; TeX output 1995.11.06:1343'nMdM&XQ cmr12KAPITELIM-Nff cmbx12Grundbs3egri effderMengenlehre-n,N cmbx121.nMengenY2AndenAnfangderMathematikstelltmangemeinhindieMen-genlehre.SiebietetdieSpracrhean,mitdersicrhMathematikervrerstyandigenIkyonnen,J pryazise,kurz,exakt,abSerfyurdenAuen-stehendenնaucrhoftunverstyandlich.IhreelementarenGrundbSe-gri esindjedoScrhleichtverstyandlich. MitderSprachederMengenkyonnenallemathematiscrhenErgebnisseundEinsichtenformu-liertwrerden.]npxUbSerdieseSprachenfunktionundHilfsfunktionhin-ausRistdieMengenlehreabSeraucrheinTVeilgebietderMathematik,inderwresentlicheFVorschungvorsichgehtundbSesonderstie ie-genderResultateindenletztenJahrzehnrtenerzieltwordensind.WirEwrerdenunslediglichmitdenAnfangsgrSyundenderMengen-lehre̫bSefassenunddabeidiederMathematikzugrundeliegendeSpracrheeinSyubSen.Y2AlsGrundbSegri evrerwendetdieMathematikdenBegri desElemenrtsunddenderMenge,diemansichausElementenzu-sammengefSyugt3_vrorstellt.3qElementekyonnenimwesentlichenallessein,y3wrasywirunsvorstellenkyonnen.y3UndihreZusammenfassungzuleinerMengescrheintleinefasttrivialeAngelegenheitzusein.ManNkXannvronderMengederHyorereinerVVorlesungsprechen,.nK`y cmr101*'nM2SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MvronderMengeallerElementarteilchendesUniversums,vonderMengederSpSeicrherplyatzeeinesComputers,vonderMengeallernatSyurlicrhenZahlen,,vonderMengeallerdenkbarenComputer-programmeundvronvielenanderenMengen.bEine3ersteDe nitiondesBegri eseinerMengegehrtaufGeorgCanrtorzurSyuck.Erde niertewiefolgt:񍍍De nition1.1.s(GeorgCanrtor,1845-1918;VVaterderMengen-lehre):ضEiney4@ cmti12MengeisteineZusammenfassungvronbSestimmtenwrohlunterschiedenenObjektenunsererAnscrhauungoSderunse-resDenkrens{welcheElementederMengegenanntwerden{zueinemGanzen.DieJBedeutungdieserDe nitionfSyurdieMathematikwirddurcrheinenAussprucrhHilbSertsunterstrichen.Zitat1.2.U(DarvidHilbSert, 1862-1943):NiemandsollunsausdemPraradiesderMengenlehrevertreibSen,dasCantorfSyurunsgescrha enhat.Da ]dieserBegri einerMengejedoScrhproblematischist, siehtmanscrhondaran,WdazuseinerDe nitionBegri eherangezo-gen2wurden,2derenDe nitionselbstfehlt:Zusammenfassungzueinem8Ganzen,fbSestimmrteObjekte,wrohlunterschiedene8Objek-te,Denkren,Anschauung.TVatsyachlichywurdezuBeginnunseresJahrhrundertserkXannt,dadieserBegri derMengeschnellzuWidersprSyucrhenfSyuhrenkXann.]WirgebSeneinensolchenWider-sprucrh,dieRusselscheAntinomie,amEndediesesParagraphenan.b DeraAuswregausdiesemDilemmawareinestrengeFVassungderBMengenlehreineinemaxiomatiscrhenSystem,Bsowieauchdie-Geometrieaxiomatiscrhgefatwurde,-XunddasmitgroemErfolg.&WWir&$wrerdendaheraucheine(nichtganzstrenge)axioma-tiscrhe"FVassungderMengenlehreangebSen.'Siewirdunsentschei-denhelfenzusagen,wrelcheMengengebildetwrerdendSyurfen.Manwird$dahernrurmitdenjenigenMengenundElementenopSerieren`'nM21.UUMENGEN73d&MdSyurfen,>derenfolgendenAxiomelegenelemenrtareRegeln8yubSerdenUm-gang {mitMengen, ElemenrtenunddenZeichen2bzw. 62fest.Jede1RKollektionvronObjekten,1diewirElemente,1Mengen,21Rund62nennen, diedenAxiomengenSyugt,kXannalseineRealisierungder;Mengenlehreangesehenwrerden.WirgebSenkeinekonkretederartigeuRealisierungan,ud.h.wirugebSenkreineexakteDe niti-on)vronElementenundMengenan.>EsgenSyugt,sicrhaufdienaiveVVorstellung GzustSyutzen, formalinBewreisenjedoSchnurdieRegelnaus4BdenAxiomenzuvrerwenden.4UDie4BbSewiesenenAussagensinddannfSyurjedeRealisierung(MoSdell)ricrhtig.fAxiom1.U%(ElemenrtebSezeichnungundExistenz)f)ו(1)=FSyurjedesElemenrtxundjedeMengeAbSestehtgenauei-=neJderbSeidenBeziehrungen(genauer:Jistgenaueinerder=bSeidenAusdryucrkeeinewahre,iderandereeinefalscheAus-=sage):fxUR2A;0x62A:f=Im3FVallex[2A3(d.h.4wrennx[2A3wahrist)sagenwir=*"CBxistElemenrtderMengeA-l\Ҕ,*" _9xliegtinA\Ҕ,*" _9xistinA=enrthalten-l\Ҕ,:Ɵ*"vx:inA\ ,oSder*"HxausA\Ҕ.:ImFVallexUR62A:(d.h.=wrennxUR2Afalscrhist)sagenwir*" xistnichtElementder=MengeA-l\Ҕ.)ו(2)=EsgibtmindestenseineMenge.)ו(3)=ZujedemElemenrtxgibtesmindestenseineMengeAmit=xUR2A(istwrahr).M'nM4SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MWirwrerdenbSeiderFVormulierungdesnyachstenAxiomsgewis-seKSymrbSoleverwenden,KdiedenmathematischenTVextabkSyurzensollen.:Scrhon:]imvorhergehendenAxiomhabSenwirbestimmrtemathematiscrhe,FVormulierungenverwendet,ddiesichhyau gwie-derholengXwrerden.gWirwerdenzunyachstfolgendeAbkSyurzungenvrerwenden:;ʍZYLfSyuralle 8ZYLesgibt 9ZYLund ^ZYLoSder _ZYLdannundnrurdann,wenn ()ZYLdarausfolgt =)ZYLgiltnrur,wenn (==UTImKlartextvrerwendenwiralsSynonrymee%_fSyurallefSyurjedes%_esgibtesexistiert%_dannundnrurdann,wennistnotrwendigundhinreichend%_dannundnrurdann,wenngiltgenaudann,wrenn%_darausfolgtimpliziert%_darausfolgtisthinreicrhendfSyur%_giltnrur,wennistnotrwendigfSyurEs bSedarfimmereinigerGewyohnrung, $bismandenUmgangmitdiesenZeicrhen,#SymbSolenundBegri eneingeyubthatundsicrheinkrorrekteslogischesSchlieenangewyohnthat.WVennwirdieZeicrhen8oSder9verwenden,dannwerdenunmittelbardanachimmerdieElemenrtegenanntwerden,|yubSerdiewiretwasaussagenwrollen.DieAussage,diewirdann4byubSerdieseElemenrtemachen,wirdinKlammern[und]angegebSen21.?2ff< s6 ^ٓRcmr71|sMan"kqanneineproaziseSyntaxfGourdieV*erwendung(undUmformung) dieser ,ZeichenundderMengensymbGoleineinanderangeben. ?DannkqanndieMathematikW|ingroenT*eilenlediglichalsManipulationsolcherZeichenrei-henUUdurchgefGouhrtwerden.MehrdazuimKapitelqoubGerLogik.L'nM21.UUMENGEN75d&MAxiom2.U%(AxiomderGleicrhheitoSderExtensionsaxiom)SeienA;BMengen.WVennfSyuralleElemenrtexdieAussagexUR2Agenaudanngilt,wrennxx2B gilt,sofolgtAx=B:Inmathema-tiscrherKurzschreibweise:gJ8x[xUR2A()x2B]=)A=B:Der2umgekrehrteSchluA-=Bk3=)8x[x2A()x=B]2folgtausldenEigenscrhaftenderGleichheit.WVennnyamlichAundBgleicrhFsind,F.danndarfmananjederStelle,wroAverwendetwird,dieses_durcrhBersetzen,_ohnedielogischeBedeutungzuyandern.̭DasAxiom2bSedeutet,dazwreiMengengenaudanngleichsind,wrenn4"siedieselbSenElementebSesitzen.4QDamitistklargestellt,daeineMengealleindurcrhdieAngabSeihrerElementebSeschriebenwird_undkreinezusyatzlicheInformationbSesitzensoll.oWVennmansicrh~denBegri derMengeals*"tBehyalter-l\QXfSyurihreElementevor-stellt, dann¿gibteskreineverschiedenen*"*oBehyalter-l\Ҕ. MansammeltElemenrtehgrundsyatzlichingleicherWVeise.ĠUmfestzustellen,obzwreiMengengleichsind,genSyugtesdaher,nruralleihreElemen-tezu9byubSerpryufen.DaswirdinZukunfthyau gsogescrhehen,daman1zunyacrhstzeigt,9daalleElementeeinerMengeAauchEle-menrteeinerweiterenMengeB undweiterdaalleElementederMengeBaucrhElementederMengeAsind.WVennmandasbSe-wiesen0hat,3kXannmandannwregenAxiom2unmittelbarAh=Bfolgern.̭DamithabSenwirscrhoneinenweiterenelementarenBegri an-gesproScrhen.Eskommtoftvor,daalleElementeeinerMengeAaucrhElementeeinerMengeBsind.Wirde nierendaherwiefolgt:De nition1.4.\(1)DieMengeAheiteineTeilmengeoSder=UntermengederMengeBi(KurzbSezeicrhnung:ΎA'B)=genauBdann,wrennjedesElementvonAauchElement=vronBist:%'nM6SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&Mc/AURBX:()8x[x2A=)x2B]22.)ו(2)=IstqAnicrhtqTVeilmengevronB,q3sowirdAUR6B geschriebSen.)ו(3)=A!heiteineeffchtePTeilmengevronB(KurzbSezeichnung:=AUR msbm10$B),wrennAURB^(und)AUR6=Bgelten.eBemerkung:FDasFrZeicrhenheitInklusionundwirdgelesen*""istTVeilmengevron-l\Ҕ.Esist+JʍC`AURBo_l()_r8x[xUR2A=)x2B]o_l()_r8xUR2A[x2B]:C|AUR$Bo_l()_rAURBE^P9x2B[x62A]o_l()_r8xUR2A[x2B]^P9x2B[x62A]:Folgerung1.5.rDiefolgendenGesetzegeltenf'yurdieInklusionvon35MengenA,B;undCܞ:)ו(1)=Rffe exivityat:35AURA.)ו(2)=Trffansitivityat:35AURBE^BXC1=)AC5:)ו(3)=A2ntisymmetrie:35AURBE^BXA=)A=B:&5- cmcsc10Beweis.XWir0WgebSendiesenleicrhten0WBeweisausschlielichinmathematiscrherfKurzschreibweisean.DerLesermagsichandie-serStelleindasLesendieserKSyurzelspracrheeinarbSeiten.)ו(1)=8x[xUR2A=)x2A]=)AA:)ו(2)=AURBE^BXC1=)=8x[xUR2A=)x2B]^P8x[x2BX=)x2Cܞ]=)=8x[(xUR2A=)x2B)^(xUR2BX=)x2Cܞ)]=)=8x[xUR2A=)x2Cܞ]=)AC5:)ו(3)=AURBE^BXA==)UR8x[x2A=)x2B]^P8x[x2BX=)x2A]==)UR8x[(x2A=)x2B)^(xUR2BX=)x2A)]==)UR8x[x2A()x2B]=)A=B:%yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘'ff< s6 ^2|sDas/#Zeichen: !", cmsy10(UX)sollbGedeuten,/-dadielinkeAussagedurchdierechte Aussage-de niertwird,-!d.h.da-siedurchDe nitionoaquivqalentzurrechtenAussageUUist./'nM21.UUMENGEN77d&MBemerkung1.6.|R3(NotationundScrhreibweisevonMengen)Sindpa1;a2;:::ʚ;a2cmmi8t.:genaupalleElemenrteeinerMengeA,soschreibtman.A`=fa1;a2;:::ʚ;atg:.DieZeicrhenfundgheiendabSeiMengenklammern.Dann^geltenf1;2g=f2;1g^undf1;2g=f2;1;2;1;1g,ZtwreilZXjeweilsbSeideMengendieselbenElemenrteha-bSen(vgl.jedocrhKapitelI.3>6yuberMultimengen).AllerdingsUwwissenwirnoScrhnicht,UobdieseMengenyubSerhauptexistieren.AusEdemAxiom1kyonnenwirnrurentnehmen,daesN[mindestenseineMengegibt.NuMengen,wieN[dieebSenbescrhrie-bSenen,}wrerden|wirerstbildendyurfen,}wrennwirdasAxiom5zur9VVerfSyugunghabSenwrerden.:WirkyonnenalsodieangegebenenMengenzunyacrhstnurmitVVorbSehalthinschreibSen."Wirtundies,um'EdemLeserscrhonjetztBeispieleandieHandzugebSen,'xande-nenHersicrhdieBegri eklarmachenkXann.INoSchkomplizierteristdie#.SituationbSeidenZahlenmengen,#adiewiraucrhgleichangebSenwrerden.5LIhre59ExistenzwirderstdurchdasUnendlichkeitsaxiom6$(inKapitelISI.1)gesicrhertwerden.dDennoSchwollenwirdieseZahlenmengen%ualsvreranschaulichende%uBeispieleaucrhhierschonheranziehen.EsgeltenfolgendeElemenrtbSeziehungen:lM5UR2f1;2;3;5;7g;cXZ12URfU@Y;UZ5;XY;XZ5;ZܞY;ZZg;6UR62f1;2;3g:"_Wir%vrerwendenindenfolgendenBeispielenMengen,gdieallge-mein bSekXannrtsind, "derengenaueDe nition,Konstruktionbzw.Existenzwirerstspyaterdiskutierenwrerden.DienatSyurlicrhenZahlenbildendieMengeN=f1;2;3;4;:::ʜgnacrhAxiom6.WirverwendenweiteralsBezeichnungZUR=f0;1;1;2;2;:::ʜgUR=MengederganzenZahlen,QUR=MengederrationalenZahlen,:'nM8SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MRUR=MengederreellenZahlen,CUR=MengederkromplexenZahlen.FSyur9eineMengeAistfAgeineneueMengemitgenaueinemElemenrtgEA,ggalsogiltAUR2fAg:gEMengenkyonnenalsoauchalsEle-menrtervonanderenMengenauftreten.Esistf1;2gvR2ff1;2gg,1UR62ff1;2ggund1UR2f1;2g:Esgiltnicrhtf1;2gURff1;2gg:FWir |bSemerkrennocrhmals, dadieExistenzderobenangegebenenMengennoScrhnichtgesichertist.Einv>wicrhtigesPrinzipzurBildungvonMengenistdieKonstruk-tionrvronTVeilmengen.rWennrmandieElementeeinergegebSenenMenge}AaufbSestimmrteEigenschaftenhinuntersucht,natSyurlicheZahlenzz.B.daraufhin,ρobsiegeradesindoSdernicrht,sozmyochtemanPdiejenigenElemenrte,Q'diediegegebSeneEigenschaftbSesitzen,zu>einerneuenMengeBٌzusammenfassen.>DiesewirdnatSyurlicrheine:TVeilmengevronAsein.;EineEigenschaftfSyurElementewirdhyau g{aucrheinPryadikatoSdereineA2ussagegenannt.EsmufSyur'diebSetracrhteten'Elementefeststehen,.obsiedieEigenschaftbSesitzen,bzw.obsiedieAussageerfyullen.FAxiom3.U%(TVeilmengenaxiomoSderPrinzipderAbstraktion)Sei0Bk6eineMengeund#%n eufm10A(x)einPryadikXatfSyurElemenrtex(d.h.yeineAussageyfSyurElemenrtex,}fSyurdiebSeifesterWVahlvonxfeststeht,ob8siewrahroSderfalschist).Menge.aEs]gibtgenaueineleereMenge.DieseistUnrtermengeѮjederMengeBl(wegenAxiom2undAxiom3).NachAxiomm1istbisheralleindieExistenzvron;sichergestellt.FSyurbUR2BistfbgB:g捑Die[Mengenrbildungfxj1x5g[istnichtsinnvoll,[weilnichtklarNist,auswrelcherNGrundmengeU2dieElemenrtezuwyahlensind.CWirChaltendaherofteinesolcrheGrundmengeU@,genannrtUniversum,fest,ausnderalle mbSetracrhtetennElementestammensollen.?4Ist>alsoUI=ef1;3;5;7;9;:::ʜg=>MengederungeradenZahlen,TsoTistfxj1 x5g=f1;3;5g:TFSyurUJ= ؿRistfxj1xUR5g=[1;5](abgescrhlossenesIntervXallvon1bis5).De nition1.8.sSeienA;BMengen.Q)ו(1)=Der}DurffchschnittvronAundBIistdieTVeilmengederjeni-=genElemenrteausA,dieauchinBliegen:M2A\BX:~3r=URfx2Ajx2Bg=fxjx2A^xUR2Bg?=URfx2Bjx2Ag:)ו(2)=Die KomplementyarmengevronBinAistdieTVeilmenge=derTElemenrteausAdienichtinBliegen(*"gATohneB-l\Ҕ):=AnBX:=URfx2Ajx=2Bg:)ו(3)=ZwreiMengenA;BheiendisjunktoSderfrffemd,wenn=A\BX=UR;:)ו(4)=Diek+KomplementyarmengevronB1imUniversumUwird=mitꨟfe ( fbB]xbSezeicrhnet.{ff< s6 ^3|sMitdemZeichen:=wirddaslinkeSymbGoldurchdierechteSeite de niert. O'nM10SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MAnURdieserStellesollteangemerktwrerden,UxdadieZeichen=und,gyanzlicrhunterschiedlicheBedeutunghabSen.WVennPwirjetztvronElementenundMengenalsmathematischenObjektenKsprecrhen,sostehtfest,obzweibSeliebigvorgegebSeneObjektebZgleicrhsindoSdernicht.bDasGleichheitszeichenistda-mit,zwiscrhenElementenbzw.1Mengende niert.MehrnoScrh,wirkyonnenosogareinenTVestangebSen,zmitdemmanfeststellen(aufeine$einfacrhereFVragezurSyuckfSyuhren)kXann,$obzweiMengengleichsind,anyamlicrh1denimAxiomderGleichheit(Axiom2)angege-bSenenTVest.Sosindz.B.diefolgendenMengengleicrh:UTʍ=%Of1;2;3goLY=URfxjx2N^xUR<4goLY=URfxjx2N^P9yË2f1;2;3g[xUR=4yn9]g:Die%MengenlehrebasiertjedoScrhaufdemUmgangmitlogischenSyatzen,DsogenannrtenAussagen,[ҞyubSerdiefeststehrt,obsiewrahroSder.falscrhsind..VVerschiedenesolcheAussagenkyonnenlogischyaquivXalenrtsein,#d.h.vonzweilogischenAussagenP[undQistPB2genauldannwrahr,wennlQwrahrist.WirscrhreibSendannP,Q.;cSolcrhe;NlogischyaquivXalentenAussagenkommeninderPraxisvrerhyaltnismyaigselteninderMathematikjedoSchsehrhyau gvor.EinBeispielist:J(ן*".:nistdiekleinstePrimzahl.-l\<,*" RXnistdiekleinstegeradenatSyurlicrheZahl.-l\Das[GleicrhheitszeichenkXannalsonurzwischenElementenbzw.Mengendstehen,zdiedoppSelteImplikXationnrurzwischenlogischenAussagen.xInsbSesonderexbeacrhteman,xdaA\BeineMengeist,wyahrendAURBeineAussageist.WirbSemerkrenauchnoSch,dasowohlPd,qQalsauchAq=BAussagensind,d.h.dabSeibeidenAusdryucrkenderWVahrheits-gehaltfestgestehrt.(WirgebSenindernyacrhstenFVolgerungeineReihevonRegelnfSyurdas RecrhnenmitMengenan. %VielederRechenregelnsindun-mittelbar3klar,3CanderebSenyotigeneinenetrwas3ausfyuhrlicheren3Be-wreis.JWirJverzichtenhieraufBeweisedieserAussagen,Jdawirsie Z'nM21.UUMENGEN|611d&Mzum9TVeilaucrhspyaterinallgemeinererForminKapitelI.3wieder nden'wrerden.XLediglicheineAussagebSeweisenwir,XdamitderLesersiehrt,wieersolcheBeweisefSyuhrensollte.bFolgerung1.9.r(Rffechenregeln35derMengenalgebrffa)'j)ו(1)=A\BX=URBE\A,35(Kommutativgesetz))ו(2)=(A\B)\C1=URA\(BE\Cܞ),35(Assoziativgesetz))ו(3)=A\AUR=A,35(Idempffotenzgesetz))ו(4)=A\BXURA;A\BURB.)ו(5)=Gilt.f'yureineMengeCܞ:Cf<A^CB,dann.folgt=C1URA\B.)ו(6)=AnBX=URAn(A\B),)ו(7)=An(AnB)UR=A\B,)ו(8)=An;UR=A;AnAUR=;,)ו(9)=(AnB)URA,b&Beweis.XDie_meistenBewreisschritte_sindunmittelbareinsicrh-tig.AlsMusterbSewreisenwirdenerstenTVeilvon(8):WVegen1.5(3)h4istA"n;+Ah4undA+A"n;h4zuzeigen.hTA"n;+Ah4giltwre-genc1.8(2).gFSyurAURAwn;chabSenwirnacrhDe nitionzuzeigen:8x[xn2A=)x2AMn;]:9rSeian2A:9rDannistan2A9rundan62;(EigenscrhaftderleerenMenge),alsoaUR2fx2Ajx62;g=A)n;:Also)Ygilt8x[xs2A=)x2An;])YunddamitistAsAn;gezeigt.AlsogiltAn;UR=A. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘~InderfolgendenDe nitionvrerwendenwireinetrypischeSchlu-wreiseoderMengenlehre.WVenneineMengeMSnichtleerist,dannmrusiejamindestenseinElemententhalten.Wirkyonnenalsoein(ansonstenbSeliebiges)Elemenrta0ausdieserMengeM& ndenunddamitwreitereUntersuchungendurchfSyuhren.De nition1.10.ySeipMeineMenge,derenElemenrteselbstMen-genYsind,_undseiMUR6=;.SeiYA0V2M:DannistderDurffchschnittderMengenausMde niertalsDurcrhschnitt:V퍑|KA\BX=/&%'$.鍑 9A&/&%'$'Dq+Z-˟ 1/Nz)23/k.鍑K!B,VVereinigung:|KA[BX=/&%'$'D&1/H1YޟqD|/ #/+Zw3w3%vR)џ )џ/k.鍑 9A&/&%'$;/N&E1'Dq1/N|-˟ 7˞?Dџ)233239a )2 <CVg.鍑K!B- >Komplemenrt:}JAnBX=/&%'$&/&%'$YޟqD|w3w3%vR)/ Dzџ Q .鍑 9A.鍑KBSymmetriscrheDi erenz:A~EABX=/&%'$&/&%'$YޟqD|w3w3%vR)/ Dzџ Q Eq;/HfCVd9Vd2 ?D˟;/Hh9a U9"؟.鍑 9A.鍑KB2㍍щfe?i 3/(A[B)\C\2=UR(fe fbA y\fe ( fbB 2)[fe D fbCD:_鹍Zm|fftXSXSff<&%'$2oA<&%'$(y'`&%'$¨͡A¨XBߪMC0 1Ц獑$2Ц獑OTp3ō9495֍FG6֍-/7098s7XSfffffftfSyuhrtzufolgendemBewreis: 'nM21.UUMENGEN|615d&MA=[B=U2[3[5[6[7;RC2e=4[6[7[8;R(A[B)\C2e=6[7[8;=)URщfe?i 3/(A[B)\CF=UR1[2[3[4[5:fe fbA(=5 1j[3[4[6;|fe ( fbB=1[2[4[7;|fe fbA=\fe ( fbB'=1[4;|fe D fbC~2=1[2[3[5?=)UR(fe fbA y\fe ( fbB 2)[fe D fbCD=1[2[3[4[5:Bemerkung1.16.3(Mengen+imComputer)ImComputerwrer-den0MengenvronZahlenoSderDatengespeicrhert,0z.B.dieAdress-datenςvronGeschyaftspartnern,diestatistischverteiltenWVertevonwiederholtenStrahlungsmessungen,dieBucrhstabSendesAlpha-bSets,dienatyurlicrhenZahlen.;wSie wrerdendannalsMengeimobigenSinnaufgefatwerdenmSyussen,wrennmengentheoretischeOpSerationenvorkommen,z.B.fBucrhstabSendesAlphabetsg[fZi ern0;:::ʚ;9g:EsCbietensicrhgrundsyatzlichzweiverschiedeneArtenan,wiemanMengenimComputerrealisierenundspSeicrhernkXann.Ein-mal kXannmanalleElemenrteeinerMengeeinzelnabspSeichern.AufgrundOderEndlicrhkeitOdesSpSeicrherskXannmansonatyurlicrhnrurMverhyaltnismyaigkleineMengeerfassen,MwiedasAlphabSet,dieCEinrtryageeinesLexikonsoSderdieDateneinerstatistischenErhebung, Izum ABeispieleinerVVolkszyahlung.DurcrhdieSpSeiche-rungallerElemenrteeinerMengesindauchwiederholteEintryagedesselbSen,Elemenrtsmyoglich,8dieOrdnungdesSpSeichersbSedingtaucrh0eineOrdnungderElementederMenge.12EsentstehteinegeordneteListe,derenDe nitionundStrukturwirspyaterunrter-sucrhen.Ist)dieDatenmengejedoScrhzugro,*4garunendlich,*4wiez.B.NoSderg2N,h&somrudasBildungsgesetzselbstabgespeicrhertwer-den.tfDietGnatSyurlicrhenZahlenbSetrachtetmanalsdieMenge,tfdie1enrthyaltSunddurchfortlaufendesAddierenvon1zuimmerneu-enOZahlenkrommt,OdieOgeradenZahlenenrtstehenaus2unddenZahlen,PdieOmandurcrhfortlaufendesAddierenvon2erhyalt.PManhat|^damitzwrarnichtalleElemente*" gleichzeitig-l\NimCompu-ter2zurVVerfSyugung,mkXannabSerimBeispieldernatyurlicrhenZah-m'nM16SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&Mlen|jedeeinzelnebSeliebiggewyahltenatyurlicrheZahlnachend-licrherk`RechenzeiterhaltenundzumBeispielaufdemDruckerausdrucrken.K_AufKdieseWVeisekXannmanaucrhnoSchsogenannteabzyahlbare?Mengenelemenrtweise?bSeherrschen.KSchliesslichkXannmanAstattderAngabSeeinesBildungsgetzesunddamitderKon-struktionsmyoglicrhkeit}jedeseinzelnenElemenrtsvielgryoereMen-gen{idadurcrhbSeherrschen,{damanlediglicheinenAlgorithmusangibt,Z&derZvroneinemvorgegebSenenElementfeststellt,Z&obesderde niertenMengeangehyort.DieseDarstellungvronMengenfyalltjedoScrhschonunterdieMyoglichkeiten,TVeilmengen(desUniver-sumsꨟ*" RXallerElemenrte-l\Ҕ)darzustellen.!2DieMenge2NerhyaltmanaucrhalsftUR2Nj9s2N[2s=t]g:DieseendlicrhenZeichenfolgekXanngespSeichertwerden.Hyau gstelltmansicrh>alsoaufdenStandpunkt,>daeinUniversumalsGrundmen-gegegebSenist,bescrhriebenetrwadurchdenAufbauderverwen-deten}Elemenrte(z.B.alleWVorte,}diemanmitBuchstabSenundZi erng{alphanrumerischg{scrhreibSenkXann),g8undbescrhreibtdieinrteressierendenTVeilmengenAvonUџdurcheinPryadikXatA(x),alsomA4=fxjA(x)g=fx2U@jA(x)g,mdurcrhdasfestgestelltwer-denkXann,obeingegebSenesElemenrtderTVeilmengeangehyort.A(x)istdanneinAlgorithmrus,derfSyureingegebSenesElementxeinenWVertwrahr(xUR2A)oSderfalsch(x=UR2A)ausgibt.!2FSyur endlicrheelementweiseimComputergespSeicherteMengenUGgibtesnoScrheinweitereshyau gverwendetesVVerfahren,ZumTVeilmengenCAURUzude nieren.DManstellteinenwreiterenSpSei-crherImzurVVerfSyugungmitebSensovielenBitsSpeicrherraum,IwiedieGrundmengeElemenrtehat.JedemElementxvonUstehtda-mitgealsoseineigenerzusyatzlicrherSpSeichervon1BitLyangezurVVerfSyugung.pUmojetzteineTeilmengeAzubilden,pscrhreibtmanfSyurdiejenigenElemenrtexFd2U@,dieinAliegen,eine1indenzuxgehyorigenSpSeicrher.=FyurdieElementexV#2UXmitx{=2GAscrhreibtVmaneine0indenzugehyorigenSpSeicher.W#Manhatdamity'nM21.UUMENGEN|617d&MeigenrtlicheineFVunktionA 36:URU6 !f0;1gde niertmit"oA(x)UR=􍓫8 < : 81;8QfSyurO!x2A;ɍ 80;8QfSyurO!x=2A:!DadurcrhbistdieTVeilmengeAabSero ensichtlichvollstyandigbSe-stimmrt.DieLFVunktionA 0nenntmanauchcharakteristischeFVunktionvronA(vgl.auchKapitelI.3).VmZumBeispielkXannmanbSeiderBescrhreibungvonFVarbmischun-gendausden3FVarbSenUd:=#fblau,dgryun,rotgdinsgesamrt223=#8vrerschiedeneTVeilmengen nden.DieTeilmengefblau,rotgwirddabSeidanndurcrhdieBitfolge101de niert.FBemerkung1.17.3(MengenopSerationenimComputer)(1)kDerFVallendlicrherMengen:SindzweiendlicheMengenAundBmalscggeordneteListengegebSen,csokXannmanA[BdarstellendurcrhkBildungeinerneuenListe,indiealleElementeausAundBaufgenommenswrerden,timeinfachstenFValldurcheinAneinan-derhyangenderListen,oSderdadurcrh,damansicrhmerkt,dadieElemenrtebausA[B5hsolchebsind,vdieinAoffderinB5hliegen,bSeideMengen&alsozurWVahleinesElemenrtszulyat.2DerDurchschnittA\B,istfSyurdieBildungeinerneuenGesamrtmengeschwieriger,wreilrmanhiertatsyachlicheineneueListekonstruierenmu,zumBeispiel-nacrhdemVVerfahren,-"alleElementeausAzudurchlau-fen(dassindnrurendlichviele!)undzuuntersuchen,obsieinBliegen,und٥diedabSeigefundenenElemenrteineineneueListeauf-zunehmen.AbSer[aucrhhierkXannmanstattdessendieabstrakteBescrhreibungzJdesDurchschnittverwenden,zoalsonursolcheEle-menrte,3die mansowohlinAals3auchinBvor ndet(inAundinzB). pxAhnlicrhepxUbSerlegungengeltenfyurdasKomplemenrtA@nBundgdiesymmetriscrheDi erenzAB.gWVennmanTeilmengenAund%IBOeinesUnivrersumsUf-bSetrachtetunddiesedurchBitfolgen,d.h.}durcrh}ihrecharakteristischenFVunktionenA [bzw.}B dar-stellt,NDsoN*istdieVVereinigungeinfacrhdurchdiecharakteristische'nM18SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MFVunktionpPpUAK cmsy8[BV(x)UR=max3|(A(x);BN>(x))pPoSderbdurcrhdieOROperationaufdenBitfolgenzuerhalten.:$px®Ahn-licrherhyaltmandenDurchschnittdurchpPqCA\BV(x)UR=min(A(x);BN>(x))oSder4durcrhdieAND4hOperationaufdenBitfolgen(vgl.5hierzuKapitelI.3).J(2)rDerFVallgroerundunendlicrherMengengestattetnichtmehreine=elemenrtweiseAufbSereitungderneuenMengeA[B,=mA\B,4A!anB4bzw.AB,alleinscrhonweildieAusgangsmengenAundWtBznicrhtelementweise,WsonderndurcheinPryadikXatgegebSensind._VVon"denneuenMengensindalsowiederdieenrtsprechendenPryadikXateVzubilden.VDazuvrerwendenVwirdielogiscrhenZeichen_sl(oSder),s^(und)und:(nicrht).WirsllegenauerdemeinUni-vrersumOUmzugrunde,Oindemsichallesabspielt.OSeiendieMengenAUR=fx2U@jA(x)gundBX=URfx2UjB(x)ggegebSen.Danngelten4sindGselbstElemenrte,HGdennesgiltAi2P(Aid).!2Dann!$kXanndieersteAussagedieserFVolgerungvrer-wrendetϥwerden, umdieExistenzderMengefA1;:::ʚ;AnPgzuerhalten. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘{WirbSeendendiesenPraragraphenmitderberyuhmrtenRussel-scrhen2Antinomie.bIndernaivenMengenlehre,bdieversucht,baufder5Mengende nitionvronGeorgCantoraufzubauen,5kXannmandie".MengeQallerMengenebSenfallsbilden."}Russelhatdannge-zeigt,|da|jdieserBegri einenWidersprucrhinsichtryagt.|Inei-nem "axiomatiscrhenAufbau, [wiewirihnhierbSetrachten, [lyostsichdieserWidersprucrhinderAussage,daesnichtdieMengeallerMengen!gebSenkXann.(DieserBewreisderNicht-ExistenzeinerbSe-stimmrten֭MengewirdinyahnlicherFVorminderInformatikdazuvrerwendet,zzuezeigen,daesgewisseProgramme,diebSestimmrteFVorderungen_NerfSyullensollen,_qnicrht_NgebSenkXann,etrwa_NProgramme,dievronbSeliebigenvorgegebSenenProgrammenmitzugehyorigenDateneingabSenfeststellenkyonnen,obsieabbrecrhenodernicrht.{Bemerkung1.21(DasRusselscheParadoxon)..DieyMen-geallerMengenexistiertnicrht.WVennesnyamlicrheineMenge =*=fAjAristeineMengeNlgrallerMengengyabSe,sdannwyareaucrhXK:=fA2 jA62AgZeineMengeundebSensoYp8:= CnX=fA2 jA2Ag.WyarenrunXo2X,sofolgtenacrhderDe ni-tionvronY"_darausXO!2]Yp.DaweiterY=] `nXwrgilt,kXannXnicrhtUElementvonXsein;XesgiltalsoX^62lX.WyareumgekrehrtXt62X,CsoCfolgtedarausX2X5?nacrhderDe nitionvonX.CInbSeidenFyallenhabenwireinenWidersprucrhzuAxiom1erhalten.DeshalbkXannX+nicrhtexistierenunddamitaucrhnicht .^q_R2.qRRelationenundAbbildungen WirNCbSeginnenmiteinerVVorbemerkungzumnaivrenBegri ei-nesPraares.uSeienaundbzweinichtnotwendigverschiedeneElemenrte.EinPaar(a;b)hatzweiElemente,eines,a,aner-ster Stelle,undeinwreiteres,b,anzwreiterStelle.DabSeidyurfena̠'nM`*2.UURELA*TIONENUNDABBILDUNGEN;.21d&MundVbaucrhgleichsein.ZZweiPaarewerdenalsgleichangesehen:(a;b)UR=(x;yn9)genaudann, wrennaUR=xundbUR=yC?gelten.Hyau gspricrht$OmanaucrhvoneinemgeordnetenPaar(imUnterschiedzueinerMengefa;bgmiteinem(aUR=b)oSderzwrei(aUR6=b)Elemen-ten).[EsZgiltfSyuray6=bZzwrarfa;bgy=fb;ag,[abSerZ(a;b)6=(b;a).DieAexaktemengenrtheoretischeAErfassungdiesesBegri sgibtdieEDe nition2.1.sSeienIaundbzwreinichtnotwendigverschie-dene0UElemenrte.0gDannwirddas(geordnete)Paar(a;b)de niertdurcrhEK(a;b)UR:=ffag;fa;bgg:EaheiterstesCElementdesPraares(a;b),bheitzweitesElementdesPraares(a;b).Bemerkung:DieseMengeexistiertnacrh1.20.DerWVertdieserrecrhtunanschaulichenDe nitionliegtdarin,Adaman'EdenBegri einesPraaressomitHilfmittelnderMengenlehreausdrSyucrken6kXannunddasfolgendefundamenrtaleLemmabSewei-senkXann."獍Lemma2.2.cO(a;b)UR=(c;d)()a=c^bUR=d.&Beweis.Xğ*"^t(=-l\Ҕ: FVolgt |ausderEigenscrhaftderGleichheit, damanineinemAusdrucrkgleicheElementeaUR=cbzwbUR=derset-zendarfunddabSeiderAusdrucrkgleichbleibt.*"{=)-l\Ҕ:WirunrterscheidenzweiFyalle:1.FVall:aP=b.Dannist(a;b)P=(a;a)=ffag;fa;agg=ffag;faggX=ffagg.NWVegenffcg;fc;dgg=(c;d)=(a;b)=ffaggfolgtfcgUR=fagundfc;dgUR=fag,alsoc=aundd=a=b.2.FVall:a6=b.DannOhatfa;bggenauzwreiElemente.WVegenffag;fa;bggUR=(a;b)=(c;d)=ffcg;fc;dggw.folgtdaherfa;bgUR2ffcg;fc;dgg,/also$mrufa;bgW=fc;dg$gelten(dennfa;bgW=fcgwSyurdeCam=c=bimplizieren,wrasnachVVoraussetzungnichtmyoglicrhoist).Damitistauchc6=d.Dannofolgtfag=fcgoundaUR=c.Ausfa;bgUR=fc;dgfolgtdannbUR=d. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘'nM22SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MDe nitionundLemma2.3.Zumjezwrei(nichtnotwendigver-scrhiedenen)MengenAundBgibtesdieMengeKiyABX:=URf(a;b)ja2A^bUR2Bg;genannrtPrffoduktderMengenAundB(aucrhProduktmenge,xkar-tesisches35Prffodukt,direktesProdukt).&Beweis.XDie9 ExistenzergibtsicrhausderTVatsache(a;b)z2P(P(AH[B)),֡denn#fag2P(A)P(AH[B)#undfa;bg2P(A[B)Vimpliziert(a;b)UR=ffag;fa;bgg2P(P(A[B)).jDannsetzenwir.1ABX:=URfx2P(P(A[B))j9aUR2A;b2B[x=(a;b)]g:DasistgenaudieMengeallerPraare(a;b)miterstemElementinAundzwreitemElementinB. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘"(WVennLOdieMengeAoSderdieMengeBUleerist,LpassiertetrwasMerkwSyurdiges.k'EskkXanndannnyamlicrhkeinPaarinAB gebSen,denn;`dasersteElemenrtaeinessolchenPaares(a;b)wyareeinElemenrt inAunddaszweiteElementbwyareeinElementinB,wrasnichtgleichzeitigseindarf.AndrerseitsgibtessicherPaarederFVorm(a;b),wrennAundBnichtleersind.Alsogilt:sqFolgerung2.4.rABX=UR;()A=;35offderB=UR;.Bemerkung2.5.|R3Wir7vrerwendeninZukunftlediglichdieTVat-sacrhe,dawirzujezweiElementenaundbeinPaar(a;b)(alsMenge)Ebildenkyonnen(Existenz),]dadieProSduktmengeABvronf PaarenexistiertunddazweiPaaregenaudanngleichsind,wrennihreKompSonentengleichsind(2.2).DieexakteDe nitionwirdnicrhtmehrweiterbSenyotigt.DDe nition2.6.sSeienGa;b;cdrei(nicrhtnotwendigverschiedene)Elemenrte.EinTripffel(a;b;c)istde niertdurchK(a;b;c)UR:=((a;b);c):x'nM`*2.UURELA*TIONENUNDABBILDUNGEN;.23d&MBemerkung2.7.|R3AnalogzudenPraarengilt^%J/(a;b;c)UR=(x;yn9;z)UR()a=x^bUR=y^c=z: 荑WirkrommenjetztzudemzentralenBegri diesesParagraphen.WirwrollenmyoglichstallgemeinBeziehungenzwischenElemen-ten|inzwreiMengenAundB5bSeschreiben.Wie|kXannmaneineBeziehrung,seinesVVerbindung,einenZusammenhangoSder6pxAhnli-crhes`[zwischeneinemElementa2AundeinemElemenrtb2Bmyoglicrhstallgemeinfassen?Dastunwir,indemwirscrhlichtundeinfacrh(Lsagen,(obdiegewSyunschteBeziehungzwischenaundbexistiertC{oSdernicrht.CDannC{kyonnenwirdiejenigenPraare(a;b),fSyurdie]|aindergewSyunscrhten]|Beziehungzubsteht,]ineinerMengeRzusammenfassencundkyonnendanngenaufeststellen,c():=RJ,)ו(4)=UrbildvronUR=Ur():=faja2A^9bUR2B[(a;b)2RJ]g,)ו(5)=BildvronUR=Bi():=fbjb2BE^9a2A[(a;b)2RJ]g.~UDe nition2.12.ySeienddieRelationen=(A;B;RJ)dund=(B;C5;S)gegebSen.DannheitdieRelationn9UR:=(A;C5;T)mit$3,T:=URf(a;c)j(a;c)2ACF^9b2B[(a;b)2R^(b;c)2S]gdiePrffodukt-oSderVerkn'yupfungsrelationvronundn9.eGelegentlichscrhreibtkmanfSyurdieProSduktrelationauch1:0:=n9.ManbSeacrhte,IdaGn9nrurde niertist,wrennZiU()UR=Qu(n9)Ggilt.ManbSeacrhtePlweiterhindieReihenfolgevonundinderProSdukt-scrhreibweisen9.%'nM26SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MIstvdieTVeilmengenrelationvronBeispiel2.9(5),sogiltUR=,wreilBXURCFundC1D>6impliziertBXDS.dBesonders]wicrhtigeRelationeninderMathematiksinddieAb-bildungen,dieapxrAquivXalenzrelationenunddieOrdnrungen.WirbSe-sprecrhenܪzunyachstdenBegri derAbbildung.ܮInderInformatikwrerdenAoftAbbildungenbSenyotigt,Adienichttotalde niertsind.DassinddiepartiellenAbbildungen.De nition2.13.yEineQRelation =V(A;B;RJ)Qheiteinepffarti-elle35A2bbildung,wrenngilt&8aUR2A8b1;b2V2B[(a;b1)2R^(a;b2)2Rn=)b1V=b2]:RE_(1)In:PWVortenausgedrSyucrktheitdas,:ddazujedemElementa2AhyochstenseinElemenrtb62B6mit(a;b)2Rexistiert.AWVenn(a;b)2R_gegebSenist,Փdannscrhreibenwirfyurdaseindeutigdurcrhade niertebauch (a)(FVunktionsschreibweise).EsgiltalsomitdieserFVestlegung?(a;b)UR2Rn()b= (a):Eine&\wreitereBezeichnungsweisefSyur(a;b)2R;=Gr( )&\istauchas~ g .H7!\boSdera.H7!bmitderSprecrhweise*" h6demElementawirddurcrhӬ ;dasElementbzugeordnet.-l\FMannenntbauchdasBildvronnabSei undaeinUrbildvonbbSei .Manbeacrhte,danbzwrar\durchdieVVorgabSevonaeindeutigbSestimmtist,gdaabSera|kreinesfallseindeutigdurchbbSestimmtist,̃wennbUR= (a)|gilt.DasBildvron CisteineTVeilmengevonB,dasUrbildvon CeineTVeilmenge9?vronA.9BeideTeilmengenkyonnenecrhte9?Teilmengensein.MannennrtdasBildvon % auchdenWertebffereich(engl.range)unddasUrbildvron denDe nitionsbffereich(engl.6do-main).EinepartielleAbbildung V=C_(A;B;RJ)wirdaucrhmitderScrhreibweisel :hA*B8bUR2B8a1;a2V2A[(a1;b)2R^(a2;b)2Rn=)a1V=a2];RE_(4)=das6heit,7@jezwreiverschiedeneElementeausAwerden=aufvrerschiedeneElementeausBabgebildet.)ו(3)=Eine Abbildung g:A 1!Btheit bijektivoSdereine=Bijektion,wrenn 7injektivundsurjektivist.!'nM`*2.UURELA*TIONENUNDABBILDUNGEN;.29d&MBemerkung2.18.3Ist7 SI=?(A;B;RJ)eineRelation,8)sode -nierenwireineRelation 20:=U(B;A;RJ20)durcrhdieBedingung(b;a),2RJ20:()(a;b)2RgLundNbSezeicrhnen 20/alsUmkehrrffe-lation.yIstyR einebijektivreAbbildung,soist 20[ebSenfallseinebijektivreAbbildung.DieGesetze(3)und(4)fSyurdieRelation sind&onyamlicrhdieGesetze(2)bzw(1)fSyurdieUmkehrrelation 20und dieGesetze(1)und(2)fSyur  7sinddieGesetze(4)bzw. (3)fSyur 20.kBeispiele2.19.>V(1)ADieidenrtischeRelation2.9(3)isteine=Abbildung,tJdiesidentischeA2bbildungoSderIdentityat,bSe-=zeicrhnetmit1A 36:URA !AoSderid LA:URA!A:)ו(2)=NUR3n7!2nUR2NisteineAbbildung.)ו(3)=N3n7!2H#n2f2;4;6;8;:::ʜgistvrerschiedenvonder=Abbildungxunrter(2)(dieZielesindverschieden).x.DieAb-=bildungX)unrter(2)istinjektiv,XabSernichtsurjektiv.XDie=Abbildungunrter(3)istbijektiv.)ו(4)=R3rݎ7![rS]2Z, wrobei [r]diegryoteganzeZahlr])sei,=istsurjektiv,abSernicrhtinjektiv.)ו(5)=QUR3qË7!q2Risteine(injektivre)Inklusionsabbildung.)ו(6)=Re3r,7!22r 2R2+ :=fr2Rjr>0g!isteinebijektivre=Abbildung.ݍLemma2.20.jOSeien r:_)A !B]und  x:B/ O!CbA2bbildun-gen.OdDannO\istdasPrffoduktO\oderdieKomposition O :uA !Cwieffder35eineA2bbildung.̍&Beweis.XWirTwissenausderDiskussionin2.12,U daAdieQuelle=derProSduktrelation O ist,unddaCdasZielist.Esbleibtzuzeigen,?dadieProSduktrelationeineAbbildungist.Zu!jedemag 2A!gibtesgenaueinbg 2Bmit! (a)=b(d.h.(a;b)2Grs( )).Zuߖdiesemb2Bzgibtߖesgenaueinc2CmitL O(b)&i=c(d.h.(b;c)2GrU( O)),alsoLaucrhmit( O )(a)&i=c<(d.h.(a;c)+h2GrT( O )).Das.Istumgekrehrt +:B r !Amit O ;=1A und  =1B RgegebSen,so5scrhlieenwirso:66 (a1)= (a2)=) O (a1)= O (a2)=)a1=a2,WQwreilW5 O !=1A 5gilt.DamitW5ist jinjektiv.FSyurb2B;ist ( O(b))UR=b,alsoist 7surjektiv.7'nM`*2.UURELA*TIONENUNDABBILDUNGEN;.31d&MIstŁ O20> einewreitereUmkehrabbildungmit  O20=UR1B und O20x h=1A,soraistmit2.21 O20=UR1A O20= O  20= 1A 36= ,ralsoraist eindeutigdurcrh 7bSestimmt. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘#vMitĈderBezeicrhnungĈ 214mumanvorsichtigumgehen.ĒSiewaraucrh&schonin2.16eingefSyuhrtworden.&DorthattenwirfSyurei-nebSeliebigeAbbildung bde niert 21 p (b)9:= 21(fbg)=fx2Aj (x)D2fbgg.Diese NotationdarfkreinesfallszudemSchluvrerfSyuhren,edaedamit 21ռdieUmkehrabbildungvon y@sei,eunddamitAgarvrorausgesetztwerde,AdadieAbbildung U3bijektivsei.WVenndieAbbildung jedoScrhtatsyachlichbijektivist,%dannistmit7derDe nitionvron2.16 21 p (b)UR:= 21(fbg)=fa2Aj (a)=bg,d.h. 21 p (b)J=fag,wrennc (a)=bgilt.VVerwrendenwirdieDe nition|derUmkrehrabbildung,}.soerhaltenwir 21 p (b)=a,wrenn (a)=bgilt.WirerhaltenalsoausdiesengleicrhbSenann-ten[AusdrSyucrkenstatteinereinelementigenTVeilmengevonAnurdaseineElemenrtdieserTVeilmenge.EswirdsichabSerausdemZusammenhang+jewreilsergebSen,+welchederbSeidenDe nitionengemeinrtist.鍍Folgerung2.23.Py(1)SIst :vA %!Bbijektiv,'soist 21@:=BX E!URA35bijektiv,undesgilt( 21 p )21= :)ו(2)=Sind\ Y:FVA !BPbund :B\ 6!Cbijektiv,}soist O Y:=AUR !URCbijektiv,35undesgilt( O )21= 21 p O21 :&Beweis.X(1)>WVegen2.22ist 21einebijektivreAbbildungundesTgilt 21 p = :1und  21zE=1.U FSyurTdieUmkrehrabbildungvon 21perhaltenwirdann( 21 p )21 \| 21=y1=  21und 21 p ( 21)21=UR1= 21 p .Damitsind( 21 p )21s"und *5Umkrehrabbildungenvon 21Zunddahernacrh2.22gleich:( 21 p )21=UR .(2)fWirvrerwendenf2.21undzeigenmit2.22,fyda 21 p O21ldieeindeutigbSestimmrteUmkehrabbildungvon O )ist: 21 p 21  h= 21 p 1BN> =  21 = 1A 2&undTB O  21 p 21=TB 1BN> 21=  21= 1C.Darausכfolgt,da O *bijektivistundda( )21=b 21 p 21gilt. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘ E'nM32SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MWirOwrendenunsjetztdemBegri derFVamiliezu.NachDe nitionistPeineFVamilieeineAbbildung.PBWirvrerbindenmiteinerFamiliejedoScrheineandereVVorstellung,;alsmiteinerAbbildung.DaswirdscrhonausderVielzahlderverschiedenenSchreibweisenfSyureineFVamiliedeutlicrh.Wirde nierenzunyachstwiefolgt.De nition2.24.ySei)fH:II %!AeineFVamiliemitIndexmengeI.Dannheitf=:z(fG(i)ji2I)=(f(i))=(fidji2I)=(fi)=(aid)(mitai,=URfG(i))eineFVamiliemitKoffezientenaiOausA.IstdieIndexmengeN,soheitf2eineFolge.IstBI_=n,f1;:::ʚ;ng,FsoheitfAAeineendliche@Folge(derLyangen)oSdereinn-Tupffel.Ein\BeispielistdieFVamilie(Fu33133콉fe@'ijji2N)=(1;Fu31131콉fe@'2h;Fu31131콉fe@'3;Fu31131콉fe@'4;:::ʜ)=fmiturf=K:LN J!QundfG(i):=Fu(1(콉fe@'i .uHierwirddeutlicrh,dawiruns4eineFVamiliealsKollektionihrerKoSezienrtenvorstellen.Die#KoSezienrtensindmiteinemIndexversehen,#derdenPlatzangibt,xWdenwderKoSezienrtinderFVamilieeinnimmt.xWKoSezi-enrtenlkyonnendabSeimehrfachineinerFVamilievorkommen,an-vrerschiedenenPlyatzenvrestehtsich, oSdermitverschiedenenIndi-zes.d>DamitcisteineFVamilienicrhtceinfacheineMenge.d>DieFVa-milien.(1;3;5;6)und(3;6;5;1)sindvrerschieden,dieMengenf1;3;5;6gqundf3;6;5;1gqsindjedoScrhgleich.EbSensosinddieFVamilien(1;2;1)und(1;2)vrerschieden,wyahrenddieMengenf1;2;1gaundf1;2ggleicrhsind.aDassindEigenschaften,adiewirvron?FVamilienhabSenwollen.iSiesinddurchdenBegri derAb-bildungP9erfSyullt.PSDaserstegegebSeneBeispielwirddurcrhdieAb-bildung)UTʍfQ:xf1;2;3;4gBa!BcN 1ؗ7!Bc1; 2ؗ7!Bc3; 3ؗ7!Bc5; 4ؗ7!Bc6,UTausgesdrSyucrkt.DerLesermyogesichdieweiterenBeispielevonFVamilienalsAbbildungendarstellen.!TǠ'nM`*2.UURELA*TIONENUNDABBILDUNGEN;.33d&MBei4einerFVamiliewirddieIndexmengehyau gexplizitangege-bSen,`nicrht`jedoch`dieMenge,`ausderdieKoezienrtenstammen.DurcrhمdieDe nitioneinerFVamiliealsAbbildungsinddieFami-lienȷ(1;3;5;6)vronnatSyurlichenZahlenund(1;3;5;6)vronreellenZahlen(vrerschieden,*denneshandeltsichimerstenFVallumeineAbbildungCfQ:URf1;2;3;4g !NCundimzwreitenFVallumeineAb-bildung8gD:{ f1;2;3;4g d!R.dEs8stimmenzwrarderenGraphengyubSerein,nicrhtjedoSchdieZielederbSeidenAbbildungen.R2Man:sollteeineFVamilieaucrhnichtetwaalseinegeordneteMen-ge߰ansehen,dennineinerFVamiliekyonnen(wieineinemPraar)KoSezienrten'lmehrfachauftreten.'UndeineOrdnungwirdnurdannsuggeriert,wrenndieIndexmengeschongeordnetist.ppxAhnlicrhwiewirPaare(,diewirspyaterauchalsFVamilien,genauerals2-TVupSelau assenwrerden,)zureinerMengevonPaaren,derProSduktmenge,PzusammengefatNhaben,kyonnenNwiraucrhFVami-lienzugryoerenMengen,denProSdukten,zusammenfassen.De nition2.25.ySei0(Aidji2I)eineFVamilievronMengenAid.DasPrffoduktistde niertals IY "%Ii2IX{Ai,:=URf\( cfQ:URIF .!6[ "%i2I4'Aidګ d d /8i2I[fG(i)2Aid]f\)-:mDieAbbildungenpj:Q ki2IP@Ai|9!Ajf ;fǡ7!fG(j)heienPrffojek-tionen, die AjqdieFaktorffendesProSdukts.WVennI_=f1;:::ʚ;ngendlicrhist,dannschreibSenwirauchkA1j:::An=n nY URi=1Ai,:=a.Y "%URi2I4'Aid:Bemerkung2.26.3DasCProSduktexistiertalsMenge,mwreilff:IF .!URS i2I ~AidgURfIg,fSUWi2I,AigP(I;S i2IAi)existiert.DieElemenrteXdesProSduktesQ mi2I)BAi~sindFVamilienmiteinergemein-samen?LIndexmengeI.?aDeri-teKoSezienrteinersolchenFVamiliekXann\ausderMengeAi6bSeliebiggewyahltwrerden.iAlleFVamilien,diesoenrtstehen,bildendanndasProSdukt."`'nM34SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MBeispiele2.27.>V(1)ADieMengeallerAbbildungenvroneiner=Menge'AineineMengeB¼isteinProSduktundwirdmit=ff:A !Bjf2Abbildung; g=Abb(A;B)=QXi2ABii==B2A cbSezeicrhnet.(DabeiseiBi,:=URBfyuralleiUR2A.))ו(2)=ffQ:URN !RgYistdieMengederFVolgenvronreellenZahlen=undwirdaucrhalsQ \qqymsbm7NꤿRUR=R2N xgeschriebSen.)ו(3)=ffQ:URR !RgistdieMengederreellenFVunktionen.)ו(4)=ffk:lf1;:::ʚ;ng !CgkistdieMengederkromplexenn-=TVrupSelundwirdaucrhmitC:::CUR=C2n bezeicrhnet.)ו(5)=Es] gibteinebijektivreAbbildungzwischendenMengen=ffb:cf1;2g !AgxundAA.Siexordnetjedem2-TVupSel=(a1;a2)UR=(fQ:f1;2g!A)dasPraar(a1;a2)zu.$EDamitrhabSenwirdiewresentlichenrGrundtatsachen%yubSerAbbil-dungenbundRelationenzusammengestellt.bZumAbscrhludisku-tierenwirjetztdenBegri derendlicrhenundderunendlichenMenge.Da~wirdieMengedernatSyurlicrhenZahlennoSchnichtzurVVerfSyugunghabSen,-myussenwireinerecrhtunanschaulicheDe niti-on heinerendlicrhenMengegebSen. UmdieseDe nitionzumotivie-ren,HRnehmenH:wirzunyacrhstan,dadieMengeNdernatSyurlicrhenZahlenrscrhonzurVVerfSyugungsteht.rDannwirdmaneineMengeAendlicrhnennen, wennsieeineendlicheAnzahlvonElementenhat.}WWie}2sollmandasabSerfeststellen?Manmrusieabzyahlen,undydaskXannmanmitdennatSyurlicrhenZahlensomachen,ydamanZjedemElemenrtvonAgenaueinenatSyurlicheZahl,Zvon1bSeginnendbundaufsteigendinN,bzuordnet.WVennbdieserProzebSeieinerZahln2Nabbricrht,sowirdmansagen,daAgenaunElemenrtehat.mOZwreiProblemeergebSensichhier.1ZunyachstisteinsolcherAbzyahl-prozedWnoScrhnichtklarmitunserenHilfsmittelnde niert.dzWVeiteristmaucrhnichtklar,nobdieAnzahlderElementevonAvonderReihenfolge,Iin@derwirgezyahlthabSen,abhyangt.DasletztePro-blemհwrerdenwirerstbSeimStudiumdernatyurlicrhenZahleninKapitel3ISIbehandeln.DasersteProblemwirddadurcrhgelyost,#m'nM`*2.UURELA*TIONENUNDABBILDUNGEN;.35d&Mda9a2A[ (a)=b];ɍ 8a0;&'jsonstundSho en,Sdawirvronihrnachweisenkyonnen,Sdasiesurjektivist.Da ?injektivist,gibteszuvrorgegebSenembhyochstenseina%'nM1_3.UUMUL*TIMENGENUNDFUZZY-MENGEN(FUZZYSETS) c37d&MmitE (a)UR=b,Edamitist eineAbbildung.DaeszujedemaeinbgibtmSmit (a)UR=bmSunddamit O(b)UR=a,msistmS surjektivundwregen(2)_dannaucrhinjektiv.ÖSeinunb22A.ÖDann_ist O(b)2=a_mit (a)=b[oSder O(b)=a0:[Esistaberaucrh O( (a0))=a0,["dennfSyurb0V:=UR (a0)giltnacrhDe nition O(b0)UR=a0.Da .injektivist,kXann O(b)UR=a0alsonrurfSyurb=b0einrtreten.DamitgibtesabSerfSyurdjedesb2Adeina2Admit (a)=b.ĜDasdbSedeutet,da surjektivist.(3)=)(2):%Sei h:URA !Asurjektiv.%HiermSyussenwiryahnlicrhwieimwvrorhergehendenTVeileineweitereAbbildungde nieren,umdieDVVoraussetzungausnrutzenzukyonnen.DiWirde nierendaher :h~A !A"wiefolgt.#FSyurjedesah~2A"ist 21 p (a)h~6=;.Wirwyahlenalsozujedemak2Aeina2092k 21 p (a)aus25undde nieren O(a)1:=a209.Danngilt  (a)1= (a209)=afSyurallea12A,alsogilt)? O(a1)= (a2)=)  (a1)=  (a2)=)a1=a2.)ODamit)?ist injektiv, znacrh q(3)alsobijektiv.Seijetzt (a1)!= (a2). zDanngibtesb1;b2mit O(b1)UR=a1und O(b2)=a2,wreil )surjektivist.Es1folgtb1(=h  O(b1)= (a1)= (a2)= O(b2)=b25und1darausa1V=UR O(b1)= (b2)=a2.Damitist 7injektiv. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘*Folgerung2.31.Py(1)SEineMengeAistgenaudannunend-=lich,Iwenn*eseineinjektiveA2bbildung H:5OA !A*gibt,=die35nichtsurjektivist.)ו(2)=EinePMengeAistgenaudannunendlich,Pwenneseine=surjektiveA2bbildung I:6A s!Agibt,dienichtinjektiv=ist.U /H3.@MultimengenundFuzzy-Mengen(fuzzysets) XInCdiesemAbscrhnittwerdendieGesetzedesRechnensmitMulti-mengenundFVuzzy-Mengen(fuzzysets)enrtwickelt.Multimen-genEundFVuzzy-Mengenwrerdenhyau ginderInformatikbSenyotigt.WirsvrerallgemeinerndiesebSeidenBegri eineinerWVeise,t5da Gff< s6 ^5|sDiese4SchluweiseverwendeteigentlichdassogenannteAuswahlaxiom, dasUUwirspoatererstinAxiom7undKapitelIGI.3.7besprechenwerden.&'nM38SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MaucrhdergewyohnlicheMengenbSegri darunterfyalltundde nierendaherzunyacrhstdenBegri dergewichtetenMengeundfSyuhrenso-dann\die8yublicrhenmengentheoretischenRechenopSerationenein,dieDrdieOpSerationenDurcrhschnitt,DVVereinigungDrundTeilmengevron8dengewyohnlichenMengenaufgewichteteMengenverallge-meinern.ScrhlielichleitenwirhierfSyureinigefundamenrtaleRe-crhengesetze̮herundverwendendiesedann,umandereRechenge-setzederMengenalgebraaucrhindieserallgemeinerenSituationvronTgewichtetenMengenzuentwickeln.ƌDamitgebSenwirauchgleicrhzeitig=YBeweisefSyurdieRechengesetze,=ndiewirursprSyunglichfSyurShgewyohnlicrheMengenlediglichbSehauptetabernicrhtShbewiesenhatten.2Wir@stellenunseineMultimengeimGegensatzzumBegri derMengeXPalseineZusammenfassungvronElementenzueinemGan-zenvror,inderaucheinzelneElementemehrfach*" {auftreten-l\kyonnen.aGDaa$dasabSermitgewyohnlicrhenMengennichtdurchfSyuhr-bar'Mist,'ordnenwirjedemElemenrtvermyogeeinerAbbildungeinenatSyurlicrheZahlzu,Gdieangibt,wieoftdasjewreiligeEle-menrtinderMenge*" :auftritt-l\Ҕ.)MankXannsichetwaandasfol-gendeBeispiel(derMenge)allerBucrhstabSendesWVortesMIS-SISSIPPI|halten.DieۺMengederBucrhstabSenistlediglichA=fI;M;PS;Sg.Wir^wrollenjedocrheineZusammenfassungderFVormfI;I;I;I;M;PS;P;S ;S;S;Sgerhalten.Deshalbde nierenwirdieAbbildung|:A !Ndurcrh(I)=4,K(M@)=1,(P)=2und(S)^6=4,mitderwirdieVielfacrhheitderElementezyahlenkyonnen.2FVuzzy-MengenڄgehenzunyacrhstvoneinemanderenKonzeptaus,nyamlicrh voneinergraduellenoSderungenauenZugehyorigkeitei-neswElemenrtsazueinerMengeA.wDerGradoSderdasGewichtderYZugehyorigkreitwirdmiteinerreellenZahlzwischen0und1angegebSen.$Die$ZahlsolldieSicrherheitangeben,$mitdermanwrei,ob{dasElementderMengeangehyort.DamitkXannmaninڛderInformatik,ڟinsbSesondereinExpertensystemen,ڟAussagen'_'nM1_3.UUMUL*TIMENGENUNDFUZZY-MENGEN(FUZZYSETS) c39d&Mund{EigenscrhaftensubjektivgewichtenmitWyorternwie*" +sehr-l\Ҕ,*"{ungefyahr-l\Ҕ,7O*"trypisch\Ҕ,7O*"im7!wesentlichen\Ҕ,*"gviel7!gryoerals\Ҕ,7O*"wirdbSeein utx vron-l\Ҕ,x1*" istrelevXantfSyur-l\Ҕ,x1*" istyahnlich-l\Ҕ,x1*" istnahezu\Ҕ,\ҔbSesondersgro-l\>>>>>>>< >>>>>>>>: 80;3fSyurx8;] 82f^ō x8 Qmfe7  24&͟f^.WAP25C;3fSyur8x20;& 812f^ō x32 Qmfe!  24,ɟf^47=P2:?;3fSyur20x32;’ 813fSyur32x:92ҍDanacrhwyarealsoeinRaummit322 Cundmehrde nitivalswrarm anzusehen,RdemeinerMultimengeunddemvronFVuzzy-Mengen,mwirdmjedemElemenrteinerMengeeineZahlzugeordnet.WirmvrerallgemeinerndieBegri edaher.mDazubSenyotigenwirandieserStellescrhondieMengeRderreellenZahlen.VWirstel-len\wunsaufdenStandpunkt,\dadieseallgemeinmitihrenRe-crheneigenschaftenabSekXanntsind.jEinexakteEinfSyuhrungwirdje-doScrhverstamEndedeszweitenKatitelserfolgen.v:WirbSehandelnaus'GrSyundenderSystematikdiesenAbscrhnittyubSerMultimengenund̺FVuzzy-MengenscrhonandieserStelle.Wirde nierendazuwiefolgt(ܠ'nM40SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MDe nition3.1.sSeiG,dieGewichtsmenge,einenicrhtleereTVeil-menge .derMengedernicrht-negativen .reellenZahlenR+0 =bfr2Rj0URrSgR"mit0UR2G.RISeiR"UeinefestvrorgegebeneMenge,RIeinUni-vrersum(desDiscourses).-EineG-gewichteteMenge)yubfferU istdermGrapheinerAbbildungAUR=Gr>(A 36:U6 !G),mgenannrtmGe-wicht4oSderVielfachheit.DiedemGraphenzugehyorigeAbbildungA 36=UR(U;G;A)heitcharffakteristische35FunktionvronA.'Derb}GrapheinersolcrhenAbbildungAbSestehtnachderDe ni-tionWvronAbbildungenausElementenderFVorm(u;A(u)),Walsoaus Praaren, bSestehendauseinemElementuUR2UJund seinemGe-wicrhtԘoSderseinerVielfacrhheit.DadasUniversumunddieGe-wicrhtsmenge=festvrorgegebSensind,>4bestimmrtderGraphAdieAbbildung(A vrollstyandig.WObwohldiebSetrachtetenMengenUunddiegewicrhtetenMengenAunendlicrhseinkyonnen,kyonneneinzelneN8ElemenrtedoSchnurmitendlichemGewicht(Vielfach-heit){jvrorkommen.{WVennmandiesesGewichtdarSyubSerhinausver-gryoernmyocrhte,somumaneineAbbildungineinegryoerege-ordnetedUMengeGbSetracrhten,dtz.B.dUeineMengevronOrdinalzah-len.DassollhierabSernicrhtweiterverfolgtwerden.:GewyohnlicheMengen kXannpmanhiereinordnenmitderGewicrhts-mengeSyGUR=f0;1g.SDamansicrhaufeinUniversumbSezieht,Sspre-crhenwireigentlichimmernurvonTVeilmengen.0EinegewyohnlicheTVeilmengeA$UkXannmanbSescrhreibendurcrhdieAbbildungA 36:URU6 !f0;1gmit#<㍑q|A(u)UR=􍓫8 < : 80;8QfSyurK6u=2A;ɍ 81;8QfSyurK6u2A:"7DieAbbildungA heitaucrhbSeigewyohnlichenMengencha-rffakteristischeFunktion`vronzAU@.{HAuchzhieristAo enbarvrollstyandigdurchdieAngabSeseinercharakteristischenFVunkti-onefestgelegt.epJedeAbbildungi:UMo!f0;1gede nierteine) 'nM1_3.UUMUL*TIMENGENUNDFUZZY-MENGEN(FUZZYSETS) c41d&MTVeilmengezAJRU|undistdiecrharakteristischeFVunktiondieserTVeilmenge.De nition3.2.\(1)EinebMultimenge&mitderBasisU}istei-=neG-gewicrhteteMengemitGUR=N0.)ו(2)=Eine|Fuzzy-MengebA(oSderFuzzy-TeilmengebAvronU@)isteine=G-gewicrhtetewMengemitGa?=[0;1],demwabscrhlossenen=InrtervXallvon0bis1.)aHyau gvrerwendetmanfSyurFVuzzy-MengendieBezeichnungЍAUR=㇫Z㌟zUA(u)=u;эfallsU+einKonrtinuumist,und h!<AUR=A(u1)=u1j+:::+A(unP)=un=n URX i=1A(uid)=ui;!퍑fallsU+eineendlicrheMengeist.Wir1qhabSendamitgesehen,1dawirmitdemBegri dergewicrhte-ten'MengeeinengemeinsamenObSerbegri 'fyurgewyohnlicrheTVeil-mengenvronU@,fSyurFVuzzy-(Teil-)MengeninU,hundfSyurMultimen-geneyGubSerUgefundenhaben.GWirwrollenfyurdiesenallgemeinenBegri vdiemeistenRegelnderMengenalgebra(BoSolescrhenAl-gebra)*enrtwickeln.*+DabSeibewreisenwiraucheineReihevonRe-crhenregelnfSyurgewyohnlicheMengen,diewirimerstenAbschnittnicrhtbSewiesen,sondernnrurbehauptethaben.De nition3.3.sDerTryager(engl.suppffort)einergewicrhtetenMengeAistdieTVeilmengesuppF(A):=fu2U@jA(u)>0g.DieHyohe(engl.+nheight)+einergewicrhteten+MengeAistdasSupre-mrumXhgtQ[(A)N:=supfA(u)ju2U@g,XfallsXeinsolchesSupremumexistiert,sonstwirddieHyohealsunendlicrhangenommen.* 'nM42SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MDe nition3.4.sDiebVerffeinigungptvrongewichtetenMengenAundHBmitcrharakteristischenHFVunktionenA &sundB istde -niertJdurcrhAngabSedercharakteristischenFVunktionvonA[BmitcA[B$:=URmax3|(A;BN>);cwrobSei\max; (A;BN>)(u)=max(A(u);BN>(u))\dasMaximrumderGewicrhtevonuinAbzw.inBsei.Der^DurffchschnittKvrongewichtetenMengenAundB mitcharak-teristiscrhen;FVunktionenA undB Gyistde niertdurchAngabSedercrharakteristischenFVunktionvonA\BmitcA\B$:=URmin(A;BN>);wrobSeiImin%(A;BN>)(u)=min@g(A(u);BN>(u))IdasMinimrumderGewicrhtevonuinAbzw.inBsei.Die.leffereqgewichteteMenge;ist;=Ʉ0,.also;(u)=0fSyuralleuUR2U@.EinegewicrhteteMengeAheit(gewichtete)TeilmengeA~Bder9gewicrhtetenMengeB,:0wennA mBN>,:0d.h.wrennfSyuralleuUR2U+giltA(u)BN>(u). ZwreigewichteteTVeilmengenAundBdesUniversumssindgenaudann3Ygleicrh,3wennAB_undBAgelten.3EsistnyamlicrhA 36=URB 8genaudann,wrennAURB 8undB A.BjIn*;derInformatikwirdhyau geraucrhderBegri derdisjunktenVVereinigung\vronMultimengenverwendetunddanneinfachnurVVereinigunggenannrt.cDe nition3.5.sDie+disjunkteVerffeinigungA^;_[BvronMultimen-genAundBistde niertdurcrh;VA_[B};=&iA B+dBN>,,d.h.durch;VA_[BV(u)UR=A(u)+BN>(u)fSyuralleuUR2U@. DieBildungeinerdisjunktenVVereinigungistindieserWeisefSyurFVuzzy-Mengen!undgewyohnlicrheMengennichtmyoglich,!dabSei+,'nM1_3.UUMUL*TIMENGENUNDFUZZY-MENGEN(FUZZYSETS) c43d&Mdiesen1MengendieGewicrhtsmenge1Gnicrht1gegenSyubSerderAddi-tionabgescrhlossenist.j7De nition3.6.sFSyur5xgewyohnlicrheMengenAundB~de niertmandiedisjunkte`VerffeinigungalsA^;_[B:=Pf(a;1)ja2Ag[f(b;2)jbUR2Bg. ManoYbSeacrhte,o{dadieMengenA12:=7.f(a;1)ja2AgundB22:=f(b;2)jb2BgIkreineElementegemeinsamhabSenundjeweilsei-ne1LbijektivreAbbildungaufdieMengenAbzw.1_BRgestatten.Eswrerden_9alsovorderBildungderVVereinigungvonAundB?derenElemenrte[soumbSenannt,[danachderUmbSenennungkeinege-meinsamen=YElemenrtemehrvorhandensind.=nErstnachdemmandieMengenaufdieseWVeisedisjunktgemacrhthat,wirddieVer-einigunggebildet.FύWir+bSewreisenjetzteinigeGesetzeyuberdasRecrhnenmitdiesenOpSerationen,%aus denenwirdanndieOyubrigenGesetzederMen-genalgebraherleiten.RSatz3.7.QF'yurh5gewichteteMengenA;B;CDgeltenh5folgendeGe-setze35(AxiomederMengenalgebrffa):)ו(1)E(a)Y7A[BX=URBE[A,D(b)Y7A\BX=URBE\A,35(Kommutativgesetze))ו(2)E(a)Y7A[(BE[Cܞ)UR=(A[B)[C,D(b)Y7A\(BE\Cܞ)UR=(A\B)\C,35(Assoziativgesetze))ו(3)E(a)Y7A[(BE\Cܞ)UR=(A[B)\(A[C),D(b)Y7A]\(Bc[Cܞ)UR=(A]\B)[(A\C),w)(Distributivgesetze))ו(4)=A[;UR=A,35(GesetzvonderIdentityat))ו(5)=A\;UR=;,35(Dominierungsgesetz))ו(6)=A[(A\B)UR=A,35(A2bsorptionsgesetz))ו(7)=A\AUR=A,35(Idempffotenzgesetz).R&Beweis.X(1)e(a)EsistmaxD(A;BN>)(u)UR=max3|(B;A)(u)efSyuralleuUR2U+zuzeigen,alsoUImaxk'(A(u);BN>(u))UR=max3|(B(u);A(u));,l'nM44SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MwrasausderFVormelmax(a;b)UR=max3|(b;a)unmittelbarfolgt.(1)(b)folgtausderFVormelmin(a;b)UR=min(b;a).(2)(a)folgtaus8>maxNnh(a;max((b;c))UR=max3|(a;b;c)=max3|(max*(a;b);c):(2)(b)folgtaus>FtminQۼ(a;minF(b;c))UR=min(a;b;c)=min(minH(a;b);c).(3)^(a)FSyurdasMinimrumundMaximumvonZahlena;b;c^giltdasDistributivgesetzJhmax`F(a;minF(b;c))UR=min(max*(a;b);max((a;c));wrenn2;mannyamlichdieFyalleabc,2bac2;undbck(a|einsetzt,erhyaltmanjewreildieResultatebk(=b,a=a|undaUR=a.WVegenderKommrutativityatbrauchenkeineweiterenFyallediskutiert;zuwrerden.sGanzanalogsiehtmanmin(a;max((b;c))UR=max/$(minH(a;b);minF(a;c)).(4)und(5)folgenausmax(a;0)UR=abzw.min(a;0)UR=0.(6)folgtausmax(a;minF(a;b))UR=a.(7)folgtausmin(a;a)UR=a. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘Satz3.8.QEs35istAURB;genau35dann,wennA\BX=URA.-ߍ&Beweis.XEsgista*bggenaudann,hwrennmin7(a;b)*=a.AlsoistaucrhA 36URB 8genaudann,wennmin(A;BN>)URA. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘ 2MankyonnrtedurchdieimSatzangegebSeneBedingungdenBe-gri dergewicrhtetenTVeilmengeaucrheinfSyuhren(de nieren)undbraucrhte]Odanngarnicrhts]OzubSewreisen.]Wirhabenhieralsole-diglicrh !yubSerpryuft,daunsereobigeDe nitionsicrhvernSyuftigindiesEnrtwicklungderRechenregelnderMengenalgebraeinfSyugt.IndenspyaterenBewreisenwerdenwirausschlielichaufdieimSatzgegebSeneFCharakterisierungeinergewicrhtetenFTVeilmengezuryucrk-greifen,2cd.h.den24obigenSatzalsDe nitiondesBegri esderTVeil-mengeansehen.-ߍSatz3.9.Q(Die;\y35ubrigenRffechenregeln35derMengenalgebrffa))ו(1)=AURA.)ו(2)=AURB;und35BXC)ACܞ.-F'nM1_3.UUMUL*TIMENGENUNDFUZZY-MENGEN(FUZZYSETS) c45d&M)ו(3)=AURB;und35BXA)A=B.)ו(4)=A\BXURA.)ו(5)=A\(A[B)UR=A=A[(A\B).)ו(6)=AURA[B.)ו(7)=A[AUR=A.)ו(8)=AURB;,35A[BX=URB.)ו(9)=AURB;)35A\C1URBE\Cܞ,A[C1URBE[Cܞ.#(10)=C1URA35undCURB;)CURA\B.#(11)=AURCund35BXC)35A[BXURCܞ.#(12)=;URA.#(13)=AUR;35)AUR=;.d&Beweis.XWir)wrerdenkeinespSeziellenHinweiseaufdieKom-mrutativgesetzeEunddieAssoziativityatsgesetzegebSen.GAlleande-ren2Gesetzewrerden,2wo2sieimBewreisangewendetwerden,2durchihreNumerierungzitiertwrerden.(1)A\AUR=A)(3.8)AA.(2) AE,BundB2C)(3.8)Ap\B2=E,AundB \C!=E,B)A\Cs=(A\B)\Cs=A\(B\Cܞ)=A\B=AQ)(3.8)AURCܞ.(3)QABundBA)Ag\B=AundBm\A=B)A=A\BX=URBE\A=B.(4)(A\B)\Aa=A\(A\B)a=(A\A)\B=(3.7(7))A\B)(3.8)Beh.(5)A`\(A[B)w=(3.7(3)(b))(A\A)[(A\B)w=(3.7(7))A[(A\B)UR=(3.7(6))A.(6)A\(A[B)UR=A)(3.8)Beh.(7)A[AUR=(3.7(7))A[(A\A)UR=(3.7(6))A.(8)BAURB )(3.8)ARa\BX=URA)(A[B)\BX=(5)(A\B)[BX=A:[B+)(3.8)A[B nBund(6))nA:[B =B.)UmgekrehrtgiltA\BX=URA\(A[B)=(5)A)(3.8)AB.(9)̡AmT\CI\BZ\C1=URA\B\CI\C1=URA\Cܞ,̩A[C[BZ[C1=A[BE[CF[C1=(8)B[CF)(8)Beh.(10)$C4AundC4B)(3.8)C\5A=C^undC\5BS:=C)CF\(A\B)UR=(C\A)\BX=URC\BX=URC1)(3.8)CA\B..ߠ'nM46SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&M(11),AW8C^undB>C^)(8)A[C3=W8C^undB[C3=W8C)(A[B)[C1=URA[(BE[Cܞ)=A[C1=C)(8)A[BXCܞ.(12);\AUR=;(3.7(5)))(3.8)Beh.(13)AUR;)(3.8)A=A\;UR=(3.7(5));. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘#WVenndieMengeGbSezyuglicrhweitererVVerknSyupfungenabge-scrhlossen,fwennf_alsowreitereAbbildungenGG' }?!'Gf_(auermaxpundmin)gegebSensind,so.yubertragensicrhdiesejeweilsaucrhiaufentsprechendgewichteteMengen.iSohabSenwirdiedis-junktea?VVereinigungvronMultimengenobSenausderAdditioninden^natSyurlicrhenZahlenerhalten.DasowohlN0 Abalsauch[0;1]alsaucrhf0;1ggegenSyubSerderMultiplikXationabgeschlossensind,kXann:mandasPrffodukt_vron:diesengewichtetenMengenbildendurcrh6ABc:=A jBN>,75ebSensodiePotenzA;cmmi6pÈ:=(A)2p].75DasProSduktenrtsprichtallerdingsnichtdemin2bSesprocrhenen(kXar-tesicrhen)(ProSduktvonMengen.eFSyurgewyohnlicheMengen,ealsofSyurCG=f0;1g,Cjistdassode nierteProSduktderDurcrhschnitwregenA B =URmin(A;BN>).InsbSesondereistOpDA 36=URA.Bei1FVuzzy-MengennennrtmandasQuadratA22 _5einerFuzzy-MengeAaucrhihreKonzentrffation.DannistA22 hwsA,wreilalleWVertevronA |kleinerals1sind.0ManverwendetA22^!oft,0umeinestyarkrere Eigenschaft*" ssehr-l\ޕauszudrSyucken. KInunseremBeispielderwrarmenTVempSeraturennenntmandanndieFVuzzy-MengederTVempSeraturen:9;0LAW.:2 (x)UR=䍓8 >>>>>>>>< >>>>>>>>: 80;fSyur_x8;] 84f^ō x8 Qmfe7  24&͟f^.WAP45C;fSyur_8x20;& 8(12f^ō x32 Qmfe!  24,ɟf^47=P28A)22;fSyur_20x32;’ 81fSyur_32x:*"{sehrwrarm-l\Ҕ.;WVennmanvereinbart,;eineTVempSeraturerstabeinemQlGradderZugehyorigkreitvon0.5alswarmzubSezeichnen,/'nM1_3.UUMUL*TIMENGENUNDFUZZY-MENGEN(FUZZYSETS) c47d&Mso\sinddieTVempSeraturenDyuber202`CZals*" Y wrarm-l\zubezeicrhnenunddieTVempSeraturen>6yuber22:82Cals*" RXsehrwrarm-l\Ҕ.̍WVenndasUnivrersumUalsMengeallerMenschengewyahltwirdunddieFVuzzy-MengenAderaltenMenscrhenundJbderjungenMenscrhenEbSekXanntist,dannkXannmandieFVuzzy-MengenA22derDsehraltenMenscrhen,Jr22 dersehrjungenMenschen,A21=2deretrwasyalterenMenschen,Jr21=2?dermehroSderwenigerjungenMenscrhen,WUnJr22 3derW^nichtsehraltenMenschenusw.Wbilden,wrobSeiǎAbnBbde niertistdurcrhAnBAx:=URmax3|(A @BN>;0)undUdurcrhU o=UR1.De nition3.10.ySeienR2A1;:::ʚ;An gewicrhteteMengenindenUnivrersenUU1;:::ʚ;UnP.U5DaskartesischePrffoduktySA19y:::yAn_derMengenA1;:::ʚ;An wirdde niertdurcrh6aAq1*:::\An*(u1;:::ʚ;unP)UR:=min(Aq1 (u1);:::ʚ;An (unP)):̍Gelegenrtlich verwendetmanbSeiderDe nitiondesDurch-scrhnittsstattdesMinimumsauchdasProSduktinG.Dannver-wrendet0manbSeiderDe nitiondeskXartesischenProSduktseben-fallsJdasProSduktinG,qalsoAq1*:::\An*(u1;:::ʚ;unP)Y:=Aq1 (u1):::*BAn (unP):De nition3.11.ySeiU= U1]CY:::QRCYUn s(inU}W)vronge-wicrhtetenbinyarenRelationenRinUhBVTundSjinVWYqwirdde niertdurcrh:WR Sy(u;wR)UR:=max3|fminH(R(u;vn9);S(v;wR))jvË2URVpg:̍Wir;bSetracrhtenindenletztenDe nitionendiesesAbschnittsnurnoScrhfFVuzzy-Mengen.FyurdiekXannmanFVuzzy-wvpxAquivalenzrela-tionen,-Ordnrungenund-Abbildungende nieren.0'nM48SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MDe nition3.12.yEinebinyareFVuzzy-RelationRinU,]HUheit%rffe exiv,wrenn8uUR2U@[R(u;u)=1],%symmetrisch,wrenn8u;u20#2URU@[R(u;u209)=R(u20;u)],%antisymmetrisch,wrenn18u;u20#2URU@[R(u;u209)>0^R(u209;u)>0=)u=u20],%trffansitiv,wrenn18u;u209;u20N920q2URU@[R(u;u20N920r)min(R(u;u209);R(u209;u20N920r))].Einere exivre,^symmetrischeFVuzzy-RelationheitNyahe-Bezie-hung.Einere exivre,symmetrischeundtransitiveFVuzzy-Relati-oneyheiteϟpxAhnlichkeits-Rffelation.eDertransitiveA2bschluRJ2+ ;einerre exivrenFVuzzy-RelationRistde niertdurchg RJ + :=URsup(RJ;R 2N;R 3N;:::ʚ;R n;:::ʜ)mitRJ2n+1h=URRJ2nlBRJ.Y2FSyurIdieseDe nitionenwrollenwirkeineweiterenBeispielean-gebSen. SiehabenjedocrheineweitreichendeBedeutungfSyurdieAnrwendungenGderTheoriederFVuzzy-Mengen.Wirscrhlieendie-senAbscrhnittmiteinerBemerkungzuAbbildungenvonFVuzzy-Mengen.De nition3.13.ySeienUgundVXUnivrersenund :Uj P!VeineqAbbildung.qzSeiAeineFVuzzy-TeilmengeqvronU@.DannistdasBildB/vronAunter :wU Y!V1Yde niertdurchBN>(b)w:=sup+ĤfA(a)j (a)UR=bg.(DabSeiseisupR(;)UR=0.)w&o4.S4foAquiv@alenzrelationenY2Eine(bSesonderswicrhtige(ArtvronRelationenistdieNpxAquivXalenz-relation.xSiexvrerallgemeinertdenBegri derGleichheit.xInsehrvielenOWmathematiscrhenBegri enistsieimHintergrundverbSor-gen.SokrommendieDe nitionenderMengederganzenZahlen,der.rationalenZahlenundderreellenZahlenkXaumohnediesenBegri naus.o Manstellesicrheine]pxAquivXalenzrelationsovor,o dasieL?lediglicrhgewisseEigenschaftenvonElementen͞yubSerpryuftL?und1X'nMRtgJ4.UfUUAQUIVALENZRELA*TIONENPSN49d&gemyay7dieserpxUbSerpryufungy7feststellt,yobdieElemenrte*" gleich-l\sind"oSdernicrht.*Da"dieGleicrhheiteineganzbestimmrtelogischeBedeutung{hatundfeststehrt,˵obgewisseElementegleichsind,dSyurfenbwirdasErgebnis,dasbSeider ؟pxUberpryufungvronnurwe-nigenSZEigenscrhaftensoherauskommt,SnatSyurlichnichtauchalsGleicrhheitausdrSyucken.Wirsagendann,daElemenrteyaquivXa-lenrtnsind,nwennsiesichindenEigenscrhaftenvergleicht.?7DieZuordnungeinerEigen-scrhaftzueinemgegebSenenObjektkXannaberaufgefatwrerdenalsheineAbbildungvronderMengeallerbSetrachtetenObjekteindieMengedermyoglicrhenEigenschaften(z.B.indieMengederFVarbSen).$Wirwrerdenjetztsehen,dasicrhallgemeinausjederAbbildungeinebpxAquivXalenzrelationergibt.EsgiltnyamlicrhLemma4.3.cOSei :oA !BxeineA2bbildung.F'yura1;a2 Qs2Asei>a1 xa2:() (a1)= (a2).oDieses>de nierteinepxAquiva-lenzrffelation35aufA.&Beweis.XRe exivityat:DEsgilt (a)?$= (a)fSyurallea?$2A.DarausfolgtaURafSyuralleaUR2A.3('nMRtgJ4.UfUUAQUIVALENZRELA*TIONENPSN51d&MTVransitivityat:7Aus&aURbundbcfolgt (a)= (b)&und (b)UR= (c),also (a)UR= (c)unddamitaURc.Symmetrie:_Aus_abfolgt (a)= (b),_also_ (b)= (a)_unddamitbURa. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘ꍑDas_GegenstSyucrkzumBegri derpxAquivXalenzrelationistderBe-gri derPrartition.'Wirwerdensogleichsehen,'dadiesebSeidenBegri eimWVesenrtlichendasselbSebeinhalten.De nition4.4.sEineTPartitionoSderKlasseneinteilungPistei-neMengevronnichtleeren,paarweisedisjunktenTVeilmengenvonA,derenVVereinigungAist,inZeicrhen:z=PURP(A)nf;gund=8XJg;Y2URP[XF6=Y=)X+\Y=;]und=SF0pfXjXF2URPg=A.DiexElemenrteX72FPeinerPartitionheienauchKlassen(derPrartition./EinElementaUR2XpheiteinRffepryasentantWderKlasseX.N/EineNTVeilmengeRAheiteinvollstyandigesRffepryasentan-tensystem1fSyur؁diePrartionP,ؽwennfSyurjedesXۭ2*PgenaueinaUR2RexistiertmitaUR2X.DieIzwreiteBedingung8XJg;Yc2P[Xv6=Y=)X\OY=;]Iwirdoft@aucrhindergleichwertigenFVorm8XJg;YP2P[X\GY6=;=)XF=URYp]vrerwendet.De nition4.5.sSeieine\spxAquivXalenzrelationaufA.@Wirscrhrei-bSenaURbfSyur(a;b)2Gr>().FSyura2AbSezeicrhne7a:=URfb2AjbagdieMengederzuayaquivXalenrtenElemente.DieMengeOa|heitPpxAquivalenzklasseP`vronja.jDieMengeder&pxAquivXalenzklassenwirdmitA=UR:=URf%a+ja2Ag(lies:ffAfGmoSdulo-Relation)bezeicrhnet,ffwennfGausdemZusam-menhang_klarist,zuwrelcher8՟px_AquivXalenzrelationdasZeicrhengehyort.SonstscrhreibtmanauchA=UR=f%a+ja2Ag.44W'nM52SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&MMit^dieserDe nitionhabSenwirjetztdieMyoglicrhkeit^geschaf-fen,RdasKpxRAquivXalenzzeicrhendurchdasGleichheitszeichenauszu-drSyucrken.MitTVeil(1)desfolgendenLemmaswirdklar,dadurcrhdasZusammenfassenvronElementenmitgemeinsamenEigen-scrhaften,d.h.vonElementen,dieyaquivXalentsind,wirtatsyachlichvronPLGleichheit(nyamlichderŸpxAquivXalenzklassen)sprechenkyon-nen,wrennzweiElementelediglichyaquivXalentsind.Lemma4.6.cOSei35eine3pxAquivalenzrffelationaufA.Danngelten܍)ו(1)=aURb()a2W*b ()za ե=W*b qf'yur35allea;bUR2A.)ו(2)=A=GisteinePartition,4diesoffgenannte-pxAquivXalenzklas-=seneinrteilung.&Beweis.X(1)Seija8W`*Pb :. DanngiltsofortaP2a͡W`*b. DarausfolgtebSensounmittelbaraib.Giltnrunaibundistci2*a ,soistd-c$)a,dLalsowregenderTVransitivityatcboSderc2W*b #,dLwromit9}a$<W*TAb әbSewiesennist.DamitsinddieAussagenaTAb,a2W*b әund9}a$UW;*Zb_ty_taquivXalenrt.cDa0abSeraZb0genaudanngilt,wrennbZagilt,folgtaucrh+a j=W*URbT<.(2)WVennTa T$2URA=UR,dannista2za S,alsoTa T$6=;.IstTa o\W*qbY6=;,dannwyahlenwireinc^2a 7L\W=*-b undesfolgtc^aundc^b,alsoaucrha:abq;oSdernacrh(1)a֝=W*:ab 9K.q]Schlielichistjedesa:a2Aq;Elementin1einerzpxAquivXalenzklasse:7a2a .Also1istAS lf%a+ja2AgA,d.h.AUR=S f%a+ja2Ag. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘ Wir. krommenjetztzudemEingangsdiesesParagraphenerwyahn-tenaZusammenhangzwiscrhenןpxAquivXalenzrelationenundPartio-nen.EsistnacrhdemfolgendenSatzgleichgSyultig,obaufeinerMengeDEAeinepxAquivXalenzrelationoSdereinePrartitionvorgegebSenwird.UMan kXannjewreilsdieeineAngabSeindieandereumrechnen.Satz4.7.QBezeichneyRA WdieMengeallerypxAquivalenzrffelationenauf35AundPA dieMengeallerPartitionenaufA.Dannist +/UR:RA 3637!A=2PAeine35bijektiveA2bbildung.5?q'nMRtgJ4.UfUUAQUIVALENZRELA*TIONENPSN53d&M&Beweis.XWirde nierendieUmkrehrabbildung k9:PA Iv!RA.RgSeiR P 2PA /einePrartition.RgWirde nierendiezugehyorigeppxAquivXalenzrelationO (P)durcrha$Ieufm7P b:()9X<2P[a;b2X].Danngelten8aUR2A[aP Ra],wreilAUR=S fXjXF2Pg,8a;b;c!2A[aP bb^b!Pc=)aPc]>wregenXf6=!YS=)X+\Y=UR;und8a;bUR2A[aP Rb=)bPa]unmittelbarausderDe nition.DamitisteineAbbildung UR:PA 36!RA Ȍde niert.WirTzeigenjetzt,_dadieKompSosition \:PA @ԙ!RA @!PAdieIdenrtityatist.SeidazuP J2PA lgegebSenundP ;durchPinduziert.ESeikEa`2A=EundEa2aeinERepryasenrtant.EDanngilt9}a$/0=5fbjbP 5ag=fbj9X2P[a;b2X]g=X,EdennEesgibtnrureinX2Pmita2X.7Alsogilt(A=)P.7IstabSerX2PundaUR2X,soistXF=za jwiezuvror,alsogilt(A=UR)=P.Esbleibtzuzeigen,daaucrh +:RA _8!PA !RA svdieIdenrtityatpist.Dasfolgtunmittelbardaraus,dafSyur2URRA TundPdiezugehyorigePrartitionder8KpxAquivXalenzklassengilt9>fc[a;b2R`c"]UR()ab. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘ Beispiel4.8.fDie px AquivXalenzklassender pxAquivalenzrelationmoSdulorationaleZahlistalsodurcrheinPaar(a;b)2ZE(Znf0g)gegebSen.0`Dabei0Nistb6=0,wreil0NesimNennersteht.0`EsgibtabServrerschiedeneGPaare(a;b)~6=(c;d),dieGdieselbSerationaleZahlFuG-aG-콉feϟ'pzb% =Fu%c>콉fe_'d'bSescrhreiben.UZweiUPaare(a;b)und(c;d)bSescrhreibenUge-naudanndieselbSerationaleZahl,?wrenngiltad =cb.Dadurcrhwirdeine\~pxAquivXalenzrelationde niert, wiemanleicrhtnachrech-net,SoSderSdurcrhAnwendungvon4.3sieht.SWVennwirunsnunaufden#nStandpunktstellen,#}dadieganzenZahlenscrhonmitihrenRecrhenregelnbSekXanntsind,/nichtjedoSchdierationalenZahlen,/sokyonnrtemandierationalenZahlengeradedurchB;pxAquivXalenzklas-senS>bSezyuglicrhdieserʴpxAquivXalenzrelationde nieren:SdeinerationaleZahl~isteine pxAquivXalenzklasseeinesPraares(a;b)undwirschrei-bSenfyurdiezugehyorigepxAquivXalenzklasseaucrhFuJAaJA콉feϟ'pzb C.DTVatsyachlichwer-densodierationalenZahlenspyatereingefSyuhrt.Ein ProblemergibtsicrhnunmitderAddition. Wirwollenle-diglicrhdenSpSezialfallQ3FuNaN콉feϟ'pzbk7!FuNaN콉feϟ'pzb+Fu]1]ş콉fe@'2f=FuN2a+bN콉fe''$2b2Qbetracrhten.Umzuzeigen,dadieseseineAbbildungist,mSyussenwirz.B.zeigen,daFu2ꮟ콉fe@'4 +FuuT1uT콉fe@'2 ==Fu1콉fe@'2+FuuT1uT콉fe@'2,oSder{allgemeiner,dafSyurvrerschiedendargestellterationaleZahlenFu8a8콉feϟ'pzb_=FuEyc콉fe_'d;dasErgebnisderAdditionkFuG-2a+bG-콉fe''$2b4=Ful\2c+dl\콉feꝟ'%x2dgleicrhwird,2sonstkXanndieAdditionkeineAbbil-dungwrerden.WirhabSennyamlichdasErgebnisderAdditionunrterBenutzungvondeneinzelnenZahlenaundbbSeschrie-bSen.ZudiesemZwreckde nierenwirdieAbbildungzunyacrhstaufDZm(Znf0g);w3(a;b)7!Fun2a+bn콉fe''$2b{2Q.DasistsicrherlicheineAbbildung.QEsQaergibtsicrhdieFVrage,obwirdarausdanneineAbbildung꨿QUR !URQbildenkyonnen.DastutderfolgendeSatz..Satz4.9.Q(Faktorisierungssatz)Sei ,:MA n!B8eineA2bbildungundeine`pxAquivalenzrffelationauf35AmitderEigenschaftXɍh8a;bUR2A[ab=) (a)= (b)];(d.h. ist(konstantaufden~pxAquivalenzklassen).Danngibtes7Z'nMRtgJ4.UfUUAQUIVALENZRELA*TIONENPSN55d&Mgenau35eineA2bbildung]) O:URA=UR UY!B,35sodadasDiagrffamm:HAeA=UR}8҄fdO line10- Ս"m O@O@@RNByXfe?N1W mit (a):=)ahkommutiert,]d.h.Q %m= .DieA2bbildungAistsurjektivhundheitkXanoniscrheJSurjektionoffderRestklassenabbil-dung. MitQHilfediesesSatzesbSekrommenwirnunsofortdiegewSyunschteAbbildungiQ[3Fua콉feϟ'pzb 7!Fua콉feϟ'pzb !+Fui1i콉fe@'2 V=Fu2a+b콉fe''$2b 2Q,jdennwrenn(a;b)(c;d)gilt,soistadUR=cb,alsofolgt(2a+b)2dUR=4ad+2bdUR=4cb+2bdUR=(2c+d)2bunddamitaucrhFu2a+b۟콉fe''$2b=Fu2c+d콉feꝟ'%x2dU.Folgerung4.10.Py(1)SUnter8denVorffaussetzungenvono4.9ist? = Igenau35danninjektiv,wennyM18a;bUR2A[ab() (a)= (b)];=d.h.Jwenndie1pxAquivalenzrffelationdievon jgemya-?4.3=induzierterpxr4Aquivalenzrffelationist.rInsbesonderelyatsich=jeffdemA2bbildung ineinProdukta O5=UR einersurjektiven=mit35einerinjektivenA2bbildungzerleffgen.)ו(2)=Ist35 FimSatzsurjektiv,soistauch]) 2surjektiv.)ו(3)=IstUdiedurffch 1induziertepxAquivalenzrelation,sogibt=es35einebijektiveA2bbildungzwischenA=UR35undBi( ).% &BeweisderFfolgerung.(1) 7injektiv()UR8a;b2A[) (%a+)=F (Ww*b)=)za ե=W*bT<]c;@()UR8a;b2A[) (a)=F (b)=)ab]c;@()UR8a;b2A[ (a)= (b)=)ab];diefehlendeImplikXation.(2)zWVenn  surjektivist,{dannistjedesElemenrtvonBimBildvron H=۹ h,@insbSesonderealsoauchimBildvon \.@Damitistaucrh bsurjektiv.8h='nM56SFI.UUGRUNDBEGRIFFEDERMENGENLEHREd&M(3)Ist :A !BXgegebSen,sosei 20M:A!BiR.( )dieEin-scrhryankungderAbbildung "\aufdasBild,diesurjektivist. und 20Ide nierendieselbSepxAquivXalenzrelationaufA.AlsoistAlQ} 0*:x A=x  UY!Bi ( )Ainjektivundsurjektivunddamitbijek-tiv. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘-6&BeweisdesSa32tzes.WirUde nierenI ;(%a+)V := (a).UmUzuzeigen,>?dah>*  damit>*eineAbbildungwird,mrufestgestelltwer-den,z dayeszujanrureinPaar(%a+; (a))inGrC() )gibt,z daalso (a)|nicrhtvonderWVahldesRepryasentantena2'%aTabhyangt.Seien=(%a+; (a)),}(Ww*b; (b))=mit a a=W*#bJgegebSen.}Dannfolgta#bund܍damitnacrhVVoraussetzungdesSatzes (a)UR= (b).Damit܍ist= $:URA=UR UY!BeineAbbildung. WVeitergilt (a)UR=F (%a+)=F (a)fSyurkallea]m2A,lalsok p=a 5.Istk :A=]m UY!BqeinewreitereAb-bildungmit h=UR O,sogilt (%a+)UR= (a)= (a)=F (%a+)fSyuralle9}a#M2URA=UR,alsoist = O. yff٘ ̍ ff ̄ ffffff٘'Zk6o5.voOrdnungen%syIndiesemletztenPraragraphendesKapitelsfSyuhrenwirnoSchkurzdenBegri derOrdnrungein.)ErwirdunsspyatervoralleminzweiBeispielenbSegegnen,beiZahlenmengenundbeiProtenzmengen.-6De nition5.1.sEineOrffdnung(oSderA2nordnung)(gelegenrtlichaucrh:3teilweiseoSder3dpffartiellea^Ordnung )aufeinerMengeAisteineRelationUR=(A;A;RJ)mitfolgendenEigenscrhaften:\ލ)ו(1)=8aUR2A[(a;a)2RJ],(Rffe exivityat))ו(2)=8a;b;c{w2A[(a;b)2R4^(b;c)2R=)(a;c)2RJ],(Trffan-=sitivityat))ו(3)=8a;bW2A[(a;b)2R^(b;a)2Rp=)a=b],(A2ntisymme-=trie).-6Wir;fSyuhrendieɞyublicrheBezeichnungsweisefSyurdieOrdnungsrela-9tH'nM5.UUORDNUNGENq57d&Mtionein.FSyurElemenrtea;bUR2AschreibSenwir#27ʍvFaURbD,:()(a;b)UR2RJ;vLaUR