; TeX output 2008.03.03:0852荠7o]qsrc:100ALGEBRA2.TEXDtqGcmr17ALGEBRABII'Wdsrc:101ALGEBRA2.TEXXQ ff cmr12Prof./Dr.B.PareigisXsrc:102ALGEBRA2.TEXXQ cmr12Sommersemester1997&- cmcsc10Inhal32tsverzeichnis&|src:1ALGEBRA2.toc<1. DasTVensorproSduktundfreieModuln2&|src:2ALGEBRA2.toc<2. DarstellbareFVunktoren7̰6&|src:3ALGEBRA2.toc<3. ProjektivreMoSdulnundGeneratoren툝12&|src:4ALGEBRA2.toc<4. DieMorita-Theoreme920&|src:5ALGEBRA2.toc<5. EinfacrheundhalbSeinfacheRinge26&|src:6ALGEBRA2.toc<6. NoSetherscrheModuln>33&|src:7ALGEBRA2.toc<7. RadikXalundSoScrkelF35&|src:8ALGEBRA2.toc<8. LokXaleRingef40&|src:9ALGEBRA2.toc<9. LokXalisierungeT41&|src:10ALGEBRA2.toc<10. PryasenzSyubungenzurAlgebraISIr)47*荠7o]-o cmr92nAlgebraTIAI{P9areigis[o]m\}1.|`DfasTensorproduktundfreieModulnN cmbx12De nitionc1.1.bBsrc:7alg2k1_2.texSeig cmmi12R6einRing(immerassoziativmitEinselemenrt).EinRJ,@ cmti12-Links-Moffdul2cmmi8R KMisteine(additivgescrhriebSene)abelscrheGruppeMɹzusammenmiteinerOperationR !", cmsy10|M63(rr;m)UR7!rSm2M@,sodas2(1)%src:12alg2k1_2.tex(rSs)mUR=r(sm),(2)%src:13alg2k1_2.tex(r6+s)mUR=rSm+sm,(3)%src:14alg2k1_2.texrS(m+m2!K cmsy809)UR=rm+rm209,(4)%src:15alg2k1_2.tex1mUR=msrc:17alg2k1_2.texfSyurallerr;sUR2RJ,m;m20#2M@.src:19alg2k1_2.texEinpRJ-Moffdul-HomomorphismusfQ:URR HM6!RNTisteinGruppSenhomomorphismrusmitfG(rm)UR=rSfG(m).src:22alg2k1_2.texAnalogde niertmanRJ-Recrhts-MoSdulnMR.src:24alg2k1_2.texHomyRm(M;N@)UR:=ffQ:R HM6!RNjf2isteinRJ-MoSdul-Homomorphismrusg.^kLemma1.2.src:29alg2k1_2.texHomyRm(M;N@)35isteineabffelscheGruppedurch(f+gn9)(m)UR:=fG(m)+gn9(m).Beweis:+܌src:34alg2k1_2.texDa /N eineabSelscrhe 0Gruppe /ist, istauch 0dieMengederAbbildungenAbb(M;N@)eineabSelscrheGruppe.dDieMengederGruppenhomomorphismenHomy(M;N@)bBisteineUnrtergruppSevonAbb?[(M;N@)(giltnurfSyurabffelscheGruppSen,bMIB).Wirx(zeigen,xFdaHomR"D(M;N@)x)eineUnrtergruppSevonx(Hom(M;N@)x(ist.xDazuistnrurzuzeigen,dabmitbfundg7aucrhfDg8einRJ-MoSdul-Homomorphismusist.cEsistklar,cdabfDg7einGruppSenhomomorphismrusist.pWVeiterist(fKgn9)(rm)UR=fG(rm)gn9(rm)UR=rfG(m)rgn9(m)=rS(fG(m)gn9(m))UR=r(fgn9)(m):)d& msam10^kBemerkung1.3.src:48alg2k1_2.texJedeabSelscrheGruppeistaufeindeutigeWVeiseein) msbm10Z-Modul.^jBeweis:+܌src:53alg2k1_2.texNacrh˟pxFTUbungFSI.1isteineindeutigbSestimmrterRinghomomorphismus'Xֹ:XZ rb!End (M@)anzugebSen.src:57alg2k1_2.texEsmru'(1)7=6idڟM듹gelten.Wirsetzen'indereinzigmyoglicrhenWVeisefort:O'(n)6:=id ʤMN+:::+Nid ME(n-mal, mnpq0) cund d'(n)R=(id ʤM+:::+Mid M) d(n-mal, ln>p0). Dannist'꨹einRinghomomorphismrus.8iDe nitionq1.4.Vsrc:65alg2k1_2.texSei XόeineMenge undRSeinRing.EinRJ-MoSdulRXόzusammen miteinerAbbildung,:X~!%RJXJheiteinvronXerzeugterۇfrffeierRJ-Modul,wrenneszujedemRJ-MoSduldMPIundzujedereAbbildungf:GX9R!?MPHgenaueinenRJ-MoSdul-HomomorphismrusgË:URRJXF``!M+sogibt,dadasDiagrammJ:ٍbYxXbYrRJXӠD{fd$pO line10- gH`ҭf ׁ @ @ @ @Pt>@Pt>RH9_MUǠ*FfeԟǠ?  ;Tgesrc:72alg2k1_2.texkrommutiert.Lemma1.5.wsrc:76alg2k1_2.tex(RJXJg;)kistdurffchkX]](undR)kbisaufIsomorphievonRJ-Moffdulneindeutigbffe-stimmt.Beweis:+܌src:81alg2k1_2.texfolgtausdem(bSekXannrten)DiagrammGōbYTX9ʌҁ ʌׁ ʌ܁ ʌ ʌ ʌ ʌ ʌ =dž=džH '20ׁ    l>l> H9'sׁ @s @s @s @,>@,>RH ,v20 ҁ H ׁ H ܁ H H" H, H6 H@ HE9 džHE9 džjfKjjRJXfK>RJX20/32fdPά-:GhfKfK1ܞ32fdY]ά-:kfK*RJXfKTdNRJX202U32fdPά-:>8h荠7o]PTDasTT:ensorproAduktundfreieModulnV3[o]kSatz1.6.qsrc:94alg2k1_2.tex(RecrhenregelnDfSyurfreieRJ-MoSduln)Seiӹ(RXJg;)einfrffeierR-MoffdulyuberX. SeiT#u cmex10ex :=UR(x)2RJX$f'yur35allexUR2X.35Danngelten:(1)%src:98alg2k1_2.texwLeXӃ=!fTexRj+9x!2X:vuexy=(x)g+ist+ErzeugendenmengevonRJX,,d.h.->jeffdesElement%mUR2RJX$ist35LineffarkombinationmUR=P*n U_i|{Ycmr8=1 ASriedxi;dere35x .39(2)%src:102alg2k1_2.texwLeXAURRJXistlineffarunabhyangigundistinjektiv,d.h.awennP*0 U_x2X%:rxeHxK=UR0,danngilt%8xUR2XFչ:rx9=0.Beweis:+܌src:109alg2k1_2.tex1.FSei`M͍:=hTexRjx2XiRJXder_vronden#@exJerzeugteUnrtermoSdul.F=)DasDiagrammH-bYXbYrRJXD{fd$pά- gHyRJX=XM=CX0Gׁ @G @G @G @t>@t>RHǠ*Ffe紟Ǡ?=U80HrŸǠ*FfeǠ?9 XtIsrc:118alg2k1_2.texkrommutiertmitbSeidenAbbildungen0undǹ.=)0UR=o=)RJX=XM6=0=)RJXFչ=M@.src:122alg2k1_2.tex2.(SeiP*n U_i=0 riedxi=x0und r086=x0.Seij$Թ:xXi !xRRAbbildung mitjӹ(x0)=x1;j(x)=0fSyur allexUR6=x0:=)?9gË:RJXF .!RmitH-bYxXbYrRJXӠD{fd$pά- gHh\j ׁ @ @ @ @Pt>@Pt>RHjRUǠ*FfeԟǠ?  ;Tgsrc:127alg2k1_2.texkrommutativund0T=Sgn9(0)=g(P* n U_ i=0riedxi w)=P*Pn U_Pi=0 Tridg(Texi ,)T=P*Pn U_Pi=0 Tridjӹ(xi)S=r0.Widersprucrh=)꨹Behauptung.sSatz1.7.src:134alg2k1_2.texSei35X$eineMenge.DanngibteseinenfrffeienRJ-Modul(RJXJg;);\yuberX.Beweis:+܌src:139alg2k1_2.texO enrbaristRJX:=f :X !RjfSyurfastallex2X: (x)=0geinUnrtermoSdulvron^Abb{w(XJg;RJ)]bSei^komponentenweiser^Additionund]MultiplikXation.:::X,v!RJXseide niertdurcrh(x)(yn9)I:=xy .Seif:X; !MQeineAbbildung.Sei ]2RJX.De nieregn9( )UR:=Px2X$ (x)fG(x):_4gmistwrohlde niert,_Xweil_4nurendlichviele (x)UR6=0.` gmistRJ-MoSdul-RHomomorphismrus:rSgn9( )+sg( O)UR=rSP7 (x)fG(x)+sP (x)fG(x)UR=P(rS (x)+s (x))fG(x)UR=P(rS p+s O)(x)f(x)UR=gn9(rS p+s O): WVeiteristgUR=fQ:g(x)=PyI{2X$EC(x)(y)fG(y)=CPxy r/;fG(yn9)YB=f(x):FSyur l2YBRJX{gilt =YBPx2X$ (x)(x),denn (yn9)YA=YBP (x)(x)(y).UmMzuzeigen,dag#ٹeindeutigdurcrhfbSestimmtist,seih2͹Hom(VR$(RJXJg;M@)mith=f:=)h( )UR=h(P (x)(x))=P (x)h(x)=P (x)fG(x)=gn9( )=)h=gn9:]De nition`1.8.տsrc:164alg2k1_2.texSeien@@>RHAF"Ǡ*FfeyTǠ?  +gsrc:193alg2k1_2.texkrommutiert. DieElementevonM R `oNHɹheienTensorffen,.dieElementederFVormml nzerleffgbare35Tensoren.src:197alg2k1_2.texWichtig:]Ein]6HomomorphismrusfQ:URMʣ R}RN6!A,]ZdessenQuelle]5einTVensorproSduktist,mudadurcrhde niertwerden,damaneineRJ-bilineareAbbildungaufMN+angibt. jLemma1.11.'src:204alg2k1_2.texDas@Tensorprffodukt@(M R N; )istdurffchMR,@R 3NbisaufIsomorphieein-deutig35bffestimmt.Beweis:+܌src:209alg2k1_2.tex@ajYMN`P oҁ oׁ o܁ o o o o o dždžH披 20بDׁ ΨD ĨD D ağ>ağ> H` ׁ @ @ @ @_>@_>RH披- 20Qdҁ HQdׁ HQd܁ HQd H#Qd H-Qd H7Qd HAQd HEddžHEddžj6^M R ;N6M 20bR ;Ne32fdϠά-:kh66432fdAά-:k6$M R ;N6IM 20bR ;N?32fdϠά-:?hꬍsrc:218alg2k1_2.teximpliziertko=URh21zvSatzq1.12.src:222alg2k1_2.tex(RecrhenregelnQimRTVensorproSdukt)]Sei(M@ R JN; )einTensorprffodukt.Danngelten~(1)%src:225alg2k1_2.texM R ;N6=URfP imi nij35mi,2M;ni2N@g;(2)%src:226alg2k1_2.tex(m+m209) nUR=m n+m20x n;(3)%src:227alg2k1_2.texm (n+n209)UR=m n+m n20;(4)%src:228alg2k1_2.texmr6 nUR=m rSnsrc:230alg2k1_2.texf'yur35aller2URRJ;m;m20#2M;n;n20#2N: jBeweis:+܌src:234alg2k1_2.tex1.%iSei%BS:=hmk lniMP R Nedievrondenzerlegbaren%TVensorenerzeugteUnter-gruppSevronM R ;N:SeiAUR:=M R ;NF:=B:꨹DannkrommutiertNލ{ȀMN{M R ;N0{fd Uά-` HA=ع0tׁ @t @t @t @@>@@>RHgǠ*Ffe4Ǡ?=0H %BǠ*Ffe XtǠ?9 src:244alg2k1_2.texmit0undmitǹ.=)UR0==)A=0=)BX=M R ;N@.src:247alg2k1_2.tex2.O(mI]+m209) nUR= (mI]+m20;n)UR= (m;n)I]+ (m209;n)UR=mI] n+m20 n.OAnalogzeigtman3.und4.HSatz1.13.src:253alg2k1_2.texSeien35MR,R &NtRJ-Moffduln.DanngibteseinTensorprodukt(M R ;N; ).Beweis:+܌src:258alg2k1_2.texDe niere66MI R Nʎ:=ZfMeN@g=U,6wrobSeiZfMIeNgder65freieZ-MoSdulĞyuberMN+ist(diefreieabSelscrheGruppe)undU+erzeugtwirdvron1ܠ荠7o]PTDasTT:ensorproAduktundfreieModulnV5[o]%src:264alg2k1_2.tex(m+m209;n)(m;n)(m209;n)%src:265alg2k1_2.tex(m;m+n209)(m;n)(m;n209)%src:266alg2k1_2.tex(mrr;n)(m;rSn){Dsrc:268alg2k1_2.texfSyuraller2URRJ,m;m20#2M@,n;n20#2N@.BetracrhteLJHp&MNHZfMN@g\{fdά- [HHM R ;N@{fdZ0ά- HH =URZfMN@g=UH'wA`A ,ҁ H,ׁ H,܁ H, H, Hő, Hϑ, Hّ, H,džH,džjH {, ׁ @ @ @ @V>@V>RH[Ǡ*FfeǠ? Algsrc:277alg2k1_2.texSei kgegebSen.REsgibtgenaueinUR2Hom(ZfMN@g;A)mitUR= n9.WVegen((m+m209;n)(m;n)(m209n))UR= n9(m+m209;n) n9(m;n) n9(m209;n)UR=0,>wreil& `RJ-bilinear'ist,=undwegen((m;n+n209)(m;n)(m;n209))u=u0;und((mrr;n)(m;rSn))u=u0;gilt:(U@)=0;=)Es*gibtgenaueingË2URHom(M R :N;A)mitgn9=UR(Homomorphiesatz).+Sei :=.+ istbilinear,ZdennJ(m-P+-Om209) nUR=(m+-Pm209;n)=ǹ((m+-Om209;n))=ǹ((m+m209;n)-O(m;n)(m209;n)E+D(m;n)+(m209;n))UR=ǹ((m;n)+D(m209;n))UR=(m;n)+(m209;n)UR=mD n+m20\} n.AnalogzeigtmandiebSeidenwreiterenEigenschaften.src:293alg2k1_2.texZu.zeigenbleibt,gda(M R 6jN; )einTVensorproSduktbildet.˅AusdemobigenDiagrammsiehrtman,CdaeszujederabSelschenGruppSeAundzujederRJ-bilinearenAbbildung t{:M:2MNZ -!A^+eing)2Homy(M:2 R N;A)^,gibtmitgn9 = .^Sei^+h2Homy(M:1 R N;A)mith UR= n9.=)h= Ë=)h==gn9=)gË=h.Ss-ˍDe nitionbL1.14.[src:304alg2k1_2.texSeiennRJ;SAERinge,MReinR-Links-MoSdulundeinS׹-Recrhts-Modul.MheitRJ-S׹-Bimoffdul,wrenn(rSm)sUR=r(ms).)Wirde nierenHom+[R -^S,x(M;N@)UR:=Hom۟R"n(M;N@)6\HomySk(M;N@).-ʍSatzundDe nition1.15.Asrc:311alg2k1_2.texSeienLf2ӹHom\R"(M:;M@20:)Lundg 2ԹHom]R"(:N;:N@20).MDanngibtes35genaueinenHomomorphismusYf R ;gË2URHom(M RN;M@ 0 RN@ 0)src:314alg2k1_2.texmit35f R ;gn9(m n)UR=fG(m) g(n),35d.h.eskommutiertPH卒g?M@20N@20卒bM@20 R ;N@20n|32fdpά- W`0 {5xMN{1/M R ;Nڜ{fdά-`0 HڟǠ*Ffe/ Ǡ?`fgH qZǠ*Ffe Ǡ?`W f R ;gKBeweis:+܌src:320alg2k1_2.tex (fgn9)istbilinear.46-ʍLemma1.16.src:324alg2k1_2.texSeiMS einS-Rffechts-ModulundR{M6 !URM$eineA2bbildung.gMistgenaudann35einRJ-S-Bimoffdul,wenn{D(1)%src:328alg2k1_2.tex8r2URRn:(M63m7!rSm2N@)2Hom۟S!콹(M:;N:),(2)%src:329alg2k1_2.tex8rr;rS20w2URRJ;m2M6:(r6+rS20!ǹ)m=rSm+r20!m,(3)%src:330alg2k1_2.tex8rr;rS20w2URRJ;m2M6:(rSr20!ǹ)m=r(r20!m),(4)%src:331alg2k1_2.tex8mUR2M6:1m=m:Beweis:+܌src:336alg2k1_2.texrS(m+m209)UR=rm+rm209;r(ms)UR=(rm)s.ѰLemma"1.17.esrc:340alg2k1_2.texSeienR MS,S NT Bimoffduln.LDannistR (MB S N@)TeinBimoduldurchrS(m n)UR:=rm n;(m n)tUR:=m nt.EǠ荠7o]6nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Beweis:+܌src:346alg2k1_2.texO enrbar gelten 2.-4..(r< Sdid/3)(mF n)UR=rSmF Fn=r(mF n) ist einHomomorphismrus.kd Folgerung 1.18.!src:351alg2k1_2.texSeien"qR MS,"S @NT,"R M2@0bS,"SN2@0bT ÈBimoffduln"qundf2d2fHomcR -?S0((:M:;:M@20:),gË2URHom۟Sr}-T,A (:N:;:N@20:):35Dannistf SȊg2URHom۟R -?T-(:M SN:;:M@20 SN@20:):Beweis:+܌src:358alg2k1_2.texf SȊgn9(rSm nt)UR=fG(rm) gn9(nt)UR=r(f SȊgn9)(m n)t:eDe nition1.19.src:362alg2k1_2.texEine(endlicrheoSderunendliche)FVolgevonHomomorphismen Ս?:::_yT!ΨMi16f8:;cmmi6i"q% cmsy6Aacmr61퍍2!%Mih &f8:iJ,ӷ!) Mi+13!#:::|src:366alg2k1_2.texheit.XeinKomplex,.wrennfSyurallei|F2I۹gilt.Xfidfi1=0(oSderyaquivXalenrtdazuBi(fi1AV)Ke[W(fidڹ)).src:370alg2k1_2.texEinKomplexheitexakt,wrennfSyuralleiUR2I+giltBiQ(fi1AV)=Ke(fidڹ).Lemma1.20.src:375alg2k1_2.texEin35Komplexv)̇:::yR!8Mi16f8:i1퍍7#!%Mih L~f8:iJ, !uMi+1!#Rg:::}src:378alg2k1_2.texist35genaudannexakt,wenndieFolgen|&%0UR!Bi (fi1AV)UR!Mi, !uBi$ (fidڹ)UR!0src:380alg2k1_2.texf'yur35alleiUR2I$exakt35sind,genaudannwenndieFolgen90UR!Ke#lh(fi1AV)UR!Mi1!#RgKe1(fidڹ)UR!0src:382alg2k1_2.texf'yur35alleiUR2I$exakt35sind.Beweis:+܌src:386alg2k1_2.texO enrbarsinddieFVolgen}L0URn!1Ke#(fidڹ)URn!1Mi,ӷ!) Bi#(fi)URn!0src:388alg2k1_2.texexakt,wdenn4KeI(fidڹ)(!7MiSist4ein5Monomorphismrus,vMis !Bi'2E(fi)ist5einEpimorphismrusundderKernvronMi,ӷ!) Bi#(fidڹ)istKeE(fi).src:392alg2k1_2.texDieFVolge0URn!1Bi Y(fi1AV)URn!1Mi,ӷ!) Bi#(fidڹ)URn!0"Isrc:394alg2k1_2.texistgenaudannexakt,wrennBiQ(fi1AV)UR=Ke(fidڹ)gilt.src:396alg2k1_2.texDieFVolge0URn!1Ke#(fi1AV)URn!1Mi13!#Ke1`(fidڹ)URn!0"Isrc:398alg2k1_2.texist=genaudannexakt,xwrennMi13!#Ke1`(fidڹ)surjektivist,genaudannwrennBi(fi1AV)UR=Ke(fidڹ)gilt./ 2. DfarstellbareFunktorenDe nition2.1.src:407alg2k1_2.texCݹbSestehrtausʾ(1)%src:409alg2k1_2.texeinerKlasse,ObFC5,derenElemenrteA;B;C5;:::2URObCObjekte꨹heien,(2)%src:412alg2k1_2.texeinerFVamiliefMor5C(A;B)jA;B"2HObC5gvronpaarweisedisjunktenMengen,deren%Elemenrtef;gn9;:::2URMorOC(A;B)Morphismenheien,und(3)%src:416alg2k1_2.texeiner[FVamilie[fMor5C(A;B)MorCIӹ(B;Cܞ)3(f;gn9)7!gf2MorC m(A;Cܞ)jA;B;C2%〹Ob7C5g꨹vronAbbildungen,dieVerkn'yupfungenheien.ʽsrc:421alg2k1_2.texCݹheiteineKateffgorie,wrennfSyurCfolgendeAxiomegelten(1)%src:424alg2k1_2.texAssoziativ-Gesetz:%8A;B;C5;D2URObC5;fQ2URMorOC(A;B);gË2URMorOC(B;Cܞ);hUR2MorOC(C5;DS):|Oh(gn9fG)UR=(hg)fG;\&荠7o]DarstellbareTF:unktorenL7[o](2)%src:429alg2k1_2.texIdenrtityat:%8AUR2ObC91A 362MorOC(A;A)8B;C12URObC5;8fQ2URMorOC(A;B);8gË2URMorOC(C5;A)UR:e1AgË=URg)undCafG1A 36=f:Beispiel2.2.src:439alg2k1_2.tex1.KategoriederMengenMeŹ.src:441alg2k1_2.tex2.N,RJ-MoSdulnL R-Mo`dn:,Lhkg-VVektorryaumek-VekoSderLk-Mo`dn:,LgGruppenL Grl ,LhabelscrheL Grup-pSenAbڹ,MonoideMonM,krommutativeMonoidecMon$M,RingeRiܹ,KyorperKo+ڹ,topologiscrheRyaumeTopn5. ܍Schreibweise2.3.#xsrc:445alg2k1_2.texf2ˎMorCoJ(A;B)0wirdaucrhalsf:ˎAˏ !B%oSder0Ah fJˏ!xBgescrhriebSen.A꨹heitQuelle,BZielvronfG.De nitionxo2.4.nksrc:449alg2k1_2.texf \:^A !B]heitIsomorphismus,wrenng3:B`d !AinCvexistiertmitfGgË=UR1BN>,gn9fQ=1A.DerMorphismrusgXistdurchf2eindeutigbSestimmt,denngn920Ĺ=URgn920 MorSCY]Ź(A;B)UR3fQ7!MorOC(f;X)2MorOMe&-(Mor5C(B;X);Mor5C(A;X))%src:546alg2k1_2.texmit Mor%Cƹ(f;X)&:Mor#CT(B;X)3g_7!gn9f%2Mor#CT(A;X),9also Mor%Cƹ(f;X)(gn9)&=gfG,%ein35kontrffavarianterFunktorMori2C(;X).MBeweis:=(1)Q src:555alg2k1_2.texMor5C(XJg;1A)(gn9)0 =01AgY=gX=id(gn9);Mor7C#W.(XJg;fG)Mor5CU(X;gn9)(h)0 =0fGgh=%Mor;}CB9(XJg;fGgn9)(h)(2)%src:558alg2k1_2.texanalog.src:560alg2k1_2.texkLDe nition?2.11.*Usrc:563alg2k1_2.texSeienӴFc:URC ]!D) undG :C ]!D) zwreiӳFVunktoren._Einfunktorieller2Mor-phismusoSdereinenat'yurlicheUTrffansformation' :F u!GEisteineFVamilievronMorphismenf'(A)UR:F1(A) !G.(A)jA2C5g,sodafSyurallefQ:URA!BinCݹgilt:QEF1(B)fG.(B)ԁ32fd/pά- Vp)Y'(B)HF1(A)HG.(A)'{fd0Ѝά-P߅'(A)H“Ǡ*FfeLǠ?` F1(fG)HڟǠ*Ffe Ǡ?`G.(fG):src:574alg2k1_2.texistkrommutativ,d.h.G.(fG)'(A)UR='(B)F1(f).Lemma2.12.src:579alg2k1_2.texSeien35Fc=URIdMe:URMe !URMeundez G =URMorOMe&-(Mor5Me#x۹(;A);A)UR:Me !Mesrc:581alg2k1_2.texf'yur35eineMengeA.Dannist'UR:Fc ۼ!GcmitZ'(B)UR:BX3b7!(Mor5Me#x۹(B;A)3fQ7!fG(b)2A)2G.(B)src:584alg2k1_2.texein35funktoriellerMorphismus.LBeweis:+܌src:588alg2k1_2.texSeigË:URBX E!CFgegebSen.DannkrommutiertQFHpBHmMorMe改(Mor5Me#x۹(B;A);A)}{fd*Fά-P'(B)pCMorMe[(Mor5Me#x۹(C5;A);A)}t32fd*Ѝά-'(Cܞ)Hu>Ǡ*Ffeur$Ǡ? jgHrǠ*FfeटǠ?`$Mor!Me (Mor5Me#x۹(gn9;A);A)8src:595alg2k1_2.texdenneʍ '(Cܞ)F1(gn9)(b)(fG)h=?'(Cܞ)gn9(b)(fG)UR=fgn9(b)='(B)(b)(fgn9)h=?['(B)(b)Mor5Me%xٹ(gn9;A)](fG)UR=[Mor5Me#x۹(Mor5Me(g;A);A)'(B)(b)](fG): 荠7o]DarstellbareTF:unktorenL9[o]kDe nitiona2.13.zsrc:603alg2k1_2.texSeifF1(fG)H Rq3URxc 3URy Ǡ*FfeSğǠ? Ў feSğЎ?/Satz32.14.src:612alg2k1_2.texSeien2(A;x)und(B;yn9)2darstellendeObjektef'yurF1.4DannexistiertgenaueinIsomorphismus35fQ:URA !B;mitF1(fG)(x)=yn9. ӍSٍAPB2Y *FfePdY ?q`hbYA2`*FfePd`?ʍkHPB2Ǡ*FfePdǠ? hO@nb_`bf)f) _`@Fufe䟭@?c1A u`1@%@<@@,>RHMZǠ*FfeǠ?` f㍍(2)%src:650alg2k1_2.texSeien:MR,PR NgegebSen.Fc:URAb\k!URMeLo,QF1(A)UR:=Bil.R"(M;N@;A),Pist9einkrovXarianter%FVunktor.r EinqQdarstellendesqPObjektfSyurFbistgegebSendurcrh(M RcN; UR:MN6 !%MX R KN@)tmitderEigenscrhaft,dafSyuralle(A;fMP:QMWtNF5 !A)tgenaueings2%〹Hom>] (M R ;N;A)existiertmitF1(gn9)( )UR=Bil.R"(M;N@;gn9)( )UR=g =fM{ȀMN{M R ;N0{fd Uά-` H`-ftׁ @t @t @t @@>@@>RHAF"Ǡ*FfeyTǠ?  +gSatz|2.16.S src:664alg2k1_2.texFbffesitztcgenaudanneindarstellendesObjekt(A;a),cwenneseinenfunktoriellenIsomorphismus35'UR:FPc԰K=1 Mor&g C+ȹ(A;)gibt(mita='(A)21 \|(1A)). 荠7o]10nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Beweis:+܌src:667alg2k1_2.tex=):DieAbbildungȍad'(B)UR:F1(B)3yË7!fQ2MorOC(A;B)mituDF1(fG)(a)=ysrc:669alg2k1_2.texistbijektivmitderUmkrehrabbildungzŏ n9(B)UR:MorOC(A;B)3fQ7!F1(fG)(a)2F(B):src:671alg2k1_2.texEsistnyamlicrhy7!kf7!F1(fG)(a)=kyfundf7!y:=kF1(fG)(a)7!g:F1(gn9)(a)=y=F(fG)(a).WVegenderEindeutigkreitfolgtf=gn9.Alsosindalle'(B)bijektivmitinverserAbbildung n9(B).jEsngenSyugtmzuzeigen,da einfunktoriellerMorphismrusist.jSeidazug:mB ^&!CgegebSen.DannkrommutiertRSsMorPpC/(A;Cܞ)&F1(Cܞ)432fdBѐά- Vp n9(Cܞ)HMor.Cp(A;B)H&F1(B)D{fdBpά-P; n9(B)HvrǠ*FfeǠ?`ݹMorDڟC(A;gn9)H4Ǡ*Ffe5$Ǡ?`9ʤF1(gn9)Ghsrc:673alg2k1_2.texdennresrgilt n9(Cܞ)Mor5C(A;g)(fG)=/==0 (C)(gfG)=/=F1(gn9f)(a)=F1(gn9)F(f)(a)=/=F1(gn9) (B)(f):=):FSeiFAgegebSen.HSetzea:='(A)21 \|(1A).SeiFy2F1(B).HDannistFy̹='(B)21 \|(fG)='(B)21 \|(fG1A)8=8'(B)21 \zMor"wC(6(A;f)(1A)8=8F1(f)'(A)21 \|(1A)8=8F1(f)(a) fSyur!eineindeutigbSestimmrtesfQ2URMorOC(A;B).9hSatz˸2.17.!src:679alg2k1_2.texSeienozujeffdemoX2DeindarstellbareroFunktorFX :Cx !Me,eundozujeffdemg:bX >!cYein\HfunktoriellerMorphismusFgva:FY Gx!FX y(kontrffavariant!)\rgegeben,\SsodaFvonpXfunktorielloabhyangt:F1X.X=31FX.X ;Fhg=FgFhe.DannhyangenpdiedarstellendenObjekte(AX;aX)f'yurFX ֞funktoriellvonXab:|zujeffdemgs:M:X> !YUgibtesgenaueinenHomomorphismuscAg:AX ("!AY (mitFX(Ag)(aX)=Fg(AYP)(aY)),dundcesgeltenA1X.Xh=1AX.X ;Ahg A=URAheAg.Beweis:+܌src:692alg2k1_2.texWirvwyahlenvfSyurjedesXF2URC*.(pSerAuswrahlaxiom)eindarstellendesObjekt(AX;aX)fSyurFX 1aus.DanngibtesfSyurgË:URXF .!YgenaueinenMorphismrusAg*P:URAX r4!AY ;emitȍFX(Ag)(aX)UR=Fg(AYP)(aY)UR2FX(AYP);src:696alg2k1_2.texwreil)Fg(AYP)ty:FY(AY) !FX(AY))gegebSen*ist.EsistFX(A1)(aX)ty=F1(AX)(aX)ty=aX u=XgFX(1)(aX),alsoA1 j=1,undFX(Ahg )(aX)=Fhg (AZ8)(aZ)Xf=Fg(AZ)Fhe(AZ)(aZ)=Fg(AZ8)FYP(Ahe)(aY)lo=lnFX(Ah)Fg(AY)(aY)lo=lnFX(Ah)FX(Ag)(aX)lo=FX(AhAg)(aX),%YalsoAheAg*P=URAhg fSyurgË:XF .!Yundh:Y G!ZFinDUV.­Folgerung2.18.(1)\dsrc:708alg2k1_2.texAbb(XJg;M@)PV԰>=Hom+R2 (RJX;M@)funktoriellinM(x(undX!).Insbffe-%sonderffe35istMe3URXF7!RJX2RJ-LMo`d#ein35Funktor.(2)%src:711alg2k1_2.texBil5Rȹ(M;N@;A)P4԰M=Hom08f(Mx R *N;A)JfunktoriellinAJ(und(M;N@)42Mo`d"-&2RP%RJ-LMo`d).Insbffesondere/istMo`d/i-#bRƑHRJ-LMo`d# 3URM;N67!M+ r?N2AbHein/Funktor.(3)%src:715alg2k1_2.texRJ-LMo`d-#S]S- Mo`d TF-${T3UR(M;N@)7!M SȊN62RJ-LMo`d-Tist35einFunktor.Lemma2.19.src:721alg2k1_2.texSei35IR HURRR &einIdeffalundRMteinRJ-Moffdul.Dannistȍ'M=IMP6԰=@RJ=I+ R ;Msrc:724alg2k1_2.texfunktoriell35inM@.Beweis:+܌src:728alg2k1_2.texWirYgebSendieXzueinanderinrversenYAbbildungenandurcrhdz GKm!7!URӥz ,[1  ۺmunddzKr , mUR7!dz.KrSm..@Wir>FyubSerlassendasNacrhpryufenderWVohlde niertheit,derIsomorphieeigenscrhaftunddieFVunktorialityatdemLeseralsbpxUbung.Y |荠7o]DarstellbareTF:unktoren11[o]Lemmaư2.20.usrc:737alg2k1_2.texSeienR MS;@R NT @ Bimoffduln.DannistS չHom$6^R+)(:MS;:NT)TeinBimoffduldurch(sfGt)(m)UR:=f(ms)tZBeweis:+܌src:741alg2k1_2.textrivialbisauf$((ss 09)fG(tt 0))(m)UR=f(m(ss 09))(tt 0)UR=(f((ms)s 09)t)t 0#=(s 0fGt)(ms)t 0#=(s(s 0fGt)t 0)(m):kFolgerung2.21.(1)\dsrc:747alg2k1_2.texRMS KBimoffduli=)dS Hom$yR+ (:MS;-33)d:RJ-LMo`d$+t"!S- Mo`d%istko-%varianter35Funktor.(2)%src:750alg2k1_2.texRMS ]Bimoffdul|=))HomkR%(-35;:MS)S GŹ:)RJ-LMo`d%-9!Mo`d!-%QSmRistein{kontrffavarianter%Funktor.(3)%src:753alg2k1_2.texRMS Bimoffdul׹=)URS s2Hom#컟R*N(:MS;:-35T L)T i:URRJ-LMo`d-#T Lq!S- Mo`d TF-${Tisteinkovarianter%Funktor.Ohne35Beweis.Ksrc:759alg2k1_2.tex\Satz2.22.src:762alg2k1_2.texSeien35R &MS,35S QNT,35RPU MwBimoffduln.35DannistX'"T`7HomyAR5S(:M SȊNT;:PUB)PUR԰n:=THom1S78{(:HomyR!m(:MS;:PU)U)UXsrc:765alg2k1_2.texmitt{f@7!Vєe*Bf/cundVe*f "(n)(m)B=AfG(m n)einintzM@,tN,tPAfunktoriellert{IsomorphismusvonT-U@-Bimoffduln.src:769alg2k1_2.texSymmetrisch35giltf'yurU MwPTE#UN=UHomfޟTmW(RM SȊN:;U @PS:)RP H԰ a͹=U ιHom8WS>9(RM:;U >Hom#ǟT*4޹(SN:;U @PS:):)R:Beweis:+܌src:773alg2k1_2.tex1.{Myoglicrhkeit:yManwzeigt,xdaHom}R%(:MW S VN;:Pƹ)PO԰7=S׹-}BilvRjE(:M;N@;:Pƹ)wundS׹-}BilvRjE(:M;N@;:Pƹ)Pm԰U=1Hom+5S1S(:N;:HomyR!m(:MS;:Pƹ))YfunktoriellXinM;N;PZgiltYundXprSyuftdieTƹ-U@-Linearityat.src:779alg2k1_2.tex2.Myoglicrhkeit:Manzeigt,da2ඟT;˹HomSTRZ(:M SȊNT;:PUB)U o3URfQ7!V~e*f K2T gHom$oS*ҹ(:NT;:HomyR!m(:MS;PUB)U)UXsrc:784alg2k1_2.texmitVe*f O(n)(m)UR=fG(m n)diegewSyunscrhtenEigenschaftenhat.esrc:787alg2k1_2.texBewreisalsbpxUbung.nv$Satz2.23.src:791alg2k1_2.texSei(RJXJg;)einfrffeierR-Moffdul,ݟS ֿMR PeinBimodul.xDannlyatsichjeffdesElementuUR2M R ;RJX$eindeutig35darstellenalsuUR=Px2X$mx (x).Beweis:+܌src:798alg2k1_2.texRJXI3Xm k=XlPx2X$7rxH(x){istdasallgemeinezElemenrtvonRJX.}AlsogiltuXl=Pmi R ic=Pimi TӟP~rx;i 5(x)=PjiBP#x+midrx;i  T(x)=PjxQ(P imirx;i 5)T (x).ZumBewreisderEindeutigkreits~seiP+yI{2X&comy+ (yn9)=0.uSeis~x2Xeundfx ::RJX|8!PDde niertdurcrhCfxH((yn9))$=xy :=)(1M R Wfx)(Pmya c(yn9))=PSmy cfxH((yn9))=mx 1=0fSyurallexUR2X.SeiwreiterGzx{MR{XM R ;R]{fd `ά-` H Vmrulttׁ @t @t @t @@>@@>RH)MF"Ǡ*FfeyTǠ?  +Usrc:811alg2k1_2.texgegebSen.3=)UR(mx K31)=mxK21=mx9=0=)Eindeutigkreit.3px4Ubung:Manzeige,daeinIsomorphismrusist.l5Folgerung&\2.24.bsrc:817alg2k1_2.texSeien^S |MR,^R RN(Bi-)Moffduln.`~Sei^Mfreier^S-Modulfٞy^uberYp,^NfreierRJ-Moffdul;\y35uberX.DannistM R ;NtfreierS.Modul;\yuberYGX. 荠7o]12nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Beweis:+܌src:823alg2k1_2.texWirbSetracrhtendasDiagrammsrc:825alg2k1_2.texL󍍍Y}[|YGXY5MN{fdJpά-0ʍqY eX{󎎍{󍍒%dS+M R ;N {fdGά-`P H3379S=WhU`fiuPi+PiׁPitPi+PiPisPi+PiPirP i+PiP=<P=<qH 4Lg g|ׁ @g| @ g| @*g| @,>@,>RH>*Ǡ*Ffe>\Ǡ? ChOsrc:835alg2k1_2.texSeilfJkgegebSen.Wirde nierenfyurallemx}2}Xeingn9(-;x)2HomOS"1(:M;:U@)ldurcrhdaskommu-tativreDiagrammM#G{WY{󍍒SMጟ{fd%ά-6YH`9fG(-;x)ጟׁ @ጟ @ጟ @ጟ @( >@( >RH33󳖟SxU-:Ǡ*Ffe`lǠ?`gn9(-;x)Osrc:838alg2k1_2.texWVeitersei(eg N2URHom۟R"n(:N;:HomyS i(:MR;:U@))de niertdurcrhRY{CX{󍍒셟Ry2Nk{fd%ά-6}xH`egn9(-;-)Tׁ @T @T @T @ԟ>@ԟ>RHPRDHom S(:MR;:U@)!Ǡ*FfeT4Ǡ? 4eghsrc:842alg2k1_2.texmitx*7!)gn9(-;x).Danngiltg(m;n)*:=e)g (n)(m)=:)h(m n),ǁdenng5@istadditivinmundLinn,LwreilesRegist,LundgƹistRJ-bilinear,wreilgn9(mr;n)=2eg B(n)(mrS)=(rYegb(n))(m)=eg(rSn)(m)=gn9(m;rn).O enrbarHistgn9(y;x)=fG(yn9;x),RalsoHistGh Y X =fG.WVeiteristh(sm n)UR=Zeg c(n)(sm)=s(eg(n)(m))=sh(m n),alsoisthUR2S׹-Mo`dn:.src:852alg2k1_2.texSeikko2URS׹-Mo`dپmitk YX r۹=URfG,ksokistk (-;x)UR=gn9(-;x),kwreilkk kim1.lFArgumentS׹-linearist.Damitistk (m;n)UR=Zeg c(n)(m)=h(m n),alsohUR=kg.dtP(toQӹ3.~UWProjektiveModulnundGenera32torenDe nition3.1.(1)~Gsrc:8alg2k3_4.texSei(Midjip2pI)eineFVamilievronObjektenineinerKategorieC5.Ein%ObjektΟQH#MiWzusammenmiteinerFVamilie(pj::c0QMi c!c0Mjf jj2I)heit(dirffektes)%PrffoduktderMidڹ,wrennzujedemObjektAUR2CYundzujederFVamilievronMorphismen%(fj\:URA !Mjf jj%2I)genaueinMorphismrusfQ:URA!QMiOexistiert,sodaM䝍Ҁ†QMiҀgMj32fdά-{SpjH!6$fjׁ @ @ @ @>@>RbY+/A_rǠ*FfeВǠ?`}fL%src:17alg2k3_4.texfSyurallej%2URI+krommutieren.(2)%src:18alg2k3_4.tex*"gDerdualeBegri heitKoproSdukt-l\Ҕ:ISei(Midji2I)eineFVamilievronObjektenin%C5.ZEinObjekt`74MiFzusammenmiteinerFVamilie(j `&:Mj!`OpMidjj2I)heit%Koprffodukt(direkteSumme)derMidڹ,rwrennzujedemObjektA 2CB@n>RH?At*Ǡ*Ffe\Ǡ?` YfƄ%src:27alg2k3_4.texfSyurallej%2URI+krommutieren.wLemma3.2.src:32alg2k3_4.texPrffodukte35undKoprffodukte35sindbisaufIsomorphieeindeutig.Beweis:+܌src:35alg2k3_4.texanalogzu1.5.YhxSatz3.3.src:38alg2k3_4.tex(Recrhenregeln}inProSdukteninRJ-Mo`dn:)CSei(Q UUMid;(pjf ))einPrffoduktCderFamilievonMoffduln(Midڹ)i2I ^.TSei(ai2L4Miji2I)eineFamilievonElementen.TDanngibtesgenaueinga2Q (Mid,gsodagpi(a)=ai̶f'yurallei2I.h.Ist(bi2Midji2I)eineweiterffegFamiliemitb2QdMi4und[pidڹ(b)=bi,tsoZist[aֹ+bdasjenigeElementausQMid,tdaspi(aֹ+b)=aiY+bif'yur35alleiUR2I$erf'yullt.src:49alg2k3_4.texZu35jeffdemaUR2QMigibt35esgenaueineFamilie(aidjiUR2I)35mitpi(a)UR=ai:wBeweis:+܌src:54alg2k3_4.texSei-(aidji|2|I).gegebSen.7Bilde'iᆹ:f1g| !Mimit-'idڹ(1)=|aifSyurallei2|I.8Seiengi,2URHom۟R"n(RJ;Midڹ),sodadieDiagrammeL(H;f1gH]Rמd{fd&H`ά-H (4'id$ׁ @d$ @d$ @d$ @󪤟>@󪤟>RH33MiҟǠ*FfeǠ?  gi(]src:59alg2k3_4.texkrommuntieren.DanngibtesgenaueingË:URRn !QMiOmitJҀ†QMiҀgMj32fdά-{SpjH36$gjׁ @ @ @ @>@>RbY :R_rǠ*FfeВǠ? єgxsrc:62alg2k3_4.texfSyurւalleցiUR2I.(DerHomomorphismrusւgDistvollstyandigւundeindeutigbSestimmrtdurchւgn9(1)UR=:aunddaskrommutativeDiagramm=f1gRXܟIJfd&H`ά-8@HaQMi @@@@e@eRltMj0'jlAlAlAlAlAlAlAlAlAlALPALPUHjJ`*Ffe|`?WˍlgHjJǠ*Ffe|Ǡ?3Epjՠܟ@\@\Rՠʟ胀Fufe胀?0|gj`,耎\ܟܟ ȍsrc:75alg2k3_4.texwrobSeipjf (a)UR='j(1)=aj.src:77alg2k3_4.texDaNadurcrhpjf (a)=aj)eindeutigbSestimmtist,N9giltpjf (a`+ab)=pj(a)+apj(b)=aiS;+bjf .NDieletzteAussageistklar.WbL 荠7o]14nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Bemerkung3.4.src:83alg2k3_4.texDiese Konstruktion istimmerdanndurcrhfSyuhrbar,wenn eseinfreiesOb-jektRWyubSerf1ginCݹgibt,d.h.wrenneseinenVVergifunktorV¹:URC ]!Me7gibtundwennKHff1gHRɜ{fd&H`ά-H`׏\ׁ @\ @\ @\ @ܟ>@ܟ>RHDX Ǡ*Ffe <Ǡ?#src:88alg2k3_4.texeineL`univrerselleLyosunghat,Lyd.h.LwennderFVunktorAbb)y(f1g;Vp(x))P԰=LV(x)L`darstellbarist.InsbSesondereggibteseinegBijektionzwiscrhendenFVamilienvonElementenai2*Vp(Midڹ)unddenElemenrtenVp(Q UUMidڹ).GSatz3.5.zvsrc:95alg2k3_4.tex(RecrhenregelnzfSyuryKoproSdukteinRJ-Mo`dn:)DieA2bbildungenj S:Mj S!`BMisindWXinjektiveHomomorphismen.WZujeffdemWYElementa=2>`Mi2gibtesendlichvieleai2=Mimit35aUR=P*n U_i=1 ASidڹ(ai).Dieai,2URMisinddurffchaeindeutigbestimmt.Beweis:+܌src:104alg2k3_4.texBildefi,:URMi!MjPdurcrh{fi,=URqʍUSid;(ciUR=jUS0;(csonstS$=)YS@dMi@``Mj6{fdά-6ZiH`Mfiѡ4ׁ @ۡ4 @4 @4 @紟>@紟>RHl> MjǠ*Ffe Ǡ?`Ҕfƍsrc:110alg2k3_4.texde nierteineneindeutigbSestimmrtenHomomorphismusfG.mFSyuriV=j.YgiltdannfGi=id M8:i,alsoistiOinjektiv.]ݍsrc:114alg2k3_4.texBildew4fM:=URPjf (Mj)UR`MjP=)O^@4Mi@w0`̅Mjd{fdά-6>ZiHV7`Mjf =wJfM=Հh0ׁͅ @ׅ @ @ @˄>@˄>RHǠ*Ffe$ğǠ?=H0HҟǠ*FfeǠ?9 -=).e=/0=)wx:f.M=/`Mjf :Seia/=/PHj(aj).1Bilde.fvwieobSen.Dann.giltfG(a)/=fG(Pjf (aj))UR=Pfjf (aj)UR=Pfjf (aj)UR=aidڹ,alsosinddieaiOdurcrhaeindeutigbSestimmt. Lemma3.6.src:130alg2k3_4.texIn35derKateffgorieMe]derMengenexistierenProdukteundKoprodukte.Beweis:+܌src:135alg2k3_4.texManGde niereHQ;Mifv:=f +:I Hx![i2I ^Midj8jp2I : (jӹ)2Mjf gHundpj g:QVMi!nMjf ,pj( )UR= (jӹ).Dannvreri ziertmanleichtdieProSdukteigenschaft.'<src:140alg2k3_4.texMande niere`elMi:=*D_Z S i2IMit(disjunkteVVereinigung)undj: MjPl!*D_ZS Mimitjf (mj) =mjf .{D(񍍑VpxUbung@3.1.src:146alg2k3_4.texDiesesbildeteinKoproSduktinMeŹ.Satz3.7.(1)]src:151alg2k3_4.texSei(MidjiUR2I)ineinerKateffgorieC6gegeben.WenndasProdukt(Q UUMid;(pj\:%〟Q38Mi9_!ԅMjf ))$existiert,Ydann#istF:ԆC !Meˢ;F1(N@):=Q)ܟi2IMor4C:,m(N;Midڹ)$einR%kontrffavarianterdarstellbarerFunktorund(Q UUMid;(pj ȹ:Q Min!Mjf ))isteindar-%stellendes35Objektf'yurF1. Ġ荠7o]Projektiv9eTMoAdulnundGeneratoren15[o](2)%src:158alg2k3_4.texSei*(MidjiUR2I)*ineinerKateffgorieC%gegeben.,Wenn*dasKoprodukt*(` UUMid;(j\:URMj!%〟`38Midڹ))existiert,dannistFc:URC ]!MeLo,F1(N@):=Qi2I ~Mor3?{C8:(Mi;N@)einkovarianterR%darstellbffarerFunktorund(` UUMid;(j 6:ІMj 6!`%Mi))eindarstellendesObjektf'yur%F1.ՍBeweis:+܌src:169alg2k3_4.tex1.j8A;(fj :A D!Mjf )2F1(A)(91f:A C!Q@Mi!8jf2In:pjf f=fj.jDa((fj)2F1(A)=Q9iWMor*C/͹(A;Midڹ),Kgibtesgenaueinf:A ;!Q7MimitF1(fG)(x)=F(fG)((pjf ))=(Q UUMor"RC'(f;Mjf )(pj))UR=(pjf fG)=(fj)=yn9.src:176alg2k3_4.tex2.8A;(fj \p:fMj \q!A)g2F1(A) ~91f>f:`KMj \q!A ~8j:2I:fGj \p=gfjf .Da(fj)f2F1(A)=QGiyMor*C0۹(Mid;A),Rgibtesgenaueinf:`EMi#y#!AmitF1(fG)(x)=F(f)((jf ))=(Q UUMor"RC'(Mjf ;fG))(j)UR=(fjf )=yn9.(֍Satz3.8.(1)]src:186alg2k3_4.texIn35RJ-Mo`doexistierffen(direkte)Produkte.(2)%src:187alg2k3_4.texIn35RJ-Mo`doexistierffenKoprodukteoderdirekteSummen.Beweis:+܌src:192alg2k3_4.tex1.px Aquivalentsinddiefolgen-den35A2ussagen:(1(1)%src:227alg2k3_4.tex(M;(i,:URMi!M@))35isteinKoprffodukt35inRJ-Mo`dn:.(2)%src:229alg2k3_4.texM6=URPi2I^Miund35(Pmi,=UR0=)8i2IFչ:mi,=0).R(3)%src:231alg2k3_4.texM6=URPi2I^Miund35(Pmi,=URPm20RAi=)8iUR2IFչ:mi,=m20RAidڹ).(4)%src:233alg2k3_4.texM6=URPi2I^Miund358iUR2IFչ:Mi\PUUjv6=i;j2I/y*Mj\=0.2gDe nitionH3.10.=src:239alg2k3_4.texIst~einederyaquivXalenrtenBedingungenausSatz3.9erfSyullt,soheitMinnerffe35direkteSumme꨹derMidڹ,undwirscrhreibSenM6=URi2I ^Mi.Beweis35desSatzes3.9:w src:245alg2k3_4.tex1:UR=)2::WirbSetracrhtendasDiagramm]*Ǵ׍LMjǴ׍_MВ{fd%ά-jHC*M=PMi=bX0fׁ @f @f @f @t>@t>RHӂǠ*FfeǠ?=t80HŸǠ*FfeǠ?9 wtР荠7o]16nAlgebraTIAI{P9areigis[o]src:252alg2k3_4.texundscrhlieen=UR0undM6=PMidڹ.WVennPSmi,=0,dannvrerwendenwirdasDiagrammNkjǴ׍MjǴ׍ M {fd%ά-rjH!zjvkTׁ @T @T @T @#ԟ>@#ԟ>RH33hMk)Ǡ*Ffe\4Ǡ?  pk src:255alg2k3_4.texunderhalten0UR=pk#(0)=pk(Pmjf )=Pjfpkjf (mj)UR=Pjfjvk (mjf )=mk.csrc:258alg2k3_4.tex2:UR=)3::trivial.src:260alg2k3_4.tex3:UR=)4::Seimi,=URPjv6=iYmjf .Dannfolgtmi=UR0undmj\=0fSyurallej%6=i:Csrc:263alg2k3_4.tex4:UR=)2::WVennPSmj\=UR0,dannistmi,=Pjv6=iYmj\=02Mi\PUUjv6=i@ȴ>RHINǠ*FfeǠ?` fesrc:269alg2k3_4.texdurcrhfG(Pmidڹ):=͟Pbxfi(mi).+Dannistfeinwrohlde nierterHomomorphismusundesgiltfGjf (mj)=fjf (mj)=f(mjf ). {ScrhlielichistfeeindeutigbSestimmrtwegengn9j x=fj %=)gn9(Pmidڹ)UR=Pg(midڹ)=Pgidڹ(mi)UR=Pfidڹ(mi)UR=fG(Pmidڹ)=)fQ=g.mժcnSatzuw3.11.msrc:278alg2k3_4.texSei(` UUMid;(j ':Mj|Z!`Ni6=jMi))einKoprffoduktinRJ-Mo`dn:.Dannist`LMi>innerffe35direkteSummederjf (Mj).Beweis:+܌src:284alg2k3_4.texjPinjektiv=)MjP\԰D=fjf (Mj)=)Jꍍ@xMjP\԰D=fjf (Mj)@`Mi {fd"`ά-H`ҁ Hīׁ HΫ܁ Hث H H H H H8džH8džjH`*ܟׁ @*ܟ @*ܟ @ *ܟ @ q\>@ q\>RHTNvǠ*FfeǠ?esrc:292alg2k3_4.texde nierteinKoproSdukt.Nacrh3.9liegtdanneineinneredirekteSummevor.C"cmDe nition3.12..src:297alg2k3_4.texEinFUnrtermoSdulM2NeheitdirffekterSummandvonN@,FwenneseinenUnrtermoSdulM@20doURN+gibt,sodaN6=MM@20ŹinneredirekteSummeist.Satz3.13.src:303alg2k3_4.texF'yur35einenUntermoffdulM6URNtsindyaquivalent:s2(1)%src:305alg2k3_4.texMtist35eindirffekterSummandvonN@.(2)%src:306alg2k3_4.texEs35gibteinpUR2Hom۟R"n(:N;:M@)35miteŹ(MʶNl32fd% ά-ߍ"M@)=idS+M: 32fd*Ѝά-m{Fpf6(3)%src:311alg2k3_4.texEs35gibteinfQ2URHom۟R"n(:N;:N@)mitfG22 ]U=URf{4undfG(N)UR=M:Beweis:+܌src:317alg2k3_4.tex1:O\=)O[2::[SeienM1 `:=M?undM2 `O\NmitN?=O\M1}xM2. Wirde nierenpUR=p1V:N6 !M1durcrhG5t{RMi{qNԁ{fd'Ѝά-6:"iH!Hij\ׁ @\ @\ @\ @2ܟ>@2ܟ>RHl4Mj8 Ǡ*Ffek<Ǡ?3 pjsrc:321alg2k3_4.texwrobSeiij 6=UR0fyuriUR6=j{undij 6=id M8:i޹fyuri=jӹ.Dannistp11V=11 UZ=id M.8荠7o]Projektiv9eTMoAdulnundGeneratoren17[o]src:325alg2k3_4.tex2:q3=)3::'FSyurf2:=q4pq3:Np!Nhgilt'fG22 y6=pp=p=foչwregen'p=id;.)WVeiteristfG(N@)UR=p(N)=M,dapsurjektivist.src:330alg2k3_4.tex3:=)1::AdSeiM@20=KeDK(fG).AAusn=f(n)+(nfG(n))Adundf(n)2MHundf(nf(n))=fG(n)ff22(n)UR=0gSfolgtgRnfgf(n)2M@20,gtalsogRMJ+fM@20do=N@.hSeigSn2M\fM@20.hDanngSistgRfG(n)=0undnUR=fG(n209)fSyureinn20#2N@,alsoist0=fG(n)=f22(n209)=f(n209)=n.h@De nition3.14.bsrc:339alg2k3_4.texP2URRJ-Mo`d#heitiprffojektiv,j wrennizujedemEpimorphismrusfQ:URM6 !NundzujedemHomomorphismrusgË:URP Lq!NBseinHomomorphismushUR:P Lq!MBssoexistiert,dadasDiagrammG n_MIN 32fd()`ά- `fH ښ hȴׁ ȴ ȴ ȴ ӂ4>ӂ4> bYfPǠ*FfeǠ?  g src:344alg2k3_4.texkrommuntiert.Beispiel3.15.src:348alg2k3_4.texAlleVVektorryaumeinKܞ-Mo`d!4sindprojektiv.ɞZ=nZinZ-Mo`distnicrhtprojektiv.Lemma]3.16.bsrc:354alg2k3_4.texSeiP?=i2I ^Pid.Peistgenaudannprffojektiv,wennallePid,i2I"prffojektivsind.Beweis:+܌src:359alg2k3_4.texSeiPnprojektiv.IndemfolgendenDiagrammseienfG,gn9,pidڹ,iOgegebSenQӍ{ $Pi{Pq{fd)0ά-6ti{󎎍{wPiV{fd)0ά-;zXpiMNl32fd()`ά-]fH褍I>hi\ׁ @\ @ɽ\ @ӽ\ @ܟ>@ܟ>RH Ǡ*Ffe<<Ǡ? hH"JǠ*Ffe"|Ǡ? 'gsrc:369alg2k3_4.texDafBeinEpimorphismrusist,existierthp:pP\ g!M;mitfGh=gn9pi_=)gϹ=pgpidip=pfGhi,alsoistPiOprojektiv.src:373alg2k3_4.texSeienallePiOprojektiv.SeifG,gn9,iindemDiagrammQ{DPi{Pܟ{fd)0ά-6iCMNRL32fd()`ά-]ݨfH_Ǡ*FfeϓǠ?褍8hiH *Ǡ*Ffe J\Ǡ? gH Rhׁ    |>|> src:382alg2k3_4.texgegebSenundseifsurjektiv.8DanngibteshiH:mPii!M@,3in2ImitfGhi=gn9idڹ.7DaPWŹdasKoproSduktderPivist,)gibtes(genau)ein h~:P:E !MSmithiY=hivfyurallei2I.\DannistfGhi,=URfhi=URgn9iOfSyurallei2I,alsofGh=gn9.DamitistPnprojektiv.vESatz3.17.src:391alg2k3_4.texSei35P2URRJ-Mo`dn:.3pxAquivalentsind􎍍(1)%src:393alg2k3_4.texPist35prffojektiv.(2)%src:394alg2k3_4.texJeffderܷEpimorphismusf7:7M %t!8P~}zerfyallt,d.h.ݻzujedemܸModulMundzujedem%Epimorphismusf : MkH!P.pgibteseinenHomomorphismusgCD:Pv)! M͎mit%fGgË=URid P1.(3)%src:398alg2k3_4.texPist35isomorphzueinemdirffektenSummandeneinesfreienModulsRJXJg:M荠7o]18nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Beweis:+܌src:404alg2k3_4.tex1:UR=)2::AusdemDiagrammK⚍MPђ,32fd(ά- wfH ,gQܟׁ Qܟ Qܟ Qܟ \> \> bYPW Ǡ*Ffe<Ǡ?׍<1P src:406alg2k3_4.texfolgtdieExistenzvrongXmitfGgË=UR1P̹.src:408alg2k3_4.tex2:UR=)3::&Sei:P Lq!RJP.freierMoSdulmyuber(derMenge)Pƹ.nDanngibteseinenHomomor-phismrusfQ:URRJP Lq!Pƹ,sodaJEbYUPbYRJP l{fd& @ά- H׍1P(|ׁ @(| @(| @(| @n>@n>RH Pt*Ǡ*Ffe\Ǡ?` Yfdsrc:412alg2k3_4.texkrommutiert.?O enbaristfsurjektiv.Nacrh2.gibteseinenHomomorphismrusgË:URP Lq!RJPmitfGgË=UR1P̹.WVegen3.13istPneindirekterSummandvronRJP(bisaufIsomorphie).src:417alg2k3_4.tex3:UR=)1::|SeifQ:URM6 !Nùsurjektiv.}Sei|:XF .!RJXnbeinfreierMoSdulundseigË:RJXF .!N;einHomomorphismrus.pIndemfolgendenDiagrammseiko=URgn9:XF .!N@.WVeilfCsurjektivist,IgibtHesHeineAbbildunghڹ:X] $pryufen>#wreiter,>{dadbweinBimodulhomomorphismrusist.@-Esistdb(epH H fG)(qn9)=e(p)f(q)=e(pf(q))=edb.(pH fG)(q)unddb(p fGe)(q)=pfe(q)=db 0(p fG)e(qn9).`荠7o]Projektiv9eTMoAdulnundGeneratoren19[o]Lemma3.19.src:463alg2k3_4.texDie35folgendenDiagrffammesindkommutativR133?,R R ;PƟ233PƟ2o3,32fdQC@ά-gۍK{-1[PƟ2 r E 0PLn R ;PƟ2{P7PƟ2 r E 0EH̟{fd/Pά-51 dbHUHJǠ*FfeU{|Ǡ?=3zevA 1HʶʟǠ*FfeǠ? Ϝ|33 iE^ E 0P33^P6̞32fdUά-gۍ^4{\ PLn R ;PƟ2 r E 0P{PLn R ;RH,{fd4ά- R¹1 evHǠ*FfeF,Ǡ?O P+db ^Y 1HzǠ*FfeǠ? g,Beweis:+܌src:473alg2k3_4.texDerQBewreisQistdasAssoziativgesetz:R(1 dbM)(f p gn9)(q)w=x(f pg)(q)=fG(pgn9)(q)UR=f(pgn9(q))UR=f(p)gn9(q)UR=(f(p)q gn9)(q)UR=(ev / 1)(f qpq gn9)(q)QjundQi(db. 1)(pq f qn9)UR=(pf qn9)=pfG(q)=(p fG(q))UR=(1 ev@)(p f q).xߍSatz3.20.src:482alg2k3_4.tex(Dual-Basis-Lemma)35SeiPR &einRJ-Moffdul.3pxAquivalentsind:(1)%src:485alg2k3_4.texPist35endlicherzeugtundprffojektiv(2)%src:486alg2k3_4.tex(DualeqBasis:)Es`gibtaf1;:::ʜ;fn 1Y2 HomR#%(PS:;RJ:) = PƟ2 ;*undp1;:::ʜ;pn 1Y2 P,ًsoda%f'yur35allepUR2Pgilt pUR=Xpidfi(p):%鍍(3)%src:490alg2k3_4.texDer35Dual-Basis-Homomorphismus~괹dbN6:URPLn R ;PƟ   u!Hom۟R"n(PS:;P:)}%src:492alg2k3_4.texist35einIsomorphismus.WzBeweis:+܌src:497alg2k3_4.tex1:]=)\2::~SeiP erzeugtvronfp1;:::ʜ;pnPg.OSeiRJXpefreierR-Recrhts-MoSdulpy~uberXFչ=URfx1;:::ʜ;xnPg.Seieni,:RJXF .!RdieProjektioneninduziertdurcrhNbYyXbYbRJXѡ4{fd$pά- WHSOӾi ׁ @ @ @ @Qd>@Qd>RHZRVǠ*FfeğǠ?SO1 db؟W0#OPƟ20o)=1P.:0 Ó:d32fdPά-Mùevh 1lBeweis:+܌src:560alg2k3_4.tex(=:Zuev2 HomR#((PƟ20 R PS;RJ)P ԰=kpHom*R1،(PƟ20o;HomyR!m(P;RJ))gibtes :PƟ20 Pd!PƟ2mit¿(fG)(p)!="ev[S(f =p)=fp¿fSyurf !2!PƟ20o. SeidbW0((1)"=Popi =fidڹ. Dannistp="1P̹(p)=(1u R ev{:)(db 0W0g R1)(p)UR=(1 R ev{:)(PpiVO vfi p)UR=Ppidfip.Nacrh3.20istP1ùendlicherzeugtprojektiv.src:569alg2k3_4.tex=):MansetzePƟ20 4:=5PƟ2 aund(ev+f:PƟ20 R 0P6 T!RJ)=(ev+g:PƟ2 f RP6 T!RJ).WVeiterseidb 0W0i(1)UR=Ppi0 9Ufidie5Dual-Basis5vronPƹ.6Danngilt(19U R,ev)(db 0W0g R1)(p)UR=(19V R,ev)(Ppi0 fi p)UR=Ppidfi(p)UR=p.WVeiteristPfG(pidڹ)fi(p)UR=f(Ppidfi(p))UR=f(p),alsoPf(pidڹ)fi,=f.Darausfolgt(ev / R1)(1 R ;dbkW0z)(fG)UR=(ev R1)(Pf pi fidڹ)UR=PfG(pi)fi,=fG.0\;De nitionbD3.22.dsrc:582alg2k3_4.texGR 2Mo`dn:-RheiteinGenerffator,wrenneszujedemHomomorphismrusfQ:URM6 !N+mitf6=0einenHomomorphismrusgË:URG !M+gibtmitfGg6=UR0.@?>RH(wM DǠ*Ffe wǠ? *lhyOsrc:606alg2k3_4.texgenauGeinenGHomomorphismrushmithf =fɹfSyurallef2I.ISeiNy=Bi=>(h).IBetracrhte_#:\MA 3!M=XN@.;B N,B 8QAundKܞ-BimoSdul-Homomorphismen^iBfQ:URA 36PLn B QA!URAAA; gË:URB Q A PB!URBBBN>;src:680alg2k3_4.texsodagelten:?(1)%src:682alg2k3_4.texqn9fG(p q20;:AA)Ag}fG(p qn9)UR:=(p)q(p209)[gn9(q p)]UR:=(p20)qn9p:Beweis:+܌src:706alg2k3_4.texwiein3.19.eόDe nition4.7.2src:710alg2k3_4.texEineMKܞ-VpxAquivalenzvronK-KategorienMCundDisteinPraarvonKܞ-FVunk-torenFc:URC ]!DUV,G :C ]!D?mitIdDPS԰l=%CF1GֹundIdCPq԰޹=$G.F.čSatz+4.8..src:716alg2k3_4.tex(MoritaF1I)BSeiW(A;B;PS;Q;f;gn9)XeinMorita-Kontext.SeienfWundgEpimorphis-men.35Danngelten?(1)%src:720alg2k3_4.texPist35einendlicherzeugterprffojektiverGeneratorinA-Mo`doundinMo`d-B.%Q35isteinendlicherzeugterprffojektiverGeneratorinMo`do-AundinB-Mo`dn:.(2)%src:724alg2k3_4.texf{4und35gnsindIsomorphismen.(3)%src:725alg2k3_4.texQPUR԰n:=Hom(yA/Wh(:PS;:A)PUR԰n:=Hom(yB/¹(P:;B:)%PP԰=Hom*JB1i(:Q;:B)PUR԰n:=Hom(yA/Wh(Q:;A:)%als35Bimoffduln.(4)%src:728alg2k3_4.texAPUR԰n:=Hom(yB/¹(:Q;:Q)PUR԰n:=Hom(yB(PS:;P:)%BPX԰ @=Hom)A/n(:PS;:Pƹ)PUR԰n:=Hom(yA/Wh(Q:;Q:)%als35Kܞ-A2lgebrffenundalsBimoduln.(5)%src:731alg2k3_4.texPj B _-:URB-Mo`d;&K!A-Mo`d;undͷQ! A-/:A-Mo`d&K!B-Mo`dsindͷzueinander͸in-e%verse|Kܞ-VpxAquivalenzen.}Ebffensosind|-ʼn A[P:Mo`d-AUR !|Mo`d-Bund|- BcQUR:|Mo`d-%BX E!Mo`d-AzueinanderinverseKܞ-VpxAquivalenzen.WeitersindfolgendeFunktorffen%nat'yurlich35isomorph:&oʍPLn B -P5԰N=HomBRʹ(:Q;:-35);+Q A -P5԰N=HomAp(:PS;:-35);EQ-#. A PP5԰N=HomAp(Q:;-33:);;- B QP5԰N=HomBRʹ(PS:;-33:):s荠7o]22nAlgebraTIAI{P9areigis[o](6)%src:744alg2k3_4.texEs35geltenfolgendeVerbffandsisomorphismen:!ʍpVV(APƹ)P԰ȹ=%V(BN>B);V(PBN>)P+L԰+d=AsV(AA);pV(BN>Q)P԰ȹ=cV(AA);V(QA)P+L԰+d=Ac*V(BBN>);lV(BN>QA)P԰ȹ=7V(AAA)P}԰ e=GV(BN>BB)P+L԰+d=>^V(APBN>):!(7)%src:753alg2k3_4.texZentrum(A)PUR԰n:=Zentrum(B):7Beweis:+܌src:758alg2k3_4.tex1.DieIsomorphismenaus2.22bildeng 2HomJBd-OB1n(:Q; A PS:;:B:)inBimoSdul-Homomorphismen$g1w':"PX A!#Hom0B#~(:Q;:B)undg2:"Q {!#Hom0B#~(PS:;B:)$ab.$xWVeiterindu-ziertf2BimoSdul-Homomorphismenf1V:URP Lq!Hom۟A"(Q:;A:)undf2:URQ !Hom۟A"(:PS;:A).src:765alg2k3_4.texWVenngeinEpimorphismrusist,danngibtesP_qip  pi,2URQ AP{mitgn9(Pqip pidڹ)=1B =id P1¹.Also[gilt[p=Ppqidpiz=P(p)[f2(qi)]pifSyur[jedesp2Pƹ.\Nacrhdem[Dual-Basis-Lemma3.20istꨟA ȌPnendlicrherzeugtundprojektiv.src:772alg2k3_4.texWVennf@einEpimorphismrusist,danngibtesPxi yi2l,PU B  QmitfG(Pxi yidڹ)l,=l-1A J=P (xidڹ)[f2(yi)].RNacrh3.23istA PWȹeinGenerator.RDieAussagenfSyurPBN>,B MQundQA folgenausSymmetriegrSyunden.src:778alg2k3_4.tex2.WVenn5fG(Pai 4bidڹ)UR=0,dannist4PVi;j7ai 5bidfG(xj> 4yjf )=Pai gn9(bi xjf )yj\=URPaidgn9(bi 5xj) Cyj\=URPfG(ai bidڹ)xj  yj=UR0.kAlsokistkfinjektiv.Analogzeigtkman,k5dagLeinIsomorphismrusist.src:785alg2k3_4.tex3.,]Der+9Homomorphismrusf2V:URQ !Hom۟A"(:PS;:A)+9wiein+81.,^erfyullt(p)[f2(qn9)]UR=fG(p# #q)=pq.Sei 'UR2Hom۟A"(:PS;:A).Dannist(p)'=(pPqidpi)'UR=P(pqidڹ)(pi)',Nalsogilt'UR=Pqidڹ(pi)'UR=Pf2(qidڹ(pi)').Daheriistf2~leinEpimorphismrus.Sei(p)[f2(qn9)]UR=pqË=0hfSyuriallepUR2Pƹ.DannfolgtqË=UR1BN>q=PqidpiqË=0.Alsoistf2einIsomorphismrus.src:795alg2k3_4.tex4.DieVB-MoSdulstrukturvronPXinduziertBK `!Hom)A$o(:P;:Pƹ).Seipb=0VfyurUallep2Pƹ.Dannistb6=71B BWb=Pqidpib=0.TWVenn'62Hom}A$[(:PS;:Pƹ),dannist(p)'=(p1BN>)'=(Pp(qidpi))'F=FPĹ(pqi)(pi)'=FPp(qi(pi)')unddamit'F=Pqidڹ(pi)'.BDamitistB 6u!HomyAWm(:PS;:Pƹ)einIsomorphismrusvonKܞ-AlgebrenundBimoSduln.src:805alg2k3_4.tex5.[A 9P B EQL A 0XPn԰V=pANA AXPn԰V=pANXLfunktoriell[9inXLund[8B vQL AP B EYP\԰D=BiBR BYP[԰C=BN>Y4funktoriell1in1YergebSendie1Behauptung.3WVeiteristB Q^ A gBUP԰=mB詹Hom7b2A>@(:PS;:A) AUP԰ι=^@B|Hom5&A<(:PS;:A A U@)Pd԰|=\BkHom3!A:(:P;:U@)funktoriellinU,dennderHomomorphismrus'й:Hom-YA% =(:PS;:A)A A {%UJ !ѹHom-ZA% >(:P;:A@ A {%U@)Nmit(p)['(f@ Au)]:=((p)fG) uNisteinIsomorphismrus.Wirzeigenallgemeiner:>B6Lemma\4.9.|(src:819alg2k3_4.texWennA PxendlicherzeugtprffojektivistundAVB `undBUS(Bi-)Moffdulnsind,dann35istder(inUtundVp)fjfunktorielleHomomorphismusp9'UR:Hom۟A"(:PS;:Vp) B U6 !Hom۟A(:PS;:VG B U@)src:824alg2k3_4.texein35Isomorphismus.Beweis:+܌src:828alg2k3_4.texSeiꨟPSfi pi,2URHom۟A"(:PS;:A) A PneineDual-BasisfyurPƹ.Dannist+Djf' 1ι:URHom۟A"(:PS;:VG B U@)UR !URHom۟A(:P;:Vp) B Usrc:831alg2k3_4.texmitY]'21 \|(gn9)UR=Pi;jW()fidvij uij AmitY\(pi)gË=:URPjfvij uij AinrversY\zuY]',Yde niertdurcrh(p)['(f >u)]!=!(p)fD# $u:bVDa'einbWHomomorphismrusist,bt(p)['(fGb u)]!=!(p)fb u!=(p)fD" bu=(p)['(f4 95bu)],=genSyugtes,M@)STƹ(BN>M@)YT32fdAά- VphS'Tƹ(M@){󍍒2ПBM{󍍒PB"M{fdZ@ά-Pڿ'209(M@)H2Ǡ*Ffe)dǠ?`h O(M@)H%dǠ*Ffe%Ǡ?`*Jd O(M@)"5qsrc:917alg2k3_4.texwrobSeieS$:IMA-Mo`d$/+!ILB-Mo`d,T:B-Mo`d%=5,!A-Mo`d$iGdieezueinanderfinrversenܟpxAqui-vXalenzenaus5.sindund ?:+tIdﱟA-MoEd2:R!+tTSbzw. ù:IdﱟBd-MoEd3"S:w!STdiezugehyorigenIsomorphismen.Analogordnenwirjedem Ë2URE(B)ein n9202E(A)zudurcrhUTS׹(AN@)gTS׹(AN@)NJ32fdCgά- VpT n9S׹(N@){󍍒AN{󍍒2aA"EN{fd]ά-PR n920Őڒ'200r(N@)v\=TS׹(N@)v"&]TS׹(N@)sH2fdg ά-mӀT'209S׹(N@)Tƹ(ST)S(N@)[Tƹ(ST)S(N@)䟢A2fdMά-̯KTS'TS(N@)\=TS׹(N@)"&]TS׹(N@):2fdg ά-˰TS'(N@)&N.NJD32fd,ά- '(N@)DsHbjܠ@fe{jܠ?^o. (N@)Ds4jܠ@fe4Ejܠ?^84 (N@)sHbՠ@fe{ՠ?q=T OS׹(N@)s4ՠ@fe4Eՠ?84T OS׹(N@)HbΠ@fe{F`6pTS (N@)4Π@fe4EF`684TS (N@)HbǠ@fe{?`6냀o. (N@)4Ǡ@fe4E?`6냀84 (N@)[lsrc:947alg2k3_4.texDieZuordnrung'UR7!'200 istdahereininnererAutomorphismusvonE(A),alsobijektiv.Satz4.10.5src:951alg2k3_4.tex(MoritaSISI)SeienS:@A-Mo`dn:"Ó!B-Mo`d undT:B-Mo`dn:"Ó!A-Mo`d zuein-eanderinverseKܞ-VpxAquivalenzen.5SeiA cPB ,soda(A;B;PS;Q;f;gn9)einMorita-Kontext35ist.src:960alg2k3_4.texWeiter35giltSP)԰!=Q A -undTP԰=PLn B -,:SatzR4.11.src:964alg2k3_4.tex(MoritaISII)+8Sei+wP2! A-Mo`d einendlicherzeugterprffojektiverGenerator(=Progenerator).kNDannjistjderMorita-Kontext(A;HomyA!Wk(:PS;:Pƹ);P;Q;f=evR;g*Ϲ=db)jstrikt,d.h.35f{4undgnsindEpimorphismen.ܠ荠7o]6DieTMorita-Theoreme:25[o]Beweis:+܌src:971alg2k3_4.texDafA ]JP!-endlicrhferzeugtprojektivgist,istg=RdbeinIsomorphismrus(3.20).KDaA ]JPeinGeneratorist,istfQ=URev+einEpimorphismrus(3.23).Beweis35von4.10:[ܦsrc:978alg2k3_4.tex1.#cSeien S׹, TŹgegebSen.DannistSo:Hom"A&o(:M;:N@)3f_7!S׹(fG)2HomyBǹ(:SM;:SN@)einIsomorphismrus.Sei h:URTSP)԰!=IdwA-MoEd9 .DannistҖЎHom*JA1'(:M;:N@)n|HomABD(:SM;:SN@)`!̞32fd @ά- bA{S+L32fd ά- ΟTڞHom(A (:TSM;:TSN@)x-HomtAR(:M;:N@)I,32fd*ά-GlHomY A( -:1 ; )Hsrc:989alg2k3_4.texdieIdenrtityat,dennHomd1( 21 p ; )TS׹(fG)UR= 7TSf 21]=URf2wreilSj֍ǭM_N׼t32fd()`ά- GfbYuTSMbY&TSNԟ{fdά-TDSfHǠ*FfeDǠ?9 HRǠ*FfeǠ?9 g 67src:993alg2k3_4.texkrommutiert.AlsoistS|einMonomorphismrusundHom.( 21 p ; )TkeinEpimorphismrus.DaHomy( 21 p ; )ՊeinIsomorphismrusist,ՐistTwPeinEpimorphismusfSyurT:URHom۟B#(:SM;:SN@)UR !HomyAWm(:TSM;:TSN@).uSymmetriscrhistTkimmereinMonomorphismrus.uAlsoistTkeinIso-morphismrusunddamitauchS׹.src:1001alg2k3_4.tex2.qIstGf2B-Mo`d einEpimorphismrus,ysoistHauchTf2A-Mo`d einEpimorphismus.qSeif:mM =!mN9ueinEpimorphismrus.Seiengn9;h2A-Mo`df̹mitg"Z!Tf=hTfG.WirhabSeneinkrommutativesDiagrammO卍bYGSTMbYp1STN>{fdά-XISTf  ԟ"fd`ά-ZoxSgbYbYo+SM˻˻ԟ2fd`ά-B[ShMN32fd()`ά-]̑fHRǠ*FfeFǠ?`G HʒǠ*FfeğǠ?`D Usrc:1014alg2k3_4.texmitSgSTfQ=URShSTfG.Daf2einEpimorphismrusist,folgtSgË=URSh,alsoauchgË=URh.src:1017alg2k3_4.tex3.6WVenn5P2URA-Mo`dprojektivist,5dannist5aucrhSP2URB-Mo`dprojektiv.6Seien5nyamlicrheinEpimorphismrusf:nM !nN:jinB-Mo`dgundeinHomomorphismusgڹ:nSPf e!N:jgegebSen.DannistTf:TM -S!TN薹einEpimorphismrusundTgO:TSP8 5!TN蕹inA-Mo`dn:.WVeil :TSPP+P԰D8= 0P, ^gibt Uesein Vh:P+P !TMJ:mitTfh=Tg- 21yaoSder UTfh =Tgn9. WirwrendenS׹anunderhaltenSTfS(h )UR=STgn9,wrobSeiS(h )UR2Hom۟B#(:STSPS;:STM@).WVeil 9:1STMPr԰=M@,|istHom( O21 ; O):1HomrB%(:STSPS;:STM@)1 C!1HomsB%(:SPS;:M)einIsomorphismrus{mit{~InversemHom( O; 21 ˹).|]FSyur{~k:KSP B!Mbmitk=  ES׹(h D ) O21giltdann iFSTƹ(kg)=k&cG 3.= S׹(hF ) O21 3-= iS׹(h ),alsoSTƹ(kg)=S(hFG )und?Tƹ(kg)=h .@uAlsogilt?STf,STkM=STgT=ST(f,kg)?und?damitgT=fkg.@uAlsoistSPnprojektiv.src:1039alg2k3_4.tex4.uWVennG2A-Mo`d R0einGeneratorist,5dannistaucrhSG2B-Mo`d R0einGenerator.uSeinyamlicrh(f嗹:M| 3!N@)6=inB-Mo`dn:.DannistTf6=0,)alsogibteseing ѹ:G !TMVmitTfgË6=UR0.FVolglicrhistSTfSgË6=UR0undf( 7Sgn9)UR= STfSgË6=UR0.src:1047alg2k3_4.tex5.WirzeigenjetztS׹(i2I ^Midڹ)P5԰N=i2IS(Midڹ)5:SeieineFVamilie(fi:5S׹(Midڹ) 0!N@ji2I)in(B-Mo`d CagegebSen.֐Danacrh1.SeinIsomorphismrusist,cgibtesgenau'eineFVamilie(giIQ:Minp! =TN@)T\mitT[Sgin= 21bfidڹ.TAlsoexistiertgenauT[eingwv:Minp!TN?mitg`in=gidڹ.WirwrendenSanunderhaltenSg wSi,=URSgi=UR 21 wfi6bzw. cwSg Si,=URfidڹ.WVeil bS-ein{Isomorphismrusist,ist| fRxSg-eindeutigdurchdieBedingung fRxSgSi,=URfi$Ufestgelegt,alsoist(S׹(Midڹ);Si)direkteSummederS׹(Mi).src:1062alg2k3_4.tex6.S׹(A)istendlicrherzeugtinB-Mo`dn:,alsoeinendlicherzeugterprojektiverGenerator.荠7o]26nAlgebraTIAI{P9areigis[o]src:1065alg2k3_4.texDaXB2B-Mo`d beinGeneratorYist,istaucrhTƹ(B)2A-Mo`d beinGenerator.AlsogibtXeseineMengeEǹmitA{{MP԰=RE-TB.WVegenA^7=^8A1kXannEƹendlicrhgewyahltwerden.=)S׹(A)SSS(M@)P԰x=LwE-STBP԰~=}EB.7AlsogibteseinenEpimorphismrusE-B !SA.DamitistSAUR2B-Mo`dXendlicrherzeugt.src:1073alg2k3_4.tex(Bemerkung:^Eine4px+;b1)(a2+b2):::ʜ(a2n ܎+:b2n T)VhatVenrtwederMonomeinI2nRA1 :RoSderqinpI2nRA2 %RRJ.ՑAberI2nRA1 %=UR0=I2nRA2=)(I1?U+RI2)22n ==0.ՑAlsoqist1pnilpSotenrt.Widerspruch. $荠7o]~Einfac9heTundhalbAeinfacheRingeT27[o]De nition5.3.esrc:43alg2k5_6.texEinMoSdulR 6MQheiteinfachgenaudann,wrennM6=0undMnrur0undM"ҹalsUnrtermoSdulnbesitzt.jEinIdealR ՁIpheiteinfachoderminimal,-wrennesalsModuleinfacrhist.Lemma5.4.src:50alg2k5_6.texSeiR2halbffeinfach.)DannistjedesLinks-IdealvonR2eindirekterSummandvon35RJ.Beweis:+܌src:56alg2k5_6.texSeiI}DeinIdealinRJ,daskreindirekterSummandistundseiIminimalmitdieserEigenscrhaft.EinsolchesIdealexistiert,weilRartinschist.src:60alg2k5_6.texFVallv1:GSeiIFURReinIdeal,ڼdasnicrhtvminimal(einfacrh)ist,d.h.esgibteinIdealJqURImit06=Jq6=URI.Dann]istJϹdirekterSummandvronRJ,d.h.esgibteinenHomomorphismrusfQ:URRn !JaXmit3(Ji !hIZz !Rh _fJA ך!@Jr)=id 3J.EEs2folgtIZz=JKѹfSyurein2KE:=KeN(IZz !Rh `fJB כ!@Jr).DDaK16=URI,gibtesaucrheingË:Rn !K@mit(K1 I!IF .!Rh gJn !IKܞ)=id K[. FSyurdieAbbildungfݒ+ggn9fQ:URIF .!Rn !IٹgiltV(f+ggn9fG)(jӹ)UR=f(jӹ)+gn9(j)gn9fG(j)UR=jBf+gn9(j)gn9(j)UR=jfSyurallej%2URJHund(f*ع+gQgn9fG)(kg)=f(kg)+gn9(k)gn9fG(k)UR=0+kI0UR=kfSyuralleko2Kܞ,also(f+ggn9fQ:URIF .!Rn !I)=id IC.DamitistI+direkterSummandvronRJ.Widerspruch.src:78alg2k5_6.texFVall 2:SeiI{minimalesoSder einfacrhesIdeal.DaInicrht nilpSotentist und0d6=dI22 !I{gilt,istI22 7F=I.GAlsoexistiertinsbSesondereeina2ImitIa=I,"dennIaistebSenfallseinIdeal.Damit&ist&aUR:IF .!I5einEpimorphismrusund&sogareinIsomorphismus,&dennKe (a)&mualsIdealNullsein(vgl.LemmavronSchur.)AlsoexistierteUR2I,9e6=0miteaUR=a:=)(e22R@Ne)a=eeaeaUR=aa=0=)e22e=02IFչ=)e22V=e2I.*DaI=RJe,giltRn=ReR(1e),dennER=ARJe+R(1e)DundErSeA=s(1e)B2RJe\R(1e)B=)ArSe=re22aE=s(1e)eA=0:DamitistI+direkterSummandvronRJ.Widerspruch. Lemma5.5.src:94alg2k5_6.tex(Scrhur)35SeienR &M@,RNteinfacheMoffduln.Danngelten:J(1)%src:97alg2k5_6.texWenn35M66P԰= N@,dannistHomR#Q(:M;:N)UR=0:(2)%src:98alg2k5_6.texHomyRm(:M;:M@)isteinSchiefkyorpffer(=Divisionsalgebra=nicht-kommutativerKyorper).Beweis:+܌src:104alg2k5_6.texSeif:ȫM ^!NeinHomomorphismrusmitf6=0.!DannistBiZ|(fG)Ȫ=N@, wreilNeinfacrhist,undKe(fG)UR=0,wreilMeinfachist,alsoistfeinIsomorphismus.Darausfolgt1.WVeiter5folgt2.,6wreiljederEndomorphismusfQ:URM6 !MvϹmit5f6=05unrterderMultiplikXationinHomcR$V(:M;:M@)inrvertierbarist.EinSchiefkyorpfferistnyamlicrheinRing,dessenvonNullvrerschiedeneElementeeineGruppSeunterderMultiplikXationbilden.oBemerkungE?5.6.BUsrc:116alg2k5_6.texSeilR `!Mseinfacrh.mUDannlistlEndyNR l(:M@)2l=2mDeinSchiefkyorpSer.mVAlsoistdieRJ-MoSdulstrukturvronM+charakterisiertdurchRn !UREndbD (M:)UR=MnP(DS):Satz5.7.src:122alg2k5_6.tex(WVedderburn)3px35Aquivalentsind:J(1)%src:125alg2k5_6.texRList35einfach.(2)%src:126alg2k5_6.texRLbffesitzt35eineinfachesIdeal,daseinRJ-Progeneratorist.(3)%src:128alg2k5_6.texRP԰Ĺ==MnP(DS)g=NvollerMatrizenringuyubffereinemSchiefkyorperDS.1(nisteindeutig,tD%bis35aufIsomorphieeindeutig.)(4)%src:131alg2k5_6.texRn=URI1j:::In ۅmit35isomorpheneinfachenLinksideffalenI1;:::ʜ;InP.Beweis:+܌src:137alg2k5_6.tex1:UR=)2::lDaRfartinscrhist,l=gibteseineinfachesIdeal0UR6=IFRJ.lSeilJqĹ:=PfI20jI20IdealCinR]undI20P԰ż=DIg.D\DannistCJ`EeinzwreiseitigesIdeal,CdennI20^r@6=0=)r@:I20-!RhatYKe:(rS)UR=0,]alsoYistZr2injektivunddasBildI20SLr2istisomorphzuI20bzw.kI,\liegtalsoinJr.(Da(?RAeinfacrhist,(OgiltRq=(Jڙ='PhIidڹ.Da1(2'I1+ԗ:::sι+ԗInP,(OgibteseinenEpimorphismrusI1:z:::zIn ?Y![R4(yauereXdirekteSumme),derzerfyallt,daR4projektivist.,AlsoistRbisOaufOIsomorphiedirekterSummandvronI1]:::InP,OunddamitistIA einGenerator.WVeiteristIfdirekterSummandvronR-nach5.4,alsoendlicherzeugtprojektiv,alsoistIfeinRJ-Progenerator.>6荠7o]28nAlgebraTIAI{P9areigis[o]src:153alg2k5_6.tex2:UR=)3::EndbRU(:I)=:DPist{nacrhdem{LemmavonSchureinSchiefkyorpSer.|lR oID 1ferzeugteineKategorienyaquivXalenz.AlsogiltRPn԰=EEnd%&D,ۨ(I:)PUR԰n:=MnP(DS):src:158alg2k5_6.tex3:UR=)4::RPn԰=EMnP(DS)=)RPn԰=EEnd%&D,ۨ(V:)8mit9einemn-dimensionalenDS-VVektorraumVp.VDist)ein)Progenerator.*EAlsogiltV(RRJ)PUR԰n:=V(DVp2\t).*DDa)Vp2P ԰ ʮ=\oDrU::: KUDS,)OgiltR RPn԰=EI1YV:::VInmitI1PV԰.>=:::P%԰%ٹ=2InP԰ =KRVG D `LDP԰ȹ=SRGVp.src:166alg2k5_6.tex4:UR=)2::O enrbaristI1einRJ-Progenerator.src:169alg2k5_6.tex2:=)1::RJ-Mo`dP :M԰ S5=.dDS-Mo`d :MmitDP(԰Aw=REnd(_R/S:(I).mAlsoistV(RR)P԰=ZV(D Hom"/+D)Ϲ(I:;D DS:))artinscrh,undesgiltV(RRR)PUR԰n:=V(DDD)UR=f0;DSg.DamitistReinfacrh.^!j_Folgerung5.8.src:176alg2k5_6.texSei35RLeinfachundR &Mtendlicherzeugt.Danngelten&捍(1)%src:178alg2k5_6.texRMtist35einRJ-Prffogenerator.(2)%src:179alg2k5_6.texEnd RR(:M@)UR=S ist35eineinfacherR2ing.(3)%src:180alg2k5_6.texZentrum35(RJ)PUR԰n:=Zentrum(End RR(:M@)).(4)%src:181alg2k5_6.texRPn԰=EEnd%&S+C(M:).Beweis:+܌src:186alg2k5_6.tex1.hWVegengRJ-Mo`dP԰=-UDS-Mo`dundwreilgjederendlichgerzeugteDS-ModuleingProge-neratorist,folgtdieBehauptung.src:190alg2k5_6.tex2.S׹-Mo`dP N԰ 6=/)RJ-Mo`dP N԰ 6=DS-Mo`d Nimpliziert,adaV(SS)PQF԰j.=V(DPƹ)artinscrhist.WVeiteristV(SSS)PUR԰n:=V(DDD),alsoistSeineinfacrherRing.src:195alg2k5_6.tex3.+4.folgtausdemMorita-Theoremen. _De nitionundBemerkung5.9.*0src:199alg2k5_6.texEin=DRJ-MoSdulR 0JYheitinjektiv,=ZwrennzujedemMono-morphismrusnf醹:Mk 7!NXRundzujedemHomomorphismusg:Mk 7!J3einHomomorphis-mrushUR:N6 !JexistiertmithfQ=gYEDbYG9MbY#NUޟ{fd()`ά-:fH,Jc|Ǡ*FfeΖǠ? ՞gH :.hׁ    >> :Mύsrc:204alg2k5_6.texVVektorryaumesindinjektiv.*ppmsbm8Z Zistnicrhtinjektiv.DieinjektivrenZ-MoSdulnsindgenaudieteilbarenabSelscrhenGruppen.Z Qistinjektiv.Satz5.10.src:211alg2k5_6.tex(Das35BaerscheKriterium):3pxAquivalentsindf'yurQUR2RJ-Mo`dn::&捍(1)%src:214alg2k5_6.texQ35istinjektiv.(2)%src:215alg2k5_6.tex8RIFURR HRJ;338gË:URI .!Q359h:Rn !Qmith=gTLbYIbY1RՓf{fd,'ά- 铙HXQ̴Ǡ*FfeǠ? >gH fh~Ɵׁ ~Ɵ ~Ɵ ~Ɵ 8F>8F> -:"(3)%src:219alg2k5_6.texJeffderMonomorphismusf>:Qh %fJ K!B[Mߠzerfyallt,d.h.esgibteinenEpimorphismus%gË:URM6 !Q35mitgn9fQ=UR1Q/._Beweis:+܌src:226alg2k5_6.tex1:UR=)2::folgtunmittelbarausderDe nition.ZW荠7o]~Einfac9heTundhalbAeinfacheRingeT29[o]src:229alg2k5_6.tex1:UR=)3::DasDiagrammKG7ΞQ7M`d{fd(ά-EfHΞQǠ*FfeFǠ?Ի1QH gׁ ~t>~t> Bsrc:231alg2k5_6.texde niertdasgefordertegn9.src:233alg2k5_6.tex3:UR=)1::IndemDiagrammKGbY6MbYND{fd()`ά-fPQnPiiԟ̟Rfd*ά-盍'tώtώԟ̟fd*}`ά bHRJǠ*Ffe̅|Ǡ? lgH Ǡ*Ffe<Ǡ?` < ܍src:242alg2k5_6.texseimfeinMonomorphismrusundmP:=URNcQ=f(fG(m);gn9(m))jm2M@gmitm'bzw.nz kXanoni-f`scrhehAbbildungenindielinkebzw.isrechteKompSonente:i'(qn9)UR:=`z p(0;q)@F; (n):=`zJ p(n;0).isWVegen n9fG(m)V=`z.R p(f(m);0)5q=`z-; p(0;gn9(m))4mm='gn9(m)hgilt f=V'g.jSei'(q)V=`z p(0;q) &=0.iDannhexistierteinWm{2{MB;mitfG(m)=0Vundgn9(m)=q.zDaVfIVinjektivWist,\istm=0undVdamit'injektiv.WVegen3.existierteinmit'UR=1Q/.Dannist n9fQ=UR'gË=g,alsoistQinjektiv.src:254alg2k5_6.tex2:V=)1::SeieneinMonomorphismrusf:VM "!N,zundeinHomomorphismusg:VN #!QgegebSen.WirbetracrhtendieMengeS5ʹ:=Oif(Nid;'i)g,HwrobSeiNiBOiNTeinUntermoSdulmitBi (fG)URNiOistund'i,:URNi!Q꨹einHomomorphismrusist,sodaP/{_M{-NNi{fd'Ѝά-̑f{󎎍{"NqT{fd( Pά-H5QǠ*FfeԟǠ? gH ׀T'i[ׁ [ [ [ 4>4> psrc:266alg2k5_6.texkrommutiert.>Es'ist&SrT6=;,Uweil(Bi (fG);gn9f21 {)2S׹.>WVeiterist'Sgeordnetdurcrh(Nid;'i)(Njf ;'j),wrennNi7Nj kund'jf jN8:i='ijgilt.ZSeif(Nid;'i)ji2JrgeineKetteinSb.ZDannist[NiI@$>RHyXQRǠ*Ffe Ǡ?U'20H 񻔟컔绔X> `ύsrc:294alg2k5_6.texmithp(rS)+i:=+jrSKx.i1Danngiltho(I)+iN@20.i1Esgibtalsohonacrh2.einenHomomorphismrus:+jR!nQ;mit:n9UR='20Dv(x).aWirde niereno:N@20չ+vRJxn!1QdurcrhW(n20D+vrSx):='209(n20)v+n9(rS).Dieses`isteineawrohlde nierteAbbildung,{dennwennn20+ըrSxUR=n20RA1+r1x,{dannaist`(r)6թr1)xUR=o荠7o]30nAlgebraTIAI{P9areigis[o]n20RA1sn202N@20,palsoorr1 2I.r Damitoistn9(rr1)='209((rr1)x)='209(n20RA1sn20)ound'209(n20):+n9(rS)U='209(n20RA1):+(r1).6ManOsiehrtleicht,udaNlaucheinNHomomorphismusist.6DaWjN"0> =s'20gilt,istM(N@20ع+RJx;)s2SundL(N@20;'209)s(N@20ع+RJx;W)LimMWidersprucrhzurMaximalityatvron(N@20;'209).AlsoistN@20do=URN@.\XFolgerungn5.11.ԝsrc:311alg2k5_6.texWenn$RneinhalbffeinfacherR2ingist,2dannistjederRJ-Modulprojektivundinjektiv.Beweis:+܌src:315alg2k5_6.texNacrhh5.4istjedesIdealgdirekterSummandvonRJ.DasfolgendeDiagrammzusam-menmitdemBaerscrhenKriteriumzeigt,daQinjektivist:KEbY(IbYjRyylfd,'ά-i99l҄fd,'؀u`HʑQ:Ǡ*Ffe8Ǡ?H`ׁ̟ ̟ ̟ ٷ̟ qL>qL> qsrc:325alg2k5_6.texSeirf8:N1n J!;Plsurjektiv.uDaKe(fG)NeinUnrtermoSdulundinjektivist,s gibteseing¹:Nm:!Ke(fG)Emitgn9(n)=nfSyurallen2Ke(fG).HWirde nierenk :PFO!Ndurcrhkg(p)^=ngn9(n){fSyur|einn^2^N_mitfG(n)=p.kIstaucrh{fG(n209)^=p,dannist{fG(nn209)=0,alsoznCCn2072Ke/U(fG)undgn9(nCn209)=nn20.EszfolgtnCCgn9(n)=n20gn9(n209).Daherzistkeine Wwrohlde nierteAbbildung.WVeiteristfGkg(p)D=Df(nppgn9(n))=f(n)pfGgn9(n)=p0,alsoAGfGk=1P̹.CTUmzuzeigen,AdaAFkdeinHomomorphismrusist,AseifG(n)=p,fG(n209)=p20.DanngiltfG(rSn+r20!n209)S6=S7rp+r20!p209.REsfolgtkg(rSp+r20!p209)S7=S6rn+r20!n20=gn9(rn+r20!n209)S6=rS(ngn9(n))+r20!ǹ(n20xgn9(n209))UR=rkg(p)+r20!kg(p209).Daszeigt,daPnprojektivist.BsKdLemma5.12. \src:343alg2k5_6.texSeiG0{0!\Mh sfJ"!Nh gJ"!Pa!0einekurzeexakteFolge.GMundPnsindgenaudann35artinsch,wennNtartinschist.Insbffesondere35istmitM@,NauchMNartinsch.Beweis:+܌src:350alg2k5_6.texSeiNɹartinscrh.oTVrivialerweiseistMɹartinsch.oWVennfLidgeineMengevonUntermo-duln%@vron%APist,%sdannistfgn921 ʵ(Lidڹ)geineMengevronUntermoSduln%AvonN@.&nSei%Agn921 ʵ(L0)minimalindieserMenge.WVegengn9g21 ʵ(Lidڹ)UR=LiOistdannaucrhL0minimalinfLig.src:356alg2k5_6.texSeienMSnundPPartinscrh.SeifLidgeineMengevronUntermoSdulnvonN@.SeiL0Ҏsogewyahlt,daV!gn9(L0)V"minimalinderMengefgn9(Lidڹ)gist.VSeiLsogewyahlt,V(a1;a2),Qfolgt0A=(RJa)2n =A(R1a1;R2a2)2nP. Also sindR1a1 =0undR2a2 =A0, 1d.h. RJa=0 unddamitIFչ=UR0.ZLemma7(5.14.Qgsrc:382alg2k5_6.texJeffderżechteUntermodulNeinesendlicherzeugtenModulsMistineinemmaximalentUntermoffdulvonsMXenthalten.YInsbesonderebesitztMWeineneinfachenFaktormo-dul.Beweis:+܌src:388alg2k5_6.texSeiN6$URM'einecrhterUntermoSdulvonM@.,SeiMdieMengederUntermoSdulnU'mitN6URU$M@.MistgeordnetdurcrhInklusion.Sei(Uidڹ)eineKetteinMundU@20do:=UR[Ui.Dannist݀U@20잹wiedereinUnrtermoSdulund݁N6jURU@20.ݔWVennU@20do=Meist,݃dannliegen݁alleErzeugendenm1;:::ʜ;mt1.2cU@20,7also,gibteseinenMoSdul-Ui{mitm1;:::ʜ;mt1-2dUidڹ.oDamitistabSerUi==M@.P荠7o]~Einfac9heTundhalbAeinfacheRingeT31[o]DasjkXannnicrhtjsein.DaheristU@206=MTNunddamitinM.WVeiteristU@20"obSereScrhrankejvon(Uidڹ).^Nacrh!dem Lemmavon!ZorngibtesalsoeinenmaximalenUnrtermoSdulvonM(inM),derN+umfat.0wLemma5.15.(1)vxsrc:404alg2k5_6.texIstXFURZ *QeineErzeugendenmengevonQyubfferZundxUR2X,soist%auch35X+nfxgeineErzeugendenmengevonQ.(2)%src:408alg2k5_6.texZTQ35bffesitztkeinemaximalenUntermoduln.Beweis:+܌src:414alg2k5_6.tex1.Sei2BX=URhXn×fxgi.EsgiltQ=Zx×+B.Es2gibteinyË2Qmit2yË=x.WirstellenydaralsyË=URnxy+ybmitnUR2Z,:b2B.٘Esfolgtx=2yË=2nxy+2bunddaher(12n)xUR=2b2B.Esdgibtwreitereinz72%SQmit(1۹2n)z6=%Tx,ddao enbar12n%S6=0.eWirdstellenzdaralszD=Vamx{+b209.Esfolgtx=(1{2n)zD=(12n)mxz+(12n)b20$=2mb+(12n)b20$2B.DamitistBX=URQundxkXannausderErzeugendenmengefortgelassenwrerden.src:425alg2k5_6.tex2.$Sei~N6URQeinmaximalerUnrtermoSdulundx2QvnvN@.%DannistNx[fxgErzeugendenmengevronQ,alsoauchN@.Widerspruch.wLemmaqB5.16.Ksrc:432alg2k5_6.texSeiZR N0MeinZMoffdul,ZinZdemjederZUntermoduleinZdirekterSummandZist.[DannenthyaltʤjeffderʣUntermodul0m6=mNM eineneinfachenUntermoffdul.ˌWeiteristʣM Summevon35einfachenUntermoffduln.Beweis:+܌src:439alg2k5_6.texSeiQxUR2N@,ix6=0.EsRgenSyugtzuzeigen,idaRJxeineneinfacrhenUntermoSdulQbesitzt.Da$RJxendlicrherzeugtist,%bSesitztRxeinen%maximalenUnrtermoSdulL.(DaLdirekterSum-aXmandvronMist,gibtesfQ:URM6!Lmit(Ln!1RJxn!Mh TfJ6 !@L)=1LGع,alsoistLMMIFչ=RJx,wrobSeiIFչ=URKe(RJxURn!1M6!L):WVenn0UR6=JqI,+dannistLUR$L :+ ;J$RJximWidersprucrhdazu,daLmaximalinRJxist.AlsoistI+einfacrhmitIFURRxN@.src:450alg2k5_6.texSeigN=)P,Ij qSummeallereinfacrhenUntermoSdulnvonM@.vDannistM=)Nc"Kܞ.WVennK16=UR0ist,EdannenrthyaltKeineneinfachenUntermoSdulI}undesgiltIFURN\VKܞ.ȸWiderspruch.AlsoistK1=UR0undM6=PIjf .-vLemma5.17.src:458alg2k5_6.texSei5R )>MvSumme5voneinfachenUntermoffduln:6rMtֹ=3Pޟjv2X%Ijf .78SeiN3MCeinUntermoffdul.lDanngibteseineMengeY:XdmitM>=N.ҟLC*jv2Y#$IjundeineMengeZr;XGmitVCNP԰=±L jv2Z1{Ijf .VxInsbffesondereistVBjederUntermodulVCN&vonMdirffekteSummeVBvonceinfachen35Untermoffduln.Beweis:+܌src:467alg2k5_6.texSeiRS;=URfZ1XjNٹ+s(P jv2ZIjf )=Ns(L UXjv2ZHIjf )g.SsDieRMengeS8istdurcrhInklusion>geordnetundnicrhtleer,denn;yO2Sb.Sei(Zidڹ)eineKetteinSb.DannistZܞ20$&:=yO[Zi)2Sb.Umdas>zuzeigen>seinK+KP Bjv2Z0# aj\=UR0.?Dannsindhyocrhstensendlichviele>aj\2URIjйungleich0.?AlsogibteseinZi ausderKettemitj%2URZifSyuralleaj\6=UR0ausderSumme.~WVegenN+?(P jv2Z8:i!YIjf )=N ((L UXjv2Z8:i"UIjf )FsindEdannabSern`=0`=ajWOfyurEalleFj f2Zܞ20׹.PNacrhdemLemmavonZorngibtesXeinYmaximalesElemenrtZܞ200 -24Sb,undesgiltP֐:=4NU+jr(P jv2Z00#+Ijf )=NVjq(L UXjv2Z00$Ijf ).SeiMIk einfacrhmitka2XDnSDZܞ200.WVennP +Ik j=PIk#,dannMistNN'+(P jv2Z00#+Ijf )+Ik j=NoЌ(L UXjv2Z00$Ijf )ЋIR srimWidersprucrhzurMaximalityatvonZܞ200.Alsoist0UR6=PrQ\ЋIkxIk#,alsoIkxURPƹ.DarausfolgtP=N댹+PUUjv2X#Ij\=M@.src:487alg2k5_6.texWir wrendennundieersteAussageaufLb5jv2Y%CIj ranunderhaltenN"p>(L UXjv2Y 6Ijf )CJ=M-=(L UXjv2Y 6Ijf )(L UXjv2ZHIj).EsfolgtNP6԰=@M=(L UXjv2Y 6Ij)PUR԰n:=LUSjv2Z/CIj.ɍSatz5.18.src:495alg2k5_6.tex(Struktursatz35f'yurhalbffeinfacheModuln):F'yurR &Mtsindyaquivalent:͍(1)%src:498alg2k5_6.texJeffder35UntermodulvonMtistSummevoneinfachenUntermoduln.(2)%src:500alg2k5_6.texMtist35SummevoneinfachenUntermoffduln.(3)%src:501alg2k5_6.texMtist35dirffekteSummevoneinfachenUntermoduln.(4)%src:502alg2k5_6.texJeffder35UntermodulvonMtistdirekterSummand. 荠7o]32nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Beweis:+܌src:507alg2k5_6.tex1:UR=)2::klar.src:509alg2k5_6.tex2:UR=)3::Lemma5.17.src:511alg2k5_6.tex3:UR=)1::Lemma5.17.src:513alg2k5_6.tex2:UR=)4::Lemma5.17.src:515alg2k5_6.tex4:UR=)2::Lemma5.16.W0uCDe nitionN5.19.[src:519alg2k5_6.texEinMoSdulR TMߥheithalbffeinfach,wrennereinederyaquivXalentenBedin-gungenausSatz5.18erfSyullt.Folgerung5.20.(1)\dsrc:526alg2k5_6.texJeffder35UntermoduleineshalbeinfachenModulsisthalbeinfach.(2)%src:528alg2k5_6.texJeffder35Faktor-(Restklassen-)ModuleineshalbeinfachenModulsisthalbeinfach.(3)%src:530alg2k5_6.texJeffde35SummevonhalbeinfachenModulnisthalbeinfach.Beweis:+܌src:535alg2k5_6.tex1.klar.src:537alg2k5_6.tex2.Sei;N5M@.Danngilt:MP԰=N0M=XN@,ȴinsbSesondereistM=XN isomorphzueinemUnrtermoSdulvonM@.src:541alg2k5_6.tex3.klar.1^uDBemerkung 5.21.[src:545alg2k5_6.texMit&demBegri des&halbSeinfacrhenModulshabenwir&einebesondersguteVVerallgemeinerungdesBegri eseinesVektorraumesgefunden.QWesenrtlicheSyatzederlineffarenA2lgebracsindcinSatz5.18vrerallgemeinertworden.diDieceinfachenMoSduln(ycuberceinemKyorpSersindgenaudieeindimensionalenVVektorryaume.DieBedingung2.vronSatz5.18isttrivialerwreiseerfSyullt,dennjederVVektorraumistSummevoneinfachen(eindimensionalen)VVektorryaumen,[manbildeeinfacrhV / =P=JvI{2Vnf0g7Kܞv@oSderaberV=P=JvI{2E&Kܞv@fyureineYbSeliebigeBErzeugendenmengeEYvronVp. yDaheristCjederVVektorraumVhalbeinfacrh. yDahergiltdieBedingung3.SiebSesagtdann,dainjederErzeugendenmengeE`عeineBasisexistiert.4.istdietwicrhtigesFVeststellung,dajederUnrterraumeindirektesKomplemenrtbSesitzt.Lemma5.17enrthyaltNdarSyubSerhinausOAussagenܞyuberdieDimensionOvronVVektorryaumen,WUnterryaumenundRestklassenryaumen.Satz5.22.src:564alg2k5_6.tex(WVedderburn)3px35Aquivalentsindf'yurRJ:s2(1)%src:567alg2k5_6.texRRList35halbffeinfach(alsR2ing).(2)%src:568alg2k5_6.texJeffder35RJ-Modulistprojektiv.(3)%src:569alg2k5_6.texJeffder35RJ-Modulistinjektiv.(4)%src:570alg2k5_6.texJeffder35RJ-Modulisthalbeinfach.(5)%src:571alg2k5_6.texRRList35halbffeinfach(alsRJ-Modul).(6)%src:572alg2k5_6.texRList35dirffekteSummevoneinfachenLinksidealen.(7)%src:573alg2k5_6.texRPn԰=ER1j:::Rn ۅmit35einfachenR2ingenRi(iUR=1;:::ʜ;n).(8)%src:575alg2k5_6.texRPn԰=EB1˂:::a˃BnP,[wobffei[die[BipminimalezweiseitigeIdeale[sind,[undR O(Rtist[artinsch.(9)%src:578alg2k5_6.texRR &ist35halbffeinfach(alsR2ing).Beweis:+܌src:583alg2k5_6.tex1:UR=)3::FVolgerung5.11.src:585alg2k5_6.tex3:UR=)4::Satz5.18.4.undSatz5.10.3.src:588alg2k5_6.tex4:UR=)5::SpSezialisierung.src:590alg2k5_6.tex5:UR=)6::Satz5.18.3.src:592alg2k5_6.tex6:UR=)3::Satz5.18.4.und5.11.src:595alg2k5_6.tex6:UR=)2::Satz5.18.4.und5.11.src:598alg2k5_6.tex2:F=)4::SeiN*FM`eUnrtermoSdul.DannistM=XNprojektiv,undesgibtfE:FM=XN* E!Mmit(M=XN /G! M!M=XN@) =id oSder(M!M=XN!M@) =p׹mitp22 Y =p.AlsoistM6=URKe(p)Bi@Q(p)undKeE(p)UR=N@.src:605alg2k5_6.tex6:UR=)8::eSeifRn=I11 :::I1iq1 I21:::I2iq2 :::In1 i:::Inin6ƹdirektefSummeevroneinfacrhenbIdealen,iendlichviele,iweilR endlicherzeugtist,jundseienIijP ԰ =Iik ιfSyurallei;j;kzGundIi1 06P԰= Ijv1 fSyuriUR6=jӹ.SeienBkx:=URL*ii?k U_jv=1!.Ik6j .!Р荠7o]NoAethersc9heTModuln՟33[o]src:613alg2k5_6.texSeiIR3einfacrh.Seipk :R 1!Bk zdieProjektionaufBkbzgl.R׹=B1-:::%-BnP.Esgibt nmindestenseinkqmitpk#(I)?%6=?&0. (DannistIP0԰I=%pk(I)?%=?&J[Bk .ein neinfacrhesIdeal.WVegenp5.17qgiltIE(L* UXm U_ UXjv=reinkmitpk#(I)6=0.?XInsbSesonderegiltdannIBk#.?XIstf,:R 0Rq!RRX!mitfG(I)6=0gegebSen,^#so^ist^fG(I)P԰2=IOeinfacrhundfG(I)Bk fSyur^einKܞ.^DahergiltfG(Bk#)Bk fSyur^allefQ2URHom۟R"n(:RJ;:R)PUR԰n:=R,undesistBk :einzwreiseitigesIdeal.src:629alg2k5_6.texManAbSeacrhte,Eda@BidBj\URBi\Bj=0@gilt.]FSyurA12Rn=B1E:::Bn sei1=e1E+:::+enmitei=2cBidڹ.FSyurb2dBi _gilteidb=d(e1+):::d+)enP)(0)+:::+b+:::e+0)c=db=beidڹ.DaherkXannMmanMBialsRingmitEinselemenrteiau assen.Ne(BiistMkreinUnterringMvonRJ,MsonderneinjFRestklassenringjEvronRJ.)k WVegenBidBj=.0istL..Biein(einseitigesbzw.k zwreiseitiges)Bidڹ-Ideal'vron'Biwgenaudann,'wenn'LeinRJ-Idealist.'DaBi!=I1-(:::r)In direkteSummevronGPeinfachenRJ-Idealenbzw.HJBidڹ-Idealenist,G{unddaIjP\԰D=fIkjgilt,GzistBi+nach5.7eineinfacherRing.6InsbSesondere6*besitztBikreinezweiseitigennicht-trivialenIdeale,6=d.h.6diezweiseitigenIdealeBi,URRsindminimal.Mit5.12zeigtman,daRartinscrhist.src:645alg2k5_6.tex8:j=)7::UWVegenBidBjtBi\(Bj=0sinddieBiwiezuvroreinfacheRinge,alsoistR=R1V,S:::#E,RRn UmitRi,=URBidڹ,wreilAdditionundMultiplikXationindenBi(kompSonentenweise)vrerlaufen.src:650alg2k5_6.tex7:UR=)1::Lemma5.12.src:652alg2k5_6.tex7:=)9::`"Damit_dieBedingung_7.`}symmetriscrhin_denSeiten_ist,_genSyugtes_zuzeigen,daein#einfacrher#RingRbSetracrhtenMRJ20<չ:=URZ[rijJ]RJ,denvrondenrij 1erzeugtenUnterringvonLRJ.,DaZnoSetherschundRJ20endlicrh,~erzeugt,alsZ-Algebrasind,,istRJ20noSetherscrh.-SeiM@20do:=URPRJ20yiXundN@20=URPRJ20xidڹ.DannistN@20doURM@20ӹeinRJ20烹-UnrtermoSdul,M@20istalsRJ20-MoSdulendlicrherzeugt,alsonoetherscrh,#;荠7o]$ZRadik|ralTundSoAc9kel^35[o]undfG(xidڹ)UR=yi;fG(x0)=0erzeugeneinenRJ20烹-HomomorphismrusfG20k:URN@20do }!NM@20.DafG20surjektivist,istfG20injektivunddaherx0V=UR0.Damitistf2injektiv. iFolgerungp6.8.jsrc:832alg2k5_6.texSei,\REkommutativ,[offderR Mm@noethersch.-SeiMc="RJy1#9+c5::: +c5Rym.SeiNMeinkfrffeierkUntermodulmitkdenfrffeienErzeugendenx1;:::ʜ;xnP.kDannistnm.kIstnUR=m,35soistMtfrffei;\yubery1;:::ʜ;ym. hBeweis:+܌src:840alg2k5_6.texDadNfreiist,egibteseinenHomomorphismrusf :صN 3$! MmitfG(xidڹ)ص=yiɀfSyuriRɹ=1;:::ʜ;minF(m;n)undfG(xidڹ)=0sonst.vIstnm,soistfǐsurjektiv,alsobijektiv,alsofolgtnURm.Istn=m,soistf2bijektivundM+freimitdenErzeugendeny1;:::ʜ;ynP. Folgerung6.9.:src:849alg2k5_6.texSeiyRkommutativoffderznoethersch.:SeiyM^freiyuberyx1;:::ʜ;xn ]undfrffeiyubery1;:::ʜ;ym.35DannistmUR=n.Beweis:+܌src:855alg2k5_6.texWVennRFnoSetherscrhist,-dannistMebenfallsnoetherscrh.#DannfolgtdieAussageaus6.8.0De nitionZ6.10.src:860alg2k5_6.texSeiRkrommutativoSdernoetherscrh.JDerRffangeinesendlicrherzeugtenfreienMoSdulsR ;M+istdienacrh6.9eindeutigbestimmrteAnzahlderfreienErzeugenden. hBeispiel 6.11.=src:867alg2k5_6.texDercEndomorphismenringeinesabzyahlbarunendlicrhdimensionalenVVektor-raumesistwrederrechtsnoSchlinksnoSethersch.Beweis:+܌src:873alg2k5_6.texAus;ap$+%bqB=1;pa =1;qn9b=1;pb=0;qn9a=0;folgtwieinderPryasenzSyubungRRn=URR HRJpR ;RqXfreiundRR H=URaRR ;bRR ;frei.N8De nitionD6.12.src:879alg2k5_6.texEinyElemenrtr2URRineinemRingyRheitLinks-Einheit(Rffechts-Einheit),WVennrSRn=URR(RJr=R)gilt.r2URRheitEinheit,wrennRr=URRn=rSRgilt. hLemma26.13.ksrc:886alg2k5_6.texWenn#^re2 R2R_mitzy_=\yn9zz>=1undxUR=x1UR=xyn9z5=1z=URz.)/ nۍع7.\RadikalundSockelDe nition7.1.(1)~Gsrc:7alg2k7_8.texN6URM+heitgrffo(essential,35wesentlich)genaudann,wrenngilt48U6URM:N\U=0=)U=0:(2)%src:11alg2k7_8.texN6URM+heitklein(supffer uous,;\y35uber 'yussig)genaudann,wrenngilt7y8U6URM:N댹+U=M=)U=M: hLemma7.2.src:19alg2k7_8.texSeien35N6URMP,35UPUntermoffduln.35DanngiltdasmoSdulareGesetz:5\N댹+(U\M@)UR=(N댹+U@)\M:$荠7o]36nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Beweis:+܌src:25alg2k7_8.tex:nAusn2+2u 2 Nsչ+Umitn 2Nundu 2Us\2MMfolgtn2+u 2M@,alson+uUR2(N댹+U@)\M.src:29alg2k7_8.tex:7Ausn +uUR=m2(NL+ U@)\MfolgtuUR=m nUR2ML\ U@,alson+uUR2NL+ (U\M@). #Lemma7.3.(1)osrc:35alg2k7_8.texSeienN%N@20M@20MUntermoffdulnundseiNgrffoinM@."Dann%ist35N@20BRgrffoinM@20.(2)%src:38alg2k7_8.texSeienN6URN@20doM@20MTUntermoffdulnundseiN@20"kleininM@20.DannistNkleinin%M@.(3)%src:41alg2k7_8.texSeien35N;N@20doURMtgrffoeUntermodulninM@.DannistN\N20BRgrffoinM.(4)%src:43alg2k7_8.texSeien35N;N@20doURMtkleineUntermoffdulninM@.DannistN댹+N20BRkleininM."Beweis:+܌src:49alg2k7_8.tex1.SeiU6URM@20ŹmitN@20\U=UR0.DannistN\U=UR0,alsoU=UR0.src:52alg2k7_8.tex2. Sei UMMemitN+U=M@. DannistN+(U\M20)=(N+U)\M20 =M\M20 =M20,alsoistU\M@20do=URM@20ŹunddamitM@20URU@.EsfolgtN6U+undN댹+U6=M@,alsoU6=M@.src:57alg2k7_8.tex3.Sei(N\N@20)\U6=UR0.DannistN\(N@20\U@)UR=0,alsoN20\U6=UR0unddamitU=UR0.src:60alg2k7_8.tex4. SeiT(N+kN@20)k+Uy=8,M@.DannUistN+k(N@20z+kU@)8+=M,alsoTN20z+kUy=MG9undUdamitU6=URM@.Lemma7.4.src:65alg2k7_8.texSeien35N;U6URMtUntermoffduln.s2(1)%src:67alg2k7_8.texWennTN7maximalbzgl.RderSBeffdingungNz\: U6=UR0ist,~dannistNz+: U6URM7eingrffoer%Untermoffdul.(2)%src:69alg2k7_8.texWennNEminimalbzgl.RderBeffdingungN+FUӹ=Mist,FdannistN\FUMein%kleiner35Untermoffdul.(3)%src:72alg2k7_8.texEs35gibteinenUntermoffdulN@,dermaximalbzgl.N\U6=UR0ist."Beweis:+܌src:78alg2k7_8.tex1.sSeiuVURMYmit(NB+U@)\V=UR0.rDannvistuNB\U6=0.sSeiun+vË=u2(NB+Vp)\U@.sEsfolgtvË=URun2(NTŹ+U@)\V¹=0,alsoistn=u2NT\U6=0unddamit(NTŹ+Vp)\U6=UR0.DaheristN+e.V='N@,wreilN=maximalbzgl.CN\e/Uh='0ist.BDarausfolgtV'N@,alsoVUR(N댹+U@)\V=UR0undV=UR0.DamitistN댹+U6M+gro.src:87alg2k7_8.tex2.7SeiҊVURMomit(Nf\nU@)+nV=URM@.6DannҋistҊNf+U6=M@.7Seiҋm2MnmitҊm=nn+u2Nf+U@.Seiwreiternxd=n20O+vmitn20F2N_\U֍undv2V2(wreiln2M@).Esfolgtv2V\N֍undmUR=(n20+u)+vË2URU@+(VL\N@)unddaher(N\Vp)+U6=URM@.DaNZminimalbzgl.N+U6=URMist,istN6=URN`\D|Vp,alsoN6URVp.Darausundaus(N`\D|U@)D}+V¹=URMfolgtV=URM@.DamitistN\U6URM+klein.src:97alg2k7_8.tex3.RYDieQMengeQVY:=fV3M@jVF\UE=0gistQinduktivgeordnet,Qdennsei(Vidڹ)i2IeineKetteinV芹undseixW2([Vidڹ)\U@.DanngibteseiniW2Iwmitx2Vid\U,alsoistxW=0.Damitist[Viin&9V"ϹobSere&:ScrhrankederVidڹ.&FVolglichgibteseinenUntermoSdulNgvon&:M@,&Hdermaximalistbzgl.N\U6=UR0.efLemma7.5.src:107alg2k7_8.texN6URMtist35genaudanngrffo,wenngilte>a8mUR2Mnf0g359r2Rn:rSm2Nnf0g:Beweis:+܌src:113alg2k7_8.texN_Mgroa()[8UM:N<)\DU=0=)U=0]()[8UM:U6=0=)Nc\"U6=0]C ()_()ݹ[8RJmMϹ:Rm6=0=)Nc\"RJm6=0]()[8m2Mcn"f0gB9rz2R6:erSmUR2NnTf0g].LediglicrheineRichtungvon()bSenyotigteinezusyatzliche8 pxUbSerlegung.WVennU=f6=0HundGdierecrhteSeiteGvon()Ggelten,soexistierteinm2U$,mitRJm6=0.Alsoist0UR6=N\RJmN\U@.V"Lemma 7.6.src:128alg2k7_8.texSei"tRJmZ[McXnicht"sklein.#DannexistierteinUntermoffdulNQ>[M@,"dereinmaximaler35Untermoffdulistunddermnichtenthyalt.Beweis:+܌src:134alg2k7_8.texDieNMengeS߹:=}fU@a$M@jRJm+U=|M@gNistNnicrhtleer,NweilRJmnichtNkleininMist.TSuistWinduktivXgeordnet.Seinyamlicrh(Uidjim2I)eineKetteinXSb.TDanngiltm62Ui1fSyur%&0荠7o]$ZRadik|ralTundSoAc9kel^37[o]alleMi2I.NNAlsoistM[Uib$Mundo enrbarRJm+([Uidڹ)=M@.NMDahergibtesMeinmaximalesElemenrt wNJ[inSb. SeiNʦ$N@20M@.Dann wistN@20ο+RJmù=M@. DaabSer vN208=2"Sb, istN20=M,alsoistN+einmaximalerUnrtermoSdul.O enbaristm=UR2N@.ōDe nition7.7.(1)~Gsrc:146alg2k7_8.texRadikXal(M@)UR=Radb(M):=\fU6$MjU+maximalerUnrtermoSdulg,(2)%src:148alg2k7_8.texSoScrkel(M@)UR=SocH(M@):=PfU6MjU+einfacrherUntermoSdulg.ƍSatz7.8.(1)]src:155alg2k7_8.texRad (M@)UR=PfVMtkleint)g;(2)%src:156alg2k7_8.texSoSc(M@)UR=\fVMtgrffog.Beweis:+܌src:161alg2k7_8.tex1..:SeiVURMtklein.FSyurallemaximalenUnrtermoSdulnU6URMtgiltUURU+V$M@,G:wreilG#V㒹kleinundG"U36=Mist.GEsfolgtU3=U*+V㒹undV+U@.GDaherG"istV+\UunddamitꨟPSVUR\U@.src:167alg2k7_8.tex:qWVennq*RJmnicrhtq*kleininMist,qLdanngibtesnacrh7.6einenmaximalenUntermoSdulNincMGGmitm=2 N@.Alsoistm=2\Ui=RadE(M@)N.WVenncalsom2RadD(M)cgilt,jdannistRJm꨹kleininM@.DamitistmUR2PfVM+klein&g.src:174alg2k7_8.tex2.m:Sei8VPgroin7MundUeinfacrh.mDanngiltVT\3UL6=g0,kalsoVS\3UK=UunddamitU6URVp.EsfolgtPSUUR\Vp.src:179alg2k7_8.tex:Wirzeigenzunyacrhst,dajederUntermoSdulvon\Vi^direkterSummandvon\Vi^ist.SeiZN\VigegebSen.]SeiZXL\maximalinMmitN:\WX=0(Lemma7.4.3.).]DannistNo{+.X=&V;'MRgroonacrhLemman7.4.1.EsfolgtoNoz+.(X \(\Vidڹ))='(Noz+X)\.(\Vidڹ)(Lemmaj`7.2)j_=URVA\(\Vidڹ)=\Vi:undN\(X%\(\Vidڹ))UR=0.k$Damitistj`N(X%\(\Vidڹ))UR=\Vi.src:189alg2k7_8.texAusiSatz5.16folgt,ida\Vi΅SummevroneinfachenUntermoSdulnvoni\Vi΅ist.jnAlsoist\VienrthalteninderSummedereinfachenUntermoSdulnvonM@,d.h.demSoSckelvonM@.EBemerkung7.9.src:196alg2k7_8.texEinMoSdulMRistgenaudannhalbSeinfacrh,wennermitseinemSoScrkelSyubSereinstimmrt.Folgerung7.10.src:201alg2k7_8.texmUR2Radb(M@)()RJmURMtklein.Beweis:+܌src:205alg2k7_8.tex(=:nacrhSatz7.8.src:207alg2k7_8.tex=):wurdeimBewreisvonSatz7.8explizitfestgehalten.UƍFolgerung7.11.src:212alg2k7_8.texJeffder35endlicherzeugteUntermodulvonRad?(M@)istkleininM.Beweis:+܌src:216alg2k7_8.texNacrhy7.10sindRJm1;:::ʜ;Rmn mZM.\klein,zwennym1;:::ʜ;mn2ZRadf(M@).}Nachy7.3.4istdannP*Un U_Ui=1 ֩RJmiOinM+klein.-"Satz7.12.src:222alg2k7_8.texSei35Mtendlicherzeugt.DannistRad?(M@)kleininM.Beweis:+܌src:226alg2k7_8.texDaiMendlicrherzeugtist,i$istjederechteiUntermoSdulvonMineinemmaximalenUnrtermoSdulenthalten(5.14).ESeiNc$MXundUmaximalerUnrtermoSdulmitNc~U$M@.DannistRadg(M@)URU+alsoRad(M@)+N6URU$M@.DaheristRadg(M)kleininM.ƍSatz7.13.src:235alg2k7_8.texSei35fQ2URHom۟R"n(M;N@).DanngeltenW_(1)%src:237alg2k7_8.texfG(Rad (M@))URRadb(N).(2)%src:238alg2k7_8.texfG(SoSc(M@))URSoScH(N).Beweis:+܌src:243alg2k7_8.tex1.SeiU<=YM#}klein.SeiVYN#~mitfG(U@)Sx+SwV=ZN.EsfolgtfG21 {(fG(U)Sx+Vp)Y=fG21 {(N@)UR=M6=UBֹ+fG21(Vp),dennausfG(x)=f(u)+vfolgtf(xu)UR=vn9;xuUR2f21 {(Vp)unddaherxUR2U+fG21 {(Vp),alsofG21(fG(U@)+Vp)URU+f21 {(Vp).DaUkleinist,istf21 {(Vp)UR=M@.DarausfolgtfG(f21 {(Vp))UR=fG(M@)V,alsofG(U@)V,]unddamitV¹=N@.xAlsoistfG(U)kleininM@.WirhabSensomitfG(Rad (M))UR=PU"klein*ϥfG(U)PVklein+ +V¹=Radb(N).src:254alg2k7_8.tex2.W SeiV)U6URMeinfacrh.W DannV*istfG(U@)N einfacrhV*oSder0.W DahergiltfG(PUidڹ)URSoScH(N@). &@{荠7o]38nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Folgerungg7.14.asrc:260alg2k7_8.texRadundSoScJsindkovarianteUnterfunktorffenvonId7:RJ-Mo`dn:"Ó!R-Mo`dn:.;Folgerung7.15.(1)\dsrc:266alg2k7_8.texSeiU Mzkleinundf 2HomLR%@'(M;N@).DannistfG(U) N%klein.(2)%src:268alg2k7_8.texSei35U6URNtgrffoundfQ2Hom۟R"n(M;N@).DannistfG21 {(U)URMtgrffo.wregenff21 {(U@)DDU.Esfolgt\v92nfG21 {(U@)\Vp,]8alsox2ofG(f21 {(U@)\Vp)=0._Daraus\folgt\jetzt0=ofGf21 {(U@)\fG(Vp)=U)g\胹Bi~,(f)\f(V)=U)f\fG(V)EundEdamitfG(V)=0,EwreilEUegroEinNfist.F AlsoistVLfKe M(fG)f21 {(U@)Oundwregenf21 {(U@)5Q\5PVLf=0folgtV=0.DaheristfG21 {(U@)groinM@.zFolgerung7.16.(1)\dsrc:291alg2k7_8.texRad (RRJ)M6URRadb(M@).(2)%src:292alg2k7_8.texSoSc(RRJ)M6URSoScH(M@).Beweis:+܌src:384alg2k7_8.texEsdgenSyugtezuzeigen:WVennMHhalbSeinfacrhist,dannistMHgenaudannendlicrherzeugt,wrennȣM artinschist.WVennM halbSeinfachist,dannistM =(Ui-|miteinfachenMoSdulnUidڹ.Mistgenaudannendlicrherzeugt,wenndiedirekteSummenurendlichvieleSummanden^What._ IstM;artinscrh,^uso^XhatdiedirekteSummenrurendlich^XvieleSummanden.IstdiedirekteSummeendlicrh,sokXannesnurendlichvieledirekteKomplementezueinerabsteigenden`KetteN1 9yN2y:::ڜin`MDgemya5.17gebSen.hDahermrueinesolcheKettestationyarwrerden,d.h.M+istartinsch. ɘD=Satz7.24.src:397alg2k7_8.tex(LemmavronNakXayama)35F'yurR &IFURR HRLsindyaquivalent:(1)%src:400alg2k7_8.texIFURRadb(RRJ).(2)%src:401alg2k7_8.tex1+I$bffesteht35nurausRechtseinheiten.(3)%src:402alg2k7_8.tex1+I$bffesteht35nurausEinheiten.(4)%src:403alg2k7_8.tex1+IRLbffesteht35nurausEinheiten.(5)%src:404alg2k7_8.texIM6=URM=)M=035f'yuralleendlicherzeugtenMoffdulnR &M@.(6)%src:406alg2k7_8.texIM댹+U6=URM=)U=Mtf'yur35alleendlicherzeugtenMoffdulnR &M@.(7)%src:408alg2k7_8.texIM6URRadb(RM@)35f'yuralleendlicherzeugtenMoffdulnR &M@.D>Beweis:+܌src:414alg2k7_8.tex1:=)2::J6inrvertierbaristz.B.durchs(1rS)UR=1.Dannist1r=UR1,alsor=UR0.!Lemma[8.3.src:593alg2k7_8.texSei?R/einR2ing@mitdeneinzigenIdempffotenten0und1.lDannistjeffdesinver-tierbffare35ElementinRLeineEinheit.)ʠ荠7o].Lok|ralisierung41[o]Beweis:+܌src:598alg2k7_8.texSeiSrinrvertierbarz.B.SdurchsrZ= 1.SDannistS(rSs)22= rsrs =rs,S-alsoSrs2 f0;1g.WVenn rSs`.=0ist, dannist 1`/=(srS)22 3=srsr=0, ein Widersprucrh.Alsoist rs`/=`.1, d.h.rDisteineEinheit.vFolgerung8.4.src:605alg2k7_8.texIn35einemlokalenR2ingRLsindalleNicht-Einheitennichtinvertierbffar.Satz8.5.src:610alg2k7_8.texSei35RLeinlokalerR2ing.Danngeltens2(1)%src:612alg2k7_8.texA2lle35Nicht-EinheitensindnichtinvertierbffarundbildeneinzweiseitigesIdealN@.(2)%src:614alg2k7_8.texNtist35einzigesmaximales(einseitigesundzweiseitiges)undgryotesIdeffalvonRJ.Beweis:+܌src:620alg2k7_8.tex1.(SeiN㟹dieMengederNicrht-EinheitenvonRJ.)DaRlokXalist,alsoNicht-Einheitennicrhteinvertierbarsind,eistNbzgl.fmderAdditionabgeschlossen.fmSeirzJ2&Nunds2RJ.fmWirzeigen,1Pda1?aucrh1>sr!2xNr"gilt.1WVennnyamlich1?sr]=!2~Nr"ist,1Qdannistsr̹eineEinheit,1PalsogibteseintUR2Rmittsr=1.EWVegen8.3istdamitaucrhr2eineEinheitimWidersprucrhzur2URN@.DamitistN+einzwreiseitigesIdeal.src:629alg2k7_8.tex2./O enrbar.gilt.N $RJ.IstI$RGund.r2I,.soist.RJr$R,.also.r7eineNicrht-Einheit.unddamitr2URN@.AlsogiltIFN@.0\uSatz8.6.src:636alg2k7_8.texRܒistHgenauGdannlokal,dwennRgenauGeinmaximales(gryotes)Linksideffalbesitzt.Beweis:+܌src:641alg2k7_8.tex=):folgtaus8.5.src:643alg2k7_8.tex(=: Sei NKdas einzigemaximaleIdealvronRJ. DannistN=Rad(RJ)einzwreiseitigesIdeal.SeirG2R@n&N@.DannistNg+RJrG=R.DaN̜=Radx(R)kleinistinRJ,3giltRx=R,3alsoexistiert]eint]mittrl=1.^aWVennteineRecrhts-Einheit]ist,]dannistnacrhLemma6.13aucrhreinewEinheit.IstxtabSerkreineRechts-Einheit,dannxistRJt|6=R,alsowRtN[undwdamittB2AN@.DaϿNzwreiseitigesIdealist,istauchϾ1B=tr.2N@,einϿWiderspruch.AlsoϾistjedesr2URRniN`eine|Einheit.՜JedeNicrht-Einheit|liegt{alsoinN@.WVennx,ՁyCNicrht-Einheiten|sind,dannzfolgt{ausx;y42aN^aucrhx>H+>Gy2aN@,ñalso{istaucrhx>G+>Hy1Nicht-Einheitund{damitRlokXal.TLemma8.7.src:660alg2k7_8.texSeivReinulokalerR2ingmitmaximalemIdeffalm{R$RJ.SeiuM'Yeinendlicherzeugter35Moffdul.WennM=mM6=UR0ist,dannistM=UR0.Beweis:+܌src:666alg2k7_8.texWVegen"m=RadB(RJ)undmMh=MSfolgtM=0nacrhdemLemmavonNakXayama.kʍz>9.}Lokalisierungsrc:6alg2k9.texSeiRindiesemKapitelimmereinkrommutativerRing.src:9alg2k9.texWiederholungr;ausAlgebraI:|Eine}MengeSpSmit;-$So,Rǹheit|multiplikativabge-schlossen,wrenngilt8s;s 0#2URS):ss 02SoundKO0=2S :s2src:14alg2k9.texAufRSisteinebpxAquivXalenzrelationde niertdurcrheɊ(rr;s)UR(rS 0!;s 09):()?9t2S):tsrS 0w=ts 0rr:RJ[Sן21 S]8V=Sן21RQ:=8UR'kS =nistmeinkrommutativernRingmitEinselemenrt.!DieElementewrerdenmitH捍ōCrC[z ΍ s;:=UR`z p(rr;s)čsrc:21alg2k9.texbSezeicrhnet.DieAbbildung:'UR:Rn3r7!ōsr[z ' ΍ύs92RJ[Sן 1 S]src:23alg2k9.texisteinRinghomomorphismrus.SieistunabhyangigvonderWVahlvonsUR2S׹.IstRѹnullteilerfrei,dannist'injektiv.*۠荠7o]42nAlgebraTIAI{P9areigis[o]Satz9.1. Nsrc:28alg2k9.texSeiK(S4RdreineK'multiplikativabffgeschlosseneMenge.KMSeiR >M einRJ-Moffdul.KLDannist35dieRffelationD\{O(m;s)UR(m 09;s 0)UR:()9t2S):tsm 0#=ts 09m=src:32alg2k9.texauf35MS eine3pxAquivalenzrffelation.WeiteristUOeSן 1 SM6:=URMS =mit35denElementenōKmK[z G ΍_sG:=`z7 p(m;s)衍src:35alg2k9.texein35Sן21 SRJ-MoffdulmitdenOperationenj捍ō{m{[z G ΍_sܪ+ōm20۟[z N ΍_s0{=ōs209m+sm20[z36 ΍ss0I+undōm rm [z ΍ sōumu[z G ΍_spԟ0_=ōrSm[z. ΍ss0:Beweis:+܌src:41alg2k9.texwieinAlgebraIfSyurSן21 SRJ.'Lemma9.2.src:45alg2k9.texIn35Sן21 SMtgiltFufhmfhzğꍑDss=UR0genaudann,wenneseint2S gibtmittm=0.JjBeweis:+܌src:50alg2k9.tex(m;s)UR(0;s209)()9t20#2URS):t20s20m=0()9t20s20#2URS):t20s20m=0.HILemma9.3.(1)osrc:56alg2k9.tex'M B:URM63m7!Fusmz sꍑbs 2Sן21 SM[isteinvonsUR2S͜unabhyangigerGruppffen-%homomorphismus.(2)%src:58alg2k9.tex'M istgenaudanninjektiv,>wennS>keinenNullteilerf'yurMenthyalt,>d.h.smUR=0=)%mUR=0.(3)%src:61alg2k9.tex'Mistgenaudannbijektiv,wenndieA2bbildungME3,m+7!sm2M҄f'yuralles,2S%bijektiv35ist.(4)%src:64alg2k9.tex'R &ist35einR2inghomomorphismus.(5)%src:65alg2k9.tex'M B:URM6!QSן21 SMtist35'R-semilineffar,d.h.'M (rSm)='R(r)'M (m).Beweis:+܌src:72alg2k9.tex1.WVegent209(tsmstm)UR=0istFusm۟z sꍑbs`=Futmz ꍑbtRF.#Zsrc:74alg2k9.tex2.'M (m)UR=0()Fusmןz sꍑbs\=0()9t2S):tsm=0()9t2S):tm=0:src:77alg2k9.tex3.\)'M ksurjektivp()*8Fu33m33zğꍑDs2]Sן21 SM_9m202MVA:FuHsm-:0Hz$ǟꍑFs=FuHmHzğꍑDs+A()*8m2M;s2\SS9m202MVA:sm20#=URm()8s2S):(s:M6!M@)surjektiv.j.src:82alg2k9.tex4.+5.'M (rSm)UR=Fus-:2*rMm>MzğꍑDsй=Fum-:0z 6ꍑDs0$=)+"X9t20Z2S?c:t209s20m=t20sm20=)Fu ftHzst)@ m=Futs-:0t-:0zcsts0t0K m=Fu \t33zcsts0t0t s209t20mUR=Fu mtzcsts0t0 st20mUR=Fu؇tst-:0zcsts0t0 m20#=Fu؇tz ͟s0t- m20.Ȕsrc:138alg2k9.texEsgilt O h=URid ,denn (M@) (M)(Fu33r33zbꍐs #p m)UR= (M@)(Fu33rf'yur>jeffdenMonomorphismusf:DMC!1:NauchP R d|f:DP RMC!1:P RNeinMonomorphismus35ist.Beweis:+܌src:245alg2k9.texWVennOPR C! acrhistundOwennfι:M >!NseinOMonomorphismusist,OdannOist0aX!nMh 'mfJ6!No.exakt./kFVolglicrh.Jist0URn!1P˯ R|Mh6P.: X.RfJ % ! P RNo/exakt.Junddamit.KP˯ RfQ:URP RM!nPLn R ;N+einMonomorphismrus.src:252alg2k9.texAngenommenPLn R ;-serhyaltMonomorphismenunddieFVolgeE?:::_yT!ΨMi16f8:i1퍍2!%Mih &f8:iJ,ӷ!) Mi+13!#:::dsrc:256alg2k9.texistexakt.DannsinddieFVolgen0URn!1Bi Y(fi1AV)URn!1Mi,ӷ!) Bi#(fidڹ)URn!0src:258alg2k9.texexakt.DaPLn R ;-sMonomorphismenerhyalt,sinddieFVolgenb0URn!1PLn R ;Bi3(fi1AV)URn!P R ;Mi,ӷ!) P RBi3(fidڹ)URn!10src:262alg2k9.texexakt.DiekXanoniscrheAbbildungPf R4Bi(fG)URn!1Bi Y(Pg R4f)istsurjektiv,dennjedesElementPpiE AjfG(midڹ)928Bic(P1 R 4f)istimBilddieserAbbildung.jManbSeacrhtejedoch,OdadieseAbbildung1 imallgemeinen1 nicrht1 injektivist.1vDieAbbildungenBiƳ(fG)!NqunddamitaucrhP R <йBiy(fG)Q!P R .`^DanngibteseinWtj2kS ԹmittfG(m)=k0=fG(tm),XalsoWmittm=k0.XDannistabSeraucrhFu0m0zğꍑDsR=0,XalsoSן21 SfeinMonomorphismrus.[]dʍsrc:295alg2k9.texWiederholungausAlgebraI:v(1)%src:297alg2k9.texEinKIdealKpqrRd^heiteinPrimidealgenaudann,K-wrennpr6=Rd^undK(rSs2qp꨹=)rM2%p_sUR2p).(2)%src:300alg2k9.texIstmURReinmaximalesIdeal,soistmeinPrimideal.(3)%src:302alg2k9.texpi2RistgenaudanneinPrimideal,wrennderRestklassenriungRJ=peinInrtegrityats-%ringist.Lemma9.11.src:307alg2k9.texSei35pURRLeinIdeffal.3pxAquivalentsind-荠7o].Lok|ralisierung45[o](1)%src:309alg2k9.texp35isteinPrimideffal.(2)%src:310alg2k9.texRnp35isteinemultiplikativabffgeschlosseneMenge.uBeweis:+܌src:316alg2k9.texfolgtunmittelbarausderDe nition.'vDe nition9.12.src:320alg2k9.texSeienNpURReinPrimidealOundM2einRJ-MoSdul.DannheitM/\%eufm8pY:=URSן21 SMmitS)=URRnpdieLffokalisierungdesMoSdulsM+beip.src:325alg2k9.texDieơMengeSpSec(RJ){:=|fpRJjp꨹Primideal57gƠheitơSpffektrumderRingesR.|DieMengeSpSecm!"(RJ)UR:=fmRjm꨹maximalesIdealV1g꨹heitMaximal-SpffektrumderRingesR.Satz+9.13.src:332alg2k9.texSeiM"einRJ-Moffdul,sodaMm 3=UR0f'yurallemUR2SpSec((RJ)gilt.;DannistM6=0.vBeweis:+܌src:337alg2k9.texAngenommen,es}gibtein|m2M`mit}m6=0.Dannist}I:=Ke (R3r7!rSm2M@)UR$Rmein#Ideal.WVeilRendlicrherzeugtist,>gibteseinmaximalesIdealmmitIFURm$RJ.Da8Mm 4ҹ=V0,istFuKkmKkzğꍑDsY=0inMm5,alsogibtes7eint2RCnwmmittm=0.Damit7giltabSertUR2IFm,einWidersprucrh.;xFolgerung9.14.src:347alg2k9.texSei35fQ:URM6!QNtgeffgeben.3pxAquivalentsinds2(1)%src:349alg2k9.texf{4ist35einMono-(Epi-bzw.Iso-)Morphismus.(2)%src:350alg2k9.texF'yur35allemUR2SpSec((RJ)35istfm jeinMono-(Epi-bzw.Iso-)Morphismus.Beweis:+܌src:356alg2k9.tex1.=)ܹ2.:giltnacrh9.10und9.5.aXsrc:358alg2k9.tex2.=)ܹ1.:DieFVolge0URn!1Ke#(fG)URn!1Mh 'mfJ6!N6!Kok+;(f)URn!10istexakt.FVolglicrhistauchiv0URn!1Ke#(fG)m 3 M!fMmh f0e{eufm6mJ 3 M!Nm 3 M!Kok0c(f)m 3 M!0esrc:363alg2k9.texexakt.InsbSesondere3giltdamit4Keߋ(fG)mP 8԰ Qȹ=Ke'D:(fm5)undKok0(f)mP 8԰ Qɹ=Kok.(fm5).Ist4nrunfm bheinMonomorphismrusfSyurallem 2SpSecm&(RJ),sogiltKeF(fG)m = 0fSyurallem,alsoKeF(fG) =0undOdamitPf[NMonomorphismrus.AnalogargumentiertOmanfSyurEpimorphismenPmitKokIL(fG).ZusammengenommengebSendiesebeidenErgebnissedieBehauptungfSyurIsomorphismen. vSatz49.15.src:373alg2k9.texSei4R}einkommutativerR2ingundpURRein4Primideffal.Dannist3Rp;einlokalerR2ing.Beweis:+܌src:378alg2k9.texDa_L0Ϛ%!pϚ%!Ro! RJ=pϚ%!0exaktistund_MRJ=pϙ6=Ϛ0ist,_ist0%!pp w +!`Rp!(4(RJ=p)p :!0exaktund(R=p)p 6=0.Alsoistpp$Rp einecrhtesIdeal.WVennFu!$r!$zbꍐsڹ=ua2 pp,#Zdann]mist]nrQ=2epunds1=j2p,]alsoistFuszbrFu hr hzbꍐsh=k1unddamitFurzbꍐs3eineEinheit._DaherbildendieNicrht-EinheitenvonRpeinIdealpp,d.h.RpistlokXalundppistdasmaximaleIdeal. Folgerungz9.16.1src:390alg2k9.texSei;pURRU einPrimideffal.=:DannistderQuotientenkyorperQ(RJ=p)isomorphzu35Rp=pp.vBeweis:+܌src:395alg2k9.texWieimvrorhergehendenBeweisist(RJ=p)pP N1԰ g=IRp=pp.WVeiteristRp=pp XeinKyorpSer,wreilppdasmaximaleIdealvonRpist.WVeiterist濍3(RJ=p)pY=URSן 1 S(R=p)=fō33dzKr33[z ΍ sjdzKrk2R=p;s=2pgP԰n:=fō33dzKr33[z ΍ dzKsjdzKrk2R=p;dzKs 12R=p;dzKs 16=0g=Q(R=p):;<kSatzD9.17.}src:406alg2k9.texSeiʟR ]MDeinendlicherzeugterMoffdul.SeiM=mM6=UR0f'yurallemaximalenIdeffalemURRJ.35DannistM6=UR0.vBeweis:+܌src:412alg2k9.texM=mMP6԰=@RJ=m= R 13MP6԰=Rm5=mm  Rmp'Rm RMP6԰=@Mm5=mmMm.DaFRm {lokXalGistundMm endlicrhgerzeugtfist,mfolgtMm 3=UR0fSyurallemaximalenIdealemURRJ.ЎAlsogistM6=0. Folgerung9.18.src:420alg2k9.texSeibfɹ:MU!NeinRJ-HomomorphismusundbseiNendlicherzeugt.cESeifG=mf'd:dM=mM I!fNF:=mNein}Epimorphismus}f'yurallemaximalenIdeffalemdeRJ.~7Dannistf{4ein35Epimorphismus.. 荠7o]46nAlgebraTIAI{P9areigis_{aBeweis:+܌src:427alg2k9.texEsٓistْMh qfJ )!N )!QE!Y0exaktٓunddamitQendlicrherzeugt.܋WirwrendendensFVunktorRJ=m R \-ansunderhaltendieexakteFolgeM=mM2 K!=P2?H(c)[bsrc:61alg2prae.texP1jQPUR԰n:=P2Q꨹=)P1PV԰.>=P2?#,(10)=Ѭsrc:64alg2prae.texZ=(2)Z=(6)Z=(6):::Pʚ԰ス= uCZ=(6)Z=(6)Z=(6):::uH.#,(11)=Ѭsrc:67alg2prae.texZ=(2)Z=(4)Z=(4):::ʚ6P԰= Z=(4)Z=(4)Z=(4):::uH.#,(12)=Ѭsrc:70alg2prae.texMans ndezwreirabSelschesGruppenP{9undQ,wsodaPisomorphrzueinerUnrter-=ѬgruppSeBvronQBistundQisomorphzueinerUnrtergruppSevonPOistundBP6P԰= @=Q=Ѭgilt.*ISI.%src:78alg2prae.texTVensorproSdukteT)((1)=Ѭsrc:83alg2prae.texInC CCgilt1 ii 1UR=0.=Ѭsrc:86alg2prae.texInC RCgilt1 ii 1UR6=0.)((2)=Ѭsrc:89alg2prae.texFSyurjedenRJ-MoSdulgiltR R ;MP6԰=@M@.)((3)=Ѭsrc:91alg2prae.texSeiderQ-VVektorraumV¹=URQ2n gegebSen.G(a)[bsrc:94alg2prae.texBestimmedimRG(R Q cVp).GH(b)[bsrc:96alg2prae.texGibexpliziteinenIsomorphismrusR Q cVP԰ =kR2n an.)((4)=Ѭsrc:100alg2prae.texSeiVeinQ-VVektorraumundWneinR-Vektorraum.G(a)[bsrc:103alg2prae.texHomyR(:RQ;:Wƹ)PUR԰n:=WninQ-Mo`dX.GH(b)[bsrc:105alg2prae.texHomyQ2k(:V;:Wƹ)PUR԰n:=Hom(yR.(:R Q cV;:Wƹ).H(c)[bsrc:107alg2prae.texSeicdimQV+<~1undbdimRGW <1.oWiekXannbmanvrerstehen,dain4b[blinksunendlicrheMatrizenundrechtsendlicheMatrizenstehen?0(͠荠7o]48nAlgebraTIAI{P9areigis[o]GH¹(d)[bsrc:111alg2prae.texHomyQ2k(:V;HomyR (:R;:Wƹ)PUR԰n:=Hom(yR.(:R Q cV;:Wƹ).U)((5)=Ѭsrc:115alg2prae.texZ=(18) ZZ=(30)UR6=0.)((6)=Ѭsrc:117alg2prae.texmUR:Z=(18) ZLZ=(30)3dzRKx dz(ߟKy p)7!dz 1Kxy2Z=(6)=ist1荠7o]Prg3asenzAǞg3ubungenTzurAlgebraIAIK49[o]H(c)[bsrc:203alg2prae.texTnP(M@)UR:=fx2Mjnx=0g꨹isteinFVunktorAb L!*`Ab<g.UGH(d)[bsrc:205alg2prae.texDieEinrbSettungTnP(M@)URn!1M+isteinfunktoriellerHomomorphismus.)((3)=Ѭsrc:209alg2prae.texInRJ-Mo`d#\Թgilt:=ѬfQ:URM6!N+Epimorphismrus?()f2surjektiv.)((4)=Ѭsrc:212alg2prae.texWVennFeinkrovXarianterdarstellbarerFVunktoristundfS:kUM8!1NeinMono-=Ѭmorphismrusist,TdannistF1(fG)UR:F(M@)n!1F(N@)ebSenfallseinMonomorphismrus.)((5)=Ѭsrc:216alg2prae.texDerFVunktorFc:URM67!Z=(n) ZM+istnicrhtdarstellbar.)((6)=Ѭsrc:219alg2prae.texDerFVunktorFc:URV7!Q2nR Q cVistdarstellbar.)((7)=Ѭsrc:222alg2prae.texDerFVunktorTn:URAb\ku!)JAb?gmitTnP(M@)UR:=fx2Mjnx=0g꨹istdarstellbar.)((8)=Ѭsrc:225alg2prae.texJederladditivrelFVunktorF:URRJ-Mo`d"~$ !46]S׹-Mo`d#xcerhyaltendlicheldirekteSummen,=Ѭd.h.Fƹ(MN@)PUR԰n:=F(M)Fƹ(N). V.%src:232alg2prae.texMorita-wwpxAquivXalenz)((1)=Ѭsrc:237alg2prae.texZeige,da(KFKܞ)-Mo`d#CnicrhtꨞyaquivXalentzuKܞ-FMo`d$ (ist.)((2)=Ѭsrc:240alg2prae.texSei@KeinKyorpSer,@GBX:=URMnP(Kܞ),@FK |PB :=K2n die@MengederZeilenrvektoren,@GB QK=ѬdieMengederSpaltenrvektoren.Findef:kPUY B Qk*!Kaundgع:kQ K VP e&!B,=Ѭsokda(K5;B;PS;Q;f;gn9)keinenkMorita-Konrtextbildet.kIstdieserMorita-Kontext=Ѭstrikt?)((3)=Ѭsrc:246alg2prae.texZeigeR-Mo`d"46P԰= C-Mo`dX.)((4)=Ѭsrc:248alg2prae.texBestimmedasBildderAbbildungenf.undgT6yuberKܞ,Z,K[x].)((2)=Ѭsrc:266alg2prae.texFindealleeinfacrhenMoSduln>6yuberC[x],M2(Kܞ),Q[x]=(x22).)((3)=Ѭsrc:269alg2prae.texFindealleeinfacrhenMoSduln>6yubertʍџqʍc)K>K0>Kq:)((4)=Ѭsrc:277alg2prae.texStelleEndgK[x]*(Kܞ[x]=(x)K[x]=(x1))alsRingvronMatrizendar.* 3VISI.%src:283alg2prae.texRadikXalundSoScrkel)((1)=Ѭsrc:288alg2prae.texRadikXalundSoScrkelendlicherzeugterabSelscherGruppSen.BestimmeG(a)[bsrc:291alg2prae.texRad (ZTZ=(p)),SoSc*(ZZ=(p)).UGH(b)[bsrc:292alg2prae.texRad (Z=(p2nP)),SoSc*(Z=(p2n)).H(c)[bsrc:293alg2prae.texRad (Z=(p2nP)Z=(p2mĹ)),SoSc*(Z=(p2n)Z=(p2mĹ)).GH(d)[bsrc:294alg2prae.texFSyurwrelchenUR2NistRadg(ZTZ=(n))=0?)((2)=Ѭsrc:298alg2prae.texBestimmeRadikXalundSoScrkelderabelscrhenGruppenG(a)[bsrc:300alg2prae.texZ,GH(b)[bsrc:301alg2prae.texQ,H(c)[bsrc:302alg2prae.texQ=Z.*rVISII.%src:307alg2prae.texLokXaleRinge)((1)=Ѭsrc:312alg2prae.texSeiReinlokXalerRing.DannistRJ=meinScrhiefkyorpSer.2Q荠7o]50nAlgebraTIAI{P9areigis[o])((2)=Ѭsrc:315alg2prae.texDerRingderformalenProtenzreihenKܞ[[x]]isteinlokXalerRing.U)((3)=Ѭsrc:318alg2prae.texDerProlynomringKܞ[x]istkeinlokXalerRing.*IX.%src:323alg2prae.texLokXalisierungs2)((1)=Ѭsrc:328alg2prae.texS):=UR2Znf0g꨹istmrultiplikXativabgeschlossen.Sן21 SZUR$Q.)((2)G(a)[bsrc:333alg2prae.texWVennS)URTLimrultiplikXativabgeschlosseneMengensind,dannwirddadurch[beinHomomorphismrus Ë:URSן21 SM6!TƟ21 BM+induziert.GH(b)[bsrc:336alg2prae.texFindeeinehinreicrhendeBedingungdafSyur,da Xinjektivist.H(c)[bsrc:338alg2prae.texFSyur=S):=URZn͹(p)und