; TeX output 2001.07.25:0022x='N cmbx12MathematischesInstitutGSS2001'derUniversitatM`unchenFerienblatt'Prof.Dr.B.Pareigis<KFNff cmbx12LineareffAlgebraundanalytischeGeometrieIs3I5\hXQ cmr121.D_Essei!", cmsy10fg cmmi12x|{Ycmr81;x̽2;:::ʚ;x2cmmi8nPgeineMengevronVVektoreneinesVektorraumsDzyD_ubSerCeinemKyorper,dernicrhtCdieCharakteristik2hat.EinwreitererD_VVektorseiyn9.ZeigenSie:SinddieMengenvronVektorenYEIfx̽1j+yn9;x̽2+yn9;:::ʚ;xnR+ygund fx̽1jy;x̽2jy;:::ʚ;xnRygD_linearabhyangig,soistaucrhfx̽1;x̽2;:::ʚ;xnPg꨹linearabhyangig.5\h2.D_SeiVE1einendlicrhdimensionalerVVektorraumOyubSerdemKyorperK_undD_UVeinecrhterUntervektorraum.BestimmenSiealleUntervek-D_torryaume꨿WURVp,wrelche꨿VGnU+enthalten.5\h3.D_ImanenRaumV¹=UR  msbm10R24seienfolgendevierPunktegegebSen:/URf'v̽1V=URu cmex100ǍURB38URBUR@&e3 T416 1Ǎ C38 C A);v̽2=UR0ǍURB38URBUR@&eo3R2 T10o0"1Ǎ"C38"C"A/j;v̽3=UR0ǍURB38URBUR@&e20 T32 1Ǎ C38 C A);v̽4=UR0ǍURB38URBUR@&e T1 T2 T4 T4P1ǍPC38PCPA 5P:0IU(a)^9qBestimmen{SiedieDimensionderanenHSyulleLvronfv̽1;:::ʚ;v̽4g.^9q(DieaneHSyulleListderkleinsteaneUnrterraumvonVp,der^9qfv̽1;:::ʚ;v̽4g꨹enrthyalt.)H(b)^9qBestimmenqSiedenDurcrhschnittqvonLmitderdurchdieGlei-^9qcrhung4x̽1j+x̽2+x̽32x̽4V=UR6gegebSenenHyperebeneHV.5\h4.D_GegebSensinddieVVektorryaumeundlinearenAbbildungenaX*V2 p G!oWh J Lq!ſVD_mit> Z!ҿ uʹ=b;id ,ߟV.BestimmenSiealleEigenrwerte,>diefSyur a myoglicrhD_sind.*x=5\h5.D_SeiqĿV4einendlicrhdimensionalerundWeinvon0verschiedenerendlich-D_dimensionalerVVektorraumyubSerdemKyorperKundseiHomK%[g(V;Wƹ)D_derٯVVektorraumderlinearenAbbildungenV!URWƹ.EinEndomorphis-D_mrus꨿ h:URV!VinduziertdenEndomorphismrusvg  K cmsy8(:URHom۟K$ (V;Wƹ)UR!Hom۟K(V;Wƹ);fQ7!f D_ZeigenSie: 2;hatdiegleicrhenEigenwertewie .\D_Hinrweis:WiestehrtesfSyurWP԰=Kܞ?85\h6.D_InR24seiendieVVektorenea̽1V=UR(1;1;1;1);a̽2\=UR(1;2;2;1);a̽3V=(0;1;1;2)und丿x\=UR(4;1;3;4)D_gegebSen.?SeiPdieOrthogonalprojektion(bzgl.desStandard-SkXalar-D_proSduktsinR24)aufdenvrona̽1;a̽2;a̽3erzeugtenUnrterraumU@.IU(a)^9qBestimmenSieyË:=URPx.8H(b)^9qGebSenSieeineOrthonormalbasisausEigenrvektorenvonPnan.5\h7.IU(a)^9qZeigenSie,dadurcrhdielinearenGleichungssystemeӃ?X̽1j2X̽2+X̽3%]\=UR0c;X̽1j+X̽2X̽3%]\=UR1^9qund֌$X̽1j+2X̽2+X̽3(4r=UR0Ь(2X̽1j+3X̽2+X̽3(4r=UR0^9qzwreiwindschiefeGeradeng̽1bzw.g̽2inR23gegebSenwrerden.8H(b)^9qBestimmenSiedenAbstandvrong̽1undg̽2.I (c)^9qBestimmenMSiedenCosinrusdesWinkelszwischeng̽2 undeiner^9qzu꨿g̽1parallelenGeradedurcrhdenUrsprung.85\h8.D_EsseidiereelleMatrix!FWA(a)UR=90@fd T1P1-43+a T0P3-La1 T0P0-42+a9HJ1HJA#ٍD_vrorgegebSen. x=IU(a)^9qGebSentSiedieJordanscrheNormalformvonA(a)inAbhyangigkeit^9qvron꨿aan.H(b)^9qGebSenSiedieA(3)-inrvXarianteneindimensionalenTVeilryaumean.5\h9.D_BestimmenSiedieJordanscrheNormalformeinerreellen(n}n)-Matrix,D_derensyamrtlicheZeilengleich(1;2;:::ʚ;n)sind./|l10.D_EsseifSyureinenEndomorphismrusAl:R27 ,!R27 NdasMinimalpSolynomD_()UR=23.IU(a)^9qWVelcrheDimensionkXannderKernvonAhabSen?H(b)^9qMangebSefyurjedemyoglicrheDimensionvonKern"LEAalleJordan-^9qscrhenNormalformenvonAan.;x   msbm10u cmex10K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12|{Ycmr8Nff cmbx12N cmbx12XQ cmr12