; TeX output 2001.02.09:0204x='N cmbx12MathematischesInstitutWS2000/2001'derUniversitatM`unchenFerienblatt'Prof.Dr.B.Pareigis>ޝI׻Nff cmbx12LineareffAlgebraundanalytischeGeometrieIN/|lXQ cmr1245.D_Zeigen*Sie,daeseinenGruppSenhomomorphismrusg cmmi12f):*  msbm10Z=(3)!", cmsy10!Z=(3)D_mitderEigenscrhaftfG(n)UR=n2|{Ycmr83fSyuralle|onC2URZ=(3)gibt.D(3)/|l46.D_SeiKeinKyorpSer.DieCharakteristikvronKistdiekleinstepSositivreD_ZahlInmitderEigenscrhaft,dan12cmmi8K 晹:=1K l+1K+:::+1K 晹=0KD_(nQSummanden)gilt.WVenneskreinsolchesngibt,sagtman,daKD_dieokCharakteristikNullhabSe.ZeigenSie,dadieCharakteristikvronKD_einePrimzahlist,sofernsieungleicrhNullist.p{ (3)/|l47.D_ZeigenSie,dadieAbbildung( SfQ:URR=Z!C K cmsy8;7x 7!e 2I{ixD_einpwrohlde nierter,injektiverGruppSenhomomorphismusist,dessenBildD_derEinheitskreisSן21 ]ist.ʍD_(Hinrweis:CC2{GbSezeichnetdiemultiplikXativeGruppSevonC;Rwirdalsad-D_ditivreIGruppSeaufgefat.BeiderLyosungderAufgabekXanndiesog.Eu-D_lerscrheFVormel^e ix =URcos(x)+isinm(x)]D_hilfreicrhsein,dieSieverwendenkyonnen.)eN(3)/|l48.D_SeiwU[einUnrterraumdesendlichdimensionalenVVektorraumesVp.WirD_nennendenUnrterraum(YU@ ? :=URf'2Vp  j'(u)=0fSyuralle*6u2U@gD_desDualraumsdasorthogonaleKomplemenrtvonU@.IU(a)^9qSei\v̽1;:::ʚ;vnveineBasisvronVj̹mitderEigenschaft,dav̽1;:::ʚ;vm^9qeineZBasisvronUist.ZeigenSie,dav2n9RAm+1@;:::ʚ;v2n9RAn eineBasis^9qvron꨿U@2? Hist.H(b)^9qZeigenSie:dimV¹=URdim꘿U댹+dim?U@2?(4)*x=/|l49.D_ZeigenXSie,dadieMenge(X220+71)UR:=fp(X22+71)jp2R[X]gXeinIdealD_indemProlynomringR[X]ist.ZeigenSieweiter,dadieAbbildung QR[X]=(X 2\/+1)UR!C;`z$ pp(X)t7!p(i)D_ein0wrohlde nierterIsomorphismusvonVVektorryaumenundeinIsomor-D_phismrusvonKyorpSernistundda(X22 %й+tI1)einmaximalesIdealdesD_Prolynomringsist.(4)/|l50.D_EinTVorusTURR23istde niertalsdieMenge$ӍrvT=URf9u cmex100@fd(2+cose('))cosT( n9)'(2+cose('))sinm( n9)0]sin>ʹ(')9u~O1u~OAS2R̽3ȍ 38 0'; Ë<2n9g_O`Xps: gsave currentpoint currentpoint translate 270 neg rotate neg exch neg exch translateDPSfile="torusb01.eps" llx=0 lly=0 urx=612 ury=792 rwi=2058 rhi=3088 Ϊ( ps: currentpoint grestore movetoc\IU(a)^9qBetracrhten4WSiedieRestklassengruppSeweT۹:=ҽR22=Z22.4WGebenSieei-4^9qnebijektivreAbbildungfQ:we T! T"۹anundbSestimmenSiedie^9qinduzierteGruppSenstrukturaufTƹ.H(b)^9qSei꨿Qdas(abgescrhlossene)Quadrat֐QUR:=f(x;yn9)2R 2ȍ 38 0x;yË1gD^9qZeigen@Sie,damaneinepxAquivXalenzrelationaufQerhyalt,wrenn^9qman\(x;yn9)(u;vn9)\setzt,fallseinederfolgendenBedingungen^9qvrorliegt: x=aD(i)t2TxUR=u꨹undjyË=v^(ii)t2TxUR=u꨹undjyË=0undvË=1[d,(iii)t2TxUR=u꨹undjyË=1undvË=0[(iv)t2TxUR=0undju=1undyË=v^F(v)t2TxUR=1undju=0undyË=vD_ZeigenSie,dadieEinrbSettungUR:Q,!R22eineAbbildungD_gË:URQ=u!R22=Z22induziertunddagXbijektivist.D_FindenSieeinenIsomorphismruszwischenTnundSן21Sן21r۹./(6)'AbgabSe:Mittrwoch,25.4.2001,9.00Uhr,XpxUbungskyastenim1.StocrkdesMa-'thematiscrhenInstituts.;x   msbm10u cmex10K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12|{Ycmr8Nff cmbx12N cmbx12XQ cmr12-