÷ƒ’À;è TeX output 1999.08.23:2330‹ÿÿÿÿ ° ý\ † ýŸ‘t*óÂÖN  cmbx12ºMathematisc hes–€Institut’ÝšSS“1998ޤ€‘t*der–€Univš ersit蟙œŽat“M`Ÿ™œŽunc˜hen’ÝT9Blatt“2Ž¡‘t*Prof.–€Dr.“B.“P areigisŽŸGgÏ‘U…õóÂÖN G® cmbx12¼Theorie–záder“Quan‘ÿuÂtengrupp›Š=en“I˜IŽŸ" ‘Ð’óX«Q cmr12¹1.ŽŽŽ‘+ÔFSŽžyŽur–îveine“GruppšSŽe“ó·ág£ cmmi12¿G“¹sei“¿GŸû¥2ó¾KÈ cmsy8Ã0Ž‘¼¯¹die“Un¬rtergrupp˜e,“die“vš¬ron“allen“Elemen˜ten“derŽ¡‘+ÔF‘ÿVorm›½H¿g•n9hg“Ÿû¥2Ãó|{Ycmr8½1Ž‘ ʵ¿hŸû¥2ý1Ž‘ \|¹,˜den˜sog.˜Komm¬rutatoren,˜erzeugt˜wird.˜Zeigen˜Sie,˜daŽ¡‘+Ô¿GŸû¥2Ã0Ž›F¹ein–4 Normalteiler“v¬ron“¿G“¹ist.“Die“F‘ÿVaktorgruppSŽe“¿GŸÌÌó×2cmmi8ÀabŽ‘,¨¹:=‘…ý¿G=GŸû¥2Ã0Ž˜¹heit“dieŽ¡‘+ÔKomm•¬rutatorfaktorgruppSŽe›ê¨v“on˜¿G¹.ŽŸtA‘+ÔZeigen–ê¨Sie,“daŽ¡’°I~¿F‘÷¹:–UR¿Gr‘¨àó!",š cmsy10Â!“¿Ab;‘ÿþG“Â7!“¿GŸÌÌÀabŽŽŸÜÑ+Ô¹ein–·F‘ÿVunktor“v¬ron“der“Kategorie“der“GruppšSŽen“in“die“Kategorie“der“ab˜elsc¬rhenŽ¡‘+ÔGruppšSŽen–‚/ist,“der“linksadjungiert“zum“Ein¬rb˜ettungsfunktor“¿E‘ i¹:–UR¿Ab“Â!“¿Gr‘Õ½¹ist.Ž©h‚‘Ð’2.ŽŽŽ‘+ÔZeigen–KSie,“da“der“Einš¬rbSŽettungsfunktor“¿E‘ÿ§¹aus“der“v˜orhergehenden“Aufga-Ž¡‘+ÔbSŽe–NWkš¬reinen“rec˜h˜tsadjungierten“F‘ÿVunktor“bSŽesitzt.“(Hin˜w˜eis:“Duale“F‘ÿVorm“v˜onŽ¡‘+ÔAufgabSŽe–ê¨1“auf“Blatt“1.)ަ‘Ð’3.ŽŽŽ‘+ÔSeien›ÿš¿F‘¿¹:–xùÂC‘,.!“D‘Tð¹und˜¿F‘¡ÆŸû¥2Ã0Ž‘èø¹:“ÂC‘,.!“D‘Tð¹zw•¬rei˜F‘ÿVunktoren,˜die˜natSŽžyŽurlic“h˜žyŽ˜aquiv‘ÿXäalen“tŽ¡‘+Ôsind.–Z Zeigen“Sie:“Ist“¿F‘ûÓ¹linksadjungiert“zu“¿G–UR¹:“ÂD‘ª¨!“C‘³5¹,–Z so“auc¬rh“¿F‘¡ÆŸû¥2Ã0Ž‘oÿ¹.“Zeigen“SieŽ¡‘+Ôumgek¬rehrt:–•+Sind“¿F‘6ñ¹und“¿F‘¡ÆŸû¥2Ã0Ž‘*¹bšSŽeide“linksadjungiert“zu“¿G¹,“so“sind“sie“nat˜žyŽurlic¬rhŽ¡‘+ÔžyŽ‘+Ôaquiv‘ÿXäalen¬rt.ަ‘Ð’4.ŽŽŽ‘+ÔZusatzaufgabšSŽe:–¨wEin“hausdor sc¬rher“top˜ologisc¬rher“Raum“heit“ein“Kelley-Ž¡‘+ÔRaum,–]wš¬renn“eine“Menge“abgesc˜hlossen“ist,“sofern“ihr“Durc˜hsc˜hnitt“mit“je-Ž¡‘+Ôder–ãÛkš¬rompakten“T‘ÿVeilmenge“abgesc˜hlossen“ist.“Die“Kelley-RžyŽaume“bilden“eineŽ¡‘+ÔKategorie,–ê¨die“wir“mit“ÂK‘¹bSŽezeic¬rhnen.ŽŸtA‘+ÔJedem–%Šhausdor scš¬rhen“topSŽologisc˜hen“Raum“¿X‘ ¹ordnen“wir“einen“neuen“topSŽo-Ž¡‘+Ôlogiscš¬rhen–¶ÅRaum“¿XŸÌÌÀKŽ‘ ò‡¹zu,“dessen“abgesc˜hlosse“Mengen“genau“die“Mengen“sind,Ž¡‘+ÔfSŽžyŽur–-ådie“der“Durc•¬rhsc“hnitt–-åmit“jedem“Kompaktum“b•SŽez“žyŽuglic¬rh–-åder“ursprSŽžyŽungli-Ž¡‘+Ôcš¬rhen–ÞrT‘ÿVopSŽologie“abgesc˜hlossen“ist.“Zeigen“Sie,“da“¿XŸÌÌÀKŽ‘ 4¹ein“Kelley-Raum“ist.Ž¡‘+ÔZeigen–,™Sie,“da“die“Zuordnš¬rung“¿X‘·Â7!‘Å¿XŸÌÌÀKŽ‘ h[¹einen“F‘ÿVunktor“v˜on“der“KategorieŽ¡‘+ÔÂH‘Òí¹der–µEHausdor -RžyŽaume“in“die“Kategorie“ÂK‘᥹der“Kelley-RžyŽaume“bSŽestimm¬rt,Ž¡‘+Ôder›ê¨rec•¬rh“tsadjungiert˜zu˜Ein“bSŽettungsfunktor˜v“on˜ÂK‘¹nac“h˜ÂH‘P¹ist.ŽŸ" ‘t*ZusatzaufgabSŽen–ÚÛwš¬rerden“w˜eder“k˜orrigiert“noSŽc˜h“bSŽew˜ertet.“Sie“sind“hžyŽau g“bSŽedeutendŽ¡‘t*sc•¬rh“wieriger–Õþals“die‘)ŒžyŽ“ubrigen“AufgabSŽen“und“dienen“der“eigenstžyŽandigen“Auseinan-Ž¡‘t*dersetzung–ê¨mit“mathematisc¬rhen“F‘ÿVragestellungen.Ž¡‘t*AbgabšSŽe:‘ê¨Mitt•¬rw“o˜c“h,–ê¨27.5.98,“16.15“UhrŽŽŽŒø*ƒ’À;è°ªd}ó¾KÈ cmsy8ó!",š cmsy10ó×2cmmi8ó·ág£ cmmi12ó|{Ycmr8óÂÖN G® cmbx12óÂÖN  cmbx12óX«Q cmr12ù áßßßßß