����;� TeX output 1999.09.17:1331�������7
�����Y�����������R��X�Qcmr12�CHAPTER���8�����&����N�ffcmbx12�T���fo�s3olb�o���x������]�o��� cmr9�4����*��7
������&e������2.� %�FUNCTORS���D<5����Y��������U����N�cmbx12�2.����F���unctors������Denition��8.2.1.���vaùLet��� !",�
cmsy10�C��ݹand��D�?��b�S�e�categories.�8�Let��F���consist�of��U������1.���� #�a��map��Ob���F�C��3�UR���g�cmmi12�A��7!�F�1�(�A�)��2���Ob�����D�UV�;��������2.���� #�a��family�of�maps�����)�_�fF������2cmmi8�A;B��]�:����URMor������O����!�K�cmsy8�C����(�A;���B���)�UR�3��f��Q�7!�F�����A;B����(�f�G��)��2�����Mor������O����D��ڲ�(�F�1�(�A�)�;��F��(�B���))�j�A;�B��X�2�URC��5g��o�������[or��1"��fF�����A;B��]�:����URMor������O����C����(�A;���B���)�UR�3��f��Q�7!�F�����A;B����(�f�G��)��2�����Mor������O����D��ڲ�(�F�1�(�B��)�;����F��(�A�))�j�A;�B��X�2�URC��5g��]���7э�F���is��called�a��,���@cmti12�c��ffovariant��[�c�ontr�avariant�$D�]��functor��if�������1.���� #��F�����A;A���<�(1�����A����)�UR=�1�����F��(�|{Ycmr8�(�A�)��C@�for��all��A�UR�2���Ob�����C��5�,�������2.���� #��F�����A;C����(�g�n9f�G��)�UR=��F�����B�d�;C��JJ�(�g��)�F�����A;B����(�f�G��)��for�all��A;���B��;�C�1��2��UR�Ob�����C��5�:���� #��[�F�����A;C����(�g�n9f�G��)�UR=��F�����A;B����(�f��)�F�����B�d�;C��JJ�(�g�n9�)��for�all��A;���B��;�C�1��2��UR�Ob�����C��5�].����Notation:�8�W��Ve��write��U�������ʍ��~\�A�UR�2�C����~��instead��of�����X�A�UR�2���Ob�����C������~�}�f��Q�2�URC����~��instead��of����2�f��Q�2���UR�Mor�����O����C����(�A;���B���)�������;��F�1�(�f�G��)����~�instead��of�������F�����A;B����(�f�G��).������#W������Examples��8.2.2.�����h��1.��������
Id������:��UR�Set�����������4!�����+f�Set���������2.���� #�F��Vorget��:�8��R�J�-��Mo�`d�����Ì����4!�����02k�Set���������3.���� #�F��Vorget��:��8��Ri�����_�����4!�����'���Ab���������4.���� #�F��Vorget��:��8��Ab�����?�����4!�����+���Gr���������5.���� #��P�晹:����Set�����������4!�����,�y�Set��?�\�;����P����(�M�@�)��:=�Bp�S�o��rw�er�set�of��M�@�.�>��P����(�f�G��)(�X��)��:=��f�����2��1���{�(�X��)�Bfor��f�2�:���M����*�����4!������� #��N���;���X�F���UR�N�+��is��a�con��rtra�v��X�arian�t��functor.�������6.���� #��Q��ҹ:���Set�����
�����4!�����.���Set��A���;����Q�(�M�@�)�:=��p�S�o��rw�er�set�of��M�@�.�d��Q�(�f�G��)(�X��)���:=��f��(�X��)��for��f��ѹ:����M����Ѷ����4!������� #��N���;���X�F���UR�M�+��is��a�co��rv��X�arian�t��functor.��������Lemma��8.2.3.����y5Q�1.�����X��L��ffet�35�X�F��2�URC��5�.�fiThen��������A�Ob����~��C��3�UR�A��7!�����Mor������O����C����(�X�Jg;���A�)��2����Ob�������Set���o������)�
�Mor�����>�
����C��DMɹ(�A;���B���)�UR�3��f��Q�7!��M�@�or�����C��m��(�X�Jg;�f�G��)��2�����Mor������O����.2�@�cmbx8�Set��&��(���Mor�����5�����C�����(�X�Jg;�A�)�;�����Mor�����5�����C��U��(�X�;�B���))�;��7э� #��with������Mor����ԁ����C�� ��(�X�Jg;���f�G��)� :���Mor����R����C�� q��(�X�;���A�)��3��g��B�7!��f�G�g��2����Mor����R����C�� q��(�X�Jg;���B���)����or����Mor����ԁ����C�� ��(�X�;���f�G��)(�g�n9�)� =���� #��f�G�g��n�is�35a�c��ffovariant�functor����Mor����i2����C�� �ʹ(�X�Jg;�����-��33�)�.��������2.���� #��L��ffet�35�X�F��2�UR�C�ܞ�.�fiThen����������Ob����+Q�C��3�UR�A��7!�����Mor������O����C����(�A;���X��)��2����Ob�������Set���o������,��Mor�����A������C��GN��(�A;���B���)�UR�3��f��Q�7!�����Mor������O����C����(�f���;�X��)��2�����Mor������O����Set��&��(���Mor�����5�����C�����(�B��;�X��)�;�����Mor�����5�����C�����(�A;�X��))���� #��with���H�Mor����~ݟ���C��윹(�f���;���X��)�UR:���Mor�����O����C����(�B��;�X��)��3��g�Ë�7!��g�n9f��Q�2����Mor�����O����C����(�A;�X��)�H��or����Mor����~ݟ���C��윹(�f���;�X��)(�g�n9�)�UR=��g�f���� #��is�35a�c��ffontr�avariant�35functor����Mor����i2����C����(��-���;���X��)�.���������-�
cmcsc10�Pr���oof.���@_��1.��� o�Mor����������C��$��(�X�Jg;����1�����A����)(�g�n9�)���=�1�����A���g�'Ϲ=��g��=��id���:(�g�n9�)�;���R[�Mor�����X����C��#��(�X�Jg;���f�G��)��Mor����5�����C��U��(�X�;�g�n9�)(�h�)���=����f�G�g�n9h�UR�=���Mor�����O����C����(�X�Jg;���f�g�n9�)(�h�).����2.�8�analogously��V.���J����cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff���������7
������&e���6����8.� %�TOOLBO��9X���Y���������Remark��8.2.4.���j�6�The���preceding�lemma�sho��rws�that���Mor����&�C�����(�-����;�����-���)�is�a�functor�in�b�S�oth���argumen��rts.�1�A��
functor��Nin�t�w�o�argumen�ts�is�called�a��bifunctor�.�1�W��Ve�can�regards�the���bifunctor����Mor���� �����C���d�(�-����;�����-���)�as�a�co��rv��X�arian�t��functor���e������$OMor������ZL����C�����(�-����;�����-���)�UR:��C���5����op��@�����C��������4!�����wf�Set��(`I�:����The���use�of�the�dual�category�remo��rv�es���the�fact�that�the�bifunctor���Mor����������C��`�(�-����;�����-���)�is�con-���tra��rv��X�arian�t��in�the�rst�v�ariable.����Ob��rviously�D�the�comp�S�osition�of�t�w�o�functors�is�again�a�functor�and�this�comp�S�osition���is��asso�S�ciativ��re.�8�F��Vurthermore�for�eac�h�category��C��ݹthere�is�an�iden�tit�y�functor��Id��������C����.����F��Vunctors�-�of�the�form���Mor����cʟ���C��щ�(�X�Jg;�����-���)�resp.�����Mor����/����C�����(�-����;���X��)�are�called��r��ffepr�esentable���functors����(co��rv��X�arian�t��^resp.���con�tra�v�arian�t)��^and��X���is�called�the��r��ffepr�esenting�@Hobje�ct��^�(see�also�section���8.8).���������;��7
��� �.2�@�cmbx8�,���@cmti12�!�K�cmsy8� !",�
cmsy10��2cmmi8���g�cmmi12�|{Ycmr8��-�
cmcsc10�o��� cmr9���N�cmbx12���N�ffcmbx12�X�Qcmr12������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������