; TeX output 1999.08.23:2334\t*N cmbx12MathematischesInstitutSS1998t*derUniversitatM`unchenT9Blatt5t*Prof.Dr.B.PareigisGgύUNG cmbx12TheoriezderQuanutengrupp=enIIВXQ cmr121.+Sei!", cmsy10CAFeineKategorieundseieng cmmi12f2cmmi8X r۹:URXF!Zܞ,fY :Y!ZjzwreiMorphismen.+EinbObjektPzusammenmitzwreiMorphismenpX :ՁPwG!XTGundbĿpY &>:+P!URY[SheitFVaserproSdukt(aucrh:kXartesischesDiagramm)vonfX lundfYP,+fallsfX 14pX ya=[ؿfY dhpY աistundfSyurjedesObjektQmitzwreiMorphismen+qX r۹:URQ!Xbund߿qY :Q!YTOmitfX `vBqX r۹=fY qY genaueinMorphismrus+gË:URQ!Pnexistiert,fSyurdengilt:pX 1gË=URqXypY eg=URqY+ZeigenSie,davrollstyandigeKategorienFVaserproSduktebesitzen,indemSie+dasFVaserproSduktexplizitalsDi erenzkrernkonstruieren(vgl.VVorlesung).В2.+Einek~geordneteMengeI]heitgericrhtet,k~fallsfSyurjedesi;j%2URIeinko2URImit+ikOund22j{kexistiert22(vgl.Blatt4,Aufg.1).SeiAbdieKategorieder+abSelscrhenZGruppen.Fyurjedesi2IL&seieineabSelscrheGruppeAi}gegeben.+FSyurdiURjʹseieinMorphismrusfij 6:Ai,!AjgegebSen,sodafii =idistund+fSyur꨿iURj%kQŹgilt:Ȭfik ]=URfjvk Dfij+AufderdisjunktenVVereinigungu cmex10S T_iK cmsy82I4AicfSyuhrenwireinevpxAquivXalenzrelation+dadurcrhein,dawirain-2 SAiOundaj o]2Aj Pڞy PaquivXalenrtnennen,sofernein+kيrmi;j>mit(fikl(aidڹ)=fjvk (ajf )existiert.ZeigenSie,dahierdurcrhwirklich+einepx:nAquivXalenzrelationde niertwird.ErklyarenSie,wiederFVaktorraum+S4)mi2ICBAidڿ=UVzueinerabSelscrhenGruppewird.ZeigenSie,dadieseabelscrhe+GruppSezuminduktivrenLimesdesDiagrammsisomorphist.В3.+SeiCxFeineKategorieundIeinekleineKategorie.DgseieinDiagrammscrhe-+ma.FSyurjedesObjektiH2IOseieinDiagrammFi]":HDM!Cmitprojekti-+vremLimesPibgegebSen.FyurjedenMorphismrusq:li!j\[seieinenatyurli-+crheTVransformationq :\Fi!Fj gegebSen.Esgelte:qI{pyS=\qzp Nund+id ӹ=Qid.)KonstruierenSiefSyurjedenMorphismrusq.:i!jWeinenMorphis-+mrusI~Pq:Pi[!Pjf .ZeigenSie,daaufdieseWVeiseeinFunktorP:I@!C+enrtsteht.ZeigenSie,daeinprojektivrerLimesdiesesFVunktorsalsLimes+eines,einzigenFVunktorsF:URIID!Caaufgefat,wrerdenkXann.Konstruieren+SiedenFVunktorFƹ.*\В4.+ZusatzaufgabSe:CSei(Xidڹ)i2IYeineFVamilietopologiscrherRyaume.Wirnennen+einem$MengeinderdisjunktenVVereinigungdieserRyaumeo en,wrennihr+DurcrhschnittgmitjedemdereinzelnentopSologiscrhenRyaumeo enist.Zeigen+Sie,0jdadiedisjunkteVVereinigungaufdieseWeisezueinemtopSologiscrhen+RaumSwird.ZeigenSie,dadiesertopSologiscrheRaumdasKoproduktder+FVamilie(Xidڹ)i2IIinderKategoriedertopSologiscrhenRyaumeist.t*ZusatzaufgabSenwrerdenwederkorrigiertnoSchbSewertet.t*AbgabSe:Mittrwoch,17.6.98,16.15Uhr;d}K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12NG cmbx12N cmbx12XQ cmr12u cmex10C