; TeX output 2001.06.18:1112荠7o]{o]D'N cmbx12EBENEٚKRISTALLOGRAPHISCHEGRUPPENOTɍXQ cmr121.- cmcsc10Einf]uhrungIsometrien=!(Kongruenzbildungen)derEbSenelassensicrhbesonderseinfacrhmitkom-plexendZahlenbSescrhreiben.DeshalbdwirddieGauscheZahlenebSenemit' msbm10C40=R2|{Ycmr82idenrti ziert.g cmmi12Sן21-:=UR!", cmsy10f=S2Cȍ!u cmex10 38 jj=1g=fe22cmmi8i'j'2RgistderEinheitskreis.뀉zE(uٍEine4R-lineareAbbildunghUR:R22Vj!R228heit4eigenrtlichorthogonal,qfallsesein=S2URSן21gibt,sodafSyurallez52URCgilth(z)UR=zՍunduneigenrtlichorthogonal,fallsesein=S2URSן21 ]gibt,sodafSyurallez52Cgiltrh(z)UR=dz5KzDabSeiistdz5Kz A:=W=xliyZfyurz =W=x+iyn9;x;yv2R.Sieheitorthogonal,fallssieeigenrtlichorthogonaloSderuneigenrtlichorthogonalist.Sei>=(e2i'2Sן21r;'2RDannistz7!z!dieDrehrung@ԉz+哎7 umdenNullpunktmitsÍDrehrwinkel';z57!URdz5Kz ޹istdieSpiegelunganderGeradenRe.iK33;cmmi6'33\)ޒAacmr62 :OS(R22)UR:=fh:R22Vj!R22jh꨹orthogonalgSOS(R22)UR:=fh:R22Vj!R22jh꨹eigenrtlichorthogonalgEine~TAbbildungg:PR22 f !R22 >Xheit~TIsometrie~T뀉z/c3g:~()9v2R22;h2OS(R22):g=v h;d.h.)8z52URR22V:gn9(z)=v+6inRicrhtungderSpiegelgeraden.)͍FSyur1Fn2Nistn :=eL䍑3327i33s^\) x& n:=cosFu5B25Bz kꍑ!_n&E!+qisinFuM2Mz kꍑ!_n>,-also4 =i;6=Fuy1yz@2^ù+qiCH33`pH`\)@o333(z U`ꍑ2 ;3=7Ӎ22RA6 <=p7Fu33133z@2 (+6iCH33`pH`\)@o333(z U`ꍑ2 ;1+3 0;=6:'BSeienrnP;s2OS(R22)def.)(durcrhrnP(z):=nz;s(z):=dz5Kz58z.tYWicrhtigesendlicheUntergruppSenvonOS(R22)>J:Cn 暹:=hrnPizykliscrheGruppSederOrdnrungn,Dn:=URhrnP;siDiedergruppSe@ԉzEZ׎M0'derOrdnung2n.URecrhenregeln:@ԉzFJEsr=URrS21 s꨹fSyurr2URSOS(R22):fGvB_=f(vI{)f2fyurfQ2Endb(ppmsbm8R,(R22);vË2R22:*荠7o]+o cmr92rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPEN[o]T 2.WGitterDe nitionT2.1.2йSeiN*LR22 .einebSezyuglicrhderAdditioneineUntergruppSe.NLheiteinGitterꨟ뀉zi#T:()1)L꨹istdiskret뀉z"&,d.h.8gË>UR0:fv2Lȍ 38 jvn9jgg꨹endlicrh82)LenrthyaltzweireelllinearunabhyangigeVVektoren.WirwrollennuneinigefSyurGitterwichtigeBegri eeinfSyuhren::De nition2.2.SeiLURR22einGitter.1)a;bUR2LheitMinimalsystem@ԉzM_TUvronL,fallsaundbreelllinearunabhyangigsindundgilt:u]F=jajV<=URMin3fjvn9jURj06=vË2LgfnGTjbjV<=URMin3fjvn9jȍ 38 vË2URL;aundDvn7sindreelllinearunabhyangigg蓍2)a;b>2LheitGitterbasis뀉z8YtB@vronL,#fallsaundbreelllinearunabhyangigsindundLUR=Za+Zb꨹ist,d.h.LUR=frSa+sbURjrr;s2Zg꨹ist.DasfolgendeBildzeigteineGitterbasiseinesGitters:DxpO line10pxppxppxppO\gѲc2cֲc2c۲c2cc2cOgVlVVlVVlVVlVBg&II&II&II&II5g`<<`<<`<< `< <7(g>}?fdU[LfdU[[uՅYfdU[KffdU[xmsfdU[ < lcircle10r@ߟ rzҟ rş r rʕir\r OrCBr}5r#R'r]ٟR'r̟R'rѿR'r R'rѲc4rV4r&I4r`<4r /4r@ߟArzҟArşArAr(Ar\O linew10'*'*\ a-*WirbSewreisennundenfolgendenSatzvonLagrange::Satz2.3.(1)]*@ cmti12Jeffdes35GitterbesitzteinMinimalsystem.(2)%Jeffdes35MinimalsystemisteineGitterbasis. zBeweis.+܌1)ˍSeiLeinGitterundv1 "2LeinvronNullverschiedenesElement.DaLdiskretist,istdieMenge~fvË2URLj06=jvn9jjv1jg*endlicrhǮundnichtleer.WyahltmanindieserMengeeinElementaUR6=0ǮmitminimalerLyange,sogiltfSyurallevË2URL:u]jvn9jURjv1j)jajjvjDarausfolgt,dasogarfSyurallevË2URLjajjvn9jgilt.Da4WLzwreireelllinearunabhyangigeVVektorenenthyalt,4existierteinv2 F2|L,sodaaundv2 Zreelllinearunabhyangigsind.Wyahltmandann,؞yahnlicrhwievorher,inderendlicrhennichtleerenMengemfvË2URLjvn9;alinearunabhyangig^ j;jvjURjv2jgeinElemenrtbkleinsterLyange,sobildenaundbeinMinimalsystemvonL.荠7o]rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPENn[3[o]2)tzSeiaundbeinMinimalsystemvronL.vWirzeigenL=Zaʹ+Zb.O enrbartzistZal+ZbNL.~Um}1dieandereInklusionzuzeigen,}VscrhlieenwirdurchWiderspruchundnehmenan,daxinL,abSernicrhtinZa+Zb꨹liegt.Daa;beineBasisdesR22ist,gibtes ; 2URR,sodax= a+ Ob꨹ist.ScrhreibSeڍ; h=UR  0p+kg; = O 0#0+lmit0UR 20; O20<1;kg;l2Z.DanngiltxUR=  0a+ O 0xb|p ?a{zp ?a}bh'=:x q% cmsy603m+kga+lCb[J|p({zp(}} A=:v#F DatxundvʹausLsind,tistaucrhx20#=URxtvË2L,tabSertnicrhtinZat+Zb.uFIstnrun 207=UR0,sooist,dax62Za_+Zb, O20<6=0.Somitoist,dax202List,0=x20= O20xb2L,abSerj O20xbjUR= O20jbjh.ldieGruppSenvronIsometrien,dieeinebSenesOrnamenrtaufsichabbilden(wrobSeiebeneOrnamenrtehiernichtde niertwerden).WirowrollendiemyoglichenSymmetrietypSenebenerOrnamenrtebescrhreiben,genauerwrollenwirebSenekristallographischeGruppSenbisaufanebpxAquivXalenzbescrhreiben:gDe nition,3.2.rEbSene_kristallographiscrheGruppenG;G20-չheienanyaquivXalenrt,fallsBeseineAnityat'g:R22 ' !R22 xFmitBG20 5>='G'21 \|(:=f'gn9'21ȍ 38 \|g>2Gg)Bgibt.ٍEineCJAnityatistdabSeieinebijektivreAbbildungderFVorm'/=v fImitCJvZh2R22;f4.2AutşR.(R22).'InsbSesonderedsindanyaquivXalenrteebenekristallographiscrheGruppenisomorph.TVat-syacrhlichsindisomorpheebSenekristallographiscrheGruppenbereitsanyaquivXalenrt.EinjzenrtralesErgebnisderTheoriederebSenenkristallographischenGruppSenistdiesog.`kristallographiscrheEinschryankung',diesichimzweitenTVeildesfolgendenSatzes ndet:gTheorem 83.3.{SeiGeineebffenekristallographischeGruppe,LdaszugehyorigeGitterund35H diePunktgruppffe.WeiterseiHV2+ _ :=URH\SOS(R22).Danngilt:(1)%H opfferiert35aufL,d.h.,f'yurhUR2Hist35h(L)=L.(2)%HV2+ _ URC4offder(HV2+C6,(d.(h.(jeffdeDrehunginHdisteineDrehungumeinen%der35Winkel0;n9;Fu3131z+ ꍐu2 n;Fu31231z kꍑ3offderFufhfhz+ ꍐu3mitoderentgegendemUhrzeigersinn. Beweis.+܌1)mZunyacrhstzeigenwir,dafSyurhQ.2Hùgilt:h(L)=L.Istmh2Hundv c2*L,so{gibteseinw2R22,fSyurdaswНh=:g c2Gist.pEsistv 72G,alsogn9v g21 =URw hv=n `c|{z}pЛh(v7)h!h21 \|2W1RAw=h(vI{)2G꨹unddamith(vn9)UR2L.Alsoisth(L)URL.'% IstG)andererseitsv`2L,G@soist,dah21OB2H4ist,h21 \|(vn9)2L.GAlsoG)istv`=h(h21(vn9))2h(L).2)Seir72zHV2+ ι.WirhabSendanndannr(z)z=z{fyureinekromplexeZahlb=ze2i' lvomBetrag1.Seia;beineGitterbasisvronL.NachdemerstenTVeilgiltdann9^rS(a)UR=a2Lr 1 (a)=: z ş  _a2L卹Alsoistaucrha&+: z ş 0gaUR=(+&: z ş )a=(2cosR')a2L=Za&+Zb.hDaa;beineGitterbasisvronTList,ist2cosR'UR2ZTundsomit2cos'UR2f0;1;2g. AlsoTistcosx'UR2f0;Fu33133z@2j;1g,wrasnurfSyurdieangegebSenenWinkelmyoglichist.> ?ManbSeacrhte,daeineDrehungentgegendemUhrzeigersinnnatSyurlichdasInversederenrtsprechendenԼDrehungimUhrzeigersinnist.eMankXanndaherdiekristallographischeEinscrhryankungaauchsoformulieren:aBezeichnetrn ldieDrehungumdenWinkel2n9=n,soskyonnennrurdieDrehungenr1V=URid ;r2=URid ʤ;r3;r44undsr6oSderihreInrverseninderPunktgruppSeeinerebenenkristallographiscrhenGruppeenrthaltensein.gLemma3.4.Sei>GeineebSenekristallographiscrheGruppemitGitterLundPunkt-gruppSeysHV.zNSeiH_=v freineysAnityat.DannistG21genaudanneineebSenekris-tallographiscrheGruppSe,wennfGHVf21UROS(R22)ist.IndiesemFVallistf(L)dasGittervronG21G$undfGHVf21#diePunktgruppSevonG21 \|.3Ơ荠7o]rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPENn[5[o]Beweis.+܌FSyureineBewregung Ë=URwНgXgiltn_H n9 1ι=URv fGwНgf 1 {v׹=URvI{+f(w7)fgf1 Ӈ(v)GHfgf 1Das{istgenaudannwiedereineBewregung,{wenn{fGgn9f21 orthogonalist.|?SomitbSestehrtG21G$genaudannausBewregungen,wennfGHVf21UROS(R22)ist.Setzt¯maninderobigenGleicrhung¯gË=URid ,ºsoerkrennt¯man,dadieinG21+enrthal-tenenTVranslationengenauvronderFormf(w7)zsind,wrobSeiw q2cGliegt.Daransieht`man,1da1fG(L)dasGittervronG21+ist,insbSesondereistG21 \|,sofernesnrurausBewregungen+CbSesteht,+SaucheinekristallographischeGruppSe.+GanzyahnlichkXannmandiePunktgruppSeausderobigenGleicrhungablesen.1-Lemma43.5.Sei GeineebSenekristallographiscrheGruppemitPunktgruppeH_undGitterL.WVeiterseiHV2+ _ :=URH\SOS(R22).P(1)%Ist,rn !2yHV2+ ι,-soexistierteinVVektorwO2R22,-sodadiezuGan(sogar%euklidiscrh)6dieDrehrungumFu۟z+ ꍐu2fmitMittelpunktFu1+i۟z Vꍑ2#Z(2)%h꨹dieSpiegelunganderGeradendurcrh0und1+is(3)%h20dieSpiegelunganderGeradendurcrhFupi۟z@2{undFu1۟z@2 .Danngilt) {{r=UR1r4?h=r4sh 0#=ׅ331+i33\) $p2sr4 ȍBeweis.+܌Da[?wirwissen,[\da1r4 CeineDrehrungist,genSyugteszumBewreisdererstenGleicrhung,denLDrehpunkt,alsodeneinzigenFixpunkt,zubSestimmen. DerergibtsicrhausderfolgendenRecrhnung:`d}1r4(ō331+i33[zZ ΍ =2a)UR=1+iō331+i33[zZ ΍ =2=UR1+ōi۟[z ΍2 ō۹1۟[z ΍2F\=ō1+i[zZ ΍ =2DieHFVormelfSyurhisteinSpSezialfallderallgemeinenFormelfSyurdasProSdukteinerDrehrungundeinerSpiegelung.Wir zeigennrundieFVormelfSyurh209.!DierechteSeiteׅ331+i33\) $p2sr4ɹistentwedereineSpiegelungoSdereineecrhteGleitspiegelung.DaeineecrhteGleitspiegelungkreineFixpunktebesitzt,istdieGleicrhunggezeigt,*wennwirdiePunkteFuѲi$z@2 >undFu$1$z@2alsFixpunktederrecrhtenSeiteerwreisen.DasergibtsichausdenGleichungen`>ׅ331+i33\) $p2sr4(ō"i33[z ΍2Fb)UR=ō1+i[zZ ΍ =2 [ō۹1۟[z ΍2F\=ōwoi[z ΍2#ׅ331+i33\) $p2sr4(ō33133[z ΍2Fb)UR=ō1+i[zZ ΍ =2 [ōi۟[z ΍2F\=ō1[z ΍2dII`e5GeometriscrherhaltenwirnundiefolgendeBeschreibungdieserdreiGruppSen:-|n ͟e ZL1)GUR=h1;id;rSimѹ(p4)ݘ>32iҎ1+iz Vꍑ2(_91xr+8̎@26@ff8΍-@~8Ύ8̎Ns̎@s玍΄sfe=sfesfeosfeGsfesfehsfeׄsfeFsfe {荠7o]rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPENn[9sw ͟e 2)(GUR=h1;id;rr;hiq밹(p4m)ݘ>32iҎj1+ijz Vꍑ2(_91xr+8̎@26@ff8΍-@~8Ύ8̎Ns̎@@@@@(_΄ofe!fe1fen afeGR9febfefeЃ$feքwfeG3 ͟e̹3)4GUR=h1;id;rr;h 09igA(p4gn9)ݘ>32iҎ1+iz Vꍑ2(_91Ҏfi9џz@2 h1竟z@2xr+8̎@26@ff8΍-@~8Ύ8̎x@x@@@΄wfe!$fefenbfeGR9fe afe1feЃfeքofeITSetzt smanindenscrhraerten*" s#FVundamentalbSereich-l\einbSeliebigesMotiv, wendetdaraufdieerzeugendenrr;hbzw.g(anundanschlieendalleTVranslationeninTƹ,soerhyalt+man(imallgemeinen)ebSeneOrnamenrtemitobigenSymmetriegruppen(vgl.dieBilderunrten). !Ͱ5.4DieKlassifika32tionFSyur/UnrtergruppSenHlkO(R22)seiHV2+ :=Hu\)SO(R22):DanngiltHlk=HV2+ 9̹oderHB=URHV2+ v[HV2+ h,fallsh2Hundh62SOS(R22).:Lemma5.1.SeiGeineebSenekristallographiscrheGruppemitderPunktgruppeHV.g:(1)%IstYHV2+ C=uhr4i,YsoistGanyaquivXalenrtzueinerebSenenkristallographischen%GruppSemitdemGitterZ1+Zi꨹undderPunktgruppehr4ioderhr4;si.(2)%Ist7HV2+J7=@ihr3ioSderhr6i,8soistGanyaquivXalenrtzueinerebSenenkris-%tallographiscrhenFYGruppSemitdemGitterZ1E+Z6 ]undFYderPunktgruppe%hr3i;hr3;si;hr3;r6si;hr6i꨹oSderhr6;si.?nBeweis.+܌DasfolgtausSatz3.6undderKennrtnisderUntergruppSenvonD4ҖundD6.I`nLemma45.2.Sei GeineebSenekristallographiscrheGruppemitderPunktgruppeHV.IstHV2+ _ =URhr1i=fid ʤgoSderhr2i,soistGanyaquivXalenrtzueinerebenenkristallogra-phiscrhenkLGruppSemitdemGitterZ1+ZikLundderPunktgruppehr1i;hr2i;hsi;hr4sioSderhr2;si;hr2;r4si.Beweis.+܌(1)?Zunyacrhstc zeigenwir,c)daeseinezuGanyaquivXalenteebSenekristallo-graphiscrheGruppSegibt,derenGitterL20eineGitterbasis1;bmitdenEigenschaftenNvI1UR=Min3fjvn9jȍ 38 06=vË2L 09gOWTjbjUR=Min3fjvn9jjvË2L 09;1;vreelllinearunabhyangigyC;gCTbUR=c+id;c;dUR2R;c0CbSesitzt. SeidOa;beinMinimalsystemdesGittersLvronG.e WiewirimBeweisvonSatz3.6gesehenhabSen,CistGanyaquivXalenrtzueinerebenenkristallographiscrhenGruppemitdemGitterZ1+ZFub33zϟa ?=Fuj1zϟaLUR=L209.Dannist1;Fub31zϟa ۹aucrheinMinimalsystemvonL209.k ScrhreibtrmanFufbzϟa A=URc+id;c;d2R,rsorkXannmandurcrheventuelleMultiplikXationmit1erreicrhen,dacUR0ist. r荠7o]10rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPEN[o] Wir%9dSyurfenalsoimfolgendenannehmen,%HdadasGitterLvronGeinesolcheGit-terbasis1;bbSesitzt.(2)Wir7unrterscheidennunmehrereFyalle:pImerstenFVallenthyaltHkeineSpiegelung,alsoAistH=hr1ioSderhr2i.BGSeif1:C!CAderR-lineareIsomorphismrusmitfG(1)=1;fG(b)=i.yDann7istfHVf21B>OS(R22),Bdar1]ǹ=id}undr2]ǹ=id mitallenR-linearenEndomorphismenvrertauschenundsomitfGrSf21͹=URr>6fyurr=r1;r2gilt. AusxLemma3.4folgtalso,x+i)UR=i(1)>i)UR=1)>+i.AusLdiesenGleichungenfolgtaucrhfGr2sf21͹=URr2r4s. DamitVfolgtwieobSenausLemma3.4,pdaG20#:=URfGGf21)ѹeineVzuGanyaquivXalenrteebSene kristallographiscrheGruppeist,SmitdemGitterfG(L)UR=Z(1]"+i)+Z1UR=Z]"1+ZiundderPunktgruppSehr4si;hr4r2si;hr2;r4si 荠7o]12rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPEN[o] FVallsKG20diePunktgruppSehr4r2siKbesitzt,KsokXannmanwiederzueineranyaqui-vXalenrtenGruppSemitgleichemGitterZ1.+ZiundderPunktgruppSehr4siyubergehen,nyamlicrhmittelsdesR-linearenIsomorphismus'UR:C!C꨹mit5l'(1)UR=i'(i)=1alsomit'UR=r4.Dennaus%('r4r2s' 1 \|)(i)UR='(i)=1und(r4s)(i)UR=i(i)=1einerseits,undQN('r4r2s' 1 \|)(1)UR='(i(i))=iund(r4s)(1)s=ijandererseitsfolgt'r4r2s'21=sr4s.InallenFyallenistalsoGaufdiegewSyunscrhteGestalttransformiertwrorden.I` Theorem5.3._UJeffderhebenekristallographischeGruppeistanT(yaquivalentzueinerder17mGruppffenGinderfolgendenListe.nDabeiistT:=URfv jvË2Z1+Zig;TƟ20Q:=URfvjvË2Z1+Z6g,!linksstehendiezugehyorigenPunktgruppffen,rechtsdieinternationaleBezeichnung.ps}uHA36ffΔGxuffϟ ʍC1V=URhr1i036ffUWTp1C2V=URhr2i036ffUWhT;r2ip2D1V=URhsiYD36ffUWhT;sipmP$$.ffUWhT;33133s^\)2 sipgD2V=URhr2;si +36ffUWhT;r2;sipmmP$? ffUWhT;r2;ׅMi33s^\)2 sipmg P$Z?' ffUWhT;r2;ׅ331+i33\) $p2sipgn9g' D1PV԰.==hr4si36ffUWhT;r4sicmD2PV԰.==hr2;r4si͟36ffUWhT;r2;r4sicmmC4V=URhr4i036ffUWhT;r4ip4D4V=URhr4;si +36ffUWhT;r4;sip4mP$Z?' ffUWhT;r4;ׅ331+i33\) $p2sip4g' C3V=URhr3i036ffUWhTƟ20o;r3ip3D3V=URhr3;si +36ffUWhTƟ20o;r3;sip31mD3PV԰.==hr3;r6si͟36ffUWhTƟ20o;r3;r6sip3m1C6V=URhr6i036ffUWhTƟ20o;r6ip6D6V=URhr6;si +36ffUWhTƟ20o;r6;sip6m{Beweis.+܌WVegen|Lemma5.1undLemma5.2genSyugtes,diefolgenden13Fyallezuunrtersuchen,dieallemitdergleicrhenMethoSdebehandeltwrerden:BetracrhtedenEpimorphismruso:URG!HV.aHieristGunbSekXannt,aberKe'o=URT.oderTƟ20 OundPHsindbSekXannrt.NachPSatz4.1wirdGvronKemundbeliebigenUrbildernderErzeugendenvronHerzeugt.UrbilderderErzeugendenvronH ndetmanmitderfolgendeneinfachenBeobachtungausLemma3.5:IsthUR2HeineSpiegelung,v hUR2G,soistv+h(vn9)UR2L. K荠7o]rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPENi13[o]FValls[Pdiesnicrht[PgenSyugt,[gehtmanzueineranyaquivXalentenGruppSewНG2W1RAwmitpassenderTVranslationw y ubSerundsucrhtdortUrbilder.4LundHDyDandernsicrhhierbeinicrht.SeiKalsoGeineebSenekristallographiscrheGruppemitdemGitterLundderPunkt-gruppSeHV.NacrhLemma3.5kyonnenwirH2+ _ URGannehmen.㍍(1)IstLUR=Z1+ZiundHB=URhr1i,soistG=Tƹ.DamitliegtderFVallp1vror.(2)Istg_L)=Z1+ZiundH=)hr2iG,gsoistG=hT;r2i.hDamitliegtderFVallp2vror.(3)SeiLUR=Z1I+ZiundHB=URhsi."Das2H/ist,gibteseinvË2R22zݹmitgË:=v s2G.ScrhreibSevË=UR k+i O; ; 2R.DanngiltnacrhLemma3.5v +ܟdzmKv =2 h2L=Z1+Ziundsomit2 h2URZ. Gemya.demobSenbescrhriebenenPrinzipsucrhenwirnuneinw=URx$+iyË2C;x;yË2R,sodawНgn9wg=UR sist.EsistǍZwНv swg=URw7+vI{y\)PBw7s= salsomrubeBwR+vdzݟKw׹=UR 7+( T+2yn9)i= Vsein.Setzen4wiralsow_a:= w33 33z.<ꍐw2i,soistG20:=wНGwIanyaquivXalenrtzuG,und sUR2G209.WirunrterscheidennunzweiFyalle:(1),Ist2 tgerade,soist z2Z(1L.Da s2G209,istdannaucrhs2G209.Nacrh,Satz4.1istalsoG20#=URhT;si.DamitliegtderFVallpmvror.(2),Istt2 ungerade,«soist 12Fu1՟z@2+=Z.ÿDa sĢ2G20ist,folgtt33133s^\)2 s2G20undsomit$.,G20#=URhT;33133s^\)2 si.DamitliegtderFVallpgXvror.(4)SeiVVnrunL =Z1+ZiVVundH= hr2;si,VrwobSeiwir,Vrwiegesagt,r2̟2 Gannehmenkyonnen.lDannl gibtesvË2URR22,mitg:=URv s2G,l+undl damitaucrhgn9r2V=URvsr22URG.lAusLemmaD3.5folgtdannv&+dzmKv;vdzmKv M2xgL.dScrhreibtDmanalsovm}inderFVormv根= ?+i mit ; 2URR,sofolgt2 h2Z;2 2Z.WirunrterscheidennunwiedermehrereFyalle:(1),Sind>k2 ;2 躹gerade,>sogilt ; 32ZunddamitvR2L.>Dav s2Gist,>istdann,sUR2G,X/undX somitgiltnacrhSatz4.1GUR=hT;r2;si.XDamitX liegtderFVallpmmvor.(2),Ist2 gerade,;abSer2 Dungerade,soist =z2)Z; :2Fu]1]z@26m+fZ.Dav s2G,;folgt#Z,ׅMi33s^\)2 sUR2G꨹undsomitGUR=hT;r2;ׅMi33s^\)2si.DamitliegtderFVallpmgXvror.!U(3),Ist"}2 6 ungerade,"2 ̹gerade,soist 2Fu1玟z@2 +p+ЫZ; ^2[Z."Dav s2G,"folgt33133s^\)2 s2G$.,undsomitGUR=hT;r2;33133s^\)2 si.(4),Istl2 vungerade,m2 6ungerade,soist F2Fuf71f7z@2 ù+UZ; S2Fuf71f7z@2+Z.mWielobSenistdann#Z,ׅ33133s^\)2 +Mi33s^\)20G sUR2G꨹undsomitGUR=hT;r2;ׅ331+i33\) $p2si.DamitliegtderFVallpgn9gXvror.DabSei_erwreisensichdieGruppSendes2.und3.FVallesallerdingsalsanyaquivXalent:Dar4r2rS1諍4\=URr2und3`r433133s^\)2 sr S1ڍ4\=URr433133s^\)2r4sUR=rq4*(33133s^\)2 ).r S2ڍ4s=ׅMi33s^\)2r2s=ׅMi33s^\)2sr2 ist,folgtr4hT;r2;33133s^\)2 sirS1諍4\=URhT;r2;ׅMi33s^\)2 si.?(5)SeinrunLUR=Z1+ZiϹundHB=URhr4si.fDanngibtesvË= Q+i 2mitgË:=v r4s2G.WieobSenfolgtdannausLemma3.5,daǍ?v+idzmKv q=UR( 7+ O)(1+i)2Lundsomit 7+ 2URZ.Ե荠7o]14rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPEN[o] Um\zueineranyaquivXalenrtenGruppSe*yuberzugehen,\dier4sH2G\enrthyalt,suchenwirwieobSeneinpassendesw=URx+iyn9,x;yË2R.Esist`̍zswНgn9wg=URw7+vI{iy\)PBw!r4swrobSeiwR+vidzݟKw /2URL.Nungilt:(8wR+vidzݟKw /=URx+iy+ 7+i Ti(xiyn9)UR=x+ y+( T+yx)iSetztmanalsoxUR:=0;yË:= ,d.h.w=URi ,sofolgtwR+vidzݟKw /=UR( 7+ O)i2LSomitJJenrthyaltdieGruppSeG20R:=wНGw_dasElementr4s.JNachSatz4.1folgtG20R=hT;r4si.EsliegtalsoderFVallcmvror.(6)Sei$HnrunLk&=Z10+Zi$HundHX|=k&hr2;r4si,$wobSei$Hwirwiederr2 +*2k&Gannehmenkyonnen.DanngibteseinvË=UR 7+i mit`̍~:gË:=URv r4s2Ggn9r2V=vr S3ڍ4s2GNacrhLemma3.5giltdann8~v+idzmKv q=UR( 7+ O)(1+i)2LvidzmKv q= 7 T+i( )UR2LSomit;sind 4+ Qund  QinZ,Mwrorausauch2 ;2 2URZfolgt.Setztmanwiein(5)w:=URi ,sofolgt,daG20#:=wНGwWdieElemenrtewr2wg=UR2w r2undwНv r4swg=URw7+vI{iy\)PBw!r4senrthyalt.Auerdem{istw+7vpidzݟKw /=UR( ƹ+ O)i2L,|da{ ƹ+ 2Z,|und{2w=2 i2L,dabq2 42!6Z.c)Somitsindr2;r4s2G209,bwrorausbqnachSatz4.1G20o=!6hT;r2;r4sibqfolgt.c)EsliegtalsoderFVallcmmvror.(7)Sei;KnrunLޓ=Z1+Zi;KundH=ޓhr4i.;Dawir,;_wiegesagt,annehmenkyonnen,daDrehrungen-UinderGruppSeGenthaltensind,-ffolgtdannGϹ=hT;r4i.-Damit-UliegtderFVallp4vror.(8)SeixnrunLUR=Z1+ZixundHB=URhr4;si.WiewirinSatz4.2gezeigthabSen,istdannGUR=hT;r4;si꨹oSderGUR=hT;r4;ׅ331+i33\) $p2si.EsliegenalsodieFyallep4moSderp4gvror.Z?(9)Wir4bSeginnennrunmitderBehandlungdeshexagonalenGitters.6SeialsoL=Z1."+Z6.IstdannHY=hr3i,sokyonnenwir,wiescrhonmehrfachfestgestellt,nachLemma3.5r3V2URGannehmen.DannistG=hTƟ20o;r3iundesliegtderFVallp3vror.(10)Sei{nrunL=Z1V+Z6 und{HK=hr3;si,wobSeiwirwiederr3 2Gannehmen.Danngibtesv2mCmitg:=mv s2G.Damitliegtaucrhgn9r3-=mvr2S2RA3sinG,unddamitfolgtausLemma3.5,dav+dzmKv;v+ 2ڍ3dzmKv2URL=Z1+Z6Nun|ist22RA3 =24RA6=6,}Ada|23RA6=1.DSetzt|mannrunG20":=v Gv ,}AsosinddieElemenrtezgGfv r3v׹=URvI{q3*vݯr3?vgn9r S2ڍ3v=URvvr3sv=UR2vI{q3*y\)m Bvr3s홍inMG20Senrthalten.NungiltvI۹+ۢdzmKv;vۢ6dzmKv12URL,gworausMmaneinerseitsdurchSubtraktiondzmKv+6dzmKv12URL꨹erhyalt.DadiekromplexeKonjugationdasGittererhyalt,folgtdarausv3vË2URLAndererseitsfolgtdarausdurcrhAddition,daI v+dzmKv q+v6dzmKv1ù=UR2v3dzmKv12URLda6h=1+3Ϲist.Alsosindr3;r3s2G209,wroraussichG20w.=hTƟ20o;r3;siergibt.EsliegtalsoderFVallp31mvror.E荠7o]rEBENE!KRIST:ALLOGRAPHISCHEGR9UPPENi15[o](11)Seii~nrunL-6=Z1+Z6,iundi~H=-6hr3;r6si,wrobSeii~wirwiederr3:2-6Gannehmenkyonnen.DanngibtesvË2URCmitg:=URv r6s2G.Damitliegtaucrhek{gn9r3V=URv r6sr3=v r6r S1ڍ3 s=vr6r S2ڍ3s=vr S5ڍ6sinyG.yDa1und69reelllinearunabhyangigsind,y2kyonnenwirvNinderFVormvË=UR ;+¬ O6mit o ; 2dRscrhreibSen."KDamitfolgtausLemma3.5, dadieVVektorenvʹ+}6dzmKvA = 7+ T+( + O)6und v+: z ȟ 6 pdzmKv/=UR 7+ O6j+(16)( + O: z ş T6 t)UR= (26)+ O(6j+: z ş mT61)UR=2  6ein3Lliegen.4 Darausfolgt +T {2рZ; 2Z3undsomitaucrh ; {2рZ.4 Alsoistv?2Lund_somitr6sUR2G.Daraus_folgtnacrhSatz4.1,ldaGUR=hTƟ20o;r3;r6si.Damit_liegtderFVallp3m1vror.(12)SeinPnrunLUR=Z1o+Z6"undPHB=URhr6i.Q DawirnachLemma3.5r6V2URGannehmenkyonnen,istdannGUR=hTƟ20o;r6i.AlsoliegtderFVallp6vror.(13)Sei\onrunL=Z1+Z6 sund\oHR=hr6;si.]Wirkyonnenwiederr62Gannehmen.Esgibtdanneinvw2\>Cmitg:=\>v s2G,undsomitaucrhgn9r6B2\>G.NachLemma3.5sind3_danndieVVektorenvJc+*dzmKv +undv+*sr6(vn9)=v+*: z ş T6 dzmKvin3_L.3SubtrahiertmandieseVVektorenvroneinander,sosiehtman,damJa(1: z ş mT6 tq)dzmKv q=UR6dzmKv12Lund'RdamitdzmKv 2UR: z ş  _T6LUR=L'Rist.(}DadasGitterunrterderkomplexenKonjugationinvXariantist, folgtvË2URL."Somitists2GunddamitG=hTƟ20o;r6;si."EsliegtalsoderFVallp6mvror.32I`ʍE*Litera32turK`y cmr10[1]