����;� TeX output 1999.11.03:0758�:������7
�����Y�����������R��X�Qcmr12�CHAPTER���2���������N�ffcmbx12�Hopf�ffAlgebras,�Algebraic,�F���formal,�and�Quan���tum�Groups������/^�o��� cmr9�58����;*��7
������&e��{���6.�pQUANTUM�!A��9UTOMORPHISM�GR�OUPS��o�L59����Y�������n'����N�cmbx12�6.��g�Quan��tum��Automorphism�Groups������Lemma��2.6.1.���g5Q����@cmti12�The�35c��ffate�gory��*���
msbm10�K��-����Alg��1�of��K�-algebr�as�has�arbitr�ary�c�opr�o�ducts.��T̍�����-�
cmcsc10�Pr���oof.���@_��This���is�a�w��rell�kno�wn�fact�from�univ�ersal�algebra.��In�fact�all�equationally���dened��-algebraic�categories�are�complete�and�co�S�complete.�6bW��Ve�indicate�the�construc-���tion��of�the�copro�S�duct�of�a�family�(���g�cmmi12�A������2cmmi8�i��d��!!",�
cmsy10�j�i�UR�2��I��)��of��K�-algebras.����Dene��pi�����$��u
cmex10�`��������i�"�K�cmsy8�2�I��$��A�����i���ֹ:=�8��T��ƹ(������L���
UX���i�2�I���-�A�����i��dڹ)�=L�pi�where��T�/�denotes�the�tensor�algebra�and�where��R��L�is�the�t��rw�o��sided�ideal�in��T��ƹ(������L���
UX���i�2�I���-�A�����i��dڹ)�generated�b��ry�the�set��|��z��J�qĹ:=�UR�f�j�����k��#��(�x�����k���y�����k���)�������(�j�����k��#��(�x�����k���))��(�j�����k���(�y�����k���))�;����1�����T�.:�|{Ycmr8�(������%a6cmex8�L��
�|�A��8:� ;�cmmi6�i��,r�)��$O �����j�����k���(1�����A��i?�k���t��)�j�x�����k���;�y�����k��x��2�UR�A�����k���;�k��o�2�UR�I���g�:��zʍ�Then�one�c��rhec�ks�easily�for�a�family�of�algebra�homomorphisms�(�f�����k����:��Y�A�����k���������4!����A��B���j�k��v�2��I��)���that��the�follo��rwing�diagram�giv�es�the�required�univ�ersal�prop�S�ert�y��^M��������`��T.�A�����k���������`�����~�����L������A�����i������e}���ޒ�fd0����������O�
line10�-�������(��y�^�j��i?�k���������`�������`�����T��ƹ(������L��UV�A�����i��dڹ)�������<��ޒ�fd �������ά-������f#��Ǒ����������`�������`��"�R�T��ƹ(������L��UV�A�����i��dڹ)�=L�����
Ō��ޒ�fdC0�����ά-������f#���S���������`��������;D8�B�������հ�����f��i?�k�������s����9�P���}���jP���������P��������9P�������̎iP���������P��������9P�������֎hP���ó����P���ͳ���9P���׳����gP������P���볌��9P��������fP���������P��� ����9P�������eP���_,��ǑP���_,��Ǒq�������`������հ���8��f��������̟����H�����̟���H�����̟���H�����̟���H�����̟���H�����̟���H�����̟���H�����̟���H����̟���H����̟���H����̟���H���%����ǗH���%����Ǘj�������`������"���
�6�f���ǟ�-:�#q�%cmsy6�0��������������@��������@��������@��������@���#�����@���-���Ǘ@���-���ǗR�������`�����?���Ǡ�;��fe���@L��Ǡ?������h-����㎍�F����r��D���f��������zʍ���� %��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����T̍����Corollary��2.6.2.���sW�The�35c��ffate�gory�of�bialgebr�as�has�nite�c�opr�o�ducts.�������Pr���oof.���@_��The�xcopro�S�duct�������`�����B�����i���Y�of�bialgebras�(�B�����i��d��j�i�UR�2��I��)�xin��K��-�����Alg���is�an�algebra.��F��Vor���the��diagonal�and�the�counit�w��re�obtain�the�follo�wing�comm�utativ�e�diagrams��L�>���������'��B�����k���:�
����B�����k�����������^�����`���س�B�����i����
���������`�����B�����i�������sD�32�fd �`�����ά-������荒�p��j��i?�k����
�j��i?�k��������H�������B�����k��������H������Z�����`����B�����i����������{�fdC+������ά-������e���˓��j��i?�k��������H�������Zҟ�Ǡ�*F�fe�������Ǡ�?������|���/���i?�k��������H������Lҟ�Ǡ�*F�fe������Ǡ�?�������D��2��9��q��Aa�cmr6�1��*���������T/�������H����"��B�����k��������H�����������`���c��B�����i��������|��{�fd������ά-������e���̓n�j��i?�k��������H������㨤��ú��"��i?�k��������cL�ׁ �@����cL�� @����cL�� @����cL��� @���ީ̟��>@���ީ̟��>R������H������""���7��K����������Ǡ�*F�fe�����,��Ǡ�?�������D������9��q�1��*��"�������#̍�since�`�in�b�S�oth�cases�������`�����B�����i���l�is�a�copro�duct�in��K��-�����Alg���o�.� ��Then�it�is�easy�to�sho��rw�that���these���homomorphisms�dene�a�bialgebra�structure�on�������`�����B�����i��u�and�that�������`���B�����i��u�satises���the��univ��rersal�prop�S�ert�y�for�bialgebras.����bɄ�cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����T̍����Theorem��2.6.3.���p���L��ffet����B����b�e�a�bialgebr�a.��PThen�ther�e�exists�a�Hopf�algebr�a��H��V�(�B���)����and�D�a�homomorphism�of�bialgebr��ffas���P)�:��B�����/���!�������H��V�(�B���)�D��such�that�for�every�Hopf�alge-���br��ffa����H��
�and�for�every�homomorphism�of�bialgebr�as��f�RϹ:�
��B���������!�����H��
�ther�e�is�a�unique�����<���7
������&e���60��1:�2.� %�HOPF�!ALGEBRAS,�ALGEBRAIC,�F��9ORMAL,�AND�QUANTUM�GR�OUPS���Y������homomorphism�35of�Hopf�algebr��ffas��g�Ë�:�UR�H��V�(�B���)�������!�����H� ��such�35that�the�diagr�am��R������H������B�������H���⑹H��V�(�B���)�������|��{�fd i@�����ά-������
����ޏ��������H�������`��ņ5f��������|�ׁ �@���Ƚ|�� @���ҽ|�� @���ܽ|��� @��������>@��������>R������H������������H������� *��Ǡ�*F�fe����<\��Ǡ�?������������g��������c��ffommutes.���{�����Pr���oof.���@_��Dene��a�sequence�of�bialgebras�(�B�����i��d��j�i�UR�2��N�)��b��ry��!����ʍ������B�����0��V�:=�UR�B��;���������B�����i�+1�����:=�UR�B���O�����opcop��á�i������;���i��2��N�:�������Let����B������2�0�����b�S�e�the�copro�duct�of�the�family�(�B�����i��d��j�i���2��N�)���with�injections�������i�� p˹:���B�����i���������4!�����I�B������2�0��i?�.���Because���B������2�0��y��is�a�copro�S�duct�of�bialgebras�there�is�a�unique�homomorphism�of�bialgebras����S���ן��2�0���b�:�UR�B������2�0�����������4!�����-p�B������2�0����$�џ�^�opcop��=c,�suc��rh��that�the�diagrams��Q˵��������������B���O�����opcop��á�i�+1��������������2�B������2�0��������^�opcop������nj,�32�fd�������ά-������͍�ϫ����8:�i�+1��������ȥ����>�B�����i��������ȥ���*��B������2�0��������\��{�fd33@�����ά-��������������8:�i��������H��������
��Ǡ�*F�fe�����<��Ǡ�?������k}����`�id��������H�������"���Ǡ�*F�fe����U���Ǡ�?������n��<�S��r}��-:�0��������(��comm��rute.����No��rw��let��I��+�b�S�e�the�t�w�o�sided�ideal�in��B������2�0��S�generated�b�y���N���f�(�S���ן���0��+������1����u"�)(�x�����i��dڹ)�;����(1����S���ן���0�����u"�)(�x�����i��dڹ)�j�x�����i���,�2�UR������i���(�B�����i���)�;���i��2��N�g�:���I��+�is��a�coideal,�i.e.�8��"�����B��d������0���
�(�I��)�UR=�0��and������B��d������0����(�I��)�UR���I��+�
����B������2�0���+��B������2�0���
��I��.����Since�L��"�����B��d������0���L��and������B��d������0����are�homomorphisms�of�algebras�it�suces�to�c��rhec�k�L�this�for���the�?generating�elemen��rts�of��I��.�6:Let��x���2��B�����i�����b�S�e�?giv�en.�6:Then�w�e�ha�v�e��"�((1��(���S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�))��=����"�(�r�(1��2�
��S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�))�UR=��r�����+p�p�msbm8�K����(�"��2�
��"S���ן��2�0���)(������i��/�
�������i��dڹ)�����i���(�x�)�UR=�(�"�����i���
��2�"�����i��dڹ)�����i���(�x�)�UR=��"�����i��dڹ(�x�)�=��"�(�u"�����i���(�x�)).���Symmetrically��w��re�ha�v�e��"�((�S���ן��2�0��+������1)������i��dڹ(�x�))�UR=��"�(�u"�����i���(�x�)).�8�F��Vurthermore��w��re�ha�v�e��D����ʍ��/B((1������S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�))������/B=�UR�r�(1����
��S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�)������/B=�UR(�r���
�r�)(1��
�����
��1)(��
��)(1��
��S���ן��2�0����)(������i����
�������i��dڹ)�����i���(�x�)������/B=�UR(�r���
�r�)(1��
�����
��1)(��
���W�(�S���ן��2�0��+��
��S���ן��2�0����))(������i����
�������i��dڹ)�����i���(�x�)������/B=��UR�����P�����(�r���
�r�)(1��
�����
��1)(������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)��
�������i���(�x�����(2)��\|�)��
��S���ן��2�0���������i���(�x�����(4)��\|�)��
��S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)��\|�))������/B=��UR�����P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(4)���)����
�������i��dڹ(�x�����(2)���)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)������/B=��UR�����P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)����
��(1����S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�����(2)���)�:��������=���7
������&e��{���6.�pQUANTUM�!A��9UTOMORPHISM�GR�OUPS��o�L61����Y������Hence��w��re�ha�v�e��Oy������ʍ��Bz�((1������S���ן��2�0����qYN��u"�)������i��dڹ(�x�))������qYN=��UR�����P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)����
��(1����S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�����(2)���)�����u"�����i��dڹ(�x�)������qYN=��UR�����P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)����
��((1����S���ן��2�0����)����u"�)������i��dڹ(�x�����(2)���)��������>+���������P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)����
��u"�����i��dڹ(�x�����(2)���)�����u"�����i��dڹ(�x�)������qYN=��UR�����P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)����
��(1����S���ן��2�0��+����u"�)������i��dڹ(�x�����(2)���)��������>+���������P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(2)���)����
��1�����B��d������0��������u"�����i��dڹ(�x�)��
��1�����B��d������0��������qYN�=��UR�����P����������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���ן��2�0���������i���(�x�����(3)���)����
��(1����S���ן��2�0��+����u"�)������i��dڹ(�x�����(2)���)��������>+(1������S���ן��2�0��+����u"�)������i��dڹ(�x�)��
��1�����B��d������0��������qYN�2�UR�B������2�0����
����I��+�+��I��
��B������2�0��i?�:�����RF���Th��rus���I��+�is�a�coideal�and�a�biideal�of��B������2�0��i?�.����No��rw���let��H��V�(�B���)��:=��B�����2�0��i?�=I��{�and���let���~ǹ:���B�����2�0�����&?����4!�������H��V�(�B��)�b�S�e�the�residue�class�homomor-���phism.��>W��Ve�d�sho��rw�that��H��V�(�B���)�is�a�bialgebra�and���&��is�a�homomorphism�of�bialgebras.����H��V�(�B���)��Cis�an�algebra�and���Q
�is�a�homomorphism�of�algebras�since��I��ƹis�a�t��rw�o��Csided�ideal.���Since���I�F����UR�Ker��Bm(�"�)�there�is�a�unique�factorization��Ry�������H����I��B������2�0��������H���� �B������2�0��i?�=I������D��{�fd!wЍ����ά-������
����{&��������H�������
����; "����2�0�����������ׁ �@���ʭ��� @���ԭ��� @���ޭ���� @��������>@��������>R������H������""���K��������2��Ǡ�*F�fe����,d��Ǡ�?������9�������"��������'��where��M�"�UR�:��B������2�0��i?�=I����F�����4!�������K��is�a�homomorphism�of�algebras.�Since�(�I��)����B������2�0��K�
����I��E�+��I��
��B������2�0����������Ker���(����
�����F��:��3�B������2�0��'�
��B������2�0������r����4!�����2�B������2�0��i?�=I��R�
��B������2�0���=I��)��and�th��rus��I�v�����3�Ker��rN((����
������ǹ))�w�e�ha�v�e�a�unique���factorization��IH������������B������2�0����
����B������2�0���������ⵠ�B������2�0��i?�=I��+�
����B������2�0���=I�������̞32�fd#������ά-�����*����i~�����
��������H����DL�B������2�0��������H����68�B������2�0��i?�=I���������{�fdD�������ά-������������������H�������@�������>R������H�����������B������2�0��i?�=I���������Ǡ�*F�fe�����D��Ǡ�?�������������S����������>"���7
������&e���62��1:�2.� %�HOPF�!ALGEBRAS,�ALGEBRAIC,�F��9ORMAL,�AND�QUANTUM�GR�OUPS���Y������This��holds�if��I�F����UR�Ker��Bm(����S���ן��2�0����).�8�Since��Ker����(���)�UR=��I��+�it��suces�to�sho��rw��S���ן��2�0����(�I��)�UR���I��.�8�W��Ve��ha��rv�e��8c7����NP���� g�S���ן��2�0����((�S���ן��2�0��+������1)������i��dڹ(�x�))�UR=����� g=�UR�r��W�(��S���ן��2�0����
���^�2��{������i����
����S���ן��2�0���������i��dڹ)�����i���(�x�)������� g=�UR�r��W�(�S���ן��2�0��+��
����1)(������i�+1�����
�������i�+1��AV�)�����i��dڹ(�x�)������� g=�UR�r�(1����
��S���ן��2�0����)(������i�+1�����
�������i�+1��AV�)��W������i��dڹ(�x�)������� g=�UR�r�(1����
��S���ן��2�0����)(������i�+1�����
�������i�+1��AV�)�����i�+1���(�x�)������� g=�UR(1������S���ן��2�0����)������i�+1��AV�(�x�)�����7���and���X��L^��S���ן���0����(�u"�����i��dڹ(�x�))�UR=��S���ן���0���(1)�"�����i��dڹ(�x�)�=��S���ן���0���(1)�"�����i�+1��AV�(�x�)�=��S���ן���0���(�u"�����i�+1��AV�(�x�))��q��hence��w��re�get����^8��S���ן���0����((�S���ן���0��+������1����u"�)������i��dڹ(�x�))�UR=�(1������S���ן���0�����u"�)������i�+1��AV�(�x�)�UR�2��I��:����This�Plsho��rws��S���ן��2�0����(�I��)�UR���I��.�wSo�Plthere�is�a�unique�homomorphism�of�bialgebras��S�)�:�UR�H��V�(�B���)��������4!�������H��V�(�B���)����2�opcop���[�suc��rh��that�the�diagram��K�-������ ٍ������B������2�0������+��^�opcop������� ٍ�ޛ��H��V�(�B���)����2�opcop�������`�32�fd�������ά-�������������������H���� $�B������2�0��������H����1�H��V�(�B���)�������t��{�fd*�������ά-�������������������H�������"��Ǡ�*F�fe����KT��Ǡ�?������n���I+�S��r}��-:�0��������H�����������Ǡ�*F�fe�����ԟ�Ǡ�?������`���sT�S�������Ct��comm��rutes.����No��rw��nw�e�sho�w�that��H��V�(�B���)�is�a�Hopf�algebra�with�an�tip�S�o�de��S��.��By�Prop�osition�2.1.3���it�5�suces�to�test�on�generators�of��H��V�(�B���)�hence�on�images����������i��dڹ(�x�)�of�elemen��rts��x��8�2��B�����i���.���W��Ve��ha��rv�e��位����ʍ��:j�(1������S��)���������i��dڹ(�x�)�UR=��r�(��lo�
����S���ǹ)������i��dڹ(�x�)�=��r�(��lo�
������)(1��
��S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�)�UR=������u�G=�UR���ǹ(1������S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�)�=�����u"�����i���(�x�)�=��u"��������i���(�x�)�:�����位�By��Prop�S�osition�2.1.3��S���is�an�an��rtip�o�de�for��H��V�(�B���).����W��Ve�(�pro��rv�e�no�w�that��H��V�(�B���)�together�with���rW�:=����������0��
2[�:��B����
]����4!�����A�H��V�(�B���)�is�a�free�Hopf���algebra��
o��rv�er��B���.�.Let��H��`�b�S�e�a�Hopf�algebra�and�let��f��Q�:�UR�B�����X����4!����_7�H��b�S�e�a�homomorphism�of���bialgebras.�4MW��Ve���will�sho��rw�that�there�is�a�unique�homomorphism����W��k���*����f���D�:�UR�H��V�(�B���)��������4!�����1�H��D�suc�h���that��C�ȍ������H������B�������H���⑹H��V�(�B���)�������|��{�fd i@�����ά-����������p���������H�������`��ǡ�f��������|�ׁ �@���Ƚ|�� @���ҽ|�� @���ܽ|��� @��������>@��������>R������H������������H������� *��Ǡ�*F�fe����<\��Ǡ�?������6ݍ���㎍������r������f�����������comm��rutes.����W��Ve��dene�a�family�of�homomorphisms�of�bialgebras��f�����i���,�:�UR�B�����i���������4!����)�H����b��ry��:�����ʍ�����f�����0��V�:=�UR�f���;��������f�����i�+1�����:=�UR�S�����H��D�f�����i��d��;���i��2��N�:��������?2���7
������&e��{���6.�pQUANTUM�!A��9UTOMORPHISM�GR�OUPS��o�L63����Y������W��Ve���ha��rv�e�in�particular��f�����i���,�=�UR�S����2�����i��b��H���D�f�ȹfor�all��i��2��N�.�-�Th��rus�there�is�a�unique�homomorphism���of��bialgebras��f��G����2�0��k��:�UR�B������2�0�����=�������`�����B�����i������,����4!����)�H����suc��rh��that��f��G����2�0��8������i���,�=�UR�f�����i��O��for�all��i��2��N�.����W��Ve��sho��rw�that��f��G����2�0��8�(�I��)�UR=�0.�8�Let���x��2��B�����i��dڹ.�Then��F5�����ʍ��[��f��G����2�0��8�((1������S���ן��2�0����)������i��dڹ(�x�))������=�UR�f��G����2�0��8�(�r�(1����
��S���ן��2�0����)(������i����
�������i��dڹ)�����i���(�x�))���������=��UR�����P�����f��G����2�0��8������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�f��G����2�0���S���ן��2�0���������i���(�x�����(2)��\|�)���������=��UR�����P�����f��G����2�0��8������i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�f��G����2�0��������i�+1��AV�(�x�����(2)���)���������=��UR�����P�����f�����i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�f�����i�+1��AV�(�x�����(2)���)���������=��UR�����P�����f�����i��dڹ(�x�����(1)��\|�)�S���f�����i���(�x�����(2)���)���������=�UR(1������S��)�f�����i��dڹ(�x�)�=��u"f�����i���(�x�)�=��u"�����i���(�x�)���������=�UR�f��G����2�0��8�(�u"�����i��dڹ(�x�))�:�����F5��This���together�with�the�symmetric�statemen��rt�giv�es��f��G����2�0��8�(�I��)�UR=�0.� �Hence���there�is�a�unique���factorization� xthrough�a�homomorphism�of�algebras����W���"��*����f���
�q�:�UR�H��V�(�B���)��������4!�����1�H�
ιsuc��rh� xthat��f��G����2�0��k��=����W������*���UR�f���
g���ǹ.����The�o�homomorphism����W���3��*����f������:�7~�H��V�(�B���)��������4!�������H�\߹is�o�a�homomorphism�of�bialgebras�since�the���diagram��Q8������������������B������2�0��i?�=I�������ğ�:2�fd-6�����ά-�����־�����������ɯ�����ɯ������ğ�{�fdz{0�����ά-������zr���9��f���ǟ�-:�0������������������Rt��:2�fd.������ά-������퍍��㎍��^���r���$�f���������K������K�����`��32�fd`K@�����ά-�����h2���r�f���ǟ�-:�0�����
�f���ǟ�-:�0��������A�������A����H�B������2�0��i?�=I��+�
����B������2�0���=I������`���t�fd6������ά-���������zf�����
��������A�������A������ԟ�t�fd
�`�����ά-������^͍���㎍�?c���r��y)�f���pH�
���㎍��:���r��f���������Ay��3���H��������y��'*�H����
����H������8�r��耄�@fe���9)���耬?��������=�$���X.�H��������������A��������� `��fe����$�� `�?������n���f�����-:�0�������ώ+���t�B������2�0��������+������B������2�0����
����B������2�0��������r��耄�@fe����>���耬?������`���v�������� �썹comm��rutes���with�the�p�S�ossible�exception�of�the�righ�t�hand�square�����W������*���f���
��and�(����W������*���f����g�
����W��Cj���*������f����)����2�0���9�.���But�����g�is��Xsurjectiv��re�so�also�the�last�square�comm�utes.�!�Similarly�w�e�get��"�����H�����W��
����*���D�f����=�=�UR�"�����H����(�B�d��)�����.�!�Th�us��Ϣ�����W������*���f���
cc�is�P�a�homomorphism�of�bialgebras�and�hence�a�homomorphism�of�Hopf�algebras.���d��cff���x�ff̟���ff̎�̄�cff����Q������Remark��2.6.4.���j�6�In�Ңc��rhapter�1�w�e�ha�v�e�constructed�univ�ersal�bialgebras��M�@�(�A�)�with���coaction�E�����:��]�A��������4!����bG�M�@�(�A�)���
��A��for�certain�algebras��A��(see�1.3.12).� J�This�induces�a���homomorphism��of�algebras��5��������s2����0�����:�UR�A��������4!�����1�H��V�(�M�@�(�A�))����
��A����suc��rh�Q�that��A��is�a�como�S�dule-algebra�o�v�er�the�Hopf�algebra��H��V�(�M�@�(�A�)).�n�If��H�?B�is�a�Hopf���algebra�@�and��A��is�an��H��V�-como�S�dule�algebra�b��ry��@��L�:��0�A��������4!�������H�ҽ�
��g�A�@�then�there�is�a�unique���homomorphism��of�bialgebras��f��Q�:�UR�M�@�(�A�)��������4!�����1�H����suc��rh��that��T�|�������H�����@�A�������H�����~M�@�(�A�)����
��A���������{�fdPЍ����ά-������-���p��������H�������k}���?=@�������W�ׁ �@����W�� @����W�� @����W��� @���؝����>@���؝����>R������H������������a�H����
����A��������Ǡ�*F�fe��������Ǡ�?������`���t�f����
�1����������@@ܠ�7
������&e���64��1:�2.� %�HOPF�!ALGEBRAS,�ALGEBRAIC,�F��9ORMAL,�AND�QUANTUM�GR�OUPS���Y������comm��rutes.�Since�ythe��f��Q�:�UR�M�@�(�A�)��������4!�����1�H�ft�factorizes�yuniquely�through����W�����*����f���
��:�UR�H��V�(�M��(�A�))��������4!�����1�H����w��re��get�a�comm�utativ�e�diagram��Kgy�������H����Ƞ�A�������H�����PH��V�(�M�@�(�A�))����
��A������D��{�fd
s������ά-���������L���L̟�-:�0��������H�������k}���P��@�������ht�ׁ �@����ht�� @����ht�� @����ht��� @���Ӯ����>@���Ӯ����>R������H��������������H����
����A�������"��Ǡ�*F�fe�����T��Ǡ�?������6ݍ���㎍��`���r�����f������
�1�������l���with��a�unique�homomorphism�of�Hopf�algebras����W��yR��*����f���R��:�UR�H��V�(�M�@�(�A�))��������4!�����1�H��.����This�Ecpro�S�of�dep�ends�only�on�the�existence�of�a�univ��rersal�algebra��M�@�(�A�)�for�the���algebra���A�.�8�Hence�w��re�ha�v�e�������Corollary��2.6.5.���sW�L��ffet�e�X�&��b�e�a�quantum�sp�ac�e�with�universal�quantum�sp�ac�e�(and���quantum�Fmonoid)��M�(�X��ӹ)�.�ZThen�ther��ffe�is�a�unique�(up�to�isomorphism)�quantum�gr�oup����H���(�M�(�X��ӹ))�35�acting�universal���ly�on��X��.�����This�2Tquan��rtum�group��H���(�M�(�X��ӹ))�can�b�S�e�considered�as�the�\quan�tum�subgroup�of���in��rv�ertible���elemen�ts"�of��M�(�X��ӹ)�or�the�quan�tum�group�of�\quan�tum�automorphisms"���of���X��ӹ.�����Q����;��7
���
�+p�p�msbm8�*���
msbm10�%a6cmex8�$��u
cmex10�#q�%cmsy6�"�K�cmsy8�!!",�
cmsy10� ;�cmmi6��2cmmi8���g�cmmi12��Aa�cmr6�|{Ycmr8��-�
cmcsc10����@cmti12�o��� cmr9���N�cmbx12���N�ffcmbx12�X�Qcmr12��O�
line10�W��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������