; TeX output 2003.04.15:0007x='N cmbx12MathematischesInstitutGSS2003'derUniversitatM`unchencBlatt2'Prof.Dr.B.Pareigis<K.Nff cmbx12AlgebraffIs3I5\hXQ cmr125.D_Seig cmmi12GeineendlicrheGruppSeundU+eineUntergruppSevonG.Dannist'UR:G!", cmsy10!S׹(G=U@);gË7!(W9*h 7!: z  gn9h'l)D_einPGruppSenhomomorphismrusindieGruppeS׹(G=U@)derBijektionenD_vron꨿G=U@.ZeigenSie:IU(a)^9qkrerm(')URUHչ(b)^9qIstapderkleinstePrimrteilervonjGjund[GiF:U@]=p,asoistU7Eein^9qNormalteilervronG.>(4)5\h6.D_FSyureineabSelscrheGruppeGistG2K cmsy8V:=URHom(G;  msbm10Z)mitderpunktrweisenD_AdditionebSenfallseineabelscrheGruppe.IU(a)^9qZeigenSie:IstGendlicrherzeugt,soistG2 endlicherzeugtfrei,^9qd.h.G2PV԰.>=Z22cmmi8m lfSyureinmUR2N|{Ycmr80.H(b)^9qSeipUTdievron(0;1;2;3)pund(4;3;2;1)perzeugteUntergruppSevonZ24,^9qundLnseiG=Z24=U@.LnGebSenSieeinenIsomorphismruszwischenG2^9qundeinemgeeignetenZ2m lan.I (c)^9qEnrtscheidenSie,obGfreiist.D(6)5\h7.D_Sei꨿peineungeradePrimzahl.IU(a)^9qManzeige,dadieAbbildungǵZpAacmr62 GV!URZp2;LNꦿi B7!`z'd0 p(p+1)i^9qdieL5Ordnrungphat,undkonstruieresoeinenHomomorphismus^9q'̽1V:URZp!Aut=(Zp2).*x=Hչ(b)^9qManzeige,dadieMatrix!vqu cmex10dKn1+j1Kn0+j1 fq62URM@(22;Zp]) S^9qdieL5Ordnrungphat,undkonstruieresoeinenHomomorphismus^9q'̽2V:URZp!Aut=(Z22RAp]).I (c)^9qSeien[G̽1 |:=xZp2 oZp #undG̽2:=xZ22RApmGoZp #diemit'̽1 bzw.'̽2^9qgebildetensemidirektenProSdukte.Manzeige,dadasZenrtrum^9qvronͿG̽1 DѹundG̽2zykliscrhvonderOrdnungpistundgebSejeweils^9qeinerzeugendesElemenrtdessZentrumsan.H(d)^9qManenrtscheide,obdieGleichunggn92p n9=81fSyuralleElementeder^9qGruppSe꨿G̽1bzw.fyuralleElemenrtederGruppeG̽2gilt.&(6)5\h8.D_SeilReinRing.ZeigenSie,dafolgendeBedingungenyaquivXalenrtsind:IU(a)^9qJedeʶMengevronLinksidealenvonRenthyalteinmaximalesEle-^9qmenrt.H(b)^9qJedeaufsteigendeKetteI̽1VURI̽2I̽3:::vronLinksidealenwird^9qstationyar,d.h.esgibteinenIndexnmitderEigenscrhaft7In=URIn+1=In+2=:::I (c)^9qJedesLinksidealvronRwirdvonendlichvielenElementenerzeugt.D_IndiesemFVallwirdRlinksnoSetherscrhgenannt.f(4)'AbgabSe:Dienstag,21.4.2003,11.00Uhr,_OpxUbungskyastenim1.StocrkdesMa-'thematiscrhenInstituts.'BittegebSenSieaufIhrerLyosungIhrenNamenundIhrebpxUbungsgruppean.;x  msbm10u cmex10K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12Aacmr6|{Ycmr8Nff cmbx12N cmbx12XQ cmr12