����;� TeX output 1999.09.17:1335�$������7
�����Y�����������R��X�Qcmr12�CHAPTER���8�����&����N�ffcmbx12�T���fo�s3olb�o���x������/^�o��� cmr9�36����%*��7
������&e������8.� %�REPRESENT��:�ABLE�!FUNCTORS���w�37����Y��������w����N�cmbx12�8.���7�Represen��table��F���unctors������Denition��8.8.1.���vaùLet�e�� !",�
cmsy10�F�Wֹ:�&��C���������4!�����L�Set��.h�b�S�e�a�co��rv��X�arian�t�e�functor.��A�e�pair�(���g�cmmi12�A;���x�)�with����A�Ez�2�C��5�;���x��2�F�1�(�A�)�w�is�called�a��,���@cmti12�r��ffepr�esenting���(generic,��Quniversal)�obje��ffct�w��for��F��ѹand��F��is���called��a��r��ffepr�esentable�\yfunctor�,�"�if��for�eac��rh��B�<��2���C��¹and��y���2�F�1�(�B���)�there�exists�a�unique����f��Q�2���UR�Mor�����O����!�K�cmsy8�C����(�A;���B���)��suc��rh�that��F�1�(�f�G��)(�x�)�UR=��y�n9�:��Ob������bY������A����������\�B��������ڟ�Ǡ�*F�fe����!��Ǡ��O�
line10�?������`���wm��2cmmi8�f�������H�������F�1�(�A�)��������י��F�1�(�B���)���������Ǡ�*F�fe�����L��Ǡ�?������`��γ��F��(�|{Ycmr8�(�f����)�������H����2��3�UR�x������c���t��3�UR�y����������Ǡ�*F�fe���3��Ǡ�?�������Ў��
�fe���3�Ў�?������������Prop�`osition��8.8.2.����O��L��ffet�@����d���>R������H����������C�M���:�������Ǡ�*F�fe�����ğ�Ǡ�?������`����D�f�������R�2.��"Giv��ren�fimo�S�dules��M�����R��Y��and������R���N�@�.��"Dene��F�Y�:��'��Ab����������4!�����,C9�Set��C���b��ry��F�1�(�A�)�'�:=��Bil���,����R�����(�M���;���N��;��A�).���Then��Y�F��j�is�a�co��rv��X�arian�t��Yfunctor.�'�A��Lrepresen�ting�ob��ject�for��F��j�is�giv�en�b�y�(�M����
�����R�� 5n�N���;����
�UR�:����M�����W
�N�����6����4!�����M��
�����R�� J��N�@�)���with�the�prop�S�ert��ry�that�for�all�(�A;���f��Q�:�UR�M������N�����6����4!�����A�)�there�exists�����&��7
������&e���38����8.� %�TOOLBO��9X���Y������a��unique��g��2��UR�Hom����(�M���
�����R�� �;�N���;���A�)�suc��rh�that��F�1�(�g�n9�)(�
�)�UR=��Bil���.�����R��"�(�M�;���N�@�;��g�n9�)(�
�)�UR=��g��
��=��f��R��������{���8M�������N�������{����M���
�����R�� �;�N���������{�fd
U������ά-����������@�
�������H�������`����m�f��������,�ׁ �@�����,�� @�����,�� @�����,��� @����/����>@����/����>R������H����������^��A:�������4ڟ�Ǡ�*F�fe����h��Ǡ�?������'�����g����������3.��Giv��ren�B�a��)���
msbm10�K�-mo�S�dule��V��p�.�Dene��F��c�:��UR�Alg�����\k����4!�����,�J�Set��B��b��ry��F�1�(�A�)�UR:=��Hom����(�V��;���A�).�Then�B��F�sιis�a���co��rv��X�arian�t�8�functor.���A�8�represen�ting�ob��ject�for��F�j�is�giv�en�b�y�(�T��ƹ(�V��p�)�;����UR�:��V����������4!����`��T��(�V��p�))�8�with���the��prop�S�ert��ry�that�for�all�(�A;���f���:���V����!����4!������A�)�the�exists�a�unique��g��H�2����Mor���������-2�@�cmbx8�Alg��);�(�T��ƹ(�V��p�)�;���A�)���suc��rh��that��F�1�(�g�n9�)(��)�UR=��Hom����(�V��;���g��)(��)�=��g���=��f��P���������H����QbV�������H����4zT��ƹ(�V��p�)������Dğ�{�fd!wЍ����ά-����������pt��������H�������`���)f�������Dğׁ �@����Dğ� @����Dğ� @����Dğ�� @���ߋD���>@���ߋD���>R������H����������j�A:�������r��Ǡ�*F�fe����ä��Ǡ�?������'���v$�g����������4.�A�Giv��ren�Ca��K�-mo�S�dule��V��p�.�Dene��F�ɹ:����cAlg�����"�7����4!�����4�|�Set��K�c�b��ry��F�1�(�A�)��:=��Hom��eA(�V��;���A�).�Then�C�F����is���a�co��rv��X�arian�t���functor.�2�A���represen�ting�ob��ject�for��F� �is�giv�en�b�y�(�S��(�V��p�)�;����UR�:��V����������4!����`��S��(�V��p�))���with�уthe�prop�S�ert��ry�that�for�all�(�A;���f��Q�:�UR�V����������4!����`��A�)�the�exists�a�unique��g�Ë�2����Mor�����O����Alg��(V�(�S��(�V��p�)�;���A�)���suc��rh��that��F�1�(�g�n9�)(��)�UR=��Hom����(�V��;���g��)(��)�=��g���=��f���������H����~zV�������H���䭒S��(�V��p�)������qܟ�{�fd!������ά-����������٬��������H�������`���Vf�������qܟׁ �@����qܟ� @����qܟ� @����qܟ�� @���߸\���>@���߸\���>R������H������������A:�������Ǡ�*F�fe������Ǡ�?������'����<�g�������̍����Prop�`osition��8.8.4.����O��F���has��qa�r��ffepr�esenting��qobje�ct��(�A;���a�)��if�and�only�if�ther�e�is�a���natur��ffal�35isomorphism��'�UR�:��F�����P����c�������K�=�������1Mor����&g ����C��+�ȹ(�A;�����)�35(�with��a�UR�=��'�(�A�)����2��1��\|�(1�����A����))�.��������-�
cmcsc10�Pr���oof.����DJ)�=���)��^���:��The�map�����M��'�(�B���)�UR:��F�1�(�B��)��3��y��7!��f��Q�2�����Mor������O����C����(�A;���B��)���with���$�F�1�(�f�G��)(�a�)�=��y����is��bijectiv��re�with�the�in�v�erse�map����h�H� �n9�(�B���)�UR:����Mor������O����C����(�A;���B��)��3��f��Q�7!�F�1�(�f�G��)(�a�)��2�F��(�B���)�:����In�,�fact�w��re�ha�v�e��y�42�7!����f�
��7!�F�1�(�f�G��)(�a�)�=��y���and�,��f��7!��y�42�:=��F�1�(�f�G��)(�a�)��7!��g��:��F�1�(�g�n9�)(�a�)�=��y��=����F�1�(�f�G��)(�a�).�&By��zuniqueness�w��re�get��f��Q�=�UR�g�n9�.�Hence�all��'�(�B���)�are�bijectiv��re�with�in�v�erse�map���� �n9�(�B���).�8�It��is�sucien��rt�to�sho�w�that�� �X�is�a�natural�transformation.�����'Y��7
������&e������8.� %�REPRESENT��:�ABLE�!FUNCTORS���w�39����Y�������Giv��ren���g�Ë�:�UR�B�����X����4!����_7�C�ܞ�.�8�Then�the�follo�wing�diagram�comm�utes��MHy�������������Mor������ȟ���C���6��(�A;���C�ܞ�)��������s��F�1�(�C�ܞ�)������!��32�fdBѐ�����ά-�����W`����h� �I{�(�C����)�������H������q�Mor������ ����C���ȹ(�A;���B���)�������H���R�F�1�(�B���)������?���{�fdB�p�����ά-�������`����� �I{�(�B�d��)�������H��������ʟ�Ǡ�*F�fe����!���Ǡ�?������`����|���Mor������$�X.�C���î�(�A;g�I{�)�������H������]J��Ǡ�*F�fe����|��Ǡ�?������`��#B��F��(�(�g�I{�)�������;卹since��� �n9�(�C�ܞ�)��Mor����5�����C�����(�A;���g��)(�f�G��)�UR=�� �n9�(�C��)(�g�f�G��)�UR=��F�1�(�g�n9f��)(�a�)�=��F�1�(�g�n9�)�F��(�f��)(�a�)�UR=��F�1�(�g�n9�)� ��(�B���)(�f��)�:�����(�:���Let��A��b�S�e�giv��ren.�)3Let��a�UR�:=��'�(�A�)����2��1��\|�(1�����A����).�F��Vor����y�Ë�2�F�1�(�B���)�w��re�get��y�Ë�=��'�(�B���)����2��1��\|�(�f�G��)�=����'�(�B���)����2��1��\|�(�f�G��1�����A����)���=��'�(�B��)����2��1����\|�Mor���� �y����C��&8�(�A;���f�G��)(1�����A����)�=��F�1�(�f��)�'�(�A�)����2��1��\|�(1�����A����)�=��F�1�(�f��)(�a�)��for�a�uniquely���determined���f��Q�2���UR�Mor�����O����C����(�A;���B���).���a'��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������Prop�`osition��8.8.5.����O��Given�|&a�r��ffepr�esentable�|&functor��F�����X�����:��d�C��������!������j�Set��.7s�for�e��ffach��X����2���D�UV�.��
Given�Cka�natur��ffal�tr�ansformation��F�����g��HU�:�sW�F�����Y�����
����!������F�����X��`��for�e�ach��g�ᐹ:�sW�X����d����!����>��Y����(c�ontr�avari-���ant!)��Lsuch��+that��F�<�dep��ffends�functorial���ly�on��X���,��i.e.��F�����1��X.�X���f��=���1�����F��X.�X���
���;����F�����hg��h��=��F�����g�����F�����h��e��.�Then���the��Er��ffepr�esenting�obje�cts��(�A�����X����;���a�����X���)��for��F�����X��
���dep��ffend�functorial���ly�on��X���,��i.e.� Țfor�e�ach����g���:�H��X����:f���!������Y�S-�ther��ffe���is�a�unique�homomorphism��A�����g�� �:��A�����X�����fl���!������A�����Y��z�(�with��F�����X����(�A�����g�����)(�a�����X���)�=����F�����g�����(�A�����Y��P��)(�a�����Y���))�35�and�the�fol���lowing�identities�hold��A�����1��X.�X���6�=�UR1�����A��X.�X���
���;���A�����hg��
A�=��A�����h��e��A�����g���.�������Pr���oof.���@_��Cho�S�ose��