; TeX output 2001.01.04:1529x='N cmbx12MathematischesInstitutWS2000/2001'derUniversitatM`unchencBlatt8'Prof.Dr.B.PareigisGgύI׻Nff cmbx12LineareffAlgebraundanalytischeGeometrieIhF/|lXQ cmr1229.D_Seig cmmi12fֹ:׿V!G!", cmsy10!W>einelineareAbbildungzwiscrhenzweiVVektorryaumen.D_b|{Ycmr81;:::ʚ;b2cmmi8n seieineBasisvronVp.ZeigenSie:zIU(a)^9qf #ist$genaudannsurjektiv,wrennfG(b̽1);:::ʚ;f(bnP)$einErzeugen-^9qdensystemvronWnist.zH(b)^9qf*ist+genaudanninjektiv,wrennfG(b̽1);:::ʚ;f(bnP)+linearunabhyangig^9qsind.|(6)/|l30.D_SeiKyReinKyorpSer.EineTVeilmengeGURKܞ22 9Vheit(ane)Gerade,wrennD_eseinenvronNullverschiedenenVVektor(a;b)UR2Kܞ22undeineZahlcUR2KD_gibt,sodaGUR=f(x;yn9)2Kܞ 2jax+byË=URcgwD_ZwreiGeradenG̽1undG̽2,diedurchdieVVektoren(a̽1;b̽1)bzw.(a̽2;b̽2)D_gegebSenjsind,heienparallel,wrenndieVVektoren(a̽1;b̽1)jund(a̽2;b̽2)D_linearabhyangigsind.ZeigenSie:ZwreinichtparalleleGeradenbSesitzenD_genauCeinenScrhnittpunkt.(Hinweis:ZeigenSiezunyachst:DieVVektorenD_(a̽1;b̽1)؞und(a̽2;b̽2)؞sindgenaudannlinearunabhyangig,wrenndieVVek-D_torenZ(a̽1;a̽2)und(b̽1;b̽2)linearunabhyangigsind.SiesinddannsogarD_erzeugend.)ܸ(7)/|l31.D_BestimmenSiejewreilseineBasisderfolgendenUntervektorryaumevonD_  msbm10R23bzw.R24:=YsU̽1i:=URSpanʖ(f(1;1;1);(1;1;1);(1;1;3);(1;1;3)g)YsU̽2i:=URf(x̽1;x̽2;x̽3;x̽4)UR2R 4Vjx̽1=x̽2;x̽3=x̽4gD_BestimmenSiejewreilsElementederkXanonischenBasis,diezusammenD_mitdenangegebSenenBasenvronU̽1 NundU̽2BasenvronR23bzw.R24D_ergebSen..(4)*x=/|l32.D_BetracrhtenSiefolgendeVVektorenimVektorraumQ22:7w̽1V=UR(1;2)w̽2=(2;1)w̽3=(1;1)D_EnrtscheidenSieindenfolgendendreiFyallen,obeseinelineareAbbil-D_dung+f:Q23 {!Q22 }/mitderEigenscrhaftfG(v̽1)=w̽1,+fG(v̽2)=w̽2 }/undD_fG(v̽3)UR=w̽3gibt:IU(a)^9qv̽1V=UR(1;0;0);v̽2=UR(0;1;0);v̽3=UR(0;0;1)H(b)^9qv̽1V=UR(1;0;0);v̽2=UR(0;1;0);v̽3=UR(1;1;0)I (c)^9qv̽1V=UR(1;0;0);v̽2=UR(0;1;0);v̽3=UR(1;1;0)D_Enrtscheiden)SieinjedemdieserFyalleaucrh,obeinesolchelineareAb-D_bildungdurcrhdieseBedingungeindeutigbSestimmtist.? (3)'AbgabSe:{Mittrwoch,{10.1.2001,12.00Uhr,pxUbungskyastenim1.StocrkdesMa-'thematiscrhenInstituts. ;x  msbm10!", cmsy102cmmi8g cmmi12|{Ycmr8Nff cmbx12N cmbx12XQ cmr12