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915 y(W)-8 b(e)27 b(\014rst)f(giv)m(e)g(a)g(short)g(in)m(tro)s(duction)f (to)g(comm)m(utativ)m(e)g(algebraic)f(geometry)i(in)f(this)h(setup)0 1031 y(and)32 b(dev)m(elop)g(a)f(dualit)m(y)g(b)s(et)m(w)m(een)i(the)f (category)g(of)f(a\016ne)i(\(algebraic\))c(spaces)k(and)f(the)g(cate-)0 1147 y(gory)g(of)h(\(\014nitely)e(generated\))j(comm)m(utativ)m(e)d (algebras.)149 1264 y(Then)25 b(w)m(e)g(will)c(transfer)j(it)f(to)g (the)h(noncomm)m(utativ)m(e)f(situation.)39 b(The)25 b(functorial)d(approac)m(h)0 1380 y(to)31 b(algebraic)g(geometry)g(is)h (not)f(to)s(o)g(often)h(used)h(but)f(it)f(lends)h(itself)e (particularly)g(w)m(ell)h(to)h(the)0 1496 y(study)e(of)f(the)g(noncomm) m(utativ)m(e)f(situation.)41 b(Ev)m(en)30 b(in)e(that)h(situation)f (one)h(obtains)f(space-lik)m(e)0 1612 y(ob)5 b(jects.)149 1729 y(The)41 b(c)m(hapter)g(will)d(close)h(with)h(a)f(\014rst)i(step)g (to)e(construct)i(automorphism)d(\\groups")h(of)0 1845 y(noncomm)m(utativ)m(e)30 b(spaces.)45 b(Since)31 b(the)h(construction) f(of)g(in)m(v)m(erses)i(presen)m(ts)g(sp)s(ecial)e(problems)0 1961 y(w)m(e)42 b(will)d(only)h(construct)j(endomorphism)c(\\monoids")h (in)g(this)h(c)m(hapter)h(and)f(p)s(ostp)s(one)h(the)0 2077 y(study)34 b(of)e(in)m(v)m(ertible)g(endomorphisms)g(or)g (automorphisms)f(to)h(the)h(next)g(c)m(hapter.)149 2194 y(A)m(t)g(the)g(end)h(of)e(the)h(c)m(hapter)g(y)m(ou)g(should)273 2352 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)34 b(ho)m(w)f(to)g(construct)g(an)g (a\016ne)g(sc)m(heme)h(from)d(a)h(comm)m(utativ)m(e)g(algebra,)273 2468 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)34 b(ho)m(w)f(to)g(construct)g(the)g (function)f(algebra)g(of)g(an)g(a\016ne)h(sc)m(heme,)273 2584 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)34 b(what)f(a)f(noncomm)m(utativ)m(e)g (space)i(is)e(and)g(kno)m(w)i(examples)f(of)f(suc)m(h,)273 2701 y Fx(\017)41 b Fz(understand)47 b(and)f(b)s(e)g(able)f(to)g (construct)i(endomorphism)d(quan)m(tum)i(monoids)e(of)364 2817 y(certain)33 b(noncomm)m(utativ)m(e)e(spaces,)273 2933 y Fx(\017)41 b Fz(understand,)d(wh)m(y)f(endomorphism)d(quan)m (tum)h(monoids)f(are)i(not)f(made)g(out)g(of)g(en-)364 3049 y(domorphisms)d(of)g(a)g(noncomm)m(utativ)m(e)g(space.)443 3372 y Fv(1.)56 b(The)38 b(Principles)c(of)k(Comm)m(utativ)m(e)d (Algebraic)h(Geometry)149 3546 y Fz(W)-8 b(e)41 b(will)d(b)s(egin)i (with)g(simplest)f(form)g(of)h(\(comm)m(utativ)m(e\))f(geometric)g (spaces)j(and)f(see)g(a)0 3662 y(dualit)m(y)33 b(b)s(et)m(w)m(een)k (these)f(v)m(ery)g(simple)d(\\spaces")i(and)g(certain)f(comm)m(utativ)m (e)f(algebras.)49 b(This)0 3779 y(example)39 b(will)e(sho)m(w)k(ho)m(w) g(the)f(concept)g(of)g(a)f(function)g(algebra)g(can)g(b)s(e)h(used)h (to)e(ful\014ll)f(the)0 3895 y(dream)h(of)g(geometry)h(in)f(this)g (situation.)64 b(It)40 b(will)d(also)i(sho)m(w)i(the)f(functorial)e (metho)s(ds)h(that)0 4011 y(will)31 b(b)s(e)i(applied)f(throughout)i (this)e(text.)47 b(It)33 b(is)g(a)g(particularly)e(simple)g(example)i (of)g(a)g(dualit)m(y)0 4127 y(as)g(men)m(tioned)g(in)f(the)h(in)m(tro)s (duction.)43 b(This)33 b(example)f(will)f(not)h(b)s(e)h(used)i(later)c (on,)i(so)g(w)m(e)h(will)0 4244 y(only)e(sk)m(etc)m(h)j(the)e(pro)s (ofs)f(for)g(some)h(of)f(the)h(statemen)m(ts.)149 4402 y Fv(Example)e(1.1.1.)38 b Fz(Consider)28 b(a)f(set)h(of)f(p)s(oin)m (ts)g(without)g(an)m(y)h(additional)c(geometric)j(struc-)0 4518 y(ture.)51 b(So)34 b(the)i(geometric)d(space)j(is)e(just)i(a)e (set.)51 b(W)-8 b(e)35 b(in)m(tro)s(duce)g(the)g(notion)f(of)g(its)h (algebra)e(of)0 4634 y(functions.)149 4751 y(Let)45 b Ft(X)52 b Fz(b)s(e)44 b(a)g(set.)79 b(Then)46 b Fu(K)1269 4714 y Fq(X)1390 4751 y Fz(:=)i(Map\()p Ft(X)r(;)17 b Fu(K)h Fz(\))50 b(is)43 b(a)h Fu(K)18 b Fz(-algebra)48 b(with)c(comp)s(onen)m(t)m(wise)0 4867 y(addition)31 b(and)i(m)m(ultiplication:)39 b(\()p Ft(f)32 b Fz(+)22 b Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(:=)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))23 b(+)f Ft(g)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))32 b(and)h(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(:=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\).)44 b(W)-8 b(e)0 4983 y(study)34 b(this)e(fact)g(in)g (more)g(detail.)149 5099 y(The)25 b(set)f Fu(K)556 5063 y Fq(X)653 5099 y Fz(considered)g(as)g(a)f(v)m(ector)i(space)f(with)g (the)f(addition)f(\()p Ft(f)14 b Fz(+)t Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(:=)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))t(+)t Ft(g)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))0 5216 y(and)33 b(the)h(scalar)f(m)m (ultiplication)28 b(\()p Ft(\013)q(f)11 b Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(:=)g Ft(\013)q(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))33 b(de\014nes)i(a)e(represen)m(table)h(con)m(tra)m(v)-5 b(arian)m(t)p eop %%Page: 3 6 3 5 bop 529 251 a Fw(1.)35 b(THE)e(PRINCIPLES)g(OF)g(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(ALGEBRAIC)g(GEOMETR)-6 b(Y)491 b(3)0 450 y Fz(functor)1446 607 y Fu(K)1517 566 y Fz(-)1587 607 y(:)28 b Fx(S)n Fs(et)45 b Fx(\000)-60 b(!)27 b(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Ft(:)0 785 y Fz(This)35 b(functor)g(is)g(a)g(represen) m(table)h(functor)g(represen)m(ted)h(b)m(y)f Fu(K)18 b Fz(.)57 b(In)35 b(fact)g Fu(K)2894 749 y Fq(h)2976 785 y Fz(:)d Fu(K)3107 749 y Fq(Y)3206 785 y Fx(\000)-60 b(!)32 b Fu(K)3426 749 y Fq(X)3534 785 y Fz(is)0 901 y(a)i(linear)g(map)g(for)g(ev)m(ery)j(map)c Ft(h)f Fz(:)g Ft(X)39 b Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(Y)56 b Fz(since)35 b Fu(K)2046 865 y Fq(h)2097 901 y Fz(\()p Ft(\013)q(f)f Fz(+)23 b Ft(\014)6 b(g)t Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))31 b(=)g(\()p Ft(\013)q(f)j Fz(+)24 b Ft(\014)6 b(g)t Fz(\)\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))30 b(=)0 1018 y Ft(\013)q(f)11 b Fz(\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))d(+)g Ft(\014)e(g)t Fz(\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))26 b(=)i(\()p Ft(\013)q(f)11 b(h)d Fz(+)g Ft(\014)e(g)t(h)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))26 b(=)i(\()p Ft(\013)q Fu(K)1929 981 y Fq(h)1980 1018 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))d(+)g Ft(\014)e Fu(K)2338 981 y Fq(h)2389 1018 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\)\)\()p Ft(x)p Fz(\))25 b(hence)i Fu(K)3046 981 y Fq(h)3096 1018 y Fz(\()p Ft(\013)q(f)19 b Fz(+)8 b Ft(\014)e(g)t Fz(\))26 b(=)0 1134 y Ft(\013)q Fu(K)134 1098 y Fq(h)185 1134 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))22 b(+)g Ft(\014)6 b Fu(K)572 1098 y Fq(h)623 1134 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\).)149 1250 y(Consider)31 b(the)g(homomorphism)d Ft(\034)39 b Fz(:)28 b Fu(K)1614 1214 y Fq(X)1705 1250 y Fx(\012)18 b Fu(K)1872 1214 y Fq(Y)1966 1250 y Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)2182 1214 y Fq(X)6 b Fr(\002)p Fq(Y)2367 1250 y Fz(,)31 b(de\014ned)h(b)m(y)f Ft(\034)11 b Fz(\()p Ft(f)29 b Fx(\012)18 b Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(x;)f(y)t Fz(\))26 b(:=)0 1366 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(y)t Fz(\).)40 b(In)26 b(order)h(to)f(obtain)f(a)h(unique)h(homomorphism)d Ft(\034)38 b Fz(de\014ned)28 b(on)e(the)h(tensor)g(pro)s(duct)0 1482 y(w)m(e)32 b(ha)m(v)m(e)h(to)e(sho)m(w)i(that)e Ft(\034)988 1446 y Fr(0)1039 1482 y Fz(:)d Fu(K)1166 1446 y Fq(X)1259 1482 y Fx(\002)20 b Fu(K)1427 1446 y Fq(Y)1522 1482 y Fx(\000)-60 b(!)27 b Fu(K)1738 1446 y Fq(X)5 b Fr(\002)p Fq(Y)1954 1482 y Fz(is)31 b(a)g(bilinear)e(map)i (:)43 b Ft(\034)2821 1446 y Fr(0)2844 1482 y Fz(\()p Ft(f)31 b Fz(+)19 b Ft(f)3115 1446 y Fr(0)3138 1482 y Ft(;)e(g)t Fz(\)\()p Ft(x;)g(y)t Fz(\))26 b(=)0 1599 y(\()p Ft(f)15 b Fz(+)t Ft(f)240 1563 y Fr(0)263 1599 y Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))26 b(=)h(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))t(+)t Ft(f)1111 1563 y Fr(0)1134 1599 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))27 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))t(+)t Ft(f)2124 1563 y Fr(0)2146 1599 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))26 b(=)h(\()p Ft(\034)2676 1563 y Fr(0)2700 1599 y Fz(\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\))t(+)t Ft(\034)3061 1563 y Fr(0)3084 1599 y Fz(\()p Ft(f)3181 1563 y Fr(0)3204 1599 y Ft(;)g(g)t Fz(\)\)\()p Ft(x;)g(y)t Fz(\))0 1715 y(giv)m(es)46 b(the)h(additivit)m(y)d(in)h(the)h(left)f(hand)h(argumen) m(t.)83 b(The)47 b(additivit)m(y)d(in)h(the)i(righ)m(t)e(hand)0 1831 y(argumen)m(t)c(and)h(the)g(bilinearit)m(y)c(is)j(c)m(hec)m(k)m (ed)k(similarly)-8 b(.)66 b(One)42 b(can)g(c)m(hec)m(k)h(that)f Ft(\034)52 b Fz(is)41 b(alw)m(a)m(ys)0 1947 y(injectiv)m(e.)i(If)33 b Ft(X)40 b Fz(or)32 b Ft(Y)54 b Fz(are)33 b(\014nite)f(then)h Ft(\034)44 b Fz(is)32 b(bijectiv)m(e.)149 2099 y(As)e(a)e(sp)s(ecial)g (example)g(w)m(e)i(obtain)e(a)h(m)m(ultiplication)24 b Fx(r)k Fz(:)f Fu(K)2436 2063 y Fq(X)2524 2099 y Fx(\012)14 b Fu(K)2687 2063 y Fq(X)2849 2043 y(\034)2788 2099 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Fu(K)3048 2063 y Fq(X)5 b Fr(\002)p Fq(X)3294 2043 y Fp(K)3340 2019 y Fo(\001)3267 2099 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Fu(K)3527 2063 y Fq(X)0 2215 y Fz(where)36 b(\001)31 b(:)f Ft(X)39 b Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(X)g Fx(\002)24 b Ft(X)42 b Fz(in)33 b Fx(S)n Fs(et)52 b Fz(is)34 b(the)g(diagonal)e(map)i(\001\()p Ft(x)p Fz(\))d(:=)g(\()p Ft(x;)17 b(x)p Fz(\).)49 b(F)-8 b(urthermore)34 b(w)m(e)0 2361 y(get)26 b(a)g(unit)f Ft(\021)32 b Fz(:)c Fu(K)636 2324 y Fr(f\003)q(g)819 2304 y Fp(K)865 2281 y Fn(\017)780 2361 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Fu(K)1039 2324 y Fq(X)1139 2361 y Fz(where)g Ft(\017)h Fz(:)g Ft(X)36 b Fx(\000)-60 b(!)27 b(f\003g)f Fz(is)f(the)i(unique)g(map)e(in)m(to)g(the)i(one)f (elemen)m(t)0 2477 y(set.)55 b(One)36 b(v)m(eri\014es)i(easily)d(that)h (\()p Fu(K)1336 2441 y Fq(X)1410 2477 y Ft(;)17 b(\021)t(;)g Fx(r)p Fz(\))35 b(is)h(a)g Fu(K)17 b Fz(-algebra.)59 b(Tw)m(o)37 b(prop)s(erties)f(are)g(essen)m(tial)0 2593 y(here,)e(the)f(asso)s(ciativit)m(y)f(and)h(the)g(unit)f(of)h Fu(K)56 b Fz(and)33 b(the)g(fact)g(that)g(\()p Ft(X)r(;)17 b Fz(\001)p Ft(;)g(\017)p Fz(\))33 b(is)f(a)h(\\comonoid")0 2709 y(in)f(the)h(category)g Fx(S)n Fs(et)17 b Fz(:)1208 3360 y Ft(X)30 b Fx(\002)22 b Ft(X)383 b(X)30 b Fx(\002)23 b Ft(X)30 b Fx(\002)22 b Ft(X)p 1536 3332 318 4 v 1771 3330 a Fm(-)1620 3394 y Fl(\001)p Fr(\002)p Fl(1)1313 2872 y Ft(X)594 b(X)30 b Fx(\002)22 b Ft(X)p 1430 2844 529 4 v 1876 2842 a Fm(-)1665 2823 y Fl(\001)p 1356 3262 4 351 v 1357 3262 a Fm(?)1260 3109 y Fl(\001)p 2136 3262 V 2137 3262 a Fm(?)2176 3105 y Fl(1)p Fr(\002)p Fl(\001)970 3605 y Ft(X)984 b(X)30 b Fx(\002)22 b Ft(X)p 1088 3577 919 4 v 1924 3575 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Fu(K)3462 3987 y Fq(X)3535 4023 y Fz(\).)0 4139 y(Th)m(us)34 b(the)f(dream)f(of)g (geometry)h(is)f(satis\014ed)h(in)f(this)g(particular)f(example.)149 4286 y(The)44 b(ab)s(o)m(v)m(e)g(example)f(sho)m(ws)h(that)f(w)m(e)h (ma)m(y)f(hop)s(e)g(to)f(gain)g(some)h(information)d(on)j(the)0 4402 y(space)33 b(\(set\))f Ft(X)40 b Fz(b)m(y)33 b(kno)m(wing)f(its)f (algebra)g(of)h(functions)f Fu(K)2205 4366 y Fq(X)2310 4402 y Fz(and)h(applying)f(the)h(functor)g(Sp)s(ec)0 4518 y(to)i(it.)46 b(F)-8 b(or)33 b(\014nite)h(sets)h(and)f(certain)f (algebras)g(the)i(functors)f Fu(K)2397 4482 y Fz(-)2473 4518 y(and)g(Sp)s(ec)h(actually)d(de\014ne)j(a)0 4634 y(category)e(dualit)m(y)-8 b(.)42 b(W)-8 b(e)33 b(are)g(going)e(to)h (expand)i(this)e(dualit)m(y)g(to)g(larger)f(categories.)149 4751 y(W)-8 b(e)35 b(shall)f(carry)h(some)f(geometric)f(structure)j(in) m(to)e(the)h(sets)h Ft(X)42 b Fz(and)35 b(will)d(study)k(the)f(con-)0 4867 y(nection)47 b(b)s(et)m(w)m(een)h(these)g(geometric)e(spaces)i (and)f(their)f(algebras)g(of)g(functions.)86 b(F)-8 b(or)46 b(this)0 4983 y(purp)s(ose)34 b(w)m(e)h(will)c(describ)s(e)j(sets)g(of) f(p)s(oin)m(ts)g(b)m(y)i(their)e(co)s(ordinates.)45 b(Examples)34 b(are)f(the)h(circle)0 5099 y(or)39 b(the)g(parab)s(ola.)61 b(More)40 b(generally)e(the)h(geometric)f(spaces)j(w)m(e)f(are)f(going) f(to)h(consider)g(are)0 5216 y(so)i(called)f(a\016ne)h(sc)m(hemes)i (describ)s(ed)f(b)m(y)g(p)s(olynomial)37 b(equations.)69 b(W)-8 b(e)41 b(will)e(see)j(that)e(suc)m(h)p eop %%Page: 5 8 5 7 bop 529 251 a Fw(1.)35 b(THE)e(PRINCIPLES)g(OF)g(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(ALGEBRAIC)g(GEOMETR)-6 b(Y)491 b(5)0 450 y Fz(geometric)38 b(spaces)j(are)e(completely)g(describ)s(ed)h(b)m (y)g(their)f(algebras)g(of)g(functions.)63 b(Here)41 b(the)0 566 y(Y)-8 b(oneda)33 b(Lemma)e(will)f(pla)m(y)j(a)f(cen)m (tral)g(r^)-49 b(ole.)149 683 y(W)-8 b(e)38 b(will,)e(ho)m(w)m(ev)m (er,)k(tak)m(e)e(a)f(di\013eren)m(t)g(approac)m(h)h(to)f(functions)g (algebras)f(and)h(geometric)0 799 y(spaces,)g(than)d(one)h(do)s(es)f (in)g(algebraic)f(geometry)-8 b(.)49 b(W)-8 b(e)34 b(use)i(the)f (functorial)d(approac)m(h,)j(whic)m(h)0 915 y(lends)42 b(itself)f(to)g(an)h(easier)g(access)i(to)d(the)i(principles)e(of)g (noncomm)m(utativ)m(e)g(geometry)-8 b(.)72 b(W)-8 b(e)0 1031 y(will)41 b(de\014ne)j(geometric)e(spaces)j(as)e(certain)g (functors)g(from)f(the)i(category)f(of)g(comm)m(utativ)m(e)0 1147 y(algebras)34 b(to)h(the)g(category)g(of)f(sets.)51 b(These)37 b(sets)f(will)c(ha)m(v)m(e)k(a)f(strong)g(geometrical)d (meaning.)0 1264 y(The)45 b(functors)g(will)d(asso)s(ciate)h(with)h (eac)m(h)h(algebra)e Ft(A)h Fz(the)h(set)g(of)e(p)s(oin)m(ts)h(of)g(a)f (\\geometric)0 1380 y(v)-5 b(ariet)m(y",)32 b(where)i(the)f(p)s(oin)m (ts)f(ha)m(v)m(e)i(co)s(ordinates)e(in)g(the)h(algebra)f Ft(A)p Fz(.)149 1524 y Fv(De\014nition)f(1.1.2.)39 b Fz(The)29 b(functor)f Fu(A)56 b Fz(=)27 b Fu(A)1766 1488 y Fl(1)1839 1524 y Fz(:)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)43 b Fx(\000)-59 b(!)27 b(S)n Fs(et)45 b Fz(\(the)28 b(underlying)g(functor\))0 1640 y(that)23 b(asso)s(ciates)g(with)g(eac) m(h)h(comm)m(utativ)m(e)e Fu(K)c Fz(-algebra)27 b Ft(A)d Fz(its)e(space)j(\(set\))e(of)g(p)s(oin)m(ts)g(\(elemen)m(ts\))0 1756 y Ft(A)33 b Fz(is)f(called)f(the)i Fs(a\016ne)h(line)p Fz(.)149 1900 y Fv(Lemma)k(1.1.3.)k Fs(The)34 b(functor)h(\\a\016ne)f (line")g(is)h(a)f(r)-5 b(epr)g(esentable)34 b(functor.)149 2084 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(By)24 b(Lemma)e(2.3.5)h(the)h(represen)m (ting)g(ob)5 b(ject)24 b(is)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(].)47 b(Observ)m(e)25 b(that)e(it)g(is)f(unique)0 2200 y(up)33 b(to)f(isomorphism.)2696 b Fh(\003)149 2385 y Fv(De\014nition)47 b(1.1.4.)g Fz(The)c(functor)g Fu(A)1616 2348 y Fl(2)1705 2385 y Fz(:)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)60 b Fx(\000)-59 b(!)43 b(S)n Fs(et)59 b Fz(that)42 b(asso)s(ciates)g(with)g(eac)m(h)0 2501 y(comm)m(utativ)m(e) 32 b(algebra)g Ft(A)h Fz(the)h(space)g(\(set\))g(of)f(p)s(oin)m(ts)f (\(elemen)m(ts\))i(of)e(the)i(plane)f Ft(A)3185 2465 y Fl(2)3257 2501 y Fz(is)g(called)0 2617 y(the)g Fs(a\016ne)h(plane)p Fz(.)149 2761 y Fv(Lemma)k(1.1.5.)k Fs(The)34 b(functor)h(\\a\016ne)f (plane")g(is)g(a)h(r)-5 b(epr)g(esentable)34 b(functor.)149 2945 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Similar)24 b(to)j(Lemma)f(2.3.9)g(the)i (represen)m(ting)g(ob)5 b(ject)28 b(is)f Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)2794 2960 y Fl(1)2839 2945 y Ft(;)g(x)2938 2960 y Fl(2)2978 2945 y Fz(].)42 b(This)27 b(algebra)0 3061 y(is)32 b(unique)h(up)g(to)f(isomorphism.)2281 b Fh(\003)149 3245 y Fz(Let)34 b Ft(p)374 3260 y Fl(1)413 3245 y Fz(\()p Ft(x)506 3260 y Fl(1)546 3245 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)820 3260 y Fq(n)867 3245 y Fz(\))p Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1173 3260 y Fq(m)1239 3245 y Fz(\()p Ft(x)1332 3260 y Fl(1)1372 3245 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1646 3260 y Fq(n)1693 3245 y Fz(\))29 b Fx(2)g Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2009 3260 y Fl(1)2055 3245 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2329 3260 y Fq(n)2376 3245 y Fz(])33 b(b)s(e)h(a)f(family)e(of)i(p)s(olynomials.) 0 3361 y(W)-8 b(e)36 b(w)m(an)m(t)h(to)e(consider)h(the)h (\(geometric\))d(v)-5 b(ariet)m(y)36 b(of)f(zeros)i(of)e(these)i(p)s (olynomials.)50 b(Observ)m(e)0 3478 y(that)24 b Fu(K)48 b Fz(ma)m(y)24 b(not)g(con)m(tain)g(su\016cien)m(tly)h(man)m(y)f(zeros) h(for)e(these)j(p)s(olynomials.)38 b(Th)m(us)25 b(w)m(e)h(are)e(go-)0 3594 y(ing)i(to)g(admit)f(zeros)j(in)e(extension)i(\014elds)f(of)f Fu(K)51 b Fz(or)26 b(more)g(generally)g(in)g(arbitrary)g(comm)m(utativ) m(e)0 3710 y Fu(K)17 b Fz(-algebras.)149 3826 y(In)44 b(the)g(follo)m(wing)c(rather)j(simple)f(buildup)g(of)h(comm)m(utativ)m (e)f(algebraic)g(geometry)-8 b(,)46 b(the)0 3943 y(reader)39 b(should)g(carefully)f(v)m(erify)h(in)f(whic)m(h)i(statemen)m(ts)g(and) f(pro)s(ofs)f(the)h(comm)m(utativit)m(y)e(is)0 4059 y(really)h(needed.) 65 b(Most)39 b(of)g(the)h(follo)m(wing)c(will)h(b)s(e)i(v)m(erbally)g (generalized)g(to)f(not)h(necessarily)0 4175 y(comm)m(utativ)m(e)32 b(algebras.)149 4319 y Fv(De\014nition)38 b(1.1.6.)k Fz(Giv)m(en)34 b(a)f(set)i(of)e(p)s(olynomials)d Fx(f)p Ft(p)2251 4334 y Fl(1)2291 4319 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(p)2558 4334 y Fq(m)2625 4319 y Fx(g)29 b(\022)h Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)2965 4334 y Fl(1)3010 4319 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)3284 4334 y Fq(n)3331 4319 y Fz(].)47 b(The)0 4435 y(functor)32 b Fx(X)46 b Fz(that)32 b(asso)s(ciates)g(with)g(eac)m(h)g(comm)m (utativ)m(e)f(algebra)g Ft(A)h Fz(the)g(set)h Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))31 b(of)h(zeros)g(of)0 4551 y(the)40 b(p)s(olynomials)d(\()p Ft(p)812 4566 y Fq(i)840 4551 y Fz(\))j(in)f Ft(A)1112 4515 y Fq(n)1199 4551 y Fz(is)h(called)e(an)i Fs(a\016ne)h(algebr)-5 b(aic)41 b(variety)f Fz(or)f(an)h Fs(a\016ne)h(scheme)0 4668 y Fz(\(in)c Fu(A)223 4631 y Fq(n)276 4668 y Fz(\))h(with)g(de\014ning)g(p)s(olynomials)d Ft(p)1551 4683 y Fl(1)1591 4668 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(p)1858 4683 y Fq(m)1925 4668 y Fz(.)60 b(The)39 b(elemen)m(ts)f(in)g Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))37 b(are)i(called)e(the)0 4784 y Ft(A)p Fz(-)p Fs(p)-5 b(oints)32 b Fz(of)g Fx(X)15 b Fz(.)149 4928 y Fv(Theorem)30 b(1.1.7.)38 b Fs(The)28 b(a\016ne)h(scheme)f Fx(X)44 b Fs(in)29 b Fu(A)2002 4892 y Fq(n)2084 4928 y Fs(with)g(de\014ning)f(p)-5 b(olynomials)28 b Ft(p)3227 4943 y Fl(1)3266 4928 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)3534 4943 y Fq(m)0 5044 y Fs(is)35 b(a)f(r)-5 b(epr)g(esentable)34 b(functor)h(with)g(r)-5 b(epr)g(esenting)34 b(algebr)-5 b(a)1038 5216 y Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))27 b(:=)h Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)1594 5231 y Fl(1)1640 5216 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e (;)i(x)1913 5231 y Fq(n)1961 5216 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)2124 5231 y Fl(1)2163 5216 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)2431 5231 y Fq(m)2497 5216 y Fz(\))p Ft(;)p eop %%Page: 6 9 6 8 bop 0 251 a Fw(6)403 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)0 450 y Fs(c)h(al)5 b(le)-5 b(d)34 b(the)h Fz(a\016ne)e(algebra)h Fs(of)g(the)h(functor)g Fx(X)15 b Fs(.)149 622 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)48 b(w)m(e)i(sho)m(w)h(that)d(the)i(a\016ne)f(sc)m(heme)i Fx(X)70 b Fz(:)55 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)71 b Fx(\000)-59 b(!)55 b(S)n Fs(et)66 b Fz(with)49 b(the)0 738 y(de\014ning)40 b(p)s(olynomials)c Ft(p)974 753 y Fl(1)1014 738 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1282 753 y Fq(m)1387 738 y Fz(is)40 b(a)f(functor.)65 b(Let)40 b Ft(f)51 b Fz(:)40 b Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)40 b Ft(B)k Fz(b)s(e)c(a)g(homomorphism)0 854 y(of)47 b(comm)m(utativ)m(e)f (algebras.)87 b(The)48 b(induced)g(map)e Ft(f)2068 818 y Fq(n)2168 854 y Fz(:)52 b Ft(A)2320 818 y Fq(n)2420 854 y Fx(\000)-59 b(!)52 b Ft(B)2669 818 y Fq(n)2763 854 y Fz(de\014ned)d(b)m(y)f(applica-)0 970 y(tion)c(of)g Ft(f)55 b Fz(on)45 b(the)g(comp)s(onen)m(ts)g(restricts)g(to)g Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))48 b Fx(\022)g Ft(A)2316 934 y Fq(n)2408 970 y Fz(as)d Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(f)c Fz(\))48 b(:)g Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))48 b Fx(\000)-60 b(!)48 b(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)0 1087 y(This)48 b(map)f(is)g(w)m(ell-de\014ned)h(for)f(let)g(\()p Ft(a)1541 1102 y Fl(1)1581 1087 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1851 1102 y Fq(n)1898 1087 y Fz(\))53 b Fx(2)h(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))47 b(b)s(e)h(a)g(zero)g(for)f(all)f(p)s(olynomi-)0 1203 y(als)j Ft(p)213 1218 y Fl(1)252 1203 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)520 1218 y Fq(m)636 1203 y Fz(then)50 b Ft(p)924 1218 y Fq(i)952 1203 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)1138 1218 y Fl(1)1177 1203 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(f) 11 b Fz(\()p Ft(a)1582 1218 y Fq(n)1629 1203 y Fz(\)\))56 b(=)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)2040 1218 y Fq(i)2067 1203 y Fz(\()p Ft(a)2156 1218 y Fl(1)2196 1203 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h (a)2466 1218 y Fq(n)2513 1203 y Fz(\)\))56 b(=)h Ft(f)11 b Fz(\(0\))55 b(=)i(0)49 b(for)g(all)f Ft(i)0 1319 y Fz(hence)41 b Ft(f)337 1283 y Fq(n)383 1319 y Fz(\()p Ft(a)472 1334 y Fl(1)512 1319 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)782 1334 y Fq(n)829 1319 y Fz(\))38 b(=)h(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)1206 1334 y Fl(1)1245 1319 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(f)11 b Fz(\()p Ft(a)1650 1334 y Fq(n)1697 1319 y Fz(\)\))39 b Fx(2)g Ft(B)1996 1283 y Fq(n)2082 1319 y Fz(is)g(a)g(zero)g(for)g(all)e(p)s(olynomials.)60 b(Th)m(us)0 1435 y Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(f)c Fz(\))27 b(:)h Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))27 b Fx(\000)-60 b(!)28 b(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))32 b(is)g(w)m(ell-de\014ned.)44 b(F)-8 b(unctorialit)m(y)30 b(of)i Fx(X)47 b Fz(is)32 b(clear)g(no)m(w.)149 1552 y(No)m(w)g(w)m(e)f(sho)m(w)h(that)e Fx(X)46 b Fz(is)30 b(represen)m(table)i(b)m(y)f Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))28 b(=)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2427 1567 y Fl(1)2473 1552 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(x)2746 1567 y Fq(n)2793 1552 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)2956 1567 y Fl(1)2996 1552 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(p)3263 1567 y Fq(m)3330 1552 y Fz(\).)42 b(Ob-)0 1668 y(serv)m(e)29 b(that)e(\()p Ft(p)532 1683 y Fl(1)571 1668 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)839 1683 y Fq(m)905 1668 y Fz(\))27 b(denotes)i(the)e(\(t)m(w)m(o-sided\))h(ideal)e(in)g Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)2475 1683 y Fl(1)2520 1668 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f (;)h(x)2794 1683 y Fq(n)2841 1668 y Fz(])27 b(generated)h(b)m(y)h(the)0 1784 y(p)s(olynomials)c Ft(p)587 1799 y Fl(1)627 1784 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)895 1799 y Fq(m)961 1784 y Fz(.)42 b(W)-8 b(e)29 b(kno)m(w)g(that)g(eac)m(h)g Ft(n)p Fz(-tup)s(el)f(\()p Ft(a)2295 1799 y Fl(1)2334 1784 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)2604 1799 y Fq(n)2651 1784 y Fz(\))28 b Fx(2)g Ft(A)2884 1748 y Fq(n)2959 1784 y Fz(uniquely)h(deter-)0 1900 y(mines)34 b(an)h(algebra)f(homomorphism) f Ft(f)42 b Fz(:)32 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)1756 1915 y Fl(1)1802 1900 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2076 1915 y Fq(n)2123 1900 y Fz(])32 b Fx(\000)-60 b(!)32 b Ft(A)j Fz(b)m(y)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)2729 1915 y Fl(1)2768 1900 y Fz(\))32 b(=)g Ft(a)2997 1915 y Fl(1)3037 1900 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(f)11 b Fz(\()p Ft(x)3407 1915 y Fq(n)3454 1900 y Fz(\))32 b(=)0 2017 y Ft(a)51 2032 y Fq(n)98 2017 y Fz(.)60 b(\(The)39 b(p)s(olynomial)c(ring)i Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)1299 2032 y Fl(1)1345 2017 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e (;)i(x)1618 2032 y Fq(n)1665 2017 y Fz(])39 b(in)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)54 b Fz(is)37 b(free)i(o)m(v)m(er)g(the) g(set)f Fx(f)p Ft(x)3162 2032 y Fl(1)3202 2017 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)3476 2032 y Fq(n)3523 2017 y Fx(g)p Fz(,)0 2133 y(or)45 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)286 2148 y Fl(1)332 2133 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x)606 2148 y Fq(n)653 2133 y Fz(])46 b(together)g(with)f(the)h(em)m(b)s(edding)g Ft(\023)k Fz(:)g Fx(f)p Ft(x)2313 2148 y Fl(1)2353 2133 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2627 2148 y Fq(n)2674 2133 y Fx(g)50 b(\000)-60 b(!)50 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)3095 2148 y Fl(1)3141 2133 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(x)3414 2148 y Fq(n)3462 2133 y Fz(])45 b(is)0 2249 y(a)c(couniv)m(ersal)g (solution)f(of)g(the)i(problem)e(giv)m(en)h(b)m(y)h(the)f(underlying)g (functor)g Fu(A)70 b Fz(:)43 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)0 2365 y Fx(\000)-60 b(!)28 b(S)n Fs(et)48 b Fz(and)31 b(the)h(set)g Fx(f)p Ft(x)939 2380 y Fl(1)979 2365 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1253 2380 y Fq(n)1300 2365 y Fx(g)27 b(2)i(S)n Fs(et)16 b Fz(.\))43 b(This)32 b(homomorphism)d(of)h(algebras)h(maps)g(p)s(oly-)0 2481 y(nomials)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)501 2496 y Fl(1)540 2481 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)814 2496 y Fq(n)861 2481 y Fz(\))33 b(in)m(to)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\))28 b(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)1584 2496 y Fl(1)1624 2481 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(a)1893 2496 y Fq(n)1940 2481 y Fz(\).)45 b(Hence)34 b(\()p Ft(a)2429 2496 y Fl(1)2469 2481 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(a)2738 2496 y Fq(n)2785 2481 y Fz(\))33 b(is)f(a)h(common)f(zero)0 2598 y(of)g(the)i(p)s (olynomials)c Ft(p)872 2613 y Fl(1)911 2598 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1179 2613 y Fq(m)1278 2598 y Fz(if)32 b(and)h(only)f(if)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)2008 2613 y Fq(i)2036 2598 y Fz(\))28 b(=)h Ft(p)2256 2613 y Fq(i)2284 2598 y Fz(\()p Ft(a)2373 2613 y Fl(1)2412 2598 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)2682 2613 y Fq(n)2729 2598 y Fz(\))28 b(=)g(0,)33 b(i.e.)45 b Ft(p)3227 2613 y Fl(1)3266 2598 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)3534 2613 y Fq(m)0 2714 y Fz(are)28 b(in)g(the)h(k)m(ernel)g(of)f Ft(f)11 b Fz(.)41 b(This)29 b(happ)s(ens)g(if)e(and)i(only)f(if)f Ft(f)39 b Fz(v)-5 b(anishes)29 b(on)f(the)h(ideal)e(\()p Ft(p)3189 2729 y Fl(1)3228 2714 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)3496 2729 y Fq(m)3562 2714 y Fz(\))0 2830 y(or)32 b(in)g(other)h(w)m(ord)g (can)g(b)s(e)g(factorized)f(through)g(the)h(residue)g(class)g(map)824 2992 y Ft(\027)h Fz(:)28 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)1115 3007 y Fl(1)1161 2992 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1435 3007 y Fq(n)1482 2992 y Fz(])27 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)1835 3007 y Fl(1)1881 2992 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(x)2154 3007 y Fq(n)2201 2992 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)2364 3007 y Fl(1)2404 2992 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)2672 3007 y Fq(m)2738 2992 y Fz(\))0 3153 y(This)33 b(induces)g(a)f(bijection)217 3315 y(Mor)393 3330 y Fp(K)5 b Fz(-)g Fg(cA)n(lg)616 3315 y Fz(\()p Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)808 3330 y Fl(1)854 3315 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(x)1127 3330 y Fq(n)1174 3315 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)1337 3330 y Fl(1)1377 3315 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(p)1644 3330 y Fq(m)1711 3315 y Fz(\))p Ft(;)g(A)p Fz(\))27 b Fx(3)h Ft(f)39 b Fx(7!)27 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)2429 3330 y Fl(1)2468 3315 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(f)11 b Fz(\()p Ft(x)2877 3330 y Fq(n)2924 3315 y Fz(\)\))27 b Fx(2)h(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Ft(:)0 3476 y Fz(No)m(w)33 b(it)f(is)g(easy)h(to)g(see)g(that)g(this)f(bijection)f (is)h(a)h(natural)e(isomorphism)f(\(in)i Ft(A)p Fz(\).)433 b Fh(\003)149 3648 y Fz(If)26 b(no)g(p)s(olynomials)d(are)j(giv)m(en)g (for)g(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)h(construction,)g(then)g(the)f(functor)h (under)f(this)0 3764 y(construction)i(is)f(the)i(a\016ne)f(space)h Fu(A)1388 3728 y Fq(n)1469 3764 y Fz(of)e(dimension)g Ft(n)p Fz(.)42 b(By)28 b(giving)f(p)s(olynomials)d(the)29 b(functor)0 3880 y Fx(X)43 b Fz(b)s(ecomes)28 b(a)g(subfunctor)h(of)e Fu(A)1227 3844 y Fq(n)1280 3880 y Fz(,)i(b)s(ecause)h(it)d(de\014nes)i (subsets)h Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b Fx(\022)g Fu(A)2868 3844 y Fq(n)2921 3880 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))f(=)h Ft(A)3274 3844 y Fq(n)3321 3880 y Fz(.)42 b(Both)0 3997 y(functors)26 b(are)g(represen)m(table)h(functors.)42 b(The)27 b(em)m(b)s(edding)e(is)h(induced)g(b)m(y)h(the)f(homomorphism) 0 4113 y(of)32 b(algebras)g Ft(\027)i Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)782 4128 y Fl(1)827 4113 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1101 4128 y Fq(n)1148 4113 y Fz(])28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)1502 4128 y Fl(1)1547 4113 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1821 4128 y Fq(n)1868 4113 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)2031 4128 y Fl(1)2070 4113 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)2338 4128 y Fq(m)2404 4113 y Fz(\).)149 4240 y Fv(Problem)36 b(1.1.1.)240 b Fz(\(1\))42 b(Determine)24 b(the)h(a\016ne)h(algebra)e(of)h(the)g(functor)h(\\unit) e(circle")364 4357 y Ft(S)430 4321 y Fl(1)502 4357 y Fz(in)32 b Fu(A)682 4321 y Fl(2)727 4357 y Fz(.)198 4473 y(\(2\))41 b(Determine)32 b(the)h(a\016ne)g(algebra)e(of)i(the)g (functor)f(\\unit)g(sphere")i Ft(S)2901 4437 y Fq(n)p Fr(\000)p Fl(1)3070 4473 y Fz(in)e Fu(A)3250 4437 y Fq(n)3303 4473 y Fz(.)198 4589 y(\(3\))41 b(Determine)35 b(the)h(a\016ne)g (algebra)e(of)h(the)h(functor)g(\\torus")f Fx(T)61 b Fz(and)36 b(\014nd)g(an)f(\\em)m(b)s(ed-)364 4705 y(ding")d(of)g Fx(T)58 b Fz(in)m(to)32 b Fu(A)1117 4669 y Fl(3)1162 4705 y Fz(.)514 4822 y(Actually)39 b Fx(T)66 b Fz(can)41 b(b)s(e)f(considered)h(as)g(pro)s(duct)g Fx(x)2395 4785 y Fl(1)2462 4822 y Fx(\002)28 b(x)2611 4785 y Fl(1)2650 4822 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))41 b(=)g Fx(x)3007 4785 y Fl(1)3047 4822 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))27 b Fx(\002)h(x)3378 4785 y Fl(1)3418 4822 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)364 4938 y(T)-8 b(ak)m(e)30 b(the)e(\014rst)h(cop)m(y)g(of)f Fx(x)1330 4902 y Fl(1)1370 4938 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))28 b(as)g(the)h(circle)e (with)h(radius)f(2,)i(then)g(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h Fx(x)3315 4902 y Fl(1)3315 4962 y(1)3354 4938 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))13 b Fx(\002)364 5054 y Ft(S)430 5018 y Fl(1)424 5079 y(2)470 5054 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))27 b(=)h Fx(f)p Fz(\()p Ft(u;)17 b(v)t(;)g(x;)g(y)t Fz(\))p Fx(j)p Ft(u)1312 5018 y Fl(2)1370 5054 y Fz(+)22 b Ft(v)1519 5018 y Fl(2)1586 5054 y Fz(=)28 b(4;)17 b Ft(x)1838 5018 y Fl(2)1899 5054 y Fz(+)22 b Ft(y)2049 5018 y Fl(2)2115 5054 y Fz(=)28 b(1)p Fx(g)p Fz(.)43 b(The)33 b(em)m(b)s(edding)g(is)817 5216 y(\()p Ft(u;)17 b(v)t(;)g(x;)g(y)t Fz(\))26 b Fx(7!)h Fz(\()p Ft(u;)17 b(v)t(;)g Fz(0\))k(+)h(1)p Ft(=)p Fz(2)p Ft(x)p Fz(\()p Ft(u;)17 b(v)t(;)g Fz(0\))j(+)i(\(0)p Ft(;)17 b Fz(0)p Ft(;)g(y)t Fz(\))p eop %%Page: 7 10 7 9 bop 529 251 a Fw(1.)35 b(THE)e(PRINCIPLES)g(OF)g(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(ALGEBRAIC)g(GEOMETR)-6 b(Y)491 b(7)364 450 y Fz(hence)34 b(the)f(algebra)f(map)g(is)583 609 y Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q(;)g(y)t(;)g(z)t Fz(])33 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(u;)g(v)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(u)1550 568 y Fl(2)1616 609 y Fz(+)22 b Ft(v)1765 568 y Fl(2)1826 609 y Fx(\000)h Fz(4\))f Fx(\012)g Fu(K)c Fz([)p Ft(x;)g(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)2554 568 y Fl(2)2620 609 y Fz(+)k Ft(y)2770 568 y Fl(2)2831 609 y Fx(\000)h Fz(1\))364 769 y(with)1465 861 y Ft(x)28 b Fx(7!)f Ft(u)22 b Fz(+)g(1)p Ft(=)p Fz(2)p Ft(xu;)1465 977 y(y)31 b Fx(7!)c Ft(v)f Fz(+)c(1)p Ft(=)p Fz(2)p Ft(xv)t(;)1465 1093 y(z)32 b Fx(7!)c Ft(y)t(:)198 1234 y Fz(\(4\))41 b(Let)30 b Fx(U)39 b Fz(denote)31 b(the)e(plane)g(curv)m (e)i Ft(xy)g Fz(=)d(1.)42 b(Then)31 b Fx(U)39 b Fz(is)29 b(not)g(isomorphic)f(to)h(the)g(a\016ne)364 1350 y(line.)42 b(\(Hin)m(t:)g(An)32 b(isomorphism)d Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)1864 1314 y Fr(\000)p Fl(1)1964 1350 y Fz(])28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(y)t Fz(])36 b(sends)d Ft(x)f Fz(to)f(a)f(p)s(olynomial)e Ft(p)p Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))364 1466 y(whic)m(h)36 b(m)m(ust)e(b)s(e)h(in)m(v)m (ertible.)50 b(Consider)35 b(the)g(highest)g(co)s(e\016cien)m(t)g(of)f Ft(p)p Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))g(and)h(sho)m(w)364 1582 y(that)e Ft(p)p Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))26 b Fx(2)i Fu(K)18 b Fz(.)49 b(But)33 b(that)f(means)h(that)f(the)h(map)f(cannot)h(b)s(e)g (bijectiv)m(e.\))364 1699 y Fx(U)43 b Fz(is)32 b(also)g(called)f(the)i Fs(unit)i(functor)p Fz(.)44 b(Can)33 b(y)m(ou)g(explain,)f(wh)m(y?)198 1815 y(\(5\))41 b(Let)e Fx(X)54 b Fz(denote)39 b(the)g(plane)f(curv)m (e)j Ft(y)g Fz(=)d Ft(x)1955 1779 y Fl(2)1995 1815 y Fz(.)62 b(Then)40 b Fx(X)53 b Fz(is)38 b(isomorphic)f(to)h(the)h (a\016ne)364 1931 y(line.)198 2047 y(\(6\))i(Let)33 b Fu(K)52 b Fz(=)27 b Fu(C)59 b Fz(b)s(e)33 b(the)g(\014eld)g(of)f (complex)g(n)m(um)m(b)s(ers.)45 b(Sho)m(w)33 b(that)g(the)g(unit)f (functor)h Fx(U)38 b Fz(:)364 2163 y Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)43 b Fx(\000)-59 b(!)27 b(S)n Fs(et)49 b Fz(in)32 b(Problem)f(\(3\))h(is)g(naturally)e(isomorphic)h(to)h(the)h (unit)e(circle)h Ft(S)3534 2127 y Fl(1)3573 2163 y Fz(.)364 2280 y(\(Hin)m(t:)57 b(There)41 b(is)e(an)g(algebra)f(isomorphism)f(b)s (et)m(w)m(een)k(the)f(represen)m(ting)h(algebras)364 2396 y Fu(K)18 b Fz([)p Ft(e;)f(e)597 2360 y Fr(\000)p Fl(1)697 2396 y Fz(])33 b(and)g Fu(K)17 b Fz([)p Ft(c;)g(s)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(c)1333 2360 y Fl(2)1400 2396 y Fz(+)22 b Ft(s)1544 2360 y Fl(2)1606 2396 y Fx(\000)g Fz(1\).\))198 2512 y(\(7\))364 2476 y Fr(\003)451 2512 y Fz(Let)48 b Fu(K)71 b Fz(b)s(e)48 b(an)g(algebraically)c(closed)k (\014eld.)89 b(Let)47 b Ft(p)h Fz(b)s(e)g(an)f(irreducible)g(square)364 2628 y(p)s(olynomial)24 b(in)j Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q(;)g(y)t Fz(].)47 b(Let)27 b Fx(Z)36 b Fz(b)s(e)27 b(the)h(conic)f(section)h (de\014ned)h(b)m(y)f Ft(p)f Fz(with)h(the)f(a\016ne)364 2745 y(algebra)36 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q(;)g(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)p Fz(\).)60 b(Sho)m(w)37 b(that)f Fx(Z)45 b Fz(is)36 b(naturally)f(isomorphic)f(either)j(to)f Fx(X)51 b Fz(or)36 b(to)364 2861 y Fx(U)43 b Fz(from)31 b(parts)i(\(4\))f(resp.)45 b(\(5\).)149 2988 y Fv(Remark)d(1.1.8.)i Fz(A\016ne)38 b(algebras)e(of)h(a\016ne)g(sc)m(hemes)i(are)e (\014nitely)f(generated)h(comm)m(u-)0 3104 y(tativ)m(e)32 b(algebras)f(and)h(an)m(y)g(suc)m(h)i(algebra)c(is)i(an)g(a\016ne)g (algebra)f(of)g(some)h(a\016ne)g(sc)m(heme,)i(since)0 3220 y Ft(A)101 3193 y Fx(\030)102 3224 y Fz(=)206 3220 y Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)360 3235 y Fl(1)405 3220 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f (;)h(x)679 3235 y Fq(n)726 3220 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)889 3235 y Fl(1)929 3220 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(p)1196 3235 y Fq(m)1263 3220 y Fz(\))32 b(\(Hilb)s(ert)f(basis)h(theorem\).) 149 3337 y(The)k(p)s(olynomials)d Ft(p)947 3352 y Fl(1)986 3337 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1254 3352 y Fq(m)1355 3337 y Fz(are)35 b(not)g(uniquely)g(determined)g(b)m(y)h(the)g(a\016ne) f(algebra)f(of)0 3453 y(an)c(a\016ne)h(sc)m(heme.)44 b(Not)31 b(ev)m(en)h(the)e(ideal)f(generated)j(b)m(y)f(the)g(p)s (olynomials)c(in)j(the)h(p)s(olynomial)0 3569 y(ring)h Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)355 3584 y Fl(1)400 3569 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h (x)674 3584 y Fq(n)721 3569 y Fz(])33 b(is)g(uniquely)g(determined.)45 b(Also)32 b(the)i(n)m(um)m(b)s(er)f(of)g(v)-5 b(ariables)32 b Ft(x)3141 3584 y Fl(1)3181 3569 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(x)3454 3584 y Fq(n)3534 3569 y Fz(is)0 3685 y(not)32 b(uniquely)h(determined.) 149 3801 y(The)g Fu(K)17 b Fz(-p)s(oin)m(ts)37 b(\()p Ft(\013)851 3816 y Fl(1)890 3801 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\013)1171 3816 y Fq(n)1218 3801 y Fz(\))27 b Fx(2)h(X)15 b Fz(\()p Fu(K)i Fz(\))38 b(of)31 b(an)g(a\016ne)h(sc)m(heme)g Fx(X)46 b Fz(\(with)31 b(co)s(e\016cien)m(ts)i(in)e(the)0 3918 y(base)39 b(\014eld)g Fu(K)17 b Fz(\))45 b(are)39 b(called)e Fs(r)-5 b(ational)40 b(p)-5 b(oints)p Fz(.)62 b(They)40 b(do)e(not)h(su\016ce)h(to)f(completely)e(describ)s(e)0 4034 y(the)c(a\016ne)g(sc)m(heme.)149 4150 y(Let)49 b(for)e(example)h Fu(K)78 b Fz(=)54 b Fu(R)59 b Fz(the)49 b(set)g(of)e(rational)f(n)m(um) m(b)s(ers.)91 b(If)48 b Fx(X)63 b Fz(and)48 b Fx(Y)56 b Fz(are)48 b(a\016ne)0 4266 y(sc)m(hemes)28 b(with)f(a\016ne)g (algebras)f Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))28 b(:=)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)2032 4230 y Fl(2)2087 4266 y Fz(+)10 b Ft(y)2225 4230 y Fl(2)2274 4266 y Fz(+)g(1\))26 b(and)h Fx(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\))28 b(:=)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)3372 4230 y Fl(2)3427 4266 y Fz(+)10 b(1\))0 4383 y(then)45 b(b)s(oth)f(sc)m(hemes)j(ha)m(v)m(e)f(no)e(rational)e(p) s(oin)m(ts.)79 b(The)45 b(sc)m(heme)h Fx(Y)8 b Fz(,)48 b(ho)m(w)m(ev)m(er,)i(has)45 b(exactly)0 4499 y(t)m(w)m(o)f(complex)f (p)s(oin)m(ts)g(\(with)g(co)s(e\016cien)m(ts)h(in)e(the)i(\014eld)f Fu(C)69 b Fz(of)43 b(complex)g(n)m(um)m(b)s(ers\))h(and)g(the)0 4615 y(sc)m(heme)39 b Fx(X)52 b Fz(has)38 b(in\014nitely)e(man)m(y)i (complex)f(p)s(oin)m(ts,)h(hence)h Fx(X)15 b Fz(\()p Fu(C)20 b Fz(\))42 b Fx(6)2585 4587 y(\030)2586 4619 y Fz(=)2698 4615 y Fx(Y)8 b Fz(\()p Fu(C)20 b Fz(\).)64 b(This)38 b(do)s(es)g(not)0 4731 y(result)g(from)f(the)i(em)m(b)s (eddings)f(in)m(to)f(di\013eren)m(t)i(spaces)g Fu(A)2188 4695 y Fl(2)2272 4731 y Fz(resp.)61 b Fu(A)2599 4695 y Fl(1)2644 4731 y Fz(.)g(In)38 b(fact)g(w)m(e)h(also)f(ha)m(v)m(e)0 4848 y Fx(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\))27 b(=)h Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)687 4811 y Fl(2)739 4848 y Fz(+)6 b(1\))936 4820 y Fx(\030)937 4852 y Fz(=)1041 4848 y Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)1460 4811 y Fl(2)1511 4848 y Fz(+)6 b(1)p Ft(;)17 b(y)t Fz(\),)25 b(so)h Fx(Y)32 b Fz(can)25 b(b)s(e)g(considered)h(as)f(an)g(a\016ne)h(sc)m(heme)0 4964 y(in)32 b Fu(A)180 4928 y Fl(2)225 4964 y Fz(.)149 5080 y(Since)27 b(eac)m(h)g(a\016ne)g(sc)m(heme)g Fx(X)41 b Fz(is)26 b(isomorphic)e(to)i(the)h(functor)f(Mor)2666 5095 y Fp(K)5 b Fz(-)g Fg(cA)n(lg)2889 5080 y Fz(\()p Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))p Ft(;)i Fz(-)o(\))26 b(w)m(e)h(will)0 5196 y(henceforth)34 b(iden)m(tify)e(these)h(t)m(w)m (o)h(functors,)f(th)m(us)h(remo)m(ving)d(anno)m(ying)i(isomorphisms.)p eop %%Page: 8 11 8 10 bop 0 251 a Fw(8)403 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)149 450 y Fv(De\014nition)55 b(1.1.9.)50 b Fz(Let)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(\013)64 b Fz(denote)49 b(the)g(category)f (of)g(all)e(comm)m(utativ)m(e)i(\014nitely)0 566 y(generated)24 b(\(or)e(a\016ne)h(cf.)41 b(1.1.8\))22 b Fu(K)c Fz(-algebras.)45 b(An)23 b Fs(a\016ne)i(algebr)-5 b(aic)25 b(variety)e Fz(is)f(a)h(represen)m(table)0 683 y(functor)34 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(\013)16 b Fz(\()p Ft(A;)h Fz(-\))30 b(:)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(\013)47 b Fx(\000)-60 b(!)30 b(S)n Fs(et)17 b Fz(.)49 b(The)35 b(a\016ne)g(algebraic)e(v)-5 b(arieties)33 b(together)i(with)f(the)0 799 y(natural)43 b(transformations)g(form)f(the)j Fs(c)-5 b(ate)g(gory)46 b(of)f(a\016ne)g(algebr)-5 b(aic)44 b(varieties)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(V)n Fs(ar)61 b Fz(o)m(v)m(er)0 915 y Fu(K)17 b Fz(.)51 b(The)34 b(functor)f(that)g(asso)s(ciates)g(with)g(eac)m(h)g (a\016ne)h(algebra)e Ft(A)h Fz(its)f(a\016ne)i(algebraic)d(v)-5 b(ariet)m(y)0 1031 y(represen)m(ted)35 b(b)m(y)f Ft(A)e Fz(is)g(denoted)i(b)m(y)f(Sp)s(ec)c(:)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(\013)43 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(V)n Fs(ar)17 b Fz(,)33 b(Sp)s(ec\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(\013)16 b Fz(\()p Ft(A;)h Fz(-)o(\).)149 1147 y(By)34 b(the)f(Y)-8 b(oneda)32 b(Lemma)g(the)h(functor)1302 1307 y(Sp)s(ec)c(:)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(\013)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(V)n Fs(ar)0 1467 y Fz(is)32 b(an)h(an)m (tiequiv)-5 b(alence)32 b(\(or)g(dualit)m(y\))f(of)i(categories)f(with) g(in)m(v)m(erse)i(functor)1347 1626 y Fx(O)c Fz(:)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(V)n Fs(ar)45 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(\013)16 b Ft(:)0 1786 y Fz(An)35 b(a\016ne)f(algebraic)f(v)-5 b(ariet)m(y)34 b(is)g(completely)f (describ)s(ed)i(b)m(y)g(its)f(a\016ne)h(algebra)e Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\).)48 b(Th)m(us)0 1902 y(the)33 b(dream)f(of)g(geometry)h(is)f(realized.)149 2018 y(Arbitrary)44 b(\(not)h(necessarily)g(\014nitely)f(generated\))h(comm)m(utativ)m(e)f (algebras)g(also)g(de\014ne)0 2134 y(represen)m(table)26 b(functors)f(\(de\014ned)h(on)e(the)h(category)f(of)g(all)f(comm)m (utativ)m(e)g(algebras\).)40 b(Th)m(us)26 b(w)m(e)0 2251 y(also)i(ha)m(v)m(e)i(\\in\014nite)e(dimensional")f(v)-5 b(arieties)28 b(whic)m(h)h(w)m(e)h(will)d(call)g Fs(ge)-5 b(ometric)31 b(sp)-5 b(ac)g(es)28 b Fz(or)h Fs(a\016ne)0 2367 y(varieties)p Fz(.)43 b(W)-8 b(e)33 b(denote)g(their)f(category)h (b)m(y)h Fx(G)-14 b Fs(e)-5 b(om)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz(\))38 b(and)33 b(get)f(a)h(comm)m(utativ)m(e)e(diagram)1232 3061 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)440 b Fx(G)-14 b Fs(e)-5 b(om)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz(\))p 1587 3038 367 4 v 1871 3036 a Fm(-)1713 3094 y Fx(\030)1714 3126 y Fz(=)1790 3084 y Fq(o)1262 2574 y Fu(K)g Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(\013)525 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(V)n Fs(ar)p 1557 2550 451 4 v 1925 2548 a Fm(-)1684 2511 y Fz(Sp)s(ec)p 1394 2968 4 351 v 1395 2968 a Fm(?)p 2174 2968 V 697 w(?)149 3247 y Fz(W)-8 b(e)35 b(call)d(the)j(represen)m(table)g (functors)g Fx(X)45 b Fz(:)30 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)46 b Fx(\000)-60 b(!)30 b(S)n Fs(et)51 b(ge)-5 b(ometric)36 b(sp)-5 b(ac)g(es)33 b Fz(or)h Fs(a\016ne)0 3363 y(varieties)p Fz(,)j(and)f(the)h(represen)m(table)h(functors)f Fx(X)49 b Fz(:)35 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(\013)50 b Fx(\000)-60 b(!)34 b(S)n Fs(et)54 b(a\016ne)37 b(schemes)f Fz(or)g Fs(a\016ne)0 3479 y(algebr)-5 b(aic)34 b(varieties)p Fz(.)43 b(This)32 b(is)g(another)h(realization)d(of)i(the)h(dream)f(of) g(geometry)-8 b(.)149 3595 y(The)45 b(geometric)d(spaces)j(can)f(b)s(e) g(view)m(ed)g(as)g(sets)g(of)f(zeros)i(in)d(arbitrary)h(comm)m(utativ)m (e)0 3712 y Fu(K)17 b Fz(-algebras)42 b Ft(B)f Fz(of)36 b(arbitrarily)d(man)m(y)j(p)s(olynomials)d(with)j(arbitrarily)e(man)m (y)i(v)-5 b(ariables.)53 b(The)0 3828 y(function)32 b(algebra)f(of)i Fx(X)47 b Fz(will)30 b(b)s(e)j(called)e(the)i Fs(a\016ne)h(algebr)-5 b(a)32 b Fz(of)g Fx(X)47 b Fz(in)32 b(b)s(oth)g(cases.)149 3966 y Fv(Example)f(1.1.10.)39 b Fz(A)28 b(somewhat)g(less)g(trivial)d (example)i(is)g(the)h(state)h(space)g(of)e(a)g(circular)0 4082 y(p)s(endulum)46 b(\(of)g(length)g(1\).)84 b(The)48 b(lo)s(cation)c(is)i(in)f Ft(L)52 b Fz(=)f Fx(f)p Fz(\()p Ft(a;)17 b(b)p Fz(\))51 b Fx(2)h Ft(A)2733 4046 y Fl(2)2772 4082 y Fx(j)p Ft(a)2851 4046 y Fl(2)2922 4082 y Fz(+)32 b Ft(b)3071 4046 y Fl(2)3162 4082 y Fz(=)51 b(1)p Fx(g)p Fz(,)f(the)0 4198 y(momen)m(tum)29 b(is)g(in)h Ft(M)38 b Fz(=)28 b Fx(f)p Ft(p)f Fx(2)h Ft(A)p Fx(g)i Fz(whic)m(h)h(is)f(a)f (straigh)m(t)h(line.)41 b(So)30 b(the)h(whole)f(geometric)f(space)0 4314 y(for)j(the)h(p)s(endulum)f(is)g(\()p Ft(L)23 b Fx(\002)f Ft(M)10 b Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))29 b(=)f Fx(f)p Fz(\()p Ft(a;)17 b(b;)g(p)p Fz(\))p Fx(j)p Ft(a;)g(b;)g(p)27 b Fx(2)h Ft(A)p Fz(;)17 b Ft(a)2424 4278 y Fl(2)2486 4314 y Fz(+)22 b Ft(b)2625 4278 y Fl(2)2692 4314 y Fz(=)28 b(1)p Fx(g)p Fz(.)43 b(This)33 b(geometric)0 4431 y(space)h(is)e (represen)m(ted)j(b)m(y)e Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(y)t(;)g(z)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)1524 4394 y Fl(2)1591 4431 y Fz(+)22 b Ft(y)1741 4394 y Fl(2)1802 4431 y Fx(\000)h Fz(1\))32 b(since)0 4591 y(\()p Ft(L)13 b Fx(\002)g Ft(M)d Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)g Fx(f)p Fz(\()p Ft(a;)17 b(b;)g(p)p Fz(\))p Fx(j)p Ft(a;)g(b;)g(p)27 b Fx(2)h Ft(A)p Fz(;)17 b Ft(a)1531 4550 y Fl(2)1583 4591 y Fz(+)c Ft(b)1713 4550 y Fl(2)1780 4591 y Fz(=)28 b(1)p Fx(g)2010 4563 y(\030)2011 4595 y Fz(=)2115 4591 y Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)h Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x;)f(y)t(;)g(z)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)2992 4550 y Fl(2)3050 4591 y Fz(+)c Ft(y)3191 4550 y Fl(2)3241 4591 y Fx(\000)g Fz(1\))p Ft(;)k(A)p Fz(\))p Ft(:)149 4751 y Fz(The)28 b(t)m(w)m(o)f(an)m(tiequiv)-5 b(alences)27 b(of)f(categories)h(ab)s(o)m (v)m(e)g(giv)m(e)g(rise)f(to)h(the)g(question)g(for)f(the)h(func-)0 4867 y(tion)h(algebra.)42 b(If)29 b(a)g(represen)m(table)i(functor)e Fx(X)42 b Fz(=)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h Fz(-\))29 b(is)g(view)m(ed)h(as)g(geometric) e(sets)0 4983 y(of)g(zeros)i(of)e(certain)h(p)s(olynomials,)d(i.e.)42 b(as)29 b(spaces)h(with)f(co)s(ordinates)f(in)g(arbitrary)g(comm)m (uta-)0 5099 y(tiv)m(e)35 b(algebras)e Ft(B)5 b Fz(,)36 b(\(plus)e(functorial)e(b)s(eha)m(vior\),)j(then)g(it)f(is)g(not)g (clear)g(wh)m(y)i(the)f(represen)m(ting)0 5216 y(algebra)30 b Ft(A)i Fz(should)f(b)s(e)h(an)m(ything)f(lik)m(e)g(an)g(algebra)g(of) g(functions)g(on)h(these)g(geometric)f(sets.)44 b(It)p eop %%Page: 9 12 9 11 bop 529 251 a Fw(1.)35 b(THE)e(PRINCIPLES)g(OF)g(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(ALGEBRAIC)g(GEOMETR)-6 b(Y)491 b(9)0 450 y Fz(is)38 b(not)g(ev)m(en)i(clear)e(where)h(these)h(functions)e (should)h(assume)g(their)e(v)-5 b(alues.)61 b(Only)38 b(if)f(w)m(e)j(can)0 566 y(sho)m(w)29 b(that)f Ft(A)g Fz(can)h(b)s(e)f(view)m(ed)h(as)g(a)e(reasonable)h(algebra)f(of)h (functions,)h(w)m(e)g(should)f(talk)f(ab)s(out)0 683 y(a)35 b(realization)f(of)h(the)h(dream)f(of)g(geometry)-8 b(.)53 b(But)36 b(this)f(will)f(b)s(e)i(done)g(in)f(the)h(follo)m(wing) d(theo-)0 799 y(rem.)55 b(W)-8 b(e)37 b(will)e(consider)i(functions)f (as)h(maps)f(\(co)s(ordinate)g(functions\))h(from)e(the)i(geometric)0 915 y(set)f Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))35 b(to)g(the)h(set)h(of)e (co)s(ordinates)g Ft(B)5 b Fz(,)36 b(maps)f(that)g(are)h(natural)e(in)h Ft(B)5 b Fz(.)52 b(Suc)m(h)37 b(co)s(ordinate)0 1031 y(functions)c(are)f(just)h(natural)e(transformations)g(from)h Fx(X)47 b Fz(to)32 b(the)h(underlying)f(functor)h Fu(A)22 b Fz(.)149 1192 y Fv(Theorem)35 b(1.1.11.)40 b Fs(L)-5 b(et)34 b Fx(X)47 b Fs(b)-5 b(e)33 b(a)f(ge)-5 b(ometric)32 b(sp)-5 b(ac)g(e)32 b(with)h(the)g(a\016ne)f(algebr)-5 b(a)32 b Ft(A)c Fz(=)g Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))p Fs(.)0 1308 y(Then)28 b Ft(A)349 1281 y Fx(\030)350 1313 y Fz(=)454 1308 y(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))35 b Fs(as)29 b Fu(K)17 b Fs(-algebr)-5 b(as,)35 b(wher)-5 b(e)28 b Fu(A)56 b Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)h Fx(A)p Fs(lg)43 b Fx(\000)-57 b(!)27 b(S)n Fs(et)46 b(is)29 b(the)g(underlying)f(func-)0 1425 y(tor)k(or)f(a\016ne)g(line.)43 b(The)31 b(isomorphism)f Ft(A)1640 1397 y Fx(\030)1641 1429 y Fz(=)1745 1425 y(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))38 b Fs(induc)-5 b(es)31 b(a)g(natur)-5 b(al)32 b(tr)-5 b(ansformation)0 1541 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))27 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(B)40 b Fs(\(natur)-5 b(al)35 b(in)g Ft(B)5 b Fs(\).)149 1766 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)52 b(w)m(e)i(de\014ne)g(an)f(isomorphism)d (b)s(et)m(w)m(een)55 b(the)e(sets)h Ft(A)f Fz(and)g(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\).)0 1883 y(Because)51 b(of)e Fx(X)71 b Fz(=)56 b(Mor)969 1898 y Fp(K)t Fz(-)6 b Fg(cA)n(lg)1192 1883 y Fz(\()p Ft(A;)17 b Fz(-)o(\))56 b(=:)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h Fz(-)o(\))50 b(and)f Fu(A)85 b Fz(=)56 b(Mor)2878 1898 y Fp(K)5 b Fz(-)g Fg(cA)n(lg)3101 1883 y Fz(\()p Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)g Fz(-)5 b(\))56 b(=:)0 1999 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)g Fz(-)5 b(\))32 b(the)h(Y)-8 b(oneda)33 b(Lemma)e(giv)m(es)i(us)68 2204 y(Nat)o(\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)22 b Fz(\))33 b(=)28 b(Nat\()p Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h Fz(-)o(\))p Ft(;)g Fu(K)g Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)f Fz(-)5 b(\)\))2162 2177 y Fx(\030)2163 2209 y Fz(=)2267 2204 y Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)p Fz(])q Ft(;)g(A)p Fz(\))33 b(=)28 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))3354 2177 y Fx(\030)3355 2209 y Fz(=)3459 2204 y Ft(A)0 2410 y Fz(on)49 b(the)g(set)g(lev)m(el.)92 b(Let)49 b Ft(\036)55 b Fz(:)g Ft(A)h Fx(\000)-60 b(!)55 b Fz(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))55 b(denote)49 b(the)g(giv)m(en)g(isomorphism.)90 b Ft(\036)48 b Fz(is)0 2526 y(de\014ned)e(b)m(y)f Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))49 b(:=)f Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\).)79 b(By)45 b(the)g(Y)-8 b(oneda)45 b(Lemma)e(its)h(in)m(v)m(erse)i(is)e(giv)m(en)h(b)m(y)0 2642 y Ft(\036)58 2606 y Fr(\000)p Fl(1)152 2642 y Fz(\()p Ft(\013)28 b Fz(:=)g Ft(\013)q Fz(\(\()p Ft(A)p Fz(\)\(1\)\()p Ft(x)p Fz(\).)149 2759 y(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)22 b Fz(\))36 b(carries)31 b(an)g(algebra)f(structure)i(giv)m(en)f(b)m(y)h (the)f(algebra)f(structure)i(of)e(the)h(co)s(ef-)0 2875 y(\014cien)m(ts.)50 b(F)-8 b(or)34 b(a)h(co)s(e\016cien)m(t)g(algebra)e Ft(B)5 b Fz(,)35 b(a)g Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(t)33 b Ft(p)e Fz(:)g Ft(A)h Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(B)40 b Fz(in)33 b Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))31 b(=)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\),)0 2991 y(and)46 b Ft(\013)q(;)17 b(\014)56 b Fx(2)c Fz(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))52 b(w)m(e)47 b(ha)m(v)m(e)h Ft(\013)q Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))51 b Fx(2)g Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))57 b(=)51 b Ft(B)5 b Fz(.)85 b(Hence)47 b(\()p Ft(\013)32 b Fz(+)g Ft(\014)6 b Fz(\)\()p Ft(B)f Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))50 b(:=)0 3107 y(\()p Ft(\013)q Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))29 b(+)g Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\)\)\()p Ft(p)p Fz(\))46 b(=)f Ft(\013)q Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))29 b(+)h Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))42 b(and)i(\()p Ft(\013)30 b Fx(\001)f Ft(\014)6 b Fz(\)\()p Ft(B)f Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))45 b(:=)h(\()p Ft(\013)q Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))29 b Fx(\001)g Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\)\)\()p Ft(p)p Fz(\))45 b(=)0 3224 y Ft(\013)q Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))22 b Fx(\001)f Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))32 b(mak)m(e)h(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))39 b(an)32 b(algebra.)149 3340 y(Let)41 b Ft(a)g Fz(b)s(e)h(an)e (arbitrary)g(elemen)m(t)h(in)f Ft(A)p Fz(.)68 b(By)42 b(the)f(isomorphism)d(giv)m(en)j(ab)s(o)m(v)m(e)h(this)f(ele-)0 3456 y(men)m(t)h(induces)i(an)e(algebra)f(homomorphism)f Ft(g)1856 3471 y Fq(a)1941 3456 y Fz(:)45 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q Fz(])50 b Fx(\000)-59 b(!)44 b Ft(A)e Fz(mapping)f Ft(x)h Fz(on)m(to)h Ft(a)p Fz(.)73 b(This)0 3572 y(algebra)47 b(homomorphism)f(induces)j(the)g(natural)e(transformation)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))54 b(:)h Fx(X)69 b(\000)-59 b(!)54 b Fu(A)22 b Fz(.)97 b(On)0 3705 y(the)41 b Ft(B)5 b Fz(-lev)m(el)39 b(it)h(is)f(just)i(the)g(comp)s(osition)d(with)i Ft(g)1935 3720 y Fq(a)1976 3705 y Fz(,)i(i.e.)66 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))41 b(=)f(\()p Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(])3169 3644 y Fq(g)3203 3652 y Fn(a)3124 3705 y Fx(\000)-16 b(!)41 b Ft(A)3502 3644 y Fq(p)3439 3705 y Fx(\000)-16 b(!)0 3821 y Ft(B)5 b Fz(\).)94 b(Since)50 b(suc)m(h)g(a)f(homomorphism)e(is)i(completely)f (describ)s(ed)i(b)m(y)h(the)f(image)d(of)i Ft(x)h Fz(w)m(e)0 3937 y(get)40 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))41 b(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\).)67 b(T)-8 b(o)41 b(compare)f(the)h(algebra)e (structures)j(of)e Ft(A)g Fz(and)h(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))0 4053 y(let)45 b Ft(a;)17 b(a)300 4017 y Fr(0)374 4053 y Fx(2)51 b Ft(A)p Fz(.)83 b(W)-8 b(e)46 b(ha)m(v)m(e)h Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))50 b(=)h Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))45 b(and)h Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)2437 4017 y Fr(0)2461 4053 y Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))50 b(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)3224 4017 y Fr(0)3247 4053 y Fz(\),)g(hence)0 4169 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)26 b Fz(+)h Ft(a)327 4133 y Fr(0)350 4169 y Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))39 b(=)f Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)27 b Fz(+)f Ft(a)1270 4133 y Fr(0)1294 4169 y Fz(\))38 b(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(+)f Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)1927 4133 y Fr(0)1951 4169 y Fz(\))38 b(=)h Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))26 b(+)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)3013 4133 y Fr(0)3037 4169 y Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))38 b(=)0 4286 y(\()p Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))q(+)q Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)728 4250 y Fr(0)751 4286 y Fz(\)\()p Ft(B)g Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\)\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g(\()p Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\))q(+)q Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)1973 4250 y Fr(0)1996 4286 y Fz(\)\()p Ft(B)g Fz(\)\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))q(+)q Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)3062 4250 y Fr(0)3086 4286 y Fz(\)\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\).)0 4402 y(Analogously)36 b(w)m(e)j(get)e Ft(\036)p Fz(\()p Ft(aa)1072 4366 y Fr(0)1096 4402 y Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))36 b(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(aa)1882 4366 y Fr(0)1905 4402 y Fz(\))g(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)2405 4366 y Fr(0)2428 4402 y Fz(\))g(=)g(\()p Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))26 b Fx(\001)f Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)3063 4366 y Fr(0)3086 4402 y Fz(\)\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\),)0 4518 y(and)42 b(th)m(us)i Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)28 b Fz(+)h Ft(a)755 4482 y Fr(0)778 4518 y Fz(\))44 b(=)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))29 b(+)f Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)1445 4482 y Fr(0)1469 4518 y Fz(\))42 b(and)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(aa)1946 4482 y Fr(0)1969 4518 y Fz(\))i(=)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))29 b Fx(\001)f Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)2588 4482 y Fr(0)2611 4518 y Fz(\).)73 b(Hence)43 b(addition)e(and)0 4634 y(m)m(ultiplication)26 b(in)j(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))37 b(are)30 b(de\014ned)i(b)m(y)f(the)g(addition)e(and)h(the)h(m)m(ultiplication)26 b(of)k(the)0 4751 y(v)-5 b(alues)32 b Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))23 b(+)f Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)725 4714 y Fr(0)748 4751 y Fz(\))33 b(resp.)44 b Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)1377 4714 y Fr(0)1400 4751 y Fz(\).)149 4867 y(W)-8 b(e)38 b(describ)s(e)g(the)g(action)e Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))36 b(:)f Ft(A)26 b Fx(\002)g(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))35 b Fx(\000)-60 b(!)36 b Ft(B)42 b Fz(of)37 b Ft(A)g Fz(on)g Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)58 b(Let)37 b Ft(p)f Fz(:)f Ft(A)h Fx(\000)-59 b(!)35 b Ft(B)0 4983 y Fz(b)s(e)j(a)g Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(t)37 b(in)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\))37 b(=)g Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)60 b(F)-8 b(or)38 b(eac)m(h)h Ft(a)e Fx(2)h Ft(A)g Fz(the)h(image)d Ft(\036)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))h(:)h Fx(X)52 b(\000)-60 b(!)37 b Fu(A)0 5099 y Fz(is)g(a)h(natural)f (transformation)f(hence)j(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(maps)f Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))36 b(:)h Ft(A)26 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))36 b Fx(\000)-60 b(!)37 b Ft(B)43 b Fz(suc)m(h)c(that)0 5216 y Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(a;)17 b(p)p Fz(\))38 b(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\).)62 b(Finally)36 b(eac)m(h)k(homomorphism)c(of)i(algebras) g Ft(f)49 b Fz(:)39 b Ft(B)k Fx(\000)-59 b(!)37 b Ft(B)3135 5179 y Fr(0)3198 5216 y Fz(induces)i(a)p eop %%Page: 10 13 10 12 bop 0 251 a Fw(10)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)0 450 y Fz(comm)m(utativ)m(e)32 b(diagram)1359 1155 y Ft(A)22 b Fx(\002)g(X)15 b Fz(\()p Ft(B)1756 1119 y Fr(0)1779 1155 y Fz(\))500 b Ft(B)2396 1119 y Fr(0)p 1846 1132 442 4 v 2205 1130 a Fm(-)1944 1224 y Ft( )t Fz(\()p Ft(B)2128 1188 y Fr(0)2151 1224 y Fz(\))1370 667 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))522 b Ft(B)p 1835 644 466 4 v 2218 642 a Fm(-)1956 598 y Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1586 1062 4 351 v 1588 1062 a Fm(?)1134 911 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(f)c Fz(\))p 2366 1062 V 2368 1062 a Fm(?)2407 911 y Ft(f)0 1398 y Fz(Th)m(us)34 b Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))28 b(:)g Ft(A)22 b Fx(\002)g(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)37 b Fz(is)32 b(a)h(natural)e(transformation.)1070 b Fh(\003)149 1620 y Fv(Remark)28 b(1.1.12.)36 b Fz(Observ)m(e)27 b(that)d(the)h (isomorphism)e Ft(A)2311 1592 y Fx(\030)2312 1624 y Fz(=)2417 1620 y(Nat)o(\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)22 b Fz(\))30 b(induces)c(a)e(natural)0 1736 y(transformation)i Ft(A)14 b Fx(\002)g(X)h Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))28 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)34 b Fz(\(natural)27 b(in)h Ft(B)5 b Fz(\).)42 b(In)29 b(particular)e(the)i(a\016ne)g(algebra)e Ft(A)i Fz(can)0 1852 y(b)s(e)j(view)m(ed)h(as)f(the)g(set)h(of)e(functions)h (from)e(the)i(set)h(of)e Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts)31 b Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))32 b(in)m(to)f(the)h(\\base")g(ring) 0 1969 y Ft(B)k Fz(\(functions)31 b(whic)m(h)h(are)f(natural)f(in)g Ft(B)5 b Fz(\).)43 b(In)32 b(this)e(sense)j(the)f(algebra)e Ft(A)h Fz(ma)m(y)g(b)s(e)g(considered)0 2085 y(as)26 b(function)g(algebra)f(of)h(the)h(geometric)e(space)i Fx(X)15 b Fz(.)41 b(Th)m(us)28 b(w)m(e)g(will)23 b(call)i Ft(A)h Fz(the)h Fs(function)i(algebr)-5 b(a)0 2201 y Fz(of)32 b Fx(X)15 b Fz(.)149 2317 y(One)37 b(can)f(sho)m(w)h(that)f (the)g(algebra)f Ft(A)h Fz(is)f(univ)m(ersal)h(with)g(resp)s(ect)h(to)e (the)i(prop)s(ert)m(y)-8 b(,)37 b(that)0 2433 y(for)d(eac)m(h)i(comm)m (utativ)m(e)e(algebra)g Ft(D)j Fz(and)e(eac)m(h)h(natural)e (transformation)e Ft(\032)g Fz(:)g Ft(D)26 b Fx(\002)e(X)15 b Fz(\(-)o(\))32 b Fx(\000)-60 b(!)31 b Fz(-)0 2550 y(there)i(is)f(a)h (unique)g(homomorphism)d(of)i(algebras)g Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(D)i Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)p Fz(,)33 b(suc)m(h)h(that)e(the)h (triangle)1480 3226 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))230 b Ft(B)p 1944 3203 173 4 v 2034 3201 a Fm(-)1950 3270 y Fq( )r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))2002 2974 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1766 2865 y Fm(@)1849 2948 y(@)1932 3031 y(@)2015 3114 y(@)2034 3133 y(@)-83 b(R)1475 2738 y Ft(D)24 b Fx(\002)f(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1696 3133 4 351 v 1698 3133 a Fm(?)1375 2967 y Fq(f)i Fr(\002)p Fl(1)1506 2981 y Fk(X)g Fo(\()p Fn(B)r Fo(\))0 3451 y Fz(comm)m(utes.)85 b(W)-8 b(e)47 b(will)e(sho)m(w)i (this)g(result)f(later)g(on)g(for)g(noncomm)m(utativ)m(e)g(algebras.)85 b(The)0 3567 y(univ)m(ersal)41 b(prop)s(ert)m(y)h(implies)d(that)i(the) h(function)f(algebra)f Ft(A)i Fz(of)f(an)g(geometric)f(space)i Fx(X)56 b Fz(is)0 3683 y(unique)33 b(up)g(to)f(isomorphism.)149 3799 y(Let)40 b Fx(X)55 b Fz(b)s(e)40 b(an)g(geometric)e(space)j(with)f (function)f(algebra)g Ft(A)h Fz(=)g Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\).)64 b(If)40 b Ft(p)g Fz(:)g Ft(A)g Fx(\000)-59 b(!)40 b Fu(K)0 3915 y Fz(is)h(a)h(rational)e(p)s(oin)m(t)h(of)g Fx(X)15 b Fz(,)44 b(i.e.)d(a)h(homomorphism)d(of)j(algebras,)h(then)g (Im)o(\()p Ft(p)p Fz(\))h(=)f Fu(K)66 b Fz(hence)0 4032 y(Ker\()p Ft(p)p Fz(\))41 b(is)g(a)g(maximal)d(ideal)i(of)h Ft(A)g Fz(of)g(co)s(dimension)f(1.)69 b(Con)m(v)m(ersely)43 b(let)e Ff(m)h Fz(b)s(e)f(a)g(maximal)0 4148 y(ideal)33 b(of)h Ft(A)h Fz(of)f(co)s(dimension)f(1)h(then)h(this)f(de\014nes)i(a) f(rational)d(p)s(oin)m(t)h Ft(p)e Fz(:)g Ft(A)g Fx(\000)-59 b(!)30 b Ft(A=)p Ff(m)3273 4120 y Fx(\030)3274 4152 y Fz(=)3381 4148 y Fu(K)18 b Fz(.)55 b(If)0 4264 y Fu(K)f Fz(is)29 b(algebraicly)f(closed)j(and)f Ff(m)h Fz(an)f(arbitrary)f (maximal)e(ideal)h(of)i Ft(A)p Fz(,)h(then)g Ft(A=)p Ff(m)f Fz(is)g(a)g(\014nitely)0 4380 y(generated)k Fu(K)17 b Fz(-algebra)38 b(and)33 b(a)g(\014eld)g(extension)h(of)e Fu(K)18 b Fz(,)39 b(hence)c(it)d(coincides)h(with)f Fu(K)18 b Fz(.)51 b(Th)m(us)35 b(the)0 4497 y(co)s(dimension)27 b(of)i Ff(m)g Fz(is)g(1.)42 b(The)30 b(set)f(of)g(maximal)d(ideals)i (of)g Ft(A)h Fz(is)g(called)f(the)h Fs(maximal)h(sp)-5 b(e)g(ctrum)0 4613 y Fz(Sp)s(ec)197 4628 y Fq(m)264 4613 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\).)43 b(This)30 b(is)f(the)h(approac)m(h)g(of)f (algebraic)f(geometry)h(to)g(reco)m(v)m(er)i(the)f(geometric)f(space)0 4729 y(of)39 b(\(rational\))e(p)s(oin)m(ts)i(from)g(the)h(function)f (algebra)g Ft(A)p Fz(.)64 b(W)-8 b(e)40 b(will)e(not)h(follo)m(w)f (this)i(approac)m(h)0 4845 y(since)33 b(it)f(do)s(es)h(not)f(easily)g (extend)i(to)e(noncomm)m(utativ)m(e)g(geometry)-8 b(.)149 4983 y Fv(Problem)27 b(1.1.2.)37 b Fz(1.)j(Let)26 b Fx(X)39 b Fz(b)s(e)25 b(an)g(geometric)f(space)i(with)f(a\016ne)g(algebra)f Ft(A)p Fz(.)41 b(Sho)m(w)26 b(that)0 5099 y(the)39 b(algebra)f Ft(A)h Fz(is)f(univ)m(ersal)h(with)g(resp)s(ect)h(to)f(the)g(prop)s (ert)m(y)-8 b(,)41 b(that)e(for)f(eac)m(h)i(comm)m(utativ)m(e)0 5216 y(algebra)45 b Ft(D)k Fz(and)d(eac)m(h)h(natural)d(transformation) g Ft(\032)51 b Fz(:)g Ft(D)34 b Fx(\002)e(X)15 b Fz(\(-)o(\))50 b Fx(\000)-59 b(!)50 b Fz(-)45 b(there)i(is)f(a)f(unique)p eop %%Page: 11 14 11 13 bop 529 251 a Fw(1.)35 b(THE)e(PRINCIPLES)g(OF)g(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(ALGEBRAIC)g(GEOMETR)-6 b(Y)452 b(11)0 450 y Fz(homomorphism)30 b(of)i(algebras)g Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(D)i Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)p Fz(,)33 b(suc)m(h)h(that)e(the)h(triangle)1473 1093 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))216 b Ft(B)5 b(:)p 1937 1070 159 4 v 2013 1068 a Fm(-)1936 1137 y Fq( )r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1995 840 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1759 731 y Fm(@)1842 814 y(@)1925 897 y(@)2008 980 y(@)2027 999 y(@)-83 b(R)1468 605 y Ft(D)25 b Fx(\002)d(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1689 999 4 351 v 1691 999 a Fm(?)1368 833 y Fq(f)i Fr(\002)p Fl(1)1499 847 y Fk(X)g Fo(\()p Fn(B)r Fo(\))149 1284 y Fz(2.)44 b(Let)32 b Fx(X)48 b Fz(b)s(e)32 b(an)h(a\016ne)g(sc)m(heme)h(with)e(a\016ne)h(algebra) 1137 1452 y Ft(A)28 b Fz(=)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)1495 1467 y Fl(1)1541 1452 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1815 1467 y Fq(n)1862 1452 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(p)2025 1467 y Fl(1)2064 1452 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)2332 1467 y Fq(m)2398 1452 y Fz(\))p Ft(:)0 1621 y Fz(De\014ne)47 b(\\co)s(ordinate)e(functions")g Ft(q)1383 1636 y Fq(i)1463 1621 y Fz(:)50 b Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))51 b Fx(\000)-60 b(!)51 b Ft(B)g Fz(whic)m(h)46 b(describ)s(e)h(the)g(co)s (ordinates)e(of)0 1738 y Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts)32 b(and)h(iden)m(tify)e(these)j(co)s(ordinate)e(functions)h(with)f (elemen)m(ts)h(of)f Ft(A)p Fz(.)149 1867 y(No)m(w)i(w)m(e)f(will)d (study)k(morphisms)e(b)s(et)m(w)m(een)i(geometric)e(spaces.)149 2009 y Fv(Theorem)42 b(1.1.13.)i Fs(L)-5 b(et)39 b Fx(X)49 b(\022)35 b Fu(A)1460 1973 y Fq(r)1542 2009 y Fs(and)j Fx(Y)k(\022)35 b Fu(A)2022 1973 y Fq(s)2104 2009 y Fs(b)-5 b(e)38 b(a\016ne)g(algebr)-5 b(aic)37 b(varieties)h(and)g(let)0 2126 y Ft(\036)27 b Fz(:)h Fx(X)43 b(\000)-58 b(!)28 b(Y)42 b Fs(b)-5 b(e)35 b(a)g(natur)-5 b(al)35 b(tr)-5 b(ansformation.)43 b(Then)35 b(ther)-5 b(e)34 b(ar)-5 b(e)35 b(p)-5 b(olynomials)777 2295 y Ft(p)826 2310 y Fl(1)866 2295 y Fz(\()p Ft(x)959 2310 y Fl(1)999 2295 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(x)1272 2310 y Fq(r)1310 2295 y Fz(\))p Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1616 2310 y Fq(s)1653 2295 y Fz(\()p Ft(x)1746 2310 y Fl(1)1785 2295 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h (x)2059 2310 y Fq(r)2097 2295 y Fz(\))28 b Fx(2)g Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2411 2310 y Fl(1)2457 2295 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(x) 2730 2310 y Fq(r)2768 2295 y Fz(])p Ft(;)0 2463 y Fs(such)35 b(that)672 2592 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\()p Ft(a)968 2607 y Fl(1)1007 2592 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1277 2607 y Fq(r)1315 2592 y Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(p)1571 2607 y Fl(1)1610 2592 y Fz(\()p Ft(a)1699 2607 y Fl(1)1739 2592 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)2009 2607 y Fq(r)2047 2592 y Fz(\))p Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(p)2352 2607 y Fq(s)2389 2592 y Fz(\()p Ft(a)2478 2607 y Fl(1)2517 2592 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h (a)2787 2607 y Fq(r)2825 2592 y Fz(\)\))p Ft(;)0 2740 y Fs(for)44 b(al)5 b(l)44 b Ft(A)h Fx(2)g Fu(K)18 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(\013)60 b(and)44 b(al)5 b(l)44 b Fz(\()p Ft(a)1293 2755 y Fl(1)1332 2740 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1602 2755 y Fq(r)1640 2740 y Fz(\))45 b Fx(2)g(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Fs(,)46 b(i.e.)e(the)g(morphisms)f(b)-5 b(etwe)g(en)44 b(a\016ne)0 2856 y(algebr)-5 b(aic)34 b(varieties)g(ar)-5 b(e)35 b(of)f(p)-5 b(olynomial)34 b(typ)-5 b(e.)149 3037 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)49 b Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))54 b(=)h Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)1308 3052 y Fl(1)1353 3037 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1627 3052 y Fq(r)1665 3037 y Fz(])p Ft(=I)56 b Fz(and)49 b Fx(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\))54 b(=)h Fu(K)17 b Fz([)p Ft(y)2610 3052 y Fl(1)2655 3037 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(y)2922 3052 y Fq(s)2958 3037 y Fz(])p Ft(=J)9 b Fz(.)91 b(F)-8 b(or)48 b Ft(A)55 b Fx(2)0 3153 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)61 b Fz(and)45 b(\()p Ft(a)612 3168 y Fl(1)652 3153 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(a)921 3168 y Fq(r)959 3153 y Fz(\))49 b Fx(2)g(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))45 b(let)f Ft(f)60 b Fz(:)49 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)1932 3168 y Fl(1)1977 3153 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2251 3168 y Fq(r)2289 3153 y Fz(])p Ft(=I)57 b Fx(\000)-60 b(!)49 b Ft(A)c Fz(with)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)3136 3168 y Fq(i)3164 3153 y Fz(\))49 b(=)f Ft(a)3426 3168 y Fq(i)3500 3153 y Fz(b)s(e)0 3270 y(the)38 b(homomorphism)d(obtained)i (from)f Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))1779 3242 y Fx(\030)1780 3274 y Fz(=)1893 3270 y Fu(K)j Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)q Ft(x)2361 3285 y Fl(1)2406 3270 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2680 3285 y Fq(r)2718 3270 y Fz(])p Ft(=I)8 b(;)17 b(A)p Fz(\).)59 b(The)38 b(natural)0 3386 y(transformation)d Ft(\036)h Fz(is)h(giv)m(en)g(b)m(y)g(comp)s (osition)e(with)h(a)h(homomorphism)d Ft(g)k Fz(:)e Fu(K)17 b Fz([)p Ft(y)3113 3401 y Fl(1)3158 3386 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(y) 3425 3401 y Fq(s)3461 3386 y Fz(])p Ft(=J)0 3502 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)299 3517 y Fl(1)344 3502 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)618 3517 y Fq(r)656 3502 y Fz(])p Ft(=I)40 b Fz(hence)34 b(w)m(e)g(get)208 3671 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(:)f Fu(K)18 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)1017 3686 y Fl(1)1062 3671 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1336 3686 y Fq(r)1374 3671 y Fz(])p Ft(=I)8 b(;)17 b(A)p Fz(\))27 b Fx(3)h Ft(f)39 b Fx(7!)27 b Ft(f)11 b(g)31 b Fx(2)d Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(y)2734 3686 y Fl(1)2779 3671 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(y)3046 3686 y Fq(s)3082 3671 y Fz(])p Ft(=J)n(;)g(A)p Fz(\))p Ft(:)0 3840 y Fz(Since)33 b Ft(g)j Fz(is)c(describ)s(ed)h(b)m(y)g Ft(g)t Fz(\()p Ft(y)1139 3855 y Fq(i)1166 3840 y Fz(\))28 b(=)g Ft(p)1385 3855 y Fq(i)1413 3840 y Fz(\()p Ft(x)1506 3855 y Fl(1)1546 3840 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(x)1819 3855 y Fq(r)1857 3840 y Fz(\))28 b Fx(2)g Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2171 3855 y Fl(1)2217 3840 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i(x)2490 3855 y Fq(r)2528 3840 y Fz(])33 b(w)m(e)h(get)897 4007 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\()p Ft(a)1193 4022 y Fl(1)1232 4007 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1502 4022 y Fq(s)1539 4007 y Fz(\))27 b(=)h(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\()p Ft(y)1942 4022 y Fl(1)1980 4007 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(f)11 b(g)t Fz(\()p Ft(y)2432 4022 y Fq(s)2467 4007 y Fz(\)\))897 4123 y(=)27 b(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)1184 4138 y Fl(1)1223 4123 y Fz(\()p Ft(x)1316 4138 y Fl(1)1356 4123 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1630 4138 y Fq(r)1668 4123 y Fz(\)\))p Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(f)11 b Fz(\()p Ft(p)2109 4138 y Fq(s)2145 4123 y Fz(\()p Ft(x)2238 4138 y Fl(1)2278 4123 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(x)2551 4138 y Fq(r)2589 4123 y Fz(\)\)\))897 4239 y(=)27 b(\()p Ft(p)1087 4254 y Fl(1)1127 4239 y Fz(\()p Ft(a)1216 4254 y Fl(1)1255 4239 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1525 4254 y Fq(r)1563 4239 y Fz(\))p Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1869 4254 y Fq(s)1905 4239 y Fz(\()p Ft(a)1994 4254 y Fl(1)2034 4239 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(a)2303 4254 y Fq(r)2341 4239 y Fz(\)\))p Ft(:)3523 4402 y Fh(\003)149 4583 y Fz(An)33 b(analogous)f(statemen)m(t)h(holds)f(for)g(geometric)f (spaces.)149 4726 y Fv(Example)k(1.1.14.)41 b Fz(The)31 b(isomorphism)e(b)s(et)m(w)m(een)k(the)e(a\016ne)g(line)f(\(1.1.2\))g (and)h(the)g(para-)0 4842 y(b)s(ola)k(is)h(giv)m(en)h(b)m(y)g(the)g (isomorphism)d Ft(f)46 b Fz(:)34 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(y)33 b Fx(\000)25 b Ft(x)2221 4806 y Fl(2)2261 4842 y Fz(\))34 b Fx(\000)-59 b(!)34 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(z)t Fz(],)44 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))35 b(=)f Ft(z)t Fz(,)k Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))33 b(=)i Ft(z)3560 4806 y Fl(2)0 4958 y Fz(that)j(has)g(the)h(in)m(v)m(erse)h(function)d Ft(f)1345 4922 y Fr(\000)p Fl(1)1439 4958 y Fz(\()p Ft(z)t Fz(\))h(=)f Ft(x)p Fz(.)61 b(On)38 b(the)h(a\016ne)f(sc)m(hemes)i Fu(A)22 b Fz(,)46 b(the)38 b(a\016ne)h(line,)0 5074 y(and)47 b Fu(P)p Fz(,)52 b(the)47 b(parab)s(ola,)i(the)e(induced)g(map)f(is)h Ft(f)62 b Fz(:)52 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))58 b Fx(3)52 b Ft(a)g Fx(7!)g Fz(\()p Ft(a;)17 b(a)2895 5038 y Fl(2)2934 5074 y Fz(\))52 b Fx(2)g Fu(P)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))d(resp.)0 5191 y Ft(f)59 5155 y Fr(\000)p Fl(1)181 5191 y Fz(:)27 b Fu(P)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))j Fx(3)e Fz(\()p Ft(a;)17 b(b)p Fz(\))28 b Fx(7!)f Ft(a)h Fx(2)g Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\).)p eop %%Page: 12 15 12 14 bop 0 251 a Fw(12)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)509 450 y Fv(2.)57 b(Quan)m(tum)37 b(Spaces)i(and)f(Noncomm)m (utativ)m(e)d(Geometry)149 624 y Fz(No)m(w)k(w)m(e)g(come)f(to)f (noncomm)m(utativ)m(e)g(geometric)g(spaces)j(and)e(their)f(function)h (algebras.)0 741 y(Man)m(y)33 b(of)d(the)i(basic)g(principles)e(of)h (comm)m(utativ)m(e)f(algebraic)g(geometry)h(as)h(in)m(tro)s(duced)g(in) e(1.1)0 857 y(carry)43 b(o)m(v)m(er)g(to)f(noncomm)m(utativ)m(e)g (geometry)-8 b(.)72 b(Our)42 b(main)f(aim,)i(ho)m(w)m(ev)m(er,)k(is)42 b(to)g(study)i(the)0 973 y(symmetries)34 b(\(automorphisms\))g(of)g (noncomm)m(utativ)m(e)g(spaces)i(whic)m(h)g(lead)e(to)g(the)i(notion)d (of)0 1089 y(a)f(quan)m(tum)h(group.)149 1206 y(Since)c(the)g (construction)g(of)f(noncomm)m(utativ)m(e)f(geometric)h(spaces)i(has)f (deep)g(applications)0 1322 y(in)j(theoretical)f(ph)m(ysics)j(w)m(e)g (will)c(also)i(call)f(these)i(spaces)i(quan)m(tum)d(spaces.)149 1606 y Fv(De\014nition)46 b(1.2.1.)h Fz(Let)41 b Ft(A)g Fz(b)s(e)h(a)f(\(not)g(necessarily)g(comm)m(utativ)m(e\))g Fu(K)17 b Fz(-algebra.)74 b(Then)0 1722 y(the)43 b(functor)g Fx(X)60 b Fz(:=)44 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h Fz(-\))44 b(:)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)61 b Fx(\000)-59 b(!)44 b(S)n Fs(et)60 b Fz(represen)m(ted)45 b(b)m(y)e Ft(A)g Fz(is)f(called)g Fs(\(a\016ne\))0 1838 y(nonc)-5 b(ommutative)36 b(\(ge)-5 b(ometric\))36 b(sp)-5 b(ac)g(e)35 b Fz(or)g Fs(quantum)i(sp)-5 b(ac)g(e)p Fz(.)51 b(The)36 b(elemen)m(ts)g(of)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\))0 1955 y(are)40 b(called)e Ft(B)5 b Fs(-p)-5 b(oints)39 b Fz(of)h Fx(X)15 b Fz(.)64 b(A)40 b Fs(morphism)g(of)h(nonc)-5 b(ommutative)40 b(sp)-5 b(ac)g(es)39 b Ft(f)50 b Fz(:)40 b Fx(X)55 b(\000)-60 b(!)40 b(Y)47 b Fz(is)39 b(a)0 2071 y(natural)31 b(transformation.)149 2355 y(This)i(de\014nition)f (implies)e(immediately)149 2639 y Fv(Corollary)43 b(1.2.2.)j Fs(The)40 b(nonc)-5 b(ommutative)39 b(sp)-5 b(ac)g(es)40 b(form)g(a)g(c)-5 b(ate)g(gory)41 b Fx(QS)49 b Fs(that)41 b(is)f(dual)0 2755 y(to)35 b(the)g(c)-5 b(ate)g(gory)35 b(of)f Fu(K)18 b Fs(-algebr)-5 b(as.)149 3039 y Fv(Remark)35 b(1.2.3.)41 b Fz(Th)m(us)32 b(one)g(often)e(calls)g(the)h(dual)f (category)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)2805 2997 y Fq(op)2910 3039 y Fz(category)31 b(of)f(non-)0 3156 y(comm)m(utativ)m(e)i(spaces.)149 3272 y(If)39 b Ft(A)f Fz(is)g(a)g(\014nitely)f(generated)i(algebra)e(then)i(it)e(ma)m(y)h(b)s (e)h(considered)g(as)f(a)g(residue)h(class)0 3388 y(algebra)31 b Ft(A)441 3361 y Fx(\030)442 3392 y Fz(=)546 3388 y Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x)712 3403 y Fl(1)758 3388 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)e(;)i (x)1031 3403 y Fq(n)1078 3388 y Fx(i)p Ft(=I)39 b Fz(of)32 b(a)f(p)s(olynomial)d(algebra)j(in)f(noncomm)m(uting)g(v)-5 b(ariables)31 b(\(cf.)0 3504 y([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])i (2.2\).)52 b(If)36 b Ft(I)41 b Fz(=)33 b(\()p Ft(p)1496 3519 y Fl(1)1535 3504 y Fz(\()p Ft(x)1628 3519 y Fl(1)1668 3504 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1942 3519 y Fq(n)1989 3504 y Fz(\))p Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(p)2295 3519 y Fq(m)2361 3504 y Fz(\()p Ft(x)2454 3519 y Fl(1)2494 3504 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i (x)2767 3519 y Fq(n)2815 3504 y Fz(\)\))35 b(is)g(the)h(t)m(w)m (o-sided)0 3621 y(ideal)29 b(generated)h(b)m(y)h(the)g(p)s(olynomials)c Ft(p)1560 3636 y Fl(1)1599 3621 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)1867 3636 y Fq(m)1963 3621 y Fz(then)31 b(the)g(sets)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\))30 b(can)g(b)s(e)g(con-)0 3737 y(sidered)22 b(as)g(sets)h(of)e(zeros)i(of) e(these)i(p)s(olynomials)c(in)i Ft(B)1996 3701 y Fq(n)2043 3737 y Fz(.)40 b(In)22 b(fact,)i(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)i Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)15 b Fz(\()p Fu(K)j Fx(h)p Ft(x)3258 3752 y Fl(1)3303 3737 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x)3577 3752 y Fq(n)3624 3737 y Fx(i)p Ft(;)g(B)5 b Fz(\))3852 3709 y Fx(\030)3852 3741 y Fz(=)0 3853 y(Map\()p Fx(f)p Ft(x)335 3868 y Fl(1)375 3853 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)649 3868 y Fq(n)696 3853 y Fx(g)p Ft(;)g(B)5 b Fz(\))27 b(=)h Ft(B)1117 3817 y Fq(n)1164 3853 y Fz(.)42 b(Th)m(us)32 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\))29 b(can)i(b)s(e)f(considered)h(as)f(the)g(set)h(of)e(those)0 3969 y(homomorphisms)g(of)h(algebras)h(from)e Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x)1608 3984 y Fl(1)1653 3969 y Ft(;)f(:)g(:)g(:)f(;)h(x) 1927 3984 y Fq(n)1974 3969 y Fx(i)31 b Fz(to)g Ft(B)36 b Fz(that)31 b(v)-5 b(anish)30 b(on)h(the)h(ideal)d Ft(I)39 b Fz(or)31 b(as)0 4086 y(the)i(set)g(of)f(zeros)i(of)e(these)i(p)s (olynomials)29 b(in)j Ft(B)1772 4049 y Fq(n)1819 4086 y Fz(.)149 4202 y(Similar)e(to)j(Theorem)g(1.1.13)g(one)g(sho)m(ws)i (also)d(in)h(the)g(noncomm)m(utativ)m(e)f(case)j(that)d(mor-)0 4318 y(phisms)g(b)s(et)m(w)m(een)j(noncomm)m(utativ)m(e)d(spaces)i(are) e(describ)s(ed)i(b)m(y)f(p)s(olynomials.)149 4434 y(The)41 b(Theorem)f(1.1.11)f(on)g(the)h(op)s(eration)e(of)h(the)h(a\016ne)g (algebra)f Ft(A)h Fz(=)f Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))39 b(on)h Fx(X)54 b Fz(as)0 4550 y(function)29 b(algebra)g(can)h(b)s(e)g (carried)f(o)m(v)m(er)i(to)f(the)g(noncomm)m(utativ)m(e)f(case)i(as)f (w)m(ell:)41 b(the)30 b(natural)0 4667 y(transformation)h Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))28 b(:)g Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)38 b Fz(\(natural)31 b(in)h Ft(B)5 b Fz(\))33 b(is)f(giv)m(en)h(b)m(y)h Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(a;)17 b(p)p Fz(\))28 b(:=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 4783 y(and)33 b(comes)f(from)g (the)h(isomorphism)d Ft(A)1547 4755 y Fx(\030)1548 4787 y Fz(=)1652 4783 y(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\).)149 4983 y(No)m(w)36 b(w)m(e)f(come)f(to)h(a)f(claim)e(on)j(the)f(function) h(algebra)e Ft(A)i Fz(that)f(w)m(e)i(did)d(not)i(pro)m(v)m(e)h(in)e (the)0 5099 y(comm)m(utativ)m(e)29 b(case,)j(but)f(that)f(holds)g(in)g (the)h(comm)m(utativ)m(e)e(as)i(w)m(ell)e(as)i(in)f(the)g(noncomm)m (uta-)0 5216 y(tiv)m(e)j(situation.)p eop %%Page: 13 16 13 15 bop 625 251 a Fw(2.)34 b(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)32 b(AND)g(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(GEOMETR)-6 b(Y)548 b(13)149 450 y Fv(Lemma)42 b(1.2.4.)i Fs(L)-5 b(et)39 b Ft(D)i Fs(b)-5 b(e)39 b(a)f(set)g(and)g Ft(\036)d Fz(:)f Ft(D)28 b Fx(\002)d(X)15 b Fz(\()p Fs(-)p Fz(\))34 b Fx(\000)-57 b(!)34 b Fu(A)22 b Fz(\()p Fs(-)6 b Fz(\))38 b Fs(b)-5 b(e)38 b(a)h(natur)-5 b(al)38 b(tr)-5 b(ansfor-)0 566 y(mation.)44 b(Then)34 b(ther)-5 b(e)35 b(exists)g(a)f(unique)h (map)f Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(D)k Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(A)35 b Fs(such)g(that)g(the)g(diagr)-5 b(am)1235 1082 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))620 b Ft(B)p 1700 1059 563 4 v 2180 1057 a Fm(-)1900 1126 y Fq( )r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1230 789 y Ft(D)25 b Fx(\002)d(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1451 989 4 156 v 1453 989 a Fm(?)1283 927 y Fq(f)i Fr(\002)p Fl(1)542 b Fq(\036)p Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1658 860 y Fm(P)1741 888 y(P)1824 916 y(P)1907 944 y(P)1990 971 y(P)2043 989 y(P)-83 b(q)0 1333 y Fs(c)-5 b(ommutes.)149 1597 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)29 b Ft(\036)f Fz(:)f Ft(D)17 b Fx(\002)d(X)43 b(\000)-60 b(!)28 b Fu(A)56 b Fz(b)s(e)29 b(giv)m(en.)42 b(W)-8 b(e)29 b(\014rst)g(de\014ne)h(a)f(map)e Ft(f)2801 1561 y Fr(0)2852 1597 y Fz(:)h Ft(D)i Fx(\000)-59 b(!)27 b Fz(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))0 1714 y(b)m(y)33 b Ft(f)194 1678 y Fr(0)217 1714 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\))28 b(:=)f Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(d;)17 b(p)p Fz(\).)149 1830 y(W)-8 b(e)45 b(claim)c(that)j Ft(f)882 1794 y Fr(0)905 1830 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))i(:)h Fx(X)62 b(\000)-59 b(!)46 b Fu(A)72 b Fz(is)43 b(a)h(natural)f(transformation.)75 b(Observ)m(e)46 b(that)e(the)0 1946 y(diagram)1283 2685 y Ft(D)24 b Fx(\002)f(X)15 b Fz(\()p Ft(B)1691 2649 y Fr(0)1714 2685 y Fz(\))303 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)2238 2649 y Fr(0)2268 2685 y Fz(\))27 b(=)h Ft(B)2516 2649 y Fr(0)p 1781 2662 246 4 v 1943 2660 a Fm(-)1785 2755 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)1960 2718 y Fr(0)1983 2755 y Fz(\))1294 2198 y Ft(D)d Fx(\002)e(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))338 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))33 b(=)28 b Ft(B)p 1769 2175 281 4 v 1967 2173 a Fm(-)1803 2129 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1516 2592 4 351 v 1517 2592 a Fm(?)1061 2442 y Ft(D)25 b Fx(\002)d(X)15 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p 2296 2592 V 2297 2592 a Fm(?)2336 2428 y Ft(g)0 2961 y Fz(comm)m(utes)28 b(for)f(an)m(y)i Ft(g)i Fz(:)c Ft(B)33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)1241 2925 y Fr(0)1264 2961 y Fz(,)i(since)f Ft(\036)g Fz(is)f(a)h(natural)f (transformation.)39 b(Th)m(us)30 b(the)e(diagram)1282 3741 y Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)1485 3705 y Fr(0)1508 3741 y Fz(\))406 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)2135 3705 y Fr(0)2165 3741 y Fz(\))27 b(=)h Ft(B)2413 3705 y Fr(0)p 1575 3718 349 4 v 1840 3716 a Fm(-)1555 3810 y Ft(f)1614 3774 y Fr(0)1637 3810 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(B)1881 3774 y Fr(0)1904 3810 y Fz(\))1294 3254 y Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))441 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))33 b(=)28 b Ft(B)p 1564 3230 384 4 v 1865 3228 a Fm(-)1573 3184 y Ft(f)1632 3148 y Fr(0)1655 3184 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1413 3648 4 351 v 1414 3648 a Fm(?)1164 3497 y Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p 2193 3648 V 2194 3648 a Fm(?)2233 3484 y Ft(g)0 4030 y Fz(comm)m(utes)32 b(since)849 4241 y(\()p Ft(g)25 b Fx(\016)d Ft(f)1090 4205 y Fr(0)1113 4241 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(B)5 b Fz(\)\)\()p Ft(p)p Fz(\))82 b(=)28 b(\()p Ft(g)d Fx(\016)d Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\)\()p Ft(d;)17 b(p)p Fz(\))1640 4357 y(=)28 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)1919 4321 y Fr(0)1942 4357 y Fz(\))22 b Fx(\016)g Fz(\(1)g Fx(\002)g(X)15 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\)\)\()p Ft(d;)i(p)p Fz(\))1640 4473 y(=)28 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)1919 4437 y Fr(0)1942 4473 y Fz(\)\()p Ft(d;)17 b Fx(X)e Fz(\()p Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\))1640 4590 y(=)28 b Ft(f)1803 4553 y Fr(0)1826 4590 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(B)2070 4553 y Fr(0)2093 4590 y Fz(\)\()p Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(p)p Fz(\)\))p Ft(:)0 4828 y Fz(Hence)34 b Ft(f)349 4792 y Fr(0)372 4828 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))27 b Fx(2)h Fz(Nat\()p Ft(X)r(;)17 b Fu(A)22 b Fz(\))38 b(and)33 b Ft(f)1336 4792 y Fr(0)1387 4828 y Fz(:)28 b Ft(D)i Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\).)149 4983 y(No)m(w)36 b(w)m(e)g(de\014ne)g Ft(f)42 b Fz(:)31 b Ft(D)j Fx(\000)-59 b(!)31 b Ft(A)j Fz(as)h Ft(D)1609 4923 y Fq(f)1650 4899 y Fk(0)1560 4983 y Fx(\000)-16 b(!)31 b Fz(Nat\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fu(A)k Fz(\))2221 4955 y Fx(\030)2221 4987 y Fz(=)2329 4983 y Ft(A)p Fz(.)51 b(By)35 b(using)f(the)h(isomorphism)0 5099 y(from)g(1.1.11)g(w)m(e)j(get)e Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))33 b(=)g Ft(f)1220 5063 y Fr(0)1243 5099 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\)\(1\).)54 b(\(Actually)35 b(w)m(e)i(get)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))33 b(=)h Ft(f)2863 5063 y Fr(0)2886 5099 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\)\(1\)\()p Ft(x)p Fz(\))i(but)0 5216 y(w)m(e)e(iden)m(tify)e Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))38 b(and)33 b Ft(B)k Fz(b)m(y)d Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))34 b Fx(3)28 b Ft(p)f Fx(7!)h Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))f Fx(2)i Ft(B)5 b Fz(.\))p eop %%Page: 14 17 14 16 bop 0 251 a Fw(14)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)149 450 y Fz(Then)34 b(w)m(e)g(get)77 603 y Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(f)32 b Fx(\002)23 b Fz(1\)\()p Ft(d;)17 b(p)p Fz(\))82 b(=)27 b Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))p Ft(;)17 b(p)p Fz(\))906 719 y(=)27 b Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(f)1328 683 y Fr(0)1351 719 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\)\(1\)\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(;)17 b(p)p Fz(\))32 b(\(b)m(y)h(de\014nition)f(of)g Ft(f)11 b Fz(\))906 836 y(=)27 b Ft(p)c Fx(\016)f Ft(f)1212 800 y Fr(0)1235 836 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\)\(1\))31 b(\(since)i(w)m(e)h(ma)m(y)e(omit)f Ft(x)p Fz(\))906 952 y(=)c Ft(p)c Fx(\016)f Ft(\036)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\()p Ft(d;)17 b Fz(1\))31 b(\(b)m(y)i(de\014nition)f(of)g Ft(f)2388 916 y Fr(0)2411 952 y Fz(\))906 1068 y(=)27 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(D)25 b Fx(\002)e(X)15 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\)\()p Ft(d;)i Fz(1\))31 b(\(since)i Ft(\036)f Fz(is)g(a)g(natural)g(transformation\))906 1184 y(=)27 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(d;)17 b(p)p Fz(\))p Ft(:)0 1341 y Fz(Hence)34 b(the)f(diagram)d(in)i(the)h (Lemma)e(comm)m(utes.)149 1457 y(T)-8 b(o)47 b(sho)m(w)h(the)f (uniqueness)i(of)d Ft(f)58 b Fz(let)46 b Ft(g)55 b Fz(:)d Ft(D)i Fx(\000)-60 b(!)52 b Ft(A)47 b Fz(b)s(e)g(a)f(homomorphism)e (suc)m(h)k(that)0 1573 y Ft( )t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\()p Ft(g)25 b Fx(\002)e Fz(1\))k(=)h Ft(\036)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)43 b(Then)34 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)0 1734 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))27 b(=)h Ft(f)376 1692 y Fr(0)399 1734 y Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\)\(1\))e(=)i Ft(\036)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\()p Ft(d;)17 b Fz(1\))26 b(=)i Ft( )t Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\()p Ft(g)6 b Fx(\002)s Fz(1\)\()p Ft(d;)17 b Fz(1\))26 b(=)i Ft( )t Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))p Ft(;)17 b Fz(1\))26 b(=)h(1)s Fx(\016)s Ft(g)t Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))f(=)h Ft(g)t Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))0 1894 y(hence)34 b Ft(f)k Fz(=)28 b Ft(g)t Fz(.)2984 b Fh(\003)149 2064 y Fv(Problem)30 b(1.2.3.)39 b(De\014nition:)g Fz(Let)28 b Fx(X)42 b Fz(b)s(e)28 b(an)g(geometric)e(space)j(with)e(a\016ne)h (algebra)f Ft(A)p Fz(.)0 2180 y(Let)35 b Ft(D)i Fz(b)s(e)e(an)f (algebra.)49 b(A)34 b(natural)g(transformation)e Ft(\032)f Fz(:)g Ft(D)c Fx(\002)d(X)45 b(\000)-59 b(!)30 b Fu(A)63 b Fz(is)34 b(called)f(an)i Fs(algebr)-5 b(a)0 2297 y(action)34 b Fz(if)g Ft(\032)p Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\)\(-)p Ft(;)17 b(p)p Fz(\))31 b(:)h Ft(D)i Fx(\000)-59 b(!)31 b Fu(A)22 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))37 b(=)32 b Ft(B)40 b Fz(is)34 b(an)h(algebra)f(homomorphism)e(for)i(all)f Ft(B)40 b Fz(and)35 b(all)0 2413 y Ft(p)28 b Fx(2)g(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)149 2529 y(Giv)m(e)33 b(pro)s(ofs)f(for:)149 2645 y Fv(Lemma:)44 b Fz(The)33 b(natural)f(transformation)e Ft( )i Fz(:)27 b Ft(A)c Fx(\002)f(X)43 b(\000)-60 b(!)27 b Fu(A)61 b Fz(is)32 b(an)g(algebra)g(action.)149 2761 y Fv(Theorem:)47 b Fz(Let)34 b Ft(D)j Fz(b)s(e)e(an)f(algebra)f(and)h Ft(\032)d Fz(:)g Ft(D)26 b Fx(\002)d(X)15 b Fz(\(-\))30 b Fx(\000)-60 b(!)31 b Fu(A)22 b Fz(\(-)5 b(\))34 b(b)s(e)h(an)f (algebra)f(action.)0 2878 y(Then)c(there)g(exists)f(a)g(unique)g (algebra)f(homomorphism)e Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ft(D)i Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A)g Fz(suc)m(h)h(that)f(the)g(diagram)1430 3512 y Ft(A)22 b Fx(\002)h(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))230 b Ft(B)p 1895 3489 173 4 v 1985 3487 a Fm(-)1900 3556 y Fq( )r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1952 3259 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))1716 3150 y Fm(@)1799 3233 y(@)1882 3316 y(@)1965 3399 y(@)1984 3418 y(@)-83 b(R)1425 3024 y Ft(D)25 b Fx(\002)d(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p 1646 3418 4 351 v 1648 3418 a Fm(?)1478 3259 y Fq(f)i Fr(\002)p Fl(1)0 3686 y Fz(comm)m(utes.)149 3824 y Fv(De\014nition)37 b(1.2.5.)42 b Fz(The)33 b(noncomm)m(utativ)m(e)f(space)i Fu(A)2242 3773 y Fl(2)q Fr(j)p Fl(0)2242 3835 y Fq(q)2375 3824 y Fz(with)f(the)g(function)f(algebra)1106 3991 y Fx(O)s Fz(\()p Fu(A)1292 3950 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)1292 4015 y Fq(q)1392 3991 y Fz(\))c(:=)f Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x;)f(y)t Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)30 b Fx(\000)23 b Ft(q)2256 3950 y Fr(\000)p Fl(1)2350 3991 y Ft(y)t(x)p Fz(\))0 4155 y(with)28 b Ft(q)k Fx(2)c Fu(K)33 b Fx(n)15 b(f)p Fz(0)p Fx(g)33 b Fz(is)28 b(called)g(the)h Fs(\(deforme)-5 b(d\))30 b(quantum)i(plane)p Fz(.)41 b(The)30 b(noncomm)m(utativ)m(e)e (space)0 4289 y Fu(A)66 4238 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)66 4300 y Fq(q)199 4289 y Fz(with)k(the)h(function)f(algebra)1032 4456 y Fx(O)s Fz(\()p Fu(A)1218 4415 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)1218 4480 y Fq(q)1318 4456 y Fz(\))c(:=)g Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(\030)5 b(;)17 b(\021)t Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(\030)1943 4415 y Fl(2)1986 4456 y Ft(;)g(\021)2082 4415 y Fl(2)2121 4456 y Ft(;)g(\030)5 b(\021)25 b Fz(+)d Ft(q)t(\021)t(\030)5 b Fz(\))0 4620 y(is)32 b(called)f(the)i Fs(dual)i(\(deforme)-5 b(d\))34 b(quantum)h(plane)p Fz(.)42 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)942 4842 y Fu(A)1008 4801 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)1008 4867 y Fq(q)1108 4842 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)1389 4702 y Fj(\032)o(\022)1537 4782 y Ft(x)1539 4899 y(y)1592 4702 y Fj(\023)1666 4758 y(\014)1666 4817 y(\014)1699 4842 y Ft(x;)17 b(y)31 b Fx(2)d Ft(A)p Fz(;)17 b Ft(xy)31 b Fz(=)c Ft(q)2372 4801 y Fr(\000)p Fl(1)2467 4842 y Ft(y)t(x)2583 4702 y Fj(\033)0 5058 y Fz(and)595 5178 y Fu(A)661 5137 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)661 5203 y Fq(q)761 5178 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(=)1041 5097 y Fj(\010\000)1145 5176 y Ft(\030)5 b(;)82 b(\021)1354 5097 y Fj(\001)1400 5093 y(\014)1400 5153 y(\014)1433 5178 y Ft(\030)5 b(;)17 b(\021)31 b Fx(2)d Ft(A)p Fz(;)17 b Ft(\030)1863 5137 y Fl(2)1929 5178 y Fz(=)28 b(0)p Ft(;)17 b(\021)2178 5137 y Fl(2)2244 5178 y Fz(=)27 b(0)p Ft(;)17 b(\030)5 b(\021)31 b Fz(=)c Fx(\000)p Ft(q)t(\021)t(\030)2904 5097 y Fj(\011)2978 5178 y Ft(:)p eop %%Page: 15 18 15 17 bop 625 251 a Fw(2.)34 b(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)32 b(AND)g(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(GEOMETR)-6 b(Y)548 b(15)149 450 y Fv(De\014nition)47 b(1.2.6.)g Fz(Let)42 b Fx(X)56 b Fz(b)s(e)42 b(a)g(noncomm)m(utativ)m(e)f(space)i(with)e (function)g(algebra)g Ft(A)0 566 y Fz(and)h(let)f Fx(X)420 581 y Fq(c)497 566 y Fz(b)s(e)h(the)h(restriction)e(of)g(the)i(functor) f Fx(X)58 b Fz(:)44 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)60 b Fx(\000)-60 b(!)43 b(S)n Fs(et)59 b Fz(to)42 b(the)g(category)g(of)0 683 y(comm)m(utativ)m(e)35 b(algebras:)50 b Fx(X)1082 698 y Fq(c)1151 683 y Fz(:)34 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)50 b Fx(\000)-60 b(!)34 b(S)n Fs(et)17 b Fz(.)54 b(Then)37 b(w)m(e)g(call)e Fx(X)2616 698 y Fq(c)2687 683 y Fz(the)h Fs(c)-5 b(ommutative)38 b(p)-5 b(art)0 799 y Fz(of)32 b(the)h(noncomm)m(utativ)m(e)f(space)i Fx(X)15 b Fz(.)149 937 y Fv(Lemma)51 b(1.2.7.)d Fs(The)c(c)-5 b(ommutative)45 b(p)-5 b(art)46 b Fx(X)1944 952 y Fq(c)2024 937 y Fs(of)f(a)g(nonc)-5 b(ommutative)45 b(sp)-5 b(ac)g(e)44 b Fx(X)60 b Fs(is)45 b(an)0 1054 y(a\016ne)34 b(variety.)149 1225 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)35 b(underlying)e(functor)h Fu(A)57 b Fz(:)30 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)46 b Fx(\000)-60 b(!)29 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)50 b Fz(has)34 b(a)f(left)g(adjoin)m(t)g(functor)0 1341 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)62 b Fx(3)46 b Ft(A)g Fx(7!)g Ft(A=)p Fz([)p Ft(A;)17 b(A)p Fz(])46 b Fx(2)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)59 b Fz(where)45 b([)p Ft(A;)17 b(A)p Fz(])43 b(denotes)i(the)e(t)m(w)m (o-sided)h(ideal)e(of)h Ft(A)0 1457 y Fz(generated)33 b(b)m(y)h(the)f(elemen)m(ts)f Ft(ab)23 b Fx(\000)g Ft(ba)p Fz(.)44 b(In)32 b(fact)h(for)f(eac)m(h)h(homomorphism)d(of)i(algebras)g Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(A)0 1573 y Fx(\000)-60 b(!)32 b Ft(B)40 b Fz(with)35 b(a)g(comm)m(utativ)m(e)f(algebra)g Ft(B)41 b Fz(there)36 b(is)e(a)h(factorization)e(through)i Ft(A=)p Fz([)p Ft(A;)17 b(A)p Fz(])36 b(since)0 1690 y Ft(f)43 b Fz(v)-5 b(anishes)33 b(on)g(the)g(elemen)m(ts)g Ft(ab)23 b Fx(\000)f Ft(ba)p Fz(.)149 1806 y(Hence)32 b(if)d Ft(A)e Fz(=)h Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))30 b(is)f(the)i(function)e(algebra)g(of)h Fx(X)44 b Fz(then)31 b Ft(A=)p Fz([)p Ft(A;)17 b(A)p Fz(])30 b(is)f(the)i(represen)m(ting)0 1922 y(algebra)g(for)h Fx(X)561 1937 y Fq(c)596 1922 y Fz(.)2900 b Fh(\003)149 2093 y Fv(Remark)48 b(1.2.8.)e Fz(F)-8 b(or)41 b(an)m(y)h(comm)m(utativ)m(e)e(algebra)h(\(of)f(co)s (e\016cien)m(ts\))j Ft(B)j Fz(the)c(spaces)h Fx(X)0 2209 y Fz(and)i Fx(X)273 2224 y Fq(c)352 2209 y Fz(ha)m(v)m(e)h(the)f(same)g Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts:)67 b Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))48 b(=)g Fx(X)1977 2224 y Fq(c)2011 2209 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)80 b(The)46 b(t)m(w)m(o)f(spaces)h(di\013er)e(only)g (for)0 2326 y(noncomm)m(utativ)m(e)39 b(algebras)g(of)g(co)s(e\016cien) m(ts.)66 b(In)40 b(particular)e(for)h(comm)m(utativ)m(e)g(\014elds)h Ft(B)45 b Fz(as)0 2454 y(algebras)c(of)g(co)s(e\016cien)m(ts)h(the)g (quan)m(tum)f(plane)g Fu(A)1943 2403 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)1943 2464 y Fq(q)2085 2454 y Fz(has)g(only)g Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts)41 b(on)g(the)h(t)m(w)m(o)g(axes)0 2570 y(since)32 b(the)h(function)e(algebra)g Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x;)f(y)t Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)29 b Fx(\000)21 b Ft(q)1793 2534 y Fr(\000)p Fl(1)1887 2570 y Ft(y)t(x;)c(xy)24 b Fx(\000)e Ft(y)t(x)p Fz(\))2436 2543 y Fx(\030)2437 2574 y Fz(=)2541 2570 y Ft(K)7 b Fz([)p Ft(x;)17 b(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)t Fz(\))31 b(de\014nes)i(only)0 2686 y Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts)32 b(\()p Ft(b)484 2701 y Fl(1)524 2686 y Ft(;)17 b(b)609 2701 y Fl(2)648 2686 y Fz(\))33 b(where)h(at)e(least)g(one)h(of)f(the)h (co)s(e\016cien)m(ts)h(is)e(zero.)149 2814 y Fv(Problem)44 b(1.2.4.)i Fz(Let)40 b Ft(S)1160 2829 y Fl(3)1239 2814 y Fz(b)s(e)f(the)h(symmetric)f(group)h(and)f Ft(A)h Fz(:=)g Fu(K)17 b Fz([)p Ft(S)2929 2829 y Fl(3)2975 2814 y Fz(])39 b(b)s(e)h(the)g(group)0 2930 y(algebra)32 b(on)i Ft(S)539 2945 y Fl(3)578 2930 y Fz(.)47 b(Describ)s(e)34 b(the)g(p)s(oin)m(ts)f (of)g Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))29 b(=)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\))34 b(as)f(a)h(subspace)h(of)f Fu(A)3372 2894 y Fl(2)3418 2930 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\).)0 3046 y(What)33 b(is)f(the)h(comm)m (utativ)m(e)e(part)i Fx(X)1405 3061 y Fq(c)1439 3046 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))33 b(of)f Fx(X)47 b Fz(and)33 b(what)g(is)f(the)h(a\016ne)g(algebra)e(of)i Fx(X)3340 3061 y Fq(c)3374 3046 y Fz(?)149 3174 y(T)-8 b(o)35 b(understand)h(ho)m (w)f(Hopf)f(algebras)g(\014t)g(in)m(to)g(the)h(con)m(text)h(of)e (noncomm)m(utativ)m(e)f(spaces)0 3290 y(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(to)e(b)s (etter)h(understand)h(the)f(tensor)g(pro)s(duct)g(in)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(.)149 3429 y Fv(De\014nition)34 b(1.2.9.)41 b Fz(Let)30 b Ft(A)e Fz(=)g Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))30 b(and)g Ft(A)1883 3392 y Fr(0)1934 3429 y Fz(=)e Fx(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\))30 b(b)s(e)h(the)g(function)f(algebras)f(of)i(the)0 3545 y(noncomm)m(utativ)m(e)36 b(spaces)j Fx(X)51 b Fz(resp.)58 b Fx(Y)8 b Fz(.)57 b(Tw)m(o)38 b Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts)36 b Ft(p)f Fz(:)h Ft(A)f Fx(\000)-59 b(!)35 b Ft(B)42 b Fz(in)36 b Fx(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))37 b(and)g Ft(p)3383 3509 y Fr(0)3441 3545 y Fz(:)f Ft(A)3577 3509 y Fr(0)0 3661 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)37 b Fz(in)32 b Fx(Y)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))32 b(are)h(called)e Fs(c)-5 b(ommuting)35 b(p)-5 b(oints)32 b Fz(if)f(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)g(for)e (all)e Ft(a)e Fx(2)g Ft(A)33 b Fz(and)f(all)f Ft(a)3251 3625 y Fr(0)3302 3661 y Fx(2)d Ft(A)3469 3625 y Fr(0)1322 3822 y Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)1547 3781 y Fr(0)1570 3822 y Fz(\()p Ft(a)1659 3781 y Fr(0)1683 3822 y Fz(\))g(=)f Ft(p)1901 3781 y Fr(0)1924 3822 y Fz(\()p Ft(a)2013 3781 y Fr(0)2037 3822 y Fz(\))p Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)0 3983 y Fz(i.e.)43 b(if)31 b(the)i(images)f(of)g (the)h(t)m(w)m(o)g(homomorphisms)d Ft(p)j Fz(and)g Ft(p)2257 3947 y Fr(0)2312 3983 y Fz(comm)m(ute.)149 4122 y Fv(Remark)45 b(1.2.10.)h Fz(T)-8 b(o)39 b(sho)m(w)h(that)f(the)h(p)s(oin)m(ts)f Ft(p)g Fz(and)h Ft(p)2370 4085 y Fr(0)2432 4122 y Fz(comm)m(ute,)h(it)d (is)h(su\016cien)m(t)h(to)0 4238 y(c)m(hec)m(k)f(that)e(the)h(images)e (of)g(the)i(algebra)e(generators)h Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)2233 4253 y Fl(1)2273 4238 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)p Fz(\()p Ft(x)2672 4253 y Fq(m)2738 4238 y Fz(\))37 b(comm)m(ute)g(with) g(the)0 4354 y(images)46 b(of)g(the)i(algebra)e(generators)i Ft(p)1535 4318 y Fr(0)1558 4354 y Fz(\()p Ft(y)1644 4369 y Fl(1)1683 4354 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(p)1988 4318 y Fr(0)2011 4354 y Fz(\()p Ft(y)2097 4369 y Fq(n)2144 4354 y Fz(\))47 b(under)h(the)f(m)m(ultiplication.)83 b(This)0 4470 y(means)33 b(that)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)1587 4591 y Ft(b)1628 4606 y Fq(i)1656 4591 y Ft(b)1697 4549 y Fr(0)1697 4615 y Fq(j)1762 4591 y Fz(=)28 b Ft(b)1907 4549 y Fr(0)1907 4615 y Fq(j)1944 4591 y Ft(b)1985 4606 y Fq(i)0 4736 y Fz(for)k(the)h Ft(B)5 b Fz(-p)s(oin)m(ts)32 b(\()p Ft(b)801 4751 y Fl(1)841 4736 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b)1101 4751 y Fq(m)1167 4736 y Fz(\))28 b Fx(2)g(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))32 b(and)h(\()p Ft(b)1869 4699 y Fr(0)1869 4760 y Fl(1)1909 4736 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(b)2168 4699 y Fr(0)2168 4760 y Fq(n)2216 4736 y Fz(\))27 b Fx(2)h(Y)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\).)149 4874 y Fv(De\014nition)37 b(1.2.11.)42 b Fz(The)33 b(functor)625 5035 y(\()p Fx(X)43 b(?)28 b(Y)8 b Fz(\)\()p Ft(B)d Fz(\))27 b(:=)h Fx(f)p Fz(\()p Ft(p;)17 b(p)1538 4994 y Fr(0)1560 5035 y Fz(\))28 b Fx(2)g(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\002)h(Y)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))p Fx(j)p Ft(p;)17 b(p)2483 4994 y Fr(0)2537 5035 y Fz(comm)m(ute)p Fx(g)0 5196 y Fz(is)32 b(called)f(the)i Fs(ortho)-5 b(gonal)34 b(pr)-5 b(o)g(duct)33 b Fz(of)f(the)h(noncomm)m(utativ)m(e)f(spaces)i Fx(X)47 b Fz(and)33 b Fx(Y)8 b Fz(.)p eop %%Page: 16 19 16 18 bop 0 251 a Fw(16)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)149 450 y Fv(Remark)32 b(1.2.12.)39 b Fz(T)-8 b(ogether)29 b(with)e Fx(X)43 b Fz(and)28 b Fx(Y)36 b Fz(the)29 b(orthogonal)d(pro)s (duct)i Fx(X)43 b(?)28 b(Y)36 b Fz(is)27 b(again)0 566 y(a)33 b(functor,)h(since)g(homomorphisms)d Ft(f)40 b Fz(:)29 b Ft(B)35 b Fx(\000)-60 b(!)29 b Ft(B)1895 530 y Fr(0)1952 566 y Fz(are)k(compatible)f(with)h(the)h(m)m(ultiplication) 0 683 y(and)f(th)m(us)g(preserv)m(e)i(comm)m(uting)c(p)s(oin)m(ts.)43 b(Hence)34 b Fx(X)42 b(?)28 b(Y)41 b Fz(is)32 b(a)g(subfunctor)i(of)e Fx(X)37 b(\002)22 b(Y)8 b Fz(.)149 820 y Fv(Lemma)39 b(1.2.13.)k Fs(If)36 b Fx(X)51 b Fs(and)36 b Fx(Y)44 b Fs(ar)-5 b(e)36 b(nonc)-5 b(ommutative)35 b(sp)-5 b(ac)g(es,)36 b(then)g Fx(X)45 b(?)31 b(Y)44 b Fs(is)37 b(a)f(non-)0 936 y(c)-5 b(ommutative)34 b(sp)-5 b(ac)g(e)34 b(with)h(function)g (algebr)-5 b(a)34 b Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)42 b(?)28 b(Y)8 b Fz(\))28 b(=)f Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))22 b Fx(\012)h(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\))p Fs(.)149 1052 y(If)37 b Fx(X)51 b Fs(and)36 b Fx(Y)44 b Fs(have)36 b(\014nitely)h(gener)-5 b(ate)g(d)36 b(function)g(algebr)-5 b(as)36 b(then)g(the)h(function)f(algebr)-5 b(a)36 b(of)0 1169 y Fx(X)42 b(?)28 b(Y)43 b Fs(is)35 b(also)f(\014nitely)h(gener)-5 b(ate)g(d.)149 1337 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)e Ft(A)f Fz(:=)g Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))39 b(and)h Ft(A)1523 1300 y Fr(0)1585 1337 y Fz(:=)f Fx(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\).)64 b(Let)39 b(\()p Ft(p;)17 b(p)2412 1300 y Fr(0)2435 1337 y Fz(\))39 b Fx(2)h Fz(\()p Fx(X)54 b(?)39 b(Y)8 b Fz(\)\()p Ft(B)d Fz(\))39 b(b)s(e)h(a)f(pair)0 1453 y(of)34 b(comm)m(uting)f(p)s(oin)m(ts.)50 b(Then)36 b(there)g(is)e(a)h(unique)g(homomorphism)e(of)h(algebras)g Ft(h)e Fz(:)g Ft(A)23 b Fx(\012)i Ft(A)3577 1417 y Fr(0)0 1569 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)37 b Fz(suc)m(h)d(that)f(the)g(follo)m (wing)d(diagram)g(comm)m(utes)1270 1819 y Ft(A)305 b(A)23 b Fx(\012)f Ft(A)1916 1783 y Fr(0)p 1372 1789 248 4 v 1537 1787 a Fm(-)1479 1768 y Ft(\023)1441 2042 y(p)1375 1938 y Fm(@)1458 2021 y(@)1541 2104 y(@)1624 2187 y(@)1643 2206 y(@)-83 b(R)1741 2308 y Ft(B)5 b(:)p 1792 2206 4 351 v 1794 2206 a Fm(?)1699 2065 y Ft(h)2233 1819 y(A)2306 1783 y Fr(0)p 1969 1789 236 4 v 1969 1787 a Fm(\033)2058 1768 y Ft(\023)2092 1732 y Fr(0)2098 2057 y Ft(p)2147 2021 y Fr(0)2130 1938 y Fm(\000)2047 2021 y(\000)1964 2104 y(\000)1881 2187 y(\000)1862 2206 y(\000)-83 b(\011)0 2413 y Fz(De\014ne)38 b Ft(h)p Fz(\()p Ft(a)26 b Fx(\012)g Ft(a)632 2376 y Fr(0)655 2413 y Fz(\))36 b(:=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)1093 2376 y Fr(0)1117 2413 y Fz(\()p Ft(a)1206 2376 y Fr(0)1229 2413 y Fz(\))h(and)h(c)m(hec)m(k)i (the)e(necessary)i(prop)s(erties.)58 b(Observ)m(e)39 b(that)e(for)0 2529 y(an)g(arbitrary)f(homomorphism)e(of)i(algebras)h Ft(h)e Fz(:)g Ft(A)25 b Fx(\012)h Ft(A)2179 2493 y Fr(0)2238 2529 y Fx(\000)-60 b(!)35 b Ft(B)42 b Fz(the)37 b(images)f(of)g(elemen) m(ts)h(of)0 2645 y(the)32 b(form)e Ft(a)21 b Fx(\012)f Fz(1)32 b(and)f(1)20 b Fx(\012)h Ft(a)1052 2609 y Fr(0)1107 2645 y Fz(comm)m(ute)31 b(since)h(these)h(elemen)m(ts)f(already)f(comm) m(ute)g(in)g Ft(A)20 b Fx(\012)g Ft(A)3549 2609 y Fr(0)3573 2645 y Fz(.)0 2761 y(Th)m(us)34 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)1075 2879 y(\()p Fx(X)42 b(?)28 b(Y)8 b Fz(\)\()p Ft(B)d Fz(\))1627 2851 y Fx(\030)1628 2883 y Fz(=)1732 2879 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)2314 2838 y Fr(0)2337 2879 y Ft(;)17 b(B)5 b Fz(\))p Ft(:)149 3017 y Fz(If)43 b(the)g(algebra)e Ft(A)i Fz(is)f(generated)i (b)m(y)f(the)g(elemen)m(ts)g Ft(a)2248 3032 y Fl(1)2288 3017 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(a)2557 3032 y Fq(m)2666 3017 y Fz(and)43 b(the)g(algebra)e Ft(A)3468 2981 y Fr(0)3534 3017 y Fz(is)0 3134 y(generated)j(b)m(y)h(the)e(elemen)m(ts)h Ft(a)1241 3097 y Fr(0)1241 3158 y Fl(1)1281 3134 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(a)1550 3097 y Fr(0)1550 3158 y Fq(n)1641 3134 y Fz(then)44 b(the)f(algebra)g Ft(A)29 b Fx(\012)h Ft(A)2687 3097 y Fr(0)2754 3134 y Fz(is)43 b(generated)h(b)m(y)h(the)0 3250 y(elemen)m(ts)33 b Ft(a)450 3265 y Fq(i)500 3250 y Fx(\012)23 b Fz(1)32 b(and)h(1)22 b Fx(\012)h Ft(a)1093 3214 y Fr(0)1093 3274 y Fq(j)1129 3250 y Fz(.)2367 b Fh(\003)149 3418 y Fv(Prop)s(osition)37 b(1.2.14.)43 b Fs(The)35 b(ortho)-5 b(gonal)35 b(pr)-5 b(o)g(duct)35 b(of)h(nonc)-5 b(ommutative)35 b(sp)-5 b(ac)g(es)34 b(is)i(asso-)0 3534 y(ciative,)e(i.e.)45 b(for)34 b(nonc)-5 b(ommutative)34 b(sp)-5 b(ac)g(es)34 b Fx(X)15 b Fs(,)34 b Fx(Y)8 b Fs(,)35 b(and)f Fx(Z)43 b Fs(we)35 b(have)1138 3693 y Fz(\()p Fx(X)42 b(?)28 b(Y)8 b Fz(\))28 b Fx(?)g(Z)1748 3665 y(\030)1749 3697 y Fz(=)1853 3693 y Fx(X)42 b(?)28 b Fz(\()p Fx(Y)36 b(?)28 b(Z)8 b Fz(\))p Ft(:)149 3861 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)48 b Ft(B)53 b Fz(b)s(e)48 b(a)g(co)s(e\016cien)m(t)g(algebra)f(and)h(let)f Ft(p)2333 3876 y Fq(x)2431 3861 y Fx(2)54 b(X)15 b Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\),)51 b Ft(p)2919 3876 y Fq(y)3014 3861 y Fx(2)j(Y)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\),)52 b(and)0 3977 y Ft(p)49 3992 y Fq(z)121 3977 y Fx(2)33 b(Z)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))35 b(b)s(e)h(p)s(oin)m(ts)f(suc)m(h)h(that)f(\(\()p Ft(p)1483 3992 y Fq(x)1527 3977 y Ft(;)17 b(p)1620 3992 y Fq(y)1661 3977 y Fz(\))p Ft(;)g(p)1792 3992 y Fq(z)1832 3977 y Fz(\))35 b(is)g(a)g(pair)f(of)h(comm)m(uting)e(p)s(oin)m(ts)i(in)g (\(\()p Fx(X)47 b(?)0 4093 y(Y)8 b Fz(\))27 b Fx(?)i(Z)8 b Fz(\)\()p Ft(B)d Fz(\).)43 b(In)33 b(particular)d(\()p Ft(p)1247 4108 y Fq(x)1291 4093 y Ft(;)17 b(p)1384 4108 y Fq(y)1425 4093 y Fz(\))32 b(is)g(also)f(a)h(pair)f(of)h(comm)m(uting) e(p)s(oin)m(ts.)44 b(Th)m(us)33 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)0 4209 y(for)e(all)f Ft(a)c Fx(2)h Ft(A)g Fz(:=)g Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\),)32 b Ft(a)1043 4173 y Fr(0)1094 4209 y Fx(2)c Ft(A)1261 4173 y Fr(0)1313 4209 y Fz(:=)f Fx(O)s Fz(\()p Fx(Y)8 b Fz(\),)32 b(and)h Ft(a)1976 4173 y Fr(00)2046 4209 y Fx(2)c Ft(A)2214 4173 y Fr(00)2284 4209 y Fz(:=)e Fx(O)s Fz(\()p Fx(Z)8 b Fz(\))0 4368 y Ft(p)49 4383 y Fq(x)93 4368 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)269 4383 y Fq(y)310 4368 y Fz(\()p Ft(a)399 4327 y Fr(0)423 4368 y Fz(\))p Ft(p)510 4383 y Fq(z)549 4368 y Fz(\()p Ft(a)638 4327 y Fr(00)681 4368 y Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(p)937 4383 y Fq(x)981 4368 y Ft(;)17 b(p)1074 4383 y Fq(y)1115 4368 y Fz(\)\()p Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(a)1415 4327 y Fr(0)1438 4368 y Fz(\))p Ft(p)1525 4383 y Fq(z)1565 4368 y Fz(\()p Ft(a)1654 4327 y Fr(00)1696 4368 y Fz(\))28 b(=)g Ft(p)1915 4383 y Fq(z)1954 4368 y Fz(\()p Ft(a)2043 4327 y Fr(00)2086 4368 y Fz(\)\()p Ft(p)2211 4383 y Fq(x)2255 4368 y Ft(;)17 b(p)2348 4383 y Fq(y)2389 4368 y Fz(\)\()p Ft(a)22 b Fx(\012)g Ft(a)2688 4327 y Fr(0)2712 4368 y Fz(\))28 b(=)f Ft(p)2930 4383 y Fq(z)2970 4368 y Fz(\()p Ft(a)3059 4327 y Fr(00)3101 4368 y Fz(\))p Ft(p)3188 4383 y Fq(x)3232 4368 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)3408 4383 y Fq(y)3450 4368 y Fz(\()p Ft(a)3539 4327 y Fr(0)3562 4368 y Fz(\))0 4526 y(and)1260 4644 y Ft(p)1309 4659 y Fq(x)1353 4644 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)1529 4659 y Fq(y)1570 4644 y Fz(\()p Ft(a)1659 4603 y Fr(0)1683 4644 y Fz(\))h(=)f Ft(p)1901 4659 y Fq(y)1942 4644 y Fz(\()p Ft(a)2031 4603 y Fr(0)2055 4644 y Fz(\))p Ft(p)2142 4659 y Fq(x)2186 4644 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(:)0 4782 y Fz(If)33 b(w)m(e)i(c)m(ho)s(ose)f Ft(a)c Fz(=)f(1)k(then)h(w)m (e)h(get)e Ft(p)1401 4797 y Fq(y)1442 4782 y Fz(\()p Ft(a)1531 4746 y Fr(0)1555 4782 y Fz(\))p Ft(p)1642 4797 y Fq(z)1682 4782 y Fz(\()p Ft(a)1771 4746 y Fr(00)1813 4782 y Fz(\))c(=)g Ft(p)2034 4797 y Fq(z)2074 4782 y Fz(\()p Ft(a)2163 4746 y Fr(00)2206 4782 y Fz(\))p Ft(p)2293 4797 y Fq(y)2334 4782 y Fz(\()p Ft(a)2423 4746 y Fr(0)2446 4782 y Fz(\).)47 b(F)-8 b(or)32 b(arbitrary)h Ft(a;)17 b(a)3295 4746 y Fr(0)3318 4782 y Ft(;)g(a)3413 4746 y Fr(00)3489 4782 y Fz(w)m(e)0 4899 y(then)33 b(get)165 5057 y Ft(p)214 5072 y Fq(x)258 5057 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)434 5072 y Fq(y)476 5057 y Fz(\()p Ft(a)565 5016 y Fr(0)588 5057 y Fz(\))p Ft(p)675 5072 y Fq(z)715 5057 y Fz(\()p Ft(a)804 5016 y Fr(00)846 5057 y Fz(\))28 b(=)f Ft(p)1064 5072 y Fq(z)1104 5057 y Fz(\()p Ft(a)1193 5016 y Fr(00)1236 5057 y Fz(\))p Ft(p)1323 5072 y Fq(x)1367 5057 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(p)1543 5072 y Fq(y)1584 5057 y Fz(\()p Ft(a)1673 5016 y Fr(0)1696 5057 y Fz(\))h(=)g Ft(p)1915 5072 y Fq(z)1954 5057 y Fz(\()p Ft(a)2043 5016 y Fr(00)2086 5057 y Fz(\))p Ft(p)2173 5072 y Fq(y)2214 5057 y Fz(\()p Ft(a)2303 5016 y Fr(0)2327 5057 y Fz(\))p Ft(p)2414 5072 y Fq(x)2457 5057 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))g(=)g Ft(p)2765 5072 y Fq(y)2806 5057 y Fz(\()p Ft(a)2895 5016 y Fr(0)2919 5057 y Fz(\))p Ft(p)3006 5072 y Fq(z)3045 5057 y Fz(\()p Ft(a)3134 5016 y Fr(00)3177 5057 y Fz(\))p Ft(p)3264 5072 y Fq(x)3308 5057 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 5216 y(hence)34 b(\()p Ft(p)358 5231 y Fq(y)399 5216 y Ft(;)17 b(p)492 5231 y Fq(z)532 5216 y Fz(\))32 b(and)h(\()p Ft(p)879 5231 y Fq(x)923 5216 y Ft(;)17 b Fz(\()p Ft(p)1054 5231 y Fq(y)1095 5216 y Ft(;)g(p)1188 5231 y Fq(z)1227 5216 y Fz(\)\))32 b(are)h(also)f(pairs)g(of)g(comm)m(uting)f(p)s(oin)m (ts.)684 b Fh(\003)p eop %%Page: 17 20 17 19 bop 438 251 a Fw(3.)35 b(QUANTUM)d(MONOIDS)g(AND)g(THEIR)h(A)n (CTIONS)f(ON)h(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)360 b(17)149 450 y Fv(Problem)35 b(1.2.5.)41 b Fz(Sho)m(w)33 b(that)e(the)h (orthogonal)e(pro)s(duct)i(of)f(quan)m(tum)h(spaces)i Fx(X)42 b(?)28 b(Y)39 b Fz(is)0 566 y(a)f(tensor)i(pro)s(duct)f(for)f (the)h(category)g Fx(QS)47 b Fz(\(in)37 b(the)i(sense)i(of)d(monoidal)e (categories)i({)h(if)e(y)m(ou)0 683 y(kno)m(w)d(already)e(what)h(that)f (is\).)316 906 y Fv(3.)56 b(Quan)m(tum)38 b(Monoids)f(and)i(their)d (Actions)g(on)i(Quan)m(tum)f(Spaces)149 1081 y Fz(W)-8 b(e)39 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b(are)f(going)f(to)h (de\014ne)i(monoids)d(in)g(this)h(sense)i(and)e(study)i(their)e (actions)f(on)i(quan)m(tum)0 2010 y(spaces.)149 2127 y(Let)25 b Ft(E)31 b Fz(b)s(e)25 b(the)g(functor)g(represen)m(ted)i(b)m (y)f Fu(K)17 b Fz(.)47 b(It)25 b(maps)f(eac)m(h)i(algebra)e Ft(H)32 b Fz(to)24 b(the)h(one-elemen)m(t)0 2243 y(set)33 b Fx(f)p Ft(\023)28 b Fz(:)g Fu(K)51 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)8 b Fx(g)p Fz(.)149 2384 y Fv(De\014nition)37 b(1.3.1.)42 b Fz(Let)32 b Fx(M)g Fz(b)s(e)h(a)g(noncomm)m(utativ)m(e)e (space)j(and)f(let)1024 2550 y Ft(m)28 b Fz(:)g Fx(M)f(?)h(M)g(\000)-60 b(!)27 b(M)33 b Fz(and)f Ft(e)c Fz(:)g Ft(E)34 b Fx(\000)-60 b(!)27 b(M)0 2716 y Fz(b)s(e)33 b(morphisms)e(in)h Fx(QS)41 b Fz(suc)m(h)34 b(that)e(the)h(diagrams)1287 3403 y Fx(M)28 b(?)g(M)534 b(M)p 1688 3371 477 4 v 2082 3369 a Fm(-)1883 3430 y Ft(m)1161 2916 y Fx(M)27 b(?)i(M)e(?)h(M)281 b(M)28 b(?)g(M)p 1815 2883 225 4 v 1957 2881 a Fm(-)1793 2862 y Ft(m)g Fx(?)g Fz(1)p 1472 3300 4 351 v 1473 3300 a Fm(?)1167 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b(a)33 b Ft(H)8 b Fs(.)0 4573 y(Then)34 b Ft(H)42 b Fs(is)35 b(a)g(bialgebr)-5 b(a)33 b(if)i(and)f(only)h(if)g Fx(M)f Fs(is)h(a)g(quantum)g(monoid.)149 4751 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Since)e(the)g(functors)g Fx(M)f(?)h(M)p Fz(,)h Fx(M)e(?)h Ft(E)45 b Fz(and)40 b Ft(E)46 b Fx(?)39 b(M)h Fz(are)f(represen)m(ted)j (b)m(y)0 4867 y Ft(H)31 b Fx(\012)25 b Ft(H)43 b Fz(resp.)52 b Ft(H)31 b Fx(\012)25 b Fu(K)914 4839 y Fx(\030)914 4871 y Fz(=)1023 4867 y Ft(H)43 b Fz(resp.)52 b Fu(K)c Fx(\012)24 b Ft(H)1723 4839 y Fx(\030)1724 4871 y Fz(=)1833 4867 y Ft(H)42 b Fz(the)36 b(Y)-8 b(oneda)35 b(Lemma)f(de\014nes)j(a)e (bijection)0 4983 y(b)s(et)m(w)m(een)g(the)f(morphisms)e Ft(m)e Fz(:)f Fx(M)g(?)g(M)g(\000)-60 b(!)29 b(M)k Fz(and)h(the)g (algebra)e(homomorphisms)f(\001)e(:)g Ft(H)0 5099 y Fx(\000)-60 b(!)42 b Ft(H)35 b Fx(\012)28 b Ft(H)48 b Fz(and)41 b(similarly)c(a)j (bijection)g(b)s(et)m(w)m(een)j(the)e(morphisms)e Ft(e)j Fz(:)f Ft(E)48 b Fx(\000)-60 b(!)41 b(M)g Fz(and)g(the)0 5216 y(algebra)f(homomorphisms)f Ft(")j Fz(:)g Ft(H)50 b Fx(\000)-59 b(!)41 b Fu(K)18 b Fz(.)75 b(Again)40 b(b)m(y)i(the)g(Y) -8 b(oneda)41 b(Lemma)f(the)i(bialgebra)p eop %%Page: 18 21 18 20 bop 0 251 a Fw(18)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)0 450 y Fz(diagrams)26 b(in)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)43 b Fz(comm)m(ute)27 b(if)g(and)g(only)g(if)g(the)h (corresp)s(onding)f(diagrams)f(for)h(a)h(quan)m(tum)0 566 y(monoid)j(comm)m(ute.)2761 b Fh(\003)149 753 y Fz(Observ)m(e)48 b(that)c(a)h(similar)d(result)j(cannot)h(b)s(e)f(form)m(ulated)f(for)g (Hopf)h(algebras)g Ft(H)53 b Fz(since)0 869 y(neither)28 b(the)h(an)m(tip)s(o)s(de)e Ft(S)34 b Fz(nor)28 b(the)g(m)m (ultiplication)c Fx(r)j Fz(:)h Ft(H)21 b Fx(\012)13 b Ft(H)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)35 b Fz(are)29 b(algebra)d (homomor-)0 986 y(phisms.)56 b(In)38 b(con)m(trast)f(to)g(a\016ne)g (algebraic)e(groups)j(\(2.3.2\))e(Hopf)h(algebras)f(in)g(the)i (category)0 1102 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)276 1059 y Fq(op)377 1074 y Fx(\030)378 1106 y Fz(=)483 1102 y Ft(QR)33 b Fz(are)g(not)f(groups.)44 b(Nev)m(ertheless,)35 b(one)e(de\014nes)149 1247 y Fv(De\014nition)48 b(1.3.3.)f Fz(A)c(functor)g(de\014ned)h(on)f(the)g(category)g(of)f Fu(K)17 b Fz(-algebras)48 b(and)43 b(repre-)0 1363 y(sen)m(ted)34 b(b)m(y)g(a)e(Hopf)h(algebra)e Ft(H)40 b Fz(is)32 b(called)f(a)i Fs(quantum)i(gr)-5 b(oup)p Fz(.)149 1508 y Fv(De\014nition)40 b(1.3.4.)k Fz(Let)36 b Fx(X)50 b Fz(b)s(e)36 b(a)g(noncomm)m(utativ)m (e)f(space)i(and)f(let)f Fx(M)g Fz(b)s(e)h(a)g(quan)m(tum)0 1624 y(monoid.)j(A)26 b(morphism)d(\(a)i(natural)g(transformation\))e (of)h(quan)m(tum)i(spaces)h Ft(\032)h Fz(:)g Fx(M)f(?)h(X)43 b(\000)-60 b(!)27 b(X)0 1740 y Fz(is)32 b(called)f(an)i Fs(op)-5 b(er)g(ation)32 b Fz(of)g Fx(M)g Fz(on)h Fx(X)47 b Fz(if)31 b(the)i(diagrams)1304 2435 y Fx(M)27 b(?)h(X)583 b(X)p 1671 2403 511 4 v 2099 2401 a Fm(-)1901 2462 y Ft(\032)1178 1948 y Fx(M)27 b(?)h(M)f(?)i(X)330 b(M)27 b(?)h(X)p 1797 1915 259 4 v 1973 1913 a Fm(-)1792 1894 y Ft(m)g Fx(?)g Fz(1)p 1471 2333 4 351 v 1473 2333 a Fm(?)1202 2182 y Fz(1)f Fx(?)i Ft(\032)p 2251 2333 V 2253 2333 a Fm(?)2292 2169 y Ft(\032)0 2616 y Fz(and)1099 2752 y Fx(X)1213 2724 y(\030)1214 2756 y Fz(=)1318 2752 y Ft(E)34 b Fx(?)28 b(X)563 b(M)27 b(?)h(X)p 1644 2721 491 4 v 2052 2719 a Fm(-)1812 2687 y Fq(\021)r Fr(?)p Fl(id)2289 3241 y Fx(X)p 2330 3138 4 351 v 2332 3138 a Fm(?)2371 2971 y Fq(\032)1907 2980 y Fl(id)1966 2991 y Fk(X)1493 2829 y Fm(H)1576 2870 y(H)1659 2912 y(H)1742 2953 y(H)1825 2995 y(H)1908 3036 y(H)1992 3078 y(H)2075 3119 y(H)2112 3138 y(H)-83 b(j)0 3360 y Fz(comm)m(ute.)43 b(W)-8 b(e)33 b(call)e Fx(X)47 b Fz(a)32 b(noncomm)m(utativ)m(e)g Fx(M)p Fz(-)p Fs(sp)-5 b(ac)g(e)p Fz(.)149 3505 y Fv(Prop)s(osition)32 b(1.3.5.)39 b Fs(L)-5 b(et)32 b Fx(X)46 b Fs(b)-5 b(e)31 b(a)h(nonc)-5 b(ommutative)30 b(sp)-5 b(ac)g(e)31 b(with)g(function)h (algebr)-5 b(a)30 b Ft(A)e Fz(=)0 3621 y Fx(O)s Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))p Fs(.)78 b(L)-5 b(et)47 b Fx(M)f Fs(b)-5 b(e)45 b(a)h(quantum)h(monoid)e(with)h(function)g(algebr)-5 b(a)45 b Ft(B)54 b Fz(=)48 b Fx(O)s Fz(\()p Fx(M)p Fz(\))p Fs(.)78 b(L)-5 b(et)47 b Ft(\032)i Fz(:)0 3737 y Fx(M)d(?)h(X)61 b(\000)-57 b(!)46 b(X)60 b Fs(b)-5 b(e)45 b(a)g(morphism)e(in)i Fx(QS)53 b Fs(and)45 b(let)g Ft(f)57 b Fz(:)47 b Ft(A)f Fx(\000)-57 b(!)46 b Ft(B)35 b Fx(\012)30 b Ft(A)45 b Fs(b)-5 b(e)45 b(the)g(asso)-5 b(ciate)g(d)0 3854 y(homomorphism)33 b(of)h(algebr)-5 b(as.)44 b(Then)34 b(the)h(fol)5 b(lowing)33 b(ar)-5 b(e)35 b(e)-5 b(quivalent)149 3970 y(1.)50 b Fz(\()p Fx(X)15 b Ft(;)i Fx(M)p Ft(;)g(\032)p Fz(\))36 b Fs(is)g(an)g(op)-5 b(er)g(ation)36 b(of)g(the)h(quantum)g(monoid)e Fx(M)h Fs(on)g(the)h(nonc)-5 b(ommutative)0 4086 y(sp)g(ac)g(e)34 b Fx(X)15 b Fs(;)149 4202 y(2.)45 b Fz(\()p Ft(A;)17 b(H)r(;)g(f)11 b Fz(\))34 b Fs(de\014ne)g(an)g Ft(H)8 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dule)34 b(algebr)-5 b(a.)149 4389 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)37 b(homomorphisms)d(of)h(algebras)g(\001)24 b Fx(\012)h Fz(1)2222 4404 y Fq(A)2279 4389 y Fz(,)37 b(1)2392 4404 y Fq(B)2476 4389 y Fx(\012)25 b Ft(f)11 b Fz(,)36 b Ft(\017)25 b Fx(\012)g Fz(1)2915 4404 y Fq(A)3007 4389 y Fz(etc.)54 b(represen)m(t)0 4505 y(the)39 b(morphisms)d(of)i (quan)m(tum)g(spaces)i Ft(m)e Fx(?)f Fz(id)o(,)j(id)c Fx(?)i Ft(\032)p Fz(,)i Ft(\021)h Fx(?)c Fz(id)h(etc.)60 b(Hence)40 b(the)e(required)0 4622 y(diagrams)31 b(are)h(transferred)i (b)m(y)f(the)g(Y)-8 b(oneda)33 b(Lemma.)1452 b Fh(\003)149 4808 y Fv(Example)37 b(1.3.6.)42 b Fz(1.)h(The)34 b(quan)m(tum)f (monoid)d(of)j(\\quan)m(tum)f(matrices":)149 4924 y(W)-8 b(e)33 b(consider)g(the)g(algebra)969 5154 y Ft(M)1063 5169 y Fq(q)1101 5154 y Fz(\(2\))28 b(:=)f Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(a;)f(b;)g(c;)g(d)p Fx(i)p Ft(=I)40 b Fz(=)27 b Fu(K)2175 5014 y Fj(\034)2255 5094 y Ft(a)88 b(b)2260 5211 y(c)g(d)2440 5014 y Fj(\035)2532 5154 y Ft(=I)p eop %%Page: 19 22 19 21 bop 438 251 a Fw(3.)35 b(QUANTUM)d(MONOIDS)g(AND)g(THEIR)h(A)n (CTIONS)f(ON)h(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)360 b(19)0 450 y Fz(where)34 b(the)f(t)m(w)m(o-sided)g(ideal)e Ft(I)40 b Fz(is)32 b(generated)i(b)m(y)f(the)g(elemen)m(ts)178 618 y Ft(ab)23 b Fx(\000)g Ft(q)440 577 y Fr(\000)p Fl(1)534 618 y Ft(ba;)17 b(ac)22 b Fx(\000)h Ft(q)932 577 y Fr(\000)p Fl(1)1026 618 y Ft(ca;)17 b(bd)22 b Fx(\000)h Ft(q)1424 577 y Fr(\000)p Fl(1)1518 618 y Ft(db;)17 b(cd)22 b Fx(\000)g Ft(q)1915 577 y Fr(\000)p Fl(1)2010 618 y Ft(dc;)17 b(ad)k Fx(\000)i Ft(da)f Fx(\000)g Fz(\()p Ft(q)2678 577 y Fr(\000)p Fl(1)2795 618 y Fx(\000)g Ft(q)t Fz(\))p Ft(bc;)17 b(bc)23 b Fx(\000)f Ft(cb:)0 787 y Fz(The)34 b(quan)m(tum)e(space)i Fx(M)993 802 y Fq(q)1031 787 y Fz(\(2\))e(asso)s(ciated)g(with)h(the)g (algebra)e Ft(M)2478 802 y Fq(q)2516 787 y Fz(\(2\))i(is)f(giv)m(en)g (b)m(y)342 956 y Fx(M)462 971 y Fq(q)500 956 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\))o(=)c Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(M)1285 971 y Fq(q)1323 956 y Fz(\(2\))p Ft(;)h(A)p Fz(\))773 1135 y(=)877 995 y Fj(\032\022)1025 1076 y Ft(a)1076 1039 y Fr(0)1187 1076 y Ft(b)1228 1039 y Fr(0)1030 1192 y Ft(c)1072 1156 y Fr(0)1183 1192 y Ft(d)1234 1156 y Fr(0)1257 995 y Fj(\023)1347 1135 y Fx(j)p Ft(a)1426 1099 y Fr(0)1449 1135 y Ft(;)g(b)1534 1099 y Fr(0)1557 1135 y Ft(;)g(c)1643 1099 y Fr(0)1666 1135 y Ft(;)g(d)1761 1099 y Fr(0)1811 1135 y Fx(2)29 b Ft(A)p Fz(;)17 b Ft(a)2074 1099 y Fr(0)2097 1135 y Ft(b)2138 1099 y Fr(0)2189 1135 y Fz(=)28 b Ft(q)2340 1099 y Fr(\000)p Fl(1)2434 1135 y Ft(b)2475 1099 y Fr(0)2499 1135 y Ft(a)2550 1099 y Fr(0)2573 1135 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b) 2833 1099 y Fr(0)2857 1135 y Ft(c)2899 1099 y Fr(0)2950 1135 y Fz(=)27 b Ft(c)3095 1099 y Fr(0)3118 1135 y Ft(b)3159 1099 y Fr(0)3183 995 y Fj(\033)0 1365 y Fz(where)32 b(eac)m(h)g (homomorphism)c(of)j(algebras)f Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(M)1908 1380 y Fq(q)1947 1365 y Fz(\(2\))g Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)k Fz(is)f(describ)s(ed)i(b)m(y)g(the)g(quadruple)0 1481 y(\()p Ft(a)89 1445 y Fr(0)112 1481 y Ft(;)17 b(b)197 1445 y Fr(0)221 1481 y Ft(;)g(c)307 1445 y Fr(0)330 1481 y Ft(;)g(d)425 1445 y Fr(0)448 1481 y Fz(\))29 b(of)h(images)e(of)h (the)i(algebra)d(generators)j Ft(a;)17 b(b;)g(c;)g(d)p Fz(.)42 b(The)30 b(images)f(m)m(ust)h(satisfy)g(the)0 1598 y(same)i(relations)g(that)g(generate)h(the)g(t)m(w)m(o-sided)g (ideal)e Ft(I)41 b Fz(hence)619 1759 y Ft(a)670 1722 y Fr(0)694 1759 y Ft(b)735 1722 y Fr(0)786 1759 y Fz(=)28 b Ft(q)937 1722 y Fr(\000)p Fl(1)1031 1759 y Ft(b)1072 1722 y Fr(0)1096 1759 y Ft(a)1147 1722 y Fr(0)1170 1759 y Ft(;)17 b(a)1265 1722 y Fr(0)1288 1759 y Ft(c)1330 1722 y Fr(0)1381 1759 y Fz(=)28 b Ft(q)1532 1722 y Fr(\000)p Fl(1)1626 1759 y Ft(c)1668 1722 y Fr(0)1691 1759 y Ft(a)1742 1722 y Fr(0)1766 1759 y Ft(;)17 b(b)1851 1722 y Fr(0)1874 1759 y Ft(d)1925 1722 y Fr(0)1976 1759 y Fz(=)27 b Ft(q)2126 1722 y Fr(\000)p Fl(1)2220 1759 y Ft(d)2271 1722 y Fr(0)2294 1759 y Ft(b)2335 1722 y Fr(0)2359 1759 y Ft(;)17 b(c)2445 1722 y Fr(0)2468 1759 y Ft(d)2519 1722 y Fr(0)2570 1759 y Fz(=)27 b Ft(q)2720 1722 y Fr(\000)p Fl(1)2815 1759 y Ft(d)2866 1722 y Fr(0)2889 1759 y Ft(c)2931 1722 y Fr(0)2954 1759 y Ft(;)1009 1875 y(b)1050 1839 y Fr(0)1074 1875 y Ft(c)1116 1839 y Fr(0)1167 1875 y Fz(=)g Ft(c)1312 1839 y Fr(0)1336 1875 y Ft(b)1377 1839 y Fr(0)1400 1875 y Ft(;)17 b(a)1495 1839 y Fr(0)1519 1875 y Ft(d)1570 1839 y Fr(0)1615 1875 y Fx(\000)22 b Ft(q)1761 1839 y Fr(\000)p Fl(1)1855 1875 y Ft(b)1896 1839 y Fr(0)1920 1875 y Ft(c)1962 1839 y Fr(0)2013 1875 y Fz(=)28 b Ft(d)2168 1839 y Fr(0)2191 1875 y Ft(a)2242 1839 y Fr(0)2287 1875 y Fx(\000)23 b Ft(q)t(c)2476 1839 y Fr(0)2499 1875 y Ft(b)2540 1839 y Fr(0)2564 1875 y Ft(:)0 2039 y Fz(W)-8 b(e)37 b(write)g(these)h(quadruples)f(as)g(2)25 b Fx(\002)g Fz(2-matrices)36 b(and)g(call)f(them)i Fs(quantum)i(matric)-5 b(es)p Fz(.)55 b(The)0 2155 y(un)m(usual)33 b(comm)m(utation)d (relations)i(are)g(c)m(hosen)i(so)f(that)f(the)h(follo)m(wing)d (examples)j(w)m(ork.)149 2272 y(The)f(quan)m(tum)e(space)h(of)f(quan)m (tum)g(matrices)f(turns)i(out)f(to)g(b)s(e)g(a)g(quan)m(tum)h(monoid.) 41 b(W)-8 b(e)0 2388 y(giv)m(e)40 b(b)s(oth)h(the)g(algebraic)e(\(with) h(function)g(algebras\))g(and)g(the)h(geometric)f(\(with)g(quan)m(tum)0 2504 y(spaces\))34 b(approac)m(h)f(to)f(de\014ne)i(the)f(m)m (ultiplication.)149 2620 y(a\))g Fs(The)h(algebr)-5 b(aic)34 b(appr)-5 b(o)g(ach:)149 2737 y Fz(The)34 b(algebra)d Ft(M)785 2752 y Fq(q)824 2737 y Fz(\(2\))h(is)g(a)g(bialgebra)f(with)h (the)h(diagonal)1105 2969 y(\001)1203 2829 y Fj(\022)1277 2909 y Ft(a)87 b(b)1281 3026 y(c)h(d)1461 2829 y Fj(\023)1562 2969 y Fz(=)1666 2829 y Fj(\022)1739 2909 y Ft(a)g(b)1744 3026 y(c)g(d)1924 2829 y Fj(\023)2020 2969 y Fx(\012)2119 2829 y Fj(\022)2193 2909 y Ft(a)g(b)2197 3026 y(c)g(d)2378 2829 y Fj(\023)2468 2969 y Ft(;)0 3199 y Fz(i.e.)77 b(b)m(y)45 b(\001\()p Ft(a)p Fz(\))i(=)g Ft(a)30 b Fx(\012)h Ft(a)f Fz(+)f Ft(b)i Fx(\012)f Ft(c)p Fz(,)47 b(\001\()p Ft(b)p Fz(\))g(=)g Ft(a)30 b Fx(\012)h Ft(b)f Fz(+)g Ft(b)g Fx(\012)h Ft(d)p Fz(,)46 b(\001\()p Ft(c)p Fz(\))h(=)g Ft(c)30 b Fx(\012)g Ft(a)g Fz(+)g Ft(d)g Fx(\012)g Ft(c)44 b Fz(and)0 3315 y(\001\()p Ft(d)p Fz(\))28 b(=)f Ft(c)22 b Fx(\012)h Ft(b)f Fz(+)g Ft(d)g Fx(\012)h Ft(d)p Fz(,)32 b(and)h(with)f(the)h(counit)1352 3545 y Ft(")1415 3404 y Fj(\022)1488 3485 y Ft(a)87 b(b)1492 3601 y(c)h(d)1673 3404 y Fj(\023)1774 3545 y Fz(=)1877 3404 y Fj(\022)1950 3485 y Fz(1)83 b(0)1950 3601 y(0)g(1)2131 3404 y Fj(\023)2221 3545 y Ft(;)0 3774 y Fz(i.e.)53 b Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))32 b(=)h(1,)k Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))c(=)g(0,)j Ft(")p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))d(=)g(0,)j(and)g Ft(")p Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))d(=)g(1.)52 b(W)-8 b(e)37 b(ha)m(v)m(e)g(to)e(pro)m(v)m(e) i(that)f(\001)g(and)g Ft(")f Fz(are)0 3891 y(homomorphisms)i(of)i (algebras)f(and)i(that)f(the)g(coalgebra)f(la)m(ws)i(are)f (satis\014ed.)64 b(T)-8 b(o)39 b(obtain)f(a)0 4007 y(homomorphism)d(of) j(algebras)g(\001)f(:)g Ft(M)1473 4022 y Fq(q)1512 4007 y Fz(\(2\))f Fx(\000)-59 b(!)37 b Ft(M)1922 4022 y Fq(q)1960 4007 y Fz(\(2\))26 b Fx(\012)g Ft(M)2308 4022 y Fq(q)2347 4007 y Fz(\(2\))37 b(w)m(e)i(de\014ne)h(\001)d(:)h Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(a;)g(b;)g(c;)g(d)p Fx(i)0 4123 y(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)239 4138 y Fq(q)277 4123 y Fz(\(2\))q Fx(\012)q Ft(M)575 4138 y Fq(q)615 4123 y Fz(\(2\))22 b(on)g(the)h(free)g (algebra)e(\(the)i(p)s(olynomial)c(ring)i(in)h(noncomm)m(uting)e(v)-5 b(ariables\))0 4239 y Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(a;)h(b;)f(c;)g(d)p Fx(i)40 b Fz(generated)c(b)m(y)g(the)f(set)h Fx(f)p Ft(a;)17 b(b;)g(c;)g(d)p Fx(g)34 b Fz(and)i(sho)m(w)g(that)f(it)f(v)-5 b(anishes)36 b(on)f(the)h(ideal)d Ft(I)0 4355 y Fz(or)44 b(more)g(simply)g(on)g(the)i(generators)f(of)f(the)h(ideal.)79 b(Then)46 b(it)e(factors)g(through)h(a)f(unique)0 4472 y(homomorphism)29 b(of)i(algebras)g(\001)d(:)g Ft(M)1435 4487 y Fq(q)1474 4472 y Fz(\(2\))f Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)1865 4487 y Fq(q)1903 4472 y Fz(\(2\))20 b Fx(\012)h Ft(M)2240 4487 y Fq(q)2279 4472 y Fz(\(2\).)42 b(W)-8 b(e)33 b(c)m(hec)m(k)h(this)d(only)g(for)h(one)0 4588 y(generator)h(of)f(the)h(ideal)e Ft(I)8 b Fz(:)42 4749 y(\001\()p Ft(ab)23 b Fx(\000)f Ft(q)422 4713 y Fr(\000)p Fl(1)516 4749 y Ft(ba)p Fz(\))29 b(=)e(\001\()p Ft(a)p Fz(\)\001\()p Ft(b)p Fz(\))c Fx(\000)g Ft(q)1354 4713 y Fr(\000)p Fl(1)1448 4749 y Fz(\001\()p Ft(b)p Fz(\)\001\()p Ft(a)p Fz(\))29 b(=)42 4865 y(=)e(\()p Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(a)f Fz(+)g Ft(b)h Fx(\012)g Ft(c)p Fz(\)\()p Ft(a)f Fx(\012)g Ft(b)h Fz(+)f Ft(b)h Fx(\012)f Ft(d)p Fz(\))g Fx(\000)h Ft(q)1564 4829 y Fr(\000)p Fl(1)1658 4865 y Fz(\()p Ft(a)f Fx(\012)h Ft(b)f Fz(+)g Ft(b)h Fx(\012)g Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(a)e Fx(\012)i Ft(a)f Fz(+)g Ft(b)h Fx(\012)g Ft(c)p Fz(\))42 4981 y(=)k Ft(aa)c Fx(\012)f Ft(ab)h Fz(+)f Ft(ab)h Fx(\012)g Ft(ad)f Fz(+)g Ft(ba)g Fx(\012)h Ft(cb)g Fz(+)f Ft(bb)h Fx(\012)f Ft(cd)g Fx(\000)h Ft(q)1903 4945 y Fr(\000)p Fl(1)1997 4981 y Fz(\()p Ft(aa)f Fx(\012)h Ft(ba)g Fz(+)f Ft(ab)h Fx(\012)f Ft(bc)h Fz(+)f Ft(ba)h Fx(\012)f Ft(da)g Fz(+)g Ft(bb)i Fx(\012)e Ft(dc)p Fz(\))42 5098 y(=)27 b Ft(aa)c Fx(\012)f Fz(\()p Ft(ab)h Fx(\000)g Ft(q)669 5062 y Fr(\000)p Fl(1)763 5098 y Ft(ba)p Fz(\))g(+)f Ft(ab)g Fx(\012)h Fz(\()p Ft(ad)f Fx(\000)h Ft(q)1537 5062 y Fr(\000)p Fl(1)1631 5098 y Ft(bc)p Fz(\))f(+)g Ft(ba)h Fx(\012)g Fz(\()p Ft(cb)f Fx(\000)h Ft(q)2377 5062 y Fr(\000)p Fl(1)2471 5098 y Ft(da)p Fz(\))f(+)g Ft(bb)h Fx(\012)g Fz(\()p Ft(cd)e Fx(\000)i Ft(q)3235 5062 y Fr(\000)p Fl(1)3329 5098 y Ft(dc)p Fz(\))42 5214 y(=)k Ft(ba)c Fx(\012)g Fz(\()p Ft(q)445 5178 y Fr(\000)p Fl(1)539 5214 y Ft(ad)f Fx(\000)g Ft(q)809 5178 y Fr(\000)p Fl(2)903 5214 y Ft(bc)h Fz(+)f Ft(cb)h Fx(\000)f Ft(q)1359 5178 y Fr(\000)p Fl(1)1453 5214 y Ft(da)p Fz(\))28 b Fx(\021)g Fz(0)99 b(mo)s(d)33 b(\()p Ft(I)8 b Fz(\))p Ft(:)p eop %%Page: 20 23 20 22 bop 0 251 a Fw(20)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)0 450 y Fz(The)34 b(reader)f(should)f(c)m(hec)m(k)j(the)e(other)g (iden)m(tities.)149 566 y(The)h(coasso)s(ciativit)m(y)d(follo)m(ws)h (from)140 807 y(\(\001)22 b Fx(\012)h Fz(1\)\001)566 666 y Fj(\022)639 747 y Ft(a)88 b(b)643 863 y(c)g(d)824 666 y Fj(\023)925 807 y Fz(=)27 b(\001)1126 666 y Fj(\022)1200 747 y Ft(a)87 b(b)1204 863 y(c)h(d)1384 666 y Fj(\023)1480 807 y Fx(\012)1580 666 y Fj(\022)1653 747 y Ft(a)g(b)1658 863 y(c)f(d)1838 666 y Fj(\023)1939 807 y Fz(=)27 b(\()2080 666 y Fj(\022)2154 747 y Ft(a)87 b(b)2158 863 y(c)h(d)2339 666 y Fj(\023)2434 807 y Fx(\012)2534 666 y Fj(\022)2607 747 y Ft(a)g(b)2612 863 y(c)f(d)2792 666 y Fj(\023)2865 807 y Fz(\))22 b Fx(\012)3025 666 y Fj(\022)3098 747 y Ft(a)88 b(b)3103 863 y(c)g(d)3283 666 y Fj(\023)3384 807 y Fz(=)118 1046 y(=)222 906 y Fj(\022)295 986 y Ft(a)g(b)300 1102 y(c)f(d)480 906 y Fj(\023)575 1046 y Fx(\012)23 b Fz(\()713 906 y Fj(\022)786 986 y Ft(a)88 b(b)791 1102 y(c)f(d)971 906 y Fj(\023)1067 1046 y Fx(\012)1166 906 y Fj(\022)1240 986 y Ft(a)g(b)1244 1102 y(c)h(d)1425 906 y Fj(\023)1498 1046 y Fz(\))27 b(=)1667 906 y Fj(\022)1740 986 y Ft(a)88 b(b)1745 1102 y(c)g(d)1925 906 y Fj(\023)2021 1046 y Fx(\012)22 b Fz(\001)2218 906 y Fj(\022)2292 986 y Ft(a)87 b(b)2296 1102 y(c)h(d)2477 906 y Fj(\023)2578 1046 y Fz(=)27 b(\(1)22 b Fx(\012)h Fz(\001\)\001)3107 906 y Fj(\022)3180 986 y Ft(a)88 b(b)3185 1102 y(c)f(d)3365 906 y Fj(\023)3455 1046 y Ft(:)0 1287 y Fz(The)34 b(reader)f(should)f (c)m(hec)m(k)j(the)e(prop)s(erties)f(of)g(the)h(counit.)149 1403 y(b\))g Fs(The)h(ge)-5 b(ometric)34 b(appr)-5 b(o)g(ach:)149 1519 y Ft(M)243 1534 y Fq(q)282 1519 y Fz(\(2\))30 b(has)g(a)g(rather)g (remark)-5 b(able)29 b(\(and)h(actually)f(w)m(ell)g(kno)m(wn\))j(com)m (ultiplication)25 b(that)30 b(is)0 1635 y(b)s(etter)37 b(understo)s(o)s(d)h(b)m(y)g(using)e(the)i(induced)f(m)m(ultiplication) c(of)j(comm)m(uting)g(p)s(oin)m(ts.)56 b(Giv)m(en)0 1807 y(t)m(w)m(o)29 b(comm)m(uting)d(quan)m(tum)j(matrices)1476 1667 y Fj(\022)1550 1748 y Ft(a)1601 1763 y Fl(1)1728 1748 y Ft(b)1769 1763 y Fl(1)1554 1864 y Ft(c)1596 1879 y Fl(1)1723 1864 y Ft(d)1774 1879 y Fl(1)1814 1667 y Fj(\023)1915 1807 y Fz(and)2101 1667 y Fj(\022)2174 1748 y Ft(a)2225 1763 y Fl(2)2352 1748 y Ft(b)2393 1763 y Fl(2)2178 1864 y Ft(c)2220 1879 y Fl(2)2348 1864 y Ft(d)2399 1879 y Fl(2)2438 1667 y Fj(\023)2539 1807 y Fz(in)f Fx(M)2769 1822 y Fq(q)2806 1807 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\).)42 b(Then)29 b(their)0 1980 y(matrix)i(pro)s(duct)738 2080 y Fj(\022)811 2160 y Ft(a)862 2175 y Fl(1)989 2160 y Ft(b)1030 2175 y Fl(1)815 2277 y Ft(c)857 2292 y Fl(1)985 2277 y Ft(d)1036 2292 y Fl(1)1075 2080 y Fj(\023)17 b(\022)1238 2160 y Ft(a)1289 2175 y Fl(2)1416 2160 y Ft(b)1457 2175 y Fl(2)1243 2277 y Ft(c)1285 2292 y Fl(2)1412 2277 y Ft(d)1463 2292 y Fl(2)1502 2080 y Fj(\023)1603 2220 y Fz(=)1706 2080 y Fj(\022)1780 2160 y Ft(a)1831 2175 y Fl(1)1870 2160 y Ft(a)1921 2175 y Fl(2)1983 2160 y Fz(+)22 b Ft(b)2122 2175 y Fl(1)2162 2160 y Ft(c)2204 2175 y Fl(2)2326 2160 y Ft(a)2377 2175 y Fl(1)2417 2160 y Ft(b)2458 2175 y Fl(2)2520 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b(!)53 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(M)578 1742 y Fq(q)616 1727 y Fz(\(2\))p Ft(;)h(M)879 1742 y Fq(q)917 1727 y Fz(\(2\))32 b Fx(\012)h Ft(M)1278 1742 y Fq(q)1316 1727 y Fz(\(2\)\))47 b(b)m(y)i(the)f(m)m(ultiplication.)83 b(So)48 b(\001\()2838 1587 y Fj(\022)2911 1667 y Ft(a)88 b(b)2916 1784 y(c)g(d)3096 1587 y Fj(\023)3170 1727 y Fz(\))53 b(=)g(\001)g(=)0 1975 y Ft(\023)34 1990 y Fl(1)96 1975 y Fx(\003)22 b Ft(\023)202 1990 y Fl(2)270 1975 y Fz(=)27 b(\()411 1834 y Fj(\022)484 1915 y Ft(a)88 b(b)489 2031 y(c)g(d)669 1834 y Fj(\023)765 1975 y Fx(\012)22 b Fz(1\))g Fx(\003)g Fz(\(1)g Fx(\012)1254 1834 y Fj(\022)1327 1915 y Ft(a)88 b(b)1332 2031 y(c)f(d)1512 1834 y Fj(\023)1585 1975 y Fz(\))28 b(=)1754 1834 y Fj(\022)1828 1915 y Ft(a)88 b(b)1832 2031 y(c)g(d)2013 1834 y Fj(\023)2108 1975 y Fx(\012)2208 1834 y Fj(\022)2281 1915 y Ft(a)g(b)2286 2031 y(c)f(d)2466 1834 y Fj(\023)2539 1975 y Fz(.)149 2152 y(Th)m(us)35 b Ft(M)491 2167 y Fq(q)529 2152 y Fz(\(2\))d (de\014nes)i(a)f(quan)m(tum)g(monoid)d Fx(M)1966 2167 y Fq(q)2004 2152 y Fz(\(2\))i(with)301 2404 y Fx(M)421 2419 y Fq(q)459 2404 y Fz(\(2\)\()p Ft(B)5 b Fz(\))27 b(=)870 2264 y Fj(\032)o(\022)1018 2344 y Ft(a)1069 2308 y Fr(0)1180 2344 y Ft(b)1221 2308 y Fr(0)1022 2460 y Ft(c)1064 2424 y Fr(0)1175 2460 y Ft(d)1226 2424 y Fr(0)1249 2264 y Fj(\023)1322 2319 y(\014)1322 2379 y(\014)1356 2404 y Ft(a)1407 2363 y Fr(0)1430 2404 y Ft(;)17 b(b)1515 2363 y Fr(0)1539 2404 y Ft(;)g(c)1625 2363 y Fr(0)1648 2404 y Ft(;)g(d)1743 2363 y Fr(0)1793 2404 y Fx(2)28 b Ft(B)5 b Fz(;)17 b Ft(a)2061 2363 y Fr(0)2084 2404 y Ft(b)2125 2363 y Fr(0)2177 2404 y Fz(=)27 b Ft(q)2327 2363 y Fr(\000)p Fl(1)2422 2404 y Ft(b)2463 2363 y Fr(0)2486 2404 y Ft(a)2537 2363 y Fr(0)2561 2404 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(b) 2821 2363 y Fr(0)2844 2404 y Ft(c)2886 2363 y Fr(0)2937 2404 y Fz(=)28 b Ft(c)3083 2363 y Fr(0)3106 2404 y Ft(b)3147 2363 y Fr(0)3181 2264 y Fj(\033)3272 2404 y Ft(:)0 2659 y Fz(This)34 b(is)f(the)h(deformed)f(v)m(ersion)h(of)f Fx(M)1482 2618 y Fr(\002)1482 2684 y Fl(2)1575 2659 y Fz(the)h(m)m(ultiplicativ)m(e)c(monoid)i(of)h(the)h(2)22 b Fx(\002)h Fz(2-matrices)0 2776 y(of)32 b(comm)m(utativ)m(e)g (algebras.)149 2904 y(2.)43 b(Let)31 b Ft(A)514 2853 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)514 2914 y Fq(q)636 2904 y Fz(=)d Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(x;)h(y)t Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)26 b Fx(\000)19 b Ft(q)1400 2868 y Fr(\000)p Fl(1)1494 2904 y Ft(y)t(x)p Fz(\))30 b(b)s(e)h(the)h(function)e(algebra)g(of)g(the)h (quan)m(tum)g(plane)0 3038 y Fu(A)66 2987 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)66 3048 y Fq(q)166 3038 y Fz(.)44 b(By)33 b(the)g(de\014nition)e (1.2.5)h(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)897 3285 y Fu(A)963 3244 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)963 3310 y Fq(q)1063 3285 y Fz(\()p Ft(A)1174 3244 y Fr(0)1198 3285 y Fz(\))27 b(=)1367 3144 y Fj(\032\022)1515 3225 y Ft(x)1517 3341 y(y)1570 3144 y Fj(\023)1644 3200 y(\014)1644 3260 y(\014)1677 3285 y Ft(x;)17 b(y)31 b Fx(2)d Ft(A)2022 3244 y Fr(0)2045 3285 y Fz(;)17 b Ft(xy)31 b Fz(=)d Ft(q)2374 3244 y Fr(\000)p Fl(1)2468 3285 y Ft(y)t(x)2585 3144 y Fj(\033)2676 3285 y Ft(:)0 3528 y Fz(The)34 b(set)409 3752 y Fx(M)529 3767 y Fq(q)567 3752 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)803 3711 y Fr(0)826 3752 y Fz(\))28 b(=)995 3611 y Fj(\032\022)1143 3692 y Ft(u)83 b(x)1146 3808 y(y)91 b(z)1337 3611 y Fj(\023)1411 3667 y(\014)1411 3727 y(\014)1444 3752 y Ft(u;)17 b(x;)g(y)t(;)g(z)30 b Fx(2)f Ft(A)1982 3711 y Fr(0)2005 3752 y Fz(;)17 b Ft(ux)27 b Fz(=)h Ft(q)2338 3711 y Fr(\000)p Fl(1)2432 3752 y Ft(xu;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(xy)31 b Fz(=)c Ft(y)t(x)3116 3611 y Fj(\033)0 3995 y Fz(op)s(erates)33 b(on)g(this)f(quan)m(tum)h (plane)f(b)m(y)h(matrix)e(m)m(ultiplication)317 4238 y Fx(M)437 4253 y Fq(q)475 4238 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)711 4197 y Fr(0)734 4238 y Fz(\))c Fx(?)i Fu(A)971 4197 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)971 4263 y Fq(q)1071 4238 y Fz(\()p Ft(A)1182 4197 y Fr(0)1205 4238 y Fz(\))f Fx(3)g Fz(\()1403 4098 y Fj(\022)1476 4178 y Ft(a)88 b(b)1481 4295 y(c)f(d)1661 4098 y Fj(\023)1751 4238 y Ft(;)1795 4098 y Fj(\022)1868 4178 y Ft(x)1870 4295 y(y)1924 4098 y Fj(\023)1997 4238 y Fz(\))27 b Fx(7!)2190 4098 y Fj(\022)2263 4178 y Ft(a)88 b(b)2268 4295 y(c)f(d)2448 4098 y Fj(\023)2544 4238 y Fx(\001)2593 4098 y Fj(\022)2667 4178 y Ft(x)2669 4295 y(y)2722 4098 y Fj(\023)2823 4238 y Fx(2)28 b Fu(A)2983 4197 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)2983 4263 y Fq(q)3083 4238 y Fz(\()p Ft(A)3194 4197 y Fr(0)3218 4238 y Fz(\))p Ft(:)0 4481 y Fz(Again)42 b(one)g(should)h(c)m(hec)m(k)i(that)d(the)h (required)g(equations)g(are)g(preserv)m(ed.)76 b(Since)43 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)0 4598 y(a)k(matrix)e(m)m(ultiplication)e(w)m(e)49 b(get)f(an)g(op)s(eration)f(as)h(in)f(the)i(preceding)f(prop)s (osition.)89 b(In)0 4726 y(particular)31 b Ft(A)523 4675 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)523 4736 y Fq(q)650 4726 y Fz(is)h(a)g Ft(M)923 4741 y Fq(q)962 4726 y Fz(\(2\)-como)s(dule)e(algebra.)149 4907 y(As)38 b(in)f(example)g(1.)57 b(w)m(e)39 b(get)e(the)h(com)m (ultiplication)33 b(as)k Ft(\016)t Fz(\()2358 4766 y Fj(\022)2432 4847 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b(b)s(e)i(the)h(function)e(algebra)g(of)h(the)g(dual)g(quan)m (tum)0 602 y(plane)32 b Fu(A)326 551 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)326 612 y Fq(q)426 602 y Fz(.)44 b(By)33 b(the)g(de\014nition)f (1.2.5)g(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)476 789 y Fu(A)542 748 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)542 814 y Fq(q)642 789 y Fz(\()p Ft(A)753 748 y Fr(0)777 789 y Fz(\))27 b(=)946 679 y Fj(n)1012 709 y(\000)1058 787 y Ft(a)1109 752 y Fr(0)1216 787 y Ft(b)1257 752 y Fr(0)1280 709 y Fj(\001)1326 675 y(\014)1326 735 y(\014)1326 794 y(\014)1359 789 y Ft(a)1410 748 y Fr(0)1434 789 y Ft(;)17 b(b)1519 748 y Fr(0)1570 789 y Fx(2)28 b Ft(A)1737 748 y Fr(0)1760 789 y Fz(;)17 b Ft(a)1855 748 y Fr(0)1879 738 y Fl(2)1946 789 y Fz(=)27 b(0)p Ft(;)17 b(b)2183 748 y Fr(0)2207 738 y Fl(2)2274 789 y Fz(=)27 b(0)p Ft(;)17 b(a)2521 748 y Fr(0)2544 789 y Ft(b)2585 748 y Fr(0)2637 789 y Fz(=)27 b Fx(\000)p Ft(q)t(b)2905 748 y Fr(0)2929 789 y Ft(a)2980 748 y Fr(0)3014 679 y Fj(o)3097 789 y Ft(:)0 979 y Fz(The)46 b(quan)m(tum)g(monoid)e Ft(M)1092 994 y Fq(q)1130 979 y Fz(\(2\))i(also)e(op)s(erates)i(on)g (the)f(dual)g(quan)m(tum)h(plane)f(b)m(y)h(matrix)0 1095 y(m)m(ultiplication)246 1309 y Fu(A)312 1267 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)312 1333 y Fq(q)412 1309 y Fz(\()p Ft(A)523 1267 y Fr(0)546 1309 y Fz(\))28 b Fx(?)g(M)837 1324 y Fq(q)875 1309 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)1111 1267 y Fr(0)1134 1309 y Fz(\))f Fx(3)i Fz(\()1332 1228 y Fj(\000)1377 1307 y Ft(\030)88 b(\021)1559 1228 y Fj(\001)1622 1309 y Ft(;)1666 1168 y Fj(\022)1739 1249 y Ft(a)f(b)1743 1365 y(c)h(d)1924 1168 y Fj(\023)1997 1309 y Fz(\))27 b Fx(7!)2190 1228 y Fj(\000)2235 1307 y Ft(\030)88 b(\021)2418 1228 y Fj(\001)2485 1309 y Fx(\001)2535 1168 y Fj(\022)2609 1249 y Ft(a)f(b)2613 1365 y(c)h(d)2793 1168 y Fj(\023)2894 1309 y Fx(2)29 b Fu(A)3055 1267 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)3055 1333 y Fq(q)3155 1309 y Fz(\()p Ft(A)3266 1267 y Fr(0)3289 1309 y Fz(\))p Ft(:)0 1554 y Fz(This)35 b(giv)m(es)g(another)g(example) f(of)h(a)f Ft(M)1501 1569 y Fq(q)1540 1554 y Fz(\(2\)-como)s(dule)e (algebra)i Ft(A)2552 1503 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)2552 1564 y Fq(q)2678 1554 y Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(A)2899 1503 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)2899 1564 y Fq(q)3017 1554 y Fx(\012)25 b Ft(M)3213 1569 y Fq(q)3251 1554 y Fz(\(2\))34 b(with)0 1734 y Ft(\016)t Fz(\()85 1654 y Fj(\000)131 1732 y Ft(\030)87 b(\021)313 1654 y Fj(\001)358 1734 y Fz(\))28 b(=)g Ft(\016)j Fz(=)d(\()744 1654 y Fj(\000)789 1732 y Ft(\030)88 b(\021)971 1654 y Fj(\001)1039 1734 y Fx(\012)23 b Fz(1\))f Fx(\003)g Fz(\(1)f Fx(\012)1528 1594 y Fj(\022)1601 1675 y Ft(a)88 b(b)1606 1791 y(c)g(d)1786 1594 y Fj(\023)1860 1734 y Fz(\))27 b(=)2029 1654 y Fj(\000)2075 1732 y Ft(\030)87 b(\021)2257 1654 y Fj(\001)2324 1734 y Fx(\012)2424 1594 y Fj(\022)2497 1675 y Ft(a)h(b)2502 1791 y(c)g(d)2682 1594 y Fj(\023)2772 1734 y Ft(:)149 1933 y Fz(What)40 b(is)e(no)m(w)i(the)f(reason)h(for)e(the)i(remark)-5 b(able)38 b(relations)f(on)i Fx(M)2731 1948 y Fq(q)2769 1933 y Fz(\(2\)?)62 b(It)39 b(is)g(based)h(on)0 2049 y(a)e(fact)f(that)h(w)m(e)h(will)c(sho)m(w)k(later)e(namely)g(that)g Ft(M)1973 2064 y Fq(q)2012 2049 y Fz(\(2\))g(is)h(the)g(univ)m(ersal)g (quan)m(tum)g(monoid)0 2186 y(acting)33 b(on)g(the)h(quan)m(tum)g (plane)f Fu(A)1339 2135 y Fl(2)q Fr(j)p Fl(0)1339 2196 y Fq(q)1473 2186 y Fz(from)g(the)h(left)e(and)i(on)g(the)g(dual)f(quan) m(tum)h(plane)f Fu(A)3500 2135 y Fl(0)p Fr(j)p Fl(2)3500 2196 y Fq(q)0 2302 y Fz(from)28 b(the)i(righ)m(t.)42 b(This)30 b(ho)m(w)m(ev)m(er)i(happ)s(ens)f(in)e(the)h(category)g(of)f (quan)m(tum)h(planes)f(represen)m(ted)0 2418 y(b)m(y)41 b(quadratic)f(algebras.)65 b(Here)41 b(w)m(e)g(will)d(sho)m(w)j(a)f (simpler)e(theorem)i(for)g(\014nite)f(dimensional)0 2535 y(algebras.)149 2661 y Fv(Problem)d(1.3.6.)240 b Fz(\(1\))42 b(Consider)36 b(the)h(follo)m(wing)d(subset)k Fx(H)f Fz(of)f(the)h(set)g(of)e(complex)364 2778 y(2)22 b Fx(\002)h Fz(2-matrices:)888 2980 y Fx(H)28 b Fz(:=)1131 2840 y Fj(\032\022)1321 2920 y Ft(x)83 b Fx(\000)p Ft(y)1329 3037 y Fz(\026)-55 b Ft(y)131 b Fz(\026)-55 b Ft(x)1629 2840 y Fj(\023)1730 2980 y Fx(2)28 b Ft(M)1918 2995 y Fp(C)1971 2980 y Fz(\(2)22 b Fx(\002)g Fz(2\))p Fx(j)p Ft(x;)17 b(y)31 b Fx(2)d Fu(C)2632 2840 y Fj(\033)364 3194 y Fz(W)-8 b(e)33 b(call)e Fx(H)j Fz(the)f(set)g(of)f Fs(Hamiltonian)i(quaternions)p Fz(.)43 b(F)-8 b(or)1458 3408 y Ft(h)28 b Fz(=)1645 3267 y Fj(\022)1760 3348 y Ft(x)84 b Fx(\000)p Ft(y)1769 3464 y Fz(\026)-56 b Ft(y)131 b Fz(\026)-55 b Ft(x)2069 3267 y Fj(\023)364 3621 y Fz(w)m(e)34 b(de\014ne:)1445 3749 y(\026)1444 3775 y Ft(h)28 b Fz(:=)1659 3634 y Fj(\022)1816 3715 y Fz(\026)-55 b Ft(x)122 b(y)1774 3831 y Fx(\000)7 b Fz(\026)-56 b Ft(y)86 b(x)2082 3634 y Fj(\023)364 3968 y Fz(Sho)m(w:)397 4084 y(\(a\))41 b Ft(h)620 4058 y Fz(\026)619 4084 y Ft(h)28 b Fz(=)g(\()p Fx(j)p Ft(x)p Fx(j)956 4048 y Fl(2)1017 4084 y Fz(+)22 b Fx(j)p Ft(y)t Fx(j)1223 4048 y Fl(2)1261 4084 y Fz(\))p Ft(E)38 b Fz(\()p Ft(E)h Fz(the)33 b(unit)f(matrix\),)391 4201 y(\(b\))42 b Fx(H)34 b Fz(is)e(a)g(real)g(subalgebra)g(of)g(the)h (complex)f(algebra)g(of)g(2)22 b Fx(\002)g Fz(2-matrices.)402 4317 y(\(c\))42 b Fx(H)i Fz(is)f(a)g(division)f(algebra,)j(i.)e(e.)g (eac)m(h)i(elemen)m(t)e(di\013eren)m(t)g(from)g(zero)g(has)h(an)563 4433 y(in)m(v)m(erse)34 b(under)f(the)g(m)m(ultiplication.)391 4549 y(\(d\))42 b(Let)599 4769 y Ft(I)36 b Fz(:=)808 4628 y Fj(\022)931 4709 y Ft(i)122 b Fz(0)923 4825 y(0)83 b Fx(\000)p Ft(i)1207 4628 y Fj(\023)1395 4769 y Ft(J)37 b Fz(:=)1616 4628 y Fj(\022)1731 4709 y Fz(0)83 b Fx(\000)p Fz(1)1731 4825 y(1)122 b(0)2031 4628 y Fj(\023)2218 4769 y Ft(K)35 b Fz(:=)2467 4628 y Fj(\022)2612 4709 y Fz(0)114 b Fx(\000)p Ft(i)2581 4825 y Fx(\000)p Ft(i)h Fz(0)2927 4628 y Fj(\023)563 4982 y Fz(Then)33 b Ft(E)6 b(;)17 b(I)8 b(;)17 b(J)n(;)g(K)38 b Fz(is)30 b(an)i Fx(R)p Fz(-basis)f(of)g Fx(H)i Fz(an)e(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)f(the)g(follo)m (wing)d(m)m(ultiplica-)563 5098 y(tion)j(table:)1379 5216 y Ft(I)1430 5174 y Fl(2)1497 5216 y Fz(=)27 b Ft(J)1663 5174 y Fl(2)1731 5216 y Fz(=)g Ft(K)1924 5174 y Fl(2)1991 5216 y Fz(=)h Fx(\000)p Fz(1)p eop %%Page: 23 26 23 25 bop 438 251 a Fw(3.)35 b(QUANTUM)d(MONOIDS)g(AND)g(THEIR)h(A)n (CTIONS)f(ON)h(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)360 b(23)674 450 y Ft(I)8 b(J)37 b Fz(=)27 b Fx(\000)p Ft(J)9 b(I)36 b Fz(=)28 b Ft(K)105 b(J)9 b(K)35 b Fz(=)27 b Fx(\000)p Ft(K)7 b(J)38 b Fz(=)27 b Ft(I)106 b(K)7 b(I)35 b Fz(=)28 b Fx(\000)p Ft(I)8 b(K)35 b Fz(=)28 b Ft(J)n(:)198 598 y Fz(\(2\))41 b(Compute)33 b(the)g Fx(H)q Fz(-p)s(oin)m(ts)f Ft(A)1439 562 y Fl(2)p Fr(j)p Fl(0)1533 598 y Fz(\()p Fx(H)q Fz(\))h(of)f(the)h(quan)m(tum)g(plane.)149 741 y Fv(De\014nition)k(1.3.7.)240 b Fz(\(1\))41 b(Let)31 b Fx(X)45 b Fz(b)s(e)31 b(a)f(quan)m(tum)h(space.)44 b(A)30 b(quan)m(tum)h(space)h Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))364 857 y(together)33 b(with)e(a)h(morphism)f(of)g(quan)m(tum)i (spaces)h Ft(\026)27 b Fz(:)h Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))27 b Fx(?)h(X)42 b(\000)-60 b(!)28 b(X)46 b Fz(is)32 b(called)364 973 y(a)45 b Fs(quantum)h(sp)-5 b(ac)g(e)45 b(acting)g(universal)5 b(ly)44 b Fz(on)h Fx(X)59 b Fz(\(or)44 b(simply)f(a)i Fs(universal)g(quantum)364 1089 y(sp)-5 b(ac)g(e)35 b(for)d Fx(X)15 b Fz(\))33 b(if)e(for)h(ev)m(ery)j(quan)m (tum)e(space)h Fx(Y)41 b Fz(and)33 b(ev)m(ery)h(morphism)d(of)i(quan)m (tum)364 1206 y(spaces)g Ft(f)38 b Fz(:)28 b Fx(Y)35 b(?)28 b(X)43 b(\000)-60 b(!)27 b(X)46 b Fz(there)31 b(is)f(a)g(unique)h(morphism)e(of)h(quan)m(tum)h(spaces)h Ft(g)f Fz(:)d Fx(Y)364 1322 y(\000)-59 b(!)27 b(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))32 b(suc)m(h)i(that)e(the)h(follo)m(wing)d(diagram)g (comm)m(utes)1403 1959 y Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))27 b Fx(?)h(X)196 b(X)15 b Ft(:)p 1932 1936 124 4 v 1973 1934 a Fm(-)1972 1982 y Fq(\026)1957 1707 y(f)1722 1598 y Fm(@)1805 1681 y(@)1888 1764 y(@)1971 1847 y(@)1989 1866 y(@)-83 b(R)1507 1476 y Fx(Y)35 b(?)28 b(X)p 1652 1866 4 351 v 1653 1866 a Fm(?)1433 1707 y Fq(g)r Fr(?)p Fl(1)1560 1718 y Fk(X)198 2130 y Fz(\(2\))41 b(Let)d Ft(A)g Fz(b)s(e)f(a)g Fu(K)18 b Fz(-algebra.)63 b(A)37 b Fu(K)18 b Fz(-algebra)41 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))39 b(together)e(with)h(a)f(homomorphism)364 2246 y(of)46 b(algebras)f Ft(\016)54 b Fz(:)d Ft(A)f Fx(\000)-59 b(!)49 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))32 b Fx(\012)g Ft(A)46 b Fz(is)f(called)g(an)h Fs(algebr)-5 b(a)46 b(c)-5 b(o)g(acting)46 b(universal)5 b(ly)364 2362 y(on)46 b Ft(A)f Fz(\(or)h(simply)e(a)i Fs(universal)g(algebr)-5 b(a)46 b(for)f Ft(A)p Fz(\))h(if)f(for)g(ev)m(ery)i Fu(K)18 b Fz(-algebra)50 b Ft(B)h Fz(and)364 2478 y(ev)m(ery)42 b(homomorphism)36 b(of)j Fu(K)18 b Fz(-algebras)44 b Ft(f)50 b Fz(:)39 b Ft(A)h Fx(\000)-60 b(!)39 b Ft(B)32 b Fx(\012)c Ft(A)39 b Fz(there)h(exists)g(a)f(unique)364 2595 y(homomorphism)32 b(of)i(algebras)g Ft(g)g Fz(:)d Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))31 b Fx(\000)-59 b(!)30 b Ft(B)40 b Fz(suc)m(h)35 b(that)g(the)f(follo)m(wing)e(diagram)364 2711 y(comm)m(utes)1426 2820 y Ft(A)226 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1528 2797 169 4 v 1614 2795 a Fm(-)1594 2776 y Fq(\016)1604 3056 y(f)1530 2946 y Fm(@)1613 3029 y(@)1696 3113 y(@)1779 3196 y(@)1798 3214 y(@)-83 b(R)1813 3313 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(A)p 1948 3214 4 351 v 1950 3214 a Fm(?)1989 3054 y Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)2115 3065 y Fn(A)149 3436 y Fz(By)38 b(the)g(univ)m (ersal)f(prop)s(erties)h(the)g(univ)m(ersal)f(algebra)f Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))38 b(for)f Ft(A)h Fz(and)f(the)h(univ)m (ersal)0 3552 y(quan)m(tum)33 b(space)h Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))31 b(for)h Fx(X)47 b Fz(are)33 b(unique)g(up)g(to)f (isomorphism.)149 3694 y Fv(Prop)s(osition)k(1.3.8.)240 b Fz(\(1\))41 b Fs(L)-5 b(et)41 b Ft(A)f Fs(b)-5 b(e)40 b(a)g Fu(K)17 b Fs(-algebr)-5 b(a)46 b(with)39 b(universal)h(algebr)-5 b(a)39 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))364 3811 y Fs(and)43 b Ft(\016)k Fz(:)42 b Ft(A)h Fx(\000)-57 b(!)43 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))29 b Fx(\012)f Ft(A)p Fs(.)70 b(Then)42 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))44 b Fs(is)f(a)f(bialgebr)-5 b(a)42 b(and)h Ft(A)g Fs(is)g(an)f Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Fs(-)364 3927 y(c)-5 b(omo)g(dule)34 b(algebr)-5 b(a)34 b(by)h Ft(\016)t Fs(.)198 4043 y Fz(\(2\))41 b Fs(If)k Ft(B)51 b Fs(is)45 b(a)h(bialgebr)-5 b(a)44 b(and)h(if)g Ft(f)58 b Fz(:)48 b Ft(A)f Fx(\000)-57 b(!)47 b Ft(B)36 b Fx(\012)30 b Ft(A)46 b Fs(de\014nes)e(the)i(structur)-5 b(e)46 b(of)g(a)f Ft(B)5 b Fs(-)364 4159 y(c)-5 b(omo)g(dule)29 b(algebr)-5 b(a)29 b(on)h Ft(A)g Fs(then)g(ther)-5 b(e)30 b(is)f(a)h(unique)g(homomorphism)d Ft(g)k Fz(:)d Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))29 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(B)364 4276 y Fs(of)35 b(bialgebr)-5 b(as)34 b(such)g(that)h(the)g(fol)5 b(lowing)34 b(diagr)-5 b(am)34 b(c)-5 b(ommutes)1380 4468 y Ft(A)226 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1482 4445 169 4 v 1568 4443 a Fm(-)1542 4424 y Ft(\016)1541 4712 y(f)1485 4595 y Fm(@)1568 4678 y(@)1651 4761 y(@)1734 4844 y(@)1753 4862 y(@)-83 b(R)1767 4961 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(A)p 1902 4863 4 351 v 1904 4863 a Fm(?)1943 4709 y Ft(g)i Fx(\012)e Fz(1)2164 4724 y Fq(A)149 5099 y Fz(The)43 b(corresp)s(onding)e(statemen)m(t)i(for)e (quan)m(tum)g(spaces)j(and)d(quan)m(tum)h(monoids)e(is)i(the)0 5216 y(follo)m(wing.)p eop %%Page: 24 27 24 26 bop 0 251 a Fw(24)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)149 450 y Fv(Prop)s(osition)36 b(1.3.9.)240 b Fz(\(1\))41 b Fs(L)-5 b(et)40 b Fx(X)54 b Fs(b)-5 b(e)39 b(a)g(quantum)g(sp)-5 b(ac)g(e)38 b(with)h(universal)g(quantum)364 566 y(sp)-5 b(ac)g(e)37 b Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))36 b Fs(and)h Ft(\026)31 b Fz(:)h Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))31 b Fx(?)i Ft(A)f Fx(\000)-57 b(!)31 b Ft(A)p Fs(.)52 b(Then)37 b Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))36 b Fs(is)h(a)g(quantum)g(monoid)364 683 y(and)e Fx(X)49 b Fs(is)35 b(an)f Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))p Fs(-sp)-5 b(ac)g(e)33 b(by)i Ft(\026)p Fs(.)198 799 y Fz(\(2\))41 b Fs(If)29 b Fx(Y)37 b Fs(is)29 b(another)f(quantum)h(monoid)f(and)h(if)g Ft(f)38 b Fz(:)28 b Fx(Y)35 b(?)28 b(X)43 b(\000)-57 b(!)27 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Fo(\))1540 5153 y Fr(\012)p Fl(1)1630 5167 y Fn(M)g Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))1791 5153 y Fr(\012)p Fq(\016)p eop %%Page: 25 28 25 27 bop 438 251 a Fw(3.)35 b(QUANTUM)d(MONOIDS)g(AND)g(THEIR)h(A)n (CTIONS)f(ON)h(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)360 b(25)0 450 y Fz(and)859 620 y Ft(A)1251 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(A)p 961 596 1193 4 v 2071 594 a Fm(-)1540 576 y Fq(\016)p 894 917 4 254 v 896 917 a Fm(?)935 813 y Fq(\016)p 2259 917 V 2261 917 a Fm(?)2022 807 y Fl(\001)p Fr(\012)p Fl(1)2171 818 y Fn(A)p 2551 1307 4 644 v 2553 1307 a Fm(?)2592 993 y Fl(1)2627 1007 y Fn(M)5 b Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))2789 993 y Fr(\012)p Fl(1)2879 1004 y Fn(A)671 1010 y Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)534 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1149 986 476 4 v 1542 984 a Fm(-)1244 939 y Fl(1)1279 953 y Fn(M)5 b Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))1441 939 y Fr(\012)p Fq(\016)1079 1188 y Fl(1)1114 1202 y Fn(M)g Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))1276 1188 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Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1485 2131 379 4 v 1781 2129 a Fm(-)1531 2083 y Fl(1)1566 2097 y Fn(M)5 b Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))1728 2083 y Fr(\012)p Fq(\016)p 1034 2451 4 254 v 1036 2451 a Fm(?)1075 2340 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)1194 2351 y Fn(A)p 2107 2451 V 2109 2451 a Fm(?)2148 2332 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)2267 2346 y Fn(M)g Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))2428 2332 y Fr(\012)p Fl(1)2518 2343 y Fn(A)951 2544 y Ft(A)505 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)2005 2516 y Fx(\030)2006 2548 y Fz(=)2111 2544 y Fu(K)45 b Fx(\012)23 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(A:)p 1053 2521 448 4 v 1418 2519 a Fm(-)1259 2500 y Fq(\016)149 2739 y Fz(In)29 b(fact)g(these)h(diagrams)c(imply)h(b)m (y)i(the)g(uniqueness)i(of)d(the)h(induced)g(homomorphisms)d(of)0 2855 y(algebras)34 b(\(\001)24 b Fx(\012)g Fz(1)675 2870 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))861 2855 y Fz(\)\001)32 b(=)f(\(1)1206 2870 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))1416 2855 y Fx(\012)24 b Fz(\001\)\001,)36 b(\(1)1867 2870 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))2077 2855 y Fx(\012)24 b Ft(\017)p Fz(\)\001)31 b(=)g(1)2523 2870 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))2745 2855 y Fz(and)34 b Ft(\017)24 b Fx(\012)g Fz(\(1)3187 2870 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))3374 2855 y Fz(\)\001)31 b(=)0 2971 y(1)49 2987 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))236 2971 y Fz(.)43 b(Finally)30 b Ft(A)j Fz(is)f(an)g Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)-como)s(dule)32 b(algebra)f(b)m(y)j(the)f(de\014nition)e(of)h(\001)h(and)g Ft(\017)p Fz(.)149 3087 y(No)m(w)27 b(assume)f(that)g(a)f(structure)i (of)f(a)f Ft(B)5 b Fz(-como)s(dule)24 b(algebra)h(on)h Ft(A)f Fz(is)h(giv)m(en)g(b)m(y)g(a)g(bialgebra)0 3204 y Ft(B)38 b Fz(and)32 b Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(B)h Fx(\012)22 b Ft(A)p Fz(.)44 b(Then)34 b(there)f(is)f(a)g(unique)h(homomorphism)d(of)i(algebras)g Ft(g)f Fz(:)d Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))0 3320 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)37 b Fz(suc)m(h)d(that)f(the)g(diagram)1426 3509 y Ft(A)226 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1528 3486 169 4 v 1614 3484 a Fm(-)1594 3465 y Fq(\016)1604 3744 y(f)1530 3635 y Fm(@)1613 3718 y(@)1696 3801 y(@)1779 3884 y(@)1798 3903 y(@)-83 b(R)1813 4001 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(A)p 1948 3903 4 351 v 1950 3903 a Fm(?)1989 3743 y Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)2115 3754 y Fn(A)0 4180 y Fz(comm)m(utes.)43 b(Then)34 b(the)f(follo)m(wing)d (diagram)698 4441 y Ft(A)325 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(A)p 800 4418 267 4 v 984 4416 a Fm(-)916 4397 y Fq(\016)1096 4441 y Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(A)534 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1573 4398 476 4 v 1966 4396 a Fm(-)1712 4366 y Fl(\001)p Fr(\012)p Fl(1)1861 4377 y Fn(A)p 1573 4437 V 1966 4435 a Fm(-)1669 4501 y Fl(1)1704 4515 y Fn(M)5 b Fo(\()p Fn(A)p Fo(\))1865 4501 y Fr(\012)p Fq(\016)925 4628 y(f)837 4540 y Fm(Q)920 4595 y(Q)1003 4650 y(Q)1086 4706 y(Q)1134 4738 y(Q)-83 b(s)p 1318 4738 4 254 v 103 w(?)1359 4626 y Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)1485 4637 y Fn(A)p 2293 4738 V 2295 4738 a Fm(?)2334 4626 y Fq(g)r Fr(\012)p Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)2551 4637 y Fn(A)1183 4836 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(A)795 b(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(A)p 1486 4788 739 4 v 2142 4786 a Fm(-)1728 4756 y Fl(\001)1787 4767 y Fn(B)1840 4756 y Fr(\012)p Fl(1)1930 4767 y Fn(A)p 1486 4828 V 2141 4826 a Fm(-)1762 4891 y Fl(1)1797 4902 y Fn(B)1850 4891 y Fr(\012)p Fq(f)0 5099 y Fz(implies)38 b(\(\()p Ft(g)31 b Fx(\012)d Ft(g)t Fz(\)\001)f Fx(\012)h Fz(1)949 5114 y Fq(A)1006 5099 y Fz(\))p Ft(\016)45 b Fz(=)c(\()p Ft(g)31 b Fx(\012)d Ft(g)j Fx(\012)d Fz(1)1702 5114 y Fq(A)1759 5099 y Fz(\)\(\001)f Fx(\012)h Fz(1)2097 5114 y Fq(A)2154 5099 y Fz(\))p Ft(\016)45 b Fz(=)c(\()p Ft(g)31 b Fx(\012)d Ft(g)j Fx(\012)d Fz(1)2850 5114 y Fq(A)2907 5099 y Fz(\)\(1)3032 5115 y Fq(M)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))3246 5099 y Fx(\012)28 b Ft(\016)t Fz(\))p Ft(\016)45 b Fz(=)0 5216 y(\()p Ft(g)27 b Fx(\012)e Fz(\()p Ft(g)i Fx(\012)d Fz(1)476 5231 y Fq(A)533 5216 y Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\))p Ft(\016)36 b Fz(=)c(\(1)930 5231 y Fq(B)1014 5216 y Fx(\012)25 b Fz(\()p Ft(g)i Fx(\012)d Fz(1)1378 5231 y Fq(A)1435 5216 y Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\)\()p Ft(g)j Fx(\012)d Fz(1)1820 5231 y Fq(A)1877 5216 y Fz(\))p Ft(\016)36 b Fz(=)c(\(1)2189 5231 y Fq(B)2274 5216 y Fx(\012)24 b Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(f)43 b Fz(=)32 b(\(\001)2790 5231 y Fq(B)2875 5216 y Fx(\012)24 b Fz(1)3025 5231 y Fq(A)3082 5216 y Fz(\))p Ft(f)43 b Fz(=)32 b(\(\001)3438 5231 y Fq(B)3523 5216 y Fx(\012)p eop %%Page: 26 29 26 28 bop 0 251 a Fw(26)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)0 450 y Fz(1)49 465 y Fq(A)106 450 y Fz(\)\()p Ft(g)25 b Fx(\012)e Fz(1)403 465 y Fq(A)459 450 y Fz(\))p Ft(\016)32 b Fz(=)c(\(\001)795 465 y Fq(B)855 450 y Ft(g)e Fx(\012)d Fz(1)1077 465 y Fq(A)1133 450 y Fz(\))p Ft(\016)37 b Fz(hence)d(\()p Ft(g)25 b Fx(\012)e Ft(g)t Fz(\)\001)k(=)g(\001)2113 465 y Fq(B)2174 450 y Ft(g)t Fz(.)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(the)h(diagram)1182 627 y Ft(A)714 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1284 603 657 4 v 1858 601 a Fm(-)1594 583 y Fq(\016)1861 1021 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(A)1505 813 y Fq(f)1355 711 y Fm(H)1438 753 y(H)1521 794 y(H)1604 836 y(H)1687 877 y(H)1770 919 y(H)1779 923 y(H)-83 b(j)p 1997 923 4 254 v 136 w(?)1783 812 y Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)1909 823 y Fn(A)p 2192 1313 4 644 v 2193 1313 a Fm(?)2232 1007 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)2351 1018 y Fn(A)1759 1412 y Ft(A)1860 1384 y Fx(\030)1861 1416 y Fz(=)1965 1412 y Fu(K)46 b Fx(\012)22 b Ft(A)1463 1007 y Fl(1)1498 1018 y Fn(A)1287 753 y Fm(@)1370 836 y(@)1453 919 y(@)1536 1002 y(@)1619 1085 y(@)1702 1168 y(@)1785 1251 y(@)1847 1313 y(@)-83 b(R)p 1997 1313 4 254 v 68 w(?)1738 1202 y Fq(\017)1767 1213 y Fn(B)1819 1202 y Fr(\012)p Fl(1)1909 1213 y Fn(A)0 1552 y Fz(implies)30 b Ft(\017)370 1567 y Fq(B)431 1552 y Ft(g)h Fz(=)d Ft(\017)p Fz(.)44 b(Th)m(us)34 b Ft(g)h Fz(is)e(a)f(homomorphism)e(of)i (bialgebras.)1034 b Fh(\003)149 1734 y Fz(Since)31 b(univ)m(ersal)g (algebras)f(for)g(algebras)g Ft(A)h Fz(tend)h(to)e(b)s(ecome)h(v)m(ery) h(big)e(they)h(do)g(not)g(exist)0 1850 y(in)38 b(general.)63 b(But)39 b(a)g(theorem)g(of)f(T)-8 b(am)m(bara's)39 b(sa)m(ys)i(that)e (they)h(exist)f(for)g(\014nite)f(dimensional)0 1966 y(algebras)32 b(\(o)m(v)m(er)h(a)g(\014eld)f Fu(K)18 b Fz(\).)149 2110 y Fv(De\014nition)52 b(1.3.10.)d Fz(If)d Fx(X)60 b Fz(is)46 b(a)f(quan)m(tum)i(space)g(with)e(\014nite)h(dimensional)d(function)0 2226 y(algebra)31 b(then)j(w)m(e)f(call)e Fx(X)47 b Fz(a)33 b Fs(\014nite)h(quantum)h(sp)-5 b(ac)g(e)p Fz(.)149 2369 y(The)33 b(follo)m(wing)c(theorem)i(is)g(the)i(quan)m(tum)e(space)i(v)m (ersion)f(and)g(equiv)-5 b(alen)m(t)32 b(to)f(a)g(theorem)0 2485 y(of)h(T)-8 b(am)m(bara.)149 2629 y Fv(Theorem)47 b(1.3.11.)g Fs(L)-5 b(et)43 b Fx(X)57 b Fs(b)-5 b(e)43 b(a)g(\014nite)f(quantum)h(sp)-5 b(ac)g(e.)68 b(Then)42 b(ther)-5 b(e)42 b(exists)h(a)f(\(uni-)0 2745 y(versal\))k(quantum)g (sp)-5 b(ac)g(e)46 b Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))46 b Fs(with)g(morphism)g(of)g(quantum)h(sp)-5 b(ac)g(es)45 b Ft(\026)k Fz(:)h Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))48 b Fx(?)i(X)0 2861 y(\000)-57 b(!)27 b(X)15 b Fs(.)149 3004 y Fz(The)34 b(algebra)d(v)m(ersion)j(of)e(this)g(theorem)g(is)149 3147 y Fv(Theorem)53 b(1.3.12.)d Fz(\(T)-8 b(am)m(bara\))46 b Fs(L)-5 b(et)48 b Ft(A)g Fs(b)-5 b(e)47 b(a)h(\014nite)f(dimensional) e Fu(K)18 b Fs(-algebr)-5 b(a.)88 b(Then)0 3264 y(ther)-5 b(e)49 b(exists)g(a)g(\(universal\))f Fu(K)18 b Fs(-algebr)-5 b(a)54 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))50 b Fs(with)f(homomorphism)e (of)h(algebr)-5 b(as)49 b Ft(\016)58 b Fz(:)c Ft(A)0 3380 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p Fs(.)149 3562 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)31 b(are)f(going)e(to)i(construct)h(the)g Fu(K)17 b Fz(-algebra)34 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))31 b(quite)f(explicitly)-8 b(.)41 b(First)29 b(w)m(e)0 3678 y(observ)m(e)i(that)d Ft(A)624 3642 y Fr(\003)691 3678 y Fz(=)g(Hom)998 3693 y Fp(K)1054 3678 y Fz(\()p Ft(A;)17 b Fu(K)g Fz(\))35 b(is)28 b(a)h(coalgebra)f(\(cf.)42 b([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])29 b(Problem)f(2.25\))0 3795 y(with)k(the)h(structural)f(morphism)e(\001)e(:)g Ft(A)1532 3758 y Fr(\003)1599 3795 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(\()p Ft(A)21 b Fx(\012)h Ft(A)p Fz(\))2086 3758 y Fr(\003)2153 3767 y Fx(\030)2154 3799 y Fz(=)2259 3795 y Ft(A)2332 3758 y Fr(\003)2393 3795 y Fx(\012)g Ft(A)2565 3758 y Fr(\003)2604 3795 y Fz(.)44 b(Denote)32 b(the)h(dual)e(basis)0 3911 y(b)m(y)141 3836 y Fj(P)247 3862 y Fq(n)247 3940 y(i)p Fl(=1)381 3911 y Ft(a)432 3926 y Fq(i)487 3911 y Fx(\012)d Fz(\026)-50 b Ft(a)642 3875 y Fq(i)708 3911 y Fx(2)38 b Ft(A)26 b Fx(\012)h Ft(A)1088 3875 y Fr(\003)1127 3911 y Fz(.)61 b(No)m(w)39 b(let)f Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(A)26 b Fx(\012)g Ft(A)1974 3875 y Fr(\003)2014 3911 y Fz(\))38 b(b)s(e)h(the)g(tensor)g(algebra)e(of)h(the)h(v)m(ector)0 4027 y(space)34 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)529 3991 y Fr(\003)568 4027 y Fz(.)44 b(Consider)33 b(elemen)m(ts)f(of)h(the)g (tensor)g(algebra)644 4190 y Ft(xy)25 b Fx(\012)e Ft(\020)35 b Fx(2)28 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)1312 4154 y Fr(\003)1351 4190 y Ft(;)644 4306 y(x)f Fx(\012)h Ft(y)i Fx(\012)e Fz(\001\()p Ft(\020)8 b Fz(\))27 b Fx(2)h Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)f Fx(\012)h Ft(A)1786 4270 y Fr(\003)1847 4306 y Fx(\012)g Ft(A)2020 4270 y Fr(\003)2087 4279 y Fx(\030)2088 4310 y Fz(=)2192 4306 y Ft(A)g Fx(\012)f Ft(A)2460 4270 y Fr(\003)2522 4306 y Fx(\012)h Ft(A)f Fx(\012)h Ft(A)2890 4270 y Fr(\003)2929 4306 y Ft(;)644 4423 y Fz(1)f Fx(\012)g Ft(\020)35 b Fx(2)28 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)1254 4386 y Fr(\003)1294 4423 y Ft(;)644 4539 y(\020)8 b Fz(\(1\))26 b Fx(2)i Fu(K)18 b Ft(:)0 4705 y Fz(The)34 b(follo)m(wing)29 b(elemen)m(ts)0 4875 y(\(1\))1196 b Ft(xy)26 b Fx(\012)d Ft(\020)29 b Fx(\000)22 b Ft(x)h Fx(\012)g Ft(y)i Fx(\012)e Fz(\001\()p Ft(\020)8 b Fz(\))0 5045 y(and)0 5216 y(\(2\))1416 b(1)22 b 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2540 y Fz(\()p Ft(f)1475 2555 y Fq(i)1503 2540 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))32 b Fx(\012)h Ft(a)1823 2555 y Fq(i)1851 2540 y Fz(\)\()p Ft(f)1975 2555 y Fq(j)2012 2540 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))f Fx(\012)g Ft(a)2321 2555 y Fq(j)2358 2540 y Fz(\))52 b(=)2576 2466 y Fj(P)2681 2569 y Fq(ij)2758 2540 y Ft(f)2806 2555 y Fq(i)2835 2540 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)3010 2555 y Fq(j)3046 2540 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))32 b Fx(\012)h Ft(a)3356 2555 y Fq(i)3384 2540 y Ft(a)3435 2555 y Fq(j)3524 2540 y Fz(=)0 2598 y Fj(P)105 2702 y Fq(ij)t(k)221 2673 y Ft(\013)284 2637 y Fq(k)283 2697 y(ij)343 2673 y Ft(f)391 2688 y Fq(i)420 2673 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)595 2688 y Fq(j)631 2673 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(a)921 2688 y Fq(k)997 2673 y Fz(b)m(y)33 b(comparison)f(of)g(co)s(e\016cien)m(ts) 1247 2900 y Ft(f)1295 2915 y Fq(k)1338 2900 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))c(=)1638 2805 y Fj(X)1681 3015 y Fq(ij)1798 2900 y Ft(\013)1861 2858 y Fq(k)1860 2924 y(ij)1921 2900 y Ft(f)1969 2915 y Fq(i)1997 2900 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)2172 2915 y Fq(j)2209 2900 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(:)0 3193 y Fz(F)-8 b(urthermore)31 b(w)m(e)i(de\014ne)g Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)19 b Fx(\012)j Fz(\026)-50 b Ft(a)p Fz(\))28 b(:=)f(\(1)20 b Fx(\012)i Fz(\026)-50 b Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))28 b Fx(2)g Ft(B)5 b Fz(.)43 b(Then)33 b(w)m(e)f(get)g(in)f(particular)f Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)20 b Fx(\012)1 3309 y Fz(\026)-50 b Ft(a)51 3273 y Fq(i)79 3309 y Fz(\))28 b(=)g(\(1)19 b Fx(\012)i Fz(\026)-51 b Ft(a)502 3273 y Fq(i)531 3309 y Fz(\)\()607 3234 y Fj(P)712 3338 y Fq(j)765 3309 y Ft(f)813 3324 y Fq(j)849 3309 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))20 b Fx(\012)g Ft(a)1144 3324 y Fq(j)1180 3309 y Fz(\))28 b(=)g Ft(f)1398 3324 y Fq(i)1426 3309 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\).)43 b(W)-8 b(e)31 b(can)h(extend)h(the)e(map)g Ft(g)j Fz(to)d(a)g(homomorphism)0 3434 y(of)46 b(algebras)f Ft(g)55 b Fz(:)c Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(A)31 b Fx(\012)h Ft(A)1093 3398 y Fr(\003)1132 3434 y Fz(\))51 b Fx(\000)-59 b(!)50 b Ft(B)5 b Fz(.)85 b(Applied)45 b(to)h(the)h(generators)g(of)e (the)i(ideal)e(w)m(e)i(get)0 3550 y Ft(g)t Fz(\()p Ft(ab)32 b Fx(\012)h Fz(\026)-50 b Ft(a)373 3514 y Fq(k)447 3550 y Fx(\000)32 b Ft(a)g Fx(\012)g Ft(b)h Fx(\012)f Fz(\001\()q(\026)-50 b Ft(a)1101 3514 y Fq(k)1144 3550 y Fz(\)\))51 b(=)g(\(1)32 b Fx(\012)h Fz(\026)-50 b Ft(a)1677 3514 y Fq(k)1720 3550 y Fz(\))1775 3475 y Fj(P)1880 3579 y Fq(l)1922 3550 y Ft(f)1970 3565 y Fq(l)1996 3550 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))32 b Fx(\012)h Ft(a)2357 3565 y Fq(l)2414 3550 y Fx(\000)2524 3475 y Fj(P)2629 3579 y Fq(r)r(sij)2772 3550 y Ft(\013)2835 3514 y Fq(k)2834 3575 y(ij)2895 3550 y Fz(\(1)e Fx(\012)j Fz(\026)-51 b Ft(a)3173 3514 y Fq(i)3202 3550 y Fz(\)\()p Ft(f)3326 3565 y Fq(r)3364 3550 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))32 b Fx(\012)0 3683 y Ft(a)51 3698 y Fq(r)89 3683 y Fz(\))e Fx(\001)g Fz(\(1)g Fx(\012)i Fz(\026)-50 b Ft(a)491 3646 y Fq(j)528 3683 y Fz(\)\()p Ft(f)652 3698 y Fq(s)689 3683 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))30 b Fx(\012)h Ft(a)995 3698 y Fq(s)1032 3683 y Fz(\))48 b(=)g Ft(f)1290 3698 y Fq(k)1333 3683 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))30 b Fx(\000)1639 3608 y Fj(P)1744 3712 y Fq(ij)1822 3683 y Ft(\013)1885 3646 y Fq(k)1884 3707 y(ij)1944 3683 y Ft(f)1992 3698 y Fq(i)2020 3683 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)2195 3698 y Fq(j)2232 3683 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))48 b(=)g(0.)79 b(W)-8 b(e)45 b(ha)m(v)m(e)h(furthermore)0 3808 y Ft(g)t Fz(\(1)26 b Fx(\012)h Ft(\020)34 b Fx(\000)28 b Ft(\020)8 b Fz(\(1\)\))38 b(=)h(\(1)27 b Fx(\012)g Ft(\020)8 b Fz(\))p Ft(f)j Fz(\(1\))26 b Fx(\000)h Ft(\020)8 b Fz(\(1\))38 b(=)i(\(1)26 b Fx(\012)i Ft(\020)8 b Fz(\)\(1)25 b Fx(\012)j Fz(1\))e Fx(\000)i Ft(\020)8 b Fz(\(1\))38 b(=)i(1)p Ft(\020)8 b Fz(\(1\))25 b Fx(\000)i Ft(\020)8 b Fz(\(1\))39 b(=)g(0.)0 3924 y(Th)m(us)c(the)f (homomorphism)d(of)i(algebras)f Ft(g)37 b Fz(v)-5 b(anishes)34 b(on)g(the)g(ideal)d Ft(I)42 b Fz(so)33 b(it)g(ma)m(y)g(b)s(e)h (factored)0 4040 y(through)41 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))42 b(=)g Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Ft(=I)8 b Fz(.)68 b(Denote)41 b(this)f(factorization)f(also)h(b)m(y)h Ft(g)t Fz(.)68 b(Then)42 b(the)f(diagram)0 4156 y(comm)m(utes)36 b(since)h(\()p Ft(g)28 b Fx(\012)d Fz(1)969 4171 y Fq(A)1026 4156 y Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))34 b(=)g(\()p Ft(g)28 b Fx(\012)d Fz(1)1646 4171 y Fq(A)1703 4156 y Fz(\)\()1779 4082 y Fj(P)1884 4185 y Fq(i)1912 4156 y Fz(\()p Ft(a)g Fx(\012)h Fz(\026)-50 b Ft(a)2179 4120 y Fq(i)2207 4156 y Fz(\))25 b Fx(\012)g Ft(a)2423 4171 y Fq(i)2452 4156 y Fz(\))34 b(=)2634 4082 y Fj(P)2739 4185 y Fq(i)2767 4156 y Fz(\(1)24 b Fx(\012)j Fz(\026)-50 b Ft(a)3032 4120 y Fq(i)3060 4156 y Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))24 b Fx(\012)i Ft(a)3462 4171 y Fq(i)3524 4156 y Fz(=)0 4199 y Fj(P)105 4303 y Fq(ij)182 4274 y Ft(f)230 4289 y Fq(j)267 4274 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()q(\026)-50 b Ft(a)483 4238 y Fq(i)511 4274 y Ft(;)17 b(a)606 4289 y Fq(j)643 4274 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(a)853 4289 y Fq(i)909 4274 y Fz(=)1013 4199 y Fj(P)1118 4303 y Fq(i)1163 4274 y Ft(f)1211 4289 y Fq(i)1239 4274 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))g Fx(\012)h Ft(a)1539 4289 y Fq(i)1595 4274 y Fz(=)28 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\).)149 4393 y(W)-8 b(e)38 b(still)c(ha)m(v)m(e)k(to)e(sho)m(w)i(that)f Ft(g)j Fz(is)c(uniquely)h(determined.)56 b(Assume)37 b(that)g(w)m(e)h(also)e(ha)m(v)m(e)0 4509 y(\()p Ft(h)24 b Fx(\012)h Fz(1)269 4524 y Fq(A)326 4509 y Fz(\))p Ft(\016)37 b Fz(=)c Ft(f)46 b Fz(then)873 4435 y Fj(P)978 4538 y Fq(i)1023 4509 y Ft(h)p Fz(\()p Ft(a)24 b Fx(\012)i Fz(\026)-50 b Ft(a)1345 4473 y Fq(i)1374 4509 y Fz(\))24 b Fx(\012)h Ft(a)1589 4524 y Fq(i)1650 4509 y Fz(=)33 b(\()p Ft(h)24 b Fx(\012)h Fz(1)2028 4524 y Fq(A)2085 4509 y Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))33 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))33 b(=)2767 4435 y Fj(P)2872 4538 y Fq(i)2917 4509 y Ft(f)2965 4524 y Fq(i)2993 4509 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))25 b Fx(\012)f Ft(a)3297 4524 y Fq(i)3362 4509 y Fz(hence)0 4627 y Ft(h)p Fz(\()p Ft(a)e Fx(\012)i Fz(\026)-50 b Ft(a)318 4591 y Fq(i)346 4627 y Fz(\))28 b(=)g Ft(f)564 4642 y Fq(i)592 4627 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))g(=)f Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)22 b Fx(\012)i Fz(\026)-51 b Ft(a)1162 4591 y Fq(i)1191 4627 y Fz(\),)32 b(i.e.)43 b Ft(g)31 b Fz(=)d Ft(h)p Fz(.)1802 b Fh(\003)149 4831 y Fv(De\014nition)47 b(1.3.13.)f Fz(Let)c Ft(A)g Fz(b)s(e)f(a)h Fu(K)17 b Fz(-algebra.)75 b(The)42 b(univ)m(ersal)f(algebra)g Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))42 b(for)f Ft(A)0 4947 y Fz(that)32 b(is)g(a)h(bialgebra)d(is)j(also)e(called)h(the)h Fs(c)-5 b(o)g(endomorphism)32 b(bialgebr)-5 b(a)31 b Fz(of)i Ft(A)p Fz(.)149 5099 y Fv(Problem)j(1.3.7.)240 b Fz(\(1\))42 b(Determine)30 b(explicitly)f(the)i(dual)g(coalgebra)f Ft(A)3053 5063 y Fr(\003)3123 5099 y Fz(of)h(the)g(alge-)364 5216 y(bra)i Ft(A)28 b Fz(:=)f Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x)p Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)1116 5179 y Fl(2)1161 5216 y Fz(\).)44 b(\(Hin)m(t:)f(Find)31 b(a)i(basis)f(for)g Ft(A)p Fz(.\))p eop %%Page: 28 31 28 30 bop 0 251 a Fw(28)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)198 450 y Fz(\(2\))41 b(Determine)d(and)h(describ)s(e)h(the)f(co)s (endomorphism)f(bialgebra)f(of)h Ft(A)h Fz(from)f(problem)364 566 y(1.1.)90 b(\(Hin)m(t:)75 b(Determine)47 b(\014rst)i(a)f(set)g(of)g (algebra)f(generators)i(of)f Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\).)91 b(Then)364 683 y(describ)s(e)34 b(the)f(relations.\))198 799 y(\(3\))41 b(Determine)32 b(explicitly)f(the)i(dual)e(coalgebra)h Ft(A)2154 763 y Fr(\003)2226 799 y Fz(of)g Ft(A)c Fz(:=)g Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(x)p Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)2915 763 y Fl(3)2961 799 y Fz(\).)198 915 y(\(4\))41 b(Determine)d(and)h (describ)s(e)h(the)f(co)s(endomorphism)f(bialgebra)f(of)h Ft(A)h Fz(from)f(problem)364 1031 y(1.3.)198 1147 y(\(5\))j(\(*\))34 b(Determine)f(explicitly)f(the)j(dual)e(coalgebra)g Ft(A)2320 1111 y Fr(\003)2393 1147 y Fz(of)h Ft(A)c Fz(:=)g Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x;)f(y)t Fx(i)p Ft(=I)46 b Fz(where)36 b(the)364 1264 y(ideal)31 b Ft(I)41 b Fz(is)32 b(generated)h(as)g(a)f(t)m(w)m (o-sided)h(ideal)e(b)m(y)j(the)f(p)s(olynomials)1412 1501 y Ft(xy)26 b Fx(\000)c Ft(q)1687 1460 y Fr(\000)p Fl(1)1781 1501 y Ft(y)t(x;)17 b(x)1987 1460 y Fl(2)2027 1501 y Ft(;)g(y)2123 1460 y Fl(2)2161 1501 y Ft(:)198 1738 y Fz(\(6\))41 b(\(*\))33 b(Determine)e(the)i(co)s(endomorphism)e (bialgebra)g(of)h Ft(A)h Fz(from)e(problem)g(1.5.)198 1854 y(\(7\))41 b(Let)26 b Ft(A)f Fz(b)s(e)h(a)f(\014nite)g (dimensional)e Fu(K)18 b Fz(-algebra)30 b(with)25 b(univ)m(ersal)g (bialgebra)f Ft(A)j Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)13 b Fx(\012)8 b Ft(A)p Fz(.)364 1970 y(Sho)m(w)457 2086 y(i\))40 b(that)h Ft(A)856 2050 y Fq(op)972 2086 y Fx(\000)-60 b(!)42 b Ft(B)1210 2050 y Fq(op)1311 2086 y Fx(\012)29 b Ft(A)1490 2050 y Fq(op)1605 2086 y Fz(is)40 b(univ)m(ersal)h(\(where)h Ft(A)2533 2050 y Fq(op)2648 2086 y Fz(has)f(the)h(m)m(ultiplication)563 2203 y Fx(r)p Ft(\034)d Fz(:)28 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)c Fx(\012)f Ft(A)28 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)p Fz(\);)429 2319 y(ii\))40 b(that)32 b Ft(A)875 2291 y Fx(\030)876 2323 y Fz(=)980 2319 y Ft(A)1053 2283 y Fq(op)1160 2319 y Fz(implies)e Ft(B)1598 2291 y Fx(\030)1599 2323 y Fz(=)1703 2319 y Ft(B)1782 2283 y Fq(op)1888 2319 y Fz(\(as)j(bialgebras\);)402 2435 y(iii\))39 b(that)g(for)f(comm)m(utativ)m(e)g(algebras)g Ft(A)h Fz(the)g(algebra)f Ft(B)44 b Fz(satis\014es)c Ft(B)3146 2407 y Fx(\030)3147 2439 y Fz(=)3262 2435 y Ft(B)3341 2399 y Fq(op)3454 2435 y Fz(but)563 2551 y(that)32 b Ft(B)38 b Fz(need)c(not)e(b)s(e)h(comm)m(utativ)m(e.)405 2668 y(iv\))41 b(Find)35 b(an)h(isomorphism)d Ft(B)1623 2640 y Fx(\030)1624 2672 y Fz(=)1734 2668 y Ft(B)1813 2631 y Fq(op)1923 2668 y Fz(for)i(the)i(bialgebra)d Ft(B)k Fz(=)c Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(a;)g(b)p Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(a)3318 2631 y Fl(2)3363 2668 y Ft(;)g(ab)25 b Fz(+)563 2784 y Ft(ba)p Fz(\).)44 b(\(compare)32 b(Problem)g(1.7)g(2\).)198 2900 y(\(8\))41 b(Consider)35 b(the)f(algebra)f Ft(K)7 b Fz([)p Ft(\017)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(\017)1594 2864 y Fl(2)1634 2900 y Fz(\))34 b(the)g(so)g(called)f(algebra)f(of)i (dual)f(n)m(um)m(b)s(ers)h(o)m(v)m(er)h(a)364 3016 y(\014eld)40 b Ft(K)7 b Fz(.)67 b(Consider)41 b(the)g(algebra)e Ft(B)45 b Fz(with)40 b(\(noncomm)m(uting\))f(generators)i Ft(a;)17 b(b;)g(c;)g(d)364 3132 y Fz(and)33 b(relations:)608 3369 y Ft(ac)28 b Fz(=)f Ft(acac)98 b(ad)28 b Fz(=)f Ft(acad)22 b Fz(+)g Ft(adac)98 b(bc)28 b Fz(=)g Ft(acbc)g Fz(=)g Ft(bcac)609 3515 y(bd)g Fz(=)f Ft(acbd)c Fz(+)f Ft(adbc)28 b Fz(=)f Ft(bcad)c Fz(+)f Ft(bdac)98 b(bcbc)28 b Fz(=)g Ft(bcbd)23 b Fz(+)f Ft(bdbc)28 b Fz(=)f(0)608 3661 y Ft(ac)h Fz(=)f(1)98 b Ft(ad)27 b Fz(=)h(0)364 3898 y(Sho)m(w)34 b(that)e Ft(B)38 b Fz(together)33 b(with)f(the)h(co)s(op)s(eration)1476 4135 y Ft(\016)e Fz(:)d Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(B)h Fx(\012)22 b Ft(A)364 4372 y Fz(with)33 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(\017)p Fz(\))27 b(=)h Ft(bc)23 b Fx(\012)f Fz(1)g(+)g Ft(bd)g Fx(\012)h Ft(\017)33 b Fz(is)f(the)h(co)s(endomorphism)e (bialgebra)g(of)h Ft(A)p Fz(.)149 4518 y Fv(Sk)m(etc)m(h)38 b(of)f(solution:)149 4634 y Fz(1/2.)j(The)25 b(bialgebra)d(has)i(the)h (form)d Ft(B)33 b Fz(=)28 b Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(a;)g(b)p Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(a)2149 4598 y Fl(2)2194 4634 y Ft(;)g(ab)t Fz(+)t Ft(ba)p Fz(\))26 b(with)d(\001\()p Ft(a)p Fz(\))29 b(=)e Ft(a)t Fx(\012)t Fz(1)t(+)t Ft(b)t Fx(\012)t Ft(a)p Fz(,)0 4751 y(\001\()p Ft(b)p Fz(\))h(=)g Ft(b)22 b Fx(\012)h Ft(b)33 b Fz(and)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(=)h(0,)k Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))c(=)f(1.)44 b(The)33 b(coaction)f(is)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))c(=)f Ft(a)c Fx(\012)f Fz(1)g(+)g Ft(b)h Fx(\012)g Ft(x)p Fz(.)149 4867 y(3/4.)52 b Ft(A)36 b Fz(has)g(the)g(basis)f(1)p Ft(;)17 b(x;)g(x)1321 4831 y Fl(2)1361 4867 y Fz(.)52 b(The)37 b(dual)d(coalgebra)h(has)h(the)g(dual)f(basis)g Ft(e;)17 b(\020)8 b(;)17 b(\020)3337 4882 y Fl(2)3410 4867 y Fz(with)0 4983 y(\001\()p Ft(e)p Fz(\))28 b(=)g Ft(e)22 b Fx(\012)h Ft(e)p Fz(,)32 b(\001\()p Ft(\020)8 b Fz(\))27 b(=)h Ft(\020)h Fx(\012)23 b Ft(e)f Fz(+)g Ft(e)h Fx(\012)f Ft(\020)40 b Fz(and)32 b(\001\()p Ft(\020)1882 4998 y Fl(2)1922 4983 y Fz(\))27 b(=)h Ft(\020)2134 4998 y Fl(2)2195 4983 y Fx(\012)23 b Ft(e)f Fz(+)g Ft(\020)29 b Fx(\012)23 b Ft(\020)29 b Fz(+)22 b Ft(e)h Fx(\012)f Ft(\020)3012 4998 y Fl(2)3051 4983 y Fz(.)149 5099 y(The)32 b(univ)m(ersal)e(bialgebra)f Ft(B)k Fz(=)27 b Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(A)k Fx(\012)g Ft(A)1757 5063 y Fr(\003)1797 5099 y Fz(\))p Ft(=I)38 b Fz(satis\014es)31 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))d(=)f Ft(x)19 b Fx(\012)f Ft(e)g Fx(\012)g Fz(1)g(+)g Ft(x)g Fx(\012)g Ft(\020)25 b Fx(\012)19 b Ft(x)f Fz(+)0 5216 y Ft(x)j Fx(\012)f Ft(\020)216 5231 y Fl(2)276 5216 y Fx(\012)g Ft(x)428 5179 y Fl(2)496 5216 y Fz(=)27 b Ft(a)21 b Fx(\012)f Fz(1)g(+)g Ft(b)h Fx(\012)g Ft(x)f Fz(+)g Ft(c)g Fx(\012)h Ft(x)1479 5179 y Fl(2)1519 5216 y Fz(.)43 b(Th)m(us)33 b(it)e(is)g(generated)h(b)m(y)h (the)f(elemen)m(ts)g Ft(a)c Fz(=)f Ft(x)21 b Fx(\012)g Ft(e)p Fz(,)p eop %%Page: 29 32 29 31 bop 438 251 a Fw(3.)35 b(QUANTUM)d(MONOIDS)g(AND)g(THEIR)h(A)n (CTIONS)f(ON)h(QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CES)360 b(29)0 450 y Ft(b)28 b Fz(=)g Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(\020)40 b Fz(and)32 b Ft(c)c Fz(=)f Ft(x)c Fx(\012)g Ft(\020)1016 465 y Fl(2)1055 450 y Fz(.)43 b(The)34 b(m)m(ultiplication)28 b(table)j(and)i(the)g (relations)e(arise)h(from)515 607 y(1)22 b Fx(\012)g Ft(e)28 b Fz(=)g(1)p Ft(;)515 724 y Fz(1)22 b Fx(\012)g Ft(\020)35 b Fz(=)28 b(1)22 b Fx(\012)g Ft(\020)1080 739 y Fl(2)1147 724 y Fz(=)27 b(0)p Ft(;)515 840 y(x)570 804 y Fl(2)632 840 y Fx(\012)22 b Ft(e)28 b Fz(=)g(\()p Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(x)g Fx(\012)f Ft(e)p Fz(\))p Ft(;)515 956 y(x)570 920 y Fl(2)632 956 y Fx(\012)g Ft(\020)35 b Fz(=)28 b(\()p Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(\020)8 b Fz(\)\()p Ft(x)21 b Fx(\012)i Ft(e)p Fz(\))f(+)g(\()p Ft(x)h Fx(\012)g Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(x)f Fx(\012)h Ft(\020)8 b Fz(\))p Ft(;)515 1072 y(x)570 1036 y Fl(2)632 1072 y Fx(\012)22 b Ft(\020)774 1087 y Fl(2)841 1072 y Fz(=)28 b(\()p Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(\020)1203 1087 y Fl(2)1242 1072 y Fz(\)\()p Ft(x)f Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\))f(+)g(\()p Ft(x)h Fx(\012)f Ft(\020)8 b Fz(\)\()p Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(\020)8 b Fz(\))21 b(+)h(\()p Ft(x)g Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(x)g Fx(\012)f Ft(\020)2981 1087 y Fl(2)3020 1072 y Fz(\))p Ft(;)379 1253 y Fz(0)28 b(=)f Ft(x)614 1216 y Fl(3)676 1253 y Fx(\012)c Ft(e)28 b Fz(=)f(\()p Ft(x)1045 1216 y Fl(2)1107 1253 y Fx(\012)c Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(x)f Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\))p Ft(;)379 1369 y Fz(0)28 b(=)f Ft(x)614 1333 y Fl(3)676 1369 y Fx(\012)c Ft(\020)35 b Fz(=)27 b(\()p Ft(x)1050 1333 y Fl(2)1112 1369 y Fx(\012)c Ft(\020)8 b Fz(\)\()p Ft(x)21 b Fx(\012)i Ft(e)p Fz(\))f(+)g(\()p Ft(x)1811 1333 y Fl(2)1873 1369 y Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(x)f Fx(\012)h Ft(\020)8 b Fz(\))p Ft(;)379 1485 y Fz(0)28 b(=)f Ft(x)614 1449 y Fl(3)676 1485 y Fx(\012)c Ft(\020)819 1500 y Fl(2)885 1485 y Fz(=)28 b(\()p Ft(x)1082 1449 y Fl(2)1144 1485 y Fx(\012)23 b Ft(\020)1287 1500 y Fl(2)1326 1485 y Fz(\)\()p Ft(x)f Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\))f(+)g(\()p Ft(x)1875 1449 y Fl(2)1937 1485 y Fx(\012)h Ft(\020)8 b Fz(\)\()p Ft(x)21 b Fx(\012)i Ft(\020)8 b Fz(\))21 b(+)h(\()p Ft(x)2641 1449 y Fl(2)2703 1485 y Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(x)f Fx(\012)h Ft(\020)3144 1500 y Fl(2)3183 1485 y Fz(\))0 1635 y(W)-8 b(e)33 b(use)h(the)f (abbreviation)e Fx(f)p Ft(u;)17 b(v)t Fx(g)26 b Fz(:=)i Ft(u)1535 1599 y Fl(2)1574 1635 y Ft(v)e Fz(+)c Ft(uv)t(u)f Fz(+)h Ft(v)t(u)2134 1599 y Fl(2)2205 1635 y Fz(and)32 b(ha)m(v)m(e)1400 1798 y Ft(a)1451 1762 y Fl(3)1518 1798 y Fz(=)c(0)p Ft(;)1400 1914 y Fx(f)p Ft(a;)17 b(b)p Fx(g)28 b Fz(=)f(0)p Ft(;)1400 2030 y Fx(f)p Ft(a;)17 b(c)p Fx(g)22 b Fz(+)g Fx(f)p Ft(b;)17 b(a)p Fx(g)27 b Fz(=)h(0)p Ft(:)0 2196 y Fz(The)34 b(condition)d(\(1)22 b Fx(\012)g Ft(\016)t Fz(\))p Ft(\016)32 b Fz(=)27 b(\(\001)c Fx(\012)f Fz(1\))p Ft(\016)36 b Fz(implies)1003 2359 y(\001\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)g Ft(a)22 b Fx(\012)h Fz(1)f(+)g Ft(b)g Fx(\012)h Ft(a)f Fz(+)g Ft(c)g Fx(\012)h Ft(a)2234 2323 y Fl(2)2274 2359 y Ft(;)1003 2476 y Fz(\001\()p Ft(b)p Fz(\))28 b(=)g Ft(b)23 b Fx(\012)f Ft(b)h Fz(+)f Ft(c)g Fx(\012)h Fz(\()p Ft(ba)f Fz(+)g Ft(ab)p Fz(\))p Ft(;)1003 2592 y Fz(\001\()p Ft(c)p Fz(\))28 b(=)f Ft(b)c Fx(\012)g Ft(c)f Fz(+)g Ft(c)g Fx(\012)h Ft(b)1864 2556 y Fl(2)1926 2592 y Fz(+)f Ft(c)g Fx(\012)g Fz(\()p Ft(ca)h Fz(+)f Ft(ac)p Fz(\))p Ft(;)1003 2708 y(\017)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)g(0)p Ft(;)1003 2824 y(\017)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))h(=)e(1)p Ft(;)1003 2940 y(\017)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))h(=)g(0)p Ft(:)149 3107 y Fz(5/6.)44 b Ft(A)33 b Fz(has)g(the)h(basis)e(1)p Ft(;)17 b(x;)g(y)t(;)g(xy)t Fz(.)43 b(The)33 b(dual)g(basis)f(of)h Ft(A)2362 3070 y Fr(\003)2434 3107 y Fz(is)g(denoted)g(b)m(y)h Ft(e;)17 b(\030)5 b(;)17 b(\021)t(;)g(\022)s Fz(.)43 b(The)0 3223 y(diagonal)30 b(is)979 3339 y(\001\()p Ft(e)p Fz(\))e(=)f Ft(e)22 b Fx(\012)h Ft(e;)979 3456 y Fz(\001\()p Ft(\030)5 b Fz(\))27 b(=)g Ft(\030)g Fx(\012)22 b Ft(e)h Fz(+)f Ft(e)g Fx(\012)h Ft(\030)5 b(;)979 3572 y 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Ft(ab)23 b Fx(\012)g Ft(e)28 b Fz(=)f(\()p Ft(a)c Fx(\012)f Ft(e)p Fz(\)\()p Ft(b)h Fx(\012)g Ft(e)p Fz(\))p Ft(;)199 4450 y(ab)g Fx(\012)g Ft(\030)32 b Fz(=)c(\()p Ft(a)22 b Fx(\012)g Ft(\030)5 b Fz(\)\()p Ft(b)22 b Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\))f(+)g(\()p Ft(a)h Fx(\012)f Fz(1\)\()p Ft(b)g Fx(\012)h Ft(\030)5 b Fz(\))p Ft(;)199 4567 y(ab)23 b Fx(\012)g Ft(\021)31 b Fz(=)d(\()p Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(\021)t Fz(\)\()p Ft(b)f Fx(\012)h Ft(e)p Fz(\))f(+)g(\()p Ft(a)g Fx(\012)h Fz(1\)\()p Ft(b)f Fx(\012)h Ft(\021)t Fz(\))p Ft(;)199 4683 y(ab)g Fx(\012)g Ft(\022)31 b Fz(=)c(\()p Ft(a)c Fx(\012)f Ft(\022)s Fz(\)\()p Ft(b)h Fx(\012)f Ft(e)p Fz(\))h(+)f(\()p Ft(a)g Fx(\012)h Fz(1\)\()p Ft(b)f Fx(\012)h Ft(\022)s Fz(\))f(+)g(\()p Ft(a)g Fx(\012)h Ft(\030)5 b Fz(\)\()p Ft(b)22 b Fx(\012)g Ft(\021)t Fz(\))g(+)g Ft(q)t Fz(\()p Ft(a)g Fx(\012)h Ft(\021)t Fz(\)\()p Ft(b)f Fx(\012)h Ft(\030)5 b Fz(\))p Ft(:)0 4844 y Fz(F)-8 b(urthermore)32 b(for)g Ft(ab)h Fz(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(to)e(tak)m(e)h(in)m(to)f (accoun)m(t)i(the)f(relations)e(in)g Ft(A)p Fz(.)149 4960 y(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)750 5098 y Ft(a)28 b Fz(:=)g Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(e;)96 b(b)28 b Fz(:=)g Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(\030)5 b(;)87 b(c)27 b Fz(:=)h Ft(x)23 b Fx(\012)f Ft(\021)t(;)88 b(d)28 b Fz(:=)f Ft(x)c Fx(\012)g Ft(\022)s(;)760 5214 y(e)28 b Fz(:=)g Ft(y)d Fx(\012)e Ft(e;)83 b(f)39 b Fz(:=)27 b Ft(y)e Fx(\012)e Ft(\030)5 b(;)83 b(g)31 b Fz(:=)c Ft(y)f Fx(\012)c Ft(\021)t(;)83 b(h)28 b Fz(:=)f Ft(x)c Fx(\012)g Ft(\022)s(;)p eop %%Page: 30 33 30 32 bop 0 251 a Fw(30)365 b(1.)35 b(COMMUT)-6 b(A)g(TIVE)33 b(AND)f(NONCOMMUT)-6 b(A)g(TIVE)32 b(ALGEBRAIC)i(GEOMETR)-6 b(Y)0 450 y Fz(and)29 b(get)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))f(=)f Ft(a)14 b Fx(\012)g Fz(1)g(+)g Ft(b)g Fx(\012)g Ft(x)g Fz(+)g Ft(c)g Fx(\012)h Ft(y)23 b Fz(+)14 b Ft(d)g Fx(\012)g Ft(xy)34 b Fz(and)29 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))d(=)i Ft(e)14 b Fx(\012)g Fz(1)g(+)g Ft(f)27 b Fx(\012)14 b Ft(x)g Fz(+)g Ft(g)20 b Fx(\012)14 b Ft(y)19 b Fz(+)14 b Ft(h)g Fx(\012)g Ft(xy)t Fz(.)0 566 y(Hence)34 b Ft(B)k Fz(is)32 b(generated)h(b)m(y)h Ft(a;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(h)32 b Fz(as)h(an)f(algebra.)43 b(The)33 b(relations)e(are)740 716 y Ft(a)791 680 y Fl(2)859 716 y Fz(=)c Ft(e)1007 680 y Fl(2)1074 716 y Fz(=)h(0)p Ft(;)740 832 y(ab)23 b Fz(+)f Ft(ba)28 b Fz(=)g Ft(ac)22 b Fz(+)g Ft(ca)28 b Fz(=)g Ft(ef)33 b Fz(+)22 b Ft(f)11 b(e)27 b Fz(=)h Ft(eg)e Fz(+)c Ft(g)t(e)27 b Fz(=)g(0)p Ft(;)740 949 y(ad)22 b Fz(+)g Ft(da)g Fz(+)g Ft(bc)h Fz(+)f Ft(q)t(cb)28 b Fz(=)f Ft(eh)c Fz(+)f Ft(he)g Fz(+)g Ft(f)11 b(g)26 b Fz(+)c Ft(q)t(g)t(f)37 b Fz(=)28 b(0)p Ft(;)740 1065 y(ae)g Fz(=)g Ft(q)t(ea;)740 1181 y(af)33 b Fz(+)22 b Ft(be)29 b Fz(=)e Ft(q)t Fz(\()p Ft(f)11 b(a)22 b Fz(+)g Ft(eb)p Fz(\))p Ft(;)740 1297 y(ag)k Fz(+)c Ft(ce)28 b Fz(=)f Ft(q)t Fz(\()p Ft(g)t(a)22 b Fz(+)g Ft(ec)p Fz(\))p Ft(;)740 1413 y(ah)h Fx(\000)f Ft(q)t(ha)h Fz(+)f Ft(de)g Fx(\000)g Ft(q)t(ed)g Fz(+)g Ft(bg)k Fx(\000)d Ft(q)1985 1377 y Fl(2)2024 1413 y Ft(g)t(b)f Fz(+)g Ft(q)t(cf)33 b Fx(\000)22 b Ft(q)t(f)11 b(c)27 b Fz(=)h(0)p Ft(:)0 1566 y Fz(The)34 b(diagonal)c(is)580 1716 y(\001\()p Ft(a)p Fz(\))e(=)f Ft(a)c Fx(\012)f Fz(1)g(+)g Ft(b)h Fx(\012)f Ft(a)h Fz(+)f Ft(c)g Fx(\012)h Ft(e)f Fz(+)g Ft(d)g Fx(\012)g Ft(ae;)580 1832 y Fz(\001\()p Ft(b)p Fz(\))28 b(=)g Ft(b)22 b Fx(\012)h Ft(b)f Fz(+)g Ft(c)h Fx(\012)f Ft(f)33 b Fz(+)22 b Ft(d)g Fx(\012)g Fz(\()p Ft(af)33 b Fz(+)22 b Ft(be)p Fz(\))p Ft(;)580 1949 y Fz(\001\()p Ft(c)p Fz(\))27 b(=)h Ft(b)23 b Fx(\012)f Ft(c)g Fz(+)g Ft(c)h Fx(\012)f Ft(g)k Fz(+)c Ft(d)f Fx(\012)i Fz(\()p Ft(ag)j Fz(+)c Ft(ce)p Fz(\))p Ft(;)580 2065 y Fz(\001\()p Ft(d)p Fz(\))27 b(=)h Ft(b)22 b Fx(\012)h Ft(d)f Fz(+)g Ft(c)g Fx(\012)h Ft(h)f Fz(+)g Ft(d)g Fx(\012)g Fz(\()p Ft(ah)h Fz(+)f Ft(de)g Fz(+)g Ft(bg)k Fz(+)c Ft(q)2506 2029 y Fr(\000)p Fl(1)2600 2065 y Ft(cf)11 b Fz(\))130 b(etc.)p eop %%Page: 31 34 31 33 bop 1505 815 a Fz(CHAPTER)51 b(2)124 1114 y Fy(Hopf)45 b(Algebras,)h(Algebraic,)g(F)-11 b(ormal,)46 b(and)e(Quan)l(tum)h (Groups)1492 1397 y Fv(In)m(tro)s(duction)149 1571 y Fz(In)k(the)f(\014rst)g(c)m(hapter)h(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(encoun)m (tered)h(quan)m(tum)e(monoids)e(and)i(studied)g(their)0 1687 y(role)33 b(as)g(monoids)f(op)s(erating)h(on)g(quan)m(tum)h (spaces.)48 b(The)34 b(\\elemen)m(ts")f(of)g(quan)m(tum)h(monoids)0 1803 y(op)s(erating)21 b(on)i(quan)m(tum)g(spaces)i(should)d(b)s(e)h (understo)s(o)s(d)g(as)g(endomorphisms)f(of)g(the)i(quan)m(tum)0 1920 y(spaces.)62 b(In)38 b(the)h(construction)f(of)g(the)g(m)m (ultiplication)c(for)j(univ)m(ersal)h(quan)m(tum)h(monoids)d(of)0 2036 y(quan)m(tum)27 b(spaces)i(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)g(seen)g(that)f (this)f(m)m(ultiplication)d(is)j(essen)m(tially)g(the)i(\\comp)s (osition")0 2152 y(of)k(endomorphisms.)149 2268 y(W)-8 b(e)33 b(are,)g(ho)m(w)m(ev)m(er,)i(primarily)29 b(in)m(terested)34 b(in)e(automorphisms)f(and)h(w)m(e)i(kno)m(w)f(that)g(auto-)0 2385 y(morphisms)23 b(should)h(form)e(a)i(group)g(under)h(comp)s (osition.)38 b(This)24 b(c)m(hapter)h(is)f(dev)m(oted)i(to)d(\014nding) 0 2501 y(group)32 b(structures)j(on)d(quan)m(tum)h(monoids,)e(i.e.)43 b(to)33 b(de\014ne)h(and)e(study)i(quan)m(tum)f(groups.)149 2617 y(This)49 b(is)e(easy)i(in)f(the)g(comm)m(utativ)m(e)f(situation,) k(i.e.)89 b(if)47 b(the)h(represen)m(ting)i(algebra)c(of)0 2733 y(a)h(quan)m(tum)g(monoid)f(is)h(comm)m(utativ)m(e.)86 b(Then)49 b(w)m(e)f(can)f(de\014ne)i(a)e(morphism)e(that)i(sends)0 2849 y(elemen)m(ts)37 b(of)g(the)g(quan)m(tum)g(group)g(to)g(their)f (in)m(v)m(erses.)59 b(This)37 b(will)e(lead)h(us)i(to)e(the)i(notion)d (of)0 2966 y(a\016ne)e(algebraic)e(groups.)149 3082 y(In)g(the)f (noncomm)m(utativ)m(e)f(situation,)g(ho)m(w)m(ev)m(er,)k(it)c(will)f (turn)i(out)g(that)g(suc)m(h)h(an)f(in)m(v)m(ersion)0 3198 y(morphism)h(\(of)h(quan)m(tum)h(spaces\))i(do)s(es)e(not)g (exist.)44 b(It)33 b(will)e(ha)m(v)m(e)j(to)e(b)s(e)h(replaced)g(b)m(y) h(a)f(more)0 3314 y(complicated)j(construction.)59 b(Th)m(us)39 b(quan)m(tum)f(groups)g(will)e(not)h(b)s(e)h(groups)g(in)f(the)h(sense) h(of)0 3431 y(category)30 b(theory)-8 b(.)43 b(Still)27 b(w)m(e)j(will)e(b)s(e)i(able)e(to)i(p)s(erform)e(one)i(of)f(the)h (most)f(imp)s(ortan)m(t)f(and)i(most)0 3547 y(basic)f(constructions)i (in)d(group)i(theory)-8 b(,)30 b(the)g(formation)d(of)i(the)h(group)g (of)f(in)m(v)m(ertible)g(elemen)m(ts)0 3663 y(of)44 b(a)h(monoid.)78 b(In)45 b(the)h(case)f(of)g(a)f(quan)m(tum)h(monoid)e(acting)h(univ)m (ersally)g(on)h(a)g(quan)m(tum)0 3779 y(space)36 b(this)e(will)e(lead)i (to)g(the)h(go)s(o)s(d)e(de\014nition)h(of)g(a)g(quan)m(tum)h (automorphism)d(group)i(of)h(the)0 3896 y(quan)m(tum)e(space.)149 4012 y(In)41 b(order)f(to)g(ha)m(v)m(e)i(the)e(appropriate)g(to)s(ols)f (for)g(in)m(tro)s(ducing)g(quan)m(tum)i(groups)f(w)m(e)h(\014rst)0 4128 y(in)m(tro)s(duce)34 b(Hopf)h(algebras)f(whic)m(h)h(will)d(b)s(e)i (the)h(represen)m(ting)h(algebras)e(of)g(quan)m(tum)h(groups.)0 4244 y(F)-8 b(urthermore)24 b(w)m(e)i(need)g(the)f(notion)f(of)g(a)g (monoid)f(and)i(of)g(a)f(group)h(in)f(a)g(category)-8 b(.)41 b(W)-8 b(e)25 b(will)e(see,)0 4360 y(ho)m(w)m(ev)m(er,)35 b(that)d(quan)m(tum)g(groups)h(are)f(in)f(general)h(not)g(groups)g(in)g (the)g(category)h(of)f(quan)m(tum)0 4477 y(spaces.)149 4593 y(W)-8 b(e)40 b(\014rst)f(study)h(the)f(simple)f(cases)i(of)e (a\016ne)i(algebraic)d(groups)i(and)g(of)f(formal)f(groups.)0 4709 y(They)42 b(will)c(ha)m(v)m(e)k(Hopf)f(algebras)f(as)g(represen)m (ting)i(ob)5 b(jects)42 b(and)f(will)d(indeed)j(b)s(e)g(groups)g(in)0 4825 y(reasonable)h(categories.)72 b(Then)43 b(w)m(e)g(come)f(to)f (quan)m(tum)i(groups,)h(and)f(construct)g(quan)m(tum)0 4942 y(automorphism)30 b(groups)j(of)f(quan)m(tum)h(spaces.)149 5058 y(A)m(t)g(the)g(end)h(of)e(the)h(c)m(hapter)g(y)m(ou)g(should)273 5216 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)34 b(what)f(a)f(Hopf)h(algebra)e(is,) 1762 5365 y Fw(31)p eop %%Page: 32 35 32 34 bop 0 251 a Fw(32)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)273 450 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)34 b(what)f(a)f(group)h(in)e(a)i(category)g(is,)273 566 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)23 b(the)f(de\014nition)f(and)h(examples) g(of)f(a\016ne)h(algebraic)e(groups)i(and)g(formal)e(groups,)273 683 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)25 b(the)e(de\014nition)g(and)g(examples) g(of)g(quan)m(tum)g(groups)h(and)f(b)s(e)g(able)g(to)g(construct)364 799 y(quan)m(tum)33 b(automorphism)e(groups)i(for)f(small)e(quan)m(tum) j(spaces,)273 915 y Fx(\017)41 b Fz(understand)k(wh)m(y)f(a)e(Hopf)h (algebra)e(is)i(a)f(reasonable)h(represen)m(ting)g(algebra)f(for)g(a) 364 1031 y(quan)m(tum)33 b(group.)1375 1254 y Fv(1.)56 b(Hopf)38 b(Algebras)149 1428 y Fz(The)28 b(di\013erence)g(b)s(et)m(w)m (een)h(a)e(monoid)e(and)i(a)g(group)f(lies)g(in)h(the)g(existence)i(of) d(an)h(additional)0 1544 y(map)38 b Ft(S)45 b Fz(:)38 b Ft(G)h Fx(3)g Ft(g)j Fx(7!)c Ft(g)892 1508 y Fr(\000)p Fl(1)1024 1544 y Fx(2)h Ft(G)g Fz(for)f(a)h(group)g Ft(G)g Fz(that)f(allo)m(ws)g(forming)f(in)m(v)m(erses.)65 b(This)39 b(map)0 1661 y(satis\014es)33 b(the)g(equation)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(g)30 b Fz(=)d(1)32 b(or)h(in)e(a)i (diagrammatic)c(form)1252 1829 y Ft(G)375 b Fx(f)p Fz(1)p Fx(g)p 1358 1805 317 4 v 1592 1803 a Fm(-)1500 1785 y Fq(")2227 1829 y Ft(G)p 1881 1805 V 2115 1803 a Fm(-)2022 1785 y Fl(1)p 1289 2126 4 254 v 1291 2126 a Fm(?)1193 2021 y Fl(\001)1153 2224 y Ft(G)22 b Fx(\002)g Ft(G)700 b(G)22 b Fx(\002)g Ft(G)p 1457 2196 642 4 v 2016 2194 a Fm(-)1698 2168 y Fq(S)t Fr(\002)p Fl(id)p 2264 2126 4 254 v 2266 1955 a Fm(6)2305 2022 y Fl(m)n(ult)0 2359 y Fz(W)-8 b(e)30 b(w)m(an)m(t)h(to)e(carry)i(this)e(prop)s(ert)m(y)i(o) m(v)m(er)f(to)g(bialgebras)e Ft(B)35 b Fz(instead)30 b(of)f(monoids.)42 b(An)30 b(\\in)m(v)m(erse)0 2476 y(map")i(shall)f(b) s(e)j(a)e(morphism)f Ft(S)j Fz(:)29 b Ft(B)k Fx(\000)-59 b(!)28 b Ft(B)38 b Fz(with)32 b(a)h(similar)c(prop)s(ert)m(y)-8 b(.)46 b(This)33 b(will)d(b)s(e)j(called)f(a)0 2592 y(Hopf)g(algebra.) 149 2733 y Fv(De\014nition)47 b(2.1.1.)g Fz(A)41 b Fs(left)j(Hopf)f (algebr)-5 b(a)41 b Ft(H)49 b Fz(is)41 b(a)g(bialgebra)f Ft(H)49 b Fz(together)42 b(with)g(a)f Fs(left)0 2849 y(antip)-5 b(o)g(de)42 b Ft(S)50 b Fz(:)45 b Ft(H)52 b Fx(\000)-60 b(!)45 b Ft(H)8 b Fz(,)44 b(i.e.)73 b(a)42 b Fu(K)18 b Fz(-mo)s(dule)46 b(homomorphism)40 b Ft(S)48 b Fz(suc)m(h)c(that)f(the)g(follo)m(wing)0 2965 y(diagram)30 b(comm)m(utes:)1268 3097 y Ft(H)412 b Fu(K)p 1386 3064 348 4 v 1651 3062 a Fm(-)1543 3043 y Fq(")2243 3096 y Ft(H)p 1829 3064 386 4 v 2132 3062 a Fm(-)2002 3030 y Fq(\021)p 1311 3384 4 254 v 1313 3384 a Fm(?)1215 3280 y Fl(\001)1163 3482 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)684 b(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)p 1491 3454 619 4 v 2027 3452 a Fm(-)1720 3426 y Fq(S)t Fr(\012)p Fl(id)p 2286 3384 4 254 v 2287 3213 a Fm(6)2326 3280 y Fr(r)0 3598 y Fz(Symmetrically)35 b(w)m(e)j(de\014ne)g(a)f Fs(right)j(Hopf)f(algebr)-5 b(a)36 b Ft(H)8 b Fz(.)57 b(A)38 b Fs(Hopf)h(algebr)-5 b(a)36 b Fz(is)h(a)g(left)f(and)i(righ)m(t)0 3714 y(Hopf)32 b(algebra.)43 b(The)33 b(map)f Ft(S)38 b Fz(is)32 b(called)g(a)g (\(left,)g(righ)m(t,)g(t)m(w)m(o-sided\))h Fs(antip)-5 b(o)g(de)p Fz(.)149 3855 y(Using)37 b(the)h(Sw)m(eedler)g(notation)e (\(2.20\))h(the)g(comm)m(utativ)m(e)g(diagram)e(ab)s(o)m(v)m(e)j(can)f (also)g(b)s(e)0 3971 y(expressed)e(b)m(y)f(the)f(equation)1326 4017 y Fj(X)1486 4112 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)1641 4127 y Fl(\(1\))1735 4112 y Fz(\))p Ft(a)1824 4127 y Fl(\(2\))1946 4112 y Fz(=)28 b Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 4273 y(for)45 b(all)f Ft(a)50 b Fx(2)h Ft(H)8 b Fz(.)83 b(Observ)m(e)47 b(that)f(w)m(e)h(do)e(not)h(require)g(that)g Ft(S)56 b Fz(:)50 b Ft(H)58 b Fx(\000)-60 b(!)50 b Ft(H)j Fz(is)45 b(an)h(algebra)0 4390 y(homomorphism.)149 4518 y Fv(Problem)36 b(2.1.8.)240 b Fz(\(1\))42 b(Let)35 b Ft(H)42 b Fz(b)s(e)36 b(a)e(bialgebra)g(and)h Ft(S)j Fx(2)32 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\).)50 b(Then)37 b Ft(S)j Fz(is)364 4634 y(an)34 b(an)m(tip)s(o)s(de)e(for)h Ft(H)41 b Fz(\(and)33 b Ft(H)41 b Fz(is)33 b(a)g(Hopf)g(algebra\))f (i\013)g Ft(S)39 b Fz(is)33 b(a)g(t)m(w)m(o)h(sided)g(in)m(v)m(erse)g (for)364 4751 y(id)i(in)g(the)h(algebra)f(\(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\))p Ft(;)17 b Fx(\003)p Ft(;)g(\021)t(")p Fz(\))34 b(\(see)k(2.21\).)55 b(In)37 b(particular)d Ft(S)43 b Fz(is)36 b(uniquely)364 4867 y(determined.)198 4983 y(\(2\))41 b(Let)34 b Ft(H)42 b Fz(b)s(e)34 b(a)f(Hopf)h(algebra.) 46 b(Then)35 b Ft(S)40 b Fz(is)33 b(an)h(an)m(tihomomorphism)c(of)k (algebras)f(and)364 5099 y(coalgebras)e(i.e.)43 b Ft(S)37 b Fz(\\in)m(v)m(erts)32 b(the)g(order)f(of)g(the)h(m)m(ultiplication)27 b(and)k(the)h(com)m(ultipli-)364 5216 y(cation".)p eop %%Page: 33 36 33 35 bop 1412 251 a Fw(1.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS)1334 b(33)198 450 y Fz(\(3\))41 b(Let)35 b Ft(H)42 b Fz(and)35 b Ft(K)42 b Fz(b)s(e)34 b(Hopf)h(algebras)f(and)g(let)g Ft(f)42 b Fz(:)31 b Ft(H)39 b Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(K)42 b Fz(b)s(e)34 b(a)h(homomorphism)c(of)364 566 y(bialgebras.)43 b(Then)33 b Ft(f)11 b(S)1237 581 y Fq(H)1332 566 y Fz(=)27 b Ft(S)1495 581 y Fq(K)1564 566 y Ft(f)11 b Fz(,)32 b(i.e.)43 b Ft(f)g Fz(is)32 b(compatible)f(with)h(the)h(an)m(tip)s(o)s(de.)149 751 y Fv(De\014nition)44 b(2.1.2.)h Fz(Because)c(of)e(Problem)f(\(22\)) g(ev)m(ery)j(homomorphism)c(of)h(bialgebras)0 868 y(b)s(et)m(w)m(een)h (Hopf)e(algebras)f(is)h(compatible)d(with)j(the)g(an)m(tip)s(o)s(des.) 57 b(So)37 b(w)m(e)h(de\014ne)g(a)e Fs(homomor-)0 984 y(phism)h(of)g(Hopf)h(algebr)-5 b(as)43 b Fz(to)35 b(b)s(e)h(a)f (homomorphism)e(of)j(bialgebras.)51 b(The)37 b(category)f(of)f(Hopf)0 1100 y(algebras)d(will)e(b)s(e)j(denoted)g(b)m(y)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(H)q Fs(opf)16 b Fz(.)149 1285 y Fv(Prop)s(osition)39 b(2.1.3.)44 b Fs(L)-5 b(et)38 b Ft(H)45 b Fs(b)-5 b(e)37 b(a)g(bialgebr)-5 b(a)37 b(with)g(an)g(algebr)-5 b(a)37 b(gener)-5 b(ating)37 b(set)g Ft(X)8 b Fs(.)53 b(L)-5 b(et)0 1401 y Ft(S)41 b Fz(:)35 b Ft(H)42 b Fx(\000)-57 b(!)35 b Ft(H)530 1365 y Fq(op)642 1401 y Fs(b)-5 b(e)39 b(an)f(algebr)-5 b(a)38 b(homomorphism)f(such)h(that)2359 1327 y Fj(P)2481 1401 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)2640 1417 y Fl(\(1\))2735 1401 y Fz(\))p Ft(x)2828 1417 y Fl(\(2\))2957 1401 y Fz(=)35 b Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))k Fs(for)f(al)5 b(l)0 1518 y Ft(x)28 b Fx(2)g Ft(X)8 b Fs(.)45 b(Then)34 b Ft(S)40 b Fs(is)35 b(a)g(left)g(antip)-5 b(o)g(de)34 b(of)g Ft(H)8 b Fs(.)149 1802 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Assume)g Ft(a;)17 b(b)43 b Fx(2)f Ft(H)49 b Fz(suc)m(h)42 b(that)1769 1728 y Fj(P)1891 1802 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)2046 1818 y Fl(\(1\))2140 1802 y Fz(\))p Ft(a)2229 1818 y Fl(\(2\))2366 1802 y Fz(=)42 b Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))e(and)2947 1728 y Fj(P)3069 1802 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(b)3214 1818 y Fl(\(1\))3308 1802 y Fz(\))p Ft(b)3387 1818 y Fl(\(2\))3524 1802 y Fz(=)0 1919 y Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)43 b(Then)375 2096 y Fj(P)497 2171 y Ft(S)6 b Fz(\(\()p Ft(ab)p Fz(\))769 2186 y Fl(\(1\))863 2171 y Fz(\)\()p Ft(ab)p Fz(\))1069 2186 y Fl(\(2\))1197 2171 y Fz(=)1300 2096 y Fj(P)1422 2171 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)1577 2186 y Fl(\(1\))1671 2171 y Ft(b)1712 2186 y Fl(\(1\))1807 2171 y Fz(\))p Ft(a)1896 2186 y Fl(\(2\))1990 2171 y Ft(b)2031 2186 y Fl(\(2\))2154 2171 y Fz(=)2257 2096 y Fj(P)2379 2171 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(b)2524 2186 y Fl(\(1\))2619 2171 y Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)2812 2186 y Fl(\(1\))2906 2171 y Fz(\))p Ft(a)2995 2186 y Fl(\(2\))3089 2171 y Ft(b)3130 2186 y Fl(\(2\))1197 2287 y Fz(=)1300 2212 y Fj(P)1422 2287 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(b)1567 2303 y Fl(\(1\))1661 2287 y Fz(\))p Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(b)1965 2303 y Fl(\(2\))2087 2287 y Fz(=)28 b Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))f(=)g Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))p Ft(:)0 2537 y Fz(Since)h(ev)m(ery)j(elemen)m(t)d(of)f Ft(H)36 b Fz(is)28 b(a)g(\014nite)g(sum)g(of)g(\014nite)g(pro)s(ducts)h (of)f(elemen)m(ts)g(in)g Ft(X)8 b Fz(,)29 b(for)e(whic)m(h)0 2653 y(the)33 b(equalit)m(y)f(holds,)h(this)f(equalit)m(y)g(extends)j (to)d(all)e(of)i Ft(H)40 b Fz(b)m(y)34 b(induction.)733 b Fh(\003)149 2938 y Fv(Example)41 b(2.1.4.)j Fz(\(1\))36 b(Let)g Ft(V)58 b Fz(b)s(e)36 b(a)g(v)m(ector)h(space)g(and)f Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)22 b Fz(\))36 b(the)g(tensor)h(algebra)e(o)m(v)m (er)0 3055 y Ft(V)22 b Fz(.)42 b(W)-8 b(e)29 b(ha)m(v)m(e)i(seen)f(in)f (Problem)f(2.2)g(that)h Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))29 b(is)g(a)g(bialgebra)e(and)i(that)g Ft(V)51 b Fz(generates)30 b Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))0 3171 y(as)31 b(an)f(algebra.)42 b(De\014ne)31 b Ft(S)j Fz(:)27 b Ft(V)50 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))1554 3135 y Fq(op)1659 3171 y Fz(b)m(y)31 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))27 b(:=)h Fx(\000)p Ft(v)35 b Fz(for)30 b(all)e Ft(v)k Fx(2)c Ft(V)21 b Fz(.)43 b(By)31 b(the)g(univ)m(ersal)0 3287 y(prop)s(ert)m(y)42 b(of)f(the)h(tensor)g(algebra)e(this)h(map)f (extends)k(to)d(an)g(algebra)f(homomorphism)f Ft(S)48 b Fz(:)0 3403 y Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))623 3367 y Fq(op)696 3403 y Fz(.)42 b(Since)28 b(\001\()p Ft(v)t Fz(\))f(=)h Ft(v)15 b Fx(\012)c Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(v)33 b Fz(w)m(e)c(ha)m(v)m(e)2237 3329 y Fj(P)2359 3403 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(v)2510 3419 y Fl(\(1\))2604 3403 y Fz(\))p Ft(v)2689 3419 y Fl(\(2\))2811 3403 y Fz(=)28 b Fx(r)p Fz(\()p Ft(S)17 b Fx(\012)11 b Fz(1\)\001\()p Ft(v)t Fz(\))28 b(=)0 3519 y Fx(\000)p Ft(v)i Fz(+)c Ft(v)42 b Fz(=)37 b(0)h(=)f Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))h(for)g(all)e Ft(v)41 b Fx(2)e Ft(V)21 b Fz(,)40 b(hence)g Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))39 b(is)e(a)i(Hopf)f (algebra)f(b)m(y)j(the)f(preceding)0 3636 y(prop)s(osition.)149 3752 y(\(2\))45 b(Let)f Ft(V)66 b Fz(b)s(e)45 b(a)f(v)m(ector)i(space)f (and)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))45 b(the)g(symmetric)e(algebra) h(o)m(v)m(er)h Ft(V)66 b Fz(\(that)44 b(is)0 3868 y(comm)m(utativ)m (e\).)67 b(W)-8 b(e)41 b(ha)m(v)m(e)g(seen)h(in)e(Problem)g(2.3)g(that) g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)22 b Fz(\))40 b(is)g(a)h(bialgebra)d(and)j (that)f Ft(V)0 3984 y Fz(generates)34 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))33 b(as)g(an)g(algebra.)44 b(De\014ne)33 b Ft(S)h Fz(:)29 b Ft(V)50 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))33 b(b)m(y)h Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))28 b(:=)g Fx(\000)p Ft(v)37 b Fz(for)32 b(all)f Ft(v)h Fx(2)d Ft(V)22 b Fz(.)44 b Ft(S)0 4101 y Fz(extends)33 b(to)e(an)g(algebra)f(homomorphism)e Ft(S)33 b Fz(:)28 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\).)43 b(Since)31 b(\001\()p Ft(v)t Fz(\))d(=)f Ft(v)c Fx(\012)c Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(v)0 4217 y Fz(w)m(e)38 b(ha)m(v)m(e)378 4142 y Fj(P)499 4217 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(v)650 4232 y Fl(\(1\))745 4217 y Fz(\))p Ft(v)830 4232 y Fl(\(2\))960 4217 y Fz(=)35 b Fx(r)p Fz(\()p Ft(S)c Fx(\012)26 b Fz(1\)\001\()p Ft(v)t Fz(\))35 b(=)g Fx(\000)p Ft(v)30 b Fz(+)25 b Ft(v)39 b Fz(=)c(0)g(=)h Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))g(for)g(all)g Ft(v)j Fx(2)d Ft(V)21 b Fz(,)39 b(hence)0 4333 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))33 b(is)f(a)g(Hopf)h(algebra)e(b)m(y)i(the)g (preceding)g(prop)s(osition.)149 4518 y Fv(Example)j(2.1.5.)42 b Fz(\()p Fv(Group)37 b(Algebras\))32 b Fz(F)-8 b(or)31 b(eac)m(h)i(algebra)e Ft(A)h Fz(w)m(e)h(can)g(form)e(the)h Fs(gr)-5 b(oup)0 4634 y(of)38 b(units)f Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))35 b(:=)g Fx(f)p Ft(a)f Fx(2)h Ft(A)p Fx(j9)p Ft(a)1205 4598 y Fr(\000)p Fl(1)1335 4634 y Fx(2)g Ft(A)p Fx(g)h Fz(with)g(the)h(m)m(ultiplication)32 b(of)37 b Ft(A)f Fz(as)h(comp)s(osition)d(of)0 4751 y(the)k(group.)60 b(Then)39 b Ft(U)48 b Fz(is)38 b(a)g(co)m(v)-5 b(arian)m(t)37 b(functor)h Ft(U)47 b Fz(:)37 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)53 b Fx(\000)-60 b(!)37 b(G)6 b Fs(r)17 b Fz(.)59 b(This)38 b(functor)h(leads)e(to)0 4867 y(the)c(follo)m(wing)d(univ)m (ersal)i(problem.)149 4983 y(Let)39 b Ft(G)f Fz(b)s(e)g(a)g(group.)60 b(An)38 b(algebra)f Fu(K)18 b Ft(G)44 b Fz(together)38 b(with)g(a)g(group)g(homomorphism)d Ft(\023)j Fz(:)f Ft(G)0 5099 y Fx(\000)-60 b(!)34 b Ft(U)10 b Fz(\()p Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(\))41 b(is)36 b(called)f(a)h(\(the\))g Fs(gr)-5 b(oup)38 b(algebr)-5 b(a)37 b(of)h Ft(G)p Fz(,)e(if)f(for)h (ev)m(ery)i(algebra)c Ft(A)j Fz(and)f(for)f(ev)m(ery)0 5216 y(group)24 b(homomorphism)d Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))25 b(there)f(exists)h(a)f(unique)g(homomorphism)d(of)j(algebras)p eop %%Page: 34 37 34 36 bop 0 251 a Fw(34)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)0 450 y Ft(g)f Fz(:)d Fu(K)17 b Ft(G)34 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A)k Fz(suc)m(h)i(that)f(the)g(follo)m(wing)c(diagram)i(comm)m(utes)1460 627 y Ft(G)296 b(U)10 b Fz(\()p Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(\))p 1566 604 238 4 v 1721 602 a Fm(-)1668 584 y Ft(\023)1623 871 y(f)1567 754 y Fm(@)1650 837 y(@)1733 920 y(@)1816 1003 y(@)1835 1022 y(@)-83 b(R)1860 1115 y Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Ft(:)p 1985 1022 4 351 v 1986 1022 a Fm(?)2025 858 y Ft(g)149 1287 y Fz(The)35 b(group)e(algebra)f Fu(K)18 b Ft(G)39 b Fz(is)33 b(\(if)f(it)h(exists\))h(unique)g(up)g(to) f(isomorphism.)44 b(It)33 b(is)g(generated)0 1403 y(as)k(an)g(algebra)e (b)m(y)j(the)f(image)e(of)i Ft(G)p Fz(.)56 b(The)37 b(map)f Ft(\023)g Fz(:)f Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)34 b Ft(U)10 b Fz(\()p Fu(K)19 b Ft(G)p Fz(\))40 b Fx(\022)c Fu(K)17 b Ft(G)43 b Fz(is)36 b(injectiv)m(e)h(and)0 1519 y(the)c(image)e(of)h Ft(G)g Fz(in)g Fu(K)18 b Ft(G)38 b Fz(is)32 b(a)h(basis.)149 1636 y(The)k(group)e(algebra)f(can)i(b)s(e)g(constructed)h(as)f(the)g (free)g(v)m(ector)g(space)h Fu(K)17 b Ft(G)42 b Fz(with)35 b(basis)g Ft(G)0 1752 y Fz(and)f(the)f(algebra)g(structure)h(of)f Fu(K)18 b Ft(G)39 b Fz(is)33 b(giv)m(en)h(b)m(y)g Fu(K)18 b Ft(G)28 b Fx(\012)23 b Fu(K)18 b Ft(G)35 b Fx(3)30 b Ft(g)c Fx(\012)d Ft(h)29 b Fx(7!)g Ft(g)t(h)g Fx(2)g Fu(K)18 b Ft(G)39 b Fz(and)34 b(the)0 1868 y(unit)e Ft(\021)f Fz(:)d Fu(K)51 b 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y(@)1771 3383 y(@)1854 3466 y(@)1873 3485 y(@)-83 b(R)1985 3587 y Fu(K)p 2023 3485 4 351 v 2024 3485 a Fm(?)2063 3324 y Fq(")0 3714 y Fz(where)44 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))43 b(=)i(1)d(for)g(all)e Ft(g)48 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(.)73 b(One)43 b(sho)m(ws)h(easily)d(b)m(y)j (using)e(the)h(univ)m(ersal)f(prop)s(ert)m(y)-8 b(,)0 3830 y(that)35 b(\001)h(is)f(coasso)s(ciativ)m(e)g(and)h(has)f(counit)g Ft(")p Fz(.)52 b(De\014ne)36 b(an)g(algebra)e(homomorphism)f Ft(S)38 b Fz(:)33 b Fu(K)17 b Ft(G)0 3946 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(\()p Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(\))369 3910 y Fq(op)481 3946 y Fz(b)m(y)1461 4084 y Ft(G)372 b Fu(K)17 b Ft(G)p 1567 4052 314 4 v 1798 4050 a Fm(-)1711 4031 y Fq(\023)1642 4310 y(f)1568 4201 y Fm(@)1651 4284 y(@)1734 4367 y(@)1817 4450 y(@)1836 4469 y(@)-83 b(R)1835 4562 y Fz(\()p Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(\))2060 4526 y Fq(op)p 1986 4469 4 351 v 1987 4469 a Fm(?)2026 4317 y Fq(S)0 4719 y Fz(with)38 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))35 b(:=)i Ft(g)640 4682 y Fr(\000)p Fl(1)772 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Fs(gr)-5 b(ouplike)34 b(element)e Fz(if)1506 728 y(\001\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)h Ft(g)d Fx(\012)e Ft(g)t(:)149 911 y Fz(Observ)m(e)36 b(that)e Ft(")p Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))c(=)g(1)k(for)f(eac)m(h)i (grouplik)m(e)f(elemen)m(t)f Ft(g)38 b Fz(in)33 b(a)h(Hopf)g(algebra)f Ft(H)8 b Fz(.)48 b(In)34 b(fact)0 1027 y(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h Ft(g)d Fz(=)c Fx(r)p Fz(\()p Ft(")21 b Fx(\012)h Fz(1\)\001\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(g)j Fx(6)p Fz(=)d(0)32 b(hence)i Ft(")p Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))26 b(=)i(1.)43 b(If)32 b(the)h(base)g(ring)e(is)g(not)h(a)g(\014eld)0 1143 y(then)h(one)g(adds)g(this)f(prop)s(ert)m(y)i(to)e(the)h (de\014nition)f(of)g(a)g(grouplik)m(e)g(elemen)m(t.)149 1281 y Fv(Problem)k(2.1.9.)240 b Fz(\(1\))42 b(Let)24 b Fu(K)48 b Fz(b)s(e)25 b(a)g(\014eld.)40 b(Sho)m(w)26 b(that)e(an)h(elemen)m(t)f Ft(x)k Fx(2)g Fu(K)18 b Ft(G)30 b Fz(satis\014es)364 1397 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))f(=)e Ft(x)c Fx(\012)f Ft(x)33 b Fz(and)g Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(1)32 b(if)g(and)h(only)f(if)f Ft(x)d Fz(=)g Ft(g)j Fx(2)d Ft(G)p Fz(.)198 1514 y(\(2\))41 b(Sho)m(w)48 b(that)f(the)g(grouplik)m(e)g(elemen)m(ts)g(of)f(a)h(Hopf)g(algebra)f (form)g(a)g(group)h(under)364 1630 y(m)m(ultiplication)28 b(of)k(the)h(Hopf)g(algebra.)149 1789 y Fv(Example)40 b(2.1.7.)j Fz(\()p Fv(Univ)m(ersal)d(En)m(v)m(eloping)f(Algebras\))c Fz(A)g Fs(Lie)i(algebr)-5 b(a)34 b Fz(consists)i(of)0 1906 y(a)i(v)m(ector)h(space)g Ff(g)f Fz(together)g(with)g(a)f (\(linear\))f(m)m(ultiplication)e Ff(g)26 b Fx(\012)g Ff(g)37 b Fx(3)g Ft(x)27 b Fx(\012)f Ft(y)40 b Fx(7!)c Fz([)p Ft(x;)17 b(y)t Fz(])37 b Fx(2)g Ff(g)0 2022 y Fz(suc)m(h)d(that)e(the)h(follo)m(wing)d(la)m(ws)j(hold:)629 2217 y([)p Ft(x;)17 b(x)p Fz(])28 b(=)g(0)p Ft(;)629 2334 y Fz([)p Ft(x;)17 b Fz([)p Ft(y)t(;)g(z)t Fz(]])22 b(+)g([)p Ft(y)t(;)17 b Fz([)p Ft(z)t(;)g(x)p Fz(]])22 b(+)g([)p Ft(z)t(;)17 b Fz([)p Ft(x;)g(y)t Fz(]])28 b(=)g(0)130 b(\(Jacobi)31 b(iden)m(tit)m(y\).)0 2538 y(A)36 b Fs(homomorphism)g(of) i(Lie)g(algebr)-5 b(as)35 b Ft(f)45 b Fz(:)34 b Ff(g)g Fx(\000)-60 b(!)34 b Ff(h)i Fz(is)g(a)g(linear)e(map)i Ft(f)47 b Fz(suc)m(h)37 b(that)f Ft(f)11 b Fz(\([)p Ft(x;)17 b(y)t Fz(]\))33 b(=)0 2654 y([)p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(;)17 b(f)11 b Fz(\()p Ft(y)t Fz(\)].)42 b(Th)m(us)34 b(Lie)e(algebras)g(form)f(a)i(category)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(.)149 2771 y(An)39 b(imp)s(ortan)m(t)d(example)h (is)h(the)g(Lie)f(algebra)g(asso)s(ciated)h(with)g(an)g(asso)s(ciativ)m (e)f(algebra)0 2887 y(\(with)32 b(unit\).)43 b(If)32 b Ft(A)h Fz(is)f(an)h(algebra)e(then)i(the)g(v)m(ector)h(space)g Ft(A)e Fz(with)g(the)h(Lie)f(m)m(ultiplication)1451 3090 y([)p Ft(x;)17 b(y)t Fz(])27 b(:=)h Ft(xy)e Fx(\000)c Ft(y)t(x)0 3292 y Fz(is)28 b(a)h(Lie)f(algebra)g(denoted)i(b)m(y)g Ft(A)1240 3256 y Fq(L)1292 3292 y Fz(.)42 b(This)29 b(construction)g (of)g(a)f(Lie)h(algebra)e(de\014nes)k(a)e(co)m(v)-5 b(arian)m(t)0 3409 y(functor)33 b(-)371 3372 y Fq(L)451 3409 y Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)43 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(.)44 b(This)32 b(functor)h(leads)f(to)h(the)g(follo)m(wing)d(univ)m(ersal)i(problem.) 149 3525 y(Let)38 b Ff(g)f Fz(b)s(e)g(a)g(Lie)f(algebra.)56 b(An)38 b(algebra)e Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))37 b(together)h(with)e(a)h(Lie)g(algebra)e(homomor-)0 3641 y(phism)g Ft(\023)g Fz(:)f Ff(g)g Fx(\000)-60 b(!)34 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))858 3605 y Fq(L)947 3641 y Fz(is)36 b(called)f(a)h(\(the\))g Fs(universal)i(enveloping)f (algebr)-5 b(a)37 b(of)h Ff(g)p Fz(,)f(if)e(for)h(ev)m(ery)0 3757 y(algebra)28 b Ft(A)h Fz(and)g(for)f(ev)m(ery)j(Lie)d(algebra)g (homomorphism)e Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ff(g)f Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)2645 3721 y Fq(L)2726 3757 y Fz(there)j(exists)g(a)e (unique)0 3873 y(homomorphism)h(of)i(algebras)g Ft(g)f Fz(:)e Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))29 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)32 b Fz(suc)m(h)h(that)e(the)h(follo)m(wing)d(diagram)g (comm)m(utes)1480 4082 y Ff(g)335 b Ft(U)10 b 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Fz(is)h(the)h(tensor)f(algebra.) 53 b(The)37 b(map)e Ft(\023)f Fz(:)g Ff(g)0 5216 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))347 5179 y Fq(L)432 5216 y Fz(is)32 b(injectiv)m(e.)p eop %%Page: 36 39 36 38 bop 0 251 a Fw(36)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)149 450 y Fz(The)i(univ)m (ersal)e(en)m(v)m(eloping)h(algebra)e Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))34 b(is)e(a)g(Hopf)g(algebra.)43 b(The)33 b(com)m(ultiplication)28 b(is)0 566 y(giv)m(en)33 b(b)m(y)g(the)g (diagram)1412 679 y Ff(g)361 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))p 1490 656 305 4 v 1712 654 a Fm(-)1630 636 y Fq(\023)1579 915 y(f)1505 806 y Fm(@)1588 889 y(@)1671 972 y(@)1754 1055 y(@)1773 1074 y(@)-83 b(R)1661 1167 y Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))p 1923 1074 4 351 v 1924 1074 a Fm(?)1963 921 y Fl(\001)0 1306 y Fz(with)43 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))45 b(:=)g Ft(x)30 b Fx(\012)g Fz(1)f(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(x)44 b Fz(whic)m(h)f(de\014nes)i(a)e(Lie)f(algebra)g (homomorphism)e Ft(f)56 b Fz(:)45 b Ff(g)h Fx(\000)-60 b(!)0 1422 y Fz(\()p Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\)\))602 1386 y Fq(L)655 1422 y Fz(.)44 b(The)33 b(counit)f(is)g(giv)m(en)h(b)m(y) 1493 1581 y Ff(g)361 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))p 1572 1558 305 4 v 1794 1556 a Fm(-)1711 1537 y Fq(\023)1660 1816 y(f)1586 1707 y Fm(@)1670 1790 y(@)1753 1873 y(@)1836 1956 y(@)1854 1975 y(@)-83 b(R)1967 2078 y Fu(K)p 2004 1975 4 351 v 2006 1975 a Fm(?)2045 1814 y Fq(")0 2212 y Fz(with)35 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))34 b(=)f(0)i(for)g(all)f Ft(x)g Fx(2)f Ff(g)p Fz(.)53 b(One)36 b(sho)m(ws)i(easily)d(b)m(y)i (using)e(the)h(univ)m(ersal)g(prop)s(ert)m(y)-8 b(,)37 b(that)0 2328 y(\001)46 b(is)f(coasso)s(ciativ)m(e)g(and)h(has)g (counit)f Ft(")p Fz(.)82 b(De\014ne)46 b(an)g(algebra)e(homomorphism)f Ft(S)55 b Fz(:)50 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))0 2445 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(\()p Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\)\))423 2408 y Fq(op)530 2445 y Fz(b)m(y)1456 2563 y Ff(g)361 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))p 1534 2540 305 4 v 1756 2538 a Fm(-)1674 2519 y Fq(\023)1623 2799 y(f)1549 2689 y Fm(@)1632 2772 y(@)1715 2855 y(@)1798 2939 y(@)1817 2957 y(@)-83 b(R)1792 3051 y Fz(\()p Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\)\))2070 3014 y Fq(op)p 1967 2957 4 351 v 1968 2957 a Fm(?)2007 2805 y Fq(S)0 3196 y Fz(with)29 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(:=)f Fx(\000)p Ft(x)k Fz(whic)m(h)f(is)f(a)g(Lie)g(algebra)g(homomorphism)d Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ff(g)h Fx(\000)-59 b(!)27 b Fz(\()p Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))2968 3160 y Fq(op)3042 3196 y Fz(\))3080 3160 y Fq(L)3133 3196 y Fz(.)42 b(Then)31 b(one)0 3312 y(sho)m(ws)j(with)e(Prop)s(osition)f(1.3)h(that)h Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))33 b(is)f(a)g(Hopf)h(algebra.)149 3429 y(\(Observ)m(e,)d(that)d(the)g(meaning)e(of)i Ft(U)37 b Fz(in)26 b(this)g(example)h(and)g(the)g(previous)g(example)f(\(group) 0 3545 y(of)35 b(units,)i(univ)m(ersal)f(en)m(v)m(eloping)f(algebra\))g (is)g(totally)f(di\013eren)m(t,)j(in)e(the)h(\014rst)h(case)f Ft(U)47 b Fz(can)36 b(b)s(e)0 3661 y(applied)29 b(to)g(an)h(algebra)f (and)h(giv)m(es)g(a)g(group,)g(in)f(the)h(second)h(case)g Ft(U)41 b Fz(can)30 b(b)s(e)g(applied)f(to)g(a)h(Lie)0 3777 y(algebra)h(and)i(giv)m(es)g(an)g(algebra.\))149 3919 y(The)g(preceding)f(example)g(of)f(a)g(Hopf)h(algebra)e(giv)m(es)j (rise)e(to)h(the)g(de\014nition)e(of)i(particular)0 4036 y(elemen)m(ts)h(in)e(arbitrary)g(Hopf)h(algebras,)g(that)g(share)h (certain)f(prop)s(erties)g(with)g(elemen)m(ts)g(of)g(a)0 4152 y(Lie)g(algebra.)42 b(W)-8 b(e)33 b(will)e(use)i(and)g(study)h (these)f(elemen)m(ts)g(later)f(on)g(in)g(c)m(hapter)i(4.)149 4294 y Fv(De\014nition)53 b(2.1.8.)c Fz(Let)e Ft(H)54 b Fz(b)s(e)47 b(a)f(Hopf)h(algebra.)85 b(An)47 b(elemen)m(t)f Ft(x)52 b Fx(2)g Ft(H)j Fz(is)46 b(called)f(a)0 4410 y Fs(primitive)34 b(element)e Fz(if)1328 4537 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))d(=)e Ft(x)c Fx(\012)g Fz(1)e(+)h(1)g Fx(\012)h Ft(x:)0 4684 y Fz(Let)37 b Ft(g)g Fx(2)d Ft(H)44 b Fz(b)s(e)37 b(a)f(grouplik)m(e)f(elemen)m(t.)55 b(An)37 b(elemen)m(t)f Ft(x)e Fx(2)h Ft(H)44 b Fz(is)36 b(called)f(a)h Fs(skew)h(primitive)h (or)0 4800 y Ft(g)t Fs(-primitive)33 b(element)f Fz(if)1328 4927 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))c(=)g Ft(x)22 b Fx(\012)h Fz(1)f(+)g Ft(g)j Fx(\012)e Ft(x:)149 5074 y Fv(Problem)h(2.1.10.)33 b Fz(Sho)m(w)23 b(that)f(the)g(set)g(of)f(primitiv)m(e)f(elemen)m(ts)i Ft(P)14 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))26 b(=)i Fx(f)p Ft(x)g Fx(2)g Ft(H)8 b Fx(j)p Fz(\001\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)0 5191 y Ft(x)c Fx(\012)f Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)h Ft(x)p Fx(g)32 b Fz(of)h(a)f(Hopf)g(algebra)g Ft(H)40 b Fz(is)32 b(a)g(Lie)g(subalgebra)g(of)g Ft(H)2579 5155 y Fq(L)2631 5191 y Fz(.)p eop %%Page: 37 40 37 39 bop 1412 251 a Fw(1.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS)1334 b(37)149 450 y Fv(Prop)s(osition)36 b(2.1.9.)42 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(H)42 b Fs(b)-5 b(e)34 b(a)h(Hopf)f(algebr)-5 b(a)34 b(with)h(antip)-5 b(o)g(de)33 b Ft(S)6 b Fs(.)45 b(The)34 b(fol)5 b(lowing)33 b(ar)-5 b(e)0 566 y(e)g(quivalent:)149 683 y(\(1\))35 b Ft(S)380 646 y Fl(2)447 683 y Fz(=)p Fs(id.)149 799 y(\(2\))314 724 y Fj(P)436 799 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)591 814 y Fl(\(2\))685 799 y Fz(\))p Ft(a)774 814 y Fl(\(1\))896 799 y Fz(=)28 b Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))34 b Fs(for)h(al)5 b(l)34 b Ft(a)28 b Fx(2)g Ft(H)8 b Fs(.)149 915 y(\(3\))314 840 y Fj(P)436 915 y Ft(a)487 931 y Fl(\(2\))581 915 y Ft(S)e Fz(\()p Ft(a)736 931 y Fl(\(1\))830 915 y Fz(\))28 b(=)g Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))34 b Fs(for)h(al)5 b(l)34 b Ft(a)28 b Fx(2)g Ft(H)8 b Fs(.)149 1095 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)33 b Ft(S)775 1058 y Fl(2)842 1095 y Fz(=id.)43 b(Then)583 1159 y Fj(P)704 1233 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)859 1249 y Fl(\(2\))954 1233 y Fz(\))p Ft(a)1043 1249 y Fl(\(1\))1170 1233 y Fz(=)27 b Ft(S)1339 1197 y Fl(2)1378 1233 y Fz(\()1416 1159 y Fj(P)1538 1233 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)1693 1249 y Fl(\(2\))1787 1233 y Fz(\))p Ft(a)1876 1249 y Fl(\(1\))1971 1233 y Fz(\))28 b(=)f Ft(S)6 b Fz(\()2244 1159 y Fj(P)2366 1233 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)2521 1249 y Fl(\(1\))2615 1233 y Fz(\))p Ft(S)2719 1197 y Fl(2)2758 1233 y Fz(\()p Ft(a)2847 1249 y Fl(\(2\))2941 1233 y Fz(\)\))1170 1350 y(=)27 b Ft(S)6 b Fz(\()1377 1275 y Fj(P)1499 1350 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)1654 1365 y Fl(\(1\))1748 1350 y Fz(\))p Ft(a)1837 1365 y Fl(\(2\))1931 1350 y Fz(\))28 b(=)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\))26 b(=)i Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 1517 y(b)m(y)33 b(using)g(Problem)e(\(21\).)149 1633 y(Con)m(v)m(ersely)k(assume)e (that)g(\(2\))f(holds.)43 b(Then)792 1797 y Ft(S)28 b Fx(\003)22 b Ft(S)1018 1761 y Fl(2)1057 1797 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))33 b(=)1321 1722 y Fj(P)1442 1797 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)1597 1812 y Fl(\(1\))1692 1797 y Ft(S)1758 1761 y Fl(2)1797 1797 y Fz(\()p Ft(a)1886 1812 y Fl(\(2\))1980 1797 y Fz(\))28 b(=)f Ft(S)6 b Fz(\()2253 1722 y Fj(P)2375 1797 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)2530 1812 y Fl(\(2\))2624 1797 y Fz(\))p Ft(a)2713 1812 y Fl(\(1\))1217 1913 y Fz(=)28 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\))26 b(=)i Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(:)0 2084 y Fz(Th)m(us)c Ft(S)303 2048 y Fl(2)365 2084 y Fz(and)f(id)e(are)i(in)m(v)m(erses)h(of)f Ft(S)28 b Fz(in)22 b(the)h(con)m(v)m(olution)f(algebra)f(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)c(H)8 b Fz(\),)24 b(hence)g Ft(S)3321 2048 y Fl(2)3388 2084 y Fz(=)k(id)o(.)149 2200 y(Analogously)k(one)h(sho)m(ws) h(that)e(\(1\))g(and)h(\(3\))f(are)h(equiv)-5 b(alen)m(t.)1025 b Fh(\003)149 2377 y Fv(Corollary)34 b(2.1.10.)40 b Fs(If)32 b Ft(H)40 b Fs(is)33 b(a)f(c)-5 b(ommutative)32 b(Hopf)h(algebr)-5 b(a)32 b(or)h(a)f(c)-5 b(o)g(c)g(ommutative)32 b(Hopf)0 2493 y(algebr)-5 b(a)34 b(with)h(antip)-5 b(o)g(de)34 b Ft(S)6 b Fs(,)34 b(then)h Ft(S)1341 2457 y Fl(2)1408 2493 y Fz(=)p Fs(id.)149 2634 y Fv(Remark)i(2.1.11.)42 b(Kaplansky:)51 b(T)-9 b(en)38 b(conjectures)f(on)h(Hopf)g(algebras)149 2750 y Fz(In)24 b(a)f(set)h(of)f(lecture)g(notes)h(on)f(bialgebras)f (based)i(on)f(a)g(course)h(giv)m(en)g(at)f(Chicago)f(univ)m(ersit)m(y)0 2866 y(in)42 b(1973,)j(made)e(public)f(in)g(1975,)j(Kaplansky)e(form)m (ulated)f(a)g(set)i(of)e(conjectures)j(on)e(Hopf)0 2983 y(algebras)32 b(that)g(ha)m(v)m(e)i(b)s(een)f(the)g(aim)e(of)h(in)m (tensiv)m(e)i(researc)m(h.)198 3123 y(\(1\))41 b(If)23 b Ft(C)30 b Fz(is)22 b(a)g(Hopf)h(subalgebra)f(of)h(the)g(Hopf)f (algebra)g Ft(B)28 b Fz(then)23 b Ft(B)28 b Fz(is)22 b(a)h(free)g(left)f Ft(C)7 b Fz(-mo)s(dule.)514 3240 y(\(Y)-8 b(es,)42 b(if)c Ft(H)47 b Fz(is)39 b(\014nite)g(dimensional)e ([Nic)m(hols-Zo)s(eller];)k(No)e(for)g(in\014nite)f(dimen-)364 3356 y(sional)g(Hopf)h(algebras)f([Ob)s(erst-Sc)m(hneider];)44 b Ft(B)g Fz(:)39 b Ft(C)46 b Fz(is)39 b(not)g(necessarily)h(faithfully) 364 3472 y(\015at)33 b([Sc)m(hauen)m(burg]\))198 3588 y(\(2\))41 b(Call)35 b(a)h(coalgebra)f Ft(C)43 b Fs(admissible)35 b Fz(if)g(it)g(admits)g(an)h(algebra)f(structure)i(making)e(it)g(a)364 3705 y(Hopf)c(algebra.)41 b(The)31 b(conjecture)h(states)f(that)f Ft(C)37 b Fz(is)30 b(admissible)f(if)g(and)h(only)g(if)f(ev)m(ery)364 3821 y(\014nite)k(subset)h(of)e Ft(C)39 b Fz(lies)32 b(in)g(a)g(\014nite-dimensional)d(admissible)i(sub)s(coalgebra.)514 3937 y(\(Remarks.)397 4053 y(\(a\))41 b(Both)33 b(implications)28 b(seem)33 b(hard.)391 4169 y(\(b\))42 b(There)g(is)e(a)g(corresp)s (onding)g(conjecture)i(where)g(\\Hopf)e(algebra")f(is)h(replaced)563 4286 y(b)m(y)34 b(\\bialgebra".)402 4402 y(\(c\))42 b(There)34 b(is)e(a)g(dual)g(conjecture)i(for)e(lo)s(cally)e(\014nite)i (algebras.\))514 4518 y(\(No)g(results)h(kno)m(wn.\))198 4634 y(\(3\))41 b(A)26 b(Hopf)f(algebra)f(of)h(c)m(haracteristic)g(0)g (has)h(no)f(non-zero)g(cen)m(tral)h(nilp)s(oten)m(t)e(elemen)m(ts.)514 4751 y(\(First)d(coun)m(ter)i(example)f(giv)m(en)g(b)m(y)h([Sc)m (hmidt-Samoa].)39 b(If)22 b Ft(H)29 b Fz(is)22 b(unimo)s(dular)e(and) 364 4867 y(not)26 b(semisimple,)f(e.g.)42 b(a)26 b(Drinfel'd)e(double)i (of)f(a)h(not)g(semisimple)e(\014nite)h(dimensional)364 4983 y(Hopf)g(algebra,)g(then)g(the)g(in)m(tegral)d(\003)i(satis\014es) i(\003)h Fx(6)p Fz(=)h(0,)d(\003)2489 4947 y Fl(2)2556 4983 y Fz(=)j Ft(")p Fz(\(\003\)\003)e(=)i(0)c(since)h Ft(D)s Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))364 5099 y(is)32 b(not)h(semisimple,)d (and)j Ft(a)p Fz(\003)28 b(=)f Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\003)g(=)h(\003)p Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))f(=)g(\003)p Ft(a)33 b Fz(since)g Ft(D)s Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))31 b(is)i(unimo)s(dular)364 5216 y([Sommerh\177)-49 b(auser].\))p eop %%Page: 38 41 38 40 bop 0 251 a Fw(38)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)198 450 y Fz(\(4\))41 b(\(Nic)m(hols\).)g(Let)24 b Ft(x)i Fz(b)s(e)f(an)f(elemen)m(t)h(in)f (a)h(Hopf)f(algebra)g Ft(H)32 b Fz(with)24 b(an)m(tip)s(o)s(de)g Ft(S)6 b Fz(.)41 b(Assume)364 566 y(that)33 b(for)f(an)m(y)h Ft(a)g Fz(in)f Ft(H)40 b Fz(w)m(e)33 b(ha)m(v)m(e)1372 687 y Fj(X)1532 782 y Ft(b)1573 797 y Fq(i)1602 782 y Ft(xS)6 b Fz(\()p Ft(c)1803 797 y Fq(i)1831 782 y Fz(\))28 b(=)f Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(x)364 1003 y Fz(where)34 b(\001)p Ft(a)28 b Fz(=)910 928 y Fj(P)1032 1003 y Ft(b)1073 1018 y Fq(i)1123 1003 y Fx(\012)23 b Ft(c)1265 1018 y Fq(i)1293 1003 y Fz(.)44 b(Conjecture:)h Ft(x)32 b Fz(is)h(in)e(the)i (cen)m(ter)h(of)e Ft(H)8 b Fz(.)514 1119 y(\()p Ft(ax)28 b Fz(=)790 1044 y Fj(P)911 1119 y Ft(a)962 1135 y Fl(\(1\))1057 1119 y Ft(x")p Fz(\()p Ft(a)1247 1135 y Fl(\(2\))1341 1119 y Fz(\))g(=)1511 1044 y Fj(P)1632 1119 y Ft(a)1683 1135 y Fl(\(1\))1778 1119 y Ft(xS)6 b Fz(\()p Ft(a)1988 1135 y Fl(\(2\))2083 1119 y Fz(\))p Ft(a)2172 1135 y Fl(\(3\))2266 1119 y Fz(\))28 b(=)2435 1044 y Fj(P)2557 1119 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)2692 1135 y Fl(\(1\))2786 1119 y Fz(\))p Ft(xa)2930 1135 y Fl(\(2\))3053 1119 y Fz(=)f Ft(xa:)p Fz(\))514 1235 y(In)38 b(the)g(remaining)d(six)j (conjectures)h Ft(H)45 b Fz(is)37 b(a)g(\014nite-dimensional)e(Hopf)i (algebra)364 1351 y(o)m(v)m(er)d(an)f(algebraically)c(closed)k (\014eld.)198 1468 y(\(5\))41 b(If)32 b Ft(H)39 b Fz(is)32 b(semisimple)d(on)j(either)g(side)g(\(i.e.)42 b(either)32 b Ft(H)39 b Fz(or)32 b(the)g(dual)f Ft(H)2970 1432 y Fr(\003)3041 1468 y Fz(is)g(semisimple)364 1584 y(as)i(an)g(algebra\))e (the)i(square)h(of)e(the)h(an)m(tip)s(o)s(de)f(is)g(the)h(iden)m(tit)m (y)-8 b(.)514 1700 y(\(Y)g(es)40 b(if)e(c)m(har\()p Fu(K)18 b Fz(\))46 b(=)39 b(0)h([Larson-Radford],)g(y)m(es)h(if)e(c)m(har\()p Fu(K)18 b Fz(\))45 b(is)39 b(large)g([Sommer-)364 1816 y(h\177)-49 b(auser]\))198 1933 y(\(6\))41 b(The)28 b(size)g(of)e(the)i (matrices)e(o)s(ccurring)g(in)h(an)m(y)g(full)f(matrix)f(constituen)m (t)j(of)f Ft(H)34 b Fz(divides)364 2049 y(the)f(dimension)f(of)g Ft(H)8 b Fz(.)514 2165 y(\(Y)-8 b(es)43 b(is)e(Hopf)h(algebra)f(is)h (de\014ned)i(o)m(v)m(er)f Fu(Z)c Fz([Larson];)48 b(in)41 b(general)h(not)g(kno)m(wn;)364 2281 y(w)m(ork)34 b(b)m(y)f([Mon)m (tgomery-Withersp)s(o)s(on],)f([Zh)m(u],)i([Gelaki]\))198 2398 y(\(7\))41 b(If)f Ft(H)47 b Fz(is)39 b(semisimple)f(on)h(b)s(oth)h (sides)g(the)g(c)m(haracteristic)f(do)s(es)i(not)e(divide)g(the)h(di-) 364 2514 y(mension.)514 2630 y(\(Larson-Radford\))198 2746 y(\(8\))h(If)33 b(the)g(dimension)e(of)h Ft(H)40 b Fz(is)32 b(prime)g(then)h Ft(H)40 b Fz(is)32 b(comm)m(utativ)m(e)g (and)g(co)s(comm)m(utativ)m(e.)514 2862 y(\(Y)-8 b(es)33 b(in)f(c)m(haracteristic)g(0)h([Zh)m(u:)43 b(1994]\))514 2979 y(Remark.)g(Kac,)32 b(Larson,)h(and)g(Sw)m(eedler)h(ha)m(v)m(e)g (partial)c(results)j(on)f(5)h({)f(8.)514 3095 y(\(W)-8 b(as)33 b(also)e(pro)m(v)m(ed)j(b)m(y)g([Kac]\))514 3211 y(In)26 b(the)f(t)m(w)m(o)i(\014nal)d(conjectures)j(assume)f(that)f (the)h(c)m(haracteristic)f(do)s(es)h(not)g(divide)364 3327 y(the)33 b(dimension)f(of)g Ft(H)8 b Fz(.)198 3444 y(\(9\))41 b(The)34 b(dimension)d(of)h(the)h(radical)e(is)h(the)h(same) f(on)h(b)s(oth)f(sides.)514 3560 y(\(Coun)m(terexample)g(b)m(y)h([Nic)m (hols];)f(coun)m(terexample)g(in)f(F)-8 b(rob)s(enius-Lusztig)30 b(k)m(er-)364 3676 y(nel)j(of)f Ft(U)699 3691 y Fq(q)737 3676 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))g([Sc)m(hneider]\))149 3792 y(\(10\))41 b(There)h(are)e(only)f(a)h(\014nite)f(n)m(um)m(b)s(er) i(\(up)f(to)g(isomorphism\))d(of)j(Hopf)f(algebras)h(of)f(a)364 3909 y(giv)m(en)33 b(dimension.)514 4025 y(\(Y)-8 b(es)33 b(for)f(semisimple,)e(cosemisimple)h(Hopf)h(algebras:)43 b(Stefan)33 b(1997\))514 4141 y(\(Coun)m(terexamples:)44 b([Andruskiewitsc)m(h,)35 b(Sc)m(hneider],)f([Beattie,)e(others])h (1997\))859 4460 y Fv(2.)57 b(Monoids)37 b(and)i(Groups)f(in)e(a)i (Category)149 4634 y Fz(Before)d(w)m(e)g(use)g(Hopf)f(algebras)g(to)g (describ)s(e)h(quan)m(tum)f(groups)h(and)f(some)g(of)g(the)h(b)s(etter) 0 4751 y(kno)m(wn)40 b(groups,)g(suc)m(h)g(as)e(a\016ne)h(algebraic)e (groups)h(and)h(formal)d(groups,)k(w)m(e)f(in)m(tro)s(duce)g(the)0 4867 y(concept)d(of)e(a)h(general)f(group)h(\(and)f(of)h(a)f(monoid\))f (in)h(an)h(arbitrary)f(category)-8 b(.)50 b(Usually)34 b(this)0 4983 y(concept)39 b(is)e(de\014ned)i(with)f(resp)s(ect)h(to)e (a)h(categorical)d(pro)s(duct)j(in)f(the)i(giv)m(en)f(category)-8 b(.)59 b(But)0 5099 y(in)31 b(some)g(categories)g(there)i(are)e(in)g (general)g(no)g(pro)s(ducts.)44 b(Still,)30 b(one)h(can)h(de\014ne)h (the)f(concept)0 5216 y(of)e(a)h(group)f(in)g(a)h(v)m(ery)h(simple)d (fashion.)42 b(W)-8 b(e)32 b(will)c(start)j(with)f(that)h(de\014nition) f(and)g(then)i(sho)m(w)p eop %%Page: 39 42 39 41 bop 939 251 a Fw(2.)35 b(MONOIDS)c(AND)i(GR)n(OUPS)f(IN)g(A)h(CA) -6 b(TEGOR)g(Y)861 b(39)0 450 y Fz(that)31 b(it)g(coincides)g(with)g (the)h(usual)f(notion)f(of)h(a)g(group)g(in)g(a)g(category)h(in)e(case) i(that)g(category)0 566 y(has)h(\014nite)f(pro)s(ducts.)149 709 y Fv(De\014nition)40 b(2.2.1.)j Fz(Let)35 b Fx(C)42 b Fz(b)s(e)35 b(an)g(arbitrary)f(category)-8 b(.)52 b(Let)35 b Ft(G)d Fx(2)h(C)41 b Fz(b)s(e)35 b(an)g(ob)5 b(ject.)53 b(W)-8 b(e)0 825 y(use)44 b(the)f(notation)f Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))45 b(:=)g(Mor)1369 840 y Fr(C)1414 825 y Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(G)p Fz(\))43 b(for)f(all)f Ft(X)53 b Fx(2)46 b(C)6 b Fz(,)46 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))45 b(:=)g(Mor)3000 840 y Fr(C)3045 825 y Fz(\()p Ft(f)5 b(;)17 b(G)p Fz(\))43 b(for)f(all)0 942 y(morphisms)29 b Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(X)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(Y)51 b Fz(in)30 b Fx(C)6 b Fz(,)30 b(and)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(X)d Fz(\))27 b(:=)g(Mor)1974 957 y Fr(C)2019 942 y Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(f)11 b Fz(\))30 b(for)g(all)d(morphisms)i Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(G)h Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(G)3550 906 y Fr(0)3573 942 y Fz(.)149 1058 y Ft(G)43 b Fz(together)g(with)f(a) h(natural)e(transformation)g Ft(m)k Fz(:)g Ft(G)p Fz(\(-)o(\))29 b Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\(-)o(\))45 b Fx(\000)-60 b(!)45 b Ft(G)p Fz(\(-)o(\))e(is)f(called)f(a)0 1174 y Fs(gr)-5 b(oup)37 b Fz(\()p Fs(monoid)p Fz(\))g Fs(in)g(the)h(c)-5 b(ate)g(gory)37 b Fx(C)6 b Fz(,)37 b(if)d(the)i(sets)h Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))35 b(together)g(with)h(the)g(m)m (ultiplication)0 1290 y Ft(m)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))28 b(:)f Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))22 b Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))32 b(are)h(groups)f(\(monoids\))g(for)g(all)e Ft(X)36 b Fx(2)28 b(C)6 b Fz(.)149 1407 y(Let)34 b(\()p Ft(G;)17 b(m)p Fz(\))32 b(and)h(\()p Ft(G)944 1370 y Fr(0)967 1407 y Ft(;)17 b(m)1096 1370 y Fr(0)1120 1407 y Fz(\))33 b(b)s(e)g(groups)g(in)f Fx(C)6 b Fz(.)45 b(A)33 b(morphism)e Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ft(G)g Fx(\000)-59 b(!)28 b Ft(G)2915 1370 y Fr(0)2971 1407 y Fz(in)k Fx(C)39 b Fz(is)32 b(called)g(a)0 1523 y Fs(homomorphism)h(of)h(gr)-5 b(oups)33 b Fz(in)e Fx(C)6 b Fz(,)33 b(if)f(the)h(diagrams)1215 1714 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))22 b Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))356 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1849 1691 300 4 v 2066 1689 a Fm(-)1908 1654 y Fq(m)p Fl(\()p Fq(X)d Fl(\))1191 2202 y Ft(G)1268 2166 y Fr(0)1292 2202 y Fz(\()p Ft(X)j Fz(\))22 b Fx(\002)g Ft(G)1655 2166 y Fr(0)1678 2202 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))322 b Ft(G)2242 2166 y Fr(0)2265 2202 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1872 2179 265 4 v 2054 2177 a Fm(-)1902 2142 y Fq(m)1964 2118 y Fk(0)1987 2142 y Fl(\()p Fq(X)d Fl(\))p 1516 2109 4 351 v 1517 2109 a Fm(?)1105 1950 y Fq(f)i Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))p Fr(\002)p Fq(f)i Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))p 2296 2109 V 2297 2109 a Fm(?)2336 1950 y Fq(f)i Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))0 2357 y Fz(comm)m(ute)32 b(for)g(all)f Ft(X)k Fx(2)28 b(C)6 b Fz(.)149 2474 y(Let)34 b(\()p Ft(G;)17 b(m)p Fz(\))33 b(and)h(\()p Ft(G)946 2438 y Fr(0)969 2474 y Ft(;)17 b(m)1098 2438 y Fr(0)1121 2474 y Fz(\))34 b(b)s(e)f(monoids)f(in)h Fx(C)6 b Fz(.)46 b(A)34 b(morphism)d Ft(f)40 b Fz(:)29 b Ft(G)g Fx(\000)-59 b(!)28 b Ft(G)2994 2438 y Fr(0)3051 2474 y Fz(in)33 b Fx(C)39 b Fz(is)33 b(called)0 2590 y(a)f Fs(homomorphism)h(of)i (monoids)c Fz(in)h Fx(C)6 b Fz(,)32 b(if)g(the)h(diagrams)1215 2782 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))22 b Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))356 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1849 2758 300 4 v 2066 2756 a Fm(-)1908 2721 y Fq(m)p Fl(\()p Fq(X)d Fl(\))1191 3269 y Ft(G)1268 3233 y Fr(0)1292 3269 y Fz(\()p Ft(X)j Fz(\))22 b Fx(\002)g Ft(G)1655 3233 y Fr(0)1678 3269 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))322 b Ft(G)2242 3233 y Fr(0)2265 3269 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1872 3246 265 4 v 2054 3244 a Fm(-)1902 3209 y Fq(m)1964 3185 y Fk(0)1987 3209 y Fl(\()p Fq(X)d Fl(\))p 1516 3176 4 351 v 1517 3176 a Fm(?)1105 3017 y Fq(f)i Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))p Fr(\002)p Fq(f)i Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))p 2296 3176 V 2297 3176 a Fm(?)2336 3017 y Fq(f)i Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))0 3425 y Fz(and)1719 3520 y Fx(f\003g)1572 3753 y Fq(u)1719 3647 y Fm(\001)1677 3730 y(\001)1635 3813 y(\001)1594 3896 y(\001)1585 3914 y(\001)-42 b(\013)1975 3765 y Fq(u)2016 3741 y Fk(0)1828 3647 y Fm(A)1870 3730 y(A)1911 3813 y(A)1953 3896 y(A)1962 3914 y(A)g(U)1430 4008 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))233 b Ft(G)1982 3971 y Fr(0)2006 4008 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1700 3985 178 4 v 1795 3983 a Fm(-)1709 3947 y Fq(f)f Fl(\()p Fq(X)e Fl(\))0 4143 y Fz(comm)m(ute)32 b(for)g(all)f Ft(X)k Fx(2)28 b(C)6 b Fz(.)149 4286 y Fv(Problem)36 b(2.2.11.)240 b Fz(\(1\))42 b(Let)k(the)g(set)h Ft(Z)53 b Fz(together)46 b(with)g(the)g(m)m(ultiplication)c Ft(m)51 b Fz(:)364 4402 y Ft(Z)34 b Fx(\002)28 b Ft(Z)46 b Fx(\000)-59 b(!)39 b Ft(Z)47 b Fz(b)s(e)40 b(a)f(monoid.)63 b(Sho)m(w)41 b(that)e(the)h(unit)f(elemen)m(t)h Ft(e)g Fx(2)g Ft(Z)47 b Fz(is)39 b(uniquely)364 4518 y(determined.)514 4634 y(Let)32 b(\()p Ft(Z)r(;)17 b(m)p Fz(\))31 b(b)s(e)h(a)g(group.)43 b(Sho)m(w)33 b(that)e(also)g(the)h(in)m(v)m(erse)i Ft(i)28 b Fz(:)f Ft(Z)35 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(Z)39 b Fz(is)31 b(uniquely)364 4751 y(determined.)514 4867 y(Sho)m(w)44 b(that)f(unit)g(elemen)m(t)g(and)h(in)m(v)m(erses)h(of)e(groups)h(are)f (preserv)m(ed)j(b)m(y)e(maps)364 4983 y(that)33 b(are)f(compatible)f (with)h(the)h(m)m(ultiplication.)198 5099 y(\(2\))41 b(Find)29 b(an)h(example)f(of)g(monoids)g Ft(Y)51 b Fz(and)29 b Ft(Z)37 b Fz(and)30 b(a)f(map)g Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(Y)49 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(Z)37 b Fz(with)29 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)3333 5114 y Fl(1)3372 5099 y Ft(y)3420 5114 y Fl(2)3459 5099 y Fz(\))27 b(=)364 5216 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)509 5231 y Fl(1)548 5216 y Fz(\))p Ft(f)g Fz(\()p Ft(y)731 5231 y Fl(2)770 5216 y Fz(\))32 b(for)g(all)f Ft(y)1173 5231 y Fl(1)1212 5216 y Ft(;)17 b(y)1304 5231 y Fl(2)1370 5216 y Fx(2)28 b Ft(Y)21 b Fz(,)33 b(but)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(e)1923 5231 y Fq(Y)1983 5216 y Fz(\))28 b Fx(6)p Fz(=)g Ft(e)2198 5231 y Fq(Z)2254 5216 y Fz(.)p eop %%Page: 40 43 40 42 bop 0 251 a Fw(40)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)198 450 y Fz(\(3\))41 b(Let)e(\()p Ft(G;)17 b(m)p Fz(\))38 b(b)s(e)h(a)f(group)g(in)g Fx(C)44 b Fz(and)39 b Ft(i)1818 465 y Fq(X)1923 450 y Fz(:)e Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))38 b Fx(\000)-60 b(!)37 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))38 b(b)s(e)h(the)f(in)m(v)m (erse)i(for)e(all)364 566 y Ft(X)e Fx(2)28 b(C)6 b Fz(.)44 b(Sho)m(w)33 b(that)f Ft(i)h Fz(is)f(a)h(natural)e(transformation.)514 683 y(Sho)m(w)42 b(that)f(the)h(Y)-8 b(oneda)41 b(Lemma)f(pro)m(vides)i (a)f(morphism)f Ft(S)48 b Fz(:)42 b Ft(G)h Fx(\000)-60 b(!)42 b Ft(G)f Fz(suc)m(h)364 799 y(that)33 b Ft(i)609 814 y Fq(X)704 799 y Fz(=)28 b(Mor)984 814 y Fr(C)1029 799 y Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(S)6 b Fz(\))27 b(=)h Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(X)i Fz(\))32 b(for)g(all)e Ft(X)36 b Fx(2)28 b(C)6 b Fz(.)514 915 y(F)-8 b(orm)m(ulate)31 b(and)h(pro)m(v)m(e)i (prop)s(erties)f(of)f Ft(S)38 b Fz(of)32 b(the)h(t)m(yp)s(e)h Ft(S)27 b Fx(\003)22 b Fz(id)27 b(=)h Ft(:)17 b(:)g(:)o Fz(.)149 1056 y Fv(Prop)s(osition)48 b(2.2.2.)g Fs(L)-5 b(et)45 b Fx(C)51 b Fs(b)-5 b(e)45 b(a)f(c)-5 b(ate)g(gory)45 b(with)g(\014nite)f(\(c)-5 b(ate)g(goric)g(al\))44 b(pr)-5 b(o)g(ducts.)74 b(A)n(n)0 1173 y(obje)-5 b(ct)39 b Ft(G)h Fs(in)g Fx(C)46 b Fs(c)-5 b(arries)39 b(the)h(structur)-5 b(e)41 b Ft(m)c Fz(:)g Ft(G)p Fz(\()p Fs(-)p Fz(\))26 b Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\()p Fs(-)p Fz(\))36 b Fx(\000)-57 b(!)37 b Ft(G)p Fz(\()p Fs(-)p Fz(\))i Fs(of)h(a)g(gr)-5 b(oup)39 b(in)h Fx(C)46 b Fs(if)40 b(and)0 1289 y(only)35 b(if)g(ther)-5 b(e)35 b(ar)-5 b(e)35 b(morphisms)f Ft(m)28 b Fz(:)h Ft(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)28 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(G)p Fs(,)35 b Ft(u)28 b Fz(:)g Ft(E)35 b Fx(\000)-58 b(!)28 b Ft(G)p Fs(,)35 b(and)g Ft(S)f Fz(:)28 b Ft(G)h Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(G)36 b Fs(such)f(that)0 1405 y(the)g(diagr)-5 b(ams)564 1581 y Ft(G)23 b Fx(\002)f Ft(G)g Fx(\002)h Ft(G)210 b(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)p 1068 1553 153 4 v 1138 1551 a Fm(-)1068 1525 y Fq(m)p Fr(\002)p Fl(1)664 2068 y Ft(G)f Fx(\002)h Ft(G)408 b(G)p 968 2040 351 4 v 1236 2038 a Fm(-)1113 2020 y Fq(m)p 800 1970 4 351 v 802 1970 a Fm(?)610 1813 y Fl(1)p Fr(\002)p Fq(m)p 1385 1970 V 1387 1970 a Fm(?)1426 1809 y Fq(m)1719 1581 y Ft(E)28 b Fx(\002)22 b Ft(G)2023 1553 y Fx(\030)2024 1585 y Fz(=)2128 1581 y Ft(G)2233 1553 y Fx(\030)2234 1585 y Fz(=)2338 1581 y Ft(G)g Fx(\002)h Ft(E)151 b(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)p 2643 1553 88 4 v 2648 1551 a Fm(-)2622 1525 y Fl(1)p Fr(\002)p Fq(u)1736 2068 y Ft(G)f Fx(\002)h Ft(G)847 b(G)p 2041 2040 790 4 v 2748 2038 a Fm(-)2404 2020 y Fq(m)p 1872 1970 4 351 v 1874 1970 a Fm(?)1704 1813 y Fq(u)p Fr(\002)p Fl(1)p 2896 1970 V 2898 1970 a Fm(?)2937 1809 y Fq(m)2594 1816 y Fl(1)2269 1675 y Fm(Q)2352 1730 y(Q)2435 1785 y(Q)2518 1841 y(Q)2601 1896 y(Q)2684 1951 y(Q)2712 1970 y(Q)-83 b(s)1372 2225 y Ft(G)312 b(E)p 1477 2193 255 4 v 1649 2191 a Fm(-)2152 2225 y Ft(G)p 1868 2193 V 2040 2191 a Fm(-)1975 2172 y Fq(u)1272 2708 y Ft(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)504 b(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)p 1577 2680 447 4 v 1941 2678 a Fm(-)1732 2653 y Fl(1)p Fr(\002)p Fq(S)1732 2743 y(S)t Fr(\002)p Fl(1)p 1408 2610 4 351 v 1410 2610 a Fm(?)1312 2457 y Fl(\001)p 2188 2610 V 2190 2342 a Fm(6)2229 2449 y Fq(m)0 2861 y Fs(c)-5 b(ommute)34 b(wher)-5 b(e)33 b Fz(\001)h Fs(is)g(the)g (morphism)f(de\014ne)-5 b(d)33 b(in)h Fz([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])g Fs(4.2.)44 b(The)33 b(multipli-)0 2978 y(c)-5 b(ations)34 b(ar)-5 b(e)35 b(r)-5 b(elate)g(d)34 b(by)h Ft(m)1021 2993 y Fq(X)1117 2978 y Fz(=)27 b(Mor)1397 2993 y Fr(C)1442 2978 y Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(m)p Fz(\))28 b(=)f Ft(m)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p Fs(.)149 3094 y(A)n(n)35 b(analo)-5 b(gous)34 b(statement)h(holds)f(for)g(monoids.)149 3271 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)i(Y)-8 b(oneda)43 b(Lemma)e(de\014nes)j (a)f(bijection)e(b)s(et)m(w)m(een)k(the)e(set)g(of)f(morphisms)0 3388 y Ft(f)48 b Fz(:)37 b Ft(X)45 b Fx(\000)-59 b(!)36 b Ft(Y)60 b Fz(and)38 b(the)h(set)f(of)g(natural)f(transformations)g Ft(f)11 b Fz(\(-)o(\))37 b(:)g Ft(X)8 b Fz(\(-)o(\))37 b Fx(\000)-59 b(!)37 b Ft(Y)21 b Fz(\(-)o(\))38 b(b)m(y)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(Z)c Fz(\))37 b(=)0 3504 y(Mor)176 3519 y Fr(C)221 3504 y Fz(\()p Ft(Z)r(;)17 b(f)11 b Fz(\).)42 b(In)33 b(particular)e(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)g Ft(m)1564 3519 y Fq(X)1659 3504 y Fz(=)28 b(Mor)1939 3519 y Fr(C)1984 3504 y Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(m)p Fz(\))28 b(=)f Ft(m)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\).)44 b(The)33 b(diagram)1039 3694 y Ft(G)p Fz(\(-)o(\))22 b Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\(-)o(\))f Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\(-)o(\))232 b Ft(G)p Fz(\(-)o(\))22 b Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\(-)o(\))p 1867 3671 174 4 v 1958 3669 a Fm(-)1859 3630 y Fq(m)1921 3650 y Fz(-)1958 3630 y Fr(\002)p Fl(1)1192 4181 y Ft(G)p Fz(\(-)o(\))g Fx(\002)f Ft(G)p Fz(\(-\))538 b Ft(G)p Fz(\(-)o(\))p 1713 4158 481 4 v 2111 4156 a Fm(-)1904 4118 y Fq(m)1966 4138 y Fz(-)p 1437 4088 4 351 v 1438 4088 a Fm(?)1210 3924 y Fl(1)p Fr(\002)p Fq(m)1362 3944 y Fz(-)p 2314 4088 V 2316 4088 a Fm(?)2355 3917 y Fq(m)2417 3937 y Fz(-)0 4339 y(comm)m(utes)30 b(if)f(and)h(only)f(if)g(Mor)1204 4354 y Fr(C)1249 4339 y Fz(\(-)p Ft(;)17 b(m)p Fz(\()p Ft(m)g Fx(\002)g Fz(1\)\))28 b(=)f(Mor)2115 4354 y Fr(C)2161 4339 y Fz(\(-)o Ft(;)17 b(m)p Fz(\)\(Mor)2612 4354 y Fr(C)2657 4339 y Fz(\(-)o Ft(;)g(m)p Fz(\))g Fx(\002)h Fz(1\))27 b(=)h Ft(m)3309 4354 y Fz(-)3346 4339 y(\()p Ft(m)3469 4354 y Fz(-)3523 4339 y Fx(\002)0 4456 y Fz(1\))36 b(=)g Ft(m)320 4471 y Fz(-)357 4456 y(\(1)25 b Fx(\002)i Ft(m)658 4471 y Fz(-)695 4456 y(\))36 b(=)g(Mor)1057 4471 y Fr(C)1102 4456 y Fz(\(-)p Ft(;)17 b(m)p Fz(\)\(1)25 b Fx(\002)h Fz(Mor)1731 4471 y Fr(C)1776 4456 y Fz(\(-)p Ft(;)17 b(m)p Fz(\)\))36 b(=)g(Mor)2376 4471 y Fr(C)2421 4456 y Fz(\(-)p Ft(;)17 b(m)p Fz(\(1)25 b Fx(\002)h Ft(m)p Fz(\)\))38 b(if)e(and)i(only)f(if)0 4572 y Ft(m)p Fz(\()p Ft(m)23 b Fx(\002)f Fz(1\))28 b(=)f Ft(m)p Fz(\(1)22 b Fx(\002)h Ft(m)p Fz(\))33 b(if)e(and)i(only)f(if)f(the)i(diagram)1320 4753 y Ft(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)f Fx(\002)g Ft(G)210 b(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)p 1823 4725 153 4 v 1893 4723 a Fm(-)1823 4697 y Fq(m)p Fr(\002)p Fl(1)1419 5241 y Ft(G)f Fx(\002)h Ft(G)409 b(G)p 1724 5213 351 4 v 1992 5211 a Fm(-)1868 5192 y Fq(m)p 1556 5143 4 351 v 1557 5143 a Fm(?)1366 4985 y Fl(1)p Fr(\002)p Fq(m)p 2141 5143 V 2142 5143 a Fm(?)2181 4981 y Fq(m)p eop %%Page: 41 44 41 43 bop 939 251 a Fw(2.)35 b(MONOIDS)c(AND)i(GR)n(OUPS)f(IN)g(A)h(CA) -6 b(TEGOR)g(Y)861 b(41)0 450 y Fz(comm)m(utes.)43 b(In)33 b(a)g(similar)c(w)m(a)m(y)34 b(one)f(sho)m(ws)h(the)f(equiv)-5 b(alence)33 b(of)f(the)h(other)f(diagram\(s\).)140 b Fh(\003)149 633 y Fv(Problem)25 b(2.2.12.)34 b Fz(Let)23 b Fx(C)29 b Fz(b)s(e)23 b(a)f(category)h(with)f(\014nite)h(pro)s (ducts.)40 b(Sho)m(w)24 b(that)e(a)h(morphism)0 750 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(G)468 714 y Fr(0)523 750 y Fz(in)k Fx(C)39 b Fz(is)32 b(a)g(homomorphism)e (of)i(groups)h(if)e(and)i(only)f(if)1466 909 y Ft(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)311 b(G)p 1771 881 254 4 v 1942 879 a Fm(-)1866 860 y Fq(m)1443 1399 y Ft(G)1520 1363 y Fr(0)1565 1399 y Fx(\002)23 b Ft(G)1742 1363 y Fr(0)2041 1399 y Ft(G)2118 1363 y Fr(0)p 1794 1368 219 4 v 1930 1366 a Fm(-)1861 1347 y Fq(m)1923 1324 y Fk(0)p 1602 1298 4 351 v 1604 1298 a Fm(?)1428 1139 y Fq(f)7 b Fr(\002)p Fq(f)p 2090 1298 V 2092 1298 a Fm(?)2131 1139 y Fq(f)0 1537 y Fz(comm)m(utes.)149 1681 y Fv(De\014nition)54 b(2.2.3.)c Fz(A)d Fs(c)-5 b(o)g(gr)g(oup)48 b Fz(\()p Fs(c)-5 b(omonoid)p Fz(\))46 b Ft(G)h Fz(in)g Fx(C)54 b Fz(is)47 b(a)h(group)f(\(monoid\))f(in)h Fx(C)3499 1645 y Fq(op)3573 1681 y Fz(,)0 1797 y(i.e.)67 b(an)41 b(ob)5 b(ject)41 b Ft(G)g Fx(2)h Fz(Ob)16 b Fx(C)48 b Fz(=)41 b(Ob)17 b Fx(C)1433 1761 y Fq(op)1547 1797 y Fz(together)41 b(with)f(a)h(natural)e(transformation)g Ft(m)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))41 b(:)0 1914 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))32 b Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))52 b Fx(\000)-59 b(!)52 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))46 b(where)j Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))52 b(=)g(Mor)2030 1929 y Fr(C)2071 1910 y Fn(op)2142 1914 y Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(G)p Fz(\))52 b(=)g(Mor)2778 1929 y Fr(C)2824 1914 y Fz(\()p Ft(G;)17 b(X)8 b Fz(\),)50 b(suc)m(h)e(that)0 2030 y(\()p Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p Ft(;)17 b(m)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\)\))32 b(is)g(a)g(group)g (\(monoid\))f(for)h(eac)m(h)i Ft(X)h Fx(2)28 b(C)6 b Fz(.)149 2173 y Fv(Remark)51 b(2.2.4.)d Fz(Let)d Fx(C)51 b Fz(b)s(e)45 b(a)g(category)g(with)f(\014nite)g(\(categorical\))f (copro)s(ducts.)81 b(An)0 2290 y(ob)5 b(ject)35 b Ft(G)f Fz(in)f Fx(C)40 b Fz(carries)34 b(the)h(structure)g Ft(m)c Fz(:)f Ft(G)p Fz(\(-)o(\))23 b Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\(-)o(\))30 b Fx(\000)-59 b(!)30 b Ft(G)p Fz(\(-)o(\))k(of)g(a)f(cogroup)h(in)g Fx(C)40 b Fz(if)33 b(and)0 2406 y(only)h(if)f(there)i(are)g(morphisms)e (\001)e(:)g Ft(G)g Fx(\000)-59 b(!)30 b Ft(G)23 b Fx(q)h Ft(G)p Fz(,)35 b Ft(")30 b Fz(:)h Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(I)8 b Fz(,)35 b(and)f Ft(S)j Fz(:)31 b Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(G)j Fz(suc)m(h)i(that)0 2522 y(the)d(diagrams)458 3190 y Ft(G)22 b Fx(q)f Ft(G)215 b(G)22 b Fx(q)f Ft(G)i Fx(q)e Ft(G)p 759 3158 157 4 v 833 3156 a Fm(-)763 3137 y Fl(\001)p Fr(q)p Fl(1)556 2703 y Ft(G)410 b(G)22 b Fx(q)f Ft(G)p 661 2671 353 4 v 931 2669 a Fm(-)808 2650 y Fl(\001)p 1177 3088 4 351 v 1179 3088 a Fm(?)1218 2935 y Fl(1)p Fr(q)p Fl(\001)p 592 3088 V 594 3088 a Fm(?)496 2935 y Fl(\001)1822 3188 y Ft(G)i Fx(q)e Ft(G)177 b(I)30 b Fx(q)22 b Ft(G)2546 3161 y Fx(\030)2547 3192 y Fz(=)2652 3188 y Ft(G)2756 3161 y Fx(\030)2757 3192 y Fz(=)2861 3188 y Ft(G)h Fx(q)e Ft(I)p 2124 3158 120 4 v 2161 3156 a Fm(-)2123 3137 y Fq(")p Fr(q)p Fl(1)1920 2703 y Ft(G)849 b(G)22 b Fx(q)g Ft(G)p 2026 2671 792 4 v 2735 2669 a Fm(-)2393 2650 y Fl(\001)p 2981 3088 4 351 v 2983 3088 a Fm(?)3022 2935 y Fl(1)p Fr(q)p Fq(")p 1957 3088 V 1959 3088 a Fm(?)1861 2935 y Fl(\001)2386 2934 y(1)2061 2792 y Fm(Q)2144 2848 y(Q)2227 2903 y(Q)2310 2959 y(Q)2393 3014 y(Q)2476 3069 y(Q)2505 3088 y(Q)-83 b(s)1372 3350 y Ft(G)326 b(I)p 1477 3318 269 4 v 1663 3316 a Fm(-)2152 3350 y Ft(G)p 1855 3318 V 2041 3316 a Fm(-)1972 3298 y Fq(")1274 3838 y Ft(G)22 b Fx(q)g Ft(G)507 b(G)22 b Fx(q)f Ft(G)p 1575 3806 451 4 v 1943 3804 a Fm(-)1733 3785 y Fl(1)p Fr(q)p Fq(S)1733 3869 y(S)t Fr(q)p Fl(1)p 1408 3736 4 351 v 1410 3736 a Fm(?)1312 3583 y Fl(\001)p 2188 3736 V 2190 3468 a Fm(6)2229 3583 y Fr(r)0 3986 y Fz(comm)m(ute)26 b(where)i Fx(r)f Fz(is)f(dual)g(to)h(the)g(morphism)e(\001)i(de\014ned) h(in)e([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])27 b(4.2.)41 b(The)0 4102 y(m)m(ultiplications)28 b(are)33 b(related)f(b)m(y)i(\001) 1369 4117 y Fq(X)1464 4102 y Fz(=)28 b(Mor)1744 4117 y Fr(C)1789 4102 y Fz(\(\001)p Ft(;)17 b(X)8 b Fz(\))27 b(=)h(\001\()p Ft(X)8 b Fz(\).)149 4218 y(Let)40 b Fx(C)46 b Fz(b)s(e)39 b(a)g(category)h(with)f(\014nite)g(copro)s(ducts)h(and)g (let)e Ft(G)i Fz(and)f Ft(G)2778 4182 y Fr(0)2841 4218 y Fz(b)s(e)g(cogroups)h(in)f Fx(C)6 b Fz(.)0 4334 y(Then)37 b(a)e(homomorphism)e(of)i(groups)h Ft(f)43 b Fz(:)33 b Ft(G)1694 4298 y Fr(0)1750 4334 y Fx(\000)-60 b(!)32 b Ft(G)k Fz(is)f(a)g(morphism)f Ft(f)43 b Fz(:)33 b Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)32 b Ft(G)3143 4298 y Fr(0)3202 4334 y Fz(in)j Fx(C)41 b Fz(suc)m(h)0 4451 y(that)32 b(the)h(diagram)1470 4587 y Ft(G)311 b(G)22 b Fx(\002)h Ft(G)p 1576 4558 254 4 v 1747 4556 a Fm(-)1673 4538 y Fl(\001)1458 5077 y Ft(G)1535 5040 y Fr(0)1835 5077 y Ft(G)1912 5040 y Fr(0)1957 5077 y Fx(\002)g Ft(G)2134 5040 y Fr(0)p 1587 5046 219 4 v 1723 5044 a Fm(-)1656 5025 y Fl(\001)1715 5002 y Fk(0)p 1994 4976 4 351 v 1996 4976 a Fm(?)2035 4817 y Fq(f)7 b Fr(\002)p Fq(f)p 1507 4976 V 1508 4976 a Fm(?)1428 4817 y Fq(f)0 5196 y Fz(comm)m(utes.)43 b(An)33 b(analogous)f(result)g (holds)g(for)g(comonoids.)p eop %%Page: 42 45 42 44 bop 0 251 a Fw(42)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)149 450 y Fv(Remark)39 b(2.2.5.)k Fz(Ob)m(viously)35 b(similar)c(observ)-5 b(ations)34 b(and)h(statemen)m(ts)g(can)g(b)s(e)g(made)e(for)0 566 y(other)38 b(algebraic)f(structures)j(in)d(a)h(category)h Fx(C)6 b Fz(.)60 b(So)39 b(one)f(can)h(in)m(tro)s(duce)f(v)m(ector)h (spaces)h(and)0 683 y(co)m(v)m(ector)46 b(spaces,)i(monoids)43 b(and)h(comonoids,)i(rings)e(and)g(corings)g(in)f(a)h(category)h Fx(C)6 b Fz(.)78 b(The)0 799 y(structures)44 b(can)e(b)s(e)g(describ)s (ed)h(b)m(y)g(morphisms)e(in)g Fx(C)48 b Fz(if)41 b Fx(C)48 b Fz(is)42 b(a)g(category)g(with)g(\014nite)f(\(co-\))0 915 y(pro)s(ducts.)149 1043 y Fv(Problem)36 b(2.2.13.)43 b Fz(Determine)32 b(the)h(structure)h(of)e(a)h(co)m(v)m(ector)h(space)g (on)f(a)g(v)m(ector)h(space)0 1159 y Ft(V)54 b Fz(from)31 b(the)i(fact)g(that)f(Hom)o(\()p Ft(V)5 b(;)17 b(W)d Fz(\))32 b(is)g(a)h(v)m(ector)g(space)h(for)e(all)f(v)m(ector)i(spaces) h Ft(W)14 b Fz(.)149 1300 y Fv(Prop)s(osition)40 b(2.2.6.)k Fs(L)-5 b(et)39 b Ft(G)c Fx(2)f(C)45 b Fs(b)-5 b(e)38 b(a)g(gr)-5 b(oup)39 b(with)f(multiplic)-5 b(ation)38 b Ft(a)25 b Fx(\003)g Ft(b)p Fs(,)39 b(unit)g Ft(e)p Fs(,)h(and)0 1416 y(inverse)35 b Ft(a)387 1380 y Fr(\000)p Fl(1)517 1416 y Fs(in)h Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p Fs(.)47 b(Then)35 b(the)h(morphisms)e Ft(m)c Fz(:)g Ft(G)22 b Fx(\002)i Ft(G)29 b Fx(\000)-57 b(!)29 b Ft(G)p Fs(,)36 b Ft(u)29 b Fz(:)h Ft(E)35 b Fx(\000)-57 b(!)29 b Ft(G)p Fs(,)36 b(and)f Ft(S)h Fz(:)29 b Ft(G)0 1532 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(G)35 b Fs(ar)-5 b(e)35 b(given)f(by)968 1696 y Ft(m)28 b Fz(=)f Ft(p)1233 1711 y Fl(1)1295 1696 y Fx(\003)22 b Ft(p)1416 1711 y Fl(2)1455 1696 y Ft(;)216 b(u)27 b Fz(=)h Ft(e)1930 1711 y Fq(E)1990 1696 y Ft(;)216 b(S)33 b Fz(=)28 b(id)2511 1653 y Fr(\000)p Fl(1)2511 1722 y Fq(G)2605 1696 y Ft(:)149 1871 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(By)33 b(the)g(Y)-8 b(oneda)33 b(Lemma)e([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])f(5.7)f(these)i(morphisms)d(can)i(b)s(e)0 1987 y(constructed)28 b(from)d(the)h(natural)f(transformation)f(as)j (follo)m(ws.)40 b(Under)27 b(Mor)2833 2002 y Fr(C)2878 1987 y Fz(\()p Ft(G)9 b Fx(\002)g Ft(G;)17 b(G)9 b Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\))28 b(=)0 2118 y Ft(G)h Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\()p Ft(G)g Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\))703 2090 y Fx(\030)704 2122 y Fz(=)826 2118 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(G)g Fx(\002)g Ft(G)p Fz(\))f Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\()p Ft(G)f Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\))1958 2062 y Fr(\003)1895 2118 y Fx(\000)-16 b(!)46 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(G)29 b Fx(\002)h Ft(G)p Fz(\))46 b(=)g(Mor)2889 2133 y Fr(C)2934 2118 y Fz(\()p Ft(G)30 b Fx(\002)g Ft(G;)17 b(G)p Fz(\))43 b(the)0 2234 y(iden)m(tit)m(y)g(id) 453 2249 y Fq(G)p Fr(\002)p Fq(G)668 2234 y Fz(=)k(\()p Ft(p)878 2249 y Fl(1)917 2234 y Ft(;)17 b(p)1010 2249 y Fl(2)1049 2234 y Fz(\))44 b(is)f(mapp)s(ed)g(to)g Ft(m)k Fz(=)f Ft(p)2055 2249 y Fl(1)2124 2234 y Fx(\003)30 b Ft(p)2253 2249 y Fl(2)2292 2234 y Fz(.)77 b(Under)44 b(Mor)2878 2249 y Fr(C)2924 2234 y Fz(\()p Ft(E)6 b(;)17 b(E)6 b Fz(\))46 b(=)g Ft(E)6 b Fz(\()p Ft(E)g Fz(\))0 2351 y Fx(\000)-60 b(!)32 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(E)6 b Fz(\))31 b(=)g(Mor)694 2366 y Fr(C)739 2351 y Fz(\()p Ft(E)6 b(;)17 b(G)p Fz(\))35 b(the)g(iden)m(tit)m(y)f(of)h Ft(E)41 b Fz(is)34 b(mapp)s(ed)g(to)h(the)g(neutral)f(elemen)m(t)h Ft(u)c Fz(=)g Ft(e)3513 2366 y Fq(E)3573 2351 y Fz(.)0 2467 y(Under)43 b(Mor)481 2482 y Fr(C)526 2467 y Fz(\()p Ft(G;)17 b(G)p Fz(\))44 b(=)g Ft(G)p Fz(\()p Ft(G)p Fz(\))g Fx(\000)-59 b(!)44 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(G)p Fz(\))g(=)g(Mor)1970 2482 y Fr(C)2015 2467 y Fz(\()p Ft(G;)17 b(G)p Fz(\))42 b(the)g(iden)m(tit)m(y)h(is)f(mapp)s(ed)f(to)h(its)0 2586 y Fx(\003)p Fz(-in)m(v)m(erse)33 b Ft(S)h Fz(=)27 b(id)684 2543 y Fr(\000)p Fl(1)684 2611 y Fq(G)778 2586 y Fz(.)2718 b Fh(\003)149 2761 y Fv(Corollary)42 b(2.2.7.)j Fs(L)-5 b(et)40 b Ft(G)d Fx(2)g(C)46 b Fs(b)-5 b(e)40 b(a)f(c)-5 b(o)g(gr)g(oup)40 b(with)f(multiplic)-5 b(ation)39 b Ft(a)26 b Fx(\003)g Ft(b)p Fs(,)41 b(unit)f Ft(e)p Fs(,)i(and)0 2877 y(inverse)36 b Ft(a)388 2841 y Fr(\000)p Fl(1)520 2877 y Fs(in)h Ft(G)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p Fs(.)51 b(Then)37 b(the)g(morphisms)e Fz(\001)e(:)f Ft(G)g Fx(\000)-57 b(!)31 b Ft(G)24 b Fx(q)f Ft(G)p Fs(,)38 b Ft(")32 b Fz(:)g Ft(G)g Fx(\000)-57 b(!)31 b Ft(I)8 b Fs(,)38 b(and)e Ft(S)i Fz(:)32 b Ft(G)0 2993 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(G)35 b Fs(ar)-5 b(e)35 b(given)f(by)999 3117 y Fz(\001)28 b(=)f Ft(\023)1245 3132 y Fl(1)1308 3117 y Fx(\003)21 b Ft(\023)1413 3132 y Fl(2)1453 3117 y Ft(;)216 b(")28 b Fz(=)f Ft(e)1918 3132 y Fq(I)1958 3117 y Ft(;)216 b(S)34 b Fz(=)27 b(id)2480 3074 y Fr(\000)p Fl(1)2480 3142 y Fq(G)2574 3117 y Ft(:)1133 3335 y Fv(3.)56 b(A\016ne)38 b(Algebraic)e(Groups)149 3509 y Fz(W)-8 b(e)33 b(apply)g(the)g (preceding)g(considerations)f(to)g(the)h(categories)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)48 b Fz(and)33 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)17 b Fz(.)149 3625 y(Consider)35 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(,)35 b(the)g(category)g(of)f(comm)m(utativ)m(e)f Fu(K)18 b Fz(-algebras.)54 b(Let)35 b Ft(A;)17 b(B)36 b Fx(2)c Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(.)0 3742 y(Then)38 b Ft(A)26 b Fx(\012)f Ft(B)43 b Fz(is)36 b(again)g(a)h(comm)m(utativ)m(e)f Fu(K)17 b Fz(-algebra)42 b(with)37 b(comp)s(onen)m(t)m(wise)g(m)m(ultiplication.) 0 3858 y(In)29 b(fact)f(this)f(holds)h(also)g(for)f(non-comm)m(utativ)m (e)g Fu(K)18 b Fz(-algebras)33 b(\([Adv)-5 b(anced)33 b(Algebra])28 b(2.3\),)h(but)0 3974 y(in)j Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)49 b Fz(w)m(e)33 b(ha)m(v)m(e)149 4114 y Fv(Prop)s(osition)e(2.3.1.)39 b Fs(The)31 b(tensor)g(pr)-5 b(o)g(duct)31 b(in)g Fu(K)18 b Fs(-)6 b(c)g Fx(A)p Fs(lg)47 b(is)31 b(the)g(\(c)-5 b(ate)g(goric)g(al\))30 b(c)-5 b(opr)g(o)g(duct.)149 4289 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)34 b Ft(f)39 b Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(Z)7 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)31 b Fx(2)e Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(B)5 b(;)17 b(Z)7 b Fz(\).)44 b(The)34 b(map)e([)p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(])28 b(:)h Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)34 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(Z)0 4406 y Fz(de\014ned)40 b(b)m(y)f([)p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(]\()p Ft(a)26 b Fx(\012)g Ft(b)p Fz(\))38 b(:=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))38 b(is)g(the)h(unique)f(algebra)g (homomorphism)d(suc)m(h)40 b(that)0 4522 y([)p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(]\()p Ft(a)22 b Fx(\012)g Fz(1\))28 b(=)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))33 b(and)f([)p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(]\(1)22 b Fx(\012)g Ft(b)p Fz(\))28 b(=)g Ft(g)t Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))k(or)g(suc)m(h)i(that)f(the)g(diagram)1372 4691 y Ft(A)217 b(A)22 b Fx(\012)g Ft(B)p 1474 4663 159 4 v 1550 4661 a Fm(-)1515 4631 y Fq(\023)1540 4642 y Fn(A)2149 4691 y Ft(B)p 1964 4663 156 4 v 1964 4661 a Fm(\033)2003 4631 y Fq(\023)2028 4642 y Fn(B)1502 4873 y Fq(f)1477 4813 y Fm(@)1560 4896 y(@)1643 4979 y(@)1647 4983 y(@)-83 b(R)2086 4864 y Fq(g)2037 4813 y Fm(\000)1954 4896 y(\000)1871 4979 y(\000)1867 4983 y(\000)g(\011)1762 5085 y Ft(Z)p 1797 4983 4 254 v 1799 4983 a Fm(?)1838 4800 y Fl([)o Fq(f)s(;g)r Fl(])0 5216 y Fz(comm)m(utes,)33 b(where)g Ft(\023)801 5231 y Fq(A)859 5216 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)f Ft(a)c Fx(\012)f Fz(1)32 b(and)h Ft(\023)1595 5231 y Fq(B)1656 5216 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))28 b(=)g(1)22 b Fx(\012)g Ft(b)33 b Fz(are)g(algebra)e(homomorphisms.)146 b Fh(\003)p eop %%Page: 43 46 43 45 bop 1174 251 a Fw(3.)35 b(AFFINE)d(ALGEBRAIC)h(GR)n(OUPS)1096 b(43)149 450 y Fz(So)33 b(the)g(category)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)49 b Fz(has)33 b(\014nite)f(copro)s(ducts) h(and)g(also)f(an)g(initial)d(ob)5 b(ject)33 b Fu(K)18 b Fz(.)149 566 y(A)35 b(more)f(general)g(prop)s(ert)m(y)h(of)f(the)h (tensor)h(pro)s(duct)e(of)g(arbitrary)g(algebras)g(w)m(as)h(already)0 683 y(considered)e(in)f(1.2.13.)149 799 y(Observ)m(e)j(that)d(the)h (follo)m(wing)d(diagram)h(comm)m(utes)1373 959 y Ft(A)220 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)p 1475 931 162 4 v 1554 929 a Fm(-)1526 901 y Fq(\023)1551 910 y Fo(1)2153 959 y Ft(A)p 1963 931 V 1963 929 a Fm(\033)2014 901 y Fq(\023)2039 910 y Fo(2)1459 1140 y Fl(1)1494 1151 y Fn(A)1478 1080 y Fm(@)1561 1163 y(@)1644 1247 y(@)1649 1251 y(@)-83 b(R)2088 1140 y Fl(1)2123 1151 y Fn(A)2039 1080 y Fm(\000)1956 1163 y(\000)1873 1247 y(\000)1868 1251 y(\000)g(\011)1763 1353 y Ft(A)p 1798 1251 4 254 v 1800 1251 a Fm(?)1839 1074 y Fr(r)0 1482 y Fz(where)40 b Fx(r)f Fz(is)f(the)h(m)m (ultiplication)34 b(of)k(the)h(algebra)f(and)h(b)m(y)g(the)h(diagram)c (the)j(co)s(diagonal)d(of)0 1598 y(the)d(copro)s(duct.)149 1737 y Fv(De\014nition)44 b(2.3.2.)h Fz(An)39 b Fs(a\016ne)h(algebr)-5 b(aic)39 b(gr)-5 b(oup)39 b Fz(is)f(a)g(group)h(in)f(the)h(category)g (of)f(com-)0 1853 y(m)m(utativ)m(e)32 b(geometric)g(spaces.)149 1993 y(By)f(the)f(dualit)m(y)f(b)s(et)m(w)m(een)j(the)f(categories)e (of)h(comm)m(utativ)m(e)f(geometric)f(spaces)k(and)e(com-)0 2109 y(m)m(utativ)m(e)j(algebras,)g(an)g(a\016ne)h(algebraic)e(group)h (is)g(represen)m(ted)j(b)m(y)e(a)f(cogroup)h(in)e(the)i(cate-)0 2225 y(gory)e(of)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)48 b Fz(of)33 b(comm)m(utativ)m(e)e(algebras.)149 2341 y(F)-8 b(or)32 b(an)h(arbitrary)e(a\016ne)i(algebraic)e(group)i Ft(H)40 b Fz(w)m(e)33 b(get)g(b)m(y)g(Corollary)e(2.2.7)1084 2504 y(\001)d(=)f Ft(\023)1330 2519 y Fl(1)1392 2504 y Fx(\003)22 b Ft(\023)1498 2519 y Fl(2)1566 2504 y Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)15 b Fz(\()p Ft(H)r(;)i(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)8 b Fz(\))p Ft(;)486 2673 y(")27 b Fz(=)h Ft(e)g Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\))p Ft(;)251 b Fz(and)32 b Ft(S)i Fz(=)27 b(\(id)o(\))2252 2632 y Fr(\000)p Fl(1)2374 2673 y Fx(2)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h(H)8 b Fz(\))p Ft(:)0 2815 y Fz(These)34 b(maps)f(and)f(Corollary)f(2.2.7)h(lead)g(to) 149 2954 y Fv(Prop)s(osition)42 b(2.3.3.)i Fs(L)-5 b(et)40 b Ft(H)k Fx(2)37 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b(.)59 b Ft(H)47 b Fs(is)39 b(a)h(r)-5 b(epr)g(esenting)38 b(obje)-5 b(ct)39 b(for)h(a)f(functor)0 3070 y Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)h Fx(A)p Fs(lg)43 b Fx(\000)-57 b(!)28 b(G)6 b Fs(r)51 b(if)35 b(and)f(only)h(if)g Ft(H)42 b Fs(is)35 b(a)f(Hopf)h(algebr)-5 b(a.)149 3243 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Both)29 b(statemen)m(ts)g(are)f(equiv)-5 b(alen)m(t)28 b(to)g(the)h(existence)g(of)f(morphisms)f(in)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)859 3406 y Fz(\001)28 b(:)f Ft(H)36 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(H)j Fx(\012)23 b Ft(H)105 b(")27 b Fz(:)h Ft(H)35 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)121 b Ft(S)33 b Fz(:)28 b Ft(H)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)0 3568 y Fz(suc)m(h)34 b(that)e(the)h(follo)m(wing)d (diagrams)h(comm)m(ute)1823 3736 y Ft(H)594 b(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 1941 3708 529 4 v 2387 3706 a Fm(-)2176 3687 y Fl(\001)p 1866 4028 4 254 v 1868 4028 a Fm(?)1770 3924 y Fl(\001)698 3901 y Fz(\(coasso)s(ciativit)m(y\))p 2646 4028 V 2648 4028 a Fm(?)2687 3920 y Fl(\001)p Fr(\012)p Fl(1)1718 4126 y Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)383 b(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 2046 4098 318 4 v 2281 4096 a Fm(-)2131 4071 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\001)1231 4288 y Ft(H)1276 b(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 1349 4260 1211 4 v 2477 4258 a Fm(-)1925 4239 y Fl(\001)1126 4679 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)564 b Fu(K)45 b Fx(\012)23 b Ft(H)2296 4651 y Fx(\030)2297 4683 y Fz(=)2401 4679 y Ft(H)2517 4651 y Fx(\030)2518 4683 y Fz(=)2623 4679 y Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Fu(K)p 1454 4651 499 4 v 1870 4649 a Fm(-)1641 4623 y Fq(")p Fr(\012)p Fl(1)691 4454 y Fz(\(counit\))p 1274 4580 4 254 v 1275 4580 a Fm(?)1178 4476 y Fl(\001)p 2736 4580 V 2738 4580 a Fm(?)2777 4471 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(")1957 4475 y Fl(1)1480 4354 y Fm(P)1563 4382 y(P)1646 4410 y(P)1729 4437 y(P)1812 4465 y(P)1895 4493 y(P)1978 4521 y(P)2061 4548 y(P)2144 4576 y(P)2158 4580 y(P)-83 b(q)897 4982 y Fz(\(coin)m(v)m(erse\))1535 4821 y Ft(H)412 b Fu(K)p 1652 4788 348 4 v 1917 4786 a Fm(-)1812 4768 y Fq(\017)2510 4821 y Ft(H)p 2096 4788 386 4 v 2399 4786 a Fm(-)2269 4755 y Fq(\021)p 1578 5108 4 254 v 1579 5108 a Fm(?)1481 5004 y Fl(\001)1430 5207 y Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Ft(H)684 b(H)29 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 1758 5179 619 4 v 2294 5177 a Fm(-)1986 5150 y Fq(S)t Fr(\012)p Fl(id)1981 5242 y(id)11 b Fr(\012)p Fq(S)p 2552 5108 4 254 v 2554 4938 a Fm(6)2593 5004 y Fr(r)p eop %%Page: 44 47 44 46 bop 0 251 a Fw(44)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)3523 450 y Fh(\003)149 652 y Fz(This)j(Prop)s(osition)e(sa)m(ys)j(t)m(w)m(o)f(things.)48 b(First)34 b(of)g(all)e(eac)m(h)j(comm)m(utativ)m(e)f(Hopf)g(algebra)f Ft(H)0 768 y Fz(de\014nes)41 b(a)f(functor)f Fu(K)18 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fz(-)o(\))40 b(:)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)56 b Fx(\000)-60 b(!)39 b(S)n Fs(et)57 b Fz(that)39 b(factors)h(through)g (the)g(category)0 884 y(of)e(groups)h(or)f(simply)f(a)i(functor)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fz(-)o(\))38 b(:)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)54 b Fx(\000)-60 b(!)38 b(G)6 b Fs(r)17 b Fz(.)61 b(Secondly)39 b(eac)m(h)h(repre-)0 1000 y(sen)m(table)34 b(functor)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fz(-)o(\))30 b(:)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)46 b Fx(\000)-60 b(!)29 b(S)n Fs(et)51 b Fz(that)34 b(factors)f(through)h (the)g(category)g(of)0 1117 y(groups)f(is)f(represen)m(ted)j(b)m(y)f(a) e(comm)m(utativ)m(e)f(Hopf)i(algebra.)149 1268 y Fv(Corollary)h(2.3.4.) 41 b Fs(A)n(n)33 b(algebr)-5 b(a)33 b Ft(H)i Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fs(-)5 b(c)i Fx(A)p Fs(lg)49 b(r)-5 b(epr)g(esents)33 b(an)g(a\016ne)g(algebr)-5 b(aic)32 b(gr)-5 b(oup)33 b(if)0 1384 y(and)h(only)h(if)g Ft(H)42 b Fs(is)35 b(a)f(c)-5 b(ommutative)35 b(Hopf)f(algebr)-5 b(a.)149 1500 y(The)36 b(c)-5 b(ate)g(gory)37 b(of)f(c)-5 b(ommutative)36 b(Hopf)g(algebr)-5 b(as)36 b(is)g(dual)g(to)h(the)f(c)-5 b(ate)g(gory)37 b(of)f(a\016ne)g(alge-)0 1616 y(br)-5 b(aic)34 b(gr)-5 b(oups.)149 1767 y Fz(In)39 b(the)g(follo)m(wing)d(lemmas)g(w)m(e)k (consider)f(functors)g(represen)m(ted)i(b)m(y)e(comm)m(utativ)m(e)e (alge-)0 1884 y(bras.)81 b(They)46 b(de\014ne)g(functors)f(on)g(the)h (category)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)61 b Fz(as)45 b(w)m(ell)f(as)h(more)f(generally)g(on)0 2000 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(.)42 b(W)-8 b(e)30 b(\014rst)g(study)g(the)g(functors)f(and)h(the)f(represen)m (ting)i(algebras.)41 b(Then)31 b(w)m(e)f(use)g(them)0 2116 y(to)i(construct)i(comm)m(utativ)m(e)d(Hopf)i(algebras.)149 2267 y Fv(Lemma)49 b(2.3.5.)e Fs(The)c(functor)h Fu(G)1495 2282 y Fq(a)1587 2267 y Fz(:)h Fu(K)17 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)61 b Fx(\000)-58 b(!)45 b(A)p Fs(b)60 b(de\014ne)-5 b(d)42 b(by)j Fu(G)2876 2282 y Fq(a)2924 2267 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))f(:=)h Ft(A)3338 2231 y Fl(+)3397 2267 y Fs(,)h(the)0 2383 y(underlying)37 b(additive)f(gr)-5 b(oup)38 b(of)f(the)g(algebr)-5 b(a)36 b Ft(A)p Fs(,)i(is)f(a)h(r)-5 b(epr)g(esentable)36 b(functor)h(r)-5 b(epr)g(esente)g(d)37 b(by)0 2500 y(the)e(algebr)-5 b(a)34 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q Fz(])41 b Fs(the)35 b(p)-5 b(olynomial)33 b(ring)i(in)f(one)h (variable)f Ft(x)p Fs(.)149 2701 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fu(G)606 2716 y Fq(a)691 2701 y Fz(is)37 b(an)g(underlying)g(functor)g (that)h(forgets)f(the)h(m)m(ultiplicativ)m(e)c(structure)k(of)0 2817 y(the)22 b(algebra)f(and)h(only)f(preserv)m(es)k(the)d(additiv)m (e)f(group)h(of)f(the)i(algebra.)38 b(W)-8 b(e)23 b(ha)m(v)m(e)g(to)e (determine)0 2934 y(natural)28 b(isomorphisms)g(\(natural)g(in)h Ft(A)p Fz(\))h Fu(G)1643 2949 y Fq(a)1691 2934 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))1868 2906 y Fx(\030)1868 2938 y Fz(=)1973 2934 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q Fz(])p Ft(;)g(A)p Fz(\).)48 b(Eac)m(h)30 b(elemen)m(t)g Ft(a)e Fx(2)g Ft(A)3541 2897 y Fl(+)0 3050 y Fz(is)33 b(mapp)s(ed)h(to)g(the)g(homomorphism)d(of)j(algebras)f Ft(a)1997 3065 y Fr(\003)2067 3050 y Fz(:)d Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q Fz(])36 b Fx(3)30 b Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))h Fx(7!)e Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))h Fx(2)h Ft(A)p Fz(.)48 b(This)34 b(is)f(a)0 3166 y(homomorphism)c(of)j (algebras)f(since)i Ft(a)1468 3181 y Fr(\003)1507 3166 y Fz(\()p Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))22 b(+)f Ft(q)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))28 b(=)f Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))21 b(+)g Ft(q)t Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)f Ft(a)2841 3181 y Fr(\003)2881 3166 y Fz(\()p Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))21 b(+)g Ft(a)3306 3181 y Fr(\003)3346 3166 y Fz(\()p Ft(q)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))0 3282 y(and)37 b Ft(a)245 3297 y Fr(\003)285 3282 y Fz(\()p Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(q)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))f(=)g Ft(p)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(q)t Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))g(=)g Ft(a)1416 3297 y Fr(\003)1455 3282 y Fz(\()p Ft(p)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))p Ft(a)1762 3297 y Fr(\003)1802 3282 y Fz(\()p Ft(q)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\).)58 b(Another)38 b(reason)g(to)f(see)h(this)f(is)g(that)0 3398 y Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)p Fz(])49 b(is)42 b(the)h(free)g(\(comm)m(utativ)m(e\))f Fu(K)18 b Fz(-algebra)47 b(o)m(v)m(er)d Fx(f)p Ft(x)p Fx(g)e Fz(i.e.)74 b(since)43 b(eac)m(h)h(map)e Fx(f)p Ft(x)p Fx(g)j(\000)-60 b(!)45 b Ft(A)0 3515 y Fz(can)h(b)s(e)f (uniquely)h(extended)h(to)e(a)g(homomorphism)e(of)i(algebras)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(])56 b Fx(\000)-60 b(!)49 b Ft(A)p Fz(.)82 b(The)47 b(map)0 3631 y Ft(A)40 b Fx(3)g Ft(a)g Fx(7!)f Ft(a)500 3646 y Fr(\003)579 3631 y Fx(2)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)f(A)p Fz(\))46 b(is)39 b(bijectiv)m(e)g(with)g(the)h (in)m(v)m(erse)h(map)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)f(A)p Fz(\))46 b Fx(3)0 3747 y Ft(f)38 b Fx(7!)28 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))27 b Fx(2)h Ft(A)p Fz(.)44 b(Finally)30 b(this)i(map)g(is)g(natural)g(in)f Ft(A)i Fz(since)1115 4433 y Ft(B)512 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)q Ft(x)p Fz(])p Ft(;)g(B)5 b Fz(\))p 1223 4410 450 4 v 1590 4408 a Fm(-)1413 4470 y Fz(-)1445 4478 y Fk(\003)1118 3945 y Ft(A)513 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)f(A)p Fz(\))p 1220 3922 456 4 v 1593 3920 a Fm(-)1413 3893 y Fz(-)1445 3901 y Fk(\003)p 1153 4339 4 351 v 1155 4339 a Fm(?)1080 4172 y Fq(g)p 2030 4339 V 2032 4339 a Fm(?)2071 4181 y Fl(K)p Fz(-)o Fl(Alg\()p Fq(K)5 b Fl([)o Fq(x)p Fl(])p Fq(;g)r Fl(\))0 4631 y Fz(comm)m(utes)32 b(for)h(all)d Ft(g)h Fx(2)d Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(B)5 b Fz(\).)2033 b Fh(\003)149 4832 y Fv(Remark)41 b(2.3.6.)i Fz(Since)36 b Ft(A)1213 4796 y Fl(+)1308 4832 y Fz(has)g(the)g(structure)h(of)e(an)g(additiv)m (e)g(group)h(the)g(sets)g(of)g(ho-)0 4948 y(momorphisms)30 b(of)i(algebras)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)f(A)p Fz(\))39 b(are)32 b(also)g(additiv)m(e)g(groups.)149 5099 y Fv(Lemma)38 b(2.3.7.)k Fs(The)34 b(functor)h Fu(G)1461 5114 y Fq(m)1561 5099 y Fz(=)28 b Ft(U)39 b Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)44 b Fx(\000)-57 b(!)28 b(G)6 b Fs(r)51 b(de\014ne)-5 b(d)34 b(by)i Fu(G)2964 5114 y Fq(m)3037 5099 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(:=)f Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Fs(,)0 5216 y(the)28 b(underlying)f(multiplic)-5 b(ative)28 b(gr)-5 b(oup)27 b(of)h(units)g(of)g(the)f(algebr)-5 b(a)27 b Ft(A)p Fs(,)j(is)d(a)h(r)-5 b(epr)g(esentable)27 b(functor)p eop %%Page: 45 48 45 47 bop 1174 251 a Fw(3.)35 b(AFFINE)d(ALGEBRAIC)h(GR)n(OUPS)1096 b(45)0 450 y Fs(r)-5 b(epr)g(esente)g(d)27 b(by)h(the)g(algebr)-5 b(a)26 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)g(x)1352 414 y Fr(\000)p Fl(1)1452 450 y Fz(])28 b(=)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)10 b Fx(\000)c Fz(1\))33 b Fs(the)28 b(ring)f(of)g(L)-5 b(aur)g(ent)28 b(p)-5 b(olynomials)0 566 y(in)35 b(one)f(variable)g Ft(x)p Fs(.)149 773 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)44 b(ha)m(v)m(e)g(to)f (determine)g(natural)f(isomorphisms)f(\(natural)h(in)h Ft(A)p Fz(\))g Fu(G)3255 788 y Fq(m)3328 773 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))3523 746 y Fx(\030)3523 777 y Fz(=)0 889 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)567 853 y Fr(\000)p Fl(1)667 889 y Fz(])p Ft(;)g(A)p Fz(\).)55 b(Eac)m(h)37 b(elemen)m(t)g Ft(a)d Fx(2)h Fu(G)1799 904 y Fq(m)1872 889 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(is)g(mapp)s(ed)g(to)g(the)h(homomorphism)c(of)0 1006 y(algebras)39 b Ft(a)438 1021 y Fr(\003)517 1006 y Fz(:=)g(\()p Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)g(x)951 969 y Fr(\000)p Fl(1)1051 1006 y Fz(])39 b Fx(3)h Ft(x)g Fx(7!)f Ft(a)h Fx(2)g Ft(A)p Fz(\).)64 b(This)40 b(de\014nes)h(a)f(unique)g (homomorphism)c(of)0 1122 y(algebras)h(since)h(eac)m(h)h(homomorphism) 34 b(of)k(algebras)f Ft(f)48 b Fz(from)36 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(x)2633 1086 y Fr(\000)p Fl(1)2734 1122 y Fz(])36 b(=)g Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)34 b Fx(\000)26 b Fz(1\))0 1238 y(to)j Ft(A)f Fz(is)h(completely)f(determined)g(b)m(y)i(the)f(images)f(of)g Ft(x)h Fz(and)g(of)g Ft(y)j Fz(but)d(in)f(addition)f(the)i(images)0 1354 y(ha)m(v)m(e)d(to)f(satisfy)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(f)g Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))26 b(=)i(1,)e(i.e.)40 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))25 b(m)m(ust)g(b)s(e)g(in)m(v)m (ertible)f(and)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))24 b(m)m(ust)h(b)s(e)g (the)h(in)m(v)m(erse)0 1471 y(to)32 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\).)44 b(This)32 b(mapping)f(is)i(bijectiv)m(e.)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(it)g(is)g(natural)f(in)h Ft(A)g Fz(since)1044 2162 y Ft(B)416 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)2101 2126 y Fr(\000)p Fl(1)2201 2162 y Fz(])p Ft(;)g(B)5 b Fz(\))p 1152 2137 353 4 v 1422 2135 a Fm(-)1294 2198 y Fz(-)1327 2206 y Fk(\003)1047 1675 y Ft(A)417 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)2104 1639 y Fr(\000)p Fl(1)2204 1675 y Fz(])p Ft(;)g(A)p Fz(\))p 1149 1650 359 4 v 1425 1648 a Fm(-)1294 1620 y Fz(-)1327 1628 y Fk(\003)p 1082 2067 4 351 v 1084 2067 a Fm(?)1009 1900 y Fq(g)p 1960 2067 V 1961 2067 a Fm(?)2000 1911 y Fl(K)p Fz(-)p Fl(Alg)o(\()p Fq(K)5 b Fl([)p Fq(x;x)2407 1888 y Fk(\000)p Fo(1)2488 1911 y Fl(])p Fq(;g)r Fl(\))0 2363 y Fz(for)32 b(all)f Ft(g)f Fx(2)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)15 b Fz(\()p Ft(A;)i(B)5 b Fz(\))33 b(comm)m(ute.)2071 b Fh(\003)149 2569 y Fv(Remark)34 b(2.3.8.)40 b Fz(Since)29 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))30 b(has)g(the)g(structure)h(of)e(a)g (\(m)m(ultiplicativ)m(e\))d(group)k(the)g(sets)0 2686 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)567 2649 y Fr(\000)p Fl(1)667 2686 y Fz(])p Ft(;)g(A)p Fz(\))33 b(are)f(also)g(groups.)149 2839 y Fv(Lemma)46 b(2.3.9.)g Fs(The)41 b(functor)h Fu(M)1503 2854 y Fq(n)1597 2839 y Fz(:)f Fu(K)17 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)57 b Fx(\000)-57 b(!)40 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)58 b(with)42 b Fu(M)2771 2854 y Fq(n)2824 2839 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))f Fs(the)h(algebr)-5 b(a)41 b(of)0 2955 y Ft(n)23 b Fx(\002)h Ft(n)p Fs(-matric)-5 b(es)35 b(with)h(entries)g(in)g Ft(A)g Fs(is)g(r)-5 b(epr)g(esentable)35 b(by)h(the)g(algebr)-5 b(a)35 b Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x)2913 2970 y Fl(11)2994 2955 y Ft(;)f(x)3093 2970 y Fl(12)3168 2955 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x)3441 2970 y Fq(nn)3531 2955 y Fx(i)p Fs(,)0 3071 y(the)35 b(non)f(c)-5 b(ommutative)35 b(p)-5 b(olynomialring)33 b(in)h(the)h(variables)f Ft(x)2329 3086 y Fq(ij)2390 3071 y Fs(.)149 3278 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)37 b(p)s(olynomial)32 b(ring)j Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x)1615 3293 y Fq(ij)1681 3278 y Fx(i)36 b Fz(is)f(free)h(o)m(v)m(er) h(the)f(set)h Fx(f)p Ft(x)2691 3293 y Fq(ij)2752 3278 y Fx(g)e Fz(in)g(the)h(category)g(of)0 3394 y(\(non)h(comm)m(utativ)m (e\))f(algebras,)i(i.e.)56 b(for)37 b(eac)m(h)h(algebra)d(and)j(for)e (eac)m(h)i(map)e Ft(f)46 b Fz(:)36 b Fx(f)p Ft(x)3229 3409 y Fq(ij)3289 3394 y Fx(g)g(\000)-60 b(!)35 b Ft(A)0 3511 y Fz(there)k(exists)g(a)f(unique)g(homomorphism)e(of)h(algebras)h Ft(g)i Fz(:)d Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x)2453 3526 y Fl(11)2534 3511 y Ft(;)f(x)2633 3526 y Fl(12)2708 3511 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)e(;)i(x) 2981 3526 y Fq(nn)3071 3511 y Fx(i)37 b(\000)-59 b(!)36 b Ft(A)i Fz(suc)m(h)0 3627 y(that)32 b(the)h(diagram)1435 3762 y Fx(f)p Ft(x)1540 3777 y Fq(ij)1601 3762 y Fx(g)244 b Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(x)2060 3777 y Fq(ij)2127 3762 y Fx(i)p 1679 3740 188 4 v 1784 3738 a Fm(-)1760 3720 y Fq(\023)1685 3999 y(f)1611 3890 y Fm(@)1694 3973 y(@)1777 4056 y(@)1860 4139 y(@)1879 4158 y(@)-83 b(R)1994 4260 y Ft(A)p 2028 4158 4 351 v 2030 4158 a Fm(?)2069 3990 y Fq(g)0 4396 y Fz(comm)m(utes.)54 b(So)36 b(eac)m(h)g(matrix)f(in)g Ft(M)1400 4411 y Fq(n)1447 4396 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(de\014nes)i(a) e(unique)g(a)g(homomorphism)d(of)j(algebras)0 4512 y Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(x)166 4527 y Fl(11)246 4512 y Ft(;)g(x)345 4527 y Fl(12)420 4512 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)694 4527 y Fq(nn)784 4512 y Fx(i)27 b(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)33 b Fz(and)f(con)m(v)m(ersely)-8 b(.)1782 b Fh(\003)149 4719 y Fv(Example)37 b(2.3.10.)42 b Fz(1.)h(The)34 b(a\016ne)f (algebraic)e(group)h(called)g Fs(additive)i(gr)-5 b(oup)1379 4909 y Fu(G)1450 4924 y Fq(a)1526 4909 y Fz(:)27 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)43 b Fx(\000)-59 b(!)27 b(A)p Fs(b)0 5099 y Fz(with)37 b Fu(G)298 5114 y Fq(a)346 5099 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))f(:=)g Ft(A)743 5063 y Fl(+)839 5099 y Fz(from)g(Lemma)g(2.3.5)h(is)g(represen)m(ted)i(b)m(y)g(the)e (Hopf)h(algebra)e Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q Fz(].)64 b(W)-8 b(e)0 5216 y(determine)32 b(com)m(ultiplication,)c(counit,)33 b(and)f(an)m(tip)s(o)s(de.)p eop %%Page: 46 49 46 48 bop 0 251 a Fw(46)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)149 450 y Fz(By)46 b(Corollary)e(2.2.7)h(the)h(com)m(ultiplication)41 b(is)j(\001)50 b(=)g Ft(\023)2318 465 y Fl(1)2388 450 y Fx(\003)31 b Ft(\023)2503 465 y Fl(2)2592 450 y Fx(2)50 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q Fz(])p Ft(;)g Fu(K)23 b Fz([)p Ft(x)q Fz(])37 b Fx(\012)0 566 y Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)p Fz(]\))253 539 y Fx(\030)254 570 y Fz(=)358 566 y Fu(G)429 581 y Fq(a)477 566 y Fz(\()p Fu(K)g Fz([)q Ft(x)p Fz(])28 b Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q Fz(]\).)49 b(Hence)998 727 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\023)1375 742 y Fl(1)1415 727 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))c(+)f Ft(\023)1701 742 y Fl(2)1741 727 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f Ft(x)c Fx(\012)f Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)h Ft(x:)149 887 y Fz(The)34 b(counit)e(is)g Ft(")27 b Fz(=)h Ft(e)968 902 y Fp(K)1052 887 y Fz(=)f(0)h Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(;)f Fu(K)23 b Fz(\))2065 860 y Fx(\030)2066 891 y Fz(=)2170 887 y Fu(G)2242 902 y Fq(a)2289 887 y Fz(\()p Fu(K)18 b Fz(\))38 b(hence)1608 1048 y Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(0)p Ft(:)149 1211 y Fz(The)34 b(an)m(tip)s(o)s(de)e(is)g Ft(S)h Fz(=)28 b(id)1130 1168 y Fr(\000)p Fl(1)1130 1241 y Fp(K)5 b Fl([)p Fq(x)p Fl(])1293 1211 y Fx(2)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)q Ft(x)p Fz(])p Ft(;)g Fu(K)23 b Fz([)p Ft(x)q Fz(]\))2235 1183 y Fx(\030)2236 1215 y Fz(=)2341 1211 y Fu(G)2412 1226 y Fq(a)2460 1211 y Fz(\()p Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q Fz(]\))38 b(hence)1556 1384 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f Fx(\000)p Ft(x:)149 1545 y Fz(2.)44 b(The)33 b(a\016ne)g(algebraic)e(group)i(called)e Fs(multiplic)-5 b(ative)34 b(gr)-5 b(oup)1366 1705 y Fu(G)1438 1720 y Fq(m)1538 1705 y Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b(A)p Fs(b)0 1866 y Fz(with)41 b Fu(G)302 1881 y Fq(m)375 1866 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(:=)h Ft(A)785 1830 y Fr(\003)867 1866 y Fz(=)f Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))42 b(from)e(Lemma)g(2.3.7)h(is) f(represen)m(ted)k(b)m(y)e(the)g(Hopf)f(algebra)0 1982 y Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x;)g(x)253 1946 y Fr(\000)p Fl(1)353 1982 y Fz(])28 b(=)g Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)q(;)g(y)t Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(xy)30 b Fx(\000)23 b Fz(1\).)43 b(W)-8 b(e)33 b(determine)f(com)m(ultiplication,)c(counit,)33 b(and)f(an)m(tip)s(o)s(de.)149 2098 y(By)i(Corollary)c(2.2.7)i(the)h (com)m(ultiplication)28 b(is)25 2259 y(\001)g(=)g Ft(\023)272 2274 y Fl(1)334 2259 y Fx(\003)22 b Ft(\023)440 2274 y Fl(2)507 2259 y Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)1220 2217 y Fr(\000)p Fl(1)1320 2259 y Fz(])p Ft(;)g Fu(K)h Fz([)p Ft(x;)f(x)1644 2217 y Fr(\000)p Fl(1)1745 2259 y Fz(])22 b Fx(\012)g Fu(K)c Fz([)p Ft(x;)g(x)2147 2217 y Fr(\000)p Fl(1)2247 2259 y Fz(]\))2340 2231 y Fx(\030)2340 2263 y Fz(=)2445 2259 y Fu(G)2516 2274 y Fq(m)2589 2259 y Fz(\()p Fu(K)f Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)2880 2217 y Fr(\000)p Fl(1)2980 2259 y Fz(])22 b Fx(\012)h Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x;)f(x)3382 2217 y Fr(\000)p Fl(1)3483 2259 y Fz(]\))p Ft(:)0 2419 y Fz(Hence)1191 2539 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(=)e Ft(\023)1569 2554 y Fl(1)1609 2539 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))c Fx(\001)e Ft(\023)1846 2554 y Fl(2)1886 2539 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(x:)149 2679 y Fz(The)34 b(counit)e(is)g Ft(")27 b Fz(=)h Ft(e)968 2694 y Fp(K)1052 2679 y Fz(=)f(1)h Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Fz([)p Ft(x;)f(x)1944 2643 y Fr(\000)p Fl(1)2045 2679 y Fz(])p Ft(;)g Fu(K)g Fz(\))2258 2651 y Fx(\030)2259 2683 y Fz(=)2364 2679 y Fu(G)2435 2694 y Fq(m)2508 2679 y Fz(\()p Fu(K)g Fz(\))39 b(hence)1608 2839 y Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(1)p Ft(:)149 3002 y Fz(The)46 b(an)m(tip)s(o)s(de)d(is)h Ft(S)53 b Fz(=)48 b(id)1205 2960 y Fr(\000)p Fl(1)1205 3033 y Fp(K)5 b Fl([)p Fq(x;x)1371 3015 y Fk(\000)p Fo(1)1458 3033 y Fl(])1530 3002 y Fx(2)48 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)2262 2966 y Fr(\000)p Fl(1)2362 3002 y Fz(])p Ft(;)g Fu(K)h Fz([)p Ft(x;)f(x)2686 2966 y Fr(\000)p Fl(1)2787 3002 y Fz(]\))2899 2975 y Fx(\030)2900 3007 y Fz(=)3024 3002 y Fu(G)3096 3017 y Fq(a)3144 3002 y Fz(\()p Fu(K)g Fz([)p Ft(x)q(;)g(x)3435 2966 y Fr(\000)p Fl(1)3535 3002 y Fz(]\))0 3128 y(hence)1547 3247 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(x)1931 3206 y Fr(\000)p Fl(1)2025 3247 y Ft(:)149 3387 y Fz(3.)44 b(The)33 b(a\016ne)g(algebraic)e(group)i(called)e Fs(additive)j(matrix)h(gr)-5 b(oup)1348 3548 y Fu(M)1436 3507 y Fl(+)1436 3572 y Fq(n)1529 3548 y Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b(A)p Fs(b)16 b Ft(;)0 3708 y Fz(with)28 b Fu(M)306 3672 y Fl(+)306 3733 y Fq(n)371 3708 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(the)f(additiv) m(e)g(group)g(of)g Ft(n)14 b Fx(\002)g Ft(n)p Fz(-matrices)28 b(with)g(co)s(e\016cien)m(ts)h(in)f Ft(A)g Fz(is)g(represen)m(ted)0 3824 y(b)m(y)36 b(the)f(comm)m(utativ)m(e)f(algebra)g Ft(M)1341 3788 y Fl(+)1331 3849 y Fq(n)1432 3824 y Fz(=)e Fu(K)17 b Fz([)p Ft(x)1694 3839 y Fq(ij)1760 3824 y Fx(j)p Fz(1)32 b Fx(\024)g Ft(i;)17 b(j)37 b Fx(\024)32 b Ft(n)p Fz(])k(\(Lemma)d(2.3.9\).)50 b(This)35 b(algebra)0 3941 y(m)m(ust)e(b)s(e)f(a)h(Hopf)f(algebra.)149 4057 y(The)f(com)m (ultiplication)26 b(is)j(\001)f(=)g Ft(\023)1405 4072 y Fl(1)1461 4057 y Fx(\003)17 b Ft(\023)1562 4072 y Fl(2)1629 4057 y Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(M)2193 4021 y Fl(+)2183 4082 y Fq(n)2252 4057 y Ft(;)h(M)2400 4021 y Fl(+)2390 4082 y Fq(n)2477 4057 y Fx(\012)g Ft(M)2675 4021 y Fl(+)2665 4082 y Fq(n)2735 4057 y Fz(\))2800 4029 y Fx(\030)2801 4061 y Fz(=)2905 4057 y Fu(M)2994 4021 y Fl(+)2994 4082 y Fq(n)3059 4057 y Fz(\()p Ft(M)3201 4021 y Fl(+)3191 4082 y Fq(n)3277 4057 y Fx(\012)g Ft(M)3475 4021 y Fl(+)3465 4082 y Fq(n)3535 4057 y Fz(\).)0 4173 y(Hence)846 4293 y(\001\()p Ft(x)1020 4308 y Fq(ij)1081 4293 y Fz(\))28 b(=)g Ft(\023)1285 4308 y Fl(1)1325 4293 y Fz(\()p Ft(x)1418 4308 y Fq(ij)1478 4293 y Fz(\))22 b(+)h Ft(\023)1671 4308 y Fl(2)1710 4293 y Fz(\()p Ft(x)1803 4308 y Fq(ij)1864 4293 y Fz(\))28 b(=)f Ft(x)2088 4308 y Fq(ij)2172 4293 y Fx(\012)22 b Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)h Ft(x)2666 4308 y Fq(ij)2727 4293 y Ft(:)149 4433 y Fz(The)34 b(counit)e(is)g Ft(")27 b Fz(=)h Ft(e)968 4448 y Fp(K)1052 4433 y Fz(=)f(\(0\))h Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(M)1871 4397 y Fl(+)1861 4458 y Fq(n)1931 4433 y Ft(;)h Fu(K)g Fz(\))2118 4405 y Fx(\030)2118 4437 y Fz(=)2223 4433 y Fu(M)2311 4397 y Fl(+)2311 4458 y Fq(n)2376 4433 y Fz(\()p Fu(K)g Fz(\))39 b(hence)1578 4593 y Ft(")p Fz(\()p Ft(x)1717 4608 y Fq(ij)1777 4593 y Fz(\))28 b(=)f(0)p Ft(:)149 4760 y Fz(The)34 b(an)m(tip)s(o)s(de)e(is)g Ft(S)h Fz(=)28 b(id)1130 4717 y Fr(\000)p Fl(1)1130 4801 y Fq(M)1205 4771 y Fo(+)1198 4812 y Fn(n)1288 4760 y Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(M)1851 4723 y Fl(+)1841 4784 y Fq(n)1911 4760 y Ft(;)h(M)2059 4723 y Fl(+)2049 4784 y Fq(n)2118 4760 y Fz(\))2184 4732 y Fx(\030)2185 4764 y Fz(=)2289 4760 y Fu(M)2377 4723 y Fl(+)2377 4784 y Fq(n)2442 4760 y Fz(\()p Ft(M)2584 4723 y Fl(+)2574 4784 y Fq(n)2644 4760 y Fz(\))32 b(hence)1495 4939 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)1654 4954 y Fq(ij)1715 4939 y Fz(\))28 b(=)f Fx(\000)p Ft(x)2016 4954 y Fq(ij)2078 4939 y Ft(:)149 5099 y Fz(4.)43 b(The)31 b(matrix)e(algebra)g Fu(M)1208 5114 y Fq(n)1261 5099 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(also)f(has)i (a)e(noncomm)m(utativ)m(e)h(m)m(ultiplication,)c(the)k(ma-)0 5216 y(trix)j(m)m(ultiplication,)c(de\014ning)k(a)h(monoid)d(structure) k Fu(M)2148 5179 y Fr(\002)2148 5240 y Fq(n)2213 5216 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\).)46 b(Th)m(us)35 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2837 5231 y Fq(ij)2904 5216 y Fz(])33 b(carries)h(another)p eop %%Page: 47 50 47 49 bop 1174 251 a Fw(3.)35 b(AFFINE)d(ALGEBRAIC)h(GR)n(OUPS)1096 b(47)0 450 y Fz(coalgebra)40 b(structure)h(whic)m(h)g(de\014nes)i(a)d (bialgebra)f Ft(M)2107 414 y Fr(\002)2097 475 y Fq(n)2208 450 y Fz(=)i Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2479 465 y Fq(ij)2546 450 y Fz(].)67 b(Ob)m(viously)41 b(there)g(is)f(no)0 566 y(an)m(tip)s(o)s(de.)149 683 y(The)31 b(com)m(ultiplication)26 b(is)j(\001)f(=)g Ft(\023)1405 698 y Fl(1)1461 683 y Fx(\003)17 b Ft(\023)1562 698 y Fl(2)1629 683 y Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(M)2193 646 y Fr(\002)2183 707 y Fq(n)2252 683 y Ft(;)h(M)2400 646 y Fr(\002)2390 707 y Fq(n)2477 683 y Fx(\012)g Ft(M)2675 646 y Fr(\002)2665 707 y Fq(n)2735 683 y Fz(\))2800 655 y Fx(\030)2801 687 y Fz(=)2905 683 y Fu(M)2994 646 y Fr(\002)2994 707 y Fq(n)3059 683 y Fz(\()p Ft(M)3201 646 y Fr(\002)3191 707 y Fq(n)3277 683 y Fx(\012)g Ft(M)3475 646 y Fr(\002)3465 707 y Fq(n)3535 683 y Fz(\).)0 799 y(Hence)34 b(\001\(\()p Ft(x)502 814 y Fq(ij)563 799 y Fz(\)\))28 b(=)f Ft(\023)804 814 y Fl(1)844 799 y Fz(\(\()p Ft(x)975 814 y Fq(ij)1036 799 y Fz(\)\))22 b Fx(\001)g Ft(\023)1218 814 y Fl(2)1258 799 y Fz(\(\()p Ft(x)1389 814 y Fq(ij)1449 799 y Fz(\)\))28 b(=)g(\()p Ft(x)1750 814 y Fq(ij)1810 799 y Fz(\))23 b Fx(\012)f Fz(\()p Ft(x)2063 814 y Fq(ij)2124 799 y Fz(\))33 b(or)1317 993 y(\001\()p Ft(x)1491 1008 y Fq(ik)1558 993 y Fz(\))28 b(=)1727 899 y Fj(X)1783 1109 y Fq(j)1888 993 y Ft(x)1943 1008 y Fq(ij)2026 993 y Fx(\012)23 b Ft(x)2181 1008 y Fq(j)t(k)2256 993 y Ft(:)149 1270 y Fz(The)34 b(counit)e(is)g Ft(")27 b Fz(=)h Ft(e)968 1285 y Fp(K)1052 1270 y Fz(=)f Ft(E)34 b Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)15 b Fz(\()p Ft(M)1824 1234 y Fr(\002)1814 1295 y Fq(n)1884 1270 y Ft(;)i Fu(K)g Fz(\))2071 1243 y Fx(\030)2072 1274 y Fz(=)2176 1270 y Fu(M)2264 1234 y Fr(\002)2264 1295 y Fq(n)2329 1270 y Fz(\()p Fu(K)h Fz(\))38 b(hence)1550 1440 y Ft(")p Fz(\()p Ft(x)1689 1455 y Fq(ij)1750 1440 y Fz(\))27 b(=)h Ft(\016)1962 1455 y Fq(ij)2023 1440 y Ft(:)149 1611 y Fz(5.)65 b(Let)40 b Fu(K)63 b Fz(b)s(e)40 b(a)f(\014eld)h(of)f(c)m(haracteristic)h Ft(p)p Fz(.)64 b(The)41 b(algebra)d Ft(H)48 b Fz(=)39 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(])q Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)3025 1574 y Fq(p)3070 1611 y Fz(\))40 b(carries)g(the)0 1727 y(structure)f(of)e(a)g(Hopf)g (algebra)g(with)g(\001\()p Ft(x)p Fz(\))g(=)f Ft(x)26 b Fx(\012)f Fz(1)h(+)f(1)g Fx(\012)h Ft(x)p Fz(,)40 b Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))c(=)g(0,)i(and)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))36 b(=)g Fx(\000)p Ft(x)p Fz(.)0 1843 y(T)-8 b(o)37 b(sho)m(w)h(that)e(\001)h(is)f(w)m(ell)g(de\014ned)i (w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(to)e(sho)m(w)i(\001\()p Ft(x)p Fz(\))2329 1807 y Fq(p)2404 1843 y Fz(=)c(0.)56 b(But)37 b(this)f(is)g(ob)m(vious)h(b)m(y)0 1959 y(the)d(rules)g(for)f (computing)f Ft(p)p Fz(-th)i(p)s(o)m(w)m(ers)h(in)e(c)m(haracteristic)g Ft(p)p Fz(.)47 b(W)-8 b(e)34 b(ha)m(v)m(e)h(\()p Ft(x)24 b Fx(\012)f Fz(1)g(+)f(1)h Fx(\012)g Ft(x)p Fz(\))3454 1923 y Fq(p)3524 1959 y Fz(=)0 2075 y Ft(x)55 2039 y Fq(p)117 2075 y Fx(\012)g Fz(1)f(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(x)611 2039 y Fq(p)679 2075 y Fz(=)28 b(0.)149 2192 y(Th)m(us)35 b(the)e(algebra)e Ft(H)40 b Fz(represen)m(ts)35 b(an)e(a\016ne)g (algebraic)e(group:)892 2362 y Ft(\013)954 2377 y Fq(p)994 2362 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))c(:=)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h(A)p Fz(\))1932 2334 y Fx(\030)1932 2366 y Fz(=)2037 2362 y Fx(f)p Ft(a)28 b Fx(2)g Ft(A)p Fx(j)p Ft(a)2412 2321 y Fq(p)2479 2362 y Fz(=)g(0)p Fx(g)p Ft(:)0 2532 y Fz(The)45 b(group)f(m)m (ultiplication)39 b(is)44 b(the)g(addition)e(of)i Ft(p)p Fz(-nilp)s(oten)m(t)e(elemen)m(ts.)78 b(So)44 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h (the)0 2648 y Fs(gr)-5 b(oup)35 b(of)f Ft(p)p Fs(-nilp)-5 b(otent)35 b(elements)p Fz(.)149 2764 y(6.)65 b(The)40 b(algebra)f Ft(H)47 b Fz(=)39 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(x)1412 2728 y Fq(n)1492 2764 y Fx(\000)28 b Fz(1\))39 b(is)g(a)g(Hopf)h(algebra)e(with)h(the)h(com)m (ultiplication)0 2881 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))33 b(=)e Ft(x)25 b Fx(\012)f Ft(x)p Fz(,)36 b(the)g(counit)e Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))e(=)g(1,)k(and)f(the)g(an)m(tip)s(o)s(de)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))32 b(=)g Ft(x)2712 2845 y Fq(n)p Fr(\000)p Fl(1)2849 2881 y Fz(.)51 b(These)37 b(maps)e(are)0 2997 y(w)m(ell)30 b(de\014ned)i(since)f(w)m(e)g(ha)m(v)m (e)h(for)e(example)g(\001\()p Ft(x)p Fz(\))1870 2961 y Fq(n)1946 2997 y Fz(=)d(\()p Ft(x)19 b Fx(\012)f Ft(x)p Fz(\))2349 2961 y Fq(n)2424 2997 y Fz(=)28 b Ft(x)2583 2961 y Fq(n)2648 2997 y Fx(\012)19 b Ft(x)2799 2961 y Fq(n)2874 2997 y Fz(=)27 b(1)18 b Fx(\012)g Fz(1.)43 b(Observ)m(e)0 3113 y(that)29 b(this)h(Hopf)f(algebra)f(is)h (isomorphic)f(to)h(the)h(group)g(algebra)e Fu(K)17 b Ft(C)2589 3128 y Fq(n)2672 3113 y Fz(of)29 b(the)h(cyclic)f(group)g Ft(C)3553 3128 y Fq(n)0 3229 y Fz(of)j(order)h Ft(n)p Fz(.)149 3346 y(Th)m(us)i(the)e(algebra)e Ft(H)40 b Fz(represen)m(ts)35 b(an)e(a\016ne)g(algebraic)e(group:)886 3516 y Ft(\026)945 3531 y Fq(n)992 3516 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))d(:=)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h(A)p Fz(\))1930 3488 y Fx(\030)1931 3520 y Fz(=)2035 3516 y Fx(f)p Ft(a)28 b Fx(2)g Ft(A)p Fx(j)p Ft(a)2410 3475 y Fq(n)2485 3516 y Fz(=)f(1)p Fx(g)p Ft(;)0 3686 y Fz(that)43 b(is)f(the)h Fs(gr)-5 b(oup)45 b(of)f Ft(n)p Fs(-th)g(r)-5 b(o)g(ots)45 b(of)f(unity)p Fz(.)75 b(The)44 b(group)f(m)m (ultiplication)38 b(is)k(the)i(ordinary)0 3802 y(m)m(ultiplication)28 b(of)k(ro)s(ots)g(of)g(unit)m(y)-8 b(.)149 3918 y(7.)41 b(The)27 b(linear)d(groups)i(or)f(matrix)f(groups)i Fu(G)c(L)17 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\),)27 b Fu(SL)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))26 b(and)g(other)g(suc)m(h)h (groups)0 4035 y(are)36 b(further)g(examples)g(of)f(a\016ne)i (algebraic)d(groups.)54 b(W)-8 b(e)36 b(will)e(discuss)j(them)e(in)g (the)i(section)0 4151 y(on)32 b(quan)m(tum)h(groups.)149 4294 y Fv(Problem)j(2.3.14.)240 b Fz(\(1\))42 b(The)33 b(construction)g(of)f(the)h(general)f(linear)f(group)848 4464 y Fu(G)22 b(L)17 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)g Fx(f)p Fz(\()p Ft(a)1546 4479 y Fq(ij)1606 4464 y Fz(\))g Fx(2)g Fu(M)1854 4479 y Fq(n)1907 4464 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p Fx(j)p Fz(\()p Ft(a)2173 4479 y Fq(ij)2233 4464 y Fz(\))33 b(in)m(v)m(ertible)o Fx(g)364 4634 y Fz(de\014nes)i(an)d(a\016ne)h(algebraic)e(group.)43 b(Describ)s(e)33 b(the)g(represen)m(ting)h(Hopf)e(algebra.)198 4751 y(\(2\))41 b(The)34 b(sp)s(ecial)e(linear)g(group)g Fu(SL)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))33 b(is)g(an)g(a\016ne) g(algebraic)e(group.)45 b(What)33 b(is)g(the)364 4867 y(represen)m(ting)h(Hopf)e(algebra?)198 4983 y(\(3\))41 b(The)36 b(real)f(unit)f(circle)h Fu(S)1287 4947 y Fl(1)1320 4983 y Fz(\()p Fu(R)5 b Fz(\))41 b(carry)36 b(the)f(structure)i(of)e(a) f(group)h(b)m(y)h(the)g(addition)d(of)364 5099 y(angles.)43 b(Is)33 b(it)f(p)s(ossible)f(to)h(mak)m(e)h Fu(S)1700 5063 y Fl(1)1766 5099 y Fz(with)f(the)h(a\016ne)f(algebra)g Fu(K)17 b Fz([)p Ft(c;)g(s)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(s)3147 5063 y Fl(2)3214 5099 y Fz(+)k Ft(c)3353 5063 y Fl(2)3414 5099 y Fx(\000)h Fz(1\))364 5216 y(in)m(to)35 b(an)h(a\016ne)g (algebraic)e(group?)52 b(\(Hin)m(t:)d(Ho)m(w)36 b(can)g(y)m(ou)g(add)g (t)m(w)m(o)g(p)s(oin)m(ts)g(\()p Ft(x)3392 5231 y Fl(1)3431 5216 y Ft(;)17 b(y)3523 5231 y Fl(1)3562 5216 y Fz(\))p eop %%Page: 48 51 48 50 bop 0 251 a Fw(48)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)364 450 y Fz(and)24 b(\()p Ft(x)638 465 y Fl(2)678 450 y Ft(;)17 b(y)770 465 y Fl(2)809 450 y Fz(\))23 b(on)h(the)g(unit)f(circle,)i(suc)m(h)h (that)d(y)m(ou)i(get)e(the)i(addition)d(of)h(the)h(asso)s(ciated)364 566 y(angles?\))198 683 y(\(4\))41 b(Find)32 b(a)g(group)h(structure)h (on)e(the)h(torus)g Fx(T)25 b Fz(.)1359 886 y Fv(4.)57 b(F)-9 b(ormal)36 b(Groups)149 1060 y Fz(Consider)30 b(no)m(w)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)45 b Fz(the)29 b(category)h(of)e(co)s(comm)m(utativ)m(e)g Fu(K)18 b Fz(-coalgebras.)47 b(Let)29 b Ft(C)r(;)17 b(D)30 b Fx(2)0 1176 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)17 b Fz(.)41 b(Then)28 b Ft(C)17 b Fx(\012)10 b Ft(D)30 b Fz(is)c(again)f(a)h(co)s(comm)m(utativ)m(e)g Fu(K)17 b Fz(-coalgebra)31 b(b)m(y)d([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])0 1292 y(Problem)21 b(2.7.4.)39 b(In)22 b(fact)g(this)f(holds)g(also)g(for)g(non-comm)m(utativ)m(e)g Fu(K)c Fz(-algebras,)29 b(but)22 b(in)f Fu(K)d Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)0 1409 y Fz(w)m(e)34 b(ha)m(v)m(e)149 1546 y Fv(Prop)s(osition)f(2.4.1.)41 b Fs(The)32 b(tensor)h(pr)-5 b(o)g(duct)33 b(in)f Fu(K)18 b Fs(-)5 b(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)49 b(is)33 b(the)f(\(c)-5 b(ate)g(goric)g(al\))32 b(pr)-5 b(o)g(duct.)149 1715 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)f Ft(f)52 b Fx(2)42 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(Z)r(;)h(C)7 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)43 b Fx(2)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(Z)r(;)h(D)s Fz(\).)66 b(The)42 b(map)e(\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\))40 b(:)i Ft(Z)48 b Fx(\000)-60 b(!)0 1831 y Ft(C)36 b Fx(\012)29 b Ft(D)45 b Fz(de\014ned)f(b)m(y)g(\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\)\()p Ft(z)t Fz(\))44 b(:=)1370 1756 y Fj(P)1492 1831 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(z)1634 1846 y Fl(\(1\))1728 1831 y Fz(\))29 b Fx(\012)h Ft(g)t Fz(\()p Ft(z)2036 1846 y Fl(\(2\))2130 1831 y Fz(\))42 b(is)g(the)h(unique)g(homomorphism)c(of)0 1947 y(coalgebras)g(suc)m(h)h(that)f(\(1)26 b Fx(\012)h Ft(")1186 1962 y Fq(D)1250 1947 y Fz(\)\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\)\()p Ft(z)t Fz(\))38 b(=)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(z)t Fz(\))39 b(and)h(\()p Ft(")2294 1962 y Fq(C)2379 1947 y Fx(\012)27 b Fz(1\)\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\)\()p Ft(z)t Fz(\))38 b(=)h Ft(g)t Fz(\()p Ft(z)t Fz(\))g(or)f(suc)m(h)0 2063 y(that)32 b(the)h(diagram)1370 2546 y Ft(C)217 b(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(D)p 1476 2518 154 4 v 1476 2516 a Fm(\033)1508 2484 y Fq(p)1544 2495 y Fn(C)2147 2546 y Ft(D)p 1968 2518 151 4 v 2036 2516 a Fm(-)1998 2484 y Fq(p)2034 2495 y Fn(D)1502 2338 y Fq(f)1647 2277 y Fm(\000)1564 2360 y(\000)1481 2443 y(\000)1477 2448 y(\000)-83 b(\011)2054 2329 y Fq(g)1867 2277 y Fm(@)1950 2360 y(@)2033 2443 y(@)2037 2448 y(@)g(R)1762 2160 y Ft(Z)p 1797 2448 4 254 v 1799 2448 a Fm(?)1838 2411 y Fl(\()p Fq(f)s(;g)r Fl(\))0 2768 y Fz(comm)m(utes,)31 b(where)g Ft(p)812 2783 y Fq(C)871 2768 y Fz(\()p Ft(c)17 b Fx(\012)h Ft(d)p Fz(\))27 b(=)h(\(1)17 b Fx(\012)h Ft(")p Fz(\)\()p Ft(c)f Fx(\012)g Ft(d)p Fz(\))28 b(=)f Ft(c")p Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))i(and)i Ft(p)2458 2783 y Fq(D)2522 2768 y Fz(\()p Ft(c)17 b Fx(\012)h Ft(d)p Fz(\))27 b(=)h(\()p Ft(")16 b Fx(\012)i Fz(1\)\()p Ft(c)f Fx(\012)h Ft(d)p Fz(\))27 b(=)0 2884 y Ft(")p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(d)32 b Fz(are)g(homomorphisms)f(of)h(coalgebras.)1808 b Fh(\003)149 3052 y Fz(So)33 b(the)g(category)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)49 b Fz(has)33 b(\014nite)f(pro)s(ducts)i (and)e(also)g(a)g(\014nal)g(ob)5 b(ject)33 b Fu(K)18 b Fz(.)149 3190 y Fv(De\014nition)54 b(2.4.2.)c Fz(A)d Fs(formal)h(gr)-5 b(oup)48 b Fz(is)f(a)g(group)h(in)f(the)h(category)g (of)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)63 b Fz(of)0 3306 y(co)s(comm)m(utativ)m(e)31 b(coalgebras.)149 3444 y(A)g(formal)c(group)j Ft(G)g Fz(de\014nes)i(a)e(con)m(tra)m(v)-5 b(arian)m(t)29 b(represen)m(table)j(functor)e(from)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)46 b Fz(to)0 3560 y Fx(G)6 b Fs(r)17 b Fz(,)32 b(the)h(category)g(of)g(groups.)149 3697 y Fv(Prop)s(osition)44 b(2.4.3.)i Fs(L)-5 b(et)42 b Ft(H)47 b Fx(2)40 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)h Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b(.)64 b Ft(H)49 b Fs(a)41 b(r)-5 b(epr)g(esents)41 b(a)h(formal)e(gr)-5 b(oup)41 b(if)h(and)0 3814 y(only)35 b(if)f(ther)-5 b(e)35 b(ar)-5 b(e)35 b(given)f(morphisms)f(in)i Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)h Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)809 3972 y Fx(r)27 b Fz(:)h Ft(H)i Fx(\012)22 b Ft(H)36 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(H)r(;)116 b(u)28 b Fz(:)f Fu(K)51 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(H)r(;)116 b(S)34 b Fz(:)27 b Ft(H)36 b Fx(\000)-58 b(!)28 b Ft(H)0 4131 y Fs(such)35 b(that)g(the)g(fol)5 b(lowing)33 b(diagr)-5 b(ams)34 b(c)-5 b(ommute)1771 4692 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)594 b(H)p 2099 4664 529 4 v 2545 4662 a Fm(-)2334 4642 y Fr(r)p 2699 4593 4 254 v 2700 4593 a Fm(?)2739 4489 y Fr(r)750 4467 y Fs(\(asso)-5 b(ciativity\))p 1919 4593 V 1920 4593 a Fm(?)1732 4486 y Fr(r\012)p Fl(1)1666 4302 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)384 b(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)p 2204 4273 318 4 v 2439 4271 a Fm(-)2289 4246 y Fl(1)p Fr(\012r)1137 5241 y Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)1276 b(H)p 1465 5213 1211 4 v 2593 5211 a Fm(-)2041 5192 y Fr(r)1114 4851 y Fu(K)46 b Fx(\012)23 b Ft(H)1430 4823 y Fx(\030)1431 4855 y Fz(=)1535 4851 y Ft(H)1651 4823 y Fx(\030)1652 4855 y Fz(=)1756 4851 y Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Fu(K)579 b Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 2072 4822 499 4 v 2488 4820 a Fm(-)2256 4795 y Fq(u)p Fr(\012)p Fl(1)702 5016 y Fs(\(unit\))p 2747 5143 4 254 v 2749 5143 a Fm(?)2788 5038 y Fr(r)p 1285 5143 V 1287 5143 a Fm(?)1117 5034 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(u)2263 5037 y Fl(1)1784 4917 y Fm(P)1867 4944 y(P)1950 4972 y(P)2033 5000 y(P)2116 5027 y(P)2199 5055 y(P)2282 5083 y(P)2365 5110 y(P)2448 5138 y(P)2461 5142 y(P)-83 b(q)p eop %%Page: 49 52 49 51 bop 1403 251 a Fw(4.)35 b(F)n(ORMAL)d(GR)n(OUPS)1325 b(49)945 623 y Fs(\(inverse\))1486 462 y Ft(H)412 b Fu(K)p 1604 429 348 4 v 1869 427 a Fm(-)1761 409 y Fq(")2461 462 y Ft(H)p 2047 429 386 4 v 2350 427 a Fm(-)2220 395 y Fq(\021)p 1529 749 4 254 v 1530 749 a Fm(?)1433 645 y Fl(\001)1381 847 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)684 b(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)p 1709 820 619 4 v 2245 818 a Fm(-)1938 791 y Fq(S)t Fr(\012)p Fl(id)1932 883 y(id)11 b Fr(\012)p Fq(S)p 2504 749 4 254 v 2505 579 a Fm(6)2544 645 y Fr(r)149 1046 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(F)-8 b(or)38 b(an)g(arbitrary)g(formal)e(group)i Ft(H)46 b Fz(w)m(e)39 b(get)f Fx(r)g Fz(=)f Ft(p)2598 1061 y Fl(1)2664 1046 y Fx(\003)25 b Ft(p)2788 1061 y Fl(2)2865 1046 y Fx(2)38 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(H)34 b Fx(\012)0 1162 y Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\),)40 b Ft(u)e Fz(=)g Ft(e)h Fx(2)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Ft(;)h(H)8 b Fz(\),)45 b(and)39 b Ft(S)44 b Fz(=)39 b(\(id)o(\))2043 1126 y Fr(\000)p Fl(1)2175 1162 y Fx(2)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h(H)8 b Fz(\).)62 b(These)40 b(maps,)0 1278 y(the)33 b(Y)-8 b(oneda)33 b(Lemma)e(and)i(Remark)f(2.2.6)g(lead)g(to)g(the)h(pro)s(of) f(of)g(the)h(prop)s(osition.)334 b Fh(\003)149 1468 y Fv(Remark)29 b(2.4.4.)37 b Fz(In)26 b(particular)d(the)j(represen)m (ting)h(ob)5 b(ject)26 b(\()p Ft(H)r(;)17 b Fx(r)p Ft(;)g(u;)g Fz(\001)p Ft(;)g(";)g(S)6 b Fz(\))23 b(of)i(a)g(formal)0 1584 y(group)34 b Ft(G)g Fz(is)g(a)g(co)s(comm)m(utativ)m(e)f(Hopf)i (algebra)e(and)h(ev)m(ery)i(suc)m(h)g(Hopf)e(algebra)f(represen)m(ts)k (a)0 1700 y(formal)e(group.)59 b(Hence)39 b(the)f(category)g(of)f (formal)e(groups)j(is)g(equiv)-5 b(alen)m(t)37 b(to)g(the)h(category)g (of)0 1817 y(co)s(comm)m(utativ)m(e)31 b(Hopf)i(algebras.)149 1963 y Fv(Corollary)46 b(2.4.5.)h Fs(A)c(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)42 b Ft(H)50 b Fx(2)43 b Fu(K)18 b Fs(-)6 b(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)60 b(r)-5 b(epr)g(esents)42 b(a)h(formal)f(gr)-5 b(oup)43 b(if)g(and)0 2079 y(only)35 b(if)f Ft(H)43 b Fs(is)34 b(a)h(c)-5 b(o)g(c)g(ommutative)34 b(Hopf)h(algebr)-5 b(a.)149 2195 y(The)25 b(c)-5 b(ate)g(gory)26 b(of)f(c)-5 b(o)g(c)g(ommutative)25 b(Hopf)h(algebr)-5 b(as)24 b(is)h(e)-5 b(quivalent)26 b(to)f(the)h(c)-5 b(ate)g(gory)25 b(of)h(formal)0 2312 y(gr)-5 b(oups.)149 2458 y Fv(Corollary)36 b(2.4.6.)42 b Fs(The)35 b(fol)5 b(lowing)33 b(c)-5 b(ate)g(gories)34 b(ar)-5 b(e)35 b(e)-5 b(quivalent:)198 2604 y Fz(\(1\))41 b Fs(The)35 b(c)-5 b(ate)g(gory)34 b(of)h(c)-5 b(ommutative,)34 b(c)-5 b(o)g(c)g(ommutative)34 b(Hopf)h(algebr)-5 b(as.)198 2720 y Fz(\(2\))41 b Fs(The)35 b(c)-5 b(ate)g(gory)34 b(of)h(c)-5 b(ommutative)34 b(formal)g(gr)-5 b(oups.)198 2836 y Fz(\(3\))41 b Fs(The)35 b(dual)f(of)h(the)g(c)-5 b(ate)g(gory)35 b(of)f(c)-5 b(ommutative)35 b(a\016ne)f(algebr)-5 b(aic)34 b(gr)-5 b(oups.)149 2982 y Fv(Example)37 b(2.4.7.)240 b Fz(\(1\))41 b(Group)33 b(algebras)e Fu(K)18 b Ft(G)38 b Fz(are)33 b(formal)d(groups.)198 3099 y(\(2\))41 b(Univ)m(ersal)33 b(en)m(v)m(eloping)f(algebras)g Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\))33 b(of)g(Lie)e(algebras)h Ff(g)h Fz(are)g(formal)d(groups.)198 3215 y(\(3\))41 b(The)28 b(tensor)g(algebra)e Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))27 b(and)g(the)g(symmetric)f(algebra)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(V)21 b Fz(\))27 b(are)g(formal)e(groups.)198 3331 y(\(4\))41 b(Let)h Ft(C)48 b Fz(b)s(e)42 b(a)f(co)s(comm)m(utativ) m(e)f(coalgebra)h(and)g Ft(G)g Fz(b)s(e)h(a)f(group.)70 b(Then)42 b(the)g(group)364 3447 y Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(C)7 b Fz(\))42 b(=)35 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(C)f Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(C)r(;)h Fu(K)g Ft(G)p Fz(\))43 b(is)37 b(isomorphic)e(to)i(the)h(set)g(of)f(families)e(\()p Ft(h)3229 3411 y Fr(\003)3229 3472 y Fq(g)3269 3447 y Fx(j)p Ft(g)k Fx(2)d Ft(G)p Fz(\))364 3564 y(of)k(decomp)s(ositions)f (of)h(the)h(unit)e(of)h Ft(C)1876 3527 y Fr(\003)1956 3564 y Fz(in)m(to)g(a)g(sum)g(of)g(orthogonal)e(idemp)s(oten)m(ts)364 3680 y Ft(h)420 3644 y Fr(\003)420 3704 y Fq(g)488 3680 y Fx(2)28 b Ft(C)659 3644 y Fr(\003)731 3680 y Fz(that)33 b(are)f(lo)s(cally)e(\014nite.)514 3800 y(T)-8 b(o)39 b(see)i(this)e(em)m(b)s(ed)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)17 b Fz(\()p Ft(C)r(;)g Fu(K)f Ft(G)p Fz(\))45 b Fx(\022)40 b Fz(Hom)o(\()p Ft(C)r(;)17 b Fu(K)g Ft(G)p Fz(\))45 b(and)40 b(em)m(b)s(edthe)g(set)364 3917 y(Hom\()p Ft(C)r(;)17 b Fu(K)f Ft(G)p Fz(\))30 b(in)m(to)24 b(the)g(set)h(\()p Ft(C)1545 3880 y Fr(\003)1585 3917 y Fz(\))1623 3880 y Fq(G)1706 3917 y Fz(of)f Ft(G)p Fz(-families)c(of)k (elemen)m(ts)g(in)g(the)g(algebra)f Ft(C)3433 3880 y Fr(\003)3497 3917 y Fz(b)m(y)364 4033 y Ft(h)28 b Fx(7!)g Fz(\()p Ft(h)670 3997 y Fr(\003)670 4058 y Fq(g)710 4033 y Fz(\))h(with)g Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))f(=)1301 3958 y Fj(P)1406 4062 y Fq(g)r Fr(2)p Fq(G)1565 4033 y Ft(h)1621 3997 y Fr(\003)1621 4058 y Fq(g)1661 4033 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(.)42 b(The)30 b(linear)e(map)g Ft(h)i Fz(is)f(a)g(homomorphism)d(of)364 4158 y(coalgebras)i(i\013)g (\()p Ft(h)14 b Fx(\012)g Ft(h)p Fz(\)\001)29 b(=)e(\001)p Ft(h)i Fz(and)g Ft("h)f Fz(=)f Ft(")h Fz(i\013)2223 4083 y Fj(P)2345 4158 y Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)2481 4173 y Fl(\(1\))2575 4158 y Fz(\))14 b Fx(\012)g Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)2854 4173 y Fl(\(2\))2949 4158 y Fz(\))28 b(=)3118 4083 y Fj(P)3240 4158 y Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))3414 4173 y Fl(\(1\))3523 4158 y Fx(\012)364 4274 y Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))538 4290 y Fl(\(2\))657 4274 y Fz(and)c Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\)\))j(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))23 b(for)h(all)e Ft(c)28 b Fx(2)g Ft(C)j Fz(i\013)2093 4199 y Fj(P)2215 4274 y Ft(h)2271 4238 y Fr(\003)2271 4299 y Fq(g)2311 4274 y Fz(\()p Ft(c)2391 4290 y Fl(\(1\))2485 4274 y Fz(\))p Ft(g)9 b Fx(\012)c Ft(h)2717 4238 y Fr(\003)2717 4300 y Fq(l)2757 4274 y Fz(\()p Ft(c)2837 4290 y Fl(\(2\))2931 4274 y Fz(\))p Ft(l)30 b Fz(=)3131 4199 y Fj(P)3253 4274 y Ft(h)3309 4238 y Fr(\003)3309 4299 y Fq(g)3349 4274 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(g)9 b Fx(\012)364 4395 y Ft(g)51 b Fz(and)667 4320 y Fj(P)789 4395 y Ft(h)845 4359 y Fr(\003)845 4419 y Fq(g)885 4395 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))j(=)f Ft(")p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))47 b(i\013)1529 4320 y Fj(P)1651 4395 y Ft(h)1707 4359 y Fr(\003)1707 4419 y Fq(g)1747 4395 y Fz(\()p Ft(c)1827 4410 y Fl(\(1\))1921 4395 y Fz(\))p Ft(h)2015 4359 y Fr(\003)2015 4421 y Fq(l)2055 4395 y Fz(\()p Ft(c)2135 4410 y Fl(\(2\))2229 4395 y Fz(\))53 b(=)h Ft(\016)2493 4410 y Fq(g)r(l)2555 4395 y Ft(h)2611 4359 y Fr(\003)2611 4419 y Fq(g)2651 4395 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))48 b(and)3022 4320 y Fj(P)3143 4395 y Ft(h)3199 4359 y Fr(\003)3199 4419 y Fq(g)3293 4395 y Fz(=)54 b Ft(")47 b Fz(i\013)364 4515 y Ft(h)420 4479 y Fr(\003)420 4540 y Fq(g)486 4515 y Fx(\003)26 b Ft(h)618 4479 y Fr(\003)618 4541 y Fq(l)693 4515 y Fz(=)37 b Ft(\016)849 4530 y Fq(g)r(l)911 4515 y Ft(h)967 4479 y Fr(\003)967 4540 y Fq(g)1045 4515 y Fz(and)1239 4441 y Fj(P)1361 4515 y Ft(h)1417 4479 y Fr(\003)1417 4540 y Fq(g)1494 4515 y Fz(=)f(1)1655 4530 y Fq(C)1710 4511 y Fk(\003)1750 4515 y Fz(.)58 b(F)-8 b(urthermore)37 b(the)h(families)d(m)m(ust)j(b)s(e)g(lo)s(cally)364 4631 y(\014nite,)33 b(i.e.)43 b(for)32 b(eac)m(h)h Ft(c)28 b Fx(2)g Ft(C)39 b Fz(only)33 b(\014nitely)e(man)m(y)i(of)f(them)g(giv) m(e)h(non-zero)g(v)-5 b(alues.)198 4748 y(\(5\))41 b(Let)k Ft(C)52 b Fz(b)s(e)45 b(a)g(co)s(comm)m(utativ)m(e)e(coalgebra)h(and)h Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)p Fz(])51 b(b)s(e)45 b(the)g(Hopf)g(algebra)e (with)364 4864 y(\001\()p Ft(x)p Fz(\))d(=)f Ft(x)27 b Fx(\012)g Fz(1)f(+)h(1)f Fx(\012)h Ft(x)40 b Fz(\(the)f(symmetric)g (algebra)f(of)g(the)i(one)f(dimensional)e(v)m(ec-)364 4980 y(tor)i(space)h Fu(K)18 b Ft(x)p Fz(\).)69 b(W)-8 b(e)39 b(em)m(b)s(ed)g(as)g(b)s(efore)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(C)r(;)h Fu(K)g Fz([)p Ft(x)p Fz(])q(\))44 b Fx(\022)39 b Fz(Hom)o(\()p Ft(C)r(;)17 b Fu(K)g Fz([)p Ft(x)q Fz(]\))44 b(=)364 5099 y(\()p Ft(C)479 5063 y Fr(\003)519 5099 y Fz(\))557 5063 y Fr(f)p Fe(N)655 5072 y Fo(0)690 5063 y Fr(g)729 5099 y Fz(,)37 b(the)e(set)h(of)f(lo)s(cally)e(\014nite)i Fv(N)1884 5114 y Fl(0)1923 5099 y Fz(-families)d(in)j Ft(C)2508 5063 y Fr(\003)2583 5099 y Fz(b)m(y)h Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))c(=)3036 5025 y Fj(P)3141 5051 y Fr(1)3141 5128 y Fq(i)p Fl(=0)3276 5099 y Ft(h)3332 5063 y Fr(\003)3332 5124 y Fq(i)3371 5099 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(x)3544 5063 y Fq(i)3573 5099 y Fz(.)364 5216 y(The)i(map)e Ft(h)h Fz(is)f(a)h(homomorphism)c(of)k(coalgebras)f (i\013)g(\001\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\)\))c(=)2903 5141 y Fj(P)3024 5216 y Ft(h)3080 5179 y Fr(\003)3080 5240 y Fq(i)3120 5216 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\)\()p Ft(x)22 b Fx(\012)h Fz(1)f(+)p eop %%Page: 50 53 50 52 bop 0 251 a Fw(50)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)364 455 y Fz(1)22 b Fx(\012)h Ft(x)p Fz(\))628 419 y Fq(i)685 455 y Fz(=)788 380 y Fj(P)910 455 y Ft(h)966 419 y Fr(\003)966 480 y Fq(i)1006 455 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))1124 374 y Fj(\000)1169 411 y Fq(i)1170 490 y(l)1193 374 y Fj(\001)1239 455 y Ft(x)1294 419 y Fq(l)1343 455 y Fx(\012)f Ft(x)1497 419 y Fq(i)p Fr(\000)p Fq(l)1631 455 y Fz(=)27 b(\()p Ft(h)c Fx(\012)f Ft(h)p Fz(\)\001\()p Ft(c)p Fz(\))29 b(=)2375 380 y Fj(P)2497 455 y Ft(h)2553 419 y Fr(\003)2553 480 y Fq(i)2593 455 y Fz(\()p Ft(c)2673 471 y Fl(\(1\))2767 455 y Fz(\))p Ft(h)2861 419 y Fr(\003)2861 480 y Fq(j)2900 455 y Fz(\()p Ft(c)2980 471 y Fl(\(2\))3075 455 y Fz(\))p Ft(x)3168 419 y Fq(i)3219 455 y Fx(\012)22 b Ft(x)3373 419 y Fq(j)3443 455 y Fz(and)364 589 y Ft(")p Fz(\()448 514 y Fj(P)570 589 y Ft(h)626 553 y Fr(\003)626 614 y Fq(i)665 589 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(x)838 553 y Fq(i)867 589 y Fz(\))27 b(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))k(i\013)f Ft(h)1404 553 y Fr(\003)1404 614 y Fq(i)1466 589 y Fx(\003)22 b Ft(h)1594 553 y Fr(\003)1594 614 y Fq(j)1661 589 y Fz(=)1765 508 y Fj(\000)1811 545 y Fq(i)p Fl(+)p Fq(j)1854 624 y(i)1922 508 y Fj(\001)1968 589 y Ft(h)2024 553 y Fr(\003)2024 614 y Fq(i)p Fl(+)p Fq(j)2172 589 y Fz(and)32 b Ft(h)2417 553 y Fr(\003)2417 614 y Fl(0)2485 589 y Fz(=)27 b Ft(")g Fz(=)h(1)2814 604 y Fq(C)2869 585 y Fk(\003)2909 589 y Fz(.)514 710 y(No)m(w)41 b(let)f Fu(K)64 b Fz(b)s(e)41 b(a)g(\014eld)f(of)g(c)m(haracteristic)h(zero.)68 b(Let)41 b Ft(p)2688 725 y Fq(i)2758 710 y Fz(:=)g Ft(h)2958 674 y Fr(\003)2958 734 y Fq(i)2998 710 y Ft(=i)p Fz(!.)68 b(Then)42 b(the)364 826 y(conditions)k(simplify)e(to)i Ft(p)1410 841 y Fq(i)1439 826 y Ft(p)1488 841 y Fq(j)1576 826 y Fz(=)51 b Ft(p)1752 841 y Fq(i)p Fl(+)p Fq(j)1914 826 y Fz(and)c Ft(p)2167 841 y Fl(0)2258 826 y Fz(=)k(1)p Ft(:)46 b Fz(Hence)i(the)f(series)h(for)e Ft(h)g Fz(is)364 942 y(completely)36 b(determined)i(b)m(y)g(the)f(term)g Ft(p)e Fz(:=)h Ft(p)2196 957 y Fl(1)2273 942 y Fz(since)h Ft(p)2565 957 y Fq(n)2648 942 y Fz(=)e Ft(p)2808 906 y Fq(n)2808 967 y Fl(1)2855 942 y Fz(.)57 b(Since)38 b(the)f(series)364 1058 y(m)m(ust)g(b)s(e)f(lo)s(cally)e(\014nite)i(w)m (e)h(get)g(that)f(for)f(eac)m(h)j Ft(c)c Fx(2)g Ft(C)43 b Fz(there)37 b(m)m(ust)g(b)s(e)f(an)g Ft(n)f Fx(2)f Fv(N)3561 1073 y Fl(0)364 1175 y Fz(suc)m(h)45 b(that)f Ft(p)867 1138 y Fq(m)933 1175 y Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))i(=)g(0)e(for)e (all)g Ft(m)k Fx(\025)h Ft(n)p Fz(.)77 b(Hence)44 b(the)g(elemen)m(t)g Ft(p)f Fz(is)g Fs(top)-5 b(olo)g(gic)g(al)5 b(ly)364 1291 y(nilp)-5 b(otent)33 b Fz(and)1163 1415 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(C)r(;)h Fu(K)g Fz([)p Ft(x)q Fz(]\))1969 1388 y Fx(\030)1970 1419 y Fz(=)2074 1415 y(rad)2215 1430 y Fq(t)2245 1415 y Fz(\()p Ft(C)2360 1374 y Fr(\003)2399 1415 y Fz(\))364 1560 y(the)33 b(radial)e(of)h(top)s(ologically)c(nilp)s(oten)m(t)k (elemen)m(ts)g(of)h Ft(C)2499 1524 y Fr(\003)2538 1560 y Fz(.)514 1676 y(It)40 b(is)g(easy)h(to)f(see)i(that)e(rad)1608 1691 y Fq(t)1638 1676 y Fz(\()p Ft(C)1753 1640 y Fr(\003)1792 1676 y Fz(\))g(is)g(a)g(group)g(under)h(addition)e(and)h(that)g(this) 364 1792 y(group)33 b(structure)h(coincides)e(with)g(the)h(one)g(on)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(C)g Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Ft(C)r(;)h Fu(K)g Fz([)p Ft(x)p Fz(])q(\).)149 1933 y Fv(Remark)25 b(2.4.8.)34 b Fz(Let)22 b Ft(H)29 b Fz(b)s(e)22 b(a)f(\014nite)h(dimensional)d(Hopf)i(algebra.)39 b(Then)23 b(b)m(y)g([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])0 2049 y(2.23)h(and)h(2.25)g (w)m(e)h(get)f(that)f Ft(H)1228 2013 y Fr(\003)1303 2049 y Fz(is)h(an)f(algebra)g(and)h(a)g(coalgebra.)53 b(The)36 b(comm)m(utativ)m(e)f(dia-)0 2166 y(grams)e(de\014ning)g(the)h (bialgebra)d(prop)s(ert)m(y)j(and)g(the)g(an)m(tip)s(o)s(de)e(can)i(b)s (e)g(transferred)g(easily)-8 b(,)33 b(so)0 2282 y Ft(H)89 2246 y Fr(\003)156 2282 y Fz(is)28 b(again)e(a)i(Hopf)g(algebra.)41 b(Hence)30 b(the)e(functor)h(-)2010 2246 y Fr(\003)2077 2282 y Fz(:)f Fs(ve)-5 b(c)44 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fs(ve)-5 b(c)45 b Fz(from)27 b(\014nite)g(dimensional)0 2398 y(v)m(ector)37 b(spaces)g(to)e(itself)f(induces)i(a)g(dualit)m(y)e (-)1760 2362 y Fr(\003)1832 2398 y Fz(:)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(hopf)48 b Fx(\000)-59 b(!)32 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(hopf)51 b Fz(from)35 b(the)h(category)f(of)0 2514 y(\014nite)d(dimensional)e(Hopf)j(algebras)f(to)g(itself.)149 2630 y(An)i(a\016ne)h(algebraic)d(group)i(is)f(called)f Fs(\014nite)i Fz(if)f(the)h(represen)m(ting)h(Hopf)e(algebra)g(is)g (\014nite)0 2747 y(dimensional.)43 b(A)33 b(formal)e(group)i(is)g (called)f Fs(\014nite)h Fz(if)f(the)i(represen)m(ting)g(Hopf)f(algebra) f(is)h(\014nite)0 2863 y(dimensional.)149 2979 y(Th)m(us)g(the)e (category)g(of)f(\014nite)g(a\016ne)h(algebraic)e(groups)i(is)g(equiv) -5 b(alen)m(t)30 b(to)g(the)h(category)g(of)0 3095 y(\014nite)h(formal) e(groups.)149 3212 y(The)37 b(category)f(of)f(\014nite)g(comm)m(utativ) m(e)f(a\016ne)i(algebraic)e(groups)i(is)f(self)g(dual.)51 b(The)36 b(cat-)0 3328 y(egory)42 b(of)f(\014nite)g(comm)m(utativ)m(e)g (a\016ne)h(algebraic)e(groups)i(is)f(equiv)-5 b(alen)m(t)42 b(\(and)f(dual\))g(to)h(the)0 3444 y(category)33 b(of)f(\014nite)g (comm)m(utativ)m(e)g(formal)e(groups.)1301 3665 y Fv(5.)56 b(Quan)m(tum)38 b(Groups)149 3839 y(De\014nition)d(2.5.1.)42 b Fz(\(Drinfel'd\))29 b(A)j Fs(quantum)i(gr)-5 b(oup)32 b Fz(is)f(a)g(noncomm)m(utativ)m(e)g(nonco)s(com-)0 3956 y(m)m(utativ)m(e)h(Hopf)h(algebra.)149 4096 y Fv(Remark)51 b(2.5.2.)c Fz(W)-8 b(e)45 b(shall)e(consider)h(all)e(Hopf)i(algebras)f (as)i(quan)m(tum)f(groups.)78 b(Ob-)0 4212 y(serv)m(e,)54 b(ho)m(w)m(ev)m(er,)g(that)48 b(the)h(comm)m(utativ)m(e)e(Hopf)h (algebras)f(ma)m(y)h(b)s(e)g(considered)h(as)f(a\016ne)0 4329 y(algebraic)40 b(groups)i(and)g(that)f(the)h(co)s(comm)m(utativ)m (e)f(Hopf)g(algebras)g(ma)m(y)g(b)s(e)h(considered)h(as)0 4445 y(formal)27 b(groups.)43 b(Their)30 b(prop)s(ert)m(y)g(as)g(a)g (quan)m(tum)f(space)i(or)f(as)f(a)h(quan)m(tum)g(monoid)e(will)f(pla)m (y)0 4561 y(some)33 b(role.)43 b(But)33 b(often)g(the)g(\(p)s(ossibly)f (nonexisting\))g(dual)g(Hopf)h(algebra)f(will)e(ha)m(v)m(e)k(the)g (geo-)0 4677 y(metrical)24 b(meaning.)40 b(The)27 b(follo)m(wing)d (examples)i Fu(SL)1935 4692 y Fq(q)1973 4677 y Fz(\(2\))g(and)h Fu(G)21 b(L)2452 4692 y Fq(q)2490 4677 y Fz(\(2\))k(will)g(ha)m(v)m(e)i (a)f(geometrical)0 4794 y(meaning.)149 4934 y Fv(Example)38 b(2.5.3.)k Fz(The)34 b(smallest)e(prop)s(er)h(quan)m(tum)h(group,)f (i.e.)45 b(the)34 b(smallest)e(noncom-)0 5050 y(m)m(utativ)m(e)g(nonco) s(comm)m(utativ)m(e)g(Hopf)g(algebra,)g(is)g(the)h(4-dimensional)c (algebra)1059 5216 y Ft(H)1140 5231 y Fl(4)1207 5216 y Fz(:=)f Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(g)t(;)g(x)p Fx(i)p Ft(=)p Fz(\()p Ft(g)1775 5174 y Fl(2)1841 5216 y Fx(\000)22 b Fz(1)p Ft(;)17 b(x)2088 5174 y Fl(2)2128 5216 y Ft(;)g(xg)25 b Fz(+)d Ft(g)t(x)p Fz(\))p eop %%Page: 51 54 51 53 bop 1365 251 a Fw(5.)35 b(QUANTUM)d(GR)n(OUPS)1287 b(51)0 450 y Fz(whic)m(h)33 b(w)m(as)h(\014rst)f(describ)s(ed)g(b)m(y)h (M.)f(Sw)m(eedler.)44 b(The)34 b(coalgebra)d(structure)j(is)e(giv)m(en) h(b)m(y)936 625 y(\001\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)h Ft(g)d Fx(\012)e Ft(g)t(;)263 b Fz(\001\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f Ft(x)c Fx(\012)g Fz(1)f(+)g Ft(g)j Fx(\012)e Ft(x;)1041 741 y(")p Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))j(=)i(1)p Ft(;)648 b(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)h(0)p Ft(;)868 857 y(S)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)g Ft(g)1242 821 y Fr(\000)p Fl(1)1336 857 y Fz(\(=)g Ft(g)t Fz(\))p Ft(;)398 b(S)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)h Fx(\000)p Ft(g)t(x:)0 1035 y Fz(Since)33 b(it)f(is)h(\014nite)g(dimensional)d(its)j(linear)e (dual)h Ft(H)1953 999 y Fr(\003)1945 1060 y Fl(4)2025 1035 y Fz(is)h(also)f(a)h(noncomm)m(utativ)m(e)f(nonco)s(com-)0 1151 y(m)m(utativ)m(e)g(Hopf)g(algebra.)42 b(It)32 b(is)f(isomorphic)g (as)h(a)g(Hopf)g(algebra)f(to)g Ft(H)2700 1166 y Fl(4)2739 1151 y Fz(.)44 b(In)32 b(fact)g Ft(H)3204 1166 y Fl(4)3275 1151 y Fz(is)g(up)g(to)0 1267 y(isomorphism)24 b(the)k(only)e(noncomm)m (utativ)m(e)g(nonco)s(comm)m(utativ)m(e)g(Hopf)g(algebra)g(of)g (dimension)0 1384 y(4.)149 1533 y Fv(Example)45 b(2.5.4.)h Fz(The)41 b(a\016ne)f(algebraic)e(group)h Fu(SL)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\))40 b(:)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)55 b Fx(\000)-59 b(!)39 b(G)6 b Fs(r)57 b Fz(de\014ned)41 b(b)m(y)0 1649 y Fu(S)o(L)6 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\),)36 b(the)f(group)g(of)g Ft(n)24 b Fx(\002)g Ft(n)p Fz(-matrices)34 b(with)h(co)s(e\016cien)m(ts)h(in)e(the)i(comm)m (utativ)m(e)e(algebra)0 1765 y Ft(A)49 b Fz(and)g(with)f(determinan)m (t)g(1,)53 b(is)48 b(represen)m(ted)j(b)m(y)f(the)f(algebra)f Fx(O)s Fz(\()p Fu(S)o(L)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\))56 b(=)f Ft(S)6 b(L)p Fz(\()p Ft(n)p Fz(\))55 b(=)0 1881 y Fu(K)17 b Fz([)q Ft(x)154 1896 y Fq(ij)221 1881 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\(det\()p Ft(x)563 1896 y Fq(ij)624 1881 y Fz(\))22 b Fx(\000)g Fz(1\))33 b(i.e.)822 2063 y Fu(SL)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))1255 2035 y Fx(\030)1256 2067 y Fz(=)1360 2063 y Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)1880 2078 y Fq(ij)1946 2063 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\(det\()p Ft(x)2288 2078 y Fq(ij)2349 2063 y Fz(\))22 b Fx(\000)h Fz(1\))p Ft(;)17 b(A)p Fz(\))p Ft(:)0 2245 y Fz(Since)25 b Fu(SL)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))25 b(has)h(a)e(group)h(structure)i(b)m(y)f(the)f (m)m(ultiplication)c(of)j(matrices,)i(the)f(represen)m(t-)0 2361 y(ing)33 b(comm)m(utativ)m(e)g(algebra)g(has)i(a)f(Hopf)g(algebra) f(structure)j(with)d(the)i(diagonal)d(\001)f(=)f Ft(\023)3390 2376 y Fl(1)3453 2361 y Fx(\003)23 b Ft(\023)3560 2376 y Fl(2)0 2477 y Fz(hence)1317 2618 y(\001\()p Ft(x)1491 2633 y Fq(ik)1558 2618 y Fz(\))28 b(=)1727 2524 y Fj(X)1888 2618 y Ft(x)1943 2633 y Fq(ij)2026 2618 y Fx(\012)23 b Ft(x)2181 2633 y Fq(j)t(k)2256 2618 y Ft(;)0 2801 y Fz(the)h(counit)g Ft(")p Fz(\()p Ft(x)588 2816 y Fq(ij)648 2801 y Fz(\))k(=)f Ft(\016)860 2816 y Fq(ij)945 2801 y Fz(and)d(the)g(an)m(tip)s(o)s(de)f Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)1839 2816 y Fq(ij)1900 2801 y Fz(\))27 b(=)h Ft(ad)-11 b(j)6 b Fz(\()p Ft(X)i Fz(\))2371 2816 y Fq(ij)2455 2801 y Fz(where)25 b Ft(ad)-11 b(j)6 b Fz(\()p Ft(X)i Fz(\))23 b(is)h(the)g(adjoin)m(t)0 2918 y(matrix)31 b(of)h Ft(X)k Fz(=)27 b(\()p Ft(x)741 2933 y Fq(ij)802 2918 y Fz(\).)43 b(W)-8 b(e)33 b(lea)m(v)m(e)h(the)f(v)m(eri\014cation)f(of)g(these)i (facts)e(to)h(the)g(reader.)149 3045 y(W)-8 b(e)29 b(consider)g Fu(SL)5 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\))28 b Fx(\022)g(M)1198 3060 y Fq(n)1272 3045 y Fz(=)g Fu(A)1442 3009 y Fq(n)1485 2986 y Fo(2)1558 3045 y Fz(as)h(a)f(subspace)i(of)e(the)h Ft(n)2483 3009 y Fl(2)2523 3045 y Fz(-dimensional)d(a\016ne)j(space.) 149 3256 y Fv(Example)41 b(2.5.5.)i Fz(Let)36 b Ft(M)1192 3271 y Fq(q)1231 3256 y Fz(\(2\))d(=)g Fu(K)1586 3115 y Fj(\034)6 b(\022)1740 3196 y Ft(a)88 b(b)1745 3312 y(c)f(d)1925 3115 y Fj(\023\035)2090 3256 y Ft(=I)43 b Fz(as)36 b(in)f(1.3.6)g(with)h Ft(I)44 b Fz(the)36 b(ideal)e(gen-)0 3428 y(erated)f(b)m(y)98 3610 y Ft(ab)23 b Fx(\000)g Ft(q)360 3569 y Fr(\000)p Fl(1)454 3610 y Ft(ba;)17 b(ac)23 b Fx(\000)f Ft(q)852 3569 y Fr(\000)p Fl(1)947 3610 y Ft(ca;)17 b(bd)22 b Fx(\000)g Ft(q)1344 3569 y Fr(\000)p Fl(1)1439 3610 y Ft(db;)17 b(cd)k Fx(\000)i Ft(q)1836 3569 y Fr(\000)p Fl(1)1930 3610 y Ft(dc;)17 b Fz(\()p Ft(ad)k Fx(\000)i Ft(q)2375 3569 y Fr(\000)p Fl(1)2469 3610 y Ft(bc)p Fz(\))g Fx(\000)f Fz(\()p Ft(da)g Fx(\000)h Ft(q)t(cb)p Fz(\))p Ft(;)17 b(bc)22 b Fx(\000)h Ft(cb:)149 3792 y Fz(W)-8 b(e)34 b(\014rst)g(de\014ne)h(the)f Fs(quantum)i(determinant)c Fz(det)2057 3807 y Fq(q)2124 3792 y Fz(=)d Ft(ad)23 b Fx(\000)g Ft(q)2501 3755 y Fr(\000)p Fl(1)2595 3792 y Ft(bc)30 b Fz(=)f Ft(da)22 b Fx(\000)h Ft(q)t(cb)34 b Fz(in)f Ft(M)3410 3807 y Fq(q)3448 3792 y Fz(\(2\).)0 3908 y(It)e(is)e(a)i(cen)m(tral)f(elemen)m(t.)43 b(T)-8 b(o)30 b(sho)m(w)i(this,)e(it)g(su\016ces)i(to)e(sho)m(w)i(that) e(det)2720 3923 y Fq(q)2788 3908 y Fz(comm)m(utes)g(with)h(the)0 4024 y(generators)i Ft(a;)17 b(b;)g(c;)g(d)p Fz(:)506 4199 y(\()p Ft(ad)22 b Fx(\000)h Ft(q)815 4162 y Fr(\000)p Fl(1)909 4199 y Ft(bc)p Fz(\))p Ft(a)28 b Fz(=)g Ft(a)p Fz(\()p Ft(da)22 b Fx(\000)h Ft(q)t(bc)p Fz(\))p Ft(;)121 b Fz(\()p Ft(ad)22 b Fx(\000)h Ft(q)2151 4162 y Fr(\000)p Fl(1)2245 4199 y Ft(bc)p Fz(\))p Ft(b)28 b Fz(=)g Ft(b)p Fz(\()p Ft(ad)22 b Fx(\000)h Ft(q)2889 4162 y Fr(\000)p Fl(1)2983 4199 y Ft(bc)p Fz(\))p Ft(;)468 4315 y Fz(\()p Ft(ad)f Fx(\000)h Ft(q)777 4279 y Fr(\000)p Fl(1)871 4315 y Ft(bc)p Fz(\))p Ft(c)28 b Fz(=)g Ft(c)p Fz(\()p Ft(ad)22 b Fx(\000)g Ft(q)1516 4279 y Fr(\000)p Fl(1)1611 4315 y Ft(bc)p Fz(\))p Ft(;)121 b Fz(\()p Ft(da)22 b Fx(\000)h Ft(q)t(bc)p Fz(\))p Ft(d)k Fz(=)h Ft(d)p Fz(\()p Ft(ad)21 b Fx(\000)i Ft(q)2851 4279 y Fr(\000)p Fl(1)2945 4315 y Ft(bc)p Fz(\))p Ft(:)0 4493 y Fz(W)-8 b(e)33 b(can)g(form)e(the) i(quan)m(tum)g(determinan)m(t)f(of)g(an)h(arbitrary)e(quan)m(tum)i (matrix)e(in)h Ft(A)h Fz(b)m(y)655 4730 y(det)790 4745 y Fq(q)845 4590 y Fj(\022)918 4671 y Ft(a)969 4634 y Fr(0)1080 4671 y Ft(b)1121 4634 y Fr(0)923 4787 y Ft(c)965 4751 y Fr(0)1076 4787 y Ft(d)1127 4751 y Fr(0)1150 4590 y Fj(\023)1251 4730 y Fz(:=)27 b Ft(a)1432 4689 y Fr(0)1456 4730 y Ft(d)1507 4689 y Fr(0)1552 4730 y Fx(\000)22 b Ft(q)1698 4689 y Fr(\000)p Fl(1)1793 4730 y Ft(b)1834 4689 y Fr(0)1857 4730 y Ft(c)1899 4689 y Fr(0)1950 4730 y Fz(=)28 b Ft(d)2105 4689 y Fr(0)2128 4730 y Ft(a)2179 4689 y Fr(0)2224 4730 y Fx(\000)23 b Ft(q)t(c)2413 4689 y Fr(0)2436 4730 y Ft(b)2477 4689 y Fr(0)2529 4730 y Fz(=)k Ft(')p Fz(\(det)2869 4745 y Fq(q)2908 4730 y Fz(\))0 4974 y(if)j Ft(')d Fz(:)h Ft(M)328 4989 y Fq(q)366 4974 y Fz(\(2\))g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)k Fz(is)f(the)i(algebra)d (homomorphism)f(asso)s(ciated)j(with)f(the)h(quan)m(tum)g(matrix)0 5014 y Fj(\022)73 5094 y Ft(a)124 5058 y Fr(0)235 5094 y Ft(b)276 5058 y Fr(0)78 5211 y Ft(c)120 5174 y Fr(0)231 5211 y Ft(d)282 5174 y Fr(0)305 5014 y Fj(\023)378 5154 y Fz(.)p eop %%Page: 52 55 52 54 bop 0 251 a Fw(52)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)149 512 y Fz(Giv)m(en)25 b(t)m(w)m(o)g(comm)m(uting)e(quan)m(tum)i(2)6 b Fx(\002)g Fz(2-matrices)2105 371 y Fj(\022)2179 452 y Ft(a)2230 416 y Fr(0)2341 452 y Ft(b)2382 416 y Fr(0)2183 568 y Ft(c)2225 532 y Fr(0)2336 568 y Ft(d)2387 532 y Fr(0)2410 371 y Fj(\023)2500 512 y Ft(;)2544 371 y Fj(\022)2617 452 y Ft(a)2668 416 y Fr(00)2798 452 y Ft(b)2839 416 y Fr(00)2622 568 y Ft(c)2664 532 y Fr(00)2794 568 y Ft(d)2845 532 y Fr(00)2887 371 y Fj(\023)2960 512 y Fz(.)41 b(The)26 b(quan)m(tum)0 684 y(determinan)m(t)32 b(preserv)m(es)j(the)e(pro)s (duct,)g(since)0 1498 y(\(3\))504 914 y(det)640 929 y Fq(q)678 914 y Fz(\()716 773 y Fj(\022)789 854 y Ft(a)840 818 y Fr(0)951 854 y Ft(b)992 818 y Fr(0)794 970 y Ft(c)836 934 y Fr(0)947 970 y Ft(d)998 934 y Fr(0)1021 773 y Fj(\023)17 b(\022)1184 854 y Ft(a)1235 818 y Fr(00)1365 854 y Ft(b)1406 818 y Fr(00)1189 970 y Ft(c)1231 934 y Fr(00)1361 970 y Ft(d)1412 934 y Fr(00)1454 773 y Fj(\023)1527 914 y Fz(\))28 b(=)f(det)1832 929 y Fq(q)1886 773 y Fj(\022)1960 854 y Ft(a)2011 818 y Fr(0)2034 854 y Ft(a)2085 818 y Fr(00)2150 854 y Fz(+)22 b Ft(b)2289 818 y Fr(0)2313 854 y Ft(c)2355 818 y Fr(00)2480 854 y Ft(a)2531 818 y Fr(0)2555 854 y Ft(b)2596 818 y Fr(00)2661 854 y Fz(+)g Ft(b)2800 818 y Fr(0)2823 854 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y(nan)m(t)g(is)f(a)g(grouplik)m(e)g(elemen)m(t)g(\(see)i(2.1.6\).) 149 2551 y(No)m(w)g(w)m(e)f(de\014ne)h(an)f(algebra)1197 2725 y Ft(S)6 b(L)1329 2740 y Fq(q)1367 2725 y Fz(\(2\))28 b(:=)f Ft(M)1744 2740 y Fq(q)1783 2725 y Fz(\(2\))p Ft(=)p Fz(\(det)2129 2740 y Fq(q)2190 2725 y Fx(\000)22 b Fz(1\))p Ft(:)0 2899 y Fz(The)34 b(algebra)d Ft(S)6 b(L)674 2914 y Fq(q)712 2899 y Fz(\(2\))32 b(represen)m(ts)j(the)e(functor)601 3137 y Fu(S)o(L)722 3152 y Fq(q)760 3137 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)f Fx(f)1215 2997 y Fj(\022)1289 3078 y Ft(a)1340 3041 y Fr(0)1451 3078 y Ft(b)1492 3041 y Fr(0)1293 3194 y Ft(c)1335 3158 y Fr(0)1446 3194 y Ft(d)1497 3158 y Fr(0)1520 2997 y Fj(\023)1621 3137 y Fx(2)h(M)1835 3152 y Fq(q)1873 3137 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\))p Fx(j)p Fz(det)2310 3152 y Fq(q)2364 2997 y Fj(\022)2438 3078 y Ft(a)2489 3041 y Fr(0)2600 3078 y Ft(b)2641 3041 y Fr(0)2442 3194 y Ft(c)2484 3158 y Fr(0)2595 3194 y Ft(d)2646 3158 y Fr(0)2669 2997 y Fj(\023)2770 3137 y Fz(=)g(1)p Fx(g)p Ft(:)0 3373 y Fz(There)42 b(is)d(a)h(surjectiv)m(e)i (homomorphism)c(of)h(algebras)h Ft(M)2226 3388 y Fq(q)2265 3373 y Fz(\(2\))g Fx(\000)-59 b(!)40 b Ft(S)6 b(L)2720 3388 y Fq(q)2758 3373 y Fz(\(2\))40 b(and)h Fu(S)o(L)3242 3388 y Fq(q)3280 3373 y Fz(\(2\))f(is)g(a)0 3489 y(subfunctor)34 b(of)e Fx(M)717 3504 y Fq(q)754 3489 y Fz(\(2\).)149 3605 y(Let)45 b Ft(X)r(;)17 b(Y)65 b Fz(b)s(e)44 b(comm)m(uting)e(quan) m(tum)i(matrices)f(satisfying)g(det)2654 3620 y Fq(q)2692 3605 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))47 b(=)g(1)f(=)h(det)3381 3620 y Fq(q)3419 3605 y Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\).)0 3722 y(Since)66 b(det)424 3737 y Fq(q)462 3722 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))17 b(det)779 3737 y Fq(q)817 3722 y Fz(\()p Ft(Y)k Fz(\))85 b(=)g(det)1352 3737 y Fq(q)1390 3722 y Fz(\()p Ft(X)8 b(Y)21 b Fz(\))66 b(for)g(comm)m(uting)f(quan)m(tum)h(matrices)g (w)m(e)h(get)0 3838 y(det)135 3853 y Fq(q)174 3838 y Fz(\()p Ft(X)8 b(Y)21 b Fz(\))47 b(=)g(1,)g(hence)e Fu(SL)1114 3853 y Fq(q)1152 3838 y Fz(\(2\))f(is)g(a)g(quan)m(tum)g(submonoid)f (of)h Fx(M)2695 3853 y Fq(q)2733 3838 y Fz(\(2\))f(and)i Ft(S)6 b(L)3235 3853 y Fq(q)3273 3838 y Fz(\(2\))44 b(is)f(a)0 3954 y(bialgebra)31 b(with)h(diagonal)1105 4184 y(\001)1203 4044 y Fj(\022)1277 4124 y Ft(a)87 b(b)1281 4241 y(c)h(d)1461 4044 y Fj(\023)1562 4184 y Fz(=)1666 4044 y Fj(\022)1739 4124 y Ft(a)g(b)1744 4241 y(c)g(d)1924 4044 y Fj(\023)2020 4184 y Fx(\012)2119 4044 y Fj(\022)2193 4124 y Ft(a)g(b)2197 4241 y(c)g(d)2378 4044 y Fj(\023)2468 4184 y Ft(;)0 4414 y Fz(and)1352 4584 y Ft(")1415 4444 y Fj(\022)1488 4524 y Ft(a)f(b)1492 4641 y(c)h(d)1673 4444 y Fj(\023)1774 4584 y Fz(=)1877 4444 y Fj(\022)1950 4524 y Fz(1)83 b(0)1950 4641 y(0)g(1)2131 4444 y Fj(\023)2221 4584 y Ft(:)149 4799 y Fz(T)-8 b(o)30 b(sho)m(w)g(that)f Ft(S)6 b(L)868 4814 y Fq(q)907 4799 y Fz(\(2\))29 b(has)g(an)h(an)m(tip)s(o)s(de)e(w)m (e)j(\014rst)e(de\014ne)i(a)e(homomorphism)e(of)i(algebras)0 4916 y Ft(T)41 b Fz(:)28 b Ft(M)247 4931 y Fq(q)286 4916 y Fz(\(2\))f Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)677 4931 y Fq(q)715 4916 y Fz(\(2\))840 4879 y Fq(op)946 4916 y Fz(b)m(y)1161 5154 y Ft(T)1249 5014 y Fj(\022)1322 5094 y Ft(a)88 b(b)1327 5211 y(c)f(d)1507 5014 y Fj(\023)1608 5154 y Fz(:=)1739 5014 y Fj(\022)1917 5094 y Ft(d)188 b Fx(\000)p Ft(q)t(b)1812 5211 y Fx(\000)p Ft(q)1936 5174 y Fr(\000)p Fl(1)2031 5211 y Ft(c)140 b(a)2321 5014 y Fj(\023)2411 5154 y Ft(:)p eop %%Page: 53 56 53 55 bop 1365 251 a Fw(5.)35 b(QUANTUM)d(GR)n(OUPS)1287 b(53)0 512 y Fz(W)-8 b(e)33 b(c)m(hec)m(k)i(that)d Ft(T)42 b Fz(:)27 b Fu(K)884 371 y Fj(\034)5 b(\022)1037 452 y Ft(a)88 b(b)1042 568 y(c)g(d)1222 371 y Fj(\023)q(\035)1398 512 y Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)1637 527 y Fq(q)1675 512 y Fz(\(2\))1800 475 y Fq(op)1906 512 y Fz(v)-5 b(anishes)33 b(on)g(the)g(ideal)e Ft(I)8 b Fz(.)442 787 y Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(ab)23 b Fx(\000)f Ft(q)812 746 y Fr(\000)p Fl(1)906 787 y Ft(ba)p Fz(\))29 b(=)e Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(T)g Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))22 b Fx(\000)h Ft(q)1723 746 y Fr(\000)p Fl(1)1817 787 y Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(T)g Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))28 b(=)f Fx(\000)p Ft(q)t(bd)c Fz(+)f Ft(q)2718 746 y Fr(\000)p Fl(1)2812 787 y Ft(q)t(db)28 b Fz(=)f(0)p Ft(:)0 991 y Fz(W)-8 b(e)46 b(lea)m(v)m(e)h(the)g(c)m(hec)m(k)h(of)e(the)g(other)g (de\014ning)g(relations)f(to)h(the)g(reader.)85 b(F)-8 b(urthermore)45 b Ft(T)0 1108 y Fz(restricts)e(to)f(a)h(homomorphism)c (of)k(algebras)e Ft(S)51 b Fz(:)45 b Ft(S)6 b(L)2130 1123 y Fq(q)2168 1108 y Fz(\(2\))44 b Fx(\000)-59 b(!)44 b Ft(S)6 b(L)2631 1123 y Fq(q)2669 1108 y Fz(\(2\))2794 1071 y Fq(op)2910 1108 y Fz(since)43 b Ft(T)14 b Fz(\(det)3403 1123 y Fq(q)3441 1108 y Fz(\))45 b(=)0 1224 y Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(ad)30 b Fx(\000)h Ft(q)396 1188 y Fr(\000)p Fl(1)490 1224 y Ft(bc)p Fz(\))49 b(=)g Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))p Ft(T)g Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))30 b Fx(\000)h Ft(q)1366 1188 y Fr(\000)p Fl(1)1460 1224 y Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(T)g Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))48 b(=)h Ft(ad)30 b Fx(\000)h Ft(q)2297 1188 y Fr(\000)p Fl(1)2392 1224 y Fz(\()p Fx(\000)p Ft(q)2554 1188 y Fr(\000)p Fl(1)2648 1224 y Ft(c)p Fz(\)\()p Fx(\000)p Ft(q)t(b)p Fz(\))50 b(=)e(det)3279 1239 y Fq(q)3362 1224 y Fz(hence)0 1340 y Ft(T)14 b Fz(\(det)244 1355 y Fq(q)299 1340 y Fx(\000)p Fz(1\))28 b(=)f(det)730 1355 y Fq(q)784 1340 y Fx(\000)p Fz(1)h(=)g(0)k(in)g Ft(S)6 b(L)1369 1355 y Fq(q)1407 1340 y Fz(\(2\).)149 1456 y(One)41 b(v)m(eri\014es)g (easily)e(that)h Ft(S)45 b Fz(satis\014es)1663 1382 y Fj(P)1785 1456 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)1944 1472 y Fl(\(1\))2038 1456 y Fz(\))p Ft(x)2131 1472 y Fl(\(2\))2266 1456 y Fz(=)40 b Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))g(for)g(all)d(giv)m(en)j (generators)0 1573 y(of)35 b Ft(S)6 b(L)246 1588 y Fq(q)284 1573 y Fz(\(2\),)36 b(hence)h Ft(S)k Fz(is)35 b(a)g(left)f(an)m(tip)s (o)s(de)h(b)m(y)h(2.1.3.)51 b(Symmetrically)33 b Ft(S)41 b Fz(is)35 b(a)g(righ)m(t)g(an)m(tip)s(o)s(de.)0 1689 y(Th)m(us)f(the)f(bialgebra)e Ft(S)6 b(L)970 1704 y Fq(q)1008 1689 y Fz(\(2\))32 b(is)g(a)h(Hopf)f(algebra)f(or)i(a)f(quan)m(tum)h (group.)149 1849 y Fv(Example)43 b(2.5.6.)i Fz(The)39 b(a\016ne)g(algebraic)e(group)h Fu(G)21 b(L)d Fz(\()p Ft(n)p Fz(\))37 b(:)g Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)53 b Fx(\000)-60 b(!)37 b(G)6 b Fs(r)55 b Fz(de\014ned)40 b(b)m(y)0 1965 y Fu(G)21 b(L)d Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\),)28 b(the)f(group)f(of)h(in)m(v)m(ertible)f Ft(n)10 b Fx(\002)g Ft(n)p Fz(-matrices)26 b(with)g(co)s(e\016cien)m (ts)i(in)e(the)h(comm)m(utativ)m(e)0 2082 y(algebra)c Ft(A)p Fz(,)i(is)f(represen)m(ted)i(b)m(y)f(the)f(algebra)f Fx(O)s Fz(\()p Fu(G)e(L)d Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\))27 b(=)h Ft(GL)p Fz(\()p Ft(n)p Fz(\))g(=)f Fu(K)18 b Fz([)p Ft(x)2805 2097 y Fq(i)q(j)2872 2082 y Ft(;)f(t)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\(det\()p Ft(x)3293 2097 y Fq(ij)3354 2082 y Fz(\))p Ft(t)t Fx(\000)t Fz(1\))0 2198 y(i.e.)735 2362 y Fu(G)22 b(L)17 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))1190 2334 y Fx(\030)1191 2366 y Fz(=)1295 2362 y Fu(K)h Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(x)1815 2377 y Fq(ij)1881 2362 y Ft(;)g(t)p Fz(])p Ft(=)p Fz(\(det\()p Ft(x)2302 2377 y Fq(ij)2363 2362 y Fz(\))p Ft(t)23 b Fx(\000)f Fz(1\))p Ft(;)17 b(A)p Fz(\)\))p Ft(:)0 2546 y Fz(Since)23 b Fu(G)f(L)17 b Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\()p Ft(A)p Fz(\))23 b(has)h(a)f(group)g(structure)h(b)m(y)h(the)e(m)m (ultiplication)c(of)j(matrices,)j(the)e(represen)m(t-)0 2662 y(ing)33 b(comm)m(utativ)m(e)g(algebra)g(has)i(a)f(Hopf)g(algebra) f(structure)j(with)d(the)i(diagonal)d(\001)f(=)f Ft(\023)3390 2677 y Fl(1)3453 2662 y Fx(\003)23 b Ft(\023)3560 2677 y Fl(2)0 2779 y Fz(hence)1317 2943 y(\001\()p Ft(x)1491 2958 y Fq(ik)1558 2943 y Fz(\))28 b(=)1727 2848 y Fj(X)1888 2943 y Ft(x)1943 2958 y Fq(ij)2026 2943 y Fx(\012)23 b Ft(x)2181 2958 y Fq(j)t(k)2256 2943 y Ft(;)0 3148 y Fz(the)40 b(counit)f Ft(")p Fz(\()p Ft(x)619 3163 y Fq(ij)680 3148 y Fz(\))g(=)h Ft(\016)916 3163 y Fq(ij)1016 3148 y Fz(and)g(the)g(an)m(tip)s(o)s(de)e Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)1957 3163 y Fq(ij)2018 3148 y Fz(\))40 b(=)f Ft(t)27 b Fx(\001)g Ft(ad)-11 b(j)6 b Fz(\()p Ft(X)i Fz(\))2630 3163 y Fq(ij)2729 3148 y Fz(where)41 b Ft(ad)-11 b(j)6 b Fz(\()p Ft(X)i Fz(\))39 b(is)h(the)0 3265 y(adjoin)m(t)k(matrix)g(of) g Ft(X)57 b Fz(=)49 b(\()p Ft(x)1152 3280 y Fq(ij)1213 3265 y Fz(\).)80 b(W)-8 b(e)46 b(lea)m(v)m(e)g(the)f(v)m(eri\014cation) f(of)h(these)h(facts)g(from)e(linear)0 3381 y(algebra)31 b(to)i(the)g(reader.)44 b(The)33 b(diagonal)d(applied)i(to)g Ft(t)h Fz(giv)m(es)1529 3585 y(\001\()p Ft(t)p Fz(\))28 b(=)f Ft(t)c Fx(\012)f Ft(t:)0 3790 y Fz(Hence)h Ft(t)p Fz(\(=)28 b(det\()p Ft(X)8 b Fz(\))756 3754 y Fr(\000)p Fl(1)850 3790 y Fz(\))22 b(is)f(a)h(grouplik)m(e)e(elemen)m(t)i(in)f Ft(GL)p Fz(\()p Ft(n)p Fz(\).)40 b(This)22 b(re\015ects)h(the)g(rule)e (det\()p Ft(AB)5 b Fz(\))28 b(=)0 3906 y(det\()p Ft(A)p Fz(\))17 b(det)q(\()p Ft(B)5 b Fz(\))32 b(hence)i(det)q(\()p Ft(AB)5 b Fz(\))1259 3870 y Fr(\000)p Fl(1)1381 3906 y Fz(=)27 b(det)q(\()p Ft(A)p Fz(\))1769 3870 y Fr(\000)p Fl(1)1880 3906 y Fz(det\()p Ft(B)5 b Fz(\))2170 3870 y Fr(\000)p Fl(1)2264 3906 y Fz(.)149 4067 y Fv(Example)37 b(2.5.7.)42 b Fz(Let)33 b Ft(M)1184 4082 y Fq(q)1222 4067 y Fz(\(2\))f(b)s(e)h(as)g(in)f(the)h(example)f(2.5.5.)43 b(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)1339 4271 y Ft(GL)1482 4286 y Fq(q)1520 4271 y Fz(\(2\))27 b(:=)h Ft(M)1897 4286 y Fq(q)1935 4271 y Fz(\(2\)[)p Ft(t)p Fz(])p Ft(=J)0 4476 y Fz(with)j Ft(J)40 b Fz(generated)32 b(b)m(y)g(the)f(elemen)m(ts) h Ft(t)19 b Fx(\001)g Fz(\()p Ft(ad)g Fx(\000)g Ft(q)1859 4440 y Fr(\000)p Fl(1)1953 4476 y Ft(bc)p Fz(\))h Fx(\000)g Fz(1)p Ft(:)30 b Fz(The)j(algebra)c Ft(GL)2979 4491 y Fq(q)3018 4476 y Fz(\(2\))h(represen)m(ts)0 4592 y(the)j(functor)346 4833 y Fu(G)22 b(L)490 4848 y Fq(q)528 4833 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\))27 b(=)h Fx(f)983 4693 y Fj(\022)1056 4774 y Ft(a)1107 4737 y Fr(0)1218 4774 y Ft(b)1259 4737 y Fr(0)1061 4890 y Ft(c)1103 4854 y Fr(0)1214 4890 y Ft(d)1265 4854 y Fr(0)1288 4693 y Fj(\023)1389 4833 y Fx(2)g(M)1603 4848 y Fq(q)1640 4833 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\))p Fx(j)p Fz(det)2077 4848 y Fq(q)2132 4693 y Fj(\022)2205 4774 y Ft(a)2256 4737 y Fr(0)2367 4774 y Ft(b)2408 4737 y Fr(0)2210 4890 y Ft(c)2252 4854 y Fr(0)2363 4890 y Ft(d)2414 4854 y Fr(0)2437 4693 y Fj(\023)2559 4833 y Fz(in)m(v)m(ertible)k(in)g Ft(A)p Fx(g)p Ft(:)0 5099 y Fz(In)45 b(fact)g(there)h(is)e(a)h (canonical)e(homomorphism)f(of)j(algebras)f Ft(M)2556 5114 y Fq(q)2594 5099 y Fz(\(2\))k Fx(\000)-59 b(!)48 b Ft(GL)3076 5114 y Fq(q)3115 5099 y Fz(\(2\).)80 b(A)45 b(ho-)0 5216 y(momorphism)40 b(of)h(algebras)h Ft(')i Fz(:)h Ft(M)1380 5231 y Fq(q)1418 5216 y Fz(\(2\))f Fx(\000)-60 b(!)44 b Ft(A)f Fz(has)g(a)f(unique)g(con)m(tin)m(uation)g(to)g Ft(GL)3311 5231 y Fq(q)3349 5216 y Fz(\(2\))g(i\013)p eop %%Page: 54 57 54 56 bop 0 251 a Fw(54)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)0 512 y Fz(det)135 527 y Fq(q)174 512 y Fz(\()p Ft(')293 371 y Fj(\022)365 452 y Ft(a)88 b(b)370 568 y(c)g(d)550 371 y Fj(\023)624 512 y Fz(\))32 b(is)g(in)m(v)m(ertible:)1188 757 y Ft(M)1282 772 y Fq(q)1321 757 y Fz(\(2\))185 b Ft(M)1725 772 y Fq(q)1764 757 y Fz(\(2\)[)p Ft(t)p Fz(])p 1474 736 129 4 v 1520 734 a Fm(-)2172 757 y Ft(G)2249 772 y Fq(q)2287 757 y Fz(\(2\))p 2006 736 138 4 v 2061 734 a Fm(-)1768 1256 y Ft(A)1385 885 y Fm(@)1468 968 y(@)1551 1051 y(@)1634 1134 y(@)1653 1153 y(@)-83 b(R)p 1803 1153 4 351 v 68 w(?)2141 885 y(\000)2058 968 y(\000)1975 1051 y(\000)1892 1134 y(\000)1873 1153 y(\000)g(\011)0 1493 y Fz(with)37 b Ft(t)e Fx(7!)g Fz(det)568 1508 y Fq(q)622 1352 y Fj(\022)696 1433 y Ft(a)747 1397 y Fr(0)858 1433 y Ft(b)899 1397 y Fr(0)700 1549 y Ft(c)742 1513 y Fr(0)853 1549 y Ft(d)904 1513 y Fr(0)927 1352 y Fj(\023)1000 1375 y Fr(\000)p Fl(1)1111 1493 y Ft(:)i Fz(Th)m(us)i Fu(G)21 b(L)1571 1508 y Fq(q)1609 1493 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\))37 b(is)f(a)h(subset)h(of)f Fx(M)2647 1508 y Fq(q)2685 1493 y Fz(\(2\)\()p Ft(A)p Fz(\).)56 b(Observ)m(e)39 b(that)0 1670 y Ft(M)94 1685 y Fq(q)132 1670 y Fz(\(2\))28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(GL)572 1685 y Fq(q)611 1670 y Fz(\(2\))32 b(is)g Fs(not)h Fz(surjectiv)m(e.)149 1787 y(Since)h(the)g(quan)m(tum)g (determinan)m(t)f(preserv)m(es)k(pro)s(ducts)d(and)g(the)g(pro)s(duct)g (of)f(in)m(v)m(ertible)0 1903 y(elemen)m(ts)f(is)f(again)g(in)m(v)m (ertible)g(w)m(e)i(get)f Fu(G)21 b(L)1633 1918 y Fq(q)1672 1903 y Fz(\(2\))31 b(is)g(a)h(quan)m(tum)g(submonoid)f(of)g Fx(M)3140 1918 y Fq(q)3178 1903 y Fz(\(2\),)h(hence)0 2084 y(\001)c(:)g Ft(GL)307 2099 y Fq(q)345 2084 y Fz(\(2\))f Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(GL)785 2099 y Fq(q)824 2084 y Fz(\(2\))t Fx(\012)t Ft(GL)1177 2099 y Fq(q)1216 2084 y Fz(\(2\))c(with)h(\001)1676 1943 y Fj(\022)1749 2024 y Ft(a)88 b(b)1754 2140 y(c)f(d)1934 1943 y Fj(\023)2035 2084 y Fz(=)2138 1943 y Fj(\022)2212 2024 y Ft(a)h(b)2216 2140 y(c)g(d)2397 1943 y Fj(\023)2474 2084 y Fx(\012)2555 1943 y Fj(\022)2630 2024 y Ft(a)f(b)2634 2140 y(c)h(d)2814 1943 y Fj(\023)2912 2084 y Fz(and)24 b(\001\()p Ft(t)p Fz(\))k(=)f Ft(t)t Fx(\012)t Ft(t)p Fz(.)149 2261 y(W)-8 b(e)33 b(construct)h(the)f(an)m(tip)s(o)s(de)f(for)g Ft(GL)1610 2276 y Fq(q)1648 2261 y Fz(\(2\).)43 b(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)h Ft(T)42 b Fz(:)27 b Ft(M)2540 2276 y Fq(q)2579 2261 y Fz(\(2\)[)p Ft(t)p Fz(])g Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)3059 2276 y Fq(q)3098 2261 y Fz(\(2\)[)p Ft(t)p Fz(])3312 2225 y Fq(op)3418 2261 y Fz(b)m(y)109 2511 y Ft(T)196 2370 y Fj(\022)269 2451 y Ft(a)88 b(b)274 2567 y(c)g(d)454 2370 y Fj(\023)555 2511 y Fz(:=)28 b Ft(t)738 2370 y Fj(\022)916 2451 y Ft(d)188 b Fx(\000)p Ft(q)t(b)811 2567 y Fx(\000)p Ft(q)935 2531 y Fr(\000)p Fl(1)1030 2567 y Ft(c)140 b(a)1321 2370 y Fj(\023)1638 2511 y Fz(and)228 b Ft(T)14 b Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))27 b(:=)h(det)2498 2526 y Fq(q)2553 2370 y Fj(\022)2626 2451 y Ft(a)88 b(b)2631 2567 y(c)g(d)2811 2370 y Fj(\023)2912 2511 y Fz(=)28 b Ft(ad)22 b Fx(\000)h Ft(q)3287 2470 y Fr(\000)p Fl(1)3381 2511 y Ft(bc:)0 2752 y Fz(As)43 b(in)f(2.5.5)g Ft(T)56 b Fz(de\014nes)45 b(a)d(homomorphism)e(of)i (algebras.)73 b(W)-8 b(e)43 b(obtain)f(an)g(induced)h(homo-)0 2868 y(morphism)36 b(of)i(algebras)f Ft(S)43 b Fz(:)38 b Ft(GL)1274 2883 y Fq(q)1312 2868 y Fz(\(2\))f Fx(\000)-60 b(!)37 b Ft(GL)1771 2883 y Fq(q)1809 2868 y Fz(\(2\))1934 2832 y Fq(op)2046 2868 y Fz(or)h(a)f Ft(GL)2400 2883 y Fq(q)2439 2868 y Fz(\(2\))2564 2832 y Fq(op)2637 2868 y Fz(-p)s(oin)m(t)g(in)g Ft(GL)3192 2883 y Fq(q)3231 2868 y Fz(\(2\))h(since)0 2984 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(t)p Fz(\()p Ft(ad)19 b Fx(\000)i Ft(q)443 2948 y Fr(\000)p Fl(1)537 2984 y Ft(bc)p Fz(\))f Fx(\000)g Fz(1\))27 b(=)h(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))19 b Fx(\000)h Ft(q)1580 2948 y Fr(\000)p Fl(1)1674 2984 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(b)p Fz(\)\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))20 b Fx(\000)g Ft(S)6 b Fz(\(1\))27 b(=)g(\()p Ft(t)2767 2948 y Fl(2)2807 2984 y Ft(ad)20 b Fx(\000)g Ft(q)3073 2948 y Fr(\000)p Fl(1)3167 2984 y Ft(t)3202 2948 y Fl(2)3242 2984 y Ft(cb)p Fz(\)\()p Ft(ad)g Fx(\000)0 3100 y Ft(q)47 3064 y Fr(\000)p Fl(1)141 3100 y Ft(bc)p Fz(\))j Fx(\000)f Fz(1)28 b(=)f Ft(t)599 3064 y Fl(2)639 3100 y Fz(\()p Ft(ad)22 b Fx(\000)h Ft(q)948 3064 y Fr(\000)p Fl(1)1042 3100 y Ft(bc)p Fz(\))1163 3064 y Fl(2)1225 3100 y Fx(\000)f Fz(1)28 b(=)f(0.)149 3217 y(Since)k Ft(S)36 b Fz(satis\014es)856 3142 y Fj(P)978 3217 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)1137 3232 y Fl(\(1\))1231 3217 y Fz(\))p Ft(x)1324 3232 y Fl(\(2\))1446 3217 y Fz(=)28 b Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))i(for)h(all)d(giv)m(en)j (generators,)g Ft(S)37 b Fz(is)30 b(a)g(left)g(an)m(tip)s(o)s(de)0 3333 y(b)m(y)35 b(2.1.3.)49 b(Symmetrically)31 b Ft(S)40 b Fz(is)34 b(a)g(righ)m(t)g(an)m(tip)s(o)s(de.)48 b(Th)m(us)36 b(the)e(bialgebra)f Ft(GL)3014 3348 y Fq(q)3052 3333 y Fz(\(2\))h(is)g(a)g(Hopf)0 3449 y(algebra)d(or)i(a)f(quan)m(tum)h (group.)149 3600 y Fv(Example)46 b(2.5.8.)h Fz(Let)41 b Ft(sl)r Fz(\(2\))f(b)s(e)h(the)h(3-dimensional)37 b(v)m(ector)42 b(space)g(generated)g(b)m(y)g(the)0 3716 y(matrices)669 3897 y Ft(X)35 b Fz(=)889 3756 y Fj(\022)962 3837 y Fz(0)83 b(1)962 3953 y(0)g(0)1142 3756 y Fj(\023)1232 3897 y Ft(;)212 b(Y)49 b Fz(=)1681 3756 y Fj(\022)1754 3837 y Fz(0)83 b(0)1754 3953 y(1)g(0)1935 3756 y Fj(\023)2025 3897 y Ft(;)211 b(H)36 b Fz(=)2483 3756 y Fj(\022)2556 3837 y Fz(1)122 b(0)2556 3953 y(0)83 b Fx(\000)p Fz(1)2814 3756 y Fj(\023)2904 3897 y Ft(:)0 4123 y Fz(Then)26 b Ft(sl)r Fz(\(2\))e(is)h(a)f(subspace)j(of)d(the)h(algebra)f Ft(M)10 b Fz(\(2\))25 b(of)f(2)6 b Fx(\002)g Fz(2-matrices)24 b(o)m(v)m(er)i Fu(K)18 b Fz(.)46 b(W)-8 b(e)26 b(easily)e(v)m(erify)0 4239 y([)p Ft(X)r(;)17 b(Y)k Fz(])28 b(=)g Ft(X)8 b(Y)25 b Fx(\000)t Ft(Y)d(X)36 b Fz(=)27 b Ft(H)8 b Fz(,)25 b([)p Ft(H)r(;)17 b(X)8 b Fz(])28 b(=)f Ft(H)8 b(X)k Fx(\000)t Ft(X)c(H)35 b Fz(=)28 b(2)p Ft(X)8 b Fz(,)25 b(and)f([)p Ft(H)r(;)17 b(Y)k Fz(])28 b(=)g Ft(H)8 b(Y)25 b Fx(\000)t Ft(Y)d(H)35 b Fz(=)27 b Fx(\000)p Fz(2)p Ft(Y)22 b Fz(,)0 4356 y(so)29 b(that)f Ft(sl)r Fz(\(2\))g(b)s(ecomes)i (a)e(Lie)g(subalgebra)g(of)g 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Fz(.)54 b(F)-8 b(urthermore)33 b(one)i(can)0 5191 y(pro)m(v)m(e)f(that) e(all)f(\014nite)h(dimensional)e Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\)-mo)s(dules)32 b(are)g(semisimple.)p eop %%Page: 55 58 55 57 bop 1365 251 a Fw(5.)35 b(QUANTUM)d(GR)n(OUPS)1287 b(55)149 450 y Fv(Example)32 b(2.5.9.)38 b Fz(W)-8 b(e)29 b(de\014ne)g(the)g(so-called)d Ft(q)t Fz(-deformed)h(v)m(ersion)i Ft(U)2795 465 y Fq(q)2833 450 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))f(of)g Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))0 566 y(for)33 b(an)m(y)h Ft(q)e Fx(2)e Fu(K)17 b Fz(,)40 b Ft(q)32 b Fx(6)p Fz(=)d(1)p Ft(;)17 b Fx(\000)p Fz(1)33 b(and)g Ft(q)k Fz(in)m(v)m(ertible.)45 b(Let)33 b Ft(U)2058 581 y Fq(q)2097 566 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))g(b)s(e)g(the)h(algebra)e(generated)i(b)m(y)0 683 y(the)f(elemen)m(ts)g Ft(E)6 b(;)17 b(F)s(;)g(K)r(;)g(K)1018 646 y Fr(0)1073 683 y Fz(with)32 b(the)h(relations)1427 866 y Ft(K)7 b(K)1607 830 y Fr(0)1659 866 y Fz(=)27 b Ft(K)1852 830 y Fr(0)1876 866 y Ft(K)34 b Fz(=)28 b(1)p Ft(;)1069 983 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c(\001)i(is)e(coasso)s(ciativ)m(e)h(it)e(su\016ces)36 b(to)c(c)m(hec)m(k)j(this)e(for)f(the)i(generators)f(of)g(the)0 1396 y(algebra.)49 b(W)-8 b(e)35 b(ha)m(v)m(e)h(\(\001)24 b Fx(\012)g Fz(1\)\001\()p Ft(E)6 b Fz(\))31 b(=)g(\(\001)24 b Fx(\012)g Fz(1\)\(1)f Fx(\012)h Ft(E)30 b Fz(+)23 b Ft(E)30 b Fx(\012)24 b Ft(K)7 b Fz(\))31 b(=)g(1)24 b Fx(\012)g Fz(1)f Fx(\012)h Ft(E)30 b Fz(+)23 b(1)h Fx(\012)g Ft(E)30 b Fx(\012)0 1513 y Ft(K)37 b Fz(+)29 b Ft(E)35 b Fx(\012)30 b Ft(K)37 b Fx(\012)29 b Ft(K)53 b Fz(=)46 b(\(1)29 b Fx(\012)h Fz(\001\)\(1)f Fx(\012)h Ft(E)36 b Fz(+)29 b Ft(E)35 b Fx(\012)30 b Ft(K)7 b Fz(\))46 b(=)g(\(1)29 b Fx(\012)h Fz(\001\)\001\()p Ft(E)6 b Fz(\).)75 b(Similarly)40 b(w)m(e)k(get)0 1629 y(\(\001)15 b Fx(\012)g Fz(1\)\001\()p Ft(F)f Fz(\))28 b(=)g(\(1)15 b Fx(\012)g Fz(\001\)\001\()p Ft(F)f Fz(\).)42 b(F)-8 b(or)28 b Ft(K)37 b Fz(the)29 b(claim)e(is)h(ob)m(vious.)43 b(The)30 b(counit)f(axiom)e (is)i(easily)0 1745 y(c)m(hec)m(k)m(ed)36 b(on)c(the)h(generators.)149 1861 y(No)m(w)27 b(w)m(e)g(sho)m(w)h(that)e Ft(S)32 b Fz(is)25 b(an)i(an)m(tip)s(o)s(de)e(for)h Ft(U)1862 1876 y Fq(q)1900 1861 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\).)41 b(First)25 b(de\014ne)j Ft(S)33 b Fz(:)28 b Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(E)6 b(;)17 b(F)s(;)g(K)r(;)g(K)3462 1825 y Fr(\000)p Fl(1)3561 1861 y Fx(i)0 1977 y(\000)-60 b(!)28 b Ft(U)211 1992 y Fq(q)249 1977 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))527 1941 y Fq(op)633 1977 y Fz(b)m(y)34 b(the)f(de\014nition)e(of)h Ft(S)38 b Fz(on)33 b(the)g(generators.)44 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)1215 2186 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(K)h(K)1499 2150 y Fr(\000)p Fl(1)1593 2186 y Fz(\))28 b(=)f(1)h(=)f Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(K)2136 2150 y Fr(\000)p Fl(1)2230 2186 y Ft(K)h Fz(\))p Ft(;)669 2302 y(S)f Fz(\()p Ft(K)h(E)f(K)1031 2266 y Fr(\000)p Fl(1)1125 2302 y Fz(\))28 b(=)g Fx(\000)p Ft(K)7 b(E)f(K)1630 2266 y Fr(\000)p Fl(1)1725 2302 y Ft(K)1815 2266 y Fr(\000)p Fl(1)1937 2302 y Fz(=)27 b Fx(\000)p Ft(q)2164 2266 y Fl(2)2204 2302 y Ft(E)6 b(K)2372 2266 y Fr(\000)p Fl(1)2494 2302 y Fz(=)28 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(q)2749 2266 y Fl(2)2788 2302 y Ft(E)g Fz(\))p Ft(;)711 2419 y(S)g Fz(\()p Ft(K)h(F)14 b(K)1072 2383 y Fr(\000)p Fl(1)1166 2419 y Fz(\))28 b(=)f Fx(\000)p Ft(K)7 b(K)g(F)14 b(K)1759 2383 y Fr(\000)p Fl(1)1882 2419 y Fz(=)28 b Fx(\000)p Ft(q)2110 2383 y Fr(\000)p Fl(2)2204 2419 y Ft(K)7 b(F)42 b Fz(=)27 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(q)2653 2383 y Fr(\000)p Fl(2)2747 2419 y Ft(F)14 b Fz(\))p Ft(;)449 2535 y(S)6 b Fz(\()p Ft(E)g(F)36 b Fx(\000)22 b Ft(F)14 b(E)6 b Fz(\))28 b(=)f Ft(K)7 b(F)14 b(E)6 b(K)1488 2499 y Fr(\000)p Fl(1)1605 2535 y Fx(\000)22 b Ft(E)6 b(K)1872 2499 y Fr(\000)p Fl(1)1967 2535 y Ft(K)h(F)41 b Fz(=)28 b Ft(K)7 b(F)14 b(K)2522 2499 y Fr(\000)p Fl(1)2616 2535 y Ft(K)7 b(E)f(K)30 b Fx(\000)22 b Ft(E)6 b(F)1130 2716 y Fz(=)1243 2649 y Ft(K)1333 2613 y Fr(\000)p Fl(1)1450 2649 y Fx(\000)23 b Ft(K)p 1243 2693 397 4 v 1287 2784 a(q)j Fx(\000)c Ft(q)1502 2756 y Fr(\000)p Fl(1)1677 2716 y Fz(=)28 b Ft(S)1863 2576 y Fj(\022)1947 2649 y Ft(K)h Fx(\000)23 b Ft(K)2249 2613 y Fr(\000)p Fl(1)p 1947 2693 V 1990 2784 a Ft(q)j Fx(\000)d Ft(q)2206 2756 y Fr(\000)p Fl(1)2353 2576 y Fj(\023)2443 2716 y Ft(:)0 2985 y Fz(So)k Ft(S)33 b Fz(de\014nes)c(a)e(homomorphism)d(of)j (algebras)g Ft(S)33 b Fz(:)28 b Ft(U)1992 3000 y Fq(q)2030 2985 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(U)2546 3000 y Fq(q)2585 2985 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\).)41 b(Since)27 b Ft(S)33 b Fz(satis\014es)0 3027 y Fj(P)122 3101 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)281 3117 y Fl(\(1\))375 3101 y Fz(\))p Ft(x)468 3117 y Fl(\(2\))592 3101 y Fz(=)30 b Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))j(for)g(all)e(giv)m(en)j(generators,)g Ft(S)40 b Fz(is)33 b(a)g(left)g(an)m(tip)s(o)s(de)g(b)m(y)h(2.1.3.)46 b(Symmet-)0 3218 y(rically)40 b Ft(S)49 b Fz(is)42 b(a)g(righ)m(t)g(an) m(tip)s(o)s(de.)72 b(Th)m(us)45 b(the)e(bialgebra)d Ft(U)2264 3233 y Fq(q)2303 3218 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))i(is)g(a)g(Hopf)h (algebra)e(or)h(a)0 3334 y(quan)m(tum)33 b(group.)149 3450 y(This)27 b(quan)m(tum)g(group)f(is)g(of)h(cen)m(tral)f(in)m (terest)h(in)f(theoretical)f(ph)m(ysics.)43 b(Its)27 b(represen)m(tation)0 3566 y(theory)45 b(is)f(w)m(ell)g(understo)s(o)s (d.)79 b(If)45 b Ft(q)j Fz(is)c(not)g(a)g(ro)s(ot)g(of)g(unit)m(y)g (then)h(the)g(\014nite)f(dimensional)0 3682 y Ft(U)66 3697 y Fq(q)104 3682 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\)-mo)s(dules)c(are)i (semisimple.)67 b(Man)m(y)43 b(more)e(prop)s(erties)g(can)h(b)s(e)g (found)f(in)g([Kassel:)0 3799 y(Quan)m(tum)32 b(Groups].)915 4141 y Fv(6.)56 b(Quan)m(tum)37 b(Automorphism)f(Groups)149 4315 y(Lemma)i(2.6.1.)k Fs(The)34 b(c)-5 b(ate)g(gory)35 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)51 b(of)34 b Fu(K)18 b Fs(-algebr)-5 b(as)40 b(has)34 b(arbitr)-5 b(ary)35 b(c)-5 b(opr)g(o)g(ducts.)149 4543 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(This)31 b(is)e(a)h(w)m(ell)g(kno)m(wn)h(fact)f(from)f(univ)m (ersal)h(algebra.)41 b(In)31 b(fact)f(all)e(equationally)0 4659 y(de\014ned)34 b(algebraic)c(categories)j(are)f(complete)f(and)i (co)s(complete.)42 b(W)-8 b(e)33 b(indicate)e(the)i(construc-)0 4776 y(tion)f(of)g(the)h(copro)s(duct)g(of)f(a)g(family)e(\()p Ft(A)1539 4791 y Fq(i)1567 4776 y Fx(j)p Ft(i)e Fx(2)g Ft(I)8 b Fz(\))32 b(of)g Fu(K)18 b Fz(-algebras.)149 4892 y(De\014ne)452 4817 y Fj(`)546 4921 y Fq(i)p Fr(2)p Fq(I)674 4892 y Ft(A)747 4907 y Fq(i)803 4892 y Fz(:=)28 b Ft(T)14 b Fz(\()p Fx(\010)1120 4907 y Fq(i)p Fr(2)p Fq(I)1232 4892 y Ft(A)1305 4907 y Fq(i)1333 4892 y Fz(\))p Ft(=L)33 b Fz(where)h Ft(T)47 b Fz(denotes)34 b(the)f(tensor)h(algebra) d(and)i(where)i Ft(L)0 5008 y Fz(is)d(the)h(t)m(w)m(o)g(sided)g(ideal)e (in)h Ft(T)14 b Fz(\()p Fx(\010)1233 5023 y Fq(i)p Fr(2)p Fq(I)1344 5008 y Ft(A)1417 5023 y Fq(i)1445 5008 y Fz(\))33 b(generated)g(b)m(y)h(the)f(set)212 5216 y Ft(J)j Fz(:=)28 b Fx(f)p Ft(\023j)557 5231 y Fq(k)600 5216 y Fz(\()p Ft(x)693 5231 y Fq(k)736 5216 y Ft(y)784 5231 y Fq(k)827 5216 y Fz(\))22 b Fx(\000)g Ft(\023)p Fz(\()p Ft(j)1098 5231 y Fq(k)1142 5216 y Fz(\()p Ft(x)1235 5231 y Fq(k)1278 5216 y Fz(\)\))p Ft(\023)p Fz(\()p Ft(j)1466 5231 y Fq(k)1509 5216 y Fz(\()p Ft(y)1595 5231 y Fq(k)1637 5216 y Fz(\)\))p Ft(;)17 b Fz(1)1806 5231 y Fq(T)10 b Fl(\()1884 5181 y Fd(L)1974 5231 y Fq(A)2027 5241 y Fn(i)2053 5231 y Fl(\))2107 5216 y Fx(\000)23 b Ft(\023j)2281 5231 y Fq(k)2324 5216 y Fz(\(1)2411 5231 y Fq(A)2464 5243 y Fn(k)2506 5216 y Fz(\))p Fx(j)p Ft(x)2627 5231 y Fq(k)2670 5216 y Ft(;)17 b(y)2762 5231 y Fq(k)2831 5216 y Fx(2)28 b Ft(A)2998 5231 y Fq(k)3041 5216 y Ft(;)17 b(k)31 b Fx(2)d Ft(I)8 b Fx(g)p Ft(:)p eop %%Page: 57 60 57 59 bop 1016 251 a Fw(6.)35 b(QUANTUM)d(A)n(UTOMORPHISM)f(GR)n(OUPS) 938 b(57)0 450 y Fz(Then)35 b(one)e(c)m(hec)m(ks)j(easily)d(for)g(a)g (family)e(of)i(algebra)f(homomorphisms)f(\()p Ft(f)2806 465 y Fq(k)2878 450 y Fz(:)f Ft(A)3008 465 y Fq(k)3079 450 y Fx(\000)-59 b(!)29 b Ft(B)5 b Fx(j)p Ft(k)32 b Fx(2)d Ft(I)8 b Fz(\))0 566 y(that)32 b(the)h(follo)m(wing)d(diagram)h (giv)m(es)i(the)g(required)g(univ)m(ersal)f(prop)s(ert)m(y)711 761 y Ft(A)784 776 y Fq(k)1313 761 y Fx(\010)22 b Ft(A)1485 776 y Fq(i)p 855 737 429 4 v 1201 735 a Fm(-)1036 703 y Fq(j)1065 715 y Fn(k)1873 760 y Ft(T)14 b Fz(\()p Fx(\010)p Ft(A)2132 775 y Fq(i)2161 760 y Fz(\))p 1520 737 325 4 v 1762 735 a Fm(-)1670 716 y Fq(\023)2449 760 y Ft(T)g Fz(\()p Fx(\010)p Ft(A)2708 775 y Fq(i)2737 760 y Fz(\))p Ft(=L)p 2227 737 195 4 v 2339 735 a Fm(-)2304 716 y Fq(\027)2630 1403 y Ft(B)1583 1068 y Fq(f)1617 1080 y Fn(k)973 831 y Fm(P)1056 858 y(P)1139 886 y(P)1222 914 y(P)1305 942 y(P)1388 969 y(P)1471 997 y(P)1554 1025 y(P)1637 1052 y(P)1720 1080 y(P)1803 1108 y(P)1886 1135 y(P)1970 1163 y(P)2053 1191 y(P)2136 1218 y(P)2219 1246 y(P)2302 1274 y(P)2382 1300 y(P)-83 b(q)1932 1068 y Fq(f)1539 845 y Fm(H)1622 886 y(H)1705 928 y(H)1788 969 y(H)1871 1011 y(H)1954 1052 y(H)2037 1094 y(H)2120 1135 y(H)2203 1177 y(H)2286 1218 y(H)2369 1260 y(H)2450 1300 y(H)g(j)2229 1071 y Fq(f)2270 1047 y Fk(0)2104 886 y Fm(@)2187 969 y(@)2270 1052 y(@)2353 1135 y(@)2436 1218 y(@)2518 1300 y(@)g(R)p 2668 1300 4 498 v 69 w(?)2723 1056 y Fl(\026)2709 1073 y Fq(f)3523 1550 y Fh(\003)149 1745 y Fv(Corollary)36 b(2.6.2.)42 b Fs(The)35 b(c)-5 b(ate)g(gory)34 b(of)h(bialgebr)-5 b(as)34 b(has)g(\014nite)g(c)-5 b(opr)g(o)g(ducts.)149 1941 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)31 b(copro)s(duct)1187 1866 y Fj(`)1297 1941 y Ft(B)1371 1956 y Fq(i)1429 1941 y Fz(of)e(bialgebras)f(\()p Ft(B)2107 1956 y Fq(i)2135 1941 y Fx(j)p Ft(i)g Fx(2)g Ft(I)8 b Fz(\))29 b(in)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)45 b Fz(is)29 b(an)g(algebra.)42 b(F)-8 b(or)0 2057 y(the)33 b(diagonal)d(and)j(the)g(counit)f(w)m(e)i (obtain)d(the)i(follo)m(wing)d(comm)m(utativ)m(e)i(diagrams)1180 2738 y Ft(B)1254 2753 y Fq(k)1319 2738 y Fx(\012)23 b Ft(B)1493 2753 y Fq(k)1872 2663 y Fj(`)1983 2738 y Ft(B)2057 2753 y Fq(i)2107 2738 y Fx(\012)2207 2663 y Fj(`)2318 2738 y Ft(B)2392 2753 y Fq(i)p 1565 2715 272 4 v 1753 2713 a Fm(-)1606 2776 y Fq(j)1635 2788 y Fn(k)1673 2776 y Fr(\012)p Fq(j)1757 2788 y Fn(k)1299 2251 y Ft(B)1373 2266 y Fq(k)2040 2176 y Fj(`)2150 2251 y Ft(B)2224 2266 y Fq(i)p 1445 2227 558 4 v 1919 2225 a Fm(-)1690 2193 y Fq(j)1719 2205 y Fn(k)p 1356 2645 4 351 v 1358 2645 a Fm(?)1222 2486 y Fl(\001)1281 2498 y Fn(k)p 2136 2645 V 2138 2645 a Fm(?)2177 2488 y Fr(9)2216 2497 y Fo(1)2251 2488 y Fl(\001)1454 2988 y Ft(B)1528 3003 y Fq(k)1902 2913 y Fj(`)2012 2988 y Ft(B)2086 3003 y Fq(i)p 1599 2964 266 4 v 1781 2962 a Fm(-)1698 2930 y Fq(j)1727 2942 y Fn(k)1625 3215 y Fq(")1658 3227 y Fn(k)1581 3114 y Fm(@)1664 3197 y(@)1747 3280 y(@)1830 3363 y(@)1849 3382 y(@)-83 b(R)1961 3484 y Fu(K)p 1998 3382 4 351 v 2000 3382 a Fm(?)2039 3225 y Fr(9)2078 3234 y Fo(1)2113 3225 y Fq(")0 3612 y Fz(since)45 b(in)g(b)s(oth)f(cases)878 3537 y Fj(`)989 3612 y Ft(B)1063 3627 y Fq(i)1136 3612 y Fz(is)g(a)h(copro)s(duct)h(in)e Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(.)81 b(Then)46 b(it)e(is)g(easy)i(to)f(sho)m(w)h (that)0 3728 y(these)40 b(homomorphisms)c(de\014ne)k(a)e(bialgebra)e (structure)k(on)2358 3653 y Fj(`)2468 3728 y Ft(B)2542 3743 y Fq(i)2609 3728 y Fz(and)f(that)3022 3653 y Fj(`)3133 3728 y Ft(B)3207 3743 y Fq(i)3273 3728 y Fz(satis\014es)0 3844 y(the)33 b(univ)m(ersal)f(prop)s(ert)m(y)i(for)e(bialgebras.)1938 b Fh(\003)149 4040 y Fv(Theorem)28 b(2.6.3.)35 b Fs(L)-5 b(et)27 b Ft(B)32 b Fs(b)-5 b(e)27 b(a)g(bialgebr)-5 b(a.)41 b(Then)26 b(ther)-5 b(e)27 b(exists)f(a)h(Hopf)g(algebr)-5 b(a)26 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))27 b Fs(and)0 4156 y(a)j(homomorphism)e(of)i(bialgebr)-5 b(as)29 b Ft(\023)f Fz(:)g Ft(B)33 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))30 b Fs(such)g(that)g(for)g(every)g(Hopf)g (algebr)-5 b(a)30 b Ft(H)38 b Fs(and)0 4272 y(for)e(every)h (homomorphism)d(of)j(bialgebr)-5 b(as)35 b Ft(f)42 b Fz(:)31 b Ft(B)36 b Fx(\000)-57 b(!)30 b Ft(H)44 b Fs(ther)-5 b(e)37 b(is)f(a)h(unique)f(homomorphism)0 4389 y(of)f(Hopf)f(algebr)-5 b(as)34 b Ft(g)d Fz(:)d Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))27 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(H)43 b Fs(such)34 b(that)i(the)f(diagr)-5 b(am)1476 4572 y Ft(B)331 b(H)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))p 1584 4549 270 4 v 1771 4547 a Fm(-)1701 4528 y Ft(\023)1640 4816 y(f)1584 4698 y Fm(@)1667 4781 y(@)1750 4864 y(@)1833 4947 y(@)1852 4966 y(@)-83 b(R)1959 5069 y Ft(H)p 2001 4966 4 351 v 2003 4966 a Fm(?)2042 4803 y Ft(g)0 5216 y Fs(c)-5 b(ommutes.)p eop %%Page: 58 61 58 60 bop 0 251 a Fw(58)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(De\014ne)34 b(a)e(sequence)j(of)d(bialgebras)f(\()p Ft(B)2006 465 y Fq(i)2035 450 y Fx(j)p Ft(i)c Fx(2)h Fu(N)9 b Fz(\))39 b(b)m(y)1349 625 y Ft(B)1423 640 y Fl(0)1490 625 y Fz(:=)28 b Ft(B)5 b(;)1349 741 y(B)1423 756 y Fq(i)p Fl(+1)1569 741 y Fz(:=)28 b Ft(B)1779 694 y Fq(opcop)1774 767 y(i)1953 741 y Ft(;)17 b(i)28 b Fx(2)g Fu(N)9 b Ft(:)0 920 y Fz(Let)24 b Ft(B)245 884 y Fr(0)291 920 y Fz(b)s(e)g(the)g(copro)s(duct)g(of)f(the)h(family)d(\()p Ft(B)1685 935 y Fq(i)1713 920 y Fx(j)p Ft(i)28 b Fx(2)g Fu(N)9 b Fz(\))29 b(with)23 b(injections)g Ft(\023)2704 935 y Fq(i)2760 920 y Fz(:)28 b Ft(B)2889 935 y Fq(i)2945 920 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)3169 884 y Fr(0)3192 920 y Fz(.)40 b(Because)0 1036 y Ft(B)79 1000 y Fr(0)133 1036 y Fz(is)30 b(a)g(copro)s(duct)h(of)g(bialgebras)e(there)i(is)f(a)h (unique)g(homomorphism)d(of)i(bialgebras)f Ft(S)3392 1000 y Fr(0)3443 1036 y Fz(:)f Ft(B)3577 1000 y Fr(0)0 1152 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)224 1116 y Fr(0)247 1106 y Fq(opcop)454 1152 y Fz(suc)m(h)34 b(that)e(the)h(diagrams)1375 1806 y Ft(B)1454 1759 y Fq(opcop)1449 1832 y(i)p Fl(+1)1948 1806 y Ft(B)2027 1770 y Fr(0)2051 1759 y Fq(opcop)p 1657 1786 264 4 v 1837 1784 a Fm(-)1724 1832 y Fq(\023)1749 1842 y Fn(i)p Fo(+1)1451 1326 y Ft(B)1525 1341 y Fq(i)2035 1326 y Ft(B)2114 1290 y Fr(0)p 1582 1299 426 4 v 1924 1297 a Fm(-)1768 1268 y Fq(\023)1793 1278 y Fn(i)p 1500 1716 4 351 v 1502 1716 a Fm(?)1404 1564 y Fl(id)p 2085 1716 V 2087 1716 a Fm(?)2126 1566 y Fq(S)2173 1543 y Fk(0)0 1979 y Fz(comm)m(ute.)149 2095 y(No)m(w)h(let)e Ft(I)40 b Fz(b)s(e)33 b(the)g(t)m(w)m(o)g(sided)g(ideal)e(in)h Ft(B)1757 2059 y Fr(0)1813 2095 y Fz(generated)h(b)m(y)652 2272 y Fx(f)p Fz(\()p Ft(S)806 2231 y Fr(0)851 2272 y Fx(\003)22 b Fz(1)g Fx(\000)h Ft(u")p Fz(\)\()p Ft(x)1327 2287 y Fq(i)1354 2272 y Fz(\))p Ft(;)17 b Fz(\(1)22 b Fx(\003)g Ft(S)1683 2231 y Fr(0)1728 2272 y Fx(\000)h Ft(u")p Fz(\)\()p Ft(x)2061 2287 y Fq(i)2088 2272 y Fz(\))p Fx(j)p Ft(x)2209 2287 y Fq(i)2265 2272 y Fx(2)28 b Ft(\023)2393 2287 y Fq(i)2422 2272 y Fz(\()p Ft(B)2534 2287 y Fq(i)2562 2272 y Fz(\))p Ft(;)17 b(i)28 b Fx(2)g Fu(N)9 b Fx(g)p Ft(:)0 2449 y(I)40 b Fz(is)32 b(a)h(coideal,)e(i.e.)43 b Ft(")829 2464 y Fq(B)885 2445 y Fk(0)912 2449 y Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))27 b(=)h(0)k(and)h(\001)1522 2464 y Fq(B)1578 2445 y Fk(0)1605 2449 y Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))27 b Fx(\022)h Ft(I)i Fx(\012)23 b Ft(B)2116 2412 y Fr(0)2162 2449 y Fz(+)f Ft(B)2339 2412 y Fr(0)2384 2449 y Fx(\012)h Ft(I)8 b Fz(.)149 2565 y(Since)45 b Ft(")462 2580 y Fq(B)518 2561 y Fk(0)588 2565 y Fz(and)f(\001)870 2580 y Fq(B)926 2561 y Fk(0)998 2565 y Fz(are)g(homomorphisms)e(of)h(algebras)h(it)f (su\016ces)j(to)d(c)m(hec)m(k)k(this)c(for)0 2681 y(the)36 b(generating)e(elemen)m(ts)i(of)f Ft(I)8 b Fz(.)51 b(Let)36 b Ft(x)d Fx(2)f Ft(B)1733 2696 y Fq(i)1797 2681 y Fz(b)s(e)j(giv)m(en.) 52 b(Then)37 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h Ft(")p Fz(\(\(1)23 b Fx(\003)h Ft(S)3199 2645 y Fr(0)3222 2681 y Fz(\))p Ft(\023)3294 2696 y Fq(i)3323 2681 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))32 b(=)0 2797 y Ft(")p Fz(\()p Fx(r)p Fz(\(1)7 b Fx(\012)g Ft(S)411 2761 y Fr(0)433 2797 y Fz(\)\001)p Ft(\023)586 2812 y Fq(i)615 2797 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))28 b(=)f Fx(r)998 2812 y Fp(K)1054 2797 y Fz(\()p Ft(")7 b Fx(\012)g Ft("S)1341 2761 y Fr(0)1363 2797 y Fz(\)\()p Ft(\023)1473 2812 y Fq(i)1508 2797 y Fx(\012)g Ft(\023)1626 2812 y Fq(i)1655 2797 y Fz(\)\001)1774 2812 y Fq(i)1802 2797 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g(\()p Ft("\023)2183 2812 y Fq(i)2218 2797 y Fx(\012)7 b Ft("\023)2382 2812 y Fq(i)2410 2797 y Fz(\)\001)2529 2812 y Fq(i)2557 2797 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(")2866 2812 y Fq(i)2894 2797 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))g(=)f Ft(")p Fz(\()p Ft(u"\023)3376 2812 y Fq(i)3404 2797 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\).)0 2914 y(Symmetrically)j(w)m(e)k(ha)m(v)m(e)f Ft(")p Fz(\(\()p Ft(S)1201 2877 y Fr(0)1246 2914 y Fx(\003)22 b Fz(1\))p Ft(\023)1439 2929 y Fq(i)1467 2914 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))28 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(u"\023)1988 2929 y Fq(i)2015 2914 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\).)44 b(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)392 3089 y(\001\(\(1)22 b Fx(\003)g Ft(S)758 3052 y Fr(0)781 3089 y Fz(\))p Ft(\023)853 3104 y Fq(i)882 3089 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))392 3205 y(=)28 b(\001)p Fx(r)p Fz(\(1)22 b Fx(\012)h Ft(S)935 3169 y Fr(0)958 3205 y Fz(\)\001)p Ft(\023)1111 3220 y Fq(i)1140 3205 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))392 3321 y(=)28 b(\()p Fx(r)22 b(\012)h(r)p Fz(\)\(1)e Fx(\012)i Ft(\034)34 b Fx(\012)22 b Fz(1\)\(\001)g Fx(\012)h Fz(\001\)\(1)f Fx(\012)h Ft(S)1965 3285 y Fr(0)1988 3321 y Fz(\)\()p Ft(\023)2098 3336 y Fq(i)2148 3321 y Fx(\012)g Ft(\023)2282 3336 y Fq(i)2311 3321 y Fz(\)\001)2430 3336 y Fq(i)2458 3321 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))392 3437 y(=)28 b(\()p Fx(r)22 b(\012)h(r)p Fz(\)\(1)e Fx(\012)i Ft(\034)34 b Fx(\012)22 b Fz(1\)\(\001)g Fx(\012)h Ft(\034)11 b Fz(\()p Ft(S)1728 3401 y Fr(0)1774 3437 y Fx(\012)22 b Ft(S)1939 3401 y Fr(0)1962 3437 y Fz(\)\001\)\()p Ft(\023)2191 3452 y Fq(i)2242 3437 y Fx(\012)h Ft(\023)2376 3452 y Fq(i)2405 3437 y Fz(\)\001)2524 3452 y Fq(i)2552 3437 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))392 3554 y(=)496 3479 y Fj(P)601 3554 y Fz(\()p Fx(r)f(\012)h(r)p Fz(\)\(1)f Fx(\012)g Ft(\034)34 b Fx(\012)22 b Fz(1\)\()p Ft(\023)1507 3569 y Fq(i)1536 3554 y Fz(\()p Ft(x)1629 3569 y Fl(\(1\))1723 3554 y Fz(\))h Fx(\012)f Ft(\023)1917 3569 y Fq(i)1946 3554 y Fz(\()p Ft(x)2039 3569 y Fl(\(2\))2134 3554 y Fz(\))g Fx(\012)g Ft(S)2359 3517 y Fr(0)2382 3554 y Ft(\023)2416 3569 y Fq(i)2445 3554 y Fz(\()p Ft(x)2538 3569 y Fl(\(4\))2633 3554 y Fz(\))g Fx(\012)g Ft(S)2858 3517 y Fr(0)2881 3554 y 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Ft(x)2338 4368 y Fl(\(2\))2433 4352 y Fz(\))1416 4469 y(=)1520 4394 y Fj(P)1641 4469 y Ft(f)1700 4433 y Fr(0)1723 4469 y Ft(\023)1757 4484 y Fq(i)1786 4469 y Fz(\()p Ft(x)1879 4484 y Fl(\(1\))1974 4469 y Fz(\))p Ft(f)2071 4433 y Fr(0)2094 4469 y Ft(\023)2128 4484 y Fq(i)p Fl(+1)2247 4469 y Fz(\()p Ft(x)2340 4484 y Fl(\(2\))2434 4469 y Fz(\))1416 4585 y(=)1520 4510 y Fj(P)1641 4585 y Ft(f)1689 4600 y Fq(i)1718 4585 y Fz(\()p Ft(x)1811 4600 y Fl(\(1\))1905 4585 y Fz(\))p Ft(f)1991 4600 y Fq(i)p Fl(+1)2110 4585 y Fz(\()p Ft(x)2203 4600 y Fl(\(2\))2297 4585 y Fz(\))1416 4701 y(=)1520 4626 y Fj(P)1641 4701 y Ft(f)1689 4716 y Fq(i)1718 4701 y Fz(\()p Ft(x)1811 4717 y Fl(\(1\))1905 4701 y Fz(\))p Ft(S)6 b(f)2057 4716 y Fq(i)2085 4701 y Fz(\()p Ft(x)2178 4717 y Fl(\(2\))2273 4701 y Fz(\))1416 4817 y(=)28 b(\(1)21 b Fx(\003)h Ft(S)6 b Fz(\))p Ft(f)1852 4832 y Fq(i)1880 4817 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(u"f)2293 4832 y Fq(i)2320 4817 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))g(=)g Ft(u")2685 4832 y Fq(i)2712 4817 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))1416 4934 y(=)g Ft(f)1579 4897 y Fr(0)1602 4934 y Fz(\()p Ft(u"\023)1776 4949 y Fq(i)1803 4934 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\)\))p Ft(:)0 5099 y Fz(This)i(together)h (with)f(the)g(symmetric)g(statemen)m(t)g(giv)m(es)h Ft(f)2207 5063 y Fr(0)2230 5099 y Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))27 b(=)h(0.)42 b(Hence)32 b(there)f(is)f(a)f(unique)0 5216 y(factorization)24 b(through)i(a)f(homomorphism)f(of)h(algebras)2178 5189 y(\026)2157 5216 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))27 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(H)33 b Fz(suc)m(h)28 b(that)d Ft(f)3305 5179 y Fr(0)3356 5216 y Fz(=)3481 5189 y(\026)3460 5216 y Ft(f)10 b(\027)c Fz(.)p eop %%Page: 61 64 61 63 bop 1016 251 a Fw(6.)35 b(QUANTUM)d(A)n(UTOMORPHISM)f(GR)n(OUPS) 938 b(61)149 450 y Fz(The)38 b(homomorphism)1069 424 y(\026)1047 450 y Ft(f)46 b Fz(:)35 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(B)d Fz(\))35 b Fx(\000)-60 b(!)35 b Ft(H)44 b Fz(is)37 b(a)f(homomorphism)e(of)j(bialgebras)e(since)j(the)0 566 y(diagram)1914 836 y Ft(B)1993 800 y Fr(0)2016 836 y Ft(=I)p 1510 813 376 4 v 1803 811 a Fm(-)1678 859 y Fq(\027)p 1510 715 1017 4 v 2444 713 a Fm(-)1986 682 y Fq(f)2027 659 y Fk(0)p 2145 813 383 4 v 2444 811 a Fm(-)2330 869 y Fl(\026)2315 886 y Fq(f)p 1622 1203 800 4 v 2339 1201 a Fm(-)1931 1271 y Fq(f)1972 1247 y Fk(0)1994 1271 y Fr(\012)p Fq(f)2090 1247 y Fk(0)1752 1128 y Ft(B)1831 1092 y Fr(0)1854 1128 y Ft(=I)30 b Fx(\012)23 b Ft(B)2155 1092 y Fr(0)2178 1128 y Ft(=I)p 1622 1105 102 4 v 1641 1103 a Fm(-)1606 1077 y Fq(\027)t Fr(\012)p Fq(\027)p 2306 1105 116 4 v 2339 1103 a Fm(-)2310 1054 y Fl(\026)2295 1071 y Fq(f)8 b Fr(\012)2406 1054 y Fl(\026)2392 1071 y Fq(f)2556 796 y Ft(H)2451 1182 y(H)29 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 2598 1084 4 254 v 2600 1084 a Fm(?)2639 974 y Fl(\001)2698 985 y Fn(H)p 2013 1035 4 156 v 2015 1035 a Fm(?)2054 983 y Fl(\001)2113 959 y Fk(0)1379 799 y Ft(B)1458 763 y Fr(0)1267 1185 y Ft(B)1346 1149 y Fr(0)1391 1185 y Fx(\012)g Ft(B)1570 1149 y Fr(0)p 1428 1084 4 254 v 1430 1084 a Fm(?)1332 980 y Fl(\001)0 1432 y Fz(comm)m(utes)i (with)f(the)h(p)s(ossible)f(exception)h(of)f(the)h(righ)m(t)f(hand)h (square)h(\001)2740 1406 y(\026)2719 1432 y Ft(f)35 b Fz(and)25 b(\()3043 1406 y(\026)3022 1432 y Ft(f)16 b Fx(\012)3191 1406 y Fz(\026)3169 1432 y Ft(f)11 b Fz(\)\001)3347 1396 y Fr(0)3371 1432 y Fz(.)41 b(But)0 1548 y Ft(\027)c Fz(is)30 b(surjectiv)m(e)h(so)g(also)e(the)i(last)e(square)j(comm)m (utes.)43 b(Similarly)26 b(w)m(e)31 b(get)g Ft(")2835 1563 y Fq(H)2923 1522 y Fz(\026)2901 1548 y Ft(f)39 b Fz(=)27 b Ft(")3137 1564 y Fq(H)5 b Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))3316 1548 y Fz(.)42 b(Th)m(us)21 1645 y(\026)0 1671 y Ft(f)c Fz(is)27 b(a)g(homomorphism)e(of)i(bialgebras)f(and)i(hence)g(a)g (homomorphism)c(of)j(Hopf)g(algebras.)98 b Fh(\003)149 1883 y Fv(Remark)55 b(2.6.4.)50 b Fz(In)e(c)m(hapter)h(1)e(w)m(e)i(ha)m (v)m(e)g(constructed)h(univ)m(ersal)e(bialgebras)e Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))0 1999 y(with)32 b(coaction)g Ft(\016)g Fz(:)d Ft(A)f Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)33 b Fz(for)f(certain)g (algebras)g Ft(A)h Fz(\(see)h(1.3.12\).)44 b(This)33 b(induces)g(a)0 2116 y(homomorphism)d(of)i(algebras)1294 2310 y Ft(\016)1341 2269 y Fr(0)1392 2310 y Fz(:)c Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(M)i Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\))22 b Fx(\012)h Ft(A)0 2505 y Fz(suc)m(h)37 b(that)f Ft(A)g Fz(is)g(a)f(como)s(dule-algebra)e(o)m(v)m(er)k(the)g (Hopf)e(algebra)g Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(M)i Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\).)54 b(If)36 b Ft(H)43 b Fz(is)35 b(a)h(Hopf)0 2621 y(algebra)e(and)i Ft(A)f Fz(is)g(an)g Ft(H)8 b Fz(-como)s(dule)33 b(algebra)i(b)m(y)h Ft(@)i Fz(:)33 b Ft(A)f Fx(\000)-59 b(!)32 b Ft(H)f Fx(\012)25 b Ft(A)35 b Fz(then)h(there)g(is)f(a)g (unique)0 2737 y(homomorphism)30 b(of)i(bialgebras)f Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))29 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(H)40 b Fz(suc)m(h)35 b(that)1426 2938 y Ft(A)226 b(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(A)p 1528 2915 169 4 v 1614 2913 a Fm(-)1594 2894 y Fq(\016)1604 3180 y(@)1530 3065 y Fm(@)1613 3148 y(@)1696 3231 y(@)1779 3314 y(@)1798 3332 y(@)-83 b(R)1808 3431 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(A)p 1948 3333 4 351 v 1950 3333 a Fm(?)1989 3174 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)0 3608 y Fz(comm)m(utes.)42 b(Since)29 b(the)h Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)36 b Fz(factorizes)29 b(uniquely)g(through)2801 3582 y(\026)2780 3608 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(M)i Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\))28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(H)0 3724 y Fz(w)m(e)34 b(get)e(a)g(comm)m(utativ)m(e)g (diagram)1385 3925 y Ft(A)144 b(H)8 b Fz(\()p Ft(M)i Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\))22 b Fx(\012)h Ft(A)p 1487 3902 87 4 v 1491 3900 a Fm(-)1501 3881 y Fq(\016)1534 3858 y Fk(0)1563 4167 y Fq(@)1489 4052 y Fm(@)1573 4135 y(@)1656 4218 y(@)1739 4301 y(@)1757 4320 y(@)-83 b(R)1767 4418 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(A)p 1907 4320 4 351 v 1909 4320 a Fm(?)1962 4148 y Fl(\026)1948 4166 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)0 4595 y Fz(with)32 b(a)g(unique)i(homomorphism)29 b(of)j(Hopf)h(algebras)2060 4569 y(\026)2039 4595 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(H)8 b Fz(\()p Ft(M)i Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(H)8 b Fz(.)149 4711 y(This)44 b(pro)s(of)f(dep)s(ends)j(only)d(on)h(the)g(existence)h(of)f(a)f(univ)m (ersal)h(algebra)f Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))44 b(for)g(the)0 4828 y(algebra)31 b Ft(A)p Fz(.)44 b(Hence)34 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)149 4983 y Fv(Corollary)39 b(2.6.5.)k Fs(L)-5 b(et)37 b Fx(X)52 b Fs(b)-5 b(e)36 b(a)h(quantum)g(sp)-5 b(ac)g(e)36 b(with)h(universal)f(quantum)h(sp)-5 b(ac)g(e)36 b(\(and)0 5099 y(quantum)27 b(monoid\))f Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))p Fs(.)41 b(Then)27 b(ther)-5 b(e)27 b(is)g(a)g(unique)g(\(up)g(to)h(isomorphism\))d(quantum)i(gr)-5 b(oup)0 5216 y Fx(H)q Fz(\()p Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\)\))34 b Fs(acting)g(universal)5 b(ly)35 b(on)f Fx(X)15 b Fs(.)p eop %%Page: 62 65 62 64 bop 0 251 a Fw(62)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)149 450 y Fz(This)k(quan)m(tum) f(group)f Fx(H)q Fz(\()p Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\)\))34 b(can)i(b)s(e)f(considered)g(as)h(the)f(\\quan)m(tum)g(subgroup)g(of)0 566 y(in)m(v)m(ertible)i(elemen)m(ts")g(of)g Fx(M)p Fz(\()p Fx(X)15 b Fz(\))37 b(or)g(the)h(quan)m(tum)g(group)f(of)g(\\quan)m(tum) h(automorphisms")0 683 y(of)32 b Fx(X)15 b Fz(.)1110 917 y Fv(7.)56 b(Dualit)m(y)36 b(of)i(Hopf)f(Algebras)149 1092 y Fz(In)c(2.4.8)f(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(seen)h(that)e(the)g(dual)g (Hopf)g(algebra)f Ft(H)2346 1055 y Fr(\003)2417 1092 y Fz(of)h(a)g(\014nite)f(dimensional)f(Hopf)0 1208 y(algebra)39 b Ft(H)47 b Fz(satis\014es)40 b(certain)g(relations)e(w.r.t.)65 b(the)41 b(ev)-5 b(aluation)38 b(map.)64 b(The)41 b(m)m(ultiplication)0 1324 y(of)g Ft(H)209 1288 y Fr(\003)290 1324 y Fz(is)g(deriv)m(ed)i (from)d(the)i(com)m(ultiplication)37 b(of)k Ft(H)50 b Fz(and)41 b(the)h(com)m(ultiplication)c(of)j Ft(H)3454 1288 y Fr(\003)3534 1324 y Fz(is)0 1440 y(deriv)m(ed)33 b(from)f(the)h(m)m(ultiplication)28 b(of)k Ft(H)8 b Fz(.)149 1556 y(This)32 b(kind)f(of)f(dualit)m(y)h(is)f(restricted)i(to)f(the)g (\014nite-dimensional)d(situation.)42 b(Nev)m(ertheless)0 1673 y(one)f(w)m(an)m(ts)i(to)d(ha)m(v)m(e)j(a)e(pro)s(cess)h(that)f (is)f(close)h(to)g(the)h(\014nite-dimensional)37 b(situation.)68 b(This)0 1789 y(short)33 b(section)g(is)f(dev)m(oted)i(to)e(sev)m(eral) h(approac)m(hes)h(of)e(dualit)m(y)g(for)g(Hopf)g(algebras.)149 1905 y(First)45 b(w)m(e)i(use)g(the)f(relations)f(of)g(the)i (\014nite-dimensional)42 b(situation)j(to)g(giv)m(e)h(a)g(general)0 2021 y(de\014nition.)149 2164 y Fv(De\014nition)37 b(2.7.1.)42 b Fz(Let)32 b Ft(H)40 b Fz(and)33 b Ft(L)g Fz(b)s(e)g(Hopf)f(algebras.) 43 b(Let)1106 2334 y(ev)29 b(:)f Ft(L)23 b Fx(\012)f Ft(H)35 b Fx(3)29 b Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(h)k Fx(7!)h(h)p Ft(a;)17 b(h)p Fx(i)27 b(2)h Fu(K)0 2504 y Fz(b)s(e)33 b(a)f(bilinear)e(form)i(satisfying)0 2690 y(\(4\))677 b Fx(h)p Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(b;)1099 2595 y Fj(X)1259 2690 y Ft(h)1315 2706 y Fl(\(1\))1432 2690 y Fx(\012)f Ft(h)1587 2706 y Fl(\(2\))1682 2690 y Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(ab;)17 b(h)p Fx(i)p Ft(;)114 b Fx(h)p Fz(1)p Ft(;)17 b(h)p Fx(i)27 b Fz(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))0 2965 y(\(5\))680 b Fx(h)844 2870 y Fj(X)1004 2965 y Ft(a)1055 2981 y Fl(\(1\))1172 2965 y Fx(\012)22 b Ft(a)1322 2981 y Fl(\(2\))1417 2965 y Ft(;)17 b(h)22 b Fx(\012)g Ft(j)6 b Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(a;)17 b(hj)6 b Fx(i)p Ft(;)114 b Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)p Fx(i)27 b Fz(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 3210 y(\(6\))1239 b Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))p Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(h)p Fx(i)0 3380 y Fz(Suc)m(h)34 b(a)f(map)f(is)h(called)f(a)g Fs(we)-5 b(ak)35 b(duality)h(of)f(Hopf)g(algebr)-5 b(as)p Fz(.)44 b(The)34 b(bilinear)d(form)h(is)g(called)g Fs(left)0 3496 y Fz(\()p Fs(right)9 b Fz(\))41 b Fs(nonde)-5 b(gener)g(ate)40 b Fz(if)g Fx(h)p Ft(a;)17 b(H)8 b Fx(i)41 b Fz(=)h(0)e(implies)f Ft(a)j Fz(=)g(0)82 b(\()p Fx(h)p Ft(L;)17 b(h)p Fx(i)42 b Fz(=)g(0)f(implies)d Ft(h)k Fz(=)g(0\).)69 b(A)0 3613 y Fs(duality)35 b(of)g(Hopf)g(algebr)-5 b(as)31 b Fz(is)h(a)h(w)m(eak)g (dualit)m(y)f(that)g(is)g(left)g(and)h(righ)m(t)f(nondegenerate.)149 3756 y Fv(Remark)26 b(2.7.2.)35 b Fz(If)23 b Ft(H)31 b Fz(is)22 b(a)h(\014nite)g(dimensional)d(Hopf)j(algebra)f(then)i(the)f (usual)g(ev)-5 b(aluation)0 3872 y(ev)30 b(:)e Ft(H)268 3836 y Fr(\003)329 3872 y Fx(\012)22 b Ft(H)36 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fu(K)56 b Fz(de\014nes)35 b(a)d(dualit)m(y)f(of)i(Hopf)f (algebras.)149 4002 y Fv(Remark)55 b(2.7.3.)50 b Fz(Assume)e(that)g(ev) 55 b(:)f Ft(L)33 b Fx(\012)g Ft(H)61 b Fx(\000)-60 b(!)53 b Fu(K)72 b Fz(de\014nes)49 b(a)e(w)m(eak)j(dualit)m(y)-8 b(.)87 b(By)0 4118 y([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])22 b(1.22)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(isomorphisms)d(Hom)o(\()p Ft(L)p Fx(\012)p Ft(H)r(;)d Fu(K)h Fz(\))2654 4090 y Fx(\030)2654 4122 y Fz(=)2759 4118 y(Hom)o(\()p Ft(L;)f Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)g Fu(K)g Fz(\)\))0 4234 y(and)33 b(Hom)o(\()p Ft(L)22 b Fx(\012)h Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))889 4206 y Fx(\030)890 4238 y Fz(=)995 4234 y(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)g Fz(Hom)o(\()p Ft(L;)g Fu(K)g Fz(\)\).)50 b(Denote)33 b(the)g(homomorphisms)d(asso)s(ciated)0 4350 y(with)38 b(ev)i(:)e Ft(L)27 b Fx(\012)g Ft(K)45 b Fx(\000)-60 b(!)38 b Fu(K)62 b Fz(b)m(y)39 b Ft(')f Fz(:)g Ft(L)g Fx(\000)-60 b(!)38 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))45 b(resp.)62 b Ft( )42 b Fz(:)c Ft(H)45 b Fx(\000)-59 b(!)37 b Fz(Hom\()p Ft(L;)17 b Fu(K)g Fz(\).)68 b(They)0 4466 y(satisfy)33 b Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(h)p Fz(\))27 b(=)h(ev)r(\()p Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(h)p Fz(\))28 b(=)f Ft( )t Fz(\()p Ft(h)p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\).)149 4583 y(ev)54 b(:)d Ft(L)31 b Fx(\012)h Ft(K)58 b Fx(\000)-59 b(!)50 b Fu(K)70 b Fz(is)46 b(left)f(nondegenerate)j(i\013)d Ft(')50 b Fz(:)h Ft(L)h Fx(\000)-60 b(!)51 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))52 b(is)46 b(injectiv)m(e.)0 4699 y(ev)30 b(:)e Ft(L)22 b Fx(\012)h Ft(K)35 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fu(K)56 b Fz(is)32 b(righ)m(t)g(nondegenerate)i(i\013)e Ft( )f Fz(:)d Ft(H)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fz(Hom)o(\()p Ft(L;)17 b Fu(K)h Fz(\))38 b(is)32 b(injectiv)m(e.)149 4842 y Fv(Lemma)39 b(2.7.4.)k Fz(1.)49 b Fs(The)36 b(biline)-5 b(ar)35 b(form)h Fz(ev)d(:)d Ft(L)24 b Fx(\012)g Ft(H)37 b Fx(\000)-57 b(!)30 b Fu(K)60 b Fs(satis\014es)36 b(\(2.4\))f(if)h (and)g(only)0 4958 y(if)f Ft(')27 b Fz(:)h Ft(L)g Fx(\000)-57 b(!)27 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)h Fz(\))40 b Fs(is)35 b(a)g(homomorphism)d(of)j(algebr)-5 b(as.)149 5074 y Fz(2.)88 b Fs(The)48 b(biline)-5 b(ar)49 b(form)f Fz(ev)56 b(:)e Ft(L)34 b Fx(\012)f Ft(H)61 b Fx(\000)-57 b(!)54 b Fu(K)72 b Fs(satis\014es)49 b(\(2.5\))f(if)h(and)g(only)f(if)h Ft( )58 b Fz(:)c Ft(H)0 5191 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Fz(Hom)o(\()p Ft(L;)17 b Fu(K)h Fz(\))41 b Fs(is)34 b(a)h(homomorphism)e(of)h(algebr) -5 b(as.)p eop %%Page: 63 66 63 65 bop 1142 251 a Fw(7.)35 b(DUALITY)d(OF)h(HOPF)g(ALGEBRAS)1065 b(63)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(ev)30 b(:)e Ft(L)7 b Fx(\012)g Ft(H)37 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)48 b Fz(satis\014es)26 b(the)g(righ)m(t)f(equation)g(of)g(\(4\))f(i\013)h Ft(')p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\)\()p Ft(h)p Fz(\))j(=)f Fx(h)p Ft(ab;)17 b(h)p Fx(i)28 b Fz(=)0 566 y Fx(h)p Ft(a)16 b Fx(\012)g Ft(b;)284 492 y Fj(P)407 566 y Ft(h)463 582 y Fl(\(1\))573 566 y Fx(\012)g Ft(h)722 582 y Fl(\(2\))817 566 y Fx(i)28 b Fz(=)987 492 y Fj(P)1093 566 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(h)1283 582 y Fl(\(1\))1377 566 y Fx(ih)p Ft(b;)g(h)1596 582 y Fl(\(2\))1690 566 y Fx(i)27 b Fz(=)1860 492 y Fj(P)1982 566 y Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(h)2267 582 y Fl(\(1\))2361 566 y Fz(\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\)\()p Ft(h)2674 582 y Fl(\(2\))2769 566 y Fz(\))g(=)h(\()p Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))16 b Fx(\003)g Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\)\)\()p Ft(h)p Fz(\))0 683 y(b)m(y)33 b(the)g(de\014nition)f (of)g(the)h(algebra)f(structure)h(on)g(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\).)149 799 y(ev)30 b(:)e Ft(L)23 b Fx(\012)f Ft(H)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)56 b Fz(satis\014es)33 b(the)g(left)f(equation)g(of)h(\(4\))f(i\013)f Ft(')p Fz(\(1\)\()p Ft(h)p Fz(\))d(=)f Fx(h)p Fz(1)p Ft(;)17 b(h)p Fx(i)27 b Fz(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\).)149 915 y(The)34 b(second)g(part)e(of)g(the)h(Lemma)e(follo)m(ws)h(b)m(y)h (symmetry)-8 b(.)1122 b Fh(\003)149 1094 y Fv(Example)47 b(2.7.5.)g Fz(There)42 b(is)f(a)g(w)m(eak)i(dualit)m(y)d(b)s(et)m(w)m (een)j(the)f(quan)m(tum)g(groups)g Fu(S)o(L)3437 1109 y Fq(q)3475 1094 y Fz(\(2\))0 1211 y(and)33 b Ft(U)256 1226 y Fq(q)294 1211 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\).)43 b(\(Kassel:)h(Chapter)33 b(VI)s(I.4\).)149 1353 y Fv(Prop)s(osition)h (2.7.6.)41 b Fs(L)-5 b(et)33 b Fz(ev)d(:)e Ft(L)19 b Fx(\012)g Ft(H)36 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Fu(K)57 b Fs(b)-5 b(e)33 b(a)g(we)-5 b(ak)32 b(duality)i(of)f(Hopf)g(algebr)-5 b(as.)44 b(L)-5 b(et)0 1469 y Ft(I)41 b Fz(:=)33 b(Ker\()p Ft(')g Fz(:)h Ft(L)f Fx(\000)-57 b(!)33 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\)\))44 b Fs(and)37 b Ft(J)43 b Fz(:=)33 b(Ker\()p Ft( )k Fz(:)c Ft(H)41 b Fx(\000)-57 b(!)33 b Fz(Hom)o(\()p Ft(L;)17 b Fu(K)h Fz(\)\))p Fs(.)59 b(L)-5 b(et)p 3198 1389 67 4 v 38 w Ft(L)34 b Fz(:=)f Ft(L=I)0 1590 y Fs(and)p 200 1510 89 4 v 45 w Ft(H)55 b Fz(:=)48 b Ft(H)r(=J)9 b Fs(.)77 b(Then)p 1053 1510 67 4 v 44 w Ft(L)46 b Fs(and)p 1366 1510 89 4 v 46 w Ft(H)53 b Fs(ar)-5 b(e)45 b(Hopf)h(algebr)-5 b(as)44 b(and)h(the)h(induc)-5 b(e)g(d)45 b(biline)-5 b(ar)44 b(form)p 0 1657 97 4 v 0 1711 a Fz(ev)30 b(:)p 179 1631 67 4 v 28 w Ft(L)22 b Fx(\012)p 367 1631 89 4 v 23 w Ft(H)35 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Fu(K)59 b Fs(is)34 b(a)h(duality.)149 1891 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)48 b(observ)m(e)i(that)e Ft(I)57 b Fz(and)48 b Ft(J)58 b Fz(are)48 b(t)m(w)m(o)h(sided)g(ideals) e(hence)p 3013 1811 67 4 v 50 w Ft(L)i Fz(and)p 3333 1811 89 4 v 48 w Ft(H)56 b Fz(are)0 2007 y(algebras.)51 b(Then)36 b(ev)e(:)e Ft(L)24 b Fx(\012)h Ft(H)39 b Fx(\000)-59 b(!)31 b Fu(K)59 b Fz(can)35 b(b)s(e)h(factored)f(through)p 2511 1952 97 4 v 35 w(ev)f(:)p 2698 1927 67 4 v 32 w Ft(L)25 b Fx(\012)p 2890 1927 89 4 v 24 w Ft(H)40 b Fx(\000)-60 b(!)32 b Fu(K)58 b Fz(and)36 b(the)0 2123 y(equations)d(\(4\))f(and)h (\(5\))f(are)g(still)f(satis\014ed)i(for)f(the)h(residue)g(classes.)149 2240 y(The)f(ideals)d Ft(I)37 b Fz(and)31 b Ft(J)39 b Fz(are)30 b(biideals.)41 b(In)30 b(fact,)h(let)e Ft(x)g Fx(2)f Ft(I)38 b Fz(then)30 b Fx(h)p Fz(\001\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(;)17 b(a)h Fx(\012)f Ft(b)p Fx(i)28 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(x;)17 b(ab)p Fx(i)28 b Fz(=)f(0)0 2356 y(hence)43 b(\001\()p Ft(x)p Fz(\))h Fx(2)g Fz(Ker\()p Ft(')28 b Fx(\012)h Ft(')43 b Fz(:)g Ft(L)29 b Fx(\012)g Ft(L)44 b Fx(\000)-60 b(!)43 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)36 b Fx(\012)29 b Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))49 b(=)43 b Ft(I)37 b Fx(\012)29 b Ft(L)f Fz(+)g Ft(L)h Fx(\012)g Ft(I)50 b Fz(\(the)42 b(last)0 2472 y(equalit)m(y)33 b(is)g(an)h(easy)h(exercise)g(in)d (linear)g(algebra\))h(and)h Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(=)g Fx(h)p Ft(x;)17 b Fz(1)p Fx(i)29 b Fz(=)h(0.)46 b(Hence)35 b(as)f(in)f(the)0 2593 y(pro)s(of)39 b(of)h(Theorem)g(2.6.3) f(w)m(e)j(get)e(that)p 1580 2513 67 4 v 39 w Ft(L)h Fz(=)f Ft(L=I)48 b Fz(and)p 2206 2513 89 4 v 40 w Ft(H)g Fz(=)40 b Ft(H)r(=J)49 b Fz(are)40 b(bialgebras.)65 b(Since)0 2714 y Fx(h)p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(;)17 b(a)p Fx(i)47 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(x;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Fx(i)48 b Fz(=)g(0)c(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h(an)f(induced)g (homomorphism)p 2791 2634 66 4 v 41 w Ft(S)54 b Fz(:)p 2980 2634 67 4 v 48 w Ft(L)48 b Fx(\000)-59 b(!)p 3259 2634 V 47 w Ft(L)q Fz(.)79 b(The)0 2836 y(iden)m(tities)33 b(satis\014ed)h(in)f Ft(L)i Fz(hold)e(also)g(for)g(the)i(residue)f (classes)h(in)p 2508 2756 V 33 w Ft(L)f Fz(so)h(that)e Ft(L)i Fz(and)f(similarly)p 0 2872 89 4 v 0 2952 a Ft(H)42 b Fz(b)s(ecome)34 b(Hopf)f(algebras.)48 b(Finally)31 b(w)m(e)k(ha)m(v)m(e)h(b)m(y)f(de\014nition)e(of)g Ft(I)42 b Fz(that)34 b Fx(h)p 2862 2897 56 4 v Ft(x;)p 2961 2897 52 4 v 17 w(a)p Fx(i)c Fz(=)g Fx(h)p Ft(x;)17 b(a)p Fx(i)30 b Fz(=)g(0)0 3073 y(for)35 b(all)f Ft(a)g Fx(2)f Ft(H)44 b Fz(i\013)35 b Ft(a)e Fx(2)h Ft(I)44 b Fz(or)p 1113 3018 V 35 w Ft(a)34 b Fz(=)f(0.)53 b(Th)m(us)37 b(the)g(bilinear)c (form)p 2447 3018 97 4 v 35 w(ev)i(:)p 2637 2993 67 4 v 34 w Ft(L)25 b Fx(\012)p 2829 2993 89 4 v 24 w Ft(H)41 b Fx(\000)-59 b(!)33 b Ft(K)43 b Fz(de\014nes)37 b(a)0 3189 y(dualit)m(y)-8 b(.)3205 b Fh(\003)149 3369 y Fv(Problem)36 b(2.7.15.)42 b Fz(\(in)32 b(Linear)g(Algebra\))198 3511 y(\(1\))41 b(F)-8 b(or)29 b Ft(U)38 b Fx(\022)28 b Ft(V)51 b Fz(de\014ne)30 b Ft(U)1207 3475 y Fr(?)1294 3511 y Fz(:=)e Fx(f)p Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(V)1734 3475 y Fr(\003)1773 3511 y Fx(j)p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(U)f Fz(\))28 b(=)f(0)p Fx(g)p Fz(.)42 b(F)-8 b(or)28 b Ft(Z)35 b Fx(\022)28 b Ft(V)2767 3475 y Fr(\003)2836 3511 y Fz(de\014ne)i Ft(Z)3188 3475 y Fr(?)3275 3511 y Fz(:=)d Fx(f)p Ft(v)32 b Fx(2)364 3627 y Ft(V)22 b Fx(j)p Ft(Z)7 b Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))27 b(=)g(0)p Fx(g)p Fz(.)43 b(Sho)m(w)34 b(that)e(the)h(follo)m (wing)d(hold:)397 3743 y(\(a\))41 b Ft(U)d Fx(\022)29 b Ft(V)54 b Fz(=)-17 b Fx(\))32 b Ft(U)38 b Fz(=)28 b Ft(U)1359 3707 y Fr(??)1473 3743 y Fz(;)391 3860 y(\(b\))42 b Ft(Z)35 b Fx(\022)28 b Ft(V)848 3823 y Fr(\003)920 3860 y Fz(and)33 b(dim)15 b Ft(Z)35 b(<)27 b Fx(1)32 b Fz(=)-17 b Fx(\))33 b Ft(Z)h Fz(=)28 b Ft(Z)2097 3823 y Fr(??)2211 3860 y Fz(;)402 3976 y(\(c\))42 b Fx(f)p Ft(U)57 b Fx(\022)46 b Ft(V)22 b Fx(j)17 b Fz(dim)d Ft(V)d(=U)56 b(<)46 b Fx(1g)1718 3948 y(\030)1719 3980 y Fz(=)1842 3976 y Fx(f)p Ft(Z)52 b Fx(\022)47 b Ft(V)2214 3940 y Fr(\003)2253 3976 y Fx(j)17 b Fz(dim)d Ft(Z)53 b(<)46 b Fx(1g)d Fz(under)h(the)g(maps)563 4092 y Ft(U)38 b Fx(7!)28 b Ft(U)871 4056 y Fr(?)963 4092 y Fz(and)33 b Ft(Z)h Fx(7!)27 b Ft(Z)1455 4056 y Fr(?)1514 4092 y Fz(.)198 4208 y(\(2\))41 b(Let)36 b Ft(V)54 b Fz(=)32 b Fx(\010)838 4172 y Fr(1)838 4233 y Fq(i)p Fl(=1)957 4208 y Fu(K)17 b Ft(x)1084 4223 y Fq(i)1153 4208 y Fz(b)s(e)36 b(an)f(in\014nite-dimensional)c(v)m(ector)37 b(space.)52 b(Find)35 b(an)g(elemen)m(t)364 4324 y Ft(g)c Fx(2)d Fz(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(V)e Fz(\))891 4288 y Fr(\003)963 4324 y Fz(that)32 b(is)h(not)f(in)g Ft(V)1638 4288 y Fr(\003)1700 4324 y Fx(\012)23 b Ft(V)1878 4288 y Fr(\003)2015 4324 y Fz(\()p Fx(\022)28 b Fz(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(V)g Fz(\))2513 4288 y Fr(\003)2552 4324 y Fz(\).)149 4467 y Fv(De\014nition)38 b(2.7.7.)43 b Fz(Let)34 b Ft(A)f Fz(b)s(e)h(an)g(algebra.)46 b(W)-8 b(e)34 b(de\014ne)h Ft(A)2439 4430 y Fq(o)2507 4467 y Fz(:=)30 b Fx(f)p Ft(f)40 b Fx(2)31 b Ft(A)2948 4430 y Fr(\003)2987 4467 y Fx(j9)i Fz(ideal)3336 4482 y Fq(A)3393 4467 y Ft(I)3436 4482 y Fq(A)3523 4467 y Fx(\022)0 4583 y Ft(A)28 b Fz(:)g(dim)n(\()p Ft(A=I)8 b Fz(\))27 b Ft(<)h Fx(1)k Fz(and)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(I)d Fz(\))27 b(=)g(0)p Fx(g)p Fz(.)149 4725 y Fv(Lemma)38 b(2.7.8.)k Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(A)g Fs(b)-5 b(e)34 b(an)h(algebr)-5 b(a)34 b(and)g Ft(f)39 b Fx(2)28 b Ft(A)2158 4689 y Fr(\003)2197 4725 y Fs(.)45 b(The)34 b(fol)5 b(lowing)34 b(ar)-5 b(e)34 b(e)-5 b(quivalent:)198 4867 y Fz(\(1\))41 b Ft(f)e Fx(2)28 b Ft(A)618 4831 y Fq(o)656 4867 y Fs(;)198 4983 y Fz(\(2\))41 b Fs(ther)-5 b(e)35 b(exists)g Ft(I)917 4998 y Fq(A)1001 4983 y Fx(\022)29 b Ft(A)35 b Fs(such)f(that)i Fz(dim)15 b Ft(A=I)35 b(<)28 b Fx(1)34 b Fs(and)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(I)d Fz(\))28 b(=)f(0)p Fs(;)198 5099 y Fz(\(3\))41 b Ft(A)23 b Fx(\001)e Ft(f)39 b Fx(\022)701 5114 y Fq(A)775 5099 y Fz(Hom)978 5114 y Fp(K)1034 5099 y Fz(\()p Ft(:A)1172 5114 y Fq(A)1229 5099 y Ft(;)17 b(:)p Fu(K)g Fz(\))41 b Fs(is)34 b(\014nite)h(dimensional;)198 5216 y Fz(\(4\))41 b Ft(A)23 b Fx(\001)e Ft(f)33 b Fx(\001)22 b Ft(A)35 b Fs(is)g(\014nite)f(dimensional;)p eop %%Page: 64 67 64 66 bop 0 251 a Fw(64)341 b(2.)35 b(HOPF)e(ALGEBRAS,)g(ALGEBRAIC,)g (F)n(ORMAL,)g(AND)f(QUANTUM)g(GR)n(OUPS)198 450 y Fz(\(5\))41 b Fx(r)447 414 y Fr(\003)487 450 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b Fx(2)h Ft(A)816 414 y Fr(\003)878 450 y Fx(\012)23 b Ft(A)1051 414 y Fr(\003)1090 450 y Fs(.)149 636 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(1.)76 b(=)-17 b Fx(\))65 b Fz(2.)43 b(and)33 b(4.)76 b(=)-17 b Fx(\))65 b Fz(3.)43 b(are)33 b(trivial.)149 752 y(2.)79 b(=)-17 b Fx(\))66 b Fz(3.)46 b(Let)34 b Ft(I)870 767 y Fq(A)956 752 y Fx(\022)c Ft(A)k Fz(with)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(I)d Fz(\))29 b(=)g(0)k(and)h(dim)15 b Ft(A=I)37 b(<)29 b Fx(1)p Fz(.)46 b(W)-8 b(rite)33 b Ft(A)2990 716 y Fr(\003)3053 752 y Fx(\012)23 b Ft(A)29 b Fx(\000)-59 b(!)29 b Fu(K)57 b Fz(as)0 869 y Fx(h)p Ft(g)t(;)17 b(a)p Fx(i)p Fz(.)42 b(Then)34 b Fx(h)p Ft(af)5 b(;)17 b(i)p Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(ia)p Fx(i)28 b Fz(=)f(0)33 b(hence)h Ft(Af)k Fx(\032)28 b Ft(I)1996 832 y Fr(?)2088 869 y Fz(and)k(dim)15 b Ft(Af)39 b(<)28 b Fx(1)p Fz(.)149 985 y(3.)77 b(=)-17 b Fx(\))65 b Fz(2.)44 b(Let)33 b(dim)15 b Ft(Af)39 b(<)28 b Fx(1)p Fz(.)44 b(Then)34 b Ft(I)1733 1000 y Fq(A)1818 985 y Fz(:=)28 b(\()p Ft(Af)11 b Fz(\))2157 949 y Fr(?)2248 985 y Fz(is)33 b(an)f(ideal)g(of)g(\014nite)g(co)s(dimension)0 1101 y(in)g Ft(A)g Fz(and)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(I)d Fz(\))27 b(=)h(0)k(holds.)149 1217 y(2.)112 b(=)-17 b Fx(\))76 b Fz(1.)j(Let)44 b Ft(I)956 1232 y Fq(A)1061 1217 y Fx(\032)k Ft(A)d Fz(with)f(dim)15 b Ft(A=I)1882 1232 y Fq(A)1986 1217 y Ft(<)48 b Fx(1)c Fz(and)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(I)d Fz(\))48 b(=)f(0)d(b)s(e)h(giv)m(en.)79 b(Then)0 1333 y(righ)m(t)37 b(m)m(ultiplication)d(induces)k Ft(')f Fz(:)g Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)37 b Fz(Hom)1857 1348 y Fp(K)1913 1333 y Fz(\()p Ft(A=I)8 b(:;)17 b(A=I)8 b(:)p Fz(\))37 b(and)h(dim)15 b(End)3019 1348 y Fp(K)3075 1333 y Fz(\()p Ft(A=I)8 b Fz(\))37 b Ft(<)f Fx(1)p Fz(.)0 1450 y(Th)m(us)41 b Ft(J)48 b Fz(=)39 b(Ker\()p Ft(')p Fz(\))f Fx(\022)i Ft(A)f Fz(is)g(a)g(t)m(w)m(o)h(sided)f(ideal)f(of)g (\014nite)h(co)s(dimension)f(and)h Ft(J)48 b Fx(\032)40 b Ft(I)47 b Fz(\(since)0 1566 y Ft(')p Fz(\()p Ft(j)6 b Fz(\)\()224 1545 y(\026)224 1566 y(1)o(\))28 b(=)g(0)f(=)622 1545 y(\026)622 1566 y(1)22 b Fx(\001)f Ft(j)34 b Fz(=)918 1544 y(\026)920 1566 y Ft(j)k Fz(implies)30 b Ft(j)k Fx(2)28 b Ft(I)8 b Fz(\).)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m (e)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(J)e Fz(\))27 b Fx(\022)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(I)d Fz(\))27 b(=)h(0.)149 1682 y(1.)76 b(=)-17 b Fx(\))65 b Fz(4.)43 b Fx(h)p Ft(af)11 b(b;)17 b(i)p Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(bia)p Fx(i)29 b Fz(=)e(0)32 b(implies)f Ft(A)22 b Fx(\001)g Ft(f)32 b Fx(\001)22 b Ft(A)28 b Fx(\022)2407 1707 y Fq(A)2466 1682 y Ft(I)2517 1646 y Fr(?)2509 1707 y Fq(A)2609 1682 y Fz(hence)34 b(dim)15 b Ft(Af)c(A)27 b(<)h Fx(1)p Fz(.)149 1798 y(3.)97 b(=)-17 b Fx(\))72 b Fz(5.)65 b(W)-8 b(e)40 b(observ)m(e)h(that)e Fx(r)1524 1762 y Fr(\003)1564 1798 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))39 b(=)h Ft(f)11 b Fx(r)39 b(2)h Fz(\()p Ft(A)27 b Fx(\012)h Ft(A)p Fz(\))2495 1762 y Fr(\003)2534 1798 y Fz(.)65 b(W)-8 b(e)40 b(w)m(an)m(t)g(to)f(sho)m (w)i(that)0 1915 y Fx(r)83 1878 y Fr(\003)122 1915 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))31 b Fx(2)g Ft(A)458 1878 y Fr(\003)521 1915 y Fx(\012)24 b Ft(A)695 1878 y Fr(\003)735 1915 y Fz(.)49 b(Let)35 b Ft(g)1035 1930 y Fl(1)1074 1915 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(g)1340 1930 y Fq(n)1421 1915 y Fz(b)s(e)34 b(a)h(basis)f(of)g Ft(Af)11 b Fz(.)49 b(Then)36 b(there)f(exist)g Ft(h)2998 1930 y Fl(1)3037 1915 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(h)3312 1930 y Fq(n)3390 1915 y Fx(2)31 b Ft(A)3560 1878 y Fr(\003)0 2031 y Fz(suc)m(h)39 b(that)f Ft(bf)48 b Fz(=)692 1956 y Fj(P)814 2031 y Ft(h)870 2046 y Fq(i)898 2031 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(g)1062 2046 y Fq(i)1090 2031 y Fz(.)60 b(Let)38 b Ft(a;)17 b(b)37 b Fx(2)h Ft(A)p Fz(.)60 b(Then)39 b Fx(hr)2176 1995 y Fr(\003)2215 2031 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(a)25 b Fx(\012)h Ft(b)p Fx(i)38 b Fz(=)e Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(ab)p Fx(i)37 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(bf)5 b(;)17 b(a)p Fx(i)37 b Fz(=)0 2072 y Fj(P)122 2147 y Ft(h)178 2162 y Fq(i)206 2147 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(g)370 2162 y Fq(i)398 2147 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)g Fx(h)696 2072 y Fj(P)817 2147 y Ft(g)864 2162 y Fq(i)914 2147 y Fx(\012)23 b Ft(h)1070 2162 y Fq(i)1098 2147 y Ft(;)17 b(a)22 b Fx(\012)h Ft(b)p Fx(i)33 b Fz(so)f(that)h Fx(r)1842 2111 y Fr(\003)1881 2147 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)2147 2072 y Fj(P)2269 2147 y Ft(g)2316 2162 y Fq(i)2366 2147 y Fx(\012)22 b Ft(h)2521 2162 y Fq(i)2577 2147 y Fx(2)28 b Ft(A)2744 2111 y Fr(\003)2806 2147 y Fx(\012)23 b Ft(A)2979 2111 y Fr(\003)3018 2147 y Fz(.)149 2263 y(5.)77 b(=)-17 b Fx(\))66 b Fz(3.)44 b(Let)33 b Fx(r)905 2227 y Fr(\003)945 2263 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))28 b(=)1212 2189 y Fj(P)1334 2263 y Ft(g)1381 2278 y Fq(i)1431 2263 y Fx(\012)23 b Ft(h)1587 2278 y Fq(i)1644 2263 y Fx(2)29 b Ft(A)1812 2227 y Fr(\003)1874 2263 y Fx(\012)22 b Ft(A)2046 2227 y Fr(\003)2086 2263 y Fz(.)45 b(Then)34 b Ft(bf)39 b Fz(=)2646 2189 y Fj(P)2767 2263 y Ft(h)2823 2278 y Fq(i)2852 2263 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(g)3016 2278 y Fq(i)3077 2263 y Fz(for)32 b(all)f Ft(b)e Fx(2)g Ft(A)0 2380 y Fz(as)k(b)s(efore.)43 b(Th)m(us)34 b Ft(Af)44 b Fz(is)32 b(generated)h(b)m(y)h(the)f Ft(g)1755 2395 y Fl(1)1794 2380 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(g)2060 2395 y Fq(n)2106 2380 y Fz(.)1390 b Fh(\003)149 2566 y Fv(Prop)s(osition)26 b(2.7.9.)36 b Fs(L)-5 b(et)27 b Fz(\()p Ft(A;)17 b(m;)g(u)p Fz(\))26 b Fs(b)-5 b(e)27 b(an)f(algebr)-5 b(a.)42 b(Then)26 b(we)g(have)h Ft(m)2901 2529 y Fr(\003)2940 2566 y Fz(\()p Ft(A)3051 2529 y Fq(o)3090 2566 y Fz(\))g Fx(\022)i Ft(A)3334 2529 y Fq(o)3377 2566 y Fx(\012)5 b Ft(A)3532 2529 y Fq(o)3570 2566 y Fs(.)0 2682 y(F)-7 b(urthermor)i(e)34 b Fz(\()p Ft(A)674 2646 y Fq(o)712 2682 y Ft(;)17 b Fz(\001)p Ft(;)g(")p Fz(\))34 b Fs(is)h(a)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)33 b(with)i Fz(\001)28 b(=)g Ft(m)2113 2646 y Fr(\003)2187 2682 y Fs(and)35 b Ft(")27 b Fz(=)g Ft(u)2609 2646 y Fr(\003)2648 2682 y Fs(.)149 2868 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)34 b Ft(f)39 b Fx(2)30 b Ft(A)966 2832 y Fq(o)1037 2868 y Fz(and)k(let)e Ft(g)1416 2883 y Fl(1)1455 2868 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(g)1721 2883 y Fq(n)1801 2868 y Fz(b)s(e)33 b(a)g(basis)h(for)e Ft(Af)11 b Fz(.)46 b(Then)34 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h Ft(m)3321 2832 y Fr(\003)3361 2868 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))28 b(=)0 2909 y Fj(P)122 2984 y Ft(g)169 2999 y Fq(i)199 2984 y Fx(\012)s Ft(h)335 2999 y Fq(i)387 2984 y Fz(for)22 b(suitable)g Ft(h)936 2999 y Fq(i)992 2984 y Fx(2)29 b Ft(A)1160 2948 y Fr(\003)1222 2984 y Fz(as)23 b(in)g(the)g(pro)s(of)f (of)h(the)g(previous)h(prop)s(osition.)38 b(Since)23 b Ft(g)3318 2999 y Fq(i)3374 2984 y Fx(2)28 b Ft(Af)0 3100 y Fz(w)m(e)34 b(get)f Ft(Ag)427 3115 y Fq(i)483 3100 y Fx(\022)c Ft(Af)44 b Fz(and)33 b(dim)n(\()p Ft(Ag)1264 3115 y Fq(i)1292 3100 y Fz(\))28 b Ft(<)g Fx(1)33 b Fz(and)g(hence)h Ft(g)2103 3115 y Fq(i)2159 3100 y Fx(2)29 b Ft(A)2327 3064 y Fq(o)2365 3100 y Fz(.)45 b(Cho)s(ose)33 b Ft(a)2827 3115 y Fl(1)2867 3100 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a)3137 3115 y Fq(n)3212 3100 y Fx(2)29 b Ft(A)j Fz(suc)m(h)0 3216 y(that)h Ft(g)259 3231 y Fq(i)287 3216 y Fz(\()p Ft(a)376 3231 y Fq(j)412 3216 y Fz(\))c(=)f Ft(\016)626 3231 y Fq(ij)687 3216 y Fz(.)44 b(Then)34 b(\()p Ft(f)11 b(a)1161 3231 y Fq(j)1198 3216 y Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)1643 3231 y Fq(j)1680 3216 y Ft(a)p Fz(\))28 b(=)h Fx(h)p Ft(m)2026 3180 y Fr(\003)2065 3216 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(a)2295 3231 y Fq(j)2354 3216 y Fx(\012)22 b Ft(a)p Fx(i)29 b Fz(=)2676 3142 y Fj(P)2798 3216 y Ft(g)2845 3231 y Fq(i)2873 3216 y Fz(\()p Ft(a)2962 3231 y Fq(j)2998 3216 y Fz(\))p Ft(h)3092 3231 y Fq(i)3121 3216 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))f(=)g Ft(h)3436 3231 y Fq(j)3473 3216 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 3333 y(implies)34 b Ft(f)11 b(a)445 3348 y Fq(j)516 3333 y Fz(=)34 b Ft(h)682 3348 y Fq(j)752 3333 y Fx(2)h Ft(f)11 b(A)p Fz(.)55 b(Observ)m(e)38 b(that)e(dim)o(\()p Ft(f)11 b(A)p Fz(\))33 b Ft(<)h Fx(1)i Fz(hence)i(dim)o(\()p Ft(h)2842 3348 y Fq(j)2878 3333 y Ft(A)p Fz(\))d Ft(<)f Fx(1)p Fz(,)j(so)f(that)0 3449 y Ft(h)56 3464 y Fq(j)120 3449 y Fx(2)28 b Ft(A)287 3413 y Fq(o)326 3449 y Fz(.)43 b(This)33 b(pro)m(v)m(es)h Ft(m)1005 3413 y Fr(\003)1045 3449 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b Fx(2)h Ft(A)1374 3413 y Fq(o)1435 3449 y Fx(\012)23 b Ft(A)1608 3413 y Fq(o)1646 3449 y Fz(.)149 3565 y(One)33 b(c)m(hec)m(ks)j(easily)c(that)g(counit)g(la)m(w)g(and)h (coasso)s(ciativit)m(y)e(hold.)859 b Fh(\003)149 3751 y Fv(Theorem)54 b(2.7.10.)c(\(The)k(Sw)m(eedler)g(dual:\))72 b Fs(L)-5 b(et)49 b Fz(\()p Ft(B)5 b(;)17 b(m;)g(u;)g Fz(\001)p Ft(;)g(")p Fz(\))47 b Fs(b)-5 b(e)48 b(a)g(bialgebr)-5 b(a.)0 3867 y(Then)48 b Fz(\()p Ft(B)385 3831 y Fq(o)424 3867 y Ft(;)17 b Fz(\001)549 3831 y Fr(\003)588 3867 y Ft(;)g(")678 3831 y Fr(\003)717 3867 y Ft(;)g(m)846 3831 y Fr(\003)885 3867 y Ft(;)g(u)985 3831 y Fr(\003)1024 3867 y Fz(\))49 b Fs(again)f(is)h(a)g(bialgebr)-5 b(a.)86 b(If)48 b Ft(B)59 b Fz(=)54 b Ft(H)i Fs(is)49 b(a)g(Hopf)g(algebr)-5 b(a)48 b(with)0 3984 y(antip)-5 b(o)g(de)34 b Ft(S)6 b Fs(,)35 b(then)f Ft(S)799 3947 y Fr(\003)873 3984 y Fs(is)h(an)f(antip)-5 b(o)g(de)35 b(for)f Ft(B)1738 3947 y Fq(o)1804 3984 y Fz(=)28 b Ft(H)1997 3947 y Fq(o)2035 3984 y Fs(.)149 4169 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)35 b(kno)m(w)h(that)e(\()p Ft(B)1291 4133 y Fr(\003)1331 4169 y Ft(;)17 b Fz(\001)1456 4133 y Fr(\003)1495 4169 y Ft(;)g(")1585 4133 y Fr(\003)1624 4169 y Fz(\))34 b(is)g(an)g (algebra)g(and)g(that)h(\()p Ft(B)2799 4133 y Fq(o)2837 4169 y Ft(;)17 b(m)2966 4133 y Fr(\003)3005 4169 y Ft(;)g(u)3105 4133 y Fr(\003)3144 4169 y Fz(\))34 b(is)g(a)g(coal-)0 4286 y(gebra.)52 b(W)-8 b(e)36 b(sho)m(w)g(no)m(w)g(that)g Ft(B)1227 4250 y Fq(o)1298 4286 y Fx(\022)c Ft(B)1486 4250 y Fr(\003)1561 4286 y Fz(is)j(a)g(subalgebra.)52 b(Let)36 b Ft(f)5 b(;)17 b(g)36 b Fx(2)d Ft(B)2817 4250 y Fq(o)2890 4286 y Fz(with)i(dim)o(\()p Ft(B)5 b(f)11 b Fz(\))32 b Ft(<)0 4402 y Fx(1)52 b Fz(and)g(dim)o(\()p Ft(B)5 b(g)t Fz(\))60 b Ft(<)h Fx(1)p Fz(.)102 b(Let)53 b Ft(a)61 b Fx(2)h Ft(B)5 b Fz(.)103 b(Then)53 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h (\()p Ft(a)p Fz(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\)\)\()p Ft(b)p Fz(\))60 b(=)i(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\)\()p Ft(ba)p Fz(\))60 b(=)0 4443 y Fj(P)122 4518 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)260 4534 y Fl(\(1\))354 4518 y Ft(a)405 4534 y Fl(\(1\))500 4518 y Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(b)668 4534 y Fl(\(2\))762 4518 y Ft(a)813 4534 y Fl(\(2\))907 4518 y Fz(\))69 b(=)1160 4443 y Fj(P)1265 4518 y Fz(\()p Ft(a)1354 4534 y Fl(\(1\))1448 4518 y Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(b)1624 4534 y Fl(\(1\))1719 4518 y Fz(\)\()p Ft(a)1846 4534 y Fl(\(2\))1940 4518 y Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(b)2108 4534 y Fl(\(2\))2202 4518 y Fz(\))69 b(=)2454 4443 y Fj(P)2560 4518 y Fz(\(\()p Ft(a)2687 4534 y Fl(\(1\))2781 4518 y Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(a)2967 4534 y Fl(\(2\))3061 4518 y Ft(g)t Fz(\)\)\()p Ft(b)p Fz(\))57 b(hence)0 4634 y Ft(a)p Fz(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\))82 b(=)478 4560 y Fj(P)583 4634 y Fz(\()p Ft(a)672 4650 y Fl(\(1\))767 4634 y Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(a)953 4650 y Fl(\(2\))1047 4634 y Ft(g)t Fz(\))83 b Fx(2)g Fz(\()p Ft(B)5 b(f)11 b Fz(\)\()p Ft(B)5 b(g)t Fz(\).)140 b(Since)66 b(dim)n(\()p Ft(B)5 b(f)11 b Fz(\)\()p Ft(B)5 b(g)t Fz(\))83 b Ft(<)g Fx(1)64 b Fz(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)0 4751 y(dim)o(\()p Ft(B)5 b Fz(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\)\))49 b Ft(<)i Fx(1)45 b Fz(so)h(that)g Ft(f)11 b(g)54 b Fx(2)d Ft(B)1539 4714 y Fq(o)1577 4751 y Fz(.)84 b(F)-8 b(urthermore)45 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h Ft(")i Fx(2)h Ft(B)2954 4714 y Fq(o)2992 4751 y Fz(,)f(since)c(Ker\()p Ft(")p Fz(\))0 4867 y(has)32 b(co)s(dimension)f(1.)43 b(Th)m(us)33 b Ft(B)1173 4831 y Fq(o)1239 4867 y Fx(\022)28 b Ft(B)1423 4831 y Fr(\003)1495 4867 y Fz(is)j(a)h(subalgebra.)43 b(It)32 b(is)g(no)m(w)g(easy)h(to)f(see)h(that)e Ft(B)3383 4831 y Fq(o)3454 4867 y Fz(is)g(a)0 4983 y(bialgebra.)149 5099 y(No)m(w)39 b(let)d Ft(S)44 b Fz(b)s(e)38 b(the)f(an)m(tip)s(o)s (de)g(of)g Ft(H)8 b Fz(.)58 b(W)-8 b(e)38 b(sho)m(w)h Ft(S)2121 5063 y Fr(\003)2160 5099 y Fz(\()p Ft(H)2287 5063 y Fq(o)2325 5099 y Fz(\))d Fx(\022)h Ft(H)2602 5063 y Fq(o)2639 5099 y Fz(.)59 b(Let)37 b Ft(a)g Fx(2)f Ft(H)8 b Fz(,)39 b Ft(f)47 b Fx(2)36 b Ft(H)3535 5063 y Fq(o)3573 5099 y Fz(.)0 5216 y(Then)52 b Fx(h)p Ft(aS)429 5179 y Fr(\003)468 5216 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(b)p Fx(i)58 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(S)1024 5179 y Fr(\003)1063 5216 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(ba)p Fx(i)58 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(ba)p Fz(\))p Fx(i)59 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Fx(i)58 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(f)11 b(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Fx(i)57 b Fz(=)p eop %%Page: 65 68 65 67 bop 1142 251 a Fw(7.)35 b(DUALITY)d(OF)h(HOPF)g(ALGEBRAS)1065 b(65)0 450 y Fx(h)p Ft(S)105 414 y Fr(\003)144 450 y Fz(\()p Ft(f)11 b(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\))p Ft(;)17 b(b)p Fx(i)p Fz(.)95 b(This)50 b(implies)d Ft(aS)1423 414 y Fr(\003)1463 450 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))56 b(=)h Ft(S)1853 414 y Fr(\003)1893 450 y Fz(\()p Ft(f)11 b(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\))49 b(and)h Ft(H)8 b(S)2632 414 y Fr(\003)2671 450 y Fz(\()p Ft(f)j Fz(\))56 b(=)h Ft(S)3061 414 y Fr(\003)3101 450 y Fz(\()p Ft(f)11 b(S)6 b Fz(\()p Ft(H)i Fz(\)\))56 b Fx(\022)0 566 y Ft(S)66 530 y Fr(\003)105 566 y Fz(\()p Ft(f)11 b(H)d Fz(\).)90 b(Since)48 b Ft(f)65 b Fx(2)55 b Ft(H)1039 530 y Fq(o)1125 566 y Fz(w)m(e)50 b(get)e(dim)n(\()p Ft(f)11 b(H)d Fz(\))54 b Ft(<)g Fx(1)48 b Fz(so)g(that)h(dim)n(\()p Ft(S)2810 530 y Fr(\003)2849 566 y Fz(\()p Ft(f)11 b(H)d Fz(\)\))54 b Ft(<)g Fx(1)48 b Fz(and)0 683 y(dim)o(\()p Ft(H)8 b(S)356 646 y Fr(\003)394 683 y Fz(\()p Ft(f)j Fz(\)\))27 b Ft(<)h Fx(1)p Fz(.)43 b(This)31 b(sho)m(ws)h Ft(S)1433 646 y Fr(\003)1473 683 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b Fx(2)h Ft(H)1818 646 y Fq(o)1856 683 y Fz(.)43 b(The)32 b(rest)f(of)g(the)g(pro)s(of)f(is)h (no)m(w)g(trivial.)96 b Fh(\003)149 849 y Fv(De\014nition)40 b(2.7.11.)j Fz(Let)36 b Ft(G)d Fz(=)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)h Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fz(-\))35 b(b)s(e)h(an)f(a\016ne)h(group)f(and)h Ft(R)e Fx(2)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(.)0 965 y(W)-8 b(e)30 b(de\014ne)h Ft(G)16 b Fx(\012)614 980 y Fp(K)686 965 y Ft(R)28 b Fz(:=)g Ft(G)p Fx(j)1024 1000 y Fq(R)p Fz(-)p Fs(c)6 b Fr(A)p Fs(lg)1338 965 y Fz(to)29 b(b)s(e)g(the)h(restriction)f(to)g(comm)m(utativ)m(e)g Ft(R)q Fz(-algebras.)41 b(The)0 1097 y(functor)33 b Ft(G)22 b Fx(\012)515 1112 y Fp(K)593 1097 y Ft(R)34 b Fz(is)e(represen)m(ted)j (b)m(y)e Ft(H)d Fx(\012)23 b Ft(R)29 b Fx(2)f Ft(R)q Fz(-)o Fs(c)7 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(:)682 1253 y Ft(G)p Fx(j)787 1288 y Fq(R)p Fz(-)p Fs(c)6 b Fr(A)p Fs(lg)1071 1253 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h(A)p Fz(\))1982 1226 y Fx(\030)1983 1258 y Fz(=)2088 1253 y Ft(R)q Fz(-)o Fs(c)7 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Ft(R)q(;)17 b(A)p Fz(\))p Ft(:)149 1431 y Fv(Theorem)37 b(2.7.12.)42 b(\(The)37 b(Cartier)f(dual:\))45 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(H)42 b Fs(b)-5 b(e)34 b(a)h(\014nite)f(dimensional)f(c)-5 b(ommu-)0 1548 y(tative)43 b(c)-5 b(o)g(c)g(ommutative)42 b(Hopf)h(algebr)-5 b(a.)68 b(L)-5 b(et)43 b Ft(G)g Fz(=)f Fu(K)18 b Fs(-)5 b(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fs(-)o Fz(\))43 b Fs(b)-5 b(e)43 b(the)g(asso)-5 b(ciate)g(d)42 b(a\016ne)0 1664 y(gr)-5 b(oup)35 b(and)f(let)h Ft(D)s Fz(\()p Ft(G)p Fz(\))27 b(:=)h Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)h Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)1446 1628 y Fr(\003)1484 1664 y Ft(;)h Fs(-)p Fz(\))35 b Fs(b)-5 b(e)34 b(the)h(dual)g(gr)-5 b(oup.)45 b(Then)34 b(we)g(have)1390 1821 y Ft(D)s Fz(\()p Ft(G)p Fz(\))27 b(=)h Fx(G)6 b Ft(r)s Fz(\()p Ft(G;)17 b(G)2106 1836 y Fq(m)2172 1821 y Fz(\))0 1978 y Fs(wher)-5 b(e)39 b Fx(G)6 b Ft(r)s Fz(\()p Ft(G;)17 b(G)628 1993 y Fq(m)694 1978 y Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))38 b(=)f(Gr)o(\()p Ft(G)26 b Fx(\012)1366 1993 y Fp(K)1449 1978 y Ft(R)q(;)17 b(G)1645 1993 y Fq(m)1737 1978 y Fx(\012)1814 1993 y Fp(K)1896 1978 y Ft(R)q Fz(\))40 b Fs(is)g(the)g(set)g(of)g(gr)-5 b(oup)40 b(\(-functor\))g(homo-)0 2094 y(morphisms)33 b(and)i Ft(G)761 2109 y Fq(m)862 2094 y Fs(is)g(the)g(multiplic)-5 b(ative)34 b(gr)-5 b(oup.)149 2260 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)23 b(ha)m(v)m(e)g Fx(G)6 b Ft(r)r Fz(\()p Ft(G;)17 b(G)1253 2275 y Fq(m)1320 2260 y Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))27 b(=)h(Gr)o(\()p Ft(G)p Fx(\012)1946 2275 y Fp(K)2002 2260 y Ft(R)q(;)17 b(G)2198 2275 y Fq(M)2277 2260 y Fx(\012)2354 2275 y Fp(K)2410 2260 y Ft(R)q Fz(\))2551 2232 y Fx(\030)2552 2264 y Fz(=)2656 2260 y Ft(R)q Fz(-Hopf-Alg)n(\()p Fu(K)h Fz([)p Ft(t;)f(t)3402 2224 y Fr(\000)p Fl(1)3502 2260 y Fz(])p Fx(\012)0 2376 y Ft(R)q(;)g(H)h Fx(\012)11 b Ft(R)q Fz(\))447 2349 y Fx(\030)448 2380 y Fz(=)552 2376 y Ft(R)q Fz(-)o(Hopf-Alg)o(\()p Ft(R)q Fz([)p Ft(t;)17 b(t)1301 2340 y Fr(\000)p Fl(1)1395 2376 y Fz(])p Ft(;)g(H)h Fx(\012)11 b Ft(R)q Fz(\))1794 2349 y Fx(\030)1795 2380 y Fz(=)1899 2376 y Fx(f)p Ft(x)28 b Fx(2)g Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(H)19 b Fx(\012)11 b Ft(R)q Fz(\))p Fx(j)p Fz(\001\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(x)11 b Fx(\012)g Ft(x;)17 b(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(1)p Fx(g)p Fz(,)0 2492 y(since)33 b(\001\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(x)22 b Fx(\012)h Ft(x)33 b Fz(and)g Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)h(1)k(imply)f Ft(xS)6 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))f(=)h(1.)149 2609 y(Consider)37 b Ft(x)e Fx(2)g Fz(Hom)954 2624 y Fq(R)1012 2609 y Fz(\(\()p Ft(H)d Fx(\012)26 b Ft(R)q Fz(\))1417 2573 y Fr(\003)1456 2609 y Ft(;)17 b(R)q Fz(\))34 b(=)g(Hom)1961 2624 y Fq(R)2018 2609 y Fz(\()p Ft(H)2145 2573 y Fr(\003)2209 2609 y Fx(\012)25 b Ft(R)q(;)17 b(R)q Fz(\).)56 b(Then)37 b(\001\()p Ft(x)p Fz(\))e(=)f Ft(x)26 b Fx(\012)f Ft(x)37 b Fz(i\013)0 2725 y Ft(x)p Fz(\()p Ft(v)144 2689 y Fr(\003)184 2725 y Ft(w)257 2689 y Fr(\003)295 2725 y Fz(\))44 b(=)g Fx(h)p Ft(x;)17 b(v)686 2689 y Fr(\003)725 2725 y Ft(w)798 2689 y Fr(\003)837 2725 y Fx(i)44 b Fz(=)g Fx(h)p Fz(\001\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(;)17 b(v)1386 2689 y Fr(\003)1454 2725 y Fx(\012)29 b Ft(w)1633 2689 y Fr(\003)1672 2725 y Fx(i)43 b Fz(=)h Ft(x)p Fz(\()p Ft(v)2018 2689 y Fr(\003)2058 2725 y Fz(\))p Ft(x)p Fz(\()p Ft(w)2262 2689 y Fr(\003)2301 2725 y Fz(\))e(and)g Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))i(=)g(1)e(i\013)f Fx(h)p Ft(x;)17 b(")p Fx(i)43 b Fz(=)h(1.)0 2841 y(Hence)34 b Ft(x)28 b Fx(2)g Ft(R)q Fz(-)p Fs(c)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\(\()p Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(R)q Fz(\))1191 2805 y Fr(\003)1231 2841 y Ft(;)17 b(R)q Fz(\))1415 2813 y Fx(\030)1416 2845 y Fz(=)1520 2841 y Fu(K)h Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)1975 2805 y Fr(\003)2013 2841 y Ft(;)h(R)q Fz(\))28 b(=)f Ft(D)s Fz(\()p Ft(G)p Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\).)807 b Fh(\003)p eop %%Page: 66 69 66 68 bop eop %%Page: 67 70 67 69 bop 1505 815 a Fz(CHAPTER)51 b(3)3 1114 y Fy(Represen)l(tation)c (Theory)-11 b(,)45 b(Reconstruction)h(and)e(T)-11 b(annak)k(a)45 b(Dualit)l(y)1492 1397 y Fv(In)m(tro)s(duction)149 1571 y Fz(One)35 b(of)e(the)h(most)g(in)m(teresting)f(prop)s(erties)h(of)f (quan)m(tum)h(groups)g(is)g(their)f(represen)m(tation)0 1687 y(theory)-8 b(.)43 b(It)30 b(has)h(deep)g(applications)d(in)h (theoretical)g(ph)m(ysics.)45 b(The)31 b(mathematical)c(side)j(has)g (to)0 1803 y(distinguish)35 b(b)s(et)m(w)m(een)j(the)f(represen)m (tation)g(theory)g(of)f(quan)m(tum)g(groups)h(and)f(the)h(represen-)0 1920 y(tation)31 b(theory)i(of)f(Hopf)h(algebras.)42 b(In)33 b(b)s(oth)f(cases)i(the)f(particular)e(structure)j(allo)m(ws)d (to)h(form)0 2036 y(tensor)f(pro)s(ducts)h(of)e(represen)m(tations)i (suc)m(h)g(that)e(the)h(category)g(of)g(represen)m(tations)g(b)s (ecomes)0 2152 y(a)h(monoidal)e(\(or)i(tensor\))h(category)-8 b(.)149 2268 y(The)48 b(problem)d(w)m(e)i(w)m(an)m(t)g(to)f(study)h(in) f(this)f(c)m(hapter)j(is,)h(ho)m(w)e(m)m(uc)m(h)f(structure)i(of)e(the) 0 2385 y(quan)m(tum)32 b(group)g(or)g(Hopf)f(algebra)g(can)h(b)s(e)h (found)f(in)f(the)h(category)h(of)e(represen)m(tations.)45 b(W)-8 b(e)0 2501 y(will)25 b(sho)m(w)j(that)f(a)g(quan)m(tum)g(monoid) e(can)j(b)s(e)f(uniquely)g(reconstructed)i(\(up)f(to)e(isomorphism\))0 2617 y(from)33 b(its)h(represen)m(tations.)49 b(The)35 b(additional)c(structure)36 b(giv)m(en)e(b)m(y)h(the)g(an)m(tip)s(o)s (de)e(is)h(itimitely)0 2733 y(connected)50 b(with)e(a)g(certain)g (dualit)m(y)f(of)h(represen)m(tations.)92 b(W)-8 b(e)49 b(will)d(also)i(generalize)f(this)0 2849 y(pro)s(cess)34 b(of)e(reconstruction.)149 2966 y(On)25 b(the)h(other)f(hand)g(w)m(e)h (will)c(sho)m(w)k(that)f(the)g(pro)s(cess)h(of)e(reconstruction)i(can)f (also)f(b)s(e)h(used)0 3082 y(to)35 b(obtain)f(the)i(T)-8 b(am)m(bara)35 b(construction)g(of)g(the)h(univ)m(ersal)f(quan)m(tum)g (monoid)f(of)h(a)g(noncom-)0 3198 y(m)m(utativ)m(e)g(geometrical)e (space)j(\(from)e(c)m(hapter)i(1.\).)52 b(Th)m(us)37 b(w)m(e)f(will)d(get)i(another)h(p)s(ersp)s(ectiv)m(e)0 3314 y(for)c(this)g(theorem.)149 3431 y(A)m(t)h(the)g(end)h(of)e(the)h (c)m(hapter)g(y)m(ou)g(should)273 3567 y Fx(\017)41 b Fz(understand)34 b(represen)m(tations)g(of)e(Hopf)h(algebras)f(and)g (of)g(quan)m(tum)h(groups,)273 3683 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)e(the)g (de\014nition)d(and)i(\014rst)h(fundamen)m(tal)e(prop)s(erties)g(of)h (monoidal)d(or)i(tensor)364 3800 y(categories,)273 3916 y Fx(\017)k Fz(b)s(e)e(familiar)c(with)j(the)h(monoidal)d(structure)k (on)e(the)i(category)f(of)f(represen)m(tations)364 4032 y(of)32 b(Hopf)h(algebras)f(and)g(of)h(quan)m(tum)f(groups,)273 4148 y Fx(\017)41 b Fz(understand)29 b(wh)m(y)g(the)f(category)g(of)f (represen)m(tations)i(con)m(tains)e(the)h(full)e(information)364 4265 y(ab)s(out)45 b(the)h(quan)m(tum)f(group)g(resp.)83 b(the)45 b(Hopf)g(algebra)f(\(Theorem)i(of)e(T)-8 b(annak)j(a-)364 4381 y(Krein\),)273 4497 y Fx(\017)41 b Fz(kno)m(w)30 b(the)f(pro)s(cess)h(of)e(reconstruction)h(and)g(examples)g(of)f (bialgebras)f(reconstructed)364 4613 y(from)32 b(certain)g(diagrams)f (of)h(\014nite)g(dimensional)e(v)m(ector)k(spaces,)273 4729 y Fx(\017)41 b Fz(understand)26 b(b)s(etter)e(the)g(T)-8 b(am)m(bara)23 b(construction)h(of)g(a)f(univ)m(ersal)h(algebra)e(for)i (a)f(\014nite)364 4846 y(dimensional)30 b(algebra.)1762 5365 y Fw(67)p eop %%Page: 68 71 68 70 bop 0 251 a Fw(68)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)900 450 y Fv(1.)57 b(Represen)m(tations)37 b(of)g(Hopf)h(Algebras)149 624 y Fz(Let)d Ft(A)g Fz(b)s(e)f(an)h (algebra)e(o)m(v)m(er)j(a)e(comm)m(utativ)m(e)g(ring)f Fu(K)18 b Fz(.)55 b(Let)35 b Ft(A)p Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)51 b Fz(b)s(e)35 b(the)g(category)f(of)0 741 y Ft(A)p Fz(-mo)s(dules.)42 b(An)33 b Ft(A)p Fz(-mo)s(dule)e(is)h (also)g(called)f(a)h Fs(r)-5 b(epr)g(esentation)32 b Fz(of)g Ft(A)p Fz(.)149 857 y(Observ)m(e)27 b(that)e(the)g(action)g Ft(A)7 b Fx(\012)g Ft(M)38 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)35 b Fz(satisfying)24 b(the)i(mo)s(dule)d(axioms)h(and)h(an)g(algebra)0 973 y(homomorphism)33 b Ft(A)f Fx(\000)-59 b(!)32 b Fz(End)q(\()p Ft(M)10 b Fz(\))36 b(are)f(equiv)-5 b(alen)m(t)35 b(descriptions)h(of)f (an)g Ft(A)p Fz(-mo)s(dule)f(structure)0 1089 y(on)e(the)h Fu(K)18 b Fz(-mo)s(dule)37 b Ft(M)10 b Fz(.)149 1206 y(The)30 b(functor)f Fx(U)38 b Fz(:)27 b Ft(A)p Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fz(with)29 b Fx(U)10 b Fz(\()2023 1221 y Fq(A)2080 1206 y Ft(M)g Fz(\))28 b(=)g Ft(M)39 b Fz(and)29 b Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(f)h Fz(\))27 b(=)h Ft(f)39 b Fz(is)28 b(called)g(the)0 1322 y Fs(for)-5 b(getful)35 b(functor)d Fz(or)h(the)g Fs(underlying)h (functor)p Fz(.)149 1438 y(If)c Ft(B)k Fz(is)29 b(a)g(bialgebra)e(then) j(a)f Fs(r)-5 b(epr)g(esentation)31 b(of)e Ft(B)35 b Fz(is)29 b(also)f(de\014ned)j(to)e(b)s(e)g(a)g Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule.)41 b(It)0 1554 y(will)25 b(turn)i(out)g(that)f(the)i (prop)s(ert)m(y)f(of)g(b)s(eing)f(a)h(bialgebra)e(leads)i(to)f(the)i(p) s(ossibilit)m(y)d(of)h(building)0 1671 y(tensor)33 b(pro)s(ducts)g(of)g (represen)m(tations)g(in)f(a)g(canonical)g(w)m(a)m(y)-8 b(.)149 1787 y(Let)34 b Ft(C)41 b Fz(b)s(e)34 b(a)g(coalgebra)f(o)m(v)m (er)i(a)e(comm)m(utativ)m(e)g(ring)g Fu(K)18 b Fz(.)53 b(Let)34 b Ft(C)7 b Fz(-)o Fx(C)f Fs(omo)-5 b(d)50 b Fz(b)s(e)34 b(the)h(category)0 1903 y(of)d Ft(C)7 b Fz(-como)s(dules.) 42 b(A)33 b Ft(C)7 b Fz(-como)s(dule)31 b(is)h(also)f(called)h(a)g Fs(c)-5 b(or)g(epr)g(esentation)31 b Fz(of)i Ft(C)7 b Fz(.)149 2019 y(The)36 b(functor)f Fx(U)42 b Fz(:)31 b Ft(C)7 b Fz(-)p Fx(C)f Fs(omo)-5 b(d)47 b Fx(\000)-59 b(!)31 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)51 b Fz(with)34 b Fx(U)10 b Fz(\()2144 1983 y Fq(C)2204 2019 y Ft(M)g Fz(\))32 b(=)f Ft(M)46 b Fz(and)35 b Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(f)h Fz(\))31 b(=)g Ft(f)46 b Fz(is)34 b(called)0 2135 y(the)f Fs(for)-5 b(getful)35 b(functor)d Fz(or)h(the)g Fs(underlying)h(functor)p Fz(.)149 2252 y(If)26 b Ft(B)k Fz(is)24 b(a)h(bialgebra)f(then)h(a)g Fs(c)-5 b(or)g(epr)g(esentation) 27 b(of)e Ft(B)30 b Fz(is)25 b(also)f(de\014ned)j(to)d(b)s(e)i(a)f Ft(B)5 b Fz(-como)s(dule.)0 2368 y(It)45 b(will)e(turn)j(out)f(that)g (the)g(prop)s(ert)m(y)h(of)f(b)s(eing)f(a)h(bialgebra)f(leads)h(to)g (the)g(p)s(ossibilit)m(y)e(of)0 2484 y(building)30 b(tensor)k(pro)s (ducts)f(of)f(corepresen)m(tations)i(in)e(a)g(canonical)f(w)m(a)m(y)-8 b(.)149 2600 y(Usually)45 b(represen)m(tations)i(of)e(a)g(ring)g(are)g (considered)i(to)e(b)s(e)h(mo)s(dules)e(o)m(v)m(er)j(the)f(giv)m(en)0 2717 y(ring.)61 b(The)39 b(role)f(of)g(como)s(dules)g(certainly)f (arises)i(in)f(the)h(con)m(text)h(of)e(coalgebras.)61 b(But)39 b(it)e(is)0 2833 y(not)g(quite)g(clear)g(what)h(the)f(go)s(o)s (d)g(de\014nition)f(of)h(a)g(represen)m(tation)h(of)f(a)g(quan)m(tum)g (group)g(or)0 2949 y(its)32 b(represen)m(ting)i(Hopf)e(algebra)f(is.) 149 3065 y(F)-8 b(or)43 b(this)f(purp)s(ose)i(consider)f(represen)m (tations)h Ft(M)54 b Fz(of)42 b(an)h(ordinary)f(group)h Ft(G)p Fz(.)74 b(Assume)0 3182 y(for)36 b(the)h(simplicit)m(y)d(of)i (the)h(argumen)m(t)f(that)h Ft(G)f Fz(is)g(\014nite.)55 b(Represen)m(tations)38 b(of)e Ft(G)g Fz(are)h(v)m(ector)0 3298 y(spaces)45 b(together)f(with)f(a)h(group)f(action)g Ft(G)29 b Fx(\002)i Ft(M)57 b Fx(\000)-60 b(!)46 b Ft(M)10 b Fz(.)78 b(Equiv)-5 b(alen)m(tly)43 b(they)h(are)g(v)m(ector)0 3414 y(spaces)j(together)f(with)f(a)g(group)h(homomorphism)c Ft(G)50 b Fx(\000)-60 b(!)50 b Fz(Aut\()p Ft(M)10 b Fz(\))46 b(or)f(mo)s(dules)g(o)m(v)m(er)i(the)0 3530 y(group)30 b(algebra:)41 b Fu(K)18 b Fz([)p Ft(G)p Fz(])23 b Fx(\012)18 b Ft(M)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)10 b Fz(.)44 b(In)30 b(the)h(situation)e(of)h(quan)m(tum)g(groups)h(w)m(e)g(consider)g(the)0 3646 y(represen)m(ting)j(Hopf)e(algebra)f Ft(H)40 b Fz(as)33 b(algebra)f(of)g(functions)g(on)h(the)g(quan)m(tum)g(group)f Ft(G)p Fz(.)149 3763 y(Then)g(the)e(algebra)f(of)h(functions)g(on)f Ft(G)h Fz(is)g(the)g(Hopf)g(algebra)f Fu(K)2580 3727 y Fq(G)2645 3763 y Fz(,)h(the)h(dual)e(of)h(the)g(group)0 3879 y(algebra)38 b Fu(K)17 b Fz([)q Ft(G)p Fz(].)69 b(An)39 b(easy)h(exercise)h(sho)m(ws)g(that)e(the)g(mo)s(dule)f (structure)i Fu(K)18 b Fz([)p Ft(G)p Fz(])33 b Fx(\012)27 b Ft(M)49 b Fx(\000)-59 b(!)38 b Ft(M)0 3995 y Fz(translates)24 b(to)f(the)h(structure)h(of)e(a)g(como)s(dule)f Ft(M)39 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)2065 3959 y Fq(G)2134 3995 y Fx(\012)t Ft(M)35 b Fz(and)23 b(con)m(v)m(ersely)-8 b(.)43 b(\(Observ)m(e)25 b(that)0 4111 y Ft(G)38 b Fz(is)f(\014nite.\)) 59 b(So)38 b(w)m(e)g(should)g(de\014ne)h(represen)m(tations)g(of)f(a)f (quan)m(tum)h(group)g(as)g(como)s(dules)0 4228 y(o)m(v)m(er)c(the)f (represen)m(ting)g(Hopf)g(algebra.)149 4363 y Fv(Problem)e(3.1.16.)39 b Fz(Let)29 b Ft(G)f Fz(b)s(e)g(a)g(\014nite)g(group)h(and)f Fu(K)2209 4327 y Fq(G)2302 4363 y Fz(:=)g Fu(K)17 b Fz([)p Ft(G)p Fz(])2636 4327 y Fr(\003)2709 4363 y Fz(the)29 b(dual)f(of)f(the)i(group)0 4479 y(algebra.)43 b(Sho)m(w)34 b(that)f Fu(K)921 4443 y Fq(G)1019 4479 y Fz(is)g(a)g(Hopf)f(algebra)g (and)h(that)g(eac)m(h)h(mo)s(dule)d(structure)j Fu(K)18 b Fz([)p Ft(G)p Fz(])28 b Fx(\012)23 b Ft(M)0 4596 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)40 b Fz(translates)29 b(to)g(the)h(structure) h(of)e(a)g(como)s(dule)f Ft(M)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fu(K)2385 4560 y Fq(G)2466 4596 y Fx(\012)16 b Ft(M)40 b Fz(and)30 b(con)m(v)m(ersely)-8 b(.)44 b(Sho)m(w)0 4712 y(that)32 b(this)h(de\014nes)h(a)e(monoidal)e(equiv)-5 b(alence)33 b(of)f(categories.)149 4828 y(Describ)s(e)26 b(the)g(group)f(v)-5 b(alued)26 b(functor)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)2038 4792 y Fq(G)2103 4828 y Ft(;)h Fx(\000)p Fz(\))26 b(in)f(terms)g(of)h(sets)g (and)g(their)f(group)0 4944 y(structure.)149 5099 y Fv(De\014nition)34 b(3.1.1.)40 b Fz(Let)30 b Ft(G)g Fz(b)s(e)g(a)g(quan)m(tum)g(group)g (with)g(represen)m(ting)h(Hopf)f(algebra)e Ft(H)8 b Fz(.)0 5216 y(A)33 b Fs(r)-5 b(epr)g(esentation)31 b Fz(of)i Ft(G)f Fz(is)g(a)g(como)s(dule)g(o)m(v)m(er)h(the)g(represen)m(ting)h (Hopf)e(algebra)g Ft(H)8 b Fz(.)p eop %%Page: 69 72 69 71 bop 924 251 a Fw(1.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TIONS)31 b(OF)i(HOPF)g(ALGEBRAS)880 b(69)149 450 y Fz(F)-8 b(rom)31 b(this)h(de\014nition)f(w)m(e)i(obtain)e(immediately)f(that)i(w)m(e)h (ma)m(y)f(form)f(tensor)i(pro)s(ducts)f(of)0 566 y(represen)m(tations)i (of)e(quan)m(tum)h(groups)g(since)g(the)g(represen)m(ting)g(algebra)f (is)g(a)g(bialgebra.)149 683 y(W)-8 b(e)38 b(come)f(no)m(w)h(to)e(the)i (canonical)e(construction)h(of)g(tensor)h(pro)s(ducts)f(of)g (\(co-\)represen-)0 799 y(tations.)149 953 y Fv(Lemma)49 b(3.1.2.)e Fs(L)-5 b(et)44 b Ft(B)49 b Fs(b)-5 b(e)43 b(a)h(bialgebr)-5 b(a.)70 b(L)-5 b(et)44 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)55 b Fx(2)44 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)60 b(b)-5 b(e)43 b(two)h Ft(B)5 b Fs(-mo)-5 b(dules.)0 1069 y(Then)29 b Ft(M)21 b Fx(\012)10 b Ft(N)40 b Fs(is)29 b(a)h Ft(B)5 b Fs(-mo)-5 b(dule)29 b(by)g(the)h(action)f Ft(b)p Fz(\()p Ft(m)10 b Fx(\012)g Ft(n)p Fz(\))29 b(=)2247 995 y Fj(P)2368 1069 y Ft(b)2409 1085 y Fl(\(1\))2504 1069 y Ft(m)10 b Fx(\012)g Ft(b)2727 1085 y Fl(\(2\))2823 1069 y Ft(n)p Fs(.)43 b(If)29 b Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(M)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)3576 1033 y Fr(0)0 1186 y Fs(and)36 b Ft(g)f Fz(:)c Ft(N)42 b Fx(\000)-57 b(!)31 b Ft(N)690 1149 y Fr(0)750 1186 y Fs(ar)-5 b(e)37 b(homomorphisms)d(of) j Ft(B)5 b Fs(-mo)-5 b(dules)36 b(in)g Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)53 b(then)37 b Ft(f)d Fx(\012)24 b Ft(g)35 b Fz(:)c Ft(M)j Fx(\012)24 b Ft(N)0 1302 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)251 1266 y Fr(0)297 1302 y Fx(\012)c Ft(N)485 1266 y Fr(0)544 1302 y Fs(is)34 b(a)h(homomorphism)e (of)h Ft(B)5 b Fs(-mo)-5 b(dules.)149 1511 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)34 b(ha)m(v)m(e)g(homomorphisms)c(of)i Fu(K)18 b Fz(-algebras)37 b Ft(\013)29 b Fz(:)f Ft(B)33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fz(End)q(\()p Ft(M)10 b Fz(\))33 b(and)g Ft(\014)h Fz(:)28 b Ft(B)33 b Fx(\000)-60 b(!)0 1628 y Fz(End)q(\()p Ft(N)10 b Fz(\))25 b(de\014ning)g(the)g Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule)23 b(structure)k(on)d Ft(M)36 b Fz(and)25 b Ft(N)10 b Fz(.)42 b(Th)m(us)26 b(w)m(e)g(get)f(a)g (homomorphism)0 1744 y(of)k(algebras)f(can\()p Ft(\013)16 b Fx(\012)f Ft(\014)6 b Fz(\)\001)28 b(:)g Ft(B)k Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)20 b Fx(\012)15 b Ft(B)34 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fz(End)q(\()p Ft(M)10 b Fz(\))15 b Fx(\012)g Fz(End)r(\()p Ft(N)10 b Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(End\()p Ft(M)e Fx(\012)15 b Ft(N)10 b Fz(\).)43 b(Th)m(us)0 1860 y Ft(M)18 b Fx(\012)7 b Ft(N)37 b Fz(is)25 b(a)g Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule.)39 b(The)27 b(structure)f(is)f Ft(b)p Fz(\()p Ft(m)7 b Fx(\012)g Ft(n)p Fz(\))30 b(=)e(can\()p Ft(\013)8 b Fx(\012)f Ft(\014)f Fz(\)\()2622 1785 y Fj(P)2745 1860 y Ft(b)2786 1876 y Fl(\(1\))2880 1860 y Fz(\))h Fx(\012)g Ft(b)3050 1876 y Fl(\(2\))3147 1860 y Fz(\)\()p Ft(m)g Fx(\012)g Ft(n)p Fz(\))29 b(=)0 1976 y(can\()184 1902 y Fj(P)306 1976 y Ft(\013)q Fz(\()p Ft(b)448 1992 y Fl(\(1\))542 1976 y Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(b)842 1992 y Fl(\(2\))936 1976 y Fz(\)\)\()p Ft(m)23 b Fx(\012)f Ft(n)p Fz(\))28 b(=)1485 1902 y Fj(P)1607 1976 y Ft(\013)q Fz(\()p Ft(b)1749 1992 y Fl(\(1\))1843 1976 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(b)2304 1992 y Fl(\(2\))2398 1976 y Fz(\)\()p Ft(n)p Fz(\))28 b(=)2701 1902 y Fj(P)2823 1976 y Ft(b)2864 1992 y Fl(\(1\))2959 1976 y Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(b)3207 1992 y Fl(\(2\))3302 1976 y Ft(n)p Fz(.)149 2093 y(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(1\()p Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))28 b(=)f(1)p Ft(m)22 b Fx(\012)h Fz(1)p Ft(m)28 b Fz(=)f Ft(m)c Fx(\012)f Ft(n)p Fz(.)149 2209 y(If)47 b Ft(f)5 b(;)17 b(g)50 b Fz(are)c(homomorphisms)f(of)h Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dules,)49 b(then)e(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(\()p Ft(f)43 b Fx(\012)32 b Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(b)p Fz(\()p Ft(m)f Fx(\012)i Ft(n)p Fz(\)\))51 b(=)0 2325 y(\()p Ft(f)25 b Fx(\012)14 b Ft(g)t Fz(\)\()329 2250 y Fj(P)450 2325 y Ft(b)491 2341 y Fl(\(1\))586 2325 y Ft(m)g Fx(\012)g Ft(b)817 2341 y Fl(\(2\))913 2325 y Ft(n)p Fz(\))28 b(=)1140 2250 y Fj(P)1262 2325 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)1400 2341 y Fl(\(1\))1494 2325 y Ft(m)p Fz(\))j Fx(\012)g Ft(g)t Fz(\()p Ft(b)1852 2341 y Fl(\(2\))1947 2325 y Ft(n)p Fz(\))28 b(=)2175 2250 y Fj(P)2296 2325 y Ft(b)2337 2341 y Fl(\(1\))2432 2325 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))j Fx(\012)g Ft(b)2798 2341 y Fl(\(2\))2894 2325 y Ft(g)t Fz(\()p Ft(n)p Fz(\))27 b(=)g Ft(b)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))j Fx(\012)0 2441 y Ft(g)t Fz(\()p Ft(n)p Fz(\)\))27 b(=)h Ft(b)p Fz(\()p Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(m)g Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\).)43 b(Th)m(us)34 b Ft(f)f Fx(\012)23 b Ft(g)36 b Fz(is)c(a)g(homomorphism)e (of)i Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dules.)430 b Fh(\003)149 2651 y Fv(Corollary)36 b(3.1.3.)43 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(B)40 b Fs(b)-5 b(e)35 b(a)g(bialgebr)-5 b(a.)44 b(Then)34 b Fx(\012)29 b Fz(:)f Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)38 b Fx(\002)23 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-58 b(!)28 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)0 2767 y(with)35 b Fx(\012)p Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)46 b Fs(and)34 b Fx(\012)p Fz(\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\))27 b(=)h Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Ft(g)39 b Fs(is)34 b(a)h(functor.)149 2977 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)49 b(follo)m(wing)44 b(are)k(ob)m(vious)g(from)e(the)i(ordinary) e(prop)s(erties)i(of)e(the)i(tensor)0 3093 y(pro)s(duct)24 b(o)m(v)m(er)h Fu(K)17 b Fz(.)47 b(1)751 3108 y Fq(M)834 3093 y Fx(\012)t Fz(1)964 3108 y Fq(N)1059 3093 y Fz(=)27 b(1)1211 3108 y Fq(M)7 b Fr(\012)p Fq(N)1432 3093 y Fz(and)24 b(\()p Ft(f)15 b Fx(\012)t Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(f)1981 3057 y Fr(0)2007 3093 y Fx(\012)t Ft(g)2139 3057 y Fr(0)2162 3093 y Fz(\))28 b(=)g Ft(f)11 b(f)2450 3057 y Fr(0)2476 3093 y Fx(\012)t Ft(g)t(g)2659 3057 y Fr(0)2706 3093 y Fz(for)23 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)5 b(;)17 b(f)5 b(;)17 b(f)3272 3057 y Fr(0)3295 3093 y Ft(;)g(g)t(;)g(g)3485 3057 y Fr(0)3534 3093 y Fx(2)0 3209 y Ft(B)5 b Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(.)3163 b Fh(\003)149 3419 y Fv(Lemma)35 b(3.1.4.)40 b Fs(L)-5 b(et)34 b Ft(B)j Fs(b)-5 b(e)33 b(a)g(bialgebr)-5 b(a.)43 b(L)-5 b(et)33 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)38 b Fx(2)28 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)49 b(b)-5 b(e)32 b(two)h Ft(B)5 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dules.)0 3535 y(Then)25 b Ft(M)12 b Fx(\012)r Ft(N)37 b Fs(is)25 b(a)g Ft(B)5 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dule)25 b(by)h(the)g(c)-5 b(o)g(action)24 b Ft(\016)1926 3550 y Fq(M)7 b Fr(\012)p Fq(N)2124 3535 y Fz(\()p Ft(m)r Fx(\012)r Ft(n)p Fz(\))27 b(=)2555 3460 y Fj(P)2677 3535 y Ft(m)2762 3550 y Fl(\(1\))2856 3535 y Ft(n)2914 3550 y Fl(\(1\))3011 3535 y Fx(\012)r Ft(m)3175 3550 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))3311 3535 y Fx(\012)r Ft(n)3448 3550 y Fl(\()p Fq(N)g Fl(\))3570 3535 y Fs(.)149 3651 y(If)26 b Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(M)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)768 3615 y Fr(0)818 3651 y Fs(and)f Ft(g)31 b Fz(:)c Ft(N)38 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(N)1483 3615 y Fr(0)1533 3651 y Fs(ar)-5 b(e)26 b(homomorphisms)d(of)j Ft(B)5 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dules)25 b(in)h Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)0 3767 y(then)35 b Ft(f)e Fx(\012)22 b Ft(g)31 b Fz(:)d Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)1124 3731 y Fr(0)1170 3767 y Fx(\012)c Ft(N)1358 3731 y Fr(0)1416 3767 y Fs(is)35 b(a)g(homomorphism)d(of)j Ft(B)5 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dules.)149 3977 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)31 b(coaction)e(on)h Ft(M)d Fx(\012)17 b Ft(N)41 b Fz(ma)m(y)29 b(also)g(b)s(e)h(describ)s(ed)h(b)m(y)g(\()p Fx(r)2795 3992 y Fq(B)2872 3977 y Fx(\012)17 b Fz(1)3015 3992 y Fq(M)3111 3977 y Fx(\012)g Fz(1)3254 3992 y Fq(N)3321 3977 y Fz(\)\(1)3446 3992 y Fq(B)3523 3977 y Fx(\012)0 4093 y Ft(\034)32 b Fx(\012)20 b Fz(1)220 4108 y Fq(N)287 4093 y Fz(\)\()p Ft(\016)406 4108 y Fq(M)505 4093 y Fx(\012)h Ft(\016)646 4108 y Fq(N)713 4093 y Fz(\))28 b(:)g Ft(M)i Fx(\012)21 b Ft(N)38 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)e Fx(\012)c Ft(M)31 b Fx(\012)20 b Ft(B)25 b Fx(\012)c Ft(N)38 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)e Fx(\012)c Ft(B)k Fx(\012)20 b Ft(M)31 b Fx(\012)21 b Ft(N)38 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(B)d Fx(\012)20 b Ft(M)31 b Fx(\012)21 b Ft(N)5 b(:)0 4209 y Fz(Although)32 b(a)h(diagrammatic)d(pro)s(of)i(of)h(the)h (coasso)s(ciativit)m(y)e(of)h(the)g(coaction)g(and)g(the)h(la)m(w)e(of) 0 4326 y(the)h(counit)f(is)g(quite)h(in)m(v)m(olv)m(ed)g(it)e(allo)m (ws)h(generalization)e(so)j(w)m(e)g(giv)m(e)g(it)f(here.)149 4442 y(Consider)h(the)g(next)h(diagram.)149 4558 y(Square)g(\(1\))e (comm)m(utes)h(since)g Ft(M)43 b Fz(and)33 b Ft(N)43 b Fz(are)32 b(como)s(dules.)149 4674 y(Squares)j(\(2\))f(and)f(\(3\))g (comm)m(ute)g(since)h Ft(\034)41 b Fz(:)30 b Ft(M)j Fx(\012)24 b Ft(N)40 b Fx(\000)-60 b(!)29 b Ft(N)k Fx(\012)24 b Ft(M)44 b Fz(for)33 b Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dules)39 b Ft(M)44 b Fz(and)0 4791 y Ft(N)f Fz(is)32 b(a)g(natural)g(transformation.)149 4907 y(Square)i(\(4\))e(represen)m(ts)j(an)e(in)m(teresting)f(prop)s (ert)m(y)h(of)f Ft(\034)44 b Fz(namely)466 5098 y(\(1)22 b Fx(\012)h Fz(1)e Fx(\012)i Ft(\034)11 b Fz(\)\()p Ft(\034)1016 5113 y Fq(B)s Fr(\012)p Fq(M)s(;B)1302 5098 y Fx(\012)22 b Fz(1\))28 b(=)f(\(1)22 b Fx(\012)h Fz(1)e Fx(\012)i Ft(\034)11 b Fz(\)\()p Ft(\034)34 b Fx(\012)23 b Fz(1)f Fx(\012)g Fz(1\)\(1)g Fx(\012)g Ft(\034)34 b Fx(\012)23 b Fz(1\))k(=)518 5214 y(\()p Ft(\034)33 b Fx(\012)23 b Fz(1)f Fx(\012)h Fz(1\)\(1)e Fx(\012)i Fz(1)f Fx(\012)g Ft(\034)11 b Fz(\)\(1)23 b Fx(\012)f Ft(\034)34 b Fx(\012)22 b Fz(1\))28 b(=)f(\()p Ft(\034)34 b Fx(\012)23 b Fz(1)e Fx(\012)i Fz(1\)\(1)f Fx(\012)g Ft(\034)2781 5229 y Fq(M)s(;B)s Fr(\012)p Fq(B)3044 5214 y Fz(\))p eop %%Page: 70 73 70 72 bop 0 251 a Fw(70)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fz(that)41 b(uses)j(the)e(fact)f(that)h(\(1)28 b Fx(\012)g Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(f)39 b Fx(\012)28 b Fz(1\))43 b(=)g(\()p Ft(f)c Fx(\012)29 b Fz(1\)\(1)f Fx(\012)h Ft(g)t Fz(\))40 b(holds)i(and)g(that)f Ft(\034)3218 465 y Fq(B)s Fr(\012)p Fq(M)s(;B)3524 450 y Fz(=)0 566 y(\()p Ft(\034)34 b Fx(\012)22 b Fz(1\)\(1)g Fx(\012)g Ft(\034)11 b Fz(\))33 b(and)g Ft(\034)864 581 y Fq(M)s(;B)s Fr(\012)p Fq(B)1155 566 y Fz(=)27 b(\(1)22 b Fx(\012)h Ft(\034)11 b Fz(\)\()p Ft(\034)34 b Fx(\012)22 b Fz(1\).)149 683 y(Square)34 b(\(5\))e(and)h(\(6\))f(comm)m(ute)g(b)m(y)h(the)g(prop)s 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Fx(\012)23 b Ft(N)p 574 2718 402 4 v 893 2716 a Fm(-)669 2690 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(\016)2058 2697 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)5 b Fx(\012)1979 2795 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)p 1549 2718 420 4 v 1886 2716 a Fm(-)1604 2690 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)2854 2746 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)k Fx(\012)c Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Ft(N)p 2506 2718 319 4 v 2742 2716 a Fm(-)2501 2691 y Fl(1)p Fr(\012r\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)713 1279 y Fz(\(1\))996 b(\(2\))713 1864 y(\(3\))g(\(4\))713 2449 y(\(5\))g(\(6\))2760 1961 y(\(7\))149 2923 y(The)34 b(la)m(w)e(of)g(the)h(counit)f(is)1071 3042 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)10 b Fx(\012)1118 3140 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(N)130 3091 y(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)p 474 3063 569 4 v 960 3061 a Fm(-)696 3035 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(\016)2058 3042 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)5 b Fx(\012)2080 3140 y Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)p 1483 3063 547 4 v 1947 3061 a Fm(-)1646 3035 y Fl(1)p 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Fz(b)s(e)d (homomorphisms)d(of)i Ft(B)5 b Fz(-como)s(dules.)43 b(Then)33 b(the)g(diagram)1071 3962 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)10 b Fx(\012)1118 4059 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(N)130 4011 y(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)p 474 3982 569 4 v 960 3980 a Fm(-)696 3954 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(\016)2058 3962 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)5 b Fx(\012)2080 4059 y Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)p 1483 3982 547 4 v 1947 3980 a Fm(-)1646 3955 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)2954 4011 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)p 2445 3982 481 4 v 2843 3980 a Fm(-)2565 3955 y Fr(r\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p 286 4351 4 254 v 287 4351 a Fm(?)326 4241 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fq(g)p 1261 4351 V 1262 4351 a Fm(?)1301 4241 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)g Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(g)p 2236 4351 V 2237 4351 a Fm(?)2276 4241 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)g Fr(\012)p Fq(g)p 3211 4351 V 3212 4351 a Fm(?)3251 4241 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)g Fr(\012)p Fq(g)1059 4452 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)1364 4416 y Fr(0)1388 4452 y Fx(\012)1106 4549 y Ft(B)k Fx(\012)c Ft(N)1395 4513 y Fr(0)107 4501 y Ft(M)211 4464 y Fr(0)257 4501 y Fx(\012)f Ft(N)444 4464 y Fr(0)p 497 4470 534 4 v 947 4468 a Fm(-)702 4442 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(\016)2058 4449 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)5 b Fx(\012)2056 4549 y Ft(M)2160 4513 y Fr(0)2207 4549 y Fx(\012)22 b Ft(N)2394 4513 y Fr(0)p 1494 4470 536 4 v 1947 4468 a Fm(-)1652 4442 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)2931 4501 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)3236 4464 y Fr(0)3282 4501 y Fx(\012)g Ft(N)3470 4464 y Fr(0)p 2445 4470 458 4 v 2819 4468 a Fm(-)2553 4443 y Fr(r\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)0 4677 y Fz(comm)m(utes.)43 b(Th)m(us)35 b Ft(f)d Fx(\012)23 b Ft(g)36 b Fz(is)c(a)g(homomorphism)e(of)i Ft(B)5 b Fz(-como)s(dules.)955 b Fh(\003)149 4846 y Fv(Corollary)52 b(3.1.5.)d Fs(L)-5 b(et)47 b Ft(B)53 b Fs(b)-5 b(e)47 b(a)g(bialgebr)-5 b(a.)81 b(Then)46 b Fx(\012)52 b Fz(:)e Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)48 b Fx(\002)32 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)66 b Fx(\000)-57 b(!)0 4962 y Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)51 b(with)35 b Fx(\012)p Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)46 b Fs(and)34 b Fx(\012)p Fz(\()p Ft(f)5 b(;)17 b(g)t Fz(\))27 b(=)h Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Ft(g)39 b Fs(is)34 b(a)h(functor.)149 5099 y Fv(Prop)s(osition)d(3.1.6.)39 b Fs(L)-5 b(et)32 b Ft(B)37 b Fs(b)-5 b(e)31 b(a)g(bialgebr)-5 b(a.)43 b(Then)30 b(the)i(tensor)f(pr)-5 b(o)g(duct)32 b Fx(\012)c Fz(:)g Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)31 b Fx(\002)0 5216 y Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)51 b(satis\014es)34 b(the)h(fol)5 b(lowing)33 b(pr)-5 b(op)g(erties:)p eop %%Page: 71 74 71 73 bop 924 251 a Fw(1.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TIONS)31 b(OF)i(HOPF)g(ALGEBRAS)880 b(71)198 450 y Fz(\(1\))41 b Fs(The)32 b(asso)-5 b(ciativity)31 b(isomorphism)g Ft(\013)d Fz(:)g(\()p Ft(M)1957 465 y Fl(1)2012 450 y Fx(\012)16 b Ft(M)2199 465 y Fl(2)2240 450 y Fz(\))g Fx(\012)g Ft(M)2481 465 y Fl(3)2548 450 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)2789 465 y Fl(1)2845 450 y Fx(\012)16 b Fz(\()p Ft(M)3070 465 y Fl(2)3126 450 y Fx(\012)g Ft(M)3313 465 y Fl(3)3353 450 y Fz(\))32 b Fs(with)364 566 y Ft(\013)q Fz(\(\()p Ft(m)23 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))f Fx(\012)h Ft(p)p Fz(\))29 b(=)h Ft(m)24 b Fx(\012)f Fz(\()p Ft(n)g Fx(\012)h Ft(p)p Fz(\))36 b Fs(is)g(a)g(natur)-5 b(al)36 b(tr)-5 b(ansformation)35 b(fr)-5 b(om)36 b(the)g(functor)364 683 y Fx(\012)21 b(\016)f Fz(\()p Fx(\012)g(\002)h Fz(Id\))34 b Fs(to)g(the)g(functor)g Fx(\012)21 b(\016)e Fz(\(Id)e Fx(\002\012)p Fz(\))35 b Fs(in)f(the)g(variables)f Ft(M)2858 698 y Fl(1)2897 683 y Fs(,)h Ft(M)3055 698 y Fl(2)3095 683 y Fs(,)g(and)g Ft(M)3442 698 y Fl(3)3515 683 y Fs(in)364 799 y Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b(.)198 915 y Fz(\(2\))41 b Fs(The)26 b(c)-5 b(ounit)27 b(isomorphisms)d Ft(\025)k Fz(:)g Fu(K)21 b Fx(\012)t Ft(M)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)37 b Fs(with)27 b Ft(\025)p Fz(\()p Ft(\024)s Fx(\012)s Ft(m)p Fz(\))i(=)f Ft(\024m)f Fs(and)f Ft(\032)i Fz(:)f Ft(M)14 b Fx(\012)s Fu(K)364 1031 y Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(M)43 b Fs(with)32 b Ft(\032)p Fz(\()p Ft(m)17 b Fx(\012)g Ft(\024)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\024m)33 b Fs(ar)-5 b(e)32 b(natur)-5 b(al)33 b(tr)-5 b(ansformations)31 b(in)h(the)h(variable)e Ft(M)43 b Fs(in)364 1147 y Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)51 b(fr)-5 b(om)35 b(the)f(functor)h Fu(K)46 b Fx(\012)23 b Fs(-)34 b(r)-5 b(esp.)45 b(-)22 b Fx(\012)g Fu(K)59 b Fs(to)35 b(the)g(identity)g(functor)g Fz(Id)p Fs(.)198 1264 y Fz(\(3\))41 b Fs(The)35 b(fol)5 b(lowing)33 b(diagr)-5 b(ams)34 b(of)g(natur)-5 b(al)35 b(tr)-5 b(ansformations)34 b(ar)-5 b(e)35 b(c)-5 b(ommutative)6 1579 y Fz(\(\()p Ft(M)176 1594 y Fl(1)238 1579 y Fx(\012)23 b Ft(M)432 1594 y Fl(2)472 1579 y Fz(\))f Fx(\012)g Ft(M)725 1594 y Fl(3)765 1579 y Fz(\))g Fx(\012)h Ft(M)1019 1594 y Fl(4)1274 1579 y Fz(\()p Ft(M)1406 1594 y Fl(1)1468 1579 y Fx(\012)f Fz(\()p Ft(M)1699 1594 y Fl(2)1761 1579 y Fx(\012)h Ft(M)1955 1594 y Fl(3)1995 1579 y Fz(\)\))f Fx(\012)g Ft(M)2286 1594 y Fl(4)p 1087 1556 158 4 v 1162 1554 a Fm(-)898 1470 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)1038 1479 y Fo(1)1073 1470 y Fq(;M)1161 1479 y Fo(2)1195 1470 y Fq(;M)1283 1479 y Fo(3)1317 1470 y Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)2541 1579 y Ft(M)2635 1594 y Fl(1)2697 1579 y Fx(\012)h Fz(\(\()p Ft(M)2967 1594 y Fl(2)3029 1579 y Fx(\012)f Ft(M)3222 1594 y Fl(3)3262 1579 y Fz(\))g Fx(\012)h Ft(M)3516 1594 y Fl(4)3556 1579 y Fz(\))p 2355 1556 V 2430 1554 a Fm(-)2132 1470 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)2272 1479 y Fo(1)2307 1470 y Fq(;M)2395 1479 y Fo(2)2429 1470 y Fr(\012)p Fq(M)2552 1479 y Fo(3)2586 1470 y Fq(;M)2674 1479 y Fo(4)2708 1470 y Fl(\))p 531 1876 4 254 v 533 1876 a Fm(?)572 1766 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)712 1775 y Fo(1)747 1766 y Fr(\012)p Fq(M)870 1775 y Fo(2)904 1766 y Fq(;M)992 1775 y Fo(3)1026 1766 y Fq(;M)1114 1775 y Fo(4)1148 1766 y Fl(\))p 3066 1876 V 3067 1876 a Fm(?)2492 1766 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)2722 1775 y Fo(2)2757 1766 y Fq(;M)2845 1775 y Fo(3)2879 1766 y Fq(;M)2967 1775 y Fo(4)3001 1766 y Fl(\))6 1969 y Fz(\()p Ft(M)138 1984 y Fl(1)200 1969 y Fx(\012)g Ft(M)394 1984 y Fl(2)434 1969 y Fz(\))f Fx(\012)g Fz(\()p Ft(M)725 1984 y Fl(3)787 1969 y Fx(\012)h Ft(M)981 1984 y Fl(4)1021 1969 y Fz(\))1482 b Ft(M)2635 1984 y Fl(1)2697 1969 y Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(M)2929 1984 y Fl(2)2991 1969 y Fx(\012)f Fz(\()p Ft(M)3222 1984 y Fl(3)3284 1969 y Fx(\012)h Ft(M)3478 1984 y Fl(4)3518 1969 y Fz(\)\))p 1087 1946 1426 4 v 2430 1944 a Fm(-)1498 1908 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)1638 1917 y Fo(1)1673 1908 y Fq(;M)1761 1917 y Fo(2)1795 1908 y Fq(;M)1883 1917 y Fo(3)1917 1908 y Fr(\012)p Fq(M)2040 1917 y Fo(4)2074 1908 y Fl(\))883 2318 y Fz(\()p Ft(M)1015 2333 y Fl(1)1077 2318 y Fx(\012)f Fu(K)c Fz(\))28 b Fx(\012)22 b Ft(M)1507 2333 y Fl(2)2053 2318 y Ft(M)2147 2333 y Fl(1)2209 2318 y Fx(\012)g Fz(\()p Fu(K)46 b Fx(\012)22 b Ft(M)2639 2333 y Fl(2)2679 2318 y Fz(\))p 1576 2295 449 4 v 1942 2293 a Fm(-)1602 2258 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)1742 2267 y Fo(1)1777 2258 y Fq(;)p Fp(K)t Fq(;M)1930 2267 y Fo(2)1970 2258 y Fl(\))1605 2710 y Ft(M)1699 2725 y Fl(1)1761 2710 y Fx(\012)h Ft(M)1955 2725 y Fl(2)1163 2505 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(M)1294 2514 y Fo(1)1328 2505 y Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)1317 2417 y Fm(Q)1400 2472 y(Q)1483 2528 y(Q)1566 2583 y(Q)1615 2615 y(Q)-83 b(s)2154 2505 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\025)p Fl(\()p Fq(M)2380 2514 y Fo(2)2415 2505 y Fl(\))2200 2417 y Fm(\021)2117 2472 y(\021)2034 2528 y(\021)1951 2583 y(\021)1902 2615 y(\021)g(+)149 2953 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)k(homomorphisms)d Ft(\013)q Fz(,)48 b Ft(\025)p Fz(,)f(and)e Ft(\032)h Fz(are)e(already)h(de\014ned)h(in)e(the)i (category)0 3069 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)64 b Fz(and)48 b(satisfy)g(the)h(claimed)d(prop)s(erties.)90 b(So)48 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h(to)d(sho)m(w,)54 b(that)48 b(these)h(are)0 3185 y(homomorphisms)30 b(in)i Ft(B)5 b Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(and)33 b(that)f Fu(K)56 b Fz(is)32 b(a)h Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule.)42 b Fu(K)56 b Fz(is)32 b(a)g Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule)31 b(b)m(y)j Ft(")22 b Fx(\012)g Fz(1)3489 3200 y Fp(K)3573 3185 y Fz(:)0 3301 y Ft(B)f Fx(\012)16 b Fu(K)51 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz(.)48 b(The)30 b(easy)h(v)m(eri\014cation)e(uses)i (the)f(coasso)s(ciativit)m(y)e(and)h(the)h(counital)e(prop)s(ert)m(y)0 3417 y(of)k Ft(B)5 b Fz(.)3306 b Fh(\003)149 3684 y Fz(Similarly)29 b(w)m(e)34 b(get)149 3862 y Fv(Prop)s(osition)i(3.1.7.)42 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(B)40 b Fs(b)-5 b(e)35 b(a)f(bialgebr)-5 b(a.)44 b(Then)34 b(the)h(tensor)g(pr)-5 b(o)g(duct)952 4101 y Fx(\012)28 b Fz(:)g Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)38 b Fx(\002)23 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)0 4340 y(satis\014es)34 b(the)h(fol)5 b(lowing)33 b(pr)-5 b(op)g(erties:)198 4518 y Fz(\(1\))41 b Fs(The)32 b(asso)-5 b(ciativity)31 b(isomorphism)g Ft(\013)d Fz(:)g(\()p Ft(M)1957 4533 y Fl(1)2012 4518 y Fx(\012)16 b Ft(M)2199 4533 y Fl(2)2240 4518 y Fz(\))g Fx(\012)g Ft(M)2481 4533 y Fl(3)2548 4518 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)2789 4533 y Fl(1)2845 4518 y Fx(\012)16 b Fz(\()p Ft(M)3070 4533 y Fl(2)3126 4518 y Fx(\012)g Ft(M)3313 4533 y Fl(3)3353 4518 y Fz(\))32 b Fs(with)364 4634 y Ft(\013)q Fz(\(\()p Ft(m)23 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))f Fx(\012)h Ft(p)p Fz(\))29 b(=)h Ft(m)24 b Fx(\012)f Fz(\()p Ft(n)g Fx(\012)h Ft(p)p Fz(\))36 b Fs(is)g(a)g(natur)-5 b(al)36 b(tr)-5 b(ansformation)35 b(fr)-5 b(om)36 b(the)g(functor)364 4751 y Fx(\012)21 b(\016)f Fz(\()p Fx(\012)g(\002)h Fz(Id\))34 b Fs(to)g(the)g(functor)g Fx(\012)21 b(\016)e Fz(\(Id)e Fx(\002\012)p Fz(\))35 b Fs(in)f(the)g(variables)f Ft(M)2858 4766 y Fl(1)2897 4751 y Fs(,)h Ft(M)3055 4766 y Fl(2)3095 4751 y Fs(,)g(and)g Ft(M)3442 4766 y Fl(3)3515 4751 y Fs(in)364 4867 y Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)16 b(.)198 4983 y Fz(\(2\))41 b Fs(The)26 b(c)-5 b(ounit)27 b(isomorphisms)d Ft(\025)k Fz(:)g Fu(K)21 b Fx(\012)t Ft(M)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)37 b Fs(with)27 b Ft(\025)p Fz(\()p Ft(\024)s Fx(\012)s Ft(m)p Fz(\))i(=)f Ft(\024m)f Fs(and)f Ft(\032)i Fz(:)f Ft(M)14 b Fx(\012)s Fu(K)364 5099 y Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(M)43 b Fs(with)32 b Ft(\032)p Fz(\()p Ft(m)17 b Fx(\012)g Ft(\024)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\024m)33 b Fs(ar)-5 b(e)32 b(natur)-5 b(al)33 b(tr)-5 b(ansformations)31 b(in)h(the)h(variable)e Ft(M)43 b Fs(in)364 5216 y Ft(B)5 b Fs(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)51 b(fr)-5 b(om)35 b(the)g(functor)g Fu(K)45 b Fx(\012)23 b Fs(-)35 b(r)-5 b(esp.)44 b(-)22 b Fx(\012)h Fu(K)58 b Fs(to)35 b(the)g(identity)g(functor)g Fz(Id)p Fs(.)p eop %%Page: 72 75 72 74 bop 0 251 a Fw(72)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)198 450 y Fz(\(3\))41 b Fs(The)35 b(fol)5 b(lowing)33 b(diagr)-5 b(ams)34 b(of)g(natur)-5 b(al)35 b(tr)-5 b(ansformations)34 b(ar)-5 b(e)35 b(c)-5 b(ommutative)6 710 y Fz(\(\()p Ft(M)176 725 y Fl(1)238 710 y Fx(\012)23 b Ft(M)432 725 y Fl(2)472 710 y Fz(\))f Fx(\012)g Ft(M)725 725 y Fl(3)765 710 y Fz(\))g Fx(\012)h Ft(M)1019 725 y Fl(4)1274 710 y Fz(\()p Ft(M)1406 725 y Fl(1)1468 710 y Fx(\012)f Fz(\()p Ft(M)1699 725 y Fl(2)1761 710 y Fx(\012)h Ft(M)1955 725 y Fl(3)1995 710 y Fz(\)\))f Fx(\012)g Ft(M)2286 725 y Fl(4)p 1087 687 158 4 v 1162 685 a Fm(-)898 601 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)1038 610 y Fo(1)1073 601 y Fq(;M)1161 610 y Fo(2)1195 601 y Fq(;M)1283 610 y Fo(3)1317 601 y Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)2541 710 y Ft(M)2635 725 y Fl(1)2697 710 y Fx(\012)h Fz(\(\()p Ft(M)2967 725 y Fl(2)3029 710 y Fx(\012)f Ft(M)3222 725 y Fl(3)3262 710 y Fz(\))g Fx(\012)h Ft(M)3516 725 y Fl(4)3556 710 y Fz(\))p 2355 687 V 2430 685 a Fm(-)2132 601 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)2272 610 y Fo(1)2307 601 y Fq(;M)2395 610 y Fo(2)2429 601 y Fr(\012)p Fq(M)2552 610 y Fo(3)2586 601 y Fq(;M)2674 610 y Fo(4)2708 601 y Fl(\))p 531 1007 4 254 v 533 1007 a Fm(?)572 897 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)712 906 y Fo(1)747 897 y Fr(\012)p Fq(M)870 906 y Fo(2)904 897 y Fq(;M)992 906 y Fo(3)1026 897 y Fq(;M)1114 906 y Fo(4)1148 897 y Fl(\))p 3066 1007 V 3067 1007 a Fm(?)2492 897 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)2722 906 y Fo(2)2757 897 y Fq(;M)2845 906 y Fo(3)2879 897 y Fq(;M)2967 906 y Fo(4)3001 897 y Fl(\))6 1100 y Fz(\()p Ft(M)138 1115 y Fl(1)200 1100 y Fx(\012)g Ft(M)394 1115 y Fl(2)434 1100 y Fz(\))f Fx(\012)g Fz(\()p Ft(M)725 1115 y Fl(3)787 1100 y Fx(\012)h Ft(M)981 1115 y Fl(4)1021 1100 y Fz(\))1482 b Ft(M)2635 1115 y Fl(1)2697 1100 y Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(M)2929 1115 y Fl(2)2991 1100 y Fx(\012)f Fz(\()p Ft(M)3222 1115 y Fl(3)3284 1100 y Fx(\012)h Ft(M)3478 1115 y Fl(4)3518 1100 y Fz(\)\))p 1087 1077 1426 4 v 2430 1075 a Fm(-)1498 1039 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)1638 1048 y Fo(1)1673 1039 y Fq(;M)1761 1048 y Fo(2)1795 1039 y Fq(;M)1883 1048 y Fo(3)1917 1039 y Fr(\012)p Fq(M)2040 1048 y Fo(4)2074 1039 y Fl(\))883 1338 y Fz(\()p Ft(M)1015 1353 y Fl(1)1077 1338 y Fx(\012)f Fu(K)c Fz(\))28 b Fx(\012)22 b Ft(M)1507 1353 y Fl(2)2053 1338 y Ft(M)2147 1353 y Fl(1)2209 1338 y Fx(\012)g Fz(\()p Fu(K)46 b Fx(\012)22 b Ft(M)2639 1353 y Fl(2)2679 1338 y Fz(\))p 1576 1315 449 4 v 1942 1313 a Fm(-)1602 1277 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(M)1742 1286 y Fo(1)1777 1277 y Fq(;)p Fp(K)t Fq(;M)1930 1286 y Fo(2)1970 1277 y Fl(\))1605 1730 y Ft(M)1699 1745 y Fl(1)1761 1730 y Fx(\012)h Ft(M)1955 1745 y Fl(2)1163 1525 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(M)1294 1534 y Fo(1)1328 1525 y Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)1317 1437 y Fm(Q)1400 1492 y(Q)1483 1548 y(Q)1566 1603 y(Q)1615 1635 y(Q)-83 b(s)2154 1525 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\025)p Fl(\()p Fq(M)2380 1534 y Fo(2)2415 1525 y Fl(\))2200 1437 y Fm(\021)2117 1492 y(\021)2034 1548 y(\021)1951 1603 y(\021)1902 1635 y(\021)g(+)149 1869 y Fv(Remark)45 b(3.1.8.)h Fz(W)-8 b(e)40 b(no)m(w)g(get)f(some)g(simple)f(prop)s(erties)i(of)f(the)g (underlying)g(functors)0 1985 y Fx(U)f Fz(:)28 b Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(resp.)44 b Fx(U)38 b Fz(:)28 b Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)48 b Fz(that)33 b(are)f(easily)g(v)m(eri\014ed.)1121 2162 y Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))23 b Fx(\012)f(U)10 b Fz(\()p Ft(N)g Fz(\))p Ft(;)1121 2278 y Fx(U)g Fz(\()p Ft(f)33 b Fx(\012)23 b Ft(g)t Fz(\))k(=)g Ft(f)33 b Fx(\012)23 b Ft(g)t(;)1121 2394 y Fx(U)10 b Fz(\()p Fu(K)18 b Fz(\))34 b(=)27 b Fu(K)18 b Ft(;)1121 2510 y Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(\013)q Fz(\))28 b(=)f Ft(\013)q(;)49 b Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(\025)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\025;)50 b Fx(U)10 b Fz(\()p Ft(\032)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\032:)149 2690 y Fv(Problem)34 b(3.1.17.)41 b Fz(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)g(seen) g(that)f(in)g(represen)m(tation)g(theory)h(and)f(in)g(corepresen-)0 2807 y(tation)36 b(theory)h(of)g(quan)m(tum)g(groups)g(suc)m(h)h(as)f Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(,)44 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\),)39 b Ft(S)6 b(L)2421 2822 y Fq(q)2459 2807 y Fz(\(2\),)37 b Ft(U)2714 2822 y Fq(q)2753 2807 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\))f(the)i (ordinary)0 2923 y(tensor)c(pro)s(duct)h(\(in)e Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(\))33 b(of)h(t)m(w)m(o)g (\(co-\)reprensen)m(tations)h(is)e(in)g(a)h(canonical)e(w)m(a)m(y)j (again)0 3039 y(a)e(\(co-\)reprensen)m(tation.)44 b(F)-8 b(or)32 b(t)m(w)m(o)i Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dules)31 b Ft(M)43 b Fz(and)33 b Ft(N)44 b Fz(describ)s(e)33 b(the)g(mo)s(dule)f (structure)0 3155 y(on)g Ft(M)h Fx(\012)23 b Ft(N)43 b Fz(if)198 3305 y(\(1\))e Ft(H)36 b Fz(=)27 b Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(:)49 b Ft(g)t Fz(\()p Ft(m)22 b Fx(\012)g Ft(n)p Fz(\))28 b(=)g Ft(:)17 b(:)g(:)32 b Fz(for)g Ft(g)f Fx(2)d Ft(G)p Fz(;)198 3421 y(\(2\))41 b Ft(H)36 b Fz(=)27 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\):)44 b Ft(g)t Fz(\()p Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))k(=)h Ft(:)17 b(:)g(:)32 b Fz(for)g Ft(g)f Fx(2)d Ff(g)p Fz(;)198 3538 y(\(3\))41 b Ft(H)36 b Fz(=)27 b Ft(U)650 3553 y Fq(q)688 3538 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\):)397 3654 y(\(a\))41 b Ft(E)6 b Fz(\()p Ft(m)23 b Fx(\012)f Ft(n)p Fz(\))28 b(=)g Ft(:)17 b(:)g(:)o Fz(,)391 3770 y(\(b\))42 b Ft(F)14 b Fz(\()p Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))28 b(=)f Ft(:)17 b(:)g(:)p Fz(,)402 3886 y(\(c\))42 b Ft(K)7 b Fz(\()p Ft(m)23 b Fx(\012)f Ft(n)p Fz(\))28 b(=)g Ft(:)17 b(:)g(:)364 4003 y Fz(for)32 b(the)h(elemen)m(ts)g Ft(E)6 b(;)17 b(F)s(;)g(K)34 b Fx(2)29 b Ft(U)1590 4018 y Fq(q)1628 4003 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\).)149 4153 y(F)-8 b(or)34 b(t)m(w)m(o)i Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(-mo)s(dules)39 b Ft(M)46 b Fz(and)35 b Ft(N)45 b Fz(the)35 b(structure)h(is)e Ft(g)t Fz(\()p Ft(m)23 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))32 b(=)f Ft(g)t(m)23 b Fx(\012)h Ft(g)t(n)34 b Fz(for)h Ft(g)f Fx(2)e Ft(G)p Fz(.)0 4269 y(F)-8 b(or)44 b Ft(U)10 b Fz(\()p Ff(g)p Fz(\)-mo)s(dules)44 b(it)g(is)h Ft(g)t Fz(\()p Ft(m)30 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))48 b(=)h Ft(g)t(m)30 b Fx(\012)h Ft(n)g Fz(+)f Ft(m)h Fx(\012)g Ft(g)t(n)44 b Fz(for)h Ft(g)52 b Fx(2)d Ff(g)p Fz(.)80 b(F)-8 b(or)44 b Ft(U)3251 4284 y Fq(q)3290 4269 y Fz(\()p Ft(sl)r Fz(\(2\)\)-)0 4385 y(mo)s(dules)30 b(it)g(is)h Ft(E)6 b Fz(\()p Ft(m)20 b Fx(\012)g Ft(n)p Fz(\))27 b(=)h Ft(m)20 b Fx(\012)f Ft(E)6 b(n)20 b Fz(+)f Ft(E)6 b(m)20 b Fx(\012)g Ft(K)7 b(n)p Fz(,)32 b Ft(F)14 b Fz(\()p Ft(m)19 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))28 b(=)f Ft(K)2691 4349 y Fr(\000)p Fl(1)2786 4385 y Ft(m)19 b Fx(\012)h Ft(F)14 b(n)19 b Fz(+)h Ft(F)14 b(m)19 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(,)0 4501 y Ft(K)7 b Fz(\()p Ft(m)23 b Fx(\012)f Ft(n)p Fz(\))28 b(=)g Ft(K)7 b(m)22 b Fx(\012)h Ft(K)7 b(n)p Fz(.)149 4634 y Fv(Remark)38 b(3.1.9.)43 b Fz(Let)34 b Ft(A)f Fz(and)h Ft(B)39 b Fz(b)s(e)33 b(algebras)g(o)m(v)m(er)i(a)e(comm)m(utativ)m(e)f(ring)h Fu(K)17 b Fz(.)53 b(Let)33 b Ft(f)40 b Fz(:)30 b Ft(A)0 4751 y Fx(\000)-60 b(!)45 b Ft(B)j Fz(b)s(e)43 b(a)f(homomorphism)e(of) i(algebras.)74 b(Then)43 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(a)f(functor)g Fx(U)2943 4766 y Fq(f)3033 4751 y Fz(:)i Ft(B)5 b Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)61 b Fx(\000)-60 b(!)0 4867 y Ft(A)p Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)59 b Fz(with)43 b Fx(U)665 4882 y Fq(f)711 4867 y Fz(\()749 4882 y Fq(B)809 4867 y Ft(M)10 b Fz(\))47 b(=)1119 4882 y Fq(A)1176 4867 y Ft(M)54 b Fz(and)44 b Fx(U)1587 4882 y Fq(f)1632 4867 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))h(=)h Ft(g)h Fz(where)d Ft(am)i Fz(:=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(m)44 b Fz(for)e Ft(a)k Fx(2)h Ft(A)c Fz(and)0 4983 y Ft(m)28 b Fx(2)g Ft(M)10 b Fz(.)44 b(The)34 b(functor)f Fx(U)984 4998 y Fq(f)1062 4983 y Fz(is)f(also)g(called)f Fs(for)-5 b(getful)32 b Fz(or)h Fs(underlying)h(functor)p Fz(.)149 5099 y(The)28 b(action)e(of)g Ft(A)g Fz(on)h(a)f Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule)25 b Ft(M)37 b Fz(can)27 b(also)f(b)s(e)h(seen)h(as)e (the)h(homomorphism)d Ft(A)k Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)0 5216 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(End\()p Ft(M)10 b Fz(\).)p eop %%Page: 73 76 73 75 bop 924 251 a Fw(1.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TIONS)31 b(OF)i(HOPF)g(ALGEBRAS)880 b(73)149 450 y Fz(W)-8 b(e)33 b(denote)h(the)f(underlying)f(functors)h(previously)g(discussed)h(b)m (y)611 637 y Fx(U)673 652 y Fq(A)758 637 y Fz(:)28 b Ft(A)p Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(resp.)44 b Fx(U)1982 652 y Fq(B)2071 637 y Fz(:)28 b Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Ft(:)149 824 y Fv(Prop)s(osition)43 b(3.1.10.)i Fs(L)-5 b(et)41 b Ft(f)49 b Fz(:)39 b Ft(B)k Fx(\000)-57 b(!)38 b Ft(C)48 b Fs(b)-5 b(e)40 b(a)g(homomorphism)f(of)h(bialgebr)-5 b(as.)61 b(Then)0 941 y Fx(U)62 956 y Fq(f)143 941 y Fs(satis\014es)34 b(the)h(fol)5 b(lowing)33 b(pr)-5 b(op)g(erties:)1066 1129 y Fx(U)1128 1144 y Fq(f)1173 1129 y Fz(\()p Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Fx(U)1758 1144 y Fq(f)1803 1129 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))23 b Fx(\012)g(U)2168 1144 y Fq(f)2214 1129 y Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))p Ft(;)1066 1245 y Fx(U)1128 1260 y Fq(f)1173 1245 y Fz(\()p Ft(g)26 b Fx(\012)c Ft(h)p Fz(\))28 b(=)g Ft(g)d Fx(\012)e Ft(h;)1066 1361 y Fx(U)1128 1376 y Fq(f)1173 1361 y Fz(\()p Fu(K)18 b Fz(\))34 b(=)27 b Fu(K)18 b Ft(;)1066 1478 y Fx(U)1128 1493 y Fq(f)1173 1478 y Fz(\()p Ft(\013)q Fz(\))28 b(=)f Ft(\013)q(;)52 b Fx(U)1647 1493 y Fq(f)1692 1478 y Fz(\()p Ft(\025)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\025;)52 b Fx(U)2154 1493 y Fq(f)2199 1478 y Fz(\()p Ft(\032)p Fz(\))28 b(=)g Ft(\032;)1066 1594 y Fx(U)1128 1609 y Fq(B)1189 1594 y Fx(U)1251 1609 y Fq(f)1296 1594 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))29 b(=)e Fx(U)1670 1609 y Fq(C)1730 1594 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))p Ft(;)1066 1710 y Fx(U)1128 1725 y Fq(B)1189 1710 y Fx(U)1251 1725 y Fq(f)1296 1710 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)h Fx(U)1616 1725 y Fq(C)1675 1710 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(:)149 1909 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(This)29 b(is)g(clear)f(since)h(the)h (underlying)e Fu(K)18 b Fz(-mo)s(dules)33 b(and)c(the)g Fu(K)18 b Fz(-linear)32 b(maps)d(sta)m(y)0 2025 y(unc)m(hanged.)94 b(The)49 b(only)g(thing)f(to)g(c)m(hec)m(k)j(is)d(that)h Ft(U)2112 2040 y Fq(f)2206 2025 y Fz(generates)h(the)f(correct)h Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule)0 2142 y(structure)42 b(on)f(the)h(tensor)f(pro) s(duct.)70 b(F)-8 b(or)40 b Ft(U)1727 2157 y Fq(f)1772 2142 y Fz(\()p Ft(M)f Fx(\012)28 b Ft(N)10 b Fz(\))43 b(=)f Ft(M)d Fx(\012)28 b Ft(N)51 b Fz(w)m(e)42 b(ha)m(v)m(e)h Ft(b)p Fz(\()p Ft(m)28 b Fx(\012)h Ft(n)p Fz(\))42 b(=)0 2258 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)p Fz(\)\()p Ft(m)19 b Fx(\012)g Ft(n)p Fz(\))28 b(=)642 2183 y Fj(P)763 2258 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))939 2273 y Fl(\(1\))1034 2258 y Ft(m)19 b Fx(\012)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))1410 2273 y Fl(\(2\))1504 2258 y Ft(n)28 b Fz(=)1694 2183 y Fj(P)1816 2258 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)1954 2273 y Fl(\(1\))2048 2258 y Fz(\))p Ft(m)19 b Fx(\012)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(b)2424 2273 y Fl(\(2\))2519 2258 y Fz(\))p Ft(n)28 b Fz(=)2746 2183 y Fj(P)2868 2258 y Ft(b)2909 2273 y Fl(\(1\))3004 2258 y Ft(m)19 b Fx(\012)g Ft(b)3245 2273 y Fl(\(2\))3340 2258 y Ft(n)p Fz(.)98 b Fh(\003)149 2461 y Fv(Remark)46 b(3.1.11.)g Fz(Let)40 b Ft(C)47 b Fz(and)40 b Ft(D)i Fz(b)s(e)f(coalgebras)e(o)m(v)m(er)i(a)f(comm)m (utativ)m(e)f(ring)g Fu(K)17 b Fz(.)72 b(Let)0 2577 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(C)35 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(D)g Fz(b)s(e)d(a)h(homomorphism)d(of)i(coalgebras.)40 b(Then)27 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h(a)f(functor)f Fx(U)3063 2592 y Fq(f)3137 2577 y Fz(:)i Ft(C)7 b Fz(-)p Fx(C)f Fs(omo)-5 b(d)0 2695 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(D)s Fz(-)o Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)40 b Fz(with)23 b Fx(U)859 2710 y Fq(f)905 2695 y Fz(\()943 2659 y Fq(C)1002 2695 y Ft(M)10 b Fz(\))29 b(=)1276 2659 y Fq(D)1340 2695 y Ft(M)35 b Fz(and)24 b Fx(U)1712 2710 y Fq(f)1757 2695 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))j(=)h Ft(g)f Fz(where)e Ft(\016)2405 2710 y Fq(D)2497 2695 y Fz(=)i(\()p Ft(f)15 b Fx(\012)t Fz(1\))p Ft(\016)2912 2710 y Fq(C)3000 2695 y Fz(:)28 b Ft(M)38 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(C)12 b Fx(\012)t Ft(M)0 2811 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(D)d Fx(\012)d Ft(M)10 b Fz(.)44 b(Again)32 b(the)h(functor)g Fx(U)1379 2826 y Fq(f)1457 2811 y Fz(is)f(called)f Fs(for)-5 b(getful)33 b Fz(or)f Fs(underlying)j(functor)p Fz(.)149 2927 y(W)-8 b(e)33 b(denote)h(the)f(underlying)f(functors)h (previously)g(discussed)h(b)m(y)526 3114 y Fx(U)588 3129 y Fq(C)675 3114 y Fz(:)28 b Ft(C)7 b Fz(-)p Fx(C)f Fs(omo)-5 b(d)43 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(resp.)44 b Fx(U)1981 3129 y Fq(D)2073 3114 y Fz(:)28 b Ft(D)s Fz(-)o Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Ft(:)149 3302 y Fv(Prop)s(osition)43 b(3.1.12.)i Fs(L)-5 b(et)41 b Ft(f)49 b Fz(:)39 b Ft(B)k Fx(\000)-57 b(!)38 b Ft(C)48 b Fs(b)-5 b(e)40 b(a)g(homomorphism)f(of)h (bialgebr)-5 b(as.)61 b(Then)0 3418 y Fx(U)62 3433 y Fq(f)135 3418 y Fz(:)28 b Ft(C)7 b Fs(-)p Fx(C)f Fs(omo)-5 b(d)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(D)s Fs(-)o Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)51 b(satis\014es)35 b(the)f(fol)5 b(lowing)34 b(pr)-5 b(op)g(erties:)1066 3606 y Fx(U)1128 3621 y Fq(f)1173 3606 y Fz(\()p Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Fx(U)1758 3621 y Fq(f)1803 3606 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))23 b Fx(\012)g(U)2168 3621 y Fq(f)2214 3606 y Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))p Ft(;)1066 3722 y Fx(U)1128 3737 y Fq(f)1173 3722 y Fz(\()p Ft(g)26 b Fx(\012)c Ft(h)p Fz(\))28 b(=)g Ft(g)d Fx(\012)e Ft(h;)1066 3839 y Fx(U)1128 3854 y Fq(f)1173 3839 y Fz(\()p Fu(K)18 b Fz(\))34 b(=)27 b Fu(K)18 b Ft(;)1066 3955 y Fx(U)1128 3970 y Fq(f)1173 3955 y Fz(\()p Ft(\013)q Fz(\))28 b(=)f Ft(\013)q(;)52 b Fx(U)1647 3970 y Fq(f)1692 3955 y Fz(\()p Ft(\025)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\025;)52 b Fx(U)2154 3970 y Fq(f)2199 3955 y Fz(\()p Ft(\032)p Fz(\))28 b(=)g Ft(\032;)1066 4071 y Fx(U)1128 4086 y Fq(C)1187 4071 y Fx(U)1249 4086 y Fq(f)1295 4071 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))28 b(=)g Fx(U)1669 4086 y Fq(B)1730 4071 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))p Ft(;)1066 4187 y Fx(U)1128 4202 y Fq(C)1187 4187 y Fx(U)1249 4202 y Fq(f)1295 4187 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)g Fx(U)1614 4202 y Fq(B)1675 4187 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(:)149 4386 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(lea)m(v)m(e)h(the)f(pro)s(of) e(to)i(the)g(reader.)1577 b Fh(\003)149 4590 y Fv(Prop)s(osition)39 b(3.1.13.)k Fs(L)-5 b(et)37 b Ft(H)45 b Fs(b)-5 b(e)37 b(a)f(Hopf)h(algebr)-5 b(a.)51 b(L)-5 b(et)37 b Ft(M)48 b Fs(and)36 b Ft(N)48 b Fs(b)-5 b(e)37 b(b)-5 b(e)36 b Ft(H)8 b Fs(-mo)-5 b(dules.)0 4706 y(Then)43 b Fz(Hom)o(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))p Fs(,)46 b(the)e(set)g Fu(K)17 b Fs(-line)-5 b(ar)49 b(maps)43 b(fr)-5 b(om)44 b Ft(M)54 b Fs(to)44 b Ft(N)10 b Fs(,)46 b(b)-5 b(e)g(c)g(omes)43 b(an)g Ft(H)8 b Fs(-mo)-5 b(dule)43 b(by)0 4822 y Fz(\()p Ft(hf)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)483 4747 y Fj(P)605 4822 y Ft(h)661 4837 y Fl(\(1\))755 4822 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)1012 4837 y Fl(\(2\))1106 4822 y Ft(m)p Fz(\))p Fs(.)45 b(This)34 b(structur)-5 b(e)36 b(makes)992 5009 y Fz(Hom)27 b(:)h Ft(H)8 b Fs(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)38 b Fx(\002)23 b Ft(H)8 b Fs(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(H)8 b Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)0 5196 y(a)35 b(functor)g(c)-5 b(ontr)g(avariant)34 b(in)g(the)h(\014rst)g(variable)f(and)h(c)-5 b(ovariant)34 b(in)g(the)h(se)-5 b(c)g(ond)34 b(variable.)p eop %%Page: 74 77 74 76 bop 0 251 a Fw(74)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)50 b(main)c(part)i(to)g(b) s(e)h(pro)m(v)m(ed)g(is)f(that)g(the)h(action)e Ft(H)41 b Fx(\012)33 b Fz(Hom)o(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))55 b Fx(\000)-60 b(!)0 566 y Fz(Hom)o(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))48 b(satis\014es)f(the)h(asso)s(ciativit)m(y)d(la)m(w.) 87 b(Let)47 b Ft(f)63 b Fx(2)53 b Fz(Hom)o(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\),)51 b Ft(h;)17 b(k)55 b Fx(2)e Ft(H)8 b Fz(,)50 b(and)0 683 y Ft(m)28 b Fx(2)g Ft(M)10 b Fz(.)43 b(Then)30 b(\(\()p Ft(hk)s Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))27 b(=)1245 608 y Fj(P)1350 683 y Fz(\()p Ft(hk)s Fz(\))1536 698 y Fl(\(1\))1630 683 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\(\()p Ft(hk)s Fz(\))2017 698 y Fl(\(2\))2111 683 y Fz(\))28 b(=)2280 608 y Fj(P)2402 683 y Ft(h)2458 698 y Fl(\(1\))2553 683 y Ft(k)2604 698 y Fl(\(1\))2698 683 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(k)2950 698 y Fl(\(2\))3043 683 y Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(h)3241 698 y Fl(\(2\))3335 683 y Fz(\))p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)0 724 y Fj(P)122 799 y Ft(h)178 814 y Fl(\(1\))272 799 y Fz(\()p Ft(k)s(f)11 b Fz(\)\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)659 814 y Fl(\(2\))753 799 y Fz(\))p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(k)s(f)11 b Fz(\)\)\()p Ft(m)p Fz(\).)149 915 y(W)-8 b(e)31 b(lea)m(v)m(e)g(the)g(pro)s(of)e(of)h(the) h(other)f(prop)s(erties,)h(in)e(particular)g(the)i(functorial)d(prop)s (erties,)0 1031 y(to)k(the)h(reader.)2944 b Fh(\003)149 1236 y Fv(Corollary)54 b(3.1.14.)d Fs(L)-5 b(et)49 b Ft(M)61 b Fs(b)-5 b(e)49 b(an)g Ft(H)8 b Fs(-mo)-5 b(dule.)87 b(Then)48 b(the)i(dual)f Fu(K)18 b Fs(-mo)-5 b(dule)54 b Ft(M)3429 1200 y Fr(\003)3524 1236 y Fz(=)0 1352 y(Hom)o(\()p Ft(M)5 b(;)17 b Fu(K)h Fz(\))40 b Fs(b)-5 b(e)g(c)g(omes)34 b(an)h Ft(H)8 b Fs(-mo)-5 b(dule)33 b(by)i Fz(\()p Ft(hf)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))p Ft(m)p Fz(\))p Fs(.)149 1557 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)32 b(space)h Fu(K)54 b Fz(is)31 b(an)g Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dule)29 b(via)h Ft(")d Fz(:)h Ft(H)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)18 b Fz(.)48 b(Hence)33 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h(\()p Ft(hf)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))27 b(=)0 1598 y Fj(P)122 1673 y Ft(h)178 1688 y Fl(\(1\))272 1673 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)529 1688 y Fl(\(2\))623 1673 y Ft(m)p Fz(\))28 b(=)878 1598 y Fj(P)999 1673 y Ft(")p Fz(\()p Ft(h)1139 1688 y Fl(\(1\))1233 1673 y Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)1528 1688 y Fl(\(2\))1622 1673 y Ft(m)p Fz(\))28 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))p Ft(m)p Fz(\).)1201 b Fh(\003)1223 1960 y Fv(2.)56 b(Monoidal)37 b(Categories)149 2135 y Fz(F)-8 b(or)30 b(our)g(further)g(in)m(v)m(estigations)f(w)m(e)j(need)f(a)f (generalized)f(v)m(ersion)i(of)e(the)i(tensor)g(pro)s(duct)0 2251 y(that)41 b(w)m(e)i(are)e(going)f(to)h(in)m(tro)s(duce)g(in)g (this)g(section.)70 b(This)42 b(will)d(giv)m(e)i(us)h(the)g(p)s (ossibilit)m(y)d(to)0 2367 y(study)34 b(more)e(general)g(v)m(ersions)h (of)f(the)h(notion)f(of)g(algebras)g(and)h(represen)m(tations.)149 2520 y Fv(De\014nition)k(3.2.1.)42 b Fz(A)32 b Fs(monoidal)i(c)-5 b(ate)g(gory)32 b Fz(\(or)g Fs(tensor)j(c)-5 b(ate)g(gory)p Fz(\))32 b(consists)i(of)149 2636 y(a)f(category)g Fx(C)6 b Fz(,)149 2752 y(a)33 b(co)m(v)-5 b(arian)m(t)32 b(functor)g Fx(\012)d Fz(:)e Fx(C)i(\002)22 b(C)34 b(\000)-59 b(!)27 b(C)6 b Fz(,)33 b(called)e(the)i Fs(tensor)i(pr)-5 b(o)g(duct)p Fz(,)149 2868 y(an)33 b(ob)5 b(ject)33 b Ft(I)j Fx(2)28 b(C)6 b Fz(,)33 b(called)e(the)i Fs(unit)p Fz(,)149 2984 y(natural)f(isomorphisms)883 3166 y Ft(\013)q Fz(\()p Ft(A;)17 b(B)5 b(;)17 b(C)7 b Fz(\))27 b(:)g(\()p Ft(A)c Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(C)35 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)c Fx(\012)f Fz(\()p Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(C)7 b Fz(\))p Ft(;)883 3282 y(\025)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))27 b(:)h Ft(I)i Fx(\012)23 b Ft(A)28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A;)883 3398 y(\032)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(:)g Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(I)36 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A;)0 3583 y Fz(called)21 b Fs(asso)-5 b(ciativity,)26 b(left)f(unit)e Fz(and)f Fs(right)j(unit)p Fz(,)f(suc)m(h)g(that)e(the)g(follo)m(wing)d (diagrams)h(comm)m(ute:)69 3793 y(\(\()p Ft(A)i Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(C)7 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(D)489 b Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(B)k Fx(\012)c Ft(C)7 b Fz(\)\))22 b Fx(\012)g Ft(D)p 927 3770 429 4 v 1273 3768 a Fm(-)945 3732 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(A;B)s(;C)5 b Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)2701 3793 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(\(\()p Ft(B)k Fx(\012)c Ft(C)7 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(D)s Fz(\))p 2244 3770 V 2590 3768 a Fm(-)2251 3732 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(A;B)s Fr(\012)p Fq(C)q(;D)r Fl(\))p 482 4090 4 254 v 484 4090 a Fm(?)523 3980 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(A)p Fr(\012)p Fq(B)s(;C)q(;D)r Fl(\))p 3115 4090 V 3116 4090 a Fm(?)2680 3980 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\013)p Fl(\()p Fq(B)s(;C)q(;D)r Fl(\))69 4183 y Fz(\()p Ft(A)f Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(D)s Fz(\))1802 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(B)k Fx(\012)c Fz(\()p Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(D)s Fz(\)\))p 927 4160 1746 4 v 2590 4158 a Fm(-)1591 4122 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(A;B)s(;C)5 b Fr(\012)p Fq(D)r Fl(\))954 4431 y Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(I)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(B)653 b(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)22 b Ft(B)5 b Fz(\))p 1505 4407 591 4 v 2013 4405 a Fm(-)1658 4370 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(A;I)g(;B)s Fl(\))1663 4826 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)1212 4617 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)1317 4529 y Fm(Q)1400 4585 y(Q)1483 4640 y(Q)1566 4695 y(Q)1615 4727 y(Q)-83 b(s)2154 4617 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\025)p Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))2200 4529 y Fm(\021)2117 4585 y(\021)2034 4640 y(\021)1951 4695 y(\021)1902 4727 y(\021)g(+)0 4964 y Fz(These)34 b(diagrams)d(are)i(called)e Fs(c)-5 b(oher)g(enc)g(e)34 b(diagr)-5 b(ams)31 b Fz(or)h Fs(c)-5 b(onstr)g(aints)p Fz(.)149 5080 y(A)31 b(monoidal)e(category)i (is)f(called)g(a)h Fs(strict)j(monoidal)e(c)-5 b(ate)g(gory)p Fz(,)31 b(if)f(the)h(morphisms)f Ft(\013)q(;)17 b(\025;)g(\032)0 5196 y Fz(are)33 b(the)g(iden)m(tit)m(y)f(morphisms.)p eop %%Page: 75 78 75 77 bop 1244 251 a Fw(2.)35 b(MONOID)n(AL)d(CA)-6 b(TEGORIES)1200 b(75)149 450 y Fv(Remark)37 b(3.2.2.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)h Ft(A)1400 465 y Fl(1)1462 450 y Fx(\012)22 b Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)h Ft(A)1871 465 y Fq(n)1946 450 y Fz(:=)k(\()p Ft(:)17 b(:)g(:)f Fz(\()p Ft(A)2356 465 y Fl(1)2418 450 y Fx(\012)22 b Ft(A)2590 465 y Fl(2)2630 450 y Fz(\))g Fx(\012)h Ft(:)17 b(:)g(:)o Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(A)3137 465 y Fq(n)3184 450 y Fz(.)149 566 y(There)35 b(is)e(an)g(imp)s(ortan)m(t)f(theorem)h(of)g(S.)g(MacLane)i (that)e(sa)m(ys)i(that)e(all)e(diagrams)h(whose)0 683 y(morphisms)45 b(are)h(constructed)i(b)m(y)f(using)f(copies)h(of)f Ft(\013)q Fz(,)j Ft(\025)p Fz(,)h Ft(\032)p Fz(,)g(iden)m(tities,)f(in) m(v)m(erses,)i(tensor)0 799 y(pro)s(ducts)42 b(and)f(comp)s(ositions)e (of)h(suc)m(h)j(comm)m(ute.)68 b(W)-8 b(e)42 b(will)c(only)j(pro)m(v)m (e)h(this)f(theorem)f(for)0 915 y(some)23 b(v)m(ery)i(sp)s(ecial)d (cases)j(\(3.2.4\).)39 b(It)24 b(implies)d(that)i(eac)m(h)h(monoidal)c (category)k(can)f(b)s(e)h(replaced)0 1031 y(b)m(y)29 b(\(is)f(monoidally)d(equiv)-5 b(alen)m(t)28 b(to\))g(a)h(strict)f (monoidal)d(category)-8 b(.)42 b(That)29 b(means)g(that)f(w)m(e)h(ma)m (y)0 1147 y(omit)35 b(in)g(diagrams)g(the)i(morphisms)f Ft(\013)q(;)17 b(\025;)g(\032)36 b Fz(or)g(replace)g(them)h(b)m(y)g (iden)m(tities.)55 b(In)37 b(particular)0 1264 y(there)42 b(is)f(only)f(one)i(automorphism)d(of)i Ft(A)1622 1279 y Fl(1)1690 1264 y Fx(\012)28 b Ft(:)17 b(:)g(:)28 b Fx(\012)g Ft(A)2116 1279 y Fq(n)2204 1264 y Fz(formed)41 b(b)m(y)h(coherence)h(morphisms)0 1380 y(namely)32 b(the)h(iden)m(tit)m (y)-8 b(.)149 1510 y Fv(Remark)49 b(3.2.3.)f Fz(F)-8 b(or)42 b(eac)m(h)i(monoidal)d(category)i Fx(C)49 b Fz(w)m(e)c(can)e (construct)h(the)g(monoidal)0 1627 y(category)38 b Fx(C)456 1591 y Fq(sy)r(mm)694 1627 y Fz(symmetric)f(to)h Fx(C)44 b Fz(that)38 b(coincides)g(with)g Fx(C)44 b Fz(as)38 b(a)g(category)h(and)f(has)g(tensor)0 1743 y(pro)s(duct)33 b Ft(A)22 b Fh(\002)h Ft(B)33 b Fz(:=)27 b Ft(B)g Fx(\012)c Ft(A)33 b Fz(and)f(the)h(coherence)i(morphisms)838 1909 y Ft(\013)q Fz(\()p Ft(C)r(;)17 b(B)5 b(;)17 b(A)p Fz(\))1289 1873 y Fr(\000)p Fl(1)1410 1909 y Fz(:)28 b(\()p Ft(A)22 b Fh(\002)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fh(\002)h Ft(C)34 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)22 b Fh(\002)h Fz(\()p Ft(B)k Fh(\002)c Ft(C)7 b Fz(\))p Ft(;)838 2025 y(\032)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(:)g Ft(I)i Fh(\002)23 b Ft(A)28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A;)838 2142 y(\025)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))h(:)g Ft(A)22 b Fh(\002)h Ft(I)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A:)0 2311 y Fz(Then)41 b(the)g(coherence)h(diagrams)c(are)i(comm)m(utativ)m (e)f(again,)i(so)f(that)g Fx(C)2776 2275 y Fq(sy)r(mm)3015 2311 y Fz(is)g(a)g(monoidal)0 2427 y(category)-8 b(.)149 2572 y Fv(Lemma)37 b(3.2.4.)k Fs(L)-5 b(et)35 b Fx(C)41 b Fs(b)-5 b(e)34 b(a)g(monoidal)e(c)-5 b(ate)g(gory.)45 b(Then)33 b(the)i(fol)5 b(lowing)33 b(diagr)-5 b(ams)33 b(c)-5 b(om-)0 2688 y(mute)146 2857 y Fz(\()p Ft(I)29 b Fx(\012)23 b Ft(A)p Fz(\))f Fx(\012)h Ft(B)262 b(I)30 b Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(A)f Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))p 696 2834 201 4 v 814 2832 a Fm(-)774 2813 y Fq(\013)660 3252 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)250 3044 y Fq(\025)p Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)488 3055 y Fn(B)475 2983 y Fm(@)558 3066 y(@)641 3149 y(@)645 3154 y(@)-83 b(R)1052 3044 y Fq(\025)p Fl(\()p Fq(A)p Fr(\012)p Fq(B)s Fl(\))1035 2983 y Fm(\000)952 3066 y(\000)869 3149 y(\000)865 3154 y(\000)g(\011)1834 2857 y Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(I)265 b(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(B)k Fx(\012)c Ft(I)8 b Fz(\))p 2385 2834 V 2503 2832 a Fm(-)2462 2813 y Fq(\013)2348 3252 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)1974 3044 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(A)p Fr(\012)p Fq(B)s Fl(\))2163 2983 y Fm(@)2246 3066 y(@)2329 3149 y(@)2334 3154 y(@)-83 b(R)2741 3044 y Fl(1)2776 3055 y Fn(A)2826 3044 y Fr(\012)p Fq(\032)p Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))2724 2983 y Fm(\000)2641 3066 y(\000)2558 3149 y(\000)2553 3154 y(\000)g(\011)0 3457 y Fs(and)34 b(we)h(have)f Ft(\025)p Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))27 b(=)h Ft(\032)p Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))p Fs(.)149 3644 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)34 b(w)m(e)i(observ)m(e)g(that)f(the)g(iden)m(tit)m(y)f(functor)h(Id)2445 3659 y Fr(C)2525 3644 y Fz(and)g(the)g(functor)f Ft(I)e Fx(\012)24 b Fz(-)34 b(are)0 3760 y(isomorphic)g(b)m(y)j(the)f(natural) f(isomorphism)f Ft(\025)p Fz(.)53 b(Th)m(us)38 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)g Ft(I)32 b Fx(\012)25 b Ft(f)44 b Fz(=)34 b Ft(I)e Fx(\012)25 b Ft(g)37 b Fz(=)-17 b Fx(\))33 b Ft(f)44 b Fz(=)34 b Ft(g)t Fz(.)0 3876 y(In)f(the)g(follo)m(wing)d(diagram)245 4054 y(\(\()p Ft(I)f Fx(\012)23 b Ft(I)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(A)p Fz(\))f Fx(\012)g Ft(B)404 b Fz(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)23 b Ft(A)p Fz(\)\))f Fx(\012)g Ft(B)p 1044 4031 342 4 v 1303 4029 a Fm(-)1147 4003 y Fq(\013)p Fr(\012)p Fl(1)2584 4054 y Ft(I)30 b Fx(\012)23 b Fz(\(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)23 b Ft(A)p Fz(\))f Fx(\012)g Ft(B)5 b Fz(\))p 2214 4031 V 2473 4029 a Fm(-)2362 4010 y Fq(\013)984 4241 y Fl(\()p Fq(\032)p Fr(\012)p Fl(1\))p Fr(\012)p Fl(1)732 4153 y Fm(Q)815 4208 y(Q)898 4263 y(Q)982 4319 y(Q)1030 4351 y(Q)-83 b(s)1569 4241 y Fl(\(1)p Fr(\012)p Fq(\025)p Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)1615 4153 y Fm(\021)1532 4208 y(\021)1449 4263 y(\021)1366 4319 y(\021)1317 4351 y(\021)g(+)2340 4241 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\()p Fq(\025)p Fr(\012)p Fl(1\))2785 4153 y Fm(\021)2702 4208 y(\021)2618 4263 y(\021)2535 4319 y(\021)2487 4351 y(\021)g(+)954 4444 y Fz(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)22 b Ft(A)p Fz(\))h Fx(\012)f Ft(B)653 b(I)30 b Fx(\012)22 b Fz(\()p Ft(A)h Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\))p 1505 4421 591 4 v 2013 4419 a Fm(-)1777 4400 y Fq(\013)p 628 5131 4 1034 v 630 5131 a Fm(?)546 4628 y Fq(\013)p 2968 5131 V 2970 5131 a Fm(?)3009 4632 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\013)p 1213 4741 4 254 v 1215 4741 a Fm(?)1254 4628 y Fq(\013)p 2383 4741 V 2385 4741 a Fm(?)2311 4635 y Fl(1)954 4834 y Ft(I)30 b Fx(\012)22 b Fz(\()p Ft(A)h Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\))648 b Ft(I)30 b Fx(\012)22 b Fz(\()p Ft(A)h Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\))p 1505 4811 591 4 v 2013 4809 a Fm(-)1782 4791 y Fl(1)245 5224 y Fz(\()p Ft(I)29 b Fx(\012)23 b Ft(I)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(A)f Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))1568 b Ft(I)30 b Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(A)f Fx(\012)g Ft(B)5 b Fz(\)\))p 1044 5201 1512 4 v 2473 5199 a Fm(-)1777 5180 y Fq(\013)984 5021 y(\032)p Fr(\012)p Fl(\(1)p Fr(\012)p Fl(1\))732 5131 y Fm(\021)815 5075 y(\021)898 5020 y(\021)982 4965 y(\021)1030 4933 y(\021)-83 b(3)2485 5024 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\025)2487 4933 y Fm(Q)2570 4988 y(Q)2653 5043 y(Q)2736 5099 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b(lo)m(w)m(er)g(square)g(comm)m(utes) 0 2246 y(since)g Ft(\032)g Fz(is)f(a)g(natural)f(transformation.)47 b(In)35 b(particular)e Ft(\032)p Fz(\(1)23 b Fx(\012)h Ft(\032)p Fz(\))31 b(=)g Ft(\032)p Fz(\(1)24 b Fx(\012)g Ft(\025)p Fz(\).)49 b(Since)34 b Ft(\032)h Fz(is)f(an)0 2362 y(isomorphism)c(and)j Ft(I)d Fx(\012)22 b Fz(-)993 2335 y Fx(\030)993 2367 y Fz(=)1098 2362 y(Id)1187 2377 y Fr(C)1265 2362 y Fz(w)m(e)33 b(get)g Ft(\032)28 b Fz(=)f Ft(\025)p Fz(.)1687 b Fh(\003)149 2533 y Fv(Problem)47 b(3.2.18.)g Fz(F)-8 b(or)42 b(morphisms)f Ft(f)54 b Fz(:)45 b Ft(I)52 b Fx(\000)-60 b(!)44 b Ft(M)53 b Fz(and)42 b Ft(g)47 b Fz(:)e Ft(I)52 b Fx(\000)-60 b(!)44 b Ft(N)52 b Fz(in)42 b(a)g(monoidal)0 2650 y(category)48 b(w)m(e)i(de\014ne)f(\() p Ft(f)44 b Fx(\012)33 b Fz(1)54 b(:)g Ft(N)65 b Fx(\000)-60 b(!)54 b Ft(M)44 b Fx(\012)33 b Ft(N)10 b Fz(\))54 b(:=)h(\()p Ft(f)43 b Fx(\012)33 b Fz(1)2477 2665 y Fq(I)2517 2650 y Fz(\))p Ft(\032)p Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))2732 2613 y Fr(\000)p Fl(1)2874 2650 y Fz(and)49 b(\(1)32 b Fx(\012)h Ft(g)58 b Fz(:)c Ft(M)0 2766 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)10 b Fz(\))28 b(:=)g(\(1)22 b Fx(\012)h Ft(g)t Fz(\))p Ft(\025)p Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))1138 2730 y Fr(\000)p Fl(1)1231 2766 y Fz(.)43 b(Sho)m(w)34 b(that)e(the)h(diagram)1418 3439 y Ft(N)394 b(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)p 1535 3411 326 4 v 1778 3409 a Fm(-)1632 3475 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)1437 2956 y Ft(I)515 b(M)p 1517 2923 450 4 v 1884 2921 a Fm(-)1720 2890 y Fq(f)p 1461 3341 4 351 v 1462 3341 a Fm(?)1387 3173 y Fq(g)p 2045 3341 V 2047 3341 a Fm(?)2086 3180 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(g)0 3601 y Fz(comm)m(utes.)149 3729 y(W)-8 b(e)33 b(con)m(tin)m(ue)h(with)e(a)g(series)h(of)f(examples)h(of)f(monoidal)e (categories.)149 3867 y Fv(Example)40 b(3.2.5.)k Fz(\(1\))35 b(Let)h Ft(R)g Fz(b)s(e)g(an)f(arbitrary)g(ring.)51 b(The)37 b(category)f Ft(R)q Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(R)36 b Fz(of)f Ft(R)q Fz(-)0 3984 y Ft(R)q Fz(-bimo)s(dules)c(with)i(the)h(tensor)g(pro)s(duct)f Ft(M)h Fx(\012)1829 3999 y Fq(R)1909 3984 y Ft(N)44 b Fz(is)33 b(a)g(monoidal)d(category)-8 b(.)46 b(In)34 b(particular)0 4100 y(the)i Fu(K)18 b Fz(-mo)s(dules)40 b(form)34 b(a)i(monoidal)c(category)-8 b(.)53 b(This)36 b(is)f(our)h(most)f(imp)s(ortan)m(t)f(example)h(of)g(a)0 4216 y(monoidal)30 b(category)-8 b(.)149 4332 y(\(2\))43 b(Let)h Ft(B)k Fz(b)s(e)c(a)f(bialgebra)e(and)j Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)60 b Fz(b)s(e)43 b(the)h(category)g(of) f(left)f Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dules.)75 b(W)-8 b(e)0 4449 y(de\014ne)34 b(the)f(structure)h(of)e(a)g Ft(B)5 b Fz(-mo)s(dule)31 b(on)h(the)h(tensor)h(pro)s(duct)e Ft(M)h Fx(\012)23 b Ft(N)38 b Fz(=)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)3129 4464 y Fp(K)3207 4449 y Ft(N)43 b Fz(b)m(y)111 4635 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)655 4576 y Fl(\001)p Fr(\012)p Fl(1)804 4587 y Fn(M)871 4576 y Fr(\012)p Fl(1)961 4587 y Fn(N)757 4635 y Fx(\000)-16 b(!)129 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)k Fx(\012)c Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)1792 4576 y Fl(1)1827 4587 y Fn(B)1880 4576 y Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)2064 4587 y Fn(N)1876 4635 y Fx(\000)-16 b(!)112 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(N)2894 4574 y Fq(\032)2930 4585 y Fn(M)2997 4574 y Fr(\012)p Fq(\032)3088 4585 y Fn(N)2939 4635 y Fx(\000)-16 b(!)73 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)0 4796 y Fz(as)33 b(in)f(the)h(previous)g(section.)43 b(So)33 b Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(is)32 b(a)g(monoidal)e(category)j(b)m(y)h(3.1.6)149 4912 y(\(3\))42 b(Let)g Ft(B)47 b Fz(b)s(e)42 b(a)g(bialgebra)e(and)i Ft(B)5 b Fz(-)p Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)57 b Fz(b)s(e)43 b(the)f(category)g(of)g Ft(B)5 b Fz(-como)s(dules.)70 b(The)0 5028 y(tensor)33 b(pro)s(duct)g Ft(M)g Fx(\012)23 b Ft(N)38 b Fz(=)27 b Ft(M)33 b Fx(\012)1309 5043 y Fp(K)1388 5028 y Ft(N)43 b Fz(carries)32 b(the)h(structure)h(of)e(a)g Ft(B)5 b Fz(-como)s(dule)31 b(b)m(y)106 5216 y Ft(M)h Fx(\012)23 b Ft(N)448 5157 y Fq(\016)479 5168 y Fn(M)547 5157 y Fr(\012)p Fq(\016)633 5168 y Fn(N)489 5216 y Fx(\000)-16 b(!)68 b Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(B)k Fx(\012)c Ft(N)1463 5157 y Fl(1)1498 5168 y Fn(B)1551 5157 y Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)1735 5168 y Fn(N)1548 5216 y Fx(\000)-17 b(!)112 b Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)2565 5157 y Fr(r\012)p Fl(1)2714 5168 y Fn(M)2781 5157 y Fr(\012)p Fl(1)2871 5168 y Fn(N)2667 5216 y Fx(\000)-16 b(!)129 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)5 b(:)p eop %%Page: 77 80 77 79 bop 1244 251 a Fw(2.)35 b(MONOID)n(AL)d(CA)-6 b(TEGORIES)1200 b(77)0 450 y Fz(as)33 b(in)f(the)h(previous)g(section.)43 b(So)33 b Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)49 b Fz(is)32 b(a)g(monoidal)e(category)j(b)m(y)g(3.1.7)149 589 y Fv(De\014nition)45 b(3.2.6.)h Fz(Let)40 b Ft(G)g Fz(b)s(e)g(a)f(set.)66 b(The)41 b Fs(c)-5 b(ate)g(gory)42 b(of)f Ft(G)p Fs(-families)f(of)i (ve)-5 b(ctor)41 b(sp)-5 b(ac)g(es)0 706 y Fx(M)120 669 y Fq(G)223 706 y Fz(=)343 631 y Fj(Q)437 735 y Fq(g)r Fr(2)p Fq(G)596 706 y Fx(V)n Fs(e)g(c)59 b Fz(has)43 b(families)c(of)j(v)m(ector)h(spaces)h(\()p Ft(V)2175 721 y Fq(g)2215 706 y Fx(j)p Ft(g)j Fx(2)d Ft(G)p Fz(\))f(as)f(ob)5 b(jects)44 b(and)e(families)0 831 y(of)f(linear)g(maps)g(\()p Ft(f)751 846 y Fq(g)835 831 y Fz(:)i Ft(V)962 846 y Fq(g)1045 831 y Fx(\000)-59 b(!)43 b Ft(W)1298 846 y Fq(g)1338 831 y Fx(j)p Ft(g)j Fx(2)e Ft(G)p Fz(\))e(as)g(morphisms.)70 b(The)42 b(comp)s(osition)e(is)h(\()p Ft(f)3372 846 y Fq(g)3412 831 y Fx(j)p Ft(g)47 b Fx(2)0 947 y Ft(G)p Fz(\))22 b Fx(\016)g Fz(\()p Ft(h)303 962 y Fq(g)343 947 y Fx(j)p Ft(g)31 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(\))f(=)h(\()p Ft(f)875 962 y Fq(g)937 947 y Fx(\016)22 b Ft(h)1065 962 y Fq(g)1106 947 y Fx(j)p Ft(g)30 b Fx(2)e Ft(G)p Fz(\).)149 1087 y Fv(Lemma)44 b(3.2.7.)h Fs(L)-5 b(et)40 b Ft(G)g Fs(b)-5 b(e)39 b(a)h(monoid.)58 b(Then)39 b Fx(M)2145 1051 y Fq(G)2244 1087 y Fs(is)g(a)h(monoidal)e(c)-5 b(ate)g(gory)40 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y(subspaces)f(\()p Ft(V)541 2215 y Fq(g)609 2200 y Fx(\022)28 b Ft(V)21 b Fx(j)p Ft(g)31 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(\))k(is)h(called)e Ft(G)p Fs(-gr)-5 b(ade)g(d)p Fz(,)32 b(if)f Ft(V)49 b Fz(=)28 b Fx(\010)2332 2215 y Fq(g)r Fr(2)p Fq(G)2474 2200 y Ft(V)2531 2215 y Fq(g)2604 2200 y Fz(holds.)149 2316 y(Let)f(\()p Ft(V)5 b(;)17 b Fz(\()p Ft(V)557 2331 y Fq(g)597 2316 y Fx(j)p Ft(g)31 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(\)\))e(and)h(\()p Ft(W)m(;)17 b Fz(\()p Ft(W)1461 2331 y Fq(g)1501 2316 y Fx(j)p Ft(g)30 b Fx(2)e Ft(G)p Fz(\)\))f(b)s(e)f Ft(G)p Fz(-graded)h(v)m(ector)g(spaces.)43 b(A)27 b(linear)e(map)0 2433 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(V)49 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(W)46 b Fz(is)32 b(called)g Ft(G)p Fs(-gr)-5 b(ade)g(d)p Fz(,)31 b(if)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(V)1590 2448 y Fq(g)1629 2433 y Fz(\))28 b Fx(\022)g Ft(W)1892 2448 y Fq(g)1965 2433 y Fz(for)k(all)f Ft(g)f Fx(2)f Ft(G)p Fz(.)149 2555 y(The)i Ft(G)p Fz(-graded)e(v)m(ector)i(spaces)g(and)e Ft(G)p Fz(-graded)h(linear)e(maps)h(form)f(the)i(category)g Fx(M)3394 2519 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])3521 2555 y Fz(of)0 2671 y Ft(G)p Fs(-gr)-5 b(ade)g(d)34 b(ve)-5 b(ctor)35 b(sp)-5 b(ac)g(es)p Fz(.)149 2810 y Fv(Lemma)41 b(3.2.9.)i Fs(L)-5 b(et)38 b Ft(G)f Fs(b)-5 b(e)37 b(a)g(monoid.)51 b(Then)37 b Fx(M)2121 2774 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])2256 2810 y Fs(is)g(a)h(monoidal)d(c)-5 b(ate)g(gory)38 b(with)f(the)0 2926 y(tensor)e(pr)-5 b(o)g(duct)35 b Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(W)14 b Fs(,)34 b(wher)-5 b(e)35 b(the)f(subsp)-5 b(ac)g(es)34 b Fz(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(W)14 b Fz(\))2264 2941 y Fq(g)2338 2926 y Fs(ar)-5 b(e)35 b(de\014ne)-5 b(d)34 b(by)1114 3113 y Fz(\()p Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(W)14 b Fz(\))1496 3128 y Fq(g)1563 3113 y Fz(:=)1817 3019 y Fj(X)1694 3231 y Fq(h;k)r Fr(2)p Fq(G;hk)r Fl(=)p Fq(g)2101 3113 y Ft(V)2158 3128 y Fq(h)2225 3113 y Fx(\012)22 b Ft(W)2416 3128 y Fq(k)2459 3113 y Ft(:)149 3387 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(This)33 b(is)f(an)h(easy)g (exercise.)1964 b Fh(\003)149 3560 y Fv(Problem)36 b(3.2.20.)42 b Fz(Let)33 b Ft(G)f Fz(b)s(e)h(a)f(monoid.)42 b(Sho)m(w)34 b(that)e Fx(M)2434 3524 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])2565 3560 y Fz(is)g(a)g(monoidal)e(category)-8 b(.)149 3699 y Fv(De\014nition)37 b(3.2.10.)42 b Fz(\(1\))32 b(A)g Fs(chain)i(c)-5 b(omplex)32 b Fz(of)g Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dules)1062 3891 y Ft(M)39 b Fz(=)27 b(\()p Ft(:)17 b(:)g(:)1523 3834 y Fq(@)1560 3843 y Fo(3)1478 3891 y Fx(\000)-16 b(!)28 b Ft(M)1761 3906 y Fl(2)1872 3834 y Fq(@)1909 3843 y Fo(2)1828 3891 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Ft(M)2110 3906 y Fl(1)2222 3834 y Fq(@)2259 3843 y Fo(1)2178 3891 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Ft(M)2460 3906 y Fl(0)2500 3891 y Fz(\))0 4053 y(consists)40 b(of)f(a)g(family)e(of)i Fu(K)18 b Fz(-mo)s(dules)44 b Ft(M)1589 4068 y Fq(i)1656 4053 y Fz(and)c(a)f(family)e(of)i (homomorphisms)e Ft(@)3149 4068 y Fq(n)3236 4053 y Fz(:)i Ft(M)3396 4068 y Fq(n)3483 4053 y Fx(\000)-60 b(!)0 4169 y Ft(M)94 4184 y Fq(n)p Fr(\000)p Fl(1)266 4169 y Fz(with)34 b Ft(@)541 4184 y Fq(n)p Fr(\000)p Fl(1)679 4169 y Ft(@)730 4184 y Fq(n)808 4169 y Fz(=)d(0.)49 b(This)34 b(c)m(hain)h(complex)f (is)g(indexed)h(b)m(y)g(the)g(monoid)e Fu(N)3092 4184 y Fl(0)3137 4169 y Fz(.)49 b(One)35 b(ma)m(y)0 4286 y(also)j(consider)h (more)f(general)g(c)m(hain)h(complexes)g(indexed)g(b)m(y)h(an)e (arbitrary)g(cyclic)h(monoid.)0 4402 y(Chain)h(complexes)h(indexed)g(b) m(y)h Fu(N)1345 4417 y Fl(0)1418 4402 y Fx(\002)28 b Fu(N)1589 4417 y Fl(0)1674 4402 y Fz(are)41 b(called)e(double)i (complexes.)67 b(So)41 b(m)m(uc)m(h)g(more)0 4518 y(general)28 b(c)m(hain)g(complexes)h(ma)m(y)f(b)s(e)h(considered.)43 b(W)-8 b(e)29 b(restrict)f(ourselv)m(es)i(to)e(c)m(hain)h(complexes)0 4634 y(o)m(v)m(er)34 b Fu(N)275 4649 y Fl(0)320 4634 y Fz(.)149 4751 y(Let)j Ft(M)48 b Fz(and)36 b Ft(N)47 b Fz(b)s(e)37 b(c)m(hain)g(complexes.)55 b(A)37 b Fs(homomorphism)f(of) j(chain)e(c)-5 b(omplexes)37 b Ft(f)46 b Fz(:)34 b Ft(M)0 4867 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(N)43 b Fz(consists)32 b(of)g(a)f(family)e(of)j(homomorphisms)d(of)j Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dules)37 b Ft(f)2602 4882 y Fq(n)2676 4867 y Fz(:)28 b Ft(M)2825 4882 y Fq(n)2900 4867 y Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(N)3123 4882 y Fq(n)3202 4867 y Fz(suc)m(h)33 b(that)0 4983 y Ft(f)48 4998 y Fq(n)95 4983 y Ft(@)146 4998 y Fq(n)p Fl(+1)311 4983 y Fz(=)28 b Ft(@)466 4998 y Fq(n)p Fl(+1)604 4983 y Ft(f)652 4998 y Fq(n)p Fl(+1)821 4983 y Fz(for)k(all)f Ft(n)d Fx(2)g Fu(N)1352 4998 y Fl(0)1397 4983 y Fz(.)149 5099 y(The)j(c)m(hain)e(complexes)g(with)g (these)i(homomorphisms)c(form)h(the)i(category)f(of)g(c)m(hain)g(com-)0 5216 y(plexes)k Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(C)h Fs(omp)17 b Fz(.)p eop %%Page: 78 81 78 80 bop 0 251 a Fw(78)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fz(If)45 b Ft(M)56 b Fz(and)45 b Ft(N)55 b Fz(are)45 b(c)m(hain)g(complexes)g(then)g(w)m(e)h(form)e(a)g (new)i(c)m(hain)f(complex)f Ft(M)d Fx(\012)31 b Ft(N)0 566 y Fz(with)44 b(\()p Ft(M)d Fx(\012)31 b Ft(N)10 b Fz(\))641 581 y Fq(n)736 566 y Fz(:=)48 b Fx(\010)964 530 y Fq(n)964 591 y(i)p Fl(=0)1083 566 y Ft(M)1177 581 y Fq(i)1236 566 y Fx(\012)31 b Ft(N)1422 581 y Fq(n)p Fr(\000)p Fq(i)1592 566 y Fz(and)45 b Ft(@)54 b Fz(:)48 b(\()p Ft(M)41 b Fx(\012)31 b Ft(N)10 b Fz(\))2381 581 y Fq(n)2476 566 y Fx(\000)-59 b(!)47 b Fz(\()p Ft(M)41 b Fx(\012)31 b Ft(N)10 b Fz(\))3048 581 y Fq(n)p Fr(\000)p Fl(1)3230 566 y Fz(giv)m(en)45 b(b)m(y)0 683 y Ft(@)5 b Fz(\()p Ft(m)179 698 y Fq(i)234 683 y Fx(\012)25 b Ft(n)394 698 y Fq(n)p Fr(\000)p Fq(i)521 683 y Fz(\))35 b(:=)h(\()p Fx(\000)p Fz(1\))935 646 y Fq(i)963 683 y Ft(@)1014 698 y Fq(M)1093 683 y Fz(\()p Ft(m)1216 698 y Fq(i)1245 683 y Fz(\))25 b Fx(\012)h Ft(n)1469 698 y Fq(n)p Fr(\000)p Fq(i)1620 683 y Fz(+)g Ft(m)1807 698 y Fq(i)1860 683 y Fx(\012)g Ft(@)5 b Fz(\()p Ft(n)2115 698 y Fq(n)p Fr(\000)p Fq(i)2242 683 y Fz(\).)57 b(This)38 b(is)f(often)g(called)f(the)h(total)0 799 y(complex)25 b(asso)s(ciated)h(with)f(the)i(double)e(complex)g(of)h(the)g(tensor)g (pro)s(duct)g(of)g Ft(M)36 b Fz(and)26 b Ft(N)10 b Fz(.)42 b(Then)0 915 y(it)32 b(is)g(easily)f(c)m(hec)m(k)m(ed)36 b(that)c Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(C)h Fs(omp)49 b Fz(is)32 b(a)h(monoidal)c(category)k(with)f(this)h(tensor)g(pro)s(duct.)149 1031 y(\(2\))g(A)f(co)s(c)m(hain)h(complex)f(has)h(the)g(form)1062 1238 y Ft(M)39 b Fz(=)27 b(\()p Ft(M)1430 1253 y Fl(0)1542 1181 y Fq(@)1579 1190 y Fo(0)1498 1238 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Ft(M)1780 1253 y Fl(1)1892 1181 y Fq(@)1929 1190 y Fo(1)1847 1238 y Fx(\000)-16 b(!)28 b Ft(M)2130 1253 y Fl(2)2241 1181 y Fq(@)2278 1190 y Fo(2)2197 1238 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Ft(:)17 b(:)g(:)p Fz(\))0 1414 y(with)36 b Ft(@)277 1429 y Fq(i)p Fl(+1)396 1414 y Ft(@)447 1429 y Fq(i)510 1414 y Fz(=)e(0.)55 b(The)38 b(co)s(c)m(hain)e (complexes)h(form)e(a)h(monoidal)e(category)j(of)f(co)s(c)m(hain)g (com-)0 1530 y(plexes)d Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(C)h Fs(o)-5 b(c)g(omp)16 b Fz(.)149 1676 y Fv(Problem)47 b(3.2.21.)g Fz(Sho)m(w)42 b(that)g(the)g(co)s(c)m(hain)g(complexes)g(form)f(a)h (monoidal)d(category)0 1793 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fx(C)g Fs(o)-5 b(c)g(omp)16 b Fz(.)149 1939 y Fv(De\014nition)37 b(3.2.11.)42 b Fz(Let)32 b(\()p Fx(C)6 b Ft(;)17 b Fx(\012)p Fz(\))33 b(and)g(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b Fx(\012)p Fz(\))32 b(b)s(e)h(monoidal)d(categories.)43 b(A)33 b(functor)1563 2115 y Fx(F)k Fz(:)28 b Fx(C)34 b(\000)-60 b(!)27 b(D)0 2292 y Fz(together)33 b(with)f(a)g(natural)g(transformation)944 2468 y Ft(\030)5 b Fz(\()p Ft(M)g(;)17 b(N)10 b Fz(\))28 b(:)f Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))23 b Fx(\012)f(F)10 b Fz(\()p Ft(N)g Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b(F)10 b Fz(\()p Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))0 2645 y(and)33 b(a)f(morphism)1457 2780 y Ft(\030)1500 2795 y Fl(0)1567 2780 y Fz(:)27 b Ft(I)1664 2795 y Fr(D)1753 2780 y Fx(\000)-60 b(!)28 b(F)10 b Fz(\()p Ft(I)2061 2795 y Fr(C)2105 2780 y Fz(\))0 2936 y(is)32 b(called)f Fs(we)-5 b(akly)35 b(monoidal)c Fz(if)g(the)i(follo)m(wing)d(diagrams)h (comm)m(ute)178 3127 y(\()p Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))23 b Fx(\012)f(F)10 b Fz(\()p Ft(N)g Fz(\)\))22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(P)k Fz(\))224 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))23 b Fx(\012)f(F)10 b Fz(\()p Ft(P)k Fz(\))p 1269 3104 168 4 v 1354 3102 a Fm(-)1291 3070 y Fq(\030)s Fr(\012)p Fl(1)2676 3127 y Fx(F)c Fz(\(\()p Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(P)14 b Fz(\))p 2322 3104 326 4 v 2565 3102 a Fm(-)2468 3070 y Fq(\030)p 707 3424 4 254 v 709 3424 a Fm(?)625 3311 y Fq(\013)p 3047 3424 V 3049 3424 a Fm(?)3088 3314 y Fr(F)7 b Fl(\()p Fq(\013)p Fl(\))178 3517 y Fx(F)j Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))23 b Fx(\012)f Fz(\()p Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(N)g Fz(\))22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(P)k Fz(\)\))224 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(P)14 b Fz(\))p 1269 3494 168 4 v 1354 3492 a Fm(-)1291 3460 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\030)2676 3517 y Fx(F)c Fz(\()p Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(P)14 b Fz(\)\))p 2322 3494 326 4 v 2565 3492 a Fm(-)2468 3460 y Fq(\030)803 3799 y Ft(I)30 b Fx(\012)22 b(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))267 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(I)e Fz(\))21 b Fx(\012)i(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))p 1266 3776 210 4 v 1393 3774 a Fm(-)1292 3742 y Fq(\030)1323 3751 y Fo(0)1358 3742 y Fr(\012)p Fl(1)2363 3799 y Fx(F)g Fz(\()p Ft(I)29 b Fx(\012)23 b Ft(M)10 b Fz(\))p 2125 3776 V 2252 3774 a Fm(-)2212 3742 y Fq(\030)1669 4189 y Fx(F)g Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))1306 3992 y Fq(\025)1157 3884 y Fm(H)1240 3926 y(H)1323 3967 y(H)1406 4009 y(H)1489 4050 y(H)1572 4092 y(H)1580 4096 y(H)-83 b(j)2252 3986 y Fr(F)7 b Fl(\()p Fq(\025)p Fl(\))2360 3884 y Fm(\010)2277 3926 y(\010)2194 3967 y(\010)2111 4009 y(\010)2028 4050 y(\010)1945 4092 y(\010)1936 4096 y(\010)-83 b(\031)803 4451 y Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(I)274 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(I)e Fz(\))p 1266 4428 V 1393 4426 a Fm(-)1292 4394 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\030)1413 4403 y Fo(0)2363 4451 y Fx(F)i Fz(\()p Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Ft(I)8 b Fz(\))p 2125 4428 V 2252 4426 a Fm(-)2212 4394 y Fq(\030)1655 4841 y Fx(F)i Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))p Ft(:)1311 4629 y Fq(\032)1157 4536 y Fm(H)1240 4577 y(H)1323 4619 y(H)1406 4660 y(H)1489 4702 y(H)1572 4743 y(H)1580 4748 y(H)-83 b(j)2252 4638 y Fr(F)7 b Fl(\()p Fq(\032)p Fl(\))2360 4536 y Fm(\010)2277 4577 y(\010)2194 4619 y(\010)2111 4660 y(\010)2028 4702 y(\010)1945 4743 y(\010)1936 4748 y(\010)-83 b(\031)149 4983 y Fz(If,)28 b(in)d(addition,)h(the)g (morphisms)f Ft(\030)31 b Fz(and)26 b Ft(\030)1732 4998 y Fl(0)1797 4983 y Fz(are)g(isomorphisms)e(then)j(the)f(functor)h(is)e (called)0 5099 y(a)j Fs(monoidal)i(functor)p Fz(.)42 b(The)29 b(functor)g(is)f(called)f(a)h Fs(strict)j(monoidal)f(functor)e Fz(if)g Ft(\030)k Fz(and)d Ft(\030)3239 5114 y Fl(0)3306 5099 y Fz(are)g(the)0 5216 y(iden)m(tit)m(y)j(morphisms.)p eop %%Page: 79 82 79 81 bop 1244 251 a Fw(2.)35 b(MONOID)n(AL)d(CA)-6 b(TEGORIES)1200 b(79)149 450 y Fz(A)30 b(natural)f(transformation)e Ft(\020)35 b Fz(:)28 b Fx(F)37 b(\000)-59 b(!)27 b(F)1721 414 y Fr(0)1773 450 y Fz(b)s(et)m(w)m(een)32 b(w)m(eakly)f(monoidal)c (functors)j(is)f(called)0 566 y(a)j Fs(monoidal)i(natur)-5 b(al)35 b(tr)-5 b(ansformation)31 b Fz(if)h(the)h(diagrams)382 1363 y Fx(F)464 1326 y Fr(0)487 1363 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))22 b Fx(\012)h(F)871 1326 y Fr(0)894 1363 y Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))194 b Fx(F)1334 1326 y Fr(0)1357 1363 y Fz(\()p Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)10 b Fz(\))p 1087 1340 137 4 v 1141 1338 a Fm(-)1127 1408 y Fq(\030)1161 1384 y Fk(0)405 875 y Fx(F)g Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(N)g Fz(\))229 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(M)32 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))p 1063 852 172 4 v 1152 850 a Fm(-)1132 818 y Fq(\030)p 718 1269 4 351 v 720 1269 a Fm(?)555 1111 y Fq(\020)5 b Fr(\012)p Fq(\020)p 1498 1269 V 1500 1269 a Fm(?)1539 1111 y Fq(\020)2584 731 y Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(I)e Fz(\))2272 1130 y Ft(I)2367 918 y Fq(\030)2398 927 y Fo(0)2366 1028 y Fm(\000)2449 945 y(\000)2532 862 y(\000)2536 857 y(\000)-83 b(\022)2572 1511 y Fx(F)2654 1475 y Fr(0)2677 1511 y Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))2367 1306 y Fq(\030)2401 1283 y Fk(0)2398 1327 y Fo(0)2366 1247 y Fm(@)2449 1330 y(@)2532 1413 y(@)2536 1418 y(@)-83 b(R)p 2686 1418 4 644 v 69 w(?)2727 1113 y Fq(\020)0 1667 y Fz(comm)m(ute.)149 1784 y(Let)39 b Fx(C)45 b Fz(and)38 b Fx(D)k Fz(b)s(e)c(monoidal)e(categories.)61 b(A)39 b(monoidal)c(functor)k Fx(F)47 b Fz(:)38 b Fx(C)44 b(\000)-59 b(!)37 b(D)k Fz(is)d(called)0 1900 y(a)e Fs(monoidal)h(e)-5 b(quivalenc)g(e)36 b Fz(if)f(there)i(exists)h(a)e(monoidal)e(functor)i Fx(G)41 b Fz(:)35 b Fx(D)i(\000)-60 b(!)34 b(C)43 b Fz(and)37 b(monoidal)0 2016 y(natural)31 b(isomorphisms)g Ft(')d Fz(:)f Fx(G)6 b(F)1271 1988 y(\030)1272 2020 y Fz(=)1376 2016 y(Id)1465 2031 y Fr(C)1543 2016 y Fz(and)33 b Ft( )e Fz(:)d Fx(F)10 b(G)2056 1988 y(\030)2057 2020 y Fz(=)2161 2016 y(Id)2251 2031 y Fr(D)2312 2016 y Fz(.)149 2163 y Fv(Prop)s(osition)36 b(3.2.12.)42 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(G)g Fs(b)-5 b(e)35 b(a)f(monoid.)198 2311 y Fz(\(1\))41 b Fs(The)51 b(monoidal)f(c)-5 b(ate)g(gory)51 b Fx(M)1536 2275 y Fq(G)1646 2311 y Fs(of)g Ft(G)p Fs(-families)e(of)i(ve)-5 b(ctor)51 b(sp)-5 b(ac)g(es)50 b(is)h(monoidal)5 b(ly)364 2430 y(e)-5 b(quivalent)35 b(to)g(the)g(monoidal)e(c)-5 b(ate)g(gory)35 b Fx(M)2020 2394 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])2153 2430 y Fs(of)f Ft(G)p Fs(-gr)-5 b(ade)g(d)34 b(ve)-5 b(ctor)35 b(sp)-5 b(ac)g(es.)198 2546 y Fz(\(2\))41 b Fs(The)36 b(monoidal)f(c)-5 b(ate)g(gory)36 b Fx(M)1491 2510 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])1626 2546 y Fs(of)g Ft(G)p Fs(-gr)-5 b(ade)g(d)35 b(ve)-5 b(ctor)37 b(sp)-5 b(ac)g(es)35 b(is)h(monoidal)5 b(ly)35 b(e)-5 b(quiv-)364 2662 y(alent)35 b(to)g(the)g(monoidal)e(c)-5 b(ate)g(gory)35 b(of)g Fu(K)17 b Ft(G)p Fs(-c)-5 b(omo)g(dules)40 b Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b(-)p Fu(K)h Ft(G)6 b Fs(.)149 2855 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(use)h(the)f(follo)m(wing)d(constructions.)149 2977 y(\(1\))f(F)-8 b(or)28 b(a)g Ft(G)p Fz(-family)e(\()p Ft(V)1050 2992 y Fq(g)1090 2977 y Fx(j)p Ft(g)31 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(\))g(w)m(e)i(construct)g(a)e Ft(G)p Fz(-graded)h(v)m(ector)h (space)3061 2952 y(^)3047 2977 y Ft(V)49 b Fz(:=)27 b Fx(\010)3360 2992 y Fq(g)r Fr(2)p Fq(G)3503 2977 y Ft(V)3560 2992 y Fq(g)0 3107 y Fz(\(exterior)33 b(direct)f(sum\))h(with)f(the)h (subspaces)1772 3082 y(^)1757 3107 y Ft(V)1814 3122 y Fq(g)1882 3107 y Fz(:=)28 b(Im)o(\()p Ft(V)2224 3122 y Fq(g)2264 3107 y Fz(\))33 b(in)f(the)h(direct)g(sum.)44 b(Con)m(v)m(ersely)0 3224 y(if)33 b(\()p Ft(V)5 b(;)17 b Fz(\()p Ft(V)330 3239 y Fq(g)369 3224 y Fx(j)p Ft(g)33 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(\)\))j(is)h(a)f Ft(G)p Fz(-graded)g(v)m(ector)i (space)g(then)f(\()p Ft(V)2245 3239 y Fq(g)2285 3224 y Fx(j)p Ft(g)f Fx(2)d Ft(G)p Fz(\))j(is)h(a)f Ft(G)p Fz(-family)e(of)i(v)m(ector)0 3340 y(spaces.)84 b(Similar)42 b(constructions)k(are)g(used)h(for)e(morphisms.)81 b(It)46 b(is)f(easy)h(to)f(see)i(that)f(the)0 3456 y(categories)32 b Fx(M)570 3420 y Fq(G)662 3456 y Fz(and)g Fx(M)971 3420 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])1102 3456 y Fz(are)g(equiv)-5 b(alen)m(t)33 b(monoidal)c(categories.)149 3572 y(\(2\))f(F)-8 b(or)27 b(a)h Ft(G)p Fz(-graded)f(v)m(ector)i(space)g(\()p Ft(V)5 b(;)17 b Fz(\()p Ft(V)1756 3587 y Fq(g)1796 3572 y Fx(j)p Ft(g)31 b Fx(2)d Ft(G)p Fz(\)\))g(w)m(e)h(construct)g(the)f Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(-como)s(dule)32 b Ft(V)0 3689 y Fz(with)25 b(the)g(structure)h(map)e Ft(\016)32 b Fz(:)c Ft(V)49 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(V)i Fx(\012)6 b Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(,)32 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))c(:=)f Ft(v)10 b Fx(\012)c Ft(g)30 b Fz(for)24 b(all)f(\(homogeneous)i(elemen)m(ts\))0 3805 y Ft(v)37 b Fx(2)d Ft(V)241 3820 y Fq(g)316 3805 y Fz(and)i(for)g(all)d Ft(g)k Fx(2)d Ft(G)p Fz(.)53 b(Con)m(v)m(ersely) 38 b(let)d(\()p Ft(V)5 b(;)17 b(\016)37 b Fz(:)d Ft(V)54 b Fx(\000)-59 b(!)33 b Ft(V)46 b Fx(\012)24 b Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(\))42 b(b)s(e)36 b(a)f Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(-como)s(dule.)0 3921 y(Then)34 b(one)g(constructs)h(the)e(v)m(ector)i(space)f Ft(V)55 b Fz(with)32 b(den)i(graded)g(\(homogenous\))e(comp)s(onen)m (ts)0 4037 y Ft(V)57 4052 y Fq(g)146 4037 y Fz(:=)49 b Fx(f)p Ft(v)k Fx(2)c Ft(V)22 b Fx(j)p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))48 b(=)h Ft(v)34 b Fx(\012)e Ft(g)t Fx(g)p Fz(.)80 b(It)45 b(is)g(easy)h(to)f(v)m(erify)-8 b(,)49 b(that)44 b(this)h(is)g(an)g(equiv)-5 b(alence)45 b(of)0 4154 y(categories.)149 4270 y(Since)40 b Fu(K)17 b Ft(G)46 b Fz(is)39 b(a)g(bialgebra,)g(the)h(category)g(of)f Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(-como)s(dules)44 b(is)39 b(a)g(monoidal)e(category)0 4386 y(b)m(y)32 b(Prop)s(osition)e(3.1.7.)42 b(One)32 b(then)f(c)m(hec)m(ks)j(that)d(under)h(the)g(equiv)-5 b(alence)31 b(b)s(et)m(w)m(een)j Fx(M)3314 4350 y Fl([)p Fq(G)p Fl(])3443 4386 y Fz(and)0 4502 y Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)p Fu(K)h Ft(G)41 b Fz(tensor)c(pro)s(ducts)f(are)f(mapp)s (ed)h(in)m(to)e(corresp)s(onding)i(tensor)g(pro)s(ducts)g(so)g(that)0 4618 y(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)g(a)e(monoidal)e(equiv)-5 b(alence.)2141 b Fh(\003)149 4811 y Fv(Problem)36 b(3.2.22.)42 b Fz(Giv)m(e)32 b(a)h(detailed)e(pro)s(of)h(of)g(Prop)s(osition)f(3.2.12.)149 4958 y Fv(Example)38 b(3.2.13.)43 b Fz(The)35 b(follo)m(wing)c(is)i(a)g (bialgebra)f Ft(B)j Fz(=)29 b Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(x;)f(y)t Fx(i)p Ft(=I)8 b Fz(,)38 b(where)d Ft(I)42 b Fz(is)33 b(gener-)0 5074 y(ated)38 b(b)m(y)g Ft(x)417 5038 y Fl(2)457 5074 y Ft(;)17 b(xy)28 b Fz(+)d Ft(y)t(x)p Fz(.)58 b(The)38 b(diagonal)d(is)i(\001\()p Ft(y)t Fz(\))e(=)g Ft(y)29 b Fx(\012)d Ft(y)t Fz(,)37 b(\001\()p Ft(x)p Fz(\))g(=)e Ft(x)26 b Fx(\012)g Ft(y)i Fz(+)d(1)h Fx(\012)f Ft(x)38 b Fz(and)g(the)0 5191 y(counit)32 b(is)g Ft(\017)p Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))27 b(=)h(1)p Ft(;)17 b(\017)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(0.)p eop %%Page: 80 83 80 82 bop 0 251 a Fw(80)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fv(Prop)s(osition)g(3.2.14.)38 b Fs(The)30 b(monoidal)f(c)-5 b(ate)g(gory)31 b Fx(C)6 b Fs(omp)16 b(-)p Fu(K)54 b Fs(of)30 b(chain)g(c)-5 b(omplexes)29 b(over)i Fu(K)0 566 y Fs(is)38 b(monoidal)5 b(ly)38 b(e)-5 b(quivalent)38 b(to)h(the)f(c)-5 b(ate)g(gory)39 b(of)f Ft(B)5 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dules)38 b Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b(-)o Ft(B)44 b Fs(with)39 b Ft(B)k Fs(as)c(in)f(the)0 683 y(pr)-5 b(e)g(c)g(e)g(ding)34 b(example.)149 896 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)42 b(use)g(the)g(follo)m(wing)d (construction.)70 b(A)41 b(c)m(hain)h(complex)e Ft(M)52 b Fz(is)41 b(mapp)s(ed)g(to)0 1012 y(the)f Ft(B)5 b Fz(-como)s(dule)38 b Ft(M)51 b Fz(=)40 b Fx(\010)1068 1027 y Fq(i)p Fr(2)p Fp(N)1192 1012 y Ft(M)1286 1027 y Fq(i)1354 1012 y Fz(with)g(the)g (structure)h(map)e Ft(\016)44 b Fz(:)c Ft(M)51 b Fx(\000)-59 b(!)39 b Ft(M)f Fx(\012)28 b Ft(B)5 b Fz(,)42 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))e(:=)0 1053 y Fj(P)122 1128 y Ft(m)24 b Fx(\012)g Ft(y)384 1092 y Fq(i)434 1128 y Fz(+)g Ft(@)585 1143 y Fq(i)613 1128 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))g Fx(\012)g Ft(xy)1006 1092 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1159 1128 y Fz(for)34 b(all)e Ft(m)g Fx(2)f Ft(M)1755 1143 y Fq(i)1818 1128 y Fz(and)k(for)f(all)e Ft(i)g Fx(2)f Fu(N)50 b Fz(resp.)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))31 b(:=)g Ft(m)24 b Fx(\012)g Fz(1)34 b(for)0 1244 y Ft(m)39 b Fx(2)g Ft(M)323 1259 y Fl(0)363 1244 y Fz(.)62 b(Con)m(v)m(ersely)41 b(if)d Ft(M)5 b(;)17 b(\016)43 b Fz(:)38 b Ft(M)50 b Fx(\000)-60 b(!)38 b Ft(M)g Fx(\012)27 b Ft(B)44 b Fz(is)38 b(a)h Ft(B)5 b Fz(-como)s(dule,)39 b(then)h(one)f(asso)s(ciates)0 1360 y(with)32 b(it)f(the)h(v)m(ector)i(spaces)f Ft(M)1171 1375 y Fq(i)1228 1360 y Fz(:=)27 b Fx(f)p Ft(m)h Fx(2)g Ft(M)10 b Fx(j9)p Ft(m)1887 1324 y Fr(0)1939 1360 y Fx(2)28 b Ft(M)10 b Fz([)p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))29 b(=)f Ft(m)21 b Fx(\012)h Ft(y)2762 1324 y Fq(i)2810 1360 y Fz(+)f Ft(m)2992 1324 y Fr(0)3037 1360 y Fx(\012)h Ft(xy)3243 1324 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)3361 1360 y Fx(g)32 b Fz(and)0 1477 y(the)k(linear)d(maps)i Ft(@)753 1492 y Fq(i)814 1477 y Fz(:)d Ft(M)967 1492 y Fq(i)1027 1477 y Fx(\000)-59 b(!)32 b Ft(M)1271 1492 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1424 1477 y Fz(with)j Ft(@)1700 1492 y Fq(i)1729 1477 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))d(:=)g Ft(m)2142 1441 y Fr(0)2201 1477 y Fz(for)i Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))f(=)f Ft(m)24 b Fx(\012)g Ft(y)2963 1441 y Fq(i)3014 1477 y Fz(+)g Ft(m)3199 1441 y Fr(0)3247 1477 y Fx(\012)g Ft(xy)3455 1441 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)3573 1477 y Fz(.)0 1593 y(It)33 b(is)g(c)m(hec)m(k)m(ed)k(easily)c(that)g(this)g(is)g(an)g (equiv)-5 b(alence)34 b(of)f(categories.)45 b(By)34 b(Problem)f(\(41\)) f(this)h(is)0 1709 y(a)f(monoidal)e(equiv)-5 b(alence.)2510 b Fh(\003)149 1922 y Fv(Problem)36 b(3.2.23.)240 b Fz(\(1\))42 b(Giv)m(e)51 b(a)g(detailed)f(pro)s(of)h(that)g Fx(C)6 b Fs(omp)16 b Fz(-)p Fu(K)75 b Fz(and)51 b Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(B)364 2038 y Fz(with)49 b Ft(B)k Fz(as)c(in)f(the)h (preceding)g(Prop)s(osition)e(3.2.14)g(are)i(monoidally)c(equiv)-5 b(alen)m(t)364 2155 y(categories.)514 2271 y(\(Y)d(ou)32 b(ma)m(y)h(use)g(the)g(follo)m(wing)d(argumen)m(ts:)364 2387 y(Let)j Ft(M)39 b Fx(2)28 b(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(B)5 b Fz(.)44 b(De\014ne)589 2582 y Ft(M)683 2597 y Fq(i)740 2582 y Fz(:=)27 b Fx(f)p Ft(m)h Fx(2)g Ft(M)10 b Fx(j9)p Ft(m)1399 2541 y Fr(0)1451 2582 y Fx(2)28 b Ft(M)39 b Fz(:)28 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))f(=)h Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(y)2331 2541 y Fq(i)2380 2582 y Fz(+)f Ft(m)2563 2541 y Fr(0)2609 2582 y Fx(\012)h Ft(xy)2816 2541 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)2934 2582 y Fx(g)p Ft(:)364 2778 y Fz(Let)37 b Ft(m)e Fx(2)g Ft(M)10 b Fz(.)57 b(Since)36 b Ft(y)1262 2742 y Fq(i)1290 2778 y Ft(;)17 b(xy)1441 2742 y Fq(i)1505 2778 y Fz(form)35 b(a)i(basis)f(of)g Ft(B)42 b Fz(w)m(e)c(ha)m(v)m(e)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))d(=)3029 2703 y Fj(P)3134 2807 y Fq(i)3179 2778 y Ft(m)3264 2793 y Fq(i)3317 2778 y Fx(\012)26 b Ft(y)3472 2742 y Fq(i)3524 2778 y Fz(+)364 2820 y Fj(P)470 2924 y Fq(i)514 2895 y Ft(m)599 2859 y Fr(0)599 2920 y Fq(i)659 2895 y Fx(\012)32 b Ft(xy)875 2859 y Fq(i)902 2895 y Fz(.)84 b(Apply)46 b(\()p Ft(\016)35 b Fx(\012)c Fz(1\))p Ft(\016)54 b Fz(=)c(\(1)31 b Fx(\012)h Fz(\001\))p Ft(\016)50 b Fz(to)45 b(this)h(equation)f(and)h(compare)364 3011 y(co)s(e\016cien)m(ts)34 b(to)e(get)712 3207 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)882 3222 y Fq(i)910 3207 y Fz(\))c(=)g Ft(m)1165 3222 y Fq(i)1215 3207 y Fx(\012)23 b Ft(y)1367 3165 y Fq(i)1416 3207 y Fz(+)f Ft(m)1599 3165 y Fr(0)1599 3231 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1740 3207 y Fx(\012)h Ft(xy)1947 3165 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)2065 3207 y Ft(;)114 b(\016)t Fz(\()p Ft(m)2376 3165 y Fr(0)2376 3231 y Fq(i)2404 3207 y Fz(\))28 b(=)f Ft(m)2658 3165 y Fr(0)2658 3231 y Fq(i)2709 3207 y Fx(\012)c Ft(y)2861 3165 y Fq(i)364 3402 y Fz(for)43 b(all)f Ft(i)47 b Fx(2)g Fu(N)930 3417 y Fl(0)1019 3402 y Fz(\(with)c Ft(m)1375 3366 y Fr(0)1375 3426 y(\000)p Fl(1)1516 3402 y Fz(=)j(0\).)77 b(Consequen)m(tly)45 b(for)f(eac)m(h)g Ft(m)2920 3417 y Fq(i)2995 3402 y Fx(2)j Ft(M)3202 3417 y Fq(i)3274 3402 y Fz(there)d(is)364 3518 y(exactly)33 b(one)g Ft(@)5 b Fz(\()p Ft(m)1058 3533 y Fq(i)1088 3518 y Fz(\))27 b(=)h Ft(m)1342 3482 y Fr(0)1342 3543 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1488 3518 y Fx(2)g Ft(M)43 b Fz(suc)m(h)34 b(that)1089 3722 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)1259 3737 y Fq(i)1287 3722 y Fz(\))28 b(=)f Ft(m)1541 3737 y Fq(i)1592 3722 y Fx(\012)c Ft(y)1744 3681 y Fq(i)1793 3722 y Fz(+)f Ft(@)5 b Fz(\()p Ft(m)2070 3737 y Fq(i)2099 3722 y Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(xy)2366 3681 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)2484 3722 y Ft(:)364 3917 y Fz(Since)35 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)791 3881 y Fr(0)791 3942 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)909 3917 y Fz(\))c(=)f Ft(m)1169 3881 y Fr(0)1169 3942 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1312 3917 y Fx(\012)23 b Ft(y)1464 3881 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1616 3917 y Fz(for)34 b(all)e Ft(i)f Fx(2)g Fu(N)49 b Fz(w)m(e)36 b(see)f(that)f Ft(@)5 b Fz(\()p Ft(m)2868 3932 y Fq(i)2898 3917 y Fz(\))30 b Fx(2)h Ft(M)3157 3932 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)3276 3917 y Fz(.)49 b(So)34 b(w)m(e)364 4033 y(ha)m(v)m(e)40 b(de\014ned)f Ft(@)j Fz(:)37 b Ft(M)1187 4048 y Fq(i)1252 4033 y Fx(\000)-59 b(!)36 b Ft(M)1500 4048 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1618 4033 y Fz(.)60 b(F)-8 b(urthermore)37 b(w)m(e)i(see)g(from)d (this)i(equation)f(that)364 4150 y Ft(@)420 4114 y Fl(2)461 4150 y Fz(\()p Ft(m)584 4165 y Fq(i)612 4150 y Fz(\))43 b(=)g(0)e(for)g(all)e Ft(i)44 b Fx(2)f Fu(N)9 b Fz(.)76 b(Hence)43 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(obtained)e(a)g(c)m(hain)g(complex)g (from)364 4266 y(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(\016)t Fz(\).)514 4382 y(If)44 b(w)m(e)h(apply)f(\(1)30 b Fx(\012)h Ft(\017)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))48 b(=)f Ft(m)e Fz(then)g(w)m(e)g(get)f Ft(m)k Fz(=)2689 4307 y Fj(P)2811 4382 y Ft(m)2896 4397 y Fq(i)2968 4382 y Fz(with)c Ft(m)3287 4397 y Fq(i)3363 4382 y Fx(2)k Ft(M)3571 4397 y Fq(i)364 4498 y Fz(hence)30 b Ft(M)38 b Fz(=)28 b Fx(\010)944 4513 y Fq(i)p Fr(2)p Fp(N)1067 4498 y Ft(M)1161 4513 y Fq(i)1190 4498 y Fz(.)42 b(This)28 b(together)g(with)f(the)i(in)m(v)m (erse)g(construction)f(leads)g(to)g(the)364 4615 y(required)33 b(equiv)-5 b(alence.\))198 4731 y(\(2\))41 b(Sho)m(w)28 b(that)e(the)g(category)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fx(C)h Fs(o)-5 b(c)g(omp)42 b Fz(of)26 b(co)s(c)m(hain)g(complexes)h(is)f(monoidally)d (equiv-)364 4847 y(alen)m(t)33 b(to)f Ft(B)5 b Fz(-)o Fx(C)h Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(,)33 b(where)h Ft(B)k Fz(is)32 b(c)m(hosen)i(as)f(in)e(Example)h(3.2.13.)198 4963 y(\(3\))41 b(Sho)m(w)34 b(that)e(the)h(bialgebra)e Ft(B)38 b Fz(from)31 b(Example)h(3.2.13)g(is)g(a)g(Hopf)h(algebra.)149 5099 y(W)-8 b(e)35 b(can)f(generalize)f(the)i(notions)e(of)g(an)h(algebra)f (or)h(of)f(a)h(coalgebra)f(in)g(the)h(con)m(text)i(of)d(a)0 5216 y(monoidal)d(category)-8 b(.)43 b(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)p eop %%Page: 81 84 81 83 bop 1244 251 a Fw(2.)35 b(MONOID)n(AL)d(CA)-6 b(TEGORIES)1200 b(81)149 450 y Fv(De\014nition)47 b(3.2.15.)f Fz(Let)c Fx(C)47 b Fz(b)s(e)42 b(a)f(monoidal)d(category)-8 b(.)70 b(An)41 b Fs(algebr)-5 b(a)41 b Fz(or)g(a)g Fs(monoid)f Fz(in)0 566 y Fx(C)49 b Fz(consists)43 b(of)f(an)g(ob)5 b(ject)44 b Ft(A)e Fz(together)h(with)f(a)g(m)m(ultiplication)c Fx(r)44 b Fz(:)h Ft(A)29 b Fx(\012)g Ft(A)45 b Fx(\000)-60 b(!)45 b Ft(A)d Fz(that)g(is)0 683 y(asso)s(ciativ)m(e)1227 1285 y Ft(A)23 b Fx(\012)f Ft(A)805 b(A)p 1524 1257 747 4 v 2188 1255 a Fm(-)1868 1319 y Fr(r)1130 797 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)f Fx(\012)h Ft(A)609 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)p 1622 769 552 4 v 2091 767 a Fm(-)1805 741 y Fl(id)12 b Fr(\012r)p 1360 1187 4 351 v 1361 1187 a Fm(?)1173 1030 y Fr(r\012)p Fl(1)p 2335 1187 V 2336 1187 a Fm(?)2375 1034 y Fr(r)0 1421 y Fz(or)32 b(more)g(precisely)818 1591 y(\()p Ft(A)23 b Fx(\012)f Ft(A)p Fz(\))g Fx(\012)h Ft(A)241 b(A)23 b Fx(\012)f Fz(\()p Ft(A)g Fx(\012)h Ft(A)p Fz(\))p 1386 1568 184 4 v 1487 1566 a Fm(-)1455 1547 y Fq(\013)2514 1591 y Ft(A)f Fx(\012)h Ft(A)p 2166 1568 319 4 v 2402 1566 a Fm(-)2233 1540 y Fl(id)11 b Fr(\012r)954 1986 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)1389 b(A)p 1251 1958 1332 4 v 2500 1956 a Fm(-)1887 1937 y Fr(r)p 1086 1888 4 254 v 1088 1888 a Fm(?)876 1781 y Fr(r\012)p Fl(id)p 2646 1888 V 2648 1888 a Fm(?)2687 1784 y Fr(r)0 2117 y Fz(and)33 b(has)g(a)f(unit)g Ft(\021)f Fz(:)d Ft(I)36 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)33 b Fz(suc)m(h)h(that)e(the)h (follo)m(wing)d(diagram)h(comm)m(utes)1072 2298 y Ft(I)f Fx(\012)23 b Ft(A)1345 2270 y Fx(\030)1346 2302 y Fz(=)1450 2298 y Ft(A)1551 2270 y Fx(\030)1552 2302 y Fz(=)1656 2298 y Ft(A)g Fx(\012)f Ft(I)434 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)p 1931 2270 369 4 v 2217 2268 a Fm(-)2033 2236 y Fl(id)12 b Fr(\012)p Fq(\021)p 1193 2687 4 351 v 1195 2687 a Fm(?)1004 2528 y Fq(\021)r Fr(\012)p Fl(id)p 2460 2687 V 2462 2687 a Fm(?)2501 2534 y Fr(r)1061 2785 y Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(A)1084 b(A:)p 1357 2757 1026 4 v 2300 2755 a Fm(-)1841 2820 y Fr(r)2037 2535 y Fl(id)1624 2378 y Fm(H)1707 2419 y(H)1790 2461 y(H)1873 2502 y(H)1956 2544 y(H)2039 2585 y(H)2122 2627 y(H)2205 2668 y(H)2242 2687 y(H)-83 b(j)149 2942 y Fz(Let)31 b Ft(A)g Fz(and)f Ft(B)36 b Fz(b)s(e)30 b(algebras)g(in)g Fx(C)6 b Fz(.)43 b(A)31 b Fs(morphism)g(of)i(algebr) -5 b(as)29 b Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(A)h Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)36 b Fz(is)30 b(a)g(morphism)0 3058 y(in)i Fx(C)39 b Fz(suc)m(h)34 b(that)875 3711 y Ft(A)509 b(B)p 977 3679 452 4 v 1346 3677 a Fm(-)1182 3743 y Fq(f)778 3220 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)311 b(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)p 1075 3191 254 4 v 1246 3189 a Fm(-)1133 3158 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fq(f)p 910 3609 4 351 v 912 3609 a Fm(?)764 3451 y Fr(r)823 3462 y Fn(A)p 1495 3609 V 1497 3609 a Fm(?)1536 3451 y Fr(r)1595 3462 y Fn(B)1978 3458 y Fz(and)2617 3224 y Ft(I)2376 3441 y Fq(\021)2411 3452 y Fn(A)2567 3341 y Fm(\001)2526 3424 y(\001)2484 3507 y(\001)2443 3590 y(\001)2433 3609 y(\001)-42 b(\013)2824 3441 y Fq(\021)2859 3452 y Fn(B)2677 3341 y Fm(A)2718 3424 y(A)2760 3507 y(A)2801 3590 y(A)2811 3609 y(A)g(U)2362 3711 y Ft(A)412 b(B)p 2464 3679 354 4 v 2735 3677 a Fm(-)2620 3645 y Fq(f)0 3870 y Fz(comm)m(ute.)149 4009 y Fv(Remark)31 b(3.2.16.)38 b Fz(It)28 b(is)f(ob)m(vious)g(that)g(the)h(comp)s (osition)d(of)i(t)m(w)m(o)h(morphisms)e(of)h(algebras)0 4125 y(is)34 b(again)g(a)g(morphism)f(of)i(algebras.)49 b(The)36 b(iden)m(tit)m(y)f(also)f(is)g(a)g(morphism)f(of)i(algebras.) 49 b(Th)m(us)0 4241 y(w)m(e)34 b(obtain)d(the)i(category)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fx(C)6 b Fz(\))33 b(of)f(algebras)g(in)f Fx(C)6 b Fz(.)149 4380 y Fv(De\014nition)37 b(3.2.17.)42 b Fz(Let)34 b Fx(C)39 b Fz(b)s(e)33 b(a)g(monoidal)d(category)-8 b(.)46 b(A)33 b Fs(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)32 b Fz(or)g(a)h Fs(c)-5 b(omonoid)32 b Fz(in)0 4496 y Fx(C)44 b Fz(consists)39 b(of)e(an)h(ob)5 b(ject)38 b Ft(C)45 b Fz(together)38 b(with)f(a)h(com)m(ultiplication)33 b(\001)k(:)g Ft(A)f Fx(\000)-59 b(!)36 b Ft(A)26 b Fx(\012)g Ft(A)38 b Fz(that)f(is)0 4612 y(coasso)s(ciativ)m(e)1125 5207 y Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)607 b(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)p 1430 5179 543 4 v 1890 5177 a Fm(-)1608 5242 y Fl(id)12 b Fr(\012)p Fl(\001)1224 4719 y Ft(C)806 b(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)p 1330 4691 741 4 v 1988 4689 a Fm(-)1671 4670 y Fl(\001)p 1261 5108 4 351 v 1263 5108 a Fm(?)1165 4956 y Fl(\001)p 2236 5108 V 2238 5108 a Fm(?)2277 4952 y Fl(\001)p Fr(\012)p Fl(id)p eop %%Page: 82 85 82 84 bop 0 251 a Fw(82)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fz(or)h(more)g(precisely)1456 1037 y(\()p Ft(C)d Fx(\012)23 b Ft(C)7 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(C)237 b(C)29 b Fx(\012)23 b Fz(\()p Ft(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(C)7 b Fz(\))p 2035 1014 172 4 v 2124 1012 a Fm(-)2099 993 y Fq(\013)813 1037 y Ft(C)30 b Fx(\012)22 b Ft(C)p 1118 1014 310 4 v 1345 1012 a Fm(-)1186 986 y Fl(\001)p Fr(\012)p Fl(id)913 652 y Ft(C)1390 b(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)p 1019 624 1326 4 v 2262 622 a Fm(-)1652 603 y Fl(\001)p 2510 944 4 254 v 2511 944 a Fm(?)2288 837 y Fl(id)12 b Fr(\012)p Fl(\001)p 950 944 V 951 944 a Fm(?)990 840 y Fl(\001)0 1219 y Fz(and)33 b(has)g(a)f(counit)g Ft(")27 b Fz(:)h Ft(C)35 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(I)41 b Fz(suc)m(h)34 b(that)e(the)h(follo)m(wing)d(diagram)g(comm)m(utes) 1101 1477 y Ft(C)1098 b(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(C)p 1206 1449 1034 4 v 2157 1447 a Fm(-)1694 1428 y Fl(\001)p 1137 1866 4 351 v 1139 1866 a Fm(?)1041 1714 y Fl(\001)p 2405 1866 V 2406 1866 a Fm(?)2445 1711 y Fl(id)12 b Fr(\012)p Fq(\017)1001 1965 y Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)410 b(I)30 b Fx(\012)22 b Ft(C)1957 1937 y Fx(\030)1958 1969 y Fz(=)2062 1965 y Ft(C)2167 1937 y Fx(\030)2167 1969 y Fz(=)2272 1965 y Ft(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(I)8 b(:)p 1306 1937 346 4 v 1569 1935 a Fm(-)1407 2000 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(id)1689 1714 y(id)1275 1557 y Fm(H)1359 1598 y(H)1442 1640 y(H)1525 1682 y(H)1608 1723 y(H)1691 1765 y(H)1774 1806 y(H)1857 1848 y(H)1894 1866 y(H)-83 b(j)149 2144 y Fz(Let)43 b Ft(C)50 b Fz(and)43 b Ft(D)j Fz(b)s(e)d(coalgebras)f(in)g Fx(C)6 b Fz(.)75 b(A)42 b Fs(morphism)h(of)h(c)-5 b(o)g(algebr)g(as)42 b Ft(f)56 b Fz(:)45 b Ft(C)52 b Fx(\000)-59 b(!)44 b Ft(D)i Fz(is)c(a)0 2260 y(morphism)31 b(in)h Fx(C)38 b Fz(suc)m(h)c(that)776 2963 y Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)309 b(D)25 b Fx(\012)e Ft(D)p 1080 2935 245 4 v 1242 2933 a Fm(-)1134 2999 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fq(f)875 2480 y Ft(C)512 b(D)p 981 2447 448 4 v 1346 2445 a Fm(-)1184 2414 y Fq(f)p 912 2865 4 351 v 914 2865 a Fm(?)764 2707 y Fl(\001)823 2718 y Fn(C)p 1497 2865 V 1499 2865 a Fm(?)1538 2707 y Fl(\001)1597 2718 y Fn(D)1978 2714 y Fz(and)2619 2990 y Ft(I)2379 2721 y Fq(")2412 2732 y Fn(C)2435 2619 y Fm(A)2477 2702 y(A)2518 2785 y(A)2560 2868 y(A)2569 2887 y(A)-42 b(U)2826 2721 y Fq(")2859 2732 y Fn(D)2813 2619 y Fm(\001)2771 2702 y(\001)2730 2785 y(\001)2688 2868 y(\001)2679 2887 y(\001)g(\013)2363 2502 y Ft(C)414 b(D)p 2468 2470 351 4 v 2736 2468 a Fm(-)2622 2436 y Fq(f)0 3161 y Fz(comm)m(ute.)149 3317 y Fv(Remark)37 b(3.2.18.)k Fz(It)32 b(is)g(ob)m(vious)g(that)f(the)i(comp)s(osition)c (of)j(t)m(w)m(o)g(morphisms)f(of)g(coalge-)0 3433 y(bras)26 b(is)e(again)g(a)h(morphism)f(of)g(coalgebras.)41 b(The)26 b(iden)m(tit)m(y)f(also)f(is)h(a)g(morphism)f(of)g(coalgebras.)0 3549 y(Th)m(us)34 b(w)m(e)g(obtain)d(the)i(category)g Fx(C)6 b Fs(o)-5 b(alg)16 b Fz(\()p Fx(C)6 b Fz(\))33 b(of)f(coalgebras)g(in)g Fx(C)6 b Fz(.)149 3685 y Fv(Remark)46 b(3.2.19.)h Fz(Observ)m(e)42 b(that)e(the)h(notions)f(of)g(bialgebra,)h (Hopf)f(algebra,)i(and)e(co-)0 3802 y(mo)s(dule)i(algebra)h(cannot)h(b) s(e)g(generalized)f(to)g(an)h(arbitrary)f(monoidal)e(category)j(since)g (w)m(e)0 3918 y(need)g(to)f(ha)m(v)m(e)i(an)e(algebra)f(structure)i(on) f(the)h(tensor)g(pro)s(duct)f(of)g(t)m(w)m(o)h(algebras)e(and)h(this)0 4034 y(requires)36 b(us)g(to)e(in)m(terc)m(hange)i(the)g(middle)d (tensor)j(factors.)51 b(These)37 b(in)m(terc)m(hanges)f(or)f(\015ips)g (are)0 4150 y(kno)m(wn)i(under)f(the)g(name)f(symmetry)-8 b(,)37 b(quasisymmetry)f(or)f(braiding)f(and)h(will)e(b)s(e)j (discussed)0 4267 y(later)c(on.)1405 4576 y Fv(3.)56 b(Dual)37 b(Ob)6 b(jects)149 4751 y Fz(A)m(t)35 b(the)g(end)g(of)f(the) h(\014rst)f(section)h(in)e(Corollary)g(3.1.14)h(w)m(e)h(sa)m(w)g(that)f (the)h(dual)f(of)g(an)g Ft(H)8 b Fz(-)0 4867 y(mo)s(dule)26 b(can)i(b)s(e)g(constructed.)44 b(W)-8 b(e)28 b(did)f(not)g(sho)m(w)i (the)f(corresp)s(onding)g(result)g(for)f(como)s(dules.)0 4983 y(In)i(fact)f(suc)m(h)i(a)e(construction)h(for)f(como)s(dules)f (needs)j(some)f(\014niteness)g(conditions.)41 b(With)28 b(this)0 5099 y(restriction)40 b(the)h(notion)e(of)h(a)g(dual)g(ob)5 b(ject)42 b(can)e(b)s(e)h(in)m(tro)s(duced)g(in)f(an)g(arbitrary)g (monoidal)0 5216 y(category)-8 b(.)p eop %%Page: 83 86 83 85 bop 1429 251 a Fw(3.)35 b(DUAL)d(OBJECTS)1387 b(83)149 450 y Fv(De\014nition)42 b(3.3.1.)j Fz(Let)38 b(\()p Fx(C)6 b Ft(;)17 b Fx(\012)p Fz(\))38 b(b)s(e)f(a)h(monoidal)c (category)k Ft(M)47 b Fx(2)37 b(C)44 b Fz(b)s(e)38 b(an)f(ob)5 b(ject.)60 b(An)0 566 y(ob)5 b(ject)35 b Ft(M)401 530 y Fr(\003)473 566 y Fx(2)d(C)41 b Fz(together)35 b(with)f(a)g(morphism) f(ev)h(:)d Ft(M)2106 530 y Fr(\003)2170 566 y Fx(\012)24 b Ft(M)42 b Fx(\000)-59 b(!)30 b Ft(I)43 b Fz(is)34 b(called)g(a)g Fs(left)j(dual)d Fz(for)0 683 y Ft(M)43 b Fz(if)32 b(there)h(exists)g (a)g(morphism)d(db)e(:)g Ft(I)36 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)k Fx(\012)23 b Ft(M)2027 646 y Fr(\003)2100 683 y Fz(in)32 b Fx(C)38 b Fz(suc)m(h)c(that)1003 883 y(\()p Ft(M)1174 826 y Fl(db)12 b Fr(\012)p Fl(1)1184 883 y Fx(\000)-16 b(!)37 b Ft(M)c Fx(\012)22 b Ft(M)1712 847 y Fr(\003)1775 883 y Fx(\012)g Ft(M)2007 826 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)2007 883 y Fx(\000)-16 b(!)27 b Ft(M)10 b Fz(\))28 b(=)g(1)2518 898 y Fq(M)913 1030 y Fz(\()p Ft(M)1055 994 y Fr(\003)1123 974 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(db)1127 1030 y Fx(\000)-16 b(!)31 b Ft(M)1423 994 y Fr(\003)1485 1030 y Fx(\012)23 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1916 994 y Fr(\003)1984 974 y Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)1989 1030 y Fx(\000)-16 b(!)33 b Ft(M)2287 994 y Fr(\003)2327 1030 y Fz(\))28 b(=)f(1)2545 1045 y Fq(M)2620 1026 y Fk(\003)2660 1030 y Ft(:)0 1202 y Fz(A)33 b(monoidal)c(category)k(is)f (called)g Fs(left)j(rigid)d Fz(if)f(eac)m(h)j(ob)5 b(ject)33 b Ft(M)38 b Fx(2)28 b(C)39 b Fz(has)33 b(a)g(left)e(dual.)149 1319 y(Symmetrically)20 b(w)m(e)k(de\014ne:)39 b(an)22 b(ob)5 b(ject)1643 1282 y Fr(\003)1682 1319 y Ft(M)38 b Fx(2)29 b(C)f Fz(together)23 b(with)f(a)g(morphism)e(ev)30 b(:)e Ft(M)12 b Fx(\012)3455 1282 y Fr(\003)3495 1319 y Ft(M)0 1435 y Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(I)43 b Fz(is)34 b(called)g(a)g Fs(right)j(dual)d Fz(for)h Ft(M)45 b Fz(if)34 b(there)h(exists)g(a)g(morphism)e(db)f(:)f Ft(I)39 b Fx(\000)-59 b(!)3017 1399 y Fr(\003)3057 1435 y Ft(M)34 b Fx(\012)24 b Ft(M)46 b Fz(in)34 b Fx(C)0 1551 y Fz(suc)m(h)g(that) 1004 1691 y(\()p Ft(M)1174 1635 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(db)1178 1691 y Fx(\000)-16 b(!)31 b Ft(M)i Fx(\012)1597 1655 y Fr(\003)1636 1691 y Ft(M)g Fx(\012)23 b Ft(M)1995 1635 y Fl(ev)14 b Fr(\012)p Fl(1)2001 1691 y Fx(\000)-16 b(!)33 b Ft(M)10 b Fz(\))28 b(=)f(1)2517 1706 y Fq(M)913 1839 y Fz(\()951 1802 y Fr(\003)990 1839 y Ft(M)1122 1782 y Fl(db)13 b Fr(\012)p Fl(1)1132 1839 y Fx(\000)-16 b(!)1331 1802 y Fr(\003)1370 1839 y Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)33 b Fx(\012)1823 1802 y Fr(\003)1862 1839 y Ft(M)1995 1782 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)1995 1839 y Fx(\000)-16 b(!)2183 1802 y Fr(\003)2223 1839 y Ft(M)10 b Fz(\))28 b(=)f(1)2545 1835 y Fk(\003)2581 1854 y Fq(M)2660 1839 y Ft(:)0 1990 y Fz(A)33 b(monoidal)c(category)k(is)f(called)g Fs(right)j(rigid)d Fz(if)f(eac)m(h)j(ob)5 b(ject)33 b Ft(M)38 b Fx(2)28 b(C)39 b Fz(has)33 b(a)g(left)e(dual.)149 2107 y(The)j(morphisms)d(ev)k (and)e(db)g(are)f(called)f(the)i Fs(evaluation)f Fz(resp)s(ectiv)m(ely) i(the)f Fs(dual)i(b)-5 b(asis)p Fz(.)149 2253 y Fv(Remark)37 b(3.3.2.)42 b Fz(If)32 b(\()p Ft(M)1116 2217 y Fr(\003)1156 2253 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))32 b(is)g(a)g(left)f(dual)h(for)g Ft(M)43 b Fz(then)33 b(ob)m(viously)f(\()p Ft(M)5 b(;)17 b Fz(ev)r(\))32 b(is)g(a)g(righ)m(t)0 2369 y(dual)g(for)g Ft(M)470 2333 y Fr(\003)543 2369 y Fz(and)g(con)m(v)m(ersely)-8 b(.)46 b(One)33 b(uses)h(the)f(same)f(morphism)f(db)d(:)g Ft(I)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)3254 2333 y Fr(\003)3295 2369 y Fz(.)149 2515 y Fv(Lemma)45 b(3.3.3.)g Fs(L)-5 b(et)40 b Fz(\()p Ft(M)1175 2479 y Fr(\003)1216 2515 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))40 b Fs(b)-5 b(e)40 b(a)g(left)h(dual)f(for)g Ft(M)10 b Fs(.)63 b(Then)39 b(ther)-5 b(e)41 b(is)f(a)g(natur)-5 b(al)41 b(iso-)0 2632 y(morphism)1066 2767 y Fz(Mor)1242 2782 y Fr(C)1287 2767 y Fz(\()p Fs(-)22 b Fx(\012)h Ft(M)5 b(;)17 b Fs(-)p Fz(\))1725 2739 y Fx(\030)1726 2771 y Fz(=)1830 2767 y(Mor)2007 2782 y Fr(C)2052 2767 y Fz(\()p Fs(-)o Ft(;)g Fs(-)22 b Fx(\012)h Ft(M)2429 2726 y Fr(\003)2469 2767 y Fz(\))p Ft(;)0 2923 y Fs(i.)35 b(e.)44 b(the)35 b(functor)g(-)22 b Fx(\012)h Ft(M)38 b Fz(:)28 b Fx(C)34 b(\000)-57 b(!)27 b(C)41 b Fs(is)35 b(left)g(adjoint)f(to)h(the)g (functor)g(-)22 b Fx(\012)h Ft(M)2869 2887 y Fr(\003)2936 2923 y Fz(:)28 b Fx(C)34 b(\000)-57 b(!)27 b(C)6 b Fs(.)149 3112 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)27 b(giv)m(e)f(the)h(unit)e(and)h (the)h(counit)e(of)h(the)g(pair)g(of)f(adjoin)m(t)g(functors.)42 b(W)-8 b(e)27 b(de\014ne)0 3229 y(\010\()p Ft(A)p Fz(\))35 b(:=)f(1)440 3244 y Fq(A)522 3229 y Fx(\012)25 b Fz(db)35 b(:)f Ft(A)h Fx(\000)-60 b(!)35 b Ft(A)24 b Fx(\012)i Ft(M)35 b Fx(\012)26 b Ft(M)1624 3192 y Fr(\003)1700 3229 y Fz(and)37 b(\011\()p Ft(B)5 b Fz(\))34 b(:=)h(1)2346 3244 y Fq(B)2431 3229 y Fx(\012)25 b Fz(ev)37 b(:)d Ft(B)c Fx(\012)c Ft(M)3036 3192 y Fr(\003)3101 3229 y Fx(\012)f Ft(M)45 b Fx(\000)-59 b(!)34 b Ft(B)5 b Fz(.)0 3345 y(These)34 b(are)f(ob)m(viously)f(natural)g(transformations.)42 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)g(comm)m(utativ)m(e)f(diagrams)77 3546 y(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)811 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)1740 3510 y Fr(\003)1803 3546 y Fx(\012)g Ft(M)p 444 3523 742 4 v 1103 3521 a Fm(-)679 3485 y Fr(F)7 b Fl(\010\()p Fq(A)p Fl(\)=)611 3586 y(1)646 3597 y Fn(A)696 3586 y Fr(\012)p Fl(db)12 b Fr(\012)p Fl(1)931 3597 y Fn(M)2819 3546 y Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\))29 b(=)e(1)3336 3561 y Fq(A)p Fr(\012)p Fq(M)p 2036 3523 754 4 v 2707 3521 a Fm(-)2275 3485 y Fl(\011)p Fr(F)7 b Fl(\()p Fq(A)p Fl(\)=)2229 3583 y(1)2264 3594 y Fn(A)2314 3583 y Fr(\012)p Fl(1)2404 3594 y Fn(M)2472 3583 y Fr(\012)p Fl(ev)0 3734 y Fz(and)45 3935 y(\()p Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(M)388 3899 y Fr(\003)1182 3935 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)1487 3899 y Fr(\003)1550 3935 y Fx(\012)g Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1980 3899 y Fr(\003)p 457 3912 698 4 v 1071 3910 a Fm(-)673 3874 y Fl(\010)p Fr(G)t Fl(\()p Fq(B)s Fl(\)=)587 3976 y(1)622 3987 y Fn(B)675 3976 y Fr(\012)p Fl(1)765 3991 y Fn(M)828 3977 y Fk(\003)869 3976 y Fr(\012)p Fl(db)2766 3935 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)3071 3899 y Fr(\003)3111 3935 y Fz(\))28 b(=)g(1)3330 3950 y Fq(B)s Fr(\012)p Fq(M)3516 3931 y Fk(\003)p 2049 3912 690 4 v 2655 3910 a Fm(-)2259 3874 y Fr(G)t Fl(\011\()p Fq(B)s Fl(\)=)2184 3972 y(1)2219 3983 y Fn(B)2272 3972 y Fr(\012)p Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)2498 3987 y Fn(M)2561 3973 y Fk(\003)0 4133 y Fz(th)m(us)34 b(the)f(Lemma)e(has)i(b)s(een)g(pro)m(v)m(ed)h(b)m (y)g([Adv)-5 b(anced)33 b(Algebra])f(Corollary)f(5.17.)434 b Fh(\003)149 4323 y Fz(The)41 b(con)m(v)m(erse)i(holds)c(as)i(w)m (ell.)65 b(If)39 b(-)27 b Fx(\012)h Ft(M)51 b Fz(is)39 b(left)g(adjoin)m(t)g(to)h(-)26 b Fx(\012)i Ft(M)2831 4287 y Fr(\003)2911 4323 y Fz(then)41 b(the)f(unit)g(\010)0 4439 y(giv)m(es)g(a)f(morphism)e(db)i(:=)g(\010\()p Ft(I)8 b Fz(\))39 b(:)h Ft(I)46 b Fx(\000)-59 b(!)38 b Ft(M)g Fx(\012)27 b Ft(M)1973 4403 y Fr(\003)2052 4439 y Fz(and)40 b(the)f(counit)g(\011)g(giv)m(es)h(a)f(morphism)0 4555 y(ev)30 b(:=)e(\011\()p Ft(I)8 b Fz(\))27 b(:)h Ft(M)644 4519 y Fr(\003)706 4555 y Fx(\012)23 b Ft(M)38 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(I)40 b Fz(satisfying)32 b(the)h(required)g(prop)s(erties.) 43 b(Th)m(us)34 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)149 4701 y Fv(Corollary)h(3.3.4.) 41 b Fs(If)34 b(-)20 b Fx(\012)h Ft(M)38 b Fz(:)28 b Fx(C)34 b(\000)-57 b(!)27 b(C)40 b Fs(is)34 b(left)g(adjoint)f(to)h(-) 21 b Fx(\012)f Ft(M)2688 4665 y Fr(\003)2756 4701 y Fz(:)28 b Fx(C)34 b(\000)-57 b(!)27 b(C)40 b Fs(then)34 b Ft(M)3456 4665 y Fr(\003)3530 4701 y Fs(is)0 4818 y(a)h(left)g(dual)f(for)h Ft(M)10 b Fs(.)149 4964 y Fv(Corollary)42 b(3.3.5.)i Fz(\()p Ft(M)1100 4928 y Fr(\003)1140 4964 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))39 b Fs(is)g(a)g(left)h(dual)f(for)g Ft(M)50 b Fs(if)39 b(and)g(only)g(if)g(ther)-5 b(e)39 b(is)g(a)g(natur)-5 b(al)0 5080 y(isomorphism)1063 5216 y Fz(Mor)1239 5231 y Fr(C)1284 5216 y Fz(\()p Ft(M)1426 5174 y Fr(\003)1489 5216 y Fx(\012)22 b Fs(-)p Ft(;)17 b Fs(-)p Fz(\))1767 5188 y Fx(\030)1768 5220 y Fz(=)1873 5216 y(Mor)2049 5231 y Fr(C)2094 5216 y Fz(\()p Fs(-)p Ft(;)g(M)32 b Fx(\012)23 b Fs(-)p Fz(\))p Ft(;)p eop %%Page: 84 87 84 86 bop 0 251 a Fw(84)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fs(i.)37 b(e.)51 b(the)38 b(functor)f Ft(M)834 414 y Fr(\003)898 450 y Fx(\012)24 b Fs(-)32 b Fz(:)g Fx(C)39 b(\000)-58 b(!)32 b(C)43 b Fs(is)37 b(left)h(adjoint)e(to)i(the)f(functor)g Ft(M)e Fx(\012)24 b Fs(-)32 b Fz(:)g Fx(C)38 b(\000)-57 b(!)32 b(C)6 b Fs(.)52 b(The)0 566 y(natur)-5 b(al)35 b(isomorphism)e(if)i(given)f(by) 182 788 y Fz(\()p Ft(f)k Fz(:)28 b Ft(M)465 746 y Fr(\003)527 788 y Fx(\012)23 b Ft(N)38 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(P)14 b Fz(\))27 b Fx(7!)g Fz(\(\(1)1284 803 y Fq(M)1385 788 y Fx(\012)c Ft(f)11 b Fz(\)\(db)16 b Fx(\012)p Fz(1)1870 803 y Fq(N)1938 788 y Fz(\))27 b(:)h Ft(N)38 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)2652 746 y Fr(\003)2715 788 y Fx(\012)g Ft(N)38 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(P)14 b Fz(\))0 1009 y Fs(and)175 1230 y Fz(\()p Ft(g)31 b Fz(:)c Ft(N)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(P)14 b Fz(\))27 b Fx(7!)h Fz(\(\(ev)18 b Fx(\012)p Fz(1)1419 1245 y Fq(P)1478 1230 y Fz(\)\(1)1603 1245 y Fq(M)1678 1226 y Fk(\003)1740 1230 y Fx(\012)23 b Ft(g)t Fz(\))k(:)g Ft(M)2114 1189 y Fr(\003)2177 1230 y Fx(\012)22 b Ft(N)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)2644 1189 y Fr(\003)2706 1230 y Fx(\012)c Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(P)41 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(P)14 b Fz(\))p Ft(:)149 1475 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)h(a)f(natural)e(isomorphism)1068 1696 y(Mor)1244 1711 y Fr(C)1289 1696 y Fz(\()p Ft(M)1431 1655 y Fr(\003)1493 1696 y Fx(\012)23 b Fz(-)p Ft(;)17 b Fz(-)o(\))1767 1668 y Fx(\030)1768 1700 y Fz(=)1873 1696 y(Mor)2049 1711 y Fr(C)2094 1696 y Fz(\(-)o Ft(;)g(M)33 b Fx(\012)22 b Fz(-\))p Ft(;)0 1917 y Fz(i\013)44 b(\()p Ft(M)5 b(;)17 b Fz(ev)r(\))45 b(is)g(a)g(righ)m(t)f(dual)h(for)f Ft(M)1437 1881 y Fr(\003)1523 1917 y Fz(\(as)h(a)g(symmetric)f (statemen)m(t)i(to)f(Lemma)e(3.3.3\))i(i\013)0 2034 y(\()p Ft(M)142 1997 y Fr(\003)182 2034 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))33 b(is)f(a)g(left)g(dual)f(for)h Ft(M)10 b Fz(.)2284 b Fh(\003)149 2278 y Fv(Corollary)36 b(3.3.6.)42 b Fs(If)35 b Ft(M)45 b Fs(has)35 b(a)f(left)h(dual)g(then)g(this)f(is)h(unique)g (up)g(to)g(isomorphism.)149 2523 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)28 b(\()p Ft(M)846 2487 y Fr(\003)887 2523 y Ft(;)17 b Fz(ev)q(\))28 b(and)g(\()p Ft(M)1419 2487 y Fl(!)1444 2523 y Ft(;)17 b Fz(ev)1583 2487 y Fl(!)1607 2523 y Fz(\))28 b(b)s(e)g(left)f(duals)g(for)h Ft(M)10 b Fz(.)42 b(Then)29 b(the)g(functors)f(-)12 b Fx(\012)g Ft(M)3559 2487 y Fr(\003)0 2639 y Fz(and)28 b(-)12 b Fx(\012)h Ft(M)424 2603 y Fl(!)477 2639 y Fz(are)28 b(isomorphic)e(b)m(y)j([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])28 b(Lemma)f(5.13.)41 b(In)28 b(particular)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)0 2756 y Ft(M)104 2719 y Fr(\003)178 2728 y Fx(\030)178 2760 y Fz(=)288 2756 y Ft(I)k Fx(\012)24 b Ft(M)569 2719 y Fr(\003)643 2728 y Fx(\030)644 2760 y Fz(=)754 2756 y Ft(I)32 b Fx(\012)25 b Ft(M)1035 2719 y Fl(!)1093 2728 y Fx(\030)1093 2760 y Fz(=)1203 2756 y Ft(M)1307 2719 y Fl(!)1332 2756 y Fz(.)53 b(If)36 b(w)m(e)h(consider)f(the)h(construction)f(of)f(the)h (isomorphism)0 2872 y(then)e(w)m(e)g(get)g(in)e(particular)g(that)h (\(ev)1442 2836 y Fl(!)1482 2872 y Fx(\012)p Fz(1\)\(1)23 b Fx(\012)g Fz(db\))29 b(:)g Ft(M)2191 2836 y Fl(!)2244 2872 y Fx(\000)-59 b(!)28 b Ft(M)2494 2836 y Fl(!)2542 2872 y Fx(\012)23 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2973 2836 y Fr(\003)3042 2872 y Fx(\000)-59 b(!)28 b Ft(M)3292 2836 y Fr(\003)3366 2872 y Fz(is)33 b(the)0 2988 y(giv)m(en)g (isomorphism.)2701 b Fh(\003)149 3233 y Fv(Problem)50 b(3.3.24.)e Fz(Let)c(\()p Ft(M)1310 3197 y Fr(\003)1350 3233 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))44 b(b)s(e)g(a)g(left)g(dual)f(for)h Ft(M)10 b Fz(.)79 b(Then)45 b(there)g(is)f(a)g Fs(unique)0 3349 y Fz(morphism)c(db)k(:)g Ft(I)51 b Fx(\000)-59 b(!)43 b Ft(M)c Fx(\012)29 b Ft(M)1286 3313 y Fr(\003)1369 3349 y Fz(satisfying)41 b(the)h(conditions)f(of)g(De\014nition)g(3.3.1.)71 b(db)3457 3306 y Fr(0)3524 3349 y Fz(=)0 3465 y(\(1)87 3480 y Fq(M)182 3465 y Fx(\012)16 b Fz(1)324 3480 y Fq(M)399 3461 y Fk(\003)440 3465 y Fz(\))h(db)603 3422 y Fr(0)654 3465 y Fz(=)27 b(\(1)844 3480 y Fq(M)940 3465 y Fx(\012)16 b Fz(ev)j Fx(\012)p Fz(1)1272 3480 y Fq(M)1347 3461 y Fk(\003)1388 3465 y Fz(\)\(1)1513 3480 y Fq(M)1608 3465 y Fx(\012)d Fz(1)1750 3480 y Fq(M)1825 3461 y Fk(\003)1882 3465 y Fx(\012)g Fz(db)q(\))h(db)2247 3422 y Fr(0)2298 3465 y Fz(=)28 b(\(1)2489 3480 y Fq(M)2584 3465 y Fx(\012)16 b Fz(ev)k Fx(\012)p Fz(1)2917 3480 y Fq(M)2992 3461 y Fk(\003)3032 3465 y Fz(\)\(db)3216 3422 y Fr(0)3256 3465 y Fx(\012)d Fz(db)q(\))27 b(=)0 3582 y(\(1)87 3597 y Fq(M)188 3582 y Fx(\012)22 b Fz(ev)d Fx(\012)p Fz(1)526 3597 y Fq(M)601 3578 y Fk(\003)642 3582 y Fz(\)\(db)826 3539 y Fr(0)866 3582 y Fx(\012)p Fz(1)992 3597 y Fq(M)1093 3582 y Fx(\012)k Fz(1)1242 3597 y Fq(M)1317 3578 y Fk(\003)1356 3582 y Fz(\))17 b(db)28 b(=)g(\(1)1738 3597 y Fq(M)1838 3582 y Fx(\012)23 b Fz(1)1987 3597 y Fq(M)2062 3578 y Fk(\003)2102 3582 y Fz(\))17 b(db)27 b(=)h(db)149 3750 y Fv(De\014nition)k(3.3.7.)39 b Fz(Let)29 b(\()p Ft(M)1281 3714 y Fr(\003)1321 3750 y Ft(;)17 b Fz(ev)1461 3765 y Fq(M)1540 3750 y Fz(\))28 b(and)h(\()p Ft(N)1918 3714 y Fr(\003)1958 3750 y Ft(;)17 b Fz(ev)2098 3765 y Fq(N)2165 3750 y Fz(\))29 b(b)s(e)f(left)g(duals)h(for)f Ft(M)39 b Fz(resp.)k Ft(N)10 b Fz(.)43 b(F)-8 b(or)0 3867 y(eac)m(h)33 b(morphism)e Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(M)39 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(N)43 b Fz(w)m(e)33 b(de\014ne)h(the)f Fs(tr)-5 b(ansp)g(ose)g(d)34 b(morphism)144 4116 y Fz(\()p Ft(f)241 4075 y Fr(\003)308 4116 y Fz(:)28 b Ft(N)451 4075 y Fr(\003)518 4116 y Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)767 4075 y Fr(\003)807 4116 y Fz(\))h(:=)f(\()p Ft(N)1129 4075 y Fr(\003)1197 4057 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(db)1366 4068 y Fn(M)1235 4116 y Fx(\000)-16 b(!)65 b Ft(N)1549 4075 y Fr(\003)1611 4116 y Fx(\012)22 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2041 4075 y Fr(\003)2109 4055 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)2139 4116 y Fx(\000)-16 b(!)58 b Ft(N)2446 4075 y Fr(\003)2508 4116 y Fx(\012)23 b Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(M)2922 4075 y Fr(\003)2990 4057 y Fl(ev)3059 4068 y Fn(N)3129 4057 y Fr(\012)p Fl(1)3024 4116 y Fx(\000)-16 b(!)62 b Ft(M)3351 4075 y Fr(\003)3391 4116 y Fz(\))p Ft(:)149 4337 y Fz(With)33 b(this)g(de\014nition)f(w)m(e)j(get)e(that)g (the)h(left)e(dual)h(is)g(a)g(con)m(tra)m(v)-5 b(arian)m(t)32 b(functor,)i(since)g(w)m(e)0 4453 y(ha)m(v)m(e)149 4622 y Fv(Lemma)41 b(3.3.8.)j Fs(L)-5 b(et)38 b Fz(\()p Ft(M)1168 4586 y Fr(\003)1208 4622 y Ft(;)17 b Fz(ev)1348 4637 y Fq(M)1427 4622 y Fz(\))p Fs(,)38 b Fz(\()p Ft(N)1659 4586 y Fr(\003)1699 4622 y Ft(;)17 b Fz(ev)1839 4637 y Fq(N)1906 4622 y Fz(\))p Fs(,)39 b(and)e Fz(\()p Ft(P)2320 4586 y Fr(\003)2359 4622 y Ft(;)17 b Fz(ev)2499 4637 y Fq(P)2557 4622 y Fz(\))38 b Fs(b)-5 b(e)37 b(left)h(duals)g(for)f Ft(M)10 b Fs(,)39 b Ft(N)0 4738 y Fs(and)34 b Ft(P)49 b Fs(r)-5 b(esp)g(e)g(ctively.)149 4855 y(1.)45 b(We)35 b(have)f Fz(\(1)762 4870 y Fq(M)841 4855 y Fz(\))879 4818 y Fr(\003)946 4855 y Fz(=)27 b(1)1098 4870 y Fq(M)1173 4851 y Fk(\003)1213 4855 y Fs(.)149 4971 y(2.)45 b(If)34 b Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(M)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(N)46 b Fs(and)34 b Ft(g)d Fz(:)d Ft(N)38 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(P)48 b Fs(ar)-5 b(e)35 b(given)f(then)h Fz(\()p Ft(g)t(f)11 b Fz(\))2440 4935 y Fr(\003)2506 4971 y Fz(=)27 b Ft(f)2668 4935 y Fr(\003)2707 4971 y Ft(g)2758 4935 y 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Fq(f)p 1990 1799 V 1992 1799 a Fm(?)2031 1738 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)1947 2194 y Ft(N)p 1990 2092 V 1992 2092 a Fm(?)2031 2032 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)1601 2035 y(1)1543 1977 y Fm(H)1626 2019 y(H)1709 2060 y(H)1772 2092 y(H)-83 b(j)0 2327 y Fz(This)35 b(implies)d(\()p Ft(f)i Fx(\012)23 b Fz(1)827 2342 y Fq(M)902 2323 y Fk(\003)942 2327 y Fz(\))17 b(db)1105 2342 y Fq(M)1215 2327 y Fz(=)30 b(\(\(1)1446 2342 y Fq(N)1537 2327 y Fx(\012)24 b Fz(ev)1734 2342 y Fq(N)1801 2327 y Fz(\)\(1)1926 2342 y Fq(N)2016 2327 y Fx(\012)g Fz(1)2166 2342 y Fq(N)2229 2323 y Fk(\003)2293 2327 y Fx(\012)f Ft(f)11 b Fz(\)\(db)2636 2342 y Fq(N)2720 2327 y Fx(\012)p Fz(1)2846 2342 y Fq(M)2925 2327 y Fz(\))24 b Fx(\012)g Fz(1)3137 2342 y Fq(M)3212 2323 y Fk(\003)3251 2327 y Fz(\))17 b(db)3414 2342 y Fq(M)3524 2327 y Fz(=)0 2443 y(\(1)87 2458 y Fq(N)165 2443 y Fx(\012)11 b Fz(ev)349 2458 y Fq(N)433 2443 y Fx(\012)p Fz(1)559 2458 y Fq(M)634 2439 y Fk(\003)674 2443 y Fz(\)\(1)799 2458 y Fq(N)877 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y Fq(M)2516 2555 y Fk(\003)2556 2559 y Fz(\)\(1)2681 2574 y Fq(N)2744 2555 y Fk(\003)2811 2559 y Fx(\012)g Ft(f)37 b Fx(\012)27 b Fz(1)3153 2574 y Fq(M)3228 2555 y Fk(\003)3268 2559 y Fz(\)\(1)3393 2574 y Fq(N)3456 2555 y Fk(\003)3523 2559 y Fx(\012)0 2675 y Fz(db)108 2690 y Fq(M)187 2675 y Fz(\)\))17 b(db)388 2690 y Fq(N)483 2675 y Fz(=)28 b(\(1)674 2690 y Fq(N)763 2675 y Fx(\012)22 b Ft(f)921 2639 y Fr(\003)961 2675 y Fz(\))17 b(db)1124 2690 y Fq(N)1191 2675 y Fz(.)2305 b Fh(\003)149 2853 y Fv(Corollary)32 b(3.3.10.)38 b Fs(L)-5 b(et)32 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)42 b Fs(have)30 b(the)h(left)g(duals)g Fz(\()p Ft(M)2357 2817 y Fr(\003)2397 2853 y Ft(;)17 b Fz(ev)2537 2868 y Fq(M)2616 2853 y Fz(\))31 b Fs(and)f Fz(\()p Ft(N)2996 2817 y Fr(\003)3036 2853 y Ft(;)17 b Fz(ev)3176 2868 y Fq(N)3243 2853 y Fz(\))31 b Fs(and)g(let)0 2969 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(M)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(N)45 b Fs(b)-5 b(e)35 b(a)f(morphism)g(in)h Fx(C)6 b Fs(.)45 b(Then)34 b(the)h(fol)5 b(lowing)33 b(diagr)-5 b(am)34 b(c)-5 b(ommutes)1334 3643 y Ft(N)1422 3607 y Fr(\003)1484 3643 y Fx(\012)23 b Ft(N)401 b(I)8 b(:)p 1701 3615 307 4 v 1925 3613 a Fm(-)1790 3660 y Fl(ev)1860 3671 y Fn(N)1326 3155 y Ft(N)1414 3119 y Fr(\003)1476 3155 y Fx(\012)23 b Ft(M)233 b(M)2007 3119 y Fr(\003)2069 3155 y Fx(\012)23 b Ft(M)p 1709 3127 165 4 v 1791 3125 a Fm(-)1707 3093 y Fq(f)1748 3070 y Fk(\003)1784 3093 y Fr(\012)p Fl(1)p 1501 3545 4 351 v 1503 3545 a Fm(?)1333 3386 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)p 2086 3545 V 2088 3545 a Fm(?)2127 3378 y Fl(ev)2197 3389 y Fn(M)149 3810 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(This)31 b(statemen)m(t)g(follo)m(ws)e(immediately) e(from)i(the)i(symmetry)f(of)g(the)h(de\014nition)0 3927 y(of)h(a)g(left)g(dual.)2948 b Fh(\003)149 4104 y Fv(Example)29 b(3.3.11.)36 b Fz(Let)26 b Ft(M)38 b Fx(2)28 b Ft(R)q Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(R)26 b Fz(b)s(e)g(an)f Ft(R)q Fz(-)p Ft(R)q Fz(-bimo)s(dule.)38 b(Then)27 b(Hom)3194 4119 y Fq(R)3252 4104 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))0 4221 y(is)48 b(an)g Ft(R)q Fz(-)p Ft(R)q Fz(-bimo)s(dule)d(b)m (y)k(\()p Ft(r)s(f)11 b(s)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))53 b(=)h Ft(r)s(f)11 b Fz(\()p Ft(sx)p Fz(\).)89 b(F)-8 b(urthermore)48 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(the)g(morphism)0 4337 y(ev)30 b(:)e(Hom)382 4352 y Fq(R)440 4337 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))22 b Fx(\012)887 4352 y Fq(R)967 4337 y Ft(M)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(R)34 b Fz(de\014ned)g(b)m(y)f(ev)s(\()p Ft(f)f Fx(\012)2115 4352 y Fq(R)2196 4337 y Ft(m)p Fz(\))c(=)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\).)149 4453 y(\(Dual)44 b(Basis)g(Lemma:\))67 b(A)45 b(mo)s(dule)e Ft(M)60 b Fx(2)49 b(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(R)46 b Fz(is)e(called)g Fs(\014nitely)i(gener)-5 b(ate)g(d)46 b(and)0 4569 y(pr)-5 b(oje)g(ctive)41 b Fz(if)g(there)h(are)g(elemen)m(ts)h Ft(m)1467 4584 y Fl(1)1506 4569 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)1810 4584 y Fq(n)1901 4569 y Fx(2)44 b Ft(M)52 b Fz(und)43 b Ft(m)2447 4533 y Fl(1)2487 4569 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(m)2790 4533 y Fq(n)2881 4569 y Fx(2)44 b Fz(Hom)3194 4584 y Fq(R)3252 4569 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))0 4686 y(suc)m(h)34 b(that)1179 4867 y Fx(8)p Ft(m)28 b Fx(2)g Ft(M)39 b Fz(:)1679 4742 y Fq(n)1629 4772 y Fj(X)1644 4982 y Fq(i)p Fl(=1)1789 4867 y Ft(m)1874 4882 y Fq(i)1903 4867 y Ft(m)1988 4825 y Fq(i)2016 4867 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)g Ft(m:)149 5099 y Fz(Actually)43 b(this)g(is)g(a)g (consequence)k(of)c(the)h(dual)f(basis)g(lemma.)74 b(But)44 b(this)f(de\014nition)f(is)0 5216 y(equiv)-5 b(alen)m(t)32 b(to)h(the)g(usual)f(de\014nition.)p eop %%Page: 87 90 87 89 bop 1429 251 a Fw(3.)35 b(DUAL)d(OBJECTS)1387 b(87)149 450 y Fz(Let)35 b Ft(M)43 b Fx(2)32 b Ft(R)q Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(R)q Fz(.)50 b Ft(M)c Fz(as)35 b(a)f(righ)m(t)g Ft(R)q Fz(-mo)s(dule)f(is)h(\014nitely)g(generated)i (and)f(pro)5 b(jectiv)m(e)0 566 y(i\013)32 b Ft(M)43 b Fz(has)33 b(a)f(left)g(dual.)42 b(The)34 b(left)e(dual)g(is)g (isomorphic)e(to)j(Hom)2437 581 y Fq(R)2494 566 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\).)149 683 y(If)31 b Ft(M)339 698 y Fq(R)428 683 y Fz(is)g(\014nitely)f(generated)i(pro)5 b(jectiv)m(e)32 b(then)g(w)m(e)g(use)g(db)c(:)g Ft(R)g Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)j Fx(\012)2914 698 y Fq(R)2991 683 y Fz(Hom)3194 698 y Fq(R)3252 683 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))0 799 y(with)48 b(db)q(\(1\))54 b(=)657 724 y Fj(P)762 750 y Fq(n)762 828 y(i)p Fl(=1)897 799 y Ft(m)982 814 y Fq(i)1044 799 y Fx(\012)1121 814 y Fq(R)1212 799 y Ft(m)1297 763 y Fq(i)1326 799 y Fz(.)91 b(In)49 b(fact)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(\(1)33 b Fx(\012)2388 814 y Fq(R)2479 799 y Fz(ev)r(\)\(db)17 b Fx(\012)2853 814 y Fq(R)2911 799 y Fz(1\)\()p Ft(m)p Fz(\))55 b(=)g(\(1)33 b Fx(\012)3542 814 y Fq(R)0 916 y Fz(ev)r(\)\()172 841 y Fj(P)294 916 y Ft(m)379 931 y Fq(i)435 916 y Fx(\012)512 931 y Fq(R)597 916 y Ft(m)682 880 y Fq(i)738 916 y Fx(\012)815 931 y Fq(R)900 916 y Ft(m)p Fz(\))40 b(=)1180 841 y Fj(P)1301 916 y Ft(m)1386 931 y Fq(i)1415 916 y Ft(m)1500 880 y Fq(i)1528 916 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))h(=)f Ft(m)p Fz(.)66 b(W)-8 b(e)40 b(ha)m(v)m(e)i(furthermore)d(\(ev)19 b Fx(\012)3206 931 y Fq(R)3264 916 y Fz(1\)\(1)27 b Fx(\012)3542 931 y Fq(R)0 1032 y Fz(db\)\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f(\(ev)19 b Fx(\012)801 1047 y Fq(R)859 1032 y Fz(1\)\()984 958 y Fj(P)1089 984 y Fq(n)1089 1062 y(i)p Fl(=1)1224 1032 y Ft(f)28 b Fx(\012)1377 1047 y Fq(R)1453 1032 y Ft(m)1538 1047 y Fq(i)1583 1032 y Fx(\012)1660 1047 y Fq(R)1736 1032 y Ft(m)1821 996 y Fq(i)1849 1032 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))g(=)2180 958 y Fj(P)2301 1032 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)2483 1047 y Fq(i)2512 1032 y Fz(\))p Ft(m)2635 996 y Fq(i)2663 1032 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f Ft(f)11 b Fz(\()3052 958 y Fj(P)3174 1032 y Ft(m)3259 1047 y Fq(i)3287 1032 y Ft(m)3372 996 y Fq(i)3401 1032 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\)\))0 1149 y(=)28 b Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))32 b(for)g(all)f Ft(m)d Fx(2)g Ft(M)43 b Fz(hence)34 b(\(ev)19 b Fx(\012)1484 1164 y Fq(R)1542 1149 y Fz(1\)\(1)i Fx(\012)1814 1164 y Fq(R)1895 1149 y Fz(db\)\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)h Ft(f)11 b Fz(.)149 1265 y(Con)m(v)m(ersely)48 b(if)d Ft(M)56 b Fz(has)46 b(a)g(left)e(dual)h Ft(M)1708 1229 y Fr(\003)1794 1265 y Fz(then)h(ev)53 b(:)d Ft(M)2357 1229 y Fr(\003)2428 1265 y Fx(\012)2505 1280 y Fq(R)2594 1265 y Ft(M)61 b Fx(\000)-60 b(!)50 b Ft(R)d Fz(de\014nes)g(a)f(ho-)0 1381 y(momorphism)36 b Ft(\023)j Fz(:)g Ft(M)835 1345 y Fr(\003)913 1381 y Fx(\000)-59 b(!)38 b Fz(Hom)1272 1396 y Fq(R)1330 1381 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))39 b(in)f Ft(R)q Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(R)40 b Fz(b)m(y)g Ft(\023)p Fz(\()p Ft(m)2611 1345 y Fr(\003)2651 1381 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))e(=)h(ev)r(\()p Ft(m)3222 1345 y Fr(\003)3288 1381 y Fx(\012)3365 1396 y Fq(R)3450 1381 y Ft(m)p Fz(\).)0 1497 y(W)-8 b(e)34 b(de\014ne)452 1423 y Fj(P)558 1449 y Fq(n)558 1526 y(i)p Fl(=1)693 1497 y Ft(m)778 1512 y Fq(i)829 1497 y Fx(\012)24 b Ft(m)1015 1461 y Fq(i)1073 1497 y Fz(:=)30 b(db)q(\(1\))f Fx(2)i Ft(M)i Fx(\012)24 b Ft(M)1898 1461 y Fr(\003)1938 1497 y Fz(,)34 b(then)h Ft(m)30 b Fz(=)g(\(1)23 b Fx(\012)g Fz(ev)s(\)\(db)17 b Fx(\012)p Fz(1\)\()p Ft(m)p Fz(\))30 b(=)g(\(1)23 b Fx(\012)0 1615 y Fz(ev)r(\)\()172 1540 y Fj(P)294 1615 y Ft(m)379 1630 y Fq(i)411 1615 y Fx(\012)t Ft(m)577 1579 y Fq(i)610 1615 y Fx(\012)t Ft(m)p Fz(\))28 b(=)946 1540 y Fj(P)1068 1615 y Ft(m)1153 1630 y Fq(i)1181 1615 y Ft(\023)p Fz(\()p Ft(m)1338 1579 y Fq(i)1367 1615 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))c(so)g(that)f Ft(m)1988 1630 y Fl(1)2028 1615 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(m)2332 1630 y Fq(n)2406 1615 y Fx(2)29 b Ft(M)34 b Fz(and)24 b Ft(\023)p Fz(\()p Ft(m)2967 1579 y Fl(1)3007 1615 y Fz(\))p Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\023)p Fz(\()p Ft(m)3421 1579 y Fq(n)3468 1615 y Fz(\))28 b Fx(2)0 1731 y Fz(Hom)203 1746 y Fq(R)261 1731 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))36 b(form)f(a)h(dual)g (basis)g(for)f Ft(M)10 b Fz(,)38 b(i.)e(e.)54 b Ft(M)47 b Fz(is)36 b(\014nitely)g(generated)h(and)f(pro)5 b(jectiv)m(e)0 1847 y(as)33 b(an)f Ft(R)q Fz(-mo)s(dule.)42 b(Th)m(us)34 b Ft(M)1096 1811 y Fr(\003)1169 1847 y Fz(and)e(Hom)1562 1862 y Fq(R)1619 1847 y Fz(\()p Ft(M)5 b(:;)17 b(R)q(:)p Fz(\))33 b(are)g(isomorphic)d(b)m(y)k(the)f(map)f Ft(\023)p Fz(.)149 1963 y(Analogously)k(Hom)910 1978 y Fq(R)968 1963 y Fz(\()p Ft(:M)5 b(;)17 b(:R)q Fz(\))37 b(is)f(a)h(righ)m(t)f (dual)g(for)g Ft(M)48 b Fz(i\013)36 b Ft(M)48 b Fz(is)36 b(\014nitely)g(generated)i(and)0 2080 y(pro)5 b(jectiv)m(e)34 b(as)e(a)h(left)e Ft(R)q Fz(-mo)s(dule.)149 2220 y Fv(Problem)f (3.3.26.)38 b Fz(Find)27 b(an)g(example)g(of)g(an)h(ob)5 b(ject)28 b Ft(M)38 b Fz(in)27 b(a)g(monoidal)e(category)i Fx(C)34 b Fz(that)0 2337 y(has)f(a)f(left)g(dual)g(but)h(no)f(righ)m(t) g(dual.)149 2477 y Fv(De\014nition)57 b(3.3.12.)52 b Fz(Giv)m(en)f(ob)5 b(jects)52 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)61 b Fz(in)50 b Fx(C)6 b Fz(.)98 b(An)51 b(ob)5 b(ject)52 b([)p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(])51 b(is)g(called)e(a)0 2593 y Fs(left)44 b(inner)g(Hom)e Fz(of)h Ft(M)53 b Fz(and)43 b Ft(N)53 b Fz(if)42 b(there)h(is)f(a)h(natural)f(isomorphism)e(Mor) 2957 2608 y Fr(C)3002 2593 y Fz(\(-)28 b Fx(\012)i Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))3523 2566 y Fx(\030)3523 2598 y Fz(=)0 2710 y(Mor)176 2725 y Fr(C)221 2710 y Fz(\(-)p Ft(;)17 b Fz([)p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(]\),)33 b(i.)e(e.)44 b(if)32 b(it)f(represen)m(ts)k(the)e(functor)g(Mor)2248 2725 y Fr(C)2293 2710 y Fz(\(-)22 b Fx(\012)g Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\).)149 2826 y(If)43 b(there)g(is)f(an)g (isomorphism)e(Mor)1525 2841 y Fr(C)1570 2826 y Fz(\()p Ft(P)i Fx(\012)30 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))2133 2798 y Fx(\030)2134 2830 y Fz(=)2255 2826 y(Mor)2431 2841 y Fr(C)2476 2826 y Fz(\()p Ft(P)s(;)17 b Fz([)p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(]\))43 b(natural)e(in)h(the)0 2942 y(three)33 b(v)-5 b(ariable)31 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)5 b(;)17 b(P)46 b Fz(then)33 b(the)g(category)g Fx(C)39 b Fz(is)32 b(called)f Fs(monoidal)j(and)g(left)h(close)-5 b(d)p Fz(.)149 3058 y(If)43 b(there)h(is)e(an)h(isomorphism)d(Mor)1527 3073 y Fr(C)1572 3058 y Fz(\()p Ft(M)g Fx(\012)30 b Ft(P)s(;)17 b(N)10 b Fz(\))2131 3031 y Fx(\030)2132 3062 y Fz(=)2254 3058 y(Mor)2430 3073 y Fr(C)2475 3058 y Fz(\()p Ft(P)s(;)17 b Fz([)p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(]\))43 b(natural)e(in)i(the)0 3175 y(three)33 b(v)-5 b(ariable)31 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)5 b(;)17 b(P)46 b Fz(then)33 b(the)g(category)g Fx(C)39 b Fz(is)32 b(called)f Fs(monoidal)j(and)g(right)h(close)-5 b(d)p Fz(.)149 3315 y(If)46 b Ft(M)56 b Fz(has)46 b(a)g(left)e(dual)h Ft(M)1209 3279 y Fr(\003)1295 3315 y Fz(in)g Fx(C)52 b Fz(then)46 b(there)g(are)g(inner)f(Homs)91 b([)p Ft(M)5 b(;)34 b Fz(-)16 b(])91 b(de\014ned)47 b(b)m(y)0 3431 y([)p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(])28 b(:=)g Ft(N)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)758 3395 y Fr(\003)799 3431 y Fz(.)43 b(In)33 b(particular)e(left)g(rigid)g(monoidal)f(categories)i(are)h (left)e(closed.)149 3572 y Fv(Example)37 b(3.3.13.)240 b Fz(\(1\))41 b(The)d(category)g(of)e(\014nite)h(dimensional)d(v)m (ector)k(spaces)h(is)d(a)364 3688 y(monoidal)29 b(category)j(where)h (eac)m(h)g(ob)5 b(ject)32 b(has)g(a)f(\(left)g(and)h(righ)m(t\))e (dual.)43 b(Hence)33 b(it)d(is)364 3804 y(\(left)i(and)h(righ)m(t\))e (closed)i(and)g(rigid.)198 3921 y(\(2\))41 b(Let)34 b Fv(Ban)g Fz(b)s(e)g(the)g(category)f(of)g(\(complex\))g(Banac)m(h)h (spaces)i(where)e(the)g(morphisms)364 4037 y(satisfy)42 b Fx(k)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))43 b Fx(k\024k)g Ft(m)g Fx(k)e Fz(i.)g(e.)71 b(the)42 b(maps)f(are)h(b)s(ounded)g(b)m(y) h(1)e(or)g(con)m(tracting.)364 4157 y Fv(Ban)31 b Fz(is)f(a)h(monoidal) d(category)j(b)m(y)g(the)g(complete)f(tensor)h(pro)s(duct)g Ft(M)3059 4142 y Fj(b)3047 4157 y Fx(\012)q Ft(N)10 b Fz(.)44 b(In)31 b Fv(Ban)364 4273 y Fz(exists)e(an)f(inner)f(Hom)g (functor)h([)p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(])29 b(that)f(consists)g(of)g (the)g(set)h(of)e(b)s(ounded)i(linear)364 4390 y(maps)36 b(from)e Ft(M)47 b Fz(to)35 b Ft(N)46 b Fz(made)35 b(in)m(to)g(a)h (Banac)m(h)g(space)h(b)m(y)f(an)g(appropriate)f(top)s(ology)-8 b(.)364 4506 y(Th)m(us)34 b Fv(Ban)f Fz(is)g(a)f(monoidal)e(closed)i (category)-8 b(.)198 4622 y(\(3\))41 b(Let)47 b Ft(H)54 b Fz(b)s(e)46 b(a)h(Hopf)f(algebra.)84 b(The)47 b(category)g Ft(H)8 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)62 b Fz(of)46 b(left)g Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dules)44 b(is)i(a)364 4738 y(monoidal)34 b(category)k(\(see)g(Example)e(3.2.5)g(2.\).)57 b(Then)38 b(Hom)2695 4753 y Fp(K)2751 4738 y Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))37 b(is)f(an)h(ob)5 b(ject)364 4855 y(in)32 b Ft(H)8 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(b)m(y)33 b(the)g(m)m(ultiplication)1152 5036 y(\()p Ft(hf)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(:=)1663 4941 y Fj(X)1823 5036 y Ft(h)1879 5051 y Fl(\(1\))1974 5036 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(mS)6 b Fz(\()p Ft(h)2316 5051 y Fl(\(2\))2410 5036 y Fz(\))364 5216 y(as)33 b(in)f(Prop)s(osition)f (3.1.13.)p eop %%Page: 88 91 88 90 bop 0 251 a Fw(88)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)514 450 y Fz(Hom)717 465 y Fp(K)773 450 y Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))29 b(is)g(an)f(inner)h(Hom)f(functor)h(in) f(the)h(monoidal)d(category)k Ft(H)8 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b Fz(.)364 566 y(The)43 b(isomorphism)38 b Ft(\036)k Fz(:)h(Hom)1525 581 y Fp(K)1581 566 y Fz(\()p Ft(P)s(;)17 b Fz(Hom)1931 581 y Fp(K)1987 566 y Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\)\))2375 539 y Fx(\030)2376 570 y Fz(=)2495 566 y(Hom)2698 581 y Fp(K)2754 566 y Fz(\()p Ft(P)41 b Fx(\012)29 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))41 b(can)h(b)s(e)364 683 y(restricted)33 b(to)g(an)f(isomorphism) 821 842 y(Hom)1024 857 y Fq(H)1091 842 y Fz(\()p Ft(P)s(;)17 b Fz(Hom)1442 857 y Fp(K)1498 842 y Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\)\))1871 815 y Fx(\030)1872 846 y Fz(=)1976 842 y(Hom)2179 857 y Fq(H)2246 842 y Fz(\()p Ft(P)36 b Fx(\012)22 b Ft(M)5 b(;)17 b(N)10 b Fz(\))p Ft(;)364 1002 y Fz(b)s(ecause)46 b Ft(\036)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(p)29 b Fx(\012)h Ft(m)p Fz(\)\))47 b(=)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()1809 927 y Fj(P)1930 1002 y Ft(h)1986 1017 y Fl(\(1\))2080 1002 y Ft(p)30 b Fx(\012)g Ft(h)2322 1017 y Fl(\(2\))2417 1002 y Ft(m)p Fz(\))47 b(=)2710 927 y Fj(P)2832 1002 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(h)2985 1017 y Fl(\(1\))3079 1002 y Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(h)3260 1017 y Fl(\(2\))3354 1002 y Ft(m)p Fz(\))47 b(=)364 1043 y Fj(P)470 1118 y Fz(\()p Ft(h)564 1134 y Fl(\(1\))658 1118 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\)\)\()p Ft(h)1050 1134 y Fl(\(2\))1144 1118 y Ft(m)p Fz(\))34 b(=)1412 1043 y Fj(P)1534 1118 y Ft(h)1590 1134 y Fl(\(1\))1684 1118 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)2104 1134 y Fl(\(2\))2198 1118 y Fz(\))p Ft(h)2292 1134 y Fl(\(3\))2386 1118 y Ft(m)p Fz(\)\))35 b(=)f Ft(h)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\)\))34 b(=)h Ft(h)p Fz(\()p Ft(\036)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))364 1234 y(\()p Ft(p)p Fx(\012)p Ft(m)p Fz(\)\))23 b(and)e(con)m(v)m (ersely)j(\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\)\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)2030 1160 y Fj(P)2152 1234 y Ft(h)2208 1250 y Fl(\(1\))2302 1234 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)2722 1250 y Fl(\(2\))2816 1234 y Fz(\))p Ft(m)p Fz(\)\))28 b(=)3146 1160 y Fj(P)3268 1234 y Ft(h)3324 1250 y Fl(\(1\))3419 1234 y Fz(\()p Ft(\036)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))364 1351 y(\()p Ft(p)g Fx(\012)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)710 1366 y Fl(\(2\))805 1351 y Fz(\))p Ft(m)p Fz(\)\))28 b(=)1135 1276 y Fj(P)1257 1351 y Ft(\036)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(h)1544 1366 y Fl(\(1\))1638 1351 y Ft(p)g Fx(\012)g Ft(h)1842 1366 y Fl(\(2\))1936 1351 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)2096 1366 y Fl(\(3\))2190 1351 y Fz(\))p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)g Ft(\036)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(hp)g Fx(\012)g Ft(m)p Fz(\))27 b(=)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(hp)p Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\).)364 1467 y(Th)m(us)34 b Ft(H)8 b Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)48 b Fz(is)32 b(left)g(closed.)514 1583 y(If)g Ft(M)39 b Fx(2)28 b Ft(H)8 b Fz(-)o Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)49 b Fz(is)32 b(a)h(\014nite)f(dimensional)e(v)m(ector)k(space)g(then)f(the)g(dual)f (v)m(ector)364 1699 y(space)37 b Ft(M)732 1663 y Fr(\003)804 1699 y Fz(:=)32 b(Hom)1142 1714 y Fp(K)1198 1699 y Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b Fu(K)g Fz(\))41 b(again)34 b(is)h(an)g Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dule)32 b(b)m(y)k(\()p Ft(hf)11 b Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))32 b(:=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))p Ft(m)p Fz(\))p Ft(:)364 1815 y Fz(F)-8 b(urthermore)32 b Ft(M)1033 1779 y Fr(\003)1106 1815 y Fz(is)g(a)g(left)g(dual)g(for)g Ft(M)43 b Fz(with)32 b(the)h(morphisms)1002 1991 y(db)28 b(:)g Fu(K)51 b Fx(3)28 b Fz(1)g Fx(7!)1596 1896 y Fj(X)1656 2106 y Fq(i)1757 1991 y Ft(m)1842 2006 y Fq(i)1892 1991 y Fx(\012)23 b Ft(m)2077 1950 y Fq(i)2133 1991 y Fx(2)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2558 1950 y Fr(\003)364 2237 y Fz(and)1044 2356 y(ev)30 b(:)e Ft(M)1327 2315 y Fr(\003)1389 2356 y Fx(\012)23 b Ft(M)39 b Fx(3)28 b Ft(f)k Fx(\012)23 b Ft(m)28 b Fx(7!)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))28 b Fx(2)g Fu(K)364 2495 y Fz(where)39 b Ft(m)736 2510 y Fq(i)803 2495 y Fz(and)f Ft(m)1083 2459 y Fq(i)1149 2495 y Fz(are)g(a)f(dual)g(basis)h(of)g(the)g(v)m(ector)h(space)g Ft(M)10 b Fz(.)60 b(Clearly)37 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)364 2612 y(\(1)29 b Fx(\012)g Fz(ev)r(\)\(db)17 b Fx(\012)p Fz(1\))44 b(=)g(1)1260 2627 y Fq(M)1381 2612 y Fz(and)e(\(ev)19 b Fx(\012)p Fz(1\)\(1)29 b Fx(\012)g Fz(db\))44 b(=)g(1)2476 2627 y Fq(M)2551 2608 y Fk(\003)2633 2612 y Fz(since)f Ft(M)53 b Fz(is)41 b(a)h(\014nite)g(di-)364 2728 y(mensional)33 b(v)m(ector)j(space.)51 b(W)-8 b(e)35 b(ha)m(v)m(e)h(to)f(sho)m(w)h (that)69 b(db)h(and)f(ev)j(are)34 b Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dule)364 2844 y(homomorphisms.)42 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)358 2997 y(\()p Ft(h)17 b Fz(db\(1\)\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(h)p Fz(\()1164 2922 y Fj(P)1286 2997 y Ft(m)1371 3012 y Fq(i)1422 2997 y Fx(\012)22 b Ft(m)1606 2960 y Fq(i)1635 2997 y Fz(\)\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f(\()2041 2922 y Fj(P)2163 2997 y Ft(h)2219 3012 y Fl(\(1\))2313 2997 y Ft(m)2398 3012 y Fq(i)2449 2997 y Fx(\012)c Ft(h)2605 3012 y Fl(\(2\))2699 2997 y Ft(m)2784 2960 y Fq(i)2813 2997 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))k(=)358 3038 y Fj(P)463 3113 y Fz(\()p Ft(h)557 3128 y Fl(\(1\))652 3113 y Ft(m)737 3128 y Fq(i)765 3113 y Fz(\)\(\()p Ft(h)935 3128 y Fl(\(2\))1030 3113 y Ft(m)1115 3077 y Fq(i)1143 3113 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\)\))h(=)1511 3038 y Fj(P)1616 3113 y Fz(\()p Ft(h)1710 3128 y Fl(\(1\))1805 3113 y Ft(m)1890 3128 y Fq(i)1918 3113 y Fz(\)\()p Ft(m)2079 3077 y Fq(i)2108 3113 y Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)2306 3128 y Fl(\(2\))2400 3113 y Fz(\))p Ft(m)p Fz(\)\))28 b(=)358 3154 y Fj(P)480 3229 y Ft(h)536 3245 y Fl(\(1\))630 3229 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)790 3245 y Fl(\(2\))885 3229 y Fz(\))p Ft(m)28 b Fz(=)f Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))p Ft(m)h Fz(=)f Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\)\()1749 3154 y Fj(P)1871 3229 y Ft(m)1956 3244 y Fq(i)2006 3229 y Fx(\012)c Ft(m)2191 3193 y Fq(i)2219 3229 y Fz(\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))17 b(db)o(\(1\)\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)358 3345 y(db)q(\()p Ft(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\)1\)\()p Ft(m)p Fz(\))f(=)g(db)q(\()p Ft(h)p Fz(1\)\()p Ft(m)p Fz(\))p Ft(;)364 3507 y Fz(hence)34 b Ft(h)17 b Fz(db\(1\))28 b(=)f(db)q(\()p Ft(h)p Fz(1\).)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)340 3665 y Ft(h)17 b Fz(ev)r(\()p Ft(f)32 b Fx(\012)23 b Ft(m)p Fz(\))28 b(=)g Ft(hf)11 b Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))27 b(=)1389 3590 y Fj(P)1511 3665 y Ft(h)1567 3680 y Fl(\(1\))1661 3665 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)1918 3680 y Fl(\(2\))2012 3665 y Fz(\))p Ft(h)2106 3680 y Fl(\(3\))2200 3665 y Ft(m)p Fz(\))28 b(=)2455 3590 y Fj(P)2560 3665 y Fz(\()p Ft(h)2654 3680 y Fl(\(1\))2748 3665 y Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(h)2939 3680 y Fl(\(2\))3033 3665 y Ft(m)p Fz(\))28 b(=)340 3706 y Fj(P)461 3781 y Fz(ev)s(\()p Ft(h)652 3796 y Fl(\(1\))746 3781 y Ft(f)33 b Fx(\012)23 b Ft(h)983 3796 y Fl(\(2\))1077 3781 y Ft(m)p Fz(\))28 b(=)g(ev)r(\()p Ft(h)p Fz(\()p Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Ft(m)p Fz(\)\))p Ft(:)198 3942 y Fz(\(4\))41 b(Let)28 b Ft(H)35 b Fz(b)s(e)28 b(a)f(Hopf)h(algebra.)41 b(Then)28 b(the)g(category)g(of)f(left)g Ft(H)8 b Fz(-como)s(dules)26 b(\(see)j(Exam-)364 4058 y(ple)35 b(3.2.5)g(3.\))52 b(is)34 b(a)h(monoidal)e(category)-8 b(.)52 b(Let)35 b Ft(M)44 b Fx(2)32 b Ft(H)8 b Fz(-)o Fx(C)e Fs(omo)-5 b(d)52 b Fz(b)s(e)35 b(a)g(\014nite)g(dimen-)364 4175 y(sional)d(v)m(ector)i (space.)47 b(Let)34 b Ft(m)1497 4190 y Fq(i)1558 4175 y Fz(b)s(e)g(a)f(basis)g(for)g Ft(M)44 b Fz(and)33 b(let)g(the)h(com)m (ultiplication)28 b(of)364 4291 y(the)35 b(como)s(dule)d(b)s(e)j Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)1276 4306 y Fq(i)1304 4291 y Fz(\))30 b(=)1478 4216 y Fj(P)1600 4291 y Ft(h)1656 4306 y Fq(ij)1739 4291 y Fx(\012)24 b Ft(m)1925 4306 y Fq(j)1962 4291 y Fz(.)47 b(Then)35 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(\001\()p Ft(h)2839 4306 y Fq(ik)2906 4291 y Fz(\))30 b(=)3080 4216 y Fj(P)3201 4291 y Ft(h)3257 4306 y Fq(ij)3341 4291 y Fx(\012)24 b Ft(h)3498 4306 y Fq(j)t(k)3573 4291 y Fz(.)364 4407 y Ft(M)468 4371 y Fr(\003)549 4407 y Fz(:=)41 b(Hom)897 4422 y Fp(K)952 4407 y Fz(\()p Ft(M)5 b(;)17 b Fu(K)h Fz(\))46 b(b)s(ecomes)41 b(a)f(left)f Ft(H)8 b Fz(-como)s(dule)38 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)2687 4371 y Fq(j)2724 4407 y Fz(\))j(:=)2947 4332 y Fj(P)3069 4407 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)3229 4422 y Fq(ij)3289 4407 y Fz(\))27 b Fx(\012)h Ft(m)3544 4371 y Fq(i)3573 4407 y Fz(.)364 4523 y(One)33 b(v)m(eri\014es)h(that)e Ft(M)1211 4487 y Fr(\003)1284 4523 y Fz(is)g(a)g(left)g(dual)g(for)g Ft(M)10 b Fz(.)149 4661 y Fv(Lemma)38 b(3.3.14.)k Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(M)j Fx(2)28 b(C)42 b Fs(b)-5 b(e)34 b(an)h(obje)-5 b(ct)34 b(with)h(left)g(dual)f Fz(\()p Ft(M)2661 4625 y Fr(\003)2701 4661 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))p Fs(.)45 b(Then)0 4777 y Fz(1.)g Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)451 4741 y Fr(\003)526 4777 y Fs(is)35 b(an)f(algebr)-5 b(a)34 b(with)h(multiplic)-5 b(ation)632 4937 y Fx(r)28 b Fz(:=)f(1)922 4952 y Fq(M)1023 4937 y Fx(\012)c Fz(ev)c Fx(\012)p Fz(1)1362 4952 y Fq(M)1437 4933 y Fk(\003)1504 4937 y Fz(:)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1890 4896 y Fr(\003)1952 4937 y Fx(\012)g Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)2382 4896 y Fr(\003)2450 4937 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2928 4896 y Fr(\003)0 5097 y Fs(and)34 b(unit)1286 5216 y Ft(u)27 b Fz(:=)h(db)g(:)g Ft(I)35 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2247 5174 y Fr(\003)2287 5216 y Fz(;)p eop %%Page: 89 92 89 91 bop 1429 251 a Fw(3.)35 b(DUAL)d(OBJECTS)1387 b(89)0 450 y Fz(2.)45 b Ft(M)225 414 y Fr(\003)287 450 y Fx(\012)23 b Ft(M)45 b Fs(is)35 b(a)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)33 b(with)i(c)-5 b(omultiplic)g(ation)627 622 y Fz(\001)28 b(:=)f(1)915 637 y Fq(M)990 618 y Fk(\003)1052 622 y Fx(\012)c Fz(db)17 b Fx(\012)p Fz(1)1403 637 y Fq(M)1510 622 y Fz(:)27 b Ft(M)1668 581 y Fr(\003)1731 622 y Fx(\012)22 b Ft(M)39 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)2214 581 y Fr(\003)2276 622 y Fx(\012)c Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2707 581 y Fr(\003)2769 622 y Fx(\012)g Ft(M)0 794 y Fs(and)34 b(c)-5 b(ounit)1297 925 y Ft(")27 b Fz(:=)h(ev)i(:)d Ft(M)1783 884 y 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Fz(ev)r(\))p Fs(.)45 b(Ther)-5 b(e)34 b(is)g(a)g(bije)-5 b(ction)34 b(b)-5 b(etwe)g(en)34 b(the)h(set)f(of)g(morphisms)g Ft(f)k Fz(:)28 b Ft(A)21 b Fx(\012)h Ft(M)0 2007 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)41 b Fs(making)28 b Ft(M)40 b Fs(a)30 b(left)f Ft(A)p Fs(-mo)-5 b(dule)29 b(and)g(the)g(set)h(of)f(algebr)-5 b(a)29 b(morphisms)2852 1980 y Fj(e)2834 2007 y Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(A)g Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)21 b Fx(\012)10 b Ft(M)3529 1970 y Fr(\003)3570 2007 y Fs(.)0 2123 y Fz(2.)42 b Fs(L)-5 b(et)26 b Ft(C)33 b Fs(b)-5 b(e)25 b(a)h(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)24 b(in)i Fx(C)32 b Fs(and)25 b(left)h Ft(M)38 b Fx(2)28 b(C)k Fs(b)-5 b(e)26 b(a)g(left)f(rigid)h(obje)-5 b(ct)25 b(with)h(left)f (dual)h Fz(\()p Ft(M)3352 2087 y Fr(\003)3392 2123 y Ft(;)17 b Fz(ev)r(\))p Fs(.)0 2239 y(Ther)-5 b(e)31 b(is)g(a)g(bije)-5 b(ction)31 b(b)-5 b(etwe)g(en)31 b(the)g(set)h(of)f(morphisms)f Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(M)38 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(M)d Fx(\012)15 b Ft(C)38 b Fs(making)31 b Ft(M)42 b Fs(a)31 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b(of)3163 2775 y Fj(e)3145 2801 y Ft(f)46 b Fz(with)36 b(the)0 2917 y(m)m(ultiplication)28 b(is)k(giv)m(en)h(b)m(y)g(the)g(comm)m (utativ)m(e)f(diagram)619 3095 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)2169 b(A)p 916 3067 2112 4 v 2945 3065 a Fm(-)1942 3046 y Fr(r)958 3387 y Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(A)h Fx(\012)f Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1678 3351 y Fr(\003)2225 3387 y Ft(A)f Fx(\012)h Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)2750 3351 y Fr(\003)p 1747 3359 449 4 v 2113 3357 a Fm(-)1852 3332 y Fr(r\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)1055 3680 y Ft(A)g Fx(\012)h Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)1580 3644 y Fr(\003)2322 3680 y Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2653 3644 y Fr(\003)p 1650 3652 644 4 v 2210 3650 a Fm(-)1906 3618 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)1004 3972 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)1529 3936 y Fr(\003)1592 3972 y Fx(\012)g Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2022 3936 y Fr(\003)2225 3972 y Ft(A)f Fx(\012)h Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)2750 3936 y Fr(\003)p 2091 3944 106 4 v 2113 3942 a Fm(-)1967 4053 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)14 b Fr(\012)p Fl(1)321 4265 y Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)652 4229 y Fr(\003)714 4265 y Fx(\012)g Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)1144 4229 y Fr(\003)2907 4265 y Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)3238 4229 y Fr(\003)p 1213 4237 1666 4 v 2795 4235 a Fm(-)1915 4297 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)p 751 4167 4 1034 v 753 4167 a Fm(?)589 3659 y Fd(e)577 3676 y Fq(f)7 b Fr(\012)685 3659 y Fd(e)673 3676 y Fq(f)p 1336 3582 4 156 v 1338 3582 a Fm(?)1377 3520 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)g Fr(\012)p Fl(1)p 1336 3874 V 1338 3874 a Fm(?)1377 3816 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(db)12 b Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p 2506 3582 V 2508 3582 a Fm(?)2337 3520 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)p 3091 4167 4 1034 v 3093 4167 a Fm(?)3145 3659 y Fd(e)3132 3676 y Fq(f)1108 3231 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(db)889 3175 y Fm(H)972 3216 y(H)1055 3258 y(H)1118 3289 y(H)-83 b(j)821 3216 y(@)904 3299 y(@)987 3382 y(@)1070 3465 y(@)1153 3548 y(@)1187 3582 y(@)g(R)951 3481 y Fl(1)p Fr(\012)1054 3464 y Fd(e)1041 3481 y Fq(f)1187 3801 y Fm(\000)1104 3884 y(\000)1021 3967 y(\000)938 4050 y(\000)855 4133 y(\000)821 4167 y(\000)g(\011)874 3854 y Fd(e)861 3871 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)1108 4105 y Fq(f)g Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)1118 4052 y Fm(\010)1035 4094 y(\010)952 4135 y(\010)889 4167 y(\010)-83 b(\031)1989 3818 y Fl(1)1611 3739 y Fm(X)1694 3760 y(X)1777 3781 y(X)1860 3801 y(X)1943 3822 y(X)2026 3843 y(X)2109 3864 y(X)2152 3874 y(X)g(z)2569 3231 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(db)2873 3175 y Fm(\010)2790 3216 y(\010)2707 3258 y(\010)2644 3289 y(\010)g(\031)2861 3964 y Fl(1)2576 3801 y Fm(@)2659 3884 y(@)2742 3967 y(@)2825 4050 y(@)2908 4133 y(@)2942 4167 y(@)g(R)2606 4105 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fl(1)2644 4052 y Fm(H)2727 4094 y(H)2810 4135 y(H)2873 4167 y(H)-83 b(j)0 4436 y Fz(The)34 b(unit)d(axiom)g(is)h(giv)m(en)h(b) m(y)1039 4614 y Ft(I)479 b(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1892 4578 y Fr(\003)p 1119 4586 414 4 v 1449 4584 a Fm(-)1286 4565 y Fl(db)1028 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Ft(M)44 b Fz(b)s(ecomes)34 b(a)f(left)f Ft(A)p Fz(-mo)s(dule)p eop %%Page: 90 93 90 92 bop 0 251 a Fw(90)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fz(since)42 613 y Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(A)h Fx(\012)f Ft(M)2734 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)p 565 585 2666 4 v 3148 583 a Fm(-)1823 558 y Fr(r\012)p Fl(1)283 1003 y Ft(A)f Fx(\012)h Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)808 967 y Fr(\003)871 1003 y Fx(\012)g Ft(M)240 b(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(M)1634 967 y Fr(\003)1697 1003 y Fx(\012)g Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)2127 967 y Fr(\003)2189 1003 y Fx(\012)g Ft(M)p 1104 975 172 4 v 1193 973 a Fm(-)1036 1084 y Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)2720 1003 y Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)3051 967 y Fr(\003)3113 1003 y Fx(\012)g Ft(M)p 2422 975 270 4 v 2609 973 a Fm(-)2381 899 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)139 1783 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)2928 b(M)p 467 1755 2861 4 v 3245 1753 a Fm(-)1880 1721 y Fd(e)-39 b Fq(g)p 287 1685 4 1034 v 289 1685 a Fm(?)124 1186 y Fl(1)p Fr(\012)p Fd(e)g Fq(g)1550 1393 y Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1881 1357 y Fr(\003)1943 1393 y Fx(\012)g Ft(M)p 1847 1295 4 254 v 1849 1295 a Fm(?)1888 1186 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)p 3407 1685 4 1034 v 3409 1685 a Fm(?)3448 1186 y Fd(e)-39 b Fq(g)544 793 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)357 735 y Fm(@)440 818 y(@)523 901 y(@)528 905 y(@)-83 b(R)543 1381 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)603 1124 y Fm(\001)562 1208 y(\001)520 1291 y(\001)479 1374 y(\001)437 1457 y(\001)396 1540 y(\001)354 1623 y(\001)323 1685 y(\001)-42 b(\013)1135 793 y Fq(g)r Fr(\012)p Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)562 672 y Fm(X)645 693 y(X)728 714 y(X)811 735 y(X)894 755 y(X)977 776 y(X)1060 797 y(X)1143 818 y(X)1226 838 y(X)1309 859 y(X)1392 880 y(X)1475 901 y(X)1493 905 y(X)-83 b(z)876 1573 y Fq(g)r Fr(\012)p Fl(1)562 1685 y Fm(\030)645 1664 y(\030)728 1643 y(\030)811 1623 y(\030)894 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(isomorphisms)689 4468 y(Mor)865 4483 y Fr(C)910 4468 y Fz(\()p Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p Ft(;)17 b(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))20 b Fx(\012)i Ft(M)10 b Fz(\))1742 4441 y Fx(\030)1742 4473 y Fz(=)1847 4468 y(Mor)2023 4483 y Fr(C)2068 4468 y Fz(\()p Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)e Fz(\))2336 4427 y Fr(\003)2396 4468 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p Ft(;)17 b(M)10 b Fz(\))0 4634 y(that)47 b(are)g(giv)m(en)h(b)m(y)g Ft(f)63 b Fx(7!)53 b Fz(\(ev)19 b Fx(\012)p Fz(1\)\(1)32 b Fx(\012)g Ft(f)11 b Fz(\))47 b(and)h(as)f(in)m(v)m(erse)i Ft(g)56 b Fx(7!)c Fz(\(1)32 b Fx(\012)h Ft(g)t Fz(\)\(db)16 b Fx(\012)p Fz(1\).)88 b(W)-8 b(e)0 4751 y(\014rst)36 b(dev)m(elop)g(tec)m(hniques) i(to)d(describ)s(e)h(the)g(prop)s(erties)g(of)f(a)g(natural)g (transformation)e Ft(\036)g Fz(:)g Ft(!)0 4867 y Fx(\000)-60 b(!)37 b Ft(!)29 b Fx(\012)d Ft(M)49 b Fz(as)38 b(prop)s(erties)f(of)h (the)g(asso)s(ciated)g(family)d Ft(g)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))36 b(:)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2687 4831 y Fr(\003)2751 4867 y Fx(\012)26 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))36 b Fx(\000)-60 b(!)36 b Ft(M)10 b Fz(.)61 b(W)-8 b(e)0 4983 y(will)29 b(see)j(that)f Ft(g)g Fz(:)d Ft(!)747 4947 y Fr(\003)804 4983 y Fx(\012)20 b Ft(!)31 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)42 b Fz(will)28 b(b)s(e)k(a)e Fs(c)-5 b(one)p Fz(.)43 b(Then)32 b(w)m(e)g(will)d(sho)m(w)j(that)f Ft(\036)g Fz(is)f(a)h(univ)m(ersal)0 5099 y(natural)d(transformation)f(if)g(and)i (only)g(if)f(its)g(asso)s(ciated)h(cone)g(is)g(univ)m(ersal.)42 b(In)29 b(the)g(literature)0 5216 y(this)j(is)g(called)g(a)g(co)s(end)q (.)p eop %%Page: 92 95 92 94 bop 0 251 a Fw(92)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fz(Throughout)43 b(this)e(section)h(assume)h(the)f (follo)m(wing.)69 b(Let)42 b Fx(D)i Fz(b)s(e)e(an)g(arbitrary)f (diagram)0 566 y(sc)m(heme.)88 b(Let)47 b Fx(C)53 b Fz(b)s(e)47 b(a)g(co)s(complete)f(monoidal)e(category)j(suc)m(h)h(that)f(the)g (tensor)h(pro)s(duct)0 683 y(preserv)m(es)34 b(colimits)28 b(in)i(b)s(oth)h(argumen)m(ts.)43 b(Let)31 b Fx(C)1857 698 y Fl(0)1928 683 y Fz(b)s(e)g(the)h(full)d(sub)s(category)j(of)e (those)i(ob)5 b(jects)0 799 y(in)30 b Fx(C)37 b Fz(that)30 b(ha)m(v)m(e)i(a)e(left)g(dual.)42 b(Let)31 b Ft(!)g Fz(:)c Fx(D)k(\000)-60 b(!)27 b(C)37 b Fz(b)s(e)31 b(a)f(diagram)e(in)i Fx(C)37 b Fz(suc)m(h)32 b(that)e Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b Fx(2)h(C)3413 814 y Fl(0)3483 799 y Fz(for)0 915 y(all)i Ft(X)35 b Fx(2)28 b(D)s Fz(,)k(i.)f(e.)43 b Ft(!)35 b Fz(is)c(giv)m(en)h(b)m(y)h(a)e(functor)h Ft(!)1744 930 y Fl(0)1811 915 y Fz(:)c Fx(D)i(\000)-60 b(!)28 b(C)2170 930 y Fl(0)2210 915 y Fz(.)43 b(W)-8 b(e)32 b(call)e(suc)m(h)j(a)e(diagram)f(a)h Fs(\014nite)0 1031 y(diagr)-5 b(am)34 b Fz(in)h Fx(C)6 b Fz(.)51 b(Finally)33 b(for)h(an)h(ob)5 b(ject)36 b Ft(M)43 b Fx(2)33 b(C)41 b Fz(let)35 b Ft(!)27 b Fx(\012)d Ft(M)43 b Fz(:)33 b Fx(D)h(\000)-59 b(!)32 b(C)41 b Fz(b)s(e)35 b(the)h(functor)f(with)0 1147 y(\()p Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(M)10 b Fz(\)\()p Ft(X)e Fz(\))28 b(=)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(M)10 b Fz(.)149 1292 y Fv(Remark)46 b(3.4.1.)g Fz(Consider)40 b(the)h(follo)m(wing)c(category)2320 1267 y Fj(e)2300 1292 y Fx(D)r Fz(.)66 b(F)-8 b(or)39 b(eac)m(h)i(morphism)e Ft(f)51 b Fz(:)40 b Ft(X)0 1418 y Fx(\000)-60 b(!)41 b Ft(Y)61 b Fz(there)41 b(is)f(an)h(ob)5 b(ject)1104 1392 y Fj(e)1086 1418 y Ft(f)51 b Fx(2)1312 1393 y Fj(e)1292 1418 y Ft(D)s Fz(.)67 b(The)41 b(ob)5 b(ject)41 b(corresp)s(onding)f (to)g(the)h(iden)m(tit)m(y)f(1)3335 1433 y Fq(X)3443 1418 y Fz(:)h Ft(X)0 1543 y Fx(\000)-60 b(!)42 b Ft(X)48 b Fz(is)40 b(denoted)i(b)m(y)939 1518 y Fj(e)914 1543 y Ft(X)50 b Fx(2)1173 1518 y Fj(e)1153 1543 y Fx(D)r Fz(.)68 b(F)-8 b(or)40 b(eac)m(h)i(morphism)c Ft(f)53 b Fz(:)41 b Ft(X)50 b Fx(\000)-60 b(!)41 b Ft(Y)62 b Fz(in)40 b Fx(D)j Fz(there)f(are)e(t)m(w)m(o)0 1669 y(morphisms)35 b Ft(f)546 1684 y Fl(1)618 1669 y Fz(:)697 1642 y Fj(e)679 1669 y Ft(f)44 b Fx(\000)-60 b(!)946 1643 y Fj(e)921 1669 y Ft(X)44 b Fz(and)36 b Ft(f)1287 1684 y Fl(2)1360 1669 y Fz(:)1438 1642 y Fj(e)1420 1669 y Ft(f)44 b Fx(\000)-59 b(!)1674 1643 y Fj(e)1663 1669 y Ft(Y)57 b Fz(in)1914 1643 y Fj(e)1894 1669 y Fx(D)r Fz(.)d(F)-8 b(urthermore)35 b(there)i(are)f(the)g(iden)m(tities)0 1795 y(1)49 1810 y Fq(f)122 1795 y Fz(:)195 1768 y Fj(e)177 1795 y Ft(f)i Fx(\000)-60 b(!)426 1768 y Fj(e)408 1795 y Ft(f)43 b Fz(in)633 1769 y Fj(e)613 1795 y Fx(D)r Fz(.)149 1928 y(Since)34 b(there)h(are)e(no)h(morphisms)e(with)1699 1903 y Fj(e)1674 1928 y Ft(X)42 b Fz(as)33 b(domain)f(other)i(than)g (\(1)2837 1943 y Fq(X)2904 1928 y Fz(\))2942 1943 y Fq(i)2999 1928 y Fz(:)3081 1903 y Fj(e)3056 1928 y Ft(X)j Fx(\000)-60 b(!)3345 1903 y Fj(e)3320 1928 y Ft(X)42 b Fz(and)0 2059 y(1)49 2074 y Fq(f)123 2059 y Fz(:)197 2033 y Fj(e)179 2059 y Ft(f)e Fx(\000)-59 b(!)431 2033 y Fj(e)413 2059 y Ft(f)44 b Fz(w)m(e)35 b(only)e(ha)m(v)m(e)h(to)f(de\014ne)i(the)f (follo)m(wing)d(comp)s(ositions)g(\(1)2746 2074 y Fq(X)2813 2059 y Fz(\))2851 2074 y Fq(i)2902 2059 y Fx(\016)23 b Ft(f)3023 2074 y Fq(j)3088 2059 y Fz(:=)29 b Ft(f)3268 2074 y Fq(j)3305 2059 y Fz(.)46 b(Then)20 2167 y Fj(e)0 2193 y Fx(D)35 b Fz(b)s(ecomes)e(a)f(category)h(and)g(w)m(e)h(ha)m(v)m (e)g(1)1599 2207 y Fd(e)1582 2223 y Fq(X)1676 2193 y Fz(=)28 b(\(1)1867 2208 y Fq(X)1934 2193 y Fz(\))1972 2208 y Fl(1)2039 2193 y Fz(=)g(\(1)2230 2208 y Fq(X)2297 2193 y Fz(\))2335 2208 y Fl(2)2374 2193 y Fz(.)149 2328 y(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)h(a)f(diagram)d Ft(!)1125 2292 y Fr(\003)1186 2328 y Fx(\012)22 b Ft(!)31 b Fz(:)1453 2303 y Fj(e)1432 2328 y Fx(D)f(\000)-59 b(!)27 b(C)39 b Fz(as)33 b(follo)m(ws.)42 b(If)32 b Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ft(X)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(Y)54 b Fz(is)32 b(giv)m(en)g(then) 1166 2511 y(\()p Ft(!)1269 2470 y Fr(\003)1330 2511 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\)\()1588 2485 y Fj(e)1571 2511 y Ft(f)10 b Fz(\))27 b(:=)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))2044 2470 y Fr(\003)2105 2511 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))0 2684 y(and)1285 2789 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(f)1436 2804 y Fl(1)1475 2789 y Fz(\))28 b(:=)f Ft(!)t Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))1871 2753 y Fr(\003)1932 2789 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\(1)2183 2804 y Fq(X)2250 2789 y Fz(\))p Ft(;)1289 2905 y(!)t Fz(\()p Ft(f)1440 2920 y Fl(2)1478 2905 y Fz(\))28 b(:=)g Ft(!)t Fz(\(1)1827 2920 y Fq(Y)1886 2905 y Fz(\))1924 2869 y Fr(\003)1986 2905 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(:)0 3059 y Fz(The)38 b(colimit)33 b(of)k Ft(!)715 3023 y Fr(\003)778 3059 y Fx(\012)26 b Ft(!)40 b Fz(consists)d(of)g(an) g(ob)5 b(ject)37 b(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))d Fx(2)h(C)43 b Fz(together)37 b(with)g(a)f(family)e(of)0 3176 y(morphisms)d Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(X)8 b Fz(\))28 b(:)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1133 3139 y Fr(\003)1193 3176 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))32 b(suc)m(h)i(that)e(the)h(diagrams)1704 3340 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1934 3304 y Fr(\003)1994 3340 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))808 3644 y(\()p Ft(!)911 3608 y Fr(\003)972 3644 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\)\()1230 3618 y Fj(e)1213 3644 y Ft(f)10 b Fz(\))27 b(=)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))1659 3608 y Fr(\003)1720 3644 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1390 3478 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)f Fl(\))1531 3454 y Fk(\003)1568 3478 y Fr(\012)p Fl(1)1565 3539 y Fm(\010)1648 3498 y(\010)1731 3456 y(\010)1794 3425 y(\010)-83 b(*)2405 3632 y Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))2368 3478 y Fq(\023)p Fl(\()p Fq(X)q(;X)5 b Fl(\))2150 3425 y Fm(H)2233 3466 y(H)2316 3508 y(H)2379 3539 y(H)-83 b(j)1714 3925 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))1933 3889 y Fr(\003)1994 3925 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)e Fz(\))1426 3770 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))1565 3717 y Fm(H)1648 3759 y(H)1731 3800 y(H)1794 3832 y(H)-83 b(j)2368 3770 y Fq(\023)p Fl(\()p Fq(Y)t(;Y)16 b Fl(\))2150 3832 y Fm(\010)2233 3790 y(\010)2316 3749 y(\010)2379 3717 y(\010)-83 b(*)0 4112 y Fz(comm)m(ute)39 b(for)h(all)e Ft(f)50 b Fz(:)41 b Ft(X)48 b Fx(\000)-60 b(!)40 b Ft(Y)61 b Fz(in)39 b Fx(D)s Fz(.)65 b(Indeed,)44 b(suc)m(h)d(a)f(family)d Ft(\023)p Fz(\()2662 4087 y Fj(e)2637 4112 y Ft(X)8 b Fz(\))40 b(:=)g Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(X)8 b Fz(\))41 b(can)f(b)s(e)0 4243 y(uniquely)d (extended)h(to)f(a)f(natural)g(transformation)e(b)m(y)k(de\014ning)f Ft(\023)p Fz(\()2644 4217 y Fj(e)2626 4243 y Ft(f)11 b Fz(\))34 b(:=)h Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(X)8 b Fz(\)\()p Ft(!)t Fz(\()p Ft(f)j Fz(\))3459 4207 y Fr(\003)3523 4243 y Fx(\012)0 4359 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)d Fz(\)\))30 b(=)i Ft(\023)p Fz(\()p Ft(Y)5 b(;)17 b(Y)k Fz(\)\()p Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)g Fz(\))957 4323 y Fr(\003)1020 4359 y Fx(\012)j Ft(!)t Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\).)49 b(In)35 b(addition)e(the)j(pair)e(\(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p Ft(;)17 b(\023)p Fz(\))34 b(is)h(univ)m(ersal)f(with)0 4476 y(resp)s(ect)g(to)e(this)g(prop)s(ert)m(y)-8 b(.)149 4592 y(In)31 b(the)g(literature)d(suc)m(h)k(a)e(univ)m(ersal)g(ob)5 b(ject)31 b(is)f(called)f(a)h Fs(c)-5 b(o)g(end)29 b Fz(of)h(the)g(bifunctor)g Ft(!)3330 4556 y Fr(\003)3386 4592 y Fx(\012)18 b Ft(!)31 b Fz(:)0 4708 y Fx(D)80 4672 y Fq(op)176 4708 y Fx(\002)22 b(D)30 b(\000)-59 b(!)27 b(C)6 b Fz(.)149 4853 y Fv(Corollary)36 b(3.4.2.)42 b Fs(The)35 b(fol)5 b(lowing)33 b(is)i(a)f(c)-5 b(o)g(e)g(qualizer)200 4981 y Fj(a)127 5193 y Fq(f)7 b Fr(2)p Fl(Mor)p Fr(D)416 5076 y Ft(!)t Fz(\(Dom)n(\()p Ft(f)k Fz(\)\))896 5035 y Fr(\003)957 5076 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\(Co)s(dom)n(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\))1972 4981 y Fj(a)1899 5193 y Fq(X)5 b Fr(2)p Fl(Ob)12 b Fr(D)2188 5076 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)c Fz(\))2418 5035 y Fr(\003)2479 5076 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1715 5017 98 4 v 1730 5015 a Fm(-)1746 4984 y Fq(p)p 1715 5095 V 1730 5093 a Fm(-)1747 5142 y Fq(q)3135 5080 y Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 2828 5056 271 4 v 3016 5054 a Fm(-)p eop %%Page: 93 96 93 95 bop 1227 251 a Fw(4.)35 b(FINITE)e(RECONSTR)n(UCTION)1149 b(93)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(This)f(is)g(just)g(a)f(reform)m (ulation)f(of)h([Adv)-5 b(anced)34 b(Algebra)o(])41 b(Remark)f(6.11,)j (since)0 566 y(the)33 b(colimit)c(ma)m(y)k(also)e(b)s(e)i(built)e(from) g(the)i(comm)m(utativ)m(e)f(squares)i(giv)m(en)f(ab)s(o)m(v)m(e.)149 683 y(Observ)m(e)44 b(that)d(for)g(the)h(construction)g(of)f(the)h (colimit)c(not)j(all)e(ob)5 b(jects)43 b(of)e(the)h(diagram)0 799 y(ha)m(v)m(e)34 b(to)e(b)s(e)h(used)h(but)e(only)h(those)g(of)f (the)h(form)e Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2087 763 y Fr(\003)2148 799 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\).)1019 b Fh(\003)149 1037 y Fv(Theorem)38 b(3.4.3.)k Fs(\()p Fv(T)-9 b(annak)j(a-Krein)p Fs(\))149 1153 y(L)h(et)30 b Ft(!)h Fz(:)d Fx(D)j(\000)-58 b(!)28 b(C)766 1168 y Fl(0)833 1153 y Fx(\022)g(C)36 b Fs(b)-5 b(e)30 b(a)f(\014nite)h(diagr) -5 b(am.)42 b(Then)29 b(ther)-5 b(e)29 b(exists)h(an)f(obje)-5 b(ct)29 b Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))e Fx(2)h(C)0 1269 y Fs(and)34 b(a)g(natur)-5 b(al)34 b(tr)-5 b(ansformation)34 b Ft(\016)e Fz(:)27 b Ft(!)k Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(!)c Fx(\012)d Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))33 b Fs(such)i(that)f(for)h (e)-5 b(ach)33 b(obje)-5 b(ct)34 b Ft(M)39 b Fx(2)28 b(C)0 1385 y Fs(and)43 b(e)-5 b(ach)43 b(natur)-5 b(al)43 b(tr)-5 b(ansformation)43 b Ft(')g Fz(:)h Ft(!)i Fx(\000)-57 b(!)43 b Ft(!)32 b Fx(\012)d Ft(M)54 b Fs(ther)-5 b(e)44 b(exists)f(a)g(unique)g(morphism)12 1501 y Fj(e)-67 b Ft(')28 b Fz(:)f(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))g Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)46 b Fs(such)34 b(that)i(the)e(diagr)-5 b(am)1397 1723 y Ft(!)172 b(!)26 b Fx(\012)c Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 1489 1700 113 4 v 1519 1698 a Fm(-)1528 1679 y Fq(\016)1566 1950 y(')1497 1850 y Fm(@)1580 1933 y(@)1663 2016 y(@)1746 2099 y(@)1765 2117 y(@)-83 b(R)1771 2216 y Ft(!)26 b Fx(\012)c Ft(M)p 1915 2118 4 351 v 1917 2118 a Fm(?)1956 1960 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')0 2401 y Fs(c)-5 b(ommutes.)149 2639 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)k(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))i Fx(2)i(C)h Fz(together)45 b(with)g(morphisms)e Ft(\023)p Fz(\()2605 2613 y Fj(e)2586 2639 y Ft(f)12 b Fz(\))48 b(:)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))3027 2603 y Fr(\003)3097 2639 y Fx(\012)31 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))48 b Fx(\000)-60 b(!)0 2769 y Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))38 b(b)s(e)i(the)h(colimit)36 b(of)j(the)h(diagram)e Ft(!)1819 2733 y Fr(\003)1885 2769 y Fx(\012)27 b Ft(!)43 b Fz(:)2181 2744 y Fj(e)2160 2769 y Fx(D)g(\000)-60 b(!)40 b(C)6 b Fz(.)65 b(So)39 b(w)m(e)i(get)f(comm)m(utativ)m(e)0 2886 y(diagrams)1542 3046 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1772 3010 y Fr(\003)1833 3046 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1131 3233 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)f Fl(\))1272 3210 y Fk(\003)1309 3233 y Fr(\012)p Fl(1)1208 3343 y Fm(\010)1291 3302 y(\010)1374 3260 y(\010)1457 3219 y(\010)1540 3177 y(\010)1623 3136 y(\010)1632 3131 y(\010)-83 b(*)2304 3233 y Fq(\023)p Fl(\()p Fq(X)q(;X)5 b Fl(\))1988 3131 y Fm(H)2071 3173 y(H)2154 3214 y(H)2237 3256 y(H)2320 3297 y(H)2403 3339 y(H)2412 3343 y(H)-83 b(j)1553 3826 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))1771 3790 y Fr(\003)1833 3826 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))1167 3623 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))1208 3521 y Fm(H)1291 3563 y(H)1374 3604 y(H)1457 3646 y(H)1540 3687 y(H)1623 3729 y(H)1632 3733 y(H)-83 b(j)2304 3623 y Fq(\023)p Fl(\()p Fq(Y)t(;Y)15 b Fl(\))1988 3733 y Fm(\010)2071 3692 y(\010)2154 3650 y(\010)2237 3609 y(\010)2320 3567 y(\010)2403 3526 y(\010)2412 3521 y(\010)-83 b(*)767 3436 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))986 3400 y Fr(\003)1047 3436 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1070 b(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 1405 3413 1005 4 v 2327 3411 a Fm(-)1847 3376 y Fq(\023)p Fl(\()1912 3358 y Fd(e)1899 3376 y Fq(f)7 b Fl(\))0 4008 y Fz(for)32 b(eac)m(h)i Ft(f)k Fz(:)28 b Ft(X)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(Y)54 b Fz(in)31 b Fx(C)6 b Fz(.)149 4124 y(F)-8 b(or)43 b Ft(X)55 b Fx(2)47 b(C)i Fz(w)m(e)c(de\014ne)g(a)e(morphism)f Ft(\016)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))46 b(:)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))46 b Fx(\000)-60 b(!)46 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))29 b Fx(\012)h Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))43 b(b)m(y)h(\(1)30 b Fx(\012)0 4240 y Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(X)8 b Fz(\)\)\(db)17 b Fx(\012)p Fz(1\))28 b(:)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))26 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))15 b Fx(\012)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1742 4204 y Fr(\003)1794 4240 y Fx(\012)15 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))15 b Fx(\012)g Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\).)41 b(Then)30 b(w)m(e)g(get)0 4356 y(as)j(in)f(Corollary)e(3.3.5)130 b Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(X)8 b Fz(\))28 b(=)f(\(1)22 b Fx(\012)h Fz(ev)r(\)\(1)f Fx(\012)h Ft(\016)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\)\).)149 4473 y(W)-8 b(e)33 b(sho)m(w)h(that)e Ft(\016)37 b Fz(is)32 b(a)g(natural)g(transformation.)41 b(F)-8 b(or)32 b(eac)m(h)h Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ft(X)35 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(Y)53 b Fz(the)34 b(square)955 5188 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))j Fx(\012)f Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))1514 5152 y Fr(\003)2009 5188 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))i Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2579 5152 y Fr(\003)2617 5188 y Ft(:)p 1582 5165 398 4 v 1897 5163 a Fm(-)1646 5232 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)f Fl(\))1877 5209 y Fk(\003)1229 4700 y Ft(I)745 b(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2598 4664 y Fr(\003)p 1309 4677 680 4 v 1905 4675 a Fm(-)1580 4645 y Fl(db)1658 4656 y Fn(X)p 1252 5095 4 351 v 1254 5095 a Fm(?)1083 4937 y Fl(db)1162 4948 y Fn(Y)p 2325 5095 V 2326 5095 a Fm(?)2365 4936 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)f Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)p eop %%Page: 94 97 94 96 bop 0 251 a Fw(94)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fz(comm)m(utes)h(b)m(y)i(Corollary)d(3.3.9.)43 b(Th)m(us)34 b(the)f(follo)m(wing)d(diagram)g(comm)m(utes)411 729 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))570 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1791 693 y Fr(\003)1852 729 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 669 706 513 4 v 1099 704 a Fm(-)835 678 y Fl(db)k Fr(\012)p Fl(1)2497 729 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)c Fz(\))21 b Fx(\012)i Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 2209 706 259 4 v 2385 704 a Fm(-)2182 668 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\023)p Fl(\()p Fq(X)q(;X)5 b Fl(\))636 1119 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))h Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)d Fz(\))1195 1083 y Fr(\003)1257 1119 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))215 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))j Fx(\012)f Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2371 1083 y Fr(\003)2432 1119 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1614 1096 158 4 v 1689 1094 a Fm(-)1513 1009 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)f Fl(\))1744 986 y Fk(\003)1782 1009 y Fr(\012)p Fl(1)417 1509 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))591 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))h Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)d Fz(\))1785 1473 y Fr(\003)1847 1509 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))p 664 1486 534 4 v 1115 1484 a Fm(-)840 1458 y Fl(db)12 b Fr(\012)p Fl(1)2502 1509 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))h Fx(\012)g Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p Ft(:)p 2205 1486 242 4 v 2364 1484 a Fm(-)2180 1448 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\023)p Fl(\()p Fq(Y)t(;Y)16 b Fl(\))p 524 1416 4 644 v 526 1416 a Fm(?)344 1111 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))p 2864 1416 V 2866 1416 a Fm(?)2905 1111 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)g Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)880 919 y(db)12 b Fr(\012)p Fl(1)628 828 y Fm(Q)711 883 y(Q)794 938 y(Q)877 994 y(Q)925 1026 y(Q)-83 b(s)1019 1306 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))1213 1218 y Fm(Q)1296 1273 y(Q)1379 1328 y(Q)1462 1384 y(Q)1510 1416 y(Q)-83 b(s)2050 916 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)1798 828 y Fm(Q)1881 883 y(Q)1964 938 y(Q)2047 994 y(Q)2095 1026 y(Q)-83 b(s)2200 1306 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\023)p Fl(\()p Fq(X)q(;X)5 b Fl(\))2383 1218 y Fm(Q)2466 1273 y(Q)2549 1328 y(Q)2632 1384 y(Q)2680 1416 y(Q)-83 b(s)149 1752 y Fz(No)m(w)44 b(let)f Ft(M)56 b Fx(2)46 b(C)k Fz(b)s(e)43 b(an)g(ob)5 b(ject)44 b(and)f Ft(')j Fz(:)g Ft(!)j Fx(\000)-60 b(!)46 b Ft(!)32 b Fx(\012)e Ft(M)54 b Fz(a)43 b(natural)f (transformation.)0 1868 y(Observ)m(e)34 b(that)962 2574 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))1181 2538 y Fr(\003)1242 2574 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)d Fz(\))748 b Ft(I)p 1589 2552 691 4 v 2197 2550 a Fm(-)1899 2597 y Fl(ev)957 2087 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))1176 2051 y Fr(\003)1237 2087 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))457 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2254 2051 y Fr(\003)2315 2087 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))p 1595 2064 401 4 v 1913 2062 a Fm(-)1660 2026 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)f Fl(\))1801 2003 y Fk(\003)1839 2026 y Fr(\012)p Fl(1)p 1260 2481 4 351 v 1261 2481 a Fm(?)990 2322 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)g Fl(\))p 2332 2481 V 2334 2481 a Fm(?)2373 2320 y Fl(ev)0 2797 y Fz(comm)m(utes)32 b(b)m(y)i(Corollary)d(3.3.10.)43 b(Th)m(us)34 b(also)d(the)i(diagram) 547 3076 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))777 3040 y Fr(\003)837 3076 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1021 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))2418 3040 y Fr(\003)2479 3076 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(M)p 1195 3053 966 4 v 2078 3051 a Fm(-)1550 3015 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))p 855 3373 4 254 v 856 3202 a Fm(6)895 3263 y Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)i Fl(\))1036 3239 y Fk(\003)1074 3263 y Fr(\012)p Fl(1)833 b Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))2138 3239 y Fk(\003)2175 3263 y Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)2289 3373 y Fm(\000)2372 3290 y(\000)2455 3207 y(\000)2460 3202 y(\000)-83 b(\022)2949 3475 y Ft(M)2867 3264 y Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)2679 3202 y Fm(@)2762 3285 y(@)2845 3368 y(@)2850 3373 y(@)-83 b(R)552 3466 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))770 3430 y Fr(\003)832 3466 y Fx(\012)j Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))642 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))2022 3430 y Fr(\003)2084 3466 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(M)p 1190 3443 585 4 v 1692 3441 a Fm(-)1355 3405 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))p 855 3763 4 254 v 856 3763 a Fm(?)895 3653 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)i Fl(\))907 b(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)2289 3592 y Fm(@)2372 3675 y(@)2455 3758 y(@)2460 3763 y(@)-83 b(R)2867 3654 y Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)2679 3763 y Fm(\000)2762 3680 y(\000)2845 3597 y(\000)2850 3592 y(\000)-83 b(\022)557 3856 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))776 3820 y Fr(\003)837 3856 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)d Fz(\))1044 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)20 b Fz(\))2417 3820 y Fr(\003)2479 3856 y Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))h Fx(\012)h Ft(M)p 1184 3833 987 4 v 2088 3831 a Fm(-)1553 3795 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(Y)17 b Fl(\))0 4104 y Fz(comm)m(utes.)75 b(W)-8 b(e)44 b(de\014ne)57 b Fj(e)-68 b Ft(')46 b Fz(:)g(co)s(end)q (\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\000)-60 b(!)45 b Ft(M)54 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Fz(\))1046 5021 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(!)r Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\))1088 4919 y Fm(H)1171 4960 y(H)1254 5002 y(H)1337 5043 y(H)1420 5085 y(H)1503 5126 y(H)1512 5131 y(H)-83 b(j)1665 5021 y Fq(\023)p Fl(\()p Fq(Y)t(;Y)15 b Fl(\))1800 5131 y Fm(\000)1883 5048 y(\000)1966 4965 y(\000)1970 4960 y(\000)-83 b(\022)1928 4834 y Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))534 b Ft(M)p 2344 4811 477 4 v 2738 4809 a Fm(-)2568 4777 y Fd(e)-49 b Fq(')2381 5021 y Fl(\(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1\)\(1)p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(Y)18 b Fl(\)\))1936 5131 y Fm(\020)2019 5103 y(\020)2102 5075 y(\020)2185 5048 y(\020)2268 5020 y(\020)2351 4992 y(\020)2434 4965 y(\020)2517 4937 y(\020)2600 4909 y(\020)2613 4905 y(\020)-83 b(1)p eop %%Page: 95 98 95 97 bop 1227 251 a Fw(4.)35 b(FINITE)e(RECONSTR)n(UCTION)1149 b(95)0 450 y Fz(Hence)34 b(the)f(diagram)932 660 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))881 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 1190 637 824 4 v 1931 635 a Fm(-)1526 599 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))819 1732 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)j Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(M)920 b(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(M)p 1303 1709 853 4 v 2073 1707 a Fm(-)1667 1769 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p 1045 1639 4 936 v 1047 1639 a Fm(?)844 1188 y Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))p 2410 1639 V 2412 1639 a Fm(?)2451 1189 y Fl(1)p Fr(\012)k Fd(e)-48 b Fq(')1244 1001 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1825 965 y Fr(\003)1886 1001 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1131 1391 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)g Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1712 1355 y Fr(\003)1772 1391 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(M)p 1728 1298 4 254 v 1729 1298 a Fm(?)1346 1188 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))1145 825 y(db)13 b Fr(\012)p Fl(1)1183 745 y Fm(H)1266 786 y(H)1349 828 y(H)1432 869 y(H)1510 908 y(H)-83 b(j)2133 1555 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)1866 1476 y Fm(H)1949 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(sho)m(w)h(that)54 b Fj(e)-67 b Ft(')43 b Fz(:)h(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\000)-60 b(!)43 b Ft(M)53 b Fz(is)41 b(uniquely)h(determined.)72 b(Let)54 b Fj(e)-67 b Ft(')3490 2719 y Fl(0)3573 2704 y Fz(:)0 2820 y(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))42 b Fx(\000)-59 b(!)42 b Ft(M)53 b Fz(b)s(e)42 b(another)g(morphism)e(with)h Ft(')p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))43 b(=)g(\(1)28 b Fx(\012)41 b Fj(e)-67 b Ft(')2618 2835 y Fl(0)2657 2820 y Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))42 b(for)f(all)e Ft(X)52 b Fx(2)43 b(D)s Fz(.)0 2936 y(Then)34 b(the)f(follo)m(wing)d(diagram)g(comm)m(utes)667 3146 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))897 3110 y Fr(\003)958 3146 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1259 b(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 1315 3123 1195 4 v 2427 3121 a Fm(-)1801 3085 y Fq(\023)p Fl(\()p Fq(X)q(;X)5 b Fl(\))1290 3439 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)j Fz(\))1520 3402 y Fr(\003)1581 3439 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))1480 3284 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\016)r Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))1181 3217 y Fm(P)1264 3245 y(P)1347 3273 y(P)1430 3300 y(P)1513 3328 y(P)1566 3345 y(P)-83 b(q)1101 3577 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))1045 3273 y Fm(@)1128 3356 y(@)1211 3439 y(@)1294 3522 y(@)1377 3605 y(@)1460 3688 y(@)1543 3771 y(@)1626 3854 y(@)1703 3930 y(@)-83 b(R)2057 3285 y Fl(ev)13 b Fr(\012)p Fl(1)2059 3345 y Fm(\020)2142 3318 y(\020)2225 3290 y(\020)2308 3262 y(\020)2391 3235 y(\020)2444 3217 y(\020)-83 b(1)p 1852 3930 4 449 v 1854 3930 a(?)1893 3724 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')2119 3733 y Fo(0)p 2730 3930 4 741 v 2732 3930 a Fm(?)2780 3578 y Fd(e)g Fq(')2817 3587 y Fo(0)1431 4024 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1661 3987 y Fr(\003)1722 4024 y Fx(\012)22 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(M)402 b(M)5 b(;)p 2306 4001 335 4 v 2558 3999 a Fm(-)2386 3973 y Fl(ev)14 b Fr(\012)p Fl(1)0 4200 y Fz(hence)34 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e) 46 b Fj(e)-68 b Ft(')703 4215 y Fl(0)771 4200 y Fz(=)39 b Fj(e)-67 b Ft(')p Fz(.)2558 b Fh(\003)149 4404 y Fv(Corollary)48 b(3.4.4.)f Fs(The)d(functor)g Fz(Nat\()p Ft(!)t(;)17 b(!)31 b Fx(\012)e Ft(M)10 b Fz(\))45 b Fs(is)f(a)g(r)-5 b(epr)g(esentable)43 b(functor)h(in)g Ft(M)0 4520 y Fs(r)-5 b(epr)g(esente)g(d)34 b(by)h Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p Fs(.)149 4724 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)34 b(univ)m(ersal)e (problem)g(implies)e(the)j(isomorphism)1000 4912 y(Nat\()p Ft(!)t(;)17 b(!)24 b Fx(\012)f Ft(M)10 b Fz(\))1662 4884 y Fx(\030)1663 4916 y Fz(=)1768 4912 y(Mor)1944 4927 y Fr(C)1989 4912 y Fz(\(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p Ft(;)17 b(M)10 b Fz(\))0 5099 y(and)40 b(the)h(univ)m(ersal)f(natural)e (transformation)g Ft(\016)45 b Fz(:)40 b Ft(!)k Fx(\000)-60 b(!)40 b Ft(!)31 b Fx(\012)d Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))40 b(is)f(mapp)s(ed)h(to)g(the)0 5216 y(iden)m(tit)m(y)32 b(under)i(this)e(isomorphism.)2129 b Fh(\003)p eop %%Page: 96 99 96 98 bop 0 251 a Fw(96)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fz(It)i(is)f(also)g(p)s(ossible)g(to)g(construct)i (an)e(isomorphism)908 657 y(Nat\()p Ft(!)t(;)17 b(!)1280 616 y Fr(0)1323 657 y Fx(\012)23 b Ft(M)10 b Fz(\))1593 629 y Fx(\030)1594 661 y Fz(=)1699 657 y(Mor)1875 672 y Fr(C)1920 657 y Fz(\(cohom)o(\()p Ft(!)2337 616 y Fr(0)2360 657 y Ft(;)17 b(!)t Fz(\))p Ft(;)g(M)10 b Fz(\))0 863 y(for)22 b(di\013eren)m(t)g(functors)h Ft(!)t(;)17 b(!)1054 827 y Fr(0)1103 863 y Fz(:)28 b Fx(D)i(\000)-59 b(!)27 b(C)i Fz(and)22 b(th)m(us)h(de\014ne)h Fs(c)-5 b(ohomomorphism)23 b(obje)-5 b(cts)p Fz(.)39 b(Observ)m(e)0 980 y(that)32 b(only)f Ft(!)489 943 y Fr(0)543 980 y Fz(has)h(to)g(tak)m(e)g(v)-5 b(alues)32 b(in)f Fx(C)1500 995 y Fl(0)1572 980 y Fz(since)h(then)g(w)m (e)h(can)f(build)f(ob)5 b(jects)33 b Ft(!)2999 943 y Fr(0)3021 980 y Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))3186 943 y Fr(\003)3246 980 y Fx(\012)21 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\).)1241 1319 y Fv(5.)57 b(The)37 b(coalgebra)h Fz(co)s(end)149 1494 y Fv(Prop)s(osition)h(3.5.1.)k Fs(L)-5 b(et)38 b Fx(C)43 b Fs(b)-5 b(e)37 b(a)g(monoidal)f(c)-5 b(ate)g(gory)37 b(and)g Ft(!)e Fz(:)d Fx(D)j(\000)-57 b(!)32 b(C)43 b Fs(b)-5 b(e)37 b(a)g(diagr)-5 b(am)0 1610 y(in)40 b Fx(C)6 b Fs(.)63 b(Assume)41 b(that)g(ther)-5 b(e)41 b(is)f(a)h(universal)f (obje)-5 b(ct)40 b Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))g Fs(and)g(natur)-5 b(al)41 b(tr)-5 b(ansformation)0 1726 y Ft(\016)32 b Fz(:)27 b Ft(!)k Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(!)d Fx(\012)e Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p Fs(.)149 1842 y(Then)34 b(ther)-5 b(e)34 b(is)g(exactly)g(one)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)33 b(structur)-5 b(e)35 b(on)f Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))f Fs(such)h(that)h(the)f(diagr)-5 b(ams)850 2543 y Ft(!)26 b Fx(\012)c Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))244 b Ft(!)26 b Fx(\012)c Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\012)i Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 1451 2520 189 4 v 1557 2518 a Fm(-)1483 2583 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fl(1)1104 2055 y Ft(!)758 b(!)25 b Fx(\012)e Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 1197 2032 698 4 v 1812 2030 a Fm(-)1528 2012 y Fq(\016)p 1135 2450 4 351 v 1137 2450 a Fm(?)1064 2297 y Fq(\016)p 2207 2450 V 2209 2450 a Fm(?)2248 2293 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\001)0 2758 y Fs(and)1397 2905 y Ft(!)172 b(!)26 b Fx(\012)c Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 1489 2882 113 4 v 1519 2880 a Fm(-)1528 2861 y Fq(\016)1509 3143 y Fl(id)1568 3151 y Fn(!)1497 3032 y Fm(@)1580 3115 y(@)1663 3198 y(@)1746 3281 y(@)1765 3300 y(@)-83 b(R)1798 3398 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(I)p 1915 3300 4 351 v 1917 3300 a Fm(?)1956 3142 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\017)0 3554 y Fs(c)-5 b(ommute.)149 3781 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Because)d(of)d(the)h(univ)m(ersal)g(prop)s(ert)m (y)g(of)g(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))f(there)i(are)e(structure)i(mor-)0 3897 y(phisms)f(\001)g(:)f(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\000)-60 b(!)36 b Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))24 b Fx(\012)i Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))37 b(and)g Ft(\017)g Fz(:)f(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\000)-59 b(!)35 b Ft(I)8 b Fz(.)59 b(This)37 b(implies)0 4014 y(the)c(coalgebra)f(prop)s(ert)m(y)h(similar)c(to)j(the)h(pro)s(of)f (of)g(Corollary)f(3.3.8.)891 b Fh(\003)149 4241 y Fz(Observ)m(e)40 b(that)e(b)m(y)h(this)f(construction)g(all)e(ob)5 b(jects)39 b(and)f(all)e(morphisms)h(of)h(the)g(diagram)0 4357 y Ft(!)55 b Fz(:)d Fx(D)i(\000)-59 b(!)51 b(C)547 4372 y Fl(0)639 4357 y Fx(\022)h(C)h Fz(are)46 b(como)s(dules)g(or)h (morphisms)e(of)h(como)s(dules)g(o)m(v)m(er)i(the)f(coalgebra)0 4473 y(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\).)76 b(In)44 b(fact)g Ft(C)53 b Fz(:=)47 b(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))c(is)g(the)h(univ)m (ersal)g(coalgebra)e(o)m(v)m(er)j(whic)m(h)g(the)f(giv)m(en)0 4589 y(diagram)30 b(b)s(ecomes)j(a)g(diagram)d(of)i(como)s(dules.)149 4751 y Fv(Corollary)38 b(3.5.2.)43 b Fs(L)-5 b(et)36 b Fz(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))35 b Fs(b)-5 b(e)36 b(a)g(diagr)-5 b(am)35 b Fx(C)43 b Fs(with)36 b(obje)-5 b(cts)36 b(in)g Fx(C)2804 4766 y Fl(0)2843 4751 y Fs(.)49 b(Then)36 b(al)5 b(l)36 b(obje)-5 b(cts)0 4867 y(of)40 b(the)h(diagr)-5 b(am)40 b(ar)-5 b(e)40 b(c)-5 b(omo)g(dules)40 b(over)g(the)h(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)39 b Ft(C)45 b Fz(:=)39 b(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))h Fs(and)g(al)5 b(l)40 b(morphisms)0 4983 y(ar)-5 b(e)32 b(morphisms)f(of)h(c)-5 b(omo)g(dules.)43 b(If)31 b Ft(D)k Fs(is)d(another)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)31 b(and)h(al)5 b(l)32 b(obje)-5 b(cts)32 b(of)g(the)g(diagr)-5 b(am)0 5099 y(ar)g(e)40 b Ft(D)s Fs(-c)-5 b(omo)g(dules)40 b(by)g Ft(')p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))38 b(:)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))37 b Fx(\000)-57 b(!)39 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))25 b Fx(\012)i Ft(D)43 b Fs(and)d(al)5 b(l)41 b(morphisms)e(of)h(the)h(diagr)-5 b(am)0 5216 y(ar)g(e)47 b(morphisms)e(of)i Ft(D)s Fs(-c)-5 b(omo)g(dules)45 b(then)i(ther)-5 b(e)47 b(exists)f(a)h(unique)g(morphism)f(of)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(as)p eop %%Page: 97 100 97 99 bop 1290 251 a Fw(5.)35 b(THE)f(CO)n(ALGEBRA)f(co)r(end)1213 b(97)12 450 y Fj(e)-67 b Ft(')28 b Fz(:)f(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))g Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(D)38 b Fs(such)c(that)i(the)e (diagr)-5 b(am)1397 651 y Ft(!)172 b(!)26 b Fx(\012)c Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 1489 628 113 4 v 1519 626 a Fm(-)1528 608 y Fq(\016)1566 878 y(')1497 778 y Fm(@)1580 861 y(@)1663 944 y(@)1746 1027 y(@)1765 1046 y(@)-83 b(R)1782 1144 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(D)p 1915 1046 4 351 v 1917 1046 a Fm(?)1956 888 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')0 1309 y Fs(c)-5 b(ommutes.)149 1522 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)33 b(morphisms)d Ft(')p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))28 b(:)f Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))19 b Fx(\012)i Ft(D)34 b Fz(de\014ne)f(a)e(natural)g(transforma-)0 1638 y(tion)24 b(since)h(all)e(morphisms)h(of)g(the)h(diagram)e(are)i (morphisms)f(of)g(como)s(dules.)40 b(So)25 b(the)g(existence)0 1754 y(and)h(the)g(uniqueness)h(of)e(a)h(morphism)36 b Fj(e)-67 b Ft(')27 b Fz(:)h(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))e Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(D)h Fz(is)d(clear.)41 b(The)27 b(only)e(thing)g(to)g(sho)m(w)0 1871 y(is)33 b(that)g(this)g(is)g(a)g(morphism)f(of)h(coalgebras.)45 b(This)34 b(follo)m(ws)e(from)g(the)i(univ)m(ersal)f(prop)s(ert)m(y)h (of)0 1987 y Ft(C)h Fz(=)27 b(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))k(and)i(the)g(diagram)1082 2193 y Ft(!)620 b(!)25 b Fx(\012)e Ft(C)p 1175 2165 560 4 v 1652 2163 a Fm(-)1438 2144 y Fq(\016)1370 2381 y(\016)1182 2314 y Fm(@)1265 2397 y(@)1348 2480 y(@)1353 2485 y(@)-83 b(R)2150 2377 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\001)1962 2314 y Fm(@)2045 2397 y(@)2128 2480 y(@)2133 2485 y(@)g(R)p 1112 3070 4 839 v 1114 3070 a(?)1040 2672 y Fl(1)p 1892 3070 V 1894 3070 a Fm(?)1719 2814 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')1373 2583 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(C)424 b(!)26 b Fx(\012)c Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(C)p 1664 2555 361 4 v 1942 2553 a Fm(-)1735 2527 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fl(1)p 1502 3460 4 839 v 1504 3460 a Fm(?)1329 2912 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')p 2282 3460 V 2284 3460 a Fm(?)2323 3058 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')1082 3168 y Ft(!)616 b(!)26 b Fx(\012)c Ft(D)p 1175 3140 556 4 v 1648 3138 a Fm(-)1384 3186 y Fq(')1203 3341 y(')1182 3289 y Fm(@)1265 3372 y(@)1348 3455 y(@)1353 3460 y(@)-83 b(R)1880 3352 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\001)1962 3289 y Fm(@)2045 3372 y(@)2128 3455 y(@)2133 3460 y(@)g(R)1369 3558 y Ft(!)26 b Fx(\012)c Ft(D)410 b(!)26 b Fx(\012)d Ft(D)h Fx(\012)f Ft(D)p 1668 3530 351 4 v 1936 3528 a Fm(-)1774 3590 y Fq(')p Fr(\012)p Fl(1)0 3758 y Fz(where)39 b(the)g(righ)m(t)e(side)h(of)f(the)i(cub)s(e) g(comm)m(utes)e(b)m(y)i(the)g(univ)m(ersal)f(prop)s(ert)m(y)-8 b(.)60 b(Similarly)34 b(w)m(e)0 3875 y(get)f(that)44 b Fj(e)-67 b Ft(')32 b Fz(preserv)m(es)k(the)d(counit)f(since)h(the)g (follo)m(wing)d(diagram)g(comm)m(utes)1252 4075 y Ft(!)327 b(!)25 b Fx(\012)e Ft(C)p 1344 4047 268 4 v 1529 4045 a Fm(-)1461 4027 y Fq(\016)1252 4563 y Ft(!)323 b(!)26 b Fx(\012)c Ft(D)p 1344 4535 264 4 v 1525 4533 a Fm(-)1453 4501 y Fq(')p 1282 4465 4 351 v 1284 4465 a Fm(?)1209 4311 y Fl(1)p 1770 4465 V 1771 4465 a Fm(?)1596 4404 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')p 2257 4952 V 2259 4952 a Fm(?)2298 4798 y Fl(1)2075 4307 y(1)p Fr(\012)p Fq(")1839 4197 y Fm(@)1923 4280 y(@)2006 4363 y(@)2089 4446 y(@)2107 4465 y(@)-83 b(R)2075 4795 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(")1839 4684 y Fm(@)1923 4767 y(@)2006 4850 y(@)2089 4933 y(@)2107 4952 y(@)g(R)2127 4563 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Fu(K)1420 4155 y Fm(H)1503 4197 y(H)1586 4238 y(H)1669 4280 y(H)1752 4321 y(H)1835 4363 y(H)1918 4404 y(H)2001 4446 y(H)2039 4465 y(H)-83 b(j)1527 4238 y Fl(1)2127 5051 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Fu(K)1674 4798 y Fl(1)1420 4643 y Fm(H)1503 4684 y(H)1586 4726 y(H)1669 4767 y(H)1752 4809 y(H)1835 4850 y(H)1918 4892 y(H)2001 4933 y(H)2039 4952 y(H)-83 b(j)3523 5216 y Fh(\003)p eop %%Page: 98 101 98 100 bop 0 251 a Fw(98)215 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)1248 450 y Fv(6.)56 b(The)38 b(bialgebra)f Fz(co)s(end)149 624 y(Let)48 b Ft(!)57 b Fz(:)d Fx(D)i(\000)-59 b(!)53 b(C)h Fz(and)48 b Ft(!)1218 588 y Fr(0)1294 624 y Fz(:)54 b Fx(D)1455 588 y Fr(0)1531 624 y Fx(\000)-59 b(!)53 b(C)h Fz(b)s(e)48 b(diagrams)e(in)h Fx(C)6 b Fz(.)90 b(W)-8 b(e)48 b(call)e(the)i(diagram)0 741 y(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))31 b Fx(\012)h Fz(\()p Fx(D)523 705 y Fr(0)546 741 y Ft(;)17 b(!)655 705 y Fr(0)677 741 y Fz(\))53 b(:=)g(\()p Fx(D)34 b(\002)f(D)1263 705 y Fr(0)1286 741 y Ft(;)17 b(!)35 b Fx(\012)e Ft(!)1601 705 y Fr(0)1623 741 y Fz(\))48 b(with)f(\()p Ft(!)35 b Fx(\012)e Ft(!)2255 705 y Fr(0)2277 741 y Fz(\)\()p Ft(X)r(;)17 b(Y)k Fz(\))53 b(:=)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))31 b Fx(\012)i Ft(!)3241 705 y Fr(0)3263 741 y Fz(\()p Ft(Y)21 b Fz(\))48 b(the)0 857 y Fs(tensor)31 b(pr)-5 b(o)g(duct)28 b Fz(of)f(these)j(t)m(w)m(o)e (diagrams.)41 b(The)29 b(new)g(diagram)d(consists)i(of)g(all)e(p)s (ossible)h(tensor)0 973 y(pro)s(ducts)33 b(of)f(all)f(ob)5 b(jects)34 b(and)e(all)f(morphisms)g(of)h(the)h(original)c(diagrams.) 149 1089 y(F)-8 b(rom)31 b(no)m(w)i(on)f(w)m(e)h(assume)g(that)e(the)i (category)f Fx(C)39 b Fz(is)31 b(the)i(category)f(of)g(v)m(ector)h (spaces)h(and)0 1206 y(w)m(e)g(use)f(the)g(symmetry)g Ft(\034)39 b Fz(:)28 b Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(W)42 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(W)36 b Fx(\012)23 b Ft(V)54 b Fz(in)32 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)16 b Fz(.)149 1361 y Fv(Prop)s(osition)36 b(3.6.1.)42 b Fs(L)-5 b(et)35 b Fz(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))34 b Fs(and)g Fz(\()p Fx(D)1832 1325 y Fr(0)1855 1361 y Ft(;)17 b(!)1964 1325 y Fr(0)1986 1361 y Fz(\))35 b Fs(b)-5 b(e)34 b(\014nite)h(diagr)-5 b(ams)34 b(in)g Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b(.)45 b(Then)963 1556 y Fz(co)s(end\()p Ft(!)26 b Fx(\012)c Ft(!)1498 1515 y Fr(0)1521 1556 y Fz(\))1586 1528 y Fx(\030)1587 1560 y Fz(=)1692 1556 y(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))g Fx(\012)g Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)2550 1515 y Fr(0)2572 1556 y Fz(\))p Ft(:)149 1768 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)37 b(observ)m(e)j(the)e(follo)m(wing.)56 b(If)38 b(t)m(w)m(o)g(diagrams)e Ft(!)k Fz(:)c Fx(D)j(\000)-60 b(!)36 b(V)n Fs(e)-5 b(c)55 b Fz(and)38 b Ft(!)3375 1732 y Fr(0)3434 1768 y Fz(:)e Fx(D)3577 1732 y Fr(0)0 1884 y Fx(\000)-60 b(!)33 b(V)n Fs(e)-5 b(c)53 b Fz(are)36 b(giv)m(en)g(then)h(lim)997 1935 y Fx(\000)-41 b(!)1132 1930 y Fr(D)1210 1884 y Fz(lim)1210 1935 y Fx(\000)f(!)1345 1930 y Fr(D)1402 1911 y Fk(0)1428 1884 y Fz(\()p Ft(!)28 b Fx(\012)d Ft(!)1722 1848 y Fr(0)1744 1884 y Fz(\))1816 1857 y Fx(\030)1817 1888 y Fz(=)1927 1884 y(lim)1927 1935 y Fx(\000)-41 b(!)2062 1930 y Fr(D)r(\002D)2231 1911 y Fk(0)2257 1884 y Fz(\()p Ft(!)27 b Fx(\012)e Ft(!)2550 1848 y Fr(0)2573 1884 y Fz(\))2644 1857 y Fx(\030)2645 1888 y Fz(=)2755 1884 y(lim)2755 1935 y Fx(\000)-41 b(!)2891 1930 y Fr(D)2951 1884 y Fz(\()p Ft(!)t Fz(\))24 b Fx(\012)h Fz(lim)3218 1935 y Fx(\000)-41 b(!)3353 1930 y Fr(D)3410 1911 y Fk(0)3437 1884 y Fz(\()p Ft(!)3540 1848 y Fr(0)3562 1884 y Fz(\))0 2014 y(since)34 b(the)g(tensor)g(pro)s(duct)g(preserv)m (es)i(colimits)31 b(and)j(colimits)c(comm)m(ute)j(with)g(colimits.)44 b(F)-8 b(or)0 2130 y(this)32 b(consider)h(the)g(diagram)338 2311 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)753 2274 y Fr(0)776 2311 y Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))508 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Fz(lim)1788 2361 y Fx(\000)-41 b(!)1924 2356 y Fr(D)1981 2337 y Fk(0)2007 2311 y Fz(\()p Ft(!)2110 2274 y Fr(0)2132 2311 y Fz(\))p 959 2298 451 4 v 1327 2296 a Fm(-)p 632 2715 4 351 v 634 2715 a(?)284 2798 y Fz(lim)284 2849 y Fx(\000)g(!)420 2843 y Fr(D)480 2798 y Fz(\()p Ft(!)t Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(!)807 2762 y Fr(0)830 2798 y Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))400 b(lim)1384 2849 y Fx(\000)-41 b(!)1519 2843 y Fr(D)1580 2798 y Fz(\()p Ft(!)t Fz(\))21 b Fx(\012)i Fz(lim)1842 2849 y Fx(\000)-41 b(!)1977 2843 y Fr(D)2034 2825 y Fk(0)2060 2798 y Fz(\()p Ft(!)2163 2762 y Fr(0)2186 2798 y Fz(\))p 1012 2785 344 4 v 1273 2783 a Fm(-)p 1802 2715 4 351 v 1804 2715 a(?)2422 2767 y Fx(\030)2422 2799 y Fz(=)2527 2794 y(lim)2527 2845 y Fx(\000)g(!)2662 2840 y Fr(D)r(\002D)2831 2821 y Fk(0)2857 2794 y Fz(\()p Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(!)3146 2758 y Fr(0)3168 2794 y Fz(\))p Ft(:)0 3003 y Fz(The)j(maps)g(in)e(the) i(diagram)e(are)h(the)h(injections)f(for)g(the)h(corresp)s(onding)f (colimits.)38 b(In)26 b(particu-)0 3119 y(lar)c(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g (co)s(end)q(\()p Ft(!)6 b Fx(\012)s Ft(!)983 3083 y Fr(0)1005 3119 y Fz(\))1071 3091 y Fx(\030)1072 3123 y Fz(=)1176 3119 y(lim)1176 3169 y Fx(\000)-41 b(!)1312 3164 y Fr(D)r(\002D)1481 3145 y Fk(0)1506 3119 y Fz(\(\()p Ft(!)6 b Fx(\012)s Ft(!)1794 3083 y Fr(0)1817 3119 y Fz(\))1855 3083 y Fr(\003)1897 3119 y Fx(\012)s Fz(\()p Ft(!)g Fx(\012)s Ft(!)2227 3083 y Fr(0)2249 3119 y Fz(\)\))2353 3091 y Fx(\030)2354 3123 y Fz(=)2458 3119 y(lim)2458 3169 y Fx(\000)-41 b(!)2594 3164 y Fr(D)r(\002D)2763 3145 y Fk(0)2788 3119 y Fz(\()p Ft(!)2891 3083 y Fr(\003)2932 3119 y Fx(\012)s Ft(!)6 b Fx(\012)s Ft(!)3224 3083 y Fr(0)3247 3072 y(\003)3289 3119 y Fx(\012)s Ft(!)3434 3083 y Fr(0)3457 3119 y Fz(\))3523 3091 y Fx(\030)3523 3123 y Fz(=)0 3257 y(lim)0 3308 y Fx(\000)-41 b(!)135 3302 y Fr(D)196 3257 y Fz(\()p Ft(!)299 3221 y Fr(\003)360 3257 y Fx(\012)23 b Ft(!)t Fz(\))e Fx(\012)i Fz(lim)684 3308 y Fx(\000)-41 b(!)819 3302 y Fr(D)876 3284 y Fk(0)902 3257 y Fz(\()p Ft(!)1005 3221 y Fr(0)1028 3210 y(\003)1089 3257 y Fx(\012)23 b Ft(!)1254 3221 y Fr(0)1277 3257 y Fz(\))1342 3230 y Fx(\030)1343 3261 y Fz(=)1447 3257 y(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))e Fx(\012)i Fz(co)s(end\()p Ft(!)2305 3221 y Fr(0)2328 3257 y Fz(\).)149 3386 y(The)34 b(\(univ)m(ersal\))e(morphism)0 3580 y(\()p Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))e Fx(\012)g Ft(\023)360 3539 y Fr(0)384 3580 y Fz(\()p Ft(Y)22 b Fz(\)\)\(1)6 b Fx(\012)g Ft(\034)17 b Fx(\012)6 b Fz(1\))28 b(:)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))1295 3539 y Fr(\003)1339 3580 y Fx(\012)e Ft(!)1487 3539 y Fr(0)1510 3580 y Fz(\()p Ft(Y)22 b Fz(\))1665 3539 y Fr(\003)1710 3580 y Fx(\012)6 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)i Fz(\))e Fx(\012)g Ft(!)2177 3539 y Fr(0)2199 3580 y Fz(\()p Ft(Y)22 b Fz(\))27 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fz(lim)2526 3631 y Fx(\000)-41 b(!)2662 3580 y Fz(\()p Ft(!)2765 3539 y Fr(\003)2809 3580 y Fx(\012)6 b Ft(!)t Fz(\))g Fx(\012)g Fz(lim)3084 3631 y Fx(\000)-41 b(!)3220 3580 y Fz(\()p Ft(!)3323 3539 y Fr(0)3346 3528 y(\003)3391 3580 y Fx(\012)6 b Ft(!)3539 3539 y Fr(0)3562 3580 y Fz(\))0 3777 y(can)33 b(b)s(e)g(iden)m(ti\014ed)f(with)g(the)h (univ)m(ersal)g(morphism)273 3972 y Ft(\023)p Fz(\()p Ft(X)r(;)17 b(Y)k Fz(\))28 b(:)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))901 3931 y Fr(\003)961 3972 y Fx(\012)23 b Ft(!)1126 3931 y Fr(0)1148 3972 y Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))1303 3931 y Fr(\003)1364 3972 y Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)1880 3931 y Fr(0)1902 3972 y Fz(\()p Ft(Y)e Fz(\))28 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fz(lim)2229 4023 y Fx(\000)-41 b(!)2364 3972 y Fz(\(\()p Ft(!)26 b Fx(\012)c Ft(!)2691 3931 y Fr(0)2714 3972 y Fz(\))2752 3931 y Fr(\003)2813 3972 y Fx(\012)h Fz(\()p Ft(!)i Fx(\012)e Ft(!)3202 3931 y Fr(0)3225 3972 y Fz(\)\))p Ft(:)0 4169 y Fz(Hence)34 b(the)f(induced)g(morphisms)167 4364 y(\(1)22 b Fx(\012)h Ft(\034)33 b Fx(\012)23 b Fz(1\)\()p Ft(\016)j Fx(\012)c Ft(\016)891 4323 y Fr(0)915 4364 y Fz(\))27 b(:)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)1451 4323 y Fr(0)1473 4364 y Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))27 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)2216 4323 y Fr(0)2238 4364 y Fz(\()p Ft(Y)e Fz(\))i Fx(\012)f Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\012)i Fz(co)s(end\()p Ft(!)3372 4323 y Fr(0)3395 4364 y Fz(\))0 4559 y(and)698 4713 y Ft(\016)31 b Fz(:)d Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)1243 4672 y Fr(0)1265 4713 y Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))27 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)2008 4672 y Fr(0)2030 4713 y Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))g Fx(\012)g Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)j Fx(\012)e Ft(!)2842 4672 y Fr(0)2864 4713 y Fz(\))0 4887 y(can)33 b(b)s(e)g(iden)m(ti\014ed.)2791 b Fh(\003)149 5099 y Fv(Corollary)36 b(3.6.2.)41 b Fs(F)-7 b(or)33 b(al)5 b(l)34 b(\014nite)g(diagr)-5 b(ams)33 b Fz(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))33 b Fs(and)h Fz(\()p Fx(D)2539 5063 y Fr(0)2562 5099 y Ft(;)17 b(!)2671 5063 y Fr(0)2693 5099 y Fz(\))34 b Fs(in)g Fx(D)j Fs(ther)-5 b(e)34 b(is)g(a)g(uni-)0 5216 y(versal)e(natur)-5 b(al)33 b(tr)-5 b(ansformation)32 b Ft(\016)f Fz(:)d Ft(!)21 b Fx(\012)c Ft(!)1644 5179 y Fr(0)1695 5216 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(!)21 b Fx(\012)c Ft(!)2083 5179 y Fr(0)2123 5216 y Fx(\012)h Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))e Fx(\012)i Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)3067 5179 y Fr(0)3089 5216 y Fz(\))33 b Fs(so)f(that)h(for)p eop %%Page: 99 102 99 101 bop 1306 251 a Fw(6.)35 b(THE)e(BIALGEBRA)g(co)r(end)1229 b(99)0 450 y Fs(e)-5 b(ach)32 b(obje)-5 b(ct)32 b Ft(M)44 b Fs(and)32 b(e)-5 b(ach)32 b(natur)-5 b(al)33 b(tr)-5 b(ansformation)32 b Ft(')27 b Fz(:)h Ft(!)21 b Fx(\012)c Ft(!)2416 414 y Fr(0)2467 450 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(!)21 b Fx(\012)c Ft(!)2855 414 y Fr(0)2895 450 y Fx(\012)h Ft(M)44 b Fs(ther)-5 b(e)32 b(exists)0 566 y(a)j(unique)g(morphism)45 b Fj(e)-67 b Ft(')28 b Fz(:)f(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))21 b Fx(\012)i Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)1858 530 y Fr(0)1880 566 y Fz(\))28 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(M)46 b Fs(such)34 b(that)916 762 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(!)1167 726 y Fr(0)1371 762 y Ft(!)i Fx(\012)e Ft(!)1622 726 y Fr(0)1666 762 y Fx(\012)g Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))e Fx(\012)i Fz(co)s(end\()p Ft(!)2624 726 y Fr(0)2647 762 y Fz(\))p 1218 739 124 4 v 1259 737 a Fm(-)1263 719 y Fq(\016)1778 1257 y Ft(!)i Fx(\012)e Ft(!)2029 1221 y Fr(0)2073 1257 y Fx(\012)g Ft(M)p 2026 1157 4 351 v 2028 1157 a Fm(?)2067 999 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')1432 989 y(')1189 847 y Fm(H)1272 889 y(H)1355 930 y(H)1438 972 y(H)1521 1013 y(H)1604 1055 y(H)1687 1096 y(H)1770 1138 y(H)1808 1157 y(H)-83 b(j)0 1415 y Fs(c)-5 b(ommutes.)149 1568 y Fv(De\014nition)39 b(3.6.3.)44 b Fz(Let)35 b(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))33 b(b)s(e)j(a)e(diagram)f(in)h Fx(C)39 b Fz(=)31 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)51 b(Then)36 b Ft(!)i Fz(is)d(called)f Fs(r)-5 b(e)g(c)g(on-)0 1684 y(structive)273 1837 y Fx(\017)41 b Fz(if)e(there)i(is)e(an)h(ob)5 b(ject)40 b(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))f(in)g Fx(C)46 b Fz(and)40 b(a)g(univ)m(ersal)f(natural)g (transformation)364 1953 y Ft(\016)32 b Fz(:)c Ft(!)j Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(!)f Fx(\012)d Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))273 2070 y Fx(\017)41 b Fz(and)28 b(if)e(\(1)12 b Fx(\012)g Ft(\034)23 b Fx(\012)12 b Fz(1\)\()p Ft(\016)k Fx(\012)c Ft(\016)t Fz(\))28 b(:)g Ft(!)15 b Fx(\012)d Ft(!)31 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(!)15 b Fx(\012)d Ft(!)j Fx(\012)d Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))g Fx(\012)g Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))27 b(is)g(a)g(univ)m(esarl)364 2186 y(natural)32 b(transformation)e(of)i(bifunctors.)149 2339 y Fv(De\014nition)f(3.6.4.)38 b Fz(Let)27 b(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))26 b(b)s(e)i(a)f(diagram)e(in)h Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)42 b(Let)27 b Fx(D)j Fz(b)s(e)e(a)f (monoidal)e(category)0 2455 y(and)33 b Ft(!)j Fz(b)s(e)c(a)h(monoidal)c (functor.)44 b(Then)34 b(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))31 b(is)h(called)f(a)h Fs(monoidal)i(diagr)-5 b(am)p Fz(.)149 2571 y(Let)38 b(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))37 b(b)s(e)h(a)f (monoidal)e(diagram)h Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)59 b(Let)38 b Ft(A)f Fx(2)g(V)n Fs(e)-5 b(c)54 b Fz(b)s(e)38 b(an)g(algebra.)58 b(A)38 b(natural)0 2687 y(transformation)30 b Ft(')e Fz(:)g Ft(!)j Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(!)f Fx(\012)d Ft(B)37 b Fz(is)32 b(called)g(monoidal)d Fs(monoidal)i Fz(if)h(the)h(diagrams)538 2899 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))985 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))h Fx(\012)g Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)p 1135 2876 929 4 v 1981 2874 a Fm(-)1411 2838 y Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(Y)17 b Fl(\))p 820 3294 4 351 v 822 3294 a Fm(?)747 3126 y Fq(\032)p 2575 3294 V 2577 3294 a Fm(?)2616 3132 y Fq(\032)p Fr(\012)p Fq(m)608 3387 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)29 b Fx(\012)22 b Ft(Y)g Fz(\))1225 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)29 b Fx(\012)23 b Ft(Y)e Fz(\))h Fx(\012)h Ft(B)p 1066 3364 1168 4 v 2151 3362 a Fm(-)1511 3326 y Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fr(\012)p Fq(Y)16 b Fl(\))0 3563 y Fz(and)1223 3699 y Fu(K)821 b(K)46 b Fx(\012)23 b Fu(K)p 1329 3670 741 4 v 1987 3668 a Fm(-)1672 3628 y Fr(\030)1672 3649 y Fl(=)p 1260 4088 4 351 v 1262 4088 a Fm(?)p 2235 4088 V 892 w(?)1166 4181 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))683 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(B)p 1386 4158 626 4 v 1929 4156 a Fm(-)1630 4120 y Fq(')p Fl(\()p Fq(I)5 b Fl(\))0 4328 y Fz(comm)m(ute.)149 4445 y(W)-8 b(e)33 b(denote)h(the)f(set)g(of)f(monoidal)e(natural)h (transformations)g(b)m(y)j(Nat)2825 4403 y Fr(\012)2885 4445 y Fz(\()p Ft(!)t(;)17 b(!)24 b Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\).)149 4598 y Fv(Problem)36 b(3.6.28.)42 b Fz(Sho)m(w)34 b(that)e(Nat)1591 4556 y Fr(\012)1650 4598 y Fz(\()p Ft(!)t(;)17 b(!)24 b Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\))32 b(is)h(a)f(functor)h (in)e Ft(B)5 b Fz(.)149 4751 y Fv(Theorem)35 b(3.6.5.)41 b Fs(L)-5 b(et)33 b Fz(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b(!)t Fz(\))32 b Fs(b)-5 b(e)33 b(a)g(r)-5 b(e)g(c)g(onstructive,)33 b(monoidal)e(diagr)-5 b(am)32 b(in)h Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b(.)44 b(Then)0 4867 y Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))32 b Fs(is)g(a)h(bialgebr)-5 b(a)32 b(and)h Ft(\016)e Fz(:)d Ft(!)j Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(!)21 b Fx(\012)e Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))33 b Fs(is)f(a)h(monoidal)f(natur)-5 b(al)33 b(tr)-5 b(ansforma-)0 4983 y(tion.)149 5099 y(If)43 b Ft(B)48 b Fs(is)43 b(a)g(bialgebr)-5 b(a)42 b(and)h Ft(@)49 b Fz(:)43 b Ft(!)j Fx(\000)-57 b(!)43 b Ft(!)31 b Fx(\012)e Ft(B)48 b Fs(is)43 b(a)g(monoidal)f(natur)-5 b(al)43 b(tr)-5 b(ansformation,)0 5216 y(then)36 b(ther)-5 b(e)37 b(is)g(a)f(unique)h(homomorphism)d(of)j(bialgebr)-5 b(as)35 b Ft(f)42 b Fz(:)31 b Ft(coend)p Fz(\()p Ft(!)t Fz(\))f Fx(\000)-57 b(!)31 b Ft(B)41 b Fs(such)c(that)g(the)p eop %%Page: 100 103 100 102 bop 0 251 a Fw(100)177 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fs(diagr)-5 b(am)1397 582 y Ft(!)172 b(!)26 b Fx(\012)c Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 1489 559 113 4 v 1519 557 a Fm(-)1528 538 y Fq(\016)1571 824 y(@)1497 709 y Fm(@)1580 792 y(@)1663 875 y(@)1746 958 y(@)1765 977 y(@)-83 b(R)1784 1075 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(B)p 1915 977 4 351 v 1917 977 a Fm(?)1956 818 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(f)0 1197 y Fs(c)-5 b(ommutes.)149 1381 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)34 b(m)m(ultiplication)28 b(of)k(co)s(end)q (\()p Ft(!)t Fz(\))f(arises)i(from)e(the)i(follo)m(wing)d(diagram)143 1567 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)d Fz(\))288 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))h Fx(\012)h Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))e Fx(\012)i Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 741 1544 231 4 v 889 1542 a Fm(-)795 1516 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(\016)213 2055 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)29 b Fx(\012)23 b Ft(Y)e Fz(\))682 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)29 b Fx(\012)23 b Ft(Y)e Fz(\))h Fx(\012)h Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p 672 2032 624 4 v 1213 2030 a Fm(-)967 2011 y Fq(\016)p 426 1962 4 351 v 428 1962 a Fm(?)p 1791 1962 V 1282 w(?)2274 2027 y Fx(\030)2274 2059 y Fz(=)2379 2055 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)d Fz(\))i Fx(\012)h Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))2446 1694 y Fm(@)2529 1777 y(@)2612 1860 y(@)2695 1943 y(@)2714 1962 y(@)-83 b(R)0 2219 y Fz(F)-8 b(or)36 b(the)h(construction)g(of)f(the)h(unit)f(w)m(e)i(consider)f(the)g (diagram)e Fx(D)2576 2234 y Fl(0)2650 2219 y Fz(=)f(\()p Fx(f)p Ft(I)8 b Fx(g)p Ft(;)17 b Fx(f)p Fz(id)n Fx(g)p Fz(\))37 b(together)0 2335 y(with)d Ft(!)285 2350 y Fl(0)354 2335 y Fz(:)d Fx(D)489 2350 y Fl(0)559 2335 y Fx(\000)-60 b(!)30 b(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(,)35 b Ft(!)990 2350 y Fl(0)1029 2335 y Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))30 b(=)g Fu(K)18 b Fz(,)41 b(the)34 b(monoidal)e(unit)h(ob)5 b(ject)35 b(in)f(the)g(monoidal)e(category)0 2451 y(of)j(diagrams)f(in)g Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)52 b(Then)37 b(\()p Fu(K)56 b Fx(\000)-60 b(!)32 b Fu(K)48 b Fx(\012)25 b Fu(K)17 b Fz(\))39 b(=)32 b(\()p Ft(!)2005 2466 y Fl(0)2077 2451 y Fx(\000)-60 b(!)32 b Ft(!)2287 2466 y Fl(0)2351 2451 y Fx(\012)24 b Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)2798 2466 y Fl(0)2837 2451 y Fz(\)\))35 b(is)g(the)h(univ)m(ersal)0 2567 y(map.)43 b(The)33 b(follo)m(wing)d(diagram)g(then)k(induced)f(the)g(unit)f(for)g (co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))880 2751 y Fu(K)627 b(K)45 b Fx(\012)23 b Fu(K)p 986 2722 546 4 v 1449 2720 a Fm(-)1232 2681 y Fr(\030)1232 2702 y Fl(=)824 3233 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))333 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))p 1043 3210 278 4 v 1238 3208 a Fm(-)p 917 3140 4 351 v 919 3140 a(?)p 1697 3140 V 697 w(?)2085 3206 y Fx(\030)2086 3237 y Fz(=)2190 3233 y Fu(K)45 b Fx(\012)23 b Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))1801 2844 y Fm(Q)1884 2900 y(Q)1968 2955 y(Q)2051 3010 y(Q)2134 3066 y(Q)2217 3121 y(Q)2245 3140 y(Q)-83 b(s)0 3391 y Fz(By)33 b(using)f(the)h(univ)m(ersal)g(prop)s (ert)m(y)g(one)g(c)m(hec)m(ks)i(the)e(la)m(ws)g(for)f(bialgebras.)149 3508 y(The)47 b(ab)s(o)m(v)m(e)f(diagrams)e(sho)m(w)i(in)f(particular)e (that)i(the)h(natural)e(transformation)g Ft(\016)53 b Fz(:)d Ft(!)0 3624 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(!)d Fx(\012)e Fz(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))32 b(is)g(monoidal.)2255 b Fh(\003)702 3865 y Fv(7.)57 b(The)37 b(quan)m(tum)h(monoid)f(of)g(a)h (quan)m(tum)g(space)149 4039 y(Problem)43 b(3.7.29.)j Fz(If)39 b Ft(A)g Fz(is)f(a)h(\014nite)g(dimensional)d(algebra)i(and)h Ft(\016)k Fz(:)38 b Ft(A)h Fx(\000)-60 b(!)39 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))27 b Fx(\012)g Ft(A)0 4156 y Fz(the)38 b(univ)m(ersal)g(co)s(op)s(eration)e(of)i(the)g(T)-8 b(am)m(bara)37 b(bialgebra)f(on)i Ft(A)g Fz(from)e(the)j(left)e(then)h Ft(\034)11 b(\016)41 b Fz(:)c Ft(A)0 4272 y Fx(\000)-60 b(!)44 b Ft(A)29 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))43 b(\(with)f(the)g(same)g(m)m(ultiplication)c(on)k Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\)\))43 b(is)e(a)h(univ)m(ersal)g(co)s(op)s (eration)0 4388 y(of)e Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))40 b(on)g Ft(A)h Fz(from)d(the)j(righ)m(t.)65 b(The)41 b(com)m (ultiplication)36 b(de\014ned)41 b(b)m(y)g(this)f(co)s(op)s(eration)e (is)0 4504 y Ft(\034)11 b Fz(\001)28 b(:)g Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))29 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))21 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\).)44 b(Th)m(us)33 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(to)e(distinguish)f (b)s(et)m(w)m(een)k(the)e(left)f(and)h(the)0 4620 y(righ)m(t)g(T)-8 b(am)m(bara)32 b(bialgebra)e(on)j Ft(A)f Fz(and)h(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g Ft(M)1964 4635 y Fq(r)2002 4620 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))28 b(=)f Ft(M)2376 4635 y Fq(l)2403 4620 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))2552 4584 y Fq(cop)2656 4620 y Fz(.)149 4751 y(No)m(w)41 b(consider)f(the)g(sp)s(ecial)e(monoidal)f(diagram)h(sc)m(heme)j Fx(D)h Fz(:=)e Fx(D)s Fz([)p Ft(X)8 b Fz(;)17 b Ft(m;)g(u)p Fz(].)63 b(T)-8 b(o)40 b(mak)m(e)0 4867 y(things)c(simpler)e(w)m(e)j (assume)f(that)g Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)53 b Fz(is)35 b(strict)h(monoidal.) 51 b(The)37 b(category)f Fx(D)s Fz([)p Ft(X)8 b Fz(;)17 b Ft(m;)g(u)p Fz(])35 b(has)0 4983 y(the)k(ob)5 b(jects)39 b Ft(X)34 b Fx(\012)26 b Ft(:)17 b(:)g(:)26 b Fx(\012)g Ft(X)45 b Fz(=)38 b Ft(X)1304 4947 y Fr(\012)p Fq(n)1443 4983 y Fz(for)g(all)e Ft(n)i Fx(2)f Fu(N)53 b Fz(\(and)39 b Ft(I)45 b Fz(:=)37 b Ft(X)2599 4947 y Fr(\012)p Fl(0)2693 4983 y Fz(\))h(and)h(the)f(morphisms)0 5099 y Ft(m)32 b Fz(:)g Ft(X)g Fx(\012)24 b Ft(X)40 b Fx(\000)-59 b(!)31 b Ft(X)8 b Fz(,)36 b Ft(u)31 b Fz(:)i Ft(I)39 b Fx(\000)-59 b(!)32 b Ft(X)42 b Fz(and)36 b(all)d(morphisms)g(formally)g (constructed)k(from)c Ft(m;)17 b(u;)g Fz(id)0 5216 y(b)m(y)33 b(taking)f(tensor)h(pro)s(ducts)h(and)e(comp)s(osition)f(of)h (morphisms.)p eop %%Page: 101 104 101 103 bop 778 251 a Fw(7.)35 b(THE)f(QUANTUM)e(MONOID)g(OF)h(A)g (QUANTUM)f(SP)-6 b(A)n(CE)663 b(101)149 450 y Fz(Let)33 b Ft(A)g Fz(b)s(e)g(an)f(algebra)g(with)g(m)m(ultiplication)c Ft(m)1973 465 y Fq(A)2058 450 y Fz(:)g Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)33 b Fz(and)g(unit)f Ft(u)3111 465 y Fq(A)3195 450 y Fz(:)c Fu(K)51 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A)p Fz(.)0 566 y(Then)j Ft(!)313 581 y Fq(A)398 566 y Fz(:)c Fx(D)k(\000)-60 b(!)27 b(C)37 b Fz(de\014ned)31 b(b)m(y)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b(=)g Ft(A)p Fz(,)k Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)1942 530 y Fr(\012)p Fq(n)2043 566 y Fz(\))c(=)h Ft(A)2285 530 y Fr(\012)p Fq(n)2387 566 y Fz(,)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))e(=)f Ft(m)2886 581 y Fq(A)2973 566 y Fz(and)k Ft(!)t Fz(\()p Ft(u)p Fz(\))26 b(=)h Ft(u)3543 581 y Fq(A)0 683 y Fz(is)k(a)h(strict)f (monoidal)e(functor.)43 b(If)32 b Ft(A)g Fz(is)f(\014nite)g (dimensional)e(then)k(the)f(diagram)d(is)j(\014nite.)43 b(W)-8 b(e)0 799 y(get)149 938 y Fv(Theorem)40 b(3.7.1.)j Fs(L)-5 b(et)37 b Ft(A)g Fs(b)-5 b(e)37 b(a)g(\014nite)f(dimensional)f (algebr)-5 b(a.)50 b(Then)36 b(the)h(algebr)-5 b(a)36 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))0 1054 y Fs(c)-5 b(o)g(acting)45 b(universal)5 b(ly)46 b(fr)-5 b(om)45 b(the)h(right)g(on)f Ft(A)h Fs(\(the)g(right)g(T)-7 b(amb)i(ar)g(a)44 b(bialgebr)-5 b(a\))45 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))47 b Fs(and)0 1171 y Fz(co)s(end)q(\()p Ft(!)346 1186 y Fq(A)402 1171 y Fz(\))35 b Fs(ar)-5 b(e)35 b(isomorphic)e(as)i(bialgebr)-5 b(as.)149 1344 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)23 b(ha)m(v)m(e)g (studied)g(the)f(T)-8 b(am)m(bara)21 b(bialgebra)g(for)g(left)g (coaction)g Ft(f)39 b Fz(:)28 b Ft(A)f Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))q Fx(\012)0 1460 y Ft(A)29 b Fz(but)h(here)g(w)m(e)g(need)g(the)g(analogue)e(for)g(univ)m(ersal)h (righ)m(t)g(coaction)f Ft(f)39 b Fz(:)27 b Ft(A)h Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(A)15 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))31 b(\(see)0 1576 y(Problem)h(\(44\).)149 1693 y(Let)38 b Ft(B)k Fz(b)s(e)37 b(an)g(algebra)f(and)h Ft(f)45 b Fz(:)36 b Ft(A)f Fx(\000)-60 b(!)35 b Ft(A)25 b Fx(\012)h Ft(B)42 b Fz(b)s(e)37 b(a)g(homomorphism)d(of)j(algebras.) 56 b(F)-8 b(or)0 1809 y Ft(!)31 b Fz(=)d Ft(!)257 1824 y Fq(A)346 1809 y Fz(w)m(e)33 b(de\014ne)265 2004 y Ft(')p Fz(\()p Ft(X)456 1963 y Fr(\012)p Fq(n)557 2004 y Fz(\))28 b(:)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)870 1963 y Fr(\012)p Fq(n)971 2004 y Fz(\))f(=)h Ft(A)1213 1963 y Fr(\012)p Fq(n)1357 1944 y(f)1398 1920 y Fk(\012)p Fn(n)1343 2004 y Fx(\000)-17 b(!)28 b Ft(A)1604 1963 y Fr(\012)p Fq(n)1728 2004 y Fx(\012)22 b Ft(B)1906 1963 y Fr(\012)p Fq(n)2036 1934 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(m)2188 1911 y Fn(n)2188 1957 y(B)2059 2004 y Fx(\000)-17 b(!)50 b Ft(A)2342 1963 y Fr(\012)p Fq(n)2466 2004 y Fx(\012)23 b Ft(B)33 b Fz(=)27 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)2968 1963 y Fr(\012)p Fq(n)3069 2004 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(B)5 b(;)0 2167 y Fz(where)41 b Ft(m)374 2131 y Fq(n)374 2192 y(B)476 2167 y Fz(:)f Ft(B)622 2131 y Fr(\012)p Fq(n)764 2167 y Fx(\000)-59 b(!)40 b Ft(B)45 b Fz(is)39 b(the)i Ft(n)p Fz(-fold)d(m)m(ultiplication)e(on)k Ft(B)5 b Fz(.)66 b(The)41 b(map)e Ft(')h Fz(is)f(a)h(natural)0 2283 y(transformation)30 b(since)j(the)g(diagrams)1426 2960 y Ft(A)411 b(A)22 b 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Fx(\012)h Ft(B)1252 3939 y Fq(f)1243 3952 y Fm(\030)1326 3931 y(\030)1394 3914 y(\030)-83 b(:)2206 3941 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)2023 3914 y Fm(X)2106 3935 y(X)2174 3952 y(X)g(z)933 4050 y Ft(A)1387 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)p 1035 4022 1329 4 v 2281 4020 a Fm(-)1617 4089 y Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))0 4209 y Fz(comm)m(ute.)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(the)h(follo)m(wing)d(comm)m(ute)693 4407 y Ft(A)766 4371 y Fr(\012)p Fq(r)881 4407 y Fx(\012)23 b Ft(A)1054 4371 y Fr(\012)p Fq(s)2052 4407 y Ft(A)2125 4371 y Fr(\012)p Fq(r)2240 4407 y Fx(\012)g Ft(A)2413 4371 y Fr(\012)p Fq(s)2527 4407 y Fx(\012)g Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 1175 4375 849 4 v 1941 4373 a Fm(-)1326 4338 y Fq(')p Fl(\()p Fq(X)1462 4315 y Fk(\012)p Fn(r)1545 4338 y Fl(\))p Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(X)1763 4315 y Fk(\012)p Fn(s)1845 4338 y Fl(\))1180 4602 y Ft(A)1253 4566 y Fr(\012)p Fq(r)1368 4602 y Fx(\012)g Ft(A)1541 4566 y Fr(\012)p Fq(s)1655 4602 y Fx(\012)f Ft(B)1833 4566 y Fr(\012)p Fq(r)1949 4602 y Fx(\012)g Ft(B)2127 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Fz(so)i(that)f Ft(')c Fz(:)f Ft(!)538 465 y Fq(A)623 450 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(!)829 465 y Fq(A)908 450 y Fx(\012)22 b Ft(B)38 b Fz(is)32 b(a)g(monoidal)e(natural)h(transformation.)149 566 y(Con)m(v)m(ersely)k (let)c Ft(')d Fz(:)f Ft(!)990 581 y Fq(A)1075 566 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(!)1281 581 y Fq(A)1359 566 y Fx(\012)21 b Ft(B)37 b Fz(b)s(e)c(a)e(natural)g(transformation.)42 b(Let)32 b Ft(f)38 b Fz(:=)28 b Ft(')p Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))27 b(:)h Ft(A)0 683 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(.)43 b(Then)34 b(the)f(follo)m(wing)d(comm)m (ute)1078 864 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)506 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)f Fx(\012)h Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 1375 836 449 4 v 1741 834 a Fm(-)1530 802 y Fq(f)7 b Fr(\012)p Fq(f)p 1210 1156 4 254 v 1212 1156 a Fm(?)1118 1042 y Fl(=)p 2185 1156 V 2187 1156 a Fm(?)2226 1047 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(m)1078 1254 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(A)607 b(A)22 b Fx(\012)g Ft(A)h Fx(\012)f Ft(B)p 1375 1226 549 4 v 1841 1224 a Fm(-)1508 1188 y Fq(')p Fl(\()p Fq(X)5 b Fr(\012)p Fq(X)g Fl(\))p 1210 1546 4 254 v 1212 1546 a Fm(?)1111 1434 y Fq(m)p 2185 1546 V 2187 1546 a Fm(?)2226 1437 y Fq(m)p Fr(\012)p Fl(1)1176 1644 y Ft(A)801 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)p 1277 1616 744 4 v 1938 1614 a Fm(-)1628 1582 y Fq(f)0 1777 y Fz(and)1333 1885 y Fu(K)627 b(K)45 b Fx(\012)23 b Fu(K)p 1439 1857 546 4 v 1902 1855 a Fm(-)1685 1815 y Fr(\030)1685 1836 y Fl(=)p 1370 2177 4 254 v 1372 2177 a Fm(?)1278 2062 y Fl(=)p 2150 2177 V 2152 2177 a Fm(?)1333 2275 y Fu(K)626 b(K)45 b Fx(\012)23 b Ft(B)p 1439 2247 545 4 v 1901 2245 a Fm(-)p 1370 2567 4 254 v 1372 2567 a(?)1292 2454 y Fq(u)p 2150 2567 V 2152 2567 a Fm(?)2191 2458 y Fq(u)p Fr(\012)p Fl(1)1335 2665 y Ft(A)593 b(A)23 b Fx(\012)f Ft(B)5 b(:)p 1437 2637 536 4 v 1890 2635 a Fm(-)1684 2603 y Fq(f)0 2777 y Fz(Hence)34 b Ft(f)k Fz(:)28 b Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(B)38 b Fz(is)32 b(a)h(homomorphism)c(of)j(algebras.)149 2893 y(Th)m(us)j(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)h(de\014ned)g(an)f(isomorphism)991 3055 y Fu(K)18 b Fx(A)p Fs(lg)j Fz(\()p Ft(A;)c(A)23 b Fx(\012)f Ft(B)5 b Fz(\))1729 3028 y Fx(\030)1730 3060 y Fz(=)1834 3055 y(Nat)1994 3014 y Fr(\012)2053 3055 y Fz(\()p Ft(!)2152 3070 y Fq(A)2209 3055 y Ft(;)17 b(!)2314 3070 y Fq(A)2392 3055 y Fx(\012)23 b Ft(B)5 b Fz(\))0 3218 y(that)33 b(is)g(natural)f(in)h Ft(B)5 b Fz(.)46 b(If)33 b Ft(A)g Fz(is)g(\014nite)g(dimensional)e(then)j(the)g(left)e (hand)i(side)g(is)e(represen)m(ted)0 3334 y(b)m(y)27 b(the)g(T)-8 b(am)m(bara)26 b(bialgebra)f Ft(M)1208 3349 y Fq(r)1246 3334 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))i(and)f(the)h(righ)m(t)f(hand)h (side)g(b)m(y)g(the)g(bialgebra)e(co)s(end\()p Ft(!)3478 3349 y Fq(A)3535 3334 y Fz(\).)0 3450 y(Th)m(us)34 b(b)s(oth)e (bialgebras)g(m)m(ust)g(b)s(e)h(isomorphic.)1720 b Fh(\003)149 3623 y Fv(Corollary)77 b(3.7.2.)60 b Fs(Ther)-5 b(e)67 b(is)g(a)g(unique)g(isomorphism)f(of)h(bialgebr)-5 b(as)66 b Ft(M)3247 3638 y Fq(r)3286 3623 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))3523 3595 y Fx(\030)3523 3627 y Fz(=)0 3739 y(co)s(end)q(\()p Ft(!)346 3754 y Fq(A)402 3739 y Fz(\))35 b Fs(such)g(that)g(the)g (diagr)-5 b(am)1379 3893 y Ft(A)213 b(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)1954 3908 y Fq(r)1992 3893 y Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))p 1481 3870 156 4 v 1554 3868 a Fm(-)1484 4020 y(@)1567 4103 y(@)1650 4186 y(@)1733 4269 y(@)1752 4288 y(@)-83 b(R)1586 4381 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(co)s(end\()p Ft(!)2126 4396 y Fq(A)2183 4381 y Fz(\))p 1902 4288 4 351 v 1903 4288 a Fm(?)0 4521 y Fs(c)-5 b(ommutes)149 4694 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(This)33 b(is)f(a)h(direct)f(consequence)k(of)c(the)h(univ)m(ersal) f(prop)s(ert)m(y)-8 b(.)684 b Fh(\003)149 4867 y Fz(Th)m(us)28 b(the)e(T)-8 b(am)m(bara)25 b(bialgebra)f(that)h(represen)m(ts)j(the)e (univ)m(ersal)g(quan)m(tum)g(monoid)e(acting)0 4983 y(on)i(a)g (\014nite)h(quan)m(tum)f(space)i(ma)m(y)e(b)s(e)h(reconstructed)h(b)m (y)f(the)g(T)-8 b(annak)j(a-Krein)25 b(reconstruction)0 5099 y(from)d(represen)m(tation)i(theory)-8 b(.)41 b(Similar)20 b(reconstructions)k(can)f(b)s(e)h(giv)m(en)f(for)g(more)g(complicated)0 5216 y(quan)m(tum)33 b(spaces)h(suc)m(h)g(as)f(so)g(called)e(quadratic) h(quan)m(tum)h(spaces.)p eop %%Page: 103 106 103 105 bop 967 251 a Fw(8.)35 b(RECONSTR)n(UCTION)d(AND)g Fc(C)t Fw(-CA)-6 b(TEGORIES)851 b(103)941 450 y Fv(8.)56 b(Reconstruction)36 b(and)j Fx(C)6 b Fv(-categories)149 624 y Fz(No)m(w)30 b(w)m(e)g(sho)m(w)h(that)d(an)h(arbitrary)g (coalgebra)f Ft(C)36 b Fz(can)29 b(b)s(e)g(reconstructed)i(b)m(y)g(the) e(metho)s(ds)0 741 y(in)m(tro)s(duced)i(ab)s(o)m(v)m(e)g(from)f(its)g (\(co-\)represen)m(tations)h(or)f(more)g(precisely)h(from)e(the)i (underlying)0 857 y(functor)j Ft(!)f Fz(:)c Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(C)37 b Fx(\000)-60 b(!)29 b(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)47 b(In)34 b(this)f(case)i(one)f(can)g(not) f(use)i(the)f(usual)g(construction)f(of)0 973 y(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\))e(that)i(is)f(restricted)h(to)f(\014nite)g(dimensional)e (como)s(dules.)149 1089 y(The)45 b(follo)m(wing)d(Theorem)i(is)g(an)f (example)h(that)g(sho)m(ws)h(that)f(the)h(restriction)e(to)g(\014nite)0 1206 y(dimensional)38 b(como)s(dules)i(in)g(general)h(is)f(to)s(o)g (strong)h(for)f(T)-8 b(annak)j(a)41 b(reconstruction.)69 b(There)0 1322 y(ma)m(y)45 b(b)s(e)g(univ)m(ersal)g(co)s(endomorphism)e (bialgebras)h(for)g(more)g(general)h(diagrams.)79 b(On)45 b(the)0 1438 y(other)33 b(hand)g(the)h(follo)m(wing)c(Theorem)j(also)f (holds)h(if)e(one)j(only)e(considers)i(\014nite)e(dimensional)0 1554 y(corepresen)m(tations)24 b(of)f Ft(C)7 b Fz(.)40 b(Ho)m(w)m(ev)m(er)26 b(the)d(pro)s(of)f(then)i(b)s(ecomes)g(somewhat)f (more)f(complicated.)149 1710 y Fv(De\014nition)39 b(3.8.1.)k Fz(Let)35 b Fx(C)41 b Fz(b)s(e)35 b(a)g(monoidal)d(category)-8 b(.)50 b(A)35 b(category)g Fx(D)j Fz(together)d(with)f(a)0 1826 y(bifunctor)26 b Fx(\012)i Fz(:)g Fx(C)15 b(\002)9 b(D)31 b(\000)-59 b(!)27 b(D)i Fz(and)d(natural)g(isomorphisms)e Ft(\014)33 b Fz(:)28 b(\()p Ft(A)9 b Fx(\012)g Ft(B)c Fz(\))k Fx(\012)g Ft(M)41 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(A)9 b Fx(\012)g Fz(\()p Ft(B)14 b Fx(\012)9 b Ft(M)h Fz(\),)0 1942 y Ft(\021)31 b Fz(:)d Ft(I)i Fx(\012)23 b Ft(M)38 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)43 b Fz(is)32 b(called)g(a)g Fx(C)6 b Fs(-c)-5 b(ate)g(gory)33 b Fz(if)e(the)i(follo)m(wing)d (diagrams)h(comm)m(ute)107 2159 y(\(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(C)7 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(M)427 b Fz(\()p Ft(A)23 b Fx(\012)f Fz(\()p Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(C)7 b Fz(\)\))22 b Fx(\012)h Ft(M)p 987 2136 359 4 v 1263 2134 a Fm(-)969 2098 y Fq(\013)p Fl(\()p Fq(A;B)s(;C)5 b Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)2642 2159 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(\(\()p Ft(B)k Fx(\012)c Ft(C)7 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\))p 2254 2136 V 2530 2134 a Fm(-)2220 2098 y Fq(\014)s Fl(\()p Fq(A;B)s Fr(\012)p Fq(C)q(;M)d Fl(\))p 531 2456 4 254 v 533 2456 a Fm(?)572 2346 y Fq(\014)s Fl(\()p Fq(A)p Fr(\012)p Fq(B)s(;C)q(;M)g Fl(\))p 3066 2456 V 3067 2456 a Fm(?)2619 2346 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\014)s Fl(\()p Fq(B)s(;C)q(;M)g Fl(\))107 2549 y Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(M)10 b Fz(\))1685 b Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(B)k Fx(\012)c Fz(\()p Ft(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(M)10 b Fz(\)\))p 987 2526 1627 4 v 2531 2524 a Fm(-)1584 2488 y Fq(\014)s Fl(\()p Fq(A;B)s(;C)5 b Fr(\012)p Fq(M)i Fl(\))941 2809 y Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(I)8 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(M)633 b(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(I)30 b Fx(\012)22 b Ft(M)10 b Fz(\))p 1518 2786 564 4 v 1999 2784 a Fm(-)1650 2748 y Fq(\014)s Fl(\()p Fq(A;I)5 b(;M)i Fl(\))1650 3204 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)1212 2996 y Fq(\032)p Fl(\()p Fq(A)p Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)1317 2908 y Fm(Q)1400 2963 y(Q)1483 3019 y(Q)1566 3074 y(Q)1615 3106 y(Q)-83 b(s)2154 2996 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\021)r Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))2200 2908 y Fm(\021)2117 2963 y(\021)2034 3019 y(\021)1951 3074 y(\021)1902 3106 y(\021)-83 b(+)0 3349 y Fz(A)33 b Fx(C)6 b Fz(-category)32 b(is)g(called)g Fs(strict)h Fz(if)e(the)i(morphisms)e Ft(\014)6 b(;)17 b(\021)36 b Fz(are)d(the)g(iden)m(tities.)149 3465 y(Let)k(\()p Fx(D)s Ft(;)17 b Fx(\012)p Fz(\))37 b(and)f(\()p Fx(D)953 3429 y Fr(0)976 3465 y Ft(;)17 b Fx(\012)p Fz(\))37 b(b)s(e)g Fx(C)6 b Fz(-categories.)55 b(A)37 b(functor)g Fx(F)44 b Fz(:)35 b Fx(D)i(\000)-60 b(!)35 b(D)2877 3429 y Fr(0)2936 3465 y Fz(together)i(with)f(a)0 3581 y(natural)29 b(transformation)e Ft(\020)8 b Fz(\()p Ft(A;)17 b(M)10 b Fz(\))27 b(:)h Ft(A)16 b Fx(\012)g(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))29 b Fx(\000)-59 b(!)27 b(F)10 b Fz(\()p Ft(A)16 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\))31 b(is)e(called)g(a)g Fs(we)-5 b(ak)32 b Fx(C)6 b Fs(-functor)0 3697 y Fz(if)31 b(the)i(follo)m(wing)d (diagrams)h(comm)m(ute)263 3907 y(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))1606 b Fx(F)10 b Fz(\(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(M)10 b Fz(\))p 1026 3883 1549 4 v 2492 3881 a Fm(-)1782 3849 y Fq(\020)p 628 4203 4 254 v 630 4203 a Fm(?)548 4093 y Fq(\014)p 2968 4203 V 2970 4203 a Fm(?)3009 4093 y Fr(F)d Fl(\()p Fq(\014)s Fl(\))263 4297 y Ft(A)22 b Fx(\012)h Fz(\()p Ft(B)k Fx(\012)c(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\)\))474 b Ft(A)22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(B)27 b Fx(\012)22 b Ft(M)10 b Fz(\))p 1026 4274 417 4 v 1360 4272 a Fm(-)1171 4239 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\020)2603 4297 y Fx(F)g Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)g Fz(\()p Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(M)10 b Fz(\)\))p 2158 4274 V 2492 4272 a Fm(-)2348 4239 y Fq(\020)1193 4549 y Ft(I)30 b Fx(\012)22 b(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))346 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(I)29 b Fx(\012)23 b Ft(M)10 b Fz(\))p 1656 4526 289 4 v 1862 4524 a Fm(-)1782 4492 y Fq(\020)1669 4939 y Fx(F)g Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))1507 4727 y Fq(\021)1478 4675 y Fm(@)1561 4758 y(@)1644 4841 y(@)1649 4846 y(@)-83 b(R)2055 4736 y Fr(F)7 b Fl(\()p Fq(\021)r Fl(\))2039 4675 y Fm(\000)1956 4758 y(\000)1873 4841 y(\000)1868 4846 y(\000)-83 b(\011)149 5099 y Fz(If,)40 b(in)e(addition,)g Ft(\020)46 b Fz(is)37 b(an)i(isomorphism)d(then)j(w) m(e)g(call)e Fx(F)48 b Fz(a)38 b Fx(C)6 b Fz(-functor.)61 b(The)39 b(functor)f(is)0 5216 y(called)31 b(a)i Fs(strict)i Fx(C)6 b Fs(-functor)33 b Fz(if)e Ft(\020)40 b Fz(is)32 b(the)h(iden)m(tit)m(y)f(morphism.)p eop %%Page: 104 107 104 106 bop 0 251 a Fw(104)177 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fz(A)47 b(natural)e(transformation)f Ft(')50 b Fz(:)h Fx(F)60 b(\000)-59 b(!)50 b(F)1876 414 y Fr(0)1945 450 y Fz(b)s(et)m(w)m(een)e(\(w)m(eak\))f Fx(C)6 b Fz(-functors)47 b(is)e(called)g(a)0 566 y Fx(C)6 b Fs(-tr)-5 b(ansformation)32 b Fz(if)1186 1200 y Ft(A)23 b Fx(\012)f(F)1463 1164 y Fr(0)1486 1200 y Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))300 b Fx(F)2048 1164 y Fr(0)2071 1200 y Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)h Ft(M)10 b Fz(\))p 1696 1177 242 4 v 1855 1175 a Fm(-)1788 1245 y Fq(\020)1824 1222 y Fk(0)1198 713 y Ft(A)22 b Fx(\012)h(F)10 b Fz(\()p Ft(M)g Fz(\))323 b Fx(F)10 b Fz(\()p Ft(A)22 b Fx(\012)g Ft(M)10 b Fz(\))p 1684 689 266 4 v 1867 687 a Fm(-)1799 656 y Fq(\020)p 1425 1107 4 351 v 1427 1107 a Fm(?)1072 948 y Fl(1)1107 959 y Fn(A)1157 948 y Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(M)d Fl(\))p 2205 1107 V 2207 1107 a Fm(?)2246 948 y Fq(')p Fl(\()p Fq(A)p Fr(\012)p Fq(M)g Fl(\))0 1363 y Fz(comm)m(utes.)149 1507 y Fv(Example)26 b(3.8.2.)35 b Fz(Let)23 b Ft(C)29 b Fz(b)s(e)24 b(a)e(coalgebra)g(and)h Fx(C)34 b Fz(:=)28 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)40 b(Then)24 b(the)f(category)h Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(C)0 1624 y Fz(of)34 b(righ)m(t)g Ft(C)7 b Fz(-como)s(dules)34 b(is)g(a)g Fx(C)6 b Fz(-category)35 b(since)g Ft(N)42 b Fx(2)32 b(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(C)41 b Fz(and)35 b Ft(V)53 b Fx(2)32 b(C)38 b Fz(=)31 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)51 b Fz(implies)0 1740 y(that)32 b Ft(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)43 b Fz(is)32 b(a)g(como)s(dules)g(with)g(the)h(como)s(dule)e (structure)j(of)e Ft(N)10 b Fz(.)149 1856 y(The)38 b(underlying)e (functor)h Ft(!)g Fz(:)e Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(C)42 b Fx(\000)-60 b(!)34 b(V)n Fs(e)-5 b(c)53 b Fz(is)36 b(a)g(strict)h Fx(C)6 b Fz(-functor)36 b(since)h(w)m(e)h(ha) m(v)m(e)0 1972 y Ft(V)49 b Fx(\012)27 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))40 b(=)g Ft(!)t Fz(\()p Ft(V)48 b Fx(\012)28 b Ft(N)10 b Fz(\).)65 b(Similarly)36 b Ft(!)31 b Fx(\012)c Ft(M)51 b Fz(:)40 b Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(C)47 b Fx(\000)-60 b(!)40 b(V)n Fs(e)-5 b(c)57 b Fz(is)39 b(a)h Fx(C)6 b Fz(-functor)40 b(since)0 2088 y Ft(V)k Fx(\012)22 b Fz(\()p Ft(!)t Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(M)10 b Fz(\))759 2061 y Fx(\030)760 2093 y Fz(=)864 2088 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(M)10 b Fz(.)149 2233 y Fv(Lemma)56 b(3.8.3.)50 b Fs(L)-5 b(et)49 b Ft(C)57 b Fs(b)-5 b(e)49 b(a)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a.)87 b(L)-5 b(et)49 b Ft(!)58 b Fz(:)d Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b(-)o Ft(C)62 b Fx(\000)-57 b(!)54 b(V)n Fs(e)-5 b(c)66 b(b)-5 b(e)49 b(the)g(un-)0 2349 y(derlying)43 b(functor.)73 b(L)-5 b(et)44 b Ft(')g Fz(:)h Ft(!)j Fx(\000)-57 b(!)44 b Ft(!)32 b Fx(\012)d Ft(M)55 b Fs(b)-5 b(e)44 b(a)f(natur)-5 b(al)44 b(tr)-5 b(ansformation.)72 b(Then)43 b Ft(')g Fs(is)h(a)0 2465 y Fx(C)6 b Fs(-tr)-5 b(ansformation)34 b(with)h Fx(C)f Fz(=)27 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b(.)149 2651 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(It)31 b(su\016ces)i(to)d(sho)m(w)h(1)1373 2666 y Fq(V)1452 2651 y Fx(\012)18 b Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Ft(')p Fz(\()p Ft(V)39 b Fx(\012)18 b Ft(N)10 b Fz(\))31 b(for)f(an)h(arbitrary)e(como)s(dule)g Ft(N)10 b Fz(.)0 2767 y(W)-8 b(e)33 b(sho)m(w)h(that)e(the)h(diagram) 1160 3454 y Ft(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)485 b(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 1478 3426 418 4 v 1813 3424 a Fm(-)1533 3494 y Fl(1)1568 3505 y Fn(V)1622 3494 y Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(N)7 b Fl(\))1160 2967 y Ft(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)485 b(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 1478 2938 V 1813 2936 a Fm(-)1549 2901 y Fq(')p Fl(\()p Fq(V)16 b Fr(\012)p Fq(N)7 b Fl(\))p 1303 3356 4 351 v 1305 3356 a Fm(?)1230 3202 y Fl(1)p 2181 3356 V 2182 3356 a Fm(?)2221 3202 y Fl(1)0 3650 y Fz(comm)m(utes.)45 b(Let)33 b(\()p Ft(v)758 3665 y Fq(i)786 3650 y Fz(\))g(b)s(e)g(a)g(basis)f(of)h Ft(V)21 b Fz(.)45 b(F)-8 b(or)32 b(an)h(arbitrary)f(v)m(ector)i(space)g Ft(W)46 b Fz(let)33 b Ft(p)3182 3665 y Fq(i)3238 3650 y Fz(:)c Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(W)0 3766 y Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(W)45 b Fz(b)s(e)32 b(the)h(pro)5 b(jections)32 b(de\014ned)h(b)m(y)g Ft(p)1602 3781 y Fq(i)1630 3766 y Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))28 b(=)g Ft(p)1922 3781 y Fq(i)1950 3766 y Fz(\()1988 3691 y Fj(P)2093 3795 y Fq(j)2146 3766 y Ft(v)2193 3781 y Fq(j)2250 3766 y Fx(\012)22 b Ft(w)2419 3781 y Fq(j)2455 3766 y Fz(\))28 b(=)f Ft(w)2694 3781 y Fq(i)2754 3766 y Fz(where)3035 3691 y Fj(P)3140 3795 y Fq(j)3193 3766 y Ft(v)3240 3781 y Fq(j)3298 3766 y Fx(\012)21 b Ft(w)3466 3781 y Fq(j)3534 3766 y Fz(is)0 3885 y(the)33 b(unique)g(represen)m(tation)g(of)f(an)h(arbitrary)f (tensor)h(in)f Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(W)14 b Fz(.)43 b(So)32 b(w)m(e)i(get)1444 4074 y Ft(t)28 b Fz(=)1610 3979 y Fj(X)1670 4189 y Fq(i)1771 4074 y Ft(v)1818 4089 y Fq(i)1868 4074 y Fx(\012)23 b Ft(p)2017 4089 y Fq(i)2045 4074 y Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))0 4333 y(for)i(all)e Ft(t)28 b Fx(2)g Ft(V)g Fx(\012)7 b Ft(W)14 b Fz(.)42 b(No)m(w)25 b(w)m(e)i(consider)e Ft(V)k Fx(\012)7 b Ft(N)36 b Fz(as)25 b(a)g(como)s(dule)f(b)m(y)i(the)g(como)s(dule)e(structure)i(of)0 4449 y Ft(N)10 b Fz(.)43 b(Then)30 b(the)f Ft(p)622 4464 y Fq(i)678 4449 y Fz(:)f Ft(V)36 b Fx(\012)14 b Ft(N)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(N)40 b Fz(are)29 b(homomorphisms)d(of)i(como) s(dules.)42 b(Hence)30 b(all)d(diagrams)0 4566 y(of)32 b(the)h(form)1212 5193 y Ft(N)773 b(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(M)5 b(:)p 1329 5165 705 4 v 1951 5163 a Fm(-)1599 5232 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)i Fl(\))1112 4705 y Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(N)583 b(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 1430 4677 515 4 v 1862 4675 a Fm(-)1549 4639 y Fq(')p Fl(\()p Fq(V)16 b Fr(\012)p Fq(N)7 b Fl(\))p 1254 5095 4 351 v 1256 5095 a Fm(?)1155 4927 y Fq(p)1191 4937 y Fn(i)p 2229 5095 V 2231 5095 a Fm(?)2270 4935 y Fq(p)2306 4945 y Fn(i)2332 4935 y Fr(\012)p Fq(M)p eop %%Page: 105 108 105 107 bop 967 251 a Fw(8.)35 b(RECONSTR)n(UCTION)d(AND)g Fc(C)t Fw(-CA)-6 b(TEGORIES)851 b(105)0 450 y Fz(comm)m(ute.)90 b(Expressed)52 b(in)47 b(form)m(ulas)g(this)h(means)h Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))p Ft(p)2321 465 y Fq(i)2349 450 y Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))55 b(=)f Ft(p)2694 465 y Fq(i)2723 450 y Ft(')p Fz(\()p Ft(V)g Fx(\012)33 b Ft(N)10 b Fz(\)\()p Ft(t)p Fz(\))49 b(for)f(all)0 566 y Ft(t)28 b Fx(2)g Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(N)10 b Fz(.)44 b(Hence)34 b(w)m(e)g(ha)m(v)m (e)418 709 y(\(1)505 724 y Fq(V)588 709 y Fx(\012)23 b Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\)\)\()p Ft(t)p Fz(\))28 b(=)f(\(1)1283 724 y Fq(V)1366 709 y Fx(\012)c Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\)\)\()1770 634 y Fj(P)1892 709 y Ft(v)1939 724 y Fq(i)1989 709 y Fx(\012)23 b Ft(p)2138 724 y Fq(i)2166 709 y Fz(\()p Ft(t)p Fz(\)\))28 b(=)2446 634 y Fj(P)2568 709 y Ft(v)2615 724 y Fq(i)2665 709 y Fx(\012)23 b Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))p Ft(p)3042 724 y Fq(i)3070 709 y Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))931 825 y(=)1034 751 y Fj(P)1140 854 y Fq(i)1184 825 y Ft(v)1231 840 y Fq(i)1282 825 y Fx(\012)22 b Ft(p)1430 840 y Fq(i)1459 825 y Ft(')p Fz(\()p Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\)\()p Ft(t)p Fz(\))28 b(=)f Ft(')p Fz(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)23 b Ft(N)10 b Fz(\)\()p Ft(t)p Fz(\))0 988 y(So)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(1)553 1003 y Fq(V)636 988 y Fx(\012)22 b Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))28 b(=)g Ft(')p Fz(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(N)10 b Fz(\))33 b(as)g(claimed.)1493 b Fh(\003)149 1159 y Fz(W)-8 b(e)35 b(pro)m(v)m(e)g(the)g(follo)m(wing)c(Theorem)k(only)e(for)h(the) g(category)h Fx(C)h Fz(=)31 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)50 b Fz(of)34 b(v)m(ector)h(spaces.)0 1276 y(The)46 b(Theorem)f(holds)f(in)g (general)g(and)h(sa)m(ys)h(that)f(in)f(an)g(arbitrary)g(symmetric)g (monoidal)0 1392 y(category)37 b Fx(C)42 b Fz(the)37 b(coalgebra)e Ft(C)43 b Fz(represen)m(ts)c(the)e(functor)f Fx(C)6 b Fz(-)17 b(Nat\()p Ft(!)t(;)g(!)27 b Fx(\012)e Ft(M)10 b Fz(\))2971 1364 y Fx(\030)2972 1396 y Fz(=)3083 1392 y(Mor)3259 1407 y Fr(C)3304 1392 y Fz(\()p Ft(C)r(;)17 b(M)10 b Fz(\))0 1508 y(of)32 b(natural)g Fx(C)6 b Fz (-transformations.)149 1647 y Fv(Theorem)47 b(3.8.4.)f Fz(\(Reconstruction)41 b(of)f(coalgebras\))i Fs(L)-5 b(et)43 b Ft(C)49 b Fs(b)-5 b(e)42 b(a)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a.)66 b(L)-5 b(et)43 b Ft(!)i Fz(:)0 1763 y Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b(-)p Ft(C)35 b Fx(\000)-58 b(!)28 b(V)n Fs(e)-5 b(c)51 b(b)-5 b(e)35 b(the)g(underlying)f(functor.)45 b(Then)34 b Ft(C)2281 1735 y Fx(\030)2281 1767 y Fz(=)2386 1763 y(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p Fs(.)149 1934 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)34 b Ft(M)44 b Fz(in)33 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)50 b Fz(and)33 b(let)g Ft(')c Fz(:)g Ft(!)j Fx(\000)-60 b(!)29 b Ft(!)d Fx(\012)d Ft(M)44 b Fz(b)s(e)34 b(a)f(natural)f (transformation.)44 b(W)-8 b(e)0 2050 y(de\014ne)33 b(the)e (homomorphism)41 b Fj(e)-67 b Ft(')27 b Fz(:)h Ft(C)35 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)42 b Fz(b)m(y)j Fj(e)-67 b Ft(')27 b Fz(=)h(\()p Ft(\017)20 b Fx(\012)g Fz(1\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(C)7 b Fz(\))30 b(using)h(the)h(fact)f(that)g Ft(C)38 b Fz(is)31 b(a)0 2167 y(como)s(dule.)149 2283 y(Let)h Ft(N)42 b Fz(b)s(e)31 b(a)g Ft(C)7 b Fz(-como)s(dule.)41 b(Then)32 b Ft(N)42 b Fz(is)31 b(a)g(sub)s(como)s(dule)f(of)h Ft(N)f Fx(\012)20 b Ft(C)38 b Fz(b)m(y)32 b Ft(\016)g Fz(:)27 b Ft(N)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(N)j Fx(\012)20 b Ft(C)0 2399 y Fz(since)33 b(the)g(diagram)1217 3013 y Ft(N)f Fx(\012)23 b Ft(C)400 b(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(C)29 b Fx(\012)22 b Ft(C)p 1533 2985 336 4 v 1786 2983 a Fm(-)1639 3048 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fl(1)1316 2525 y Ft(N)603 b(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(C)p 1433 2497 535 4 v 1885 2495 a Fm(-)1684 2477 y Fq(\016)p 1359 2915 4 351 v 1360 2915 a Fm(?)1288 2762 y Fq(\016)p 2139 2915 V 2140 2915 a Fm(?)2179 2758 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\001)0 3157 y Fz(comm)m(utes.)43 b(Th)m(us)35 b(the)e(follo)m(wing)c(diagram)i (comm)m(utes)804 3324 y Ft(N)797 b(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(C)p 921 3296 730 4 v 1568 3294 a Fm(-)1269 3275 y Fq(\016)690 3811 y Ft(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)571 b(N)33 b Fx(\012)22 b Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 1034 3783 504 4 v 1455 3781 a Fm(-)1224 3755 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fl(1)p 846 3713 4 351 v 848 3713 a Fm(?)645 3554 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)7 b Fl(\))p 1821 3713 V 1823 3713 a Fm(?)1151 3554 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)g Fr(\012)p Fq(C)e Fl(\)=1)1514 3565 y Fn(N)1573 3554 y Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(C)g Fl(\))2640 4299 y Ft(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)1721 4047 y Fl(1)1121 3870 y Fm(X)1204 3891 y(X)1287 3912 y(X)1370 3933 y(X)1453 3953 y(X)1536 3974 y(X)1619 3995 y(X)1702 4016 y(X)1785 4036 y(X)1868 4057 y(X)1951 4078 y(X)2034 4099 y(X)2117 4120 y(X)2200 4140 y(X)2283 4161 y(X)2366 4182 y(X)2442 4201 y(X)-83 b(z)2039 4043 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)1959 3891 y Fm(H)2042 3933 y(H)2125 3974 y(H)2208 4016 y(H)2291 4057 y(H)2375 4099 y(H)2458 4140 y(H)2541 4182 y(H)2578 4201 y(H)g(j)2371 3799 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')1891 3445 y Fm(@)1974 3528 y(@)2057 3611 y(@)2140 3694 y(@)2223 3777 y(@)2306 3860 y(@)2389 3943 y(@)2472 4026 y(@)2555 4109 y(@)2638 4192 y(@)2647 4201 y(@)-83 b(R)0 4430 y Fz(In)33 b(particular)e(w)m(e)i (ha)m(v)m(e)h(sho)m(wn)g(that)e(the)h(diagram)1452 4597 y Ft(!)328 b(!)25 b Fx(\012)e Ft(C)p 1545 4569 268 4 v 1730 4567 a Fm(-)1662 4548 y Fq(\016)1622 4819 y(')1553 4718 y Fm(@)1636 4801 y(@)1719 4884 y(@)1802 4967 y(@)1821 4986 y(@)-83 b(R)1827 5084 y Ft(!)25 b Fx(\012)e Ft(M)p 1970 4986 4 351 v 1972 4986 a Fm(?)2011 4828 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')0 5216 y Fz(comm)m(utes.)p eop %%Page: 106 109 106 108 bop 0 251 a Fw(106)177 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fz(T)-8 b(o)43 b(sho)m(w)g(the)f (uniqueness)i(of)54 b Fj(e)-67 b Ft(')42 b Fz(let)f Ft(g)47 b Fz(:)d Ft(C)51 b Fx(\000)-60 b(!)44 b Ft(M)53 b 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b(the)g(underlying)f(functor) h(and)g Ft(\016)f Fz(:)d Ft(!)i Fx(\000)-59 b(!)28 b Ft(!)d Fx(\012)e Ft(C)0 3904 y Fz(the)33 b(univ)m(ersal)f(natural)g (transformation)e(for)i Ft(C)1840 3876 y Fx(\030)1841 3908 y Fz(=)1945 3904 y(co)s(end)q(\()p Ft(!)t Fz(\).)149 4020 y(W)-8 b(e)48 b(use)h(the)f(p)s(erm)m(utation)e(map)h Ft(\034)59 b Fz(on)48 b(the)g(tensor)g(pro)s(duct)g(that)f(giv)m(es)h (the)g(natural)0 4136 y(isomorphism)59 4385 y Ft(\034)39 b Fz(:)28 b Ft(N)273 4400 y Fl(1)334 4385 y Fx(\012)23 b Ft(T)491 4400 y Fl(1)553 4385 y Fx(\012)f Ft(N)730 4400 y Fl(2)792 4385 y Fx(\012)h Ft(T)949 4400 y Fl(2)1010 4385 y Fx(\012)g Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)g Ft(N)1424 4400 y Fq(n)1493 4385 y Fx(\012)h Ft(T)1650 4400 y Fq(n)1725 4358 y Fx(\030)1726 4389 y Fz(=)1830 4385 y Ft(N)1908 4400 y Fl(1)1970 4385 y Fx(\012)f Ft(N)2147 4400 y Fl(2)2209 4385 y Fx(\012)h Ft(:)17 b(:)g(:)k Fx(\012)i Ft(N)2623 4400 y Fq(n)2692 4385 y Fx(\012)g Ft(T)2849 4400 y Fl(1)2911 4385 y Fx(\012)f Ft(T)3067 4400 y 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b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)149 450 y Fz(As)39 b(in)e(the)h(preceding)g(pro)s (of)f(w)m(e)i(get)f(that)f Ft(\016)j Fz(:)d Ft(N)2053 465 y Fq(i)2118 450 y Fx(\000)-60 b(!)36 b Ft(N)2349 465 y Fq(i)2403 450 y Fx(\012)27 b Ft(C)44 b Fz(are)38 b(homomorphisms)d(of)0 566 y Ft(C)7 b Fz(-como)s(dules.)42 b(Th)m(us)34 b(the)f(follo)m(wing)d(diagram)h(comm)m(utes)225 771 y Ft(N)303 786 y Fl(1)365 771 y Fx(\012)23 b Ft(:)17 b(:)g(:)k Fx(\012)i Ft(N)779 786 y Fq(n)1489 771 y Ft(N)1567 786 y Fl(1)1629 771 y Fx(\012)f Ft(C)30 b Fx(\012)22 b Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)g Ft(N)2241 786 y Fq(n)2311 771 y Fx(\012)g Ft(C)p 855 746 606 4 v 1378 744 a Fm(-)1040 718 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(:::)o Fr(\012)p Fq(\016)2819 713 y Ft(N)2897 728 y Fl(1)2959 713 y Fx(\012)g Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)h Ft(N)3373 728 y Fq(n)3420 713 y Fx(\012)p 2516 746 275 4 v 2708 744 a Fm(-)2634 726 y Fq(\034)2902 830 y Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(:)17 b(:)g(:)k Fx(\012)i Ft(C)112 1259 y(N)190 1274 y Fl(1)252 1259 y Fx(\012)f Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)h Ft(N)666 1274 y Fq(n)735 1259 y Fx(\012)g Ft(M)447 b(N)1454 1274 y Fl(1)1516 1259 y Fx(\012)22 b Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)g Ft(N)2128 1274 y Fq(n)2197 1259 y Fx(\012)h Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 968 1234 379 4 v 1264 1232 a Fm(-)975 1206 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(:::)o Fr(\012)p Fq(\016)r Fr(\012)p Fq(M)2819 1200 y Ft(N)2897 1215 y Fl(1)2959 1200 y Fx(\012)f Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fx(\012)h Ft(N)3373 1215 y Fq(n)3420 1200 y Fx(\012)p 2630 1234 131 4 v 2678 1232 a Fm(-)2611 1207 y Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fq(M)2789 1317 y Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(:)17 b(:)g(:)k Fx(\012)i Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 524 1164 4 351 v 526 1164 a Fm(?)28 1005 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)157 1014 y Fo(1)192 1005 y Fr(\012)p Fq(:::)o Fr(\012)p Fq(N)417 1013 y Fn(n)459 1005 y Fl(\))p 1987 1164 V 1988 1164 a Fm(?)1345 1005 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)1474 1014 y Fo(1)1509 1005 y Fr(\012)p Fq(C)q(;:::)o(;N)1770 1013 y Fn(n)1812 1005 y Fr(\012)p Fq(C)5 b Fl(\))p 3156 1105 4 234 v 3158 1105 a Fm(?)2402 1005 y Fq(N)2458 1014 y Fo(1)2492 1005 y Fr(\012)p Fq(:::)o Fr(\012)p Fq(N)2717 1013 y Fn(n)2759 1005 y Fr(\012)p Fq(')p Fl(\()p Fq(C)q(;:::)o(;C)g Fl(\))1740 1497 y(1)1140 1321 y Fm(X)1223 1342 y(X)1306 1363 y(X)1389 1383 y(X)1472 1404 y(X)1555 1425 y(X)1638 1446 y(X)1721 1466 y(X)1804 1487 y(X)1887 1508 y(X)1970 1529 y(X)2053 1549 y(X)2136 1570 y(X)2219 1591 y(X)2302 1612 y(X)2385 1633 y(X)2461 1651 y(X)-83 b(z)2185 1493 y Fr(f)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(")p Fr(g)2378 1469 y Fn(n)2421 1493 y Fr(\012)p Fl(1)2222 1342 y Fm(H)2305 1383 y(H)2388 1425 y(H)2471 1466 y(H)2554 1508 y(H)2637 1549 y(H)2720 1591 y(H)2803 1633 y(H)2841 1651 y(H)g(j)2744 1746 y Ft(N)2822 1761 y Fl(1)2884 1746 y Fx(\012)23 b Ft(:)17 b(:)g(:)k Fx(\012)i Ft(N)3298 1761 y Fq(n)3367 1746 y Fx(\012)g Ft(M)p 3156 1651 4 293 v 3158 1651 a Fm(?)2797 1522 y Fl(1)p Fr(\012f)p Fq(\017)p Fr(g)2986 1498 y Fn(n)3029 1522 y Fr(\012)p Fl(1)0 1889 y Fz(Hence)34 b(w)m(e)g(get)e(the)h(comm)m (utativ)m(e)f(diagram)1414 2073 y Ft(!)1479 2037 y Fq(n)1729 2073 y Ft(!)1794 2037 y Fq(n)1863 2073 y Fx(\012)22 b(f)p Ft(C)7 b Fx(g)2139 2037 y Fq(n)p 1555 2050 146 4 v 1617 2048 a Fm(-)1565 2029 y Fq(\016)1598 2005 y Fo(\()p Fn(n)p Fo(\))1607 2300 y Fq(')1538 2200 y Fm(@)1621 2283 y(@)1704 2366 y(@)1787 2449 y(@)1806 2467 y(@)-83 b(R)1789 2566 y Ft(!)1854 2529 y Fq(n)1922 2566 y Fx(\012)23 b Ft(M)p 1956 2467 4 351 v 1957 2467 a Fm(?)1996 2309 y Fl(1)p Fr(\012)9 b Fd(e)-48 b Fq(')0 2705 y Fz(T)-8 b(o)48 b(sho)m(w)h(the)f (uniqueness)i(of)60 b Fj(e)-68 b Ft(')48 b Fz(let)f Ft(g)57 b Fz(:)d Ft(C)1762 2669 y Fq(n)1862 2705 y Fx(\000)-59 b(!)53 b Ft(M)58 b Fz(b)s(e)48 b(another)g(homomorphism)d(with)0 2821 y(\(1)87 2836 y Fq(!)133 2818 y Fn(n)209 2821 y Fx(\012)30 b Ft(g)t Fz(\))p Ft(\016)452 2785 y Fl(\()p Fq(n)p Fl(\))600 2821 y Fz(=)46 b Ft(')p Fz(.)77 b(W)-8 b(e)44 b(ha)m(v)m(e)h Ft(g)k Fz(=)e Ft(g)t Fz(\()p Ft(")1659 2785 y Fq(n)1734 2821 y Fx(\012)30 b Fz(1)1890 2836 y Fq(C)1945 2818 y Fn(n)1992 2821 y Fz(\))p Ft(\034)11 b Fz(\001)2164 2785 y Fq(n)2258 2821 y Fz(=)46 b Ft(g)t Fz(\()p Ft(")2515 2785 y Fq(n)2591 2821 y Fx(\012)30 b Fz(1)2747 2836 y Fq(C)2802 2818 y Fn(n)2848 2821 y Fz(\))p Ft(\016)2933 2785 y Fl(\()p Fq(n)p Fl(\))3035 2821 y Fz(\()p Ft(C)r(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(C)7 b Fz(\))46 b(=)0 2941 y(\()p Ft(")84 2905 y Fq(n)153 2941 y Fx(\012)22 b Fz(1)301 2956 y Fq(M)380 2941 y Fz(\)\(1)505 2956 y Fq(C)560 2937 y Fn(n)629 2941 y Fx(\012)g Ft(g)t Fz(\))p Ft(\016)864 2905 y Fl(\()p Fq(n)p Fl(\))965 2941 y Fz(\()p Ft(C)r(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(C)7 b Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(")1623 2905 y Fq(n)1692 2941 y Fx(\012)c Fz(1)1841 2956 y Fq(M)1919 2941 y Fz(\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(C)r(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(C)7 b Fz(\))28 b(=)40 b Fj(e)-68 b Ft(')p Fz(.)837 b Fh(\003)149 3120 y Fz(No)m(w)34 b(w)m(e)f(pro)m(v)m (e)h(the)f(\014nite)f(dimensional)e(case)k(of)e(reconstruction)h(of)f (coalgebras.)149 3262 y Fv(Prop)s(osition)48 b(3.8.7.)f Fz(\(Reconstruction\))e Fs(L)-5 b(et)45 b Ft(C)51 b Fs(b)-5 b(e)44 b(a)h(c)-5 b(o)g(algebr)g(a.)72 b(L)-5 b(et)45 b Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)3320 3277 y Fl(0)3359 3262 y Fs(-)p Ft(C)51 b Fs(b)-5 b(e)0 3378 y(the)45 b(c)-5 b(ate)g(gory)46 b(of)f(\014nite)g(dimensional)f Ft(C)7 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dules)44 b(and)h Ft(!)50 b Fz(:)e Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)2772 3393 y Fl(0)2811 3378 y Fs(-)p Ft(C)54 b Fx(\000)-57 b(!)47 b(V)n Fs(e)-5 b(c)62 b(b)-5 b(e)45 b(the)0 3494 y(underlying)34 b(functor.)45 b(Then)34 b(we)h(have)f Ft(C)1587 3466 y Fx(\030)1587 3498 y Fz(=)1692 3494 y(co)s(end\()p Ft(!)t Fz(\))p Fs(.)149 3673 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)36 b Ft(M)47 b Fz(b)s(e)36 b(in)f Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)53 b Fz(and)35 b(let)h Ft(')d Fz(:)g Ft(!)k Fx(\000)-60 b(!)33 b Ft(!)27 b Fx(\012)e Ft(M)47 b Fz(b)s(e)36 b(a)f(natural)g (transformation.)0 3789 y(W)-8 b(e)45 b(de\014ne)h(the)f(homomorphism) 55 b Fj(e)-68 b Ft(')49 b Fz(:)f Ft(C)55 b Fx(\000)-59 b(!)48 b Ft(M)55 b Fz(as)45 b(follo)m(ws.)79 b(Let)45 b Ft(c)j Fx(2)h Ft(C)7 b Fz(.)80 b(Let)45 b Ft(N)55 b Fz(b)s(e)45 b(a)0 3905 y(\014nite)34 b(dimensional)e Ft(C)7 b Fz(-sub)s(como)s(dule)34 b(of)g Ft(C)41 b Fz(con)m(taining)34 b Ft(c)p Fz(.)49 b(Then)36 b(w)m(e)g(de\014ne)f Ft(g)t Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))c(:=)g(\()p Ft(\017)p Fx(j)3432 3920 y Fq(N)3523 3905 y Fx(\012)0 4022 y Fz(1\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\)\()p Ft(c)p Fz(\).)64 b(If)39 b Ft(N)716 3986 y Fr(0)779 4022 y Fz(is)g(another)h(\014nite)f (dimensional)e(sub)s(como)s(dule)h(of)h Ft(C)47 b Fz(with)39 b Ft(c)g Fx(2)h Ft(N)3380 3986 y Fr(0)3443 4022 y Fz(and)0 4138 y(with)32 b Ft(N)38 b Fx(\022)29 b Ft(N)532 4102 y Fr(0)588 4138 y Fz(then)k(the)g(follo)m(wing)d(comm)m(utes)1075 4333 y Ft(N)296 b(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(M)p 1193 4304 229 4 v 1339 4302 a Fm(-)1225 4267 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)7 b Fl(\))p 1118 4624 4 254 v 1119 4624 a Fm(?)p 1605 4624 V 405 w(?)1064 4725 y Ft(N)1152 4689 y Fr(0)1438 4725 y Ft(N)1526 4689 y Fr(0)1572 4725 y Fx(\012)22 b Ft(M)p 1204 4695 205 4 v 1326 4693 a Fm(-)1214 4657 y Fq(')p Fl(\()p Fq(N)1350 4634 y Fk(0)1372 4657 y Fl(\))1743 4412 y Fm(H)1777 4429 y(H)-83 b(j)1743 4624 y(\010)1777 4607 y(\010)g(*)1845 4528 y Ft(C)29 b Fx(\012)23 b Ft(M)294 b(M)p 2177 4499 227 4 v 2321 4497 a Fm(-)2231 4472 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)0 4867 y Fz(Th)m(us)42 b(the)e(de\014nition)f (of)52 b Fj(e)-68 b Ft(')p Fz(\()p Ft(c)p Fz(\))40 b(is)g(indep)s (enden)m(t)h(of)e(the)i(c)m(hoice)f(of)f Ft(N)10 b Fz(.)67 b(F)-8 b(urthermore)51 b Fj(e)-67 b Ft(')40 b Fz(:)g Ft(N)0 4983 y Fx(\000)-60 b(!)45 b Ft(M)53 b Fz(is)42 b(ob)m(viously)h(a)f(linear)f(map.)73 b(F)-8 b(or)42 b(an)m(y)h(t)m(w)m(o)g(elemen)m(ts)g Ft(c;)17 b(c)2626 4947 y Fr(0)2694 4983 y Fx(2)45 b Ft(C)k Fz(there)44 b(is)e(a)g(\014nite)0 5099 y(dimensional)21 b(sub)s(como)s(dule)i Ft(N)39 b Fx(\022)28 b Ft(C)i Fz(with)24 b Ft(c;)17 b(c)1769 5063 y Fr(0)1820 5099 y Fx(2)28 b Ft(N)34 b Fz(e.)24 b(g.)40 b(the)25 b(sum)e(of)h(the)g(\014nite)f(dimensional)0 5216 y(sub)s(como)s(dules)32 b(con)m(taining)g Ft(c)g Fz(and)h Ft(c)1405 5179 y Fr(0)1460 5216 y Fz(separately)-8 b(.)44 b(Th)m(us)j Fj(e)-68 b Ft(')33 b Fz(can)g(b)s(e)f(extended)j(to) d(all)f(of)h Ft(C)7 b Fz(.)p eop %%Page: 109 112 109 111 bop 967 251 a Fw(8.)35 b(RECONSTR)n(UCTION)d(AND)g Fc(C)t Fw(-CA)-6 b(TEGORIES)851 b(109)149 450 y Fz(The)29 b(rest)e(of)g(the)g(pro)s(of)g(is)f(essen)m(tially)h(the)h(same)f(as)g (the)g(pro)s(of)g(of)f(the)i(\014rst)f(reconstruction)0 566 y(theorem.)3149 b Fh(\003)149 826 y Fz(The)39 b(represen)m(tations) g(allo)m(w)d(to)h(reconstruct)i(further)f(structure)h(of)f(the)g (coalgebra.)58 b(W)-8 b(e)0 943 y(pro)m(v)m(e)47 b(a)e(reconstruction)h (theorem)g(ab)s(out)f(bialgebras.)81 b(Recall)44 b(that)h(the)h (category)g(of)f Ft(B)5 b Fz(-)0 1059 y(como)s(dules)25 b(o)m(v)m(er)h(a)f(bialgebra)f Ft(B)30 b Fz(is)25 b(a)h(monoidal)c (category)-8 b(,)27 b(furthermore)e(that)h(the)f(underlying)0 1175 y(functor)38 b Ft(!)h Fz(:)e Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(B)42 b Fx(\000)-60 b(!)36 b(V)n Fs(e)-5 b(c)54 b Fz(is)37 b(a)h(monoidal)c(functor.)59 b(F)-8 b(rom)36 b(this)i(information)c(w)m(e)39 b(can)0 1291 y(reconstruct)34 b(the)f(full)e(bialgebra)f(structure)k(of)e Ft(B)5 b Fz(.)44 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)149 1466 y Fv(Theorem)d(3.8.8.)36 b Fs(L)-5 b(et)29 b Ft(B)34 b Fs(b)-5 b(e)28 b(a)g(c)-5 b(o)g(algebr)g(a.)42 b(L)-5 b(et)29 b Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b(-)p Ft(B)33 b Fs(b)-5 b(e)28 b(a)h(monoidal)e(c)-5 b(ate)g(gory)28 b(such)0 1583 y(that)37 b(the)g(underlying)f(functor)h Ft(!)d Fz(:)d Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b(-)p Ft(B)36 b Fx(\000)-57 b(!)31 b(V)n Fs(e)-5 b(c)53 b(is)36 b(a)h(monoidal)e(functor.)50 b(Then)36 b(ther)-5 b(e)0 1699 y(is)32 b(a)g(unique)h(bialgebr)-5 b(a)31 b(structur)-5 b(e)33 b(on)f Ft(B)38 b Fs(that)33 b(induc)-5 b(es)32 b(the)g(given)g(monoidal)e(structur)-5 b(e)34 b(on)e(the)0 1815 y(c)-5 b(or)g(epr)g(esentations.)149 2075 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)g(w)m(e)h(pro)m(v)m(e)h(the)f (uniqueness)h(of)e(the)h(m)m(ultiplication)38 b Fx(r)45 b Fz(:)f Ft(B)34 b Fx(\012)c Ft(B)49 b Fx(\000)-59 b(!)44 b Ft(B)0 2191 y Fz(and)36 b(of)f(the)h(unit)f Ft(\021)i Fz(:)c Fu(K)57 b Fx(\000)-60 b(!)33 b Ft(B)5 b Fz(.)53 b(The)36 b(natural)f(transformation)e Ft(\016)k Fz(:)d Ft(!)i Fx(\000)-60 b(!)33 b Ft(!)28 b Fx(\012)c Ft(B)41 b Fz(b)s(ecomes)36 b(a)0 2308 y(monoidal)26 b(natural)h(transformation) f(with)i Fx(r)g Fz(:)g Ft(B)18 b Fx(\012)c Ft(B)33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(B)34 b Fz(and)28 b Ft(\021)k Fz(:)27 b Fu(K)52 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(B)34 b Fz(W)-8 b(e)29 b(sho)m(w)g(that)0 2424 y Fx(r)k Fz(and)f Ft(\021)k Fz(are)d(uniquely)g(determined)f(b)m(y)i Ft(!)h Fz(and)e Ft(\016)t Fz(.)149 2540 y(Let)40 b Fx(r)414 2504 y Fr(0)477 2540 y Fz(:)f Ft(B)32 b Fx(\012)27 b Ft(B)45 b Fx(\000)-60 b(!)39 b Ft(B)44 b Fz(and)c Ft(\021)1395 2504 y Fr(0)1457 2540 y Fz(:)f Ft(B)45 b Fx(\000)-60 b(!)39 b Fu(K)63 b Fz(b)s(e)40 b(morphisms)e(that)h(mak)m(e)g Ft(\016)44 b Fz(a)39 b(monoidal)0 2656 y(natural)31 b(transformation.)42 b(The)33 b(diagrams)538 2912 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))985 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)8 b Fz(\))21 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(Y)f Fz(\))h Fx(\012)g Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)p 1135 2889 929 4 v 1981 2887 a Fm(-)1423 2851 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(X)5 b Fl(\))p Fr(\012)p Fq(\016)r Fl(\()p Fq(Y)19 b Fl(\))p 820 3306 4 351 v 822 3306 a Fm(?)747 3139 y Fq(\032)p 2575 3306 V 2577 3306 a Fm(?)2616 3150 y Fq(\032)p Fr(\012r)2766 3127 y Fk(0)608 3400 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)29 b Fx(\012)22 b Ft(Y)g Fz(\))1225 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(X)29 b Fx(\012)23 b Ft(Y)e Fz(\))h Fx(\012)h Ft(B)p 1066 3377 1168 4 v 2151 3375 a Fm(-)1517 3339 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(X)5 b Fr(\012)p Fq(Y)17 b Fl(\))0 3619 y Fz(and)1186 3799 y Fu(K)821 b(K)46 b Fx(\012)23 b Fu(K)p 1292 3770 741 4 v 1950 3768 a Fm(-)1635 3729 y Fr(\030)1635 3750 y Fl(=)p 1223 4188 4 351 v 1225 4188 a Fm(?)p 2198 4188 V 892 w(?)2239 4039 y Fz(1)f Fx(\012)g Ft(\021)2461 4003 y Fr(0)1116 4281 y Ft(!)t Fz(\()p Fu(K)17 b Fz(\))662 b Ft(!)t Fz(\()p Fu(K)17 b Fz(\))28 b Fx(\012)23 b Ft(B)p 1362 4258 600 4 v 1879 4256 a Fm(-)1591 4220 y Fq(\016)r Fl(\()p Fp(K)6 b Fl(\))0 4481 y Fz(comm)m(ute.)43 b(In)33 b(particular)e(the)i(follo)m(wing)d(diagrams)g(comm)m(ute)542 4736 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))993 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(!)t Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))21 b Fx(\012)i Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 1131 4713 936 4 v 1984 4711 a Fm(-)1427 4676 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))p Fr(\012)p Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))p 820 5131 4 351 v 822 5131 a Fm(?)747 4963 y Fq(\032)p 2575 5131 V 2577 5131 a Fm(?)2616 4974 y Fq(\032)p Fr(\012r)2766 4951 y Fk(0)612 5224 y Ft(!)t Fz(\()p Ft(B)k Fx(\012)22 b Ft(B)5 b Fz(\))1234 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)5 b Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(B)p 1061 5201 1177 4 v 2155 5199 a Fm(-)1521 5163 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fr(\012)p Fq(B)s Fl(\))p eop %%Page: 110 113 110 112 bop 0 251 a Fw(110)177 b(3.)35 b(REPRESENT)-6 b(A)g(TION)31 b(THEOR)-6 b(Y,)32 b(RECONSTR)n(UCTION)g(AND)g(T)-6 b(ANNAKA)31 b(DUALITY)0 450 y Fz(and)1186 684 y Fu(K)821 b(K)46 b Fx(\012)23 b Fu(K)p 1292 656 741 4 v 1950 654 a Fm(-)1635 614 y Fr(\030)1635 635 y Fl(=)p 1223 1073 4 351 v 1225 1073 a Fm(?)p 2198 1073 V 892 w(?)2239 925 y Fz(1)f Fx(\012)g Ft(\021)2461 889 y Fr(0)1116 1166 y Ft(!)t Fz(\()p Fu(K)17 b Fz(\))662 b Ft(!)t Fz(\()p Fu(K)17 b Fz(\))28 b Fx(\012)23 b Ft(B)p 1362 1144 600 4 v 1879 1142 a Fm(-)1591 1106 y Fq(\016)r Fl(\()p Fp(K)6 b Fl(\))0 1426 y Fz(Hence)27 b(w)m(e)g(get)576 1351 y Fj(P)698 1426 y Ft(b)739 1441 y Fl(\(1\))843 1426 y Fx(\012)9 b Ft(c)971 1441 y Fl(\(1\))1074 1426 y Fx(\012)g Ft(b)1201 1441 y Fl(\(2\))1296 1426 y Ft(c)1338 1441 y Fl(\(2\))1460 1426 y Fz(=)1564 1351 y Fj(P)1685 1426 y Ft(b)1726 1441 y Fl(\(1\))1830 1426 y Fx(\012)g Ft(c)1958 1441 y Fl(\(1\))2061 1426 y Fx(\012)g(r)2230 1390 y Fr(0)2254 1426 y Fz(\()p Ft(b)2333 1441 y Fl(\(2\))2436 1426 y Fx(\012)g Ft(c)2564 1441 y Fl(\(2\))2659 1426 y Fz(\))26 b(and)g(1)9 b Fx(\012)g Fz(1)27 b(=)h(1)9 b Fx(\012)g Ft(\021)3426 1390 y Fr(0)3448 1426 y Fz(\(1\).)0 1542 y(This)38 b(implies)e Ft(bc)i Fz(=)799 1467 y Fj(P)921 1542 y Ft(\017)p Fz(\()p Ft(b)1039 1558 y Fl(\(1\))1134 1542 y Fz(\))p Ft(\017)p Fz(\()p Ft(c)1291 1558 y Fl(\(1\))1386 1542 y Fz(\))p Ft(b)1465 1558 y Fl(\(2\))1559 1542 y Ft(c)1601 1558 y Fl(\(2\))1733 1542 y Fz(=)1846 1467 y Fj(P)1968 1542 y Ft(\017)p Fz(\()p Ft(b)2086 1558 y Fl(\(1\))2181 1542 y Fz(\))p Ft(\017)p Fz(\()p Ft(c)2338 1558 y Fl(\(1\))2433 1542 y Fz(\))p Fx(r)2554 1506 y Fr(0)2577 1542 y Fz(\()p Ft(b)2656 1558 y Fl(\(2\))2777 1542 y Fx(\012)26 b Ft(c)2922 1558 y Fl(\(2\))3016 1542 y Fz(\))38 b(=)f Fx(r)3288 1506 y Fr(0)3311 1542 y Fz(\()p Ft(b)27 b Fx(\012)f Ft(c)p Fz(\))0 1658 y(and)33 b(1)27 b(=)h Ft(\021)422 1622 y Fr(0)445 1658 y Fz(\(1\).)149 1775 y(No)m(w)d(w)m(e)h(sho)m(w)g(the)e(existence) j(of)d(a)g(bialgebra)e(structure.)42 b(Let)25 b Ft(B)30 b Fz(b)s(e)24 b(a)g(coalgebra)g(only)g(and)0 1891 y(let)31 b Ft(!)g Fz(:)d Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(B)33 b Fx(\000)-60 b(!)28 b(V)n Fs(e)-5 b(c)48 b Fz(b)s(e)32 b(a)f(monoidal)e(functor)j(with)f Ft(\030)h Fz(:)c Ft(!)t Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))20 b Fx(\012)h Ft(!)t Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))27 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(!)t Fz(\()p Ft(M)i Fx(\012)21 b Ft(N)10 b Fz(\))0 2007 y(and)44 b Ft(\030)244 2022 y Fl(0)331 2007 y Fz(:)j Fu(K)71 b Fx(\000)-60 b(!)47 b Ft(!)t Fz(\()p Fu(K)17 b Fz(\).)84 b(First)43 b(w)m(e)i(observ)m(e)h(that)e(the)g(new)h(tensor)g(pro)s(duct)f(b)s(et) m(w)m(een)j(the)0 2123 y(como)s(dules)h Ft(M)59 b Fz(and)49 b Ft(N)59 b Fz(coincides)48 b(with)g(the)h(tensor)g(pro)s(duct)g(of)f (the)h(underlying)f(v)m(ector)0 2240 y(spaces)40 b(\(up)g(to)e(an)h (isomorphism)d Ft(\030)5 b Fz(\).)62 b(Because)40 b(of)e(the)i (coherence)g(theorems)g(for)e(monoidal)0 2356 y(categories)31 b(\(that)g(also)g(hold)g(in)f(our)i(situation\))e(w)m(e)i(ma)m(y)f (iden)m(tify)g(along)f(the)i(maps)f Ft(\030)36 b Fz(and)c Ft(\030)3534 2371 y Fl(0)3573 2356 y Fz(.)149 2513 y(W)-8 b(e)36 b(de\014ne)h Ft(\021)e Fz(:=)e(\()p Fu(K)981 2449 y Fq(\016)r Fl(\()p Fp(K)6 b Fl(\))971 2513 y Fx(\000)-16 b(!)32 b Fu(K)47 b Fx(\012)25 b Ft(B)1478 2485 y Fx(\030)1479 2517 y Fz(=)1588 2513 y Ft(B)5 b Fz(\))35 b(and)g Fx(r)d Fz(:=)g(\()p Ft(B)d Fx(\012)c Ft(B)2536 2449 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fr(\012)p Fq(B)s Fl(\))2584 2513 y Fx(\000)-16 b(!)80 b Ft(B)29 b Fx(\012)24 b Ft(B)29 b Fx(\012)c Ft(B)3345 2454 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)3548 2465 y Fn(B)3392 2513 y Fx(\000)-16 b(!)0 2629 y Fu(K)46 b Fx(\012)22 b Fu(K)46 b Fx(\012)23 b Ft(B)505 2602 y Fx(\030)506 2633 y Fz(=)610 2629 y Ft(B)5 b Fz(\).)149 2746 y(Since)34 b(the)f(structural)g(morphism)f(for)g(the)i(como)s (dule)e Ft(\016)g Fz(:)d Ft(M)40 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(M)34 b Fx(\012)23 b Ft(B)38 b Fz(is)33 b(a)f(homomor-)0 2862 y(phism)j(of)h(of)g Ft(B)41 b Fz(como)s(dules)36 b(where)h(the)g(como)s(dule)e(structure)i(on)f Ft(M)g Fx(\012)25 b Ft(B)41 b Fz(is)36 b(only)g(giv)m(en)g(b)m(y)0 2978 y(the)i(diagonal)d(of)h Ft(B)43 b Fz(that)37 b(is)g(the)g Fx(C)6 b Fz(-structure)39 b(on)e Ft(!)i Fz(:)d Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)o Ft(B)41 b Fx(\000)-59 b(!)35 b(V)n Fs(e)-5 b(c)54 b Fz(w)m(e)38 b(get)g(that)f(also)0 3094 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(M)10 b Fz(\))18 b Fx(\012)h Ft(\016)t Fz(\()p Ft(N)10 b Fz(\))28 b(:)g Ft(M)g Fx(\012)18 b Ft(N)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)i Fx(\012)18 b Ft(N)29 b Fx(\012)18 b Ft(B)35 b Fz(is)30 b(a)h(como)s(dule)e (homomorphism.)40 b(Hence)32 b(the)e(\014rst)0 3210 y(square)k(in)e (the)h(follo)m(wing)c(diagram)i(comm)m(utes)306 3526 y Ft(M)i Fx(\012)22 b Ft(N)762 b(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(B)k Fx(\012)c Ft(N)32 b Fx(\012)23 b Ft(B)p 650 3498 695 4 v 1262 3496 a Fm(-)812 3460 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))p Fr(\012)p Fq(\016)r Fl(\()p Fq(N)g Fl(\))205 3916 y Ft(M)33 b Fx(\012)23 b Ft(N)33 b Fx(\012)22 b Ft(B)556 b(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(N)33 b 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(y)h(a)f(similar)d(reasoning)j(since)h(the)g(como)s(dule)e(structure)i (on)0 4290 y Ft(M)d Fx(\012)19 b Ft(B)36 b Fz(resp.)44 b Ft(N)29 b Fx(\012)19 b Ft(B)36 b Fz(is)31 b(giv)m(en)g(b)m(y)h(the)f (diagonal)d(on)j Ft(B)36 b Fz(hence)c Ft(M)e Fx(\012)19 b Ft(N)41 b Fz(can)31 b(b)s(e)g(factored)g(out)0 4407 y(of)h(the)h(natural)f(\()p Fx(C)6 b Fz(-\)transformation.)41 b(No)m(w)33 b(w)m(e)g(attac)m(h)496 4695 y(1)545 4710 y Fq(M)646 4695 y Fx(\012)23 b Fz(1)795 4710 y Fq(N)884 4695 y Fx(\012)f Ft(\017)h Fx(\012)g Ft(\017)f Fx(\012)h Fz(1)1355 4710 y Fq(B)1443 4695 y Fz(:)28 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(B)k Fx(\012)22 b Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(N)33 b Fx(\012)23 b Ft(B)0 4983 y Fz(to)h(the)h(comm)m(utativ)m(e)e(rectangle)i(and)f(obtain)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(M)16 b Fx(\012)6 b Ft(N)k Fz(\))28 b(=)f(\(1)2354 4998 y Fq(M)2439 4983 y Fx(\012)6 b Fz(1)2571 4998 y Fq(N)2643 4983 y Fx(\012)g(r)p Fz(\)\(1)g Fx(\012)g 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Fx(\012)c Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 655 1814 922 4 v 1494 1812 a Fm(-)932 1776 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fr(\012)p Fq(B)s Fr(\012)p Fq(B)s Fl(\))3174 1842 y Ft(B)p 2316 1814 830 4 v 3063 1812 a Fm(-)2587 1786 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fq(\017)p Fr(\012)p Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)p 385 1256 4 351 v 386 1256 a Fm(?)425 1102 y Fl(1)p 385 1743 V 386 1743 a Fm(?)425 1589 y Fl(1)p 1915 1256 V 1917 1256 a Fm(?)1584 1097 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\()p Fr(r\012)p Fl(1\))p 1974 1256 V 1975 1256 a Fm(?)2014 1097 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(\(1)p Fr(\012r)p Fl(\))p 3183 1256 V 3184 1256 a Fm(?)2996 1100 y Fr(r\012)p Fl(1)p 3241 1256 V 3243 1256 a Fm(?)3282 1100 y Fl(1)p Fr(\012r)p 1945 1743 V 1946 1743 a Fm(?)1985 1587 y Fl(1)p Fr(\012r)p 3212 1743 V 3214 1743 a Fm(?)3253 1591 y Fr(r)0 1969 y Fz(The)34 b(upp)s(er)f(ro)m(w)g(is)f(the)h(iden)m(tit)m(y)f(hence)i (w)m(e)g(get)e(the)h(asso)s(ciativ)m(e)f(la)m(w.)149 2085 y(F)-8 b(or)35 b(the)g(pro)s(of)f(that)h Ft(\021)j Fz(has)e(the)f(prop)s(erties)g(of)f(a)h(unit)f(w)m(e)i(m)m(ust)f (explicitly)e(consider)j(the)0 2201 y(coherence)43 b(morphisms)c Ft(\025)i Fz(and)f Ft(\032)i Fz(By)f(reasons)g(of)g(symmetry)g(w)m(e)h (will)c(only)i(sho)m(w)i(one)f(half)0 2317 y(of)g(of)g(the)g(unit)g (axiom.)68 b(This)41 b(axiom)f(follo)m(ws)g(from)g(the)i(comm)m (utativit)m(y)d(of)i(the)h(follo)m(wing)0 2433 y(diagram)117 2619 y Ft(B)216 b(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)p 225 2591 154 4 v 296 2589 a Fm(-)229 2554 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))892 2620 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Fu(K)p 716 2591 149 4 v 782 2589 a Fm(-)730 2557 y Fq(\032)766 2534 y Fk(\000)p Fo(1)2844 2620 y Ft(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)p 1400 2591 1416 4 v 2733 2589 a Fm(-)2090 2557 y Fq(\032)3578 2619 y Ft(B)p 3153 2591 397 4 v 3467 2589 a Fm(-)3292 2564 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)18 3010 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Fu(K)519 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)k Fx(\012)c Fu(K)45 b Fx(\012)23 b Ft(B)p 325 2981 439 4 v 681 2979 a Fm(-)374 2944 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))p Fr(\012)p Fq(\016)r Fl(\()p Fp(K)8 b Fl(\))1767 3010 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Fu(K)45 b Fx(\012)23 b Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 1500 2981 238 4 v 1655 2979 a Fm(-)1510 2954 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)2744 3010 y Ft(B)27 b Fx(\012)c Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 2475 2981 240 4 v 2632 2979 a Fm(-)2487 2948 y Fq(\032)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)3478 3009 y Ft(B)k Fx(\012)c Ft(B)p 3253 2981 196 4 v 3366 2979 a Fm(-)3246 2954 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)18 3400 y Ft(B)k Fx(\012)c Fu(K)1594 b Ft(B)27 b Fx(\012)c Fu(K)46 b Fx(\012)22 b Ft(B)p 325 3371 1515 4 v 1757 3369 a Fm(-)955 3333 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fr(\012)p Fp(K)7 b Fl(\))117 3789 y Ft(B)2653 b(B)28 b Fx(\012)22 b Ft(B)p 225 3762 2591 4 v 2733 3760 a Fm(-)1447 3723 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))3578 3789 y Ft(B)p 3153 3762 397 4 v 3467 3760 a Fm(-)3292 3734 y Fq(\017)p Fr(\012)p Fl(1)p 155 2911 4 254 v 157 2911 a Fm(?)-1 2806 y Fq(\032)35 2782 y Fk(\000)p Fo(1)p 1130 2911 V 1132 2911 a Fm(?)1171 2801 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\016)r Fl(\()p Fp(K)6 b Fl(\))p 2983 2911 V 2984 2911 a Fm(?)2727 2800 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\021)p 3616 2911 V 3618 2911 a Fm(?)3451 2800 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\021)p 155 3301 V 157 3301 a Fm(?)63 3187 y Fl(=)p 2105 3301 V 2107 3301 a Fm(?)2146 3194 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(1)p Fr(\012r)p 2983 3691 4 644 v 2984 3691 a Fm(?)2796 3389 y Fl(1)p Fr(\012r)p 3616 3691 V 3618 3691 a Fm(?)3520 3392 y Fr(r)p 155 3691 4 254 v 157 3691 a Fm(?)82 3572 y Fq(\032)347 2801 y(\016)r Fl(\()p Fq(B)s Fl(\))p Fr(\012)p Fl(1)391 2911 y Fm(\010)474 2870 y(\010)557 2828 y(\010)640 2787 y(\010)723 2745 y(\010)806 2704 y(\010)815 2699 y(\010)-83 b(*)2608 3579 y Fq(\032)p Fr(\012)p Fl(1)2292 3479 y Fm(H)2375 3521 y(H)2458 3562 y(H)2541 3604 y(H)2624 3645 y(H)2707 3687 y(H)2716 3691 y(H)g(j)3523 3916 y Fh(\003)p eop %%Page: 113 116 113 115 bop 1505 815 a Fz(CHAPTER)51 b(4)1064 1114 y Fy(The)44 b(In\014nitesimal)j(Theory)918 1397 y Fv(1.)56 b(In)m(tegrals)37 b(and)h(F)-9 b(ourier)37 b(T)-9 b(ransforms)149 1571 y Fz(Assume)34 b(for)e(this)g(c)m(hapter)i(that)e Fu(K)56 b Fz(is)32 b(a)g(\014eld.)149 1711 y Fv(Lemma)38 b(4.1.1.)43 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(C)43 b Fs(b)-5 b(e)35 b(a)g(\014nite)g(dimensional)f(c)-5 b(o)g(algebr)g(a.)45 b(Every)36 b(right)f Ft(C)7 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dule)0 1827 y Ft(M)37 b Fs(is)27 b(a)f(left)h Ft(C)540 1791 y Fr(\003)579 1827 y Fs(-mo)-5 b(dule)26 b(by)h Ft(c)1098 1791 y Fr(\003)1137 1827 y Ft(m)h Fz(=)1354 1752 y Fj(P)1476 1827 y Ft(m)1561 1842 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1695 1827 y Fx(h)p Ft(c)1776 1791 y Fr(\003)1815 1827 y Ft(;)17 b(m)1944 1842 y Fl(\(1\))2039 1827 y Fx(i)26 b Fs(and)g(c)-5 b(onversely)26 b(by)h Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))g(=)3202 1752 y Fj(P)3307 1856 y Fq(i)3352 1827 y Ft(c)3394 1791 y Fr(\003)3394 1851 y Fq(i)3433 1827 y Ft(m)t Fx(\012)0 1943 y Ft(c)42 1958 y Fq(i)105 1943 y Fs(wher)-5 b(e)380 1868 y Fj(P)502 1943 y Ft(c)544 1907 y Fr(\003)544 1968 y Fq(i)606 1943 y Fx(\012)22 b Ft(c)747 1958 y Fq(i)810 1943 y Fs(is)35 b(the)g(dual)f(b)-5 b(asis.)149 2116 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(c)m(hec)m(k)i(that)e Ft(M)43 b Fz(b)s(ecomes)33 b(a)f(left)g Ft(C)2031 2080 y Fr(\003)2070 2116 y Fz(-mo)s(dule)514 2253 y(\()p Ft(c)594 2217 y Fr(\003)634 2253 y Ft(c)676 2217 y Fr(0)699 2206 y(\003)738 2253 y Fz(\))p Ft(m)h Fz(=)998 2178 y Fj(P)1119 2253 y Ft(m)1204 2268 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1339 2253 y Fx(h)p Ft(c)1420 2217 y Fr(\003)1459 2253 y Ft(c)1501 2217 y Fr(0)1524 2206 y(\003)1564 2253 y Ft(;)17 b(m)1693 2268 y Fl(\(1\))1787 2253 y Fx(i)27 b Fz(=)1957 2178 y Fj(P)2079 2253 y Ft(m)2164 2268 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))2298 2253 y Fx(h)p Ft(c)2379 2217 y Fr(\003)2418 2253 y Ft(;)17 b(m)2547 2268 y Fl(\(1\))2641 2253 y Fx(ih)p Ft(c)2761 2217 y Fr(0)2784 2206 y(\003)2824 2253 y Ft(;)g(m)2953 2268 y Fl(\(2\))3047 2253 y Fx(i)894 2369 y Fz(=)28 b Ft(c)1040 2333 y Fr(\003)1096 2294 y Fj(P)1218 2369 y Ft(m)1303 2385 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1437 2369 y Fx(h)p Ft(c)1518 2333 y Fr(0)1541 2322 y(\003)1580 2369 y Ft(;)17 b(m)1709 2385 y Fl(\(1\))1804 2369 y Fx(i)27 b Fz(=)g Ft(c)2015 2333 y Fr(\003)2055 2369 y Fz(\()p Ft(c)2135 2333 y Fr(0)2158 2322 y(\003)2198 2369 y Ft(m)p Fz(\))p Ft(:)0 2528 y Fz(It)i(is)g(easy)h(to)f(c)m(hec)m(k)j(that)d(the)g(t)m (w)m(o)h(constructions)g(are)g(in)m(v)m(erses)h(of)d(eac)m(h)j(other.) 42 b(In)30 b(particular)0 2644 y(assume)f(that)f Ft(M)39 b Fz(is)28 b(a)h(righ)m(t)e Ft(C)7 b Fz(-como)s(dule.)41 b(Cho)s(ose)29 b Ft(m)2079 2659 y Fq(i)2136 2644 y Fz(suc)m(h)h(that)e Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))g(=)2898 2570 y Fj(P)3020 2644 y Ft(m)3105 2659 y Fq(i)3147 2644 y Fx(\012)14 b Ft(c)3280 2659 y Fq(i)3309 2644 y Fz(.)42 b(Then)0 2761 y Ft(c)42 2724 y Fr(\003)42 2785 y Fq(j)81 2761 y Ft(m)28 b Fz(=)298 2686 y Fj(P)420 2761 y Ft(m)505 2776 y Fq(i)533 2761 y Fx(h)p Ft(c)614 2724 y Fr(\003)614 2785 y Fq(j)653 2761 y Ft(;)17 b(c)739 2776 y Fq(i)767 2761 y Fx(i)28 b Fz(=)f Ft(m)1022 2776 y Fq(j)1092 2761 y Fz(and)1281 2686 y Fj(P)1403 2761 y Ft(c)1445 2724 y Fr(\003)1445 2785 y Fq(i)1484 2761 y Ft(m)c Fx(\012)g Ft(c)1734 2776 y Fq(i)1789 2761 y Fz(=)1893 2686 y Fj(P)2015 2761 y Ft(m)2100 2776 y Fq(i)2150 2761 y Fx(\012)g Ft(c)2292 2776 y Fq(i)2348 2761 y Fz(=)k Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\).)837 b Fh(\003)149 2934 y Fv(De\014nition)46 b(4.1.2.)g Fz(1.)69 b(Let)41 b Ft(A)g Fz(b)s(e)g(an)g(algebra)e(with)i(augmen)m (tation)e Ft(")j Fz(:)g Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)42 b Fu(K)17 b Fz(,)49 b(an)0 3050 y(algebra)39 b(homomorphism.)65 b(Let)40 b Ft(M)52 b Fz(b)s(e)40 b(a)h(left)e Ft(A)p Fz(-mo)s(dule.)66 b(Then)2610 3014 y Fq(A)2667 3050 y Ft(M)52 b Fz(=)41 b Fx(f)p Ft(m)g Fx(2)h Ft(M)10 b Fx(j)p Ft(am)42 b Fz(=)0 3167 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(m)p Fx(g)32 b Fz(is)g(called)g(the)h Fs(sp)-5 b(ac)g(e)34 b(of)g(left)h(invariants)d Fz(of)g Ft(M)10 b Fz(.)149 3283 y(This)33 b(de\014nes)h(a)f(functor)1112 3247 y Fq(A)1169 3283 y Fz(-)28 b(:)f Ft(A)p Fz(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)44 b Fx(\000)-60 b(!)28 b(V)n Fs(e)-5 b(c)16 b Fz(.)149 3399 y(2.)79 b(Let)45 b Ft(C)51 b Fz(b)s(e)45 b(a)f(coalgebra)f(with)h(a)h(grouplik)m(e)e(elemen)m(t)h(1)k Fx(2)g Ft(C)7 b Fz(.)79 b(Let)45 b Ft(M)55 b Fz(b)s(e)45 b(a)f(righ)m(t)0 3515 y Ft(C)7 b Fz(-como)s(dule.)69 b(Then)43 b Ft(M)979 3479 y Fq(coC)1148 3515 y Fz(:=)g Fx(f)p Ft(m)h Fx(2)f Ft(M)10 b Fx(j)p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))45 b(=)e Ft(m)29 b Fx(\012)g Fz(1)p Fx(g)41 b Fz(is)g(called)g(the)h Fs(sp)-5 b(ac)g(e)43 b(of)g(right)0 3631 y(c)-5 b(oinvariants)31 b Fz(of)h Ft(M)10 b Fz(.)149 3748 y(This)33 b(de\014nes)h(a)f(functor)f(-)1145 3712 y Fq(coC)1296 3748 y Fz(:)c Fx(C)6 b Fs(omo)-5 b(d)16 b Fz(-)p Ft(C)34 b Fx(\000)-59 b(!)27 b(V)n Fs(e)-5 b(c)17 b Fz(.)149 3887 y Fv(Lemma)40 b(4.1.3.)j Fs(L)-5 b(et)37 b Ft(C)44 b Fs(b)-5 b(e)36 b(a)h(\014nite)f(dimensional)f(c)-5 b(o)g(algebr)g(a)36 b(with)g(a)h(gr)-5 b(ouplike)36 b(element)0 4004 y Fz(1)42 b Fx(2)h Ft(C)7 b Fs(.)68 b(Then)42 b Ft(A)g Fz(:=)g Ft(C)974 3967 y Fr(\003)1056 4004 y Fs(is)h(an)f (augmente)-5 b(d)42 b(algebr)-5 b(a)42 b(with)h(augmentation)f Ft(")f Fz(:)i Ft(C)3217 3967 y Fr(\003)3298 4004 y Fx(3)g Ft(a)f Fx(7!)0 4120 y(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)p Fx(i)27 b(2)h Fu(K)17 b Fs(.)51 b(L)-5 b(et)35 b Ft(M)46 b Fs(b)-5 b(e)35 b(a)f(right)h Ft(C)7 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dule.)44 b(Then)34 b Ft(M)45 b Fs(is)35 b(a)g(left)g Ft(C)2640 4084 y Fr(\003)2679 4120 y Fs(-mo)-5 b(dule)34 b(and)g(we)h(have)1507 4246 y Fq(C)1562 4223 y Fk(\003)1602 4287 y Ft(M)j Fz(=)28 b Ft(M)1942 4246 y Fq(coC)2066 4287 y Ft(:)149 4461 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Since)50 b(1)57 b Fx(2)h Ft(C)e Fz(is)50 b(grouplik)m(e)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g Ft(")2167 4476 y Fq(A)2223 4461 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))58 b(=)f Fx(h)p Ft(ab;)17 b Fz(1)p Fx(i)57 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)p Fx(ih)p Ft(b;)g Fz(1)p Fx(i)56 b Fz(=)0 4577 y Ft(")46 4592 y Fq(A)103 4577 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")276 4592 y Fq(A)332 4577 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))33 b(and)g Ft(")718 4592 y Fq(A)775 4577 y Fz(\(1)862 4592 y Fq(A)918 4577 y Fz(\))28 b(=)f Fx(h)p Fz(1)1175 4592 y Fq(A)1232 4577 y Ft(;)17 b Fz(1)1325 4592 y Fq(C)1384 4577 y Fx(i)27 b Fz(=)h Ft(")1600 4592 y Fq(C)1658 4577 y Fz(\(1)1745 4592 y Fq(C)1804 4577 y Fz(\))g(=)f(1.)149 4693 y(W)-8 b(e)41 b(ha)m(v)m(e)g Ft(m)f Fx(2)h Ft(M)893 4657 y Fq(coH)1065 4693 y Fz(i\013)e Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))h(=)1553 4619 y Fj(P)1675 4693 y Ft(m)1760 4709 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1921 4693 y Fx(\012)28 b Ft(m)2111 4709 y Fl(\(1\))2246 4693 y Fz(=)40 b Ft(m)27 b Fx(\012)h Fz(1)39 b(i\013)2791 4619 y Fj(P)2913 4693 y Ft(m)2998 4709 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))3132 4693 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(m)3351 4709 y Fl(\(1\))3445 4693 y Fx(i)40 b Fz(=)0 4810 y Ft(m)p Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)p Fx(i)25 b Fz(for)g(all)e Ft(a)28 b Fx(2)g Ft(A)g Fz(=)f Ft(C)1056 4773 y Fr(\003)1121 4810 y Fz(and)f(b)m(y)g(iden)m(tifying)e Ft(C)1987 4773 y Fr(\003)2034 4810 y Fx(\012)8 b Ft(C)34 b Fz(=)28 b(Hom)o(\()p Ft(C)2645 4773 y Fr(\003)2684 4810 y Ft(;)17 b(C)2805 4773 y Fr(\003)2845 4810 y Fz(\))25 b(i\013)f Ft(am)k Fz(=)g Ft(")3331 4825 y Fq(A)3388 4810 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(m)0 4926 y Fz(i\013)k Ft(m)c Fx(2)324 4890 y Fq(A)381 4926 y Ft(M)10 b Fz(.)3011 b Fh(\003)149 5099 y Fv(Remark)47 b(4.1.4.)f Fz(The)c(theory)f(of)g(F)-8 b(ourier)39 b(transforms)i(con)m(tains)g(the)g(follo)m(wing)d(state-)0 5216 y(men)m(ts.)j(Let)25 b Ft(H)32 b Fz(b)s(e)25 b(the)g(\(Sc)m(h)m(w) m(artz\))i(space)f(of)e(in\014nitely)f(di\013eren)m(tiable)h(functions) g Ft(f)39 b Fz(:)28 b Fu(R)38 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(C)20 b Fz(,)1742 5365 y Fw(113)p eop %%Page: 114 117 114 116 bop 0 251 a Fw(114)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)0 450 y Fz(suc)m(h)30 b(that)e Ft(f)39 b Fz(and)28 b(all)f(deriv)-5 b(ativ)m(es)28 b(rapidly)f(decrease)j(at)e(in\014nit)m (y)-8 b(.)42 b(\()p Ft(f)d Fz(decreases)30 b(rapidly)d(at)h(in-)0 566 y(\014nit)m(y)g(if)f Fx(j)p Ft(x)p Fx(j)446 530 y Fq(m)512 566 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(is)g(b)s(ounded)g (for)g(all)e Ft(m)p Fz(.\))42 b(This)28 b(space)h(is)f(an)g(algebra)e (\(without)i(unit\))f(under)0 683 y(the)33 b(m)m(ultiplication)28 b(of)k(v)-5 b(alues.)43 b(There)34 b(is)e(a)h(second)h(m)m (ultiplication)27 b(on)33 b Ft(H)8 b Fz(,)32 b(the)h(con)m(v)m(olution) 913 914 y(\()p Ft(f)g Fx(\003)22 b Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)h(\(2)p Ft(\031)t Fz(\))1639 873 y Fr(\000)p Fl(1)p Fq(=)p Fl(2)1820 778 y Fj(Z)1919 805 y Fl(+)p Fr(1)1875 1004 y(\0001)2065 914 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(x)22 b Fx(\000)h Ft(t)p Fz(\))p Ft(dt:)149 1143 y Fz(The)34 b(F)-8 b(ourier)31 b(transform)h(is)g(a)g (homomorphism)22 b(^)-41 b(-)27 b(:)h Ft(H)35 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)40 b Fz(de\014ned)34 b(b)m(y)1117 1348 y(^)1096 1374 y Ft(f)10 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g(\(2)p Ft(\031)t Fz(\))1601 1333 y Fr(\000)p Fl(1)p Fq(=)p Fl(2)1782 1239 y Fj(Z)1882 1265 y Fl(+)p Fr(1)1837 1464 y(\0001)2028 1374 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(t)p Fz(\))p Ft(e)2243 1333 y Fr(\000)p Fq(itx)2391 1374 y Ft(dt:)0 1629 y Fz(It)33 b(satis\014es)h(the)g(iden)m(tit)m(y)f(\()p Ft(f)g Fx(\003)22 b Ft(g)t Fz(\))-24 b(^)s(=)1430 1603 y(^)1409 1629 y Ft(f)14 b Fz(^)-53 b Ft(g)37 b Fz(hence)d(it)e(is)h(an)g(algebra)f (homomorphism.)43 b(W)-8 b(e)33 b(w)m(an)m(t)0 1745 y(to)f(\014nd)h(an) g(analogue)e(of)h(this)h(theory)g(for)f(\014nite)g(quan)m(tum)h (groups.)149 1862 y(A)d(similar)c(example)j(is)g(the)h(follo)m(wing.)40 b(Let)30 b Ft(G)f Fz(b)s(e)h(a)f(lo)s(cally)e(compact)i(top)s(ological) d(group.)0 1978 y(Let)j Ft(\026)g Fz(b)s(e)h(the)g(\(left\))e Fs(Haar)k(me)-5 b(asur)g(e)29 b Fz(on)g Ft(G)g Fz(and)1838 1898 y Fj(R)1921 1978 y Ft(f)39 b Fz(:=)2138 1898 y Fj(R)2185 2013 y Fq(G)2261 1978 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(d\026)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(b)s(e)h(the)f Fs(Haar)j(inte)-5 b(gr)g(al)p Fz(.)149 2096 y(The)36 b(Haar)e(measure)g(is)g(left)g(in)m (v)-5 b(arian)m(t)32 b(in)i(the)h(sense)h(that)e Ft(\026)p Fz(\()p Ft(E)6 b Fz(\))30 b(=)h Ft(\026)p Fz(\()p Ft(g)t(E)6 b Fz(\))33 b(for)h(all)e Ft(g)i Fx(2)d Ft(G)0 2212 y Fz(and)42 b(all)e(compact)i(subsets)j Ft(E)j Fz(of)41 b Ft(G)p Fz(.)73 b(The)43 b(Haar)f(measure)g(exists)h(and)f(is)g (unique)h(up)f(to)g(a)0 2328 y(p)s(ositiv)m(e)35 b(factor.)50 b(The)37 b(Haar)d(in)m(tegral)g(is)h(translation)e(in)m(v)-5 b(arian)m(t)34 b(i.e.)51 b(for)34 b(all)f Ft(y)j Fx(2)c Ft(G)j Fz(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)0 2364 y Fj(R)83 2444 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)t(x)p Fz(\))p Ft(d\026)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)696 2364 y Fj(R)779 2444 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(d\026)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\).)149 2560 y(If)37 b Ft(\026)f Fz(is)h(a)f(left-in)m(v)-5 b(arian)m(t)34 b(Haar)i(measure)h(then)h(there)f(is)f(a)h(con)m(tin)m(uous)g (homomorphism)0 2677 y(mo)s(d)61 b(:)29 b Ft(G)g Fx(\000)-59 b(!)28 b Fz(\()p Fu(R)661 2641 y Fl(+)726 2677 y Ft(;)17 b Fx(\001)p Fz(\))33 b(suc)m(h)i(that)1302 2596 y Fj(R)1385 2677 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(xy)1589 2641 y Fr(\000)p Fl(1)1682 2677 y Fz(\))p Ft(d\026)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(=)95 b(mo)s(d)33 b(\()p Ft(y)t Fz(\))2527 2596 y Fj(R)2592 2677 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(d\026)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\).)45 b(The)34 b(homo-)0 2793 y(morphism)h Ft(\026)h Fz(do)s(es)h(not)f(dep)s(end)i(on)e Ft(f)48 b Fz(and)36 b(is)g(called)g(the)h Fs(mo)-5 b(dulus)36 b Fz(of)g Ft(G)p Fz(.)55 b(The)38 b(group)e Ft(G)g Fz(is)0 2909 y(called)31 b Fs(unimo)-5 b(dular)32 b Fz(if)g(the)h(homomorphism) 96 b(mo)s(d)65 b(is)32 b(the)h(iden)m(tit)m(y)-8 b(.)149 3025 y(If)41 b Ft(G)g Fz(is)f(a)g(compact,)j(or)d(discrete,)k(or)c(Ab)s (elian)f(group,)k(or)d(a)h(connected)h(semisimple)c(or)0 3142 y(nilp)s(oten)m(t)31 b(Lie)h(group,)h(then)g Ft(G)f Fz(is)g(unimo)s(dular.)149 3271 y(Let)37 b Ft(G)g Fz(b)s(e)g(a)g(quan)m (tum)g(group)f(\(or)h(a)f(quan)m(tum)h(monoid\))e(with)i(function)f (algebra)g Ft(H)44 b Fz(an)0 3388 y(arbitrary)22 b(Hopf)i(algebra.)39 b(W)-8 b(e)24 b(also)e(use)j(the)e(algebra)g(of)f(linear)g(functionals) g Ft(H)2946 3352 y Fr(\003)3013 3388 y Fz(=)28 b(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))0 3504 y(\(called)38 b(the)i(bialgebra)d(of) i Ft(G)g Fz(in)f(the)i(F)-8 b(renc)m(h)40 b(literature\).)62 b(The)40 b(op)s(eration)e Ft(H)3042 3468 y Fr(\003)3108 3504 y Fx(\012)27 b Ft(H)46 b Fx(3)40 b Ft(a)27 b Fx(\012)0 3620 y Ft(f)51 b Fx(7!)41 b(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)39 b(2)i Fu(K)64 b Fz(is)40 b(nondegenerate)h(on)f(b)s(oth)g(sides.)67 b(W)-8 b(e)41 b(denote)g(the)f(elemen)m(ts)h(of)e Ft(H)48 b Fz(b)m(y)0 3736 y Ft(f)5 b(;)17 b(g)t(;)g(h)39 b Fx(2)h Ft(H)8 b Fz(,)41 b(the)f(elemen)m(ts)g(of)g Ft(H)1339 3700 y Fr(\003)1417 3736 y Fz(b)m(y)h Ft(a;)17 b(b;)g(c)40 b Fx(2)g Ft(H)2017 3700 y Fr(\003)2056 3736 y Fz(,)h(the)g(\(non)e (existing\))g(elemen)m(ts)h(of)g(the)0 3853 y(quan)m(tum)33 b(group)f Ft(G)h Fz(b)m(y)g Ft(x;)17 b(y)t(;)g(z)32 b Fx(2)c Ft(G)p Fz(.)149 3982 y Fv(Remark)43 b(4.1.5.)h Fz(In)38 b(2.4.8)e(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)f(seen)h(that)e(the)g(dual)g(v)m (ector)h(space)g Ft(H)3105 3946 y Fr(\003)3182 3982 y Fz(of)e(a)h(\014nite)0 4099 y(dimensional)g(Hopf)j(algebra)e Ft(H)48 b Fz(is)39 b(again)f(a)i(Hopf)f(algebra.)64 b(The)41 b(Hopf)f(algebra)e(structures)0 4215 y(are)33 b(connected)h(b)m(y)f (the)g(ev)-5 b(aluation)31 b(bilinear)f(form)1072 4386 y(ev)g(:)e Ft(H)1340 4344 y Fr(\003)1401 4386 y Fx(\012)23 b Ft(H)35 b Fx(3)28 b Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(f)38 b Fx(7!)27 b(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b(2)h Fu(K)0 4556 y Fz(as)33 b(follo)m(ws:)448 4700 y Fx(h)p Ft(a)22 b Fx(\012)h Ft(b;)745 4625 y Fj(P)867 4700 y Ft(f)915 4716 y Fl(\(1\))1031 4700 y Fx(\012)g Ft(f)1179 4716 y Fl(\(2\))1273 4700 y Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(ab;)17 b(f)11 b Fx(i)p Ft(;)83 b Fx(h)1865 4625 y Fj(P)1986 4700 y Ft(a)2037 4716 y Fl(\(1\))2154 4700 y Fx(\012)23 b Ft(a)2305 4716 y Fl(\(2\))2399 4700 y Ft(;)17 b(f)33 b Fx(\012)22 b Ft(g)t Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b(g)t Fx(i)p Ft(;)819 4816 y Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)p Fx(i)27 b Fz(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)833 b Fx(h)p Fz(1)p Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(;)1348 4933 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)p Ft(:)149 5099 y Fv(De\014nition)26 b(4.1.6.)35 b Fz(1.)41 b(The)24 b(linear)e(functionals)h Ft(a)28 b Fx(2)g Ft(H)2278 5063 y Fr(\003)2340 5099 y Fz(are)c(called)e Fs(gener)-5 b(alize)g(d)26 b(inte)-5 b(gr)g(als)0 5216 y(on)34 b Ft(H)41 b Fz(\([Riesz-Nagy])32 b(S.123\).)p eop %%Page: 115 118 115 117 bop 934 251 a Fw(1.)35 b(INTEGRALS)e(AND)f(F)n(OURIER)f(TRANSF) n(ORMS)818 b(115)149 450 y Fz(2.)44 b(An)33 b(elemen)m(t)789 370 y Fj(R)883 450 y Fx(2)28 b Ft(H)1066 414 y Fr(\003)1138 450 y Fz(is)k(called)f(a)h Fs(left)j(\(invariant\))f(inte)-5 b(gr)g(al)35 b(on)d Ft(H)40 b Fz(if)1498 622 y Ft(a)1549 541 y Fj(R)1643 622 y Fz(=)28 b Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)1930 637 y Fq(H)1997 622 y Fx(i)2036 541 y Fj(R)0 793 y Fz(or)32 b Ft(a)187 713 y Fj(R)281 793 y Fz(=)c Ft(")431 808 y Fq(H)494 789 y Fk(\003)534 793 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))678 713 y Fj(R)776 793 y Fz(for)k(all)f Ft(a)d Fx(2)g Ft(H)1323 757 y Fr(\003)1362 793 y Fz(.)149 909 y(3.)44 b(An)33 b(elemen)m(t)f Ft(\016)g Fx(2)c Ft(H)40 b Fz(is)32 b(called)f(a)h Fs(left)j(inte)-5 b(gr)g(al)35 b(in)d Ft(H)40 b Fz(if)1568 1078 y Ft(f)11 b(\016)31 b Fz(=)d Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(\016)0 1247 y Fz(for)32 b(all)f Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(H)8 b Fz(.)149 1363 y(4.)54 b(The)37 b(set)g(of)e(left)h (in)m(tegrals)f(in)g Ft(H)43 b Fz(is)36 b(denoted)h(b)m(y)g(In)m(t)2304 1378 y Fq(l)2330 1363 y Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\),)36 b(the)g(set)h(of)f (righ)m(t)f(in)m(tegrals)0 1479 y(b)m(y)e(In)m(t)260 1494 y Fq(r)298 1479 y Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)43 b(The)33 b(set)h(of)e(left)g(\(righ)m(t\))f(in)m(tegrals)h(on)g Ft(H)40 b Fz(is)32 b(In)m(t)2352 1494 y Fq(l)2378 1479 y Fz(\()p Ft(H)2505 1443 y Fr(\003)2544 1479 y Fz(\))g(\(In)m(t)2777 1494 y Fq(r)2815 1479 y Fz(\()p Ft(H)2942 1443 y Fr(\003)2981 1479 y Fz(\)\).)149 1596 y(5.)44 b(A)32 b(Hopf)h(algebra)e Ft(H)40 b Fz(is)32 b(called)g Fs(unimo)-5 b(dular)32 b Fz(if)f(In)m(t)2176 1611 y Fq(l)2202 1596 y Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))27 b(=)g(In)m(t)2622 1611 y Fq(r)2660 1596 y Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)149 1738 y Fv(Lemma)44 b(4.1.7.)h Fs(The)40 b(left)g(inte)-5 b(gr)g(als)40 b Fz(In)m(t)1754 1753 y Fq(l)1780 1738 y Fz(\()p Ft(H)1907 1702 y Fr(\003)1946 1738 y Fz(\))g Fs(form)g(a)g(two)g(side)-5 b(d)40 b(ide)-5 b(al)39 b(of)h Ft(H)3235 1702 y Fr(\003)3274 1738 y Fs(.)61 b(If)40 b(the)0 1854 y(antip)-5 b(o)g(de)34 b Ft(S)41 b Fs(is)34 b(bije)-5 b(ctive)34 b(then)h Ft(S)41 b Fs(induc)-5 b(es)34 b(an)g(isomorphism)g Ft(S)f Fz(:)28 b(In)m(t)2617 1869 y Fq(l)2643 1854 y Fz(\()p Ft(H)2770 1818 y Fr(\003)2809 1854 y Fz(\))g Fx(\000)-57 b(!)27 b Fz(In)m(t)3147 1869 y Fq(r)3185 1854 y Fz(\()p Ft(H)3312 1818 y Fr(\003)3351 1854 y Fz(\))p Fs(.)149 2035 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(F)-8 b(or)713 1955 y Fj(R)815 2035 y Fz(in)36 b(In)m(t)1057 2050 y Fq(l)1083 2035 y Fz(\()p Ft(H)1210 1999 y Fr(\003)1249 2035 y Fz(\))g(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)f Ft(a)1767 1955 y Fj(R)1867 2035 y Fz(=)d Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))2167 1955 y Fj(R)2266 2035 y Fx(2)h Fz(In)m(t)2491 2050 y Fq(l)2517 2035 y Fz(\()p Ft(H)2644 1999 y Fr(\003)2683 2035 y Fz(\))h(and)g Ft(a)3018 1955 y Fj(R)3101 2035 y Ft(b)e Fz(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))3476 1955 y Fj(R)3559 2035 y Ft(b)0 2154 y Fz(hence)285 2074 y Fj(R)368 2154 y Ft(b)53 b Fx(2)f Fz(In)m(t)705 2169 y Fq(l)731 2154 y Fz(\()p Ft(H)858 2118 y Fr(\003)897 2154 y Fz(\).)86 b(If)47 b Ft(S)52 b Fz(is)47 b(bijectiv)m(e)g(then)g(the)g (induced)h(map)e Ft(S)58 b Fz(:)52 b Ft(H)3100 2118 y Fr(\003)3191 2154 y Fx(\000)-60 b(!)52 b Ft(H)3449 2118 y Fr(\003)3534 2154 y Fz(is)0 2273 y(also)35 b(bijectiv)m(e)h(and)g (satis\014es)h Ft(S)6 b Fz(\()1250 2193 y Fj(R)1316 2273 y Fz(\))p Ft(b)34 b Fz(=)g Ft(S)6 b Fz(\()1643 2193 y Fj(R)1709 2273 y Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(S)1917 2237 y Fr(\000)p Fl(1)2011 2273 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\)\))34 b(=)f Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(S)2479 2237 y Fr(\000)p Fl(1)2573 2273 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))2707 2193 y Fj(R)2773 2273 y Fz(\))34 b(=)f Ft(S)6 b Fz(\()3058 2193 y Fj(R)3125 2273 y Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))36 b(hence)0 2392 y Ft(S)6 b Fz(\()104 2312 y Fj(R)170 2392 y Fz(\))28 b Fx(2)g Fz(In)m(t)454 2407 y Fq(r)492 2392 y Fz(\()p Ft(H)619 2356 y Fr(\003)658 2392 y Fz(\).)2800 b Fh(\003)149 2573 y Fv(Remark)37 b(4.1.8.)42 b Fz(Masc)m(hk)m(e's)35 b(Theorem)e(has)f(an)g(extension)i(to)d(\014nite)h(dimensional)e(Hopf)0 2689 y(algebras:)43 b Ft(")p Fz(\()502 2609 y Fj(R)568 2689 y Fz(\))27 b Fx(6)p Fz(=)h(0)k(i\013)g Ft(H)1024 2653 y Fr(\003)1095 2689 y Fz(is)g(semisimple.)149 2831 y Fv(Corollary)37 b(4.1.9.)43 b Fs(L)-5 b(et)36 b Ft(H)43 b Fs(b)-5 b(e)36 b(a)f(\014nite)h(dimensional)e(Hopf)i(algebr)-5 b(a.)46 b(Then)35 b Ft(H)3202 2795 y Fr(\003)3277 2831 y Fs(is)g(a)h(left)0 2948 y Ft(H)89 2911 y Fr(\003)128 2948 y Fs(-mo)-5 b(dule)34 b(by)h(the)g(usual)g(multiplic)-5 b(ation,)34 b(henc)-5 b(e)34 b(a)h(right)g Ft(H)8 b Fs(-c)-5 b(omo)g(dule.)43 b(We)35 b(have)1376 3116 y Fz(\()p Ft(H)1503 3075 y Fr(\003)1542 3116 y Fz(\))1580 3075 y Fq(coH)1739 3116 y Fz(=)28 b(In)m(t)1967 3131 y Fq(l)1993 3116 y Fz(\()p Ft(H)2120 3075 y Fr(\003)2159 3116 y Fz(\))p Ft(:)149 3297 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(By)34 b(de\014nition)d(w)m(e)j(ha) m(v)m(e)g(In)m(t)1614 3312 y Fq(l)1640 3297 y Fz(\()p Ft(H)1767 3261 y Fr(\003)1806 3297 y Fz(\))28 b(=)1975 3261 y Fq(H)2038 3237 y Fk(\003)2078 3297 y Ft(H)2167 3261 y Fr(\003)2206 3297 y Fz(.)1290 b Fh(\003)149 3478 y Fv(Example)46 b(4.1.10.)h Fz(Let)41 b Ft(G)f Fz(b)s(e)h(a)g(\014nite) f(group.)68 b(Let)41 b Ft(H)49 b Fz(:=)42 b(Map\()p Ft(G;)17 b Fu(K)g Fz(\))47 b(b)s(e)41 b(the)g(Hopf)0 3594 y(algebra)31 b(de\014ned)j(b)m(y)g(the)f(follo)m(wing)d(isomorphism)875 3763 y Fu(K)947 3721 y Fq(G)1039 3763 y Fz(=)e(Map\()p Ft(G;)17 b Fu(K)g Fz(\))1637 3735 y Fx(\030)1638 3767 y Fz(=)1742 3763 y(Hom)o(\()p Fu(K)h Ft(G;)f Fu(K)23 b Fz(\))34 b(=)27 b(\()p Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(\))2652 3721 y Fr(\003)2698 3763 y Ft(:)0 3931 y Fz(This)34 b(isomorphism)d(b)s (et)m(w)m(een)36 b(the)e(v)m(ector)g(space)h Fu(K)1968 3895 y Fq(G)2067 3931 y Fz(of)e(all)f(set)i(maps)f(from)f(the)i(group)g Ft(G)f Fz(to)0 4048 y(the)c(base)g(ring)f Fu(K)51 b Fz(and)29 b(the)g(dual)f(v)m(ector)h(space)h(\()p Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(\))2011 4011 y Fr(\003)2085 4048 y Fz(of)28 b(the)h(group)f(algebra) f Fu(K)18 b Ft(G)34 b Fz(de\014nes)d(the)0 4164 y(structure)j(of)e(a)g (Hopf)h(algebra)e(on)i Fu(K)1397 4128 y Fq(G)1462 4164 y Fz(.)149 4280 y(W)-8 b(e)28 b(regard)e Ft(H)36 b Fz(:=)27 b Fu(K)928 4244 y Fq(G)1020 4280 y Fz(as)g(the)g(function)f(algebra)g (on)h(the)g(set)h Ft(G)p Fz(.)41 b(In)27 b(the)h(sense)g(of)f (algebraic)0 4396 y(geometry)37 b(this)h(is)f(not)g(quite)h(true.)58 b(The)39 b(algebra)d Fu(K)2041 4360 y Fq(G)2143 4396 y Fz(represen)m(ts)k(a)e(functor)f(from)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)0 4512 y Fz(to)43 b Fx(S)n Fs(et)61 b Fz(that)43 b(has)h Ft(G)g Fz(as)g(v)-5 b(alue)43 b(for)g(all)f (connected)j(algebras)e Ft(A)h Fz(in)f(particular)e(for)j(all)d (\014eld)0 4629 y(extensions)34 b(of)e Fu(K)17 b Fz(.)149 4745 y(As)45 b(b)s(efore)e(w)m(e)i(use)f(the)g(map)f(ev)49 b(:)d Fu(K)18 b Ft(G)35 b Fx(\012)30 b Fu(K)1928 4709 y Fq(G)2039 4745 y Fx(\000)-59 b(!)46 b Fu(K)17 b Fz(.)83 b(The)44 b(m)m(ultiplication)39 b(of)k Fu(K)3426 4709 y Fq(G)3534 4745 y Fz(is)0 4861 y(giv)m(en)37 b(b)m(y)h(p)s(oin)m(t)m (wise)f(m)m(ultiplication)c(of)k(maps)g(since)g Fx(h)p Ft(x;)17 b(f)11 b(f)2341 4825 y Fr(0)2364 4861 y Fx(i)35 b Fz(=)g Fx(h)2588 4786 y Fj(P)2710 4861 y Ft(x)2765 4877 y Fl(\(1\))2885 4861 y Fx(\012)26 b Ft(x)3043 4877 y Fl(\(2\))3137 4861 y Ft(;)17 b(f)36 b Fx(\012)26 b Ft(f)3427 4825 y Fr(0)3450 4861 y Fx(i)35 b Fz(=)0 4983 y Fx(h)p Ft(x)28 b Fx(\012)g Ft(x;)17 b(f)38 b Fx(\012)28 b Ft(f)576 4947 y Fr(0)599 4983 y Fx(i)41 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(x;)17 b(f)11 b Fx(ih)p Ft(x;)17 b(f)1229 4947 y Fr(0)1251 4983 y Fx(i)40 b Fz(for)g(all)e Ft(f)5 b(;)17 b(f)1786 4947 y Fr(0)1850 4983 y Fx(2)41 b Fu(K)2029 4947 y Fq(G)2134 4983 y Fz(and)g(all)d Ft(x)k Fx(2)f Ft(G)p Fz(.)67 b(The)41 b(unit)f(elemen)m(t)0 5099 y(1)49 5118 y Fp(K)94 5099 y Fn(G)48 b Fz(of)33 b Fu(K)373 5063 y Fq(G)471 5099 y Fz(is)g(the)g(map)g Ft(")28 b Fz(:)h Fu(K)17 b Ft(G)35 b Fx(\000)-60 b(!)29 b Fu(K)56 b Fz(restricted)34 b(to)f Ft(G)p Fz(,)g(hence)i Ft(")p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(=)f(1)h(=)f Fx(h)p Ft(x;)17 b Fz(1)3168 5118 y Fp(K)3214 5099 y Fn(G)d Fx(i)33 b Fz(for)g(all)0 5216 y Ft(x)28 b Fx(2)g Ft(G)p Fz(.)44 b(The)33 b(an)m(tip)s(o)s(de)f(of)g Ft(f)38 b Fx(2)28 b Fu(K)1292 5179 y Fq(G)1390 5216 y Fz(is)k(giv)m(en)g(b)m(y)i Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)h Fx(h)p Ft(x;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(i)26 b Fz(=)i Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)3001 5179 y Fr(\000)p Fl(1)3095 5216 y Fz(\).)p eop %%Page: 116 119 116 118 bop 0 251 a Fw(116)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 450 y Fz(The)35 b(elemen)m(ts)e(of)g(the)h(dual)f(basis)g 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Fq(y)r(;z)2817 2258 y Ft(\016)2860 2275 y Fq(y)2897 2256 y Fk(\000)p Fo(1)2980 2275 y Fq(x;u)597 2381 y Fz(=)700 2307 y Fj(P)805 2410 y Fq(y)r Fr(2)p Fq(G)949 2381 y Fx(h)p Ft(z)t(;)17 b(y)1133 2345 y Fr(\003)1171 2381 y Fx(ih)p Ft(u;)g Fz(\()p Ft(y)1439 2345 y Fr(\000)p Fl(1)1532 2381 y Ft(x)p Fz(\))1625 2345 y Fr(\003)1664 2381 y Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(z)g Fx(\012)c Ft(u;)2145 2307 y Fj(P)2249 2410 y Fq(y)r Fr(2)p Fq(G)2409 2381 y Ft(y)2461 2345 y Fr(\003)2522 2381 y Fx(\012)f Fz(\()p Ft(y)2711 2345 y Fr(\000)p Fl(1)2805 2381 y Ft(x)p Fz(\))2898 2345 y Fr(\003)2938 2381 y Fx(i)p Ft(:)149 2545 y Fz(Let)38 b Ft(a)d Fx(2)g Fu(K)18 b Ft(G)p Fz(.)62 b(Then)38 b Ft(a)f Fz(de\014nes)i(a)d(map)e Fj(e)-53 b Ft(a)35 b Fz(:)h Ft(G)e Fx(\000)-59 b(!)35 b Fu(K)58 b Fx(2)35 b Fu(K)2430 2509 y Fq(G)2532 2545 y Fz(b)m(y)j Ft(a)d Fz(=)2869 2471 y Fj(P)2974 2574 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)3134 2545 y Fj(e)-53 b Ft(a)q Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(x)p Fz(.)57 b(F)-8 b(or)0 2668 y(arbitrary)32 b Ft(f)38 b Fx(2)28 b Fu(K)667 2632 y Fq(G)764 2668 y Fz(and)33 b Ft(a)28 b Fx(2)g Fu(K)17 b Ft(G)39 b Fz(this)32 b(giv)m(es)1007 2853 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)26 b Fz(=)i Ft(f)11 b Fz(\()1466 2759 y Fj(X)1467 2970 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)1624 2853 y Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(x)p Fz(\))29 b(=)2033 2759 y Fj(X)2034 2970 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)2192 2853 y Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(:)149 3126 y Fz(The)34 b(counit)e(of)g Fu(K)831 3090 y Fq(G)928 3126 y Fz(is)g(giv)m(en)h(b)m (y)h Ft(")p Fz(\()p Ft(x)1556 3090 y Fr(\003)1595 3126 y Fz(\))28 b(=)f Ft(\016)1807 3141 y Fq(x;e)1936 3126 y Fz(where)34 b Ft(e)28 b Fx(2)g Ft(G)k Fz(is)g(the)h(unit)f(elemen)m (t.)149 3243 y(The)i(an)m(tip)s(o)s(de)e(is,)g(as)h(ab)s(o)m(v)m(e,)g Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(x)1461 3207 y Fr(\003)1501 3243 y Fz(\))27 b(=)h(\()p Ft(x)1763 3207 y Fr(\000)p Fl(1)1858 3243 y Fz(\))1896 3207 y Fr(\003)1935 3243 y Fz(.)149 3359 y(W)-8 b(e)39 b(consider)g Ft(H)45 b Fz(=)37 b 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Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)28 b Fz(:=)g Fx(h)1747 4218 y Fj(R)1813 4298 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)2085 4204 y Fj(X)2086 4415 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)2246 4298 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(:)149 4551 y Fz(W)-8 b(e)46 b(ha)m(v)m(e)g(seen)g(that)f(there)h(is)e(a)h(decomp)s (osition)e(of)i(the)g(unit)f(1)49 b Fx(2)g Fu(K)2943 4515 y Fq(G)3053 4551 y Fz(in)m(to)44 b(a)h(set)g(of)0 4668 y(primitiv)m(e)36 b(orthogonal)h(idemp)s(oten)m(ts)h Fx(f)p Ft(x)1581 4631 y Fr(\003)1621 4668 y Fx(j)p Ft(x)f Fx(2)h Ft(G)p Fx(g)h Fz(suc)m(h)g(that)g(ev)m(ery)h(elemen)m(t)e Ft(f)49 b Fx(2)38 b Fu(K)3355 4631 y Fq(G)3459 4668 y Fz(has)0 4784 y(a)i(unique)h(represen)m(tation)g Ft(f)52 b Fz(=)1276 4709 y Fj(P)1397 4784 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(x)1642 4748 y Fr(\003)1682 4784 y Fz(.)67 b(Since)2039 4704 y Fj(R)2122 4784 y Ft(y)2174 4748 y Fr(\003)2253 4784 y Fz(=)2370 4709 y Fj(P)2476 4813 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)2621 4784 y Fx(h)p Ft(x;)17 b(y)2811 4748 y Fr(\003)2850 4784 y Fx(i)40 b Fz(w)m(e)h(get)3251 4704 y Fj(R)3334 4784 y Ft(f)11 b(y)3445 4748 y Fr(\003)3524 4784 y Fz(=)0 4825 y Fj(P)105 4929 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)251 4900 y Fx(h)p Ft(x;)17 b(f)11 b(y)500 4864 y Fr(\003)538 4900 y Fx(i)28 b Fz(=)708 4825 y Fj(P)830 4900 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(y)1072 4864 y Fr(\003)1111 4900 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))31 b(hence)1219 5130 y Ft(f)39 b Fz(=)1409 5035 y Fj(X)1553 5130 y Fz(\()1591 4994 y Fj(Z)1707 5130 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(y)1949 5089 y Fr(\003)1988 5130 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)p Fz(\))p Ft(y)2315 5089 y Fr(\003)2354 5130 y Ft(:)p eop %%Page: 117 120 117 119 bop 934 251 a Fw(1.)35 b(INTEGRALS)e(AND)f(F)n(OURIER)f(TRANSF) n(ORMS)818 b(117)149 450 y Fv(Problem)35 b(4.1.30.)42 b Fz(Describ)s(e)32 b(the)g(group)g(v)-5 b(alued)31 b(functor)h Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)2881 414 y Fq(G)2946 450 y Ft(;)h Fx(\000)p Fz(\))32 b(in)g(terms)f(of)0 566 y(sets)j(and)e(their)g(group)h(structure.)149 715 y Fv(De\014nition)i(and)h(Remark)f(4.1.11.)41 b Fz(Let)31 b Fu(K)54 b Fz(b)s(e)31 b(an)g(algebraicly)d(closed)j(\014eld)g(and)g (let)f Ft(G)0 831 y Fz(b)s(e)38 b(a)g(\014nite)g(ab)s(elian)e(group)h (\(replacing)g Fu(R)49 b Fz(ab)s(o)m(v)m(e\).)60 b(Assume)39 b(that)f(the)g(c)m(haracteristic)g(of)g Fu(K)0 948 y Fz(do)s(es)c(not)g(divide)f(the)h(order)g(of)g Ft(G)p Fz(.)47 b(Let)34 b Ft(H)j Fz(=)30 b Fu(K)1847 912 y Fq(G)1912 948 y Fz(.)47 b(W)-8 b(e)35 b(iden)m(tify)e Fu(K)2583 912 y Fq(G)2678 948 y Fz(=)d(Hom)o(\()p Fu(K)18 b Ft(G;)f Fu(K)23 b Fz(\))39 b(along)0 1064 y(the)33 b(linear)e(expansion)i(of)f (maps)g(as)h(in)f(Example)g(2.1.10.)149 1186 y(Let)i(us)g(consider)f (the)h(set)1175 1161 y(^)1152 1186 y Ft(G)29 b Fz(:=)g Fx(f)p Ft(\037)f Fz(:)h Ft(G)g Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)1908 1150 y Fr(\003)1953 1186 y Fx(j)p Ft(\037)k Fz(group)h(homomorphism)m Fx(g)p Fz(.)45 b(Since)33 b Fu(K)3456 1150 y Fr(\003)3534 1186 y Fz(is)0 1314 y(an)f(ab)s(elian)f(group,)i(the)g(set)1120 1288 y(^)1098 1314 y Ft(G)f Fz(is)h(an)f(ab)s(elian)f(group)h(b)m(y)i (p)s(oin)m(t)m(wise)e(m)m(ultiplication.)149 1436 y(The)i(group)649 1410 y(^)626 1436 y Ft(G)f Fz(is)f(called)f(the)i Fs(char)-5 b(acter)35 b(gr)-5 b(oup)32 b Fz(of)g Ft(G)p Fz(.)149 1552 y(Ob)m(viously)38 b(the)h(c)m(haracter)g(group)f(is)f(a)h(m)m (ultiplicativ)m(e)d(subset)k(of)f Fu(K)2803 1516 y Fq(G)2905 1552 y Fz(=)f(Hom)o(\()p Fu(K)18 b Ft(G;)f Fu(K)23 b Fz(\).)0 1679 y(Actually)h(it)h(is)g(a)g(subgroup)h(of)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Ft(G;)f Fu(K)23 b Fz(\))34 b Fx(\022)28 b Fz(Hom)o(\()p Fu(K)17 b Ft(G;)g Fu(K)23 b Fz(\))32 b(since)26 b(the)f(elemen)m(ts)h Ft(\037)i Fx(2)3545 1654 y Fz(^)3523 1679 y Ft(G)0 1796 y Fz(expand)46 b(to)f(algebra)e(homomorphisms:)66 b Ft(\037)p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))49 b(=)g Ft(\037)p Fz(\()2128 1721 y Fj(P)2250 1796 y Ft(\013)2312 1811 y Fq(x)2355 1796 y Ft(x)2427 1721 y Fj(P)2549 1796 y Ft(\014)2604 1811 y Fq(y)2646 1796 y Ft(y)t Fz(\))e(=)2908 1721 y Fj(P)3030 1796 y Ft(\013)3092 1811 y Fq(x)3136 1796 y Ft(\014)3191 1811 y Fq(y)3232 1796 y Ft(\037)p Fz(\()p Ft(xy)t Fz(\))h(=)0 1912 y Ft(\037)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\037)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))59 b(and)f Ft(\037)p Fz(\(1\))71 b(=)g Ft(\037)p Fz(\()p Ft(e)p Fz(\))h(=)f(1.)120 b(Con)m(v)m(ersely)61 b(an)d(algebra)f(homomorphism)f Ft(f)82 b Fx(2)0 2039 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)i Ft(G;)f Fu(K)23 b Fz(\))36 b(restricts)30 b(to)f(a)h(c)m (haracter)h Ft(f)38 b Fz(:)28 b Ft(G)f Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)2161 2003 y Fr(\003)2206 2039 y Fz(.)43 b(Th)m(us)2542 2014 y(^)2520 2039 y Ft(G)28 b Fz(=)f Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Fu(K)h Ft(G;)g Fu(K)23 b Fz(\),)37 b(the)0 2156 y(set)c(of)f(rational)e(p)s(oin)m(ts)j(of)f (the)h(a\016ne)g(algebraic)e(group)h(represen)m(ted)j(b)m(y)f Fu(K)17 b Ft(G)p Fz(.)149 2305 y(There)34 b(is)e(a)h(more)f(general)g (observ)-5 b(ation)32 b(b)s(ehind)g(this)g(remark.)149 2454 y Fv(Lemma)c(4.1.12.)36 b Fs(L)-5 b(et)28 b Ft(H)35 b Fs(b)-5 b(e)28 b(a)f(\014nite)g(dimensional)f(Hopf)h(algebr)-5 b(a.)42 b(Then)26 b(the)i(set)g(Gr)p Fz(\()p Ft(H)3523 2417 y Fr(\003)3562 2454 y Fz(\))0 2570 y Fs(of)35 b(gr)-5 b(ouplike)34 b(elements)g(of)g Ft(H)1131 2534 y Fr(\003)1205 2570 y Fs(is)h(e)-5 b(qual)34 b(to)h Fu(K)18 b Fs(-)6 b Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\))p Fs(.)149 2766 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(In)h(fact)f Ft(f)55 b Fz(:)44 b Ft(H)52 b Fx(\000)-60 b(!)44 b Fu(K)66 b Fz(is)41 b(an)i(algebra)e(homomorphism)e(i\013)i Fx(h)p Ft(f)e Fx(\012)30 b Ft(f)5 b(;)17 b(a)29 b Fx(\012)g Ft(b)p Fx(i)44 b Fz(=)0 2882 y Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(a)p Fx(ih)p Ft(f)5 b(;)17 b(b)p Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(ab)p Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Fz(\001\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(a)22 b Fx(\012)h Ft(b)p Fx(i)32 b Fz(and)h(1)27 b(=)h Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b Fz(1)p Fx(i)27 b Fz(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\).)1036 b Fh(\003)149 3090 y Fz(Hence)34 b(there)g(is)e(a)g(Hopf)g(algebra)g(homomorphism)e Ft(')d Fz(:)h Fu(K)2383 3065 y Fz(^)2355 3090 y Ft(G)33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)2681 3054 y Fq(G)2779 3090 y Fz(b)m(y)33 b(2.1.5.)149 3245 y Fv(Prop)s(osition)41 b(4.1.13.)j Fs(The)38 b(Hopf)h(algebr)-5 b(a)38 b(homomorphism)f Ft(')e Fz(:)g Fu(K)2848 3219 y Fz(^)2819 3245 y Ft(G)41 b Fx(\000)-57 b(!)35 b Fu(K)3163 3208 y Fq(G)3267 3245 y Fs(is)k(bije)-5 b(c-)0 3361 y(tive.)149 3557 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(giv)m(e)g(the)g(pro)s(of)f(b)m(y)h(sev)m(eral)g (lemmas.)149 3753 y Fv(Lemma)47 b(4.1.14.)f Fs(A)n(ny)d(set)f(of)g(gr) -5 b(ouplike)42 b(elements)f(in)h(a)h(Hopf)f(algebr)-5 b(a)41 b Ft(H)50 b Fs(is)42 b(line)-5 b(arly)0 3870 y(indep)g(endent.) 149 4066 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Assume)47 b(there)f(is)e(a)h(linearly)f (dep)s(enden)m(t)j(set)f Fx(f)p Ft(x)2492 4081 y Fl(0)2531 4066 y Ft(;)17 b(x)2630 4081 y Fl(1)2670 4066 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h (x)2944 4081 y Fq(n)2991 4066 y Fx(g)45 b Fz(of)g(grouplik)m(e)0 4182 y(elemen)m(ts)28 b(in)e Ft(H)8 b Fz(.)41 b(Cho)s(ose)28 b(suc)m(h)h(a)e(set)h(with)f Ft(n)h Fz(minimal.)37 b(Ob)m(viously)28 b Ft(n)f Fx(\025)i Fz(1)e(since)g(all)f(elemen)m(ts)0 4298 y(are)33 b(non)f(zero.)44 b(Th)m(us)34 b Ft(x)898 4313 y Fl(0)966 4298 y Fz(=)1069 4224 y Fj(P)1175 4250 y Fq(n)1175 4327 y(i)p Fl(=1)1309 4298 y Ft(\013)1371 4313 y Fq(i)1400 4298 y Ft(x)1455 4313 y Fq(i)1516 4298 y Fz(and)f Fx(f)p Ft(x)1811 4313 y Fl(1)1850 4298 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2124 4313 y Fq(n)2171 4298 y Fx(g)32 b Fz(linearly)f(indep)s(enden)m(t.)45 b(W)-8 b(e)33 b(get)715 4411 y Fj(X)749 4621 y Fq(i;j)875 4506 y Ft(\013)937 4521 y Fq(i)965 4506 y Ft(\013)1027 4521 y Fq(j)1064 4506 y Ft(x)1119 4521 y Fq(i)1170 4506 y Fx(\012)22 b Ft(x)1324 4521 y Fq(j)1389 4506 y Fz(=)28 b Ft(x)1548 4521 y Fl(0)1610 4506 y Fx(\012)22 b Ft(x)1764 4521 y Fl(0)1832 4506 y Fz(=)27 b(\001\()p Ft(x)2109 4521 y Fl(0)2149 4506 y Fz(\))h(=)2319 4411 y Fj(X)2378 4621 y Fq(i)2479 4506 y Ft(\013)2541 4521 y Fq(i)2569 4506 y Ft(x)2624 4521 y Fq(i)2675 4506 y Fx(\012)23 b Ft(x)2830 4521 y Fq(i)2858 4506 y Ft(:)0 4787 y Fz(Since)32 b(all)e Ft(\013)451 4802 y Fq(i)507 4787 y Fx(6)p Fz(=)d(0)32 b(and)g(the)g Ft(x)1102 4802 y Fq(i)1151 4787 y Fx(\012)21 b Ft(x)1304 4802 y Fq(j)1373 4787 y Fz(are)32 b(linearly)e(indep)s (enden)m(t)j(w)m(e)g(get)f Ft(n)27 b Fz(=)h(1)k(and)f Ft(\013)3261 4802 y Fl(1)3329 4787 y Fz(=)c(1)32 b(so)0 4903 y(that)g Ft(x)266 4918 y Fl(0)334 4903 y Fz(=)27 b Ft(x)492 4918 y Fl(1)532 4903 y Fz(,)33 b(a)f(con)m(tradiction.)2261 b Fh(\003)149 5099 y Fv(Corollary)39 b(4.1.15.)44 b Fs(\(De)-5 b(dekind's)35 b(L)-5 b(emma\))37 b(A)n(ny)g(set)g(of)h(char)-5 b(acters)36 b(in)h Fu(K)3078 5063 y Fq(G)3180 5099 y Fs(is)g(line)-5 b(arly)0 5216 y(indep)g(endent.)p eop %%Page: 118 121 118 120 bop 0 251 a Fw(118)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 461 y Fz(Th)m(us)39 b Ft(')34 b Fz(:)g Fu(K)660 436 y Fz(^)632 461 y Ft(G)40 b Fx(\000)-59 b(!)34 b Fu(K)972 425 y Fq(G)1074 461 y Fz(is)i(injectiv)m(e.)55 b(No)m(w)37 b(w)m(e)h(pro)m(v)m(e)f(that)g(the)g(map)e Ft(')g Fz(:)f Fu(K)3121 436 y Fz(^)3093 461 y Ft(G)40 b Fx(\000)-60 b(!)34 b Fu(K)3433 425 y Fq(G)3534 461 y Fz(is)0 578 y(surjectiv)m(e.)149 777 y Fv(Lemma)50 b(4.1.16.)d Fs(\(Pontryagin)d (duality\))h(The)f(evaluation)2558 752 y Fz(^)2536 777 y Ft(G)29 b Fx(\002)g Ft(G)46 b Fx(\000)-57 b(!)45 b Fu(K)3107 741 y Fr(\003)3197 777 y Fs(is)f(a)h(non-)0 893 y(de)-5 b(gener)g(ate)34 b(biline)-5 b(ar)34 b(map)g(of)h(ab)-5 b(elian)33 b(gr)-5 b(oups.)149 1087 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)c(w)m(e)i(observ)m(e)g(that)f(Hom)o(\()p Ft(C)1810 1102 y Fq(n)1857 1087 y Ft(;)17 b Fu(K)1972 1050 y Fr(\003)2017 1087 y Fz(\))2093 1059 y Fx(\030)2094 1091 y Fz(=)2209 1087 y Ft(C)2279 1102 y Fq(n)2364 1087 y Fz(for)38 b(a)h(cyclic)f (group)h(of)f(order)h Ft(n)0 1203 y Fz(since)33 b Fu(K)56 b Fz(has)33 b(a)f(primitiv)m(e)f Ft(n)p Fz(-th)h(ro)s(ot)g(of)g(unit)m (y)g(\(c)m(har\()p Fu(K)18 b Fz(\))p Fx(6)n(\000)39 b(j)p Ft(G)p Fx(j)p Fz(\).)149 1319 y(Since)30 b(the)g(direct)f(pro)s(duct)g (and)h(the)g(direct)f(sum)g(coincide)g(in)f Fx(A)p Fs(b)45 b Fz(w)m(e)31 b(can)e(use)i(the)e(funda-)0 1435 y(men)m(tal)f(theorem)h (for)g(\014nite)g(ab)s(elian)e(groups)i Ft(G)1838 1408 y Fx(\030)1839 1439 y Fz(=)1943 1435 y Ft(C)2013 1450 y Fq(n)2056 1459 y Fo(1)2110 1435 y Fx(\002)15 b Ft(:)i(:)g(:)e Fx(\002)g Ft(C)2494 1450 y Fq(n)2537 1458 y Fn(t)2599 1435 y Fz(to)28 b(get)i(Hom)o(\()p Ft(G;)17 b Fu(K)3307 1399 y Fr(\003)3352 1435 y Fz(\))3418 1408 y Fx(\030)3419 1439 y Fz(=)3523 1435 y Ft(G)0 1589 y Fz(for)33 b(an)m(y)h(ab)s(elian)e (group)i Ft(G)f Fz(with)g(c)m(har\()p Fu(K)18 b Fz(\))p Fx(6)n(\000)39 b(j)p Ft(G)p Fx(j)p Fz(.)46 b(Th)m(us)2205 1564 y(^)2183 1589 y Ft(G)2289 1561 y Fx(\030)2290 1593 y Fz(=)2396 1589 y Ft(G)34 b Fz(and)2720 1538 y(^)2720 1564 y(^)2698 1589 y Ft(G)29 b Fz(=)g Ft(G)p Fz(.)47 b(In)34 b(particular)0 1705 y Ft(\037)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))f(=)g(1)i(for)g(all)e Ft(x)g Fx(2)g Ft(G)j Fz(i\013)e Ft(\037)f Fz(=)g(1.)52 b(By)36 b(the)g(symmetry)f(of)g(the)h(situation) e(w)m(e)j(get)e(that)h(the)0 1833 y(bilinear)30 b(form)i Fx(h)p Ft(:;)17 b(:)p Fx(i)27 b Fz(:)863 1808 y(^)840 1833 y Ft(G)c Fx(\002)f Ft(G)28 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Fu(K)1360 1797 y Fr(\003)1438 1833 y Fz(is)32 b(non-degenerate.)1316 b Fh(\003)149 2038 y Fz(Th)m(us)35 b Fx(j)446 2013 y Fz(^)425 2038 y Ft(G)o Fx(j)28 b Fz(=)f Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)32 b Fz(hence)i(dim)n(\()p Fu(K)1396 2013 y Fz(^)1368 2038 y Ft(G)6 b Fz(\))27 b(=)h(dim)o(\()p Fu(K)1892 2002 y Fq(G)1957 2038 y Fz(\).)44 b(This)32 b(pro)m(v)m(es)j(Prop)s(osition) 30 b(2.1.13.)132 b Fh(\003)149 2231 y Fv(De\014nition)48 b(4.1.17.)e Fz(Let)d Ft(H)49 b Fz(b)s(e)43 b(a)f(Hopf)g(algebra.)71 b(A)42 b Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dule)46 b Ft(M)53 b Fz(that)42 b(is)g(a)g(righ)m(t)0 2347 y Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dule)27 b(b)m(y)k Ft(\032)d Fz(:)f Ft(M)g Fx(\012)16 b Ft(H)36 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)40 b Fz(and)30 b(a)f(righ)m(t)g Ft(H)8 b Fz(-como)s(dule)27 b(b)m(y)k Ft(\016)h Fz(:)27 b Ft(M)39 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)g Fx(\012)16 b Ft(H)38 b Fz(is)29 b(called)0 2464 y(a)j Fs(Hopf)j(mo)-5 b(dule)32 b Fz(if)f(the)i(diagram)1155 2649 y Ft(M)g Fx(\012)23 b Ft(H)293 b(H)p 1499 2620 229 4 v 1645 2618 a Fm(-)1595 2586 y Fq(\032)2130 2649 y Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(H)p 1873 2620 V 2019 2618 a Fm(-)1970 2600 y Fq(\016)945 3038 y Ft(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Ft(H)247 b(M)33 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Ft(H)p 1709 3011 182 4 v 1808 3009 a Fm(-)1690 2983 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(\034)8 b Fr(\012)p Fl(1)p 1311 2940 4 254 v 1313 2940 a Fm(?)1126 2833 y Fq(\016)r Fr(\012)p Fl(\001)p 2286 2940 V 2287 2770 a Fm(6)2326 2830 y Fq(\032)p Fr(\012r)0 3193 y Fz(comm)m(utes,)32 b(i.e.)42 b(if)30 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(mh)p Fz(\))e(=)1136 3118 y Fj(P)1258 3193 y Ft(m)1343 3208 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1477 3193 y Ft(h)1533 3208 y Fl(\(1\))1647 3193 y Fx(\012)20 b Ft(m)1829 3208 y Fl(\(1\))1923 3193 y Ft(h)1979 3208 y Fl(\(2\))2105 3193 y Fz(holds)31 b(for)g(all)e Ft(h)f Fx(2)g Ft(H)38 b Fz(and)32 b(all)d Ft(m)f Fx(2)g Ft(M)10 b Fz(.)149 3340 y(Observ)m(e)40 b(that)d Ft(H)44 b Fz(is)37 b(an)g(Hopf)g(mo)s (dule)f(o)m(v)m(er)i(itself.)56 b(F)-8 b(urthermore)37 b(eac)m(h)h(mo)s(dule)e(of)h(the)0 3457 y(form)g Ft(V)48 b Fx(\012)26 b Ft(H)46 b Fz(is)38 b(a)g(Hopf)h(mo)s(dule)e(b)m(y)i(the) g(induced)g(structure.)62 b(More)39 b(generally)e(there)i(is)f(a)0 3573 y(functor)33 b Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)44 b Fx(3)28 b Ft(V)49 b Fx(7!)28 b Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(H)35 b Fx(2)28 b Fv(Hopf-Mo)s(d)r Fz(-)o Ft(H)8 b Fz(.)149 3721 y Fv(Prop)s(osition)35 b(4.1.18.)41 b Fs(The)33 b(two)h(functors)f(-) 1904 3684 y Fq(coH)2064 3721 y Fz(:)28 b Fv(Hopf-Mo)s(d)q Fs(-)p Ft(H)35 b Fx(\000)-57 b(!)27 b(V)n Fs(e)-5 b(c)51 b(and)33 b(-)19 b Fx(\012)i Ft(H)35 b Fz(:)0 3837 y Fx(V)n Fs(e)-5 b(c)44 b Fx(3)28 b Ft(V)50 b Fx(7!)27 b Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(H)35 b Fx(2)28 b Fv(Hopf-Mo)s(d)r Fs(-)p Ft(H)42 b Fs(ar)-5 b(e)35 b(inverse)f(e)-5 b(quivalenc)g(es)33 b(of)i(e)-5 b(ach)34 b(other.)149 4030 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(De\014ne)34 b(natural)d(isomorphisms)1050 4210 y Ft(\013)d Fz(:)g Ft(M)1299 4168 y Fq(coH)1454 4210 y Fx(\012)23 b Ft(H)35 b Fx(3)28 b Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(h)28 b Fx(7!)f Ft(mh)h Fx(2)g Ft(M)0 4389 y Fz(with)k(in)m(v)m(erse) i(map)661 4584 y Ft(\013)724 4543 y Fr(\000)p Fl(1)846 4584 y Fz(:)28 b Ft(M)38 b Fx(3)28 b Ft(m)g Fx(7!)1368 4490 y Fj(X)1528 4584 y Ft(m)1613 4600 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1747 4584 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)1936 4600 y Fl(\(1\))2031 4584 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(m)2275 4600 y Fl(\(2\))2398 4584 y Fx(2)28 b Ft(M)2596 4543 y Fq(coH)2751 4584 y Fx(\012)22 b Ft(H)0 4779 y Fz(and)1106 4918 y Ft(\014)33 b Fz(:)28 b Ft(V)49 b Fx(3)28 b Ft(v)j Fx(7!)d Ft(v)e Fx(\012)c Fz(1)28 b Fx(2)g Fz(\()p Ft(V)43 b Fx(\012)23 b Ft(H)8 b Fz(\))2363 4877 y Fq(coH)0 5077 y Fz(with)32 b(in)m(v)m(erse)i(map)1079 5216 y(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(H)8 b Fz(\))1444 5174 y Fq(coH)1604 5216 y Fx(3)28 b Ft(v)d Fx(\012)e Ft(h)28 b Fx(7!)f Ft(v)t(")p Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))g Fx(2)h Ft(V)5 b(:)p eop %%Page: 119 122 119 121 bop 934 251 a Fw(1.)35 b(INTEGRALS)e(AND)f(F)n(OURIER)f(TRANSF) n(ORMS)818 b(119)149 450 y Fz(Ob)m(viously)36 b(these)h(homomorphisms)d (are)h(natural)g(transformations)f(in)h Ft(M)46 b Fz(and)36 b Ft(V)22 b Fz(.)53 b(F)-8 b(ur-)0 566 y(thermore)32 b Ft(\013)h Fz(is)g(a)f(homomorphism)e(of)i Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dules.)41 b Ft(\013)2096 530 y Fr(\000)p Fl(1)2223 566 y Fz(is)32 b(w)m(ell-de\014ned)h(since)682 720 y Ft(\016)t Fz(\()767 646 y Fj(P)888 720 y Ft(m)973 736 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1108 720 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)p Fz(\(1\))o(\)\))33 b(=)1633 646 y Fj(P)1755 720 y Ft(m)1840 736 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1974 720 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)2163 736 y Fl(\(3\))2258 720 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(m)2502 736 y Fl(\(1\))2597 720 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(m)2786 736 y Fl(\(2\))2880 720 y Fz(\))1530 837 y(\(since)33 b Ft(M)43 b Fz(is)32 b(a)g(Hopf)h(mo)s(dule\))1530 953 y(=)1633 878 y Fj(P)1755 953 y Ft(m)1840 968 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1974 953 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)2163 968 y Fl(\(2\))2258 953 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(\021)t(")p Fz(\()p Ft(m)2638 968 y Fl(\(1\))2732 953 y Fz(\))1530 1069 y(=)1633 994 y Fj(P)1755 1069 y Ft(m)1840 1085 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1974 1069 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)2163 1085 y Fl(\(1\))2258 1069 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Fz(1)0 1239 y(hence)276 1164 y Fj(P)397 1239 y Ft(m)482 1255 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))617 1239 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)806 1255 y Fl(\(1\))900 1239 y Fz(\))35 b Fx(2)h Ft(M)1179 1203 y Fq(coH)1312 1239 y Fz(.)57 b(F)-8 b(urthermore)37 b Ft(\013)2029 1203 y Fr(\000)p Fl(1)2160 1239 y Fz(is)g(a)g (homomorphism)d(of)j(como)s(dules)0 1355 y(since)308 1490 y Ft(\016)t(\013)418 1454 y Fr(\000)p Fl(1)512 1490 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))c(=)27 b Ft(\016)t Fz(\()894 1415 y Fj(P)1016 1490 y Ft(m)1101 1506 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1235 1490 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)1424 1506 y Fl(\(1\))1518 1490 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(m)1763 1506 y Fl(\(2\))1858 1490 y Fz(\))k(=)2027 1415 y Fj(P)2149 1490 y Ft(m)2234 1506 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))2368 1490 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)2557 1506 y Fl(\(1\))2651 1490 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(m)2896 1506 y Fl(\(2\))3013 1490 y Fx(\012)f Ft(m)3197 1506 y Fl(\(3\))706 1606 y Fz(=)809 1532 y Fj(P)931 1606 y Ft(\013)994 1570 y Fr(\000)p Fl(1)1088 1606 y Fz(\()p Ft(m)1211 1622 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1345 1606 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(m)1590 1622 y Fl(\(1\))1712 1606 y Fz(=)28 b(\()p Ft(\013)1917 1570 y Fr(\000)p Fl(1)2033 1606 y Fx(\012)22 b Fz(1\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))p Ft(:)0 1774 y Fz(Finally)30 b Ft(\013)j Fz(and)g Ft(\013)680 1737 y Fr(\000)p Fl(1)806 1774 y Fz(are)g(in)m(v)m(erse)h(to)e(eac)m(h) i(other)e(b)m(y)359 1951 y Ft(\013)q(\013)485 1910 y Fr(\000)p Fl(1)579 1951 y Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))c(=)f Ft(\013)q Fz(\()972 1856 y Fj(X)1132 1951 y Ft(m)1217 1966 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1352 1951 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)1541 1966 y Fl(\(1\))1635 1951 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(m)1880 1966 y Fl(\(2\))1974 1951 y Fz(\))28 b(=)2144 1856 y Fj(X)2304 1951 y Ft(m)2389 1966 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))2523 1951 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)2712 1966 y Fl(\(1\))2807 1951 y Fz(\))p Ft(m)2930 1966 y Fl(\(2\))3052 1951 y Fz(=)27 b Ft(m)0 2128 y Fz(and)329 2263 y Ft(\013)392 2227 y Fr(\000)p Fl(1)486 2263 y Ft(\013)q Fz(\()p Ft(m)22 b Fx(\012)g Ft(h)p Fz(\))33 b(=)28 b Ft(\013)1087 2227 y Fr(\000)p Fl(1)1181 2263 y Fz(\()p Ft(mh)p Fz(\))g(=)1529 2188 y Fj(P)1651 2263 y Ft(m)1736 2279 y Fl(\()p Fq(M)7 b Fl(\))1870 2263 y Ft(h)1926 2279 y Fl(\(1\))2021 2263 y Ft(S)f Fz(\()p Ft(m)2210 2279 y Fl(\(1\))2304 2263 y Ft(h)2360 2279 y Fl(\(2\))2454 2263 y Fz(\))23 b Fx(\012)f Ft(m)2699 2279 y Fl(\(2\))2794 2263 y Ft(h)2850 2279 y Fl(\(3\))920 2379 y Fz(=)1024 2305 y Fj(P)1145 2379 y Ft(mh)1286 2395 y Fl(\(1\))1381 2379 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(h)1541 2395 y Fl(\(2\))1635 2379 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(h)1851 2395 y Fl(\(3\))1978 2379 y Fz(\()33 b(b)m(y)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(m)p Fz(\))28 b(=)f Ft(m)c Fx(\012)f Fz(1)33 b(\))27 b(=)h Ft(m)22 b Fx(\012)h Ft(h:)0 2547 y Fz(Th)m(us)34 b Ft(\013)f Fz(and)g Ft(\013)595 2510 y Fr(\000)p Fl(1)722 2547 y Fz(are)f(m)m(utually)f(in)m(v)m(erse)j (homomorphisms)c(of)i(Hopf)h(mo)s(dules.)149 2663 y(The)j(image)e(of)g Ft(\014)41 b Fz(is)34 b(in)g(\()p Ft(V)45 b Fx(\012)25 b Ft(H)8 b Fz(\))1431 2627 y Fq(coH)1597 2663 y Fz(b)m(y)36 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(v)27 b Fx(\012)e Fz(1\))31 b(=)h Ft(v)27 b Fx(\012)d Fz(\001\(1\))32 b(=)g(\()p Ft(v)27 b Fx(\012)d Fz(1\))g Fx(\012)g Fz(1.)51 b(Both)34 b Ft(\014)0 2779 y Fz(and)f Ft(\014)251 2743 y Fr(\000)p Fl(1)377 2779 y Fz(are)g Fu(K)17 b Fz(-linear)37 b(maps.)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)1070 2940 y Ft(\014)1131 2899 y Fr(\000)p Fl(1)1225 2940 y Ft(\014)6 b Fz(\()p Ft(v)t Fz(\))27 b(=)h Ft(\014)1605 2899 y Fr(\000)p Fl(1)1698 2940 y Fz(\()p Ft(v)e Fx(\012)d Fz(1\))k(=)h Ft(v)t(")p Fz(\(1\))f(=)g Ft(v)0 3102 y Fz(and)232 3237 y Ft(\014)6 b(\014)354 3200 y Fr(\000)p Fl(1)447 3237 y Fz(\()485 3162 y Fj(P)607 3237 y Ft(v)654 3252 y Fq(i)704 3237 y Fx(\012)23 b Ft(h)860 3252 y Fq(i)888 3237 y Fz(\))28 b(=)g Ft(\014)6 b Fz(\()1157 3162 y Fj(P)1278 3237 y Ft(v)1325 3252 y Fq(i)1353 3237 y Ft(")p Fz(\()p Ft(h)1493 3252 y Fq(i)1521 3237 y Fz(\)\))28 b(=)1728 3162 y Fj(P)1850 3237 y Ft(v)1897 3252 y Fq(i)1925 3237 y Ft(")p Fz(\()p Ft(h)2065 3252 y Fq(i)2093 3237 y Fz(\))22 b Fx(\012)h Fz(1)k(=)2433 3162 y Fj(P)2555 3237 y Ft(v)2602 3252 y Fq(i)2652 3237 y Fx(\012)c Ft(")p Fz(\()p Ft(h)2892 3252 y Fq(i)2920 3237 y Fz(\)1)447 3353 y(=)551 3278 y Fj(P)673 3353 y Ft(v)720 3368 y Fq(i)770 3353 y Fx(\012)g Ft(")p Fz(\()p Ft(h)1010 3368 y Fq(i)p Fl(\(1\))1128 3353 y Fz(\))p Ft(h)1222 3368 y Fq(i)p Fl(\(2\))1373 3353 y Fz(\()32 b(since)1682 3278 y Fj(P)1804 3353 y Ft(v)1851 3368 y Fq(i)1901 3353 y Fx(\012)23 b Ft(h)2057 3368 y Fq(i)2113 3353 y Fx(2)28 b Fz(\()p Ft(V)44 b Fx(\012)22 b Ft(H)8 b Fz(\))2572 3317 y Fq(coH)2736 3353 y Fz(\))60 b(=)2938 3278 y Fj(P)3060 3353 y Ft(v)3107 3368 y Fq(i)3157 3353 y Fx(\012)23 b Ft(h)3313 3368 y Fq(i)3341 3353 y Ft(:)0 3520 y Fz(Th)m(us)34 b Ft(\014)k Fz(and)33 b Ft(\014)591 3484 y Fr(\000)p Fl(1)717 3520 y Fz(are)g(m)m(utually)e(in)m(v)m(erse)j (homomorphisms.)1184 b Fh(\003)149 3692 y Fz(Since)39 b Ft(H)499 3656 y Fr(\003)576 3692 y Fz(=)e(Hom\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))44 b(and)39 b Ft(S)k Fz(:)38 b Ft(H)45 b Fx(\000)-59 b(!)37 b Ft(H)46 b Fz(is)38 b(an)h(algebra)e(an)m (tihomomorphism,)g(the)0 3808 y(dual)32 b Ft(H)306 3772 y Fr(\003)377 3808 y Fz(is)g(an)h Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dule)30 b(in)i(four)g(di\013eren)m(t)h(w)m(a)m(ys:)0 4022 y(\(8\))633 3962 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)38 b(*)27 b(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)26 b Fz(:=)i Fx(h)p Ft(a;)17 b(g)t(f)11 b Fx(i)p Ft(;)238 b Fx(h)p Fz(\()p Ft(a)27 b(\()h(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)26 b Fz(:=)h Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b(g)t Fx(i)p Ft(;)633 4078 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)38 b(+)27 b(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)26 b Fz(:=)i Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(g)t Fx(i)p Ft(;)96 b Fx(h)p Fz(\()p Ft(a)27 b(\))h(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)26 b Fz(:=)h Fx(h)p Ft(a;)17 b(g)t(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)0 4241 y Fz(If)39 b Ft(H)47 b Fz(is)38 b(\014nite)h(dimensional)e(then)j Ft(H)1454 4205 y Fr(\003)1532 4241 y Fz(is)e(a)h(Hopf)g(algebra.)62 b(The)40 b(equalit)m(y)f Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)49 b(*)38 b(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)38 b Fz(=)0 4358 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(g)t(f)11 b Fx(i)26 b Fz(=)413 4283 y Fj(P)518 4358 y Fx(h)p Ft(a)608 4373 y Fl(\(1\))702 4358 y Ft(;)17 b(g)t Fx(ih)p Ft(a)926 4373 y Fl(\(2\))1019 4358 y Ft(;)g(f)11 b Fx(i)32 b Fz(implies)0 4548 y(\(9\))1111 b(\()p Ft(f)38 b(*)27 b(a)p Fz(\))h(=)1706 4453 y Fj(X)1866 4548 y Ft(a)1917 4563 y Fl(\(1\))2012 4548 y Fx(h)p Ft(a)2102 4563 y Fl(\(2\))2196 4548 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)p Ft(:)149 4725 y Fz(Analogously)32 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)0 4903 y(\(10\))1070 b(\()p Ft(a)28 b(\()f(f)11 b Fz(\))27 b(=)1714 4808 y Fj(X)1858 4903 y Fx(h)p Ft(a)1948 4918 y Fl(\(1\))2042 4903 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)p Ft(a)2235 4918 y Fl(\(2\))2329 4903 y Ft(:)149 5080 y Fv(Prop)s(osition)37 b(4.1.19.)43 b Fs(L)-5 b(et)37 b Ft(H)43 b Fs(b)-5 b(e)36 b(a)g(\014nite)g(dimensional)e(Hopf) i(algebr)-5 b(a.)47 b(Then)35 b Ft(H)3369 5044 y Fr(\003)3444 5080 y Fs(is)h(a)0 5196 y(right)f(Hopf)g(mo)-5 b(dule)34 b(over)g Ft(H)8 b Fs(.)p eop %%Page: 120 123 120 122 bop 0 251 a Fw(120)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Ft(H)623 414 y Fr(\003)698 450 y Fz(is)35 b(a)h(left)f Ft(H)1147 414 y Fr(\003)1185 450 y Fz(-mo)s(dule)f(b)m(y)j(left)e(m)m(ultiplication)c(hence)37 b(b)m(y)g(2.1.1)e(a)g(righ)m(t)g Ft(H)8 b Fz(-)0 566 y(como)s(dule)25 b(b)m(y)i Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))h(=)865 492 y Fj(P)970 595 y Fq(i)1015 566 y Ft(b)1056 530 y Fr(\003)1056 591 y Fq(i)1095 566 y Ft(a)10 b Fx(\012)g Ft(b)1284 581 y Fq(i)1313 566 y Fz(.)41 b(Let)27 b 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Ft(f)5 b(;)17 b(g)33 b Fx(2)d Ft(H)8 b Fz(.)47 b(W)-8 b(e)34 b(apply)0 1641 y Ft(H)89 1605 y Fr(\003)150 1641 y Fx(\012)23 b Ft(H)40 b Fz(to)32 b(its)g(dual)g Ft(H)d Fx(\012)23 b Ft(H)1142 1605 y Fr(\003)1214 1641 y Fz(and)32 b(get)86 1817 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)c(\))o(f)11 b Fz(\)\()p Ft(g)25 b Fx(\012)e Ft(b)p Fz(\))28 b(=)865 1742 y Fj(P)970 1817 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(a)f(\))h(f)11 b Fz(\))1348 1832 y Fl(\()p Fq(H)1438 1814 y Fk(\003)1474 1832 y Fl(\))1505 1817 y Ft(;)17 b(g)t Fx(ih)p Ft(b;)g Fz(\()p Ft(a)27 b(\))g(f)11 b Fz(\))2101 1832 y Fl(\(1\))2195 1817 y Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(b)p Fz(\()p Ft(a)g(\))f(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)347 1933 y Fz(=)451 1858 y Fj(P)556 1933 y Fx(h)p Ft(b;)g(g)727 1949 y Fl(\(1\))821 1933 y Fx(ih)p Fz(\()p Ft(a)27 b(\))h(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)1329 1949 y Fl(\(2\))1422 1933 y Fx(i)27 b Fz(=)1592 1858 y Fj(P)1697 1933 y Fx(h)p Ft(b;)17 b(g)1868 1949 y Fl(\(1\))1962 1933 y Fx(ih)p Ft(a;)g(g)2182 1949 y Fl(\(2\))2275 1933 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(i)347 2049 y Fz(=)451 1975 y Fj(P)556 2049 y Fx(h)p Ft(b;)17 b(g)727 2065 y Fl(\(1\))821 2049 y Ft(")p Fz(\()p Ft(f)953 2065 y Fl(\(2\))1047 2049 y Fz(\))p Fx(ih)p Ft(a;)g(g)1305 2065 y Fl(\(2\))1398 2049 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)1550 2065 y Fl(\(1\))1644 2049 y Fz(\))p Fx(i)28 b Fz(=)1852 1975 y Fj(P)1958 2049 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)2083 2065 y Fl(\(3\))2204 2049 y Ft(*)g(b)p Fz(\))p Ft(;)17 b(g)2500 2065 y Fl(\(1\))2594 2049 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)2746 2065 y Fl(\(2\))2840 2049 y Fz(\))p Fx(ih)p Ft(a;)17 b(g)3098 2065 y Fl(\(2\))3191 2049 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)3343 2065 y Fl(\(1\))3437 2049 y Fz(\))p Fx(i)347 2166 y Fz(=)451 2091 y Fj(P)556 2166 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)681 2181 y Fl(\(2\))803 2166 y Ft(*)27 b(b)p Fz(\))p Ft(a;)17 b(g)t(S)6 b Fz(\()p Ft(f)1305 2181 y Fl(\(1\))1399 2166 y Fz(\))p Fx(i)27 b Fz(=)1607 2091 y Fj(P)1712 2166 y Fx(h)p Fz(\(\()p Ft(f)1875 2181 y Fl(\(2\))1997 2166 y Ft(*)g(b)p Fz(\))p Ft(a)p Fz(\))h Ft(\))f(f)2491 2181 y Fl(\(1\))2586 2166 y Ft(;)17 b(g)t Fx(i)347 2282 y Fz(=)451 2207 y Fj(P)556 2282 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(a)684 2297 y Fl(\()p Fq(H)774 2278 y Fk(\003)810 2297 y Fl(\))842 2282 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)967 2297 y Fl(\(2\))1089 2282 y Ft(*)27 b(b)p Fz(\))p Ft(;)17 b(a)1388 2297 y Fl(\(1\))1483 2282 y Fx(i)p Fz(\))27 b Ft(\))g(f)1760 2297 y Fl(\(1\))1855 2282 y Ft(;)17 b(g)t Fx(i)347 2398 y Fz(=)451 2323 y Fj(P)556 2398 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(a)684 2414 y Fl(\()p Fq(H)774 2395 y Fk(\003)810 2414 y Fl(\))870 2398 y Ft(\))27 b(f)1043 2414 y Fl(\(1\))1137 2398 y Fz(\))p Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)1300 2414 y Fl(\(2\))1422 2398 y Ft(*)g(b)p Fz(\))p Ft(;)17 b(a)1721 2414 y Fl(\(1\))1816 2398 y Fx(i)p Ft(;)g(g)t Fx(i)26 b Fz(=)2119 2323 y Fj(P)2224 2398 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(a)2352 2414 y Fl(\()p Fq(H)2442 2395 y Fk(\003)2478 2414 y Fl(\))2537 2398 y Ft(\))i(f)2711 2414 y Fl(\(1\))2805 2398 y Fz(\))p Fx(h)p Ft(b;)17 b(a)3018 2414 y Fl(\(1\))3112 2398 y Ft(f)3160 2414 y Fl(\(2\))3255 2398 y Fx(i)p Ft(;)g(g)t Fx(i)0 2583 y Fz(hence)34 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)28 b(\))f(f)11 b Fz(\))27 b(=)788 2508 y Fj(P)893 2583 y Fz(\()p Ft(a)982 2599 y Fl(\()p Fq(H)1072 2580 y Fk(\003)1109 2599 y Fl(\))1168 2583 y Ft(\))g(f)1341 2599 y Fl(\(1\))1436 2583 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(a)1646 2599 y Fl(\(1\))1741 2583 y Ft(f)1789 2599 y Fl(\(2\))1883 2583 y Fz(.)1613 b Fh(\003)149 2781 y Fv(Theorem)32 b(4.1.20.)39 b Fs(L)-5 b(et)31 b Ft(H)38 b Fs(b)-5 b(e)30 b(a)h(\014nite)f(dimensional)f(Hopf) i(algebr)-5 b(a.)42 b(Then)30 b(the)h(antip)-5 b(o)g(de)0 2898 y Ft(S)39 b Fs(is)32 b(bije)-5 b(ctive,)32 b(the)h(sp)-5 b(ac)g(e)32 b(of)h(left)g(inte)-5 b(gr)g(als)32 b Fz(In)m(t)1804 2913 y Fq(l)1830 2898 y Fz(\()p Ft(H)1957 2861 y Fr(\003)1996 2898 y Fz(\))h Fs(has)f(dimension)f(1,)i(and)g(the)f(homomor-)0 3014 y(phism)909 3172 y Ft(H)j Fx(3)28 b Ft(f)39 b Fx(7!)27 b Fz(\()p Ft(f)38 b(*)1583 3092 y Fj(R)1649 3172 y Fz(\))28 b(=)1818 3078 y Fj(X)1979 3092 y(R)2026 3207 y Fl(\(1\))2120 3172 y Fx(h)2159 3092 y Fj(R)2206 3207 y Fl(\(2\))2300 3172 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b(3)h Ft(H)2652 3131 y Fr(\003)0 3363 y Fs(is)35 b(bije)-5 b(ctive)34 b(for)g(any)h Fz(0)28 b Fx(6)p Fz(=)1003 3282 y Fj(R)1097 3363 y Fx(2)g Fz(In)m(t)1316 3378 y Fq(l)1342 3363 y Fz(\()p Ft(H)1469 3326 y Fr(\003)1508 3363 y Fz(\))p Fs(.)149 3561 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(By)28 b(Prop)s(osition)d(2.1.19)h Ft(H)1566 3525 y Fr(\003)1632 3561 y Fz(is)g(a)g(righ)m(t)g(Hopf)h(mo)s(dule)e(o)m(v)m (er)j Ft(H)8 b Fz(.)41 b(By)28 b(Prop)s(osition)0 3677 y(2.1.18)33 b(there)h(is)e(an)i(isomorphism)c Ft(\013)g Fz(:)f(\()p Ft(H)1613 3641 y Fr(\003)1652 3677 y Fz(\))1690 3641 y Fq(coH)1844 3677 y Fx(\012)23 b Ft(H)37 b Fx(3)29 b Ft(a)23 b Fx(\012)g Ft(f)40 b Fx(7!)28 b Fz(\()p Ft(a)h(\))g(f)11 b Fz(\))28 b(=)h(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))28 b Ft(*)h(a)p Fz(\))g Fx(2)0 3793 y Ft(H)89 3757 y Fr(\003)128 3793 y Fz(.)43 b(Since)33 b(\()p Ft(H)580 3757 y Fr(\003)619 3793 y Fz(\))657 3757 y Fq(coH)817 3766 y Fx(\030)817 3798 y Fz(=)922 3793 y(In)m(t)1046 3808 y Fq(l)1072 3793 y Fz(\()p Ft(H)1199 3757 y Fr(\003)1238 3793 y Fz(\))g(b)m(y)g(2.1.9)f (w)m(e)i(get)1387 3977 y(In)m(t)1512 3992 y Fq(l)1538 3977 y Fz(\()p Ft(H)1665 3936 y Fr(\003)1704 3977 y Fz(\))22 b Fx(\012)g Ft(H)1980 3949 y Fx(\030)1980 3981 y Fz(=)2085 3977 y Ft(H)2174 3936 y Fr(\003)0 4160 y Fz(as)46 b(righ)m(t)f Ft(H)8 b Fz(-Hopf)44 b(mo)s(dules)h(b)m(y)h(the)g(giv)m(en)g(map.)82 b(This)46 b(sho)m(ws)h(dim)o(\(In)m(t)2895 4175 y Fq(l)2921 4160 y Fz(\()p Ft(H)3048 4124 y Fr(\003)3087 4160 y Fz(\)\))j(=)g(1.)82 b(So)0 4276 y(w)m(e)43 b(get)f(an)f(isomorphism)e Ft(H)51 b Fx(3)44 b Ft(f)54 b Fx(7!)43 b Fz(\()1573 4196 y Fj(R)1682 4276 y Ft(\))g(f)11 b Fz(\))43 b Fx(2)h Ft(H)2162 4240 y Fr(\003)2243 4276 y Fz(that)d(is)g(a)h(comp)s(osition)d(of)i Ft(S)48 b Fz(and)0 4395 y Ft(f)38 b Fx(7!)28 b Fz(\()p Ft(f)38 b(*)463 4315 y Fj(R)530 4395 y Fz(\).)43 b(Since)33 b Ft(H)40 b Fz(is)32 b(\014nite)g(dimensional)e(b)s(oth)j(of)f(these)i (maps)e(are)g(bijectiv)m(e.)234 b Fh(\003)149 4594 y Fz(If)33 b Ft(G)f Fz(is)g(a)g(\014nite)g(group)g(then)h(ev)m(ery)i (generalized)c(in)m(tegral)g Ft(a)d Fx(2)g Fu(K)18 b Ft(G)38 b Fz(can)33 b(b)s(e)f(written)g(with)0 4710 y(a)g(uniquely)h (determined)f Ft(g)f Fx(2)d Ft(H)36 b Fz(=)27 b Fu(K)1450 4674 y Fq(G)1547 4710 y Fz(as)0 4940 y(\(11\))698 b Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)1235 4804 y Fj(Z)1351 4940 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)27 b Fz(=)2101 4845 y Fj(X)2102 5057 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)2262 4940 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(x)2596 4899 y Fr(\000)p Fl(1)2690 4940 y Fz(\))0 5216 y(for)32 b(all)f Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(H)8 b Fz(.)p eop %%Page: 121 124 121 123 bop 934 251 a Fw(1.)35 b(INTEGRALS)e(AND)f(F)n(OURIER)f(TRANSF) n(ORMS)818 b(121)149 450 y Fz(If)29 b Ft(G)f Fz(is)h(a)f(\014nite)g(Ab) s(elian)f(group)i(then)g(eac)m(h)g(group)g(elemen)m(t)f(\(rational)e (in)m(tegral\))h Ft(y)k Fx(2)d Ft(G)g Fx(\022)0 566 y Fu(K)17 b Ft(G)39 b Fz(can)33 b(b)s(e)g(written)f(as)1302 687 y Ft(y)f Fz(=)1484 592 y Fj(X)1486 803 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)1646 592 y Fj(X)1645 821 y Fq(\037)p Fr(2)1752 804 y Fl(^)1736 821 y Fq(G)1807 687 y Ft(\014)1862 702 y Fq(\037)1910 687 y Fx(h)p Ft(x)2004 645 y Fr(\000)p Fl(1)2099 687 y Ft(;)17 b(\037)p Fx(i)p Ft(x)0 942 y Fz(since)304 1077 y Fx(h)p Ft(y)t(;)g(f)11 b Fx(i)30 b Fz(=)e Fx(h)p Fz(\()748 997 y Fj(R)842 1077 y Ft(\))967 1002 y Fj(P)1072 1106 y Fq(\037)p Fr(2)1179 1089 y Fl(^)1163 1106 y Fq(G)1239 1077 y Ft(\014)1294 1092 y Fq(\037)1342 1077 y Ft(\037)p Fz(\))p Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)1752 997 y Fj(R)1818 1077 y Ft(;)17 b(f)11 b(S)6 b Fz(\()2025 1002 y Fj(P)2130 1106 y Fq(\037)p Fr(2)2236 1089 y Fl(^)2221 1106 y Fq(G)2296 1077 y Ft(\014)2351 1092 y Fq(\037)2399 1077 y Ft(\037)p Fz(\))p Fx(i)567 1200 y Fz(=)671 1125 y Fj(P)776 1229 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)922 1200 y Fx(h)p Ft(x;)17 b(f)11 b Fx(i)1175 1125 y Fj(P)1279 1229 y Fq(\037)p Fr(2)1386 1212 y Fl(^)1370 1229 y Fq(G)1446 1200 y Ft(\014)1501 1215 y Fq(\037)1549 1200 y Fx(h)p Ft(x;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(\037)p Fz(\))p Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)2098 1125 y Fj(P)2203 1229 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)2366 1125 y Fj(P)2471 1229 y Fq(\037)p Fr(2)2577 1212 y Fl(^)2562 1229 y Fq(G)2637 1200 y Ft(\014)2692 1215 y Fq(\037)2741 1200 y Fx(h)p Ft(x)2835 1164 y Fr(\000)p Fl(1)2929 1200 y Ft(;)17 b(\037)p Fx(i)p Ft(x;)g(f)11 b Fx(i)p Ft(:)0 1374 y Fz(In)33 b(particular)e(the) i(matrix)e(\()p Fx(h)p Ft(x)1189 1338 y Fr(\000)p Fl(1)1283 1374 y Ft(;)17 b(\037)p Fx(i)p Fz(\))32 b(is)g(in)m(v)m(ertible.)149 1490 y(Let)i Ft(H)41 b Fz(b)s(e)33 b(\014nite)g(dimensional.)43 b(Since)34 b Fx(h)1702 1410 y Fj(R)1768 1490 y Ft(;)17 b(f)11 b(g)t Fx(i)27 b Fz(=)i Fx(h)p Fz(\()2170 1410 y Fj(R)2265 1490 y Ft(\()f(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)32 b Fz(as)h(a)g(functional)f(on)h Ft(g)j Fz(is)0 1606 y(a)c(generalized)g(in)m(tegral,)f(there)j(is)e(a)g(unique)h Ft(\027)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))28 b Fx(2)g Ft(H)40 b Fz(suc)m(h)34 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b(a)m(y)m(ama)32 b(automorphism)p Fs(.)149 2867 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(It)54 b(is)e(clear)h(that)g Ft(\027)59 b Fz(is)53 b(a)f(linear)g(map.)104 b(W)-8 b(e)53 b(ha)m(v)m(e)2634 2786 y Fj(R)2717 2867 y Ft(f)11 b(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t(h)p Fz(\))62 b(=)3213 2786 y Fj(R)3296 2867 y Ft(g)t(hf)73 b Fz(=)0 2905 y Fj(R)83 2986 y Ft(hf)11 b(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))30 b(=)516 2905 y Fj(R)599 2986 y Ft(f)11 b(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(\027)g Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))34 b(hence)i Ft(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t(h)p Fz(\))31 b(=)g Ft(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(\027)g Fz(\()p Ft(h)p Fz(\))34 b(and)2300 2905 y Fj(R)2383 2986 y Ft(f)11 b(\027)6 b Fz(\(1\))31 b(=)2758 2905 y Fj(R)2841 2986 y Ft(f)46 b Fz(hence)35 b Ft(\027)6 b Fz(\(1\))31 b(=)g(1.)0 3105 y(F)-8 b(urthermore)34 b(if)f Ft(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))31 b(=)g(0)j(then)h(0)c(=)g Fx(h)1510 3024 y Fj(R)1576 3105 y Ft(;)17 b(f)11 b(\027)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))p Fx(i)29 b Fz(=)i Fx(h)2074 3024 y Fj(R)2140 3105 y Ft(;)17 b(g)t(f)11 b Fx(i)30 b Fz(=)h Fx(h)p Fz(\()p Ft(f)41 b(*)2765 3024 y Fj(R)2831 3105 y Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)33 b Fz(for)h(all)e Ft(f)42 b Fx(2)31 b Ft(H)0 3221 y Fz(hence)j Fx(h)p Ft(a;)17 b(g)t Fx(i)26 b Fz(=)i(0)k(for)g(all)f Ft(a)d Fx(2)g Ft(H)1253 3185 y Fr(\003)1324 3221 y Fz(hence)34 b Ft(g)d Fz(=)d(0.)43 b(So)32 b Ft(\027)39 b Fz(is)32 b(injectiv)m(e)h(hence)h (bijectiv)m(e.)266 b Fh(\003)149 3392 y Fv(Corollary)36 b(4.1.22.)42 b Fs(The)35 b(map)f Ft(H)h Fx(3)28 b Ft(f)38 b Fx(7!)28 b Fz(\()1882 3312 y Fj(R)1976 3392 y Ft(\()f(f)11 b Fz(\))27 b Fx(2)h Ft(H)2408 3356 y Fr(\003)2482 3392 y Fs(is)35 b(an)f(isomorphism.)149 3563 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)1315 3683 y(\()1353 3603 y Fj(R)1447 3683 y Ft(\()28 b(f)11 b Fz(\))27 b(=)g(\()p Ft(\027)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))28 b Ft(*)2180 3603 y Fj(R)2247 3683 y Fz(\))0 3826 y(since)46 b Fx(h)p Fz(\()329 3746 y Fj(R)445 3826 y Ft(\()k(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)48 b Fz(=)i Fx(h)1037 3746 y Fj(R)1103 3826 y Ft(;)17 b(f)11 b(g)t Fx(i)49 b Fz(=)h Fx(h)1510 3746 y Fj(R)1576 3826 y Ft(;)17 b(g)t(\027)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(i)49 b Fz(=)h Fx(h)p Fz(\()p Ft(\027)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))50 b Ft(*)2537 3746 y Fj(R)2604 3826 y Fz(\))p Ft(;)17 b(g)t Fx(i)p Fz(.)81 b(This)46 b(implies)e(the)0 3942 y(corollary)-8 b(.)3131 b Fh(\003)149 4113 y Fz(If)33 b Ft(G)f Fz(is)h(a)f(\014nite)g(group)g(and)h Ft(H)i Fz(=)28 b Fu(K)1542 4077 y Fq(G)1640 4113 y Fz(then)33 b Ft(H)40 b Fz(is)32 b(comm)m(utativ)m(e)g(hence)i Ft(\027)g Fz(=)28 b(id)o(.)149 4252 y Fv(De\014nition)42 b(4.1.23.)j Fz(An)38 b(elemen)m(t)f Ft(\016)j Fx(2)d Ft(H)45 b Fz(is)37 b(called)f(a)h Fs(Dir)-5 b(ac)39 b Ft(\016)t Fs(-function)e Fz(if)f Ft(\016)42 b Fz(is)37 b(a)g(left)0 4368 y(in)m(v)-5 b(arian)m(t)31 b(in)m(tegral)g(in)h Ft(H)40 b Fz(with)32 b Fx(h)1260 4288 y Fj(R)1326 4368 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)27 b Fz(=)h(1,)k(i.e.)43 b(if)32 b Ft(\016)k Fz(satis\014es)963 4587 y Ft(f)11 b(\016)32 b Fz(=)27 b Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(\016)231 b Fz(and)2056 4452 y Fj(Z)2172 4587 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)29 b Fz(=)e(1)0 4795 y(for)32 b(all)f Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(H)8 b Fz(.)43 b(If)32 b Ft(H)41 b Fz(has)32 b(a)h(Dirac)e Ft(\016)t Fz(-function)g(then)j(w)m(e)f(write)0 5008 y(\(14\))1231 4872 y Fj(Z)1331 4898 y Fr(\003)1387 5008 y Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)28 b Fz(=)1807 4927 y Fj(R)1873 4954 y Fr(\003)1913 5008 y Ft(a)g Fz(:=)f Fx(h)p Ft(a;)17 b(\016)t Fx(i)p Ft(:)149 5216 y Fv(Prop)s(osition)36 b(4.1.24.)-40 b Fs(.)p eop %%Page: 122 125 122 124 bop 0 251 a Fw(122)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)198 450 y Fz(\(1\))41 b Fs(If)35 b Ft(H)42 b Fs(is)35 b(\014nite)f(dimensional)f(then)i(ther)-5 b(e)35 b(exists)f(a)h(unique) g(Dir)-5 b(ac)34 b Ft(\016)t Fs(-function)g Ft(\016)t Fs(.)198 566 y Fz(\(2\))41 b Fs(If)35 b Ft(H)42 b Fs(is)35 b(in\014nite)f(dimensional)f(then)i(ther)-5 b(e)34 b(exists)h(no)f(Dir) -5 b(ac)34 b Ft(\016)t Fs(-function.)149 744 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(1.)59 b(Since)38 b Ft(H)43 b Fx(3)37 b Ft(f)47 b Fx(7!)36 b Fz(\()p Ft(f)47 b(*)1654 664 y Fj(R)1720 744 y Fz(\))37 b Fx(2)f Ft(H)1986 708 y Fr(\003)2063 744 y Fz(is)h(an)g(isomorphism)f(there)i(is)f(a)h Ft(\016)i Fx(2)c Ft(H)0 863 y Fz(suc)m(h)41 b(that)e(\()p Ft(\016)k(*)706 783 y Fj(R)773 863 y Fz(\))c(=)g Ft(":)g Fz(Then)i(\()p Ft(f)11 b(\016)43 b(*)1658 783 y Fj(R)1725 863 y Fz(\))c(=)g(\()p Ft(f)50 b(*)39 b Fz(\()p Ft(\016)k(*)2451 783 y Fj(R)2518 863 y Fz(\)\))c(=)g(\()p Ft(f)50 b(*)39 b(")p Fz(\))g(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(")38 b Fz(=)0 982 y Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(\016)43 b(*)442 902 y Fj(R)508 982 y Fz(\))d(whic)m(h)g(implies)d Ft(f)11 b(\016)43 b Fz(=)d Ft(")p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(\016)t Fz(.)64 b(F)-8 b(urthermore)39 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h Fx(h)2783 902 y Fj(R)2849 982 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)39 b Fz(=)h Fx(h)3173 902 y Fj(R)3239 982 y Ft(;)17 b Fz(1)3332 997 y Fq(H)3399 982 y Ft(\016)t Fx(i)39 b Fz(=)0 1101 y Fx(h)p Fz(\()p Ft(\016)31 b(*)277 1021 y Fj(R)343 1101 y Fz(\))p Ft(;)17 b Fz(1)474 1116 y Fq(H)541 1101 y Fx(i)27 b Fz(=)h Ft(")p Fz(\(1)844 1116 y Fq(H)910 1101 y Fz(\))g(=)f(1)1128 1116 y Fp(K)1184 1101 y Fz(.)149 1217 y(2.)44 b(is)32 b([Sw)m(eedler])i(exercise)g(V.4.)2161 b Fh(\003)149 1395 y Fv(Lemma)40 b(4.1.25.)j Fs(L)-5 b(et)38 b Ft(H)44 b Fs(b)-5 b(e)37 b(a)f(\014nite)h(dimensional)e(Hopf)i(algebr)-5 b(a.)50 b(Then)3083 1315 y Fj(R)3181 1395 y Fx(2)32 b Ft(H)3368 1359 y Fr(\003)3444 1395 y Fs(is)k(a)0 1512 y(left)f(inte)-5 b(gr)g(al)34 b(i\013)0 1694 y Fz(\(15\))688 b Ft(a)p Fz(\()951 1600 y Fj(X)1112 1614 y(R)1178 1729 y Fl(\(1\))1294 1694 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\()1498 1614 y Fj(R)1564 1729 y Fl(\(2\))1659 1694 y Fz(\)\))27 b(=)h(\()1904 1600 y Fj(X)2064 1614 y(R)2130 1729 y Fl(\(1\))2247 1694 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\()2451 1614 y Fj(R)2517 1729 y Fl(\(2\))2611 1694 y Fz(\)\))p Ft(a)0 1877 y Fs(i\013)0 2060 y Fz(\(16\))1009 1965 y Fj(X)1169 2060 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))1362 1979 y Fj(R)1428 2094 y Fl(\(1\))1545 2060 y Fx(\012)1644 1979 y Fj(R)1711 2094 y Fl(\(2\))1833 2060 y Fz(=)1936 1965 y Fj(X)2097 1979 y(R)2163 2094 y Fl(\(1\))2280 2060 y Fx(\012)22 b Ft(a)2430 1979 y Fj(R)2497 2094 y Fl(\(2\))0 2242 y Fs(i\013)0 2425 y Fz(\(17\))1223 2330 y Fj(X)1384 2425 y Ft(f)1432 2441 y Fl(\(1\))1526 2425 y Fx(h)1565 2345 y Fj(R)1631 2425 y Ft(;)17 b(f)1723 2441 y Fl(\(2\))1817 2425 y Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)2026 2345 y Fj(R)2093 2425 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)p Fz(1)2284 2440 y Fq(H)2350 2425 y Ft(:)149 2630 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)709 2550 y Fj(R)808 2630 y Fz(b)s(e)33 b(a)f(left)g(in)m(tegral.)42 b(Then)91 2729 y Fj(X)252 2824 y Ft(a)303 2839 y Fl(\(1\))397 2744 y Fj(R)464 2858 y Fl(\(1\))580 2824 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\()784 2744 y Fj(R)850 2858 y Fl(\(2\))944 2824 y Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)1137 2839 y Fl(\(2\))1231 2824 y Fz(\))28 b(=)1401 2729 y Fj(X)1544 2824 y Fz(\()p Ft(a)1633 2744 y Fj(R)1700 2824 y Fz(\))1738 2839 y Fl(\(1\))1854 2824 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\(\()p Ft(a)2147 2744 y Fj(R)2213 2824 y Fz(\))2251 2839 y Fl(\(2\))2346 2824 y Fz(\))27 b(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()2726 2729 y Fj(X)2886 2744 y(R)2952 2858 y Fl(\(1\))3069 2824 y Fx(\012)22 b Ft(S)6 b Fz(\()3272 2744 y Fj(R)3339 2858 y Fl(\(2\))3433 2824 y Fz(\)\))0 3006 y(for)32 b(all)f Ft(a)c Fx(2)h Ft(H)8 b Fz(.)43 b(Hence)259 3150 y(\()297 3076 y Fj(P)419 3070 y(R)486 3185 y Fl(\(1\))602 3150 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\()806 3070 y Fj(R)872 3185 y Fl(\(2\))966 3150 y Fz(\)\))p Ft(a)33 b Fz(=)1229 3076 y Fj(P)1351 3150 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)1486 3166 y Fl(\(1\))1580 3150 y Fz(\)\()1656 3070 y Fj(R)1722 3185 y Fl(\(1\))1839 3150 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\()2043 3070 y Fj(R)2109 3185 y Fl(\(2\))2203 3150 y Fz(\)\))p Ft(a)2330 3166 y Fl(\(2\))1126 3283 y Fz(=)1229 3208 y Fj(P)1351 3283 y Ft(a)1402 3298 y Fl(\(1\))1497 3203 y Fj(R)1563 3318 y Fl(\(1\))1679 3283 y Fx(\012)23 b Ft(S)6 b Fz(\()1883 3203 y Fj(R)1949 3318 y 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Fj(P)2972 3525 y(R)3019 3640 y Fl(\(1\))3130 3606 y Ft(")p Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()3318 3525 y Fj(R)3365 3640 y Fl(\(2\))3459 3606 y Fz(\)\)\),)0 3745 y(hence)271 3665 y Fj(R)365 3745 y Fz(=)469 3671 y Fj(P)590 3665 y(R)637 3780 y Fl(\(1\))748 3745 y Ft(")p Fz(\()p Ft(S)g Fz(\()936 3665 y Fj(R)983 3780 y Fl(\(2\))1077 3745 y Fz(\)\))32 b(is)h(a)f(left)g(in)m(tegral.) 149 3874 y(Since)h Ft(S)38 b Fz(is)33 b(bijectiv)m(e)f(the)h(follo)m (wing)d(holds)829 3959 y Fj(P)951 4034 y Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))1161 3953 y Fj(R)1207 4068 y Fl(\(1\))1318 4034 y Fx(\012)1412 3953 y Fj(R)1460 4068 y Fl(\(2\))1582 4034 y Fz(=)1685 3959 y Fj(P)1807 4034 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))2017 3953 y Fj(R)2063 4068 y Fl(\(1\))2174 4034 y Fx(\012)p Ft(S)2317 3997 y Fr(\000)p Fl(1)2412 4034 y Fz(\()p Ft(S)g Fz(\()2554 3953 y Fj(R)2601 4068 y Fl(\(2\))2695 4034 y Fz(\)\))843 4166 y(=)947 4091 y Fj(P)1068 4086 y(R)1115 4201 y Fl(\(1\))1226 4166 y Fx(\012)p Ft(S)1369 4130 y Fr(\000)p Fl(1)1464 4166 y Fz(\()p Ft(S)g Fz(\()1606 4086 y Fj(R)1653 4201 y Fl(\(2\))1747 4166 y Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\))27 b(=)2147 4091 y Fj(P)2269 4086 y(R)2316 4201 y Fl(\(1\))2427 4166 y Fx(\012)p Ft(a)2572 4086 y Fj(R)2619 4201 y Fl(\(2\))2730 4166 y Ft(:)0 4345 y Fz(The)34 b(con)m(v)m(erse)h(follo)m(ws)c(easily) -8 b(.)149 4461 y(If)247 4381 y Fj(R)341 4461 y Fx(2)28 b Fz(In)m(t)560 4476 y Fq(l)586 4461 y Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))32 b(is)g(a)g(left)g(in)m(tegral)f(then)1710 4387 y Fj(P)1815 4461 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)1997 4477 y Fl(\(1\))2091 4461 y Fx(ih)2169 4381 y Fj(R)2235 4461 y Ft(;)g(f)2327 4477 y Fl(\(2\))2421 4461 y Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(a)2698 4381 y Fj(R)2764 4461 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)3219 4476 y Fq(H)3286 4461 y Fx(ih)3364 4381 y Fj(R)3430 4461 y Ft(;)g(f)11 b Fx(i)p Fz(.)149 4578 y(Con)m(v)m(ersely)51 b(if)c Ft(\025)55 b Fx(2)g Ft(H)1086 4542 y Fr(\003)1173 4578 y Fz(with)48 b(\(17\))g(is)g(giv)m(en)h(then)g Fx(h)p Ft(a\025;)17 b(f)11 b Fx(i)53 b Fz(=)2729 4503 y Fj(P)2834 4578 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)3016 4593 y Fl(\(1\))3110 4578 y Fx(ih)p Ft(\025;)g(f)3337 4593 y Fl(\(2\))3431 4578 y Fx(i)54 b Fz(=)0 4694 y Fx(h)p Ft(a;)17 b Fz(1)183 4709 y Fq(H)250 4694 y Fx(ih)p Ft(\025;)g(f)11 b Fx(i)31 b Fz(hence)j Ft(a\025)27 b Fz(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\025)p Fz(.)2198 b Fh(\003)149 4872 y Fz(If)33 b Ft(G)f Fz(is)h(a)f(\014nite)g(group)g(then)0 5124 y(\(18\))1163 b Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))27 b(=)1646 4954 y Fj(\()1726 5057 y Fz(0)33 b(if)e Ft(x)d Fx(6)p Fz(=)g Ft(e)p Fz(;)1726 5197 y(1)33 b(if)e Ft(x)d Fz(=)g Ft(e:)p eop %%Page: 123 126 123 125 bop 934 251 a Fw(1.)35 b(INTEGRALS)e(AND)f(F)n(OURIER)f(TRANSF) n(ORMS)818 b(123)0 450 y Fz(In)32 b(fact)g(since)g Ft(\016)j Fz(is)d(left)e(in)m(v)-5 b(arian)m(t)31 b(w)m(e)h(get)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(e)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))31 b(for)h(all)d Ft(x)f Fx(2)g Ft(G)k Fz(and)g Ft(f)38 b Fx(2)28 b Fu(K)3508 414 y Fq(G)3573 450 y Fz(.)0 566 y(Since)37 b Ft(G)e Fx(\032)g Ft(H)572 530 y Fr(\003)646 566 y Fz(=)f Fu(K)18 b Ft(G)42 b Fz(is)36 b(a)h(basis,)h(w)m(e)g(get)e Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))f(=)g(0)h(if)g Ft(x)f Fx(6)p Fz(=)g Ft(e)p Fz(.)56 b(F)-8 b(urthermore)3122 486 y Fj(R)3205 566 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)35 b Fz(=)0 608 y Fj(P)105 712 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)268 683 y Ft(\016)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)f(1)32 b(implies)f Ft(\016)t Fz(\()p Ft(e)p Fz(\))c(=)h(1.)43 b(So)33 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h Ft(\016)e Fz(=)27 b Ft(e)2135 646 y Fr(\003)2175 683 y Fz(.)149 799 y(If)49 b Ft(G)g Fz(is)f(a)g(\014nite)h(Ab)s(elian)e (group)i(w)m(e)g(get)g Ft(\016)59 b Fz(=)c Ft(\013)2189 724 y Fj(P)2294 828 y Fq(\037)p Fr(2)2400 811 y Fl(^)2385 828 y Fq(G)2460 799 y Ft(\037)49 b Fz(for)f(some)h Ft(\013)56 b Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(.)98 b(The)0 946 y(ev)-5 b(aluation)31 b(giv)m(es)i(1)28 b(=)f Fx(h)927 866 y Fj(R)993 946 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)28 b Fz(=)f Ft(\013)1334 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b(ourier)34 b(tr)-5 b(ansform)34 b Ft(H)h Fx(3)28 b Ft(f)39 b Fx(7!)2423 2529 y Fj(e)2405 2555 y Ft(f)g Fx(2)28 b Ft(H)2675 2519 y Fr(\003)2748 2555 y Fs(is)35 b(bije)-5 b(ctive)34 b(with)0 2752 y Fz(\(20\))1158 2726 y Fj(e)1140 2752 y Ft(f)k Fz(=)28 b(\()1368 2672 y Fj(R)1462 2752 y Ft(\()f(f)11 b Fz(\))27 b(=)1815 2657 y Fj(X)1959 2752 y Fx(h)1998 2672 y Fj(R)2064 2787 y Fl(\(1\))2158 2752 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(i)2300 2672 y Fj(R)2366 2787 y Fl(\(2\))0 2949 y Fs(The)34 b(inverse)g(F)-7 b(ourier)34 b(tr)-5 b(ansform)35 b(is)f(de\014ne)-5 b(d)34 b(by)0 3145 y Fz(\(21\))1097 b Fj(e)-53 b Ft(a)28 b Fz(=)1456 3051 y Fj(X)1616 3145 y Ft(S)1682 3104 y Fr(\000)p Fl(1)1776 3145 y Fz(\()p Ft(\016)1857 3161 y Fl(\(1\))1952 3145 y Fz(\))p Fx(h)p Ft(a;)17 b(\016)2167 3161 y Fl(\(2\))2261 3145 y Fx(i)p Ft(:)0 3342 y Fs(Sinc)-5 b(e)34 b(these)h(maps)f(ar)-5 b(e)34 b(inverses)g(of)h(e)-5 b(ach)34 b(other)h(the)g(fol)5 b(lowing)33 b(formulas)h(hold)0 3647 y Fz(\(22\))656 3574 y Fx(h)712 3548 y Fj(e)695 3574 y Ft(f)10 b(;)17 b(g)t Fx(i)26 b Fz(=)1017 3439 y Fj(Z)1117 3574 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)168 b Fx(h)p Ft(a;)1890 3548 y Fj(e)1897 3574 y Ft(b)p Fx(i)27 b Fz(=)2108 3439 y Fj(Z)2208 3465 y Fr(\003)2247 3574 y Ft(S)2313 3538 y Fr(\000)p Fl(1)2407 3574 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(b)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)656 3759 y(f)38 b Fz(=)846 3684 y Fj(P)967 3759 y Ft(S)1033 3722 y Fr(\000)p Fl(1)1127 3759 y Fz(\()p Ft(\016)1208 3774 y Fl(\(1\))1303 3759 y Fz(\))p Fx(h)1397 3732 y Fj(e)1380 3759 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)1525 3774 y Fl(\(2\))1620 3759 y Fx(i)104 b Ft(a)28 b Fz(=)1945 3684 y Fj(P)2050 3759 y Fx(h)2089 3678 y Fj(R)2136 3793 y Fl(\(1\))2231 3759 y Ft(;)15 b Fj(e)-53 b Ft(a)o Fx(i)2381 3678 y Fj(R)2428 3793 y Fl(\(2\))2539 3759 y Ft(:)149 3995 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)42 b(use)g(the)g(isomorphisms)e Ft(H)50 b Fx(\000)-60 b(!)42 b Ft(H)2062 3959 y Fr(\003)2142 3995 y Fz(de\014ned)h(b)m(y)2649 3969 y 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Fz(=)i Fx(h)2200 4617 y Fj(R)2266 4698 y Ft(;)17 b(f)11 b(g)t Fx(i)0 4878 y Fz(w)m(e)34 b(get)e(for)g(all)f Ft(a)d Fx(2)g Ft(H)853 4842 y Fr(\003)924 4878 y Fz(and)33 b Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(H)83 5098 y Fx(h)p Ft(a;)235 5042 y Fj(b)237 5071 y(b)219 5098 y Ft(f)10 b Fx(i)33 b Fz(=)27 b Fx(h)p Ft(a)560 5071 y Fj(b)542 5098 y Ft(f)11 b(;)17 b(\016)t Fx(i)27 b Fz(=)862 5023 y Fj(P)967 5098 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(\016)1144 5113 y Fl(\(1\))1238 5098 y Fx(ih)1333 5071 y Fj(b)1316 5098 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)1461 5113 y Fl(\(2\))1555 5098 y Fx(i)28 b Fz(=)1725 5023 y Fj(P)1830 5098 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(\016)2007 5113 y Fl(\(1\))2102 5098 y Fx(ih)2180 5017 y Fj(R)2246 5098 y Ft(;)g(f)11 b(\016)2392 5113 y Fl(\(2\))2486 5098 y Fx(i)194 b Fz(\()33 b(b)m(y)g(Lemma)e(1.25)h(\)) 349 5214 y(=)452 5139 y Fj(P)557 5214 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(\016)935 5229 y Fl(\(1\))1029 5214 y Fx(ih)1107 5134 y Fj(R)1173 5214 y Ft(;)17 b(\016)1260 5229 y Fl(\(2\))1354 5214 y Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(ih)1937 5134 y Fj(R)2002 5214 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)p eop %%Page: 124 127 124 126 bop 0 251 a Fw(124)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)0 494 y Fz(This)37 b(giv)m(es)456 439 y Fj(b)457 468 y(b)439 494 y Ft(f)45 b Fz(=)34 b Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\).)54 b(So)37 b(the)f(in)m(v)m(erse)i(map)e(of)f Ft(H)42 b Fx(\000)-59 b(!)33 b Ft(H)2260 458 y Fr(\003)2336 494 y Fz(with)2579 468 y Fj(b)2562 494 y Ft(f)44 b Fz(=)34 b(\()2802 414 y Fj(R)2903 494 y Ft(\()f(f)11 b Fz(\))34 b(=)3293 468 y Fj(e)3275 494 y Ft(f)47 b Fz(is)36 b Ft(H)3561 458 y Fr(\003)0 612 y Fx(\000)-60 b(!)30 b Ft(H)41 b Fz(with)33 b Ft(S)558 576 y Fr(\000)p Fl(1)653 612 y Fz(\()n Fj(b)-53 b Ft(a)p Fz(\))29 b(=)915 537 y Fj(P)1037 612 y Ft(S)1103 576 y Fr(\000)p Fl(1)1197 612 y Fz(\()p Ft(\016)1278 628 y Fl(\(1\))1372 612 y Fz(\))p Fx(h)p Ft(a;)17 b(\016)1587 628 y Fl(\(2\))1681 612 y Fx(i)30 b Fz(=)d Fj(e)-53 b Ft(a)q Fz(.)47 b(Then)35 b(the)f(giv)m(en)g(in)m(v) m(ersion)g(form)m(ulas)e(are)0 728 y(clear.)149 845 y(W)-8 b(e)33 b(note)g(for)f(later)g(use)h Fx(h)p Ft(a;)1206 818 y Fj(e)1213 845 y Ft(b)q Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)1624 808 y Fr(\000)p Fl(1)1718 845 y Fz(\()1749 818 y Fj(b)1756 845 y Ft(b)q Fz(\))p Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)p Ft(S)2111 808 y Fr(\000)p Fl(1)2204 845 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)2368 818 y Fj(b)2375 845 y Ft(b)q Fx(i)f Fz(=)h Fx(h)p Ft(S)2692 808 y Fr(\000)p Fl(1)2785 845 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(b;)17 b(\016)t Fx(i)p Fz(.)413 b Fh(\003)149 1028 y Fz(If)33 b Ft(G)f Fz(is)h(a)f(\014nite)g (group)g(and)h Ft(H)i Fz(=)28 b Fu(K)1542 992 y Fq(G)1640 1028 y Fz(then)1506 1189 y Fj(e)1488 1216 y Ft(f)39 b Fz(=)1678 1121 y Fj(X)1680 1332 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)1839 1216 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(x:)0 1494 y Fz(Since)31 b(\001\()p Ft(\016)t Fz(\))d(=)588 1419 y Fj(P)693 1523 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)856 1494 y Ft(x)911 1457 y Fr(\000)p Fl(1)1006 1441 y Fr(\003)1063 1494 y Fx(\012)19 b Ft(x)1214 1457 y Fr(\003)1284 1494 y Fz(where)32 b(the)f Ft(x)1785 1457 y Fr(\003)1853 1494 y Fx(2)d Fu(K)2018 1457 y Fq(G)2114 1494 y Fz(are)j(the)g(dual)f(basis)g(to)h(the)g Ft(x)d Fx(2)g Ft(G)p Fz(,)j(w)m(e)0 1610 y(get)1440 1756 y Fj(e)-53 b Ft(a)28 b Fz(=)1625 1662 y Fj(X)1626 1873 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)1769 1756 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(x)1958 1715 y Fr(\003)1997 1756 y Fx(i)p Ft(x)2091 1715 y Fr(\003)2131 1756 y Ft(:)149 2028 y Fz(If)42 b Ft(G)g Fz(is)g(a)f(\014nite)h(Ab)s (elian)e(group)i(then)h(the)f(groups)h Ft(G)e Fz(and)2560 2002 y Fj(b)2541 2028 y Ft(G)h Fz(are)g(isomorphic)e(so)j(the)0 2144 y(F)-8 b(ourier)31 b(transform)h(induces)h(a)g(linear)e (automorphism)19 b Fj(e)-44 b Fz(-)27 b(:)h Fu(K)2317 2108 y Fq(G)2409 2144 y Fx(\000)-59 b(!)27 b Fu(K)2626 2108 y Fq(G)2723 2144 y Fz(and)33 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)1318 2331 y Fj(e)-53 b Ft(a)28 b Fz(=)f Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)1635 2290 y Fr(\000)p Fl(1)1746 2237 y Fj(X)1745 2465 y Fq(\037)p Fr(2)1852 2449 y Fl(^)1836 2465 y Fq(G)1891 2331 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(\037)p Fx(i)p Ft(\037)2186 2290 y Fr(\000)p Fl(1)0 2626 y Fz(By)38 b(substituting)f(the)h(form)m(ulas)e(for)h(the)h (in)m(tegral)e(and)h(the)h(Dirac)e Ft(\016)t Fz(-function)h(\(7\))g (and)h(\(19\))0 2743 y(w)m(e)c(get)0 2991 y(\(25\))694 2897 y Fj(e)676 2924 y Ft(f)k Fz(=)866 2849 y Fj(P)971 2953 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)1133 2924 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(x;)449 b Fj(e)-53 b Ft(a)28 b Fz(=)g Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)2172 2888 y Fr(\000)p Fl(1)2282 2849 y Fj(P)2387 2953 y Fq(\037)p Fr(2)2494 2936 y Fl(^)2478 2953 y Fq(G)2554 2924 y Ft(a)p Fz(\()p Ft(\037)p Fz(\))p Ft(\037)2803 2888 y Fr(\000)p Fl(1)2897 2924 y Ft(;)676 3064 y(f)38 b Fz(=)28 b Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)999 3028 y Fr(\000)p Fl(1)1109 2989 y Fj(P)1214 3093 y Fq(\037)p Fr(2)1320 3076 y Fl(^)1305 3093 y Fq(G)1398 3038 y Fj(e)1380 3064 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(\037)p Fz(\))p Ft(\037)1637 3028 y Fr(\000)p Fl(1)1732 3064 y Ft(;)97 b(a)28 b Fz(=)2039 2989 y Fj(P)2144 3093 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)2304 3064 y Fj(e)-53 b Ft(a)q Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(x:)0 3238 y Fz(This)33 b(implies)0 3457 y(\(26\))1015 3431 y Fj(e)997 3457 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(\037)p Fz(\))27 b(=)1324 3362 y Fj(X)1325 3574 y Fq(x)p Fr(2)p Fq(G)1484 3457 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(\037)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))29 b(=)1998 3321 y Fj(Z)2114 3457 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(\037)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)0 3720 y Fz(with)32 b(in)m(v)m(erse)i(transform)0 3892 y(\(27\))1013 b Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)1636 3851 y Fr(\000)p Fl(1)1747 3797 y Fj(X)1746 4026 y Fq(\037)p Fr(2)1853 4009 y Fl(^)1837 4026 y Fq(G)1909 3892 y Ft(\037)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\037)2158 3851 y Fr(\000)p Fl(1)2252 3892 y Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(:)149 4181 y Fv(Corollary)47 b(4.1.27.)g Fs(The)c(F)-7 b(ourier)43 b(tr)-5 b(ansforms)43 b(of)h(the)f(left)h(invariant)f(inte)-5 b(gr)g(als)43 b(in)g Ft(H)0 4298 y Fs(and)34 b Ft(H)278 4262 y Fr(\003)352 4298 y Fs(ar)-5 b(e)0 4470 y Fz(\(28\))940 4444 y Fj(e)938 4470 y Ft(\016)32 b Fz(=)27 b Ft("\027)1216 4429 y Fr(\000)p Fl(1)1339 4470 y Fx(2)h Ft(H)1522 4429 y Fr(\003)1795 4470 y Fs(and)2189 4433 y Fj(e)2183 4390 y(R)2277 4470 y Fz(=)g(1)f Fx(2)h Ft(H)r(:)149 4675 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)47 b(ha)m(v)m(e)h Fx(h)995 4649 y Fj(e)994 4675 y Ft(\016)t(;)17 b(f)11 b Fx(i)50 b Fz(=)i Fx(h)1400 4595 y Fj(R)1466 4675 y Ft(;)17 b(\016)t(f)11 b Fx(i)50 b Fz(=)h Fx(h)1871 4595 y Fj(R)1937 4675 y Ft(;)17 b(\027)2035 4639 y Fr(\000)p Fl(1)2130 4675 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(\016)t Fx(i)51 b Fz(=)g Ft("\027)2629 4639 y Fr(\000)p Fl(1)2723 4675 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Fx(h)2897 4595 y Fj(R)2963 4675 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)51 b Fz(=)g Ft("\027)3371 4639 y Fr(\000)p Fl(1)3465 4675 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))0 4823 y(hence)272 4797 y Fj(e)271 4823 y Ft(\016)32 b Fz(=)27 b Ft("\027)549 4787 y Fr(\000)p Fl(1)644 4823 y Fz(.)43 b(F)-8 b(rom)967 4802 y Fj(e)970 4823 y Fz(1)28 b(=)f(\()1188 4743 y Fj(R)1282 4823 y Ft(\()g Fz(1\))h(=)1625 4743 y Fj(R)1724 4823 y Fz(w)m(e)34 b(get)2036 4786 y Fj(e)2030 4743 y(R)2124 4823 y Fz(=)28 b(1.)1219 b Fh(\003)149 5007 y Fv(Prop)s(osition)36 b(4.1.28.)42 b Fs(De\014ne)34 b(a)g Fz(con)m(v)m(olution)e(m)m(ultiplication)f Fs(on)j Ft(H)2886 4970 y Fr(\003)2960 5007 y Fs(by)1000 5194 y Fx(h)p Ft(a)22 b Fx(\003)g Ft(b;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(:=)1525 5099 y Fj(X)1668 5194 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)1868 5153 y Fr(\000)p Fl(1)1962 5194 y Fz(\()p Ft(\016)2043 5209 y Fl(\(1\))2138 5194 y Fz(\))p Ft(f)11 b Fx(ih)p Ft(b;)17 b(\016)2441 5209 y Fl(\(2\))2535 5194 y Fx(i)p Ft(:)p eop %%Page: 125 128 125 127 bop 934 251 a Fw(1.)35 b(INTEGRALS)e(AND)f(F)n(OURIER)f(TRANSF) n(ORMS)818 b(125)0 450 y Fs(Then)34 b(the)h(fol)5 b(lowing)33 b(tr)-5 b(ansformation)34 b(rule)h(holds)f(for)h Ft(f)5 b(;)17 b(g)31 b Fx(2)d Ft(H)8 b Fs(:)0 643 y Fz(\(29\))1569 616 y Fj(f)1565 643 y Ft(f)j(g)30 b Fz(=)1823 616 y Fj(e)1805 643 y Ft(f)j Fx(\003)22 b Fj(e)-55 b Ft(g)s(:)0 823 y Fs(In)27 b(p)-5 b(articular)28 b Ft(H)648 787 y Fr(\003)715 823 y Fs(with)g(the)g(c)-5 b(onvolution)27 b(multiplic)-5 b(ation)27 b(is)h(an)f(asso)-5 b(ciative)27 b(algebr)-5 b(a)27 b(with)h(unit)8 925 y Fj(f)0 946 y Fz(1)49 961 y Fq(H)144 946 y Fz(=)247 866 y Fj(R)314 946 y Fs(,)34 b(i.e.)0 1129 y Fz(\(30\))1418 1049 y Fj(R)1506 1129 y Fx(\003)22 b Ft(a)28 b Fz(=)g Ft(a)22 b Fx(\003)1906 1049 y Fj(R)2000 1129 y Fz(=)28 b Ft(a:)149 1324 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Giv)m(en)33 b Ft(f)5 b(;)17 b(g)t(;)g(h)27 b Fx(2)h Ft(H)1275 1287 y Fr(\003)1314 1324 y Fz(.)43 b(Then)367 1516 y Fx(h)411 1490 y Fj(f)406 1516 y Ft(f)11 b(g)r(;)17 b(h)p Fx(i)32 b Fz(=)c Fx(h)828 1436 y Fj(R)894 1516 y Ft(;)17 b(f)11 b(g)t(h)p Fx(i)26 b Fz(=)i Fx(h)1312 1436 y Fj(R)1378 1516 y Ft(;)17 b(f)11 b(S)1547 1480 y Fr(\000)p Fl(1)1641 1516 y Fz(\(1)1728 1531 y Fq(H)1795 1516 y Fz(\))p Ft(g)t(h)p Fx(ih)2018 1436 y Fj(R)2083 1516 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)685 1632 y Fz(=)789 1558 y Fj(P)894 1632 y Fx(h)933 1552 y Fj(R)999 1632 y Ft(;)g(f)11 b(S)1168 1596 y Fr(\000)p Fl(1)1262 1632 y Fz(\()p Ft(\016)1343 1648 y Fl(\(1\))1437 1632 y Fz(\))p Ft(g)t(h)p Fx(ih)1660 1552 y Fj(R)1726 1632 y Ft(;)17 b(\016)1813 1648 y Fl(\(2\))1907 1632 y Fx(i)27 b Fz(=)2077 1558 y Fj(P)2182 1632 y Fx(h)2221 1552 y Fj(R)2287 1632 y Ft(;)17 b(f)11 b(S)2456 1596 y Fr(\000)p Fl(1)2550 1632 y Fz(\()p Ft(\016)2631 1648 y Fl(\(1\))2725 1632 y Fz(\))p Ft(h)p Fx(ih)2897 1552 y Fj(R)2963 1632 y Ft(;)17 b(g)t(\016)3101 1648 y Fl(\(2\))3195 1632 y Fx(i)685 1765 y Fz(=)789 1691 y Fj(P)894 1765 y Fx(h)951 1739 y Fj(e)933 1765 y Ft(f)11 b(;)17 b(S)1102 1729 y Fr(\000)p Fl(1)1195 1765 y Fz(\()p Ft(\016)1276 1781 y Fl(\(1\))1371 1765 y Fz(\))p Ft(h)p Fx(ih)p Fj(e)-55 b Ft(g)s(;)17 b(\016)1680 1781 y Fl(\(2\))1774 1765 y Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)2001 1739 y Fj(e)1983 1765 y Ft(f)33 b Fx(\003)22 b Fj(e)-55 b Ft(g)s(;)17 b(h)p Fx(i)p Ft(:)0 1973 y Fz(F)-8 b(rom)31 b(\(28\))h(w)m(e)i(get)765 1952 y Fj(e)768 1973 y Fz(1)817 1988 y Fq(H)912 1973 y Fz(=)1015 1893 y Fj(R)1082 1973 y Fz(.)43 b(So)33 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)1674 1947 y Fj(e)1656 1973 y Ft(f)39 b Fz(=)1850 1947 y Fj(f)1846 1973 y Fz(1)p Ft(f)f Fz(=)2082 1952 y Fj(e)2085 1973 y Fz(1)22 b Fx(\003)2246 1947 y Fj(e)2228 1973 y Ft(f)38 b Fz(=)2418 1893 y Fj(R)2501 1973 y Fx(\003)2569 1947 y Fj(e)2551 1973 y Ft(f)10 b Fz(.)887 b Fh(\003)149 2189 y Fz(If)33 b Ft(G)f Fz(is)h(a)f(\014nite)g(Ab)s(elian)f(group)i(and)f Ft(a;)17 b(b)28 b Fx(2)g Ft(H)1961 2153 y Fr(\003)2028 2189 y Fz(=)g Fu(K)2219 2136 y Fl(^)2203 2153 y Fq(G)2268 2189 y Fz(.)44 b(Then)1007 2385 y(\()p Ft(a)22 b Fx(\003)g Ft(b)p Fz(\)\()p Ft(\026)p Fz(\))28 b(=)f Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)1668 2344 y Fr(\000)p Fl(1)1911 2291 y Fj(X)1778 2520 y Fq(\037;\025)p Fr(2)1946 2503 y Fl(^)1930 2520 y Fq(G;\037\025)p Fl(=)p Fq(\026)2204 2385 y Ft(a)p Fz(\()p Ft(\025)p Fz(\))p Ft(b)p Fz(\()p Ft(\037)p Fz(\))p Ft(:)0 2684 y Fz(In)33 b(fact)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)330 2837 y(\()p Ft(a)22 b Fx(\003)g Ft(b)p Fz(\)\()p Ft(\026)p Fz(\))33 b(=)27 b Fx(h)p Ft(a)22 b Fx(\003)g Ft(b;)17 b(\026)p Fx(i)27 b Fz(=)1361 2763 y Fj(P)1466 2837 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(S)1666 2801 y Fr(\000)p Fl(1)1760 2837 y Fz(\()p Ft(\016)1841 2853 y Fl(\(1\))1935 2837 y Fz(\))p Ft(\026)p Fx(ih)p Ft(b;)g(\016)2238 2853 y Fl(\(2\))2332 2837 y Fx(i)760 2954 y Fz(=)27 b Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)996 2918 y Fr(\000)p Fl(1)1106 2879 y Fj(P)1211 2983 y Fq(\037)p Fr(2)1318 2966 y Fl(^)1302 2983 y Fq(G)1361 2954 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(\037)1556 2918 y Fr(\000)p Fl(1)1651 2954 y Ft(\026)p Fx(ih)p Ft(b;)g(\037)p Fx(i)26 b Fz(=)i Fx(j)p Ft(G)p Fx(j)2236 2918 y Fr(\000)p Fl(1)2346 2879 y Fj(P)2451 2983 y Fq(\037;\025)p Fr(2)2619 2966 y Fl(^)2603 2983 y Fq(G;\037\025)p Fl(=)p Fq(\026)2881 2954 y Ft(a)p Fz(\()p Ft(\025)p Fz(\))p Ft(b)p Fz(\()p Ft(\037)p Fz(\))p Ft(:)149 3137 y Fz(One)34 b(of)f(the)g(most)g(imp)s(ortan)m(t)e(form)m(ulas)h (for)g(F)-8 b(ourier)32 b(transforms)h(is)f(the)i(Planc)m(herel)f(for-) 0 3253 y(m)m(ula)e(on)i(the)g(in)m(v)-5 b(ariance)31 b(of)h(the)h(inner)g(pro)s(duct)g(under)g(F)-8 b(ourier)31 b(transforms.)43 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)149 3401 y Fv(Theorem)38 b(4.1.29.)k Fs(\(The)34 b(Plancher)-5 b(el)33 b(formula\))0 3597 y Fz(\(31\))1251 b Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)26 b Fz(=)i Fx(h)1844 3570 y Fj(e)1826 3597 y Ft(f)10 b(;)17 b(\027)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)q Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)149 3791 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(from)d(\(22\))193 3986 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)32 b Fz(=)560 3912 y Fj(P)665 3986 y Fx(h)704 3906 y Fj(R)770 4021 y Fl(\(1\))865 3986 y Ft(;)15 b Fj(e)-53 b Ft(a)p Fx(ih)1038 3906 y Fj(R)1104 4021 y Fl(\(2\))1198 3986 y Ft(;)17 b(S)1308 3950 y Fr(\000)p Fl(1)1402 3986 y Fz(\()p Ft(\016)1483 4002 y Fl(\(1\))1577 3986 y Fz(\))p Fx(ih)1711 3960 y Fj(e)1693 3986 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)1838 4002 y Fl(\(2\))1933 3986 y Fx(i)27 b Fz(=)2103 3912 y Fj(P)2208 3986 y Fx(h)2247 3906 y Fj(R)2313 3986 y Ft(;)15 b Fj(e)-53 b Ft(aS)2474 3950 y Fr(\000)p Fl(1)2568 3986 y Fz(\()p Ft(\016)2649 4002 y Fl(\(1\))2743 3986 y Fz(\))p Fx(ih)2877 3960 y Fj(e)2859 3986 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)3004 4002 y Fl(\(2\))3099 3986 y Fx(i)457 4136 y Fz(=)560 4061 y Fj(P)665 4136 y Fx(h)704 4055 y Fj(R)770 4136 y Ft(;)g(S)880 4100 y Fr(\000)p Fl(1)974 4136 y Fz(\()p Ft(\016)1055 4151 y Fl(\(1\))1150 4136 y Fz(\))p Ft(\027)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Fx(ih)1465 4109 y Fj(e)1447 4136 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)1592 4151 y Fl(\(2\))1687 4136 y Fx(i)27 b Fz(=)1857 4061 y Fj(P)1962 4136 y Fx(h)2001 4055 y Fj(R)2067 4136 y Ft(;)17 b(S)2177 4100 y Fr(\000)p Fl(1)2271 4136 y Fz(\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(\027)g Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\)\))p Ft(\016)2675 4151 y Fl(\(1\))2769 4136 y Fz(\))p Fx(ih)2903 4109 y Fj(e)2885 4136 y Ft(f)11 b(;)17 b(\016)3031 4151 y Fl(\(2\))3125 4136 y Fx(i)457 4269 y Fz(=)560 4194 y Fj(P)665 4269 y Fx(h)704 4189 y Fj(R)770 4269 y Ft(;)g(S)880 4233 y Fr(\000)p Fl(1)974 4269 y Fz(\()p Ft(\016)1055 4284 y Fl(\(1\))1150 4269 y Fz(\))p Fx(ih)1283 4242 y Fj(e)1266 4269 y Ft(f)10 b(;)17 b(\027)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Ft(\016)1592 4284 y Fl(\(2\))1687 4269 y Fx(i)27 b Fz(=)1857 4194 y Fj(P)1962 4269 y Fx(h)2001 4189 y Fj(R)2067 4269 y Ft(;)17 b(S)2177 4233 y Fr(\000)p Fl(1)2271 4269 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))2394 4284 y Fl(\(2\))2488 4269 y Fx(ih)2583 4242 y Fj(e)2566 4269 y Ft(f)10 b(;)17 b(\027)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(S)3019 4233 y Fr(\000)p Fl(1)3113 4269 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))3236 4284 y Fl(\(1\))3330 4269 y Fz(\))p Fx(i)457 4402 y Fz(=)27 b Fx(h)599 4322 y Fj(R)665 4402 y Ft(;)17 b(S)775 4366 y Fr(\000)p Fl(1)869 4402 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fx(ih)1087 4376 y Fj(e)1070 4402 y Ft(f)10 b(;)17 b(\027)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)0 4589 y Fz(Apply)33 b(this)f(to)g Fx(h)641 4509 y Fj(R)707 4589 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)p Fz(.)43 b(Then)34 b(w)m(e)f(get)307 4801 y(1)28 b(=)f Fx(h)526 4721 y Fj(R)592 4801 y Ft(;)17 b(\016)t Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)892 4721 y Fj(R)958 4801 y Ft(;)17 b(S)1068 4760 y Fr(\000)p Fl(1)1162 4801 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fx(ih)1364 4775 y Fj(e)1363 4801 y Ft(\016)s(;)g(\027)6 b Fz(\()1551 4764 y Fj(e)1545 4721 y(R)1612 4801 y Fz(\))p Fx(i)27 b Fz(=)h Fx(h)1859 4721 y Fj(R)1925 4801 y Ft(;)17 b(S)2035 4760 y Fr(\000)p Fl(1)2129 4801 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fx(i)p Ft("\027)2391 4760 y Fr(\000)p Fl(1)2485 4801 y Ft(\027)6 b Fz(\(1\))28 b(=)f Fx(h)2834 4721 y Fj(R)2900 4801 y Ft(;)17 b(S)3010 4760 y Fr(\000)p Fl(1)3104 4801 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)0 5002 y Fz(Hence)34 b(w)m(e)g(get)e Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)1015 4976 y Fj(e)997 5002 y Ft(f)11 b(;)17 b(\027)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)2176 b Fh(\003)149 5196 y Fv(Corollary)36 b(4.1.30.)42 b Fs(If)35 b Ft(H)42 b Fs(is)35 b(unimo)-5 b(dular)34 b(then)h Ft(\027)f Fz(=)27 b Ft(S)2319 5160 y Fl(2)2359 5196 y Fs(.)p eop %%Page: 126 129 126 128 bop 0 251 a Fw(126)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Ft(H)e Fz(unimo)s(dular)30 b(means)j(that)f Ft(\016)37 b Fz(is)32 b(left)g(and)g(righ)m(t)g(in)m (v)-5 b(arian)m(t.)42 b(Th)m(us)34 b(w)m(e)g(get)391 638 y Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)32 b Fz(=)758 564 y Fj(P)863 638 y Fx(h)902 558 y Fj(R)968 673 y Fl(\(1\))1063 638 y Ft(;)15 b Fj(e)-53 b Ft(a)p Fx(ih)1236 558 y Fj(R)1302 673 y Fl(\(2\))1396 638 y Ft(;)17 b(S)1506 602 y Fr(\000)p Fl(1)1600 638 y Fz(\()p Ft(\016)1681 654 y Fl(\(1\))1775 638 y Fz(\))p Fx(ih)1909 612 y Fj(e)1891 638 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)2036 654 y Fl(\(2\))2131 638 y Fx(i)655 788 y Fz(=)758 713 y Fj(P)863 788 y Fx(h)902 708 y Fj(R)968 788 y Ft(;)e Fj(e)-53 b Ft(aS)1129 752 y Fr(\000)p Fl(1)1223 788 y Fz(\()p Ft(\016)1304 803 y Fl(\(1\))1399 788 y Fz(\))p Fx(ih)1532 762 y Fj(e)1515 788 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)1660 803 y Fl(\(2\))1754 788 y Fx(i)28 b Fz(=)1924 713 y Fj(P)2029 788 y Fx(h)2068 708 y Fj(R)2135 788 y Ft(;)17 b(S)2245 752 y Fr(\000)p Fl(1)2338 788 y Fz(\()p Ft(\016)2419 803 y Fl(\(1\))2514 788 y Ft(S)6 b Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\)\))p Fx(ih)2840 762 y Fj(e)2823 788 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)2968 803 y Fl(\(2\))3062 788 y Fx(i)655 921 y Fz(=)758 846 y Fj(P)863 921 y Fx(h)902 841 y Fj(R)968 921 y Ft(;)g(S)1078 885 y Fr(\000)p Fl(1)1172 921 y Fz(\()p Ft(\016)1253 937 y Fl(\(1\))1348 921 y Fz(\))p Fx(ih)1481 895 y Fj(e)1464 921 y Ft(f)10 b(;)17 b(\016)1609 937 y Fl(\(2\))1703 921 y Ft(S)1769 885 y Fl(2)1808 921 y Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Fx(i)98 b Fz(\()32 b(since)h Ft(\016)k Fz(is)32 b(righ)m(t)f(in)m(v)-5 b(arian)m(t)o(\))655 1054 y(=)27 b Fx(h)797 974 y Fj(R)863 1054 y Ft(;)17 b(S)973 1018 y Fr(\000)p Fl(1)1067 1054 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fx(ih)1285 1028 y Fj(e)1268 1054 y Ft(f)10 b(;)17 b(S)1436 1018 y Fl(2)1475 1054 y Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Fx(i)28 b Fz(=)f Fx(h)1829 1028 y Fj(e)1811 1054 y Ft(f)11 b(;)17 b(S)1980 1018 y Fl(2)2019 1054 y Fz(\()n Fj(e)-53 b Ft(a)p Fz(\))p Fx(i)p Ft(:)0 1239 y Fz(Hence)34 b Ft(S)356 1203 y Fl(2)423 1239 y Fz(=)27 b Ft(\027)6 b Fz(.)2916 b Fh(\003)149 1431 y Fz(W)-8 b(e)36 b(also)e(get)h(a)f(sp)s(ecial)g(represen)m (tation)i(of)f(the)g(inner)g(pro)s(duct)g Ft(H)2719 1395 y Fr(\003)2782 1431 y Fx(\012)24 b Ft(H)39 b Fx(\000)-59 b(!)31 b Fu(K)58 b Fz(b)m(y)36 b(b)s(oth)0 1548 y(in)m(tegrals:)149 1695 y Fv(Corollary)g(4.1.31.)0 1926 y Fz(\(32\))633 b Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)27 b Fz(=)1169 1790 y Fj(Z)1284 1926 y(e)-53 b Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)28 b Fz(=)1896 1790 y Fj(Z)1995 1816 y Fr(\003)2051 1926 y Ft(S)2117 1884 y Fr(\000)p Fl(1)2211 1926 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))2488 1899 y Fj(e)2469 1926 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx:)149 2171 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)35 b(ha)m(v)m(e)h(the)f(rules)f(for)g(the)h(F)-8 b(ourier)33 b(transform.)48 b(F)-8 b(rom)33 b(\(24\))g(w)m(e)j(get)e Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)30 b Fz(=)0 2302 y Fx(h)39 2222 y Fj(R)105 2302 y Ft(;)15 b Fj(e)-53 b Ft(af)11 b Fx(i)37 b Fz(=)448 2222 y Fj(R)529 2302 y(e)-53 b Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx)39 b Fz(and)f(from)f(\(23\))g Fx(h)p Ft(a;)17 b(f)11 b Fx(i)36 b Fz(=)i Fx(h)p Ft(S)2177 2266 y Fr(\000)p Fl(1)2270 2302 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))2415 2276 y Fj(e)2397 2302 y Ft(f)11 b(;)17 b(\016)t Fx(i)37 b Fz(=)2736 2222 y Fj(R)2802 2248 y Fr(\003)2858 2302 y Ft(S)2924 2266 y Fr(\000)p Fl(1)3018 2302 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))3295 2276 y Fj(e)3276 2302 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(dx:)3523 2419 y Fh(\003)149 2611 y Fz(The)35 b(F)-8 b(ourier)32 b(transform)g(leads)h(to)g(an)h(in)m (teresting)f(in)m(tegral)e(transform)i(on)g Ft(H)41 b Fz(b)m(y)34 b(double)0 2727 y(application.)149 2882 y Fv(Prop)s(osition)52 b(4.1.32.)d Fs(The)e(double)g(tr)-5 b(ansform)2145 2856 y Fz(\025)2124 2882 y Ft(f)62 b Fz(:=)51 b(\()p Ft(\016)k(\()c Fz(\()2711 2802 y Fj(R)2828 2882 y Ft(\()g(f)11 b Fz(\)\))47 b Fs(de\014nes)f(an)0 2998 y(automorphism)34 b Ft(H)h Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(H)43 b Fs(with)1328 3198 y Fz(\025)1307 3224 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(y)t Fz(\))26 b(=)1624 3088 y Fj(Z)1740 3224 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(xy)t Fz(\))p Ft(dx:)149 3464 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)581 3630 y Fx(h)p Ft(y)t(;)736 3604 y Fz(\025)716 3630 y Ft(f)9 b Fx(i)32 b Fz(=)c Fx(h)p Ft(y)t(;)17 b Fz(\()p Ft(\016)30 b(\()d Fz(\()1357 3550 y Fj(R)1451 3630 y Ft(\()h(f)11 b Fz(\)\))p Fx(i)27 b Fz(=)g Fx(h)p Fz(\()1958 3550 y Fj(R)2052 3630 y Ft(\()g(f)11 b Fz(\))p Ft(y)t(;)17 b(\016)t Fx(i)844 3746 y Fz(=)948 3671 y Fj(P)1053 3746 y Fx(h)p Fz(\()1130 3666 y Fj(R)1224 3746 y Ft(\()27 b(f)11 b Fz(\))p Ft(;)17 b(\016)1533 3762 y Fl(\(1\))1627 3746 y Fx(ih)p Ft(y)t(;)g(\016)1844 3762 y Fl(\(2\))1937 3746 y Fx(i)27 b Fz(=)2107 3671 y Fj(P)2212 3746 y Fx(h)2251 3666 y Fj(R)2317 3746 y Ft(;)17 b(f)11 b(\016)2463 3762 y Fl(\(1\))2557 3746 y Fx(ih)p Ft(y)t(;)17 b(\016)2774 3762 y Fl(\(2\))2867 3746 y Fx(i)844 3862 y Fz(=)948 3788 y Fj(P)1053 3862 y Fx(h)1092 3782 y Fj(R)1139 3897 y Fl(\(1\))1233 3862 y Ft(;)g(f)11 b Fx(ih)1414 3782 y Fj(R)1460 3897 y Fl(\(2\))1554 3862 y Ft(;)17 b(\016)1641 3878 y Fl(\(1\))1736 3862 y Fx(ih)p Ft(y)t(;)g(\016)1953 3878 y Fl(\(2\))2046 3862 y Fx(i)27 b Fz(=)2216 3788 y Fj(P)2321 3862 y Fx(h)2360 3782 y Fj(R)2406 3897 y Fl(\(1\))2501 3862 y Ft(;)17 b(f)11 b Fx(ih)2682 3782 y Fj(R)2728 3897 y Fl(\(2\))2839 3862 y Ft(y)t(;)17 b(\016)t Fx(i)844 3995 y Fz(=)948 3920 y Fj(P)1053 3995 y Fx(h)1092 3915 y Fj(R)1139 4029 y Fl(\(1\))1233 3995 y Ft(;)g(f)11 b Fx(ih)1414 3915 y Fj(R)1460 4029 y Fl(\(2\))1554 3995 y Ft(;)17 b Fz(\()p Ft(y)31 b(*)c(\016)t Fz(\))p Fx(i)g Fz(=)h Fx(h)2134 3915 y Fj(R)2200 3995 y Ft(;)17 b(f)11 b Fz(\()p Ft(y)30 b(*)e(\016)t Fz(\))p Fx(i)844 4127 y Fz(=)948 4047 y Fj(R)1031 4127 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(x)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\()p Ft(xy)t Fz(\))p Ft(dx)0 4308 y Fz(since)33 b Fx(h)p Ft(x;)17 b Fz(\()p Ft(y)31 b(*)c(\016)t Fz(\))p Fx(i)g Fz(=)h Fx(h)p Ft(xy)t(;)17 b(\016)t Fx(i)p Fz(.)2346 b Fh(\003)1449 4568 y Fv(2.)56 b(Deriv)-6 b(ations)149 4742 y(De\014nition)48 b(4.2.1.)f Fz(Let)c Ft(A)f Fz(b)s(e)h(a)f Fu(K)18 b Fz(-algebra)46 b(and)2187 4757 y Fq(A)2244 4742 y Ft(M)2338 4757 y Fq(A)2438 4742 y Fz(b)s(e)c(an)h Ft(A)p Fz(-)p Ft(A)p Fz(-bimo)s(dule)c(\(with)0 4858 y(iden)m(tical)31 b Fu(K)17 b Fz(-action)38 b(on)32 b(b)s(oth)g(sides\).)44 b(A)33 b(linear)e(map)h Ft(D)e Fz(:)e Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)44 b Fz(is)32 b(called)f(a)i Fs(derivation)e Fz(if)1282 5037 y Ft(D)s Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))d(=)g Ft(aD)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))22 b(+)g Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(b:)0 5216 y Fz(The)34 b(set)f(of)f(deriv)-5 b(ations)31 b(Der)1116 5231 y Fp(K)1172 5216 y Fz(\()p Ft(A;)1327 5231 y Fq(A)1384 5216 y Ft(M)1478 5231 y Fq(A)1535 5216 y Fz(\))i(is)f(a)g Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dule)37 b(and)c(a)f(functor)h(in)2963 5231 y Fq(A)3020 5216 y Ft(M)3114 5231 y Fq(A)3171 5216 y Fz(.)p eop %%Page: 127 130 127 129 bop 1484 251 a Fw(2.)35 b(DERIV)-9 b(A)j(TIONS)1366 b(127)149 450 y Fz(By)34 b(induction)d(one)i(sees)h(that)e Ft(D)k Fz(satis\014es)861 685 y Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)1034 700 y Fl(1)1090 685 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(a)1272 700 y Fq(n)1320 685 y Fz(\))27 b(=)1539 560 y Fq(n)1489 590 y Fj(X)1504 800 y Fq(i)p Fl(=1)1649 685 y Ft(a)1700 700 y Fl(1)1756 685 y Ft(:)17 b(:)g(:)g(a)1939 700 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)2057 685 y Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)2230 700 y Fq(i)2258 685 y Fz(\))p Ft(a)2347 700 y Fq(i)p Fl(+1)2482 685 y Ft(:)g(:)g(:)f(a)2664 700 y Fq(n)2712 685 y Ft(:)149 932 y Fz(Let)43 b Ft(A)g Fz(b)s(e)g(a)f(comm)m(utativ)m(e)g Fu(K)17 b Fz(-algebra)47 b(and)1938 947 y Fq(A)1995 932 y Ft(M)53 b Fz(b)s(e)43 b(an)g Ft(A)p Fz(-mo)s(dule.)71 b(Consider)43 b Ft(M)54 b Fz(as)0 1048 y(an)37 b Ft(A)p Fz(-)p Ft(A)p Fz(-bimo)s(dule)d(b)m(y)k Ft(ma)d Fz(:=)h Ft(am)p Fz(.)57 b(W)-8 b(e)37 b(denote)h(the)f(set)h(of)e(deriv)-5 b(ations)36 b(from)g Ft(A)h Fz(to)f Ft(M)48 b Fz(b)m(y)0 1164 y(Der)156 1179 y Fp(K)212 1164 y Fz(\()p Ft(A;)17 b(M)10 b Fz(\))509 1179 y Fq(c)544 1164 y Fz(.)149 1303 y Fv(Prop)s(osition)52 b(4.2.2.)d Fz(1.)82 b Fs(L)-5 b(et)48 b Ft(A)f Fs(b)-5 b(e)47 b(a)h Fu(K)17 b Fs(-algebr)-5 b(a.)87 b(Then)47 b(the)g(functor)h Fz(Der)3239 1318 y Fp(K)3294 1303 y Fz(\()p Ft(A;)17 b Fs(-)p Fz(\))51 b(:)0 1419 y Ft(A)p Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)16 b(-)p Ft(A)28 b Fx(\000)-57 b(!)27 b(V)n Fs(e)-5 b(c)51 b(is)35 b(r)-5 b(epr)g(esentable)34 b(by)h(the)g Fz(mo)s(dule)c(of)h (di\013eren)m(tials)h(\012)2837 1434 y Fq(A)2895 1419 y Fs(.)149 1535 y Fz(2.)72 b Fs(L)-5 b(et)44 b Ft(A)f Fs(b)-5 b(e)44 b(a)f(c)-5 b(ommutative)43 b Fu(K)18 b Fs(-algebr)-5 b(a.)76 b(Then)43 b(the)g(functor)h Fz(Der)2838 1550 y Fp(K)2894 1535 y Fz(\()p Ft(A;)17 b Fs(-)o Fz(\))3121 1550 y Fq(c)3200 1535 y Fz(:)44 b Ft(A)p Fs(-)p Fx(M)-10 b Fs(o)-5 b(d)0 1651 y Fx(\000)-57 b(!)27 b(V)n Fs(e)-5 b(c)52 b(is)34 b(r)-5 b(epr)g(esentable)34 b(by)h(the)g Fz(mo)s(dule)c(of)h(comm)m(utativ)m(e)g(di\013eren)m(tials)h(\012)2955 1615 y Fq(c)2955 1677 y(A)3013 1651 y Fs(.)149 1822 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(1.)64 b(Represen)m(t)41 b Ft(A)f Fz(as)g(a)f(quotien)m(t)g(of)g(a)g(free)h Fu(K)18 b Fz(-algebra)43 b Ft(A)d Fz(:=)f Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(X)3159 1837 y Fq(i)3192 1822 y Fx(j)p Ft(i)40 b Fx(2)f Ft(J)9 b Fx(i)p Ft(=I)0 1938 y Fz(where)40 b Ft(B)j Fz(=)c Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(X)711 1953 y Fq(i)745 1938 y Fx(j)p Ft(i)38 b Fx(2)h Ft(J)9 b Fx(i)39 b Fz(is)f(the)h(free)g(algebra)f(with)g(generators)i Ft(X)2697 1953 y Fq(i)2725 1938 y Fz(.)62 b(W)-8 b(e)39 b(\014rst)g(pro)m(v)m(e)i(the)0 2054 y(theorem)32 b(for)g(free)h (algebras.)149 2170 y(a\))g(A)f(represen)m(ting)i(mo)s(dule)d(for)h (Der)1574 2185 y Fp(K)1630 2170 y Fz(\()p Ft(B)5 b(;)17 b Fz(-)o(\))32 b(is)h(\(\012)2100 2185 y Fq(B)2161 2170 y Ft(;)17 b(d)27 b Fz(:)g Ft(B)33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fz(\012)2659 2185 y Fq(B)2720 2170 y Fz(\))33 b(with)1175 2331 y(\012)1245 2346 y Fq(B)1334 2331 y Fz(:=)28 b Ft(B)f Fx(\012)c Ft(F)14 b Fz(\()p Ft(dX)1913 2346 y Fq(i)1940 2331 y Fx(j)p Ft(i)28 b Fx(2)g Ft(J)9 b Fz(\))22 b Fx(\012)h Ft(B)0 2491 y Fz(where)38 b Ft(F)14 b Fz(\()p Ft(dX)533 2506 y Fq(i)560 2491 y Fx(j)p Ft(i)34 b Fx(2)g Ft(J)9 b Fz(\))37 b(is)e(the)i(free)g Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dule)41 b(on)36 b(the)g(set)h(of)f(formal)e(sym)m(b)s(ols)i Fx(f)p Ft(dX)3264 2506 y Fq(i)3292 2491 y Fx(j)p Ft(i)e Fx(2)g Ft(J)9 b Fx(g)0 2607 y Fz(as)33 b(a)f(basis.)149 2723 y(W)-8 b(e)43 b(ha)m(v)m(e)h(to)d(sho)m(w)j(that)e(for)g(ev)m(ery)i (deriv)-5 b(ation)40 b Ft(D)47 b Fz(:)d Ft(B)49 b Fx(\000)-59 b(!)44 b Ft(M)53 b Fz(there)43 b(exists)g(a)e(unique)0 2840 y(homomorphisms)30 b Ft(')e Fz(:)g(\012)944 2855 y Fq(B)1032 2840 y Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(M)43 b Fz(of)33 b Ft(B)5 b Fz(-)p Ft(B)g Fz(-bimo)s(dules)30 b(suc)m(h)k(that)e(the)h (diagram)1494 3002 y Ft(B)387 b Fz(\012)2025 3017 y Fq(B)p 1602 2978 325 4 v 1843 2976 a Fm(-)1745 2957 y Fq(d)1657 3242 y(D)1602 3127 y Fm(@)1685 3210 y(@)1768 3293 y(@)1851 3376 y(@)1870 3395 y(@)-83 b(R)1968 3497 y Ft(M)p 2019 3395 4 351 v 2021 3395 a Fm(?)2060 3227 y Fq(')0 3624 y Fz(comm)m(utes.)54 b(The)37 b(mo)s(dule)e(\012)1129 3639 y Fq(B)1226 3624 y Fz(is)h(a)g Ft(B)5 b Fz(-)p Ft(B)g Fz(-bimo)s(dule)33 b(in)i(the)i(canonical)e(w)m(a)m(y)-8 b(.)55 b(The)37 b(pro)s(ducts)0 3740 y Ft(X)81 3755 y Fl(1)137 3740 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)349 3755 y Fq(n)434 3740 y Fz(of)37 b(the)h(generators)g Ft(X)1281 3755 y Fq(i)1346 3740 y Fz(of)g Ft(B)k Fz(form)37 b(a)g(basis)g(for)g Ft(B)5 b Fz(.)59 b(F)-8 b(or)37 b(an)m(y)h(pro)s(duct)g Ft(X)3285 3755 y Fl(1)3341 3740 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)3553 3755 y Fq(n)0 3856 y Fz(w)m(e)32 b(de\014ne)f Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)591 3871 y Fl(1)647 3856 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)859 3871 y Fq(n)906 3856 y Fz(\))28 b(:=)1102 3781 y Fj(P)1207 3808 y Fq(n)1207 3885 y(i)p Fl(=1)1342 3856 y Ft(X)1423 3871 y Fl(1)1479 3856 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)1691 3871 y Fq(i)p Fr(\000)p Fl(1)1828 3856 y Fx(\012)i Ft(dX)2055 3871 y Fq(i)2101 3856 y Fx(\012)g Ft(X)2277 3871 y Fq(i)p Fl(+1)2412 3856 y Ft(:)f(:)g(:)f(X)2624 3871 y Fq(n)2701 3856 y Fz(in)30 b(particular)f Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)3431 3871 y Fq(i)3459 3856 y Fz(\))e(=)0 3972 y(1)12 b Fx(\012)g Ft(dX)282 3987 y Fq(i)321 3972 y Fx(\012)g Fz(1.)41 b(T)-8 b(o)28 b(see)g(that)g Ft(d)f Fz(is)g(a)g(deriv)-5 b(ation)25 b(it)i(su\016ces)i(to)e(sho)m(w)i(this)e(on)g(the)h(basis)g(elemen)m (ts:)398 4121 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)568 4136 y Fl(1)624 4121 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)836 4136 y Fq(k)879 4121 y Ft(X)960 4136 y Fq(k)r Fl(+1)1109 4121 y Ft(:)h(:)g(:)f(X)1321 4136 y Fq(n)1368 4121 y Fz(\))879 4251 y(=)982 4176 y Fj(P)1088 4202 y Fq(k)1088 4280 y(j)t Fl(=1)1231 4251 y Ft(X)1312 4266 y Fl(1)1368 4251 y Ft(:)h(:)g(:)f(X)1580 4266 y Fq(j)t Fr(\000)p Fl(1)1729 4251 y Fx(\012)22 b Ft(dX)1960 4266 y Fq(j)2019 4251 y Fx(\012)g Ft(X)2199 4266 y Fq(j)t Fl(+1)2343 4251 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)2555 4266 y Fq(k)2597 4251 y Ft(X)2678 4266 y Fq(k)r Fl(+1)2828 4251 y Ft(:)h(:)g(:)f(X)3040 4266 y 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Ft(')p Fz(\(1)25 b Fx(\012)g Ft(dX)2644 4674 y Fq(i)2697 4659 y Fx(\012)h Fz(1\))34 b(:=)g Ft(D)s Fz(\()p Ft(X)3261 4674 y Fq(i)3289 4659 y Fz(\).)56 b(This)0 4775 y(map)29 b(ob)m(viously)g(extends)i(to)e(a)g(homomorphism)e(of)h Ft(B)5 b Fz(-)p Ft(B)g Fz(-bimo)s(dules.)41 b(F)-8 b(urthermore)28 b(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)212 4929 y Ft('d)p Fz(\()p Ft(X)446 4944 y Fl(1)502 4929 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)714 4944 y Fq(n)761 4929 y Fz(\))32 b(=)c Ft(')p Fz(\()1037 4854 y Fj(P)1142 4958 y Fq(j)1195 4929 y Ft(X)1276 4944 y Fl(1)1332 4929 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)1544 4944 y Fq(j)t Fr(\000)p Fl(1)1693 4929 y Fx(\012)22 b Ft(dX)1924 4944 y Fq(j)1983 4929 y Fx(\012)g Ft(X)2163 4944 y Fq(j)t Fl(+1)2307 4929 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(X)2519 4944 y Fq(n)2566 4929 y Fz(\))831 5052 y(=)935 4977 y Fj(P)1040 5081 y Fq(j)1093 5052 y Ft(X)1174 5067 y Fl(1)1230 5052 y Ft(:)h(:)g(:)f(X) 1442 5067 y Fq(j)t Fr(\000)p Fl(1)1569 5052 y Ft(')p Fz(\(1)21 b Fx(\012)i Ft(dX)1973 5067 y Fq(j)2031 5052 y Fx(\012)g Fz(1\))p Ft(X)2299 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Ft(b'd)156 4766 y Fq(B)217 4751 y Fz(\()p Ft(i)p Fz(\))c(=)p 457 4670 V 27 w Ft(b)q(D)s Fz(\()p 621 4673 34 4 v Ft(i)o Fz(\))g(=)g(0)i(and)g(similarly)c Ft(')p Fz(\()p Ft(d)1638 4766 y Fq(B)1699 4751 y Fz(\()p Ft(i)p Fz(\))p Ft(b)p Fz(\))i(=)f(0.)43 b(Hence)31 b Ft(')f Fz(v)-5 b(anishes)31 b(on)f Ft(I)8 b Fz(\012)3153 4766 y Fq(B)3232 4751 y Fz(+)17 b(\012)3395 4766 y Fq(B)3456 4751 y Ft(I)25 b Fz(+)0 4867 y Ft(B)5 b(d)130 4882 y Fq(B)190 4867 y Fz(\()p Ft(I)j Fz(\))13 b(+)g Ft(d)470 4882 y Fq(B)530 4867 y Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))p Ft(B)33 b Fz(and)28 b(th)m(us)h(factorizes)f (through)g(a)f(unique)i(map)e Ft( )32 b Fz(:)27 b(\012)2770 4882 y Fq(A)2856 4867 y Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(M)10 b Fz(.)43 b(Ob)m(viously)0 4983 y Ft( )32 b Fz(is)c(a)f(homomorphism)f (of)h Ft(A)p Fz(-)p Ft(A)p Fz(-bimo)s(dules.)40 b(F)-8 b(urthermore)27 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h Ft(D)s(\027)k Fz(=)27 b Ft('d)3072 4998 y Fq(B)3160 4983 y Fz(=)h Ft( )t(\027)6 b(d)3436 4998 y Fq(B)3524 4983 y Fz(=)0 5099 y Ft( )t(d)118 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g(the)h(pro)s(of)f(in)g(the)0 683 y(noncomm)m(utativ)m(e)e(situation.) 2380 b Fh(\003)149 889 y Fv(Remark)32 b(4.2.3.)39 b Fz(1.)j(\012)1057 904 y Fq(A)1143 889 y Fz(is)28 b(generated)h(b)m(y)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(A)p Fz(\))f(as)g(a)g(bimo)s(dule,)f(hence)j(all)c (elemen)m(ts)j(are)0 1006 y(of)j(the)h(form)509 931 y Fj(P)615 1035 y Fq(i)659 1006 y Ft(a)710 1021 y Fq(i)739 1006 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)879 969 y Fr(0)879 1030 y Fq(i)907 1006 y Fz(\))p Ft(a)996 969 y Fr(00)996 1030 y Fq(i)1038 1006 y Fz(.)44 b(These)34 b(elemen)m(ts)f(are)g(called)e Fs(di\013er)-5 b(entials)p Fz(.)149 1138 y(2.)43 b(If)32 b Ft(A)c Fz(=)f Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(X)761 1153 y Fq(i)795 1138 y Fx(i)p Ft(=I)8 b Fz(,)31 b(then)i(\012)1284 1153 y Fq(A)1373 1138 y Fz(is)e(generated)i(as)f(a)f(bimo)s(dule)f(b)m(y)i (the)h(elemen)m(ts)f Fx(f)p 3288 1051 236 4 v Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)3458 1153 y Fq(i)3485 1138 y Fz(\))p Fx(g)p Fz(.)149 1254 y(3.)69 b(Let)41 b Ft(f)53 b Fx(2)43 b Ft(B)k Fz(=)42 b Fu(K)18 b Fx(h)p Ft(X)1118 1269 y Fq(i)1152 1254 y Fx(i)p Fz(.)68 b(Let)42 b Ft(B)1549 1218 y Fq(op)1664 1254 y Fz(b)s(e)f(the)g(algebra)f(opp)s(osite)h(to)g Ft(B)46 b Fz(\(with)40 b(opp)s(osite)0 1370 y(m)m(ultiplication\).)e (Then)31 b(\012)1023 1385 y Fq(B)1111 1370 y Fz(=)d Ft(B)21 b Fx(\012)16 b Ft(F)e Fz(\()p Ft(dX)1650 1385 y Fq(i)1678 1370 y Fz(\))i Fx(\012)g Ft(B)35 b Fz(is)30 b(the)g(free)g Ft(B)21 b Fx(\012)16 b Ft(B)2646 1334 y Fq(op)2750 1370 y Fz(left)29 b(mo)s(dule)f(o)m(v)m(er)j(the)0 1486 y(free)i(generating) f(set)h Fx(f)p Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)1036 1501 y Fq(i)1064 1486 y Fz(\))p Fx(g)p Fz(.)43 b(Hence)34 b Ft(d)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))32 b(has)h(a)f(unique)h(represen)m(tation)1351 1730 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)1667 1635 y Fj(X)1727 1845 y Fq(i)1863 1663 y Ft(@)5 b(f)p 1838 1707 167 4 v 1838 1798 a(@)g(X)1975 1813 y Fq(i)2014 1730 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)2184 1745 y Fq(i)2211 1730 y Fz(\))0 2007 y(with)32 b(uniquely)h(de\014ned)h(co)s(e\016cien)m(ts) 1491 2177 y Ft(@)5 b(f)p 1466 2222 V 1466 2313 a(@)g(X)1603 2328 y Fq(i)1669 2245 y Fx(2)28 b Ft(B)g Fx(\012)22 b Ft(B)2043 2204 y Fq(op)2117 2245 y Ft(:)149 2480 y Fz(In)33 b(the)g(comm)m(utativ)m(e)f(situation)f(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)f(unique)g (co)s(e\016cien)m(ts)1547 2650 y Ft(@)5 b(f)p 1522 2695 V 1522 2786 a(@)g(X)1659 2801 y Fq(i)1726 2718 y Fx(2)28 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(X)1999 2733 y Fq(i)2034 2718 y Fz(])p Ft(:)149 2953 y Fz(4.)44 b(W)-8 b(e)33 b(giv)m(e)f(the)h(follo)m (wing)d(examples)j(for)f(part)g(3:)1586 3123 y Ft(@)5 b(X)1723 3138 y Fq(i)p 1582 3168 175 4 v 1582 3259 a Ft(@)g(X)1719 3274 y Fq(j)1794 3191 y Fz(=)27 b Ft(\016)1940 3206 y Fq(ij)2001 3191 y Ft(;)1427 3381 y(@)5 b(X)1564 3396 y Fl(1)1604 3381 y Ft(X)1685 3396 y Fl(2)p 1427 3425 298 4 v 1487 3516 a Ft(@)g(X)1624 3531 y Fl(1)1762 3448 y Fz(=)27 b(1)22 b Fx(\012)h Ft(X)2117 3463 y Fl(2)2156 3448 y Ft(;)1427 3638 y(@)5 b(X)1564 3653 y Fl(1)1604 3638 y Ft(X)1685 3653 y Fl(2)p 1427 3682 V 1487 3774 a Ft(@)g(X)1624 3789 y Fl(2)1762 3705 y Fz(=)27 b Ft(X)1946 3720 y Fl(1)2008 3705 y Fx(\012)c Fz(1)p Ft(;)1331 3895 y(@)5 b(X)1468 3910 y Fl(1)1508 3895 y Ft(X)1589 3910 y Fl(2)1628 3895 y Ft(X)1709 3910 y Fl(3)p 1331 3940 419 4 v 1451 4031 a Ft(@)g(X)1588 4046 y Fl(2)1786 3962 y Fz(=)28 b Ft(X)1971 3977 y Fl(1)2032 3962 y Fx(\012)23 b Ft(X)2213 3977 y Fl(3)2252 3962 y Ft(;)1306 4152 y(@)5 b(X)1443 4167 y Fl(1)1483 4152 y Ft(X)1564 4167 y Fl(3)1604 4152 y Ft(X)1685 4167 y Fl(2)p 1306 4197 V 1427 4288 a Ft(@)g(X)1564 4303 y Fl(2)1762 4220 y Fz(=)27 b Ft(X)1946 4235 y Fl(1)1986 4220 y Ft(X)2067 4235 y Fl(3)2128 4220 y Fx(\012)c Fz(1)p Ft(:)0 4454 y Fz(This)33 b(is)f(obtained)g(b)m(y)h (direct)g(calculation)d(or)i(b)m(y)i(the)f Fs(pr)-5 b(o)g(duct)35 b(rule)1091 4625 y Ft(@)5 b(f)11 b(g)p 1091 4670 167 4 v 1091 4761 a(@)5 b(X)1228 4776 y Fq(i)1295 4693 y Fz(=)27 b(\(1)22 b Fx(\012)h Ft(g)t Fz(\))1730 4625 y Ft(@)5 b(f)p 1706 4670 V 1706 4761 a(@)g(X)1843 4776 y Fq(i)1903 4693 y Fz(+)22 b(\()p Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Fz(1\))2345 4625 y Ft(@)5 b(g)p 2316 4670 V 2316 4761 a(@)g(X)2453 4776 y Fq(i)2492 4693 y Ft(:)0 4927 y Fz(The)34 b(pro)s(duct)e(rule)g(follo)m(ws)g(from)467 5165 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(f)11 b(g)t Fz(\))26 b(=)i Ft(d)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))p Ft(g)25 b Fz(+)d Ft(f)11 b(d)p Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))26 b(=)1556 5071 y Fj(X)1700 5165 y Fz(\(\(1)c Fx(\012)h Ft(g)t Fz(\))2070 5098 y Ft(@)5 b(f)p 2046 5143 V 2046 5234 a(@)g(X)2183 5249 y Fq(i)2243 5165 y Fz(+)22 b(\()p Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Fz(1\))2686 5098 y Ft(@)5 b(g)p 2656 5143 V 2656 5234 a(@)g(X)2793 5249 y Fq(i)2832 5165 y Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(X)3040 5180 y Fq(i)3068 5165 y Fz(\))p Ft(:)p eop %%Page: 130 133 130 132 bop 0 251 a Fw(130)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 462 y Fz(Let)33 b Ft(A)28 b Fz(=)g Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(X)720 477 y Fq(i)754 462 y Fx(i)p Ft(=I)8 b Fz(.)43 b(If)32 b Ft(f)39 b Fx(2)28 b Ft(I)40 b Fz(then)p 1546 375 186 4 v 33 w Ft(d)p Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)h Ft(d)1914 477 y Fq(A)1971 462 y Fz(\()p 2009 381 59 4 v Ft(f)10 b Fz(\))28 b(=)f(0)33 b(hence)1377 583 y Fj(X)1573 611 y Ft(@)5 b(f)p 1547 655 167 4 v 1547 746 a(@)g(X)1684 761 y Fq(i)1723 678 y Ft(d)1774 693 y Fq(A)1831 678 y Fz(\()p 1869 598 110 4 v Ft(X)1950 693 y Fq(i)1978 678 y Fz(\))28 b(=)f(0)p Ft(:)0 904 y Fz(These)h(are)f(the)g(de\014ning)f(relations)f(for)h(the)h Ft(A)p Fz(-)p Ft(A)p Fz(-bimo)s(dule)c(\012)2352 919 y Fq(A)2436 904 y Fz(with)j(the)h(generators)g Ft(d)3331 919 y Fq(A)3388 904 y Fz(\()p 3426 824 V Ft(X)3507 919 y Fq(i)3535 904 y Fz(\).)149 1032 y(F)-8 b(or)35 b(motiv)-5 b(ation)33 b(of)i(the)h(quan)m(tum)g(group)f(case)i(w)m(e)g(consider)e (an)h(a\016ne)g(algebraic)e(group)0 1148 y Ft(G)c Fz(with)f(represen)m (ting)i(comm)m(utativ)m(e)e(Hopf)h(algebra)e Ft(A)p Fz(.)43 b(Recall)28 b(that)i(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))29 b(is)h(an)f(alge-)0 1265 y(bra)45 b(with)g(the)h(con)m(v)m(olution)e(m) m(ultiplication)d(for)k(ev)m(ery)i Ft(R)j Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)62 b Fz(and)45 b(that)g Ft(G)p Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))k(=)0 1381 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(A;)h(R)q Fz(\))59 b Fx(\022)h Fz(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))51 b(is)g(a)g(subgroup)g (of)g(the)g(group)g(of)g(units)g(of)g(the)g(algebra)0 1497 y(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\).)149 1637 y Fv(De\014nition)25 b(and)i(Remark)f(4.2.4.)34 b Fz(A)23 b(linear)e(map)h Ft(T)41 b Fz(:)28 b Ft(A)g Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(A)c Fz(is)f(called)g Fs(left)j(tr)-5 b(anslation)0 1753 y(invariant)p Fz(,)32 b(if)f(the)i(follo)m(wing)d(diagram)h(functorial)f(in)i Ft(R)d Fx(2)f Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)49 b Fz(comm)m(utes:)850 2306 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))22 b Fx(\002)g Fz(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))533 b(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))p 1699 2283 467 4 v 2083 2281 a Fm(-)1907 2347 y Fx(\003)850 1916 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))22 b Fx(\002)g Fz(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))533 b(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))p 1699 1893 V 2083 1891 a Fm(-)1907 1873 y Fx(\003)p 1258 2213 4 254 v 1260 2213 a Fm(?)809 2103 y Fl(1)p Fr(\012)p Fl(Hom)o(\()p Fq(T)6 b(;R)p Fl(\))p 2428 2213 V 2430 2213 a Fm(?)2469 2103 y Fl(Hom)o(\()p Fq(T)g(;R)p Fl(\))0 2470 y Fz(i.)32 b(e.)44 b(if)31 b(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)641 2633 y Fx(8)p Ft(g)d Fx(2)d Ft(G)p Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))p Ft(;)17 b Fx(8)p Ft(x)28 b Fx(2)g Fz(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(R)q Fz(\))28 b(:)g Ft(g)d Fx(\003)d Fz(\()p Ft(x)g Fx(\016)g Ft(T)14 b Fz(\))28 b(=)f(\()p Ft(g)f Fx(\003)c Ft(x)p Fz(\))g Fx(\016)g Ft(T)8 b(:)0 2796 y Fz(This)33 b(condition)e(is)h (equiv)-5 b(alen)m(t)32 b(to)0 2958 y(\(33\))1092 b(\001)1347 2973 y Fq(A)1426 2958 y Fx(\016)22 b Ft(T)42 b Fz(=)27 b(\(1)1787 2973 y Fq(A)1866 2958 y Fx(\012)c Ft(T)14 b Fz(\))22 b Fx(\016)g Fz(\001)2250 2973 y Fq(A)2307 2958 y Ft(:)149 3121 y Fz(In)31 b(fact)g(if)e(\(33\))h(holds)g(then)i Ft(g)21 b Fx(\003)d Fz(\()p Ft(x)g Fx(\016)g Ft(T)c Fz(\))27 b(=)h Fx(r)1863 3136 y Fq(R)1921 3121 y Fz(\()p Ft(g)21 b Fx(\012)e Ft(x)p Fz(\)\(1)2303 3136 y Fq(A)2378 3121 y Fx(\012)f Ft(T)c Fz(\)\001)2663 3136 y Fq(A)2748 3121 y Fz(=)27 b Fx(r)2934 3136 y Fq(R)2992 3121 y Fz(\()p Ft(g)22 b Fx(\012)c Ft(x)p Fz(\)\001)3368 3136 y Fq(A)3426 3121 y Ft(T)41 b Fz(=)0 3237 y(\()p Ft(g)25 b Fx(\003)d Ft(x)p Fz(\))h Fx(\016)f Ft(T)14 b Fz(.)149 3354 y(Con)m(v)m(ersely)50 b(if)d(the)h(diagram)e(comm)m(utes,)51 b(then)e(tak)m(e)f Ft(R)55 b Fz(=)f Ft(A)p Fz(,)d Ft(g)57 b Fz(=)d(1)3002 3369 y Fq(A)3106 3354 y Fz(and)48 b(w)m(e)h(get)0 3470 y Fx(r)83 3485 y Fq(A)140 3470 y Fz(\(1)227 3485 y Fq(A)307 3470 y Fx(\012)23 b Ft(x)p Fz(\)\(1)587 3485 y Fq(A)667 3470 y Fx(\012)h Ft(T)14 b Fz(\)\001)958 3485 y Fq(A)1044 3470 y Fz(=)30 b(1)1199 3485 y Fq(A)1278 3470 y Fx(\003)23 b Fz(\()p Ft(x)g Fx(\016)g Ft(T)14 b Fz(\))30 b(=)f(\(1)1871 3485 y Fq(A)1951 3470 y Fx(\003)22 b Ft(x)p Fz(\))i Fx(\016)f Ft(T)43 b Fz(=)29 b Fx(r)2501 3485 y Fq(A)2558 3470 y Fz(\(1)2645 3485 y Fq(A)2725 3470 y Fx(\012)24 b Ft(x)p Fz(\)\001)3000 3485 y Fq(A)3057 3470 y Ft(T)48 b Fz(for)33 b(all)e Ft(x)g Fx(2)0 3586 y Fz(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(A)p Fz(\).)41 b(T)-8 b(o)26 b(get)g(\(33\))f(it)f(su\016ces)k(to)d(sho)m(w) i(that)f(the)g(terms)f Fx(r)2504 3601 y Fq(A)2561 3586 y Fz(\(1)2648 3601 y Fq(A)2713 3586 y Fx(\012)8 b Ft(x)p Fz(\))26 b(can)g(b)s(e)g(cancelled)0 3702 y(in)d(this)h(equation.)40 b(Let)886 3628 y Fj(P)991 3654 y Fq(n)991 3731 y(i)p Fl(=1)1126 3702 y Ft(a)1177 3717 y Fq(i)1210 3702 y Fx(\012)t Ft(b)1332 3717 y Fq(i)1389 3702 y Fx(2)28 b Ft(A)t Fx(\012)t Ft(A)e Fz(b)s(e)e(giv)m(en)g(suc)m(h)h(that)f Fx(r)2607 3717 y Fq(A)2664 3702 y Fz(\(1)2751 3717 y Fq(A)2812 3702 y Fx(\012)t Ft(x)p Fz(\)\()3024 3628 y Fj(P)3147 3702 y Ft(a)3198 3717 y Fq(i)3231 3702 y Fx(\012)t Ft(b)3353 3717 y Fq(i)3382 3702 y Fz(\))k(=)f(0)0 3819 y(for)33 b(all)e Ft(x)f Fx(2)g Fz(Hom)o(\()p Ft(A;)17 b(A)p Fz(\))34 b(and)f(c)m(ho)s(ose)i(suc)m(h)g(an)e(elemen)m(t)g(with)h(a)f(shortest) i(represen)m(tation)f(\()p Ft(n)0 3935 y Fz(minimal\).)k(Then)707 3860 y Fj(P)829 3935 y Ft(a)880 3950 y Fq(i)908 3935 y Ft(x)p Fz(\()p Ft(b)1042 3950 y Fq(i)1071 3935 y Fz(\))28 b(=)f(0)j(for)g(all)e Ft(x)p Fz(.)44 b(Since)30 b(the)h Ft(b)2184 3950 y Fq(i)2243 3935 y Fz(are)f(linearly)e(indep)s(enden)m (t)k(in)d(suc)m(h)0 4051 y(a)35 b(shortest)i(represen)m(tation,)g (there)f(are)g Ft(x)1598 4066 y Fq(i)1662 4051 y Fz(with)f Ft(x)1942 4066 y Fq(j)1979 4051 y Fz(\()p Ft(b)2058 4066 y Fq(i)2087 4051 y Fz(\))d(=)h Ft(\016)2309 4066 y Fq(ij)2370 4051 y Fz(.)52 b(Hence)37 b Ft(a)2793 4066 y Fq(j)2863 4051 y Fz(=)2971 3976 y Fj(P)3093 4051 y Ft(a)3144 4066 y Fq(i)3172 4051 y Ft(x)3227 4066 y Fq(j)3264 4051 y Fz(\()p Ft(b)3343 4066 y Fq(i)3372 4051 y Fz(\))c(=)f(0)0 4167 y(and)h(th)m(us)404 4093 y Fj(P)526 4167 y Ft(a)577 4182 y Fq(i)628 4167 y Fx(\012)22 b Ft(b)768 4182 y Fq(i)825 4167 y Fz(=)27 b(0.)43 b(F)-8 b(rom)31 b(this)i(follo)m(ws)e(\(33\).) 149 4307 y Fv(De\014nition)64 b(4.2.5.)54 b Fz(Let)j Ft(H)64 b Fz(b)s(e)56 b(an)h(arbitrary)e(Hopf)i(algebra.)114 b(An)56 b(elemen)m(t)h Ft(T)82 b Fx(2)0 4423 y Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\))32 b(is)g(called)f Fs(left)k(tr)-5 b(anslation)35 b(invariant)d Fz(if)f(it)g(satis\014es)1345 4586 y(\001)1426 4601 y Fq(H)1493 4586 y Ft(T)42 b Fz(=)27 b(\(1)1782 4601 y Fq(H)1871 4586 y Fx(\012)c Ft(T)14 b Fz(\)\001)2161 4601 y Fq(H)2228 4586 y Ft(:)149 4749 y Fv(Prop)s(osition)26 b(4.2.6.)36 b Fs(L)-5 b(et)28 b Ft(H)35 b Fs(b)-5 b(e)27 b(an)f(arbitr)-5 b(ary)28 b(Hopf)f(algebr)-5 b(a.)42 b(Then)26 b Fz(\010)i(:)g Ft(H)3047 4713 y Fr(\003)3114 4749 y Fx(\000)-57 b(!)27 b Fz(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\))0 4865 y Fs(with)35 b Fz(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(:=)h(id)16 b Fx(\003)p Ft(u)779 4880 y Fq(H)846 4865 y Ft(f)45 b Fs(is)35 b(an)f(algebr)-5 b(a)34 b(monomorphism)f(satisfying)1298 5028 y Fz(\010\()p Ft(f)h Fx(\003)21 b Ft(g)t Fz(\))27 b(=)h(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\))22 b Fx(\016)g Fz(\010\()p Ft(g)t Fz(\))p Ft(:)0 5191 y Fs(The)29 b(image)g(of)g Fz(\010)h Fs(is)f(pr)-5 b(e)g(cisely)29 b(the)h(set)f(of)g(left)h(tr)-5 b(anslation)29 b(invariant)g(elements)f Ft(T)42 b Fx(2)28 b Fz(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\))p Fs(.)p eop %%Page: 131 134 131 133 bop 846 251 a Fw(3.)35 b(THE)e(LIE)g(ALGEBRA)g(OF)g(PRIMITIVE)g (ELEMENTS)732 b(131)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(F)-8 b(or)36 b Ft(f)45 b Fx(2)35 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\))43 b(w)m(e)37 b(ha)m(v)m(e)h Ft(u)1859 465 y Fq(H)1926 450 y Ft(f)45 b Fx(2)34 b Fz(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\))36 b(hence)i(id)15 b Fx(\003)p Ft(u)2973 465 y Fq(H)3040 450 y Ft(f)45 b Fx(2)35 b Fz(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)0 566 y(Th)m(us)34 b(\010)f(is)f(a)g(w)m(ell)g (de\014ned)i(homomorphism.)41 b(Observ)m(e)35 b(that)883 751 y(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(=)h(\(id)1465 766 y Fq(H)1555 751 y Fx(\003)21 b Ft(u)1682 766 y Fq(H)1749 751 y Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)2104 656 y Fj(X)2265 751 y Ft(a)2316 766 y Fl(\(1\))2410 751 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)2558 766 y Fl(\(2\))2652 751 y Fz(\))p Ft(:)149 940 y Fz(\010)29 b(is)e(injectiv)m(e)h(since)h(it)e (has)h(a)g(retraction)g(End\()p Ft(H)8 b Fz(\))27 b Fx(3)i Ft(g)h Fx(7!)e Ft(")2456 955 y Fq(H)2536 940 y Fx(\016)13 b Ft(g)30 b Fx(2)e Fz(Hom\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\).)48 b(In)28 b(fact)0 1057 y(w)m(e)37 b(ha)m(v)m(e)h(\()p Ft(")p Fz(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\)\)\()p Ft(a)p Fz(\))34 b(=)g Ft(")p Fz(\()1058 982 y Fj(P)1180 1057 y Ft(a)1231 1072 y Fl(\(1\))1325 1057 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)1473 1072 y Fl(\(2\))1567 1057 y Fz(\)\))34 b(=)1788 982 y Fj(P)1909 1057 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)2044 1072 y Fl(\(1\))2138 1057 y Fz(\))p Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)2324 1072 y Fl(\(2\))2419 1057 y Fz(\))34 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()2698 982 y Fj(P)2819 1057 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)2954 1072 y Fl(\(1\))3048 1057 y Fz(\))p Ft(a)3137 1072 y Fl(\(2\))3232 1057 y Fz(\))34 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))0 1173 y(hence)34 b Ft(")p Fz(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)h Ft(f)11 b Fz(.)149 1289 y(The)31 b(map)f(\010)g(preserv)m(es)j(the)e (algebra)e(unit)g(since)i(\010\(1)2180 1304 y Fq(H)2243 1285 y Fk(\003)2283 1289 y Fz(\))d(=)f(\010\()p Ft(")2606 1304 y Fq(H)2673 1289 y Fz(\))h(=)g(id)2924 1304 y Fq(H)3008 1289 y Fx(\003)p Ft(u)3114 1304 y Fq(H)3180 1289 y Ft(")3226 1304 y Fq(H)3321 1289 y Fz(=)f(id)3506 1304 y Fq(H)3573 1289 y Fz(.)149 1405 y(The)50 b(map)e(\010)i(is)e(compatible)f(with)i (the)g(m)m(ultiplication:)71 b(\010\()p Ft(f)45 b Fx(\003)33 b Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))55 b(=)3153 1331 y Fj(P)3275 1405 y Ft(a)3326 1421 y Fl(\(1\))3420 1405 y Fz(\()p Ft(f)44 b Fx(\003)0 1522 y Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(a)178 1537 y Fl(\(2\))272 1522 y Fz(\))49 b(=)484 1447 y Fj(P)606 1522 y Ft(a)657 1537 y Fl(\(1\))751 1522 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)899 1537 y Fl(\(2\))993 1522 y Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)1171 1537 y Fl(\(3\))1265 1522 y Fz(\))49 b(=)1477 1447 y Fj(P)1583 1522 y Fz(\(id)15 b Fx(\003)p Ft(u)1824 1537 y Fq(H)1891 1522 y Ft(f)c Fz(\)\()p Ft(a)2077 1537 y Fl(\(1\))2171 1522 y Fz(\))p Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)2349 1537 y Fl(\(2\))2443 1522 y Fz(\))49 b(=)g(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()2898 1447 y Fj(P)3020 1522 y Ft(a)3071 1537 y Fl(\(1\))3165 1522 y Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)3305 1537 y Fl(\(2\))3399 1522 y Fz(\)\))49 b(=)0 1638 y(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\)\010\()p Ft(g)t Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))32 b(so)h(that)f(\010\()p Ft(f)i Fx(\003)22 b Ft(g)t Fz(\))k(=)i(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\))22 b Fx(\016)g Fz(\010\()p Ft(g)t Fz(\).)149 1754 y(F)-8 b(or)34 b(eac)m(h)g Ft(f)41 b Fx(2)30 b Ft(H)820 1718 y Fr(\003)893 1754 y Fz(the)35 b(elemen)m(t)e(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\))34 b(is)g(left)f(translation)f(in)m(v)-5 b(arian)m(t)32 b(since)j(\001\010\()p Ft(f)11 b Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))30 b(=)0 1870 y(\001\()119 1796 y Fj(P)241 1870 y Ft(a)292 1886 y Fl(\(1\))387 1870 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)535 1886 y Fl(\(2\))629 1870 y Fz(\)\))27 b(=)836 1796 y Fj(P)958 1870 y Ft(a)1009 1886 y Fl(\(1\))1125 1870 y Fx(\012)c Ft(a)1276 1886 y Fl(\(2\))1370 1870 y Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)1518 1886 y Fl(\(3\))1613 1870 y Fz(\))27 b(=)h(\(1)22 b Fx(\012)g Fz(\010\()p Ft(f)11 b Fz(\)\)\001\()p Ft(a)p Fz(\).)149 1986 y(Let)27 b Ft(T)42 b Fx(2)28 b Fz(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\))26 b(b)s(e)h(left)f (translation)f(in)m(v)-5 b(arian)m(t)25 b(then)j Ft(S)16 b Fx(\003)10 b Ft(T)42 b Fz(=)27 b Fx(r)2698 2001 y Fq(H)2765 1986 y Fz(\()p Ft(S)16 b Fx(\012)10 b Fz(1\)\(1)g Fx(\012)g Ft(T)k Fz(\)\001)3427 2001 y Fq(H)3524 1986 y Fz(=)0 2103 y Fx(r)83 2118 y Fq(H)150 2103 y Fz(\()p Ft(S)29 b Fx(\012)24 b Fz(1\)\001)546 2118 y Fq(H)613 2103 y Ft(T)45 b Fz(=)30 b Ft(u)877 2118 y Fq(H)944 2103 y Ft(")990 2118 y Fq(H)1057 2103 y Ft(T)14 b Fz(.)49 b(Th)m(us)36 b(\010\()p Ft("T)14 b Fz(\))30 b(=)h(id)16 b Fx(\003)p Ft(u)2057 2118 y Fq(H)2123 2103 y Ft(")2169 2118 y Fq(H)2236 2103 y Ft(T)44 b Fz(=)31 b(id)16 b Fx(\003)p Ft(S)29 b Fx(\003)23 b Ft(T)45 b Fz(=)30 b Ft(T)14 b Fz(,)35 b(so)f(that)g Ft(T)48 b Fz(is)0 2219 y(in)32 b(the)h(image)e(of)h (\010.)2751 b Fh(\003)149 2399 y Fv(Prop)s(osition)40 b(4.2.7.)k Fs(L)-5 b(et)39 b Ft(d)34 b Fx(2)g Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)h Fz(\))44 b Fs(and)38 b Fz(\010\()p Ft(d)p Fz(\))c(=)g Ft(D)j Fx(2)d Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\))38 b Fs(b)-5 b(e)38 b(given.)0 2515 y(The)c(fol)5 b(lowing)34 b(ar)-5 b(e)34 b(e)-5 b(quivalent:)198 2657 y Fz(\(1\))41 b Ft(d)28 b Fz(:)g Ft(H)35 b Fx(\000)-57 b(!)761 2672 y Fq(")798 2657 y Fu(K)869 2672 y Fq(")947 2657 y Fs(is)34 b(a)h(derivation.)198 2773 y Fz(\(2\))41 b Ft(D)31 b Fz(:)d Ft(H)35 b Fx(\000)-57 b(!)794 2788 y Fq(H)861 2773 y Ft(H)942 2788 y Fq(H)1044 2773 y Fs(is)35 b(a)f(\(left)h(tr)-5 b(anslation)35 b(invariant\))f(derivation.)0 2916 y(In)i(p)-5 b(articular)36 b Fz(\010)h Fs(induc)-5 b(es)36 b(an)g(isomorphism)e(b)-5 b(etwe)g(en)36 b(the)g(set)h(of)f (derivations)f Ft(d)30 b Fz(:)h Ft(H)38 b Fx(\000)-57 b(!)3449 2931 y Fq(")3486 2916 y Fu(K)3557 2931 y Fq(")0 3032 y Fs(and)34 b(the)h(set)g(of)g(left)g(tr)-5 b(anslation)34 b(invariant)g(derivations)g Ft(D)c Fz(:)e Ft(H)35 b Fx(\000)-57 b(!)2628 3047 y Fq(H)2695 3032 y Ft(H)2776 3047 y Fq(H)2843 3032 y Fs(.)149 3212 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Assume)j(that)f(1.)76 b(holds)44 b(so)g(that)f Ft(d)h Fz(satis\014es)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))j(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))29 b(+)h Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)0 3328 y(Then)47 b(w)m(e)g(get)f Ft(D)s Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))51 b(=)f(\010\()p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(ab)p Fz(\))h(=)1573 3253 y Fj(P)1694 3328 y Ft(a)1745 3344 y Fl(\(1\))1840 3328 y Ft(b)1881 3344 y Fl(\(1\))1976 3328 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)2116 3344 y Fl(\(2\))2210 3328 y Ft(b)2251 3344 y Fl(\(2\))2346 3328 y Fz(\))f(=)2560 3253 y Fj(P)2682 3328 y Ft(a)2733 3344 y Fl(\(1\))2828 3328 y Ft(b)2869 3344 y Fl(\(1\))2963 3328 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)3098 3344 y Fl(\(2\))3193 3328 y Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)3361 3344 y Fl(\(2\))3455 3328 y Fz(\))31 b(+)0 3370 y Fj(P)122 3444 y Ft(a)173 3460 y Fl(\(1\))267 3444 y Ft(b)308 3460 y Fl(\(1\))403 3444 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)543 3460 y Fl(\(2\))637 3444 y Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)800 3460 y Fl(\(2\))895 3444 y Fz(\))37 b(=)h Ft(aD)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))26 b(+)g Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(b:)39 b Fz(Con)m(v)m(ersely)i (assume)e(that)f Ft(D)s Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))g(=)g Ft(aD)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))26 b(+)0 3560 y Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(b)p Fz(.)44 b(Then)33 b Ft(d)p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))28 b(=)g Ft("D)s Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))f(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft("D)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))22 b(+)g Ft("D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))27 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))22 b(+)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)247 b Fh(\003)773 3790 y Fv(3.)56 b(The)38 b(Lie)f(Algebra)g(of)g(Primitiv)m(e)d(Elemen)m(ts)149 3965 y(Lemma)50 b(4.3.1.)d Fs(L)-5 b(et)45 b Ft(H)52 b Fs(b)-5 b(e)45 b(a)f(Hopf)h(algebr)-5 b(a)43 b(and)h Ft(H)2276 3929 y Fq(o)2359 3965 y Fs(b)-5 b(e)44 b(its)h(Swe)-5 b(e)g(d)5 b(ler)43 b(dual.)74 b(If)44 b Ft(d)i Fx(2)0 4081 y Fz(Der)156 4096 y Fp(K)212 4081 y Fz(\()p Ft(H)r(;)377 4096 y Fq(")413 4081 y Fu(K)485 4096 y Fq(")527 4081 y Fz(\))52 b Fx(\022)g Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)h Fz(\))53 b Fs(is)48 b(a)g(derivation)f(then)h Ft(d)f Fs(is)h(a)f(primitive)h(element)f(of)g Ft(H)3532 4045 y Fq(o)3570 4081 y Fs(.)0 4197 y(F)-7 b(urthermor)i(e)34 b(every)h(primitive)f(element)g Ft(d)27 b Fx(2)i Ft(H)1861 4161 y Fq(o)1933 4197 y Fs(is)35 b(a)g(derivation)f(in)g Fz(Der)2860 4212 y Fp(K)2916 4197 y Fz(\()p Ft(H)r(;)3081 4212 y Fq(")3117 4197 y Fu(K)3189 4212 y Fq(")3231 4197 y Fz(\))p Fs(.)149 4377 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)d Ft(d)f Fz(:)g Ft(H)46 b Fx(\000)-60 b(!)38 b Fu(K)62 b Fz(b)s(e)39 b(a)f(deriv)-5 b(ation)37 b(and)i(let)f Ft(a;)17 b(b)39 b Fx(2)f Ft(H)8 b Fz(.)61 b(Then)40 b(\()p Ft(b)f(*)e(d)p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))h(=)0 4493 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))48 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))30 b(+)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))48 b(=)g(\()p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(")30 b Fz(+)g Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))44 b(hence)i(\()p Ft(b)j(*)e(d)p Fz(\))h(=)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(")30 b Fz(+)g Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(.)0 4610 y(Consequen)m(tly)40 b(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)g Ft(H)8 b(d)35 b Fz(=)h(\()p Ft(H)43 b(*)35 b(d)p Fz(\))h Fx(\022)g Fu(K)17 b Ft(")31 b Fz(+)25 b Fu(K)18 b Ft(d)43 b Fz(so)37 b(that)g(dim)16 b Ft(H)8 b(d)34 b Fx(\024)j Fz(2)e Ft(<)h Fx(1)p Fz(.)57 b(This)0 4726 y(sho)m(ws)44 b Ft(d)h Fx(2)h Ft(H)587 4690 y Fq(o)625 4726 y Fz(.)74 b(F)-8 b(urthermore)42 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g Fx(h)p Fz(\001)p Ft(d;)17 b(a)29 b Fx(\012)h Ft(b)p Fx(i)45 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(d;)17 b(ab)p Fx(i)45 b Fz(=)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))g(=)g Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))29 b(+)0 4842 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))i(=)h Fx(h)p Ft(d)23 b Fx(\012)h Ft(";)17 b(a)23 b Fx(\012)i Ft(b)p Fx(i)e Fz(+)h Fx(h)p Ft(")f Fx(\012)h Ft(d;)17 b(a)24 b Fx(\012)g Ft(b)p Fx(i)32 b Fz(=)f Fx(h)p Fz(1)1950 4857 y Fq(H)2013 4838 y Fn(o)2075 4842 y Fx(\012)24 b Ft(d)g Fz(+)f Ft(d)h Fx(\012)g Fz(1)2575 4857 y Fq(H)2638 4838 y Fn(o)2677 4842 y Ft(;)17 b(a)23 b Fx(\012)h Ft(b)p Fx(i)35 b Fz(hence)i(\001\()p Ft(d)p Fz(\))31 b(=)0 4958 y Ft(d)22 b Fx(\012)g Fz(1)221 4973 y Fq(H)284 4954 y Fn(o)345 4958 y Fz(+)g(1)492 4973 y Fq(H)555 4954 y Fn(o)616 4958 y Fx(\012)h Ft(d)32 b Fz(so)h(that)f Ft(d)g Fz(is)g(a)h(primitiv)m (e)d(elemen)m(t)i(in)g Ft(H)2373 4922 y Fq(o)2411 4958 y Fz(.)149 5074 y(Con)m(v)m(ersely)46 b(let)c Ft(d)j Fx(2)h Ft(H)1102 5038 y Fq(o)1182 5074 y Fz(b)s(e)d(primitiv)m(e.)73 b(then)43 b Ft(d)p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))j(=)f Fx(h)p Fz(\001\()p Ft(d)p Fz(\))p Ft(;)17 b(a)29 b Fx(\012)g Ft(b)p Fx(i)46 b Fz(=)f Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))29 b(+)0 5191 y Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)3155 b Fh(\003)p eop %%Page: 132 135 132 134 bop 0 251 a Fw(132)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 450 y Fv(Prop)s(osition)33 b(and)i(De\014nition)e(4.3.2.)40 b Fs(L)-5 b(et)33 b Ft(H)40 b Fs(b)-5 b(e)32 b(a)h(Hopf)f(algebr)-5 b(a.)43 b(The)32 b(set)h(of)f(primi-)0 566 y(tive)d(elements)e(of)i Ft(H)36 b Fs(wil)5 b(l)28 b(b)-5 b(e)29 b(denote)-5 b(d)27 b(by)i Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))28 b Fs(and)h(is)f(a)g(Lie)h(algebr)-5 b(a.)42 b(If)28 b Fz(c)m(har\()p Fu(K)18 b Fz(\))34 b(=)27 b Ft(p)h(>)f Fz(0)0 683 y Fs(then)35 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))34 b Fs(is)h(a)f(r)-5 b(estricte)g(d)35 b(Lie)g(algebr)-5 b(a)34 b(or)h(a)f Ft(p)p Fs(-Lie)h(algebr)-5 b(a.)149 891 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)k Ft(a;)17 b(b)49 b Fx(2)g Ft(H)k Fz(b)s(e)45 b(primitiv)m(e)e(elemen)m(ts.)81 b(Then)46 b(\001\([)p Ft(a;)17 b(b)p Fz(]\))50 b(=)f(\001\()p Ft(ab)31 b Fx(\000)h Ft(ba)p Fz(\))49 b(=)0 1007 y(\()p Ft(a)11 b Fx(\012)g Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(b)g Fx(\012)g Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(b)p Fz(\))g Fx(\000)g Fz(\()p Ft(b)g Fx(\012)g Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(b)p Fz(\)\()p Ft(a)g Fx(\012)g Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(a)p Fz(\))33 b(=)28 b(\()p Ft(ab)11 b Fx(\000)g Ft(ba)p Fz(\))g Fx(\012)g Fz(1)g(+)g(1)g Fx(\012)g Fz(\()p Ft(ab)g Fx(\000)g Ft(ba)p Fz(\))0 1123 y(hence)32 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))27 b Fx(\022)h Ft(H)815 1087 y Fq(L)898 1123 y Fz(is)i(a)g(Lie)g(algebra.)42 b(If)30 b(the)h(c)m(haracteristic)g(of) f Fu(K)54 b Fz(is)30 b Ft(p)e(>)f Fz(0)k(then)g(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)0 1239 y(\()p Ft(a)19 b Fx(\012)h Fz(1)f(+)h(1)f Fx(\012)g Ft(a)p Fz(\))622 1203 y Fq(p)690 1239 y Fz(=)27 b Ft(a)844 1203 y Fq(p)904 1239 y Fx(\012)19 b Fz(1)h(+)f(1)g Fx(\012)h Ft(a)1380 1203 y Fq(p)1420 1239 y Fz(.)43 b(Th)m(us)32 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))31 b(is)g(a)f(restricted)i (Lie)f(subalgebra)g(of)f Ft(H)3548 1203 y Fq(L)0 1359 y Fz(with)i(the)h(structure)h(maps)e([)p Ft(a;)17 b(b)p Fz(])29 b(=)e Ft(ab)c Fx(\000)g Ft(ba)33 b Fz(and)f Ft(a)1965 1322 y Fl([)p Fq(p)p Fl(])2072 1359 y Fz(=)c Ft(a)2227 1322 y Fq(p)2267 1359 y Fz(.)1229 b Fh(\003)149 1567 y Fv(Corollary)43 b(4.3.3.)i Fs(L)-5 b(et)41 b Ft(H)48 b Fs(b)-5 b(e)40 b(a)h(Hopf)f(algebr)-5 b(a.)61 b(Then)40 b(the)g(set)h(of)f(left)g(tr)-5 b(anslation)40 b(in-)0 1683 y(variant)i(derivations)f Ft(D)j Fz(:)e Ft(H)49 b Fx(\000)-57 b(!)41 b Ft(H)49 b Fs(is)42 b(a)h(Lie)f(algebr)-5 b(a)41 b(under)h Fz([)p Ft(D)s(;)17 b(D)2713 1647 y Fr(0)2736 1683 y Fz(])41 b(=)g Ft(D)s(D)3089 1647 y Fr(0)3140 1683 y Fx(\000)28 b Ft(D)3329 1647 y Fr(0)3352 1683 y Ft(D)s Fs(.)67 b(If)0 1802 y Fz(c)m(har)28 b(=)g Ft(p)35 b Fs(then)f(these)h (derivations)f(ar)-5 b(e)34 b(a)h(r)-5 b(estricte)g(d)35 b(Lie)g(algebr)-5 b(a)34 b(with)g Ft(D)2834 1766 y Fl([)p Fq(p)p Fl(])2941 1802 y Fz(=)27 b Ft(D)3128 1766 y Fq(p)3168 1802 y Fs(.)149 2034 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)h(map)d(\011)i(:)h Ft(H)1246 1997 y Fq(o)1326 2034 y Fx(\000)-60 b(!)42 b Ft(H)1574 1997 y Fr(\003)1710 1977 y Fl(\010)1656 2034 y Fx(\000)-17 b(!)42 b Fz(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\))41 b(is)g(a)f(homomorphism)f(of)i(algebras)0 2150 y(b)m(y)k(4.2.6.)77 b(Hence)45 b(\011\()p Ft(d)29 b Fx(\003)h Ft(d)1078 2114 y Fr(0)1131 2150 y Fx(\000)g Ft(d)1289 2114 y Fr(0)1342 2150 y Fx(\003)f Ft(d)p Fz(\))47 b(=)g(\010\()p Ft(d)30 b Fx(\003)f Ft(d)1999 2114 y Fr(0)2052 2150 y Fx(\000)h Ft(d)2210 2114 y Fr(0)2263 2150 y Fx(\003)g Ft(d)p Fz(\))46 b(=)h(\010\()p Ft(d)p Fz(\)\010\()p Ft(d)2957 2114 y Fr(0)2980 2150 y Fz(\))30 b Fx(\000)h Fz(\010\()p Ft(d)3315 2114 y Fr(0)3338 2150 y Fz(\)\010\()p Ft(d)p Fz(\).)0 2266 y(If)41 b Ft(d)g Fz(is)g(a)g(primitiv)m(e)e(elemen)m(t)i(in)f Ft(H)1401 2230 y Fq(o)1480 2266 y Fz(then)i(b)m(y)g(4.2.7)f(and)g (4.3.1)g(the)g(image)f Ft(D)45 b Fz(:=)d(\011\()p Ft(d)p Fz(\))f(in)0 2382 y(End)q(\()p Ft(H)8 b Fz(\))45 b(is)h(a)g(left)g (translation)e(in)m(v)-5 b(arian)m(t)45 b(deriv)-5 b(ation)45 b(and)h(all)e(left)i(translation)e(in)m(v)-5 b(arian)m(t)0 2498 y(deriv)g(ations)28 b(are)g(of)h(this)f(form.)41 b(Since)29 b([)p Ft(d;)17 b(d)1636 2462 y Fr(0)1659 2498 y Fz(])27 b(=)h Ft(d)14 b Fx(\003)g Ft(d)1997 2462 y Fr(0)2035 2498 y Fx(\000)g Ft(d)2177 2462 y Fr(0)2215 2498 y Fx(\003)g Ft(d)28 b Fz(is)h(again)e(primitiv)m(e)g(w)m(e)i(get)g (that)0 2615 y([)p Ft(D)s(;)17 b(D)239 2579 y Fr(0)261 2615 y Fz(])32 b(=)e Ft(D)s(D)594 2579 y Fr(0)641 2615 y Fx(\000)24 b Ft(D)826 2579 y Fr(0)849 2615 y Ft(D)37 b Fz(is)d(a)g(left)g(translation)e(in)m(v)-5 b(arian)m(t)34 b(deriv)-5 b(ation)32 b(so)j(that)g(the)f(set)i(of)e(left)0 2735 y(translation)j(in)m(v)-5 b(arian)m(t)37 b(deriv)-5 b(ations)37 b(Der)1573 2693 y Fq(H)1573 2760 y Fp(K)1640 2735 y Fz(\()p Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\))38 b(is)g(a)g(Lie)g(algebra)g (resp.)62 b(a)38 b(restricted)i(Lie)0 2851 y(algebra.)3186 b Fh(\003)149 3059 y Fv(De\014nition)38 b(4.3.4.)43 b Fz(Let)35 b Ft(H)41 b Fz(b)s(e)34 b(a)g(Hopf)g(algebra.)47 b(An)35 b(elemen)m(t)f Ft(c)c Fx(2)h Ft(H)41 b Fz(is)34 b(called)f Fs(c)-5 b(o)g(c)g(om-)0 3176 y(mutative)40 b Fz(if)e Ft(\034)11 b Fz(\001\()p Ft(c)p Fz(\))40 b(=)f(\001\()p Ft(c)p Fz(\),)i(i.)e(e.)65 b(if)1501 3101 y Fj(P)1623 3176 y Ft(c)1665 3191 y Fl(\(1\))1786 3176 y Fx(\012)27 b Ft(c)1932 3191 y Fl(\(2\))2066 3176 y Fz(=)2181 3101 y Fj(P)2303 3176 y Ft(c)2345 3191 y Fl(\(2\))2466 3176 y Fx(\012)g Ft(c)2612 3191 y Fl(\(1\))2707 3176 y Fz(.)64 b(Let)39 b Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))39 b(:=)g Fx(f)p Ft(c)h Fx(2)0 3292 y Ft(H)8 b Fx(j)p Ft(c)32 b Fz(is)g(co)s(comm)m (utativ)m(e)f Fx(g)p Fz(.)149 3408 y(Let)i Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))32 b(denote)h(the)g(set)h(of)e(grouplik)m(e)f(elemen)m (ts)i(of)f Ft(H)8 b Fz(.)149 3562 y Fv(Lemma)32 b(4.3.5.)38 b Fs(L)-5 b(et)31 b Ft(H)38 b Fs(b)-5 b(e)30 b(a)g(Hopf)g(algebr)-5 b(a.)43 b(Then)29 b(the)i(set)f(of)g(c)-5 b(o)g(c)g(ommutative)30 b(elements)0 3678 y Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))32 b Fs(is)g(a)h(sub)-5 b(algebr)g(a)31 b(of)i Ft(H)40 b Fs(and)32 b(the)g(gr)-5 b(ouplike)32 b(elements)g Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))32 b Fs(form)g(a)g(line)-5 b(arly)32 b(indep)-5 b(en-)0 3794 y(dent)35 b(subset)h(of)f Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))p Fs(.)47 b(F)-7 b(urthermor)i(e)35 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))34 b Fs(is)i(a)f(multiplic)-5 b(ative)35 b(sub)-5 b(gr)g(oup)36 b(of)f(the)h(gr)-5 b(oup)35 b(of)0 3911 y(units)g Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(C)d Fz(\()p Ft(H)h Fz(\)\))p Fs(.)149 4119 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(It)i(is)f(clear)f(that)h Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))43 b(is)g(a)g(linear)e(subspace)k(of)e Ft(H)8 b Fz(.)75 b(If)43 b Ft(a;)17 b(b)47 b Fx(2)f Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))42 b(then)0 4235 y(\001\()p Ft(ab)p Fz(\))31 b(=)f(\001\()p Ft(a)p Fz(\)\001\()p Ft(b)p Fz(\))h(=)f(\()p Ft(\034)11 b Fz(\001\)\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(\034)g Fz(\001\)\()p Ft(b)p Fz(\))31 b(=)f Ft(\034)11 b Fz(\(\001\()p Ft(a)p Fz(\)\001\()p Ft(b)p Fz(\)\))32 b(=)e Ft(\034)11 b Fz(\001\()p Ft(ab)p Fz(\))35 b(and)f(\001\(1\))c(=)g(1)23 b Fx(\012)g Fz(1)30 b(=)0 4351 y Ft(\034)11 b Fz(\001\(1\).)44 b(Th)m(us)34 b Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))32 b(is)g(a)g(subalgebra)h (of)f Ft(H)8 b Fz(.)149 4467 y(The)42 b(grouplik)m(e)e(elemen)m(ts)h (ob)m(viously)f(are)h(co)s(comm)m(utativ)m(e)f(and)h(form)e(a)h(m)m (ultiplicativ)m(e)0 4584 y(group,)49 b(hence)f(a)d(subgroup)i(of)e Ft(U)10 b Fz(\()p Ft(C)d Fz(\()p Ft(H)h Fz(\)\).)84 b(They)47 b(are)f(linearly)e(indep)s(enden)m(t)j(b)m(y)g(Lemma)0 4700 y(2.1.14.)3246 b Fh(\003)149 4908 y Fv(Prop)s(osition)35 b(4.3.6.)41 b Fs(L)-5 b(et)35 b Ft(H)41 b Fs(b)-5 b(e)34 b(a)g(Hopf)g(algebr)-5 b(a)33 b(with)h Ft(S)2391 4872 y Fl(2)2458 4908 y Fz(=)28 b(id)2643 4923 y Fq(H)2710 4908 y Fs(.)45 b(Then)33 b(ther)-5 b(e)34 b(is)g(a)g(left)0 5024 y(mo)-5 b(dule)34 b(structur)-5 b(e)905 5216 y Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))21 b Fx(\012)i(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))27 b Fx(3)h Ft(c)22 b Fx(\012)h Ft(a)28 b Fx(7!)f Ft(c)22 b Fx(\001)g Ft(a)28 b Fx(2)g(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))p eop %%Page: 133 136 133 135 bop 846 251 a Fw(3.)35 b(THE)e(LIE)g(ALGEBRA)g(OF)g(PRIMITIVE)g (ELEMENTS)732 b(133)0 450 y Fs(with)34 b Ft(c)21 b Fx(\001)f Ft(a)28 b Fz(:=)g Fx(r)615 465 y Fq(H)682 450 y Fz(\()p Fx(r)803 465 y Fq(H)891 450 y Fx(\012)21 b Fz(1\)\(1)f Fx(\012)h Ft(\034)11 b Fz(\)\(1)21 b Fx(\012)g Ft(S)26 b Fx(\012)c Fz(1\)\(\001)e Fx(\012)h Fz(1\)\()p Ft(c)g Fx(\012)g Ft(a)p Fz(\))28 b(=)2593 375 y Fj(P)2715 450 y Ft(c)2757 466 y Fl(\(1\))2851 450 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(c)3048 466 y Fl(\(2\))3142 450 y Fz(\))35 b Fs(such)f(that)1193 637 y Ft(c)22 b Fx(\001)g Fz([)p Ft(a;)17 b(b)p Fz(])28 b(=)1629 542 y Fj(X)1773 637 y Fz([)p Ft(c)1842 652 y Fl(\(1\))1958 637 y Fx(\001)22 b Ft(a;)17 b(c)2145 652 y Fl(\(2\))2261 637 y Fx(\001)22 b Ft(b)p Fz(])p Ft(:)149 816 y Fs(In)35 b(p)-5 b(articular)34 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))35 b Fs(acts)f(by)h(Lie)g(automorphisms)f(on)g Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))p Fs(.)149 984 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(The)51 b(giv)m(en)f(action)f(is)g(actually)g (the)h(action)f Ft(H)41 b Fx(\012)35 b Ft(H)64 b Fx(\000)-59 b(!)57 b Ft(H)g Fz(with)49 b Ft(h)34 b Fx(\001)g Ft(a)57 b Fz(=)0 1025 y Fj(P)122 1100 y Ft(h)178 1115 y Fl(\(1\))272 1100 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(h)483 1115 y Fl(\(2\))578 1100 y Fz(\),)32 b(the)h(so-called)e Fs(adjoint)k(action)p Fz(.)149 1216 y(W)-8 b(e)37 b(\014rst)g(sho)m(w)g(that)f(the)h(giv)m (en)f(map)g(has)g(image)f(in)g Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)54 b(F)-8 b(or)35 b Ft(c)f Fx(2)h Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))35 b(and)h Ft(a)f Fx(2)0 1332 y(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))29 b(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)f (\001\()p Ft(c)17 b Fx(\001)g Ft(a)p Fz(\))28 b(=)f(\001\()1280 1258 y Fj(P)1402 1332 y Ft(c)1444 1348 y Fl(\(1\))1539 1332 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(c)1736 1348 y Fl(\(2\))1830 1332 y Fz(\)\))27 b(=)2037 1258 y Fj(P)2159 1332 y Fz(\001\()p Ft(c)2320 1348 y Fl(\(1\))2414 1332 y Fz(\)\()p Ft(a)17 b Fx(\012)h Fz(1)f(+)g(1)g Fx(\012)g Ft(a)p Fz(\)\001\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(c)3326 1348 y Fl(\(2\))3421 1332 y Fz(\)\))27 b(=)0 1374 y Fj(P)122 1448 y Fz(\001\()p Ft(c)283 1464 y Fl(\(1\))377 1448 y Fz(\)\()p Ft(a)s Fx(\012)s Fz(1\)\001\()p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(c)939 1464 y Fl(\(2\))1035 1448 y Fz(\)\))s(+)1193 1374 y Fj(P)1315 1448 y Fz(\001\()p Ft(c)1476 1464 y Fl(\(2\))1570 1448 y Fz(\)\(1)s Fx(\012)s Ft(a)p Fz(\)\001\()p Ft(S)g Fz(\()p Ft(c)2132 1464 y Fl(\(1\))2228 1448 y Fz(\)\))27 b(=)2435 1374 y Fj(P)2557 1448 y Ft(c)2599 1464 y Fl(\(1\))2693 1448 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(c)2890 1464 y Fl(\(4\))2984 1448 y Fz(\))s Fx(\012)s Ft(c)3147 1464 y Fl(\(2\))3243 1448 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(c)3389 1464 y Fl(\(3\))3483 1448 y Fz(\))s(+)0 1493 y Fj(P)122 1568 y Ft(c)164 1583 y Fl(\(3\))258 1568 y Ft(S)g Fz(\()p Ft(c)404 1583 y Fl(\(2\))498 1568 y Fz(\))23 b Fx(\012)g Ft(c)701 1583 y Fl(\(4\))795 1568 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(c)992 1583 y Fl(\(1\))1087 1568 y Fz(\))29 b(=)g Ft(c)23 b Fx(\001)g Ft(a)g Fx(\012)g Fz(1)g(+)f(1)h Fx(\012)g Ft(c)g Fx(\001)f Ft(a)34 b Fz(since)g Ft(c)g Fz(is)f(co)s(comm)m(utativ)m(e,)g Ft(S)3278 1532 y Fl(2)3346 1568 y Fz(=)c(id)3533 1583 y Fq(H)0 1684 y Fz(and)k Ft(a)f Fz(is)g(primitiv)m(e.)149 1800 y(W)-8 b(e)35 b(sho)m(w)h(no)m(w)f(that)f Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))34 b(is)g(a)g Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\)-mo)s(dule.)46 b(\()p Ft(cd)p Fz(\))23 b Fx(\001)g Ft(a)31 b Fz(=)2616 1726 y Fj(P)2738 1800 y Ft(c)2780 1816 y Fl(\(1\))2874 1800 y Ft(d)2925 1816 y Fl(\(1\))3019 1800 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(c)3216 1816 y Fl(\(2\))3310 1800 y Ft(d)3361 1816 y Fl(\(2\))3455 1800 y Fz(\))31 b(=)0 1842 y Fj(P)122 1917 y Ft(c)164 1932 y Fl(\(1\))258 1917 y Ft(d)309 1932 y Fl(\(1\))403 1917 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(d)609 1932 y Fl(\(2\))703 1917 y Fz(\))p Ft(S)g Fz(\()p Ft(c)887 1932 y Fl(\(2\))981 1917 y Fz(\))28 b(=)f Ft(c)22 b Fx(\001)g Fz(\()p Ft(d)g Fx(\001)g Ft(a)p Fz(\).)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e) g(1)22 b Fx(\001)f Ft(a)28 b Fz(=)g(1)p Ft(aS)6 b Fz(\(1\))27 b(=)h Ft(a)p Fz(.)149 2033 y(T)-8 b(o)42 b(sho)m(w)h(the)f(giv)m(en)g (form)m(ula)e(let)h Ft(a;)17 b(b)44 b Fx(2)g(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))41 b(and)h Ft(c)h Fx(2)h Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\).)70 b(Then)43 b Ft(c)28 b Fx(\001)g Fz([)p Ft(a;)17 b(b)p Fz(])44 b(=)0 2074 y Fj(P)122 2149 y Ft(c)164 2164 y Fl(\(1\))258 2149 y Fz(\()p Ft(ab)p Fx(\000)p Ft(ba)p Fz(\))p Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(c)741 2164 y Fl(\(2\))837 2149 y Fz(\))27 b(=)1006 2074 y Fj(P)1128 2149 y Ft(c)1170 2164 y Fl(\(1\))1264 2149 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(c)1461 2164 y Fl(\(2\))1555 2149 y Fz(\))p Ft(c)1635 2164 y Fl(\(3\))1730 2149 y Ft(bS)g Fz(\()p Ft(c)1917 2164 y Fl(\(4\))2011 2149 y Fz(\))p Fx(\000)2126 2074 y Fj(P)2248 2149 y Ft(c)2290 2164 y Fl(\(1\))2385 2149 y Ft(bS)g Fz(\()p Ft(c)2572 2164 y Fl(\(2\))2666 2149 y Fz(\))p Ft(c)2746 2164 y Fl(\(3\))2840 2149 y Ft(aS)g Fz(\()p Ft(c)3037 2164 y Fl(\(4\))3132 2149 y Fz(\))27 b(=)3301 2074 y Fj(P)3406 2149 y Fz(\()p Ft(c)3486 2164 y Fl(\(1\))3580 2149 y Fx(\001)0 2265 y Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(c)169 2281 y Fl(\(2\))266 2265 y Fx(\001)r Ft(b)p Fz(\))r Fx(\000)456 2191 y Fj(P)563 2265 y Fz(\()p Ft(c)643 2281 y Fl(\(1\))739 2265 y Fx(\001)r Ft(b)p Fz(\)\()p Ft(c)928 2281 y Fl(\(2\))1025 2265 y Fx(\001)r Ft(a)p Fz(\))h(=)1276 2191 y Fj(P)1381 2265 y Fz([)p Ft(c)1450 2281 y Fl(\(1\))1547 2265 y Fx(\001)r Ft(a;)17 b(c)1714 2281 y Fl(\(2\))1810 2265 y Fx(\001)r Ft(b)p Fz(])24 b(again)d(since)j Ft(c)j Fx(2)h Ft(C)7 b Fz(\()p Ft(H)h Fz(\))23 b(is)f(co)s(comm)m(utativ)m(e.)149 2385 y(No)m(w)46 b(let)e Ft(g)51 b Fx(2)e Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)79 b(Then)45 b Ft(g)34 b Fx(\001)c Ft(a)48 b Fz(=)g Ft(g)t(aS)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))47 b(=)h Ft(g)t(ag)2345 2348 y Fr(\000)p Fl(1)2483 2385 y Fz(since)d Ft(S)6 b Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))47 b(=)h Ft(g)3149 2348 y Fr(\000)p Fl(1)3287 2385 y Fz(for)c(an)m(y)0 2501 y(grouplik)m(e)36 b(elemen)m(t.)55 b(F)-8 b(urthermore)36 b Ft(g)28 b Fx(\001)d Fz([)p Ft(a;)17 b(b)p Fz(])35 b(=)f([)p Ft(g)28 b Fx(\001)d Ft(a;)17 b(g)28 b Fx(\001)d Ft(b)p Fz(])37 b(hence)h Ft(g)i Fz(de\014nes)e(a)e (Lie)g(algebra)0 2617 y(automorphism)30 b(of)j Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)2414 b Fh(\003)149 2784 y Fv(Problem)26 b(4.3.31.)34 b Fz(Sho)m(w)25 b(that)e(the)h Fs(adjoint)h(action)e Ft(H)11 b Fx(\012)s Ft(H)36 b Fx(3)28 b Ft(h)s Fx(\012)s Ft(a)h Fx(7!)2890 2710 y Fj(P)3012 2784 y Ft(h)3068 2800 y Fl(\(1\))3163 2784 y Ft(aS)6 b Fz(\()p Ft(h)3374 2800 y Fl(\(2\))3468 2784 y Fz(\))28 b Fx(2)0 2901 y Ft(H)40 b Fz(mak)m(es)33 b Ft(H)40 b Fz(an)33 b Ft(H)8 b Fz(-mo)s(dule)30 b(algebra.)149 3038 y Fv(De\014nition)53 b(and)i(Remark)e(4.3.7.)d Fz(The)e(algebra)d Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))58 b(=)52 b Fu(K)17 b Fz([)p Ft(\016)5 b Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(\016)2932 3001 y Fl(2)2976 3038 y Fz(\))47 b(is)g(called)f(the)0 3154 y(algebra)31 b(of)i Fs(dual)h(numb)-5 b(ers)p Fz(.)43 b(Observ)m(e)35 b(that)d Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\))33 b(=)27 b Fu(K)46 b Fx(\010)23 b Fu(K)17 b Ft(\016)43 b Fz(as)32 b(a)h Fu(K)17 b Fz(-mo)s(dule.)149 3270 y(W)-8 b(e)33 b(consider)g Ft(\016)k Fz(as)c(a)f("small)e(quan)m (tit)m(y\\)j(whose)h(square)f(v)-5 b(anishes.)149 3386 y(The)35 b(maps)e Ft(p)c Fz(:)g Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))35 b Fx(\000)-60 b(!)29 b Ft(K)41 b Fz(with)33 b Ft(p)p Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))c(=)g(0)k(and)h Ft(j)h Fz(:)29 b Fu(K)53 b Fx(\000)-60 b(!)29 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\))39 b(are)33 b(algebra)f(homomor-)0 3503 y(phism)g(satisfying)f Ft(pj)j Fz(=)28 b(id)o(.)149 3620 y(Let)35 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)o(;)g(\016)568 3584 y Fr(0)596 3620 y Fz(\))30 b(:=)g Fu(K)18 b Fz([)p Ft(\016)n(;)g(\016)1029 3584 y Fr(0)1057 3620 y Fz(])p Ft(=)p Fz(\()p Ft(\016)1218 3584 y Fl(2)1258 3620 y Ft(;)f(\016)1349 3584 y Fr(0)1371 3573 y Fl(2)1411 3620 y Fz(\).)47 b(Then)35 b Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)n(;)g(\016)2022 3584 y Fr(0)2050 3620 y Fz(\))30 b(=)g Fu(K)47 b Fx(\010)23 b Fu(K)18 b Ft(\016)33 b Fx(\010)23 b Fu(K)18 b Ft(\016)2792 3584 y Fr(0)2844 3620 y Fx(\010)24 b Fu(K)17 b Ft(\016)t(\016)3110 3584 y Fr(0)3139 3620 y Fz(.)48 b(The)35 b(map)0 3736 y Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\))44 b Fx(3)39 b Ft(\016)k Fx(7!)38 b Ft(\016)t(\016)662 3700 y Fr(0)724 3736 y Fx(2)h Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)n(;)f(\016)1071 3700 y Fr(0)1100 3736 y Fz(\))39 b(is)g(an)g(injectiv)m(e)g(algebra)f (homomorphism.)60 b(F)-8 b(urthermore)38 b(for)0 3852 y(ev)m(ery)c Ft(\013)29 b Fx(2)f Fu(K)56 b Fz(w)m(e)33 b(ha)m(v)m(e)h(an)f(algebra)e(homomorphism)f Ft(')2150 3867 y Fq(\013)2227 3852 y Fz(:)e Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\))33 b Fx(3)28 b Ft(\016)k Fx(7!)27 b Ft(\013)q(\016)k Fx(2)d Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\).)149 3968 y(These)31 b(algebra)c(homomorphisms)f(induce)j(algebra)f(homomorphisms)e Ft(H)21 b Fx(\012)14 b Fu(K)k Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)22 b Fx(\012)0 4085 y Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\))38 b(resp.)44 b Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)j Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)n(;)h(\016)1513 4049 y Fr(0)1541 4085 y Fz(\))33 b(for)f(ev)m(ery)i(Hopf)f(algebra)e Ft(H)8 b Fz(.)149 4222 y Fv(Prop)s(osition)36 b(4.3.8.)42 b Fs(The)34 b(map)919 4380 y Ft(e)964 4339 y Fq(\016)r Fs(-)1064 4380 y Fz(:)28 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))27 b Fx(\000)-57 b(!)28 b Ft(H)h Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\))33 b Fx(\022)28 b Ft(H)i Fx(\012)22 b Fu(K)c Fz(\()p Ft(\016)n(;)f(\016)2614 4339 y Fr(0)2643 4380 y Fz(\))0 4538 y Fs(with)35 b Ft(e)257 4501 y Fq(\016)r(a)360 4538 y Fz(:=)28 b(1)22 b(+)g Ft(a)g Fx(\012)g Ft(\016)32 b Fz(=)c(1)22 b(+)g Ft(\016)t(a)35 b Fs(is)f(c)-5 b(al)5 b(le)-5 b(d)34 b(the)h Fz(exp)s(onen)m(tial)d (map)i Fs(and)g(satis\014es)1474 4693 y Ft(e)1519 4657 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(a)p Fl(+)p Fq(b)p Fl(\))1762 4693 y Fz(=)27 b Ft(e)1910 4657 y Fq(\016)r(a)1986 4693 y Ft(e)2031 4657 y Fq(\016)r(b)2099 4693 y Ft(;)1483 4810 y(e)1528 4774 y Fq(\016)r(\013a)1677 4810 y Fz(=)g Ft(')1844 4825 y Fq(\013)1893 4810 y Fz(\()p Ft(e)1976 4774 y Fq(\016)r(a)2052 4810 y Fz(\))p Ft(;)1162 4932 y(e)1207 4896 y Fq(\016)r(\016)1273 4873 y Fk(0)1297 4896 y Fl([)p Fq(a;b)p Fl(])1455 4932 y Fz(=)g Ft(e)1603 4896 y Fq(\016)r(a)1679 4932 y Ft(e)1724 4896 y Fq(\016)1757 4873 y Fk(0)1780 4896 y Fq(b)1815 4932 y Fz(\()p Ft(e)1898 4896 y Fq(\016)r(a)1973 4932 y Fz(\))2011 4896 y Fr(\000)p Fl(1)2105 4932 y Fz(\()p Ft(e)2188 4896 y Fq(\016)2221 4873 y Fk(0)2245 4896 y Fq(b)2279 4932 y Fz(\))2317 4896 y Fr(\000)p Fl(1)2411 4932 y Ft(:)0 5099 y Fs(F)-7 b(urthermor)i(e)47 b(al)5 b(l)47 b(elements)g Ft(e)1187 5063 y Fq(\016)r(a)1314 5099 y Fx(2)52 b Ft(H)39 b Fx(\012)32 b Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))53 b Fs(ar)-5 b(e)48 b(gr)-5 b(ouplike)47 b(in)g(the)h Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fs(-Hopf)53 b(algebr)-5 b(a)0 5216 y Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Fu(K)c Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p Fs(.)p eop %%Page: 134 137 134 136 bop 0 251 a Fw(134)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 453 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(1.)i Ft(e)699 417 y Fq(\016)r Fl(\()p Fq(a)p Fl(+)p Fq(b)p Fl(\))942 453 y Fz(=)27 b(\(1)22 b(+)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)g Fz(+)h Ft(b)p Fz(\)\))28 b(=)f(\(1)22 b(+)g Ft(\016)t(a)p Fz(\)\(1)g(+)g Ft(\016)t(b)p Fz(\))28 b(=)f Ft(e)2609 417 y Fq(\016)r(a)2685 453 y Ft(e)2730 417 y Fq(\016)r(b)2798 453 y Fz(.)149 569 y(2.)44 b Ft(e)314 533 y Fq(\016)r(\013a)462 569 y Fz(=)28 b(1)22 b(+)g Ft(\016)t(\013)q(a)27 b Fz(=)h Ft(')1091 584 y Fq(\013)1140 569 y Fz(\(1)22 b(+)g Ft(\016)t(a)p Fz(\))28 b(=)f Ft(')1678 584 y Fq(\013)1728 569 y Fz(\()p Ft(e)1811 533 y Fq(\016)r(a)1886 569 y Fz(\).)149 690 y(3.)41 b(Since)24 b(\(1)5 b(+)g Ft(\016)t(a)p Fz(\)\(1)g Fx(\000)g Ft(\016)t(a)p Fz(\))26 b(=)h(1)d(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(\()p Ft(e)1767 654 y Fq(\016)r(a)1842 690 y Fz(\))j(=)g(1)5 b Fx(\000)g Ft(\016)t(a)p Fz(.)40 b(So)23 b(w)m(e)i(get)f Ft(e)2773 654 y Fq(\016)r(\016)2839 630 y Fk(0)2863 654 y Fl([)p Fq(a;b)p Fl(])3022 690 y Fz(=)j(1)5 b(+)g Ft(\016)t Fz([)p Ft(a;)17 b(b)p Fz(])27 b(=)0 806 y(1)19 b(+)g Ft(\016)t Fz(\()p Ft(a)g Fx(\000)h Ft(a)p Fz(\))f(+)g Ft(\016)665 770 y Fr(0)688 806 y Fz(\()p Ft(b)h Fx(\000)g Ft(b)p Fz(\))f(+)g Ft(\016)t(\016)1171 770 y Fr(0)1194 806 y Fz(\()p Ft(ab)h Fx(\000)g Ft(ab)g Fx(\000)f Ft(ba)h Fz(+)f Ft(ab)p Fz(\))29 b(=)e(\(1)19 b(+)g Ft(\016)t(a)p Fz(\)\(1)g(+)g Ft(\016)2703 770 y Fr(0)2726 806 y Ft(b)p Fz(\)\(1)h Fx(\000)f Ft(\016)t(a)p Fz(\)\(1)g Fx(\000)h Ft(\016)3394 770 y Fr(0)3417 806 y Ft(b)p Fz(\))28 b(=)0 926 y Ft(e)45 890 y Fq(\016)r(a)121 926 y Ft(e)166 890 y Fq(\016)199 867 y Fk(0)222 890 y Fq(b)256 926 y Fz(\()p Ft(e)339 890 y Fq(\016)r(a)415 926 y Fz(\))453 890 y Fr(\000)p Fl(1)547 926 y Fz(\()p Ft(e)630 890 y Fq(\016)663 867 y Fk(0)686 890 y Fq(b)721 926 y Fz(\))759 890 y Fr(\000)p Fl(1)853 926 y Fz(.)149 1043 y(4.)68 b(\001)374 1058 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))519 1043 y Fz(\()p Ft(e)602 1007 y Fq(\016)r(a)678 1043 y Fz(\))41 b(=)h(\001\(1)28 b(+)f Ft(a)h Fx(\012)g Ft(\016)t Fz(\))42 b(=)g(1)27 b Fx(\012)1756 1058 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))1929 1043 y Fz(1)27 b(+)h(\()p Ft(a)g Fx(\012)g Fz(1)g(+)f(1)h Fx(\012)g Ft(a)p Fz(\))g Fx(\012)g Ft(\016)46 b Fz(=)41 b(1)28 b Fx(\012)3275 1058 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))3448 1043 y Fz(1)27 b(+)0 1165 y Ft(\016)t(a)h Fx(\012)203 1181 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))375 1165 y Fz(1)27 b(+)h(1)f Fx(\012)708 1181 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))881 1165 y Ft(\016)t(a)27 b Fz(+)h Ft(\016)t(a)g Fx(\012)1313 1181 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1485 1165 y Ft(\016)t(a)41 b Fz(=)g(\(1)28 b(+)f Ft(\016)t(a)p Fz(\))h Fx(\012)2200 1181 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))2372 1165 y Fz(\(1)27 b(+)h Ft(\016)t(a)p Fz(\))41 b(=)g Ft(e)2929 1129 y Fq(\016)r(a)3032 1165 y Fx(\012)3109 1181 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))3282 1165 y Ft(e)3327 1129 y Fq(\016)r(a)3443 1165 y Fz(and)0 1288 y Ft(")46 1304 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))190 1288 y Fz(\()p Ft(e)273 1252 y Fq(\016)r(a)349 1288 y Fz(\))27 b(=)h Ft(")564 1304 y Fp(K)t Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))708 1288 y Fz(\(1)22 b(+)g Ft(\016)t(a)p Fz(\))27 b(=)h(1)22 b(+)g Ft(\016)t(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(=)h(1.)1745 b Fh(\003)149 1475 y Fv(Corollary)79 b(4.3.9.)61 b Fz(\()p Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))p Ft(;)17 b(e)1464 1439 y Fq(\016)r Fs(-)1536 1475 y Fz(\))70 b Fs(is)f(the)g(kernel)g(of)g(the)g(gr)-5 b(oup)69 b(homomorphism)0 1591 y Ft(p)28 b Fz(:)f Ft(G)208 1606 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))353 1591 y Fz(\()p Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\)\))33 b Fx(\000)-57 b(!)27 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\))p Fs(.)149 1771 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Ft(p)28 b Fz(=)g(1)21 b Fx(\012)h Ft(p)28 b Fz(:)g Ft(H)h Fx(\012)22 b Fu(K)c Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))33 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Ft(H)i Fx(\012)22 b Fu(K)52 b Fz(=)27 b Ft(H)40 b Fz(is)32 b(a)g(homomorphism)e(of)i Fu(K)17 b Fz(-algebras.)0 1887 y(W)-8 b(e)42 b(sho)m(w)g(that)g(it)e (preserv)m(es)k(grouplik)m(e)d(elemen)m(ts.)70 b(Observ)m(e)43 b(that)e(grouplik)m(e)g(elemen)m(ts)h(in)0 2004 y Ft(H)33 b Fx(\012)25 b Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))43 b(are)37 b(de\014ned)h(b)m(y)g(the)g(Hopf)f(algebra)f(structure)i(o)m(v)m(er)g Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\).)63 b(Let)37 b Ft(g)i Fx(2)c Ft(G)3226 2019 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))3371 2004 y Fz(\()p Ft(H)33 b Fx(\012)0 2120 y Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\)\).)49 b(Then)33 b(\(\001)682 2135 y Fq(H)772 2120 y Fx(\012)23 b Fz(1\)\()p Ft(g)t Fz(\))j(=)i Ft(g)d Fx(\012)1365 2135 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))1532 2120 y Ft(g)36 b Fz(and)d(\()p Ft(")1889 2135 y Fq(H)1978 2120 y Fx(\012)22 b Fz(1\)\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)g(1)h Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\).)149 2236 y(Since)26 b Ft(p)h Fz(:)h Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))33 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Fu(K)48 b Fz(is)25 b(an)g(algebra)f (homomorphism)e(the)k(follo)m(wing)c(diagram)h(comm)m(utes)945 2801 y(\()p Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Fu(K)c Fz(\))28 b Fx(\012)22 b Fz(\()p Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\))489 b Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Fu(K)c Ft(:)p 1823 2778 426 4 v 2166 2776 a Fm(-)2008 2820 y Fr(\030)2008 2841 y Fl(=)750 2407 y Fz(\()p Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Fu(K)c Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))28 b Fx(\012)1336 2423 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1503 2407 y Fz(\()p Ft(H)29 b Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\)\))245 b Ft(H)30 b Fx(\012)22 b Ft(H)30 b Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))p 2018 2387 183 4 v 2118 2385 a Fm(-)2081 2346 y Fr(\030)2081 2367 y Fl(=)p 1368 2708 4 254 v 1370 2708 a Fm(?)915 2597 y Fl(\(1)p Fr(\012)p Fq(p)p Fl(\))p Fr(\012)p Fl(\(1)p Fr(\012)p Fq(p)p Fl(\))p 2538 2708 V 2539 2708 a Fm(?)2578 2596 y Fl(1)p Fr(\012)p Fq(p)0 2975 y Fz(W)-8 b(e)33 b(iden)m(tify)g(elemen)m(ts)g(along)f(the)h(isomorphisms.)43 b(Th)m(us)35 b(w)m(e)f(get)f(\(\001)2674 2990 y Fq(H)2764 2975 y Fx(\012)23 b Fz(1)2913 2990 y Fp(K)2968 2975 y Fz(\)\(1)3093 2990 y Fq(H)3183 2975 y Fx(\012)g Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))k(=)0 3092 y(\(1)87 3107 y Fq(H)5 b Fr(\012)p Fq(H)298 3092 y Fx(\012)26 b Ft(p)p Fz(\)\(\001)607 3107 y Fq(H)700 3092 y Fx(\012)h Fz(1)853 3107 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))997 3092 y Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))36 b(=)h(\(\(1)1436 3107 y Fq(H)1529 3092 y Fx(\012)26 b Ft(p)p Fz(\))g Fx(\012)1822 3107 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1992 3092 y Fz(\(1)2079 3107 y Fq(H)2172 3092 y Fx(\012)27 b Ft(p)p Fz(\)\)\()p Ft(g)i Fx(\012)2592 3107 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))2762 3092 y Ft(g)t Fz(\))37 b(=)f(\(1)3087 3107 y Fq(H)3180 3092 y Fx(\012)27 b Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))e Fx(\012)0 3208 y Fz(\(1)87 3223 y Fq(H)167 3208 y Fx(\012)13 b Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\),)29 b(so)g(that)f(1)899 3223 y Fq(H)979 3208 y Fx(\012)13 b Ft(p)28 b Fz(:)g Ft(G)1278 3223 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1423 3208 y Fz(\()p Ft(H)20 b Fx(\012)13 b Fu(K)19 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))33 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)8 b Fz(\).)41 b(No)m(w)29 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(\(1)3039 3223 y Fq(H)3119 3208 y Fx(\012)13 b Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)t(g)3436 3172 y Fr(0)3459 3208 y Fz(\))27 b(=)0 3324 y(\(1)87 3339 y Fq(H)176 3324 y Fx(\012)c Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\)\(1)577 3339 y Fq(H)665 3324 y Fx(\012)f Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)940 3288 y Fr(0)963 3324 y Fz(\))32 b(so)h(that)f(1)1413 3339 y Fq(H)1503 3324 y Fx(\012)22 b Ft(p)33 b Fz(is)f(a)g(group)g (homomorphism.)149 3440 y(No)m(w)f(let)e Ft(g)i Fz(=)c Ft(g)735 3455 y Fl(0)791 3440 y Fx(\012)16 b Fz(1)g(+)g Ft(g)1088 3455 y Fl(1)1144 3440 y Fx(\012)g Ft(\016)33 b Fx(2)28 b Ft(G)1484 3456 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1628 3440 y Fz(\()p Ft(H)24 b Fx(\012)16 b Fu(K)i Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\)\))33 b Fx(\022)28 b Ft(H)c Fx(\012)16 b Fu(K)35 b Fx(\010)16 b Ft(H)30 b Fx(\012)16 b Fu(K)j Ft(\016)t Fz(.)48 b(Then)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)0 3557 y(\(1)87 3572 y Fq(H)176 3557 y Fx(\012)23 b Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))j(=)i(1)k(i\013)g Ft(g)865 3572 y Fl(0)932 3557 y Fz(=)27 b(1)32 b(i\013)g Ft(g)f Fz(=)c(1)1463 3572 y Fq(H)1553 3557 y Fx(\012)22 b Fz(1)1701 3572 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1868 3557 y Fz(+)22 b Ft(g)2013 3572 y Fl(1)2074 3557 y Fx(\012)h Ft(\016)t Fz(.)43 b(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)85 3731 y(\001)166 3746 y Fq(H)5 b Fr(\012)p Fp(K)g Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))429 3731 y Fz(\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)g Ft(g)f Fx(\012)836 3746 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1003 3731 y Ft(g)31 b Fx(\()-17 b(\))85 3847 y Fz(1)134 3862 y Fq(H)224 3847 y Fx(\012)22 b Fz(1)372 3862 y Fq(H)461 3847 y Fx(\012)h Fz(1)610 3862 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))776 3847 y Fz(+)f(\001)955 3862 y Fq(H)1023 3847 y Fz(\()p Ft(g)1108 3862 y Fl(1)1147 3847 y Fz(\))g Fx(\012)h Ft(\016)31 b Fz(=)d(\(1)1572 3862 y Fq(H)1661 3847 y Fx(\012)22 b Fz(1)1809 3862 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1976 3847 y Fz(+)22 b Ft(g)2121 3862 y Fl(1)2182 3847 y Fx(\012)h Ft(\016)t Fz(\))f Fx(\012)2466 3862 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))2633 3847 y Fz(\(1)2720 3862 y Fq(H)2809 3847 y Fx(\012)22 b Fz(1)2957 3862 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))3124 3847 y Fz(+)22 b Ft(g)3269 3862 y Fl(1)3330 3847 y Fx(\012)h Ft(\016)t Fz(\))778 3963 y(=)28 b(1)931 3978 y Fq(H)1020 3963 y Fx(\012)23 b Fz(1)1169 3978 y Fq(H)1258 3963 y Fx(\012)f Fz(1)1406 3978 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1573 3963 y Fz(+)22 b(\()p Ft(g)1756 3978 y Fl(1)1817 3963 y Fx(\012)h Fz(1)1966 3978 y Fq(H)2055 3963 y Fz(+)f(1)2202 3978 y Fq(H)2291 3963 y Fx(\012)g Ft(g)2437 3978 y Fl(1)2477 3963 y Fz(\))g Fx(\012)g Ft(\016)32 b Fx(\()-17 b(\))85 4079 y Fz(\001)166 4094 y Fq(H)234 4079 y Fz(\()p Ft(g)319 4094 y Fl(1)358 4079 y Fz(\))28 b(=)f Ft(g)574 4094 y Fl(1)635 4079 y Fx(\012)c Fz(1)784 4094 y Fq(H)873 4079 y Fz(+)f(1)1020 4094 y Fq(H)1109 4079 y Fx(\012)h Ft(g)1256 4094 y Fl(1)1295 4079 y Ft(:)0 4249 y Fz(Similarly)29 b(w)m(e)k(ha)m(v)m(e)h Ft(")829 4265 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))973 4249 y Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))27 b(=)g(1)33 b(i\013)e(1)22 b Fx(\012)h Fz(1)f(+)g Ft(")p Fz(\()p Ft(g)1937 4264 y Fl(1)1975 4249 y Fz(\))h Fx(\012)f Ft(\016)32 b Fz(=)27 b(1)33 b(i\013)e Ft(")p Fz(\()p Ft(g)2642 4264 y Fl(1)2681 4249 y Fz(\))d(=)f(0.)597 b Fh(\003)336 4480 y Fv(4.)56 b(Deriv)-6 b(ations)36 b(and)i(Lie)f(Algebras)g(of)h(A\016ne)g(Algebraic)e(Groups) 149 4654 y(Lemma)26 b(and)g(De\014nition)f(7.4.1.)34 b Fs(L)-5 b(et)26 b Fx(G)34 b Fz(:)27 b Fu(K)18 b Fs(-)6 b(c)g Fx(A)p Fs(lg)44 b Fx(\000)-57 b(!)27 b(S)n Fs(et)42 b(b)-5 b(e)25 b(a)h(gr)-5 b(oup)25 b(value)-5 b(d)25 b(functor.)0 4770 y(The)34 b(kernel)g(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))35 b Fs(of)g(the)g(se)-5 b(quenc)g(e)581 4986 y Fz(0)347 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))p 659 4963 289 4 v 865 4961 a Fm(-)1704 4986 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1433 4963 242 4 v 1592 4961 a Fm(-)p 2071 4943 349 4 v 2336 4941 a(-)2176 4906 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(p)p Fl(\))p 2071 4983 V 2071 4981 a Fm(\033)2178 5050 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(j)t Fl(\))2448 4986 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))306 b(0)p 2692 4963 249 4 v 2858 4961 a Fm(-)0 5196 y Fs(is)35 b(c)-5 b(al)5 b(le)-5 b(d)34 b(the)g Fz(Lie)e(algebra)i Fs(of)h Fx(G)41 b Fs(and)34 b(is)h(a)f(gr)-5 b(oup)35 b(value)-5 b(d)35 b(functor)g(in)f Ft(R)q Fs(.)p eop %%Page: 135 138 135 137 bop 401 251 a Fw(4.)35 b(DERIV)-9 b(A)j(TIONS)31 b(AND)h(LIE)h(ALGEBRAS)f(OF)i(AFFINE)e(ALGEBRAIC)h(GR)n(OUPS)285 b(135)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(F)-8 b(or)37 b(ev)m(ery)j(algebra) d(homomorphism)e Ft(f)47 b Fz(:)37 b Ft(R)h Fx(\000)-60 b(!)37 b Ft(S)43 b Fz(the)c(follo)m(wing)c(diagram)g(of)0 566 y(groups)e(comm)m(utes)581 801 y(0)347 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))p 659 778 289 4 v 865 776 a Fm(-)1704 801 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1433 778 242 4 v 1592 776 a Fm(-)p 2071 759 349 4 v 2336 757 a(-)2176 721 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(p)p Fl(\))p 2071 798 V 2071 796 a Fm(\033)2178 865 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(j)t Fl(\))2448 801 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))306 b(0)p 2692 778 249 4 v 2858 776 a Fm(-)p 1189 1098 4 254 v 1191 1098 a(?)p 1871 1098 V 599 w(?)1912 988 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(f)7 b Fl(\()p Fq(\016)r Fl(\)\))p 2554 1098 V 2556 1098 a Fm(?)2595 988 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(f)g Fl(\))581 1191 y Fz(0)351 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(S)g Fz(\))p 659 1168 294 4 v 870 1166 a Fm(-)1708 1191 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(S)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1429 1168 251 4 v 1597 1166 a Fm(-)p 2067 1149 356 4 v 2340 1147 a(-)2176 1111 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(p)p Fl(\))p 2067 1188 V 2067 1186 a Fm(\033)2178 1255 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(j)t Fl(\))2452 1191 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(S)g Fz(\))311 b(0)p 2688 1168 253 4 v 2858 1166 a Fm(-)3523 1424 y Fh(\003)149 1635 y Fv(Prop)s(osition)38 b(4.4.2.)k Fs(L)-5 b(et)37 b Fx(G)f Fz(:)31 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)g Fx(A)p Fs(lg)46 b Fx(\000)-57 b(!)30 b(S)n Fs(et)53 b(b)-5 b(e)36 b(a)g(gr)-5 b(oup)36 b(value)-5 b(d)36 b(functor)g(with)g(mul-)0 1751 y(tiplic)-5 b(ation)34 b Fx(\003)p Fs(.)45 b(Then)34 b(ther)-5 b(e)35 b(ar)-5 b(e)34 b(functorial)h(op)-5 b(er)g(ations)803 1938 y Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))22 b Fx(\002)g Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))28 b Fx(3)g Fz(\()p Ft(g)t(;)17 b(x)p Fz(\))27 b Fx(7!)g Ft(g)f Fx(\001)21 b Ft(x)29 b Fx(2)f Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))908 2140 y Ft(R)23 b Fx(\002)g Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))27 b Fx(3)i Fz(\()p Ft(a;)17 b(x)p Fz(\))27 b Fx(7!)h Ft(ax)g Fx(2)g Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))0 2329 y Fs(such)35 b(that)1273 2455 y Ft(g)25 b Fx(\001)d Fz(\()p Ft(x)h Fz(+)f Ft(y)t Fz(\))k(=)i Ft(g)d Fx(\001)d Ft(x)h Fz(+)f Ft(g)j Fx(\001)d Ft(y)t(;)1328 2571 y(h)g Fx(\001)g Fz(\()p Ft(g)k Fx(\001)21 b Ft(x)p Fz(\))28 b(=)g(\()p Ft(h)22 b Fx(\003)g Ft(g)t Fz(\))g Fx(\001)f Ft(x;)1379 2688 y(a)p Fz(\()p Ft(x)i Fz(+)f Ft(y)t Fz(\))27 b(=)g Ft(ax)c Fz(+)f Ft(ay)t(;)1497 2804 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))p Ft(x)29 b Fz(=)e Ft(a)p Fz(\()p Ft(bx)p Fz(\))p Ft(;)1416 2920 y(g)f Fx(\001)21 b Fz(\()p Ft(ax)p Fz(\))29 b(=)e Ft(a)p Fz(\()p Ft(g)f Fx(\001)21 b Ft(x)p Fz(\))p Ft(:)149 3132 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(First)h(observ)m (e)i(that)e(the)h(comp)s(osition)d(+)j(on)f Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))43 b(is)g(induced)h(b)m(y)h (the)0 3249 y(m)m(ultiplication)28 b Fx(\003)k Fz(of)g Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))33 b(so)g(it)e(is)h(not)h(necessarily)g(comm)m(utativ)m(e.)149 3365 y(W)-8 b(e)26 b(de\014ne)g Ft(g)11 b Fx(\001)c Ft(x)28 b Fz(:=)f Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))h Fx(\003)g Ft(x)g Fx(\003)g(G)f Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))1701 3329 y Fr(\000)p Fl(1)1795 3365 y Fz(.)41 b(Then)26 b Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(g)11 b Fx(\001)c Ft(x)p Fz(\))27 b(=)h Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(p)p Fz(\))p Fx(G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))h Fx(\003)g(G)f Fz(\()p Ft(p)p Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))h Fx(\003)0 3481 y(G)f Fz(\()p Ft(p)p Fz(\))p Fx(G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))504 3445 y Fr(\000)p Fl(1)625 3481 y Fz(=)28 b Ft(g)d Fx(\003)d Fz(1)g Fx(\003)g Ft(g)1067 3445 y Fr(\000)p Fl(1)1188 3481 y Fz(=)28 b(1)k(hence)i Ft(g)25 b Fx(\001)d Ft(x)28 b Fx(2)g Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\).)149 3597 y(No)m(w)37 b(let)e Ft(a)f Fx(2)f Ft(R)q Fz(.)54 b(T)-8 b(o)36 b(de\014ne)h Ft(a)c Fz(:)h Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))33 b Fx(\000)-60 b(!)33 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))36 b(w)m(e)h(use)g Ft(u)2886 3612 y Fq(a)2960 3597 y Fz(:)d Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))f Fx(\000)-60 b(!)33 b Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))0 3714 y(de\014ned)25 b(b)m(y)f Ft(u)509 3729 y Fq(a)550 3714 y Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))k(:=)f Ft(a\016)h Fz(and)23 b(th)m(us)h Ft(u)1394 3729 y Fq(a)1435 3714 y Fz(\()p Ft(b)s Fz(+)s Ft(c\016)t Fz(\))29 b(:=)e Ft(b)s Fz(+)s Ft(ac\016)t Fz(.)41 b(Ob)m(viously)24 b Ft(u)2719 3729 y Fq(a)2783 3714 y Fz(is)f(a)g(homomorphism)0 3830 y(of)g Ft(R)q Fz(-algebras.)40 b(F)-8 b(urthermore)23 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g Ft(pu)1637 3845 y Fq(a)1706 3830 y Fz(=)i Ft(p)d Fz(and)g Ft(u)2119 3845 y Fq(a)2160 3830 y Ft(j)34 b Fz(=)27 b Ft(j)6 b Fz(.)41 b(Th)m(us)25 b(w)m(e)g(get)e(a)h (comm)m(utativ)m(e)0 3946 y(diagram)581 4140 y(0)347 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))p 659 4117 289 4 v 865 4115 a Fm(-)1704 4140 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1433 4117 242 4 v 1592 4115 a Fm(-)p 2071 4098 349 4 v 2336 4096 a(-)2176 4060 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(p)p Fl(\))p 2071 4137 V 2071 4135 a Fm(\033)2178 4204 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(j)t Fl(\))2448 4140 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))306 b(0)p 2692 4117 249 4 v 2858 4115 a Fm(-)p 1189 4437 4 254 v 1191 4437 a(?)1230 4325 y Fq(a)p 1871 4437 V 1873 4437 a Fm(?)1912 4327 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(u)2026 4335 y Fn(a)2064 4327 y Fl(\))p 2554 4437 V 2556 4437 a Fm(?)2595 4334 y Fl(id)581 4530 y Fz(0)347 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))p 659 4507 289 4 v 865 4505 a Fm(-)1704 4530 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1433 4507 242 4 v 1592 4505 a Fm(-)p 2071 4488 349 4 v 2336 4486 a(-)2176 4450 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(p)p Fl(\))p 2071 4527 V 2071 4525 a Fm(\033)2178 4594 y Fr(G)t Fl(\()p Fq(j)t Fl(\))2448 4530 y Fx(G)g Fz(\()p Ft(R)q Fz(\))306 b(0)p 2692 4507 249 4 v 2858 4505 a Fm(-)0 4751 y Fz(that)31 b(de\014nes)j(a)d(group)g(homomorphism)e Ft(a)f Fz(:)g Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))27 b Fx(\000)-59 b(!)27 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Ft(R)q Fz(\))32 b(on)f(the)h(k)m(ernel)g(of)g(the)0 4867 y(exact)h(sequences.)47 b(In)33 b(particular)e(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h (then)g Ft(a)p Fz(\()p Ft(x)22 b Fz(+)g Ft(y)t Fz(\))27 b(=)h Ft(ax)22 b Fz(+)g Ft(ay)t Fz(.)149 4983 y(F)-8 b(urthermore)32 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g Ft(u)1139 4998 y Fq(ab)1238 4983 y Fz(=)27 b Ft(u)1397 4998 y Fq(a)1439 4983 y Ft(u)1495 4998 y Fq(b)1561 4983 y Fz(hence)34 b(\()p Ft(ab)p Fz(\))p Ft(x)29 b Fz(=)e Ft(a)p Fz(\()p Ft(bx)p Fz(\).)149 5099 y(The)32 b(next)f(form)m(ula)e(follo)m(ws)g (from)g Ft(g)21 b Fx(\001)c Fz(\()p Ft(x)h Fz(+)g Ft(y)t Fz(\))27 b(=)g Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))17 b Fx(\003)h Ft(x)g Fx(\003)f Ft(y)k Fx(\003)d(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))2995 5063 y Fr(\000)p Fl(1)3116 5099 y Fz(=)27 b Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))17 b Fx(\003)0 5216 y Ft(x)23 b Fx(\003)f(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))464 5179 y Fr(\000)p Fl(1)579 5216 y Fx(\003)22 b(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))21 b Fx(\003)h Ft(y)k Fx(\003)c(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))1518 5179 y Fr(\000)p Fl(1)1639 5216 y Fz(=)27 b Ft(g)f Fx(\001)c Ft(x)g Fz(+)g Ft(g)k Fx(\001)21 b Ft(y)t Fz(.)p eop %%Page: 136 139 136 138 bop 0 251 a Fw(136)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 450 y Fz(W)e(e)23 b(also)d(see)j(\()p Ft(h)p Fx(\003)p Ft(g)t Fz(\))p Fx(\001)p Ft(x)28 b Fz(=)f Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(h)p Fx(\003)p Ft(g)t Fz(\))p Fx(\003)p Ft(x)p Fx(\003G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(h)p Fx(\003)p Ft(g)t Fz(\))2080 414 y Fr(\000)p Fl(1)2201 450 y Fz(=)28 b Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(h)p Fz(\))p Fx(\003G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))p Fx(\003)p Ft(x)p Fx(\003G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))3457 414 y Fr(\000)p Fl(1)3550 450 y Fx(\003)0 566 y(G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(h)p Fz(\))319 530 y Fr(\000)p Fl(1)449 566 y Fz(=)36 b Ft(h)26 b Fx(\001)f Fz(\()p Ft(g)k Fx(\001)c Ft(x)p Fz(\))p Ft(:)38 b Fz(Finally)d(w)m(e)k (ha)m(v)m(e)g Ft(g)28 b Fx(\001)e Fz(\()p Ft(ax)p Fz(\))36 b(=)g Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))25 b Fx(\003)g(G)6 b Fz(\()p Ft(u)2769 581 y Fq(a)2810 566 y Fz(\)\()p Ft(x)p Fz(\))26 b Fx(\003)g(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)3357 530 y Fr(\000)p Fl(1)3450 566 y Fz(\))36 b(=)0 683 y Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(u)159 698 y Fq(a)200 683 y Fz(\)\()p Fx(G)g Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)t Fz(\))21 b Fx(\003)h Ft(x)h Fx(\003)f(G)6 b Fz(\()p Ft(j)g Fz(\)\()p Ft(g)1109 646 y Fr(\000)p Fl(1)1202 683 y Fz(\)\))28 b(=)g Ft(a)p Fz(\()p Ft(g)d Fx(\001)d Ft(x)p Fz(\).)1782 b Fh(\003)149 880 y Fv(Prop)s(osition)46 b(4.4.3.)g Fs(L)-5 b(et)43 b Fx(G)49 b Fz(=)42 b Fu(K)17 b Fs(-)6 b(c)h Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fs(-)o Fz(\))43 b Fs(b)-5 b(e)42 b(an)h(a\016ne)f(algebr)-5 b(aic)42 b(gr)-5 b(oup.)68 b(Then)0 997 y(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Fu(K)17 b Fz(\))472 969 y Fx(\030)472 1001 y Fz(=)590 997 y Fx(L)p Fs(ie)g Fz(\()p Ft(H)878 960 y Fq(o)915 997 y Fz(\))42 b Fs(as)g(additive)g(gr)-5 b(oups.)67 b(The)41 b(isomorphism)g(is)h(c)-5 b(omp)g(atible)41 b(with)h(the)0 1113 y(op)-5 b(er)g(ations)34 b(given)g(in)h(4.4.2)f (and)g(4.3.6.)149 1311 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(W)-8 b(e)33 b(consider)g(the)g(follo)m(wing)d(diagram)240 1510 y(0)345 b Fs(Lie)p Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Fu(K)18 b Fz(\))p 318 1487 288 4 v 523 1485 a Fm(-)1362 1510 y Fu(K)f Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1093 1487 240 4 v 1250 1485 a Fm(-)p 2121 1467 249 4 v 2286 1465 a(-)2227 1433 y Fq(p)p 2121 1506 V 2121 1504 a Fm(\033)2398 1510 y Fu(K)h Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)15 b Fz(\()p Ft(H)r(;)i Fu(K)h Fz(\))311 b(0)p 3034 1487 248 4 v 3199 1485 a Fm(-)p 848 1807 4 254 v 849 1636 a(6)888 1694 y Fq(e)p 1725 1807 V 1727 1807 a Fm(?)1766 1694 y Fq(!)p 2700 1807 V 2702 1807 a Fm(?)2741 1682 y Fr(\030)2741 1703 y Fl(=)240 1899 y Fz(0)379 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)955 1864 y Fq(o)993 1899 y Fz(\))p 318 1877 321 4 v 556 1875 a Fm(-)1354 1896 y Ft(G)1431 1912 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))1575 1896 y Fz(\()p Ft(H)1702 1860 y Fq(o)1762 1896 y Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))p 1060 1877 266 4 v 1243 1875 a Fm(-)1143 1855 y Fq(e)1176 1832 y Fn(\016)r Fz(-)p 2129 1877 405 4 v 2451 1875 a Fm(-)2313 1843 y Fq(p)2562 1899 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)2766 1864 y Fq(o)2804 1899 y Fz(\))274 b(0)p 2870 1877 217 4 v 3004 1875 a Fm(-)0 2077 y Fz(W)-8 b(e)32 b(kno)m(w)h(b)m(y)f(de\014nition)e(that)i(the)g(top)f(sequence)j(is)d (exact.)44 b(The)33 b(b)s(ottom)d(sequence)k(is)d(exact)0 2194 y(b)m(y)i(Corollary)e(4.3.9.)149 2310 y(Let)h Ft(f)38 b Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\).)49 b(Since)31 b(Ker\()p Ft(f)11 b Fz(\))31 b(is)f(an)h(ideal)f(of)g(co)s(dimension)g(1)g(w)m(e) j(get)e Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(H)3535 2274 y Fq(o)3573 2310 y Fz(.)0 2426 y(The)34 b(map)d Ft(f)44 b Fz(is)32 b(an)g(algebra)g(homomorphism)e(i\013)h Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b(ab)p Fx(i)28 b Fz(=)g Fx(h)p Ft(f)33 b Fx(\012)22 b Ft(f)5 b(;)17 b(a)23 b Fx(\012)f Ft(b)p Fx(i)33 b Fz(and)g Fx(h)p Ft(f)5 b(;)17 b Fz(1)p Fx(i)27 b Fz(=)h(1)k(i\013)0 2542 y(\001)81 2557 y Fq(H)144 2538 y Fn(o)183 2542 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)h Ft(f)j Fx(\012)22 b Ft(f)42 b Fz(and)32 b Ft(")952 2557 y Fq(H)1015 2538 y Fn(o)1054 2542 y Fz(\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)g(1)32 b(i\013)f Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)1900 2506 y Fq(o)1938 2542 y Fz(\).)43 b(Hence)33 b(w)m(e)g(get)f(the)g (righ)m(t)g(hand)g(v)m(ertical)0 2658 y(isomorphism)e Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\))1205 2631 y Fx(\030)1206 2663 y Fz(=)1310 2658 y Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)1514 2622 y Fq(o)1552 2658 y Fz(\).)149 2775 y(Consider)31 b(an)f(elemen)m(t)g Ft(f)38 b Fx(2)28 b Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))33 b Fx(\022)28 b Fz(Hom\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\).)48 b(It)30 b(can)h(b)s(e)f(written)g(as)0 2891 y Ft(f)38 b Fz(=)28 b Ft(f)238 2906 y Fl(0)286 2891 y Fz(+)8 b Ft(f)418 2906 y Fl(1)457 2891 y Ft(\016)30 b Fz(with)25 b Ft(f)793 2906 y Fl(0)833 2891 y Ft(;)17 b(f)925 2906 y Fl(1)992 2891 y Fx(2)28 b Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\).)47 b(The)27 b(linear)d(map)h Ft(f)36 b Fz(is)25 b(an)h(algebra)f(homomorphism)0 3007 y(i\013)33 b Ft(f)166 3022 y Fl(0)236 3007 y Fz(:)d Ft(H)38 b Fx(\000)-59 b(!)30 b Fu(K)57 b Fz(is)34 b(an)g(algebra)f (homomorphism)e(and)j Ft(f)2180 3022 y Fl(1)2254 3007 y Fz(satis\014es)h Ft(f)2663 3022 y Fl(1)2702 3007 y Fz(\(1\))30 b(=)h(0)i(and)i Ft(f)3286 3022 y Fl(1)3325 3007 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))c(=)0 3123 y Ft(f)48 3138 y Fl(0)88 3123 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)263 3138 y Fl(1)302 3123 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))g(+)f Ft(f)604 3138 y Fl(1)643 3123 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)818 3138 y Fl(0)858 3123 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)79 b(In)45 b(fact)f(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g Ft(f)11 b Fz(\(1\))47 b(=)h Ft(f)2215 3138 y Fl(0)2254 3123 y Fz(\(1\))30 b(+)g Ft(f)2563 3138 y Fl(1)2603 3123 y Fz(\(1\))p Ft(\016)51 b Fz(=)d(1)c(i\013)f Ft(f)3215 3138 y Fl(0)3255 3123 y Fz(\(1\))k(=)h(1)0 3240 y(and)39 b Ft(f)244 3255 y Fl(1)284 3240 y Fz(\(1\))g(=)f(0)h(\(b) m(y)h(comparing)e(co)s(e\016cien)m(ts\).)65 b(F)-8 b(urthermore)38 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))39 b(=)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)g Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))0 3356 y(i\013)40 b Ft(f)173 3371 y Fl(0)212 3356 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))28 b(+)g Ft(f)560 3371 y Fl(1)599 3356 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))p Ft(\016)46 b Fz(=)c(\()p Ft(f)1060 3371 y Fl(0)1099 3356 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(+)f Ft(f)1405 3371 y Fl(1)1445 3356 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\)\()p Ft(f)1743 3371 y Fl(0)1782 3356 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))h(+)g Ft(f)2079 3371 y Fl(1)2118 3356 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\))42 b(=)f Ft(f)2527 3371 y Fl(0)2567 3356 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)2742 3371 y Fl(0)2782 3356 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))28 b(+)f Ft(f)3078 3371 y Fl(0)3118 3356 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)3293 3371 y Fl(1)3332 3356 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(\016)32 b Fz(+)0 3472 y Ft(f)48 3487 y Fl(1)88 3472 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)263 3487 y Fl(0)302 3472 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(\016)37 b Fz(i\013)31 b Ft(f)663 3487 y Fl(0)703 3472 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))d(=)g Ft(f)1051 3487 y Fl(0)1090 3472 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)1265 3487 y Fl(0)1305 3472 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))33 b(and)f Ft(f)1692 3487 y Fl(1)1732 3472 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))c(=)g Ft(f)2080 3487 y Fl(0)2119 3472 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)2294 3487 y Fl(1)2334 3472 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))22 b(+)g Ft(f)2619 3487 y Fl(1)2659 3472 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)2834 3487 y Fl(0)2873 3472 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)149 3588 y(Since)46 b Ft(f)465 3603 y Fl(0)550 3588 y Fz(is)f(an)g(algebra)f(homomorphism)f (w)m(e)j(ha)m(v)m(e)h(as)e(ab)s(o)m(v)m(e)h Ft(f)2728 3603 y Fl(0)2817 3588 y Fx(2)k Ft(H)3022 3552 y Fq(o)3060 3588 y Fz(.)82 b(F)-8 b(or)44 b Ft(f)3404 3603 y Fl(1)3489 3588 y Fz(w)m(e)0 3705 y(ha)m(v)m(e)c(\()p Ft(b)d(*)g(f)530 3720 y Fl(1)569 3705 y Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))h(=)f Ft(f)933 3720 y Fl(1)972 3705 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))h(=)f Ft(f)1339 3720 y Fl(0)1379 3705 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)1554 3720 y Fl(1)1593 3705 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))26 b(+)g Ft(f)1886 3720 y Fl(1)1926 3705 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)2101 3720 y Fl(0)2140 3705 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))38 b(=)f(\()p Ft(f)2494 3720 y Fl(1)2533 3705 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(f)2698 3720 y Fl(0)2764 3705 y Fz(+)26 b Ft(f)2914 3720 y Fl(0)2954 3705 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(f)3119 3720 y Fl(1)3158 3705 y Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))39 b(hence)0 3821 y(\()p Ft(b)28 b(*)f(f)280 3836 y Fl(1)320 3821 y Fz(\))g(=)h Ft(f)537 3836 y Fl(1)577 3821 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(f)742 3836 y Fl(0)791 3821 y Fz(+)9 b Ft(f)924 3836 y Fl(0)963 3821 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(f)1128 3836 y Fl(1)1196 3821 y Fx(2)28 b Fu(K)17 b Ft(f)1409 3836 y Fl(0)1464 3821 y Fz(+)9 b Fu(K)18 b Ft(f)1669 3836 y Fl(1)1714 3821 y Fz(,)28 b(a)e(t)m(w)m(o)h (dimensional)d(subspace.)43 b(Th)m(us)28 b Ft(f)3285 3836 y Fl(1)3352 3821 y Fx(2)g Ft(H)3535 3785 y Fq(o)3573 3821 y Fz(.)149 3937 y(In)h(the)h(follo)m(wing)25 b(computations)j(w)m (e)i(will)c(iden)m(tify)i(\()p Ft(H)2241 3901 y Fq(o)2293 3937 y Fx(\012)14 b Fu(K)k Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))c Fx(\012)2708 3953 y Fp(K)d Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))2873 3937 y Fz(\()p Ft(H)3000 3901 y Fq(o)3052 3937 y Fx(\012)j Fu(K)k Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))34 b(with)0 4053 y Ft(H)89 4017 y Fq(o)149 4053 y Fx(\012)23 b Ft(H)338 4017 y Fq(o)397 4053 y Fx(\012)g(j)p Ft(K)7 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\).)149 4169 y(Let)43 b Ft(f)56 b Fz(=)45 b Ft(f)607 4184 y Fl(0)675 4169 y Fz(+)29 b Ft(f)828 4184 y Fl(1)868 4169 y Ft(\016)48 b Fz(=)d Ft(f)1128 4184 y Fl(0)1197 4169 y Fx(\012)29 b Fz(1)g(+)g Ft(f)1534 4184 y Fl(1)1602 4169 y Fx(\012)h Ft(\016)49 b Fx(2)c Ft(H)2001 4133 y Fq(o)2068 4169 y Fx(\010)29 b Ft(H)2263 4133 y Fq(o)2301 4169 y Ft(\016)49 b Fz(=)c Ft(H)2603 4133 y Fq(o)2669 4169 y Fx(\012)30 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\).)80 b(Then)44 b Ft(f)53 b Fz(is)42 b(a)0 4286 y(homomorphism)32 b(of)j(algebras)f(i\013)g Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))31 b(=)h Ft(f)11 b Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)g Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))35 b(and)g Ft(f)11 b Fz(\(1\))31 b(=)g(1)k(i\013)e Ft(f)2833 4301 y Fl(0)2873 4286 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))f(=)g Ft(f)3229 4301 y Fl(0)3268 4286 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)3443 4301 y Fl(0)3483 4286 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))0 4402 y(and)27 b Ft(f)232 4417 y Fl(1)271 4402 y Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))i(=)e Ft(f)619 4417 y Fl(0)659 4402 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)834 4417 y Fl(1)873 4402 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))10 b(+)g Ft(f)1134 4417 y Fl(1)1174 4402 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(f)1349 4417 y Fl(0)1389 4402 y Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))27 b(and)g Ft(f)1765 4417 y Fl(0)1804 4402 y Fz(\(1\))h(=)f(1)g (and)g Ft(f)2368 4417 y Fl(1)2407 4402 y Fz(\(1\))h(=)f(0)g(i\013)e (\001)2930 4417 y Fq(H)2993 4398 y Fn(o)3032 4402 y Fz(\()p Ft(f)3118 4417 y Fl(0)3158 4402 y Fz(\))i(=)h Ft(f)3375 4417 y Fl(0)3425 4402 y Fx(\012)10 b Ft(f)3560 4417 y Fl(0)0 4518 y Fz(and)25 b(\001)263 4533 y Fq(H)326 4514 y Fn(o)365 4518 y Fz(\()p Ft(f)451 4533 y Fl(1)491 4518 y Fz(\))j(=)f Ft(f)708 4533 y Fl(0)755 4518 y Fx(\012)7 b Ft(f)887 4533 y Fl(1)934 4518 y Fz(+)g Ft(f)1065 4533 y Fl(1)1111 4518 y Fx(\012)g Ft(f)1243 4533 y Fl(0)1308 4518 y Fz(and)25 b Ft(")1536 4533 y Fq(H)1599 4514 y Fn(o)1638 4518 y Fz(\()p Ft(f)1724 4533 y Fl(0)1763 4518 y Fz(\))j(=)g(1)c(and)i Ft(")2235 4533 y Fq(H)2298 4514 y Fn(o)2336 4518 y Fz(\()p Ft(f)2422 4533 y Fl(1)2462 4518 y Fz(\))h(=)h(0)d(i\013)f(\(\001)2933 4533 y Fq(H)2996 4514 y Fn(o)3042 4518 y Fx(\012)7 b Fz(id)3208 4534 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)s Fl(\))3352 4518 y Fz(\)\()p Ft(f)3476 4533 y Fl(0)3523 4518 y Fx(\012)0 4634 y Fz(1)i(+)g Ft(f)191 4649 y Fl(1)239 4634 y Fx(\012)g Ft(\016)t Fz(\))28 b(=)f Ft(f)589 4649 y Fl(0)638 4634 y Fx(\012)9 b Ft(f)772 4649 y Fl(0)820 4634 y Fx(\012)g Fz(1)g(+)g Ft(f)1097 4649 y Fl(0)1146 4634 y Fx(\012)g Ft(f)1280 4649 y Fl(1)1328 4634 y Fx(\012)g Ft(\016)k Fz(+)c Ft(f)1603 4649 y Fl(1)1652 4634 y Fx(\012)g Ft(f)1786 4649 y Fl(0)1834 4634 y Fx(\012)g Ft(\016)32 b Fz(=)c(\()p Ft(f)2185 4649 y Fl(0)2233 4634 y Fx(\012)9 b Fz(1)g(+)g Ft(f)2510 4649 y Fl(1)2558 4634 y Fx(\012)g Ft(\016)t Fz(\))g Fx(\012)2815 4650 y Fp(K)d Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))2969 4634 y Fz(\()p Ft(f)3055 4649 y Fl(0)3104 4634 y Fx(\012)j Fz(1)g(+)g Ft(f)3381 4649 y Fl(1)3429 4634 y Fx(\012)g Ft(\016)t Fz(\))0 4751 y(and)42 b(\()p Ft(")283 4766 y Fq(H)346 4747 y Fn(o)413 4751 y Fx(\012)28 b Fz(id)600 4766 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))744 4751 y Fz(\)\()p Ft(f)868 4766 y Fl(0)936 4751 y Fx(\012)g Fz(1)h(+)f Ft(f)1271 4766 y Fl(1)1339 4751 y Fx(\012)g Ft(\016)t Fz(\))43 b(=)g(1)28 b Fx(\012)h Fz(1)41 b(i\013)g(\(\001)2209 4766 y Fq(H)2272 4747 y Fn(o)2339 4751 y Fx(\012)29 b Fz(id)2526 4766 y Fp(K)5 b Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))2671 4751 y Fz(\)\()p Ft(f)11 b Fz(\))42 b(=)h Ft(f)c Fx(\012)3169 4766 y Fp(K)6 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))3343 4751 y Ft(f)52 b Fz(and)0 4867 y(\()p Ft(")84 4882 y Fq(H)147 4863 y Fn(o)208 4867 y Fx(\012)22 b Fz(id)389 4882 y Fp(K)t Fl(\()q Fq(\016)r Fl(\))533 4867 y Fz(\)\()p Ft(f)11 b Fz(\))27 b(=)h(1)k(i\013)g Ft(f)38 b Fx(2)28 b Ft(G)1292 4882 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))1436 4867 y Fz(\()p Ft(H)1563 4831 y Fq(o)1623 4867 y Fx(\012)23 b Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\).)149 4983 y(Hence)45 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)f(a)f(bijectiv)m(e)h (map)e Ft(!)49 b Fz(:)e Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))52 b Fx(3)46 b Ft(f)57 b Fz(=)46 b Ft(f)2905 4998 y Fl(0)2974 4983 y Fz(+)29 b Ft(f)3127 4998 y Fl(1)3167 4983 y Ft(\016)50 b Fx(7!)c Ft(f)3454 4998 y Fl(0)3523 4983 y Fx(\012)0 5099 y Fz(1)18 b(+)f Ft(f)208 5114 y Fl(1)265 5099 y Fx(\012)i Ft(\016)31 b Fx(2)d Ft(G)606 5115 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))751 5099 y Fz(\()p Ft(H)878 5063 y Fq(o)933 5099 y Fx(\012)18 b Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\).)48 b(Since)31 b(the)g(group)f(m)m(ultiplication)c (in)j Fu(K)18 b Fz(-)5 b Fs(c)i Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))34 b Fx(\022)0 5216 y Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b Fu(K)g Fz(\()p Ft(\016)5 b Fz(\)\))28 b(is)23 b(the)g(con)m(v)m(olution)f Fx(\003)h Fz(and)g(the)h(group)e(m)m(ultiplication)d(in)j Ft(G)2865 5231 y Fp(K)5 b Fl(\()p Fq(\016)s Fl(\))3009 5216 y Fz(\()p Ft(H)3136 5179 y Fq(o)3177 5216 y Fx(\012)s Fu(K)17 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\))34 b Fx(\022)p eop %%Page: 137 140 137 139 bop 401 251 a Fw(4.)35 b(DERIV)-9 b(A)j(TIONS)31 b(AND)h(LIE)h(ALGEBRAS)f(OF)i(AFFINE)e(ALGEBRAIC)h(GR)n(OUPS)285 b(137)0 450 y Ft(H)89 414 y Fq(o)158 450 y Fx(\012)31 b Fu(K)18 b Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\))51 b(is)45 b(the)h(ordinary)f (algebra)g(m)m(ultiplication,)f(where)j(the)f(m)m(ultiplication)41 b(of)k Ft(H)3562 414 y Fq(o)0 566 y Fz(again)36 b(is)h(the)g(con)m(v)m (olution,)h(it)f(is)f(clear)h(that)g Ft(!)k Fz(is)c(a)g(group)g (homomorphism.)55 b(F)-8 b(urthermore)0 683 y(the)32 b(righ)m(t)f(hand)h(square)g(of)g(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)g(diagram)d (comm)m(utes.)43 b(Th)m(us)34 b(w)m(e)e(get)g(an)f(isomorphism)0 799 y Ft(e)37 b Fz(:)h Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)434 763 y Fq(o)471 799 y Fz(\))37 b Fx(\000)-59 b(!)37 b Fs(Lie)o Fz(\()p Fx(G)6 b Fz(\)\()p Fu(K)18 b Fz(\))44 b(on)38 b(the)g(k)m(ernels.)62 b(This)38 b(map)f(is)h(de\014ned)h(b)m (y)g Ft(e)p Fz(\()p Ft(d)p Fz(\))e(=)g(1)26 b(+)g Ft(d\016)41 b Fx(2)0 915 y Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)h Fz(\()p Ft(\016)t Fz(\)\).)149 1031 y(T)-8 b(o)35 b(sho)m(w)h(that)e(this)g(isomorphism)f(is)h (compatible)e(with)j(the)g(actions)f(of)g Fu(K)58 b Fz(resp.)50 b Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)3524 995 y Fq(o)3562 1031 y Fz(\))0 1147 y(let)32 b Ft(\013)d Fx(2)g Fu(K)17 b Fz(,)40 b Ft(a)28 b Fx(2)h Ft(H)8 b Fz(,)32 b(and)h Ft(d)28 b Fx(2)h(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)1438 1111 y Fq(o)1476 1147 y Fz(\).)44 b(W)-8 b(e)34 b(ha)m(v)m(e)g Ft(e)p Fz(\()p Ft(\013)q(d)p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))28 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))22 b(+)g Ft(\013)q(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\016)32 b Fz(=)c Ft(u)3242 1162 y Fq(\013)3291 1147 y Fz(\()p Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))22 b(+)0 1264 y Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\016)t Fz(\))27 b(=)h(\()p Ft(u)488 1279 y Fq(\013)559 1264 y Fx(\016)22 b Fz(\(1)g(+)g Ft(d\016)t Fz(\)\)\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(=)h(\()p Ft(u)1364 1279 y Fq(\013)1435 1264 y Fx(\016)22 b Ft(e)p Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\)\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(=)h(\()p Ft(\013)q(e)p Fz(\()p Ft(d)p Fz(\)\)\()p Ft(a)p Fz(\))k(hence)h Ft(e)p Fz(\()p Ft(\013)q(d)p Fz(\))28 b(=)f Ft(\013)q(e)p Fz(\()p Ft(d)p Fz(\).)149 1380 y(F)-8 b(urthermore)33 b(let)f Ft(g)g Fx(2)d Ft(G)p Fz(\()p Ft(H)1234 1344 y Fq(o)1272 1380 y Fz(\))f(=)h Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fu(K)h Fz(\),)39 b Ft(a)29 b Fx(2)g Ft(H)8 b Fz(,)32 b(and)i Ft(d)28 b Fx(2)h(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)3086 1344 y Fq(o)3124 1380 y Fz(\).)45 b(Then)34 b(w)m(e)0 1496 y(ha)m(v)m(e)68 b Ft(e)p Fz(\()p Ft(g)49 b Fx(\001)d Ft(d)p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))86 b(=)g Ft(e)p Fz(\()p Ft(g)t(dg)1212 1460 y Fr(\000)p Fl(1)1305 1496 y Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))g(=)g(\(1)46 b(+)f Ft(g)t(dg)2125 1460 y Fr(\000)p Fl(1)2218 1496 y Ft(\016)t Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))86 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))46 b(+)f Ft(g)t(dg)3171 1460 y Fr(\000)p Fl(1)3264 1496 y Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(\016)90 b Fz(=)0 1538 y Fj(P)122 1612 y Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)262 1628 y Fl(\(1\))356 1612 y Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(a)529 1628 y Fl(\(2\))623 1612 y Fz(\))p Ft(g)t(S)6 b Fz(\()p Ft(a)867 1628 y Fl(\(3\))960 1612 y Fz(\))30 b(+)1134 1538 y Fj(P)1255 1612 y Ft(g)t Fz(\()p Ft(a)1395 1628 y Fl(\(1\))1489 1612 y Fz(\))p Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)1667 1628 y Fl(\(2\))1761 1612 y Fz(\))p Ft(g)t(S)6 b Fz(\()p Ft(a)2005 1628 y Fl(\(3\))2099 1612 y Fz(\))p Ft(\016)50 b Fz(=)2353 1538 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b(by)h Ft(I)8 b(=I)2135 2018 y Fl(2)2220 2055 y Fs(and)45 b Ft(d)j Fz(:)g Ft(H)2749 1998 y Fl(1)p Fr(\000)p Fq(")2731 2055 y Fx(\000)-17 b(!)48 b Ft(I)3099 1998 y Fq(\027)3038 2055 y Fx(\000)-16 b(!)48 b Ft(I)8 b(=I)3398 2018 y Fl(2)3437 2055 y Fs(,)48 b(in)0 2171 y(p)-5 b(articular)377 2339 y Fz(Der)533 2354 y Fq(")570 2339 y Fz(\()p Ft(H)r(;)17 b Fs(-)o Fz(\))835 2312 y Fx(\030)836 2344 y Fz(=)940 2339 y(Hom)o(\()p Ft(I)8 b(=I)1332 2298 y Fl(2)1371 2339 y Ft(;)17 b Fs(-)p Fz(\))234 b Fs(and)f Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)2397 2298 y Fq(o)2435 2339 y Fz(\))2501 2312 y Fx(\030)2501 2344 y Fz(=)2606 2339 y(Hom)o(\()p Ft(I)8 b(=I)2998 2298 y Fl(2)3037 2339 y Ft(;)17 b Fu(K)g Fz(\))p Ft(:)149 2520 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Because)31 b(of)d Ft(")p Fz(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(u")p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))27 b(=)h Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))15 b Fx(\000)g Ft("u")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))26 b(=)i(0)g(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(Im\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\))27 b Fx(\022)i Ft(I)8 b Fz(.)42 b(Let)0 2636 y Ft(i)28 b Fx(2)g Ft(I)8 b Fz(.)41 b(Then)26 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)f Ft(i)i Fz(=)g Ft(i)7 b Fx(\000)g Ft(")p Fz(\()p Ft(i)p Fz(\))29 b(=)e(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(i)p Fz(\))25 b(hence)i(Im\(id)15 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\))28 b(=)g(Ker\()p Ft(")p Fz(\).)40 b(W)-8 b(e)26 b(ha)m(v)m(e)h Ft(I)3467 2600 y Fl(2)3534 2636 y Fx(3)0 2752 y Fz(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\)\(id)g Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(b)p Fz(\))29 b(=)f Ft(ab)23 b Fx(\000)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(b)f Fx(\000)h Ft(a")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))g(+)f Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))28 b(=)g(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(ab)p Fz(\))23 b Fx(\000)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(b)p Fz(\))23 b Fx(\000)0 2868 y Fz(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(b)p Fz(\).)102 b(Hence)53 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(in)e Ft(I)8 b(=I)1543 2832 y Fl(2)1634 2868 y Fz(the)53 b(equation)e(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(ab)p Fz(\))61 b(=)g Ft(")p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\(id)15 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(b)p Fz(\))36 b(+)0 2985 y(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))32 b(so)h(that)g Ft(\027)6 b Fz(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\))28 b(:)f Ft(H)36 b Fx(\000)-60 b(!)27 b Ft(I)36 b Fx(\000)-60 b(!)28 b Ft(I)8 b(=I)2020 2949 y Fl(2)2091 2985 y Fz(is)32 b(an)h Ft(")p Fz(-deriv)-5 b(ation.)149 3101 y(No)m(w)36 b(let)d Ft(D)h Fz(:)d Ft(H)39 b Fx(\000)-60 b(!)31 b Ft(M)45 b Fz(b)s(e)35 b(an)f Ft(")p Fz(-deriv)-5 b(ation.)47 b(Then)36 b Ft(D)s Fz(\(1\))30 b(=)h Ft(D)s Fz(\(1)17 b(1\))30 b(=)h(1)p Ft(D)s Fz(\(1\))23 b(+)g Ft(D)s Fz(\(1\)1)0 3217 y(hence)43 b Ft(D)s Fz(\(1\))f(=)h(0.)70 b(It)41 b(follo)m(ws)f Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))j(=)g Ft(D)s Fz(\(id)15 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\).)71 b(F)-8 b(rom)40 b Ft(")p Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))42 b(=)h(0)e(w)m(e)h (get)g Ft(D)s Fz(\()p Ft(I)3403 3181 y Fl(2)3442 3217 y Fz(\))h Fx(\022)0 3333 y Ft(")p Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))p Ft(D)s Fz(\()p Ft(I)g Fz(\))21 b(+)h Ft(D)s Fz(\()p Ft(I)8 b Fz(\))p Ft(")p Fz(\()p Ft(I)g Fz(\))26 b(=)i(0)k(hence)i(there)g(is)e (a)g(unique)h(factorization)1340 3525 y Ft(H)328 b(I)p 1458 3493 263 4 v 1638 3491 a Fm(-)1509 3465 y Fl(id)12 b Fr(\000)p Fq(")2070 3518 y Ft(I)c(=I)2221 3482 y Fl(2)p 1829 3493 212 4 v 1958 3491 a Fm(-)1915 3472 y Fq(\027)1652 3709 y(D)1521 3601 y Fm(H)1604 3642 y(H)1687 3684 y(H)1770 3725 y(H)1853 3767 y(H)1936 3808 y(H)1945 3813 y(H)-83 b(j)1849 3709 y Fq(D)1843 3642 y Fm(@)1926 3725 y(@)2009 3808 y(@)2013 3813 y(@)g(R)2101 3915 y Ft(M)5 b(:)p 2163 3813 4 254 v 2165 3813 a Fm(?)2204 3703 y Fq(f)3523 4050 y Fh(\003)149 4230 y Fv(Corollary)28 b(4.4.5.)37 b Fs(L)-5 b(et)29 b Ft(H)36 b Fs(b)-5 b(e)28 b(a)g(Hopf)h(algebr)-5 b(a)27 b(that)i(is)f(\014nitely)h(gener)-5 b(ate)g(d)27 b(a)i(s)f(an)g(algebr)-5 b(a.)0 4346 y(Then)34 b Fx(L)p Fs(ie)16 b Fz(\()p Ft(H)541 4310 y Fq(o)579 4346 y Fz(\))35 b Fs(is)f(\014nite)h(dimensional.)149 4527 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Let)g Ft(H)50 b Fz(=)43 b Fu(K)17 b Fx(h)p Ft(a)1129 4542 y Fl(1)1174 4527 y Ft(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(a)1444 4542 y Fq(n)1491 4527 y Fx(i)p Fz(.)70 b(Since)41 b Ft(H)50 b Fz(=)43 b Fu(K)51 b Fx(\010)29 b Ft(I)49 b Fz(w)m(e)42 b(can)g(c)m(ho)s(ose)g Ft(a)3152 4542 y Fl(1)3234 4527 y Fz(=)h(1)e(and)0 4643 y Ft(a)51 4658 y Fl(2)91 4643 y Ft(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(a)360 4658 y Fq(n)442 4643 y Fx(2)34 b Ft(I)8 b Fz(.)55 b(Th)m(us)38 b(an)m(y)f(elemen)m(t)g(in)e Ft(i)g Fx(2)g Ft(I)44 b Fz(can)37 b(b)s(e)f(written)h(as)2640 4568 y Fj(P)2762 4643 y Ft(\013)2824 4658 y Fq(J)2873 4643 y Ft(a)2924 4658 y Fq(j)2953 4667 y Fo(1)3008 4643 y Ft(:)17 b(:)g(:)f(a)3190 4658 y Fq(j)3219 4670 y Fn(k)3298 4643 y Fz(so)36 b(that)0 4759 y Ft(I)8 b(=I)151 4723 y Fl(2)218 4759 y Fz(=)27 b Fu(K)p 393 4704 91 4 v 18 w Ft(a)444 4774 y Fl(2)511 4759 y Fz(+)22 b Ft(:)17 b(:)g(:)22 b Fz(+)p 844 4704 99 4 v 22 w Ft(a)895 4774 y Fq(n)942 4759 y Fz(.)44 b(This)32 b(giv)m(es)h(the)g(result.)1615 b Fh(\003)149 4939 y Fv(Prop)s(osition)49 b(4.4.6.)e Fs(L)-5 b(et)46 b Ft(H)52 b Fs(b)-5 b(e)45 b(a)g(c)-5 b(ommutative)44 b(Hopf)h(algebr)-5 b(a)45 b(and)2980 4954 y Fq(H)3047 4939 y Ft(M)56 b Fs(b)-5 b(e)45 b(an)g Ft(H)8 b Fs(-)0 5056 y(mo)-5 b(dule.)56 b(Then)38 b(we)h(have)f Fz(\012)1088 5071 y Fq(H)1191 5028 y Fx(\030)1192 5060 y Fz(=)1303 5056 y Ft(H)33 b Fx(\012)26 b Ft(I)8 b(=I)1671 5019 y Fl(2)1749 5056 y Fs(and)38 b Ft(d)d Fz(:)g Ft(H)43 b Fx(\000)-57 b(!)34 b Ft(H)f Fx(\012)26 b Ft(I)8 b(=I)2736 5019 y Fl(2)2813 5056 y Fs(is)39 b(given)f(by)h Ft(d)p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))c(=)0 5109 y Fj(P)122 5183 y Ft(a)173 5199 y Fl(\(1\))289 5183 y Fx(\012)p 389 5097 519 4 v 23 w Fz(\(id)16 b Fx(\000)p Ft(")p Fz(\)\()p Ft(a)775 5199 y Fl(\(2\))869 5183 y Fz(\))p Fs(.)p eop %%Page: 138 141 138 140 bop 0 251 a Fw(138)1056 b(4.)34 b(THE)g(INFINITESIMAL)e(THEOR) -6 b(Y)149 450 y Fi(Pr)n(oof.)42 b Fz(Consider)47 b(the)f(algebra)f Ft(B)56 b Fz(:=)51 b Ft(H)38 b Fx(\010)32 b Ft(M)57 b Fz(with)46 b(\()p Ft(a;)17 b(m)p Fz(\)\()p Ft(a)2735 414 y Fr(0)2758 450 y Ft(;)g(m)2887 414 y Fr(0)2911 450 y Fz(\))50 b(=)h(\()p Ft(aa)3266 414 y Fr(0)3289 450 y Ft(;)17 b(am)3469 414 y Fr(0)3524 450 y Fz(+)0 566 y Ft(a)51 530 y Fr(0)75 566 y Ft(m)p Fz(\).)63 b(Let)40 b Fx(G)45 b Fz(=)39 b Fu(K)17 b Fz(-)6 b Fs(c)g Fx(A)p Fs(lg)16 b Fz(\()p Ft(H)r(;)h Fz(-)o(\).)64 b(Then)40 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)f Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\))39 b Fx(\022)h Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(B)5 b Fz(\))2885 539 y Fx(\030)2886 570 y Fz(=)3001 566 y(Hom\()p Ft(H)r(;)17 b(H)8 b Fz(\))26 b Fx(\010)0 683 y Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(M)10 b Fz(\).)43 b(An)29 b(elemen)m(t)f(\()p Ft(';)17 b(D)s Fz(\))27 b Fx(2)h Fz(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(B)5 b Fz(\))29 b(is)f(in)g Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\))29 b(i\013)e(\()p Ft(';)17 b(D)s Fz(\)\(1\))27 b(=)h(\()p Ft(')p Fz(\(1\))p Ft(;)17 b(D)s Fz(\(1\)\))0 799 y(=)65 b(\(1)p Ft(;)17 b Fz(0\),)60 b(hence)c Ft(')p Fz(\(1\))65 b(=)g(1)54 b(and)h Ft(D)s Fz(\(1\))65 b(=)g(0,)60 b(and)55 b(\()p Ft(')p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))p Ft(;)17 b(D)s Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\)\))66 b(=)f(\()p Ft(';)17 b(D)s Fz(\)\()p Ft(ab)p Fz(\))65 b(=)0 915 y(\()p Ft(';)17 b(D)s Fz(\)\()p Ft(a)p Fz(\)\()p Ft(';)g(D)s Fz(\)\()p Ft(b)p Fz(\))58 b(=)h(\()p Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(;)17 b(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\)\)\()p Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(;)g(D)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\)\))58 b(=)h(\()p Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))p Ft(;)17 b(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(D)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))34 b(+)h Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\),)0 1031 y(hence)g Ft(')p Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))c(=)f Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))35 b(and)f Ft(D)s Fz(\()p Ft(ab)p Fz(\))c(=)g Ft(')p Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(D)s Fz(\()p Ft(b)p Fz(\))24 b(+)f Ft(D)s Fz(\()p Ft(a)p Fz(\))p Ft(')p Fz(\()p Ft(b)p Fz(\).)48 b(So)34 b(\()p Ft(';)17 b(D)s Fz(\))33 b(is)g(in)h Fx(G)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\))34 b(i\013)0 1147 y Ft(')h Fx(2)h(G)6 b Fz(\()p Ft(H)i Fz(\))37 b(and)g Ft(D)j Fz(is)c(a)h Ft(')p Fz(-deriv)-5 b(ation.)55 b(The)38 b Fx(\003)p Fz(-m)m(ultiplication)32 b(in)k(Hom)o(\()p Ft(H)r(;)17 b(B)5 b Fz(\))37 b(is)g(giv)m(en)g(b)m(y)0 1264 y(\()p Ft(';)17 b(D)s Fz(\))25 b Fx(\003)h Fz(\()p Ft(')471 1228 y Fr(0)494 1264 y Ft(;)17 b(D)622 1228 y Fr(0)645 1264 y Fz(\))37 b(=)h(\()p Ft(')26 b Fx(\003)f Ft(')1101 1228 y Fr(0)1125 1264 y Ft(;)17 b(')25 b Fx(\003)h Ft(D)1418 1228 y Fr(0)1467 1264 y Fz(+)g Ft(D)j Fx(\003)d Ft(')1819 1228 y Fr(0)1842 1264 y Fz(\))38 b(b)m(y)h(applying)e(this)h(to)g(an)h (elemen)m(t)f Ft(a)f Fx(2)h Ft(H)8 b Fz(.)0 1380 y(Since)46 b(\()p Ft(';)17 b Fz(0\))50 b Fx(2)h(G)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\))46 b(and)g(\()p Ft(u";)17 b(D)s Fz(\))49 b Fx(2)i(G)6 b Fz(\()p Ft(B)f Fz(\))46 b(for)f(ev)m(ery)j Ft(")p Fz(-deriv)-5 b(ation)43 b Ft(D)s Fz(,)49 b(there)e(is)f(a)f(bi-)0 1496 y(jection)f(Der)485 1511 y Fq(")522 1496 y Fz(\()p Ft(H)r(;)17 b(M)10 b Fz(\))878 1469 y Fx(\030)879 1500 y Fz(=)1004 1496 y Fx(f)p Fz(\()p Ft(u";)17 b(D)1319 1511 y Fq(")1355 1496 y Fz(\))49 b Fx(2)g(G)1616 1511 y Fq(")1653 1496 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p Fx(g)1906 1469 y(\030)1907 1500 y Fz(=)2033 1496 y Fx(f)p Fz(\(1)2170 1511 y Fq(H)2236 1496 y Ft(;)17 b(D)2361 1511 y Fl(1)2400 1496 y Fz(\))49 b Fx(2)g(G)2661 1511 y Fl(1)2701 1496 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))p Fx(g)2955 1469 y(\030)2955 1500 y Fz(=)3081 1496 y(Der)3237 1511 y Fp(K)3293 1496 y Fz(\()p Ft(H)r(;)17 b(M)10 b Fz(\))0 1612 y(b)m(y)42 b(\()p Ft(u";)17 b(D)409 1627 y Fq(")445 1612 y Fz(\))43 b Fx(7!)f Fz(\(1)p Ft(;)17 b Fz(0\))28 b Fx(\003)g Fz(\()p Ft(u";)17 b(D)1257 1627 y Fq(")1292 1612 y Fz(\))43 b(=)g(\(1)p Ft(;)17 b Fz(1)27 b Fx(\003)h Ft(D)1858 1627 y Fq(")1895 1612 y Fz(\))43 b Fx(2)g(G)2144 1627 y Fl(1)2184 1612 y Fz(\()p Ft(B)5 b Fz(\))41 b(with)g(in)m(v)m(erse)i(map)e(\(1)p Ft(;)17 b(D)3381 1627 y Fl(1)3420 1612 y Fz(\))42 b Fx(7!)0 1729 y Fz(\()p Ft(S;)17 b Fz(0\))23 b Fx(\003)f Fz(\(1)p Ft(;)17 b(D)536 1744 y Fl(1)575 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