; TeX output 1999.08.24:1219\t*N cmbx12MathematischesInstitutSS1998t*derUniversitatM`unchenT9Blatt7t*Prof.Dr.B.PareigisGgύUNG cmbx12TheoriezderQuanutengrupp=enIIВXQ cmr121.+Sind_Wg cmmi12VǹundWG-graduierteVVektorryaume,soistaucrhdasTensorproSdukt+ein꨿G-graduierterVVektorraumdurcrh:r(VG!", cmsy10 Wƹ)2cmmi8g*P:=Ju cmex10M 8獑URh;k6K cmsy82G;hk|{Ycmr8=g4\Vh Wk$t+ErklyarenMSie,wiedieG-graduiertenVVektorryaumeaufdieseWeisezueiner+monoidalenKategoriewrerden.(wwpxUbSerpryufenSienichtdieKohyarenzdiagram-+me.)ZeigenSie,daderFVunktor,dereinemG-graduiertenVektorraum+einenKܞ[G]-KomoSdulzuordnet(Vgl.Blatt13,Aufg.2imWS97/98)ein+monoidalerFVunktorist.В2.+Bestimmen0SieinderKategorieder1 msbm10N-graduierenVVektorryaumealleObjek-+te꨿M@,dieeinLinksdualbSesitzen.В3.+Sei(M@2;evn9;db)einLinksdualfSyurM@.ZeigenSie,dadb¹:IE!MR RnM@2+durcrhM@,M2 undevNeindeutigbSestimmrtist.(EindeutigkeitderDualbasis.)В4.+ZusatzaufgabSe:aSeiB=Kܞhx;yn9i=I,wrobeiIRdurcrhx22;xyi+Myn9xerzeugtist.+DannistBTeineBialgebramitderDiagonalen(yn9)hC=yS oy,(x)=+x 1+y x.DieKoSeinheitist"(yn9)UR=1;"(x)=0.+Zeigen,Sie,dadieKategorieKܞ-FComp,3derKettenkromplexezuderKate-+gorieB-Como`d3derB-KomoSdulndurcrhdiefolgendeKonstruktionyaqui-+vXalenrtist:IstM^einKettenkomplex,sode niereeineB-KomoSdulstruktur+auf]MDY=ui22ppmsbm8N֥MiL7mitderStrukturabbildungv:MDY!B VM@,s2(m):=+yn92i m+xyn92i1 @idڹ(m)fSyurallemUR2MihundfSyuralleiUR2Nresp.s2(m)UR:=1 m+fSyurm^2M̽0.IstumgekrehrtM;:M!B οMteinB-KomoSdul,sode -+niere7Kܞ-MoSdulnMi=E:=kfm2M@j9m202MO:s2(m)=yn92i+ m+xyn92i1 m209g+undӿKܞ-lineareAbbildungen@iMݹ:Mi!Mi1)bryӿ@idڹ(m):=m20 fors2(m)=+yn92i ܡm+xyn92i10 m209.tZeigenSie,dadieseineKategorienyaquivXalenzde niert.+(Hinrweis: 7Seim$2M2B-Como`d.容. 7Dayn92i;xyn92iJeineBasisvronB=ist,habSen+wirK s2(m)=Pi옿yn92ii VmiQ0+P ziixyn92i m20RAidڹ.K WVendetmandasaufdieGleicrhung+(1 s2)Ȅ=UR( 1)]ڹundvrergleichtKoSezienten,soerhyaltmanhms2(midڹ)UR=yn9 i} mi+xyn9 i1Z7 m 0ڍi1AV; (m 0ڍidڹ)UR=yn9 i} m 0ڍi*\+fSyur3^allei2N̽0b(mit3^m20RA1-=0).Dahergibteszujedemmi52Mi8genauein+@(midڹ)UR=m20RAi12M+mitderEigenscrhaft:ڿs2(midڹ)UR=yn9 i} mi+xyn9 i1Z7 @(mi)+WVegen8s2(m20RAi1AV)=yn92i1= m20RAi1zfSyurallei2Nergibtsicrh@(midڹ)2Mi1AV.+WirhabSenalso@ :f޿Mi˸!Mi16Mde niert.AusdieserGleicrhungfolgtwreiter+@22g (midڹ)UR=0fSyuralleiUR2N.WirhabSenalsoaus(M;s2)einenKettenkromplex+erhalten.+Aus(LE 1)s2(m)UR=mergibtsicrhm=P㋿mi&mitmi,2Midڹ,alsoM6=LqƟi2NHiMidڹ.+DasXergibtzusammenmitderumgekrehrtenKonstruktiondiegewSyunschte+KategorienyaquivXalenz.)t*ZusatzaufgabSenwrerdenwederkorrigiertnoSchbSewertet.t*AbgabSe:Mittrwoch,1.7.98,16.15Uhr;d}2ppmsbm81 msbm10K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12|{Ycmr8NG cmbx12N cmbx12XQ cmr12u cmex10