; TeX output 1995.07.07:0656 u>|K~WN cmbx12VORLESUNGEN4ٚUBERQUANTENGRUPPEN%ӯUNDٚNICHTKOMMUTATIVEGEOMETRIEPjuA XQ cmr12Prof.Dr.BoSdoPrareigisyLSommersemester1993* u>||{Ycmr8I|B?"V cmbx10V orw9ortj*9 K`y cmr10DielV*orlesung爞oubGerQuantengruppenundnichtkommutativelGeometrieist 9eineEinfGouhrungindiesesneueGebietmitkqategorietheoretischenHilfsmit-9teln.SiewendetsichanStudentenmittlererSemesterundkqann(ho entlich)9alleinUUmitV*orkenntnissenUUausderLinearenAlgebraverstandenwerden. 9Ich_bGehandlenichtkommutativegeometrischeRoaumeimSinnederalgebrai-9schenyGeometriealsaneSchemataoGderalsderenzugehoorigenF*unktionen-9algebren.V*ondenzugehoorigenQuantengruppGenkonnteichausZeitgrGounden9nur#denMonoid-T*eilbGehandeln.#8AufderAlgebren-Seiteentsprichtdiesen9eineUUBialgebra.9VielegeometrischeRoaumekoonnendurchdieAngabGederaufihnende nier-9tenlF*unktionen(ineinenvorgegebGenenGrundkoorper)vollstoandigbeschrie-9bGen`werde.`DieseF*unktionenbildenvermoogederAdditionundMultiplikqa-9tioncderW*erteeineAlgebra.d!AusderKenntnisdieserFunktionenalgebra9kqanndergeometrischeRaumzurGouckkonstruiertwerden.DasgiltimF*alle9deralgebraischenGeometriefGouraneSchemataundzugehoorige(Polynom-9)Algebren7ebGensowiefGourkompaktetopologischeRoaumeund(, b> cmmi10C^4O!cmsy7P-)Algebren9(SatzvonGelfand-Naimark),alleskommutativeAlgebren.Anwendungenin9der$PhysikundderDi erentialgeometrielassenesrichtigerscheinen,7auch9nicht-kommutativeEAlgebrenzubGetrachten,EdenenEimsoebenerwoahntenSin-9neeigentlichkeinegeometrischenRoaumezugeordnetwerdenkoonnen.Wir9werden+sehen,+:wievielvondiesemgeometrischenKonzepterhaltenbleibt.9EsRreicht,umdasMonoidderEndomorphismeneinessolchennichtkom-9mutativen"+geometrischenL\ELRaumes,$genanntQuantenmonoid,{selbstein9nichtkommutativerUUgeometrischerRaum{konstruierenzukoonnen.9FGourXeinanesnichtkommutativesXSchemamitendlich-dimensionalerF*unk-9tionenalgebra22werdenwirdasuniverselleQuantenmonoidkonstruieren,2;das9aufUUdemvorgegebGenenSchemaopGeriert(nachT*ambara).9W*eiterwirddieDarstellungstheorievonQuantenmonoideninF*ormvon9KomoGdulneoOIuberderzugeordnetenBialgebrastudiert.OWirzeigen,daje-9desDiagrammvonendlichdimensionalenV*ektorroaumen,!dasbGezGouglichBil-9dungPvonT*ensorproGduktenabgeschlossenist,P]aufgefatwerdenkqannalsDia-9grammPvonDarstellungeneineseindeutigbGestimmtenuniversellenQuanten-9monoids:&unddadarausdieT*ambarakonstruktion:&gewonnenwerdenkqann.9W*eitervwirdgezeigt,vdadie(endlichdimensionalen)Darstellungeneines9QuantenmonoidsdiesesbisaufIsomorphieeindeutigbGestimmen(T*annakqa9Dualitoat). u9I|B9FGour}*weitereKapitel,}4eines,das}*denZusammenhangzwischenderInversen- 9bildung1,inQuantengruppGen,15derAntipGode,15der1,zugeordnetenHopf-Algebra9und6LderDualitoatvonDarstellungendarstellt,6undeines,dasdenZusam-9menhangzwischenRǵ-Matrizen,derQuanten-Y*ang-Baxter-Gleichungund9dertQuasi-SymmetrievonDarstellungendarstellt,ubliebleiderkeineZeit.9IchOho e,daichdieseKapitelineinemspoaterenzweitenT*eilderVorle-9sungUUnachholenkqann.MGounchenUUimJuli1993|}ZInhaltsverzeichnis-9KapitelTI.D}mAlgebren,TKoalgebrenundHopf-Algebren819KapitelTIQI.I+Kategorien,TF unktorenN 99KapitelTIQII.MAdjungierteTF unktorenunddasYonedaLemma ZU179KapitelTIV.M/1ZurTk9ommutativenalgebraischenGeometrieL279KapitelTV.HLimites,TKolimites,ProQdukteundDi erenzk9erne 369KapitelTVI.M/1Algebraisc9heTGruppQenundHopfAlgebren',439KapitelTVIQI.QhNic9htkommutativeR뎟aumeundQuan9tengruppQenh529KapitelTVIQII.VMonoidaleTKategorienL679KapitelTIX.M/1DualeTObjektecW769KapitelTX.HT annak\raTDualit뎟at84yI|KAPITELI6Algebren,KoalgebrenundHopf-Algebren-l9Wir /fGouhrenindiesemKapiteldieelementarenBegri eundEigenschaften 9desT*ensorproGduktesvonModuln,insbesonderevonV*ektorroaumen,einund9bauen4daraufdieBegri eAlgebra,4Koalgebra,Bialgebra4undHopf-Algebra9auf.0%In0einemspoaterenKapitelwerdenwirdanndenBegri desT*ensorpro-9duktsUUverallgemeinern.9T- cmcsc10TDefinition1.1T.[SeiReinbGeliebigerRing.SeienM)0ercmmi7Rb,R gNMoGduln7ouberRǵ.9EineabGelscheGruppeMC7!", cmsy10 R_NzusammenmiteinerRǵ-bilinearenAbbildung9 H-:MlN_H {!M RNheit': cmti10T;ensorpr}'odukt,wenneszujederabGelschen9GruppGeZundzujederRǵ-bilinearenAbbildung':MK0N r!Zgenau9einenf7(GruppGen-)Homomorphismusfs:M R ~-N u!ZSsof7gibt,f}dadas9Diagramm* ⍒MO8N⍒vMO RBN7jfdO line10-8-5 m'O \cmmi5R8j Zժ,h'֧konstruiertwiefolgt:>M"W RN3:=FcfM |B9ist,UUdievondenElementenZ䍍dh<(mٓRcmr71S+8m2|s;n)(m1;n)(m2;n); h<(m;n1S+8n2|s)(m;n1|s)(m;n2|s);h<(m z;n)8(m; zn);!9erzeugtwird.Dannde niertmanmr R n:= Rb(m;n):=Lщfe4/(m;n)8.Man 9rechnetnach,dadieAbbildung R @:KMmNb o!M R^NRǵ-bilinearist9undwdiegewGounschtewEigenschafthat.ߚDieKommutativitoatdesDiagramms9kqannUUauchgeschriebGenwerdenalsWf(m8 RBn)='(m;n):9(1):9W*enntEauchH msam10HP:ME*Nk !MH*N`eintET*ensorproGduktist(d.h.tdiege-9suchteΊuniverselleEigenschafthat),ΩdanngibteseindeutigbGestimmteHo-9momorphismenAi:M5 R 4N 9!MHN\mitAi(m R 4n)=mHnund9jY:MH˿N3 !M R[!N5ߵmitj(m˿Hn)=m˿ Rn.InsbGesonderesindjibzw.9ijGdieVeindeutigbGestimmtenHomomorphismenmitji(mx R Bn)g=m R Bn9undmPij(mHHn)=mHHn.mVDadieseBedingungenauchdurchdieidentischen9AbbildungenUUerfGoulltwerden,istijY=idqundji=id o. ffПffffffffЎ:9TBemerkung1.3T.`\ManxbGeachte,ydaM ReNvondenElementenm Renals9abGelscheGruppeerzeugtwird,dasallgemeineElementalsovonderF*orm9u cmex10Prmi, RBniist. Q9W*enn)f<ʵ:);M@V \!M^0&undg:N@V \!N^0&HomomorphismenvonRǵ-Links-9bzw.Rǵ-Rechts-MoGdulen sind,dannwirdfy Rggε:7M} RNO k!M^0KY RN^09de niertUUdurchd)|(fLo RBg[ٵ)(m8 Rn)=f(m) RBg[ٵ(n):9(2)9Der"(Homomorphismusf R Pg~istwegen(1)eindeutigundalsHomomor-9phismusUUde niert. Q9W*enn @M [einS-Rǵ-BimoGdulist(s(mr)=(sm)r), dann @istinsbesondere9sU:Ml .!MeinRǵ-MoGdulHomomorphismus,alsosq R Did8:UM R DNl!9MD RcNeinGruppGen-Homomorphismusunddamits(m) Rn):=(sm)) Rn9wohlde niert.IZDamitIWwirdM7 RFN`rzueinemS-Links-MoGdul.W*ennauer-9demUUNlpeinRǵ-Tc-BimoGdulist,dannwirdMO RBNeinS-Tc-BimoGdul.9WirzbGeschroankenunsimfolgendenauf(Bi-)MoGduln;oubereinemKoorper9Rߵ=K msbm10KK,$also$xaufV*ektorroaume.DasT*ensorproGduktkouberKKschreibenwirals9MO 8N. u@5I.ALGEBREN,KÎOALGEBRENUNDHOPF-ALGEBREN-3>|B9TLemma1.4T.Ht3a)MO 8NT͍3+33=liN M. 獑9b)(MO 8N) PT͍*+3*=M (N Pc).9c)KK8 MT͍3+33=liMT͍3+33=MO 8KK.9d)Homi@(PG;Hom(M;N))T͍+3= UNHom"*(Po 8M;N).{9TBeweis.E=pWirUUgebGenlediglichdieverwendetenHomomorphismenan.9a)UUManverwendeUU(1),um!ǵ(m8 n):=n8 mUUzude nieren.9b)UUMande niereass8((m8 n) p):=m8 (n p).9c)Mande niere:KK} M3 !Mdurch( m):= zmund:M }KK! 9MlpdurchUU(m8 z):=m .9d) FGourf':P`' |!Hom(M;N) de niereman'(f):P< M 0)!N&$durch9'(f)(p8 m):=f(p)(m). ffПffffffffЎO+fT9Ubung1.5T.Gõa)&ManbGeweiseausfGouhrlichM ۲(XY8)T͍+3= UNM XM Y8.9b)OZeigenSie,OdaesfGoureinenendlich-dimensionalenV*ektorraumVյgenau9einUUElementPލ n% i=1vi, 8v^[;Zi2Vq V8^ 'mitUUderfolgendenEigenschaftgibt:cozG8v"2V ㍟X tKiv[i(v[ٵ)vid=v:/܍9(Hinweis:MMan2verwendeeinenIsomorphismusEnd(V8)T͍+3= UNV hV^ undduale9BasenUUfviTLgvonV9undfv^[;ZigvonV8^ȵ.)O9TDefinition1.6T.[EineKK-Algebr}'aisteinV*ektorraumAzusammenmiteiner9MultiplikqationUUr:A8 A!A,dieassoziativist:4,hbA8 A A0A8 A>8҄fd8ά-= =idH r=Xfeo?ijQr 1-Xfe_?grr>A8 A _Ar32fdLjά-wcrK΍9undUUeinemEinselement":KK!A:>*$SF#KK8 AT͍+3= UNAT͍+3=A8 KK$0A8 AnW::fd#čά-ʮ&òid =#feo?Äj@L id-#fe_?gɍrr>A8 AީA:r32fdKB6ά-wrq9idw Hw Hw Hw Hw Hw Hw HWHWj9Seien AundBKK-Algebren. EinAlgebr}'en-Homomorphismusf: A !B9istUUeineKK-lineareAbbildung,sodakommutieren:- u94@5I.ALGEBREN,KÎOALGEBRENUNDHOPF-ALGEBREN>|`䍍r>A8 A՚BQ 8Br8҄fdB)䍑ά-Ԭf f=Xfeo?^ormA-Xfe_?^rmBj|oAjCB32fdV@ά-⍒If.9und< xύKKjApimAT T T WmWm jBkcmBS AS AS AQaAQaU32fd+Ѝ-|f$9TBemerkung1.7T.`\O enbar istdieKompGositionvonzweiAlgebren-Homo- 9morphismenٓwiedereinsolcher.EbGensoistdieidentischeAbbildungein9Algebren-Homomorphismus.9TBeispiel1.8T.O,[BeispielefGourAlgebrensindEndu(V8)bzw.jederRingRmit9einemUURing-HomomorphismusKR!Cento(Rǵ).9TDefinition1.9T.[EineKK-Ko}'algebraisteinV*ektorraumCRصzusammenmit9einerUUKomultiplikqation:C~4 !C 8C,UUdiekoassoziativist:4{ C$C 8Cݟ8҄fdL(|ά-7=Xfeo?guJ6-Xfe_?]ϲ idq4C 8COC 8C Cu32fd8ά-ϭLidX .9undUUeinemKoGeinselement":C~4 !KK:< { C$C 8Cݟ::fdL(|ά-7=#feo?gɍuJ6-#fe_?ϲidث "q4C 8CIUKK8 CT͍~4+3~4= jCT͍~4+3~4=C 8KK:u32fd!ά-ϭ/-" idq9idw Hw Hw Hw Hw Hw Hw HWHWj9Seien*CundDrKK-Koalgebren.+EinKo}'algebren-Homomorphismus*fڧ:C~4 ! 9DristUUeineKK-lineareAbbildung,sodakommutieren:4pJ{ CpJ߆Dݟ8҄fdURά-ԬIf=Xfeo?^pm20ncmsy5C-Xfe_?^ϲmDq4C 8C"\D 8Du32fdAvʍά-⍒f f9und< u@5I.ALGEBREN,KÎOALGEBRENUNDHOPF-ALGEBREN-5>|j|qCqƉDY::fd#Zά-ʮ&IfqǍKKۊ"mCWm AWm AWm ATATUkc"mDQa Qa Qa SS  9TBemerkung1.10T.e\O enbaristdieKompGositionvonzweiKoalgebren- 9Homomorphismenwiedereinsolcher.&EbGensoistdieidentischeAbbildung9einUUKoalgebren-Homomorphismus.+fT9Ubung1.11T.Lĵa)kCZeigenSie,kdaV+ (V8^ = fGoureinenendlich-dimensionalen9V*ektorraumVXeineKoalgebraist,wennmanalsKomultiplikqation(v 9v[ٟ^):=Pލ USn% USi=1tJv j$v^[;Zi^ vip v[ٟ^⳵de niert,wobGeifviTLgundfv^[;ZigdualeBasenvon9V9bzw.UUV8^ 'sind. ݍ9b)ZeigenSie, daderV*ektorraumkPXaܵmiteinerBasisXundderKomul-9tiplikqationUU(x)=x8 xeineKoalgebrawird.9c)p ZeigenSie,pidakEgVmit(1)i=1 1,pi(v[ٵ)=vQ@ 1+1 veine9KoalgebraUUde niert. 9TDefinition1.12T.`a)iEineBialgebr}'a(Bq;r;[;;")ibGestehtauseinerAlge-9braUU(Bq;r;[ٵ)undauseinerKoalgebra(Bq;;"),sodadieDiagramme[" @?BQ 8B @OBQ 8B B B_?>rfdACά-8uy  @11w1  1ϟ DHϟ DHϟ DHϟ DHϟ DHOlHOlj @MEAfeMw?i卑C4rI[BBQ 8BT{32fdά-rDBQ 8B B B%XfeW?ir r?9und:ǍxύIKKj0B6kEb @b ;b 8e}8e} `ys@L Qa AVa A[a A^_qA^_qU0BXKBQ 8B;32fd,ά-ECBQ 8BB::fd,ά-,rqǍKKÄo" "Wm AWm AWm ATATUKkc"Qa Qa Qa SS xύLKKxύ*DK::fd$aHά-yo9idj;BKI] AI] A I] A F՟A F՟UK(]S"EٟEٟ#Eٟ&CQ&CQ?9kommutieren,d.h.yund"sindAlgebren-Homomorphismenbzw.rund9sindUUKoalgebren-Homomorphismen.9b)SSeienAundBĵBialgebren.EineAbbildungfڧ:A!BheitSBialgebr}'en-9Homomorphismus,ݎwennksiegleichzeitigAlgebren-undKoalgebren-Homo-9morphismusUUist.G u96@5I.ALGEBREN,KÎOALGEBRENUNDHOPF-ALGEBREN>|B9c)5EineLinks-Hopf-Algebr}'aHj3isteineBialgebraHzusammenmiteiner 9Links-Antip}'odeНS(:Hd !H,нd.h.einerlinearenAbbildungS,sodadas9DiagrammUUkommutiert:2DwgbNHwg\KKn]8҄fd#.ά-卑~D"pJpJ@H8҄fd'zrά-(XefXfef?g\MWH 8HvH 8Hy32fd?ά-7mISa idʝXfe6gSruD9EineUUHopf-Algebr}'aisteineLinks-undRechts-Hopf-Algebra.l+fT9Ubung1.13T.Lĵa)ZSeienC@veineKoalgebraundAeineAlgebra.Dannde niert9dieUUKompGositionfLo8g":=rA(f g[ٵ)C3eineUUMultiplikqation_ʍ8%HomMo~(C(;A)8 Hom9(C;A)3fLo 8g"7!f8g"2Homq(C(;A);9mitiderHom(C(;A)eineAlgebrawird.DasEinselementistgegebGendurch 9KK3 В7!(c7![ٵ( z"(c)))2Homq(C(;A). :9b)SeiHreineHopf-Algebra.DannistS5inderAlgebraHomw_(HA;H)invers9zuUUid.InsbGesondereistSeindeutigbestimmt.9c)OSeiHeineHopf-Algebra.ODannistS➵einAlgebren-undeinKoalgebren-9Antihomomorpxismus,xd.h.Sz㏵"dreht\dieMultiplikqationunddieKomultipli-9kqationUUumL\8.9d)lSeienH|B9GruppGen-Homomorphismus,k4sojdazujederAlgebraAundjedemGruppen- 9Homomorphismus.8fD :0G M!U(A)genaueinAlgebren-Homomorphismus9gV^:KKG !Aeexistiert,durchdendasfolgendeDiagrammkommutativ9wird:2wڅGڅ&U(KKG)8҄fd}ά-卒tU(A):Ѝf;@;@ғ@ғRŞeXfeї?^gt荑9b) UntereinerLieoAlgebr}'averstehtmaneinenV*ektorraumU%n eufm10Ugzusammenmit9einer6&MultiplikqationUg Ug3x y"7![x;y[ٵ]2Ug,6.die6&folgendeGesetzeerfGoullt:^d7[x;x]=0;7[:ax;[y[;zp]]]+8[y[;[zp;x]]+[zp;[x;y[ٵ]]=0 UV(JacobiUUIdentitoat).9Wichtiges BeispielistdieLieAlgebra, diemaneiner(assoziativen)Algebra9(mit$wEinselement)zuardnet.$W*ennAeineAlgebraist,dannistderV*ektor-9raumUUAmitderLieMultiplikqation^2[x;y[ٵ]:=xy8yx9(3)ፑ9eineYLieAlgebra,YdiemanmitA^L UbGezeichnet.EinLieAlgebren-Homomor-9phismus6fڧ:Ug!UhisteinelineareAbbildungfŵmitf([x;y[ٵ])=[f(x);f(y[ٵ)]. t9Zu jederLieAlgebraUgkqannmanihreuniverselleoH֞oulle U(Ug)konstruie-9ren.oDieseobGestehtauseinerAlgebra,ebGenfallsmitU(Ug)bezeichnet,ound9einem$LieAlgebren-HomomorphismusƵ:Ug 8|B9U(Ug)E)wirdalsAlgebravonUgerzeugt.E-SiewirdzueinerHopf-Algebradurch 9die/]Komultiplikqation(x):=x 1+1 x,/gdie/]KoGeinheit"(x)=0/]unddie9AntipGodeUUS(x)=x.9Man bGeachte,+dadieKonventionderV*erwendungvonU$inbGeidenBeispie-9len$(unitsgroup,4universelleEinhGoullende)vongoanzlichverschiedenerNatur9ist.`RIm`OerstenF*allwirdauseinerAlgebraeineGruppGegewonnen.Imzwei-9ten1F*allwirdeineLieAlgebrazueinerAlgebraausgebaut.1Dieuniversellen9EigenschaftenUUsindjedoGchsehroahnlich.+fT9Ubung1.15T.LĵZeigenfqSie,fvdafGoureinElementx2KKGfqgenaudann(x)=9x8 xUUund"(x)=1UUgilt,wennx=g"2GUUgilt. pl u>|KAPITELIGIngKategorien,Funktoren.荑9DiesesCKapitelstelltdienotwendigenCHilfmittelderKategorientheoriebGe- 9reit.hDashwichtigsteZielistdieBeherrschungdesY*oneda-Lemmasundsei-9nerAnwendungen.DieseswirdzentralfGourdieBetrachtungenderweiteren9V*orlesungWsein.WUmdenSto inߞoubGerschaubareEinheitenzugliedern,wird9in%FdiesemKapitelzunoachstnureineallgemeineEinfGouhrungindieBegrif-9federKategorientheoriegegebGen.Hinzukommenvieleveranschaulichende9Beispiele,̪die̋zumgroenT*eilallerdingsauchschonzudenunseigentlich9interessierendenOb8jektenhinfGouhren.9DasY*oneda-Lemmaselbstunddie9AnwendungenUUsindimfolgendenKapiteldargestellt.{V9TDefinition2.1T.[EineUUKate}'goriebGestehtausGЍ 9(1)2eineUUKlasseObUUCꬵvonObjekten, 9(2)2einerUUF*amilieMorjCꬵvonpaarweisedisjuktenMengen荒"fMorXCF6(A;Bq)jA;BG2ObCWg;2derenUUElementefV;g[;h2MorpC N(A;Bq)UUMorphismenheien,und 9(3)2einerUUF*amilievonAbbildungenvY(fMorXCF6(A;Bq)8MorN8C(B;C)3(fV;g[ٵ)rA7!g[fڧ2MorpC N(A;C)jA;Bq;C~42ObCWg;2sogenanntenUUV;erkn֞oupfungen,GЍ9dieUUfolgendeAxiomeerfGoullen:e9 tѠ u910o!#I|B 9(1)2Assoziativit oat:dpfGourdlalleA;Bq;C(;D'\2?Ob?Cõunddlallef2?MorC&u(A;B), 2g"2MorpC N(Bq;C),UUh2MorpC(C(;DG)UUist=Mh(g[f)=(hg)fV; 9(2)2Identit oat:ffGourfoalleAA2ObACƵexistiertfo1A 2MorCw(A;A),Identit oat2genannt,bsobdafGouralleBq;C2ݒObݒC(undallef!2ݒMorC#ȵ(A;Bq)und2g"2MorpC N(C(;A)UUgilt~f1A J=fhund@h1Ag"=g[:>9TBeispiel2.2T.O,[Sehrx7vielebGekqannteBeispielesindnachdemselbGenMuster9aufgebaut,D#dieCKlassederOb8jektebGestehtausmathematischenOb8jekten9einesZgenaufestgelegtenTyps,̺dieMorphismensinddiemitdermathe-9matischenoStrukturvertroaglichenAbbildungen,ލmeistensHomomorphismen9genannt,MunddieV*erknGoupfungensinddieHintereinanderausfGouhrungvon9Abbildungen. 9(1)2MebGezeichnetdieKategoriederMengen.ROb8jektesindMengen,2MorphismenksindAbbildungenundV*erknGoupfungensinddieHin-2tereinanderausfGouhrungUUvonAbbildungen. 9(2)2V*ekkbGezeichnetdieKategoriederVektorroaume0oubGereinemfestvor-2gegebGenenUUKoorper. 9(3)2vek<]bGezeichnetdieKategoriederendlichdimensionalenV*ektorroau-2meqoUUubGereinemfestenKoorper. 9(4)2A-MoGdUUoderA MbezeichnetdieKategoriederA-Links-Moduln. 9(5)2GrUUbGezeichnetdieKategoriederGruppen. 9(6)2AbUUbGezeichnetdieKategoriederabelschenGruppen. 9(7)2MonUUbGezeichnetdieKategoriederMonoide. 9(8)2RilbGezeichnetdieKategoriederassoziativenRingemitEinselement. 9(9)2LieUUAlgbGezeichnetdieKategoriederLieAlgebren.9(10)2KK-AlgbGezeichnetUUdieKategoriederKK-Algebren.9(11)2KK-Koalg"bGezeichnetUUdieKategoriederKK-Koalgebren.9(12)2KK-BialgrbGezeichnetUUdieKategoriederKK-Bialgebren.9(13)2KK-Hopf8bGezeichnetUUdieKategoriederHopf-Algebren.9(14)2SinduC |B9TBemerkung2.3T.`\Ob8jektehabGenjedochimallgemeinenkeineElemente, 9undbNMorphismensinddannauchkeineAbbildungenzwischendenOb8jekten. 9Die/`Identitoat1A isteindeutigdurchdasOb8jektAbGestimmt,/denn1A =91A1^0bA J=1^0bA.􍍍9TDefinition2.4T.[Ein[sMorphismusfٵ:JA!Bheit[sIsomorphismus,[uwenn9esUUeinenMorphismusg":BG c!AUUgibtmitg[fڧ=1A undfg=1B .9Bemerkung:QInQdiesemF*alleistgеebGenfallseinIsomorphismusunddurchf9eindeutigUUbGestimmt.Wirsetzenf^1:=g[ٵ.9TBeweis.E=pg[fڧ=1A ͵und=fg^0*=1B Iimpliziert=g"=g1B $=g(fg^0*)=(gf)g^0*=91Ag[ٟ^0*=g[ٟ^0*. ffПffffffffЎ􍍍9TDefinition2.5T.[EinMorphismusf:txA !BqheitMonomorphismus9oGderlinksZk֞ourzb}'ar,)wennfGouralleCs2JWObJWC9lundalleg[;hJW2Mor_C(C(;A)gilt9fg"=fh=UX)g"=h.9Ein}Morphismusfڵ:KA !BLheit}EpimorphismusoGderr}'echtsk֞ourzbar,9wennI}fGouralleC~42ObCԵundalleg[;h2MorpC N(Bq;C)I}giltg[fڧ=hf=UX)g"=h.9Einv'Morphismusf[:A B!Bheitv'einSchnitt,v0wenneseinenMorphismus9g":BG c!AUUgibtmitg[fڧ=1A.9EinMorphismusfڧ:A!B`heiteineR}'etraktion,wenneseinenMorphis-9musUUg":BG c!Agibtmitfg"=1B .􍍍+fT9Ubung2.6T.GõManUUzeige:9fhIsomorphismusUU=UX)fSchnitt=UX)fMonomorphismus.9fhIsomorphismusUU=UX)fRetraktion=UX)fEpimorphismus.9f۬Isomorphismus(UX)fSchnittundEpimorphismus(UX)f۬Retraktionund9Monomorphismus.9InUUGrsinddieMonomorphismengenaudieinjektivenHomomorphismen.􍍍9TBemerkung2.7T.`\IndenKategorienMe,V*ek,vek,A-MoGd,Gr,Ab,Mon,9KK-AlgsindUUdieMonomorphismengenaudieinjektivenHomomorphismen.9IndenKategorienMe,V*ek,vek,A-MoGd,Gr,AbsinddieEpimorphismen9genauUUdiesurjektivenHomomorphismen.9InUUderKategorieRiistKZ!KQeinEpimorphismus.􍍍9TDefinition2.8T.[Seien;CundDGXKategorien.gEinkovarianter1!F;unktorF%:9CaT }!DbbGestehtXEauseinerAbbildungF6:ObCaT }!ObDbundXEeinerF*amilie 1 u912o!#I|B9von2Abbildungen(FQ=F9(A;Bq):MorpC N(A;Bq)!MorpDq(F9(A);F(Bq))jA;B 92ObCW),UUsodageltenX0F9(1A)=1:F(A)2;9(4)#~F9(fg[ٵ)=F(f)F(g[ٵ)9(5)9fGouralleA;Bq;C2ɓObɓC^undallef"2ɓMorCɵ(B;C),Ug%l2ɓMorC(A;Bq).UEin9kontr}'a-varianter F;unktorF:C4 !DbGestehtauseinerAbbildungF:9Ob9C\o x!ObDrundUUeinerF*amilievonAbbildungen (FQ=F9(A;Bq):MorpC N(A;Bq)!MorpDq(F9(B);F(A))jA;BG2ObCW);9soUUdagelten0F9(1A)=1:F(A)2;9(6)#~F9(fg[ٵ)=F(g[ٵ)F(f)9(7)9fGourUUalleA;Bq;C~42ObCꬵundUUallefڧ2MorpC N(B;C),g"2MorpC N(A;Bq).9TBemerkung2.9T.`\F*unktorenFœ:ZC\ y'!DϵundG_+:Dw *!Emlassensich9verknGoupfen,5wenn5?mande niert(GF9)(A):=G(F9(A))5?und(GF9)(f):=9Gѵ(F9(f)).UUDieseV*erknGoupfungistassoziativmitIdentitoatId Cw:C\o x!CW.+fT9Ubung2.10T.LĵZeigenUUSie: 9m9a)NIstCeineKategorie,NsoistauchCW^op umitObNCW^op >:=ObCundMorcCYop!K$(A;Bq)9:=|Mor'ԟCX(Bq;A)undderV*erknGoupfungfjWgnU:=|g[f eineKategorie.DabGeisei9fogdieV*erknGoupfunginCW^op صundg[fAdieVerknGoupfunginCW.DieKategorie9CW^op |{heitUUdualeKate}'goriezuCW.9b)/EsgibteineBijektionzwischendenkontravqariantenF*unktorenFQ:C\o x!9DG,.den.kovqariantenF*unktorenF9^0:CW^op > !DuunddenkovqariantenF*unkto-9renUUF9^0Lr^0õ:C\o x!DG^op.9TBeispiel2.11T.f,\(1)w{DieV;er}'gifunktoren,diejeweilseinenT*eilder2Struktur"B vergessenL\8:V$2:QGrfo!QMe(,V:QAb!QGrD,V:QV*ek#p!2Ab?M,UUV=-m^L:AlgO!LieAlg"q. 9(2)2DerUUGruppGenalgebraF*unktorKK-m:GrQn5!KK-Algj. 9(3)2DieUUuniverselleHGoulleeinerLieAlgebraU(-):LieUUAlg%+!KK-Algj. 9(4)2DieUUKommutatorfaktorgruppGe-=[-;-]:GrQn5!AbS. 9(5)2F*reieUUMoGdulnbzw.Vektorroaume:KK-m:Me*G!Vek*. 9(6)2F*reieLAlgebren,auchnicht-kommutativePolynomringegenannt:2KKh-UUi:Me*G!KK-Algj.  uo!#I|B 9(7)2T*ensoralgebren:Tc(-UU)͈:Vek!KK-Alg]umitTc(V8)=KKVھV 2Vq8:::/.UUEsistKKhXi=Tc(KKX). 9(8)2F*reiekommutativeAlgebrenoGderPolynomringe:KK[-UU]{:Mei-!2KK-Algj. 9(9)2SymmetrischeAlgebren:׈S(-UU)X:V*ekL@$h!KK-AlgjqcTomitS(V8)=2Tc(V8)=(xy8y[x).UUEsistKK[X]=S(KKX).9(10)2DasUUT*ensorproGdukt :VekPVek!Vek*.#29TSaUTtz2.12T.T|(1)fCSeiCVeineKate}'gorie.DannistMorWCB5(A;->):C 5w!Me2f֞ourA2C)>mit򍍟d^MorCɔ(A;->)(Bq):=MorpC N(A;B);^MorCɔ(A;->)(f):=MorpC N(A;f);+2wob}'ei|nMorƟC¤(A;f)lT:MorC(A;Bq)3g-7!fg2MorC(A;C)|nf֞ourf:2BG c!C,einkovarianterF;unktor. 9(2)2Sei:`CϷeineKate}'gorie.:DannistMorOC(-;A):C y!Mef֞our:`A2C2mit+d^MorCɔ(-;A)(Bq):=MorpC N(B;A);^MorCɔ(-;A)(f):=MorpC N(fV;A);+2wob}'ei*MorC`(fV;A):Mor^C<(C(;A)3g7!g[f2Mor^C<(Bq;A)*f֞ourf:2BG c!C,einkontr}'avarianterF;unktor.2G9TBeweis.E=p(1)~WirrechnenMor8C(A;-)(f^0f)(g[ٵ)a=(f^0f)g=f^0ȵ(fg[ٵ)=9Mor OKC%)(A;-)(f^0ȵ)(fg[ٵ)=MorpC N(A;-)(f^0ȵ)MorXCF6(A;-)(f)(g[ٵ)8undMorN;C(A;-)(1A)(g[ٵ)9=1Ag"=g=1:MorN>ϧC:(A;BW=)(n(g[ٵ). 9(2)UUwirddurchanalogeRechnungbGewiesen. ffПffffffffЎ#29TBemerkung2.13T.e\(1)BAF*unktorenvonderimSatzangegebGenenFormwer-9dendarstellb}'areݍF;unktorengenannt,undAwirddasdarstellendeݍObjekt9genannt.EineݰallgemeinereDe nitionfGourdarstellbareF*unktoren ndetsich9inUU2.20.9(2)[EinF*unktorF:аCf }!D4heit[eineIsomorphie,[wenneseinenFunktor9G{:D+9 G!C/JgibtmitGFU=IdȟC?,FF9G=IdȟDɵ.W*enneseineIsomorphie9zwischenUUzweiKategoriengibt,dannheiensieisomorph.#29TFUolgerung2.14T.bDerF;unktordualerV*ektorraum-t^_:R9V8ek F!Vek}de -9niertdur}'ch+dw-{ZП^(V8):=V^ =Homq(V9;KK);w-{ZП^(f):=f^s=Homq(fV;KK)9isteinkontr}'avarianterF;unktor. u914o!#I|B9TBeweis.E=pMankqanndieEigenschaftenausdemvorhergehendenSatzent- 9nehmen,mutabGerzusoatzlichzeigen,daalleMengenV8^ :C&\ B!DJ{einkovarianter(kontr}'avarianter)F;unktor.9Sei\fw:A ^!B$einIsomorphismus.`DannistauchF9(f):F(A) ^!F(Bq)9(bzw.F9(f):F(Bq)!F(A))einIsomorphismus.9TBeweis.E=pSeiVg'=f^1ŵ:BL3 h!A.W*egeng[fQ=1A undfg'=1B mbist9F9(g[ٵ)F(f)=F9(gf)=F9(1A)=1:F(A)undUUanalogF(f)F(g[ٵ)=1:F(BW=)). ffПffffffffЎ9TDefinition2.16T.`SeienjUF9;G,:C* F!Drzweikovqariante(kontravqariante)9F*unktoren.]Eine]nat֞ourlicheT;r}'ansformationoGdereinfunktoriellerMorphis-9musA':F 0!GgbGestehtauseinerF*amilievonMorphismen('(A):9F9(A)!Gѵ(A)jA2ObCW),UUsodadieDiagramme ꍍLڅ"jF9(A)څU5YGѵ(A)'(A)-Xfe.%G?ЍǚF(f)_ Xfe`??ЍdGeA(f)"F9(Bq)T=Gѵ(Bq)=#+32fdά-?:>'(BW=)t(bzw.LڅF9(Bq)څ*OGѵ(Bq)u8҄fdά-Ff'(BW=)W_Xfe?Ѝ,F(f)Jn1)5PWXfe5?Ѝ9GeA(f)F9(A)*Gѵ(A);32fdcdά-?:*]'(A)$鍑9kommutieren.9TBemerkung2.17T.e\NatGourliche|`䍍wVwpV8^8҄fdά-Ff(V)Xfe?Ѝ)[fʝXfe?Sfrqdm@WqdWc^ W:=#32fd|"ά-?:$(W)9f^ W(V8)(v[ٵ)(g)=HomX(HomY(fV;KK);KK)(V)(v[ٵ)(g)=(V)(v[ٵ)Hom(fV;KK)(g)= 9(V8)(v[ٵ)(gf)=g[h(v)=(Wc)(f(v[ٵ))(g).YQ9TDefinition2.19T.`SeienF9;G2::aCϸ .!D឵F*unktoren.EinenatGourlicheTrans-9formation{'$:F" ?[!G%Lheitnat֞ourlicheroGderfunktoriellerǏIsomorphismus,9wenneseinenatGourlicheT*ransformation ":G^ {_!Fgibtmit ['=id oFiund9' "=id oGӂ. zy9DieMengederfunktoriellenMorphismenoGdernatGourlichenT*ransformatio-9nenvonFAinGnٵbGezeichnenwirmitNat:(F9;Gѵ).)(Bemerkung:Mengentheo-9retisch$xmumanhiervoneiner(SupGer-)Klassesprechen,$daschonjedeein-9zelneVnatGourlicheT*ransformationauseinerKlassebGesteht.hWirwerdendiese9UnterschiedeUUhiernichtUUbGehandeln.)9ZweisF*unktorenF9;G;1:`C8 U-!D8heiensisomorphFT͍+3= Gѵ,sdwenneseinen9natGourlichenUUIsomorphismus':FQ !G&gibt.9ZweioKategorienC6ƵundD茵heienoaquivalent,wennesF*unktorenFQ:C\o x!D9undGn%:TDq 9!Cjsogibt,=daF9GT͍n%+3n%= Id6CD$WundGFT͍ԍ+3ԍ=qIdC"Ŝgelten.FLundG9heienUUdannzueinanderinverseyfUUAquivalenzen.YQ9TDefinition2.20T.`Ein_kovqarianter(kontravqarianter)F*unktorF:؈Cm U!Me9heitrdarstellb}'arer F;unktor,×wenneseinOb8jektA2ObCXɵundeinennatGourli-9chen-hIsomorphismus'/5:F-n I!MorDCuk(A;)(bzw.-':F-n I!MorDCuk(-UU;A))9gibt.UUAheitdanneindarstellendesObjektfGourF9.9SeiVR: D* !MeeinV*ergifunktor.EinFunktorF~F: Cd 1!D>heit9darstellb}'arersF;unktor,wennV}Fdarstellbarist.(GenauermGoutemanhier9annehmen,(\da(&dieMorphismenmengeninC}Ob8jekteinDoCsind,undda9FT͍5q+35q=3Mor#IC(y(A;-)26gilt.2nDasbGenootigtzurgenauenBehandlungdasKonzept9einerړanger}'eicherten"Kategorie!oubGereinerabgeschlossenen"monoidalenKar-9te}'gorie.)YQ+fT9Ubung2.21T.Lĵa)kEinenatGourlicheT*ransformation'$::F"s >!GX|B9dar.UUDazumGoussenwireinennatGourlichenIsomorphismuso':Abbc(X:;-)!Homq(KKX;-)9angebGen.W\FGourWeinenV*ektorraumVundeineAbbildungfB:tX= Z !Vsei 9g"='(V8)(f):KKX p!V#cde niertalsF*ortsetzungderAbbildungfvonder9Basis"iXKaufdengesamtenV*ektorraumKKX,"alsodurchdaskommutative9Diagramm2:_wgNTXwge%KKXV)8҄fdά-卒Yj{VЍf;@;@ғ@ғRŞeXfeї?^g9ZeigenUUSie,dadadurcheinnatGourlicherIsomorphismusde niertist.9TBeispiel2.22T.T,\(1)UUDasT*ensorproGduktUO 8V9stelltdenFunktor[^Homp4B(U;Hom(V9;-)):V*ekPV*ek!V*ek9dar.T*WirSmGoussenIsomorphismen'(Wc):Homq(U;Hom(V9;W))!Homq(UM$ 9V9;Wc)xaangebGen,xdieeinennatGourlichenIsomorphismusde nieren(vgl.x1.4d)).9Wir ode nierendaher'(Wc)(f)(u v[ٵ):=f(u)(v[ٵ) ofGourf%29Hom#L(U;Hom(V9;Wc)).DadderAusdruckf(u)(v[ٵ)indenbGeidenV*ariablen9uundv彵bilinearist,gibteseineneindeutigbGestimmtenHomomorphismus9'(Wc)(f),#derdieGleichungerfGoullt.Istumgekehrtg":U1 V r!W}gegebGen,9sode nierenwir'(Wc)^1 t(g[ٵ):Homq(UB +V9;W)3g"7!(u7!(v7!g[ٵ(u;v)))29Hom#L(U;Hom(V9;Wc)).Manrechnetnach,daalleAbbildungenlinearsind9undda'einnatGourlicherIsomorphismusist.&T*atsoachlichkqannmanzeigen,9dadieIsomorphismen'(Wc):HomS(U;Hom(V9;W)) p!HomS(U mV9;W)9natGourlichUUinU;V9;Wsind.9(2)SeiBilW:aV*ekoV*ekV*ek]!aV*ekwVde niertdurchBilU(U;V8;Wc)a:=ffu>:9Ua{J`V+ H1!WcjfhbilineareUUAbbildung^(g.oDieofolgendeAbbildungisteinIso-9morphismus:,:Bilj(U;V8;Wc)3fڧ7!(u7!f(u;-))2Homq(U;Hom(V9;Wc)):9DieserQIsomorphismusistinallenV*ariablenU;V9;W3natGourlich.sInsbGesondere 9istUUnachT*eil(1)Bil(U;V8;Wc)UUalsFunktorinWdarstellbardurchUO 8V8.) u>|+KAPITELIGII$οAdjungierteFunktorenunddasYonedaLemma-J9Das Y*oneda-LemmaisteinzentralesHilfmittelfGourgenauereAussagenQoubGer 9darstellbareF*unktoren.WirzeigenmiteinigenBeispielen,dasolchedar-9stellbarenUUF*unktorensehrhoau gauftreten.܍9TLemma3.1T.Ht3Der3pF;unktorGa:KK->AlgT!Ab)mit3pGap(A):=A^+,3diead-9ditiverGrupp}'ederAlgebraA,istdarstellbardurchdieAlgebraKK[x],den9PolynomringineinerV;ariablenx.9TBeweis.E=pGa Gist.einV*ergifunktor,/derdiemultiplikqative.Strukturvon9AlgebrenavergitundlediglichdieadditiveGruppGederAlgebraergibt.pWir9mGoussenDinAnatGourlicheIsomorphismenGap(A)T͍T+3T=phKK-Algj(KK[x];A)angebGen.9JedemuElementa`2A^+ UordenenuwirzudenHomomorphismusa:`KK[x]39p(x)7!p(a)2A.DasisteinAlgebrenHomomorphismus,weila(p(x)v+9q[ٵ(x))/=p(a)+q(a)/=a(p(x))+a(q[ٵ(x))cunda(p(x)q[ٵ(x))/=p(a)q(a)=9a(p(x))a(q[ٵ(x))w0oGderweilKK[x]freie(kommutative)KK-AlgebraLoubGerfxg9ist,d.h.weilsichjedeAbbildungfxg W!AeindeutigzueinemAlgebren9HomomorphismusKK[x]!Afortsetzenloat. DieAbbildungA3a7!a_29KK-Algj(KK[x];A)@istumkehrbarmitderUmkehrungKK-Algj(KK[x];A)z3f7!9f(x)2A.UUSchlielichistsienatGourlichinA,weil8څAڅS7KK-Algj(KK[x];A)I8҄fd$Ǡά-ȍ.Q-՟Xfe?^gٛXfeǟ?Ѝ7Lqymsbm7LK-Alg(LKdxe;g@L)BKK-Algj(KK[x];Bq) 32fd$Gά-@.Q-c17䚠 u918/1I|B9fGourUUalleg"2KK-Algj(A;Bq)kommutiert. ffПffffffffЎA9TBemerkung3.2T.`\Da>A^+ @εdieStruktureineradditivenGruppGetroagt,mistdas 9auchUUfGourKK-Algj(KK[x];A)derF*all.9TLemma3.3T.Ht3DerF;unktorGm 1=U#:KK->AlgBC^!GrmitU(A),\diemul-9tiplikativeGrupp}'ederEinheitenderAlgebraA,istdarstellbardurchdie9Algebr}'agKK[x;x^1 t]F}=KK[x;y[ٵ]=(xy.<1),gdengRingderL}'aurent-Polynomegin9einerV;ariablenx.t9TBeweis.E=pWirUUmGousseninAnatGourlicheIsomorphismenoDGm(A)T͍+3= UNKK-Algj(KK[x;x1 t];A)9angebGen.Jedem\ElementaYv2Gm(A)\ordenenwirdenAlgebrenHomo-9morphismusa ܵ:= KK[x;x^1 t]3x7!a2Azu.6Damitisteineindeutig9bGestimmter\AlgebrenHomomorphismusde niert,\dennjederAlgebrenHo-9momorphismus=f̵vonKK[x;x^1 t]=KK[x;y[ٵ]=(xy,в1)=inAistvollstoandigdurch9dieBildervonxundvonynbGestimmt,aberfGourdieBildermuzusoatzlich9geltenf(x)f(y[ٵ)fB=1,d.h.f(x)muinvertierbarseinundf(y[ٵ)dasInverse9zuUUf(x).DieZuordnungistbijektiv.AuerdemistsienatGourlichinA,weil78(׍A׍KK-Algj(KK[x;x^1 t];A)I8҄fdbά-ȍٵ-Q.՟Xfe?^gٛXfeǟ?OÍ7LK-Alg(LKdx;xrZcmr51 Qe;g@L)퍒B퍒qKK-Algj(KK[x;x^1 t];Bq) 32fd,ά-@ٵ-Q.A9fGourUUalleg"2KK-Algj(A;Bq)kommutiert. ffПffffffffЎ9TBemerkung3.4T.`\Da8U(A)dieStruktureinermultiplikqativen8GruppGetroagt,9istUUdasauchfGourKK-Algj(KK[x;x^1 t];A)UUderF*all.9TLemma3.5T.Ht3DeriF;unktorMn|: KK->AlgFм!KK->AlgbmitiMnq~(A),sdieAlgebr}'a9dernn-Matrizenoub}'erderAlgebraA,istdarstellbardurchdieAlgebra9KKhx11x;x12;:::;xnn bi,mdenmnicht-kommutativenPolynomringindenV;aria-9blenxij .t9TBeweis.E=pDer;sPolynomringkPhxij iistfreioubGerderMengefxijginder9Kategorie der(nicht-kommutativen) Algebren, d.h.zujederAlgebraAund9zujederAbbildungf:fxij g !AgibtesgenaueinenAlgebrenHomo-9morphismus9g":KKhx11x;x12;:::;xnn bi!A,UUsodadasDiagramm u/1I|`䍍Wh~xfxij gWh˦KKhxij i$џ8҄fd0čά-卒ajAЍfHHHHHпHпjٛXfeǟ?^7g⍑9kommutiert.JedeMatrixausMnq~(A)de niertdanngenaueinenAlgebren 9HomomorphismusUUKKhx11x;x12;:::;xnn bi!AUUundumgekehrt. ffПffffffffЎ9TSaUTtz3.6T.=|(Y;one}'da~Lemma)SeiCeineKategorie.Seieneinkovarianter9F;unktor.FQ:C\o x!Me&undeinObjektA2CXge}'geben.dDannistdieAbbildungjIHߵ:Nat*(MorXCF6(A;->);F9)3'7!'(A)(1A)2F(A)9bijektivmitderUmkehr}'abbildungR!ǟ1S:F9(A)3a7!ha2Nat*(MorXCF6(A;->);F);9wob}'eih^ap(Bq)(f)=F9(f)(a)ist.D9TBeweis.E=pDax'(A):MorpC N(A;A)!F9(A)de niertist,yisteinewohlde-9 nierteAbbildung.FGour!ǟ^16istnachzuprGoufen,dah^akeinenatGourlicheT*rans-9formationUUist.Seidazufڧ:BG c!C qinUUCꬵgegebGen.DannistdasDiagramm8sbڅ\R-MorngCsc(A;Bq)څ^Mors\C:(A;C)X՟8҄fd?ά-FfMorR-(A;f)uXfeuן?Ѝ\-hra_E(BW=)şXfe?Ѝghra_E(C})iF9(Bq)F9(C)ڻ32fdZ ά-?:%IF(f)⍑9kommutativ,{dennzfGourg"2MorpC N(A;Bq)isth^ap(C)MorXCF6(A;f)(g[ٵ)=h^ap(C)(fg[ٵ)9=F9(fg[ٵ)(a)=F(f)F(g[ٵ)(a)=F(f)h^ap(Bq)(a).UUDamitist!ǟ^13wohlde niert. g 9Sei!ǟ^1 ;(a)$=h^ap.3Dannist!^1 ;(a)$=h^ap(A)(1A)=F9(1A)(a)=a.3Sei9!ǵ('),='(A)(1A)=a.DDann5ist^1 ;('),=h^ahund5h^ap(Bq)(f)=F9(f)(a)=9F9(f)('(A)(1A))='(Bq)MorXCF6(A;f)(1A)='(Bq)(f),UUalsoh^a='. ffПffffffffЎ⍍9TBemerkung3.7T.`\DieAbbildungRisteinenatGourlicheT*ransformationin9denArgumentenAundF9.Genauer:W*ennf~:jA l!B8und':Fi/ !G9gegebGenUUsind,dannkommutieren3oڅVKNatfs(MorXCF6(A;-);F9)څF9(A)U-8҄fd(ά-卒y=Xfeo?Ѝ@ƲNatMY(MorN>(A;-UU);')-Xfe_?Ѝ'(A)WNatg8(MorXCF6(A;-);Gѵ)yGѵ(A)}32fd*`pά-IyD u920/1I|`䍍څVKNatfs(MorXCF6(A;-);F9)څF9(A)U-8҄fd(ά-卒y=Xfeo?ЍADӲNatNHf(MorN>(fZ;-UU);F)-Xfe_?ЍF(f)VƵNatfdW(MorXCF6(Bq;-);F9)ǘF9(Bq):32fd%a$ά-I^ލ9DasVbGeweistmandurcheinfachesNachrechnen.tFGour :MorpCN(A;-) !F 9geltendd!QoNat0(MorXCF6(A;-);')( [ٵ)=!ǵ(' )=(' )(A)(1A)='(A) (A)(1A)!Q='(A)!ǵ( [ٵ)9undd"$oNat0(MorXCF6(fV;-);F9)( [ٵ)=!ǵ( Morq1C(fV;-)=( Morq1C(fV;-)(Bq)(1B )"$= [ٵ(Bq)(f)= (Bq)MorXCF6(A;f)(1A)=F9(f) [ٵ(A)(1A)=F9(f)!ǵ( [ٵ):=Ӎ9TFUolgerung3.8T.]SeienA;BG2CW.Danngelten o91) MorbC@(A;Bq)%3fд7!Mor}C[(fV;->)2Nat (MorXCF6(Bq;->);MorC޵(A;-)) isteine9bijektiveAbbildung.92)\BeiderbijektivenAbbildungaus1)entspr}'echen\denIsomorphismenaus9Mor OKC%)(A;Bq)genaudienat֞ourlichenIsomorphismeninsDNat(MorXCF6(Bq;->);MorC޵(A;-)): 93)XeF֞ourkontr}'avarianteF;unktorenF)E:+ Cc !MeistXeNat(MorXCF6(-;A);F9)T͍+ +3+ =9F9(A).94)ɵMor!C(A;Bq)3f 7!MorCǵ(-;f)2Nat"(MorXCF6(-;A);MorC޵(-;Bq))isteine9bijektiveAbbildung,b}'eiderdieIsomorphismenausMor;C%(A;Bq)genauden9nat֞ourlichenIsomorphismenausNatx(MorXCF6(-;A);MorC޵(-;Bq))entspr}'echen.Z9TBeweis.E=p1)UUfolgtausdemY*onedaLemmamitFQ=MorpC N(A;-).92)LDaMorCׂ(fV;-)MorXCF6(g[;-) T=MorC"Ɗ(gfV;-)LgiltunddaMorCׂ(f;-)9=Ƚid :MorlRϧC :(A;-UU)7 lgenaudann,wennfL=Ƚ1A,ergibtsichnach1)dieZuord-9nungUUderIsomorphismenzueinander.93)UUund4)folgendurchDualisieren. ffПffffffffЎ 9TBemerkung3.9T.`\NachydervorhergehendenF*olgerungistdasdarstellen-9deOSOb8jektAdurchdieIsomorphieklassedesF*unktorsMordC(A;-)bisauf9Isomorphie6eindeutigfestgelegt.InsbGesonderesinddieAlgebrenausden9LemmasUU3.1,3.3und3.5bisaufIsomorphieeindeutigfestgelegt.Q u/1I|B+fT9Ubung3.10T.Lĵa)+GebGenSieexplizitallenatGourlichenEndomorphismenvon 9Ga+ŵinUUGaan. D9b)UUGebGenSieallenatGourlichenT*ransformationenvonGa+ŵinGm an.9c)UUBestimmenSiedienatGourlichenAutomorphismenvonGm.▍9TSaUTtz3.11T.B|SeiOG^:C9SD5 *!MeeinkovarianterBifunktor,Osodaf֞ouralle9C2Cnder;F;unktorGѵ(C(;->):D= Y!Mèdarstellb}'arist.;ADannexistiertein9kontr}'avarianterFƅ:LC] z!DG,sodaGT͍`+3`= Mor ߟD&(F9- ;->)gilt.WeiterhinistF9dur}'chG+bisaufIsomorphieeindeutigfestgelegt.h9TBeweis.E=pZuzjedemCI2CdѵwoahlenwireinOb8jektF9(C)2Dundeinen9IsomorphismusC #:IGѵ(C(;-)T͍+3=cMor#yD*j (F9(C);-).*W*ennfص:Ce !C^0/inC9gegebGenist,dannseiF9(f):F(C^0U)!F(C)dernachdemY*onedaLemma9eindeutigUUbGestimmteMorphismusinDG,mitdemdasDiagramm7a捍څq'Gѵ(C(;-)څÚMorկ^Dܠ_(F9(C);-)%8҄fd/ά-ԬNmC=Xfeo?ЍfnGeA(fZ;-UU)-Xfe_?ЍϲMor (F(f);-UU)Hoy{Gѵ(C^0U;-)H2MorHAD9B(F9(C^0U);-)%32fd,fά-卒 oCW0▍9kommutiert.W*egenderEindeutigkeitvonF9(f)undderF*unktoreigenschaft9von&G\siehtmansofort,&daF9(fg[ٵ)=F(g[ٵ)F(f)&undF(1Cڵ)=1:F(C})gelten,9daUUFSalsoeinkontravqarianterUUF*unktorist.9Ist{F9^0t:C]Y y!D6mitGT͍_+3_ӵ=Mor"KD(L(F9^0r-!;-)gegebGen,soist':MorZD[(F9-S;-)T͍+3=9Mor OKD'@L(F9^0r-!;-). (Also gibtesnachdemY*onedaLemmaIsomorphismen [ٵ(C):9F9(C)T͍%+3%=BF^0r(C)fGouralleC.2%CW.Mitdiesendurch'induziertenIsomorphis-9menUUkommutiert5pڇ荍@E1MorRZDYK(F9^0r(C);-)ڇ荍Mor&D'(F9(C);-)t8҄fdX&̍ά-FfcLMor( @L(C});-UU)auXfeaߧ?/Mor=0(Fr0i(f);-UU)Xfe'?ЍȗMor(F(f);-UU)H>MorPmDWn(F9^0r(C^0U);-)H#Mor{D|(F9(C^0U);-):O32fdS0ά-;UMor7( @L(C}r01);-UU)▍9AlsoUUkommutiertauchڇ荑|F9(C^0U)ڇ荒}F9^0r(C^0U)$8҄fd-ά-Yĩ @L(C}r01)՟Xfe?qFr0i(f)ٛXfeǟ?Ѝ7F(f)H}F9(C)H~F9^0r(C)U32fd0ά-?: @L(C})9womitUU ":FQ !F9^0!ǵeinnatGourlicherIsomorphismusist. ffПffffffffЎ u922/1I|B9TDefinition3.12T.`SeiencCundD`Kategorien,rFQ:C\o x!DundcG^:D5 *!C 9kovqariante`F*unktoren.aMF_heitlinksadjungiertzuGundGr}'echtsadjun-9giertezuF9,ɃwenneseinennatGourlichenIsomorphismusvonBifunktoren':9Mor OKD'@L(F9-S;-)!MorpC N(-UU;Gѵ-&)vonCW^op `8DrinMeGgibt. ԍ9TLemma3.13T.Mt4IstwF:bC ;/!DӔlinksadjungiertzuG!3:D !CW,soistF9dur}'ch7GςbisaufIsomorphieeindeutigfestgelegt.7EbensoistGςdurchF5bis9aufIsomorphieeindeutigfestgele}'gt.T9TBeweis.E=pWir_bGeweisennurdieersteAussage.`+SeiauchF9^0,^linksadjungiert9zuG,mit'^0:0MorFD7(F9^0r-!;-)0 M$!0MorFCv(-UU;Gѵ-&).DannhabGenwireinennatGourli- 9chen\Isomorphismus'^0 R1r'p:MorȟDɵ(F9-S;-)!MorȟD(F9^0r-!;-).\Nach\Satz3.119istUUdaherFT͍Q+3Q=SF9^0r. ffПffffffffЎ ԍ9TLemma3.14T.Mt4Ein,F;unktorGsc:ےD" ?%!Cb}'esitzt,genaudanneinenlinksad-9jungiertenF;unktor,wennalleFunktor}'enMor?C(C(;G-+)darstellbarsind.T9TBeweis.E=pF*olgtUUaus3.11. ffПffffffffЎ9TLemma3.15T.Mt4Seien0F\:#Cxz !DwundGz:D*@ F!C kovarianteF;unktor}'en.9Dannist 1>NatB(Id *C[;GF9)37!G-+-Z2Nat*(MorXDY(F9- ;->);MorC޵(-;G-+))9einebijektiveAbbildungmitderinversenAbbildungoNat.2(MorXDY(F9- ;->);MorC޵(-;G-+))3'7!'(-;F9- )(1F- )2Nat*(Id *C[;GF9):9Weiterist0X>Nat@(F9G;Id TC2)3 7! -F-Y82Nat*(MorXCF6(-;G-+);MorD(F- ;->))9einebijektiveAbbildungmitderinversenAbbildungNat/=(MorXCF6(-;G-+);MorD(F9- ;->))3 "7! [ٵ(G-;->)(1GeA- J)2Nat*(F9G;Id TC2):9TBeweis.E=pDiennatGourlicheT*ransformationGѵ-&-istwiefolgtde niert.nSeien 9C'2 CW,aD#(2Dundaf2MorcDd(F9(C);DG)gegeben,asosei(Gѵ-&-UU)(C(;D)(f) :=9Gѵ(f)(C)*:CsF !GF9(C) ؠ!G(DG). ManrechnetdieEigenschaftei-9ner,natGourlichenT*ransformationleichtnach.]IstgegebGen,soerhoaltman9nachzderHintereinanderausfGouhrungbGeiderAbbildungenGѵ(1:F(C})h)(C),=9GF9(1Cڵ)(C)=(C).UUIst'gegebGen,soerhoaltman d-rGѵ(f)('(C(;F9(C))(1:F(C})h)=MorpC N(C;Gѵ(f))'(C;F9(C))(1:F(C})h)-r='(C(;DG)MorXDY(F9(C);f)(1:F(C})h)='(C(;DG)(f):/ u/1I|B9DenUUzweitenT*eildesLemmaszeigtmananalog. ffПffffffffЎ+֍9TSaUTtz3.16T.B|Seien':MorpDq(F9- ;->)!MorpC N(-;G-+) und+" ":MorpC(-;G-+)!MorpDq(F9- ;->)9nat֞ourlicheYT;r}'ansformationenmit(nachLemma3.15)zugeordnetennat֞ourli- 9chenT;r}'ansformationen:Id ğC0!GF bzw. :F9G^ {_!Id ğD.W91)&Esgilt' "=id o:Morj:(-;GeA-()1dannundnurdann,Lwenn(GT΍G2^ {_!BxGF9GT΍GeA 2^ {_!G)=9idJGDgilt.Ǎ92)YEsgilt ['-̵=id #:Mora:(F-H;-)55dannYundnurdann,Zwenn(FT΍(F2, H{!vHF9GFT΍ F2, H{!9F9)=id oFqgilt.V9TBeweis.E=pEsUUist.dF%@Gѵ (DG)G(D)=Gѵ (D)'(G(D);F9G(D))(1:FGeA(D7)'')F%@=MorpC N(Gѵ(DG);G (D))'(G(D);F9G(D))(1:FGeA(D7)'')F%@='(Gѵ(DG);D)MorXDY(F9G(D); (D))(1:FGeA(D7)'')F%@='(Gѵ(DG);D)( (D))F%@='(Gѵ(DG);D) [ٵ(G(D);D)(1:GeA(D7) )F%@=' [ٵ(Gѵ(DG);D)(1:GeA(D7) ):0rȍ9EntsprechendUUerhoaltmanrȍd' [ٵ(C(;DG)(f)='(C;DG) [ٵ(C;DG)(f)=Gѵ( (D)F9(f))(C)=Gѵ (DG)GF9(f)(C)=G (DG)G(D)fV:{ϠffПffffffffЎ9TFUolgerung3.17T.bSeienFZ:\C v!DH5undGz:D C !GFIund :F9G W!Id >D{qgibtmit(Gѵ )(G)=id igGl.und9( F9)(F)=id oF .V9TDefinition3.18T.`DieUinF*olgerungx3.17angegebGennatGourlichenTransfor-9mationen~ :Id 5Cq!GF|Kund :F9G E!Id 5DheienEinheitbzw.~Ko}'ein-9heitUUfGourdieadjungiertenF*unktorenFSundGѵ.+֍+fT9Ubung3.19T.Lĵa)MZeigenSie,sdafGoureinenBimoGdulR PMSTderF*unktorM' S9-:_S JfM_ !_R M]linksadjungiertistzuHom2ڟR<(M;-)_:RM !S JfM]und9bGestimmenUUSiediezugehoorigeEinheitundKoeinheit. *Ս9b)'ZeigenSie,'daeseinennatGourlichenIsomorphismusAbb (A Bq;C)T͍%+3%=9Abb h(Bq;AbbG(A;C))DFgibt.DBestimmenSiediezugehoorigenadjungiertenF*unk-9torenUUundEinheitundKoGeinheit.B u924/1I|B9c)ZeigenSie,hdaeseinennatGourlichenIsomorphismusKK-Algj(KKG;A)T͍+3= 9Gr(G;U(A))gibt. BestimmenSiediezugehoorigenadjungiertenF*unktoren9undUUEinheitundKoGeinheit. ԍ9d)UUZeigenSie,daeseinennatGourlichenIsomorphismus:ilKK-Algj(U(Ug);A)T͍+3= UNLie-Alg-j(Ug;ALt)9gibt.!pBestimmen!;SiediezugehoorigenadjungiertenF*unktorenundEinheit 9undUUKoGeinheit.ˍ9TDefinition3.20T.`SeiGL:{D4 Q!CNeinkovqarianterF*unktor.$GȵgibtAnla9zuUUeinem(ko-)universellenPr}'oblemderfolgendenArt:9SeinC72CgegebGen.nGesuchtisteinOb8jektF9(C)2DundeinMorphismus9:C: W&!Gѵ(F9(C))`inCW,`KsodazujedemOb8jektDʱ2D$undzujedem9Morphismus&Gfڧ:C~4 !Gѵ(DG)inCgenaueinMorphismusg":F9(C)!Dmdin9DrsoUUexistiert,dadasDiagramm3ۍڅCڅƼGѵ(F9(C))u8҄fd3jά-卒 ^Gѵ(DG)ЍfHHHHHпHпjٛXfeǟ?Ѝ7GeA(g@L)9kommutiert.9EincPaar(F9(C);),cdasdieobGenangegebenBedingungenerfGoullt,cheit9eine(ko-)universelleL oosungxdesdurchGVundC/de nierten(ko-)universellen9Problems.9Seis,FQ:C\o x!DIeinkovqarianterF*unktor.sfFqegibtAnlazueinemuniversellen9Pr}'oblemUUderfolgendenArt:9SeiraD>2D~gegebGen.rhGesuchtisteinOb8jektGѵ(DG)2CundeinMorphismus9 :LF9(Gѵ(DG)) h!Dصin>D,>sodazujedemOb8jektC22LCundzujedem9Morphismusf:pF9(C) !DֵinDgenaueinMorphismusg:pC'0 C!Gѵ(DG)9inUUCꬵsoexistiert,dadasDiagramm3ۍڅ}F9(C)Ѝ9fHHHHHпHпj՟Xfe?ЍusF(g@L)zRF9Gѵ(DG)Շ}DWm32fd6E*ά-I0S9kommutiert.9EinVPaar(Gѵ(DG);),jdasdieobenangegebenBedingungenerfGoullt,jheiteine9universelleL oosungUUdesdurchFSundDrde niertenuniversellenProblems.Q u/1I|B9TSaUTtz3.21T.B|SeiF%K:'Ci !D*linksadjungiertzuG:Dn/ !CW.Dannist 9dur}'ch2F9(C)unddieEinheit޵=(C):C p!GF9(C)2eine(ko-)universelle9L oosungdesdur}'chG+undCKde nierten(ko-)universellenProblemsgegeben. lM9Weiterhin)istdur}'chGѵ(DG)unddieKoeinheitj= (DG):F9Gѵ(D)!Dp7eine9universelleL oosungdesdur}'chFundD۟de niertenuniversellenPr}'oblems9ge}'geben.;9TBeweis.E=pNachSatz3.16sind' :MordDe(F9-S;-) !MordCB(-UU;Gѵ-&)und /:9Mor OKC%)(-UU;Gѵ-&)!MorpDq(F9-S;-)aalsinverseaAbbildungenzueinanderdurchEin-9heitundKoGeinheitde niertals'(C(;D)(g[ٵ)=Gѵ(g)(C)bzw. (C(;DG)(f)=9 (DG)F9(f).hAlsohYgibteszuvorgegebenemfO:<C6 !Gѵ(D)hYgenauein9g":F9(C)!DrmitUUfڧ='(C(;DG)(g[ٵ)=Gѵ(g)(C)=Gѵ(g). lM9DieUUzweiteAussagefolgtanalog. ffПffffffffЎ9TBemerkung3.22T.e\W*enn"GV:Dd !C"undCԡ2C"gegebGensind,"sokqann9man7Ydie(ko-)universelle7YLoosung(F9(C);?ǵ:C Y!GF(C))7YalsbGeste(Ko-9)ApproximationR]desOb8jektsC yinC紵durcheinOb8jektF9(C)inDzmitHilfe9desUUF*unktorsG&ansehen.9W*ennȁFD: Cb 8!DundD(2DgegebGensind,Ȟsokqannmandieuniverselle9Loosung(Gѵ(DG); y:gF9G(D)g !gD)alsbesteApproximationdesOb8jektsD9inUUDrdurcheinOb8jektGѵ(DG)inCꬵmitHilfedesF*unktorsFSansehen.9TSaUTtz3.23T.B|SeiGV׵:D# "!Cge}'gebenundseif֞ourjedesCv"2CdasdurchG9und9CUge}'gebene(ko-)universelleProbleml oosbar.RDanngibteseinenlinks-9adjungiertenF;unktorFQ:C\o x!DzuG.9Sei>F::CaX }!D[ge}'gebenundseif֞ourjedesD2D[dasdurchFwundD9ge}'gebeneuniversellePr}'obleml oosbar.Danngibteseinenrechtsadjungierten9F;unktorG^:D5 *!C)>zuF9.;9TBeweis.E=pIst das(ko-)universelle ProblemzuGundCصloosbardurchµ:9C %! F9(C),>soPistdieZuordnungMor C=(C(;Gѵ(DG))3f 7!g 029Mor OKD'@L(F9(C);DG)pmitGѵ(g[ٵ)@=fbijektiv.DiepUmkehrabbildungistgege-9bGenH/durchg7![Gѵ(g[ٵ).HmDieseisteinenatGourlicheT*ransformation,HmdennfGour9h2MorpDg(DG;D^0V)UUistdasDiagramm9+څS More"7Dl8(F9(C);DG)څMor JC;((C(;Gѵ(DG))S8҄fd._ά-Ff=GeA(-UU)uXfeuן?Ѝ=?вMorKmDQ(F(C});h)şXfe?ЍgMormCR(CI;GeA(h))HQµMorcDj(F9(C);DG^0V)HˍMorݣ-C (C(;Gѵ(DG^0V)) 32fd+xά-?:=GeA(-UU)^ u926/1I|B9kommutativ.UUEsistnoamlichMor+qC1O(C(;Gѵ(h))(G(g[ٵ))=Gѵ(h)G(g)=Gѵ(hg)=Gѵ(MorXCF6(F9(C);h)(g)):9AlsoistfGouralleC2ˤCderF*unktorMorC7(C(;Gѵ(-UU)):D /7!Meh,derdurch 9denBifunktorMorC-(-UU;Gѵ(-)):CW^op ~XD X!Me>induziertwird,darstellbar.9NachbASatz3.11gibtesalsoeinenF*unktorFٵ:ܠCq m!D^mitbAMorwCw(-UU;Gѵ(-))T͍ܠ+3ܠ=9Mor OKD'@L(F9(-UU);-).9DieUUzweiteAussagefolgtanalog. ffПffffffffЎ9TBemerkung3.24T.e\Man(kqanndieEigenschaften,dieG: DA= ]!C<(bzw.9F1m:34Cȋ !DG)3habenmu,Dumeinenlinks-(rechts-)adjungiertenF*unktorzu9habGen,IEcharakterisieren.EineIBderwesentlichenEigenschaftendafGourist,IEda9G&LimitesUU(alsodirekteProGdukteundDi erenzkerne)erhoalt.py u>|ɹKAPITELIV0$ZurkommutativenalgebraischenGeometrie- 9WirHkoonnenindiesemKapitelnurdieeinfachsteF*ormeinesgeometrischen 9RaumesOXeinfGouhren.OYZunoachstbGetrachtenwireineMengevonPunktenohne9weiterey0geometrischeStrukturundmachenanihrdenBegri derF*unktio-9nenalgebra7klar.hDannkommenwiraufMengenvonPunkten,hdiedurchihre9KoGordinatenQ2beschriebenwerden,QuzumBeispielKreisoderParabel,Quallgemei-9nerΡsogenannteaneSchemata,diedurchPolynomgleichungenbGeschrieben9werden.DieseվgeometrischenRoaumewerdendurchihreF*unktionenalgebren9vollstoandigbGeschrieben.HierwirdsichwesentlichdasY*onedaLemmaein-9setzenUUlassen.V9TBeispiel4.1T.O,[SeiooX8QeineMenge.oDannistKK^X :=GAbb_(X:;KK)eineKK-9AlgebrazmitkompGonentweiserzAdditionundMultiplikqation:(f+g[ٵ)(x)T:=9f(x)8+g[ٵ(x)UUund(fg[ٵ)(x):=f(x)g[ٵ(x). 9V*ond unseremStandpunktaussehenwirKK^X -alsVektorraummitderAddi-9tion(fkn+Wg[ٵ)(x):=f(x)+g[ٵ(x)undSkqalarmultiplikation( zf)(x):= f(x).9Dasde nierteinendarstellbarenkontravqariantenF*unktorKK^-m:Me*G!Vek*,9dargestellt;durchKK.|B9demJT*ensorproGduktzuerhalten:Ũ!ǟ^0(fA+.-f^0;g[ٵ)(x;y),Y=(fA+.-f^0ȵ)(x)g(y)= 9(f(x)@ +f^0ȵ(x))g[ٵ(y)=f(x)g[ٵ(y)@ +f^0ȵ(x)g[ٵ(y)=!ǟ^0(fV;g[ٵ)@ +!ǟ^0(f^0;g[ٵ)(x;y)`ergibt9dievAdditivitoatimlinkenArgument.vDieAdditivitoatimrechtenArgument9undUUdieV*ertauschbarkeitUUmitFaktorenausKKwirdoahnlichnachgeprGouft.9Zusammen erhoaltmaneineMultiplikqationr:KK^X L$ KK^XT΍^2 !iKK^XJXT΍ANLKr20!9KK^X$,RwobGeiQ:X p!X1XinMedieDiagonalabbildungist(x):=(x;x). .9W*eiterhhatmaneinEinselementf:KK^fgT΍"2v9!$>=KK^X xmit":Xto !fgAb-9bildungindieeinelementigeMenge.ADamitrechnetmanjetztnach,Ada9(KK^X$;[;r)'eineAlgebrawird.'EsgehendabGeizweiEigenschaftenwesent-9lichein,noamlichdaKKassoziativmitEinselementistunddaX:;;"ein9"ӒKomonoidL\ist:43NQ$XʠX8XX8҄fd6^ά-?u՟Xfe?gHβٛXfeǟ?i71zX8X@X8XX32fd!ά-Ź1>gU\Xԟ*X8Xs]18҄fd^Y ά-@ݲk Xfek??gaMÆn{1mXKYPKNPKPKYPKMPKPKYPS]PS]q-Xfe_?ّϲ1"\ X8X@fg8XT͍+3=0XT͍+3=X8fg:}M32fd+`Lά-o"19FGour aeineAbbildungfڧ:X p!YEEerhoalt amaneinenAlgebrenHomomorphis-9musUUKK^f8:KK^Y _!KK^X$,denndieDiagramme>1捍"HKK^Y %' 8KK^Y"%KK^YYtϟ::fd"ά- MGbKK^X  8KK^XxKK^XJXu\32fd!.ά-E;͎;͍qKK^Ym::fd0֍ά- ㍒ʲLKr4Ŏ4ōKK^X -32fd/ά-ۍLKr\)#fe\[?ב`LKrf LKrf#feϟ?B=?LKrff#feC?B=ʳLKrfP9und<@7KK^fgT͍+3ĵ=KK?UQ AUQ AUQ ARɟARɟUpOVM VM VM X՟X՟ 4ōKK^Y4ō!KK^X$32fdά- AkLKrf9kommutieren. P9DamitUUistKK^-m:Me*G!KK-AlgjqcߵeinkontravqarianterUUF*unktor.p u6F˳IV.ZURKÎOMMUTJATIVENALGEBRAISCHENGEOMETRIE29>|B9WirzwissennachDe nitiondesmengentheoretischen(kqartesischen)Pro- 9dukts,aUdaaKK^X s=OQ X;KK.DasgiltauchmitderobGenangegebenenAlge-9brenstruktur.ZusjedemPunktxqI2XUgibtseseinmaximalesIdealmxWvon9QX KKNmitmxFE:==affP2Abb(X:;KK)jf(x)=0g.`W*ennNXe0eineendlicheMen-9geist,dannsinddasgenauallemaximalenIdealevonQ X;[KK,jasogaralle9PrimidealeUUvonAbb(X:;KK). 49Wir koonnenjederkommutativen AlgebraAdieMengeSpGec(A)ihrerPrim-9idealeUUzuordenen.DasergibteinenF*unktorSpGec:KK-Alg1N7!Mec.9WirrowerdenjetztindieMengeneineGeometriehineintragenundsehen,9wiesolche"1ugeometrischenRoaumeL\KmitihrenF*unktionenAlgebrenzusam-9menhoangen.r֍9TDefinition4.2T.[Der^F*unktorKA^1 WB:KK-AlgjqcXY#t!Me (Vergifunktor),der9jederHkommutativenKK-AlgebraAdenRaum(dieMenge)derPunkte(Ele-9mente)UUvonAzuordnet,heitaneGer}'ade.9TLemma4.3T.Ht3DerF;unktoraneGer}'adeistdarstellbar.Í9TBeweis.E=pDas(bisaufIsomorphieeindeutigbGestimmte)darstellendeOb-9jektUUistnachLemma3.1KK[x]. ffПffffffffЎ9TDefinition4.4T.[DerF*unktorKA^2I:KK-Algjqc`"+!Me.I,derjederkommutati-9ven_KK-AlgebraAdenRaum(dieMenge)derPunkte(Elemente)derEbGene9A^2ȵzuordnet,UUheitaneEb}'ene.9TLemma4.5T.Ht3DerF;unktoraneEb}'eneistdarstellbar.Í9TBeweis.E=pDasdarstellendeOb8jektistanalogzuLemma3.5KK[x1|s;x2]. ffПffffffffЎ9Seik2p1|s(x1;:::;xnq~);:::;pm(x1|s;:::;xnq~)2KK[x1|s;:::;xnq~]k2eineF*amilievonPo-9lynomen.}Wirwollendie(geometrische)MannigfaltigkeitderNullstellen9dieserPolynomebGetrachten.AllerdingskqannesinKKmooglicherweisenicht9genGougendvieleNullstellengebGen.DaherlassenwirauchNullstelleninEr-9weiterungskoorpGern|vonKKoGdernochallgemeinerinbeliebigenKK-Algebren9zu.9TDefinition4.6T.[DeraF*unktorXv۵,b9derjederkommutativenaAlgebraAdie9MengederNullstellenderPolynome(piTL)inA^n d7zuordnet:#Xv۵(A)xA^nq~,9heitaneIalgebr}'aischeMannigfaltigkeitoGderanesSchemainKA^n $'mit9dend)de nierendenPolynomenp1|s;:::;pm.dnDieElementeausXv۵(A)heien9A-PunkteUUvonXv۵. u9306FIV.ZURKÎOMMUTJATIVENALGEBRAISCHENGEOMETRIE>|B9TSaUTtz4.7T.=|DasganeSchemaX޵inKA^n Xmitdende nier}'endenPolynomen 9p1|s;:::;pm ,isteindarstellb}'arerF;unktormitderdarstellendenAlgebr}'atꍑaaOG(Xv۵):=KK[x1|s;:::;xnq~]=(p1;:::;pm);9genanntaneUUAlgebradesF;unktors.19TBeweis.E=pWirdRzeigenzunoachst,ddadasaneSchemaX=:KK-AlgjqcD!a!Me9mit8Ddende nierendenPolynomenp1|s;:::;pm ߵeinF*unktorist.8LDazude nie-9ren'lwirfGoureinenAlgebrenHomomorphismusf8˵:%|B9W*enn-keinePolynomegegebGensind,soistderF*unktorderdesanen 9R}'aumes;KA^n YderDimensionn.MitderV*orgabGevonPolynomenwirdX9einUnterfunktorvonKA^nq~, dweilerjeweilsnatGourlichT*eilmengenXv۵(A)k9KA^nq~(A)=A^n )de niert._Beide_F*unktorensinddarstellbarunddieEinbGet-9tungkommtvondemAlgebrenHomomorphismusȵ:KK[x1|s;:::;xnq~] H!9KK[x1|s;:::;xnq~]=(p1;:::;pm).j*+fT9Ubung4.8T.Gõa)BestimmenSiedieaneAlgebradesF*unktorsEinheitkreis9S^1eUinUUKA^2|s. t9b)BestimmenSiedieaneAlgebradesF*unktorsEinheitssphoareS^n1in9KA^nq~.9c)˞SeiXBydieebGeneKurvey"=x^2|s.DannistXisomorphzuranenGeraden.9d)AlgebrenOG(Xv۵):=KK[x;y[ٵ]=(x^2,+ y^2+1)>undOG(Y}):=KK[x]=(x^2,+1)9keinekrationalenPunkte,kjedoGchhatdasSchemaY=genauzweikomplexe9Punktey0undX unendlichvielekomplexePunkte,yzalsoistXv۵(KC)6T͍+3= tY}(KC).9Das~liegtnicht~etwaandenEinbGettungeninunterschiedlicheRoaumeKA^29bzw.UUKA^1|s,weilauchgiltOG(Y})=KK[x]=(x^2S+81)T͍+3= UNKK[x;y[ٵ]=(x^2+81;y[ٵ).9DajedesaneSchemaX]`isomorphzudemF*unktorKK-Algjqc}(OG(Xv۵);-)ist,9werden[wirinZukunft,\8umdieBetrachtungstoorenderIsomorphismenzu  u9326FIV.ZURKÎOMMUTJATIVENALGEBRAISCHENGEOMETRIE>|B9vermeiden,diesebGeidenF*unktorenidenti zieren.(Wirveroanderndadurch 9lediglichUUX0geringfGougig.)r29TSaUTtz4.10T.B|Sei!yXTeinanesSchemamitderanenAlgebr}'aAǎ=OG(Xv۵).9DannistAT͍+3=Nat!/(Xv;V})alsKK-Algebr}'en,'wobeiV}=:KK->Alg;qcf#R!Meder9V;er}'gifunktorist.DurchdenIsomorphismuswirdeine(inBq)nat֞ourliche9T;r}'ansformationA8Xv۵(Bq)!BXinduziert.Y9TBeweis.E=pWirJgebGenzunoachsteinenIsomorphismuszwischendenMengen9AfundNat(Xv;V})an.W*egenX==KK-Algjqc}(A;-)undV=KK-Algjqc}(KK[x];-)gilt9nach P2demY*onedaLemmafGourdieMengenNat(Xv;V})i=9Nat(KK-Algjqc}(A;-);KK-Algjqc(KK[x];-))T͍U+3U=rKK-Algjqc(KK[x];A)U=V}(A)T͍+3=rA.ޚDa9A GeineAlgebraist, {induzierteinsolcherIsomorphismusvonMengeneine9AlgebrenstrukturUUaufNat(Xv;V}). 9SeiP':A /!Nat J(Xv;V})derangegebGeneIsomorphismus.rWirbeschreiben9jetztdiegenaueAktion [ٵ(Bq):AXv۵(B) %!!B0SvonAaufXv۵(B).;Sei9f:\A !BweinBq-PunktausKK-Algjqc}(A;B)\=Xv۵(B).Seiweiterhinaein9ElementFausA.xDiesesinduziertvermoogedesobGenangegebenenIsomorphis-9mus_denAlgebrenHomomorphismusgaµ:RKK[x]!A,_der_xaufaabbildet.9DieserHAlgebrenHomomorphismusinduziertdienatGourlicheT*ransformation9'(a):X6 S2!V},die6aufBdurchV*erknGoupfungmitga Zde niertist,also9'(a)(Bq)(f)nJ=(KK[x]ꍑYga$ ! Aꍑ $f$ !Bq),oGder,daeinsolcherHomomorphismus9durch(dasBildvonxvollstoandigbGeschrieben(ist,C'(a)(Bq)(f)(x)=f(a).CDa9fGour3jedesa2A3dasBild'(a):X= Zi!Veine3natGourlicheT*ransformationist,9habGenwirAbbildungen [ٵ(Bq):AXv۵(B)!B4Ymit [ٵ(B)(a;f)=f(a).FGour9a;a^02Ajist'(a)(Bq)(f)(x)=f(a)jund'(a^0i)(Bq)(f)(x)=f(a^09),jalsoj'(aG#+9a^09)(Bq)(f)(x)=f(aU +a^09)=f(a)U +f(a^09)='(a)(Bq)(f)(x)U +'(a^09)(Bq)(f)(x)=9('(a)(Bq)(f) +'(a^09)(B)(f))(x)=('(a)(B) +'(a^09)(B))(f)(x)=('(a) +9'(a^09))(Bq)(f)(x)nundanalog'(aa^0)(Bq)(f)(x)=f(aa^09)=f(a)f(a^09)=('(a)k9'(a^09))(Bq)(f)(x),ZwomitZ'(a<+a^0)V='(a)<+'(a^0)Zund'(aa^0)V='(a)<'(a^0)9folgt.AdditionundMultiplikqationinNatz;(Xv;V})sindalsodurchAddition9undMultiplikqationderW*ertef(a)g]+f(a^09)bzw.f(a)f(a^0)de niert.Schlie-9lichUUkommutiertfGourjedenAlgebrenHomomorphismusfڧ:BG c!Bq^0:O*څiA8Xv۵(Bq)څCB8҄fdCڍά-Ff @L(BW=)=Xfeo?Ѝ]AXf(f)-Xfe_?ЍfHh\A8Xv۵(Bq^0N)HBq^0N;W32fd?>ά-;L @L(BW=r0 )! u6F˳IV.ZURKÎOMMUTJATIVENALGEBRAISCHENGEOMETRIE33>|B9womitUU [ٵ(Bq):A8Xv۵(B)!BƵeineUUnatGourlicheT*ransformationwird. ffПffffffffЎ9TBemerkung4.11T.e\W*egenrderOpGerationAXv۵(Bq)k !kBwirdrAauch 9F;unktionenAlgebr}'aUUvonX0genannt. ߍ9Man>kqannzeigen,idaAuniversellindieserEigenschaftist,id.h.zu>jeder9kommutativen1AlgebraDyundzujedernatGourlichenT*ransformation:D9*9Xv۵(-UU)5!5- gibt\esgenaueinenAlgebrenHomomorphismusfĵ:5DR 5!A,\so9daUUdasDreieck;͍Їi|B9jederanenAlgebraAdiedurchAdargestellteanealgebraischeMan- 9nigfaltigkeitkzuordnet,{wirddasSp}'ektrumvonAgenannt:{SpGec$:KK-A !9Geom'(KK).'W*egen'kdesYonedaLemmasistSpGeceineAnti-@fAquivqalenzvon9Kategorien.EEinEgeometrischerRaumistalsovollstoandigdurchseineF*unk-9tionenUUAlgebrabGeschrieben. 9DaCauchbGeliebige(nichtendlicherzeugte)kommutativeAlgebrendarstell-9bareTF*unktoren(nunaufderKategorieallerkommutativenAlgebren)de -9nieren,/habGen.wirauchunendlich-dimensionalegeometrischeRoaume9Geom'10R۵(KK)UUundeinkommutativesUUDiagrammvonF*unktoren5ڍڅqSKK-A څ Geom髖(KK)?8҄fd;ά-Լ`&۲Sp7ec=Xfeo?-Xfe_?nKK-Algjqc!Geomo$1 (KK)Y32fd5"ά-*ǍO[0EiG=r0]E9WirJbGestimmennunnochdieF*ormvonMorphismenzwischengeometrischen9Roaumen.9TSaUTtz4.13T.B|SeienXraKA^rzundYKA^sanealgebr}'aischeMannigfaltigkei-9tennund':X= Zi!Y@einennat֞ourlicheT;r}'ansformation.nDanngibtesPolyno-9metD-p1|s(x1;:::;xrm);:::;psF:(x1|s;:::;xrm)2KK[x1|s;:::;xrm];t9sodaf֞ouralleA2KK->Alg="undalle(a1|s;:::;arm)2Xv۵(A)giltt8 '(A)(a1|s;:::;arm)=(p1(a1;:::;arm);:::;psF:(a1|s;:::;arm));9d.h.=die=nat֞ourlichenT;r}'ansformationenzwischenanenalgebraischenMan- 9nigfaltigkeitensindp}'olynomial.9TBeweis.E=pSeiena|OG(Xv۵)=KK[x1|s;:::;xrm]=I*^undOG(Y})=KK[y1|s;:::;ysF:]=J9.9FGouroA2KK-AlgNund(a1|s;:::;arm)2Xv۵(A)seif:KK[x1|s;:::;xrm]=I K!Amit9f(xiTL)=aiUdercunterXv۵(A)T͍+3ٵ=KK-Algj(KK[x1|s;:::;xrm]=I;A)czugeordneteHo-9momorphismus.DienatGourlicheT*ransformation'wirddurchV*erknGoupfung9miteinemHomomorphismusgn͵:KK[y1|s;:::;ysF:]=J - %!KK[x1;:::;xrm]=IKindu-9ziert,UUalsogiltt9'(A):KK-Algjqc}(KK[x1|s;:::;xrm]=I;A)3fڧ7!fg"2KK-Algjqc(KK[y1|s;:::;ysF:]=J;A):#惠 u6F˳IV.ZURKÎOMMUTJATIVENALGEBRAISCHENGEOMETRIE35>|B9DazgϵbGeschriebenwirddurchg[ٵ(yiTL)=pi(x1|s;:::;xrm)2KK[x1;:::;xrm],{erhal- 9tenUUwirdQ'(A)(a1|s;:::;asF:)=(fg[ٵ(y1);:::;fg[ٵ(ysF:))Q=(f(p1|s(x1;:::;xrm));:::;f(psF:(x1|s;:::;xrm)))Q=(p1|s(a1;:::;arm);:::;psF:(a1|s;:::;arm)): ffПffffffffЎ9TBeispiel4.14T.T,\DerIsomorphismuszwischenderanenGeraden(4.2)und9derwParabGel(4.8d))istgegebendurchdenIsomorphismusf:cKK[x;y[ٵ]=(y9x^2|s)_ !_KK[zp],f(x)=z,f(y[ٵ)=z^2mitderUmkehrabbildungf^1 (z)_=x.9Auf:gdenanenalgebraischenMannigfaltigkeitenderanenGeradenKAbzw.9derParabGelKPistdieinduzierteAbbildungfVB:BKA(A)3a7!(a;a^2|s)2KA(A)9bzw.UUf^1:KP(A)3(a;b)7!a2KA(A).$N u>|KAPITELV!\¿Limites,Kolimites,Pro`dukteundDi erenzkerne-\S9WirbGenootigenfGourweitereKonstruktionennocheinigezusoatzlichekqategorie- 9theoretischeUUBegri e.DiesesollenhierinknappGerF*ormbehandeltwerden.E9TDefinition5.1T.[EinDiagr}'ammschemaDisteinekleineKategorie(d.h.die9Ob8jektklasse۠isteineMenge).ۿSeiCpeinebGeliebigeKategorie.EinDiagr}'amm9in@MCդmitdemDiagrammschemaDjisteinkovqarianterF*unktorFQ:D5 *!CW.9TBeispiel5.2T.O,[(fGourUUDiagrammschemata)a)DieleereKategorieDG. \S9b)dDieKategoriemitgenaueinemOb8jektDbundgenaueinemMorphismus91D@.9c)DieKategoriemitzweiOb8jektenD1|s;D2 H;undeinemMorphismusfJ:9D1C `!D2ȵ(auerUUdenbGeidenIdentitoaten).9d)tDieKategoriemitzweiOb8jektenD1|s;D2LundzweiMorphismenfV;g :9D1C `!D2ȵzwischenUUihnen.9e)4DieKategoriemiteinerF*amilievonOb8jekten(DiTLji:[2I)4unddenzu-9gehoorigenUUIdentitoaten.9f)DieKategoriemitvierOb8jektenD1|s;:::;D4BundMorphismenfV;g[;h;kP,9soUUdakommutiert1]ڰJuBD1ڰJoD2"8҄fdcdά-Ԭ|fXfe7?^gŞeXfeї?q kuBD3oD4"32fdcdά-}#h9alsoUUkPfڧ=hg[ٵ.c36% u,V.LIMITES,KÎOLIMITES,PRODUKTEUNDDIFFERENZKERNE37>|B9TDefinition5.3T.[SeiDeeinDiagrammschemaundCeineKategorie. Je- 9des@9Ob8jektC2NCՐde nierteinkonstantesDiagrammKC l:D %!CՐmit9KCڵ(DG):=CوfGour"lalleDd2DiundK$(f):=1C FfGouralleMorphismeninDG.9JederjMorphismusf:"CL> h!C^0injCde nierteinekonstantenatGourliche9T*ransformation+Kf [X:,8KC !KC}0 mitKf/ (DG)=f.+DamitwirdeinKon-9stantennF;unktor,K:C\o x!F*unkt(DG;CvonderKategorieCindieKategorie9derUUDiagrammeF*unkt(DG;CW)de niert. ΍9Sei1FQ:D5 *!CeinDiagramm.IEinOb8jektCMundeinenatGourlicheT*ransfor-9mationT":KC h!FheitLimesoGderpr}'ojektiver6LimesdesDiagrammsF9mitderPr}'ojektion[ٵ,wennzujedemOb8jektC^02lCMundzujedernatGourli-9chenMT*ransformation':KC}0 5eQ!FKgenauMeinMorphismusfڧ:C^0Lm h!Cڵso9existiert,UUda4ɍڰJPKC}0^';@;@ғ@ғRXfe7?bэ;KfKC{Fe32fd.ά-Iy99kommutiert,UUd.h.fGouralleMorphismeng":Did 7!DjinUUDrkommutiert4rڅCڅ F9(DiTL)8҄fddά-iQȍF9(Dj6)&8j;@;@ғ@ғRŞeXfeї?ЍF(g@L)9(ndistnatGourlicheT*ransformation)undfGouralleOb8jekteDif׵inDYkommutiert4荒C^0^'i;@;@ғ@ғRXfe7?Ѝ(fC}F9(DiTL):32fd䍑ά-7Oi9EineKategorieCtb}'esitzt_CLimitesfGourDiagrammschemataderF*ormDG,,wenn 9zuAojedemDiagrammFQ:D5 *!CoubGerAoDinCeinLimesexistiert.AuEineKa-9tegorieR0C燵heitvollst oandig,wennjedesDiagramminCeinenLimesbGesitzt.I9TBeispiel5.4T.O,[a)!tSeiDheinDiagrammschemabGestehendauszweiOb8jekten9D1|s;D2und?denIdentitoaten.?EinDiagrammFQ:D5 *!Cist?de niertdurch9die5V*orgabGevonzweiOb8jektenC1VundC2inCW.UEinOb8jektC1BC2zusam-9menƊmitzweiMorphismen18:C1XC2!C1BundƊ2:C1XC2!C29heitZPr}'oduktderbGeidenOb8jekte,ZwennC1cC2|s;֋:zKC1 C2$!FXein9LimesHist,d.h.wenneszujedemOb8jektC^0inCundzujezweiMor-&ؠ u938,V.LIMITES,KÎOLIMITES,PRODUKTEUNDDIFFERENZKERNE>|B9phismenj'1 V:C^08!C1 (ݵund'2 V:C^08!C2 (ݵgenaueinenMorphismus 9fڧ:C^0Lm h!C1S8C2ȵgibt,UUsoda;M{'1c c c ss 7'2k @k @k @[@[RP~C^05#feg?Äfz ]C1C1S8C232fd}άW1MC2Ƅ32fd}ά-WlS2Ǎ9kommutiert.#DiebGeidenMorphismen1YD:C1$jC2u!C1xkund2:C1$j 9C2C `!C22^heiendiePr}'ojektionendesProGduktsaufdieeinzelnenF*aktoren.9b)$ SeiDk=einDiagrammschemabGestehendauseinerendlichen(nicht-leeren)9MengeI`vonOb8jektenD1|s;:::;Dn޵unddenzugehoorigenIdentitoaten.IcEinLi-9mesveinesDiagrammsF:D b!C Nheitvendliches]Pr}'oduktderOb8jekte9C1ٵ:=NfF9(D1|s);:::;Cn :=F(Dnq~)@undwirdmitC1Qf:::UsfCn =NfQލ /n% /i=1&Ci9bGezeichnet.9c)AEinLimesoubGereinemdiskretenDiagramm(d.h.ADbesitztnurdieIden-9titoatenCalsMorphismen)heitPr}'oduktCµderOb8jekteCid:=F9(DiTL),Ci2I und9wirdUUmitQ I[CibGezeichnet.9d)SeiD`dasleereDiagrammschemaundFQ:D5 *!Cdas(einzigmoogliche)9leereDiagramm.DerLimesC(;":KC h!FvonFheitEndobjekt.Erhat9dieEigenschaft,daeszujedemOb8jektC^0/inC?(dieeindeutigbGestimmte9natGourliche~>T*ransformation' F:KC}0 y !F|wbraucht~>nichtangegebGenzuwer-9den)fgenaueinenMorphismusfT:C^0i !Cgibt.fInfMeiistfdieeinpunktige9MengeUUeinEndob8jekt.InAbc;Gr n7;V*ekcistdieNullgruppGe0einEndobjekt.9e)SeiDFdasDiagrammschemaaus5.2d)mitzweiOb8jektenundzwei9Morphismen(verschiedenvondenbGeidenIdentitoaten).EinDiagramm;oubGer9DEist(gegebGendurchzweiOb8jekteC12undC2undzweiMorphismeng[;hhw:9C1 f#!:C2|s.DerLimeseinessolchenDiagrammsheitDi er}'enzkernder9bGeiden~MorphismenundistgegebendurcheinOb8jektKer(g[;h)undeinen9Morphismus[z1C:Ker(g[;h)!C1|s.[DerzweiteMorphismusnachC2entsteht9durch;dieKompGosition2C=g[1=h1|s.;Der;Di erenzkernhatdiefolgende9universelleEigenschaft.ZujedemOb8jektC^0;undjedemMorphismus'1h&:9C^0Lm h!C1&mit8g['1C=h'1|s(='2)8gibtesgenaueinenMorphismusfڧ:C^0Lm h!9Ker](g[;h)UUmit1|sfڧ='1ȵ(unddamit2fڧ='2,d.h.dasDiagramm;ɘ~C^0H̍wfcTcTcTs5s5 PH5D#fegD?Z'1Hl;IKer|^(g[;h)HUC1q۟3zfdά-s71::3„fd a؍ά-Ƚ_g򎎍MC232fd a؍ά-yh' u,V.LIMITES,KÎOLIMITES,PRODUKTEUNDDIFFERENZKERNE39>|B9kommutiert.5+fT9Ubung5.5T.Gõa)QSeiF:D_ |N!Me;einQdiskretesDiagramm.]Manzeige,da 9dasikqartesischeProGduktўouberFgmitdemkqategorietheoretischenProdukto9ubGereinstimmt. u9b)SeiDeinMorphismenpaarwiein5.4e)undseiF`:'DeD !Mew`ein9Diagramm.Manzeige,dadieMengefx2F9(D1|s)jF(f)(x)=F9(g[ٵ)(x)gmit9derUUEinbGettunginF9(D1|s)Di erenzkernvonFQ:D5 *!Meist.9c)UUSeiFQ:D5 *!MeeinUUDiagramm.Manzeige,dadieMenge4f(xD@jD52ObDG;xD 2F9(D))j8(fڧ:D5 *!D0V)2D5:F9(f)(xD@)=xD70 jg9mitdenPro8jektionenaufdieeinzelnenKompGonentenderF*amilienLimes 9vonUUFSist.59TDefinition5.6T.[SeiLF:ѲD 5E!CeinDiagramm.uEinOb8jektChundeine9natGourlicheT*ransformationC::FAs ]!KC YheitKolimesoGderinduktivermLi-9mesŽdesDiagrammsFǵmitderInjektion,ªwennzujedemOb8jektC^0v2}!C9undzujedernatGourlichenT*ransformation':FQ !KC}0 UgenaueinMorphis-9musUUfڧ:C~4 !C^0ڪsoexistiert,da4TڰJFڰJ_KC;8҄fd.ά-卒5K%KC}0^_';@;@ғ@ғRŞeXfeї?bэKffꍑ9kommutiert,UUd.h.fGouralleMorphismeng":Did 7!DjinUUDrkommutiert5?hڅF9(DiTL)i;@;@ғ@ғRXfe7?ЍF(g@L)Qȍ{F9(Dj6)Qȍ1C32fd*ά-Gj9(M/istnatGourlicheT*ransformation)undfGouralleOb8jekteDi{inDLkommutiert4څF9(DiTL)څ1C8҄fddά-iHC^0U:^4'i;@;@ғ@ғRŞeXfeї?Ѝf9Die spGeziellenKolimites,"die)ouberdenDiagrammenwieinBeispiel5.4ge- 9bildetUUwerden,heienKopr}'odukt,AnfangsobjektUUbzw.Di er}'enz-Kokern.(&i u940,V.LIMITES,KÎOLIMITES,PRODUKTEUNDDIFFERENZKERNE>|B9TBeispiel5.7T.O,[In'V*ekist'0einAnfangsob8jekt.' InKK-AlgistKKeinAnfangs- 9ob8jekt.InGeom"istdereinelementigeF*unktorA7!fgѵeinEndobjekt.9InKK-Algy,istfa2Ajf(a)=g[ٵ(a)gderDi erenzkernderbGeidenAlgebren9Homomorphismenf}:A d!BundgCǵ:A d!Bq.InKK-AlgmLstimmendas9kqartesischeProGdukt(Paarmengenbildung)unddas(kqategorietheoretische)9ProGduktqoUUuberein.im9TBemerkung5.8T.`\EinsYKolimeseinesDiagrammsCistinderdualenKa-9tegoriesCW^op Limesdesentsprechendens(dualen)Diagrams.t"DaherergebGen9SoatzeqoUUubGerLimitesdualeSoatzeqouberKolimites.9TSaUTtz5.9T.=|Limites\/undKolimitesvonDiagr}'ammensindbisaufIsomorphie9eindeutig.r 9TBeweis.E=pSeiFQ:D5 *!CkWeinDiagrammundseienC(;1ٵundx䍑~C ;27~ ƵLimites9vonF9.6DanngibtesjeweilsgenaueinenMorphismusfG:x䍑u~CN<j!C7und9einenMorphismusg:<C6 !x䍑׵~Cpmit[Kfk:=é~ µund#~ Kg!=[ٵ.DannistabGer9[K1mC p=id [؟KmCb=ݵ="~ "KgB =Kf/ KgB =Kfg *und}analog\ ~ K1ڍzð~CC p="~ "Kg@Lf V'.9W*egenUUderEindeutigkeitfolgtdaraus1C =fg.und1C ~C=g[f. ffПffffffffЎ9TBemerkung5.10T.e\NachdemzkdieEindeutigkeitdesLimesbzw.zKolimes(bis9auf}&Isomorphie)nachgewiesenist,}]koonnenwirjetzteineeinheitlicheBezeich-9nungsweise{einfGouhren.|>DerLimesdesDiagrammsFU:D9 !CJwird{mit9lim39 r(F9)UUbGezeichnet,derKolimesmitlim38!8(F).9TSaUTtz5.11T.B|Wenn]KCb}'eliebigeProdukteundDi erenzkernebesitzt,]Ydannbe-9sitztC)>b}'eliebigeLimites,d.h.Cistvollst oandig.r 9TBeweis.E=pSei(D+EeinDiagrammschemaundFZ:!D> !Cyein(Diagramm.9WirbildenzunoachstdieProGdukteQ D72Ob D-F9(D)undQ f2MorN>D-;F9(Zi(f)),9wobGeiZi(f)dasZieldesMorphismusfڧ:DG^0n !DG^0V^0iBinDLеist,alsoindiesem9F*alle9#Zi(f)=DG^0V^0c.9*FGourjedenMorphismusfڧ:DG^0n !DG^0V^0de nierenwirzwei9MorphismenUUwiefolgt:AEFpf8:=:F(D70k0 ): ;Y D72Ob D"$F9(DG)!F(DG0V0c)=F(Zi(f))9und9qf8:=F9(f):F(D70돲)k: ;Y D72Ob D"$F(DG)!F(DG0V)!F(DG0V0c)=F(Zi(f)):)3* u,V.LIMITES,KÎOLIMITES,PRODUKTEUNDDIFFERENZKERNE41>|B9Diese bGeidenF*amilienvonMorphismeninduzierenzweiMorphismenindas 9entsprechendeUUProGdukt:[}p;q": ;Y D72Ob D"$F9(DG)! ̀Y f2MorN>D#CF(Zi(f))|)9mit}gf/ qe= qfundfp =pf.}qWir}gzeigenjetzt,daderDi erenzkerndieser9bGeidenUUMorphismensKer,v(p;q[ٵ)Sv32fd+Ѝά-f Y D72Ob D@F9(DG)ԍ.3„fd+Ѝά-mp.32fd+Ѝά-씍 qN8?Y f2MorN>D(:mF9(Zi(f))9Limes)0desDiagrammsF&g:(.DoK !Cist.)fEs)0istp =(.q[ .Zunoachst)0ergibt 9(DG)o:=:F(D7) IH:Ker(p;q[ٵ) !Q _8D72Ob D- DF9(D) !F9(D)lVeineF*amilievon9Morphismen8xmitD2AObADG.8IstfU6:AD^0V ss!D^0V^0 in8xDgegeben,8soistdas9Diagramm5n!ڇ荍vyKer (p;q[ٵ)ڇ荒%F9(DG^0V)8҄fd)Fά-Yq(D7r0돲)HF9(DG^0V^0c)^(D7r0kr0 )HHHHHпHпjٛXfeǟ?Ѝ7F(f)-J9kommutativ .wegenF9(f)(DG^0V)=F(f):F(D70돲) UY=qf/ =f/ q[ =f/ p =9pf/ fe= :F(D70k0 ) =(DG^0V^0c).[DamitisteinenatGourlicheT*ransformation:9K:Ker w:(p;q@L) x&!FSgegebGen. x9SeinuneinOb8jektC^0|gegebGenundeinenatGourlicheT*ransformation'~Ե:9KC}0q!.$F9.Dann-istdadurchgenaueinMorphismusg:.$C^0 y!9QD72Ob D8WF9(DG)jde niertmit:F(D7)g[='(D)fGouralleDܟ2D.kDa'eine9natGourliche9T*ransformationist,habGenwir'(D^0V^0c)%=F9(f)'(D^0V)9fGourjeden9MorphismusfXL:DDG^0Z v!DG^0V^0c.Wirerhaltendamitf/ pg=pfg=:F(D70k0 )g=9'(DG^0V^0c)[=F9(f)'(DG^0V)=F(f):F(D70돲)gZ=qf/ g=f/ q[gԵfGourGalleMorphismen9fȵ: 9DG^0! >!DG^0V^0c,alsojpgh=q[g.DaherjloatsichgtCeindeutigdurchdenDif-9ferenzkern% ~:"KerF](p;q[ٵ)" ?C!"͟Q D72Ob D.@F9(DG)faktorisierenalsg=" [hmit9hl:C^0r !Ker(p;q[ٵ).rEsYistdann(DG)hl=:F(D7) h=:F(D7)g='(DG)YfGour9alleUUD52DG,alsoKh='. x9W*ennXschlielicheinweitererMorphismush^0g:.C^0R n!Ker(p;q[ٵ)mitKh0 (=9'gegebGenist,8dannist:F(D7) [h^0M=(D)h^0='(D)=(D)h=:F(D7) [h,9also [h^0Q= h=g.W*egenderEindeutigkeitderFaktorisierungvongdurch9 .folgtUUh=h^09.Damitist(Ker#(p;q[ٵ);)LimesvonF9. ffПffffffffЎ-J9TBemerkung5.12T.e\DertBeweisdesvorstehendenSatzeszeigtzugleichdie9expliziteUUKonstruktiondesLimesvonFSalsDi erenzkern*C u942,V.LIMITES,KÎOLIMITES,PRODUKTEUNDDIFFERENZKERNE>|KsLsKer,v(p;q[ٵ)Sv32fd+Ѝά-f Y D72Ob D@F9(DG)ԍ.3„fd+Ѝά-mp.32fd+Ѝά-씍 qN8?Y f2MorN>D(:mF9(Zi(f))9DerkLimeskqannalsoalsUnterob8jekteinesgeeignetenProGduktsdargestellt 9werden.P[DualPkqannderKolimesalsF*aktorob8jekteinesgeeignetesKopro-9duktsUUdargestelltwerde.WirwerdendieseKonstruktionspoaterverwenden.9WichtigfGourunsistnoGchdieV*ertauschbarkeitvonF*unktorenmitderBil-9dungpvonLimitesbzw.pKolimites.Wirpsagen,daeinF*unktorGJ:yC F!CW^09Limites=o!ubGerdemDiagrammschemaD>erh oalt,rwennfGourjedesDiagramm9FQ:D5 *!CꬵgiltUUlim3UU r8(GF9)T͍+3= UNG(lim3 r 㑵(F9)).9TSaUTtz5.13T.B|Kovariante3darstellb}'areF;unktorenerhaltenLimites.|ɹKAPITELVI4#AlgebraischeGrupp`enundHopfAlgebren-9EsfgibtzweiverschiedeneMooglichkeiten,fdenBegri einerGruppGeGinei- 9nerbGeliebigenKategorieC:zude nieren.DieeineMooglichkeitistzufordern,9da$kdieMengeMor9ßCj(X:;G)fGouralleX2CµeineGruppGewirdunddiesfunk-9toriellB(d.h.BnatGourlich)inX.DiezweiteMooglichkeitist,BeineMultiplikqation9rG L :FG%G !G>undanalogneutralesElementundInversenbildungzu9de nieren,(diekommutativeDiagrammefGourdieAssoziativitoatetc.(bilden.9Zu]derletzterenDe nitionbGenootigtmandieExistenzgewisserProduktein9derwkKategorieCW,wtsieistalsoengeralsdieersteDe nition.BesitztC µjedoGch9ProGdukteundEndob8jekt,sosindbeideDe nitionenoaquivqalent.Daswerden9wirUUindiesemAbschnittzeigenundausnutzen.9TLemma6.1T.Ht31) InderKate}'goriederkommutativenAlgebrenistdasT;en-9sorpr}'oduktvonAlgebr}'endasKoprodukt. 92)hInderKate}'goriederkokommutativenKoalgebrenistdasT;ensorprodukt9vonKo}'algebrendasProdukt.9TBeweis.E=p1)SeienAundBlAkommutativeKK-Algebren.DannistA1 B9wiederUUeinekommutativeUUAlgebramitderMultiplikqationۍ0rA B쵵:A8 BQ A BT΍G1  12\ !A A B BT΍Gr r2 #!A Bq:5Y9W*eiterKesinddielinearenAbbildungenA J:=1A $":AT͍+3= UNA KK!A B9bzw.UUB $:= 81B:BT͍G+3G= տKK8 BG c!A BƵAlgebrenUUHomomorphismen.c43,i5 u944|B9SeienL%nuneineweiterekommutativeAlgebraCAundAlgebrenHomomor- 9phismen"fA S:CA `9!CW>undfB %ϵ:B4 !CW>gegebGen.6Wirwollenzeigen,da9eseineneindeutigbGestimmtenAlgebrenHomomorphismusfڧ:AU BG c!C9soUUgibt,dadasDiagrammB<|oAA8 B::fdbά-mmACB¸m::fdάF7mBjCÄfmAs @s @s @c@cR5 tfe5 tfeg?Ä|fÄ7fmB[ [ [ kk ~9kommutiert. [I9Dazuseif%:=rCڵ(fA @  fB ):A B p!Ct) Cȥ !C,alsof(a b)=9fA(a)fB (b)./ODieses/FisteinAlgebrenHomomorphismus,weil/Fineinerkomm-9mutativenoAlgebraC&dieMultiplikqationrf:C CT p!CeinoAlgebren9HomomorphismusUUist.DasDiagramm+ӒC 8C C C²C 8C C CrC::fd-ά-DՍ}]1  1C 8Cc::fdά-4Ur rME#feMw?6Fr r%#feW?gɍr? "D5 *!KK DT͍5+35= kDKoalgebrenuHomomorphismen.-r u|B9SeienW>nuneineweiterekokommutativeKoalgebraAundKoalgebrenHo- 9momorphismenfC ̊:A /&!CmundfD S:A /&!DgegebGen.?Wirwollen9zeigen,daeseineneindeutigbGestimmtenKoalgebrenHomomorphismus9fڧ:A!C 8DrsoUUgibt,dadasDiagrammO%ލ{ CHC 8Dݞ32fd,6ԞάemC߆DŞ32fd|jά-]mDqgAÄbfmCc c c ss 5 tfe5 tfeg?Ä|fÄ7fmDk @k @k @[@[RJ9kommutiert. 9Dazu*seif겵:=#(fC  fD@)A Z:A !A A !C4 DG.{Dieses*istein9Koalgebren uHomomorphismus, weilineinerkokommmutativenKoalgebra9AdieKomultiplikqationA J:A!AŔ AeinKoalgebrenHomomorphismus9ist.UUDasDiagrammO%ލJ"wA)A8 AT::fdZά-7ME#feMw?gɍCQ>%#feW?Dz @FA8 A|A8 A A A^y32fdʍά--ybF  qA8 A A A32fd/_ά-=͍R1  1J9kommutiertUUnoamlich.AuerdemerhoaltdieKoGeinsderKoalgebraE'FwgSAwgKK8҄fd8xά-卒7"!XfeS?gHԜIXfe{?O0E#=|t&C 8Dv>C 8C D DF0YABfd,ά-%~L޲mC mD &C 8D C DџABfdJά-<Kɲ1mC  1mDǾFh1mC 1mD; @E @O @Y @c @m @w @ @G@GR#fe?B[1mC " " 1mD.#fe.ӟ?2CpmC pmD$vC 8KK KK D$ pC 8KK KK Dy::fdK[̍ά-4Kɲ1mC  1mD#fe?ɍO[0E哲=C 8DɍO0E=ǟ[aǟ۰ǟ ǟ[`ǟ尵ǟ ǟ[_ǟﰴǟ ǟ[^)39kommutiert,9,ist8g"=(pC pD@)(1C ! 1D)(C D)g"=(pC pD)C} Dg"= 9(pCܼ "pD@)(g~ g[ٵ)A J=(pCg pD@g[ٵ)A J=(fCܼ fD)A J=f.yDamitUistnach-9gewiesen,da(CB b&DG;(C;D@))einProGduktvonCundD1inderKategorie9KK-Koalgȟqc&derUUkokommutativenKoalgebrenist. ffПffffffffЎ39Der+Beweiszeigt,^daesgGounstigerist,Beweisewennmooglichelementfreinur9durch2RGouckgri aufMorphismenzufGouhren,RdasiedanneineDualisierung9zulassen.DerzweiteT*eildesobGengegebenenBeweiseslieesichtatsoachlich9dualisieren,Num;auchdenerstenT*eildesBeweiseszugebGen.NDazumGouten9wir,jedoGchdenBegri einesT*ensorproduktsineinerbeliebigenKategorie9einfGouhren.UUDaswirdspoatergeschehen. d9WirUUformuliereneinweiteresLemmaohnedentrivialenBeweis.I捍9TLemma6.2T.Ht31)kInderKate}'goriederkommutativenAlgebrenistKKeinAn-9fangsobjekt.92)InderKate}'goriederkokommutativenKoalgebrenistKKeinEndobjekt.I捍9TDefinition6.3T.[EinBzOb8jektGineinerKategorieCѵzusammenmitei-9ner+(kontravqarianten)F*aktorisierungG8:,gC 4!Grdesdarstellbarenkon-9travqarianten9F*unktorsMorO:C(-UU;G):C w!Medurch9denVergifunktor9V:GrQn5!MeL=vonderKategoriederGruppGenindieKategoriederMengen9Mor OKC%)(-UU;G)=V}G&heiteineGrupp}'einderKategorieCW.9EinOb8jektGineinerKategorieC"&zusammenmiteiner(kovqarianten)F*akto-9risierungGյ:"C[ !GrqvdesdarstellbarenkovqariantenF*unktorsMor;C(G;-)":9CcD !Me]idurch denV*ergifunktorVj:Gr_i{!MevonderKategorieder9GruppGenindieKategoriederMengenMor'C(G;-)=V}G>heiteineKo}'gruppe9inUUderKategorieCW.3+fT9Ubung6.4T.Gõ1)wAZeigenSie,wydaGruppGeninderKategoriederMengengenau9dieUUabstraktenGruppGensind.92)UUFindenSiealleKogruppGeninderKategoriederMengen./ u|B9ImKfolgendenSatzverwendenKwirdieMorphismenb(:X+ G!X/MX۵in 9ein[ProGduktineinerKategorieC$de niertdurchdieKomponenten1X l:9X ^!Xǵund1X W*:X!XǵunddeneindeutigbGestimmtenMorphismus9":X p!EinUUeinEndob8jekteinerKategorie.xk9TSaUTtz6.5T.=|SeiCUeineKate}'goriemitProdukten(undEndobjektE).SeiGein9Objekt7cinCW.7{EsgibteineBijektionzwischendenF;aktorisierungenG^:C\o x!9Gr,W"soWda(G;Gѵ)eineGrupp}'einCiwird,W"unddenT;ripelnvonMorphismen9inCW:H@Ir:G8G!G; ":EZ w!G;s:G!G;H@9sodadiefolgendenDiagr}'ammekommutieren3g_G8GG$G8Gף8҄fd8ά-u_r1mG=Xfeo?^eX1mGr-Xfe_?grq4G8GGu32fdL(|ά-w|r?~ZyEm8GT͍+3= UNGT͍+3=GENG8G-::fd"荑ά-ʮ&idǶ"#feV+?Är o@Lid#feH?gɍGry\G8GYG:132fdL(|ά-wRr:1mGT3 HT3 HT3 HT3 HT3 HT3 HT3 HJHJj")(`pJ,zGpJ].E6N8҄fd$.ά-卑G"pJpJjGdl8҄fd(ά-(v/ͮXfe0?g%o"G8GG8G@32fdB)䍑ά-nWMSa1mGXfeП6g@r)(`pJGpJ֜EȽ8҄fd$.ά-卒0"pJpJ!Gڟ8҄fd(ά-(XfeN?gGG8GmtG8G:ҼT32fd@ðά-nqr1mGS% Xfe%>6g)ɮr(9TBeweis.E=pMorWRȟC\(-UU;G)MloatsichdurchdieKategoriederGruppGengenau9dannUEfaktorisieren,UwennfGourjedesX12OCꜵdieMengeMorjC{(X:;G)eine9GruppGeqistundfGourjedenMorphismusfߵ:PXj2 !YµinqC5dieAbbildung9Mor OKC%)(fV;G):Mor C<(Y9;G) 5!Mor C<(X:;G) einGruppGenHomomorphismus9ist.UUDamithabGenwirinsbesondereAbbildungen dErX a<:MorpC N(X:;G)8MorN8C(X;G)!MorpC N(X;G);{X a<:fg!MorpC N(X:;G)gl\sX a<:MorpC N(X:;G)!MorpC(X;G);!H@9dies[dieGruppGenaxiomeerfGoullenundmitdenAbbildungenMorC(fV;G)ver-9troaglichUUsind:0  u948|`䍍څ* Mor< 9CAQ(Y9;G)8MorN8C(Y;G)څMorSC31(Y9;G)/8҄fdI\ά-rmYauXfeaߧ?Ѝ ڲMormCŲ(fZ;G)MorN>mC(f;G)Xfe'?ЍȗMor՟mC(fZ;G)'ƵMor9C?)(X:;G)8MorN8C(X;G)nMorƟC(X:;G)32fdFά-ArmX>죍څZfgڅMorC8ѵ(Y9;G)X8҄fd)Vά-(՟Xfe?ٛXfeǟ?Ѝ7MorumC"(fZ;G)ZfgMorfC%D(X:;G)X32fd(䍑ά-씍rڅ]MoroCtF(Y9;G)څMor#C6(Y9;G)8҄fd@]Xά-卒JsuXfeuן?ЍKٹMorZ'mC^¤(fZ;G)şXfe?ЍgMormCR(fZ;G)[MornvCs3T(X:;G)xMorC(X:;G):-32fd<@ά-I>0s9DadarstellbarekovqarianteF*unktorenProGdukte(undEndob8jekte)erhalten, 9habGenwirinsbesonderenatGourlicheT*ransformationenMor/C^ (X:;G G)T͍љ+3љ=9Mor OKC%)(X:;G)Mor,6C](X;G) !MorjC8H(X;G)SundMorC艵(X;E)T͍+3=Bfg !9Mor OKC%)(X:;G),dieizusammenmitsnachdemY*onedaLemmaMorphismen9rG ):pG|xG !G,G ):E !GundsG ):G !Ginduzieren.DieDia-9grammeKoalgZqc&!gsindgenaudiekokommutativenHopf-9Algebr}'en.Die6KogruppeninKK->Alg;qcuRsindgenaudiekommutativenHopf-9Algebr}'en.T9TBeweis.E=pNachLemma6.1und6.2gibtesinKK-Koalgȟqc%aHProGdukteundein9Endob8jekt.(GruppGen(koonnendaherdurchdieMorphismenundDiagramme9aus5DdemvorangehendenSatzbGeschrieben5Dwerden.5LDabei5DsinddieProGdukte9durchzT*ensorproGduktezuersetzen.AnalogesgiltfGourdiedualeKategorievon9KK-Algjqc}. ffПffffffffЎ9MitdiesemSatzistzweierleiausgesagt.Erstensde niertjedekommutative9HopfIAlgebraHGeinenF*unktorKK-Algjqc}(HA;-)­:KK-Algjqc@7"\!Me_ ,oderIdurch9dieKategoriederGruppGenfaktorisierbarist,oderwiewirkurzschreiben9einenwF*unktorKK-Algjqc}(HA;-)I:KK-Algjqc}!I!Gr.wZweitenswwirdjederdarstell-9bareF*unktorKK-Algjqc}(HA;-)L:KK-Algjqc+"HL!MeJ,2derdurchdieKategorieder1 u|B9GruppGenfaktorisierbarist,voneinerHopfAlgebraHεdargestellt.Analoges 9giltUUfGourdieKategoriederkokommutativenUUKoalgebren.񍍍9TDefinition6.7T.[1)-Diedurchkommutative(endlicherzeugte)HopfAlge-9brendargestelltenkovqariantenF*unktorenvonKK-Algjqc indieKategorieder9GruppGenUUheienanealgebr}'aischeGruppen. l92)DiedurchkokommutativeHopfAlgebrendargestelltenkontravqarianten9F*unktorenJUvonKK-Koalgȟqc(indieKategoriederGruppGenheienformale9Grupp}'en.񍍍9TBeispiel6.8T.O,[1)TDieanealgebraischeGruppGe,igenanntadditiveGruppGe,^Ga:KK-AlgjqcD!a!Ab9mit?Gap(A):=A^+ 8ausLemma3.1wirddurchdieHopfAlgebraKK[x]darge- 9stellt.5Wir5bGestimmendazudieKomultiplikqation,KoGeinheitundAntipode.9DieEKomultiplikqationentstehtmitdemY*onedaLemmaausderMultipli-9kqation:KK-Algjqc}(KK[x]|k KK[x];A)T͍+3=KK-Algjqc(KK[x];A)|kKK-Algjqc(KK[x];A)T͍+3=9AA0 !0AT͍+3=~KK-Algjqc}(KK[x];A)durchAuswertungaufAT͍0+30=~KK[x] KK[x]9undݨAnwendungaufdieIdentitoat. Wirerhalten1:LK[x] LK[x])7!T(1|s;2)7!9(x4 1;1 x)7!x4 1+1 x7!:LK[x]Ƶ,alsoist:LK[x]޵:KK[x]!KK[x]4 KK[x]9durchUU:LK[x]Ƶ(x)=x8 1+1 xde niert.9Die&rKoGeinheitergibtsichausKK-Algjqc}(KK;A)T͍+3= UNfg!AT͍+3=KK-Algj(KK[x];A)9mitUUAT͍+3= UNKKdurch1LK7!7!07!":LK[x]Ƶ.UUAlsoist":LK[x](x)=0.9Die%AntipGodeentstehtausKK-Algjqc}(KK[x];A)T͍1r+31r=*A1r M!1rAT͍+3=KK-Algjqc}(KK[x];A)9durchUUA=KK[x]und1:LK[x]7!x7!x7!S:LK[x]Ƶ,alsoS:LK[x](x)=x.92)UUDerF*unktorQM+n õ:KK-AlgjqcD!a!AbS;9derp"jederkommutativenp"AlgebraAdieadditiveGruppGederMatrizenalgebra9Mnq~(A)zuordnet,wirddurchdiekommutativeAlgebraKK[xij j1di;jln]9dargestelltUU(vgl.3.5).DieseAlgebramueineHopfAlgebrasein.9Die]KomultiplikqationistmitdemY*onedaLemmaausderMultiplikation9(Addition#vonMatrizen)KK-Algjqc}(KK[xij ]շ KK[xij];A)T͍+3= UNKK-Algjqc}(KK[xij];A)շ9KK-Algjqc}(KK[xij ];A)T͍+3=Mnq~(A)UMn(A) 4!Mn(A)T͍+3=KK-Algjqc}(KK[xij ];A)φzu9erhalten.DurchAuswertungaufAT͍D+3D=KK[xij ] KK[xij]undAnwendungauf9diePIdentitoaterhaltenwir1:LK[xijgY] LK[xij]3YW7!(1|s;2)7!((xij )/ 1;1 (xij))7!9(xij P E#1)+(1 xij )7!:LK[xijgY]i.gAlsogist:LK[xijgY]Nߵ:KK[xij] 6!KK[xij]E# KK[xij]9durchUU:LK[xijgY]i(xij )=xij C 81+1 xij `Mde niert.2 u950|B9DieyKoGeinheitergibtsichals":LK[xijgY]i(xij )=0.DieyAntipGodeyistS:LK[xijgY]i(xij )= 9xij . cc93)DerMatrizenringMnq~(A)bGesitztaucheinenicht-kommutativeMultipli-9kqation,UUmitdereinMonoidde niertwirdTS}nMn 4:KK-AlgjqcD!a!Mon*:9DaherwirdKK[xij ]miteinerweiterenKomultiplikqationauchzueinerBial- 9gebraUU(dieAntipGodeUUfehltnatGourlich).9Diese/weitereKomultiplikqationentstehtaus1:LK[xijgY] LK[xij]7&h7!)(1|s;2)7!9((xij )eG 1;1 (xij))67!(xij p? eG1)(1 xij)6=(Pލ ;n% ;k+B=1Dvxik %# eGxk+Bj<)7!:LK[xijgY]i.9AlsoUUist䍑t:LK[xijgY]i(xikܵ)=>n X tjg=1xij C 8xjgk<:`9DieUUKoGeinheitist":LK[xijgY]i(xij )=ij:94)SeiKKeinKoorpGerderCharakteristikp.DieAlgebraH=KK[x]=(x^pR)troagt9dieS StruktureinerHopfAlgebradurch(x)=x4M 1+1 x,S "(x)=0S und9S(x)=P=x.VUmDzuzeigen,dawohlde niertist,mGoussenwir(x)^pܢ==P09nachweisen.RDasistabGerklarwegenderPotenzrechenregelninCharakteri-9stikUUp:(x8 1+1 x)^pfj=x^p2 1+1 x^p=0.9DieUUAlgebraH%SstelltsomiteineanealgebraischeGruppGedar:TSUF pR(A):=KK-Algjqc}(HA;A)T͍+3= UNfa2Ajapfj=0g:9Die!GruppGenmultiplikqationistdieAdditionderp-nilpotentenElemente.!So 9habGenUUwirdieGrupp}'ederp-nilpotentenElementeUUerhalten.95)uDieAlgebraHv=KK[x]=(x^nj21)isteineHopfAlgebradurchdieKo-9multiplikqation(x)=xd x,qdieKoGeinheit"(x)=1unddieAntipGo-9dejS(x)=x^n1.jDieAbbildungensindwohlde niert,weiljz.B.(x)^p 4e=9(x8 x)^pfj=x^p2 x^p=1 1UUgilt.9DieUUdurchdieHopfAlgebraH%SdargestellteanealgebraischeGruppGeistTST.nq~(A):=KK-Algjqc}(HA;A)T͍+3= UNfa2Ajan8=1g;9also_dieGrupp}'erdern-tenEinheitswurzeln._Die_GruppGenMultiplikqationist 9dieUUgewoohnlicheMultiplikqationvonEinheitswurzeln.+fT9Ubung6.9T.Gõa)BeschreibGenSiedieHopfAlgebrazurmultiplikqativenGrup-9pGeUUGm (3.3).3ё u|B9b)UUDieKonstruktionderallgemeinenlinearenGruppGeNGLnq~(A)=f(aij )2Mn(A)j(aij )UUinvertierbar6@g9de niertTeineanealgebraischeGruppGe.IJBeschreibenTSiediezugehoorige 9HopfUUAlgebra.9c)DiespGeziellelineareGruppeSLnq~(A)istebenfallseineanealgebraische9GruppGe.UUW*elchesistdiezugehoorigeHopfAlgebra?9d)*9DerEinheitskreisS^1(KR)troagtdurchdieWinkeladditioneineGruppGen-9struktur.KoonnenSieS^1mitderanenAlgebraKK[c;s]=(c^2G+Ns^21)zueiner9anenFalgebraischenGruppGemachen?_(Hinweis:WieFkqannmanzweiPunk-9te(x1|s;y1)und(x2;y2)aufderKreislinieaddieren, sodasichdieAddition9derUUzugehoorigenWinkelergibt?)4p u>|KAPITELVIGI"NichtkommutativeRaumeundQuantengrupp`en-#荑9JetztendlichkommenwirzudennichtkommutativengeometrischenRoaum- 9enundihrenF*unktionenalgebren.FVieles,waswirindenGrundbGegri ender9kommutativen algebraischenGeometriegemachthabGen, loatsichmitleich-9terw MoGdi kqationauchhiernochverwenden.wDieHilfsmittelsindjetztauch9starkgenug,*umMonoide,dieaufnichtkommutativengeometrischenRoaum-9enfiopGerieren,fmzustudieren.DamitwirderBegri derSymmetriefGoursolche9Roaume'eingefGouhrt.'GenauerliegendieSymmetrieninQuantengruppGen,die9wirUUjedoGchhiernurstreifenkoonnen.V9TDefinition7.1T.[SeizAeine(nichtznotwendigkommutative)Algebra.Dann9heitderdurchAdargestellteF*unktorX_:=tKK-Algj(A;-):KK-Alg-!9Me#einLanesnichtkommutativesSchema,Lein(aner)nichtkommutativer9R}'aum oGdereinQuantenraum.[DieElementevonKK-Algj(A;Bq)heienB-9PunktevonXv۵. EinMorphismusvonnichtkommutativenRoaumenfڧ:X= Zi!9Y'ҵistUUeinenatGourlicheT*ransformation.V9TBemerkung7.2T.`\Die8nichtkommutativenRoaumebildeneineKategorieQRǵ,9die3zuderKategoriederKK-Algebrendualist.QDahernenntmanhoau gauch9dieUUKategorieKK-Algjop Q͵dieKategoriedernichtkommutativenUURoaume. #荑9Ist{AeineendlicherzeugteAlgebra,sokqannsiealsRestklassenalgebraAT͍+3=9KKhx1|s;:::;xnq~i=IAeinerxPolynomalgebrainnicht-kommutierendenV*ariablen9(vgl.ߺ6)Udargestelltwerden.IstI =W(p1|s(x1;:::;xnq~);:::;pm(x1|s;:::;xnq~))9dasvondenPolynomenp1|s;:::;pm SerzeugtezweiseitigeIdeal,sokoonnen9die3MengenKK-Algj(A;Bq)alsNullstellen-MannigfaltigkeiteninB^n"aufgefatc525 u-VI|B9werden.KEs istnoamlichKK-Algj(KKhx1|s;:::;xnq~i;Bq)T͍+3= UNAbb(fx1;:::;xnq~g;Bq)= 9Bq^nundKK-Algj(A;Bq)kqannalsdieMengederjenigenAlgebrenhomomorphis-9men\vonKKhx1|s;:::;xnq~inachB͵aufgefatwerden,dieaufdenPolynomen9p1|s;:::;pm cƵverschwinden+unddamitauchaufganzI verschwinden,Ialsals9dieUUNullstellendieserPolynomeimBq^n. 9EbGensowieinSatz4.13zeigtman,daauchimnicht-kommutativenF*all9diemMorphismenzwischennichtkommutativenRoaumendurchF*amilienvon9PolynomenUUbGeschriebenUUwerden.9AuchSatz4.10IoubGerdieOperationderanenAlgebraAY=O(Xv۵)aufX9als&F*unktionenalgebrakqannunmittelbaraufdennicht-kommutativen&Fallo9ubGertragenFwerden:FdieinBnatGourlicheT*ransformation [ٵ(Bq):AGXv۵(B)!9Bistgdurch [ٵ(Bq)(a;f):=f(a)ggegebGenundkommtgvondemIsomorphismus9AT͍+3= UNNat(Xv;V}).l9WirpholenjetzteineAussageoubGerdieF*unktionenAlgebraAnach,pdiewir9imUUkommutativenF*allnichtbGewiesenhaben,diedortaberebenfallsgilt.F9TLemma7.3T.Ht3SeivDeineAlgebr}'aund':D@Xv۵(-)!V}(-)veinenat֞ourliche9T;r}'ansformation.`DannIgibtesgenaueinenAlgebrenHomomorphismusf~c:9D5 *!A,sodadasDiagr}'am3ύڅs;0D8Xv۵(Bq)Ѝ9'(BW=)HHHHHпHпj՟Xfe?Ѝvf1syA8Xv۵(Bq)ëB32fd/ߪά-?: @L(BW=)9kommutiert.F9TBeweis.E=pDiebnatGourlicheT*ransformation'ݛ:DAXTv p!V5Tinduziertbeine9eindeutig%bGestimmteAbbildungfڧ:D5 *!Nat*(Xv;V})T͍+3= UNA%mit'(Bq)(d;g[ٵ)=9f(d)(Bq)(g[ٵ)= (Bq)(f(d);g)= (Bq)(fLo81)(g). ffПffffffffЎ29TDefinition7.4T.[DernichtkommutativeRaumA:2j0]"q\mitderF*unktionenal-9gebra*]iOG(A2j0q ):=KKhx;y[i=(xy8q1 Myx)*]9mit6q"2KKlnf0gheit(deformierte)w-Quanten-Eb}'ene.6#Dernichtkommutative ƍ9RaumUUA:0j2]"q.;mitderF*unktionenalgebra*]bnOG(A0j2q ):=KKhu;[i=(2:;[ٟ2L;+8q[uǵ)6 u954-VI|B9heitUUduale(deformierte)Quanten-Eb}'ene.Esist.ӍY%A2j0q (A)=^ G^dx ݟyZ^  " rx;y"2A;xy"=q[ٟ1 My[x}^9und .̍58A0j2q (A)=bobd 1u;Ϋ$!b( ( , Nu;"2A;uǟ2R=0;[ٟ2d=0;u"=q[b u:aC9TDefinition7.5T.[SeiXueinnichtkommutativerRaummitderF*unktionen- 9algebraݺAundseiXcdieEinschroankungdesF*unktorsX!E:jKK-Alg1!Me9aufdieKategoriederkommutativenAlgebren:Xc>ص:+KK-Algjqc!!Mej.Dann9heitUUXch6derkommutativeAnteildesnichtkommutativenUURaumesXv۵.9TLemma7.6T.Ht3DersGkommutativeAnteilXc(einesnichtkommutativenR}'aumes9isteinanesSchema.9TBeweis.E=pDerV*ergifunktorVs:KK-Algjqc6#R!KK-AlgbGesitztdenlinks-9adjungierten&F*unktorKK-Alg3#A7!A=[A;A]2KK-Algj,&UwobGei&[A;A]das9zweiseitige3IdealvonAist,bdasvondenElementenab̟ba3aufgespanntwird.9Zu jedemAlgebrenHomomorphismusfڧ:A!BDin einekommutativeAl-9gebraWBPȵgibtesnoamlichgenaueineF*aktorisierungdurchA=[A;A],wweilf9aufUUdenElementenab8baUUverschwindet. 2w9W*ennalsoAzz=OG(Xv۵)dieFunktionenalgebravonX7ҵist,dannistA=[A;A]9dieUUdarstellendeAlgebrafGourXc. ffПffffffffЎ9TBemerkung7.7T.`\DieRoaumeXundXc"habGeninkommutativen(Koef -9zienten-)AlgebrenBfWdieselbGenPunkte: Xv۵(Bq) =Xc(B), sieunterscheiden9sich[nurinnicht-kommutativenKoGef zienten-Bereichen.Insbesondere[be-9sitztdieQuantenebGeneA:2j0]"qgmitq-6=1inkommutativenKoorpGernBxals9KoGezientenbereichnurBq-PunkteaufdenAchsen,CdennKKhx;y[i=(xy 9q[ٟ^1 My[x;xy{ yx)T͍+3= UNkP[x;y]=(xy)de niertnurPunkte(b1|s;b2)inBq^2,bGeidenen9mindestensUUeinF*aktorNullist.9ZurRolledernicht-kommutativenHopfAlgebrenmGoussenwirdasT*ensor-9proGduktUUinKK-Algbesserverstehen.9TDefinition7.8T.[Seienk.A끵=OG(Xv۵)undA^0=OG(Y})F*unktionenalgebrender9nichtkommutativenRoaumeXqbzw.Y}.ZweiBq-Punktep:A!B{winXv۵(B)9undpp^0 ҵ:=A^0 (H!BinpY}(Bq)heienkommutier}'end,wennfGourallea2Aund9alleUUa^0Q2A^0#gilt .̍$p(a)p09(a0)=p09(a0)p(a);7 u-VI|B9d.h.UUwennwenndieBilderderHomomorphismenpundp^0#kommutieren.\e9TBemerkung7.9T.`\Es(kgenGougtzuooubGerprGoufen,(dadieBilderderAlgebra 9Erzeugendenp(x1|s);:::;p(xm)mitdenBildernderAlgebraErzeugenden9p^09(y1|s);:::;p^0(ynq~)PbGeiderMultiplikqationkommutieren,PumPzuzeigen,da9die؞Punktepundp^0׵kommutieren,ؾalso؞dafGourdieBq-Punkte(b1|s;:::;bm)29Xv۵(Bq)UUund(b^0l1|s;:::;b^0nq~)2Y}(B)UUgilt:O2biTLb0jĵ=b0j6bi:\e9TDefinition7.10T.`DerUUF*unktor1Z(X=?Y})(Bq):=f(p;p09)2Xv۵(B)8Y}(B)jp;p0#kommutieren?zg9heitUUortho}'gonalesProduktdernichtkommutativenRoaumeX0undY}.9TBemerkung7.11T.e\T*atsoachlichistXG?0lYgwiedereinFunktor,weilHomo- 9morphismen'f:vBQ n]!Bq^0CѵkommutierendePunkteerhalten,Pdennsiesind9mitderMultiplikqationvertroaglich. DamitistX?AYqueinUnterfunktorvon9X8Y}.9TLemma7.12T.Mt4WennʸXAundY5nichtkommutativeR oaumesind,dannistauch9X it? Y v=einnichtkommutativerR}'aummitderF;unktionenalgebra9OG(X=?Y})=O(Xv۵)8 O(Y}). 39WennBCXundYendlicherzeugteF;unktionenAlgebr}'enbesitzen,Bpalsoalge-9br}'aischsind,danngiltdasauchf֞ourX=?Y}.9TBeweis.E=pSeien(p;p^09)W62(X?Y})(Bq)einPaarkommutierenderPunkte.9Dann/gibteseineneindeutigbGestimmtenAlgebrenHomomorphismush3;:9A8 A^0Q !Bq,UUsodadasfolgendeDiagramm?^|oA^A8 A^0::fdI>ά-`{1ps @s @s @c@cRjKB5#feg?|gh^^ަBA^0ߟ::fd άꍒ̊s^0荒7p^0[ [ [ kk 9kommutiert.AMande nierenoamlichh(a$s a^09):=f(a)g[ٵ(a^0)undrechnedamit9dieTerforderlichenEigenschaftennach.ManbGeachte,dabGeieinembeliebi-9gen)AlgebrenHomomorphismush:A A^0Q !Bdie)BildervonElementen9a 1und1 a^0kommutieren,weilsieschoninA A^0selbstkommutieren.9DamitUUistabGer O2g)(X=?Y})(Bq)T͍+3= UNKK-Algj(A8 A09;B):8 X u956-VI|B9W*ennLjetztAvondenElementena1|s;:::;am vundA^0vondenElementen 9a^0l1|s;:::;a^0n5alsBAlgebrenerzeugtwerden,BdannwirdA A^0vonBdenElementen9ai, 81UUund1 a^0;Zjerzeugt. ffПffffffffЎh9TSaUTtz7.13T.B|SeijpH:neineBialgebr}'amitzugeordnetemnichtkommutativen9R}'aum Xv. Dannde nierendieKomultiplikationundKoeinheitvonHAb-9bildungen뇍dA=m:X=?X Zi!X und=e:EZ w!Xv;뇍9sodadieDiagr}'amme3"~oaX=?X?X~ʋ;X=?X 8҄fd ά-m?1՟Xfe?q t1?mٛXfeǟ?턗7mx㍑z{X=?Xx㍒ՂUX 32fd6xVά-Im,9und;󍍍?덑PV'EZ?XT͍=+3==)XT͍=+3==X=?E?덒ԉX=?XTU::fdHfά-ʮ&EidR?=#feo?Äj@L?id-#fe_?gɍrx㍑pX=?Xx㍒߀X 32fdJuά-wr:91mXw Hw Hw Hw Hw Hw Hw HWHWj9kommutier}'en.9TBeweis.E=pDerCF*unktorEjseiderdurchKKdargestellteFunktor,Cderjeder 9AlgebraAdieeinelementigeMengefG:KK d)!Agzuordnet.DadieF*unk-9torenNXk?fXv۵,NX?E+undNE?XydurchA ANbzw.NA KKT͍+3=>ANbzw.9KK, AT͍+3ֵ=A`ȵdargestelltwerdenkoonnen,a ergebGensichdieDiagrammemit9demUUY*onedaLemmaunmittelbarausderDe nitioneinerBialgebra. ffПffffffffЎh9Ein!o!ahnlichesResultatfGourHopfAlgebrenistnichtformulierbar,!weilweder9dieAntipGodeS/einerHopfAlgebraHZnochdieMultiplikqationrʕ:H 9H !HY,ein.AlgebrenHomomorphismusist.;ImGegensatzzudenanen9algebraischenGruppGensindalsoHopfAlgebreninderKategorieKK-AlgjopT͍Ð+3Ð=9QRikeineUUGruppGen.Dennochde niertman9TDefinition7.14T.`EindurcheineBialgebraB/4dargestellterF*unktoraufder9KategorieYderKK-AlgebrenheitQuantenmonoid.zEindurcheineHopfAlge-9bra+HdargestellterF*unktoraufderKategoriederKK-AlgebrenheitQuan-9tengrupp}'e.9 u-VI|B9TDefinition7.15T.`SeimAXeinnichtkommutativermARaumundMeinQuanten- 9monoid.Ein(natGourlicher)MorphismusiM:M?X( !X-heitOp}'eration9vonUUMaufXv۵,wenndieDiagramme1㍍~l5M?M?X~ևM?Xo 8҄fd|"ά-um?1՟Xfe?Ѝww1?ٛXfeǟ?^7x㍑xM?Xx㍒ՂUX32fd4`ά-씍 ?u9und9?덑eXT͍=+3==)EZ?X?덒M?Xş::fd3,ά-ʮ&@L?idj߀X-#fe_?9id"mXw Hw Hw Hw Hw Hw Hw HWHWj9kommutieren. WirЩnennendannXGaucheinen(nichtkommutativen)M- 9R}'aum.9TSaUTtz7.16T.B|SeiXceinnichtkommutativerR}'aummitderF;unktionenAlgebra9A=OG(Xv۵)MundMeinQuantenmonoidmitderF;unktionenAlgebr}'aB=9OG(M).׿Dann׮sindf֞oureinen(nat֞ourlichen)MorphismusA:M?X 1!X9mitzugeh oorigemAlgebr}'enHomomorphismusfڧ:A!BQ 8Axoaquivalent:9a)de nierteineOp}'erationvonMaufXv,9b)diefolgendenDiagr}'ammeinKK->Alg="sindkommutativ2>A;BQ 8AI8҄fd8^xά-Ԭcf՟Xfe?Ѝ+wfٛXfeǟ?^7 1mA{{BQ 8ABQ 8B A 32fd$ά-⍒P+1mB f<č|oABQ 8A8҄fd8^xά-Ԭe]fAAT͍+3= UNKK8 A:ϜXfe/?Æϟ" 1mAÆ;O1mAwHwHwHwHwH'H'j9TBeweis.E=pDiebAlgebrenHomomorphismen> 1A,1B J f," 1A etc.9stellenkdienatGourlichenT*ransformationenm;?id ,id $?,"?id etc.dar.9AlsoSso WubGertragensichdieDiagrammeeinfachnachdemY*onedaLemma. ffПffffffffЎ9TDefinition7.17T.`EineinAlgebraAzusammenmiteinerBialgebraBߵund9einemzSAlgebrenHomomorphismus,z\derzukommutativenDiagrammenwie9imUUSatzfGouhrt,heiteineBq-Komo}'dulAlgebra.:( u958-VI|B9TBeispiel7.18T.T,\1)bSeiB]Ƶ=UKKha;b;c;di=I+gegebGen,bsobdaIalszweiseitiges 9IdealUUdurchdieElemente荑9abeq[ٟ1 Mba;acq[ٟ1ca;bdq[ٟ1db;cdq[ٟ1dc;adda(q[ٟ1 q[ٵ)bc;bccb9erzeugtUUwird.DieAlgebraBƵwirdzueinerBialgebradurchdieDiagonalei^d a0b cPLd^'J=^d #ab 6cld.^(6 8^d TaShb cބd^';9d.h.CdurchC(a)=a a+b c,(b)=a b+b d,(c)=c a+d c9undUU(d)=c8 b+d d. |9Diese merkwGourdigeMultiplikqationversteht manambGestendurchV*erwen-9dungderkommutierendenPunkte1 n:Bl3b :q!b(n 12B (nB=und92C:BG3b!18 b2BQ 8BƵundUUBildungvonderenProGdukt#"(^d\tabcd^%oj 81)(1 ^d TaShb cބd^)=^d #a8 1+b8 1 6c8 1*d8 1A^J@8^d T18 a*G18 b 18 c*c18 d@^H僵=^d #a8 a+b cK a8 b+b d )Rc8 a+d cLc8 b+d d^'=^d a0b cPLd^&:$9DiesesͺProGduktisteinB )Bq-PunktvonSpec(Bq).ManmunatGourlichnach-9rechnen,^da7diegegebGeneDe nitionderAbbildungaufdenErzeugen-9denx.a;b;c;dmitdenRelationenausIAvertroaglichist,x7daalso(a)(b)P9q[ٟ^1 M(b)(a)W=0etc.inB rB,qgilt.DannistW:B q!B rB,qwohlde -9nierterUUAlgebrenHomomorphismus. |9W*eiterUUistkoassoziativ,weildieMultiplikqationassoziativist#1-T^6tr(^d\tabcd^%oj 81 1)(1 ^d TaShb cބd^'J 1)^ 8(1 1 ^d TaShb cބd^%oj))V=(^d\tabcd^%oj 81 1)^(1 ^d TaShb cބd^'J 1)(1 1 ^d TaShb cބd^)^m:+yf9Ahnlichzeigtman,3da"^d a0b cPLd^'J=^d #1#0 #0#1#^(%dieKoGeinheitfGourdieBialgebraU\9BƵist. |9DamitUUde niertBƵeinQuantenmonoidMqj(2)mitw_sMqj(2)(A09)=^ G^du!] xy! z''^.p .p 1u;x;y[;z72A0;ux=q[ٟ1 Mxu;:::;xy"=y[x^/=;7b9dieN`deformierteV*ersionvonM䍑2,NdemmultiplikqativenMonoidder22-9Matrizen.;5 u-VI|B92)SeiA=KKhx;y[i=(xyeq^1 Myx)dieF*unktionenAlgebraderQuantenebGene ƍ9A:2j0]"q .UUNachDe nition7.4istTA2j0q (A09)=^ G^dx ݟyZ^  " rx;y"2A0;xy"=q[ٟ1 My[x|^:E9DieUUMenge!&VMqj(2)(A09)=^ G^du!] x y! z''^.p .p 1u;x;y[;z72A0;ux=q[ٟ1 Mxu;:::;xy"=y[x^9opGeriertUUaufdieserQuantenebenedurchMatrizenmultiplikqation:~Mqj(2)(A09)?A2j0q (A0)3(^d\tab cd^$2;^d x A.y8^)7!^d #ab 6cld.^(68^d Tx fyLp^o2A2j0q (A0):9Auch,hiermunachgeprGouftwerden,,obdasErgebnisdiegewGounschtenGlei- 9chungen^erfGoullt.xDawireineMultiplikqationvonMatrizenvorliegenhabGen,9istPdamiteineOpGerationimSinnedesvorhergehendenSatzesgegeben._Ins-9bGesondereUUistdannAeineBq-KomodulAlgebra. l'93)SeiA=KKhu;[i=(^2:;[ٟ^2L;a+9q[uǵ)dieF*unktionenAlgebraderdualen ƍ9QuantenebGeneUUA:0j2]"q .NachDe nition7.4ist鍑SA0j2q (A09)=bobd 1!Zb% % )E1u;"2A;u"=q[ٟ1 M[stb s:9AuchUUhieraufopGeriertBƵdurchMatrizenmultiplikqation'A0j2q (A09)?Mqj(2)(A0)3(bdWkb;^d a0b cPLd^$2)7!bd\o27.b"Se8^d TaShb cބd^(62A0j2q (A0):9DamitisteinweiteresBeispieleinerBq-KomoGdulAlgebraA% !%A B 9gegebGen.9W*elche8BewandtnishatesjetztmitdenmerkwGourdigenRelationenaufMqj(2)9aufgsich?Wirwerdenspoaterzeigen,daMqj(2)dieuniverselleBialgebraist,N69dieDaufA:2j0]"q*vonlinksundaufA:0j2]"qvonrechtsopGeriert,adiesjedochinder9KategorieZdersogenanntenquadratischenAlgebren.Hierzeigenwireinen9einfacherenUUSatzfGourendlich-dimensionaleAlgebren.X+fT9Ubung7.19T.LĵBestimmenSiedieQ-PunktederQuantenebGeneA:2j0]"q ,wobGei9QUUdieKR-AlgebraderQuaternionensei.<D u960-VI|B9TSaUTtz7.20T.B|(T ambara)WSeiAeineendlich-dimensionaleAlgebr}'a.XQDann 9gibtheseineAlgebr}'aM(A)undeinenAlgebr}'enHomomorphismus':A!9M(A): A,sodaf֞ourje}'deAlgebraBundjedenAlgebrenHomomorphismus9f:fA !Bƣ F2AIgenaueinAlgebr}'enHomomorphismusgD?:fM(A)!B&so9existiert,dadasDiagr}'amm2<څAڅsM(A)8 AI8҄fd/_ά-Jk;BQ 8AЍfHHHHHпHпjٛXfeǟ?7g@L 1mAT9kommutiert.ፍ9TBeweis.E=pWir:dgebGendieAlgebraexplizitan.:Zunoachststellenwirfest,9daA^ `=5HomLKR(A;KK)nachțfUbung(1.13eineKoalgebramitdenStruk-9turmorphismen%!c:A^Gֽ!(Ad A)^T͍G+3G=A^\H A^ist.%QDiedualeBasissei9Pލ.n%.i=1'%aiU p a^i^2PAp A^.(SeijetztTc(Ap A^)dieT*ensorAlgebra.oubGerdem9V*ektorraumUUA8 A^.InihrbGetrachtenwirElemente#Sd;zxy 82A A^;;zx8 y ()2A8 A A^ A^T͍_+3_=2A A^ A A^;;zʵ18 2A A^;;z(1)2KK:$o9DieUUElemente=yxy 8x y ()9(8)9und18 (1)9(9)9erzeugenUUeinzweiseitigesIdealI2Tc(A8 A^).UUWirde nierenjetzt;M(A):=Tc(A8 A)=I9undxdieKoGoperationxb:A3a 5!Pލ n% i=1I(aPV ta^i ҵ) aiV 2Tc(A A^)=I8 A. 9DieseUUlineareAbbildungistwohlde niert. *J9Umzuzeigen,dadieseinAlgebrenHomomorphismusist,werdenwir9zunoachstQdieMultiplikqationaufAbGeschreibenQdurchaiTLajĵ=P USk ^ zk;Zij ak됵.QDann t<9ist5dieKomultiplikqationaufA^ LgegebGendurch($a^k 4)5=PpijR ^ zk;Zij/ a^iʓ F"a^j , 捑9denn$esist(($a^k 4);al mam)L=($a^k;alam)=PYrq ^ zrvl `m *c($a^k;arm)= ^ zkvl `m=9P.ij!} ^ zk;Zij ($a^i|;alȵ)($a^j ;am)=(P ;ijC ^ zk;Zij/a^i) mMHa^j ȑ;alZ} Ham).mW*eitermsei1=P' ^krak됵.=S' u-VI|B9Dann&ist"($a^i|)= ^ih,&denn&esist"($a^i)=($a^i;1)=P USj6 ^jȵ($a^i;aj6)= ^ih.&Damit ;9ergibt\sich`(a)(b)=(Pލ ;n% ;i=1(a a^i k) aiTL)(Pލ ;n% ;jg=1(b a^j l˵) aj6)=P USij`K(a b 捍^9a^ia a^j ) aiTLajĵ=P USijgkv ^ zk;Zij (a b a^i a^j) ak=P USk@(a b ($a^k 4)) ak=9P.k(ab )a^k Q) ak=`(ab).cW*eiter,ist(1)=P USi(1 )a^i * ) aid=P USixߵTGa^iõ(1) ai= 918 P i꧵a^ic(1)aid=1 1.UUDamitist8einAlgebrenHomomorphismus. ~9WirmGoussenjetztzeigen,dazujedemf7genaueinggehoort.Zunoachstindu-9ziertfڧ:A!B. AeindeutigbGestimmtelineareAbbildungenfid:A!B9mitf(a)>M=P ̈i|fiTL(a)h ai,weildieai'eineBasisbilden.DafjeinAlgebren9Homomorphismusist,erhaltenwirausP Ik1fk됵(a) ak=f(ab)=f(a)f(b)=9P.ij&(fiTL(a)| ai)(fj6(b) aj)=P USij fiTL(a)fj(b)| aiTLajĵ=P USijgkv ^ zk;Zij fi(a)fj(b)| ak9durchUUKoGezientenvergleich@x-fk됵(ab)=X tij zkij fiTL(a)fj6(b):&w܍9W*eiterde nierenwirg[ٵ(av 'a)aM:=(1v 'a)f(a)aM2Bq.InsbGesonderegiltdann9g[ٵ(aY }a^i )=(1Y }a^i)(P ;jofj6(a) aj)=fiTL(a).DieAbbildunggokqannunmit-9telbaralsAlgebrenHomomorphismus,ebGenfallsmitgqĵbezeichnet,aufdie9AlgebraqTc(AK A^)fortgesetztwerden.qFGourdieErzeugendendesIdealser-9haltenpwirg[ٵ(ab  a^k a b ($a^k 4))=(1  a^k ص)P 8lSflȵ(ab) alP wSr7sij ^ zk;Zij (1 捍^9a^io)(frm(a)(B ar)(1 Lڵa^j )(fsF:(b) as)=fk됵(ab)(BP }ijl ^ zk;Zij fiTL(a)fj6(b)=0.(W*eiter9istBg[ٵ(1 j(1))=(1 )f(1)(1)=(1 )(1 1)(1)=1(1)(1)=0.9Damitverschwindetg^caufdemIdealIlundloatsichdurchM(A)=Tc(A)=I9faktorisieren.MitUdieserAbbildung,ebGenfallsmitgF.bezeichnet,kommu-9tiert}desDiagramm,denn(g~ "1A)`(a)X=(g "1A)(P ;i ⇵(a Ga^i u) aiTL)X=9P.iz(18 ]xa^i \)f(a) aid=P USij fj6(a)($a^i|;aj)8 ai=P USiTGfiTL(a) ai=f(a). ~9EsbleibtdieEindeutigkeitvong8̵zuzeigen.WGeltealso(h= 1A)=Sf.9Dann,istP۟ih(ag a^i e) ai5=-(h 1A)`(a)=f(a)=P$ifiTL(a) ai,,also9h(a8 ]xa^i \)=fiTL(a)=g[ٵ(a8 ]xa^i),UUd.h.g"=h. ffПffffffffЎqu9TFUolgerung7.21T.bSeiAeineendlich-dimensionaleAlgebr}'amituniversel-9lerAlgebr}'aM(A)und':A!M(A) A.DannistM(A)eineBialgebr}'a9undAdur}'cheineM(A)-KomodulAlgebra. ~9WennbauchBReineBialgebr}'aistundfڧ:A!B /AbaufAeineBq-Komodul9Algebr}'a-de niert,sdanngibtesgenaueinenBialgebrenHomomorphismus9g":M(A)!Bq,sodadasfolgendeDiagr}'ammkommutiert>b u962-VI|`䍍څAڅsM(A)8 AI8҄fd/_ά-Jk;BQ 8AЍfHHHHHпHпjٛXfeǟ?7g@L 1mA Ԁ9TBeweis.E=pWirUUbGetrachtendasfolgendekommutativeDiagrammAڅcAڅM(A)8 Am58҄fduU䍑ά-JkfXfef?q ^ Xfe۟?^K 1mAOM(A)8 A[M(A)8 M(A) A;32fdMFά-=q1VM(A) a9indemderMorphismusdurchdieuniverselleEigenschaftvonM(A) 9bGezGouglichMdesAlgebrenHomomorphismus(1:M,(A)Ms )`)de niertist.MInsbGe-9sondereʖisteinAlgebrenHomomorphismus.ʺW*eiterexistierteineindeutig9bGestimmterUUAlgebrenHomomorphismus":M(A)!KK,UUsodaAˍڅAڅsM(A)8 AI8҄fd/_ά-Jk!AT͍+3= UNKK8 AÆ61mAHHHHHпHпjٛXfeǟ?Æ7" 1mAa9kommutiert. {9Die8KoalgebrenAxiomeergebGensichausdenfolgendenkommutativenDia-9grammeni򍍍@K"SA@'M(A)8 AU>rfdO$ά-Jk @N!XfeNS?vR @IXfe{? 1mAڅ7M(A)8 AڅM(A)8 M(A) Ah8҄fdά-v$+1VM(A) MEXfeMw?^3f 1mAPٟXfeP ?%T{1VM(A) Xfeß?X 1VM(A) 1mA%XfeW?Dz1VM(A)  1mA#M(A)8 M(A) A֖M(A)8 M(A) M(A) Az#32fdXPά-pq1VM(A) 1VM(A) a9und?yŠ u-VI|D@^A@M(A)8 Ah韰>rfdzU0ά- @auXfeaߧ?ve @şXfe?P  1mA @ Afe ǿ?/1VM(A) 1mAڅJSM(A)8 AڅM(A)8 M(A) A{i8҄fd1ά-v&1VM(A) ۍqGZ1VM(A) 1mAvܳYPܳNPܳPܳYPܳMPܳPܳYPѻ]Pѻ]qVM(A)8 AT͍+3= UNM(A) KK AşXfe?ۍ!1VM(A) " 1mAR'9und]@w#A@M(A)8 Ae>rfdWZά-I @uAfeuן?Vh21mA @=Xfeo?v @şXfe?g 1mAڅ|KM(A)8 Aڅ׾M(A)8 M(A) Aa8҄fd'ά-v 1VM(A) =Xfeo?Æ" 1mAşXfe?ۍg" 1VM(A) 1mAw#AgM(A)8 AT͍+3= UNKK M(A) A:e32fd.yvά-q̙R'9Auspdiesenfolgtnoamlich(KL 1:M,(A)#)&=(1:M,(A)o: KL),p(1:M,(A) ")&= 91:M,(A)iundz{"Q (1:M,(A)#)=1:M,(A).zSchlielichz{istAnachDe nitionvon9undUU"eineM(A)-KomoGdulAlgebra. Tፑ9Seiinunausdurchfڧ:A!Bsz AieineBq-KomoGdulAlgebrade niert.Dann9gibtesgenaueinenAlgebrenHomomorphismusg":M(A)!Bq,sodadas9Diagramm7gڅAڅsM(A)8 AI8҄fd/_ά-Jk;BQ 8AЍfHHHHHпHпjٛXfeǟ?7g@L 1mA9kommutiert.UUAusdemfolgendenDiagramm;׍؅荑^A؅荒M(A)8 Ah9fdbά-YtQs؅荒M(A)8 A؅荒뻯M(A)8 M(A) A0ֆ0ֆ09bfd1ά-I 1mAڅڅ8҄fd1ά-ݍ1VM(A) 莎Htefl^-㯖Qv^-Z@Q^-QXQXs莎HDXfe7D?L֧g@L 1mA莎HDXfe'D?Lȗg@L g 1mAHBQ 8AH?BQ 8B A=3„fdL捑ά-ƂmB 1mA=32fdL捑ά-⍒J1mB f9folgt((g 9g[ٵ) 1A)'=(g g 1A)( 1A)'=(g g 1A)(1:M,(A)] `)'=9(g% .(g 1A)`)'=(1B: (g 1A)`)(g 1A)'=(1B: f)fڧ=(B: 1A)fڧ=9(BW K1A)(g$ 1A)'=(B g$ 1A)`,also (g$ g[ٵ)=B g.W*eiter folgtaus@ u964-VI|D@cA@M(A)8 Am5>rfdC\썑ά-M @'BQ 8Apijft DH~ DH DH DH DHիlHիlj @Xfeӳ?śŠg@L 1mA @ʝAfe?VS" 1mA @ AT͍+3= UNKK8 AV~N1mAm D@w D@ D@ D@ D@ D@ԯ@ԯRXfeӳ?Æ7="mB 1mA+ύ9dieUUGleichung"B g"=".Damitistg.einBialgebrenHomomorphismus. ffПffffffffЎ9TDefinition7.22T.`SeiAeineendlich-dimensionaleAlgebra.DieBialgebra 9M(A),ƖdieyaufAuniversellkoGoperiert,ƖheitydieKo}'endomorphismenBial-9gebr}'aUUvonA.+ύ+fT9Ubung7.23T.Lĵa)BestimmenSievollstoandigdiedualeKoalgebraA^7~zuA:=9KKhxi=(x^2|s).UU(Hinweis:BestimmenSieeineBasisvonA.) 9b);BestimmenSiemooglichstexplizitdieKoGendomorphismenBialgebravon9A˵ausdemT*eila)der#˟fUbung.(BestimmenSiezunoachsteineAlgebraEr-9zeugendenmengeUUfGourM(A).GebGenSiedanndieRelationenan.)9c)UUBestimmenSievollstoandigdiedualeKoalgebraA^9zuA:=KKhxi=(x^3|s).9d);BestimmenSiemooglichstexplizitdieKoGendomorphismenBialgebravon9AUUausdemT*eilc)derUfUbung.9e)*BestimmenSievollstoandigdiedualeKoalgebraA^QzuAl:=KKhx;y[i=I,9wobGeiUUdasIdealI7alszweiseitigesIdealerzeugtwerdedurchdiePolynomen'xy8q[ٟ1 My[x;x2|s;y2L:+ύ9f)* BestimmenSiemooglichstexplizitdieKoGendomorphismenBialgebravon9AUUausdemT*eile)derUfUbung.9h)BSeiAeineendlichdimensionaleKK-AlgebramituniversellerBialgebra9A!BQ 8A.UUZeigenSie,z;&Vfi)2da,auchA^op Xu]!Bq^op qA^op luniversellist(wobGeiA^op ldieMultipli-2kqationUUrߵ:A8 A!A A!AUUtroagt);#Iii)2daUUAT͍+3= UNA^op $impliziertBT͍G+3G= տBq^op g(alsBialgebren); ,iii)2daGfGourkommutativeGAgiltBT͍G+3G= տBq^op @,ydaBjedoGchnichtnotwendig2kommutativUUist.!Hiv)2GebGen(VSieeinenIsomorphismusBT͍G+3G= տBq^op :anfGourdieBialgebraBG=2KKha;bi=(a^2|s;ab8+ba).UU(Vgl.b))A  u-VI|B9Loosungshinweise:J1/2)+DieBialgebrahatdieF*ormBG=KKha;bi=(a^2|s;abH+ba) 9B4mit(a)Q=a 1+b a,Bp(b)Q=b bB4und"(a)Q=0,"(b)=1.Die9KoGoperationUUist`(x)=a8 1+b x. 93/4)AhatdieBasis1;x;x^2|s.DiedualeKoalgebrahatdiedualeBasise;;29mit,9(e)=e e,,D()= e+e und(2|s)=2c e+ +e 2|s.9DieuniverselleBialgebraBG=Tc(A@u A^)=IerfGoullt`(x)=x e 1+x X 9x공+x 2g& x^2C=a 1+b x+c x^2|s..HSie.>wirddahervondenElementen9aP.=xo e,bP.=xo dyundcP.=xo 2$ erzeugt.DieMultiplikqationstafelund9dieUURelationenergebGensichaus)]d."C18 e=1;."C18 =1 2C=0;."Cx^2S 8e=(x e)(x e);."Cx^2S 8=(x )(x e)+(x e)(x );."Cx^2S 82C=(x 2|s)(x e)+(x )(x )+(x e)(x 2|s);7,d}0=x^3S 8e=(x^2 8e)(x e);}0=x^3S 8=(x^2 8)(x e)+(x^2 e)(x );}0=x^3S 82C=(x^2 82|s)(x e)+(x^2 )(x )+(x^2S e)(x 2|s)o9undUUsindmitderAbkGourzungfu;v[g:=u^2|sv+8uvu+vu^2qda^3C=0;fa;bg=0;fa;cg8+fb;ag=0:9DurchUUdieBedingung(18 `)'=( 1)8erhoaltUUman0qd`\*(a)=a8 1+b a+c a^2|s;`\*(b)=b8 b+c (ba+ab);`\*(c)=b8 c+c b^2S+c (ca+ac);`\*"(a)=0;`\*"(b)=1;`\*"(c)=0:095/6)gzAhatdieBasis1;x;y[;xy.gDiegzdualeBasisvonA^ ^seie;u;;G.gDie9Diagonal-AbbildungUUist#]d^A(e)=e8 e;^A(uǵ)= 8e+e ;^A([ٵ)= 8e+e ;^A(G)= 8e+e + +q[ u:B u966-VI|B9Damit;KhatdieKoGendomorphismenBialgebradieAlgebrenErzeugendena  9mit>aF2f1;x;y[;xyg>und)2Ffe;u;;Gg.mDie>ErzeugendenderRelationen9(vonI)sinddurchdieGleichungen8und9gegebGen.Dieseimplizieren,da918 eUUdasEinselementist,da18 <ߵ=1 "=1 5=0UUundda#qǍd9ab8 e=(a8 e)(b e);9ab8 <ߵ=(a uǵ)(b e)+(a 1)(b );9ab8 "=(a [ٵ)(b e)+(a 1)(b );9ab8 5=(a G)(b e)+(a 1)(b )+(a uǵ)(b [ٵ)+q(a )(b uǵ):9W*eiterUUsindfGourabdieGleichungenUUinAzubGerGoucksichtigen.9W*ennUUwirde nierendDa:=x8 e;~b:=x8 u;ac:=x8 [;:d:=x8 G;Ee:=y 8e;}nqfڧ:=y 8u;}g":=y 8[;oh:=x8 G;9danngelten`(x) =a\ 1+b x+c y+d xyܵund(y[ٵ) =e\ 1+fp8 9xG++g y+h xy[ٵ.jAlsojwirdB7vondena;:::;halsAlgebraerzeugt.Die9RelationenUUsinddann3dE^a^2C=e^2=0;E^ab8+ba=ac8+ca=efLo+8fe=eg+g[e=0;E^ad8+da+bc+q[cb=eh8+he+fg+qgfڧ=0;E^ae=q[ea;E^afLo+8be=q[ٵ(fa+eb);E^ag+8ce=q[ٵ(ga+ec);E^ah8q[ha+deqed+bgq^2Lgb+qcfLoqfc=0:5qǍ9W*eiterUUistdieDiagonaled4K(a)=a8 1+b a+c e+d ae;4K(b)=b8 b+c fLo+d (af+be);4K(c)=b8 c+c g+d (ag+ce);4K(d)=b8 d+c h+d (ah+de+bg+q[ٟ^1 Mcf) UVetc.C& u>|*KAPITELVIGIIpUKMonoidaleKategorien.'"9FGouru?weitereUntersuchungenistesgGounstig,uyeineverallgemeinerteV*ersiondes 9T*ensorproGduktes;zukennen.\DiesesollindiesemKapiteleingefGouhrtwerden.9Sieermooglichtesunteranderemauch,Mo1ubGerdengeeignetenBegri einer9DarstellungUUzusprechen.썍9TDefinition8.1T.[Eine mmonoidale )Kate}'gorie(oGderT;ensor-Kategorie)9bGestehtUUaus '"9einerUUKategorieCW,9einemUUF*unktor :C78C\o x!CW,UUgenanntT;ensorPr}'odukt,9einemUUOb8jektI2CW,genanntEinheit,9natGourlichenUUIsomorphismen$\dR~ z(A;Bq;C):(A8 B) C~4 !A (BQ C); R~(A):I 8A!A;R~(A):A8 I p!A;9genannt Assoziativit oat,ILinks-EinheitundR}'echts-Einheit,=so dafolgende 9Diagramme,UUgenanntKoh oar}'enzdiagrammeUUoGderConstr}'aints,kommutieren:5čڅG((A8 Bq) C) Dڅ/(A8 (BQ C)) DH8҄fd;dά-FfPW (A;BW=;C}) 1څڅA8 ((BQ C) DG)穟8҄fd;dά-FfO (A;BW= CI;D7)MXfe?Ѝ (A BW=;CI;D7)GXfeGO?Ѝa1 (BW=;CI;D7)G(A8 Bq) (C DG)A8 (BQ (C DG))H32fdѯLά-@ƍ (A;BW=;C} D7)c67D/ u968ll%VI|`䍍څ[^1(A8 I) BڅMQA8 (I Bq)X8҄fd|B9c):[SeiB̵eineBialgebraundM^B gdieKategoriederBq-Rechts-KomoGduln. 9Wirsde nierenaufdemT*ensorproGduktM Ng=LM LKNĵdiesStruktur9einesUUBq-Rechts-KomoGdulsdurch$9M oN63mMw mN A!" M B N B6G1mMw  1mBf|!,hM N B B6G1mMw 1mNlu r!/XM N Bq:9ManEveri ziertleicht,F;dadieseseineKomoGdulstrukturergibtunddadamit 9M^B 7aeineUUmonoidaleKategoriewird. Ӎ9d)SeiGeinMonoid.EinV*ektorraumVzusammenmiteinerFamilievon9UntervektorroaumenUU(Vgjg"2G)heitG-gr}'aduiert,wenngiltV=g@L2GDpVg.9SeienV@oundWkG-graduierteV*ektorroaume.EinelineareAbbildungfR:9V r!WheitUUG-graduiert,wennfGouralleg"2Ggiltf(Vg)Wg.9Die7G-graduiertenV*ektorroaumeundlinearenAbbildungenbildendieKate-9gorieUUM^G /derG-gr}'aduiertenV;ektorr oaume.9Auf.M^G 萵isteinemonoidaleStrukturdurchdasT*ensorproGduktV$ WEund9dieUnterroaume(Vό Wc)gX:=P?ȟh2G `Vh/ Wh1 QgX=P?ȟh;k+B2G;hk=g=FVh Wk9de niert.9Die9KategorieM^G istoaquivqalentzurKategoriederKKG-KomoGdulnM^LKG9unterderfolgendenZuordnung.EinemG-graduiertenV*ektorraumVևordnet9man denKKG-KomoGdulVEmitderStrukturabbildungY:V1 M!V KKG,9`(v[ٵ):=v. Ugm_fGourallev\2VgundfGouralleg2Gzu.IstumgekehrtV9;a:9V r!V KKG˵einKKG-KomoGdul,soordnetmandiesemdenV*ektorraumV9mitadengraduierten(homogenen)KompGonentenVgn:=fv"2V8j`(v[ٵ)=v Jg.9ManUUrechnetnach,dadieseseineKategorienoaquivqalenzist.9Da(EKKGeineBialgebraist,({istdieKategoriederKKG-KomoGdulnnachT*eil9b)einemonoidaleKategorie. Manrechnetnach, dabGeiderҹfAquivqalenz9zwischen8cM^G =undM^LKGdT*ensorproGdukteinentsprechendeT*ensorproGdukte9abgebildetUUwerden,daalsoeinemonoidaleUfAquivqalenzvorliegt.9e)UUEin(Ketten-)KomplexvonR-Mo}'dulnqoUUubGereinemRingRI fCM3=(:::8[i@3ǥq5!!UNM28[ ;@2ǥC `!'M18[ ;@1ǥC `!M0|s)$9bGesteht4auseinerF*amilievonRǵ-MoGdulnMiundeinerF*amilievonHomo-9morphismen@nε:EPMnD!Mn1Omit@n1@n=0.$(DieserKetten-Komplex9istmitKN0(Windiziert.ManbGetrachtetauchKetten-Komplexe,diemitKZin-9diziertUUsind.9SeienzFMaundNzweiKetten-Komplexe.z~EinHomomorphismus`fڧ:M3 !N9von3Ketten-KomplexenbGestehtauseinerF*amilievonHomomorphismenvonF* u970ll%VI|B9Rǵ-MoGdulnfn : Mn!Nnq~,1sodageltenfn@n+1= @n+1fn+1DYfGouralle 9n2KN0|s. `9DieKetten-KomplexevonRǵ-MoGdulnmitdiesenHomomorphismenbilden9dieUUKategorieKomp-RiderKetten-Komplexe.9DieƂBialgebraausfUbung7.232)istB)=KKhx;y[i=I,ƟwobGeiIderzeugtwird9von>x^2|s;xyg+ y[x.>DieDiagonaleist(y)=yg  y,>(x)=x  yg+1 x>und9dieUUKoGeinheitist"(y[ٵ)=1;"(x)=0.9DieKategorieKomp-KKderKetten-Komplexe=oubGerKKistoaquivqalentzur9KategoriederBq-KomodulnM^B unterderfolgendenZuordnung.FEinem9KettenkomplexHMcordnetmandenBq-KomoGdulMq=Vi2LN MiMzumitder9Strukturabbildung:k9MT !M zBq,`(m):=Pm y[ٟ^i*+@iTL(m) xy[ٟ^i19fGourallemض2MiMεundfGouralleiض2KNbzw.`(m):=mS 1fGourmض2M0|s.Ist9umgekehrtJM;':M3 !M BeinBq-KomoGdul,Ysoordnetmandiesemdie9V*ektorroaumeMid:=fm2Mj9m^0Q2M[`(m)=mq y[ٟ^i+m^0 xy[ٟ^i1 gunddie9linearenaAbbildungen@i!:rMi !Mi1M!mita@iTL(m):=m^0fGour`(m)=m} 9y[ٟ^i&+Lm^0: xy[ٟ^i1~zu.Manrechnetnach,dadieseseineKategorienoaquivqalenz9ist.w+fT9Ubung8.5T.Gõ1)cBeweisenSieausfGouhrlich,|daM^G =undM^LKG alsmonoidale9KategorienUUoUUaquivqalentsind.92)BeweisenSieausfGouhrlich,daKomp-KKundM^B mitBUHwieimvoraus-9gehendenqBeispiele)oaquivqalenteKategoriensind.DaM^B }einemonoidale9Kategorieist, Bo&ubGertroagtsichdasT*ensorproduktauchaufKomp-KK.&Wie9siehtUUdiesesinKomp-BƵaus?93)UUEinKoketten-KomplexqoubGerKKhatdieF*ormgen8M3=(M08[ ;@0ǥC `!'M18[ ;@1ǥC `!M28[ ;@2ǥC `!:::'|i)B9mit{@i+1 tO@iS=0.|1ZeigenSie,dadieKategorieKK-KokompderKoketten-9KomplexeUUoUUaquivqalentzu^B 7aMist,wobGeiBƵwieinBeispiele)gewoahltist.w9TLemma8.6T.Ht3DieAfolgendenDiagr}'ammekommutierenineinermonoidalen9Kate}'gorieLڅR(I 8A) BڅoGqI 8(A Bq)WM18҄fd ά-卑_2F S+A8 BЍ&r(A) 1mB@[@J[@P̳@P̳RЍ{;(A BW=)xnhʻhʻ Lڅd(A8 Bq) IڅXA8 (BQ I)^8҄fd ά-卒C A8 BЍʡ(A BW=)἟@἟@@RЍ 1mA> (BW=)tt $39undesist(I)=(I).G2 ull%VI|B9TBeweis.E=pZunoachstbGemerkenwir,daderIdentitoatsfunktorId DC0undder 9F*unktorNIBg y- (durchdennatGourlichenIsomorphismusisomorphsind.fIns-9bGesondereUUgiltdaherI 8fڧ=I g"=UX)fڧ=g[ٵ.UUIndemDiagrammv9χ((I 8I) A) B(I 8(I A)) BcDfd#čά-Nn%, 1I 8((I A) Bq)Dfd#čά-%2  @^,( 1) 1Dc͟QNc͟e8QXc͟Qa^Q Qa^Q s @$(1 ) 1U៕Uៜe8U៣[] [] + @1 ( 1)E Ee8EJ} J} +@[^1(I 8A) B@MQI 8(A Bq)X>rfdrfdbPά @ @@fI 8(I I)̝o>rfdbά- 5V @~`I 8IśaG1 hޫ D@rޫ D@x%@x%R @ c Dc D % % @΄ I 8Iś< 1k D@k D@ß%@ß%R @ K1 # D# D˟%˟% j=KI^~ @ @c@cR^ßßkk 69DabGeikommutiertdaslinkeDreieckwegenderzuvorgezeigtenEigenschaft,9dasrechteDreieckistdurchAxiomgegebGen.)Schlielichkommutiertdas9untereKKQuadrat,KMweileinenatGourlicheT*ransformationist.KMInsbGesondereist9daher+(1G )=(1G ).+DaeinIsomorphismusistundI) -T͍+3=IdC$gilt,9folgtUU=. ffПffffffffЎ+fT9Ubung8.7T.GõFGourMorphismenfx:IS pA!M"undgµ:IS!N"ineiner9monoidalenQKategorieCde nierenwir(f 1k:N !M* N):=(f H u972ll%VI|B91I)(I)^1und(1 gT:{Mɖ !M# N):=(1 g[ٵ)(I)^1 t.ZeigenSie,da 9dasUUDiagramm3+ʍpJBIpJirMYA8҄fdB)䍑ά-Ԭf՟Xfe?^gٛXfeǟ?71 gJNɽMO 8NX32fd5xzά-⍒f 19kommutiert.3N9TDefinition8.8T.[SeienU(CW; )und(DG; )monoidaleKategorien.nEinF*unk-9tor ՍFQ:C\o x!DՍ9zusammenUUmiteinernatGourlichenT*ransformationՍX[uǵ(M;N):F9(M)8 F9(N)!F(MO 8N)9undUUeinemMorphismusD0C:ID ԏ!F9(IC0޵)Ս9heitUUschwachmonoidal,wenndiefolgendenDiagrammekommutieren:3+ʍڅz6(F9(M)8 F(N)) F(Pc)څF'F9(MO 8N) F(Pc)A8҄fdά-Ԭ1c= 1څڅO3F9((MO 8N) Pc)J8҄fdά-ԬYF0SXfeFc?턗=13 ,Xfe,C-?Ѝ0BF( )z6F9(M)8 (F(N) F(Pc))F'F9(M)8 F(NO Pc)A32fdά-1c1 O3F9(MO 8(N Pc))J32fdά-Y:"څKI 8F9(M)څ2F9(I)8 F(M)z#8҄fd荑ά-Ԭ|0 1څڅ뵝F9(I 8M)ß8҄fd荑ά-ԬtgF9(M)Ѝr0F()oݯHyݯHݯHݯHݯH_H_jq 4Goo:"څKF9(M)8 Iڅ2F9(M)8 F(I)z#8҄fd荑ά-Ԭ|1 0څڅ뵝F9(MO 8I)ß8҄fd荑ά-ԬF9(M):ЍrFF()oݯHyݯHݯHݯHݯH_H_j^4Goo9W*ennnzusoatzlich5und0 Isomorphismensind,dannheitderFunktor 9monoidal.DeruF*unktorheitstriktmonoidal,wennF|ecLڅCFF9(M)8 F(N)څ-F9(MO 8N)^Er8҄fd9؍ά-ԬyQ;,Xfe;J^?Ѝ33'LXfe9~?Ѝ8t8 Hu F9^0r(M)8 F9^0(N)HF9^0r(MO 8N)aڞ32fd5<ά-׍x=r0'|@F4F9(I)pJF~Ip0ܞܞ  HF9^0r(I)覍r=00ܞ@ܞ@ @ R @ȟAfe?Š j3I19kommutieren.|Í9In#monoidalenKategorienkqannmanBegri ewieAlgebraundKoalgebra 9verallgemeinern.UUWirde nierendazu9TDefinition8.9T.[SeiCneinemonoidaleKategorie.LEineAlgebr}'aoGdereinMo-9noidinC3>isteinOb8jektAzusammenmiteinerMultiplikqationr:A A!9A,UUdieassoziativist:3KEhbA8 A A0A8 A>8҄fd8ά-= =idH r=Xfeo?ijQr 1-Xfe_?grr>A8 A _Ar32fdLjά-wcr9undUUeinemEinselement":I p!A,UUfGourdaskommutiert=IݍU I 8AT͍+3= UNAT͍+3=A I0A8 A::fd&aά-ʮ&%id =#feo?Äj@L id-#fe_?gɍrr>A8 AީA:r32fdKB6ά-wrq9idw Hw Hw Hw Hw Hw Hw HWHWj9SeienAundBCAlgebreninCW.EinAlgebr}'en-Morphismusf!:A !Bist9einUUMorphismusinCW,sodakommutieren:3KEr>A8 A՚BQ 8Br8҄fdB)䍑ά-Ԭf f=Xfeo?^ormA-Xfe_?^rmBj|oAjCB32fdV@ά-⍒If9und;Xq=KIjApimAT T T WmWm jBkcmBS AS AS AQaAQaU32fd+Ѝ-|fJ  u974ll%VI|B9TBemerkung8.10T.e\O enbar%`istdieKompGositionvonzweiAlgebren-Mor- 9phismenwiedereinsolcher.EbGensoistderidentischeMorphismuseinAl-9gebren-Morphismus.DamiterhaltenwirdieKategorieAlg(CW)derAlgebren9inUUCW.Nڍ9TDefinition8.11T.`Eine Ko}'algebraoGdereinKomonoidineinermonoidalen9Kategorie-C'isteinOb8jektCIIzusammenmiteinerKomultiplikqation(:9C~4 !C 8C,UUdiekoassoziativist:2ፍ{ C$C 8Cݟ8҄fdL(|ά-7=Xfeo?guJ6-Xfe_?]ϲ idq4C 8COC 8C Cu32fd8ά-ϭLidX _9undUUeinemKoGeinselement":C~4 !I,UUfGourdaskommutiert|B9T*ensorproGduktvonzweiAlgebrenwiedereineMultiplikqationde niertsein 9mu,fxwozuf3eineV*ertauschungf3derTensorFaktorenbGenootigtwird.fxSolche9V*ertauschungen\sindunterdemNameneinerSymmetrieoGderQuasisym-9metrieUUbGekqanntundwerdenineinemspoaterenKapitelbGesprochen.L& u>|ɹKAPITELIXۿDualeObjekte-9DieqExistenzdualerDarstellungenbGedeuteteinegewisseEndlichkeitqvonge- 9gebGenen(^Darstellungen.(iSieentspricht(^derBildungdualerV*ektorroaumevon9endlichdimensionalenV*ektorroaumen.DawirnuneinallgemeineresT*ensor-9proGduktPbesitzen,PmGoussenwirdiesenBegri imRahmendesneuenT*ensor-9proGduktesUUgenaueruntersuchen. 9TDefinition9.1T.[Seig(CW; )einemonoidaleKategorieundMP25CeeinOb-9jekt.(MT΍3db, 12 $$!MO 8M^ MT΍31 ev2 S!M)=1M!?S<(M^T΍w1 db2 7!OM^ 8MO M^T΍wev 12 $A!M^)=1M, :!9EinemonoidaleKategorieheitlinksWstarr,wennjedesOb8jektMf2KC\1ein9Links-DualUUbGesitzt. 9Symmetrisch/1de nierenwirwiefolgt:/heinOb8jekt^MIJ22/CĈzusammenmit9einemDMorphismusevs\:Mn W^cM* G7!IL&heitDeinR}'echts-DualDfGourM,Pwenn9esUUeinenMorphismusdb8:I p!^_MO 8MlpinUUCꬵsogibt,da d^>(MT΍31 db2X uS!MO 8^M 8MT΍3ev + 12 #!M)=1M!?S<(^MT΍3db, 12 $$!^MO 8M ^MT΍31 ev2 S!^WM)=1.;M :c76M( urѳIX.DUALEOBJEKTEm77>|B9EinefmonoidaleKategorieheitr}'echtsstarr,fwennfjedesOb8jektM2Cein 9Rechts-DualUUbGesitzt.ɍ9TBemerkung9.2T.`\W*enn5(M^;ev ;db )einLinks-DualzuM Pist,dannist9o enbarUU(M;ev ;db )einRechts-DualzuM^.9TLemma9.3T.Ht3Sei,1(M^;ev ;db )einLinks-DualzuM.,Danngibteseinen9nat֞ourlichenIsomorphismusfnMorx+ƟC}\(- 8M;->)T͍+3= UNMorjC$(-;-wo M);9d.h.?der5F;unktor- 0 VM'6:Cr !CQist5linksadjungiertzumFunktor- 0 VM^: 9C\o x!CW.֍9TBeweis.E=pWirgebGendieEinheitunddieKoeinheitan.*Dazude nieren9wir*(A):=1A R Pµdb:A B!AP Mg M^ )und (Bq):=1B 2 Pµev:9BS  M^ M3 !Bq.?O enbar?sinddiesesnatGourlicheT*ransformationen.?Da(A8 MuEyA8 MO M^ M:s32fd8D⍑ά-@ƍFOF(A)=8?E1mA> db 2 1mM]A8 M)=1A MQ32fd8ά-@ƍ F(A)=s@1mA> 1mMw ev9und(BQ 8M^rBQ 8M^ MO M^<32fd3jά-@ƍGUGeA(BW=)=Ձ=1mB 1c3M [ dbsBQ 8M^)=1BW= M,U32fd1ά-@ƍVGeA (BW=)=uĵ1mB ev : 1c3M9gelten,UUistdasLemmadurchF*olgerungx3.17bGewiesen. H9EsgiltabGerauchdieUmkehrung.W*enn-u (Mlinksadjungiertzu- (M^list, 9dannJNergebGendieEinheiteinenMorphismusdb-:=(I):I p!M9 "M^9undhdieKoGeinheit einenMorphismusevf:= (I):M^^A BM !IJmit9denUUgewGounschtenEigenschaften. ffПffffffffЎ9TFUolgerung9.4T.]WennI- M3:C\o x!ClinksadjungiertIzu- M^w:C\o x!C9ist,dannistM^ CeinLinks-DualzuM.֍9TFUolgerung9.5T.]Wenn*MAeinLinks-Dualb}'esitzt,*dannistdiesesbisauf9Isomorphieeindeutigb}'estimmt.9TBeweis.E=pSeienM(M^;ev ;db )und(M^!ڪ;db!;ev ^!J)Links-DualezuM.MDann9sindvdieF*unktoren- $ OM^ &und- OM^!Q[nachLemma3.13isomorph.vInsbGe-9sondereҰgiltM^T͍w+3w=MIz 3M^T͍w+3w=I 3M^!T͍+3µ=/M^!ڪ.W*ennҰmandieKonstruktiondes9Isomorphismusrgenauverfolgt,ϑsoergibtsichsogar,ϑda(ev r^!J 1)(1H db ):9M^! 8!M^! 8MO M^w!M^ TderUUgegebGeneIsomorphismusist. ffПffffffffЎN2  u978rIX.DUALEOBJEKTE>|B9TFUolgerung9.6T.]Sei (M^;ev ;db )einLinks-DualzuM.)T͍+3= UNMorjC$(-;MO 8-);9d.h.?der5F;unktorM^ V-:Cr !CQist5linksadjungiertzumFunktorMm/ V-:9C\o x!CW._9TBeweis.E=pWirzhattenbGemerkt,da(M;ev ;db )einRechts-DualzzuM^9ist.UUDannloatsichabGerLemma9.3unmittelbaranwenden. ffПffffffffЎ9TDefinition9.7T.[Seien(M^;ev Mgv;db Mx)und(N^;ev N;db N\͵)Links-Duale9von[ Mr$bzw.[LN.ZujedemMorphismusfѵ:{BM] !Nr$de nierenwirden9tr}'ansponiertenMorphismusxIR/[(f^s:N^w!M^):=#/[(N^6w1 dbXmM Q!%N^ 8MO M^ꍑw1 f 1$ U!$f7N^ NO M^6wevTnmN 1 ZwB!%"M^):ۍ9Mit;dieserDe nitionverhoaltsichdieBildungvonLinks-Dualenwieein9kontravqarianterUUF*unktor,dennesgilt_9TLemma9.8T.Ht3ZuM;N;PvseienLinks-Duale(M^;ev Mgv;db Mx),9(N^;ev N;db N\͵)und(Pc^s;ev P2 ;db Pr )ge}'geben. 91)Esist(1M\)^_=1M, .92)Seienfڧ:M3 !Nundg":N3!Pvge}'geben.Dannist(g[f)^_=f^sg^._9TBeweis.E=p1)UUEsist(1M\)^_=(ev  1)(18 1 1)(1 db UT)=1M, .92)UUDasfolgendeDiagrammkommutiert:b\zRMNO 8N^ Mj+I>rfd'ά- p\dby\mN& 1 @auXfeaߧ?pef @5Xfeg?pײ1 1 f Z]ON ZNO 8N^ Ni^8҄fd)Fά- lp\dby\mN& 1 Z Z9(N78҄fd)Fά-̍V˲1 evWmN5Xfeg?g@L 1 1Xfe'?^ȗgGPo 8N^ NPP32fd*ά-,V˲1 evWmN9Alsogiltg[fڧ=(1 ev nN6)(g 1 f)(db tN\ 1).Daherkommutiertdasfolgende9Diagramm:OC urѳIX.DUALEOBJEKTEm79>|άlmҍ Pc^mҍlPc^5S 8NO N^ϠjHJfdMά-gL8m1 dbmҎmҍЛPc^5S 8Po N^7jHJfd"ά-f–ɲ1 g@L 1j #fe矕 ?!W1 dbj՟ #fe ?!w1 dbj ş riOZ>riO~ ܈Ӎ%C1 db>riÉ4ri *ri҉ ri riቐ ri riri u u = 4ʍ9ffПffffffffЎq+fT9Ubung9.9T.Gõa):BestimmenSiealleOb8jekteM,edieeinLinks-DualbGesitzen, 9inUUderKategoriederKN-graduiertenV*ektorroaume.9b)BestimmenSiealleOb8jekteM,dieeinLinks-DualbGesitzen,inderKa-9tegorieUUderKettenkomplexeKK-Komp.9c)BestimmenSiealleOb8jekteM,dieeinLinks-DualbGesitzen,inderKa-9tegorieUUderKokettenkomplexeUUKK-Kokomp.9d)ѺSei(M^;ev 1dbN6)einLinks-DualzuM.ZeigenSie,dadbF:I p!MH 1M^9durchM,cM^ mundeveindeutigbGestimmtist.c(Eindeutigkeitderdualen9Basis)9e)Sei(M^;ev 1dbN6)einLinks-DualzuM.ZeigenSie,daevs:M^8 M3 !I9durchUUM,M^ TunddbeindeutigbGestimmtist.q9TFUolgerung9.10T.bSeien,M;NCmitLinks-Dualen(M^;ev Mgv;db Mx)und9(N^;ev N;db N\͵)ZundfB:/RMFm b!Nqge}'geben.ZDannZkommutiertdasfolgen-9deDiagr}'amm2ؼ Z}DSI ZЙMO 8M^Z8҄fdHBά- lHdbKmM=Xfeo?Rl2dbuomN-Xfe_?Ѝf 1nRNO 8N^ NO 8M^:X32fd8Ѝά-I㍒. 1 frፍ9TBeweis.E=pEsist(f x1M, )db Mn=((1N2) ev xN)(1N 1N, `d f)(db tN\ 1M\) 91M, )db Mn=(1N |Qev XßN 1M,)(1N |Q1N, @= f 1M, )(db tN\ 1M \ 1M,)db Mn=9(1N ^ յev GN 1M, )(1N յ1N, fd 1M,)(1N ^ 1N, db IMť)db N˵=.(1N 9(ev rN 1M, )(1N, 8fLo 1M,)(1N, db UTM5))db N#=(1N Α f^s)db N\͵. ffПffffffffЎPQi u980rIX.DUALEOBJEKTE>|B9TFUolgerung9.11T.bSeien,M;NCmitLinks-Dualen(M^;ev Mgv;db Mx)und 9(N^;ev N;db N\͵)ZundfB:/RMFm b!Nqge}'geben.ZDannZkommutiertdasfolgen-9deDiagr}'amm4 Zm}:N^ 8M ZЙM^ 8M%=8҄fd8xά-ԷgǑfr 1=Xfeo?Ѝlk1 f-Xfe_?ϲev&mMnRN^ 8NҵI:X32fdHdά-{YevXmN9TBeweis.E=pDie@AussagefolgtunmittelbarausderSymmetriederDe nition9einesUULinks-Duals. ffПffffffffЎh9TBeispiel9.12T.T,\SeiX6M 8J2 !/RMR瘵einRǵ-R-BimoGdul.Y}DannX6istauch9Hom#LR)(M:;R:)geinR-R-BimoGduldurch(rfs)(x)=rf(sx).Auerdemgha-9bGenwirdenMorphismusev_:PHom|R (M:;R:) R !Mk !PR掠de niertdurch9eve(fLo RBm)=f(m). ˍ9(Dual-Basis-Lemma:)y4Einy+MoGdulM2MR heitendlicherzeugtpr}'ojektiv,9wennesm1|s;:::;mn 2M5undm^1;:::;m^n 2HomR{S(M:;R:)sogibt,da9giltrO8m2M3:>n X ti=1miTLmi(m)=m:`9DiesesisteigentlicheineF*olgedesDual-Basis-Lemmas,HabGerzudergewoohn-9lich8verwendetenDe nitioneinesendlicherzeugtenpro8jektivenMoGdulsoaqui-9vqalent.9Sei_HM2׭R gMRb._KMvcistalsRǵ-Rechts-MoGdul_Hgenaudannendlicherzeigtpro-9jektiv,Кwenn9MTeinLinks-DualbGesitzt.DasLinks-Dualistisomorphzu9Hom#LR)(M:;R:).9IstMR ciendlicherzeugtpro8jektiv,isoverwendenwirdb5d:DRX u&!MO R9Hom#LR)(M:;R:) fDmitdb(1)=Pލ)n%)i=1(; mi C R ~1m^iTL. hDenn fDdannist9(1 R !Gev)(db  Rb1)(m)=(1 R !Gev)(P 8mi1 R !Gm^i Rm)=PވmiTLm^i(m)=9m.`AuerdemGist(ev  Rb1)(1z, R db&)(f)(m)jV=(ev Rb1)(Pލ ;n% ;i=12f R mix R9m^iTL)(m)fH=P+f(mi)m^i(m)=f(P 8mim^i(m))=f(m)fGourallemfH2M,also9(ev  Rb1)(18 RBdb)(f)=f.9Besitzt M!ڵumgekehrteinLinks-DualM^, sode niertevI:M^S R3M3 !R9einenHomomorphismus[:M^ (r!Hom1VR#(M:;R:)inR >MRdurch9(m^)(m)=ev (m^ R(m).SetzenwirPލ Wn% Wi=1umit m^id:=db (1)2M6 M^,so9gilttm=(1x ev Tv)(db  1)(m)=(1x ev)(P 8miP m^i m)=PmiTL(m^i)(m),usoQf urѳIX.DUALEOBJEKTEm81>|B9dam1|s;:::;mn82M9und(m^1);:::;(m^nq~)2HomqR+ӵ(M:;R:)einedualeBa- 9sis.fGourMEֵbilden,.d.h.da.Mendlicherzeugtpro8jektivalsRǵ-Rechts-MoGdul9ist.UUDamitsindabGerM^ TundHom*R(M:;R:)(vermooge)isomorph. W.9Analog@wirdHomRI(:M;:Rǵ)einRechts-Dual@zuM[genaudann,]wennMals9Rǵ-Links-MoGdulUUendlicherzeugtpro8jektivist.bA9TDefinition9.13T.`SeienOb8jekteM;NinC@gegebGen.8EinObjekt[M;N]9heitinner}'es {HomvonMundN,wenneseinennatGourlichenIsomorphismus9Mor OKC%)(- 6uM;N)T͍+3= UNMorjC$(-UU;[M;N])gibt,@d.h.wennesdenF*unktorMorwCU(- 9M;N)UUdarstellt. W.9W*ennreseinenindendreiOb8jektenM;N;PՓnatGourlichenrIsomorphismus9Mor OKC%)(Pș e M;N)T͍5+35=2"Mor GzC%xX(PG;[M;N])gibt,dannheitdieKategorieC,mo-9noidallinksab}'geschlossen.9W*ennreseinenindendreiOb8jektenM;N;PՓnatGourlichenrIsomorphismus9Mor OKC%)(MF m+PG;N)T͍I+3Iӵ=ZMor pC%(P;[M;N])gibt,dannheitdieKategorieC9mo-9noidalr}'echtsabgeschlossen.bA9W*ennMeinLinks-DualM^ 8ɵinC!bGesitzt,dannsindinnereHoms[M;-]9de niertIdurch[M;N]:=N9 "M^.mInsbGesondereIsindlinksstarremonoidale9KategorienUUlinksabgeschlossen.b@9TBeispiel9.14T.f,\(1)w{Die`Kategoriederendlich-dimensionalenV*ektor-2roaumeisteinemonoidaleKategorie,inderjedesOb8jektein(Links-2undUURechts-)DualbGesitzt. 9(2)2SeiޔBan`dieޔKategorieder(komplexen)Banach-Roaume,޷wobGeidie2Morphismen8fڧ:M3 !NOlineareAbbildungensindmitkf(m)kk2m~k,^qd.h.die^-Abbildungensinddurch1bGeschroanktoGderkontra-2hierend.3p0J cmsl10Ban3isteinemonoidaleKategoriedurchMx㍑3b 9N,dasver-2vollstoandigte }T*ensorproGdukt. EininnererHom-Funktor[M;N]exi-2stiertinBanundbGestehtausderMengederbeschroanktenlineare2AbbildungenFvonM anachN,_diemaningeeigneterW*eisezueinem2Banach-Raummachenkqann.3DamitistBanXeinemonoidalabge-2schlosseneUUKategorie. 9(3)2SeiHjeineHopfAlgebra.DannistdieKategoriederH-Rechts-2MoGduln (vgl.:Beispiel8.4b))einemonoidaleKategorie.Seien2M;NF2/MH.-Dann-istHomLK(M;N)inMH HdurchdieMultipli-2kqation {(fLo8h)(m):=X hf(mS(h:(1) u)h:(2):Rwd u982rIX.DUALEOBJEKTE>|B2DabGei{7sei(h)=P USh.h:(1) A h:(2) 7(Sweedler{7Notation).{oEsistnoamlich 2((fzg9'(f)(mS(h1|s)1 p)h2=3Pln'(f)((mS(h1|s) p)h2)3=2P>9'(f)(mS(h1|s)h2 }[ph3)rK='(f)(m}[ ph)rK=f(ph)(m).(Damitist2MH rechtsUUabgeschlossen.2W*ennMP25MH `alsVektorraumendlichdimensionalist,dannist2^6M3:=HomqLK5(M;KK)GwiedereinH-Rechts-MoGdulGdurch(f1{h)(m):=2f(mS(h)):R^*6MmistReinRechts-DualRzuMmitdenHomomorphismenr!]db:KK317!X timi, 8mid2_MO M\H2und ucevj:MO 8M33m8 fڧ7!f(m)2KK; 2wobGei[.mizundm^ieinedualeBasisdesV*ektorraumesMrIbilden.[0Es2ist^sicherlich(1 ev f)(db  1)=1.;Mund(ev  1)(1 db 5h)=1M\,Ńweil2MendlichodimensionalerV*ektorraumist.Zuzeigenist,dadbRund2ev?2H-HomomorphismenUUsind.Esgiltalso+ԍd<!(db t(1)h)(m)=((P 8m^i, 8miTL)h)(m)=(Pm^iTLh1S 8mih2|s)(m)=<!PF\(m^iTLh1|s)(m)mih2C=Pm^i(mS(h1))mih2C=<!PF\(P 8m^iTL(mS(h1|s))mi)h2C=PmS(h1|s)h2=m"(h)=<!(P 8m^i, 8miTL"(h))(m)=db (1)"(h)(m)=<!dbG5(1"(h))(m)=db (1h)(m);+ 2alsoUUdbq(1)h=db (1h).UUW*eiterist d|B 9(4)2SeiHjeineHopfAlgebra.DannistdieKategoriederH-Rechts- 2KomoGduln 1(vgl. DBeispiel8.4c))einemonoidaleKategorie.SeiM322M^H einGendlichdimensionalerV*ektorraum.rSeimiSeineBasisfGour2MaundFdieKomoGdulDiagonale`(mj6)R=P)5mijv *hij .DannFgilt2(hikܵ)=Phij \ Qhjgk<.؟^ M:=HomZ@LK L(M;KK)lwirdzueinemH-2Rechts-KomoGdulxdurch`(m^iTL):=Pm^j' )S(hij ).Manrechnetnach,2daUU^9MlpeinUURechts-DualvonMlpist.T u>|KAPITELX~n/Tannak@aDualitat09In~diesemKapitelwollenwirzweierleierreichen.Einerseitswollenwirzei- 9gen,f3daeeinQuantenmonoidausseinenDarstellungeneindeutig(bisaufIso-9morphie)1/zurGouckgewonnenwerdenkqann.18DiesenProzederRekonstruktion9werdenwirauchnoGchverallgemeinern.Andererseitswerdenwirzeigen,da9derProzederRekonstruktionauchgeeignetist,dieT*ambara-Konstruktion9desQuniversellenQuantenmonoidseinesnichtkommutativengeometrischen9RaumesUUdurchzufGouhrenunddamitausandererSichtzuverstehen.9SeiLDeinbGeliebigesDiagrammschema.LSeiCeinemonoidalekovollstoandige9Kategorie,zsozdadasT*ensorproGduktinbeidenArgumentenmitKolimites9vertauscht.oSeioC0VdievolleUnterkqategoriederOb8jekteinCW,odieeinLinks-9Dual#bGesitzen.4Seiweiterhin!":D5 *!Czein#DiagramminCW,sodafGouralle9X2DJgilt-![ٵ(X)2C0|s.[EinsolchesDiagrammnennenwiraucheinendliches9Diagr}'amm^^inCW.^`FGoureinOb8jektMA2&Cseischlielich^^! >M:&DC 9!Cder9F*unktorUUmit(! 8M)(X)=![ٵ(X)8 M.6޽9TSaUTtz10.1T.B|(T;annaka-Kr}'ein) SeiwieobeneinDiagramm!:lD: ϰ!C09ge}'geben.ͫDann͜gibteseinObjektcoGend(![ٵ)/2Cbund͜einenat֞ourlicheT;r}'ans-9formation:;! -!!Za coGendE(![ٵ),sodaf֞ourje}'desObjektMV2C:und9je}'deunat֞ourlicheT;ransformation'`7:! ؆!!8_ ܆MgenauueinMorphismuse9':coGend8(![ٵ)!Msoexistiert,dadasDiagr}'ammc84U u|X.TJANNAKADUALITY3ATf85>|`䍍څ]!څ! 8coGend(![ٵ) [8҄fd)ά-Y! 8M^,h'HHHHHпHпjٛXfeǟ? 71 ye'ȍ9kommutiert.9썍9TBeweis.E=pAusB!konstruierenwireinneuesDiagramm![ٟ^X; c~!inCW.SDie 9Ob8jekteXdiesesDiagrammsseien![ٵ(X)^ ;5!(Y8)XfGouralleObjekteX:;Y2DG.9DabGei&sei![ٵ(X)^jdasLinks-Dualvon!(X).&FGourjedesf7L:#X !Y_jin&D9konstruierenwirzweiMorphismendesDiagramms![ٵ(f)^ Ƶ1W:!(Y8)^ 9![ٵ(X)!!(X)^ >!(X)]und1> ![ٵ(f):!(Y8)^ >!(X)!!(Y8)^ >!(Y).9DassollenalleMorphismendesDiagramms![ٟ^B M!Psein.QSeischlielich9coGend'(![ٵ)I|:=lim3- !- (!^a m!)mitdenInjektionen(X:;Y8)I|:!(X)^ m!(Y8) e!9coGend'(![ٵ).d9FGourX?2w CT=de nierenwirjetztdenMorphismus`(X):![ٵ(X) !![ٵ(X)A 9coGend'(![ٵ) durch(12O (X:;X))(db  1):!(X)!!(X)2O !(X)^3 !(X)!9![ٵ(X)'3 coGendnS(!).̡Dann}istwieinAbschnitt9(X:;X)=(1'3 ev )(1 `(X)).9Wirzeigen,da5einenatGourlicheT*ransformationist.FGourjedesfڧ:X p!Y9kommutiertUUdasQuadratTڅsEIڅ![ٵ(X)8 !(X)^{\8҄fdOά- lAdbTmXuXfeuן?Rc`dbkڸmYşXfe?Ѝg!@L(f) 1Wg![ٵ(Y8)8 !(Y8)^![ٵ(Y8)8 !(X)^:32fd2x捑ά-KG1 !@L(f)r-a9nachUUF*olgerungx9.10.DaherkommutiertauchdasDiagramm5[V u986|X.TJANNAKADUALITY3AT>|4NPm![ٵ(X)8 !(X)^ !(X)W8![ٵ(X)8 coGendk@uC1 (X;XJ) ;XTH;]TH ;bTH*;gTH4;lTH>;qTHH;vTHR;{TH\;TH^ KH^ KjLP![ٵ(X)ljβdbu 1*6ܬ46~>6|H6yR6w\6tf6rp6oz6m6j6h6e6c6`6^6[6Y6V#U#U:LPU![ٵ(X)8 !(Y8)^ !(X)k%Ȇ#1 !@L(f)r.; 1'ܬ'|'w'r'm'h'c'^'Y+X+X*LP![ٵ(Y8)8 !(X)^ !(X)܄-fe3ܬ?k!@L(f) 1 1p l-fe9 l?̨j!@L(f)p៽ l-fe) l?̨]w!@L(f) 1 1p̨ "1 1 !@L(f)'H'H'H'H'H'H'H'H'H+5H+5jpصȆ#1 !@L(f)r.; 1' l' l' l' l' l' l' l' l' l++*p̨1 (X;XJ) ;H;H ;H*;H4;H>;HH;HR;H\;H^ K5H^ K5jp̨@uC1 (Yn9;Y) ; l; l ; l*; l4; l>; lH; lR; l\; l^ K^ K*pu! l-fevS l?̨z!@L(f) 1p5/\db9 17H&7H07H:7HD7HN7HX7Hb7Hl7Hn+ 5Hn+ 5jƈpX![ٵ(Y8)8 coGend![ٵ(Y8)8 !(Y8)^ !(Y8)8@uC1 (Yn9;Y) ;; ;*;4;>;H;R;\;^ K^ K*ƈp+![ٵ(Y8)ōjβdbu 1*6͇tX46tX>6҇tXH6tXR6ׇtX\6tXf6܇tXp6tXz6tX6tX6tX6tX6tX6tX6tX6tX6tX6tX#iX#izƈpU![ٵ(Y8)8 !(Y8)^ !(X)8Ȇ#1 1 !@L(f)'tH'tH'tH'tH'tH'tH'tH'tH'tH+H+jƈpx8![ٵ(X)8 !(Y8)^ !(Y8)-fe3?8!@L(f) 1 19Seien^nuneinOb8jektM2ֽCundeinenatGourlicheT*ransformation'ֽ:!2 O ! 9! 8MlpgegebGen.UUWirbeachten,UUda@ά-Rs5!@L(f)r.; 1uXfeuן?ЍWgڲ1 !@L(f)şXfe?턗gevWg![ٵ(Y8)^ 8!(Y)4I32fdPڍά-IYev9nachUUF*olgerungx9.11kommutiertunddaherauchh6@$ ![ٵ(X)^ 8!(X)@q![ٵ(X)^ 8!(X)8 Mfǟ>rfdb~ά-L1 '(XJ) @CXfeCߟ D6}GO!@L(f)r.; 1 @}!@L(f)r.; 1 133ˋ ˋ  @pJ_M1ev5 1ɓ D@ɓ D@%@%Rڅ$![ٵ(Y8)^ 8!(X)څ![ٵ(Y8)^ 8!(X) Mf+ٟ8҄fd;ά-Ffu1 '(XJ)CXfeCߟ?ЍGO1 !@L(f)Ѝ 1 !@L(f) 13@3@ˋ@ˋRّev5 1ɓɓ%o![ٵ(Y8)^ 8!(Y)|[![ٵ(Y8)^ 8!(Y)8 Me32fdd6ά-@ƍ1 '(Y)9kommutiert.U@WirTde nierene'P۵:q1coGendQ(![ٵ)q1 !q1MlausderKolimes-Eigen- 9schaftUUalsuniverselleF*aktorisierungW u|X.TJANNAKADUALITY3ATf87>|D@~![ٵ(X)^ 8!(X)څ.![ٵ(Y8)^ 8!(X)}Pӏ!@L(f)r.; 1[eoy/ t/ t* @pF_(X;XJ); D@; D@ғ%@ғ%R @pgs(ev : 1)(1 '(XJ))C_PCPC CPC_PCǴPC BPC_PKPKq ![ٵ(Y8)^ 8!(Y)ЍUʲ1 !@L(f)[HeHoHyHH/H/jЍ~(Yn9;Y);;ғғڅεcoGendF(![ٵ)څaMܛ/8҄fd0߆ά-`e\'Ѝgs(ev : 1)(1 '(Y))CCCVRCC뫨CVSCKZKZ1.9DannUUkommutiertdasDiagramm6څ1![ٵ(X)څg-G![ٵ(X)8 !(X)^ !(X)/8҄fd4ʍά-= ?QdbIJ 1څڅ![ٵ(X)8 !(X)^ !(X) Mj8҄fd/ά-Ffʕ1 '(XJ)Ѝcy@(XJ)5ןYP?ןNPIןPSןYP]ןMPgןPqןYPyߟ]Pyߟ]qXfe?Ѝ[1 (X;XJ)$ Xfe$;?ّ(ë1 ev : 1y|![ٵ(X)8 coGend [![ٵ(X)8 M932fdP[ά-捒ڧ1 ye'.9DasUfUUAuerediesesDiagrammsergibt6څ~"![ٵ(X)څ)s![ٵ(X)8 coGend(!))8҄fdά-Ff7l@(XJ)yu![ٵ(X)8 M:ЍB'(XJ)HHHHHпHпjٛXfeǟ? 71 ye'9Esbleibtzuzeigen,daole'~:coGendY(![ٵ) .m!M2eindeutigbGestimmtist.Sei 9aucheb'0:GcoGend(![ٵ)G c!GM}mitb'(X)=(qe#1l> l='0|s)`(X)bgegebGen,udannkom-9mutiertfO8 ![ٵ(X)^ 8!(X)JcoGendj(![ٵ)z?ڄfdzU0ά-Mn%(X;XJ) ƈpx![ٵ(X)^ 8!(X)8 coGend(![ٵ)ʌsg1 @(XJ)laPvVP PaP[ P[ q TaN1 '(XJ)^ @h @r @| @ @ @ @c@cR pMĽev 1s lss^s mʳaRʳaR1p5-feg?rײ1 1 ye'0  KPfe ǿ?􎍍Fe/'0{![ٵ(X)^ 8!(X)8 MEM;32fd".dά-=͍v-ev% 1.9alsoUUiste'0#=e' Qõ. ffПffffffffЎ9TFUolgerung10.2T.bEsistN8Ga f2MorN>D0Gu![ٵ(Zi(f)) 8!(Qu UX(f))EV N3„fdά-=pN32fdά-씍Wq=a XJ2Ob D![ٵ(X) !(X)i32fd ά-H-ocoGendF(![ٵ)Ǎ9einDi er}'enzkokern.X5 u988|X.TJANNAKADUALITY3AT>|B9TBeweis.E=pDasisteineUmformulierungderBemerkung%B5.12.ManbGeach- 9te,8da8hierderF*alleinesKolimesvorliegtunddamannichtalleOb8jekte9desnDiagrammsimKoproGduktverwendennmu,nsondernnurdiejenigender9F*ormUU![ٵ(X)^ 8!(X). ffПffffffffЎ9TFUolgerung10.3T.bDer:lF;unktorNat(![;!4 v[M)istdur}'chcoGend(!)darstell-9b}'aralsF;unktorinM.Y_9TBeweis.E=pAus*demgeloostenuniversellenProblemfolgtderIsomorphis-9mus hӍVNatfg^(![;! 8M)T͍+3= UNMorjC$(coGendG (!);M): ffПffffffffЎ9Man"kqannebGensoauchfGourverschiedeneF*unktoren![;!^0G:Dd p!CVeinen9IsomorphismusNata(![;!^0U CM)T͍+3= UNMorjC$(cohomUZ(!^0*;!);M)konstruierenund9damit1Komorphismen-Objektede nieren.22Dazumulediglich![ٟ^0\ W*ertein9C0ȵannehmen.Y_9TFUolgerung10.4T.bҵcoGend| (![ٵ)istaufgenaueineWeiseeineKo}'algebra,!so9dadieDiagr}'amme2ȍڅh!څڑ! 8coGend(![ٵ)r8҄fdePά-k Xfek??q cW]Xfeʏ?i1 N]! 8coGend(![ٵ)u! 8coGend(![ٵ)8 coGend(![ٵ) 32fd16ά-ϭE@ 1xF9und0څ]!څ! 8coGend(![ٵ) [8҄fd)ά-В! 8I 8idRs!HHHHHпHпjٛXfeǟ?ّ71 "9kommutier}'en.Y_9TBeweis.E=pDieDiagrammede nierenwegenderuniversellenEigenschaft 9vonUUcoGendu(![ٵ)UUdieStrukturmorphismenhӍ]:coGend8(![ٵ)!coGend(![ٵ)8 coGend(!)9und hӍ":coGend8(![ٵ)!I:hӍ9DarausfolgtauchunmittelbardieKoalgebreneigenschaftoahnlichwieim9BeweisUUvonF*olgerungx7.21. ffПffffffffЎY  u|X.TJANNAKADUALITY3ATf89>|B9ManbGeachte,dadurchdieseKonstruktionalleOb8jekteundalleMorphis- 9menZausdemDiagramm!M3KomoGdulnbzw.tKomodulMorphismen8vouberder9Koalgebra5coGendU(![ٵ)5gewordensind.WT*atsoachlichistC~4:=coGend8(![ٵ)sogardie9universelleAKoalgebra,joNubGerderdasvorgegebGeneDiagrammeinDiagramm9vonUUKomoGdulnwird.9TFUolgerung10.5T.bSei(DG;![ٵ)einDiagr}'amminC mitObjekteninC0|s.Dann9sindfalleObjektedesDiagr}'ammsKomoduln|B9wobGeidierechteSeitedesWGourfelswegenderuniversellenEigenschaftkom- 9mutiert.UfUUAhnlichzeigtman,dae' 5UdieKoGeinheiterhoalt. ffПffffffffЎ9Seien}!:D, !Cuund![ٟ^0!:DG^0e !CuDiagrammeinCW.}iDasDiagramm9(DG;![ٵ) (D^0V;![ٟ^0*):=(DD^0V;! ![ٟ^0*)Kmit(! ![ٟ^0*)(X:;Y8):=![ٵ(X) !^0*(Y8)Knen-9nenEwirdasT*ensorproGduktdieserbeidenDiagramme.EDasneueDiagramm9bGestehtalsoausallenT*ensorproduktenderOb8jektebzw.Morphismender9bGeidenUUurprGounglichenDiagramme. Ѝ9Wirpsetzenvonnunanvoraus,pdadieKategorieCdieKategoriederV*ek-9torroaumexUV*ekist,x^undverwendenxUdieSymmetrie#3:lV P5Wd q!W V9in9V*ek.J!9TLemma10.6T.Mt4Seieng(DG;![ٵ)und(D^0V;![ٟ^0*)endlicheDiagr}'ammeinV*ek.gDann9istፍ[coGenduF6(![ٵ)8 coGend(!0*)T͍+3= UNcoGend&n(! !0*):9TBeweis.E=pWirbGeachtenzunoachstfolgendes.W*ennzweiDiagramme!^:9D_R {!5V*ekund![ٟ^0BG:5DG^0- J!V*ekgegebGensind, soistlim3i!9Dlim3r!+>D704㏵(!+ YR![ٟ^0*)T͍5+35=9lim39!,D7D04(! ![ٟ^0*)T͍+3= UNlim3 UN8!㇟D#Ԉ(![ٵ) lim3y!F"D70떵(!^0*),weildasT*ensorproGduktmitKoli-9mites"vertauschbaristundKolimitesuntereinandervertauschbarsind.BMan9bGetrachteUUdazudaskommutativeUUDiagrammFx=y![ٵ(X)8 !^0*(Y8)=![ٵ(X)8 lim3p!q&D70(!^0*)VG::fd-yά-P4ɟ#fe4?5&lim3&{!{&D%l(![ٵ)8 !^0*(Y8)5Rlim3R!&D(![ٵ)8 lim3p!q&D70(!^0*)\-A32fd!vά-H#fe?WT͍;+3;=qlim3qt!t&D7D0x(! 8![ٟ^0*):WH9DannistabGerauchcoend (!j ,![ٟ^0*)T͍(S+3(S=lim3T!!D7D07s((! ![ٟ^0*)^u (! ![ٟ^0*))T͍(S+3(S=9lim39!,D7D04(![ٟ^! ,`!9 ![ٟ^0 RU1 ![ٟ^0*)T͍+3= UNlim3 UN8!㇟D#Ԉ(![ٟ^ ![ٵ) lim3!D70` (!^0 cR( !^0*)T͍+3= UNcoGend&n(!) 9coGend'(![ٟ^0*). ffПffffffffЎ9TFUolgerung10.7T.bF֞ourendlicheDiagr}'amme(DG;![ٵ)und(D^0V;![ٟ^0*)inDgibtes9eine2universellenat֞ourlicheT;r}'ansformation':! p![ٟ^0* !! p![ٟ^0 coGend(![ٵ) 9coGend'(![ٟ^0*),sodaf֞ourje}'desObjektMundjedenat֞ourlicheT;ransformation':9!` +![ٟ^0* !! ![ٟ^0.= M>genau#einMorphismus㳫e' :coGend8(![ٵ) coGendKK(!^0*)!M9existiert,soda[- u|X.TJANNAKADUALITY3ATf91>|j|ЉP?ɗ! 8![ٟ^0ЉPi! 8![ٟ^0b coGend(![ٵ) coGend(![ٟ^0*)^::fdpčά-yLW+! 8![ٟ^0b M'iއ׆ Xsއ X}އ܆ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ XGXGz%#feW?񾍒Dz1 1 ye'O9kommutiert.9TDefinition10.8T.`SeiJ(DG;![ٵ)einDiagramminV*ekP.eSeienD4geinemonoidale 9Kategorieqund!KJeinmonoidalerF*unktor.Dannheit(DG;![ٵ)einmonoidales9Diagr}'amm.9Sei(DG;![ٵ)einmonoidalesDiagramminV*ek.YSeiAؕ2V*ek-eineAlgebra.9EinenatGourlicheT*ransformation'0:! !! cBheitmonoidal,wenndie9Diagramme;Ї:۽![ٵ(X)8 !(Y8)ЇsU![ٵ(X)8 !(Y8) BQ Bw܏::fd_ά-G΍<'(XJ) '(Y)Wݟ#feW?O{ #fe ǿ?/ mB ![ٵ(X 8Y8)![ٵ(X 8Y8) Bp_32fdx"Lά-@ƍ'(XJ Y)O9und90${KK$K8 KKG::fdL[ά-ˑO0ES==#feo?-#fe_?v![ٵ(I)![ٵ(I)8 Bٞ32fd@]Xά-@ƍ'(IJ)9kommutieren. 9Wirt|B9Zur6KonstruktionderEinheitbGetrachten6wirdasDiagrammD0 = 9(fIg;fidUWg)\zusammenmit!0:~MD06!V*ek,] !0|s(I)=KK,was\dasmonoi-9daleEinheitsob8jektindermonoidalenKategoriederDiagrammeinV*ek,ist.9Dannist(KKA ^!AKKi KK)=(!0 ڐ!!0Y coGend(!0|s))dieuniverselleAbbil-9dung.UUDasfolgendeDiagramminduziertdanndieEinheitfGourcoGendu(![ٵ)|B9TBeweis.E=pWirOShabGendieT*ambara-BialgebrafGourlinksseitigeKooperatio- 9nen#fڧ:A!M(A)< Agenauerstudiert,#bGenootigensiejedochhierrechts-9seitigUUuniversellalsMorphismusfڧ:A!A8 M(A)UU(vgl.UfUbungx10.11). ҍ9SeiUUBƵeineAlgebraundfڧ:A!A8 Bq.UUSei!"=!A.Wirde nierenЯ'(X n za):![ٵ(X n)=A nꍑ5fr n$x !!\&A n _ 8Bq n8\1 mrnBǤZ!)OA n BG=![ٵ(X n za) Bq;`퍑9wobGeim^nbB $:Bq^ n~!Bikdien-facheMultiplikqationaufBbGedeute.'isteine9natGourlicheUUT*ransformation,denndieDiagramme; xKK íK8 Bߟ8҄fd8+Lά-Ff'(IJ)՟Xfe?턗 5uٛXfeǟ?ّ71 uA;A8 BI32fd8^xά-?:m3'(XJ)9unda @TC7A8 A @+A8 A Brv런>rfdtʍά-L '(XJ X) @pA8 A BQ B؍sof f}۷DX۷ DXWXWz @p1 mw lwl: @auAfeaߧ?هgemp5 feg?Em m @Afe'?aȗm 1ЍA8 Bh~_f}۷۷WDWD:Ў)1 1wԬXwXXz^AA8 Bh32fdS8ά-?:m3'(XJ)9kommutieren.UUW*eiterhinkommutierenIHA^ r 8A^ sCA^ r 8A^ s  BQ B}>rfdU@΍ά-Y '(XJr r ) '(XJr s ²) @ǘzA^ r 8A^ s  Bq^ r f Bq^ s ؎}۷DX۷ DXWXWz @p ؎w lwl: @auAfeaߧ?p5 feg? @Afe'?lA^ (r7+s)O 8Bq^ (r7+s)h}۷۷WDWD:ЎhwXwXXz֍PA^ (r7+s)֍uA^ (r7+s)O 8Bum32fdm0ά-'(XJr (r,r+s)廲)9soUUda':!A Jg!!Ap 8BƵeinUUmonoidalenatGourlicheT*ransformationist. ҍ9SeiZ;umgekehrteinenatGourlicheT*ransformation'A:!A RoG!!A <$BڬgegebGen. 9SeiUUfڧ:='(X):A!A8 Bq.Dannkommutieren^& u994|X.TJANNAKADUALITY3AT>|D @r>A8 A @A8 A BQ Br>rfd.yvά-^Ӄf f @=Xfeo?`uo= @-Xfe_?1ϲ1 mr>A8 A cA8 A Br8҄fd8:ά-Ff '(XJ X)=Xfeo?턗tdm-Xfe_?ّm 1|oAA8 B32fdL[ά-cf͍9und\J\xKK\:K8 KKߟ>rfd8^xά-O0ES= @՟Xfe?`= @ٛXfeǟ? xKK íK8 Bߟ8҄fd8+Lά-莎՟Xfe?턗 5uٛXfeǟ?ّ7u 1AʃA8 Bq:I32fd6Dά-f9AlsoUUistfڧ:A!A8 BƵeinUUAlgebrenHomomorphismus. 9WirUUhabGendamiteineninBƵnatGourlichenIsomorphismusԍ\KK-Algj(A;A8 Bq)T͍+3= UNNatߟ $x(!A;!Ap Bq)9de niert.:W*enn:FAendlichdimensionalist,dannwirddielinkeSeitedurchdie 9T*ambara-BialgebraAMrm(A)dargestelltunddierechteASeitedurchcoGend (!A).9DaherUUmGoussendiesebGeidenBialgebrenisomorphsein. ffПffffffffЎ͍9TFUolgerung10.13T.gEsgibteineneindeutigb}'estimmtenIsomorphismusvon9Bialgebr}'enMrm(A)T͍+3= UNcoGend&n(!A),sodadasDiagramm3+څAڅ>/A8 Mrm(A)I8҄fd-\ά-莎 A8 coGend(!A)ЎHHHHHпHпjٛXfeǟ?A9kommutiert.I9TBeweis.E=pDasɷfolgtunmittelbarausderBedingungfGourdieuniverselle9Eigenschaft. ffПffffffffЎ9Damitn!kqanndieT*ambara-Algebra,n]diedasuniverselleMonoidvonnichtkom-9mutativenlgeometrischenRoaumeninendlicherDimensionbGestimmt,mausder9DarstellungstheoriedurchdieT*annakqa-KreinR}'ekonstruktionalsSpGezialfall_,ʠ u|X.TJANNAKADUALITY3ATf95>|B9gewonnen werden.@gfgAhnlichesgiltfGourkomplizierterde nierte 9Quantenroaume,UUwiez.B.sogenanntequadratischeRoaume. ѣ9Wirzeigenjetzt,+damaneinebGeliebigeKoalgebraCP6mitdenobigenMe-9thoGdenausderKenntnisallerihrerDarstellungen,genauerausdemV*ergi-9funktor!u::M^C v!V*ek,,zurGouckgewinnenkqann.Hierkqannmanalsonicht9mehrhdieoublicheKonstruktionvoncoGend(![ٵ)verwenden,hdiejaaufendlich9dimensionaleBKomoGdulnbeschroanktist.BGleichzeitigistderfolgendeSatz9auchFeinBeispieldafGour,dadieBeschroankungaufendlichdimensionale9KomoGduln]imallgemeinenzustarkist,daesauchfGourallgemeinereDia-9grammeKoGendomorphismenBialgebrengebenkqann.Andererseitsgiltder9folgende{Satzauchdann,wennmansichalleinaufdieendlichdimensionalen9DarstellungenUUvonC qbGeschroankt.DerBeweisistdannetwasaufwendiger.v9TDefinition10.14T.eSeiCz2einemonoidaleKategorie.EineKategorieD+zu-9sammenQKmiteinemBifunktor k:Cv0D# Ι!DhundQKnatGourlichenIsomor-9phismenX ⍵:[q(At7 Bq) Mr !A (B M),oJ:I= Mr !MsheitXeine9CW-Kate}'gorie,UUwenndiefolgendenDiagrammekommutieren5Z:څ((A8 Bq) C) Mڅ$(A8 (BQ C)) MT˟8҄fd/荑ά-FfUV (A;BW=;C}) 1څڅtA8 ((BQ C) M)8҄fd/荑ά-FfoN \(A;BW= CI;M,)%Xfe%?Ѝ) \(A BW=;CI;M,)=Xfe=?Ѝ 1 \(BW=;CI;M,)Ե(A8 Bq) (C M)tA8 (BQ (C M))T˞32fd8ά-@ƍB \(A;BW=;C} M,)|`䍍څs}I 8F9(M)څû=F9(I 8M)փ8҄fdȍά-ԬȃtgF9(M)^E @ @c@cRЍF(@L)ßßkk  9W*enn%1zusoatzlichIsomorphismusist,%=dannnennenwirF#jeinenCW-F*unktor. 9DerF*unktorheitstrikterCW-F;unktor,wennBderIdentitoats-Morphismusist. ˍ9Eine natGourlicheT*ransformation'D:F} !F9^0}zwischen (schwachen)CW-9F*unktorenUUheiteineCW-T;r}'ansformation,wenn2HڅhA8 F9(M)څ̐F9(A8 M) 8҄fd/荑ά-Ԭȃ=Xfeo?ЍXp1mA> '(M,)-Xfe_?Ѝ'(A M,)Hg7A8 F9^0r(M)H)F9^0r(A8 M)q'32fd,ƀά-׍nJt8r09kommutiert.!9TBeispiel10.15T.Y,]SeiC=eineKoalgebraundC\o:=V*ek*.DannistdieKategorie9M^C NʵderRechts-C-KomoGdulneineCW-Kategorie,BdennmitN2M^C Nʵund9V 2&C_}=V*ekistW*auchVr :NnEeinKomoGdulvermoogederKomoGdulStruktur9vonUUN. ˍ9DerWV*ergifunktor!ŵ:uM^C /L|B9fGourqEallet2Vd KWc.qLWirqEfassenjetztV KN`vermoogederKomoGdulstruktur 9vonvNalsKomoGdulauf.Dannsinddiepi:NNV nNei !NKomoGdulhomo-9morphismen.UUAlsokommutierenUUalleDiagramme='*q'Vq 8NɘVq 8NO M%8҄fd5"ά-Ffcm'(V N,)=Xfeo?^tpi-Xfe_?^pi{KpNҟ*NO 8M:Za32fdH\8ά-?:|tIRxN9NO 8CUaiABfdJލά-x=дNO 8MNO 8C M`˟::fd3ά->us@ 1ME#feMw?ʌ7J'(N,)5#feg?ʌ'(N, C})=1mNlu '(C)NO 8MD 1iއ׆ Xsއ X}އ܆ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ Xއ XGXGzE'ò1 " 1o Ho Ho Ho Ho Ho Ho HOHOjB1 ye'k @k @k @k @k @k @k @k @SG@SGRw9InsbGesondereUUhabendamitgezeigt,dadasDiagramm5y]!yH! 8C [8҄fd9wꍑά-Y! 8M^,h'HHHHHпHпjٛXfeǟ? 71 ye'9kommutiert. #9UmdieEindeutigkeitvonme'ǵzuzeigen,Aseigjϵ:C !M1)einweitererHo- 9momorphismus`mit(1C g[ٵ)='.a/FGour`c2Cistg[ٵ(c)=g("C 1)(c)=9("8 1)(1 g[ٵ)(c)=("8 1)'(C)(c)=e' Qõ(c).9DieBKoalgebrenstrukturwieinF*olgerungf@10.4angegebGenistdieursprGounglich9vorgegebGeneaufC..Dassiehtmanso..DieKomultiplikqation':!" ?g!!? fC9istfeinenatGourlicheT*ransformation,falsoauch(i D1Cڵ)E:8!@ \!!_ C C.9Damit$wirdgenauwieinF*olgerung10.4genaueinHomomorphismusp:9C~4 !C 8C qinduziert,UUsodadasDiagramm5yڅh!څڑ! 8coGend(![ٵ)r8҄fdePά-k Xfek??q cW]Xfeʏ?i1 N]! 8coGend(![ٵ)u! 8coGend(![ٵ)8 coGend(![ٵ) 32fd16ά-ϭE@ 1w9kommutiert.AEbGensoinduziertdernatGourlicheIsomorphismus!T͍K+3K=q!q KK9genauUUeinenHomomorphismus":C~4 !KK,UUsodadasDiagramm5yڅ]!څ! 8coGend(![ٵ) [8҄fd)ά-В! 8I 8idRs!HHHHHпHпjٛXfeǟ?ّ71 "9kommutiert.pDascmGoussenabGerdannwegenderEindeutigkeitdieStruktur-9morphismenUUvonC qsein. ffПffffffffЎcd u|X.TJANNAKADUALITY3ATf99>|B9WirbGeweisenjetztauchdenendlichdimensionalenF*allderRekonstruktion. 9DazuUUzeigenwirzunoachstdenF*undamentalsatzfGourKomoGduln.9TSaUTtz10.18T.G|(F*undamentalsatzWfGourKomoGduln)SeiCaeineKo}'algebra,Mein9C-Komodulundm2M.DanngibteseineendlichdimensionaleUnterko-9algebr}'aEZCundeinenendlichdimensionalenE-KomodulN'mitm2N,9sodaderdur}'chETCinduzierteC-KomodulNk* !TN^ qCE !N qCC9einC-Unterkomo}'dulvonMist.9TBeweis.E=pSei[4`(m)=Pލ USn% USjg=1Vmj{N DcjeineDarstellungdesT*ensors`(m)von9kGourzesterMLoange,bd.h.miteinerMinimalanzahlvonSummanden.Dannsind9dieUUc1|s;:::;cnӵlinearunabhoangigunddiem1;:::;mnӵlinearunabhoangig. 9SeienW4`(mj6)t=Pލr%i=1"mi9 cij b,und(ciTL)=Pލs%jg=1qc^0;Zij cjmitgeeigneten9linearUUunabhoangigenm1|s;:::;mnq~;:::;mrbzw.UUc1|s;:::;cnq~;:::;csF:.9W*egen P1jg=1;:::};n;i6mi@ [cij f cj w=˟P-jZ`(mj6) cj=˟P-i+mi@ (ciTL)=9P.i=1;:::};n;j@mi, 8c^0;Zij C cjistUUcij =c^0;Zij `MfGourallei;jundcij=0fGouri;jY>n.9WirdiagonalisierennoGchmalsunderhaltenP*jgkwmj hi(cij ) ck )~= g$9P.ijgk%^mi\ Rcij J cjgk ck xunddamit(cikܵ)Ͷ=Pލ[n%[jg=1]Hcij Rcjgk<.Damitist9derUUvondencij `MaufgespannteUnterraumeineUnterkoalgebraEvonC.9W*egenE[`(mj6)W!=Pލ\r%\i=1Smi-/ cij PSistdervondenm1|s;:::;mn ٵaufgespannte9lineareUU(n-dimensionale)UnterraumeinE-KomoGdul.9DannIfolgtaus(ciTL)^=Pލn%jg=1icij cjwegenIderRechengesetzeinKoal- g$9gebrenxYcii=Pcij "(cj6)2E.xWirverwenden`(m)=Pލ:Xn%:Xjg=1;mj1 cjund9erhaltenUUm=P USj6mj6"(cj).Damitistm2N. ffПffffffffЎA,9TSaUTtz10.19T.G|(Rekonstruktion)SeiCeineKo}'algebra. SeiM^Cl0 dieKate}'gorie9derendlichdimensionalenC-Komo}'dulnund!ڵ:M^Cl0 :WQ!V*ekderV;ergi-9funktor.DannistCT͍~4+3~4= jcoGend'S(![ٵ).9TBeweis.E=pSeien};MVinV*ek^undeinenatGourlicheT*ransformation' :!eq !9!2 MYhgegebGen.BWirBMde nierendenHomomorphismusݫe':R C & %!Mwie9folgt.cSeicc&2CgegebGen.SeicNzߵeinendlichdimensionalerC-UnterkomoGdul9vonGXCtmitc2N.G\DannGXde nierenwirg[ٵ(c):=("jN 1)'(N)(c).G\IstGXN^0,ein9weiterer-endlichdimensionalerUnterkomoGdulvonC䵵mitc/2N^0undmit9N3N^0T,UUdannkommutiert5%gN@NtNO 8Ms]18҄fd|ά-Ffu¦'(N,)k Xfek??Xfe7?We#N^0W^WN^04 8Mte32fdJά-Sothm'(N,r0t)Ў8?Hӏ\Hӏ\jЎh?ӏDӏD*ЍamC 8MЍe:M5g6fdIά-@ˋ" 1dr| u9100|X.TJANNAKADUALITY3AT>|B9DamitListdieDe nitionvon`e' {(c)unabhoangigvonderW*ahlvonN.LW*eiter 9ist#eY' ":N3 !Mto enbarYlinear.{FGourjezweiElementec;c^0Q2Cugibteseinen9endlich dimensionalenUnterkomoGdulN3C%mitc;c^0Q2N,z.B.dieSumme9vonVfGourcundc^0$einzelngefundenenUnterkomoGduln.DamitloatsichGe' 8auf9ganzUUC qfortsetzen. J9Der"oubrigeBeweisverloauftimwesentlichenwiederBeweisdeserstenRe-9konstruktionssatzes. ffПffffffffЎ9Man7kqannweitereStrukturderKoalgebraausdenDarstellungenzurGoucker-9halten.9DauzCbGeweisenwirzumAbschlueinenRekonstruktionssatzX_oubGerBialge-9bren.Wirerinnernuns,dafGoureineBialgebraBddieKategoriederBq-9KomoGdulnxmonoidalist.yeW*eiterwissenwir,daderV*ergifunktor!s:9M^B 1NX!OֵV*ekZeinamonoidalerF*unktorist.vAusdieserInformationloatsich9dieUUBialgebrenstrukturvonKBzurGouckgewinnen.Genauergiltȍ9TSaUTtz10.20T.G|Sei YBeineKo}'algebra. xSei YM^B eeinemonoidaleKate}'gorie,so9daderV;er}'gifunktor!:OM^B 1*M!V*ekeinmonoidalerFunktorist.Dann9gibtesgenaueineBialgebr}'enstrukturaufBq,diedieangegebenenmonoidalen9Struktur}'eninduziert.9TBeweis.E=pWir}bGeweisenzunoachstdieEindeutigkeitderMultiplikqationr:9B: YB D!]B#undderEinheitu6:KK 5!Bq.DienatGourlicheT*ransformation9':!" ?g!!&N uBwirdmitr:BJ BG c!Bund":KK!Beinemonoidale9natGourliche\zT*ransformation.\Wirzeigen,darundSdurch!und]eindeutig9bGestimmtUUsind. J9DazuHseienr^0Q:B UBG c!BundH[ٟ^0*:BG!KKHMorphismen,Hdierzueiner9monoidalenUUnatGourlichenT*ransformationmachen.DieDiagrammeIЇ:۽![ٵ(X)8 !(Y8)ЇsU![ٵ(X)8 !(Y8) BQ Bw܏::fd_ά-G΍@(XJ) (Y)Wݟ#feW?O{ #fe ǿ?;!/ rr0B ![ٵ(X 8Y8)![ٵ(X 8Y8) Bp_32fdx"Lά-@ƍƒ@(XJ Y)9unde$ u|X.TJANNAKADUALITY3ATa101>|j|${KK$K8 KKG::fdL[ά-ˑO0ES==#feo?-#fe_?荒ϵ18 [ٟ^0tɧ![ٵ(KK)Δ ![ٵ(KK)8 Bw32fd=ά-@ƍ@(LK)/ԍ9kommutieren.UUInsbGesonderekommutierenUUdannC4Ї;Q![ٵ(Bq)8 !(Bq)Ї![ٵ(Bq)8 !(Bq) BQ Bw\::fd`ά-G΍@(BW=) (B)Wݟ#feW?O{ #fe ǿ?;!/ rr0B.![ٵ(BQ 8Bq)?S![ٵ(BQ 8Bq) Bp*q32fdy"(ά-@ƍ'@(BW= B)/ԍ9und${KK$K8 KKG::fdL[ά-ˑO0ES==#feo?-#fe_?荒ϵ18 [ٟ^0tɧ![ٵ(KK)Δ ![ٵ(KK)8 Bw32fd=ά-@ƍ@(LK)9EsFgeltenalsoPb:(1) c:(1) b:(2) uc:(2) =Pb:(1) c:(1) r^09(b:(2) c:(2) u)Fund1 1= 91 [ٟ^0*(1).,Es folgtbc=P~"(b:(1) u)"(c:(1))b:(2)c:(2)_=P"(b:(1))"(c:(1))r^09(b:(2) M# 9c:(2) u)=r^09(b8 c)UUund1=[ٟ^0*(1). 9WirXkommenzumExistenzbGeweis.XRSeiB؂lediglicheineKoalgebra,XRundsei!":9M^B ΁!V*ekBԵnurdurch9dieDiagonaleaufBRGgegebGenist{dasistdieCW-Strukturauf!r:M^B x!9V*ek#u;{,ist׸auch`(M):v (N)K:MQ :vNb* ~!M :vN BX)ein׸KomoGdul9Homomorphismus.UUAlsokommutiertdasersteQuadratimDiagrammf u9102|X.TJANNAKADUALITY3AT>|`䍍MO 8NsMO 8BQ N BB8҄fdGά-FfQF@(M,) (N)aMO 8N BLMO 8BQ N BQ BMǞ32fd3Eά-@ƍI|@(M,) (N) 1mBaEMO 8N BQ B8҄fd3_,ά-CmO51  19MO 8N BQ B BMq32fdά-=͍01  1 1/}Xfe/毟?Ѝ @(M, N)5Xfeg?ЍtU@(M, BW= N B)3Xfe3?Ѝ"41 1 @(BW= B)͍9DasYzweiteQuadratkommutiertebGenso,YdadieKomodulstrukturaufMR 9B bzw.dN BnurddurchdieDiagonaleaufB gegebGenist,dalsoM N9ausdernatGourlichen(CW-)T*ransformationausgeklammertwerdendGourfen.Wir9schlie'senUUjetzt)*1M < 81N Α " " 1B $:MO N BQ B BG c!MO N B9anCdieseskommutativeCRechteckanunderhalten`(M+Y >N)=(1M 1N 9r)(1M o 1)(`(M) (N).tDamittwirddieKomoGdulstrukturaufMd MN9durchUUdieobGende nierteMultiplikqationr:BQ 8BG c!BƵinduziert. 9NunUUkommutierendiefolgendenDiagramme 57BQ 8BRBQ 8B B BUDfd7Eά->Yf C0BQ 8B B BO!Dfd"ά-NP1  1 @57BQ 8B @jBQ 8B BU>rfdgRά-L'@(BW= B)g;BQ 8B BKBQ 8B B B$e8҄fd#.@ά-36-1 1 ?BGBQ 8BJ32fdñDά-r @C <XfeCߟ rfdά-#S,rSBQ 8BKKso32fd7 ά-@%K" " @z3BQ 8B Bp?@(BW= B)oݯ DHyݯ DHݯ DHݯ DHݯ DH_lH_lj @1^j" " 1ooooo t t* @auAfeaߧ?G YIJ1ّ?1 1 "___{_q_oݯoݯ @هg"# D# D# D# D# D# Dkk gݠ u|X.TJANNAKADUALITY3ATa103>|6KK%kB@Dfddά-hI {KK8 B !KK8 BQ Bף8҄fd#čά-FfҬ@(LK) 1 BQ 8B'8҄fd#ά-ՐOs0E=5+B˜BQ 8B@K32fdά-~}sc@L 1\íKK8 B@(LK)UWX_WXiWXsWX}WXWXWXWXWXWXҷ Xҷ z@h@(LK)@K@JK@TK@^K@hK@rK@x@xR @UO.0E<߲=ϟ <ϟ <ϟ <ϟ <ϟ <*OhE'0EhS_=qg]SIGOGO9@L 1HHHHHпHпjÆ.1mBϟϟ9ife9G?1 @ٛXfeǟ? 71 ٛXfeǟ?O70Eo=)UAfe)Ç?o-vw9und_8}]KK}Kh>rfdQЍά--1 @ MKK8 Bp?@(LK)oݯ DHyݯ DHݯ DHݯ DHݯ DH_lH_lj @1e1 "ooooo t t* @.Hhޫ D@rޫ D@|ޫ D@ޫ D@ޫ D@ޫ D@c@cR @هg"kkkkkk# :# :jKB5Xfeg?O0E=9DamitUUsind.undrKoalgebrenHomomorphismen. ~9UmdieAssoziativitoatvonrzuzeigen,identi zierenwirentlangderAb- 9bildungen В:(M N) PT͍*+3*=M (N Pc)undvereinfachenweiterhindas9zuchbGetrachtendeDiagramm,clindemwirfestlegen,daAeinegeeigneteV*er-9tauschungUU(Permutation)vonT*ensorfaktorendarstellt.DannkommutiertCRd߿BQ 8B BOBQ 8B B B B B)韜ABfd^ά-N֍5@L(@(BW=) (B) (B)IBQ 8B BOABfdJލά-Kݍ=j" " " 1߿BQ 8B BOBQ 8B B B B BPtt):fd^ά-H:9Z@L(@(BW= B) (B)))9΄fd^ά-E֍9Z@L(@(BW=) (B B))S{BQ 8BO::fdT ά-DՍVL" " " 1߿BQ 8B BBQ 8B B B)32fds#ά-@ƍN/@(BW= B B)]B]32fdsoά-=͍=j" " " 1#fe9?K9c1#fe9?D9c1ݟ#fe!?ʌ{1 (r 1)#fe 7?ʌ1 (1 r)^]#fe_ ?%J qr 1dօ#fee ?%i '1 rq#fe ? 1 ra#feb #?gɍf rvw9DaUUdieobGereZeiledieIdentitoatist,giltdasAssoziativgesetz.h@ u9104|X.TJANNAKADUALITY3AT>|B9FGourZdenBeweisderEinseigenschaftvonmGoussenwirdieKohoarenzmor- 9phismenPundexplizitmitbGetrachten.yAusPSymmetrioegrGoundenzeigen9wir%nureinesHoaltedesEinsaxioms.XDiesesfolgtausderKommutativitoat9desUUfolgendenDiagrammsN8x  .B;BQ 8B8Dfd#čά-Q@(BW=)BQ 8B KK[bKDfd#ά-Þfpr1b_BQ 8BUDfdά-h_B8ϟDfd7ά-Nu" 1\.BQ 8KK\wBQ 8B KK B7>rfdU&ά-L6@(BW=) (LK)\\BQ 8KK B Bmџ>rfd(`ά-I "1  1\\XBQ 8B B2]>rfd#alά-7 1 1 @ @BQ 8BP>rfd#{ά-I " 1 1 .BQ 8KK qBQ 8KK B78҄fdү(ά-Ffzs}@(BW= LK) .Bb_BQ 8B832fdJHά-@ƍEX@(BW=)B8Ϟ32fd7ά-=͍u" 1 @ <Xfe9 q*eq*e1Et 1%H/H9HCHMHO gHO gj9ffПffffffffЎó; uUnmU%n eufm10T- cmcsc10Lqymsbm7K msbm10H msam107!", cmsy104O!cmsy720ncmsy5, b> cmmi10)0ercmmi7'O \cmmi5': cmti10p0J cmsl10N cmbx12"V cmbx10 XQ cmr12 K`y cmr10|{Ycmr8ٓRcmr7Zcmr5O line10u cmex10͵