(genau)i (dann)f(unend-)257 1413 y(lich,)g(wenn)h(es)f(eine)g(injektive)i(A)o (bbildung)f Fr(\013)d Fw(:)f Fr(A)g Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(A)h Fs(gibt,)257 1471 y(die)e(nicht)i(surjektiv)f(ist.)174 1529 y Fw(\(2\))j Fs(Eine)i(Menge)g Fr(A)f Fs(ist)g(genau)h(dann)g (unend)r(lich,)h(wenn)g(es)e(eine)257 1587 y(surjektive)f(A)o(bbildung) g Fr(\013)d Fw(:)f Fr(A)g Fp(\000)-9 b(!)18 b Fr(A)h Fs(gibt,)h(die)g(nicht)g(injektiv)257 1645 y(ist.)196 1742 y Fu(3.)28 b(Multimengen)16 b(und)j(F)-5 b(uzzy-Mengen)18 b(\(fuzzy)g(sets\))108 1876 y Fw(In)12 b(diesem)e(Absc)o(hnitt)h(w)o (erden)h(die)f(Gesetze)h(des)g(Rec)o(hnens)f(mit)f(Multi-)108 1934 y(mengen)31 b(und)17 b(F)l(uzzy-Mengen)31 b(\(fuzzy)15 b(sets\))i(en)o(t)o(wic)o(k)o(el)o(t.)c(Multimen-)108 1992 y(gen)f(und)f(F)l(uzzy-Mengen)g(w)o(erden)f(h)792 1994 y(\177)792 1992 y(au\014g)j(in)e(der)g(Informatik)e(b)q(en)1352 1994 y(\177)1352 1992 y(otigt.)108 2050 y(Wir)23 b(v)o(erallgeme)o (inern)c(diese)j(b)q(eiden)h(Begri\013e)e(in)i(einer)e(W)l(eise,)h (da\031)p 108 2090 250 2 v 158 2127 a Fo(5)177 2142 y Ft(Diese)15 b(Sc)o(hlu\031w)o(eise)h(v)o(erw)o(endet)h(eigen)o(tlic)o (h)d(das)i(sogenann)o(te)g(Ausw)o(ahlaxiom,)108 2191 y(das)e(wir)g(sp)293 2193 y(\177)293 2191 y(ater)h(erst)g(in)e(Axiom)f (7)i(und)g(Kapitel)f(I)q(I.)h(3.7)f(b)q(esprec)o(hen)j(w)o(erden.)p eop %%Page: 38 38 38 37 bop 108 117 a Ft(38)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(auc)o(h)11 b(der)h(gew)379 227 y(\177)379 225 y(ohnlic)o(he)e(Mengen)o(b)q(egri\013)h(darun)o(ter) g(f)1086 227 y(\177)1086 225 y(allt)g(und)h(de\014nieren)108 283 y(daher)g(zun)315 285 y(\177)315 283 y(ac)o(hst)f(den)g(Begri\013)g (der)g(gewic)o(h)o(teten)e(Menge)i(und)h(f)1275 285 y(\177)1274 283 y(uhren)f(so-)108 341 y(dann)19 b(die)314 343 y(\177)312 341 y(ublic)o(hen)e(mengen)o(theoretisc)o(hen)e(Rec)o(henop)q (erationen)j(ein,)108 399 y(die)j(die)h(Op)q(erationen)g(Durc)o(hsc)o (hnitt,)e(V)l(ereinigung)h(und)h(T)l(eilmenge)108 458 y(v)o(on)c(den)f(gew)376 460 y(\177)376 458 y(ohnlic)o(hen)g(Mengen)g (auf)h(gewic)o(h)o(tete)e(Mengen)h(v)o(erallge-)108 516 y(meinern.)h(Sc)o(hlie\031lic)o(h)f(leiten)i(wir)h(hierf)878 518 y(\177)877 516 y(ur)g(einige)f(fundamen)o(tale)g(Re-)108 574 y(c)o(hengesetze)10 b(her)i(und)g(v)o(erw)o(enden)e(diese)h(dann,)h (um)e(andere)h(Rec)o(henge-)108 632 y(setze)17 b(der)f(Mengenalgebra)h (auc)o(h)g(in)g(dieser)f(allgemeineren)e(Situation)108 690 y(v)o(on)20 b(gewic)o(h)o(teten)e(Mengen)i(zu)f(en)o(t)o(wic)o(k)o (eln.)d(Damit)j(geb)q(en)h(wir)g(auc)o(h)108 748 y(gleic)o(hzeitig)15 b(Bew)o(eise)h(f)560 750 y(\177)559 748 y(ur)i(die)f(Rec)o(hengesetze,) e(die)i(wir)g(urspr)1314 750 y(\177)1313 748 y(unglic)o(h)108 806 y(f)124 808 y(\177)123 806 y(ur)d(gew)264 808 y(\177)264 806 y(ohnlic)o(he)f(Mengen)g(lediglic)o(h)f(b)q(ehauptet)i(ab)q(er)g (nic)o(h)o(t)f(b)q(ewiesen)108 864 y(hatten.)108 976 y(Wir)18 b(stellen)e(uns)i(eine)f(Multimenge)e(im)g(Gegensatz)j(zum)f (Begri\013)g(der)108 1034 y(Menge)d(als)g(eine)f(Zusammenfassung)f(v)o (on)i(Elemen)o(ten)d(zu)j(einem)e(Gan-)108 1092 y(zen)25 b(v)o(or,)f(in)h(der)g(auc)o(h)g(einzelne)f(Elemen)o(te)e(mehrfac)o(h) 1229 1122 y(")1252 1092 y(auftreten)m(\\)108 1150 y(k)134 1152 y(\177)134 1150 y(onnen.)14 b(Da)h(das)f(ab)q(er)h(mit)d(gew)725 1152 y(\177)725 1150 y(ohnlic)o(hen)h(Mengen)h(nic)o(h)o(t)f(durc)o(hf) 1379 1152 y(\177)1378 1150 y(uhr-)108 1208 y(bar)26 b(ist,)f(ordnen)h (wir)f(jedem)f(Elemen)o(t)f(v)o(erm)1021 1210 y(\177)1021 1208 y(oge)g(einer)i(Abbildung)108 1266 y(eine)d(nat)286 1268 y(\177)285 1266 y(urlic)o(he)g(Zahl)h(zu,)f(die)g(angibt,)i(wie)e (oft)h(das)h(jew)o(eilige)d(Ele-)108 1324 y(men)o(t)d(in)i(der)g(Menge) 543 1354 y(")566 1324 y(auftritt)m(\\)s(.)g(Man)g(k)m(ann)g(sic)o(h)g (et)o(w)o(a)f(an)i(das)f(fol-)108 1383 y(gende)g(Beispiel)f(\(der)h (Menge\))f(aller)h(Buc)o(hstab)q(en)g(des)g(W)l(ortes)h(MIS-)108 1441 y(SISSIPPI)f(halten.)f(Die)h(Menge)g(der)g(Buc)o(hstab)q(en)g(ist) g(lediglic)o(h)e Fr(A)i Fw(=)108 1499 y Fp(f)p Fr(I)t(;)8 b(M)r(;)g(P)q(;)g(S)s Fp(g)p Fw(.)k(Wir)g(w)o(ollen)f(jedo)q(c)o(h)h (eine)f(Zusammenfassung)g(der)h(F)l(orm)108 1557 y Fp(f)p Fr(I)t(;)c(I)t(;)g(I)t(;)g(I)t(;)g(M)r(;)g(P)q(;)g(P)q(;)g(S;)g(S;)g (S;)g(S)s Fp(g)i Fw(erhalten.)g(Deshalb)i(de\014nieren)e(wir)h(die)108 1615 y(Abbildung)19 b Fr(\037)g Fw(:)f Fr(A)h Fp(\000)-8 b(!)18 b Fn(N)g Fw(durc)o(h)h Fr(\037)p Fw(\()p Fr(I)t Fw(\))f(=)h(4,)g Fr(\037)p Fw(\()p Fr(M)5 b Fw(\))19 b(=)g(1,)g Fr(\037)p Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))19 b(=)g(2)108 1673 y(und)e Fr(\037)p Fw(\()p Fr(S)s Fw(\))c(=)h(4,)i(mit)f(der)h(wir) g(die)g(Vielfac)o(hheit)d(der)k(Elemen)o(te)c(z)1353 1675 y(\177)1353 1673 y(ahlen)108 1731 y(k)134 1733 y(\177)134 1731 y(onnen.)108 1843 y(F)l(uzzy-Mengen)i(gehen)h(zun)645 1845 y(\177)645 1843 y(ac)o(hst)g(v)o(on)g(einem)d(anderen)j(Konzept)g (aus,)108 1901 y(n)135 1903 y(\177)135 1901 y(amlic)o(h)h(v)o(on)h (einer)g(graduellen)g(o)q(der)h(ungenauen)g(Zugeh)1236 1903 y(\177)1236 1901 y(origk)o(eit)f(ei-)108 1959 y(nes)h(Elemen)o(ts) d Fr(a)i Fw(zu)h(einer)e(Menge)h Fr(A)p Fw(.)g(Der)g(Grad)h(o)q(der)g (das)h(Gewic)o(h)o(t)108 2017 y(der)e(Zugeh)324 2019 y(\177)324 2017 y(origk)o(eit)f(wird)h(mit)e(einer)h(reellen)f(Zahl)i (zwisc)o(hen)f(0)i(und)f(1)108 2075 y(angegeb)q(en.)k(Die)f(Zahl)g (soll)g(die)g(Sic)o(herheit)e(angeb)q(en,)j(mit)d(der)i(man)108 2133 y(w)o(ei\031,)i(ob)i(das)g(Elemen)o(t)c(der)j(Menge)g(angeh)989 2135 y(\177)989 2133 y(ort.)h(Damit)e(k)m(ann)h(man)108 2191 y(in)16 b(der)g(Informatik,)d(insb)q(esondere)k(in)e(Exp)q (ertensystemen,)f(Aussagen)p eop %%Page: 39 39 39 38 bop 206 117 a Ft(3.)18 b(MUL)m(TIMENGEN)g(UND)f(FUZZY-MENGEN)j (\(FUZZY)f(SETS\))57 b(39)108 225 y Fw(und)16 b(Eigensc)o(haften)f(sub) s(jektiv)f(gewic)o(h)o(ten)g(mit)f(W)1088 227 y(\177)1088 225 y(ortern)i(wie)1319 255 y(")1342 225 y(sehr)m(\\)s(,)108 313 y(")131 283 y(ungef)246 285 y(\177)246 283 y(ahr)m(\\)s(,)368 313 y(")390 283 y(t)o(ypisc)o(h)m(\\)s(,)592 313 y(")614 283 y(im)d(w)o(esen)o(tlic)o(hen)m(\\)s(,)987 313 y(")1007 283 y(viel)g(gr)1138 285 y(\177)1138 283 y(o\031er)i(als)m(\\)s(,)1349 313 y(")1372 283 y(wird)108 341 y(b)q(eein\015u\031t)19 b(v)o(on)m(\\)s(,)469 371 y(")492 341 y(ist)f(relev)m(an)o(t)f(f)764 343 y(\177)763 341 y(ur)m(\\)s(,)866 371 y(")888 341 y(ist)959 343 y(\177)959 341 y(ahnlic)o(h)m(\\)s(,)1168 371 y(")1191 341 y(ist)h(nahe)h(zu)m(\\)s(,)108 399 y(\\)s(b)q (esonders)f(gro\031)m(\\)j(und)16 b(vielen)f(anderen.)108 511 y(Man)h(k)m(ann)g(zum)d(Beispiel)h(f)638 513 y(\177)637 511 y(ur)h(Raum)o(temp)q(eraturen)d(im)i(In)o(terv)m(all)g(v)o(on)108 569 y(2)132 551 y Ff(\016)170 569 y Fw(C)19 b(bis)f(40)350 551 y Ff(\016)388 569 y Fw(C)h(die)e(F)l(uzzy-Menge)g Fr(W)25 b Fw(der)17 b Fs(warmen)23 b Fw(T)l(emp)q(eraturen)108 627 y(de\014nieren.)14 b(Man)h(b)q(estimm)o(t)c(den)k(Grad)h(Zugeh)1014 629 y(\177)1014 627 y(origk)o(eit)e(einer)g(T)l(emp)q(e-)108 685 y(ratur)22 b(v)o(on)e Fr(x)362 667 y Ff(\016)403 685 y Fw(C)h(zu)g Fr(W)28 b Fw(o)q(der)21 b(allgemeiner)d(zu)j(dem)f (In)o(terv)m(al)f([2)p Fr(;)8 b Fw(40])108 743 y(durc)o(h)16 b(den)g(W)l(ert)g(v)o(on)234 971 y Fr(\037)265 978 y Fk(W)305 971 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))d(=)436 784 y Fi(8)436 821 y(>)436 834 y(>)436 846 y(>)436 859 y(>)436 871 y(>)436 884 y(>)436 896 y(>)436 909 y(>)436 921 y(<)436 996 y(>)436 1008 y(>)436 1021 y(>)436 1033 y(>)436 1046 y(>)436 1058 y(>)436 1071 y(>)436 1083 y(>)436 1095 y(:)473 826 y Fw(0)p Fr(;)476 b Fw(f)1003 828 y(\177)1002 826 y(ur)16 b Fr(x)e Fp(\024)f Fw(8)p Fr(;)473 921 y Fw(2)505 861 y Fi(\022)541 887 y Fr(x)e Fp(\000)g Fw(8)p 541 909 113 2 v 573 955 a(24)659 861 y Fi(\023)690 868 y Fq(2)718 921 y Fr(;)255 b Fw(f)1003 923 y(\177)1002 921 y(ur)16 b(8)f Fp(\024)e Fr(x)h Fp(\024)f Fw(20)p Fr(;)473 1033 y Fw(1)e Fp(\000)g Fw(2)590 972 y Fi(\022)626 999 y Fr(x)g Fp(\000)g Fw(32)p 626 1021 138 2 v 671 1067 a(24)769 972 y Fi(\023)799 980 y Fq(2)827 1033 y Fr(;)146 b Fw(f)1003 1035 y(\177)1002 1033 y(ur)16 b(20)f Fp(\024)f Fr(x)f Fp(\024)h Fw(32)p Fr(;)473 1119 y Fw(1)490 b(f)1003 1121 y(\177)1002 1119 y(ur)16 b(32)f Fp(\024)f Fr(x:)108 1208 y Fw(Danac)o(h)21 b(w)324 1210 y(\177)324 1208 y(are)g(also)h(ein)e (Raum)f(mit)g(32)886 1190 y Ff(\016)927 1208 y Fw(C)i(und)g(mehr)e (de\014nitiv)g(als)108 1266 y(w)o(arm)f(anzusehen,)h(ein)g(Raum)f(mit)f (8)840 1248 y Ff(\016)880 1266 y Fw(C)i(und)h(w)o(eniger)e(de\014nitiv) g(als)108 1325 y(nic)o(h)o(t)d(w)o(arm)h(und)g(in)g(dem)f(In)o(terv)m (all)g([8)p Fr(;)8 b Fw(32])17 b(in)f(v)o(ersc)o(hiedenem)c(Grade)108 1383 y(als)20 b(w)o(arm)e(\(w)o(eniger,)g(et)o(w)o(as,)h(ziemli)o(c)o (h,)d(sehr\))j(anzusehen.)g(Die)g(T)l(em-)108 1441 y(p)q(eraturen)g Fr(x)362 1423 y Ff(\016)399 1441 y Fw(mit)d(dem)h(W)l(ert)g Fr(\037)752 1448 y Fk(W)792 1441 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))g(=)g(0)h(geh) 1045 1443 y(\177)1045 1441 y(oren)g(der)g(Menge)g(der)108 1499 y(w)o(armen)g(T)l(emp)q(eraturen)g Fr(W)26 b Fw(nic)o(h)o(t)18 b(an.)h(Die)988 1501 y(\177)987 1499 y(ubrigen)g(T)l(emp)q(eraturen)108 1557 y(geh)181 1559 y(\177)181 1557 y(oren)e Fr(W)23 b Fw(mit)14 b(dem)h(durc)o(h)h Fr(\037)722 1564 y Fk(W)778 1557 y Fw(gegeb)q(enen)g(Gewic)o(h)o(t)f(an.)108 1668 y(In)22 b(b)q(eiden)f(F)368 1670 y(\177)368 1668 y(allen,)f(dem)h (einer)f(Multimenge)f(und)j(dem)f(v)o(on)g(F)l(uzzy-)108 1726 y(Mengen,)14 b(wird)g(jedem)e(Elemen)o(t)g(einer)h(Menge)h(eine)f (Zahl)h(zugeordnet.)108 1785 y(Wir)k(v)o(erallgemeine)o(rn)e(die)i (Begri\013e)f(daher.)h(Dazu)h(b)q(en)1180 1787 y(\177)1180 1785 y(otigen)g(wir)f(an)108 1843 y(dieser)23 b(Stelle)f(sc)o(hon)h (die)g(Menge)g Fn(R)17 b Fw(der)24 b(reellen)d(Zahlen.)i(Wir)g(stel-) 108 1901 y(len)18 b(uns)g(auf)h(den)f(Standpunkt,)g(da\031)h(diese)e (allgemein)f(mit)g(ihren)i(Re-)108 1959 y(c)o(heneigensc)o(haften)c(b)q (ek)m(ann)o(t)i(sind.)g(Ein)f(exakte)g(Einf)1137 1961 y(\177)1136 1959 y(uhrung)h(wird)g(je-)108 2017 y(do)q(c)o(h)f(erst)f (am)g(Ende)g(des)g(zw)o(eiten)f(Katitels)h(erfolgen.)f(Wir)h(b)q (ehandeln)108 2075 y(aus)e(Gr)248 2077 y(\177)247 2075 y(unden)g(der)g(Systematik)d(diesen)i(Absc)o(hnitt)1080 2077 y(\177)1078 2075 y(ub)q(er)h(Multimengen)108 2133 y(und)20 b(F)l(uzzy-Mengen)f(sc)o(hon)h(an)h(dieser)e(Stelle.)f(Wir)h (de\014nieren)g(dazu)108 2191 y(wie)d(folgt)p eop %%Page: 40 40 40 39 bop 108 117 a Ft(40)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fu(De\014nition)h(3.1.)i Fw(Sei)14 b Fr(G)p Fw(,)h(die)f Fs(Gewichtsmenge)p Fw(,)j(eine)d(nic)o(h)o (tleere)e(T)l(eil-)108 283 y(menge)k(der)g(Menge)g(der)h(nic)o(h)o (t-negativ)o(en)e(reellen)g(Zahlen)h Fn(R)1276 263 y Fq(+)1276 294 y(0)1318 283 y Fw(=)e Fp(f)p Fr(r)i Fp(2)108 341 y Fn(R)m Fp(j)p Fw(0)11 b Fp(\024)j Fr(r)q Fp(g)g Fw(mit)e(0)i Fp(2)g Fr(G)p Fw(.)g(Sei)f Fr(U)19 b Fw(eine)13 b(fest)h(v)o(orgegeb)q(ene)f(Menge,)g(ein)g(Uni-)108 399 y(v)o(ersum)18 b(\(des)h(Discourses\).)h(Eine)f Fr(G)p Fs(-gewichtete)24 b(Menge)1228 401 y(\177)1228 399 y(ub)n(er)c Fr(U)45 b Fw(ist)108 458 y(der)14 b(Graph)h(einer)e(Abbildung)h Fr(A)g Fw(=)f(Gr)q(\()p Fr(\037)905 465 y Fk(A)947 458 y Fw(:)g Fr(U)19 b Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(G)p Fw(\),)h(genann)o(t)h Fs(Ge-)108 516 y(wicht)k Fw(o)q(der)13 b Fs(Vielfachheit)p Fw(.)h(Die)e(dem)f(Graphen)i(zugeh)1127 518 y(\177)1127 516 y(orige)g(Abbildung)108 574 y Fr(\037)139 581 y Fk(A)181 574 y Fw(=)h(\()p Fr(U;)8 b(G;)g(A)p Fw(\))16 b(hei\031t)g Fs(char)n(akteristische)i(F)l(unktion)37 b Fw(v)o(on)16 b Fr(A)p Fw(.)108 736 y(Der)i(Graph)h(einer)f(solc)o(hen)f(Abbildung)h Fr(A)g Fw(b)q(esteh)o(t)g(nac)o(h)g(der)g(De\014ni-)108 794 y(tion)g(v)o(on)g(Abbildungen)g(aus)g(Elemen)o(ten)e(der)h(F)l(orm) g(\()p Fr(u;)8 b(\037)1241 801 y Fk(A)1269 794 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\)\),)17 b(also)108 852 y(aus)d(P)o(aaren,)e(b)q(estehend)h (aus)g(einem)d(Elemen)o(t)g Fr(u)k Fp(2)g Fr(U)k Fw(und)13 b(seinem)d(Ge-)108 910 y(wic)o(h)o(t)19 b(o)q(der)i(seiner)e(Vielfac)o (hheit.)e(Da)k(das)f(Univ)o(ersum)e(und)i(die)f(Ge-)108 968 y(wic)o(h)o(tsmenge)h(fest)h(v)o(orgegeb)q(en)h(sind,)f(b)q(estimm) o(t)e(der)i(Graph)i Fr(A)e Fw(die)108 1026 y(Abbildung)e Fr(\037)382 1033 y Fk(A)429 1026 y Fw(v)o(ollst)544 1028 y(\177)544 1026 y(andig.)g(Ob)o(w)o(ohl)g(die)f(b)q(etrac)o(h)o(teten)g (Mengen)h Fr(U)108 1085 y Fw(und)h(die)f(gewic)o(h)o(teten)f(Mengen)h Fr(A)g Fw(unendlic)o(h)f(sein)h(k)1153 1087 y(\177)1153 1085 y(onnen,)g(k)1339 1087 y(\177)1339 1085 y(onnen)108 1143 y(einzelne)h(Elemen)o(te)f(do)q(c)o(h)k(n)o(ur)f(mit)e(endlic)o (hem)e(Gewic)o(h)o(t)j(\(Vielfac)o(h-)108 1201 y(heit\))14 b(v)o(ork)o(omme)o(n.)e(W)l(enn)i(man)g(dieses)f(Gewic)o(h)o(t)h(dar) 1137 1203 y(\177)1136 1201 y(ub)q(erhinaus)h(v)o(er-)108 1259 y(gr)151 1261 y(\177)151 1259 y(o\031ern)i(m)326 1261 y(\177)326 1259 y(oc)o(h)o(te,)c(so)j(m)o(u\031)f(man)g(eine)g (Abbildung)g(in)g(eine)g(gr)1277 1261 y(\177)1277 1259 y(o\031ere)h(ge-)108 1317 y(ordnete)i(Menge)g Fr(G)h Fw(b)q(etrac)o(h)o(ten,)e(z.B.)f(eine)i(Menge)f(v)o(on)i(Ordinalzah-) 108 1375 y(len.)c(Das)j(soll)d(hier)h(ab)q(er)h(nic)o(h)o(t)e(w)o (eiter)g(v)o(erfolgt)g(w)o(erden.)108 1495 y Fs(Gew)200 1497 y(\177)200 1495 y(ohnliche)g(Mengen)h Fw(k)m(ann)11 b(man)f(hier)g(einordnen)h(mit)e(der)h(Gewic)o(h)o(ts-)108 1553 y(menge)j Fr(G)h Fw(=)g Fp(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)p Fw(.)13 b(Da)i(man)e(sic)o(h)g(auf)h(ein)f(Univ)o(ersum)e(b)q (ezieh)o(t,)h(spre-)108 1611 y(c)o(hen)g(wir)h(eigen)o(tlic)o(h)d (immer)g(n)o(ur)i(v)o(on)h(T)l(eilmengen.)d(Eine)i(gew)1291 1613 y(\177)1291 1611 y(ohnlic)o(he)108 1669 y(T)l(eilmenge)18 b Fr(A)i Fp(\032)g Fr(U)25 b Fw(k)m(ann)c(man)e(b)q(esc)o(hreib)q(en)g (durc)o(h)h(die)f(Abbildung)108 1727 y Fr(\037)139 1734 y Fk(A)181 1727 y Fw(:)14 b Fr(U)19 b Fp(\000)-9 b(!)14 b(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)16 b Fw(mit)471 1874 y Fr(\037)502 1881 y Fk(A)530 1874 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))e(=)662 1786 y Fi(8)662 1824 y(<)662 1898 y(:)698 1840 y Fw(0)p Fr(;)147 b Fw(f)899 1842 y(\177)898 1840 y(ur)16 b Fr(u)j(=)-30 b Fp(2)15 b Fr(A;)698 1910 y Fw(1)p Fr(;)147 b Fw(f)899 1912 y(\177)898 1910 y(ur)16 b Fr(u)d Fp(2)i Fr(A:)108 2017 y Fw(Die)24 b(Abbildung)g Fr(\037)484 2024 y Fk(A)537 2017 y Fw(hei\031t)g(auc)o(h)g(b)q(ei)g(gew)959 2019 y(\177)959 2017 y(ohnlic)o(hen)g(Mengen)g Fs(cha-)108 2075 y(r)n(akteristische)g(F)l(unktion)k Fw(v)o(on)22 b Fr(A)j Fp(\032)f Fr(U)5 b Fw(.)23 b(Auc)o(h)f(hier)g(ist)g Fr(A)h Fw(o\013en)o(bar)108 2133 y(v)o(ollst)223 2135 y(\177)223 2133 y(andig)d(durc)o(h)g(die)g(Angab)q(e)h(seiner)e(c)o (harakteristisc)o(hen)g(F)l(unkti-)108 2191 y(on)k(festgelegt.)f(Jede)f (Abbildung)h Fr(\037)i Fw(:)g Fr(U)30 b Fp(\000)-9 b(!)24 b(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)23 b Fw(de\014niert)f(eine)p eop %%Page: 41 41 41 40 bop 206 117 a Ft(3.)18 b(MUL)m(TIMENGEN)g(UND)f(FUZZY-MENGEN)j (\(FUZZY)f(SETS\))57 b(41)108 225 y Fw(T)l(eilmenge)16 b Fr(A)i Fp(\032)f Fr(U)24 b Fw(und)19 b(ist)f(die)g(c)o (harakteristisc)o(he)f(F)l(unktion)h(dieser)108 283 y(T)l(eilmenge.)108 390 y Fu(De\014nition)g(3.2.)85 b Fw(\(1\))21 b(Eine)14 b Fs(Multimenge)j(mit)f(der)f(Basis)f Fr(U)19 b Fw(ist)14 b(ei-)257 448 y(ne)i Fr(G)p Fw(-)h(gewic)o(h)o(tete)d(Menge)i(mit)e Fr(G)h Fw(=)f Fn(N)1013 455 y Fq(0)1030 448 y Fw(.)174 506 y(\(2\))21 b(Eine)14 b Fs(F)l(uzzy-Menge)19 b Fw(\(o)q(der)c Fs(F)l(uzzy-T)l(eilmenge)21 b Fw(v)o(on)15 b Fr(U)5 b Fw(\))14 b(ist)h(eine)257 564 y Fr(G)p Fw(-gewic)o(h)o(tete)20 b(Menge)h(mit)e Fr(G)k Fw(=)f([0)p Fr(;)8 b Fw(1],)21 b(dem)e(absc)o(hlossenen)257 622 y(In)o(terv)m(all)14 b(v)o(on)j(0)f(bis)g(1.)108 794 y(H)145 796 y(\177)145 794 y(au\014g)h(v)o(erw)o(endet)e(man)g(f)620 796 y(\177)619 794 y(ur)h(F)l(uzzy-Mengen)f(die)h(Bezeic)o(hn)o(ung)611 914 y Fr(A)d Fw(=)713 856 y Fi(Z)736 950 y Fk(U)774 914 y Fr(\037)805 921 y Fk(A)833 914 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))p Fr(=u;)108 1037 y Fw(falls)j Fr(U)22 b Fw(ein)15 b(Kon)o(tin)o(uum)g (ist,)g(und)251 1172 y Fr(A)f Fw(=)f Fr(\037)384 1179 y Fk(A)412 1172 y Fw(\()p Fr(u)459 1179 y Fq(1)479 1172 y Fw(\))p Fr(=u)550 1179 y Fq(1)581 1172 y Fw(+)e Fr(:)d(:)g(:)i Fw(+)h Fr(\037)778 1179 y Fk(A)806 1172 y Fw(\()p Fr(u)853 1179 y Fk(n)876 1172 y Fw(\))p Fr(=u)947 1179 y Fk(n)985 1172 y Fw(=)1056 1118 y Fk(n)1037 1130 y Fi(X)1038 1221 y Fk(i)p Fq(=1)1105 1172 y Fr(\037)1136 1179 y Fk(A)1164 1172 y Fw(\()p Fr(u)1211 1179 y Fk(i)1225 1172 y Fw(\))p Fr(=u)1296 1179 y Fk(i)1310 1172 y Fr(;)108 1313 y Fw(falls)16 b Fr(U)22 b Fw(eine)15 b(endlic)o(he)f(Menge)i(ist.)108 1436 y(Wir)d(hab)q(en)h(damit)e(gesehen,)h(da\031)h(wir)f(mit)e(dem)h (Begri\013)h(der)g(gewic)o(h)o(te-)108 1494 y(ten)i(Menge)f(einen)f (gemeinsamen)f(Ob)q(erb)q(egri\013)j(f)1040 1496 y(\177)1039 1494 y(ur)g(gew)1181 1496 y(\177)1181 1494 y(ohnlic)o(he)e(T)l(eil-)108 1552 y(mengen)e(v)o(on)h Fr(U)5 b Fw(,)12 b(f)451 1554 y(\177)450 1552 y(ur)g(F)l(uzzy-)f(\(T)l(eil-\)Mengen)g(in)h Fr(U)17 b Fw(und)c(f)1186 1554 y(\177)1185 1552 y(ur)f(Multimen-)108 1610 y(gen)201 1612 y(\177)199 1610 y(ub)q(er)18 b Fr(U)23 b Fw(gefunden)18 b(hab)q(en.)g(Wir)f(w)o(ollen)g(f)1006 1612 y(\177)1005 1610 y(ur)h(diesen)f(allgemeinen)108 1669 y(Begri\013)j(die)f(meisten)e(Regeln)i(der)g(Mengenalgebra)h(\(Bo) q(olesc)o(hen)f(Al-)108 1727 y(gebra\))f(en)o(t)o(wic)o(k)o(eln.)c(Dab) q(ei)j(b)q(ew)o(eisen)g(wir)g(auc)o(h)g(eine)f(Reihe)h(v)o(on)g(Re-)108 1785 y(c)o(henregeln)c(f)362 1787 y(\177)361 1785 y(ur)i(gew)503 1787 y(\177)503 1785 y(ohnlic)o(he)f(Mengen,)f(die)h(wir)h(im)d(ersten) j(Absc)o(hnitt)108 1843 y(nic)o(h)o(t)g(b)q(ewiesen,)h(sondern)g(n)o (ur)g(b)q(ehauptet)h(hab)q(en.)108 1949 y Fu(De\014nition)h(3.3.)i Fw(Der)j Fs(T)l(r)631 1951 y(\177)631 1949 y(ager)29 b Fw(\(engl.)23 b Fs(supp)n(ort)p Fw(\))g(einer)f(gewic)o(h)o(teten)108 2007 y(Menge)17 b Fr(A)f Fw(ist)h(die)f(T)l(eilmenge)e(supp)q(\()p Fr(A)p Fw(\))g(:=)g Fp(f)p Fr(u)h Fp(2)g Fr(U)5 b Fp(j)p Fr(\037)1153 2014 y Fk(A)1181 2007 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))15 b Fr(>)f Fw(0)p Fp(g)p Fw(.)j(Die)108 2065 y Fs(H)144 2067 y(\177)144 2065 y(ohe)26 b Fw(\(engl.)21 b Fs(height)p Fw(\))h(einer)e(gewic)o(h)o(teten)g(Menge)h Fr(A)g Fw(ist)g(das)h (Supre-)108 2124 y(m)o(um)15 b(hgt)q(\()p Fr(A)p Fw(\))h(:=)h(sup)p Fp(f)p Fr(\037)593 2131 y Fk(A)621 2124 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(u)f Fp(2)h Fr(U)5 b Fp(g)p Fw(,)18 b(falls)g(ein)f(solc)o(hes)h(Suprem)o(um)108 2182 y(existiert,)c(sonst) k(wird)e(die)f(H)662 2184 y(\177)662 2182 y(ohe)h(als)h(unendlic)o(h)e (angenommen.)p eop %%Page: 42 42 42 41 bop 108 117 a Ft(42)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fu(De\014nition)h(3.4.)i Fw(Die)26 b Fs(V)l(er)n(einigung)33 b Fw(v)o(on)26 b(gewic)o(h)o(teten)f(Mengen)h Fr(A)108 283 y Fw(und)c Fr(B)j Fw(mit)20 b(c)o(harakteristisc)o(hen)g (F)l(unktionen)i Fr(\037)1065 290 y Fk(A)1115 283 y Fw(und)g Fr(\037)1249 290 y Fk(B)1301 283 y Fw(ist)f(de\014-)108 341 y(niert)c(durc)o(h)h(Angab)q(e)g(der)g(c)o(harakteristisc)o(hen)e (F)l(unktion)h(v)o(on)h Fr(A)12 b Fp([)g Fr(B)108 399 y Fw(mit)550 459 y Fr(\037)581 466 y Fk(A)p Ff([)p Fk(B)675 459 y Fw(:=)h(max)o(\()p Fr(\037)881 466 y Fk(A)909 459 y Fr(;)8 b(\037)962 466 y Fk(B)992 459 y Fw(\))p Fr(;)108 531 y Fw(w)o(ob)q(ei)18 b(max)o(\()p Fr(\037)389 538 y Fk(A)417 531 y Fr(;)8 b(\037)470 538 y Fk(B)500 531 y Fw(\)\()p Fr(u)p Fw(\))16 b(=)h(max)o(\()p Fr(\037)797 538 y Fk(A)825 531 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\037)944 538 y Fk(B)974 531 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\)\))17 b(das)i(Maxim)o(um)c (der)108 589 y(Gewic)o(h)o(te)g(v)o(on)h Fr(u)g Fw(in)g Fr(A)g Fw(bzw.)g(in)g Fr(B)i Fw(sei.)108 660 y(Der)c Fs(Dur)n(chschnitt)19 b Fw(v)o(on)14 b(gewic)o(h)o(teten)e(Mengen)i Fr(A)f Fw(und)i Fr(B)h Fw(mit)c(c)o(harak-)108 718 y(teristisc)o(hen)19 b(F)l(unktionen)h Fr(\037)661 725 y Fk(A)710 718 y Fw(und)h Fr(\037)843 725 y Fk(B)894 718 y Fw(ist)f(de\014niert)g(durc)o(h)g (Angab)q(e)108 776 y(der)c(c)o(harakteristisc)o(hen)f(F)l(unktion)h(v)o (on)g Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)19 b Fw(mit)555 861 y Fr(\037)586 868 y Fk(A)p Ff(\\)p Fk(B)680 861 y Fw(:=)13 b(min)n(\()p Fr(\037)876 868 y Fk(A)904 861 y Fr(;)8 b(\037)957 868 y Fk(B)987 861 y Fw(\))p Fr(;)108 946 y Fw(w)o(ob)q(ei)22 b(min)n(\()p Fr(\037)383 953 y Fk(A)411 946 y Fr(;)8 b(\037)464 953 y Fk(B)494 946 y Fw(\)\()p Fr(u)p Fw(\))23 b(=)h(min)n(\()p Fr(\037)795 953 y Fk(A)823 946 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\037)942 953 y Fk(B)972 946 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\)\))21 b(das)i(Minim)o(um)18 b(der)108 1004 y(Gewic)o(h)o(te)d(v)o(on)h Fr(u)g Fw(in)g Fr(A)g Fw(bzw.)g(in)g Fr(B)i Fw(sei.)108 1075 y(Die)f Fs(le)n(er)n(e)i (gewichtete)i(Menge)e Fp(;)e Fw(ist)g Fr(\037)845 1082 y Ff(;)880 1075 y Fw(=)f(0,)h(also)h Fr(\037)1119 1082 y Ff(;)1138 1075 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))e(=)f(0)j(f)1331 1077 y(\177)1330 1075 y(ur)f(alle)108 1133 y Fr(u)d Fp(2)g Fr(U)5 b Fw(.)108 1204 y(Eine)19 b(gewic)o(h)o(tete)e(Menge)i Fr(A)f Fw(hei\031t)h Fs(\(gewichtete\))k(T)l(eilmenge)e Fr(A)e Fp(\032)f Fr(B)108 1262 y Fw(der)k(gewic)o(h)o(teten)e(Menge)h Fr(B)s Fw(,)g(w)o(enn)g Fr(\037)867 1269 y Fk(A)918 1262 y Fp(\024)i Fr(\037)1011 1269 y Fk(B)1041 1262 y Fw(,)e(d.h.)g(w)o(enn) h(f)1327 1264 y(\177)1326 1262 y(ur)f(alle)108 1320 y Fr(u)14 b Fp(2)g Fr(U)21 b Fw(gilt)16 b Fr(\037)369 1327 y Fk(A)397 1320 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))e Fp(\024)f Fr(\037)560 1327 y Fk(B)590 1320 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\).)108 1455 y(Zw)o(ei)e(gewic)o(h)o(tete)g(T)l(eilmengen)e Fr(A)j Fw(und)g Fr(B)j Fw(des)d(Univ)o(ersums)e(sind)i(genau)108 1514 y(dann)23 b(gleic)o(h,)c(w)o(enn)j Fr(A)g Fp(\032)h Fr(B)h Fw(und)e Fr(B)j Fp(\032)e Fr(A)e Fw(gelten.)g(Es)h(ist)f(n)1327 1516 y(\177)1327 1514 y(amlic)o(h)108 1572 y Fr(\037)139 1579 y Fk(A)181 1572 y Fw(=)14 b Fr(\037)264 1579 y Fk(B)310 1572 y Fw(genau)j(dann,)f(w)o(enn)g Fr(\037)743 1579 y Fk(A)785 1572 y Fp(\024)e Fr(\037)869 1579 y Fk(B)915 1572 y Fw(und)j Fr(\037)1044 1579 y Fk(B)1087 1572 y Fp(\024)d Fr(\037)1171 1579 y Fk(A)1199 1572 y Fw(.)108 1681 y(In)j(der)g(Informatik)f(wird)h(h)638 1683 y(\177)638 1681 y(au\014ger)h(auc)o(h)f(der)g(Begri\013)g(der)g(disjunkten)108 1739 y(V)l(ereinigung)g(v)o(on)h(Multimengen)e(v)o(erw)o(endet)g(und)j (dann)g(einfac)o(h)e(n)o(ur)108 1797 y(V)l(ereinigung)e(genann)o(t.)108 1882 y Fu(De\014nition)j(3.5.)i Fw(Die)12 b Fs(disjunkte)k(V)l(er)n (einigung)f Fr(A)1078 1876 y Fw(_)1068 1882 y Fp([)p Fr(B)h Fw(v)o(on)d(Multimen-)108 1940 y(gen)21 b Fr(A)f Fw(und)h Fr(B)j Fw(ist)c(de\014niert)g(durc)o(h)g Fr(\037)863 1949 y Fk(A)896 1945 y Fq(_)889 1949 y Ff([)p Fk(B)964 1940 y Fw(=)i Fr(\037)1055 1947 y Fk(A)1097 1940 y Fw(+)14 b Fr(\037)1180 1947 y Fk(B)1210 1940 y Fw(,)20 b(d.h.)g(durc)o(h)108 1998 y Fr(\037)139 2007 y Fk(A)172 2003 y Fq(_)165 2007 y Ff([)p Fk(B)219 1998 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))14 b(=)f Fr(\037)381 2005 y Fk(A)409 1998 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))e(+)g Fr(\037)566 2005 y Fk(B)596 1998 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))16 b(f)694 2000 y(\177)693 1998 y(ur)g(alle)g Fr(u)d Fp(2)h Fr(U)5 b Fw(.)108 2133 y(Die)16 b(Bildung)f(einer)g(disjunkten)g(V)l (ereinigung)g(ist)h(in)f(dieser)g(W)l(eise)h(f)1422 2135 y(\177)1421 2133 y(ur)108 2191 y(F)l(uzzy-Mengen)k(und)i(gew)620 2193 y(\177)620 2191 y(ohnlic)o(he)e(Mengen)h(nic)o(h)o(t)f(m)1173 2193 y(\177)1173 2191 y(oglic)o(h,)f(da)j(b)q(ei)p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 206 117 a Ft(3.)18 b(MUL)m(TIMENGEN)g(UND)f(FUZZY-MENGEN)j (\(FUZZY)f(SETS\))57 b(43)108 225 y Fw(diesen)15 b(Mengen)g(die)g (Gewic)o(h)o(tsmenge)d Fr(G)k Fw(nic)o(h)o(t)e(gegen)1152 227 y(\177)1151 225 y(ub)q(er)i(der)f(Addi-)108 283 y(tion)i(abgesc)o (hlossen)f(ist.)108 368 y Fu(De\014nition)i(3.6.)i Fw(F)511 370 y(\177)510 368 y(ur)25 b(gew)662 370 y(\177)662 368 y(ohnlic)o(he)g(Mengen)h Fr(A)f Fw(und)h Fr(B)i Fw(de\014niert)108 426 y(man)23 b(die)g Fs(disjunkte)i(V)l(er)n(einigung)30 b Fw(als)24 b Fr(A)929 420 y Fw(_)920 426 y Fp([)p Fr(B)k Fw(:=)e Fp(f)p Fw(\()p Fr(a;)8 b Fw(1\))p Fp(j)p Fr(a)25 b Fp(2)i Fr(A)p Fp(g)15 b([)108 484 y(f)p Fw(\()p Fr(b;)8 b Fw(2\))p Fp(j)p Fr(b)13 b Fp(2)i Fr(B)s Fp(g)p Fw(.)108 620 y(Man)k(b)q(eac)o(h)o(te,)e(da\031)i(die)f(Mengen)g Fr(A)813 627 y Fq(1)850 620 y Fw(:=)f Fp(f)p Fw(\()p Fr(a;)8 b Fw(1\))p Fp(j)p Fr(a)16 b Fp(2)i Fr(A)p Fp(g)g Fw(und)h Fr(B)1378 627 y Fq(2)1415 620 y Fw(:=)108 678 y Fp(f)p Fw(\()p Fr(b;)8 b Fw(2\))p Fp(j)p Fr(b)16 b Fp(2)h Fr(B)s Fp(g)g Fw(k)o(eine)f(Elemen)o(te)f(gemeinsam)g(hab)q(en)k (und)f(jew)o(eils)e(ei-)108 736 y(ne)h(bijektiv)o(e)e(Abbildung)i(auf)h (die)f(Mengen)g Fr(A)g Fw(bzw.)g Fr(B)j Fw(gestatten.)d(Es)108 794 y(w)o(erden)d(also)g(v)o(or)g(der)g(Bildung)f(der)h(V)l(ereinigung) f(v)o(on)h Fr(A)f Fw(und)h Fr(B)j Fw(deren)108 852 y(Elemen)o(te)e(so)k (um)o(b)q(enann)o(t,)e(da\031)i(nac)o(h)f(der)f(Um)o(b)q(enenn)o(ung)g (k)o(eine)f(ge-)108 910 y(meinsamen)f(Elemen)o(te)g(mehr)h(v)o (orhanden)h(sind.)h(Erst)f(nac)o(hdem)f(man)108 969 y(die)f(Mengen)h (auf)g(diese)f(W)l(eise)g(disjunkt)g(gemac)o(h)o(t)f(hat,)i(wird)f(die) g(V)l(er-)108 1027 y(einigung)h(gebildet.)108 1136 y(Wir)h(b)q(ew)o (eisen)g(jetzt)f(einige)g(Gesetze)847 1138 y(\177)846 1136 y(ub)q(er)i(das)g(Rec)o(hnen)e(mit)f(diesen)108 1194 y(Op)q(erationen,)i(aus)g(denen)f(wir)g(dann)h(die)918 1196 y(\177)916 1194 y(ubrigen)g(Gesetze)f(der)g(Men-)108 1252 y(genalgebra)h(herleiten.)108 1338 y Fu(Satz)i(3.7.)h Fs(F)372 1340 y(\177)372 1338 y(ur)i(gewichtete)j(Mengen)f Fr(A;)8 b(B)s(;)g(C)25 b Fs(gelten)g(folgende)f(Ge-)108 1396 y(setze)19 b(\(Axiome)f(der)f(Mengenalgebr)n(a\):)174 1467 y Fw(\(1\))53 b(\(a\))21 b Fr(A)11 b Fp([)g Fr(B)16 b Fw(=)e Fr(B)g Fp([)d Fr(A)p Fs(,)286 1525 y Fw(\(b\))21 b Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(B)16 b Fw(=)e Fr(B)g Fp(\\)d Fr(A)p Fs(,)17 b(\(Kommutativgesetze\))174 1583 y Fw(\(2\))53 b(\(a\))21 b Fr(A)11 b Fp([)g Fw(\()p Fr(B)j Fp([)d Fr(C)t Fw(\))i(=)h(\()p Fr(A)d Fp([)g Fr(B)s Fw(\))f Fp([)i Fr(C)t Fs(,)286 1641 y Fw(\(b\))21 b Fr(A)11 b Fp(\\)g Fw(\()p Fr(B)j Fp(\\)d Fr(C)t Fw(\))i(=)h(\()p Fr(A)d Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))f Fp(\\)i Fr(C)t Fs(,)17 b(\(Assoziativgesetze\)) 174 1699 y Fw(\(3\))53 b(\(a\))21 b Fr(A)11 b Fp([)g Fw(\()p Fr(B)j Fp(\\)d Fr(C)t Fw(\))i(=)h(\()p Fr(A)d Fp([)g Fr(B)s Fw(\))f Fp(\\)i Fw(\()p Fr(A)e Fp([)i Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)286 1757 y Fw(\(b\))21 b Fr(A)t Fp(\\)t Fw(\()p Fr(B)7 b Fp([)t Fr(C)t Fw(\))14 b(=)g(\()p Fr(A)t Fp(\\)t Fr(B)s Fw(\))t Fp([)t Fw(\()p Fr(A)t Fp(\\)t Fr(C)t Fw(\))p Fs(,)h(\(Distributivgesetze\))174 1815 y Fw(\(4\))21 b Fr(A)10 b Fp([)i(;)h Fw(=)h Fr(A)p Fs(,)j(\(Gesetz)h (von)g(der)g(Identit)1002 1817 y(\177)1002 1815 y(at\))174 1873 y Fw(\(5\))j Fr(A)10 b Fp(\\)i(;)h Fw(=)h Fp(;)p Fs(,)j(\(Dominierungsgesetz\))174 1931 y Fw(\(6\))k Fr(A)10 b Fp([)i Fw(\()p Fr(A)e Fp(\\)i Fr(B)s Fw(\))h(=)h Fr(A)p Fs(,)j(\(A)o(bsorptionsgesetz\))174 1990 y Fw(\(7\))k Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(A)h Fw(=)h Fr(A)p Fs(,)j(\(Idemp)n(otenzgesetz\).) 158 2075 y Fm(Beweis.)j Fw(\(1\))15 b(\(a\))f(Es)h(ist)e(max)o(\()p Fr(\037)794 2082 y Fk(A)822 2075 y Fr(;)8 b(\037)875 2082 y Fk(B)905 2075 y Fw(\)\()p Fr(u)p Fw(\))13 b(=)h(max)o(\()p Fr(\037)1196 2082 y Fk(B)1226 2075 y Fr(;)8 b(\037)1279 2082 y Fk(A)1307 2075 y Fw(\)\()p Fr(u)p Fw(\))14 b(f)1422 2077 y(\177)1421 2075 y(ur)108 2133 y(alle)i Fr(u)d Fp(2)h Fr(U)22 b Fw(zu)16 b(zeigen,)f(also)354 2191 y(max)o(\()p Fr(\037)495 2198 y Fk(A)523 2191 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\037)642 2198 y Fk(B)671 2191 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\)\))14 b(=)g(max)n(\()p Fr(\037)962 2198 y Fk(B)992 2191 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\037)1111 2198 y Fk(A)1139 2191 y Fw(\()p Fr(u)p Fw(\)\))p Fr(;)p eop %%Page: 44 44 44 43 bop 108 117 a Ft(44)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(w)o(as)g(aus)g(der)f(F)l(ormel)e(max)o(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b(=)h(max)o(\()p Fr(b;)8 b(a)p Fw(\))15 b(unmittelbar)f(folgt.)108 283 y(\(1\))j(\(b\))f(folgt)h(aus)g (der)f(F)l(ormel)e(min)n(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b(=)h(min)n(\()p Fr(b;)8 b(a)p Fw(\).)108 341 y(\(2\))17 b(\(a\))f(folgt)h(aus)235 399 y(max)o(\()p Fr(a;)8 b Fw(max)n(\()p Fr(b;)g(c)p Fw(\)\))13 b(=)h(max)o(\()p Fr(a;)8 b(b;)g(c)p Fw(\))k(=)i(max)o(\(max)o(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))p Fr(;)g(c)p Fw(\))p Fr(:)108 458 y Fw(\(2\))17 b(\(b\))f(folgt)h(aus)259 516 y(min)n(\()p Fr(a;)8 b Fw(min)n(\()p Fr(b;)g(c)p Fw(\)\))13 b(=)h(min)n(\()p Fr(a;)8 b(b;)g(c)p Fw(\))13 b(=)g(min)o(\(min)n(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))p Fr(;)g(c)p Fw(\).)108 574 y(\(3\))19 b(\(a\))f(F)302 576 y(\177)301 574 y(ur)g(das)h(Minim)o(um)14 b(und)19 b(Maxim)o(um)14 b(v)o(on)k(Zahlen)g Fr(a;)8 b(b;)g(c)17 b Fw(gilt)108 632 y(das)g(Distributivgesetz)309 690 y(max)o(\()p Fr(a;)8 b Fw(min)m(\()p Fr(b;)g(c)p Fw(\)\))14 b(=)f(min)o(\(max)n(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))p Fr(;)g Fw(max)n(\()p Fr(a;)g(c)p Fw(\)\);)108 748 y(w)o(enn)22 b(man)e(n)380 750 y(\177)380 748 y(amlic)o(h)f(die)i(F)657 750 y(\177)657 748 y(alle)g Fr(a)h Fp(\024)h Fr(b)g Fp(\024)f Fr(c)p Fw(,)f Fr(b)i Fp(\024)g Fr(a)f Fp(\024)h Fr(c)e Fw(und)h Fr(b)h Fp(\024)108 806 y Fr(c)14 b Fp(\024)g Fr(a)i Fw(einsetzt,)f(erh)499 808 y(\177)499 806 y(alt)h(man)g(jew)o (eil)f(die)h(Resultate)f Fr(b)f Fw(=)g Fr(b)p Fw(,)i Fr(a)e Fw(=)g Fr(a)i Fw(und)108 864 y Fr(a)e Fw(=)f Fr(a)p Fw(.)f(W)l(egen)h(der)f(Komm)o(utativi)o(t)791 866 y(\177)791 864 y(at)e(brauc)o(hen)j(k)o(eine)d(w)o(eiteren)i(F)1394 866 y(\177)1394 864 y(alle)108 922 y(diskutiert)g(zu)g(w)o(erden.)g (Ganz)h(analog)h(sieh)o(t)e(man)g(min)n(\()p Fr(a;)c Fw(max)n(\()p Fr(b;)g(c)p Fw(\)\))14 b(=)108 981 y(max)o(\(min)n(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))p Fr(;)g Fw(min)n(\()p Fr(a;)g(c)p Fw(\)\).)108 1039 y(\(4\))17 b(und)f(\(5\))h(folgen)f(aus)h(max)o(\()p Fr(a;)8 b Fw(0\))14 b(=)f Fr(a)j Fw(bzw.)g(min)n(\()p Fr(a;)8 b Fw(0\))14 b(=)g(0.)108 1097 y(\(6\))j(folgt)f(aus)h(max)o(\() p Fr(a;)8 b Fw(min)n(\()p Fr(a;)g(b)p Fw(\)\))13 b(=)g Fr(a)p Fw(.)108 1155 y(\(7\))k(folgt)f(aus)h(min)o(\()p Fr(a;)8 b(a)p Fw(\))k(=)i Fr(a)p Fw(.)p 732 1128 33 2 v 732 1157 2 30 v 763 1157 V 732 1159 33 2 v 108 1238 a Fu(Satz)19 b(3.8.)h Fs(Es)d(ist)h Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)20 b Fs(genau)f(dann,)f(wenn)h Fr(A)10 b Fp(\\)h Fr(B)17 b Fw(=)d Fr(A)p Fs(.)158 1322 y Fm(Beweis.)20 b Fw(Es)f(ist)f Fr(a)f Fp(\024)g Fr(b)h Fw(genau)h(dann,)f(w)o(enn)g (min)o(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))16 b(=)h Fr(a)p Fw(.)h(Also)108 1380 y(ist)e(auc)o(h)g Fr(\037)322 1387 y Fk(A)364 1380 y Fp(\024)e Fr(\037)448 1387 y Fk(B)494 1380 y Fw(genau)j(dann,)f(w)o (enn)g(min)o(\()p Fr(\037)1028 1387 y Fk(A)1056 1380 y Fr(;)8 b(\037)1109 1387 y Fk(B)1138 1380 y Fw(\))14 b Fp(\024)g Fr(\037)1255 1387 y Fk(A)1283 1380 y Fw(.)p 1345 1353 V 1345 1382 2 30 v 1376 1382 V 1345 1384 33 2 v 108 1514 a(Man)19 b(k)249 1516 y(\177)249 1514 y(onn)o(te)g(durc)o (h)g(die)f(im)f(Satz)j(angegeb)q(ene)f(Bedingung)g(den)g(Be-)108 1572 y(gri\013)e(der)g(gewic)o(h)o(teten)e(T)l(eilmenge)f(auc)o(h)j (einf)988 1574 y(\177)987 1572 y(uhren)f(\(de\014nieren\))f(und)108 1630 y(brauc)o(h)o(te)22 b(dann)h(garnic)o(h)o(ts)f(zu)g(b)q(ew)o (eisen.)f(Wir)h(hab)q(en)h(hier)e(also)i(le-)108 1688 y(diglic)o(h)269 1690 y(\177)267 1688 y(ub)q(erpr)410 1690 y(\177)409 1688 y(uft,)d(da\031)g(unsere)g(obige)f(De\014nition)g (sic)o(h)g(v)o(ern)1309 1690 y(\177)1308 1688 y(uftig)g(in)108 1746 y(die)12 b(En)o(t)o(wic)o(klung)f(der)i(Rec)o(henregeln)e(der)h (Mengenalgebra)h(einf)1327 1748 y(\177)1326 1746 y(ugt.)f(In)108 1805 y(den)j(sp)245 1807 y(\177)245 1805 y(ateren)g(Bew)o(eisen)d(w)o (erden)i(wir)h(aussc)o(hlie\031lic)o(h)e(auf)i(die)f(im)e(Satz)108 1863 y(gegeb)q(ene)h(Charakterisierung)f(einer)f(gewic)o(h)o(teten)g(T) l(eilmenge)e(zur)1378 1865 y(\177)1377 1863 y(uc)o(k-)108 1921 y(greifen,)j(d.h.)h(den)g(obigen)g(Satz)h(als)f(De\014nition)g (des)h(Begri\013es)e(der)h(T)l(eil-)108 1979 y(menge)i(ansehen.)108 2063 y Fu(Satz)k(3.9.)h Fs(\(Die)452 2065 y(\177)451 2063 y(ubrigen)f(R)n(e)n(chenr)n(e)n(geln)f(der)g(Mengenalgebr)n(a\)) 174 2133 y Fw(\(1\))j Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(A)p Fs(.)174 2191 y Fw(\(2\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)20 b Fs(und)e Fr(B)e Fp(\032)e Fr(C)21 b Fp(\))c Fr(A)c Fp(\032)h Fr(C)t Fs(.)p eop %%Page: 45 45 45 44 bop 206 117 a Ft(3.)18 b(MUL)m(TIMENGEN)g(UND)f(FUZZY-MENGEN)j (\(FUZZY)f(SETS\))57 b(45)174 225 y Fw(\(3\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)20 b Fs(und)e Fr(B)e Fp(\032)e Fr(A)j Fp(\))g Fr(A)c Fw(=)h Fr(B)s Fs(.)174 283 y Fw(\(4\))21 b Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(B)k Fp(\032)e Fr(A)p Fs(.)174 341 y Fw(\(5\))21 b Fr(A)10 b Fp(\\)i Fw(\()p Fr(A)e Fp([)i Fr(B)s Fw(\))h(=)h Fr(A)f Fw(=)h Fr(A)d Fp([)g Fw(\()p Fr(A)f Fp(\\)i Fr(B)s Fw(\))p Fs(.)174 399 y Fw(\(6\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(A)c Fp([)i Fr(B)s Fs(.)174 458 y Fw(\(7\))21 b Fr(A)10 b Fp([)i Fr(A)h Fw(=)h Fr(A)p Fs(.)174 516 y Fw(\(8\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)20 b Fp(,)d Fr(A)11 b Fp([)g Fr(B)16 b Fw(=)e Fr(B)s Fs(.)174 574 y Fw(\(9\))21 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(B)20 b Fp(\))d Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(C)17 b Fp(\032)d Fr(B)f Fp(\\)f Fr(C)t Fs(,)17 b Fr(A)10 b Fp([)h Fr(C)18 b Fp(\032)13 b Fr(B)h Fp([)d Fr(C)t Fs(.)149 632 y Fw(\(10\))22 b Fr(C)17 b Fp(\032)d Fr(A)j Fs(und)h Fr(C)f Fp(\032)c Fr(B)20 b Fp(\))e Fr(C)f Fp(\032)d Fr(A)c Fp(\\)h Fr(B)s Fs(.)149 690 y Fw(\(11\))22 b Fr(A)13 b Fp(\032)h Fr(C)21 b Fs(und)d Fr(B)e Fp(\032)e Fr(C)20 b Fp(\))e Fr(A)10 b Fp([)i Fr(B)k Fp(\032)e Fr(C)t Fs(.)149 748 y Fw(\(12\))22 b Fp(;)14 b(\032)f Fr(A)p Fs(.)149 806 y Fw(\(13\))22 b Fr(A)13 b Fp(\032)h(;)j(\))g Fr(A)d Fw(=)g Fp(;)p Fs(.)158 913 y Fm(Beweis.)20 b Fw(Wir)d(w)o(erden)g(k)o (eine)e(sp)q(eziellen)h(Hin)o(w)o(eise)f(auf)j(die)e(Kom-)108 971 y(m)o(utativgesetze)e(und)i(die)g(Assoziativit)869 973 y(\177)869 971 y(atsgesetze)f(geb)q(en.)h(Alle)e(ande-)108 1029 y(ren)f(Gesetze)g(w)o(erden,)f(w)o(o)h(sie)g(im)f(Bew)o(eis)g (angew)o(endet)h(w)o(erden,)f(durc)o(h)108 1087 y(ihre)k(Numerierung)e (zitiert)g(w)o(erden.)108 1145 y(\(1\))j Fr(A)10 b Fp(\\)i Fr(A)h Fw(=)h Fr(A)i Fp(\))p Fw(\(3.8\))g Fr(A)d Fp(\032)h Fr(A)p Fw(.)108 1203 y(\(2\))22 b Fr(A)f Fp(\032)h Fr(B)h Fw(und)e Fr(B)k Fp(\032)d Fr(C)i Fp(\))p Fw(\(3.8\))d Fr(A)14 b Fp(\\)g Fr(B)25 b Fw(=)d Fr(A)e Fw(und)h Fr(B)c Fp(\\)e Fr(C)25 b Fw(=)d Fr(B)108 1262 y Fp(\))17 b Fr(A)12 b Fp(\\)g Fr(C)20 b Fw(=)d(\()p Fr(A)11 b Fp(\\)i Fr(B)s Fw(\))f Fp(\\)g Fr(C)20 b Fw(=)d Fr(A)12 b Fp(\\)g Fw(\()p Fr(B)j Fp(\\)d Fr(C)t Fw(\))k(=)h Fr(A)12 b Fp(\\)g Fr(B)19 b Fw(=)e Fr(A)g Fp(\))p Fw(\(3.8\))108 1320 y Fr(A)d Fp(\032)f Fr(C)t Fw(.)108 1378 y(\(3\))18 b Fr(A)f Fp(\032)f Fr(B)21 b Fw(und)d Fr(B)h Fp(\032)d Fr(A)i Fp(\))g Fr(A)11 b Fp(\\)i Fr(B)19 b Fw(=)e Fr(A)g Fw(und)h Fr(B)d Fp(\\)e Fr(A)j Fw(=)g Fr(B)21 b Fp(\))16 b Fr(A)h Fw(=)108 1436 y Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(B)17 b Fw(=)c Fr(B)h Fp(\\)d Fr(A)j Fw(=)f Fr(B)s Fw(.)108 1494 y(\(4\))k(\()p Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))g Fp(\\)g Fr(A)j Fw(=)g Fr(A)c Fp(\\)i Fw(\()p Fr(A)e Fp(\\)i Fr(B)s Fw(\))h(=)h(\()p Fr(A)d Fp(\\)g Fr(A)p Fw(\))g Fp(\\)g Fr(B)17 b Fw(=\(3.7\(7\)\))g Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(B)108 1552 y Fp(\))p Fw(\(3.8\))17 b(Beh.)108 1610 y(\(5\))24 b Fr(A)16 b Fp(\\)h Fw(\()p Fr(A)f Fp([)g Fr(B)s Fw(\))26 b(=\(3.7\(3\))f(\(b\)\))f(\()p Fr(A)16 b Fp(\\)g Fr(A)p Fw(\))g Fp([)g Fw(\()p Fr(A)g Fp(\\)h Fr(B)s Fw(\))26 b(=\(3.7\(7\)\))108 1668 y Fr(A)11 b Fp([)g Fw(\()p Fr(A)g Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))i(=\(3.7\(6\)\))k Fr(A)p Fw(.)108 1726 y(\(6\))g Fr(A)10 b Fp(\\)i Fw(\()p Fr(A)e Fp([)i Fr(B)s Fw(\))h(=)h Fr(A)f Fp(\))p Fw(\(3.8\))k(Beh.)108 1785 y(\(7\))g Fr(A)10 b Fp([)i Fr(A)h Fw(=\(3.7\(7\)\))k Fr(A)11 b Fp([)g Fw(\()p Fr(A)f Fp(\\)i Fr(A)p Fw(\))h(=\(3.7\(6\)\))k Fr(A)p Fw(.)108 1843 y(\(8\))d Fr(A)g Fp(\032)f Fr(B)j Fp(\))p Fw(\(3.8\))e Fr(A)5 b Fp(\\)g Fr(B)17 b Fw(=)d Fr(A)f Fp(\))g Fw(\()p Fr(A)5 b Fp([)g Fr(B)s Fw(\))g Fp(\\)g Fr(B)18 b Fw(=\(5\))c(\()p Fr(A)5 b Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))g Fp([)g Fr(B)18 b Fw(=)108 1901 y Fr(A)13 b Fp([)g Fr(B)21 b Fp(\))p Fw(\(3.8\))e Fr(A)13 b Fp([)g Fr(B)21 b Fp(\032)d Fr(B)k Fw(und)d(\(6\))g Fp(\))f Fr(A)13 b Fp([)g Fr(B)21 b Fw(=)d Fr(B)s Fw(.)g(Umgek)o(ehrt)108 1959 y(gilt)e Fr(A)11 b Fp(\\)g Fr(B)16 b Fw(=)e Fr(A)d Fp(\\)g Fw(\()p Fr(A)g Fp([)g Fr(B)s Fw(\))i(=\(5\))k Fr(A)f Fp(\))p Fw(\(3.8\))g Fr(A)d Fp(\032)h Fr(B)s Fw(.)108 2017 y(\(9\))i Fr(A)10 b Fp(\\)g Fr(C)k Fp(\\)c Fr(B)j Fp(\\)d Fr(C)17 b Fw(=)d Fr(A)c Fp(\\)g Fr(B)j Fp(\\)d Fr(C)k Fp(\\)c Fr(C)17 b Fw(=)d Fr(A)c Fp(\\)g Fr(C)t Fw(,)15 b Fr(A)9 b Fp([)i Fr(C)i Fp([)d Fr(B)j Fp([)d Fr(C)18 b Fw(=)108 2075 y Fr(A)11 b Fp([)g Fr(B)j Fp([)d Fr(C)k Fp([)c Fr(C)17 b Fw(=\(8\))g Fr(B)c Fp([)f Fr(C)19 b Fp(\))p Fw(\(8\))e(Beh.)108 2133 y(\(10\))h Fr(C)h Fp(\032)c Fr(A)i Fw(und)h Fr(C)g Fp(\032)e Fr(B)j Fp(\))p Fw(\(3.8\))f Fr(C)d Fp(\\)d Fr(A)j Fw(=)g Fr(C)21 b Fw(und)c Fr(C)e Fp(\\)d Fr(B)18 b Fw(=)e Fr(C)j Fp(\))108 2191 y Fr(C)c Fp(\\)c Fw(\()p Fr(A)g Fp(\\)g Fr(B)s Fw(\))i(=)h(\()p Fr(C)h Fp(\\)c Fr(A)p Fw(\))f Fp(\\)i Fr(B)k Fw(=)e Fr(C)g Fp(\\)e Fr(B)k Fw(=)e Fr(C)j Fp(\))p Fw(\(3.8\))g Fr(C)g Fp(\032)c Fr(A)e Fp(\\)g Fr(B)s Fw(.)p eop %%Page: 46 46 46 45 bop 108 117 a Ft(46)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(\(11\))j Fr(A)d Fp(\032)h Fr(C)k Fw(und)d Fr(B)i Fp(\032)d Fr(C)k Fp(\))p Fw(\(8\))d Fr(A)12 b Fp([)h Fr(C)21 b Fw(=)d Fr(C)23 b Fw(und)c Fr(B)c Fp([)e Fr(C)21 b Fw(=)d Fr(C)k Fp(\))108 283 y Fw(\()p Fr(A)11 b Fp([)g Fr(B)s Fw(\))g Fp([)g Fr(C)17 b Fw(=)d Fr(A)d Fp([)g Fw(\()p Fr(B)j Fp([)d Fr(C)t Fw(\))i(=)h Fr(A)d Fp([)g Fr(C)17 b Fw(=)d Fr(C)j Fp(\))p Fw(\(8\))g Fr(A)10 b Fp([)i Fr(B)k Fp(\032)e Fr(C)t Fw(.)108 341 y(\(12\))j Fp(;)11 b(\\)g Fr(A)j Fw(=)g Fp(;)p Fw(\(3.7\(5\)\))i Fp(\))p Fw(\(3.8\))h(Beh.)108 399 y(\(13\))g Fr(A)d Fp(\032)f(;)h(\))p Fw(\(3.8\))i Fr(A)e Fw(=)f Fr(A)e Fp(\\)g(;)j Fw(=\(3.7\(5\)\))j Fp(;)p Fw(.)p 1056 372 33 2 v 1056 402 2 30 v 1087 402 V 1056 404 33 2 v 108 548 a(W)l(enn)28 b(die)f(Menge)g Fr(G)h Fw(b)q(ez)654 550 y(\177)653 548 y(uglic)o(h)e(w)o(eiterer)g(V)l (erkn)1131 550 y(\177)1130 548 y(upfungen)h(abge-)108 606 y(sc)o(hlossen,)18 b(w)o(enn)g(also)h(w)o(eitere)d(Abbildungen)i Fr(G)13 b Fp(\002)f Fr(G)18 b Fp(\000)-9 b(!)17 b Fr(G)i Fw(\(au\031er)108 664 y(max)k(und)i(min\))e(gegeb)q(en)h(sind,)g(so)841 666 y(\177)840 664 y(ub)q(ertragen)h(sic)o(h)e(diese)h(jew)o(eils)108 722 y(auc)o(h)14 b(auf)h(en)o(tsprec)o(hend)e(gewic)o(h)o(tete)f (Mengen.)h(So)i(hab)q(en)g(wir)f(die)f(dis-)108 780 y(junkte)18 b(V)l(ereinigung)f(v)o(on)h(Multimengen)e(ob)q(en)j(aus)f(der)g (Addition)g(in)108 838 y(den)23 b(nat)278 840 y(\177)277 838 y(urlic)o(hen)f(Zahlen)g(erhalten.)g(Da)h(so)o(w)o(ohl)g Fn(N)1126 845 y Fq(0)1167 838 y Fw(als)g(auc)o(h)g([0)p Fr(;)8 b Fw(1])108 896 y(als)15 b(auc)o(h)g Fp(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)16 b Fw(gegen)550 898 y(\177)549 896 y(ub)q(er)f(der)g(Multiplik)m(ation)f(abgesc)o(hlossen)h(sind,)108 955 y(k)m(ann)23 b(man)d(das)j Fs(Pr)n(o)n(dukt)i Fw(v)o(on)d(diesen)f (gewic)o(h)o(teten)f(Mengen)h(bilden)108 1013 y(durc)o(h)g Fr(\037)281 1020 y Fk(A)p Ff(\001)p Fk(B)371 1013 y Fw(:=)h Fr(\037)476 1020 y Fk(A)519 1013 y Fp(\001)14 b Fr(\037)578 1020 y Fk(B)608 1013 y Fw(,)22 b(eb)q(enso)g(die)f(P)o(otenz)g Fr(\037)1090 1020 y Fk(A)1116 1011 y Fc(p)1159 1013 y Fw(:=)i(\()p Fr(\037)1284 1020 y Fk(A)1312 1013 y Fw(\))1331 995 y Fk(p)1350 1013 y Fw(.)f(Das)108 1071 y(Pro)q(dukt)16 b(en)o(tspric)o(h)o(t)d(allerdings)i(nic)o(h)o(t)e(dem)h(in)g(2)i(b)q (espro)q(c)o(henen)f(\(k)m(ar-)108 1129 y(tesic)o(hen\))k(Pro)q(dukt)i (v)o(on)f(Mengen.)f(F)843 1131 y(\177)842 1129 y(ur)h(gew)989 1131 y(\177)989 1129 y(ohnlic)o(he)g(Mengen,)f(also)108 1187 y(f)124 1189 y(\177)123 1187 y(ur)j Fr(G)i Fw(=)f Fp(f)p Fw(0)p Fr(;)8 b Fw(1)p Fp(g)p Fw(,)22 b(ist)g(das)g(so)h (de\014nierte)d(Pro)q(dukt)j(der)f(Durc)o(hsc)o(hnit)108 1245 y(w)o(egen)16 b Fr(\037)284 1252 y Fk(A)323 1245 y Fp(\001)11 b Fr(\037)379 1252 y Fk(B)423 1245 y Fw(=)j(min)n(\()p Fr(\037)606 1252 y Fk(A)634 1245 y Fr(;)8 b(\037)687 1252 y Fk(B)717 1245 y Fw(\).)16 b(Insb)q(esondere)g(ist)g Fr(\037)1155 1222 y Fk(p)1155 1257 y(A)1197 1245 y Fw(=)e Fr(\037)1280 1252 y Fk(A)1308 1245 y Fw(.)108 1359 y(Bei)27 b(F)l(uzzy-Mengen)f(nenn)o(t)h(man)g(das)h(Quadrat)g Fr(A)1149 1341 y Fq(2)1196 1359 y Fw(einer)e(F)l(uzzy-)108 1417 y(Menge)19 b Fr(A)g Fw(auc)o(h)h(ihre)f Fs(Konzentr)n(ation)t Fw(.)g(Dann)i(ist)e Fr(A)1125 1399 y Fq(2)1164 1417 y Fp(\032)g Fr(A)p Fw(,)f(w)o(eil)g(alle)108 1476 y(W)l(erte)d(v)o(on)f Fr(\037)372 1483 y Fk(A)416 1476 y Fw(kleiner)f(als)i(1)g(sind.)g(Man)g (v)o(erw)o(endet)f Fr(A)1179 1457 y Fq(2)1213 1476 y Fw(oft,)h(um)f(eine)108 1534 y(st)146 1536 y(\177)146 1534 y(ark)o(ere)20 b(Eigensc)o(haft)563 1563 y(")586 1534 y(sehr)m(\\)k(auszudr)884 1536 y(\177)883 1534 y(uc)o(k)o(en.)c (In)g(unserem)g(Beispiel)108 1592 y(der)j(w)o(armen)f(T)l(emp)q (eraturen)g(nenn)o(t)h(man)f(dann)i(die)f(F)l(uzzy-Menge)108 1650 y(der)16 b(T)l(emp)q(eraturen)200 1892 y Fr(\037)231 1900 y Fk(W)269 1891 y Fe(2)289 1892 y Fw(\()p Fr(x)p Fw(\))d(=)420 1705 y Fi(8)420 1742 y(>)420 1755 y(>)420 1767 y(>)420 1780 y(>)420 1792 y(>)420 1804 y(>)420 1817 y(>)420 1829 y(>)420 1842 y(<)420 1917 y(>)420 1929 y(>)420 1941 y(>)420 1954 y(>)420 1966 y(>)420 1979 y(>)420 1991 y(>)420 2004 y(>)420 2016 y(:)457 1747 y Fw(0)p Fr(;)525 b Fw(f)1036 1749 y(\177)1035 1747 y(ur)17 b Fr(x)c Fp(\024)h Fw(8)p Fr(;)457 1842 y Fw(4)489 1781 y Fi(\022)525 1808 y Fr(x)d Fp(\000)g Fw(8)p 525 1830 113 2 v 557 1876 a(24)643 1781 y Fi(\023)674 1789 y Fq(4)702 1842 y Fr(;)304 b Fw(f)1036 1844 y(\177)1035 1842 y(ur)17 b(8)d Fp(\024)f Fr(x)h Fp(\024)g Fw(20)p Fr(;)457 1953 y Fw(\(1)d Fp(\000)g Fw(2)593 1893 y Fi(\022)629 1920 y Fr(x)g Fp(\000)g Fw(32)p 629 1942 138 2 v 674 1987 a(24)772 1893 y Fi(\023)802 1901 y Fq(2)822 1953 y Fw(\))841 1935 y Fq(2)861 1953 y Fr(;)145 b Fw(f)1036 1955 y(\177)1035 1953 y(ur)17 b(20)d Fp(\024)g Fr(x)f Fp(\024)h Fw(32)p Fr(;)457 2039 y Fw(1)539 b(f)1036 2041 y(\177)1035 2039 y(ur)17 b(32)d Fp(\024)g Fr(x:)108 2163 y Fw(")131 2133 y(sehr)23 b(w)o(arm)m(\\)s(.)e (W)l(enn)i(man)f(v)o(erein)o(bart,)f(eine)h(T)l(emp)q(eratur)g(erst)h (ab)108 2191 y(einem)16 b(Grad)i(der)g(Zugeh)593 2193 y(\177)593 2191 y(origk)o(eit)f(v)o(on)h(0.5)g(als)g(w)o(arm)f(zu)h(b)q (ezeic)o(hnen,)p eop %%Page: 47 47 47 46 bop 206 117 a Ft(3.)18 b(MUL)m(TIMENGEN)g(UND)f(FUZZY-MENGEN)j (\(FUZZY)f(SETS\))57 b(47)108 225 y Fw(so)17 b(sind)g(die)e(T)l(emp)q (eraturen)669 227 y(\177)667 225 y(ub)q(er)i(20)828 207 y Ff(\016)865 225 y Fw(C)f(als)990 255 y(")1012 225 y(w)o(arm)m(\\)j (zu)d(b)q(ezeic)o(hnen)108 283 y(und)h(die)e(T)l(emp)q(eraturen)603 285 y(\177)601 283 y(ub)q(er)i(22)p Fr(:)p Fw(8)800 265 y Ff(\016)837 283 y Fw(C)f(als)961 313 y(")984 283 y(sehr)g(w)o(arm)m (\\)s(.)108 385 y(W)l(enn)g(das)g(Univ)o(ersum)d Fr(U)21 b Fw(als)16 b(Menge)f(aller)f(Mensc)o(hen)h(gew)1272 387 y(\177)1272 385 y(ahlt)h(wird)108 443 y(und)g(die)e(F)l(uzzy-)g (Mengen)h Fr(A)g Fw(der)g(alten)f(Mensc)o(hen)g(und)i Fr(J)j Fw(der)c(jungen)108 501 y(Mensc)o(hen)23 b(b)q(ek)m(ann)o(t)h (ist,)f(dann)h(k)m(ann)h(man)e(die)g(F)l(uzzy-Mengen)f Fr(A)1447 483 y Fq(2)108 559 y Fw(der)i(sehr)f(alten)h(Mensc)o(hen,)e Fr(J)718 541 y Fq(2)761 559 y Fw(der)h(sehr)h(jungen)g(Mensc)o(hen,)e Fr(A)1412 541 y Fq(1)p Fk(=)p Fq(2)108 618 y Fw(der)16 b(et)o(w)o(as)325 620 y(\177)325 618 y(alteren)g(Mensc)o(hen,)e Fr(J)758 600 y Fq(1)p Fk(=)p Fq(2)829 618 y Fw(der)i(mehr)e(o)q(der)j (w)o(eniger)e(jungen)108 676 y(Mensc)o(hen,)21 b Fr(U)f Fp(n)15 b Fr(J)478 658 y Fq(2)520 676 y Fw(der)22 b(nic)o(h)o(t)f(sehr) h(alten)g(Mensc)o(hen)f(usw.)h(bilden,)108 734 y(w)o(ob)q(ei)16 b Fr(A)9 b Fp(n)h Fr(B)18 b Fw(de\014niert)d(ist)h(durc)o(h)f Fr(\037)809 742 y Fk(A)p Ff(n)p Fk(B)897 734 y Fw(:=)e(max)o(\()p Fr(\037)1103 741 y Fk(A)1141 734 y Fp(\000)c Fr(\037)1220 741 y Fk(B)1250 734 y Fr(;)f Fw(0\))16 b(und)g Fr(U)108 792 y Fw(durc)o(h)g Fr(\037)276 799 y Fk(U)319 792 y Fw(=)e(1.)108 875 y Fu(De\014nition)k(3.10.)i Fw(Seien)h Fr(A)676 882 y Fq(1)695 875 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(A)850 882 y Fk(n)895 875 y Fw(gewic)o(h)o(tete)20 b(Mengen)i(in)g (den)108 933 y(Univ)o(ersen)12 b Fr(U)365 940 y Fq(1)385 933 y Fr(;)c(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(U)536 940 y Fk(n)559 933 y Fw(.)14 b(Das)g Fs(kartesische)j(Pr)n(o)n(dukt)g Fr(A)1146 940 y Fq(1)1172 933 y Fp(\002)6 b Fr(:)i(:)g(:)d Fp(\002)h Fr(A)1362 940 y Fk(n)1399 933 y Fw(der)108 991 y(Mengen)16 b Fr(A)328 998 y Fq(1)347 991 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(A)502 998 y Fk(n)541 991 y Fw(wird)16 b(de\014niert)g(durc)o(h)226 1074 y Fr(\037)257 1081 y Fk(A)283 1086 y Fe(1)300 1081 y Ff(\002)p Fk(:::)p Ff(\002)p Fk(A)410 1085 y Fc(n)434 1074 y Fw(\()p Fr(u)481 1081 y Fq(1)501 1074 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(u)646 1081 y Fk(n)669 1074 y Fw(\))14 b(:=)f(min)o(\()p Fr(\037)899 1081 y Fk(A)925 1086 y Fe(1)944 1074 y Fw(\()p Fr(u)991 1081 y Fq(1)1011 1074 y Fw(\))p Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\037)1178 1081 y Fk(A)1204 1085 y Fc(n)1227 1074 y Fw(\()p Fr(u)1274 1081 y Fk(n)1298 1074 y Fw(\)\))p Fr(:)108 1201 y Fw(Gelegen)o(tlic)o(h)31 b(v)o(erw)o(endet)h(man)g(b)q (ei)h(der)g(De\014nition)g(des)h(Durc)o(h-)108 1259 y(sc)o(hnitts)16 b(statt)h(des)f(Minim)o(um)o(s)e(auc)o(h)i(das)h(Pro)q(dukt)h(in)e Fr(G)p Fw(.)g(Dann)h(v)o(er-)108 1317 y(w)o(endet)g(man)g(b)q(ei)g(der) g(De\014nition)g(des)g(k)m(artesisc)o(hen)g(Pro)q(dukts)h(eb)q(en-)108 1375 y(falls)h(das)g(Pro)q(dukt)h(in)e Fr(G)p Fw(,)h(also)g Fr(\037)759 1382 y Fk(A)785 1387 y Fe(1)802 1382 y Ff(\002)p Fk(:::)p Ff(\002)p Fk(A)912 1386 y Fc(n)936 1375 y Fw(\()p Fr(u)983 1382 y Fq(1)1003 1375 y Fr(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(u)1149 1382 y Fk(n)1172 1375 y Fw(\))18 b(:=)f Fr(\037)1309 1382 y Fk(A)1335 1387 y Fe(1)1355 1375 y Fw(\()p Fr(u)1402 1382 y Fq(1)1421 1375 y Fw(\))c Fp(\001)108 1434 y Fr(:)8 b(:)g(:)j Fp(\001)f Fr(\037)232 1441 y Fk(A)258 1445 y Fc(n)282 1434 y Fw(\()p Fr(u)329 1441 y Fk(n)352 1434 y Fw(\))p Fr(:)108 1517 y Fu(De\014nition)18 b(3.11.)i Fw(Sei)f Fr(U)25 b Fw(=)20 b Fr(U)737 1524 y Fq(1)771 1517 y Fp(\002)13 b Fr(:)8 b(:)g(:)13 b Fp(\002)g Fr(U)979 1524 y Fk(n)1023 1517 y Fw(ein)19 b(\(mengen)o(theoreti-)108 1575 y(sc)o(hes)14 b(o)q(der)i(k)m(artesisc)o(hes\))d(Pro)q(dukt)j(v)o (on)e(Univ)o(ersen.)f(Eine)h Fs(gewichtete)108 1633 y(R)n(elation)i Fr(R)g Fw(ist)f(eine)f(gewic)o(h)o(tete)g(\(T)l(eil-\)Menge)f(v)o(on)j Fr(U)5 b Fw(.)15 b(Ist)g Fr(n)f Fw(=)g(2,)h(so)108 1691 y(hei\031t)f(die)f(gewic)o(h)o(tete)g(Relation)g Fr(R)i Fw(auc)o(h)f Fs(gewichtete)k(bin)1195 1693 y(\177)1195 1691 y(ar)n(e)e(R)n(elation)p Fw(.)108 1749 y(Die)j Fs(Komp)n(osition) 24 b Fw(o)q(der)c Fs(V)l(erkn)729 1751 y(\177)729 1749 y(upfung)i Fr(R)14 b Fp(\016)f Fr(S)23 b Fw(\(in)c Fr(U)g Fp(\002)13 b Fr(W)7 b Fw(\))20 b(v)o(on)f(ge-)108 1807 y(wic)o(h)o(teten)14 b(bin)395 1809 y(\177)395 1807 y(aren)h (Relationen)g Fr(R)h Fw(in)f Fr(U)g Fp(\002)9 b Fr(V)27 b Fw(und)15 b Fr(S)k Fw(in)c Fr(V)20 b Fp(\002)9 b Fr(W)23 b Fw(wird)108 1865 y(de\014niert)16 b(durc)o(h)244 1948 y Fr(\037)275 1955 y Fk(R)p Ff(\016)p Fk(S)344 1948 y Fw(\()p Fr(u;)8 b(w)q Fw(\))14 b(:=)f(max)o Fp(f)p Fw(min)n(\()p Fr(\037)794 1955 y Fk(R)822 1948 y Fw(\()p Fr(u;)8 b(v)r Fw(\))p Fr(;)g(\037)989 1955 y Fk(S)1013 1948 y Fw(\()p Fr(v)r(;)g(w)q Fw(\)\))p Fp(j)p Fr(v)14 b Fp(2)g Fr(V)e Fp(g)p Fr(:)108 2075 y Fw(Wir)h(b)q(etrac)o(h)o(ten)g(in)g(den)g (letzten)f(De\014nitionen)h(dieses)g(Absc)o(hnitts)g(n)o(ur)108 2133 y(no)q(c)o(h)20 b(F)l(uzzy-)e(Mengen.)g(F)619 2135 y(\177)618 2133 y(ur)i(die)e(k)m(ann)i(man)e(F)l(uzzy-)1144 2123 y(\177)1138 2133 y(Aquiv)m(alenzrela-)108 2191 y(tionen,)e(-Ordn)o (ungen)g(und)h(-)g(Abbildungen)e(de\014nieren.)p eop %%Page: 48 48 48 47 bop 108 117 a Ft(48)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fu(De\014nition)h(3.12.)i Fw(Eine)15 b(bin)685 227 y(\177)685 225 y(are)g(F)l(uzzy-Relation)g Fr(R)h Fw(in)f Fr(U)g Fp(\002)10 b Fr(U)21 b Fw(hei\031t)157 283 y Fs(r)n(e\015exiv)p Fw(,)16 b(w)o(enn)g Fp(8)p Fr(u)c Fp(2)i Fr(U)5 b Fw([)p Fr(\037)663 290 y Fk(R)692 283 y Fw(\()p Fr(u;)j(u)p Fw(\))13 b(=)h(1],)157 341 y Fs(symmetrisch)p Fw(,)h(w)o(enn)h Fp(8)p Fr(u;)8 b(u)684 323 y Ff(0)708 341 y Fp(2)14 b Fr(U)5 b Fw([)p Fr(\037)838 348 y Fk(R)866 341 y Fw(\()p Fr(u;)j(u)963 323 y Ff(0)974 341 y Fw(\))14 b(=)g Fr(\037)1090 348 y Fk(R)1118 341 y Fw(\()p Fr(u)1165 323 y Ff(0)1177 341 y Fr(;)8 b(u)p Fw(\)],)157 399 y Fs(antisymmetrisch)p Fw(,)16 b(w)o(enn)206 458 y Fp(8)p Fr(u;)8 b(u)313 439 y Ff(0)336 458 y Fp(2)14 b Fr(U)5 b Fw([)p Fr(\037)466 465 y Fk(R)495 458 y Fw(\()p Fr(u;)j(u)592 439 y Ff(0)603 458 y Fw(\))13 b Fr(>)h Fw(0)e Fp(^)f Fr(\037)798 465 y Fk(R)826 458 y Fw(\()p Fr(u)873 439 y Ff(0)885 458 y Fr(;)d(u)p Fw(\))13 b Fr(>)h Fw(0)g(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(u)h Fw(=)g Fr(u)1272 439 y Ff(0)1283 458 y Fw(],)157 516 y Fs(tr)n(ansitiv)p Fw(,)i(w)o(enn)206 574 y Fp(8)p Fr(u;)8 b(u)313 556 y Ff(0)322 574 y Fr(;)g(u)372 556 y Ff(00)407 574 y Fp(2)14 b Fr(U)5 b Fw([)p Fr(\037)537 581 y Fk(R)565 574 y Fw(\()p Fr(u;)j(u)662 556 y Ff(0)o(0)683 574 y Fw(\))14 b Fp(\025)f Fw(min)o(\()p Fr(\037)900 581 y Fk(R)928 574 y Fw(\()p Fr(u;)8 b(u)1025 556 y Ff(0)1036 574 y Fw(\))p Fr(;)g(\037)1108 581 y Fk(R)1136 574 y Fw(\()p Fr(u)1183 556 y Ff(0)1195 574 y Fr(;)g(u)1245 556 y Ff(0)o(0)1266 574 y Fw(\)\)].)108 632 y(Eine)21 b(re\015exiv)o(e,)d(symmetri)o(sc)o(he)f(F)l(uzzy-Relation)j(hei\031t)g Fs(N)1245 634 y(\177)1245 632 y(ahe-Bezie-)108 690 y(hung)p Fw(.)c(Eine)e(re\015exiv)o(e,)f(symmetri)o(sc)o(he)f(und)j(transitiv)o (e)f(F)l(uzzy-)g(Relati-)108 748 y(on)h(hei\031t)302 737 y Fs(\177)294 748 y(Ahnlichkeits-R)n(elation)p Fw(.)h(Der)e Fs(tr)n(ansitive)i(A)o(bschlu\031)f Fr(R)1319 730 y Fq(+)1364 748 y Fw(einer)108 806 y(re\015exiv)o(en)f(F)l(uzzy-Relation)h Fr(R)i Fw(ist)f(de\014niert)g(durc)o(h)428 889 y Fr(R)465 869 y Fq(+)509 889 y Fw(:=)d(sup\()p Fr(R;)8 b(R)762 869 y Fq(2)783 889 y Fr(;)g(R)842 869 y Fq(3)862 889 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(R)1017 869 y Fk(n)1041 889 y Fr(;)g(:)g(:)g(:)f Fw(\))108 972 y(mit)15 b Fr(R)235 954 y Fk(n)p Fq(+1)318 972 y Fw(=)e Fr(R)406 954 y Fk(n)441 972 y Fp(\016)e Fr(R)p Fw(.)108 1102 y(F)141 1104 y(\177)140 1102 y(ur)22 b(diese)f(De\014nitionen)h(w)o(ollen)f(wir)g(k)o(eine)g(w) o(eiteren)f(Beispiele)g(an-)108 1160 y(geb)q(en.)h(Sie)g(hab)q(en)h (jedo)q(c)o(h)f(eine)f(w)o(eitreic)o(hende)e(Bedeutung)j(f)1338 1162 y(\177)1337 1160 y(ur)g(die)108 1219 y(An)o(w)o(endungen)11 b(der)g(Theorie)g(der)g(F)l(uzzy-)g(Mengen.)f(Wir)h(sc)o(hlie\031en)f (die-)108 1277 y(sen)16 b(Absc)o(hnitt)f(mit)f(einer)g(Bemerkung)g(zu)i (Abbildungen)f(v)o(on)g(F)l(uzzy-)108 1335 y(Mengen.)108 1418 y Fu(De\014nition)j(3.13.)i Fw(Seien)f Fr(U)24 b Fw(und)c Fr(V)31 b Fw(Univ)o(ersen)18 b(und)i Fr(\013)g Fw(:)f Fr(U)25 b Fp(\000)-8 b(!)19 b Fr(V)108 1476 y Fw(eine)j(Abbildung.)g(Sei)f Fr(A)i Fw(eine)e(F)l(uzzy-T)l(eilmenge)e (v)o(on)k Fr(U)5 b Fw(.)22 b(Dann)i(ist)108 1534 y(das)c(Bild)e Fr(B)j Fw(v)o(on)e Fr(A)g Fw(un)o(ter)f Fr(\013)h Fw(:)f Fr(U)24 b Fp(\000)-8 b(!)18 b Fr(V)30 b Fw(de\014niert)18 b(durc)o(h)h Fr(\037)1308 1541 y Fk(B)1338 1534 y Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))f(:=)108 1592 y(sup)q Fp(f)p Fr(\037)238 1599 y Fk(A)266 1592 y Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))13 b(=)h Fr(b)p Fp(g)p Fw(.)h(\(Dab)q(ei)i(sei)e(sup)q(\()p Fp(;)p Fw(\))e(=)h(0.\))495 1713 y Fu(4.)573 1703 y(\177)566 1713 y(Aquiv)m(alenzrelationen)108 1843 y Fw(Eine)j(b)q(esonders)h(wic)o(h)o(tige)e(Art)h(v)o(on)g (Relationen)f(ist)h(die)1222 1832 y(\177)1216 1843 y(Aquiv)m(alenz-)108 1901 y(relation.)h(Sie)g(v)o(erallgemei)o(nert)e(den)i(Begri\013)g(der) g(Gleic)o(hheit.)e(In)j(sehr)108 1959 y(vielen)d(mathematisc)o(hen)f (Begri\013en)i(ist)h(sie)f(im)f(Hin)o(tergrund)h(v)o(erb)q(or-)108 2017 y(gen.)f(So)g(k)o(ommen)c(die)j(De\014nitionen)g(der)h(Menge)f (der)g(ganzen)h(Zahlen,)108 2075 y(der)h(rationalen)h(Zahlen)f(und)g (der)h(reellen)d(Zahlen)i(k)m(aum)g(ohne)g(diesen)108 2133 y(Begri\013)h(aus.)h(Man)f(stelle)g(sic)o(h)f(eine)820 2123 y(\177)814 2133 y(Aquiv)m(alenzrelation)f(so)j(v)o(or,)f(da\031) 108 2191 y(sie)13 b(lediglic)o(h)f(gewisse)i(Eigensc)o(haften)f(v)o(on) g(Elemen)o(ten)1170 2193 y(\177)1168 2191 y(ub)q(erpr)1311 2193 y(\177)1310 2191 y(uft)h(und)p eop %%Page: 49 49 49 48 bop 483 120 a Ft(4.)539 112 y(\177)533 120 y(AQUIV)-5 b(ALENZRELA)m(TIONEN)336 b(49)108 227 y Fw(gem)196 229 y(\177)196 227 y(a\031)22 b(dieser)417 217 y(\177)411 227 y(Ub)q(erpr)564 229 y(\177)563 227 y(ufung)h(feststellt,)e(ob)j (die)e(Elemen)o(te)1303 257 y(")1325 227 y(gleic)o(h)m(\\)108 285 y(sind)17 b(o)q(der)g(nic)o(h)o(t.)e(Da)j(die)e(Gleic)o(hheit)e (eine)i(ganz)h(b)q(estimm)o(te)c(logisc)o(he)108 343 y(Bedeutung)20 b(hat)g(und)g(feststeh)o(t,)f(ob)i(gewisse)e(Elemen)o (te)f(gleic)o(h)g(sind,)108 402 y(d)136 404 y(\177)135 402 y(urfen)h(wir)g(das)h(Ergebnis,)e(das)i(b)q(ei)f(der)924 391 y(\177)918 402 y(Ub)q(erpr)1071 404 y(\177)1070 402 y(ufung)g(v)o(on)g(n)o(ur)g(w)o(e-)108 460 y(nigen)j(Eigensc)o(haften)g (so)h(herausk)o(omm)o(t,)18 b(nat)1018 462 y(\177)1017 460 y(urlic)o(h)k(nic)o(h)o(t)e(auc)o(h)i(als)108 518 y(Gleic)o(hheit)d(ausdr)462 520 y(\177)461 518 y(uc)o(k)o(en.)h(Wir)g (sagen)h(dann,)h(da\031)f(Elemen)o(te)1312 520 y(\177)1312 518 y(aquiv)m(a-)108 576 y(len)o(t)d(sind,)g(w)o(enn)g(sie)g(sic)o(h)f (in)h(den)780 578 y(\177)778 576 y(ub)q(erpr)921 578 y(\177)920 576 y(uften)h(Eigensc)o(haften)f(nic)o(h)o(t)108 634 y(un)o(tersc)o(heiden.)d(Wir)i(w)o(erden)f(jedo)q(c)o(h)h(w)o (eiter)f(un)o(ten)h(sehen,)f(da\031)i(man)108 692 y(mit)12 b(Hilfe)h(des)h(Begri\013s)f(der)h(P)o(artition)g(tats)935 694 y(\177)935 692 y(ac)o(hlic)o(h)e(eine)h(ec)o(h)o(te)g(Gleic)o(h-) 108 750 y(heitsrelation)j(b)q(ei)g(solc)o(hen)f(Betrac)o(h)o(tungen)g (k)o(onstruieren)h(k)m(ann.)108 847 y Fu(De\014nition)i(4.1.)i Fw(Eine)599 836 y Fs(\177)590 847 y(Aquivalenzr)n(elation)j Fw(auf)18 b(einer)e(Menge)g Fr(A)h Fw(ist)108 905 y(eine)f(Relation)f Fr(\032)f Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(A;)g(R)p Fw(\))16 b(mit)e(den)i (folgenden)g(Eigensc)o(haften:)174 978 y(\(1\))21 b Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(a)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)p Fw(],)i(\()p Fs(R)n(e\015exivit)890 980 y(\177)890 978 y(at)p Fw(\))174 1036 y(\(2\))21 b Fp(8)p Fr(a;)8 b(b;)g(c)k Fp(2)j Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)j Fr(R)d Fp(^)f Fw(\()p Fr(b;)d(c)p Fw(\))14 b Fp(2)h Fr(R)g Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fw(\()p Fr(a;)8 b(c)p Fw(\))14 b Fp(2)g Fr(R)p Fw(],)j(\()p Fs(T)l(r)n(an-)257 1094 y(sitivit)376 1096 y(\177)376 1094 y(at)p Fw(\))174 1152 y(\(3\))k Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)j Fp(2)k Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fw(\()p Fr(b;)8 b(a)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)p Fw(],)i(\()p Fs(Symmetrie)p Fw(\).)108 1248 y(Wir)g(sc)o(hreib)q(en)f(h)448 1250 y(\177)448 1248 y(au\014g)i(auc)o(h)f Fr(a)d Fp(\030)h Fr(b)p Fw(,)h(w)o(enn)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)i Fw(gilt)g(\(lies:)e Fr(a)i Fw(ist)108 1308 y Fs(\177)108 1306 y(aquivalent)k Fw(zu)13 b Fr(b)p Fw(\).)g(Dann)h(k) 624 1308 y(\177)624 1306 y(onnen)f(\(1\),)h(\(2\))f(und)h(\(3\))f(auc)o (h)h(ausgedr)1375 1308 y(\177)1374 1306 y(uc)o(kt)108 1365 y(w)o(erden)i(als)160 1437 y(\(1'\))21 b Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)e Fp(\030)i Fr(a)p Fw(],)160 1495 y(\(2'\))21 b Fp(8)p Fr(a;)8 b(b;)g(c)j Fp(2)j Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\030)g Fr(b)e Fp(^)h Fr(b)h Fp(\030)h Fr(c)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(a)g Fp(\030)h Fr(c)p Fw(],)160 1554 y(\(3'\))21 b Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)j Fp(2)k Fr(A)p Fw([)p Fr(a)d Fp(\030)i Fr(b)f Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(b)f Fp(\030)h Fr(a)p Fw(].)108 1650 y Fu(Beispiele)i(4.2.)86 b Fw(\(1\))21 b(id)641 1657 y Fk(A)709 1650 y Fw(=)39 b(\()p Fr(A;)8 b(A;)g Fp(f)p Fw(\()p Fr(a;)g(a)p Fw(\))p Fp(j)p Fr(a)37 b Fp(2)i Fr(A)p Fp(g)p Fw(\))31 b(ist)g(die)257 1708 y Fs(Gleichheits-)19 b Fw(\()544 1710 y(\177)544 1708 y(aquiv)m(alenz-\)relation.)d(Es)h (gilt)g Fr(a)d Fp(\030)h Fr(b)g Fp(\()-8 b(\))14 b Fr(a)h Fw(=)257 1766 y Fr(b)p Fw(.)i(Diese)447 1756 y(\177)441 1766 y(Aquiv)m(alenzrelation)g(ist)h(w)o(egen)g(der)g(Re\015exivit)1366 1768 y(\177)1366 1766 y(at)f(in)257 1824 y(jeder)383 1814 y(\177)377 1824 y(Aquiv)m(alenzrelation)e(auf)h Fr(A)g Fw(en)o(thalten.)174 1882 y(\(2\))21 b(\()p Fr(A;)8 b(A;)g(A)g Fp(\002)i Fr(A)p Fw(\))16 b(ist)f(die)h(totale)850 1872 y(\177)843 1882 y(Aquiv)m(alenzrelation.)e(Jede)h(w)o(ei-)257 1941 y(tere)360 1930 y(\177)354 1941 y(Aquiv)m(alenzrelation)g(auf)h Fr(A)g Fw(ist)g(in)g(ihr)g(en)o(thalten.)174 1999 y(\(3\))21 b(F)290 2001 y(\177)289 1999 y(ur)16 b Fr(n)e Fp(2)g Fn(Z)-13 b Fr(;)7 b(n)k Fp(6)p Fw(=)j(0)j(und)f Fr(a;)8 b(b)13 b Fp(2)h Fn(Z)p Fw(de\014nieren)i(wir)463 2095 y Fr(a)e Fp(\030)f Fr(b)h Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(n=a)e Fp(\000)g Fr(b)97 b Fw(\()p Fr(n)16 b Fw(teilt)f Fr(a)c Fp(\000)g Fr(b)p Fw(\))p Fr(:)257 2191 y Fw(Dab)q(ei)k(b)q(edeutet)f Fr(n=a)8 b Fp(\000)g Fr(b)p Fw(,)13 b(da\031)i(es)g(ein)f Fr(q)h Fp(2)f Fn(Z)n Fw(gibt)h(mit)d Fr(a)c Fp(\000)g Fr(b)13 b Fw(=)p eop %%Page: 50 50 50 49 bop 108 117 a Ft(50)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)257 225 y Fr(q)r(n)p Fw(.)e(Statt)i Fr(a)c Fp(\030)h Fr(b)i Fw(sc)o(hreibt)f(man)g(in)h(diesem)e(F)l(alle)i(auc)o (h)348 308 y Fr(a)e Fp(\021)f Fr(b)j Fw(\(mo)q(d)8 b Fr(n)p Fw(\))98 b(\()p Fr(a)16 b Fw(ist)g(k)o(ongruen)o(t)g Fr(b)g Fw(mo)q(dulo)f Fr(n)p Fw(\))p Fr(:)257 391 y Fw(Man)22 b(rec)o(hnet)g(leic)o(h)o(t)e(nac)o(h,)i(da\031)i(dieses)e(eine)1181 380 y(\177)1175 391 y(Aquiv)m(alenzre-)257 449 y(lation)g(ist.)f(F)521 451 y(\177)520 449 y(ur)h(die)f(T)l(ransitivit)898 451 y(\177)898 449 y(at)h(gilt)f(b)q(eispielsw)o(eise:)f Fr(a)j Fp(\021)257 507 y Fr(b)e Fw(\(mo)q(d)8 b Fr(n)p Fw(\))22 b(und)g Fr(b)h Fp(\021)g Fr(c)f Fw(\(mo)q(d)8 b Fr(n)p Fw(\))23 b(=)-8 b Fp(\))23 b(9)p Fr(q)1087 514 y Fq(1)1106 507 y Fr(;)8 b(q)1150 514 y Fq(2)1193 507 y Fp(2)23 b Fn(Z)-13 b Fw([)o Fr(a)12 b Fp(\000)j Fr(b)23 b Fw(=)257 565 y Fr(q)279 572 y Fq(1)298 565 y Fr(n)17 b Fp(^)f Fr(b)g Fp(\000)g Fr(c)27 b Fw(=)g Fr(q)620 572 y Fq(2)639 565 y Fr(n)p Fw(])g(=)-8 b Fp(\))26 b Fr(a)16 b Fp(\000)g Fr(c)27 b Fw(=)g(\()p Fr(a)15 b Fp(\000)h Fr(b)p Fw(\))g(+)h(\()p Fr(b)f Fp(\000)g Fr(c)p Fw(\))27 b(=)257 624 y(\()p Fr(q)298 631 y Fq(1)328 624 y Fw(+)11 b Fr(q)399 631 y Fq(2)419 624 y Fw(\))p Fr(n)i Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(a)f Fp(\021)h Fr(c)i Fw(\(mo)q(d)8 b Fr(n)p Fw(\).)174 682 y(\(4\))21 b(Es)d(gibt)f(viele)f(Beispiele)f(aus) j(der)g(Praxis,)f(die)g(man)g(hier)f(nen-)257 740 y(nen)j(k)378 742 y(\177)378 740 y(onn)o(te.)g(W)l(enn)g(immer)d(wir)j(Elemen)o(ten)e (gewisse)i(Eigen-)257 798 y(sc)o(haften)f(zusc)o(hreib)q(en)g(k)741 800 y(\177)741 798 y(onnen,)h(k)927 800 y(\177)927 798 y(onnen)g(wir)g(sagen,)g(da\031)h(die)257 856 y(Elemen)o(te)479 858 y(\177)479 856 y(aquiv)m(alen)o(t)k(sind,)h(w)o(enn)g(sie)f(alle)g (gegeb)q(enen)i(Ei-)257 914 y(gensc)o(haften)d(gemeinsam)d(hab)q(en.)k (So)f(ist)g(zum)f(Beispiel)f(der)257 972 y(T)l(ext)f(einer)g(Adresse)g (in)h(einer)e(Adressensammlung)g(eine)h(Ei-)257 1030 y(gensc)o(haft.)12 b(W)l(enn)h(zw)o(ei)f(Adressen)g(in)g(der)h (Adressensammlung)257 1088 y(dieselb)q(en)j(T)l(ext-Ein)o(tr)693 1090 y(\177)693 1088 y(age)g(hab)q(en,)h(dann)h(k)m(ann)f(man)f(sie) 1359 1090 y(\177)1359 1088 y(aqui-)257 1147 y(v)m(alen)o(t)11 b(nennen.)g(Eigen)o(tlic)o(h)f(ist)h(man)g(b)q(ei)g(einer)g(Sammlung)f (v)o(on)257 1205 y(Adressen)g(n)o(ur)h(an)h(den)f(zugeh)814 1207 y(\177)814 1205 y(origen)g(Aquiv)m(alenzklassen)e(in)o(ter-)257 1263 y(essiert.)j(Ein)h(Dopp)q(elein)o(trag)g(einer)f(Adresse)g(an)i(v) o(ersc)o(hiedenen)257 1321 y(Stellen)h(der)h(Adressenliste)e(ist)i (unin)o(teressan)o(t.)108 1444 y(Wir)h(hab)q(en)g(anfangs)i(dieses)d (Absc)o(hnitts)g(b)q(emerkt,)f(da\031)1222 1434 y(\177)1216 1444 y(Aquiv)m(alenz-)108 1502 y(relationen)i(h)364 1504 y(\177)364 1502 y(au\014g)i(daraus)g(en)o(tstehen,)d(da\031)j(man)d(Ob) s(jekte)h(b)q(ez)1342 1504 y(\177)1341 1502 y(uglic)o(h)108 1560 y(gewisser)22 b(Eigensc)o(haften)f(v)o(ergleic)o(h)o(t.)e(Die)i (Zuordn)o(ung)i(einer)d(Eigen-)108 1619 y(sc)o(haft)f(zu)g(einem)e (gegeb)q(enen)i(Ob)s(jekt)f(k)m(ann)i(ab)q(er)f(aufgefa\031t)h(w)o (erden)108 1677 y(als)c(eine)f(Abbildung)g(v)o(on)g(der)g(Menge)g (aller)g(b)q(etrac)o(h)o(teten)g(Ob)s(jekte)f(in)108 1735 y(die)k(Menge)h(der)f(m)476 1737 y(\177)476 1735 y(oglic)o(hen)f(Eigensc)o(haften)i(\(z.B.)e(in)h(die)g(Menge)h(der)108 1793 y(F)l(arb)q(en\).)i(Wir)f(w)o(erden)g(jetzt)g(sehen,)g(da\031)i (sic)o(h)e(allgemein)e(aus)j(jeder)108 1851 y(Abbildung)16 b(eine)454 1840 y(\177)448 1851 y(Aquiv)m(alenzrelation)f(ergibt.)g(Es) i(gilt)e(n)1198 1853 y(\177)1198 1851 y(amlic)o(h)108 1934 y Fu(Lemma)h(4.3.)k Fs(Sei)h Fr(\013)e Fw(:)g Fr(A)f Fp(\000)-9 b(!)19 b Fr(B)k Fs(eine)e(A)o(bbildung.)i(F)1180 1936 y(\177)1180 1934 y(ur)c Fr(a)1272 1941 y Fq(1)1292 1934 y Fr(;)8 b(a)1340 1941 y Fq(2)1378 1934 y Fp(2)19 b Fr(A)108 1992 y Fs(sei)i Fr(a)212 1999 y Fq(1)251 1992 y Fp(\030)e Fr(a)335 1999 y Fq(2)374 1992 y Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))19 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)575 1999 y Fq(1)594 1992 y Fw(\))h(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)767 1999 y Fq(2)786 1992 y Fw(\))p Fs(.)h(Dieses)g(de\014niert)g(eine)1310 1982 y(\177)1302 1992 y(Aquiva-)108 2050 y(lenzr)n(elation)e(auf)f Fr(A)p Fs(.)158 2133 y Fm(Beweis.)i Fw(Re\015exivit)574 2135 y(\177)574 2133 y(at:)h(Es)j(gilt)f Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))j(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))d(f)1141 2135 y(\177)1140 2133 y(ur)g(alle)g Fr(a)i Fp(2)h Fr(A)p Fw(.)108 2191 y(Daraus)18 b(folgt)e Fr(a)e Fp(\030)f Fr(a)j Fw(f)538 2193 y(\177)537 2191 y(ur)g(alle)g Fr(a)d Fp(2)h Fr(A)p Fw(.)p eop %%Page: 51 51 51 50 bop 483 120 a Ft(4.)539 112 y(\177)533 120 y(AQUIV)-5 b(ALENZRELA)m(TIONEN)336 b(51)108 225 y Fw(T)l(ransitivit)334 227 y(\177)334 225 y(at:)14 b(Aus)i Fr(a)d Fp(\030)h Fr(b)g Fw(und)i Fr(b)e Fp(\030)f Fr(c)i Fw(folgt)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))d(=)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))h(und)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))e(=)108 283 y Fr(\013)p Fw(\()p Fr(c)p Fw(\),)i(also)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))d(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(c)p Fw(\))i(und)h(damit)e Fr(a)e Fp(\030)h Fr(c)p Fw(.)108 341 y(Symmetrie)o(:)h(Aus)j Fr(a)f Fp(\030)f Fr(b)i Fw(folgt)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))e(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\),)g(also)i Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))e(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(und)108 399 y(damit)d Fr(b)f Fp(\030)f Fr(a)p Fw(.)p 424 372 33 2 v 424 402 2 30 v 455 402 V 424 404 33 2 v 108 531 a(Das)19 b(Gegenst)379 533 y(\177)378 531 y(uc)o(k)f(zum)e(Begri\013)i(der)829 521 y(\177)823 531 y(Aquiv)m(alenzrelation)e(ist)i(der)g(Be-)108 589 y(gri\013)g(der)f(P)o(artition.)f(Wir)h(w)o(erden)f(sogleic)o(h)g (sehen,)h(da\031)h(diese)e(b)q(eiden)108 647 y(Begri\013e)g(im)e(W)l (esen)o(tlic)o(hen)g(dasselb)q(e)j(b)q(einhalten.)108 730 y Fu(De\014nition)h(4.4.)i Fw(Eine)14 b Fs(Partition)19 b Fw(o)q(der)c Fs(Klasseneinteil)q(ung)23 b Fj(P)15 b Fw(ist)g(ei-)108 789 y(ne)g(Menge)f(v)o(on)h(nic)o(h)o(tleeren,)d (paarw)o(eise)j(disjunkten)f(T)l(eilmengen)f(v)o(on)108 847 y Fr(A)p Fw(,)j(deren)f(V)l(ereinigung)h Fr(A)f Fw(ist,)h(in)g (Zeic)o(hen:)257 917 y Fj(P)e Fp(\032)g(P)t Fw(\()p Fr(A)p Fw(\))c Fp(n)h(f;g)16 b Fw(und)257 975 y Fp(8)p Fr(X)q(;)8 b(Y)24 b Fp(2)14 b Fj(P)p Fw([)p Fr(X)k Fp(6)p Fw(=)c Fr(Y)25 b Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(X)j Fp(\\)11 b Fr(Y)25 b Fw(=)14 b Fp(;)p Fw(])h(und)257 1000 y Fi(S)291 1033 y Fp(f)p Fr(X)t Fp(j)p Fr(X)k Fp(2)14 b Fj(P)p Fp(g)g Fw(=)g Fr(A)p Fw(.)108 1116 y(Die)21 b(Elemen)o(te)d Fr(X)26 b Fp(2)c Fj(P)g Fw(einer)e(P)o(artition)g(hei\031en)h(auc)o(h)g Fs(Klassen)26 b Fw(der)108 1174 y(P)o(artition.)14 b(Ein)g(Elemen)o(t)e Fr(a)i Fp(2)g Fr(X)19 b Fw(hei\031t)14 b(ein)g Fs(R)n(epr)1051 1176 y(\177)1051 1174 y(asentant)19 b Fw(der)c(Klasse)108 1233 y Fr(X)t Fw(.)j(Eine)f(T)l(eilmenge)f Fr(R)h Fp(\032)f Fr(A)i Fw(hei\031t)f(ein)g Fs(vol)r(lst)1007 1235 y(\177)1007 1233 y(andiges)22 b(R)n(epr)1287 1235 y(\177)1287 1233 y(asentan-)108 1291 y(tensystem)j Fw(f)356 1293 y(\177)355 1291 y(ur)20 b(die)g(P)o(artion)g Fj(P)p Fw(,)g(w)o(enn)g(f)897 1293 y(\177)896 1291 y(ur)g(jedes)g Fr(X)k Fp(2)d Fj(P)f Fw(genau)h(ein)108 1349 y Fr(a)14 b Fp(2)g Fr(R)j Fw(existiert)d(mit)h Fr(a)e Fp(2)h Fr(X)t Fw(.)108 1407 y(Die)k(zw)o(eite)e(Bedingung)h Fp(8)p Fr(X)q(;)8 b(Y)27 b Fp(2)17 b Fj(P)p Fw([)p Fr(X)k Fp(6)p Fw(=)16 b Fr(Y)28 b Fw(=)-8 b Fp(\))16 b Fr(X)g Fp(\\)c Fr(Y)28 b Fw(=)16 b Fp(;)p Fw(])i(wird)108 1465 y(oft)g(auc)o(h)g(in)f(der)g(gleic)o(h)o(w)o(ertigen)f(F)l(orm)g Fp(8)p Fr(X)q(;)8 b(Y)26 b Fp(2)17 b Fj(P)p Fw([)p Fr(X)f Fp(\\)c Fr(Y)28 b Fp(6)p Fw(=)16 b Fp(;)g Fw(=)-8 b Fp(\))108 1523 y Fr(X)18 b Fw(=)c Fr(Y)d Fw(])16 b(v)o(erw)o(endet.)108 1606 y Fu(De\014nition)i(4.5.)i Fw(Sei)11 b Fr(\032)h Fw(eine)691 1595 y(\177)685 1606 y(Aquiv)m(alenzrelation)e(auf)j Fr(A)p Fw(.)e(Wir)g(sc)o(hrei-)108 1664 y(b)q(en)17 b Fr(a)c Fp(\030)h Fr(b)i Fw(f)347 1666 y(\177)346 1664 y(ur)g(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fw(Gr\()p Fr(\032)p Fw(\).)i(F)758 1666 y(\177)757 1664 y(ur)g Fr(a)e Fp(2)g Fr(A)i Fw(b)q(ezeic)o(hne)588 1747 y(\026)-24 b Fr(a)13 b Fw(:=)g Fp(f)p Fr(b)h Fp(2)g Fr(A)p Fp(j)p Fr(b)f Fp(\030)h Fr(a)p Fp(g)108 1830 y Fw(die)19 b(Menge)g(der)g(zu)g Fr(a)549 1832 y Fw(\177)549 1830 y(aquiv)m(alen)o(ten)f(Elemen)o(te.)e (Die)j(Menge)h(\026)-25 b Fr(a)19 b Fw(hei\031t)117 1878 y Fs(\177)108 1888 y(Aquivalenzklasse)26 b Fw(v)o(on)18 b Fr(a)p Fw(.)f(Die)h(Menge)g(der)974 1878 y(\177)968 1888 y(Aquiv)m(alenzklassen)f(wird)108 1946 y(mit)584 2005 y Fr(A=)q Fp(\030)28 b Fw(:=)14 b Fp(f)q Fw(\026)-25 b Fr(a)o Fp(j)p Fr(a)14 b Fp(2)g Fr(A)p Fp(g)108 2075 y Fw(\(lies:)j Fr(A)h Fw(mo)q(dulo)g Fp(\030)p Fw(-Relation\))f(b)q (ezeic)o(hnet,)f(w)o(enn)i(aus)h(dem)e(Zusam-)108 2133 y(menhang)i(klar)h(ist,)f(zu)g(w)o(elc)o(her)759 2123 y(\177)753 2133 y(Aquiv)m(alenzrelation)f Fr(\032)i Fw(das)g(Zeic)o (hen)108 2191 y Fp(\030)c Fw(geh)236 2193 y(\177)236 2191 y(ort.)h(Sonst)g(sc)o(hreibt)e(man)g(auc)o(h)h Fr(A=\032)e Fw(=)g Fp(f)q Fw(\026)-25 b Fr(a)p Fp(j)p Fr(a)13 b Fp(2)h Fr(A)p Fp(g)p Fw(.)p eop %%Page: 52 52 52 51 bop 108 117 a Ft(52)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Mit)22 b(dieser)f(De\014nition)h(hab)q(en)h (wir)f(jetzt)g(die)f(M)1074 227 y(\177)1074 225 y(oglic)o(hk)o(eit)f (gesc)o(haf-)108 283 y(fen,)d(das)298 273 y(\177)292 283 y(Aquiv)m(alenzzeic)o(he)o(n)f(durc)o(h)h(das)i(Gleic)o(hheitszeic) n(hen)c(auszu-)108 341 y(dr)155 343 y(\177)154 341 y(uc)o(k)o(en.)c (Mit)g(T)l(eil)h(\(1\))h(des)f(folgenden)g(Lemmas)f(wird)h(klar,)g (da\031)h(durc)o(h)108 399 y(das)24 b(Zusammenfassen)d(v)o(on)i(Elemen) o(ten)e(mit)g(gemeinsamen)f(Eigen-)108 458 y(sc)o(haften,)12 b(d.h.)g(v)o(on)g(Elemen)o(ten,)d(die)815 460 y(\177)815 458 y(aquiv)m(alen)o(t)i(sind,)h(wir)h(tats)1320 460 y(\177)1320 458 y(ac)o(hlic)o(h)108 516 y(v)o(on)22 b(Gleic)o(hheit)e (\(n)490 518 y(\177)490 516 y(amlic)o(h)g(der)748 505 y(\177)741 516 y(Aquiv)m(alenzklassen\))h(sprec)o(hen)g(k)1399 518 y(\177)1399 516 y(on-)108 574 y(nen,)16 b(w)o(enn)g(zw)o(ei)f (Elemen)o(te)e(lediglic)o(h)851 576 y(\177)851 574 y(aquiv)m(alen)o(t)j (sind.)108 657 y Fu(Lemma)g(4.6.)k Fs(Sei)e Fr(\032)g Fs(eine)652 646 y(\177)644 657 y(Aquivalenzr)n(elation)i(auf)e Fr(A)p Fs(.)e(Dann)i(gelten)174 728 y Fw(\(1\))j Fr(a)13 b Fp(\030)h Fr(b)f Fp(\()-8 b(\))14 b Fr(a)f Fp(2)573 714 y Fw(\026)575 728 y Fr(b)h Fp(\()-8 b(\))13 b Fw(\026)-24 b Fr(a)13 b Fw(=)804 714 y(\026)806 728 y Fr(b)k Fs(f)859 730 y(\177)859 728 y(ur)g(al)r(le)i Fr(a;)8 b(b)13 b Fp(2)h Fr(A)p Fs(.)174 786 y Fw(\(2\))21 b Fr(A=)5 b Fp(\030)32 b Fs(ist)19 b(eine)i(Partition,)f(die)g(so)n(genannte)1139 775 y Fw(\177)1133 786 y(Aquiv)m(alenzklas-)257 844 y(senein)o(teilung) p Fs(.)158 927 y Fm(Beweis.)g Fw(\(1\))g(Sei)g(\026)-24 b Fr(a)19 b Fp(\032)635 914 y Fw(\026)637 927 y Fr(b)p Fw(.)g(Dann)i(gilt)e(sofort)i Fr(a)e Fp(2)i Fw(\026)-24 b Fr(a)19 b Fp(\032)1259 914 y Fw(\026)1261 927 y Fr(b)p Fw(.)g(Daraus)108 985 y(folgt)e(eb)q(enso)g(unmittelbar)d Fr(a)g Fp(\030)g Fr(b)p Fw(.)i(Gilt)g(n)o(un)g Fr(a)e Fp(\030)g Fr(b)i Fw(und)h(ist)f Fr(c)e Fp(2)h Fw(\026)-25 b Fr(a)p Fw(,)16 b(so)108 1043 y(ist)i Fr(c)f Fp(\030)g Fr(a)p Fw(,)h(also)h(w)o(egen)e(der)h(T)l(ransitivit)888 1045 y(\177)888 1043 y(at)g Fr(c)f Fp(\030)g Fr(b)h Fw(o)q(der)h Fr(c)e Fp(2)1281 1030 y Fw(\026)1283 1043 y Fr(b)o Fw(,)h(w)o(omit)109 1102 y(\026)-25 b Fr(a)18 b Fp(\032)207 1088 y Fw(\026)209 1102 y Fr(b)g Fw(b)q(ewiesen)g(ist.)g(Damit)g(sind)g(die)g(Aussagen)i Fr(a)d Fp(\030)h Fr(b)p Fw(,)g Fr(a)g Fp(2)1344 1088 y Fw(\026)1346 1102 y Fr(b)g Fw(und)109 1160 y(\026)-25 b Fr(a)19 b Fp(\032)210 1146 y Fw(\026)211 1160 y Fr(b)252 1162 y Fw(\177)252 1160 y(aquiv)m(alen)o(t.)f(Da)i(ab)q(er)g Fr(a)f Fp(\030)g Fr(b)g Fw(genau)i(dann)f(gilt,)e(w)o(enn)i Fr(b)f Fp(\030)g Fr(a)108 1218 y Fw(gilt,)d(folgt)g(auc)o(h)h(\026)-25 b Fr(a)14 b Fw(=)526 1205 y(\026)527 1218 y Fr(b)p Fw(.)108 1276 y(\(2\))e(W)l(enn)h(\026)-25 b Fr(a)13 b Fp(2)h Fr(A=)q Fp(\030)f Fw(,)e(dann)i(ist)e Fr(a)j Fp(2)g Fw(\026)-24 b Fr(a)o Fw(,)12 b(also)g(\026)-24 b Fr(a)13 b Fp(6)p Fw(=)h Fp(;)p Fw(.)d(Ist)h(\026)-24 b Fr(a)q Fp(\\)1222 1263 y Fw(\026)1224 1276 y Fr(b)14 b Fp(6)p Fw(=)g Fp(;)p Fw(,)d(dann)108 1334 y(w)143 1336 y(\177)143 1334 y(ahlen)17 b(wir)f(ein)f Fr(c)f Fp(2)h Fw(\026)-24 b Fr(a)10 b Fp(\\)598 1321 y Fw(\026)600 1334 y Fr(b)16 b Fw(und)g(es)h(folgt)f Fr(c)e Fp(\030)g Fr(a)i Fw(und)g Fr(c)e Fp(\030)g Fr(b)p Fw(,)i(also)h(auc)o(h)108 1392 y Fr(a)g Fp(\030)h Fr(b)g Fw(o)q(der)h(nac)o(h)f(\(1\))i(\026)-25 b Fr(a)17 b Fw(=)654 1379 y(\026)656 1392 y Fr(b)o Fw(.)h(Sc)o(hlie\031lic)o(h)e(ist)i (jedes)g Fr(a)f Fp(2)h Fr(A)g Fw(Elemen)o(t)108 1450 y(in)f(einer)291 1440 y(\177)285 1450 y(Aquiv)m(alenzklasse:)e Fr(a)f Fp(2)h Fw(\026)-25 b Fr(a)p Fw(.)16 b(Also)h(ist)f Fr(A)e Fp(\032)1100 1417 y Fi(S)1135 1450 y Fp(f)q Fw(\026)-25 b Fr(a)o Fp(j)p Fr(a)14 b Fp(2)h Fr(A)p Fp(g)f(\032)g Fr(A)p Fw(,)108 1508 y(d.h.)i Fr(A)d Fw(=)308 1475 y Fi(S)343 1508 y Fp(f)q Fw(\026)-25 b Fr(a)o Fp(j)p Fr(a)13 b Fp(2)h Fr(A)p Fp(g)p Fw(.)p 617 1481 33 2 v 617 1510 2 30 v 648 1510 V 617 1512 33 2 v 108 1641 a(Wir)f(k)o(ommen)d(jetzt)j (zu)f(dem)g(Eingangs)j(dieses)d(P)o(aragraphen)j(erw)1372 1643 y(\177)1372 1641 y(ahn-)108 1700 y(ten)k(Zusammenhang)f(zwisc)o (hen)759 1689 y(\177)753 1700 y(Aquiv)m(alenzrelationen)f(und)i(P)o (artio-)108 1758 y(nen.)h(Es)h(ist)f(nac)o(h)h(dem)e(folgenden)h(Satz)h (gleic)o(hg)1075 1760 y(\177)1074 1758 y(ultig,)e(ob)i(auf)g(einer)108 1816 y(Menge)13 b Fr(A)g Fw(eine)415 1805 y(\177)409 1816 y(Aquiv)m(alenzrelation)f(o)q(der)i(eine)e(P)o(artition)h(v)o (orgegeb)q(en)108 1874 y(wird.)e(Man)h(k)m(ann)g(jew)o(eils)e(die)h (eine)g(Angab)q(e)h(in)f(die)g(andere)g(umrec)o(hnen.)108 1957 y Fu(Satz)19 b(4.7.)h Fs(Bezeichne)25 b Fr(R)611 1964 y Fk(A)662 1957 y Fs(die)e(Menge)h(al)r(ler)1035 1947 y(\177)1026 1957 y(Aquivalenzr)n(elationen)108 2015 y(auf)18 b Fr(A)f Fs(und)h Fr(P)373 2022 y Fk(A)419 2015 y Fs(die)g(Menge)g(al)r(ler)h(Partitionen)f(auf)g Fr(A)p Fs(.)f(Dann)h(ist)531 2099 y Fw(\010)c(:)g Fr(R)645 2106 y Fk(A)687 2099 y Fp(3)g Fr(\032)g Fp(7!)g Fr(A=\032)g Fp(2)g Fr(P)1015 2106 y Fk(A)108 2182 y Fs(eine)19 b(bijektive)g(A)o (bbildung.)p eop %%Page: 53 53 53 52 bop 483 120 a Ft(4.)539 112 y(\177)533 120 y(AQUIV)-5 b(ALENZRELA)m(TIONEN)336 b(53)158 225 y Fm(Beweis.)20 b Fw(Wir)k(de\014nieren)e(die)h(Umk)o(ehrabbildung)f(\011)k(:)h Fr(P)1331 232 y Fk(A)1386 225 y Fp(\000)-8 b(!)108 283 y Fr(R)145 290 y Fk(A)174 283 y Fw(.)22 b(Sei)f Fj(P)j Fp(2)g Fr(P)440 290 y Fk(A)491 283 y Fw(eine)d(P)o(artition.)g(Wir)h (de\014nieren)f(die)h(zugeh)1364 285 y(\177)1364 283 y(orige)114 331 y(\177)108 341 y(Aquiv)m(alenzrelation)16 b(\011\()p Fj(P)p Fw(\))i(durc)o(h)g Fr(a)e Fp(\030)44 b Fr(b)16 b Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))16 b(9)p Fr(X)21 b Fp(2)16 b Fj(P)p Fw([)p Fr(a;)8 b(b)16 b Fp(2)h Fr(X)t Fw(].)108 399 y(Dann)g(gelten)108 458 y Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\030)41 b Fr(a)p Fw(],)15 b(w)o(eil)g Fr(A)f Fw(=)662 424 y Fi(S)697 458 y Fp(f)p Fr(X)t Fp(j)p Fr(X)k Fp(2)c Fj(P)p Fp(g)p Fw(,)108 516 y Fp(8)p Fr(a;)8 b(b;)g(c)19 b Fp(2)j Fr(A)p Fw([)p Fr(a)e Fp(\030)49 b Fr(b)13 b Fp(^)i Fr(b)21 b Fp(\030)48 b Fr(c)22 b Fw(=)-8 b Fp(\))20 b Fr(a)h Fp(\030)49 b Fr(c)p Fw(])20 b(w)o(egen)h Fr(X)k Fp(6)p Fw(=)d Fr(Y)32 b Fw(=)-8 b Fp(\))108 574 y Fr(X)16 b Fp(\\)11 b Fr(Y)25 b Fw(=)14 b Fp(;)i Fw(und)108 632 y Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)k Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\030)41 b Fr(b)13 b Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(b)f Fp(\030)42 b Fr(a)p Fw(])15 b(unmittelbar)f(aus)j(der)f(De\014nition.)108 690 y(Damit)f(ist)h(eine)g(Abbildung)f(\011)f(:)g Fr(P)778 697 y Fk(A)820 690 y Fp(\000)-8 b(!)13 b Fr(R)951 697 y Fk(A)996 690 y Fw(de\014niert.)108 748 y(Wir)k(zeigen)f(jetzt,)g (da\031)h(die)g(Komp)q(osition)f(\010\011)g(:)e Fr(P)1091 755 y Fk(A)1135 748 y Fp(\000)-8 b(!)15 b Fr(R)1268 755 y Fk(A)1311 748 y Fp(\000)-8 b(!)15 b Fr(P)1438 755 y Fk(A)108 806 y Fw(die)23 b(Iden)o(tit)339 808 y(\177)339 806 y(at)f(ist.)g(Sei)g(dazu)i Fj(P)i Fp(2)f Fr(P)850 813 y Fk(A)902 806 y Fw(gegeb)q(en)f(und)f Fp(\030)51 b Fw(durc)o(h)22 b Fj(P)108 864 y Fw(induziert.)16 b(Sei)i(\026)-25 b Fr(a)16 b Fp(2)h Fr(A=)t Fp(\030)30 b Fw(und)18 b Fr(a)e Fp(2)h Fw(\026)-25 b Fr(a)17 b Fw(ein)g(Repr)1052 866 y(\177)1052 864 y(asen)o(tan)o(t.)h(Dann)g(gilt)109 922 y(\026)-25 b Fr(a)16 b Fw(=)g Fp(f)p Fr(b)p Fp(j)p Fr(b)g Fp(\030)44 b Fr(a)p Fp(g)16 b Fw(=)g Fp(f)p Fr(b)p Fp(j9)p Fr(X)k Fp(2)c Fj(P)p Fw([)p Fr(a;)8 b(b)16 b Fp(2)g Fr(X)t Fw(])p Fp(g)h Fw(=)f Fr(X)t Fw(,)i(denn)f(es)h(gibt)g(n)o(ur)108 981 y(ein)h Fr(X)k Fp(2)c Fj(P)h Fw(mit)d Fr(a)i Fp(2)g Fr(X)t Fw(.)h(Also)f(gilt)f(\()p Fr(A=)7 b Fp(\030)12 b Fw(\))19 b Fp(\032)g Fj(P)p Fw(.)g(Ist)g(ab)q(er)h Fr(X)j Fp(2)c Fj(P)108 1039 y Fw(und)e Fr(a)c Fp(2)h Fr(X)t Fw(,)i(so)h(ist)f Fr(X)j Fw(=)14 b(\026)-25 b Fr(a)16 b Fw(wie)g(zuv)o(or,)f(also)i(gilt)f(\()p Fr(A=)q Fp(\030)c Fw(\))i(=)g Fj(P)p Fw(.)108 1097 y(Es)24 b(bleibt)e(zu)h (zeigen,)f(da\031)i(auc)o(h)f(\011\010)j(:)f Fr(R)964 1104 y Fk(A)1018 1097 y Fp(\000)-8 b(!)25 b Fr(P)1155 1104 y Fk(A)1210 1097 y Fp(\000)-9 b(!)25 b Fr(R)1352 1104 y Fk(A)1404 1097 y Fw(die)108 1155 y(Iden)o(tit)253 1157 y(\177)253 1155 y(at)14 b(ist.)h(Das)h(folgt)g(unmittelbar)d (daraus,)j(da\031)g(f)1143 1157 y(\177)1142 1155 y(ur)f Fp(\030)g(2)f Fr(R)1341 1162 y Fk(A)1385 1155 y Fw(und)108 1213 y Fj(P)20 b Fw(die)f(zugeh)366 1215 y(\177)366 1213 y(orige)h(P)o(artition)f(der)794 1202 y(\177)788 1213 y(Aquiv)m(alenzklassen)f(gilt)h Fp(9)q Fw(\026)-25 b Fr(c)p Fw([)p Fr(a;)8 b(b)18 b Fp(2)109 1271 y Fw(\026)-25 b Fr(c)p Fw(])14 b Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(a)g Fp(\030)h Fr(b)p Fw(.)p 437 1244 33 2 v 437 1273 2 30 v 468 1273 V 437 1275 33 2 v 108 1361 a Fu(Beispiel)j(4.8.)j Fw(Die)544 1351 y(\177)538 1361 y(Aquiv)m(alenzklassen)37 b(der)1076 1351 y(\177)1070 1361 y(Aquiv)m(alenzrelation)108 1419 y(mo)q(dulo)15 b Fr(n)h Fw(auf)f Fn(Z)p Fw(\(Beispiel)e(4.2)j(\(3\)\))f (sind)h(v)o(on)f(der)g(F)l(orm)g(\026)-25 b Fr(a)14 b Fw(=)f Fp(f)p Fr(a;)8 b(a)h Fp(\006)108 1478 y Fr(n;)f(a)j Fp(\006)g Fw(2)p Fr(n;)d(:)g(:)g(:)g Fp(g)13 b Fw(=)h Fr(a)d Fw(+)g Fr(n)g Fp(\001)g Fn(Z)-13 b Fw(.)108 1622 y(Nac)o(hdem)16 b(wir)i(neue)g(Elemen)o(te)d(eingef)866 1624 y(\177)865 1622 y(uhrt)j(hab)q(en,)g(die)1222 1612 y(\177)1216 1622 y(Aquiv)m(alenz-)108 1680 y(klassen,)d(deren)g(Gleic)o (hheit)e(die)735 1670 y(\177)728 1680 y(Aquiv)m(alenzrelation)h(ausdr) 1258 1682 y(\177)1257 1680 y(uc)o(kt,)g(w)o(ol-)108 1739 y(len)24 b(wir)f(jetzt)h(un)o(tersuc)o(hen,)e(wie)i(Abbildungen)f(mit)f (diesen)i(neuen)108 1797 y(Elemen)o(ten)11 b(fertig)i(w)o(erden.)f(Ein) h(b)q(esonders)h(wic)o(h)o(tiger)e(Satz)i(in)f(diesem)108 1855 y(Zusammenhang)i(ist)i(der)f(F)l(aktorisierungssatz.)g(Er)h(wird)f (in)g(sp)1333 1857 y(\177)1333 1855 y(ateren)108 1913 y(Kapiteln)g(sehr)g(h)439 1915 y(\177)439 1913 y(au\014g)h(v)o(erw)o (endet)e(w)o(erden.)108 2026 y(Der)g(Satz)h(ist)f(durc)o(h)g(die)f (folgende)h(F)l(ragestellung)g(motiviert.)d(Wir)j(b)q(e-)108 2084 y(trac)o(h)o(ten)h(rationale)g(Zahlen)g(an)g(der)g(F)l(orm)721 2140 y Fr(a)p 721 2162 26 2 v 723 2208 a(b)766 2174 y Fp(2)e Fn(Q)p Fr(:)p eop %%Page: 54 54 54 53 bop 108 117 a Ft(54)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(Ein)g(rationale)h(Zahl)f(ist)g(also)h(durc)o (h)e(ein)h(P)o(aar)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))15 b Fp(2)g Fn(Z)l Fp(\002)c Fw(\()p Fn(Z)l Fp(n)g(f)p Fw(0)p Fp(g)p Fw(\))108 283 y(gegeb)q(en.)18 b(Dab)q(ei)f(ist)g Fr(b)f Fp(6)p Fw(=)g(0,)h(w)o(eil)f(es)h(im)f(Nenner)g(steh)o(t.)h(Es)h(gibt)f (ab)q(er)108 341 y(v)o(ersc)o(hiedene)22 b(P)o(aare)i(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))26 b Fp(6)p Fw(=)h(\()p Fr(c;)8 b(d)p Fw(\),)24 b(die)f(dieselb)q(e)g(rationale)h(Zahl)113 380 y Fk(a)p 113 388 19 2 v 115 417 a(b)154 399 y Fw(=)215 380 y Fk(c)p 213 388 V 213 417 a(d)255 399 y Fw(b)q(esc)o(hreib)q(en.) 16 b(Zw)o(ei)h(P)o(aare)h(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))18 b(und)g(\()p Fr(c;)8 b(d)p Fw(\))18 b(b)q(esc)o(hreib)q(en)f(ge-)108 458 y(nau)k(dann)g(dieselb)q(e)f(rationale)g(Zahl,)g(w)o(enn)g(gilt)g Fr(ad)h Fw(=)g Fr(cb)p Fw(.)e(Dadurc)o(h)108 516 y(wird)d(eine)326 505 y(\177)319 516 y(Aquiv)m(alenzrelation)f(de\014niert,)f(wie)i(man)f (leic)o(h)o(t)f(nac)o(hrec)o(h-)108 574 y(net,)f(o)q(der)i(durc)o(h)e (An)o(w)o(endung)g(v)o(on)h(4.3)g(sieh)o(t.)f(W)l(enn)h(wir)f(uns)h(n)o (un)g(auf)108 632 y(den)j(Standpunkt)h(stellen,)e(da\031)i(die)e (ganzen)i(Zahlen)e(sc)o(hon)i(mit)d(ihren)108 690 y(Rec)o(henregeln)9 b(b)q(ek)m(ann)o(t)j(sind,)e(nic)o(h)o(t)g(jedo)q(c)o(h)h(die)f (rationalen)h(Zahlen,)f(so)108 748 y(k)134 750 y(\177)134 748 y(onn)o(te)16 b(man)e(die)i(rationalen)f(Zahlen)h(gerade)g(durc)o (h)1139 737 y(\177)1133 748 y(Aquiv)m(alenzklas-)108 806 y(sen)e(b)q(ez)263 808 y(\177)262 806 y(uglic)o(h)f(dieser)544 796 y(\177)538 806 y(Aquiv)m(alenzrelation)e(de\014nieren:)i(eine)g (rationale)108 864 y(Zahl)i(ist)g(eine)389 854 y(\177)383 864 y(Aquiv)m(alenzklasse)e(eines)h(P)o(aares)i(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))14 b(und)h(wir)f(sc)o(hrei-)108 922 y(b)q(en)f(f)214 924 y(\177)213 922 y(ur)g(die)f(zugeh)469 924 y(\177)469 922 y(orige)591 912 y(\177)585 922 y(Aquiv)m (alenzklasse)f(auc)o(h)1073 903 y Fk(a)p 1073 911 V 1075 940 a(b)1096 922 y Fw(.)i(T)l(ats)1216 924 y(\177)1216 922 y(ac)o(hlic)o(h)f(w)o(er-)108 981 y(den)k(so)h(die)f(rationalen)g (Zahlen)g(sp)775 983 y(\177)775 981 y(ater)h(eingef)1001 983 y(\177)1000 981 y(uhrt.)108 1103 y(Ein)k(Problem)e(ergibt)i(sic)o (h)f(n)o(un)h(mit)e(der)i(Addition.)e(Wir)i(w)o(ollen)f(le-)108 1161 y(diglic)o(h)e(den)h(Sp)q(ezialfall)f Fn(Q)f Fp(3)707 1142 y Fk(a)p 707 1150 V 709 1179 a(b)750 1161 y Fp(7!)823 1142 y Fk(a)p 823 1150 V 825 1179 a(b)860 1161 y Fw(+)916 1142 y Fq(1)p 916 1150 18 2 v 916 1179 a(2)958 1161 y Fw(=)1020 1142 y Fq(2)p Fk(a)p Fq(+)p Fk(b)p 1020 1150 79 2 v 1043 1179 a Fq(2)p Fk(b)1123 1161 y Fp(2)i Fn(Q)e Fw(b)q(etrac)o(h)o(ten.)108 1220 y(Um)j(zu)h(zeigen,)e(da\031)j(dieses) f(eine)f(Abbildung)h(ist,)f(m)1161 1222 y(\177)1160 1220 y(ussen)g(wir)h(z.B.)108 1278 y(zeigen,)14 b(da\031)364 1258 y Fq(2)p 364 1266 18 2 v 364 1295 a(4)396 1278 y Fw(+)448 1258 y Fq(1)p 448 1266 V 448 1295 a(2)484 1278 y Fw(=)541 1258 y Fq(1)p 541 1266 V 541 1295 a(2)573 1278 y Fw(+)625 1258 y Fq(1)p 625 1266 V 625 1295 a(2)648 1278 y Fw(,)h(o)q(der)h(allgemeiner,)c(da\031)k(f)1163 1280 y(\177)1162 1278 y(ur)g(v)o(ersc)o(hieden)108 1336 y(dargestellte)j(rationale)h(Zahlen)747 1316 y Fk(a)p 747 1324 19 2 v 749 1353 a(b)790 1336 y Fw(=)854 1316 y Fk(c)p 853 1324 V 853 1353 a(d)896 1336 y Fw(das)g(Ergebnis)g(der)f (Addition)113 1380 y Fq(2)p Fk(a)p Fq(+)p Fk(b)p 113 1388 79 2 v 136 1417 a Fq(2)p Fk(b)219 1400 y Fw(=)283 1380 y Fq(2)p Fk(c)p Fq(+)p Fk(d)p 283 1388 V 305 1417 a Fq(2)p Fk(d)388 1400 y Fw(gleic)o(h)g(wird,)i(sonst)g(k)m(ann)h(die)e (Addition)g(k)o(eine)f(Abbil-)108 1458 y(dung)26 b(w)o(erden.)e(Wir)g (hab)q(en)i(n)716 1460 y(\177)716 1458 y(amlic)o(h)c(das)k(Ergebnis)f (der)f(Addition)108 1516 y(un)o(ter)f(Ben)o(utzung)g(v)o(on)h(den)f (einzelnen)f(Zahlen)h Fr(a)g Fw(und)h Fr(b)f Fw(b)q(esc)o(hrie-)108 1574 y(b)q(en.)h(Zu)f(diesem)f(Zw)o(ec)o(k)g(de\014nieren)h(wir)g(die)g (Abbildung)h(zun)1357 1576 y(\177)1357 1574 y(ac)o(hst)108 1632 y(auf)e Fn(Z)m Fp(\002)14 b Fw(\()p Fn(Z)n Fp(n)g(f)p Fw(0)p Fp(g)p Fw(\))22 b Fp(3)g Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))21 b Fp(7!)765 1613 y Fq(2)p Fk(a)p Fq(+)p Fk(b)p 765 1621 V 788 1649 a Fq(2)p Fk(b)870 1632 y Fp(2)h Fn(Q)p Fw(.)c(Das)k(ist)e(sic)o(herlic)o(h)f(eine)108 1690 y(Abbildung.)i(Es)i (ergibt)f(sic)o(h)f(die)g(F)l(rage,)h(ob)h(wir)f(daraus)h(dann)g(eine) 108 1748 y(Abbildung)16 b Fn(Q)11 b Fp(\000)-8 b(!)13 b Fn(Q)h Fw(bilden)h(k)709 1750 y(\177)709 1748 y(onnen.)h(Das)h(tut)f (der)g(folgende)g(Satz.)108 1865 y Fu(Satz)j(4.9.)h Fs(\(F)l (aktorisierungssatz\))108 1923 y(Sei)g Fr(\013)e Fw(:)e Fr(A)h Fp(\000)-9 b(!)17 b Fr(B)22 b Fs(eine)e(A)o(bbildung)h(und)f Fp(\030)f Fs(eine)1084 1912 y(\177)1076 1923 y(Aquivalenzr)n(elation) 108 1981 y(auf)f Fr(A)f Fs(mit)g(der)g(Eigenschaft)435 2086 y Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)k Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\030)g Fr(b)h Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(=)f Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\)])p Fr(;)108 2191 y Fs(\(d.h.)23 b Fr(\013)g Fs(ist)h(konstant)g(auf)f(den) 757 2181 y(\177)749 2191 y(Aquivalenzklassen)q(\).)j(Dann)d(gibt)h(es)p eop %%Page: 55 55 55 54 bop 483 120 a Ft(4.)539 112 y(\177)533 120 y(AQUIV)-5 b(ALENZRELA)m(TIONEN)336 b(55)108 225 y Fs(genau)19 b(eine)g(A)o (bbildung)24 b Fw(\026)-29 b Fr(\013)14 b Fw(:)g Fr(A=)q Fp(\030)e(\000)-8 b(!)13 b Fr(B)s Fs(,)k(so)g(da\031)h(das)f(Diagr)n (amm)667 313 y Fr(A)91 b(A=)q Fp(\030)p 716 301 67 2 v 741 300 a Fa(-)739 292 y Fk(\027)720 390 y(\013)714 371 y Fa(@)756 412 y(@)781 437 y(@)-42 b(R)831 483 y Fr(B)p 850 437 2 108 v 851 437 a Fa(?)871 393 y Fq(\026)-21 b Fk(\013)108 558 y Fs(mit)23 b Fr(\027)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(:=)g(\026)-25 b Fr(a)22 b Fs(kommutiert,)i(d.h.)j Fw(\026)-29 b Fr(\013)q(\027)27 b Fw(=)c Fr(\013)p Fs(.)h(Die)e(A)o (bbildung)j Fr(\027)h Fs(ist)108 616 y(surjektiv)16 b(und)g(hei\031t)f Fw(k)m(anonisc)o(he)f(Surjektion)h Fs(o)n(der)f Fw(Restklassenabbil-) 108 674 y(dung)p Fs(.)108 770 y Fw(Mit)f(Hilfe)f(dieses)i(Satzes)f(b)q (ek)o(ommen)e(wir)j(n)o(un)f(sofort)i(die)e(gew)1307 772 y(\177)1306 770 y(unsc)o(h)o(te)108 828 y(Abbildung)j Fn(Q)11 b Fp(3)446 808 y Fk(a)p 446 816 19 2 v 448 845 a(b)484 828 y Fp(7!)553 808 y Fk(a)p 553 816 V 555 845 a(b)588 828 y Fw(+)642 808 y Fq(1)p 642 816 18 2 v 642 845 a(2)678 828 y Fw(=)735 808 y Fq(2)p Fk(a)p Fq(+)p Fk(b)p 735 816 79 2 v 758 845 a Fq(2)p Fk(b)833 828 y Fp(2)j Fn(Q)p Fw(,)f(denn)k(w)o(enn)f(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(\030)g Fw(\()p Fr(c;)8 b(d)p Fw(\))108 886 y(gilt,)k(so)g(ist)h Fr(ad)g Fw(=)h Fr(cb)p Fw(,)e(also)h(folgt)f (\(2)p Fr(a)s Fw(+)s Fr(b)p Fw(\)2)p Fr(d)i Fw(=)g(4)p Fr(ad)s Fw(+)s(2)p Fr(bd)g Fw(=)g(4)p Fr(cb)s Fw(+)s(2)p Fr(bd)h Fw(=)108 944 y(\(2)p Fr(c)d Fw(+)f Fr(d)p Fw(\)2)p Fr(b)16 b Fw(und)h(damit)e(auc)o(h)697 925 y Fq(2)p Fk(a)p Fq(+)p Fk(b)p 697 933 V 720 961 a Fq(2)p Fk(b)795 944 y Fw(=)851 925 y Fq(2)p Fk(c)p Fq(+)p Fk(d)p 851 933 V 873 961 a Fq(2)p Fk(d)935 944 y Fw(.)108 1040 y Fu(F)-5 b(olgerung)20 b(4.10.)85 b Fw(\(1\))21 b Fs(Unter)16 b(den)f(V)l(or)n(aussetzungen)h(von)j Fw(4.9)c Fs(ist)262 1098 y Fw(\026)-29 b Fr(\013)18 b Fs(genau)g(dann)g(injektiv,)h(wenn) 504 1190 y Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)j Fp(2)j Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\030)g Fr(b)h Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\)])p Fr(;)257 1282 y Fs(d.h.)24 b(wenn)i(die)590 1271 y(\177)582 1282 y(Aquivalenzr)n(elation)h(die)e(von)g Fr(\013)g Fs(gem)1323 1284 y(\177)1323 1282 y(a\031)30 b Fw(4.3)257 1340 y Fs(induzierte)498 1329 y(\177)489 1340 y(Aquivalenzr)n(elation) 25 b(ist.)e(Insb)n(esonder)n(e)g(l)1294 1342 y(\177)1294 1340 y(a\031t)g(sich)257 1398 y(je)n(de)16 b(A)o(bbildung)h Fr(\013)f Fs(in)g(ein)g(Pr)n(o)n(dukt)k Fw(\026)-29 b Fr(\013)q(\027)17 b Fw(=)c Fr(\013)j Fs(einer)h(surjektiven)257 1456 y(mit)g(einer)h(injektiven)i(A)o(bbildung)g(zerle)n(gen.)174 1514 y Fw(\(2\))h Fs(Ist)c Fr(\013)h Fs(im)f(Satz)h(surjektiv,)g(so)g (ist)f(auch)23 b Fw(\026)-29 b Fr(\013)18 b Fs(surjektiv.)174 1572 y Fw(\(3\))j Fs(Ist)g Fp(\030)g Fs(die)g(dur)n(ch)g Fr(\013)h Fs(induzierte)906 1562 y(\177)898 1572 y(Aquivalenzr)n (elation,)h(so)f(gibt)257 1630 y(es)c(eine)g(bijektive)i(A)o(bbildung)f (zwischen)g Fr(A=)q Fp(\030)30 b Fs(und)18 b Fw(Bi)o(\()p Fr(\013)p Fw(\))p Fs(.)158 1785 y Fm(Beweis)g(der)h(F)o(olger)o(ung.) 108 1843 y Fw(\(1\))e Fr(\013)f Fw(injektiv)f Fp(\()-8 b(\))13 b(8)p Fr(a;)8 b(b)k Fp(2)i Fr(A)p Fw([)5 b(\026)-29 b Fr(\013)o Fw(\()q(\026)k Fr(a)p Fw(\))14 b(=)k(\026)-29 b Fr(\013)q Fw(\()933 1830 y(\026)935 1843 y Fr(b)o Fw(\))14 b(=)-8 b Fp(\))14 b Fw(\026)-24 b Fr(a)13 b Fw(=)1171 1830 y(\026)1173 1843 y Fr(b)p Fw(])412 1901 y Fp(\()-8 b(\))13 b(8)p Fr(a;)8 b(b)k Fp(2)i Fr(A)p Fw([)5 b(\026)-29 b Fr(\013)o(\027)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))14 b(=)19 b(\026)-29 b Fr(\013\027)s Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))14 b(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(a)g Fp(\030)h Fr(b)p Fw(])412 1959 y Fp(\()-8 b(\))13 b(8)p Fr(a;)8 b(b)k Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\))h(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(a)f Fp(\030)h Fr(b)p Fw(])p Fr(;)108 2017 y Fw(die)i(fehlende)f(Implik)m(ation.)108 2075 y(\(2\))i(W)l(enn)f Fr(\013)h Fw(surjektiv)e(ist,)h(dann)h(ist)f(jedes)f(Elemen)o(t)f(v)o (on)i Fr(B)j Fw(im)c(Bild)108 2133 y(v)o(on)20 b Fr(\013)h Fw(=)k(\026)-29 b Fr(\013\027)s Fw(,)20 b(insb)q(esondere)g(also)h(auc) o(h)e(im)g(Bild)f(v)o(on)25 b(\026)-29 b Fr(\013)p Fw(.)20 b(Damit)f(ist)108 2191 y(auc)o(h)i(\026)-29 b Fr(\013)17 b Fw(surjektiv.)p eop %%Page: 56 56 56 55 bop 108 117 a Ft(56)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)108 225 y Fw(\(3\))j(Ist)g Fr(\013)g Fw(:)f Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)19 b Fr(B)j Fw(gegeb)q(en,)e(so)g(sei)f Fr(\013)936 207 y Ff(0)968 225 y Fw(:)g Fr(A)g Fp(\000)-8 b(!)19 b Fw(Bi)o(\()p Fr(\013)p Fw(\))h(die)f(Ein-)108 283 y(sc)o(hr)194 285 y(\177)194 283 y(ankung)j(der)e(Abbildung)h Fr(\013)g Fw(auf)h(das)f(Bild,)f(die)g(surjektiv)g(ist.)g Fr(\013)108 341 y Fw(und)26 b Fr(\013)246 323 y Ff(0)283 341 y Fw(de\014nieren)e(dieselb)q(e)713 331 y(\177)706 341 y(Aquiv)m(alenzrelation)g(auf)h Fr(A)p Fw(.)g(Also)g(ist)118 388 y(\026)108 399 y Fr(\013)139 385 y Ff(0)178 399 y Fw(:)h Fr(A=)15 b Fp(\030)d(\000)-9 b(!)27 b Fw(Bi)o(\()p Fr(\013)p Fw(\))d(injektiv)f(und)h(surjektiv)f(und)h(damit)e(bijek-)108 458 y(tiv.)p 229 430 33 2 v 229 460 2 30 v 260 460 V 229 462 33 2 v 158 574 a Fm(Beweis)c(des)h(Sa)m(tzes.)h Fw(Wir)j(de\014nieren)28 b(\026)-29 b Fr(\013)p Fw(\()q(\026)k Fr(a)p Fw(\))26 b(:=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\).)d(Um)f(zu)108 633 y(zeigen,)16 b(da\031)24 b(\026)-29 b Fr(\013)18 b Fw(damit)e(eine)h(Abbildung)g(wird,)g(m)o(u\031)f(festgestellt)h(w)o (er-)108 691 y(den,)h(da\031)i(es)e(zu)h(\026)-24 b Fr(a)18 b Fw(n)o(ur)g(ein)g(P)o(aar)h(\()q(\026)-25 b Fr(a;)8 b(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\)\))18 b(in)g(Gr)q(\()5 b(\026)-29 b Fr(\013)p Fw(\))18 b(gibt,)h(da\031)g(also)108 749 y Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))k(nic)o(h)o(t)e(v)o(on)i(der)g(W)l (ahl)f(des)h(Repr)872 751 y(\177)872 749 y(asen)o(tan)o(ten)f Fr(a)j Fp(2)h Fw(\026)-25 b Fr(a)23 b Fw(abh)1358 751 y(\177)1358 749 y(angt.)108 807 y(Seien)d(\()q(\026)-25 b Fr(a)o(;)8 b(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\)\),)20 b(\()471 794 y(\026)473 807 y Fr(b)o(;)8 b(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\)\))21 b(mit)e(\026)-25 b Fr(a)20 b Fw(=)841 794 y(\026)843 807 y Fr(b)g Fw(gegeb)q(en.)g(Dann)h(folgt)g Fr(a)f Fp(\030)h Fr(b)108 865 y Fw(und)12 b(damit)f(nac)o(h)h(V)l (oraussetzung)g(des)g(Satzes)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\).)d(Damit)g(ist)113 923 y(\026)-29 b Fr(\013)14 b Fw(:)g Fr(A=)q Fp(\030)e(\000)-8 b(!)13 b Fr(B)j Fw(eine)11 b(Abbildung.)h(W)l(eiter)f(gilt)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))i(=)19 b(\026)-29 b Fr(\013)p Fw(\()q(\026)k Fr(a)p Fw(\))14 b(=)k(\026)-29 b Fr(\013)q(\027)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))108 981 y(f)124 983 y(\177)123 981 y(ur)17 b(alle)e Fr(a)f Fp(2)g Fr(A)p Fw(,)h(also)i Fr(\013)d Fw(=)19 b(\026)-29 b Fr(\013)q(\027)s Fw(.)16 b(Ist)g Fr(\014)g Fw(:)e Fr(A=)r Fp(\030)d(\000)-8 b(!)14 b Fr(B)19 b Fw(eine)c(w)o(eitere)g(Ab-)108 1039 y(bildung)g(mit)f Fr(\013)g Fw(=)g Fr(\014)s(\027)s Fw(,)g(so)i(gilt)f Fr(\014)s Fw(\()q(\026)-25 b Fr(a)o Fw(\))14 b(=)g Fr(\014)s(\027)s Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))f(=)g Fr(\013)p Fw(\()p Fr(a)p Fw(\))h(=)19 b(\026)-29 b Fr(\013)p Fw(\()q(\026)k Fr(a)p Fw(\))15 b(f)1333 1041 y(\177)1332 1039 y(ur)g(alle)109 1098 y(\026)-25 b Fr(a)14 b Fp(2)g Fr(A=)q Fp(\030)e Fw(,)k(also)h(ist)k(\026)-29 b Fr(\013)14 b Fw(=)g Fr(\014)s Fw(.)p 693 1070 V 693 1100 2 30 v 724 1100 V 693 1102 33 2 v 615 1261 a Fu(5.)28 b(Ordn)n(ungen)108 1416 y Fw(In)13 b(diesem)d(letzten)h(P)o(aragraphen) j(des)f(Kapitels)f(f)1047 1418 y(\177)1046 1416 y(uhren)g(wir)g(no)q(c) o(h)h(kurz)108 1474 y(den)f(Begri\013)g(der)g(Ordn)o(ung)g(ein.)f(Er)h (wird)g(uns)h(sp)1021 1476 y(\177)1021 1474 y(ater)f(v)o(or)g(allem)e (in)i(zw)o(ei)108 1533 y(Beispielen)i(b)q(egegnen,)i(b)q(ei)g (Zahlenmengen)f(und)h(b)q(ei)g(P)o(otenzmengen.)108 1650 y Fu(De\014nition)i(5.1.)i Fw(Eine)e Fs(Or)n(dnung)24 b Fw(\(o)q(der)19 b Fs(A)o(nor)n(dnung)p Fw(\))g(\(gelegen)o(tlic)o(h) 108 1708 y(auc)o(h:)i Fs(teilweise)28 b Fw(o)q(der)22 b Fs(p)n(artiel)r(le)h(Or)n(dnung)t Fw(\))g(auf)f(einer)e(Menge)i Fr(A)f Fw(ist)108 1766 y(eine)16 b(Relation)f Fr(\032)f Fw(=)g(\()p Fr(A;)8 b(A;)g(R)p Fw(\))16 b(mit)e(folgenden)i(Eigensc)o (haften:)174 1842 y(\(1\))21 b Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(a)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)p Fw(],)i(\()p Fs(R)n(e\015exivit)890 1844 y(\177)890 1842 y(at)p Fw(\))174 1900 y(\(2\))21 b Fp(8)p Fr(a;)8 b(b;)g(c)k Fp(2)j Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)j Fr(R)d Fp(^)f Fw(\()p Fr(b;)d(c)p Fw(\))14 b Fp(2)h Fr(R)g Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fw(\()p Fr(a;)8 b(c)p Fw(\))14 b Fp(2)g Fr(R)p Fw(],)j(\()p Fs(T)l(r)n(an-)257 1958 y(sitivit)376 1960 y(\177)376 1958 y(at)p Fw(\))174 2016 y(\(3\))k Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)k Fp(2)i Fr(A)p Fw([\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))k Fp(2)i Fr(R)d Fp(^)h Fw(\()p Fr(b;)c(a)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R)g Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(a)f Fw(=)h Fr(b)p Fw(],)h(\()p Fs(A)o(ntisymme-)257 2074 y(trie)p Fw(\).)108 2191 y(Wir)g(f)222 2193 y(\177)221 2191 y(uhren)g(die)437 2193 y(\177)436 2191 y(ublic)o(he)e(Bezeic)o(hn) o(ungsw)o(eise)f(f)1026 2193 y(\177)1025 2191 y(ur)k(die)e(Ordn)o (ungsrela-)p eop %%Page: 57 57 57 56 bop 622 117 a Ft(5.)18 b(ORDNUNGEN)472 b(57)108 225 y Fw(tion)17 b(ein.)e(F)334 227 y(\177)333 225 y(ur)h(Elemen)o(te)d Fr(a;)8 b(b)13 b Fp(2)h Fr(A)i Fw(sc)o(hreib)q(en)f(wir)490 312 y Fr(a)f Fp(\024)f Fr(b)42 b Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))40 b Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(2)h Fr(R;)491 370 y(a)g(<)f(b)42 b Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))40 b Fr(a)13 b Fp(\024)h Fr(b)d Fp(^)g Fr(a)i Fp(6)p Fw(=)h Fr(b;)490 428 y(a)g Fp(6\024)f Fr(b)42 b Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))40 b Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(62)h Fr(R:)108 517 y Fw(W)l(eiter)24 b(v)o(erw)o(enden)f(wir)h(wie)711 519 y(\177)709 517 y(ublic)o(h)g(die)g(Zeic)o(hen)f(in)h(umgek)o (ehrter)108 575 y(Ric)o(h)o(tung,)15 b(also)i(z.B.)e Fr(b)e Fp(\025)h Fr(a)f Fw(:)p Fp(\()-8 b(\))13 b Fr(a)g Fp(\024)h Fr(b)p Fw(.)108 633 y(Die)19 b(Eigensc)o(haften)g(\(1\),)g (\(2\),)g(\(3\))h(k)811 635 y(\177)811 633 y(onnen)f(dann)h(in)f (folgender)g(F)l(orm)108 692 y(gesc)o(hrieb)q(en)d(w)o(erden:)160 763 y(\(1'\))21 b Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)e Fp(\024)i Fr(a)p Fw(])p Fr(;)160 822 y Fw(\(2'\))21 b Fp(8)p Fr(a;)8 b(b;)g(c)j Fp(2)j Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\024)g Fr(b)e Fp(^)h Fr(b)h Fp(\024)h Fr(c)g Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(a)g Fp(\024)h Fr(c)p Fw(])p Fr(;)160 880 y Fw(\(3'\))21 b Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)j Fp(2)k Fr(A)p Fw([)p Fr(a)d Fp(\024)i Fr(b)c Fp(^)i Fr(b)h Fp(\024)h Fr(a)f Fw(=)-8 b Fp(\))14 b Fr(a)f Fw(=)h Fr(b)p Fw(])p Fr(:)108 952 y Fw(Eine)j Fs(ge)n(or)n(dnete)i(Menge)39 b Fw(ist)17 b(ein)g(P)o(aar)h(\()p Fr(A;)8 b Fp(\024)p Fw(\),)15 b(b)q(estehend)j(aus)g(einer)108 1010 y(Menge)e Fr(A)g Fw(und)g(einer)g(Ordn)o(ung)g Fp(\024)g Fw(=)e(\()p Fr(A;)8 b(A;)g(R)p Fw(\))16 b(auf)g(der)g(Menge)g Fr(A)p Fw(.)108 1100 y Fu(Beispiele)g(5.2.)86 b Fw(\(1\))21 b(Ist)12 b(\()p Fr(A;)c Fp(\024)p Fw(\))j(eine)g(geordnete)h(Menge)g (und)g Fr(B)17 b Fp(\032)257 1159 y Fr(A)12 b Fw(eine)g(T)l(eilmenge,)e (so)k(ist)f(\()p Fr(B)s(;)8 b(B)s(;)g(R)d Fp(\\)t Fw(\()p Fr(B)i Fp(\002)t Fr(B)s Fw(\)\))12 b(eb)q(enfalls)h(eine)257 1217 y(Ordn)o(ung.)174 1275 y(\(2\))21 b(Die)16 b(Gleic)o (hheitsrelation)d(ist)j(eine)g(Ordn)o(ung.)174 1333 y(\(3\))21 b(Die)16 b(P)o(otenzmenge)e(einer)h(Menge)h(ist)g(durc)o(h)g Fp(\032)g Fw(geordnet.)108 1424 y Fu(De\014nition)i(5.3.)i Fw(Sei)15 b(\()p Fr(A;)8 b Fp(\024)p Fw(\))16 b(eine)f(geordnete)h (Menge.)174 1495 y(\(1\))21 b Fr(a)283 1502 y Fq(0)316 1495 y Fp(2)14 b Fr(A)d Fw(hei\031t)f Fs(maximales)k(\(minimales\))f (Element)40 b Fw(in)10 b Fr(A)h Fw(genau)257 1554 y(dann,)16 b(w)o(enn)g(gilt:)582 1641 y Fp(8)p Fr(a)c Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)773 1648 y Fq(0)806 1641 y Fp(\024)f Fr(a)h Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(a)1017 1648 y Fq(0)1050 1641 y Fw(=)h Fr(a)p Fw(])556 1699 y(\()p Fp(8)p Fr(a)f Fp(2)h Fr(A)p Fw([)p Fr(a)e Fp(\024)i Fr(a)858 1706 y Fq(0)891 1699 y Fw(=)-8 b Fp(\))13 b Fr(a)h Fw(=)f Fr(a)1101 1706 y Fq(0)1121 1699 y Fw(]\))p Fr(:)174 1790 y Fw(\(2\))21 b Fr(a)283 1797 y Fq(0)325 1790 y Fp(2)h Fr(A)f Fw(hei\031t)g Fs(gr)608 1792 y(\177)608 1790 y(o\031tes)i(\(kleinstes\))h(Element)70 b Fw(in)21 b Fr(A)g Fw(genau)257 1849 y(dann,)16 b(w)o(enn)g(gilt:)472 1939 y Fp(8)p Fr(a)c Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)f Fp(\024)g Fr(a)754 1946 y Fq(0)774 1939 y Fw(])97 b(\()p Fp(8)p Fr(a)12 b Fp(2)i Fr(A)p Fw([)p Fr(a)1095 1946 y Fq(0)1127 1939 y Fp(\024)g Fr(a)p Fw(]\))p Fr(:)174 2030 y Fw(\(3\))21 b Fr(a)283 2037 y Fq(0)318 2030 y Fp(2)16 b Fr(A)i Fw(hei\031t)f Fs(ob)n(er)n(e)h(\(unter)n(e\))h(Schr)n(anke)58 b Fw(der)17 b(T)l(eilmenge)e Fr(B)257 2088 y Fw(in)h Fr(A)f Fw(genau)i(dann,)g(w)o (enn)f(gilt:)479 2179 y Fp(8)p Fr(b)c Fp(2)i Fr(B)s Fw([)p Fr(b)f Fp(\024)g Fr(a)754 2186 y Fq(0)774 2179 y Fw(])97 b(\()p Fp(8)p Fr(b)12 b Fp(2)i Fr(B)s Fw([)p Fr(a)1093 2186 y Fq(0)1125 2179 y Fp(\024)g Fr(b)p Fw(]\))p Fr(:)p eop %%Page: 58 58 58 57 bop 108 117 a Ft(58)198 b(I.)18 b(GR)o(UNDBEGRIFFE)f(DER)g (MENGENLEHRE)174 225 y Fw(\(4\))k(Sei)16 b Fr(B)h Fp(\032)e Fr(A)p Fw(.)h(Besitzt)f(die)i(Menge)f(der)h(ob)q(eren)g(Sc)o(hrank)o (en)f(v)o(on)257 283 y Fr(B)f Fw(in)c Fr(A)h Fw(ein)g(kleinstes)e (Elemen)o(t,)g(so)i(hei\031t)g(dieses)g Fs(kleinste)k(ob)n(er)n(e)257 341 y(Schr)n(anke)i Fw(o)q(der)c Fs(Supr)n(emum)j Fw(v)o(on)c Fr(B)j Fw(in)e Fr(A)p Fw(,)e(in)h(Zeic)o(hen)f(sup\()p Fr(B)s Fw(\).)174 399 y(\(5\))21 b(Besitzt)14 b(die)h(Menge)g(der)h(un) o(teren)f(Sc)o(hrank)o(en)g(v)o(on)g Fr(B)k Fw(in)c Fr(A)g Fw(ein)257 458 y(gr)300 460 y(\177)300 458 y(o\031tes)21 b(Elemen)o(t,)c(so)j(hei\031t)g(dieses)g Fs(gr)1013 460 y(\177)1013 458 y(o\031te)h(unter)n(e)h(Schr)n(anke)257 516 y Fw(o)q(der)17 b Fs(In\014mum)f Fw(v)o(on)g Fr(B)j Fw(in)d Fr(A)p Fw(,)f(im)g(Zeic)o(hen)f(inf)s(\()p Fr(B)s Fw(\).)108 599 y Fu(Bemerkung)j(5.4.)j Fw(Eine)d(geordnete)h(Menge)f (\()p Fr(A;)8 b Fp(\024)p Fw(\))17 b(brauc)o(h)o(t)g(w)o(eder)108 657 y(maximale)h(no)q(c)o(h)k(minim)o(ale)c(Elemen)o(te)h(zu)i(en)o (thalten)g(\(z.B.)e(\()p Fn(R)m Fr(;)8 b Fp(\024)p Fw(\)\).)108 715 y(W)l(enn)18 b Fr(A)f Fw(ein)f(gr)424 717 y(\177)424 715 y(o\031tes)j(Elemen)o(t)c(b)q(esitzt,)h(so)i(ist)g(dieses)f (eindeutig)f(b)q(e-)108 773 y(stimm)o(t)g(und)k(ein)f(maxim)o(ales)e (Elemen)o(t)f(v)o(on)k Fr(A)p Fw(.)e(W)l(enn)h Fr(A)g Fw(genau)h(ein)108 831 y(maximales)c(Elemen)o(t)g(b)q(esitzt,)i(so)i (brauc)o(h)o(t)e(dieses)g(k)o(ein)g(gr)1254 833 y(\177)1254 831 y(o\031tes)i(Ele-)108 889 y(men)o(t)c(zu)i(sein)g(\(z.B.)e Fn(N)10 b Fp([)i(f)p Fr(x)p Fp(g)18 b Fw(mit)e Fr(n)h Fp(\024)f Fr(x)i Fw(f)957 891 y(\177)956 889 y(ur)g Fr(n)f Fp(\024)f Fw(2\).)i Fr(A)g Fw(k)m(ann)g(viele)108 947 y(maximale)13 b(Elemen)o(te)g(b)q(esitzen)j(\(z.B.)f(Gleic)o (hheitsrelation)e(auf)k Fr(A)p Fw(\).)108 1030 y Fu(De\014nition)h (5.5.)i Fw(Eine)13 b(geordnete)h(Menge)f(\()p Fr(A;)8 b Fp(\024)p Fw(\))13 b(hei\031t)h Fs(total)i(ge)n(or)n(d-)108 1088 y(net)22 b Fw(o)q(der)17 b(eine)e Fs(Kette)p Fw(,)j(w)o(enn)174 1159 y(\(4\))j Fp(8)p Fr(a;)8 b(b)j Fp(2)k Fr(A)p Fw([)p Fr(a)d Fp(\024)i Fr(b)c Fp(_)i Fr(b)h Fp(\024)h Fr(a)p Fw(].)108 1242 y Fu(Beispiele)i(5.6.)86 b Fw(\(1\))21 b(\()p Fn(R)m Fr(;)7 b Fp(\024)p Fw(\))14 b(ist)i(totalgeordnet.)174 1300 y(\(2\))21 b(Jede)c(T)l(eilmenge)f(einer)h(totalgeordneten)h (Menge)g(ist)g(totalge-)257 1358 y(ordnet.)174 1416 y(\(3\))j(\()p Fn(N)p Fr(;)8 b Fp(\024)p Fw(\))14 b(ist)i(totalgeordnet.)174 1475 y(\(4\))21 b(Sind)15 b Fr(A)h Fw(und)g Fr(B)i Fw(totalgeordnete)e (Mengen,)f(so)h(ist)g(auc)o(h)g Fr(A)9 b Fp(\002)h Fr(B)257 1533 y Fw(total)16 b(geordnet)h(mit)d(der)i Fs(lexiko)n(gr)n(aphischen) j(Or)n(dnung)353 1616 y Fw(\()p Fr(a;)8 b(b)p Fw(\))13 b Fp(\024)h Fw(\()p Fr(a)571 1595 y Ff(0)582 1616 y Fr(;)8 b(b)625 1595 y Ff(0)636 1616 y Fw(\))14 b Fp(\()-8 b(\))13 b Fw(\()p Fr(a)h(<)g(a)911 1595 y Ff(0)922 1616 y Fw(\))d Fp(_)g Fw(\()p Fr(a)j Fw(=)f Fr(a)1132 1595 y Ff(0)1155 1616 y Fp(^)e Fr(b)i Fp(\024)h Fr(b)1307 1595 y Ff(0)1318 1616 y Fw(\)\))p Fr(:)p eop %%Trailer end userdict /end-hook known{end-hook}if %%EOF