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y(\(Satz)g(v)o(on)f (Gelfand-Naimark\),)d(alles)j(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)e(Algebren.)i(An) o(w)o(endungen)i(in)59 1162 y(der)j(Ph)o(ysik)f(und)g(der)h(Di\013eren) o(tialgeometrie)e(lassen)h(es)h(ric)o(h)o(tig)f(ersc)o(heinen,)h(auc)o (h)59 1212 y(nic)o(h)o(t-k)o(omm)n(utativ)o(e)7 b(Algebren)j(zu)g(b)q (etrac)o(h)o(ten,)g(denen)h(im)c(so)q(eb)q(en)k(erw)1212 1214 y(\177)1212 1212 y(ahn)o(ten)g(Sin-)59 1262 y(ne)17 b(eigen)o(tlic)o(h)f(k)o(eine)h(geometrisc)o(hen)g(R)716 1264 y(\177)716 1262 y(aume)e(zugeordnet)j(w)o(erden)f(k)1210 1264 y(\177)1210 1262 y(onnen.)g(Wir)59 1312 y(w)o(erden)h(sehen,)h (wieviel)d(v)o(on)h(diesem)g(geometrisc)o(hen)g(Konzept)i(erhalten)f (bleibt.)59 1362 y(Es)i(reic)o(h)o(t,)f(um)f(das)h(Monoid)g(der)h (Endomorphismen)d(eines)j(solc)o(hen)f(nic)o(h)o(tk)o(om-)59 1412 y(m)o(utativ)o(en)257 1436 y(")276 1412 y(geometrisc)o(hen)m(\\)f (Raumes,)13 b(genann)o(t)i(Quan)o(tenmonoid,)e({)i(selbst)g(ein)59 1461 y(nic)o(h)o(tk)o(omm)o(uta)o(tiv)o(er)c(geometrisc)o(her)k(Raum)c ({)j(k)o(onstruieren)h(zu)f(k)1150 1463 y(\177)1150 1461 y(onnen.)59 1518 y(F)87 1520 y(\177)86 1518 y(ur)f(ein)f(a\016nes)h (nic)o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)o(es)d(Sc)o(hema)i(mit)e(endlic)o (h-dimensionaler)h(F)m(unk-)59 1568 y(tionenalgebra)i(w)o(erden)h(wir)f (das)h(univ)o(erselle)f(Quan)o(tenmonoid)f(k)o(onstruieren,)i(das)59 1618 y(auf)f(dem)g(v)o(orgegeb)q(enen)j(Sc)o(hema)d(op)q(eriert)i (\(nac)o(h)f(T)m(am)o(bara\).)59 1675 y(W)m(eiter)21 b(wird)f(die)g(Darstellungstheorie)i(v)o(on)e(Quan)o(tenmonoiden)f(in)h (F)m(orm)f(v)o(on)59 1725 y(Komo)q(duln)268 1727 y(\177)267 1725 y(ub)q(er)g(der)g(zugeordneten)h(Bialgebra)d(studiert.)h(Wir)g (zeigen,)g(da\031)f(je-)59 1774 y(des)c(Diagramm)8 b(v)o(on)k(endlic)o (h)g(dimensionalen)e(V)m(ektorr)954 1776 y(\177)954 1774 y(aumen,)h(das)i(b)q(ez)1232 1776 y(\177)1231 1774 y(uglic)o(h)f(Bil-) 59 1824 y(dung)e(v)o(on)f(T)m(ensorpro)q(dukten)i(abgesc)o(hlossen)g (ist,)e(aufgefa\031t)f(w)o(erden)j(k)n(ann)e(als)g(Dia-)59 1874 y(gramm)e(v)o(on)i(Darstellungen)h(eines)g(eindeutig)g(b)q(estimm) o(ten)e(univ)o(ersellen)i(Quan)o(ten-)59 1924 y(monoids)i(und)h(da\031) g(daraus)h(die)f(T)m(am)o(barak)o(onstruktion)e(gew)o(onnen)j(w)o (erden)g(k)n(ann.)59 1974 y(W)m(eiter)19 b(wird)f(gezeigt,)h(da\031)f (die)g(\(endlic)o(h)h(dimensionalen\))e(Darstellungen)h(eines)59 2023 y(Quan)o(tenmonoids)c(dieses)j(bis)e(auf)g(Isomorphie)f(eindeutig) h(b)q(estimmen)f(\(T)m(annak)n(a)59 2073 y(Dualit)175 2075 y(\177)175 2073 y(at\).)p eop %%Page: 2 4 2 3 bop 59 117 a Ft(I)q(I)59 225 y Fr(F)87 227 y(\177)86 225 y(ur)15 b(w)o(eitere)h(Kapitel,)d(eines,)i(das)g(den)g (Zusammenhang)d(zwisc)o(hen)k(der)f(In)o(v)o(ersen-)59 275 y(bildung)d(in)h(Quan)o(tengrupp)q(en,)i(der)f(An)o(tip)q(o)q(de,)f (der)h(zugeordneten)h(Hopf-Algebra)59 325 y(und)j(der)g(Dualit)337 327 y(\177)337 325 y(at)e(v)o(on)h(Darstellungen)h(darstellt,)f(und)h (eines,)g(das)f(den)h(Zusam-)59 374 y(menhang)g(zwisc)o(hen)j Fq(R)p Fr(-Matrizen,)e(der)h(Quan)o(ten-Y)m(ang-Baxter-Gleic)o(h)o(ung) f(und)59 424 y(der)g(Quasi-Symmetrie)e(v)o(on)h(Darstellungen)g (darstellt,)h(blieb)f(leider)h(k)o(eine)f(Zeit.)59 474 y(Ic)o(h)f(ho\013e,)g(da\031)g(ic)o(h)g(diese)h(Kapitel)f(in)f(einem)g (sp)866 476 y(\177)866 474 y(ateren)j(zw)o(eiten)f(T)m(eil)e(der)i(V)m (orle-)59 524 y(sung)c(nac)o(hholen)g(k)n(ann.)684 574 y(M)723 576 y(\177)722 574 y(unc)o(hen)h(im)d(Juli)h(1993)131 b(B.)14 b(P)o(areigis)p eop %%Page: 3 5 3 4 bop 520 781 a Fv(Inhaltsv)n(erzeic)n(hnis)59 968 y Fs(Kapitel)14 b(I.)24 b(Algebren,)14 b(Koalgebren)g(und)h (Hopf-Algebren)229 b(1)59 1043 y(Kapitel)14 b(I)q(I.)25 b(Kategorien,)14 b(F)l(unktoren)613 b(9)59 1118 y(Kapitel)14 b(I)q(I)q(I.)25 b(Adjungierte)12 b(F)l(unktoren)i(und)h(das)g(Y)l (oneda)g(Lemma)47 b(17)59 1192 y(Kapitel)14 b(IV.)24 b(Zur)16 b(k)o(omm)o(utativ)o(en)c(algebraisc)o(hen)g(Geometrie)129 b(27)59 1267 y(Kapitel)14 b(V.)24 b(Limites,)14 b(Kolimites,)f(Pro)q (dukte)h(und)h(Di\013erenzk)o(ern)o(e)42 b(36)59 1342 y(Kapitel)14 b(VI.)24 b(Algebraisc)o(he)13 b(Grupp)q(en)h(und)g(Hopf)h (Algebren)161 b(43)59 1416 y(Kapitel)14 b(VI)q(I.)25 b(Nic)o(h)o(tk)o(omm)o(ut)o(ati)o(v)o(e)9 b(R)774 1418 y(\177)774 1416 y(aume)j(und)f(Quan)o(tengruppen)26 b(52)59 1491 y(Kapitel)14 b(VI)q(I)q(I.)25 b(Monoidale)14 b(Kategorien)545 b(67)59 1566 y(Kapitel)14 b(IX.)24 b(Duale)15 b(Ob)s(jekte)743 b(76)59 1641 y(Kapitel)14 b(X.)24 b(T)l(annak)m(a)17 b(Dualit)627 1643 y(\177)627 1641 y(at)701 b(84)718 2173 y Ft(I)q(I)q(I)p eop %%Page: 1 6 1 5 bop 625 682 a Fr(KAPITEL)21 b(I)225 781 y Fv(Algebren,)c (Koalgebren)h(und)h(Hopf-Algebren)59 972 y Fr(Wir)d(f)160 974 y(\177)159 972 y(uhren)i(in)e(diesem)g(Kapitel)h(die)g(elemen)o (taren)g(Begri\013e)g(und)g(Eigensc)o(haften)59 1021 y(des)c(T)m(ensorpro)q(duktes)h(v)o(on)d(Mo)q(duln,)g(insb)q(esondere)k (v)o(on)c(V)m(ektorr)1139 1023 y(\177)1139 1021 y(aumen,)g(ein)h(und)59 1071 y(bauen)i(darauf)f(die)g(Begri\013e)h(Algebra,)f(Koalgebra,)g (Bialgebra)f(und)i(Hopf-Algebra)59 1121 y(auf.)e(In)i(einem)e(sp)350 1123 y(\177)350 1121 y(ateren)j(Kapitel)e(w)o(erden)h(wir)f(dann)g(den) h(Begri\013)g(des)g(T)m(ensorpro-)59 1171 y(dukts)g(v)o (erallgemeinern.)59 1270 y Fo(Definition)i Fr(1.1)p Fo(.)k Fr(Sei)12 b Fq(R)g Fr(ein)h(b)q(eliebiger)f(Ring.)f(Seien)h Fq(M)998 1276 y Fn(R)1026 1270 y Fr(,)1050 1276 y Fn(R)1077 1270 y Fq(N)17 b Fr(Mo)q(duln)1281 1272 y(\177)1280 1270 y(ub)q(er)c Fq(R)p Fr(.)59 1320 y(Eine)e(ab)q(elsc)o(he)h(Grupp)q(e)g Fq(M)c Fm(\012)541 1326 y Fn(R)572 1320 y Fq(N)16 b Fr(zusammen)9 b(mit)g(einer)j Fq(R)p Fr(-bilinearen)e(Abbildung)59 1369 y Fm(\012)k Fr(:)f Fq(M)i Fm(\002)10 b Fq(N)19 b Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(M)i Fm(\012)446 1375 y Fn(R)484 1369 y Fq(N)20 b Fr(hei\031t)15 b Fl(T)m(ensorpr)n(o)n(dukt)p Fr(,)f(w)o(enn)i(es)g(zu)f(jeder)h(ab)q(elsc)o(hen)59 1419 y(Grupp)q(e)h Fq(Z)j Fr(und)d(zu)g(jeder)g Fq(R)p Fr(-bilinearen)f(Abbildung)g Fq(')g Fr(:)g Fq(M)f Fm(\002)d Fq(N)21 b Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(Z)20 b Fr(genau)59 1469 y(einen)f(\(Grupp)q(en-\)Homomorphism)n(us)d Fq(f)23 b Fr(:)c Fq(M)e Fm(\012)886 1475 y Fn(R)925 1469 y Fq(N)24 b Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(Z)k Fr(so)c(gibt,)f(da\031)h(das)59 1519 y(Diagramm)547 1583 y Fq(M)c Fm(\002)c Fq(N)106 b(M)14 b Fm(\012)868 1589 y Fn(R)905 1583 y Fq(N)p 693 1573 78 2 v 729 1572 a Fk(-)706 1560 y Fp(\012)732 1564 y Fj(R)847 1710 y Fq(Z)690 1637 y Fn(')672 1622 y Fk(H)713 1642 y(H)755 1663 y(H)763 1667 y(H)-42 b(j)p 862 1667 2 67 v 58 w(?)879 1641 y Fn(f)59 1765 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 1864 y Fo(Lemma)17 b Fr(1.2)p Fo(.)j Fl(T)m(ensorpr)n(o)n(dukte)12 b(existier)n(en)h(und)g(sind)g(bis)g(auf)g(Isomorphie)g(eindeu-)59 1914 y(tig.)109 2023 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Man)14 b(k)o(onstruiert)g (wie)f(folgt:)f Fq(M)i Fm(\012)861 2029 y Fn(R)897 2023 y Fq(N)i Fr(:=)11 b Fq(F)6 b Fm(f)p Fq(M)13 b Fm(\002)c Fq(N)c Fm(g)p Fq(=)p Fr(Rel)o(,)13 b(w)o(ob)q(ei)59 2073 y Fq(F)6 b Fm(f)p Fq(X)s Fm(g)11 b Fr(die)g(freie)h(ab)q(elsc)o(he)g (Grupp)q(e)646 2075 y(\177)645 2073 y(ub)q(er)g Fq(X)j Fr(b)q(ezeic)o(hne)e(und)f(Rel)e(die)i(Un)o(tergrupp)q(e)729 2173 y Ft(1)p eop %%Page: 2 7 2 6 bop 59 117 a Ft(2)190 b(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h(UND) f(HOPF-ALGEBREN)59 225 y Fr(ist,)d(die)h(v)o(on)g(den)g(Elemen)o(ten) 433 305 y(\()p Fq(m)485 311 y Fi(1)513 305 y Fr(+)c Fq(m)591 311 y Fi(2)610 305 y Fq(;)d(n)p Fr(\))h Fm(\000)i Fr(\()p Fq(m)772 311 y Fi(1)791 305 y Fq(;)d(n)p Fr(\))i Fm(\000)g Fr(\()p Fq(m)953 311 y Fi(2)973 305 y Fq(;)e(n)p Fr(\);)433 355 y(\()p Fq(m;)g(n)529 361 y Fi(1)557 355 y Fr(+)i Fq(n)623 361 y Fi(2)642 355 y Fr(\))g Fm(\000)g Fr(\()p Fq(m;)e(n)804 361 y Fi(1)823 355 y Fr(\))i Fm(\000)h Fr(\()p Fq(m;)d(n)986 361 y Fi(2)1004 355 y Fr(\);)433 405 y(\()p Fq(m\013;)g(n)p Fr(\))i Fm(\000)g Fr(\()p Fq(m;)e(\013n)p Fr(\);)59 496 y(erzeugt)21 b(wird.)d(Dann)h (de\014niert)h(man)e Fq(m)13 b Fm(\012)787 502 y Fn(R)827 496 y Fq(n)20 b Fr(:=)h Fm(\012)969 502 y Fn(R)996 496 y Fr(\()p Fq(m;)7 b(n)p Fr(\))21 b(:=)p 1193 460 113 2 v 20 w(\()p Fq(m;)7 b(n)p Fr(\).)18 b(Man)59 546 y(rec)o(hnet)f(nac)o (h,)e(da\031)f(die)i(Abbildung)e Fm(\012)703 552 y Fn(R)744 546 y Fr(:)f Fq(M)i Fm(\002)c Fq(N)18 b Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(M)i Fm(\012)1086 552 y Fn(R)1123 546 y Fq(N)20 b(R)p Fr(-bilinear)14 b(ist)59 596 y(und)i(die)g(gew)283 598 y(\177)282 596 y(unsc)o(h)o(te)i(Eigensc)o(haft)e(hat.)g(Die)g(Komm)o (utati)o(vit)1086 598 y(\177)1086 596 y(at)d(des)k(Diagramm)o(s)59 645 y(k)n(ann)c(auc)o(h)h(gesc)o(hrieb)q(en)i(w)o(erden)f(als)537 732 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)c Fm(\012)656 738 y Fn(R)692 732 y Fq(n)p Fr(\))h(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(m;)7 b(n)p Fr(\))p Fq(:)-881 b Fr(\(1\))59 816 y(W)m(enn)18 b(auc)o(h)h Fh(\002)h Fr(:)e Fq(M)f Fm(\002)c Fq(N)24 b Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(M)g Fh(\002)12 b Fq(N)24 b Fr(ein)18 b(T)m(ensorpro)q(dukt) h(ist)g(\(d.h.)f(die)g(ge-)59 866 y(suc)o(h)o(te)f(univ)o(erselle)f (Eigensc)o(haft)h(hat\),)e(dann)h(gibt)f(es)i(eindeutig)e(b)q(estimm)o (te)g(Ho-)59 916 y(momorphism)o(en)i Fq(i)k Fr(:)f Fq(M)e Fm(\012)513 922 y Fn(R)553 916 y Fq(N)26 b Fm(\000)-7 b(!)21 b Fq(M)d Fh(\002)13 b Fq(N)24 b Fr(mit)18 b Fq(i)p Fr(\()p Fq(m)c Fm(\012)1054 922 y Fn(R)1094 916 y Fq(n)p Fr(\))21 b(=)g Fq(m)14 b Fh(\002)f Fq(n)19 b Fr(und)59 966 y Fq(j)14 b Fr(:)d Fq(M)h Fh(\002)c Fq(N)17 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)h Fm(\012)417 972 y Fn(R)452 966 y Fq(N)18 b Fr(mit)11 b Fq(j)r Fr(\()p Fq(m)e Fh(\002)e Fq(n)p Fr(\))12 b(=)g Fq(m)c Fm(\012)870 972 y Fn(R)905 966 y Fq(n)p Fr(.)k(Insb)q(esondere)k(sind)d Fq(j)r(i)g Fr(bzw.)59 1015 y Fq(ij)18 b Fr(die)e(eindeutig)f(b)q(estimm)o(ten)f(Homomo)o (rphism)o(en)f(mit)h Fq(j)r(i)p Fr(\()p Fq(m)e Fm(\012)1137 1021 y Fn(R)1174 1015 y Fq(n)p Fr(\))j(=)f Fq(m)d Fm(\012)1355 1021 y Fn(R)1392 1015 y Fq(n)59 1065 y Fr(und)j Fq(ij)r Fr(\()p Fq(m)d Fh(\002)f Fq(n)p Fr(\))i(=)h Fq(m)d Fh(\002)f Fq(n)p Fr(.)14 b(Da)g(diese)h(Bedingungen)g(auc)o(h)f(durc)o(h)h(die)f (iden)o(tisc)o(hen)59 1115 y(Abbildungen)g(erf)353 1117 y(\177)352 1115 y(ullt)f(w)o(erden,)i(ist)f Fq(ij)g Fr(=)e(id)h(und)h Fq(j)r(i)e Fr(=)g(id.)p 1037 1092 29 2 v 1037 1117 2 25 v 1063 1117 V 1037 1119 29 2 v 59 1199 a Fo(Bemerkung)17 b Fr(1.3)p Fo(.)j Fr(Man)10 b(b)q(eac)o(h)o(te,)h(da\031)f Fq(M)d Fm(\012)805 1205 y Fn(R)834 1199 y Fq(N)16 b Fr(v)o(on)9 b(den)i(Elemen)o(ten)f Fq(m)r Fm(\012)1303 1205 y Fn(R)1333 1199 y Fq(n)h Fr(als)59 1249 y(ab)q(elsc)o(he)17 b(Grupp)q(e)g(erzeugt) h(wird,)d(das)h(allgemeine)f(Elemen)o(t)g(also)h(v)o(on)f(der)i(F)m (orm)59 1268 y Fg(P)110 1299 y Fq(m)146 1305 y Fn(i)169 1299 y Fm(\012)201 1305 y Fn(R)238 1299 y Fq(n)263 1305 y Fn(i)291 1299 y Fr(ist.)59 1350 y(W)m(enn)g Fq(f)22 b Fr(:)17 b Fq(M)22 b Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(M)442 1335 y Fp(0)471 1350 y Fr(und)g Fq(g)i Fr(:)e Fq(N)22 b Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(N)802 1335 y Fp(0)831 1350 y Fr(Homomo)o(rphism)o(en)e(v)o (on)i Fq(R)p Fr(-Links-)59 1400 y(bzw.)e Fq(R)p Fr(-Rec)o(h)o(ts-Mo)q (dulen)g(sind,)g(dann)g(wird)f Fq(f)h Fm(\012)879 1406 y Fn(R)917 1400 y Fq(g)f Fr(:)f Fq(M)i Fm(\012)1063 1406 y Fn(R)1100 1400 y Fq(N)k Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(M)1277 1385 y Fp(0)1298 1400 y Fm(\012)1330 1406 y Fn(R)1368 1400 y Fq(N)1406 1385 y Fp(0)59 1449 y Fr(de\014niert)i(durc)o(h)416 1536 y(\()p Fq(f)f Fm(\012)498 1542 y Fn(R)535 1536 y Fq(g)q Fr(\)\()p Fq(m)c Fm(\012)666 1542 y Fn(R)703 1536 y Fq(n)p Fr(\))h(=)h Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))f Fm(\012)934 1542 y Fn(R)971 1536 y Fq(g)q Fr(\()p Fq(n)p Fr(\))p Fq(:)-1002 b Fr(\(2\))59 1619 y(Der)18 b(Homom)o(orphism)n(us)d Fq(f)h Fm(\012)554 1625 y Fn(R)593 1619 y Fq(g)i Fr(ist)f(w)o(egen)h (\(1\))f(eindeutig)g(und)h(als)f(Homom)o(or-)59 1669 y(phism)o(us)c(de\014niert.)59 1720 y(W)m(enn)21 b Fq(M)k Fr(ein)c Fq(S)r Fr(-)p Fq(R)p Fr(-Bimo)q(dul)f(ist)h(\()p Fq(s)p Fr(\()p Fq(mr)q Fr(\))j(=)g(\()p Fq(sm)p Fr(\))p Fq(r)q Fr(\),)d(dann)g(ist)g(insb)q(esondere)59 1770 y Fq(s)14 b Fr(:)g Fq(M)k Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(M)20 b Fr(ein)15 b Fq(R)p Fr(-Mo)q(dul)g(Homomo)o(rphism)n(us,)d(also)j Fq(s)c Fm(\012)1063 1776 y Fn(R)1100 1770 y Fr(id)j(:)f Fq(M)i Fm(\012)1261 1776 y Fn(R)1299 1770 y Fq(N)j Fm(\000)-6 b(!)59 1819 y Fq(M)8 b Fm(\012)139 1825 y Fn(R)170 1819 y Fq(N)16 b Fr(ein)11 b(Grupp)q(en-Homomorphism)n(us)d(und)j(damit)e Fq(s)p Fr(\()p Fq(m)s Fm(\012)1097 1825 y Fn(R)1130 1819 y Fq(n)p Fr(\))i(:=)h(\()p Fq(sm)p Fr(\))s Fm(\012)1360 1825 y Fn(R)1392 1819 y Fq(n)59 1869 y Fr(w)o(ohlde\014niert.)h(Damit)f (wird)h Fq(M)h Fm(\012)627 1875 y Fn(R)663 1869 y Fq(N)19 b Fr(zu)14 b(einem)f Fq(S)r Fr(-Links-Mo)q(dul.)g(W)m(enn)g(au\031er-) 59 1919 y(dem)g Fq(N)19 b Fr(ein)14 b Fq(R)p Fr(-)p Fq(T)6 b Fr(-Bimo)q(dul)11 b(ist,)i(dann)h(wird)g Fq(M)g Fm(\012)880 1925 y Fn(R)917 1919 y Fq(N)k Fr(ein)c Fq(S)r Fr(-)p Fq(T)6 b Fr(-Bimo)q(dul.)59 1970 y(Wir)20 b(b)q(esc)o(hr)264 1972 y(\177)264 1970 y(ank)o(en)i(uns)f(im)e(folgenden)i(auf)f (\(Bi-\)Mo)q(duln)1061 1972 y(\177)1060 1970 y(ub)q(er)h(einem)f(K)1321 1972 y(\177)1321 1970 y(orp)q(er)59 2020 y Fq(R)11 b Fr(=)h Ff(K)q Fr(,)j(also)e(auf)f(V)m(ektorr)492 2022 y(\177)492 2020 y(aume.)g(Das)h(T)m(ensorpro)q(dukt)977 2022 y(\177)976 2020 y(ub)q(er)h Ff(K)i Fr(sc)o(hreib)q(en)f(wir)e(als) 59 2070 y Fq(M)h Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(.)p eop %%Page: 3 8 3 7 bop 267 117 a Ft(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h(UND)f (HOPF-ALGEBREN)191 b(3)59 225 y Fo(Lemma)17 b Fr(1.4)p Fo(.)j Fl(a\))15 b Fq(M)f Fm(\012)9 b Fq(N)499 214 y Fm(\030)499 227 y Fr(=)543 225 y Fq(N)14 b Fm(\012)9 b Fq(M)c Fl(.)59 278 y(b\))15 b Fr(\()p Fq(M)f Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(\))k Fm(\012)g Fq(P)370 266 y Fm(\030)370 280 y Fr(=)414 278 y Fq(M)14 b Fm(\012)c Fr(\()p Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(P)d Fr(\))p Fl(.)59 330 y(c\))15 b Ff(K)d Fm(\012)e Fq(M)249 319 y Fm(\030)249 332 y Fr(=)293 330 y Fq(M)349 319 y Fm(\030)349 332 y Fr(=)393 330 y Fq(M)k Fm(\012)c Ff(K)p Fl(.)59 383 y(d\))15 b Fr(Hom)o(\()p Fq(P)q(;)7 b Fr(Hom)m(\()p Fq(M)r(;)g(N)e Fr(\)\))506 371 y Fm(\030)506 385 y Fr(=)550 383 y(Hom)o(\()p Fq(P)14 b Fm(\012)c Fq(M)r(;)d(N)e Fr(\))p Fl(.)109 484 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)14 b(geb)q(en)g(lediglic)o(h)f(die)h(v)o(erw)o(endeten)i (Homomo)o(rphism)o(en)c(an.)59 537 y(a\))i(Man)f(v)o(erw)o(ende)j (\(1\),)d(um)g Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq(m)k Fm(\012)h Fq(n)p Fr(\))h(:=)h Fq(n)d Fm(\012)g Fq(m)15 b Fr(zu)f(de\014nieren.)59 589 y(b\))g(Man)g(de\014niere)h(ass\(\()p Fq(m)10 b Fm(\012)g Fq(n)p Fr(\))f Fm(\012)h Fq(p)p Fr(\))h(:=)h Fq(m)d Fm(\012)h Fr(\()p Fq(n)f Fm(\012)h Fq(p)p Fr(\).)59 642 y(c\))h(Man)g (de\014niere)g Fq(\025)h Fr(:)f Ff(K)s Fm(\012)s Fq(M)19 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(M)k Fr(durc)o(h)c Fq(\025)p Fr(\()p Fq(\013)s Fm(\012)s Fq(m)p Fr(\))h(:=)f Fq(\013m)g Fr(und)f Fq(\032)i Fr(:)f Fq(M)d Fm(\012)s Ff(K)14 b Fm(\000)-6 b(!)59 692 y Fq(M)19 b Fr(durc)o(h)14 b Fq(\032)p Fr(\()p Fq(m)d Fm(\012)e Fq(\013)p Fr(\))i(:=)h Fq(m\013)p Fr(.)59 744 y(d\))17 b(F)143 746 y(\177)142 744 y(ur)g Fq(f)22 b Fr(:)16 b Fq(P)22 b Fm(\000)-7 b(!)16 b Fr(Hom)o(\()p Fq(M)r(;)7 b(N)e Fr(\))17 b(de\014niere)h(man)d Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))j(:)e Fq(P)h Fm(\012)11 b Fq(M)21 b Fm(\000)-6 b(!)16 b Fq(N)22 b Fr(durc)o(h)59 794 y Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(p)11 b Fm(\012)e Fq(m)p Fr(\))j(:=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\).)p 550 771 29 2 v 550 796 2 25 v 577 796 V 550 798 29 2 v 64 879 a Fo(\177)59 887 y(Ubung)k Fr(1.5)p Fo(.)k Fr(a\))13 b(Man)g(b)q(ew)o(eise)h(ausf)665 889 y(\177)664 887 y(uhrlic)o(h)f Fq(M)g Fm(\012)8 b Fr(\()p Fq(X)j Fm(\010)d Fq(Y)i Fr(\))1058 876 y Fm(\030)1058 889 y Fr(=)1102 887 y Fq(M)j Fm(\012)8 b Fq(X)j Fm(\010)d Fq(M)k Fm(\012)c Fq(Y)i Fr(.)59 940 y(b\))k(Zeigen)g(Sie,)g(da\031)f(es)i(f)463 942 y(\177)462 940 y(ur)e(einen)i(endlic)o(h-dimensionalen)c(V)m(ektorraum)i Fq(V)23 b Fr(genau)59 990 y(ein)14 b(Elemen)o(t)289 959 y Fg(P)333 969 y Fn(n)333 1002 y(i)p Fi(=1)396 990 y Fq(v)416 996 y Fn(i)439 990 y Fm(\012)9 b Fq(v)501 975 y Fp(\003)500 1000 y Fn(i)533 990 y Fm(2)i Fq(V)18 b Fm(\012)10 b Fq(V)689 975 y Fp(\003)722 990 y Fr(mit)i(der)j(folgenden) f(Eigensc)o(haft)g(gibt:)508 1091 y Fm(8)p Fq(v)f Fm(2)e Fq(V)685 1051 y Fg(X)709 1140 y Fn(i)752 1091 y Fq(v)773 1074 y Fp(\003)772 1101 y Fn(i)792 1091 y Fr(\()p Fq(v)q Fr(\))p Fq(v)865 1097 y Fn(i)892 1091 y Fr(=)h Fq(v)q(:)59 1220 y Fr(\(Hin)o(w)o(eis:)g(Man)g(v)o(erw)o(ende)h(einen)g (Isomorphism)o(us)d(End\()p Fq(V)g Fr(\))1053 1209 y Fm(\030)1053 1222 y Fr(=)1097 1220 y Fq(V)15 b Fm(\012)6 b Fq(V)1208 1205 y Fp(\003)1239 1220 y Fr(und)12 b(duale)59 1270 y(Basen)j Fm(f)p Fq(v)222 1276 y Fn(i)236 1270 y Fm(g)e Fr(v)o(on)h Fq(V)23 b Fr(und)14 b Fm(f)p Fq(v)521 1255 y Fp(\003)520 1281 y Fn(i)540 1270 y Fm(g)g Fr(v)o(on)f Fq(V)687 1255 y Fp(\003)706 1270 y Fr(.\))59 1364 y Fo(Definition)j Fr(1.6)p Fo(.)k Fr(Eine)12 b Ff(K)p Fl(-A)o(lgebr)n(a)h Fr(ist)f(ein)f(V)m(ektorraum)f Fq(A)h Fr(zusammen)f(mit)g(einer)59 1414 y(Multiplik)n(ation)h Fm(r)g Fr(:)g Fq(A)f Fm(\012)f Fq(A)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)p Fr(,)j(die)g(assoziativ)f(ist:)433 1477 y Fq(A)d Fm(\012)f Fq(A)h Fm(\012)f Fq(A)261 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)p 640 1465 237 2 v 835 1464 a Fk(-)715 1453 y Fi(id)c Fp(\012r)p 530 1601 2 108 v 531 1601 a Fk(?)444 1555 y Fp(r\012)p Fi(1)p 945 1601 V 946 1601 a Fk(?)962 1557 y Fp(r)474 1643 y Fq(A)k Fm(\012)f Fq(A)343 b(A)p 600 1631 319 2 v 876 1630 a Fk(-)745 1658 y Fp(r)59 1698 y Fr(und)14 b(einem)f(Einselemen)o(t)h Fq(\021)e Fr(:)f Ff(K)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)p Fr(:)346 1761 y Ff(K)h Fm(\012)e Fq(A)471 1750 y Fm(\030)471 1763 y Fr(=)515 1761 y Fq(A)558 1750 y Fm(\030)558 1763 y Fr(=)602 1761 y Fq(A)f Fm(\012)h Ff(K)176 b Fq(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)p 728 1749 149 2 v 835 1748 a Fk(-)764 1735 y Fi(id)c Fp(\012)p Fn(\021)p 530 1927 2 150 v 531 1927 a Fk(?)442 1859 y Fn(\021)q Fp(\012)p Fi(id)p 945 1927 V 946 1927 a Fk(?)962 1862 y Fp(r)474 1968 y Fq(A)k Fm(\012)f Fq(A)337 b(A:)p 600 1957 313 2 v 871 1956 a Fk(-)742 1984 y Fp(r)765 1862 y Fi(id)589 1798 y Fk(H)630 1819 y(H)672 1840 y(H)713 1860 y(H)755 1881 y(H)796 1902 y(H)838 1923 y(H)846 1927 y(H)-42 b(j)59 2023 y Fr(Seien)17 b Fq(A)g Fr(und)g Fq(B)j Ff(K)p Fr(-Algebren.)g(Ein)c Fl(A)o(lgebr)n(en-Homomorphismus)h Fq(f)k Fr(:)16 b Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)16 b Fq(B)59 2073 y Fr(ist)e(eine)g Ff(K)q Fr(-lineare)i(Abbildung,)d(so)h(da\031)f(k)o (omm)o(utieren:)p eop %%Page: 4 9 4 8 bop 59 117 a Ft(4)190 b(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h(UND) f(HOPF-ALGEBREN)474 196 y Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(A)300 b(B)11 b Fm(\012)f Fq(B)p 600 184 275 2 v 833 183 a Fk(-)705 170 y Fn(f)s Fp(\012)p Fn(f)p 530 320 2 108 v 531 320 a Fk(?)463 274 y Fp(r)491 278 y Fj(A)p 945 320 V 946 320 a Fk(?)962 274 y Fp(r)990 278 y Fj(B)515 364 y Fq(A)383 b(B)p 559 350 359 2 v 875 349 a Fk(-)728 378 y Fn(f)59 417 y Fr(und)722 473 y Ff(K)619 680 y Fq(A)620 566 y Fn(\021)637 570 y Fj(A)703 529 y Fk(\001)682 571 y(\001)661 612 y(\001)649 637 y(\001)-21 b(\013)825 680 y Fq(B)815 566 y Fn(\021)832 570 y Fj(B)753 529 y Fk(A)773 571 y(A)794 612 y(A)807 637 y(A)g(U)p 647 667 183 2 v 788 666 a(-)728 652 y Fn(f)59 758 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(1.7)p Fo(.)j Fr(O\013en)o(bar)c(ist)g(die)f(Komp)q(osition)e(v)o(on)i(zw)o(ei)h (Algebren-Homo-)59 808 y(morphismen)i(wieder)j(ein)f(solc)o(her.)g(Eb)q (enso)i(ist)e(die)g(iden)o(tisc)o(he)h(Abbildung)e(ein)59 857 y(Algebren-Homomorphism)n(us.)59 949 y Fo(Beispiel)d Fr(1.8)p Fo(.)k Fr(Beispiele)d(f)518 951 y(\177)517 949 y(ur)g(Algebren)g(sind)f(End)q(\()p Fq(V)9 b Fr(\))17 b(bzw.)g(jeder)g(Ring)f Fq(R)g Fr(mit)59 999 y(einem)d(Ring-Homom)o(o)o (rphism)n(us)e Ff(R)6 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Cen)o(t)q(\()p Fq(R)p Fr(\).)59 1091 y Fo(Definition)16 b Fr(1.9)p Fo(.)k Fr(Eine)f Ff(K)q Fl(-Ko)n(algebr)n(a)i Fr(ist)f(ein)f(V)m(ektorraum)f Fq(C)k Fr(zusammen)17 b(mit)59 1141 y(einer)e(Kom)o(ultiplik)m(atio)o (n)c(\001)g(:)g Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(C)h Fm(\012)d Fq(C)s Fr(,)k(die)h(k)o(oassoziativ)f(ist:)514 1203 y Fq(C)344 b(C)11 b Fm(\012)f Fq(C)p 559 1192 317 2 v 834 1191 a Fk(-)704 1183 y Fi(\001)p 530 1328 2 108 v 531 1328 a Fk(?)487 1284 y Fi(\001)p 945 1328 V 946 1328 a Fk(?)962 1282 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(id)473 1369 y Fq(C)i Fm(\012)d Fq(C)260 b(C)12 b Fm(\012)d Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)p 601 1358 233 2 v 792 1357 a Fk(-)674 1385 y Fi(id)c Fp(\012)p Fi(\001)59 1424 y Fr(und)14 b(einem)f(Ko)q(einselemen)o(t)h Fq(")e Fr(:)f Fq(C)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)q Fr(:)514 1478 y Fq(C)344 b(C)11 b Fm(\012)f Fq(C)p 559 1467 317 2 v 834 1466 a Fk(-)704 1458 y Fi(\001)p 530 1644 2 150 v 531 1644 a Fk(?)487 1579 y Fi(\001)p 945 1644 V 946 1644 a Fk(?)962 1578 y Fi(id)d Fp(\012)p Fn(")473 1686 y Fq(C)12 b Fm(\012)d Fq(C)167 b Ff(K)12 b Fm(\012)e Fq(C)880 1675 y Fm(\030)880 1688 y Fr(=)924 1686 y Fq(C)968 1675 y Fm(\030)968 1688 y Fr(=)1012 1686 y Fq(C)h Fm(\012)f Ff(K)p Fq(:)p 601 1674 140 2 v 699 1673 a Fk(-)636 1702 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(id)765 1580 y(id)589 1516 y Fk(H)630 1536 y(H)672 1557 y(H)713 1578 y(H)755 1599 y(H)796 1619 y(H)838 1640 y(H)846 1644 y(H)-42 b(j)59 1740 y Fr(Seien)14 b Fq(C)i Fr(und)d Fq(D)i Ff(K)p Fr(-Koalgebren.)h(Ein)d Fl(Ko)n(algebr)n (en-Homomorphismus)g Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(C)j Fm(\000)-6 b(!)59 1790 y Fq(D)15 b Fr(ist)f(eine)h Ff(K)p Fr(-lineare)i (Abbildung,)12 b(so)i(da\031)g(k)o(omm)n(utieren:)514 1854 y Fq(C)384 b(D)p 559 1841 357 2 v 874 1840 a Fk(-)728 1826 y Fn(f)p 530 1977 2 108 v 531 1977 a Fk(?)468 1931 y Fi(\001)495 1935 y Fe(C)p 945 1977 V 946 1977 a Fk(?)962 1931 y Fi(\001)989 1935 y Fe(D)473 2019 y Fq(C)12 b Fm(\012)d Fq(C)299 b(D)10 b Fm(\012)g Fq(D)p 601 2007 272 2 v 831 2006 a Fk(-)704 2035 y Fn(f)s Fp(\012)p Fn(f)59 2073 y Fr(und)p eop %%Page: 5 10 5 9 bop 267 117 a Ft(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h(UND)f (HOPF-ALGEBREN)191 b(5)618 198 y Fq(C)176 b(D)p 663 184 149 2 v 771 183 a Fk(-)728 170 y Fn(f)722 405 y Ff(K)626 291 y Fn(")642 295 y Fe(C)649 254 y Fk(A)670 296 y(A)691 337 y(A)703 362 y(A)-21 b(U)815 291 y Fn(")831 295 y Fe(D)807 254 y Fk(\001)786 296 y(\001)765 337 y(\001)753 362 y(\001)g(\013)59 469 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(1.10)p Fo(.)j Fr(O\013en)o(bar)26 b(ist)f(die)g(Komp)q(osition)d(v)o(on)j(zw)o (ei)g(Koalgebren-)59 519 y(Homomorphism)o(en)13 b(wieder)k(ein)e(solc)o (her.)i(Eb)q(enso)g(ist)e(die)h(iden)o(tisc)o(he)h(Abbildung)59 569 y(ein)d(Koalgebren-Homomorphism)m(us.)64 639 y Fo(\177)59 647 y(Ubung)i Fr(1.11)p Fo(.)k Fr(a\))e(Zeigen)h(Sie,)f(da\031)g Fq(V)k Fm(\012)12 b Fq(V)799 632 y Fp(\003)836 647 y Fr(f)850 649 y(\177)849 647 y(ur)18 b(einen)h(endlic)o(h-dimensionalen) 59 697 y(V)m(ektorraum)d Fq(V)27 b Fr(eine)17 b(Koalgebra)g(ist,)g(w)o (enn)g(man)f(als)g(Kom)o(ultiplik)n(ati)o(on)e(\001\()p Fq(v)f Fm(\012)59 747 y Fq(v)80 732 y Fp(\003)100 747 y Fr(\))e(:=)183 716 y Fg(P)227 726 y Fn(n)227 759 y(i)p Fi(=1)289 747 y Fq(v)d Fm(\012)e Fq(v)376 732 y Fp(\003)375 758 y Fn(i)402 747 y Fm(\012)g Fq(v)460 753 y Fn(i)480 747 y Fm(\012)g Fq(v)539 732 y Fp(\003)571 747 y Fr(de\014niert,)12 b(w)o(ob)q(ei)g Fm(f)p Fq(v)901 753 y Fn(i)915 747 y Fm(g)g Fr(und)g Fm(f)p Fq(v)1071 732 y Fp(\003)1070 758 y Fn(i)1091 747 y Fm(g)g Fr(duale)g(Basen)h(v)o(on)59 797 y Fq(V)23 b Fr(bzw.)14 b Fq(V)237 782 y Fp(\003)270 797 y Fr(sind.)59 847 y(b\))h(Zeigen)h(Sie,)e(da\031)h(der)g(V)m (ektorraum)f Fq(k)q(X)19 b Fr(mit)13 b(einer)j(Basis)f Fq(X)k Fr(und)c(der)g(Kom)o(ul-)59 897 y(tiplik)n(ation)d(\001\()p Fq(x)p Fr(\))f(=)g Fq(x)e Fm(\012)h Fq(x)k Fr(eine)g(Koalgebra)f(wird.) 59 947 y(c\))19 b(Zeigen)g(Sie,)f(da\031)g Fq(k)13 b Fm(\010)g Fq(V)28 b Fr(mit)16 b(\001\(1\))j(=)h(1)12 b Fm(\012)g Fr(1,)18 b(\001\()p Fq(v)q Fr(\))i(=)f Fq(v)14 b Fm(\012)f Fr(1)f(+)g(1)g Fm(\012)h Fq(v)20 b Fr(eine)59 997 y(Koalgebra)14 b(de\014niert.)59 1075 y Fo(Definition)i Fr(1.12)p Fo(.)k Fr(a\))15 b(Eine)g Fl(Bialgebr)n(a)f Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b Fm(r)p Fq(;)g(\021)q(;)g Fr(\001)p Fq(;)g(")p Fr(\))13 b(b)q(esteh)o(t)k(aus)e(einer)h(Alge-)59 1125 y(bra)e(\()p Fq(B)r(;)7 b Fm(r)p Fq(;)g(\021)q Fr(\))13 b(und)h(aus)g(einer)h(Koalgebra)e(\()p Fq(B)r(;)7 b Fr(\001)p Fq(;)g(")p Fr(\),)13 b(so)h(da\031)g(die)g(Diagramm)o(e)264 1184 y Fq(B)e Fm(\012)e Fq(B)298 b(B)12 b Fm(\012)d Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)p 395 1172 271 2 v 624 1171 a Fk(-)490 1160 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(\001)1014 1262 y(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)879 1221 y Fk(H)921 1242 y(H)962 1263 y(H)1004 1284 y(H)1045 1304 y(H)1053 1308 y(H)-42 b(j)p 322 1474 2 274 v 323 1474 a(?)279 1347 y Fp(r)307 1516 y Fq(B)756 b(B)12 b Fm(\012)d Fq(B)p 352 1504 730 2 v 1040 1503 a Fk(-)703 1496 y Fi(\001)1010 1350 y Fq(B)j Fm(\012)d Fq(B)j Fm(\012)d Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)p 1152 1474 2 108 v 1153 1474 a Fk(?)1170 1429 y Fp(r\012r)59 1567 y Fr(und)307 1617 y Ff(K)203 1824 y Fq(B)228 1710 y Fn(\021)288 1673 y Fk(\001)267 1715 y(\001)247 1756 y(\001)234 1781 y(\001)-21 b(\013)400 1713 y Fn(\021)q Fp(\012)p Fn(\021)338 1673 y Fk(A)359 1715 y(A)379 1756 y(A)392 1781 y(A)g(U)203 1823 y Fq(B)134 b(B)12 b Fm(\012)d Fq(B)p 249 1811 108 2 v 314 1810 a Fk(-)289 1802 y Fi(\001)576 1615 y Fq(B)i Fm(\012)f Fq(B)134 b(B)p 706 1604 V 771 1603 a Fk(-)745 1595 y Fp(r)722 1825 y Ff(K)604 1714 y Fn(")p Fp(\012)p Fn(")649 1673 y Fk(A)670 1715 y(A)691 1756 y(A)703 1781 y(A)-21 b(U)815 1713 y Fn(")807 1673 y Fk(\001)786 1715 y(\001)765 1756 y(\001)753 1781 y(\001)g(\013)1033 1617 y Ff(K)179 b(K)p 1078 1604 152 2 v 1187 1603 a Fk(-)1139 1595 y Fi(id)1136 1824 y Fq(B)1058 1710 y Fn(\021)1064 1673 y Fk(A)1085 1715 y(A)1105 1756 y(A)1118 1781 y(A)-21 b(U)1230 1713 y Fn(")1168 1781 y Fk(\001)1188 1740 y(\001)1209 1698 y(\001)1222 1673 y(\001)g(\025)59 1874 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren,) 11 b(d.h.)h(\001)h(und)g Fq(")g Fr(sind)g(Algebren-Homomorphism)o(en)e (bzw.)i Fm(r)f Fr(und)h Fq(\021)59 1923 y Fr(sind)h (Koalgebren-Homomorphism)o(en.)59 1974 y(b\))d(Seien)g Fq(A)g Fr(und)g Fq(B)i Fr(Bialgebren.)d(Eine)h(Abbildung)f Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)i Fr(hei\031t)e Fl(Bialgebr)n(en-)59 2023 y(Homomorphismus)p Fr(,)16 b(w)o(enn)g(sie)h(gleic)o(hzeitig)e(Algebren-)i(und)f (Koalgebren-Homo-)59 2073 y(morphism)o(us)11 b(ist.)p eop %%Page: 6 11 6 10 bop 59 117 a Ft(6)190 b(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h (UND)f(HOPF-ALGEBREN)59 225 y Fr(c\))k(Eine)f Fl(Links-Hopf-A)o(lgebr)n (a)f Fq(H)k Fr(ist)e(eine)f(Bialgebra)g Fq(H)j Fr(zusammen)17 b(mit)h(einer)59 275 y Fl(Links-A)o(ntip)n(o)n(de)e Fq(S)i Fr(:)c Fq(H)k Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(H)s Fr(,)g(d.h.)g(einer)i (linearen)e(Abbildung)h Fq(S)r Fr(,)g(so)g(da\031)f(das)59 325 y(Diagramm)10 b(k)o(omm)n(utiert:)408 384 y Fq(H)175 b Ff(K)p 458 371 149 2 v 565 370 a Fk(-)524 362 y Fn(")823 384 y Fq(H)p 647 371 164 2 v 769 370 a Fk(-)720 356 y Fn(\021)p 426 507 2 108 v 427 507 a Fk(?)383 463 y Fi(\001)364 548 y Fq(H)12 b Fm(\012)d Fq(H)292 b(H)12 b Fm(\012)d Fq(H)p 503 537 264 2 v 725 536 a Fk(-)597 524 y Fn(S)r Fp(\012)p Fi(id)p 841 507 2 108 v 842 441 a Fk(6)859 463 y Fp(r)59 600 y Fr(Eine)14 b Fl(Hopf-A)o(lgebr)n(a)f Fr(ist)h(eine)g(Links-)g(und)g(Rec)o(h)o(ts-Hopf-Algebra.)64 673 y Fo(\177)59 682 y(Ubung)i Fr(1.13)p Fo(.)k Fr(a\))10 b(Seien)h Fq(C)j Fr(eine)d(Koalgebra)f(und)g Fq(A)h Fr(eine)g(Algebra.) f(Dann)g(de\014niert)59 731 y(die)k(Komp)q(osition)e Fq(f)i Fm(\003)9 b Fq(g)k Fr(:=)e Fm(r)559 737 y Fn(A)586 731 y Fr(\()p Fq(f)j Fm(\012)9 b Fq(g)q Fr(\)\001)749 737 y Fp(C)785 731 y Fr(eine)14 b(Multiplik)n(ation)235 812 y(Hom)n(\()p Fq(C)q(;)7 b(A)p Fr(\))i Fm(\012)g Fr(Hom)o(\()p Fq(C)q(;)e(A)p Fr(\))k Fm(3)g Fq(f)j Fm(\012)9 b Fq(g)k Fm(7!)e Fq(f)j Fm(\003)9 b Fq(g)k Fm(2)e Fr(Hom)o(\()p Fq(C)q(;)c(A)p Fr(\))p Fq(;)59 892 y Fr(mit)14 b(der)i(Hom)o(\()p Fq(C)q(;)7 b(A)p Fr(\))14 b(eine)i(Algebra)g(wird.)f(Das)g(Einselemen)o (t)g(ist)h(gegeb)q(en)h(durc)o(h)59 942 y Ff(K)e Fm(3)c Fq(\013)g Fm(7!)g Fr(\()p Fq(c)h Fm(7!)f Fq(\021)q Fr(\()p Fq(\013")p Fr(\()p Fq(c)p Fr(\)\)\))h Fm(2)g Fr(Hom)n(\()p Fq(C)q(;)7 b(A)p Fr(\).)59 993 y(b\))15 b(Sei)g Fq(H)j Fr(eine)e(Hopf-Algebra.)e(Dann)h(ist)g Fq(S)j Fr(in)c(der)i(Algebra)f (Hom)o(\()p Fq(H)q(;)7 b(H)s Fr(\))14 b(in)o(v)o(ers)59 1043 y(zu)g(id.)f(Insb)q(esondere)k(ist)d Fq(S)i Fr(eindeutig)e(b)q (estimm)o(t.)59 1093 y(c\))g(Sei)g Fq(H)j Fr(eine)d(Hopf-Algebra.)f (Dann)g(ist)h Fq(S)i Fr(ein)e(Algebren-)g(und)g(ein)g(Koalgebren-)59 1143 y(An)o(tihomomo)o(rp)o(xism)n(us,)9 b(d.h.)i Fq(S)600 1168 y Fr(")619 1143 y(dreh)o(t)i(die)f(Multiplik)n(ation)d(und)k(die)f (Kom)o(ultipli)o(-)59 1193 y(k)n(ation)h(um)m(\\)s(.)59 1244 y(d\))19 b(Seien)g Fq(H)i Fr(und)d Fq(K)k Fr(Hopf-Algebren)d(und)f (sei)h Fq(f)24 b Fr(:)18 b Fq(H)k Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(K)k Fr(ein)c(Bialgebren-)59 1294 y(Homomorp)o(xi)o(sm)n(us.)g(Dann)i (gilt)f Fq(f)t(S)663 1300 y Fn(H)719 1294 y Fr(=)k Fq(S)799 1300 y Fn(K)831 1294 y Fq(f)t Fr(,)e(d.h.)f Fq(f)25 b Fr(ist)c(mit)e(der)i(An)o(tip)q(o)q(de)59 1343 y(v)o(ertausc)o(h)o (bar.)59 1425 y Fo(Beispiel)16 b Fr(1.14)p Fo(.)j Fr(a\))d(Sei)g Fq(G)f Fr(eine)h(Grupp)q(e)g(und)g Ff(K)q Fq(G)i Fr(der)e(\(freie\))h (V)m(ektorraum)d(mit)59 1475 y(der)g(Basis)g Fq(G)p Fr(.)e(Dann)h(ist)g Ff(K)p Fq(G)j Fr(eine)e(Algebra)f(mit)f(der)i(Multiplik)n(ation)c Ff(K)p Fq(G)h Fm(\012)d Ff(K)p Fq(G)15 b Fm(3)59 1524 y Fq(g)d Fm(\012)f Fq(h)k Fm(7!)f Fq(g)q(h)h Fm(2)g Ff(K)p Fq(G)k Fr(und)d(dem)f(Einselemen)o(t)h Fq(\021)g Fr(:)e Ff(K)k Fm(3)d Fq(\013)g Fm(7!)f Fq(\013e)h Fm(2)g Ff(K)p Fq(G)k Fr(und)d(eine)59 1574 y(Koalgebra)i(mit)f(der)i(Kom)o(ultiplik)n (a)o(tion)c Ff(K)q Fq(G)22 b Fm(3)d Fq(g)h Fm(7!)f Fq(g)14 b Fm(\012)e Fq(g)21 b Fm(2)e Ff(K)p Fq(G)c Fm(\012)e Ff(K)p Fq(G)21 b Fr(und)59 1624 y(dem)14 b(Ko)q(einselemen)o(t)g Fq(")f Fr(:)g Ff(K)p Fq(G)i Fm(3)e Fq(g)h Fm(7!)e Fr(1)g Fm(2)h Ff(K)p Fr(.)k(Mit)e(diesen)g(b)q(eiden)g(Strukturen)h(ist)59 1674 y Ff(K)p Fq(G)j Fr(sogar)d(eine)g(Hopf-Algebra)f(mit)f(der)j(An)o (tip)q(o)q(de)f Fq(S)i Fr(:)c Ff(K)q Fq(G)j Fm(3)e Fq(g)h Fm(7!)f Fq(g)1239 1659 y Fp(\000)p Fi(1)1298 1674 y Fm(2)g Ff(K)p Fq(G)p Fr(,)59 1724 y(genann)o(t)f Fl(Grupp)n(en)i(A)o(lgebr)n (a)p Fr(.)c(\(Beac)o(h)o(te:)j(Die)f(Elemen)o(te)f Fq(g)j Fr(und)e Fq(h)f Fr(b)q(ezeic)o(hnen)j(Ba-)59 1773 y(siselemen)o(te)e(v) o(on)f Ff(K)p Fq(G)p Fr(,)j(d.h.)d(sie)h(liegen)f(in)h(der)g(Grupp)q(e) g Fq(G)p Fr(.)f(Es)h(sind)g(Lineark)o(om)o(bi-)59 1823 y(nationen)g(v)o(on)f(solc)o(hen)i(Elemen)o(ten)e(m)693 1825 y(\177)693 1823 y(oglic)o(h,)e(f)836 1825 y(\177)835 1823 y(ur)j(die)g(dann)g(die)f(ob)q(en)i(de\014nierten)59 1873 y(Abbildungen)f(k)o(omplizierter)e(aussehen.\))59 1924 y(Zu)i(jeder)h(Algebra)f Fq(A)g Fr(k)n(ann)f(man)f(die)i Fl(Einheitengrupp)n(e)g Fq(U)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b(:=)f Fm(f)p Fq(a)h Fm(2)f Fq(A)p Fm(j9)p Fq(a)1334 1909 y Fp(\000)p Fi(1)1390 1924 y Fm(2)59 1974 y Fq(A)p Fm(g)25 b Fr(mit)f(der)i(Multiplik)n(ation)c(als)j(Grupp)q(en)o(v)o (erkn)924 1976 y(\177)923 1974 y(upfung)h(k)o(onstruieren.)g(Eine)59 2023 y(Grupp)q(e)14 b Fq(G)e Fr(zusammen)g(mit)f(der)j(Grupp)q(en)f (Algebra)g Ff(K)q Fq(G)i Fr(und)e(der)h(Ein)o(b)q(ettung)g Fq(\023)d Fr(:)59 2073 y Fq(G)h Fm(\000)-7 b(!)12 b Ff(K)p Fq(G)17 b Fr(erf)310 2075 y(\177)309 2073 y(ullt)d(folgende)g(univ)o (erselle)h(Eigensc)o(haft:)f Fq(\023)e Fr(:)g Fq(G)g Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(U)5 b Fr(\()p Ff(K)p Fq(G)p Fr(\))17 b(ist)d(ein)p eop %%Page: 7 12 7 11 bop 267 117 a Ft(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h(UND)f (HOPF-ALGEBREN)191 b(7)59 225 y Fr(Grupp)q(en-Homomorphism)n(us,)7 b(so)j(da\031)g(zu)g(jeder)h(Algebra)f Fq(A)g Fr(und)h(jedem)e(Grupp)q (en-)59 275 y(Homomorphism)m(us)15 b Fq(f)22 b Fr(:)17 b Fq(G)g Fm(\000)-6 b(!)17 b Fq(U)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))17 b(genau)h(ein)f(Algebren-Homomorphism)n(us)59 325 y Fq(g)22 b Fr(:)e Ff(K)p Fq(G)k Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(A)g Fr(existiert,)f(durc)o(h)h(den)g(das)g(folgende)f(Diagramm)c (k)o(omm)o(utati)o(v)59 374 y(wird:)639 428 y Fq(G)84 b(U)5 b Fr(\()p Ff(K)p Fq(G)p Fr(\))p 684 419 61 2 v 702 418 a Fk(-)708 410 y Fn(\023)767 594 y Fq(U)g Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fq(:)693 508 y Fn(f)684 489 y Fk(@)726 530 y(@)751 555 y(@)-42 b(R)p 820 555 2 108 v 28 w(?)838 504 y Fn(g)59 652 y Fr(b\))12 b(Un)o(ter)g(einer)h Fl(Lie)g(A)o(lgebr)n (a)e Fr(v)o(ersteh)o(t)i(man)d(einen)i(V)m(ektorraum)e Fd(g)i Fr(zusammen)e(mit)59 702 y(einer)k(Multiplik)n(ation)d Fd(g)d Fm(\012)g Fd(g)k Fm(3)f Fq(x)d Fm(\012)g Fq(y)14 b Fm(7!)d Fr([)p Fq(x;)c(y)q Fr(])j Fm(2)i Fd(g)p Fr(,)g(die)i (folgende)f(Gesetze)i(erf)1344 704 y(\177)1343 702 y(ullt:)231 795 y([)p Fq(x;)7 b(x)p Fr(])i(=)j(0)p Fq(;)231 844 y Fr([)o Fq(x;)7 b Fr([)p Fq(y)q(;)g(z)r Fr(]])h(+)h([)p Fq(y)q(;)e Fr([)p Fq(z)r(;)g(x)p Fr(]])g(+)j([)p Fq(z)r(;)d Fr([)p Fq(x;)g(y)q Fr(]])i(=)j(0)55 b(\(Jacobi)14 b(Iden)o(tit)1181 846 y(\177)1181 844 y(at\).)59 938 y(Wic)o(h)o(tiges)e(Beispiel)h(ist)g (die)g(Lie)f(Algebra,)g(die)h(man)e(einer)j(\(assoziativ)o(en\))e (Algebra)59 987 y(\(mit)g(Einselemen)o(t\))g(zuardnet.)i(W)m(enn)f Fq(A)g Fr(eine)h(Algebra)f(ist,)f(dann)h(ist)g(der)h(V)m(ektor-)59 1037 y(raum)f Fq(A)h Fr(mit)e(der)i(Lie)g(Multiplik)n(ation)590 1134 y([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])k(:=)g Fq(xy)g Fm(\000)f Fq(y)q(x)-827 b Fr(\(3\))59 1233 y(eine)14 b(Lie)g(Algebra,)g(die)g (man)e(mit)g Fq(A)648 1218 y Fn(L)687 1233 y Fr(b)q(ezeic)o(hnet.)k (Ein)d(Lie)h(Algebren-Homomor-)59 1283 y(phism)o(us)d Fq(f)16 b Fr(:)11 b Fd(g)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fd(h)g Fr(ist)h(eine)h(lineare)e(Abbildung)g Fq(f)17 b Fr(mit)10 b Fq(f)t Fr(\([)p Fq(x;)d(y)q Fr(]\))12 b(=)g([)p Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(;)7 b(f)t Fr(\()p Fq(y)q Fr(\)].)59 1336 y(Zu)20 b(jeder)g(Lie)f(Algebra)h Fd(g)f Fr(k)n(ann)g(man)f(ihre)h Fl(universel)r(le)h(H)1048 1338 y(\177)1048 1336 y(ul)r(le)f Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))19 b(k)o(onstruie-)59 1386 y(ren.)g(Diese)g(b)q(esteh)o(t)h(aus)e(einer)i(Algebra,)d(eb)q(enfalls) i(mit)e Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))18 b(b)q(ezeic)o(hnet,)i(und)59 1436 y(einem)14 b(Lie)g(Algebren-Homomorphism)n(us)e Fq(\023)h Fr(:)f Fd(g)h Fm(\000)-6 b(!)12 b Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))1019 1421 y Fn(L)1044 1436 y Fr(,)14 b(so)h(da\031)f(zu)h(jeder)h(Al-)59 1486 y(gebra)c Fq(A)g Fr(und)g(jedem)f(Lie-Homomo)o(rphism)n(us)e Fq(f)16 b Fr(:)c Fd(g)f Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)1021 1470 y Fn(L)1058 1486 y Fr(genau)h(ein)g(Algebren-)59 1535 y(Homomorphism)m(us)k Fq(g)k Fr(:)f Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))19 b Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(A)h Fr(existiert,)f(durc)o(h)h(den)g(das)f(folgende)g(Dia-) 59 1585 y(gramm)11 b(k)o(omm)n(utativ)g(wird:)645 1649 y Fd(g)100 b Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))852 1634 y Fn(L)p 678 1638 76 2 v 712 1637 a Fk(-)710 1628 y Fn(\023)787 1820 y Fq(A)818 1805 y Fn(L)843 1820 y Fq(:)693 1727 y Fn(f)684 1707 y Fk(@)726 1749 y(@)751 1774 y(@)-42 b(R)p 820 1774 2 108 v 28 w(?)838 1723 y Fn(g)59 1871 y Fr(Die)14 b(univ)o(erselle)h(H)371 1873 y(\177)370 1871 y(ulle)f(einer)h(Lie)g(Algebra)f(existiert)h(und)g(ist)f(bis)h (auf)e(Isomorphie)59 1921 y(eindeutig)e(b)q(estimm)o(t.)d(Sie)j(en)o (th)572 1923 y(\177)572 1921 y(alt)g(die)g(gegeb)q(ene)h(Lie)f(Algebra) f(bis)h(auf)f(Isomorphie)59 1971 y(als)k(Lie)f(Un)o(teralgebra.)59 2023 y(Eine)h(m)190 2025 y(\177)190 2023 y(oglic)o(he)d(Konstruktion)j (ist)f Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))12 b(=)g Fq(T)6 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)i Fm(\012)g Fq(y)i Fm(\000)f Fq(y)h Fm(\012)f Fq(x)f Fm(\000)g Fr([)p Fq(x;)f(y)q Fr(]\),)13 b(w)o(ob)q(ei)59 2073 y Fq(T)6 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))12 b(=)g Ff(K)g Fm(\010)e Fd(g)f Fm(\010)g Fd(g)g Fm(\012)h Fd(g)d Fq(:)g(:)g(:)19 b Fr(die)14 b(sogenann)o(te)g(T)m(ensoralgebra)g(ist.)p eop %%Page: 8 13 8 12 bop 59 117 a Ft(8)190 b(I.)14 b(ALGEBREN,)i(K)o(O)o(ALGEBREN)h (UND)f(HOPF-ALGEBREN)59 225 y Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))14 b(wird)f(als)g(Algebra)h(v)o(on)f Fd(g)g Fr(erzeugt.)i(Sie)f (wird)f(zu)h(einer)h(Hopf-Algebra)e(durc)o(h)59 275 y(die)g(Kom)o (ultiplik)n(ati)o(on)d(\001\()p Fq(x)p Fr(\))h(:=)h Fq(x)7 b Fm(\012)i Fr(1)e(+)i(1)f Fm(\012)g Fq(x)p Fr(,)k(die)i(Ko)q(einheit)f Fq(")p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))f(=)g(0)h(und)g(die)59 325 y(An)o(tip)q(o)q(de)h Fq(S)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))f(=)e Fm(\000)p Fq(x)p Fr(.)59 374 y(Man)h(b)q(eac)o(h)o(te,)g(da\031)f(die)h (Kon)o(v)o(en)o(tion)f(der)i(V)m(erw)o(endung)f(v)o(on)f Fq(U)17 b Fr(in)11 b(b)q(eiden)i(Beispie-)59 424 y(len)g(\(units)g (group,)f(univ)o(erselle)i(Einh)662 426 y(\177)661 424 y(ullende\))f(v)o(on)f(g)917 426 y(\177)917 424 y(anzlic)o(h)h(v)o (ersc)o(hiedener)i(Natur)59 474 y(ist.)f(Im)e(ersten)k(F)m(all)c(wird)i Fl(aus)h Fr(einer)g(Algebra)f(eine)g(Grupp)q(e)h(gew)o(onnen.)f(Im)e (zw)o(ei-)59 524 y(ten)i(F)m(all)e(wird)h(eine)h(Lie)f(Algebra)g Fl(zu)g Fr(einer)h(Algebra)g(ausgebaut.)f(Die)g(univ)o(ersellen)59 574 y(Eigensc)o(haften)i(sind)f(jedo)q(c)o(h)g(sehr)629 576 y(\177)629 574 y(ahnlic)o(h.)64 640 y Fo(\177)59 648 y(Ubung)i Fr(1.15)p Fo(.)k Fr(Zeigen)15 b(Sie,)e(da\031)h(f)621 650 y(\177)620 648 y(ur)g(ein)g(Elemen)o(t)g Fq(x)d Fm(2)h Ff(K)p Fq(G)17 b Fr(genau)d(dann)g(\001\()p Fq(x)p Fr(\))e(=)59 698 y Fq(x)d Fm(\012)h Fq(x)j Fr(und)h Fq(")p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))e(=)g(1)h(gilt,)g(w)o(enn)h Fq(x)d Fr(=)h Fq(g)h Fm(2)e Fq(G)j Fr(gilt.)p eop %%Page: 9 14 9 13 bop 617 682 a Fr(KAPITEL)21 b(I)q(I)460 781 y Fv(Kategorien,)c(F) -5 b(unktoren)59 975 y Fr(Dieses)17 b(Kapitel)f(stellt)h(die)f(not)o(w) o(endigen)h(Hilfmittel)c(der)18 b(Kategorien)o(theorie)f(b)q(e-)59 1025 y(reit.)d(Das)g(wic)o(h)o(tigste)g(Ziel)g(ist)h(die)f(Beherrsc)o (h)o(ung)i(des)f(Y)m(oneda-Lemmas)d(und)i(sei-)59 1075 y(ner)i(An)o(w)o(endungen.)g(Dieses)g(wird)f(zen)o(tral)h(f)791 1077 y(\177)790 1075 y(ur)g(die)f(Betrac)o(h)o(tungen)i(der)f(w)o (eiteren)59 1124 y(V)m(orlesung)e(sein.)g(Um)e(den)j(Sto\013)f(in)651 1126 y(\177)650 1124 y(ub)q(ersc)o(haubare)i(Einheiten)f(zu)f (gliedern,)f(wird)59 1174 y(in)k(diesem)g(Kapitel)f(zun)465 1176 y(\177)465 1174 y(ac)o(hst)j(n)o(ur)e(eine)h(allgemeine)d(Einf) 1027 1176 y(\177)1026 1174 y(uhrung)i(in)g(die)g(Begrif-)59 1224 y(fe)e(der)h(Kategorien)o(theorie)g(gegeb)q(en.)f(Hinzu)g(k)o (ommen)d(viele)j(v)o(eransc)o(haulic)o(hende)59 1274 y(Beispiele,)h(die)g(zum)f(gro\031en)h(T)m(eil)e(allerdings)i(auc)o(h)f (sc)o(hon)i(zu)f(den)g(uns)h(eigen)o(tlic)o(h)59 1324 y(in)o(teressierenden)23 b(Ob)r(jekten)f(hinf)628 1326 y(\177)627 1324 y(uhren.)e(Das)g(Y)m(oneda-Lemma)d(selbst)k(und)f(die) 59 1373 y(An)o(w)o(endungen)15 b(sind)f(im)e(folgenden)h(Kapitel)h (dargestellt.)59 1496 y Fo(Definition)i Fr(2.1)p Fo(.)k Fr(Eine)14 b Fl(Kate)n(gorie)g Fr(b)q(esteh)o(t)h(aus)134 1572 y(\(1\))21 b(eine)14 b(Klasse)h(Ob)7 b Fm(C)16 b Fr(v)o(on)d Fl(Objekten)p Fr(,)134 1621 y(\(2\))21 b(einer)14 b(F)m(amilie)d(Mor)p Fm(C)16 b Fr(v)o(on)e(paarw)o(eise)g(disjukten)g (Mengen)564 1691 y Fm(f)p Fr(Mor)660 1697 y Fp(C)681 1691 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))p Fm(j)p Fq(A;)g(B)14 b Fm(2)d Fr(Ob)c Fm(C)r(g)p Fq(;)208 1760 y Fr(deren)15 b(Elemen)o(te)e Fq(f)r(;)7 b(g)q(;)g(h)k Fm(2)h Fr(Mor)733 1766 y Fp(C)754 1760 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))15 b Fl(Morphismen)f Fr(hei\031en,)f(und)134 1809 y(\(3\))21 b(einer)14 b(F)m(amilie)d(v)o(on)i(Abbildungen)491 1879 y Fm(f)p Fr(Mor)587 1885 y Fp(C)609 1879 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))i Fm(\002)h Fr(Mor)850 1885 y Fp(C)871 1879 y Fr(\()p Fq(B)r(;)d(C)s Fr(\))12 b Fm(3)f Fr(\()p Fq(f)r(;)c(g)q Fr(\))474 1928 y Fm(7!)k Fq(g)q(f)17 b Fm(2)11 b Fr(Mor)699 1934 y Fp(C)721 1928 y Fr(\()p Fq(A;)c(C)s Fr(\))p Fm(j)p Fq(A;)g(B)r(;)g(C)13 b Fm(2)e Fr(Ob)c Fm(C)r(g)p Fq(;)208 1997 y Fr(sogenann)o(ten)14 b Fl(V)m(erkn)551 1999 y(\177)551 1997 y(upfungen)p Fr(,)59 2073 y(die)g(folgende)g(Axiome)e(erf)489 2075 y(\177)488 2073 y(ullen:)729 2173 y Ft(9)p eop %%Page: 10 15 10 14 bop 59 117 a Ft(10)366 b(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN) 134 225 y Fr(\(1\))21 b Fl(Assoziativit)418 227 y(\177)418 225 y(at)p Fr(:)12 b(f)491 227 y(\177)490 225 y(ur)i(alle)g Fq(A;)7 b(B)r(;)g(C)q(;)g(D)12 b Fm(2)f Fr(Ob)c Fm(C)17 b Fr(und)d(alle)f Fq(f)k Fm(2)12 b Fr(Mor)1269 231 y Fp(C)1290 225 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\),)208 275 y Fq(g)12 b Fm(2)g Fr(Mor)355 281 y Fp(C)376 275 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b(C)s Fr(\),)14 b Fq(h)d Fm(2)g Fr(Mor)668 281 y Fp(C)690 275 y Fr(\()p Fq(C)q(;)c(D)q Fr(\))13 b(ist)678 369 y Fq(h)p Fr(\()p Fq(g)q(f)t Fr(\))g(=)f(\()p Fq(hg)q Fr(\))p Fq(f)r(;)134 463 y Fr(\(2\))21 b Fl(Identit)328 465 y(\177)328 463 y(at)p Fr(:)c(f)406 465 y(\177)405 463 y(ur)i(alle)e Fq(A)i Fm(2)g Fr(Ob)7 b Fm(C)21 b Fr(existiert)e(1) 931 469 y Fn(A)976 463 y Fm(2)g Fr(Mor)1098 469 y Fp(C)1120 463 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(A)p Fr(\),)17 b Fl(Identit)1382 465 y(\177)1382 463 y(at)208 513 y Fr(genann)o(t,)c(so)h(da\031)g(f)521 515 y(\177)520 513 y(ur)g(alle)f Fq(B)r(;)7 b(C)15 b Fm(2)d Fr(Ob)7 b Fm(C)16 b Fr(und)e(alle)g Fq(f)i Fm(2)c Fr(Mor)1197 519 y Fp(C)1219 513 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))14 b(und)208 563 y Fq(g)e Fm(2)g Fr(Mor)355 569 y Fp(C)376 563 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(A)p Fr(\))13 b(gilt)526 657 y Fq(f)t Fr(1)571 663 y Fn(A)610 657 y Fr(=)f Fq(f)102 b Fr(und)97 b(1)963 663 y Fn(A)989 657 y Fq(g)13 b Fr(=)f Fq(g)q(:)59 751 y Fo(Beispiel)k Fr(2.2)p Fo(.)k Fr(Sehr)f(viele)f(b)q (ek)n(ann)o(te)i(Beispiele)f(sind)g(nac)o(h)f(demselb)q(en)h(Muster)59 801 y(aufgebaut,)e(die)h(Klasse)g(der)h(Ob)r(jekte)g(b)q(esteh)o(t)g (aus)f(mathematisc)o(hen)e(Ob)r(jekten)59 851 y(eines)21 b(genau)f(festgelegten)h(T)o(yps,)f(die)g(Morphismen)f(sind)h(die)g (mit)e(der)i(mathe-)59 901 y(matisc)o(hen)11 b(Struktur)i(v)o(ertr)507 903 y(\177)507 901 y(aglic)o(hen)f(Abbildungen,)f(meistens)h (Homomorphism)o(en)59 950 y(genann)o(t,)20 b(und)g(die)h(V)m(erkn)506 952 y(\177)505 950 y(upfungen)g(sind)f(die)g(Hin)o(tereinanderausf)1203 952 y(\177)1202 950 y(uhrung)i(v)o(on)59 1000 y(Abbildungen.)134 1069 y(\(1\))f(Me)e(b)q(ezeic)o(hnet)i(die)e(Kategorie)h(der)f(Mengen.) h(Ob)r(jekte)g(sind)f(Mengen,)208 1119 y(Morphismen)e(sind)h (Abbildungen)h(und)f(V)m(erkn)989 1121 y(\177)988 1119 y(upfungen)h(sind)f(die)h(Hin-)208 1169 y(tereinanderausf)486 1171 y(\177)485 1169 y(uhrung)c(v)o(on)e(Abbildungen.)134 1218 y(\(2\))21 b(V)m(ek)12 b(b)q(ezeic)o(hnet)i(die)e(Kategorie)g(der) h(V)m(ektorr)948 1220 y(\177)948 1218 y(aume)1059 1220 y(\177)1058 1218 y(ub)q(er)g(einem)e(fest)i(v)o(or-)208 1268 y(gegeb)q(enen)i(K)439 1270 y(\177)439 1268 y(orp)q(er.)134 1318 y(\(3\))21 b(v)o(ek)13 b(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)d(Kategorie)h(der) g(endlic)o(h)g(dimensionalen)d(V)m(ektorr)1359 1320 y(\177)1359 1318 y(au-)208 1368 y(me)276 1370 y(\177)274 1368 y(ub)q(er)k(einem)e (festen)i(K)641 1370 y(\177)641 1368 y(orp)q(er.)134 1418 y(\(4\))21 b Fq(A)p Fr(-Mo)q(d)13 b(o)q(der)443 1424 y Fn(A)470 1418 y Fm(M)h Fr(b)q(ezeic)o(hnet)i(die)d(Kategorie)i (der)f Fq(A)p Fr(-Links-Mo)q(duln.)134 1467 y(\(5\))21 b(Gr)13 b(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)e(Kategorie)g(der)h(Grupp)q(en.)134 1517 y(\(6\))21 b(Ab)14 b(b)q(ezeic)o(hnet)i(die)d(Kategorie)i(der)f (ab)q(elsc)o(hen)h(Grupp)q(en.)134 1567 y(\(7\))21 b(Mon)13 b(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)e(Kategorie)g(der)h(Monoide.)134 1617 y(\(8\))21 b(Ri)9 b(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)e(Kategorie)g(der)h (assoziativ)o(en)f(Ringe)g(mit)e(Einselemen)o(t.)134 1667 y(\(9\))21 b(Lie)13 b(Alg)h(b)q(ezeic)o(hnet)i(die)d(Kategorie)i (der)f(Lie)g(Algebren.)113 1717 y(\(10\))21 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)j(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)e(Kategorie)g(der)h Ff(K)p Fr(-Algebre)q(n.)113 1766 y(\(11\))21 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Koalg)j(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)e(Kategorie)g(der)h Ff(K)p Fr(-Koalgebren.)113 1816 y(\(12\))21 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Bialg)j(b)q(ezeic)o(hnet)j(die)e(Kategorie)g(der)h Ff(K)p Fr(-Bialgebren.)113 1866 y(\(13\))21 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Hopf)16 b(b)q(ezeic)o(hnet)g(die)e(Kategorie)g(der)h (Hopf-Algebren.)113 1916 y(\(14\))21 b(Sind)d Fm(C)j Fr(und)d Fm(D)i Fr(Kategorien,)e(so)h(ist)g(auc)o(h)f Fm(C)d(\002)e(D)19 b Fr(mit)e(Ob\()p Fm(C)e(\002)e(D)q Fr(\))20 b(:=)208 1966 y(Ob\()p Fm(C)r Fr(\))10 b Fm(\002)f Fr(Ob)q(\()p Fm(D)q Fr(\))14 b(und)g(Mor)663 1972 y Fp(C)q(\002D)737 1966 y Fr(\(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))p Fq(;)g Fr(\()p Fq(C)q(;)g(D)q Fr(\)\))k(:=)208 2015 y(Mor)283 2021 y Fp(C)304 2015 y Fr(\()p Fq(A;)c(C)s Fr(\))k Fm(\002)h Fr(Mor)549 2021 y Fp(D)578 2015 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b(D)q Fr(\))17 b(und)h(der)f(k)o(omp)q(onen)o(ten)o(w)o(eisen)g(V)m (erkn)1358 2017 y(\177)1357 2015 y(up-)208 2065 y(fung)c(eine)h (Kategorie.)p eop %%Page: 11 16 11 15 bop 461 117 a Ft(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN)370 b(11)59 225 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(2.3)p Fo(.)j Fr(Ob)r(jekte)h(hab)q (en)f(jedo)q(c)o(h)f(im)f(allgemeinen)f(k)o(eine)j(Elemen)o(te,)59 275 y(und)10 b(Morphismen)f(sind)h(dann)g(auc)o(h)g(k)o(eine)g (Abbildungen)g(zwisc)o(hen)h(den)f(Ob)r(jekten.)59 328 y(Die)17 b(Iden)o(tit)260 330 y(\177)260 328 y(at)h(1)336 334 y Fn(A)380 328 y Fr(ist)f(eindeutig)h(durc)o(h)g(das)f(Ob)r(jekt)i Fq(A)e Fr(b)q(estimm)o(t,)e(denn)j(1)1341 334 y Fn(A)1385 328 y Fr(=)59 377 y(1)80 383 y Fn(A)107 377 y Fr(1)128 362 y Fp(0)128 389 y Fn(A)166 377 y Fr(=)12 b(1)231 362 y Fp(0)231 389 y Fn(A)258 377 y Fr(.)59 472 y Fo(Definition)k Fr(2.4)p Fo(.)k Fr(Ein)14 b(Morphism)o(us)f Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)16 b Fr(hei\031t)e Fl(Isomorphismus)p Fr(,)g(w)o(enn)59 522 y(es)h(einen)f(Morphism)o(us)f Fq(g)g Fr(:)e Fq(B)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)j Fr(gibt)g(mit)e Fq(g)q(f)k Fr(=)c(1)960 528 y Fn(A)1001 522 y Fr(und)i Fq(f)t(g)f Fr(=)f(1)1206 528 y Fn(B)1235 522 y Fr(.)59 575 y(Bemerkung:)h(In)h(diesem)f(F)m(alle)g(ist)h Fq(g)h Fr(eb)q(enfalls)f(ein)g(Isomorphism)o(us)d(und)j(durc)o(h)h Fq(f)59 624 y Fr(eindeutig)f(b)q(estimm)o(t.)d(Wir)i(setzen)j Fq(f)668 609 y Fp(\000)p Fi(1)725 624 y Fr(:=)11 b Fq(g)q Fr(.)109 722 y Fo(Beweis.)20 b Fq(g)q(f)d Fr(=)12 b(1)410 728 y Fn(A)450 722 y Fr(und)h Fq(f)t(g)577 707 y Fp(0)601 722 y Fr(=)f(1)666 728 y Fn(B)707 722 y Fr(impliziert)f Fq(g)i Fr(=)f Fq(g)q Fr(1)1012 728 y Fn(B)1052 722 y Fr(=)g Fq(g)q Fr(\()p Fq(f)t(g)1178 707 y Fp(0)1191 722 y Fr(\))f(=)h(\()p Fq(g)q(f)t Fr(\))p Fq(g)1360 707 y Fp(0)1385 722 y Fr(=)59 772 y(1)80 778 y Fn(A)107 772 y Fq(g)128 757 y Fp(0)151 772 y Fr(=)g Fq(g)216 757 y Fp(0)228 772 y Fr(.)p 281 749 29 2 v 281 774 2 25 v 308 774 V 281 776 29 2 v 59 867 a Fo(Definition)k Fr(2.5)p Fo(.)k Fr(Ein)g(Morphism)o(us)g Fq(f)27 b Fr(:)c Fq(A)f Fm(\000)-6 b(!)22 b Fq(B)h Fr(hei\031t)d Fl(Monomorphismus)59 916 y Fr(o)q(der)c Fl(links)g(k)272 918 y(\177)272 916 y(urzb)n(ar)p Fr(,)e(w)o(enn)h(f)533 918 y(\177)532 916 y(ur)g(alle)g Fq(C)h Fm(2)d Fr(Ob)8 b Fm(C)17 b Fr(und)e(alle)g Fq(g)q(;)7 b(h)13 b Fm(2)g Fr(Mor)1208 922 y Fp(C)1230 916 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(A)p Fr(\))14 b(gilt)59 966 y Fq(f)t(g)g Fr(=)d Fq(f)t(h)i Fr(=)-7 b Fm(\))11 b Fq(g)i Fr(=)f Fq(h)p Fr(.)59 1019 y(Ein)19 b(Morphism)o(us)e Fq(f)24 b Fr(:)c Fq(A)f Fm(\000)-6 b(!)19 b Fq(B)i Fr(hei\031t)d Fl(Epimorphismus)h Fr(o)q(der)h Fl(r)n(e)n(chts)e(k)1293 1021 y(\177)1293 1019 y(urzb)n(ar)p Fr(,)59 1069 y(w)o(enn)c(f)180 1071 y(\177)179 1069 y(ur)g(alle)f Fq(C)h Fm(2)d Fr(Ob)c Fm(C)16 b Fr(und)e(alle)f Fq(g)q(;)7 b(h)k Fm(2)g Fr(Mor)839 1075 y Fp(C)861 1069 y Fr(\()p Fq(B)r(;)c(C)s Fr(\))14 b(gilt)e Fq(g)q(f)17 b Fr(=)12 b Fq(hf)k Fr(=)-7 b Fm(\))11 b Fq(g)i Fr(=)f Fq(h)p Fr(.)59 1121 y(Ein)i(Morphism)o(us)g Fq(f)j Fr(:)12 b Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)12 b Fq(B)17 b Fr(hei\031t)d(ein)g Fl(Schnitt)p Fr(,)g(w)o(enn)h(es)g(einen)g (Morphism)o(us)59 1171 y Fq(g)e Fr(:)e Fq(B)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)j Fr(gibt)g(mit)e Fq(g)q(f)k Fr(=)c(1)567 1177 y Fn(A)594 1171 y Fr(.)59 1224 y(Ein)g(Morphism)o(us)g Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)16 b Fr(hei\031t)c(eine)h Fl(R)n(etr)n(aktion)p Fr(,)f(w)o(enn)h(es)g(einen) g(Morphis-)59 1274 y(m)o(us)g Fq(g)g Fr(:)e Fq(B)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)j Fr(gibt)f(mit)g Fq(f)t(g)g Fr(=)f(1)654 1280 y Fn(B)682 1274 y Fr(.)64 1360 y Fo(\177)59 1368 y(Ubung)k Fr(2.6)p Fo(.)k Fr(Man)14 b(zeige:)59 1421 y Fq(f)19 b Fr(Isomorphism)o(us)11 b(=)-7 b Fm(\))14 b Fq(f)k Fr(Sc)o(hnitt)d(=)-7 b Fm(\))13 b Fq(f)19 b Fr(Monomorphism)o(us.)59 1474 y Fq(f)g Fr(Isomorphism)o(us)11 b(=)-7 b Fm(\))14 b Fq(f)k Fr(Retraktion)c(=)-7 b Fm(\))14 b Fq(f)k Fr(Epimorphism)o(us.)59 1527 y Fq(f)e Fr(Isomorphism)o(us)10 b Fm(\()-7 b(\))10 b Fq(f)17 b Fr(Sc)o(hnitt)11 b(und)h(Epimorphism)o (us)d Fm(\()-7 b(\))11 b Fq(f)16 b Fr(Retraktion)11 b(und)59 1576 y(Monomorphism)o(us.)59 1629 y(In)j(Gr)g(sind)f(die)h (Monomorphismen)e(genau)h(die)h(injektiv)o(en)g(Homomo)o(rphism)o(en.) 59 1724 y Fo(Bemerkung)j Fr(2.7)p Fo(.)j Fr(In)15 b(den)h(Kategorien)g (Me,)f(V)m(ek,)g(v)o(ek,)g Fq(A)p Fr(-Mo)q(d,)f(Gr,)h(Ab,)g(Mon,)59 1774 y Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)k(sind)g(die)g(Monomorphismen)d(genau)j (die)g(injektiv)o(en)f(Homomorphism)o(en.)59 1826 y(In)j(den)g (Kategorien)g(Me,)f(V)m(ek,)h(v)o(ek,)f Fq(A)p Fr(-Mo)q(d,)g(Gr,)g(Ab)h (sind)f(die)h(Epimorphismen)59 1876 y(genau)e(die)g(surjektiv)o(en)g (Homomorphism)o(en.)59 1929 y(In)g(der)h(Kategorie)f(Ri)f(ist)h Ff(Z)-5 b Fm(\000)e(!)11 b Ff(Q)g Fr(ein)j(Epimorphism)o(us.)59 2023 y Fo(Definition)i Fr(2.8)p Fo(.)k Fr(Seien)d Fm(C)i Fr(und)e Fm(D)h Fr(Kategorien.)e(Ein)h Fl(kovarianter)g(F)m(unktor)g Fm(F)j Fr(:)59 2073 y Fm(C)14 b(\000)-7 b(!)11 b(D)k Fr(b)q(esteh)o(t)h(aus)e(einer)h(Abbildung)e Fm(F)i Fr(:)d(Ob)7 b Fm(C)14 b(\000)-7 b(!)11 b Fr(Ob)d Fm(D)15 b Fr(und)f(einer)g(F)m (amilie)p eop %%Page: 12 17 12 16 bop 59 117 a Ft(12)366 b(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN) 59 225 y Fr(v)o(on)c(Abbildungen)f(\()p Fm(F)16 b Fr(=)c Fm(F)t Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))12 b(:)f(Mor)744 231 y Fp(C)765 225 y Fr(\()p Fq(A;)c(B)r Fr(\))12 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Mor)1046 231 y Fp(D)1075 225 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fq(;)c Fm(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\))p Fm(j)p Fq(A;)g(B)59 275 y Fm(2)k Fr(Ob)d Fm(C)r Fr(\),)13 b(so)h(da\031)g(gelten)582 355 y Fm(F)t Fr(\(1)653 361 y Fn(A)679 355 y Fr(\))e(=)g(1)772 362 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))851 355 y Fr(;)-804 b(\(4\))524 417 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\))12 b(=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))-809 b(\(5\))59 498 y(f)73 500 y(\177)72 498 y(ur)19 b(alle)f Fq(A;)7 b(B)r(;)g(C)22 b Fm(2)e Fr(Ob)7 b Fm(C)21 b Fr(und)e(alle)f Fq(f)25 b Fm(2)19 b Fr(Mor)854 504 y Fp(C)876 498 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b(C)s Fr(\),)18 b Fq(g)k Fm(2)d Fr(Mor)1187 504 y Fp(C)1209 498 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\).)18 b(Ein)59 548 y Fl(kontr)n(a-varianter)h(F)m(unktor)h Fm(F)k Fr(:)c Fm(C)j(\000)-7 b(!)20 b(D)h Fr(b)q(esteh)o(t)f(aus)g(einer)g(Abbildung)e Fm(F)25 b Fr(:)59 597 y(Ob)7 b Fm(C)14 b(\000)-7 b(!)12 b Fr(Ob)7 b Fm(D)15 b Fr(und)f(einer)g(F)m(amilie)d(v)o(on)j (Abbildungen)137 678 y(\()p Fm(F)h Fr(=)d Fm(F)t Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))12 b(:)f(Mor)501 684 y Fp(C)523 678 y Fr(\()p Fq(A;)c(B)r Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Mor)803 684 y Fp(D)832 678 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))p Fq(;)c Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\))p Fm(j)p Fq(A;)g(B)14 b Fm(2)d Fr(Ob)d Fm(C)r Fr(\))p Fq(;)59 758 y Fr(so)14 b(da\031)f(gelten)582 838 y Fm(F)t Fr(\(1)653 844 y Fn(A)679 838 y Fr(\))f(=)g(1)772 845 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))851 838 y Fr(;)-804 b(\(6\))524 901 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\))12 b(=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))-809 b(\(7\))59 981 y(f)73 983 y(\177)72 981 y(ur)14 b(alle)f Fq(A;)7 b(B)r(;)g(C)14 b Fm(2)d Fr(Ob)c Fm(C)16 b Fr(und)e(alle)f Fq(f)k Fm(2)11 b Fr(Mor)796 987 y Fp(C)818 981 y Fr(\()p Fq(B)r(;)c(C)s Fr(\),)13 b Fq(g)g Fm(2)e Fr(Mor)1107 987 y Fp(C)1129 981 y Fr(\()p Fq(A;)c(B)r Fr(\).)59 1062 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(2.9)p Fo(.)j Fr(F)m(unktoren)f Fm(F)24 b Fr(:)19 b Fm(C)j(\000)-6 b(!)19 b(D)h Fr(und)f Fm(G)j Fr(:)e Fm(D)h(\000)-7 b(!)19 b(E)k Fr(lassen)c(sic)o(h)59 1112 y(v)o(erkn)160 1114 y(\177)159 1112 y(upfen,)j(w)o(enn)g(man)e (de\014niert)j(\()p Fm(G)r(F)t Fr(\)\()p Fq(A)p Fr(\))i(:=)f Fm(G)r Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\))f(und)f(\()p Fm(G)r(F)t Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))k(:=)59 1162 y Fm(G)r Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\).)15 b(Diese)f(V)m(erkn)453 1164 y(\177)452 1162 y(upfung)g(ist)g(assoziativ)f(mit)g(Iden)o(tit) 1037 1164 y(\177)1037 1162 y(at)g(Id)1126 1168 y Fp(C)1159 1162 y Fr(:)e Fm(C)i(\000)-6 b(!)11 b(C)r Fr(.)64 1234 y Fo(\177)59 1243 y(Ubung)16 b Fr(2.10)p Fo(.)k Fr(Zeigen)14 b(Sie:)59 1294 y(a\))c(Ist)g Fm(C)h Fr(eine)g(Kategorie,)e(so)h(ist)f (auc)o(h)h Fm(C)692 1279 y Fn(op)738 1294 y Fr(mit)d(Ob)h Fm(C)896 1279 y Fn(op)943 1294 y Fr(:=)j(Ob)d Fm(C)j Fr(und)f(Mor)1248 1300 y Fp(C)1267 1292 y Fj(op)1302 1294 y Fr(\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))59 1344 y(:=)13 b(Mor)191 1350 y Fp(C)212 1344 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b(A)p Fr(\))15 b(und)g(der)g(V)m(erkn)606 1346 y(\177)605 1344 y(upfung)g Fq(f)f Fm(\003)c Fq(g)k Fr(:=)f Fq(g)q(f)19 b Fr(eine)c(Kategorie.)g (Dab)q(ei)f(sei)59 1393 y Fq(f)h Fm(\003)10 b Fq(g)16 b Fr(die)f(V)m(erkn)337 1395 y(\177)336 1393 y(upfung)h(in)e Fm(C)551 1378 y Fn(op)602 1393 y Fr(und)i Fq(g)q(f)k Fr(die)15 b(V)m(erkn)924 1395 y(\177)923 1393 y(upfung)g(in)g Fm(C)r Fr(.)g(Die)g(Kategorie)59 1443 y Fm(C)83 1428 y Fn(op)133 1443 y Fr(hei\031t)f Fl(duale)h(Kate)n(gorie)e Fr(zu)i Fm(C)r Fr(.)59 1494 y(b\))d(Es)f(gibt)g(eine)h(Bijektion)f (zwisc)o(hen)h(den)g(k)o(on)o(tra)o(v)n(arian)o(ten)e(F)m(unktoren)i Fm(F)k Fr(:)11 b Fm(C)i(\000)-6 b(!)59 1544 y(D)q Fr(,)13 b(den)h(k)o(o)o(v)n(arian)o(ten)e(F)m(unktoren)h Fm(F)650 1529 y Fp(0)673 1544 y Fr(:)f Fm(C)721 1529 y Fn(op)768 1544 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(D)k Fr(und)e(den)h(k)o(o)o(v)n(arian)o(ten)e (F)m(unkto-)59 1594 y(ren)j Fm(F)165 1578 y Fp(0)o(0)197 1594 y Fr(:)c Fm(C)j(\000)-6 b(!)11 b(D)368 1578 y Fn(op)403 1594 y Fr(.)59 1675 y Fo(Beispiel)16 b Fr(2.11)p Fo(.)94 b Fr(\(1\))21 b(Die)28 b Fl(V)m(er)n(gi\031funktor)n(en)p Fr(,)f(die)h(jew)o(eils)g(einen)g(T)m(eil)g(der)208 1725 y(Struktur)379 1749 y(")398 1725 y(v)o(ergessen)m(\\)s(:)16 b Fm(V)i Fr(:)13 b(Gr)h Fm(\000)-7 b(!)13 b Fr(Me)q(,)i Fm(V)i Fr(:)d(Ab)f Fm(\000)-6 b(!)13 b Fr(Gr,)i Fm(V)i Fr(:)d(V)m(ek)f Fm(\000)-6 b(!)208 1774 y Fr(Ab,)13 b Fm(V)j Fr(=)11 b(-)385 1759 y Fn(L)422 1774 y Fr(:)g(Alg)g Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Lie)j(Alg)o(.)134 1824 y(\(2\))21 b(Der)14 b(Grupp)q(enalgebra)g(F)m(unktor)g Ff(K)p Fr(-)g(:)d(Gr)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)p Fr(-)f(Alg.)134 1874 y(\(3\))21 b(Die)13 b(univ)o(erselle)h(H)518 1876 y(\177)517 1874 y(ulle)g(einer)h(Lie)e(Algebra)h Fq(U)5 b Fr(\(-\))12 b(:)f(Lie)i(Alg)e Fm(\000)-6 b(!)11 b Ff(K)p Fr(-)f(Alg.)134 1924 y(\(4\))21 b(Die)13 b(Komm)o(utatorfaktorgrupp)q(e)e(-)p Fq(=)p Fr([-)o Fq(;)c Fr(-])k(:)g(Gr)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Ab.)134 1974 y(\(5\))21 b(F)m(reie)14 b(Mo)q(duln)f(bzw.)h(V)m (ektorr)698 1976 y(\177)698 1974 y(aume:)f Ff(K)p Fr(-)h(:)d(Me)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(V)m(ek.)134 2023 y(\(6\))21 b(F)m(reie)i (Algebren,)h(auc)o(h)g(nic)o(h)o(t-k)o(omm)n(utativ)n(e)d(P)o (olynomringe)h(genann)o(t:)208 2073 y Ff(K)p Fm(h)p Fr(-)s Fm(i)12 b Fr(:)f(Me)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)p Fr(-)f(Alg.)p eop %%Page: 13 18 13 17 bop 461 117 a Ft(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN)370 b(13)134 225 y Fr(\(7\))21 b(T)m(ensoralgebren:)16 b Fq(T)6 b Fr(\(-\))16 b(:)f(V)m(ek)h Fm(\000)-6 b(!)15 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)16 b(mit)f Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(V)k Fr(\))16 b(=)g Ff(K)e Fm(\010)d Fq(V)20 b Fm(\010)12 b Fq(V)20 b Fm(\012)208 275 y Fq(V)e Fm(\010)10 b Fq(:)d(:)g(:)e Fr(.)13 b(Es)i(ist)f Ff(K)p Fm(h)p Fq(X)t Fm(i)h Fr(=)c Fq(T)6 b Fr(\()p Ff(K)q Fq(X)s Fr(\))q(.)134 325 y(\(8\))21 b(F)m(reie)g(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)e(Algebren)j(o)q(der)f(P)o (olynomringe:)e Ff(K)p Fr([-)s(])k(:)g(Me)h Fm(\000)-6 b(!)208 374 y Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg.)134 424 y(\(9\))21 b(Symmetrisc)o(he)i(Algebren:)h Fq(S)r Fr(\(-)q(\))29 b(:)f(V)m(ek)h Fm(\000)-6 b(!)28 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)1135 434 y Fn(c)1176 424 y Fr(mit)23 b Fq(S)r Fr(\()p Fq(V)10 b Fr(\))29 b(=)208 474 y Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(V)j Fr(\))p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)i Fm(\000)f Fq(y)q(x)p Fr(\).)k(Es)g(ist)g Ff(K)p Fr([)p Fq(X)s Fr(])g(=)e Fq(S)r Fr(\()p Ff(K)r Fq(X)s Fr(\).)113 524 y(\(10\))21 b(Das)13 b(T)m(ensorpro)q(dukt)i Fm(\012)d Fr(:)f(V)m(ek)c Fm(\002)g Fr(V)m(ek)12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(V)m(ek.)59 599 y Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(2.12)p Fo(.)95 b Fr(\(1\))21 b Fl(Sei)16 b Fm(C)j Fl(eine)e(Kate)n(gorie.)f (Dann)h(ist)f Fr(Mor)1082 605 y Fp(C)1103 599 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fl(-)p Fr(\))14 b(:)g Fm(C)j(\000)-6 b(!)14 b Fr(Me)208 649 y Fl(f)221 651 y(\177)221 649 y(ur)g Fq(A)e Fm(2)f(C)17 b Fl(mit)538 722 y Fr(Mor)613 728 y Fp(C)634 722 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fl(-)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\))12 b(:=)g(Mor)939 728 y Fp(C)960 722 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))p Fq(;)538 771 y Fr(Mor)613 777 y Fp(C)634 771 y Fr(\()p Fq(A;)g Fl(-)p Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(:=)e(Mor)930 777 y Fp(C)952 771 y Fr(\()p Fq(A;)c(f)t Fr(\))p Fq(;)208 847 y Fl(wob)n(ei)18 b Fr(Mor)399 853 y Fp(C)420 847 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(f)t Fr(\))19 b(:)f(Mor)650 853 y Fp(C)672 847 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))19 b Fm(3)f Fq(g)h Fm(7!)f Fq(f)t(g)j Fm(2)d Fr(Mor)1137 853 y Fp(C)1158 847 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(C)s Fr(\))19 b Fl(f)1305 849 y(\177)1305 847 y(ur)f Fq(f)23 b Fr(:)208 897 y Fq(B)14 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(C)s Fl(,)j(ein)h(kovarianter)g(F)m(unktor.)134 947 y Fr(\(2\))21 b Fl(Sei)c Fm(C)j Fl(eine)e(Kate)n(gorie.)f(Dann)i (ist)e Fr(Mor)871 953 y Fp(C)892 947 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b(A)p Fr(\))16 b(:)g Fm(C)j(\000)-7 b(!)16 b Fr(Me)i Fl(f)1244 949 y(\177)1244 947 y(ur)f Fq(A)g Fm(2)f(C)208 996 y Fl(mit)538 1036 y Fr(Mor)613 1042 y Fp(C)634 1036 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b(A)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\))12 b(:=)g(Mor)939 1042 y Fp(C)960 1036 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b(A)p Fr(\))p Fq(;)538 1086 y Fr(Mor)613 1092 y Fp(C)634 1086 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g(A)p Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(:=)e(Mor)930 1092 y Fp(C)952 1086 y Fr(\()p Fq(f)r(;)c(A)p Fr(\))p Fq(;)208 1149 y Fl(wob)n(ei)18 b Fr(Mor)399 1155 y Fp(C)421 1149 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b(A)p Fr(\))19 b(:)f(Mor)649 1155 y Fp(C)671 1149 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(A)p Fr(\))18 b Fm(3)g Fq(g)i Fm(7!)f Fq(g)q(f)k Fm(2)c Fr(Mor)1135 1155 y Fp(C)1157 1149 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b(A)p Fr(\))19 b Fl(f)1304 1151 y(\177)1304 1149 y(ur)f Fq(f)24 b Fr(:)208 1199 y Fq(B)14 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(C)s Fl(,)j(ein)h(kontr)n (avarianter)g(F)m(unktor.)109 1274 y Fo(Beweis.)20 b Fr(\(1\))j(Wir)g(rec)o(hnen)h(Mor)694 1280 y Fp(C)716 1274 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-)o(\)\()p Fq(f)851 1259 y Fp(0)864 1274 y Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))28 b(=)f(\()p Fq(f)1084 1259 y Fp(0)1096 1274 y Fq(f)t Fr(\))p Fq(g)i Fr(=)e Fq(f)1268 1259 y Fp(0)1280 1274 y Fr(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\))h(=)59 1324 y(Mor)134 1330 y Fp(C)156 1324 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-)o(\)\()p Fq(f)291 1309 y Fp(0)304 1324 y Fr(\)\()p Fq(f)t(g)q Fr(\))13 b(=)f(Mor)529 1330 y Fp(C)550 1324 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-\)\()p Fq(f)686 1309 y Fp(0)699 1324 y Fr(\)Mor)790 1330 y Fp(C)811 1324 y Fr(\()p Fq(A;)g Fr(-\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))k(und)e(Mor)1181 1330 y Fp(C)1202 1324 y Fr(\()p Fq(A;)e Fr(-\)\(1)1335 1330 y Fn(A)1362 1324 y Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))59 1374 y(=)12 b(1)124 1380 y Fn(A)151 1374 y Fq(g)g Fr(=)g Fq(g)h Fr(=)f(1)325 1381 y Fi(Mor)384 1386 y Fe(C)403 1381 y Fi(\()p Fn(A;B)q Fi(\))493 1374 y Fr(\()p Fq(g)q Fr(\).)59 1424 y(\(2\))i(wird)g(durc)o(h)g(analoge)f (Rec)o(hn)o(ung)h(b)q(ewiesen.)p 893 1401 29 2 v 893 1426 2 25 v 919 1426 V 893 1428 29 2 v 59 1499 a Fo(Bemerkung)j Fr(2.13)p Fo(.)j Fr(\(1\))13 b(F)m(unktoren)h(v)o(on)f(der)i(im)c(Satz) j(angegeb)q(enen)h(F)m(orm)d(w)o(er-)59 1549 y(den)20 b Fl(darstel)r(lb)n(ar)n(e)f(F)m(unktor)n(en)h Fr(genann)o(t,)g(und)g Fq(A)f Fr(wird)h(das)g Fl(darstel)r(lende)g(Objekt)59 1599 y Fr(genann)o(t.)12 b(Eine)g(allgemeinere)f(De\014nition)g(f)761 1601 y(\177)760 1599 y(ur)h(darstellbare)g(F)m(unktoren)g(\014ndet)h (sic)o(h)59 1648 y(in)g(2.20.)59 1698 y(\(2\))h(Ein)g(F)m(unktor)g Fm(F)h Fr(:)c Fm(C)j(\000)-6 b(!)11 b(D)k Fr(hei\031t)f(eine)g Fl(Isomorphie)p Fr(,)g(w)o(enn)g(es)h(einen)f(F)m(unktor)59 1748 y Fm(G)23 b Fr(:)c Fm(D)j(\000)-7 b(!)20 b(C)h Fr(gibt)e(mit)e Fm(G)r(F)25 b Fr(=)20 b(Id)666 1754 y Fp(C)688 1748 y Fr(,)f Fm(F)t(G)j Fr(=)f(Id)891 1754 y Fp(D)919 1748 y Fr(.)e(W)m(enn)g(es)h(eine)f(Isomorphie)59 1798 y(zwisc)o(hen)c(zw)o (ei)f(Kategorien)g(gibt,)f(dann)h(hei\031en)g(sie)g Fl(isomorph)p Fr(.)59 1873 y Fo(F)o(olger)o(ung)i Fr(2.14)p Fo(.)k Fl(Der)c(F)m(unktor)g Fr(dualer)g(V)m(ektorraum)f Fl(-)1026 1858 y Fp(\003)1059 1873 y Fr(:)f Fq(V)9 b(ek)15 b Fm(\000)-7 b(!)14 b Fr(V)m(ek)i Fl(de\014-)59 1923 y(niert)e(dur)n(ch)497 1963 y(-)512 1948 y Fp(\003)531 1963 y Fr(\()p Fq(V)c Fr(\))h(:=)h Fq(V)697 1948 y Fp(\003)728 1963 y Fr(=)g(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)7 b Ff(K)p Fr(\))q Fq(;)497 2012 y Fl(-)512 1997 y Fp(\003)531 2012 y Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(:=)e Fq(f)679 1997 y Fp(\003)711 2012 y Fr(=)g(Hom)o(\()p Fq(f)r(;)c Ff(K)p Fr(\))59 2073 y Fl(ist)14 b(ein)h(kontr)n(avarianter) g(F)m(unktor.)p eop %%Page: 14 19 14 18 bop 59 117 a Ft(14)366 b(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN) 109 225 y Fo(Beweis.)k Fr(Man)12 b(k)n(ann)e(die)h(Eigensc)o(haften)i (aus)e(dem)f(v)o(orhergehenden)j(Satz)f(en)o(t-)59 275 y(nehmen,)f(m)o(u\031)g(ab)q(er)h(zus)461 277 y(\177)461 275 y(atzlic)o(h)h(zeigen,)f(da\031)g(alle)f(Mengen)i Fq(V)1066 260 y Fp(\003)1097 275 y Fr(V)m(ektorr)1234 277 y(\177)1234 275 y(aume)e(sind)59 325 y(und)17 b(alle)e(Abbildungen) i Fq(f)496 310 y Fp(\003)532 325 y Fr(V)m(ektorraum)e(Homomorphism)o (en)e(sind.)j(Das)h(ist)f(aus)59 374 y(der)f(linearen)f(Algebra)f(b)q (ek)n(ann)o(t.)p 641 352 29 2 v 641 377 2 25 v 667 377 V 641 379 29 2 v 59 459 a Fo(Lemma)k Fr(2.15)p Fo(.)j Fl(Sei)c Fm(F)j Fr(:)14 b Fm(C)k(\000)-7 b(!)14 b(D)k Fl(ein)f(kovarianter)f(\(kontr)n(avarianter\))g(F)m(unktor.)59 509 y(Sei)f Fq(f)i Fr(:)12 b Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(B)17 b Fl(ein)f(Isomorphismus.)f(Dann)h(ist)f(auch)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))d(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))i Fm(\000)-7 b(!)12 b(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))59 559 y Fl(\(bzw.)i Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))f(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))h Fm(\000)-6 b(!)11 b(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fl(\))k(ein)g(Isomorphismus.)109 648 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Sei)f Fq(g)j Fr(=)e Fq(f)477 633 y Fp(\000)p Fi(1)542 648 y Fr(:)f Fq(B)k Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(A)p Fr(.)e(W)m(egen)h Fq(g)q(f)25 b Fr(=)20 b(1)1053 654 y Fn(A)1099 648 y Fr(und)f Fq(f)t(g)j Fr(=)e(1)1326 654 y Fn(B)1373 648 y Fr(ist)59 698 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q(f)t Fr(\))h(=)f Fm(F)t Fr(\(1)532 704 y Fn(A)559 698 y Fr(\))f(=)h(1)651 705 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))744 698 y Fr(und)i(analog)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))g(=)f(1)1214 705 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))1295 698 y Fr(.)p 1348 675 V 1348 700 2 25 v 1374 700 V 1348 702 29 2 v 59 783 a Fo(Definition)k Fr(2.16)p Fo(.)k Fr(Seien)f Fm(F)t Fq(;)7 b Fm(G)20 b Fr(:)f Fm(C)i(\000)-6 b(!)18 b(D)i Fr(zw)o(ei)e(k)o(o)o(v)n(arian)o(te)f(\(k)o(on)o(tra)o(v)n(arian)o (te\))59 833 y(F)m(unktoren.)d(Eine)g Fl(nat)424 835 y(\177)424 833 y(urliche)h(T)m(r)n(ansformation)e Fr(o)q(der)i(ein)f Fl(funktoriel)r(ler)f(Morphis-)59 883 y(mus)22 b Fq(')j Fr(:)f Fm(F)29 b(\000)-6 b(!)24 b(G)g Fr(b)q(esteh)o(t)f(aus)f(einer)h (F)m(amilie)c(v)o(on)i(Morphismen)g(\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))26 b(:)59 933 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b(G)r Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fm(j)p Fq(A)h Fm(2)f Fr(Ob)d Fm(C)r Fr(\),)13 b(so)h(da\031)g(die)g(Diagramm)o (e)143 995 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))114 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p 253 985 89 2 v 300 984 a Fk(-)261 969 y Fn(')p Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))p 191 1121 2 108 v 192 1121 a Fk(?)103 1075 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p 398 1121 V 399 1121 a Fk(?)416 1075 y Fp(G)r Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))142 1161 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))d Fm(G)r Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))p 254 1151 87 2 v 299 1150 a Fk(-)260 1180 y Fn(')p Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))679 1069 y Fr(\(bzw.)1027 995 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))h Fm(G)r Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))p 1140 985 V 1184 984 a Fk(-)1146 969 y Fn(')p Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))p 1077 1121 2 108 v 1077 1121 a Fk(?)989 1075 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))1372 1161 y Fr(\))p 1284 1121 V 1285 1121 a Fk(?)1301 1075 y Fp(G)r Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))1029 1161 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))i Fm(G)r Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p 1138 1151 89 2 v 1186 1150 a Fk(-)1146 1180 y Fn(')p Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))59 1221 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)59 1306 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(2.17)p Fo(.)j Fr(Nat)490 1308 y(\177)489 1306 y(urlic)o(he)i(T)m (ransformationen)d Fq(')25 b Fr(:)g Fm(F)j(\000)-6 b(!)24 b(G)g Fr(und)e Fq( )k Fr(:)59 1355 y Fm(G)14 b(\000)-7 b(!)11 b(H)j Fr(lassen)h(sic)o(h)f(v)o(erkn)529 1357 y(\177)528 1355 y(upfen,)g(w)o(enn)g(man)f(de\014niert)298 1439 y Fq( )q(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))f(:=)g Fq( )q Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))h(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b(G)r Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b(H)p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fq(:)59 1522 y Fr(Diese)i(V)m(erkn)276 1524 y(\177)275 1522 y(upfung)g(ist)g(assoziativ)f(und)h(der)g(iden)o (tisc)o(he)h(Morphism)o(us)d(id)1270 1528 y Fp(F)1299 1522 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))h(:=)59 1572 y(1)80 1579 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))177 1572 y Fr(:)18 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g Fm(\000)-7 b(!)18 b(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(ist)f(eine)h(nat)733 1574 y(\177)732 1572 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)d(und)j(wirkt)g(als)59 1622 y(Iden)o(tit)181 1624 y(\177)181 1622 y(at)c(bzgl.)f(der)i(V)m (erkn)511 1624 y(\177)510 1622 y(upfung)f(v)o(on)f(nat)789 1624 y(\177)788 1622 y(urlic)o(hen)h(T)m(ransformationen.)59 1707 y Fo(Beispiel)i Fr(2.18)p Fo(.)j Fr(Die)14 b(F)m(amilie)d(v)o(on)i (V)m(ektorraum)g(Homomo)o(rphism)o(en)442 1791 y(\()p Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)d Fr(\))h(:)h Fq(V)21 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(V)730 1773 y Fp(\003\003)766 1791 y Fm(j)p Fq(V)21 b Fm(2)11 b Fr(Ob)q(\(V)m(ek\)\))59 1874 y(de\014niert)18 b(eine)g(nat)376 1876 y(\177)375 1874 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation) d Fq(\023)i Fr(:)g(Id)910 1880 y Fi(V)m(ek)983 1874 y Fm(\000)-7 b(!)17 b Fr(-)1081 1859 y Fp(\003\003)1135 1874 y Fr(v)o(om)e(Iden)o(tit)1350 1876 y(\177)1350 1874 y(ats-)59 1924 y(F)m(unktor)23 b(in)g(den)g(F)m(unktor)g(Bidualraum.)e (Dab)q(ei)i(sei)g Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)10 b Fr(\))27 b(:)f Fq(V)37 b Fm(\000)-7 b(!)27 b Fq(V)1322 1909 y Fp(\003\003)1385 1924 y Fr(=)59 1974 y(Hom)o(\(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)7 b Ff(K)q Fr(\))p Fq(;)g Ff(K)r Fr(\))17 b(durc)o(h)d Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)9 b Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))14 b(:=)d Fq(f)t Fr(\()p Fq(v)q Fr(\))k(de\014niert.)f (Man)f(rec)o(hnet)i(leic)o(h)o(t)59 2023 y(nac)o(h,)g(da\031)h Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)9 b Fr(\))16 b(w)o(ohlde\014niert)g(ist)g(\(die) g(W)m(erte)g(liegen)f(in)h(Hom)n(\(Hom)o(\()p Fq(V)r(;)7 b Ff(K)p Fr(\))p Fq(;)g Ff(K)s Fr(\)\))59 2073 y(und)14 b(ein)g(Homomorphi)o(sm)n(us)e(ist.)h(Wir)g(zeigen)i(die)f(Komm)o (utati)o(vit)1155 2075 y(\177)1155 2073 y(at)d(v)o(on)p eop %%Page: 15 20 15 19 bop 461 117 a Ft(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN)370 b(15)618 198 y Fq(V)165 b(V)841 183 y Fp(\003\003)p 664 184 132 2 v -121 w Fk(-)697 168 y Fn(\023)p Fi(\()p Fn(V)7 b Fi(\))p 634 320 2 108 v 634 320 a Fk(?)598 274 y Fn(f)p 841 320 V 842 320 a Fk(?)859 275 y Fn(f)878 262 y Fe(\003\003)612 364 y Fq(W)145 b(W)841 349 y Fp(\003\003)877 364 y Fq(:)p 669 350 115 2 v 742 349 a Fk(-)689 380 y Fn(\023)p Fi(\()p Fn(W)t Fi(\))59 416 y Fq(f)83 401 y Fp(\003\003)120 416 y Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)9 b Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))17 b(=)f(Hom)n(\(Hom)o(\()p Fq(f)r(;)7 b Ff(K)p Fr(\))p Fq(;)g Ff(K)s Fr(\))p Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)12 b Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))17 b(=)f Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)9 b Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\))e(Hom\()p Fq(f)r(;)g Ff(K)p Fr(\)\()p Fq(g)r Fr(\))18 b(=)59 466 y Fq(\023)p Fr(\()p Fq(V)9 b Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\)\()p Fq(g)q(f)t Fr(\))14 b(=)e Fq(g)q(h)p Fr(\()p Fq(v)q Fr(\))h(=)f Fq(\023)p Fr(\()p Fq(W)6 b Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(v)q Fr(\)\)\()p Fq(g)q Fr(\).)59 554 y Fo(Definition)16 b Fr(2.19)p Fo(.)k Fr(Seien)15 b Fm(F)t Fq(;)7 b Fm(G)15 b Fr(:)e Fm(C)j(\000)-7 b(!)13 b(D)j Fr(F)m(unktoren.)f(Eine)g(nat)1165 556 y(\177)1164 554 y(urlic)o(he)h(T)m(rans-)59 604 y(formation)c Fq(')i Fr(:)e Fm(F)17 b(\000)-7 b(!)13 b(G)k Fr(hei\031t)e Fl(nat)647 606 y(\177)647 604 y(urlicher)f Fr(o)q(der)h Fl(funktoriel)r(ler)g(Isomorphismus)p Fr(,)59 654 y(w)o(enn)d(es)h (eine)f(nat)355 656 y(\177)354 654 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)e Fq( )j Fr(:)e Fm(G)i(\000)-6 b(!)11 b(F)16 b Fr(gibt)11 b(mit)f Fq( )q(')i Fr(=)g(id)1308 660 y Fp(F)1348 654 y Fr(und)59 704 y Fq(' )h Fr(=)f(id)205 710 y Fp(G)228 704 y Fr(.)59 755 y(Die)k(Menge)h(der)f(funktoriellen)g(Morphismen)f(o) q(der)i(nat)988 757 y(\177)987 755 y(urlic)o(hen)f(T)m(ransformatio-)59 805 y(nen)h(v)o(on)e Fm(F)20 b Fr(in)c Fm(G)i Fr(b)q(ezeic)o(hnen)g (wir)d(mit)f(Nat)q(\()p Fm(F)t Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(\).)15 b(\(Bemerkung:)g(Mengen)o(theo-)59 855 y(retisc)o(h)f(m)o(u\031)e(man)f (hier)i(v)o(on)g(einer)h(\(Sup)q(er-\)Klasse)h(sprec)o(hen,)f(da)f(sc)o (hon)h(jede)f(ein-)59 905 y(zelne)h(nat)223 907 y(\177)222 905 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation)d(aus)j(einer)g(Klasse)h(b)q (esteh)o(t.)f(Wir)g(w)o(erden)g(diese)59 955 y(Un)o(tersc)o(hiede)j (hier)e(nic)o(h)o(t)g(b)q(ehandeln.\))59 1006 y(Zw)o(ei)19 b(F)m(unktoren)g Fm(F)t Fq(;)7 b Fm(G)20 b Fr(:)f Fm(C)j(\000)-7 b(!)19 b(D)g Fr(hei\031en)g Fl(isomorph)g Fm(F)1049 995 y(\030)1049 1009 y Fr(=)1100 1006 y Fm(G)r Fr(,)g(w)o(enn)f(es)i(einen) 59 1056 y(nat)120 1058 y(\177)119 1056 y(urlic)o(hen)14 b(Isomorphism)o(us)e Fq(')f Fr(:)g Fm(F)16 b(\000)-7 b(!)11 b(G)16 b Fr(gibt.)59 1108 y(Zw)o(ei)11 b(Kategorien)h Fm(C)h Fr(und)e Fm(D)h Fr(hei\031en)649 1110 y Fl(\177)649 1108 y(aquivalent)p Fr(,)f(w)o(enn)g(es)h(F)m(unktoren)f Fm(F)16 b Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(D)59 1158 y Fr(und)17 b Fm(G)h Fr(:)d Fm(D)i(\000)-6 b(!)15 b(C)k Fr(so)e(gibt,)e(da\031)h Fm(F)t(G)699 1147 y(\030)699 1160 y Fr(=)747 1158 y(Id)785 1164 y Fp(D)831 1158 y Fr(und)g Fm(G)r(F)993 1147 y(\030)993 1160 y Fr(=)1042 1158 y(Id)1080 1164 y Fp(C)1118 1158 y Fr(gelten.)g Fm(F)21 b Fr(und)16 b Fm(G)59 1208 y Fr(hei\031en)e(dann)g(zueinander)h(in)o(v) o(erse)647 1199 y Fl(\177)640 1208 y(Aquivalenzen)p Fr(.)59 1296 y Fo(Definition)h Fr(2.20)p Fo(.)k Fr(Ein)14 b(k)o(o)o(v)n(arian)o (ter)f(\(k)o(on)o(tra)o(v)n(arian)o(ter\))g(F)m(unktor)h Fm(F)i Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)12 b Fr(Me)59 1346 y(hei\031t)f Fl(darstel)r(lb)n(ar)n(er)g(F)m(unktor)p Fr(,)h(w)o(enn)f(es)i(ein)e(Ob)r(jekt)i Fq(A)e Fm(2)g Fr(Ob)d Fm(C)13 b Fr(und)f(einen)g(nat)1342 1348 y(\177)1341 1346 y(urli-)59 1396 y(c)o(hen)18 b(Isomorphism)o(us)d Fq(')j Fr(:)f Fm(F)k(\000)-7 b(!)17 b Fr(Mor)730 1402 y Fp(C)752 1396 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fm(\000)p Fr(\))17 b(\(bzw.)h Fq(')f Fr(:)g Fm(F)22 b(\000)-7 b(!)17 b Fr(Mor)1284 1402 y Fp(C)1305 1396 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(A)p Fr(\)\))59 1446 y(gibt.)13 b Fq(A)h Fr(hei\031t)g(dann)f(ein)h Fl(darstel)r (lendes)h(Objekt)e Fr(f)866 1448 y(\177)865 1446 y(ur)h Fm(F)t Fr(.)59 1498 y(Sei)21 b Fm(V)26 b Fr(:)d Fm(D)h(\000)-7 b(!)22 b Fr(Me)g(ein)e(V)m(ergi\031funktor.)g(Ein)g(F)m(unktor)h Fm(F)26 b Fr(:)d Fm(C)i(\000)-7 b(!)23 b(D)e Fr(hei\031t)59 1547 y Fl(darstel)r(lb)n(ar)n(er)15 b(F)m(unktor)p Fr(,)h(w)o(enn)h Fm(V)s(F)k Fr(darstellbar)16 b(ist.)g(\(Genauer)h(m)1161 1549 y(\177)1160 1547 y(u\031te)e(man)g(hier)59 1597 y(annehmen,)h(da\031)h(die)g(Morphismenmengen)f(in)h Fm(C)j Fr(Ob)r(jekte)e(in)f Fm(D)h Fr(sind,)f(und)h(da\031)59 1647 y Fm(F)111 1636 y(\030)111 1649 y Fr(=)160 1647 y(Mor)235 1653 y Fp(C)257 1647 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-)o(\))18 b(gilt.)e(Das)h(b)q(en)610 1649 y(\177)610 1647 y(otigt)h(zur)g (genauen)g(Behandlung)g(das)f(Konzept)59 1697 y(einer)c Fl(anger)n(eicherten)g(Kate)n(gorie)621 1699 y Fr(\177)620 1697 y(ub)q(er)g(einer)g Fl(ab)n(geschlossenen)h(monoidalen)g(Kar-)59 1747 y(te)n(gorie)p Fr(.\))64 1827 y Fo(\177)59 1835 y(Ubung)i Fr(2.21)p Fo(.)k Fr(a\))g(Eine)g(nat)537 1837 y(\177)536 1835 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation)f Fq(')j Fr(:)g Fm(F)k(\000)-6 b(!)21 b(G)g Fr(ist)f(genau)59 1885 y(dann)15 b(ein)f(nat)292 1887 y(\177)291 1885 y(urlic)o(her)i (Isomorphism)o(us,)11 b(w)o(enn)16 b Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))f(f)968 1887 y(\177)967 1885 y(ur)g(alle)f Fq(A)f Fm(2)f Fr(Ob)c Fm(C)17 b Fr(ein)d(Iso-)59 1935 y(morphism)o(us)d(ist.) 59 1987 y(b\))j(Der)g(freie)h(V)m(ektorraum)d Ff(K)q Fq(X)598 1989 y Fr(\177)597 1987 y(ub)q(er)j(der)f(Menge)h Fq(X)j Fr(stellt)c(den)g(F)m(unktor)525 2073 y(Abb\()p Fq(X)q(;)7 b Fr(-\))12 b(:)f(V)m(ek)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Me)p eop %%Page: 16 21 16 20 bop 59 117 a Ft(16)366 b(I)q(I.)15 b(KA)m(TEGORIEN,)h(FUNKTOREN) 59 225 y Fr(dar.)d(Dazu)h(m)289 227 y(\177)288 225 y(ussen)g(wir)g (einen)g(nat)639 227 y(\177)638 225 y(urlic)o(hen)g(Isomorphism)o(us) 464 300 y Fq(')e Fr(:)f(Abb\()p Fq(X)q(;)c Fr(-\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Hom)o(\()p Ff(K)p Fq(X)r(;)c Fr(-)r(\))59 374 y(angeb)q(en.)18 b(F)265 376 y(\177)264 374 y(ur)h(einen)f(V)m(ektorraum)f Fq(V)28 b Fr(und)18 b(eine)g(Abbildung)g Fq(f)23 b Fr(:)18 b Fq(X)k Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(V)27 b Fr(sei)59 424 y Fq(g)13 b Fr(=)f Fq(')p Fr(\()p Fq(V)d Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))k(:)e Ff(K)q Fq(X)18 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(V)22 b Fr(de\014niert)13 b(als)f(F)m (ortsetzung)h(der)g(Abbildung)e Fq(f)17 b Fr(v)o(on)12 b(der)59 474 y(Basis)18 b Fq(X)i Fr(auf)d(den)h(gesam)o(ten)e(V)m (ektorraum)g Ff(K)q Fq(X)s Fr(,)k(also)d(durc)o(h)h(das)f(k)o(omm)n (utativ)o(e)59 524 y(Diagramm)636 581 y Fq(X)116 b Ff(K)p Fq(X)p 686 567 88 2 v 732 566 a Fk(-)724 558 y Fn(\023)804 747 y Fq(V)693 657 y Fn(f)684 637 y Fk(@)726 679 y(@)751 703 y(@)-42 b(R)p 820 703 2 108 v 28 w(?)838 653 y Fn(g)59 795 y Fr(Zeigen)15 b(Sie,)e(da\031)g(dadurc)o(h)i(ein)f(nat)636 797 y(\177)635 795 y(urlic)o(her)g(Isomorphism)o(us)d(de\014niert)k (ist.)59 869 y Fo(Beispiel)h Fr(2.22)p Fo(.)j Fr(\(1\))14 b(Das)g(T)m(ensorpro)q(dukt)h Fq(U)f Fm(\012)9 b Fq(V)24 b Fr(stellt)14 b(den)g(F)m(unktor)379 944 y(Hom)o(\()p Fq(U;)7 b Fr(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)g Fr(-\)\))12 b(:)f(V)m(ek)c Fm(\002)g Fr(V)m(ek)12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(V)m(ek)59 1019 y(dar.)e(Wir)g(m)257 1021 y(\177)256 1019 y(ussen)h(Isomorphismen) e Fq(')p Fr(\()p Fq(W)e Fr(\))11 b(:)h(Hom)n(\()p Fq(U;)7 b Fr(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)g(W)f Fr(\)\))12 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Hom)n(\()p Fq(U)5 b Fm(\012)59 1069 y Fq(V)r(;)i(W)f Fr(\))k(angeb)q(en,)h(die)f(einen)h(nat)575 1071 y(\177)574 1069 y(urlic)o(hen)f(Isomorphism)o(us)e(de\014nieren)k(\(vgl.)d(1.4)g (d\)\).)59 1118 y(Wir)43 b(de\014nieren)i(daher)e Fq(')p Fr(\()p Fq(W)6 b Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(u)31 b Fm(\012)e Fq(v)q Fr(\))61 b(:=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(u)p Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\))45 b(f)1223 1120 y(\177)1222 1118 y(ur)e Fq(f)66 b Fm(2)59 1168 y Fr(Hom)o(\()p Fq(U;)7 b Fr(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)g(W)f Fr(\)\).)20 b(Da)g(der)i(Ausdruc)o(k)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(u)p Fr(\)\()p Fq(v)q Fr(\))i(in)d(den)h(b)q(eiden)g (V)m(ariablen)59 1218 y Fq(u)15 b Fr(und)f Fq(v)j Fr(bilinear)d(ist,)g (gibt)g(es)i(einen)f(eindeutig)f(b)q(estimm)o(ten)g(Homom)o(orphism)n (us)59 1268 y Fq(')p Fr(\()p Fq(W)6 b Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\),)12 b(der)f(die)f(Gleic)o(h)o(ung)g(erf)613 1270 y(\177)612 1268 y(ullt.)g(Ist)h(umgek)o(ehrt)f Fq(g)j Fr(:)e Fq(U)c Fm(\012)s Fq(V)21 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(W)17 b Fr(gegeb)q(en,)59 1318 y(so)12 b(de\014nieren)h(wir)e Fq(')p Fr(\()p Fq(W)6 b Fr(\))468 1303 y Fp(\000)p Fi(1)513 1318 y Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))12 b(:)f(Hom)o(\()p Fq(U)f Fm(\012)5 b Fq(V)r(;)i(W)f Fr(\))12 b Fm(3)f Fq(g)i Fm(7!)e Fr(\()p Fq(u)g Fm(7!)g Fr(\()p Fq(v)i Fm(7!)e Fq(g)q Fr(\()p Fq(u;)c(v)q Fr(\)\)\))13 b Fm(2)59 1368 y Fr(Hom)o(\()p Fq(U;)7 b Fr(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)g(W)f Fr(\)\).)16 b(Man)g(rec)o(hnet)h (nac)o(h,)f(da\031)g(alle)f(Abbildungen)h(linear)f(sind)59 1417 y(und)e(da\031)g Fq(')g Fr(ein)g(nat)386 1419 y(\177)385 1417 y(urlic)o(her)g(Isomorphism)o(us)e(ist.)h(T)m(ats)967 1419 y(\177)967 1417 y(ac)o(hlic)o(h)g(k)n(ann)h(man)e(zeigen,)59 1467 y(da\031)16 b(die)h(Isomorphismen)d Fq(')p Fr(\()p Fq(W)6 b Fr(\))17 b(:)e(Hom)o(\()p Fq(U;)7 b Fr(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)g(W)f Fr(\)\))16 b Fm(\000)-6 b(!)15 b Fr(Hom)o(\()p Fq(U)h Fm(\012)11 b Fq(V)r(;)c(W)f Fr(\))59 1517 y(nat)120 1519 y(\177)119 1517 y(urlic)o(h)14 b(in)f Fq(U;)7 b(V)r(;)g(W)20 b Fr(sind.)59 1567 y(\(2\))15 b(Sei)h(Bil)d(:)h(V)m(ek)7 b Fm(\002)g Fr(V)m(ek)g Fm(\002)g Fr(V)m(ek)14 b Fm(\000)-6 b(!)13 b Fr(V)m(ek)j(de\014niert)g(durc)o(h)g(Bil)o(\()p Fq(U;)7 b(V)j Fr(;)d Fq(W)f Fr(\))13 b(:=)h Fm(f)p Fq(f)19 b Fr(:)59 1617 y Fq(U)14 b Fm(\002)c Fq(V)22 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(W)6 b Fm(j)p Fq(f)18 b Fr(bilineare)c(Abbildung)f Fm(g)p Fr(.)g(Die)h(folgende)g(Abbildung)g(ist)g(ein)g(Iso-)59 1666 y(morphism)o(us:)187 1741 y(\010)d(:)g(Bil\()p Fq(U;)c(V)i Fr(;)e Fq(W)f Fr(\))11 b Fm(3)g Fq(f)17 b Fm(7!)11 b Fr(\()p Fq(u)g Fm(7!)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(u;)c Fr(-\)\))12 b Fm(2)f Fr(Hom)o(\()p Fq(U;)c Fr(Hom)n(\()p Fq(V)r(;)g(W)f Fr(\)\))p Fq(:)59 1816 y Fr(Dieser)13 b(Isomorphism)o(us)c(ist)j(in)f (allen)g(V)m(ariablen)g Fq(U;)c(V)r(;)g(W)17 b Fr(nat)1059 1818 y(\177)1058 1816 y(urlic)o(h.)11 b(Insb)q(esondere)59 1866 y(ist)j(nac)o(h)g(T)m(eil)f(\(1\))h(Bil)o(\()p Fq(U;)7 b(V)i Fr(;)e Fq(W)f Fr(\))14 b(als)f(F)m(unktor)h(in)f Fq(W)20 b Fr(darstellbar)14 b(durc)o(h)h Fq(U)f Fm(\012)9 b Fq(V)h Fr(.)p eop %%Page: 17 22 17 21 bop 609 682 a Fr(KAPITEL)21 b(I)q(I)q(I)152 781 y Fv(Adjungierte)d(F)-5 b(unktoren)19 b(und)g(das)g(Y)-5 b(oneda)19 b(Lemma)59 969 y Fr(Das)13 b(Y)m(oneda-Lemma)c(ist)k(ein)f (zen)o(trales)i(Hilfmittel)c(f)930 971 y(\177)929 969 y(ur)j(genauere)h(Aussagen)1336 971 y(\177)1335 969 y(ub)q(er)59 1019 y(darstellbare)i(F)m(unktoren.)f(Wir)g(zeigen)h(mit)e(einigen)h (Beispielen,)h(da\031)f(solc)o(he)g(dar-)59 1069 y(stellbaren)g(F)m (unktoren)f(sehr)h(h)560 1071 y(\177)560 1069 y(au\014g)e(auftreten.)59 1156 y Fo(Lemma)k Fr(3.1)p Fo(.)j Fl(Der)d(F)m(unktor)h Fq(G)578 1162 y Fn(a)614 1156 y Fr(:)d Ff(K)q Fl(-)9 b Fr(Alg)17 b Fm(\000)-7 b(!)16 b Fr(Ab)h Fl(mit)g Fq(G)1041 1162 y Fn(a)1061 1156 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(:=)f Fq(A)1232 1141 y Fi(+)1259 1156 y Fl(,)i(die)f(ad-)59 1206 y(ditive)j(Grupp)n(e)g (der)f(A)o(lgebr)n(a)g Fq(A)p Fl(,)h(ist)f(darstel)r(lb)n(ar)g(dur)n (ch)h(die)g(A)o(lgebr)n(a)f Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fl(,)j(den)59 1255 y(Polynomring)15 b(in)g(einer)g(V)m(ariablen)f Fq(x)p Fl(.)109 1342 y Fo(Beweis.)20 b Fq(G)320 1348 y Fn(a)358 1342 y Fr(ist)d(ein)g(V)m(ergi\031funktor,)g(der)h(die)f(m)o (ultiplik)m(ativ)o(e)d(Struktur)19 b(v)o(on)59 1392 y(Algebren)14 b(v)o(ergi\031t)e(und)h(lediglic)o(h)f(die)h(additiv)o(e)f(Grupp)q(e)i (der)f(Algebra)g(ergibt.)g(Wir)59 1442 y(m)96 1444 y(\177)95 1442 y(ussen)i(in)g Fq(A)g Fr(nat)363 1444 y(\177)362 1442 y(urlic)o(he)h(Isomorphismen)d Fq(G)821 1448 y Fn(a)840 1442 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))918 1431 y Fm(\030)918 1444 y Fr(=)964 1442 y Ff(K)p Fr(-)d(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))17 b(angeb)q(en.)59 1492 y(Jedem)e(Elemen)o(t)g Fq(a)f Fm(2)g Fq(A)464 1477 y Fi(+)507 1492 y Fr(ordenen)i(wir)f(zu)h(den)g(Homomo)o(rphism)n(us)d Fq(a)1238 1498 y Fp(\003)1271 1492 y Fr(:)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])i Fm(3)59 1541 y Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))g Fm(7!)g Fq(p)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))g Fm(2)g Fq(A)p Fr(.)g(Das)g(ist)h (ein)g(Algebren)g(Homomorphism)m(us,)d(w)o(eil)i Fq(a)1262 1547 y Fp(\003)1281 1541 y Fr(\()p Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))11 b(+)59 1591 y Fq(q)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))k(=)g Fq(p)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))c(+)g Fq(q)q Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))k(=)g Fq(a)500 1597 y Fp(\003)519 1591 y Fr(\()p Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))c(+)g Fq(a)704 1597 y Fp(\003)723 1591 y Fr(\()p Fq(q)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))16 b(und)g Fq(a)954 1597 y Fp(\003)973 1591 y Fr(\()p Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(q)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))g(=)f Fq(p)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(q)q Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))g(=)59 1641 y Fq(a)81 1647 y Fp(\003)100 1641 y Fr(\()p Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))p Fq(a)231 1647 y Fp(\003)250 1641 y Fr(\()p Fq(q)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))k(o)q(der)g(w)o(eil)f Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])i(freie)f(\(k)o(omm)n(utativ)o(e\))d Ff(K)p Fr(-Algebra)1253 1643 y(\177)1252 1641 y(ub)q(er)j Fm(f)p Fq(x)p Fm(g)59 1691 y Fr(ist,)d(d.h.)f(w)o(eil)h(sic)o(h)g(jede) h(Abbildung)e Fm(f)p Fq(x)p Fm(g)g(\000)-7 b(!)15 b Fq(A)i Fr(eindeutig)f(zu)g(einem)g(Algebren)59 1741 y(Homomorphism)m(us)10 b Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)i Fr(fortsetzen)h(l)811 1743 y(\177)811 1741 y(a\031t.)d(Die)h(Abbildung) g Fq(A)f Fm(3)h Fq(a)f Fm(7!)g Fq(a)1359 1747 y Fp(\003)1390 1741 y Fm(2)59 1791 y Ff(K)p Fr(-)f(Alg\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))17 b(ist)e(umk)o(ehrbar)g(mit)f(der)i (Umk)o(ehrung)f Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))16 b Fm(3)f Fq(f)k Fm(7!)59 1840 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))12 b Fm(2)g Fq(A)p Fr(.)h(Sc)o(hlie\031lic)o(h)g(ist)h(sie)g(nat)629 1842 y(\177)628 1840 y(urlic)o(h)g(in)f Fq(A)p Fr(,)h(w)o(eil)557 1918 y Fq(A)177 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))p 600 1908 153 2 v 711 1907 a Fk(-)661 1895 y Fr(-)675 1899 y Fe(\003)p 571 2044 2 108 v 572 2044 a Fk(?)538 1994 y Fn(g)p 903 2044 V 904 2044 a Fk(?)921 1998 y Fc(K)-12 b Fr(-)s Fi(Alg\()p Fc(K)g Fp(d)p Fn(x)p Fp(e)p Fn(;g)q Fi(\))555 2084 y Fq(B)178 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(B)r Fr(\))p 601 2074 151 2 v 710 2073 a Fk(-)661 2099 y Fr(-)675 2103 y Fe(\003)721 2173 y Ft(17)p eop %%Page: 18 23 18 22 bop 59 117 a Ft(18)103 b(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i (FUNKTOREN)i(UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)59 225 y Fr(f)73 227 y(\177)72 225 y(ur)d(alle)f Fq(g)g Fm(2)e Ff(K)p Fr(-)f(Alg\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))14 b(k)o(omm)o(utiert.)p 784 202 29 2 v 784 227 2 25 v 810 227 V 784 229 29 2 v 59 305 a Fo(Bemerkung)j Fr(3.2)p Fo(.)j Fr(Da)10 b Fq(A)494 290 y Fi(+)533 305 y Fr(die)h(Struktur)h(einer)f(additiv)o(en) f(Grupp)q(e)i(tr)1222 307 y(\177)1222 305 y(agt,)e(ist)h(das)59 355 y(auc)o(h)j(f)171 357 y(\177)170 355 y(ur)g Ff(K)p Fr(-)c(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))16 b(der)e(F)m(all.)59 435 y Fo(Lemma)j Fr(3.3)p Fo(.)j Fl(Der)f(F)m(unktor)g Fq(G)581 441 y Fn(m)631 435 y Fr(=)h Fq(U)j Fr(:)c Ff(K)p Fl(-)10 b Fr(Alg)19 b Fm(\000)-6 b(!)18 b Fr(Gr)h Fl(mit)g Fq(U)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fl(,)19 b(die)g(mul-)59 485 y(tiplikative)g(Grupp)n(e)h (der)g(Einheiten)g(der)g(A)o(lgebr)n(a)f Fq(A)p Fl(,)h(ist)f(darstel)r (lb)n(ar)g(dur)n(ch)h(die)59 534 y(A)o(lgebr)n(a)e Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)7 b(x)320 519 y Fp(\000)p Fi(1)366 534 y Fr(])17 b(=)h Ff(K)q Fr([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)15 b Fm(\000)d Fr(1\))p Fl(,)18 b(den)h(R)o(ing)f(der)g (L)n(aur)n(ent-Polynome)h(in)59 584 y(einer)c(V)m(ariablen)f Fq(x)p Fl(.)109 666 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)14 b(m)409 668 y(\177)408 666 y(ussen)f(in)h Fq(A)g Fr(nat)672 668 y(\177)671 666 y(urlic)o(he)g(Isomorphismen)464 746 y Fq(G)497 752 y Fn(m)529 746 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))603 734 y Fm(\030)603 748 y Fr(=)647 746 y Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x;)e(x)889 728 y Fp(\000)p Fi(1)935 746 y Fr(])p Fq(;)g(A)p Fr(\))59 825 y(angeb)q(en.)21 b(Jedem)f(Elemen)o(t)f Fq(a)j Fm(2)g Fq(G)672 831 y Fn(m)703 825 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))f(ordenen)g(wir)f(den)h(Algebren)g(Homo-)59 875 y(morphism)o(us)c Fq(a)319 881 y Fp(\003)359 875 y Fr(:=)k Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)7 b(x)532 859 y Fp(\000)p Fi(1)578 875 y Fr(])21 b Fm(3)f Fq(x)h Fm(7!)f Fq(a)h Fm(2)g Fq(A)e Fr(zu.)h(Damit)d(ist)j(ein)f(eindeutig)59 924 y(b)q(estimm)o(ter)13 b(Algebren)h(Homomorphism)n(us)d (de\014niert,)j(denn)h(jeder)g(Algebren)g(Ho-)59 974 y(momorphism)m(us)9 b Fq(f)16 b Fr(v)o(on)10 b Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)d(x)563 959 y Fp(\000)p Fi(1)609 974 y Fr(])k(=)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)e Fm(\000)s Fr(1\))14 b(in)c Fq(A)h Fr(ist)g(v)o(ollst)1205 976 y(\177)1205 974 y(andig)f(durc)o(h)59 1024 y(die)17 b(Bilder)g(v)o(on)g Fq(x)f Fr(und)h(v)o(on)g Fq(y)i Fr(b)q(estimm)o(t,) 14 b(ab)q(er)k(f)895 1026 y(\177)894 1024 y(ur)e(die)h(Bilder)h(m)o (u\031)d(zus)1298 1026 y(\177)1298 1024 y(atzlic)o(h)59 1074 y(gelten)h Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(f)t Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))h(=)d(1,)h(d.h.)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))i(m)o(u\031)e(in)o(v)o(ertierbar)i(sein)g(und)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))j(das)d(In)o(v)o(erse)59 1124 y(zu)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\).)h(Die)e(Zuordn)o(ung)h(ist)g (bijektiv.)f(Au\031erdem)g(ist)h(sie)g(nat)1106 1126 y(\177)1105 1124 y(urlic)o(h)g(in)f Fq(A)p Fr(,)h(w)o(eil)557 1199 y Fq(A)134 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)d(x)963 1184 y Fp(\000)p Fi(1)1009 1199 y Fr(])p Fq(;)g(A)p Fr(\))p 600 1188 110 2 v 668 1187 a Fk(-)639 1175 y Fr(-)653 1179 y Fe(\003)p 571 1324 2 108 v 572 1324 a Fk(?)538 1273 y Fn(g)p 903 1324 V 904 1324 a Fk(?)921 1279 y Fc(K)-12 b Fr(-)s Fi(Alg\()p Fc(K)g Fp(d)p Fn(x;x)1115 1267 y Fe(\000)p Fb(1)1151 1279 y Fp(e)p Fn(;g)q Fi(\))555 1365 y Fq(B)135 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)d(x)962 1349 y Fp(\000)p Fi(1)1008 1365 y Fr(])p Fq(;)g(B)r Fr(\))p 601 1354 108 2 v 667 1353 a Fk(-)639 1379 y Fr(-)653 1383 y Fe(\003)59 1433 y Fr(f)73 1435 y(\177)72 1433 y(ur)14 b(alle)f Fq(g)g Fm(2)e Ff(K)p Fr(-)f(Alg\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))14 b(k)o(omm)o(utiert.)p 784 1410 29 2 v 784 1435 2 25 v 810 1435 V 784 1437 29 2 v 59 1513 a Fo(Bemerkung)j Fr(3.4)p Fo(.)j Fr(Da)9 b Fq(U)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k(die)g(Struktur)i(einer)f(m)o(ultipli)o (k)n(ati)o(v)o(en)d(Grupp)q(e)j(tr)1352 1515 y(\177)1352 1513 y(agt,)59 1563 y(ist)k(das)g(auc)o(h)g(f)303 1565 y(\177)302 1563 y(ur)g Ff(K)p Fr(-)c(Alg\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)d(x)596 1547 y Fp(\000)p Fi(1)642 1563 y Fr(])p Fq(;)g(A)p Fr(\))13 b(der)i(F)m(all.)59 1642 y Fo(Lemma)i Fr(3.5)p Fo(.)j Fl(Der)15 b(F)m(unktor)h Fq(M)581 1648 y Fn(n)616 1642 y Fr(:)c Ff(K)q Fl(-)d Fr(Alg)k Fm(\000)-7 b(!)13 b Ff(K)p Fl(-)d Fr(Alg)15 b Fl(mit)g Fq(M)1100 1648 y Fn(n)1123 1642 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fl(,)h(die)f(A)o(lgebr)n (a)59 1692 y(der)k Fq(n)11 b Fm(\002)i Fq(n)p Fl(-Matrizen)437 1694 y(\177)437 1692 y(ub)n(er)19 b(der)f(A)o(lgebr)n(a)g Fq(A)p Fl(,)h(ist)f(darstel)r(lb)n(ar)f(dur)n(ch)i(die)g(A)o(lgebr)n(a) 59 1742 y Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)128 1748 y Fi(11)166 1742 y Fq(;)7 b(x)209 1748 y Fi(12)244 1742 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(x)367 1748 y Fn(nn)410 1742 y Fm(i)p Fl(,)18 b(den)h(nicht-kommutativen)g (Polynomring)g(in)f(den)h(V)m(aria-)59 1792 y(blen)c Fq(x)170 1798 y Fn(ij)199 1792 y Fl(.)109 1874 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Der)e(P)o(olynomring)d Fq(k)q Fm(h)p Fq(x)683 1880 y Fn(ij)712 1874 y Fm(i)j Fr(ist)g(frei)885 1876 y(\177)884 1874 y(ub)q(er)h(der)f(Menge)g Fm(f)p Fq(x)1240 1880 y Fn(ij)1269 1874 y Fm(g)f Fr(in)h(der)59 1924 y(Kategorie)13 b(der)g(\(nic)o(h)o(t-k)o(omm)o(utativ)n(en\))e(Algebren,)h(d.h.)g(zu)h (jeder)h(Algebra)e Fq(A)h Fr(und)59 1974 y(zu)k(jeder)h(Abbildung)e Fq(f)22 b Fr(:)16 b Fm(f)p Fq(x)545 1980 y Fn(ij)574 1974 y Fm(g)g(\000)-7 b(!)16 b Fq(A)h Fr(gibt)g(es)g(genau)g(einen)h (Algebren)f(Homo-)59 2023 y(morphism)o(us)59 2073 y Fq(g)c Fr(:)e Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)184 2079 y Fi(11)222 2073 y Fq(;)c(x)265 2079 y Fi(12)300 2073 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(x)423 2079 y Fn(nn)466 2073 y Fm(i)k(\000)-6 b(!)11 b Fq(A)p Fr(,)i(so)h(da\031)g(das)g(Diagramm)p eop %%Page: 19 24 19 23 bop 198 117 a Ft(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i(FUNKTOREN)i (UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)104 b(19)525 193 y Fm(f)p Fq(x)570 199 y Fn(ij)599 193 y Fm(g)225 b Ff(K)q Fm(h)p Fq(x)915 199 y Fn(ij)947 193 y Fm(i)p 632 184 202 2 v 792 183 a Fk(-)726 175 y Fn(\023)889 364 y Fq(A)692 274 y Fn(f)630 233 y Fk(H)672 254 y(H)713 275 y(H)755 296 y(H)796 316 y(H)805 320 y(H)-42 b(j)p 903 320 2 108 v 57 w(?)921 270 y Fn(g)59 436 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)13 b(Jede)k(Matrix)e(aus)h Fq(M)650 442 y Fn(n)673 436 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(de\014niert)g(dann)g(genau)g(einen)g(Algebren)59 486 y(Homomorphism)m(us)c Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)468 492 y Fi(11)506 486 y Fq(;)7 b(x)549 492 y Fi(12)583 486 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)707 492 y Fn(nn)749 486 y Fm(i)12 b(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)j Fr(und)g(umgek)o(ehrt.)p 1228 463 29 2 v 1228 488 2 25 v 1255 488 V 1228 490 29 2 v 59 572 a Fo(Sa)m(tz)i Fr(3.6)p Fo(.)k Fl(\(Y)m(one)n(da)i(L)n (emma\))e(Sei)h Fm(C)i Fl(eine)e(Kate)n(gorie.)f(Seien)i(ein)f (kovarianter)59 622 y(F)m(unktor)12 b Fm(F)j Fr(:)c Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b Fr(Me)h Fl(und)h(ein)e(Objekt)g Fq(A)h Fm(2)f(C)j Fl(ge)n(geb)n(en.)e(Dann)h(ist)e(die)g(A)o(bbildung)306 707 y Fq(\034)16 b Fr(:)11 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Fi(1)570 1102 y Fr(ist)g(nac)o(hzupr)791 1104 y(\177)790 1102 y(ufen,)g(da\031)g Fq(h)992 1087 y Fn(a)1024 1102 y Fr(eine)g(nat)1168 1104 y(\177)1167 1102 y(urlic)o(he)h(T)m (rans-)59 1152 y(formation)e(ist.)j(Sei)g(dazu)g Fq(f)i Fr(:)11 b Fq(B)j Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)16 b Fr(in)e Fm(C)i Fr(gegeb)q(en.)e(Dann)g(ist)g(das)g(Diagramm)383 1231 y(Mor)458 1237 y Fp(C)480 1231 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))287 b(Mor)957 1237 y Fp(C)978 1231 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(C)s Fr(\))p 608 1221 262 2 v 828 1220 a Fk(-)668 1205 y Fi(Mor\()p Fn(A;f)s Fi(\))p 488 1357 2 108 v 489 1357 a Fk(?)383 1311 y Fn(h)402 1298 y Fj(a)420 1311 y Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))p 986 1357 V 987 1357 a Fk(?)1004 1311 y Fn(h)1023 1298 y Fj(a)1041 1311 y Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))439 1397 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))400 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p 551 1387 374 2 v 884 1386 a Fk(-)702 1416 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))59 1473 y Fr(k)o(omm)o(utati)o(v,)7 b(denn)k(f)412 1475 y(\177)411 1473 y(ur)f Fq(g)j Fm(2)e Fr(Mor)607 1479 y Fp(C)629 1473 y Fr(\()p Fq(A;)c(B)r Fr(\))k(ist)f Fq(h)833 1458 y Fn(a)853 1473 y Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)Mor)993 1479 y Fp(C)1014 1473 y Fr(\()p Fq(A;)d(f)t Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))13 b(=)f Fq(h)1254 1458 y Fn(a)1274 1473 y Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\()p Fq(f)t(g)q Fr(\))59 1523 y(=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\)\()p Fq(a)p Fr(\))h(=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\)\()p Fq(a)p Fr(\))h(=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(h)727 1508 y Fn(a)748 1523 y Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(a)p Fr(\).)i(Damit)e(ist)i Fq(\034)1103 1508 y Fp(\000)p Fi(1)1161 1523 y Fr(w)o(ohlde\014niert.)59 1574 y(Sei)20 b Fq(\034)155 1559 y Fp(\000)p Fi(1)199 1574 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))i(=)f Fq(h)352 1559 y Fn(a)372 1574 y Fr(.)f(Dann)f(ist)h Fq(\034)5 b(\034)632 1559 y Fp(\000)p Fi(1)676 1574 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))22 b(=)f Fq(h)829 1559 y Fn(a)849 1574 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\(1)949 1580 y Fn(A)977 1574 y Fr(\))g(=)h Fm(F)t Fr(\(1)1139 1580 y Fn(A)1166 1574 y Fr(\)\()p Fq(a)p Fr(\))f(=)h Fq(a)p Fr(.)d(Sei)59 1624 y Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq(')p Fr(\))14 b(=)f Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\(1)327 1630 y Fn(A)354 1624 y Fr(\))h(=)f Fq(a)p Fr(.)i(Dann)f(ist)h Fq(\034)673 1609 y Fp(\000)p Fi(1)717 1624 y Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq(')p Fr(\))14 b(=)f Fq(h)882 1609 y Fn(a)917 1624 y Fr(und)i Fq(h)1025 1609 y Fn(a)1045 1624 y Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))g(=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(a)p Fr(\))g(=)59 1674 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\(1)292 1680 y Fn(A)321 1674 y Fr(\)\))e(=)f Fq(')p Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)Mor)576 1680 y Fp(C)598 1674 y Fr(\()p Fq(A;)c(f)t Fr(\)\(1)741 1680 y Fn(A)769 1674 y Fr(\))k(=)h Fq(')p Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\),)k(also)d Fq(h)1123 1659 y Fn(a)1154 1674 y Fr(=)f Fq(')p Fr(.)p 1278 1651 29 2 v 1278 1676 2 25 v 1305 1676 V 1278 1678 29 2 v 59 1760 a Fo(Bemerkung)17 b Fr(3.7)p Fo(.)j Fr(Die)f(Abbildung)f Fq(\034)23 b Fr(ist)c(eine)g(nat)945 1762 y(\177)944 1760 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)e(in)59 1810 y(den)f(Argumen)o (ten)f Fq(A)h Fr(und)f Fm(F)t Fr(.)g(Genauer:)h(W)m(enn)f Fq(f)k Fr(:)14 b Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(B)18 b Fr(und)e Fq(')e Fr(:)g Fm(F)k(\000)-7 b(!)14 b(G)59 1860 y Fr(gegeb)q(en)h(sind,)e(dann)h(k)o(omm)o(uti)o(eren)358 1918 y(Nat\(Mor)517 1924 y Fp(C)539 1918 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-\))p Fq(;)g Fm(F)t Fr(\))193 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p 715 1908 170 2 v 843 1907 a Fk(-)791 1899 y Fn(\034)p 530 2044 2 108 v 531 2044 a Fk(?)269 1998 y Fi(Nat)o(\(Mor)o(\()p Fn(A;)p Fr(-)p Fi(\))p Fn(;')p Fi(\))p 945 2044 V 946 2044 a Fk(?)962 1998 y Fn(')p Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))362 2084 y Fr(Nat\(Mor)521 2090 y Fp(C)542 2084 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-\))p Fq(;)g Fm(G)r Fr(\))200 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p 712 2074 176 2 v 846 2073 a Fk(-)791 2094 y Fn(\034)p eop %%Page: 20 25 20 24 bop 59 117 a Ft(20)103 b(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i (FUNKTOREN)i(UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)358 194 y Fr(Nat\(Mor)517 200 y Fp(C)539 194 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-\))p Fq(;)g Fm(F)t 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Fr(\)\(1)1293 562 y Fn(A)1322 556 y Fr(\))138 606 y(=)h Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq( )q Fr(\))59 696 y(und)144 777 y Fq(\034)12 b Fr(Nat\(Mor)333 783 y Fp(C)355 777 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b Fr(-)o(\))p Fq(;)g Fm(F)t Fr(\)\()p Fq( )q Fr(\))13 b(=)e Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq( )q Fr(Mor)769 783 y Fp(C)790 777 y Fr(\()p Fq(f)r(;)i Fr(-\))12 b(=)g(\()p Fq( )q Fr(Mor)1053 783 y Fp(C)1074 777 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b Fr(-\)\()p Fq(B)r Fr(\)\(1)1263 783 y Fn(B)1293 777 y Fr(\))144 827 y(=)12 b Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))i(=)e Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)Mor)564 833 y Fp(C)586 827 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(f)t Fr(\)\(1)729 833 y Fn(A)756 827 y Fr(\))12 b(=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq( )q Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\(1)1046 833 y Fn(A)1075 827 y Fr(\))f(=)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq( )q Fr(\))p Fq(:)59 920 y Fo(F)o(olger)o(ung)16 b Fr(3.8)p Fo(.)k Fl(Seien)c Fq(A;)7 b(B)13 b Fm(2)f(C)r Fl(.)i(Dann)j(gelten)59 972 y(1\))j Fr(Mor)192 978 y Fp(C)213 972 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))20 b Fm(3)g Fq(f)k Fm(7!)19 b Fr(Mor)576 978 y Fp(C)598 972 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b Fl(-)p Fr(\))20 b Fm(2)f Fr(Nat\(Mor)912 978 y Fp(C)934 972 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b Fl(-)p Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)1126 978 y Fp(C)1148 972 y Fr(\()p Fq(A;)g Fl(-)p Fr(\)\))19 b Fl(ist)g(eine)59 1022 y(bijektive)14 b(A)o(bbildung.)59 1075 y(2\))h(Bei)f(der)h(bijektiven)f(A)o(bbildung)h (aus)g(1\))g(entspr)n(e)n(chen)g(den)g(Isomorphismen)g(aus)59 1125 y Fr(Mor)134 1131 y Fp(C)156 1125 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))15 b Fl(genau)h(die)f(nat)532 1127 y(\177)532 1125 y(urlichen)g(Isomorphismen)g(in)478 1216 y Fr(Nat)q(\(Mor)638 1222 y Fp(C)659 1216 y Fr(\()p Fq(B)r(;)7 b Fl(-)p Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)852 1222 y Fp(C)873 1216 y Fr(\()p Fq(A;)g Fl(-)p Fr(\)\))p Fq(:)59 1311 y Fl(3\))18 b(F)142 1313 y(\177)142 1311 y(ur)g(kontr)n(avariante)g(F)m(unktor)n(en)h Fm(F)i Fr(:)c Fm(C)i(\000)-6 b(!)17 b Fr(Me)h Fl(ist)g Fr(Nat\(Mor)1181 1317 y Fp(C)1202 1311 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b(A)p Fr(\))p Fq(;)g Fm(F)t Fr(\))1385 1300 y Fm(\030)1385 1313 y Fr(=)59 1361 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fl(.)59 1413 y(4\))19 b Fr(Mor)191 1419 y Fp(C)213 1413 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))20 b Fm(3)f Fq(f)24 b Fm(7!)19 b Fr(Mor)575 1419 y Fp(C)597 1413 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b(f)t Fr(\))19 b Fm(2)g Fr(Nat\(Mor)913 1419 y Fp(C)934 1413 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b(A)p Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)1124 1419 y Fp(C)1146 1413 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g(B)r Fr(\)\))19 b Fl(ist)g(eine)59 1463 y(bijektive)d(A)o (bbildung,)g(b)n(ei)f(der)h(die)g(Isomorphismen)h(aus)f Fr(Mor)1080 1469 y Fp(C)1101 1463 y Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r Fr(\))17 b Fl(genau)g(den)59 1513 y(nat)117 1515 y(\177)117 1513 y(urlichen)e(Isomorphismen)g(aus)h Fr(Nat\(Mor)803 1519 y Fp(C)824 1513 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b(A)p Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)1015 1519 y Fp(C)1036 1513 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g(B)r Fr(\)\))15 b Fl(entspr)n(e)n(chen.)109 1616 y Fo(Beweis.)20 b Fr(1\))14 b(folgt)f(aus)h(dem)f(Y)m(oneda)g(Lemma)f (mit)g Fm(F)j Fr(=)d(Mor)1134 1622 y Fp(C)1156 1616 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-)o(\).)59 1669 y(2\))36 b(Da)f(Mor)295 1675 y Fp(C)316 1669 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b Fr(-\)Mor)478 1675 y Fp(C)500 1669 y Fr(\()p Fq(g)q(;)g Fr(-\))47 b(=)h(Mor)789 1675 y Fp(C)810 1669 y Fr(\()p Fq(g)q(f)r(;)7 b Fr(-\))36 b(gilt)f(und)g(da)h(Mor)1309 1675 y Fp(C)1330 1669 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b Fr(-\))59 1719 y(=)20 b(id)146 1726 y Fi(Mor)205 1730 y Fe(C)224 1726 y Fi(\()p Fn(A;)p Fr(-)p Fi(\))320 1719 y Fr(genau)f(dann,)f(w)o(enn)h Fq(f)25 b Fr(=)20 b(1)795 1725 y Fn(A)822 1719 y Fr(,)e(ergibt)h(sic)o(h)g(nac) o(h)g(1\))g(die)g(Zuord-)59 1769 y(n)o(ung)14 b(der)g(Isomorphismen)e (zueinander.)59 1821 y(3\))i(und)g(4\))g(folgen)f(durc)o(h)h (Dualisieren.)p 737 1798 29 2 v 737 1823 2 25 v 764 1823 V 737 1825 29 2 v 59 1916 a Fo(Bemerkung)j Fr(3.9)p Fo(.)j Fr(Nac)o(h)f(der)g(v)o(orhergehenden)i(F)m(olgerung)c(ist)i(das)g (darstellen-)59 1966 y(de)f(Ob)r(jekt)h Fq(A)f Fr(durc)o(h)h(die)f (Isomorphieklasse)f(des)i(F)m(unktors)f(Mor)1157 1972 y Fp(C)1178 1966 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Fr(-\))18 b(bis)g(auf)59 2015 y(Isomorphie)h(eindeutig)i(festgelegt.)f(Insb)q(esondere)j(sind)e (die)f(Algebren)h(aus)g(den)59 2065 y(Lemmas)12 b(3.1,)g(3.3)h(und)h (3.5)f(bis)h(auf)f(Isomorphie)g(eindeutig)g(festgelegt.)p eop %%Page: 21 26 21 25 bop 198 117 a Ft(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i(FUNKTOREN)i (UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)104 b(21)64 216 y Fo(\177)59 225 y(Ubung)16 b Fr(3.10)p Fo(.)k Fr(a\))c(Geb)q(en)h(Sie)f(explizit)f (alle)h(nat)861 227 y(\177)860 225 y(urlic)o(hen)g(Endomorphismen)e(v)o (on)59 275 y Fq(G)92 281 y Fn(a)126 275 y Fr(in)f Fq(G)207 281 y Fn(a)241 275 y Fr(an.)59 326 y(b\))h(Geb)q(en)h(Sie)f(alle)f(nat) 447 328 y(\177)446 326 y(urlic)o(hen)h(T)m(ransformationen)e(v)o(on)h Fq(G)1050 332 y Fn(a)1084 326 y Fr(in)g Fq(G)1165 332 y Fn(m)1210 326 y Fr(an.)59 377 y(c\))h(Bestimmen)f(Sie)h(die)g(nat)519 379 y(\177)518 377 y(urlic)o(hen)g(Automorphismen)d(v)o(on)j Fq(G)1114 383 y Fn(m)1145 377 y Fr(.)59 459 y Fo(Sa)m(tz)i Fr(3.11)p Fo(.)k Fl(Sei)14 b Fm(G)g Fr(:)d Fm(C)e(\002)e(D)13 b(\000)-7 b(!)11 b Fr(Me)j Fl(ein)g(kovarianter)g(Bifunktor,)f(so)h (da\031)g(f)1300 461 y(\177)1300 459 y(ur)g(al)r(le)59 509 y Fq(C)19 b Fm(2)d(C)k Fl(der)d(F)m(unktor)h Fm(G)r Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fl(-)o Fr(\))17 b(:)f Fm(D)h(\000)-6 b(!)16 b Fr(Me)i Fl(darstel)r(lb)n(ar)e(ist.)h(Dann)i(existiert)d(ein) 59 559 y(kontr)n(avarianter)e Fm(F)i Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(D)q Fl(,)k(so)g(da\031)h Fm(G)768 548 y(\030)768 561 y Fr(=)812 559 y(Mor)887 565 y Fp(D)916 559 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)7 b Fl(-)o Fr(\))15 b Fl(gilt.)f(Weiterhin)h(ist)f Fm(F)59 609 y Fl(dur)n(ch)h Fm(G)i Fl(bis)e(auf)g(Isomorphie)g (eindeutig)g(festgele)n(gt.)109 695 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Zu)d(jedem)e Fq(C)i Fm(2)e(C)j Fr(w)635 697 y(\177)635 695 y(ahlen)d(wir)h(ein)g(Ob)r(jekt)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))d Fm(2)h(D)i Fr(und)f(einen)59 744 y(Isomorphism)o(us)h Fq(\030)367 750 y Fn(C)415 744 y Fr(:)i Fm(G)r Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fr(-)o(\))588 733 y Fm(\030)588 746 y Fr(=)640 744 y(Mor)715 750 y Fp(D)744 744 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)g Fr(-\).)18 b(W)m(enn)h Fq(f)24 b Fr(:)c Fq(C)j Fm(\000)-7 b(!)19 b Fq(C)1309 729 y Fp(0)1340 744 y Fr(in)f Fm(C)59 794 y Fr(gegeb)q(en)c(ist,)d(dann)i(sei)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))h(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)653 779 y Fp(0)664 794 y Fr(\))h Fm(\000)-6 b(!)11 b(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))h(der)h(nac)o(h)f(dem)g(Y)m(oneda)g(Lemma)59 844 y(eindeutig)i(b)q(estimm)o(te)e(Morphism)o(us)h(in)g Fm(D)q Fr(,)h(mit)e(dem)h(das)h(Diagramm)470 918 y Fm(G)r Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fr(-)o(\))220 b(Mor)887 924 y Fp(D)916 918 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b Fr(-)o(\))p 604 909 196 2 v 758 908 a Fk(-)682 894 y Fn(\030)697 898 y Fj(C)p 530 1045 2 108 v 531 1045 a Fk(?)425 998 y Fp(G)r Fi(\()p Fn(f)q(;)p Fr(-)p Fi(\))p 945 1045 V 946 1045 a Fk(?)962 998 y Fi(Mor\()p Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p Fn(;)p Fr(-)o Fi(\))463 1084 y Fm(G)r Fr(\()p Fq(C)539 1069 y Fp(0)550 1084 y Fq(;)g Fr(-\))207 b(Mor)881 1090 y Fp(D)910 1084 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)1009 1069 y Fp(0)1021 1084 y Fr(\))p Fq(;)7 b Fr(-)o(\))p 611 1075 183 2 v 752 1074 a Fk(-)677 1102 y Fn(\030)692 1110 y Fj(C)714 1104 y Fe(0)59 1156 y Fr(k)o(omm)o(uti)o (ert.)i(W)m(egen)i(der)h(Eindeutigk)o(eit)f(v)o(on)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))j(und)e(der)h(F)m(unktoreigensc)o(haft)59 1206 y(v)o(on)h Fm(G)i Fr(sieh)o(t)e(man)f(sofort,)g(da\031)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\))g(=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))i(und)g Fm(F)t Fr(\(1)1084 1212 y Fn(C)1112 1206 y Fr(\))d(=)h(1)1204 1213 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))1297 1206 y Fr(gelten,)59 1256 y(da\031)h Fm(F)18 b Fr(also)c(ein)f(k)o(on)o(tra)o(v)n(arian)o (ter)g(F)m(unktor)h(ist.)59 1307 y(Ist)j Fm(F)157 1292 y Fp(0)184 1307 y Fr(:)e Fm(C)j(\000)-6 b(!)15 b(D)i Fr(mit)e Fm(G)505 1296 y(\030)505 1309 y Fr(=)553 1307 y(Mor)628 1313 y Fp(D)657 1307 y Fr(\()p Fm(F)707 1292 y Fp(0)719 1307 y Fr(-)o Fq(;)7 b Fr(-\))16 b(gegeb)q(en,)h(so)g(ist)f Fq(')g Fr(:)f(Mor)1228 1313 y Fp(D)1257 1307 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)7 b Fr(-)o(\))1385 1296 y Fm(\030)1385 1309 y Fr(=)59 1357 y(Mor)134 1363 y Fp(D)163 1357 y Fr(\()p Fm(F)213 1342 y Fp(0)225 1357 y Fr(-)p Fq(;)g Fr(-)o(\).)12 b(Also)h(gibt)f(es)h(nac)o(h)g(dem)f(Y)m(oneda)g(Lemma)e (Isomorphismen)h Fq( )q Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))h(:)59 1407 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))171 1396 y Fm(\030)171 1409 y Fr(=)216 1407 y Fm(F)250 1392 y Fp(0)262 1407 y Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))j(f)356 1409 y(\177)355 1407 y(ur)f(alle)g Fq(C)i Fm(2)d(C)r Fr(.)h(Mit)h(diesen)h(durc)o(h)f Fq(')g Fr(induzierten)h(Isomorphis-)59 1456 y(men)d(k)o(omm)o(uti)o(ert)267 1523 y(Mor)342 1529 y Fp(D)371 1523 y Fr(\()p Fm(F)421 1508 y Fp(0)432 1523 y Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b Fr(-\))390 b(Mor)1011 1529 y Fp(D)1040 1523 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b Fr(-\))p 558 1513 366 2 v 883 1512 a Fk(-)649 1497 y Fi(Mor\()p Fn( )q Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))p Fn(;)p Fr(-)o Fi(\))p 405 1649 2 108 v 406 1649 a Fk(?)197 1604 y Fi(Mor\()p Fp(F)297 1591 y Fe(0)308 1604 y Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p Fn(;)p Fr(-)p Fi(\))p 1069 1649 V 1070 1649 a Fk(?)1087 1603 y Fi(Mor)o(\()p Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p Fn(;)p Fr(-)p Fi(\))261 1689 y Fr(Mor)336 1695 y Fp(D)365 1689 y Fr(\()p Fm(F)415 1674 y Fp(0)427 1689 y Fr(\()p Fq(C)476 1674 y Fp(0)487 1689 y Fr(\))p Fq(;)g Fr(-)o(\))374 b(Mor)1000 1695 y Fp(D)1029 1689 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)1128 1674 y Fp(0)1139 1689 y Fr(\))p Fq(;)7 b Fr(-\))p Fq(:)p 564 1679 349 2 v 871 1678 a Fk(-)641 1710 y Fi(Mor)o(\()p Fn( )q Fi(\()p Fn(C)775 1698 y Fe(0)786 1710 y Fi(\))p Fn(;)p Fr(-)p Fi(\))59 1761 y Fr(Also)14 b(k)o(omm)n(utiert)e(auc)o(h) 517 1827 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)600 1812 y Fp(0)611 1827 y Fr(\))216 b Fm(F)877 1812 y Fp(0)889 1827 y Fr(\()p Fq(C)938 1812 y Fp(0)949 1827 y Fr(\))p 640 1818 191 2 v 789 1817 a Fk(-)692 1801 y Fn( )q Fi(\()p Fn(C)754 1789 y Fe(0)765 1801 y Fi(\))p 571 1954 2 108 v 572 1954 a Fk(?)472 1908 y Fp(F)499 1896 y Fe(0)510 1908 y Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p 903 1954 V 904 1954 a Fk(?)921 1907 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))523 1993 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))227 b Fm(F)883 1978 y Fp(0)894 1993 y Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p 634 1984 203 2 v 795 1983 a Fk(-)698 2013 y Fn( )q Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))59 2065 y Fr(w)o(omit)12 b Fq( )h Fr(:)e Fm(F)k(\000)-6 b(!)11 b(F)406 2050 y Fp(0)431 2065 y Fr(ein)j(nat)559 2067 y(\177)558 2065 y(urlic)o(her)g(Isomorphism)o(us)e(ist.)p 1091 2042 29 2 v 1091 2067 2 25 v 1117 2067 V 1091 2069 29 2 v eop %%Page: 22 27 22 26 bop 59 117 a Ft(22)103 b(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i (FUNKTOREN)i(UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)59 225 y Fo(Definition)f Fr(3.12)p Fo(.)k Fr(Seien)13 b Fm(C)i Fr(und)e Fm(D)h Fr(Kategorien,)f Fm(F)j Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(D)j Fr(und)f Fm(G)h Fr(:)d Fm(D)i(\000)-7 b(!)11 b(C)59 275 y Fr(k)o(o)o(v)n(arian)o(te)21 b(F)m(unktoren.)h Fm(F)27 b Fr(hei\031t)22 b Fl(linksadjungiert)g Fr(zu)h Fm(G)h Fr(und)f Fm(G)h Fl(r)n(e)n(chtsadjun-)59 325 y(giert)15 b Fr(zu)h Fm(F)t Fr(,)f(w)o(enn)i(es)f(einen)g(nat)606 327 y(\177)605 325 y(urlic)o(hen)g(Isomorphism)o(us)e(v)o(on)h (Bifunktoren)h Fq(')f Fr(:)59 374 y(Mor)134 380 y Fp(D)163 374 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)7 b Fr(-)o(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Mor)440 380 y Fp(C)462 374 y Fr(\(-)p Fq(;)c Fm(G)r Fr(-)o(\))14 b(v)o(on)g Fm(C)684 359 y Fn(op)729 374 y Fm(\002)9 b(D)15 b Fr(in)f(Me)g(gibt.)59 449 y Fo(Lemma)j Fr(3.13)p Fo(.)j Fl(Ist)e Fm(F)23 b Fr(:)18 b Fm(C)j(\000)-6 b(!)18 b(D)i Fl(linksadjungiert)f(zu)g Fm(G)i Fr(:)d Fm(D)i(\000)-6 b(!)18 b(C)r Fl(,)h(so)g(ist)f Fm(F)59 499 y Fl(dur)n(ch)g Fm(G)h Fl(bis)f(auf)f(Isomorphie)h (eindeutig)g(festgele)n(gt.)e(Eb)n(enso)j(ist)e Fm(G)i Fl(dur)n(ch)f Fm(F)k Fl(bis)59 549 y(auf)15 b(Isomorphie)g(eindeutig)g (festgele)n(gt.)109 624 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)10 b(b)q(ew)o(eisen)h (n)o(ur)f(die)g(erste)h(Aussage.)g(Sei)f(auc)o(h)g Fm(F)1126 609 y Fp(0)1147 624 y Fr(linksadjungiert)59 674 y(zu)15 b Fm(G)i Fr(mit)d Fq(')262 659 y Fp(0)287 674 y Fr(:)e(Mor)386 680 y Fp(D)415 674 y Fr(\()p Fm(F)465 659 y Fp(0)477 674 y Fr(-)p Fq(;)7 b Fr(-)o(\))14 b Fm(\000)-7 b(!)13 b Fr(Mor)708 680 y Fp(C)729 674 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(-\).)14 b(Dann)h(hab)q(en)g(wir)g(einen)g(nat)1342 676 y(\177)1341 674 y(urli-)59 728 y(c)o(hen)g(Isomorphism)o(us)c Fq(')466 713 y Fp(0)478 707 y(\000)p Fi(1)523 728 y Fq(')h Fr(:)f(Mor)660 734 y Fp(D)689 728 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)c Fr(-)o(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fr(Mor)967 734 y Fp(D)995 728 y Fr(\()p Fm(F)1045 713 y Fp(0)1057 728 y Fr(-)p Fq(;)7 b Fr(-)o(\).)14 b(Nac)o(h)g(Satz)h(3.11)59 778 y(ist)f(daher)g Fm(F)278 767 y(\030)278 780 y Fr(=)322 778 y Fm(F)356 763 y Fp(0)367 778 y Fr(.)p 420 755 29 2 v 420 780 2 25 v 447 780 V 420 782 29 2 v 59 853 a Fo(Lemma)j Fr(3.14)p Fo(.)j Fl(Ein)d(F)m(unktor)h Fm(G)g Fr(:)d Fm(D)i(\000)-6 b(!)15 b(C)20 b Fl(b)n(esitzt)d(genau)h(dann)g (einen)g(linksad-)59 903 y(jungierten)d(F)m(unktor,)g(wenn)g(al)r(le)f (F)m(unktor)n(en)i Fr(Mor)884 909 y Fp(C)905 903 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fl(-)o Fr(\))15 b Fl(darstel)r(lb)n(ar)f(sind.)109 978 y Fo(Beweis.)20 b Fr(F)m(olgt)13 b(aus)h(3.11.)p 595 955 V 595 980 2 25 v 622 980 V 595 982 29 2 v 59 1053 a Fo(Lemma)j Fr(3.15)p Fo(.)j Fl(Seien)e Fm(F)i Fr(:)15 b Fm(C)k(\000)-7 b(!)16 b(D)i Fl(und)g Fm(G)h Fr(:)c Fm(D)j(\000)-7 b(!)16 b(C)j Fl(kovariante)f(F)m(unktor)n(en.)59 1102 y(Dann)e(ist)206 1177 y Fr(Nat\(Id)329 1183 y Fp(C)350 1177 y Fq(;)7 b Fm(G)r(F)t Fr(\))k Fm(3)h Fr(\010)f Fm(7!)g(G)r Fl(-)p Fr(\010)p Fl(-)h Fm(2)f Fr(Nat\(Mor)888 1183 y Fp(D)917 1177 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)c Fl(-)o Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)1125 1183 y Fp(C)1146 1177 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g Fm(G)r Fl(-)p Fr(\)\))59 1252 y Fl(eine)15 b(bijektive)f(A)o (bbildung)i(mit)e(der)h(inversen)g(A)o(bbildung)126 1327 y Fr(Nat\(Mor)286 1333 y Fp(D)314 1327 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)7 b Fl(-)p Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)522 1333 y Fp(C)544 1327 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g Fm(G)r Fl(-)o Fr(\)\))12 b Fm(3)f Fq(')h Fm(7!)f Fq(')p Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)c Fm(F)t Fl(-)o Fr(\)\(1)988 1333 y Fp(F)s Fl(-)1032 1327 y Fr(\))12 b Fm(2)f Fr(Nat\(Id)1221 1333 y Fp(C)1243 1327 y Fq(;)c Fm(G)r(F)t Fr(\))p Fq(:)59 1402 y Fl(Weiter)15 b(ist)201 1477 y Fr(Nat\()p Fm(F)t(G)r Fq(;)7 b Fr(Id)402 1483 y Fp(C)424 1477 y Fr(\))12 b Fm(3)f Fr(\011)h Fm(7!)f Fr(\011)p Fl(-)p Fm(F)t Fl(-)g Fm(2)g Fr(Nat\(Mor)894 1483 y Fp(C)915 1477 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)c Fm(G)r Fl(-)p Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)1116 1483 y Fp(D)1145 1477 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)g Fl(-)o Fr(\)\))59 1552 y Fl(eine)15 b(bijektive)f(A)o(bbildung)i(mit)e(der)h(inversen)g(A)o(bbildung)131 1627 y Fr(Nat\(Mor)290 1633 y Fp(C)312 1627 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fl(-)o Fr(\))p Fq(;)g Fr(Mor)513 1633 y Fp(D)542 1627 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)g Fl(-)o Fr(\)\))12 b Fm(3)f Fq( )i Fm(7!)e Fq( )q Fr(\()p Fm(G)r Fl(-)q Fq(;)c Fl(-)o Fr(\)\(1)989 1633 y Fp(G)r Fl(-)1028 1627 y Fr(\))k Fm(2)g Fr(Nat\()p Fm(F)t(G)r Fq(;)c Fr(Id)1296 1633 y Fp(C)1318 1627 y Fr(\))p Fq(:)109 1702 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)10 b(nat)420 1704 y(\177)419 1702 y(urlic)o(he)g(T)m (ransformation)e Fm(G)r Fr(-\010-)i(ist)g(wie)g(folgt)f(de\014niert.)i (Seien)59 1751 y Fq(C)k Fm(2)c(C)r Fr(,)j Fq(D)f Fm(2)f(D)j Fr(und)f Fq(f)j Fm(2)12 b Fr(Mor)562 1757 y Fp(D)590 1751 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\))15 b(gegeb)q(en,)f(so)g(sei)h(\()p Fm(G)r Fr(-\010-\)\()p Fq(C)q(;)7 b(D)q Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(:=)59 1801 y Fm(G)r Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))25 b(:)e Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)23 b(G)r(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))h Fm(\000)-6 b(!)23 b(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\).)f(Man)f(rec)o (hnet)i(die)e(Eigensc)o(haft)h(ei-)59 1851 y(ner)c(nat)195 1853 y(\177)194 1851 y(urlic)o(hen)f(T)m(ransformation)d(leic)o(h)o(t)j (nac)o(h.)g(Ist)g(\010)g(gegeb)q(en,)h(so)f(erh)1273 1853 y(\177)1273 1851 y(alt)g(man)59 1901 y(nac)o(h)i(der)g(Hin)o (tereinanderausf)581 1903 y(\177)580 1901 y(uhrung)h(b)q(eider)g (Abbildungen)e Fm(G)r Fr(\(1)1174 1908 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))1255 1901 y Fr(\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))h(=)59 1951 y Fm(G)r(F)t Fr(\(1)157 1957 y Fn(C)185 1951 y Fr(\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))12 b(=)f(\010\()p Fq(C)s Fr(\).)j(Ist)g Fq(')g Fr(gegeb)q(en,)g(so)g(erh)851 1953 y(\177)851 1951 y(alt)g(man)189 2025 y Fm(G)r Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\)\(1)533 2032 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))614 2025 y Fr(\))k(=)h(Mor)760 2031 y Fp(C)782 2025 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\)\(1)1192 2032 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))1272 2025 y Fr(\))189 2075 y(=)k Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)c(D)q Fr(\)Mor)451 2081 y Fp(D)480 2075 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)g(f)t Fr(\)\(1)691 2082 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))772 2075 y Fr(\))12 b(=)f Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)c(D)q Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(:)p eop %%Page: 23 28 23 27 bop 198 117 a Ft(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i(FUNKTOREN)i (UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)104 b(23)59 225 y Fr(Den)14 b(zw)o(eiten)h(T)m(eil)e(des)h(Lemmas)e(zeigt)i(man)e(analog.)p 975 202 29 2 v 975 227 2 25 v 1002 227 V 975 229 29 2 v 59 305 a Fo(Sa)m(tz)k Fr(3.16)p Fo(.)k Fl(Seien)73 384 y Fq(')11 b Fr(:)g(Mor)209 390 y Fp(D)238 384 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)c Fl(-)p Fr(\))k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Mor)518 390 y Fp(C)539 384 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)c Fm(G)r Fl(-)p Fr(\))57 b Fl(und)h Fq( )13 b Fr(:)e(Mor)966 390 y Fp(C)988 384 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)c Fm(G)r Fl(-)o Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Mor)1261 390 y Fp(D)1289 384 y Fr(\()p Fm(F)t Fl(-)p Fq(;)c Fl(-)p Fr(\))59 462 y Fl(nat)117 464 y(\177)117 462 y(urliche)14 b(T)m(r)n(ansformationen)f (mit)h(\(nach)g(L)n(emma)k Fr(3.15)p Fl(\))12 b(zuge)n(or)n(dneten)j (nat)1339 464 y(\177)1339 462 y(urli-)59 512 y(chen)h(T)m(r)n (ansformationen)e Fr(\010)e(:)f(Id)598 518 y Fp(C)631 512 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(G)r(F)19 b Fl(bzw.)14 b Fr(\011)e(:)f Fm(F)t(G)j(\000)-7 b(!)11 b Fr(Id)1132 518 y Fp(D)1161 512 y Fl(.)59 573 y(1\))i(Es)f(gilt)g Fq(' )h Fr(=)f(id)381 580 y Fi(Mor\()p Fl(-)p Fn(;)p Fp(G)r Fl(-)o Fi(\))542 573 y Fl(dann)i(und)f(nur)g(dann,)g(wenn)g Fr(\()p Fm(G)1084 549 y Fi(\010)p Fp(G)1074 573 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(G)r(F)t(G)1262 549 y Fp(G)r Fi(\011)1252 573 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(G)r Fr(\))h(=)59 622 y(id)94 628 y Fp(G)132 622 y Fl(gilt.)59 684 y(2\))18 b(Es)h(gilt)e Fq( )q(')h Fr(=)f(id)410 691 y Fi(Mor)o(\()p Fp(F)s Fl(-)p Fn(;)p Fl(-)p Fi(\))582 684 y Fl(dann)i(und)g(nur)f(dann,)h(wenn)f Fr(\()p Fm(F)1162 660 y Fp(F)s Fi(\010)1154 684 y Fm(\000)-7 b(!)17 b(F)t(G)r(F)1358 660 y Fi(\011)p Fp(F)1350 684 y Fm(\000)-6 b(!)59 734 y(F)t Fr(\))12 b(=)g(id)199 740 y Fp(F)243 734 y Fl(gilt.)109 815 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Es)15 b(ist)291 883 y Fm(G)r Fr(\011\()p Fq(D)q Fr(\)\010)p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))f(=)e Fm(G)r Fr(\011\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(')p Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b Fm(F)t(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\)\(1)1062 890 y Fp(F)s(G)r Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))1169 883 y Fr(\))291 933 y(=)12 b(Mor)410 939 y Fp(C)432 933 y Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(\011\()p Fq(D)q Fr(\)\))p Fq(')p Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)g Fm(F)t(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\)\(1)1040 940 y Fp(F)s(G)r Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))1148 933 y Fr(\))291 983 y(=)12 b Fq(')p Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\)Mor)618 989 y Fp(D)647 983 y Fr(\()p Fm(F)t(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)g Fr(\011\()p Fq(D)q Fr(\)\)\(1)962 990 y Fp(F)s(G)r Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))1068 983 y Fr(\))291 1033 y(=)12 b Fq(')p Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\)\(\011\()p Fq(D)q Fr(\)\))291 1083 y(=)12 b Fq(')p Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\))p Fq( )q Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)g(D)q Fr(\)\(1)787 1090 y Fp(G)r Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))868 1083 y Fr(\))291 1133 y(=)12 b Fq(' )q Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\)\(1)607 1140 y Fp(G)r Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))687 1133 y Fr(\))p Fq(:)59 1210 y Fr(En)o(tsprec)o(hend)16 b(erh)375 1212 y(\177)375 1210 y(alt)e(man)104 1286 y Fq(' )q Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(D)q Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(=)f Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(D)q Fr(\))p Fq( )q Fr(\()p Fq(C)q(;)g(D)q Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))12 b(=)g Fm(G)r Fr(\(\011\()p Fq(D)q Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))104 1336 y(=)g Fm(G)r Fr(\011\()p Fq(D)q Fr(\))p Fm(G)r(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))i(=)e Fm(G)r Fr(\011\()p Fq(D)q Fr(\)\010)p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(f)r(:)p 1344 1313 V 1344 1338 2 25 v 1370 1338 V 1344 1340 29 2 v 59 1413 a Fo(F)o(olger)o(ung)k Fr(3.17)p Fo(.)k Fl(Seien)h Fm(F)27 b Fr(:)21 b Fm(C)k(\000)-7 b(!)22 b(D)g Fl(und)g Fm(G)i Fr(:)e Fm(D)h(\000)-6 b(!)21 b(C)i Fl(F)m(unktor)n(en.)e Fm(F)59 1463 y Fl(ist)g(genau)h(dann)h (linksadjungiert)e(zu)h Fm(G)r Fl(,)f(wenn)h(es)f(nat)1000 1465 y(\177)1000 1463 y(urliche)h(T)m(r)n(ansformatio-)59 1513 y(nen)d Fr(\010)e(:)f(Id)256 1519 y Fp(C)295 1513 y Fm(\000)-7 b(!)16 b(G)r(F)22 b Fl(und)d Fr(\011)e(:)g Fm(F)t(G)i(\000)-7 b(!)17 b Fr(Id)820 1519 y Fp(D)866 1513 y Fl(gibt)h(mit)f Fr(\()p Fm(G)r Fr(\011\)\(\010)p Fm(G)r Fr(\))h(=)f(id)1309 1519 y Fp(G)1350 1513 y Fl(und)59 1563 y Fr(\(\011)p Fm(F)t Fr(\)\()p Fm(F)t Fr(\010\))12 b(=)g(id)344 1569 y Fp(F)373 1563 y Fl(.)59 1644 y Fo(Definition)k Fr(3.18)p Fo(.)k Fr(Die)e(in)f(F)m(olgerung)h(3.17)f(angegeb)q(en)i (nat)1090 1646 y(\177)1089 1644 y(urlic)o(hen)f(T)m(ransfor-)59 1694 y(mationen)13 b(\010)g(:)f(Id)347 1700 y Fp(C)381 1694 y Fm(\000)-7 b(!)12 b(G)r(F)19 b Fr(und)c(\011)e(:)f Fm(F)t(G)j(\000)-7 b(!)12 b Fr(Id)880 1700 y Fp(D)923 1694 y Fr(hei\031en)j Fl(Einheit)g Fr(bzw.)f Fl(Ko)n(ein-)59 1744 y(heit)g Fr(f)154 1746 y(\177)153 1744 y(ur)g(die)f(adjungierten)i (F)m(unktoren)f Fm(F)k Fr(und)c Fm(G)r Fr(.)64 1815 y Fo(\177)59 1824 y(Ubung)i Fr(3.19)p Fo(.)k Fr(a\))11 b(Zeigen)h(Sie,)f(da\031)g(f)661 1826 y(\177)660 1824 y(ur)h(einen)g(Bimo)q(dul)983 1830 y Fn(R)1011 1824 y Fq(M)1051 1830 y Fn(S)1086 1824 y Fr(der)h(F)m(unktor)e Fq(M)e Fm(\012)1393 1830 y Fn(S)59 1873 y Fr(-)19 b(:)122 1879 y Fn(S)146 1873 y Fm(M)f(\000)-6 b(!)300 1879 y Fn(R)327 1873 y Fm(M)18 b Fr(linksadjungiert)f(ist)i(zu)f(Hom)892 1879 y Fn(R)919 1873 y Fr(\()p Fq(M)r(;)7 b Fr(-\))19 b(:)1075 1879 y Fn(R)1102 1873 y Fm(M)g(\000)-7 b(!)1256 1879 y Fn(S)1280 1873 y Fm(M)18 b Fr(und)59 1923 y(b)q(estimmen)12 b(Sie)i(die)g(zugeh)507 1925 y(\177)507 1923 y(orige)g(Einheit)g(und)g (Ko)q(einheit.)59 1974 y(b\))k(Zeigen)f(Sie,)g(da\031)g(es)h(einen)g (nat)639 1976 y(\177)638 1974 y(urlic)o(hen)f(Isomorphism)o(us)e(Abb\() p Fq(A)d Fm(\002)g Fq(B)r(;)7 b(C)s Fr(\))1385 1963 y Fm(\030)1385 1976 y Fr(=)59 2023 y(Abb\()p Fq(B)r(;)g Fr(Abb)q(\()p Fq(A;)g(C)s Fr(\)\))i(gibt.)f(Bestimmen)g(Sie)i(die)f (zugeh)954 2025 y(\177)954 2023 y(origen)h(adjungierten)g(F)m(unk-)59 2073 y(toren)15 b(und)f(Einheit)f(und)h(Ko)q(einheit.)p eop %%Page: 24 29 24 28 bop 59 117 a Ft(24)103 b(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i (FUNKTOREN)i(UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)59 225 y Fr(c\))j(Zeigen)g(Sie,)f(da\031)g(es)i(einen)f(nat)648 227 y(\177)647 225 y(urlic)o(hen)f(Isomorphism)o(us)e Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg\()p Ff(K)q Fq(G;)e(A)p Fr(\))1385 214 y Fm(\030)1385 227 y Fr(=)59 275 y(Gr\()p Fq(G;)g(U)e Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\))15 b(gibt.)g(Bestimmen)f(Sie)i(die)g(zugeh)861 277 y(\177)861 275 y(origen)g(adjungierten)g(F)m(unktoren)59 325 y(und)e(Einheit)g(und)g(Ko)q(einheit.)59 377 y(d\))g(Zeigen)h(Sie,) e(da\031)g(es)i(einen)f(nat)618 379 y(\177)617 377 y(urlic)o(hen)g (Isomorphism)o(us)438 465 y Ff(K)p Fr(-)c(Alg\()p Fq(U)5 b Fr(\()p Fd(g)p Fr(\))p Fq(;)i(A)p Fr(\))734 454 y Fm(\030)734 467 y Fr(=)778 465 y(Lie-Alg)o(\()p Fd(g)p Fq(;)g(A)998 448 y Fn(L)1023 465 y Fr(\))59 553 y(gibt.)16 b(Bestimmen)g(Sie)h(die)g (zugeh)622 555 y(\177)622 553 y(origen)h(adjungierten)f(F)m(unktoren)h (und)f(Einheit)59 603 y(und)d(Ko)q(einheit.)59 693 y Fo(Definition)i Fr(3.20)p Fo(.)k Fr(Sei)d Fm(G)h Fr(:)e Fm(D)h(\000)-6 b(!)16 b(C)j Fr(ein)d(k)o(o)o(v)n(arian)o(ter)g(F)m (unktor.)g Fm(G)j Fr(gibt)d(Anla\031)59 743 y(zu)e(einem)f Fl(\(ko-\)universel)r(len)i(Pr)n(oblem)f Fr(der)g(folgenden)g(Art:)59 795 y(Sei)g Fq(C)h Fm(2)d(C)17 b Fr(gegeb)q(en.)e(Gesuc)o(h)o(t)g(ist)f (ein)g(Ob)r(jekt)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))d Fm(2)g(D)k Fr(und)e(ein)g(Morphism)o(us)59 845 y Fq(\023)k Fr(:)h Fq(C)i Fm(\000)-7 b(!)19 b(G)r Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\))f(in)g Fm(C)r Fr(,)g(so)g(da\031)g(zu)h(jedem)e(Ob)r (jekt)i Fq(D)h Fm(2)f(D)g Fr(und)f(zu)h(jedem)59 895 y(Morphism)o(us)12 b Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)11 b(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))j(in)f Fm(C)i Fr(genau)e(ein)g (Morphism)o(us)f Fq(g)h Fr(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)k Fr(in)59 944 y Fm(D)g Fr(so)f(existiert,)g(da\031)g(das)g(Diagramm)556 1004 y Fq(C)239 b Fm(G)r Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\))p 601 995 213 2 v 771 994 a Fk(-)701 985 y Fn(\023)857 1170 y Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))692 1084 y Fn(f)630 1044 y Fk(H)672 1064 y(H)713 1085 y(H)755 1106 y(H)796 1127 y(H)805 1131 y(H)-42 b(j)p 903 1131 2 108 v 57 w(?)921 1084 y Fp(G)r Fi(\()p Fn(g)q Fi(\))59 1226 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 1278 y(Ein)22 b(P)o(aar)g(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b(\023)p Fr(\),)22 b(das)g(die)h(ob)q(en)f(angegeb)q(en) i(Bedingungen)f(erf)1232 1280 y(\177)1231 1278 y(ullt,)e(hei\031t)59 1328 y(eine)p Fl(\(ko-\))12 b(universel)r(le)f(L)461 1330 y(\177)461 1328 y(osung)h Fr(des)f(durc)o(h)g Fm(G)h Fr(und)e Fq(C)j Fr(de\014nierten)f(\(k)o(o-\)univ)o(ersellen)59 1378 y(Problems.)59 1430 y(Sei)e Fm(F)16 b Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(D)g Fr(ein)g(k)o(o)o(v)n(arian)o(ter)e(F)m (unktor.)g Fm(F)14 b Fr(gibt)c(Anla\031)g(zu)g(einem)f Fl(universel)r(len)59 1480 y(Pr)n(oblem)k Fr(der)i(folgenden)f(Art:)59 1532 y(Sei)g Fq(D)g Fm(2)e(D)k Fr(gegeb)q(en.)f(Gesuc)o(h)o(t)g(ist)f (ein)h(Ob)r(jekt)g Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))e Fm(2)f(C)17 b Fr(und)d(ein)g(Morphism)o(us)59 1582 y Fq(\027)20 b Fr(:)d Fm(F)t Fr(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\))i Fm(\000)-6 b(!)17 b Fq(D)i Fr(in)f Fm(D)q Fr(,)f(so)h(da\031)f(zu)h (jedem)f(Ob)r(jekt)h Fq(C)j Fm(2)c(C)j Fr(und)e(zu)g(jedem)59 1632 y(Morphism)o(us)d Fq(f)k Fr(:)13 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))i Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(D)j Fr(in)e Fm(D)h Fr(genau)g(ein)f(Morphism)o(us)g Fq(g)h Fr(:)d Fq(C)k Fm(\000)-6 b(!)13 b(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))59 1681 y(in)g Fm(C)k Fr(so)d(existiert,)g(da\031)f(das)h(Diagramm)523 1741 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))765 1821 y Fn(f)630 1780 y Fk(H)672 1801 y(H)713 1822 y(H)755 1843 y(H)796 1864 y(H)805 1868 y(H)-42 b(j)p 571 1868 V -275 w(?)486 1821 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(g)q Fi(\))508 1907 y Fm(F)t(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))250 b Fq(D)p 649 1898 226 2 v 833 1897 a Fk(-)752 1917 y Fn(\027)59 1963 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 2015 y(Ein)12 b(P)o(aar)h(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b(\027)s Fr(\),)12 b(das)g(die)h(ob)q(en)g(angegeb)q(en) g(Bedingungen)h(erf)1158 2017 y(\177)1157 2015 y(ullt,)d(hei\031t)i (eine)59 2065 y Fl(universel)r(le)h(L)292 2067 y(\177)292 2065 y(osung)h Fr(des)g(durc)o(h)g Fm(F)i Fr(und)d Fq(D)i Fr(de\014nierten)f(univ)o(ersellen)f(Problems.)p eop %%Page: 25 30 25 29 bop 198 117 a Ft(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i(FUNKTOREN)i (UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)104 b(25)59 225 y Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(3.21)p Fo(.)k Fl(Sei)g Fm(F)26 b Fr(:)21 b Fm(C)i(\000)-6 b(!)21 b(D)g Fl(linksadjungiert)f(zu)h Fm(G)i Fr(:)e Fm(D)i(\000)-7 b(!)21 b(C)r Fl(.)f(Dann)i(ist)59 275 y(dur)n(ch)15 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))g Fl(und)h(die)f(Einheit)g Fq(\023)c Fr(=)h(\010\()p Fq(C)s Fr(\))g(:)f Fq(C)j Fm(\000)-7 b(!)12 b(G)r(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))i Fl(eine)i(\(ko-\)universel)r (le)59 325 y(L)85 327 y(\177)85 325 y(osung)g(des)f(dur)n(ch)g Fm(G)i Fl(und)f Fq(C)h Fl(de\014nierten)f(\(ko-\)universel)r(len)e(Pr)n (oblems)h(ge)n(geb)n(en.)59 376 y(Weiterhin)e(ist)g(dur)n(ch)g Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))h Fl(und)g(die)f(Ko)n(einheit)g Fq(\027)h Fr(=)e(\011\()p Fq(D)q Fr(\))h(:)e Fm(F)t(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)k Fl(eine)59 426 y(universel)r(le)k(L)297 428 y(\177)297 426 y(osung)h(des)f(dur)n (ch)g Fm(F)k Fl(und)d Fq(D)g Fl(de\014nierten)g(universel)r(len)f(Pr)n (oblems)59 476 y(ge)n(geb)n(en.)109 568 y Fo(Beweis.)h Fr(Nac)o(h)d(Satz)g(3.16)e(sind)i Fq(')f Fr(:)f(Mor)817 574 y Fp(D)846 568 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)7 b Fr(-)o(\))16 b Fm(\000)-6 b(!)15 b Fr(Mor)1132 574 y Fp(C)1154 568 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(-)o(\))17 b(und)f Fq( )i Fr(:)59 618 y(Mor)134 624 y Fp(C)156 618 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(-)o(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Mor)426 624 y Fp(D)455 618 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)c Fr(-)o(\))12 b(als)f(in)o(v)o(erse)i(Abbildungen)e(zueinander)i(durc)o(h)g(Ein-)59 668 y(heit)g(und)f(Ko)q(einheit)h(de\014niert)h(als)e Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(D)q Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))12 b(=)g Fm(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))h(bzw.)f Fq( )q Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(D)q Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))13 b(=)59 718 y(\011\()p Fq(D)q Fr(\))p Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\).)24 b(Also)e(gibt)g(es)i(zu)f(v)o(orgegeb)q(enem)f Fq(f)31 b Fr(:)25 b Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)25 b(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))f(genau)e(ein)59 767 y Fq(g)13 b Fr(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(D)k Fr(mit)d Fq(f)17 b Fr(=)11 b Fq(')p Fr(\()p Fq(C)q(;)c(D)q Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))12 b(=)g Fm(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\)\010\()p Fq(C)s Fr(\))g(=)g Fm(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fq(\023)p Fr(.)59 819 y(Die)i(zw)o(eite)g(Aussage)h(folgt)e (analog.)p 687 796 29 2 v 687 821 2 25 v 714 821 V 687 823 29 2 v 59 906 a Fo(Bemerkung)k Fr(3.22)p Fo(.)j Fr(W)m(enn)d Fm(G)i Fr(:)e Fm(D)h(\000)-7 b(!)17 b(C)i Fr(und)f Fq(C)h Fm(2)e(C)j Fr(gegeb)q(en)e(sind,)f(so)g(k)n(ann)59 956 y(man)f(die)i(\(k)o(o-\)univ)o(erselle)f(L)546 958 y(\177)546 956 y(osung)h(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b(\023)16 b Fr(:)i Fq(C)i Fm(\000)-7 b(!)17 b(G)r(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\))h(als)f(b)q(este)i(\(Ko-)59 1006 y(\)Appro)o(ximation)11 b(des)k(Ob)r(jekts)g Fq(C)h Fr(in)e Fm(C)i Fr(durc)o(h)e(ein)g(Ob)r(jekt)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))f(in)f Fm(D)i Fr(mit)d(Hilfe)59 1055 y(des)j(F)m(unktors)f Fm(G)i Fr(ansehen.)59 1107 y(W)m(enn)g Fm(F)i Fr(:)c Fm(C)j(\000)-6 b(!)14 b(D)j Fr(und)f Fq(D)g Fm(2)e(D)j Fr(gegeb)q(en)g(sind,)e(so)h(k)n(ann)f(man)f(die)i(univ)o(erselle)59 1157 y(L)85 1159 y(\177)85 1157 y(osung)f(\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(;)7 b(\027)17 b Fr(:)d Fm(F)t(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(D)q Fr(\))i(als)f(b)q (este)i(Appro)o(ximation)c(des)j(Ob)r(jekts)h Fq(D)59 1207 y Fr(in)c Fm(D)i Fr(durc)o(h)g(ein)f(Ob)r(jekt)h Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))f(in)g Fm(C)i Fr(mit)c(Hilfe)h(des)i(F)m (unktors)f Fm(F)k Fr(ansehen.)59 1294 y Fo(Sa)m(tz)e Fr(3.23)p Fo(.)k Fl(Sei)d Fm(G)h Fr(:)d Fm(D)i(\000)-7 b(!)15 b(C)20 b Fl(ge)n(geb)n(en)d(und)h(sei)f(f)904 1296 y(\177)904 1294 y(ur)g(je)n(des)g Fq(C)h Fm(2)d(C)k Fl(das)f(dur)n(ch)f Fm(G)59 1343 y Fl(und)g Fq(C)i Fl(ge)n(geb)n(ene)f (\(ko-\)universel)r(le)e(Pr)n(oblem)g(l)834 1345 y(\177)834 1343 y(osb)n(ar.)f(Dann)j(gibt)e(es)h(einen)g(links-)59 1393 y(adjungierten)e(F)m(unktor)g Fm(F)h Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(D)16 b Fl(zu)f Fm(G)r Fl(.)59 1445 y(Sei)20 b Fm(F)k Fr(:)19 b Fm(C)j(\000)-6 b(!)19 b(D)i Fl(ge)n(geb)n(en)f(und)g (sei)f(f)723 1447 y(\177)723 1445 y(ur)g(je)n(des)h Fq(D)h Fm(2)f(D)h Fl(das)e(dur)n(ch)h Fm(F)j Fl(und)e Fq(D)59 1495 y Fl(ge)n(geb)n(ene)16 b(universel)r(le)f(Pr)n(oblem)g(l)609 1497 y(\177)609 1495 y(osb)n(ar.)f(Dann)i(gibt)f(es)h(einen)f(r)n(e)n (chtsadjungierten)59 1544 y(F)m(unktor)g Fm(G)f Fr(:)d Fm(D)h(\000)-6 b(!)11 b(C)17 b Fl(zu)e Fm(F)t Fl(.)109 1637 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Ist)e(das)f(\(k)o(o-\)univ)o(erselle)f (Problem)g(zu)h Fm(G)i Fr(und)e Fq(C)j Fr(l)1142 1639 y(\177)1142 1637 y(osbar)c(durc)o(h)i Fq(\023)e Fr(:)59 1687 y Fq(C)39 b Fm(\000)-6 b(!)36 b(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\),)28 b(so)h(ist)g(die)g(Zuordn)o(ung)g(Mor)893 1693 y Fp(C)915 1687 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\))37 b Fm(3)f Fq(f)42 b Fm(7!)36 b Fq(g)i Fm(2)59 1736 y Fr(Mor)134 1742 y Fp(D)163 1736 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\))20 b(mit)e Fm(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fq(\023)23 b Fr(=)f Fq(f)i Fr(bijektiv.)19 b(Die)h(Umk)o(ehrabbildung)e(ist)i(gege-)59 1786 y(b)q(en)f(durc)o(h)f Fq(g)h Fm(7!)f(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fq(\023)p Fr(.)g(Diese)g(ist)g(eine)g(nat)813 1788 y(\177)812 1786 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation,)d(denn)j(f)1379 1788 y(\177)1378 1786 y(ur)59 1836 y Fq(h)12 b Fm(2)f Fr(Mor)209 1842 y Fn(D)239 1836 y Fr(\()p Fq(D)q(;)c(D)344 1821 y Fp(0)356 1836 y Fr(\))14 b(ist)g(das)g(Diagramm)345 1918 y(Mor)420 1924 y Fp(D)449 1918 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b(D)q Fr(\))217 b(Mor)926 1924 y Fp(C)947 1918 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\))p 646 1908 193 2 v 797 1907 a Fk(-)705 1892 y Fp(G)r Fi(\()p Fr(-)p Fi(\))p Fn(\023)p 488 2044 2 108 v 489 2044 a Fk(?)254 1998 y Fi(Mor)314 2002 y Fe(D)339 1998 y Fi(\()p Fp(F)s Fi(\()p Fn(C)r Fi(\))p Fn(;h)p Fi(\))p 986 2044 V 987 2044 a Fk(?)1004 1998 y Fi(Mor)1063 2002 y Fe(C)1082 1998 y Fi(\()p Fn(C;)p Fp(G)r Fi(\()p Fn(h)p Fi(\)\))339 2084 y Fr(Mor)414 2090 y Fp(D)443 2084 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)g(D)612 2069 y Fp(0)623 2084 y Fr(\))206 b(Mor)920 2090 y Fp(C)942 2084 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(D)1086 2069 y Fp(0)1097 2084 y Fr(\)\))p 652 2074 181 2 v 791 2073 a Fk(-)705 2103 y Fp(G)r Fi(\()p Fr(-)p Fi(\))p Fn(\023)p eop %%Page: 26 31 26 30 bop 59 117 a Ft(26)103 b(I)q(I)q(I.)14 b(ADJUNGIER)m(TE)i (FUNKTOREN)i(UND)e(D)o(AS)g(YONED)o(A)h(LEMMA)59 225 y Fr(k)o(omm)o(utati)o(v.)11 b(Es)j(ist)g(n)443 227 y(\177)443 225 y(amlic)o(h)107 300 y(Mor)182 306 y Fp(C)204 300 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fr(\()p Fq(h)p Fr(\)\)\()p Fm(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fq(\023)p Fr(\))k(=)h Fm(G)r Fr(\()p Fq(h)p Fr(\))p Fm(G)r Fr(\()p Fq(g)q Fr(\))p Fq(\023)g Fr(=)g Fm(G)r Fr(\()p Fq(hg)q Fr(\))p Fq(\023)g Fr(=)g Fm(G)r Fr(\(Mor)1078 306 y Fp(C)1100 300 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)7 b(h)p Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\)\))p Fq(\023:)59 374 y Fr(Also)16 b(ist)h(f)230 376 y(\177)229 374 y(ur)f(alle)g Fq(C)i Fm(2)d(C)k Fr(der)e(F)m(unktor) f(Mor)806 380 y Fp(C)827 374 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(G)r Fr(\(-)o(\)\))16 b(:)f Fm(D)i(\000)-6 b(!)15 b Fr(Me)q(,)g(der)j(durc)o (h)59 424 y(den)f(Bifunktor)f(Mor)406 430 y Fp(C)427 424 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(\(-\)\))16 b(:)f Fm(C)632 409 y Fn(op)678 424 y Fm(\002)d(D)k(\000)-6 b(!)15 b Fr(Me)h(induziert)h(wird,)f(darstellbar.)59 474 y(Nac)o(h)e(Satz)h (3.11)e(gibt)g(es)i(also)f(einen)g(F)m(unktor)g Fm(F)i Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-6 b(!)11 b(D)k Fr(mit)e(Mor)1214 480 y Fp(C)1235 474 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(\(-\)\))1385 463 y Fm(\030)1385 476 y Fr(=)59 524 y(Mor)134 530 y Fp(D)163 524 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\(-\))p Fq(;)g Fr(-)o(\).)59 574 y(Die)14 b(zw)o(eite)g(Aussage)h(folgt)e(analog.)p 687 551 29 2 v 687 576 2 25 v 714 576 V 687 578 29 2 v 59 648 a Fo(Bemerkung)k Fr(3.24)p Fo(.)j Fr(Man)f(k)n(ann)g(die)g (Eigensc)o(haften,)h(die)f Fm(G)k Fr(:)d Fm(D)i(\000)-7 b(!)21 b(C)g Fr(\(bzw.)59 698 y Fm(F)c Fr(:)c Fm(C)j(\000)-7 b(!)13 b(D)q Fr(\))i(hab)q(en)g(m)o(u\031,)e(um)h(einen)h(links-\(rec)o (h)o(ts-\)adjungierten)h(F)m(unktor)f(zu)59 748 y(hab)q(en,)f(c)o (harakterisieren.)g(Eine)g(der)h(w)o(esen)o(tlic)o(hen)g(Eigensc)o (haften)f(daf)1232 750 y(\177)1231 748 y(ur)g(ist,)f(da\031)59 798 y Fm(G)j Fr(Limites)c(\(also)i(direkte)g(Pro)q(dukte)h(und)f (Di\013erenzk)o(erne\))i(erh)1099 800 y(\177)1099 798 y(alt.)p eop %%Page: 27 32 27 31 bop 609 682 a Fr(KAPITEL)22 b(IV)200 781 y Fv(Zur)d(k)n(omm)n (utativ)n(en)d(algebraisc)n(hen)i(Geometrie)59 972 y Fr(Wir)13 b(k)165 974 y(\177)165 972 y(onnen)h(in)f(diesem)g(Kapitel)h (n)o(ur)g(die)f(einfac)o(hste)i(F)m(orm)d(eines)i(geometrisc)o(hen)59 1021 y(Raumes)f(einf)284 1023 y(\177)283 1021 y(uhren.)g(Zun)482 1023 y(\177)482 1021 y(ac)o(hst)i(b)q(etrac)o(h)o(ten)h(wir)d(eine)h (Menge)h(v)o(on)e(Punkten)i(ohne)59 1071 y(w)o(eitere)h(geometrisc)o (he)e(Struktur)h(und)g(mac)o(hen)f(an)g(ihr)g(den)h(Begri\013)g(der)g (F)m(unktio-)59 1121 y(nenalgebra)c(klar.)f(Dann)g(k)o(ommen)e(wir)i (auf)h(Mengen)g(v)o(on)g(Punkten,)g(die)g(durc)o(h)g(ihre)59 1171 y(Ko)q(ordinaten)f(b)q(esc)o(hrieb)q(en)i(w)o(erden,)e(zum)f (Beispiel)h(Kreis)g(o)q(der)h(P)o(arab)q(el,)e(allgemei-)59 1221 y(ner)j(sogenann)o(te)h(a\016ne)e(Sc)o(hemata,)g(die)g(durc)o(h)i (P)o(olynomgleic)o(h)o(ungen)c(b)q(esc)o(hrieb)q(en)59 1270 y(w)o(erden.)j(Diese)h(geometrisc)o(hen)f(R)617 1272 y(\177)617 1270 y(aume)e(w)o(erden)j(durc)o(h)f(ihre)g(F)m (unktionenalgebren)59 1320 y(v)o(ollst)157 1322 y(\177)157 1320 y(andig)h(b)q(esc)o(hrieb)q(en.)k(Hier)e(wird)g(sic)o(h)g(w)o (esen)o(tlic)o(h)h(das)f(Y)m(oneda)f(Lemma)e(ein-)59 1370 y(setzen)k(lassen.)59 1469 y Fo(Beispiel)g Fr(4.1)p Fo(.)k Fr(Sei)i Fq(X)k Fr(eine)e(Menge.)e(Dann)h(ist)f Ff(K)928 1454 y Fn(X)989 1469 y Fr(:=)k(Abb\()p Fq(X)q(;)7 b Ff(K)p Fr(\))26 b(eine)d Ff(K)p Fr(-)59 1519 y(Algebra)16 b(mit)f(k)o(omp)q(onen)o(t)o(w)o(eiser)g(Addition)h(und)g(Multiplik)n (ation:)e(\()p Fq(f)h Fr(+)c Fq(g)q Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))17 b(:=)59 1568 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))10 b(+)g Fq(g)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))k(und)g(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))f(:=)e Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\).)59 1622 y(V)m(on)j(unserem)g(Standpunkt)g (aus)h(sehen)g(wir)f Ff(K)825 1606 y Fn(X)874 1622 y Fr(als)g(V)m(ektorraum)f(mit)f(der)j(Addi-)59 1671 y(tion)f(\()p Fq(f)h Fr(+)10 b Fq(g)q Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))j(:=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))d(+)g Fq(g)q Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))15 b(und)g(Sk)n(alarm)o(ultipl)o(ik)m(atio)o(n)d(\()p Fq(\013f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))i(:=)e Fq(\013f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\).)59 1721 y(Das)g(de\014niert)h(einen)f(darstellbaren)h(k)o (on)o(tra)o(v)n(arian)o(ten)e(F)m(unktor)h Ff(K)1138 1706 y Fr(-)1168 1721 y(:)f(Me)h Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(V)m(ek,)59 1771 y(dargestellt)22 b(durc)o(h)h Ff(K)p Fr(.)h(T)m(ats)540 1773 y(\177)540 1771 y(ac)o(hlic)o(h)d(ist)h Ff(K)781 1756 y Fn(h)831 1771 y Fr(:)i Ff(K)896 1756 y Fn(Y)952 1771 y Fm(\000)-6 b(!)24 b Ff(K)1073 1756 y Fn(X)1130 1771 y Fr(f)1144 1773 y(\177)1143 1771 y(ur)d Fq(h)k Fr(:)f Fq(X)k Fm(\000)-6 b(!)59 1821 y Fq(Y)30 b Fr(eine)22 b(lineare)f(Abbildung,)f(denn)h Ff(K)708 1806 y Fn(h)732 1821 y Fr(\()p Fq(\013f)e Fr(+)14 b Fq(\014)r(g)q Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))25 b(=)e(\()p Fq(\013f)c Fr(+)14 b Fq(\014)r(g)q Fr(\)\()p Fq(h)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))25 b(=)59 1871 y Fq(\013f)t Fr(\()p Fq(h)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))15 b(+)f Fq(\014)r(g)q Fr(\()p Fq(h)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))25 b(=)f(\()p Fq(\013f)t(h)14 b Fr(+)h Fq(\014)r(g)q(h)p Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))24 b(=)g(\()p Fq(\013)p Ff(K)968 1856 y Fn(h)993 1871 y Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))15 b(+)f Fq(\014)r Ff(K)1165 1856 y Fn(h)1190 1871 y Fr(\()p Fq(g)q Fr(\)\)\()p Fq(x)p Fr(\),)21 b(also)59 1920 y Ff(K)88 1905 y Fn(h)113 1920 y Fr(\()p Fq(\013f)14 b Fr(+)9 b Fq(\014)r(g)q Fr(\))k(=)f Fq(\013)p Ff(K)406 1905 y Fn(h)430 1920 y Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))e(+)g Fq(\014)r Ff(K)593 1905 y Fn(h)617 1920 y Fr(\()p Fq(g)q Fr(\).)59 1974 y(Wir)h(b)q(etrac)o(h)o(ten)i(Homomorphism)o(en)8 b Fq(\034)17 b Fr(:)11 b Ff(K)772 1959 y Fn(X)811 1974 y Fm(\012)t Ff(K)877 1959 y Fn(Y)920 1974 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Ff(K)1028 1959 y Fn(X)s Fp(\002)p Fn(Y)1115 1974 y Fr(,)g(die)h(durc)o(h)g Fq(\034)5 b Fr(\()p Fq(f)k Fm(\012)59 2023 y Fq(g)q Fr(\)\()p Fq(x;)e(y)q Fr(\))12 b(:=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))k(de\014niert)f(sind.)e(Man)h(m)o(u\031)e(zeigen,)i(da\031)f Fq(\034)1117 2008 y Fp(0)1140 2023 y Fr(:)e Ff(K)1193 2008 y Fn(X)1236 2023 y Fm(\002)f Ff(K)1307 2008 y Fn(Y)1350 2023 y Fm(\000)-6 b(!)59 2073 y Ff(K)88 2058 y Fn(X)s Fp(\002)p Fn(Y)193 2073 y Fr(bilinear)16 b(ist,)h(um)f(einen)h (eindeutig)g(b)q(estimm)o(ten)f(Homomorphi)o(sm)n(us)f(auf)721 2173 y Ft(27)p eop %%Page: 28 33 28 32 bop 59 117 a Ft(28)130 b(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)59 225 y Fr(dem)i(T)m(ensorpro)q(dukt)i(zu)f (erhalten:)g Fq(\034)705 210 y Fp(0)716 225 y Fr(\()p Fq(f)f Fr(+)13 b Fq(f)840 210 y Fp(0)853 225 y Fq(;)7 b(g)q Fr(\)\()p Fq(x;)g(y)q Fr(\))21 b(=)h(\()p Fq(f)c Fr(+)c Fq(f)1204 210 y Fp(0)1216 225 y Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))23 b(=)59 275 y(\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))10 b(+)g Fq(f)231 260 y Fp(0)243 275 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\)\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))k(=)e Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))f(+)f Fq(f)678 260 y Fp(0)691 275 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))j(=)f Fq(\034)901 260 y Fp(0)912 275 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b(g)q Fr(\))j(+)g Fq(\034)1081 260 y Fp(0)1092 275 y Fr(\()p Fq(f)1132 260 y Fp(0)1145 275 y Fq(;)d(g)q Fr(\)\()p Fq(x;)g(y)q Fr(\))14 b(ergibt)59 325 y(die)g(Additivit)293 327 y(\177)293 325 y(at)g(im)e(link)o(en)i(Argumen)o(t.)f(Die)h(Additivit)978 327 y(\177)978 325 y(at)g(im)e(rec)o(h)o(ten)k(Argumen)o(t)59 374 y(und)e(die)g(V)m(ertausc)o(h)o(bark)o(eit)h(mit)d(F)m(aktoren)i (aus)g Ff(K)j Fr(wird)993 376 y(\177)993 374 y(ahnlic)o(h)d(nac)o (hgepr)1301 376 y(\177)1300 374 y(uft.)59 444 y(Zusammen)h(erh)329 446 y(\177)329 444 y(alt)i(man)e(eine)j(Multiplik)n(ation)c Fm(r)i Fr(:)g Ff(K)962 429 y Fn(X)1008 444 y Fm(\012)11 b Ff(K)1080 429 y Fn(X)1156 420 y(\034)1131 444 y Fm(\000)-6 b(!)16 b Ff(K)1244 429 y Fn(X)s Fp(\002)p Fn(X)1360 420 y Fc(K)1386 408 y Fb(\001)1350 444 y Fm(\000)-6 b(!)59 494 y Ff(K)88 479 y Fn(X)123 494 y Fr(,)9 b(w)o(ob)q(ei)g(\001)j(:)f Fq(X)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(X)t Fm(\002)q Fq(X)j Fr(in)9 b(Me)h(die)g(Diagonalabbildung)c(ist)k(\001\()p Fq(x)p Fr(\))h(:=)h(\()p Fq(x;)7 b(x)p Fr(\).)59 548 y(W)m(eiter)16 b(hat)g(man)f(ein)h(Einselemen)o(t)g Fq(\021)g Fr(:)f Ff(K)763 533 y Fp(f\003g)860 525 y Fn(")834 548 y Fm(\000)-6 b(!)14 b Ff(K)946 533 y Fn(X)996 548 y Fr(mit)h Fq(")g Fr(:)g Fq(X)k Fm(\000)-7 b(!)15 b(f\003g)g Fr(Ab-)59 598 y(bildung)j(in)h(die)h(einelemen)o(tige)e(Menge.)i(Damit)d(rec)o (hnet)k(man)d(jetzt)i(nac)o(h,)f(da\031)59 648 y(\()p Ff(K)104 633 y Fn(X)139 648 y Fq(;)7 b(\021)q(;)g Fm(r)p Fr(\))16 b(eine)i(Algebra)f(wird.)g(Es)g(gehen)h(dab)q(ei)g(zw)o(ei)f (Eigensc)o(haften)h(w)o(esen)o(t-)59 698 y(lic)o(h)c(ein,)h(n)240 700 y(\177)240 698 y(amlic)o(h)e(da\031)h Ff(K)k Fr(assoziativ)d(mit)e (Einselemen)o(t)i(ist)g(und)g(da\031)f Fq(X)q(;)7 b Fr(\001)p Fq(;)g(")14 b Fr(ein)59 772 y(")78 748 y(Komonoid)m(\\)h(ist:)553 811 y Fq(X)254 b(X)13 b Fm(\002)d Fq(X)p 603 799 226 2 v 788 798 a Fk(-)703 790 y Fi(\001)p 571 935 2 108 v 572 935 a Fk(?)528 891 y Fi(\001)p 903 935 V 904 935 a Fk(?)921 889 y Fi(1)p Fp(\002)p Fi(\001)509 977 y Fq(X)j Fm(\002)d Fq(X)165 b(X)13 b Fm(\002)c Fq(X)k Fm(\002)d Fq(X)p 647 965 138 2 v 743 964 a Fk(-)681 992 y Fi(\001)p Fp(\002)p Fi(1)429 1070 y Fq(X)420 b(X)12 b Fm(\002)e Fq(X)p 479 1059 392 2 v 829 1058 a Fk(-)661 1050 y Fi(\001)p 447 1195 2 108 v 448 1195 a Fk(?)404 1151 y Fi(\001)724 1148 y(1)741 1152 y Fj(X)535 1101 y Fk(P)576 1115 y(P)618 1128 y(P)659 1142 y(P)701 1156 y(P)742 1170 y(P)784 1184 y(P)817 1195 y(P)-42 b(q)p 945 1195 V 87 w(?)962 1148 y Fi(1)p Fp(\002)p Fn(")385 1234 y Fq(X)13 b Fm(\002)c Fq(X)208 b Fm(f\003g)9 b(\002)g Fq(X)877 1223 y Fm(\030)877 1236 y Fr(=)921 1234 y Fq(X)970 1223 y Fm(\030)970 1236 y Fr(=)1014 1234 y Fq(X)k Fm(\002)c(f\003g)p Fq(:)p 523 1225 181 2 v 661 1224 a Fk(-)584 1250 y Fn(")p Fp(\002)p Fi(1)59 1327 y Fr(F)87 1329 y(\177)86 1327 y(ur)k(eine)g(Abbildung)f Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(X)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(Y)22 b Fr(erh)715 1329 y(\177)715 1327 y(alt)13 b(man)e(einen)i(Algebren)h (Homom)o(orphis-)59 1377 y(m)o(us)f Ff(K)175 1362 y Fn(f)211 1377 y Fr(:)e Ff(K)263 1362 y Fn(Y)307 1377 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)414 1362 y Fn(X)449 1377 y Fr(,)i(denn)i(die)f(Diagramm)o (e)299 1443 y Ff(K)328 1428 y Fn(Y)369 1443 y Fm(\012)c Ff(K)440 1428 y Fn(Y)640 1443 y Ff(K)669 1428 y Fn(Y)g Fp(\002)p Fn(Y)p 484 1429 144 2 v -159 w Fk(-)547 1420 y Fn(\034)296 1651 y Ff(K)326 1636 y Fn(X)369 1651 y Fm(\012)g Ff(K)440 1636 y Fn(X)637 1651 y Ff(K)666 1636 y Fn(X)s Fp(\002)p Fn(X)p 487 1636 138 2 v 583 1635 a Fk(-)547 1627 y Fn(\034)977 1445 y Ff(K)1007 1430 y Fn(Y)p 766 1429 200 2 v 924 1428 a Fk(-)841 1420 y Fc(K)867 1407 y Fb(\001)976 1653 y Ff(K)1005 1638 y Fn(X)p 768 1636 196 2 v 922 1635 a Fk(-)842 1627 y Fc(K)868 1614 y Fb(\001)p 385 1606 2 150 v 386 1606 a Fk(?)402 1543 y Fc(K)428 1531 y Fj(f)443 1543 y Fp(\012)p Fc(K)495 1531 y Fj(f)p 696 1606 V 697 1606 a Fk(?)713 1545 y Fc(K)739 1532 y Fj(f)r Fe(\002)p Fj(f)p 1007 1606 V 1008 1606 a Fk(?)1024 1545 y Fc(K)1050 1532 y Fj(f)59 1703 y Fr(und)610 1763 y Ff(K)639 1748 y Fp(f\003g)707 1752 y Fm(\030)707 1765 y Fr(=)751 1763 y Ff(K)705 1853 y Fn(\021)711 1816 y Fk(A)732 1858 y(A)753 1899 y(A)765 1924 y(A)-21 b(U)670 1853 y Fn(\021)661 1816 y Fk(\001)641 1858 y(\001)620 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Fn(X)137 374 y Ff(K)j Fr(mit)13 b Fq(m)297 380 y Fn(x)332 374 y Fr(:=)g Fm(f)p Fq(f)18 b Fm(2)13 b Fr(Abb)q(\()p Fq(X)q(;)7 b Ff(K)p Fr(\))p Fm(j)p Fq(f)t Fr(\()q Fq(x)p Fr(\))16 b(=)e(0)p Fm(g)p Fr(.)g(W)m(enn)g Fq(X)19 b Fr(eine)c(endlic)o(he)h(Men-)59 424 y(ge)f(ist,)f(dann)h(sind)f(das)h(genau)g(alle)f(maxim)o(al)o(en)e (Ideale)j(v)o(on)1061 393 y Fg(Q)1101 437 y Fn(X)1139 424 y Ff(K)p Fr(,)j(ja)c(sogar)g(alle)59 474 y(Primideale)e(v)o(on)i (Abb\()p Fq(X)q(;)7 b Ff(K)p Fr(\).)59 525 y(Wir)12 b(k)164 527 y(\177)164 525 y(onnen)h(jeder)h(k)o(omm)n(utativ)o(en)c(Algebra)i Fq(A)h Fr(die)g(Menge)g(Sp)q(ec\()p Fq(A)p Fr(\))i(ihrer)e(Prim-)59 575 y(ideale)h(zuordenen.)h(Das)e(ergibt)h(einen)h(F)m(unktor)e(Sp)q (ec:)g Ff(K)p Fr(-)d(Alg)h Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Me.)59 625 y(Wir)18 b(w)o(erden)i(jetzt)f(in)f(die)g(Mengen)i(eine)f (Geometrie)e(hinein)o(tragen)i(und)f(sehen,)59 675 y(wie)d(solc)o(he) 256 700 y(")275 675 y(geometrisc)o(hen)h(R)577 677 y(\177)577 675 y(aume)m(\\)g(mit)d(ihren)i(F)m(unktionen)g(Algebren)g(zusam-)59 725 y(menh)159 727 y(\177)159 725 y(angen.)59 806 y Fo(Definition)h Fr(4.2)p Fo(.)k Fr(Der)g(F)m(unktor)e Ff(A)657 791 y Fi(1)699 806 y Fr(:)i Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)848 816 y Fn(c)885 806 y Fm(\000)-7 b(!)20 b Fr(Me)f(\(V)m(ergi\031funktor\),)g (der)59 855 y(jeder)c(k)o(omm)n(utativ)o(en)c Ff(K)p Fr(-Algebra)16 b Fq(A)e Fr(den)g(Raum)e(\(die)i(Menge\))g(der)h(Punkte) f(\(Ele-)59 905 y(men)o(te\))g(v)o(on)f Fq(A)h Fr(zuordnet,)h(hei\031t) e Fl(a\016ne)i(Ger)n(ade)p Fr(.)59 986 y Fo(Lemma)i Fr(4.3)p Fo(.)j Fl(Der)15 b(F)m(unktor)g(a\016ne)g(Ger)n(ade)g(ist)f(darstel)r (lb)n(ar.)109 1069 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Das)12 b(\(bis)f(auf)g (Isomorphie)f(eindeutig)i(b)q(estimm)o(te\))e(darstellende)i(Ob-)59 1119 y(jekt)i(ist)g(nac)o(h)g(Lemma)d(3.1)i Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(].)p 645 1096 29 2 v 645 1121 2 25 v 672 1121 V 645 1123 29 2 v 59 1200 a Fo(Definition)j Fr(4.4)p Fo(.)k Fr(Der)c(F)m(unktor)g Ff(A)651 1185 y Fi(2)687 1200 y Fr(:)f Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)831 1210 y Fn(c)862 1200 y Fm(\000)-6 b(!)14 b Fr(Me)q(,)h(der)i(jeder)f(k)o(omm)o(utati)o (-)59 1250 y(v)o(en)d Ff(K)p Fr(-Algebra)j Fq(A)d Fr(den)g(Raum)e (\(die)i(Menge\))g(der)h(Punkte)g(\(Elemen)o(te\))e(der)i(Eb)q(ene)59 1299 y Fq(A)90 1284 y Fi(2)123 1299 y Fr(zuordnet,)g(hei\031t)g Fl(a\016ne)h(Eb)n(ene)p Fr(.)59 1380 y Fo(Lemma)i Fr(4.5)p Fo(.)j Fl(Der)15 b(F)m(unktor)g(a\016ne)g(Eb)n(ene)g(ist)f(darstel)r (lb)n(ar.)109 1464 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Das)11 b(darstellende)h(Ob)r (jekt)g(ist)f(analog)e(zu)i(Lemma)e(3.5)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1243 1470 y Fi(1)1264 1464 y Fq(;)d(x)1307 1470 y Fi(2)1325 1464 y Fr(].)p 1389 1441 V 1389 1466 2 25 v 1416 1466 V 1389 1468 29 2 v 59 1544 a(Sei)j Fq(p)143 1550 y Fi(1)162 1544 y Fr(\()p Fq(x)202 1550 y Fi(1)220 1544 y Fq(;)d(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)344 1550 y Fn(n)366 1544 y Fr(\))p Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(p)502 1550 y Fn(m)533 1544 y Fr(\()p Fq(x)573 1550 y Fi(1)592 1544 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)716 1550 y Fn(n)737 1544 y Fr(\))12 b Fm(2)f Ff(K)p Fr([)p Fq(x)869 1550 y Fi(1)890 1544 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1014 1550 y Fn(n)1036 1544 y Fr(])i(eine)i(F)m(amilie)c(v)o (on)j(P)o(o-)59 1594 y(lynomen.)18 b(Wir)i(w)o(ollen)g(die)g (\(geometrisc)o(he\))h(Mannigfaltigk)o(eit)d(der)k(Nullstellen)59 1644 y(dieser)17 b(P)o(olynome)d(b)q(etrac)o(h)o(ten.)j(Allerdings)e(k) n(ann)h(es)g(in)g Ff(K)j Fr(m)1080 1646 y(\177)1080 1644 y(oglic)o(herw)o(eise)14 b(nic)o(h)o(t)59 1694 y(gen)122 1696 y(\177)121 1694 y(ugend)i(viele)f(Nullstellen)g(geb)q(en.)h(Daher) f(lassen)h(wir)f(auc)o(h)g(Nullstellen)g(in)g(Er-)59 1744 y(w)o(eiterungsk)273 1746 y(\177)273 1744 y(orp)q(ern)j(v)o(on)f Ff(K)j Fr(o)q(der)d(no)q(c)o(h)g(allgemeiner)e(in)h(b)q(eliebigen)g Ff(K)q Fr(-Algebren)59 1793 y(zu.)59 1874 y Fo(Definition)g Fr(4.6)p Fo(.)k Fr(Der)f(F)m(unktor)f Fm(X)6 b Fr(,)17 b(der)i(jeder)g(k)o(omm)o(utati)o(v)o(en)d(Algebra)i Fq(A)g Fr(die)59 1924 y(Menge)j(der)h(Nullstellen)e(der)h(P)o(olynome)e (\()p Fq(p)804 1930 y Fn(i)818 1924 y Fr(\))i(in)f Fq(A)941 1909 y Fn(n)984 1924 y Fr(zuordnet:)h Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))23 b Fm(\022)g Fq(A)1383 1909 y Fn(n)1406 1924 y Fr(,)59 1974 y(hei\031t)c Fl(a\016ne)i(algebr)n(aische)f (Mannigfaltigkeit)f Fr(o)q(der)h Fl(a\016nes)g(Schema)h Fr(in)e Ff(A)1310 1959 y Fn(n)1355 1974 y Fr(mit)59 2023 y(den)g(de\014nierenden)h(P)o(olynomen)c Fq(p)640 2029 y Fi(1)659 2023 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)780 2029 y Fn(m)811 2023 y Fr(.)17 b(Die)h(Elemen)o(te)g(aus)h Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))18 b(hei\031en)59 2073 y Fq(A)p Fl(-Punkte)d Fr(v)o(on)e Fm(X)6 b Fr(.)p eop %%Page: 30 35 30 34 bop 59 117 a Ft(30)130 b(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)59 225 y Fo(Sa)m(tz)f Fr(4.7)p Fo(.)k Fl(Das)f(a\016ne)g(Schema)g Fm(X)24 b Fl(in)18 b Ff(A)753 210 y Fn(n)797 225 y Fl(mit)g(den)h(de\014nier)n(enden)g (Polynomen)59 275 y Fq(p)80 281 y Fi(1)99 275 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(p)219 281 y Fn(m)265 275 y Fl(ist)14 b(ein)h(darstel)r(lb)n(ar)n(er)f(F)m(unktor)h(mit)f(der)g(darstel)r (lenden)i(A)o(lgebr)n(a)404 360 y Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))12 b(:=)f Ff(K)q Fr([)p Fq(x)639 366 y Fi(1)659 360 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)783 366 y Fn(n)805 360 y Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(p)875 366 y Fi(1)893 360 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)1014 366 y Fn(m)1044 360 y Fr(\))p Fq(;)59 445 y Fl(genannt)16 b Fr(a\016ne)e(Algebra)h Fl(des)g(F)m(unktors.)109 536 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)10 b(zeigen)g(zun)552 538 y(\177)552 536 y(ac)o(hst,)h(da\031)f(das)g (a\016ne)g(Sc)o(hema)f Fm(X)17 b Fr(:)11 b Ff(K)p Fr(-)f(Alg)1254 547 y Fn(c)1282 536 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Me)59 586 y(mit)h(den)i(de\014nierenden)h(P)o(olynomen)d Fq(p)702 592 y Fi(1)720 586 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)841 592 y Fn(m)885 586 y Fr(ein)13 b(F)m(unktor)h(ist.)f(Dazu)g(de\014nie-) 59 636 y(ren)18 b(wir)f(f)223 638 y(\177)222 636 y(ur)g(einen)h (Algebren)g(Homomorphism)m(us)d Fq(f)22 b Fr(:)17 b Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)16 b Fq(B)k Fr(die)d(induzierte)59 686 y(Abbildung)d Fq(f)288 671 y Fn(n)324 686 y Fr(:)e Fq(A)379 671 y Fn(n)414 686 y Fm(\000)-6 b(!)12 b Fq(B)527 671 y Fn(n)564 686 y Fr(durc)o(h)j(k)o(omp)q(onen)o(t)o(w)o(eise)f(An)o(w)o (endung)h(und)f Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))14 b(:)59 736 y Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b Fm(\000)-7 b(!)14 b(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))16 b(durc)o(h)g(Einsc)o(hr)624 738 y(\177)624 736 y(ankung)g(v)o(on)g Fq(f)878 721 y Fn(n)917 736 y Fr(auf)f Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\).)15 b(Diese)h(Abbildung)59 785 y(ist)e(w)o(ohlde\014niert,)g(denn)g(ist)g (\()p Fq(a)574 791 y Fi(1)593 785 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)715 791 y Fn(n)737 785 y Fr(\))12 b Fm(2)f(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))14 b(Nullstelle)g(v)o(on)f(allen)g(P)o(olyno-)59 835 y(men)g Fq(p)170 841 y Fi(1)189 835 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)310 841 y Fn(m)340 835 y Fr(,)14 b(so)g(ist)h Fq(p)497 841 y Fn(i)510 835 y Fr(\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)588 841 y Fi(1)608 835 y Fr(\))p Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(f)t Fr(\()p Fq(a)786 841 y Fn(n)809 835 y Fr(\)\))12 b(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)958 841 y Fn(i)973 835 y Fr(\()p Fq(a)1011 841 y Fi(1)1030 835 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)1152 841 y Fn(n)1174 835 y Fr(\)\))12 b(=)g Fq(f)t Fr(\(0\))h(=)g(0)59 885 y(f)73 887 y(\177)72 885 y(ur)g(alle)f Fq(i)p Fr(,)g(also)g(ist)h(auc)o(h)g Fq(f)497 870 y Fn(n)520 885 y Fr(\()p Fq(a)558 891 y Fi(1)577 885 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(a)698 891 y Fn(n)720 885 y Fr(\))12 b(=)g(\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)870 891 y Fi(1)890 885 y Fr(\))p Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(f)t Fr(\()p Fq(a)1067 891 y Fn(n)1090 885 y Fr(\)\))12 b Fm(2)f Fq(B)1206 870 y Fn(n)1242 885 y Fr(eine)i(Null-)59 935 y(stelle)g(f)178 937 y(\177)177 935 y(ur)g(alle)e(P)o(olynome.)g(Damit)f(ist)j Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))12 b(:)f Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))13 b(de\014niert)h(und)e(die)59 985 y(F)m(unktoreigensc)o(haft)i (v)o(on)g Fm(X)19 b Fr(klar.)59 1036 y(Um)d(zu)i(zeigen,)g(da\031)e Fm(X)23 b Fr(durc)o(h)c Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))17 b(=)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)830 1042 y Fi(1)851 1036 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)975 1042 y Fn(n)996 1036 y Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(p)1066 1042 y Fi(1)1084 1036 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)1205 1042 y Fn(m)1236 1036 y Fr(\))17 b(darstell-)59 1086 y(bar)g(ist,)g(b)q(emerk)o(en)h(wir)f(zun)540 1088 y(\177)540 1086 y(ac)o(hst,)h(da\031)f(\()p Fq(p)782 1092 y Fi(1)800 1086 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)921 1092 y Fn(m)952 1086 y Fr(\))17 b(das)h(v)o(on)e(den)i Fq(p)1247 1092 y Fi(1)1266 1086 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(p)1386 1092 y Fn(m)59 1136 y Fr(erzeugte)22 b(\(zw)o(eiseitige\))e(Ideal)f(in) g Ff(K)p Fr([)p Fq(x)698 1142 y Fi(1)719 1136 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)843 1142 y Fn(n)865 1136 y Fr(])19 b(b)q(ezeic)o(hnet.)i(Wir)e(wissen,)h(da\031)59 1186 y(jedes)j Fq(n)p Fr(-T)m(up)q(el)f(\()p Fq(a)373 1192 y Fi(1)392 1186 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(a)513 1192 y Fn(n)535 1186 y Fr(\))26 b Fm(2)f Fq(A)661 1171 y Fn(n)706 1186 y Fr(einen)e(Algebren)g(Homom)o(orphism)n(us)d Fq(f)30 b Fr(:)59 1236 y Ff(K)p Fr([)p Fq(x)124 1242 y Fi(1)145 1236 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)269 1242 y Fn(n)291 1236 y Fr(])14 b Fm(\000)-6 b(!)14 b Fq(A)i Fr(mit)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)589 1242 y Fi(1)608 1236 y Fr(\))g(=)h Fq(a)709 1242 y Fi(1)727 1236 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(f)t Fr(\()p Fq(x)891 1242 y Fn(n)914 1236 y Fr(\))15 b(=)g Fq(a)1014 1242 y Fn(n)1053 1236 y Fr(eindeutig)h(b)q(estimm)o(t.) 59 1285 y(\(Der)c(P)o(olynomring)d Ff(K)p Fr([)p Fq(x)461 1291 y Fi(1)482 1285 y Fq(;)e(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)606 1291 y Fn(n)628 1285 y Fr(])k(ist)g(in)h Ff(K)p Fr(-)e(Alg)870 1295 y Fn(c)898 1285 y Fr(frei)970 1287 y(\177)969 1285 y(ub)q(er)i(der)h(Menge)f Fm(f)p Fq(x)1307 1291 y Fi(1)1325 1285 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)59 1335 y(x)83 1341 y Fn(n)105 1335 y Fm(g)p Fr(,)g(o)q(der)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)307 1341 y Fi(1)328 1335 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)452 1341 y Fn(n)474 1335 y Fr(])12 b(zusammen)e(mit)h(der)i (Ein)o(b)q(ettung)g Fq(\023)f Fr(:)f Fm(f)p Fq(x)1155 1341 y Fi(1)1173 1335 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)k(;)c(x)1296 1341 y Fn(n)1318 1335 y Fm(g)k(\000)-6 b(!)59 1385 y Ff(K)p Fr([)p Fq(x)124 1391 y Fi(1)145 1385 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)269 1391 y Fn(n)291 1385 y Fr(])14 b(l)329 1387 y(\177)329 1385 y(ost)h(das)f(k)o(ouniv)o(erselle)h (Problem,)e(das)i(durc)o(h)h(den)f(V)m(ergi\031funktor)59 1435 y Fm(V)25 b Fr(:)c Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)259 1445 y Fn(c)298 1435 y Fm(\000)-7 b(!)21 b Fr(Me)f(und)g(die)g(Menge)h Fm(f)p Fq(x)808 1441 y Fi(1)826 1435 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)950 1441 y Fn(n)971 1435 y Fm(g)22 b(2)f Fr(Me)f(de\014niert) h(wird.\))59 1485 y(Dieser)i(Algebren)g(Homomorphism)m(us)d(bildet)i(P) o(olynome)e Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)1114 1491 y Fi(1)1133 1485 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1257 1491 y Fn(n)1278 1485 y Fr(\))23 b(ab)f(in)59 1534 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\))13 b(=)e Fq(p)p Fr(\()p Fq(a)251 1540 y Fi(1)270 1534 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)392 1540 y Fn(n)414 1534 y Fr(\).)k(Es)i(ist)f(also)g(\()p Fq(a)686 1540 y Fi(1)705 1534 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(a)826 1540 y Fn(n)848 1534 y Fr(\))13 b(genau)f(dann)g(gemeinsame)e(Null-)59 1584 y(stelle)16 b(der)h(P)o(olynome)d Fq(p)456 1590 y Fi(1)475 1584 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(p)595 1590 y Fn(m)626 1584 y Fr(,)16 b(w)o(enn)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)824 1590 y Fn(i)839 1584 y Fr(\))f(=)g Fq(p)938 1590 y Fn(i)952 1584 y Fr(\()p Fq(a)990 1590 y Fi(1)1009 1584 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(a)1130 1590 y Fn(n)1152 1584 y Fr(\))15 b(=)h(0,)f(also)g(die)59 1634 y Fq(p)80 1640 y Fi(1)99 1634 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(p)219 1640 y Fn(m)265 1634 y Fr(im)13 b(Kern)i(v)o(on)g Fq(f)k Fr(liegen.)14 b(Das)h(ist)g(genau)f(dann)h(der)h(F)m(all,)c(w)o(enn)j Fq(f)20 b Fr(auf)59 1684 y(dem)13 b(Ideal)h(\()p Fq(p)289 1690 y Fi(1)307 1684 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)428 1690 y Fn(m)459 1684 y Fr(\))14 b(v)o(ersc)o(h)o(windet)h(o)q(der)f (durc)o(h)h(die)f(Restklassenabbildung)299 1769 y Fq(\027)g Fr(:)d Ff(K)p Fr([)p Fq(x)422 1775 y Fi(1)443 1769 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)567 1775 y Fn(n)588 1769 y Fr(])12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)p Fr([)p Fq(x)755 1775 y Fi(1)776 1769 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)900 1775 y Fn(n)922 1769 y Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(p)992 1775 y Fi(1)1010 1769 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(p)1130 1775 y Fn(m)1161 1769 y Fr(\))59 1854 y(faktorisiert)14 b(w)o(erden)h(k)n(ann.)d(Damit)g(ist)i(eine)g(Bijektion)75 1939 y Ff(K)p Fr(-)c(Alg)192 1949 y Fn(c)208 1939 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)290 1945 y Fi(1)311 1939 y Fq(;)d(:)g(:)g(:)k(;)c(x) 434 1945 y Fn(n)456 1939 y Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(p)526 1945 y Fi(1)544 1939 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)665 1945 y Fn(m)696 1939 y Fr(\))p Fq(;)g(A)p Fr(\))k Fm(3)g Fq(f)17 b Fm(7!)11 b Fr(\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)998 1945 y Fi(1)1017 1939 y Fr(\))p Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(f)t Fr(\()p Fq(x)1197 1945 y Fn(n)1220 1939 y Fr(\)\))12 b Fm(2)f(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))59 2023 y(de\014niert.)13 b(Man)g(sieh)o(t)g(dann)f(leic)o(h)o(t,)g(da\031)g(diese)i(Bijektion)e (ein)h(nat)1131 2025 y(\177)1130 2023 y(urlic)o(her)g(Isomor-)59 2073 y(phism)o(us)g(\(in)g Fq(A)p Fr(\))h(ist.)p 443 2050 29 2 v 443 2075 2 25 v 469 2075 V 443 2077 29 2 v eop %%Page: 31 36 31 35 bop 225 117 a Ft(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)131 b(31)59 225 y Fr(W)m(enn)21 b(k)o(eine)g(P)o(olynome)e(gegeb)q(en)k(sind,)d(so)h(ist)g(der)h(F)m (unktor)f(der)h(des)g Fl(a\016nen)59 275 y(R)n(aumes)f Ff(A)248 260 y Fn(n)294 275 y Fr(der)g(Dimension)e Fq(n)p Fr(.)g(Mit)i(der)g(V)m(orgab)q(e)f(v)o(on)g(P)o(olynomen)e(wird)j Fm(X)59 325 y Fr(ein)g(Un)o(terfunktor)h(v)o(on)f Ff(A)505 310 y Fn(n)531 325 y Fr(,)g(w)o(eil)f(er)i(jew)o(eils)f(nat)911 327 y(\177)910 325 y(urlic)o(h)g(T)m(eilmengen)f Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))24 b Fm(\022)59 374 y Ff(A)86 359 y Fn(n)112 374 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))19 b(=)g Fq(A)276 359 y Fn(n)317 374 y Fr(de\014niert.)f(Beide)h(F)m(unktoren)g(sind)f (darstellbar)g(und)h(die)f(Ein)o(b)q(et-)59 424 y(tung)h(k)o(omm)o(t)d (v)o(on)j(dem)f(Algebren)i(Homomo)o(rphism)n(us)d Fq(\027)22 b Fr(:)e Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1152 430 y Fi(1)1173 424 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1297 430 y Fn(n)1319 424 y Fr(])19 b Fm(\000)-6 b(!)59 474 y Ff(K)p Fr([)p Fq(x)124 480 y Fi(1)145 474 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)269 480 y Fn(n)291 474 y Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(p)361 480 y Fi(1)379 474 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(p)499 480 y Fn(m)530 474 y Fr(\).)64 558 y Fo(\177)59 567 y(Ubung)16 b Fr(4.8)p Fo(.)k Fr(a\))13 b(Bestimmen)e(Sie)h(die)h(a\016ne)f (Algebra)h(des)g(F)m(unktors)g(Einheitkreis)59 617 y Fq(S)86 602 y Fi(1)119 617 y Fr(in)h Ff(A)195 602 y Fi(2)216 617 y Fr(.)59 669 y(b\))i(Bestimmen)f(Sie)g(die)h(a\016ne)g(Algebra)g (des)h(F)m(unktors)f(Einheitssph)1202 671 y(\177)1202 669 y(are)h Fq(S)1301 654 y Fn(n)p Fp(\000)p Fi(1)1383 669 y Fr(in)59 719 y Ff(A)86 704 y Fn(n)112 719 y Fr(.)59 772 y(c\))12 b(Sei)g Fm(X)17 b Fr(die)12 b(eb)q(ene)h(Kurv)o(e)f Fq(y)i Fr(=)e Fq(x)620 757 y Fi(2)638 772 y Fr(.)f(Dann)g(ist)h Fm(X)17 b Fr(isomorph)10 b(zur)j(a\016nen)e(Geraden.)59 824 y(d\))18 b(Sei)f Fm(Y)k Fr(die)d(eb)q(ene)h(Kurv)o(e)f Fq(xy)i Fr(=)e(1.)f(Dann)g(ist)h Fm(Y)i Fr(nic)o(h)o(t)e(zur)g (a\016nen)g(Geraden)59 874 y(isomorph.)59 926 y(e\))13 b(Sei)f Ff(K)j Fr(=)d Ff(C)21 b Fr(der)14 b(K)404 928 y(\177)404 926 y(orp)q(er)f(der)g(k)o(omplexen)e(Zahlen.)i(Zeigen)g (Sie,)e(da\031)h(der)i(Einhei-)59 976 y(ten)f(F)m(unktor)f Fq(U)17 b Fr(:)11 b Ff(K)p Fr(-)f(Alg)471 986 y Fn(c)499 976 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Me)h(aus)h(Lemma)d(3.3)h(nat)992 978 y(\177)991 976 y(urlic)o(h)h(isomorph)f(ist)h(zum)59 1026 y(Einheitskreis)j(F)m(unktor)f Fq(S)492 1011 y Fi(1)511 1026 y Fr(.)f(\(Hin)o(w)o(eis:)h(Es)g(gibt)g(einen)g(Algebren)h (Isomorphism)o(us)59 1076 y(zwisc)o(hen)g(den)g(darstellenden)g (Algebren)f Ff(K)p Fr([)p Fq(e;)7 b(e)838 1061 y Fp(\000)p Fi(1)886 1076 y Fr(])13 b(und)h Ff(K)p Fr([)p Fq(c;)7 b(s)p Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(c)1158 1061 y Fi(2)1188 1076 y Fr(+)i Fq(s)1248 1061 y Fi(2)1277 1076 y Fm(\000)g Fr(1\).\))59 1128 y(f)s(\)*)j(Sei)g Ff(K)j Fr(ein)d(algebraisc)o(h)g (abgesc)o(hlossener)i(K)835 1130 y(\177)835 1128 y(orp)q(er.)f(Sei)f Fq(p)g Fr(ein)g(irreduzibles)h(qua-)59 1178 y(dratisc)o(hes)h(P)o (olynom)d(in)h Ff(K)q Fr([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])14 b(und)f(sei)h Fm(Z)i Fr(der)e(durc)o(h)f Fq(p)g Fr(de\014nierte)h(Kegelsc)o(hnitt)59 1228 y(mit)f(der)i(a\016nen)g(Algebra)f Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(p)p Fr(\).)16 b(Zeigen)f(Sie,)g(da\031)f Fm(Z)k Fr(en)o(t)o(w)o(eder)d(zu)g Fm(X)21 b Fr(o)q(der)59 1278 y(zu)14 b Fm(Y)j Fr(nat)220 1280 y(\177)219 1278 y(urlic)o(h)d(isomorph)e(ist.)59 1371 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(4.9)p Fo(.)j Fr(Eine)10 b(a\016ne)f (Algebra)h(eines)g(a\016nen)g(Sc)o(hemas)f(legt)h(die)f(P)o(olyno-)59 1420 y(me)i Fq(p)145 1426 y Fi(1)163 1420 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)284 1426 y Fn(n)318 1420 y Fr(nic)o(h)o(t)k(eindeutig)h (fest,)g(sondern)g(lediglic)o(h)f(das)h(v)o(on)f(diesen)h(erzeugte)59 1470 y(Ideal)18 b(im)e(P)o(olynomring)f Ff(K)p Fr([)p Fq(x)544 1476 y Fi(1)565 1470 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)689 1476 y Fn(n)711 1470 y Fr(].)17 b(Ab)q(er)i(auc)o(h)f (die)g(Anzahl)g(der)h(Algebren)59 1520 y(Erzeugenden)e Fq(x)329 1526 y Fi(1)347 1520 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)471 1526 y Fn(n)507 1520 y Fr(ist)15 b(nic)o(h)o(t)f (eindeutig)h(b)q(estimm)o(t.)d Fl(A\016ne)j(A)o(lgebr)n(en)f Fr(sind)59 1570 y(deshalb)g(\(als)g(Algebren\))h(endlic)o(h)e(erzeugte) j(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)11 b(Algebren.)59 1622 y(Die)i(Punkte)i(\()p Fq(\013)322 1628 y Fi(1)340 1622 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(\013)467 1628 y Fn(n)489 1622 y Fr(\))k Fm(2)h(X)6 b Fr(\()p Ff(K)p Fr(\))17 b(eines)d(a\016nen)g(Sc)o(hemas)f Fm(X)20 b Fr(im)11 b(Grundk)1321 1624 y(\177)1321 1622 y(orp)q(er)59 1672 y Ff(K)18 b Fr(hei\031en)d Fl(r)n(ationale)h(Punkte) p Fr(.)f(Sie)g(reic)o(hen)g(nic)o(h)o(t)g(aus,)g(um)e(das)i(a\016ne)g (Sc)o(hema)f(zu)59 1722 y(c)o(harakterisieren.)d(So)e(hab)q(en)h(f)553 1724 y(\177)552 1722 y(ur)g Ff(K)15 b Fr(:=)c Ff(R)t Fr(die)f(a\016nen)f(Sc)o(hemata)g Fm(X)15 b Fr(und)10 b Fm(Y)j Fr(mit)8 b(den)59 1772 y(a\016nen)13 b(Algebren)i Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))11 b(:=)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)716 1757 y Fi(2)745 1772 y Fr(+)i Fq(y)807 1757 y Fi(2)835 1772 y Fr(+)f(1\))14 b(und)f Fm(O)q Fr(\()p Fm(Y)s Fr(\))f(:=)g Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)1311 1757 y Fi(2)1340 1772 y Fr(+)c(1\))59 1822 y(k)o(eine)19 b(rationalen)e(Punkte,)i(jedo)q (c)o(h)g(hat)f(das)h(Sc)o(hema)e Fm(Y)22 b Fr(genau)c(zw)o(ei)h(k)o (omplexe)59 1871 y(Punkte)g(und)g Fm(X)25 b Fr(unendlic)o(h)18 b(viele)h(k)o(omplexe)e(Punkte,)i(also)f(ist)g Fm(X)6 b Fr(\()p Ff(C)g Fr(\))23 b Fm(6)1261 1860 y(\030)1261 1874 y Fr(=)1312 1871 y Fm(Y)s Fr(\()p Ff(C)7 b Fr(\).)59 1921 y(Das)19 b(liegt)f(nic)o(h)o(t)g(et)o(w)o(a)h(an)f(den)i(Ein)o(b)q (ettungen)f(in)g(un)o(tersc)o(hiedlic)o(he)h(R)1254 1923 y(\177)1254 1921 y(aume)d Ff(A)1396 1906 y Fi(2)59 1971 y Fr(bzw.)d Ff(A)183 1956 y Fi(1)205 1971 y Fr(,)f(w)o(eil)g(auc)o(h)h (gilt)f Fm(O)q Fr(\()p Fm(Y)s Fr(\))f(=)g Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)777 1956 y Fi(2)806 1971 y Fr(+)e(1\))896 1960 y Fm(\030)896 1973 y Fr(=)940 1971 y Ff(K)p Fr([)p Fq(x;)d(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)1118 1956 y Fi(2)1148 1971 y Fr(+)j(1)p Fq(;)d(y)q Fr(\).)59 2023 y(Da)16 b(jedes)h(a\016ne)f(Sc)o(hema)f Fm(X)22 b Fr(isomorph)15 b(zu)i(dem)e(F)m(unktor)h Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)1162 2034 y Fn(c)1179 2023 y Fr(\()p Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)c Fr(\))p Fq(;)h Fr(-)o(\))17 b(ist,)59 2073 y(w)o(erden)i(wir)f(in)g(Zukunft,)g(um)e(die)j(Betrac)o(h)o(tung)g (st)929 2075 y(\177)929 2073 y(orender)h(Isomorphismen)c(zu)p eop %%Page: 32 37 32 36 bop 59 117 a Ft(32)130 b(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)59 225 y Fr(v)o(ermeiden,)e(diese)i(b)q (eiden)g(F)m(unktoren)f(iden)o(ti\014zieren.)h(\(Wir)f(v)o(er)1130 227 y(\177)1130 225 y(andern)h(dadurc)o(h)59 275 y(lediglic)o(h)c Fm(X)19 b Fr(geringf)396 277 y(\177)395 275 y(ugig.\))59 368 y Fo(Sa)m(tz)d Fr(4.10)p Fo(.)k Fl(Sei)d Fm(X)23 b Fl(ein)17 b(a\016nes)h(Schema)g(mit)e(der)h(a\016nen)h(A)o(lgebr)n(a) f Fq(A)e Fr(=)h Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))p Fl(.)59 418 y(Dann)20 b(ist)f Fq(A)291 407 y Fm(\030)291 420 y Fr(=)342 418 y(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\))20 b Fl(als)f Ff(K)p Fl(-A)o(lgebr)n(en,)i(wob)n(ei)e Fm(V)k Fr(:)c Ff(K)q Fl(-)9 b Fr(Alg)1161 428 y Fn(c)1198 418 y Fm(\000)-7 b(!)19 b Fr(Me)h Fl(der)59 468 y(V)m(er)n(gi\031funktor)f (ist.)f(Dur)n(ch)i(den)g(Isomorphismus)g(wir)n(d)e(eine)i(\(in)f Fq(B)r Fl(\))h(nat)1294 470 y(\177)1294 468 y(urliche)59 517 y(T)m(r)n(ansformation)14 b Fq(A)9 b Fm(\002)h(X)c Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)18 b Fl(induziert.)109 619 y Fo(Beweis.)i Fr(Wir)9 b(geb)q(en)i(zun)546 621 y(\177)546 619 y(ac)o(hst)g(einen)f(Isomorphism)o(us)d(zwisc)o(hen) j(den)g(Mengen)59 668 y Fq(A)h Fr(und)g(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\))12 b(an.)e(W)m(egen)h Fm(X)17 b Fr(=)12 b Ff(K)p Fr(-)e(Alg)781 679 y Fn(c)798 668 y Fr(\()p Fq(A;)d Fr(-)o(\))k(und)h Fm(V)j Fr(=)d Ff(K)p Fr(-)e(Alg)1186 679 y Fn(c)1203 668 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d Fr(-)q(\))k(gilt)59 718 y(nac)o(h)55 b(dem)g(Y)m(oneda)g(Lemma)d(f)722 720 y(\177)721 718 y(ur)k(die)f(Mengen)h(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\))81 b(=)59 768 y(Nat\()p Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)260 778 y Fn(c)277 768 y Fr(\()p Fq(A;)e Fr(-\))p Fq(;)g Ff(K)p Fr(-)i(Alg)508 778 y Fn(c)525 768 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)e Fr(-)q(\)\))707 757 y Fm(\030)707 770 y Fr(=)762 768 y Ff(K)p Fr(-)j(Alg)879 778 y Fn(c)896 768 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))24 b(=)e Fm(V)s Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))1248 757 y Fm(\030)1248 770 y Fr(=)1302 768 y Fq(A)p Fr(.)e(Da)59 818 y Fq(A)d Fr(eine)h(Algebra)f(ist,)g(induziert)g(ein)h(solc)o(her)f (Isomorphism)o(us)e(v)o(on)i(Mengen)h(eine)59 868 y(Algebrenstruktur)e (auf)d(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\).)59 920 y(Sei)16 b Fq(')f Fr(:)g Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)15 b Fr(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\))16 b(der)h(angegeb)q(ene)g(Isomorphism)o (us.)c(Wir)j(b)q(esc)o(hreib)q(en)59 970 y(jetzt)k(die)g(genaue)g (Aktion)f Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))j(:)f Fq(A)13 b Fm(\002)g(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))21 b Fm(\000)-6 b(!)20 b Fq(B)i Fr(v)o(on)d Fq(A)h Fr(auf)f Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\).)19 b(Sei)59 1020 y Fq(f)i Fr(:)15 b Fq(A)h Fm(\000)-6 b(!)15 b Fq(B)k Fr(ein)e Fq(B)r Fr(-Punkt)g(aus)g Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)747 1030 y Fn(c)763 1020 y Fr(\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))17 b(=)f Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\).)17 b(Sei)f(w)o(eiterhin)h Fq(a)f Fr(ein)59 1070 y(Elemen)o(t)10 b(aus)h Fq(A)p Fr(.)f(Dieses)i(induziert)f(v)o(erm)730 1072 y(\177)730 1070 y(oge)f(des)h(ob)q(en)h(angegeb)q(enen)g (Isomorphis-)59 1119 y(m)o(us)h(den)i(Algebren)f(Homomorphism)n(us)d Fq(g)761 1125 y Fn(a)793 1119 y Fr(:)g Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])j Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(A)p Fr(,)h(der)i Fq(x)f Fr(auf)f Fq(a)h Fr(abbildet.)59 1169 y(Dieser)g(Algebren)h (Homomo)o(rphism)n(us)c(induziert)j(die)g(nat)1004 1171 y(\177)1003 1169 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)59 1219 y Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))20 b(:)f Fm(X)26 b(\000)-7 b(!)19 b(V)s Fr(,)h(die)e(auf)h Fq(B)i Fr(durc)o(h)e(V)m(erkn)821 1221 y(\177)820 1219 y(upfung)g(mit)e Fq(g)1066 1225 y Fn(a)1105 1219 y Fr(de\014niert)j(ist,)e(also)59 1283 y Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))f(=)d(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])450 1258 y Fn(g)466 1262 y Fj(a)434 1283 y Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(A)584 1258 y Fn(f)560 1283 y Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(B)r Fr(\),)i(o)q(der,)g (da)f(ein)g(solc)o(her)i(Homom)o(orphism)n(us)59 1333 y(durc)o(h)c(das)f(Bild)g(v)o(on)g Fq(x)g Fr(v)o(ollst)545 1335 y(\177)545 1333 y(andig)e(b)q(esc)o(hrieb)q(en)15 b(ist,)c Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))j(=)e Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\).)h(Da)59 1383 y(f)73 1385 y(\177)72 1383 y(ur)g(jedes)i Fq(a)c Fm(2)g Fq(A)j Fr(das)f(Bild)g Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))f(:)f Fm(X)17 b(\000)-6 b(!)11 b(V)17 b Fr(eine)d(nat)936 1385 y(\177)935 1383 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation)e(ist,)59 1433 y(hab)q(en)h(wir)f(Abbildungen)g Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))i(:)e Fq(A)t Fm(\002)t(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))12 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)i Fr(mit)d Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(a;)d(f)t Fr(\))13 b(=)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\).)g(F)1379 1435 y(\177)1378 1433 y(ur)59 1483 y Fq(a;)7 b(a)122 1468 y Fp(0)145 1483 y Fm(2)12 b Fq(A)i Fr(ist)g Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))h(=)d Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))k(und)e Fq(')p Fr(\()p Fq(a)847 1468 y Fp(0)859 1483 y Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))g(=)e Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)1172 1468 y Fp(0)1185 1483 y Fr(\),)i(also)f Fq(')p Fr(\()p Fq(a)d Fr(+)59 1532 y Fq(a)81 1517 y Fp(0)93 1532 y Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))j(=)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)q Fr(+)q Fq(a)461 1517 y Fp(0)475 1532 y Fr(\))f(=)h Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))q(+)q Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)720 1517 y Fp(0)735 1532 y Fr(\))f(=)h Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))q(+)r Fq(')p Fr(\()p Fq(a)1164 1517 y Fp(0)1178 1532 y Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))i(=)59 1582 y(\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\))h(+)e Fq(')p Fr(\()p Fq(a)402 1567 y Fp(0)413 1582 y Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\)\()p Fq(x)p Fr(\))22 b(=)e(\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\))13 b(+)g Fq(')p Fr(\()p Fq(a)981 1567 y Fp(0)993 1582 y Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))22 b(=)d(\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))13 b(+)59 1632 y Fq(')p Fr(\()p Fq(a)124 1617 y Fp(0)136 1632 y Fr(\)\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))f(und)f(analog)d Fq(')p Fr(\()p Fq(aa)651 1617 y Fp(0)663 1632 y Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))14 b(=)e Fq(f)t Fr(\()p Fq(aa)998 1617 y Fp(0)1010 1632 y Fr(\))g(=)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)1221 1617 y Fp(0)1235 1632 y Fr(\))h(=)g(\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))r Fm(\001)59 1682 y Fq(')p Fr(\()p Fq(a)124 1667 y Fp(0)136 1682 y Fr(\)\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\),)k(w)o(omit)11 b Fq(')p Fr(\()p Fq(a)f Fr(+)g Fq(a)637 1667 y Fp(0)648 1682 y Fr(\))i(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))e(+)f Fq(')p Fr(\()p Fq(a)917 1667 y Fp(0)929 1682 y Fr(\))14 b(und)g Fq(')p Fr(\()p Fq(aa)1129 1667 y Fp(0)1141 1682 y Fr(\))e(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))d Fm(\001)g Fq(')p Fr(\()p Fq(a)1389 1667 y Fp(0)1401 1682 y Fr(\))59 1732 y(folgt.)15 b(Addition)i(und)g (Multiplik)n(ation)d(in)j(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\))17 b(sind)g(also)f(durc)o(h)i(Addition)59 1781 y(und)12 b(Multiplik)n(ation)e(der)j(W)m(erte)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))6 b(+)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)785 1766 y Fp(0)799 1781 y Fr(\))12 b(bzw.)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)1062 1766 y Fp(0)1076 1781 y Fr(\))g(de\014niert.)h(Sc)o(hlie\031-)59 1831 y(lic)o(h)g(k)o(omm)o(utiert)e(f)375 1833 y(\177)374 1831 y(ur)j(jeden)h(Algebren)f(Homomorphism)n(us)d Fq(f)16 b Fr(:)11 b Fq(B)j Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)1269 1816 y Fp(0)439 1918 y Fq(A)e Fm(\002)h(X)c Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))307 b Fq(B)p 635 1908 282 2 v 875 1907 a Fk(-)738 1892 y Fn( )q Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))p 530 2044 2 108 v 531 2044 a Fk(?)390 1998 y Fn(A)p Fp(\002X)t Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p 945 2044 V 946 2044 a Fk(?)962 1998 y Fn(f)433 2084 y Fq(A)10 b Fm(\002)f(X)d Fr(\()p Fq(B)600 2069 y Fp(0)612 2084 y Fr(\))289 b Fq(B)950 2069 y Fp(0)962 2084 y Fq(;)p 641 2074 265 2 v 863 2073 a Fk(-)729 2105 y Fn( )q Fi(\()p Fn(B)791 2093 y Fe(0)803 2105 y Fi(\))p eop %%Page: 33 38 33 37 bop 225 117 a Ft(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)131 b(33)59 225 y Fr(w)o(omit)12 b Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))h(:)e Fq(A)e Fm(\002)h(X)c Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)16 b Fr(eine)f(nat)781 227 y(\177)780 225 y(urlic)o(he)f(T)m (ransformation)d(wird.)p 1342 202 29 2 v 1342 227 2 25 v 1369 227 V 1342 229 29 2 v 59 316 a Fo(Bemerkung)17 b Fr(4.11)p Fo(.)j Fr(W)m(egen)e(der)h(Op)q(eration)g Fq(A)13 b Fm(\002)f(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))20 b Fm(\000)-7 b(!)19 b Fq(B)i Fr(wird)e Fq(A)f Fr(auc)o(h)59 366 y Fl(F)m(unktionen)e(A)o(lgebr)n(a)d Fr(v)o(on)h Fm(X)19 b Fr(genann)o(t.)59 418 y(Man)d(k)n(ann)h(zeigen,)f(da\031)g Fq(A)h Fr(univ)o(ersell)g(in)f(dieser)i(Eigensc)o(haft)e(ist,)h(d.h.)e (zu)i(jeder)59 468 y(k)o(omm)o(utati)o(v)o(en)11 b(Algebra)i Fq(D)i Fr(und)e(zu)h(jeder)g(nat)836 470 y(\177)835 468 y(urlic)o(hen)g(T)m(ransformation)c Fq(\032)i Fr(:)f Fq(D)f Fm(\002)59 518 y(X)c Fr(\(-\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(-)j(gibt)f(es)i(genau)f(einen)h(Algebren)f(Homomorphism)n (us)d Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(D)i Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(A)p Fr(,)h(so)59 568 y(da\031)g(das)h(Dreiec)o(k)437 620 y Fq(D)d Fm(\002)e(X)d Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))765 720 y Fn(\032)p Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))589 659 y Fk(H)630 680 y(H)672 701 y(H)713 721 y(H)755 742 y(H)796 763 y(H)838 784 y(H)846 788 y(H)-42 b(j)p 530 788 2 150 v -357 w(?)381 718 y Fn(f)s Fp(\002)p Fi(1)443 724 y Fe(X)s Fb(\()p Fj(B)q Fb(\))439 827 y Fq(A)9 b Fm(\002)h(X)c Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))307 b Fq(B)p 635 818 282 2 v 875 817 a Fk(-)738 847 y Fn( )q Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))59 884 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)12 b(Wir)i(w)o(erden)i(dieses)f(Ergebnis)g(sp)853 886 y(\177)853 884 y(ater)h(f)954 886 y(\177)953 884 y(ur)e(nic)o(h)o(t-k)o(omm)o (utati)o(v)o(e)e(Al-)59 934 y(gebren)17 b(b)q(ew)o(eisen.)g(Aus)f(der)g (univ)o(ersellen)h(Eigensc)o(haft)f(folgt)f(jedenfalls,)f(wie)i(b)q(ei) 59 983 y(jeder)g(univ)o(ersellen)g(Eigensc)o(haft,)f(die)h(Eindeutigk)o (eit)f(v)o(on)g Fq(A)g Fr(bis)h(auf)e(Isomorphie)59 1033 y(daf)117 1035 y(\177)116 1033 y(ur,)f(eine)i(F)m(unktionenalgebra)e(f) 630 1035 y(\177)629 1033 y(ur)g Fm(X)20 b Fr(zu)14 b(sein.)59 1085 y(Sei)i Fq(B)i Fr(=)e Ff(K)j Fr(und)e Fm(X)22 b Fr(ein)16 b(a\016nes)g(Sc)o(hema)g(mit)e(der)j(a\016nen)f(Algebra)g Fq(A)g Fr(=)g Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\).)59 1135 y(W)m(enn)21 b Fq(f)28 b Fr(:)c Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)23 b Ff(K)h Fr(ein)e(rationaler)e(Punkt)i(v)o(on)f Fm(X)26 b Fr(ist,)21 b(d.h.)f(ein)i(Algebren)59 1185 y(Homomorphism)m(us,)15 b(dann)j(ist)g(Im)n(\()p Fq(f)t Fr(\))h(=)g Ff(K)p Fr(,)h(also)e(Ker)q (\()p Fq(f)t Fr(\))g(ein)g(maxima)o(les)e(Ideal)59 1235 y(der)i(Ko)q(dimension)e(v)o(on)g Fm(X)6 b Fr(.)17 b(Ist)g(umgek)o (ehrt)g(ein)g(maxima)o(les)e(Ideal)i Fd(m)g Fr(der)h(Ko)q(di-)59 1285 y(mension)c(1)i(in)f Fq(A)g Fr(gegeb)q(en,)h(so)g(induziert)g (dieses)h(genau)e(einen)h(rationalen)f(Punkt)59 1334 y Fq(f)23 b Fr(:)18 b Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(A=)p Fd(m)368 1323 y Fm(\030)368 1337 y Fr(=)418 1334 y Ff(K)q Fr(.)i(Ist)e Ff(K)j Fr(algebraisc)o(h)d(abgesc)o(hlossen)h(und)f Fd(m)g Fr(ein)g(b)q(eliebi-)59 1384 y(ges)f(maxim)o(ales)d(Ideal)i(in)g Fq(A)p Fr(,)f(so)i(ist)f Fq(A=)p Fd(m)g Fr(eine)h(als)f Ff(K)p Fr(-Algebra)j(endlic)o(h)d(erzeugte)59 1434 y(K)91 1436 y(\177)91 1434 y(orp)q(ererw)o(eiterung)g(v)o(on)e Ff(K)p Fr(.)j(Diese)d(m)o(u\031)e(mit)h Ff(K)874 1436 y Fr(\177)873 1434 y(ub)q(ereinstimmen,)f(w)o(omit)g Fd(m)i Fr(au-)59 1484 y(tomatisc)o(h)f(die)i(Ko)q(dimension)f(1)g(hat.) g(Man)h(nenn)o(t)g(die)g(maxim)o(alen)d(Ideale)j(v)o(on)f Fq(A)59 1534 y Fr(dann)e(auc)o(h)f(das)h Fl(Maximal-Sp)n(ektrum)g Fr(Sp)q(ec)762 1540 y Fn(m)795 1534 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(v)o(on)f Fq(A)p Fr(.)h(Dieser)g(Ansatz)h(der)f(alge-)59 1584 y(braisc)o(hen)i(Geometrie)f(gestattet)h(es)h(also,)d(die)h (\(rationalen\))g(Punkte)h(eines)g(a\016nen)59 1633 y(Sc)o(hemas)f(aus) g(der)i(F)m(unktionen)e(Algebra)g(zur)802 1635 y(\177)801 1633 y(uc)o(k)h(zu)g(gewinnen.)f(Wir)g(w)o(erden)h(die-)59 1683 y(sen)j(Ansatz)h(nic)o(h)o(t)e(w)o(eiter)h(v)o(erfolgen.)f(Wir)f (de\014nieren)j(jedo)q(c)o(h)f(in)f(Anlehn)o(ung)h(an)59 1733 y(dieses)e(V)m(orgehen)f(das)g(Sp)q(ektrum)g(einer)h(Algebra)e Fq(A)h Fr(wie)g(folgt.)59 1824 y Fo(Definition)i Fr(4.12)p Fo(.)k Fr(Sei)13 b Fm(C)h Fr(=)e Ff(K)p Fr(-)e(A\013)17 b(die)c(Kategorie)h(der)g(endlic)o(h)g(erzeugten)h(k)o(om-)59 1874 y(m)o(utativ)o(en)k(\(o)q(der)j(a\016nen)f(vgl.)f(4.9\))g Ff(K)p Fr(-Algebren.)k(Ein)d(darstellbarer)g(F)m(unktor)59 1924 y Ff(K)p Fr(-)10 b(A\013)t(\()p Fq(A;)d Fr(-)o(\))14 b(:)g Ff(K)p Fr(-)c(A\013)18 b Fm(\000)-7 b(!)13 b Fr(Me)j(hei\031t)f Fl(a\016ne)i(algebr)n(aische)f(Mannigfaltigkeit)p Fr(.)f(Die)59 1974 y(a\016nen)23 b(algebraisc)o(hen)g(Mannigfaltigk)o(eiten)e (zusammen)g(mit)h(den)h(nat)1274 1976 y(\177)1273 1974 y(urlic)o(hen)59 2023 y(T)m(ransformationen)16 b(bilden)i(die)g Fl(Kate)n(gorie)g(der)g(a\016nen)i(algebr)n(aischen)f(Mannig-)59 2073 y(faltigkeiten)13 b Fr(o)q(der)h Fl(ge)n(ometrischen)h(R)662 2075 y(\177)662 2073 y(aume)f Fr(Geom\()p Ff(K)p Fr(\))958 2075 y(\177)957 2073 y(ub)q(er)g Ff(K)q Fr(.)i(Der)e(F)m(unktor,)f(der) p eop %%Page: 34 39 34 38 bop 59 117 a Ft(34)130 b(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)59 225 y Fr(jeder)h(a\016nen)f(Algebra)g Fq(A)g Fr(die)g(durc)o(h)h Fq(A)f Fr(dargestellte)h(a\016ne)f (algebraisc)o(he)h(Man-)59 275 y(nigfaltigk)o(eit)10 b(zuordnet,)k(wird)f(das)g Fl(Sp)n(ektrum)g Fr(v)o(on)f Fq(A)h Fr(genann)o(t:)g(Sp)q(ec)f(:)f Ff(K)q Fr(-)e(A\013)15 b Fm(\000)-6 b(!)59 325 y Fr(Geom)n(\()p Ff(K)q Fr(\).)20 b(W)m(egen)d(des)h(Y)m(oneda)f(Lemmas)e(ist)i(Sp)q(ec)i(eine)e(An)o (ti-)1141 316 y(\177)1136 325 y(Aquiv)n(alenz)g(v)o(on)59 374 y(Kategorien.)d(Ein)f(geometrisc)o(her)h(Raum)e(ist)h(also)g(v)o (ollst)982 376 y(\177)982 374 y(andig)f(durc)o(h)i(seine)h(F)m(unk-)59 424 y(tionen)f(Algebra)g(b)q(esc)o(hrieb)q(en.)59 478 y(Da)g(auc)o(h)h(b)q(eliebige)f(\(nic)o(h)o(t)h(endlic)o(h)f (erzeugte\))j(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)12 b(Algebren)j(darstell-)59 528 y(bare)f(F)m(unktoren)h(\(n)o(un)f(auf)f(der)h(Kategorie)h(aller)e (k)o(omm)o(uta)o(tiv)o(en)e(Algebren\))k(de\014-)59 578 y(nieren,)34 b(hab)q(en)h(wir)f(auc)o(h)g(unendlic)o(h-dimensionale)e (geometrisc)o(he)i(R)1321 580 y(\177)1321 578 y(aume)59 627 y(Geom)165 633 y Fp(1)201 627 y Fr(\()p Ff(K)p Fr(\))17 b(und)d(ein)g(k)o(omm)n(utativ)o(es)e(Diagramm)d(v)o(on)14 b(F)m(unktoren)471 694 y Ff(K)q Fr(-)c(A\013)284 b(Geom)n(\()p Ff(K)p Fr(\))p 599 684 249 2 v 806 683 a Fk(-)690 670 y Fi(Sp)q(ec)p 530 820 2 108 v 531 820 a Fk(?)p 945 820 V 373 w(?)460 860 y Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)577 870 y Fn(c)846 860 y Fr(Geom)952 866 y Fp(1)988 860 y Fr(\()p Ff(K)p Fr(\))p 610 850 221 2 v 789 849 a Fk(-)699 876 y Fp(\030)699 885 y Fi(=)725 871 y Fb(0)59 951 y Fr(Wir)g(b)q(estimmen)f(n)o(un)h(no) q(c)o(h)h(die)g(F)m(orm)e(v)o(on)h(Morphismen)f(zwisc)o(hen)j (geometrisc)o(hen)59 1000 y(R)90 1002 y(\177)90 1000 y(aumen.)59 1113 y Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(4.13)p Fo(.)k Fl(Seien)c Fm(X)i(\022)13 b Ff(A)509 1098 y Fn(r)545 1113 y Fl(und)j Fm(Y)g(\022)d Ff(A)743 1098 y Fn(s)779 1113 y Fl(a\016ne)i(algebr)n (aische)g(Mannigfaltigkei-)59 1163 y(ten)g(und)g Fq(')c Fr(:)g Fm(X)18 b(\000)-7 b(!)11 b(Y)17 b Fl(eine)e(nat)590 1165 y(\177)590 1163 y(urliche)f(T)m(r)n(ansformation.)f(Dann)j(gibt)d (es)i(Polyno-)59 1213 y(me)283 1285 y Fq(p)304 1291 y Fi(1)323 1285 y Fr(\()p Fq(x)363 1291 y Fi(1)381 1285 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)505 1291 y Fn(r)522 1285 y Fr(\))p Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)659 1291 y Fn(s)676 1285 y Fr(\()p Fq(x)716 1291 y Fi(1)735 1285 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(x)858 1291 y Fn(r)876 1285 y Fr(\))12 b Fm(2)f Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1008 1291 y Fi(1)1029 1285 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1153 1291 y Fn(r)1170 1285 y Fr(])p Fq(;)59 1370 y Fl(so)15 b(da\031)h(f)205 1372 y(\177)205 1370 y(ur)e(al)r(le)h Fq(A)c Fm(2)g Ff(K)q Fl(-)e Fr(Alg)15 b Fl(und)h(al)r(le)e Fr(\()p Fq(a)750 1376 y Fi(1)769 1370 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)891 1376 y Fn(r)909 1370 y Fr(\))k Fm(2)h(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b Fl(gilt)236 1467 y Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\()p Fq(a)364 1473 y Fi(1)383 1467 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)505 1473 y Fn(r)523 1467 y Fr(\))12 b(=)f(\()p Fq(p)631 1473 y Fi(1)650 1467 y Fr(\()p Fq(a)688 1473 y Fi(1)707 1467 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)k(;)c(a)828 1473 y Fn(r)846 1467 y Fr(\))p Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)983 1473 y Fn(s)1000 1467 y Fr(\()p Fq(a)1038 1473 y Fi(1)1057 1467 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)1179 1473 y Fn(r)1196 1467 y Fr(\)\))p Fq(;)59 1565 y Fl(d.h.)13 b(die)h(nat)265 1567 y(\177)265 1565 y(urlichen)g(T)m(r)n(ansformationen)f(zwischen)g (a\016nen)h(algebr)n(aischen)g(Man-)59 1614 y(nigfaltigkeiten)g(sind)h (p)n(olynomial.)109 1727 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Seien)f Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))19 b(=)g Ff(K)p Fr([)p Fq(x)637 1733 y Fi(1)658 1727 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)782 1733 y Fn(r)800 1727 y Fr(])p Fq(=I)21 b Fr(und)d Fm(O)q Fr(\()p Fm(Y)s Fr(\))h(=)g Ff(K)q Fr([)p Fq(y)1188 1733 y Fi(1)1209 1727 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(y)1329 1733 y Fn(s)1346 1727 y Fr(])p Fq(=J)t Fr(.)59 1777 y(F)87 1779 y(\177)86 1777 y(ur)15 b Fq(A)d Fm(2)g Ff(K)p Fr(-)e(Alg)k(und)h(\()p Fq(a)476 1783 y Fi(1)494 1777 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)616 1783 y Fn(r)634 1777 y Fr(\))12 b Fm(2)g(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b(sei)f Fq(f)j Fr(:)12 b Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1002 1783 y Fi(1)1023 1777 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1147 1783 y Fn(r)1165 1777 y Fr(])p Fq(=I)15 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(A)i Fr(mit)59 1827 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)123 1833 y Fn(i)138 1827 y Fr(\))i(=)g Fq(a)240 1833 y Fn(i)271 1827 y Fr(der)h(un)o(ter)h Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))573 1815 y Fm(\030)573 1829 y Fr(=)621 1827 y Ff(K)q Fr(-)j(Alg\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)820 1833 y Fi(1)841 1827 y Fq(;)e(:)g(:)g(:)k(;)c(x) 964 1833 y Fn(r)982 1827 y Fr(])p Fq(=I)s(;)g(A)p Fr(\))16 b(zugeordnete)j(Ho-)59 1876 y(momorphism)m(us.)13 b(Die)i(nat)498 1878 y(\177)497 1876 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)e Fq(')i Fr(wird)g(durc)o(h)h(V)m(erkn)1292 1878 y(\177)1291 1876 y(upfung)59 1926 y(mit)d(einem)h(Homom)o(orphism)n(us)e Fq(g)i Fr(:)e Ff(K)q Fr([)p Fq(y)717 1932 y Fi(1)738 1926 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(y)858 1932 y Fn(s)875 1926 y Fr(])p Fq(=J)16 b Fm(\000)-6 b(!)12 b Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1092 1932 y Fi(1)1113 1926 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1237 1932 y Fn(r)1254 1926 y Fr(])p Fq(=I)18 b Fr(indu-)59 1976 y(ziert,)c(also)g(gilt)59 2073 y Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))e(:)f Ff(K)q Fr(-)e(Alg)301 2083 y Fn(c)318 2073 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)400 2079 y Fi(1)420 2073 y Fq(;)e(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)544 2079 y Fn(r)562 2073 y Fr(])p Fq(=I)s(;)g(A)p Fr(\))k Fm(3)g Fq(f)16 b Fm(7!)11 b Fq(f)t(g)j Fm(2)d Ff(K)p Fr(-)f(Alg)1035 2083 y Fn(c)1052 2073 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(y)1130 2079 y Fi(1)1151 2073 y Fq(;)d(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(y)1271 2079 y Fn(s)1288 2073 y Fr(])p Fq(=J)o(;)g(A)p Fr(\))p Fq(:)p eop %%Page: 35 40 35 39 bop 225 117 a Ft(IV.)16 b(ZUR)f(K)o(OMMUT)m(A)m(TIVEN)k (ALGEBRAISCHEN)e(GEOMETRIE)131 b(35)59 225 y Fr(Da)14 b Fq(g)i Fr(b)q(esc)o(hrieb)q(en)h(wird)d(durc)o(h)h Fq(g)q Fr(\()p Fq(y)657 231 y Fn(i)672 225 y Fr(\))d(=)h Fq(p)766 231 y Fn(i)780 225 y Fr(\()p Fq(x)820 231 y Fi(1)838 225 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)962 231 y Fn(r)980 225 y Fr(\))12 b Fm(2)g Ff(K)q Fr([)p Fq(x)1114 231 y Fi(1)1135 225 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(x)1258 231 y Fn(r)1276 225 y Fr(],)13 b(erhal-)59 275 y(ten)i(wir)339 314 y Fq(')p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\()p Fq(a)467 320 y Fi(1)486 314 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)608 320 y Fn(s)625 314 y Fr(\))k(=)h(\()p Fq(f)t(g)q Fr(\()p Fq(y)793 320 y Fi(1)813 314 y Fr(\))p Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(f)t(g)q Fr(\()p Fq(y)1010 320 y Fn(s)1029 314 y Fr(\)\))339 364 y(=)k(\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)459 370 y Fi(1)479 364 y Fr(\()p Fq(x)519 370 y Fi(1)537 364 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)661 370 y Fn(r)679 364 y Fr(\)\))p Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(f)t Fr(\()p Fq(p)872 370 y Fn(s)890 364 y Fr(\()p Fq(x)930 370 y Fi(1)948 364 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1072 370 y Fn(r)1089 364 y Fr(\)\)\))339 414 y(=)k(\()p Fq(p)419 420 y Fi(1)438 414 y Fr(\()p Fq(a)476 420 y Fi(1)495 414 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)k(;)c(a)616 420 y Fn(r)634 414 y Fr(\))p Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)771 420 y Fn(s)788 414 y Fr(\()p Fq(a)826 420 y Fi(1)845 414 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)967 420 y Fn(r)984 414 y Fr(\)\))p Fq(:)p 1070 391 29 2 v 1070 416 2 25 v 1096 416 V 1070 418 29 2 v 59 489 a Fo(Beispiel)16 b Fr(4.14)p Fo(.)j Fr(Der)13 b(Isomorphism)o(us)e(zwisc)o(hen)i(der)h(a\016nen)e(Geraden)h(\(4.2\))f (und)59 538 y(der)j(P)o(arab)q(el)g(\(4.8)e(d\)\))i(ist)f(gegeb)q(en)i (durc)o(h)f(den)g(Isomorphism)o(us)d Fq(f)17 b Fr(:)12 b Ff(K)q Fr([)p Fq(x;)7 b(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(y)13 b Fm(\000)59 588 y Fq(x)83 573 y Fi(2)101 588 y Fr(\))i Fm(\000)-6 b(!)14 b Ff(K)p Fr([)p Fq(z)r Fr(],)k Fq(f)t Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))e(=)f Fq(z)r Fr(,)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))i(=)e Fq(z)671 573 y Fi(2)706 588 y Fr(mit)f(der)i(Umk)o (ehrabbildung)e Fq(f)1221 573 y Fp(\000)p Fi(1)1267 588 y Fr(\()p Fq(z)r Fr(\))h(=)g Fq(x)p Fr(.)59 638 y(Auf)9 b(den)h(a\016nen)f(algebraisc)o(hen)h(Mannigfaltigk)o(eiten)d(der)j (a\016nen)f(Geraden)h Ff(A)20 b Fr(bzw.)59 688 y(der)c(P)o(arab)q(el)f Ff(P)6 b Fr(ist)15 b(die)h(induzierte)g(Abbildung)e Fq(f)k Fr(:)13 b Ff(A)8 b Fr(\()p Fq(A)q Fr(\))16 b Fm(3)d Fq(a)h Fm(7!)f Fr(\()p Fq(a;)7 b(a)1235 673 y Fi(2)1253 688 y Fr(\))14 b Fm(2)f Ff(A)8 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))59 738 y(bzw.)14 b Fq(f)180 723 y Fp(\000)p Fi(1)237 738 y Fr(:)d Ff(P)-6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))9 b Fm(3)i Fr(\()p Fq(a;)c(b)p Fr(\))k Fm(7!)g Fq(a)h Fm(2)f Ff(A)d Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))q(.)p eop %%Page: 36 41 36 40 bop 617 682 a Fr(KAPITEL)21 b(V)138 781 y Fv(Limites,)16 b(Kolimite)o(s,)g(Pro)r(dukte)h(und)i(Di\013erenzk)n(erne)59 970 y Fr(Wir)10 b(b)q(en)205 972 y(\177)205 970 y(otigen)i(f)342 972 y(\177)341 970 y(ur)f(w)o(eitere)h(Konstruktionen)g(no)q(c)o(h)f (einige)g(zus)1092 972 y(\177)1092 970 y(atzlic)o(he)h(k)n(ategorie-)59 1019 y(theoretisc)o(he)k(Begri\013e.)e(Diese)h(sollen)e(hier)h(in)g (knapp)q(er)g(F)m(orm)e(b)q(ehandelt)j(w)o(erden.)59 1105 y Fo(Definition)h Fr(5.1)p Fo(.)k Fr(Ein)11 b Fl(Diagr)n (ammschema)g Fm(D)h Fr(ist)e(eine)i(kleine)e(Kategorie)h(\(d.h.)f(die) 59 1154 y(Ob)r(jektklasse)j(ist)f(eine)g(Menge\).)h(Sei)f Fm(C)i Fr(eine)e(b)q(eliebige)g(Kategorie.)g(Ein)f Fl(Diagr)n(amm)59 1204 y Fr(in)i Fm(C)j Fr(mit)c(dem)g(Diagramm)o(sc)o(hema)e Fm(D)15 b Fr(ist)e(ein)h(k)o(o)o(v)n(arian)o(ter)f(F)m(unktor)g Fm(F)i Fr(:)c Fm(D)i(\000)-7 b(!)12 b(C)r Fr(.)59 1289 y Fo(Beispiel)k Fr(5.2)p Fo(.)k Fr(\(f)359 1291 y(\177)358 1289 y(ur)14 b(Diagramm)o(sc)o(hem)o(ata\))d(a\))j(Die)f(leere)i (Kategorie)f Fm(D)q Fr(.)59 1341 y(b\))f(Die)g(Kategorie)g(mit)e(genau) i(einem)f(Ob)r(jekt)i Fq(D)g Fr(und)f(genau)g(einem)f(Morphism)o(us)59 1391 y(1)80 1397 y Fn(D)110 1391 y Fr(.)59 1442 y(c\))21 b(Die)e(Kategorie)h(mit)f(zw)o(ei)h(Ob)r(jekten)h Fq(D)792 1448 y Fi(1)811 1442 y Fq(;)7 b(D)864 1448 y Fi(2)902 1442 y Fr(und)20 b(einem)f(Morphism)o(us)g Fq(f)27 b Fr(:)59 1492 y Fq(D)93 1498 y Fi(1)124 1492 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)236 1498 y Fi(2)269 1492 y Fr(\(au\031er)j(den)g(b)q (eiden)h(Iden)o(tit)731 1494 y(\177)731 1492 y(aten\).)59 1543 y(d\))k(Die)f(Kategorie)h(mit)e(zw)o(ei)h(Ob)r(jekten)i Fq(D)788 1549 y Fi(1)807 1543 y Fq(;)7 b(D)860 1549 y Fi(2)897 1543 y Fr(und)19 b(zw)o(ei)g(Morphismen)e Fq(f)r(;)7 b(g)21 b Fr(:)59 1593 y Fq(D)93 1599 y Fi(1)124 1593 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)236 1599 y Fi(2)269 1593 y Fr(zwisc)o(hen)k(ihnen.)59 1644 y(e\))j(Die)f(Kategorie)h(mit)e(einer)i (F)m(amilie)c(v)o(on)j(Ob)r(jekten)i(\()p Fq(D)1035 1650 y Fn(i)1050 1644 y Fm(j)p Fq(i)e Fm(2)g Fq(I)s Fr(\))h(und)g(den)g(zu-) 59 1694 y(geh)121 1696 y(\177)121 1694 y(origen)c(Iden)o(tit)368 1696 y(\177)368 1694 y(aten.)59 1745 y(f)s(\))h(Die)f(Kategorie)i(mit)d (vier)i(Ob)r(jekten)h Fq(D)750 1751 y Fi(1)769 1745 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(D)903 1751 y Fi(4)936 1745 y Fr(und)15 b(Morphismen)f Fq(f)r(;)7 b(g)q(;)g(h;)g(k)q Fr(,)59 1795 y(so)14 b(da\031)f(k)o(omm)o(utiert)629 1845 y Fq(D)663 1851 y Fi(1)795 1845 y Fq(D)829 1851 y Fi(2)p 694 1835 89 2 v 741 1834 a Fk(-)728 1820 y Fn(f)p 654 1971 2 108 v 655 1971 a Fk(?)621 1920 y Fn(g)p 820 1971 V 821 1971 a Fk(?)838 1927 y Fn(k)629 2011 y Fq(D)663 2017 y Fi(3)795 2011 y Fq(D)829 2017 y Fi(4)p 694 2001 89 2 v 741 2000 a Fk(-)728 2028 y Fn(h)59 2065 y Fr(also)g Fq(k)q(f)k Fr(=)11 b Fq(hg)q Fr(.)721 2173 y Ft(36)p eop %%Page: 37 42 37 41 bop 185 117 a Ft(V.)16 b(LIMITES,)f(K)o(OLIMITES,)h(PR)o(ODUKTE)h (UND)f(DIFFERENZKERNE)91 b(37)59 225 y Fo(Definition)16 b Fr(5.3)p Fo(.)k Fr(Sei)h Fm(D)i Fr(ein)e(Diagramm)o(sc)o(hema)d(und)j Fm(C)j Fr(eine)e(Kategorie.)f(Je-)59 275 y(des)e(Ob)r(jekt)f Fq(C)j Fm(2)c(C)j Fr(de\014niert)f(ein)e Fl(konstantes)i Fr(Diagramm)13 b Fm(K)1102 281 y Fn(C)1148 275 y Fr(:)k Fm(D)i(\000)-6 b(!)17 b(C)j Fr(mit)59 325 y Fm(K)91 331 y Fn(C)119 325 y Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))d(:=)g Fq(C)j Fr(f)328 327 y(\177)327 325 y(ur)d(alle)g Fq(D)h Fm(2)f(D)h Fr(und)g Fm(K)q Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))f(:=)g(1)885 331 y Fn(C)930 325 y Fr(f)944 327 y(\177)943 325 y(ur)g(alle)g(Morphismen)f(in)h Fm(D)q Fr(.)59 374 y(Jeder)j(Morphism)o(us)d Fq(f)24 b Fr(:)19 b Fq(C)i Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(C)660 359 y Fp(0)690 374 y Fr(in)g Fm(C)i Fr(de\014niert)g(eine)e(k)o(onstan)o(te)h (nat)1297 376 y(\177)1296 374 y(urlic)o(he)59 424 y(T)m(ransformation)c Fm(K)388 430 y Fn(f)426 424 y Fr(:)i Fm(K)487 430 y Fn(C)532 424 y Fm(\000)-7 b(!)17 b(K)648 430 y Fn(C)674 422 y Fe(0)704 424 y Fr(mit)f Fm(K)816 430 y Fn(f)837 424 y Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))i(=)g Fq(f)t Fr(.)f(Damit)f(wird)h(ein)g Fl(Kon-)59 474 y(stanten)e(F)m(unktor)e Fm(K)f Fr(:)f Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b Fr(F)m(unkt\()p Fm(D)q Fq(;)c Fm(C)15 b Fr(v)o(on)e(der)h(Kategorie)f Fm(C)j Fr(in)d(die)g(Kategorie) 59 524 y(der)i(Diagramm)o(e)c(F)m(unkt\()p Fm(D)q Fq(;)c Fm(C)r Fr(\))14 b(de\014niert.)59 576 y(Sei)e Fm(F)k Fr(:)11 b Fm(D)i(\000)-7 b(!)11 b(C)k Fr(ein)d(Diagramm)o(.)d(Ein)j(Ob) r(jekt)h Fq(C)i Fr(und)e(eine)f(nat)1118 578 y(\177)1117 576 y(urlic)o(he)h(T)m(ransfor-)59 626 y(mation)d Fq(\031)j Fr(:)e Fm(K)290 632 y Fn(C)329 626 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(F)16 b Fr(hei\031t)d Fl(Limes)f Fr(o)q(der)g Fl(pr)n(ojektiver)h (Limes)f Fr(des)h(Diagramm)o(s)c Fm(F)59 676 y Fr(mit)14 b(der)i Fl(Pr)n(ojektion)f Fq(\031)q Fr(,)g(w)o(enn)h(zu)g(jedem)f(Ob)r (jekt)h Fq(C)928 661 y Fp(0)954 676 y Fm(2)d(C)18 b Fr(und)e(zu)g (jeder)g(nat)1342 678 y(\177)1341 676 y(urli-)59 726 y(c)o(hen)f(T)m(ransformation)c Fq(')h Fr(:)f Fm(K)542 732 y Fn(C)568 724 y Fe(0)592 726 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(F)18 b Fr(genau)c(ein)g(Morphism)o(us)e Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(C)1233 711 y Fp(0)1255 726 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)16 b Fr(so)59 776 y(existiert,)e(da\031)620 837 y Fm(K)652 843 y Fn(C)678 835 y Fe(0)764 912 y Fn(')684 896 y Fk(@)726 938 y(@)751 963 y(@)-42 b(R)p 654 963 2 108 v -138 w(?)595 914 y Fp(K)620 918 y Fj(f)625 1003 y Fm(K)657 1009 y Fn(C)804 1003 y Fm(F)p 697 993 96 2 v 751 992 a Fk(-)734 1012 y Fn(\031)59 1059 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert,) 12 b(d.h.)h(f)393 1061 y(\177)392 1059 y(ur)g(alle)h(Morphismen)f Fq(g)f Fr(:)f Fq(D)849 1065 y Fn(i)875 1059 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(D)988 1065 y Fn(j)1019 1059 y Fr(in)j Fm(D)h Fr(k)o(omm)n(utiert)639 1123 y Fq(C)95 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)848 1129 y Fn(i)862 1123 y Fr(\))p 684 1114 69 2 v 710 1113 a Fk(-)702 1101 y Fn(\031)721 1105 y Fj(i)762 1289 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)846 1295 y Fn(j)864 1289 y Fr(\))678 1198 y Fn(\031)697 1202 y Fj(j)684 1184 y Fk(@)726 1225 y(@)751 1250 y(@)-42 b(R)p 820 1250 2 108 v 28 w(?)838 1203 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(g)q Fi(\))59 1346 y Fr(\()p Fq(\031)14 b Fr(ist)f(nat)231 1348 y(\177)230 1346 y(urlic)o(he)g(T)m (ransformation\))d(und)j(f)768 1348 y(\177)767 1346 y(ur)g(alle)f(Ob)r (jekte)i Fq(D)1086 1352 y Fn(i)1113 1346 y Fr(in)e Fm(D)i Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert)633 1414 y Fq(C)666 1399 y Fp(0)764 1485 y Fn(')786 1489 y Fj(i)684 1469 y Fk(@)726 1511 y(@)751 1536 y(@)-42 b(R)p 654 1536 V -138 w(?)619 1489 y Fn(f)639 1575 y Fq(C)89 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)842 1581 y Fn(i)856 1575 y Fr(\))p Fq(:)p 684 1566 63 2 v 705 1565 a Fk(-)699 1586 y Fn(\031)718 1590 y Fj(i)59 1632 y Fr(Eine)13 b(Kategorie)h Fm(C)h Fl(b)n(esitzt)e(Limites)f Fr(f)665 1634 y(\177)664 1632 y(ur)h(Diagramm)o(sc)o(hemata)c(der)14 b(F)m(orm)d Fm(D)q Fr(,)i(w)o(enn)59 1682 y(zu)h(jedem)f(Diagramm)c Fm(F)16 b Fr(:)11 b Fm(D)i(\000)-7 b(!)11 b(C)670 1684 y Fr(\177)669 1682 y(ub)q(er)j Fm(D)h Fr(in)e Fm(C)j Fr(ein)d(Limes)g(existiert.)h(Eine)f(Ka-)59 1732 y(tegorie)h Fm(C)i Fr(hei\031t)e Fl(vol)r(lst)432 1734 y(\177)432 1732 y(andig)p Fr(,)f(w)o(enn)h(jedes)h(Diagramm)10 b(in)j Fm(C)j Fr(einen)f(Limes)d(b)q(esitzt.)59 1824 y Fo(Beispiel)k Fr(5.4)p Fo(.)k Fr(a\))13 b(Sei)g Fm(D)h Fr(ein)f(Diagramm)o(sc)o(hema) c(b)q(estehend)16 b(aus)d(zw)o(ei)g(Ob)r(jekten)59 1874 y Fq(D)93 1880 y Fi(1)112 1874 y Fq(;)7 b(D)165 1880 y Fi(2)197 1874 y Fr(und)14 b(den)g(Iden)o(tit)480 1876 y(\177)480 1874 y(aten.)f(Ein)h(Diagramm)9 b Fm(F)16 b Fr(:)11 b Fm(D)h(\000)-6 b(!)11 b(C)16 b Fr(ist)d(de\014niert)i(durc) o(h)59 1924 y(die)d(V)m(orgab)q(e)g(v)o(on)f(zw)o(ei)h(Ob)r(jekten)h Fq(C)660 1930 y Fi(1)690 1924 y Fr(und)g Fq(C)802 1930 y Fi(2)832 1924 y Fr(in)e Fm(C)r Fr(.)h(Ein)f(Ob)r(jekt)i Fq(C)1169 1930 y Fi(1)1193 1924 y Fm(\002)5 b Fq(C)1260 1930 y Fi(2)1290 1924 y Fr(zusam-)59 1974 y(men)15 b(mit)f(zw)o(ei)i (Morphismen)f Fq(\031)587 1980 y Fi(1)619 1974 y Fr(:)g Fq(C)676 1980 y Fi(1)704 1974 y Fm(\002)c Fq(C)777 1980 y Fi(2)810 1974 y Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(C)921 1980 y Fi(1)955 1974 y Fr(und)i Fq(\031)1064 1980 y Fi(2)1097 1974 y Fr(:)e Fq(C)1153 1980 y Fi(1)1182 1974 y Fm(\002)d Fq(C)1255 1980 y Fi(2)1288 1974 y Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(C)1399 1980 y Fi(2)59 2023 y Fr(hei\031t)k Fl(Pr)n(o)n(dukt)g Fr(der)h(b)q(eiden)g(Ob)r(jekte,)g(w)o(enn)f Fq(C)853 2029 y Fi(1)884 2023 y Fm(\002)12 b Fq(C)958 2029 y Fi(2)976 2023 y Fq(;)7 b(\031)19 b Fr(:)g Fm(K)1101 2029 y Fn(C)1125 2033 y Fb(1)1140 2029 y Fp(\002)p Fn(C)1190 2033 y Fb(2)1227 2023 y Fm(\000)-7 b(!)18 b(F)k Fr(ein)59 2073 y(Limes)e(ist,)g(d.h.)g (w)o(enn)h(es)h(zu)f(jedem)f(Ob)r(jekt)i Fq(C)894 2058 y Fp(0)926 2073 y Fr(in)e Fm(C)j Fr(und)e(zu)g(je)g(zw)o(ei)g(Mor-)p eop %%Page: 38 43 38 42 bop 59 117 a Ft(38)90 b(V.)16 b(LIMITES,)f(K)o(OLIMITES,)h(PR)o (ODUKTE)h(UND)f(DIFFERENZKERNE)59 225 y Fr(phismen)j Fq(')256 231 y Fi(1)295 225 y Fr(:)h Fq(C)360 210 y Fp(0)393 225 y Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(C)510 231 y Fi(1)548 225 y Fr(und)g Fq(')664 231 y Fi(2)703 225 y Fr(:)g Fq(C)768 210 y Fp(0)801 225 y Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(C)918 231 y Fi(2)956 225 y Fr(genau)f(einen)h(Morphism)o(us)59 275 y Fq(f)c Fr(:)11 b Fq(C)151 260 y Fp(0)174 275 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)283 281 y Fi(1)310 275 y Fm(\002)f Fq(C)382 281 y Fi(2)414 275 y Fr(gibt,)j(so)h(da\031)571 421 y Fn(')593 425 y Fb(1)668 384 y Fk(\000)626 426 y(\000)585 467 y(\000)560 492 y(\000)-42 b(\011)868 421 y Fn(')890 425 y Fb(2)767 384 y Fk(@)809 426 y(@)850 467 y(@)875 492 y(@)g(R)716 329 y Fq(C)749 314 y Fp(0)p 737 492 2 150 v 738 492 a Fk(?)755 425 y Fn(f)507 532 y Fq(C)537 538 y Fi(1)665 532 y Fq(C)695 538 y Fi(1)722 532 y Fm(\002)10 b Fq(C)794 538 y Fi(2)p 567 522 86 2 v 567 521 a Fk(\033)592 509 y Fn(\031)611 513 y Fb(1)921 532 y Fq(C)951 538 y Fi(2)p 824 522 V 868 521 a Fk(-)849 509 y Fn(\031)868 513 y Fb(2)59 579 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)k(Die)i(b)q(eiden)i (Morphismen)e Fq(\031)778 585 y Fi(1)812 579 y Fr(:)f Fq(C)869 585 y Fi(1)899 579 y Fm(\002)c Fq(C)972 585 y Fi(2)1006 579 y Fm(\000)-6 b(!)15 b Fq(C)1119 585 y Fi(1)1154 579 y Fr(und)i Fq(\031)1264 585 y Fi(2)1298 579 y Fr(:)f Fq(C)1356 585 y Fi(1)1385 579 y Fm(\002)59 629 y Fq(C)89 635 y Fi(2)119 629 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(C)227 635 y Fi(2)257 629 y Fr(hei\031en)g(die)h Fl(Pr)n(ojektionen)f Fr(des)h(Pro)q(dukts)g(auf)f(die)h(einzelnen)g(F)m (aktoren.)59 679 y(b\))h(Sei)g Fm(D)i Fr(ein)e(Diagramm)o(sc)o(hem)o(a) d(b)q(estehend)15 b(aus)f(einer)g(endlic)o(hen)f(\(nic)o(h)o (t-leeren\))59 729 y(Menge)h(v)o(on)g(Ob)r(jekten)h Fq(D)486 735 y Fi(1)505 729 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(D)638 735 y Fn(n)674 729 y Fr(und)14 b(den)g(zugeh)938 731 y(\177)938 729 y(origen)h(Iden)o(tit)1186 731 y(\177)1186 729 y(aten.)f(Ein)f(Li-) 59 779 y(mes)18 b(eines)h(Diagramm)o(s)d Fm(F)24 b Fr(:)18 b Fm(D)j(\000)-7 b(!)19 b(C)i Fr(hei\031t)e Fl(end)r(liches)g(Pr)n(o)n (dukt)g Fr(der)g(Ob)r(jekte)59 829 y Fq(C)89 835 y Fi(1)125 829 y Fr(:=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)271 835 y Fi(1)290 829 y Fr(\))p Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(C)436 835 y Fn(n)475 829 y Fr(:=)18 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)621 835 y Fn(n)644 829 y Fr(\))g(und)g(wird)f(mit)f Fq(C)973 835 y Fi(1)1003 829 y Fm(\002)c Fq(:)7 b(:)g(:)k Fm(\002)h Fq(C)1182 835 y Fn(n)1222 829 y Fr(=)1272 797 y Fg(Q)1311 808 y Fn(n)1311 841 y(i)p Fi(=1)1374 829 y Fq(C)1404 835 y Fn(i)59 878 y Fr(b)q(ezeic)o(hnet.)59 928 y(c\))i(Ein)g(Limes)305 930 y(\177)304 928 y(ub)q(er)g(einem)f(diskreten)i(Diagramm)9 b(\(d.h.)k Fm(D)i Fr(b)q(esitzt)g(n)o(ur)e(die)h(Iden-)59 978 y(tit)103 980 y(\177)103 978 y(aten)g(als)f(Morphismen\))g (hei\031t)g Fl(Pr)n(o)n(dukt)h Fr(der)g(Ob)r(jekte)h Fq(C)1028 984 y Fn(i)1053 978 y Fr(:=)d Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)1193 984 y Fn(i)1207 978 y Fr(\),)h Fq(i)f Fm(2)f Fq(I)17 b Fr(und)59 1028 y(wird)d(mit)230 997 y Fg(Q)269 1040 y Fn(I)295 1028 y Fq(C)325 1034 y Fn(i)352 1028 y Fr(b)q(ezeic)o(hnet.)59 1078 y(d\))f(Sei)g Fm(D)h Fr(das)f(leere)h (Diagramm)o(sc)o(hema)9 b(und)14 b Fm(F)h Fr(:)c Fm(D)i(\000)-7 b(!)11 b(C)k Fr(das)e(\(einzig)g(m)1279 1080 y(\177)1279 1078 y(oglic)o(he\))59 1127 y(leere)h(Diagramm)o(.)9 b(Der)k(Limes)e Fq(C)q(;)c(\031)12 b Fr(:)f Fm(K)709 1133 y Fn(C)748 1127 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(F)17 b Fr(v)o(on)12 b Fm(F)k Fr(hei\031t)d Fl(Endobjekt)p Fr(.)f(Er)h(hat)59 1177 y(die)i(Eigensc)o(haft,)g(da\031)g(es)h(zu)g(jedem)e(Ob)r(jekt)j Fq(C)847 1162 y Fp(0)873 1177 y Fr(in)e Fm(C)i Fr(\(die)f(eindeutig)f (b)q(estimm)o(te)59 1227 y(nat)120 1229 y(\177)119 1227 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)d Fq(')h Fr(:)f Fm(K)645 1233 y Fn(C)671 1225 y Fe(0)696 1227 y Fm(\000)-7 b(!)13 b(F)18 b Fr(brauc)o(h)o(t)d(nic)o(h)o(t)f(angegeb)q(en)i(zu)f(w)o(er-) 59 1277 y(den\))g(genau)f(einen)h(Morphism)o(us)e Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(C)712 1262 y Fp(0)735 1277 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)17 b Fr(gibt.)c(In)h(Me)h(ist)f(die)g(einpunktige)59 1327 y(Menge)h(ein)f(Endob)r(jekt.)g(In)f(Ab)q Fq(;)7 b Fr(Gr)o Fq(;)g Fr(V)m(ek)13 b(ist)h(die)g(Nullgrupp)q(e)g(0)g(ein)f (Endob)r(jekt.)59 1377 y(e\))21 b(Sei)g Fm(D)h Fr(das)f(Diagramm)o(sc)o (hema)c(aus)k(5.2)f(d\))h(mit)e(zw)o(ei)i(Ob)r(jekten)h(und)f(zw)o(ei) 59 1426 y(Morphismen)12 b(\(v)o(ersc)o(hieden)i(v)o(on)e(den)g(b)q (eiden)h(Iden)o(tit)938 1428 y(\177)938 1426 y(aten\).)g(Ein)f (Diagramm)1336 1428 y(\177)1335 1426 y(ub)q(er)59 1476 y Fm(D)17 b Fr(ist)e(gegeb)q(en)i(durc)o(h)f(zw)o(ei)f(Ob)r(jekte)i Fq(C)728 1482 y Fi(1)762 1476 y Fr(und)e Fq(C)876 1482 y Fi(2)910 1476 y Fr(und)h(zw)o(ei)f(Morphismen)g Fq(g)q(;)7 b(h)14 b Fr(:)59 1526 y Fq(C)89 1532 y Fi(1)128 1526 y Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(C)245 1532 y Fi(2)263 1526 y Fr(.)f(Der)h(Limes)e(eines)i(solc)o(hen)f(Diagramm)o(s)e(hei\031t)i Fl(Di\013er)n(enzkern)h Fr(der)59 1576 y(b)q(eiden)c(Morphismen)e(und)g (ist)h(gegeb)q(en)h(durc)o(h)g(ein)f(Ob)r(jekt)g(Ker)q(\()p Fq(g)q(;)7 b(h)p Fr(\))15 b(und)g(einen)59 1626 y(Morphism)o(us)9 b Fq(\031)315 1632 y Fi(1)345 1626 y Fr(:)i(Ker)q(\()p Fq(g)q(;)c(h)p Fr(\))k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)651 1632 y Fi(1)669 1626 y Fr(.)e(Der)h(zw)o(eite)h(Morphism)o(us)e(nac)o(h)h Fq(C)1244 1632 y Fi(2)1272 1626 y Fr(en)o(tsteh)o(t)59 1675 y(durc)o(h)k(die)g(Komp)q(osition)d Fq(\031)511 1681 y Fi(2)541 1675 y Fr(=)h Fq(g)q(\031)630 1681 y Fi(1)660 1675 y Fr(=)g Fq(h\031)752 1681 y Fi(1)770 1675 y Fr(.)h(Der)h(Di\013erenzk)o(ern)h(hat)e(die)h(folgende)59 1725 y(univ)o(erselle)j(Eigensc)o(haft.)g(Zu)g(jedem)f(Ob)r(jekt)h Fq(C)867 1710 y Fp(0)895 1725 y Fr(und)g(jedem)f(Morphism)o(us)g Fq(')1371 1731 y Fi(1)1406 1725 y Fr(:)59 1775 y Fq(C)92 1760 y Fp(0)115 1775 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(C)223 1781 y Fi(1)253 1775 y Fr(mit)e Fq(g)q(')374 1781 y Fi(1)405 1775 y Fr(=)i Fq(h')499 1781 y Fi(1)518 1775 y Fr(\(=)h Fq(')605 1781 y Fi(2)624 1775 y Fr(\))f(gibt)g(es)g(genau)h(einen)f (Morphism)o(us)f Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(C)1328 1760 y Fp(0)1350 1775 y Fm(\000)-6 b(!)59 1825 y Fr(Ker)q(\()p Fq(g)q(;)7 b(h)p Fr(\))14 b(mit)e Fq(\031)336 1831 y Fi(1)354 1825 y Fq(f)17 b Fr(=)11 b Fq(')461 1831 y Fi(1)494 1825 y Fr(\(und)j(damit)e Fq(\031)737 1831 y Fi(2)755 1825 y Fq(f)17 b Fr(=)11 b Fq(')862 1831 y Fi(2)881 1825 y Fr(,)j(d.h.)f(das)h(Diagramm)716 1873 y Fq(C)749 1858 y Fp(0)589 1969 y Fn(f)668 1928 y Fk(\000)626 1970 y(\000)585 2011 y(\000)560 2036 y(\000)-42 b(\011)p 737 2036 2 150 v 136 w(?)755 1965 y Fn(')777 1969 y Fb(1)449 2075 y Fr(Ker)q(\()p Fq(g)q(;)7 b(h)p Fr(\))102 b Fq(C)744 2081 y Fi(1)p 625 2066 78 2 v 660 2065 a Fk(-)645 2053 y Fn(\031)664 2057 y Fb(1)p 775 2058 135 2 v 190 w Fk(-)833 2043 y Fn(g)921 2076 y Fq(C)951 2082 y Fi(2)p 775 2074 V 868 2073 a Fk(-)832 2102 y Fn(h)p eop %%Page: 39 44 39 43 bop 185 117 a Ft(V.)16 b(LIMITES,)f(K)o(OLIMITES,)h(PR)o(ODUKTE)h (UND)f(DIFFERENZKERNE)91 b(39)59 225 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)64 311 y Fo(\177)59 320 y(Ubung)16 b Fr(5.5)p Fo(.)k Fr(a\))15 b(Sei)f Fm(F)j Fr(:)c Fm(D)h(\000)-7 b(!)12 b Fr(Me)j(ein)g(diskretes)h (Diagramm)o(.)11 b(Man)k(zeige,)g(da\031)59 370 y(das)k(k)n(artesisc)o (he)g(Pro)q(dukt)520 372 y(\177)519 370 y(ub)q(er)g Fm(F)k Fr(mit)16 b(dem)i(k)n(ategorietheoretisc)o(hen)i(Pro)q(dukt)60 422 y(\177)59 420 y(ub)q(ereinstimm)o(t.)59 472 y(b\))g(Sei)g Fm(D)g Fr(ein)g(Morphismenpaar)f(wie)h(in)f(5.4)f(e\))j(und)f(sei)g Fm(F)25 b Fr(:)c Fm(D)h(\000)-7 b(!)21 b Fr(Me)f(ein)59 522 y(Diagramm)o(.)8 b(Man)k(zeige,)g(da\031)g(die)g(Menge)g Fm(f)p Fq(x)f Fm(2)h(F)t Fr(\()p Fq(D)930 528 y Fi(1)949 522 y Fr(\))p Fm(jF)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))g(=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(g)q Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))p Fm(g)g Fr(mit)59 572 y(der)j(Ein)o(b)q(ettung)f(in)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)480 578 y Fi(1)500 572 y Fr(\))h(Di\013erenzk)o (ern)h(v)o(on)e Fm(F)j Fr(:)11 b Fm(D)i(\000)-7 b(!)11 b Fr(Me)j(ist.)59 625 y(c\))g(Sei)g Fm(F)i Fr(:)11 b Fm(D)i(\000)-7 b(!)11 b Fr(Me)j(ein)g(Diagramm)o(.)d(Man)i(zeige,)h (da\031)g(die)g(Menge)107 717 y Fm(f)p Fr(\()p Fq(x)168 723 y Fn(D)197 717 y Fm(j)p Fq(D)f Fm(2)e Fr(Ob)c Fq(D)q(;)g(x)435 723 y Fn(D)477 717 y Fm(2)k(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\))p Fm(j8)p Fr(\()p Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(D)i Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(D)905 700 y Fp(0)917 717 y Fr(\))f Fm(2)h(D)g Fr(:)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)1181 723 y Fn(D)1212 717 y Fr(\))h(=)g Fq(x)1308 723 y Fn(D)1336 715 y Fe(0)1349 717 y Fm(g)59 809 y Fr(mit)j(den)i(Pro)r(jektionen)g (auf)f(die)h(einzelnen)g(Komp)q(onen)o(ten)g(der)g(F)m(amili)o(en)d (Limes)59 859 y(v)o(on)f Fm(F)18 b Fr(ist.)59 954 y Fo(Definition)e Fr(5.6)p Fo(.)k Fr(Sei)d Fm(F)i Fr(:)d Fm(D)h(\000)-7 b(!)16 b(C)i Fr(ein)f(Diagramm)o(.)c(Ein)j(Ob)r(jekt)h Fq(C)i Fr(und)e(eine)59 1004 y(nat)120 1006 y(\177)119 1004 y(urlic)o(he)e(T)m(ransformation)e Fq(\023)g Fr(:)g Fm(F)18 b(\000)-7 b(!)13 b(K)763 1010 y Fn(C)806 1004 y Fr(hei\031t)i Fl(Kolimes)f Fr(o)q(der)i Fl(induktiver)g(Li-)59 1054 y(mes)g Fr(des)g(Diagramm)o(s)d Fm(F)20 b Fr(mit)14 b(der)i Fl(Injektion)g Fq(\023)p Fr(,)f(w)o(enn)h(zu)g(jedem)f(Ob)r (jekt)h Fq(C)1325 1039 y Fp(0)1351 1054 y Fm(2)e(C)59 1104 y Fr(und)e(zu)h(jeder)g(nat)356 1106 y(\177)355 1104 y(urlic)o(hen)f(T)m(ransformation)e Fq(')h Fr(:)g Fm(F)16 b(\000)-7 b(!)11 b(K)1020 1110 y Fn(C)1046 1101 y Fe(0)1071 1104 y Fr(genau)h(ein)g(Morphis-)59 1153 y(m)o(us)h Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(C)j Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)361 1138 y Fp(0)386 1153 y Fr(so)j(existiert,)g(da\031)638 1216 y Fm(F)123 b(K)823 1222 y Fn(C)p 684 1205 96 2 v 738 1204 a Fk(-)725 1196 y Fn(\023)786 1382 y Fm(K)818 1388 y Fn(C)844 1380 y Fe(0)691 1291 y Fn(')684 1275 y Fk(@)726 1317 y(@)751 1342 y(@)-42 b(R)p 820 1342 2 108 v 28 w(?)838 1293 y Fp(K)863 1297 y Fj(f)59 1439 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert,)12 b(d.h.)h(f)393 1441 y(\177)392 1439 y(ur)g(alle)h(Morphismen)f Fq(g)f Fr(:)f Fq(D)849 1445 y Fn(i)875 1439 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(D)988 1445 y Fn(j)1019 1439 y Fr(in)j Fm(D)h Fr(k)o(omm)n(utiert)598 1504 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)682 1510 y Fn(i)696 1504 y Fr(\))764 1581 y Fn(\023)776 1585 y Fj(i)684 1564 y Fk(@)726 1606 y(@)751 1631 y(@)-42 b(R)p 654 1631 V -138 w(?)569 1584 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(g)q Fi(\))596 1669 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)680 1675 y Fn(j)698 1669 y Fr(\))91 b Fq(C)p 727 1661 66 2 v 751 1660 a Fk(-)745 1680 y Fn(\023)757 1684 y Fj(j)59 1728 y Fr(\()p Fq(\023)14 b Fr(ist)f(nat)222 1730 y(\177)221 1728 y(urlic)o(he)h(T)m(ransformation\))e(und)h(f)762 1730 y(\177)761 1728 y(ur)h(alle)f(Ob)r(jekte)i Fq(D)1083 1734 y Fn(i)1111 1728 y Fr(in)e Fm(D)i Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert)598 1792 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)682 1798 y Fn(i)696 1792 y Fr(\))93 b Fq(C)p 724 1782 69 2 v 751 1781 a Fk(-)746 1769 y Fn(\023)758 1773 y Fj(i)793 1963 y Fq(C)826 1948 y Fp(0)838 1963 y Fq(:)677 1868 y Fn(')699 1872 y Fj(i)684 1852 y Fk(@)726 1893 y(@)751 1918 y(@)-42 b(R)p 820 1918 2 108 v 28 w(?)838 1872 y Fn(f)59 2015 y Fr(Die)15 b(sp)q(eziellen)h (Kolimites,)d(die)592 2017 y(\177)591 2015 y(ub)q(er)j(den)g(Diagramm)o (en)d(wie)i(in)g(Beispiel)g(5.4)f(ge-)59 2065 y(bildet)g(w)o(erden,)g (hei\031en)g Fl(Kopr)n(o)n(dukt,)h(A)o(nfangsobjekt)f Fr(bzw.)g Fl(Di\013er)n(enz-Kokern)p Fr(.)p eop %%Page: 40 45 40 44 bop 59 117 a Ft(40)90 b(V.)16 b(LIMITES,)f(K)o(OLIMITES,)h(PR)o (ODUKTE)h(UND)f(DIFFERENZKERNE)59 225 y Fo(Beispiel)g Fr(5.7)p Fo(.)k Fr(In)13 b(V)m(ek)g(ist)g(0)g(ein)g(Anfangsob)r(jekt.)g (In)g Ff(K)p Fr(-)d(Alg)j(ist)g Ff(K)k Fr(ein)c(Anfangs-)59 275 y(ob)r(jekt.)19 b(In)f(Geom)g(ist)g(der)i(einelemen)o(tige)e(F)m (unktor)g Fq(A)i Fm(7!)f(f\003g)f Fr(ein)h(Endob)r(jekt.)59 325 y(In)e Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)17 b(ist)g Fm(f)p Fq(a)f Fm(2)g Fq(A)p Fm(j)p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))h(=)g Fq(g)q Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fm(g)g Fr(der)h(Di\013erenzk)o(ern)g(der) g(b)q(eiden)g(Algebren)59 374 y(Homomorphism)o(en)c Fq(f)21 b Fr(:)15 b Fq(A)i Fm(\000)-7 b(!)16 b Fq(B)j Fr(und)e Fq(g)g Fr(:)f Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)16 b Fq(B)r Fr(.)g(In)h Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)17 b(stimmen)d(das)59 424 y(k)n(artesisc)o(he)k (Pro)q(dukt)f(\(P)o(aarmengen)o(bildung\))e(und)i(das)f(\(k)n (ategorietheoretisc)o(he\))59 474 y(Pro)q(dukt)225 476 y(\177)223 474 y(ub)q(erein.)59 559 y Fo(Bemerkung)h Fr(5.8)p Fo(.)j Fr(Ein)e(Kolimes)f(eines)j(Diagramm)o(s)15 b Fm(C)21 b Fr(ist)e(in)f(der)h(dualen)f(Ka-)59 609 y(tegorie)h Fm(C)224 594 y Fn(op)278 609 y Fr(Limes)f(des)h(en)o(tsprec)o(henden)j (\(dualen\))c(Diagrams.)e(Daher)j(ergeb)q(en)59 658 y(S)82 660 y(\177)82 658 y(atze)171 660 y(\177)170 658 y(ub)q(er)c(Limites)d (duale)i(S)548 660 y(\177)548 658 y(atze)637 660 y(\177)635 658 y(ub)q(er)h(Kolimites.)59 743 y Fo(Sa)m(tz)h Fr(5.9)p Fo(.)k Fl(Limites)13 b(und)i(Kolimites)e(von)i(Diagr)n(ammen)f(sind)g (bis)g(auf)g(Isomorphie)59 793 y(eindeutig.)109 882 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Sei)12 b Fm(F)k Fr(:)11 b Fm(D)h(\000)-6 b(!)11 b(C)j Fr(ein)e(Diagramm)7 b(und)12 b(seien)h Fq(C)q(;)7 b(\031)12 b Fr(und)1204 872 y(~)1195 882 y Fq(C)r(;)d Fr(~)-23 b Fq(\031)13 b Fr(Limites)59 932 y(v)o(on)18 b Fm(F)t Fr(.)g(Dann)h(gibt)f(es)h(jew)o(eils)g(genau)g(einen)g (Morphism)o(us)f Fq(f)24 b Fr(:)1168 921 y(~)1158 932 y Fq(C)e Fm(\000)-6 b(!)19 b Fq(C)i Fr(und)59 982 y(einen)16 b(Morphism)o(us)e Fq(g)g Fr(:)f Fq(C)j Fm(\000)-6 b(!)601 971 y Fr(~)592 982 y Fq(C)17 b Fr(mit)c Fq(\031)q Fm(K)773 988 y Fn(f)808 982 y Fr(=)j(~)-23 b Fq(\031)16 b Fr(und)h(~)-23 b Fq(\031)q Fm(K)1035 988 y Fn(g)1068 982 y Fr(=)13 b Fq(\031)q Fr(.)i(Dann)g(ist)g(ab)q(er)59 1031 y Fq(\031)q Fm(K)116 1037 y Fi(1)133 1041 y Fj(C)174 1031 y Fr(=)g Fq(\031)8 b Fr(id)288 1037 y Fp(K)313 1041 y Fj(C)354 1031 y Fr(=)15 b Fq(\031)h Fr(=)i(~)-23 b Fq(\031)q Fm(K)546 1037 y Fn(g)580 1031 y Fr(=)15 b Fq(\031)q Fm(K)684 1037 y Fn(f)705 1031 y Fm(K)737 1037 y Fn(g)771 1031 y Fr(=)g Fq(\031)q Fm(K)875 1037 y Fn(f)s(g)930 1031 y Fr(und)h(analog)h(~)-24 b Fq(\031)r Fm(K)1206 1037 y Fi(1)1228 1041 y Fb(~)1223 1046 y Fj(C)1263 1031 y Fr(=)17 b(~)-23 b Fq(\031)q Fm(K)1367 1037 y Fn(g)q(f)1406 1031 y Fr(.)59 1081 y(W)m(egen)14 b(der)g(Eindeutigk)o(eit)g(folgt)f(daraus)h(1)772 1087 y Fn(C)811 1081 y Fr(=)e Fq(f)t(g)k Fr(und)e(1)1026 1086 y Fi(~)1019 1093 y Fn(C)1058 1081 y Fr(=)e Fq(g)q(f)t Fr(.)p 1201 1058 29 2 v 1201 1083 2 25 v 1227 1083 V 1201 1085 29 2 v 59 1166 a Fo(Bemerkung)17 b Fr(5.10)p Fo(.)j Fr(Nac)o(hdem)9 b(die)i(Eindeutigk)o(eit)f(des)h(Limes)e(bzw.)h (Kolimes)f(\(bis)59 1216 y(auf)h(Isomorphie\))f(nac)o(hgewiesen)j(ist,) e(k)692 1218 y(\177)692 1216 y(onnen)g(wir)g(jetzt)i(eine)e(einheitlic) o(he)h(Bezeic)o(h-)59 1266 y(n)o(ungsw)o(eise)19 b(einf)343 1268 y(\177)342 1266 y(uhren.)g(Der)g(Limes)f(des)h(Diagramm)o(s)d Fm(F)24 b Fr(:)19 b Fm(D)h(\000)-6 b(!)19 b(C)i Fr(wird)d(mit)59 1315 y(lim)59 1331 y Fm( )-16 b(\000)117 1315 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\))14 b(b)q(ezeic)o(hnet,)h(der)g(Kolimes)d(mit)g(lim)718 1331 y Fm(\000)-16 b(!)776 1315 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\).)59 1400 y Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(5.11)p Fo(.)k Fl(Wenn)15 b Fm(C)h Fl(b)n(eliebige)e(Pr)n(o)n(dukte)g(und)h(Di\013er)n(enzkerne)f (b)n(esitzt,)f(dann)i(b)n(e-)59 1450 y(sitzt)f Fm(C)j Fl(b)n(eliebige)e(Limites,)f(d.h.)g Fm(C)j Fl(ist)e(vol)r(lst)789 1452 y(\177)789 1450 y(andig.)109 1539 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Sei)d Fm(D)g Fr(ein)f(Diagramm)o(sc)o(hema)d(und)j Fm(F)j Fr(:)c Fm(D)i(\000)-7 b(!)15 b(C)k Fr(ein)d(Diagramm)o(.)59 1589 y(Wir)e(bilden)h(zun)334 1591 y(\177)334 1589 y(ac)o(hst)h(die)e (Pro)q(dukte)694 1558 y Fg(Q)733 1601 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)7 b Fp(D)869 1589 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))16 b(und)1069 1558 y Fg(Q)1109 1601 y Fn(f)s Fp(2)p Fi(Mor)p Fp(D)1246 1589 y Fm(F)t Fr(\(Zi\()p Fq(f)t Fr(\)\),)59 1639 y(w)o(ob)q(ei)c(Zi\()p Fq(f)t Fr(\))i(das)f(Ziel)f(des)h(Morphism) o(us)f Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(D)833 1624 y Fp(0)857 1639 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)970 1624 y Fp(0)q(0)1005 1639 y Fr(in)h Fm(D)i Fr(ist,)e(also)g(in)g(diesem)59 1688 y(F)m(alle)g(Zi\()p Fq(f)t Fr(\))h(=)f Fq(D)343 1673 y Fp(00)364 1688 y Fr(.)h(F)417 1690 y(\177)416 1688 y(ur)h(jeden)g(Morphism)o(us)f Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(D)908 1673 y Fp(0)932 1688 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)1045 1673 y Fp(00)1080 1688 y Fr(de\014nieren)k(wir)e(zw)o(ei)59 1738 y(Morphismen)g(wie)h(folgt:)271 1828 y Fq(p)292 1834 y Fn(f)325 1828 y Fr(:=)d Fq(\031)404 1835 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)472 1827 y Fe(00)492 1835 y Fi(\))519 1828 y Fr(:)578 1788 y Fg(Y)542 1878 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)c Fp(D)675 1828 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))12 b Fm(\000)-6 b(!)11 b(F)t Fr(\()p Fq(D)952 1810 y Fp(00)974 1828 y Fr(\))g(=)h Fm(F)t Fr(\(Zi\()p Fq(f)t Fr(\)\))59 1950 y(und)124 2034 y Fq(q)143 2040 y Fn(f)175 2034 y Fr(:=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(\031)345 2041 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)413 2033 y Fe(0)424 2041 y Fi(\))451 2034 y Fr(:)511 1994 y Fg(Y)474 2084 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)7 b Fp(D)607 2034 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))13 b Fm(\000)-7 b(!)11 b(F)t Fr(\()p Fq(D)884 2016 y Fp(0)896 2034 y Fr(\))h Fm(\000)-6 b(!)11 b(F)t Fr(\()p Fq(D)1088 2016 y Fp(00)1109 2034 y Fr(\))h(=)g Fm(F)t Fr(\(Zi\()p Fq(f)t Fr(\)\))p Fq(:)p eop %%Page: 41 46 41 45 bop 185 117 a Ft(V.)16 b(LIMITES,)f(K)o(OLIMITES,)h(PR)o(ODUKTE)h (UND)f(DIFFERENZKERNE)91 b(41)59 225 y Fr(Diese)13 b(b)q(eiden)h(F)m (amili)o(en)c(v)o(on)j(Morphismen)f(induzieren)h(zw)o(ei)g(Morphismen)f (in)g(das)59 275 y(en)o(tsprec)o(hende)17 b(Pro)q(dukt:)381 356 y Fq(p;)7 b(q)12 b Fr(:)512 317 y Fg(Y)475 406 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)7 b Fp(D)609 356 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)838 317 y Fg(Y)800 406 y Fn(f)s Fp(2)p Fi(Mor)p Fp(D)935 356 y Fm(F)t Fr(\(Zi\()p Fq(f)t Fr(\)\))59 474 y(mit)13 b Fq(\031)160 480 y Fn(f)181 474 y Fq(q)h Fr(=)f Fq(q)278 480 y Fn(f)313 474 y Fr(und)i Fq(\031)421 480 y Fn(f)442 474 y Fq(p)d Fr(=)h Fq(p)541 480 y Fn(f)563 474 y Fr(.)h(Wir)g(zeigen)h(jetzt,)g(da\031)f(der)h (Di\013erenzk)o(ern)h(dieser)59 524 y(b)q(eiden)f(Morphismen)118 618 y(Ker)q(\()p Fq(p;)7 b(q)q Fr(\))p 348 614 183 2 v 489 613 a Fk(-)428 599 y Fn( )614 574 y Fg(Y)577 663 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)g Fp(D)711 613 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p 860 605 V 1001 604 a Fk(-)942 591 y Fn(p)p 860 622 V 1001 621 a Fk(-)943 641 y Fn(q)1132 572 y Fg(Y)1095 661 y Fn(f)s Fp(2)p Fi(Mor)p Fp(D)1230 611 y Fm(F)t Fr(\(Zi\()p Fq(f)t Fr(\)\))59 704 y(Limes)16 b(des)i(Diagramm)o(s)d Fm(F)21 b Fr(:)c Fm(D)h(\000)-6 b(!)17 b(C)i Fr(ist.)e(Es)h(ist)f Fq(p )i Fr(=)e Fq(q)q( )q Fr(.)h(Zun)1200 706 y(\177)1200 704 y(ac)o(hst)g(ergibt)59 754 y Fq(\032)p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))13 b(:=)f Fq(\031)240 761 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))323 754 y Fq( )i Fr(:)d(Ker)q(\()p Fq(p;)c(q)q Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)637 723 y Fg(Q)676 766 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)7 b Fp(D)812 754 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))13 b Fm(\000)-7 b(!)12 b(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))j(eine)g(F)m (amili)o(e)d(v)o(on)59 804 y(Morphismen)17 b(mit)f Fq(D)j Fm(2)e Fr(Ob)7 b Fm(D)q Fr(.)18 b(Ist)g Fq(f)k Fr(:)17 b Fq(D)776 789 y Fp(0)806 804 y Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(D)926 789 y Fp(00)965 804 y Fr(in)f Fm(D)i Fr(gegeb)q(en,)f(so)g(ist)f(das)59 854 y(Diagramm)493 920 y(Ker)q(\()p Fq(p;)7 b(q)q Fr(\))195 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)932 905 y Fp(0)945 920 y Fr(\))p 664 910 172 2 v 794 909 a Fk(-)708 894 y Fn(\032)p Fi(\()p Fn(D)766 882 y Fe(0)778 894 y Fi(\))843 1086 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)928 1071 y Fp(00)949 1086 y Fr(\))620 1001 y Fn(\032)p Fi(\()p Fn(D)678 988 y Fe(00)699 1001 y Fi(\))630 959 y Fk(H)672 980 y(H)713 1001 y(H)755 1021 y(H)796 1042 y(H)805 1046 y(H)-42 b(j)p 903 1046 2 108 v 57 w(?)921 1000 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))59 1151 y Fr(k)o(omm)o(utati)o(v)14 b(w)o(egen)j Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(\032)p Fr(\()p Fq(D)583 1136 y Fp(0)597 1151 y Fr(\))g(=)g Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(\031)793 1158 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)861 1150 y Fe(0)872 1158 y Fi(\))887 1151 y Fq( )h Fr(=)f Fq(q)1000 1157 y Fn(f)1021 1151 y Fq( )h Fr(=)f Fq(\031)1139 1157 y Fn(f)1160 1151 y Fq(q)q( )h Fr(=)f Fq(\031)1298 1157 y Fn(f)1319 1151 y Fq(p )h Fr(=)59 1201 y Fq(p)80 1207 y Fn(f)101 1201 y Fq( )23 b Fr(=)e Fq(\031)228 1208 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)296 1200 y Fe(00)316 1208 y Fi(\))331 1201 y Fq( )h Fr(=)g Fq(\032)p Fr(\()p Fq(D)506 1186 y Fp(00)528 1201 y Fr(\).)d(Damit)e(ist)j(eine)g(nat)925 1203 y(\177)924 1201 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation)e Fq(\032)22 b Fr(:)59 1250 y Fm(K)91 1257 y Fi(Ker\()p Fn(p;q)q Fi(\))227 1250 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(F)18 b Fr(gegeb)q(en.)59 1300 y(Sei)j(n)o(un)f(ein)h(Ob)r(jekt)g Fq(C)475 1285 y Fp(0)507 1300 y Fr(gegeb)q(en)h(und)f(eine)g(nat)915 1302 y(\177)914 1300 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)d Fq(')23 b Fr(:)59 1350 y Fm(K)91 1356 y Fn(C)117 1348 y Fe(0)164 1350 y Fm(\000)-7 b(!)34 b(F)t Fr(.)26 b(Dann)h(ist)h (dadurc)o(h)f(genau)h(ein)f(Morphism)o(us)f Fq(g)36 b Fr(:)d Fq(C)1305 1335 y Fp(0)1350 1350 y Fm(\000)-6 b(!)59 1369 y Fg(Q)98 1412 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)7 b Fp(D)234 1400 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))19 b(de\014niert)g(mit)e Fq(\031)627 1407 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))709 1400 y Fq(g)k Fr(=)e Fq(')p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))g(f)928 1402 y(\177)927 1400 y(ur)g(alle)e Fq(D)k Fm(2)d(D)q Fr(.)h(Da)e Fq(')i Fr(eine)59 1450 y(nat)120 1452 y(\177)119 1450 y(urlic)o(he)h(T)m(ransformation)d(ist,)j(hab)q(en)g(wir)f Fq(')p Fr(\()p Fq(D)919 1435 y Fp(0)q(0)941 1450 y Fr(\))j(=)f Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(D)1200 1435 y Fp(0)1214 1450 y Fr(\))f(f)1264 1452 y(\177)1263 1450 y(ur)g(jeden)59 1500 y(Morphism)o(us)14 b Fq(f)k Fr(:)c Fq(D)395 1485 y Fp(0)420 1500 y Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(D)536 1485 y Fp(00)557 1500 y Fr(.)i(Wir)g(erhalten)g(damit)e Fq(\031)977 1506 y Fn(f)999 1500 y Fq(pg)h Fr(=)g Fq(p)1121 1506 y Fn(f)1143 1500 y Fq(g)h Fr(=)e Fq(\031)1247 1507 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)1315 1499 y Fe(00)1335 1507 y Fi(\))1350 1500 y Fq(g)i Fr(=)59 1549 y Fq(')p Fr(\()p Fq(D)137 1534 y Fp(00)159 1549 y Fr(\))j(=)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(D)412 1534 y Fp(0)425 1549 y Fr(\))f(=)h Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(\031)624 1556 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)692 1549 y Fe(0)703 1556 y Fi(\))718 1549 y Fq(g)h Fr(=)e Fq(q)827 1555 y Fn(f)848 1549 y Fq(g)i Fr(=)e Fq(\031)962 1555 y Fn(f)983 1549 y Fq(q)q(g)h Fr(f)1056 1551 y(\177)1055 1549 y(ur)f(alle)f(Morphismen) 59 1599 y Fq(f)22 b Fr(:)16 b Fq(D)164 1584 y Fp(0)193 1599 y Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(D)312 1584 y Fp(00)333 1599 y Fr(,)g(also)f Fq(pg)i Fr(=)f Fq(q)q(g)q Fr(.)g(Daher)g(l)765 1601 y(\177)765 1599 y(a\031t)g(sic)o(h)g Fq(g)h Fr(eindeutig)f(durc)o (h)h(den)g(Dif-)59 1649 y(ferenzk)o(ern)h Fq( )g Fr(:)e(Ker)q(\()p Fq(p;)7 b(q)q Fr(\))16 b Fm(\000)-6 b(!)596 1618 y Fg(Q)636 1662 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)6 b Fp(D)771 1649 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))18 b(faktorisieren)g(als)e Fq(g)j Fr(=)e Fq( )q(h)h Fr(mit)59 1699 y Fq(h)c Fr(:)g Fq(C)156 1684 y Fp(0)181 1699 y Fm(\000)-6 b(!)13 b Fr(Ker)q(\()p Fq(p;)7 b(q)q Fr(\).)15 b(Es)h(ist)g(dann)f Fq(\032)p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(h)g Fr(=)g Fq(\031)871 1706 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))953 1699 y Fq( )q(h)g Fr(=)f Fq(\031)1090 1706 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))1173 1699 y Fq(g)h Fr(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))h(f)1379 1701 y(\177)1378 1699 y(ur)59 1749 y(alle)d Fq(D)g Fm(2)e(D)q Fr(,)j(also)f Fq(\032)p Fm(K)416 1755 y Fn(h)449 1749 y Fr(=)f Fq(')p Fr(.)59 1799 y(W)m(enn)i(sc)o(hlie\031lic)o(h)f(ein)h (w)o(eiterer)h(Morphism)o(us)e Fq(h)858 1784 y Fp(0)881 1799 y Fr(:)e Fq(C)937 1784 y Fp(0)960 1799 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Ker)q(\()p Fq(p;)c(q)q Fr(\))13 b(mit)g Fq(\032)p Fm(K)1341 1805 y Fn(h)1360 1797 y Fe(0)1385 1799 y Fr(=)59 1848 y Fq(')j Fr(gegeb)q(en)h(ist,)e(dann)g(ist)h Fq(\031)522 1855 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))605 1848 y Fq( )q(h)657 1833 y Fp(0)683 1848 y Fr(=)f Fq(\032)p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(h)842 1833 y Fp(0)869 1848 y Fr(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))h(=)e Fq(\032)p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fq(h)i Fr(=)f Fq(\031)1271 1855 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(D)q Fi(\))1353 1848 y Fq( )q(h)p Fr(,)59 1898 y(also)c Fq( )q(h)192 1883 y Fp(0)215 1898 y Fr(=)h Fq( )q(h)g Fr(=)g Fq(g)q Fr(.)f(W)m(egen)g(der)h(Eindeutigk)o(eit)f(der)h(F)m(aktorisierung)f(v) o(on)g Fq(g)i Fr(durc)o(h)59 1948 y Fq( )i Fr(folgt)e Fq(h)f Fr(=)f Fq(h)300 1933 y Fp(0)312 1948 y Fr(.)i(Damit)f(ist)i (\(Ker)q(\()p Fq(p;)7 b(q)q Fr(\))p Fq(;)g(\032)p Fr(\))13 b(Limes)g(v)o(on)h Fm(F)t Fr(.)p 1055 1925 29 2 v 1055 1950 2 25 v 1081 1950 V 1055 1952 29 2 v 59 2023 a Fo(Bemerkung)j Fr(5.12)p Fo(.)j Fr(Der)d(Bew)o(eis)g(des)h(v)o(orstehenden)g(Satzes)g (zeigt)f(zugleic)o(h)f(die)59 2073 y(explizite)e(Konstruktion)g(des)h (Limes)e(v)o(on)g Fm(F)18 b Fr(als)13 b(Di\013erenzk)o(ern)p eop %%Page: 42 47 42 46 bop 59 117 a Ft(42)90 b(V.)16 b(LIMITES,)f(K)o(OLIMITES,)h(PR)o (ODUKTE)h(UND)f(DIFFERENZKERNE)118 265 y Fr(Ker)q(\()p Fq(p;)7 b(q)q Fr(\))p 348 261 183 2 v 489 260 a Fk(-)428 246 y Fn( )614 221 y Fg(Y)577 310 y Fn(D)q Fp(2)p Fi(Ob)g Fp(D)711 260 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p 860 252 V 1001 251 a Fk(-)942 238 y Fn(p)p 860 269 V 1001 268 a Fk(-)943 288 y Fn(q)1132 219 y Fg(Y)1095 308 y Fn(f)s Fp(2)p Fi(Mor)p Fp(D)1230 258 y Fm(F)t Fr(\(Zi\()p Fq(f)t Fr(\)\))59 351 y(Der)15 b(Limes)e(k)n(ann)g(also)h(als)g(Un)o(terob)r (jekt)h(eines)g(geeigneten)h(Pro)q(dukts)f(dargestellt)59 401 y(w)o(erden.)k(Dual)e(k)n(ann)g(der)i(Kolimes)d(als)i(F)m(aktorob)r (jekt)f(eines)i(geeignetes)g(Kopro-)59 451 y(dukts)14 b(dargestellt)h(w)o(erde.)f(Wir)f(w)o(erden)i(diese)g(Konstruktion)f (sp)1129 453 y(\177)1129 451 y(ater)h(v)o(erw)o(enden.)59 500 y(Wic)o(h)o(tig)g(f)231 502 y(\177)230 500 y(ur)h(uns)h(ist)f(no)q (c)o(h)g(die)h(V)m(ertausc)o(h)o(bark)o(eit)g(v)o(on)e(F)m(unktoren)i (mit)d(der)j(Bil-)59 550 y(dung)d(v)o(on)g(Limites)f(bzw.)h(Kolimites.) e(Wir)i(sagen,)g(da\031)g(ein)g(F)m(unktor)g Fm(G)h Fr(:)d Fm(C)i(\000)-6 b(!)11 b(C)1405 535 y Fp(0)59 600 y Fr(Limites)214 602 y(\177)213 600 y(ub)q(er)20 b(dem)e(Diagramm)o(sc)o(hem)o(a)e Fm(D)k Fl(erh)859 602 y(\177)859 600 y(alt)p Fr(,)e(w)o(enn)h(f)1061 602 y(\177)1060 600 y(ur)g(jedes)h(Diagramm)59 650 y Fm(F)c Fr(:)11 b Fm(D)h(\000)-6 b(!)11 b(C)16 b Fr(gilt)d(lim)363 665 y Fm( )-16 b(\000)420 650 y Fr(\()p Fm(G)r(F)t Fr(\))525 639 y Fm(\030)525 652 y Fr(=)569 650 y Fm(G)r Fr(\(lim)612 665 y Fm( )g(\000)670 650 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\)\).)59 725 y Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(5.13)p Fo(.)k Fl(Kovariante)c(darstel)r(lb)n (ar)n(e)e(F)m(unktor)n(en)i(erhalten)f(Limites.)f(Kontr)n(ava-)59 774 y(riante)h(darstel)r(lb)n(ar)n(e)e(F)m(unktor)n(en)j(bilden)e (Kolimites)g(in)h(Limites)f(ab.)109 849 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)g(b)q(ew)o(eisen)h(n)o(ur)f(die)f(erste)j(Aussage.)e(Die)f(zw) o(eite)i(Aussage)f(ist)59 899 y(dual)13 b(dazu.)h(F)290 901 y(\177)289 899 y(ur)g(ein)g(Diagramm)c Fm(F)15 b Fr(:)c Fm(D)i(\000)-6 b(!)11 b Fr(Me)j(ist)108 974 y Fm(f)p Fr(\()p Fq(x)169 980 y Fn(D)199 974 y Fm(j)p Fq(D)e Fm(2)f Fr(Ob)d Fm(D)q Fq(;)f(x)435 980 y Fn(D)476 974 y Fm(2)k(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\)\))p Fm(j8)p Fr(\()p Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(D)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)903 956 y Fp(0)916 974 y Fr(\))g Fm(2)g(D)i Fr(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(x)1180 980 y Fn(D)1211 974 y Fr(\))h(=)g Fq(x)1307 980 y Fn(D)1335 972 y Fe(0)1348 974 y Fm(g)59 1048 y Fr(nac)o(h)168 1040 y(\177)163 1048 y(Ubung)19 b(5.5)g(Limes)f(v)o(on)h Fm(F)t Fr(.)g(Sei)g(n)o(un)g(ein)h (Diagramm)15 b Fm(F)24 b Fr(:)c Fm(D)i(\000)-6 b(!)20 b(C)h Fr(ge-)59 1098 y(geb)q(en)g(und)g(sei)f(lim)340 1113 y Fm( )-16 b(\000)398 1098 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\))20 b(der)h(Limes.)e(Sei)h(w)o(eiterhin)h(der)g(darstellbare)f(F)m(unktor) 59 1148 y(Mor)134 1154 y Fp(C)156 1148 y Fr(\()p Fq(C)205 1133 y Fp(0)216 1148 y Fq(;)7 b Fr(-)o(\))21 b(:)e Fm(C)j(\000)-6 b(!)19 b Fr(Me)h(gegeb)q(en.)f(Nac)o(h)h(De\014nition)e(des)i(Limes)d (v)o(on)i Fm(F)k Fr(gibt)59 1198 y(es)18 b(zu)g(jeder)h(nat)338 1200 y(\177)337 1198 y(urlic)o(hen)e(T)m(ransformation)e Fq(')j Fr(:)f Fm(K)901 1204 y Fn(C)927 1196 y Fe(0)957 1198 y Fm(\000)-6 b(!)17 b(F)k Fr(genau)c(einen)h(Mor-)59 1248 y(phism)o(us)d Fq(f)20 b Fr(:)15 b Fq(C)322 1233 y Fp(0)349 1248 y Fm(\000)-7 b(!)15 b Fr(lim)431 1263 y Fm( )-16 b(\000)489 1248 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\))16 b(mit)f Fq(\031)q Fm(K)707 1254 y Fn(f)743 1248 y Fr(=)h Fq(')p Fr(.)g(Dadurc)o(h)g(ist)g(ein)h(Isomorphism)o(us)59 1297 y(Nat\()p Fm(K)175 1303 y Fn(C)201 1295 y Fe(0)214 1297 y Fq(;)7 b Fm(F)t Fr(\))294 1286 y Fm(\030)294 1299 y Fr(=)338 1297 y(Mor)413 1303 y Fp(C)435 1297 y Fr(\()p Fq(C)484 1282 y Fp(0)495 1297 y Fq(;)g Fr(lim)514 1313 y Fm( )-16 b(\000)571 1297 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\)\))14 b(gegeb)q(en.)h(Damit)c(ist)80 1376 y(lim)80 1391 y Fm( )-16 b(\000)137 1376 y Fr(\(Mor)229 1382 y Fp(C)250 1376 y Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b Fm(F)t Fr(\)\))393 1365 y Fm(\030)393 1378 y Fr(=)80 1426 y Fm(f)p Fr(\()p Fq(')p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))12 b(:)f Fq(C)279 1411 y Fp(0)302 1426 y Fm(\000)-7 b(!)11 b(F)t Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))p Fm(j)p Fq(D)j Fm(2)d(D)q Fr(\))p Fm(j8)p Fr(\()p Fq(f)16 b Fr(:)11 b Fq(D)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)900 1411 y Fp(0)912 1426 y Fr(\))h Fm(2)f(D)i Fr(:)e Fm(F)t Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(D)q Fr(\))i(=)f Fq(')p Fr(\()p Fq(D)1366 1411 y Fp(0)1379 1426 y Fr(\))p Fm(g)80 1476 y Fr(=)g(Nat\()p Fm(K)240 1482 y Fn(C)266 1473 y Fe(0)279 1476 y Fq(;)7 b Fm(F)t Fr(\))359 1464 y Fm(\030)359 1478 y Fr(=)402 1476 y(Mor)478 1482 y Fp(C)499 1476 y Fr(\()p Fq(C)548 1460 y Fp(0)560 1476 y Fq(;)g Fr(lim)579 1491 y Fm( )-16 b(\000)636 1476 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(\)\))p Fq(:)p 771 1453 29 2 v 771 1478 2 25 v 798 1478 V 771 1480 29 2 v 59 1551 a Fo(F)o(olger)o(ung)16 b Fr(5.14)p Fo(.)k Fl(Sei)d Fm(F)h Fr(:)c Fm(C)i(\000)-6 b(!)14 b(C)700 1536 y Fp(0)728 1551 y Fl(linksadjungiert)i(zu)h Fm(G)f Fr(:)e Fm(C)1157 1536 y Fp(0)1183 1551 y Fm(\000)-6 b(!)14 b(C)r Fl(.)i(Dann)59 1601 y(erh)117 1603 y(\177)117 1601 y(alt)e Fm(F)19 b Fl(Kolimites)14 b(und)i Fm(G)h Fl(Limites.)109 1675 y Fo(Beweis.)j Fr(F)315 1677 y(\177)314 1675 y(ur)15 b(ein)f(Diagramm)9 b Fm(H)j Fr(:)f Fm(D)i(\000)-7 b(!)12 b Fq(C)k Fr(ist)207 1747 y(Mor)282 1753 y Fp(C)303 1747 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fr(lim)352 1762 y Fm( )-16 b(\000)409 1747 y Fr(\()p Fm(G)r(H)p Fr(\)\))532 1736 y Fm(\030)532 1749 y Fr(=)576 1747 y(lim)576 1762 y Fm( )g(\000)640 1747 y Fr(Mor)715 1753 y Fp(C)737 1747 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r(H)p Fr(\))876 1736 y Fm(\030)876 1749 y Fr(=)919 1747 y(lim)919 1762 y Fm( )-16 b(\000)984 1747 y Fr(Mor)1059 1753 y Fp(C)1078 1745 y Fe(0)1092 1747 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)7 b Fm(H)p Fr(\))1237 1736 y Fm(\030)1237 1749 y Fr(=)366 1797 y(Mor)441 1803 y Fp(C)460 1795 y Fe(0)474 1797 y Fr(\()p Fm(F)t Fr(-)p Fq(;)g Fr(lim)557 1812 y Fm( )-16 b(\000)614 1797 y Fr(\()p Fm(H)p Fr(\)\))709 1786 y Fm(\030)709 1799 y Fr(=)753 1797 y(Mor)828 1803 y Fp(C)850 1797 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b Fm(G)r Fr(\(lim)942 1812 y Fm( )-16 b(\000)999 1797 y Fr(\()p Fm(H)p Fr(\)\)\))p Fq(;)59 1872 y Fr(also)18 b(lim)147 1887 y Fm( )-16 b(\000)205 1872 y Fr(\()p Fm(G)r(H)p Fr(\))320 1861 y Fm(\030)320 1874 y Fr(=)372 1872 y Fm(G)r Fr(\(lim)415 1887 y Fm( )g(\000)473 1872 y Fr(\()p Fm(H)p Fr(\)\))20 b(als)e(darstellende)i(Ob)r(jekte.)g (Der)f(Bew)o(eis)h(f)1296 1874 y(\177)1295 1872 y(ur)f(den)59 1922 y(linksadjungierten)14 b(F)m(unktor)f(erfolgt)h(analog.)p 844 1899 V 844 1924 2 25 v 871 1924 V 844 1926 29 2 v eop %%Page: 43 48 43 47 bop 609 682 a Fr(KAPITEL)22 b(VI)218 781 y Fv(Algebraisc)n(he)d (Grupp)r(en)f(und)h(Hopf)g(Algebren)59 971 y Fr(Es)c(gibt)e(zw)o(ei)i (v)o(ersc)o(hiedene)h(M)572 973 y(\177)572 971 y(oglic)o(hk)o(eiten,)d (den)i(Begri\013)f(einer)h(Grupp)q(e)g Fq(G)f Fr(in)g(ei-)59 1021 y(ner)e(b)q(eliebigen)f(Kategorie)g Fm(C)i Fr(zu)f(de\014nieren.)g (Die)e(eine)i(M)985 1023 y(\177)985 1021 y(oglic)o(hk)o(eit)e(ist)h(zu) g(fordern,)59 1071 y(da\031)i(die)g(Menge)h(Mor)410 1077 y Fp(C)431 1071 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))13 b(f)577 1073 y(\177)576 1071 y(ur)g(alle)f Fq(X)j Fm(2)d(C)j Fr(eine)f(Grupp)q(e)f(wird)g(und)g(dies)h(funk-)59 1120 y(toriell)f(\(d.h.)g(nat)339 1122 y(\177)338 1120 y(urlic)o(h\))g(in)g Fq(X)s Fr(.)h(Die)f(zw)o(eite)h(M)819 1122 y(\177)819 1120 y(oglic)o(hk)o(eit)f(ist,)g(eine)h(Multiplik)n(ation)59 1170 y Fm(r)94 1176 y Fn(G)136 1170 y Fr(:)h Fq(G)10 b Fm(\002)h Fq(G)j Fm(\000)-6 b(!)14 b Fq(G)h Fr(und)h(analog)f (neutrales)i(Elemen)o(t)e(und)h(In)o(v)o(ersen)o(bildung)g(zu)59 1220 y(de\014nieren,)h(die)g(k)o(omm)n(utativ)o(e)d(Diagramm)o(e)f(f) 824 1222 y(\177)823 1220 y(ur)k(die)f(Assoziativit)1161 1222 y(\177)1161 1220 y(at)g(etc.)h(bilden.)59 1270 y(Zu)c(der)h (letzteren)g(De\014nition)e(b)q(en)617 1272 y(\177)617 1270 y(otigt)h(man)e(die)i(Existenz)h(gewisser)g(Pro)q(dukte)g(in)59 1320 y(der)h(Kategorie)g Fm(C)r Fr(,)f(sie)h(ist)f(also)g(enger)i(als)e (die)g(erste)i(De\014nition.)d(Besitzt)j Fm(C)h Fr(jedo)q(c)o(h)59 1370 y(Pro)q(dukte)12 b(und)f(Endob)r(jekt,)g(so)g(sind)g(b)q(eide)g (De\014nitionen)1002 1372 y(\177)1002 1370 y(aquiv)n(alen)o(t.)e(Das)h (w)o(erden)59 1419 y(wir)k(in)f(diesem)g(Absc)o(hnitt)i(zeigen)g(und)f (ausn)o(utzen.)59 1523 y Fo(Lemma)j Fr(6.1)p Fo(.)j Fl(1\))d(In)h(der)e (Kate)n(gorie)h(der)g(kommutativen)h(A)o(lgebr)n(en)e(ist)h(das)h(T)m (en-)59 1573 y(sorpr)n(o)n(dukt)d(von)g(A)o(lgebr)n(en)g(das)g(Kopr)n (o)n(dukt.)59 1626 y(2\))h(In)g(der)f(Kate)n(gorie)g(der)h (kokommutativen)g(Ko)n(algebr)n(en)g(ist)f(das)h(T)m(ensorpr)n(o)n (dukt)59 1676 y(von)g(Ko)n(algebr)n(en)e(das)i(Pr)n(o)n(dukt.)109 1779 y Fo(Beweis.)k Fr(1\))d(Seien)f Fq(A)h Fr(und)f Fq(B)j Fr(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)14 b Ff(K)p Fr(-Algebre)q(n.)k(Dann)e (ist)h Fq(A)11 b Fm(\012)g Fq(B)59 1829 y Fr(wieder)k(eine)f(k)o(omm)n (utativ)o(e)d(Algebra)j(mit)e(der)j(Multiplik)n(ation)203 1931 y Fm(r)238 1937 y Fn(A)p Fp(\012)p Fn(B)329 1931 y Fr(:)c Fq(A)e Fm(\012)h Fq(B)h Fm(\012)f Fq(A)f Fm(\012)h Fq(B)645 1908 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)663 1931 y Fm(\000)-6 b(!)29 b Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(A)g Fm(\012)h Fq(B)i Fm(\012)d Fq(B)1053 1908 y Fp(r\012r)1061 1931 y Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)r(:)59 2023 y Fr(W)m(eiter)14 b(sind)f(die)h(linearen)g(Abbildungen)f Fq(\023)764 2029 y Fn(A)803 2023 y Fr(:=)e(1)879 2029 y Fn(A)915 2023 y Fm(\012)e Fq(\021)k Fr(:)e Fq(A)1055 2012 y Fm(\030)1055 2026 y Fr(=)1099 2023 y Fq(A)e Fm(\012)g Ff(K)15 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(A)d Fm(\012)g Fq(B)59 2073 y Fr(bzw.)14 b Fq(\023)171 2079 y Fn(B)211 2073 y Fr(:=)d Fq(\021)f Fm(\012)g Fr(1)360 2079 y Fn(B)400 2073 y Fr(:)h Fq(B)468 2062 y Fm(\030)468 2075 y Fr(=)512 2073 y Ff(K)h Fm(\012)e Fq(B)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)f Fm(\012)f Fq(B)17 b Fr(Algebren)d(Homomorphism)o(en.)721 2173 y Ft(43)p eop %%Page: 44 49 44 48 bop 59 117 a Ft(44)158 b(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g (UND)g(HOPF)g(ALGEBREN)59 225 y Fr(Seien)i(n)o(un)g(eine)h(w)o(eitere)g (k)o(omm)n(utativ)o(e)c(Algebra)j Fq(C)i Fr(und)e(Algebren)h(Homom)o (or-)59 275 y(phismen)14 b Fq(f)244 281 y Fn(A)285 275 y Fr(:)f Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(C)18 b Fr(und)d Fq(f)587 281 y Fn(B)630 275 y Fr(:)e Fq(B)j Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(C)18 b Fr(gegeb)q(en.)e(Wir)e(w)o(ollen)g(zeigen,)i(da\031) 59 325 y(es)d(einen)f(eindeutig)g(b)q(estimm)o(ten)f(Algebren)i(Homom)o (orphism)n(us)c Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(A)6 b Fm(\012)g Fq(B)13 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)59 374 y Fr(so)j(gibt,)f(da\031)g (das)h(Diagramm)515 454 y Fq(A)134 b(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)p 559 442 110 2 v 627 441 a Fk(-)595 429 y Fn(\023)607 433 y Fj(A)929 454 y Fq(B)p 808 442 109 2 v 808 441 a Fk(\033)844 429 y Fn(\023)856 433 y Fj(B)722 663 y Fq(C)569 552 y Fn(f)585 556 y Fj(A)560 512 y Fk(@)601 553 y(@)643 595 y(@)668 620 y(@)-42 b(R)p 737 516 2 46 v 737 620 V 28 w(?)728 552 y Fn(f)124 b(f)884 556 y Fj(B)875 512 y Fk(\000)834 553 y(\000)792 595 y(\000)767 620 y(\000)-42 b(\011)59 734 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 785 y(Dazu)17 b(sei)g Fq(f)22 b Fr(:=)17 b Fm(r)371 791 y Fn(C)398 785 y Fr(\()p Fq(f)434 791 y Fn(A)473 785 y Fm(\012)12 b Fq(f)537 791 y Fn(B)566 785 y Fr(\))17 b(:)f Fq(A)c Fm(\012)f Fq(B)20 b Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(C)d Fm(\012)d Fq(C)20 b Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(C)s Fr(,)f(also)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)d Fm(\012)e Fq(b)p Fr(\))17 b(=)59 835 y Fq(f)79 841 y Fn(A)106 835 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)180 841 y Fn(B)210 835 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\).)12 b(Dieses)j(ist)e(ein)g (Algebren)h(Homomorphi)o(sm)n(us,)c(w)o(eil)j(in)g(einer)h(k)o(omm)o(-) 59 885 y(m)o(utativ)o(en)j(Algebra)h Fq(C)j Fr(die)e(Multiplik)n(ation) c Fm(r)k Fr(:)g Fq(C)c Fm(\012)d Fq(C)22 b Fm(\000)-7 b(!)19 b Fq(C)i Fr(ein)e(Algebren)59 935 y(Homomorphism)m(us)12 b(ist.)h(Das)h(Diagramm)182 1014 y Fq(C)e Fm(\012)d Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)i Fm(\012)d Fq(C)218 b(C)12 b Fm(\012)d Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)h Fm(\012)f Fq(C)p 477 1002 191 2 v 626 1001 a Fk(-)520 990 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)1095 1014 y Fq(C)i Fm(\012)d Fq(C)p 975 1002 109 2 v 1041 1001 a Fk(-)988 990 y Fp(r\012r)p 322 1180 2 150 v 323 1180 a Fk(?)225 1113 y Fp(r\012r)p 1152 1180 V 1153 1180 a Fk(?)1170 1115 y Fp(r)265 1221 y Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)758 b(C)p 393 1210 732 2 v 1083 1209 a Fk(-)745 1201 y Fp(r)59 1294 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert)12 b(n)307 1296 y(\177)307 1294 y(amlic)o(h.)f(Au\031erdem)j(erh)708 1296 y(\177)708 1294 y(alt)g Fm(r)f Fr(die)h(Eins)g(der)h(Algebra.)59 1345 y(Es)c(gelten)g(n)o(un)f Fq(f)t(\023)350 1351 y Fn(A)378 1345 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))i(=)f Fq(f)t Fr(\(1)548 1351 y Fn(A)578 1345 y Fm(\012)r Fq(\021)q Fr(\)\()p Fq(a)p Fr(\))i(=)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)r Fm(\012)r Fr(1\))h(=)f Fm(r)p Fr(\()p Fq(f)1024 1351 y Fn(A)1051 1345 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))r Fm(\012)r Fq(f)1161 1351 y Fn(B)1191 1345 y Fr(\(1\)\))g(=)g Fq(f)1336 1351 y Fn(A)1363 1345 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))59 1395 y(und)g Fq(f)t(\023)179 1401 y Fn(B)219 1395 y Fr(=)g Fq(f)283 1401 y Fn(B)312 1395 y Fr(.)f(Sei)h(ein)g(w)o(eiterer)h(Algebren)f(Homomorphi)o(sm)n (us)d Fq(g)k Fr(:)e Fq(A)5 b Fm(\012)g Fq(B)14 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)59 1445 y Fr(mit)f Fq(g)q(\023)169 1451 y Fn(A)207 1445 y Fr(=)i Fq(f)271 1451 y Fn(A)310 1445 y Fr(und)f Fq(g)q(\023)426 1451 y Fn(B)466 1445 y Fr(=)h Fq(f)530 1451 y Fn(B)570 1445 y Fr(gegeb)q(en.)h(Dann)d(ist)i Fq(g)q Fr(\()p Fq(a)t Fm(\012)t Fq(b)p Fr(\))h(=)e Fq(g)q Fr(\(\()p Fq(a)t Fm(\012)t Fr(1\)\(1)t Fm(\012)t Fq(b)p Fr(\)\))j(=)59 1495 y Fq(g)q Fr(\()p Fq(\023)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(\023)p Fr(\()p Fq(b)p Fr(\)\))k(=)h Fq(g)q(\023)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(g)q(\023)p Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))f(=)g Fq(f)579 1501 y Fn(A)607 1495 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)681 1501 y Fn(B)710 1495 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))g(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)13 b Fm(\012)f Fq(b)p Fr(\),)17 b(also)g Fq(f)23 b Fr(=)18 b Fq(g)q Fr(.)g(Damit)d(ist)59 1545 y(nac)o(hgewiesen,)20 b(da\031)e(\()p Fq(A)13 b Fm(\012)g Fq(B)r(;)7 b Fr(\()p Fq(\023)602 1551 y Fn(A)629 1545 y Fq(;)g(\023)663 1551 y Fn(B)691 1545 y Fr(\)\))19 b(ein)g(Kopro)q(dukt)h(v)o(on)e Fq(A)h Fr(und)g Fq(B)j Fr(in)d(der)59 1594 y(Kategorie)14 b Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)365 1604 y Fn(c)396 1594 y Fr(der)15 b(k)o(omm)n(utativ)o(en)c Ff(K)p Fr(-Algebre)q(n)17 b(ist.)59 1646 y(2\))c(Der)h(Bew)o(eis)g(f)339 1648 y(\177)338 1646 y(ur)g(Koalgebren)f(v)o(erl)676 1648 y(\177)676 1646 y(auft)g(im)f(Prinzip)h(dual,)f(l)1082 1648 y(\177)1082 1646 y(a\031t)h(sic)o(h)g(ab)q(er)h(nic)o(h)o(t)59 1695 y(direkt)d(aus)g(dem)f(v)o(orhergehenden)j(T)m(eil)c(durc)o(h)j (Dualisieren)e(erhalten,)h(w)o(eil)g(wir)f(mit)59 1745 y(Elemen)o(ten)k(gerec)o(hnet)h(hab)q(en.)59 1797 y(Seien)f(also)f Fq(C)k Fr(und)d Fq(D)h Fr(k)o(ok)o(omm)n(utativ)n(e)d Ff(K)p Fr(-Koalgebren.)k(Dann)e(ist)f Fq(C)f Fm(\012)d Fq(D)16 b Fr(wieder)59 1846 y(eine)e(k)o(ok)o(omm)n(utativ)o(e)d (Koalgebra)j(mit)e(der)i(Kom)o(ultiplik)n(ati)o(on)194 1940 y(\001)229 1946 y Fn(C)r Fp(\012)p Fn(D)322 1940 y Fr(:)d Fq(C)h Fm(\012)d Fq(D)475 1916 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(\001)482 1940 y Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(C)12 b Fm(\012)e Fq(C)i Fm(\012)d Fq(D)i Fm(\012)e Fq(D)867 1916 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)886 1940 y Fm(\000)-7 b(!)30 b Fq(C)11 b Fm(\012)f Fq(D)h Fm(\012)e Fq(C)j Fm(\012)e Fq(D)q(:)59 2023 y Fr(W)m(eiter)j(sind)g(die)g(linearen)g (Abbildungen)f Fq(\031)769 2029 y Fn(C)808 2023 y Fr(:=)g(1)885 2029 y Fn(C)919 2023 y Fm(\012)c Fq(")k Fr(:)f Fq(C)f Fm(\012)d Fq(D)13 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)f Fm(\012)d Ff(K)1341 2012 y Fm(\030)1341 2026 y Fr(=)1385 2023 y Fq(C)59 2073 y Fr(bzw.)12 b Fq(\031)178 2079 y Fn(D)219 2073 y Fr(:=)f Fq(")293 2079 y Fn(C)326 2073 y Fm(\012)5 b Fr(1)384 2079 y Fn(D)425 2073 y Fr(:)12 b Fq(C)7 b Fm(\012)e Fq(D)13 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)5 b Fm(\012)g Fq(D)769 2062 y Fm(\030)769 2075 y Fr(=)813 2073 y Fq(D)13 b Fr(Koalgebren)f(Homomo)o(rphism)o(en.)p eop %%Page: 45 50 45 49 bop 253 117 a Ft(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g(UND)g(HOPF) g(ALGEBREN)159 b(45)59 225 y Fr(Seien)19 b(n)o(un)f(eine)g(w)o(eitere)h (k)o(ok)o(omm)n(utativ)o(e)c(Koalgebra)j Fq(A)g Fr(und)g(Koalgebren)h (Ho-)59 275 y(momorphism)o(en)e Fq(f)376 281 y Fn(C)425 275 y Fr(:)k Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)21 b Fq(C)h Fr(und)e Fq(f)759 281 y Fn(D)810 275 y Fr(:)h Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)21 b Fq(D)g Fr(gegeb)q(en.)f(Wir)f(w)o(ollen)59 325 y(zeigen,)g(da\031)g(es)g(einen)h(eindeutig)f(b)q(estimm)o(ten)e (Koalgebren)j(Homom)o(orphism)n(us)59 374 y Fq(f)c Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(C)f Fm(\012)f Fq(D)15 b Fr(so)f(gibt,)f(da\031)g(das)i(Diagramm)514 715 y Fq(C)135 b(C)12 b Fm(\012)d Fq(D)p 559 704 108 2 v 559 703 a Fk(\033)591 691 y Fn(\031)610 695 y Fj(C)928 715 y Fq(D)p 810 704 106 2 v 874 703 a Fk(-)840 691 y Fn(\031)859 695 y Fj(D)723 510 y Fq(A)568 607 y Fn(f)584 611 y Fj(C)668 566 y Fk(\000)626 608 y(\000)585 649 y(\000)560 674 y(\000)-42 b(\011)p 737 570 2 46 v 737 674 V 136 w(?)728 607 y Fn(f)124 b(f)884 611 y Fj(D)767 566 y Fk(@)809 608 y(@)850 649 y(@)875 674 y(@)-42 b(R)59 836 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 894 y(Dazu)19 b(sei)g Fq(f)25 b Fr(:=)20 b(\()p Fq(f)382 900 y Fn(C)423 894 y Fm(\012)13 b Fq(f)488 900 y Fn(D)519 894 y Fr(\)\001)570 900 y Fn(A)616 894 y Fr(:)20 b Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)19 b Fq(A)13 b Fm(\012)g Fq(A)20 b Fm(\000)-6 b(!)19 b Fq(C)c Fm(\012)e Fq(D)q Fr(.)19 b(Dieses)h(ist)f(ein)59 943 y(Koalgebren)f(Homom)o(orphism)n(us,)c(w)o(eil)i(in)h(einer)h(k)o (ok)o(omm)o(m)n(utati)o(v)o(en)d(Koalgebra)59 993 y Fq(A)c Fr(die)g(Kom)o(ultiplik)m(ation)c(\001)517 999 y Fn(A)556 993 y Fr(:)k Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(A)s Fm(\012)s Fq(A)h Fr(ein)e(Koalgebren)i(Homom)o(orphism)n(us)59 1043 y(ist.)h(Das)h(Diagramm)308 1177 y Fq(A)758 b(A)9 b Fm(\012)g Fq(A)p 351 1165 734 2 v 1043 1164 a Fk(-)704 1156 y Fi(\001)p 322 1343 2 150 v 323 1343 a Fk(?)279 1278 y Fi(\001)p 1152 1343 V 1153 1343 a Fk(?)1170 1276 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(\001)267 1384 y Fq(A)g Fm(\012)h Fq(A)137 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)f Fm(\012)h Fq(A)f Fm(\012)g Fq(A)p 392 1373 113 2 v 463 1372 a Fk(-)408 1360 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(\001)1015 1384 y Fq(A)g Fm(\012)h Fq(A)f Fm(\012)g Fq(A)h Fm(\012)f Fq(A)p 806 1373 197 2 v 961 1372 a Fk(-)852 1360 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)59 1504 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert)j(n)307 1506 y(\177)307 1504 y(amlic)o(h.)f(Au\031erdem)j(erh)708 1506 y(\177)708 1504 y(alt)g(\001)f(die)h(Ko)q(eins)h(der)f(Koalgebra)577 1640 y Fq(A)259 b Ff(K)p 621 1626 235 2 v 814 1625 a Fk(-)730 1617 y Fn(")p 592 1762 2 108 v 593 1762 a Fk(?)549 1718 y Fi(\001)p 883 1762 V 883 1762 a Fk(?)900 1709 y Fp(\030)900 1718 y Fi(=)536 1804 y Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(A)171 b Ff(K)12 b Fm(\012)e Ff(K)p Fq(:)p 662 1792 147 2 v 766 1791 a Fk(-)706 1817 y Fn(")p Fp(\012)p Fn(")59 1924 y Fr(Es)16 b(gelten)g(n)o(un)g Fq(\031)351 1930 y Fn(C)378 1924 y Fq(f)j Fr(=)c(\(1)501 1930 y Fn(C)539 1924 y Fm(\012)c Fq(")601 1930 y Fn(D)631 1924 y Fr(\)\()p Fq(f)683 1930 y Fn(C)722 1924 y Fm(\012)g Fq(f)785 1930 y Fn(D)815 1924 y Fr(\)\001)866 1930 y Fn(A)908 1924 y Fr(=)j(\()p Fq(f)990 1930 y Fn(C)1029 1924 y Fm(\012)d Fq(")1091 1930 y Fn(D)1121 1924 y Fq(f)1141 1930 y Fn(D)1171 1924 y Fr(\)\001)1222 1930 y Fn(A)1264 1924 y Fr(=)j(\()p Fq(f)1346 1930 y Fn(C)1385 1924 y Fm(\012)59 1974 y Fq(")78 1980 y Fn(A)105 1974 y Fr(\)\001)156 1980 y Fn(A)195 1974 y Fr(=)e(\()p Fq(f)275 1980 y Fn(C)308 1974 y Fm(\012)5 b Fr(1)366 1980 y Fc(K)391 1974 y Fr(\)\(1)444 1980 y Fn(A)476 1974 y Fm(\012)g Fq(")532 1980 y Fn(A)560 1974 y Fr(\)\001)611 1980 y Fn(A)649 1974 y Fr(=)12 b Fq(f)713 1980 y Fn(C)741 1974 y Fr(.)f(Sei)h(ein)g(w)o(eiterer)h(Algebren)g (Homom)o(or-)59 2023 y(phism)o(us)i Fq(g)h Fr(:)f Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(C)e Fm(\012)e Fq(D)18 b Fr(mit)c Fq(\031)653 2029 y Fn(C)680 2023 y Fq(g)j Fr(=)e Fq(f)784 2029 y Fn(C)828 2023 y Fr(und)h Fq(\031)937 2029 y Fn(D)967 2023 y Fq(g)g Fr(=)g Fq(f)1071 2029 y Fn(D)1117 2023 y Fr(gegeb)q(en.)h(Da)e(das)59 2073 y(Diagramm)p eop %%Page: 46 51 46 50 bop 59 117 a Ft(46)158 b(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g (UND)g(HOPF)g(ALGEBREN)160 196 y Fq(C)c Fm(\012)e Fq(D)212 b(C)12 b Fm(\012)e Fq(C)h Fm(\012)f Fq(D)h Fm(\012)e Fq(D)p 291 184 187 2 v 437 183 a Fk(-)319 171 y Fi(\001)346 175 y Fj(C)371 171 y Fp(\012)p Fi(\001)424 175 y Fj(D)1113 196 y Fq(C)i Fm(\012)f Fq(D)h Fm(\012)e Fq(C)j Fm(\012)e Fq(D)p 791 184 310 2 v 1059 183 a Fk(-)869 171 y Fi(1)886 175 y Fj(C)910 171 y Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)997 175 y Fj(D)292 398 y Fi(1)309 402 y Fj(C)333 398 y Fp(\012)p Fi(1)376 402 y Fj(D)249 254 y Fk(@)290 296 y(@)332 337 y(@)373 379 y(@)415 420 y(@)456 462 y(@)498 503 y(@)539 545 y(@)564 569 y(@)-42 b(R)p 634 362 2 150 v 634 362 a(?)651 295 y Fi(1)668 299 y Fj(C)692 295 y Fp(\012)p Fn(")p Fp(\012)p Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)819 299 y Fj(D)p 1256 362 V 1257 362 a Fk(?)1273 293 y Fn(p)1290 297 y Fj(C)1315 293 y Fp(\012)p Fn(p)1358 297 y Fj(D)492 404 y Fq(C)12 b Fm(\012)d Ff(K)k Fm(\012)c Ff(K)k Fm(\012)c Fq(D)339 b(C)12 b Fm(\012)e Ff(K)i Fm(\012)e Ff(K)i Fm(\012)e Fq(D)p 789 392 313 2 v 1061 391 a Fk(-)869 379 y Fi(1)886 383 y Fj(C)910 379 y Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)997 383 y Fj(D)p 634 569 2 150 v 634 569 a Fk(?)651 496 y Fp(\030)651 505 y Fi(=)575 611 y Fq(C)i Fm(\012)d Fq(D)892 496 y Fp(\030)893 505 y Fi(=)1128 434 y Fk(\020)1087 448 y(\020)1045 462 y(\020)1004 475 y(\020)962 489 y(\020)921 503 y(\020)879 517 y(\020)838 531 y(\020)796 545 y(\020)755 558 y(\020)722 569 y(\020)-42 b(\))59 674 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert,)7 b(ist)i Fq(g)k Fr(=)f(\()p Fq(p)458 680 y Fn(C)486 674 y Fm(\012)p Fq(p)539 680 y Fn(D)569 674 y Fr(\)\(1)622 680 y Fn(C)650 674 y Fm(\012)p Fq(\034)5 b Fm(\012)p Fr(1)758 680 y Fn(D)788 674 y Fr(\)\(\001)855 680 y Fn(C)883 674 y Fm(\012)p Fr(\001)950 680 y Fn(D)980 674 y Fr(\))p Fq(g)13 b Fr(=)f(\()p Fq(p)1110 680 y Fn(C)1138 674 y Fm(\012)p Fq(p)1191 680 y Fn(D)1221 674 y Fr(\)\001)1272 680 y Fn(C)r Fp(\012)p Fn(D)1354 674 y Fq(g)h Fr(=)59 724 y(\()p Fq(p)96 730 y Fn(C)129 724 y Fm(\012)5 b Fq(p)187 730 y Fn(D)217 724 y Fr(\)\()p Fq(g)h Fm(\012)f Fq(g)q Fr(\)\001)384 730 y Fn(A)423 724 y Fr(=)11 b(\()p Fq(p)503 730 y Fn(C)531 724 y Fq(g)6 b Fm(\012)f Fq(p)615 730 y Fn(D)645 724 y Fq(g)q Fr(\)\001)717 730 y Fn(A)756 724 y Fr(=)12 b(\()p Fq(f)836 730 y Fn(C)869 724 y Fm(\012)5 b Fq(f)926 730 y Fn(D)956 724 y Fr(\)\001)1007 730 y Fn(A)1046 724 y Fr(=)11 b Fq(f)t Fr(.)h(Damit)e(ist)h(nac)o(h-)59 774 y(gewiesen,)i(da\031)e(\()p Fq(C)e Fm(\012)d Fq(D)q(;)h Fr(\()p Fq(\031)503 780 y Fn(C)531 774 y Fq(;)g(\031)574 780 y Fn(D)603 774 y Fr(\)\))12 b(ein)g(Pro)q(dukt)h(v)o(on)f Fq(C)i Fr(und)f Fq(D)g Fr(in)f(der)h(Kategorie)59 823 y Ff(K)p Fr(-)d(Koalg)219 834 y Fn(c)250 823 y Fr(der)k(k)o(ok)o(omm)n (utativ)o(en)d(Koalgebren)j(ist.)p 952 801 29 2 v 952 825 2 25 v 979 825 V 952 827 29 2 v 59 899 a(Der)d(Bew)o(eis)h(zeigt,)e (da\031)g(es)i(g)520 901 y(\177)519 899 y(unstiger)f(ist,)f(Bew)o(eise) i(w)o(enn)f(m)1033 901 y(\177)1033 899 y(oglic)o(h)d(elemen)o(tfrei)i (n)o(ur)59 949 y(durc)o(h)17 b(R)210 951 y(\177)209 949 y(uc)o(kgri\013)e(auf)h(Morphismen)f(zu)h(f)744 951 y(\177)743 949 y(uhren,)g(da)g(sie)g(dann)g(eine)g(Dualisierung)59 999 y(zulassen.)d(Der)f(zw)o(eite)h(T)m(eil)f(des)h(ob)q(en)f(gegeb)q (enen)i(Bew)o(eises)g(lie\031e)e(sic)o(h)g(tats)1292 1001 y(\177)1292 999 y(ac)o(hlic)o(h)59 1048 y(dualisieren,)j(um)e(auc) o(h)j(den)f(ersten)i(T)m(eil)d(des)i(Bew)o(eises)h(zu)f(geb)q(en.)f (Dazu)g(m)1318 1050 y(\177)1317 1048 y(u\031ten)59 1098 y(wir)h(jedo)q(c)o(h)h(den)h(Begri\013)f(eines)g(T)m(ensorpro)q(dukts)h (in)e(einer)h(b)q(eliebigen)g(Kategorie)59 1148 y(einf)126 1150 y(\177)125 1148 y(uhren.)d(Das)g(wird)f(sp)470 1150 y(\177)470 1148 y(ater)i(gesc)o(hehen.)59 1198 y(Wir)e(form)o(ulieren)g (ein)h(w)o(eiteres)h(Lemma)c(ohne)j(den)h(trivialen)e(Bew)o(eis.)59 1274 y Fo(Lemma)k Fr(6.2)p Fo(.)j Fl(1\))14 b(In)h(der)f(Kate)n(gorie)f (der)h(kommutativen)h(A)o(lgebr)n(en)f(ist)g Ff(K)j Fl(ein)d(A)o(n-)59 1324 y(fangsobjekt.)59 1374 y(2\))h(In)g(der)g(Kate)n(gorie)f(der)h (kokommutativen)h(Ko)n(algebr)n(en)f(ist)f Ff(K)k Fl(ein)d(Endobjekt.) 59 1450 y Fo(Definition)h Fr(6.3)p Fo(.)k Fr(Ein)i(Ob)r(jekt)g Fq(G)g Fr(in)f(einer)i(Kategorie)f Fm(C)i Fr(zusammen)c(mit)h(ei-)59 1499 y(ner)d(\(k)o(on)o(tra)o(v)n(arian)o(ten\))f(F)m(aktorisierung)f Fm(G)k Fr(:)d Fm(C)i(\000)-6 b(!)17 b Fr(Gr)g(des)h(darstellbaren)g(k)o (on-)59 1549 y(tra)o(v)n(arian)o(ten)j(F)m(unktors)h(Mor)559 1555 y Fp(C)581 1549 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(G)p Fr(\))24 b(:)g Fm(C)j(\000)-7 b(!)24 b Fr(Me)e(durc)o(h)h(den)f(V)m (ergi\031funktor)59 1599 y Fm(V)15 b Fr(:)c(Gr)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Me)i(v)o(on)e(der)i(Kategorie)g(der)g(Grupp)q(en)f(in)g (die)g(Kategorie)h(der)f(Mengen)59 1649 y(Mor)134 1655 y Fp(C)156 1649 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(G)p Fr(\))j(=)i Fm(V)s(G)17 b Fr(hei\031t)d(eine)g Fl(Grupp)n(e)g Fr(in)g(der)g(Kategorie)h Fm(C)r Fr(.)59 1699 y(Ein)10 b(Ob)r(jekt)i Fq(G)e Fr(in)g(einer)i (Kategorie)f Fm(C)h Fr(zusammen)d(mit)g(einer)j(\(k)o(o)o(v)n(arian)o (ten\))d(F)m(akto-)59 1749 y(risierung)15 b Fm(G)g Fr(:)e Fm(C)i(\000)-7 b(!)13 b Fr(Gr)h(des)i(darstellbaren)f(k)o(o)o(v)n (arian)o(ten)f(F)m(unktors)h(Mor)1274 1755 y Fp(C)1296 1749 y Fr(\()p Fq(G;)7 b Fr(-)o(\))13 b(:)59 1798 y Fm(C)18 b(\000)-7 b(!)16 b Fr(Me)h(durc)o(h)g(den)g(V)m(ergi\031funktor)e Fm(V)20 b Fr(:)15 b(Gr)h Fm(\000)-7 b(!)16 b Fr(Me)h(v)o(on)f(der)h (Kategorie)g(der)59 1848 y(Grupp)q(en)12 b(in)e(die)h(Kategorie)h(der)g (Mengen)f(Mor)823 1854 y Fp(C)845 1848 y Fr(\()p Fq(G;)c Fr(-)o(\))12 b(=)g Fm(V)s(G)i Fr(hei\031t)d(eine)g Fl(Ko)n(grupp)n(e)59 1898 y Fr(in)i(der)i(Kategorie)f Fm(C)r Fr(.)64 1965 y Fo(\177)59 1974 y(Ubung)i Fr(6.4)p Fo(.)k Fr(1\))10 b(Zeigen)h(Sie,)f(da\031)g(Grupp)q(en)h(in)f(der)h(Kategorie)f(der)h (Mengen)g(genau)59 2023 y(die)j(abstrakten)h(Grupp)q(en)f(sind.)59 2073 y(2\))g(Finden)g(Sie)g(alle)f(Kogrupp)q(en)i(in)e(der)i(Kategorie) f(der)g(Mengen.)p eop %%Page: 47 52 47 51 bop 253 117 a Ft(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g(UND)g(HOPF) g(ALGEBREN)159 b(47)59 225 y Fr(Im)16 b(folgenden)i(Satz)g(v)o(erw)o (enden)i(wir)d(die)h(Morphismen)f(\001)h(:)g Fq(X)j Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(X)d Fm(\002)d Fq(X)22 b Fr(in)59 275 y(ein)d(Pro)q(dukt)h (in)e(einer)i(Kategorie)f Fm(C)i Fr(de\014niert)f(durc)o(h)g(die)f (Komp)q(onen)o(ten)f(1)1354 281 y Fn(X)1406 275 y Fr(:)59 325 y Fq(X)h Fm(\000)-6 b(!)15 b Fq(X)k Fr(und)e(1)355 331 y Fn(X)402 325 y Fr(:)e Fq(X)k Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(X)20 b Fr(und)d(den)f(eindeutig)h(b)q(estimm)o(ten)d(Morphism)o (us)59 374 y Fq(")e Fr(:)f Fq(X)k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(E)k Fr(in)f(ein)g(Endob)r(jekt)g(einer)h(Kategorie.)59 472 y Fo(Sa)m(tz)h Fr(6.5)p Fo(.)k Fl(Sei)12 b Fm(C)i Fl(eine)d(Kate)n(gorie)g(mit)g(Pr)n(o)n(dukten)h(\(und)g(Endobjekt)g Fq(E)r Fl(\).)g(Sei)f Fq(G)g Fl(ein)59 522 y(Objekt)i(in)g Fm(C)r Fl(.)h(Es)f(gibt)g(eine)h(Bijektion)f(zwischen)h(den)g(F)m (aktorisierungen)f Fm(G)h Fr(:)d Fm(C)i(\000)-6 b(!)59 572 y Fr(Gr)p Fl(,)13 b(so)i(da\031)f Fr(\()p Fq(G;)7 b Fm(G)r Fr(\))14 b Fl(eine)g(Grupp)n(e)g(in)g Fm(C)i Fl(wir)n(d,)c(und)j(den)g(T)m(rip)n(eln)d(von)j(Morphismen)59 621 y(in)g Fm(C)r Fl(:)307 685 y Fm(r)c Fr(:)g Fq(G)e Fm(\002)g Fq(G)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(G;)49 b(\021)12 b Fr(:)f Fq(E)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(G;)49 b(s)12 b Fr(:)f Fq(G)g Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(G;)59 761 y Fl(so)k(da\031)h(die)f (folgenden)g(Diagr)n(amme)g(kommutier)n(en)431 823 y Fq(G)9 b Fm(\002)g Fq(G)g Fm(\002)h Fq(G)257 b(G)8 b Fm(\002)i Fq(G)p 643 811 233 2 v 834 810 a Fk(-)712 798 y Fp(r\002)p Fi(1)783 802 y Fj(G)p 530 947 2 108 v 531 947 a Fk(?)420 901 y Fi(1)437 905 y Fj(G)460 901 y Fp(\002r)p 945 947 V 946 947 a Fk(?)962 903 y Fp(r)473 988 y Fq(G)f Fm(\002)g Fq(G)340 b(G)p 601 977 317 2 v 875 976 a Fk(-)745 1004 y Fp(r)374 1045 y Fq(E)11 b Fm(\002)e Fq(G)502 1034 y Fm(\030)502 1047 y Fr(=)545 1045 y Fq(G)590 1034 y Fm(\030)590 1047 y Fr(=)633 1045 y Fq(G)g Fm(\002)h Fq(E)171 b(G)9 b Fm(\002)g Fq(G)p 762 1034 145 2 v 865 1033 a Fk(-)796 1019 y Fi(id)d Fp(\002)p Fn(\021)p 561 1211 2 150 v 562 1211 a Fk(?)473 1144 y Fn(\021)q Fp(\002)p Fi(id)p 976 1211 V 977 1211 a Fk(?)993 1147 y Fp(r)504 1253 y Fq(G)j Fm(\002)g Fq(G)340 b(G)p 632 1241 317 2 v 907 1240 a Fk(-)776 1268 y Fp(r)796 1144 y Fi(1)813 1148 y Fj(G)620 1083 y Fk(H)661 1103 y(H)703 1124 y(H)744 1145 y(H)786 1166 y(H)827 1186 y(H)869 1207 y(H)877 1211 y(H)-42 b(j)183 1316 y Fq(G)174 b(E)p 228 1302 151 2 v 337 1301 a Fk(-)295 1293 y Fn(")598 1316 y Fq(G)p 419 1302 167 2 v 544 1301 a Fk(-)493 1288 y Fn(\021)p 198 1438 2 108 v 199 1438 a Fk(?)155 1394 y Fi(\001)141 1480 y Fq(G)9 b Fm(\002)h Fq(G)298 b(G)9 b Fm(\002)h Fq(G)p 269 1468 275 2 v 503 1467 a Fk(-)362 1455 y Fn(S)r Fp(\002)p Fi(1)427 1459 y Fj(G)p 613 1438 2 108 v 614 1372 a Fk(6)631 1394 y Fp(r)788 1316 y Fq(G)175 b(E)p 833 1302 151 2 v 942 1301 a Fk(-)901 1293 y Fn(")1203 1316 y Fq(G)p 1025 1302 167 2 v 1149 1301 a Fk(-)1098 1288 y Fn(\021)p 804 1438 2 108 v 805 1438 a Fk(?)761 1394 y Fi(\001)747 1480 y Fq(G)9 b Fm(\002)g Fq(G)293 b(G)9 b Fm(\002)g Fq(G:)p 875 1468 269 2 v 1102 1467 a Fk(-)965 1455 y Fi(1)982 1459 y Fj(G)1006 1455 y Fp(\002)p Fn(S)p 1219 1438 2 108 v 1220 1372 a Fk(6)1236 1394 y Fp(r)109 1550 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Mor)362 1556 y Fp(C)384 1550 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(G)p Fr(\))17 b(l)511 1552 y(\177)511 1550 y(a\031t)g(sic)o(h)h (durc)o(h)h(die)f(Kategorie)g(der)h(Grupp)q(en)f(genau)59 1600 y(dann)k(faktorisieren,)g(w)o(enn)h(f)559 1602 y(\177)558 1600 y(ur)f(jedes)h Fq(X)29 b Fm(2)c(C)f Fr(die)e(Menge)h(Mor)1183 1606 y Fp(C)1205 1600 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))22 b(eine)59 1650 y(Grupp)q(e)d(ist)g(und)f(f)379 1652 y(\177)378 1650 y(ur)h(jeden)g(Morphism)o(us)e Fq(f)24 b Fr(:)19 b Fq(X)k Fm(\000)-7 b(!)19 b Fq(Y)28 b Fr(in)18 b Fm(C)j Fr(die)d(Abbildung)59 1700 y(Mor)134 1706 y Fp(C)156 1700 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b(G)p Fr(\))16 b(:)g(Mor)381 1706 y Fp(C)403 1700 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)7 b(G)p Fr(\))16 b Fm(\000)-7 b(!)16 b Fr(Mor)687 1706 y Fp(C)709 1700 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))16 b(ein)h(Grupp)q(en)h(Homom)o (orphism)n(us)59 1749 y(ist.)13 b(Damit)f(hab)q(en)i(wir)g(insb)q (esondere)i(Abbildungen)289 1835 y Fm(r)324 1841 y Fn(X)366 1835 y Fr(:)11 b(Mor)465 1841 y Fp(C)486 1835 y Fr(\()p Fq(X)q(;)c(G)p Fr(\))i Fm(\002)h Fr(Mor)731 1841 y Fp(C)752 1835 y Fr(\()p Fq(X)q(;)d(G)p Fr(\))k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Mor)1036 1841 y Fp(C)1057 1835 y Fr(\()p Fq(X)q(;)c(G)p Fr(\))p Fq(;)511 1885 y(\021)532 1891 y Fn(X)575 1885 y Fr(:)k Fm(f\003g)g(\000)-7 b(!)11 b Fr(Mor)825 1891 y Fp(C)847 1885 y Fr(\()p Fq(X)q(;)c(G)p Fr(\))429 1935 y Fq(s)448 1941 y Fn(X)492 1935 y Fr(:)k(Mor)590 1941 y Fp(C)612 1935 y Fr(\()p Fq(X)q(;)c(G)p Fr(\))k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(Mor)895 1941 y Fp(C)917 1935 y Fr(\()p Fq(X)q(;)c(G)p Fr(\))p Fq(;)59 2023 y Fr(die)14 b(die)h(Grupp)q(enaxiome)e(erf)545 2025 y(\177)544 2023 y(ullen)h(und)h(mit)d(den)j(Abbildungen)f(Mor)1206 2029 y Fp(C)1228 2023 y Fr(\()p Fq(f)r(;)7 b(G)p Fr(\))14 b(v)o(er-)59 2073 y(tr)91 2075 y(\177)91 2073 y(aglic)o(h)f(sind:)p eop %%Page: 48 53 48 52 bop 59 117 a Ft(48)158 b(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g (UND)g(HOPF)g(ALGEBREN)175 194 y Fr(Mor)250 200 y Fp(C)271 194 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)7 b(G)p Fr(\))i Fm(\002)h Fr(Mor)507 200 y Fp(C)528 194 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)d(G)p Fr(\))329 b(Mor)1042 200 y Fp(C)1064 194 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)7 b(G)p Fr(\))p 650 184 305 2 v 913 183 a Fk(-)776 171 y Fp(r)804 175 y Fj(Y)p 405 320 2 108 v 406 320 a Fk(?)48 274 y Fi(Mor)108 278 y Fe(C)127 274 y Fi(\()p Fn(f)q(;G)p Fi(\))p Fp(\002)p Fi(Mor)291 278 y Fe(C)310 274 y Fi(\()p Fn(f)q(;G)p Fi(\))p 1069 320 V 1070 320 a Fk(?)1087 274 y Fi(Mor)1146 278 y Fe(C)1165 274 y Fi(\()p Fn(f)q(;G)p Fi(\))166 360 y Fr(Mor)241 366 y Fp(C)262 360 y Fr(\()p Fq(X)q(;)g(G)p Fr(\))i Fm(\002)h Fr(Mor)507 366 y Fp(C)528 360 y Fr(\()p Fq(X)q(;)d(G)p Fr(\))315 b(Mor)1037 366 y Fp(C)1059 360 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))p 659 350 291 2 v 909 349 a Fk(-)777 377 y Fp(r)805 381 y Fj(X)541 455 y Fm(f\003g)197 b Fr(Mor)876 461 y Fp(C)898 455 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)7 b(G)p Fr(\))p 616 446 174 2 v 747 445 a Fk(-)693 431 y Fn(\021)p 571 582 2 108 v 572 582 a Fk(?)p 903 582 V 290 w(?)921 535 y Fi(Mor)980 539 y Fe(C)999 535 y Fi(\()p Fn(f)q(;G)p Fi(\))541 621 y Fm(f\003g)192 b Fr(Mor)872 627 y Fp(C)893 621 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))p 616 612 169 2 v 743 611 a Fk(-)691 631 y Fn(\021)386 716 y Fr(Mor)461 722 y Fp(C)483 716 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)g(G)p Fr(\))291 b(Mor)959 722 y Fp(C)981 716 y Fr(\()p Fq(Y)r(;)7 b(G)p Fr(\))p 605 707 268 2 v 830 706 a Fk(-)730 698 y Fn(s)p 488 843 2 108 v 489 843 a Fk(?)315 796 y Fi(Mor)374 800 y Fe(C)393 796 y Fi(\()p Fn(f)q(;G)p Fi(\))p 986 843 V 987 843 a Fk(?)1004 796 y Fi(Mor)1063 800 y Fe(C)1082 796 y Fi(\()p Fn(f)q(;G)p Fi(\))382 882 y Fr(Mor)457 888 y Fp(C)478 882 y Fr(\()p Fq(X)q(;)g(G)p Fr(\))277 b(Mor)949 888 y Fp(C)970 882 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))p Fq(:)p 609 873 253 2 v 820 872 a Fk(-)727 893 y Fn(s)59 959 y Fr(Da)k(darstellbare)i(k)o(o)o(v)n(arian)o(te)e(F)m (unktoren)h(Pro)q(dukte)h(\(und)f(Endob)r(jekte\))h(erhalten,)59 1009 y(hab)q(en)20 b(wir)e(insb)q(esondere)j(nat)574 1011 y(\177)573 1009 y(urlic)o(he)e(T)m(ransformationen)e(Mor)1128 1015 y Fn(C)1156 1009 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)12 b Fm(\002)h Fq(G)p Fr(\))1385 998 y Fm(\030)1385 1011 y Fr(=)59 1059 y(Mor)134 1065 y Fp(C)156 1059 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))12 b Fm(\002)h Fr(Mor)407 1065 y Fp(C)429 1059 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))20 b Fm(\000)-6 b(!)20 b Fr(Mor)731 1065 y Fp(C)752 1059 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\))19 b(und)h(Mor)1054 1065 y Fp(C)1075 1059 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(E)r Fr(\))1215 1048 y Fm(\030)1215 1061 y Fr(=)1268 1059 y Fm(f\003g)19 b(\000)-6 b(!)59 1109 y Fr(Mor)134 1115 y Fp(C)156 1109 y Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(G)p Fr(\),)16 b(die)h(zusammen)f(mit)f Fq(s)i Fr(nac)o(h)h(dem)e(Y)m (oneda)h(Lemma)d(Morphismen)59 1158 y Fm(r)94 1164 y Fn(G)136 1158 y Fr(:)g Fq(G)c Fm(\002)g Fq(G)k Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(G)p Fr(,)h Fq(\021)456 1164 y Fn(G)498 1158 y Fr(:)f Fq(E)i Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(G)h Fr(und)h Fq(s)804 1164 y Fn(G)846 1158 y Fr(:)e Fq(G)g Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(G)h Fr(induzieren.)h(Die)f(Dia-)59 1208 y(gramme)c(f)232 1210 y(\177)231 1208 y(ur)i(die)h(Grupp)q(enaxiome)e(der)i(F)m (unktoren)g(Mor)998 1214 y Fp(C)1020 1208 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(G)g Fm(\002)i Fq(G)p Fr(\),)j(Mor)1299 1214 y Fp(C)1320 1208 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(G)p Fr(\))59 1258 y(und)21 b(Mor)224 1264 y Fp(C)246 1258 y Fr(\(-)p Fq(;)7 b(E)r Fr(\))20 b(induzieren)h(nac)o(h)g(dem)f(Y)m(oneda)g(Lemma)e(k)o (omm)o(utativ)n(e)g(Dia-)59 1308 y(gramme)11 b(wie)j(im)e(Satz)i(und)g (umgek)o(ehrt.)p 772 1285 29 2 v 772 1310 2 25 v 798 1310 V 772 1312 29 2 v 59 1395 a Fo(Sa)m(tz)i Fr(6.6)p Fo(.)k Fl(Die)13 b(Grupp)n(en)h(in)f Ff(K)p Fl(-)d Fr(Koalg)709 1405 y Fn(c)739 1395 y Fl(sind)j(genau)h(die)f(kokommutativen)g(Hopf-) 59 1445 y(A)o(lgebr)n(en.)19 b(Die)h(Ko)n(grupp)n(en)g(in)g Ff(K)p Fl(-)10 b Fr(Alg)716 1455 y Fn(c)752 1445 y Fl(sind)20 b(genau)h(die)e(kommutativen)h(Hopf-)59 1495 y(A)o(lgebr)n(en.)109 1588 y Fo(Beweis.)g Fr(Nac)o(h)12 b(Lemma)c(6.1)i(und)h(6.2)e(gibt)i (es)g(in)g Ff(K)p Fr(-)f(Koalg)1077 1598 y Fn(c)1104 1588 y Fr(Pro)q(dukte)i(und)f(ein)59 1637 y(Endob)r(jekt.)i(Grupp)q(en) h(k)469 1639 y(\177)469 1637 y(onnen)g(daher)f(durc)o(h)h(die)f (Morphismen)g(und)g(Diagramm)o(e)59 1687 y(aus)h(dem)e(v)o (orangehenden)i(Satz)g(b)q(esc)o(hrieb)q(en)i(w)o(erden.)e(Dab)q(ei)f (sind)g(die)g(Pro)q(dukte)59 1737 y(durc)o(h)e(T)m(ensorpro)q(dukte)h (zu)g(ersetzen.)h(Analoges)d(gilt)g(f)947 1739 y(\177)946 1737 y(ur)g(die)h(duale)g(Kategorie)g(v)o(on)59 1787 y Ff(K)p Fr(-)f(Alg)176 1797 y Fn(c)193 1787 y Fr(.)p 246 1764 V 246 1789 2 25 v 273 1789 V 246 1791 29 2 v 59 1874 a(Mit)j(diesem)f(Satz)h(ist)g(zw)o(eierlei)g(ausgesagt.)g (Erstens)i(de\014niert)e(jede)h(k)o(omm)n(utativ)o(e)59 1924 y(Hopf)i(Algebra)g Fq(H)j Fr(einen)e(F)m(unktor)f Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)764 1934 y Fn(c)781 1924 y Fr(\()p Fq(H)q(;)e Fr(-)o(\))16 b(:)f Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)1041 1934 y Fn(c)1074 1924 y Fm(\000)-7 b(!)15 b Fr(Me)q(,)h(der)h(durc)o(h) 59 1974 y(die)g(Kategorie)g(der)g(Grupp)q(en)h(faktorisierbar)e(ist,)h (o)q(der)g(wie)g(wir)f(kurz)i(sc)o(hreib)q(en)59 2023 y(einen)d(F)m(unktor)f Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)444 2034 y Fn(c)461 2023 y Fr(\()p Fq(H)q(;)e Fr(-)o(\))13 b(:)f Ff(K)p Fr(-)e(Alg)715 2034 y Fn(c)744 2023 y Fm(\000)-6 b(!)12 b Fr(Gr)o(.)i(Zw)o(eitens)i(wird)e(jeder)h(darstell-)59 2073 y(bare)i(F)m(unktor)f Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)432 2083 y Fn(c)449 2073 y Fr(\()p Fq(H)q(;)d Fr(-)o(\))15 b(:)g Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)708 2083 y Fn(c)740 2073 y Fm(\000)-7 b(!)15 b Fr(Me)q(,)g(der)i(durc)o(h)g(die)f(Kategorie)h(der)p eop %%Page: 49 54 49 53 bop 253 117 a Ft(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g(UND)g(HOPF) g(ALGEBREN)159 b(49)59 225 y Fr(Grupp)q(en)14 b(faktorisierbar)e(ist,)h (v)o(on)f(einer)i(Hopf)e(Algebra)h Fq(H)j Fr(dargestellt.)d(Analoges)59 275 y(gilt)g(f)147 277 y(\177)146 275 y(ur)h(die)g(Kategorie)g(der)g(k) o(ok)o(omm)n(utativ)o(en)d(Koalgebren.)59 364 y Fo(Definition)16 b Fr(6.7)p Fo(.)k Fr(1\))15 b(Die)g(durc)o(h)g(k)o(omm)o(utativ)n(e)e (\(endlic)o(h)i(erzeugte\))i(Hopf)e(Alge-)59 414 y(bren)h (dargestellten)f(k)o(o)o(v)n(arian)o(ten)f(F)m(unktoren)h(v)o(on)f Ff(K)p Fr(-)c(Alg)1021 424 y Fn(c)1053 414 y Fr(in)k(die)h(Kategorie)g (der)59 464 y(Grupp)q(en)g(hei\031en)f Fl(a\016ne)h(algebr)n(aische)f (Grupp)n(en)p Fr(.)59 516 y(2\))i(Die)g(durc)o(h)h(k)o(ok)o(omm)n (utativ)o(e)c(Hopf)j(Algebren)h(dargestellten)g(k)o(on)o(tra)o(v)n (arian)o(ten)59 566 y(F)m(unktoren)22 b(v)o(on)g Ff(K)p Fr(-)10 b(Koalg)514 576 y Fn(c)552 566 y Fr(in)22 b(die)g(Kategorie)g (der)h(Grupp)q(en)g(hei\031en)f Fl(formale)59 615 y(Grupp)n(en)p Fr(.)59 705 y Fo(Beispiel)16 b Fr(6.8)p Fo(.)k Fr(1\))12 b(Die)g(a\016ne)g(algebraisc)o(he)h(Grupp)q(e,)g(genann)o(t)f(additiv)o (e)g(Grupp)q(e,)555 792 y Fq(G)588 798 y Fn(a)620 792 y Fr(:)f Ff(K)p Fr(-)f(Alg)760 802 y Fn(c)788 792 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Ab)59 879 y(mit)h Fq(G)168 885 y Fn(a)188 879 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))f(:=)h Fq(A)349 864 y Fi(+)390 879 y Fr(aus)i(Lemma)c(3.1)j(wird)g(durc)o(h)i(die)e(Hopf)g(Algebra)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])h(darge-)59 929 y(stellt.)e(Wir)g(b)q (estimmen)f(dazu)h(die)h(Kom)o(ultipli)o(k)n(atio)o(n,)c(Ko)q(einheit)k (und)f(An)o(tip)q(o)q(de.)59 981 y(Die)k(Kom)o(ultiplik)n(ati)o(on)e (en)o(tsteh)o(t)k(mit)d(dem)h(Y)m(oneda)h(Lemma)d(aus)j(der)g (Multipli-)59 1031 y(k)n(ation)j Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)310 1041 y Fn(c)327 1031 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])16 b Fm(\012)f Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)7 b(A)p Fr(\))652 1020 y Fm(\030)652 1033 y Fr(=)709 1031 y Ff(K)q Fr(-)i(Alg)826 1041 y Fn(c)843 1031 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)e(A)p Fr(\))16 b Fm(\002)e Ff(K)q Fr(-)c(Alg)1183 1041 y Fn(c)1199 1031 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))1385 1020 y Fm(\030)1385 1033 y Fr(=)59 1081 y Fq(A)k Fm(\002)h Fq(A)k Fm(\000)-7 b(!)16 b Fq(A)322 1070 y Fm(\030)322 1083 y Fr(=)371 1081 y Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)488 1091 y Fn(c)505 1081 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))19 b(durc)o(h)e(Ausw)o(ertung)h(auf)e Fq(A)1156 1070 y Fm(\030)1156 1083 y Fr(=)1205 1081 y Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])d Fm(\012)e Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])59 1131 y(und)20 b(An)o(w)o(endung)h(auf)f(die)g(Iden)o(tit)654 1133 y(\177)654 1131 y(at.)g(Wir)f(erhalten)i(1)1002 1138 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])p Fp(\012)p Fc(K)d Fi([)p Fn(x)p Fi(])1173 1131 y Fm(7!)21 b Fr(\()p Fq(\023)1267 1137 y Fi(1)1286 1131 y Fq(;)7 b(\023)1320 1137 y Fi(2)1338 1131 y Fr(\))22 b Fm(7!)59 1180 y Fr(\()p Fq(x)7 b Fm(\012)h Fr(1)p Fq(;)f Fr(1)f Fm(\012)i Fq(x)p Fr(\))j Fm(7!)g Fq(x)c Fm(\012)h Fr(1)f(+)g(1)g Fm(\012)h Fq(x)j Fm(7!)g Fr(\001)686 1187 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])748 1180 y Fr(,)13 b(also)f(ist)h(\001)947 1187 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])1020 1180 y Fr(:)11 b Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])i Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])e Fm(\012)e Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])59 1230 y(durc)o(h)15 b(\001)211 1237 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])273 1230 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))11 b(=)h Fq(x)d Fm(\012)g Fr(1)g(+)h(1)f Fm(\012)g Fq(x)14 b Fr(de\014niert.)59 1282 y(Die)f(Ko)q(einheit)g (ergibt)h(sic)o(h)f(aus)g Ff(K)p Fr(-)d(Alg)714 1292 y Fn(c)731 1282 y Fr(\()p Ff(K)q Fq(;)d(A)p Fr(\))857 1271 y Fm(\030)857 1284 y Fr(=)901 1282 y Fm(f\003g)j(\000)-6 b(!)11 b Fq(A)1096 1271 y Fm(\030)1096 1284 y Fr(=)1139 1282 y Ff(K)q Fr(-)e(Alg\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)e(A)p Fr(\))59 1332 y(mit)12 b Fq(A)178 1321 y Fm(\030)178 1334 y Fr(=)222 1332 y Ff(K)17 b Fr(durc)o(h)d(1)405 1338 y Fc(K)441 1332 y Fm(7!)d(\003)h(7!)f Fr(0)g Fm(7!)g Fq(")684 1339 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])747 1332 y Fr(.)13 b(Also)h(ist)g Fq(")943 1339 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])1005 1332 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))12 b(=)g(0.)59 1384 y(Die)j(An)o(tip)q(o)q(de)g(en)o(tsteh)o(t)h(aus)f Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg)671 1394 y Fn(c)688 1384 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)e(A)p Fr(\))862 1373 y Fm(\030)862 1386 y Fr(=)908 1384 y Fq(A)13 b Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(A)1077 1373 y Fm(\030)1077 1386 y Fr(=)1122 1384 y Ff(K)q Fr(-)c(Alg)1239 1394 y Fn(c)1256 1384 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(;)e(A)p Fr(\))59 1434 y(durc)o(h)15 b Fq(A)c Fr(=)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])k(und)e(1)459 1441 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])533 1434 y Fm(7!)11 b Fq(x)g Fm(7!)g(\000)p Fq(x)h Fm(7!)f Fq(S)820 1441 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])882 1434 y Fr(,)14 b(also)f Fq(S)1016 1441 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)p Fi(])1079 1434 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))11 b(=)h Fm(\000)p Fq(x)p Fr(.)59 1486 y(2\))i(Der)g(F)m(unktor)540 1548 y Fq(M)585 1531 y Fi(+)580 1558 y Fn(n)624 1548 y Fr(:)d Ff(K)p Fr(-)f(Alg)764 1558 y Fn(c)792 1548 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Ab)p Fq(;)59 1623 y Fr(der)g(jeder)g(k)o(omm)o (uta)o(tiv)o(en)d(Algebra)i Fq(A)g Fr(die)g(additiv)o(e)f(Grupp)q(e)i (der)g(Matrizenalgebra)59 1673 y Fq(M)99 1679 y Fn(n)122 1673 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))16 b(zuordnet,)g(wird)f(durc)o(h)h(die)g(k) o(omm)n(utativ)o(e)c(Algebra)k Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1144 1679 y Fn(ij)1175 1673 y Fm(j)p Fr(1)e Fm(\024)g Fq(i;)7 b(j)16 b Fm(\024)f Fq(n)p Fr(])59 1723 y(dargestellt)f(\(vgl.)f(3.5\).) g(Diese)h(Algebra)g(m)o(u\031)e(eine)i(Hopf)g(Algebra)f(sein.)59 1774 y(Die)18 b(Kom)o(ultiplik)m(ation)d(ist)j(mit)e(dem)h(Y)m(oneda)h (Lemma)e(aus)i(der)h(Multiplik)n(ation)59 1824 y(\(Addition)13 b(v)o(on)f(Matrizen\))i Ff(K)p Fr(-)c(Alg)635 1834 y Fn(c)652 1824 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)733 1830 y Fn(ij)765 1824 y Fr(])d Fm(\012)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)889 1830 y Fn(ij)921 1824 y Fr(])p Fq(;)f(A)p Fr(\))1009 1813 y Fm(\030)1009 1826 y Fr(=)1053 1824 y Ff(K)q Fr(-)i(Alg)1170 1834 y Fn(c)1187 1824 y Fr(\()p Ff(K)q Fr([)p Fq(x)1269 1830 y Fn(ij)1300 1824 y Fr(])p Fq(;)e(A)p Fr(\))g Fm(\002)59 1874 y Ff(K)p Fr(-)j(Alg)176 1884 y Fn(c)193 1874 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)274 1880 y Fn(ij)306 1874 y Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))398 1863 y Fm(\030)398 1876 y Fr(=)445 1874 y Fq(M)485 1880 y Fn(n)508 1874 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\002)g Fq(M)665 1880 y Fn(n)688 1874 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(M)888 1880 y Fn(n)910 1874 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))989 1863 y Fm(\030)989 1876 y Fr(=)1036 1874 y Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)1153 1884 y Fn(c)1170 1874 y Fr(\()p Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1251 1880 y Fn(ij)1283 1874 y Fr(])p Fq(;)d(A)p Fr(\))15 b(zu)59 1924 y(erhalten.)h(Durc)o(h)h (Ausw)o(ertung)g(auf)e Fq(A)713 1913 y Fm(\030)713 1926 y Fr(=)760 1924 y Ff(K)q Fr([)p Fq(x)826 1930 y Fn(ij)857 1924 y Fr(])10 b Fm(\012)h Ff(K)q Fr([)p Fq(x)988 1930 y Fn(ij)1019 1924 y Fr(])k(und)i(An)o(w)o(endung)f(auf)59 1974 y(die)e(Iden)o(tit)248 1976 y(\177)248 1974 y(at)g(erhalten)g(wir) g(1)553 1981 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)606 1985 y Fj(ij)630 1981 y Fi(])p Fp(\012)p Fc(K)h Fi([)p Fn(x)719 1985 y Fj(ij)743 1981 y Fi(])766 1974 y Fm(7!)11 b Fr(\()p Fq(\023)850 1980 y Fi(1)868 1974 y Fq(;)c(\023)902 1980 y Fi(2)920 1974 y Fr(\))12 b Fm(7!)f Fr(\(\()p Fq(x)1057 1980 y Fn(ij)1086 1974 y Fr(\))e Fm(\012)g Fr(1)p Fq(;)e Fr(1)i Fm(\012)g Fr(\()p Fq(x)1303 1980 y Fn(ij)1332 1974 y Fr(\)\))j Fm(7!)59 2023 y Fr(\()p Fq(x)99 2029 y Fn(ij)138 2023 y Fm(\012)d Fr(1\))h(+)f(\(1)h Fm(\012)f Fq(x)379 2029 y Fn(ij)408 2023 y Fr(\))j Fm(7!)g Fr(\001)525 2030 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)578 2034 y Fj(ij)602 2030 y Fi(])613 2023 y Fr(.)14 b(Also)g(ist)g(\001)826 2030 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)879 2034 y Fj(ij)903 2030 y Fi(])927 2023 y Fr(:)11 b Ff(K)q Fr([)p Fq(x)1016 2029 y Fn(ij)1047 2023 y Fr(])h Fm(\000)-7 b(!)12 b Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1215 2029 y Fn(ij)1246 2023 y Fr(])d Fm(\012)h Ff(K)p Fr([)p Fq(x)1374 2029 y Fn(ij)1406 2023 y Fr(])59 2073 y(durc)o(h)15 b(\001)211 2080 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)264 2084 y Fj(ij)288 2080 y Fi(])299 2073 y Fr(\()p Fq(x)339 2079 y Fn(ij)368 2073 y Fr(\))12 b(=)g Fq(x)464 2079 y Fn(ij)502 2073 y Fm(\012)d Fr(1)g(+)h(1)f Fm(\012)g Fq(x)710 2079 y Fn(ij)753 2073 y Fr(de\014niert.)p eop %%Page: 50 55 50 54 bop 59 117 a Ft(50)158 b(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g (UND)g(HOPF)g(ALGEBREN)59 225 y Fr(Die)11 b(Ko)q(einheit)g(ergibt)g (sic)o(h)g(als)g Fq(")594 232 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)648 236 y Fj(ij)672 232 y Fi(])683 225 y Fr(\()p Fq(x)723 231 y Fn(ij)752 225 y Fr(\))12 b(=)g(0.)e(Die)h(An)o(tip)q(o)q(de)g (ist)g Fq(S)1199 232 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)1253 236 y Fj(ij)1277 232 y Fi(])1288 225 y Fr(\()p Fq(x)1328 231 y Fn(ij)1357 225 y Fr(\))12 b(=)59 275 y Fm(\000)p Fq(x)115 281 y Fn(ij)144 275 y Fr(.)59 326 y(3\))j(Der)g(Matrizenring)g Fq(M)481 332 y Fn(n)503 326 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(b)q(esitzt)h(auc)o (h)f(eine)g(nic)o(h)o(t-k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)d(Multipli-)59 376 y(k)n(ation,)g(mit)g(der)j(ein)f(Monoid)f(de\014niert)i(wird)522 460 y Fq(M)567 443 y Fp(\002)562 471 y Fn(n)607 460 y Fr(:)c Ff(K)p Fr(-)f(Alg)747 471 y Fn(c)775 460 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Mon)6 b Fq(:)59 545 y Fr(Daher)15 b(wird)g Ff(K)q Fr([)p Fq(x)346 551 y Fn(ij)377 545 y Fr(])g(mit)e(einer)j(w)o (eiteren)g(Kom)o(ultiplik)m(ation)c(auc)o(h)j(zu)g(einer)h(Bial-)59 595 y(gebra)e(\(die)g(An)o(tip)q(o)q(de)g(fehlt)g(nat)594 597 y(\177)593 595 y(urlic)o(h\).)59 646 y(Diese)24 b(w)o(eitere)g(Kom) o(ultiplik)n(ati)o(on)c(en)o(tsteh)o(t)25 b(aus)f(1)934 653 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)987 657 y Fj(ij)1011 653 y Fi(])p Fp(\012)p Fc(K)h Fi([)p Fn(x)1100 657 y Fj(ij)1124 653 y Fi(])1162 646 y Fm(7!)27 b Fr(\()p Fq(\023)1262 652 y Fi(1)1281 646 y Fq(;)7 b(\023)1315 652 y Fi(2)1332 646 y Fr(\))28 b Fm(7!)59 696 y Fr(\(\()p Fq(x)115 702 y Fn(ij)144 696 y Fr(\))10 b Fm(\012)h Fr(1)p Fq(;)c Fr(1)i Fm(\012)h Fr(\()p Fq(x)365 702 y Fn(ij)394 696 y Fr(\)\))j Fm(7!)g Fr(\()p Fq(x)534 702 y Fn(ij)573 696 y Fm(\012)e Fr(1\))e Fm(\001)h Fr(\(1)g Fm(\012)g Fq(x)797 702 y Fn(ij)826 696 y Fr(\))j(=)h(\()917 665 y Fg(P)961 675 y Fn(n)961 708 y(k)q Fi(=1)1030 696 y Fq(x)1054 702 y Fn(ik)1096 696 y Fm(\012)c Fq(x)1162 702 y Fn(k)q(j)1198 696 y Fr(\))j Fm(7!)g Fr(\001)1317 703 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)1371 707 y Fj(ij)1394 703 y Fi(])1406 696 y Fr(.)59 746 y(Also)14 b(ist)484 828 y(\001)519 835 y Fc(K)-12 b Fi([)p Fn(x)572 839 y Fj(ij)596 835 y Fi(])607 828 y Fr(\()p Fq(x)647 834 y Fn(ik)679 828 y Fr(\))12 b(=)771 776 y Fn(n)751 789 y Fg(X)752 877 y Fn(j)r Fi(=1)818 828 y Fq(x)842 834 y Fn(ij)880 828 y Fm(\012)d Fq(x)945 834 y Fn(j)r(k)981 828 y Fq(:)59 946 y Fr(Die)14 b(Ko)q(einheit)g(ist)g Fq(")402 953 y Fc(K)-11 b Fi([)p Fn(x)456 957 y Fj(ij)479 953 y Fi(])491 946 y Fr(\()p Fq(x)531 952 y Fn(ij)560 946 y Fr(\))12 b(=)g Fq(\016)650 952 y Fn(ij)679 946 y Fq(:)59 997 y Fr(4\))h(Sei)g Ff(K)j Fr(ein)d(K)318 999 y(\177)318 997 y(orp)q(er)h(der)g(Charakteristik)e Fq(p)p Fr(.)h(Die)f(Algebra)h Fq(H)i Fr(=)c Ff(K)q Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)1278 982 y Fn(p)1298 997 y Fr(\))i(tr)1359 999 y(\177)1359 997 y(agt)59 1047 y(die)h(Struktur)h(einer)f(Hopf)g(Algebra)f(durc)o(h) i(\001\()p Fq(x)p Fr(\))c(=)h Fq(x)d Fm(\012)g Fr(1)g(+)g(1)g Fm(\012)h Fq(x)p Fr(,)j Fq(")p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))f(=)g(0)h(und)59 1097 y Fq(S)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))h(=)g Fm(\000)p Fq(x)p Fr(.)h(Um)e(zu)j(zeigen,)f(da\031)g(\001)f(w)o(ohlde\014niert)h(ist,)g (m)1045 1099 y(\177)1044 1097 y(ussen)g(wir)g(\001\()p Fq(x)p Fr(\))1319 1082 y Fn(p)1351 1097 y Fr(=)f(0)59 1147 y(nac)o(h)o(w)o(eisen.)g(Das)g(ist)g(ab)q(er)g(klar)f(w)o(egen)i (der)f(P)o(otenzrec)o(henrege)q(ln)i(in)d(Charakteri-)59 1197 y(stik)h Fq(p)p Fr(:)f(\()p Fq(x)c Fm(\012)h Fr(1)f(+)g(1)g Fm(\012)h Fq(x)p Fr(\))459 1182 y Fn(p)489 1197 y Fr(=)i Fq(x)557 1182 y Fn(p)585 1197 y Fm(\012)e Fr(1)f(+)g(1)g Fm(\012)h Fq(x)794 1182 y Fn(p)824 1197 y Fr(=)i(0.)59 1248 y(Die)i(Algebra)f Fq(H)k Fr(stellt)d(somit)e(eine)j(a\016ne)e (algebraisc)o(he)h(Grupp)q(e)h(dar:)354 1332 y Fq(\013)381 1338 y Fn(p)400 1332 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))d(:=)f Ff(K)p Fr(-)f(Alg)647 1343 y Fn(c)664 1332 y Fr(\()p Fq(H)q(;)d(A)p Fr(\))793 1321 y Fm(\030)793 1334 y Fr(=)837 1332 y Fm(f)p Fq(a)k Fm(2)g Fq(A)p Fm(j)p Fq(a)995 1315 y Fn(p)1026 1332 y Fr(=)g(0)p Fm(g)p Fq(:)59 1417 y Fr(Die)i(Grupp)q(enm)o (ultiplik)n(ati)o(on)d(ist)j(die)g(Addition)f(der)i Fq(p)p Fr(-nilp)q(oten)o(ten)f(Elemen)o(te.)g(So)59 1467 y(hab)q(en)h(wir)g (die)g Fl(Grupp)n(e)h(der)g Fq(p)p Fl(-nilp)n(otenten)g(Elemente)f Fr(erhalten.)59 1518 y(5\))k(Die)h(Algebra)f Fq(H)k Fr(=)e Ff(K)p Fr([)p Fq(x)p Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)602 1503 y Fn(n)639 1518 y Fm(\000)12 b Fr(1\))19 b(ist)f(eine)h(Hopf)f(Algebra) h(durc)o(h)g(die)f(Ko-)59 1568 y(m)o(ultiplik)m(ation)g(\001\()p Fq(x)p Fr(\))23 b(=)h Fq(x)14 b Fm(\012)g Fq(x)p Fr(,)21 b(die)g(Ko)q(einheit)g Fq(")p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))j(=)g(1)d(und)h(die) f(An)o(tip)q(o-)59 1618 y(de)e Fq(S)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))h(=)f Fq(x)297 1603 y Fn(n)p Fp(\000)p Fi(1)362 1618 y Fr(.)f(Die)g(Abbildungen)g(sind)g(w)o(ohlde\014niert,)g(w)o(eil) g(z.B.)g(\001\()p Fq(x)p Fr(\))1347 1603 y Fn(p)1385 1618 y Fr(=)59 1667 y(\()p Fq(x)9 b Fm(\012)h Fq(x)p Fr(\))190 1652 y Fn(p)220 1667 y Fr(=)i Fq(x)288 1652 y Fn(p)316 1667 y Fm(\012)e Fq(x)382 1652 y Fn(p)412 1667 y Fr(=)i(1)d Fm(\012)g Fr(1)14 b(gilt.)59 1719 y(Die)g(durc)o(h)g (die)g(Hopf)g(Algebra)f Fq(H)k Fr(dargestellte)e(a\016ne)e(algebraisc)o (he)i(Grupp)q(e)f(ist)351 1803 y Fq(\026)376 1809 y Fn(n)399 1803 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))e(:=)f Ff(K)q Fr(-)e(Alg)646 1813 y Fn(c)663 1803 y Fr(\()p Fq(H)q(;)e(A)p Fr(\))792 1792 y Fm(\030)792 1805 y Fr(=)836 1803 y Fm(f)p Fq(a)k Fm(2)g Fq(A)p Fm(j)p Fq(a)994 1786 y Fn(n)1028 1803 y Fr(=)h(1)p Fm(g)p Fq(;)59 1888 y Fr(also)h(die)i Fl(Grupp)n(e)g(der)g Fq(n)p Fl(-ten)g(Einheitswurzeln)p Fr(.)e(Die)g(Grupp)q(en)i(Multiplik) n(ation)c(ist)59 1937 y(die)j(gew)195 1939 y(\177)195 1937 y(ohnlic)o(he)g(Multiplik)n(ation)d(v)o(on)i(Einheitswurzeln.)64 2015 y Fo(\177)59 2023 y(Ubung)j Fr(6.9)p Fo(.)k Fr(a\))12 b(Besc)o(hreib)q(en)i(Sie)d(die)h(Hopf)f(Algebra)h(zur)g(m)o(ultiplik)m (ativ)n(en)e(Grup-)59 2073 y(p)q(e)15 b Fq(G)149 2079 y Fn(m)194 2073 y Fr(\(3.3\).)p eop %%Page: 51 56 51 55 bop 253 117 a Ft(VI.)15 b(ALGEBRAISCHE)h(GR)o(UPPEN)g(UND)g(HOPF) g(ALGEBREN)159 b(51)59 225 y Fr(b\))14 b(Die)g(Konstruktion)g(der)g (allgemeinen)e(linearen)i(Grupp)q(e)326 300 y Fq(GL)387 306 y Fn(n)409 300 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))e(=)g Fm(f)p Fr(\()p Fq(a)587 306 y Fn(ij)616 300 y Fr(\))g Fm(2)f Fq(M)723 306 y Fn(n)746 300 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fm(j)p Fr(\()p Fq(a)859 306 y Fn(ij)888 300 y Fr(\))j(in)o(v)o (ertierbar)q Fm(g)59 374 y Fr(de\014niert)21 b(eine)f(a\016ne)g (algebraisc)o(he)g(Grupp)q(e.)g(Besc)o(hreib)q(en)i(Sie)e(die)g(zugeh) 1329 376 y(\177)1329 374 y(orige)59 424 y(Hopf)14 b(Algebra.)59 474 y(c\))f(Die)f(sp)q(ezielle)i(lineare)f(Grupp)q(e)g Fq(S)r(L)680 480 y Fn(n)703 474 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(ist)g(eb)q (enfalls)g(eine)g(a\016ne)f(algebraisc)o(he)59 524 y(Grupp)q(e.)i(W)m (elc)o(hes)g(ist)g(die)g(zugeh)608 526 y(\177)608 524 y(orige)g(Hopf)g(Algebra?)59 574 y(d\)*)f(Der)h(Einheitskreis)h Fq(S)486 559 y Fi(1)505 574 y Fr(\()p Ff(R)m Fr(\))c(tr)613 576 y(\177)613 574 y(agt)i(durc)o(h)h(die)g(Wink)o(eladdition)d(eine)j (Grupp)q(en-)59 624 y(struktur.)e(K)263 626 y(\177)263 624 y(onnen)f(Sie)g Fq(S)473 608 y Fi(1)503 624 y Fr(mit)f(der)h (a\016nen)g(Algebra)g Ff(K)p Fr([)p Fq(c;)c(s)p Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(c)1093 608 y Fi(2)1117 624 y Fr(+)s Fq(s)1171 608 y Fi(2)1194 624 y Fm(\000)s Fr(1\))k(zu)h(einer)59 673 y(a\016nen)g(algebraisc)o(hen)h(Grupp)q(e)g(mac)o(hen?)e(\(Hin)o(w) o(eis:)g(Wie)h(k)n(ann)g(man)f(zw)o(ei)h(Punk-)59 723 y(te)i(\()p Fq(x)147 729 y Fi(1)165 723 y Fq(;)7 b(y)204 729 y Fi(1)223 723 y Fr(\))13 b(und)g(\()p Fq(x)374 729 y Fi(2)392 723 y Fq(;)7 b(y)431 729 y Fi(2)450 723 y Fr(\))13 b(auf)f(der)i(Kreislinie)f(addieren,)g(so)g(da\031)g(sic)o(h)g (die)g(Addition)59 773 y(der)i(zugeh)234 775 y(\177)234 773 y(origen)f(Wink)o(el)f(ergibt?\))p eop %%Page: 52 57 52 56 bop 601 682 a Fr(KAPITEL)22 b(VI)q(I)145 781 y Fv(Nic)n(h)n(tk)n(omm)n(utativ)n(e)16 b(R)659 783 y(\177)659 781 y(aume)h(und)i(Quan)n(tengrupp)r(en)59 969 y Fr(Jetzt)14 b(endlic)o(h)e(k)o(omm)o(en)e(wir)i(zu)g(den)h(nic)o(h)o(tk)o(omm)n (utativ)o(en)c(geometrisc)o(hen)k(R)1326 971 y(\177)1326 969 y(aum-)59 1018 y(en)f(und)f(ihren)h(F)m(unktionenalgebren.)e (Vieles,)i(w)o(as)f(wir)g(in)g(den)g(Grundb)q(egri\013en)i(der)59 1068 y(k)o(omm)o(utati)o(v)o(en)d(algebraisc)o(hen)k(Geometrie)e(gemac) o(h)o(t)g(hab)q(en,)h(l)1095 1070 y(\177)1095 1068 y(a\031t)f(sic)o(h)h (mit)f(leic)o(h-)59 1118 y(ter)j(Mo)q(di\014k)n(ation)e(auc)o(h)i(hier) f(no)q(c)o(h)h(v)o(erw)o(enden.)g(Die)f(Hilfsmittel)e(sind)j(jetzt)g (auc)o(h)59 1168 y(stark)d(gen)o(ug,)e(um)g(Monoide,)g(die)h(auf)g(nic) o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)o(en)d(geometrisc)o(hen)k(R)1326 1170 y(\177)1326 1168 y(aum-)59 1218 y(en)j(op)q(erieren,)g(zu)f (studieren.)h(Damit)d(wir)i(der)h(Begri\013)g(der)g(Symmetrie)d(f)1258 1220 y(\177)1257 1218 y(ur)i(solc)o(he)59 1268 y(R)90 1270 y(\177)90 1268 y(aume)e(eingef)306 1270 y(\177)305 1268 y(uhrt.)h(Genauer)g(liegen)g(die)g(Symmetrien)e(in)i(Quan)o (tengrupp)q(en,)h(die)59 1317 y(wir)g(jedo)q(c)o(h)g(hier)g(n)o(ur)g (streifen)h(k)588 1319 y(\177)588 1317 y(onnen.)59 1396 y Fo(Definition)h Fr(7.1)p Fo(.)k Fr(Sei)12 b Fq(A)h Fr(eine)f(\(nic)o(h)o(t)h(not)o(w)o(endig)e(k)o(omm)o(utativ)n(e\))f (Algebra.)i(Dann)59 1446 y(hei\031t)21 b(der)g(durc)o(h)g Fq(A)g Fr(dargestellte)g(F)m(unktor)f Fm(X)29 b Fr(:=)22 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Fq(A;)d Fr(-\))23 b(:)f Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)22 b Fm(\000)-6 b(!)59 1496 y Fr(Me)14 b(ein)g Fl(a\016nes)h(nichtkommutatives)g(Schema)p Fr(,)f Fl(ein)h(\(a\016ner\))f(nichtkommutativer)59 1546 y(R)n(aum)20 b Fr(o)q(der)f(ein)h Fl(Quantenr)n(aum)p Fr(.)f(Die)g(Elemen)o(te)f(v)o (on)h Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))20 b(hei\031en)f Fq(B)r Fr(-)59 1595 y(Punkte)13 b(v)o(on)e Fm(X)6 b Fr(.)11 b(Ein)g(Morphism)o(us)g(v)o(on)g(nic)o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)o(en)e(R) 1113 1597 y(\177)1113 1595 y(aumen)h Fq(f)16 b Fr(:)11 b Fm(X)17 b(\000)-6 b(!)59 1645 y(Y)17 b Fr(ist)d(eine)g(nat)308 1647 y(\177)307 1645 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation.)59 1724 y Fo(Bemerkung)j Fr(7.2)p Fo(.)j Fr(Die)9 b(nic)o(h)o(tk)o(omm)n (utativ)o(en)e(R)861 1726 y(\177)861 1724 y(aume)g(bilden)i(eine)h (Kategorie)f Fq(QR)p Fr(,)59 1774 y(die)j(zu)h(der)f(Kategorie)h(der)f Ff(K)q Fr(-Algebren)j(dual)d(ist.)f(Daher)h(nenn)o(t)h(man)d(h)1233 1776 y(\177)1233 1774 y(au\014g)i(auc)o(h)59 1824 y(die)i(Kategorie)g Ff(K)p Fr(-)c(Alg)432 1805 y Fn(op)482 1824 y Fr(die)j(Kategorie)i(der) f(nic)o(h)o(tk)o(omm)o(utati)o(v)o(en)e(R)1204 1826 y(\177)1204 1824 y(aume.)59 1874 y(Ist)h Fq(A)g Fr(eine)h(endlic)o(h)f(erzeugte)i (Algebra,)d(so)h(k)n(ann)f(sie)h(als)g(Restklassenalgebra)g Fq(A)1385 1863 y Fm(\030)1385 1876 y Fr(=)59 1924 y Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)128 1930 y Fi(1)150 1924 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)274 1930 y Fn(n)295 1924 y Fm(i)p Fq(=I)18 b Fr(einer)d(P)o(olynomalgebra)d(in)i(nic)o(h)o(t-k)o(omm)n(utierenden) f(V)m(ariablen)59 1974 y(\(vgl.)19 b(6\))h(dargestellt)h(w)o(erden.)g (Ist)g Fq(I)k Fr(=)e(\()p Fq(p)791 1980 y Fi(1)809 1974 y Fr(\()p Fq(x)849 1980 y Fi(1)868 1974 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)992 1980 y Fn(n)1013 1974 y Fr(\))p Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)1150 1980 y Fn(m)1181 1974 y Fr(\()p Fq(x)1221 1980 y Fi(1)1240 1974 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)k(;)c(x)1363 1980 y Fn(n)1385 1974 y Fr(\)\))59 2023 y(das)19 b(v)o(on)f(den)i(P)o (olynomen)c Fq(p)545 2029 y Fi(1)564 2023 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)685 2029 y Fn(m)734 2023 y Fr(erzeugte)21 b(zw)o(eiseitige)e (Ideal,)f(so)h(k)1309 2025 y(\177)1309 2023 y(onnen)59 2073 y(die)11 b(Mengen)i Ff(K)p Fr(-)d(Alg\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))12 b(als)f(Nullstellen-Mannigfaltigk)o(eiten)e(in)i Fq(B)1217 2058 y Fn(n)1251 2073 y Fr(aufgefa\031t)721 2173 y Ft(52)p eop %%Page: 53 58 53 57 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(53)59 225 y Fr(w)o(erden.)12 b(Es)f(ist)h(n)344 227 y(\177)344 225 y(amlic)o(h)d Ff(K)p Fr(-)h(Alg\()p Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)676 231 y Fi(1)697 225 y Fq(;)d(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)821 231 y Fn(n)843 225 y Fm(i)p Fq(;)g(B)r Fr(\))939 214 y Fm(\030)939 227 y Fr(=)983 225 y(Abb\()p Fm(f)p Fq(x)1121 231 y Fi(1)1139 225 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1263 231 y Fn(n)1285 225 y Fm(g)p Fq(;)g(B)r Fr(\))k(=)59 275 y Fq(B)92 260 y Fn(n)126 275 y Fr(und)g Ff(K)p Fr(-)f(Alg\()p Fq(A;)d(B)r Fr(\))k(k)n(ann)g(als)f(die)h(Menge)g (derjenigen)h(Algebrenhomomorphis-)59 325 y(men)k(v)o(on)g Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)302 331 y Fi(1)324 325 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)448 331 y Fn(n)469 325 y Fm(i)17 b Fr(nac)o(h)g Fq(B)i Fr(aufgefa\031t)d(w)o(erden,)h(die)g(auf)f(den)h(P)o(olynomen)59 374 y Fq(p)80 380 y Fi(1)99 374 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(p)219 380 y Fn(m)266 374 y Fr(v)o(ersc)o(h)o(winden)17 b(und)f(damit)e(auc)o (h)i(auf)f(ganz)h Fq(I)j Fr(v)o(ersc)o(h)o(winden,)d(als)g(als)59 424 y(die)e(Nullstellen)g(dieser)h(P)o(olynome)d(im)f Fq(B)735 409 y Fn(n)759 424 y Fr(.)59 476 y(Eb)q(enso)17 b(wie)g(in)f(Satz)g(4.13)g(zeigt)g(man,)e(da\031)i(auc)o(h)h(im)d(nic)o (h)o(t-k)o(omm)o(utati)o(v)o(en)g(F)m(all)59 526 y(die)g(Morphismen)g (zwisc)o(hen)h(nic)o(h)o(tk)o(omm)o(utati)o(v)o(en)d(R)933 528 y(\177)933 526 y(aumen)g(durc)o(h)j(F)m(amilien)d(v)o(on)59 576 y(P)o(olynomen)g(b)q(esc)o(hrieb)q(en)k(w)o(erden.)59 628 y(Auc)o(h)h(Satz)g(4.10)357 630 y(\177)356 628 y(ub)q(er)g(die)g (Op)q(eration)g(der)h(a\016nen)e(Algebra)h Fq(A)f Fr(=)h Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))16 b(auf)h Fm(X)59 678 y Fr(als)g(F)m(unktionenalgebra)f(k)n(ann)h(unmittelbar)f(auf)h(den)g (nic)o(h)o(t-k)o(omm)o(utati)o(v)o(en)e(F)m(all)60 730 y(\177)59 728 y(ub)q(ertragen)c(w)o(erden:)f(die)f(in)h Fq(B)i Fr(nat)626 730 y(\177)625 728 y(urlic)o(he)d(T)m(ransformation)e Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))13 b(:)e Fq(A)p Fm(\002X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))13 b Fm(\000)-6 b(!)59 777 y Fq(B)13 b Fr(ist)d(durc)o(h)g Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(a;)d(f)t Fr(\))14 b(:=)d Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))g(gegeb)q(en)g (und)f(k)o(omm)o(t)d(v)o(on)j(dem)f(Isomorphism)o(us)59 827 y Fq(A)102 816 y Fm(\030)102 829 y Fr(=)146 827 y(Nat\()p Fm(X)d Fq(;)h Fm(V)s Fr(\).)59 917 y(Wir)14 b(holen)g(jetzt)h(eine)g (Aussage)599 919 y(\177)598 917 y(ub)q(er)g(die)g(F)m(unktionen)f (Algebra)g Fq(A)g Fr(nac)o(h,)g(die)h(wir)59 967 y(im)d(k)o(omm)o (utati)o(v)o(en)f(F)m(all)i(nic)o(h)o(t)g(b)q(ewiesen)j(hab)q(en,)e (die)g(dort)g(ab)q(er)g(eb)q(enfalls)g(gilt.)59 1064 y Fo(Lemma)j Fr(7.3)p Fo(.)j Fl(Sei)14 b Fq(D)i Fl(eine)f(A)o(lgebr)n (a)f(und)h Fq(')c Fr(:)g Fq(D)f Fm(\002)f(X)d Fr(\()p Fl(-)o Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b(V)s Fr(\()p Fl(-)q Fr(\))k Fl(eine)f(nat)1294 1066 y(\177)1294 1064 y(urliche)59 1113 y(T)m(r)n(ansformation.)h(Dann)j(gibt)e(es)g(genau)i(einen)e(A)o (lgebr)n(en)g(Homomorphismus)h Fq(f)i Fr(:)59 1163 y Fq(D)13 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(A)p Fl(,)i(so)h(da\031)h(das)f(Diagr)n (am)478 1223 y Fq(D)c Fm(\002)f(X)c Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))765 1303 y Fn(')p Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))630 1262 y Fk(H)672 1283 y(H)713 1304 y(H)755 1324 y(H)796 1345 y(H)805 1349 y(H)-42 b(j)p 571 1349 2 108 v -275 w(?)494 1303 y Fn(f)s Fp(\002)p Fi(1)481 1389 y Fq(A)9 b Fm(\002)g(X)d Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))224 b Fq(B)p 676 1379 199 2 v 834 1378 a Fk(-)738 1408 y Fn( )q Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))59 1445 y Fl(kommutiert.)109 1542 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)14 b(nat)424 1544 y(\177)423 1542 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)e Fq(')g Fr(:)f Fq(D)g Fm(\002)f(X)18 b(\000)-7 b(!)11 b(V)18 b Fr(induziert)d(eine)59 1591 y(eindeutig)e(b)q(estimm)o(te)f (Abbildung)g Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(D)i Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(Nat\()p Fm(X)6 b Fq(;)h Fm(V)s Fr(\))1024 1580 y Fm(\030)1024 1594 y Fr(=)1067 1591 y Fq(A)14 b Fr(mit)d Fq(')p Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(d;)c(g)q Fr(\))12 b(=)59 1641 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(d)p Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(g)q Fr(\))i(=)e Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(d)p Fr(\))p Fq(;)7 b(g)q Fr(\))13 b(=)f Fq( )q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\)\()p Fq(f)k Fm(\002)9 b Fr(1\)\()p Fq(g)q Fr(\).)p 943 1618 29 2 v 943 1643 2 25 v 969 1643 V 943 1645 29 2 v 59 1739 a Fo(Definition)16 b Fr(7.4)p Fo(.)k Fr(Der)15 b(nic)o(h)o(tk)o(omm)o(utati)o(v)o(e)d(Raum)h Fq(A)958 1718 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)958 1744 y Fn(q)1017 1739 y Fr(mit)g(der)j(F)m(unktionenal-)59 1789 y(gebra)439 1852 y Fm(O)q Fr(\()p Fq(A)520 1835 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)520 1862 y Fn(q)566 1852 y Fr(\))c(:=)f Ff(K)p Fm(h)p Fq(x;)c(y)q Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)14 b Fm(\000)c Fq(q)931 1835 y Fp(\000)p Fi(1)975 1852 y Fq(y)q(x)p Fr(\))59 1928 y(mit)i Fq(q)g Fm(2)f Ff(K)h Fm(n)c(f)p Fr(0)p Fm(g)k Fr(hei\031t)i Fl(\(deformierte\))f(Quanten-Eb)n(ene)p Fr(.)h(Der)g(nic)o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)o(e)59 1985 y(Raum)e Fq(A)213 1964 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)213 1990 y Fn(q)272 1985 y Fr(mit)g(der)j(F)m(unktionenalgebra)409 2073 y Fm(O)q Fr(\()p Fq(A)490 2056 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)490 2084 y Fn(q)535 2073 y Fr(\))d(:=)f Ff(K)p Fm(h)q Fq(\030)r(;)c(\021)q Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(\030)798 2056 y Fi(2)819 2073 y Fq(;)g(\021)860 2056 y Fi(2)878 2073 y Fq(;)g(\030)r(\021)j Fr(+)f Fq(q)q(\021)q(\030)r Fr(\))p eop %%Page: 54 59 54 58 bop 59 117 a Ft(54)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)59 225 y Fr(hei\031t)d Fl(duale)h(\(deformierte\))f(Quanten-Eb)n(ene)p Fr(.)h(Es)f(ist)370 330 y Fq(A)401 312 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)401 340 y Fn(q)446 330 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))e(=)565 271 y Fg(\032\022)627 304 y Fq(x)628 354 y(y)650 271 y Fg(\023)681 294 y(\014)681 319 y(\014)695 330 y Fq(x;)7 b(y)12 b Fm(2)g Fq(A)p Fr(;)7 b Fq(xy)12 b Fr(=)g Fq(q)980 312 y Fp(\000)p Fi(1)1025 330 y Fq(y)q(x)1075 271 y Fg(\033)59 432 y Fr(und)221 487 y Fq(A)252 469 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)252 497 y Fn(q)297 487 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g(=)415 453 y Fg(\010)q(\000)459 487 y Fq(\030)r(;)41 b(\021)554 453 y Fg(\001)573 451 y(\014)573 476 y(\014)587 487 y Fq(\030)r(;)7 b(\021)12 b Fm(2)f Fq(A)p Fr(;)c Fq(\030)768 469 y Fi(2)798 487 y Fr(=)12 b(0)p Fq(;)7 b(\021)904 469 y Fi(2)933 487 y Fr(=)12 b(0)p Fq(;)7 b(\030)r(\021)12 b Fr(=)g Fm(\000)p Fq(q)q(\021)q(\030)1213 453 y Fg(\011)1244 487 y Fq(:)59 567 y Fo(Definition)k Fr(7.5)p Fo(.)k Fr(Sei)15 b Fm(X)21 b Fr(ein)15 b(nic)o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)n(er)e(Raum)g(mit)g (der)j(F)m(unktionen-)59 617 y(algebra)g Fq(A)g Fr(und)g(sei)g Fm(X)431 623 y Fn(c)464 617 y Fr(die)g(Einsc)o(hr)668 619 y(\177)668 617 y(ankung)h(des)g(F)m(unktors)f Fm(X)21 b Fr(:)14 b Ff(K)q Fr(-)c(Alg)15 b Fm(\000)-7 b(!)15 b Fr(Me)59 667 y(auf)f(die)h(Kategorie)g(der)h(k)o(omm)o(utati)o(v)o (en)c(Algebren:)j Fm(X)954 673 y Fn(c)984 667 y Fr(:)e Ff(K)p Fr(-)d(Alg)1126 677 y Fn(c)1156 667 y Fm(\000)-7 b(!)13 b Fr(Me.)i(Dann)59 716 y(hei\031t)f Fm(X)193 722 y Fn(c)223 716 y Fr(der)h Fl(kommutative)g(A)o(nteil)e Fr(des)i(nic)o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)o(en)c(Raumes)i Fm(X)6 b Fr(.)59 797 y Fo(Lemma)17 b Fr(7.6)p Fo(.)j Fl(Der)14 b(kommutative)h(A)o(nteil)e Fm(X)781 803 y Fn(c)812 797 y Fl(eines)i(nichtkommutativen)g(R)n(aumes)59 847 y(ist)f(ein)h(a\016nes)g(Schema.)109 930 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Der)g(V)m(ergi\031funktor)d Fm(V)24 b Fr(:)19 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)837 940 y Fn(c)874 930 y Fm(\000)-7 b(!)19 b Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)19 b(b)q(esitzt)h(den)f(links-)59 979 y(adjungierten)f(F)m(unktor)f Ff(K)p Fr(-)10 b(Alg)17 b Fm(3)g Fq(A)g Fm(7!)g Fq(A=)p Fr([)p Fq(A;)7 b(A)p Fr(])15 b Fm(2)i Ff(K)q Fr(-)9 b(Alg,)17 b(w)o(ob)q(ei)g([)p Fq(A;)7 b(A)p Fr(])16 b(das)59 1029 y(zw)o(eiseitige)11 b(Ideal)g(v)o(on)g Fq(A)g Fr(ist,)f(das)h(v)o(on)g(den)g(Elemen)o(ten)g Fq(ab)s Fm(\000)s Fq(ba)g Fr(aufgespann)o(t)g(wird.)59 1079 y(Zu)i(jedem)f(Algebren)h(Homomorphism)n(us)d Fq(f)16 b Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)k Fr(in)e(eine)g(k)o(omm)n (utativ)o(e)d(Al-)59 1129 y(gebra)16 b Fq(B)j Fr(gibt)c(es)i(n)385 1131 y(\177)385 1129 y(amlic)o(h)c(genau)j(eine)g(F)m(aktorisierung)g (durc)o(h)g Fq(A=)p Fr([)p Fq(A;)7 b(A)p Fr(],)14 b(w)o(eil)i Fq(f)59 1179 y Fr(auf)d(den)i(Elemen)o(ten)e Fq(ab)c Fm(\000)h Fq(ba)k Fr(v)o(ersc)o(h)o(windet.)59 1229 y(W)m(enn)h(also)g Fq(A)g Fr(=)g Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))15 b(die)h(F)m (unktionenalgebra)f(v)o(on)g Fm(X)21 b Fr(ist,)16 b(dann)f(ist)h Fq(A=)p Fr([)p Fq(A;)7 b(A)p Fr(])59 1279 y(die)14 b(darstellende)h (Algebra)f(f)527 1281 y(\177)526 1279 y(ur)g Fm(X)609 1285 y Fn(c)625 1279 y Fr(.)p 678 1256 29 2 v 678 1281 2 25 v 705 1281 V 678 1283 29 2 v 59 1360 a Fo(Bemerkung)j Fr(7.7)p Fo(.)j Fr(Die)d(R)510 1362 y(\177)510 1360 y(aume)e Fm(X)22 b Fr(und)17 b Fm(X)791 1366 y Fn(c)825 1360 y Fr(hab)q(en)g(in)g(k)o(omm)n(utativ)o(en)d(\(Ko)q(ef\014-)59 1409 y(zienten-\))j(Algebren)g Fq(B)i Fr(dieselb)q(en)e(Punkte:)g Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))16 b(=)g Fm(X)998 1415 y Fn(c)1014 1409 y Fr(\()p Fq(B)r Fr(\),)h(sie)f(un)o(tersc)o(heiden)59 1459 y(sic)o(h)h(n)o(ur)h(in)e(nic)o(h)o(t-k)o(omm)o(uta)o(tiv)o(en)e (Ko)q(ef\014zienten-Bereic)o(he)q(n.)19 b(Insb)q(esondere)h(b)q(e-)59 1509 y(sitzt)g(die)f(Quan)o(teneb)q(ene)i Fq(A)537 1487 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)537 1514 y Fn(q)601 1509 y Fr(mit)c Fq(q)k Fm(6)p Fr(=)f(1)f(in)g(k)o(omm)n(utativ)o(en)d(K)1178 1511 y(\177)1178 1509 y(orp)q(ern)k Fq(B)i Fr(als)59 1559 y(Ko)q(e\016zien)o(ten)o(b)q(ereic)o(h)i(n)o(ur)d Fq(B)r Fr(-Punkte)h(auf)f(den)h(Ac)o(hsen,)g(denn)g Ff(K)p Fm(h)p Fq(x;)7 b(y)q Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)19 b Fm(\000)59 1609 y Fq(q)79 1594 y Fp(\000)p Fi(1)124 1609 y Fq(y)q(x;)7 b(xy)f Fm(\000)f Fq(y)q(x)p Fr(\))348 1598 y Fm(\030)348 1611 y Fr(=)392 1609 y Fq(k)q Fr([)p Fq(x;)i(y)q Fr(])p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)q Fr(\))k(de\014niert)i(n)o(ur)e(Punkte)i (\()p Fq(b)1023 1615 y Fi(1)1041 1609 y Fq(;)7 b(b)1078 1615 y Fi(2)1096 1609 y Fr(\))12 b(in)f Fq(B)1203 1594 y Fi(2)1222 1609 y Fr(,)g(b)q(ei)h(denen)59 1658 y(mindestens)i(ein)g (F)m(aktor)f(Null)g(ist.)59 1739 y(Zur)k(Rolle)e(der)h(nic)o(h)o(t-k)o (omm)o(utati)o(v)o(en)e(Hopf)h(Algebren)i(m)1021 1741 y(\177)1020 1739 y(ussen)f(wir)g(das)g(T)m(ensor-)59 1789 y(pro)q(dukt)e(in)g Ff(K)p Fr(-)c(Alg)k(b)q(esser)i(v)o(erstehen.) 59 1869 y Fo(Definition)g Fr(7.8)p Fo(.)k Fr(Seien)15 b Fq(A)d Fr(=)g Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))15 b(und)f Fq(A)808 1854 y Fp(0)832 1869 y Fr(=)f Fm(O)q Fr(\()p Fm(Y)s Fr(\))h(F)m(unktionenalgebren)h(der)59 1919 y(nic)o(h)o(tk)o (omm)o(uta)o(tiv)o(en)10 b(R)452 1921 y(\177)452 1919 y(aume)h Fm(X)18 b Fr(bzw.)12 b Fm(Y)s Fr(.)g(Zw)o(ei)h Fq(B)r Fr(-Punkte)g Fq(p)f Fr(:)f Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)k Fr(in)d Fm(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))59 1969 y(und)15 b Fq(p)164 1954 y Fp(0)189 1969 y Fr(:)e Fq(A)245 1954 y Fp(0)270 1969 y Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(B)k Fr(in)e Fm(Y)s Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))h(hei\031en)f Fl(kommutier)n(end)p Fr(,)g(w)o(enn)g(f)1095 1971 y(\177)1094 1969 y(ur)g(alle)f Fq(a)g Fm(2)f Fq(A)i Fr(und)59 2019 y(alle)e Fq(a)157 2004 y Fp(0)180 2019 y Fm(2)e Fq(A)250 2004 y Fp(0)276 2019 y Fr(gilt)531 2073 y Fq(p)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(p)627 2056 y Fp(0)639 2073 y Fr(\()p Fq(a)677 2056 y Fp(0)689 2073 y Fr(\))g(=)h Fq(p)781 2056 y Fp(0)793 2073 y Fr(\()p Fq(a)831 2056 y Fp(0)842 2073 y Fr(\))p Fq(p)p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(;)p eop %%Page: 55 60 55 59 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(55)59 225 y Fr(d.h.)13 b(w)o(enn)h(w)o(enn)h(die)e(Bilder)i(der)f (Homomorphism)o(en)d Fq(p)j Fr(und)g Fq(p)1101 210 y Fp(0)1126 225 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)59 301 y Fo(Bemerkung)j Fr(7.9)p Fo(.)j Fr(Es)i(gen)529 303 y(\177)528 301 y(ugt)g(zu)674 303 y(\177)673 301 y(ub)q(erpr)794 303 y(\177)793 301 y(ufen,)g(da\031)f(die)h(Bilder)f(der)h(Algebra)59 351 y(Erzeugenden)f Fq(p)p Fr(\()p Fq(x)370 357 y Fi(1)389 351 y Fr(\))p Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)p Fr(\()p Fq(x)566 357 y Fn(m)596 351 y Fr(\))19 b(mit)f(den)h(Bildern)g(der)h (Algebra)f(Erzeugenden)59 401 y Fq(p)80 386 y Fp(0)92 401 y Fr(\()p Fq(y)128 407 y Fi(1)147 401 y Fr(\))p Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(p)284 386 y Fp(0)295 401 y Fr(\()p Fq(y)331 407 y Fn(n)354 401 y Fr(\))18 b(b)q(ei)g(der)g(Multiplik)n (ation)e(k)o(omm)n(utieren,)g(um)g(zu)j(zeigen,)f(da\031)59 451 y(die)12 b(Punkte)h Fq(p)e Fr(und)h Fq(p)401 436 y Fp(0)425 451 y Fr(k)o(omm)n(utieren,)d(also)j(da\031)f(f)856 453 y(\177)855 451 y(ur)h(die)g Fq(B)r Fr(-Punkte)h(\()p Fq(b)1195 457 y Fi(1)1213 451 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(b)1331 457 y Fn(m)1362 451 y Fr(\))12 b Fm(2)59 501 y(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))14 b(und)g(\()p Fq(b)291 485 y Fp(0)291 511 y Fi(1)310 501 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(b)428 485 y Fp(0)428 511 y Fn(n)450 501 y Fr(\))k Fm(2)g(Y)s Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))k(gilt:)638 577 y Fq(b)656 583 y Fn(i)669 577 y Fq(b)687 559 y Fp(0)687 587 y Fn(j)716 577 y Fr(=)d Fq(b)778 559 y Fp(0)778 587 y Fn(j)795 577 y Fq(b)813 583 y Fn(i)827 577 y Fq(:)59 653 y Fo(Definition)k Fr(7.10)p Fo(.)k Fr(Der)14 b(F)m(unktor)205 729 y(\()p Fm(X)j(?)11 b(Y)s Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\))i(:=)e Fm(f)p Fr(\()p Fq(p;)c(p)590 712 y Fp(0)601 729 y Fr(\))12 b Fm(2)f(X)6 b Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))j Fm(\002)h(Y)s Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))p Fm(j)p Fq(p;)d(p)989 712 y Fp(0)1014 729 y Fr(k)o(omm)o(utieren)n Fm(g)59 805 y Fr(hei\031t)14 b Fl(ortho)n(gonales)h(Pr)n(o)n(dukt)f Fr(der)h(nic)o(h)o(tk)o(omm)n (utativ)n(en)d(R)1021 807 y(\177)1021 805 y(aume)g Fm(X)20 b Fr(und)14 b Fm(Y)s Fr(.)59 881 y Fo(Bemerkung)j Fr(7.11)p Fo(.)j Fr(T)m(ats)501 883 y(\177)501 881 y(ac)o(hlic)o(h)14 b(ist)h Fm(X)k(?)12 b(Y)18 b Fr(wieder)e(ein)f(F)m(unktor,)f(w)o(eil)g (Homo-)59 931 y(morphismen)g Fq(f)21 b Fr(:)15 b Fq(B)k Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(B)530 916 y Fp(0)559 931 y Fr(k)o(omm)o(uti)o (erende)g(Punkte)j(erhalten,)e(denn)i(sie)e(sind)59 981 y(mit)d(der)j(Multiplik)n(ation)c(v)o(ertr)569 983 y(\177)569 981 y(aglic)o(h.)j(Damit)e(ist)i Fm(X)k(?)13 b(Y)18 b Fr(ein)d(Un)o(terfunktor)h(v)o(on)59 1030 y Fm(X)f(\002)9 b(Y)s Fr(.)59 1107 y Fo(Lemma)17 b Fr(7.12)p Fo(.)j Fl(Wenn)12 b Fm(X)18 b Fl(und)12 b Fm(Y)j Fl(nichtkommutative)d(R)971 1109 y(\177)971 1107 y(aume)g(sind,)g(dann)g(ist)g(auch)59 1156 y Fm(X)55 b(?)49 b(Y)39 b Fl(ein)d(nichtkommutativer)g(R)n(aum)g (mit)g(der)f(F)m(unktionenalgebr)n(a)59 1206 y Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)18 b(?)10 b(Y)s Fr(\))i(=)g Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))j Fm(\012)h(O)q Fr(\()p Fm(Y)s Fr(\))p Fl(.)59 1256 y(Wenn)19 b Fm(X)k Fl(und)c Fm(Y)i Fl(end)r(lich)d (erzeugte)f(F)m(unktionen)i(A)o(lgebr)n(en)e(b)n(esitzen,)h(also)f (alge-)59 1306 y(br)n(aisch)e(sind,)f(dann)i(gilt)e(das)i(auch)f(f)662 1308 y(\177)662 1306 y(ur)g Fm(X)i(?)11 b(Y)s Fl(.)109 1383 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Seien)c(\()p Fq(p;)7 b(p)474 1368 y Fp(0)485 1383 y Fr(\))14 b Fm(2)g Fr(\()p Fm(X)19 b(?)14 b(Y)s Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\))i(ein)f(P)o(aar)g(k)o(omm)o (utierender)f(Punkte.)59 1433 y(Dann)j(gibt)g(es)h(einen)g(eindeutig)f (b)q(estimm)o(ten)f(Algebren)i(Homomorphism)n(us)c Fq(h)k Fr(:)59 1483 y Fq(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)172 1468 y Fp(0)195 1483 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)r Fr(,)j(so)g(da\031)f(das)h(folgende)g (Diagramm)515 1553 y Fq(A)130 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)789 1538 y Fp(0)p 559 1540 105 2 v 622 1539 a Fk(-)603 1531 y Fq(\023)588 1648 y(p)560 1610 y Fk(@)601 1651 y(@)643 1693 y(@)668 1718 y(@)-42 b(R)721 1761 y Fq(B)p 737 1718 2 150 v 738 1718 a Fk(?)698 1657 y Fq(h)924 1553 y(A)955 1538 y Fp(0)p 813 1540 100 2 v 813 1539 a Fk(\033)849 1531 y Fq(\023)864 1516 y Fp(0)868 1655 y Fq(p)889 1640 y Fp(0)875 1610 y Fk(\000)834 1651 y(\000)792 1693 y(\000)767 1718 y(\000)g(\011)59 1823 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)9 b(Man)j(de\014niere)h(n)574 1825 y(\177)574 1823 y(amlic)o(h)c Fq(h)p Fr(\()p Fq(a)c Fm(\012)g Fq(a)830 1808 y Fp(0)841 1823 y Fr(\))12 b(:=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(g)q Fr(\()p Fq(a)1062 1808 y Fp(0)1075 1823 y Fr(\))f(und)h(rec)o (hne)h(damit)59 1873 y(die)h(erforderlic)o(hen)h(Eigensc)o(haften)g (nac)o(h.)e(Man)h(b)q(eac)o(h)o(te,)g(da\031)g(b)q(ei)g(einem)f(b)q (eliebi-)59 1923 y(gen)g(Algebren)g(Homomorphism)m(us)d Fq(h)i Fr(:)f Fq(A)c Fm(\012)g Fq(A)814 1908 y Fp(0)837 1923 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)k Fr(die)e(Bilder)f(v)o(on)g(Elemen)o (ten)59 1972 y Fq(a)7 b Fm(\012)h Fr(1)k(und)h(1)7 b Fm(\012)h Fq(a)333 1957 y Fp(0)357 1972 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren,)j(w) o(eil)h(sie)h(sc)o(hon)h(in)e Fq(A)7 b Fm(\012)h Fq(A)1030 1957 y Fp(0)1055 1972 y Fr(selbst)13 b(k)o(omm)o(utieren.)59 2022 y(Damit)f(ist)i(ab)q(er)432 2073 y(\()p Fm(X)j(?)11 b(Y)s Fr(\)\()p Fq(B)r Fr(\))663 2062 y Fm(\030)663 2075 y Fr(=)707 2073 y Ff(K)q Fr(-)e(Alg\()p Fq(A)h Fm(\012)f Fq(A)953 2056 y Fp(0)965 2073 y Fq(;)e(B)r Fr(\))p Fq(:)p eop %%Page: 56 61 56 60 bop 59 117 a Ft(56)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)59 225 y Fr(W)m(enn)h(jetzt)g Fq(A)g Fr(v)o(on)g(den)g(Elemen)o(ten)g Fq(a)725 231 y Fi(1)743 225 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)865 231 y Fn(m)914 225 y Fr(und)18 b Fq(A)1032 210 y Fp(0)1062 225 y Fr(v)o(on)f(den)h(Elemen)o(ten)59 275 y Fq(a)81 260 y Fp(0)81 285 y Fi(1)100 275 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c (a)221 260 y Fp(0)221 285 y Fn(n)253 275 y Fr(als)i(Algebren)h(erzeugt) h(w)o(erden,)f(dann)f(wird)g Fq(A)p Fm(\012)p Fq(A)1056 260 y Fp(0)1079 275 y Fr(v)o(on)g(den)g(Elemen)o(ten)59 325 y Fq(a)81 331 y Fn(i)104 325 y Fm(\012)h Fr(1)j(und)h(1)9 b Fm(\012)h Fq(a)357 310 y Fp(0)357 335 y Fn(j)388 325 y Fr(erzeugt.)p 573 302 29 2 v 573 327 2 25 v 599 327 V 573 329 29 2 v 59 414 a Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(7.13)p Fo(.)k Fl(Sei)27 b Fq(H)i Fl(eine)e(Bialgebr)n(a)f(mit)h(zuge)n(or)n(dnetem)g (nichtkommutativen)59 463 y(R)n(aum)17 b Fm(X)6 b Fl(.)17 b(Dann)h(de\014nier)n(en)f(die)g(Komultiplikation)f(und)i(Ko)n(einheit) e(von)i Fq(H)i Fl(A)o(b-)59 513 y(bildungen)416 575 y Fq(m)12 b Fr(:)f Fm(X)17 b(?)11 b(X)17 b(\000)-6 b(!)11 b(X)20 b Fl(und)c Fq(e)c Fr(:)f Fq(E)j Fm(\000)-7 b(!)11 b(X)6 b Fq(;)59 649 y Fl(so)15 b(da\031)h(die)f(Diagr)n(amme)463 713 y Fm(X)j(?)10 b(X)18 b(?)10 b(X)166 b(X)17 b(?)11 b(X)p 693 699 136 2 v 787 698 a Fk(-)725 690 y Fn(m)p Fp(?)p Fi(1)p 571 835 2 108 v 572 835 a Fk(?)484 791 y Fi(1)p Fp(?)p Fn(m)p 903 835 V 904 835 a Fk(?)921 787 y Fn(m)509 878 y Fm(X)17 b(?)11 b(X)256 b(X)p 648 865 227 2 v 832 864 a Fk(-)746 885 y Fn(m)59 930 y Fl(und)333 984 y Fq(E)14 b Fm(?)d(X)469 973 y(\030)469 986 y Fr(=)513 984 y Fm(X)560 973 y(\030)560 986 y Fr(=)604 984 y Fm(X)17 b(?)11 b Fq(E)156 b Fm(X)17 b(?)11 b(X)p 740 972 130 2 v 829 971 a Fk(-)769 957 y Fi(id)q Fp(?)p Fn(\021)p 530 1149 2 150 v 531 1149 a Fk(?)442 1082 y Fn(\021)q Fp(?)p Fi(id)p 945 1149 V 946 1149 a Fk(?)962 1085 y Fp(r)467 1193 y Fm(X)18 b(?)10 b(X)340 b(X)p 606 1179 310 2 v 874 1178 a Fk(-)747 1206 y Fp(r)765 1082 y Fi(1)782 1086 y Fe(X)589 1021 y Fk(H)630 1041 y(H)672 1062 y(H)713 1083 y(H)755 1104 y(H)796 1124 y(H)838 1145 y(H)846 1149 y(H)-42 b(j)59 1245 y Fl(kommutier)n(en.)109 1340 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Der)14 b(F)m(unktor)g Fq(E)h Fr(sei)f(der)h(durc)o(h)f Ff(K)j Fr(dargestellte)d(F)m(unktor,)f(der)h(jeder)59 1389 y(Algebra)h Fq(A)g Fr(die)g(einelemen)o(tige)g(Menge)h Fm(f)p Fq(\023)d Fr(:)g Ff(K)k Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(A)p Fm(g)i Fr(zuordnet.)h(Da)f(die)g(F)m(unk-)59 1439 y(toren)k Fm(X)24 b(?)17 b(X)6 b Fr(,)17 b Fm(X)24 b(?)18 b Fq(E)i Fr(und)e Fq(E)i Fm(?)e(X)23 b Fr(durc)o(h)c Fq(A)12 b Fm(\012)g Fq(A)18 b Fr(bzw.)g Fq(A)12 b Fm(\012)g Ff(K)1235 1428 y Fm(\030)1235 1441 y Fr(=)1285 1439 y Fq(A)18 b Fr(bzw.)59 1489 y Ff(K)d Fm(\012)e Fq(A)198 1478 y Fm(\030)198 1491 y Fr(=)249 1489 y Fq(A)18 b Fr(dargestellt)h(w)o(erden)g(k)674 1491 y(\177)674 1489 y(onnen,)f(ergeb)q(en)i(sic)o(h)e(die)g(Diagramm)o (e)e(mit)59 1539 y(dem)d(Y)m(oneda)h(Lemma)d(unmittelbar)h(aus)i(der)h (De\014nition)e(einer)i(Bialgebra.)p 1339 1516 29 2 v 1339 1541 2 25 v 1366 1541 V 1339 1543 29 2 v 59 1628 a(Ein)135 1630 y(\177)135 1628 y(ahnlic)o(hes)e(Resultat)g(f)493 1630 y(\177)492 1628 y(ur)g(Hopf)g(Algebren)g(ist)g(nic)o(h)o(t)g(form) o(ulierbar,)e(w)o(eil)h(w)o(eder)59 1677 y(die)19 b(An)o(tip)q(o)q(de)g Fq(S)j Fr(einer)d(Hopf)g(Algebra)g Fq(H)i Fr(no)q(c)o(h)f(die)f (Multiplik)n(ation)d Fm(r)j Fr(:)h Fq(H)15 b Fm(\012)59 1727 y Fq(H)h Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(H)k Fr(ein)e(Algebren)g (Homomorphism)n(us)d(ist.)i(Im)f(Gegensatz)j(zu)f(den)g(a\016nen)59 1777 y(algebraisc)o(hen)c(Grupp)q(en)h(sind)f(also)f(Hopf)h(Algebren)g (in)g(der)h(Kategorie)f Ff(K)p Fr(-)f(Alg)1338 1759 y Fn(op)1385 1766 y Fm(\030)1385 1779 y Fr(=)59 1827 y Fq(QR)k Fr(k)o(eine)g(Grupp)q(en.)g(Denno)q(c)o(h)g(de\014niert)h(man) 59 1916 y Fo(Definition)h Fr(7.14)p Fo(.)k Fr(Ein)11 b(durc)o(h)h(eine)f(Bialgebra)g Fq(B)j Fr(dargestellter)e(F)m(unktor)f (auf)g(der)59 1966 y(Kategorie)h(der)h Ff(K)p Fr(-Algebren)i(hei\031t)d Fl(Quantenmonoid)p Fr(.)h(Ein)e(durc)o(h)i(eine)f(Hopf)g(Alge-)59 2015 y(bra)h Fq(H)j Fr(dargestellter)f(F)m(unktor)e(auf)f(der)i (Kategorie)g(der)g Ff(K)p Fr(-Algebren)j(hei\031t)c Fl(Quan-)59 2065 y(tengrupp)n(e)p Fr(.)p eop %%Page: 57 62 57 61 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(57)59 225 y Fo(Definition)16 b Fr(7.15)p Fo(.)k Fr(Sei)10 b Fm(X)16 b Fr(ein)10 b(nic)o(h)o(tk)o(omm)n(utativ)o(er)d(Raum)i(und)h Fm(M)g Fr(ein)g(Quan)o(ten-)59 275 y(monoid.)j(Ein)i(\(nat)375 277 y(\177)374 275 y(urlic)o(her\))h(Morphism)o(us)f Fq(\032)f Fr(:)g Fm(M)g(?)f(X)20 b(\000)-6 b(!)13 b(X)21 b Fr(hei\031t)16 b Fl(Op)n(er)n(ation)59 325 y Fr(v)o(on)d Fm(M)h Fr(auf)f Fm(X)6 b Fr(,)14 b(w)o(enn)g(die)g(Diagramm)o(e)449 379 y Fm(M)e(?)e(M)i(?)f(X)144 b(M)11 b(?)g(X)p 707 366 115 2 v 780 365 a Fk(-)728 357 y Fn(m)p Fp(?)p Fi(1)p 571 502 2 108 v 572 502 a Fk(?)496 455 y Fi(1)p Fp(?)p Fn(\032)p 903 502 V 904 502 a Fk(?)921 451 y Fn(\032)502 545 y Fm(M)g(?)g(X)249 b(X)p 655 532 220 2 v 832 531 a Fk(-)756 551 y Fn(\032)59 591 y Fr(und)423 637 y Fm(X)470 625 y(\030)470 639 y Fr(=)514 637 y Fq(E)14 b Fm(?)d(X)242 b(M)12 b(?)e(X)p 651 624 213 2 v 822 623 a Fk(-)721 609 y Fn(\021)q Fp(?)p Fi(id)928 845 y Fm(X)p 945 802 2 150 v 946 802 a Fk(?)962 730 y Fn(\032)765 735 y Fi(id)792 739 y Fe(X)589 673 y Fk(H)630 694 y(H)672 714 y(H)713 735 y(H)755 756 y(H)796 777 y(H)838 798 y(H)846 802 y(H)-42 b(j)59 891 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)18 b(Wir)i(nennen)h(dann)f Fm(X)25 b Fr(auc)o(h)20 b(einen)h(\(nic)o(h)o(tk)o(omm)o(utati)o(v)o (en\))d Fm(M)p Fl(-)59 940 y(R)n(aum)p Fr(.)59 1015 y Fo(Sa)m(tz)e Fr(7.16)p Fo(.)k Fl(Sei)12 b Fm(X)18 b Fl(ein)12 b(nichtkommutativer)g(R)n(aum)h(mit)f(der)g(F)m(unktionen)h(A)o(lgebr)n (a)59 1065 y Fq(A)k Fr(=)g Fm(O)q Fr(\()p Fm(X)6 b Fr(\))18 b Fl(und)h Fm(M)f Fl(ein)g(Quantenmonoid)h(mit)f(der)f(F)m(unktionen)i (A)o(lgebr)n(a)e Fq(B)j Fr(=)59 1115 y Fm(O)q Fr(\()p Fm(M)p Fr(\))p Fl(.)c(Dann)h(sind)f(f)422 1117 y(\177)422 1115 y(ur)g(einen)g(\(nat)666 1117 y(\177)666 1115 y(urlichen\))h (Morphismus)f Fq(\032)e Fr(:)f Fm(M)g(?)g(X)19 b(\000)-6 b(!)13 b(X)59 1165 y Fl(mit)h(zugeh)232 1167 y(\177)232 1165 y(origem)h(A)o(lgebr)n(en)g(Homomorphismus)g Fq(f)h Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)h Fm(\012)e Fq(A)1192 1167 y Fl(\177)1193 1165 y(aquivalent:)59 1214 y(a\))15 b Fq(\032)g Fl(de\014niert)g(eine)g(Op)n(er)n(ation)g(von)h Fm(M)e Fl(auf)h Fm(X)6 b Fl(,)59 1264 y(b\))15 b(die)g(folgenden)g (Diagr)n(amme)g(in)g Ff(K)p Fl(-)10 b Fr(Alg)15 b Fl(sind)g(kommutativ) 557 1319 y Fq(A)258 b(B)12 b Fm(\012)e Fq(A)p 600 1308 234 2 v 793 1307 a Fk(-)707 1293 y Fn(f)p 571 1444 2 108 v 572 1444 a Fk(?)536 1397 y Fn(f)p 903 1444 V 904 1444 a Fk(?)921 1398 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)991 1402 y Fj(A)515 1485 y Fq(B)h Fm(\012)f Fq(A)174 b(B)12 b Fm(\012)e Fq(B)h Fm(\012)f Fq(A)p 642 1474 150 2 v 751 1473 a Fk(-)674 1501 y Fi(1)691 1505 y Fj(B)715 1501 y Fp(\012)p Fn(f)515 1571 y Fq(A)259 b(B)12 b Fm(\012)d Fq(A)p 559 1559 234 2 v 751 1558 a Fk(-)666 1545 y Fn(f)757 1737 y Fq(A)799 1726 y Fm(\030)799 1739 y Fr(=)843 1737 y Ff(K)k Fm(\012)c Fq(A:)p 862 1696 2 108 v 863 1696 a Fk(?)879 1649 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)938 1653 y Fj(A)723 1649 y Fi(1)740 1653 y Fj(A)589 1608 y Fk(H)630 1629 y(H)672 1650 y(H)713 1671 y(H)755 1691 y(H)763 1696 y(H)-42 b(j)109 1799 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)d(Algebren)g(Homomorphism)o(en)d (\001)d Fm(\012)h Fr(1)1002 1805 y Fn(A)1028 1799 y Fr(,)17 b(1)1078 1805 y Fn(B)1117 1799 y Fm(\012)12 b Fq(f)t Fr(,)17 b Fq(")12 b Fm(\012)f Fr(1)1309 1805 y Fn(A)1353 1799 y Fr(etc.)59 1849 y(stellen)17 b(die)f(nat)321 1851 y(\177)320 1849 y(urlic)o(hen)h(T)m(ransformationen)d Fq(m)i Fm(?)f Fr(id,)h(id)f Fm(?)g Fq(\032)p Fr(,)h Fq(\021)h Fm(?)e Fr(id)h(etc.)h(dar.)59 1899 y(Also)153 1901 y(\177)152 1899 y(ub)q(ertragen)d(sic)o(h)e(die)h(Diagramm)o(e)d(einfac)o(h)j(nac) o(h)g(dem)e(Y)m(oneda)i(Lemma.)p 1389 1876 29 2 v 1389 1901 2 25 v 1416 1901 V 1389 1903 29 2 v 59 1974 a Fo(Definition)j Fr(7.17)p Fo(.)k Fr(Eine)e(Algebra)h Fq(A)f Fr(zusammen)f(mit)f(einer)j (Bialgebra)f Fq(B)j Fr(und)59 2023 y(einem)14 b(Algebren)h(Homomo)o (rphism)n(us,)c(der)16 b(zu)f(k)o(omm)n(utativ)o(en)c(Diagramm)o(en)h (wie)59 2073 y(im)g(Satz)i(f)225 2075 y(\177)224 2073 y(uhrt,)g(hei\031t)g(eine)g Fq(B)r Fl(-Komo)n(dul)h(A)o(lgebr)n(a)p Fr(.)p eop %%Page: 58 63 58 62 bop 59 117 a Ft(58)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)59 225 y Fo(Beispiel)f Fr(7.18)p Fo(.)j Fr(1\))14 b(Sei)g Fq(B)h Fr(=)d Ff(K)p Fm(h)q Fq(a;)7 b(b;)g(c;)g(d)p Fm(i)p Fq(=I)18 b Fr(gegeb)q(en,)c(so)h(da\031)e Fq(I)18 b Fr(als)13 b(zw)o(eiseitiges)59 275 y(Ideal)h(durc)o(h)g(die)g(Elemen)o(te)59 350 y Fq(ab)7 b Fm(\000)h Fq(q)166 333 y Fp(\000)p Fi(1)211 350 y Fq(ba;)f(ac)f Fm(\000)i Fq(q)376 333 y Fp(\000)p Fi(1)421 350 y Fq(ca;)f(bd)f Fm(\000)i Fq(q)586 333 y Fp(\000)p Fi(1)631 350 y Fq(db;)f(cd)f Fm(\000)h Fq(q)795 333 y Fp(\000)p Fi(1)840 350 y Fq(dc;)g(ad)f Fm(\000)i Fq(da)f Fm(\000)h Fr(\()p Fq(q)1116 333 y Fp(\000)p Fi(1)1168 350 y Fm(\000)g Fq(q)q Fr(\))p Fq(bc;)f(bc)g Fm(\000)h Fq(cb)59 425 y Fr(erzeugt)15 b(wird.)f(Die)f(Algebra)h Fq(B)i Fr(wird)e(zu)g(einer)h(Bialgebra)e(durc)o(h)i(die)f(Diagonale) 436 523 y(\001)478 464 y Fg(\022)508 498 y Fq(a)43 b(b)510 547 y(c)g(d)593 464 y Fg(\023)635 523 y Fr(=)679 464 y Fg(\022)709 498 y Fq(a)h(b)711 547 y(c)g(d)795 464 y Fg(\023)834 523 y Fm(\012)876 464 y Fg(\022)906 498 y Fq(a)g(b)908 547 y(c)g(d)991 464 y Fg(\023)1029 523 y Fq(;)59 623 y Fr(d.h.)13 b(durc)o(h)h(\001\()p Fq(a)p Fr(\))d(=)h Fq(a)d Fm(\012)g Fq(a)f Fr(+)h Fq(b)g Fm(\012)g Fq(c)p Fr(,)k(\001\()p Fq(b)p Fr(\))e(=)h Fq(a)c Fm(\012)h Fq(b)g Fr(+)g Fq(b)f Fm(\012)h Fq(d)p Fr(,)k(\001\()p Fq(c)p Fr(\))e(=)h Fq(c)d Fm(\012)g Fq(a)f Fr(+)h Fq(d)f Fm(\012)h Fq(c)59 673 y Fr(und)14 b(\001\()p Fq(d)p Fr(\))d(=)h Fq(c)d Fm(\012)h Fq(b)f Fr(+)g Fq(d)g Fm(\012)h Fq(d)p Fr(.)59 723 y(Diese)16 b(merkw)294 725 y(\177)293 723 y(urdige)f(Multiplik)n(ation)e(v)o(ersteh)o(t)k(man)d(am)g(b)q(esten)j (durc)o(h)g(V)m(erw)o(en-)59 773 y(dung)j(der)g(k)o(omm)o(uti)o (erenden)f(Punkte)h Fq(\023)732 779 y Fi(1)772 773 y Fr(:)h Fq(B)j Fm(3)c Fq(b)h Fm(\000)-6 b(!)21 b Fq(b)13 b Fm(\012)g Fr(1)21 b Fm(2)g Fq(B)16 b Fm(\012)d Fq(B)22 b Fr(und)59 822 y Fq(\023)74 828 y Fi(2)104 822 y Fr(:)11 b Fq(B)j Fm(3)d Fq(b)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(1)e Fm(\012)h Fq(b)h Fm(2)g Fq(B)h Fm(\012)d Fq(B)17 b Fr(und)d(Bildung)f(v)o(on)g (deren)j(Pro)q(dukt)141 920 y(\()157 862 y Fg(\022)188 895 y Fq(a)43 b(b)190 945 y(c)h(d)273 862 y Fg(\023)313 920 y Fm(\012)9 b Fr(1\))h Fm(\001)e Fr(\(1)h Fm(\012)509 862 y Fg(\022)540 895 y Fq(a)43 b(b)542 945 y(c)g(d)625 862 y Fg(\023)655 920 y Fr(\))12 b(=)727 862 y Fg(\022)757 895 y Fq(a)d Fm(\012)h Fr(1)43 b Fq(b)9 b Fm(\012)h Fr(1)759 945 y Fq(c)f Fm(\012)h Fr(1)43 b Fq(d)9 b Fm(\012)h Fr(1)985 862 y Fg(\023)1025 920 y Fm(\001)1046 862 y Fg(\022)1076 895 y Fr(1)f Fm(\012)h Fq(a)43 b Fr(1)9 b Fm(\012)h Fq(b)1078 945 y Fr(1)f Fm(\012)h Fq(c)43 b Fr(1)9 b Fm(\012)h Fq(d)1304 862 y Fg(\023)303 1020 y Fr(=)346 961 y Fg(\022)377 994 y Fq(a)f Fm(\012)h Fq(a)f Fr(+)g Fq(b)g Fm(\012)h Fq(c)41 b(a)10 b Fm(\012)f Fq(b)g Fr(+)h Fq(b)f Fm(\012)g Fq(d)377 1044 y(c)g Fm(\012)h Fq(a)f Fr(+)g Fq(d)g Fm(\012)h Fq(c)41 b(c)10 b Fm(\012)f Fq(b)g Fr(+)h Fq(d)f Fm(\012)g Fq(d)882 961 y Fg(\023)924 1020 y Fr(=)j(\001)1010 961 y Fg(\022)1040 994 y Fq(a)43 b(b)1042 1044 y(c)g(d)1125 961 y Fg(\023)1162 1020 y Fq(:)59 1120 y Fr(Dieses)13 b(Pro)q(dukt)f(ist)f(ein)h Fq(B)7 b Fm(\012)e Fq(B)r Fr(-Punkt)13 b(v)o(on)e(Sp)q(ec\()p Fq(B)r Fr(\).)j(Man)d(m)o(u\031)f(nat)1206 1122 y(\177)1205 1120 y(urlic)o(h)h(nac)o(h-)59 1170 y(rec)o(hnen,)18 b(da\031)d(die)i(gegeb)q(ene)h(De\014nition)d(der)i(Abbildung)f(\001)g (auf)g(den)h(Erzeugen-)59 1219 y(den)e Fq(a;)7 b(b;)g(c;)g(d)12 b Fr(mit)h(den)i(Relationen)e(aus)i Fq(I)j Fr(v)o(ertr)849 1221 y(\177)849 1219 y(aglic)o(h)c(ist,)g(da\031)g(also)g(\001\()p Fq(a)p Fr(\)\001\()p Fq(b)p Fr(\))9 b Fm(\000)59 1269 y Fq(q)79 1254 y Fp(\000)p Fi(1)124 1269 y Fr(\001\()p Fq(b)p Fr(\)\001\()p Fq(a)p Fr(\))k(=)h(0)h(etc.)h(in)f Fq(B)e Fm(\012)d Fq(B)18 b Fr(gilt.)c(Dann)g(ist)i(\001)d(:)h Fq(B)i Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(B)e Fm(\012)f Fq(B)18 b Fr(w)o(ohlde\014-)59 1319 y(nierter)d(Algebren)g(Homom)o(orphism)n(us.) 59 1369 y(W)m(eiter)f(ist)g(\001)f(k)o(oassoziativ,)g(w)o(eil)g(die)h (Multiplik)n(ation)d(assoziativ)i(ist)204 1408 y Fg(\024)226 1467 y Fr(\()242 1408 y Fg(\022)273 1441 y Fq(a)43 b(b)275 1491 y(c)g(d)358 1408 y Fg(\023)398 1467 y Fm(\012)9 b Fr(1)g Fm(\012)h Fr(1\))f Fm(\001)f Fr(\(1)i Fm(\012)665 1408 y Fg(\022)696 1441 y Fq(a)43 b(b)698 1491 y(c)g(d)781 1408 y Fg(\023)820 1467 y Fm(\012)10 b Fr(1\))899 1408 y Fg(\025)930 1467 y Fm(\001)f Fr(\(1)g Fm(\012)g Fr(1)g Fm(\012)1110 1408 y Fg(\022)1140 1441 y Fq(a)44 b(b)1142 1491 y(c)g(d)1226 1408 y Fg(\023)1256 1467 y Fr(\))173 1566 y(=)12 b(\()233 1508 y Fg(\022)264 1541 y Fq(a)43 b(b)266 1591 y(c)g(d)349 1508 y Fg(\023)388 1566 y Fm(\012)10 b Fr(1)f Fm(\012)g Fr(1\))g Fm(\001)568 1508 y Fg(\024)590 1566 y Fr(\(1)g Fm(\012)678 1508 y Fg(\022)708 1541 y Fq(a)44 b(b)710 1591 y(c)g(d)793 1508 y Fg(\023)833 1566 y Fm(\012)10 b Fr(1\))f Fm(\001)g Fr(\(1)g Fm(\012)g Fr(1)g Fm(\012)1101 1508 y Fg(\022)1131 1541 y Fq(a)44 b(b)1133 1591 y(c)g(d)1216 1508 y Fg(\023)1247 1566 y Fr(\))1263 1508 y Fg(\025)1292 1566 y Fq(:)64 1687 y Fr(\177)59 1695 y(Ahnlic)o(h)11 b(zeigt)g(man,)e(da\031)h Fq(")509 1637 y Fg(\022)540 1670 y Fq(a)44 b(b)542 1720 y(c)g(d)625 1637 y Fg(\023)667 1695 y Fr(=)711 1637 y Fg(\022)742 1670 y Fr(1)d(0)742 1720 y(0)g(1)825 1637 y Fg(\023)866 1695 y Fr(die)11 b(Ko)q(einheit)h(f)1132 1697 y(\177)1131 1695 y(ur)f(die)g(Bialgebra)59 1767 y Fq(B)16 b Fr(ist.)59 1817 y(Damit)c(de\014niert)i Fq(B)j Fr(ein)d(Quan)o(tenmonoid)e Fm(M)819 1823 y Fn(q)837 1817 y Fr(\(2\))i(mit)128 1919 y Fm(M)178 1925 y Fn(q)197 1919 y Fr(\(2\)\()p Fq(A)297 1902 y Fp(0)309 1919 y Fr(\))d(=)380 1860 y Fg(\032\022)442 1893 y Fq(u)41 b(x)443 1943 y(y)k(z)531 1860 y Fg(\023)561 1884 y(\014)561 1908 y(\014)575 1919 y Fq(u;)7 b(x;)g(y)q(;)g(z)12 b Fm(2)g Fq(A)803 1902 y Fp(0)814 1919 y Fr(;)7 b Fq(ux)k Fr(=)h Fq(q)956 1902 y Fp(\000)p Fi(1)1000 1919 y Fq(xu;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(xy)12 b Fr(=)g Fq(y)q(x)1298 1860 y Fg(\033)1336 1919 y Fq(;)59 2023 y Fr(die)18 b(deformierte)f(V)m(ersion)h(v)o(on)g Fq(M)634 2006 y Fp(\002)629 2035 y Fi(2)662 2023 y Fr(,)f(dem)g(m)o (ultiplik)n(a)o(tiv)o(en)e(Monoid)i(der)i(2)12 b Fm(\002)g Fr(2-)59 2073 y(Matrizen.)p eop %%Page: 59 64 59 63 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(59)59 225 y Fr(2\))12 b(Sei)g Fq(A)g Fr(=)g Ff(K)p Fm(h)p Fq(x;)7 b(y)q Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(xy)k Fm(\000)6 b Fq(q)535 210 y Fp(\000)p Fi(1)579 225 y Fq(y)q(x)p Fr(\))13 b(die)f(F)m(unktionen)g(Algebra)g(der)h(Quan)o(teneb)q(ene)59 283 y Fq(A)90 261 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)90 288 y Fn(q)135 283 y Fr(.)h(Nac)o(h)g(De\014nition)f(7.4)g(ist)349 393 y Fq(A)380 376 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)380 403 y Fn(q)425 393 y Fr(\()p Fq(A)472 376 y Fp(0)484 393 y Fr(\))f(=)556 335 y Fg(\032\022)617 368 y Fq(x)618 418 y(y)641 335 y Fg(\023)672 358 y(\014)672 383 y(\014)686 393 y Fq(x;)7 b(y)12 b Fm(2)f Fq(A)831 376 y Fp(0)843 393 y Fr(;)c Fq(xy)13 b Fr(=)e Fq(q)982 376 y Fp(\000)p Fi(1)1027 393 y Fq(y)q(x)1078 335 y Fg(\033)1116 393 y Fq(:)59 501 y Fr(Die)j(Menge)138 608 y Fm(M)188 614 y Fn(q)206 608 y Fr(\(2\)\()p Fq(A)306 591 y Fp(0)318 608 y Fr(\))d(=)389 550 y Fg(\032\022)451 583 y Fq(u)41 b(x)452 633 y(y)46 b(z)540 550 y Fg(\023)570 573 y(\014)570 598 y(\014)584 608 y Fq(u;)7 b(x;)g(y)q(;)g(z)13 b Fm(2)e Fq(A)812 591 y Fp(0)824 608 y Fr(;)c Fq(ux)j Fr(=)i Fq(q)965 591 y Fp(\000)p Fi(1)1010 608 y Fq(xu;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(xy)12 b Fr(=)g Fq(y)q(x)1308 550 y Fg(\033)59 716 y Fr(op)q(eriert)j(auf)e (dieser)i(Quan)o(teneb)q(ene)h(durc)o(h)f(Matrizenm)o(ultiplik)n(atio)o (n:)98 824 y Fm(M)148 830 y Fn(q)166 824 y Fr(\(2\)\()p Fq(A)266 807 y Fp(0)278 824 y Fr(\))c Fm(?)g Fq(A)380 807 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)380 834 y Fn(q)425 824 y Fr(\()p Fq(A)472 807 y Fp(0)484 824 y Fr(\))h Fm(3)f Fr(\()567 766 y Fg(\022)598 799 y Fq(a)43 b(b)600 849 y(c)g(d)683 766 y Fg(\023)720 824 y Fq(;)739 766 y Fg(\022)769 799 y Fq(x)770 849 y(y)793 766 y Fg(\023)824 824 y Fr(\))11 b Fm(7!)904 766 y Fg(\022)935 799 y Fq(a)43 b(b)937 849 y(c)g(d)1020 766 y Fg(\023)1060 824 y Fm(\001)1081 766 y Fg(\022)1111 799 y Fq(x)1112 849 y(y)1135 766 y Fg(\023)1177 824 y Fm(2)11 b Fq(A)1247 807 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)1247 834 y Fn(q)1292 824 y Fr(\()p Fq(A)1339 807 y Fp(0)1351 824 y Fr(\))p Fq(:)59 932 y Fr(Auc)o(h)j(hier)f(m)o(u\031)f(nac)o (hgepr)503 934 y(\177)502 932 y(uft)h(w)o(erden,)h(ob)f(das)h(Ergebnis) f(die)h(gew)1158 934 y(\177)1157 932 y(unsc)o(h)o(ten)g(Glei-)59 982 y(c)o(h)o(ungen)i(erf)270 984 y(\177)269 982 y(ullt.)f(Da)g(wir)g (eine)h(Multiplik)n(ation)d(v)o(on)i(Matrizen)h(v)o(orliegen)f(hab)q (en,)59 1032 y(ist)e(damit)e(eine)i(Op)q(eration)h(im)d(Sinne)i(des)h (v)o(orhergehenden)g(Satzes)g(gegeb)q(en.)g(Ins-)59 1081 y(b)q(esondere)i(ist)e(dann)g Fq(A)g Fr(eine)g Fq(B)r Fr(-Komo)q(dul)e(Algebra.)59 1133 y(3\))19 b(Sei)g Fq(A)h Fr(=)g Ff(K)p Fm(h)p Fq(\030)r(;)7 b(\021)q Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(\030)469 1118 y Fi(2)490 1133 y Fq(;)g(\021)531 1118 y Fi(2)550 1133 y Fq(;)g(\030)r(\021)13 b Fr(+)g Fq(q)q(\021)q(\030)r Fr(\))19 b(die)g(F)m(unktionen)f(Algebra)h(der)g (dualen)59 1191 y(Quan)o(teneb)q(ene)d Fq(A)362 1169 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)362 1196 y Fn(q)407 1191 y Fr(.)e(Nac)o(h)g (De\014nition)f(7.4)g(ist)349 1276 y Fq(A)380 1259 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)380 1286 y Fn(q)425 1276 y Fr(\()p Fq(A)472 1259 y Fp(0)484 1276 y Fr(\))e(=)555 1242 y Fg(\010\000)598 1276 y Fq(\030)44 b(\021)682 1242 y Fg(\001)701 1241 y(\014)701 1266 y(\014)715 1276 y Fq(\030)r(;)7 b(\021)12 b Fm(2)f Fq(A)p Fr(;)c Fq(\030)r(\021)13 b Fr(=)e Fq(q)993 1259 y Fp(\000)p Fi(1)1038 1276 y Fq(\021)q(\030)1085 1242 y Fg(\011)1116 1276 y Fq(:)59 1361 y Fr(Auc)o(h)j(hierauf)g(op)q (eriert)h Fq(B)h Fr(durc)o(h)f(Matrizenm)o(ultiplik)n(atio)o(n)61 1469 y Fq(A)92 1452 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)92 1479 y Fn(q)137 1469 y Fr(\()p Fq(A)184 1452 y Fp(0)196 1469 y Fr(\))c Fm(?)g(M)317 1475 y Fn(q)335 1469 y Fr(\(2\)\()p Fq(A)435 1452 y Fp(0)447 1469 y Fr(\))h Fm(3)f Fr(\()530 1436 y Fg(\000)549 1469 y Fq(\030)44 b(\021)633 1436 y Fg(\001)659 1469 y Fq(;)678 1411 y Fg(\022)708 1444 y Fq(a)f(b)710 1494 y(c)g(d)793 1411 y Fg(\023)824 1469 y Fr(\))11 b Fm(7!)904 1436 y Fg(\000)923 1469 y Fq(\030)44 b(\021)1007 1436 y Fg(\001)1035 1469 y Fm(\001)1056 1411 y Fg(\022)1087 1444 y Fq(a)f(b)1089 1494 y(c)g(d)1172 1411 y Fg(\023)1214 1469 y Fm(2)11 b Fq(A)1284 1452 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)1284 1479 y Fn(q)1329 1469 y Fr(\()p Fq(A)1376 1452 y Fp(0)1388 1469 y Fr(\))p Fq(:)59 1577 y Fr(Damit)17 b(ist)j(ein)f(w)o(eiteres)i (Beispiel)f(einer)g Fq(B)r Fr(-Komo)q(dul)e(Algebra)h Fq(A)i Fm(\000)-7 b(!)21 b Fq(A)13 b Fm(\012)g Fq(B)59 1627 y Fr(gegeb)q(en.)59 1714 y(W)m(elc)o(he)c(Bew)o(andtnis)h(hat)f (es)h(jetzt)g(mit)e(den)i(merkw)889 1716 y(\177)888 1714 y(urdigen)e(Relationen)h(auf)g Fm(M)1352 1720 y Fn(q)1370 1714 y Fr(\(2\))59 1764 y(auf)j(sic)o(h?)g(Wir)g(w)o(erden)h(sp)490 1766 y(\177)490 1764 y(ater)h(zeigen,)e(da\031)g Fq(M)826 1770 y Fn(q)845 1764 y Fr(\(2\))g(die)g(univ)o(erselle)h(Bialgebra)f (ist,)59 1823 y(die)k(auf)f Fq(A)231 1801 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)231 1828 y Fn(q)292 1823 y Fr(v)o(on)g(links)g(und)h(auf)f Fq(A)660 1801 y Fi(0)p Fp(j)p Fi(2)660 1828 y Fn(q)721 1823 y Fr(v)o(on)g(rec)o(h)o(ts)i(op)q(eriert,)f(dies)g(jedo)q(c)o(h)g (in)g(der)59 1873 y(Kategorie)h(der)h(sogenann)o(ten)g(quadratisc)o (hen)g(Algebren.)f(Hier)g(zeigen)h(wir)f(einen)59 1923 y(einfac)o(heren)e(Satz)f(f)382 1925 y(\177)381 1923 y(ur)g(endlic)o(h-dimensionale)e(Algebren.)64 2007 y Fo(\177)59 2015 y(Ubung)k Fr(7.19)p Fo(.)k Fr(Bestimmen)14 b(Sie)h(die)g Fq(Q)p Fr(-Punkte)h(der)f(Quan)o(teneb)q(ene)j Fq(A)1242 1994 y Fi(2)p Fp(j)p Fi(0)1242 2020 y Fn(q)1287 2015 y Fr(,)d(w)o(ob)q(ei)59 2065 y Fq(Q)f Fr(die)g Ff(R)m Fr(-)o(Algebra)d(der)k(Quaternionen)g(sei.)p eop %%Page: 60 65 60 64 bop 59 117 a Ft(60)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)59 225 y Fo(Sa)m(tz)f Fr(7.20)p Fo(.)k(\(T)l(ambara\))k Fl(Sei)e Fq(A)g Fl(eine)h(end)r(lich-dimensionale)g(A)o(lgebr)n(a.)e (Dann)59 275 y(gibt)14 b(es)h(eine)g(A)o(lgebr)n(a)f Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b Fl(und)g(einen)g(A)o(lgebr)n(en)f (Homomorphismus)h Fq(\016)f Fr(:)d Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)59 325 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))g Fm(\012)g Fq(A)p Fl(,)14 b(so)f(da\031)g(f)408 327 y(\177)408 325 y(ur)g(je)n(de)g(A)o(lgebr)n(a)f Fq(B)k Fl(und)d(je)n(den)h(A)o(lgebr)n (en)e(Homomorphismus)59 374 y Fq(f)17 b Fr(:)12 b Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(B)g Fm(\012)d Fq(A)16 b Fl(genau)g(ein)f(A)o (lgebr)n(en)g(Homomorphismus)g Fq(g)f Fr(:)d Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)18 b Fl(so)59 424 y(existiert,)c(da\031)h(das)g(Diagr)n(amm)557 479 y Fq(A)221 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 600 470 197 2 v 755 469 a Fk(-)690 461 y Fn(\016)846 647 y Fq(B)j Fm(\012)e Fq(A)692 559 y Fn(f)630 519 y Fk(H)672 539 y(H)713 560 y(H)755 581 y(H)796 602 y(H)805 606 y(H)-42 b(j)p 903 606 2 108 v 57 w(?)921 558 y Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)981 562 y Fj(A)59 699 y Fl(kommutiert.)109 780 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)d(geb)q(en)i(die)f(Algebra)f(explizit)g (an.)g(Zun)1022 782 y(\177)1022 780 y(ac)o(hst)i(stellen)f(wir)f(fest,) 59 830 y(da\031)h Fq(A)173 815 y Fp(\003)212 830 y Fr(=)j(Hom)351 836 y Fc(K)376 830 y Fr(\()p Fq(A;)7 b Ff(K)p Fr(\))22 b(nac)o(h)617 821 y(\177)612 830 y(Ubung)d(1.13)f(eine)h(Koalgebra)g (mit)e(den)i(Struk-)59 880 y(turmorphismen)c(\001)i(:)g Fq(A)465 865 y Fp(\003)501 880 y Fm(\000)-6 b(!)16 b Fr(\()p Fq(A)c Fm(\012)g Fq(A)p Fr(\))735 865 y Fp(\003)771 869 y Fm(\030)771 882 y Fr(=)821 880 y Fq(A)852 865 y Fp(\003)882 880 y Fm(\012)g Fq(A)957 865 y Fp(\003)994 880 y Fr(ist.)k(Die)h(duale)g(Basis)h(sei)59 898 y Fg(P)103 909 y Fn(n)103 942 y(i)p Fi(=1)166 930 y Fq(a)188 936 y Fn(i)212 930 y Fm(\012)11 b Fr(\026)-22 b Fq(a)276 914 y Fn(i)303 930 y Fm(2)14 b Fq(A)c Fm(\012)h Fq(A)460 914 y Fp(\003)479 930 y Fr(.)j(Sei)i(jetzt)g Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)h Fq(A)832 914 y Fp(\003)851 930 y Fr(\))k(die)g(T)m(ensor)h(Algebra)1245 932 y(\177)1244 930 y(ub)q(er)g(dem)59 979 y(V)m(ektorraum)d Fq(A)c Fm(\012)h Fq(A)402 964 y Fp(\003)421 979 y Fr(.)j(In)h(ihr)g(b)q(etrac)o(h)o(ten) h(wir)f(Elemen)o(te)247 1051 y Fq(xy)d Fm(\012)e Fq(\020)15 b Fm(2)c Fq(A)f Fm(\012)f Fq(A)528 1036 y Fp(\003)547 1051 y Fq(;)247 1101 y(x)g Fm(\012)g Fq(y)i Fm(\012)f Fr(\001\()p Fq(\020)s Fr(\))i Fm(2)f Fq(A)e Fm(\012)h Fq(A)f Fm(\012)h Fq(A)728 1086 y Fp(\003)756 1101 y Fm(\012)f Fq(A)828 1086 y Fp(\003)859 1090 y Fm(\030)859 1103 y Fr(=)903 1101 y Fq(A)g Fm(\012)h Fq(A)1016 1086 y Fp(\003)1044 1101 y Fm(\012)g Fq(A)f Fm(\012)h Fq(A)1199 1086 y Fp(\003)1218 1101 y Fq(;)247 1150 y Fr(1)f Fm(\012)g Fq(\020)15 b Fm(2)c Fq(A)f Fm(\012)f Fq(A)503 1135 y Fp(\003)522 1150 y Fq(;)247 1200 y(\020)s Fr(\(1\))j Fm(2)f Ff(K)p Fq(:)59 1277 y Fr(Die)j(Elemen)o(te)536 1360 y Fq(xy)d Fm(\012)f Fq(\020)i Fm(\000)e Fq(x)f Fm(\012)g Fq(y)i Fm(\012)f Fr(\001\()p Fq(\020)s Fr(\))-881 b(\(8\))59 1439 y(und)629 1522 y(1)9 b Fm(\012)h Fq(\020)i Fm(\000)e Fq(\020)s Fr(\(1\))-788 b(\(9\))59 1601 y(erzeugen)16 b(ein)e(zw)o(eiseitiges)g (Ideal)g Fq(I)h Fm(2)c Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)f Fq(A)851 1586 y Fp(\003)871 1601 y Fr(\).)k(Wir)g(de\014nieren)j(jetzt) 532 1680 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b(:=)f Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)f Fq(A)866 1663 y Fp(\003)886 1680 y Fr(\))p Fq(=I)59 1759 y Fr(und)15 b(die)f(Ko)q(op)q(eration)h Fq(\016)f Fr(:)e Fq(A)h Fm(3)f Fq(a)g Fm(\000)-6 b(!)705 1727 y Fg(P)749 1738 y Fn(n)749 1771 y(i)p Fi(=1)804 1759 y Fr(\()p Fq(a)10 b Fm(\012)h Fr(\026)-22 b Fq(a)916 1743 y Fn(i)930 1759 y Fr(\))9 b Fm(\012)h Fq(a)1019 1765 y Fn(i)1046 1759 y Fm(2)i Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)g Fq(A)1246 1743 y Fp(\003)1265 1759 y Fr(\))p Fq(=I)j Fm(\012)d Fq(A)p Fr(.)59 1808 y(Diese)k(lineare)g(Abbildung)f (ist)h(w)o(ohlde\014niert.)59 1859 y(Um)20 b(zu)i(zeigen,)f(da\031)g (dies)g(ein)h(Algebren)g(Homom)o(orphism)n(us)c(ist,)j(w)o(erden)i(wir) 59 1909 y(zun)123 1911 y(\177)123 1909 y(ac)o(hst)11 b(die)f(Multiplik)n(ation)c(auf)k Fq(A)f Fr(b)q(esc)o(hreib)q(en)j (durc)o(h)f Fq(a)1020 1915 y Fn(i)1033 1909 y Fq(a)1055 1915 y Fn(j)1084 1909 y Fr(=)1128 1878 y Fg(P)1172 1921 y Fn(k)1199 1909 y Fq(\013)1226 1894 y Fn(k)1226 1919 y(ij)1255 1909 y Fq(a)1277 1915 y Fn(k)1298 1909 y Fr(.)e(Dann)59 1964 y(ist)20 b(die)f(Kom)o(ultiplik)n(a)o(tion)d(auf)j Fq(A)628 1949 y Fp(\003)667 1964 y Fr(gegeb)q(en)i(durc)o(h)f(\001\()q (\026)-22 b Fq(a)1026 1949 y Fn(k)1046 1964 y Fr(\))21 b(=)1137 1933 y Fg(P)1180 1977 y Fn(ij)1217 1964 y Fq(\013)1244 1949 y Fn(k)1244 1975 y(ij)1273 1964 y Fr(\026)-22 b Fq(a)1294 1949 y Fn(i)1321 1964 y Fm(\012)14 b Fr(\026)-22 b Fq(a)1388 1949 y Fn(j)1406 1964 y Fr(,)59 2022 y(denn)22 b(es)g(ist)g(\(\001\()q(\026)-22 b Fq(a)379 2007 y Fn(k)399 2022 y Fr(\))p Fq(;)7 b(a)456 2028 y Fn(l)482 2022 y Fm(\012)15 b Fq(a)551 2028 y Fn(m)582 2022 y Fr(\))25 b(=)f(\()q(\026)-22 b Fq(a)717 2007 y Fn(k)737 2022 y Fq(;)7 b(a)778 2028 y Fn(l)791 2022 y Fq(a)813 2028 y Fn(m)844 2022 y Fr(\))24 b(=)941 1991 y Fg(P)984 2034 y Fn(r)1010 2022 y Fq(\013)1037 2007 y Fn(r)1037 2034 y(lm)1078 2022 y Fr(\()q(\026)-22 b Fq(a)1116 2007 y Fn(k)1137 2022 y Fq(;)7 b(a)1178 2028 y Fn(r)1196 2022 y Fr(\))24 b(=)g Fq(\013)1319 2007 y Fn(k)1319 2034 y(lm)1385 2022 y Fr(=)59 2041 y Fg(P)103 2084 y Fn(ij)139 2072 y Fq(\013)166 2057 y Fn(k)166 2083 y(ij)195 2072 y Fr(\()q(\026)-22 b Fq(a)233 2057 y Fn(i)247 2072 y Fq(;)7 b(a)288 2078 y Fn(l)300 2072 y Fr(\)\()q(\026)-22 b Fq(a)354 2057 y Fn(j)372 2072 y Fq(;)7 b(a)413 2078 y Fn(m)443 2072 y Fr(\))13 b(=)f(\()532 2041 y Fg(P)576 2084 y Fn(ij)612 2072 y Fq(\013)639 2057 y Fn(k)639 2083 y(ij)669 2072 y Fr(\026)-22 b Fq(a)690 2057 y Fn(i)713 2072 y Fm(\012)11 b Fr(\026)-22 b Fq(a)777 2057 y Fn(j)795 2072 y Fq(;)7 b(a)836 2078 y Fn(l)857 2072 y Fm(\012)j Fq(a)921 2078 y Fn(m)952 2072 y Fr(\).)k(W)m(eiter)h(sei)f(1)e(=)1267 2041 y Fg(P)1317 2072 y Fq(\014)1342 2057 y Fn(k)1363 2072 y Fq(a)1385 2078 y Fn(k)1406 2072 y Fr(.)p eop %%Page: 61 66 61 65 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(61)59 225 y Fr(Dann)13 b(ist)g Fq(")p Fr(\()q(\026)-22 b Fq(a)285 210 y Fn(i)299 225 y Fr(\))12 b(=)g Fq(\014)396 210 y Fn(i)410 225 y Fr(,)h(denn)g(es)h(ist)f Fq(")p Fr(\()q(\026)-22 b Fq(a)697 210 y Fn(i)712 225 y Fr(\))11 b(=)h(\()q(\026)-22 b Fq(a)821 210 y Fn(i)835 225 y Fq(;)7 b Fr(1\))k(=)946 194 y Fg(P)990 238 y Fn(j)1014 225 y Fq(\014)1039 210 y Fn(j)1057 225 y Fr(\()q(\026)-22 b Fq(a)1095 210 y Fn(i)1109 225 y Fq(;)7 b(a)1150 231 y Fn(j)1167 225 y Fr(\))12 b(=)f Fq(\014)1263 210 y Fn(i)1278 225 y Fr(.)i(Damit)59 282 y(ergibt)e(sic)o(h)h Fq(\016)r Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))g(=)g(\()472 250 y Fg(P)515 261 y Fn(n)515 294 y(i)p Fi(=1)571 282 y Fr(\()p Fq(a)t Fm(\012)t Fr(\026)-21 b Fq(a)671 267 y Fn(i)685 282 y Fr(\))t Fm(\012)t Fq(a)763 288 y Fn(i)777 282 y Fr(\))t Fm(\001)t Fr(\()829 250 y Fg(P)872 261 y Fn(n)872 294 y(j)r Fi(=1)932 282 y Fr(\()p Fq(b)t Fm(\012)t Fr(\026)g Fq(a)1028 267 y Fn(j)1045 282 y Fr(\))t Fm(\012)t Fq(a)1123 288 y Fn(j)1141 282 y Fr(\))11 b(=)1212 250 y Fg(P)1256 294 y Fn(ij)1285 282 y Fr(\()p Fq(a)t Fm(\012)t Fq(b)t Fm(\012)60 339 y Fr(\026)-22 b Fq(a)81 324 y Fn(i)101 339 y Fm(\012)7 b Fr(\026)-22 b Fq(a)161 324 y Fn(j)179 339 y Fr(\))6 b Fm(\012)g Fq(a)261 345 y Fn(i)276 339 y Fq(a)298 345 y Fn(j)327 339 y Fr(=)371 308 y Fg(P)415 352 y Fn(ij)r(k)469 339 y Fq(\013)496 324 y Fn(k)496 350 y(ij)525 339 y Fr(\()p Fq(a)g Fm(\012)g Fq(b)g Fm(\012)j Fr(\026)-24 b Fq(a)691 324 y Fn(i)713 339 y Fm(\012)8 b Fr(\026)-23 b Fq(a)773 324 y Fn(j)791 339 y Fr(\))6 b Fm(\012)g Fq(a)873 345 y Fn(k)907 339 y Fr(=)950 308 y Fg(P)994 352 y Fn(k)1015 339 y Fr(\()p Fq(a)g Fm(\012)g Fq(b)g Fm(\012)g Fr(\001\()q(\026)-22 b Fq(a)1232 324 y Fn(k)1254 339 y Fr(\)\))6 b Fm(\012)g Fq(a)1352 345 y Fn(k)1385 339 y Fr(=)59 365 y Fg(P)103 409 y Fn(k)123 397 y Fr(\()p Fq(ab)r Fm(\012)s Fr(\026)-22 b Fq(a)237 382 y Fn(k)258 397 y Fr(\))r Fm(\012)r Fq(a)332 403 y Fn(k)365 397 y Fr(=)12 b Fq(\016)r Fr(\()p Fq(ab)p Fr(\).)e(W)m(eiter)g (ist)h Fq(\016)r Fr(\(1\))g(=)836 365 y Fg(P)880 409 y Fn(i)894 397 y Fr(\(1)r Fm(\012)s Fr(\026)-22 b Fq(a)989 382 y Fn(i)1003 397 y Fr(\))r Fm(\012)r Fq(a)1077 403 y Fn(i)1104 397 y Fr(=)1148 365 y Fg(P)1191 409 y Fn(i)1213 397 y Fr(\026)g Fq(a)1234 382 y Fn(i)1248 397 y Fr(\(1\))r Fm(\012)r Fq(a)1359 403 y Fn(i)1385 397 y Fr(=)59 446 y(1)9 b Fm(\012)131 415 y Fg(P)174 459 y Fn(i)196 446 y Fr(\026)-22 b Fq(a)217 431 y Fn(i)231 446 y Fr(\(1\))p Fq(a)306 452 y Fn(i)331 446 y Fr(=)12 b(1)d Fm(\012)h Fr(1.)j(Damit)e(ist)j Fq(\016)i Fr(ein)e(Algebren)g(Homomorphism)n(us.) 59 503 y(Wir)d(m)178 505 y(\177)177 503 y(ussen)g(jetzt)h(zeigen,)g (da\031)e(zu)i(jedem)f Fq(f)16 b Fr(genau)11 b(ein)h Fq(g)g Fr(geh)1070 505 y(\177)1070 503 y(ort.)f(Zun)1217 505 y(\177)1217 503 y(ac)o(hst)i(indu-)59 553 y(ziert)f Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)5 b Fm(\012)s Fq(A)11 b Fr(eindeutig)g(b)q(estimm)o(te)e(lineare)i (Abbildungen)f Fq(f)1214 559 y Fn(i)1240 553 y Fr(:)h Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)59 603 y Fr(mit)i Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))i(=)275 571 y Fg(P)318 615 y Fn(i)339 603 y Fq(f)359 609 y Fn(i)373 603 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))10 b Fm(\012)h Fq(a)502 609 y Fn(i)516 603 y Fr(,)j(w)o(eil)g(die)h Fq(a)717 609 y Fn(i)746 603 y Fr(eine)h(Basis)f(bilden.)f(Da)h Fq(f)20 b Fr(ein)15 b(Algebren)59 652 y(Homomorphism)m(us)9 b(ist,)i(erhalten)h(wir)f(aus)763 621 y Fg(P)807 665 y Fn(k)834 652 y Fq(f)854 658 y Fn(k)875 652 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))t Fm(\012)t Fq(a)991 658 y Fn(k)1024 652 y Fr(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(ab)p Fr(\))i(=)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)t Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))h(=)59 671 y Fg(P)103 715 y Fn(ij)132 702 y Fr(\()p Fq(f)168 708 y Fn(i)182 702 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))s Fm(\012)s Fq(a)296 708 y Fn(i)311 702 y Fr(\)\()p Fq(f)363 708 y Fn(j)381 702 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))s Fm(\012)s Fq(a)491 708 y Fn(j)509 702 y Fr(\))f(=)581 671 y Fg(P)624 715 y Fn(ij)661 702 y Fq(f)681 708 y Fn(i)695 702 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)769 708 y Fn(j)787 702 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))s Fm(\012)s Fq(a)897 708 y Fn(i)911 702 y Fq(a)933 708 y Fn(j)962 702 y Fr(=)1006 671 y Fg(P)1050 715 y Fn(ij)r(k)1104 702 y Fq(\013)1131 687 y Fn(k)1131 713 y(ij)1160 702 y Fq(f)1180 708 y Fn(i)1194 702 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)1268 708 y Fn(j)1286 702 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))s Fm(\012)s Fq(a)1396 708 y Fn(k)59 752 y Fr(durc)o(h)j(Ko)q(e\016zien)o (ten)o(v)o(ergleic)o(h)499 874 y Fq(f)519 880 y Fn(k)540 874 y Fr(\()p Fq(ab)p Fr(\))c(=)667 834 y Fg(X)683 922 y Fn(ij)734 874 y Fq(\013)761 856 y Fn(k)761 884 y(ij)790 874 y Fq(f)810 880 y Fn(i)824 874 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)898 880 y Fn(j)916 874 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))p Fq(:)59 1033 y Fr(W)m(eiter)k(de\014nieren)i(wir)e Fq(g)q Fr(\()p Fq(a)c Fm(\012)g Fr(\026)-22 b Fq(a)p Fr(\))14 b(:=)g(\(1)c Fm(\012)i Fr(\026)-22 b Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))15 b Fm(2)f Fq(B)r Fr(.)h(Insb)q(esondere)j(gilt)c (dann)59 1083 y Fq(g)q Fr(\()p Fq(a)c Fm(\012)h Fr(\026)-22 b Fq(a)192 1068 y Fn(i)206 1083 y Fr(\))13 b(=)g(\(1)d Fm(\012)g Fr(\026)-21 b Fq(a)391 1068 y Fn(i)405 1083 y Fr(\)\()437 1052 y Fg(P)481 1095 y Fn(j)505 1083 y Fq(f)525 1089 y Fn(j)543 1083 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(a)671 1089 y Fn(j)688 1083 y Fr(\))j(=)g Fq(f)782 1089 y Fn(i)797 1083 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\).)h(Die)g (Abbildung)g Fq(g)i Fr(k)n(ann)e(unmit-)59 1133 y(telbar)j(als)g (Algebren)g(Homomorphism)n(us,)d(eb)q(enfalls)j(mit)e Fq(g)j Fr(b)q(ezeic)o(hnet,)h(auf)d(die)59 1183 y(Algebra)e Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)g Fq(A)375 1168 y Fp(\003)394 1183 y Fr(\))15 b(fortgesetzt)h(w)o(erden.)e(F)811 1185 y(\177)810 1183 y(ur)h(die)g(Erzeugenden)h(des)f(Ideals)g(er-)59 1232 y(halten)c(wir)g Fq(g)q Fr(\()p Fq(ab)t Fm(\012)t Fr(\026)-21 b Fq(a)391 1217 y Fn(k)415 1232 y Fm(\000)t Fq(a)t Fm(\012)t Fq(b)t Fm(\012)t Fr(\001\()q(\026)f Fq(a)644 1217 y Fn(k)664 1232 y Fr(\)\))12 b(=)f(\(1)t Fm(\012)t Fr(\026)-21 b Fq(a)850 1217 y Fn(k)871 1232 y Fr(\))894 1201 y Fg(P)937 1245 y Fn(l)957 1232 y Fq(f)977 1238 y Fn(l)990 1232 y Fr(\()p Fq(ab)p Fr(\))t Fm(\012)t Fq(a)1124 1238 y Fn(l)1141 1232 y Fm(\000)1177 1201 y Fg(P)1220 1245 y Fn(r)q(sij)1289 1232 y Fq(\013)1316 1217 y Fn(k)1316 1243 y(ij)1344 1232 y Fr(\(1)t Fm(\012)60 1290 y Fr(\026)f Fq(a)81 1275 y Fn(i)95 1290 y Fr(\)\()p Fq(f)147 1296 y Fn(r)166 1290 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))5 b Fm(\012)g Fq(a)284 1296 y Fn(r)302 1290 y Fr(\))g Fm(\001)g Fr(\(1)g Fm(\012)g Fr(\026)-21 b Fq(a)441 1275 y Fn(j)458 1290 y Fr(\)\()p Fq(f)510 1296 y Fn(s)528 1290 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))5 b Fm(\012)g Fq(a)642 1296 y Fn(s)660 1290 y Fr(\))11 b(=)h Fq(f)751 1296 y Fn(k)772 1290 y Fr(\()p Fq(ab)p Fr(\))5 b Fm(\000)886 1259 y Fg(P)930 1302 y Fn(ij)966 1290 y Fq(\013)993 1275 y Fn(k)993 1301 y(ij)1022 1290 y Fq(f)1042 1296 y Fn(i)1056 1290 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))p Fq(f)1130 1296 y Fn(j)1148 1290 y Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))12 b(=)f(0.)g(W)m(eiter)59 1340 y(ist)e Fq(g)q Fr(\(1)p Fm(\012)p Fq(\020)s Fm(\000)p Fq(\020)s Fr(\(1\)\))15 b(=)c(\(1)p Fm(\012)p Fq(\020)s Fr(\))p Fq(f)t Fr(\(1\))p Fm(\000)p Fq(\020)t Fr(\(1\))j(=)e(\(1)p Fm(\012)p Fq(\020)s Fr(\)\(1)p Fm(\012)p Fr(1\))p Fm(\000)p Fq(\020)s Fr(\(1\))j(=)c(1)p Fq(\020)s Fr(\(1\))p Fm(\000)p Fq(\020)s Fr(\(1\))i(=)f(0.)59 1390 y(Damit)e(v)o(ersc)o(h)o(windet)k Fq(g)g Fr(auf)e(dem)f(Ideal)i Fq(I)j Fr(und)c(l)852 1392 y(\177)852 1390 y(a\031t)g(sic)o(h)h(durc)o (h)g Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b(=)g Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fq(=I)59 1439 y Fr(faktorisieren.)20 b(Mit)g(dieser)i(Abbildung,)d(eb)q(enfalls)h(mit)f Fq(g)j Fr(b)q(ezeic)o(hnet,)g(k)o(omm)n(u-)59 1489 y(tiert)e(des)h(Diagramm)n (,)c(denn)j(\()p Fq(g)14 b Fm(\012)f Fr(1)680 1495 y Fn(A)707 1489 y Fr(\))p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))22 b(=)f(\()p Fq(g)14 b Fm(\012)g Fr(1)989 1495 y Fn(A)1016 1489 y Fr(\)\()1048 1458 y Fg(P)1092 1502 y Fn(i)1105 1489 y Fr(\()p Fq(a)g Fm(\012)f Fr(\026)-21 b Fq(a)1224 1474 y Fn(i)1238 1489 y Fr(\))13 b Fm(\012)g Fq(a)1334 1495 y Fn(i)1348 1489 y Fr(\))21 b(=)59 1508 y Fg(P)103 1551 y Fn(i)117 1539 y Fr(\(1)9 b Fm(\012)h Fr(\026)-22 b Fq(a)226 1524 y Fn(i)240 1539 y Fr(\))p Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(a)408 1545 y Fn(i)433 1539 y Fr(=)477 1508 y Fg(P)521 1551 y Fn(ij)557 1539 y Fq(f)577 1545 y Fn(j)595 1539 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\)\()q(\026)-22 b Fq(a)687 1524 y Fn(i)701 1539 y Fq(;)7 b(a)742 1545 y Fn(j)759 1539 y Fr(\))i Fm(\012)h Fq(a)848 1545 y Fn(i)873 1539 y Fr(=)917 1508 y Fg(P)961 1551 y Fn(i)981 1539 y Fq(f)1001 1545 y Fn(i)1016 1539 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))f Fm(\012)h Fq(a)1143 1545 y Fn(i)1168 1539 y Fr(=)i Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\).)59 1596 y(Es)21 b(bleibt)f(die)g(Eindeutigk)o (eit)g(v)o(on)g Fq(g)h Fr(zu)g(zeigen.)f(Gelte)h(also)e(\()p Fq(h)14 b Fm(\012)g Fr(1)1242 1602 y Fn(A)1268 1596 y Fr(\))p Fq(\016)25 b Fr(=)d Fq(f)t Fr(.)59 1645 y(Dann)17 b(ist)236 1614 y Fg(P)280 1658 y Fn(i)301 1645 y Fq(h)p Fr(\()p Fq(a)11 b Fm(\012)i Fr(\026)-22 b Fq(a)440 1630 y Fn(i)454 1645 y Fr(\))12 b Fm(\012)g Fq(a)548 1651 y Fn(i)579 1645 y Fr(=)17 b(\()p Fq(h)12 b Fm(\012)g Fr(1)745 1651 y Fn(A)772 1645 y Fr(\))p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))17 b(=)h Fq(f)t Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))g(=)1075 1614 y Fg(P)1119 1658 y Fn(i)1140 1645 y Fq(f)1160 1651 y Fn(i)1174 1645 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))11 b Fm(\012)h Fq(a)1305 1651 y Fn(i)1319 1645 y Fr(,)17 b(also)59 1695 y Fq(h)p Fr(\()p Fq(a)9 b Fm(\012)h Fr(\026)-21 b Fq(a)194 1680 y Fn(i)208 1695 y Fr(\))11 b(=)h Fq(f)299 1701 y Fn(i)313 1695 y Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))g(=)g Fq(g)q Fr(\()p Fq(a)d Fm(\012)h Fr(\026)-21 b Fq(a)555 1680 y Fn(i)569 1695 y Fr(\),)13 b(d.h.)g Fq(g)g Fr(=)f Fq(h)p Fr(.)p 847 1672 29 2 v 847 1697 2 25 v 873 1697 V 847 1699 29 2 v 59 1817 a Fo(F)o(olger)o(ung)k Fr(7.21)p Fo(.)k Fl(Sei)c Fq(A)h Fl(eine)f(end)r(lich-dimensionale)h(A)o(lgebr)n(a)e(mit)h (universel-)59 1867 y(ler)e(A)o(lgebr)n(a)g Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b Fl(und)g Fq(\016)f Fr(:)d Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)g Fq(A)p Fl(.)14 b(Dann)i(ist)e Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b Fl(eine)g(Bialgebr)n(a)59 1917 y(und)h Fq(A)f Fl(dur)n(ch)g Fq(\016)i Fl(eine)e Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p Fl(-Komo)n(dul)15 b(A)o(lgebr)n(a.)59 1974 y(Wenn)e(auch)g Fq(B)h Fl(eine)e(Bialgebr)n(a)f(ist)g(und)i Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)t Fm(\012)r Fq(A)j Fl(auf)e Fq(A)g Fl(eine)g Fq(B)r Fl(-Komo)n(dul)59 2023 y(A)o(lgebr)n(a)19 b(de\014niert,)g(dann)h(gibt)f(es)h(genau)g(einen)g (Bialgebr)n(en)f(Homomorphismus)59 2073 y Fq(g)13 b Fr(:)e Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)r Fl(,)k(so)g(da\031)h(das)f(folgende)g(Diagr)n(amm)g (kommutiert)p eop %%Page: 62 67 62 66 bop 59 117 a Ft(62)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)557 194 y Fq(A)221 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 600 184 197 2 v 755 183 a Fk(-)690 175 y Fn(\016)846 362 y Fq(B)j Fm(\012)e Fq(A)692 274 y Fn(f)630 233 y Fk(H)672 254 y(H)713 275 y(H)755 296 y(H)796 316 y(H)805 320 y(H)-42 b(j)p 903 320 2 108 v 57 w(?)921 273 y Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)981 277 y Fj(A)109 486 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)14 b(b)q(etrac)o(h)o(ten)h(das)f(folgende)g(k)o(omm)n(utativ)o (e)d(Diagramm)411 600 y Fq(A)512 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 455 591 488 2 v 900 590 a Fk(-)690 582 y Fn(\016)p 426 727 2 108 v 427 727 a Fk(?)394 683 y Fn(\016)p 1049 727 V 1049 727 a Fk(?)1066 681 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)1136 685 y Fj(A)332 766 y Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)347 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A;)p 534 757 323 2 v 815 756 a Fk(-)629 784 y Fi(1)646 790 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))720 784 y Fp(\012)p Fn(\016)59 874 y Fr(in)20 b(dem)g(der)i(Morphism)o(us)d (\001)i(durc)o(h)g(die)g(univ)o(erselle)g(Eigensc)o(haft)g(v)o(on)f Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))59 924 y(b)q(ez)120 926 y(\177)119 924 y(uglic)o(h)14 b(des)h(Algebren)f(Homomorphism)m(us)e (\(1)866 931 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))962 924 y Fm(\012)d Fq(\016)r Fr(\))p Fq(\016)16 b Fr(de\014niert)f(ist.)e(Insb)q (e-)59 973 y(sondere)g(ist)f(\001)f(ein)g(Algebren)i(Homomo)o(rphism)n (us.)c(W)m(eiter)i(existiert)i(ein)e(eindeutig)59 1023 y(b)q(estimm)o(ter)h(Algebren)j(Homomorphism)m(us)d Fq(")f Fr(:)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))11 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Ff(K)p Fr(,)16 b(so)e(da\031)557 1140 y Fq(A)221 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 600 1131 197 2 v 755 1130 a Fk(-)690 1122 y Fn(\016)804 1308 y Fq(A)846 1297 y Fm(\030)846 1310 y Fr(=)890 1308 y Ff(K)k Fm(\012)c Fq(A)672 1220 y Fi(1)689 1224 y Fj(A)630 1180 y Fk(H)672 1200 y(H)713 1221 y(H)755 1242 y(H)796 1263 y(H)805 1267 y(H)-42 b(j)p 903 1267 2 108 v 57 w(?)921 1220 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)980 1224 y Fj(A)59 1414 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 1470 y(Die)12 b(Koalgebren)h(Axiome)e (ergeb)q(en)i(sic)o(h)g(aus)g(den)g(folgenden)f(k)o(omm)n(utativ)o(en)d (Dia-)59 1519 y(grammen)312 1634 y Fq(A)711 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)p 355 1624 687 2 v 1000 1623 a Fk(-)690 1615 y Fn(\016)p 327 1760 2 108 v 327 1760 a Fk(?)344 1717 y Fn(\016)p 1148 1760 V 1149 1760 a Fk(?)1166 1714 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)1236 1718 y Fj(A)232 1800 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)552 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 435 1790 528 2 v 921 1789 a Fk(-)632 1771 y Fi(1)649 1777 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))723 1771 y Fp(\012)p Fn(\016)p 322 1926 2 108 v 323 1926 a Fk(?)213 1880 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)283 1884 y Fj(A)p 335 1926 V 336 1926 a Fk(?)352 1877 y Fi(1)369 1883 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))444 1877 y Fp(\012)p Fn(\016)p 1140 1926 V 1141 1926 a Fk(?)913 1877 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)983 1883 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))1058 1877 y Fp(\012)p Fi(1)1101 1881 y Fj(A)p 1152 1926 V 1153 1926 a Fk(?)1170 1877 y Fi(1)1187 1883 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))1261 1877 y Fp(\012)p Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)1357 1881 y Fj(A)149 1966 y Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)393 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)p 510 1956 369 2 v 837 1955 a Fk(-)569 1937 y Fi(1)586 1943 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))660 1937 y Fp(\012)p Fi(1)703 1943 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))778 1937 y Fp(\012)p Fn(\016)59 2073 y Fr(und)p eop %%Page: 63 68 63 67 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(63)391 194 y Fq(A)532 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 434 184 508 2 v 900 183 a Fk(-)680 175 y Fn(\016)p 405 320 2 108 v 406 320 a Fk(?)423 277 y Fn(\016)p 986 320 V 987 320 a Fk(?)877 274 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)947 278 y Fj(A)p 1111 486 2 274 v 1112 486 a Fk(?)1128 353 y Fi(1)1145 359 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))1220 353 y Fp(\012)p Fi(1)1263 357 y Fj(A)311 360 y Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)229 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)p 514 350 204 2 v 676 349 a Fk(-)549 331 y Fi(1)566 337 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))640 331 y Fp(\012)p Fn(\016)470 436 y Fi(1)487 442 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))562 436 y Fp(\012)p Fi(1)605 440 y Fj(A)493 392 y Fk(P)535 406 y(P)576 420 y(P)618 434 y(P)659 448 y(P)701 462 y(P)742 475 y(P)776 486 y(P)-42 b(q)728 526 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)929 515 y Fm(\030)929 528 y Fr(=)973 526 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Ff(K)k Fm(\012)c Fq(A)p 986 486 2 108 v 987 486 a Fk(?)771 436 y Fi(1)788 442 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))863 436 y Fp(\012)p Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)948 440 y Fj(A)59 600 y Fr(und)494 668 y Fq(A)388 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)p 538 659 363 2 v 859 658 a Fk(-)711 650 y Fn(\016)p 488 961 2 274 v 489 961 a Fk(?)433 831 y Fi(1)450 835 y Fj(A)p 530 795 2 108 v 531 795 a Fk(?)547 751 y Fn(\016)p 986 795 V 987 795 a Fk(?)1004 749 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(1)1074 753 y Fj(A)519 834 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)187 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)g Fq(A)p 721 825 163 2 v 842 824 a Fk(-)735 805 y Fi(1)752 811 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))827 805 y Fp(\012)p Fn(\016)p 530 961 2 108 v 531 961 a Fk(?)547 914 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)606 918 y Fj(A)p 986 961 V 987 961 a Fk(?)1004 911 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)1063 917 y Fj(M)r Fb(\()p Fj(A)p Fb(\))1137 911 y Fp(\012)p Fi(1)1180 915 y Fj(A)494 1000 y Fq(A)218 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)944 989 y Fm(\030)944 1002 y Fr(=)988 1000 y Ff(K)j Fm(\012)c Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A:)p 538 991 193 2 v 689 990 a Fk(-)626 981 y Fn(\016)59 1074 y Fr(Aus)15 b(diesen)g(folgt)e(n)388 1076 y(\177)388 1074 y(amlic)o(h)f(\(\001)e Fm(\012)f Fr(1)644 1081 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))732 1074 y Fr(\)\001)j(=)h(\(1)877 1081 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))974 1074 y Fm(\012)d Fr(\001\)\001,)j(\(1)1164 1081 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))1261 1074 y Fm(\012)d Fq(")p Fr(\)\001)i(=)59 1124 y(1)80 1131 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))182 1124 y Fr(und)j Fq(")10 b Fm(\012)g Fr(\(1)374 1131 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))461 1124 y Fr(\)\001)i(=)h(1)590 1131 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))678 1124 y Fr(.)h(Sc)o(hlie\031lic)o (h)f(ist)i Fq(A)f Fr(nac)o(h)h(De\014nition)f(v)o(on)g(\001)59 1174 y(und)g Fq(")g Fr(eine)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)-Komo)q(dul)12 b(Algebra.)59 1225 y(Sei)f(n)o(un)h(aus)f(durc)o(h) h Fq(f)k Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)6 b Fm(\012)t Fq(A)12 b Fr(eine)g Fq(B)r Fr(-Komo)q(dul)e(Algebra)h (de\014niert.)h(Dann)59 1275 y(gibt)f(es)h(genau)f(einen)h(Algebren)g (Homomorphism)n(us)c Fq(g)13 b Fr(:)e Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)r Fr(,)h(so)f(da\031)g(das) 59 1324 y(Diagramm)557 1401 y Fq(A)221 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(A)p 600 1391 197 2 v 755 1390 a Fk(-)690 1382 y Fn(\016)846 1569 y Fq(B)j Fm(\012)e Fq(A)692 1481 y Fn(f)630 1440 y Fk(H)672 1461 y(H)713 1482 y(H)755 1503 y(H)796 1523 y(H)805 1527 y(H)-42 b(j)p 903 1527 2 108 v 57 w(?)921 1480 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Fp(\012)p Fi(1)919 1865 y Fj(A)p 725 1890 V 1000 1889 a Fk(-)840 1918 y Fi(1)857 1922 y Fj(B)881 1918 y Fp(\012)p Fn(f)59 1974 y Fr(folgt)h(\(\()p Fq(g)c Fm(\012)e Fq(g)q Fr(\)\001)g Fm(\012)g Fr(1)384 1980 y Fn(A)411 1974 y Fr(\))p Fq(\016)14 b Fr(=)e(\()p Fq(g)7 b Fm(\012)e Fq(g)i Fm(\012)e Fr(1)668 1980 y Fn(A)694 1974 y Fr(\)\(\001)g Fm(\012)g Fr(1)824 1980 y Fn(A)851 1974 y Fr(\))p Fq(\016)14 b Fr(=)e(\()p Fq(g)7 b Fm(\012)e Fq(g)i Fm(\012)e Fr(1)1108 1980 y Fn(A)1134 1974 y Fr(\)\(1)1187 1981 y Fn(M)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))1280 1974 y Fm(\012)g Fq(\016)r Fr(\))p Fq(\016)14 b Fr(=)59 2023 y(\()p Fq(g)9 b Fm(\012)f Fr(\()p Fq(g)g Fm(\012)g Fr(1)249 2029 y Fn(A)276 2023 y Fr(\))p Fq(\016)r Fr(\))p Fq(\016)14 b Fr(=)e(\(1)441 2029 y Fn(B)476 2023 y Fm(\012)c Fr(\()p Fq(g)h Fm(\012)f Fr(1)622 2029 y Fn(A)649 2023 y Fr(\))p Fq(\016)r Fr(\)\()p Fq(g)h Fm(\012)e Fr(1)806 2029 y Fn(A)833 2023 y Fr(\))p Fq(\016)14 b Fr(=)e(\(1)962 2029 y Fn(B)998 2023 y Fm(\012)7 b Fq(f)t Fr(\))p Fq(f)18 b Fr(=)11 b(\(\001)1209 2029 y Fn(B)1245 2023 y Fm(\012)d Fr(1)1306 2029 y Fn(A)1333 2023 y Fr(\))p Fq(f)16 b Fr(=)59 2073 y(\(\001)110 2079 y Fn(B)145 2073 y Fm(\012)8 b Fr(1)206 2079 y Fn(A)233 2073 y Fr(\)\()p Fq(g)g Fm(\012)g Fr(1)354 2079 y Fn(A)381 2073 y Fr(\))p Fq(\016)13 b Fr(=)f(\(\001)523 2079 y Fn(B)551 2073 y Fq(g)d Fm(\012)e Fr(1)640 2079 y Fn(A)667 2073 y Fr(\))p Fq(\016)r Fr(,)12 b(also)h(\()p Fq(g)8 b Fm(\012)g Fq(g)q Fr(\)\001)j(=)h(\001)1056 2079 y Fn(B)1084 2073 y Fq(g)q Fr(.)h(W)m(eiter)f(folgt)g(aus)p eop %%Page: 64 69 64 68 bop 59 117 a Ft(64)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)411 194 y Fq(A)305 b(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k Fm(\012)h Fq(A)p 455 184 280 2 v 693 183 a Fk(-)587 175 y Fn(\016)701 362 y Fq(B)i Fm(\012)e Fq(A)547 274 y Fn(f)485 233 y Fk(H)527 254 y(H)568 275 y(H)610 296 y(H)651 316 y(H)659 320 y(H)-42 b(j)p 758 320 2 108 v 58 w(?)659 273 y Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)719 277 y Fj(A)p 841 486 2 274 v 842 486 a Fk(?)859 357 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)918 361 y Fj(A)659 528 y Fq(A)701 517 y Fm(\030)701 530 y Fr(=)745 528 y Ff(K)13 b Fm(\012)c Fq(A)527 357 y Fi(1)544 361 y Fj(A)456 254 y Fk(@)498 296 y(@)539 337 y(@)581 379 y(@)622 420 y(@)664 462 y(@)688 486 y(@)-42 b(R)p 758 486 2 108 v 29 w(?)636 440 y Fn(")652 444 y Fj(B)676 440 y Fp(\012)p Fi(1)719 444 y Fj(A)59 612 y Fr(die)14 b(Gleic)o(h)o(ung)f Fq(")339 618 y Fn(B)368 612 y Fq(g)g Fr(=)f Fq(")p Fr(.)h(Damit)f(ist)i Fq(g)h Fr(ein)f(Bialgebren)g(Homomo)o(rphism)n(us.)p 1364 589 29 2 v 1364 614 2 25 v 1390 614 V 1364 616 29 2 v 59 708 a Fo(Definition)i Fr(7.22)p Fo(.)k Fr(Sei)c Fq(A)g Fr(eine)h(endlic)o(h-dimensionale)d(Algebra.)i(Die)g(Bialgebra) 59 758 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\),)15 b(die)h(auf)f Fq(A)h Fr(univ)o(ersell)g(k)o(o)q(op)q(eriert,)g(hei\031t)f(die)h Fl(Ko)n(endomorphismen)i(Bial-)59 807 y(gebr)n(a)c Fr(v)o(on)f Fq(A)p Fr(.)64 895 y Fo(\177)59 904 y(Ubung)j Fr(7.23)p Fo(.)k Fr(a\))11 b(Bestimmen)e(Sie)i(v)o(ollst)741 906 y(\177)741 904 y(andig)e(die)i(duale)g(Koalgebra)f Fq(A)1248 889 y Fp(\003)1278 904 y Fr(zu)i Fq(A)g Fr(:=)59 953 y Ff(K)p Fm(h)p Fq(x)p Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)205 938 y Fi(2)227 953 y Fr(\).)h(\(Hin)o(w)o(eis:)g(Bestimmen)g(Sie)h (eine)g(Basis)g(v)o(on)g Fq(A)p Fr(.\))59 1006 y(b\))g(Bestimmen)e(Sie) h(m)430 1008 y(\177)430 1006 y(oglic)o(hst)f(explizit)h(die)g(Ko)q (endomorphismen)f(Bialgebra)h(v)o(on)59 1056 y Fq(A)j Fr(aus)h(dem)e(T)m(eil)g(a\))h(der)491 1047 y(\177)486 1056 y(Ubung.)g(\(Bestimmen)f(Sie)h(zun)1003 1058 y(\177)1003 1056 y(ac)o(hst)h(eine)g(Algebra)f(Er-)59 1106 y(zeugendenmenge)f(f)389 1108 y(\177)388 1106 y(ur)f Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\).)13 b(Geb)q(en)i(Sie)f(dann)g(die)g(Relationen)f(an.\))59 1159 y(c\))h(Bestimmen)f(Sie)h(v)o(ollst)489 1161 y(\177)489 1159 y(andig)e(die)i(duale)f(Koalgebra)h Fq(A)1008 1144 y Fp(\003)1041 1159 y Fr(zu)g Fq(A)e Fr(:=)f Ff(K)q Fm(h)p Fq(x)p Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(x)1341 1144 y Fi(3)1362 1159 y Fr(\).)59 1212 y(d\))j(Bestimmen)e(Sie)h(m)430 1214 y(\177)430 1212 y(oglic)o(hst)f(explizit)h(die)g(Ko)q (endomorphismen)f(Bialgebra)h(v)o(on)59 1262 y Fq(A)h Fr(aus)g(dem)f(T)m(eil)g(c\))h(der)475 1253 y(\177)470 1262 y(Ubung.)59 1314 y(e\)*)i(Bestimmen)e(Sie)h(v)o(ollst)514 1316 y(\177)514 1314 y(andig)f(die)i(duale)f(Koalgebra)g Fq(A)1040 1299 y Fp(\003)1075 1314 y Fr(zu)h Fq(A)e Fr(:=)g Ff(K)p Fm(h)p Fq(x;)7 b(y)q Fm(i)q Fq(=I)s Fr(,)59 1364 y(w)o(ob)q(ei)14 b(das)g(Ideal)f Fq(I)18 b Fr(als)13 b(zw)o(eiseitiges)i(Ideal)e(erzeugt)j(w)o(erde)f(durc)o(h)f(die)g(P)o (olynome)569 1457 y Fq(xy)d Fm(\000)f Fq(q)686 1440 y Fp(\000)p Fi(1)730 1457 y Fq(y)q(x;)d(x)818 1440 y Fi(2)837 1457 y Fq(;)g(y)877 1440 y Fi(2)896 1457 y Fq(:)59 1554 y Fr(f)s(\)*)12 b(Bestimmen)e(Sie)i(m)439 1556 y(\177)439 1554 y(oglic)o(hst)d(explizit)j(die)g(Ko)q(endomorphismen)e(Bialgebra)h (v)o(on)59 1603 y Fq(A)j Fr(aus)g(dem)f(T)m(eil)g(e\))h(der)475 1595 y(\177)470 1603 y(Ubung.)59 1656 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Fr(gilt)g Fq(B)750 1913 y Fm(\030)750 1926 y Fr(=)794 1924 y Fq(B)827 1909 y Fn(op)863 1924 y Fr(,)g(da\031)h Fq(B)i Fr(jedo)q(c)o(h)e(nic)o(h)o(t)g(not)o(w)o(endig)208 1974 y(k)o(omm)n(utativ)f(ist.)137 2023 y(iv\))21 b(Geb)q(en)13 b(Sie)h(einen)f(Isomorphism)o(us)e Fq(B)840 2012 y Fm(\030)840 2026 y Fr(=)884 2023 y Fq(B)917 2008 y Fn(op)966 2023 y Fr(an)i(f)1037 2025 y(\177)1036 2023 y(ur)g(die)g(Bialgebra)g Fq(B)h Fr(=)208 2073 y Ff(K)p Fm(h)p Fq(a;)7 b(b)p Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(a)387 2058 y Fi(2)408 2073 y Fq(;)g(ab)h Fr(+)i Fq(ba)p Fr(\).)j(\(Vgl.)g(b\)\))p eop %%Page: 65 70 65 69 bop 191 117 a Ft(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q(IVE)j(R) 710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)99 b(65)59 225 y Fr(L)85 227 y(\177)85 225 y(osungshin)o(w)o(eise:)12 b(1/2\))f(Die)h(Bialgebra)f(hat)h(die)g(F)m(orm)e Fq(B)k Fr(=)e Ff(K)p Fm(h)p Fq(a;)7 b(b)p Fm(i)p Fq(=)p Fr(\()p Fq(a)1239 210 y Fi(2)1260 225 y Fq(;)g(ab)e Fr(+)g Fq(ba)p Fr(\))59 275 y(\001)17 b(mit)f(\001\()p Fq(a)p Fr(\))i(=)g Fq(a)12 b Fm(\012)g Fr(1)g(+)g Fq(b)f Fm(\012)h Fq(a)p Fr(,)17 b(\001\()p Fq(b)p Fr(\))h(=)g Fq(b)12 b Fm(\012)g Fq(b)17 b Fr(und)h Fq(")p Fr(\()p Fq(a)p Fr(\))h(=)f(0,)f Fq(")p Fr(\()p Fq(b)p Fr(\))h(=)h(1.)e(Die)59 325 y(Ko)q(op)q(eration)d (ist)g Fq(\016)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))d(=)h Fq(a)d Fm(\012)h Fr(1)f(+)g Fq(b)g Fm(\012)h Fq(x)p Fr(.)59 375 y(3/4\))h Fq(A)g Fr(hat)g(die)g(Basis)h(1)p Fq(;)7 b(x;)g(x)539 360 y Fi(2)555 375 y Fr(.)k(Die)g(duale)g(Koalgebra)f(hat)h(die)h (duale)f(Basis)g Fq(e;)c(\020)s(;)g(\020)1399 381 y Fi(2)59 425 y Fr(mit)k(\001\()p Fq(e)p Fr(\))h(=)g Fq(e)c Fm(\012)g Fq(e)p Fr(,)13 b(\001\()p Fq(\020)s Fr(\))f(=)g Fq(\020)f Fm(\012)d Fq(e)g Fr(+)h Fq(e)f Fm(\012)g Fq(\020)16 b Fr(und)e(\001\()p Fq(\020)921 431 y Fi(2)939 425 y Fr(\))e(=)g Fq(\020)1029 431 y Fi(2)1055 425 y Fm(\012)d Fq(e)f Fr(+)g Fq(\020)j Fm(\012)d Fq(\020)j Fr(+)e Fq(e)f Fm(\012)g Fq(\020)1387 431 y Fi(2)1406 425 y Fr(.)59 475 y(Die)k(univ)o(erselle)g (Bialgebra)f Fq(B)j Fr(=)e Fq(T)6 b Fr(\()p Fq(A)f Fm(\012)g Fq(A)757 460 y Fp(\003)777 475 y Fr(\))p Fq(=I)16 b Fr(erf)896 477 y(\177)895 475 y(ullt)11 b Fq(\016)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))h(=)f Fq(x)5 b Fm(\012)g Fq(e)g Fm(\012)g Fr(1)g(+)g Fq(x)g Fm(\012)g Fq(\020)11 b Fm(\012)59 525 y Fq(x)d Fr(+)g Fq(x)g Fm(\012)g Fq(\020)221 531 y Fi(2)248 525 y Fm(\012)g Fq(x)312 509 y Fi(2)342 525 y Fr(=)k Fq(a)7 b Fm(\012)i Fr(1)e(+)i Fq(b)e Fm(\012)i Fq(x)e Fr(+)i Fq(c)f Fm(\012)g Fq(x)753 509 y Fi(2)771 525 y Fr(.)13 b(Sie)g(wird)g(daher)h(v)o(on)f(den)g(Elemen)o(ten)59 574 y Fq(a)h Fr(=)g Fq(x)c Fm(\012)g Fq(e)p Fr(,)15 b Fq(b)f Fr(=)g Fq(x)c Fm(\012)g Fq(\020)18 b Fr(und)e Fq(c)d Fr(=)h Fq(x)c Fm(\012)h Fq(\020)710 580 y Fi(2)744 574 y Fr(erzeugt.)16 b(Die)f(Multiplik)n(ationstafel)d(und)59 624 y(die)i(Relationen)f(ergeb)q(en)j(sic)o(h)e(aus)192 698 y(1)8 b Fm(\012)i Fq(e)i Fr(=)g(1)p Fq(;)192 748 y Fr(1)c Fm(\012)i Fq(\020)15 b Fr(=)d(1)d Fm(\012)g Fq(\020)429 754 y Fi(2)459 748 y Fr(=)j(0)p Fq(;)192 798 y(x)216 783 y Fi(2)243 798 y Fm(\012)e Fq(e)h Fr(=)h(\()p Fq(x)d Fm(\012)h Fq(e)p Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(e)p Fr(\))p Fq(;)192 847 y(x)216 832 y Fi(2)243 847 y Fm(\012)g Fq(\020)k Fr(=)e(\()p Fq(x)d Fm(\012)h Fq(\020)s Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(e)p Fr(\))f(+)h(\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(e)p Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(\020)s Fr(\))p Fq(;)192 897 y(x)216 882 y Fi(2)243 897 y Fm(\012)g Fq(\020)303 903 y Fi(2)333 897 y Fr(=)i(\()p Fq(x)d Fm(\012)g Fq(\020)485 903 y Fi(2)504 897 y Fr(\)\()p Fq(x)g Fm(\012)h Fq(e)p Fr(\))g(+)f(\()p Fq(x)g Fm(\012)h Fq(\020)s Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(\020)s Fr(\))f(+)h(\()p Fq(x)f Fm(\012)g Fq(e)p Fr(\)\()p Fq(x)h Fm(\012)f Fq(\020)1238 903 y Fi(2)1257 897 y Fr(\))p Fq(;)131 980 y Fr(0)j(=)f Fq(x)231 965 y Fi(3)259 980 y Fm(\012)e Fq(e)j Fr(=)g(\()p Fq(x)415 965 y Fi(2)443 980 y Fm(\012)d Fq(e)p Fr(\)\()p Fq(x)h Fm(\012)f Fq(e)p Fr(\))p Fq(;)131 1030 y Fr(0)j(=)f Fq(x)231 1015 y Fi(3)259 1030 y Fm(\012)e Fq(\020)15 b Fr(=)d(\()p Fq(x)417 1015 y Fi(2)445 1030 y Fm(\012)d Fq(\020)s Fr(\)\()p Fq(x)h Fm(\012)f Fq(e)p Fr(\))h(+)f(\()p Fq(x)740 1015 y Fi(2)768 1030 y Fm(\012)h Fq(e)p Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(\020)s Fr(\))p Fq(;)131 1079 y Fr(0)i(=)f Fq(x)231 1064 y Fi(3)259 1079 y Fm(\012)e Fq(\020)318 1085 y Fi(2)349 1079 y Fr(=)j(\()p Fq(x)433 1064 y Fi(2)460 1079 y Fm(\012)e Fq(\020)520 1085 y Fi(2)539 1079 y Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)g Fq(e)p Fr(\))h(+)g(\()p Fq(x)772 1064 y Fi(2)799 1079 y Fm(\012)g Fq(\020)s Fr(\)\()p Fq(x)f Fm(\012)h Fq(\020)s Fr(\))f(+)h(\()p Fq(x)1097 1064 y Fi(2)1125 1079 y Fm(\012)f Fq(e)p Fr(\)\()p Fq(x)h Fm(\012)f Fq(\020)1310 1085 y Fi(2)1329 1079 y Fr(\))59 1147 y(und)14 b(sind)g(mit)e(der)j(Abk)455 1149 y(\177)454 1147 y(urzung)f Fm(f)p Fq(u;)7 b(v)q Fm(g)k Fr(:=)g Fq(u)788 1132 y Fi(2)807 1147 y Fq(v)g Fr(+)e Fq(uv)q(u)h Fr(+)f Fq(v)q(u)1044 1132 y Fi(2)569 1223 y Fq(a)591 1208 y Fi(3)621 1223 y Fr(=)j(0)p Fq(;)569 1273 y Fm(f)p Fq(a;)7 b(b)p Fm(g)j Fr(=)i(0)p Fq(;)569 1322 y Fm(f)p Fq(a;)7 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Fq(A)1086 1787 y Fp(\003)1124 1802 y Fr(sei)g Fq(e;)7 b(\030)r(;)g(\021)q(;)g(\022)q Fr(.)18 b(Die)59 1852 y(Diagonal-Abbildung)11 b(ist)391 1926 y(\001\()p Fq(e)p Fr(\))h(=)g Fq(e)d Fm(\012)h Fq(e;)391 1975 y Fr(\001\()p Fq(\030)r Fr(\))i(=)g Fq(\030)f Fm(\012)e Fq(e)h Fr(+)f Fq(e)h Fm(\012)f Fq(\030)r(;)391 2025 y Fr(\001\()p Fq(\021)q Fr(\))j(=)g Fq(\021)e Fm(\012)f Fq(e)h Fr(+)f Fq(e)h Fm(\012)g Fq(\021)q(;)391 2075 y Fr(\001\()p Fq(\022)q Fr(\))i(=)g Fq(\022)f Fm(\012)f Fq(e)f Fr(+)h Fq(e)f Fm(\012)h Fq(\022)h Fr(+)e Fq(\030)i Fm(\012)f Fq(\021)g Fr(+)g Fq(q)q(\021)g Fm(\012)g Fq(\030)r(:)p eop %%Page: 66 71 66 70 bop 59 117 a Ft(66)96 b(VI)q(I.)15 b(NICHTK)o(OMMUT)n(A)m(T)q (IVE)j(R)710 110 y(\177)706 117 y(AUME)e(UND)h(QUANTENGR)o(UPPEN)59 225 y Fr(Damit)7 b(hat)i(die)h(Ko)q(endomorphismen)d(Bialgebra)i(die)g (Algebren)h(Erzeugenden)i Fq(a)p Fm(\012)p Fq(\020)59 275 y Fr(mit)j Fq(a)i Fm(2)f(f)p Fr(1)p Fq(;)7 b(x;)g(y)q(;)g(xy)q Fm(g)15 b Fr(und)i Fq(\020)j Fm(2)c(f)p Fq(e;)7 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Fr(+)g Fq(ec)p Fr(\))p Fq(;)289 1370 y(ah)f Fm(\000)g Fq(q)q(ha)g Fr(+)h Fq(de)f Fm(\000)h Fq(q)q(ed)f Fr(+)g Fq(bg)i Fm(\000)e Fq(q)815 1355 y Fi(2)834 1370 y Fq(g)q(b)g Fr(+)h Fq(q)q(cf)k Fm(\000)9 b Fq(q)q(f)t(c)j Fr(=)g(0)p Fq(:)59 1443 y Fr(W)m(eiter)i(ist)g(die)g (Diagonale)219 1515 y(\001\()p Fq(a)p Fr(\))e(=)f Fq(a)e Fm(\012)h Fr(1)f(+)g Fq(b)h Fm(\012)f Fq(a)g Fr(+)h Fq(c)f Fm(\012)g Fq(e)h Fr(+)f Fq(d)g Fm(\012)h Fq(ae;)219 1565 y Fr(\001\()p Fq(b)p Fr(\))h(=)h Fq(b)d Fm(\012)h Fq(b)f Fr(+)g Fq(c)g Fm(\012)h Fq(f)k Fr(+)c Fq(d)e Fm(\012)i Fr(\()p Fq(af)k Fr(+)9 b Fq(be)p Fr(\))p Fq(;)219 1614 y Fr(\001\()p Fq(c)p Fr(\))j(=)f Fq(b)e Fm(\012)h Fq(c)f Fr(+)h Fq(c)f Fm(\012)g Fq(g)i Fr(+)e Fq(d)g Fm(\012)h Fr(\()p Fq(ag)g Fr(+)g Fq(ce)p Fr(\))p Fq(;)219 1664 y Fr(\001\()p Fq(d)p Fr(\))h(=)h Fq(b)d Fm(\012)h Fq(d)e Fr(+)i Fq(c)f Fm(\012)h Fq(h)f Fr(+)g Fq(d)g Fm(\012)h Fr(\()p Fq(ah)f Fr(+)g Fq(de)g Fr(+)h Fq(bg)g Fr(+)g Fq(q)1034 1649 y Fp(\000)p Fi(1)1078 1664 y Fq(cf)t Fr(\))57 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Fl(T)m(ensor)h(Pr)n(o)n(dukt)p Fr(,)59 1444 y(einem)e(Ob)r(jekt)i Fq(I)g Fm(2)c(C)r Fr(,)j(genann)o(t)g Fl(Einheit)p Fr(,)59 1499 y(nat)120 1501 y(\177)119 1499 y(urlic)o(hen)g(Isomorphismen)342 1599 y Fq(\013)p Fr(\()p Fq(A;)7 b(B)r(;)g(C)s Fr(\))k(:)g(\()p Fq(A)f Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)f Fm(\012)f Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)342 1649 y(\025)p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))j(:)e Fq(I)h Fm(\012)e Fq(A)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A;)342 1699 y(\032)p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))i(:)e Fq(A)e Fm(\012)h Fq(I)15 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A;)59 1801 y Fr(genann)o(t)17 b Fl(Assoziativit)430 1803 y(\177)430 1801 y(at,)g(Links-Einheit)g Fr(und)g Fl(R)n(e)n(chts-Einheit)p Fr(,)g(so)g(da\031)g(folgende)59 1850 y(Diagramm)o(e,)11 b(genann)o(t)j Fl(Koh)526 1852 y(\177)526 1850 y(ar)n(enzdiagr)n(amme)g Fr(o)q(der)g Fl(Constr)n(aints)p Fr(,)f(k)o(omm)o(uti)o(eren:)-59 1918 y(\(\()p Fq(A)d Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fq(C)s Fr(\))f Fm(\012)g Fq(D)274 b Fr(\()p Fq(A)10 b Fm(\012)f Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fq(C)s Fr(\)\))f Fm(\012)g Fq(D)p 303 1908 249 2 v 510 1907 a Fk(-)334 1892 y Fn(\013)p Fi(\()p Fn(A;B)q(;C)r Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)1186 1918 y Fq(A)g Fm(\012)h Fr(\(\()p Fq(B)i Fm(\012)d Fq(C)s Fr(\))g Fm(\012)h Fq(D)q Fr(\))p 925 1908 V 1132 1907 a Fk(-)951 1892 y Fn(\013)p Fi(\()p Fn(A;B)q Fp(\012)p Fn(C;D)q Fi(\))p 115 2044 2 108 v 116 2044 a Fk(?)132 1998 y Fn(\013)p Fi(\()p Fn(A)p Fp(\012)p Fn(B)q(;C;D)q Fi(\))p 1360 2044 V 1361 2044 a Fk(?)1156 1998 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\013)p Fi(\()p Fn(B)q(;C;D)q Fi(\))-59 2084 y Fr(\()p Fq(A)g Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fr(\()p Fq(C)i Fm(\012)d Fq(D)q Fr(\))896 b Fq(A)9 b Fm(\012)h Fr(\()p Fq(B)h Fm(\012)f Fr(\()p Fq(C)i Fm(\012)e Fq(D)q Fr(\)\))p 303 2074 871 2 v 1132 2073 a Fk(-)639 2058 y Fn(\013)p Fi(\()p Fn(A;B)q(;C)r Fp(\012)p Fn(D)q Fi(\))721 2173 y Ft(67)p eop %%Page: 68 73 68 72 bop 59 117 a Ft(68)355 b(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m (TEGORIEN)379 194 y Fr(\()p Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(I)s Fr(\))h Fm(\012)g Fq(B)280 b(A)9 b Fm(\012)h Fr(\()p Fq(I)j Fm(\012)c Fq(B)r Fr(\))p 612 184 254 2 v 823 183 a Fk(-)670 168 y Fn(\013)p Fi(\()p Fn(A;I)r(;B)q Fi(\))680 362 y Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)477 274 y Fn(\032)p Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)533 240 y Fk(Q)574 268 y(Q)616 296 y(Q)653 320 y(Q)-42 b(s)889 274 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\025)p Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))902 240 y Fk(\021)861 268 y(\021)819 296 y(\021)782 320 y(\021)g(+)59 414 y Fr(Eine)17 b(monoidale)d(Kategorie)i(hei\031t)h Fl(strikt)p Fr(,)d(w)o(enn)j(die)g(Morphismen)e Fq(\013;)7 b(\025;)g(\032)16 b Fr(Iden-)59 464 y(tit)103 466 y(\177)103 464 y(aten)e(sind.)59 545 y Fo(Bemerkung)j Fr(8.2)p Fo(.)j Fr(Wir)10 b(de\014nieren)i Fq(A)698 551 y Fi(1)720 545 y Fm(\012)s Fq(:)7 b(:)g(:)r Fm(\012)s Fq(A)873 551 y Fn(n)907 545 y Fr(:=)12 b(\()p Fq(:)7 b(:)g(:)e Fr(\()p Fq(A)1081 551 y Fi(1)1103 545 y Fm(\012)s Fq(A)1169 551 y Fi(2)1188 545 y Fr(\))s Fm(\012)s Fq(:)i(:)g(:)f Fr(\))s Fm(\012)s Fq(A)1383 551 y Fn(n)1406 545 y Fr(.)59 596 y(Der)17 b(Koh)218 598 y(\177)218 596 y(arenzsatz)i(v)o(on)e(MacLane)g(b)q(esagt,)g(da\031)g(alle)f(Diagramm) o(e,)e(deren)k(Mor-)59 646 y(phismen)e(un)o(ter)h(V)m(erw)o(endung)g(v) o(on)f Fq(\013)p Fr(,)g Fq(\025)p Fr(,)g Fq(\032)p Fr(,)h(Iden)o(tit) 937 648 y(\177)937 646 y(aten,)g(In)o(v)o(ersen,)g(T)m(ensorpro-)59 695 y(dukten)d(und)f(V)m(erkn)388 697 y(\177)387 695 y(upfungen)g(gebildet)g(sind,)f(k)o(omm)o(utieren.)e(Wir)i(w)o(erden)i (diesen)59 745 y(Satz)j(nic)o(h)o(t)g(b)q(ew)o(eisen.)h(Aus)f(ihm)e (folgt,)h(da\031)g(jede)h(monoidale)e(Kategorie)i(ersetzt)59 795 y(w)o(erden)g(k)n(ann)d(\(monoidal)502 797 y(\177)502 795 y(aquiv)n(alen)o(t)g(ist\))i(durc)o(h)g(eine)g(strikte)g(monoidale) d(Kate-)59 845 y(gorie,)j(da\031)g(hei\031t,)g(da\031)h(man)e(in)h (Diagramm)o(en)e(die)j(Morphismen)f Fq(\013;)7 b(\025;)g(\032)16 b Fr(fortlas-)59 895 y(sen)k(k)n(ann,)e(d.h.)g(durc)o(h)i(Iden)o(tit) 585 897 y(\177)585 895 y(aten)f(ersetzen)j(k)n(ann.)c(Insb)q(esondere)k (gibt)c(es)i(auf)59 944 y Fq(A)90 950 y Fi(1)116 944 y Fm(\012)7 b Fq(:)g(:)g(:)e Fm(\012)i Fq(A)280 950 y Fn(n)315 944 y Fr(n)o(ur)13 b(einen)g(mit)e(den)i(Koh)724 946 y(\177)724 944 y(arenzmorphismen)e(gebideten)j(Automor-)59 994 y(phism)o(us,)e(n)254 996 y(\177)254 994 y(amlic)o(h)g(die)i(Iden)o (tit)576 996 y(\177)576 994 y(at.)59 1076 y Fo(Bemerkung)j Fr(8.3)p Fo(.)j Fr(Zu)f(jeder)h(monoidalen)d(Kategorie)i Fm(C)i Fr(k)n(ann)d(man)g(eine)h(dazu)59 1126 y(symmetrisc)o(he)i (monoidale)e(Kategorie)j Fm(C)753 1110 y Fn(sy)q(mm)869 1126 y Fr(bilden,)f(die)h(als)f(Kategorie)h(mit)59 1175 y Fm(C)105 1177 y Fr(\177)103 1175 y(ub)q(ereinstimm)o(t,)c(die)j(das)f (T)m(ensorpro)q(dukt)h Fq(A)14 b Fh(\002)f Fq(B)25 b Fr(:=)d Fq(B)16 b Fm(\012)e Fq(A)20 b Fr(hat)g(und)g(die)59 1225 y(Koh)135 1227 y(\177)135 1225 y(arenzmorphismen)321 1303 y Fq(\013)p Fr(\()p Fq(C)q(;)7 b(B)r(;)g(A)p Fr(\))513 1288 y Fp(\000)p Fi(1)568 1303 y Fr(:)k(\()p Fq(A)f Fh(\002)f Fq(B)r Fr(\))h Fh(\002)g Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)f Fh(\002)f Fr(\()p Fq(B)j Fh(\002)e Fq(C)s Fr(\))p Fq(;)321 1353 y(\032)p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))j(:)e Fq(I)i Fh(\002)c Fq(A)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A;)321 1403 y(\025)p Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))h(:)g Fq(A)d Fh(\002)g Fq(I)15 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(A:)59 1481 y Fr(Dann)22 b(sind)h(wiederum)e(die)i(Koh)626 1483 y(\177)626 1481 y(arenzdiagramme)d(k)o(omm)o(utati)o(v.)f(Damit)h (wird)59 1531 y Fm(C)83 1516 y Fn(sy)q(mm)192 1531 y Fr(eine)14 b(monoidale)d(Kategorie.)59 1612 y Fo(Beispiel)16 b Fr(8.4)p Fo(.)k Fr(a\))15 b(Sei)g Fq(R)g Fr(ein)g(b)q(eliebiger)h (Ring.)d(Die)i(Kategorie)1134 1618 y Fn(R)1161 1612 y Fm(M)1211 1618 y Fn(R)1253 1612 y Fr(der)h Fq(R)p Fr(-)p Fq(R)p Fr(-)59 1662 y(Bimo)q(duln)e(mit)g(dem)g(T)m(ensorpro)q(dukt)j Fq(M)e Fm(\012)792 1668 y Fn(R)830 1662 y Fq(N)21 b Fr(ist)15 b(eine)h(monoidale)d(Kategorie.)59 1712 y(Insb)q(esondere)j(bilden)e (die)g Ff(K)p Fr(-Mo)q(duln)i(eine)f(monoidale)c(Kategorie.)59 1763 y(b\))j(Sei)g Fq(B)i Fr(eine)e(Bialgebra)f(und)h Fm(M)630 1769 y Fn(B)672 1763 y Fr(die)g(Kategorie)g(der)g Fq(B)r Fr(-Rec)o(h)o(ts-Mo)q(duln.)g(Wir)59 1813 y(de\014nieren)19 b(auf)d(dem)g(T)m(ensorpro)q(dukt)i Fq(M)f Fm(\012)11 b Fq(N)22 b Fr(=)c Fq(M)e Fm(\012)995 1819 y Fc(K)1031 1813 y Fq(N)22 b Fr(die)17 b(Struktur)h(eines)59 1862 y Fq(B)r Fr(-Rec)o(h)o(ts-Mo)q(duls)d(durc)o(h)59 1943 y Fq(M)7 b Fm(\012)r Fq(N)g Fm(\012)r Fq(B)260 1919 y Fi(1)277 1923 y Fj(M)307 1919 y Fp(\012)p Fi(1)350 1923 y Fj(N)377 1919 y Fp(\012)p Fi(\001)311 1943 y Fm(\000)-6 b(!)62 b Fq(M)7 b Fm(\012)r Fq(N)g Fm(\012)r Fq(B)t Fm(\012)r Fq(B)712 1919 y Fi(1)729 1923 y Fj(M)760 1919 y Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)847 1923 y Fj(B)759 1943 y Fm(\000)-7 b(!)57 b(M)r(\012)r Fq(B)t Fm(\012)r Fq(N)7 b Fm(\012)r Fq(B)1159 1917 y Fn(\032)1176 1921 y Fj(M)1207 1917 y Fp(\012)p Fn(\032)1250 1921 y Fj(N)1185 1943 y Fm(\000)-7 b(!)37 b Fq(M)7 b Fm(\012)r Fq(N)r(:)59 2023 y Fr(Man)14 b(v)o(eri\014ziert)i(leic)o(h)o(t,)d(da\031)h(dieses)i(eine)f(Mo)q (dulstruktur)g(ergibt)g(und)f(da\031)g(damit)59 2073 y Fm(M)109 2079 y Fn(B)151 2073 y Fr(eine)h(monoidale)c(Kategorie)j (wird.)p eop %%Page: 69 74 69 73 bop 450 117 a Ft(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m(TEGORIEN) 357 b(69)59 225 y Fr(c\))18 b(Sei)g Fq(B)i Fr(eine)e(Bialgebra)f(und)h Fm(M)649 210 y Fn(B)695 225 y Fr(die)f(Kategorie)h(der)h Fq(B)r Fr(-Rec)o(h)o(ts-Komo)q(duln.)59 275 y(Wir)f(de\014nieren)i(auf) e(dem)f(T)m(ensorpro)q(dukt)j Fq(M)d Fm(\012)12 b Fq(N)25 b Fr(=)19 b Fq(M)e Fm(\012)1096 281 y Fc(K)1134 275 y Fq(N)23 b Fr(die)18 b(Struktur)59 325 y(eines)d Fq(B)r Fr(-Rec)o(h)o(ts-Komo)q(duls)e(durc)o(h)59 417 y Fq(M)7 b Fm(\012)s Fq(N)191 393 y Fn(\016)206 397 y Fj(M)237 393 y Fp(\012)p Fn(\016)278 397 y Fj(N)214 417 y Fm(\000)-7 b(!)35 b Fq(M)7 b Fm(\012)s Fq(B)e Fm(\012)s Fq(N)i Fm(\012)s Fq(B)589 393 y Fi(1)606 397 y Fj(M)637 393 y Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)724 397 y Fj(B)635 417 y Fm(\000)-6 b(!)57 b Fq(M)7 b Fm(\012)s Fq(N)g Fm(\012)s Fq(B)e Fm(\012)s Fq(B)1033 393 y Fi(1)1050 397 y Fj(M)1081 393 y Fp(\012)p Fi(1)1124 397 y Fj(N)1150 393 y Fp(\012r)1085 417 y Fm(\000)-7 b(!)63 b Fq(M)7 b Fm(\012)s Fq(N)g Fm(\012)s Fq(B)r(:)59 509 y Fr(Man)i(v)o(eri\014ziert)i(leic)o(h)o(t,)e(da\031)g(dieses)h (eine)g(Komo)q(dulstruktur)f(ergibt)h(und)f(da\031)g(damit)59 558 y Fm(M)109 543 y Fn(B)151 558 y Fr(eine)15 b(monoidale)c(Kategorie) j(wird.)59 611 y(d\))i(Sei)f Fq(G)g Fr(ein)g(Monoid.)f(Ein)h(V)m (ektorraum)f Fq(V)25 b Fr(zusammen)14 b(mit)f(einer)j(F)m(amilie)d(v)o (on)59 661 y(Un)o(terv)o(ektorr)292 663 y(\177)292 661 y(aumen)h(\()p Fq(V)467 667 y Fn(g)487 661 y Fm(j)p Fq(g)e Fm(2)f Fq(G)p Fr(\))j(hei\031t)g Fq(G)p Fl(-gr)n(aduiert)p Fr(,)e(w)o(enn)i(gilt)f Fq(V)21 b Fr(=)12 b Fm(\010)1274 667 y Fn(g)q Fp(2)p Fn(G)1342 661 y Fq(V)1366 667 y Fn(g)1385 661 y Fr(.)59 714 y(Seien)21 b Fq(V)31 b Fr(und)21 b Fq(W)27 b(G)p Fr(-graduierte)21 b(V)m(ektorr)774 716 y(\177)774 714 y(aume.)f(Eine)h(lineare)g(Abbildung)f Fq(f)28 b Fr(:)59 763 y Fq(V)21 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(W)20 b Fr(hei\031t)14 b Fq(G)p Fr(-graduiert,)f(w)o(enn)h(f)704 765 y(\177)703 763 y(ur)g(alle)f Fq(g)g Fm(2)e Fq(G)j Fr(gilt)f Fq(f)t Fr(\()p Fq(V)1089 769 y Fn(g)1109 763 y Fr(\))f Fm(\022)g Fq(W)1220 769 y Fn(g)1239 763 y Fr(.)59 816 y(Die)g Fq(G)p Fr(-graduierten)h(V)m(ektorr)537 818 y(\177)537 816 y(aume)e(und)i(linearen)f(Abbildungen)g(bilden)g(die)h (Kate-)59 866 y(gorie)h Fm(M)211 851 y Fn(G)252 866 y Fr(der)h Fq(G)p Fl(-gr)n(aduierten)f(V)m(ektorr)728 868 y(\177)728 866 y(aume)p Fr(.)59 918 y(Auf)f Fm(M)189 903 y Fn(G)230 918 y Fr(ist)g(eine)h(monoidale)d(Struktur)j(durc)o(h)g (das)f(T)m(ensorpro)q(dukt)h Fq(V)k Fm(\012)8 b Fq(W)19 b Fr(und)59 968 y(die)d(Un)o(terr)247 970 y(\177)247 968 y(aume)g(\()p Fq(V)21 b Fm(\012)11 b Fq(W)6 b Fr(\))526 974 y Fn(g)560 968 y Fr(:=)620 937 y Fg(P)663 981 y Fn(h)p Fp(2)p Fn(G)740 968 y Fq(V)764 974 y Fn(h)797 968 y Fm(\012)11 b Fq(W)879 976 y Fn(h)898 968 y Fe(\000)p Fb(1)937 976 y Fn(g)972 968 y Fr(=)1019 937 y Fg(P)1063 981 y Fn(h;k)q Fp(2)p Fn(G;hk)q Fi(=)p Fn(g)1258 968 y Fq(V)1282 974 y Fn(h)1315 968 y Fm(\012)g Fq(W)1397 974 y Fn(k)59 1018 y Fr(de\014niert.)59 1071 y(Die)17 b(Kategorie)g Fm(M)380 1056 y Fn(G)425 1071 y Fr(ist)486 1073 y(\177)486 1071 y(aquiv)n(alen)o(t)f(zur)i(Kategorie)f(der)h Ff(K)p Fq(G)p Fr(-Komo)q(duln)g Fm(M)1367 1056 y Fc(K)-12 b Fn(G)59 1121 y Fr(un)o(ter)12 b(der)f(folgenden)g(Zuordn)o(ung.)g(Einem)e Fq(G)p Fr(-graduierten)j(V)m(ektorraum)d Fq(V)21 b Fr(ordnet)59 1170 y(man)15 b(den)j Ff(K)p Fq(G)p Fr(-Komo)q(dul)f Fq(V)27 b Fr(mit)15 b(der)i(Strukturabbildung)g Fq(\016)h Fr(:)e Fq(V)26 b Fm(\000)-6 b(!)16 b Fq(V)k Fm(\012)12 b Ff(K)p Fq(G)p Fr(,)59 1220 y Fq(\016)r Fr(\()p Fq(v)q Fr(\))18 b(:=)e Fq(v)d Fm(\012)e Fq(g)19 b Fr(f)339 1222 y(\177)338 1220 y(ur)e(alle)f Fq(v)i Fm(2)e Fq(V)579 1226 y Fn(g)616 1220 y Fr(und)h(f)716 1222 y(\177)715 1220 y(ur)g(alle)f Fq(g)i Fm(2)e Fq(G)g Fr(zu.)h(Ist)h(umgek)o(ehrt)e Fq(V)r(;)7 b(\016)19 b Fr(:)59 1270 y Fq(V)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(V)16 b Fm(\012)6 b Ff(K)q Fq(G)15 b Fr(ein)e Ff(K)p Fq(G)p Fr(-Komo)q(dul,)f(so)h(ordnet)g(man)e(diesem)h(den)h(V)m (ektorraum)e Fq(V)59 1320 y Fr(mit)f(den)j(graduierten)f(\(homogenen\)) g(Komp)q(onen)o(ten)f Fq(V)966 1326 y Fn(g)997 1320 y Fr(:=)h Fm(f)p Fq(v)g Fm(2)g Fq(V)d Fm(j)p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(v)q Fr(\))j(=)g Fq(v)7 b Fm(\012)e Fq(g)q Fr(.)59 1370 y(Man)14 b(rec)o(hnet)h(nac)o(h,)f(da\031)f(dieses)i(eine) g(Kategorien)891 1372 y(\177)891 1370 y(aquiv)n(alenz)e(ist.)59 1422 y(Da)k Ff(K)p Fq(G)j Fr(eine)e(Bialgebra)e(ist,)h(ist)h(die)f (Kategorie)h(der)g Ff(K)p Fq(G)p Fr(-Komo)q(duln)g(nac)o(h)f(T)m(eil)59 1472 y(b\))i(eine)h(monoidale)c(Kategorie.)j(Man)g(rec)o(hnet)i(nac)o (h,)d(da\031)h(b)q(ei)g(der)1223 1463 y(\177)1218 1472 y(Aquiv)n(alenz)59 1522 y(zwisc)o(hen)c Fm(M)281 1507 y Fn(G)322 1522 y Fr(und)e Fm(M)454 1507 y Fc(K)-11 b Fn(G)518 1522 y Fr(T)m(ensorpro)q(dukte)15 b(in)e(en)o(tsprec)o(hende)j (T)m(ensorpro)q(dukte)59 1572 y(abgebildet)e(w)o(erden,)g(da\031)g (also)f(eine)h(monoidale)864 1563 y(\177)858 1572 y(Aquiv)n(alenz)g(v)o (orliegt.)59 1624 y(e\))g(Ein)g Fl(\(Ketten-\)Komplex)h(von)h Fq(R)p Fl(-Mo)n(duln)800 1626 y Fr(\177)799 1624 y(ub)q(er)f(einem)e (Ring)f Fq(R)425 1729 y(M)k Fr(=)c(\()p Fq(:)7 b(:)g(:)617 1705 y Fn(@)635 1709 y Fb(3)601 1729 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)719 1735 y Fi(2)766 1705 y Fn(@)784 1709 y Fb(2)750 1729 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)868 1735 y Fi(1)915 1705 y Fn(@)933 1709 y Fb(1)898 1729 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(M)1017 1735 y Fi(0)1036 1729 y Fr(\))59 1821 y(b)q(esteh)o(t)17 b(aus)e(einer)h(F)m(amilie)c(v)o(on)j Fq(R)p Fr(-Mo)q(duln)g Fq(M)853 1827 y Fn(i)882 1821 y Fr(und)g(einer)h(F)m(amilie)c(v)o(on)j (Homo-)59 1871 y(morphismen)e Fq(@)318 1877 y Fn(n)354 1871 y Fr(:)g Fq(M)419 1877 y Fn(n)456 1871 y Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(M)576 1877 y Fn(n)p Fp(\000)p Fi(1)657 1871 y Fr(mit)g Fq(@)756 1877 y Fn(n)p Fp(\000)p Fi(1)821 1871 y Fq(@)843 1877 y Fn(n)879 1871 y Fr(=)h(0.)g(\(Dieser)i (Ketten-Komplex)59 1921 y(ist)f(mit)f Ff(N)228 1927 y Fi(0)260 1921 y Fr(indiziert.)g(Man)i(b)q(etrac)o(h)o(tet)h(auc)o(h)e (Ketten-Komplexe,)g(die)g(mit)f Ff(Z)o Fr(in-)59 1971 y(diziert)g(sind.)59 2023 y(Seien)d Fq(M)k Fr(und)10 b Fq(N)16 b Fr(zw)o(ei)10 b(Ketten-Komplexe.)g(Ein)h Fl(Homomorphismus)g Fq(f)17 b Fr(:)11 b Fq(M)16 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(N)59 2073 y Fl(von)i(Ketten-Komplexen)f Fr(b)q(esteh)o(t)g (aus)f(einer)h(F)m(amilie)c(v)o(on)j(Homomo)o(rphism)o(en)e(v)o(on)p eop %%Page: 70 75 70 74 bop 59 117 a Ft(70)355 b(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m (TEGORIEN)59 225 y Fq(R)p Fr(-Mo)q(duln)i Fq(f)285 231 y Fn(n)329 225 y Fr(:)h Fq(M)401 231 y Fn(n)445 225 y Fm(\000)-6 b(!)20 b Fq(N)566 231 y Fn(n)589 225 y Fr(,)f(so)h(da\031)f (gelten)h Fq(f)909 231 y Fn(n)932 225 y Fq(@)954 231 y Fn(n)p Fi(+1)1039 225 y Fr(=)h Fq(@)1114 231 y Fn(n)p Fi(+1)1179 225 y Fq(f)1199 231 y Fn(n)p Fi(+1)1284 225 y Fr(f)1298 227 y(\177)1297 225 y(ur)e(alle)59 275 y Fq(n)12 b Fm(2)f Ff(N)167 281 y Fi(0)183 275 y Fr(.)59 326 y(Die)16 b(Ketten-Komplexe)h(v)o(on)e Fq(R)p Fr(-Mo)q(duln)h(mit)e (diesen)j(Homomorphism)o(en)d(bilden)59 376 y(die)g(Kategorie)g(Komp-)p Fq(R)e Fr(der)j(Ketten-Komplexe.)59 427 y(Die)g(Bialgebra)h(aus)406 419 y(\177)400 427 y(Ubung)h(7.23)d(2\))i(ist)g Fq(B)h Fr(=)e Ff(K)p Fm(h)p Fq(x;)7 b(y)q Fm(i)p Fq(=I)s Fr(,)19 b(w)o(ob)q(ei)c Fq(I)k Fr(erzeugt)e(wird)59 477 y(v)o(on)c Fq(x)161 462 y Fi(2)179 477 y Fq(;)7 b(xy)j Fr(+)f Fq(y)q(x)p Fr(.)k(Die)g(Diagonale)f(ist)i(\001\()p Fq(y)q Fr(\))e(=)g Fq(y)e Fm(\012)f Fq(y)q Fr(,)14 b(\001\()p Fq(x)p Fr(\))d(=)h Fq(x)c Fm(\012)h Fq(y)h Fr(+)f(1)f Fm(\012)h Fq(x)k Fr(und)59 527 y(die)h(Ko)q(einheit)g(ist)g Fq(")p Fr(\()p Fq(y)q Fr(\))f(=)f(1)p Fq(;)7 b(")p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))k(=)h(0.)59 578 y(Die)20 b(Kategorie)h(Komp-)p Ff(K)i Fr(der)e(Ketten-Komplexe)934 580 y(\177)933 578 y(ub)q(er)h Ff(K)i Fr(ist)1153 580 y(\177)1153 578 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Fi(0)1342 778 y Fr(.)g(Ist)59 828 y(umgek)o(ehrt)c Fq(M)r(;)7 b(\016)14 b Fr(:)d Fq(M)16 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(M)h Fm(\012)c Fq(B)15 b Fr(ein)e Fq(B)r Fr(-Komo)q(dul,)e(so)i (ordnet)h(man)d(diesem)h(die)59 877 y(V)m(ektorr)196 879 y(\177)196 877 y(aume)e Fq(M)344 883 y Fn(i)370 877 y Fr(:=)h Fm(f)p Fq(m)h Fm(2)f Fq(M)5 b Fm(j9)p Fq(m)649 862 y Fp(0)672 877 y Fm(2)12 b Fq(M)5 b Fr([)p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))11 b(=)h Fq(m)t Fm(\012)t Fq(y)1009 862 y Fn(i)1027 877 y Fr(+)t Fq(m)1099 862 y Fp(0)1115 877 y Fm(\012)t Fq(xy)1196 862 y Fn(i)p Fp(\000)p Fi(1)1252 877 y Fm(g)f Fr(und)g(die)59 927 y(linearen)16 b(Abbildungen)f Fq(@)487 933 y Fn(i)515 927 y Fr(:)f Fq(M)581 933 y Fn(i)609 927 y Fm(\000)-6 b(!)14 b Fq(M)731 933 y Fn(i)p Fp(\000)p Fi(1)803 927 y Fr(mit)f Fq(@)902 933 y Fn(i)916 927 y Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))i(:=)f Fq(m)1093 912 y Fp(0)1121 927 y Fr(f)1135 929 y(\177)1134 927 y(ur)i Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))f(=)f Fq(m)d Fm(\012)59 977 y Fq(y)80 962 y Fn(i)100 977 y Fr(+)5 b Fq(m)173 962 y Fp(0)191 977 y Fm(\012)g Fq(xy)273 962 y Fn(i)p Fp(\000)p Fi(1)343 977 y Fr(zu.)12 b(Man)f(rec)o(hnet)j(nac)o(h,)e(da\031)f(dieses)i(eine) g(Kategorien)1228 979 y(\177)1228 977 y(aquiv)n(alenz)59 1027 y(ist.)64 1104 y Fo(\177)59 1112 y(Ubung)j Fr(8.5)p Fo(.)k Fr(1\))12 b(Bew)o(eisen)i(Sie)e(ausf)662 1114 y(\177)661 1112 y(uhrlic)o(h,)g(da\031)g Fm(M)938 1097 y Fn(G)978 1112 y Fr(und)g Fm(M)1109 1097 y Fc(K)-11 b Fn(G)1172 1112 y Fr(als)12 b(monoidale)59 1162 y(Kategorien)271 1164 y(\177)271 1162 y(aquiv)n(alen)o(t)h(sind.)59 1214 y(2\))j(Bew)o(eisen)h(Sie)f(ausf)435 1216 y(\177)434 1214 y(uhrlic)o(h,)f(da\031)h(Komp-)p Ff(K)i Fr(und)e Fm(M)976 1199 y Fn(B)1020 1214 y Fr(mit)e Fq(B)19 b Fr(wie)c(im)g(v)o (oraus-)59 1263 y(gehenden)i(Beispiel)f(e\))449 1265 y(\177)449 1263 y(aquiv)n(alen)o(te)f(Kategorien)h(sind.)f(Da)g Fm(M)1102 1248 y Fn(B)1146 1263 y Fr(eine)h(monoidale)59 1313 y(Kategorie)k(ist,)331 1315 y(\177)330 1313 y(ub)q(ertr)443 1315 y(\177)443 1313 y(agt)g(sic)o(h)h(das)f(T)m(ensorpro)q(dukt)g(auc) o(h)g(auf)g(Komp-)p Ff(K)p Fr(.)h(Wie)59 1363 y(sieh)o(t)14 b(dieses)h(in)f(Komp-)p Fq(B)h Fr(aus?)59 1414 y(3\))f(Ein)f(Kok)o (etten-Komplex)544 1416 y(\177)543 1414 y(ub)q(er)i Ff(K)i Fr(hat)d(die)f(F)m(orm)421 1512 y Fq(M)j Fr(=)c(\()p Fq(M)577 1518 y Fi(0)624 1488 y Fn(@)642 1492 y Fb(0)608 1512 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)726 1518 y Fi(1)773 1488 y Fn(@)791 1492 y Fb(1)757 1512 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)875 1518 y Fi(2)922 1488 y Fn(@)940 1492 y Fb(2)905 1512 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(:)c(:)g(:)e Fr(\))59 1596 y(mit)17 b Fq(@)162 1602 y Fn(i)p Fi(+1)218 1596 y Fq(@)240 1602 y Fn(i)273 1596 y Fr(=)j(0.)e(Zeigen)h(Sie,)f(da\031)g(die)h (Kategorie)g Ff(K)p Fr(-K)q(ok)o(omp)g(der)g(Kok)o(etten-)59 1646 y(Komplexe)254 1648 y(\177)254 1646 y(aquiv)n(alen)o(t)12 b(zu)509 1630 y Fn(B)537 1646 y Fm(M)i Fr(ist,)f(w)o(ob)q(ei)h Fq(B)i Fr(wie)e(in)g(Beispiel)g(e\))g(gew)1229 1648 y(\177)1229 1646 y(ahlt)g(ist.)59 1731 y Fo(Lemma)j Fr(8.6)p Fo(.)j Fl(Die)e(folgenden)g(Diagr)n(amme)g(kommutier)n(en)f(in)h(einer)f (monoidalen)59 1781 y(Kate)n(gorie)130 1839 y Fr(\()p Fq(I)c Fm(\012)c Fq(A)p Fr(\))h Fm(\012)f Fq(B)115 b(I)13 b Fm(\012)c Fr(\()p Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))p 362 1829 88 2 v 408 1828 a Fk(-)395 1820 y Fn(\013)348 2007 y Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)160 1918 y Fn(\025)p Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)274 1922 y Fj(B)269 1899 y Fk(@)311 1940 y(@)335 1965 y(@)-42 b(R)515 1918 y Fn(\025)p Fi(\()p Fn(A)p Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))501 1899 y Fk(\000)460 1940 y(\000)435 1965 y(\000)g(\011)794 1839 y Fr(\()p Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fq(I)115 b(A)10 b Fm(\012)f Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fq(I)s Fr(\))p 1027 1829 V 1072 1828 a Fk(-)1060 1820 y Fn(\013)1013 2007 y Fq(A)f Fm(\012)h Fq(B)841 1918 y Fn(\032)p Fi(\()p Fn(A)p Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))934 1899 y Fk(@)975 1940 y(@)1000 1965 y(@)-42 b(R)1179 1918 y Fi(1)1196 1922 y Fj(A)1219 1918 y Fp(\012)p Fn(\032)p Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))1166 1899 y Fk(\000)1124 1940 y(\000)1099 1965 y(\000)g(\011)59 2063 y Fl(und)16 b(es)f(ist)f Fq(\025)p Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))f(=)e Fq(\032)p Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))p Fl(.)p eop %%Page: 71 76 71 75 bop 450 117 a Ft(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m(TEGORIEN) 357 b(71)109 225 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Zun)358 227 y(\177)358 225 y(ac)o(hst)14 b(b)q(emerk)o(en)g(wir,)e(da\031)g(der)i(Iden)o(tit) 1005 227 y(\177)1005 225 y(atsfunktor)f(Id)1243 231 y Fp(C)1277 225 y Fr(und)h(der)59 275 y(F)m(unktor)h Fq(I)f Fm(\012)d Fr(-)k(durc)o(h)h(den)g(nat)582 277 y(\177)581 275 y(urlic)o(hen)g(Isomorphism)o(us)d Fq(\025)i Fr(isomorph)f(sind.)h (Ins-)59 325 y(b)q(esondere)h(gilt)d(daher)h Fq(I)f Fm(\012)c Fq(f)17 b Fr(=)12 b Fq(I)g Fm(\012)e Fq(g)j Fr(=)-7 b Fm(\))11 b Fq(f)16 b Fr(=)c Fq(g)q Fr(.)i(In)g(dem)f(Diagramm)78 408 y(\(\()p Fq(I)g Fm(\012)d Fq(I)s Fr(\))f Fm(\012)h Fq(A)p Fr(\))f Fm(\012)h Fq(B)176 b Fr(\()p Fq(I)13 b Fm(\012)c Fr(\()p Fq(I)k Fm(\012)d Fq(A)p Fr(\)\))f Fm(\012)h Fq(B)p 415 398 149 2 v 522 397 a Fk(-)457 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Fr(\))278 b Fq(I)13 b Fm(\012)c Fr(\()p Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))p 612 730 254 2 v 823 729 a Fk(-)730 721 y Fi(1)78 906 y Fr(\()p Fq(I)k Fm(\012)c Fq(I)s Fr(\))h Fm(\012)g Fr(\()p Fq(A)f Fm(\012)h Fq(B)r Fr(\))672 b Fq(I)13 b Fm(\012)c Fr(\()p Fq(I)k Fm(\012)c Fr(\()p Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\)\))p 415 896 647 2 v 1020 895 a Fk(-)727 887 y Fn(\013)391 820 y(\032)p Fp(\012)p Fi(\(1)p Fp(\012)p Fi(1\))284 866 y Fk(\021)325 839 y(\021)367 811 y(\021)404 786 y(\021)-42 b(3)1023 821 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\025)1031 786 y Fk(Q)1072 814 y(Q)1114 841 y(Q)1151 866 y(Q)g(s)59 986 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren) 16 b(alle)g(T)m(eildiagramm)o(e,)e(bis)j(auf)g(das)g(rec)o(h)o(te)i(T)m (rap)q(ez.)e(Da)g(die)g(Mor-)59 1035 y(phismen)10 b(ab)q(er)h (Isomorphismen)e(sind,)h(k)o(omm)n(utiert)f(auc)o(h)i(das)f(rec)o(h)o (te)j(T)m(rap)q(ex,)d(also)59 1085 y(auc)o(h)k(das)g(b)q(ehauptete)i (Diagramm)o(.)59 1137 y(Die)23 b(Komm)o(utativi)o(t)405 1139 y(\177)405 1137 y(at)e(des)j(zw)o(eiten)h(Diagramm)o(s)c(ergibt)i (sic)o(h)h(durc)o(h)g(analoge)59 1187 y(Sc)o(hl)135 1189 y(\177)134 1187 y(usse.)59 1239 y(W)m(eiterhin)14 b(k)o(omm)n(utiert)e (das)i(folgende)f(Diagramm)307 1322 y Fq(I)g Fm(\012)c Fr(\()p Fq(I)k Fm(\012)d Fq(I)s Fr(\))134 b(\()p Fq(I)13 b Fm(\012)c Fq(I)s Fr(\))h Fm(\012)g Fq(I)p 517 1313 110 2 v 517 1312 a Fk(\033)561 1304 y Fn(\013)971 1322 y Fq(I)j Fm(\012)c Fr(\()p Fq(I)k Fm(\012)d Fq(I)s Fr(\))p 849 1313 V 917 1312 a Fk(-)893 1304 y Fn(\013)525 1490 y Fq(I)j Fm(\012)d Fq(I)404 1401 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\032)435 1382 y Fk(@)477 1424 y(@)502 1449 y(@)-42 b(R)681 1398 y Fn(\032)668 1382 y Fk(\000)626 1424 y(\000)601 1449 y(\000)g(\011)857 1490 y Fq(I)13 b Fm(\012)d Fq(I)736 1401 y Fn(\032)p Fp(\012)p Fi(1)767 1382 y Fk(@)809 1424 y(@)834 1449 y(@)-42 b(R)1013 1403 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\025)1000 1382 y Fk(\000)958 1424 y(\000)933 1449 y(\000)g(\011)727 1658 y Fq(I)612 1564 y Fn(\032)601 1548 y Fk(@)643 1590 y(@)668 1615 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y(ur)h(Morphismen)f Fq(f)28 b Fr(:)23 b Fq(I)j Fm(\000)-7 b(!)23 b Fq(M)j Fr(und)20 b Fq(g)25 b Fr(:)d Fq(I)27 b Fm(\000)-7 b(!)23 b Fq(N)i Fr(in)c(einer)59 2073 y(monoidalen)16 b(Kategorie)i Fm(C)i Fr(de\014nieren)f(wir)f(\()p Fq(f)f Fm(\012)12 b Fr(1)18 b(:)g Fq(N)23 b Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(M)e Fm(\012)d Fq(N)5 b Fr(\))18 b(:=)g(\()p Fq(f)f Fm(\012)p eop %%Page: 72 77 72 76 bop 59 117 a Ft(72)355 b(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m (TEGORIEN)59 225 y Fr(1)80 231 y Fn(I)99 225 y Fr(\))p Fq(\032)p Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))189 210 y Fp(\000)p Fi(1)251 225 y Fr(und)f(\(1)11 b Fm(\012)g Fq(g)17 b Fr(:)d Fq(M)21 b Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(M)g Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(\))16 b(:=)f(\(1)c Fm(\012)g Fq(g)q Fr(\))p Fq(\025)p Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))1065 210 y Fp(\000)p Fi(1)1111 225 y Fr(.)k(Zeigen)i(Sie,) f(da\031)59 275 y(das)e(Diagramm)561 336 y Fq(I)303 b(M)p 595 322 275 2 v 828 321 a Fk(-)723 307 y Fn(f)p 571 458 2 108 v 572 458 a Fk(?)538 408 y Fn(g)p 903 458 V 904 458 a Fk(?)921 411 y Fi(1)p 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(e)d(k)o(omm)n(utieren:)68 1163 y(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))10 b Fm(\012)f(F)t Fr(\()p Fq(N)c Fr(\)\))10 b Fm(\012)f(F)t Fr(\()p Fq(P)d Fr(\))141 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(\))k Fm(\012)g(F)t Fr(\()p Fq(P)d Fr(\))p 528 1154 117 2 v 603 1153 a Fk(-)557 1139 y Fn(\030)q Fp(\012)p Fi(1)1089 1163 y Fm(F)t Fr(\(\()p Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(\))k Fm(\012)g Fq(P)d Fr(\))p 1018 1154 59 2 v 1035 1153 a Fk(-)1039 1139 y Fn(\030)p 291 1290 2 108 v 292 1290 a Fk(?)254 1242 y Fn(\013)p 1246 1290 V 1246 1290 a Fk(?)1263 1243 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(\013)p Fi(\))68 1329 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)f Fr(\))10 b Fm(\012)f Fr(\()p Fm(F)t Fr(\()p Fq(N)c Fr(\))10 b Fm(\012)f(F)t Fr(\()p Fq(P)d Fr(\)\))141 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))k Fm(\012)h(F)t Fr(\()p Fq(N)k Fm(\012)c Fq(P)c Fr(\))p 528 1320 117 2 v 603 1319 a Fk(-)557 1305 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\030)1089 1329 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)14 b Fm(\012)c Fr(\()p Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(P)d Fr(\)\))p 1018 1320 59 2 v 1035 1319 a Fk(-)1039 1305 y Fn(\030)315 1408 y Fq(I)12 b Fm(\012)e(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))115 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))10 b Fm(\012)g(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))p 510 1398 92 2 v 560 1397 a Fk(-)519 1383 y Fn(\030)534 1387 y Fb(0)550 1383 y Fp(\012)p Fi(1)978 1408 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(I)13 b Fm(\012)d Fq(M)5 b Fr(\))p 875 1398 V 925 1397 a Fk(-)913 1383 y Fn(\030)683 1574 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)g Fr(\))473 1488 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(\025)p Fi(\))464 1447 y Fk(H)506 1468 y(H)547 1489 y(H)589 1509 y(H)630 1530 y(H)639 1534 y(H)-42 b(j)931 1490 y Fn(\025)970 1447 y Fk(\010)929 1468 y(\010)887 1489 y(\010)846 1509 y(\010)804 1530 y(\010)796 1534 y(\010)g(\031)315 1652 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))k Fm(\012)g Fq(I)119 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))10 b Fm(\012)f(F)t Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))p 510 1643 V 560 1642 a Fk(-)519 1628 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\030)577 1632 y Fb(0)978 1652 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)15 b Fm(\012)9 b Fq(I)s Fr(\))p 875 1643 V 925 1642 a Fk(-)913 1628 y Fn(\030)677 1818 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)c Fr(\))p Fq(:)476 1732 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(\032)p Fi(\))464 1692 y Fk(H)506 1712 y(H)547 1733 y(H)589 1754 y(H)630 1775 y(H)639 1779 y(H)-42 b(j)931 1728 y Fn(\032)970 1692 y Fk(\010)929 1712 y(\010)887 1733 y(\010)846 1754 y(\010)804 1775 y(\010)796 1779 y(\010)g(\031)59 1873 y Fr(W)m(enn)21 b(zus)241 1875 y(\177)241 1873 y(atzlic)o(h)g Fq(\030)j Fr(und)d Fq(\030)531 1879 y Fi(0)570 1873 y Fr(Isomorphismen)e(sind,)i (dann)g(hei\031t)g(der)g(F)m(unktor)59 1923 y Fl(monoidal)p Fr(.)f(Der)g(F)m(unktor)g(hei\031t)g Fl(strikt)g(monoidal)p Fr(,)g(w)o(enn)g Fq(\030)i Fr(und)e Fq(\030)1189 1929 y Fi(0)1228 1923 y Fr(Iden)o(tit)1350 1925 y(\177)1350 1923 y(ats-)59 1972 y(Morphismen)13 b(sind.)59 2023 y(Eine)h(nat)215 2025 y(\177)214 2023 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation)e Fq(\020)k Fr(:)c Fm(F)k(\000)-6 b(!)11 b(F)855 2008 y Fp(0)879 2023 y Fr(zwisc)o(hen)k(sc)o(h)o(w)o(ac)o(h)f(monoidalen)59 2073 y(F)m(unktoren)g(hei\031t)g Fl(monoidal)p Fr(,)g(w)o(enn)g(die)g (Diagramm)o(e)p eop %%Page: 73 78 73 77 bop 450 117 a Ft(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m(TEGORIEN) 357 b(73)113 295 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))k Fm(\012)h(F)t Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))265 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(\))p 391 285 241 2 v 590 284 a Fk(-)504 270 y Fn(\030)p 245 421 2 108 v 246 421 a Fk(?)213 375 y Fn(\020)p 743 421 V 744 421 a Fk(?)761 375 y Fn(\020)r Fp(\012)p Fn(\020)102 461 y Fm(F)136 446 y Fp(0)147 461 y Fr(\()p Fq(M)g Fr(\))k Fm(\012)h(F)309 446 y Fp(0)321 461 y Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))247 b Fm(F)672 446 y Fp(0)684 461 y Fr(\()p Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(N)5 b Fr(\))p 403 451 224 2 v 585 450 a Fk(-)501 482 y Fn(\030)517 470 y Fe(0)1139 212 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))1006 382 y Fq(I)1042 292 y Fn(\030)1057 296 y Fb(0)1046 338 y Fk(\000)1087 297 y(\000)1112 272 y(\000)-42 b(\022)1133 544 y Fm(F)1167 529 y Fp(0)1178 544 y Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))1042 458 y Fn(\030)1058 446 y Fe(0)1057 467 y Fb(0)1046 438 y Fk(@)1087 479 y(@)1112 504 y(@)g(R)p 1182 504 2 274 v 28 w(?)1199 375 y Fn(\020)59 582 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)59 667 y(In)17 b(monoidalen)e(Kategorien)j(k)n(ann)e(man)g(Begri\013e)i (wie)f(Algebra)g(und)h(Koalgebra)59 717 y(v)o(erallgemeinern.)12 b(Wir)i(de\014nieren)h(dazu)59 802 y Fo(Definition)h Fr(8.9)p Fo(.)k Fr(Sei)11 b Fm(C)h Fr(eine)f(monoidale)d(Kategorie.)j (Eine)g Fl(A)o(lgebr)n(a)e Fr(o)q(der)i(ein)g Fl(Mo-)59 851 y(noid)g Fr(in)g Fm(C)i Fr(ist)e(ein)g(Ob)r(jekt)h Fq(A)f Fr(zusammen)e(mit)g(einer)i(Multiplik)n(ation)e Fm(r)i Fr(:)g Fq(A)s Fm(\012)s Fq(A)h Fm(\000)-6 b(!)59 901 y Fq(A)p Fr(,)14 b(die)f(assoziativ)h(ist:)433 961 y Fq(A)c Fm(\012)f Fq(A)h Fm(\012)f Fq(A)261 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)p 640 949 237 2 v 835 948 a Fk(-)715 937 y Fi(id)c Fp(\012r)p 530 1085 2 108 v 531 1085 a Fk(?)444 1039 y Fp(r\012)p Fi(1)p 945 1085 V 946 1085 a Fk(?)962 1041 y Fp(r)474 1127 y Fq(A)k Fm(\012)f Fq(A)343 b(A)p 600 1115 319 2 v 876 1114 a Fk(-)745 1142 y Fp(r)59 1179 y Fr(und)14 b(einem)f(Einselemen)o(t)h Fq(\021)e Fr(:)f Fq(I)k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(A)p Fr(,)i(f)733 1181 y(\177)732 1179 y(ur)h(das)g(k)o(omm)o(uti)o(ert)356 1239 y Fq(I)f Fm(\012)d Fq(A)471 1228 y Fm(\030)471 1241 y Fr(=)515 1239 y Fq(A)558 1228 y Fm(\030)558 1241 y Fr(=)602 1239 y Fq(A)f Fm(\012)h Fq(I)187 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)p 717 1227 160 2 v 835 1226 a Fk(-)758 1212 y Fi(id)d Fp(\012)p Fn(\021)p 530 1405 2 150 v 531 1405 a Fk(?)442 1337 y Fn(\021)q Fp(\012)p Fi(id)p 945 1405 V 946 1405 a Fk(?)962 1340 y Fp(r)474 1446 y Fq(A)j Fm(\012)f Fq(A)337 b(A:)p 600 1435 313 2 v 871 1434 a Fk(-)742 1462 y Fp(r)765 1340 y Fi(id)589 1276 y Fk(H)630 1297 y(H)672 1318 y(H)713 1338 y(H)755 1359 y(H)796 1380 y(H)838 1401 y(H)846 1405 y(H)-42 b(j)59 1499 y Fr(Seien)17 b Fq(A)g Fr(und)g Fq(B)i Fr(Algebren)e(in)f Fm(C)r Fr(.)h(Ein)f Fl(A)o(lgebr)n(en-Morphismus)g Fq(f)21 b Fr(:)16 b Fq(A)g Fm(\000)-7 b(!)16 b Fq(B)j Fr(ist)59 1549 y(ein)14 b(Morphism)o(us)f(in)g Fm(C)r Fr(,)h(so)g(da\031)f(k)o(omm)o(uti)o(eren:)474 1608 y Fq(A)d Fm(\012)f Fq(A)300 b(B)11 b Fm(\012)f Fq(B)p 600 1597 275 2 v 833 1596 a Fk(-)705 1582 y Fn(f)s Fp(\012)p Fn(f)p 530 1733 2 108 v 531 1733 a Fk(?)463 1687 y Fp(r)491 1691 y Fj(A)p 945 1733 V 946 1733 a Fk(?)962 1687 y Fp(r)990 1691 y Fj(B)515 1776 y Fq(A)383 b(B)p 559 1763 359 2 v 875 1762 a Fk(-)728 1790 y Fn(f)59 1827 y Fr(und)727 1880 y Fq(I)619 2087 y(A)620 1973 y Fn(\021)637 1977 y Fj(A)703 1936 y Fk(\001)682 1978 y(\001)661 2019 y(\001)649 2044 y(\001)-21 b(\013)825 2087 y Fq(B)815 1973 y Fn(\021)832 1977 y Fj(B)753 1936 y Fk(A)773 1978 y(A)794 2019 y(A)807 2044 y(A)g(U)p 647 2074 183 2 v 788 2073 a(-)728 2059 y Fn(f)p eop %%Page: 74 79 74 78 bop 59 117 a Ft(74)355 b(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m (TEGORIEN)59 225 y Fo(Bemerkung)g Fr(8.10)p Fo(.)j Fr(O\013en)o(bar)e (ist)f(die)g(Komp)q(osition)f(v)o(on)g(zw)o(ei)i(Algebren-Mor-)59 275 y(phismen)d(wieder)i(ein)f(solc)o(her.)g(Eb)q(enso)h(ist)f(der)h (iden)o(tisc)o(he)g(Morphism)o(us)e(ein)h(Al-)59 325 y(gebren-Morphism)o(us.)c(Damit)f(erhalten)i(wir)g(die)f(Kategorie)h (Alg\()p Fm(C)r Fr(\))g(der)h(Algebren)59 374 y(in)f Fm(C)r Fr(.)59 455 y Fo(Definition)j Fr(8.11)p Fo(.)k Fr(Eine)c Fl(Ko)n(algebr)n(a)f Fr(o)q(der)h(ein)f Fl(Komonoid)i Fr(in)e(einer)h(monoidalen)59 504 y(Kategorie)j Fm(C)j Fr(ist)d(ein)g(Ob)r(jekt)h Fq(C)h Fr(zusammen)c(mit)h(einer)h(Kom)o (ultiplik)n(ati)o(on)d(\001)k(:)59 554 y Fq(C)14 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)g Fm(\012)f Fq(C)s Fr(,)j(die)h(k)o(oassoziativ)f(ist:) 514 612 y Fq(C)344 b(C)11 b Fm(\012)f Fq(C)p 559 600 317 2 v 834 599 a Fk(-)704 591 y Fi(\001)p 530 736 2 108 v 531 736 a Fk(?)487 692 y Fi(\001)p 945 736 V 946 736 a Fk(?)962 690 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(id)473 778 y Fq(C)i Fm(\012)d Fq(C)260 b(C)12 b Fm(\012)d Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)p 601 766 233 2 v 792 765 a Fk(-)674 793 y Fi(id)c Fp(\012)p Fi(\001)59 829 y Fr(und)14 b(einem)f(Ko)q (einselemen)o(t)h Fq(")e Fr(:)f Fq(C)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(I)s Fr(,)j(f)776 831 y(\177)775 829 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Fi(\001)495 1335 y Fe(C)p 945 1377 V 946 1377 a Fk(?)962 1331 y Fi(\001)989 1335 y Fe(D)473 1418 y Fq(C)12 b Fm(\012)d Fq(C)299 b(D)10 b Fm(\012)g Fq(D)p 601 1407 272 2 v 831 1406 a Fk(-)704 1434 y Fn(f)s Fp(\012)p Fn(f)59 1470 y Fr(und)618 1520 y Fq(C)176 b(D)p 663 1507 149 2 v 771 1506 a Fk(-)728 1492 y Fn(f)727 1728 y Fq(I)626 1614 y Fn(")642 1618 y Fe(C)649 1577 y Fk(A)670 1618 y(A)691 1660 y(A)703 1685 y(A)-21 b(U)815 1614 y Fn(")831 1618 y Fe(D)807 1577 y Fk(\001)786 1618 y(\001)765 1660 y(\001)753 1685 y(\001)g(\013)59 1794 y Fo(Bemerkung)17 b Fr(8.12)p Fo(.)j Fr(O\013en)o(bar)11 b(ist)f(die)g(Komp)q(osition)e(v)o(on)i(zw)o (ei)g(Koalgebren-Mor-)59 1844 y(phismen)k(wieder)i(ein)f(solc)o(her.)g (Eb)q(enso)h(ist)f(der)h(iden)o(tisc)o(he)g(Morphism)o(us)d(ein)i(Ko-) 59 1894 y(algebren-Morphism)o(us.)f(Damit)f(erhalten)j(wir)f(die)h (Kategorie)f(Koalg\()p Fm(C)r Fr(\))g(der)h(Ko-)59 1943 y(algebren)e(in)g Fm(C)r Fr(.)59 2023 y Fo(Bemerkung)j Fr(8.13)p Fo(.)j Fr(Die)10 b(Begri\013e)h(der)f(Bialgebra,)g (Hopf-Algebra)f(und)h(Komo)q(dul-)59 2073 y(Algebra)15 b(k)238 2075 y(\177)238 2073 y(onnen)h(wir)e(nic)o(h)o(t)i(ohne)f(w)o (eiteres)i(v)o(erallgemeinern,)c(da)i(dazu)h(auf)e(dem)p eop %%Page: 75 80 75 79 bop 450 117 a Ft(VI)q(I)q(I.)15 b(MONOID)o(ALE)i(KA)m(TEGORIEN) 357 b(75)59 225 y Fr(T)m(ensorpro)q(dukt)16 b(v)o(on)e(zw)o(ei)i (Algebren)f(wieder)h(eine)g(Multiplik)n(ation)c(de\014niert)k(sein)59 275 y(m)o(u\031,)g(w)o(ozu)i(eine)h(V)m(ertausc)o(h)o(ung)g(der)g(T)m (ensor)g(F)m(aktoren)f(b)q(en)1088 277 y(\177)1088 275 y(otigt)h(wird.)e(Solc)o(he)59 325 y(V)m(ertausc)o(h)o(ungen)i(sind)g (un)o(ter)g(dem)e(Namen)g(einer)i(Symmetrie)d(o)q(der)j(Quasisym-)59 374 y(metrie)13 b(b)q(ek)n(ann)o(t)h(und)g(w)o(erden)h(in)f(einem)f(sp) 779 376 y(\177)779 374 y(ateren)i(Kapitel)f(b)q(espro)q(c)o(hen.)p eop %%Page: 76 81 76 80 bop 609 682 a Fr(KAPITEL)22 b(IX)560 781 y Fv(Duale)c(Ob)s(jekte) 59 972 y Fr(Die)10 b(Existenz)i(dualer)f(Darstellungen)f(b)q(edeutet)j (eine)e(gewisse)g(Endlic)o(hk)o(eit)f(v)o(on)g(ge-)59 1022 y(geb)q(enen)15 b(Darstellungen.)d(Sie)i(en)o(tspric)o(h)o(t)g (der)g(Bildung)e(dualer)h(V)m(ektorr)1242 1024 y(\177)1242 1022 y(aume)g(v)o(on)59 1072 y(endlic)o(h)f(dimensionalen)f(V)m(ektorr) 605 1074 y(\177)605 1072 y(aumen.)g(Da)h(wir)g(n)o(un)g(ein)h (allgemeineres)e(T)m(ensor-)59 1122 y(pro)q(dukt)j(b)q(esitzen,)h(m)427 1124 y(\177)426 1122 y(ussen)f(wir)f(diesen)i(Begri\013)f(im)e(Rahmen)h (des)h(neuen)h(T)m(ensor-)59 1171 y(pro)q(duktes)g(genauer)g(un)o (tersuc)o(hen.)59 1275 y Fo(Definition)h Fr(9.1)p Fo(.)k Fr(Sei)c(\()p Fm(C)r Fq(;)7 b Fm(\012)p Fr(\))16 b(eine)g(monoidale)e (Kategorie)i(und)g Fq(M)k Fm(2)14 b(C)k Fr(ein)e(Ob-)59 1325 y(jekt.)9 b(Ein)g(Ob)r(jekt)h Fq(M)402 1310 y Fp(\003)433 1325 y Fm(2)h(C)g Fr(zusammen)d(mit)g(einem)g(Morphism)o(us)g(ev)13 b(:)e Fq(M)1243 1310 y Fp(\003)1262 1325 y Fm(\012)p Fq(M)16 b Fm(\000)-6 b(!)59 1375 y Fq(I)14 b Fr(hei\031t)c(ein)h Fl(Links-Dual)g Fr(f)478 1377 y(\177)477 1375 y(ur)f Fq(M)5 b Fr(,)10 b(w)o(enn)h(es)g(einen)g(Morphism)o(us)e(db)j(:)f Fq(I)k Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(M)7 b Fm(\012)r Fq(M)1398 1360 y Fp(\003)59 1425 y Fr(in)13 b Fm(C)k Fr(so)d(gibt,)e(da\031)390 1534 y(\()p Fq(M)463 1511 y Fi(db)6 b Fp(\012)p Fi(1)472 1534 y Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(M)700 1519 y Fp(\003)728 1534 y Fm(\012)f Fq(M)826 1511 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(ev)830 1534 y Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(M)5 b Fr(\))12 b(=)g(1)1050 1540 y Fn(M)347 1597 y Fr(\()p Fq(M)408 1582 y Fp(\003)439 1574 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)445 1597 y Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(M)574 1582 y Fp(\003)603 1597 y Fm(\012)9 b Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(M)785 1582 y Fp(\003)815 1574 y Fi(ev)c Fp(\012)p Fi(1)822 1597 y Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(M)952 1582 y Fp(\003)971 1597 y Fr(\))12 b(=)g(1)1064 1603 y Fn(M)1099 1595 y Fe(\003)1118 1597 y Fq(:)59 1699 y Fr(Eine)k(monoidale)d(Kategorie)j(hei\031t)g Fl(links)g(starr)p Fr(,)e(w)o(enn)i(jedes)h(Ob)r(jekt)g Fq(M)i Fm(2)14 b(C)k Fr(ein)59 1749 y(Links-Dual)13 b(b)q(esitzt.)59 1803 y(Symmetrisc)o(h)j(de\014nieren)i(wir)g(wie)f(folgt:)f(ein)h(Ob)r (jekt)980 1788 y Fp(\003)999 1803 y Fq(M)23 b Fm(2)17 b(C)i Fr(zusammen)d(mit)59 1853 y(einem)e(Morphism)o(us)f(ev)h(:)e Fq(M)j Fm(\012)591 1837 y Fp(\003)610 1853 y Fq(M)i Fm(\000)-6 b(!)12 b Fq(I)18 b Fr(hei\031t)d(ein)f Fl(R)n(e)n(chts-Dual)h Fr(f)1200 1855 y(\177)1199 1853 y(ur)g Fq(M)5 b Fr(,)14 b(w)o(enn)59 1902 y(es)h(einen)f(Morphism)o(us)f(db)f(:)f Fq(I)k Fm(\000)-7 b(!)644 1887 y Fp(\003)663 1902 y Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(M)18 b Fr(in)c Fm(C)i Fr(so)e(gibt,)f(da\031)390 2012 y(\()p Fq(M)463 1989 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)469 2012 y Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(M)d Fm(\012)649 1997 y Fp(\003)668 2012 y Fq(M)g Fm(\012)c Fq(M)820 1989 y Fi(ev)c Fp(\012)p Fi(1)827 2012 y Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(M)5 b Fr(\))12 b(=)g(1)1050 2018 y Fn(M)347 2075 y Fr(\()363 2060 y Fp(\003)382 2075 y Fq(M)439 2051 y Fi(db)6 b Fp(\012)p Fi(1)448 2075 y Fm(\000)-7 b(!)535 2060 y Fp(\003)554 2075 y Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(M)k Fm(\012)745 2060 y Fp(\003)764 2075 y Fq(M)821 2051 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(ev)825 2075 y Fm(\000)-7 b(!)907 2060 y Fp(\003)926 2075 y Fq(M)5 b Fr(\))12 b(=)g(1)1064 2073 y Fe(\003)1081 2081 y Fn(M)1118 2075 y Fq(:)721 2173 y Ft(76)p eop %%Page: 77 82 77 81 bop 550 117 a Ft(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)457 b(77)59 225 y Fr(Eine)14 b(monoidale)e(Kategorie)j(hei\031t)f Fl(r)n(e)n(chts)g(starr)p Fr(,)f(w)o(enn)h(jedes)h(Ob)r(jekt)g Fq(M)i Fm(2)12 b(C)k Fr(ein)59 275 y(Rec)o(h)o(ts-Dual)e(b)q(esitzt.)59 358 y Fo(Bemerkung)j Fr(9.2)p Fo(.)j Fr(W)m(enn)g(\()p Fq(M)585 343 y Fp(\003)604 358 y Fq(;)7 b Fr(ev)q Fq(;)g Fr(db)o(\))21 b(ein)g(Links-Dual)e(zu)i Fq(M)26 b Fr(ist,)20 b(dann)g(ist)59 408 y(o\013en)o(bar)14 b(\()p Fq(M)r(;)7 b Fr(ev)q Fq(;)g Fr(db\))14 b(ein)g(Rec)o(h)o(ts-Dual)f(zu)i Fq(M)834 393 y Fp(\003)852 408 y Fr(.)59 491 y Fo(Lemma)i Fr(9.3)p Fo(.)j Fl(Sei)h Fr(\()p Fq(M)438 476 y Fp(\003)457 491 y Fq(;)7 b Fr(ev)q Fq(;)g Fr(db)o(\))22 b Fl(ein)g(Links-Dual)g(zu) f Fq(M)5 b Fl(.)21 b(Dann)i(gibt)e(es)h(einen)59 540 y(nat)117 542 y(\177)117 540 y(urlichen)15 b(Isomorphismus)424 622 y Fr(Mor)499 628 y Fp(C)520 622 y Fr(\()p Fl(-)10 b Fm(\012)f Fq(M)r(;)e Fl(-)p Fr(\))706 611 y Fm(\030)706 624 y Fr(=)749 622 y(Mor)824 628 y Fp(C)846 622 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g Fl(-)i Fm(\012)g Fq(M)1006 605 y Fp(\003)1025 622 y Fr(\))p Fq(;)59 704 y Fl(d.h.)15 b(der)h(F)m(unktor)f(-)10 b Fm(\012)g Fq(M)17 b Fr(:)c Fm(C)i(\000)-7 b(!)12 b(C)18 b Fl(ist)d(linksadjungiert)g(zum)h(F)m(unktor)g(-)9 b Fm(\012)h Fq(M)1374 689 y Fp(\003)1406 704 y Fr(:)59 754 y Fm(C)k(\000)-7 b(!)11 b(C)r Fl(.)109 840 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)c(geb)q(en)h(die)g(Einheit)f(und)g(die)g(Ko)q(einheit)h(an.)f (Dazu)g(de\014nieren)59 890 y(wir)k(\010\()p Fq(A)p Fr(\))k(:=)e(1)341 896 y Fn(A)382 890 y Fm(\012)14 b Fr(db)23 b(:)f Fq(A)h Fm(\000)-6 b(!)22 b Fq(A)14 b Fm(\012)g Fq(M)19 b Fm(\012)14 b Fq(M)916 875 y Fp(\003)955 890 y Fr(und)21 b(\011\()p Fq(B)r Fr(\))j(:=)f(1)1254 896 y Fn(B)1296 890 y Fm(\012)14 b Fr(ev)24 b(:)59 940 y Fq(B)11 b Fm(\012)e Fq(M)187 925 y Fp(\003)214 940 y Fm(\012)g Fq(M)17 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)r Fr(.)j(O\013en)o(bar)g(sind)f(dieses)i(nat)885 942 y(\177)884 940 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformationen.)d(Da)86 1052 y(\()p Fq(A)e Fm(\012)h Fq(M)263 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)709 1037 y Fp(\003)737 1052 y Fm(\012)h Fq(M)p 241 1043 234 2 v 433 1042 a Fk(-)294 1026 y Fp(F)s Fi(\010\()p Fn(A)p Fi(\)=)263 1070 y(1)280 1074 y Fj(A)303 1070 y Fp(\012)p Fi(db)c Fp(\012)p Fi(1)414 1074 y Fj(M)1083 1052 y Fq(A)j Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\))11 b(=)h(1)1302 1058 y Fn(A)p Fp(\012)p Fn(M)p 836 1043 235 2 v 1029 1042 a Fk(-)889 1026 y Fi(\011)p Fp(F)s Fi(\()p Fn(A)p Fi(\)=)867 1069 y(1)884 1073 y Fj(A)907 1069 y Fp(\012)p Fi(1)950 1073 y Fj(M)981 1069 y Fp(\012)p Fi(ev)59 1125 y Fr(und)75 1237 y(\()p Fq(B)g Fm(\012)e Fq(M)221 1222 y Fp(\003)476 1237 y Fq(B)i Fm(\012)d Fq(M)605 1222 y Fp(\003)633 1237 y Fm(\012)h Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)815 1222 y Fp(\003)p 252 1228 213 2 v 422 1227 a Fk(-)296 1211 y Fi(\010)p Fp(G)r Fi(\()p Fn(B)q Fi(\)=)256 1255 y(1)273 1259 y Fj(B)297 1255 y Fp(\012)p Fi(1)340 1261 y Fj(M)369 1255 y Fe(\003)t Fp(\012)p Fi(db)1063 1237 y Fq(B)i Fm(\012)f Fq(M)1192 1222 y Fp(\003)1211 1237 y Fr(\))h(=)h(1)1303 1243 y Fn(B)q Fp(\012)p Fn(M)1390 1235 y Fe(\003)p 846 1228 204 2 v 1009 1227 a Fk(-)886 1211 y Fp(G)r Fi(\011\()p Fn(B)q Fi(\)=)850 1254 y(1)867 1258 y Fj(B)891 1254 y Fp(\012)p Fi(ev)6 b Fp(\012)p Fi(1)998 1260 y Fj(M)1027 1254 y Fe(\003)59 1310 y Fr(gelten,)14 b(ist)g(das)g(Lemma)d(durc)o(h)j(F)m(olgerung)g(3.17)f(b)q(ewiesen.)59 1361 y(Es)f(gilt)e(ab)q(er)i(auc)o(h)g(die)f(Umk)o(ehrung.)f(W)m(enn)i (-)t Fm(\012)t Fq(M)k Fr(linksadjungiert)11 b(zu)h(-)t Fm(\012)t Fq(M)1331 1346 y Fp(\003)1362 1361 y Fr(ist,)59 1411 y(dann)i(ergeb)q(en)h(die)f(Einheit)f(\010)h(einen)g(Morphism)o (us)f(db)e(:=)h(\010\()p Fq(I)s Fr(\))g(:)f Fq(I)k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(M)i Fm(\012)c Fq(M)1398 1396 y Fp(\003)59 1461 y Fr(und)17 b(die)g(Ko)q(einheit)g(\011)g(einen)g(Morphism)o(us)f (ev)h(:=)f(\011\()p Fq(I)s Fr(\))h(:)f Fq(M)1099 1445 y Fp(\003)1129 1461 y Fm(\012)c Fq(M)21 b Fm(\000)-7 b(!)16 b Fq(I)k Fr(mit)59 1510 y(den)14 b(gew)207 1512 y(\177)206 1510 y(unsc)o(h)o(ten)i(Eigensc)o(haften.)p 683 1488 29 2 v 683 1512 2 25 v 709 1512 V 683 1514 29 2 v 59 1593 a Fo(F)o(olger)o(ung)g Fr(9.4)p Fo(.)k Fl(Wenn)14 b(-)t Fm(\012)t Fq(M)j Fr(:)11 b Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(C)k Fl(linksadjungiert)d(zu)h(-)t Fm(\012)t Fq(M)1225 1578 y Fp(\003)1256 1593 y Fr(:)e Fm(C)j(\000)-7 b(!)11 b(C)59 1643 y Fl(ist,)j(dann)i(ist)e Fq(M)337 1628 y Fp(\003)371 1643 y Fl(ein)h(Links-Dual)h(zu)f Fq(M)5 b Fl(.)59 1730 y Fo(F)o(olger)o(ung)16 b Fr(9.5)p Fo(.)k Fl(Wenn)f Fq(M)j Fl(ein)17 b(Links-Dual)h(b)n(esitzt,)e(dann)j(ist)e (dieses)g(bis)g(auf)59 1779 y(Isomorphie)e(eindeutig)g(b)n(estimmt.)109 1866 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Seien)15 b(\()p Fq(M)457 1851 y Fp(\003)476 1866 y Fq(;)7 b Fr(ev)p Fq(;)g Fr(db\))14 b(und)f(\()p Fq(M)773 1851 y Fi(!)785 1866 y Fq(;)7 b Fr(db)849 1847 y Fi(!)861 1866 y Fq(;)g Fr(ev)920 1851 y Fi(!)932 1866 y Fr(\))14 b(Links-Duale)e(zu)j Fq(M)5 b Fr(.)13 b(Dann)59 1916 y(sind)h(die)h(F)m(unktoren)g(-)9 b Fm(\012)h Fq(M)526 1901 y Fp(\003)559 1916 y Fr(und)15 b(-)9 b Fm(\012)h Fq(M)753 1901 y Fi(!)779 1916 y Fr(nac)o(h)k(Lemma)e (3.13)h(isomorph.)f(Insb)q(e-)59 1966 y(sondere)h(gilt)e Fq(M)324 1951 y Fp(\003)354 1955 y Fm(\030)354 1968 y Fr(=)398 1966 y Fq(I)e Fm(\012)c Fq(M)507 1951 y Fp(\003)537 1955 y Fm(\030)537 1968 y Fr(=)581 1966 y Fq(I)k Fm(\012)c Fq(M)690 1951 y Fi(!)713 1955 y Fm(\030)713 1968 y Fr(=)756 1966 y Fq(M)801 1951 y Fi(!)813 1966 y Fr(.)11 b(W)m(enn)g(man)g(die)g (Konstruktion)h(des)59 2015 y(Isomorphism)o(us)i(genau)h(v)o(erfolgt,)g (so)h(ergibt)g(sic)o(h)g(sogar,)f(da\031)h(\(ev)1151 2000 y Fi(!)1169 2015 y Fm(\012)p Fr(1\)\(1)11 b Fm(\012)g Fr(db\))k(:)59 2065 y Fq(M)104 2050 y Fi(!)127 2065 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)250 2050 y Fi(!)271 2065 y Fm(\012)e Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(M)453 2050 y Fp(\003)483 2065 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(M)607 2050 y Fp(\003)639 2065 y Fr(der)k(gegeb)q(ene)g(Isomorphism)o(us)d(ist.)p 1269 2042 V 1269 2067 2 25 v 1295 2067 V 1269 2069 29 2 v eop %%Page: 78 83 78 82 bop 59 117 a Ft(78)455 b(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)59 225 y Fo(F)o(olger)o(ung)g Fr(9.6)p Fo(.)k Fl(Sei)12 b Fr(\()p Fq(M)517 210 y Fp(\003)536 225 y Fq(;)7 b Fr(ev)p Fq(;)g Fr(db\))12 b Fl(ein)g(Links-Dual)g(zu)g Fq(M)5 b Fl(.)11 b(Dann)i(gibt)e(es)h(einen)59 275 y(nat)117 277 y(\177)117 275 y(urlichen)j(Isomorphismus)423 363 y Fr(Mor)498 369 y Fp(C)519 363 y Fr(\()p Fq(M)580 346 y Fp(\003)608 363 y Fm(\012)10 b Fl(-)p Fq(;)d Fl(-)o Fr(\))726 352 y Fm(\030)726 365 y Fr(=)770 363 y(Mor)845 369 y Fp(C)866 363 y Fr(\()p Fl(-)p Fq(;)g(M)14 b Fm(\012)9 b Fl(-)p Fr(\))p Fq(;)59 451 y Fl(d.h.)15 b(der)h(F)m(unktor)f Fq(M)417 436 y Fp(\003)446 451 y Fm(\012)10 b Fl(-)j Fr(:)f Fm(C)j(\000)-7 b(!)12 b(C)18 b Fl(ist)d(linksadjungiert)g(zum)h (F)m(unktor)g Fq(M)e Fm(\012)c Fl(-)j Fr(:)59 501 y Fm(C)h(\000)-7 b(!)11 b(C)r Fl(.)109 598 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)d(hatten)h(b)q (emerkt,)e(da\031)h(\()p Fq(M)r(;)7 b Fr(ev)q Fq(;)g Fr(db\))17 b(ein)g(Rec)o(h)o(ts-Dual)g(zu)g Fq(M)1398 583 y Fp(\003)59 648 y Fr(ist.)c(Dann)h(l)253 650 y(\177)253 648 y(a\031t)f(sic)o(h)h(ab)q(er)h(Lemma)c(9.3)i(unmittelbar)f(an)o(w)o (enden.)p 1174 625 29 2 v 1174 650 2 25 v 1200 650 V 1174 652 29 2 v 59 738 a Fo(Definition)k Fr(9.7)p Fo(.)k Fr(Seien)i(\()p Fq(M)558 723 y Fp(\003)577 738 y Fq(;)7 b Fr(ev)636 744 y Fn(M)673 738 y Fq(;)g Fr(db)738 744 y Fn(M)774 738 y Fr(\))22 b(und)f(\()p Fq(N)956 723 y Fp(\003)975 738 y Fq(;)7 b Fr(ev)1034 744 y Fn(N)1066 738 y Fq(;)g Fr(db)1130 744 y Fn(N)1162 738 y Fr(\))21 b(Links-Duale)59 788 y(v)o(on)d Fq(M)23 b Fr(bzw.)18 b Fq(N)5 b Fr(.)17 b(Zu)i(jedem)e(Morphism)o(us)g Fq(f)23 b Fr(:)c Fq(M)k Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(N)23 b Fr(de\014nieren)d(wir)e (den)59 838 y Fl(tr)n(ansp)n(onierten)d(Morphismus)197 923 y Fr(\()p Fq(f)237 908 y Fp(\003)268 923 y Fr(:)c Fq(N)329 908 y Fp(\003)360 923 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)483 908 y Fp(\003)502 923 y Fr(\))h(:=)197 988 y(\()p Fq(N)251 973 y Fp(\003)281 964 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)360 968 y Fj(M)303 988 y Fm(\000)-7 b(!)33 b Fq(N)441 973 y Fp(\003)469 988 y Fm(\012)10 b Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)651 973 y Fp(\003)682 962 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(f)s Fp(\012)p Fi(1)700 988 y Fm(\000)-6 b(!)30 b Fq(N)836 973 y Fp(\003)864 988 y Fm(\012)9 b Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(M)1039 973 y Fp(\003)1069 964 y Fi(ev)1102 968 y Fj(N)1134 964 y Fp(\012)p Fi(1)1090 988 y Fm(\000)-7 b(!)31 b Fq(M)1233 973 y Fp(\003)1252 988 y Fr(\))p Fq(:)59 1076 y Fr(Mit)20 b(dieser)h(De\014nition)e(v)o (erh)546 1078 y(\177)546 1076 y(alt)h(sic)o(h)g(die)g(Bildung)g(v)o(on) f(Links-Dualen)g(wie)h(ein)59 1126 y(k)o(on)o(tra)o(v)n(arian)o(ter)13 b(F)m(unktor,)g(denn)i(es)f(gilt)59 1223 y Fo(Lemma)j Fr(9.8)p Fo(.)j Fl(Zu)15 b Fq(M)r(;)7 b(N)r(;)g(P)21 b Fl(seien)15 b(Links-Duale)g Fr(\()p Fq(M)925 1208 y Fp(\003)944 1223 y Fq(;)7 b Fr(ev)1003 1229 y Fn(M)1040 1223 y Fq(;)g Fr(db)1105 1229 y Fn(M)1142 1223 y Fr(\))p Fl(,)59 1273 y Fr(\()p Fq(N)113 1258 y Fp(\003)132 1273 y Fq(;)g Fr(ev)192 1279 y Fn(N)223 1273 y Fq(;)g Fr(db)288 1279 y Fn(N)319 1273 y Fr(\))15 b Fl(und)h Fr(\()p Fq(P)481 1258 y Fp(\003)499 1273 y Fq(;)7 b Fr(ev)559 1279 y Fn(P)586 1273 y Fq(;)g Fr(db)651 1279 y Fn(P)679 1273 y Fr(\))15 b Fl(ge)n(geb)n(en.)59 1325 y(1\))g(Es)g(ist)f Fr(\(1)267 1331 y Fn(M)304 1325 y Fr(\))320 1310 y Fp(\003)351 1325 y Fr(=)e(1)416 1331 y Fn(M)451 1323 y Fe(\003)470 1325 y Fl(.)59 1377 y(2\))j(Seien)h Fq(f)g Fr(:)11 b Fq(M)16 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(N)19 b Fl(und)d Fq(g)d Fr(:)e Fq(N)16 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(P)20 b Fl(ge)n(geb)n(en.)15 b(Dann)h(ist)f Fr(\()p Fq(g)q(f)t Fr(\))1195 1362 y Fp(\003)1227 1377 y Fr(=)d Fq(f)1295 1362 y Fp(\003)1314 1377 y Fq(g)1335 1362 y Fp(\003)1355 1377 y Fl(.)109 1474 y Fo(Beweis.)20 b Fr(1\))14 b(Es)h(ist)f(\(1)492 1480 y Fn(M)528 1474 y Fr(\))544 1459 y Fp(\003)575 1474 y Fr(=)e(\(ev)c Fm(\012)p Fr(1\)\(1)h Fm(\012)h Fr(1)f Fm(\012)g Fr(1\)\(1)g Fm(\012)h Fr(db\))h(=)h(1)1174 1480 y Fn(M)1209 1472 y Fe(\003)1228 1474 y Fr(.)59 1526 y(2\))i(Das)f(folgende)h(Diagramm)c(k)o(omm)n (utiert:)384 1614 y Fq(M)194 b(N)14 b Fm(\012)9 b Fq(N)744 1599 y Fp(\003)772 1614 y Fm(\012)h Fq(M)p 441 1602 165 2 v 564 1601 a Fk(-)467 1589 y Fi(db)504 1593 y Fj(N)536 1589 y Fp(\012)p Fi(1)p 405 1738 2 108 v 406 1738 a Fk(?)423 1691 y Fn(f)p 737 1738 V 738 1738 a Fk(?)755 1691 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)p Fn(f)387 1780 y Fq(N)201 b(N)14 b Fm(\012)c Fq(N)748 1765 y Fp(\003)776 1780 y Fm(\012)f Fq(N)p 437 1768 172 2 v 567 1767 a Fk(-)467 1755 y Fi(db)504 1759 y Fj(N)536 1755 y Fp(\012)p Fi(1)1051 1780 y Fq(N)p 868 1768 V 997 1767 a Fk(-)902 1755 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(ev)977 1759 y Fj(N)p 737 1904 2 108 v 738 1904 a Fk(?)755 1857 y Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p 1069 1904 V 1070 1904 a Fk(?)1087 1854 y Fn(g)624 1946 y Fq(P)14 b Fm(\012)c Fq(N)745 1931 y Fp(\003)773 1946 y Fm(\012)g Fq(N)206 b(P)p 865 1934 177 2 v 1000 1933 a Fk(-)902 1921 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(ev)977 1925 y Fj(N)59 2023 y Fr(Also)11 b(gilt)e Fq(g)q(f)17 b Fr(=)12 b(\(1)s Fm(\012)s Fr(ev)438 2029 y Fn(N)470 2023 y Fr(\)\()p Fq(g)5 b Fm(\012)s Fr(1)s Fm(\012)s Fq(f)t Fr(\)\(db)725 2029 y Fn(N)763 2023 y Fm(\012)p Fr(1\).)11 b(Daher)g(k)o(omm)n(utiert)e(das)i (folgende)59 2073 y(Diagramm)o(:)p eop %%Page: 79 84 79 83 bop 550 117 a Ft(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)457 b(79)49 196 y Fq(P)82 181 y Fp(\003)448 196 y Fq(P)481 181 y Fp(\003)509 196 y Fm(\012)10 b Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(N)677 181 y Fp(\003)p 113 184 324 2 v 395 183 a Fk(-)235 172 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)866 196 y Fq(P)899 181 y Fp(\003)927 196 y Fm(\012)g Fq(P)15 b Fm(\012)9 b Fq(N)1089 181 y Fp(\003)p 708 184 146 2 v 812 183 a Fk(-)730 170 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)p 74 362 2 150 v 74 362 a Fk(?)91 296 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)p 571 362 V 572 362 a Fk(?)589 296 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)p 986 466 2 254 v 987 466 a Fk(?)1004 347 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)-56 404 y Fq(P)-23 388 y Fp(\003)4 404 y Fm(\012)h Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)186 388 y Fp(\003)343 404 y Fq(P)376 388 y Fp(\003)404 404 y Fm(\012)g Fq(N)15 b Fm(\012)9 b Fq(N)572 388 y Fp(\003)600 404 y Fm(\012)h Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)782 388 y Fp(\003)p 218 392 114 2 v 290 391 a Fk(-)211 379 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)d Fp(\012)p Fi(1)761 507 y Fq(P)794 492 y Fp(\003)822 507 y Fm(\012)j Fq(P)15 b Fm(\012)9 b Fq(N)984 492 y Fp(\003)1012 507 y Fm(\012)h Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)1194 492 y Fp(\003)808 449 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)688 430 y Fk(X)730 441 y(X)771 451 y(X)813 462 y(X)829 466 y(X)-42 b(z)p 74 569 2 150 v 74 569 a(?)91 502 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(g)q(f)s Fp(\012)p Fi(1)-50 611 y Fq(P)-17 596 y Fp(\003)10 611 y Fm(\012)10 b Fq(P)15 b Fm(\012)9 b Fq(M)180 596 y Fp(\003)349 611 y Fq(P)382 596 y Fp(\003)410 611 y Fm(\012)h Fq(P)k Fm(\012)c Fq(N)573 596 y Fp(\003)601 611 y Fm(\012)g Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(M)776 596 y Fp(\003)p 211 599 127 2 v 211 598 a Fk(\033)213 587 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(ev)d Fp(\012)p Fi(1)808 554 y(1)p Fp(\012)p Fn(f)s Fp(\012)p Fi(1)829 534 y Fk(\030)788 544 y(\030)746 555 y(\030)705 565 y(\030)688 569 y(\030)-42 b(9)p 986 777 2 254 v 987 777 a(?)1004 658 y Fi(ev)6 b Fp(\012)p Fi(1)p 74 777 2 150 v 74 777 a Fk(?)91 710 y Fi(ev)g Fp(\012)p Fi(1)p 571 777 V 572 777 a Fk(?)589 710 y Fi(ev)g Fp(\012)p Fi(1)42 818 y Fq(M)87 803 y Fp(\003)442 818 y Fq(N)480 803 y Fp(\003)508 818 y Fm(\012)k Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(M)683 803 y Fp(\003)p 118 807 312 2 v 118 806 a Fk(\033)236 794 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(ev)854 818 y Fq(N)892 803 y Fp(\003)920 818 y Fm(\012)g Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(M)1102 803 y Fp(\003)p 715 807 127 2 v 715 806 a Fk(\033)726 792 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(f)s Fp(\012)p Fi(1)p 571 569 2 150 v 572 569 a Fk(?)366 502 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(g)q Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)p Fn(f)s Fp(\012)p Fi(1)1374 509 y Fq(N)1412 494 y Fp(\003)1220 347 y Fi(ev)d Fp(\012)p Fi(1)1026 244 y Fk(Z)1067 275 y(Z)1109 306 y(Z)1150 337 y(Z)1192 368 y(Z)1233 399 y(Z)1275 431 y(Z)1316 462 y(Z)1322 466 y(Z)-42 b(~)1220 659 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(db)1322 555 y Fk(\032)1280 586 y(\032)1239 617 y(\032)1197 648 y(\032)1156 679 y(\032)1114 711 y(\032)1073 742 y(\032)1031 773 y(\032)1026 777 y(\032)g(=)p 101 834 29 2 v 101 859 2 25 v 127 859 V 101 861 29 2 v 64 929 a Fo(\177)59 937 y(Ubung)16 b Fr(9.9)p Fo(.)k Fr(a\))11 b(Bestimmen)f(Sie)h(alle)f(Ob)r (jekte)j Fq(M)5 b Fr(,)10 b(die)h(ein)g(Links-Dual)f(b)q(esitzen,)59 987 y(in)j(der)i(Kategorie)f(der)h Ff(N)p Fr(-graduierten)d(V)m(ektorr) 842 989 y(\177)842 987 y(aume.)59 1038 y(b\))j(Bestimmen)e(Sie)i(alle)f (Ob)r(jekte)i Fq(M)5 b Fr(,)14 b(die)h(ein)f(Links-Dual)g(b)q(esitzen,) i(in)e(der)h(Ka-)59 1088 y(tegorie)f(der)h(Kettenk)o(omplexe)f Ff(K)p Fr(-Komp.)59 1138 y(c\))i(Bestimmen)d(Sie)j(alle)e(Ob)r(jekte)i Fq(M)5 b Fr(,)15 b(die)g(ein)g(Links-Dual)f(b)q(esitzen,)i(in)f(der)g (Ka-)59 1188 y(tegorie)f(der)h(Kok)o(ettenk)o(omplexe)e Ff(K)q Fr(-Kok)o(omp.)59 1239 y(d\))f(Sei)g(\()p Fq(M)236 1224 y Fp(\003)255 1239 y Fq(;)7 b Fr(ev)g(db\))12 b(ein)g(Links-Dual)e (zu)i Fq(M)5 b Fr(.)11 b(Zeigen)i(Sie,)e(da\031)g(db)h(:)f Fq(I)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)f Fm(\012)5 b Fq(M)1398 1224 y Fp(\003)59 1289 y Fr(durc)o(h)20 b Fq(M)5 b Fr(,)19 b Fq(M)302 1273 y Fp(\003)341 1289 y Fr(und)h(ev)g(eindeutig)g(b)q (estimm)o(t)d(ist.)i(\(Eindeutigk)o(eit)h(der)g(dualen)59 1338 y(Basis\))59 1389 y(e\))13 b(Sei)f(\()p Fq(M)232 1374 y Fp(\003)252 1389 y Fq(;)7 b Fr(ev)g(db\))12 b(ein)h(Links-Dual)e (zu)i Fq(M)5 b Fr(.)12 b(Zeigen)h(Sie,)f(da\031)g(ev)g(:)f Fq(M)1197 1374 y Fp(\003)1222 1389 y Fm(\012)6 b Fq(M)17 b Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(I)59 1439 y Fr(durc)o(h)k Fq(M)5 b Fr(,)13 b Fq(M)291 1424 y Fp(\003)324 1439 y Fr(und)h(db)f(eindeutig) h(b)q(estimm)o(t)e(ist.)59 1520 y Fo(F)o(olger)o(ung)k Fr(9.10)p Fo(.)k Fl(Seien)30 b Fq(M)r(;)7 b(N)35 b Fl(mit)29 b(Links-Dualen)i Fr(\()p Fq(M)1088 1504 y Fp(\003)1107 1520 y Fq(;)7 b Fr(ev)1166 1526 y Fn(M)1203 1520 y Fq(;)g Fr(db)1268 1526 y Fn(M)1305 1520 y Fr(\))29 b Fl(und)59 1569 y Fr(\()p Fq(N)113 1554 y Fp(\003)132 1569 y Fq(;)7 b Fr(ev)192 1575 y Fn(N)223 1569 y Fq(;)g Fr(db)288 1575 y Fn(N)319 1569 y Fr(\))18 b Fl(und)h Fq(f)j Fr(:)17 b Fq(M)22 b Fm(\000)-6 b(!)17 b Fq(N)23 b Fl(ge)n(geb)n(en.)18 b(Dann)h(kommutiert)f(das)g(folgen-)59 1619 y(de)d(Diagr)n(amm)520 1677 y Fq(I)328 b(M)14 b Fm(\012)9 b Fq(M)1006 1662 y Fp(\003)p 554 1665 300 2 v 812 1664 a Fk(-)670 1652 y Fi(db)706 1656 y Fj(M)p 530 1801 2 108 v 531 1801 a Fk(?)451 1755 y Fi(db)487 1759 y Fj(N)p 945 1801 V 946 1801 a Fk(?)962 1754 y Fn(f)s Fp(\012)p Fi(1)458 1843 y Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(N)585 1828 y Fp(\003)864 1843 y Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(M)997 1828 y Fp(\003)1016 1843 y Fq(:)p 616 1831 236 2 v 810 1830 a Fk(-)694 1860 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(f)756 1848 y Fe(\003)109 1913 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Es)12 b(ist)e(\()p Fq(f)e Fm(\012)s Fr(1)497 1919 y Fn(M)532 1911 y Fe(\003)550 1913 y Fr(\))f(db)620 1919 y Fn(M)668 1913 y Fr(=)12 b(\(\(1)765 1919 y Fn(N)799 1913 y Fm(\012)s Fr(ev)875 1919 y Fn(N)906 1913 y Fr(\)\(1)959 1919 y Fn(N)993 1913 y Fm(\012)s Fr(1)1049 1919 y Fn(N)1078 1911 y Fe(\003)1100 1913 y Fm(\012)s Fq(f)t Fr(\)\(db)1238 1919 y Fn(N)1276 1913 y Fm(\012)p Fr(1)1329 1919 y Fn(M)1366 1913 y Fr(\))s Fm(\012)59 1963 y Fr(1)80 1969 y Fn(M)115 1961 y Fe(\003)134 1963 y Fr(\))7 b(db)203 1969 y Fn(M)252 1963 y Fr(=)k(\(1)332 1969 y Fn(N)366 1963 y Fm(\012)r Fr(ev)441 1969 y Fn(N)479 1963 y Fm(\012)p Fr(1)532 1969 y Fn(M)567 1961 y Fe(\003)587 1963 y Fr(\)\(1)640 1969 y Fn(N)673 1963 y Fm(\012)r Fr(1)728 1969 y Fn(N)757 1961 y Fe(\003)779 1963 y Fm(\012)r Fq(f)6 b Fm(\012)r Fr(1)894 1969 y Fn(M)929 1961 y Fe(\003)949 1963 y Fr(\)\(db)1028 1969 y Fn(N)1066 1963 y Fm(\012)p Fr(1)1119 1969 y Fn(M)1158 1963 y Fm(\012)r Fr(1)1213 1969 y Fn(M)1248 1961 y Fe(\003)1267 1963 y Fr(\))h(db)1337 1969 y Fn(M)1385 1963 y Fr(=)59 2013 y(\(1)96 2019 y Fn(N)139 2013 y Fm(\012)12 b Fr(ev)224 2019 y Fn(N)262 2013 y Fm(\012)p Fr(1)315 2019 y Fn(M)350 2011 y Fe(\003)369 2013 y Fr(\)\(1)422 2019 y Fn(N)466 2013 y Fm(\012)f Fr(1)530 2019 y Fn(N)559 2011 y Fe(\003)591 2013 y Fm(\012)g Fq(f)17 b Fm(\012)12 b Fr(1)736 2019 y Fn(M)771 2011 y Fe(\003)790 2013 y Fr(\)\(1)843 2019 y Fn(N)886 2013 y Fm(\012)f Fr(1)950 2019 y Fn(N)979 2011 y Fe(\003)1011 2013 y Fm(\012)g Fr(db)1101 2019 y Fn(M)1137 2013 y Fr(\))c(db)1207 2019 y Fn(N)1255 2013 y Fr(=)18 b(\(1)1342 2019 y Fn(N)1385 2013 y Fm(\012)59 2063 y Fr(\(ev)116 2069 y Fn(N)155 2063 y Fm(\012)p Fr(1)208 2069 y Fn(M)243 2061 y Fe(\003)262 2063 y Fr(\)\(1)315 2069 y Fn(N)344 2061 y Fe(\003)373 2063 y Fm(\012)9 b Fq(f)14 b Fm(\012)c Fr(1)511 2069 y Fn(M)546 2061 y Fe(\003)565 2063 y Fr(\)\(1)618 2069 y Fn(N)647 2061 y Fe(\003)676 2063 y Fm(\012)f Fr(db)764 2069 y Fn(M)800 2063 y Fr(\)\))e(db)886 2069 y Fn(N)929 2063 y Fr(=)12 b(\(1)1010 2069 y Fn(N)1050 2063 y Fm(\012)e Fq(f)1116 2048 y Fp(\003)1136 2063 y Fr(\))d(db)1205 2069 y Fn(N)1236 2063 y Fr(.)p 1289 2040 29 2 v 1289 2065 2 25 v 1316 2065 V 1289 2067 29 2 v eop %%Page: 80 85 80 84 bop 59 117 a Ft(80)455 b(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)59 225 y Fo(F)o(olger)o(ung)g Fr(9.11)p Fo(.)k Fl(Seien)30 b Fq(M)r(;)7 b(N)35 b Fl(mit)29 b(Links-Dualen)i Fr(\()p Fq(M)1088 210 y Fp(\003)1107 225 y Fq(;)7 b Fr(ev)1166 231 y Fn(M)1203 225 y Fq(;)g Fr(db)1268 231 y Fn(M)1305 225 y Fr(\))29 b Fl(und)59 275 y Fr(\()p Fq(N)113 260 y Fp(\003)132 275 y Fq(;)7 b Fr(ev)192 281 y Fn(N)223 275 y Fq(;)g Fr(db)288 281 y Fn(N)319 275 y Fr(\))18 b Fl(und)h Fq(f)j Fr(:)17 b Fq(M)22 b Fm(\000)-6 b(!)17 b Fq(N)23 b Fl(ge)n(geb)n(en.)18 b(Dann)h(kommutiert)f(das)g(folgen-)59 325 y(de)d(Diagr)n(amm)455 389 y Fq(N)493 374 y Fp(\003)521 389 y Fm(\012)9 b Fq(M)264 b(M)911 374 y Fp(\003)939 389 y Fm(\012)10 b Fq(M)p 619 378 235 2 v 812 377 a Fk(-)696 363 y Fn(f)715 351 y Fe(\003)733 363 y Fp(\012)p Fi(1)p 530 514 2 108 v 531 514 a Fk(?)452 467 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(f)p 945 514 V 946 514 a Fk(?)962 464 y Fi(ev)995 468 y Fj(M)458 555 y Fq(N)496 540 y Fp(\003)524 555 y Fm(\012)g Fq(N)330 b(I)s(:)p 616 544 302 2 v 875 543 a Fk(-)737 564 y Fi(ev)769 568 y Fj(N)109 650 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)9 b(Aussage)i(folgt)d(unmittelbar)g(aus)h(der)i(Symmetrie)c(der) j(De\014nition)59 699 y(eines)15 b(Links-Duals.)p 430 677 29 2 v 430 701 2 25 v 456 701 V 430 703 29 2 v 59 797 a Fo(Beispiel)h Fr(9.12)p Fo(.)j Fr(Sei)35 b Fq(M)51 b Fm(2)602 803 y Fn(R)629 797 y Fm(M)679 803 y Fn(R)741 797 y Fr(ein)35 b Fq(R)p Fr(-)p Fq(R)p Fr(-Bimo)q(dul.)c(Dann)j(ist)h (auc)o(h)59 846 y(Hom)146 852 y Fn(R)173 846 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\))16 b(ein)h Fq(R)p Fr(-)p Fq(R)p Fr(-Bimo)q(dul)d(durc)o(h)k(\()p Fq(r)q(f)t(s)p Fr(\)\()p Fq(x)p Fr(\))g(=)e Fq(r)q(f)t Fr(\()p Fq(sx)p Fr(\).)i(Au\031erdem)f (ha-)59 896 y(b)q(en)g(wir)f(den)g(Morphism)o(us)f(ev)h(:)f(Hom)702 902 y Fn(R)730 896 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\))i Fm(\012)920 902 y Fn(R)959 896 y Fq(M)20 b Fm(\000)-7 b(!)15 b Fq(R)h Fr(de\014niert)h(durc)o(h)59 946 y(ev)q(\()p Fq(f)d Fm(\012)182 952 y Fn(R)219 946 y Fq(m)p Fr(\))e(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(\).)59 999 y(\(Dual-Basis-Lemma:)o(\))g(Ein)i (Mo)q(dul)g Fq(M)j Fm(2)c(M)818 1005 y Fn(R)859 999 y Fr(hei\031t)h Fl(end)r(lich)i(erzeugt)f(pr)n(ojektiv)p Fr(,)59 1049 y(w)o(enn)j(es)f Fq(m)257 1055 y Fi(1)277 1049 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(m)412 1055 y Fn(n)452 1049 y Fm(2)16 b Fq(M)22 b Fr(und)c Fq(m)681 1034 y Fi(1)700 1049 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(m)835 1034 y Fn(n)875 1049 y Fm(2)16 b Fr(Hom)1006 1055 y Fn(R)1033 1049 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\))16 b(so)i(gibt,)e(da\031)59 1099 y(gilt)474 1199 y Fm(8)p Fq(m)c Fm(2)f Fq(M)16 b Fr(:)683 1147 y Fn(n)663 1159 y Fg(X)666 1248 y Fn(i)p Fi(=1)730 1199 y Fq(m)766 1205 y Fn(i)780 1199 y Fq(m)816 1182 y Fn(i)831 1199 y Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))c(=)g Fq(m:)59 1316 y Fr(Dieses)g(ist)e(eigen)o(tlic)o(h)g(eine)h(F)m(olge)f(des)i (Dual-Basis-Lemm)o(as,)c(ab)q(er)j(zu)g(der)g(gew)1336 1318 y(\177)1336 1316 y(ohn-)59 1366 y(lic)o(h)e(v)o(erw)o(endeten)i (De\014nition)d(eines)j(endlic)o(h)e(erzeugten)i(pro)r(jektiv)o(en)f (Mo)q(duls)1329 1368 y(\177)1329 1366 y(aqui-)59 1416 y(v)n(alen)o(t.)59 1469 y(Sei)k Fq(M)j Fm(2)222 1475 y Fn(R)249 1469 y Fm(M)299 1475 y Fn(R)326 1469 y Fr(.)d Fq(M)19 b Fr(ist)14 b(als)g Fq(R)p Fr(-Rec)o(h)o(ts-Mo)q(dul)f(genau)h (dann)g(endlic)o(h)g(erzeigt)h(pro-)59 1519 y(jektiv,)k(w)o(enn)i Fq(M)j Fr(ein)c(Links-Dual)f(b)q(esitzt.)i(Das)f(Links-Dual)e(ist)i (isomorph)f(zu)59 1569 y(Hom)146 1575 y Fn(R)173 1569 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\).)59 1622 y(Ist)21 b Fq(M)167 1628 y Fn(R)214 1622 y Fr(endlic)o(h)f(erzeugt)i(pro)r (jektiv,)d(so)i(v)o(erw)o(enden)g(wir)f(db)i(:)f Fq(R)h Fm(\000)-7 b(!)22 b Fq(M)c Fm(\012)1390 1628 y Fn(R)59 1672 y Fr(Hom)146 1678 y Fn(R)173 1672 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\))42 b(mit)g(db\(1\))60 b(=)722 1640 y Fg(P)766 1651 y Fn(n)766 1684 y(i)p Fi(=1)828 1672 y Fq(m)864 1678 y Fn(i)907 1672 y Fm(\012)939 1678 y Fn(R)996 1672 y Fq(m)1032 1657 y Fn(i)1046 1672 y Fr(.)43 b(Denn)g(dann)g(ist)59 1721 y(\(1)11 b Fm(\012)139 1727 y Fn(R)177 1721 y Fr(ev)q(\)\(db)c Fm(\012)335 1727 y Fn(R)363 1721 y Fr(1\)\()p Fq(m)p Fr(\))15 b(=)h(\(1)10 b Fm(\012)610 1727 y Fn(R)649 1721 y Fr(ev\)\()721 1690 y Fg(P)772 1721 y Fq(m)808 1727 y Fn(i)833 1721 y Fm(\012)865 1727 y Fn(R)904 1721 y Fq(m)940 1706 y Fn(i)965 1721 y Fm(\012)997 1727 y Fn(R)1035 1721 y Fq(m)p Fr(\))15 b(=)1150 1690 y Fg(P)1201 1721 y Fq(m)1237 1727 y Fn(i)1251 1721 y Fq(m)1287 1706 y Fn(i)1301 1721 y Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))h(=)59 1771 y Fq(m)p Fr(.)f(Au\031erdem)h(ist)f(\(ev)8 b Fm(\012)479 1777 y Fn(R)507 1771 y Fr(1\)\(1)i Fm(\012)623 1777 y Fn(R)661 1771 y Fr(db\)\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))16 b(=)e(\(ev)8 b Fm(\012)1005 1777 y Fn(R)1033 1771 y Fr(1\)\()1086 1740 y Fg(P)1130 1750 y Fn(n)1130 1784 y(i)p Fi(=1)1192 1771 y Fq(f)15 b Fm(\012)1259 1777 y Fn(R)1297 1771 y Fq(m)1333 1777 y Fn(i)1358 1771 y Fm(\012)1390 1777 y Fn(R)59 1821 y Fq(m)95 1806 y Fn(i)109 1821 y Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))g(=)255 1790 y Fg(P)305 1821 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)381 1827 y Fn(i)397 1821 y Fr(\))p Fq(m)449 1806 y Fn(i)463 1821 y Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))g(=)f Fq(f)t Fr(\()632 1790 y Fg(P)684 1821 y Fq(m)720 1827 y Fn(i)734 1821 y Fq(m)770 1806 y Fn(i)785 1821 y Fr(\()p Fq(m)p Fr(\)\))g(=)h Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))i(f)1053 1823 y(\177)1052 1821 y(ur)e(alle)g Fq(m)f Fm(2)g Fq(M)5 b Fr(,)15 b(also)59 1871 y(\(ev)8 b Fm(\012)155 1877 y Fn(R)183 1871 y Fr(1\)\(1)h Fm(\012)298 1877 y Fn(R)334 1871 y Fr(db\)\()p Fq(f)t Fr(\))k(=)f Fq(f)t Fr(.)59 1924 y(Besitzt)i Fq(M)k Fr(umgek)o(ehrt)12 b(ein)g(Links-Dual)g Fq(M)783 1909 y Fp(\003)802 1924 y Fr(,)g(so)h(de\014niert)g(ev)g(:)e Fq(M)1159 1909 y Fp(\003)1184 1924 y Fm(\012)1216 1930 y Fn(R)1251 1924 y Fq(M)16 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(R)59 1974 y Fr(einen)28 b(Homomorphism)n(us)d Fq(\023)34 b Fr(:)g Fq(M)675 1959 y Fp(\003)729 1974 y Fm(\000)-7 b(!)35 b Fr(Hom)917 1980 y Fn(R)944 1974 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\))27 b(in)1183 1980 y Fn(R)1210 1974 y Fm(M)1260 1980 y Fn(R)1315 1974 y Fr(durc)o(h)59 2023 y Fq(\023)p Fr(\()p Fq(m)126 2008 y Fp(\003)145 2023 y Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))13 b(=)f(ev)q(\()p Fq(m)379 2008 y Fp(\003)403 2023 y Fm(\012)435 2029 y Fn(R)467 2023 y Fq(m)p Fr(\).)g(Setzen)h(wir)741 1992 y Fg(P)785 2003 y Fn(n)785 2036 y(i)p Fi(=1)848 2023 y Fq(m)884 2029 y Fn(i)903 2023 y Fm(\012)5 b Fq(m)976 2008 y Fn(i)1002 2023 y Fr(:=)11 b(db\(1\))h Fm(2)f Fq(M)e Fm(\012)c Fq(M)1338 2008 y Fp(\003)1357 2023 y Fr(,)11 b(so)59 2073 y(gilt)e Fq(m)j Fr(=)g(\(1)r Fm(\012)r Fr(ev)q(\)\(db)7 b Fm(\012)p Fr(1\)\()p Fq(m)p Fr(\))13 b(=)f(\(1)r Fm(\012)r Fr(ev)q(\)\()760 2042 y Fg(P)811 2073 y Fq(m)847 2079 y Fn(i)863 2073 y Fm(\012)r Fq(m)933 2058 y Fn(i)949 2073 y Fm(\012)r Fq(m)p Fr(\))h(=)1091 2042 y Fg(P)1142 2073 y Fq(m)1178 2079 y Fn(i)1192 2073 y Fq(\023)p Fr(\()p Fq(m)1259 2058 y Fn(i)1274 2073 y Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\),)d(so)p eop %%Page: 81 86 81 85 bop 550 117 a Ft(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)457 b(81)59 225 y Fr(da\031)10 b Fq(m)170 231 y Fi(1)189 225 y Fq(;)d(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(m)325 231 y Fn(n)359 225 y Fm(2)k Fq(M)16 b Fr(und)10 b Fq(\023)p Fr(\()p Fq(m)600 210 y Fi(1)619 225 y Fr(\))p Fq(;)d(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(\023)p Fr(\()p Fq(m)802 210 y Fn(n)824 225 y Fr(\))12 b Fm(2)f Fr(Hom)978 231 y Fn(R)1005 225 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)c(R:)p Fr(\))j(eine)h(duale)f(Ba-)59 275 y(sis)k(f)131 277 y(\177)130 275 y(ur)f Fq(M)18 b Fr(bilden,)12 b(d.h.)h(da\031)f Fq(M)18 b Fr(endlic)o(h)c(erzeugt)g (pro)r(jektiv)g(als)e Fq(R)p Fr(-Rec)o(h)o(ts-Mo)q(dul)59 325 y(ist.)h(Damit)f(sind)i(ab)q(er)g Fq(M)483 310 y Fp(\003)516 325 y Fr(und)g(Hom)686 331 y Fn(R)713 325 y Fr(\()p Fq(M)r(:;)7 b(R:)p Fr(\))13 b(\(v)o(erm)982 327 y(\177)982 325 y(oge)g Fq(\023)p Fr(\))h(isomorph.)59 376 y(Analog)d(wird)h(Hom)378 382 y Fn(R)406 376 y Fr(\()p Fq(:M)r(;)7 b(:R)p Fr(\))k(ein)h(Rec)o(h)o(ts-Dual)f(zu)i Fq(M)k Fr(genau)12 b(dann,)f(w)o(enn)i Fq(M)k Fr(als)59 426 y Fq(R)p Fr(-Links-Mo)q(dul)c(endlic)o(h)h(erzeugt)h(pro)r(jektiv)f (ist.)59 510 y Fo(Definition)i Fr(9.13)p Fo(.)k Fr(Seien)f(Ob)r(jekte)h Fq(M)r(;)7 b(N)24 b Fr(in)18 b Fm(C)k Fr(gegeb)q(en.)d(Ein)g(Ob)r(jekt) g([)p Fq(M)r(;)7 b(N)e Fr(])59 560 y(hei\031t)11 b Fl(inner)n(es)i(Hom) e Fr(v)o(on)g Fq(M)17 b Fr(und)11 b Fq(N)5 b Fr(,)11 b(w)o(enn)h(es)g(einen)g(nat)992 562 y(\177)991 560 y(urlic)o(hen)g (Isomorphism)o(us)59 610 y(Mor)134 616 y Fp(C)156 610 y Fr(\(-)5 b Fm(\012)g Fq(M)r(;)i(N)e Fr(\))354 599 y Fm(\030)354 612 y Fr(=)398 610 y(Mor)473 616 y Fp(C)495 610 y Fr(\(-)p Fq(;)i Fr([)p Fq(M)r(;)g(N)e Fr(]\))10 b(gibt,)h(d.h.)g(w)o(enn)h(es)h(den)f(F)m(unktor)f(Mor)1328 616 y Fp(C)1350 610 y Fr(\(-)5 b Fm(\012)59 660 y Fq(M)r(;)i(N)e Fr(\))14 b(darstellt.)59 711 y(W)m(enn)k(es)i(einen)f(in)f(den)h(drei)f (Ob)r(jekten)i Fq(M)r(;)7 b(N)r(;)g(P)24 b Fr(nat)985 713 y(\177)984 711 y(urlic)o(hen)19 b(Isomorphism)o(us)59 761 y(Mor)134 767 y Fp(C)156 761 y Fr(\()p Fq(P)c Fm(\012)10 b Fq(M)r(;)d(N)e Fr(\))385 750 y Fm(\030)385 763 y Fr(=)430 761 y(Mor)505 767 y Fp(C)527 761 y Fr(\()p Fq(P)q(;)i Fr([)p Fq(M)r(;)g(N)e Fr(]\))13 b(gibt,)h(dann)h(hei\031t)g(die)g (Kategorie)g Fm(C)i Fl(mo-)59 811 y(noidal)e(links)g(ab)n(geschlossen)p Fr(.)59 862 y(W)m(enn)j(es)i(einen)f(in)f(den)h(drei)f(Ob)r(jekten)i Fq(M)r(;)7 b(N)r(;)g(P)24 b Fr(nat)985 864 y(\177)984 862 y(urlic)o(hen)19 b(Isomorphism)o(us)59 912 y(Mor)134 918 y Fp(C)156 912 y Fr(\()p Fq(M)c Fm(\012)10 b Fq(P)q(;)d(N)e Fr(\))383 901 y Fm(\030)383 914 y Fr(=)429 912 y(Mor)504 918 y Fp(C)526 912 y Fr(\()p Fq(P)q(;)i Fr([)p Fq(M)r(;)g(N)e Fr(]\))13 b(gibt,)h(dann)h(hei\031t)g(die)g(Kategorie)h Fm(C)h Fl(mo-)59 961 y(noidal)e(r)n(e)n(chts)g(ab)n(geschlossen)p Fr(.)59 1046 y(W)m(enn)k Fq(M)k Fr(ein)c(Links-Dual)f Fq(M)581 1031 y Fp(\003)618 1046 y Fr(in)h Fm(C)i Fr(b)q(esitzt,)f (dann)e(sind)h(innere)h(Homs)d([)p Fq(M)r(;)7 b Fr(-])59 1096 y(de\014niert)13 b(durc)o(h)f([)p Fq(M)r(;)7 b(N)e Fr(])10 b(:=)i Fq(N)d Fm(\012)c Fq(M)648 1081 y Fp(\003)667 1096 y Fr(.)11 b(Insb)q(esondere)j(sind)e(links)f(starre)i(monoidale)59 1146 y(Kategorien)h(links)g(abgesc)o(hlossen.)59 1230 y Fo(Beispiel)i Fr(9.14)p Fo(.)94 b Fr(\(1\))21 b(Die)h(Kategorie)i (der)f(endlic)o(h-dimensionalen)e(V)m(ektor-)208 1280 y(r)224 1282 y(\177)224 1280 y(aume)11 b(ist)h(eine)g(monoidale)e (Kategorie,)h(in)h(der)h(jedes)g(Ob)r(jekt)g(ein)f(\(Links-)208 1330 y(und)i(Rec)o(h)o(ts-\)Dual)f(b)q(esitzt.)134 1380 y(\(2\))21 b(Sei)16 b(Ban)g(die)g(Kategorie)h(der)f(\(k)o(omplexen\))f (Banac)o(h-R)1120 1382 y(\177)1120 1380 y(aume,)f(w)o(ob)q(ei)i(die)208 1430 y(Morphismen)8 b Fq(f)16 b Fr(:)11 b Fq(M)17 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(N)j Fr(lineare)9 b(Abbildungen)g(sind)h(mit)d Fm(k)12 b Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))h Fm(k\024k)208 1479 y Fq(m)19 b Fm(k)p Fr(,)e(d.h.)g(die)i(Abbildungen)f(sind)g(durc)o (h)h(1)e(b)q(esc)o(hr)1087 1481 y(\177)1087 1479 y(ankt)j(o)q(der)f(k)o (on)o(tra-)208 1529 y(hierend.)e Fa(Ban)h Fr(ist)g(eine)g(monoidale)c (Kategorie)k(durc)o(h)g Fq(M)1176 1523 y Fg(b)1171 1529 y Fm(\012)q Fq(N)5 b Fr(,)16 b(das)i(v)o(er-)208 1579 y(v)o(ollst)306 1581 y(\177)306 1579 y(andigte)11 b(T)m(ensorpro)q (dukt.)j(Ein)f(innerer)h(Hom-F)m(unktor)d([)p Fq(M)r(;)c(N)e Fr(])12 b(exi-)208 1629 y(stiert)k(in)f(Ban)g(und)h(b)q(esteh)o(t)g (aus)g(der)g(Menge)g(der)g(b)q(esc)o(hr)1157 1631 y(\177)1157 1629 y(ankten)h(lineare)208 1679 y(Abbildungen)12 b(v)o(on)f Fq(M)18 b Fr(nac)o(h)12 b Fq(N)5 b Fr(,)12 b(die)g(man)f(in)h (geeigneter)h(W)m(eise)f(zu)h(einem)208 1728 y(Banac)o(h-Raum)k(mac)o (hen)h(k)n(ann.)g(Damit)e(ist)j(Ban)g(eine)h(monoidal)15 b(abge-)208 1778 y(sc)o(hlossene)g(Kategorie.)134 1828 y(\(3\))21 b(Sei)e Fq(H)j Fr(eine)d(Hopf)g(Algebra.)g(Dann)f(ist)i(die) f(Kategorie)g(der)h Fq(H)s Fr(-Rec)o(h)o(ts-)208 1878 y(Mo)q(duln)k(\(vgl.)g(Beispiel)i(8.4)e(b\)\))h(eine)h(monoidale)d (Kategorie.)i(Seien)208 1928 y Fq(M)r(;)7 b(N)22 b Fm(2)17 b(M)419 1934 y Fn(H)450 1928 y Fr(.)g(Dann)g(ist)g(Hom)743 1934 y Fc(K)768 1928 y Fr(\()p Fq(M)r(;)7 b(N)e Fr(\))17 b(in)g Fm(M)1018 1934 y Fn(H)1067 1928 y Fr(durc)o(h)h(die)f(Multipli-) 208 1978 y(k)n(ation)513 2036 y(\()p Fq(f)d Fm(\001)9 b Fq(h)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))j(:=)759 1996 y Fg(X)780 2086 y Fn(h)826 2036 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)969 2043 y Fi(\(1\))1016 2036 y Fr(\))p Fq(h)1056 2043 y Fi(\(2\))1101 2036 y Fq(:)p eop %%Page: 82 87 82 86 bop 59 117 a Ft(82)455 b(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)208 225 y Fr(Dab)q(ei)10 b(sei)g(\001\()p Fq(h)p Fr(\))i(=)527 194 y Fg(P)571 238 y Fn(h)600 225 y Fq(h)624 232 y Fi(\(1\))670 225 y Fm(\012)r Fq(h)728 232 y Fi(\(2\))783 225 y Fr(\(Sw)o(eedler)g (Notation\).)d(Es)i(ist)f(n)1298 227 y(\177)1298 225 y(amlic)o(h)208 275 y(\(\()p Fq(f)19 b Fm(\001)13 b Fq(h)p Fr(\))i Fm(\001)e Fq(k)q Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))25 b(=)f(\()p Fq(f)19 b Fm(\001)14 b Fq(h)p Fr(\)\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(k)810 281 y Fi(1)830 275 y Fr(\)\))p Fq(k)884 281 y Fi(2)926 275 y Fr(=)24 b Fq(f)t Fr(\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(k)1123 281 y Fi(1)1144 275 y Fr(\))p Fq(S)r Fr(\()p Fq(h)1227 281 y Fi(1)1246 275 y Fr(\)\))p Fq(h)1302 281 y Fi(2)1321 275 y Fq(k)1343 281 y Fi(2)1385 275 y Fr(=)208 325 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(mS)r Fr(\(\()p Fq(hk)q Fr(\))406 331 y Fi(1)427 325 y Fr(\)\()p Fq(hk)q Fr(\))522 331 y Fi(2)552 325 y Fr(=)12 b(\()p Fq(f)6 b Fm(\001)r Fr(\()p Fq(hk)q Fr(\)\)\()p Fq(m)p Fr(\))11 b(und)f(\()p Fq(f)c Fm(\001)r Fr(1\)\()p Fq(m)p Fr(\))12 b(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(1\)1)g(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(\).)208 374 y(Hom)294 380 y Fc(K)319 374 y Fr(\()p Fq(M)r(;)7 b(N)e Fr(\))16 b(ist)h(ein)f(innerer)i(Hom-F)m(unktor)c(in)i(der)h (monoidalen)d(Ka-)208 424 y(tegorie)21 b Fm(M)401 430 y Fn(H)432 424 y Fr(.)g(Der)g(Isomorphism)o(us)e Fq(')24 b Fr(:)f(Hom)1016 430 y Fc(K)1041 424 y Fr(\()p Fq(P)q(;)7 b Fr(Hom)1190 430 y Fc(K)1214 424 y Fr(\()p Fq(M)r(;)g(N)e Fr(\)\))1385 413 y Fm(\030)1385 426 y Fr(=)208 474 y(Hom)294 480 y Fc(K)319 474 y Fr(\()p Fq(M)18 b Fm(\012)13 b Fq(P)q(;)7 b(N)e Fr(\))18 b(l)569 476 y(\177)569 474 y(a\031t)h(sic)o(h)g(n)756 476 y(\177)756 474 y(amlic)o(h)e(ein)j(sc)o(hr)1039 476 y(\177)1039 474 y(ank)o(en)g(zu)g(einem)e(Iso-)208 524 y(morphism)o(us)395 605 y(Hom)481 611 y Fn(H)513 605 y Fr(\()p Fq(P)q(;)7 b Fr(Hom)662 611 y Fc(K)686 605 y Fr(\()p Fq(M)r(;)g(N)e Fr(\)\))845 594 y Fm(\030)845 607 y Fr(=)889 605 y(Hom)975 611 y Fn(H)1007 605 y Fr(\()p Fq(M)14 b Fm(\012)9 b Fq(P)q(;)e(N)e Fr(\))p Fq(;)208 687 y Fr(w)o(eil)10 b(gelten)h Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\(\()p Fq(m)s Fm(\012)s Fq(p)p Fr(\))p Fq(h)p Fr(\))j(=)d Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()830 656 y Fg(P)883 687 y Fq(mh)943 693 y Fi(1)965 687 y Fm(\012)s Fq(ph)1045 693 y Fi(2)1063 687 y Fr(\))h(=)1135 656 y Fg(P)1186 687 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(ph)1271 693 y Fi(2)1290 687 y Fr(\)\()p Fq(mh)1382 693 y Fi(1)1401 687 y Fr(\))208 737 y(=)269 705 y Fg(P)313 737 y Fr(\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\))17 b Fm(\001)e Fq(h)474 743 y Fi(2)493 737 y Fr(\)\()p Fq(mh)585 743 y Fi(1)604 737 y Fr(\))29 b(=)710 705 y Fg(P)761 737 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\)\()p Fq(mh)914 743 y Fi(1)934 737 y Fq(S)r Fr(\()p Fq(h)1001 743 y Fi(2)1021 737 y Fr(\)\))p Fq(h)1077 743 y Fi(3)1124 737 y Fr(=)h Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))p Fq(h)g Fr(=)208 786 y Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(m)12 b Fm(\012)e Fq(p)p Fr(\))p Fq(h)15 b Fr(und)h(umgek)o(ehrt)f (\()p Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\))p Fq(h)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))h(=)1028 755 y Fg(P)1079 786 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(p)p Fr(\)\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)1275 792 y Fi(1)1296 786 y Fr(\)\))p Fq(h)1352 792 y Fi(2)1385 786 y Fr(=)208 805 y Fg(P)258 836 y Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)460 842 y Fi(1)482 836 y Fr(\))30 b Fm(\012)g Fq(p)p Fr(\))p Fq(h)651 842 y Fi(2)732 836 y Fr(=)828 805 y Fg(P)879 836 y Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\(\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)1097 842 y Fi(1)1118 836 y Fr(\))g Fm(\012)g Fq(p)p Fr(\))p Fq(h)1287 842 y Fi(2)1306 836 y Fr(\))63 b(=)208 855 y Fg(P)258 886 y Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)460 892 y Fi(1)482 886 y Fr(\))p Fq(h)522 892 y Fi(2)551 886 y Fm(\012)10 b Fq(ph)638 892 y Fi(3)657 886 y Fr(\))k(=)h Fq(')p Fr(\()p Fq(f)t Fr(\)\()p Fq(m)d Fm(\012)f Fq(ph)p Fr(\))j(=)g Fq(f)t Fr(\()p Fq(ph)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\).)j(Damit)c (ist)208 936 y Fm(M)258 942 y Fn(H)303 936 y Fr(rec)o(h)o(ts)i(abgesc)o (hlossen.)208 986 y(W)m(enn)g Fq(M)20 b Fm(2)14 b(M)479 992 y Fn(H)526 986 y Fr(als)h(V)m(ektorraum)g(endlic)o(h)h(dimensional) d(ist,)j(dann)f(ist)208 1020 y Fp(\003)227 1035 y Fq(M)h Fr(:=)11 b(Hom)425 1041 y Fc(K)449 1035 y Fr(\()p Fq(M)r(;)c Ff(K)q Fr(\))12 b(wieder)f(ein)e Fq(H)s Fr(-Rec)o(h)o(ts-Mo)q(dul)h (durc)o(h)g(\()p Fq(f)5 b Fm(\001)p Fq(h)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))13 b(:=)208 1085 y Fq(f)t Fr(\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)p Fr(\)\))p Fq(:)407 1070 y Fp(\003)426 1085 y Fq(M)j Fr(ist)11 b(ein)f(Rec)o(h)o(ts-Dual)h(zu)g Fq(M)k Fr(mit)9 b(den)i(Homomorphism)o(en)474 1175 y(db)g(:)g Ff(K)k Fm(3)d Fr(1)f Fm(7!)723 1136 y Fg(X)747 1224 y Fn(i)790 1175 y Fq(m)826 1158 y Fn(i)849 1175 y Fm(\012)f Fq(m)927 1181 y Fn(i)953 1175 y Fm(2)992 1158 y Fp(\003)1011 1175 y Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(M)208 1293 y Fr(und)487 1349 y(ev)k(:)e Fq(M)j Fm(\012)658 1332 y Fp(\003)677 1349 y Fq(M)j Fm(3)11 b Fq(m)f Fm(\012)f Fq(f)16 b Fm(7!)c Fq(f)t Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))h Fm(2)e Ff(K)p Fq(;)208 1418 y Fr(w)o(ob)q(ei)i Fq(m)361 1424 y Fn(i)389 1418 y Fr(und)i Fq(m)509 1403 y Fn(i)537 1418 y Fr(eine)f(duale)g(Basis)g (des)h(V)m(ektorraumes)f Fq(M)19 b Fr(bilden.)13 b(Es)208 1468 y(ist)e(sic)o(herlic)o(h)h(\(1)5 b Fm(\012)g Fr(ev\)\(db)j Fm(\012)p Fr(1\))j(=)h(1)791 1466 y Fe(\003)808 1474 y Fn(M)857 1468 y Fr(und)f(\(ev)d Fm(\012)p Fr(1\)\(1)d Fm(\012)g Fr(db\))12 b(=)f(1)1287 1474 y Fn(M)1324 1468 y Fr(,)g(w)o(eil)208 1518 y Fq(M)17 b Fr(endlic)o(h)12 b(dimensionaler)e(V)m(ektorraum)h(ist.)h(Zu)h(zeigen)f(ist,)g(da\031)g (db)g(und)208 1568 y(ev)i Fq(H)s Fr(-Homomorphism)o(en)d(sind.)i(Es)i (gilt)e(also)249 1646 y(\(db)q(\(1\))p Fq(h)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))f(=)g(\(\()561 1615 y Fg(P)612 1646 y Fq(m)648 1631 y Fn(i)671 1646 y Fm(\012)e Fq(m)749 1652 y Fn(i)763 1646 y Fr(\))p Fq(h)p Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))j(=)f(\()960 1615 y Fg(P)1010 1646 y Fq(m)1046 1631 y Fn(i)1061 1646 y Fq(h)1085 1652 y Fi(1)1112 1646 y Fm(\012)e Fq(m)1190 1652 y Fn(i)1204 1646 y Fq(h)1228 1652 y Fi(2)1247 1646 y Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))i(=)249 1665 y Fg(P)293 1696 y Fr(\()p Fq(m)345 1681 y Fn(i)360 1696 y Fq(h)384 1702 y Fi(1)402 1696 y Fr(\)\()p Fq(m)p Fr(\))p Fq(m)522 1702 y Fn(i)537 1696 y Fq(h)561 1702 y Fi(2)591 1696 y Fr(=)635 1665 y Fg(P)686 1696 y Fq(m)722 1681 y Fn(i)736 1696 y Fr(\()p Fq(mS)r Fr(\()p Fq(h)855 1702 y Fi(1)875 1696 y Fr(\)\))p Fq(m)943 1702 y Fn(i)958 1696 y Fq(h)982 1702 y Fi(2)1012 1696 y Fr(=)249 1715 y Fg(P)293 1746 y Fr(\()309 1715 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Fi(2)945 2009 y Fr(\)\))p Fq(h)1001 2015 y Fi(3)1032 2009 y Fr(=)1075 1977 y Fg(P)1119 2009 y Fr(\()p Fq(f)t(h)1183 2015 y Fi(2)1203 2009 y Fr(\)\()p Fq(mh)1295 2015 y Fi(1)1314 2009 y Fr(\))f(=)251 2027 y Fg(P)302 2058 y Fr(ev)q(\()p Fq(mh)419 2064 y Fi(1)447 2058 y Fm(\012)d Fq(f)t(h)536 2064 y Fi(2)556 2058 y Fr(\))i(=)h(ev)q(\(\()p Fq(m)e Fm(\012)g Fq(f)t Fr(\))p Fq(h)p Fr(\))p Fq(:)p eop %%Page: 83 88 83 87 bop 550 117 a Ft(IX.)15 b(DUALE)h(OBJEKTE)457 b(83)134 225 y Fr(\(4\))21 b(Sei)e Fq(H)j Fr(eine)d(Hopf)g(Algebra.)g(Dann)f (ist)i(die)f(Kategorie)g(der)h Fq(H)s Fr(-Rec)o(h)o(ts-)208 275 y(Komo)q(duln)10 b(\(vgl.)i(Beispiel)h(8.4)f(c\)\))h(eine)g (monoidale)d(Kategorie.)j(Sei)f Fq(M)17 b Fm(2)208 325 y(M)258 310 y Fn(H)306 325 y Fr(ein)f(endlic)o(h)h(dimensionaler)e(V)m (ektorraum.)g(Sei)h Fq(m)1135 331 y Fn(i)1166 325 y Fr(eine)h(Basis)g (f)1379 327 y(\177)1378 325 y(ur)208 374 y Fq(M)24 b Fr(und)19 b(die)g(Komo)q(dul)f(Diagonale)f Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)889 380 y Fn(j)907 374 y Fr(\))k(=)997 343 y Fg(P)1047 374 y Fq(m)1083 380 y Fn(i)1111 374 y Fm(\012)13 b Fq(h)1180 380 y Fn(ij)1209 374 y Fr(.)19 b(Dann)f(gilt)208 424 y(\001\()p Fq(h)283 430 y Fn(ik)314 424 y Fr(\))23 b(=)409 393 y Fg(P)459 424 y Fq(h)483 430 y Fn(ij)526 424 y Fm(\012)14 b Fq(h)596 430 y Fn(j)r(k)632 424 y Fr(.)664 409 y Fp(\003)683 424 y Fq(M)28 b Fr(:=)23 b(Hom)904 430 y Fc(K)929 424 y Fr(\()p Fq(M)r(;)7 b Ff(K)p Fr(\))24 b(wird)d(zu)g(einem)f Fq(H)s Fr(-)208 474 y(Rec)o(h)o(ts-Komo)q(dul)10 b(durc)o(h)h Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)706 459 y Fn(i)721 474 y Fr(\))h(:=)804 443 y Fg(P)855 474 y Fq(m)891 459 y Fn(j)912 474 y Fm(\012)t Fq(S)r Fr(\()p Fq(h)1015 480 y Fn(ij)1046 474 y Fr(\).)f(Man)g(rec)o(hnet)i(nac)o(h,)208 524 y(da\031)286 509 y Fp(\003)305 524 y Fq(M)19 b Fr(ein)14 b(Rec)o(h)o(ts-Dual)f(v)o(on)g Fq(M)19 b Fr(ist.)p eop %%Page: 84 89 84 88 bop 617 682 a Fr(KAPITEL)21 b(X)525 781 y Fv(T)-5 b(annak)m(a)19 b(Dualit)903 783 y(\177)903 781 y(at)59 983 y Fr(In)c(diesem)g(Kapitel)g(w)o(ollen)g(wir)g(zw)o(eierlei)h (erreic)o(hen.)h(Einerseits)f(w)o(ollen)f(wir)g(zei-)59 1033 y(gen,)10 b(da\031)f(ein)h(Quan)o(tenmonoid)f(aus)h(seinen)h (Darstellungen)f(eindeutig)g(\(bis)g(auf)f(Iso-)59 1083 y(morphie\))j(zur)294 1085 y(\177)293 1083 y(uc)o(kgew)o(onnen)j(w)o (erden)f(k)n(ann.)e(Diesen)i(Proze\031)g(der)h(Rek)o(onstruktion)59 1133 y(w)o(erden)e(wir)f(auc)o(h)h(no)q(c)o(h)f(v)o(erallgemeinern.)f (Andererseits)j(w)o(erden)f(wir)f(zeigen,)h(da\031)59 1183 y(der)e(Proze\031)h(der)f(Rek)o(onstruktion)f(auc)o(h)h(geeignet)g (ist,)f(die)h(T)m(am)o(bara-Konstruktion)59 1232 y(des)19 b(univ)o(ersellen)f(Quan)o(tenmonoids)f(eines)i(nic)o(h)o(tk)o(omm)n (utativ)o(en)c(geometrisc)o(hen)59 1282 y(Raumes)e(durc)o(hzuf)374 1284 y(\177)373 1282 y(uhren)i(und)f(damit)e(aus)i(anderer)h(Sic)o(h)o (t)f(zu)h(v)o(erstehen.)59 1347 y(Sei)f Fm(D)h Fr(ein)e(b)q(eliebiges)h (Diagramm)o(sc)o(hema.)c(Sei)k Fm(C)i Fr(eine)e(monoidale)d(k)o(o)o(v)o (ollst)1301 1349 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Fr(\))12 b(=)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))f Fm(\012)e Fq(M)c Fr(.)59 1874 y Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(10.1)p Fo(.)k Fl(\(T)m(annaka-Kr)n(ein\))h(Sei)g (wie)g(ob)n(en)g(ein)g(Diagr)n(amm)g Fq(!)j Fr(:)e Fm(D)h(\000)-6 b(!)22 b(C)1399 1880 y Fi(0)59 1924 y Fl(ge)n(geb)n(en.)16 b(Dann)h(gibt)f(es)g(ein)g(Objekt)f Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))f Fm(2)f(C)18 b Fl(und)e(eine)g(nat)1160 1926 y(\177)1160 1924 y(urliche)g(T)m(r)n(ans-)59 1974 y(formation)j Fq(\016)j Fr(:)d Fq(!)i Fm(\000)-7 b(!)19 b Fq(!)14 b Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p Fl(,)20 b(so)f(da\031)h(f)895 1976 y(\177)895 1974 y(ur)f(je)n(des)g (Objekt)g Fq(M)25 b Fm(2)19 b(C)i Fl(und)59 2023 y(je)n(de)e(nat)206 2025 y(\177)206 2023 y(urliche)f(T)m(r)n(ansformation)g Fq(')g Fr(:)g Fq(!)h Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(!)13 b Fm(\012)g Fq(M)23 b Fl(genau)c(ein)g(Morphismus)65 2073 y Fg(e)-29 b Fq(')12 b Fr(:)f(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)20 b Fl(so)15 b(existiert,)f(da\031)h(das)g(Diagr)n(amm) 721 2173 y Ft(84)p eop %%Page: 85 90 85 89 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(85)559 194 y Fq(!)198 b(!)10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 598 184 173 2 v 729 183 a Fk(-)676 175 y Fn(\016)843 362 y Fq(!)g Fm(\012)g Fq(M)690 270 y Fn(')630 233 y Fk(H)672 254 y(H)713 275 y(H)755 296 y(H)796 316 y(H)805 320 y(H)-42 b(j)p 903 320 2 108 v 57 w(?)921 279 y Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')59 444 y Fl(kommutiert.)109 681 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Aus)c Fq(!)g Fr(k)o(onstruieren)g(wir)f(ein)g(neues)h(Diagramm)11 b Fq(!)1142 666 y Fp(\003)1171 681 y Fm(\012)f Fq(!)16 b Fr(in)f Fm(C)r Fr(.)g(Die)59 731 y(Ob)r(jekte)g(dieses)g(Diagramm)o (s)d(seien)i Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))755 716 y Fp(\003)785 731 y Fm(\012)c Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)f Fr(\))14 b(f)947 733 y(\177)946 731 y(ur)g(alle)f(Ob)r(jekte)j Fq(X)q(;)7 b(Y)20 b Fm(2)12 b(D)q Fr(.)59 781 y(Dab)q(ei)17 b(sei)h Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))343 766 y Fp(\003)380 781 y Fr(das)g(Links-Dual)d(v)o(on)i Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\).)h(F)910 783 y(\177)909 781 y(ur)g(jedes)g Fq(f)k Fr(:)17 b Fq(X)k Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(Y)26 b Fr(in)17 b Fm(D)59 831 y Fr(k)o(onstruieren)k(wir)e(zw)o(ei)g(Morphismen)g(des)h (Diagramm)o(s)d Fq(!)q Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))1108 816 y Fp(\003)1141 831 y Fm(\012)c Fr(1)21 b(:)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)10 b Fr(\))1353 816 y Fp(\003)1385 831 y Fm(\012)59 881 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))j Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))343 866 y Fp(\003)372 881 y Fm(\012)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))15 b(und)f(1)9 b Fm(\012)h Fq(!)q Fr(\()p Fq(f)t Fr(\))j(:)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)f Fr(\))892 866 y Fp(\003)921 881 y Fm(\012)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))k Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)f Fr(\))1243 866 y Fp(\003)1271 881 y Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\).)59 930 y(Das)20 b(sollen)h(alle)f (Morphismen)f(des)j(Diagramm)o(s)c Fq(!)933 915 y Fp(\003)966 930 y Fm(\012)c Fq(!)22 b Fr(sein.)e(Sei)h(sc)o(hlie\031lic)o(h)59 980 y(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))14 b(:=)g(lim)295 995 y Fm(\000)-16 b(!)352 980 y Fr(\()p Fq(!)395 965 y Fp(\003)425 980 y Fm(\012)10 b Fq(!)q Fr(\))16 b(mit)d(den)j (Injektionen)f Fq(\023)p Fr(\()p Fq(X)q(;)7 b(Y)i Fr(\))14 b(:)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))1171 965 y Fp(\003)1202 980 y Fm(\012)d Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\))j Fm(\000)-6 b(!)59 1030 y Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\).)59 1096 y(F)87 1098 y(\177)86 1096 y(ur)16 b Fq(X)i Fm(2)c(C)k Fr(de\014nieren)f(wir)e(jetzt)i(den)f(Morphism)o(us)e Fq(\016)r Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))i(:)d Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))j Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))f Fm(\012)59 1146 y Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))g(durc)o(h)h(\(1)5 b Fm(\012)g Fq(\023)p Fr(\()p Fq(X)q(;)i(X)s Fr(\)\)\(db)h Fm(\012)p Fr(1\))j(:)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))i Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))5 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))1178 1131 y Fp(\003)1204 1146 y Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))13 b Fm(\000)-6 b(!)59 1196 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))5 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)r(\()p Fq(!)q Fr(\).)12 b(Dann)f(ist)h(wie)f(in)h(Absc)o (hnitt)g(9)f Fq(\023)p Fr(\()p Fq(X)q(;)c(X)s Fr(\))12 b(=)g(\(1)5 b Fm(\012)g Fr(ev)q(\)\(1)g Fm(\012)g Fq(\016)r Fr(\()p Fq(X)s Fr(\)\).)59 1262 y(Wir)11 b(zeigen,)h(da\031)g Fq(\016)h Fr(eine)g(nat)528 1264 y(\177)527 1262 y(urlic)o(he)e(T)m (ransformation)f(ist.)h(F)1046 1264 y(\177)1045 1262 y(ur)h(jedes)h Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(X)16 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(Y)59 1312 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert)h(das)i(Quadrat)479 1507 y Fq(I)358 b(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))1099 1492 y Fp(\003)p 512 1497 331 2 v 801 1496 a Fk(-)645 1484 y Fi(db)682 1488 y Fj(X)p 488 1633 2 108 v 489 1633 a Fk(?)411 1587 y Fi(db)448 1591 y Fj(Y)p 986 1633 V 987 1633 a Fk(?)1004 1587 y Fn(!)q Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)361 1673 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\))g Fm(\012)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)h Fr(\))598 1658 y Fp(\003)851 1673 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\))g Fm(\012)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))1091 1658 y Fp(\003)1111 1673 y Fq(:)p 629 1663 210 2 v 797 1662 a Fk(-)670 1693 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(!)q Fi(\()p Fn(f)s Fi(\))780 1680 y Fe(\003)59 1851 y Fr(nac)o(h)14 b(F)m(olgerung)g(9.10.)e(Daher)i(k)o(omm)o(uti)o(ert)e(auc)o(h)i(das)g (Diagramm)p eop %%Page: 86 91 86 90 bop 59 117 a Ft(86)423 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)849 194 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))1093 179 y Fp(\003)1122 194 y Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))1426 443 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))h Fm(\012)e Fr(co)q(end)1330 315 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\023)p Fi(\()p Fn(X;X)r Fi(\))1113 233 y Fk(H)1154 254 y(H)1196 275 y(H)1237 296 y(H)1279 316 y(H)1320 337 y(H)1362 358 y(H)1403 379 y(H)1445 399 y(H)1453 403 y(H)-42 b(j)10 443 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))444 316 y Fi(db)6 b Fp(\012)p Fi(1)175 403 y Fk(\030)217 393 y(\030)258 383 y(\030)300 372 y(\030)341 362 y(\030)383 352 y(\030)424 341 y(\030)466 331 y(\030)507 320 y(\030)549 310 y(\030)590 300 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b(dieses)g(Diagramm)o(s)c(ergibt)524 972 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))128 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 633 963 103 2 v 694 962 a Fk(-)648 946 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))803 1138 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))h Fm(\012)e Fq(M)r(:)634 1052 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))630 1012 y Fk(H)672 1032 y(H)713 1053 y(H)755 1074 y(H)796 1095 y(H)805 1099 y(H)-42 b(j)p 903 1099 2 108 v 57 w(?)921 1057 y Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')59 1207 y Fr(Es)18 b(bleibt)f(zu)g(zeigen,)g(da\031)23 b Fg(e)-29 b Fq(')17 b Fr(:)g(co)q(end\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)17 b Fq(M)22 b Fr(eindeutig)17 b(b)q(estimm)o(t)e(ist.)h (Sei)59 1257 y(auc)o(h)21 b Fg(e)-29 b Fq(')185 1263 y Fi(0)218 1257 y Fr(:)13 b(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(M)19 b Fr(mit)14 b Fq(')p Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))g(=)g(\()810 1248 y Fg(e)811 1257 y Fr(1)c Fm(\012)h Fq(')912 1263 y Fi(0)930 1257 y Fr(\))p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))17 b(gegeb)q(en,)e(dann)g(k)o(om-)59 1307 y(m)o(utiert)233 1370 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))329 1355 y Fp(\003)358 1370 y Fm(\012)10 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))537 b(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 509 1360 508 2 v 975 1359 a Fk(-)710 1344 y Fn(\023)p Fi(\()p Fn(X;X)r Fi(\))498 1494 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))594 1479 y Fp(\003)624 1494 y Fm(\012)9 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))i Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))579 1429 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\016)q Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))452 1402 y Fk(P)493 1416 y(P)535 1430 y(P)576 1444 y(P)610 1455 y(P)-42 b(q)406 1554 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))394 1430 y Fk(@)435 1472 y(@)477 1513 y(@)518 1555 y(@)560 1596 y(@)601 1638 y(@)643 1679 y(@)668 1704 y(@)g(R)817 1429 y Fi(ev)6 b Fp(\012)p Fi(1)825 1455 y Fk(\020)867 1441 y(\020)908 1427 y(\020)950 1414 y(\020)983 1402 y(\020)-42 b(1)p 737 1704 2 191 v 738 1704 a(?)755 1621 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')863 1625 y Fb(0)p 1111 1704 2 316 v 1112 1704 a Fk(?)1130 1558 y Fg(e)g Fn(')1150 1562 y Fb(0)558 1743 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))654 1728 y Fp(\003)684 1743 y Fm(\012)9 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))i Fm(\012)e Fq(M)172 b(M)r(;)p 930 1734 142 2 v 1031 1733 a Fk(-)961 1722 y Fi(ev)6 b Fp(\012)p Fi(1)59 1813 y Fr(also)13 b(ist)20 b Fg(e)-29 b Fq(')227 1819 y Fi(0)258 1813 y Fr(=)17 b Fg(e)-29 b Fq(')p Fr(.)p 382 1790 29 2 v 382 1815 2 25 v 408 1815 V 382 1817 29 2 v 59 1892 a Fo(F)o(olger)o(ung)16 b Fr(10.2)p Fo(.)k Fl(Es)15 b(ist)103 1932 y Fg(a)66 2022 y Fn(f)s Fp(2)p Fi(Mor)p Fp(D)200 1972 y Fq(!)q Fr(\(Zi)q(\()p Fq(f)t Fr(\)\))353 1955 y Fp(\003)382 1972 y Fm(\012)10 b Fq(!)q Fr(\(Qu)q(\()p Fq(f)t Fr(\)\))p 628 1960 100 2 v 686 1959 a Fk(-)669 1946 y Fn(p)p 628 1977 V 30 x Fk(-)670 1996 y Fn(q)779 1934 y Fg(a)741 2023 y Fn(X)r Fp(2)p Fi(Ob)d Fp(D)876 1974 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))972 1956 y Fp(\003)997 1974 y Fm(\012)t Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))p 1162 1965 59 2 v 1179 1964 a Fk(-)1252 1975 y Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))59 2065 y Fl(ein)15 b(Di\013er)n(enzkokern.)p eop %%Page: 88 93 88 92 bop 59 117 a Ft(88)423 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)109 225 y Fo(Beweis.)h Fr(Das)13 b(ist)f(eine)h(Umform)o(uli)o(erung)d(der)k(Bemerkung)f(5.12.)d(Man)j (b)q(eac)o(h-)59 275 y(te,)h(da\031)e(hier)i(der)g(F)m(all)e(eines)i (Kolimes)e(v)o(orliegt)h(und)g(da\031)g(man)f(nic)o(h)o(t)h(alle)g(Ob)r (jekte)59 325 y(des)i(Diagramm)o(s)d(im)g(Kopro)q(dukt)j(v)o(erw)o (enden)g(m)o(u\031,)e(sondern)i(n)o(ur)f(diejenigen)h(der)59 374 y(F)m(orm)d Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))264 359 y Fp(\003)294 374 y Fm(\012)d Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\).)p 486 352 29 2 v 486 377 2 25 v 512 377 V 486 379 29 2 v 59 456 a Fo(F)o(olger)o(ung)16 b Fr(10.3)p Fo(.)k Fl(Der)13 b(F)m(unktor)h Fr(Nat\()p Fq(!)q(;)7 b(!)g Fm(\012)f Fq(M)f Fr(\))14 b Fl(ist)f(dur)n(ch)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fl(darstel)r(l-)59 506 y(b)n(ar)h(als)f(F)m(unktor)h(in) g Fq(M)5 b Fl(.)109 590 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Aus)e(dem)f(gel)520 592 y(\177)520 590 y(osten)g(univ)o(ersellen)h(Problem)f(folgt)f(der)i (Isomorphis-)59 640 y(m)o(us)357 696 y(Nat\()p Fq(!)q(;)7 b(!)k Fm(\012)e Fq(M)c Fr(\))638 685 y Fm(\030)638 698 y Fr(=)681 696 y(Mor)756 702 y Fp(C)778 696 y Fr(\(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p Fq(;)i(M)e Fr(\))p Fq(:)p 1091 673 V 1091 698 2 25 v 1118 698 V 1091 700 29 2 v 59 777 a Fr(Man)17 b(k)n(ann)g(eb)q(enso)h(auc)o(h)g(f)516 779 y(\177)515 777 y(ur)f(v)o(ersc)o(hiedene)i(F)m(unktoren)f Fq(!)q(;)7 b(!)1090 762 y Fp(0)1118 777 y Fr(:)17 b Fm(D)h(\000)-6 b(!)16 b(C)k Fr(einen)59 827 y(Isomorphism)o(us)10 b(Nat\()p Fq(!)q(;)d(!)499 812 y Fp(0)517 827 y Fm(\012)f Fq(M)f Fr(\))629 816 y Fm(\030)629 829 y Fr(=)672 827 y(Mor)747 833 y Fp(C)769 827 y Fr(\(cohom)o(\()p Fq(!)946 812 y Fp(0)958 827 y Fq(;)i(!)q Fr(\))p Fq(;)g(M)e Fr(\))12 b(k)o(onstruieren)h(und)59 877 y(damit)j Fl(Komorphismen-Objekte)h Fr(de\014nieren.)h(Dazu)g(m)o(u\031)d(lediglic)o(h)h Fq(!)1227 862 y Fp(0)1257 877 y Fr(W)m(erte)i(in)59 927 y Fm(C)81 933 y Fi(0)113 927 y Fr(annehmen.)59 1011 y Fo(F)o(olger)o(ung)e Fr(10.4)p Fo(.)k Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))g Fl(ist)e(auf)h(genau)i(eine)e(Weise)g(eine)h(Ko)n (algebr)n(a,)e(so)59 1061 y(da\031)e(die)f(Diagr)n(amme)434 1117 y Fq(!)447 b(!)11 b Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 473 1107 422 2 v 854 1106 a Fk(-)676 1098 y Fn(\016)p 447 1243 2 108 v 448 1243 a Fk(?)415 1200 y Fn(\016)p 1028 1243 V 1029 1243 a Fk(?)1045 1198 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(\001)326 1283 y Fq(!)i Fm(\012)f Fr(co)q(end\()p Fq(!)q Fr(\))232 b Fq(!)10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))f Fm(\012)h Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 581 1273 207 2 v 746 1272 a Fk(-)655 1301 y Fn(\016)q Fp(\012)p Fi(1)59 1337 y Fl(und)559 1384 y Fq(!)198 b(!)10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 598 1375 173 2 v 729 1374 a Fk(-)676 1366 y Fn(\016)854 1553 y Fq(!)h Fm(\012)e Fq(I)663 1465 y Fi(id)690 1469 y Fj(!)630 1424 y Fk(H)672 1445 y(H)713 1465 y(H)755 1486 y(H)796 1507 y(H)805 1511 y(H)-42 b(j)p 903 1511 2 108 v 57 w(?)921 1465 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(")59 1604 y Fl(kommutier)n(en.)109 1689 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)c(Diagramm)o(e)d (de\014nieren)18 b(w)o(egen)e(der)h(univ)o(ersellen)f(Eigensc)o(haft)59 1739 y(v)o(on)d(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))i(die)f (Strukturmorphismen)386 1819 y(\001)e(:)f(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))f Fm(\012)f Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))59 1900 y(und)567 1955 y Fq(")j Fr(:)f(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(I)s(:)59 2023 y Fr(Daraus)19 b(folgt)g(auc)o(h)g(unmittelbar)f(die)i(Koalgebreneigensc)o(haft)1142 2025 y(\177)1142 2023 y(ahnlic)o(h)f(wie)g(im)59 2073 y(Bew)o(eis)c(v)o(on)e(F)m(olgerung)h(7.21.)p 594 2050 29 2 v 594 2075 2 25 v 620 2075 V 594 2077 29 2 v eop %%Page: 89 94 89 93 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(89)59 225 y Fr(Man)13 b(b)q(eac)o(h)o (te,)h(da\031)e(durc)o(h)i(diese)f(Konstruktion)h(alle)e(Ob)r(jekte)i (und)f(alle)f(Morphis-)59 275 y(men)f(aus)i(dem)e(Diagramm)d Fq(!)14 b Fr(Komo)q(duln)c(bzw.)j(Komo)q(dul)d(Morphismen)1267 277 y(\177)1265 275 y(ub)q(er)k(der)59 325 y(Koalgebra)d(co)q(end)q(\() p Fq(!)q Fr(\))i(gew)o(orden)f(sind.)f(T)m(ats)790 327 y(\177)790 325 y(ac)o(hlic)o(h)g(ist)h Fq(C)i Fr(:=)d(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))i(sogar)e(die)59 374 y(univ)o(erselle)k(Koalgebra,)475 376 y(\177)474 374 y(ub)q(er)h(der)f(das)g(v)o(orgegeb)q(ene)h (Diagramm)11 b(ein)j(Diagramm)59 424 y(v)o(on)f(Komo)q(duln)g(wird.)59 512 y Fo(F)o(olger)o(ung)j Fr(10.5)p Fo(.)k Fl(Sei)13 b Fr(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))13 b Fl(ein)g(Diagr)n(amm)g(in)g Fm(C)i Fl(mit)e(Objekten)g(in)g Fm(C)1274 518 y Fi(0)1292 512 y Fl(.)g(Dann)59 562 y(sind)25 b(al)r(le)f(Objekte)h(des)g(Diagr)n (amms)f(Komo)n(duln)927 564 y(\177)927 562 y(ub)n(er)g(der)h(Ko)n (algebr)n(a)f Fq(C)33 b Fr(:=)59 612 y(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))26 b Fl(und)g(al)r(le)f(Morphismen)h(des)g(Diagr)n(amms)f (Komo)n(dul)h(Morphismen.)59 661 y(Wenn)21 b Fq(D)g Fl(eine)f(weiter)n (e)e(Ko)n(algebr)n(a)i(ist)f(und)h(al)r(le)f(Objekte)h(des)g(Diagr)n (amms)f Fq(D)q Fl(-)59 711 y(Komo)n(duln)g(dur)n(ch)g Fq(')p Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))g(:)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))i Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))13 b Fm(\012)f Fq(D)20 b Fl(sind)f(und)h(al)r(le)e(Morphismen)59 761 y(des)i(Diagr)n(amms)g Fq(D)q Fl(-Komo)n(dul)h(Morphismen)g(sind,)f (dann)h(gibt)f(es)g(genau)h(einen)59 811 y(Ko)n(algebr)n(en)15 b(Morphismus)20 b Fg(e)-28 b Fq(')12 b Fr(:)f(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)q Fl(,)k(so)g(da\031)h(das)f (Diagr)n(amm)559 870 y Fq(!)198 b(!)10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 598 860 173 2 v 729 859 a Fk(-)676 851 y Fn(\016)847 1038 y Fq(!)h Fm(\012)e Fq(D)690 946 y Fn(')630 909 y Fk(H)672 930 y(H)713 951 y(H)755 972 y(H)796 992 y(H)805 996 y(H)-42 b(j)p 903 996 2 108 v 57 w(?)921 955 y Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')59 1090 y Fl(kommutiert.)109 1178 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)j(Morphismen)e Fq(')p Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))27 b(:)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))j Fm(\000)-7 b(!)25 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))17 b Fm(\012)e Fq(D)24 b Fr(bilden)e(eine)59 1228 y(nat)120 1230 y(\177)119 1228 y(urlic)o(he)c(T)m(ransformation,)c(da)k(alle)e(Morphismen)h(des)h (Diagramm)o(s)d(Komo)q(dul)59 1278 y(Morphismen)10 b(sind.)g(Damit)e (sind)i(Existenz)i(und)e(Eindeutigk)o(eit)g(eines)h(Morphism)o(us)65 1327 y Fg(e)-29 b Fq(')12 b Fr(:)f(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(D)g Fr(klar.)e(Es)h(bleibt)g(zu)g (zeigen,)g(da\031)f(dieses)i(ein)e(Koalgebren)h(Mor-)59 1377 y(phism)o(us)15 b(ist.)g(Das)h(folgt)f(aus)h(der)g(univ)o (ersellen)h(Eigensc)o(haft)f(v)o(on)f Fq(C)j Fr(=)d(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))59 1427 y(durc)o(h)g(das)f(Diagramm)476 1505 y Fq(!)264 b(!)10 b Fm(\012)g Fq(C)p 515 1493 239 2 v 712 1492 a Fk(-)626 1484 y Fn(\016)598 1586 y(\016)518 1563 y Fk(@)560 1605 y(@)585 1629 y(@)-42 b(R)930 1584 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(\001)850 1563 y Fk(@)892 1605 y(@)917 1629 y(@)g(R)p 488 1878 2 357 v 489 1878 a(?)456 1709 y Fi(1)p 820 1878 V 821 1878 a Fk(?)740 1712 y Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')600 1671 y Fq(!)10 b Fm(\012)g Fq(C)182 b(!)11 b Fm(\012)e Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)p 723 1659 156 2 v 836 1658 a Fk(-)771 1647 y Fn(\016)q Fp(\012)p Fi(1)p 654 2044 2 357 v 655 2044 a Fk(?)574 1878 y Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')p 986 2044 V 987 2044 a Fk(?)1004 1878 y Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)g Fn(')o Fp(\012)r Fg(e)g Fn(')476 1920 y Fq(!)262 b(!)11 b Fm(\012)e Fq(D)p 515 1908 238 2 v 711 1907 a Fk(-)623 1928 y Fn(')525 1994 y(')518 1978 y Fk(@)560 2019 y(@)585 2044 y(@)-42 b(R)809 1999 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(\001)850 1978 y Fk(@)892 2019 y(@)917 2044 y(@)g(R)598 2086 y Fq(!)11 b Fm(\012)e Fq(D)177 b(!)11 b Fm(\012)e Fq(D)i Fm(\012)f Fq(D)p 724 2074 152 2 v 834 2073 a Fk(-)767 2100 y Fn(')p Fp(\012)p Fi(1)p eop %%Page: 90 95 90 94 bop 59 117 a Ft(90)423 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)59 225 y Fr(w)o(ob)q(ei)13 b(die)g(rec)o(h)o (te)h(Seite)f(des)h(W)578 227 y(\177)577 225 y(urfels)f(w)o(egen)g(der) h(univ)o(ersellen)f(Eigensc)o(haft)g(k)o(om-)59 275 y(m)o(utiert.)225 266 y(\177)219 275 y(Ahnlic)o(h)h(zeigt)g(man,)e(da\031)19 b Fg(e)-29 b Fq(')14 b Fr(die)g(Ko)q(einheit)g(erh)1010 277 y(\177)1010 275 y(alt.)p 1113 252 29 2 v 1113 277 2 25 v 1139 277 V 1113 279 29 2 v 59 377 a(Seien)19 b Fq(!)i Fr(:)e Fm(D)i(\000)-7 b(!)19 b(C)i Fr(und)e Fq(!)547 362 y Fp(0)578 377 y Fr(:)h Fm(D)643 362 y Fp(0)674 377 y Fm(\000)-7 b(!)19 b(C)i Fr(Diagramm)o(e)16 b(in)i Fm(C)r Fr(.)h(Das)f(Diagramm)59 426 y(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))s Fm(\012)s Fr(\()p Fm(D)257 411 y Fp(0)269 426 y Fq(;)g(!)315 411 y Fp(0)327 426 y Fr(\))12 b(:=)f(\()p Fm(D)t(\002)s(D)530 411 y Fp(0)542 426 y Fq(;)c(!)t Fm(\012)s Fq(!)653 411 y Fp(0)665 426 y Fr(\))k(mit)e(\()p Fq(!)t Fm(\012)s Fq(!)873 411 y Fp(0)886 426 y Fr(\)\()p Fq(X)q(;)e(Y)i Fr(\))j(:=)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))s Fm(\012)s Fq(!)1249 411 y Fp(0)1263 426 y Fr(\()p Fq(Y)e Fr(\))i(nen-)59 476 y(nen)j(wir)g(das)f(T)m(ensorpro)q(dukt)i(dieser)f(b)q(eiden)h (Diagramm)o(e.)10 b(Das)k(neue)g(Diagramm)59 526 y(b)q(esteh)o(t)j (also)d(aus)h(allen)f(T)m(ensorpro)q(dukten)j(der)e(Ob)r(jekte)h(bzw.)f (Morphismen)g(der)59 576 y(b)q(eiden)g(urpr)271 578 y(\177)270 576 y(unglic)o(hen)f(Diagramm)o(e.)59 630 y(Wir)g(setzen)i(v)o(on)e(n)o (un)g(an)g(v)o(oraus,)g(da\031)g(die)g(Kategorie)h Fm(C)h Fr(die)f(Kategorie)f(der)h(V)m(ek-)59 679 y(torr)128 681 y(\177)128 679 y(aume)f(V)m(ek)g(ist,)g(und)h(v)o(erw)o(enden)h (die)e(Symmetrie)e Fq(\034)18 b Fr(:)12 b Fq(V)19 b Fm(\012)10 b Fq(W)18 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(W)k Fm(\012)10 b Fq(V)24 b Fr(in)59 729 y(V)m(ek.)59 842 y Fo(Lemma)17 b Fr(10.6)p Fo(.)j Fl(Seien)14 b Fr(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))15 b Fl(und)g Fr(\()p Fm(D)689 827 y Fp(0)701 842 y Fq(;)7 b(!)747 827 y Fp(0)758 842 y Fr(\))14 b Fl(end)r(liche)h(Diagr)n(amme)f (in)g Fr(V)m(ek)p Fl(.)g(Dann)59 892 y(ist)382 965 y Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))c Fm(\012)f Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)745 948 y Fp(0)757 965 y Fr(\))785 954 y Fm(\030)785 967 y Fr(=)829 965 y(co)q(end)q(\()p Fq(!)h Fm(\012)g Fq(!)1055 948 y Fp(0)1067 965 y Fr(\))p Fq(:)109 1078 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)d(b)q(eac)o(h)o(ten)h(zun)616 1080 y(\177)616 1078 y(ac)o(hst)g(folgendes.)f(W)m(enn)f(zw)o(ei)i (Diagramm)n(e)d Fq(!)j Fr(:)59 1128 y Fm(D)c(\000)-7 b(!)13 b Fr(V)m(ek)h(und)h Fq(!)378 1113 y Fp(0)403 1128 y Fr(:)d Fm(D)460 1113 y Fp(0)485 1128 y Fm(\000)-6 b(!)12 b Fr(V)m(ek)j(gegeb)q(en)g(sind,)f(so)h(ist)g(lim)1017 1143 y Fm(\000)-16 b(!)1081 1134 y Fp(D)1117 1128 y Fr(lim)1117 1143 y Fm(\000)g(!)1182 1134 y Fp(D)1209 1126 y Fe(0)1222 1128 y Fr(\()p Fq(!)11 b Fm(\012)f Fq(!)1344 1113 y Fp(0)1356 1128 y Fr(\))1385 1117 y Fm(\030)1385 1130 y Fr(=)59 1178 y(lim)59 1193 y Fm(\000)-16 b(!)124 1184 y Fp(D)q(\002D)204 1176 y Fe(0)216 1178 y Fr(\()p Fq(!)9 b Fm(\012)e Fq(!)333 1163 y Fp(0)345 1178 y Fr(\))373 1167 y Fm(\030)373 1180 y Fr(=)417 1178 y(lim)417 1193 y Fm(\000)-16 b(!)481 1184 y Fp(D)510 1178 y Fr(\()p Fq(!)q Fr(\))8 b Fm(\012)f Fr(lim)616 1193 y Fm(\000)-15 b(!)681 1184 y Fp(D)708 1176 y Fe(0)721 1178 y Fr(\()p Fq(!)764 1163 y Fp(0)776 1178 y Fr(\),)13 b(w)o(eil)f(das)h(T)m(ensorpro)q(dukt)g(mit)e(Koli-)59 1228 y(mites)g(v)o(ertausc)o(h)o(bar)i(ist)f(und)g(Kolimites)e(un)o (tereinander)j(v)o(ertausc)o(h)o(bar)g(sind.)e(Man)59 1278 y(b)q(etrac)o(h)o(te)16 b(dazu)e(das)g(k)o(omm)n(utativ)o(e)d (Diagramm)93 1371 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))g Fm(\012)e Fq(!)268 1356 y Fp(0)280 1371 y Fr(\()p Fq(Y)h Fr(\))213 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fr(lim)707 1386 y Fm(\000)-16 b(!)765 1387 y Fp(D)792 1379 y Fe(0)805 1371 y Fr(\()p Fq(!)848 1356 y Fp(0)860 1371 y Fr(\))p 358 1364 189 2 v 505 1363 a Fk(-)p 219 1542 2 150 v 220 1542 a(?)69 1578 y Fr(lim)69 1594 y Fm(\000)g(!)127 1595 y Fp(D)155 1578 y Fr(\()p Fq(!)q Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)293 1563 y Fp(0)305 1578 y Fr(\()p Fq(Y)f Fr(\))165 b(lim)535 1594 y Fm(\000)-16 b(!)592 1595 y Fp(D)621 1578 y Fr(\()p Fq(!)q Fr(\))10 b Fm(\012)f Fr(lim)731 1594 y Fm(\000)-15 b(!)789 1595 y Fp(D)816 1587 y Fe(0)829 1578 y Fr(\()p Fq(!)872 1563 y Fp(0)884 1578 y Fr(\))p 383 1572 140 2 v 481 1571 a Fk(-)p 717 1542 2 150 v 717 1542 a(?)976 1565 y Fm(\030)976 1579 y Fr(=)1019 1577 y(lim)1019 1592 y Fm(\000)g(!)1077 1593 y Fp(D)q(\002D)1157 1585 y Fe(0)1170 1577 y Fr(\()p Fq(!)10 b Fm(\012)g Fq(!)1291 1562 y Fp(0)1303 1577 y Fr(\))p Fq(:)59 1673 y Fr(Dann)19 b(ist)h(ab)q(er)h(auc)o(h)f(co)q(end)q(\()p Fq(!)14 b Fm(\012)g Fq(!)679 1658 y Fp(0)691 1673 y Fr(\))728 1662 y Fm(\030)728 1675 y Fr(=)782 1673 y(lim)782 1688 y Fm(\000)-16 b(!)846 1679 y Fp(D)q(\002D)926 1671 y Fe(0)939 1673 y Fr(\(\()p Fq(!)15 b Fm(\012)e Fq(!)1084 1658 y Fp(0)1096 1673 y Fr(\))1112 1658 y Fp(\003)1145 1673 y Fm(\012)g Fr(\()p Fq(!)i Fm(\012)e Fq(!)1319 1658 y Fp(0)1331 1673 y Fr(\)\))1385 1662 y Fm(\030)1385 1675 y Fr(=)59 1723 y(lim)59 1738 y Fm(\000)-16 b(!)124 1729 y Fp(D)q(\002D)204 1720 y Fe(0)216 1723 y Fr(\()p Fq(!)259 1707 y Fp(\003)284 1723 y Fm(\012)5 b Fq(!)h Fm(\012)f Fq(!)417 1707 y Fp(0)429 1702 y(\003)453 1723 y Fm(\012)g Fq(!)517 1707 y Fp(0)529 1723 y Fr(\))557 1711 y Fm(\030)557 1725 y Fr(=)601 1723 y(lim)601 1738 y Fm(\000)-16 b(!)665 1729 y Fp(D)694 1723 y Fr(\()p Fq(!)737 1707 y Fp(\003)762 1723 y Fm(\012)5 b Fq(!)q Fr(\))g Fm(\012)g Fr(lim)884 1738 y Fm(\000)-16 b(!)949 1729 y Fp(D)976 1720 y Fe(0)989 1723 y Fr(\()p Fq(!)1032 1707 y Fp(0)1044 1702 y(\003)1068 1723 y Fm(\012)5 b Fq(!)1132 1707 y Fp(0)1144 1723 y Fr(\))1172 1711 y Fm(\030)1172 1725 y Fr(=)1216 1723 y(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))g Fm(\012)59 1772 y Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)207 1757 y Fp(0)219 1772 y Fr(\).)p 288 1750 29 2 v 288 1774 2 25 v 315 1774 V 288 1776 29 2 v 59 1874 a Fo(F)o(olger)o(ung)16 b Fr(10.7)p Fo(.)k Fl(F)437 1876 y(\177)437 1874 y(ur)11 b(end)r(liche)h(Diagr)n(amme)f Fr(\()p Fm(D)q Fq(;)c(!)q Fr(\))12 b Fl(und)g Fr(\()p Fm(D)1117 1859 y Fp(0)1129 1874 y Fq(;)7 b(!)1175 1859 y Fp(0)1186 1874 y Fr(\))12 b Fl(in)f Fm(D)h Fl(gibt)f(es)59 1924 y(eine)h(universel)r(le)f(nat)407 1926 y(\177)407 1924 y(urliche)g(T)m(r)n(ansformation)g Fq(\016)i Fr(:)e Fq(!)s Fm(\012)r Fq(!)978 1909 y Fp(0)1002 1924 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)s Fm(\012)r Fq(!)1170 1909 y Fp(0)1185 1924 y Fm(\012)r Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))r Fm(\012)59 1974 y Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)207 1959 y Fp(0)219 1974 y Fr(\))p Fl(,)g(so)g(da\031)g(f)396 1976 y(\177)396 1974 y(ur)f(je)n(des)h(Objekt)f Fq(M)16 b Fl(und)11 b(je)n(de)g(nat)942 1976 y(\177)942 1974 y(urliche)f(T)m(r)n(ansformation)g Fq(')i Fr(:)59 2023 y Fq(!)r Fm(\012)p Fq(!)146 2008 y Fp(0)169 2023 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(!)r Fm(\012)p Fq(!)335 2008 y Fp(0)347 2023 y Fm(\012)p Fq(M)k Fl(genau)d(ein)f(Morphismus)16 b Fg(e)-28 b Fq(')11 b Fr(:)g(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p Fm(\012)p Fr(co)q(end)r(\()p Fq(!)1254 2008 y Fp(0)1266 2023 y Fr(\))h Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(M)59 2073 y Fl(existiert,)i(so)h(da\031) p eop %%Page: 91 96 91 95 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(91)265 194 y Fq(!)10 b Fm(\012)g Fq(!)370 179 y Fp(0)873 194 y Fq(!)h Fm(\012)f Fq(!)979 179 y Fp(0)1000 194 y Fm(\012)f Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h Fm(\012)g Fr(co)q(end\()p Fq(!)1404 179 y Fp(0)1417 194 y Fr(\))p 394 184 468 2 v 820 183 a Fk(-)620 175 y Fn(\016)1047 405 y Fq(!)g Fm(\012)g Fq(!)1152 390 y Fp(0)1173 405 y Fm(\012)g Fq(M)688 291 y Fn(')439 223 y Fk(X)481 233 y(X)522 244 y(X)564 254 y(X)606 264 y(X)647 275 y(X)689 285 y(X)730 296 y(X)772 306 y(X)813 316 y(X)855 327 y(X)896 337 y(X)938 347 y(X)979 358 y(X)995 362 y(X)-42 b(z)p 1152 362 2 150 v 116 w(?)1170 299 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)r Fg(e)-25 b Fn(')59 450 y Fl(kommutiert.)59 525 y Fo(Definition)16 b Fr(10.8)p Fo(.)k Fr(Sei)12 b(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))12 b(ein)h(Diagramm)8 b(in)j(V)m(ek.)h(Seien) h Fm(D)g Fr(eine)g(monoidale)59 575 y(Kategorie)g(und)f Fq(!)i Fr(ein)e(monoidaler)e(F)m(unktor.)h(Dann)h(hei\031t)g(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))13 b(ein)f Fl(monoidales)59 625 y(Diagr)n(amm)p Fr(.)59 675 y(Sei)19 b(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))19 b(ein)g(monoidales)e(Diagramm)e(in)k(V)m(ek.)f (Sei)h Fq(A)i Fm(2)e Fr(V)m(ek)g(eine)h(Algebra.)59 724 y(Eine)15 b(nat)216 726 y(\177)215 724 y(urlic)o(he)g(T)m (ransformation)e Fq(')g Fr(:)g Fq(!)h Fm(\000)-6 b(!)12 b Fq(!)g Fm(\012)e Fq(B)17 b Fr(hei\031t)e Fl(monoidal)p Fr(,)g(w)o(enn)g(die)59 774 y(Diagramm)o(e)244 824 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))c Fm(\012)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)h Fr(\))422 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\))f Fm(\012)g Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)p 498 815 398 2 v 853 814 a Fk(-)607 798 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))p Fp(\012)p Fn(')p Fi(\()p Fn(Y)d Fi(\))p 364 992 2 150 v 365 992 a Fk(?)331 921 y Fn(\032)p 1111 992 V 1112 992 a Fk(?)1128 924 y Fn(\032)p Fp(\012)p Fn(m)274 1032 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)13 b Fm(\012)d Fq(Y)f Fr(\))524 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)13 b Fm(\012)d Fq(Y)f Fr(\))g Fm(\012)h Fq(B)p 468 1022 499 2 v 925 1021 a Fk(-)652 1006 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fp(\012)p Fn(Y)d Fi(\))59 1081 y Fr(und)515 1125 y Ff(K)344 b(K)12 b Fm(\012)e Ff(K)p 559 1113 317 2 v 834 1112 a Fk(-)704 1095 y Fp(\030)705 1104 y Fi(=)p 530 1291 2 150 v 531 1291 a Fk(?)p 945 1291 V 373 w(?)490 1330 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))293 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(B)p 583 1321 268 2 v 809 1320 a Fk(-)685 1304 y Fn(')p Fi(\()p Fn(I)r Fi(\))59 1379 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)59 1429 y(Wir)18 b(b)q(ezeic)o(hnen)j(die)d(Menge)h(der)h(monoidalen)c(nat)935 1431 y(\177)934 1429 y(urlic)o(hen)i(T)m(ransformationen)59 1479 y(mit)12 b(Nat)203 1461 y Fp(\012)231 1479 y Fr(\()p Fq(!)q(;)7 b(!)k Fm(\012)e Fq(B)r Fr(\).)14 b(Dieses)h(ist)f(o\013en)o (bar)g(ein)g(F)m(unktor)g(in)f Fq(B)r Fr(.)64 1545 y Fo(\177)59 1553 y(Ubung)j Fr(10.9)p Fo(.)k Fr(Zeigen)14 b(Sie,)g(da\031)f(Nat)674 1535 y Fp(\012)702 1553 y Fr(\()p Fq(!)q(;)7 b(!)k Fm(\012)e Fq(B)r Fr(\))15 b(ein)f(F)m(unktor)f(in)h Fq(B)i Fr(ist.)59 1628 y Fo(Sa)m(tz)g Fr(10.10)p Fo(.)k Fl(Sei)c Fr(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b(!)q Fr(\))16 b Fl(ein)g(end)r(liches)g (monoidales)h(Diagr)n(amm)f(in)f Fr(V)m(ek)p Fl(.)h(Dann)59 1678 y(ist)i Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))i Fl(eine)f(Bialgebr)n(a)g (und)h Fq(\016)h Fr(:)d Fq(!)i Fm(\000)-6 b(!)18 b Fq(!)c Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))20 b Fl(eine)f(monoidale)59 1728 y(nat)117 1730 y(\177)117 1728 y(urliche)c(T)m(r)n(ansformation.) 109 1803 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Die)13 b(Multiplik)n(ation)d(v)o(on)i(co) q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h(folgt)e(aus)i(dem)f(folgenden)g(k)o(om-)59 1852 y(m)o(utativ)o(en)g(Diagramm)327 1918 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))f Fm(\012)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)h Fr(\))125 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\))f Fm(\012)h Fr(co)q(end\()p Fq(!)q Fr(\))g Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 581 1908 100 2 v 639 1907 a Fk(-)601 1896 y Fn(\016)q Fp(\012)p Fn(\016)p 447 2044 2 108 v 448 2044 a Fk(?)p 1028 2044 V 539 w(?)357 2084 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)j Fm(\012)d Fq(Y)f Fr(\))292 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)14 b Fm(\012)9 b Fq(Y)g Fr(\))h Fm(\012)f Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 551 2074 268 2 v 777 2073 a Fk(-)676 2102 y Fn(\016)p eop %%Page: 92 97 92 96 bop 59 117 a Ft(92)423 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)59 225 y Fr(Zur)31 b(Konstruktion)f(der)h (Einheit)f(b)q(etrac)o(h)o(ten)h(wir)f(das)g(Diagramm)c Fm(D)1328 231 y Fi(0)1385 225 y Fr(=)59 275 y(\()p Fm(f)p Fq(I)s Fm(g)p Fq(;)7 b Fm(f)p Fr(id)o Fm(g)p Fr(\))18 b(zusammen)e(mit)h Fq(!)581 281 y Fi(0)618 275 y Fr(:)h Fm(D)680 281 y Fi(0)717 275 y Fm(\000)-6 b(!)18 b Fr(V)m(ek,)g Fq(!)927 281 y Fi(0)945 275 y Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))i(=)e Ff(K)q Fr(,)i(w)o(as)e(das)h(monoi-)59 325 y(dale)12 b(Einheitsob)r(jekt)h(in)e(der)i(monoidalen)d(Kategorie)i(der)h (Diagramm)o(e)c(in)j(V)m(ek)g(ist.)59 374 y(Dann)j(ist)g(\()p Ff(K)i Fm(\000)-7 b(!)13 b Ff(K)g Fm(\012)e Ff(K)p Fr(\))17 b(=)c(\()p Fq(!)608 380 y Fi(0)641 374 y Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(!)747 380 y Fi(0)775 374 y Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)965 380 y Fi(0)983 374 y Fr(\)\))16 b(die)f(univ)o(erselle)g (Abbil-)59 424 y(dung.)e(Das)h(folgende)g(Diagramm)9 b(induziert)15 b(dann)f(die)f(Einheit)h(f)1130 426 y(\177)1129 424 y(ur)g(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))515 521 y Ff(K)344 b(K)12 b Fm(\012)e Ff(K)p 559 509 317 2 v 834 508 a Fk(-)704 491 y Fp(\030)705 500 y Fi(=)p 530 646 2 108 v 531 646 a Fk(?)p 945 646 V 373 w(?)490 685 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))227 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(I)s Fr(\))11 b Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 583 676 202 2 v 744 675 a Fk(-)59 773 y Fr(Damit)k(w)o(eist)i(man)e(dann)i(un)o(ter)h(V)m (erw)o(endung)f(der)h(univ)o(ersellen)f(Eigensc)o(haft)g(die)59 823 y(Bialgebrengesetze)h(nac)o(h.)59 876 y(Die)10 b(ob)q(en)g(angegeb) q(enen)h(Diagramm)o(e)d(zeigen)i(zugleic)o(h,)g(da\031)f(die)h(nat)1170 878 y(\177)1169 876 y(urlic)o(he)h(T)m(rans-)59 926 y(formation)g Fq(\016)j Fr(:)d Fq(!)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)g Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))15 b(monoidal)c(ist.)p 955 903 29 2 v 955 928 2 25 v 981 928 V 955 930 29 2 v 64 1015 a Fo(\177)59 1024 y(Ubung)16 b Fr(10.11)p Fo(.)k Fr(W)m(enn)11 b Fq(A)h Fr(eine)g(endlic)o(h)f(dimensionale)f(Algebra)h (ist)h(und)f Fq(\016)j Fr(:)d Fq(A)g Fm(\000)-6 b(!)59 1074 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))12 b Fm(\012)f Fq(A)18 b Fr(die)f(univ)o(erselle)h(Ko)q(op)q(eration)f(der)h(T)m(am)o (bara-Bial)o(gebra)d(auf)h Fq(A)i Fr(v)o(on)59 1124 y(links)h(ist,)h (dann)g(ist)g Fq(\034)5 b(\016)24 b Fr(:)d Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)22 b Fq(A)13 b Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))20 b(\(mit)e(derselb)q(en)k(Multiplik)n(ation)59 1174 y(auf)16 b Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\)\))18 b(eine)f(univ)o (erselle)g(Ko)q(op)q(eration)g(v)o(on)g Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))17 b(auf)f Fq(A)h Fr(v)o(on)g(rec)o(h)o(ts.)h(Die)59 1223 y(durc)o(h)i(diese)g(Ko)q(op)q(eration)g(de\014nierte)h(Kom)o (ultiplik)m(atio)o(n)c(ist)i Fq(\034)5 b Fr(\001)20 b(:)h Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))20 b Fm(\000)-6 b(!)59 1273 y Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))h Fm(\012)g Fq(M)f Fr(\()p Fq(A)p Fr(\).)13 b(\(Wir)f(un)o(tersc)o(heiden)i(daher)f(zwisc) o(hen)g(der)g(link)o(en)f(und)g(der)h(rec)o(h-)59 1323 y(ten)i(T)m(am)o(bara-Bial)o(gebra)c(v)o(on)j Fq(A)g Fr(und)g(hab)q(en)g Fq(M)862 1329 y Fn(r)881 1323 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))e(=)f Fq(M)1039 1329 y Fn(l)1052 1323 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))1115 1308 y Fn(cop)1166 1323 y Fr(.\))59 1453 y(Wir)f(b)q(etrac)o(h)o(ten)h(jetzt)g(ein)f(b)q(esonderes)j (monoidales)8 b(Diagramm)e Fm(D)12 b Fr(:=)g Fm(D)q Fr([)p Fq(X)s Fr(;)7 b Fq(m;)g(u)p Fr(].)59 1503 y(Der)27 b(Einfac)o(hheit)f (halb)q(er)h(nehmen)f(wir)h(an,)f(da\031)g(V)m(ek)g(strikt)h(monoidal)d (ist.)59 1553 y Fm(D)q Fr([)p Fq(X)s Fr(;)7 b Fq(m;)g(u)p Fr(])15 b(b)q(estehe)k(aus)d(den)h(Ob)r(jekten)h Fq(X)c Fm(\012)d Fq(:)c(:)g(:)i Fm(\012)i Fq(X)20 b Fr(=)15 b Fq(X)1091 1538 y Fp(\012)p Fn(n)1157 1553 y Fr(f)1171 1555 y(\177)1170 1553 y(ur)h(alle)g Fq(n)f Fm(2)g Ff(N)59 1602 y Fr(mit)f Fq(I)k Fr(:=)c Fq(X)268 1587 y Fp(\012)p Fi(0)314 1602 y Fr(,)h(und)h(den)g(Morphismen)f Fq(m)g Fr(:)f Fq(X)g Fm(\012)d Fq(X)18 b Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(X)s Fr(,)i Fq(u)e Fr(:)g Fq(I)k Fm(\000)-6 b(!)14 b Fq(X)19 b Fr(und)59 1652 y(allen)d(formal)f(aus)h Fq(m;)7 b(u;)g Fr(id)o(,)16 b(T)m(ensorpro)q(dukten)j(und)e(Komp)q(ositionen)e (gebildeten)59 1702 y(Morphismen.)59 1755 y(Sei)c Fq(A)f Fr(eine)h(Algebra)g(mit)d(der)k(Multiplik)n(ation)7 b Fq(m)844 1761 y Fn(A)883 1755 y Fr(:)k Fq(A)r Fm(\012)r Fq(A)i Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(A)f Fr(und)h(der)g(Einheit)59 1805 y Fq(u)83 1811 y Fn(A)127 1805 y Fr(:)17 b Ff(K)j Fm(\000)-6 b(!)17 b Fq(A)p Fr(.)f(Dann)h(ist)h Fq(!)553 1811 y Fn(A)597 1805 y Fr(:)f Fm(D)h(\000)-7 b(!)17 b Fq(C)j Fr(mit)c Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))i(=)g Fq(A)p Fr(,)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)1194 1790 y Fp(\012)p Fn(n)1243 1805 y Fr(\))h(=)f Fq(A)1357 1790 y Fp(\012)p Fn(n)1406 1805 y Fr(,)59 1855 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))24 b(=)f Fq(m)269 1861 y Fn(A)317 1855 y Fr(und)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(u)p Fr(\))i(=)g Fq(u)592 1861 y Fn(A)639 1855 y Fr(ein)e(\(strikt\))g(monoidaler)d(F)m(unktor.)i(W)m(enn)g Fq(A)59 1905 y Fr(endlic)o(h)14 b(dimensional)d(ist,)j(dann)g(ist)g (das)g(Diagramm)9 b(endlic)o(h.)14 b(Dann)f(gilt)59 2013 y Fo(Sa)m(tz)j Fr(10.12)p Fo(.)k Fl(F)324 2015 y(\177)324 2013 y(ur)c(eine)g(end)r(lich-dimensionale)h(A)o(lgebr)n(a)f Fq(A)g Fl(sind)g(die)h(\(r)n(e)n(chtseiti-)59 2063 y(ge\))e(T)m(amb)n (ar)n(a-Bialgebr)n(a)f Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))15 b Fl(und)h Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)835 2069 y Fn(A)862 2063 y Fr(\))f Fl(als)f(Bialgebr)n(en)h(isomorph.)p eop %%Page: 93 98 93 97 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(93)109 225 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)14 b(hab)q(en)g(die)g(T)m(am)o(bara-Bial)o(gebra)d(f)937 227 y(\177)936 225 y(ur)j(linksseitige)f(Ko)q(op)q(eratio-)59 275 y(nen)h Fq(f)i Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)5 b Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))j Fm(\012)g Fq(A)13 b Fr(genauer)h(studiert,)f(b)q(en)901 277 y(\177)901 275 y(otigen)h(sie)f(jedo)q(c)o(h)h(hier)f(rec)o(h)o(ts-)59 325 y(seitig)h(univ)o(ersell)g(als)f(Morphism)o(us)g Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)f Fm(\012)f Fq(M)c Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))14 b(\(vgl.)1136 316 y(\177)1131 325 y(Ubung)g(10.11\).)59 378 y(Sei)g Fq(B)i Fr(eine)f(Algebra)e(und)h Fq(f)j Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)e Fm(\012)h Fq(B)r Fr(.)k(Sei)g Fq(!)e Fr(=)g Fq(!)994 384 y Fn(A)1021 378 y Fr(.)i(Wir)f(de\014nieren)66 489 y Fq(')p Fr(\()p Fq(X)146 472 y Fp(\012)p Fn(n)196 489 y Fr(\))e(:)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)326 472 y Fp(\012)p Fn(n)376 489 y Fr(\))h(=)g Fq(A)479 472 y Fp(\012)p Fn(n)541 463 y(f)560 451 y Fe(\012)p Fj(n)539 489 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)648 472 y Fp(\012)p Fn(n)706 489 y Fm(\012)f Fq(B)781 472 y Fp(\012)p Fn(n)841 461 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(m)913 448 y Fj(n)913 469 y(B)856 489 y Fm(\000)-7 b(!)26 b Fq(A)980 472 y Fp(\012)p Fn(n)1038 489 y Fm(\012)10 b Fq(B)k Fr(=)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)1249 472 y Fp(\012)p Fn(n)1298 489 y Fr(\))e Fm(\012)f Fq(B)r(;)59 582 y Fr(w)o(ob)q(ei)j Fq(m)211 567 y Fn(n)211 593 y(B)251 582 y Fr(:)g Fq(B)308 567 y Fp(\012)p Fn(n)368 582 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)j Fr(die)e Fq(n)p Fr(-fac)o(he)g(Multiplik)n (ation)e(auf)h Fq(B)k Fr(b)q(edeute.)e Fq(')g Fr(ist)f(eine)59 632 y(nat)120 634 y(\177)119 632 y(urlic)o(he)i(T)m(ransformation,)d (denn)j(die)g(Diagramm)o(e)556 723 y Ff(K)261 b(K)12 b Fm(\012)e Fq(B)p 600 712 234 2 v 792 711 a Fk(-)685 695 y Fn(')p Fi(\()p Fn(I)r Fi(\))p 571 848 2 108 v 572 848 a Fk(?)536 800 y Fn(u)p 903 848 V 904 848 a Fk(?)921 801 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(u)557 889 y Fq(A)258 b(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)p 600 878 234 2 v 793 877 a Fk(-)678 907 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))59 973 y Fr(und)350 1056 y Fq(A)g Fm(\012)h Fq(A)508 b(A)10 b Fm(\012)f Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)p 475 1045 485 2 v 918 1044 a Fk(-)651 1028 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fp(\012)p Fn(X)r Fi(\))597 1139 y Fq(A)h Fm(\012)f Fq(A)h Fm(\012)f Fq(B)j Fm(\012)d Fq(B)479 1093 y Fn(f)s Fp(\012)p Fn(f)522 1083 y Fk(X)564 1094 y(X)581 1098 y(X)-42 b(z)932 1093 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(m)854 1098 y Fk(\030)896 1087 y(\030)912 1083 y(\030)g(:)p 405 1347 2 274 v 406 1347 a(?)423 1216 y Fn(m)p 737 1243 2 88 v 738 1243 a Fk(?)755 1207 y Fn(m)p Fp(\012)p Fn(m)p 1069 1347 2 274 v 1070 1347 a Fk(?)1087 1217 y Fn(m)p Fp(\012)p Fi(1)680 1305 y Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)525 1342 y Fn(f)522 1347 y Fk(\030)564 1336 y(\030)581 1332 y(\030)-42 b(:)932 1342 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)854 1332 y Fk(X)896 1343 y(X)912 1347 y(X)g(z)391 1388 y Fq(A)590 b(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)p 434 1377 566 2 v 958 1376 a Fk(-)678 1406 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))59 1472 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)j(W)m(eiterhin)h(k)o(omm)o(utieren)306 1558 y Fq(A)337 1543 y Fp(\012)p Fn(r)390 1558 y Fm(\012)d Fq(A)463 1543 y Fp(\012)p Fn(s)885 1558 y Fq(A)916 1543 y Fp(\012)p Fn(r)970 1558 y Fm(\012)f Fq(A)1042 1543 y Fp(\012)p Fn(s)1096 1558 y Fm(\012)g Fq(B)j Fm(\012)d Fq(B)p 519 1544 354 2 v 832 1543 a Fk(-)567 1527 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)631 1515 y Fe(\012)p Fj(r)670 1527 y Fi(\))p Fp(\012)p Fn(')p Fi(\()p Fn(X)773 1515 y Fe(\012)p Fj(s)812 1527 y Fi(\))509 1641 y Fq(A)540 1626 y Fp(\012)p Fn(r)594 1641 y Fm(\012)h Fq(A)667 1626 y Fp(\012)p Fn(s)720 1641 y Fm(\012)f Fq(B)794 1626 y Fp(\012)p Fn(r)848 1641 y Fm(\012)h Fq(B)923 1626 y Fp(\012)p Fn(s)522 1582 y Fk(X)564 1593 y(X)581 1597 y(X)-42 b(z)231 b(\030)896 1586 y(\030)912 1582 y(\030)-42 b(:)p 405 1846 2 274 v 406 1846 a(?)p 737 1742 2 88 v 738 1742 a(?)p 1069 1846 2 274 v 1070 1846 a(?)569 1808 y Fq(A)600 1793 y Fp(\012)p Fi(\()p Fn(r)q Fi(+)p Fn(s)p Fi(\))721 1808 y Fm(\012)9 b Fq(B)795 1793 y Fp(\012)p Fi(\()p Fn(r)q Fi(+)p Fn(s)p Fi(\))522 1846 y Fk(\030)564 1835 y(\030)581 1831 y(\030)-42 b(:)231 b(X)896 1842 y(X)912 1846 y(X)-42 b(z)335 1891 y Fq(A)366 1876 y Fp(\012)p Fi(\()p Fn(r)q Fi(+)p Fn(s)p Fi(\))957 1891 y Fq(A)988 1876 y Fp(\012)p Fi(\()p Fn(r)q Fi(+)p Fn(s)p Fi(\))1108 1891 y Fm(\012)10 b Fq(B)p 490 1876 455 2 v 903 1875 a Fk(-)630 1911 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)694 1898 y Fe(\012)p Fb(\()p Fj(r)q Fb(+)p Fj(s)p Fb(\))791 1911 y Fi(\))59 1971 y Fr(so)k(da\031)f Fq(')f Fr(:)f Fq(!)276 1977 y Fn(A)315 1971 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)419 1977 y Fn(A)455 1971 y Fm(\012)f Fq(B)16 b Fr(ein)e(monoidale)d(nat)870 1973 y(\177)869 1971 y(urlic)o(he)j(T)m(ransformation)e(ist.)59 2023 y(Sei)i(umgek)o(ehrt)f(eine)i(nat)478 2025 y(\177)477 2023 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation)d Fq(')h Fr(:)f Fq(!)993 2029 y Fn(A)1032 2023 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)1136 2029 y Fn(A)1173 2023 y Fm(\012)e Fq(B)17 b Fr(gegeb)q(en.)59 2073 y(Sei)d Fq(f)i Fr(:=)c Fq(')p Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))g(:)f Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)f Fm(\012)f Fq(B)r Fr(.)14 b(Dann)g(k)o(omm)n(utieren)p eop %%Page: 94 99 94 98 bop 59 117 a Ft(94)423 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)474 196 y Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(A)218 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)f Fm(\012)h Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)p 600 184 193 2 v 751 183 a Fk(-)663 170 y Fn(f)s Fp(\012)p Fn(f)p 530 320 2 108 v 531 320 a Fk(?)489 272 y Fi(=)p 945 320 V 946 320 a Fk(?)962 274 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(m)474 362 y Fq(A)g Fm(\012)f Fq(A)260 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(A)f Fm(\012)h Fq(B)p 600 350 236 2 v 793 349 a Fk(-)651 334 y Fn(')p Fi(\()p Fn(X)r Fp(\012)p Fn(X)r Fi(\))p 530 486 2 108 v 531 486 a Fk(?)485 439 y Fn(m)p 945 486 V 946 486 a Fk(?)962 440 y Fn(m)p Fp(\012)p Fi(1)515 528 y Fq(A)342 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(B)p 559 516 317 2 v 834 515 a Fk(-)707 502 y Fn(f)59 594 y Fr(und)556 658 y Ff(K)261 b(K)13 b Fm(\012)d Ff(K)p 600 646 234 2 v 793 645 a Fk(-)704 628 y Fp(\030)705 637 y Fi(=)p 571 782 2 108 v 572 782 a Fk(?)530 734 y Fi(=)p 903 782 V 904 782 a Fk(?)556 824 y Ff(K)261 b(K)12 b Fm(\012)e Fq(B)p 600 812 234 2 v 792 811 a Fk(-)p 571 948 2 108 v 572 948 a(?)536 900 y Fn(u)p 903 948 V 904 948 a Fk(?)921 902 y Fn(u)p Fp(\012)p Fi(1)557 989 y Fq(A)253 b(A)9 b Fm(\012)h Fq(B)r(:)p 600 978 229 2 v 787 977 a Fk(-)704 963 y Fn(f)59 1055 y Fr(Also)k(ist)g Fq(f)i Fr(:)11 b Fq(A)h Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(A)e Fm(\012)h Fq(B)16 b Fr(ein)e(Algebren)h(Homomo)o(rphism)n(us.)59 1106 y(Wir)e(hab)q(en)i (damit)d(einen)i(in)f Fq(B)k Fr(nat)652 1108 y(\177)651 1106 y(urlic)o(hen)d(Isomorphism)o(us)385 1184 y Ff(K)p Fr(-)c(Alg\()p Fq(A;)d(A)i Fm(\012)h Fq(B)r Fr(\))711 1173 y Fm(\030)711 1186 y Fr(=)755 1184 y(Nat)823 1166 y Fp(\012)851 1184 y Fr(\()p Fq(!)893 1190 y Fn(A)920 1184 y Fq(;)d(!)965 1190 y Fn(A)1000 1184 y Fm(\012)j Fq(B)r Fr(\))59 1262 y(de\014niert.)g(W)m(enn)f Fq(A)g Fr(endlic)o(h)g(dimensional)e(ist,)i(dann)g(wird)h(die)f(link)o(e)f (Seite)i(durc)o(h)g(die)59 1312 y(T)m(ambara-Bialgebra)c Fq(M)457 1318 y Fn(r)476 1312 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))k(dargestellt)g (und)f(die)h(rec)o(h)o(te)h(Seite)f(durc)o(h)g(co)q(end)q(\()p Fq(!)1363 1318 y Fn(A)1390 1312 y Fr(\).)59 1361 y(Daher)k(m)220 1363 y(\177)219 1361 y(ussen)g(diese)h(b)q(eiden)f(Bialgebren)g (isomorph)f(sein.)p 1073 1338 29 2 v 1073 1363 2 25 v 1100 1363 V 1073 1365 29 2 v 59 1440 a Fo(F)o(olger)o(ung)j Fr(10.13)p Fo(.)k Fl(Es)13 b(gibt)f(einen)h(eindeutig)g(b)n(estimmten)g (Isomorphismus)g(von)59 1490 y(Bialgebr)n(en)i Fq(M)303 1496 y Fn(r)321 1490 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))396 1479 y Fm(\030)396 1492 y Fr(=)440 1490 y(co)q(end)q(\()p Fq(!)587 1496 y Fn(A)614 1490 y Fr(\))p Fl(,)g(so)g(da\031)g(das)h (Diagr)n(amm)557 1546 y Fq(A)214 b(A)10 b Fm(\012)f Fq(M)924 1552 y Fn(r)943 1546 y Fr(\()p Fq(A)p Fr(\))p 600 1537 191 2 v 749 1536 a Fk(-)768 1712 y Fq(A)h Fm(\012)f Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)997 1718 y Fn(A)1024 1712 y Fr(\))630 1586 y Fk(H)672 1607 y(H)713 1627 y(H)755 1648 y(H)796 1669 y(H)805 1673 y(H)-42 b(j)p 903 1673 2 108 v 57 w(?)59 1765 y Fl(kommutiert.)109 1845 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Das)g(folgt)f(unmittelbar)f(aus)i(der)h (Bedingung)f(f)1097 1847 y(\177)1096 1845 y(ur)g(die)g(univ)o(erselle) 59 1895 y(Eigensc)o(haft.)p 320 1872 29 2 v 320 1897 2 25 v 347 1897 V 320 1899 29 2 v 59 1974 a(Damit)8 b(k)n(ann)h(die)i (T)m(am)o(bara-Alg)o(ebra,)d(die)i(das)g(univ)o(erselle)g(Monoid)g(v)o (on)f(nic)o(h)o(tk)o(om-)59 2023 y(m)o(utativ)o(en)f(geometrisc)o(hen)j (R)549 2025 y(\177)549 2023 y(aumen)d(in)i(endlic)o(her)h(Dimension)d (b)q(estimm)o(t,)f(aus)k(der)59 2073 y(Darstellungstheorie)j(durc)o(h)f (die)g(T)m(annak)n(a-Krein)f Fl(R)n(ekonstruktion)h Fr(als)g(Sp)q (ezialfall)p eop %%Page: 95 100 95 99 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(95)59 225 y Fr(gew)o(onnen)59 b(w)o(erden.)497 216 y(\177)491 225 y(Ahnlic)o(hes)g(gilt)e(f)857 227 y(\177)856 225 y(ur)h(k)o(omplizierter)f(de\014nierte)59 275 y(Quan)o(tenr)230 277 y(\177)230 275 y(aume,)13 b(wie)h(z.B.)g (sogenann)o(te)g(quadratisc)o(he)h(R)999 277 y(\177)999 275 y(aume.)59 332 y(Wir)f(zeigen)i(jetzt,)f(da\031)g(man)e(eine)j(b)q (eliebige)f(Koalgebra)f Fq(C)k Fr(mit)13 b(den)i(obigen)g(Me-)59 382 y(tho)q(den)d(aus)g(der)h(Kenn)o(tnis)f Fl(al)r(ler)f Fr(ihrer)h(Darstellungen,)f(genauer)i(aus)e(dem)g(V)m(ergi\031-)59 432 y(funktor)k Fq(!)g Fr(:)e Fm(M)324 417 y Fn(C)365 432 y Fm(\000)-7 b(!)13 b Fr(V)m(ek,)i(zur)598 434 y(\177)597 432 y(uc)o(kgewinnen)h(k)n(ann.)e(Hier)h(k)n(ann)g(man)e(also)h(nic)o (h)o(t)59 482 y(mehr)g(die)234 484 y(\177)233 482 y(ublic)o(he)g (Konstruktion)g(v)o(on)g(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))h(v)o(erw)o (enden,)g(die)f(ja)g(auf)f(endlic)o(h)59 531 y(dimensionale)j(Komo)q (duln)g(b)q(esc)o(hr)632 533 y(\177)632 531 y(ankt)j(ist.)e(Gleic)o (hzeitig)g(ist)h(der)g(folgende)g(Satz)59 581 y(auc)o(h)j(ein)f (Beispiel)h(daf)456 583 y(\177)455 581 y(ur,)f(da\031)g(die)h(Besc)o (hr)804 583 y(\177)804 581 y(ankung)h(auf)e(endlic)o(h)g(dimensionale) 59 631 y(Komo)q(duln)15 b(im)g(allgemeinen)g(zu)i(stark)g(ist,)f (da\031)h(es)g(auc)o(h)g(f)1044 633 y(\177)1043 631 y(ur)g (allgemeinere)e(Dia-)59 681 y(gramme)e(Ko)q(endomorphismen)i (Bialgebren)h(geb)q(en)h(k)n(ann.)e(Andererseits)k(gilt)c(der)59 731 y(folgende)10 b(Satz)h(auc)o(h)g(dann,)f(w)o(enn)g(man)f(sic)o(h)i (allein)e(auf)h(die)h(endlic)o(h)f(dimensionalen)59 781 y(Darstellungen)k(v)o(on)f Fq(C)k Fr(b)q(esc)o(hr)563 783 y(\177)563 781 y(ankt.)e(Der)f(Bew)o(eis)h(ist)f(dann)g(et)o(w)o (as)g(aufw)o(endiger.)59 908 y Fo(Definition)i Fr(10.14)p Fo(.)k Fr(Sei)c Fm(C)i Fr(eine)f(monoidale)d(Kategorie.)i(Eine)g (Kategorie)h Fm(D)g Fr(zu-)59 958 y(sammen)f(mit)g(einem)h(Bifunktor)h Fm(\012)g Fr(:)g Fm(C)c(\002)f(D)19 b(\000)-6 b(!)17 b(D)j Fr(und)e(nat)1119 960 y(\177)1118 958 y(urlic)o(hen)g(Isomor-)59 1008 y(phismen)c Fq(\014)j Fr(:)d(\()p Fq(A)c Fm(\012)g Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fq(M)19 b Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(A)e Fm(\012)f Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fq(M)5 b Fr(\),)14 b Fq(\021)h Fr(:)f Fq(I)g Fm(\012)c Fq(M)19 b Fm(\000)-7 b(!)14 b Fq(M)20 b Fr(hei\031t)15 b(eine)59 1058 y Fm(C)r Fl(-Kate)n(gorie)p Fr(,)e(w)o(enn)h(die)g(folgenden)g (Diagramm)o(e)d(k)o(omm)o(uti)o(eren)-22 1123 y(\(\()p Fq(A)f Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)f Fq(C)s Fr(\))h Fm(\012)f Fq(M)227 b Fr(\()p Fq(A)9 b Fm(\012)h Fr(\()p Fq(B)i Fm(\012)d Fq(C)s Fr(\)\))g Fm(\012)h Fq(M)p 349 1114 198 2 v 505 1113 a Fk(-)354 1098 y Fn(\013)p Fi(\()p Fn(A;B)q(;C)r Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)1140 1123 y Fq(A)f Fm(\012)g Fr(\(\()p Fq(B)k Fm(\012)c Fq(C)s Fr(\))g Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\))p 930 1114 V 1086 1113 a Fk(-)928 1098 y Fn(\014)q Fi(\()p Fn(A;B)q Fp(\012)p Fn(C;M)s Fi(\))p 157 1250 2 108 v 157 1250 a Fk(?)174 1203 y Fn(\014)q Fi(\()p Fn(A)p Fp(\012)p Fn(B)q(;C;M)s Fi(\))p 1318 1250 V 1319 1250 a Fk(?)1109 1203 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\014)q Fi(\()p Fn(B)q(;C;M)s Fi(\))-22 1289 y Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)h Fq(B)r Fr(\))g Fm(\012)f Fr(\()p Fq(C)j Fm(\012)e Fq(M)5 b Fr(\))803 b Fq(A)9 b Fm(\012)g Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fr(\()p Fq(C)i Fm(\012)d Fq(M)c Fr(\)\))p 349 1280 779 2 v 1086 1279 a Fk(-)636 1263 y Fn(\014)q Fi(\()p Fn(A;B)q(;C)r Fp(\012)p Fn(M)s Fi(\))374 1375 y Fr(\()p Fq(A)k Fm(\012)h Fq(I)s Fr(\))g Fm(\012)f Fq(M)272 b(A)9 b Fm(\012)g Fr(\()p Fq(I)k Fm(\012)d Fq(M)5 b Fr(\))p 617 1365 243 2 v 818 1364 a Fk(-)667 1349 y Fn(\014)q Fi(\()p Fn(A;I)r(;M)s Fi(\))675 1543 y Fq(A)k Fm(\012)h Fq(M)477 1455 y Fn(\032)p Fi(\()p Fn(A)p Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)533 1421 y Fk(Q)574 1449 y(Q)616 1476 y(Q)653 1501 y(Q)-42 b(s)889 1455 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\021)q Fi(\()p Fn(M)s Fi(\))902 1421 y Fk(\021)861 1449 y(\021)819 1476 y(\021)782 1501 y(\021)g(+)59 1643 y Fr(Eine)14 b Fm(C)r Fr(-Kategorie)h(hei\031t)e Fl(strikt)p Fr(,)g(w)o(enn)h(die)g (Morphismen)f Fq(\014)r(;)7 b(\021)15 b Fr(Iden)o(tit)1220 1645 y(\177)1220 1643 y(aten)f(sind.)59 1701 y(Seien)21 b(\()p Fm(D)q Fq(;)7 b Fm(\012)p Fr(\))20 b(und)g(\()p Fm(D)448 1686 y Fp(0)460 1701 y Fq(;)7 b Fm(\012)p Fr(\))20 b Fm(C)r Fr(-Kategorien.)h(Ein)f(F)m(unktor)f Fm(F)26 b Fr(:)c Fm(D)h(\000)-6 b(!)21 b(D)1330 1686 y Fp(0)1362 1701 y Fr(zu-)59 1751 y(sammen)16 b(mit)h(einer)j(nat)474 1753 y(\177)473 1751 y(urlic)o(hen)e(T)m(ransformation)f Fq(\020)s Fr(\()p Fq(A;)7 b(M)e Fr(\))19 b(:)g Fq(A)12 b Fm(\012)h(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))19 b Fm(\000)-6 b(!)59 1800 y(F)t Fr(\()p Fq(A)t Fm(\012)t Fq(M)5 b Fr(\))13 b(hei\031t)e Fl(schwacher)i Fm(C)r Fl(-F)m(unktor)p Fr(,)e(w)o(enn)h (die)f(folgenden)h(Diagramm)o(e)c(k)o(om-)59 1850 y(m)o(utieren:)86 1918 y(\()p Fq(A)h Fm(\012)h Fq(B)r Fr(\))g Fm(\012)f(F)t Fr(\()p Fq(M)c Fr(\))686 b Fm(F)t Fr(\(\()p Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fq(M)5 b Fr(\))p 407 1908 663 2 v 1028 1907 a Fk(-)730 1893 y Fn(\020)p 240 2044 2 108 v 240 2044 a Fk(?)203 1998 y Fn(\014)p 1235 2044 V 1236 2044 a Fk(?)1253 1998 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(\014)q Fi(\))86 2084 y Fq(A)k Fm(\012)g Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\)\))205 b Fq(A)9 b Fm(\012)g(F)t Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fq(M)5 b Fr(\))p 407 2074 181 2 v 546 2073 a Fk(-)467 2059 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\020)1081 2084 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)10 b Fm(\012)f Fr(\()p Fq(B)j Fm(\012)e Fq(M)5 b Fr(\)\))p 889 2074 V 1028 2073 a Fk(-)971 2059 y Fn(\020)p eop %%Page: 96 101 96 100 bop 59 117 a Ft(96)423 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)481 194 y Fq(I)12 b Fm(\012)e(F)t Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))149 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(I)12 b Fm(\012)e Fq(M)5 b Fr(\))p 676 184 125 2 v 759 183 a Fk(-)730 170 y Fn(\020)683 360 y Fm(F)t Fr(\()p Fq(M)g Fr(\))611 270 y Fn(\021)601 254 y Fk(@)643 296 y(@)668 320 y(@)-42 b(R)847 274 y Fp(F)s Fi(\()p Fn(\021)q Fi(\))834 254 y Fk(\000)792 296 y(\000)767 320 y(\000)g(\011)59 412 y Fr(W)m(enn)13 b(zus)233 414 y(\177)233 412 y(atzlic)o(h)h Fq(\020)i Fr(Isomorphism)o(us)11 b(ist,)h(dann)h(nennen)h(wir)f Fm(F)k Fr(einen)d Fm(C)r Fr(-F)m(unktor.)59 462 y(Der)d(F)m(unktor)f (hei\031t)h Fl(strikter)f Fm(C)r Fl(-F)m(unktor)p Fr(,)g(w)o(enn)h Fq(\020)j Fr(der)d(Iden)o(tit)1062 464 y(\177)1062 462 y(ats-Morphism)o(us)f(ist.)59 512 y(Eine)21 b(nat)222 514 y(\177)221 512 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)d Fq(')23 b Fr(:)f Fm(F)27 b(\000)-6 b(!)22 b(F)928 497 y Fp(0)960 512 y Fr(zwisc)o(hen)g(\(sc)o(h)o(w)o(ac)o(hen\))g Fm(C)r Fr(-)59 561 y(F)m(unktoren)14 b(hei\031t)g(eine)g Fm(C)r Fl(-T)m(r)n(ansformation)p Fr(,)f(w)o(enn)434 615 y Fq(A)d Fm(\012)f(F)t Fr(\()p Fq(M)c Fr(\))222 b Fm(F)t Fr(\()p Fq(A)10 b Fm(\012)f Fq(M)c Fr(\))p 639 605 198 2 v 795 604 a Fk(-)730 590 y Fn(\020)p 530 741 2 108 v 531 741 a Fk(?)366 694 y Fi(1)383 698 y Fj(A)406 694 y Fp(\012)p Fn(')p Fi(\()p Fn(M)s Fi(\))p 945 741 V 946 741 a Fk(?)962 694 y Fn(')p Fi(\()p Fn(A)p Fp(\012)p Fn(M)s Fi(\))428 781 y Fq(A)10 b Fm(\012)f(F)544 766 y Fp(0)556 781 y Fr(\()p Fq(M)c Fr(\))210 b Fm(F)877 766 y Fp(0)889 781 y Fr(\()p Fq(A)9 b Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\))p 645 771 186 2 v 790 770 a Fk(-)724 802 y Fn(\020)741 790 y Fe(0)59 833 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)59 908 y Fo(Beispiel)16 b Fr(10.15)p Fo(.)j Fr(Sei)11 b Fq(C)i Fr(eine)e(Koalgebra)f(und)h Fm(C)i Fr(:=)f(V)m(ek.)e(Dann)g(ist)g(die)h (Kategorie)59 958 y Fm(M)109 943 y Fn(C)156 958 y Fr(der)20 b(Rec)o(h)o(ts-)p Fq(C)s Fr(-Komo)q(duln)d(eine)i Fm(C)r Fr(-Kategorie,)h(denn)f(mit)e Fq(N)26 b Fm(2)19 b(M)1301 943 y Fn(C)1348 958 y Fr(und)59 1007 y Fq(V)i Fm(2)11 b(C)j Fr(=)e(V)m(ek)i(ist)g(auc)o(h)g Fq(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)19 b Fr(ein)14 b(Komo)q(dul)e(v)o(erm)936 1009 y(\177)936 1007 y(oge)h(der)h(Komo)q(dul)e(Struktur)59 1057 y(v)o(on)h Fq(N)5 b Fr(.)59 1107 y(Der)19 b(V)m(ergi\031funktor)e Fq(!)j Fr(:)e Fm(M)537 1092 y Fn(C)583 1107 y Fm(\000)-7 b(!)18 b Fr(V)m(ek)g(ist)h(ein)f(strikter)h Fm(C)r Fr(-F)m(unktor,)e(w) o(eil)h Fq(V)j Fm(\012)59 1157 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))18 b(=)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(V)22 b Fm(\012)12 b Fq(N)5 b Fr(\))17 b(gilt.)f(Eb)q(enso)i(ist)g Fq(!)13 b Fm(\012)e Fq(M)23 b Fr(:)16 b Fm(M)949 1142 y Fn(C)994 1157 y Fm(\000)-6 b(!)17 b Fr(V)m(ek)g(ein)g Fm(C)r Fr(-F)m(unktor)59 1207 y(w)o(egen)d Fq(V)19 b Fm(\012)10 b Fr(\()p Fq(!)q Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(\))503 1196 y Fm(\030)503 1209 y Fr(=)547 1207 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(V)19 b Fm(\012)10 b Fq(N)5 b Fr(\))k Fm(\012)h Fq(M)5 b Fr(.)59 1282 y Fo(Lemma)17 b Fr(10.16)p Fo(.)i Fl(Sei)c Fq(C)j Fl(eine)d(Ko)n(algebr)n(a.)f(Sei)h Fq(!)e Fr(:)e Fm(M)935 1267 y Fn(C)975 1282 y Fm(\000)-7 b(!)11 b Fr(V)m(ek)k Fl(der)g(V)m(er)n(gi\031funk-)59 1332 y(tor.)g(Sei)g Fq(')e Fr(:)f Fq(!)i Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(!)f Fm(\012)f Fq(M)20 b Fl(eine)c(nat)680 1334 y(\177)680 1332 y(urliche)f(T)m(r)n (ansformation.)f(Dann)j(ist)e Fq(')g Fl(eine)59 1382 y Fm(C)r Fl(-T)m(r)n(ansformation.)109 1457 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Es)h(gen)415 1459 y(\177)414 1457 y(ugt)g(f)509 1459 y(\177)508 1457 y(ur)f(einen)h(b)q(eliebigen)f(Komo)q(dul)f Fq(N)25 b Fr(zu)c(zeigen)g(1)1343 1463 y Fn(V)1385 1457 y Fm(\012)59 1507 y Fq(')p Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))12 b(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)c Fr(\).)14 b(Wir)f(zeigen,)h(da\031)f(das)h(Diagramm)470 1577 y Fq(V)k Fm(\012)10 b Fq(N)250 b(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(M)p 604 1566 221 2 v 783 1565 a Fk(-)649 1549 y Fn(')p Fi(\()p Fn(V)d Fp(\012)p Fn(N)s Fi(\))p 530 1702 2 108 v 531 1702 a Fk(?)498 1657 y Fi(1)p 945 1702 V 946 1702 a Fk(?)962 1657 y Fi(1)470 1743 y Fq(V)18 b Fm(\012)10 b Fq(N)250 b(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(M)p 604 1732 221 2 v 783 1731 a Fk(-)642 1761 y Fi(1)659 1765 y Fj(V)683 1761 y Fp(\012)p Fn(')p Fi(\()p Fn(N)s Fi(\))59 1806 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)19 b(Dazu)h(sei)i(\()p Fq(v)521 1812 y Fn(i)535 1806 y Fr(\))f(eine)g (Basis)g(v)o(on)g Fq(V)9 b Fr(.)21 b(F)959 1808 y(\177)958 1806 y(ur)g(einen)h(b)q(eliebigen)e(V)m(ek-)59 1856 y(torraum)g Fq(W)27 b Fr(seien)22 b(die)f(Pro)r(jektionen)h Fq(p)753 1862 y Fn(i)790 1856 y Fr(:)h Fq(V)g Fm(\012)15 b Fq(W)29 b Fm(\000)-7 b(!)24 b Fq(W)j Fr(de\014niert)22 b(durc)o(h)59 1906 y Fq(p)80 1912 y Fn(i)94 1906 y Fr(\()p Fq(v)q Fr(\))13 b(=)g Fq(p)226 1912 y Fn(i)240 1906 y Fr(\()256 1875 y Fg(P)300 1918 y Fn(j)324 1906 y Fq(v)344 1912 y Fn(j)371 1906 y Fm(\012)d Fq(w)443 1912 y Fn(j)461 1906 y Fr(\))i(=)h Fq(w)564 1912 y Fn(i)578 1906 y Fr(,)h(w)o(ob)q(ei)722 1875 y Fg(P)766 1918 y Fn(j)790 1906 y Fq(v)810 1912 y Fn(j)838 1906 y Fm(\012)c Fq(w)910 1912 y Fn(j)941 1906 y Fr(die)15 b(eindeutige)g(Darstellung)59 1956 y(eines)g(b)q (eliebigen)f(T)m(ensors)g(in)g Fq(V)k Fm(\012)10 b Fq(W)20 b Fr(ist.)13 b(Damit)f(gilt)586 2037 y Fq(t)g Fr(=)657 1997 y Fg(X)681 2086 y Fn(i)723 2037 y Fq(v)743 2043 y Fn(i)767 2037 y Fm(\012)d Fq(p)829 2043 y Fn(i)843 2037 y Fr(\()p Fq(t)p Fr(\))p eop %%Page: 97 102 97 101 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(97)59 225 y Fr(f)73 227 y(\177)72 225 y(ur)14 b(alle)g Fq(t)e Fm(2)g Fq(V)19 b Fm(\012)10 b Fq(W)c Fr(.)14 b(Wir)f(fassen)i(jetzt)h Fq(V)j Fm(\012)9 b Fq(N)20 b Fr(v)o(erm)956 227 y(\177)956 225 y(oge)13 b(der)i(Komo)q(dulstruktur)59 275 y(v)o(on)g Fq(N)20 b Fr(als)15 b(Komo)q(dul)e(auf.)h(Dann)h(sind)g(die)g Fq(p)813 281 y Fn(i)841 275 y Fr(:)e Fq(V)19 b Fm(\012)11 b Fq(N)18 b Fm(\000)-6 b(!)13 b Fq(N)20 b Fr(Komo)q(dulhomo)o(-)59 325 y(morphismen.)11 b(Also)j(k)o(omm)n(utieren)e(alle)h(Diagramm)o(e) 470 425 y Fq(V)18 b Fm(\012)10 b Fq(N)250 b(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(M)p 604 413 221 2 v 783 412 a Fk(-)649 397 y Fn(')p Fi(\()p Fn(V)d Fp(\012)p Fn(N)s Fi(\))p 530 549 2 108 v 531 549 a Fk(?)484 499 y Fn(p)501 503 y Fj(i)p 945 549 V 946 549 a Fk(?)962 499 y Fn(p)979 503 y Fj(i)512 591 y Fq(N)329 b(N)14 b Fm(\012)c Fq(M)r(:)p 562 580 301 2 v 821 579 a Fk(-)673 609 y Fn(')p Fi(\()p Fn(N)s Fi(\))59 682 y Fr(In)16 b(F)m(ormeln)e(hei\031t)h(das)h Fq(')p Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))p Fq(p)576 688 y Fn(i)590 682 y Fr(\()p Fq(t)p Fr(\))15 b(=)f Fq(p)719 688 y Fn(i)733 682 y Fq(')p Fr(\()p Fq(V)20 b Fm(\012)11 b Fq(N)5 b Fr(\)\()p Fq(t)p Fr(\))16 b(f)994 684 y(\177)993 682 y(ur)f(alle)g Fq(t)f Fm(2)g Fq(V)20 b Fm(\012)11 b Fq(N)5 b Fr(,)15 b(also)59 732 y(gilt)147 829 y(\(1)184 835 y Fn(V)222 829 y Fm(\012)10 b Fq(')p Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\)\)\()p Fq(t)p Fr(\))12 b(=)g(\(1)517 835 y Fn(V)555 829 y Fm(\012)d Fq(')p Fr(\()p Fq(N)c Fr(\)\)\()725 797 y Fg(P)776 829 y Fq(v)796 835 y Fn(i)820 829 y Fm(\012)k Fq(p)882 835 y Fn(i)896 829 y Fr(\()p Fq(t)p Fr(\)\))j(=)1015 797 y Fg(P)1065 829 y Fq(v)1085 835 y Fn(i)1108 829 y Fm(\012)e Fq(')p Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))p Fq(p)1268 835 y Fn(i)1282 829 y Fr(\()p Fq(t)p Fr(\))368 878 y(=)412 847 y Fg(P)456 891 y Fn(i)476 878 y Fq(v)496 884 y Fn(i)519 878 y Fm(\012)10 b Fq(p)582 884 y Fn(i)596 878 y Fq(')p Fr(\()p Fq(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)c Fr(\)\()p Fq(t)p Fr(\))12 b(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)c Fr(\)\()p Fq(t)p Fr(\))59 978 y(und)14 b(damit)e(wie)i(b)q(ehauptet)h (1)554 984 y Fn(V)592 978 y Fm(\012)9 b Fq(')p Fr(\()p Fq(N)c Fr(\))12 b(=)g Fq(')p Fr(\()p Fq(V)19 b Fm(\012)9 b Fq(N)c Fr(\).)p 1020 955 29 2 v 1020 980 2 25 v 1047 980 V 1020 982 29 2 v 59 1082 a(Wir)16 b(b)q(ew)o(eisen)j(den)e (folgenden)g(Satz)h(n)o(ur)f(in)f(der)i(Kategorie)g Fm(C)h Fr(=)e(V)m(ek)g(der)g(V)m(ek-)59 1131 y(torr)128 1133 y(\177)128 1131 y(aume.)11 b(Es)h(gilt)f(jedo)q(c)o(h)h(allgemeiner,)e (da\031)h(in)h(einer)g(b)q(eliebigen)g(symmetrisc)o(hen)59 1181 y(monoidalen)g(Kategorie)i Fm(C)j 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Fq(g)q Fr(\)\001\()p Fq(c)p Fr(\))i(=)f(\()p Fq(")f Fm(\012)g Fr(1\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(C)s Fr(\)\()p Fq(c)p Fr(\))h(=)18 b Fg(e)-29 b Fq(')p Fr(\()p Fq(c)p Fr(\).)59 1175 y(Die)9 b(Koalgebrenstruktur)i(wie)e(in)g(F)m(olgerung)h(10.4)e(angegeb)q(en)i (ist)g(die)f(urspr)1287 1177 y(\177)1286 1175 y(unglic)o(h)59 1225 y(v)o(orgegeb)q(ene)14 b(auf)e Fq(C)s Fr(.)f(Das)i(sieh)o(t)f(man) f(so.)h(Die)g(Kom)o(ultiplik)n(ati)o(on)d Fq(\016)14 b Fr(:)d Fq(!)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)d Fm(\012)e Fq(C)59 1274 y Fr(ist)14 b(eine)h(nat)264 1276 y(\177)263 1274 y(urlic)o(he)f(T)m(ransformation,)d(also)j(auc)o(h)g(\()p Fq(\016)e Fm(\012)d Fr(1)993 1280 y Fn(C)1021 1274 y Fr(\))p Fq(\016)14 b Fr(:)e Fq(!)h Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(!)f Fm(\012)e Fq(C)j Fm(\012)e Fq(C)s Fr(.)59 1324 y(Damit)k(wird)i(genau)h(wie)f(in)g(F)m(olgerung)g(10.4)f(genau)h(ein)h (Homom)o(orphism)n(us)d(\001)h(:)59 1374 y Fq(C)f Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(C)g Fm(\012)f Fq(C)16 b Fr(induziert,)e(so)g(da\031)g(das)g (Diagramm)434 1442 y Fq(!)447 b(!)11 b Fm(\012)e Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 473 1432 422 2 v 854 1431 a Fk(-)676 1423 y Fn(\016)p 447 1568 2 108 v 448 1568 a Fk(?)415 1524 y Fn(\016)p 1028 1568 V 1029 1568 a Fk(?)1045 1522 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(\001)326 1608 y Fq(!)i Fm(\012)f Fr(co)q(end\()p Fq(!)q Fr(\))232 b Fq(!)10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))f Fm(\012)h Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 581 1598 207 2 v 746 1597 a Fk(-)655 1625 y Fn(\016)q Fp(\012)p Fi(1)59 1674 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)17 b(Eb)q(enso)j(induziert)g(der)g(nat)770 1676 y(\177)769 1674 y(urlic)o(he)f(Isomorphism)o(us)e Fq(!)1247 1663 y Fm(\030)1247 1676 y Fr(=)1300 1674 y Fq(!)d Fm(\012)f Ff(K)59 1724 y Fr(genau)h(einen)g(Homomorphism)n(us)d Fq(")h Fr(:)f Fq(C)j Fm(\000)-7 b(!)11 b Ff(K)q Fr(,)16 b(so)e(da\031)g(das)g(Diagramm)559 1791 y Fq(!)198 b(!)10 b Fm(\012)g Fr(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p 598 1782 173 2 v 729 1781 a Fk(-)676 1773 y Fn(\016)854 1959 y Fq(!)h Fm(\012)e Fq(I)663 1872 y Fi(id)690 1876 y Fj(!)630 1831 y Fk(H)672 1851 y(H)713 1872 y(H)755 1893 y(H)796 1914 y(H)805 1918 y(H)-42 b(j)p 903 1918 2 108 v 57 w(?)921 1871 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(")59 2023 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(ert.)12 b(Das)j(m)417 2025 y(\177)416 2023 y(ussen)g(ab)q(er)g(dann)g(w)o(egen) g(der)g(Eindeutigk)o(eit)g(die)g(Struktur-)59 2073 y(morphismen)d(v)o (on)h Fq(C)k Fr(sein.)p 542 2050 29 2 v 542 2075 2 25 v 569 2075 V 542 2077 29 2 v eop %%Page: 99 104 99 103 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)425 b(99)59 225 y Fr(Wir)10 b(b)q(ew)o(eisen)j (jetzt)e(auc)o(h)g(den)h(endlic)o(h)f(dimensionalen)e(F)m(all)g(der)j (Rek)o(onstruktion.)59 275 y(Dazu)i(zeigen)g(wir)g(zun)427 277 y(\177)427 275 y(ac)o(hst)h(den)f(F)m(undamen)o(talsatz)f(f)950 277 y(\177)949 275 y(ur)h(Komo)q(duln.)59 352 y Fo(Sa)m(tz)i Fr(10.18)p Fo(.)k Fr(\(F)m(undamen)o(talsatz)8 b(f)645 354 y(\177)644 352 y(ur)i(Komo)q(duln\))g Fl(Sei)h Fq(C)i Fl(eine)f(Ko)n(algebr)n(a,)e Fq(M)16 b Fl(ein)59 402 y Fq(C)s Fl(-Komodul)f(und)h Fq(m)d Fm(2)f Fq(M)5 b Fl(.)14 b(Dann)j(gibt)e(es)g(eine)g(end)r(lich)h(dimensionale)g(Unterko-)59 452 y(algebr)n(a)c Fq(E)i Fm(\022)e Fq(C)j Fl(und)f(einen)f(end)r(lich) g(dimensionalen)h Fq(E)r Fl(-Komo)n(dul)f Fq(N)k Fl(mit)c Fq(m)f Fm(2)f Fq(N)5 b Fl(,)59 502 y(so)16 b(da\031)h(der)f(dur)n(ch)g Fq(E)g Fm(\022)e Fq(C)19 b Fl(induzierte)d Fq(C)s Fl(-Komo)n(dul)g Fq(N)j Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(N)i Fm(\012)c Fq(E)16 b Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(N)i Fm(\012)c Fq(C)59 552 y Fl(ein)k Fq(C)s Fl(-Unterkomo)n(dul)f(von)i Fq(M)k Fl(ist.)109 629 y Fo(Beweis.)g Fr(Sei)10 b Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))j(=)494 598 y Fg(P)538 608 y Fn(n)538 642 y(j)r Fi(=1)605 629 y Fq(m)641 635 y Fn(j)660 629 y Fm(\012)q Fq(c)711 635 y Fn(j)738 629 y Fr(eine)e(Darstellung)e(des)i(T)m(ensors) f Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))h(v)o(on)59 679 y(k)82 681 y(\177)81 679 y(urzester)k(L)263 681 y(\177)263 679 y(ange,)d(d.h.)f(mit)g(einer)i(Minimalanzahl)d(v)o(on)i(Summanden.)d (Dann)j(sind)59 729 y(die)i Fq(c)144 735 y Fi(1)163 729 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(c)280 735 y Fn(n)316 729 y Fr(linear)14 b(unabh)545 731 y(\177)545 729 y(angig)e(und)i(die)g Fq(m)841 735 y Fi(1)860 729 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(m)996 735 y Fn(n)1032 729 y Fr(linear)14 b(unabh)1261 731 y(\177)1261 729 y(angig.)59 779 y(Seien)19 b Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)244 785 y Fn(j)262 779 y Fr(\))f(=)347 748 y Fg(P)391 758 y Fn(r)391 791 y(i)p Fi(=1)454 779 y Fq(m)490 785 y Fn(i)516 779 y Fm(\012)12 b Fq(c)578 785 y Fn(ij)626 779 y Fr(und)18 b(\001\()p Fq(c)782 785 y Fn(i)795 779 y Fr(\))h(=)881 748 y Fg(P)925 758 y Fn(s)925 791 y(j)r Fi(=1)991 779 y Fq(c)1009 764 y Fp(0)1009 790 y Fn(ij)1050 779 y Fm(\012)12 b Fq(c)1112 785 y Fn(j)1148 779 y Fr(mit)k(geeigneten) 59 829 y(linear)d(unabh)287 831 y(\177)287 829 y(angigen)h Fq(m)476 835 y Fi(1)495 829 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(m)630 835 y Fn(n)653 829 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(m)789 835 y Fn(r)821 829 y Fr(bzw.)14 b Fq(c)936 835 y Fi(1)954 829 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(c)1072 835 y Fn(n)1094 829 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(c)1212 835 y Fn(s)1229 829 y Fr(.)59 879 y(W)m(egen)200 848 y Fg(P)244 891 y Fn(j)r Fi(=1)p Fn(;:::)t(;n)p Fi(;)p Fn(i)407 879 y Fq(m)443 885 y Fn(i)471 879 y Fm(\012)14 b Fq(c)535 885 y Fn(ij)578 879 y Fm(\012)h Fq(c)643 885 y Fn(j)683 879 y Fr(=)739 848 y Fg(P)783 891 y Fn(j)807 879 y Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)879 885 y Fn(j)897 879 y Fr(\))f Fm(\012)h Fq(c)992 885 y Fn(j)1032 879 y Fr(=)1088 848 y Fg(P)1132 891 y Fn(i)1153 879 y Fq(m)1189 885 y Fn(i)1217 879 y Fm(\012)f Fr(\001\()p Fq(c)1332 885 y Fn(i)1346 879 y Fr(\))23 b(=)59 898 y Fg(P)103 941 y Fn(i)p Fi(=1)p Fn(;:::)5 b(;n)p Fi(;)p Fn(j)266 929 y Fq(m)302 935 y Fn(i)325 929 y Fm(\012)10 b Fq(c)385 914 y Fp(0)385 940 y Fn(ij)423 929 y Fm(\012)g Fq(c)483 935 y Fn(j)514 929 y Fr(ist)k Fq(c)590 935 y Fn(ij)631 929 y Fr(=)e Fq(c)693 914 y Fp(0)693 940 y Fn(ij)736 929 y Fr(f)750 931 y(\177)749 929 y(ur)h(alle)h Fq(i;)7 b(j)16 b Fr(und)e Fq(c)1045 935 y Fn(ij)1085 929 y Fr(=)e(0)i(f)1178 931 y(\177)1177 929 y(ur)g Fq(i;)7 b(j)13 b(>)f(n)p Fr(.)59 979 y(Wir)27 b(diagonalisieren)f(no)q(c)o(hmals)g(und)i(erhalten)920 948 y Fg(P)964 991 y Fn(j)r(k)1007 979 y Fq(m)1043 985 y Fn(j)1079 979 y Fm(\012)18 b Fr(\001\()p Fq(c)1198 985 y Fn(ij)1227 979 y Fr(\))h Fm(\012)f Fq(c)1330 985 y Fn(k)1385 979 y Fr(=)59 1003 y Fg(P)103 1047 y Fn(ij)r(k)157 1034 y Fq(m)193 1040 y Fn(i)220 1034 y Fm(\012)13 b Fq(c)283 1040 y Fn(ij)325 1034 y Fm(\012)g Fq(c)388 1040 y Fn(j)r(k)436 1034 y Fm(\012)g Fq(c)499 1040 y Fn(k)538 1034 y Fr(und)19 b(damit)e(\001\()p Fq(c)820 1040 y Fn(ik)852 1034 y Fr(\))j(=)941 1003 y Fg(P)984 1014 y Fn(n)984 1047 y(j)r Fi(=1)1051 1034 y Fq(c)1069 1040 y Fn(ij)1111 1034 y Fm(\012)12 b Fq(c)1173 1040 y Fn(j)r(k)1209 1034 y Fr(.)19 b(Damit)d(ist)59 1084 y(der)f(v)o(on)e(den)h Fq(c)305 1090 y Fn(ij)349 1084 y Fr(aufgespann)o(te)g(Un)o(terraum)f(eine)i(Un)o(terk)o(oalgebra) e Fq(E)j Fr(v)o(on)e Fq(C)s Fr(.)59 1134 y(W)m(egen)k Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)269 1140 y Fn(j)287 1134 y Fr(\))g(=)371 1103 y Fg(P)415 1113 y Fn(r)415 1147 y(i)p Fi(=1)478 1134 y Fq(m)514 1140 y Fn(i)540 1134 y Fm(\012)12 b Fq(c)602 1140 y Fn(ij)649 1134 y Fr(ist)18 b(der)g(v)o(on)g(den)g Fq(m)987 1140 y Fi(1)1006 1134 y Fq(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(m)1142 1140 y Fn(n)1182 1134 y Fr(aufgespann)o(te)59 1184 y(lineare)14 b(\()p Fq(n)p Fr(-dimensionale\))e(Un)o(terraum)h (ein)h Fq(E)r Fr(-Komo)q(dul.)59 1234 y(Dann)j(folgt)g(aus)h(\001\()p Fq(c)422 1240 y Fn(i)436 1234 y Fr(\))g(=)520 1203 y Fg(P)564 1213 y Fn(n)564 1247 y(j)r Fi(=1)631 1234 y Fq(c)649 1240 y Fn(ij)690 1234 y Fm(\012)12 b Fq(c)752 1240 y Fn(j)787 1234 y Fr(w)o(egen)18 b(der)h(Rec)o(hengesetze)i(in)c (Koal-)59 1290 y(gebren)j Fq(c)216 1296 y Fn(i)249 1290 y Fr(=)301 1259 y Fg(P)351 1290 y Fq(c)369 1296 y Fn(ij)398 1290 y Fq(")p Fr(\()p Fq(c)451 1296 y Fn(j)469 1290 y Fr(\))g Fm(2)f Fq(E)r Fr(.)f(Wir)g(v)o(erw)o(enden)i Fq(\016)r Fr(\()p Fq(m)p Fr(\))g(=)1073 1259 y Fg(P)1117 1269 y Fn(n)1117 1302 y(j)r Fi(=1)1183 1290 y Fq(m)1219 1296 y Fn(j)1249 1290 y Fm(\012)13 b Fq(c)1312 1296 y Fn(j)1348 1290 y Fr(und)59 1340 y(erhalten)i Fq(m)d Fr(=)312 1309 y Fg(P)356 1352 y Fn(j)381 1340 y Fq(m)417 1346 y Fn(j)435 1340 y Fq(")p Fr(\()p Fq(c)488 1346 y Fn(j)506 1340 y Fr(\).)h(Damit)f(ist)h Fq(m)f Fm(2)g Fq(N)5 b Fr(.)p 912 1317 29 2 v 912 1342 2 25 v 938 1342 V 912 1344 29 2 v 59 1424 a Fo(Sa)m(tz)16 b Fr(10.19)p Fo(.)k Fr(\(Rek)o(onstruktion\))12 b Fl(Sei)h Fq(C)i Fl(eine)d(Ko)n(algebr)n (a.)g(Sei)g Fm(M)1138 1409 y Fn(C)1138 1434 y Fi(0)1178 1424 y Fl(die)h(Kate)n(gorie)59 1474 y(der)j(end)r(lich)h (dimensionalen)h Fq(C)s Fl(-Komo)n(duln)e(und)i Fq(!)e Fr(:)e Fm(M)1004 1459 y Fn(C)1004 1484 y Fi(0)1046 1474 y Fm(\000)-7 b(!)14 b Fr(V)m(ek)j Fl(der)f(V)m(er)n(gi\031-)59 1523 y(funktor.)f(Dann)h(ist)e Fq(C)433 1512 y Fm(\030)433 1526 y Fr(=)477 1523 y(co)q(end)q(\()p Fq(!)q Fr(\))p Fl(.)109 1601 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Seien)15 b Fq(M)20 b Fr(in)14 b(V)m(ek)g(und)h(eine)g(nat)818 1603 y(\177)817 1601 y(urlic)o(he)g(T)m(ransformation)d Fq(')g Fr(:)h Fq(!)g Fm(\000)-6 b(!)59 1651 y Fq(!)13 b Fm(\012)f Fq(M)23 b Fr(gegeb)q(en.)18 b(Wir)f(de\014nieren)i(den)g(Homom)o(orphism)n(us)h Fg(e)-28 b Fq(')18 b Fr(:)f Fq(C)k Fm(\000)-7 b(!)18 b Fq(M)k Fr(wie)59 1701 y(folgt.)13 b(Sei)h Fq(c)e Fm(2)f Fq(C)17 b Fr(gegeb)q(en.)e(Sei)f Fq(N)19 b Fr(ein)14 b(endlic)o(h)g(dimensionaler)e Fq(C)s Fr(-Un)o(terk)o(omo)q(dul)59 1750 y(v)o(on)h Fq(C)j Fr(mit)c Fq(c)g Fm(2)f Fq(N)5 b Fr(.)13 b(Dann)g(de\014nieren)i(wir)f Fq(g)q Fr(\()p Fq(c)p Fr(\))e(:=)f(\()p Fq(")p Fm(j)949 1756 y Fn(N)989 1750 y Fm(\012)e Fr(1\))p Fq(')p Fr(\()p Fq(N)c Fr(\)\()p Fq(c)p Fr(\).)14 b(Ist)g Fq(N)1339 1735 y Fp(0)1364 1750 y Fr(ein)59 1800 y(w)o(eiterer)19 b(endlic)o(h)e(dimensionaler)f(Un)o (terk)o(omo)q(dul)g(v)o(on)h Fq(C)j Fr(mit)15 b Fq(c)j Fm(2)f Fq(N)1240 1785 y Fp(0)1269 1800 y Fr(und)g(mit)59 1850 y Fq(N)f Fm(\022)c Fq(N)190 1835 y Fp(0)202 1850 y Fr(,)h(dann)h(k)o(omm)n(utiert)429 1920 y Fq(N)127 b(N)14 b Fm(\012)9 b Fq(M)p 479 1908 98 2 v 535 1907 a Fk(-)489 1892 y Fn(')p Fi(\()p Fn(N)s Fi(\))p 447 2044 2 108 v 448 2044 a Fk(?)p 654 2044 V 165 w(?)423 2087 y Fq(N)461 2072 y Fp(0)583 2087 y Fq(N)621 2072 y Fp(0)641 2087 y Fm(\012)h Fq(M)p 485 2074 86 2 v 529 2073 a Fk(-)483 2058 y Fn(')p Fi(\()p Fn(N)547 2046 y Fe(0)559 2058 y Fi(\))713 1957 y Fk(H)722 1961 y(H)-42 b(j)713 2044 y(\010)722 2040 y(\010)g(*)757 2003 y Fq(C)12 b Fm(\012)d Fq(M)126 b(M)p 898 1991 97 2 v 953 1990 a Fk(-)917 1979 y Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)p eop %%Page: 100 105 100 104 bop 59 117 a Ft(100)405 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)59 225 y Fr(Damit)11 b(ist)j(die)g (De\014nition)f(v)o(on)19 b Fg(e)-29 b Fq(')p Fr(\()p Fq(c)p Fr(\))14 b(unabh)787 227 y(\177)787 225 y(angig)f(v)o(on)g(der)i (W)m(ahl)d(v)o(on)h Fq(N)5 b Fr(.)13 b(W)m(eiter)59 275 y(ist)k Fg(e)-28 b Fq(')11 b Fr(:)h Fq(N)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)17 b Fr(o\013en)o(bar)12 b(linear.)f(F)671 277 y(\177)670 275 y(ur)h(je)g(zw)o(ei)g(Elemen)o(te)f Fq(c;)c(c)1087 260 y Fp(0)1110 275 y Fm(2)k Fq(C)j Fr(gibt)d(es)i (einen)59 325 y(endlic)o(h)g(dimensionalen)e(Un)o(terk)o(omo)q(dul)g Fq(N)17 b Fm(\022)11 b Fq(C)16 b Fr(mit)11 b Fq(c;)c(c)1010 310 y Fp(0)1033 325 y Fm(2)k Fq(N)5 b Fr(,)12 b(z.B.)h(die)g(Summe)59 374 y(v)o(on)g(f)151 376 y(\177)150 374 y(ur)h Fq(c)g Fr(und)g Fq(c)336 359 y Fp(0)362 374 y Fr(einzeln)g(gefundenen)h(Un)o (terk)o(omo)q(duln.)d(Damit)g(l)1167 376 y(\177)1167 374 y(a\031t)h(sic)o(h)19 b Fg(e)-28 b Fq(')14 b Fr(auf)59 424 y(ganz)g Fq(C)i Fr(fortsetzen.)59 479 y(Der)143 481 y(\177)141 479 y(ubrige)g(Bew)o(eis)h(v)o(erl)476 481 y(\177)476 479 y(auft)f(im)e(w)o(esen)o(tlic)o(hen)j(wie)f(der)g(Bew)o (eis)h(des)g(ersten)g(Re-)59 529 y(k)o(onstruktionssatzes.)p 465 506 29 2 v 465 531 2 25 v 491 531 V 465 533 29 2 v 59 641 a(Man)c(k)n(ann)g(w)o(eitere)i(Struktur)f(der)g(Koalgebra)f (aus)g(den)h(Darstellungen)g(zur)1308 643 y(\177)1307 641 y(uc)o(k)o(er-)59 691 y(halten.)59 746 y(Dauz)j(b)q(ew)o(eisen)h (wir)f(zum)f(Absc)o(hlu\031)h(einen)g(Rek)o(onstruktionssatz)1193 748 y(\177)1192 746 y(ub)q(er)h(Bialge-)59 796 y(bren.)j(Wir)e (erinnern)j(uns,)e(da\031)g(f)626 798 y(\177)625 796 y(ur)g(eine)h(Bialgebra)f Fq(B)j Fr(die)d(Kategorie)h(der)g Fq(B)r Fr(-)59 846 y(Komo)q(duln)g(monoidal)f(ist.)i(W)m(eiter)h (wissen)g(wir,)f(da\031)h(der)g(V)m(ergi\031funktor)f Fq(!)28 b Fr(:)59 896 y Fm(M)109 881 y Fn(B)151 896 y Fm(\000)-6 b(!)13 b Fr(V)m(ek)i(ein)g(monoidaler)e(F)m(unktor)i(ist.)g (Aus)h(dieser)g(Information)d(l)1277 898 y(\177)1277 896 y(a\031t)h(sic)o(h)59 946 y(die)g(Bialgebrenstruktur)h(v)o(on)f Ff(B)21 b Fr(zur)660 948 y(\177)659 946 y(uc)o(kgewinnen.)15 b(Genauer)f(gilt)59 1074 y Fo(Sa)m(tz)i Fr(10.20)p Fo(.)k Fl(Sei)d Fq(B)i Fl(eine)e(Ko)n(algebr)n(a.)f(Sei)h Fm(M)838 1059 y Fn(B)884 1074 y Fl(eine)g(monoidale)g(Kate)n(gorie,)f(so)59 1124 y(da\031)h(der)f(V)m(er)n(gi\031funktor)f Fq(!)g Fr(:)e Fm(M)592 1109 y Fn(B)634 1124 y Fm(\000)-6 b(!)13 b Fr(V)m(ek)j Fl(ein)g(monoidaler)h(F)m(unktor)f(ist.)f(Dann)59 1174 y(gibt)c(es)g(genau)h(eine)f(Bialgebr)n(enstruktur)f(auf)h Fq(B)r Fl(,)g(die)g(die)g(ange)n(geb)n(enen)h(monoidalen)59 1223 y(Struktur)n(en)j(induziert.)109 1352 y Fo(Beweis.)20 b Fr(Wir)10 b(b)q(ew)o(eisen)i(zun)602 1354 y(\177)602 1352 y(ac)o(hst)f(die)g(Eindeutigk)o(eit)f(der)h(Multiplik)n(ation)d Fm(r)j Fr(:)59 1401 y Fq(B)h Fm(\012)e Fq(B)16 b Fm(\000)-7 b(!)13 b Fq(B)k Fr(und)e(der)g(Einheit)g Fq(\021)f Fr(:)e Ff(K)k Fm(\000)-6 b(!)12 b Fq(B)r Fr(.)j(Die)f(nat)1003 1403 y(\177)1002 1401 y(urlic)o(he)h(T)m(ransformation)59 1451 y Fq(\016)f Fr(:)d Fq(!)i Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)e Fm(\012)e Fq(B)16 b Fr(wird)d(mit)e Fm(r)g Fr(:)g Fq(B)f Fm(\012)e Fq(B)14 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)16 b Fr(und)d Fq(\021)g Fr(:)e Ff(K)j Fm(\000)-6 b(!)11 b Fq(B)k Fr(eine)f(monoidale) 59 1501 y(nat)120 1503 y(\177)119 1501 y(urlic)o(he)c(T)m (ransformation.)d(Wir)i(zeigen,)h(da\031)g Fm(r)f Fr(und)h Fq(\021)h Fr(durc)o(h)f Fq(!)h Fr(und)f Fq(\016)i Fr(eindeutig)59 1551 y(b)q(estimm)o(t)g(sind.)59 1606 y(Dazu)i(seien)g Fm(r)303 1591 y Fp(0)326 1606 y Fr(:)d Fq(B)g Fm(\012)e Fq(B)15 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)16 b Fr(und)e Fq(\021)708 1591 y Fp(0)731 1606 y Fr(:)d Fq(B)j Fm(\000)-6 b(!)11 b Ff(K)17 b Fr(Morphismen,)12 b(die)i Fq(\016)h Fr(zu)g(einer)59 1656 y(monoidalen)c(nat)341 1658 y(\177)340 1656 y(urlic)o(hen)j(T)m (ransformation)e(mac)o(hen.)g(Die)i(Diagramm)o(e)244 1764 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))d Fm(\012)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)h Fr(\))422 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)s Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(Y)g Fr(\))f Fm(\012)g Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)p 498 1755 398 2 v 853 1754 a Fk(-)613 1738 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(X)r Fi(\))p Fp(\012)p Fn(\016)q Fi(\()p Fn(Y)d Fi(\))p 364 1932 2 150 v 365 1932 a Fk(?)331 1861 y Fn(\032)p 1111 1932 V 1112 1932 a Fk(?)1128 1867 y Fn(\032)p Fp(\012r)1199 1854 y Fe(0)274 1971 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)13 b Fm(\012)d Fq(Y)f Fr(\))524 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(X)13 b Fm(\012)d Fq(Y)f Fr(\))g Fm(\012)h Fq(B)p 468 1962 499 2 v 925 1961 a Fk(-)655 1946 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(X)r Fp(\012)p Fn(Y)d Fi(\))59 2073 y Fr(und)p eop %%Page: 101 106 101 105 bop 518 117 a Ft(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)407 b(101)515 196 y Ff(K)344 b(K)12 b Fm(\012)e Ff(K)p 559 184 317 2 v 834 183 a Fk(-)704 166 y Fp(\030)705 175 y Fi(=)p 530 362 2 150 v 531 362 a Fk(?)p 945 362 V 373 w(?)962 299 y Fr(1)f Fm(\012)h Fq(\021)1056 284 y Fp(0)485 401 y Fq(!)q Fr(\()p Ff(K)q Fr(\))284 b Fq(!)q Fr(\()p Ff(K)p Fr(\))13 b Fm(\012)c Fq(B)p 589 392 257 2 v 804 391 a Fk(-)685 375 y Fn(\016)q Fi(\()p Fc(K)-12 b Fi(\))59 487 y Fr(k)o(omm)o(uti)o(eren.)12 b(Insb)q(esondere)k(k)o(omm)o(utieren)c(dann)246 569 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))f Fm(\012)e Fq(!)q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))427 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(!)q Fr(\()p Fq(B)r Fr(\))g Fm(\012)g Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)p 495 560 402 2 v 855 559 a Fk(-)614 543 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))p Fp(\012)p Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fi(\))p 364 737 2 150 v 365 737 a Fk(?)331 666 y Fn(\032)p 1111 737 V 1112 737 a Fk(?)1128 672 y Fn(\032)p Fp(\012r)1199 659 y Fe(0)276 777 y Fq(!)q Fr(\()p Fq(B)i Fm(\012)e Fq(B)r Fr(\))528 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(B)12 b Fm(\012)d Fq(B)r Fr(\))h Fm(\012)g Fq(B)p 466 767 503 2 v 927 766 a Fk(-)657 751 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))59 862 y Fr(und)515 947 y Ff(K)344 b(K)12 b Fm(\012)e Ff(K)p 559 935 317 2 v 834 934 a Fk(-)704 917 y Fp(\030)705 926 y Fi(=)p 530 1112 2 150 v 531 1112 a Fk(?)p 945 1112 V 373 w(?)962 1049 y Fr(1)f Fm(\012)h Fq(\021)1056 1034 y Fp(0)485 1152 y Fq(!)q Fr(\()p Ff(K)q Fr(\))284 b Fq(!)q Fr(\()p Ff(K)p Fr(\))13 b Fm(\012)c Fq(B)p 589 1142 257 2 v 804 1141 a Fk(-)685 1126 y Fn(\016)q Fi(\()p Fc(K)-12 b Fi(\))59 1238 y Fr(Es)10 b(gelten)g(also)310 1207 y Fg(P)361 1238 y Fq(b)379 1245 y Fi(\(1\))423 1238 y Fm(\012)p Fq(c)473 1245 y Fi(\(1\))519 1238 y Fm(\012)p Fq(b)569 1245 y Fi(\(2\))614 1238 y Fq(c)632 1245 y Fi(\(2\))688 1238 y Fr(=)732 1207 y Fg(P)783 1238 y Fq(b)801 1245 y Fi(\(1\))846 1238 y Fm(\012)p Fq(c)896 1245 y Fi(\(1\))941 1238 y Fm(\012r)1008 1223 y Fp(0)1020 1238 y Fr(\()p Fq(b)1054 1245 y Fi(\(2\))1099 1238 y Fm(\012)p Fq(c)1149 1245 y Fi(\(2\))1195 1238 y Fr(\))f(und)h(1)p Fm(\012)p Fr(1)i(=)59 1288 y(1)e Fm(\012)h Fq(\021)155 1272 y Fp(0)167 1288 y Fr(\(1\).)16 b(Es)g(folgt)f Fq(bc)g Fr(=)504 1256 y Fg(P)555 1288 y Fq(")p Fr(\()p Fq(b)608 1295 y Fi(\(1\))653 1288 y Fr(\))p Fq(")p Fr(\()p Fq(c)722 1295 y Fi(\(1\))767 1288 y Fr(\))p Fq(b)801 1295 y Fi(\(2\))846 1288 y Fq(c)864 1295 y Fi(\(2\))923 1288 y Fr(=)971 1256 y Fg(P)1021 1288 y Fq(")p Fr(\()p Fq(b)1074 1295 y Fi(\(1\))1119 1288 y Fr(\))p Fq(")p Fr(\()p Fq(c)1188 1295 y Fi(\(1\))1233 1288 y Fr(\))p Fm(r)1284 1272 y Fp(0)1296 1288 y Fr(\()p Fq(b)1330 1295 y Fi(\(2\))1385 1288 y Fm(\012)59 1337 y Fq(c)77 1344 y Fi(\(2\))122 1337 y Fr(\))c(=)h Fm(r)228 1322 y Fp(0)239 1337 y Fr(\()p Fq(b)d Fm(\012)h Fq(c)p Fr(\))k(und)g(1)d(=)h Fq(\021)553 1322 y Fp(0)565 1337 y Fr(\(1\).)59 1390 y(Wir)d(k)o(ommen)e(zum)i(Existenzb)q(ew)o(eis.)i (Sei)f Fq(B)i Fr(lediglic)o(h)d(eine)h(Koalgebra,)f(und)h(sei)g Fq(!)j Fr(:)59 1440 y Fm(M)109 1425 y Fn(B)149 1440 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Fr(V)m(ek)j(ein)g(monoidaler)d(F)m(unktor)j(mit)e Fq(\030)i Fr(:)d Fq(!)q Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))10 b Fm(\012)f Fq(!)q Fr(\()p Fq(N)c Fr(\))13 b Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(!)q Fr(\()p Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(N)c Fr(\))59 1490 y(und)15 b Fq(\030)161 1496 y Fi(0)192 1490 y Fr(:)c Ff(K)16 b Fm(\000)-7 b(!)12 b Fq(!)q Fr(\()p Ff(K)q Fr(\).)17 b(Wir)c(b)q(eac)o(h)o(ten)j(zun)780 1492 y(\177)780 1490 y(ac)o(hst,)f(da\031)f(das)g(neue)h(T)m(ensorpro)q(dukt)59 1540 y(zwisc)o(hen)j(den)f(Komo)q(duln)e Fq(M)22 b Fr(und)17 b Fq(N)k Fr(auf)c(den)g(un)o(terliegenden)h(V)m(ektorr)1297 1542 y(\177)1297 1540 y(aumen)59 1589 y(mit)c(dem)h(T)m(ensorpro)q (dukt)h(dieser)h(V)m(ektorr)768 1591 y(\177)768 1589 y(aume)e(\(bis)h(auf)f(Isomorphie)f Fq(\030)r Fr(\))1304 1591 y(\177)1303 1589 y(ub)q(ere-)59 1639 y(instimm)o(t.)c(W)m(egen)j (der)h(Koh)527 1641 y(\177)527 1639 y(arenzs)639 1641 y(\177)639 1639 y(atze)i(f)742 1641 y(\177)741 1639 y(ur)d(monoidale)e (Kategorien)j(\(die)f(auc)o(h)h(in)59 1689 y(dieser)h(Situation)e (gelten\),)h(iden)o(ti\014zieren)g(wir)g(en)o(tlang)g Fq(\030)h Fr(und)f(eb)q(enso)i(en)o(tlang)d Fq(\030)1387 1695 y Fi(0)1406 1689 y Fr(.)59 1760 y(Wir)g(de\014nieren)j Fq(\021)c Fr(:=)g(\()p Ff(K)483 1733 y Fn(\016)q Fi(\()p Fc(K)-12 b Fi(\))481 1760 y Fm(\000)-6 b(!)11 b Ff(K)h Fm(\012)e Fq(B)688 1749 y Fm(\030)688 1762 y Fr(=)732 1760 y Fq(B)r Fr(\))k(und)g Fm(r)e Fr(:=)f(\()p Fq(B)h Fm(\012)d Fq(B)1125 1733 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))1152 1760 y Fm(\000)-6 b(!)38 b Fq(B)12 b Fm(\012)d Fq(B)j Fm(\012)59 1821 y Fq(B)104 1797 y Fn(")p Fp(\012)p Fn(")p Fp(\012)p Fi(1)205 1801 y Fj(B)133 1821 y Fm(\000)-7 b(!)40 b Ff(K)13 b Fm(\012)c Ff(K)k Fm(\012)c Fq(B)451 1810 y Fm(\030)451 1823 y Fr(=)495 1821 y Fq(B)r Fr(\).)59 1874 y(Da)19 b(der)g(Komo)q (dul-Struktur-Morphism)o(us)e Fq(\016)22 b Fr(:)e Fq(M)25 b Fm(\000)-7 b(!)20 b Fq(M)d Fm(\012)c Fq(B)22 b Fr(ein)d(Komo)q(dul)59 1924 y(Homomorphism)m(us)d(ist,)i(w)o(ob)q(ei)h(die)f(Komo)q (dulstruktur)g(auf)g Fq(M)f Fm(\012)c Fq(B)21 b Fr(n)o(ur)e(durc)o(h)59 1974 y(die)d(Diagonale)e(auf)h Fq(B)k Fr(gegeb)q(en)e(ist)f({)f(das)h (ist)g(die)g Fm(C)r Fr(-Struktur)h(auf)e Fq(!)i Fr(:)d Fm(M)1307 1959 y Fn(B)1350 1974 y Fm(\000)-6 b(!)59 2023 y Fr(V)m(ek)20 b({,)g(ist)g(auc)o(h)g Fq(\016)r Fr(\()p Fq(M)5 b Fr(\))14 b Fm(\012)f Fq(\016)r Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\))22 b(:)g Fq(M)c Fm(\012)c Fq(N)27 b Fm(\000)-7 b(!)21 b Fq(M)e Fm(\012)13 b Fq(N)19 b Fm(\012)13 b Fq(B)23 b Fr(ein)d(Komo)q(dul)59 2073 y(Homomorphism)m(us.)11 b(Also)j(k)o(omm)n(utiert)e(das)i(erste)h(Quadrat)f(im)e(Diagramm)p eop %%Page: 102 107 102 106 bop 59 117 a Ft(102)405 b(X.)15 b(T)m(ANNAKA)k(DUALIT)910 110 y(\177)906 117 y(AT)132 196 y Fq(M)14 b Fm(\012)c Fq(N)326 b(M)14 b Fm(\012)c Fq(B)i Fm(\012)d Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(B)p 278 184 298 2 v 534 183 a Fk(-)339 168 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(M)s Fi(\))p Fp(\012)p Fn(\016)q Fi(\()p Fn(N)s Fi(\))90 362 y Fq(M)k Fm(\012)c Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(B)240 b(M)14 b Fm(\012)c Fq(B)h Fm(\012)f Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)p 320 350 213 2 v 491 349 a Fk(-)306 334 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(M)s Fi(\))p Fp(\012)p Fn(\016)q Fi(\()p Fn(N)s Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)523 338 y Fj(B)1127 196 y Fq(M)k Fm(\012)9 b Fq(N)14 b Fm(\012)c Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)p 901 184 214 2 v 1073 183 a Fk(-)956 172 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)1084 362 y Fq(M)k Fm(\012)c Fq(N)k Fm(\012)c Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)i Fm(\012)d Fq(B)p 944 350 129 2 v 1031 349 a Fk(-)935 338 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p 198 320 2 108 v 199 320 a Fk(?)50 274 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(M)s Fp(\012)p Fn(N)s Fi(\))p 737 320 V 738 320 a Fk(?)485 274 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(M)s Fp(\012)p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(N)s Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))p 1277 320 V 1278 320 a Fk(?)1055 274 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))59 478 y Fr(Das)14 b(zw)o(eite)h(Quadrat)f(k)o(omm)n (utiert)e(eb)q(enso,)j(da)e(die)h(Komo)q(dulstruktur)g(auf)f Fq(M)h Fm(\012)59 528 y Fq(B)21 b Fr(bzw.)d Fq(N)f Fm(\012)c Fq(B)20 b Fr(n)o(ur)f(durc)o(h)g(die)f(Diagonale)f(auf)g Fq(B)k Fr(gegeb)q(en)f(ist,)d(also)h Fq(M)f Fm(\012)12 b Fq(N)59 578 y Fr(aus)h(der)g(nat)263 580 y(\177)262 578 y(urlic)o(hen)f(\()p Fm(C)r Fr(-\)T)m(ransformation)e (ausgeklammert)g(w)o(erden)j(d)1230 580 y(\177)1229 578 y(urfen.)g(Wir)59 627 y(sc)o(hlie'sen)i(jetzt)173 748 y(1)194 754 y Fn(M)240 748 y Fm(\012)10 b Fr(1)303 754 y Fn(N)343 748 y Fm(\012)g Fq(")f Fm(\012)h Fq(")f Fm(\012)h Fr(1)546 754 y Fn(B)586 748 y Fr(:)h Fq(M)j Fm(\012)9 b Fq(N)15 b Fm(\012)9 b Fq(B)j Fm(\012)d Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(M)j Fm(\012)c Fq(N)k Fm(\012)9 b Fq(B)59 869 y Fr(an)k(dieses)i(k)o(omm)o(utati)o(v)o(e)c(Rec)o(h)o (tec)o(k)k(an)e(und)h(erhalten)g Fq(\016)r Fr(\()p Fq(M)g Fm(\012)9 b Fq(N)c Fr(\))11 b(=)h(\(1)1238 875 y Fn(M)1283 869 y Fm(\012)d Fr(1)1345 875 y Fn(N)1385 869 y Fm(\012)59 919 y(r)p Fr(\)\(1)g Fm(\012)h Fq(\034)15 b Fm(\012)9 b Fr(1\)\()p Fq(\016)r Fr(\()p Fq(M)c Fr(\))10 b Fm(\012)g Fq(\016)r Fr(\()p Fq(N)5 b Fr(\).)14 b(Damit)e(wird)i(die)h(Komo)q (dulstruktur)e(auf)h Fq(M)h Fm(\012)9 b Fq(N)59 969 y Fr(durc)o(h)15 b(die)f(ob)q(en)g(de\014nierte)h(Multiplik)n(ation)c Fm(r)g Fr(:)g Fq(B)h Fm(\012)e Fq(B)k Fm(\000)-7 b(!)11 b Fq(B)17 b Fr(induziert.)59 1026 y(Nun)d(k)o(omm)o(uti)o(eren)e(die)i (folgenden)g(Diagramm)o(e)223 1155 y Fq(B)e Fm(\012)d Fq(B)257 b(B)12 b Fm(\012)d Fq(B)j Fm(\012)e Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)p 353 1144 230 2 v 541 1143 a Fk(-)427 1131 y Fi(\001)p Fp(\012)p Fi(\001)1051 1155 y Fq(B)i Fm(\012)e Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)i Fm(\012)d Fq(B)p 894 1144 146 2 v 997 1143 a Fk(-)915 1131 y Fi(1)p Fp(\012)p Fn(\034)s Fp(\012)p Fi(1)223 1321 y Fq(B)j Fm(\012)d Fq(B)755 b(B)12 b Fm(\012)e Fq(B)i Fm(\012)d Fq(B)p 353 1310 729 2 v 1040 1309 a Fk(-)657 1293 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))430 1487 y Fq(B)i Fm(\012)f Fq(B)i Fm(\012)d Fq(B)173 b(B)12 b Fm(\012)e Fq(B)h Fm(\012)f Fq(B)i Fm(\012)d Fq(B)p 644 1476 147 2 v 749 1475 a Fk(-)661 1463 y Fi(1)p Fp(\012)p Fi(1)p Fp(\012)p Fi(\001)265 1653 y Fq(B)840 b(B)11 b Fm(\012)f Fq(B)p 311 1642 813 2 v 1082 1641 a Fk(-)703 1633 y Fi(\001)p 281 1280 2 108 v 282 1280 a Fk(?)298 1233 y Fi(1)315 1237 y Fj(B)340 1233 y Fp(\012)p Fi(1)383 1237 y Fj(B)p 1194 1280 V 1195 1280 a Fk(?)1211 1234 y Fi(1)p Fp(\012r)432 1399 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))325 1365 y Fk(Q)367 1393 y(Q)408 1421 y(Q)446 1446 y(Q)-42 b(s)880 1399 y Fn(\016)q Fi(\()p Fn(B)q Fp(\012)p Fn(B)q Fi(\))p Fp(\012)p Fi(1)1109 1365 y Fk(\021)1068 1393 y(\021)1026 1421 y(\021)989 1446 y(\021)g(+)p 281 1612 2 274 v 282 1612 a(?)237 1485 y Fp(r)p 1194 1612 V 1195 1612 a Fk(?)1211 1483 y Fp(r\012)p Fi(1)432 1565 y Fn(")p 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