; TeX output 2008.03.03:1836Y[nǥqsrc:151ALGEBRA2.TEXDtqGcmr17ALGEBRABII'Wdsrc:152ALGEBRA2.TEXXQ ff cmr12Prof./Dr.B.PareigisqTsrc:153ALGEBRA2.TEXXQ cmr12SommerSemester2003s鍒-x- cmcsc10Inhal32t&|src:1ALGEBRA2.toc<1. DerHauptsatzderGaloistheorie*2&|src:2ALGEBRA2.toc<2. NullstellenvronPolynomen%\`3&|src:3ALGEBRA2.toc<3. KonstruktionenmitZirkrelundLineal84&|src:4ALGEBRA2.toc<4. ElemenrtareGruppSentheorie Ţ4&|src:5ALGEBRA2.toc<5. DieSylorwschenSyatze@rZ4&|src:6ALGEBRA2.toc<6. ElemenrtareTheoriederkommutativenRingey5&|src:7ALGEBRA2.toc<7. ElemenrtareTheoriederKyorpSerundPolynomeV6&|src:8ALGEBRA2.toc<8. NormaleundseparableKyorpSererwreiterungen)7&|src:9ALGEBRA2.toc<9. EndlicrheKyorpSerZ8&|src:10ALGEBRA2.toc<10. SymmetriscrheFVunktionenundallgemeinePolynome58&|src:11ALGEBRA2.toc<11. DieGaloisgruppSevronPolynomenniedrigenGrades612&|src:12ALGEBRA2.toc<12. KreisteilungskyorpSer?=16&|src:13ALGEBRA2.toc<13. ZykliscrheErweiterungenundKummererweiterungenQ19&|src:14ALGEBRA2.toc<14. RadikXalerwreiterungen422&|src:15ALGEBRA2.toc<15. Konstruktionregelmyaigerg cmmi12n-Ecrke.26&|src:16ALGEBRA2.toc<16. ZahlenzurBasispC 27&|src:17ALGEBRA2.toc<17. Bewrertungen`l30&|src:18ALGEBRA2.toc<18. Caucrhy-FVolgenWr33&|src:19ALGEBRA2.toc<19. Diep-adiscrhenZahlen2@35*Y[썍-o cmr92nAlgebraTIAI{P9areigisn썒src:169ALGEBRA2.TEXWiederholung/ausAlgebraI!Xz1.DerHauptsa32tzderGaloistheorie,N cmbx12Hauptsatz5&1.15%(SyubSerg"endlicrherzeugte,gabelscrheGruppen).Jsrc:178ALGEBRA2.TEX+@ cmti12SeiGeineendlicherzeugteabffelsche35Gruppe.+j(1)%src:180ALGEBRA2.TEXEsgibteindeutigbffestimmtenat'yurlicheZahlens,*t,m|{Ycmr81;:::ʜ;m2cmmi8sr[(Elemenrtarteiler)mit%mi,>UR1,35mid=mi+1tf'yurallei=1;:::ʜ;s!", cmsy101,35sodaVՍ|iGPUR԰n:=( msbm10Z=m1Z:::Z=msnlyatkreineweitereZerlegungnach(1)zu,IabSerdieZerlegung6=2ɱɲ3nacrh(2).AlsoistZ=6ZPUR԰n:=Z=2ZZ=3Z.src:202ALGEBRA2.TEX(2)`Esgibt`6nicrhtisomorphe`endlicheabSelsche`Gruppen`derOrdnrung1500.a=L2gibt.ՠY[썍mNullstellenTv9onPolynomeno3nHauptsatz1.21(derjGaloistheorie).-src:270ALGEBRA2.TEXSeiшFV:TK%einegaloisscheKyorpffererweiterungчmitGaloisgruppffe35GURAut=(F=Kܞ).Sei0B!ZI^:=URfLjK1LFZwischenkyorpfferTgsrc:274ALGEBRA2.TEXundIUc:=URfU@jU6G35UnterffgruppeBug:ԍsrc:277ALGEBRA2.TEXDann35gelten(1)%src:279ALGEBRA2.TEXZ,?382L837!Aut(F=L)2Ui und7UiC3Uy7!FixZJ(Fƹ;U@)2Z,sind7zueinander7inverse%A2bbildungen.(2)%src:282ALGEBRA2.TEXU1#[ U2 vB()?FixV(Fƹ;U1)[Fix}6(F;U2)6WoffderyaquivalentL1#[ L2 vB()?Aut(F=L1)[%〹Aut9E(F=L2).(3)%src:285ALGEBRA2.TEXU1 ?konjugiertzuU2 ?inGŎ()Fix(Fƹ;U1)konjugiertzuFix(Fƹ;U2)(mitdemselbffen%gË2URG).(4)%src:287ALGEBRA2.TEXU6URGnormaleUnterffgruppeC()L=Fixwi(Fƹ;U@)galoisschҞyubfferKܞ.IndiesemFalle%ist35Aut(L=Kܞ)PUR԰n:=Aut#(F=K)=Aut(F=L)UR=G=U@.(5)%src:290ALGEBRA2.TEXF'yuralleLQ2ZistFTgaloisschyubfferLmitGaloisgruppffeAutS(F=L),undesgilt%jAut(F=L)jUR=[F:L].+ܹ2.`NullstellenvonPol32ynomenDe nitione2.3.5src:304ALGEBRA2.TEXSeiRF:2K/1eineRKyorpSererwreiterung.S2u32FYheitalgebrffaischyuberKܞ,Rwrennes-einfQ2URKܞ[x]nf0ggibtmitfG(u)=0.Istu2F-nicrht-algebraisch,Fsoheitutrffanszendent.*De nition2.7(vgl.6.10).src:312ALGEBRA2.TEXSeipUR2Kܞ[x].pheitirrffeduzibel,wrenn(1)%src:314ALGEBRA2.TEXpUR6=0undpkreineEinheitinKܞ[x].(2)%src:315ALGEBRA2.TEXWVennpUR=qrS,dannistqXoderr>6eineEinheitinKܞ[x].*Satz2.9(vgl.6.3).src:322ALGEBRA2.TEXSei^\I9Rwein^[IdeffalineinemkommutativenR2ingRJ.^IOistgenaudannein35maximalesIdeffal,wennRJ=I$einKyorperist.Satz2.10.src:329ALGEBRA2.TEXSei35F:URKeineKyorpffererweiterung,35undseiu2Falgebrffaisch;\yuberKܞ.Dannist(1)%src:332ALGEBRA2.TEXKܞ[u]UR=K(u)35(dieseBeffdingungistyaquivalentzurBedingungualgebraisch;\yuberKܞ).(2)%src:334ALGEBRA2.TEXKܞ[u]P԰߹=EK[x]=(p(x)),twobffeip(x)einirreduziblesPolynomausKܞ[x]mithyochstem%Koffezienten11vomGrad0.1(normiert)ist,daseindeutigdurffchdieBedingung%p(u)UR=035bffestimmtwirdundMinimalpSolynomvonugenanntwird.Weitergilt:0mfG(u)UR=0()9rS(x)UR2Kܞ[x]:f(x)=rS(x)p(x):(3)%src:341ALGEBRA2.TEXnUR:=[Kܞ(u):K]=GradR(p(x)).(4)%src:342ALGEBRA2.TEXf1;u;u22;:::ʜ;u2n1g35isteineKܞ-Vektorrffaum-BasisvonK(u).(5)%src:344ALGEBRA2.TEXJeffdes-@ElementvonKܞ(u)-AhateineeindeutigeDarstellungderForm 0]p+k 1ul+:::w+% n1u2n1mit35 i,2URKܞ.*Satz 2.12(SyubSerdieExistenzvronNullstellenvonPolynomen).W^src:353ALGEBRA2.TEXSeihKEweinhKyorpfferundfG(x)UR2Kܞ[x]YneinYoPolynomvomGrffadnUR1.ZDanngibtYneseineeinfacheKyorpffererweiterungF=URKܞ(u)von35Kܞ,sodagelten(1)%src:357ALGEBRA2.TEXu35istNullstelle35vonfG(x),d.h.f(u)UR=0.(2)%src:358ALGEBRA2.TEX[Kܞ(u)UR:K]n,35wobffeiGleichheitgenaudanngilt,wennfG(x)irreduzibelist.(3)%src:360ALGEBRA2.TEXWenngfG(x)girrffeduzibelinKܞ[x]ist,hFdanngistK(u)bisaufgK-Isomorphieeindeutig%bffestimmt.'Y[썍4nAlgebraTIAI{P9areigisnDe nitiong2.13.Esrc:367ALGEBRA2.TEXSeisfG(x)>2Kܞ[x]irreduzibSel.tyDannistK(u)>:=Kܞ[x]=(fG(x))derKyorpSer,denmandurcrhAffdjunktion35einerNullstelle꨹desPolynomsf2anKFerhyalt.src:371ALGEBRA2.TEXBeacrhte:UnterdieserSichtsindalleNullstelleneinesirreduziblenPolynomsgleichwertig.Folgerung# 2.14.3!src:377ALGEBRA2.TEXSei>fG(x)2Kܞ[x]vomGrffadn1.DanngibteseineendlicheKyorpfferer-weiterung35F:URKܞ,sodafG(x)inFƹ[x]vollstyandiginLineffarfaktoren35zerfyallt.ʍls3.{w KfonstruktionenmitZirkelundLinealHauptsatz,3.6.Lzsrc:390ALGEBRA2.TEXEinPunkt޹(p;qn9)T=2R22 |istyubfferK{f'yureinenZwischenkyorperQT=K0Rgenau35dannkonstruierbffar,wenneseineendlicheFolgevonKyorpernKimiteGK1=URK0VK1:::uDKnRsrc:396ALGEBRA2.TEXgibt35mitp;qË2URKnP,wobffeiKi,=Ki1AV(Ap Az ۟Kaiݹ),ai,2Ki1AV,ai,>0f'yuri=1;:::ʜ;n.@4.Element32areGruppentheorieSatz4.11.src:409ALGEBRA2.TEXSei35U6URGeineUnterffgruppe.35Dannsindyaquivalent:s2(1)%src:412ALGEBRA2.TEXUtist35NormalteilerinG.(2)%src:413ALGEBRA2.TEXG=U6=URU@nG35(fgn9UjgË2Gg=fUgn9jgË2Gg).(3)%src:415ALGEBRA2.TEXUR:G=UG=U6!QG=Utmit35(aU;bU@):=abUist35einewohlde nierteA2bbildung.src:418ALGEBRA2.TEXWenn"(3)"gilt,""istG=UcmitdieserMultiplikationeineGruppffe(Restklassen-,"!Nebenklassen-,Faktor-,35Quotienten-Gruppffe).Satz^4.13^(Lagrange).src:425ALGEBRA2.TEXSeipGeineendlicheGruppffeundU6URGoeineUntergruppe.DannistejGjUR=jU@jjGUR:Uj:Folgerung4.24(Satz"vron#Euler).src:432ALGEBRA2.TEXSei4GeineendlicheGruppffeundg2WG.4SeinW׹=jGjdieOrffdnung35vonG.Dannistgn92n k۹=URe.De nition E4.27.src:438ALGEBRA2.TEXEine0GruppSeGheiteinfach,JwrennSiekeinennichttrivialenNormalteilerbSesitzt.Beispiel4.28.#src:443ALGEBRA2.TEXDie1!einfacrhen1"abSelschenGruppSen1!sinddieGruppen1!Z=pZmitpprimbzw.GUR=feg.Satz4.29.src:448ALGEBRA2.TEXDie35alternierffendenGruppenAn ۅsindgenaudanneinfach,wennnUR6=435ist.ʍTS5.WDieSylowschenS]atzeSatzk5.8l(SylorwuI).Gsrc:460ALGEBRA2.TEXSeiNjGeineNJGruppffederOrdnungnUR=p2rMhmNJmitNj(m;p)=1./DannbffesitztG35eineUnterffgruppe35derOrffdnungp2rb.Folgerung5.9(Caucrhy).src:466ALGEBRA2.TEXWenn35p=jGj,danngibtesinGeinElementgnderOrffdnungp.De nition:5.10.'*src:471ALGEBRA2.TEXWVennϑjGjUR=p2rhommit(m;p)=1undϒr1,dannheiendieUnrtergruppSenHBURG꨹mitjHVj=p2r} p-Sylorw-UntergruppSenvonG.src:475ALGEBRA2.TEXEineGruppSederOrdnrungp2idڹ,iUR1heiteinep-Gruppe.Satz5.12.src:481ALGEBRA2.TEXJeffde35p-GruppeGUR6=fegbffesitzteinZentrumZܞ(G)6=feg.Satz5.13.src:486ALGEBRA2.TEXSei35Geinep-GruppffederOrdnungp2rb.DanngibteseineKettee.4GUR=H0VH1:::uDHr紹=fegsrc:490ALGEBRA2.TEXvon35NormalteilernHivonGmitjHi1:URHidj=p,35i=1;:::ʜ;rS.1ŠY[썍}nElemen9tareTTheoriederkommutativenRingep5nSatz$5.14$(Sylorw?ISI).]src:495ALGEBRA2.TEXSei>K1URG=eineUnterffgruppe,derenOrdnung>durchp=teilbarist=undseiH~GSLeineSKp-Sylow-Unterffgruppe.S}DanngibtSKeseinekonjugierteUnterffgruppeHV20LM=gn9HVg21 ʵ,so35daKF\HV20einep-Sylow-Unterffgruppe35vonKist.FSatz5.16(SylorwLISII).src:504ALGEBRA2.TEXSeixjGj!=p2r.)mmit(m;p)=1.zSeisdieA2nzahlxderp-Sylow-Unterffgruppen35vonG.Danngiltaލks=m und,sUR1 moSd&6(p):-V6.eElement32areTheoriederkommutativenRingeDe nition6.1.src:516ALGEBRA2.TEXEinnrullteilerfreierkommutativerRingRheitInteffgrityatsring.De nition 6.2.5src:521ALGEBRA2.TEXEinTIdeal.%n eufm10pinSeinemkrommutativenTRingRmIheitPrimideffal,Twrennp6=RundwrennfSyuralleIdealeI;JqURRgiltaލI+JqURp꨹=)IFp꨹oSderZJp:src:527ALGEBRA2.TEXBeacrhte:WVennIFչ=UR(m)undJqĹ=(n)HauptidealeinRsind,soist!UIFURJ()n=m:Lemma6.3.src:532ALGEBRA2.TEXSei35RLeinkommutativerR2ing.Danngelten(1)%src:534ALGEBRA2.TEXpURRLPrimideffal@O()RJ=p35Inteffgrityatsring.(2)%src:536ALGEBRA2.TEXmURRLmaximales35Ideffala()RJ=m35Kyorpffer.Satz6.5.bsrc:543ALGEBRA2.TEXJeffderv@R2ingvARn6=UR0(mitEinselement)besitzt~gyuberjedemvAIdealIF$URReinmaximalesIdeffal.De nition6.7.src:549ALGEBRA2.TEXEinFInrtegrityatsringR`heitHauptideffalring,FwennjedesIdealeinHauptidealist.De nition\6.8."src:554ALGEBRA2.TEXEin.Inrtegrityatsring.RH%heiteuklidischerqR2ing,.wenn.eseine.Abbildung'h:Rnf0gURn!1N0gibtmit(1)%src:558ALGEBRA2.TEX8a;bUR2Rnf0g:'(ab)'(a).(2)%src:560ALGEBRA2.TEX8b2RJ;a2R}n3f0g9qn9;r<2R:b=qn9a3+r>6und&(r<=0oSderZ'(rS)<'(a)).(Divisions-%algorithmrus)Satz6.9.src:567ALGEBRA2.TEXJeffder35euklidischeR2ingisteinHauptidealring.De nition6.10.(1)Gsrc:572ALGEBRA2.TEXEinElemenrtpUR2RheitPrimelementoSderprim,wenn)((a)=Ѭsrc:575ALGEBRA2.TEXpUR6=0undpistkreineEinheit;)' (b)=Ѭsrc:576ALGEBRA2.TEXp=ab꨹=)p=a꨹oSderZp=b.(2)%src:578ALGEBRA2.TEXEinElemenrtpUR2Rheitirrffeduzibel,wrenn)((a)=Ѭsrc:580ALGEBRA2.TEXpUR6=0undpistkreineEinheit;)' (b)=Ѭsrc:581ALGEBRA2.TEXpUR=ab꨹=)a꨹EinheitoSderGb꨹Einheit)I#.src:587ALGEBRA2.TEXBeacrhte:WpPrimelementZ=)$zA(p)Primideal.AbSereinPrimidealdarf0sein,wyahrendeinPrimelemenrtimmerpUR6=0erfSyullt.Satz6.12.src:593ALGEBRA2.TEXSei35RLeinInteffgrityatsring.(1)%src:595ALGEBRA2.TEXpURRLPrimideffal@O()%RJ=p35InteffgrityatsringWW()%8a;bUR2Rn:ab2p35=)a2p35orYb2p.CڠY[썍6nAlgebraTIAI{P9areigisn썍(2)%src:599ALGEBRA2.TEXpUR2RLprim()(p)35PrimideffalundpUR6=0.(3)%src:600ALGEBRA2.TEXaUR2RLirrffeduzibel()(a)35maximalinderMengedereffchtenHauptideale.(4)%src:602ALGEBRA2.TEXJeffdes35Primelementistirreduzibel:pprimfj=)+pirreduzibel.(5)%src:604ALGEBRA2.TEXRLHauptideffalringfj=)+(p35prim()pirreduzibel).GFolgerung6.13.src:610ALGEBRA2.TEXSei35KeinKyorpffer.F'yurpUR2Kܞ[x]35sindyaquivalent:P(1)%src:612ALGEBRA2.TEXp35istirrffeduzibel.(2)%src:613ALGEBRA2.TEXp35istprim.(3)%src:614ALGEBRA2.TEX(p)35isteinmaximalesIdeffal.(4)%src:615ALGEBRA2.TEX(p)35isteinPrimideffal6=UR0.Satz'6.16'(Chinesiscrher|Restsatz).Jsrc:621ALGEBRA2.TEXSeienA1;:::ʜ;An YN Jj{NRIdeffale.RDanngibteseinenR2inghomomorphismus35(bffeachtehier:IdealesindR2ingeohne1-Element)*x'UR:JuV=(A1j\:::\AnP)!J=XA1j:::J=AnP:*src:626ALGEBRA2.TEXWenn Jr22"+F{Ai,=URJ"f'yurallei!undAiU+FzAj\=J"f'yur!allei6=j,,dannist'!einIsomorphismus.De nition6.18.src:633ALGEBRA2.TEXEinInrtegrityatsringRheitZ.P.E.35R2ingoSderfaktoriellerR2ing,wrennP(1)%src:636ALGEBRA2.TEX8r2URRnf0g꨹kreineEinheit9p1;:::ʜ;pn2RirreduzibSel:nr=URp1j:::pnP:(2)%src:639ALGEBRA2.TEXSindpid;qikirreduzibSelmitp1/:::*w/psÎ=URq1/:::*w/qtʹ,soistsUR=t,undesgibteinË2URSt,%sodapiOassoziiertzuqI{(i)istfSyuralleiUR=1;:::ʜ;t.Satz6.20.src:648ALGEBRA2.TEXJeffder35HauptidealringisteinfaktoriellerR2ing.k/Pe7.`Element32areTheoriederK'orperundPolynomeSatz7.3.jZsrc:659ALGEBRA2.TEXSeiK\>einKyorpffermit(Kܞ)UR=p>0.DannenthyaltK\>einenkleinstenUnterkyorpfferK0,35undesistK0PV԰.>=Z=pZ. De nition7.5. src:666ALGEBRA2.TEXKܞ(x) q=Q(K[x]):=fw33f33zꍐQg]jf;g{2 pK[x];g{6= q0g;heit:Kyorpffer derrationalenFunktionen;\y35ubfferKܞ.Satzr7.6.ksrc:672ALGEBRA2.TEXSeikKeinKyorpffermitj(Kܞ)=0.DannenthyaltkK einenkleinstenUnterkyorpfferK0,35undesistK0PV԰.>=Q.FDe nition7.7.src:678ALGEBRA2.TEXDiekleinstenmyoglicrhenUnterkyorpSerZ=pZundQheienPrimkyorpffer.Satzi7.9.src:684ALGEBRA2.TEXSei}F[:KZeine}Kyorpffererweiterung,~DF[=Kܞ(U@)}f'yur}UF.Seijeffdes}u2Ualgebrffaisch.35DannistF:URKalgebraisch.IstUtzudemendlich,soist[F:URKܞ]<1.Satzv7.11.Usrc:692ALGEBRA2.TEXSei+5F:URKein+4KyorpffererweiterungundLUR=fa2Fja35algebrffaisch;\yuberYfKܞg.+ADannist35LdergryotealgebrffaischeZwischenkyorperzwischenKudF.Satz7.12.src:698ALGEBRA2.TEXSei35F:URKeinKyorpffererweiterung35undu2FLnnf0g.DannsindyaquivalentP(1)%src:701ALGEBRA2.TEXuUR:Ktrffanszendent,(2)%src:702ALGEBRA2.TEXKܞ[u]UR$K(u),(3)%src:703ALGEBRA2.TEXKܞ(u)PUR԰n:=K(x)35=Funktionenkyorpffer;\yuberKܞ,(4)%src:704ALGEBRA2.TEXu21&=2!Kܞ[u],(5)%src:705ALGEBRA2.TEX[Kܞ(u)UR:K]=1.TY[썍4]NormaleTundseparableKg3orpAererw9eiterungen_7nSatz-7.13.0src:710ALGEBRA2.TEXSeiW:MK* !LeinWKyorpfferisomorphismus,XueinElementeinesErweite-rungskyorpffersvonKͺundv_UeinElementeinesErweiterungskyorpersvonL.Esgelteeineder35bffeidenfolgendenBedingungen:s2(1)%src:715ALGEBRA2.TEXuDistCNullstelleeinesirrffeduziblenCPolynomsfQ2URKܞ[x]undva}istNullstelleCvonn9(fG)UR2%L[x].(2)%src:717ALGEBRA2.TEXuUR:Kund35vË:Lsindtrffanszendent.src:719ALGEBRA2.TEXDannwvgibtwueseinenKyorpfferisomorphismus:Kܞ(u)P԰Ʈ=L(vn9)wvmitW(u)=vund(j2LbK 鈹:Kfk!L)UR=n9.+De nition47.15.src:725ALGEBRA2.TEXEineKyorpSererwreiterungFݹ:wKPheitZerfyallungskyorpfferderProlynomeffidjiUR2Ig,TbwrennT% msam10De nitiong*10.2.fsrc:930ALGEBRA2.TEXDerFixkyorpSerLinKܞ(x1;x2;:::ʜ;xnP)unrterderOpSerationvronSn \*heitKyorpfferPdersymmetrischenOrationalenFunktioneninnVVariablenyubSerKܞ.DieProlynomefQ2URKܞ[x1;:::ʜ;xnP]\L꨹heiensymmetrische35Polynome. {Y[썍9Symmetrisc9heTF:unktionenundallgemeinePolynome|9nFolgerung10.3.t|src:938ALGEBRA2.TEXDerKyorpfferderrationalenFunktioneninnVariablenKܞ(x1;x2;:::ʜ;xnP)ist4galoissch=y4ubfferdemKyorper4dersymmetrischenrationalen4FunktioneninnVariablenmitder35GaloisgruppffeSnP.DerKyorpergradist[Kܞ(x1;x2;:::ʜ;xnP)UR:L]=n!35.|Beweis.+܌src:946ALGEBRA2.TEXDe nitionderGaloiserwreiterungundn!UR=jSnPj.{Satzȣ10.4.src:950ALGEBRA2.TEXSeiGeineendlicheGruppffe.dDanngibteseinegaloisscheKyorpererweiterungmitGaloisgruppffe35isomorphzuG.|Beweis.+܌src:955ALGEBRA2.TEXSeinUR:=jGj.NacrhFVolgerung10.3istKܞ(x1;x2;:::ʜ;xnP)galoisscrhyubSerLmitGalois-gruppSeSnP.NacrhdemSatzvonCayleyistGisomorphzueinerUnrtergruppSeG20vonSnP.SeiL20derMFixkyorpSerunrterG20inKܞ(x1;x2;:::ʜ;xnP).UDannNistMKܞ(x1;x2;:::ʜ;xnP)MgaloisscrhC۞yubSerL20mitGaloisgruppSeG209._|Bemerkung10.5.n#src:965ALGEBRA2.TEXEsUisteinVo enesProblem,ŒobjedeendlicrheGruppSealsGaloisgruppSeeinerKyorpSererwreiterungK5=Qauftritt.Beispiele10.6.src:970ALGEBRA2.TEXBeispielefSyursymmetriscrheFVunktionen:\(1)%src:972ALGEBRA2.TEXProtenzsummenSkx=URx2kRA1:+:::+x2kRAnP.z(2)%src:973ALGEBRA2.TEXWVronskiscrhePolynomePkx=URPiq1*+:::\+in7=kA xniq1/č1xniq2/č2 :::Zx2inRAn.(3)%src:975ALGEBRA2.TEXDiskriminanrteD=URQ1iDagk Oinormiert+ist+undgk#(xk)x=0ist,,)kXann+x2kyk OiausgedrSyucrktwerden+alsProlynomeyubSerKuinC1;:::ʜ;CnP;xk6+1;:::;xn undxk#;x22yk;:::ʜ;xk61Ok.@src:1149ALGEBRA2.TEXSeihj2Kܞ[x1;:::ʜ;xnP].WirsetzendiezuvrorbSestimmtenPolynomefSyurx2kyk 6inheinfSyurk=B1;:::ʜ;n (bSeik=B1 bSeginnend)underhalteneineDarstellungvronhalsProlynominC1;:::ʜ;CnP;x1;:::ʜ;xnP,QbSeidemdieExponenrtenik tderxkdieGleicrhungik ]<: kfSyurk==1;:::ʜ;n^erfSyullen.$Damit]istheineLinearkrombinationen^dern!Elemenrtexniq1/č1xniq2/č2 :::Zx2inRAn omit0iksrc:1230ALGEBRA2.TEX%:%Kܞ[x1;:::ʜ;xnP]O!5K[C1;:::ʜ;CnP]mit(xidڹ)%=CiisteinIsomorphis-mus.35InsbffesonderesinddieCitranszendent;\yuberKܞ(C1;:::ʜ;Ci1AV).De nition10.15.src:1236ALGEBRA2.TEXSeiAlsoinduziertNeinePermutationvonfu1;:::ʜ;unPg,undwir1|bSekrommen1{G)!SnP.3qEsistF#e=Kܞ(u1;:::ʜ;unP).3qDahergibtesfSyur6=einuiVmitn9(uidڹ)S6=W(ui).3DamitistGSl!Sn TйinjektivundwirkyonnenGalsUnrtergruppSevonSnbSetracrhten.yDamitYist[Kܞ(u1)x:K]=Grad(fG)=xnYeinTVeilervronX[FQ:xK]=jGj.yFSyurYuid6=ujgiltFKܞ(uiPV԰o=K(ujf )(yubSerK.G'EsgibtFeineFVortsetzungzu` :F$!F`mitn9(uidڹ)=ujf .G'DaheristGtransitiv." Y[썍MEDieTGaloisgruppAev9onPolynomenniedrigenGradesz I13nSatzr11.4.Psrc:1315ALGEBRA2.TEXSei9*fY2`ZKܞ[x]einirrffeduzibles,9,separables9*PolynomvomGrffad2.94DannistS2.dieGaloisgruppffe35vonfG.\vBeweis.+܌src:1319ALGEBRA2.TEXklar.c\wSatz11.5.src:1323ALGEBRA2.TEXSeien35Kܞ,F,f{4undwieinDe nition10.15.Danngeltens2(1)%src:1326ALGEBRA2.TEXD2URKܞ,(2)%src:1327ALGEBRA2.TEXË2URGSn ۅist35genaudanngerffade(ungerade),wennn9()UR=35(()=).wBeweis.+܌src:1334ALGEBRA2.TEXEs9vist9wsgnC(n9)u=ˍ#a6cmex8QC(u8:i,ru8:j)Xz= ꍍQ$(I{(u8:i,r)(u8:j))H-](yahnlicrhwiesgnC()u=G QD(ijv)ĉz3ꍍQ$(I{(i)(jv))9¹).9Darausfolgt9w=sgn (n9)()unddamit(2).WVeiterfolgtn9(22)UR=sgn^()2222V=22,also22V2URKܞ.1nFolgerung11.6.src:1343ALGEBRA2.TEXAut(F=Kܞ())UR=G\AnP.35InsbffesonderegilteaUGURAn R()2K5:\vBeweis.+܌src:1348ALGEBRA2.TEXި2poAutX4(F=Kܞ())dannundnrurdann,wennn9()po=dannundnrurdann,wennË2URAnP.FolgerungH11.7.Ysrc:1354ALGEBRA2.TEXSeibf$2%Kܞ[x]einirrffeduzibles,bseparablesbPolynomvomGrffad3.bDannistdie35Galoisgruppffevonf{4entwederS39oderA3.src:1358ALGEBRA2.TEXWenndieCharffakteristik(Kܞ)Aj6=2,dannistdieGaloisgruppffeA3 rgenaudann,wennDAinKein35Quadrffatist.\vSatz 11.8.src:1363ALGEBRA2.TEX(RffeduzierungvonPolynomen3-tenGrffades)Sei(Kܞ)UR6=2;3.sSeifQ=x230++bx22+cx+dUR2Kܞ[x]35irrffeduzibelundseparabel.DannistYKgn9(x)UR:=fG(xōNdb۟[z ΍3 )=x 3j+px+qvsrc:1367ALGEBRA2.TEXirrffeduzibel35undsepffarabel35undeDS(fG)UR=D(gn9)=4p 3j27q 2Psrc:1369ALGEBRA2.TEXmit35pUR=Fu33b-:233z̓ꍑ3 ޑ+c,qË=Fu2b-:3z ꍑ27sFubc۟zQUꍑ3 +d.Beweis.+܌src:1374ALGEBRA2.TEXSeiF߹derZerfyallungskyorpServronfG.uisteineNullstellevronf4genaudann,[wennu+Fu,ob۟z@3 ;eineNullstellevrongXist.AlsoistDS(fG)UR=D(gn9).Esist*䠍l㍍Pygn9(x)p=UR(xFu,ob۟z@3 Q)23j+b(xFu,ob۟z@3)22j+c(xFu,ob۟z@3)+ddp=URx23jbx22+Fub-:2۟z̓ꍑ3 ޑxFu7b-:3۟z27;+bx222Fu33b-:233z̓ꍑ3 3x+Fub-:3۟z̓ꍑ99+cxFubc۟zQUꍑ3 +dp=URx23j+(Fu33b-:233z̓ꍑ3 ޑ+c)x+(Fu332b-:333z ꍑ27Fubc۟zQUꍑ3 +d)p=URx23j+px+qn9:*Csrc:1386ALGEBRA2.TEXSeienτv1,ϊv2,ϋv3Nullstellenvronσg=inFƹ.ϭDannist(xs8s7v1)(xv2)(xv3)UR=x233;+pxs7+qn9,ϋalsov1+~v2+v3= 0,W6v1v2+v1v3+}v2v3= pWundWv1v2v3= qn9.WAusWderWNullstellen-Eigenscrhaftfolgtv2n93RAi=URpviqn9,alsodurcrhmSyuhevollesNachrechnenDS(gn9)UR=22V=4p23j27q22.=.Y\vBeispiele11.9.(1)JAsrc:1396ALGEBRA2.TEXx231.3x-+1UR2Q[x]istirreduzibSel,wreileskreineNullstelleinQgibt.%D=UR+427271=81=922inQ.AlsoistGalFX(x23j3x+1)=A3.(2)%src:1400ALGEBRA2.TEXx23+Y3x22Yx1 2 Q[x]istirreduzibSel,wreileskreineNullstelleinQgibt.Xgn9(x) =%fG(xfFuڙ3ڙz@3 Mй)UR=(xg1)23gj+3(x1)22gj(x1)1UR=x23gj4x+g2istebSenfallsirreduzibel#Z%(aucrh#Eisenstein#myoglich).$9D G=4ѝў64274=148#ist#kreinQuadratinQ.$9Alsoist%Gal8?0(x23j3x+1)UR=S3.src:1409ALGEBRA2.TEXWirstudierennrunPolynomevomGrad4.ZY[썍14nAlgebraTIAI{P9areigisn4 4Ubungf|11.10.src:1412ALGEBRA2.TEXDiehLMengeV{Z=f(1);(12)(34);(13)(24);(14)(23)gS4 (PisthKeinehLnormaleUnrtergruppSe,OdieEisomorphDzurKleinschenVierergruppSeEZ2TZ2Hist.IstGURS4IeineDUnter-gruppSe,soistVG\GeinenormaleUnrtergruppevronG.>De nition`11.11.src:1420ALGEBRA2.TEXSeiimfolgendenK}einKyorpSer,,fl2YmKܞ[x]einProlynom4-tenGradesmit paarwreise verschiedenenNullstellen u1;u2;u3;u4Iim ZerfyallungskyorpSer Lvronf undGUR=Aut(L=Kܞ).DannistGURS4.Seienimfolgenden!эʍ4 h:=URu1u2j+u3u4;b :=URu1u3j+u2u4;9 n:=URu1u4j+u2u3:!ҍsrc:1429ALGEBRA2.TEXDasProlynom(x )(x O)(x )wirdkubische35Rffesoventeݹgenannt.src:1432ALGEBRA2.TEXEsliegt,wiewirinLemma11.13sehenwrerden,inKܞ[x].=LemmaH11.12.Y(src:1437ALGEBRA2.TEXSeienӲKܞ,fG,L,uid,Vp, , O, zundӱG~=~AutfG(L=K)wiezuvor.ԨUnterderGalois-Korrffespondenz@des@HauptsatzesderGalois-ThefforieentsprichtderKyorpfferKܞ( ; O; )derwUnterffgruppeVy\LG.wInsbesondereistKܞ( ; O; )galoisschyubfferwKT2mitderGaloisgruppeAut(Kܞ( ; O; )=K)PUR԰n:=G=(VG\G).Beweis.+܌src:1447ALGEBRA2.TEXJedesElemenrtvonVt\LGlyat , O, *ǹfest.HAlsowirdKܞ( ; O; )durcrhdieElementevronV}\&Gfestgelassen.Esbleibtzuzeigen,dajedesElementauerhalbvonV$pmindestenseines@der@ ; O; ̹nicrhtfest@lyat.A5WirzeigendasandemBeispielU=(12).A4WVennn9( O)= ,dannπistu2u334+s/u1u4V=URu1u3+s0u2u4,φalsoπistu2(u333u4)UR=u1(u333u4).ϩDasπkXannnicrhtsein,dahu1V6=URu2(undhu36=u4.icAlsohistn9( O)6= .icDiehanderenFyallehwrerdenyahnlichbSehandelt. Lemma/11.13.src:1461ALGEBRA2.TEXSeihfٹ=x24|+xbx23{+cx22+dx+e2Kܞ[x].iGDannhisthdiekubischeRffesolventevon35f{4dasPolynomx23jcx22+(bd4e)xb22e+4ced22V2URKܞ[x].=Beweis.+܌src:1467ALGEBRA2.TEXf%hatI&dieNullstellenI%u1;u2;u3;u4 *inI&einemZerfyallungskyorpSerL.IAlsoistI%f>'=((xu1)(x u2)(xu3)(xu4)G{=Gzx24ˉ(u1ˊ+u2+u3+u4)x23+(u1u2+u1u3+u1u4+u2u3+u2u4j+u3u4)x22(u1u2u3+u1u2u4+u1u3u4+u2u3u4)x+u1u2u3u4,also(ҍʍvjbUR=(u1j+u2+u3+u4);vjcUR=u1u2j+u1u3+u1u4+u2u3+u2u4+u3u4;vjdUR=(u1u2u3j+u1u2u4+u1u3u4+u2u3u4);vjeUR=u1u2u3u4:(эsrc:1478ALGEBRA2.TEXDasProlynom(x )(x O)(x )hatdanndieFVorm=ҍʍ(xu1u2ju3u4)(xu1u3ju2u4)(xu1u4ju2u3)=URx23j(u1u2+u3u4+u1u3+u2u4+u1u4+u2u3)x22+(u1u2u1u3j+u1u2u2u4+u3u4u1u3+u3u4u2u4+u1u2u1u4+u1u2u2u3+u3u4u1u4+u3u4u2u3+u1u3u1u4j+u1u3u2u3+u2u4u1u4+u2u4u2u3)x(u1u2u1u3u1u4j+u1u2u1u3u2u3+u1u2u2u4u1u4+u1u2u2u4u2u3+u3u4u1u3u1u4j+u3u4u1u3u2u3+u3u4u2u4u1u4+u3u4u2u4u2u3)=URx23jcx22+(bd4e)xb22e+4ced22:derOrdnung4,h126und724sindVP6԰O=%Z2j,fZ2 i;unddiezykliscrhenUntergruppSenderOrdnung4,gdievon Y[썍MEDieTGaloisgruppAev9onPolynomenniedrigenGradesz I15n썹4-ZyklenA\erzeugtwrerden,AA4 `undA[S4.CkEineUntergruppSeA\derOrdnung8A[isteine2-Sylow-UnrtergruppSe,alsobisaufIsomorphieeindeutigbestimmrt.EineUntergruppSederOrdnung8wirdNvron(1234)und(24)MerzeugtundistisomorphzurDiedergruppSeD4.WVeil(1234)inderGruppSet!liegt,tCistsiet transitiv.tD4 4%istkreinet!normaleUntergruppSet!vonS4,tCalsogibtt esnachdencSylorwschencSyatzengenau3zuD4#isomorpheUnrtergruppSen,dallevonderOrdnungc8undtransitiv.src:1514ALGEBRA2.TEXWirnwrollenKriterienfSyurf)mangebSen,qwanndieseUntergruppSenalsGaloisgruppenauftreten.|SatzB11.15.Tsrc:1519ALGEBRA2.TEXSeiKxjeinKyorpfferundf92Kܞ[x]einirrffeduziblesseparablesPolynom4-tenGrffadesVmitWGaloisgruppeG(^S4).[SeienW ,݁ O,݂ rdieNullstellenderWkubischenRffesolventeund35seimUR:=[Kܞ( ; O; )UR:K].35Danngeltens2(1)%src:1525ALGEBRA2.TEXmUR=6()GUR=S4;(2)%src:1526ALGEBRA2.TEXmUR=3()GUR=A4;(3)%src:1527ALGEBRA2.TEXmUR=1()GUR=Vp;(4)%src:1528ALGEBRA2.TEXmUR=2()GPUR԰n:=D49offder"{GPUR԰n:=Z4.35IndiesemFallegilt:)((a)=Ѭsrc:1531ALGEBRA2.TEXGPUR԰n:=D4 j()f{4irrffeduzibel;\y35uberKܞ( ; O; ),)' (b)=Ѭsrc:1533ALGEBRA2.TEXGPUR԰n:=Z4 j()f{4rffeduzibel;\y35uberKܞ( ; O; ).|Beweis.+܌src:1540ALGEBRA2.TEXDa8jKܞ( ; O; )ZerfyallungskyorpSereines8iProlynomsdrittenGradesist,8kommennurm=1;2;3)und6inFVrage.)}AlsogenSyugtesjewreils)dieRichtung(zuzeigen.)}ManbSeachte,damUR=[Kܞ( ; O; )UR:K]=jG=(G\Vp)j.src:1546ALGEBRA2.TEXSeiGUR=S4.DannistjS4=VpjUR=6.src:1548ALGEBRA2.TEXSeiGUR=A4.DannistG\V¹=URVundm=jG=Vpj=3.src:1551ALGEBRA2.TEXSeiGUR=Vp.DannistG\V¹=URGundm=jG=Gj=1.src:1553ALGEBRA2.TEXSei GP_԰G=jD4. Dannist G\V&ι=_Vp, wreilVBalsnormale UntergruppSein jeder2-Sylow Unter-gruppSevronS4enthaltenist.AlsogiltmUR=jG=Vpj=2.src:1557ALGEBRA2.TEXSeiVGP 0԰&=oZ4.WSDannwirdGdurcrheinenV4-Zykluserzeugt.WTDasQuadratmruinVliegen,VsodajG\VpjUR=2ist.Alsoistm=jG=(G\Vp)jUR=2.src:1561ALGEBRA2.TEXSei*}GPu԰=@D4 ꁹunddamitGj\iV'=uVp.,hSeienu1,*u2,*u3,u4 ꁹdie*|Nullstellen*}vronfr|ineinemZerfyallungskyorpSerL.DaVC==Gu\V==Aut%(L=Kܞ( ; O; ))transitivaufdenNullstellenopSeriert,GgibtGesfyurGjedesi}6=jgeinGa2G\Vmita:Kܞ( ; O; )(uidڹ)P}԰ e=6yuberKܞ( ; O; ).Damitistf2irreduzibSel>6yuberKܞ( ; O; ).src:1574ALGEBRA2.TEXSeiGPU԰n=Z4.DannhatG\V(=UAut=|(L=Kܞ( ; O; )dieOrdnrung2undistnicrhttransitivaufden%Nullstellen&vronfG.?Alsogibtesiqd6=qcjӹ,*sodaeskreinߝ2qcG\Vgibt%mitn9(uidڹ)qc=ujf .?DaLAsZerfyallungskyorpSerArvronfyquberKܞ( ; O; )(uidڹ)ArundAsaucrhyuberArKܞ( ; O; )(ujf )Asist,AwyurdeeinIsomorphismrusuKܞ( ; O; )(uidڹ)P{s԰[=L=K( ; O; )(ujf ),deruaufK( ; O; )vdieuIdenrtityatistunduinacrhuj%abbildet,eineFVortsetzungzueinemAutomorphismrusausAutx(L=Kܞ( ; O; ))UR=GH\VergebSen.8Dasistnicrhtmyoglich.8AlsokyonnenuiLundujMnicrhtNullstellendesselbSenirreduziblenProlynomsinKܞ( ; O; )[x]sein.FVolglichistf5y2ubSerKܞ( ; O; )reduzibel.\_Beispiele11.16.(1) Asrc:1593ALGEBRA2.TEXDas3Prolynomfȹ=x24Jܹ+4x22+22Q[x]3ist3separabSelundnacrh%Eisenstein irreduzibSel. 3DiekubiscrheResolventeistx23ጹ4x228x፹+32UR=(xጹ4)(x228),%soda h=UR4,F =p UTljz 985P, n=p ljz 98.ɷWVeiterhatQ( ; O; )UR=Q(p ljz 98)=Q(2p ljz 92)=Q(p ljz 92)%denKyorpSergrad2syuberQ.!+AlsoistdieGaloisgruppeD4oderZ4.!+MitderSubstitution8M%z5:=URx22istfQ=z22q+4z3m+2mitdenNullstellenz1;2ι=UR2p ljz 92.nAlsosinddieNullstellen%vronf1x1;2;3;4꾹=URrp r؉zΟ(z1;2'"=RUq RUz-2|p |Ήz 229:/Y[썍16nAlgebraTIAI{P9areigisn썑%src:1605ALGEBRA2.TEXEsfolgt^myubSer%Q.H׍12.uKreisteilungsk'orperProblemR12.1.]src:1631ALGEBRA2.TEXMan.zerfyalledas-Prolynomx2n'1.GDieNullstellenyubSerQliegenaufdemkromplexenEinheitskreisjzjUR=1inC:z5=r be2i'Թ,21=z2n =rS2ne2in'$.iEsfolgtrS2n Q0=1undr2R2+x,also ra=1unddaherjzjӹ=1.Dx2n4u1isto enrbarreduzibSel.WVelcrhessinddieirreduziblenFVaktoren?src:1638ALGEBRA2.TEXBetracrhtenx2na6=60mitNullstelleu.owDannistnu2n W=a.owIstVNullstellenvronx2n1,nsoist(u)2n=URa,d.h.uistwreitereNullstellevonx2nRaUR=0.LDe nition12.2.Gsrc:1646ALGEBRA2.TEXEineNullstelle(im: ZerfyallungskyorpfferKnP)vronx2nX 1heiteine%n-te35Einheitswurzel.%src:1650ALGEBRA2.TEXDien-tenEinheitswurzelninKbildendie Gruppffe EnP(Kܞ)dern-tenEinheitswurzeln%in Kܞ.EDieseDistendlicrhundDzyklisch(alsendlichemultiplikXativeDUntergruppSevonKܞ).%SiehathyocrhstensdieOrdnungn.%src:1655ALGEBRA2.TEXFSyurܭ(Kܞ)=p6A nsindܬx2n 1undnx2n1ayteilerfremd,,alsohatx2n 1inKn n%〹vrerschiedeneNullstellen.EinErzeugendenelementvonEnP(Kn)hatindiesemFValle%dieOrdnrungn.%src:1661ALGEBRA2.TEXEineprimitiven-teEinheitswurzelisteinen-teEinheitswurzel,8diedieOrdnrungn%〹hat.SieisteinErzeugendenelemenrtvonEnP(Kܞ),wennsieinEnP(Kܞ)liegt.%src:1665ALGEBRA2.TEXDieMengederprimitivrenn-tenEinheitswurzeln>6yubSerKFseiPEnP(Kܞ).%src:1668ALGEBRA2.TEXSeiLI(Kܞ)>=p6A n.NhDannLJwirdKnP,LderZerfyallungskyorpServronx2n Cm1מyuberKܞ,Lvron%einerprimitivrenn-tenEinheitswurzelyubSerKerzeugt:Kn A=nKܞ()undheitn-ter%Krffeisteilungskyorper>6yubSerKܞ.EsgiltPEnP(K)UREnP(Kn).%src:1675ALGEBRA2.TEXFSyur(Kܞ)=p=nistx2n _01=x2mpQ_112p =(x2m c1)2p].hDannstimmenEmĹ(Kܞ)und%EnP(Kܞ)>6yubSerein.%src:1678ALGEBRA2.TEXWirsetzeno.B.d.A.imfolgendenvrorausp6A n.De nitiony}12.3.src:1684ALGEBRA2.TEXFSyurnUR2Nsei'(n)dieAnzahldernatSyurlicrhenZahlen1URmn,diezun꨹teilerfremdsind.'UR:Nnf0gURn!1N꨹heitEulersche35'-Funktion.LSatz12.4.(1)dssrc:1692ALGEBRA2.TEX8nUR2Znf0gUR:(Z=nZ)2V=fm+nZj(m;n)UR=1g;(2)%src:1694ALGEBRA2.TEX'(n)UR=Ord(Z=nZ)2;(3)%src:1695ALGEBRA2.TEX(m;n)UR=135=)'(mn)='(m)'(n);*A(4)%src:1697ALGEBRA2.TEXnUR=pntq1/č1 g:::p2trRAr o=)#H0'(n)=n(1Fu1۟zrpq1 ):::(1Fu1۟zs͟pr ۹);(5)%src:1700ALGEBRA2.TEXnUR=Pd=n G'(d).Beweis.+܌src:1705ALGEBRA2.TEX(1)dz GKm2C(Z=nZ)2() ޅ9m20{:Bn=mm20N1 ބ()9m209;n20{:Cmm20ڹ+Nnn20=B1()(m;n)UR=1.src:1708ALGEBRA2.TEX(2)klar.KY[썍zfKreisteilungskg3orpAer:j17nsrc:1710ALGEBRA2.TEX(3)(m;n)UR=1=)mZ+nZUR=ZundmZ\nZUR=mnZ.NacrhdemchinesischenRestsatzfolgtZ=(mnZ)P7c԰PK=Z=mZZ=nZ,oalsoox(Z=(mnZ))2Pg԰ O= (Z=mZZ=nZ)2Pf԰ N=(Z=mZ)2(Z=nZ)2.DasergibtdieBehauptung.src:1716ALGEBRA2.TEX(4)ȯFSyurp2k Aistp2k61ȽdieAnzahlderZahlen=p2k#,dienicrhtȯteilerfremdzup2ksind,nyamlicrhp;2p;:::ʜ;p2k61p.Alsoist'(p2k#)UR=p2k:p2k61U`=p2k(1FuM1J-zG]pĽ).DieBehauptungfolgtdurcrhInduktion.src:1721ALGEBRA2.TEX(5)folgtaus12.7.qKx0Folgerung12.5.src:1725ALGEBRA2.TEXSei35nUR2Nunda2Zmit(a;n)=1.DannistCa '(n)$UR13)moSd*k(n):Beweis.+܌src:1730ALGEBRA2.TEXFVolgtunmittelbarausSatz12.4(2)unddemSatzvronEuler4.24.N /Folgerungݜ12.6(Kleiner*FVermatscrherSatz(1640)). src:1735ALGEBRA2.TEXSei$peinePrimzahlundp$-#a2Z.Dann35ist׍a p1+UR13)moSd*k(p):+ src:1737ALGEBRA2.TEXF'yur35alleaUR2Z35istaa pURa3)moSd*k(p):0Beweis.+܌src:1742ALGEBRA2.TEXEsist'(p)UR=p1.;cBemerkung12.7.src:1745ALGEBRA2.TEX('yubffer35Einheitswurzeln):(1)%src:1747ALGEBRA2.TEXSei=S2URPEnP(Kܞ)und(K)6A n;mUR2N.Danngilt2m B2URPEnP(K)()(m;n)UR=1.(2)%src:1750ALGEBRA2.TEX(Kܞ)6A n꨹=)jPEnP(K)jUR='(n).(3)%src:1752ALGEBRA2.TEXd=n,dUR>0=)Edߨ(Kܞ)EnP(K)undPEdߨ(K)UR=f=S2EnP(K)jOrdmDe nition12.11.csrc:1811ALGEBRA2.TEXEineygaloisscrheKyorpSererweiterungheitxabffelsch,wennAut>(F=Kܞ)abSelschist.src:1814ALGEBRA2.TEXEinegaloisscrheKyorpSererweiterungheitzyklisch,wennAutm(F=Kܞ)zyklischist.nSatz12.12.src:1819ALGEBRA2.TEXSei35(Kܞ)6A n.DanngibteseinenMonomorphismuseAut](KnP=Kܞ)UR!(Z=nZ) :src:1822ALGEBRA2.TEXInsbffesondere35istAut(KnP=Kܞ)abffelsch.A2lsoistKn 㬞y ۅuberKeineabelscheKyorpererweiterung.mBeweis.+܌src:1827ALGEBRA2.TEXSeipË2URAut=(KnP=Kܞ).oDanngiltn9(En(Kn))UR=En(Kn).oDamitpistË2URGr<- Aut,(En(Kn)).DasNWde niertNXeinenHomomorphismrusAut6(KnP=Kܞ)!Gr%u-+Aut?(En(Kn)).NDieserNWHomomor-phismruspistinjektiv,weilKn=URKܞ(EnP(Kn)).oNunpistEnP(Kn)P԰n:=Z=nZ,alsopistGrfZ-QAut,8(EnP(Kn))P԰n:=Gr-Aut)U(Z=nZ)PUR԰n:=(Z=nZ)2/eineoabSelscrheoGruppe,pdenno:URZ=nZn!1Z=nZowirdbSescrhrieben"durcrhW(ӥz ,[1)UR=dzKr undistbijektivgenaudann,wrenndzKr2UR(Z=nZ)2.Folgerungi12.13. src:1840ALGEBRA2.TEXIstJnJprimundn6=(Kܞ),JsoJistAut2(KnP=K)Jzyklisch.JA2lsoistKn 3y ubfferKeine35zyklischeKyorpffererweiterung.mBeweis.+܌src:1846ALGEBRA2.TEXAut(KnP=Kܞ)PUR԰n:=(Z=nZ)2PV԰.>=F2RAn istzykliscrh.˕Satz12.14.src:1850ALGEBRA2.TEXSei35QnURQgeffgeben.35Danngelten:s2(1)%src:1852ALGEBRA2.TEXnP(x)35istirrffeduzibel35inQ[x].(2)%src:1853ALGEBRA2.TEX[Qn:URQ]='(n).(3)%src:1854ALGEBRA2.TEXAut(QnP=Q)PUR԰n:=(Z=nZ)2.mBeweis.+܌src:1859ALGEBRA2.TEX(1)Sei=S2URPEnP(Q)gegebSen,undseif2dasMinimalpolynomvronҩinQ[x].Behauptung:fG(2p^)UR=0fSyurallepprim,p6A n.Beweis:Esist2n Ź=vt1.Daf܅MinimalpSolynomvron|ist,folgtx2nƟP1vs=vtffNOgn9.Alsogibtes(nacrh!Satz10.3)fG2,!gn92 2fZ[x]primitivmitx2n &~g1=rfG2 jgn92 2Z[x]!undr>2Z.#Derhyocrhste)/KoSezientvonx2n +1ist1,)alsoistr =s~1unddamitx2n1s~=fG2 gn92 Wlin)/Z[x].WVeiterhinQsinddiehyocrhstenPKoSezientenQvonfG2 Tundgn92 ebSenfallsP1unddamitfG2 7= 5fundgn92 á=dgn9.A2ngenommen:CfG(2p^)6=0.Dannistgn9(2p^)d=0,alsoistNullstellevrong(x2p]).DafMinimalpSolynomvronist,Ǖfolgtgn9(x2p])M=fG(x)h(x)inQ[x].DivisionmitRestinZ[x]ergibtgn9(x2p])=fG(x)h1(x)$'+r1(x)..WVegenderEindeutigkreitderDivisioninQ[x]folgth1(x)a=h(x)undr1(x)a=0.Alsoisth(x)a2Z[x].UnrterderkXanonischenAbbildungZ[x]!Z=pZ[x]vy=vzFp][x]giltdzKg (x2p)=vz: z f !(x): zÊ hÊ(x).Dag䲹=vzgn92 ŹprimitivinZ[x]ist,istdzKg (x)6=0inFp][x].WVeiter giltdzKg S(x2p)C=C(dzKg(x))2p inFp[x], da dieKoSezienrtendesPolynoms ŸdzKg R(x)unterder!p-ten!Protenz(FVrobSeniushomomorphismus!e:eFp][x]7!Fp[x])!fest!bleibSen."Alsofolgt(dzKg(x))2p+1=cԟ: z f v{(x): zÊ hÊ(x).inFp][x].y4ubSerALlinearunabhyangigsind(SatzvronDedekind1.12),gibtesein n2URLmitP :=UR id 1( )+( n9( ))( )+( ( ) 2.=( )) 2.=( )+:::+( ( ):::ʜ n1( )) n1( )UR6=0:esrc:1967ALGEBRA2.TEXDerletzteSummandistN2@LbK;¹( )n92n1( )UR=n92n1( ).Daherist ȍ{n9( O)UR=( )( )+( ) 2.=( ) 2.=( )+:::+( ) 2.=( ):::ʜ n1( ) n1( )+ n( )UR=  1 p O:src:1974ALGEBRA2.TEXEsfolgt h=UR On9( )21 \|,wreil 6=0unddahern9( O)6=0.src:1977ALGEBRA2.TEX(2) =)&(1):Sei &= On9( )21 \|.0Esist2n( O21 ˹)= O21,daYWdieOrdnrungnhat.1Mitn92i( On9( )21 \|))UR=2i( O)2i+1( )21G$folgt:N2@LbK;¹( )UR=( On9( 21 ˹))(( )22.=( 21 ˹))(22.=( )23.=( 21 ˹)):::ʜ(2n1( )2n( 21 ˹))UR=1:MԍBemerkung13.3.src:1988ALGEBRA2.TEXDiemoSderneAusdrucrksweisefyurHilbertsTheorem90ist:e=cHV 1Z(Aut(L=Kܞ);L )UR=1:Satz313.4.;src:1993ALGEBRA2.TEXSeiILeinezyklischeErweiterungvonHKvomGrffadn,XseideinErzeugendenele-ment35vonAut(L=Kܞ),undsei h2URL.Dannsindyaquivalent:Y[썍20nAlgebraTIAI{P9areigisn썍(1)%src:1997ALGEBRA2.TEXT2LbK;¹( )UR=0.(2)%src:1998ALGEBRA2.TEXEs35gibtein 2URLmit h= Tn9( O).Beweis.+܌src:2004ALGEBRA2.TEX(1)=)"*(2):?Da'id ;;:::ʜ;n92n1y,ubSer(L'linearunabhyangigsind(SatzvronDedekind1.12),gibtesein n2URLmitrgT LڍK;¹( )UR:=id ( )+n9( )+n9 2.=( )+:::+n9 n1( )UR6=0:src:2009ALGEBRA2.TEXWVeiter\ist\n9(T2LbK;¹( ))=T2LbK( ),\also\T2LbK( )2Kܞ.]Wir\erhaltenn9(T2LbK( )21 \| )=T2LbK( )21 \|n9( ).FSyur :=URT2LbK;¹( )21 \| Ĺistdannz鍑YT LڍK;¹( O)UR=T LڍK( ) 1 \| QĹ+T LڍK( ) 1 \|n9( )+:::+T LڍK( ) 1 \|n9 n1( )UR=T LڍK( ) 1 \|T LڍK( )UR=1:src:2018ALGEBRA2.TEXSeinrunT2LbK;¹( )UR=0.Wirsetzen+EȄ:=UR  ~+I.( \+I/n9( ))( O)I.+I/( \+( )I.+ 2.=( )) 2( O)I/+I.:::\+( \+( )+:::\+ n2( )) n2( O):src:2024ALGEBRA2.TEXAus0UR=T2LbK;¹( )=id ( )+n9( )+n922.=( )+::: Թ+n92n1( )folgt h=UR(n9( )+n922.=( )+::: Թ+n92n1( )).Dannist@n9(s2)UR=  T+ n9( O)+ n9 2.=( O)+:::+ n9 n1( O)UR= T LڍK;¹( )= :src:2032ALGEBRA2.TEX(2)p=)"l(1):Sei h=UR S.n9( O).DannistT2LbK;¹( S-( O))UR=T2LbK;¹( )T2LbK;¹(n9( )),alsoT2LbK( )UR=T2LbK;¹( O)T2LbK(n9( O))UR= M+( O)+:::$+2n1( O)( O)22.=( O):::#2n1( O) =UR0. Bemerkung13.5.src:2041ALGEBRA2.TEXDiemoSderneAusdrucrksweisefyurSatz13.4ist:)HV 1Z(Aut(L=Kܞ);L +x)UR=0:Satz13.6.src:2046ALGEBRA2.TEXSei3=S2URKeine3 primitiven-teEinheitswurzel,undseidmitd=ngeffgeben.Danngeltenp(1)%src:2049ALGEBRA2.TEXË:=UR2n=dc2eine35d-teprimitiveEinheitswurzel.(2)%src:2051ALGEBRA2.TEXSeimaUR2KJKund h6=0meineNullstellemvonx2d]aineinemErweiterungskyorpfferL.nDann%sind0 ;n9 ;:::ʜ;n92d1*] D8pffaarweise0verschiedene0Nullstellenvonx2dain0L.0Weiterhin%ist35Kܞ( )einZerfyallungskyorpffervonx2dPaundK( )UR:Kgaloissch.m^Beweis.+܌src:2061ALGEBRA2.TEX(1)#r$erzeugt"diezykliscrheGruppSeEnP(Kn)der#Ordnrungn.Dannist(2n=d/)2d4=UR2n 壹=Z΍1.bO enrbarahata2n=ddieOrdnungad.bAlsoista+eineprimitivead-teEinheitswurzel,bundalle1;n9;22.=;:::ʜ;2d1sindpaarwreiseverschieden.src:2067ALGEBRA2.TEX(2)Essind ;n9 ;:::ʜ;n92d1*] {genaualleNullstellenvronx2d-N=a.]AlsoistKܞ( )Zerfyallungs-kyorpSer:vron;x2dZvza._WVeiteristx2dZuzaseparabSel,AwreilalleNullstellenvrerschiedensind.^DamitistKܞ( )UR:KFgaloisscrh.WSatz'13.7.Jsrc:2075ALGEBRA2.TEXSei62NK(eineprimitiven-teEinheitswurzel(nN6=N1)undLN:NK(einErweite-rungskyorpffer.35Dannsindyaquivalent:q(1)%src:2079ALGEBRA2.TEXLUR:Kist35zyklischvomGrffaddmitd=n.(2)%src:2080ALGEBRA2.TEXL,istZerfyallungskyorpffereinesPolynomsderForm,x2n cfa#,2Kܞ[x]..Insbesondere,ist%LUR=Kܞ( )35f'yurjeffdeNullstelle35 Fvonx2nRa.(3)%src:2083ALGEBRA2.TEXListZerfyallungskyorpffereinesirrffeduziblenPolynomsderFormx2dϓay2zKܞ[x],wobffei%d=n.35InsbffesondereistLUR=Kܞ( O)f'yurjeffdeNullstelle ݄vonx2dPa.Beweis.+܌src:2091ALGEBRA2.TEX(1) =)!eg(3):6Aut(L=Kܞ)6Fistzykliscrh6Evon6FderOrdnrungdUR=[L:K]6Emit6Fd=n.7ZSeieinErzeugendenelemenrt%vonAut s(L=Kܞ).&Seieineprimitived-teEinheitswurzel(in%Kܞ).& DannistBN2@LbK;¹(n9)=2d ˹=1,{alsoAgibtBesnacrhHilbSertsTheorem90ein y2Lmit@#= 21 p n9( ).Estfolgtn9( )?G= undt( 2d7)=?F( )2d =2dM 2d 2~= 2d7.tDatL?F:KPgaloisscrhist,t>giltt 2d 2~2Kܞ. Y[썍jZyklisc9heTErweiterungenundKummererweiterungenw{n21n썹Damit>ist> RNullstelledesProlynomsx2d+LamitaUR= 2d7.@Nach>Satz>13.6istKܞ( )(URL)Zerfyal-lungskyorpServronx2d%FBa.WVeitersinddien92i( )UR=n92i diepaarwreiseverschiedenenNullstellenvron%x2d`Ba,&)so%dan92i @:mKܞ( )Pm԰=0K(n92i ).'Damit%sind%dien92i( )%alleNullstellendesselbSenMinimalpSolynomsy_uberKܞ._x2dmkamrudiesesMinimalpolynomseinundistdaherirreduzibelundesgilt[Kܞ( )UR:K]=d.src:2111ALGEBRA2.TEX(3) %=)%o,(2):<*Sei;( 2LeineNullstellevronx2doka2Kܞ[x].=-DannistK( )=L;(Zerfyal-Z΍lungskyorpSer(vron)x2d.ganachSatz)13.6.QEsist( )2n F=( 2d7)2n=d檹=a2n=d櫹=:b)und(damit NullstelleHvronIx2nD$b.\NachSatzH13.6istKܞ( )ZerfyallungskyorpServronx2nD$b.\EsistabSerKܞ( )UR=K( ),unddamitgilt(2).src:2120ALGEBRA2.TEX(2)Zo=)#k(1):p-Seio VNullstellevronox2nKa.pNachSatzo13.6istL7=7Kܞ( )galoisschVyoubSerKܞ.JedesLË2URAut=(L=Kܞ)istvrollstyandigbSestimmtdurchdenWVertn9( ),L+wasaucheineNullstellevronx2n eaԹist. AlsistnachSatz13.6n9( )UR=2iL dfSyureingeeignetesiUR2f0;:::ʜ;ne1g. Seien;V28Aut(Kܞ( )=K).,4Dann+ist+n9( )8=92iL ,+W( )=82jN ,+also+n9W( )=8n9(2jN )=82i+j] .,4WirDYerhalten'*so')einenGruppSenhomomorphismrus'O:Aut(Kܞ( )=K)P3O*7!gz' Ni z2Z=nZ.'Da')*6=impliziert˟gz' Ni 6=qϟgzC Nj ,ist'˹injektiv.AlsoistAuty(Kܞ( )=K)qqZ=nZ̹unddamitselbstzykliscrh.DieOrdnrungdmudieOrdnungnvonZ=nZteilen.zFolgerung13.8d(KummererwreiterungI).C src:2140ALGEBRA2.TEXSeiPspprim,P(Kܞ)UR6=pPsundPrEp](K)K.QSeiPsa2Kund35 9=h24KeineNullstelle35vonx2pra.DanngeltenZ?(1)%src:2144ALGEBRA2.TEXKܞ( )35istgaloissch;\yubfferK,(2)%src:2145ALGEBRA2.TEX[Kܞ( )UR:K]=p.Beweis.+܌src:2150ALGEBRA2.TEXK+enrthyalteineprimitivepEinheitswurzel2PEp](Kܞ).NachSatz13.6istKܞ( )galoisscrheyubSerKuundZerfyallungskyorpervronx2p4a./NachSatz13.7ist[Kܞ( )UR:K]einTVeilervronp,also[Kܞ( )UR:K]=p.AHFolgerung213.9(Kummererwreiterung;8ISI).src:2158ALGEBRA2.TEXSeihphprim,h(Kܞ)06=1pundEp](K)10K.jkSeiLUR:KMgaloisschޯund[LUR:Kܞ]=p.1Dannޯgibtesein h2URLmitL=Kܞ( )undް 2p0>2URKܞ.0Weiterist35x2pr 2p !irrffeduzibel.Beweis.+܌src:2165ALGEBRA2.TEXKוenrthyalteineprimitivep-teEinheitswurzel,=unddieGruppSeAut(L=Kܞ)hatdieOrdnrungIp,Sistalsozyklisch.łInSatz13.7verwendenwirJpUR=d=nIunderhaltenaus(3)dieBehauptung.4Satzݠ13.10(Artin-Scrhreier).src:2172ALGEBRA2.TEXSeiNKeinOKyorpfferderCharakteristikpUR6=0NundLeinErweite-rungskyorpffervonKܞ.]ListgenaudanneinezyklischeErweiterungvonKxvomGrffadep,wennL)ZerfyallungskyorpffereinesirreduziblenPolynomsder)Formx2p\xaUR2Kܞ[x])ist.)IndiesemFalle35istLUR=Kܞ( ),35wobffei FeineNullstellevonx2prxa35ist.Beweis.+܌src:2182ALGEBRA2.TEXSeiͭLUR:KKzykliscrhvomͬGradp.aSeiË2URAut=(L=Kܞ)einErzeugendenelement.`DannistT2LbK;¹(1)UR=[L:Kܞ]q@1UR=pq@1UR=0.ՌAlsogibtesnacrhSatz13.4ein h2URLmit1= Ϲ+q@n9( ).ՌDamitistn9( )UR= \+I$16= ,also 9=h24Kܞ.2Da[LUR:K]=p,gibteskreineechtenZwischenkyorpSer,alsoist~LUR=Kܞ( ). WVeiteristn9( 2p)UR=( ǹ+71)2p= 2pp$+1,also~n9( 2p8 )UR=( 2pp#+81)7( ƹ+1)UR= 2pp#8 unddamit 2p:_ h=:URa2Kܞ.4Daherist ًeineNullstellevronx2p'_xaUR2Kܞ[x].5Diesesmusdas MinimalpSolynomvron  ?sein, weilder GraddesMinimalpSolynomsgleichdemKyorpSergrad[LUR:Kܞ]=p꨹seinmru.src:2197ALGEBRA2.TEXDie&!anderen&"Nullstellenvronx2pHrxsa&!sind +rinK2nLKܞ,&rwrobSeii=1r+:::̈́+s1nK2KimPrimkyorpSerliegt.Esistnyamlicrh( R+i)2p Ĺ( +i)1UR= 2p+i Ri1=0.AlsoistKܞ( )ZerfyallungskyorpServronx2prxa.YY[썍22nAlgebraTIAI{P9areigisnsrc:2203ALGEBRA2.TEXSeiKumgekrehrtKLZerfyallungskyorpServronx2p,exeaUR2Kܞ[x].LtSei _eineNullstelleKvronx2p,exeainX L.XDannenrthyaltKܞ( )wiezuvorgenauXpverschiedeneNullstellen Ź+6i.XAlsoistx2pFx5aseparabSel,ˌKܞ( )Ӻ=LSistRZerfyallungskyorpervronRx2p CxCaSundLӺ:ӻKistgaloisscrh.̫Jedes o26Aut(L=Kܞ)istvrollstyandigbSestimmtdurchn9( )und( )istNullstellevronx2pjxia.Daheristn9( )0=/ ]ù+J4ifSyureiniimPrimkyorpServronKܞ.fWirerhaltendurchRi7!0ieineninjektivrenHomomorphismus'UR:Aut=(L=Kܞ)n!1Z=pZ.DamitergebSensicrhzweiFyalle:(1)Autm(L=Kܞ)UR=1,[L:K]=1undx2prxa꨹zerfyallt>6yubSerK,oSder(2)Autm(L=Kܞ)PUR԰n:=Z=pZ,[LUR:K]=p꨹undx2prxa꨹istirreduzibSel.x&FolgerungW13.11.}src:2223ALGEBRA2.TEXSeiK€einKyorpfferderCharffakteristik(Kܞ)zB=p6=0.~DasPolynomx2prxaUR2Kܞ[x]35istentweffderirreduzibelodereszerfyalltinKܞ[x].;F4Ubung13.12.(1)ysrc:2230ALGEBRA2.TEXHungerfordPropSosition7.7$ʖ14.RadikalerweiterungenDe nition14.1.2usrc:2242ALGEBRA2.TEXEineMxKyorpSererwreiterungMwL:K*heiteineRffadikalerweiterung,MwennL=Kܞ(u1;:::ʜ;unP)undwrenngelten5(1)%src:2246ALGEBRA2.TEXeineProtenzvonu1liegtinKܞ,(2)%src:2247ALGEBRA2.TEXfSyuralleiUR2liegteineProtenzvonuiOinKܞ(u1;:::ʜ;ui1AV).4src:2251ALGEBRA2.TEXWVennu2mRA1 Z2URKܞ,dannistu1wNullstellevronx2m GBA(u2mRA1Ĺ)2Kܞ[x].u1wheitdanneinRffadikal yubSerKܞ.src:2256ALGEBRA2.TEXBeacrhte:RadikXalerweiterungensindendlicheKyorpSererweiterungen.'De nition14.2.(1)Gsrc:2262ALGEBRA2.TEXSei]fQ2URKܞ[x].^Xf~heitdurffchvRadikaleau yosbar,]wrenn]eseineRadi-%kXalerwreiterungLUR:Kygibt,dieeinenZerfyallungskyorpSerF>vronfenthyalt:7LURFKܞ.(2)%src:2266ALGEBRA2.TEXEine{KyorpSererwreiterungF:xKheitdurffchFYRadikaleau yosbar,wrenn{eseineRadikXa-%lerwreiterungLUR:KFgibtmitLFKܞ.De nition14.3.src:2273ALGEBRA2.TEXL?:@KĹheit'eine&irrffeduzibleXnRadikalerweiterung,1wrennL?=Kܞ(u1;:::ʜ;unP)unddasMinimalpSolynomvronuiyOuberKܞ(u1;:::ʜ;ui1AV)vronfolgenderFVormistrk9x m lvË2URKܞ(u1;:::ʜ;ui1AV)[x]:Beispiele14.4.src:2281ALGEBRA2.TEX(1)x22j+ax+bUR=0hatdieLyosungen eg>x1;2ι=ōa p z$t a2j4b[zL ΍#_̹2i;((Kܞ)UR6=2):src:2285ALGEBRA2.TEX(2)0CarffdanoscheǮFormeln: (1545)[vrorherScipio/delFVerro,YTartaglia]0Sei(Kܞ)hC6=hD2;3.(DiekubiscrheGleichungx23j+ax22+bx+cUR=0hatmith{pUR:=bōa22۟[z  ΍3;qË:=ō2a23[z ΍271aōab۟[z ) ΍3+csrc:2289ALGEBRA2.TEXund^P:=3s׉zU~D)ōQ>q33[z ΍2 +rz)iL荍ōWp333[z ΍27+ōqn92۟[z c ΍A4ijundZQUR:=3s׉zUD)ōQ>q33[z ΍2 rz)iL荍ōWp333[z ΍27+ōqn92۟[z c ΍A4Y[썍\Radik|ralerw9eiterungen23nsrc:2293ALGEBRA2.TEXdieLyosungen/#J"PLn+Qōa۟[z+ ΍%3 <;<!n9PLn+!22.=Qōa۟[z+ ΍%3 <;ĥr!n922.=PLn+!n9Qōa۟[z+ ΍%31׍src:2299ALGEBRA2.TEXwrobSei!Xeine3-teprimitiveEinheitswurzelist.vDe nition214.5.!src:2303ALGEBRA2.TEXEineȢGruppSeȡGheitau yosbffar,wrennesUnrtergruppSenfegUR=GrGrpl,wobffeipiFdiei-tePrimzahlist,undseieni,2URPEp8:iϹ(Kܞ)35f'yuralleilC.Danngelten:G(1)%src:2355ALGEBRA2.TEXLUR:=Kܞ(1;:::ʜ;l!ȹ)@isteineirrffeduzible@RadikalerweiterungAvonKmitLUREp8:iϹ(Kܞ)f'yur%alle35iUR=1;:::ʜ;lC.(2)%src:2358ALGEBRA2.TEXLUR:Kist35galoisschundAut(L=Kܞ)istau yosbffar.Beweis.+܌src:2364ALGEBRA2.TEXWirkronstruierenLdurchvollstyandigeInduktionnachlC.src:2367ALGEBRA2.TEXInduktionsanfang:@ԉz\maa2l[̹=>1undp1 B==2.*WVegenx22 _1==(x_1)(x+1)ist1 B=1.*Dannist LD:=DK1 :=K!=Kܞ(1)=Kܞ(1)Kueine irreduzibleRadikXalerwreiterungmitdemirreduziblen6Prolynom6xd1.7EsistE2(Kܞ)֧KBwregen6p>֨2und61=12֨Kܞ.7ScrhlielichistK1:URKFgaloisscrhmitau yosbarerGaloisgruppSeAutm(K5=Kܞ)=feg.src:2375ALGEBRA2.TEXInduktionsannahme:뀉zh%mISeiJ$K(lK1)FT:=Kܞ(1;:::ʜ;lK1 D)K&¹mitK(lK1)FTEp8:iϹ(Kܞ),J~iAmitaFMLKܞ( 1;:::ʜ; nP).aSeia(K)=0aoffdera(K)gryoeralsalleaPrimteileraller%Expffonentender id.qDannbesitztdiekleinstegaloisscheKyorpererweiterungLUR:Kmit%LURFeine35au yosbffareGaloisgruppe.Beweis.+܌src:2461ALGEBRA2.TEX(1)pSeipl8diegryotePrimzahlmitpl!=[F:URKܞ].oWieinSatz14.8seiK(lK) :=Kܞ(1;:::ʜ;l!ȹ).DaF:URKgaloisscrhist,DistF:=URKܞ( )(SatzvromprimitivenElement).ϮDamitistK(lK) @( )UR:K(lK)galoisscrh0und1FURK(lK) @( ).rAlsoistGUR:=Aut=(K(lK) @( )=K(lK))URAut(F=Kܞ)0au yosbar.sFVolglicrhgibtesUnrtergruppSenfegfAH1 &E:::"fBHs}=GmitHid=Hi+1WabSelscrhundsogarP԰=FZ=pZ(fSyur^geeignetePrimzahlen_p)nacrhdemHauptsatzMyubSerendlich_erzeugteabSelscheGruppSen.Die4enrtsprechende3KettederFixkyorpSerseiK(lK)v=JLs &:::;4IL1 xNK(lK) @( )mit3Li$:Li+1galoisscrh&und[Lid:Li+1AV]=ppl!ȹ.;Nacrh&FVolgerung13.9istLie:Li+1|eineeinfacheirredu-zibleHRadikXalerwreiterungGundK(lK) @( ){%:K(lK)UeineirreduzibleHRadikXalerwreiterung.PWVeiteristK(lK) Y:K&ReineIirreduzibleIRadikXalerwreiterungunddamitaucrhK(lK) @( ):Kܞ.JEDaFK(lK) @( ),istFndurcrhRadikXaleau yosbar.src:2483ALGEBRA2.TEX(2)Seipl pdiegryotePrimzahlmitpl!=[F:URKܞ].src:2485ALGEBRA2.TEXa)Behauptung:{EsgibtRadikXale iʹmitKܞ( 1;:::ʜ; rb)/=K( 1;:::ʜ; tʹ),derenExpSonenrtenPrimzahlenURpl psindunddieTVeilerderExpSonenrtenvoneinemder 1;:::ʜ; r} sind.src:2491ALGEBRA2.TEXBeweis:Sei TNullstelledesProlynomsx2m 9/4laundseimUR=p1o4k:::3w4kpsdiePrimzahlzerlegungvronFm.DannGistKܞ( )UR=K( 2pq2*:::\ps; 2pq3*:::\ps;:::ʜ; 2psܳ; ),TdennG չistNullstelleFvronx2ps ; 2psܳ, ߠY[썍\Radik|ralerw9eiterungen25n 2ps [istNullstellevronx2pqs1 2pqs1 sps ,usw.FVolglichistdb h=psܞ룜rܠ룜z>۟\dUR=ps1 q݉z$͟e#:::Bp1zʟVpz̟Vz+ :aU͹=BmVpVz+ :a:%src:2501ALGEBRA2.TEXManwyahlealsofSyurdie iOgeeigneteProtenzender jf .src:2504ALGEBRA2.TEXb)Behauptung:SeiK(lK)?:=Kܞ(1;:::ʜ;l!ȹ)wieinSatz14.8.-FSyurK(lK) @( 1;:::ʜ; tʹ)gibteseineKyorpSererwreiterungLtURK(lK) @( 1;:::ʜ; tʹ)mit90i)%src:2510ALGEBRA2.TEXLt:URKFistgaloisscrh.ʤii)%src:2511ALGEBRA2.TEXLt=URK(lK) @( 1;:::ʜ; sn<),wrobSeidie i>ɹRadikXalemitPrimzahlexponenrtURplsindunddie%K(lK) @( 1;:::ʜ; i+1AV)UR:K(lK)( 1;:::ʜ; idڹ)galoisscrhvomGradpURpl pfSyurPrimzahlenpsind.src:2518ALGEBRA2.TEXBeweis35voni)꨹durcrhInduktion뀉z2B[:nacht:DerFValltUR=0isttrivial.src:2521ALGEBRA2.TEXInduktionsscrhlu뀉zVY[Rvron9t1auf9t.;Sei tùNullstelle9vonx2pVRbmitb2Lt1?und9ppl!ȹ.Seien4b+=b2(1) \|;b2(2);:::ʜ;b2(r3.؛DannistjeffdesPolynomf2Kܞ[x]vomGrffad35UR4durchRadikaleau yosbar.Beweis.+܌src:2605ALGEBRA2.TEXSeiLZerfyallungskyorpServronfG.bDasPolynomfhatUR4NullstelleninL.bAut'(L=Kܞ)pSermrutiert/dieseNullstellen,alsoistAut(L=Kܞ)``S4.S4 t3ist0au yosbar,dennwirhabenS4 fA4V4 ffeg,&alleUnrtergruppSensindnormalindernyacrhstgryoerenUntergruppSe'Y[썍26nAlgebraTIAI{P9areigisn썹unddieRestklassengruppSensindS4=XA4P ԰ ֌=Z2,0A4=V4P ԰ ֌=Z3 undV4,/alsoabSelscrh.nAlsoistAut(L=Kܞ)UR(Aut(L=KF\A4)(Aut(L=Kܞ)\V4)UR0eineAu yosungvronAutm(L=K).-`0Hauptsatz714.13(SyubSerAu yosungdurcrhRadikXale).src:2619ALGEBRA2.TEXSeiPF:URKeineOGaloiserweiterungund(Kܞ)=0offder(K)=p,wobffeipgryoeralsallePrimteilervon[FF:K]ist.Dannsindyaquivalent:s2(1)%src:2623ALGEBRA2.TEXAut(F=Kܞ)35istau yosbffar;(2)%src:2624ALGEBRA2.TEXF:URKist35durffchRadikaleau yosbar.Satz~14.14(vronfAbSel(1824)).src:2629ALGEBRA2.TEXSei(Kܞ)JS=0offder(Kܞ)=p,hwobffeipgryoeralsallePrimteiler35vonnist.Seie^9fG(x)UR=x nRa1x n1/t+:::+(1) nPan2URKܞ(a1;:::ʜ;an)[x]src:2633ALGEBRA2.TEXdiežallgemeineGleicrhungn-tenGrades.ƟDiežai*seientrffanszendentyuberKܞ(a1;:::ʜ;ai1AV)f'yuralle35iUR=1;:::ʜ;n.DasPolynomfG(x)istgenaudanndurffchRadikaleau yosbar,wennnUR4.Beweis.+܌src:2640ALGEBRA2.TEXDie!GaloisgruppSevronf ist"Sn cqnachSatz10.13.Die"GruppSeSn cqenthyaltAn cqalsNormalteiler.ϑAn wisthnacrhgSatz4.29genaudanneinfacrh,nwennhnUR6=4.ϑDaAn wfSyurgn>4nicrhtabSelscrhist,istSn 1fyurnk>4nicrhtau yosbar.DaA2+׹=kfegundA3P+԰D=Z=3Z,sindS2,S3,undS4au yosbar.Lʍp15.Kfonstruktionregelm]aigern-EckeBemerkungT15.1.dsrc:2657ALGEBRA2.TEXDasGregelmyaigeHn-Ecrkistgenaudannkronstruierbar,wenneineGprimitiven-teEinheitswurzel=S=UR 7+i 2C꨹kronstruierbarist.Satz15.2.src:2663ALGEBRA2.TEXDasrffegelmyaigen-Eckistgenaudannkonstruierbffar,AwenndieEulersche'-Funktion35'(n)eineZweierpffotenzist.`1Beweis.+܌src:2669ALGEBRA2.TEXDieprimitivreEinheitswurzel<=: F+3i T2;Cistgenaudannkonstruierbar(SyubSerQ),'wrenn 0hund )konstruierbarsind,(d.h.daesnachSatz3.6 ; 2^LRgibtmit[L:Q]=22nP.1$einenatSyurlicrheZahl.JedenatSyurlicheZahlrh27NlyatsicheindeutiginderDarstellungzurBasisprPr=URanPp nR+an1p n1/t+:::+a1p 1j+a0p 0V=UR(anPan1:::"Oha1a0)pqsrc:2767ALGEBRA2.TEXmit0URai,Yxai+bi+di1<URp;ɍ 1;%(falls>Yxai+bi+di1URp;6src:2783ALGEBRA2.TEXDieMultiplikXationhateineyahnlicrheBeschreibungdes\wwpxUbSertragens"aufandereStellen.Bemerkung 16.2 (ZurBestimmrungderZi erninderDarstellungzurBasisp.).Zsrc:2789ALGEBRA2.TEXWirscrhrei-"bSen;dieHEs>Iistӥz ,[0\dasneutraleElemenrtderAdditioninZ=p2nPZ,>]alsoist(0:::ʜ0)pdasneutraleElemenrtfSyurdieAdditionderZahlenzurBasisp.Սsrc:2855ALGEBRA2.TEX(2)SeidzKr=PǟH?zGb P* n U_ i=0(p1)piRk=Pȟ`z p((p1)(p1):::ʜ(p1)(p1))pU:Dannistӥz ,[1jj+udzKre=Pǟ`z p(1)pL+e`z p((p1)(p1):::ʜ(p1)(p1))pZ3=URӥz ,[0 also`\tӥz5S ,[1=UR`z p((p1)(p1):::ʜ(p1)(p1))psrc:2862ALGEBRA2.TEXoSderNei1UR((p1)(p1):::ʜ(p1)(p1))pQmoSd+L(p nP):iQDe nition16.4.src:2867ALGEBRA2.TEXSeiI(aidjiUR=0;1;:::ʜ;1)+src:2869ALGEBRA2.TEXeineFVolgevronnatSyurlichenZahlenmit0URai,Beispiel,16.6.src:2897ALGEBRA2.TEXSei%r d2N.%yDannhatrxeineeindeutigeDarstellungzur% BasispinderFVormr=k)P*1 U_k6=0#ak#p2k v(Zi erndarstellung)inZp], wrobSeieinn0 Mexistiert, soSdadiean y=k)0fSyurallenUR>n0.src:2902ALGEBRA2.TEXFSyur1UR2Zhat(:::ʞ00(1))pdieDarstellungՍW1UR=(p1)+(p1)p+(p1)p 2j+:::ʚ=1URX'؍?k6=0(p1)p k#;0src:2906ALGEBRA2.TEXdenndieSummeistҍʍSZp+(p1)p+(p1)p22j+:::(ҹ=UR0+pp+(p1)p22j+:::(ҹ=UR0+0+pp22j+:::(ҹ=UR0+0+0+:::ʚ=0: эsrc:2913ALGEBRA2.TEXMandarfbiszumn-tenGliedrecrhnen,dadieTVermeinZ=p2nPZbSetrachtetwerden.src:2916ALGEBRA2.TEXInꨞyahnlicrherWVeisehabSenallenegativenganzenZahlenDarstellungendurch(1).src:2919ALGEBRA2.TEXDierationaleZahlFu1۟z@2{lyatsicrhfSyurpUR=3darstellenals"ō1ğ[z ΍2E=UR2+1p+1p 2j+:::ʚ=(:::ʞ1112)3;csrc:2923ALGEBRA2.TEXdennbSeiMultiplikXationmit2ergibtsicrh.J&ʍ1›=UR(:::ʞ1112)3j(:::0002)3›=UR(22)320j+23+2322+:::›=UR1+33+2322j+:::›=UR1+0+3322j+:::›=UR1+0+0+:::.J%src:2931ALGEBRA2.TEXoSder.tӍfd@::: a1112:::uF0002@éffa?Ÿ ʍ44:::Dҹ0011/8:::>ֹ0002)5<:::8ڹ0002#U@:::3޹0002ffa?Ÿ ʍ44:::Dҹ00013src:2943ALGEBRA2.TEXEinwreiteresinteressantesElementmitderDarstellung(1)istmčM1|pW1|Ήz 27`fR=UR1+13+13 2j+03 3+23 4+:::ʚ=UR(:::ʞ20020111)3;эsrc:2947ALGEBRA2.TEXdenndurcrhQuadrierenderZahlenzurBasis3erhyaltmanֹ110110222uD:::-?110110222ff? ʍ+7UR=J:::00000021\Y[썍30nAlgebraTIAI{P9areigisnBemerkungW16.7'(Die|xp-adiscrhenZahlenalsLimesder|yRestklassenmoSdulop2nP).Jusrc:2963ALGEBRA2.TEXSei2kRAi 2ܹ:Z=p2k#Zg3dz+Ka,!!{Ndz+Ka, 2Z=p2idZɹderkXanoniscrheRestklassenhomomorphismusfSyuralleig0,alsofolgt'(1)UR=1.src:3076ALGEBRA2.TEX(3)Esist'(a)UR='(a(1))UR='(a)'(1)='(a).Y[썍ЗBew9ertungenW31nsrc:3079ALGEBRA2.TEX(4)Esist'(a)UR='(bn+nab)UR'(b)n+'(ab), also'(a)'(b)UR'(anb)..Enrtsprechendist'(b)'(a)UR'(ba)UR='(ab).DarausfolgtdieBehauptung.lSōBeispiele17.3.(1)JAsrc:3088ALGEBRA2.TEXSeiRnURC.Dannistj:j:Rn'!{ReinearcrhimedischeBewertung.(2)%src:3090ALGEBRA2.TEXSei!RjeinInrtegrityatsring und'(a)7=71fSyura76=0!und'(0)7=0.Dann!ist'eine%Bewrertung,dietriviale35Bewertung.(3)%src:3093ALGEBRA2.TEXSei}Rh=OZund}peinePrimzahl.~JedesaO2Znf0ghat}eineeindeutigeDarstellung%aY=Zp2k#a20Bmit p-a20Bund kw0.FDannist'p](a):=Zp2kzusammenmit'p](0):=Z0eine%nicrhtarchimedischeBewertungvonRJ,denn1src:3099ALGEBRA2.TEX(1)istklar.Z΍1src:3101ALGEBRA2.TEX(2)folgtausa5=4p2k#a209,*b=p2l!b20=)ab=p2k6+laa209b20=)'p](ab)=p2(k6+lK)E=p2k p2l it=%'p](a)'p(b).D 1src:3105ALGEBRA2.TEX(3)5SeiaUR=p2k#a209,yb=p2l!b20nmit5kolC.Dannistal+bUR=p2k#(a20X+kp2lKkab209)undp-a20X+lp2lKkab209.%Alsofolgt'p](a+b)UR=p2k\='p(a)=max3|('p(a);'p(b)).(4)%src:3110ALGEBRA2.TEXSei2KeinKyorpSer2undpeinirreduziblesProlynominKܞ[x].3*Danninduziertpeinenicrht%arcrhimedischeqBewertungvonKܞ[x]wiein(3).qDieinduzierteBewertungvonKMist%dietrivialeBewrertung.čsrc:3117ALGEBRA2.TEX4Ubung. SeiXKgeinYKyorpSerundseicf2fKnf0g.PFSyureinProlynomf2Kܞ[x]vromYGradnde nierenwir'(fG)UR:=c2n Dȹ.Zeige,dadieseseineBewrertungist.Istsiearchimedisch?SatzL17.4.src:3125ALGEBRA2.TEXSeiR"einInteffgrityatsringmitQuotientenkyorperQ(RJ).Sei':RB!ReineBewertungCvonBRJ.|DanngibtesgenaueineFortsetzungvon'zueinerBewertung Ë:URQ(RJ)fk!R.35Ist'nichtarffchimedisch,35soistauch nnichtarffchimedisch.Beweis.+܌src:3133ALGEBRA2.TEXSei1 keineFVortsetzungvron2'."Danngilt n9(Fu33a33zϟꍐpzb5)'(b)_= (Fu33a33zϟꍐpzb5) (b)_= (Fu33a33zϟꍐpzb5b)=_ (a)=#Z'(a),alsoV n9(ō33a33[z+ ΍ bg)UR=ō'(a)[z ΍ '(b):ۍsrc:3137ALGEBRA2.TEXEsbleibtzuzeigen,dadieFVunktion n9(Fu33a33zϟꍐpzb5)UR:=G'(a)zAꍐpz'(b)tatsyacrhlichimmereineBewrertungist.(1)#Zund(2)sindklar.Zu(3)gilt*^ J n9(ō33a33[z+ ΍ b <+ōdc۟[z ΍d ,)UR= (ō33ad+bc33[z$T ΍ 4bd'2)=ō'(ad+bc)[z5R ΍ _n'(bc)>\ō'(ad)+'(bc)[zFxP ΍m'(bc)͍,=UR n9(ō33ad33[z F ΍ bdi)+ (ōmbc33[z  ΍bd R)UR= (ō33a33[z+ ΍ bg)+ (ōmc33[z ΍dh):)lsrc:3147ALGEBRA2.TEXSeinrun'nichtarchimdisch.DannhabSenwir+BLS$ n9(ō33a33[z+ ΍ b <+ōdc۟[z ΍d ,)UR= (ō33ad+bc33[z$T ΍ 4bd'2)=ō'(ad+bc)[z5R ΍ _n'(bc)>\ōmaxf('(ad);'(bc))[z\D ΍ '(bc)YyDո=URmax3|(ō33'(ad)33[z ΍ '(bd)g;ōk'(bc)31[z ΍'(bd) VN)UR=max( n9(ō33ad33[z F ΍ bdi); (ōmbc33[z  ΍bd R))UR=max( n9(ō33a33[z+ ΍ bg); (ōmc33[z ΍dh)):+kDe nition17.5.62src:3160ALGEBRA2.TEXDieTBewrertung'pT: Z #!-|RausBeispiel17.3(3)Tisteinenichtarchime-discrhe{Bewertungund{dieFVortsetzung'p P:KQe~!sR{istebSenfallsnicrhtarchimedisch.|lDieseBewrertungenheienp-adische35Bewertungen.WirschreibSenjajp:=UR'p](a). Y[썍32nAlgebraTIAI{P9areigisnBeispielb17.6.֧src:3169ALGEBRA2.TEXDieFVortsetzungderp-adiscrhenBewertung'p .: Q :\![0RkXannwiefolgtbSescrhriebenOwerden.QFyurOeineOrationaleZahlFua͟zϟꍐpzb2Qnehmenwir(a;b)=1an.QDannistaϷ=p2ida20ɹmit2(p;a209)=1,2(p;b)=12undiϷ12oSder2esistbϷ=p2i Rb20ɹmit(p;b209)=϶1,2(p;a)=1undiUR<0.Diep-adiscrheNormistdann!bjō33a33[z+ ΍ bgjp=URp i R:$Satz17.7.#{src:3179ALGEBRA2.TEXEinesBewertungs'˕:RKJ!Ristgenaudannarffchimedisch,s"wennesZahln˕2Ngibt35mit'(n1)UR>1.Beweis.+܌src:3185ALGEBRA2.TEXSei@O'nicrht@Oarchimedisch.ATDannist'(nN1)UR='(1N+N:::h+N1)max3|('(1);:::ʜ;'(1))='(1)UR=1.src:3189ALGEBRA2.TEXSei'(n1)UR1fSyurallen.Dannist'(nc)UR='(n1)'(c)UR'(c).Darausfolgt3эፍEu<'(a+b)2nM=UR'((a+b)2nP)fmM=UR'Ga2nR+G܍*n v~1 RGa2n1b+:::+G܍ n v~*n1/vGxab2n1/t+b2nPG+鍍MUR'(a2nP)+'(G܍n v~(1 RG(Ta2n1b)+:::+'(G܍ @n v~n1ΟGab2n1)+'(b2nP)|MUR'(a2nP)+'(a2n1b)+:::+'(ab2n1)+'(b2nP)MUR(n+1)max(('(a);'(b))2nP;5 usrc:3203ALGEBRA2.TEXoSder3'(aI+Hb)d5Wnȟpʟz\] wn+1- %maxBO('(a);'(b)).(Da4limn!16s%Wn4fp>fz\] wn+1^'=d1,\ergibt4sicrh'(a+Ib)dmax*('(a);'(b)).Alsoist'nicrhtarchimedisch.<Bemerkung17.8.src:3211ALGEBRA2.TEXBeieinerarcrhimedischenBewertunggibtesnatSyurlicrheZahlenmmitbSeliebiggroerBewrertung'(m),weilfSyur'(n)UR=1S+RYƹgilt'(n2tʹ)='(n)2t1+Sts2.DiesesistdasarcrhimedischeAxiominderElemenrtargeometrie.Satz17.9.src:3219ALGEBRA2.TEXSei35KeinendlicherKyorpffer.JedeBewertungvonKisttrivial.Beweis.+܌src:3224ALGEBRA2.TEXSei aUR2Kܞ,a6=0.ZDaKܞ2 eineendlicrheGruppSeist,gibteseinmmita2m Z=UR1.[Dannist'(a)2m Z=UR'(a2mĹ)='(1)=1inR+諍0x,also'(a)=1.Bemerkung417.10.Hsrc:3231ALGEBRA2.TEXDie|Dreiecrksungleichung{imp-adischenFVall{istja"+#bjpURmax3|(jajp];jbjp).Sie bSedeutet imFVallejajpy6=jbjpAfolgendes.!8O.E.d.A.seijajp<jbjp].!8Dannistjaϕ+bjpjbjp].WVeiteristjbjp=URj(a+b)ajpURmax3|(ja+bjp];jajp).2WVegenjbjp>URjajpYistdannjbjpURja+bjp],also/folgt0jbjpp=jaa+`bjp].|WirhabSengezeigt:VJedesDreiecrkmitdenSeitena,0inRgibteseinn0V2URN,sodafSyurallei;j%>n0giltjjaiajf jj<",%src:3273ALGEBRA2.TEX8"UR>0;"2R9n0V2N8i;j%>n0V:jjaiajf jj<".src:3278ALGEBRA2.TEXDieMengederCaucrhyfolgenwerdemit ' bSezeichnet.nDe nition18.2.+src:3283ALGEBRA2.TEXZwrei@Bewertungen@'璹:Rh!Rund@'20˹:Rh!Rheien"Uy@aquivalent,@wrennjedeUFVolgeV(aidڹ)i2Ngenaudannbzgl.r'eineCaucrhy-FVolgeVist,ZwennsieVbzgl.r'20ˏeineCauchy-FVolgeistSatzE18.3(Ostrorwski)..Wsrc:3290ALGEBRA2.TEXJeffde7nicht-trivialeBewertung7jj:jjaufQist\yaquivalentzurUltrffanormj:jpf'yur35einePrimzahlpoffderzurgewyohnlichenNormj:j1 UZ:=URj:jaufQ.Beweis.+܌src:3296ALGEBRA2.TEXFVall1:뀉z %%Sei)'ֹ=jj:jjeinearcrhimedischeBewertung.DannexistierteinenatSyurlicheZahlnmitjjnjj > 1.WSein0 йdiekleinstenatSyurlicrheZahlmitjjn0jj > 1.WBeachte:n0 >1.DaherhexistierteinepSositivreireelleZahl mitjjn0jjUR=n2 RA0.pWirdrSyucrkenhjedenatSyurlicrheZahlinihrern0-adiscrhenZi erndarstellungaus:ghq"nUR=a0j+a1n0+a2n 2ڍ0+:::+asnURnn2sRA0.Dajjns+1諍0JjjUR=jjn+ns+1諍0`njjURjjnjj+jjns+1諍0njj,erhaltenwir b jjnjjURjjn s+1ڍ0Jjjjjn s+1ڍ0`njjURnߍ(s+1) S0o(n n+1ڍ0/tn) ;"Y[썍34nAlgebraTIAI{P9areigisn src:3340ALGEBRA2.TEXdennjjns+1諍0JjjR=nߍ(s+1) S0 rLundnacrhdererstenUngleichunggiltjjns+1諍0v#njjR(nn+1諍0n)2 .Darauserhaltenwir#;zjjnjj>URnߍ(s+1) S0o(ns+1諍0`n2sRA0)2 ?(dann2sRA0)G%>=URnߍ(s+1) S0\ş h#q1  T1FugU1۟z Rnq0d 1D] 79 i>URCܞ20n2 &<src:3350ALGEBRA2.TEXmiteinerKonstanrtenCܞ20׹,dievon 7undn0abhyangt,jedoSchnichtvonn.InsbSesondereist Wjjnjj N n=URjjn NDjjCܞ 0׹(n N) J=Cܞ 0׹(n ) N src:3354ALGEBRA2.TEXoSder:4}jjnjjURpNs2Aps4Az  Cܞ0n :fsrc:3356ALGEBRA2.TEXWirbildendenLimesfSyurN6!1underhaltenjjnjjURn2 ,alsoЮjjnjjUR=n :src:3360ALGEBRA2.TEXWVegenderVertryaglicrhkeitmitProSduktenerhaltenwirjjFu33r33zbꍐsxjjUR=jFu33r33zbꍐsj2 lfSyurallerationalenZahlenFu33r33zbꍐs 2URQ.#Zsrc:3364ALGEBRA2.TEXWirLzeigenjetzt,daKdiegewyohnlicrheNormjxjyaquivXalentistzurgegebSenenNormjjxjj.DazubSetracrhtenwiraiO'taj undunrtersuchendieCauchyfolgenbedingung. Da >Q0unddamitdieFVunktionR+ q3URx7!x2 J2R+  strengmonotonwrachsendist,istڙjaiajf jUR<"()jaiajf j J<UR" :src:3371ALGEBRA2.TEXDamitist(aidڹ)genaudanneineCaucrhyfolgebzgl.j:j,wenneseineCauchyfolgebzgl.jj:jjist.DiebSeidenNormensindalsoyaquivXalenrt.src:3375ALGEBRA2.TEXFVall2:뀉z %$uSeiP-'=jj:jjeineP,nicrhtarchimedischeBewertung.PDanngiltfSyurP,jedenatSyurlicheZahln]die]Gleicrhungjjnjj"#1.^cSein0 diekleinstenatSyurliche]Zahlmitjjn0jj"<1.^cEin]solcrhesn0existiert,wreildieBewertungnichttrivialist.src:3381ALGEBRA2.TEXWirzeigen,Wdan0 einePrimzahlist.Sein0 f=cn1Qn2 mitn1;n2<cn0.Dannistjjn1jjb=jjn2jjUR=1unddamitjjn0jjUR=jjn1jjjjn2jjUR=1.AlsokXannn0nrureinePrimzahlpUR:=n0sein.src:3386ALGEBRA2.TEXSeizqks6=:peinezwreiterePrimzahlinN.|Angenommenjjqn9jj:<1.|DanngibtzeseinNmitjjqn92N}jjUR=jjqn9jj2N n09n2N8i>n:'(aibidڹ)<":0 Bemerkung 19.2.)src:3441ALGEBRA2.TEXSeiY(aidڹ)YeineCaucrhy-FVolgeYinQbSezyuglicrhYderp-adischenYBewertungj:jp].D Danngibt eszujedem"UR>0einn0V2N,sodafSyurallei;j%>URn0giltjaimajf jp=(1=p)2kx<"oSderFu1Rz ҟjT\t;7k;p;\)Пi"<URp,7wrobeip2k#diegryotepProtenzist,7dieaiNjaj)teilt.Beacrhte:gfSyurrationaleaikXann܆kQŹaucrhnegativsein:6iaUR=ōr[z ΍ s#=ōp2ukrS20[zݟ ΍Jpv s0=p uvōrS20[zmR ΍ s0WՍsrc:3449ALGEBRA2.TEXmit(p;rS20!ǹ)9=:(p;s209)=1.Mansiehrtsoauch,dadieWVerte,diej:jpannehmenkXann,vronderFVormp2k#;ko2URZoSder0sind.6src:3453ALGEBRA2.TEXSeiUr^=Fuazϟꍐpzb2fQundr]=p2iFu a-:0 z5ꍐpzb0+mit(p;a209)=f(p;b209)=f1.LDannUistjrSjp .,<"genaudann,~wrennp2iAf<@"tgenautdann,twrennFu1Ɵz@ꍐ)"[0qgegebSenmit n1OU2QN, sodafSyur allei>n1̿giltjai&bidjpV<R", undmit n2OU2N, soda fSyuralleiQ>n2gilt[jbicidjp<UR",]so\istjaicidjp=URj(aibidڹ)+(bicidڹ)jpURmax3|(jaibidjp];jbicidjp])UR<"[fSyuralleiUR>max3|(n1;n2),also(aidڹ)UR(ci).src:3494ALGEBRA2.TEXWirde nierenzunyacrhstdieEinbSettungvonQinQp].JedemElementrH2^Qordenenwirjzu0dieupx/AquivXalenzklassederkronstantenCauchyfolge0(rS).MDieseAbbildungistinjektiv,5dennf`wrenn`z¡ p(rS)=UR`zi 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R:7src:3657ALGEBRA2.TEXScrhlielichgZkyonnengYwirVielfacrhevongZp2i4zuraddieren,gyumeineganzeZahlzwiscrhen0undp2i1zuerhalten,diewreiterhinjr6ajpURp2i erfSyullt.^Satz_19.7.*src:3661ALGEBRA2.TEXJeffdes:Elementain:Zp besitztgenaueineCauchyfolge(aidjic42N0):alsRepryasen-tanten,35f'yurdiegilt:W(1)%src:3665ALGEBRA2.TEX0URai,URp iq08ٍsrc:3676ALGEBRA2.TEXfSyuralleiURi0,also(aidڹ)UR6(bi).f`src:3678ALGEBRA2.TEXSei}nruneine}bSeliebigeCauchyfolge(bidڹ)gegebSen(aUR=`zL p(bi)ܞ).~>Wir}sucrhen}einedazuyaquivXalenteFVolge(aidڹ),Tdie(1)und(2)erfSyullt.yFSyurallejŹ=/1;2;3;:::bseinj dienatSyurlicrheZahl,Tsoda%jbibk#jp 4m;p2j fSyurallei;kWm:njf .'eWirwyahlendienjstrengmonotonwrachsend,%alsoinsbSesonderenj\URjӹ.src:3680ALGEBRA2.TEXWirhabSenjbidjpUR1fyuralleiURn1,dennfyurallekoURn1gilt#JvjbidjpURmax3|(jbk#jp];jbibkjp)URmax3|(jbk#jp;p 1 \|); src:3682ALGEBRA2.TEXundjbk#jp 6:!jajpUR1mitko!+N1.src:3684ALGEBRA2.TEXWir{kyonnendaherLemma19.6anrwenden{und{konstruierenganzeZahlenaiࣹmit0URai,0.|Wirmrultiplizierenamitp2n Bunderhaltenjb<=jabjp=>j1jp 7=1, also Bjbjp 8=1. Damit CistnacrhDe nitionb>2Zp], alsoa BinZpD inrvertierbar.j$Mitgderp-adiscrhengDarstellungvona*=(:::ʞa2a1a0)p /7giltgjajp =)p2k ,hn),wrenn aeineeinepSositivrerationaleZahl%ist,derenNennereineProtenzvonpist.(3)%src:3752ALGEBRA2.TEXEinp-adiscrheDarstellungvonaistpSeriodischgenaudann,wennaUR2Q.(mY[썍40nAlgebraTIAI{P9areigisn썍(4)%src:3754ALGEBRA2.TEX(*"gFVermat-l\Ҕ)dDiedGleicrhungx2px%=0dhatpvrerschiedeneNullstellenda0;:::ʜ;ap1in%Qp(TVeicrhmSyullerZi ern).DieseerfSyullenai,URimoSd":p.D (5)%src:3756ALGEBRA2.TEX(*"gEisensteinkriterium-l\Ҕ)bSeifG(x)S=RP*un U_uk6=0#v ak#x2k einProlynominZp][x].ǴWVennai0-R0%moSd@hp"fSyur"iŹ=0;:::ʜ;n1,"an ]6Ź0moSd":pund"wrenna0t60moSd":p22,"dannist"fG(x)%irreduzibSelinQp].(6)%src:3758ALGEBRA2.TEXEine#ReiheP*,1 U_,i=0"ciYmitciinQp ܹkronvergiert#~genau#dann,#wenn(cidڹ)eineNullfolge%bilden.(7)%src:3760ALGEBRA2.TEXZpistfolgenkrompakt,d.h.jedeFVolgeinZphateinekronvergenteTVeilfolge.(8)%src:3762ALGEBRA2.TEXDeralgebraiscrheAbschluKz Qp vonQp`istnicrhtvollstyandig,AtryagtjedoScheinep-adische%TVopSologie.kZDiejVervrollstyandigungj vonKz Qp߹istalgebraischabgeschlossen.kZ jistdas%bSestenicrhtarchimedischeAnalogonzudenkomplexenZahlenC.F;YG(15" cmmi9.%n eufm10-o cmr9,N cmbx12+@ cmti12)ppmsbm8( msbm10% msam10#a6cmex8"u cmex10!q% cmsy6 K cmsy8!", cmsy10;cmmi62cmmi8g cmmi12Aacmr6|{Ycmr8- cmcsc10XQ ff cmr12DtqGcmr17XQ cmr12