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I<38FF07E0EB1FF8381F307CEB403CEB803EA21300AE39FFE1FFC0A21A167E951F>I<13 FE3807FFC0380F83E0381E00F0003E13F848137CA300FC137EA7007C137CA26C13F8381F 01F0380F83E03807FFC03800FE0017167E951C>I<38FF0FE0EB3FF8381FE07CEB803E49 7E1580A2EC0FC0A8EC1F80A29038803F00EBC03EEBE0FCEB3FF8EB0FC090C8FCA8EAFFE0 A21A207E951F>I114 DI<487EA41203A21207A2120F123FB5FCA2EA0F80ABEB8180A5EB8300EA07C3EA03FE EA00F811207F9F16>I<38FF01FEA2381F003EAF147E14FE380F81BE3907FF3FC0EA01FC 1A167E951F>I<39FFE01FE0A2391F800700000F1306EBC00E0007130C13E000035BA26C 6C5AA26C6C5AA2EB7CC0A2137F6D5AA26DC7FCA2130EA21B167F951E>I<39FFE01FE0A2 391F800700000F1306EBC00E0007130C13E000035BA26C6C5AA26C6C5AA2EB7CC0A2137F 6D5AA26DC7FCA2130EA2130CA25B1278EAFC3813305BEA69C0EA7F80001FC8FC1B207F95 1E>121 D<387FFFF0A2387C03E0387007C0EA600F38E01F8000C01300133E137EC65A5B 485A00031330EA07E013C0380F8070121F383F0060003E13E0EA7C03B5FCA214167E9519 >I127 D E end %%EndProlog %%BeginSetup %%Feature: *Resolution 300dpi TeXDict begin %%PaperSize: a4 %%EndSetup 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(e)g(ic)o(h)e(in)g(der)h(Reihe)f(der)h(F)l(ortbildungsv)o (eranstaltungen)g(des)g(Ma-)0 1681 y(thematisc)o(hen)h(Instituts)h(der) h(Ludwig-Maxililians-Univ)o(ersit)1200 1683 y(\177)1200 1681 y(at)e(M)1304 1683 y(\177)1303 1681 y(unc)o(hen)h(eine)g(1-st)1650 1683 y(\177)1649 1681 y(undige)i(V)l(orle-)0 1740 y(sung)115 1742 y(\177)114 1740 y(ub)q(er)f(Ko)q(dierungstheorie)f(f)648 1742 y(\177)647 1740 y(ur)g(Lehrer)g(an)h(Gymnasien)e(in)h(Ba)o(y)o (ern)f(angeb)q(oten.)50 1798 y(Es)22 b(w)o(ar)g(das)h(Ziel)d(dieser)h (V)l(orlesung,)g(einen)g(Begri\013)1102 1800 y(\177)1101 1798 y(ub)q(er)h(die)f(M)1348 1800 y(\177)1348 1798 y(oglic)o(hk)o(eit) e(und)j(die)g(Grenzen)0 1856 y(v)o(on)c(vielen)e(heute)h(v)o(erw)o (endeten)f(Ko)q(dierungsm)935 1858 y(\177)935 1856 y(oglic)o(hk)o (eiten)e(zur)k(F)l(ehlerk)o(orrektur)d(zu)j(v)o(ermittel)o(n.)0 1914 y(Nic)o(h)o(t)k(die)h(vielen)f(Probleme)f(der)j(V)l(ersc)o(hl)844 1916 y(\177)843 1914 y(usselung)e(v)o(on)i(Daten,)f(um)f(Zugri\013e)i (v)o(on)f(Un)o(b)q(efugten)0 1972 y(zu)18 b(v)o(ermeiden,)d(sondern)k (die)e(T)l(ec)o(hnik)o(en)g(zur)h(V)l(ermeidung)e(o)q(der)j(Korrektur)f (v)o(on)g(F)l(ehlern)f(b)q(ei)h(der)6 2020 y(\177)0 2030 y(Ub)q(ertragung)f(v)o(on)f(Daten)g(standen)g(im)e(Mittelpunkt)h(der)g (V)l(orlesung.)h(Einfac)o(he)f(Co)q(des)i(lassen)f(sic)o(h)0 2088 y(sc)o(hon)f(mit)e(Hilfsmittel)o(n)f(der)j(linearen)e(Algebra)i (erstellen.)e(Die)h(Darstellung)h(dieser)f(Metho)q(den)h(und)0 2146 y(der)23 b(Metho)q(den)g(der)g(F)l(ehlerk)o(orrektur)f(standen)h (im)f(Mittelpunkt)g(der)h(V)l(orlesung.)f(Die)h(mo)q(derne)0 2205 y(Ko)q(dierungstheorie)c(v)o(erw)o(endet)f(zur)h(Erstellung)h (leistungsf)1168 2207 y(\177)1168 2205 y(ahigerer)e(Co)q(des)j (Hilfsmitte)o(l)16 b(der)j(Zah-)0 2263 y(len)o(theorie)e(und)i(der)g (algebraisc)o(hen)f(und)h(arithmetisc)o(hen)d(Geometrie.)h(Darauf)i(k)o (onn)o(te)f(ic)o(h)g(w)o(egen)0 2321 y(der)e(K)123 2323 y(\177)122 2321 y(urze)g(der)g(Zeit)f(nic)o(h)o(t)g(eingehen.)50 2379 y(M)96 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y(Ub)q(ertragung)k(z.B.)e(p)q(er)h (CD)g(o)q(der)g(aus)h(dem)e(W)l(eltall)f(l)1190 755 y(\177)1190 753 y(a\031t)i(praktisc)o(h)g(k)o(eine)e(Nac)o(hfrage)i(und)0 811 y(Wiederholung)e(zu,)f(sie)g(sollte)g(so)i(k)o(o)q(diert)e(w)o (erden,)g(da\031)h(F)l(ehler)f(nac)o(h)o(tr)1386 813 y(\177)1386 811 y(aglic)o(h)g(allein)f(aufgrund)j(der)0 869 y(empfangenen)c(Information)g(k)o(orrigiert)g(w)o(erden)h(k)969 871 y(\177)969 869 y(onnen.)0 959 y Fq(De\014nition)i(1.2.)23 b Fn(Wir)17 b(nehmen)f(an,)h(da\031)h(die)f(zu)978 961 y(\177)977 959 y(ub)q(ertragende)h(Information)e(in)h(F)l(orm)f(einer)h (Bit-)0 1017 y(folge,)k(also)i(einer)e(F)l(olge)g(b)q(estehend)h(aus)h (0)f(o)q(der)h(1,)e(gegeb)q(en)i(ist.)e(Uns)h(w)o(erden)f(in)h(dieser)f (V)l(orle-)0 1075 y(sung)15 b(lediglic)o(h)d(F)l(ehler)h(in)o (teressieren,)f(die)h(durc)o(h)h(zuf)1011 1077 y(\177)1011 1075 y(allige)f(St)1182 1077 y(\177)1182 1075 y(orungen)i(auf)g(dem)d (Informationsk)m(anal)0 1133 y(en)o(tstehen.)17 b(Willk)353 1135 y(\177)352 1133 y(urlic)o(he)f(V)l(erf)601 1135 y(\177)601 1133 y(alsc)o(h)o(ungen)h(und)i(systematisc)o(he)d(F)l (ehler)h(sollen)h(hier)g(nic)o(h)o(t)f(studiert)0 1191 y(w)o(erden.)50 1249 y(Wir)f(nehmen)e(also)j(f)444 1251 y(\177)443 1249 y(ur)f(den)g(Informationsk)m(anal)g(an,)h(da\031)71 1319 y(-)22 b(ein)191 1321 y(\177)190 1319 y(ub)q(ertragenes)e(Bit)e(1) i(mit)e Fk(fester)h Fn(W)l(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o(eit)d Fj(p)k Fn(das)g(Bit)e(0)i(und)g(mit)d(der)i(W)l(ahr-)109 1378 y(sc)o(heinlic)o(hk)n(eit)13 b(1)e Fl(\000)g Fj(p)17 b Fn(das)g(Bit)e(1)i(ergibt,)e(und)71 1436 y(-)22 b(ein)186 1438 y(\177)185 1436 y(ub)q(ertragenes)14 b(Bit)f(0)h(mit)e Fk(derselb)n(en)k Fn(W)l(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o(ei)o(t)11 b Fj(p)k Fn(das)f(Bit)f(1)h(und)h(mit)d(der)h(W)l(ahr-)109 1494 y(sc)o(heinlic)o(hk)n(eit)g(1)e Fl(\000)g Fj(p)17 b Fn(das)g(Bit)e(0)i(ergibt.)0 1564 y(Dab)q(ei)k(gilt)g(0)h Fl(\024)f Fj(p)h Fl(\024)g Fn(1)p Fj(=)p Fn(2.)f(W)l(enn)g(1)p Fj(=)p Fn(2)i Fj(<)f(p)g Fl(\024)f Fn(1)h(gilt,)e(dann)h(k)m(ann)h(man) e(durc)o(h)g(In)o(v)o(ertieren)e(der)0 1622 y(Bits)e(\(0)f Fl(7!)f Fn(1)p Fj(;)8 b Fn(1)15 b Fl(7!)f Fn(0\))j(auf)g(die)f(v)o (orherige)f(Annahme)g(zur)1097 1624 y(\177)1096 1622 y(uc)o(kk)o(omm)o(en.)e(Der)k(F)l(all)f Fj(p)e Fn(=)h(1)p Fj(=)p Fn(2)i(b)q(edeutet)0 1680 y(o\013en)o(bar)g(v)o(ollst)302 1682 y(\177)302 1680 y(andigen)f(Informationsv)o(erlust.)50 1738 y(Wir)i(nehmen)f(w)o(eiterhin)f(an,)j(da\031)g(auf)g(dem)e(Kanal)i (jew)o(eils)d(genau)j(ein)f(Bit)g(je)g(Zeiteinheit)e(\(z.B.)0 1796 y(pro)h(Millisekunde\))392 1798 y(\177)390 1796 y(ub)q(ertragen)g(wird.)50 1855 y(Einen)23 b(solc)o(hen)g(Kanal)i(nenn) o(t)e(man)g(einen)g Fk(diskr)n(eten,)i(bin)1212 1857 y(\177)1212 1855 y(ar)n(en,)g(symmetrischen)g(Kanal)g(ohne)0 1913 y(Sp)n(eicher)17 b Fn(\(BSC\).)0 2002 y Fq(Beispiele)f(1.3.)24 b Fn(f)363 2004 y(\177)362 2002 y(ur)16 b(Ko)q(dierungen:)50 2060 y(1\))g(P)o(arit)217 2062 y(\177)217 2060 y(ats-Pr)348 2062 y(\177)347 2060 y(ufsumme)e(\(P)o(arit)o(y)h(Chec)o(k\):)g(Bei)f (einem)g(Computersp)q(eic)o(her)g(v)o(erw)o(endet)g(man)h(zur)0 2118 y(Sp)q(eic)o(herung)j(v)o(on)g(1)h(Byte)e(\(=)h(8)h(Bits\))e Fj(B)j Fn(=)d(\()p Fj(b)925 2125 y Fi(1)953 2118 y Fj(:)8 b(:)g(:)g(b)1040 2125 y Fi(8)1059 2118 y Fn(\))18 b(ein)g(w)o(eiteres)f (Kon)o(trollbit)g Fj(b)1641 2125 y Fi(9)1661 2118 y Fn(,)h(also)g(9)h (Bits,)0 2176 y(w)o(ob)q(ei)e(das)i(9.)e(Kon)o(trollbit)g(wie)g(folgt)g (b)q(estimm)o(t)e(wird:)i(w)o(enn)g Fj(n)g Fn(die)g(Anzahl)g(der)g (Bits)g(eines)g(Bytes)0 2235 y(ist,)f(die)f(auf)i(1)f(gesetzt)g(sind,)g (so)h(ist)f(das)496 2360 y(Kon)o(trollbit)30 b(=)815 2275 y Fh(\()855 2326 y Fn(1)p Fj(;)122 b Fn(falls)16 b Fj(n)h Fn(ungerade,)855 2396 y(0)p Fj(;)122 b Fn(falls)16 b Fj(n)h Fn(gerade.)0 2494 y(Zur)98 2483 y(\177)92 2494 y(Ub)q(erpr)245 2496 y(\177)244 2494 y(ufung)g(testet)e(man,)g(ob)i(f) 722 2496 y(\177)721 2494 y(ur)f(die)g(Summe)d(aller)1145 2496 y(\177)1144 2494 y(ub)q(ertragenen)j(9)h(Bits)f(gilt)774 2559 y Fi(9)747 2573 y Fh(X)754 2678 y Fg(i)p Fi(=1)827 2621 y Fj(b)848 2628 y Fg(i)876 2621 y Fl(\021)d Fn(0)50 b(mo)q(d)16 b(\(2\))p Fj(:)0 2755 y Fn(W)l(enn)f(diese)f(Bedingung)h(v) o(erletzt)e(ist,)i(dann)g(ist)g(sic)o(her)f(b)q(ei)h(der)1244 2745 y(\177)1238 2755 y(Ub)q(ertragung)h(ein)e(F)l(ehler)g(aufgetre-)0 2814 y(ten.)f(W)l(enn)g(ein)f(einziges)h(Bit)f(falsc)o(h)696 2816 y(\177)695 2814 y(ub)q(ertragen)i(wird,)f(dann)h(wird)f(diese)f (Kon)o(trollb)q(edingung)i(sc)o(hon)0 2872 y(v)o(erletzt.)i(Eine)i (solc)o(he)g(Ko)q(dierung)i(k)m(ann)f(also)g(einen)f(F)l(ehler)g(\(pro) 1303 2874 y(\177)1302 2872 y(ub)q(ertragenes)h(Byte\))f(erk)o(ennen.)0 2930 y(Dieses)h(V)l(erfahren)g(wird)g(b)q(ei)g(vielen)f(PCs)i(v)o(erw)o (endet.)e(Wird)h(ein)g(F)l(ehler)f(erk)m(ann)o(t,)h(so)h(k)m(ann)g (dieser)0 2988 y(nic)o(h)o(t)15 b(automatisc)o(h)g(k)o(orrigiert)g(w)o (erden,)h(der)g(Computer)f(bleibt)g(also)i(sic)o(herheitshalb)q(er)e (stehen.)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)429 b(3)50 179 y Fn(2\))15 b(Das)h(Morsealphab)q(et,)e(das)i(mit)d(den)h (Zeic)o(hen)f Fj(:)i Fn(\(dit\))f(und)h Fl(\000)g Fn(\(dah\))g (aufgebaut)h(wird.)e(Genauer)0 238 y(w)o(erden)23 b(die)259 267 y(")282 238 y(Strings)m(\\)k(aus)d(den)f(Buc)o(hstab)q(en)g Fl(f)p Fj(:)g Fn(\(dit\),)f Fl(\000)h Fn(\(dah\),)p 1356 246 17 2 v 63 w(\(kurze)g(P)o(ause\),)p 1733 246 49 2 v 95 w(\(lange)0 296 y(P)o(ause\))p Fl(g)14 b Fn(gebildet.)e(Mit)g (diesen)h(Zeic)o(hen)f(k)812 298 y(\177)812 296 y(onnen)i(die)f(Buc)o (hstab)q(en)g(des)h(Alphab)q(ets)f(gebildet)g(w)o(erden)0 354 y(\(z.B.)i(a)h(=)g(.-)g(;)g(b)h(=)f(-...\).)0 452 y Fq(De\014nition)i(1.4.)23 b(W)431 454 y(\177)431 452 y(orterbuc)n(h)17 b(der)f(Ko)r(dierung:)d Fn(Ein)h Fk(Co)n(de)h Fn(ist)f(eine)g(Menge)g Fj(C)k Fn(\(v)o(on)c(Zeic)o(hen,)0 510 y(die)i(geeignet)f(ist,)h(Informationen)f(zu)h(sp)q(eic)o(hern)f (und)i(zu)1110 512 y(\177)1109 510 y(ub)q(ermitteln\).)50 568 y(Eine)f Fk(Chi\013r)n(e)g Fn(o)q(der)h(eine)f Fk(V)l(erschl)689 570 y(\177)689 568 y(usselung)j Fn(\()p Fk(Ko)n(dierung)f Fn(o)q(der)f Fk(Chi\013rierung)p Fn(\))f(ist)h(eine)e(Abbildung)0 626 y Fj(f)k Fn(:)14 b Fj(C)106 633 y Fi(1)139 626 y Fl(!)g Fj(C)238 633 y Fi(2)274 626 y Fn(eines)h(Co)q(des)i(in)f(einen)g (anderen.)50 684 y(Eine)11 b Fk(De)n(chi\013rierung)i Fn(einer)e(Chi\013re)h Fj(f)19 b Fn(:)14 b Fj(C)851 691 y Fi(1)884 684 y Fl(!)g Fj(C)983 691 y Fi(2)1015 684 y Fn(ist)d(eine)h(Abbildung)f Fj(g)16 b Fn(:)e Fj(C)1512 691 y Fi(2)1545 684 y Fl(!)g Fj(C)1644 691 y Fi(1)1675 684 y Fn(mit)d Fj(g)r(f)19 b Fn(=)14 b(id)o(.)50 742 y(Die)19 b(Quelle)g(einer)g(Chi\013re)h Fj(f)26 b Fn(:)20 b Fj(C)705 749 y Fi(1)745 742 y Fl(!)g Fj(C)850 749 y Fi(2)890 742 y Fn(hei\031t)g Fk(Klartext)p Fn(,)h(ein)e(Elemen)o(t)f (des)i(Klartextes)f(hei\031t)0 801 y Fk(Nachrichtenwort)p Fn(.)50 859 y(Ein)d(Elemen)o(t)e(des)i(Bildes)f(einer)g(Chi\013re)h (hei\031t)g Fk(Co)n(dewort)p Fn(.)50 917 y(Eine)c(Ko)q(dierung)i (hei\031t)e Fk(line)n(ar)n(e)j(Ko)n(dierung)p Fn(,)e(w)o(enn)f Fj(C)1070 924 y Fi(1)1103 917 y Fn(und)h Fj(C)1232 924 y Fi(2)1264 917 y Fn(V)l(ektorr)1426 919 y(\177)1426 917 y(aume)e(sind)i(und)g Fj(f)19 b Fn(:)14 b Fj(C)1852 924 y Fi(1)1885 917 y Fl(!)0 975 y Fj(C)35 982 y Fi(2)71 975 y Fn(eine)h(lineare)g(Abbildung)h(ist.)50 1033 y(Ein)11 b Fk(Blo)n(ckc)n(o)n(de)g Fn(ist)g(ein)f(Co)q(de,)i(dessen)f(W)817 1035 y(\177)817 1033 y(orter)g(aus)h(Buc)o(hstab)q(en)e(eines)h(Alphab) q(ets)g(\(t)o(ypisc)o(herw)o(eise)0 1091 y(aus)17 b(den)f(Bits)f(0)i (und)f(1\))g(zusammengesetzt)e(sind)i(und)g(alle)f(gleic)o(he)g(L)1342 1093 y(\177)1342 1091 y(ange)i(hab)q(en,)f(d.)g(h.)g(aus)g(gleic)o(h)0 1149 y(vielen)f(Buc)o(hstab)q(en)h(b)q(estehen.)50 1247 y(Wir)h(b)q(etrac)o(h)o(ten)g(haupts)537 1249 y(\177)537 1247 y(ac)o(hlic)o(h)g(Ko)q(dierungen)i Fj(f)5 b Fn(,)17 b(die)g(injektiv)g(sind.)g(F)l(alls)g(dies)h(nic)o(h)o(t)e(der)i(F)l (all)0 1305 y(ist,)d(ist)g(die)f(ob)q(en)i(angegeb)q(ene)g(Bedingung)f (f)858 1307 y(\177)857 1305 y(ur)g(eine)f(Dek)o(o)q(dierung)h(nic)o(h)o (t)f(erf)1479 1307 y(\177)1478 1305 y(ullbar.)g(Es)i(gibt)f(jedo)q(c)o (h)0 1363 y(Beispiele,)i(in)i(denen)h(eine)f(Ko)q(dierung)h(mit)e (einer)h(nic)o(h)o(t)f(injektiv)o(en)g(Abbildung)h(sinn)o(v)o(oll)g (ist,)g(z.B.)0 1422 y(die)d(Graphik-Kompressions-Protok)o(olle)f(JPEG,) i(GIF)f(und)g(andere.)0 1520 y Fq(Beispiele)g(1.5.)24 b Fn(f)363 1522 y(\177)362 1520 y(ur)16 b(Co)q(des)h(und)g(Ko)q (dierungen:)50 1578 y(1\))g(Sprac)o(hen)g(sind)f(b)q(eliebige)g(Mengen) g(\(und)h(damit)f(Co)q(des\))i(v)o(on)1326 1607 y(")1349 1578 y(strings)m(\\)i(o)q(der)e(W)1692 1580 y(\177)1692 1578 y(ortern)1840 1580 y(\177)1839 1578 y(ub)q(er)0 1636 y(einem)c(b)q(eliebigen)h(Alphab)q(et)h Fj(A)p Fn(.)50 1694 y(2\))h(Das)h(Zahlensystem,)d(d.)i(h.)g(die)f(mit)g(den)h (Zi\013ern)g(0)p Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b Fn(9)17 b(und)h(den)f(Zeic)o(hen)e Fj(:)i Fn(und)g Fl(\000)g Fn(darge-)0 1752 y(stellten)e(Zahlen,)g(ist)h(ein)g(Co)q(de.)50 1810 y(3\))e(Die)f Fj(q)r Fn(-)h(und)g(die)f Fj(z)r Fn(-Grupp)q(en)i (in)e(der)h(Morsesprac)o(he,)f(das)i(sind)f(Grupp)q(en)g(v)o(on)g(drei) f(Buc)o(hstab)q(en)0 1868 y(des)j(\(Buc)o(hstab)q(en-\)Alphab)q(ets,)g (die)g(mit)f Fj(q)i Fn(bzw.)f Fj(z)j Fn(b)q(eginnen,)c(z.B.)g(qth)h(=)h (Standort,)f(bilden)g(einen)0 1926 y(Co)q(de.)50 1985 y(4\))g(Die)g(Barco)q(des)h(zur)f(Bezeic)o(hn)o(ung)e(v)o(on)i(W)l (aren)g(im)f(Sup)q(ermarkt)g(sind)h(Co)q(des.)50 2043 y(5\))21 b(Der)f(ISBN-Co)q(de)g(\(In)o(ternational)g(Standard)i(Bo)q (ok)f(Num)o(b)q(er\),)d(wie)i(z.B.)f(3-519-02211)q(-7,)k(ist)0 2101 y(ein)16 b(Co)q(de,)g(w)o(ob)q(ei)g(die)g(einzelnen)e(Grupp)q(en)j (folgendes)f(b)q(edeuten:)50 2179 y(1.)21 b(3)16 b(=)g(Ersc)o(hein)o (ungsland)50 2237 y(2.)21 b(519)c(=)f(V)l(erlag)50 2295 y(3.)21 b(02211)d(=)e(fortlaufende)g(Buc)o(hn)o(umm)o(er)50 2353 y(4.)21 b(7)16 b(=)g(Pr)256 2355 y(\177)255 2353 y(ufn)o(ummer)e(\(in)h Fl(f)p Fn(0)p Fj(;)8 b Fn(1)p Fj(;)g Fn(2)p Fj(;)g Fn(3)p Fj(;)g Fn(4)p Fj(;)g Fn(5)p Fj(;)g Fn(6)p Fj(;)g Fn(7)p Fj(;)g Fn(8)p Fj(;)g Fn(9)p Fj(;)g(X)t Fl(g)p Fn(\).)149 2433 y(Die)16 b(Pr)291 2435 y(\177)290 2433 y(ufung)h(auf)g(eine)e(k)o(orrekte)807 2422 y(\177)801 2433 y(Ub)q(ertragung)i(\(F)l(ehlererk)o(enn)o(ung\))d (gesc)o(hieh)o(t)h(im)f(Beispiel)0 2493 y(durc)o(h)139 2483 y(\177)133 2493 y(Ub)q(erpr)286 2495 y(\177)285 2493 y(ufung)f(v)o(on)g(10)t Fl(\001)t Fn(3)t(+)t(9)t Fl(\001)t Fn(5)t(+)t(8)t Fl(\001)t Fn(1)t(+)t(7)t Fl(\001)t Fn(9)t(+)t(6)t Fl(\001)t Fn(0)t(+)s(5)t Fl(\001)t Fn(2)t(+)t(4)t Fl(\001)s Fn(2)t(+)t(3)t Fl(\001)t Fn(1)t(+)s(2)t Fl(\001)t Fn(1)t(+)t(1)t Fl(\001)s Fn(7)e Fl(\021)j Fn(0)34 b(mo)q(d)16 b(11.)0 2551 y(Die)g(Restklassen)o(b)q(erec)o(hn)o(ung)g(mo)q(dulo)g (11)i(k)m(ann)f(durc)o(h)g(Bildung)f(der)h(alternierenden)e(Quersumme)0 2609 y(v)o(orgenommen)f(w)o(erden.)h(\(h)o (ttp://infoshare1.princeton.edu/k)m(atmandu/marc/aut020.h)o(tml\))149 2667 y(6\))21 b(Beliebiger)d(T)l(ext)j(der)f(Umgangssprac)o(he)g(k)m (ann)h(in)f(einen)g(linearen)f(Co)q(de)i Fj(K)1705 2649 y Fg(n)1749 2667 y Fn(f)1765 2669 y(\177)1764 2667 y(ur)g Fj(K)k Fn(=)0 2726 y Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))160 2728 y(\177)159 2726 y(ub)q(ersetzt)20 b(w)o(erden,)g(indem)f(man)h (zun)901 2728 y(\177)901 2726 y(ac)o(hst)h(den)f(T)l(ext)h(jew)o(eils)e (in)h(Grupp)q(en)i(v)o(on)e Fj(l)i Fn(Buc)o(h-)0 2784 y(stab)q(en)17 b(und)f(Abst)355 2786 y(\177)355 2784 y(ande)g(\(und)g(evtl.)f(sonstige)h(Zeic)o(hen\))f(zusammenfa\031t.)e (Bei)i(der)h(V)l(erw)o(endung)f(v)o(on)0 2842 y Fj(a;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(z)r(;)g(A;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(Z)q(;)p Fk(Zwischenr)n(aum)24 b Fn(sind)g(also)h(53)984 2824 y Fg(l)1022 2842 y Fn(v)o(ersc)o(hiedene)d(solc)o(he)h(T)l (extgrupp)q(en)i(m)1800 2844 y(\177)1800 2842 y(oglic)o(h.)0 2900 y(Diesen)14 b(w)o(eist)f(man)h(in)g(einer)f(b)q(eliebig)g (festzulegenden)g(W)l(eise)h(eb)q(enso)h(viele)d(v)o(ersc)o(hiedene)g (Elemen)o(te)0 2962 y(in)k Fj(K)102 2944 y Fg(n)142 2962 y Fn(zu.)f(Damit)g(b)q(estimm)o(t)e(sic)o(h)j Fj(l)h Fn(aus)g(53)852 2944 y Fg(l)879 2962 y Fl(\024)d Fj(q)956 2944 y Fg(n)995 2962 y Fn(als)j Fj(l)d Fl(\024)g Fj(n)d Fl(\001)1230 2939 y Fi(ln)o(\()p Fg(q)q Fi(\))p 1221 2951 93 2 v 1221 2980 a(ln)o(\(53\))1318 2962 y Fn(.)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 0 85 a Fm(4)537 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m(AREIGIS)h (IM)g(SS)g(1998)0 179 y Fq(Bemerkung)g(1.6.)23 b Fn(Wir)d(w)o(erden)f (im)g(folgenden)g(immer)e(Blo)q(c)o(k)o(co)q(des)i(v)o(erw)o(enden,)f (d.)h(h.)h(die)f(Ele-)0 238 y(men)o(te)14 b(der)h(b)q(eiden)h(Co)q(des) g(einer)f(Ko)q(dierung)i(hab)q(en)f(alle)f(gleic)o(he)f(L)1308 240 y(\177)1308 238 y(ange,)j(z.B.)d(gleic)o(he)g(Anzahl)h(v)o(on)0 296 y(Bits.)k(Ein)g(Blo)q(c)o(k)o(co)q(de)g(der)h(L)566 298 y(\177)566 296 y(ange)g Fj(k)i Fn(hat)f(also)f Fj(q)946 278 y Fg(k)987 296 y Fn(W)1037 298 y(\177)1037 296 y(orter,)f(w)o(enn)h Fj(q)h Fn(die)e(Anzahl)g(der)h(Zeic)o(hen)e(des)0 354 y(v)o(erw)o(endeten)c(Alphab)q(ets)j(ist,)e(also)i(f)709 356 y(\177)708 354 y(ur)f Fl(f)p Fn(0)p Fj(;)8 b Fn(1)p Fl(g)17 b Fn(ist)f Fj(q)f Fn(=)f(2.)50 414 y(Wir)h(v)o(erw)o(enden)g (zur)478 403 y(\177)472 414 y(Ub)q(ertragung)h(einen)f(bin)953 416 y(\177)953 414 y(aren,)h(symmetri)o(sc)o(hen)d(Kanal)j(\(BSC\).)f (W)l(enn)h(eine)0 472 y(Ko)q(dierung)21 b(mit)e(Blo)q(c)o(k)o(co)q(des) h Fj(f)27 b Fn(:)20 b Fj(C)713 479 y Fi(1)754 472 y Fl(!)i Fj(C)861 479 y Fi(2)901 472 y Fn(gegeb)q(en)f(ist,)f(w)o(ob)q(ei)h Fj(C)1355 479 y Fi(1)1395 472 y Fn(W)1445 474 y(\177)1445 472 y(orter)g(der)f(L)1687 474 y(\177)1687 472 y(ange)i Fj(k)h Fn(und)0 530 y Fj(C)35 537 y Fi(2)72 530 y Fn(W)122 532 y(\177)122 530 y(orter)18 b(der)f(L)358 532 y(\177)358 530 y(ange)h Fj(n)g Fn(b)q(esitzt)f(und)h(das)g(v)o(erw)o(endete)d (Alphab)q(et)j Fl(f)p Fn(0)p Fj(;)8 b Fn(1)p Fl(g)17 b Fn(ist,)g(so)h(w)o(erden)f(b)q(ei)g(der)6 580 y(\177)0 591 y(Ub)q(ertragung)d(v)o(on)e Fj(n)h Fn(Bits,)e(also)i(in)g Fj(n)f Fn(Zeiteinheiten)e(lediglic)o(h)h Fj(k)j Fn(Informationsbits) 1595 593 y(\177)1594 591 y(ub)q(ermittelt.)c(Die)0 649 y Fk(Dur)n(chsatzr)n(ate)k Fn(der)h(Ko)q(dierung)g(ist)g(dann)h Fj(k)r(=n)p Fn(.)f(W)l(eiter)f(ist)h(die)g Fk(Bit-F)l (ehler-Wahrscheinlichkeit)k Fn(die)0 707 y(W)l(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o (eit,)c(da\031)k(ein)g(Bit)e(eines)h(Klartext)o(w)o(ortes)g(trotz)h (erfolgter)f(F)l(ehlerk)o(orrektur)f(falsc)o(h)0 765 y(ank)o(omm)o(t.)50 881 y(Wir)h(form)o(ulieren)e(jetzt)i(den)h(Satz)f (v)o(on)h(Shannon,)g(ohne)g(ihn)g(allerdings)f(zu)h(b)q(ew)o(eisen.)e (Er)i(dien)o(t)0 939 y(zum)h(V)l(erst)223 941 y(\177)223 939 y(andnis)i(der)g(M)518 941 y(\177)518 939 y(oglic)o(hk)o(eiten)e (der)h(Ko)q(dierungstheorie)h(und)h(au\031erdem)e(als)h(Motiv)m(ation)0 997 y(daf)67 999 y(\177)66 997 y(ur,)16 b(m)184 999 y(\177)184 997 y(oglic)o(hst)f(viele)f(v)o(ersc)o(hiedene)g(Ko)q(dierungen)i(zu)g (\014nden)h(und)f(zu)g(studieren.)0 1113 y Fq(Theorem)h(1.7.)23 b(Der)k(Satz)g(v)n(on)g(Shannon)e Fn(\(Claude)e(Shannon:)i(A)e (mathematical)d(theory)k(of)0 1171 y(comm)o(unic)o(ation)17 b(-)j(1948.\))i Fk(Sei)f(ein)h(bin)765 1173 y(\177)765 1171 y(ar)n(er)e(symmetrischer)g(Kanal)i(mit)e(einer)h(Bit-F)l (ehler-Wahr-)0 1229 y(scheinlichkeit)j Fn(0)c Fl(\024)g Fj(p)h(<)515 1209 y Fi(1)p 515 1217 18 2 v 515 1246 a(2)559 1229 y Fk(ge)n(geb)n(en.)i(Dann)e(gibt)h(es)f(eine)h(Zahl)f Fj(C)j(>)c Fn(0)p Fk(,)h(die)h Fn(Kanalk)m(apazit)1811 1231 y(\177)1811 1229 y(at)p Fk(,)f(so)0 1287 y(da\031)i(es)g(zu)g(je)n (dem)g Fj(")h(>)f Fn(0)h Fk(und)f(zu)g(je)n(der)f(Dur)n(chsatzr)n(ate)g Fn(0)i Fj(<)g(R)h(<)e(C)k Fk(einen)d(Blo)n(ckc)n(o)n(de)g Fj(B)h Fk(mit)0 1345 y(Bit-F)l(ehler-Wahrscheinlichke)q(it)20 b Fj(P)7 b Fn(\()p Fj(B)s Fn(\))14 b Fj(<)g(")j Fk(gibt.)50 1403 y(Die)g(Kanalkap)n(azit)413 1405 y(\177)413 1403 y(at)i(ist)e Fj(C)h Fn(=)13 b(1)f(+)f Fj(p)d Fn(log)826 1415 y Fi(2)845 1403 y Fn(\()p Fj(p)p Fn(\))k(+)f(\(1)g Fl(\000)g Fj(p)p Fn(\))d(log)1187 1415 y Fi(2)1206 1403 y Fn(\(1)k Fl(\000)f Fj(p)p Fn(\))p Fk(.)0 1519 y Fq(Bemerkung)17 b(1.8.)23 b Fn(Der)i(Zusammenhang)d(zwisc)o(hen)h(Durc)o(hsatzrate)i Fj(R)f Fn(und)h(Bit-F)l(ehler-W)l(ahr-)0 1577 y(sc)o(heinlic)o(hk)o(ei) o(t)13 b Fj(P)24 b Fn(ist)16 b(ann)499 1579 y(\177)499 1577 y(ahernd)h(gegeb)q(en)g(durc)o(h)e(die)h(folgende)g(Kurv)o(e)p 377 2218 1063 4 v 1398 2216 a Ff(-)p 375 2216 4 591 v 377 1667 a(6)p 377 1745 36 2 v 436 1745 V 495 1745 V 554 1745 V 613 1745 V 672 1745 V 731 1745 V 790 1745 V 849 1745 V 908 1745 V 967 1745 V 1027 1745 V 1086 1745 V 1145 1745 V 1204 1745 V 1263 1745 V 1322 1745 V 1381 1745 V 353 2123 48 2 v 353 2028 V 353 1934 V 353 1839 V 353 1745 V 306 2140 a Fn(.1)306 2045 y(.2)306 1951 y(.3)306 1856 y(.4)306 1762 y(.5)306 1661 y(R)p 612 2240 2 48 v 849 2240 V 1085 2240 V 1321 2240 V 613 2287 a(1)212 b(2)h(3)f(4)70 b(P)p 495 2205 2 2 v 496 2204 V 496 2203 V 497 2202 V 498 2200 V 499 2199 V 499 2198 V 500 2196 V 501 2195 V 502 2194 V 502 2192 V 503 2191 V 504 2190 V 505 2188 V 505 2187 V 506 2186 V 507 2185 V 508 2183 V 509 2182 V 509 2181 V 510 2179 V 511 2178 V 512 2177 V 513 2176 V 513 2174 V 514 2173 V 515 2172 V 516 2171 V 517 2169 V 518 2168 V 518 2167 V 519 2166 V 520 2164 V 521 2163 V 522 2162 V 523 2161 V 524 2159 V 524 2158 V 525 2157 V 526 2156 V 527 2154 V 528 2153 V 529 2152 V 530 2151 V 531 2149 V 532 2148 V 532 2147 V 533 2146 V 534 2145 V 535 2143 V 536 2142 V 537 2141 V 538 2140 V 539 2139 V 540 2137 V 541 2136 V 542 2135 V 543 2134 V 544 2133 V 545 2131 V 546 2130 V 547 2129 V 548 2128 V 549 2127 V 550 2125 V 551 2124 V 552 2123 V 553 2122 V 554 2121 V 555 2120 V 556 2118 V 557 2117 V 558 2116 V 559 2115 V 560 2114 V 561 2113 V 562 2112 V 563 2110 V 564 2109 V 565 2108 V 566 2107 V 567 2106 V 568 2105 V 569 2104 V 571 2102 V 572 2101 V 573 2100 V 574 2099 V 575 2098 V 576 2097 V 577 2096 V 578 2095 V 579 2093 V 581 2092 V 582 2091 V 583 2090 V 584 2089 V 585 2088 V 586 2087 V 587 2086 V 589 2085 V 590 2083 V 591 2082 V 592 2081 V 593 2080 V 594 2079 V 596 2078 V 597 2077 V 598 2076 V 599 2075 V 600 2074 V 602 2073 V 603 2072 V 604 2070 V 605 2069 V 607 2068 V 608 2067 V 609 2066 V 610 2065 V 611 2064 V 613 2063 V 614 2062 V 615 2061 V 617 2060 V 618 2059 V 619 2058 V 620 2057 V 622 2056 V 623 2055 V 624 2054 V 626 2053 V 627 2052 V 628 2051 V 629 2050 V 631 2049 V 632 2048 V 633 2047 V 635 2046 V 636 2045 V 637 2044 V 639 2043 V 640 2042 V 641 2041 V 643 2040 V 644 2039 V 645 2038 V 647 2037 V 648 2036 V 650 2035 V 651 2034 V 652 2033 V 654 2032 V 655 2031 V 657 2030 V 658 2029 V 659 2028 V 661 2027 V 662 2026 V 664 2025 V 665 2024 V 666 2023 V 668 2022 V 669 2021 V 671 2020 V 672 2019 V 674 2018 V 675 2017 V 677 2016 V 678 2015 V 680 2014 V 681 2013 V 683 2012 V 684 2012 V 686 2011 V 687 2010 V 689 2009 V 690 2008 V 692 2007 V 693 2006 V 695 2005 V 696 2004 V 698 2003 V 699 2002 V 701 2001 V 702 2000 V 704 2000 V 705 1999 V 707 1998 V 708 1997 V 710 1996 V 712 1995 V 713 1994 V 715 1993 V 716 1992 V 718 1992 V 719 1991 V 721 1990 V 723 1989 V 724 1988 V 726 1987 V 727 1986 V 729 1985 V 731 1985 V 732 1984 V 734 1983 V 736 1982 V 737 1981 V 739 1980 V 741 1979 V 742 1979 V 744 1978 V 746 1977 V 747 1976 V 749 1975 V 751 1974 V 752 1974 V 754 1973 V 756 1972 V 757 1971 V 759 1970 V 761 1969 V 762 1969 V 764 1968 V 766 1967 V 768 1966 V 769 1965 V 771 1964 V 773 1964 V 775 1963 V 776 1962 V 778 1961 V 780 1960 V 782 1960 V 783 1959 V 785 1958 V 787 1957 V 789 1956 V 790 1956 V 792 1955 V 794 1954 V 796 1953 V 798 1953 V 799 1952 V 801 1951 V 803 1950 V 805 1949 V 807 1949 V 808 1948 V 810 1947 V 812 1946 V 814 1946 V 816 1945 V 818 1944 V 819 1943 V 821 1943 V 823 1942 V 825 1941 V 827 1940 V 829 1940 V 831 1939 V 833 1938 V 834 1937 V 836 1937 V 838 1936 V 840 1935 V 842 1935 V 844 1934 V 846 1933 V 848 1932 V 850 1932 V 852 1931 V 854 1930 V 856 1930 V 858 1929 V 859 1928 V 861 1927 V 863 1927 V 865 1926 V 867 1925 V 869 1925 V 871 1924 V 873 1923 V 875 1923 V 877 1922 V 879 1921 V 881 1921 V 883 1920 V 885 1919 V 887 1919 V 889 1918 V 891 1917 V 893 1917 V 895 1916 V 897 1915 V 899 1915 V 901 1914 V 903 1913 V 906 1913 V 908 1912 V 910 1911 V 912 1911 V 914 1910 V 916 1909 V 918 1909 V 920 1908 V 922 1908 V 924 1907 V 926 1906 V 928 1906 V 931 1905 V 933 1904 V 935 1904 V 937 1903 V 939 1903 V 941 1902 V 943 1901 V 945 1901 V 948 1900 V 950 1899 V 952 1899 V 954 1898 V 956 1898 V 958 1897 V 961 1897 V 963 1896 V 965 1895 V 967 1895 V 969 1894 V 971 1894 V 974 1893 V 976 1892 V 978 1892 V 980 1891 V 982 1891 V 985 1890 V 987 1890 V 989 1889 V 991 1888 V 994 1888 V 996 1887 V 998 1887 V 1000 1886 V 1003 1886 V 1005 1885 V 1007 1885 V 1009 1884 V 1012 1884 V 1014 1883 V 1016 1882 V 1019 1882 V 1021 1881 V 1023 1881 V 1025 1880 V 1028 1880 V 1030 1879 V 1032 1879 V 1035 1878 V 1037 1878 V 1039 1877 V 1042 1877 V 1044 1876 V 1046 1876 V 1049 1875 V 1051 1875 V 1053 1874 V 1056 1874 V 1058 1873 V 1061 1873 V 1063 1872 V 1065 1872 V 1068 1871 V 1070 1871 V 1072 1870 V 1075 1870 V 1077 1869 V 1080 1869 V 1082 1868 V 1084 1868 V 1087 1867 V 1089 1867 V 1092 1867 V 1094 1866 V 1097 1866 V 1099 1865 V 1102 1865 V 1104 1864 V 1106 1864 V 1109 1863 V 1111 1863 V 1114 1862 V 1116 1862 V 1119 1862 V 1121 1861 V 1124 1861 V 1126 1860 V 1129 1860 V 1131 1859 V 1134 1859 V 1136 1859 V 1139 1858 V 1141 1858 V 1144 1857 V 1146 1857 V 1149 1857 V 1151 1856 V 1154 1856 V 1157 1855 V 1159 1855 V 1162 1855 V 1164 1854 V 1167 1854 V 1169 1853 V 1172 1853 V 1175 1853 V 1177 1852 V 1180 1852 V 1182 1851 V 1185 1851 V 1187 1851 V 1190 1850 V 1193 1850 V 1195 1850 V 1198 1849 V 1201 1849 V 1203 1848 V 1206 1848 V 1208 1848 V 1211 1847 V 1214 1847 V 1216 1847 V 1219 1846 V 1222 1846 V 1224 1846 V 1227 1845 V 1230 1845 V 1232 1845 V 1235 1844 V 1238 1844 V 1240 1844 V 1243 1843 V 1246 1843 V 1249 1843 V 1251 1842 V 1254 1842 V 1257 1842 V 1259 1841 V 1262 1841 V 1265 1841 V 1268 1840 V 1270 1840 V 1273 1840 V 1276 1840 V 1279 1839 V 1281 1839 V 1284 1839 V 1287 1838 V 1290 1838 V 1292 1838 V 1295 1837 V 1298 1837 V 1301 1837 V 1304 1837 V 1306 1836 V 1309 1836 V 1312 1836 V 1315 1836 V 1318 1835 V 1321 1835 V 1323 1835 V 1326 1834 V 1329 1834 V 1332 1834 V 1335 1834 V 1338 1833 V 1340 1833 V 1343 1833 V 1346 1833 V 1349 1832 V 1352 1832 V 1355 1832 V 1358 1832 V 1361 1832 V 1363 1831 V 1366 1831 V 1369 1831 V 1372 1831 V 1375 1830 V 1378 1830 V 1381 1830 V 1384 1830 V 1387 1830 V 1390 1829 V 1393 1829 V 1396 1829 V 1399 1829 V 1401 1829 V 1404 1828 V 1407 1828 V 1410 1828 V 1413 1828 V 1416 1828 V 495 2205 V 495 2206 V 494 2207 V 494 2207 V 494 2208 V 493 2208 V 493 2209 V 493 2209 V 492 2209 V 492 2210 V 492 2210 V 491 2210 V 491 2211 V 490 2211 V 490 2212 V 489 2212 V 489 2212 V 488 2213 V 488 2213 V 487 2213 V 487 2214 V 486 2214 V 486 2214 V 485 2214 V 484 2215 V 484 2215 V 483 2215 V 483 2215 V 482 2216 V 481 2216 V 481 2216 V 480 2216 V 479 2216 V 478 2216 V 478 2216 V 477 2217 V 476 2217 V 475 2217 V 475 2217 V 474 2217 V 473 2217 V 472 2217 V 471 2217 V 0 2369 a(Alle)14 b(Punkte)h(im)e(Bereic)o(h)h(ob)q(erhalb)i(der)f(Kurv)o(e)f(sind)i(mit) d(Co)q(des)k(erreic)o(h)o(bar,)c(d.)i(h.)g(zu)g(jedem)e(P)o(aar)0 2427 y(\()p Fj(P)q(;)8 b(R)p Fn(\))18 b(ob)q(erhalb)f(der)f(Kurv)o(e)g (gibt)g(es)h(Co)q(des,)g(deren)f(Durc)o(hsatzrate)g(und)h(Bit-F)l (ehler-W)l(ahrsc)o(hein-)0 2485 y(lic)o(hk)o(eit)c(diesen)j(W)l(ert)g (b)q(eliebig)f(genau)i(ann)837 2487 y(\177)837 2485 y(ahern.)50 2543 y(Der)d(Satz)g(v)o(on)g(Shannon)h(b)q(eruh)o(t)f(auf)h(einem)c (reinen)i(Existenzb)q(ew)o(eis.)g(Er)h(gibt)g(k)o(eine)e(M)1733 2545 y(\177)1733 2543 y(oglic)o(hk)o(eit)0 2601 y(zur)19 b(Konstruktion)g(geeigneter)f(Co)q(des)i(an.)f(Der)f(Satz)h(gilt)g(w)o (esen)o(tlic)o(h)d(allgemeiner,)g(u.a.)i(auc)o(h)h(f)1890 2603 y(\177)1889 2601 y(ur)0 2659 y(lineare)f(Co)q(des.)h(Die)f (praktisc)o(h)g(v)o(erw)o(endeten)f(Blo)q(c)o(k)o(co)q(des)g(k)1187 2661 y(\177)1187 2659 y(onnen)i(sehr)g(lang)g(w)o(erden,)e(z.B.)g(10) 1879 2641 y Fi(100)0 2717 y Fn(m)42 2719 y(\177)42 2717 y(oglic)o(he)d(Co)q(dew)346 2719 y(\177)346 2717 y(orter.)671 2959 y(2.)27 b Fo(Die)19 b(Hamming-Metrik)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)429 b(5)0 179 y Fq(Beispiel)17 b(2.1.)23 b(Der)17 b(\(7,4\)-Hammi)o(ng-Co)r (de:)12 b Fn(Wir)j(v)o(erw)o(enden)g(als)g(Co)q(dew)1534 181 y(\177)1534 179 y(orter)i(Lineark)o(om)o(bi-)0 238 y(nationen)g(der)f(Zeilen-V)l(ektoren)d(v)o(on)693 270 y Fh(0)693 357 y(B)693 387 y(B)693 419 y(@)758 312 y Fn(1)42 b(0)f(0)h(0)g(0)g(1)g(1)758 370 y(0)g(1)f(0)h(0)g(1)g(0)g(1)758 428 y(0)g(0)f(1)h(0)g(1)g(1)g(0)758 486 y(0)g(0)f(0)h(1)g(1)g(1)g(1) 1198 270 y Fh(1)1198 357 y(C)1198 387 y(C)1198 419 y(A)0 576 y Fn(in)21 b(dem)e(V)l(ektorraum)h Fj(K)492 558 y Fi(7)533 576 y Fn(mit)f Fj(K)26 b Fn(:=)c Fe(F)796 583 y Fi(2)840 576 y Fn(=)h Fl(f)p Fn(0)p Fj(;)8 b Fn(1)p Fl(g)p Fn(.)21 b(Die)f(Information)h(ist)g(in)f(den)h(ersten)g(4)h (Bits)0 634 y(en)o(thalten.)f(Diese)h(k)397 636 y(\177)397 634 y(onnen)h(b)q(eliebig)e(mit)g(0)h(o)q(der)h(1)g(b)q(esetzt)f(w)o (erden.)g(Also)g(hab)q(en)h(wir)f(2)1779 616 y Fi(4)1824 634 y Fn(=)i(16)0 693 y(Co)q(dew)144 695 y(\177)144 693 y(orter.)17 b(Die)e(Durc)o(hsatzrate)i(ist)f(4)p Fj(=)p Fn(7)f(=)f(0)p Fj(:)p Fn(57.)50 751 y(Dieser)i(Co)q(de)i(hat)f(eine)f (der)h(v)o(erbl)707 753 y(\177)706 751 y(u\013endsten)f(F)l(ehlerk)o (orrektur-M)1333 753 y(\177)1333 751 y(oglic)o(hk)n(eite)o(n.)e(Wir)i (v)o(erw)o(enden)0 809 y(die)g(V)l(ektoren)811 859 y Fj(a)d Fn(=)h(\(0001111\))p Fj(;)811 917 y(b)f Fn(=)h(\(0110011\))p Fj(;)811 976 y(c)g Fn(=)f(\(1010101\))p Fj(:)0 1050 y Fn(W)l(enn)f(in)f(einem)324 1052 y(\177)322 1050 y(ub)q(ertragenen)i (Co)q(dew)o(ort)f(ein)f(F)l(ehler)g(auftritt,)g(z.B.)f(w)o(enn)i Fj(x)h Fn(=)h(\(1011010\))1762 1052 y(\177)1760 1050 y(ub)q(ertra-)0 1108 y(gen)h(wird)g(als)f Fj(y)i Fn(=)e(\(1010010\))j (mit)c(einem)f(F)l(ehler)i(im)f(4.)h(Bit,)g(dann)h(rec)o(hne)f(man)g Fl(h)p Fj(y)r(;)8 b(a)p Fl(i)13 b Fn(=)h(1)p Fj(;)8 b Fl(h)p Fj(y)r(;)g(b)p Fl(i)14 b Fn(=)0 1166 y(0)p Fj(;)8 b Fl(h)p Fj(y)r(;)g(c)p Fl(i)15 b Fn(=)f(0)j(und)g(erh)427 1168 y(\177)427 1166 y(alt)f(die)g(Bin)655 1168 y(\177)655 1166 y(arzahl)f(100)j(o)q(der)f(den)f(W)l(ert)h(4.)f(Zur)h(F)l(ehlerk)o (orrektur)d(ist)i(n)o(un)h(die)0 1225 y(4.)f(Stelle)f(zu)h(k)o (orrigieren.)50 1283 y(Dieser)11 b(Co)q(de)i(k)m(ann)g(grunds)573 1285 y(\177)573 1283 y(atzlic)o(h)e(einen)g(F)l(ehler)g(pro)i(Co)q(dew) o(ort)g(k)o(orrigieren.)d(Er)i(hat)h(eine)e(Durc)o(h-)0 1341 y(satzrate)17 b(v)o(on)f(0.57.)g(Die)g(Bit-F)l(ehler-W)l(ahrsc)o (heinlic)n(hk)o(e)o(it)d(ergibt)j(wie)g(folgt.)268 1425 y Fj(q)292 1404 y Fi(7)328 1425 y Fn(\(k)o(eine)e(F)l(ehler\))26 b(+)11 b(7)p Fj(pq)769 1404 y Fi(6)806 1425 y Fn(\(ein)k(F)l(ehler\))29 b(=)14 b(0)p Fj(:)p Fn(4783)e(+)f(0)p Fj(:)p Fn(3720)16 b(=)d(0)p Fj(:)p Fn(8503)0 1509 y(ist)k(die)f(W)l(ahrsc)o(heinlic)o(hk) o(eit)e(f)580 1511 y(\177)579 1509 y(ur)j(ein)g(k)o(orrekt)f (empfangenes)g(Co)q(dew)o(ort,)i(also)g(ist)f(die)f(W)l(ort-F)l(ehler-) 0 1567 y(w)o(ahrsc)o(heinlic)o(hk)o(ei)o(t)e(0.1497.)j(Das)g(en)o (tspric)o(h)o(t)e(einer)g(Bit-F)l(ehler-W)l(ahrsc)o(heinlic)n(hk)o(e)o (it)e(v)o(on)j(0.0398.)50 1657 y(Wir)10 b(w)o(ollen)h(Erk)o(enn)o (tnisse)572 1659 y(\177)570 1657 y(ub)q(er)h(lineare)d(Abbildungen)i (und)g(Matrizen)f(v)o(erw)o(enden,)f(um)h(Probleme)0 1716 y(der)16 b(linearen)f(Ko)q(dierung)i(zu)f(form)o(ulieren)e(und)i (zu)g(l)1007 1718 y(\177)1007 1716 y(osen.)50 1774 y(Wir)22 b(w)o(erden)h(in)f(diesem)f(Absc)o(hnitt)h(als)h(Grundk)1035 1776 y(\177)1035 1774 y(orp)q(er)h(durc)o(hgehend)f(den)f(endlic)o(hen) g(K)1823 1776 y(\177)1823 1774 y(orp)q(er)0 1832 y Fj(K)31 b Fn(:=)26 b Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))23 b(mit)f Fj(q)j Fn(Elemen)o(ten)c(v)o(erw)o(enden.)h Fj(GF)31 b Fn(ist)23 b(dab)q(ei)h(eine)f(Abk)1479 1834 y(\177)1478 1832 y(urzung)g(f)1663 1834 y(\177)1662 1832 y(ur)h(das)h(W)l(ort)0 1890 y(Galois-F)l(eld.)14 b(Man)h(k)m(ann)g(zeigen,)e(da\031)i(es)g (genau)g(dann)g(einen)f(K)1222 1892 y(\177)1222 1890 y(orp)q(er)h(mit)d Fj(q)k Fn(Elemen)o(ten)c(gibt,)i(w)o(enn)0 1948 y Fj(q)23 b Fn(ein)d(Primzahlp)q(otenz)g(ist,)g(d.)h(h.)g(w)o(enn) g(es)g(eine)g(Primzahl)e Fj(p)j Fn(und)f(eine)f(nat)1532 1950 y(\177)1531 1948 y(urlic)o(he)g(Zahl)h Fj(n)h Fn(mit)0 2006 y Fj(q)15 b Fn(=)f Fj(p)113 1988 y Fg(n)153 2006 y Fn(gibt.)i(Dieser)g(K)454 2008 y(\177)454 2006 y(orp)q(er)g(ist)g (zudem)f(durc)o(h)g(die)h(Angab)q(e)h(v)o(on)f Fj(q)h Fn(bis)f(auf)h(Isomorphie)e(eindeutig)0 2064 y(b)q(estimm)o(t.)50 2122 y(Wir)24 b(k)o(ennen)g(bisher)h(lediglic)o(h)d(die)j(endlic)o(hen) e(K)1033 2124 y(\177)1033 2122 y(orp)q(er)i Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(p)p Fn(\))29 b(=)f Fe(Z)-11 b Fj(=p)p Fe(Z)9 b Fn(f)1560 2124 y(\177)1559 2122 y(ur)25 b(Primzahlen)e Fj(p)p Fn(.)0 2181 y(Zun)84 2183 y(\177)84 2181 y(ac)o(hst)17 b(w)o(erden)f(unsere)g(An)o(w)o(endungen)g(n)o(ur)h(den)f(K)1065 2183 y(\177)1065 2181 y(orp)q(er)h Fe(Z)-11 b Fj(=)p Fn(2)p Fe(Z)q Fn(mit)15 b(zw)o(ei)g(Elemen)o(ten)f(\(bin)1851 2183 y(\177)1851 2181 y(ares)0 2239 y(System)i(der)h(Computer!\))f(b)q (en)o(utzen.)g(Daher)h(w)o(erden)g(wir)g(die)g(Konstruktion)g(der)1609 2241 y(\177)1607 2239 y(ubrigen)h(K)1823 2241 y(\177)1823 2239 y(orp)q(er)0 2297 y Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))13 b(erst)h(sp)291 2299 y(\177)291 2297 y(ater)g(diskutieren.)f(Wir)g(v)o (erw)o(eisen)f(den)i(in)o(teressierten)e(Leser)i(jedo)q(c)o(h)g(jetzt)f (sc)o(hon)i(auf)0 2355 y(Lehrb)126 2357 y(\177)125 2355 y(uc)o(her)h(der)g(Algebra.)50 2413 y(Wir)c(w)o(erden)h(im)e(folgenden) i(n)o(ur)g(lineare)f(Co)q(des)i(der)f(F)l(orm)f Fj(C)17 b Fn(=)d Fj(K)1327 2395 y Fg(n)1363 2413 y Fn(mit)e Fj(K)17 b Fn(=)d Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))12 b(v)o(erw)o(enden)0 2471 y(mit)j(der)i(linearen)f(Chi\013rierung)h Fj(f)j Fn(:)15 b Fj(K)751 2453 y Fg(k)788 2471 y Fl(!)f Fj(K)897 2453 y Fg(n)921 2471 y Fn(.)j(W)l(egen)f(der)h(not)o(w)o(endigen)g(Dec) o(hi\013rierung)f(wird)h Fj(f)0 2529 y Fn(immer)c(als)j(Monomorphism)o (us)f(v)o(orausgesetzt.)50 2639 y(Eine)g(Ko)q(dierung)g Fj(f)k Fn(:)14 b Fj(C)505 2646 y Fi(1)538 2639 y Fl(!)g Fj(C)637 2646 y Fi(2)672 2639 y Fn(bildet)g(den)h(Co)q(de)h Fj(C)1060 2646 y Fi(1)1095 2639 y Fn(auf)f(eine)f(T)l(eilmenge)f(v)o (on)i Fj(C)1632 2646 y Fi(2)1667 2639 y Fn(ab.)g(Bei)f(einer)0 2697 y(St)46 2699 y(\177)46 2697 y(orung)f(der)265 2687 y(\177)259 2697 y(Ub)q(ertragung)g(v)o(on)f(Co)q(dew)774 2699 y(\177)774 2697 y(ortern)g(aus)h Fj(C)1034 2704 y Fi(2)1065 2697 y Fn(k)m(ann)g(es)e(v)o(ork)o(ommen,)d(da\031)13 b(ein)e(empfangenes)0 2755 y(W)l(ort)22 b(aus)g Fj(C)257 2762 y Fi(2)298 2755 y Fn(k)o(ein)e(Co)q(dew)o(ort)i(mehr)e(ist,)h (also)h(nic)o(h)o(t)e(im)f(Bild)h(v)o(on)i Fj(f)k Fn(liegt.)20 b(Es)i(erhebt)f(sic)o(h)g(die)0 2814 y(F)l(rage)14 b(b)q(eim)e(Empf)366 2816 y(\177)366 2814 y(anger,)h(das)h(Co)q(dew)o(ort)h(aus)f(dem)e (empfangenen)h(W)l(ort)h(mit)d(Hilfe)h(der)i(Redundanz)0 2872 y(zur)69 2874 y(\177)68 2872 y(uc)o(kzugewinnen.)50 2930 y(Man)h(k)m(ann)h(b)q(ew)o(eisen,)f(da\031)h(b)q(ei)f(V)l(erw)o (endung)g(eines)g(bin)1129 2932 y(\177)1129 2930 y(aren)g(symmetri)o (sc)o(hen)d(Kanals)k(das)g(w)o(ahr-)0 2988 y(sc)o(heinlic)o(hste)21 b(Co)q(dew)o(ort)k(\(maxim)n(um)20 b(lik)o(elyho)q(o)q(d\))j(gerade)g (durc)o(h)h(den)f(k)1464 2990 y(\177)1463 2988 y(urzesten)g(Abstand)h (der)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 0 85 a Fm(6)537 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m(AREIGIS)h (IM)g(SS)g(1998)0 179 y Fn(Hamming-Metri)o(k)j(gegeb)q(en)j(ist.)f (Daher)h(sollten)f(die)g(Co)q(dew)1212 181 y(\177)1212 179 y(orter)h(m)1380 181 y(\177)1380 179 y(oglic)o(hst)e(gleic)o(hm) 1727 181 y(\177)1727 179 y(a\031ige)f(Ab-)0 238 y(st)38 240 y(\177)38 238 y(ande)14 b(im)e(Sinne)i(der)f(Hamming-Metrik)d(b)q (esitzen)j(und)h(es)g(sollte)f(der)h(Raum)f Fj(C)1533 245 y Fi(2)1566 238 y Fn(mit)f(dem)h(Bild)f(v)o(on)0 296 y Fj(f)22 b Fn(im)14 b(Sinne)i(einer)f(m)410 298 y(\177)410 296 y(oglic)o(hst)f(dic)o(h)o(ten)h(Kugelpac)o(kung)h(gef) 1136 298 y(\177)1135 296 y(ullt)g(w)o(erden.)0 386 y Fq(De\014nition)i(2.2.)23 b Fn(Sei)16 b Fj(K)497 368 y Fg(n)536 386 y Fn(ein)g(linearer)f(Co)q(de.)h(Die)g Fk(Hamming-Metrik)h Fn(auf)f Fj(K)1525 368 y Fg(n)1565 386 y Fn(ist)g(die)f(Abbildung)0 444 y Fj(d)k Fn(:)e Fj(K)120 426 y Fg(n)157 444 y Fl(\002)12 b Fj(K)253 426 y Fg(n)295 444 y Fl(!)18 b Fe(N)398 451 y Fi(0)437 444 y Fn(mit)f Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))18 b(:=)g(Anzahl)g(der)h Fj(i)f Fl(2)g(f)p Fn(1)p Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fl(g)19 b Fn(mit)e Fj(\030)1451 451 y Fg(i)1483 444 y Fl(6)p Fn(=)i Fj(\021)1564 451 y Fg(i)1578 444 y Fn(.)f(Die)g(Au\013assung)0 502 y(ist)g(hierb)q(ei,)f(da\031)i Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))18 b(die)g(Anzahl)g(der)g(Ko)q (e\016zien)o(ten)f(v)o(on)h Fj(x)g Fn(angibt,)h(die)f(in)g Fj(y)i Fn(anders)f(\(falsc)o(h\))0 560 y(angegeb)q(en)f(w)o(erden.)f (Der)g(W)l(ert)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))17 b(hei\031t)g Fk(Hamming-A)o(bstand)i Fn(v)o(on)f Fj(x)f Fn(und)g Fj(y)r Fn(.)g(Die)g Fk(Hamming-)0 618 y(Gewichtsfunktion)j Fn(ist)e(die)g(Abbildung)f Fl(k)p Fj(:)p Fl(k)g Fn(:)f Fj(K)931 600 y Fg(n)972 618 y Fl(!)g Fe(N)1073 625 y Fi(0)1112 618 y Fn(mit)g Fl(k)p Fj(x)p Fl(k)h Fn(:=)f Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b Fn(0\).)18 b(Das)h(ist)f(die)g(Anzahl)0 676 y(der)e(v)o(on)g(Null)f(v)o(ersc)o(hiedenen)f(Komp)q(onen)o(ten)h (v)o(on)h Fj(x)p Fn(.)0 766 y Fq(De\014nition)i(2.3.)23 b Fn(Ein)c(P)o(aar)h(\()p Fj(M)r(;)8 b(d)p Fn(\))20 b(hei\031t)f Fk(metrischer)i(R)n(aum)e(mit)h(der)g(Metrik)g Fj(d)p Fn(,)f(w)o(enn)g Fj(M)25 b Fn(eine)0 824 y(Menge)16 b(und)g Fj(d)f Fn(:)e Fj(M)j Fl(\002)11 b Fj(M)19 b Fl(!)14 b Fe(R)f Fn(eine)j(Abbildung)f(sind)i(mit)44 895 y(1\))22 b Fl(8)p Fj(x;)8 b(y)13 b Fl(2)h Fj(M)5 b Fn([)p Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)j(y)r Fn(\))13 b(=)h(0)g Fl(\()-8 b(\))14 b Fj(x)f Fn(=)h Fj(y)r Fn(],)44 953 y(2\))22 b Fl(8)p Fj(x;)8 b(y)13 b Fl(2)h Fj(M)5 b Fn([)p Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)j(y)r Fn(\))13 b(=)h Fj(d)p Fn(\()p Fj(y)r(;)8 b(x)p Fn(\)],)44 1011 y(3\))22 b Fl(8)p Fj(x;)8 b(y)r(;)g(z)13 b Fl(2)h Fj(M)5 b Fn([)p Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)j(z)r Fn(\))13 b Fl(\024)h Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))i(+)i Fj(d)p Fn(\()p Fj(y)r(;)c(z)r Fn(\)])15 b(\(Dreiec)o(ksungleic)o(h)o (ung\).)0 1101 y Fq(Lemma)h(2.4.)23 b Fk(Die)18 b(Hamming-Metrik)g(ist) g(eine)g(Metrik)g(auf)g Fj(K)1242 1083 y Fg(n)1265 1101 y Fk(.)0 1191 y(Beweis.)k Fn(folgt)17 b(unmittelbar)d(aus)j(der)f (De\014nition.)p 1900 1191 2 33 v 1902 1160 30 2 v 1902 1191 V 1931 1191 2 33 v 50 1331 a(Wir)g(v)o(ermerk)o(en)d(no)q(c)o(h)k (eine)f(leic)o(h)o(t)f(einzusehende)g(zus)1095 1333 y(\177)1095 1331 y(atzlic)o(he)g(T)l(ranslationsin)o(v)m(arianz)i Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))14 b(=)0 1389 y Fj(d)p Fn(\()p Fj(x)6 b Fn(+)g Fj(z)r(;)i(y)g Fn(+)e Fj(z)r Fn(\),)14 b(die)f(zeigt,)g(da\031)i Fj(d)f Fn(durc)o(h)f(das)i (Hamming-Gewic)o(h)n(t)c Fl(k)p Fj(:)p Fl(k)j Fn(sc)o(hon)g(v)o(ollst) 1605 1391 y(\177)1605 1389 y(andig)f(b)q(estimm)o(t)0 1447 y(ist,)j(denn)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))13 b(=)h Fl(k)p Fj(x)d Fl(\000)f Fj(y)r Fl(k)p Fn(.)50 1556 y(Ein)22 b(w)o(eiteres)f(b)q(ek)m(ann)o(tes)i(Beispiel)e(f)775 1558 y(\177)774 1556 y(ur)h(eine)g(Metrik)f(ist)h(der)h(reelle)e(V)l (ektorraum)f Fe(R)1728 1538 y Fg(n)1772 1556 y Fn(mit)g(der)0 1614 y(sogenann)o(ten)d(euklidisc)o(hen)d(Metrik)700 1759 y Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(y)r Fn(\))14 b(=)904 1657 y Fh(v)904 1685 y(u)904 1715 y(u)904 1745 y(t)p 957 1657 265 2 v 982 1697 a Fg(n)957 1711 y Fh(X)964 1816 y Fg(i)p Fi(=1)1029 1759 y Fn(\()p Fj(\030)1069 1766 y Fg(i)1094 1759 y Fl(\000)d Fj(\021)1168 1766 y Fg(i)1182 1759 y Fn(\))1201 1744 y Fi(2)1221 1759 y Fj(:)0 1908 y Fq(Lemma)16 b(2.5.)23 b Fk(F)342 1910 y(\177)342 1908 y(ur)17 b(das)g(Hamming-Gewicht)j Fl(k)p Fj(:)p Fl(k)13 b Fn(:)g Fj(K)1054 1890 y Fg(n)1092 1908 y Fl(!)g Fe(N)1190 1915 y Fi(0)1228 1908 y Fk(gelten)44 1978 y Fn(1\))22 b Fl(k)p Fj(x)p Fl(k)13 b Fn(=)h(0)g Fl(\()-8 b(\))13 b Fj(x)h Fn(=)f(0)p Fj(;)44 2037 y Fn(2\))22 b Fl(8)p Fj(\025)12 b Fl(6)p Fn(=)i(0)k([)p Fl(k)p Fj(\025x)p Fl(k)13 b Fn(=)h Fl(k)p Fj(x)p Fl(k)p Fn(])p Fj(;)44 2095 y Fn(3\))22 b Fl(k)p Fj(x)10 b Fn(+)h Fj(y)r Fl(k)j(\024)f(k)p Fj(x)p Fl(k)e Fn(+)g Fl(k)p Fj(y)r Fl(k)p Fj(:)0 2185 y Fk(Beweis.)22 b Fn(leic)o(h)o(t)13 b(nac)o(hzurec)o(hnen,)g(da)i Fl(k)p Fj(x)p Fl(k)f Fn(die)h(Anzahl)f(der)g(v)o(on)h(Null)f(v)o(ersc)o (hiedenen)e(Komp)q(onen)o(ten)0 2243 y(v)o(on)k Fj(x)g Fn(ist.)p 1900 2243 2 33 v 1902 2212 30 2 v 1902 2243 V 1931 2243 2 33 v 751 2356 a(3.)28 b Fo(Lineare)17 b(Codes)0 2443 y Fq(Bemerkung)g(3.1.)23 b Fn(Im)15 b(folgenden)h(Absc)o(hnitt)f (gehen)h(wir)g(v)o(on)h(der)f(allgemeinen)d(V)l(orstellung)j(aus:)p 207 2484 186 2 v 207 2550 2 67 v 229 2534 a Fd(Klartext)p 391 2550 V 207 2552 186 2 v 405 2524 a Fi(Ko)q(dierung)449 2552 y Fc(\000)-7 b(!)p 582 2484 156 2 v 582 2550 2 67 v 604 2534 a Fd(Sender)p 735 2550 V 582 2552 156 2 v 754 2515 a Fi(\177)750 2522 y(Ub)q(ertragung/)o(St)1000 2524 y(\177)1000 2522 y(o)o(run)o(g)881 2552 y Fc(\000)f(!)p 1100 2484 226 2 v 1100 2550 2 67 v 1122 2534 a Fd(Empf)1230 2536 y(\177)1230 2534 y(anger)p 1324 2550 V 1100 2552 226 2 v 1338 2524 a Fi(Deco)q(dierung)1397 2552 y Fc(\000)h(!)p 1545 2484 186 2 v 1545 2550 2 67 v 1568 2534 a Fd(Klartext)p 1729 2550 V 1545 2552 186 2 v 0 2635 a Fn(Es)18 b(wird)g(also)h(ein)e (Klartext)g(co)q(diert,)742 2637 y(\177)740 2635 y(ub)q(er)h(eine)f (Informationsleitung)g(zum)f(Empf)1616 2637 y(\177)1616 2635 y(anger)1751 2637 y(\177)1749 2635 y(ub)q(ermit-)0 2693 y(telt,)f(\(w)o(ob)q(ei)i(der)f(T)l(ext)h(aufgrund)g(der)g(Ko)q (dierung)g(ev)o(en)o(tuell)d(auc)o(h)i(abh)1390 2695 y(\177)1390 2693 y(orsic)o(her)h(ist,\))f(wird)g(auf)h(der)6 2743 y(\177)0 2754 y(Ub)q(ertragungsstrec)o(k)o(e)e(mit)g(St)587 2756 y(\177)587 2754 y(orungen)h(v)o(ersc)o(hiedener)e(Art)h(v)o(er) 1229 2756 y(\177)1229 2754 y(andert)g(und)i(b)q(eim)d(Empf)1717 2756 y(\177)1717 2754 y(anger)h(wie-)0 2812 y(der)e(deco)q(diert.)f (Wir)g(w)o(ollen)g(Metho)q(den)h(\014nden,)g(die)f(F)l(ehler)f(b)q(ei)i (der)1312 2801 y(\177)1306 2812 y(Ub)q(ertragung)g(zu)g(erk)o(ennen)f (und)0 2870 y(m)42 2872 y(\177)42 2870 y(oglic)o(hst)k(auc)o(h)i(zu)f (k)o(orrigieren.)f(W)l(enn)i(also)g Fj(x)g Fn(ein)f(co)q(diertes)h (ausgesandtes)h(W)l(ort)f(ist)g(und)g Fj(y)h Fn(das)0 2928 y(empfangene)e(W)l(ort)h(ist,)g(dann)g(soll)g(festgestellt)f(w)o (erden,)g(ob)h(es)g(tats)1327 2930 y(\177)1327 2928 y(ac)o(hlic)o(h)f (durc)o(h)h(die)f(Ko)q(dierung)0 2986 y(en)o(tstanden)f(ist)g(o)q(der)h (v)o(er)492 2988 y(\177)492 2986 y(andert)e(wurde)i(und)f(ob)h(man)e (daraus)j(das)f(W)l(ort)g Fj(x)e Fn(rek)o(onstruieren)h(k)m(ann.)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)429 b(7)0 179 y Fq(De\014nition)18 b(3.2.)23 b Fn(W)l(enn)d(b)q(ei)h(einer) e(Ko)q(dierung)i Fj(f)26 b Fn(:)21 b Fj(K)1097 161 y Fg(k)1139 179 y Fl(!)g Fj(K)1255 161 y Fg(n)1299 179 y Fn(F)l(ehler)e(an)i(h)1549 181 y(\177)1549 179 y(oc)o(hstens)g Fj(r)g Fn(Stellen)0 238 y(des)83 240 y(\177)82 238 y(ub)q(ertragenen)14 b(W)l(ortes)h(imme)o(r)c(erk)m(ann)o(t)j(w)o(erden)f(k)1053 240 y(\177)1053 238 y(onnen,)h(so)h(sagen)f(wir,)g(da\031)h(die)e(Ko)q (dierung)h Fj(r)q Fn(-)0 296 y Fk(fehler)n(entde)n(ckend)k Fn(ist.)d(W)l(enn)g(F)l(ehler)f(an)i(h)819 298 y(\177)819 296 y(oc)o(hstens)f Fj(s)h Fn(Stellen)d(durc)o(h)i(die)g(restlic)o(he)e (Information)i(im)1 356 y(\177)0 354 y(ub)q(ertragenen)i(W)l(ort)f(k)o (orrigiert)f(w)o(erden)h(k)828 356 y(\177)828 354 y(onnen,)g(so)h (hei\031t)f(die)f(Ko)q(dierung)i Fj(s)p Fn(-)p Fk(fehlerkorrigier)n (end)p Fn(.)0 448 y Fq(Bemerkung)g(3.3.)23 b Fn(In)12 b(\(1.4\))h(hab)q(en)g(wir)f(lineare)f(Ko)q(dierungen)h(als)h(lineare)e (Abbildungen)g Fj(f)19 b Fn(:)14 b Fj(C)1852 455 y Fi(1)1885 448 y Fl(!)0 506 y Fj(C)35 513 y Fi(2)73 506 y Fn(zwisc)o(hen)j(zw)o (ei)g(V)l(ektorr)548 508 y(\177)548 506 y(aumen)g(de\014niert.)g(F)948 508 y(\177)947 506 y(ur)h(unsere)g(An)o(w)o(endungen)g(soll)g Fj(f)24 b Fn(imme)o(r)16 b(injektiv)0 565 y(sein.)f(Ohne)h(Einsc)o(hr) 401 567 y(\177)401 565 y(ankung)h(k)599 567 y(\177)599 565 y(onnen)f(wir)g Fj(C)861 572 y Fi(2)895 565 y Fn(=)e Fj(K)992 546 y Fg(n)1031 565 y Fn(w)1066 567 y(\177)1066 565 y(ahlen.)50 623 y(Au\031er)h(einer)f(bijektiv)o(en)e(Umsc)o (hreibung)h(des)i(Co)q(des)i Fj(C)1117 630 y Fi(1)1151 623 y Fn(v)o(erlieren)c(wir)i(nic)o(h)o(ts,)e(w)o(enn)i(wir)g Fj(C)1827 630 y Fi(1)1862 623 y Fn(mit)0 681 y(dem)g(Bild)g(v)o(on)h Fj(f)5 b Fn(,)16 b(also)h(einem)d(Un)o(terv)o(ektorraum)f Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)1135 663 y Fg(n)1175 681 y Fn(iden)o(ti\014zieren.)50 739 y(W)l(enn)21 b(unser)g(Grundk)492 741 y(\177)492 739 y(orp)q(er)h Fj(K)k Fn(=)c Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))21 b(ist)g(mit)e Fj(q)r Fn(,)h(einer)g (Primzahlp)q(otenz,)f(Elemen)o(ten,)f(so)0 797 y(b)q(esitzt)e(die)f (Menge)h(der)g Fj(n)p Fn(-T)l(up)q(el)h Fj(K)706 779 y Fg(n)746 797 y Fn(genau)f Fj(q)910 779 y Fg(n)950 797 y Fn(Elemen)o(te.)50 855 y(Ein)g Fj(k)r Fn(-dimensionaler)e(Un)o (terraum)h Fj(V)25 b Fl(\022)13 b Fj(K)892 837 y Fg(n)932 855 y Fn(wird)j(ein)g(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\)-)p Fk(Co)n(de)16 b Fn(genann)o(t.)50 913 y(Wir)g(b)q(etreib)q(en)f(also)i(Theorie)f(v)o (on)g(V)l(ektorr)896 915 y(\177)896 913 y(aumen)e(und)i(Un)o(terv)o (ektor)1407 915 y(\177)1407 913 y(aumen)1564 915 y(\177)1563 913 y(ub)q(er)g(einem)e(endli-)0 971 y(c)o(hen)h(K)150 973 y(\177)150 971 y(orp)q(er)i Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\),)15 b(w)o(enn)h(wir)g(lineare)f(Co)q(des)i(studieren.)0 1066 y Fq(Beispiel)g(3.4.)23 b Fn(Sei)g Fj(K)31 b Fn(=)c Fj(GF)7 b Fn(\(2\))27 b(=)g Fe(F)803 1073 y Fi(2)853 1066 y Fn(=)f Fl(f)p Fn(0)p Fj(;)8 b Fn(1)p Fl(g)25 b Fn(der)f(K)1192 1068 y(\177)1192 1066 y(orp)q(er)g(mit)e(zw)o(ei)h (Elemen)o(ten.)e(In)i Fj(K)1915 1048 y Fi(5)0 1124 y Fn(b)q(etrac)o(h)o(ten)16 b(wir)g(den)g(Un)o(terraum)406 1202 y Fj(V)25 b Fn(=)17 b Fl(f)p Fn(\(0)f(0)h(0)f(0)h(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)17 b(0)g(0)f(1)h(1\))p Fj(;)8 b Fn(\(0)17 b(1)f(0)h(1)g(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)16 b(1)h(0)g(0)f(1\))p Fj(;)539 1260 y Fn(\(0)g(0)h(1)f(0)h(1\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)17 b(0)g(1)f(1)h(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(0)17 b(1)f(1)h(1)g(1\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)16 b(1)h(1)g(0)f(0\))p Fl(g)0 1355 y Fn(Dieses)k(ist)g(ein)f(3-dimensionaler)g(Un)o(terraum)f(und)j (de\014niert)e(einen)g(\(5)p Fj(;)8 b Fn(3\)-Co)q(de)22 b(mit)c(2)1715 1337 y Fi(3)1756 1355 y Fn(=)j(8)f(Co-)0 1413 y(dew)84 1415 y(\177)84 1413 y(ortern.)c(Wir)g(w)o(erden)f(dieses) h(Beispiel)e(als)j(Standardb)q(eispiel)f(w)o(eiter)f(v)o(erw)o(enden.)0 1507 y Fq(Bemerkung)i(3.5.)23 b Fn(Sei)g Fj(V)36 b Fl(\022)25 b Fj(K)670 1489 y Fg(n)717 1507 y Fn(eine)d(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\)-Co)q(de)24 b(und)f(seien)f Fj(b)1340 1514 y Fi(1)1360 1507 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(b)1498 1514 y Fg(k)1542 1507 y Fn(eine)22 b(Basis)h(v)o(on)g Fj(V)11 b Fn(.)0 1565 y(Dann)24 b(ist)e Fj(V)34 b Fn(v)o(ollst)390 1567 y(\177)390 1565 y(andig)22 b(b)q(estimm)o(t)e(durc)o(h)i(die)g (Angab)q(e)i(dieser)d(Basis)i(o)q(der)g(durc)o(h)g(die)f(Matrix)0 1690 y Fj(B)h Fn(=)118 1590 y Fh(0)118 1680 y(@)182 1620 y Fj(b)203 1627 y Fi(1)182 1667 y Fn(.)182 1684 y(.)182 1700 y(.)182 1758 y Fj(b)203 1765 y Fg(k)245 1590 y Fh(1)245 1680 y(A)297 1690 y Fj(:)d Fn(Diese)f(Matrix)g(hat)i(w)o(egen)e(der)h (linearen)f(Unabh)1287 1692 y(\177)1287 1690 y(angigk)o(eit)h(der)g (Zeilen)e Fj(b)1756 1697 y Fi(1)1775 1690 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)1914 1697 y Fg(k)0 1815 y Fn(den)k(Zeilenrang)g Fj(k)r Fn(.)g(Die)g(V)l(ektoren)g(aus)h Fj(V)24 b Fn(sind)13 b(genau)g(die)f(Lineark)o(om)o(binationen)e(der)j(Zeilen)d(v)o(on)j Fj(B)s Fn(.)0 1873 y(Die)f(Matrix)h Fj(B)i Fn(wird)e(daher)g(auc)o(h)g (eine)e Fk(erzeugende)17 b(Matrix)12 b Fn(f)1162 1875 y(\177)1161 1873 y(ur)h Fj(V)24 b Fn(genann)o(t.)13 b(Sie)f(ist)h(nic)o (h)o(t)e(eindeutig,)0 1931 y(w)o(eil)k(es)h(viele)f(v)o(ersc)o(hiedene) e(Basen)j(f)708 1933 y(\177)707 1931 y(ur)h Fj(V)27 b Fn(gibt.)50 1989 y(Jede)11 b(\()p Fj(k)s Fl(\002)r Fj(n)p Fn(\)-Matrix)g(v)o(om)f(Zeilenrang)h Fj(k)i Fn(mit)d(V)l(ektoren)h(aus) h Fj(V)23 b Fn(de\014niert)10 b(eine)h(erzeugende)g(Matrix)0 2047 y(f)16 2049 y(\177)15 2047 y(ur)16 b Fj(V)c Fn(.)50 2105 y(Statt)h(die)e(Liste)i(der)f(Co)q(dew)586 2107 y(\177)586 2105 y(orter)h(eines)f(Co)q(des)h(anzugeb)q(en,)g(ist)f(es) 1326 2107 y(\177)1326 2105 y(ok)o(onomisc)o(her,)e(eine)h(erzeugen-)0 2163 y(de)h(Matrix)g(anzugeb)q(en.)h(F)503 2165 y(\177)502 2163 y(ur)g(einen)e(bin)752 2165 y(\177)752 2163 y(aren)i(\(50)p Fj(;)8 b Fn(30\)-Co)q(de)15 b(hat)e(eine)f(solc)o(he)f(Matrix)h(1500)j (Ein)o(tr)1852 2165 y(\177)1852 2163 y(age,)0 2221 y(w)35 2223 y(\177)35 2221 y(ahrend)i(die)e(Liste)i(der)f(Co)q(dew)625 2223 y(\177)625 2221 y(orter)h(mehr)d(als)j(10)991 2203 y Fi(9)1028 2221 y Fn(W)1078 2223 y(\177)1078 2221 y(orter)f(umfassen)f (w)1443 2223 y(\177)1442 2221 y(urde.)50 2280 y(Ein)i(erzeugende)f (Matrix)g Fj(B)j Fn(de\014niert)e(eine)e(injektiv)o(e)g(lineare)h (Abbildung)g Fj(B)i Fn(:)d Fj(K)1630 2261 y Fg(k)1666 2280 y Fl(3)g Fj(v)i Fl(7!)d Fj(xB)k Fl(2)0 2338 y Fj(K)45 2320 y Fg(n)69 2338 y Fn(.)d(Diese)h(k)254 2340 y(\177)254 2338 y(onnen)g(wir)g(als)h(zugrunde)f(liegende)f(lineare)g(Ko)q (dierung)i(b)q(egreifen.)50 2396 y(Unser)f(Beispielco)q(de)e(hat)j(b)q (eispielsw)o(eise)d(folgende)i(zw)o(ei)f(erzeugende)g(Matrizen:)517 2445 y Fh(0)517 2534 y(@)581 2486 y Fn(1)42 b(0)g(0)g(1)g(1)581 2544 y(0)g(1)g(0)g(1)g(0)581 2602 y(0)g(0)g(1)g(0)g(1)890 2445 y Fh(1)890 2534 y(A)942 2545 y Fj(;)980 2445 y Fh(0)980 2534 y(@)1044 2486 y Fn(1)g(0)g(0)g(1)g(1)1044 2544 y(1)g(1)g(0)g(0)g (1)1044 2602 y(1)g(1)g(1)g(0)g(0)1353 2445 y Fh(1)1353 2534 y(A)1405 2545 y Fj(:)0 2697 y Fq(Bemerkung)17 b(3.6.)23 b Fn(Wir)14 b(erinnern)f(daran,)h(da\031)h(der)f(Zeilenrang)f(einer)g (Matrix)g Fj(B)j Fn(die)d(Maximalzahl)0 2755 y(linear)21 b(unabh)273 2757 y(\177)273 2755 y(angiger)h(Zeilen)e(in)h Fj(B)k Fn(ist.)20 b(Analog)i(ist)g(der)f(Spaltenrang)h(v)o(on)f Fj(B)k Fn(die)20 b(Maximalzahl)0 2814 y(linear)15 b(unabh)267 2816 y(\177)267 2814 y(angiger)i(Spalten)e(v)o(on)g Fj(B)s Fn(.)g(Man)h(zeigt)f(in)g(der)g(lineare)f(Algebra,)h(da\031)i (Zeilenrang\()p Fj(B)s Fn(\))12 b(=)0 2872 y(Spaltenrang\()p Fj(B)s Fn(\).)24 b(W)l(eiter)e(ist)i(der)f(\(Zeilen-)g(o)q(der)h (Spalten-\)Rang)g(einer)f(Matrix)g(gleic)o(h)f(der)i(Di-)0 2930 y(mension)c(des)h(Bildraumes)e(v)o(on)i Fj(B)k Fn(:)d Fj(K)786 2912 y Fg(r)827 2930 y Fl(3)h Fj(v)h Fl(7!)e Fj(xB)i Fl(2)f Fj(K)1193 2912 y Fg(s)1211 2930 y Fn(.)e(Das)h(Bild)e (wird)h(n)1601 2932 y(\177)1601 2930 y(amlic)o(h)e(v)o(on)i(den)0 2988 y(Zeilen)o(v)o(ektoren)13 b Fj(b)346 2995 y Fg(i)374 2988 y Fn(=)h Fj(e)449 2995 y Fg(i)462 2988 y Fj(B)19 b Fn(aufgespann)o(t,)e(w)o(ob)q(ei)f(die)g Fj(e)1043 2995 y Fg(i)1073 2988 y Fn(die)f(k)m(anonisc)o(he)h(Basis)h(bilden.)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 0 85 a Fm(8)537 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m(AREIGIS)h (IM)g(SS)g(1998)50 179 y Fn(Die)i(T)l(ransp)q(onierte)i Fj(B)498 161 y Fg(T)545 179 y Fn(einer)e(Matrix)h Fj(B)j Fn(=)d(\()p Fj(b)993 186 y Fg(ij)1023 179 y Fl(j)p Fj(i)g Fn(=)g(1)p Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fn(;)g Fj(j)23 b Fn(=)d(1)p Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)17 b(;)8 b(k)r Fn(\))19 b(ist)h(die)g(Matrix)0 238 y Fj(B)40 220 y Fg(T)85 238 y Fn(=)e(\()p Fj(c)181 245 y Fg(ij)211 238 y Fl(j)p Fj(i)g Fn(=)g(1)p Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(k)r Fn(;)g Fj(j)21 b Fn(=)d(1)p Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(n)p Fn(\))18 b(mit)f Fj(c)925 245 y Fg(ij)973 238 y Fn(=)h Fj(b)1050 245 y Fg(j)r(i)1080 238 y Fn(,)h(also)g(die)f(an)h(der)g(Diagonalen)g (gespiegelte)0 296 y(Matrix.)50 355 y(Der)d(Rang)h(v)o(on)f Fj(B)404 336 y Fg(T)447 355 y Fn(stimm)o(t)d(o\013en)o(bar)k(mit)e(dem) f(Rang)j(v)o(on)g Fj(B)1274 357 y Fn(\177)1272 355 y(ub)q(erein.)0 442 y Fq(Lemma)f(3.7.)23 b Fk(Sei)18 b Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)543 424 y Fg(n)584 442 y Fk(ein)k Fj(k)r Fk(-dimensionaler)h (Unterr)n(aum.)e(Dann)h(ist)488 556 y Fj(V)527 535 y Fb(?)571 556 y Fn(=)13 b Fl(f)p Fj(w)i Fl(2)f Fj(K)789 535 y Fg(n)813 556 y Fl(jh)p Fj(v)r(;)8 b(w)q Fl(i)14 b Fn(=)g Fj(v)r(w)1077 535 y Fg(T)1117 556 y Fn(=)1195 494 y Fg(n)1169 509 y Fh(X)1177 614 y Fg(i)p Fi(=1)1249 556 y Fj(\027)1273 563 y Fg(i)1288 556 y Fj(!)1318 563 y Fg(i)1346 556 y Fn(=)g(0)p Fl(g)0 679 y Fk(ein)k(Untervektorr)n(aum)g (der)g(Dimension)g Fj(n)11 b Fl(\000)g Fj(k)r Fk(.)0 766 y(Beweis.)22 b Fn(Sei)17 b Fj(B)j Fn(eine)d(erzeugende)g(Matrix)f (f)851 768 y(\177)850 766 y(ur)i Fj(V)11 b Fn(.)18 b(O\013en)o(bar)f (gilt)h Fj(v)r(w)1337 748 y Fg(T)1380 766 y Fn(=)e Fj(w)q(v)1496 748 y Fg(T)1539 766 y Fn(=)g(0)i(f)1651 768 y(\177)1650 766 y(ur)g(alle)f Fj(v)g Fl(2)g Fj(V)0 824 y Fn(genau)g(dann,)g(w)o (enn)g Fj(w)q(B)480 806 y Fg(T)521 824 y Fn(=)e(0.)h(Da)i Fj(B)747 806 y Fg(T)788 824 y Fn(:)c Fj(K)861 806 y Fg(n)899 824 y Fl(!)h Fj(K)1009 806 y Fg(k)1047 824 y Fn(mit)f Fj(w)i Fl(7!)e Fj(w)q(B)1327 806 y Fg(T)1371 824 y Fn(eine)i(lineare)g (Abbildung)g(ist,)0 882 y(ist)g Fj(V)107 864 y Fb(?)151 882 y Fn(=)d(Ker\()p Fj(B)340 864 y Fg(T)367 882 y Fn(\),)j(insb)q (esondere)g(also)h(ein)f(Un)o(terraum.)50 941 y(Der)g(Zeilenrang)g(v)o (on)h Fj(B)j Fn(ist)c(gleic)o(h)f(dem)h(Spaltenrang)h(v)o(on)g Fj(B)1249 922 y Fg(T)1293 941 y Fn(gleic)o(h)e(dem)g(Zeilenrang)h(v)o (on)h Fj(B)1908 922 y Fg(T)0 999 y Fn(gleic)o(h)e(der)h(Dimension)f (des)h(Bildes)f(v)o(on)h Fj(B)824 981 y Fg(T)851 999 y Fn(.)g(Daher)g(ist)g(die)g(Dimension)f(des)h(Kerns)g(v)o(on)g Fj(B)1771 981 y Fg(T)1814 999 y Fn(gleic)o(h)0 1057 y Fj(n)11 b Fl(\000)g Fj(k)r Fn(.)p 1900 1057 2 33 v 1902 1025 30 2 v 1902 1057 V 1931 1057 2 33 v 0 1144 a Fq(De\014nition)18 b(3.8.)23 b Fn(Sei)16 b Fj(V)25 b Fl(\022)13 b Fj(K)602 1126 y Fg(n)642 1144 y Fn(ein)j(Co)q(de.)g(Dann)h(hei\031t)f(der)g(Co)q (de)h Fj(V)1364 1126 y Fb(?)1407 1144 y Fl(\022)d Fj(K)1505 1126 y Fg(n)1544 1144 y Fk(dualer)k(Co)n(de)e Fn(zu)g Fj(V)11 b Fn(.)0 1232 y Fq(Bemerkung)17 b(3.9.)23 b Fn(Seien)16 b Fj(V)29 b Fn(ein)16 b(Co)q(de)i(und)f Fj(V)939 1214 y Fb(?)986 1232 y Fn(der)f(duale)h(Co)q(de.)g(Ist)g Fj(v)g Fl(2)e Fj(V)c Fn(,)16 b(so)i(gilt)e Fl(h)p Fj(v)r(;)8 b(w)q Fl(i)16 b Fn(=)f(0)0 1290 y(f)16 1292 y(\177)15 1290 y(ur)d(alle)g Fj(w)j Fl(2)f Fj(V)296 1272 y Fb(?)325 1290 y Fn(.)e(Also)g(ist)h Fj(v)i Fl(2)f Fj(V)647 1272 y Fb(??)717 1290 y Fn(und)f(daher)f(auc)o(h)h Fj(V)25 b Fl(\022)13 b Fj(V)1199 1272 y Fb(??)1256 1290 y Fn(.)f(Da)h(die)f (Dimension)f(dim)n(\()p Fj(V)1807 1272 y Fb(??)1864 1290 y Fn(\))j(=)0 1348 y Fj(n)d Fl(\000)g Fn(\()p Fj(n)g Fl(\000)g Fj(k)r Fn(\))j(=)g Fj(k)h Fn(=)f(dim)o(\()p Fj(V)d Fn(\))16 b(ist,)g(gilt)f Fj(V)25 b Fn(=)14 b Fj(V)890 1330 y Fb(??)947 1348 y Fn(.)0 1436 y Fq(Beispiel)j(3.10.)23 b Fn(Der)16 b(duale)g(Co)q(de)h Fj(V)739 1418 y Fb(?)784 1436 y Fn(zu)f(unserem)f(Beispielco)q(de)f(ist)i(2-dimensional)g(und)g (durc)o(h)393 1515 y Fj(V)432 1495 y Fb(?)475 1515 y Fn(=)e Fl(f)p Fn(\(0)j(0)f(0)h(0)g(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)16 b(1)h(0)g(1)f(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)17 b(0)g(1)g(0)f(1\))p Fj(;)8 b Fn(\(0)17 b(1)g(1)f(1)h(1\))p Fl(g)0 1595 y Fn(gegeb)q(en.)12 b(Beac)o(h)o(te,)e(da\031)k(der)e(V)l(ektor)f(\(0)i (1)g(1)f(1)h(1\))g(so)o(w)o(ohl)f(in)g Fj(V)24 b Fn(als)12 b(auc)o(h)h(in)f Fj(V)1464 1577 y Fb(??)1533 1595 y Fn(liegt,)f(im)g (Gegensatz)0 1653 y(zum)k(V)l(erhalten)g(einer)g(analogen)i (Konstruktion)g(f)966 1655 y(\177)965 1653 y(ur)f(das)h(euklidisc)o(he) d(Sk)m(alarpro)q(dukt.)50 1711 y(Eine)i(erzeugende)f(Matrix)g(ist)697 1818 y Fj(B)737 1798 y Fb(0)762 1818 y Fn(=)814 1748 y Fh(\022)871 1788 y Fn(1)42 b(1)g(0)g(1)g(0)871 1846 y(1)g(0)g(1)g(0)g(1)1180 1748 y Fh(\023)1225 1818 y Fj(:)0 1945 y Fq(De\014nition)18 b(3.11.)23 b Fn(Sei)d Fj(V)32 b Fl(\022)21 b Fj(K)649 1927 y Fg(n)693 1945 y Fn(ein)f(Co)q(de.)g(Die) g(T)l(ransp)q(onierte)h Fj(H)k Fn(=)c Fj(B)1492 1927 y Fb(0)1504 1922 y Fg(T)1551 1945 y Fn(einer)f(erzeugenden)0 2003 y(Matrix)c Fj(B)203 1985 y Fb(0)230 2003 y Fn(des)g(dualen)g(Co)q (des)i Fj(V)656 1985 y Fb(?)702 2003 y Fn(hei\031t)e Fk(Kontr)n(ol)r(lmatrix)h Fn(f)1171 2005 y(\177)1170 2003 y(ur)f Fj(V)c Fn(.)0 2091 y Fq(Satz)19 b(3.12.)k Fk(Je)n(der)17 b(\(line)n(ar)n(e\))h(Co)n(de)g Fj(V)25 b Fl(\022)15 b Fj(K)867 2073 y Fg(n)908 2091 y Fk(stimmt)1073 2093 y(\177)1073 2091 y(ub)n(er)n(ein)j(mit)g(dem)f(Kern)i(einer)g (zugeh)1802 2093 y(\177)1802 2091 y(origen)0 2149 y(Kontr)n(ol)r (lmatrix)g Fj(H)t Fk(.)0 2237 y(Beweis.)j Fn(Ein)17 b(V)l(ektor)e Fj(v)j Fn(liegt)e(genau)h(dann)h(in)e Fj(V)26 b Fn(=)14 b Fj(V)1049 2219 y Fb(??)1106 2237 y Fn(,)i(w)o(enn)g Fj(v)r(w)1324 2219 y Fg(T)1366 2237 y Fn(=)e(0)j(f)1475 2239 y(\177)1474 2237 y(ur)g(alle)f Fj(w)f Fl(2)g Fj(V)1764 2219 y Fb(?)1810 2237 y Fn(genau)0 2295 y(dann,)h(w)o(enn)g Fj(v)r(H)i Fn(=)c(0)i(gilt,)g(genau)h(dann)f(w)o(enn)g(er)g(im)f(Kern)h (der)g(Kon)o(trollmatrix)e Fj(H)20 b Fn(liegt.)p 1900 2295 V 1902 2264 30 2 v 1902 2295 V 1931 2295 2 33 v 0 2383 a Fq(Beispiel)d(3.13.)23 b Fn(Eine)16 b(Kon)o(trollmatrix)e(f) 813 2385 y(\177)812 2383 y(ur)i(unseren)g(Beispielco)q(de)f(ist)847 2420 y Fh(0)847 2507 y(B)847 2537 y(B)847 2567 y(B)847 2597 y(B)847 2629 y(@)911 2463 y Fn(1)42 b(1)911 2521 y(1)g(0)911 2579 y(0)g(1)911 2637 y(1)g(0)911 2695 y(0)g(1)1022 2420 y Fh(1)1022 2507 y(C)1022 2537 y(C)1022 2567 y(C)1022 2597 y(C)1022 2629 y(A)1074 2580 y Fj(:)50 2777 y Fn(Die)16 b(durc)o(h)f(die)h(Kon)o(trollmatrix)e(de\014nierten)h(Gleic)o(h)o (ungen,)f(z.B.)632 2852 y Fj(\027)656 2859 y Fi(1)676 2852 y Fn(1)d(+)g Fj(\027)784 2859 y Fi(2)804 2852 y Fn(1)g(+)g Fj(\027)912 2859 y Fi(3)932 2852 y Fn(0)h(+)f Fj(\027)1041 2859 y Fi(4)1060 2852 y Fn(1)h(+)f Fj(\027)1169 2859 y Fi(5)1189 2852 y Fn(0)j(=)g(0)632 2911 y Fj(\027)656 2918 y Fi(1)676 2911 y Fn(1)d(+)g Fj(\027)784 2918 y Fi(2)804 2911 y Fn(0)g(+)g Fj(\027)912 2918 y Fi(3)932 2911 y Fn(1)h(+)f Fj(\027)1041 2918 y Fi(4)1060 2911 y Fn(0)h(+)f Fj(\027)1169 2918 y Fi(5)1189 2911 y Fn(1)j(=)g(0)0 2988 y(k)m(ann)j(man)e(als)i Fk(ver)n(al)r(lgemeinerte)j(Parit)773 2990 y(\177)773 2988 y(ats-Pr)905 2990 y(\177)905 2988 y(ufsummen)d Fn(au\013assen.)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)429 b(9)50 179 y Fn(Auc)o(h)15 b(der)h(V)l(ektor)g(\(0)g(1)h(1)g(1)f(1\)) 644 161 y Fg(T)688 179 y Fn(k)714 181 y(\177)714 179 y(onn)o(te)g(in)g(einer)f(Kon)o(trollmatrix)f(stehen.)i(Die)g(Gleic)o (h)o(ung)632 261 y Fj(\027)656 268 y Fi(1)676 261 y Fn(0)11 b(+)g Fj(\027)784 268 y Fi(2)804 261 y Fn(1)g(+)g Fj(\027)912 268 y Fi(3)932 261 y Fn(1)h(+)f Fj(\027)1041 268 y Fi(4)1060 261 y Fn(1)h(+)f Fj(\027)1169 268 y Fi(5)1189 261 y Fn(1)j(=)g(0)0 342 y(b)q(edeutet)19 b(dann,)g(da\031)h(jeder)f(V)l(ektor)f(in)h Fj(V)30 b Fn(eine)19 b(gerade)g(Anzahl)g(v)o(on)g(Einsen)g(in)f(den)i (Bits)e(2)i(bis)f(5)0 400 y(hab)q(en)e(m)o(u\031.)0 489 y Fq(Bemerkung)g(3.14.)23 b Fn(Wir)13 b(k)561 491 y(\177)561 489 y(onnen)h(jetzt)e(einen)h(linearen)f(Co)q(de)i Fj(V)25 b Fl(2)14 b Fj(K)1385 471 y Fg(n)1422 489 y Fn(so)o(w)o(ohl)f(durc)o(h) g(eine)g(erzeu-)0 547 y(gende)i(Matrix)f Fj(B)k Fn(als)d(auc)o(h)g (durc)o(h)g(eine)f(Kon)o(trollmatrix)e Fj(H)20 b Fn(v)o(ollst)1283 549 y(\177)1283 547 y(andig)14 b(b)q(esc)o(hreib)q(en.)g(Die)h(w)o (esen)o(t-)0 605 y(lic)o(hen)g(Probleme)f(sind)i(jetzt)g(die)f(Dek)o(o) q(dierung)h(und)h(die)f(F)l(ehlerk)o(orrektur)e(bzw.)i(F)l(ehlererk)o (enn)o(ung.)50 664 y(Bei)j(der)h(Dek)o(o)q(dierung)g(k)543 666 y(\177)543 664 y(onnen)g(wir)g(uns)h(auf)f(den)h(Standpunkt)f (stellen,)f(da\031)i(mit)d(der)i(Angab)q(e)0 722 y(eines)12 b(V)l(ektors)g Fj(v)i Fn(im)d(Co)q(de)j Fj(V)24 b Fn(sc)o(hon)12 b(alles)h(b)q(ek)m(ann)o(t)g(ist.)f(Oder)g(ab)q(er)h(wir)g(k)1397 724 y(\177)1397 722 y(onnen)f(den)h(V)l(ektor)f Fj(x)i Fl(2)g Fj(K)1914 704 y Fg(k)0 780 y Fn(mit)g Fj(v)i Fn(=)d Fj(xB)248 762 y Fg(T)291 780 y Fn(suc)o(hen.)424 887 y(4.)28 b Fo(K)o(ontr)o(ollma)m(trizen)16 b(und)i(Hamming-Metrik)0 974 y Fq(De\014nition)g(4.1.)23 b Fn(Sei)d Fj(V)31 b Fl(\022)20 b Fj(K)619 956 y Fg(n)663 974 y Fn(ein)f(Co)q(de)i(mit)d (einer)h(erzeugenden)g(Matrix)h Fj(B)s Fn(.)f(Das)i Fk(Hamming-)0 1032 y(Gewicht)c Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)j Fn(=)g Fl(k)p Fj(B)s Fl(k)h Fn(v)o(on)h Fj(V)28 b Fn(bzw.)15 b(v)o(on)h Fj(B)j Fn(ist)d(das)h(Minim)o(um)12 b(der)k(Hammi)o(ng-Gewic)o(h)o(te)d Fl(k)p Fj(v)r Fl(k)i Fn(aller)0 1090 y Fj(v)g Fl(2)f Fj(V)28 b Fn(mit)14 b Fj(v)h Fl(6)p Fn(=)f(0.)50 1148 y(Das)j(Hamming-Gewic)n(h)o(t)c(eines)i(Co)q(des)j Fj(V)27 b Fn(ist)16 b(damit)e(der)i(minimale)d(Hammi)o(ng-Abstand)i(zw)o(eier)0 1207 y(v)o(ersc)o(hiedener)f(V)l(ektoren)h(im)f(Co)q(de:)j Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)785 1214 y Fi(1)805 1207 y Fj(;)8 b(v)851 1214 y Fi(2)870 1207 y Fn(\))14 b(=)f Fl(k)p Fj(v)1003 1214 y Fi(1)1034 1207 y Fl(\000)d Fj(v)1107 1214 y Fi(2)1127 1207 y Fl(k)p Fn(.)0 1295 y Fq(Satz)19 b(4.2.)k Fk(Sei)c Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)469 1277 y Fg(n)510 1295 y Fk(ein)k(line)n(ar)n(er)f(Co)n(de)g(mit)h(Kontr)n(ol) r(lmatrix)h Fj(H)t Fk(.)e(Je)n(de)h(Co)n(dewort)f Fj(v)e Fl(2)f Fj(V)29 b Fk(von)0 1354 y(Hamming-Gewicht)14 b Fj(r)i Fn(=)d Fl(k)p Fj(v)r Fl(k)f Fk(de\014niert)i(eine)f(line)n(ar)n (e)g(A)o(bh)1106 1356 y(\177)1106 1354 y(angigkeitsr)n(elation)i (zwischen)f Fj(r)g Fk(Zeilenvek-)0 1412 y(tor)n(en)k(von)h Fj(H)t Fk(.)f(Je)n(de)g(line)n(ar)n(e)g(A)o(bh)648 1414 y(\177)648 1412 y(angigkeitsr)n(elation)j(zwischen)e Fj(r)h Fk(Zeilenvektor)n(en)h(von)d Fj(H)23 b Fk(de\014niert)0 1470 y(ein)18 b(Co)n(dewort)f Fj(v)e Fl(2)g Fj(V)28 b Fk(vom)18 b(Hamming-Gewicht)h Fj(r)c Fn(=)f Fl(k)p Fj(v)r Fl(k)p Fk(.)0 1628 y(Beweis.)22 b Fn(Sei)10 b Fj(H)18 b Fn(=)365 1528 y Fh(0)365 1617 y(@)429 1558 y Fj(h)457 1565 y Fi(1)429 1605 y Fn(.)429 1622 y(.)429 1638 y(.)429 1696 y Fj(h)457 1703 y Fg(n)502 1528 y Fh(1)502 1617 y(A)556 1628 y Fn(die)10 b(Kon)o(trollmatrix)f(mit)g(den)i(Zeilen)o(v)o (ek)o(toren)d Fj(h)1478 1635 y Fg(i)1493 1628 y Fn(.)i(Sei)g Fj(v)15 b Fn(=)f(\()p Fj(\027)1724 1635 y Fi(1)1744 1628 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\027)1886 1635 y Fg(n)1909 1628 y Fn(\).)0 1755 y(Es)20 b(ist)g Fj(v)h Fl(2)f Fj(V)31 b Fn(genau)21 b(dann,)f(w)o(enn)f Fj(v)r(H)24 b Fn(=)19 b(0)i(genau)f(dann,)g(w)o(enn)1319 1718 y Fh(P)1380 1755 y Fj(\027)1404 1762 y Fg(i)1418 1755 y Fj(h)1446 1762 y Fg(i)1480 1755 y Fn(=)g(0.)f(Die)h(Summe)d(hat)0 1813 y(genau)22 b(so)g(viele)e(Summanden)g Fl(6)p Fn(=)i(0,)g(wie)f Fj(v)i Fn(v)o(on)e(Null)g(v)o(ersc)o(hiedene)e(Ko)q(e\016zien)o(ten)h (hat,)h(wie)g(das)0 1871 y(Hamming-Gewic)o(h)n(t)14 b(v)o(on)i Fj(v)h Fn(ist.)p 1900 1871 2 33 v 1902 1840 30 2 v 1902 1871 V 1931 1871 2 33 v 0 1960 a Fq(F)-5 b(olgerung)19 b(4.3.)24 b Fk(Sei)h Fj(V)38 b Fl(\022)26 b Fj(K)637 1942 y Fg(n)685 1960 y Fk(ein)f Fn(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\))p Fk(-line)n(ar)n(er)24 b(Co)n(de)g(vom)g(Hamming-Gewicht)j Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)24 b Fk(mit)0 2018 y(Kontr)n(ol)r(lmatrix)14 b Fj(H)t Fk(.)g(Dann)f(sind)g(je)h Fl(k)p Fj(V)d Fl(k)q(\000)q Fn(1)j Fk(Zeilenvektor)n(en)i(von)e Fj(H)j Fk(line)n(ar)c(unabh)1571 2020 y(\177)1571 2018 y(angig,)i(und)f(es)f(gibt)0 2077 y Fl(k)p Fj(V)e Fl(k)19 b Fk(line)n(ar)g(abh)319 2079 y(\177)319 2077 y(angige)i(Zeilenvektor)n(en,)g(d.)e(h.)g Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)19 b Fk(ist)g(die)g(Minimalzahl)g(von)h(line)n (ar)f(abh)1773 2079 y(\177)1773 2077 y(angigen)0 2135 y(Zeilenvektor)n(en)h(von)e Fj(H)t Fk(.)0 2224 y(Beweis.)k Fn(Es)d(gibt)g(k)o(einen)e(V)l(ektor)g Fj(v)i Fl(2)f Fj(V)11 b Fn(,)19 b Fj(v)g Fl(6)p Fn(=)e(0)i(v)o(om)e(Hamming-Gewic)o (h)n(t)f Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)h(\000)h Fn(1,)18 b(daher)h(sind)0 2282 y(je)f Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)h(\000)g Fn(1)19 b(Zeilen)o(v)o(ek)o (toren)d(v)o(on)i Fj(H)k Fn(linear)17 b(unabh)1002 2284 y(\177)1002 2282 y(angig)j(und)e(umgek)o(ehrt.)e(Es)i(gibt)h(einen)e(V) l(ektor)0 2340 y Fj(v)j Fl(2)g Fj(V)11 b Fn(,)19 b Fj(v)h Fl(6)p Fn(=)f(0)h(v)o(om)e(Hamming-Gewic)n(h)o(t)e Fl(k)p Fj(V)c Fl(k)p Fn(,)18 b(daher)i(gibt)f(es)h Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)19 b Fn(Zeilen)o(v)o(ektoren)d(v)o(on)k Fj(H)t Fn(,)f(die)0 2398 y(linear)c(abh)213 2400 y(\177)213 2398 y(angig)j(sind)e(und)h(umgek)o(ehrt.)p 1900 2398 V 1902 2367 30 2 v 1902 2398 V 1931 2398 2 33 v 0 2487 a Fq(F)-5 b(olgerung)19 b(4.4.)24 b Fk(F)404 2489 y(\177)404 2487 y(ur)17 b(je)n(den)h Fn(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\))p Fk(-line)n(ar)n(en)18 b(Co)n(de)f Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)1186 2469 y Fg(n)1227 2487 y Fk(gilt)782 2568 y Fl(k)p Fj(V)d Fl(k)j(\024)g Fj(n)d Fl(\000)g Fj(k)i Fn(+)e(1)p Fj(:)0 2657 y Fk(Beweis.)22 b Fn(Der)12 b(Rang)h(jeder)f (Kon)o(trollmatrix)e(zu)i Fj(V)24 b Fn(ist)12 b Fj(n)s Fl(\000)s Fj(k)r Fn(.)g(Damit)f(sind)h(je)g Fj(n)s Fl(\000)s Fj(k)5 b Fn(+)s(1)13 b(Zeilen)o(v)o(ektoren)0 2715 y(der)22 b(Kon)o(trollmatrix)d(linear)i(abh)650 2717 y(\177)650 2715 y(angig.)i(Nac)o(h)f(der)f(v)o(orhergehenden)g(F)l(olgerung)i(ist) e(also)i Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)23 b(\024)0 2773 y Fj(n)11 b Fl(\000)g Fj(k)i Fn(+)e(1.)p 1900 2773 V 1902 2742 30 2 v 1902 2773 V 1931 2773 2 33 v 0 2862 a Fq(Satz)19 b(4.5.)k(\(F)-5 b(ehlererk)n(enn)n(ung\))23 b Fk(Sei)i Fj(V)37 b Fl(\022)26 b Fj(K)971 2844 y Fg(n)1019 2862 y Fk(ein)f Fn(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\))p Fk(-line)n(ar)n(er)24 b(Co)n(de)g(und)g(sei)g Fj(x)i Fl(2)g Fj(K)1896 2844 y Fg(n)1920 2862 y Fk(.)0 2920 y(Wenn)19 b(es)g(ein)g Fj(v)e Fl(2)f Fj(V)30 b Fk(mit)18 b Fj(v)f Fl(6)p Fn(=)f Fj(x)i Fk(gibt,)h(so)f(da\031)h Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))15 b Fj(<)g Fl(k)p Fj(V)c Fl(k)p Fk(,)19 b(dann)g(ist)f Fj(x)j(=)-29 b Fl(2)15 b Fj(V)d Fk(,)18 b(d.)g(h.)h(das)f(Wort)0 2978 y Fj(x)f Fk(ist)h(kein)g(Co)n(dewort,)f (also)h(falsch.)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 0 85 a Fm(10)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)0 179 y Fk(Beweis.)22 b Fn(folgt)15 b(unmittelbar)e(aus)i(der)g(T)l(atsac)o(he,)f(da\031)i Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)j Fn(der)h(minim)o(ale)d(Hammi)o(ng-Abstand)h (zwi-)0 238 y(sc)o(hen)j(zw)o(ei)f(v)o(ersc)o(hiedenen)f(Co)q(dew)691 240 y(\177)691 238 y(ortern)j(in)f Fj(V)27 b Fn(ist.)p 1900 238 2 33 v 1902 206 30 2 v 1902 238 V 1931 238 2 33 v 0 330 a Fq(Satz)19 b(4.6.)k(\(F)-5 b(ehlerk)n(orrektur\))13 b Fk(Sei)j Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)909 312 y Fg(n)947 330 y Fk(ein)i Fn(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\))p Fk(-line)n(ar)n(er)15 b(Co)n(de)g(und)h(sei)f Fj(x)e Fl(2)i Fj(K)1756 312 y Fg(n)1779 330 y Fk(.)g(Wenn)0 388 y(es)k(ein)g Fj(v)e Fl(2)f Fj(V)29 b Fk(gibt)20 b(mit)e Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))15 b Fj(<)688 369 y Fi(1)p 688 377 18 2 v 688 406 a(2)710 388 y Fl(k)p Fj(V)c Fl(k)p Fk(,)19 b(dann)g(gilt)g(f) 1055 390 y(\177)1055 388 y(ur)f(al)r(le)i Fj(v)1239 370 y Fb(0)1266 388 y Fl(2)c Fj(V)s(;)8 b(v)1394 370 y Fb(0)1421 388 y Fl(6)p Fn(=)15 b Fj(v)i Fn(:)34 b Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))15 b Fj(<)g(d)p Fn(\()p Fj(v)1840 370 y Fb(0)1852 388 y Fj(;)8 b(x)p Fn(\))p Fk(,)0 447 y(d.)13 b(h.)h Fj(v)h Fk(ist)e(das)h(einzige)h(Element)g(von)f Fj(V)25 b Fk(mit)14 b(dem)f(ge)n(geb)n(enen)k(A)o(bstand)d Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))13 b Fk(und)h(somit)f(eindeutig)0 505 y(dur)n(ch)k Fj(x)g Fk(b)n(estimmt.)0 598 y(Beweis.)22 b Fn(F)215 600 y(\177)214 598 y(ur)f Fj(v)307 580 y Fb(0)340 598 y Fl(2)i Fj(V)32 b Fn(und)22 b Fj(v)585 580 y Fb(0)618 598 y Fl(6)p Fn(=)g Fj(v)g Fn(gilt)f(2)p Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))22 b Fj(<)g Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)22 b(\024)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(v)1351 580 y Fb(0)1362 598 y Fn(\))22 b Fl(\024)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))14 b(+)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(v)1789 580 y Fb(0)1800 598 y Fn(\),)20 b(also)0 656 y Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)8 b(x)p Fn(\))13 b Fj(<)h(d)p Fn(\()p Fj(v)274 638 y Fb(0)285 656 y Fj(;)8 b(x)p Fn(\).)p 1900 656 2 33 v 1902 625 30 2 v 1902 656 V 1931 656 2 33 v 0 751 a Fq(Bemerkung)17 b(4.7.)23 b Fn(W)l(enn)d(b)q(ei)f(der)729 740 y(\177)723 751 y(Ub)q(ertragung)h(v)o(on)f Fj(v)h Fn(w)o(eniger)f(als)1414 731 y Fi(1)p 1414 740 18 2 v 1414 768 a(2)1437 751 y Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)19 b Fn(F)l(ehler)f (aufgetreten)0 813 y(sind)13 b(und)g Fj(x)h Fl(2)g Fj(K)328 795 y Fg(n)364 813 y Fn(empfangen)e(wurde,)g(dann)i(ist)f(also)g Fj(v)i Fl(2)f Fj(V)25 b Fn(mit)11 b Fj(d)p Fn(\()p Fj(v)r(;)d(x)p Fn(\))13 b Fj(<)1473 794 y Fi(1)p 1473 802 V 1473 831 a(2)1496 813 y Fl(k)p Fj(V)e Fl(k)i Fn(das)1683 815 y(\177)1682 813 y(ub)q(ertragene)0 876 y(Elemen)o(t.)e(Somit)h(ist)h(eine)g (linearer)f(Co)q(de)i(immer)c(\()p Fl(k)p Fj(V)i Fl(k)6 b(\000)g Fn(1\)-fehlererk)o(e)o(nnend)11 b(und)1615 856 y Fi(1)p 1615 864 V 1615 893 a(2)1638 876 y Fn(\()p Fl(k)p Fj(V)g Fl(k)6 b(\000)g Fn(1\)-feh-)0 934 y(lerk)o(orrigierend.)k(Es)i (k)o(omm)o(t)d(also)k(darauf)g(an,)f(Co)q(des)h Fj(V)23 b Fn(mit)11 b(m)1199 936 y(\177)1199 934 y(oglic)o(hst)f(gro\031em)i (Hamming-Gewic)n(h)o(t)0 992 y Fl(k)p Fj(V)f Fl(k)16 b Fn(zu)g(\014nden.)50 1050 y(Man)i(wird)f(mit)f(den)h(V)l (oraussetzungen)h(des)g(v)o(orhergehenden)e(Satzes)i Fj(x)e Fl(2)g Fj(K)1558 1032 y Fg(n)1599 1050 y Fn(als)i Fj(v)f Fl(2)f Fj(V)29 b Fn(dek)o(o-)0 1108 y(dieren)17 b(und)i(hat)g(damit)e(die)h(geringstm)771 1110 y(\177)771 1108 y(oglic)o(he)e(Anzahl)i(v)o(on)1202 1098 y(\177)1196 1108 y(Anderungen)g(v)o(orgenommen.)d(Damit)0 1166 y(v)o(erw)o(endet)20 b(die)i(Korrektur)g(den)g(w)o(ahrsc)o(heinlic)o(hsten)d(F)l(ehlerfall)i (in)g(Sinne)h(v)o(on)1590 1196 y(")1612 1166 y(maxim)o(um)c(lik)o(e-)0 1224 y(liho)q(o)q(d)m(\\)s(.)0 1317 y Fq(Beispiele)e(4.8.)24 b Fn(1\))19 b(P)o(arit)517 1319 y(\177)517 1317 y(ats-Pr)648 1319 y(\177)647 1317 y(ufungs-Co)q(des:)i(Sei)e Fj(n)f Fl(\025)g Fn(2)i(und)f Fj(k)h Fn(=)f Fj(n)13 b Fl(\000)f Fn(1)19 b(und)h Fj(f)j Fn(:)18 b Fj(K)1758 1299 y Fg(k)1798 1317 y Fl(!)g Fj(K)1911 1299 y Fg(n)0 1375 y Fn(gegeb)q(en)h(durc)o(h)f Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(\013)406 1382 y Fi(1)427 1375 y Fj(;)j(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\013)575 1382 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)644 1375 y Fn(\))18 b(=)g(\()p Fj(\013)787 1382 y Fi(1)806 1375 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)955 1382 y Fg(n)978 1375 y Fn(\))19 b(mit)e Fj(\013)1139 1382 y Fg(n)1181 1375 y Fn(=)h Fl(\000)p Fn(\()p Fj(\013)1326 1382 y Fi(1)1358 1375 y Fn(+)13 b Fj(:)8 b(:)g(:)k Fn(+)g Fj(\013)1560 1382 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1629 1375 y Fn(\).)18 b(O\013en)o(bar)h (ist)0 1433 y Fj(f)j Fn(eine)16 b(injektiv)o(e)f(lineare)h(Abbildung.)g (W)l(eiter)g(ist)g Fj(v)h Fl(2)e Fj(V)26 b Fn(=)15 b(Bi)o(\()p Fj(f)5 b Fn(\))17 b(genau)h(dann,)f(w)o(enn)1717 1396 y Fh(P)1769 1409 y Fg(n)1769 1448 y(i)p Fi(=1)1837 1433 y Fj(\013)1868 1440 y Fg(i)1897 1433 y Fn(=)0 1492 y(0.)22 b(W)l(enn)h Fj(q)j Fn(=)e(2)f(ist,)e(dann)i(wird)g(jede)f(ungerade)g (Anzahl)g(v)o(on)g(F)l(ehlern)g(dadurc)o(h)g(erk)m(ann)o(t,)g(da\031)0 1512 y Fh(P)53 1525 y Fg(n)53 1564 y(i)p Fi(=1)120 1550 y Fj(\013)151 1557 y Fg(i)180 1550 y Fn(=)15 b(1)i(gilt.)f(Ein)h (gerade)g(Anzahl)f(v)o(on)h(F)l(ehlern)f(wird)g(nic)o(h)o(t)g(erk)m (ann)o(t.)g(F)1513 1552 y(\177)1512 1550 y(ur)h Fj(v)f Fl(2)f Fj(V)28 b Fn(und)18 b Fj(v)e Fl(6)p Fn(=)f(0)0 1608 y(m)43 1610 y(\177)42 1608 y(ussen)j(mindestens)e(zw)o(ei)i(Ko)q (e\016zien)o(ten)e(v)o(on)j(Null)e(v)o(ersc)o(hieden)f(sein,)i(also)h (ist)f Fl(k)p Fj(V)12 b Fl(k)17 b Fn(=)h(2.)g(Damit)0 1666 y(k)m(ann)d(zw)o(ar)g(ein)f(F)l(ehler)f(\(und)i(sogar)h(eine)d (ungerade)i(Anzahl)f(v)o(on)h(F)l(ehlern\))e(erk)m(ann)o(t)i(w)o (erden,)e(jedo)q(c)o(h)0 1724 y(ergibt)20 b(sic)o(h)g(k)o(eine)f(M)420 1726 y(\177)420 1724 y(oglic)o(hk)o(eit)g(zur)h(Korrektur)h(v)o(on)f(F) l(ehlern.)f(Diese)i(Ko)q(dierungen)g(w)o(erden)f(z.B.)0 1782 y(in)c(PCs)i(v)o(erw)o(endet,)c(w)o(enn)i(8-Bit)h(W)l(orte)f(in)h (9-Bit)f(Sp)q(eic)o(hern)g(gesp)q(eic)o(hert)f(w)o(erden)h(und)h(das)g (9.)g(Bit)0 1840 y(durc)o(h)f(die)f(Abbildung)h Fj(f)22 b Fn(b)q(estimm)o(t)13 b(wird.)50 1898 y(2\))k(Wiederholungsco)q(de:)f (Eine)g(einfac)o(he)g(M)897 1900 y(\177)897 1898 y(oglic)o(hk)o(eit)e (einer)h(sic)o(hereren)1467 1888 y(\177)1461 1898 y(Ub)q(ertragung)j (auf)f(einer)0 1959 y(gest)84 1961 y(\177)84 1959 y(orten)217 1948 y(\177)211 1959 y(Ub)q(ertragungsstrec)o(k)o(e)e(ist)h(die)f (dreifac)o(he)1019 1948 y(\177)1013 1959 y(Ub)q(ertragung)i(jedes)e (einzelnen)f(W)l(ortes.)i(Dab)q(ei)0 2017 y(ist)h Fj(n)g Fn(=)f(3)p Fj(m)i Fn(und)g Fj(f)j Fn(:)16 b Fj(K)473 1999 y Fg(k)511 2017 y Fl(!)g Fj(K)622 1999 y Fg(n)663 2017 y Fn(durc)o(h)h Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))16 b(=)h(\()p Fj(x;)8 b(x;)g(x)p Fn(\))16 b(gegeb)q(en.)i(Das)g(ist)g (wieder)e(eine)h(linearer)0 2075 y(Co)q(de)f Fj(V)25 b Fn(=)14 b(Bi)o(\()p Fj(f)5 b Fn(\).)15 b(Man)g(sieh)o(t)g(sofort,)g (da\031)h Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)j Fn(=)g(3)h(ist,)g(also)h(ist)e (dieser)h(Co)q(de)h(2-fehleren)o(tdec)o(k)o(end)0 2133 y(und)h(1-fehlerk)o(orrigierend.)0 2292 y Fq(F)-5 b(olgerung)19 b(4.9.)24 b Fk(Sei)18 b Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)605 2274 y Fg(n)646 2292 y Fk(ein)k(Co)n(de)f(mit)g(Kontr)n(ol)r(lmatrix)i Fj(H)f Fn(=)1381 2192 y Fh(0)1381 2282 y(@)1445 2222 y Fj(h)1473 2229 y Fi(1)1445 2269 y Fk(.)1445 2286 y(.)1445 2302 y(.)1445 2361 y Fj(h)1473 2368 y Fg(n)1518 2192 y Fh(1)1518 2282 y(A)1561 2292 y Fk(.)50 2426 y(\(a\))g(Sei)h Fj(v)e Fl(2)e Fj(V)d Fk(,)18 b(und)h(seien)g(b)n(ei)g(der)770 2415 y(\177)762 2426 y(Ub)n(ertr)n(agung)g(genau)h Fj(t)d Fk(F)l(ehler)j(aufgetr)n(eten.)f(Wenn)h Fj(x)15 b Fl(2)g Fj(K)1911 2408 y Fg(n)0 2484 y Fk(der)21 b(empfangene)h(Wert)f(ist,)f (dann)i(ist)e(die)h(minimale)h(A)o(nzahl)f(der)f(Ko)n(e\016zienten)j Fj(\030)1642 2491 y Fg(i)1676 2484 y Fl(6)p Fn(=)d(0)p Fk(,)h(so)f(da\031)0 2542 y Fj(xH)e Fn(=)138 2505 y Fh(P)198 2542 y Fj(\030)219 2549 y Fg(i)234 2542 y Fj(h)262 2549 y Fg(i)293 2542 y Fk(gilt,)h(h)417 2544 y(\177)417 2542 y(ochstens)f Fj(t)p Fk(.)50 2602 y(\(b\))h(Sei)h Fj(v)e Fl(2)f Fj(V)11 b Fk(,)19 b(seien)h(b)n(ei)f(der)677 2592 y(\177)669 2602 y(Ub)n(ertr)n(agung)h(genau)g Fj(t)f Fk(F)l(ehler)g(aufgetr)n(eten,)i(und)e(sei)g Fj(t)e(<)1808 2583 y Fi(1)p 1808 2591 V 1808 2620 a(2)1831 2602 y Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)p Fk(.)0 2661 y(Wenn)20 b Fj(x)e Fl(2)g Fj(K)287 2642 y Fg(n)330 2661 y Fk(der)h(empfangene)i(Wert)f(ist,)f (dann)h(gibt)h(es)f Fj(t)f Fk(eindeutig)i(b)n(estimmte)f(Ko)n (e\016zienten)0 2719 y Fj(\030)21 2726 y Fg(i)53 2719 y Fk(mit)d Fj(xH)h Fn(=)279 2681 y Fh(P)340 2719 y Fj(\030)361 2726 y Fg(i)375 2719 y Fj(h)403 2726 y Fg(i)417 2719 y Fk(.)g(Der)555 2708 y(\177)547 2719 y(Ub)n(ertr)n(agungsfehler)h(ist) e(dann)1149 2681 y Fh(P)1210 2719 y Fj(\030)1231 2726 y Fg(i)1245 2719 y Fj(e)1268 2726 y Fg(i)1282 2719 y Fk(,)g(und)h(es)g(gilt)h Fj(v)c Fn(=)e Fj(x)e Fl(\000)1733 2681 y Fh(P)1794 2719 y Fj(\030)1815 2726 y Fg(i)1829 2719 y Fj(e)1852 2726 y Fg(i)1866 2719 y Fk(.)0 2811 y(Beweis.)22 b Fn(Mit)16 b(\(a\))g(k)m(ann)h(die)f(Anzahl)g(der)g (aufgetretenen)g(F)l(ehler)f(nac)o(h)h(un)o(ten)g(abgesc)o(h)1670 2813 y(\177)1670 2811 y(atzt)h(w)o(erden.)0 2872 y(Man)12 b(brauc)o(h)o(t)g Fj(v)j Fl(2)f Fj(V)23 b Fn(nic)o(h)o(t)11 b(zu)h(k)o(ennen.)e(Sei)848 2834 y Fh(P)908 2872 y Fj(\026)937 2879 y Fg(i)952 2872 y Fj(e)975 2879 y Fg(i)1001 2872 y Fn(der)1086 2861 y(\177)1080 2872 y(Ub)q(ertragungsfehler,)i(d.)g(h.) f Fj(x)j Fn(=)f Fj(v)t Fn(+)1780 2834 y Fh(P)1841 2872 y Fj(\026)1870 2879 y Fg(i)1885 2872 y Fj(e)1908 2879 y Fg(i)1921 2872 y Fn(.)0 2930 y(Dann)24 b(ist)g Fj(xH)30 b Fn(=)c Fj(v)r(H)19 b Fn(+)516 2892 y Fh(P)577 2930 y Fj(\026)606 2937 y Fg(i)621 2930 y Fj(e)644 2937 y Fg(i)657 2930 y Fj(H)31 b Fn(=)792 2892 y Fh(P)853 2930 y Fj(\026)882 2937 y Fg(i)896 2930 y Fj(h)924 2937 y Fg(i)938 2930 y Fn(.)23 b(Seien)g(genau)h Fj(t)f Fn(F)l(ehler)f (aufgetreten,)h(so)h(ist)g(die)0 2988 y(Anzahl)f(der)h(Summanden)e Fj(t)p Fn(.)h(Es)h(ist)g(jedo)q(c)o(h)g(m)963 2990 y(\177)963 2988 y(oglic)o(h,)d(durc)o(h)j(andere)g(W)l(ahl)g(der)g(Ko)q(e\016zien) o(ten)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(11)0 179 y Fn(\(w)o(eniger)19 b(Ko)q(e\016zien)o(ten\))f Fj(\030)536 186 y Fg(i)570 179 y Fn(eine)h(andere)h(Lineark)o(om)o (bination)1255 142 y Fh(P)1316 179 y Fj(\030)1337 186 y Fg(i)1351 179 y Fj(h)1379 186 y Fg(i)1413 179 y Fn(zu)f(erhalten,)g (die)g(mit)f Fj(xH)1 240 y Fn(\177)0 238 y(ub)q(ereinstimm)n(t.)50 296 y(W)l(enn)k(in)f(\(b\))h(w)o(eniger)g(als)611 276 y Fi(1)p 611 284 18 2 v 611 313 a(2)633 296 y Fl(k)p Fj(V)12 b Fl(k)22 b Fn(F)l(ehler)e(aufgetreten)i(sind,)g(dann)g(ist)g (die)g(minim)o(ale)d(Anzahl)0 358 y(der)g(Summanden)f(in)h(der)g (Darstellung)h Fj(xH)j Fn(=)932 321 y Fh(P)992 358 y Fj(\026)1021 365 y Fg(i)1036 358 y Fj(h)1064 365 y Fg(i)1098 358 y Fn(kleiner)17 b(als)1341 338 y Fi(1)p 1341 347 V 1341 375 a(2)1364 358 y Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)p Fn(.)19 b(W)l(egen)g(\(4.3\))h(sind)g(die)0 417 y(v)o(erw)o(endeten)13 b Fj(h)307 424 y Fg(i)335 417 y Fn(linear)h(unabh)601 419 y(\177)601 417 y(angig.)i(W)l(enn)e Fj(xH)k Fn(=)1018 379 y Fh(P)1079 417 y Fj(\025)1107 424 y Fg(j)1126 417 y Fj(h)1154 424 y Fg(j)1186 417 y Fn(eine)c(w)o(eitere)f(Darstellung)i (ist)f(und)h(die)0 476 y(Anzahl)f(der)g(Summanden)e(minim)o(al,)f(insb) q(esondere)j(also)h(kleiner)e(als)1338 456 y Fi(1)p 1338 464 V 1338 493 a(2)1361 476 y Fl(k)p Fj(V)e Fl(k)p Fn(,)i(ist,)h(dann)h (ist)1743 438 y Fh(P)1804 476 y Fj(\026)1833 483 y Fg(i)1847 476 y Fj(h)1875 483 y Fg(i)1896 476 y Fl(\000)0 497 y Fh(P)61 534 y Fj(\025)89 541 y Fg(j)108 534 y Fj(h)136 541 y Fg(j)174 534 y Fn(=)20 b(0)g(mit)e(w)o(eniger)h(als)h Fl(k)p Fj(V)11 b Fl(k)20 b Fn(Summanden.)d(Die)i(v)o(erw)o(endeten)f Fj(h)1436 541 y Fg(i)1470 534 y Fn(sind)i(nac)o(h)g(\(4.3\))g(linear)0 593 y(unabh)132 595 y(\177)132 593 y(angig,)15 b(also)g(stimme)o(n)c (die)j Fj(\025)670 600 y Fg(i)698 593 y Fn(mit)e(den)i Fj(\026)904 600 y Fg(i)934 595 y Fn(\177)932 593 y(ub)q(erein,)f(d.)h (h.)f(die)h(Darstellung)g Fj(xH)k Fn(=)1701 555 y Fh(P)1762 593 y Fj(\026)1791 600 y Fg(i)1806 593 y Fj(h)1834 600 y Fg(i)1862 593 y Fn(mit)0 651 y(w)o(eniger)13 b(als)251 631 y Fi(1)p 251 639 V 251 668 a(2)273 651 y Fl(k)p Fj(V)f Fl(k)h Fn(Summanden)f(ist)h(eindeutig,)g(und)h(der)f(F)l(ehler)g(ist)g Fj(x)6 b Fl(\000)g Fj(v)15 b Fn(=)1496 613 y Fh(P)1557 651 y Fj(\025)1585 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b(linear)e(abh)1267 1151 y(\177)1267 1149 y(angigen)j(V)l (ektoren)d(k)o(onstruieren.)0 1207 y(Dann)g(brauc)o(hen)f(wir)g(n)o(ur) g(no)q(c)o(h)h Fj(V)25 b Fn(=)14 b(Ker)o(\()p Fj(H)t Fn(\))j(zu)f(b)q(erec)o(hnen.)0 1319 y Fq(Beispiel)h(4.10.)23 b Fn(1\))17 b(Sei)e Fj(K)j Fn(=)c Fe(Z)-11 b Fj(=)p Fn(11)p Fe(Z)f Fn(.)12 b(Sei)k(die)g(Kon)o(trollmatrix)752 1615 y Fj(H)j Fn(:=)876 1410 y Fh(0)876 1498 y(B)876 1528 y(B)876 1557 y(B)876 1587 y(B)876 1617 y(B)876 1647 y(B)876 1677 y(B)876 1709 y(@)940 1440 y Fn(2)42 b(1)g(0)940 1498 y(1)g(2)g(0)940 1556 y(2)g(0)g(1)940 1614 y(1)g(0)g(2)940 1672 y(0)g(2)g(1)940 1730 y(0)g(1)g(2)940 1788 y(1)g(2)g(1)1117 1410 y Fh(1)1117 1498 y(C)1117 1528 y(C)1117 1557 y(C)1117 1587 y(C)1117 1617 y(C)1117 1647 y(C)1117 1677 y(C)1117 1709 y(A)1169 1615 y Fj(:)0 1908 y Fn(Dann)17 b(k)m(ann)g(man)e(nac)o (hrec)o(hnen,)f(da\031)j(die)f(Minimalzahl)d(v)o(on)j(linear)f(abh)1406 1910 y(\177)1406 1908 y(angigen)j(Zeilen)o(v)o(ek)o(toren)c(4)0 1966 y(ist.)k(Eine)h(erzeugende)f(Matrix)g(f)632 1968 y(\177)631 1966 y(ur)i(den)e(Co)q(de)i Fj(V)30 b Fl(\022)19 b Fj(K)1081 1948 y Fi(7)1119 1966 y Fn(gewinn)o(t)g(man)f(aus)i(der)f (Basis)g(des)g(Kerns)0 2024 y(v)o(on)d Fj(H)t Fn(.)g(Sie)g(ist)586 2203 y Fj(B)h Fn(:=)705 2073 y Fh(0)705 2160 y(B)705 2190 y(B)705 2222 y(@)769 2115 y Fn(9)42 b(1)g(2)g(10)67 b(0)f(0)42 b(0)769 2173 y(9)g(2)g(1)67 b(0)41 b(10)67 b(0)42 b(0)769 2231 y(8)g(2)g(2)67 b(0)f(0)42 b(10)g(0)769 2289 y(7)g(5)g(3)67 b(0)f(0)g(0)42 b(8)1283 2073 y Fh(1)1283 2160 y(C)1283 2190 y(C)1283 2222 y(A)1335 2203 y Fj(:)50 2402 y Fn(Diese)20 b(Ko)q(dierung)i(hat)f(das)h(Hamming-Gewic)n(h)o(t)c (4,)j(k)m(ann)g(also)h(3)f(F)l(ehler)f(erk)o(ennen)g(und)h(einen)0 2460 y(F)l(ehler)15 b(k)o(orrigieren.)50 2518 y(2\))h(Sei)g Fj(K)i Fn(=)c Fe(Z)-11 b Fj(=)p Fn(2)p Fe(Z)e Fn(.)13 b(Sei)i(die)h(Kon)o(trollmatrix)752 2814 y Fj(H)j Fn(:=)876 2609 y Fh(0)876 2697 y(B)876 2726 y(B)876 2756 y(B)876 2786 y(B)876 2816 y(B)876 2846 y(B)876 2876 y(B)876 2908 y(@)940 2638 y Fn(1)42 b(0)g(0)940 2697 y(0)g(1)g(0)940 2755 y(0)g(0)g(1)940 2813 y(1)g(1)g(0)940 2871 y(1)g(0)g(1)940 2929 y(0)g(1)g(1)940 2987 y(1)g(1)g(1)1117 2609 y Fh(1)1117 2697 y(C)1117 2726 y(C)1117 2756 y(C)1117 2786 y(C)1117 2816 y(C)1117 2846 y(C)1117 2876 y(C)1117 2908 y(A)1169 2814 y Fj(:)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 0 85 a Fm(12)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)50 179 y Fn(Dann)f(k)m(ann)g(man)e(nac)o (hrec)o(hnen,)f(da\031)j(die)f(Minimalzahl)d(v)o(on)j(linear)g(abh)1448 181 y(\177)1448 179 y(angigen)h(Zeilen)o(v)o(ektoren)0 238 y(3)h(ist.)e(Eine)h(erzeugende)f(Matrix)h(f)662 240 y(\177)661 238 y(ur)g(den)g(Co)q(de)h Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)1092 219 y Fi(7)1128 238 y Fn(ist)624 421 y Fj(A)g Fn(:=)740 291 y Fh(0)740 379 y(B)740 409 y(B)740 441 y(@)805 333 y Fn(1)41 b(1)h(0)g(1)g(0)g(0)g(0)805 391 y(0)f(1)h(1)g(0)g(1)g(0)g(0)805 449 y(1)f(0)h(1)g(0)g(0)g(1)g(0)805 508 y(1)f(1)h(1)g(0)g(0)g(0)g(1)1245 291 y Fh(1)1245 379 y(C)1245 409 y(C)1245 441 y(A)1297 421 y Fj(:)50 605 y Fn(Diese)20 b(Ko)q(dierung)i(hat)f(das)h(Hamming-Gewic)n(h)o(t)c (3,)j(k)m(ann)g(also)h(2)f(F)l(ehler)f(erk)o(ennen)g(und)h(einen)0 663 y(F)l(ehler)15 b(k)o(orrigieren.)669 812 y(5.)27 b Fo(Systema)m(tische)19 b(Codes)50 899 y Fn(Wir)c(gehen)h(zun)362 901 y(\177)362 899 y(ac)o(hst)g(da)o(v)o(on)g(aus,)g(da\031)h(b)q(ei)f (einer)f(Ko)q(dierung)h Fj(B)g Fn(:)e Fj(K)1386 881 y Fg(k)1421 899 y Fl(!)g Fj(K)1530 881 y Fg(n)1569 899 y Fn(die)i(Informations-)0 957 y(bits)j Fj(v)g Fn(=)f(\()p Fj(\027)240 964 y Fi(1)260 957 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\027)402 964 y Fg(k)423 957 y Fn(\))19 b(durc)o(h)f(An)o(w)o (endung)h(v)o(on)f Fj(B)k Fn(auf)d(das)g(ganze)g(Co)q(dew)o(ort)h Fj(xB)1646 987 y Fn(")1669 957 y(v)o(ersc)o(hmi)o(ert)m(\\)0 1015 y(w)o(erden)c(und)i(da\031)g(in)e(diesem)f(Co)q(dew)o(ort)j(die)f (F)l(ehlerk)o(on)o(trollbits)d(eb)q(enfalls)j(en)o(thalten)f(sind.)h (Daher)0 1073 y(sind)g(Co)q(des)h(v)o(on)g(sp)q(ezieller)d(Gestalt)i (et)o(w)o(as)g(einfac)o(her)f(zu)h(b)q(ehandeln.)g(Wir)g(w)o(erden)g (jedo)q(c)o(h)g(sehen,)0 1131 y(da\031)g(jeder)f(Co)q(de)h(in)f(einen)f (Co)q(de)i(der)f(sp)q(eziellen)e(Gestalt)j(umgew)o(andelt)d(w)o(erden)i (k)m(ann.)0 1229 y Fq(De\014nition)i(5.1.)23 b Fn(Ein)12 b Fk(systematischer)i(Co)n(de)e Fn(ist)g(ein)g(Co)q(de,)g(der)g(eine)f (erzeugende)h(Matrix,)f(genann)o(t)0 1287 y Fk(systematische)18 b(erzeugende)i(Matrix)p Fn(,)15 b(der)h(F)l(orm)491 1478 y(\()p Fj(I)532 1485 y Fg(k)552 1478 y Fj(P)7 b Fn(\))14 b(=)675 1348 y Fh(0)675 1436 y(B)675 1466 y(B)675 1498 y(@)740 1379 y Fn(1)41 b(0)h Fj(:)8 b(:)g(:)49 b Fn(0)43 b Fj(p)1069 1386 y Fi(11)1149 1379 y Fj(:)8 b(:)g(:)50 b(p)1281 1386 y Fi(1)p Fg(;n)p Fb(\000)p Fg(k)740 1437 y Fn(0)41 b(1)h Fj(:)8 b(:)g(:)49 b Fn(0)43 b Fj(p)1069 1444 y Fi(21)1149 1437 y Fj(:)8 b(:)g(:)50 b(p)1281 1444 y Fi(2)p Fg(;n)p Fb(\000)p Fg(k)745 1484 y Fn(.)745 1501 y(.)745 1518 y(.)811 1484 y(.)811 1501 y(.)811 1518 y(.)984 1484 y(.)984 1501 y(.)984 1518 y(.)1069 1484 y(.)1069 1501 y(.)1069 1518 y(.)1311 1484 y(.)1311 1501 y(.)1311 1518 y(.)740 1576 y(0)41 b(0)h Fj(:)8 b(:)g(:)49 b Fn(1)42 b Fj(p)1068 1583 y Fg(k)q Fi(1)1149 1576 y Fj(:)8 b(:)g(:)49 b(p)1280 1583 y Fg(k)q(;n)p Fb(\000)p Fg(k)1401 1348 y Fh(1)1401 1436 y(C)1401 1466 y(C)1401 1498 y(A)0 1670 y Fn(hat.)0 1767 y Fq(Bemerkung)17 b(5.2.)23 b Fn(Eine)16 b(systematisc)o(he)e(erzeugende)i(Matrix)410 1863 y Fj(B)g Fn(=)e(\()p Fj(b)555 1870 y Fi(1)574 1863 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(b)713 1870 y Fg(n)736 1863 y Fn(\))14 b(=)g(\()p Fj(I)862 1870 y Fg(k)882 1863 y Fj(P)7 b Fn(\))14 b(=)g(\()p Fj(e)1047 1870 y Fi(1)1067 1863 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(e)1207 1870 y Fg(k)1228 1863 y Fj(;)g(p)1274 1870 y Fi(1)1294 1863 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(p)1436 1870 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)1506 1863 y Fn(\))0 1959 y(eines)22 b(systematisc)o(hen)f(Co)q(des)j(induziert)d(eine)h(lineare) g(Abbildung)g Fj(B)28 b Fn(:)c Fj(K)1496 1941 y Fg(k)1543 1959 y Fl(!)g Fj(K)1662 1941 y Fg(n)1709 1959 y Fn(mit)d Fj(xB)27 b Fn(=)0 2017 y(\()p Fj(\030)40 2024 y Fi(1)60 2017 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\030)199 2024 y Fg(n)222 2017 y Fn(\))p Fj(B)17 b Fn(=)346 1980 y Fh(P)407 2017 y Fj(\030)428 2024 y Fg(i)443 2017 y Fj(b)464 2024 y Fg(i)491 2017 y Fn(=)d(\()p Fj(\030)583 2024 y Fi(1)603 2017 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\030)742 2024 y Fg(k)763 2017 y Fj(;)g(xp)837 1999 y Fg(T)837 2029 y Fi(1)865 2017 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(xp)1035 1999 y Fg(T)1035 2030 y(n)p Fb(\000)p Fg(k)1105 2017 y Fn(\).)14 b(Das)h(Klartext)o(w)o(ort)e Fj(x)h Fl(2)g Fj(K)1670 1999 y Fg(k)1705 2017 y Fn(ist)g(also)h(der)0 2075 y(erste)f(T)l(eil)f (des)h(Co)q(dew)o(ortes)h Fj(xB)s Fn(.)e(Es)h(wird)g(oft)h(die)e Fk(Menge)k(der)e(Informationssymb)n(ole)f Fn(genann)o(t.)g(Der)0 2133 y(zw)o(eite)c(T)l(eil)h(ist)g(der)h(F)l(ehlerk)o(orrektur)d(v)o (orb)q(ehalten)j(und)g(stellt)e(v)o(erallgemeinerte)e(P)o(arit)1659 2135 y(\177)1659 2133 y(ats-Pr)1790 2135 y(\177)1789 2133 y(ufsum-)0 2191 y(men)13 b Fj(xp)156 2198 y Fg(i)185 2191 y Fn(o)q(der)j Fk(R)n(e)n(dundanzsymb)n(ole)e Fn(dar.)h(Die)f (Elemen)o(te)e(v)o(on)j Fj(V)26 b Fn(hab)q(en)15 b(die)f(folgende)h(F)l (orm:)e(an)i(den)0 2249 y(ersten)g Fj(k)i Fn(Stellen)d(stehen)h(b)q (eliebige)f(Ko)q(e\016zien)o(ten)f Fj(\025)1015 2256 y Fi(1)1035 2249 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\025)1181 2256 y Fg(k)1203 2249 y Fn(.)14 b(Die)h(w)o(eiteren)f(Stellen)g Fj(\025)1699 2256 y Fg(k)q Fi(+1)1766 2249 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\025)1911 2256 y Fg(n)0 2307 y Fn(b)q(erec)o(hnen)15 b(sic)o(h)h(daraus)h(als)607 2440 y Fj(\025)635 2447 y Fg(k)q Fi(+)p Fg(i)710 2440 y Fn(:=)c(\()p Fj(\025)822 2447 y Fi(1)842 2440 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\025)988 2447 y Fg(k)1010 2440 y Fn(\))p Fj(p)1053 2447 y Fg(i)1081 2440 y Fn(=)1159 2377 y Fg(k)1133 2392 y Fh(X)1138 2497 y Fg(j)r Fi(=1)1213 2440 y Fj(\025)1241 2447 y Fg(j)1260 2440 y Fj(p)1284 2447 y Fg(j)r(i)1315 2440 y Fj(:)0 2589 y Fq(Satz)19 b(5.3.)k Fk(Sei)16 b Fj(B)h Fn(=)d(\()p Fj(I)462 2596 y Fg(k)482 2589 y Fj(P)7 b Fn(\))16 b Fk(eine)h (erzeugenden)g(Matrix)f(eines)g(systematischen)g(Co)n(des)f Fj(V)d Fk(.)j(Dann)h(ist)0 2678 y Fj(H)i Fn(=)110 2608 y Fh(\022)175 2648 y Fl(\000)p Fj(P)167 2706 y(I)189 2713 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)280 2608 y Fh(\023)334 2678 y Fk(eine)g(Kontr)n(ol)r(lmatrix)h(f)786 2680 y(\177)786 2678 y(ur)e Fj(V)11 b Fk(.)0 2841 y(Beweis.)22 b Fn(Es)e(ist)g Fj(B)s(H)k Fn(=)c(\()p Fj(I)529 2848 y Fg(k)550 2841 y Fj(P)7 b Fn(\))615 2771 y Fh(\022)680 2811 y Fl(\000)p Fj(P)673 2869 y(I)695 2876 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)785 2771 y Fh(\023)842 2841 y Fn(=)20 b(0.)g(Da)h(Rang\()p Fj(B)s Fn(\))f(=)g Fj(k)i Fn(und)e(Rang\()p Fj(H)t Fn(\))i(=)e Fj(n)13 b Fl(\000)h Fj(k)r Fn(,)19 b(ist)0 2930 y Fj(V)11 b Fn(,)18 b(der)h(v)o(on)f Fj(B)j Fn(erzeugte)d(Un)o(terraum)e(der)i (Dimension)f Fj(k)r Fn(,)h(gleic)o(h)f(dem)g(Kern\()p Fj(H)t Fn(\),)h(der)h(ja)f(auc)o(h)h(die)0 2988 y(Dimension)c Fj(k)j Fn(hat.)p 1900 2988 2 33 v 1902 2957 30 2 v 1902 2988 V 1931 2988 2 33 v eop %%Page: 13 13 13 12 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(13)0 240 y Fq(Beispiel)17 b(5.4.)23 b Fn(Die)17 b(Matrix)g Fj(B)i Fn(=)685 140 y Fh(0)685 230 y(@)750 181 y Fn(1)41 b(0)h(0)g(0)g(1)750 239 y(0)f(1)h(0)g(1)g(0)750 297 y(0)f(0)h(1)g(1)g (1)1058 140 y Fh(1)1058 230 y(A)1119 240 y Fn(ist)18 b(eine)f(systematisc)o(he)e(erzeugende)i(Ma-)0 483 y(trix.)i(Die)h (zugeh)326 485 y(\177)326 483 y(orige)g(Kon)o(trollmatrix)e(ist)i Fj(H)26 b Fn(=)985 323 y Fh(0)985 411 y(B)985 441 y(B)985 471 y(B)985 501 y(B)985 533 y(@)1050 366 y Fn(0)41 b(1)1050 424 y(1)g(0)1050 482 y(1)g(1)1050 541 y(1)g(0)1050 599 y(0)g(1)1161 323 y Fh(1)1161 411 y(C)1161 441 y(C)1161 471 y(C)1161 501 y(C)1161 533 y(A)1213 483 y Fj(:)19 b Fn(Die)h(Redundanzsym)o(b)q(ole)f(ergeb)q(en)0 659 y(sic)o(h)c(als)832 718 y Fj(\025)860 725 y Fi(4)894 718 y Fn(=)f Fj(\025)974 725 y Fi(2)1005 718 y Fn(+)d Fj(\025)1082 725 y Fi(3)832 776 y Fj(\025)860 783 y Fi(5)894 776 y Fn(=)j Fj(\025)974 783 y Fi(1)1005 776 y Fn(+)d Fj(\025)1082 783 y Fi(3)0 859 y Fn(Der)21 b(Co)q(de)h(hat)g(nac)o(h)f (\(4.3\))g(das)h(Hamming-Gewic)o(h)o(t)c(2,)j(ist)g(also)h(1-fehlererk) o(ennend,)d(k)m(ann)j(ab)q(er)0 917 y(k)o(eine)15 b(F)l(ehler)g(k)o (orrigieren.)0 1012 y Fq(Bemerkung)i(5.5.)23 b Fn(Elemen)o(tare)14 b(Zeilen)o(umform)m(ungen)g(sind:)50 1088 y(1.)21 b(Die)15 b(Addition)h(eines)f(Vielfac)o(hen)f(einer)i(Zeile)e(zu)i(einer)f (anderen)i(Zeile)d(und)50 1146 y(2.)21 b(die)15 b(Multiplik)m(ation)g (einer)g(Zeile)g(mit)f(einem)g(F)l(aktor)i Fj(\013)f Fl(6)p Fn(=)e(0.)0 1249 y(W)l(egen)156 1179 y Fh(\022)213 1219 y Fj(a)216 1277 y(b)260 1179 y Fh(\023)310 1249 y Fl(7!)374 1179 y Fh(\022)431 1219 y Fj(a)e Fn(+)g Fj(b)474 1277 y(b)559 1179 y Fh(\023)609 1249 y Fl(7!)673 1179 y Fh(\022)730 1219 y Fj(a)g Fn(+)g Fj(b)751 1277 y Fl(\000)p Fj(a)857 1179 y Fh(\023)908 1249 y Fl(7!)971 1179 y Fh(\022)1051 1219 y Fj(b)1029 1277 y Fl(\000)p Fj(a)1114 1179 y Fh(\023)1164 1249 y Fl(7!)1228 1179 y Fh(\022)1288 1219 y Fj(b)1286 1277 y(a)1332 1179 y Fh(\023)1384 1249 y Fn(l)1398 1251 y(\177)1398 1249 y(a\031t)k(sic)o(h)f(auc)o(h)h(das)h(V)l(ertau-)0 1335 y(sc)o(hen)c(zw)o(eier)f(Zeilen)g(mit)g(elemen)o(taren)f(Zeilenop) q(erationen)i(erreic)o(hen.)e(Jede)i(elemen)o(tare)e(Zeilen)o(um-)0 1393 y(form)o(ung)17 b(mac)o(h)o(t)e(aus)j(einer)f(Basis)g(v)o(on)g Fj(V)29 b Fn(eine)17 b(neue)g(Basis)g(v)o(on)g Fj(V)12 b Fn(,)k(w)o(eil)h(die)f(Zeilen)o(umform)n(ungen)0 1451 y(nic)o(h)o(t)f(aus)i Fj(V)27 b Fn(herausf)418 1453 y(\177)417 1451 y(uhren)17 b(und)g(umk)o(ehrbar)d(sind,)i(also)h(die)e(Basis)i (erhalten.)50 1509 y(Das)22 b(Gau\031sc)o(he)g(Eliminationsv)o (erfahren)d(zeigt,)h(da\031)j(man)d(eine)h(\()p Fj(k)16 b Fl(\002)f Fj(n)p Fn(\)-Matrix)21 b(v)o(om)f(Rang)i Fj(k)0 1568 y Fn(durc)o(h)16 b(elemen)o(tare)d(Zeilen)o(umform)m(ungen) h(in)i(eine)f(Zeilenstufenform)266 1626 y Fh(0)266 1713 y(B)266 1743 y(B)266 1775 y(@)330 1656 y Fj(\013)42 b(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(1)g Fj(\013)g(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(0)g Fj(\013)g(:)8 b(:)g(:)49 b(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(0)f Fj(\013)h(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)330 1715 y(\013)42 b(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(0)g Fj(\013)g(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(1)g Fj(\013)g(:)8 b(:)g(:)49 b(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(0)f Fj(\013)h(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)339 1762 y Fn(.)339 1778 y(.)339 1795 y(.)519 1762 y(.)519 1778 y(.)519 1795 y(.)589 1762 y(.)589 1778 y(.)589 1795 y(.)658 1762 y(.)658 1778 y(.)658 1795 y(.)838 1762 y(.)838 1778 y(.)838 1795 y(.)907 1762 y(.)907 1778 y(.)907 1795 y(.)977 1762 y(.)977 1778 y(.)977 1795 y(.)1264 1762 y(.)1264 1778 y(.)1264 1795 y(.)1333 1762 y(.)1333 1778 y(.)1333 1795 y(.)1402 1762 y(.)1402 1778 y(.)1402 1795 y(.)1582 1762 y(.)1582 1778 y(.)1582 1795 y(.)330 1853 y Fj(\013)42 b(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(0)g Fj(\013)g(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(0)g Fj(\013)g(:)8 b(:)g(:)49 b(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)42 b Fn(1)f Fj(\013)h(:)8 b(:)g(:)49 b(\013)1625 1626 y Fh(1)1625 1713 y(C)1625 1743 y(C)1625 1775 y(A)0 1944 y Fn(um)o(w)o(andeln)15 b(k)m(ann,)i(w)o(ob)q(ei)f(die)g Fj(\013)p Fn('s)h(b)q(eliebige)f(Ko)q (e\016zien)o(ten)f(sind.)h(Man)h(k)m(ann)g(sogar)h(v)o(on)f(gewissen)0 2002 y Fj(\013)p Fn('s)f(annehmen,)f(da\031)i(sie)f(Null)f(sind.)50 2060 y(Durc)o(h)i(P)o(erm)o(utation)e(der)i(Spalten)g(k)m(ann)h(man)e (daraus)i(eine)f(systematisc)o(he)d(erzeugende)j(Matrix)0 2118 y(mac)o(hen.)g(Die)i(P)o(erm)o(utation)f(v)o(on)h(Spalten)h(b)q (edeutet)f(eine)f(Umsc)o(hreibung)g(der)h(Zeilen)o(v)o(ektoren)d(in)0 2176 y Fj(K)45 2158 y Fg(k)88 2176 y Fn(durc)o(h)22 b(P)o(erm)o (utation)e(ihrer)i(Ko)q(e\016zien)o(ten.)e(Der)h(dann)i(erzielte)d(Co)q (de)j(hei\031t)e Fk(kombinatorisch)0 2236 y(\177)0 2234 y(aquivalent)d Fn(zum)d(Ausgangsco)q(de.)j(Wir)d(hab)q(en)i(damit)0 2329 y Fq(Satz)i(5.6.)k Fk(Je)n(der)17 b(Co)n(de)g(ist)h (kombinatorisch)894 2331 y(\177)895 2329 y(aquivalent)h(zu)f(einem)g (systematischen)h(Co)n(de.)503 2468 y Fn(6.)27 b Fo(St)m(and)o(ardt)m (afeln)17 b(und)h(Dek)o(odier)o(ung)50 2555 y Fn(Es)d(bleibt)e(w)o (eiterhin)h(die)g(F)l(rage,)g(wie)g(man)g(ein)g(fehlerhaft)1175 2557 y(\177)1174 2555 y(ub)q(ertragenes)h(Co)q(dew)o(ort)h(jedenfalls)d (in)0 2613 y(Bezug)f(auf)h(die)e(Informationsbits)h(k)o(orrigieren)f(k) m(ann,)i(also)g(die)e(F)l(rage)i(der)f(allgemeinen)e(Dek)o(o)q(dierung) 0 2672 y Fj(D)16 b Fn(:)d Fj(K)128 2654 y Fg(n)165 2672 y Fl(!)h Fj(K)274 2654 y Fg(k)296 2672 y Fn(.)e(W)l(egen)g(der)g(V)l (erw)o(endung)g(der)h(Hammi)o(ng-Metrik)c(ist)k(hier)f(nic)o(h)o(t)f (mit)f(einer)i(linearen)0 2730 y(Abbildung)k(zu)g(rec)o(hnen.)0 2825 y Fq(De\014nition)i(6.1.)23 b Fn(Sei)17 b Fj(V)28 b Fl(\022)16 b Fj(K)609 2807 y Fg(n)651 2825 y Fn(ein)h(Co)q(de.)h (Eine)f Fk(Neb)n(en-)k(o)n(der)d(R)n(estklassen)i(eines)g(Elements)h Fj(x)16 b Fl(2)0 2883 y Fj(K)45 2865 y Fg(n)86 2883 y Fk(b)n(ez)148 2885 y(\177)148 2883 y(uglich)j Fj(V)28 b Fn(ist)16 b(die)f(Menge)p 667 2948 28 2 v 667 2975 a Fj(x)e Fn(=)h Fj(x)d Fn(+)g Fj(V)25 b Fn(=)14 b Fl(f)p Fj(x)c Fn(+)h Fj(v)r Fl(j)p Fj(v)k Fl(2)f Fj(V)d Fl(g)p Fj(:)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 0 85 a Fm(14)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)0 179 y Fq(Lemma)f(6.2.)23 b Fk(F)342 181 y(\177)342 179 y(ur)17 b(die)h(Neb)n(enklassen)i(gilt)p 713 227 28 2 v 713 254 a Fj(x)11 b Fl(\\)p 796 227 26 2 v 11 w Fj(y)16 b Fn(=)e Fl(;)j Fk(,)g(wenn)p 1089 227 28 2 v 19 w Fj(x)d Fl(6)p Fn(=)p 1183 227 26 2 v 14 w Fj(y)q Fn(;)801 275 y Fh(S)842 327 y Fg(xinK)927 317 y Fa(n)p 959 285 28 2 v 959 312 a Fj(x)g Fn(=)f Fj(K)1097 294 y Fg(n)1121 312 y Fj(:)0 390 y Fk(Beweis.)22 b Fn(Die)16 b(zw)o(eite)e(Gleic)o(h)o(ung)h(ist)g(klar,)g(denn)h Fj(x)e Fn(=)g Fj(x)c Fn(+)g(0)15 b Fl(2)f Fj(x)c Fn(+)g Fj(V)25 b Fn(=)p 1401 362 V 14 w Fj(x)14 b Fl(\022)1495 352 y Fh(S)1537 404 y Fg(y)q(inK)1620 395 y Fa(n)p 1653 362 26 2 v 1653 390 a Fj(y)q Fn(.)i(W)l(enn)g(zum)0 449 y(Bew)o(eis)e(der)g(ersten)h(Gleic)o(h)o(ung)f(gilt,)g Fj(z)h Fl(2)p 796 422 28 2 v 14 w Fj(x)9 b Fl(\\)p 874 422 26 2 v 8 w Fj(y)r Fn(,)14 b(dann)i(gibt)f(es)g Fj(v)1228 456 y Fi(1)1247 449 y Fj(;)8 b(v)1293 456 y Fi(2)1326 449 y Fl(2)14 b Fj(V)27 b Fn(mit)13 b Fj(z)i Fn(=)f Fj(x)8 b Fn(+)h Fj(v)1713 456 y Fi(1)1746 449 y Fn(=)14 b Fj(y)c Fn(+)e Fj(v)1902 456 y Fi(2)1921 449 y Fn(.)0 508 y(Also)17 b(ist)h Fj(y)g Fn(=)e Fj(x)c Fn(+)g Fj(v)391 515 y Fi(1)422 508 y Fl(\000)g Fj(v)497 515 y Fi(2)532 508 y Fl(2)17 b Fj(x)12 b Fn(+)g Fj(V)27 b Fn(=)p 781 480 28 2 v 16 w Fj(x)18 b Fn(und)g(daher)g Fj(y)13 b Fn(+)f Fj(v)18 b Fn(=)e Fj(x)c Fn(+)g Fj(v)1360 515 y Fi(1)1391 508 y Fl(\000)g Fj(v)1466 515 y Fi(2)1497 508 y Fn(+)g Fj(v)18 b Fl(2)p 1639 480 V 17 w Fj(x)o Fn(,)g(also)p 1797 480 26 2 v 18 w Fj(y)g Fl(\022)p 1894 480 28 2 v 16 w Fj(x)o Fn(.)0 566 y(Symmetri)o(sc)o(h)13 b(gilt)p 377 538 V 16 w Fj(x)g Fl(\022)p 471 538 26 2 v 14 w Fj(y)18 b Fn(und)e(damit)p 751 538 28 2 v 15 w Fj(x)e Fn(=)p 845 538 26 2 v 14 w Fj(y)q Fn(.)p 1900 566 2 33 v 1902 534 30 2 v 1902 566 V 1931 566 2 33 v 0 642 a Fq(Lemma)i(6.3.)23 b Fk(Je)18 b(zwei)g(Neb)n(enklassen)i(hab)n(en)e(gleich)h(viele)g(Elemente)0 719 y(Beweis.)j Fn(Die)g(Abbildung)h Fj( )j Fn(:)p 621 691 28 2 v 25 w Fj(x)e Fl(3)h Fj(z)i Fl(7!)e Fj(z)17 b Fn(+)f(\()p Fj(y)h Fl(\000)e Fj(x)p Fn(\))25 b Fl(2)p 1194 691 26 2 v 25 w Fj(y)f Fn(ist)f(bijektiv)e(mit)g(der)h(Umk)o (ehrung)p 0 749 V 0 777 a Fj(y)15 b Fl(3)f Fj(z)i Fl(7!)e Fj(z)d Fn(+)d(\()p Fj(x)h Fl(\000)f Fj(y)r Fn(\))14 b Fl(2)p 478 749 28 2 v 14 w Fj(x)p Fn(.)g(T)l(ats)627 779 y(\177)627 777 y(ac)o(hlic)o(h)h(ist)f Fj( )r Fn(\()p Fj(z)r Fn(\))g(=)f Fj( )r Fn(\()p Fj(x)8 b Fn(+)h Fj(v)r Fn(\))k(=)h Fj(x)9 b Fn(+)f Fj(v)j Fn(+)d(\()p Fj(y)j Fl(\000)d Fj(x)p Fn(\))14 b(=)g Fj(y)c Fn(+)f Fj(v)15 b Fl(2)p 1809 749 26 2 v 14 w Fj(y)r Fn(.)p 1900 777 2 33 v 1902 745 30 2 v 1902 777 V 1931 777 2 33 v 0 853 a Fq(De\014nition)j(6.4.)23 b Fn(F)406 855 y(\177)405 853 y(ur)15 b(einen)f(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\)-Co)q(de)16 b Fj(V)25 b Fl(\022)14 b Fj(K)1000 835 y Fg(n)1038 853 y Fn(sc)o(hreib)q(en)g(wir)h(die)f(Elemen)o(ts)f(v)o(on)i Fj(K)1757 835 y Fg(n)1795 853 y Fn(in)g(eine)0 911 y(T)l(afel.)e(In)h (der)g(ersten)g(Zeile)e(stehen)i(die)f(Elemen)o(te)f(v)o(on)i Fj(V)d Fn(.)j(An)f(erster)h(Stelle)f(der)h(T)l(afel)f(steh)o(t)h(die)g (0)g Fl(2)0 969 y Fj(V)d Fn(.)16 b(Aus)g(jeder)f(Neb)q(enklasse)p 564 942 28 2 v 16 w Fj(x)e Fl(2)h Fj(K)697 951 y Fg(n)721 969 y Fj(=V)28 b Fn(w)836 971 y(\177)836 969 y(ahlen)16 b(wir)g(ein)f(Elemen)o(t)f Fj(u)i Fn(aus,)g(einen)f Fk(R)n(epr)1693 971 y(\177)1693 969 y(asentanten)p Fn(,)0 1027 y(und)21 b(sc)o(hreib)q(en)g(alle)f(diese)g(Repr)644 1029 y(\177)644 1027 y(asen)o(tan)o(ten)h Fj(R)g Fn(in)g(die)f(erste)h(Spalte.)f(In)h (die)1536 1029 y(\177)1535 1027 y(ubrigen)f(F)l(elder)g(der)0 1086 y(T)l(afel)h(sc)o(hreib)q(en)g(wir)h(die)f(Summen)e(der)i(links)g (und)h(ob)q(en)1165 1088 y(\177)1164 1086 y(ub)q(er)g(dem)e(F)l(eld)h (stehenden)g(Elemen)o(te)0 1144 y Fj(u)14 b Fn(+)g Fj(v)22 b Fn(mit)e Fj(u)h Fl(2)h Fj(R)g Fn(und)f Fj(v)i Fl(2)f Fj(V)11 b Fn(.)21 b(Eine)f(solc)o(he)g(T)l(afel)h(nennen)g(wir)f Fk(Standar)n(dtafel)p Fn(.)h(Sie)g(b)q(esitzt)f Fj(q)1912 1126 y Fg(n)0 1202 y Fn(Elemen)o(te)13 b(ausgeteilt)j(in)g Fj(q)514 1184 y Fg(k)551 1202 y Fn(Spalten)g(und)h Fj(q)849 1184 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)935 1202 y Fn(Zeilen.)0 1278 y Fq(Beispiel)g(6.5.)23 b Fn(F)354 1280 y(\177)353 1278 y(ur)16 b(unser)h(Beispiel)d(ist)183 1353 y(\(00000\))43 b(\(10011\))g(\(01010\))h(\(11001\))f(\(00101\))h(\(10110\))f (\(01111\))g(\(11100\))183 1411 y(\(10000\))g(\(00011\))g(\(11010\))h (\(01001\))f(\(10101\))h(\(00110\))f(\(11111\))g(\(01100\))183 1469 y(\(01000\))g(\(11011\))g(\(00010\))h(\(10001\))f(\(01101\))h (\(11110\))f(\(00111\))g(\(10100\))183 1528 y(\(00100\))g(\(10111\))g (\(01110\))h(\(11101\))f(\(00001\))h(\(10010\))f(\(01011\))g(\(11000\)) 0 1604 y(eine)15 b(Standardtafel.)0 1680 y Fq(Bemerkung)i(6.6.)23 b Fn(Zur)i Fk(Deko)n(dierung)g Fn(b)q(ez)872 1682 y(\177)871 1680 y(uglic)o(h)e(des)h(Co)q(des)h Fj(V)39 b Fl(\022)27 b Fj(K)1444 1662 y Fg(n)1492 1680 y Fn(w)1527 1682 y(\177)1527 1680 y(ahle)d(man)g(n)o(un)g(den)0 1739 y(empfangenen)c(V)l(ektor)g Fj(y)j Fn(=)f Fj(u)14 b Fn(+)g Fj(v)22 b Fn(aus)g(der)f(T)l(afel)f(und) i(dek)o(o)q(diere)d(ihn)i(zu)g(dem)e(in)i Fj(V)32 b Fn(gelegenen)0 1797 y(V)l(ektor)21 b Fj(v)r Fn(.)f(Das)j(ist)e(eine)g(k)o(orrekte)f (Dek)o(o)q(dierung)h(genau)i(dann,)e(w)o(enn)h Fj(u)p Fn(,)f(der)g(Repr)1667 1799 y(\177)1667 1797 y(asen)o(tan)o(t)g(der)0 1855 y(zugeh)122 1857 y(\177)122 1855 y(origen)16 b(Neb)q(enklasse,)f (der)h(F)l(ehler)f(b)q(ei)h(der)958 1844 y(\177)952 1855 y(Ub)q(ertragung)i(w)o(ar.)50 1913 y(Man)12 b(b)q(eac)o(h)o(te,)e (da\031)j(der)e(Hamming-Abstand)f(eines)h(empfangenen)g(V)l(ektors)g Fj(y)i Fn(zu)f(dem)e(am)h(Anfang)0 1971 y(der)22 b(Spalte)f(stehenden)g (V)l(ektor)g Fj(v)k Fl(2)e Fj(V)33 b Fn(des)22 b(Co)q(des)h(genau)f (gleic)o(h)f(dem)f(Hamming-Gewic)o(h)n(t)f(des)0 2029 y(Di\013erenzv)o(ektors)12 b Fl(k)p Fj(u)p Fl(k)h Fn(=)h Fl(k)p Fj(y)7 b Fl(\000)e Fj(x)p Fl(k)13 b Fn(=)h Fj(d)p Fn(\()p Fj(y)r(;)8 b(x)p Fn(\))k(ist.)h(Daher)h(w)1126 2031 y(\177)1126 2029 y(ahlt)f(man)g(als)g(Repr)1503 2031 y(\177)1503 2029 y(asen)o(tan)o(ten)g(V)l(ektoren)0 2087 y(minim)o(alen)g(Hamming-Gewic)o(h)o(te)o(s)h(in)i(der)g(en)o (tsprec)o(henden)f(Neb)q(enklasse.)0 2164 y Fq(Beispiel)i(6.7.)23 b Fn(In)12 b(unserem)f(Beispiel)g(sehen)h(wir,)g(da\031)h(genau)h(die)d (F)l(ehler)h(\(10000\))p Fj(;)c Fn(\(01000\))p Fj(;)g Fn(\(00)q(10)q(0\))0 2222 y(k)o(orrigiert)15 b(w)o(erden)h(k)407 2224 y(\177)407 2222 y(onnen.)50 2280 y(Die)h(dritte)g(und)g(vierte)g (Zeile)e(des)j(ob)q(en)g(gegeb)q(enen)g(Beispiels)d(zeigen,)i(da\031)h (auc)o(h)g(durc)o(h)f(die)g(Be-)0 2338 y(dingung)22 b(minimale)o(n)d (Hamming-Gewic)o(h)o(ts)f(der)k(Repr)1068 2340 y(\177)1068 2338 y(asen)o(tan)o(t)f(no)q(c)o(h)h(nic)o(h)o(t)e(eindeutig)h(b)q (estimm)o(t)0 2396 y(ist.)c(Der)g(gegeb)q(ene)h(Co)q(de)g(hat)g(das)g (Hamming-Gewic)o(h)o(t)c(2,)k(k)m(ann)g(also)g(auc)o(h)f(\(global\))h (k)o(eine)e(F)l(ehler)0 2454 y(k)o(orrigieren.)50 2512 y(W)l(enn)g(wir)g(jedo)q(c)o(h)g(den)g(dualen)g(\(5,2\)-Co)q(de)i(b)q (etrac)o(h)o(ten)393 2593 y Fj(V)432 2572 y Fb(?)475 2593 y Fn(=)c Fl(f)p Fn(\(0)j(0)f(0)h(0)g(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)16 b(1)h(0)g(1)f(0\))p Fj(;)8 b Fn(\(1)17 b(0)g(1)g(0)f(1\))p Fj(;)8 b Fn(\(0)17 b(1)g(1)f(1)h(1\))p Fl(g)0 2671 y Fn(b)q(etrac)o(h)o(ten,)e(dann)i(hat)g(dieser)e(die)h(Kon)o (trollmatrix)825 2708 y Fh(0)825 2795 y(B)825 2825 y(B)825 2855 y(B)825 2885 y(B)825 2917 y(@)889 2750 y Fn(1)42 b(0)g(0)889 2809 y(0)g(1)g(0)889 2867 y(0)g(0)g(1)889 2925 y(1)g(1)g(0)889 2983 y(1)g(0)g(1)1066 2708 y Fh(1)1066 2795 y(C)1066 2825 y(C)1066 2855 y(C)1066 2885 y(C)1066 2917 y(A)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(15)0 179 y Fn(und)15 b(damit)e(das)i(Hamming-Gewic)o(h)o(t)c(3,)k(k)m (ann)g(also)g(einen)e(F)l(ehler)h(imm)o(er)e(\(!\))i(k)o(orrigieren.)e (Das)k(zeigt)0 238 y(auc)o(h)g(die)g(zugeh)316 240 y(\177)316 238 y(orige)g(Standardtafel)585 321 y(\(00000\))44 b(\(11010\))f (\(10101\))h(\(01111\))585 379 y(\(00001\))g(\(11011\))f(\(10100\))h (\(01110\))585 437 y(\(00010\))g(\(11000\))f(\(10111\))h(\(01101\))585 495 y(\(00100\))g(\(11110\))f(\(10001\))h(\(01011\))585 553 y(\(01000\))g(\(10010\))f(\(11101\))h(\(00111\))585 611 y(\(10000\))g(\(01010\))f(\(00101\))h(\(11111\))585 670 y(\(01001\))g(\(10011\))f(\(11100\))h(\(00110\))585 728 y(\(01100\))g(\(10110\))f(\(11001\))h(\(00011\))0 815 y(Man)12 b(k)m(ann)g(alle)e(einzeln)g(auftreten)h(F)l(ehler)f(und)i (die)f(Dopp)q(elfehler)g(\(01001\))i(und)f(\(01100\))h(k)o(orrigieren.) 0 907 y Fq(Bemerkung)k(6.8.)23 b Fn(Das)i(Problem)d(b)q(ei)h(dieser)g (Dek)o(o)q(dierung)h(ist,)f(da\031)h(die)f(T)l(afel)g(eines)g(bin)1843 909 y(\177)1843 907 y(aren)0 966 y(\(50,30\)-Co)q(des)e(mehr)c(als)i (10)564 947 y Fi(15)621 966 y Fn(Ein)o(tr)732 968 y(\177)732 966 y(age)g(hat,)f(in)h(denen)f(man)g(\(unsystematisc)o(h\))f(nac)o(h)i (den)f(emp-)0 1024 y(fangenen)f(W)l(ort)f(suc)o(hen)g(m)o(u\031,)f(um)g (es)h(zu)g(dek)o(o)q(dieren.)0 1116 y Fq(De\014nition)i(6.9.)23 b Fn(Sei)11 b Fj(V)25 b Fl(\022)13 b Fj(K)597 1098 y Fg(n)632 1116 y Fn(ein)e(Co)q(de)h(und)f Fj(H)16 b Fn(eine)10 b(Kon)o(trollmatrix.)f(Sei)h Fj(x)k Fl(2)g Fj(K)1622 1098 y Fg(n)1657 1116 y Fn(ein)c(b)q(eliebiger)0 1174 y(\(empfangener\))15 b(V)l(ektor.)g(Dann)i(hei\031t)887 1240 y Fj(s)d Fn(=)g Fj(xH)0 1317 y Fk(das)j(Syndr)n(om,)g(der)g(Parit) 501 1319 y(\177)501 1317 y(ats-Pr)633 1319 y(\177)633 1317 y(ufungs-V)l(ektor)j(o)n(der)c(der)i(Kontr)n(ol)r(lvektor)g Fn(v)o(on)e Fj(x)p Fn(.)0 1409 y Fq(Lemma)g(6.10.)23 b Fj(x)14 b Fl(2)g Fj(K)472 1391 y Fg(n)513 1409 y Fk(ist)j(genau)i (dann)f(ein)g(Co)n(dewort,)f(wenn)i(sein)f(Syndr)n(om)f(Nul)r(l)i(ist.) 50 1467 y(Zwei)e(V)l(ektor)n(en)g Fj(x)396 1474 y Fi(1)432 1467 y Fk(und)g Fj(x)555 1474 y Fi(2)591 1467 y Fk(sind)f(genau)i(dann) f(in)f(derselb)n(en)i(Neb)n(enklasse,)h(wenn)f(ihr)n(e)d(Syndr)n(ome)0 1527 y(\177)0 1525 y(ub)n(er)n(einstimmen.)50 1583 y(Insb)n(esonder)n (e)j(ist)f(daher)g(das)g(Syndr)n(om)g(einer)h(Neb)n(enklasse)h (eindeutig)g(b)n(estimmt.)f(Weiter)f(hab)n(en)0 1642 y(zwei)h(Neb)n(enklassen)i(dasselb)n(e)f(Syndr)n(om)d(genau)j(dann,)f (wenn)h(sie)f(gleich)h(sind.)0 1734 y(Beweis.)j Fn(Dieses)16 b(ist)g(in)g(w)o(esen)o(tlic)o(hen)e(der)i(Homomorphiesatz)e(f)1237 1736 y(\177)1236 1734 y(ur)i(lineare)f(Abbildungen.)50 1792 y(Wir)h(wissen)g(sc)o(hon)g Fj(V)25 b Fn(=)14 b(Ker\()p Fj(H)t Fn(\),)i(also)h Fj(s)c Fn(=)h Fj(xH)k Fn(=)c(0)i(genau)h(dann,)g (w)o(enn)f Fj(x)d Fl(2)h Fj(V)e Fn(.)50 1850 y Fj(x)78 1857 y Fi(1)116 1850 y Fn(und)20 b Fj(x)245 1857 y Fi(2)284 1850 y Fn(sind)f(genau)h(dann)g(in)e(derselb)q(en)h(Neb)q(enklasse,)f (w)o(enn)h Fj(x)1386 1857 y Fi(1)1424 1850 y Fl(2)p 1476 1822 48 2 v 19 w Fj(x)1504 1857 y Fi(2)1543 1850 y Fn(genau)h(dann,)f (w)o(enn)0 1908 y Fj(x)28 1915 y Fi(1)75 1908 y Fn(=)28 b Fj(x)169 1915 y Fi(2)205 1908 y Fn(+)16 b Fj(v)26 b Fn(f)325 1910 y(\177)324 1908 y(ur)e(ein)g Fj(v)29 b Fl(2)f Fj(V)35 b Fn(genau)25 b(dann,)g(w)o(enn)f(\()p Fj(v)29 b Fn(=\))p Fj(x)1242 1915 y Fi(1)1278 1908 y Fl(\000)16 b Fj(x)1361 1915 y Fi(2)1408 1908 y Fl(2)28 b Fj(V)36 b Fn(genau)25 b(dann,)f(w)o(enn)0 1966 y(\()p Fj(x)47 1973 y Fi(1)74 1966 y Fl(\000)8 b Fj(x)149 1973 y Fi(2)169 1966 y Fn(\))p Fj(H)18 b Fn(=)13 b(0)j(genau)f(dann,)g(w)o (enn)g Fj(x)763 1973 y Fi(1)782 1966 y Fj(H)j Fn(=)c Fj(x)920 1973 y Fi(2)939 1966 y Fj(H)19 b Fn(genau)d(dann,)f(w)o(enn)f (die)g(Syndrome)g(v)o(on)h Fj(x)1820 1973 y Fi(1)1854 1966 y Fn(und)0 2024 y Fj(x)28 2031 y Fi(2)65 2026 y Fn(\177)64 2024 y(ub)q(ereinstimm)o(en.)50 2082 y(Damit)g(ist)h(klar,)f (da\031)i(alle)e(Elemen)o(te)f(einer)h(festen)h(Neb)q(enklasse)f (dasselb)q(e)i(Syndrom)e(hab)q(en)i(und)0 2140 y(da\031)23 b(Elemen)o(te)c(aus)k(v)o(ersc)o(hiedenen)d(Neb)q(enklassen)h(v)o(ersc) o(hiedene)e(Syndrome)i(hab)q(en.)i(Also)e(k)m(ann)0 2199 y(man)g(v)o(om)e(Sydrom)i(einer)f(Neb)q(enklasse)h(sprec)o(hen.)f(Die)h (Abbildung,)f(die)h(jeder)g(Neb)q(enklasse)f(ihr)0 2257 y(Syndrom)15 b(zuordnet,)h(ist)g(injektiv.)p 1900 2257 2 33 v 1902 2225 30 2 v 1902 2257 V 1931 2257 2 33 v 0 2349 a Fq(Bemerkung)h(6.11.)23 b(Syndrom-Dek)n(o)r(dierung:)9 b Fn(Das)k(Syndrom)e(eines)g(b)q(eliebigen)g(Elemen)o(ts)e Fj(x)14 b Fl(2)0 2407 y Fj(K)45 2389 y Fg(n)89 2407 y Fn(l)103 2409 y(\177)103 2407 y(a\031t)20 b(sic)o(h)f(leic)o(h)o(t)f (ausrec)o(hnen,)i(als)g Fj(s)g Fn(=)h Fj(xH)t Fn(.)e(W)l(enn)h(man)f (eine)h(T)l(afel)f(bildet,)g(in)h(der)g(die)f(aus-)0 2465 y(gew)81 2467 y(\177)81 2465 y(ahlten)11 b(Repr)329 2467 y(\177)329 2465 y(asen)o(tan)o(ten)g(der)g(Neb)q(enklassen)f (\(mit)g(minim)o(alem)d(Hammi)o(ng-Gewic)o(h)o(t\))h(neb)q(en)j(den)0 2523 y(Syndromen)16 b(dieser)h(Repr)501 2525 y(\177)501 2523 y(asen)o(tan)o(ten)h(stehen,)f(genann)o(t)h Fk(Syndr)n(omtafel)p Fn(,)f(w)o(enn)g(wir)h(also)g(die)f(Abbil-)0 2581 y(dung)g Fj(')e Fn(:)f Fl(f)p Fn(Syndrome)o Fl(g)g(!)h(f)p Fn(Repr)668 2583 y(\177)668 2581 y(asen)o(tan)o(ten)o Fl(g)i Fn(k)o(ennen,)e(dann)i (k)1264 2583 y(\177)1264 2581 y(onnen)g(wir)f(wie)h(folgt)f(dek)o(o)q (dieren.)0 2639 y(Man)21 b(nehme)d(einen)i(b)q(eliebigen)f (\(empfangenen\))g(V)l(ektor)h Fj(x)g Fl(2)h Fj(K)1286 2621 y Fg(n)1310 2639 y Fn(,)f(bilde)f(ihn)h(auf)h(sein)f(Syndrom)0 2697 y(ab)d(durc)o(h)f Fj(xH)k Fn(|)c(dadurc)o(h)h(ist)f(die)g(Neb)q (enklasse)g(v)o(on)g Fj(x)g Fn(sc)o(hon)h(b)q(estimm)n(t,)c(bilde)j (den)g(zugeh)1805 2699 y(\177)1805 2697 y(origen)0 2755 y(Repr)104 2757 y(\177)104 2755 y(asen)o(tan)o(ten)h Fj(u)f Fn(:=)g Fj(')p Fn(\()p Fj(xH)t Fn(\))i(und)g(b)q(erec)o(hne)f Fj(v)g Fn(:=)f Fj(x)c Fl(\000)g Fj(u)p Fn(.)17 b(Dann)h(hat)h(man)e (einen)f(V)l(ektor)h Fj(v)h Fl(2)f Fj(V)0 2814 y Fn(mit)d(der)h (Eigensc)o(haft,)h(da\031)g(der)g(Hammi)o(ng-Abstand)e Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(v)r Fn(\))13 b(=)h Fl(k)p Fj(x)c Fl(\000)g Fj(v)r Fl(k)j Fn(=)h Fl(k)p Fj(u)p Fl(k)h Fn(minim)o(al)e (ist)j(un)o(ter)0 2872 y(den)21 b(Hamming-Abst)425 2874 y(\177)425 2872 y(anden)e Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(v)691 2854 y Fb(0)702 2872 y Fn(\))22 b(f)759 2874 y(\177)758 2872 y(ur)f(alle)g Fj(v)946 2854 y Fb(0)979 2872 y Fl(2)i Fj(V)12 b Fn(.)21 b(F)1143 2874 y(\177)1142 2872 y(ur)g(ein)g(b)q (eliebiges)f Fj(v)1545 2854 y Fb(0)1579 2872 y Fl(2)i Fj(V)33 b Fn(ist)21 b(n)1795 2874 y(\177)1795 2872 y(amlic)o(h)0 2930 y(\()p Fj(x)8 b Fl(\000)g Fj(v)128 2912 y Fb(0)139 2930 y Fn(\))p Fj(H)18 b Fn(=)c Fj(xH)f Fl(\000)8 b Fj(v)422 2912 y Fb(0)433 2930 y Fj(H)18 b Fn(=)c Fj(xH)t Fn(,)g(d.)h(h.)f Fj(x)h Fn(und)g Fj(x)9 b Fl(\000)f Fj(v)1003 2912 y Fb(0)1029 2930 y Fn(liegen)14 b(in)g(derselb)q(en)h(Neb)q(enklasse)f(und)h(hab)q (en)0 2988 y(damit)d(denselb)q(en)i(Repr)464 2990 y(\177)464 2988 y(asen)o(tan)o(ten)f Fj(u)p Fn(.)g(Damit)g(ist)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(v)r Fn(\))13 b(=)h Fl(k)p Fj(x)6 b Fl(\000)g Fj(v)r Fl(k)12 b Fn(=)i Fl(k)p Fj(u)p Fl(k)f(\024)h(k)p Fj(x)6 b Fl(\000)g Fj(v)1671 2970 y Fb(0)1681 2988 y Fl(k)14 b Fn(=)g Fj(d)p Fn(\()p Fj(x;)8 b(v)1892 2970 y Fb(0)1902 2988 y Fn(\).)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 0 85 a Fm(16)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)50 179 y Fn(Zur)25 b(Darstellung)h(v)o(on)g Fj(')k Fn(:)g Fl(f)p Fn(Syndrome)n Fl(g)g(!)g(f)p Fn(Repr)1132 181 y(\177)1132 179 y(asen)o(tan)o(ten)p Fl(g)25 b Fn(b)q(en)1487 181 y(\177)1487 179 y(otigen)i(wir)e(f)1753 181 y(\177)1752 179 y(ur)h(einen)0 238 y(bin)68 240 y(\177)68 238 y(aren)21 b(\(50,30\)-Co)q(de)h(n)o(ur)f(no)q(c)o(h)g(2)g(Spalten)f(mit)f(je)h (10)1114 219 y Fi(6)1155 238 y Fn(Elemen)o(ten,)e(eine)h(w)o(esen)o (tlic)o(he)f(V)l(erb)q(es-)0 296 y(serung)25 b(gegen)283 298 y(\177)282 296 y(ub)q(er)g(der)g(Standardtafel)g(mit)e(10)955 278 y Fi(15)1018 296 y Fn(Ein)o(tr)1129 298 y(\177)1129 296 y(agen.)i(Dar)1346 298 y(\177)1345 296 y(ub)q(er)g(hinaus)g(k)m (ann)h(man)e(die)0 354 y(Syndromein)o(tr)292 356 y(\177)292 354 y(age)14 b(so)i(ordnen,)g(da\031)g(sie)f(in)h(lexik)o(ographisc)o (h)e(aufsteigender)h(Reihenfolge)g(auftreten,)0 412 y(w)o(o)q(durc)o(h) h(die)g(Suc)o(he)g(nac)o(h)g(dem)e(en)o(tsprec)o(henden)h(Ein)o(trag)i (w)o(esen)o(tlic)o(h)d(v)o(erk)1478 414 y(\177)1477 412 y(urzt)g(wird.)50 470 y(Die)j(Standardtafeln)i(unseres)f(Beispiels)e(f) 865 472 y(\177)864 470 y(ur)i(einen)f(Co)q(de)h(und)g(seinen)g(dualen)g (Co)q(de)g(v)o(erringern)0 528 y(sic)o(h)d(also)i(auf)823 610 y(\(00\))43 b(\(00000\))823 668 y(\(11\))g(\(10000\))823 726 y(\(10\))g(\(01000\))823 785 y(\(01\))g(\(00100\))0 888 y(bzw.)811 970 y(\(000\))g(\(00000\))811 1028 y(\(101\))g (\(00001\))811 1087 y(\(110\))g(\(00010\))811 1145 y(\(001\))g (\(00100\))811 1203 y(\(010\))g(\(01000\))811 1261 y(\(100\))g (\(10000\))811 1319 y(\(111\))g(\(01001\))811 1377 y(\(011\))g (\(01100\))50 1481 y(Die)13 b(hier)f(diskutierte)g(Metho)q(de)h(der)g (Syndromdek)o(o)q(dierung)g(ist)g(eine)f(der)h(einfac)o(hsten)f(Metho)q (den,)0 1539 y(die)g(f)91 1541 y(\177)90 1539 y(ur)g(alle)g(linearen)g (Co)q(des)h(angew)o(endet)g(w)o(erden)f(k)m(ann.)h(F)1141 1541 y(\177)1140 1539 y(ur)f(gro\031e)i(Co)q(des)f(ist)f(jedo)q(c)o(h)h (die)f(Sydrom-)0 1597 y(tafel)19 b(imme)o(r)e(no)q(c)o(h)j(unhandlic)o (h)e(gro\031.)j(Sp)q(eziellere)c(Co)q(des)j(gestatten)g(elegan)o(tere)e (F)l(ehlerk)o(orrektur)0 1655 y(und)f(Dek)o(o)q(dierung.)738 1860 y(7.)27 b Fo(Hamming-Codes)0 1948 y Fq(De\014nition)18 b(7.1.)23 b(Hamming-Co)r(des)9 b Fn(Sei)i Fj(m)i Fl(2)h Fe(N)f Fn(eine)d(nat)1183 1950 y(\177)1182 1948 y(urlic)o(he)h(Zahl.)g (Wir)g(bilden)g(eine)g(Matrix)0 2006 y(mit)k(2)114 1988 y Fg(m)158 2006 y Fl(\000)c Fn(1)17 b(Zeilen)e(und)h Fj(m)g Fn(Spalten.)g(Die)g(Zeilen)e(m)1013 2008 y(\177)1013 2006 y(ogen)i(aus)h(allen)f Fj(m)p Fn(-T)l(up)q(eln)g(aus)h Fj(K)h Fn(=)c Fe(F)1779 2013 y Fi(2)1818 2006 y Fn(au\031er)0 2064 y(der)f(Null)f(b)q(estehen,)h(also)h(aus)g(allen)e(Elemen)o(ten)f (aus)j Fe(F)1039 2046 y Fg(m)1039 2076 y Fi(2)1080 2064 y Fl(n)5 b(f)p Fn(0)p Fl(g)p Fn(.)13 b(Man)h(b)q(eac)o(h)o(te,)e (da\031)i(jeder)f(V)l(ektor)f(b)q(ei)0 2122 y(der)j(Addition)g(zu)g (sic)o(h)g(selbst)g(in)o(v)o(ers)f(ist,)h(da\031)h(also)g(die)f(Summe)e (zw)o(eier)h(v)o(ersc)o(hiedener)e(Zeilen)i(nic)o(h)o(t)0 2180 y(die)g(Nullzeile)d(ist.)j(Damit)f(sind)h(je)g(zw)o(ei)f(v)o(ersc) o(hiedene)f(V)l(ektoren)h(dieser)h(Matrix)f(linear)h(unabh)1807 2182 y(\177)1807 2180 y(angig.)50 2238 y(Wir)20 b(b)q(etrac)o(h)o(ten)g (diese)g(Matrix)f(als)i(Kon)o(trollmatrix)d(f)1124 2240 y(\177)1123 2238 y(ur)j(einen)f(Co)q(de)h Fj(V)32 b Fn(=)21 b(Ker\()p Fj(H)t Fn(\).)f(Die)g(Co-)0 2296 y(dew)84 2298 y(\177)84 2296 y(orter)f(hab)q(en)h(die)e(L)465 2298 y(\177)465 2296 y(ange)i(2)606 2278 y Fg(m)653 2296 y Fl(\000)13 b Fn(1,)19 b(das)h(Hammi)o(ng-Gewic)o(h)o(t)c(dieses)i(Co)q (des)j(ist)d Fl(k)p Fj(V)12 b Fl(k)18 b Fn(=)h(3)g(nac)o(h)0 2354 y(\(4.3\),)13 b Fj(V)24 b Fn(hat)13 b(die)f(Dimension)g(2)599 2336 y Fg(m)637 2354 y Fl(\000)t Fn(1)t Fl(\000)t Fj(m)h Fn(und)g(jedes)f(Co)q(dew)o(ort)i(hat)f Fj(m)g Fn(Kon)o(trollbits.)f (Damit)f(hab)q(en)0 2413 y(wir)g(einen)f(\(2)244 2395 y Fg(m)279 2413 y Fl(\000)q Fn(1)p Fj(;)e Fn(2)389 2395 y Fg(m)424 2413 y Fl(\000)q Fn(1)q Fl(\000)q Fj(m)p Fn(\)-Co)q(de)j(k)o (onstruiert,)f(der)h(2-fehlererk)o(ennend)f(und)h(1-fehlerk)o (orrigiernd)0 2471 y(ist.)18 b(Sei)h(also)g Fj(n)g Fn(=)f(2)394 2453 y Fg(m)440 2471 y Fl(\000)13 b Fn(1)19 b(und)h Fj(k)g Fn(=)e(2)761 2453 y Fg(m)808 2471 y Fl(\000)13 b Fn(1)g Fl(\000)g Fj(m)p Fn(.)18 b(Der)h(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\)-Co)q(de)20 b(hat)f(nac)o(h)g(\(6.4\))g(2)1732 2453 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)1821 2471 y Fn(=)f(2)1901 2453 y Fg(m)0 2529 y Fn(Neb)q(enklassen) g(und)h(damit)e(2)572 2511 y Fg(m)618 2529 y Fl(\000)c Fn(1)19 b(k)o(orrigierbare)e(F)l(ehler,)g(un)o(ter)h(ihnen)g(die)g (Einzelfehler.)d(Da)20 b(die)0 2587 y(L)30 2589 y(\177)30 2587 y(ange)h(der)f(Co)q(dew)380 2589 y(\177)380 2587 y(orter)h(eb)q(enfalls)e(2)732 2569 y Fg(m)780 2587 y Fl(\000)13 b Fn(1)21 b(ist,)e(sind)h(die)f(Repr)1255 2589 y(\177)1255 2587 y(asen)o(tan)o(ten)h(kleinsten)e(Hamming-)0 2645 y(Gewic)o(h)o(ts)g(genau)j(die)d(Einzelfehler)g(f)723 2647 y(\177)722 2645 y(ur)h(diesen)g(Co)q(de.)h(Dieser)f(Co)q(de)h (wird)f(\()p Fj(n;)8 b(k)r Fn(\)-)p Fk(Hamming-Co)n(de)0 2703 y Fn(genann)o(t.)50 2812 y(Es)16 b(gilt)g(also)0 2920 y Fq(Lemma)g(7.2.)23 b Fk(In)14 b(einem)i(Hamming-Co)n(de)e(sind)h (die)f(R)n(epr)1133 2922 y(\177)1133 2920 y(asentanten)h(der)f(Neb)n (enklassen)j(kleinsten)0 2978 y(Hamming-Gewichts)i(genau)g(die)f (Einzelfehler)h(f)932 2980 y(\177)932 2978 y(ur)e(diesen)i(Co)n(de.)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(17)0 179 y Fq(Beispiel)17 b(7.3.)23 b Fn(Der)11 b(in)g(\(2.1\))h(b)q (esc)o(hrieb)q(ene)e(Co)q(de)i(ist)f(der)g(Hammi)o(ng-Co)q(de)f(zu)h Fj(m)j Fn(=)f(3,)f Fj(n)i Fn(=)f(2)1798 161 y Fi(3)1819 179 y Fl(\000)q Fn(1)h(=)0 238 y(7)j(und)f Fj(k)g Fn(=)e Fj(n)d Fl(\000)g Fj(m)i Fn(=)h(7)e Fl(\000)e Fn(3)15 b(=)e(4.)k(Die)e(Kon)o(trollmatrix)f(ist)759 482 y Fj(H)k Fn(=)869 277 y Fh(0)869 365 y(B)869 395 y(B)869 425 y(B)869 455 y(B)869 485 y(B)869 514 y(B)869 544 y(B)869 576 y(@)933 307 y Fn(0)42 b(1)g(1)933 365 y(1)g(0)g(1)933 423 y(1)g(1)g(0)933 481 y(1)g(1)g(1)933 539 y(1)g(0)g(0)933 597 y(0)g(1)g(0)933 656 y(0)g(0)g(1)1110 277 y Fh(1)1110 365 y(C)1110 395 y(C)1110 425 y(C)1110 455 y(C)1110 485 y(C)1110 514 y(C)1110 544 y(C)1110 576 y(A)1162 482 y Fj(:)0 735 y Fn(Sie)16 b(geh)152 737 y(\177)152 735 y(ort)g(gem)318 737 y(\177)318 735 y(a\031)g(\(5.3\))h(zu)f(einer)f(systematisc)o(hen)f(erzeugenden)h (Matrix)630 904 y Fj(B)h Fn(=)735 774 y Fh(0)735 861 y(B)735 891 y(B)735 923 y(@)799 816 y Fn(1)42 b(0)g(0)g(0)g(0)g(1)g(1) 799 874 y(0)g(1)g(0)g(0)g(1)g(0)g(1)799 932 y(0)g(0)g(1)g(0)g(1)g(1)g (0)799 990 y(0)g(0)g(0)g(1)g(1)g(1)g(1)1240 774 y Fh(1)1240 861 y(C)1240 891 y(C)1240 923 y(A)1292 904 y Fj(:)0 1076 y Fq(Satz)19 b(7.4.)k(Hamming-Dek)m(o)r(dier)o(ung)15 b Fk(Wenn)i(man)g(b)n(ei)g(dem)g(A)o(ufb)n(au)g(der)g(Kontr)n(ol)r (lmatrix)h Fj(H)j Fk(in)0 1134 y(die)g Fj(i)p Fk(-te)h(Zeile)g(die)f (Bin)459 1136 y(\177)459 1134 y(arzahl)g(f)623 1136 y(\177)623 1134 y(ur)f Fj(i)h Fk(schr)n(eibt,)g(dann)g(er)n(gibt)h(das)e(Syndr)n (om)g Fj(xH)25 b Fk(f)1593 1136 y(\177)1593 1134 y(ur)c(einen)h(V)l (ektor)0 1192 y Fj(x)14 b Fl(2)g Fj(K)134 1174 y Fg(n)175 1192 y Fk(den)k(Bin)343 1194 y(\177)343 1192 y(arwert)g(f)513 1194 y(\177)513 1192 y(ur)f(diejenige)i(Stel)r(le,)h(an)e(der)f(der)h (Einzelfehler)h(aufgetr)n(eten)g(ist.)0 1277 y(Beweis.)j Fn(W)l(enn)h Fj(v)k Fl(2)e Fj(V)500 1279 y Fn(\177)499 1277 y(ub)q(ertragen)f(wird)e(und)i(der)f(Einzelfehler)d(b)q(ei)j(der) 1522 1266 y(\177)1516 1277 y(Ub)q(ertragung)h Fj(e)1833 1284 y Fg(i)1870 1277 y Fn(ist,)0 1335 y(d.)18 b(h.)h(an)g(der)f Fj(i)p Fn(-ten)h(Stelle)e(ist,)h(w)o(enn)h(also)g Fj(v)14 b Fn(+)f Fj(e)955 1342 y Fg(i)987 1335 y Fn(empfangen)18 b(wird,)g(dann)h(ist)g(das)g(Syndrom)f Fj(s)g Fn(=)0 1393 y(\()p Fj(v)9 b Fn(+)f Fj(e)121 1400 y Fg(i)135 1393 y Fn(\))p Fj(H)18 b Fn(=)13 b Fj(e)286 1400 y Fg(i)300 1393 y Fj(H)18 b Fn(=)c Fj(h)438 1400 y Fg(i)467 1393 y Fn(die)g Fj(i)p Fn(-te)g(Zeile)f(v)o(on)h Fj(H)t Fn(,)h(also)g(die)f (bin)1151 1395 y(\177)1151 1393 y(are)g(Darstellung)h(der)g(Zahl)f Fj(i)g Fn(und)h(damit)0 1451 y(der)h(F)l(ehlerstelle.)p 1900 1451 2 33 v 1902 1420 30 2 v 1902 1451 V 1931 1451 2 33 v 0 1536 a Fq(Beispiel)h(7.5.)23 b Fn(Eine)16 b(Kon)o(trollmatrix) d(f)784 1538 y(\177)783 1536 y(ur)j(einen)g(Co)q(de)g(ist)g(nic)o(h)o (t)f(eindeutig)g(b)q(estimm)o(t.)d(W)l(enn)k(wir)0 1594 y(als)g(Kon)o(trollmatrix)770 1814 y Fj(H)i Fn(=)880 1609 y Fh(0)880 1697 y(B)880 1727 y(B)880 1757 y(B)880 1786 y(B)880 1816 y(B)880 1846 y(B)880 1876 y(B)880 1908 y(@)944 1639 y Fn(0)42 b(0)g(1)944 1697 y(0)g(1)g(0)944 1755 y(0)g(1)g(1)944 1813 y(1)g(0)g(0)944 1871 y(1)g(0)g(1)944 1929 y(1)g(1)g(0)944 1987 y(1)g(1)g(1)1121 1609 y Fh(1)1121 1697 y(C)1121 1727 y(C)1121 1757 y(C)1121 1786 y(C)1121 1816 y(C)1121 1846 y(C)1121 1876 y(C)1121 1908 y(A)0 2054 y Fn(w)35 2056 y(\177)35 2054 y(ahlen,)20 b(dann)i(ist)e(diese)g (w)o(egen)g Fj(B)s(H)26 b Fn(=)21 b(0)g(Kon)o(trollmatrix)d(f)1221 2056 y(\177)1220 2054 y(ur)j(dieselb)q(e)f(erzeugende)f(Matrix)h Fj(B)0 2112 y Fn(und)14 b(den)g(dadurc)o(h)h(erzeugten)e(Co)q(de.)i (Diese)e(Kon)o(trollmatrix)f(erlaubt)i(eine)f(F)l(ehlerk)o(orrektur)f (wie)i(im)0 2170 y(Beispiel)g(\(2.1\))j(mit)d(den)i(V)l(ektoren)811 2227 y Fj(a)d Fn(=)h(\(0001111\))p Fj(;)811 2285 y(b)f Fn(=)h(\(0110011\))p Fj(;)811 2343 y(c)g Fn(=)f(\(1010101\))p Fj(:)0 2426 y Fq(Satz)19 b(7.6.)k Fk(Man)17 b(erh)416 2428 y(\177)416 2426 y(alt)g(einen)i(1-fehlerkorrigier)n(enden)f(Co)n (de)f(in)g Fj(K)1326 2408 y Fg(n)1350 2426 y Fk(,)f(indem)i(man)f(ein)g (minimales)0 2484 y Fj(m)i Fk(mit)h Fj(n)f Fl(\024)f Fn(2)282 2466 y Fg(m)328 2484 y Fl(\000)13 b Fn(1)20 b Fk(w)456 2486 y(\177)456 2484 y(ahlt,)h(eine)g(Kontr)n(ol)r(lmatrix)g Fj(H)j Fk(wie)c(in)g(\(7.4\))g(zum)g Fn(\(2)1501 2466 y Fg(m)1547 2484 y Fl(\000)13 b Fn(1)p Fj(;)8 b Fn(2)1669 2466 y Fg(m)1716 2484 y Fl(\000)k Fn(1)h Fl(\000)g Fj(m)p Fn(\))p Fk(-)0 2542 y(Hamming-Co)n(de)24 b(bildet)g(und)g(aus)f(dieser) h(Matrix)f(le)n(diglich)h(die)g(ersten)g Fj(n)g Fk(Zeilen)g(verwendet.) i(So)0 2600 y(erh)68 2602 y(\177)68 2600 y(alt)18 b(man)f(einen)i Fn(\()p Fj(n;)8 b(n)k Fl(\000)e Fj(m)p Fn(\))p Fk(-Co)n(de,)17 b(der)h(oft)f(eb)n(enfal)r(ls)j Fn(Hamming-Co)q(de)c Fk(genannt)j(wir)n(d.)0 2685 y(Beweis.)j Fn(Die)d(neue)f(Kon)o (trollmatrix)f Fj(H)769 2692 y Fg(n)812 2685 y Fn(erf)869 2687 y(\177)868 2685 y(ullt)h(immer)e(no)q(c)o(h)j(die)g(Eigensc)o (haft,)f(da\031)i(je)f(zw)o(ei)f(v)o(er-)0 2743 y(sc)o(hiedene)k (Zeilen)f(linear)i(unabh)648 2745 y(\177)648 2743 y(angig)h(sind.)f(W)l (eiter)f(sind)h(sc)o(hon)h(die)e(ersten)h(drei)f(Zeilen)g(linear)0 2801 y(abh)78 2803 y(\177)78 2801 y(angig.)17 b(Damit)e(hat)i(der)f(Co) q(de)h Fj(V)28 b Fn(das)16 b(Hamming-Gewic)o(h)o(t)d Fl(k)p Fj(V)e Fl(k)j Fn(=)g(3.)50 2859 y(W)l(egen)i(der)g(Bedingung)g (2)558 2841 y Fg(m)p Fb(\000)p Fi(1)650 2859 y Fl(\024)e Fj(n)i Fn(k)o(ommen)d(alle)i(V)l(ektoren)g Fj(e)1262 2866 y Fi(1)1281 2859 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(e)1422 2866 y Fg(m)1471 2859 y Fn(in)16 b(der)f(Matrix)h Fj(H)1814 2866 y Fg(n)1854 2859 y Fn(v)o(or.)0 2917 y(Daher)j(gilt)g(Rang)q(\()p Fj(H)409 2924 y Fg(n)433 2917 y Fn(\))g(=)f Fj(m)g Fn(=)35 b(Spaltenzahl)16 b(v)o(on)g Fj(H)1056 2924 y Fg(n)1080 2917 y Fn(.)i(Somit)g(gilt)g(dim)o(\()p Fj(V)11 b Fn(\))18 b(=)h(dim)n(\(Ker\()p Fj(H)1817 2924 y Fg(n)1841 2917 y Fn(\)\))f(=)0 2975 y Fj(n)11 b Fl(\000)g Fn(Rang)q(\()p Fj(H)261 2982 y Fg(n)285 2975 y Fn(\))j(=)g Fj(n)d Fl(\000)g Fj(m)p Fn(.)p 1900 2975 V 1902 2944 30 2 v 1902 2975 V 1931 2975 2 33 v eop %%Page: 18 18 18 17 bop 0 85 a Fm(18)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)479 179 y Fn(8.)27 b Fo(Pol)m(ynomringe)16 b(und)i(endliche)g(K)1311 177 y(\177)1309 179 y(orper)0 267 y Fq(Lemma)e(8.1.)23 b Fk(Sei)13 b Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])f Fk(der)g Fj(K)t Fk(-V)l(ektorr)n(aum)h(mit)g(der)f(abz) 1134 269 y(\177)1134 267 y(ahlb)n(ar)h(unend)r(lichen)j(Basis)c Fn(1)i(:=)g Fj(x)1801 249 y Fi(0)1820 267 y Fj(;)8 b(x)14 b Fn(:=)0 325 y Fj(x)28 307 y Fi(1)47 325 y Fj(;)8 b(x)97 307 y Fi(2)117 325 y Fj(;)g(x)167 307 y Fi(3)186 325 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)332 307 y Fg(n)355 325 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)f Fk(.)18 b(Dann)f(ist)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])e Fk(ein)i(R)o(ing)g(mit)f(der)h(Multiplikation)323 452 y Fn(\()362 390 y Fg(m)342 405 y Fh(X)349 510 y Fg(i)p Fi(=0)422 452 y Fj(\013)453 459 y Fg(i)467 452 y Fj(x)495 432 y Fg(i)509 452 y Fn(\)\()572 390 y Fg(n)547 405 y Fh(X)552 510 y Fg(j)r Fi(=0)627 452 y Fj(\014)655 459 y Fg(j)673 452 y Fj(x)701 432 y Fg(j)719 452 y Fn(\))c(:=)838 390 y Fg(m)817 405 y Fh(X)825 510 y Fg(i)p Fi(=0)923 390 y Fg(n)898 405 y Fh(X)903 510 y Fg(j)r Fi(=0)978 452 y Fj(\013)1009 459 y Fg(i)1023 452 y Fj(\014)1051 459 y Fg(j)1069 452 y Fj(x)1097 432 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)1168 452 y Fn(=)1220 390 y Fg(m)p Fi(+)p Fg(n)1224 405 y Fh(X)1228 511 y Fg(k)q Fi(=0)1300 452 y Fn(\()1345 390 y Fg(k)1319 405 y Fh(X)1327 511 y Fg(l)p Fi(=0)1399 452 y Fj(\013)1430 459 y Fg(l)1443 452 y Fj(\014)1471 459 y Fg(k)q Fb(\000)p Fg(l)1530 452 y Fn(\))p Fj(x)1577 432 y Fg(k)1598 452 y Fj(:)0 592 y Fk(Beweis.)22 b Fn(Jeder)13 b(V)l(ektor)f(aus)i Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])f(l)677 594 y(\177)677 592 y(a\031t)g(sic)o(h)g(daher)g(in)g(eindeutiger)f(W)l(eise)h(\(mit)e (eindeutig)i(b)q(estimm-)0 650 y(ten)18 b(Ko)q(e\016zien)o(ten\))e(als) 475 613 y Fh(P)527 626 y Fg(n)527 665 y(i)p Fi(=0)595 650 y Fj(\013)626 657 y Fg(i)640 650 y Fj(x)668 632 y Fg(i)699 650 y Fn(=)h Fj(\013)785 657 y Fi(0)817 650 y Fn(+)12 b Fj(\013)898 657 y Fi(1)918 650 y Fj(x)g Fn(+)g Fj(:)c(:)g(:)k Fn(+)g Fj(\013)1159 657 y Fg(n)1183 650 y Fj(x)1211 632 y Fg(n)1252 650 y Fn(sc)o(hreib)q(en.)17 b(Die)h(ob)q(en)g(angegeb)q(ene)0 708 y(Multiplik)m(ation)d(ist)h(die)f (b)q(ek)m(ann)o(te)i(Multiplik)m(ation)d(v)o(on)i(P)o(olynomen.)50 766 y(Die)k(Addition)g(des)h(V)l(ektorraumes)e Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])h(v)o(erw)o(enden)f(wir)i(als)g(Addition)f(des)h (Ringes)f Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(].)g(Es)0 824 y(bleibt)13 b(die)f(Multiplik)m(ation)g(zu)i(un)o(tersuc)o(hen.)e(Die)h(angegeb)q (ene)h(Multiplik)m(ationsregel)e(reduziert)g(sic)o(h)0 882 y(auf)17 b(den)f(Basiselemen)o(te)o(n)e(zu)i Fj(x)608 864 y Fg(i)622 882 y Fj(x)650 864 y Fg(j)681 882 y Fn(=)e Fj(x)761 864 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)819 882 y Fn(.)50 941 y(Die)k(Multiplik)m(ation)e(v)o(on)j(links)e(mit)g Fj(x)794 948 y Fg(i)826 941 y Fn(ergibt)h(auf)h(den)f(Basiselemen)o(te)o(n)e Fj(x)1518 922 y Fg(i)1532 941 y Fj(x)1560 922 y Fg(j)1595 941 y Fn(=)h Fj(x)1678 922 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)1754 941 y Fn(und)i(l)1868 943 y(\177)1868 941 y(a\031t)0 999 y(sic)o(h)c(eindeutig)g(zu)h(einer)f(linearen)g(Abbildung)h Fj(x)943 981 y Fg(i)970 999 y Fn(:)e Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])e Fl(!)i Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])h(fortsetzen)g(als)h Fj(x)1615 981 y Fg(i)1629 999 y Fn(\()1648 961 y Fh(P)1701 974 y Fg(n)1701 1013 y(j)r Fi(=0)1772 999 y Fj(\014)1800 1006 y Fg(j)1818 999 y Fj(x)1846 981 y Fg(j)1864 999 y Fn(\))e(=)0 1026 y Fh(P)53 1040 y Fg(n)53 1078 y(j)r Fi(=0)124 1064 y Fj(\014)152 1071 y Fg(j)170 1064 y Fj(x)198 1046 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)255 1064 y Fn(,)i(also)h(zu)f(der)g(ob)q(en)h (de\014nierten)e(Multiplik)m(ation.)50 1129 y(Die)10 b(Multiplik)m(ation)f(v)o(on)i(rec)o(h)o(ts)f(mit)754 1092 y Fh(P)806 1105 y Fg(n)806 1144 y(j)r Fi(=0)878 1129 y Fj(\014)906 1136 y Fg(j)924 1129 y Fj(x)952 1111 y Fg(j)981 1129 y Fn(ergibt)g(auf)h(den)g(Basiselemen)o(ten)d Fj(x)1643 1111 y Fg(i)1656 1129 y Fn(\()1675 1092 y Fh(P)1728 1105 y Fg(n)1728 1144 y(j)r Fi(=0)1800 1129 y Fj(\014)1828 1136 y Fg(j)1845 1129 y Fj(x)1873 1111 y Fg(j)1891 1129 y Fn(\))14 b(=)0 1157 y Fh(P)53 1170 y Fg(n)53 1209 y(j)r Fi(=0)124 1194 y Fj(\014)152 1201 y Fg(j)170 1194 y Fj(x)198 1176 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)269 1194 y Fn(und)h(l)379 1196 y(\177)379 1194 y(a\031t)f(sic)o(h)f(eindeutig)g(zu)h(einer)f(linearen) g(Abbildung)h(\()1382 1157 y Fh(P)1434 1170 y Fg(m)1434 1209 y(j)r Fi(=0)1506 1194 y Fj(\014)1534 1201 y Fg(j)1552 1194 y Fj(x)1580 1176 y Fg(j)1598 1194 y Fn(\))f(:)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])e Fl(!)i Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])0 1259 y(fortsetzen)k(als)g(\()320 1222 y Fh(P)372 1235 y Fg(m)372 1274 y(i)p Fi(=0)440 1259 y Fj(\013)471 1266 y Fg(i)485 1259 y Fj(x)513 1241 y Fg(i)527 1259 y Fn(\)\()565 1222 y Fh(P)617 1235 y Fg(n)617 1274 y(j)r Fi(=0)689 1259 y Fj(\014)717 1266 y Fg(j)735 1259 y Fj(x)763 1241 y Fg(j)781 1259 y Fn(\))e(=)871 1222 y Fh(P)924 1235 y Fg(m)924 1274 y(i)p Fi(=0)991 1259 y Fj(\013)1022 1266 y Fg(i)1036 1259 y Fn(\()1055 1222 y Fh(P)1108 1235 y Fg(n)1108 1274 y(j)r Fi(=0)1180 1259 y Fj(\014)1208 1266 y Fg(j)1225 1259 y Fj(x)1253 1241 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)1311 1259 y Fn(\))h(=)1401 1222 y Fh(P)1454 1235 y Fg(m)1454 1274 y(i)p Fi(=0)1521 1222 y Fh(P)1574 1235 y Fg(n)1574 1274 y(j)r Fi(=0)1646 1259 y Fj(\013)1677 1266 y Fg(i)1691 1259 y Fj(\014)1719 1266 y Fg(j)1736 1259 y Fj(x)1764 1241 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)1822 1259 y Fn(,)g(also)0 1319 y(zu)f(der)g(ob)q(en)h(de\014nierten)e(Multiplik)m (ation.)f(Damit)h(ist)h(die)g(Multiplik)m(ation)f(distributiv.)50 1377 y(Das)i(Elemen)o(t)d(1)g(:=)f Fj(x)470 1359 y Fi(0)506 1377 y Fn(ist)j(das)h(Einselemen)o(t)c(der)j(Multiplik)m(ation.)50 1435 y(Die)g(Assoziativit)390 1437 y(\177)390 1435 y(at)f(ergibt)h(sic) o(h)f(aus)147 1511 y([\()180 1473 y Fh(P)232 1487 y Fg(m)232 1525 y(i)p Fi(=0)299 1511 y Fj(\013)330 1518 y Fg(i)344 1511 y Fj(x)372 1493 y Fg(i)386 1511 y Fn(\)\()424 1473 y Fh(P)477 1487 y Fg(n)477 1525 y(j)r Fi(=0)548 1511 y Fj(\014)576 1518 y Fg(j)594 1511 y Fj(x)622 1493 y Fg(j)640 1511 y Fn(\)]\()692 1473 y Fh(P)744 1487 y Fg(r)744 1525 y(k)q Fi(=0)819 1511 y Fj(\015)844 1518 y Fg(k)865 1511 y Fj(x)893 1493 y Fg(k)915 1511 y Fn(\))h(=)e([)1016 1473 y Fh(P)1068 1487 y Fg(m)1068 1525 y(i)p Fi(=0)1135 1473 y Fh(P)1188 1487 y Fg(n)1188 1525 y(j)r Fi(=0)1259 1511 y Fj(\013)1290 1518 y Fg(i)1304 1511 y Fj(\014)1332 1518 y Fg(j)1350 1511 y Fj(x)1378 1493 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)1436 1511 y Fn(]\()1469 1473 y Fh(P)1521 1487 y Fg(r)1521 1525 y(k)q Fi(=0)1596 1511 y Fj(\015)1621 1518 y Fg(k)1642 1511 y Fj(x)1670 1493 y Fg(k)1691 1511 y Fn(\))950 1573 y(=)1002 1536 y Fh(P)1054 1549 y Fg(m)1054 1587 y(i)p Fi(=0)1122 1536 y Fh(P)1174 1549 y Fg(n)1174 1587 y(j)r Fi(=0)1246 1536 y Fh(P)1298 1549 y Fg(r)1298 1587 y(k)q Fi(=0)1373 1573 y Fj(\013)1404 1580 y Fg(i)1418 1573 y Fj(\014)1446 1580 y Fg(j)1464 1573 y Fj(\015)1489 1580 y Fg(k)1511 1573 y Fj(x)1539 1555 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)r Fi(+)p Fg(k)950 1635 y Fn(=)g(\()1021 1598 y Fh(P)1073 1611 y Fg(m)1073 1650 y(i)p Fi(=0)1141 1635 y Fj(\013)1172 1642 y Fg(i)1186 1635 y Fj(x)1214 1617 y Fg(i)1227 1635 y Fn(\)[)1260 1598 y Fh(P)1313 1611 y Fg(n)1313 1650 y(j)r Fi(=0)1384 1598 y Fh(P)1437 1611 y Fg(r)1437 1650 y(k)q Fi(=0)1512 1635 y Fj(\014)1540 1642 y Fg(j)1557 1635 y Fj(\015)1582 1642 y Fg(k)1604 1635 y Fj(x)1632 1617 y Fg(j)r Fi(+)p Fg(k)1697 1635 y Fn(])950 1697 y(=)g(\()1021 1660 y Fh(P)1073 1673 y Fg(m)1073 1712 y(i)p Fi(=0)1141 1697 y Fj(\013)1172 1704 y Fg(i)1186 1697 y Fj(x)1214 1679 y Fg(i)1227 1697 y Fn(\)[\()1279 1660 y Fh(P)1332 1673 y Fg(n)1332 1712 y(j)r Fi(=0)1403 1697 y Fj(\014)1431 1704 y Fg(j)1449 1697 y Fj(x)1477 1679 y Fg(j)1495 1697 y Fn(\)\()1533 1660 y Fh(P)1585 1673 y Fg(r)1585 1712 y(k)q Fi(=0)1660 1697 y Fj(\015)1685 1704 y Fg(k)1707 1697 y Fj(x)1735 1679 y Fg(k)1756 1697 y Fn(\)])p 1900 1776 2 33 v 1902 1744 30 2 v 1902 1776 V 1931 1776 2 33 v 0 1863 a Fq(De\014nition)k(8.2.)23 b Fn(Sei)c Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))19 b(=)626 1826 y Fh(P)678 1839 y Fg(n)678 1877 y(i)p Fi(=0)746 1863 y Fj(\013)777 1870 y Fg(i)791 1863 y Fj(x)819 1845 y Fg(i)852 1863 y Fl(6)p Fn(=)g(0)g(ein)g(P)o(olynom.)e(Die)i(eindeutig)f(b)q(estimm)o(te)e(gr) 1845 1865 y(\177)1845 1863 y(o\031te)0 1921 y(Zahl)h Fj(n)f Fn(mit)f Fj(\013)278 1928 y Fg(n)316 1921 y Fl(6)p Fn(=)g(0)i(hei\031t)f(der)h Fk(Gr)n(ad)e Fn(des)i(P)o(olynoms)e Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\).)17 b Fj(\013)1204 1928 y Fg(n)1244 1921 y Fn(hei\031t)f(der)h Fk(h)1476 1923 y(\177)1476 1921 y(ochste)h(Ko)n(e\016zient)g Fn(des)0 1979 y(P)o(olynoms.)50 2037 y(Man)g(k)m(ann)g(durc)o(h)f(Betrac)o(h)o (tung)g(der)g(h)813 2039 y(\177)813 2037 y(oc)o(hsten)h(Ko)q(e\016zien) o(ten)d(einsehen,)i(da\031)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])f(ein)g(n)o (ulltei-)0 2095 y(lerfreier)d(Ring)i(ist.)0 2183 y Fq(Lemma)g(8.3.)23 b Fk(Die)c(Polynome)h(in)g Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])e Fk(vom)h(Gr)n(ade)f(h)1090 2185 y(\177)1090 2183 y(ochstens)i Fj(n)g Fk(bilden)g(einen)h(V)l(ektorr)n(aum)e Fj(P)1911 2190 y Fg(n)0 2241 y Fk(der)e(Dimension)h Fj(n)11 b Fn(+)g(1)p Fk(.)0 2328 y(Beweis.)22 b Fn(Diese)11 b(P)o(olynome)g(w)o(erden)g(v)o (on)h(den)g(linear)f(unabh)1130 2330 y(\177)1130 2328 y(angigen)i(P)o(olynomen)e(1)p Fj(;)d(x;)g(x)1678 2310 y Fi(2)1697 2328 y Fj(;)g(x)1747 2310 y Fi(3)1766 2328 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)1912 2310 y Fg(n)0 2386 y Fn(erzeugt.)p 1900 2386 V 1902 2355 30 2 v 1902 2386 V 1931 2386 2 33 v 0 2473 a Fq(Theorem)17 b(8.4.)23 b Fk(Im)17 b(Polynomring)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])e Fk(gilt)j(der)e(euklidische)j(Divisionsalgorithmus:)50 2531 y(zu)h(je)n(dem)g(Paar)f Fj(f)s(;)8 b(g)22 b Fl(2)e Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])g Fk(von)i(Polynomen)f(mit)g Fj(g)i Fl(6)p Fn(=)d(0)h Fk(gibt)h(es)f(ein)h(eindeutig)g(b)n (estimmtes)0 2590 y(Paar)17 b(von)h(Polynomen)g Fj(q)r(;)8 b(r)15 b Fl(2)f Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])i Fk(\(Quotient)j(und)f(R)n (est\),)f(so)g(da\031)h(gilt)465 2668 y Fj(f)h Fn(=)14 b Fj(q)f Fl(\001)d Fj(g)k Fn(+)d Fj(r)118 b Fk(und)126 b Fn(Grad)q(\()p Fj(r)q Fn(\))14 b Fj(<)g Fn(Grad\()p Fj(g)r Fn(\))p Fj(:)0 2755 y Fk(Beweis.)22 b Fn(Wir)15 b(zeigen)g(zun)502 2757 y(\177)502 2755 y(ac)o(hst)g(die)g(Eindeutigk)o (eit)f(der)h(Zerlegung.)g(Sei)g Fj(f)k Fn(=)14 b Fj(q)r(g)d Fn(+)e Fj(r)15 b Fn(=)f Fj(q)1718 2737 y Fb(0)1729 2755 y Fj(g)e Fn(+)d Fj(r)1834 2737 y Fb(0)1862 2755 y Fn(mit)0 2814 y(Grad)q(\()p Fj(r)q Fn(\))19 b Fj(<)h Fn(Grad\()p Fj(g)r Fn(\))g(und)g(Grad\()p Fj(r)689 2796 y Fb(0)701 2814 y Fn(\))g Fj(<)f Fn(Grad)q(\()p Fj(g)r Fn(\).)g(Dann)h(ist)f(\()p Fj(q)c Fl(\000)e Fj(q)1340 2796 y Fb(0)1351 2814 y Fn(\))p Fj(g)i Fn(+)e(\()p Fj(r)i Fl(\000)e Fj(r)1590 2796 y Fb(0)1602 2814 y Fn(\))19 b(=)h(0.)f(Da)h(auc)o(h)0 2872 y(Grad)q(\()p Fj(r)8 b Fl(\000)f Fj(r)227 2854 y Fb(0)239 2872 y Fn(\))14 b Fj(<)g Fn(Grad)q(\()p Fj(g)r Fn(\))g(gilt,)g(ist)g (\()p Fj(q)9 b Fl(\000)e Fj(q)795 2854 y Fb(0)806 2872 y Fn(\))p Fj(g)16 b Fn(=)d(0.)i(Insb)q(esondere)f(m)o(u\031)g(der)g(h) 1471 2874 y(\177)1471 2872 y(oc)o(hste)g(Ko)q(e\016zien)o(t)f(v)o(on)0 2930 y(\()p Fj(q)g Fl(\000)f Fj(q)129 2912 y Fb(0)140 2930 y Fn(\))p Fj(g)20 b Fn(Null)c(sein,)h(w)o(as)h(n)o(ur)f(geh)o(t,)g (w)o(enn)g Fj(q)d Fl(\000)d Fj(q)966 2912 y Fb(0)993 2930 y Fn(=)16 b(0)i(gilt.)f(Dann)h(ist)f(ab)q(er)h(auc)o(h)g Fj(r)13 b Fl(\000)f Fj(r)1730 2912 y Fb(0)1758 2930 y Fn(=)k(0)i(und)0 2988 y(damit)d(die)g(Eindeutigk)o(eit)g(gezeigt.)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(19)50 179 y Fn(W)l(enn)17 b(der)g(Grad)g(v)o(on)g Fj(f)23 b Fn(kleiner)15 b(ist,)h(als)i(der)e(Grad)i(v)o(on)f Fj(g)r Fn(,)g(dann)h(setzen)e(wir)h Fj(q)f Fn(=)g(0)h(und)g Fj(r)g Fn(=)e Fj(f)5 b Fn(.)0 238 y(W)l(enn)14 b(Grad)q(\()p Fj(f)5 b Fn(\))14 b(=)g Fj(n)7 b Fn(+)g(1)14 b(ist)g(und)g(der)g(Satz)g (f)862 240 y(\177)861 238 y(ur)h(P)o(olynome)d(v)o(om)h(Grad)i Fj(n)f Fn(sc)o(hon)g(b)q(ewiesen)g(ist,)f(dann)0 296 y(sei)k Fj(\015)i Fn(:=)c Fj(\013)214 303 y Fg(n)p Fi(+1)283 296 y Fj(=\014)335 303 y Fg(k)374 296 y Fn(der)i(Quotien)o(t)g(der)g(h) 777 298 y(\177)777 296 y(oc)o(hsten)g(Ko)q(e\016zien)o(ten)f Fj(\013)1278 303 y Fg(n)p Fi(+1)1364 296 y Fn(v)o(on)i Fj(f)k Fn(und)c Fj(\014)1631 303 y Fg(k)1670 296 y Fn(v)o(on)f Fj(g)r Fn(.)g(Dann)0 354 y(ist)i Fj(f)100 336 y Fb(0)130 354 y Fn(:=)f Fj(f)g Fl(\000)12 b Fj(\015)s(g)21 b Fn(ein)d(P)o(olynom) g(v)o(om)f(Grad)j(kleiner)d(o)q(der)i(gleic)o(h)f Fj(n)p Fn(.)g(Wir)h(k)1491 356 y(\177)1491 354 y(onnen)g(also)g(sc)o(hreib)q (en)0 412 y Fj(f)29 394 y Fb(0)55 412 y Fn(=)14 b Fj(q)131 394 y Fb(0)142 412 y Fj(g)d Fn(+)e Fj(r)17 b Fn(mit)c(Grad)q(\()p Fj(r)q Fn(\))h Fj(<)g Fn(Grad)q(\()p Fj(g)r Fn(\).)h(Also)g(ist)g Fj(f)k Fn(=)14 b(\()p Fj(\013)9 b Fn(+)h Fj(q)1189 394 y Fb(0)1200 412 y Fn(\))p Fj(g)h Fn(+)e Fj(r)17 b Fn(mit)c(Grad)q(\()p Fj(r)q Fn(\))h Fj(<)g Fn(Grad)q(\()p Fj(g)r Fn(\).)p 1900 412 2 33 v 1902 381 30 2 v 1902 412 V 1931 412 2 33 v 0 497 a Fq(F)-5 b(olgerung)19 b(8.5.)24 b Fk(Ein)15 b(Polynom)f Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))15 b Fk(in)f Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])g Fk(vom)g(Gr)n(ad)f Fj(n)i Fk(hat)f(h)1313 499 y(\177)1313 497 y(ochstens)h Fj(n)g Fk(verschie)n(dene)h(Nul)r(l-)0 555 y(stel)r(len)k(in)e Fj(K)t Fk(.)0 640 y(Beweis.)k Fn(Seien)14 b Fj(\013)339 647 y Fi(1)358 640 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)507 647 y Fg(k)543 640 y Fn(paarw)o(eise)14 b(v)o(ersc)o(hiedene)e (Nullstellen)g(v)o(on)i Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\),)14 b(dann)h(ist)g Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))13 b(=)h(\()p Fj(x)7 b Fl(\000)0 699 y Fj(\013)31 706 y Fi(1)51 699 y Fn(\))k Fl(\001)h Fn(\()p Fj(x)f Fl(\000)g Fj(\013)246 706 y Fi(2)266 699 y Fn(\))g Fl(\001)g Fj(:)d(:)g(:)j Fl(\001)h Fn(\()p Fj(x)f Fl(\000)g Fj(\013)555 706 y Fg(k)576 699 y Fn(\))h Fl(\001)f Fj(g)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\),)16 b(also)i Fj(k)f Fl(\024)d Fj(n)p Fn(.)j(Nac)o(h)f(dem)f (Divisionsalgorithm)o(us)h(ist)g(n)1795 701 y(\177)1795 699 y(amlic)o(h)0 757 y Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))14 b(=)g(\()p Fj(x)7 b Fl(\000)g Fj(\013)292 764 y Fi(1)311 757 y Fn(\))g Fl(\001)g Fj(g)381 764 y Fi(1)401 757 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))g(+)g Fj(\014)547 764 y Fi(1)566 757 y Fn(.)13 b(W)l(enn)i(man)e(f)852 759 y(\177)851 757 y(ur)h Fj(x)g Fn(den)g(W)l(ert)g Fj(\013)1194 764 y Fi(1)1228 757 y Fn(einsetzt,)f(dann)i(erh)1607 759 y(\177)1607 757 y(alt)f(man)f(0)h(=)g Fj(\014)1902 764 y Fi(1)1921 757 y Fn(.)0 815 y(F)33 817 y(\177)32 815 y(ur)22 b(jede)f(w)o(eitere)g(Nullstelle)e Fj(\013)632 822 y Fg(i)668 815 y Fn(v)o(on)j Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))22 b(ist)g(dann)h(ab)q(er)f(0)i(=)g Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(\013)1389 822 y Fg(i)1403 815 y Fn(\))24 b(=)f(\()p Fj(\013)1557 822 y Fg(i)1586 815 y Fl(\000)15 b Fj(\013)1671 822 y Fi(1)1691 815 y Fn(\))p Fj(g)r Fn(\()p Fj(\013)1785 822 y Fg(i)1799 815 y Fn(\),)21 b(also)0 873 y(sind)c(die)g Fj(\013)215 880 y Fi(2)235 873 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\013)383 880 y Fg(k)422 873 y Fn(Nullstellen)15 b(v)o(on)i Fj(g)782 880 y Fi(1)802 873 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\).)f(Durc)o(h)h(Induktion)g(nac)o(h)h(dem)d(Grad)j(erh)1689 875 y(\177)1689 873 y(alt)f(man)g(die)0 931 y(b)q(ehauptete)f(Aussage.) p 1900 931 V 1902 900 30 2 v 1902 931 V 1931 931 2 33 v 0 1016 a Fq(De\014nition)i(8.6.)23 b Fn(V)l(or)d(P)o(olynomen)e(in)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])g(k)931 1018 y(\177)931 1016 y(onnen)h(wir)f(wie)g(im)f(reellen)g(F)l(all)h(Ableitungen)g(bil-)0 1074 y(den,)c(hier)g Fk(formale)i(A)o(bleitungen)h Fn(genann)o(t.)e (Wir)f(bilden)f(n)1112 1076 y(\177)1112 1074 y(amlic)o(h)g(die)g (eindeutig)h(b)q(estimm)o(te)d(lineare)0 1133 y(Abbildung)h Fj(d=dx)i Fn(:)e Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])g Fl(!)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(],)e(indem)f(wir)j(auf)g(der)f(Basis)h(\()p Fj(x)1244 1114 y Fg(i)1258 1133 y Fn(\))f(v)o(orsc)o(hreib)q(en)g Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(x)1719 1114 y Fg(i)1733 1133 y Fn(\))h(:=)f Fj(ix)1876 1114 y Fg(i)p Fb(\000)p Fi(1)0 1191 y Fn(\(f)35 1193 y(\177)34 1191 y(ur)j Fj(i)e Fn(=)f(0)k(soll)f Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(x)455 1173 y Fi(0)475 1191 y Fn(\))e(=)g(0)i(gelten\).)0 1276 y Fq(Lemma)g(8.7.)23 b Fk(F)342 1278 y(\177)342 1276 y(ur)17 b(die)h(formale)f(A)o(bleitung)j(von)e(Polynomen)h(gilt)f (die)g(Pr)n(o)n(duktr)n(e)n(gel.)0 1361 y(Beweis.)k Fn(Es)c(ist)g Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(x)471 1343 y Fg(i)486 1361 y Fj(x)514 1343 y Fg(j)532 1361 y Fn(\))e(=)h(\()p Fj(i)12 b Fn(+)g Fj(j)s Fn(\))p Fj(x)790 1343 y Fg(i)p Fi(+)p Fg(j)r Fb(\000)p Fi(1)909 1361 y Fn(=)k Fj(ix)1008 1343 y Fg(i)p Fb(\000)p Fi(1)1067 1361 y Fj(x)1095 1343 y Fg(j)1125 1361 y Fn(+)c Fj(j)s(x)1226 1343 y Fg(i)1240 1361 y Fj(x)1268 1343 y Fg(j)r Fb(\000)p Fi(1)1348 1361 y Fn(=)k Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(x)1551 1343 y Fg(i)1566 1361 y Fn(\))p Fj(x)1613 1343 y Fg(j)1643 1361 y Fn(+)c Fj(x)1721 1343 y Fg(i)1735 1361 y Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(x)1884 1343 y Fg(j)1902 1361 y Fn(\).)0 1419 y(Daraus)18 b(leitet)c(sic)o(h)i(w)o(egen)g(der)g (Linearit)787 1421 y(\177)787 1419 y(at)g(die)g(Pro)q(duktregel)g(ab:) 605 1498 y Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(f)5 b(g)r Fn(\))15 b(=)f Fj(d=dx)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))p Fj(g)14 b Fn(+)d Fj(f)5 b(d=dx)p Fn(\()p Fj(g)r Fn(\))p Fj(:)p 1900 1576 V 1902 1545 30 2 v 1902 1576 V 1931 1576 2 33 v 0 1661 a Fq(De\014nition)18 b(8.8.)23 b Fn(Sei)d Fj(K)k Fn(ein)c(K)642 1663 y(\177)642 1661 y(orp)q(er.)g(Die)g(kleinste)f(Zahl)h Fj(p)h(>)g Fn(0,)f(so)h(da\031)g(1)15 b(+)e Fj(:)8 b(:)g(:)13 b Fn(+)h(1)21 b(=)g(0)g(mit)0 1719 y(genau)d Fj(p)g Fn(Summanden)d(in)i Fj(K)22 b Fn(gilt,)16 b(hei\031t)h(die)g Fk(Char)n(akteristik)g Fn(v)o(on)g Fj(K)t Fn(.)g(W)l(enn)g(es)h(k)o(eine)d(solc)o(he)i(Zahl)0 1778 y(gibt,)f(so)h(wird)f(die)f(Charakteristik)h(als)h(0)f (de\014niert.)0 1863 y Fq(Lemma)g(8.9.)23 b Fk(Wenn)18 b Fj(K)k Fk(eine)d(Char)n(akteristik)e Fj(p)d(>)g Fn(0)k Fk(hat,)f(dann)h(ist)f Fj(p)h Fk(eine)h(Primzahl.)0 1948 y(Beweis.)j Fn(Sei)e Fj(p)h Fn(=)g Fj(q)r(r)g Fn(mit)e Fj(q)j(<)f(p)g Fn(und)f Fj(r)j(<)d(p)p Fn(,)h Fj(p;)8 b(q)r(;)g(r)22 b Fl(2)f Fe(N)p Fn(.)g(Dann)g(ist)f(\(1)14 b(+)g Fj(:)8 b(:)g(:)13 b Fn(+)h(1\))1684 1965 y Fg(q)k Fn(mal)1812 1948 y Fl(\001)c Fn(\(1)g(+)0 2013 y Fj(:)8 b(:)g(:)15 b Fn(+)h(1\))170 2031 y Fg(r)h Fn(mal)309 2013 y(=)26 b(\(1)16 b(+)f Fj(:)8 b(:)g(:)15 b Fn(+)h(1\))655 2031 y Fg(q)q(r)h Fn(mal)812 2013 y(=)25 b(0)e(in)g Fj(K)t Fn(.)g(Daher)g(ist)g(einer)f(der)h(F)l(aktoren)g(Null,)f(z.B.)0 2079 y(\(1)8 b(+)g Fj(:)g(:)g(:)f Fn(+)h(1\))251 2096 y Fg(q)18 b Fn(mal)379 2079 y(=)c(0)h(in)f Fj(K)19 b Fn(im)13 b(Widerspruc)o(h)h(zu)h Fj(q)g(<)f(p)p Fn(.)g(Es)i(ist)e (somit)g(einer)f(der)i(F)l(aktoren)f(gleic)o(h)0 2141 y Fj(p)p Fn(,)i(der)g(andere)g(ist)g(1.)h(Daher)f(ist)g Fj(p)h Fn(eine)e(Primzahl.)p 1900 2141 V 1902 2110 30 2 v 1902 2141 V 1931 2141 2 33 v 0 2227 a Fq(Lemma)h(8.10.)23 b Fk(Sei)18 b Fj(K)k Fk(ein)c(K)602 2229 y(\177)602 2227 y(orp)n(er)f(der)g(Char)n(akteristik)g Fj(p)d(>)g Fn(0)p Fk(.)50 2295 y Fn(1.)21 b Fk(F)141 2297 y(\177)141 2295 y(ur)16 b Fj(\013;)8 b(\014)17 b Fl(2)d Fj(K)21 b Fk(gilt)e Fn(\()p Fj(\013)11 b Fn(+)g Fj(\014)s Fn(\))655 2277 y Fg(p)688 2295 y Fn(=)j Fj(\013)771 2277 y Fg(p)802 2295 y Fn(+)d Fj(\014)882 2277 y Fg(p)901 2295 y Fk(.)50 2353 y Fn(2.)21 b Fk(Weiter)c(ist)h Fn(\()p Fj(x)10 b Fl(\000)h Fn(1\))490 2335 y Fg(p)524 2353 y Fn(=)j Fj(x)604 2335 y Fg(p)635 2353 y Fl(\000)c Fn(1)18 b Fk(in)g Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fk(.)0 2439 y(Beweis.)k Fn(Nac)o(h)14 b(der)h(binomisc)o(hen)e(F)l(ormel)g(ist)h(\()p Fj(\013)9 b Fn(+)g Fj(\014)s Fn(\))1049 2421 y Fg(p)1081 2439 y Fn(=)1133 2402 y Fh(P)1186 2415 y Fg(p)1186 2454 y(i)p Fi(=0)1253 2399 y Fh(\000)1276 2417 y Fg(p)1279 2456 y(i)1294 2399 y Fh(\001)1317 2439 y Fj(\013)1348 2421 y Fg(i)1362 2439 y Fj(\014)1393 2421 y Fg(p)p Fb(\000)p Fg(i)1466 2439 y Fn(=)k Fj(\013)1548 2421 y Fg(p)1577 2439 y Fn(+)8 b Fj(\014)1654 2421 y Fg(p)1673 2439 y Fn(,)15 b(denn)1820 2399 y Fh(\000)1843 2417 y Fg(p)1846 2456 y(i)1860 2399 y Fh(\001)1897 2439 y Fn(=)5 2486 y Fg(p)p Fb(\001)p Fg(:::)o Fb(\001)p Fi(\()p Fg(p)p Fb(\000)p Fg(i)p Fi(+1\))p 5 2498 197 2 v 64 2527 a(1)p Fb(\001)p Fg(:::)o Fb(\001)p Fg(i)220 2509 y Fl(\021)f Fn(0)47 b(mo)q(d)16 b Fj(p)p Fn(,)e(w)o(eil)f Fj(p)h Fn(als)g(Primzahl)d(in)j(diesem)e(Bruc)o(h)g(nic)o(h)o(t)h(gek)1465 2511 y(\177)1464 2509 y(urzt)g(w)o(erden)g(k)m(ann.)h(Der)0 2568 y(Bew)o(eis)h(f)177 2570 y(\177)176 2568 y(ur)h(\()p Fj(x)11 b Fl(\000)g Fn(1\))389 2550 y Fg(p)423 2568 y Fn(=)i Fj(x)502 2550 y Fg(p)533 2568 y Fl(\000)e Fn(1)16 b(v)o(erl)703 2570 y(\177)703 2568 y(auft)g(analog)h(mit)e(denselb)q (en)g(Binomialk)o(o)q(e\016zie)o(n)o(ten.)p 1900 2568 2 33 v 1902 2537 30 2 v 1902 2568 V 1931 2568 2 33 v 0 2653 a Fq(Lemma)h(8.11.)23 b Fk(Sei)16 b Fj(K)j Fk(ein)d(end)r (licher)g(K)804 2655 y(\177)804 2653 y(orp)n(er.)e(Dann)i(hat)f Fj(K)k Fk(eine)d(p)n(ositive)f(Char)n(akteristik)g Fj(p)f(>)g Fn(0)p Fk(.)0 2739 y(Beweis.)22 b Fn(Die)14 b(Elemen)o(te)e(1)p Fj(;)c Fn(1)g(+)g(1)p Fj(;)g Fn(1)g(+)g(1)g(+)g(1)p Fj(;)g(:)g(:)g(:)25 b Fn(in)14 b Fj(K)19 b Fn(sind)c(nic)o(h)o(t)f(alle)g(paarw)o(eise)g(v) o(ersc)o(hieden,)e(w)o(eil)0 2797 y Fj(K)19 b Fn(n)o(ur)c(endlic)o(h)e (viele)g(Elemen)o(te)f(hat.)j(Sei)f(also)i(\(1)8 b(+)h Fj(:)f(:)g(:)f Fn(+)h(1\))1160 2814 y Fg(r)18 b Fn(mal)1288 2797 y(=)c(\(1)9 b(+)f Fj(:)g(:)g(:)g Fn(+)g(1\))1593 2814 y Fg(s)17 b Fn(mal)1721 2797 y(mit)d Fj(r)h(<)e(s)p Fn(.)0 2856 y(Dann)18 b(k)159 2858 y(\177)159 2856 y(onnen)f Fj(r)h Fn(Summanden)d(1)j(gek)738 2858 y(\177)737 2856 y(urzt)e(w)o(erden,)g(also)i(gilt)e(\(1)c(+)g Fj(:)c(:)g(:)i Fn(+)i(1\))1473 2873 y Fi(\()p Fg(s)p Fb(\000)p Fg(r)q Fi(\))17 b Fn(mal)1674 2856 y(=)e(0.)i(Es)g(gibt)0 2920 y(also)g(mindestens)d(eine)h(p)q(ositiv)o(e)g(Zahl)h Fj(s)10 b Fl(\000)g Fj(r)18 b Fn(mit)c(dieser)h(Eigensc)o(haft.)g(Die)h (kleinste)e(solc)o(he)h(Zahl)h(ist)0 2978 y(dann)h(die)f(p)q(ositiv)o (e)f(Charakteristik.)p 1900 2978 V 1902 2947 30 2 v 1902 2978 V 1931 2978 2 33 v eop %%Page: 20 20 20 19 bop 0 85 a Fm(20)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)0 179 y Fq(De\014nition)h(8.12.)23 b Fn(Sei)g Fj(f)31 b Fl(2)26 b Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])d(ein)f(P)o (olynom)g(v)o(om)g(Grad)q(\()p Fj(f)5 b Fn(\))26 b Fj(>)g Fn(0.)d(Das)i(P)o(olynom)d Fj(f)28 b Fn(hei\031t)0 238 y Fk(irr)n(e)n(duzib)n(el)p Fn(,)18 b(w)o(enn)h(f)392 240 y(\177)391 238 y(ur)g(jede)g(Zerlegung)g Fj(f)25 b Fn(=)19 b Fj(g)r(h)g Fn(v)o(on)g Fj(f)25 b Fn(in)19 b(ein)g(Pro)q(dukt)h(v)o(on)f(zw)o(ei)f(P)o(olynomen)g Fj(g)0 296 y Fn(und)f Fj(h)f Fn(eines)f(der)h(b)q(eiden)g(P)o(olynome)f (v)o(om)f(Grad)j(0,)g(d.)f(h.)f(eine)h(Konstan)o(te,)g(ist.)0 404 y Fq(Satz)j(8.13.)k Fk(Sei)c Fj(K)i Fk(ein)d(K)527 406 y(\177)527 404 y(orp)n(er)f(und)h Fj(f)h Fl(2)14 b Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])j Fk(ein)h(irr)n(e)n(duzibles)f(Polynom.)g (Dann)h(ist)g(die)g(Menge)0 462 y(der)f(Neb)n(enklassen)k Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))17 b Fk(ein)h(K)709 464 y(\177)709 462 y(orp)n(er.)50 521 y(Wenn)g Fj(K)k(q)e Fk(Elemente)g(b)n(esitzt)e(und)g Fj(f)23 b Fk(den)c(Gr)n(ad)d Fj(n)i Fk(hat,)g(dann)g(hat)g Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))17 b Fk(die)i(Dimension)f Fj(n)0 579 y Fk(und)g(damit)f Fj(q)258 561 y Fg(n)298 579 y Fk(Elemente.)0 687 y(Beweis.)22 b Fn(Mit)17 b(\()p Fj(f)5 b Fn(\))19 b(b)q(ezeic)o(hnen)d(wir)i(den)g (Un)o(terraum)e Fl(f)p Fj(g)r(f)23 b Fl(2)17 b Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fl(j)p Fj(g)h Fl(2)f Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fl(g)p Fn(.)f(Dieser)i(Un)o(terraum)0 745 y(ist)24 b(ein)g(Ideal,)f(d.)h(h.)g(f)451 747 y(\177)450 745 y(ur)h(jedes)f(Elemen)o(t)e Fj(h)27 b Fl(2)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])c(und)g(jedes)g(Elemen)o(t)e Fj(g)r(f)33 b Fl(2)28 b Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))25 b(ist)f(auc)o(h)0 804 y Fj(h)p Fn(\()p Fj(g)r(f)5 b Fn(\))14 b(=)g(\()p Fj(hg)r Fn(\))p Fj(f)19 b Fl(2)c Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\).)15 b(Ohne)g(Einsc)o(hr)753 806 y(\177)753 804 y(ankung)h(der)f (Allgemeinhei)o(t)e(k)1343 806 y(\177)1343 804 y(onnen)i(wir)g (annehmen,)f(da\031)j Fj(f)0 862 y Fn(h)27 864 y(\177)27 862 y(oc)o(hsten)f(Ko)q(e\016zien)o(ten)f(1)i(hat,)f(indem)f(wir)h(das) h(urspr)1066 864 y(\177)1065 862 y(unglic)o(he)e Fj(f)22 b Fn(mit)15 b Fj(\013)1423 844 y Fb(\000)p Fi(1)1423 874 y Fg(n)1486 862 y Fn(m)o(ultiplizi)o(eren,)e(also)k Fj(f)0 920 y Fn(durc)o(h)f Fj(\013)168 902 y Fb(\000)p Fi(1)168 932 y Fg(n)215 920 y Fj(f)22 b Fn(ersetzen.)15 b(Dann)i(ist)f(\()p Fj(f)5 b Fn(\))14 b(=)g(\()p Fj(\013)845 902 y Fb(\000)p Fi(1)845 932 y Fg(n)892 920 y Fj(f)5 b Fn(\).)50 981 y(Die)16 b(Menge)f(der)h(Neb)q(enklassen)g Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))16 b(bildet)f(eine)g(additiv)o(e)g(Grupp)q(e)i(durc)o(h)p 1629 954 26 2 v 16 w Fj(g)c Fn(+)p 1714 940 29 2 v 11 w Fj(h)h Fn(:=)p 1822 940 114 2 v 14 w Fj(g)f Fn(+)e Fj(h)0 1042 y Fn(und)21 b(sogar)g(einen)f(Ring)g(durc)o(h)p 627 1015 26 2 v 20 w Fj(g)p 652 1002 29 2 v 2 w(h)h Fn(:=)p 773 1002 54 2 v 20 w Fj(g)r(h)p Fn(.)f(Die)g(wic)o(h)o(tigste)f(T)l (atsac)o(he,)h(die)g(hierf)1587 1044 y(\177)1586 1042 y(ur)g(nac)o(hgewiesen)0 1100 y(w)o(erden)13 b(m)o(u\031,)g(ist,)g (da\031)i(diese)f(V)l(erkn)698 1102 y(\177)697 1100 y(upfungen)f(v)o (on)h(der)g(Ausw)o(ahl)g(der)g(Repr)1460 1102 y(\177)1460 1100 y(asen)o(tan)o(ten)f(der)h(Neb)q(en-)0 1158 y(klassen)i(unabh)299 1160 y(\177)299 1158 y(angig)i(sind.)50 1217 y(Diesen)10 b(Bew)o(eis)g(und)h(die)528 1206 y(\177)522 1217 y(Ub)q(erpr)675 1219 y(\177)674 1217 y(ufung)g(der)g(Ringeigensc)o(haft)1230 1219 y(\177)1229 1217 y(ub)q(erlassen)g(wir)g(dem)e(H)1677 1219 y(\177)1677 1217 y(orer)h(\(Leser\).)50 1275 y(Um)15 b(n)o(un)i(zu)g(sehen,)f(da\031)i Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))17 b(ein)f(K)873 1277 y(\177)873 1275 y(orp)q(er)i(ist,)e(zeigen)g(wir,)h(da\031)h (jedes)e(Elemen)o(t)p 1738 1247 26 2 v 15 w Fj(g)h Fl(6)p Fn(=)e(0)j(ein)0 1333 y(In)o(v)o(erses)f(un)o(ter)h(der)h(Multiplik)m (ation)e(b)q(esitzt.)h(Dazu)h(b)q(etrac)o(h)o(ten)f(wir)g(die)h(Menge)f (\()p Fj(g)r(;)8 b(f)d Fn(\))18 b(=)g Fl(f)p Fj(p)1839 1340 y Fi(1)1859 1333 y Fj(g)d Fn(+)0 1391 y Fj(p)24 1398 y Fi(2)44 1391 y Fj(f)5 b Fl(j)p Fj(p)111 1398 y Fi(1)132 1391 y Fj(;)j(p)178 1398 y Fi(2)219 1391 y Fl(2)21 b Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fl(g)p Fn(.)e(Wir)h(f)551 1393 y(\177)550 1391 y(uhren)g(die)g(Division)g Fj(g)j Fn(=)e Fj(q)r(f)e Fn(+)13 b Fj(r)22 b Fn(durc)o(h.)e(Dann)h(ist)p 1600 1363 V 20 w Fj(g)j Fn(=)p 1706 1363 24 2 v 21 w Fj(r)e Fl(6)p Fn(=)f(0)g(und)0 1449 y(Grad)q(\()p Fj(r)q Fn(\))g Fj(<)g Fn(Grad)q(\()p Fj(f)5 b Fn(\).)20 b(Also)g(gibt)h(es)f (in)g(\()p Fj(g)r(;)8 b(f)d Fn(\))21 b(ein)f(Elemen)o(t)e Fj(r)k Fn(=)f(1)p Fj(g)c Fl(\000)d Fj(q)r(f)25 b Fl(6)p Fn(=)c(0)g(mit)e(Grad)q(\()p Fj(r)q Fn(\))i Fj(<)0 1507 y Fn(Grad)q(\()p Fj(f)5 b Fn(\).)50 1565 y(Sei)19 b Fj(s)i Fl(2)g Fn(\()p Fj(g)r(;)8 b(f)d Fn(\),)20 b Fj(s)g Fl(6)p Fn(=)h(0)f(v)o(on)h(minim)o(alem)15 b(Grad.)21 b(Eine)f(Division)f(mit) g(Rest)h(ergibt)g Fj(f)25 b Fn(=)c Fj(q)r(s)13 b Fn(+)h Fj(t)p Fn(.)0 1623 y(Da)19 b Fj(t)d Fn(=)g Fj(f)i Fl(\000)12 b Fj(q)r(s)k Fl(2)h Fn(\()p Fj(g)r(;)8 b(f)d Fn(\))18 b(und)g(Grad)q(\()p Fj(t)p Fn(\))e Fj(<)h Fn(Grad)q(\()p Fj(s)p Fn(\))h(und)g Fj(s)e Fl(6)p Fn(=)h(0)h(v)o(on)g(minimale)o(m)c (Grad,)k(ist)g Fj(t)e Fn(=)h(0)0 1681 y(und)g(daher)g Fj(f)i Fn(=)14 b Fj(q)r(s)p Fn(.)i(Nun)g(ist)g Fj(f)22 b Fn(irreduzib)q(el)15 b(und)i(Grad)q(\()p Fj(s)p Fn(\))d Fj(<)g Fn(Grad)q(\()p Fj(f)5 b Fn(\),)16 b(also)h(ist)g(Grad\()p Fj(s)p Fn(\))e(=)f(0)j(und)0 1740 y Fj(s)h Fn(=)g Fj(\013)h Fl(2)g Fj(K)d Fl(n)d(f)p Fn(0)p Fl(g)p Fn(.)19 b(Da)g Fj(s)g Fl(2)f Fn(\()p Fj(g)r(;)8 b(f)d Fn(\))19 b(und)g(auc)o(h)g(1)g (=)f Fj(\013)1055 1721 y Fb(\000)p Fi(1)1102 1740 y Fj(s)h Fl(2)f Fn(\()p Fj(g)r(;)8 b(f)d Fn(\),)19 b(gibt)g(es)g(P)o(olynome)e Fj(p)1757 1747 y Fi(1)1777 1740 y Fj(;)8 b(p)1823 1747 y Fi(2)1862 1740 y Fn(mit)0 1801 y(1)14 b(=)g Fj(p)114 1808 y Fi(1)134 1801 y Fj(g)7 b Fn(+)e Fj(p)231 1808 y Fi(2)251 1801 y Fj(f)g Fn(,)13 b(also)p 402 1763 25 2 v 14 w(1)h(=)p 492 1773 70 2 v 14 w Fj(p)516 1808 y Fi(1)536 1801 y Fj(g)7 b Fn(+)p 609 1760 74 2 v 5 w Fj(p)633 1808 y Fi(2)653 1801 y Fj(f)19 b Fn(=)p 748 1773 25 2 v 14 w Fj(p)772 1812 y Fi(1)p 792 1773 26 2 v 792 1801 a Fj(g)r Fn(.)13 b(Damit)f(ist)p 1057 1773 25 2 v 13 w Fj(p)1081 1812 y Fi(1)1114 1801 y Fn(In)o(v)o(erses)g(zu)p 1358 1773 26 2 v 13 w Fj(g)j Fn(und)f Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\))13 b(ein)f(K)1809 1803 y(\177)1809 1801 y(orp)q(er.)50 1863 y(Da)24 b(jede)e(Lineark)o (om)o(bination)667 1826 y Fh(P)719 1839 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)719 1877 y Fg(i)p Fi(=0)796 1863 y Fj(\013)827 1870 y Fg(i)841 1863 y Fj(x)869 1845 y Fg(i)906 1863 y Fn(mit)f(v)o(on)i (Null)f(v)o(ersc)o(hiedenen)f(Ko)q(e\016zien)o(ten)g(nic)o(h)o(t)0 1937 y(in)f(\()p Fj(f)5 b Fn(\))22 b(liegt,)d(denn)i(Vielfac)o(he)d(v)o (on)j Fj(f)26 b Fn(hab)q(en)c(h)938 1939 y(\177)938 1937 y(oheren)f(Grad,)g(ist)p 1315 1886 217 2 v 1315 1900 a Fh(P)1368 1913 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1368 1952 y Fg(i)p Fi(=0)1445 1937 y Fj(\013)1476 1944 y Fg(i)1490 1937 y Fj(x)1518 1923 y Fg(i)1553 1937 y Fn(=)1613 1900 y Fh(P)1666 1913 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1666 1952 y Fg(i)p Fi(=0)1743 1937 y Fj(\013)1774 1944 y Fg(i)p 1788 1895 42 2 v 1788 1937 a Fj(x)1816 1923 y Fg(i)1851 1937 y Fl(6)p Fn(=)p 1911 1899 25 2 v 22 w(0)0 2002 y(in)e Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\),)18 b(falls)h(nic)o(h)o(t)f(alle)g(Ko)q(e\016zien)o(ten)g(Null)g(sind,)h (d.)g(h.)g(die)p 1333 1964 V 18 w(1)q Fj(;)p 1380 1974 28 2 v 8 w(x)o(;)p 1429 1960 48 2 v 8 w(x)1457 1987 y Fi(2)1476 2002 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)p 1594 1960 97 2 v 8 w(x)1622 1987 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1710 2002 y Fn(sind)j(linear)0 2060 y(unabh)132 2062 y(\177)132 2060 y(angig.)c(Da)f(ab)q(er)f(h)482 2062 y(\177)482 2060 y(ohere)h(P)o(otenzen)f Fj(x)846 2042 y Fg(n)p Fi(+)p Fg(i)922 2060 y Fn(durc)o(h)g Fj(f)18 b Fn(mit)12 b(Rest)h(teilbar)g (sind:)g Fj(x)1588 2042 y Fg(n)p Fi(+)p Fg(i)1664 2060 y Fn(=)h Fj(q)r(f)c Fn(+)5 b Fj(r)15 b Fn(und)0 2129 y(daher)p 134 2087 91 2 v 15 w Fj(x)162 2115 y Fg(n)p Fi(+)p Fg(i)239 2129 y Fn(=)p 290 2102 24 2 v 13 w Fj(r)h Fn(=)p 379 2078 217 2 v 379 2092 a Fh(P)432 2105 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)432 2144 y Fg(i)p Fi(=0)509 2129 y Fj(\013)540 2136 y Fg(i)554 2129 y Fj(x)582 2115 y Fg(i)611 2129 y Fn(f)627 2131 y(\177)626 2129 y(ur)e(geeignete)g Fj(\013)927 2136 y Fg(i)956 2129 y Fn(gilt,)g(bilden)g(die)p 1277 2091 25 2 v 14 w(1)q Fj(;)p 1324 2102 28 2 v 8 w(x)o(;)p 1373 2087 48 2 v 8 w(x)1401 2115 y Fi(2)1421 2129 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)p 1538 2087 97 2 v 8 w(x)1566 2115 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1649 2129 y Fn(eine)f(Basis)h(f)1890 2131 y(\177)1889 2129 y(ur)0 2187 y Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\).)15 b(Damit)g(ist)h(dim)o(\()p Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(f)5 b Fn(\)\))13 b(=)h Fj(n)g Fn(=)g(Grad\()p Fj(f)5 b Fn(\).)p 1900 2187 2 33 v 1902 2156 30 2 v 1902 2187 V 1931 2187 2 33 v 0 2296 a Fq(Lemma)16 b(8.14.)23 b Fk(1\))16 b(Zu)g(je)n(der)g (Primzahlp)n(otenz)g Fj(q)f Fn(=)f Fj(p)1043 2278 y Fg(n)1083 2296 y Fk(gibt)j(es)g(\(bis)f(auf)g(Isomorphie\))f(genau)i(einen)0 2354 y(K)37 2356 y(\177)37 2354 y(orp)n(er)g Fj(GK)t Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))g Fk(mit)g Fj(q)i Fk(Elementen.)50 2412 y(2\))j(Je)n(de)g(end)r(liche)j(Unter)n(grupp)n(e)d(von)i(der)e (multiplikativen)j(Grupp)n(e)c Fj(K)1454 2394 y Fb(\003)1496 2412 y Fk(eines)j(K)1663 2414 y(\177)1663 2412 y(orp)n(ers)d Fj(K)27 b Fk(ist)0 2470 y(zyklisch.)50 2528 y(3\))c(Sei)i Fj(K)30 b Fl(\022)25 b Fj(L)f Fk(eine)h(K)547 2530 y(\177)547 2528 y(orp)n(er)n(erweiterung,)f(so)g(da\031)g Fn(dim)1192 2535 y Fg(K)1235 2528 y Fj(L)i(<)f Fl(1)f Fk(gilt.)h(Zu)e(je)n(dem)h (Element)0 2587 y Fj(\013)14 b Fl(2)g Fj(L)i Fk(gibt)h(es)f(genau)g (ein)h(irr)n(e)n(duzibles)e(Polynom)h Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))e Fl(2)g Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])g Fk(von)j(h)1346 2589 y(\177)1346 2587 y(ochstem)f(Ko)n(e\016zienten)h(1)f(mit)0 2645 y Fj(p)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))f(=)e(0)p Fk(,)18 b(genannt)i Fn(Minimalp)q(olynom)14 b Fk(f)796 2647 y(\177)796 2645 y(ur)j Fj(\013)p Fk(.)50 2753 y Fn(Der)f(Leser)g(sollte)g(die)f (Bew)o(eise)g(hierf)759 2755 y(\177)758 2753 y(ur)g(in)h(guten)h (Algebralehrb)1289 2755 y(\177)1288 2753 y(uc)o(hern)d(nac)o(hlesen.)0 2862 y Fq(Lemma)i(8.15.)23 b Fk(Sei)18 b Fj(n)c Fl(2)g Fe(N)p Fk(.)19 b(Dann)e(gibt)i(es)e(ein)i(irr)n(e)n(duzibles)d(Polynom) i Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))c Fl(2)g Fe(F)1584 2869 y Fi(2)1606 2862 y Fn([)p Fj(x)p Fn(])i Fk(vom)i(Gr)n(ad)e Fj(n)0 2920 y Fk(mit)k(Nul)r(lstel)r(l)q(e)j Fj(\013)c Fl(2)g Fj(GF)7 b Fn(\(2)531 2902 y Fg(n)555 2920 y Fn(\))p Fk(,)20 b(so)f(da\031)h(die)h(Or)n(dnung)g(von)f Fj(\013)h Fk(in)f Fj(GF)7 b Fn(\(2)1384 2902 y Fg(n)1408 2920 y Fn(\))1427 2902 y Fb(\003)1466 2920 y Fk(genau)22 b Fn(2)1634 2902 y Fg(n)1671 2920 y Fl(\000)12 b Fn(1)21 b Fk(ist,)f(also)0 2978 y Fj(\013)31 2960 y Fi(2)49 2948 y Fa(n)70 2960 y Fb(\000)p Fi(1)131 2978 y Fn(=)14 b(1)k Fk(gilt)g(und)g Fn(2)428 2960 y Fg(n)463 2978 y Fl(\000)11 b Fn(1)18 b Fk(die)f(kleinste)j(solche)e(nat)1022 2980 y(\177)1022 2978 y(urliche)h(Zahl)f(ist.)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(21)0 179 y Fk(Beweis.)22 b Fn(Da)j Fj(GF)7 b Fn(\(2)388 161 y Fg(n)411 179 y Fn(\))430 161 y Fb(\003)474 179 y Fn(eine)23 b(zyklisc)o(he)f(Grupp)q(e)j(ist,)e(gibt)h(es)g(ein)f (\(erzeugendes\))h(Elemen)o(t)d Fj(\013)28 b Fl(2)0 238 y Fj(GF)7 b Fn(\(2)120 219 y Fg(n)144 238 y Fn(\))163 219 y Fb(\003)196 238 y Fn(v)o(on)14 b(der)g(Ordn)o(ung)h(2)595 219 y Fg(n)625 238 y Fl(\000)7 b Fn(1.)14 b(Sei)f Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))h(das)h(Minimalp)q(olynom)c(f)1380 240 y(\177)1379 238 y(ur)j Fj(\013)p Fn(.)g(Da)h Fj(GF)7 b Fn(\(2)1694 219 y Fg(n)1717 238 y Fn(\))14 b(=)g Fe(F)1829 245 y Fi(2)1852 238 y Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\),)0 296 y(ist)i Fj(GF)7 b Fn(\(2)188 278 y Fg(n)212 296 y Fn(\))244 282 y Fl(\030)245 298 y Fn(=)297 296 y Fe(F)325 303 y Fi(2)347 296 y Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fj(=)p Fn(\()p Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\))16 b(und)g(Grad)q(\()p Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\))e(=)g Fj(n)p Fn(.)p 1900 296 2 33 v 1902 264 30 2 v 1902 296 V 1931 296 2 33 v 726 394 a(9.)27 b Fo(Zyklische)18 b(Codes)50 482 y Fn(Wir)13 b(hab)q(en)h(bisher)g(fast)g(aussc)o(hlie\031lic)o(h)d(Co)q(des)k (studiert,)e(deren)g(Hamming-Gewic)n(h)o(te)d(klein)j(\(z.B.)0 540 y(3)22 b(o)q(der)h(4\))f(w)o(aren.)g(Sie)f(sind)h(h)609 542 y(\177)609 540 y(oc)o(hstens)g(1-fehlerk)o(orrigierend.)e(Mit)i (den)f(zyklisc)o(hen)f(\(P)o(olynom-\))0 598 y(Co)q(des)d(erhalten)f (wir)g(Co)q(des)h(mit)e(h)681 600 y(\177)681 598 y(oherem)f (Hamming-Gewic)o(h)o(t.)0 680 y Fq(Bemerkung)j(9.1.)23 b Fn(Seien)12 b Fj(k)i Fn(und)f Fj(n)g Fn(mit)d Fj(k)16 b(<)e(n)e Fn(gegeb)q(en,)h(und)f(sei)g Fj(g)j Fn(ein)c(P)o(olynom)g(v)o (om)g(Grad)i Fj(n)s Fl(\000)s Fj(k)r Fn(.)0 738 y(Dann)k(de\014niert)f Fj(g)i Fn(die)e(folgende)g(lineare)f(Abbildung)h Fj(g)g Fn(:)d Fj(P)1130 745 y Fg(k)q Fb(\000)p Fi(1)1211 738 y Fl(3)h Fj(f)19 b Fl(7!)14 b Fj(g)r(f)19 b Fl(2)14 b Fj(P)1511 745 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1580 738 y Fn(.)i(Wir)g(b)q (etrac)o(h)o(ten)0 796 y(die)f(en)o(tsprec)o(hende)f(lineare)g (Abbildung)h(auf)h(den)f(Ko)q(ordinatensystemen)g(v)o(on)h(Ko)q (e\016zien)o(ten)o(v)o(ek)o(to-)0 857 y(ren)g(der)h(P)o(olynome)e Fh(b)-28 b Fj(g)16 b Fn(:)e Fj(K)507 839 y Fg(k)543 857 y Fl(!)g Fj(K)652 839 y Fg(n)676 857 y Fn(.)i(W)l(enn)h Fj(g)f Fn(=)937 820 y Fh(P)989 833 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)989 871 y(i)p Fi(=0)1068 857 y Fj(\015)1093 864 y Fg(i)1107 857 y Fj(x)1135 839 y Fg(i)1166 857 y Fn(ist,)f(dann)j(ist) e(die)g(darstellende)g(Matrix)0 917 y(v)o(on)g Fj(g)j Fn(b)q(ez)207 919 y(\177)206 917 y(uglic)o(h)c(der)h(Basen)g(1)p Fj(;)8 b(x;)g(x)699 899 y Fi(2)718 917 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)864 899 y Fg(k)q Fb(\000)p Fi(1)946 917 y Fn(bzw.)16 b(1)p Fj(;)8 b(x;)g(x)1184 899 y Fi(2)1203 917 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(x)1349 899 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1433 917 y Fn(gegeb)q(en)17 b(durc)o(h)566 1372 y Fj(M)j Fn(=)684 958 y Fh(0)684 1046 y(B)684 1076 y(B)684 1106 y(B)684 1135 y(B)684 1165 y(B)684 1195 y(B)684 1225 y(B)684 1255 y(B)684 1285 y(B)684 1315 y(B)684 1345 y(B)684 1375 y(B)684 1404 y(B)684 1434 y(B)684 1464 y(B)684 1494 y(B)684 1524 y(B)684 1554 y(B)684 1584 y(B)684 1614 y(B)684 1644 y(B)684 1675 y(@)753 992 y Fj(\015)778 999 y Fi(0)900 992 y Fn(0)177 b Fj(:)8 b(:)g(:)84 b Fn(0)753 1050 y Fj(\015)778 1057 y Fi(1)890 1050 y Fj(\015)915 1057 y Fi(0)1018 1050 y Fn(0)59 b Fj(:)8 b(:)g(:)84 b Fn(0)769 1097 y(.)769 1113 y(.)769 1130 y(.)887 1101 y(.)906 1113 y(.)925 1126 y(.)1005 1101 y(.)1024 1113 y(.)1043 1126 y(.)1249 1097 y(.)1249 1113 y(.)1249 1130 y(.)769 1177 y(.)769 1194 y(.)769 1210 y(.)1005 1181 y(.)1024 1194 y(.)1043 1206 y(.)1108 1181 y(.)1127 1194 y(.)1146 1206 y(.)1249 1177 y(.)1249 1194 y(.)1249 1210 y(.)769 1258 y(.)769 1274 y(.)769 1291 y(.)328 b Fj(\015)1136 1298 y Fi(1)1233 1291 y Fj(\015)1258 1298 y Fi(0)769 1338 y Fn(.)769 1355 y(.)769 1371 y(.)450 b Fj(\015)1258 1378 y Fi(1)728 1452 y Fj(\015)753 1459 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)1249 1418 y Fn(.)1249 1435 y(.)1249 1452 y(.)763 1532 y(0)78 b Fj(\015)890 1539 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)1249 1499 y Fn(.)1249 1515 y(.)1249 1532 y(.)769 1579 y(.)769 1596 y(.)769 1612 y(.)1005 1583 y(.)1024 1596 y(.)1043 1608 y(.)1249 1579 y(.)1249 1596 y(.)1249 1612 y(.)769 1660 y(.)769 1676 y(.)769 1693 y(.)1108 1664 y(.)1127 1676 y(.)1146 1689 y(.)1249 1660 y(.)1249 1676 y(.)1249 1693 y(.)763 1751 y(0)93 b Fj(:)8 b(:)g(:)183 b Fn(0)63 b Fj(\015)1233 1758 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)1303 958 y Fh(1)1303 1046 y(C)1303 1076 y(C)1303 1106 y(C)1303 1135 y(C)1303 1165 y(C)1303 1195 y(C)1303 1225 y(C)1303 1255 y(C)1303 1285 y(C)1303 1315 y(C)1303 1345 y(C)1303 1375 y(C)1303 1404 y(C)1303 1434 y(C)1303 1464 y(C)1303 1494 y(C)1303 1524 y(C)1303 1554 y(C)1303 1584 y(C)1303 1614 y(C)1303 1644 y(C)1303 1675 y(A)1355 1372 y Fj(;)0 1827 y Fn(wie)16 b(man)f(sofort)i(aus)g(dem)e(P)o (olynompro)q(dukt)523 1952 y Fj(g)r(f)k Fn(=)645 1890 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)643 1905 y Fh(X)650 2010 y Fg(i)p Fi(=0)723 1952 y Fj(\015)748 1959 y Fg(i)762 1952 y Fj(x)790 1931 y Fg(i)816 1890 y(k)q Fb(\000)p Fi(1)813 1905 y Fh(X)818 2010 y Fg(j)r Fi(=0)893 1952 y Fj(\014)921 1959 y Fg(j)939 1952 y Fj(x)967 1931 y Fg(j)998 1952 y Fn(=)1053 1890 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1050 1905 y Fh(X)1057 2009 y Fg(t)p Fi(=0)1122 1952 y Fn(\()1145 1890 y Fg(k)q Fb(\000)p Fi(1)1141 1905 y Fh(X)1146 2010 y Fg(j)r Fi(=0)1221 1952 y Fj(\015)1246 1959 y Fg(t)p Fb(\000)p Fg(j)1305 1952 y Fj(\014)1333 1959 y Fg(j)1351 1952 y Fn(\))p Fj(x)1398 1931 y Fg(t)0 2080 y Fn(abliest.)0 2162 y Fq(De\014nition)f(9.2.)23 b Fn(Ein)15 b(Co)q(de)h Fj(V)25 b Fn(=)14 b(Bi)o(\()p Fh(b)-28 b Fj(g)r Fn(\),)15 b(der)g(v)o(on)h(einem)d(P)o(olynom)h Fj(g)j Fn(in)e(der)g(F)l(orm)f Fh(b)-28 b Fj(g)16 b Fn(:)e Fj(K)1768 2144 y Fg(k)1803 2162 y Fl(!)f Fj(K)1911 2144 y Fg(n)0 2220 y Fn(mit)h(Grad)q(\()p Fj(g)r Fn(\))g Fl(\024)g Fj(n)d Fl(\000)g Fj(k)18 b Fn(erzeugt)e(wird,)f(hei\031t)h(ein)g Fk(Polynomc)n(o)n(de)p Fn(.)0 2302 y Fq(De\014nition)i(9.3.)23 b Fn(Ein)18 b(Co)q(de)g Fj(V)28 b Fl(\022)16 b Fj(K)748 2283 y Fg(n)789 2302 y Fn(hei\031t)i Fk(zyklisch)p Fn(,)g(w)o(enn)f(f) 1248 2304 y(\177)1247 2302 y(ur)h(alle)f Fj(x)f Fn(=)g(\()p Fj(\030)1540 2309 y Fi(1)1560 2302 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\030)1699 2309 y Fg(n)1723 2302 y Fn(\))16 b Fl(2)h Fj(V)29 b Fn(gilt)0 2360 y(\()p Fj(\030)40 2367 y Fg(n)64 2360 y Fj(;)8 b(\030)107 2367 y Fi(1)127 2360 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\030)265 2367 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)334 2360 y Fn(\))23 b Fl(2)g Fj(V)11 b Fn(.)21 b(Also)g(ist)g(jede)g(zyklisc)o(he)e(V)l(ertausc)o(h)o(ung)i (eines)g(Co)q(dew)o(ortes)h(wieder)f(ein)0 2418 y(Co)q(dew)o(ort.)0 2499 y Fq(Theorem)c(9.4.)23 b Fk(Seien)c Fj(k)g Fk(und)f Fj(n)f Fk(mit)g Fj(k)f(<)e(n)j Fk(ge)n(geb)n(en.)i(Sei)f Fj(g)e Fl(2)e Fj(P)1282 2506 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)1369 2499 y Fk(vom)k(Gr)n(ad)d Fj(n)c Fl(\000)f Fj(k)19 b Fk(ein)f(T)l(eiler)0 2558 y(von)f Fj(x)119 2539 y Fg(n)150 2558 y Fl(\000)8 b Fn(1)15 b Fl(2)f Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])p Fk(.)h(Dann)h(ist)h(der)f(dur)n(ch)f Fj(g)k Fk(erzeugte)e (Polynomc)n(o)n(de)g(ein)f(zyklischer)h(Co)n(de.)f Fj(g)i Fk(hei\031t)0 2616 y(dann)g(ein)g Fn(Generatorp)q(olynom)f Fk(f)635 2618 y(\177)635 2616 y(ur)g(den)i(zyklischen)f(Co)n(de.)0 2697 y(Beweis.)k Fn(Sei)11 b Fj(g)r(g)306 2679 y Fb(0)331 2697 y Fn(=)j Fj(x)411 2679 y Fg(n)435 2697 y Fl(\000)q Fn(1.)d(Dann)h(ist)f Fj(x)742 2679 y Fg(n)779 2697 y Fn(=)j Fj(g)r(g)881 2679 y Fb(0)894 2697 y Fn(+)q(1.)d(Sei)g Fj(g)r(f)19 b Fn(=)14 b Fj(\013)1207 2704 y Fi(0)1228 2697 y Fn(+)q Fj(\013)1298 2704 y Fi(1)1317 2697 y Fj(x)q Fn(+)q Fj(:)8 b(:)g(:)p Fn(+)q Fj(\013)1513 2704 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1581 2697 y Fj(x)1609 2679 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1689 2697 y Fn(Darstellung)0 2755 y(eines)21 b(Co)q(dew)o(ortes)i (\()p Fj(\013)444 2762 y Fi(0)464 2755 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)613 2762 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)681 2755 y Fn(\).)22 b(Wir)g(m)o(ultipli)o(zi)o(eren)d(diese)i(Gleic)o(h)o(ung)g (mit)f Fj(x)i Fn(und)h(erhalten)0 2814 y Fj(xg)r(f)c Fn(=)14 b Fj(\013)179 2821 y Fi(0)199 2814 y Fj(x)8 b Fn(+)g Fj(\013)312 2821 y Fi(1)332 2814 y Fj(x)360 2796 y Fi(2)387 2814 y Fn(+)h Fj(:)f(:)g(:)f Fn(+)h Fj(\013)576 2821 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)645 2814 y Fj(x)673 2796 y Fg(n)710 2814 y Fn(=)14 b Fj(\013)793 2821 y Fi(0)813 2814 y Fj(x)8 b Fn(+)g Fj(\013)926 2821 y Fi(1)946 2814 y Fj(x)974 2796 y Fi(2)1001 2814 y Fn(+)h Fj(:)f(:)g(:)f Fn(+)h Fj(\013)1190 2821 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1259 2814 y Fn(\()p Fj(g)r(g)1328 2796 y Fb(0)1348 2814 y Fn(+)g(1\))15 b(=)e Fj(\013)1534 2821 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1611 2814 y Fn(+)c Fj(\013)1689 2821 y Fi(0)1708 2814 y Fj(x)f Fn(+)h Fj(\013)1822 2821 y Fi(1)1841 2814 y Fj(x)1869 2796 y Fi(2)1897 2814 y Fn(+)0 2872 y Fj(:)f(:)g(:)q Fn(+)q Fj(\013)129 2879 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)197 2872 y Fj(g)r(g)247 2854 y Fb(0)271 2872 y Fn(und)j(daraus)i Fj(\013)547 2879 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)617 2872 y Fn(+)q Fj(\013)687 2879 y Fi(0)707 2872 y Fj(x)q Fn(+)q Fj(\013)806 2879 y Fi(1)826 2872 y Fj(x)854 2854 y Fi(2)875 2872 y Fn(+)q Fj(:)8 b(:)g(:)p Fn(+)q Fj(\013)1042 2879 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(2)1111 2872 y Fj(x)1139 2854 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1221 2872 y Fn(=)14 b Fj(xg)r(f)7 b Fl(\000)q Fj(\013)1428 2879 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1496 2872 y Fj(g)r(g)1546 2854 y Fb(0)1572 2872 y Fn(=)14 b Fj(g)r Fn(\()p Fj(xf)7 b Fl(\000)q Fj(\013)1798 2879 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1866 2872 y Fj(g)1891 2854 y Fb(0)1902 2872 y Fn(\).)0 2930 y(Da)19 b(Grad)q(\()p Fj(xf)e Fl(\000)c Fj(\013)360 2937 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)428 2930 y Fj(g)453 2912 y Fb(0)465 2930 y Fn(\))18 b Fl(\024)f Fj(n)c Fl(\000)f Fn(1)h Fl(\000)f Fn(Grad)q(\()p Fj(g)r Fn(\))17 b(=)h Fj(k)d Fl(\000)d Fn(1)19 b(gilt,)e(ist)h(also)h(auc)o(h)g(\()p Fj(\013)1558 2937 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(1)1626 2930 y Fj(;)8 b(\013)1679 2937 y Fi(0)1699 2930 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)1848 2937 y Fg(n)p Fb(\000)p Fi(2)1916 2930 y Fn(\))0 2988 y(ein)16 b(Co)q(dew)o(ort)h(und)f(der)g(P)o(olynomco)q (de)f(zyklisc)o(h.)p 1900 2988 V 1902 2957 30 2 v 1902 2988 V 1931 2988 2 33 v eop %%Page: 22 22 22 21 bop 0 85 a Fm(22)518 b(V)o(ORLESUNG)17 b(V)o(ON)f(B.)g(P)m (AREIGIS)h(IM)g(SS)g(1998)0 179 y Fq(Bemerkung)g(9.5.)23 b Fn(Es)14 b(gilt)f(auc)o(h)g(die)g(Umk)o(ehrung)e(des)j(Satzes.)f(Sei) f Fj(V)26 b Fl(\022)13 b Fj(K)1478 161 y Fg(n)1515 179 y Fn(ein)g(zyklisc)o(her)e(Co)q(de.)0 238 y(Dann)17 b(gibt)f(es)g(ein)g (P)o(olynom)f Fj(g)h Fl(2)e Fj(P)689 245 y Fg(n)p Fb(\000)p Fg(k)776 238 y Fn(mit)g Fj(g)19 b Fn(teilt)14 b Fj(x)1037 219 y Fg(n)1072 238 y Fl(\000)c Fn(1,)17 b(das)g(diesen)e(zyklisc)o (hen)f(Co)q(de)j(erzeugt.)0 296 y(Wir)f(b)q(en)176 298 y(\177)176 296 y(otigen)g(den)h(Bew)o(eis)d(hier)i(nic)o(h)o(t.)0 386 y Fq(Theorem)h(9.6.)23 b Fk(Der)18 b(dur)n(ch)f Fj(g)604 393 y Fg(k)640 386 y Fn(:=)d(\()p Fj(x)d Fl(\000)g Fn(1\))857 368 y Fg(p)p Fb(\000)p Fg(k)942 388 y Fk(\177)942 386 y(ub)n(er)17 b Fj(K)i Fn(=)14 b Fj(GF)7 b Fn(\()p Fj(q)r Fn(\))17 b Fk(generierte)j(zyklische)f(Co)n(de)e(hat)0 444 y(die)h(Hamming-Norm)g Fj(p)11 b Fl(\000)g Fj(k)i Fn(+)e(1)p Fk(.)0 534 y(Beweis.)22 b Fn(F)215 536 y(\177)214 534 y(ur)i Fj(k)k Fn(=)e(1)e(ist)31 b Fh(b)-36 b Fj(g)547 541 y Fi(1)594 534 y Fn(:)25 b Fj(K)678 516 y Fi(1)724 534 y Fl(!)h Fj(K)845 516 y Fg(p)889 534 y Fn(gegeb)q(en)e(durc)o(h)31 b Fh(b)-36 b Fj(g)1249 541 y Fi(1)1269 534 y Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))27 b(=)f Fj(\013)16 b Fl(\001)g Fn(\()p Fj(x)g Fl(\000)g Fn(1\))1667 516 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1732 534 y Fn(.)23 b(Nun)g(ist)0 593 y(\()p Fj(x)p Fl(\000)p Fn(1\)\()p Fj(x)p Fl(\000)p Fn(1\))258 575 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)337 593 y Fn(=)14 b(\()p Fj(x)p Fl(\000)p Fn(1\))518 575 y Fg(p)551 593 y Fn(=)g Fj(x)631 575 y Fg(p)651 593 y Fl(\000)p Fn(1)g(=)f(\()p Fj(x)p Fl(\000)p Fn(1\)\()p Fj(x)955 575 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1020 593 y Fn(+)p Fj(x)1086 575 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(2)1151 593 y Fn(+)p Fj(:)8 b(:)g(:)o Fn(+)p Fj(x)p Fn(+1\).)j(Da)h Fj(K)t Fn([)p Fj(x)p Fn(])d(n)o(ullteilerfrei)f(ist,)0 651 y(ist)j(\()p Fj(x)r Fl(\000)r Fn(1\))196 633 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)274 651 y Fn(=)j Fj(x)354 633 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)420 651 y Fn(+)r Fj(x)488 633 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(2)553 651 y Fn(+)r Fj(:)8 b(:)g(:)q Fn(+)r Fj(x)r Fn(+)r(1.)h(Damit)i (erhalten)g(wir)g Fj(g)1243 658 y Fi(1)1265 651 y Fl(\001)r Fj(\013)i Fn(=)h Fj(\013)r Fl(\001)r Fn(\()p Fj(x)1473 633 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1538 651 y Fn(+)r Fj(x)1606 633 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(2)1672 651 y Fn(+)r Fj(:)8 b(:)g(:)p Fn(+)r Fj(x)r Fn(+)r(1\),)0 709 y(also)17 b Fh(b)-28 b Fj(g)121 716 y Fi(1)141 709 y Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))14 b(=)g(\()p Fj(\013;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)p Fn(\).)16 b(O\013en)o(bar)g(hat)h(diese)e(Ko)q(dierung)i(nac)o(h)f (De\014nition)g(die)g(Hamming-Norm)0 767 y Fj(p)p Fn(.)50 825 y(F)83 827 y(\177)82 825 y(ur)c Fj(k)k Fn(=)e Fj(p)f Fn(ist)f Fj(g)357 832 y Fg(p)391 825 y Fn(=)i(1,)f(also)g Fh(b)-28 b Fj(g)611 832 y Fg(p)645 825 y Fn(:)13 b Fj(K)717 807 y Fg(p)751 825 y Fl(!)h Fj(K)860 807 y Fg(p)892 825 y Fn(die)e(iden)o(tisc)o(he)f(Abbildung)h(mit)f(der)h(Hamming-Norm)0 883 y(1.)50 941 y(Wir)23 b(zeigen)f(jetzt)g Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)476 948 y Fg(k)q Fi(+1)543 941 y Fl(k)25 b Fj(<)h Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)705 948 y Fg(k)726 941 y Fl(k)24 b Fn(f)791 943 y(\177)790 941 y(ur)f(alle)f(0)k Fl(\024)f Fj(k)j(<)e(p)p Fn(.)d(Sei)f(\()p Fj(\013)1382 948 y Fi(0)1402 941 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)1551 948 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1615 941 y Fn(\))26 b Fl(2)g Fn(Bi)o(\()p Fh(b)-28 b Fj(g)1809 948 y Fg(k)1831 941 y Fn(\))23 b(ein)0 999 y(Co)q(dew)o(ort)g(minimale)o(r)d(Norm,)g(also)j(mit)e(einer)g (minim)o(alen)f(Anzahl)h(v)o(on)h(Ko)q(e\016zien)o(ten)f(ungleic)o(h)0 1058 y(Null.)15 b(W)l(eil)i(wir)f(einen)h(zyklisc)o(hen)e(Co)q(de)j (hab)q(en,)f(k)992 1060 y(\177)992 1058 y(onnen)g(wir)g Fj(\013)1252 1065 y Fi(0)1287 1058 y Fl(6)p Fn(=)f(0)h(annehmen.)f(F) 1663 1060 y(\177)1662 1058 y(ur)h Fj(f)k Fl(6)p Fn(=)15 b(0)j(gilt)0 1116 y(Grad)q(\()p Fj(g)151 1123 y Fg(k)172 1116 y Fj(f)5 b Fn(\))15 b(=)e(Grad)q(\()p Fj(g)437 1123 y Fg(k)459 1116 y Fn(\))d(+)g(Grad\()p Fj(f)5 b Fn(\))15 b(=)e(\()p Fj(p)e Fl(\000)f Fj(k)r Fn(\))g(+)g(Grad\()p Fj(f)5 b Fn(\))14 b Fl(\025)g Fj(p)d Fl(\000)e Fj(k)r Fn(,)16 b(also)g(ist)f(auc)o(h)h Fj(\013)1676 1123 y Fg(i)1704 1116 y Fl(6)p Fn(=)e(0)i(f)1812 1118 y(\177)1811 1116 y(ur)g(ein)0 1174 y Fj(i)h(>)g Fn(0.)i(Dann)g(ist)f(das)h(zugeh) 561 1176 y(\177)561 1174 y(orige)f(P)o(olynom)f Fj(\013)919 1181 y Fi(0)952 1174 y Fn(+)12 b Fj(\013)1033 1181 y Fi(1)1053 1174 y Fj(x)g Fn(+)g Fj(:)c(:)g(:)k Fn(+)h Fj(\013)1295 1181 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1360 1174 y Fj(x)1388 1156 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1470 1174 y Fn(=)k Fj(g)1548 1181 y Fg(k)1570 1174 y Fj(f)22 b Fn(=)c(\()p Fj(x)12 b Fl(\000)g Fn(1\))1825 1156 y Fg(p)p Fb(\000)p Fg(k)1892 1174 y Fj(f)5 b Fn(.)0 1232 y(Wir)14 b(bilden)f(die)h (formale)f(Ableitung)g(und)i(erhalten)e Fj(\013)1029 1239 y Fi(1)1056 1232 y Fn(+)7 b(2)p Fj(\013)1156 1239 y Fi(2)1176 1232 y Fj(x)g Fn(+)g Fj(:)h(:)g(:)f Fn(+)g(\()p Fj(p)g Fl(\000)g Fn(1\))p Fj(\013)1536 1239 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)1601 1232 y Fj(x)1629 1214 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(2)1708 1232 y Fn(=)14 b(\()p Fj(g)1802 1239 y Fg(k)1823 1232 y Fj(f)5 b Fn(\))1871 1214 y Fb(0)1897 1232 y Fn(=)0 1293 y(\()p Fj(p)17 b Fl(\000)f Fj(k)r Fn(\)\()p Fj(x)f Fl(\000)h Fn(1\))321 1275 y Fg(p)p Fb(\000)p Fg(k)q Fb(\000)p Fi(1)433 1293 y Fj(f)22 b Fn(+)16 b(\()p Fj(x)g Fl(\000)g Fn(1\))694 1275 y Fg(p)p Fb(\000)p Fg(k)760 1293 y Fj(f)789 1275 y Fb(0)828 1293 y Fn(=)27 b(\()p Fj(x)15 b Fl(\000)h Fn(1\))1053 1275 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(\()p Fg(k)q Fi(+1\))1193 1293 y Fn(\(\()p Fj(p)g Fl(\000)g Fj(k)r Fn(\))p Fj(f)22 b Fn(+)16 b(\()p Fj(x)g Fl(\000)f Fn(1\))p Fj(f)1661 1275 y Fb(0)1674 1293 y Fn(\).)23 b(Daher)h(ist)0 1351 y(\()p Fj(\013)50 1358 y Fi(1)70 1351 y Fj(;)8 b Fn(2)p Fj(\013)147 1358 y Fi(2)167 1351 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b Fn(\()p Fj(p)r Fl(\000)r Fn(1\))p Fj(\013)444 1358 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)510 1351 y Fj(;)g Fn(0\))14 b Fl(2)g Fn(Bi)o(\()p Fh(b)-28 b Fj(g)726 1358 y Fg(k)q Fi(+1)793 1351 y Fn(\))11 b(ein)g(Elemen)o(t)f(kleinerer)f(Norm.)h (Damit)h(ist)g Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)1683 1358 y Fg(k)q Fi(+1)1750 1351 y Fl(k)14 b Fj(<)f Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)1888 1358 y Fg(k)1910 1351 y Fl(k)0 1409 y Fn(und)582 1473 y(1)14 b(=)g Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)720 1480 y Fg(p)740 1473 y Fl(k)13 b Fj(<)h Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)878 1480 y Fg(p)p Fb(\000)p Fi(1)943 1473 y Fl(k)14 b Fj(<)g(:)8 b(:)g(:)13 b(<)h Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)1205 1480 y Fi(1)1225 1473 y Fl(k)14 b Fn(=)f Fj(p;)0 1547 y Fn(w)o(oraus)k Fl(k)p Fh(b)-28 b Fj(g)212 1554 y Fg(k)234 1547 y Fl(k)14 b Fn(=)f Fj(p)f Fl(\000)f Fj(k)i Fn(+)e(1)16 b(folgt.)p 1900 1547 2 33 v 1902 1515 30 2 v 1902 1547 V 1931 1547 2 33 v 597 1661 a(10.)28 b Fo(Beispiel)18 b(eines)g(BCH-Codes)0 1748 y Fq(Lemma)e(10.1.)23 b Fj(p)362 1755 y Fi(1)382 1748 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))14 b(:=)f Fj(x)555 1730 y Fi(4)578 1748 y Fn(+)s Fj(x)s Fn(+)s(1)i Fk(ist)f(irr)n(e)n(duzib)n(el) f(mit)h(Nul)r(lstel)r(le)k Fj(\013)c Fl(2)g Fj(GF)7 b Fn(\(2)1532 1730 y Fi(4)1552 1748 y Fn(\))14 b Fk(mit)g(der)f(Or)n (dnung)0 1807 y Fn(2)24 1789 y Fi(4)55 1807 y Fl(\000)e Fn(1)j(=)g(15)p Fk(.)0 1897 y(Beweis.)22 b Fj(p)206 1904 y Fi(1)226 1897 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))13 b(hat)g(k)o(eine)e (Nullstelle)f(in)i Fe(F)801 1904 y Fi(2)824 1897 y Fn(.)g(W)l(eiter)g (ist)g Fj(x)1096 1879 y Fi(2)1119 1897 y Fn(+)t Fj(x)t Fn(+)t(1)f(das)j(einzige)d(irreduzible)f(P)o(olynom)0 1955 y(v)o(om)j(Grad)j(2.)e(Es)h(ist)g Fj(x)442 1937 y Fi(4)469 1955 y Fn(+)8 b Fj(x)g Fn(+)g(1)14 b(=)f(\()p Fj(x)733 1937 y Fi(2)761 1955 y Fn(+)8 b Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(x)901 1937 y Fi(2)927 1955 y Fn(+)g Fj(x)g Fn(+)g(1\))g(+)g(1.)14 b(Also)h(ist)f Fj(p)1403 1962 y Fi(1)1424 1955 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))g(irreduzib)q(el.)e(F)1791 1957 y(\177)1790 1955 y(ur)j(eine)0 2013 y(Nullstelle)h Fj(\013)i Fl(2)g Fj(GF)7 b Fn(\(2)438 1995 y Fi(4)458 2013 y Fn(\))17 b(=)h Fe(F)577 2020 y Fi(2)600 2013 y Fn([)p Fj(x)p Fn(])f(gilt)h(sic)o (her)g Fj(\013)933 1995 y Fi(15)988 2013 y Fn(=)g(1.)g(Ab)q(er)g(es)h (gelten)f Fj(\013)1461 1995 y Fi(3)1498 2013 y Fl(6)p Fn(=)g(1,)g(w)o(eil)g(1)p Fj(;)8 b(\013;)g(\013)1842 1995 y Fi(2)1862 2013 y Fj(;)g(\013)1915 1995 y Fi(3)0 2071 y Fn(Basis)18 b(f)145 2073 y(\177)144 2071 y(ur)g Fj(GF)7 b Fn(\(2)328 2053 y Fi(4)347 2071 y Fn(\))18 b(bilden,)f(und)h Fj(\013)676 2053 y Fi(5)712 2071 y Fn(=)f Fj(\013\013)829 2053 y Fi(4)866 2071 y Fn(=)f Fj(\013)p Fn(\()p Fj(\013)d Fn(+)f(1\))17 b(=)f Fj(\013)1209 2053 y Fi(2)1242 2071 y Fn(+)c Fj(\013)17 b Fl(6)p Fn(=)f(1.)i(Daher)g (ist)g(die)f(Ordn)o(ung)0 2129 y Fl(j)p Fj(\013)p Fl(j)d Fn(=)g(15.)p 1900 2129 V 1902 2098 30 2 v 1902 2129 V 1931 2129 2 33 v 0 2220 a Fq(Lemma)i(10.2.)23 b Fj(p)362 2227 y Fi(2)382 2220 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))14 b(:=)f Fj(x)555 2202 y Fi(4)586 2220 y Fn(+)e Fj(x)663 2202 y Fi(3)693 2220 y Fn(+)g Fj(x)770 2202 y Fi(2)801 2220 y Fn(+)g Fj(x)f Fn(+)h(1)18 b Fk(ist)g(irr)n(e)n(duzib)n(el)e(mit)i (Nul)r(lstel)r(l)q(e)i Fj(\013)1614 2202 y Fi(3)1634 2220 y Fk(.)0 2310 y(Beweis.)i Fj(p)206 2317 y Fi(2)226 2310 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))14 b(hat)g(k)o(eine)e(Nullstelle)f(in)i Fe(F)807 2317 y Fi(2)830 2310 y Fn(.)g(Es)h(ist)g Fj(x)1017 2292 y Fi(4)1042 2310 y Fn(+)6 b Fj(x)1114 2292 y Fi(3)1139 2310 y Fn(+)g Fj(x)1211 2292 y Fi(2)1236 2310 y Fn(+)g Fj(x)g Fn(+)g(1)14 b(=)g Fj(x)1476 2292 y Fi(2)1495 2310 y Fn(\()p Fj(x)1542 2292 y Fi(2)1567 2310 y Fn(+)6 b Fj(x)g Fn(+)g(1\))g(+)g(\()p Fj(x)g Fn(+)g(1\).)0 2368 y(Damit)11 b(ist)g Fj(p)234 2375 y Fi(2)254 2368 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))h(irreduzib)q(el.)e(W)l(eiter)g(ist)i Fj(\013)831 2350 y Fi(3)863 2368 y Fn(Nullstelle)d(v)o(on)j Fj(p)1186 2375 y Fi(2)1206 2368 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\),)f(denn)h(es)g(gilt)f Fj(\013)1578 2350 y Fi(12)1618 2368 y Fn(+)r Fj(\013)1689 2350 y Fi(9)1711 2368 y Fn(+)r Fj(\013)1782 2350 y Fi(6)1804 2368 y Fn(+)r Fj(\013)1875 2350 y Fi(3)1897 2368 y Fn(+)0 2426 y(1)j(=)g(\()p Fj(\013)s Fn(+)s(1\))227 2408 y Fi(3)249 2426 y Fn(+)s Fj(\013)p Fn(\()p Fj(\013)s Fn(+)s(1\))458 2408 y Fi(2)481 2426 y Fn(+)s Fj(\013)553 2408 y Fi(2)572 2426 y Fn(\()p Fj(\013)s Fn(+)s(1\))s(+)s Fj(\013)784 2408 y Fi(3)806 2426 y Fn(+)s(1)g(=)g Fj(\013)968 2408 y Fi(3)991 2426 y Fn(+)s Fj(\013)1063 2408 y Fi(2)1085 2426 y Fn(+)s Fj(\013)s Fn(+)s(1)s(+)s Fj(\013)1300 2408 y Fi(3)1322 2426 y Fn(+)s Fj(\013)s Fn(+)s Fj(\013)1469 2408 y Fi(3)1491 2426 y Fn(+)s Fj(\013)1563 2408 y Fi(2)1585 2426 y Fn(+)s Fj(\013)1657 2408 y Fi(3)1680 2426 y Fn(+)s(1)g(=)f(0.)p 1900 2426 V 1902 2395 30 2 v 1902 2426 V 1931 2426 2 33 v 0 2517 a Fq(Lemma)j(10.3.)23 b Fj(m)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))13 b(:=)h Fj(p)550 2524 y Fi(1)570 2517 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(p)660 2524 y Fi(2)680 2517 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))j Fk(hat)g(Nul)r(lstel)r(l)q(en)k Fj(\013;)8 b(\013)1173 2499 y Fi(2)1193 2517 y Fj(;)g(\013)1246 2499 y Fi(3)1266 2517 y Fj(;)g(\013)1319 2499 y Fi(4)1339 2517 y Fk(.)0 2607 y(Beweis.)22 b Fn(Da)17 b Fj(p)284 2614 y Fi(1)304 2607 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))370 2589 y Fi(2)403 2607 y Fn(=)d Fj(p)479 2614 y Fi(1)499 2607 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))i(gilt,)g(hat)g Fj(p)792 2614 y Fi(1)812 2607 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))g(Nullstellen)e Fj(\013;)8 b(\013)1221 2589 y Fi(2)1241 2607 y Fj(;)g(\013)1294 2589 y Fi(4)1314 2607 y Fj(;)g(\013)1367 2589 y Fi(8)1387 2607 y Fn(.)p 1900 2607 V 1902 2576 30 2 v 1902 2607 V 1931 2607 2 33 v 0 2697 a Fq(Beispiel)17 b(10.4.)23 b(Ein)45 b(B.C.H.-Co)r(de)37 b Fn(\(R.C.Bose,)h(D.K.Ra)o(y-Chaudh)o (uri,)g(A.Ho)q(cquenghem)0 2755 y(1959/60\))50 2814 y(Wir)13 b(k)o(onstruieren)h(Ko)q(dierung,)g(Dek)o(o)q(dierung)g(und)g(F)l (ehlerk)o(orrektur)e(f)1413 2816 y(\177)1412 2814 y(ur)i(einen)f (\(15,7\)-Co)q(de)j(mit)0 2872 y(Hilfe)f(v)o(on)h Fj(\013)e Fl(2)g Fj(GF)7 b Fn(\(16\).)50 2930 y(Betrac)o(h)o(te)j Fj(f)20 b Fn(:)13 b Fe(F)365 2912 y Fi(7)365 2942 y(2)402 2930 y Fl(3)h Fn(\()p Fj(\013)499 2937 y Fi(14)536 2930 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)685 2937 y Fi(8)705 2930 y Fn(\))13 b Fl(7!)h Fj(\013)832 2937 y Fi(14)869 2930 y Fj(x)897 2912 y Fi(14)937 2930 y Fn(+)s Fj(:)8 b(:)g(:)r Fn(+)s Fj(\013)1110 2937 y Fi(8)1130 2930 y Fj(x)1158 2912 y Fi(8)1191 2930 y Fl(2)14 b Fe(F)1266 2937 y Fi(2)1288 2930 y Fn([)p Fj(x)p Fn(])1344 2937 y Fi(14)1394 2930 y Fn(=)g Fj(P)1477 2937 y Fi(14)1515 2930 y Fn(.)e(Das)h(ist)f(eine)f(lineare)0 2988 y(Abbildung.)18 b(Sei)f Fj(a)h Fn(=)f(\()p Fj(\013)485 2995 y Fi(14)523 2988 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)672 2995 y Fi(8)691 2988 y Fn(\))19 b(zun)805 2990 y(\177)805 2988 y(ac)o(hst)f(\014x.)g(Dann)h(k)m(ann)g(man)f(das)h(P)o(olynom)f Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(a)p Fn(\))17 b(=)h Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 448 92 a Fm(KLEINE)17 b(EINF)713 84 y(\177)708 92 y(UHR)o(UNG)f(IN)g(DIE)h(K)o(ODIER)o(UNGSTHEORIE)410 b(23)0 179 y Fn(sc)o(hreib)q(en)17 b(als)h Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(=)f Fj(q)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(m)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))11 b(+)h Fj(r)q Fn(\()p Fj(x)p Fn(\).)17 b(Wir)h(bilden)e Fj(s)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))h(:=)f Fj(p)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))c Fl(\000)g Fj(r)q Fn(\()p Fj(x)p Fn(\).)17 b(Es)h(sei)g Fj(s)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(die)g(Ko-)0 238 y(dierung)d(v)o(on)h Fj(a)p Fn(.)f(Sie)g(ist)g(durc)o(h)g Fj(a)p Fn(,)g Fj(\013)h Fn(und)g Fj(\013)824 219 y Fi(3)859 238 y Fn(eindeutig)e(b)q(estimm)o(t,)e(da)k Fj(p)1387 245 y Fi(1)1408 238 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(das)h(Minimalp)q(olynom)0 296 y(v)o(on)g Fj(\013)g Fn(ist,)e Fj(p)240 303 y Fi(2)261 296 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))h(das)h(Minimalp)q(olynom)d(v)o(on)i Fj(\013)924 278 y Fi(3)959 296 y Fn(ist,)g(dadurc)o(h)h Fj(m)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(eindeutig)f(b)q(estimm)o(t)f(ist,)i(und)0 354 y(da)j(die)e(Division)h(mit)e(Rest)i(eindeutig)g(b)q(estimm)o(te)c Fj(q)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))k(und)g Fj(r)q Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))h(ergibt.)50 412 y(Beac)o(h)o(te,)i(da\031)j Fj(r)q Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(den)h(Grad)g Fj(<)g Fn(8)g(hat)f(und)h(daher)g (die)e(Ko)q(e\016zien)o(ten)g Fj(\013)1540 419 y Fi(7)1560 412 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)15 b(;)8 b(\013)1708 419 y Fi(0)1749 412 y Fn(v)o(on)21 b Fj(s)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))0 470 y(b)q(estimm)o(t,)e(w)272 472 y(\177)272 470 y(ahrend)24 b Fj(f)5 b Fn(\()p Fj(a)p Fn(\))23 b(die)f(Ko)q(e\016zien)o(ten)f Fj(\013)973 477 y Fi(14)1010 470 y Fj(;)8 b(:)g(:)g(:)16 b(;)8 b(\013)1159 477 y Fi(8)1202 470 y Fn(v)o(on)22 b Fj(s)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))h(b)q(estimm)o(t.)c(W)l(eiter)j(h)1840 472 y(\177)1840 470 y(angt)0 528 y Fj(s)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))16 b(linear)f(v)o(on)i Fj(a)e Fn(ab.)50 586 y(Sei)20 b(n)o(un)h Fj(t)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))g Fl(2)g Fe(F)421 593 y Fi(2)444 586 y Fn([)p Fj(x)p Fn(])500 593 y Fi(14)557 586 y Fn(das)g(empfangene)f(gest)1004 588 y(\177)1004 586 y(orte)h(P)o(olynom)e(und)i Fj(z)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))g(:=)g Fj(t)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))14 b Fl(\000)g Fj(s)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))20 b(das)0 644 y(F)l(ehlerp)q(olynom.)14 b(Es)i(gelten)632 745 y Fj(z)r Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))e(=)f Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))p Fj(;)97 b Fn(w)o(eil)15 b Fj(s)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))f(=)g(0)p Fj(;)632 803 y(z)r Fn(\()p Fj(\013)707 785 y Fi(2)726 803 y Fn(\))g(=)g Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)879 785 y Fi(2)899 803 y Fn(\))p Fj(;)57 b Fn(w)o(eil)15 b Fj(s)p Fn(\()p Fj(\013)1161 785 y Fi(2)1181 803 y Fn(\))f(=)f(0)p Fj(;)632 861 y(z)r Fn(\()p Fj(\013)707 843 y Fi(3)726 861 y Fn(\))h(=)g Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)879 843 y Fi(3)899 861 y Fn(\))p Fj(;)57 b Fn(w)o(eil)15 b Fj(s)p Fn(\()p Fj(\013)1161 843 y Fi(3)1181 861 y Fn(\))f(=)f(0)p Fj(;)632 919 y(z)r Fn(\()p Fj(\013)707 901 y Fi(4)726 919 y Fn(\))h(=)g Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)879 901 y Fi(4)899 919 y Fn(\))p Fj(;)57 b Fn(w)o(eil)15 b Fj(s)p Fn(\()p Fj(\013)1161 901 y Fi(4)1181 919 y Fn(\))f(=)f(0)p Fj(:)0 1026 y Fn(Die)j(W)l(erte)f Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)300 1008 y Fg(i)314 1026 y Fn(\))i(sind)f(ab)q (er)h(b)q(ek)m(ann)o(t.)f(Wir)g(setzen)733 1161 y Fj(S)h Fn(=)832 1091 y Fh(\022)899 1131 y Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))52 b Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)1106 1113 y Fi(2)1125 1131 y Fn(\))889 1189 y Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)957 1171 y Fi(2)977 1189 y Fn(\))42 b Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)1106 1171 y Fi(3)1125 1189 y Fn(\))1165 1091 y Fh(\023)0 1292 y Fn(Dann)17 b(b)q(etrac)o(h)o(ten)f(wir)g(folgende)g(F)682 1294 y(\177)682 1292 y(alle:)50 1373 y(1.)21 b(Es)16 b(tritt)g(k)o(ein)f(F)l(ehler)g(auf.)h(Dann)h(ist)f Fj(z)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))d(=)h(0,)i(also)h(auc)o(h)f Fj(S)h Fn(=)d(0.)50 1462 y(2.)21 b(Es)d(tritt)f(ein)g(F)l(ehler)f(auf.)i(Dann) h(ist)e Fj(z)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(=)g Fj(x)1004 1444 y Fg(i)1018 1462 y Fn(.)h(Dann)i(ist)e Fj(S)j Fn(=)1356 1392 y Fh(\022)1422 1432 y Fj(\013)1453 1414 y Fg(i)1518 1432 y Fj(\013)1549 1414 y Fi(2)p Fg(i)1413 1491 y Fj(\013)1444 1472 y Fi(2)p Fg(i)1518 1491 y Fj(\013)1549 1472 y Fi(3)p Fg(i)1602 1392 y Fh(\023)1656 1462 y Fn(und)e(es)g(gilt)f Fj(S)109 1554 y Fn(hat)g(den)g(Rang)g(1.)g(Dieses)f(ist)h(die)f(F)l (ehlererk)o(enn)o(ung.)f(Wir)h(k)o(ennen)g Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))h(und)g(alle)f Fj(\013)1737 1536 y Fg(i)1751 1554 y Fn(.)h(Es)g(gibt)109 1612 y(genau)g(ein)e Fj(i)h Fn(mit)f Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))f(=)g Fj(\013)635 1594 y Fg(i)649 1612 y Fn(.)i(Dazu)h(m)o(u\031)e(man)h(die)g(Struktur)g (v)o(on)g Fj(GF)7 b Fn(\(16\))17 b(k)o(ennen.)e(Dann)i(ist)109 1670 y(der)f(F)l(ehler)e(an)j(der)f Fj(i)p Fn(-ten)g(Stelle)f (aufgetreten.)50 1728 y(3.)21 b(Es)16 b(treten)g(zw)o(ei)f(F)l(ehler)g (auf.)h(Das)h(ist)f(genau)h(dann)g(der)f(F)l(all,)f(w)o(enn)h Fj(z)r Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))e(=)g Fj(x)1603 1710 y Fg(i)1628 1728 y Fn(+)d Fj(x)1705 1710 y Fg(j)1739 1728 y Fn(f)1755 1730 y(\177)1754 1728 y(ur)16 b Fj(i)e Fl(6)p Fn(=)f Fj(j)s Fn(.)109 1786 y(Dann)k(ist)242 1908 y Fj(S)g Fn(=)341 1838 y Fh(\022)416 1878 y Fj(\013)447 1860 y Fg(i)472 1878 y Fn(+)11 b Fj(\013)552 1860 y Fg(j)630 1878 y Fj(\013)661 1860 y Fi(2)p Fg(i)704 1878 y Fn(+)g Fj(\013)784 1860 y Fi(2)p Fg(j)398 1937 y Fj(\013)429 1918 y Fi(2)p Fg(i)472 1937 y Fn(+)g Fj(\013)552 1918 y Fi(2)p Fg(j)630 1937 y Fj(\013)661 1918 y Fi(3)p Fg(i)704 1937 y Fn(+)g Fj(\013)784 1918 y Fi(3)p Fg(j)841 1838 y Fh(\023)891 1908 y Fn(=)943 1838 y Fh(\022)1011 1878 y Fn(1)65 b(1)1001 1937 y Fj(\013)1032 1918 y Fg(i)1088 1937 y Fj(\013)1119 1918 y Fg(j)1158 1838 y Fh(\023)8 b(\022)1260 1878 y Fj(\013)1291 1860 y Fg(i)1360 1878 y Fn(0)1271 1937 y(0)52 b Fj(\013)1378 1918 y Fg(j)1418 1838 y Fh(\023)8 b(\022)1520 1878 y Fn(1)44 b Fj(\013)1619 1860 y Fg(i)1520 1937 y Fn(1)e Fj(\013)1617 1918 y Fg(j)1656 1838 y Fh(\023)109 2040 y Fn(Diese)15 b(Matrix)h(hat)g(den)h(Rang)g(2.)f(Damit)f(ist)h(eine)f (2-F)l(ehlererk)o(enn)o(ung)g(gegeb)q(en.)158 2098 y(Zur)24 b(F)l(ehlerk)o(orrektur)e(b)q(eac)o(h)o(te,)h(da\031)i(f)927 2100 y(\177)926 2098 y(ur)f Fj(k)29 b Fn(=)e(1)p Fj(;)8 b Fn(2)p Fj(;)g Fn(3)p Fj(;)g Fn(4)25 b(b)q(ek)m(ann)o(t)f(sind)g Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)1674 2080 y Fg(k)1695 2098 y Fn(\))j(=)g Fj(z)r Fn(\()p Fj(\013)1881 2080 y Fg(k)1902 2098 y Fn(\).)109 2156 y(Daraus)20 b(sind)f Fj(i)g Fn(und)h Fj(j)i Fn(zu)d(b)q(estimmen.) d Fj(i)p Fn(,)i Fj(j)k Fn(sind)e(b)q(ek)m(ann)o(t,)f(w)o(enn)g(v)o(on)g (dem)f(P)o(olynom)f(\()p Fj(x)c Fl(\000)109 2214 y Fj(\013)140 2196 y Fg(i)154 2214 y Fn(\)\()p Fj(x)c Fl(\000)f Fj(\013)307 2196 y Fg(j)326 2214 y Fn(\))14 b(=)g Fj(x)439 2196 y Fi(2)467 2214 y Fn(+)9 b Fj(\034)535 2221 y Fi(1)555 2214 y Fj(x)g Fn(+)f Fj(\034)659 2221 y Fi(2)695 2214 y Fn(die)14 b(Ko)q(e\016zien)o(ten)g Fj(\034)1085 2221 y Fi(1)1119 2214 y Fn(=)f Fj(\013)1201 2196 y Fg(i)1225 2214 y Fn(+)c Fj(\013)1303 2196 y Fg(j)1337 2214 y Fn(und)15 b Fj(\034)1454 2221 y Fi(2)1488 2214 y Fn(=)f Fj(\013)1571 2196 y Fg(i)1585 2214 y Fj(\013)1616 2196 y Fg(j)1650 2214 y Fn(b)q(ek)m(ann)o(t)h(sind.)109 2273 y(Denn)h(dann)h(k)o(enn)o (t)e(man)g(die)h(Nullstellen)e(und)i(damit)f(die)h(Exp)q(onen)o(ten.) 158 2331 y(Wir)h(b)q(estimme)o(n)d(die)i Fj(\034)606 2338 y Fg(i)637 2331 y Fn(aus)h Fj(t)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))f(wie)g(folgt.)h(Wir)f(k)o(ennen)g(den)g(W)l(ert)h Fj(\034)1539 2338 y Fi(1)1573 2331 y Fn(=)e Fj(\013)1657 2313 y Fg(i)1682 2331 y Fn(+)d Fj(\013)1763 2313 y Fg(j)1796 2331 y Fn(=)i Fj(t)p Fn(\()p Fj(\013)p Fn(\))109 2389 y(aus)i(der)g(Matrix)g Fj(S)s Fn(.)g(W)l(eil)f Fj(\013)647 2371 y Fg(i)678 2389 y Fn(und)h Fj(\013)806 2371 y Fg(j)841 2389 y Fn(Nullstellen)e(des)i(P)o(olynoms)f(sind,)h(gilt)761 2489 y Fj(\013)792 2471 y Fi(2)p Fg(i)835 2489 y Fn(+)11 b Fj(\034)905 2496 y Fi(1)925 2489 y Fj(\013)956 2471 y Fg(i)981 2489 y Fn(+)g Fj(\034)1051 2496 y Fi(2)1085 2489 y Fn(=)j(0)p Fj(;)756 2547 y(\013)787 2529 y Fi(2)p Fg(j)835 2547 y Fn(+)d Fj(\034)905 2554 y Fi(1)925 2547 y Fj(\013)956 2529 y Fg(j)985 2547 y Fn(+)g Fj(\034)1055 2554 y Fi(2)1089 2547 y Fn(=)j(0)p Fj(:)109 2654 y Fn(Multiplizie)o(rt) d(man)i(die)h(erste)f(der)h(Gleic)o(h)o(ungen)e(mit)g Fj(\013)1160 2636 y Fg(i)1189 2654 y Fn(und)i(die)f(zw)o(eite)g(der)g (Gleic)o(h)o(ungen)g(mit)109 2713 y Fj(\013)140 2694 y Fg(j)174 2713 y Fn(und)k(addiert)f(die)f(Gleic)o(h)o(ungen,)g(so)i (erh)937 2715 y(\177)937 2713 y(alt)f(man)206 2816 y Fj(t)p Fn(\()p 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