; TeX output 2001.01.16:0953x='N cmbx12MathematischesInstitutWS2000/2001'derUniversitatM`unchenBlatt10'Prof.Dr.B.Pareigis<KI׻Nff cmbx12LineareffAlgebraundanalytischeGeometrieIQ/|lXQ cmr1237.D_Sei)g cmmi12V¹=URSpanʖ(1;x;x2|{Ycmr82;:::ʚ;x22cmmi8nP)derVVektorraumderProlynomevomGradD_hyocrhstens꨿n>6yubSerdemKyorperKܞ.DieformaleAbleitungistderdurcrh ٍfDS(nu cmex10X'؍k6=0UVak#x k)UR:= knX'؍?k6=1kgak#x k6K cmsy81"捑D_de nierteEEndomorphismrusDevonVp.BestimmenSiediedarstellen-D_de5MatrixvronDubSezyuglich5derBasis1;x;x22;:::ʚ;x2nP.5(Hinweis:HierD_undbimfolgendenbraucrhenSienichtzubSeweisen,dadieangegebSenenD_Abbildungenlinearsind,daihreDe nitions-undWVertebSereicrheVek-D_torryaume0sind,unddaessicrhbSeidenangegebenenVVektorenwirklicrhD_umBasenhandelt.)2ʍ|(5)唍/|l38.D_DieUnrterryaumecUV s:=UR!", cmsy10f(x̽1;x̽2;x̽3)URjx̽1j+x̽2+x̽3V=UR0gW s:=URf(x̽1;x̽2;x̽3;x̽4)URjx̽1j+x̽2+x̽3+x̽4V=UR0gD_vron  msbm10Q̽3bzw.Q̽4habSendieBasen,ㅍ9yc0yc@fd1Ee109z1zA;90@fd*0*1 19S1SA3Kbzw.Y510ǍY51B38Y51BY51@&eh_߹1c31h_0h_0r1ǍrC38rCrAj;0ǍB38B@&e*0*1 1*0S1ǍSC38SCSA(5S;0ǍB38B@&e*0*0*1 1S1ǍSC38SCSA-8ٍD_ZeigenSie,dadielineareAbbildungQfQ:URQ̽3V!Q̽4;(x̽1;x̽2;x̽3)UR7!(x̽1;x̽2;ō31x̽331[z mV ΍ƭ2Ӻ;ō31x̽331[z mV ΍ƭ2)tD_dennPUnrterraumV indenUnterraumWabbildet,undbSestimmenSieD_dieadarstellendeMatrixderenrtstehendenlinearenAbbildungbSezyuglich*x=D_derangegebSenenBasen.(Hinrweis:AusPlatzgryundenwurdenzurDe-D_ nitionvronVp,WundfbعZeilenvektorenverwendet.BittearbSeitenSieD_mitSpaltenrvektoren.)(4)/|l39.D_Betracrhtena:SiedieMatrixA%:=qd }1y1 }1y1"uq+͹.a:DurcrhdieMatrizenmultipli-SD_kXationerhaltenwireinelineareAbbildungտLUR:K ܞ2ڍ2!K ܞ2ڍ2;BX7!ABD_BestimmenSiediedarstellendeMatrixvronLbSezyuglichderBasis SUfqd*1 0*0 0궟q ; qdN0&uJ1N0&uJ0,UFq7*; qdN0&uJ0N1&uJ0,UFq; qdN0&uJ0N0&uJ1,UFq!D_aussog.Matrixeinheiten.<(5)/|l40.D_SeienOp;qo2Kܞ[x]zwreiPolynomemitKoSezientenindemKyorpSerKܞ.D_Wir5nehmenan,dagrad (p)URgrad.&(qn9)5ist.Wirde nierenfolgenderma-D_eneineFVolgevronPolynomen:Wirsetzenp̽14`=t\pundp̽2=t\qn9.SindpnD_undpn+1 mitgrad](pnP)URgrad.&(pn+1̹)scrhonde niert,soseipn+2derbSeiD_derDivisionvronpn durchpn+1otauftretendeRest:pn=URanPpn+1/t+pn+2̿; grad$(pn+1)>grad.&(pn+2)D_DasgVVerfahrenendet,wrennbSeieinerdieserDivisionenderRestNullD_auftritt.\ZeigenSie,dadasletzteauftretendeProlynom,dasnichtNullD_ist,geingryotergemeinsamerTVeilervronpundq7ist,alsoeinTeilerD_vronPpundqn9,dervonjedemanderengemeinsamenTVeilergeteiltwird.D_(Hinrweis:\dDashierbSescrhriebene\dVVerfahrenistdersog.euklidischeAl-D_gorithmrus."pxUbSerlegenSiesich,daeinTVeilertvonpundqn9,derinD_derFVormtཹ=apHӹ+bqA0darstellbarist,eingryotergemeinsamerTeilerD_seinmru.BegrSyundenSieauchkurz,warumdasVVerfahrenEyubSerhauptD_abbricrht.)'Y$(6)'AbgabSe:{Mittrwoch,{24.1.2001,12.00Uhr,pxUbungskyastenim1.StocrkdesMa-'thematiscrhenInstituts. \;x  msbm10u cmex10K cmsy8!", cmsy102cmmi8g cmmi12|{Ycmr8Nff cmbx12N cmbx12XQ cmr12Z