; TeX output 2003.04.29:0957x='N cmbx12MathematischesInstitutGSS2003'derUniversitatM`unchencBlatt3'Prof.Dr.B.Pareigis<K.Nff cmbx12AlgebraffIs3I75\hXQ cmr129.D_FSyureineGruppSeg cmmi12Gde niertmandieaufsteigendeZenrtralreihePr!", cmsy10fegUR=Z|{Ycmr80(G)Z̽1(G)Z̽2(G)Z̽3(G):::D_rekursivdurcrhZ̽1(G)UR=Zܞ(G),dasZentrumvonG,unddieBedingungD_Z2cmmi8m+1@(G)=XZmĹ(G)UR=Zܞ(G=ZmĹ(G)).1AndererseitsistdieabsteigendeZen-D_tralreiheP!GUR=Zܞ 0(G)Zܞ 1(G)Zܞ 2(G)Zܞ 3(G):::D_de niert4durcrhZܞ2i+1(G)@=[Zܞ2iAx(G);G].4ZeigenSie,dafolgendeAussa-D_genꨞyaquivXalenrtsind:΍IU(a)^9qEsgibteinmmitZmĹ(G)UR=G.΍H(b)^9qEsgibteinmmitZܞ2mb(G)UR=feg.D_EineGruppSemitdieserEigenscrhaftnenntmannilpSotent.1_z(4)/|l10.D_Sei꨿peinePrimzahlundGeineendlicrhep-GruppSe.ZeigenSie:IU(a)^9qIstHxuGeineecrhteUntergruppSe,soistHauchechtinihrem^9qNormalisatorPNG(HV)UR:=fgË2Gj8h2HB:gn9hg K cmsy81 2URHg^9qenrthalten.΍H(b)^9qIstuH˹einemaximaleUnrtergruppSevonG,alsoeineechteUnter-^9qgruppSe,dieinkreineranderenechtenUntergruppSeenthaltenist,^9qsoistHeinNormalteiler.΍D_(Hinrweis:ƿVVerwendenSiefSyurdenerstenAufgabSenteilInduktionMyubSerdieD_GruppSenordnrung.MachenSiesichzunyachstklar,dafolgendeAussa-D_genpSerde nitionemricrhtigsind:EineUnrtergruppeistgenaudanneinD_Normalteiler,NwrennihrNormalisatordieganzeGruppSeist;inihremD_NormalisatoristsieimmereinNormalteiler.)q(6)*x=/|l11.D_Seio1peineungeradePrimzahlundGeinenicrhtabSelscheo1GruppederD_Ordnrung_p23,inderjedesvonEinsverschiedeneElementdieOrdnungpD_hat.ZeigenSie:IU(a)^9qDasZenrtrumvonGistzyklischvonderOrdnungp.H(b)^9qG꨹bSesitzteinenzu  msbm10ZprZpisomorphenNormalteiler.I (c)^9qGistisomorphzuderGruppSeZ22RApoRSZp],dieinAufgabe7b)be-^9qscrhriebSenwurde.D_(Hinrweis:BeachtenSiedieAufgabSen27und29vonBlatt7bzw.8derD_VVorlesungꨟ*" RXAlgebraI-l\Ҕ.)(6)/|l12.D_Bestimmen7Sie,wievieleElemenrtederOrdnung7esineinereinfachenD_GruppSederOrdnrung168gibt.6(4)'AbgabSe:~>Dienstag,6.5.2003,11.00Uhr,pxUbungskyastenim1.StocrkdesMa-'thematiscrhenInstituts.'BittegebSenSieaufIhrerLyosungIhrenNamenundIhrebpxUbungsgruppean. ;x  msbm10K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12|{Ycmr8Nff cmbx12N cmbx12XQ cmr12