��;� TeX output 2003.04.08:2340��x��=��'��N�cmbx12�Mathematisc��hes��Institut��GSS�2003��'der��Univ��ersit��at�M��`��unc�hen��c�Blatt�1��'Prof.��Dr.�B.�P��areigis��<K��.��N�ffcmbx12�Algebra�ffI�s3I��n��5\h�X�Qcmr12�1.��D_�Sei��g�cmmi12�G��eine�endlic��rhe�ab�S�elsc�he�Grupp�S�e�und��S�)�:=�bR�!",� cmsy10�f�z��5�2�� msbm10�C��j�j�z��j��=�1�g��der��D_�Einheitskreis,�q�b�S�etrac��rh�tet�als�m�ultiplik��X�ativ�gesc�hrieb�S�ene�Grupp�e.�Die�zu��D_�G�꨹duale�Grupp�S�e��x��(�^��{��G��:=��URHom��(�G;��S��׹)��x��D_�ist�:�mit�den�punkt��rw�eisen�:�Op�S�erationen�eine�ab�elsc��rhe�Grupp�e.�Zeigen�Sie,��D_�da�b��G��und��x��^��G�� ιisomorph�sind.�(Hin��rw�eis:�b�V��Verw�enden�Sie�den�Hauptsatz��D_�f��S��y�ur��endlic��rhe�ab�S�elsc�he�Grupp�S�en;�b�etrac��rh�ten��Sie�zun��y�ac��rhst�den�F��Vall�einer��D_�zyklisc��rhen��Grupp�S�e.)��(6)��{��5\h2.��D_�Sei�꨿G��eine�endlic��rhe�ab�S�elsc�he�Grupp�S�e�mit�der�dualen�Grupp�e��x��^��G�� /T�.��IU�(a)��^9qZeigen��Sie,�da�es�zu�jedem��g�Ë�2�UR�G��ein�� n�2��x��T�^��G��mit�� (�g�n9�)��6�=�1�gibt.��{��H��(b)��^9qZeigen��Sie,�da�die�Abbildung��yH��߿G�UR�!��ύ�T�^��31��x��T^��G;��g�Ë�7!��(� ��n�7!�� (�g�n9�))��pÍ�^9qein��Grupp�S�enisomorphism��rus�ist.��$�(4)��5\h3.��D_�Seien�ିm��und��n��zw��rei�nat��S��y�urlic�he�Zahlen.�Zeigen�Sie,�da�die�Grupp�S�en��Z��2cmmi8�mn��D_�und��Z��m��s��n��Z��n��{�genau�dann�isomorph�sind,�w��renn��m��und��n��teilerfremd�sind.��|(5)��{��5\h4.��D_�Seien�b�a��|{Ycmr8�0��;��a��̽1��;�a��̽2��;�a��̽3��;�a��̽4��?f�ungerade�bganze�Zahlen.�Zeigen�Sie,�da�das�P��roly-��D_�nom��a��̽0��j��+��a��̽1��x��+��a��̽2��x��2��j��+��a��̽3��x��3��j��+��a��̽4��x��4��D�z�y��D_�ub�S�er��Q��irreduzib�el�ist.��(5)��n��'Abgab�S�e:��Dienstag,�14.4.2003,�11.00�Uhr,��_O��px��Ubungsk��y�asten�im�1.�Sto�c��rk�des�Ma-��'thematisc��rhen��Instituts.��'Bitte��geb�S�en�Sie�auf�Ihrer�L��y�osung�Ihren�Namen�und�Ihre��b��px��Ubungsgrupp�e�an.��*��;�x�� msbm10�!",� cmsy10��2cmmi8��g�cmmi12�|{Ycmr8��N�ffcmbx12��N�cmbx12�X�Qcmr12� ��