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(obtained)h(as)h(groups)g(of)f(symmetri)o(es)d(\(or)j(automorphisms\))e (of)0 2358 y(mathematical)9 b(structures)i(lik)o(e)f(a)j(v)o(ector)e (space)g(\(o)o(v)o(er)g(a)h(\014xed)g(\014eld)f Fs(K)t Fw(\))k(or)d(t)o(w)o(o)f(v)o(ector)g(spaces)0 2416 y(together)i(with)g (a)g(linear)f(map)g(b)q(et)o(w)o(een)g(them)f(or)i(a)h(whole)e(diagram) h(of)g(v)o(ector)f(spaces,)h(where)0 2474 y(a)f(symmetry)d(of)j(suc)o (h)g(a)h(diagram)e(is)h(a)g(family)e(of)j(automorphisms)d(one)j(for)f (eac)o(h)f(v)o(ector)h(space)0 2533 y(whic)o(h)f(are)h(compatible)d (with)j(the)f(linear)g(maps)g(of)h(the)f(diagram)h(\(a)g(natural)g (automorphism\).)0 2591 y(This)k(pro)q(cess)g(of)h(constructing)f(the)f (group)i(of)f(symmetrie)o(s)d(is)j(a)g(sp)q(ecial)g(case)f(of)i(the)e (notion)0 2649 y(of)i(\(T)l(annak)m(a-Krein\))g(reconstruction.)875 2892 y Fx(1)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 0 -49 a Fx(2)693 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)50 58 y Fw(Con)o(v)o(ersely)h(giv)o(en)h(a)h(group)g Fr(G)g Fw(one)g(considers)f(its)g(represen)o(tations)h Fr(G)g Fu(\000)-8 b(!)21 b Fr(GL)p Fw(\()p Fr(V)12 b Fw(\))20 b(in)0 117 y(v)o(ector)c(spaces)i Fr(V)28 b Fw(o)o(v)o(er)16 b(the)h(\014eld)f Fs(K)t Fw(.)27 b(All)16 b(represen)o(tations)g(of)i Fr(G)f Fw(form)f(the)h(category)1656 124 y Fq(K)p Fp(G)1712 117 y Fu(M)0 175 y Fw(of)c(mo)q(dules,)e(whic)o(h)h(w)o(e)g(ma)o(y)e (consider)i(as)h(a)g(h)o(uge)f(diagram)g(of)h(v)o(ector)e(spaces.)20 b(The)12 b(category)0 240 y Fq(K)p Fp(G)55 233 y Fu(M)20 b Fw(has)h(an)g(additional)f(in)o(teresting)f(structure)h({)g(the)g (tensor)g(pro)q(duct)h Fr(V)k Fu(\012)13 b Fr(W)27 b Fw(of)21 b(t)o(w)o(o)0 291 y(represen)o(tations)g(is)g(again)g(a)h (represen)o(tation)e(in)h(a)h(canonical)f(w)o(a)o(y)l(,)1341 298 y Fq(K)p Fp(G)1396 291 y Fu(M)g Fw(is)g(a)h(monoidal)0 349 y(category)l(.)35 b(A)21 b(sp)q(ecial)f(consequence)g(of)i (reconstruction)e(theory)h(is)g(the)g(fact)f(that)i Fr(G)f Fw(ma)o(y)0 407 y(b)q(e)d(reco)o(v)o(ered)e(as)j(the)e(full)g(group)i (of)f(those)g(symmetrie)o(s)e(of)i(this)f(h)o(uge)h(diagram)f(whic)o(h) h(are)0 465 y(compatible)h(with)h(the)g(tensor)h(pro)q(duct.)35 b(This)20 b(pro)q(cess)i(seems)d(to)h(b)q(e)h(the)f(in)o(v)o(erse)f(of) i(the)0 523 y(\014rst)c(one.)22 b(In)16 b(a)h(more)e(general)h(setting) h(there)e(are,)i(ho)o(w)o(ev)o(er,)d(subtle)i(deviations.)22 b(One)16 b(ma)o(y)0 581 y(reconstruct)g(m)o(uc)o(h)e(larger)i(groups)i (of)e(symmetrie)o(s)e(than)j(what)g(one)f(started)h(out)f(with.)50 640 y(More)21 b(generally)f(w)o(e)h(kno)o(w)g(that)h(algebras)g Fr(A)p Fw(,)f(Lie)g(algebras)h Fo(g)f Fw(and)h(Hopf)f(algebras)h Fr(H)0 698 y Fw(can)16 b(b)q(e)f(reconstructed)g(from)g(their)f (categories)i(of)f(mo)q(dules.)20 b(F)l(or)c(the)f(reconstruction)g(of) h(an)0 756 y(algebra)d Fr(A)f Fw(one)g(actually)g(needs)g(not)h(only)f (the)g(category)g(of)h Fr(A)p Fw(-mo)q(dules)e Fr(A)p Fw(-Mo)q(d)i(but)f(also)h(the)0 814 y(underlying)e(functor)h Fr(!)k Fw(:)d Fr(A)p Fw(-Mo)q(d)h Fu(\000)-8 b(!)13 b Fw(V)l(ec)o(.)20 b(Then)12 b Fr(A)f Fw(\(as)h(an)g(algebra\))h(can)e(b) q(e)h(reconstructed)0 873 y(\(up)18 b(to)g(isomorphism\))e(as)i(end\()p Fr(!)r Fw(\),)g(the)f(categorical)g(end)h(of)g(the)g(underlying)f (functor.)26 b(F)l(or)0 931 y(the)13 b(reconstruction)g(of)h(a)f(Hopf)h (algebra)f Fr(H)18 b Fw(one)13 b(needs)g(in)g(addition)h(the)f (monoidal)f(structure)0 989 y(of)i Fr(H)t Fw(-)q(Mo)q(d.)21 b(Then)14 b(the)g(full)f(Hopf)h(algebra)h(structure)e(can)h(b)q(e)h (reconstructed)e([DM82)q(,)g(P)o(a81)q(,)0 1047 y(Ul89].)50 1105 y(This)21 b(stands)g(in)g(p)q(oin)o(ted)g(con)o(trast)g(to)g (another)g(similar)e(result,)i(the)f(Morita)h(theorems)0 1164 y([Ba68],)h(whic)o(h)e(sho)o(w)i(that)f(the)g(kno)o(wledge)g(of)g (the)g(category)h(of)f(mo)q(dules)f Fr(A)p Fw(-Mo)q(d)i(of)f(an)0 1222 y(algebra)c Fr(A)f Fw(do)q(es)h(not)f(determine)e Fr(A)i Fw(up)g(to)h(isomorphism.)50 1280 y(As)i(w)o(e)f(remark)o(ed)f (b)q(efore,)j(the)e(forgetful)h(functor)g Fr(!)i Fw(:)d Fr(A)p Fw(-Mo)q(d)h Fu(\000)-8 b(!)18 b Fw(V)l(ec)g(is)h(essen)o(tial)f (in)0 1338 y(the)h(pro)q(cess)g(of)g(reconstruction.)29 b(In)19 b(particular)f(one)h(has)h(to)f(consider)g(represen)o(tations)f (of)0 1396 y(the)h(giv)o(en)g(ob)s(jects)g(\(algebras,)h(groups,)h(Lie) e(algebras,)h(Hopf)f(algebras\))h(in)f(v)o(ector)g(spaces.)0 1455 y(Represen)o(tations)j(in)f(categories)h(of)h(ob)s(jects)e(with)h (a)h(ric)o(her)d(structure)i(lik)o(e)e(sup)q(er)j(v)o(ector)0 1513 y(spaces,)13 b Fr(?)p Fw(-spaces,)g(graded)g(v)o(ector)e(spaces,)h (como)q(dules)f(o)o(v)o(er)g(Hopf)h(algebras)h(ha)o(v)o(e)e(a)i (di\013eren)o(t)0 1571 y(b)q(eha)o(vior.)50 1629 y(Instead)19 b(of)h(the)f(base)g(category)h(V)l(ec)e(w)o(e)h(wish)g(to)h(use)f(an)h (arbitrary)f(braided)h(monoidal)0 1687 y(category)12 b Fu(A)p Fw(.)19 b(There)11 b(are)h(man)o(y)e(examples)g(for)i(suc)o(h) f(a)h(base)g(category)g Fu(A)f Fw(suc)o(h)h(as)g Fr(L)p Fw(-Mo)q(d)q(,)g(the)0 1746 y(category)k(of)g(mo)q(dules)f(o)o(v)o(er)g (a)i(quasitriangular)f(Hopf)g(algebra)g Fr(L)p Fw(,)g Fr(L)p Fw(-Como)q(d,)g(the)f(category)0 1804 y(of)g(como)q(dules)e(o)o (v)o(er)g(a)i(co)q(quasitriangular)g(Hopf)g(algebra)f Fr(L)p Fw(,)1161 1786 y Fp(L)1161 1816 y(L)1187 1804 y Fu(Y)t(D)q Fw(,)h(the)f(category)h(of)g(Y)l(etter-)0 1862 y(Drinfeld)10 b(mo)q(dules)h(o)o(v)o(er)f(a)i(Hopf)f(algebra)h (with)f(bijectiv)o(e)e(an)o(tip)q(o)q(de,)k(or)e(dys)h Fu(C)1458 1869 y Fp(A)1486 1862 y Fw(,)g(the)f(category)0 1920 y(of)21 b(dyslectic)f(mo)q(dules)g(o)o(v)o(er)g(a)h(comm)o(utativ) o(e)d(algebra)j(in)g(a)g(braided)g(monoidal)f(category)0 1978 y Fu(C)26 b Fw([P)o(a95)q(].)41 b(W)l(e)23 b(study)g(the)g(follo)o (wing)g(problem:)33 b(giv)o(en)22 b(an)i(algebra,)h(a)e(bialgebra,)i (or)e(a)0 2036 y(Hopf)g(algebra)g Fr(H)k Fw(in)c Fu(A)p Fw(,)g(can)g(it)g(b)q(e)g(reconstructed)f(from)1168 2043 y Fp(H)1201 2036 y Fu(A)p Fw(,)i(the)e(underlying)h(functor)0 2094 y Fr(!)18 b Fw(:)78 2101 y Fp(H)111 2094 y Fu(A)e(\000)-8 b(!)16 b(A)h Fw(and)h(the)g(monoidal)e(structure?)26 b(A)17 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(precisely)f(the)i(additional)0 2560 y(hidden)g(symmetri)o(es)d(b)o(y)j (a)h(smash)f(pro)q(duct)h(decomp)q(osition)e(of)i(the)f(reconstructed)f (ob)s(ject.)50 2618 y(W)l(e)i(con)o(trol)g(the)g(pro)q(cess)h(of)g (reconstruction)f(b)o(y)g(a)g(con)o(trol)g(category)h Fu(C)i Fw(whic)o(h)d(op)q(erates)0 2676 y(on)24 b Fr(!)k Fw(:)172 2683 y Fp(H)206 2676 y Fu(A)d(\000)-8 b(!)25 b(A)p Fw(.)42 b(With)23 b(di\013eren)o(t)g(c)o(hoices)f(of)h(the)h(con) o(trol)e(category)i Fu(C)i Fw(w)o(e)d(obtain)0 2734 y(di\013eren)o(t)18 b(reconstructed)g(ob)s(jects)g(end)746 2741 y Fn(C)768 2734 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h(from)e(one)i(and)g(the)f(same)g (underlying)g(functor)0 2793 y Fr(!)e Fw(:)73 2800 y Fp(H)107 2793 y Fu(A)e(\000)-9 b(!)14 b(A)p Fw(.)21 b(W)l(e)16 b(study)g(the)g(prop)q(erties)g(of)h(end)993 2800 y Fn(C)1015 2793 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 380 b(3)50 58 y Fw(The)14 b(second)h(section)e(of)i(this)f(pap)q(er)h (is)f(dev)o(oted)g(to)g(some)f(basic)i(notions)g(from)e(the)h(theory)0 117 y(of)d(braided)g(monoidal)f(categories)h Fu(C)j Fw(and)d(the)g (notion)g(of)g Fu(C)s Fw(-categories.)20 b(The)11 b(most)f(in)o (teresting)0 175 y(examples)18 b(for)i Fu(C)i Fw(are)e(the)f (categories)h(of)g(mo)q(dules)f(resp.)31 b(como)q(dules)19 b(o)o(v)o(er)f(Hopf)i(algebras)0 233 y(with)f(an)i(additional)e (structure)g(kno)o(wn)h(as)g(a)g(quasitriangular)g(structure)g(resp.)31 b(braiding,)0 291 y(one)23 b(example)d(is)i(the)g(category)h(of)g(sup)q (er)f(v)o(ector)g(spaces,)i(furthermore)d(the)h(category)g(of)0 349 y(Y)l(etter-Drinfeld)14 b(mo)q(dules.)50 408 y(In)23 b(the)g(third)f(section)h(w)o(e)g(study)g(the)g(general)g(algebraic)g (structure)g(of)g(reconstructed)0 466 y(ob)s(jects)13 b(in)g(a)h(braided)f(monoidal)f(category)l(.)21 b(W)l(e)13 b(separate)g(the)g(discussion)h(of)g(the)f(prop)q(erties)0 524 y(of)23 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y(dep)q(ending)c(on)h(the)e (prop)q(erties)h(of)g Fr(!)r Fw(.)24 b(These)17 b(structures)f(on)i (the)f(co)q(end)g(of)g(a)g(functor)g(ha)o(v)o(e)0 989 y(already)g(b)q(een)g(studied)g(in)g(v)m(arious)h(pap)q(ers)f([Mj93b,)g (Mj94a)q(,)g(Mj94b,)g(P)o(a93)q(,)g(Sc)o(h92a].)24 b(Our)0 1047 y(tec)o(hniques)13 b(allo)o(w)h(us)h(to)g(restrict)f(the)g(class)h (of)g(natural)g(transformations)g(\(b)o(y)f(the)g(notion)h(of)0 1105 y Fu(C)s Fw(-morphisms)c(and)j(b)o(y)f(c)o(ho)q(osing)h (di\013eren)o(t)e(con)o(trol)h(categories)g Fu(C)s Fw(\),)h(whic)o(h)e (giv)o(es)h(us)g(a)h(family)0 1163 y(of)19 b(di\013eren)o(t)e(univ)o (ersal)h(transformations)g Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(!)c Fu(\012)f Fr(U)1091 1170 y Fn(C)1132 1163 y Fw(parametrized)j(b) o(y)i(the)g(c)o(hoice)f(of)0 1221 y(con)o(trol)i(category)h Fu(C)j Fw(and)d(th)o(us)g(di\013eren)o(t)f(coalgebras,)i(bialgebras,)f (or)g(Hopf)g(algebras)g Fr(U)1735 1228 y Fn(C)1758 1221 y Fw(.)0 1280 y(This)15 b(tec)o(hnique)e(w)o(as)j(\014rst)f(used)g(in)f ([P)o(a78)q(,)g(P)o(a81)q(].)21 b(No)o(w)14 b(w)o(e)h(expand)g(this)g (tec)o(hnique)e(to)i(the)0 1338 y(case)g(of)g(braided)g(monoidal)f (categories)h(to)g(study)h(the)e(structure)h(of)g(hidden)g(symmetri)o (es.)j(It)0 1396 y(turns)d(out)g(that)g(some)e(of)i(the)g(structure)f (is)g(connected)g(with)g(coadjoin)o(t)h(coactions,)g(cosmash)0 1454 y(pro)q(ducts)i(and)g(transm)o(utation.)50 1513 y(In)j(the)h(fourth)g(section)g(w)o(e)f(sho)o(w)i(under)e(whic)o(h)g (conditions)h(a)h(coalgebra)f Fr(C)j Fw(in)d Fu(A)f Fw(can)0 1571 y(b)q(e)g(reconstructed)f(from)g(the)g(category)h(of)h Fr(C)t Fw(-como)q(dules)d Fu(A)1178 1553 y Fp(C)1227 1571 y Fw(in)i Fu(A)f Fw(and)i(the)e(functor)h Fr(!)i Fw(:)0 1629 y Fu(A)40 1611 y Fp(C)83 1629 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(A)p Fw(.)21 b(If)14 b Fr(C)j Fw(is)e(a)g(coalgebra)f(in)h(the) f Fu(C)s Fw(-monoidal)g(category)g Fu(A)g Fw(=)g Fu(C)j Fw(and)e Fr(!)h Fw(:)e Fu(A)1595 1611 y Fp(C)1638 1629 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)0 1687 y Fw(is)k(the)g(underlying)g(functor)g (then)g Fr(C)j Fw(=)c(co)q(end)901 1694 y Fn(C)923 1687 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))i(\([P)o(a81])f(and)h(Cor.)28 b(4.3)18 b(with)g Fu(C)1617 1694 y Ft(0)1655 1687 y Fw(=)f Fu(C)s Fw(\).)0 1745 y(One)c(w)o(ould)h(lik)o(e)e(to)i(ha)o(v)o(e)f(a)i (more)d(general)i(theorem)e(of)i(the)f(form:)19 b(if)13 b Fr(C)18 b Fw(is)13 b(a)h(coalgebra)h(in)e(an)0 1803 y Fm(arbitr)n(ary)j Fu(C)s Fw(-monoidal)g(category)i Fu(A)f Fw(and)h Fr(!)g Fw(:)d Fu(A)929 1785 y Fp(C)974 1803 y Fu(\000)-8 b(!)15 b(A)i Fw(is)h(the)f(underlying)f(functor)i (then)0 1861 y Fr(C)24 b Fw(=)c(co)q(end)241 1868 y Fn(C)263 1861 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)33 b(This,)21 b(ho)o(w)o(ev)o(er,)e(is)h (not)h(true)f(b)q(ecause)g(of)h(hidden)e(symmetrie)o(s,)f(whic)o(h)0 1919 y(liv)o(e)13 b(in)h(part)h(in)f Fu(A)h Fw(\(or)g(more)e(precisely) g(in)h(co)q(end)930 1926 y Fn(C)953 1919 y Fw(\(id)f(:)h Fu(A)f(\000)-8 b(!)13 b(A)p Fw(\),)i(see)f(section)g(5\).)21 b(Our)15 b(use)0 1978 y(of)20 b(con)o(trol)g(categories)g(allo)o(ws)g (us)h(to)f(reconstruct)g(a)h(coalgebra)f(from)f(its)h(represen)o (tations)0 2036 y(\(como)q(dules\))c(in)g(an)h(arbitrary)f(monoidal)g (category)h Fu(A)p Fw(,)e(namely)g Fr(C)j Fw(=)c(co)q(end)1484 2043 y Fn(A)1515 2036 y Fw(\()p Fr(!)i Fw(:)e Fu(A)1648 2018 y Fp(C)1691 2036 y Fu(\000)-8 b(!)0 2094 y(A)p Fw(\))13 b(\(no)h(braiding)g(of)g Fu(A)f Fw(is)g(needed\).)20 b(This)13 b(fact)h(allo)o(ws)f(us)h(no)o(w)g(to)g(w)o(onder)g(ab)q(out) g(and)h(study)0 2152 y(the)k(additional)g(hidden)g(symmetri)o(es)d(app) q(earing)21 b(in)d(co)q(end)1155 2159 y Fn(C)1177 2152 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)30 b(V)l(arious)19 b(re\014nemen)o(ts)e(of)0 2210 y(this)f(reconstruction)g(can)h(b)q(e)f(found)h(in)f(Theorems)f (4.1)h(and)h(4.2.)50 2269 y(The)e(second)g(existence)e(theorem)g(deals) i(with)g(the)f(\(re-\)construction)h(of)g Fr(C)j Fw(in)d(the)g(case)f (of)0 2327 y(an)h(arbitrary)g Fu(C)s Fw(-functor)h Fr(!)g Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)13 b(A)p Fw(.)21 b(Conditions)16 b(for)f(suc)o(h)g(a)g(reconstruction)g(ha)o(v)o(e)f(b)q(een)0 2385 y(dev)o(elop)q(ed)d(in)h(man)o(y)f(pap)q(ers,)j(suc)o(h)e(as)h ([Ul89,)f(Ul90])g(in)g(the)g(case)g Fu(A)i Fw(=)g(V)l(ec)o(.)20 b(In)12 b(our)g(situation)0 2443 y(w)o(e)20 b(can)g(pro)o(v)o(e)f(the)h (follo)o(wing:)29 b(if)19 b Fr(!)k Fw(:)d Fu(B)i(\000)-9 b(!)20 b(C)k Fw(is)c(a)g Fu(C)1088 2450 y Ft(0)1108 2443 y Fw(-functor)h(whic)o(h)e(factors)i(through)0 2501 y(the)c(category)h Fu(C)309 2508 y Ft(0)347 2501 y Fw(of)g(rigid)f(ob)s(jects)g(in)g Fu(C)k Fw(and)d(if)f Fu(C)k Fw(is)d(co)q(complete)d(then)j Fr(U)1432 2508 y Fn(C)1451 2513 y Fl(0)1486 2501 y Fw(=)e(co)q(end)1664 2508 y Fn(C)1683 2513 y Fl(0)1702 2501 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))0 2559 y(exists.)21 b(A)16 b(w)o(eak)g(v)m(arian)o(t)h(of)f(this) h(theorem)e(w)o(as)h(pro)o(v)o(ed)g(in)g([Mj93b])g(\(Theorem)f(2.2\))i (where)0 2618 y Fu(B)g Fw(is)f(essen)o(tially)e(a)i(category)g(with)g (only)g(a)g(\014nite)f(n)o(um)o(b)q(er)f(of)j(ob)s(jects)e(and)i (morphisms,)c(the)0 2676 y(con)o(trol)h(category)h(is)g(trivial,)e(and) j(only)e(rigid)g(ob)s(jects)h(are)g(reconstructed)f(\(for)h(more)e (details)0 2734 y(see)j(the)g(remarks)f(in)h(4.1.2\).)50 2793 y(In)f(section)f(\014v)o(e)h(w)o(e)g(sho)o(w)g(as)h(one)g(of)f (the)g(main)f(results)h(of)g(this)g(pap)q(er)h(that)g(the)f(univ)o (ersal)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 0 -49 a Fx(4)693 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(ob)s(ject)12 b(co)q(end)268 65 y Fn(C)290 58 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))i(=)g Fr(U)459 65 y Fn(C)494 58 y Fw(for)f(a)h(functor)f Fr(!)j Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)13 b(A)g Fw(tends)g(to)g(decomp)q(ose) f(in)o(to)h(a)g(cosmash)0 117 y(pro)q(duct)k(of)f(a)g(Hopf)g(algebra)g (with)g(a)g(coalgebra.)22 b(In)15 b(particular)h(w)o(e)f(sho)o(w)i(the) e(follo)o(wing.)21 b(If)0 175 y Fr(H)g Fw(is)16 b(a)h(braided)f(Hopf)g (algebra)h(in)f(a)h(braided)f(monoidal)g(category)g Fu(D)q Fw(,)h Fr(C)j Fw(is)c(a)h(coalgebra)g(in)0 233 y Fu(D)39 215 y Fp(H)73 233 y Fw(,)j(and)g Fr(!)h Fw(:)d(\()p Fu(D)346 215 y Fp(H)380 233 y Fw(\))399 215 y Fp(C)448 233 y Fu(\000)-9 b(!)19 b(D)586 215 y Fp(H)639 233 y Fw(is)g(the)g(underlying)f (functor.)31 b(Then)19 b(there)f(is)h(a)h(canonical)0 291 y(isomorphism)377 358 y Fr(f)f Fw(:)14 b(co)q(end)571 365 y Fn(D)601 358 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g Fu(\000)-8 b(!)13 b Fw(co)q(end)902 365 y Fn(D)933 358 y Fw(\(id)992 367 y Fn(D)1020 358 y Fk(H)7 b Fw(\))1079 341 y Fj(e)1071 358 y Fw(#)1112 337 y Fp(c)1129 358 y Fw(co)q(end)1252 367 y Fn(D)1280 358 y Fk(H)f Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)0 437 y Fw(where)18 b(w)o(e)g(use)g(a)g(cosmash)g(pro)q(duct)h(with)f (resp)q(ect)g(to)g(the)g(transm)o(utation)g(m)o(ultiplic)o(ation)0 495 y(in)g Fr(H)t Fw(.)27 b(As)19 b(a)f(sp)q(ecial)g(example)e(one)i (obtains)h(for)g(a)g(braided)f(Hopf)g(algebra)h Fr(H)j Fw(o)o(v)o(er)c(a)g(\014eld)0 553 y Fs(K)t Fw(,)k(an)e Fr(H)t Fw(-como)q(dule)f(coalgebra)g Fr(C)t Fw(,)g(and)h(the)f(functor) h Fr(!)h Fw(:)d(\(V)l(ec)1252 532 y Fp(H)1286 553 y Fw(\))1305 535 y Fp(C)1353 553 y Fu(\000)-9 b(!)19 b Fw(V)l(ec)1528 532 y Fp(H)1562 553 y Fw(,)g(that)h(the)0 617 y(co)q(end)d(of)f Fr(!)j Fw(is)d(the)g(cosmash)f(pro)q(duct)i Fr(H)805 600 y Fj(e)796 617 y Fw(#)837 599 y Fp(c)855 617 y Fr(C)907 603 y Fu(\030)907 619 y Fw(=)960 617 y Fr(H)t Fw(#)1045 599 y Fp(c)1062 617 y Fr(C)t Fw(.)50 676 y(In)e(the)f(App)q(endix)h(w)o (e)f(study)h(certain)g(connections)f(b)q(et)o(w)o(een)g Fs(K)t Fw(-a)q(dditiv)o(e)i(categories)f(and)0 734 y(our)k(notion)g(of) f Fu(C)s Fw(-categories)h(and)g(sho)o(w)g(in)f(particular)g(\(Theorem)e (6.4\))j(wh)o(y)f(there)g(are)g(no)0 792 y(hidden)e(symmetri)o(es)d(in) j(the)g(case)h(of)f(represen)o(tations)g(in)g(ordinary)g(v)o(ector)g (spaces.)380 907 y(2.)27 b Fv(Braided)19 b(ca)m(tegories)f(and)g Fu(C)s Fv(-ca)m(tegories)50 991 y Fw(Throughout)d(this)f(pap)q(er)g (let)f Fu(A)h Fw(b)q(e)g(a)g Fm(monoidal)h(c)n(ate)n(gory)p Fw(,)f(i.e.)e(a)i(category)g(together)g(with)0 1049 y(a)19 b(bifunctor)g Fu(\012)f Fw(:)g Fu(A)13 b(\002)g(A)18 b(\000)-9 b(!)19 b(A)p Fw(,)g(a)g(neutral)g(ob)s(ject)f Fr(I)k Fu(2)d(A)p Fw(,)g(and)g(natural)h(isomorphisms)0 1108 y Fr(\013)14 b Fw(:)g(\()p Fr(P)c Fu(\012)t Fr(Q)p Fw(\))t Fu(\012)t Fr(R)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(P)e Fu(\012)t Fw(\()p Fr(Q)t Fu(\012)t Fr(R)p Fw(\),)h Fr(\025)i Fw(:)g Fr(I)8 b Fu(\012)t Fr(P)19 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(P)7 b Fw(,)14 b(and)f Fr(\032)h Fw(:)f Fr(P)e Fu(\012)t Fr(I)17 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)7 b Fw(,)13 b(satisfying)g(the)0 1166 y(w)o(ell-kno)o(wn)18 b(coherence)g(\(constrain)o(t\))h (conditions.)29 b(Without)19 b(loss)h(of)f(generalit)o(y)e(\(b)o(y)i (Mac)0 1224 y(Lane's)d(coherence)f(theorem)f([ML71)q(])h(Theorem)g (15.1\))h(w)o(e)g(shall)f(assume)h(that)g Fu(A)f Fw(is)h(a)g(strict)0 1282 y(monoidal)k(category)l(,)i(so)g(that)g(all)e(asso)q(ciativit)o(y) h(and)h(unit)f(isomorphisms)e(are)i(iden)o(tities.)0 1340 y(Similarly)13 b Fu(C)20 b Fw(will)15 b(b)q(e)h(a)h(monoidal)e (category)i(throughout.)50 1400 y(W)l(e)g(are)g(mainly)e(in)o(terested) h(in)h(the)g(case)h(where)e Fu(A)i Fw(is)f(the)g(category)g(of)h (\(righ)o(t\))f(mo)q(dules)0 1458 y Fu(M)60 1465 y Fp(B)114 1458 y Fw(or)25 b(como)q(dules)f Fu(M)488 1440 y Fp(B)542 1458 y Fw(o)o(v)o(er)g(a)g(bialgebra)h Fr(B)i Fw(\(o)o(v)o(er)c(a)i (\014eld)f Fs(K)s Fw(\))k(with)c(the)g(canonical)0 1516 y(monoidal)16 b(structure.)23 b(F)l(urther)17 b(examples)e(are)i(V)l (ec)f(the)h(category)g(of)h(v)o(ector)e(spaces)h(o)o(v)o(er)f(a)0 1574 y(\014eld)i Fs(K)t Fw(,)k(v)o(ec)c(the)h(category)g(of)g (\014nite-dimensional)e(v)o(ector)h(spaces,)h(mo)q(d-)p Fr(B)s Fw(,)g(the)f(category)0 1632 y(of)25 b(\014nite-dimensional)d (\(o)o(v)o(er)h Fs(K)t Fw(\))k Fr(B)s Fw(-mo)q(dules,)e(and)g(como)q (d-)p Fr(B)s Fw(,)g(the)f(category)g(of)h(\014nite-)0 1690 y(dimensional)16 b Fr(B)s Fw(-como)q(dules.)23 b(Some)17 b(in)o(teresting)f(top)q(ological)i(examples)e(ma)o(y)f(b)q(e)j(found)g (in)0 1748 y([Y)l(e90].)0 1846 y Fy(2.1.)27 b Fu(C)s Fy(-categories.)c Fw(W)l(e)j(will)f(need)h(the)g(notion)h(of)g (categories,)h(functors,)h(and)e(natu-)0 1904 y(ral)21 b(transformations)g(\\o)o(v)o(er")g(a)h(monoidal)e(category)i Fu(C)s Fw(,)g(whic)o(h)e(w)o(e)h(call)f Fu(C)s Fw(-categories,)i Fu(C)s Fw(-)0 1962 y(functors,)j(and)f Fu(C)s Fw(-morphisms.)41 b(Man)o(y)23 b(of)g(their)g(prop)q(erties)g(ha)o(v)o(e)g(b)q(een)g(in)o (v)o(estigated)f(in)0 2020 y([P)o(a77)q(,)11 b(P)o(a81)q(].)20 b(They)12 b(are)g(built)g(in)g(analogy)h(to)g Fr(G)p Fw(-sets)g(and)g(their)f(morphisms)e(or)j Fr(R)p Fw(-mo)q(dules)0 2078 y(and)k(their)e(morphisms.)0 2172 y Fy(De\014nition)j(2.1.)h Fw(A)k(category)g Fu(B)h Fw(together)f(with)g(a)g(bifunctor)g Fu(\012)i Fw(:)f Fu(C)19 b(\002)c(B)27 b(\000)-9 b(!)25 b(B)f Fw(and)0 2230 y(coheren)o(t)181 2212 y Ft(1)220 2230 y Fw(natural)d(isomorphisms)e Fr(\014)k Fw(:)d(\()p Fr(X)f Fu(\012)13 b Fr(Y)e Fw(\))j Fu(\012)g Fr(P)28 b Fu(\000)-9 b(!)21 b Fr(X)d Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Y)25 b Fu(\012)14 b Fr(P)7 b Fw(\))20 b(\(for)h Fr(X)q(;)8 b(Y)32 b Fu(2)0 2288 y(C)s Fr(;)8 b(P)21 b Fu(2)14 b(B)r Fw(\))h(and)h Fr(\031)f Fw(:)e Fr(I)g Fu(\012)c Fr(P)22 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)22 b Fw(will)15 b(b)q(e)g(called)g(a)g (\(left\))g Fu(C)s Fm(-c)n(ate)n(gory)p Fw(.)21 b(\(F)l(or)16 b(the)f(coherence)0 2346 y(conditions)h(see)g([Se79].\))21 b(In)16 b(suc)o(h)g(a)h(con)o(text)e(w)o(e)h(will)f(call)g Fu(C)20 b Fw(a)c Fm(c)n(ontr)n(ol)i(c)n(ate)n(gory)p Fw(.)50 2439 y(Some)d(of)h(our)h(main)e(examples)f(are:)0 2537 y(2.1.1.)49 b(A)16 b(monoidal)f(category)i Fu(A)f Fw(is)g(an)h Fu(A)p Fw(-category)l(.)p 0 2591 250 2 v 50 2628 a Fi(1)68 2643 y Fx(Whenev)o(er)d(w)o(e)e(use)h(the)f(term)f (\\coheren)o(t")i(w)o(e)g(mean)d(that)i(the)h(giv)o(en)e(natural)h (transformation)e(is)i(coher-)0 2693 y(en)o(t)h(also)g(with)f(resp)q (ect)j(to)e(the)h(already)e(existing)h(coheren)o(t)h(natural)f (transformations,)e(in)h(this)h(case)h(with)e Fh(\013)p Fx(,)0 2743 y Fh(\025)p Fx(,)j(and)g Fh(\032)p Fx(.)22 b(The)16 b(minim)o(al)11 b(requiremen)o(ts)16 b(for)e(coherence)k(are)d (ob)o(vious)g(in)f(most)g(cases.)23 b(W)m(e)15 b(do)g(not)g(further)0 2793 y(in)o(v)o(estigate)f(them.)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 380 b(5)0 58 y Fw(2.1.2.)49 b(Let)16 b Fr(A)g Fw(\(with)g Fr(m)476 65 y Fp(A)518 58 y Fw(:)e Fr(A)c Fu(\012)h Fr(A)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(A)h Fw(and)i Fr(u)963 65 y Fp(A)1005 58 y Fw(:)d Fr(I)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(A)p Fw(\))j(b)q(e)g(an)h Fm(algebr)n(a)g Fw(\(a)g(monoid\))0 117 y(in)f Fu(A)p Fw(,)g(i.e.)f(the)i(m)o(ultipli)o(cation)d Fr(m)647 124 y Fp(A)692 117 y Fw(is)i(asso)q(ciativ)o(e)g(and)i(unital)e(\(with)g (unit)h(morphism)d Fr(u)1711 124 y Fp(A)1739 117 y Fw(\).)0 175 y(In)h(the)g(situation)h Fu(A)e Fw(=)f Fu(M)511 157 y Fp(B)542 175 y Fw(,)i(suc)o(h)g(an)h(algebra)g Fr(A)f Fw(is)g(called)g(a)g Fr(B)s Fm(-c)n(omo)n(dule)i(algebr)n(a)p Fw(.)22 b(In)15 b(the)0 233 y(case)h Fu(A)e Fw(=)g Fu(M)269 240 y Fp(B)299 233 y Fw(,)i(suc)o(h)g(an)g(algebra)h Fr(A)f Fw(is)g(called)f(a)i Fr(B)s Fm(-mo)n(dule)g(algebr)n(a)k Fw([Sw69)q(].)0 344 y(2.1.3.)49 b(The)23 b(category)f Fu(B)k Fw(=)e Fu(A)633 351 y Fp(A)684 344 y Fw(of)f(\(righ)o(t\))f Fr(A)p Fm(-mo)n(dules)g Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(\024)25 b Fw(:)f Fr(P)f Fu(\012)15 b Fr(A)24 b Fu(\000)-9 b(!)24 b Fr(P)7 b Fw(\))23 b(in)f Fu(A)0 402 y Fw(is)f(a)i(\(left\))d Fu(A)p Fw(-category)l(,)j(since)e Fr(X)e Fu(\012)c Fr(P)29 b Fw(carries)21 b(the)g(structure)g(of)h(a)h(righ)o(t)e Fr(A)p Fw(-mo)q(dule)f(b)o(y)0 460 y(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))k Fu(\012)g Fr(A)293 446 y Fu(\030)293 462 y Fw(=)345 460 y Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(A)p Fw(\))i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)i Fu(\012)10 b Fr(P)d Fw(.)0 571 y(2.1.4.)49 b(A)18 b(v)o(ector)g(space)h Fr(P)26 b Fw(is)19 b(in)f(\()p Fu(M)747 553 y Fp(B)777 571 y Fw(\))796 578 y Fp(A)843 571 y Fw(if)h(and)g(only)f(if)h Fr(P)26 b Fw(is)18 b(a)h(righ)o(t)g Fr(B)s Fw(-como)q(dule)e(and)0 629 y(a)k(righ)o(t)f Fr(A)p Fw(-mo)q(dule)f(suc)o(h)h(that)h Fr(\016)r Fw(\()p Fr(pa)p Fw(\))g(=)812 596 y Fj(P)864 629 y Fr(p)888 637 y Ft(\(0\))936 629 y Fr(a)962 637 y Ft(\(0\))1022 629 y Fu(\012)14 b Fr(p)1099 637 y Ft(\(1\))1147 629 y Fr(a)1173 637 y Ft(\(1\))1219 629 y Fw(,)21 b(a)g Fr(B)s Fw(-)p Fr(A)p Fw(-Hopf)f(mo)q(dule.)33 b(A)0 687 y(v)o(ector)18 b(space)h Fr(P)26 b Fw(is)19 b(in)f(\()p Fu(M)529 694 y Fp(B)559 687 y Fw(\))578 694 y Fp(A)626 687 y Fw(i\013)g Fr(P)26 b Fw(is)19 b(a)g(righ)o(t)g Fr(B)s Fw(-mo)q(dule)e(and)j(a)f(righ)o(t)f Fr(A)p Fw(-mo)q(dule)g(suc) o(h)0 745 y(that)f(\()p Fr(pa)p Fw(\))p Fr(b)c Fw(=)280 712 y Fj(P)324 745 y Fw(\()p Fr(pb)388 753 y Ft(\(1\))435 745 y Fw(\)\()p Fr(ab)520 753 y Ft(\(2\))567 745 y Fw(\),)i(i.e.)g(a)i Fr(B)s Fw(#)p Fr(A)p Fw(-mo)q(dule.)0 856 y(2.1.5.)49 b(F)l(urthermore)11 b(let)h Fr(C)17 b Fw(\(with)12 b(\001)728 863 y Fp(C)771 856 y Fw(:)i Fr(C)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)8 b Fu(\012)t Fr(C)16 b Fw(and)e Fr(")1197 863 y Fp(C)1240 856 y Fw(:)f Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(I)t Fw(\))e(b)q(e)h(a)g(coalgebra)0 914 y(in)f Fu(A)p Fw(.)19 b(In)12 b(the)g(situation)g Fu(A)i Fw(=)f Fu(M)627 896 y Fp(B)658 914 y Fw(,)f(suc)o(h)g(a)g(coalgebra)h Fr(C)i Fw(is)d(called)f(a)i Fr(B)s Fm(-c)n(omo)n(dule)g(c)n(o)n(algebr)n(a)p Fw(.)0 972 y(In)j(the)g(case)g Fu(A)e Fw(=)g Fu(M)414 979 y Fp(B)444 972 y Fw(,)i(suc)o(h)g(a)g(coalgebra)h Fr(C)j Fw(is)c(called)f(a)i Fr(B)s Fm(-mo)n(dule)g(c)n(o)n(algebr)n(a)p Fw(.)0 1083 y(2.1.6.)49 b(The)20 b(category)h Fu(B)g Fw(=)g Fu(A)621 1065 y Fp(C)670 1083 y Fw(of)g(\(righ)o(t\))e Fr(C)t Fm(-c)n(omo)n(dules)h Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)23 b Fw(:)d Fr(P)27 b Fu(\000)-8 b(!)20 b Fr(P)h Fu(\012)14 b Fr(C)t Fw(\))19 b(in)h Fu(A)0 1141 y Fw(is)e(a)h(\(left\))e Fu(A)p Fw(-category)l(,)i(since)f Fr(X)f Fu(\012)12 b Fr(P)26 b Fw(carries)17 b(the)i(structure)f(of)g(a)h(righ)o(t)f Fr(C)t Fw(-como)q(dule)f(b)o(y)0 1200 y Fr(X)e Fu(\012)c Fr(P)21 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)j Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)t Fw(\))546 1186 y Fu(\030)546 1202 y Fw(=)599 1200 y(\()p Fr(X)k Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))k Fu(\012)g Fr(C)t Fw(.)0 1311 y(2.1.7.)49 b(A)16 b(v)o(ector)f(space)h Fr(P)24 b Fw(is)16 b(in)f(\()p Fu(M)731 1292 y Fp(B)761 1311 y Fw(\))780 1292 y Fp(C)826 1311 y Fw(if)h(and)h(only)e(if)h Fr(P)23 b Fw(is)16 b(a)h(righ)o(t)f Fr(B)s Fw(-como)q(dule)f(and)h(a)0 1369 y(righ)o(t)g Fr(C)t Fw(-como)q(dule)f(suc)o(h)h(that)644 1476 y Fr(P)292 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(B)p 694 1461 261 2 v 913 1460 a Fg(-)803 1447 y Fp(\016)819 1453 y Fk(B)594 1639 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)170 b Fw(\()p Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)t Fw(\))g Fu(\012)g Fr(B)p 744 1628 143 2 v 845 1627 a Fg(-)794 1613 y Fp(\016)810 1619 y Fk(B)p 662 1598 2 108 v 663 1598 a Fg(?)679 1552 y Fp(\016)695 1558 y Fk(C)p 1035 1598 V 1036 1598 a Fg(?)1053 1552 y Fp(\016)1069 1558 y Fk(C)1094 1552 y Fn(\012)p Ft(id)1151 1558 y Fk(B)0 1732 y Fw(comm)o(utes,)16 b(i.e.)27 b Fr(P)e Fw(is)19 b(a)g Fr(B)s Fw(#)569 1714 y Fp(c)585 1732 y Fr(C)t Fw(-como)q(dule,)f(a)h(como)q(dule)e(o)o(v)o(er)h(the)g (cosmash)g(pro)q(duct.)29 b(A)0 1790 y(v)o(ector)15 b(space)h Fr(P)23 b Fw(is)15 b(in)h(\()p Fu(M)514 1797 y Fp(B)544 1790 y Fw(\))563 1772 y Fp(C)608 1790 y Fw(i\013)g Fr(P)23 b Fw(is)16 b(a)g(righ)o(t)f Fr(B)s Fw(-mo)q(dule)g(and)h(a)g(righ)o(t)g Fr(C)t Fw(-como)q(dule)e(suc)o(h)0 1848 y(that)j Fr(\016)128 1855 y Fp(C)157 1848 y Fw(\()p Fr(pb)p Fw(\))d(=)306 1815 y Fj(P)358 1848 y Fr(p)382 1856 y Ft(\(0\))429 1848 y Fr(b)450 1856 y Ft(\(1\))508 1848 y Fu(\012)d Fr(p)582 1856 y Ft(\()p Fp(C;)p Ft(1\))665 1848 y Fr(b)686 1856 y Ft(\(2\))733 1848 y Fw(.)0 1951 y Fy(De\014nition)18 b(2.2.)h Fw(Let)13 b Fu(B)h Fw(and)f Fu(B)626 1933 y Fn(0)649 1951 y Fw(b)q(e)g Fu(C)s Fw(-categories.)20 b(A)12 b(functor)g Fr(!)k Fw(:)e Fu(B)h(\000)-9 b(!)14 b(B)1465 1933 y Fn(0)1488 1951 y Fw(together)f(with)0 2009 y(a)k(coheren)o(t)e(natural)i(isomorphism)d Fr(\030)i Fw(:)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)h Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)j Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))16 b(is)g(called)f(a)i Fu(C)s Fm(-functor)p Fw(.)50 2070 y(Observ)o(e)e(that)i(our)g(assumption)f(on)h(coherence)e (implies)f(in)i(particular)g(that)g Fr(\031)1561 2052 y Fn(0)1573 2070 y Fr(\030)r Fw(\()p Fr(I)t(;)8 b(P)f Fw(\))14 b(=)0 2128 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(\031)r Fw(\).)0 2230 y(2.1.8.)49 b(The)12 b(iden)o(tit)o(y)f(functor)h(id)h(:)h Fu(A)f(\000)-8 b(!)13 b(A)g Fw(is)f(an)g Fu(A)p Fw(-functor.)20 b(F)l(urthermore)11 b(the)h(forgetful)0 2288 y(\(underlying\))18 b(functors)h Fr(!)h Fw(:)e Fu(A)596 2295 y Fp(A)642 2288 y Fu(\000)-8 b(!)18 b(A)g Fw(resp.)29 b Fr(!)20 b Fw(:)e Fu(A)1051 2270 y Fp(C)1098 2288 y Fu(\000)-8 b(!)18 b(A)g Fw(are)h(easily)f(seen)h(to)g(b)q(e)g Fu(A)p Fw(-)0 2347 y(functors.)31 b(If)19 b Fr(f)24 b Fw(:)18 b Fr(A)h Fu(\000)-9 b(!)19 b Fr(A)541 2329 y Fn(0)572 2347 y Fw(is)g(an)h(algebra)f (morphism)e(in)i Fu(A)p Fw(,)h(then)f(the)g(induced)g(functor)0 2405 y Fr(!)e Fw(:)d Fu(A)115 2412 y Fp(A)141 2403 y Ff(0)169 2405 y Fu(\000)-9 b(!)15 b(A)304 2412 y Fp(A)349 2405 y Fw(is)h(an)i Fu(A)p Fw(-functor.)k(Similarly)14 b(if)i Fr(f)k Fw(:)14 b Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(C)1224 2387 y Fn(0)1252 2405 y Fw(is)j(a)g(coalgebra)g(morphism)0 2463 y(in)f Fu(A)p Fw(,)f(then)i(the)f(induced)f(functor)h Fr(!)g Fw(:)e Fu(A)786 2445 y Fp(C)829 2463 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)963 2445 y Fp(C)990 2433 y Ff(0)1020 2463 y Fw(is)i(an)h Fu(A)p Fw(-functor.)0 2574 y(2.1.9.)49 b(W)l(e)16 b(will)g(use)h(additional)f Fu(C)s Fw(-functors.)24 b(Let)16 b Fr(!)h Fw(:)d Fu(B)i(\000)-9 b(!)15 b(A)h Fw(b)q(e)h(an)g Fu(C)s Fw(-functor)g(and)g(let)0 2632 y Fr(M)i Fu(2)14 b(A)p Fw(.)21 b(Then)c Fr(!)c Fu(\012)e Fr(M)19 b Fw(:)13 b Fu(B)i(3)f Fr(P)21 b Fu(7!)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(M)20 b Fu(2)14 b(A)i Fw(is)g(again)h(a)f Fu(C)s Fw(-functor.)0 2734 y Fy(De\014nition)i(2.3.)h Fw(Let)13 b Fu(B)h Fw(and)f Fu(B)626 2716 y Fn(0)650 2734 y Fw(b)q(e)f Fu(C)s Fw(-categories)h(and) h Fr(!)i Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)13 b(B)1321 2716 y Fn(0)1345 2734 y Fw(and)g Fr(!)1468 2716 y Fn(0)1493 2734 y Fw(:)h Fu(B)h(\000)-9 b(!)14 b(B)1698 2716 y Fn(0)1722 2734 y Fw(b)q(e)0 2793 y Fu(C)s Fw(-functors.)23 b(A)17 b(natural)g(transformation)g Fr(')d Fw(:)g Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(!)1060 2774 y Fn(0)1089 2793 y Fw(is)i(a)h Fu(C)s Fm(-morphism)f Fw(if)h(the)f(follo)o(wing)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 0 -49 a Fx(6)693 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(diagram)e(comm)o(ute)o(s)576 131 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))154 b Fr(!)976 113 y Fn(0)988 131 y Fw(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))p 802 119 130 2 v 890 118 a Fg(-)799 102 y Fp(')p Ft(\()p Fp(X)s Fn(\012)p Fp(P)e Ft(\))576 297 y Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))147 b Fr(X)16 b Fu(\012)10 b Fr(!)1074 279 y Fn(0)1086 297 y Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))p Fr(:)p 802 285 123 2 v 883 284 a Fg(-)795 268 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)e Ft(\))p 682 255 2 108 v 683 255 a Fg(?)700 210 y Fp(\030)q Ft(\()p Fp(X)q(;P)g Ft(\))p 1056 255 V 1057 255 a Fg(?)1073 210 y Fp(\030)1090 198 y Ff(0)1101 210 y Ft(\()p Fp(X)q(;P)g Ft(\))0 370 y Fw(W)l(e)19 b(will)f(denote)h(the)f(set)488 352 y Ft(2)527 370 y Fw(of)h(natural)h(transformation)f(from)f Fr(!)j Fw(to)e Fr(!)1357 352 y Fn(0)1388 370 y Fw(b)o(y)f(Nat\()p Fr(!)r(;)8 b(!)1643 352 y Fn(0)1655 370 y Fw(\))19 b(and)0 428 y(the)d(subset)h(of)f Fu(C)s Fw(-morphisms)f(b)o(y)g(Nat)729 435 y Fn(C)752 428 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)857 410 y Fn(0)869 428 y Fw(\).)0 517 y(2.1.10.)49 b(These)16 b Fu(C)s Fw(-morphisms)e(will)h(b)q(e)h(of)g(cen)o(tral)f(imp)q(ortance)f (for)i(reconstruction,)g(so)g(w)o(e)0 575 y(will)i(giv)o(e)g(an)h (example.)27 b(Let)19 b Fr(B)i Fw(b)q(e)e(a)g(bialgebra)g(in)g(V)l(ec)e (and)j Fu(C)h Fw(=)d Fu(A)g Fw(:=)g Fu(M)1503 582 y Fp(B)1533 575 y Fw(.)29 b(Let)19 b Fr(A)g Fw(b)q(e)0 633 y(an)d(algebra)g(in)g(V) l(ec)o(.)21 b(It)15 b(can)h(b)q(e)g(considered)f(as)h(a)g Fr(B)s Fw(-mo)q(dule)e(algebra)j(b)o(y)e(the)g(trivial)g(action)0 691 y Fr(ab)j Fw(:=)g Fr(a")p Fw(\()p Fr(b)p Fw(\).)29 b(Let)19 b Fu(B)h Fw(:=)e(\()p Fu(M)578 698 y Fp(B)608 691 y Fw(\))627 698 y Fp(A)656 691 y Fw(.)30 b(Consider)19 b(the)g Fu(C)s Fw(-functor)g Fr(!)i Fw(:)d(\()p Fu(M)1372 698 y Fp(B)1403 691 y Fw(\))1422 698 y Fp(A)1469 691 y Fu(\000)-9 b(!)19 b(M)1628 698 y Fp(B)1677 691 y Fw(with)0 749 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))17 b(=)f Fr(P)7 b Fw(,)18 b(the)f(forgetful)h(functor.)25 b(Then)18 b(for)g(an)o(y)g Fr(a)e Fu(2)g Fr(A)h Fw(the)h(morphism)d Fr(')1514 756 y Fp(a)1551 749 y Fw(:)h Fr(!)i Fu(\000)-8 b(!)16 b Fr(!)r Fw(,)0 807 y Fr(')32 814 y Fp(a)53 807 y Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))20 b(:)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))21 b Fu(\000)-9 b(!)20 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\),)20 b Fr(')585 814 y Fp(a)606 807 y Fw(\()p Fr(p)p Fw(\))h(=)e Fr(pa)h Fw(is)g(a)g(natural)h(transformation)e(and)i(in)e(fact)h(a)g Fu(C)s Fw(-)0 866 y(morphism.)27 b(F)l(or)19 b(an)o(y)g Fr(b)f Fu(2)h Fw(cen)o(ter)o(\()p Fr(B)s Fw(\))f(the)h(morphism)e Fr(')1106 873 y Fp(b)1142 866 y Fw(:)h Fr(!)i Fu(\000)-8 b(!)18 b Fr(!)r Fw(,)i Fr(')1421 873 y Fp(b)1438 866 y Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))18 b(:)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))18 b Fu(\000)-8 b(!)0 924 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\),)15 b Fr(')169 931 y Fp(b)186 924 y Fw(\()p Fr(p)p Fw(\))f(=)g Fr(pb)h Fw(is)f(a)h(natural)g(transformation,)f(but)h(in)f (general)h(it)f(is)g(not)h(a)g Fu(C)s Fw(-morphism.)0 982 y(If)h Fr(')81 989 y Fp(b)115 982 y Fw(is)h(a)g Fu(C)s Fw(-morphism)e(then)i(for)g(the)f(sp)q(ecial)h(c)o(hoice)e Fr(X)20 b Fw(=)14 b Fr(B)s Fw(,)i Fr(P)22 b Fw(=)15 b Fr(B)f Fu(\012)d Fr(A)p Fw(,)17 b Fr(x)d Fw(=)h(1)1632 989 y Fp(B)1663 982 y Fw(,)h(and)0 1040 y Fr(p)h Fw(=)f(1)119 1047 y Fp(B)162 1040 y Fu(\012)c Fw(1)237 1047 y Fp(A)284 1040 y Fw(w)o(e)17 b(ha)o(v)o(e)471 1007 y Fj(P)523 1040 y Fr(b)544 1048 y Ft(\(1\))603 1040 y Fu(\012)12 b Fr(b)675 1048 y Ft(\(2\))734 1040 y Fu(\012)g Fw(1)809 1047 y Fp(A)854 1040 y Fw(=)909 1007 y Fj(P)961 1040 y Fr(b)982 1048 y Ft(\(1\))1041 1040 y Fu(\012)g Fr(b)1113 1048 y Ft(\(2\))1172 1040 y Fu(\012)g Fw(1)1247 1047 y Fp(A)1275 1040 y Fr(b)1296 1048 y Ft(\(3\))1360 1040 y Fw(=)1414 1007 y Fj(P)1466 1040 y Fr(xb)1515 1048 y Ft(\(1\))1574 1040 y Fu(\012)g Fr(pb)1670 1048 y Ft(\(2\))1734 1040 y Fw(=)0 1098 y Fr(')32 1105 y Fp(b)49 1098 y Fw(\()p Fr(x)i Fu(\012)g Fr(p)p Fw(\))22 b(=)g Fr(x)14 b Fu(\012)g Fr(')415 1105 y Fp(b)432 1098 y Fw(\()p Fr(p)p Fw(\))22 b(=)f Fr(x)14 b Fu(\012)g Fr(pb)22 b Fw(=)g(1)821 1105 y Fp(B)866 1098 y Fu(\012)14 b Fr(b)g Fu(\012)g Fw(1)1031 1105 y Fp(A)1059 1098 y Fw(,)22 b(and)f(hence)g(\001\()p Fr(b)p Fw(\))g(=)g(1)15 b Fu(\012)f Fr(b)20 b Fw(whic)o(h)0 1156 y(implies)15 b Fr(b)h Fw(=)g Fr(\013)d Fu(\001)f Fw(1)352 1163 y Fp(B)400 1156 y Fw(\()p Fr(\013)17 b Fu(2)g Fs(K)s Fw(\).)29 b(Con)o(v)o(ersely)16 b(for)i Fr(b)e Fw(=)h Fr(\013)12 b Fu(\001)g Fw(1)1123 1163 y Fp(B)1172 1156 y Fw(it)17 b(is)g(easy)h(to)g(see)g(that)g Fr(')1662 1163 y Fp(b)1697 1156 y Fw(is)f(a)0 1214 y Fu(C)s Fw(-morphism.)0 1305 y Fy(2.2.)27 b(Braided)22 b(categories.)h Fw(F)l(or)c(the)g(de\014nition)g(and)h(study)g(of)g (more)e(complicated)f(ob-)0 1363 y(jects,)d(lik)o(e)f(bialgebras)j(and) f(Hopf)g(algebras)h(in)f Fu(C)s Fw(,)f(w)o(e)h(assume)f(that)i(the)e (monoidal)g(category)0 1421 y Fu(C)23 b Fw(is)d Fm(br)n(aide)n(d)f Fw(\(or)h(a)g Fm(quasitensor)h Fw(category\))f(with)g(a)g(natural)h (isomorphism)c(of)k(bifunctors)0 1480 y Fr(\033)28 1487 y Fp(X)q(;Y)114 1480 y Fw(:)16 b Fr(X)h Fu(\012)12 b Fr(Y)307 1466 y Fu(\030)308 1482 y Fw(=)362 1480 y Fr(Y)24 b Fu(\012)12 b Fr(X)t Fw(,)18 b(the)f Fm(br)n(aiding)p Fw(,)h(suc)o(h)g(that)g(\(1)1090 1487 y Fp(Y)1133 1480 y Fu(\012)12 b Fr(\033)1212 1487 y Fp(X)q(;Z)1279 1480 y Fw(\)\()p Fr(\033)1345 1487 y Fp(X)q(;Y)1427 1480 y Fu(\012)g Fw(1)1502 1487 y Fp(Z)1530 1480 y Fw(\))17 b(=)f Fr(\033)1648 1487 y Fp(X)q(;Y)8 b Fn(\012)p Fp(Z)0 1538 y Fw(and)17 b(\()p Fr(\033)142 1545 y Fp(X)q(;Z)220 1538 y Fu(\012)11 b Fw(1)294 1545 y Fp(Y)325 1538 y Fw(\)\(1)387 1545 y Fp(X)432 1538 y Fu(\012)g Fr(\033)510 1545 y Fp(Y)r(;Z)570 1538 y Fw(\))j(=)g Fr(\033)683 1545 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(Y)r(;Z)802 1538 y Fw(.)0 1629 y(2.2.1.)49 b(A)12 b Fm(quasitriangular)j(structur)n(e)e Fw(or)g Fm(universal)i Fr(R)p Fm(-matrix)20 b Fw([Dr86])13 b(for)f(a)i(bialgebra)e Fr(B)17 b Fw(=)0 1687 y(\()p Fr(B)s(;)8 b(m;)g(u;)g Fw(\001)p Fr(;)g(")p Fw(\))14 b(in)i(V)l(ec)f(is)h(an)h(in)o(v)o(ertible)c (elemen)o(t)g Fr(R)i Fw(=)1080 1653 y Fj(P)1132 1687 y Fr(R)1169 1694 y Ft(1)1200 1687 y Fu(\012)10 b Fr(R)1286 1694 y Ft(2)1320 1687 y Fu(2)k Fr(B)g Fu(\012)d Fr(B)18 b Fw(suc)o(h)e(that)65 1759 y(\(1\))22 b Fu(8)p Fr(b)12 b Fu(2)i Fr(B)i Fw(:)e Fr(\034)6 b Fw(\001\()p Fr(b)p Fw(\))13 b(=)g Fr(R)p Fw(\001\()p Fr(b)p Fw(\))p Fr(R)704 1741 y Fn(\000)p Ft(1)752 1759 y Fr(;)65 1817 y Fw(\(2\))22 b(\(\001)10 b Fu(\012)h Fw(1\)\()p Fr(R)p Fw(\))k(=)e Fr(R)490 1824 y Ft(13)528 1817 y Fr(R)565 1824 y Ft(23)602 1817 y Fr(;)65 1875 y Fw(\(3\))22 b(\(1)11 b Fu(\012)g Fw(\001\)\()p Fr(R)p Fw(\))j(=)f Fr(R)490 1882 y Ft(13)528 1875 y Fr(R)565 1882 y Ft(12)0 1947 y Fw(where)j Fr(R)178 1954 y Ft(12)229 1947 y Fw(=)e Fr(R)e Fu(\012)e Fw(1)403 1954 y Fp(B)434 1947 y Fw(,)16 b Fr(R)501 1954 y Ft(13)552 1947 y Fw(=)604 1914 y Fj(P)656 1947 y Fr(R)693 1954 y Ft(1)724 1947 y Fu(\012)11 b Fw(1)798 1954 y Fp(B)840 1947 y Fu(\012)f Fr(R)926 1954 y Ft(2)946 1947 y Fw(,)16 b(and)h Fr(R)1108 1954 y Ft(23)1159 1947 y Fw(=)d(1)1235 1954 y Fp(B)1277 1947 y Fu(\012)d Fr(R)p Fw(.)0 2038 y(2.2.2.)49 b(A)12 b Fm(c)n(o)n(quasitriangular)i(structur)n(e)f Fw(\([Sc)o(h92b])f(De\014nition)g(2.4.4)h(and)g([L)l(T91)q(]\))f(or)h Fm(br)n(aid-)0 2096 y(ing)k Fw(is)f(a)h(con)o(v)o(olution-in)o(v)o (ertible)c(homomorphism)g Fr(r)i Fw(:)f Fr(B)f Fu(\012)e Fr(B)16 b Fu(\000)-8 b(!)14 b Fs(K)23 b Fw(suc)o(h)16 b(that)65 2168 y(\(1\))22 b Fr(m\034)d Fw(=)14 b Fr(r)e Fu(\003)f Fr(m)g Fu(\003)g Fr(r)467 2150 y Fn(\000)p Ft(1)514 2168 y Fr(;)65 2227 y Fw(\(2\))22 b Fr(r)q Fw(\()p Fr(m)11 b Fu(\012)f Fw(1\))15 b(=)e Fr(r)426 2208 y Ft(13)464 2227 y Fr(r)487 2208 y Ft(23)525 2227 y Fr(;)65 2285 y Fw(\(3\))22 b Fr(r)q Fw(\(1)11 b Fu(\012)g Fr(m)p Fw(\))j(=)f Fr(r)426 2267 y Ft(13)464 2285 y Fr(r)487 2267 y Ft(12)525 2285 y Fr(:)0 2376 y Fw(2.2.3.)49 b(If)10 b Fr(B)k Fw(is)c (quasitriangular)i(then)e Fu(M)798 2383 y Fp(B)839 2376 y Fw(is)h(a)g(braided)g(monoidal)f(category)h(with)g Fr(\033)1620 2383 y Fp(X)q(;Y)1689 2376 y Fw(\()p Fr(x)p Fu(\012)0 2434 y Fr(y)r Fw(\))i(=)110 2400 y Fj(P)154 2434 y Fw(\()p Fr(y)r(R)236 2441 y Ft(2)266 2434 y Fu(\012)e Fr(xR)381 2441 y Ft(1)401 2434 y Fw(\))16 b([Dr86)q(].)0 2525 y(2.2.4.)49 b(If)23 b Fr(B)k Fw(is)d(co)q(quasitriangular)g(then)g Fu(M)911 2507 y Fp(B)965 2525 y Fw(is)g(a)g(braided)g(monoidal)f (category)h(with)0 2583 y Fr(\033)28 2590 y Fp(X)q(;Y)98 2583 y Fw(\()p Fr(x)14 b Fu(\012)g Fr(y)r Fw(\))22 b(=)339 2550 y Fj(P)383 2583 y Fw(\()p Fr(y)426 2590 y Ft(\(0\))487 2583 y Fu(\012)15 b Fr(x)569 2590 y Ft(\(0\))616 2583 y Fw(\))p Fr(r)q Fw(\()p Fr(x)705 2590 y Ft(1)739 2583 y Fu(\012)f Fr(y)816 2590 y Ft(1)836 2583 y Fw(\))21 b(\([Sc)o(h92b])g(Remark)e(2.4.6;)24 b(see)d(also)g(the)h(last)0 2641 y(paragraph)c(in)e([P)o(a81]\).)p 0 2691 250 2 v 50 2728 a Fi(2)68 2743 y Fx(There)27 b(are)f(w)o(ell)f(kno)o(wn)g (standard)h(metho)q(ds)f(to)g(handle)g(the)h(set)h(theoretic)g (di\016culties)e(of)g(this)0 2793 y(construction.)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 380 b(7)0 58 y Fw(2.2.5.)49 b(Here)10 b(are)h(some)f(observ)m(ations)i (from)e([Mj94a])h(ab)q(out)h(algebras,)h(bialgebras)e(and)h(Hopf)0 117 y(algebras)18 b(in)f(braided)g(monoidal)f(categories)i Fu(C)s Fw(.)24 b(If)17 b Fr(A)g Fw(and)g Fr(B)j Fw(are)e(algebras)g(in) e Fu(C)21 b Fw(then)c(so)h(is)0 175 y Fr(A)11 b Fu(\012)g Fr(B)s Fw(.)22 b(W)l(e)16 b(use)h(the)f(graphical)h(calculus)f([Y)l (e90)o(])h(to)g(describ)q(e)e(the)i(algebra)g(m)o(ultiplic)o(ation)0 233 y(as)p 815 367 48 2 v 814 369 2 7 v 814 386 a Fe(\006)p 861 369 V 14 w(\005)p 832 386 14 2 v 909 367 48 2 v 909 369 2 7 v 15 w(\006)p 956 369 V 14 w(\005)p 926 386 14 2 v 909 315 2 2 v 909 316 V 909 317 V 909 318 V 909 319 V 909 319 V 909 320 V 909 321 V 908 321 V 908 322 V 908 323 V 908 323 V 907 324 V 907 325 V 906 325 V 906 326 V 905 327 V 905 327 V 904 328 V 904 329 V 903 329 V 902 330 V 902 330 V 901 331 V 900 331 V 900 332 V 899 332 V 898 333 V 897 333 V 896 334 V 895 334 V 862 363 V 862 362 V 862 361 V 862 360 V 862 360 V 863 359 V 863 358 V 863 357 V 863 357 V 864 356 V 864 355 V 864 355 V 864 354 V 865 353 V 865 353 V 866 352 V 866 351 V 867 351 V 867 350 V 868 350 V 869 349 V 869 348 V 870 348 V 871 347 V 871 347 V 872 346 V 873 346 V 874 345 V 875 345 V 875 344 V 876 344 V 862 315 V 862 316 V 862 317 V 862 318 V 863 319 V 863 319 V 863 320 V 864 321 V 864 322 V 864 323 V 865 323 V 865 324 V 866 325 V 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1720 V 1014 1719 V 1012 1718 V 1011 1717 V 1010 1716 V 1008 1716 V 1007 1715 V 1005 1714 V 1004 1713 V 980 1742 48 2 v 979 1743 2 7 v 979 1760 a Fe(\006)p 1027 1743 V 15 w(\005)p 997 1760 14 2 v 1003 1783 2 24 v 982 1830 a Fr(H)50 1897 y Fw(The)20 b(notion)h(of)g(a)g(braided)g (bialgebra)f(in)h Fu(C)i Fw(is)e(somewhat)f(more)f(subtle)h(and)h(has)h (b)q(een)0 1955 y(studied)16 b(in)g([Mj93a].)0 2056 y Fy(2.3.)27 b Fu(C)s Fy(-monoidal)17 b(categories.)23 b Fw(No)o(w)16 b(let)f Fu(C)20 b Fw(b)q(e)c(a)h(braided)f(monoidal)f (category)l(.)0 2151 y Fy(De\014nition)j(2.4.)h Fw(Let)e Fu(B)r Fw(,)f Fu(B)557 2133 y Fn(0)568 2151 y Fw(,)h(and)g Fu(B)729 2133 y Fn(0)o(0)766 2151 y Fw(b)q(e)g Fu(C)s Fw(-categories.)24 b(A)16 b(bifunctor)h Fr(!)g Fw(:)d Fu(B)f(\002)e(B)1595 2133 y Fn(0)1621 2151 y Fu(\000)-8 b(!)14 b(B)1751 2133 y Fn(0)o(0)0 2209 y Fw(together)20 b(with)g(natural)g(isomorphisms)e(coheren)o(t)h(with)h(the)g Fu(C)s Fw(-structures)g(on)g Fu(B)r Fw(,)g Fu(B)1648 2191 y Fn(0)1659 2209 y Fw(,)g(and)0 2267 y Fu(B)35 2249 y Fn(0)o(0)55 2267 y Fw(,)65 2341 y(\(1\))i Fr(\030)170 2348 y Fp(X)q(;P)q(;Q)286 2341 y Fw(:)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)j Fu(\012)11 b Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))14 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)i Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)e(Q)p Fw(\),)65 2399 y(\(2\))22 b Fr(\034)170 2406 y Fp(P)q(;X)q(;Q)286 2399 y Fw(:)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(X)17 b Fu(\012)10 b Fr(Q)p Fw(\))k Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)h Fu(\012)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\),)16 b(and)65 2457 y(\(3\))152 2453 y Fj(e)149 2457 y Fr(\034)170 2464 y Fp(X)q(;P)q(;Q)286 2457 y Fw(:)d Fr(X)j Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))14 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(X)16 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))0 2532 y(is)16 b(called)f(a)i Fu(C)s Fm(-bifunctor)p Fw(,)g(if)f(the)g(follo)o(wing)g(diagrams)g(comm)o(ute)162 2631 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(P)q(;)d(Y)22 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))212 b Fr(Y)22 b Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)16 b Fu(\012)10 b 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Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))p 1041 859 V 1187 858 a Fg(-)1062 839 y Ft(1)p Fn(\012)o Fj(e)-22 b Fp(\034)1123 845 y Fk(Y)r(;P)q(;Q)p 1424 829 2 108 v 1425 762 a Fg(6)1442 785 y Fp(\030)1459 774 y Ff(\000)p Fl(1)328 779 y Fp(\033)348 785 y Fk(Y)r(;X)407 779 y Fn(\012)p Ft(1)452 786 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)q(;Q)p Fl(\))434 735 y Fg(P)475 748 y(P)517 762 y(P)558 776 y(P)600 790 y(P)641 804 y(P)683 818 y(P)716 829 y(P)-42 b(q)0 966 y Fw(\(suppressing)17 b(the)f(coherence)f(isomorphisms)g Fr(\013)h Fw(and)h Fr(\014)i Fw(from)c(De\014nition)h(2.1,)g(i.e.)k (going)d(to)0 1024 y(the)f(strict)g(case.\))21 b(The)16 b(corresp)q(onding)h(braid)g(diagrams)f(are)p 308 1167 2 2 v 308 1168 V 308 1169 V 308 1170 V 308 1170 V 307 1171 V 307 1172 V 307 1173 V 307 1173 V 307 1174 V 306 1175 V 306 1175 V 306 1176 V 305 1177 V 305 1177 V 304 1178 V 304 1179 V 303 1179 V 303 1180 V 302 1180 V 302 1181 V 301 1182 V 300 1182 V 299 1183 V 299 1183 V 298 1184 V 297 1184 V 296 1185 V 295 1185 V 295 1186 V 294 1186 V 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1165 V 1417 1164 V 1417 1164 V 1417 1163 V 1418 1163 V 1418 1162 V 1418 1162 V 1419 1161 V 1419 1161 V 1419 1160 V 1420 1160 V 1420 1159 V 1421 1159 V 1421 1158 V 1422 1158 V 1422 1157 V 1423 1157 V 1424 1156 V 1424 1156 V 1425 1156 V 1426 1155 V 1426 1155 V 1427 1154 V 1428 1154 V 1429 1154 V 1430 1153 V 1431 1153 V 1369 1120 V 1370 1121 V 1370 1121 V 1370 1122 V 1370 1123 V 1371 1123 V 1371 1124 V 1372 1125 V 1373 1125 V 1374 1126 V 1375 1127 V 1376 1128 V 1377 1128 V 1378 1129 V 1380 1130 V 1381 1131 V 1383 1132 V 1385 1132 V 1386 1133 V 1388 1134 V 1390 1135 V 1393 1136 V 1395 1137 V 1397 1137 V 1400 1138 V 1402 1139 V 1405 1140 V 1408 1141 V 1411 1142 V 1414 1143 V 1417 1144 V 1464 1167 V 1464 1167 V 1464 1166 V 1463 1165 V 1463 1165 V 1463 1164 V 1462 1163 V 1461 1163 V 1460 1162 V 1460 1161 V 1459 1160 V 1457 1160 V 1456 1159 V 1455 1158 V 1454 1157 V 1452 1157 V 1450 1156 V 1449 1155 V 1447 1154 V 1445 1153 V 1443 1153 V 1441 1152 V 1438 1151 V 1436 1150 V 1434 1149 V 1431 1148 V 1428 1147 V 1426 1147 V 1423 1146 V 1420 1145 V 1417 1144 V 1369 1214 2 48 v 1416 1214 V 1463 1214 V 1510 1214 2 95 v 1605 1214 2 48 v 1699 1166 V 1746 1214 2 95 v 1350 1115 a Fr(Y)d(X)11 b(P)16 b(Q)55 b(Y)16 b(X)11 b(P)16 b(Q)1539 1185 y Fw(=)1347 1261 y Fr(X)11 b(P)k(Y)20 b(Q)52 b(X)10 b(P)16 b(Y)k(Q)50 1328 y Fw(Observ)o(e)d(that)350 1324 y Fj(e)347 1328 y Fr(\034)368 1335 y Fp(X)q(;P)q(;Q)489 1328 y Fw(is)h(not)g(the)g(in)o(v)o(erse)f(of)h Fr(\034)956 1335 y Fp(P)q(;X)q(;Q)1059 1328 y Fw(.)27 b(Both)18 b(morphisms)e(are)j (asso)q(ciated)0 1386 y(with)f Fr(\033)i Fw(in)e(the)g(con)o(trol)g (category)l(,)h(so)g(in)e(braid)i(diagrams)f(they)g(will)f(b)q(e)h (represen)o(ted)f(b)o(y)h(a)0 1444 y(braid)e(with)g(the)g(same)g(orien) o(tation)g(as)g Fr(\033)r Fw(.)0 1547 y(2.3.1.)49 b(If)12 b Fu(A)i Fw(=)g Fu(C)h Fw(is)d(a)h(braided)g(monoidal)e(category)l(,)i Fu(B)h Fw(is)e(an)h Fu(A)p Fw(-category)g(and)g Fr(!)j Fw(:)e Fu(B)h(\000)-9 b(!)14 b(A)0 1605 y Fw(is)i(an)i Fu(A)p Fw(-functor,)e(then)h(the)f(bifunctor)h Fr(!)c Fu(\012)e Fr(!)17 b Fw(:)d Fu(B)f(\002)e(B)16 b(\000)-9 b(!)15 b(A)h Fw(giv)o(en)g(b)o(y)g(\()p Fr(!)e Fu(\012)d Fr(!)r Fw(\)\()p Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))15 b(=)0 1663 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))s Fu(\012)s Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))13 b(is)f(an)h Fu(A)p Fw(-bifunctor.)19 b(The)13 b(bifunctor)f(\()p Fr(!)5 b Fu(\012)s Fr(!)g Fu(\012)s Fr(M)g Fw(\)\()p Fr(P)q(;)j(Q)p Fw(\))15 b(=)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))s Fu(\012)s Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))s Fu(\012)s Fr(M)0 1722 y Fw(for)17 b Fr(M)i Fu(2)14 b(A)i Fw(is)g(also)h(an)f Fu(A)p Fw(-bifunctor.)0 1833 y(2.3.2.)49 b(In)15 b(a)h(similar)d(w)o(a)o(y)i(de\014ne)g(a)h Fu(C)s Fw(-m)o(ultifunctor)d(prop)q(ert)o(y)i(for)h(m)o(ultifunctors)d Fr(!)j Fw(:)d Fu(B)1704 1840 y Ft(1)1733 1833 y Fu(\002)0 1891 y Fr(:)8 b(:)g(:)r Fu(\002)s(B)135 1898 y Fp(n)171 1891 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(B)r Fw(.)20 b(In)11 b(particular)h(functors) h(of)f(the)g(form)f Fr(!)t Fu(\012)s Fr(:)d(:)g(:)r Fu(\012)s Fr(!)15 b Fw(=)f Fr(!)1345 1873 y Fp(n)1383 1891 y Fw(:)f Fu(B)t(\002)s Fr(:)8 b(:)g(:)q Fu(\002)s(B)15 b(\000)-9 b(!)14 b(A)0 1949 y Fw(and)f Fr(!)5 b Fu(\012)s Fr(:)j(:)g(:)q Fu(\012)s Fr(!)d Fu(\012)s Fr(M)18 b Fw(=)c Fr(!)495 1931 y Fp(n)522 1949 y Fu(\012)s Fr(M)k Fw(:)c Fu(B)t(\002)s Fr(:)8 b(:)g(:)q Fu(\002)s(B)15 b(\000)-9 b(!)14 b(A)e Fw(are)g Fu(A)p Fw(-m)o(ultifunctors,)f(if)g Fr(!)16 b Fw(:)e Fu(B)h(\000)-9 b(!)14 b(A)0 2007 y Fw(is)i(an)h Fu(A)p Fw(-functor)f(and)h Fr(M)i Fu(2)14 b(A)p Fw(.)0 2110 y Fy(De\014nition)k(2.5.)h Fw(Let)i Fu(B)r Fw(,)e Fu(B)564 2092 y Fn(0)575 2110 y Fw(,)i(and)f Fu(B)743 2092 y Fn(0)o(0)784 2110 y Fw(b)q(e)g Fu(C)s Fw(-categories)g(and)h Fr(!)r(;)8 b(!)1313 2092 y Fn(0)1345 2110 y Fw(:)20 b Fu(B)15 b(\002)e(B)1514 2092 y Fn(0)1545 2110 y Fu(\000)-8 b(!)20 b(B)1681 2092 y Fn(0)o(0)1722 2110 y Fw(b)q(e)0 2168 y Fu(C)s Fw(-bifunctors.)42 b(A)23 b(natural)g(transformation)g Fr(')j Fw(:)f Fr(!)i Fu(\000)-8 b(!)25 b Fr(!)1182 2150 y Fn(0)1217 2168 y Fw(is)e(a)g Fu(C)s Fm(-bimorphism)p Fw(,)h(if)f(the)0 2226 y(follo)o(wing)16 b(diagrams)g(comm)o(ute)417 2336 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)f Fu(\012)c Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))390 b Fr(!)1107 2317 y Fn(0)1118 2336 y Fw(\()p Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))p 697 2324 366 2 v 1021 2323 a Fg(-)795 2307 y Fp(')p Ft(\()p Fp(X)s Fn(\012)p Fp(P)q(;Q)p Ft(\))417 2502 y Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))390 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(!)1212 2483 y Fn(0)1224 2502 y Fw(\()p Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))p 697 2490 V 1021 2489 a Fg(-)795 2472 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)q(;Q)p Ft(\))p 550 2460 2 108 v 551 2460 a Fg(?)568 2414 y Fp(\030)p 1214 2460 V 1215 2460 a Fg(?)1231 2416 y Fp(\030)1248 2404 y Ff(0)419 2631 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)g(Y)23 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))394 b Fr(!)1109 2613 y Fn(0)1121 2631 y Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(Y)23 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))p 695 2619 371 2 v 1024 2618 a Fg(-)796 2602 y Fp(')p Ft(\()p Fp(P)q(;Y)e Fn(\012)p Fp(Q)p Ft(\))419 2797 y Fr(Y)23 b Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)e(Q)p Fw(\))395 b Fr(Y)23 b Fu(\012)10 b Fr(!)1209 2779 y Fn(0)1221 2797 y Fw(\()p Fr(P)q(;)e(Q)p Fw(\))p 695 2785 V 1024 2784 a Fg(-)796 2768 y Fp(Y)h Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)q(;Q)p Ft(\))p 550 2755 2 108 v 551 2755 a Fg(?)434 2703 y Fp(\034)450 2709 y Fk(P)q(;Y)r(;Q)p 1214 2755 V 1215 2755 a Fg(?)1231 2706 y Fp(\034)1251 2694 y Ff(0)1247 2718 y Fk(P)q(;Y)r(;Q)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 380 b(9)419 237 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(Y)23 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))394 b Fr(!)1109 219 y Fn(0)1121 237 y Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(Y)23 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))p 695 225 371 2 v 1024 224 a Fg(-)796 208 y Fp(')p Ft(\()p Fp(P)q(;Y)e Fn(\012)p Fp(Q)p Ft(\))419 71 y Fr(Y)23 b Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)q(;)e(Q)p Fw(\))395 b Fr(Y)23 b Fu(\012)10 b Fr(!)1209 53 y Fn(0)1221 71 y Fw(\()p Fr(P)q(;)e(Q)p Fw(\))p 695 59 V 1024 58 a Fg(-)796 42 y Fp(Y)h Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)q(;Q)p Ft(\))p 550 195 2 108 v 551 195 a Fg(?)433 151 y Fj(e)-22 b Fp(\034)450 157 y Fk(Y)r(;P)q(;Q)p 1214 195 V 1215 195 a Fg(?)1231 148 y Fj(e)f Fp(\034)1251 136 y Ff(0)1247 160 y Fk(Y)r(;P)q(;Q)0 324 y Fw(Let)16 b(Nat)167 331 y Fn(C)190 324 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)295 306 y Fn(0)307 324 y Fw(\))16 b(denote)g(the)g(set)g (of)h Fu(C)s Fw(-bimorphisms.)50 432 y(F)l(or)j(m)o(ultifunctors)f Fr(!)r(;)8 b(!)533 414 y Fn(0)566 432 y Fw(:)21 b Fu(B)634 439 y Ft(1)667 432 y Fu(\002)14 b Fr(:)8 b(:)g(:)13 b Fu(\002)h(B)877 439 y Fp(n)921 432 y Fu(\000)-9 b(!)21 b(B)h Fw(w)o(e)e(pro)q(ceed)h(in)f(a)h(similar)d(w)o(a)o(y)l(.)34 b(A)0 490 y(natural)19 b(transformation)f(of)g(m)o(ultifunctors)e Fr(')h Fw(:)g Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)17 b Fr(!)1125 472 y Fn(0)1155 490 y Fw(is)h(called)f(a)i Fu(C)s Fw(-m)o(ultim)o(orphism)o (,)0 548 y(if)d(comm)o(utativ)n(e)d(diagrams)j(as)h(ab)q(o)o(v)o(e)f (hold)g(for)h(all)f(v)m(ariables.)0 655 y Fy(De\014nition)i(2.6.)h Fw(Let)j Fu(A)g Fw(b)q(e)g(a)g Fu(C)s Fw(-category)h(with)e(a)i (coheren)o(t)e(structure)g(of)h(a)h(monoidal)0 714 y(category)13 b(with)g(tensor)h(pro)q(duct)g Fr(P)684 702 y Fj(b)676 714 y Fu(\012)f Fr(Q)p Fw(.)20 b(If)868 702 y Fj(b)860 714 y Fu(\012)27 b Fw(:)13 b Fu(A)5 b(\002)g(A)13 b(\000)-9 b(!)14 b(A)f Fw(is)g(a)h(coheren)o(t)e Fu(C)s Fw(-bifunctor,)0 772 y(then)18 b Fu(A)g Fw(is)f(called)g(a)h Fu(C)s Fm(-monoidal)i(c)n (ate)n(gory)p Fw(.)26 b(In)18 b(particular)f(the)h(structural)g (morphisms)e Fr(\013)p Fw(,)0 830 y Fr(\025)p Fw(,)g(and)h Fr(\032)g Fw(for)f Fu(A)g Fw(are)g Fu(C)s Fw(-morphisms)f(in)h(eac)o(h) g(v)m(ariable)f(from)h Fu(A)p Fw(.)50 891 y(If)i(w)o(e)g(go)h(to)g(the) g(strict)f(case)g(w)o(e)g(assume)g Fr(\013)902 898 y Fn(C)925 891 y Fw(,)g Fr(\025)985 898 y Fn(C)1008 891 y Fw(,)h Fr(\032)1066 898 y Fn(C)1089 891 y Fw(,)f Fr(\014)s Fw(,)g Fr(\031)r Fw(,)h Fr(\013)1278 898 y Fn(A)1308 891 y Fw(,)g Fr(\025)1369 898 y Fn(A)1399 891 y Fw(,)g Fr(\032)1457 898 y Fn(A)1487 891 y Fw(,)g(and)g Fr(\030)j Fw(to)d(b)q(e)0 950 y(iden)o(tities.)g(Then)e(the)f(necessary)g (equalities)e(for)j(the)f(strict)f(case)i(are)292 1050 y Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(I)t(;)i(X)q(;)g(P)f Fw(\))13 b(=)h(id)p Fr(;)295 1104 y Fj(e)292 1108 y Fr(\034)6 b Fw(\(\()p Fr(X)q(;)i(I)t(;)g(P)f Fw(\))13 b(=)h(id)p Fr(;)292 1167 y(\034)6 b Fw(\()p Fr(P)q(;)i(X)q(;)g(Q)p Fw(\))537 1155 y Fj(b)530 1167 y Fu(\012)16 b Fw(1)609 1174 y Fp(R)652 1167 y Fw(=)d Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(P)q(;)i(X)q(;)g(Q) 930 1155 y Fj(b)922 1167 y Fu(\012)16 b Fr(R)p Fw(\))p Fr(;)295 1221 y Fj(e)292 1225 y Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(X)q(;)i(P)q(;)g (Q)518 1214 y Fj(b)511 1225 y Fu(\012)16 b Fr(R)p Fw(\))e(=)691 1221 y Fj(e)688 1225 y Fr(\034)5 b Fw(\()p Fr(X)q(;)j(P)q(;)g(Q)p Fw(\))933 1214 y Fj(b)925 1225 y Fu(\012)16 b Fw(1)1004 1232 y Fp(R)1034 1225 y Fr(;)292 1284 y Fw(\()p Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(P)q(;)i(X)q(;)g(Q)p Fw(\))556 1273 y Fj(b)549 1284 y Fu(\012)16 b Fw(1)628 1291 y Fp(R)657 1284 y Fw(\)\(1)719 1291 y Fp(P)773 1273 y Fj(b)765 1284 y Fu(\012)g Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(Q;)i(X)q(;)g(R)p Fw(\)\))14 b(=)g Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(P)1239 1273 y Fj(b)1231 1284 y Fu(\012)16 b Fr(Q;)8 b(X)q(;)g(R)p Fw(\))p Fr(;)292 1342 y Fw(\(1)335 1349 y Fp(P)389 1331 y Fj(b)381 1342 y Fu(\012)439 1338 y Fj(e)436 1342 y Fr(\034)e Fw(\()p Fr(X)q(;)i(Q;)g(R)p Fw(\)\)\()703 1338 y Fj(e)700 1342 y Fr(\034)e Fw(\()p Fr(X)q(;)i(P)q(;)g(Q)p Fw(\))946 1331 y Fj(b)938 1342 y Fu(\012)16 b Fw(1)1017 1349 y Fp(R)1046 1342 y Fw(\))e(=)1134 1338 y Fj(e)1131 1342 y Fr(\034)5 b Fw(\()p Fr(X)q(;)j(P)1302 1331 y Fj(b)1294 1342 y Fu(\012)16 b Fr(Q;)8 b(R)p Fw(\))p Fr(:)50 1451 y Fw(Observ)o(e)15 b(that)i Fu(C)i Fw(is)d(a)h Fu(C)s Fw(-monoidal)f(category)g(\(since)f Fu(C)20 b Fw(is)c(braided\).)0 1558 y Fy(De\014nition)i(2.7.)h Fw(Let)k Fu(A)g Fw(and)g Fu(B)h Fw(b)q(e)f(monoidal)f(categories.)41 b(A)23 b Fm(monoidal)g(functor)h Fw(is)e(a)0 1616 y(functor)17 b Fr(!)g Fw(:)e Fu(A)g(\000)-9 b(!)15 b(B)k Fw(together)e(with)g (coheren)o(t)f(natural)h(isomorphisms)e Fr(\035)i Fw(:)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)1612 1605 y Fj(b)1604 1616 y Fu(\012)i Fr(Q)p Fw(\))1733 1603 y Fu(\030)1733 1618 y Fw(=)0 1674 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))132 1663 y Fj(b)125 1674 y Fu(\012)16 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))g(and)g Fr(&)i Fw(:)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(I)535 1681 y Fn(A)565 1674 y Fw(\))598 1661 y Fu(\030)598 1677 y Fw(=)651 1674 y Fr(I)673 1681 y Fn(B)698 1674 y Fw(.)50 1736 y(If)k Fu(A)h Fw(and)g Fu(B)i Fw(are)e Fu(C)s Fw(-monoidal)f(categories,)h Fr(!)h Fw(:)d Fu(A)g(\000)-8 b(!)16 b(B)k Fw(is)d(a)i(monoidal)e (functor)h(and)g(a)0 1794 y Fu(C)s Fw(-functor,)e(and)h Fr(\035)f Fw(:)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)506 1783 y Fj(b)499 1794 y Fu(\012)i Fr(Q)p Fw(\))625 1780 y Fu(\030)626 1796 y Fw(=)678 1794 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))810 1783 y Fj(b)803 1794 y Fu(\012)16 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))g(is)g(a)h Fu(C)s Fw(-bimorphism,)c(then)j Fr(!)j Fw(is)d(called)f(a)0 1852 y Fu(C)s Fm(-monoidal)j(functor)p Fw(.)50 1914 y(Let)f Fr(!)r(;)8 b(!)224 1896 y Fn(0)250 1914 y Fw(:)15 b Fu(A)f(\000)-9 b(!)15 b(B)j Fw(b)q(e)f Fu(C)s Fw(-monoidal)f(functors.)23 b(A)17 b(natural)g(transformation)g Fr(')d Fw(:)h Fr(!)h Fu(\000)-8 b(!)0 1972 y Fr(!)32 1954 y Fn(0)60 1972 y Fw(is)16 b(a)h Fu(C)s Fw(-)p Fm(monoidal)h (morphism)p Fw(,)d(if)g Fr(')h Fw(is)g(a)h Fu(C)s Fw(-morphism)d(and)j (monoidal.)0 2080 y Fy(De\014nition)h(2.8.)h Fw(Let)24 b Fu(A)f Fw(b)q(e)g(a)h Fu(C)s Fw(-monoidal)e(category)i(together)f (with)g(a)g(braiding)h Fr(\033)j Fw(=)0 2138 y Fr(\033)28 2145 y Fn(A)75 2138 y Fw(:)17 b Fr(P)171 2126 y Fj(b)163 2138 y Fu(\012)h Fr(Q)f Fu(\000)-9 b(!)17 b Fr(Q)438 2126 y Fj(b)430 2138 y Fu(\012)h Fr(P)7 b Fw(.)28 b(W)l(e)18 b(call)g Fu(A)g Fw(a)g Fu(C)s Fm(-br)n(aide)n(d)g Fu(C)s Fw(-monoidal)g(category)l(,)h(if)e(the)i(braid)0 2196 y(morphisms)14 b(in)i(b)q(oth)h(categories)f(are)h(coheren)o(t)e (w.r.t.)21 b(the)16 b(braid)g(group,)h(in)f(particular)g(if)533 2296 y Fr(P)595 2285 y Fj(b)587 2296 y Fu(\012)g Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)10 b Fr(Q)p Fw(\))124 b(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(Q)p Fw(\))1154 2285 y Fj(b)1146 2296 y Fu(\012)16 b Fr(P)p 836 2283 99 2 v 893 2282 a Fg(-)875 2274 y Fp(\033)533 2462 y Fr(X)f Fu(\012)c Fw(\()p Fr(P)719 2451 y Fj(b)711 2462 y Fu(\012)16 b Fr(Q)p Fw(\))124 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Q)1135 2451 y Fj(b)1127 2462 y Fu(\012)16 b Fr(P)7 b Fw(\))p 836 2449 V 893 2448 a Fg(-)853 2437 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)p 678 2419 2 108 v 678 2419 a Fg(?)642 2372 y Fp(\034)p 1092 2419 V 1093 2419 a Fg(?)1110 2373 y Fp(\030)0 2559 y Fw(and)533 2797 y(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))738 2786 y Fj(b)730 2797 y Fu(\012)16 b Fr(Q)124 b(Q)1010 2786 y Fj(b)1002 2797 y Fu(\012)16 b Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))p 836 2784 99 2 v 893 2783 a Fg(-)875 2774 y Fp(\033)533 2631 y Fr(X)15 b Fu(\012)c Fw(\()p Fr(P)719 2620 y Fj(b)711 2631 y Fu(\012)16 b Fr(Q)p Fw(\))124 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Q)1135 2620 y Fj(b)1127 2631 y Fu(\012)16 b Fr(P)7 b Fw(\))p 836 2617 V 893 2616 a Fg(-)853 2605 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)p 678 2754 2 108 v 678 2754 a Fg(?)604 2710 y Fp(\030)621 2699 y Ff(\000)p Fl(1)p 1092 2754 V 1093 2754 a Fg(?)1109 2715 y Fj(e)-22 b Fp(\034)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 0 -49 a Fx(10)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(comm)o(ute.)g(Observ)o(e,)d(ho)o(w)o(ev)o(er,)f(that)j(the)f (diagrams)533 142 y(\()p Fr(X)f Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))738 131 y Fj(b)730 142 y Fu(\012)16 b Fr(Q)124 b(Q)1010 131 y Fj(b)1002 142 y Fu(\012)16 b Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))p 836 129 99 2 v 893 128 a Fg(-)875 120 y Fp(\033)533 308 y Fr(X)15 b Fu(\012)c Fw(\()p Fr(P)719 297 y Fj(b)711 308 y Fu(\012)16 b Fr(Q)p Fw(\))124 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Q)1135 297 y Fj(b)1127 308 y Fu(\012)16 b Fr(P)7 b Fw(\))p 836 295 V 893 294 a Fg(-)853 283 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)p 678 265 2 108 v 678 265 a Fg(?)645 219 y Fp(\030)p 1092 265 V 1093 265 a Fg(?)1110 218 y Fp(\034)0 389 y Fw(and)533 610 y Fr(P)595 599 y Fj(b)587 610 y Fu(\012)16 b Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)10 b Fr(Q)p Fw(\))124 b(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(Q)p Fw(\))1154 599 y Fj(b)1146 610 y Fu(\012)16 b Fr(P)p 836 596 99 2 v 893 595 a Fg(-)875 587 y Fp(\033)533 444 y Fr(X)f Fu(\012)c Fw(\()p Fr(P)719 433 y Fj(b)711 444 y Fu(\012)16 b Fr(Q)p Fw(\))124 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Q)1135 433 y Fj(b)1127 444 y Fu(\012)16 b Fr(P)7 b Fw(\))p 836 430 V 893 429 a Fg(-)853 418 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)p 678 566 2 108 v 678 566 a Fg(?)641 527 y Fj(e)-22 b Fp(\034)p 1092 566 V 1093 566 a Fg(?)1110 523 y Fp(\030)1127 511 y Ff(\000)p Fl(1)0 678 y Fw(do)17 b(not)f(necessarily)g(comm)o(ute)d(since)i(their)h(braid)g(diagrams)g (are)p 603 816 2 2 v 603 817 V 603 818 V 603 818 V 602 819 V 602 820 V 602 821 V 602 821 V 602 822 V 601 823 V 601 823 V 601 824 V 600 825 V 600 825 V 600 826 V 599 827 V 599 827 V 598 828 V 598 829 V 597 829 V 596 830 V 596 830 V 595 831 V 594 831 V 594 832 V 593 832 V 592 833 V 591 833 V 590 834 V 589 834 V 589 835 V 556 863 V 556 862 V 556 862 V 556 861 V 556 860 V 556 859 V 556 859 V 556 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1171 807 V 1172 807 V 1172 806 V 1172 805 V 1173 805 V 1173 804 V 1174 804 V 1175 803 V 1175 802 V 1176 802 V 1177 801 V 1177 801 V 1178 800 V 1179 800 V 1180 799 V 1180 799 V 1181 798 V 1182 798 V 1183 797 V 1169 769 V 1169 770 V 1169 770 V 1169 771 V 1169 772 V 1170 773 V 1170 774 V 1170 774 V 1171 775 V 1171 776 V 1172 777 V 1172 778 V 1173 778 V 1173 779 V 1174 780 V 1175 781 V 1176 781 V 1177 782 V 1177 783 V 1178 784 V 1179 785 V 1180 785 V 1182 786 V 1183 787 V 1184 788 V 1185 789 V 1187 789 V 1188 790 V 1189 791 V 1191 792 V 1193 792 V 1216 816 V 1216 815 V 1216 814 V 1216 814 V 1216 813 V 1215 812 V 1215 811 V 1215 811 V 1214 810 V 1214 809 V 1213 808 V 1213 807 V 1212 807 V 1212 806 V 1211 805 V 1210 804 V 1209 803 V 1209 803 V 1208 802 V 1207 801 V 1206 800 V 1205 800 V 1203 799 V 1202 798 V 1201 797 V 1200 796 V 1198 796 V 1197 795 V 1196 794 V 1194 793 V 1193 792 V 1263 863 V 1263 864 V 1263 865 V 1263 866 V 1263 866 V 1263 867 V 1263 868 V 1263 868 V 1262 869 V 1262 870 V 1262 871 V 1261 871 V 1261 872 V 1261 873 V 1260 873 V 1260 874 V 1259 874 V 1259 875 V 1258 876 V 1258 876 V 1257 877 V 1256 877 V 1256 878 V 1255 879 V 1254 879 V 1253 880 V 1253 880 V 1252 881 V 1251 881 V 1250 882 V 1249 882 V 1216 911 V 1216 910 V 1216 909 V 1216 909 V 1216 908 V 1217 907 V 1217 906 V 1217 906 V 1217 905 V 1217 904 V 1218 903 V 1218 903 V 1218 902 V 1219 901 V 1219 900 V 1220 900 V 1220 899 V 1221 899 V 1221 898 V 1222 897 V 1222 897 V 1223 896 V 1224 896 V 1224 895 V 1225 895 V 1226 894 V 1227 894 V 1228 893 V 1228 893 V 1229 892 V 1230 892 V 1216 863 V 1216 864 V 1216 865 V 1216 866 V 1217 866 V 1217 867 V 1217 868 V 1217 869 V 1218 870 V 1218 870 V 1219 871 V 1219 872 V 1220 873 V 1221 873 V 1221 874 V 1222 875 V 1223 876 V 1224 877 V 1225 877 V 1226 878 V 1227 879 V 1228 880 V 1229 881 V 1230 881 V 1231 882 V 1232 883 V 1234 884 V 1235 884 V 1237 885 V 1238 886 V 1240 887 V 1263 911 V 1263 910 V 1263 909 V 1263 908 V 1263 908 V 1263 907 V 1262 906 V 1262 905 V 1262 905 V 1261 904 V 1261 903 V 1260 902 V 1260 901 V 1259 900 V 1258 899 V 1257 899 V 1257 898 V 1256 897 V 1255 896 V 1254 895 V 1253 895 V 1252 894 V 1251 893 V 1249 892 V 1248 892 V 1247 891 V 1246 890 V 1244 889 V 1243 888 V 1241 888 V 1240 887 V 979 910 2 142 v 1027 910 2 48 v 1027 815 V 1074 910 V 1074 815 V 1168 910 V 1262 862 2 95 v 958 763 a Fr(X)i(P)16 b(Q)53 b(X)10 b(P)16 b(Q)958 957 y(X)10 b(Q)e(P)61 b(X)10 b(Q)e(P)1103 886 y Fw(=)1110 839 y(?)0 1022 y(In)16 b(principle)f(arbitrary)h (tensor)h(pro)q(ducts)g(of)g(ob)s(jects)f(from)f Fu(C)20 b Fw(and)d(from)e Fu(A)h Fw(can)g(b)q(e)h(formed)0 1080 y(and)d(t)o(wisted)f(b)o(y)g(elemen)o(ts)e(of)j(the)f(braid)g(group)i (with)e(the)h(exception)e(of)i(tensor)g(factors)g(from)0 1138 y Fu(C)19 b Fw(app)q(earing)f(on)e(the)g(far)h(righ)o(t)f(of)g(a)h (tensor)g(pro)q(duct)f(con)o(taining)h(tensor)f(factors)h(from)e Fu(A)p Fw(.)0 1226 y Fy(De\014nition)j(2.9.)h Fw(An)d(ob)s(ject)g Fr(P)24 b Fw(in)15 b(a)i Fu(C)s Fw(-monoidal)f(category)g Fu(A)g Fw(is)g(called)g Fu(C)s Fw(-)p Fm(c)n(entr)n(al)p Fw(,)g(if)274 1335 y(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(Q)549 1304 y Fj(e)-22 b Fp(\034)t Ft(\()p Fp(X)q(;P)q(;Q)p Ft(\))584 1335 y Fu(\000)-9 b(!)47 b Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fr(Q)968 1304 y Fp(\034)t Ft(\()p Fp(P)q(;X)q(;Q)p Ft(\))1002 1335 y Fu(\000)-9 b(!)47 b Fr(X)16 b Fu(\012)10 b Fr(P)19 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))i(=)h(id)0 1422 y(holds)j(for)f(all)g Fr(X)i Fu(2)c(C)20 b Fw(and)c Fr(Q)e Fu(2)g(A)p Fw(.)0 1510 y Fy(Theorem)j(2.10.)i Fm(L)n(et)i Fu(A)f Fm(b)n(e)h(a)g Fu(C)s Fm(-br)n(aide)n(d)f Fu(C)s Fm(-monoidal)h(c)n(ate)n(gory.)32 b(L)n(et)20 b Fr(B)j Fm(b)n(e)e(a)g Fu(C)s Fm(-c)n(entr)n(al)0 1568 y(bialgebr)n(a)g(in)f Fu(A)p Fm(,)h Fr(C)i Fm(b)n(e)e(a)f(c)n(o)n (algebr)n(a)g(in)g Fu(A)g Fm(and)g Fr(z)h Fw(:)d Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)19 b Fr(B)k Fm(b)n(e)d(a)g(c)n(o)n(algebr)n(a)g (morphism.)0 1627 y(Then)65 1699 y Fw(\(1\))i Fu(A)189 1680 y Fp(C)235 1699 y Fm(is)c(a)f Fu(C)s Fm(-c)n(ate)n(gory;)65 1757 y Fw(\(2\))22 b Fu(A)189 1739 y Fp(B)236 1757 y Fm(is)17 b(a)h Fu(C)s Fm(-monoidal)g(c)n(ate)n(gory;)65 1815 y Fw(\(3\))k Fr(!)16 b Fw(:=)d Fu(A)300 1797 y Fp(z)333 1815 y Fw(:)h Fu(A)401 1797 y Fp(C)444 1815 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)578 1797 y Fp(B)626 1815 y Fm(is)j(a)g Fu(C)s Fm(-functor;)65 1873 y Fw(\(4\))22 b Fm(the)17 b(for)n(getful)h (functor)g Fr(!)e Fw(:)e Fu(A)703 1855 y Fp(C)746 1873 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)j Fm(is)h(a)f Fu(C)s Fm(-functor;)65 1931 y Fw(\(5\))22 b Fm(if)d Fr(C)k Fm(is)c(a)g Fu(C)s Fm(-c)n(entr)n(al)i(bialgebr)n(a)f(and)g Fr(z)f Fw(:)e Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(B)k Fm(is)d(a)g(bialgebr)n(a)i(morphism)d (then)149 1989 y Fr(!)e Fw(:=)d Fu(A)300 1971 y Fp(z)333 1989 y Fw(:)h Fu(A)401 1971 y Fp(C)444 1989 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)578 1971 y Fp(B)626 1989 y Fm(is)j(a)g Fu(C)s Fm(-monoidal)h(functor;)65 2047 y Fw(\(6\))k Fm(the)17 b(for)n(getful)h(functor)g Fr(!)e Fw(:)e Fu(A)703 2029 y Fp(B)747 2047 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)j Fm(is)g(a)h Fu(C)s Fm(-monoidal)g(functor.)0 2138 y(Pr)n(o)n(of.)h Fw(\(1\))e(similar)d(to)i(2.1.6.)50 2196 y(\(2\))f(A)f(little)f (calculation)i(sho)o(ws)g(that)h Fu(A)822 2178 y Fp(B)866 2196 y Fw(is)f(a)g(monoidal)f(category)h(\([Mj94a)q(])f(Prop.)21 b(2.5\))0 2254 y(with)h(the)h(com)o(ultipli)o(cation)d(on)j(the)f (tensor)h(pro)q(duct)g(giv)o(en)f(b)o(y)g(\(1)1330 2261 y Fp(P)1375 2254 y Fu(\012)15 b Fw(1)1453 2261 y Fp(Q)1499 2254 y Fu(\012)g Fr(m)1596 2261 y Fp(B)1626 2254 y Fw(\)\(1)1688 2261 y Fp(P)1733 2254 y Fu(\012)0 2313 y Fr(\033)28 2320 y Fp(B)r(;Q)107 2313 y Fu(\012)c Fw(1)181 2320 y Fp(B)212 2313 y Fw(\)\()p Fr(\016)272 2320 y Fp(P)312 2313 y Fu(\012)h Fr(\016)385 2320 y Fp(Q)414 2313 y Fw(\))j(:)f Fr(P)19 b Fu(\012)11 b Fr(Q)k Fu(\000)-9 b(!)15 b Fr(P)j Fu(\012)12 b Fr(Q)f Fu(\012)g Fr(B)s Fw(.)22 b Fu(A)1041 2295 y Fp(B)1088 2313 y Fw(is)17 b(also)g(a)h Fu(C)s Fw(-category)f(b)o(y)f (\(1\).)24 b(The)0 2371 y(natural)18 b(transformation)f Fr(\030)h Fw(:)d(\()p Fr(X)h Fu(\012)c Fr(P)7 b Fw(\))781 2360 y Fj(b)773 2371 y Fu(\012)17 b Fr(Q)f Fu(\000)-9 b(!)15 b Fr(X)i Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(P)1168 2360 y Fj(b)1161 2371 y Fu(\012)17 b Fr(Q)p Fw(\))f(is)h(compatible)f(with)h (the)0 2429 y(com)o(ultiplic)o(ation)d(with)h Fr(B)k Fw(from)14 b(the)i(righ)o(t.)21 b(So)16 b(it)f(is)h(in)f Fu(A)1120 2411 y Fp(B)1151 2429 y Fw(.)21 b(The)15 b(natural)i (transformation)0 2487 y Fr(\034)j Fw(:)13 b Fr(P)130 2476 y Fj(b)122 2487 y Fu(\012)j Fw(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\))373 2473 y Fu(\030)374 2489 y Fw(=)426 2487 y Fr(X)k Fu(\012)c Fw(\()p Fr(P)612 2476 y Fj(b)604 2487 y Fu(\012)16 b Fr(Q)p Fw(\))g(satis\014es)p 684 2650 75 2 v 684 2697 2 48 v 709 2691 a Fr(\016)p 756 2697 V 684 2699 75 2 v 778 2650 V 778 2697 2 48 v 72 w(\016)p 850 2697 V 778 2699 75 2 v 920 2603 V 920 2650 2 48 v 945 2644 a(\016)p 992 2650 V 920 2652 75 2 v 1061 2650 V 1061 2697 2 48 v 1086 2691 a(\016)p 1134 2697 V 1061 2699 75 2 v 791 2751 48 2 v 791 2752 2 7 v 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Fw(Since)13 b(the)i(diagrams)f(de\014ning)g(the)g(structure)g(of)h(a)f Fu(C)s Fw(-monoidal)g(category)h(on)f Fu(A)1533 612 y Fp(B)1578 630 y Fw(comm)o(ute)0 688 y(in)k Fu(A)g Fw(and)h(consist)f (of)g(morphisms)e(of)j Fr(B)s Fw(-como)q(dules)e(they)h(also)g(comm)o (ute)d(as)k(diagrams)f(in)0 746 y Fu(A)40 728 y Fp(B)70 746 y Fw(.)j(Th)o(us)c Fu(A)269 728 y Fp(B)315 746 y Fw(is)f(a)h Fu(C)s Fw(-monoidal)f(category)l(.)50 806 y(\(3\))g(and)h(\(4\))g(similar)d(to)j(2.1.8)50 865 y(\(5\))e(Since)e (the)i(tensor)g(pro)q(ducts)g(in)f Fu(A)775 847 y Fp(C)819 865 y Fw(and)h Fu(A)952 847 y Fp(B)997 865 y Fw(are)g(induced)f(b)o(y)g (the)g(tensor)h(pro)q(duct)g(in)0 923 y Fu(A)h Fw(the)g(natural)h (transformation)g Fr(\035)f Fw(:)d Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)827 912 y Fj(b)819 923 y Fu(\012)j Fr(Q)p Fw(\))e Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))16 b(is)g(the)g(iden)o(tit)o(y)e(whic)o(h)0 981 y(mak)o(es)h Fr(!)j Fw(a)f Fu(C)s Fw(-monoidal)e(functor.)50 1041 y(\(6\))h(is)g(a)h(sp)q(ecial)f(case)g(of)h(\(5\).)p 660 1014 33 2 v 660 1043 2 30 v 691 1043 V 660 1045 33 2 v 50 1133 a(A)i(corresp)q(onding)h(result)f(holds)h(b)o(y)f(dualit)o (y)g(for)h(the)f(category)h Fu(A)1337 1140 y Fp(B)1386 1133 y Fw(of)g(mo)q(dules)f(o)o(v)o(er)f(a)0 1191 y(bialgebra)e Fr(B)j Fw(in)d Fu(A)p Fw(.)0 1287 y Fy(2.4.)27 b(Rigid)18 b(categories.)0 1383 y Fw(2.4.1.)49 b(Another)17 b(imp)q(ortan)o(t)g (categorical)g(notion)h(is)f(that)h(of)f(a)h(\(righ)o(t\))f(dual)g(ob)s (ject.)25 b(This)0 1441 y(is)17 b(a)h(generalization)f(of)h (\014nite-dimensional)d(v)o(ector)i(spaces.)25 b(An)18 b(ob)s(ject)e Fr(X)21 b Fu(2)16 b(C)21 b Fw(is)c Fm(rigid)g Fw(or)0 1499 y(has)f(a)g Fm(dual)g Fw(\()p Fr(X)293 1481 y Fn(\003)314 1499 y Fr(;)8 b Fw(ev\))15 b(where)g Fr(X)602 1481 y Fn(\003)636 1499 y Fu(2)f(C)19 b Fw(and)d(ev)e(:)g Fr(X)956 1481 y Fn(\003)986 1499 y Fu(\012)9 b Fr(X)19 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(I)19 b Fw(is)c(called)g(the)g Fm(evaluation)p Fw(,)i(if)0 1557 y(there)f(is)g(a)g(morphism)e(db)g(:)g Fr(I)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)h Fu(\012)c Fr(X)820 1539 y Fn(\003)840 1557 y Fw(,)16 b(the)g Fm(dual)i(b)n(asis)p Fw(,)d(suc)o(h)i(that)498 1624 y(\()p Fr(X)576 1598 y Ft(db)o Fn(\012)p Ft(1)578 1624 y Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(X)f Fu(\012)c Fr(X)823 1606 y Fn(\003)854 1624 y Fu(\012)g Fr(X)962 1598 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(ev)962 1624 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)t Fw(\))i(=)e(1)1209 1631 y Fp(X)1260 1624 y Fr(;)460 1695 y Fw(\()p Fr(X)523 1677 y Fn(\003)557 1668 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(db)559 1695 y Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(X)699 1677 y Fn(\003)730 1695 y Fu(\012)11 b Fr(X)k Fu(\012)c Fr(X)929 1677 y Fn(\003)963 1668 y Ft(ev)p Fn(\012)p Ft(1)963 1695 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)1101 1677 y Fn(\003)1121 1695 y Fw(\))h(=)g(1)1230 1702 y Fp(X)1262 1693 y Ff(\003)1298 1695 y Fr(:)0 1753 y Fw(The)22 b(monoidal)e(category)i Fu(C)j Fw(is)c Fm(rigid)g Fw(or)h(a)g Fm(tensor)h(c)n(ate)n(gory)e Fw(if)g(ev)o(ery)f(ob)s(ject)h(of)g Fu(C)k Fw(has)d(a)0 1811 y(dual.)f(The)13 b(full)g(sub)q(category)i(of) f(ob)s(jects)g(in)f Fu(C)k Fw(ha)o(ving)d(duals)g(is)g(denoted)f(b)o(y) h Fu(C)1491 1818 y Ft(0)1511 1811 y Fw(.)20 b(An)14 b(adjoin)o(t)0 1869 y(functor)k(argumen)o(t)f(sho)o(ws)i(that)f(the)g(dual)g(of)g(an)h (ob)s(ject)e(is)h(unique)f(up)h(to)g(isomorphism)e(if)0 1927 y(it)g(exists.)0 2023 y(2.4.2.)49 b(If)17 b Fr(!)i Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)16 b(A)i Fw(is)f(a)i(monoidal)e(functor)h (and)g Fr(P)24 b Fu(2)17 b(B)i Fw(is)e(rigid)h(then)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))16 b Fu(2)h(A)h Fw(is)0 2081 y(rigid)12 b(with)h(dual)g(ob)s(ject)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)556 2063 y Fn(\003)576 2081 y Fw(\),)h(ev)m(aluation)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)942 2063 y Fn(\003)962 2081 y Fw(\))t Fu(\012)t Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))1149 2067 y Fu(\030)1150 2083 y Fw(=)1202 2081 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)1291 2063 y Fn(\003)1315 2081 y Fu(\012)t Fr(P)g Fw(\))13 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(I)1595 2088 y Fn(B)1621 2081 y Fw(\))1654 2067 y Fu(\030)1654 2083 y Fw(=)1706 2081 y Fr(I)1728 2088 y Fn(A)1758 2081 y Fw(,)0 2139 y(and)k(dual)f(basis)h Fr(I)345 2146 y Fn(A)389 2126 y Fu(\030)389 2141 y Fw(=)441 2139 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(I)514 2146 y Fn(B)540 2139 y Fw(\))d Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)k Fu(\012)11 b Fr(P)855 2121 y Fn(\003)875 2139 y Fw(\))908 2126 y Fu(\030)908 2141 y Fw(=)960 2139 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)1219 2121 y Fn(\003)1239 2139 y Fw(\).)0 2235 y Fy(Prop)r(osition)18 b(2.11.)i Fm(L)n(et)15 b Fu(C)j Fm(b)n(e)d(a)g(br)n(aide)n(d)g (monoidal)g(c)n(ate)n(gory.)21 b(Then)16 b(the)g(ful)r(l)g(sub)n(c)n (ate)n(gory)0 2293 y Fu(C)26 2300 y Ft(0)63 2293 y Fm(of)i(rigid)f (obje)n(cts)h(in)g Fu(C)i Fm(is)e(a)f(rigid)g(br)n(aide)n(d)g(monoidal) g(c)n(ate)n(gory.)0 2389 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(If)d(the)g(ev)m(aluation)g (resp.)21 b(the)16 b(dual)h(basis)g(are)f(morphisms)e(represen)o(ted)h (b)o(y)932 2481 y Fe(\007)p 932 2504 2 7 v 14 w(\004)p 979 2504 V 950 2481 14 2 v 791 2487 2 7 v 791 2505 a(\006)p 838 2487 V 14 w(\005)p 808 2505 14 2 v 759 2475 a Fr(X)803 2457 y Fn(\003)816 2475 y Fr(X)911 2551 y(X)m(X)992 2533 y Fn(\003)0 2617 y Fw(then)h(the)g(conditions)g(are)649 2723 y Fe(\007)p 649 2745 2 7 v 14 w(\004)p 696 2745 V 667 2723 14 2 v 250 w(\007)p 979 2745 2 7 v 15 w(\004)p 1027 2745 V 997 2723 14 2 v 696 2752 2 7 v 696 2770 a(\006)p 743 2752 V 14 w(\005)p 714 2770 14 2 v 932 2752 2 7 v 156 w(\006)p 979 2752 V 14 w(\005)p 950 2770 14 2 v 649 2793 2 48 v 743 2745 V 838 2793 2 95 v 932 2745 2 48 v 1027 2793 V 1121 2793 2 95 v 722 2693 a Fr(X)54 b(X)45 b(X)945 2675 y Fn(\003)1090 2693 y Fr(X)1134 2675 y Fn(\003)772 2750 y Fw(=)246 b(=)628 2840 y Fr(X)148 b(X)139 b(X)1039 2822 y Fn(\003)1090 2840 y Fr(X)1134 2822 y Fn(\003)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 0 -49 a Fx(12)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(If)h Fr(X)k Fu(2)d(C)i Fw(has)e(a)g(dual)f(\()p Fr(X)524 40 y Fn(\003)545 58 y Fr(;)8 b Fw(ev\))19 b(then)g Fr(X)811 40 y Fn(\003)851 58 y Fw(has)h(the)f(dual)g(\()p 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608 V 743 606 V 743 604 V 744 602 V 744 600 V 744 599 V 744 597 V 1216 785 V 1216 784 V 1216 782 V 1216 780 V 1215 778 V 1215 776 V 1214 774 V 1214 773 V 1213 771 V 1212 769 V 1211 768 V 1210 766 V 1209 764 V 1207 763 V 1206 761 V 1204 759 V 1203 758 V 1201 756 V 1199 755 V 1197 753 V 1195 752 V 1193 750 V 1191 749 V 1188 748 V 1186 746 V 1183 745 V 1181 743 V 1178 742 V 1175 741 V 1172 739 V 1169 738 V 1169 738 V 1166 737 V 1163 736 V 1160 734 V 1157 733 V 1155 732 V 1152 730 V 1149 729 V 1147 727 V 1145 726 V 1143 725 V 1141 723 V 1139 722 V 1137 720 V 1135 719 V 1134 717 V 1132 715 V 1131 714 V 1129 712 V 1128 711 V 1127 709 V 1126 707 V 1125 705 V 1124 704 V 1124 702 V 1123 700 V 1123 698 V 1122 697 V 1122 695 V 1122 693 V 1122 691 V 1405 785 V 1405 784 V 1405 782 V 1404 780 V 1404 778 V 1404 776 V 1403 774 V 1402 773 V 1402 771 V 1401 769 V 1400 768 V 1399 766 V 1397 764 V 1396 763 V 1395 761 V 1393 759 V 1391 758 V 1390 756 V 1388 755 V 1386 753 V 1384 752 V 1382 750 V 1379 749 V 1377 748 V 1375 746 V 1372 745 V 1369 743 V 1367 742 V 1364 741 V 1361 739 V 1358 738 V 1358 738 V 1355 737 V 1352 736 V 1349 734 V 1346 733 V 1343 732 V 1341 730 V 1338 729 V 1336 727 V 1334 726 V 1331 725 V 1329 723 V 1327 722 V 1326 720 V 1324 719 V 1322 717 V 1321 715 V 1319 714 V 1318 712 V 1317 711 V 1316 709 V 1315 707 V 1314 705 V 1313 704 V 1312 702 V 1312 700 V 1311 698 V 1311 697 V 1311 695 V 1311 693 V 1310 691 V 1405 691 V 1405 689 V 1405 687 V 1404 685 V 1404 684 V 1404 682 V 1403 680 V 1402 678 V 1402 677 V 1401 675 V 1400 673 V 1399 672 V 1397 670 V 1396 668 V 1395 667 V 1393 665 V 1391 664 V 1390 662 V 1388 660 V 1386 659 V 1384 657 V 1382 656 V 1379 655 V 1377 653 V 1375 652 V 1372 650 V 1369 649 V 1367 648 V 1364 646 V 1361 645 V 1358 644 V 1358 644 V 1355 643 V 1352 641 V 1349 640 V 1346 639 V 1343 637 V 1341 636 V 1338 635 V 1336 633 V 1334 632 V 1331 630 V 1329 629 V 1327 627 V 1326 626 V 1324 624 V 1322 623 V 1321 621 V 1319 619 V 1318 618 V 1317 616 V 1316 614 V 1315 613 V 1314 611 V 1313 609 V 1312 608 V 1312 606 V 1311 604 V 1311 602 V 1311 600 V 1311 599 V 1310 597 V 1498 832 2 284 v 272 832 2 142 v 366 690 V 460 832 2 48 v 460 643 V 555 690 V 555 596 V 649 832 V 743 596 V 838 832 2 284 v 932 690 2 142 v 1027 832 V 1121 596 2 48 v 1121 690 V 1215 832 V 1215 643 V 1310 596 V 1404 832 V 335 544 a Fr(X)379 526 y Fn(\003)523 544 y Fr(X)567 526 y Fn(\003)712 544 y Fr(X)756 526 y Fn(\003)807 544 y Fr(X)851 526 y Fn(\003)911 544 y Fr(X)149 b(X)f(X)h(X)395 695 y Fw(=)i(=)f(=)246 b(=)150 b(=)h(=)240 879 y Fr(X)284 861 y Fn(\003)429 879 y Fr(X)473 861 y Fn(\003)618 879 y Fr(X)662 861 y Fn(\003)807 879 y Fr(X)851 861 y Fn(\003)1005 879 y Fr(X)e(X)g(X)54 b(X)0 943 y Fw(If)19 b Fr(X)24 b Fw(and)c Fr(Y)30 b Fw(are)20 b(in)f Fu(C)443 950 y Ft(0)482 943 y Fw(then)h Fr(X)d Fu(\012)c Fr(Y)31 b Fw(has)20 b(the)f(dual)h(\()p Fr(Y)1112 925 y Fn(\003)1145 943 y Fu(\012)13 b Fr(X)1241 925 y Fn(\003)1261 943 y Fr(;)8 b Fw(ev)1331 950 y Fp(Y)1361 943 y Fw(\(1)1404 950 y Fp(Y)1433 942 y Ff(\003)1466 943 y Fu(\012)13 b Fw(ev)1566 950 y Fp(X)1613 943 y Fu(\012)g Fw(1)1689 950 y Fp(Y)1720 943 y Fw(\)\).)0 1002 y(The)h(reader)h(ma)o(y)e(try)h(the)g(easy)g (graphic)h(and)g(the)f(diagrammatic)e(pro)q(ofs.)22 b(Th)o(us)15 b Fu(C)1582 1009 y Ft(0)1616 1002 y Fw(is)g(a)g(full)0 1060 y(monoidal)k(sub)q(category)h(of)g Fu(C)j Fw(whic)o(h)c(inherits)f (the)i(braiding)f(and)i(con)o(tains)e(the)g(duals)h(for)0 1118 y(ev)o(ery)15 b(ob)s(ject.)p 322 1091 33 2 v 322 1120 2 30 v 353 1120 V 322 1122 33 2 v 0 1201 a Fy(2.5.)27 b(Coadjoin)n(t)20 b(coactions.)0 1284 y Fw(2.5.1.)49 b(Let)17 b Fu(A)g Fw(b)q(e)g(a)h(braided)f(monoidal)f(category)l(.)24 b(Let)17 b Fr(C)k Fw(b)q(e)c(a)h(coalgebra)f(in)g Fu(A)p Fw(,)g Fr(H)k Fw(b)q(e)c(a)0 1342 y(Hopf)i(algebra)h(in)f Fu(A)g Fw(and)h Fr(z)h Fw(:)e Fr(C)j Fu(\000)-8 b(!)19 b Fr(H)k Fw(b)q(e)d(a)g(coalgebra)g(homomorphism.)27 b(W)l(e)19 b(de\014ne)g(a)0 1400 y Fm(right)e(c)n(o)n(adjoint)g(c)n(o)n (action)g Fw(of)f Fr(H)21 b Fw(on)c Fr(C)i Fw(b)o(y)333 1480 y(ad)14 b(:=)41 b(\(1)534 1487 y Fp(C)575 1480 y Fu(\012)11 b Fr(m)668 1487 y Fp(H)701 1480 y Fw(\)\(1)763 1487 y Fp(C)804 1480 y Fu(\012)g Fr(S)j Fu(\012)d Fw(1)972 1487 y Fp(H)1006 1480 y Fw(\)\()p Fr(\033)1072 1487 y Fp(H)q(;C)1152 1480 y Fu(\012)f Fw(1)1225 1487 y Fp(H)1259 1480 y Fw(\))540 1538 y(\()p Fr(z)j Fu(\012)e Fw(1)669 1545 y Fp(C)710 1538 y Fu(\012)g Fr(z)r Fw(\)\(1)847 1545 y Fp(C)887 1538 y Fu(\012)g Fw(\001)978 1545 y Fp(C)1007 1538 y Fw(\)\001)1067 1545 y Fp(C)1110 1538 y Fw(:)j Fr(C)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)i Fu(\012)c Fr(H)q(:)0 1619 y Fy(Prop)r(osition)18 b(2.12.)i Fr(C)e Fm(with)d(the)g(right)f(c) n(o)n(adjoint)g(c)n(o)n(action)h(is)f(an)h Fr(H)t Fm(-c)n(omodule)h(c)n (o)n(algebr)n(a.)0 1702 y(Pr)n(o)n(of.)j Fw(In)d(graphical)g(notation)h (the)f(righ)o(t)g(coadjoin)o(t)h(coaction)f(is)p 732 2027 2 95 v 779 2027 V 755 1886 V 719 1885 75 2 v 719 1932 2 48 v 730 1926 a(ad)p 791 1932 V 719 1934 75 2 v 921 1835 71 2 v 918 1816 a 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V 1121 863 V 1121 862 V 1121 861 V 1121 860 V 1121 860 V 1122 859 V 1122 858 V 1122 857 V 1122 856 V 720 765 2 29 v 720 831 V 721 784 a(h)708 795 y Fr(z)p 767 883 2 5 v 767 926 V 768 902 a Fe(h)751 919 y Fr(S)p 1003 695 V 1003 737 V 1004 713 a Fe(h)991 724 y Fr(z)p 1027 789 V 1027 831 V 1027 808 a Fe(h)1011 825 y Fr(S)p 1061 689 75 2 v 1061 736 2 48 v 1072 730 a Fw(ad)p 1134 736 V 1061 738 75 2 v 1226 783 V 1226 831 2 48 v 1238 825 a(ad)p 1299 831 V 1226 833 75 2 v 508 973 2 48 v 578 973 V 541 737 2 95 v 720 973 V 720 737 2 48 v 767 666 2 24 v 791 973 V 838 926 2 95 v 979 831 2 48 v 1003 973 2 71 v 1003 761 2 24 v 1050 666 V 1074 973 2 48 v 1074 808 2 71 v 1121 855 2 118 v 1239 973 2 142 v 1286 973 V 1262 784 V 522 638 a Fr(C)192 b(C)248 b(C)177 b(C)645 813 y Fw(=)217 b(=)212 b(=)489 1020 y Fr(C)33 b(H)104 b(C)33 b(H)176 b(C)32 b(H)128 b(C)10 b(H)p 49 1005 33 2 v 49 1035 2 30 v 80 1035 V 49 1037 33 2 v 0 1125 a Fw(2.5.2.)49 b(W)l(e)20 b(sa)o(y)g(that)h(a)f (coaction)h(ad)g(:)f Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)20 b Fr(C)e Fu(\012)13 b Fr(B)23 b Fw(for)d(a)h(giv)o(en)e Fr(z)j Fw(:)f Fr(C)j Fu(\000)-9 b(!)20 b Fr(B)s Fw(,)h Fr(B)h Fw(a)0 1184 y(bialgebra,)16 b(is)g(a)h Fm(right)g(c)n(o)n(adjoint)g(c)n (o)n(action)f Fw(if)g(the)g(equation)g(in)g(Lemma)e(2.13)j(holds.)50 1243 y(More)j(generally)g(if)f Fr(z)k Fw(:)e Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)21 b Fr(B)i Fw(is)d Fr(?)p Fw(-in)o(v)o(ertible)e(then)j(a)g (coadjoin)o(t)f(coaction)h(can)g(b)q(e)0 1301 y(constructed)f(in)g(the) g(same)g(w)o(a)o(y)g(as)h(ab)q(o)o(v)o(e.)34 b(W)l(e)20 b(don't)g(kno)o(w)h(if)f(there)f(are)i(more)e(general)0 1359 y(conditions)f(for)g Fr(z)g Fw(:)e Fr(C)j Fu(\000)-8 b(!)16 b Fr(B)k Fw(suc)o(h)e(that)g(a)g(righ)o(t)f(coadjoin)o(t)h (coaction)g(exists)f(nor)h(whether)0 1417 y(it)e(is)g(unique)f(then.)0 1515 y(2.5.3.)49 b(In)17 b(the)g(dual)h(situation)g(let)e Fr(f)21 b Fw(:)16 b Fr(H)k Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(A)h Fw(b)q(e)h(an)g(algebra)f(homomorphism)e(with)i(a)0 1573 y(Hopf)d(algebra)g Fr(H)t Fw(.)20 b(The)14 b(righ)o(t)f(adjoin)o(t)h (action)g Fr(ah)f Fw(=)1002 1539 y Fj(P)1054 1573 y Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(S)s Fw(\()p Fr(h)1182 1580 y Ft(1)1202 1573 y Fw(\)\))h Fu(\001)g Fr(a)g Fu(\001)g Fr(f)f Fw(\()p Fr(h)1394 1580 y Ft(2)1412 1573 y Fw(\))14 b(is)f(c)o(haracterized)0 1631 y(b)o(y)j(the)g(equation)351 1598 y Fj(P)403 1631 y Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(h)479 1638 y Ft(1)499 1631 y Fw(\))11 b Fu(\001)g Fw(\()p Fr(ah)627 1638 y Ft(2)646 1631 y Fw(\))j(=)g Fr(a)d Fu(\001)g Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(h)p Fw(\).)0 1728 y Fy(2.6.)27 b Fu(C)141 1735 y Ft(0)161 1728 y Fy(-generated)h(coalgebras.)c Fw(W)l(e)i(still)e(need)i(another) g(somewhat)f(more)g(general)0 1786 y(setup.)c(Let)14 b Fu(C)j Fw(b)q(e)d(a)h(monoidal)e(category)l(,)h Fu(C)819 1793 y Ft(0)853 1786 y Fw(b)q(e)g(a)h(full)e(monoidal)g(sub)q(category) i(of)f Fu(C)s Fw(.)21 b(In)14 b(this)0 1844 y(situation)i(w)o(e)g (consider)g(a)h(sp)q(ecial)f(t)o(yp)q(e)f(of)i(coalgebra)g(in)f Fu(C)s Fw(.)0 1937 y Fy(De\014nition)i(2.14.)h Fw(Let)e Fr(C)g Fu(2)d(C)20 b Fw(b)q(e)c(a)h(coalgebra)f(satisfying)h(the)f (follo)o(wing)g(conditions:)65 2010 y(\(1\))22 b Fr(C)d Fw(is)d(a)h(colimit)d(in)h Fu(C)20 b Fw(of)c(a)h(diagram)f(of)g(ob)s (jects)g Fr(C)1101 2017 y Fp(i)1131 2010 y Fw(in)g Fu(C)1214 2017 y Ft(0)1234 2010 y Fw(.)65 2069 y(\(2\))22 b(All)12 b(morphisms)f Fr(X)g Fu(\012)6 b Fr(\023)583 2076 y Fp(i)603 2069 y Fu(\012)g Fr(M)18 b Fw(:)c Fr(X)c Fu(\012)c Fr(C)871 2076 y Fp(i)891 2069 y Fu(\012)g Fr(M)18 b Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(X)c Fu(\012)c Fr(C)j Fu(\012)d Fr(M)19 b Fw(are)13 b(monomorphisms)149 2127 y(in)18 b Fu(C)k Fw(where)c Fr(X)k Fu(2)c Fr(C)547 2134 y Ft(0)567 2127 y Fw(,)h Fr(M)k Fu(2)18 b(C)k Fw(and)d(the)f Fr(\023)969 2134 y Fp(i)1002 2127 y Fw(:)f Fr(C)1068 2134 y Fp(i)1100 2127 y Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(C)k Fw(are)d(the)f(injections)g(of)h(the) 149 2185 y(colimit)13 b(diagram.)65 2243 y(\(3\))22 b(Ev)o(ery)15 b Fr(C)324 2250 y Fp(i)354 2243 y Fw(is)h(a)h(sub)q(coalgebra)g(of)g Fr(C)j Fw(via)15 b Fr(\023)942 2250 y Fp(i)971 2243 y Fw(:)e Fr(C)1033 2250 y Fp(i)1061 2243 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(C)t Fw(.)65 2301 y(\(4\))22 b(If)15 b(\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)292 2308 y Fp(P)336 2301 y Fw(:)13 b Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)k Fu(\012)11 b Fr(C)t Fw(\))16 b(is)g(a)g(como)q(dule)f(o)o(v)o(er)g Fr(C)20 b Fw(and)d Fr(P)k Fu(2)14 b(C)1368 2308 y Ft(0)1388 2301 y Fw(,)i(then)g(there)f (exists)149 2359 y(a)h Fr(C)224 2366 y Fp(i)254 2359 y Fw(in)g(the)g(diagram)g(for)h Fr(C)i Fw(and)e(a)g(morphism)d Fr(\016)1100 2366 y Fp(P)q(;i)1160 2359 y Fw(:)g Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)k Fu(\012)11 b Fr(C)1468 2366 y Fp(i)1498 2359 y Fw(suc)o(h)16 b(that)824 2465 y Fr(P)80 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)1069 2472 y Fp(i)p 875 2453 49 2 v 881 2452 a Fg(-)869 2433 y Fp(\016)885 2439 y Fk(P)q(;i)940 2633 y Fr(P)19 b Fu(\012)10 b Fr(C)859 2544 y Fp(\016)875 2550 y Fk(P)872 2523 y Fg(@)914 2564 y(@)938 2589 y(@)-42 b(R)p 1008 2589 2 108 v 29 w(?)1026 2543 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\023)1083 2548 y Fk(i)149 2709 y Fw(comm)o(ute)o(s.)0 2783 y(Then)16 b Fr(C)k Fw(is)c(called)f(a) i Fu(C)436 2790 y Ft(0)456 2783 y Fm(-gener)n(ate)n(d)h(c)n(o)n(algebr) n(a)p Fw(.)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(15)0 58 y Fw(2.6.1.)49 b(If)13 b Fu(C)235 65 y Ft(0)269 58 y Fw(=)h Fu(C)j Fw(then)c(the)h(conditions)g(in)f(the)h (previous)f(de\014nition)g(are)h(trivially)e(satis\014ed.)0 117 y(If)21 b Fu(C)26 b Fw(=)c(V)l(ec)f(and)h Fr(C)399 124 y Ft(0)441 117 y Fw(=)h(v)o(ec)n(,)g(the)e(category)h(of)f (\014nite-dimensional)f(v)o(ector)g(spaces,)j(then)0 175 y(ev)o(ery)c(coalgebra)i(in)f Fu(C)k Fw(is)c(a)h Fu(C)589 182 y Ft(0)609 175 y Fw(-generated)g(coalgebra)g(b)o(y)f(the)g (fundamen)o(tal)f(theorem)g(for)0 233 y(coalgebras)f(\([Sw69)q(])f (Thm.)24 b(2.2.1\))18 b(and)g(its)f(generalization)g(to)h(the)f (fundamen)o(tal)f(theorem)0 291 y(for)h(como)q(dules.)0 375 y(2.6.2.)49 b(W)l(e)23 b(denote)f(b)o(y)h Fu(C)521 357 y Fp(C)518 387 y Ft(0)573 375 y Fw(the)g(category)g(of)g Fr(C)t Fw(-como)q(dules)e(in)i Fu(C)1317 382 y Ft(0)1337 375 y Fw(.)40 b(Then)23 b Fu(C)1554 357 y Fp(C)1551 387 y Ft(0)1607 375 y Fw(is)f(a)h Fu(C)1735 382 y Ft(0)1755 375 y Fw(-)0 433 y(category)16 b(and)h(the)f(forgetful)g(functor)h Fr(!)f Fw(:)d Fu(C)842 415 y Fp(C)839 445 y Ft(0)886 433 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(C)1006 440 y Ft(0)1042 433 y Fw(is)i(a)h Fu(C)1158 440 y Ft(0)1178 433 y Fw(-functor.)0 517 y(2.6.3.)49 b(It)14 b(is)h(an)g(easy)g(exercise)e(to)i(sho)o(w)h (for)f(a)g Fu(C)929 524 y Ft(0)949 517 y Fw(-generated)g(coalgebra,)g (that)g(the)g(\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)1697 524 y Fp(P)q(;i)1758 517 y Fw(:)0 575 y Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)k Fu(\012)11 b Fr(C)280 582 y Fp(i)294 575 y Fw(\))16 b(are)h(como)q (dules.)507 671 y(3.)28 b Fv(Reconstr)o(uction)18 b(pr)o(oper)m(ties)50 754 y Fw(F)l(or)12 b(the)f(rest)h(of)g(this)g(pap)q(er)g(let)f(the)g (con)o(trol)h(category)g Fu(C)j Fw(b)q(e)d(a)g(braided)g(monoidal)e (category)0 813 y(and)17 b(the)f(base)h(category)f Fu(A)g Fw(b)q(e)g(a)h Fu(C)s Fw(-monoidal)f(category)l(.)0 896 y Fy(3.1.)27 b(Reconstruction)18 b(of)g(coalgebras.)0 980 y(De\014nition)g(3.1.)h Fw(W)l(e)13 b(de\014ne)f(the)g(category)p 859 940 36 2 v 12 w Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))h(of)f(all)g Fu(C)s Fw(-categories)h(\\o)o(v)o(er")f Fu(A)g Fw(as)h(follo)o(ws.)0 1038 y(The)f(ob)s(jects)g(are)g(pairs)g(\()p Fu(B)r Fr(;)c(!)r Fw(\))j(consisting)h(of)g(a)h Fu(C)s Fw(-category)f Fu(B)h Fw(and)g(of)f(a)g Fu(C)s Fw(-functor)h Fr(!)j Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)0 1096 y(A)p Fw(.)20 b(A)14 b(morphism)e([)p Fr(\037;)c(\020)t Fw(])13 b(:)g(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))13 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(\()p Fu(B)785 1078 y Fn(0)796 1096 y Fr(;)8 b(!)850 1078 y Fn(0)862 1096 y Fw(\))14 b(is)g(an)h(equiv)m(alence)d(class)j(of)f(pairs)h(\()p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(\))14 b(with)0 1154 y Fr(\037)g Fw(:)f Fu(B)j(\000)-9 b(!)14 b(B)250 1136 y Fn(0)277 1154 y Fw(a)j Fu(C)s Fw(-functor)g(and)g Fr(\020)h Fw(:)c Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)867 1136 y Fn(0)879 1154 y Fr(\037)i Fw(a)h Fu(C)s Fw(-isomorphism.)j(Tw)o(o)c(suc)o(h)h(pairs)f (\()p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(\))0 1212 y(and)15 b(\()p Fr(\037)143 1194 y Fn(0)154 1212 y Fr(;)8 b(\020)201 1194 y Fn(0)213 1212 y Fw(\))14 b(are)h(equiv)m(alen)o(t)e(if)h(there)g (is)g(a)h Fu(C)s Fw(-isomorphism)e Fr(')h Fw(:)f Fr(\037)h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(\037)1380 1194 y Fn(0)1405 1212 y Fw(with)h Fr(\020)1540 1194 y Fn(0)1565 1212 y Fw(=)f Fr(!)1649 1194 y Fn(0)1661 1212 y Fr(')8 b Fu(\016)g Fr(\020)t Fw(.)0 1270 y(Comp)q(osition)16 b(is)g(giv)o(en)g(b)o(y)f([)p Fr(\037)575 1252 y Fn(0)586 1270 y Fr(;)8 b(\020)633 1252 y Fn(0)645 1270 y Fw(])i Fu(\016)h Fw([)p Fr(\037;)d(\020)t Fw(])13 b(=)g([)p Fr(\037)920 1252 y Fn(0)931 1270 y Fr(\037;)8 b(\020)1009 1252 y Fn(0)1020 1270 y Fr(\037)j Fu(\016)g Fr(\020)t Fw(].)50 1329 y(Let)16 b Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g(b)q(e)h(a)f(full)g(sub)q(category)h(of)p 775 1289 V 16 w Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\).)0 1412 y(3.1.1.)49 b(Theorem)14 b(2.10)j(de\014nes)e(a)h(functor)g Fu(A)879 1394 y Fw(-)911 1412 y(:)d Fu(A)p Fw(-coalg)i Fu(\000)-8 b(!)p 1211 1373 V 13 w Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))16 b(b)o(y)f Fu(A)1437 1394 y Fw(-)1455 1412 y(\()p Fr(C)t Fw(\))e(:=)g(\()p Fu(A)1669 1394 y Fp(C)1699 1412 y Fr(;)8 b(!)r Fw(\))0 1470 y(where)16 b Fr(!)i Fw(is)e(the)g(forgetful)g (functor.)22 b(F)l(urthermore)14 b Fu(A)1028 1452 y Fw(-)1046 1470 y(\()p Fr(z)r Fw(\))g(:=)f([)p Fu(A)1242 1452 y Fp(z)1262 1470 y Fr(;)8 b Fw(id)o(].)0 1554 y(3.1.2.)49 b(If)15 b Fu(A)251 1561 y Ft(0)285 1554 y Fw(is)g(a)h(full)e Fu(C)s Fw(-monoidal)h(sub)q(category)h(of)f Fu(A)p Fw(,)g(then)g(w)o(e) g(de\014ne)g(the)g(full)f(sub)q(cate-)0 1612 y(gory)h Fo(A)143 1619 y Ft(0)163 1612 y Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g(of)p 298 1573 V 14 w Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))f(to)h(consist)f(of)h (those)f Fu(C)s Fw(-categories)h Fu(B)g Fw(o)o(v)o(er)f Fu(A)g Fw(whose)g(forgetful)h(functor)0 1670 y Fr(!)h Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)14 b(A)i Fw(factors)g(through)i Fu(A)655 1677 y Ft(0)674 1670 y Fw(.)0 1754 y(3.1.3.)49 b(In)12 b(this)f(case)h(w)o(e)f(obtain)h(a)g(functor)g Fu(A)864 1736 y Fw(-)864 1767 y Ft(0)897 1754 y Fw(:)i Fu(A)p Fw(-coalg)h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fo(A)1234 1761 y Ft(0)1253 1754 y Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))e(b)o(y)f Fu(A)1435 1736 y Fw(-)1435 1767 y Ft(0)1455 1754 y Fw(\()p Fr(C)t Fw(\))i(:=)g(\()p Fu(A)1669 1736 y Fp(C)1669 1767 y Ft(0)1699 1754 y Fr(;)8 b(!)r Fw(\))0 1812 y(where)j Fu(A)176 1794 y Fp(C)176 1825 y Ft(0)217 1812 y Fw(denotes)g(the)g(full)g(sub)q (category)h(of)g Fu(A)905 1794 y Fp(C)946 1812 y Fw(of)f(those)h Fr(C)t Fw(-como)q(dules)e(whose)i(underlying)0 1870 y(ob)s(ject)k(is)g (in)g Fu(A)294 1877 y Ft(0)313 1870 y Fw(.)50 1979 y(No)o(w)21 b(w)o(e)h(address)g(the)f(question)h(whic)o(h)f(prop)q(erties)g(of)h (an)h(algebra)f Fr(A)f Fw(or)h(a)g(coalgebra)0 2037 y Fr(C)k Fw(in)d(a)g(monoidal)e(category)i Fu(A)g Fw(can)g(b)q(e)f(reco)o (v)o(ered)f(from)h(the)g(category)h(of)g(its)g(mo)q(dules)0 2095 y Fu(A)40 2102 y Fp(A)88 2095 y Fw(resp.)33 b(como)q(dules)19 b Fu(A)503 2077 y Fp(C)532 2095 y Fw(.)33 b(Since)19 b(reconstruction)g(of)i(coalgebras)g(is)e(somewhat)h(simpler)0 2153 y(\(see)h(Theorem)f(4.7\))i(w)o(e)e(will)h(p)q(erform)f(the)h (reconstruction)g(of)h(a)f(coalgebra)h Fr(C)j Fw(from)20 b Fu(A)1742 2135 y Fp(C)0 2211 y Fw(explicitly)c(and)j(deriv)o(e)e(the) i(reconstruction)f(of)h(an)g(algebra)g(b)o(y)g(dualit)o(y)l(.)27 b(As)19 b(w)o(e)f(remark)o(ed)0 2269 y(in)f(the)h(in)o(tro)q(duction)g Fr(C)j Fw(is)c(not)i(uniquely)d(determined)f(b)o(y)j Fu(A)1185 2251 y Fp(C)1214 2269 y Fw(.)26 b(But)17 b(if)g(w)o(e)h(use)g (additional)0 2327 y(information)c(ab)q(out)i(the)e(forgetful)h Fu(C)s Fw(-functor)g Fr(!)h Fw(:)d Fu(A)1003 2309 y Fp(C)1046 2327 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(A)i Fw(w)o(e)f(can)h(reconstruct)f Fr(C)k Fw(up)d(to)0 2386 y(isomorphism)f(with)i(its)g(full)g (structure.)50 2444 y(In)11 b(man)o(y)g(cases)h(w)o(e)f(can)h(actually) f(\\reconstruct")h(a)g(coalgebra)h Fr(C)i Fw(from)c(an)h(fairly)f (arbitrary)0 2502 y Fu(C)s Fw(-functor)16 b Fr(!)g Fw(:)e Fu(B)h(\000)-9 b(!)14 b(A)p Fw(.)21 b(W)l(e)15 b(will)g(p)q(ostp)q(one) j(the)d(discussion)h(of)g(ho)o(w)h(to)f(obtain)g(the)g Fm(obje)n(ct)0 2560 y Fr(C)i Fu(2)e(A)g Fw(from)g(a)h(functor)g Fr(!)h Fw(:)c Fu(B)i(\000)-8 b(!)15 b(A)h Fw(to)i(the)e(next)h (section.)22 b(In)17 b(this)g(section)f(w)o(e)h(will)f(giv)o(e)0 2618 y(the)g(general)g(de\014nition)g(and)h(discuss)f(the)g Fm(structur)n(e)g Fw(of)h(suc)o(h)f(a)h(reconstructed)e(ob)s(ject)h Fr(C)t Fw(.)50 2676 y(A)23 b(di\013eren)o(t)g(p)q(oin)o(t)i(of)f(view)f (is)h(ho)o(w)g(to)h(\014nd)f(a)g(left)f(adjoin)o(t)h(functor)g(to)h (the)f(functor)0 2734 y Fu(A)40 2716 y Fw(-)76 2734 y(:)18 b Fu(A)p Fw(-coalg)h Fu(\000)-8 b(!)18 b Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\).)29 b(If)18 b(suc)o(h)h(a)g(left)f(adjoin)o(t)h(functor)g (do)q(es)g(not)h(exist)e(\\globally",)h(it)0 2793 y(migh)o(t)c(still)g (exist)g(\\lo)q(cally",)h(i.e.)k(a)d(certain)e(functor)h(is)h(represen) o(table.)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 0 -49 a Fx(16)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fy(De\014nition)g(3.2.)h Fw(Let)f Fu(B)g Fw(b)q(e)f(a)g Fu(C)s Fw(-category)h(and)f Fr(!)g Fw(:)e Fu(B)h(\000)-9 b(!)15 b(A)i Fw(b)q(e)g(a)g Fu(C)s Fw(-functor.)24 b(Then)17 b(the)0 117 y(sets)f(Nat)175 124 y Fn(C)198 117 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))16 b(dep)q(end)h (functorially)e(on)i Fr(M)i Fu(2)14 b(A)p Fw(,)i(i.e.)e(w)o(e)i(ha)o(v) o(e)f(a)i(functor)595 207 y(Nat)675 214 y Fn(C)697 207 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fw({)q(\))i(:)h Fu(A)f(\000)-8 b(!)14 b Fw(Set)o Fr(:)0 297 y Fw(If)24 b(this)h(functor)f(is)h(represen)o(table)e(then)h(the)h(represen)o (ting)e(ob)s(ject)h(will)g(b)q(e)h(denoted)f(b)o(y)0 355 y(co)q(end)123 362 y Fn(C)146 355 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)31 b(It)19 b(is)g(unique)f(up)i(to)g(isomorphism.)28 b(\(In)19 b(the)h(dual)f(situation)h(a)g(represen)o(ting)0 413 y(ob)s(ject)c(for)g(Nat)302 420 y Fn(C)325 413 y Fw(\()p Fr(!)d Fu(\012)e Fw({)p Fr(;)d(!)r Fw(\))16 b(will)f(b)q(e)i (denoted)f(b)o(y)g(end)1037 420 y Fn(C)1059 413 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).\))22 b(So)16 b(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)492 504 y(Nat)572 511 y Fn(C)594 504 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)c Fr(M)5 b Fw(\))846 490 y Fu(\030)846 506 y Fw(=)898 504 y Fu(A)p Fw(\(co)q(end)1080 511 y Fn(C)1103 504 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)j(M)d Fw(\))p Fr(:)0 594 y Fw(The)16 b(univ)o(ersal)f(arro)o(w)i(for)g(this)f(functor)629 684 y Fr(\016)f Fw(:)f Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)f Fu(\012)e Fw(co)q(end)1050 691 y Fn(C)1073 684 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))0 774 y(is)20 b(a)g Fu(C)s Fw(-morphism,)f(the)h(image)f (of)h(the)g(iden)o(tit)o(y)e(in)i Fu(A)p Fw(\(co)q(end)1196 781 y Fn(C)1219 774 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)8 b Fw(co)q(end)1434 781 y Fn(C)1456 774 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\)\).)33 b(It)20 b(solv)o(es)0 833 y(the)c(follo)o(wing)g(univ)o (ersal)f(problem)103 906 y Fu(\017)21 b Fw(for)c(ev)o(ery)f Fr(M)21 b Fu(2)16 b(A)h Fw(and)h(ev)o(ery)d Fu(C)s Fw(-morphism)h Fr(')f Fw(:)g Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(!)e Fu(\012)d Fr(M)23 b Fw(there)17 b(is)g(a)g(unique)149 964 y(morphism)c Fr(f)20 b Fw(:)13 b Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(M)22 b Fw(suc)o(h)16 b(that)828 1055 y Fr(!)86 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(C)p 872 1041 60 2 v 890 1040 a Fg(-)894 1032 y Fp(\016)937 1221 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(M)p 1009 1177 2 108 v 1010 1177 a Fg(?)1026 1132 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)878 1127 y(')873 1111 y Fg(@)914 1152 y(@)939 1177 y(@)-42 b(R)149 1297 y Fw(comm)o(ute)o(s.)0 1370 y(This)14 b(univ)o(ersal)f(prop)q(ert) o(y)h(is)f(in)h(fact)g(equiv)m(alen)o(t)e(to)i(the)g(represen)o (tabilit)o(y)d(of)j(Nat)1549 1377 y Fn(C)1572 1370 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)g Fu(\012)e Fw({)q(\))0 1428 y(and)17 b(induces)f(a)g(univ)o(ersal)f(factorization)i(of)f Fr(!)j Fw(through)e(the)f(category)g(of)h(como)q(dules)e Fu(A)1700 1410 y Fp(C)1730 1428 y Fw(.)50 1519 y(The)h(study)h(of)g Fu(C)s Fw(-functors)g(as)g(conducted)g(here)e(has)j(man)o(y)d(prop)q (erties)h(in)g(common)f(with)0 1577 y(similar)20 b(results)h(for)h (general)g(functors.)37 b(In)22 b(fact)g(general)f(categories,)i (functors)f(and)g(nat-)0 1635 y(ural)e(transformations)h(ma)o(y)e(also) i(b)q(e)f(considered)g(as)h Fu(C)s Fw(-categories,)h Fu(C)s Fw(-functors,)g(resp.)33 b Fu(C)s Fw(-)0 1694 y(morphisms)14 b(for)j(the)f(monoidal)f(category)h Fu(C)k Fw(with)c(one)g(ob)s(ject)g Fr(I)k Fw(and)d(one)f(morphism)e(id)1702 1701 y Fp(I)1721 1694 y Fw(.)50 1753 y(Man)o(y)22 b(of)g(the)g(follo)o (wing)g(prop)q(ositions)h(are)f(w)o(ell)f(kno)o(wn)h(for)h(the)f(case)g (of)g(a)h(monoidal)0 1811 y(category)c Fu(C)i Fw(=)c Fu(f)p Fr(I)t Fu(g)h Fw(and)h(can)g(b)q(e)g(pro)o(v)o(ed)f(b)o(y)g (standard)i(univ)o(ersal)d(abstract)i(nonsense.)29 b(So)0 1869 y(w)o(e)20 b(only)g(sk)o(etc)o(h)f(the)g(idea)h(of)h(the)f(pro)q (ofs.)34 b(There)20 b(are,)h(ho)o(w)o(ev)o(er,)e(subtle)h (di\016culties)e(and)0 1927 y(restrictions)f(with)g(resp)q(ect)g(to)h (braidings)g(that)g(do)g(not)g(o)q(ccur)f(in)g(the)g(case)h(of)g(a)g (symme)o(tric)0 1985 y(con)o(trol)e(category)g Fu(C)s Fw(.)0 2080 y Fy(Prop)r(osition)i(3.3.)i Fm(If)38 b Fw(Nat)563 2087 y Fn(C)586 2080 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)15 b Fu(\012)d Fm({)p Fw(\))19 b Fm(is)h(r)n(epr)n(esentable,)g(then)h(the)f(r)n(epr)n (esenting)g(obje)n(ct)0 2139 y Fr(C)25 b Fw(=)c(co)q(end)242 2146 y Fn(C)265 2139 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g Fm(is)g(a)h(c)n(o)n (algebr)n(a)f(in)h Fu(A)p Fm(.)34 b(This)21 b(c)n(o)n(algebr)n(a)g(is)g (uniquely)i(determine)n(d)f(up)g(to)0 2197 y(isomorphisms)16 b(of)h(c)n(o)n(algebr)n(as.)50 2256 y(F)l(urthermor)n(e)e(every)h(obje) n(ct)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(2)g(A)i Fm(with)g Fr(P)21 b Fu(2)14 b(B)j Fm(is)e(a)h Fr(C)t Fm(-c)n(omo)n(dule)g(via)g Fr(\016)f Fw(:)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)0 2314 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(C)21 b Fm(and)d(every)g(morphism)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(f)5 b Fw(\))18 b Fm(is)f(a)g(morphism)g(of)g Fr(C)t Fm(-c)n(omo)n(dules.)50 2373 y(Every)d(obje)n(ct)i Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)9 b Fu(\012)t Fr(P)e Fw(\))14 b Fu(2)g(A)g Fm(with)h Fr(X)j Fu(2)c(C)k Fm(and)c Fr(P)21 b Fu(2)14 b(B)i Fm(is)e(isomorphic)g(as)g(a)h Fr(C)t Fm(-c)n(omo)n(dule)0 2432 y(to)j Fr(X)d Fu(\012)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))18 b Fm(with)f(the)h(structur)n(e)g(induc)n(e)n(d)f(by)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))p Fm(.)0 2527 y(Pr)n(o)n(of.)19 b Fw(The)h(com)o(ultipli)o(cation)d(\001)i(and)i(counit)e Fr(")h Fw(are)f(uniquely)f(de\014ned)i(b)o(y)f(\(1)1540 2534 y Fp(!)1579 2527 y Fu(\012)13 b Fw(\001\))p Fr(\016)21 b Fw(=)0 2585 y(\()p Fr(\016)13 b Fu(\012)d Fw(1)127 2592 y Fp(C)157 2585 y Fw(\))p Fr(\016)18 b Fw(and)f(\(1)354 2592 y Fp(!)390 2585 y Fu(\012)11 b Fr(")p Fw(\))p Fr(\016)k Fw(=)f Fr(\032)596 2567 y Fn(\000)p Ft(1)596 2597 y Fp(!)643 2585 y Fw(.)22 b(The)16 b(last)g(claim)e(follo)o(ws)j(since)e Fr(\016)j Fw(is)e(a)g Fu(C)s Fw(-morphism.)p 1730 2558 33 2 v 1730 2587 2 30 v 1761 2587 V 1730 2589 33 2 v 50 2676 a(W)l(e)i(will)f(encoun)o(ter)g(situations)i(of)f(como)q(dules) g(\()p Fr(P)q(;)8 b(#)17 b Fw(:)g Fr(P)24 b Fu(\000)-9 b(!)17 b Fr(P)j Fu(\012)12 b Fr(C)t Fw(\))18 b(in)f Fu(A)h Fw(where)g(w)o(e)0 2734 y(w)o(an)o(t)g(to)g(kno)o(w)g(if)f(this)h(como) q(dule)e(comes)h(ab)q(out)i(as)f(in)g(the)f(previous)h(Prop)q(osition.) 27 b(So)18 b(w)o(e)0 2793 y(de\014ne)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(17)0 58 y Fy(De\014nition)18 b(3.4.)h Fw(Let)32 b(Nat)552 65 y Fn(C)575 58 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)k Fu(\012)e Fw({)q(\))15 b(b)q(e)h(represen)o(table)f(b)o(y)g Fr(C)j Fu(2)c(A)p Fw(.)21 b(Then)16 b(a)g(como)q(dule)0 117 y(\()p Fr(P)q(;)8 b(#)17 b Fw(:)f Fr(P)23 b Fu(\000)-8 b(!)16 b Fr(P)j Fu(\012)12 b Fr(C)t Fw(\))17 b(in)h Fu(A)f Fw(can)h(b)q(e)g Fm(lifte)n(d)h(along)g Fr(!)h Fw(if)d(there)g(is)h(an) g(ob)s(ject)f Fr(Q)f Fu(2)h(B)i Fw(and)f(a)0 175 y(como)q(dule)13 b(isomorphism)g(\()p Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))p Fr(;)8 b(\016)r Fw(\))705 161 y Fu(\030)706 177 y Fw(=)758 175 y(\()p Fr(P)q(;)g(#)p Fw(\).)21 b(In)14 b(this)h(case)f(the)g(como)q (dule)g(\()p Fr(P)q(;)8 b(#)p Fw(\))14 b(is)h(called)0 233 y Fm(liftable)k(along)e Fr(!)i Fw(and)e Fr(Q)c Fu(2)h Fr(B)19 b Fw(a)e Fm(lifting)p Fw(.)0 335 y Fy(3.2.)27 b(Reconstruction)22 b(of)h(bialgebras.)h Fw(Assume)18 b(no)o(w,)k(that)e(the)g(base)h(category)f Fu(A)g Fw(is)0 393 y(a)g Fu(C)s Fw(-braided)h Fu(C)s Fw(-monoidal)e(category)l(.)33 b(\(It)19 b(will)g(b)q(e)h(clear)f(from)g(the)h(con)o(text)f(whic)o(h)g (tensor)0 451 y(pro)q(duct)e(is)f(b)q(eing)g(used,)g(so)h(w)o(e)f (simply)e(use)i Fu(\012)g Fw(for)h(the)f(tensor)g(pro)q(duct)h(in)f Fu(A)p Fw(.\))50 512 y(Consider)e(a)h Fu(C)s Fw(-functor)g Fr(!)h Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)13 b(A)p Fw(.)21 b(Then)14 b(the)g(bifunctors)g Fr(!)9 b Fu(\012)e Fr(!)16 b Fw(=)e Fr(!)1442 494 y Ft(2)1475 512 y Fw(:)g Fu(B)8 b(\002)f(B)15 b(\000)-9 b(!)14 b(A)0 570 y Fw(and)21 b Fr(!)131 552 y Ft(2)165 570 y Fu(\012)14 b Fr(M)27 b Fw(:)20 b Fu(B)c(\002)d(B)23 b(\000)-9 b(!)21 b(A)g Fw(are)f Fu(C)s Fw(-bifunctors)h(as)h(can)e(b)q (e)h(easily)f(c)o(hec)o(k)o(ed.)32 b(The)21 b(sets)0 628 y(Nat)80 635 y Fn(C)102 628 y Fw(\()p Fr(!)153 610 y Ft(2)173 628 y Fr(;)8 b(!)227 610 y Ft(2)251 628 y Fu(\012)t Fr(M)d Fw(\))14 b(of)f Fu(C)s Fw(-bimorphisms)e(dep)q(end)i (functorially)f(on)i Fr(M)5 b Fw(,)13 b(i.e.)e(w)o(e)i(ha)o(v)o(e)f(a)i (functor)575 727 y(Nat)655 734 y Fn(C)678 727 y Fw(\()p Fr(!)729 707 y Ft(2)748 727 y Fr(;)8 b(!)802 707 y Ft(2)833 727 y Fu(\012)j Fw({\))j(:)g Fu(A)f(\000)-8 b(!)13 b Fw(Set)p Fr(:)0 826 y Fw(Let)i(Nat)166 833 y Fn(C)189 826 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)j Fu(\012)e Fw({)q(\))15 b(b)q(e)g(represen)o(table)g(with)g(univ)o(ersal)f Fu(C)s Fw(-morphism)f Fr(\016)j Fw(:)d Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)f Fu(\012)d Fr(C)t Fw(.)20 b(In)0 885 y(general)c(the)g (morphism)169 984 y Fr(\016)191 991 y Ft(2)224 984 y Fw(:=)d(\(1)332 991 y Fp(!)369 984 y Fu(\012)e Fr(\033)447 992 y Ft(co)q(end)536 997 y Ff(C)556 992 y Ft(\()p Fp(!)q Ft(\))p Fp(;!)652 984 y Fu(\012)g Fw(1)726 992 y Ft(co)q(end)816 997 y Ff(C)836 992 y Ft(\()p Fp(!)q Ft(\))889 984 y Fw(\)\()p Fr(\016)h Fu(\012)f Fr(\016)r Fw(\))i(:)h Fr(!)1127 963 y Ft(2)1160 984 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)1286 963 y Ft(2)1317 984 y Fu(\012)e Fw(co)q(end)1490 991 y Fn(C)1513 984 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))1583 963 y Ft(2)0 1083 y Fw(will)i(not)h(b)q (e)g(a)g Fu(C)s Fw(-bimorphism.)k(This)c(is,)g(ho)o(w)o(ev)o(er,)e(the) i(case)g(if)f Fr(C)k Fw(=)d(co)q(end)1428 1090 y Fn(C)1451 1083 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(is)f Fu(C)s Fw(-cen)o(tral)0 1141 y(\(see)j(De\014nition)g(2.9\).)21 b(Similarly)14 b Fr(\016)673 1123 y Fp(n)712 1141 y Fw(is)i(a)g Fu(C)s Fw(-m)o(ultimorphism)c(if)k Fr(C)k Fw(is)c Fu(C)s Fw(-cen)o(tral.)0 1243 y Fy(De\014nition)i(3.5.)h Fw(If)k(the)g(functor)g(Nat)772 1250 y Fn(C)794 1243 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)18 b Fu(\012)e Fw({\))23 b(is)g(represen)o(table)e(with)i(univ)o(ersal)f Fu(C)s Fw(-)0 1301 y(morphism)16 b Fr(\016)j Fw(:)e Fr(!)i Fu(\000)-8 b(!)17 b Fr(!)e Fu(\012)d Fr(C)t Fw(,)18 b(if)g Fr(C)k Fw(is)c Fu(C)s Fw(-cen)o(tral)g(and)h(if)e(Nat)1203 1308 y Fn(C)1226 1301 y Fw(\()p Fr(!)1277 1283 y Ft(2)1297 1301 y Fr(;)8 b(!)1351 1283 y Ft(2)1383 1301 y Fu(\012)k Fw({)q(\))18 b(is)g(also)h(repre-)0 1359 y(sen)o(table)d(with)g(the)g (sp)q(ecial)f(univ)o(ersal)h Fu(C)s Fw(-bimorphism)278 1459 y Fr(\016)300 1466 y Ft(2)333 1459 y Fw(:=)d(\(1)441 1466 y Fp(!)478 1459 y Fu(\012)e Fr(\033)556 1466 y Fp(C;!)627 1459 y Fu(\012)g Fw(1)701 1466 y Fp(C)731 1459 y Fw(\)\()p Fr(\016)h Fu(\012)f Fr(\016)r Fw(\))i(:)h Fr(!)f Fu(\012)e Fr(!)16 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)f Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)k Fu(\012)10 b Fr(C)0 1558 y Fw(then)16 b(w)o(e)g(sa)o(y)g(that)h(Nat)453 1565 y Fn(C)475 1558 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)c Fw({)q(\))16 b(is)g Fm(bir)n(epr)n(esentable)p Fw(.)50 1619 y(In)c(a)h(similar)e(w)o (a)o(y)h(w)o(e)g(pro)q(ceed)h(for)g(the)f(m)o(ultifunctor)e Fr(!)5 b Fu(\012)t Fr(:)j(:)g(:)t Fu(\012)t Fr(!)15 b Fw(=)f Fr(!)1382 1600 y Fp(n)1406 1619 y Fw(.)20 b(If)12 b Fr(C)k Fw(is)c Fu(C)s Fw(-cen)o(tral)0 1677 y(and)17 b(the)f(functor)g(Nat)428 1684 y Fn(C)451 1677 y Fw(\()p Fr(!)502 1659 y Fp(n)525 1677 y Fr(;)8 b(!)579 1659 y Fp(n)614 1677 y Fu(\012)j Fw({\))16 b(is)g(represen)o(table)f(with)h (the)g(univ)o(ersal)g(morphism)383 1776 y Fr(\016)407 1755 y Ft(\()p Fp(n)p Ft(\))472 1776 y Fw(:=)d Fr(\034)6 b Fw(\()p Fr(\016)12 b Fu(\012)f Fr(:)d(:)g(:)i Fu(\012)h Fr(\016)r Fw(\))i(:)h Fr(!)901 1755 y Fp(n)938 1776 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)1064 1755 y Fp(n)1099 1776 y Fu(\012)e Fw(co)q(end)1272 1783 y Fn(C)1295 1776 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))1365 1755 y Fp(n)0 1875 y Fw(with)25 b(the)g(ob)o(vious)h (c)o(hoice)e(of)h Fr(\034)35 b Fu(2)30 b Fr(B)773 1882 y Ft(2)p Fp(n)814 1875 y Fw(,)d(the)e(Artin)f(braid)i(group,)i(then)d (w)o(e)g(sa)o(y)g(that)0 1933 y(Nat)80 1940 y Fn(C)102 1933 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)k Fu(\012)c Fw({)q(\))15 b(is)g Fr(n)p Fm(-r)n(epr)n(esentable)p Fw(.)23 b(If)14 b(this)i(holds)f(for)h(all)e Fr(n)g Fu(2)g Fs(N)j Fw(w)o(e)e(sa)o(y)g (that)h(the)f(functor)0 1991 y(Nat)80 1998 y Fn(C)102 1991 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)c Fw({)q(\))16 b(is)g Fm(multir)n(epr)n(esentable)i Fw(\(fully)d(represen)o(table)g (in)h([Mj93a]\).)0 2093 y Fy(Prop)r(osition)i(3.6.)i Fm(L)n(et)d Fu(A)h Fm(b)n(e)g Fu(C)s Fm(-br)n(aide)n(d)g Fu(C)s Fm(-monoidal,)g Fu(B)h Fm(b)n(e)g Fu(C)s Fm(-monoidal)f(and)h Fr(!)d Fw(:)f Fu(B)g(\000)-8 b(!)0 2151 y(A)24 b Fm(b)n(e)g(a)g Fu(C)s Fm(-monoidal)h(functor.)42 b(If)24 b Fw(Nat)791 2158 y Fn(C)813 2151 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)18 b Fu(\012)e Fm({)p Fw(\))24 b Fm(is)g(multir)n(epr)n(esentable,)j(then)e Fr(B)j Fw(:=)0 2209 y(co)q(end)123 2216 y Fn(C)146 2209 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))18 b Fm(is)f(a)h(bialgebr)n(a)g(in)h Fu(A)p Fm(.)j(This)c(bialgebr)n(a)g(is)g(uniquely)h(determine)n(d)g(up) e(to)h(isomor-)0 2268 y(phisms)f(of)g(bialgebr)n(as.)50 2328 y(If)25 b(in)h(addition)f Fu(B)h Fm(is)g Fu(C)s Fm(-br)n(aide)n(d)f(\()p Fr(!)i Fm(wil)r(l)g(usual)r(ly)g(not)e(pr)n (eserve)h(the)g(br)n(aiding\),)h(then)0 2387 y Fw(co)q(end)123 2394 y Fn(C)146 2387 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))17 b Fm(is)h(c)n(o)n (quasitriangular)f(in)h Fu(A)p Fm(.)50 2447 y(If)g Fr(!)i Fm(factors)f(thr)n(ough)f(the)g(ful)r(l)i(sub)n(c)n(ate)n(gory)e Fu(A)956 2454 y Ft(0)994 2447 y Fm(of)g(rigid)g(obje)n(cts)i(in)e Fu(A)g Fm(then)i Fw(co)q(end)1679 2454 y Fn(C)1702 2447 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))0 2505 y Fm(is)d(a)h(Hopf)f(algebr)n(a)h(in)g Fu(A)p Fm(.)50 2566 y(F)l(urthermor)n(e)d(for)g(any)h(obje)n(cts)h Fr(P)q(;)8 b(Q)14 b Fu(2)g(B)j Fm(the)g Fr(B)s Fm(-c)n(omo)n(dule)f (structur)n(e)g(on)g Fr(!)1509 2548 y Fn(0)1521 2566 y Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))h Fu(\012)g Fr(!)1684 2548 y Fn(0)1695 2566 y Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))0 2624 y Fm(is)17 b(de\014ne)n(d)i(by)e(the)h(multiplic)n(ation)h(on)e Fr(B)s Fm(.)0 2734 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(Similar)13 b(to)j([Mj94a])f (Theorem)f(3.2.)21 b(resp.)g(3.11.)h(W)l(e)15 b(c)o(hec)o(k)f(only)h (that)h(the)f(relev)m(an)o(t)0 2793 y(morphisms)f(that)j(are)f (factorized)g(through)h(the)f(univ)o(ersal)f(morphisms)f(are)j Fu(C)s Fw(-morphisms.)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 0 -49 a Fx(18)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)50 58 y Fw(The)g(m)o(ultiplication)e(of)j Fr(B)i Fw(is)d(de\014ned)h(b)o (y)f(the)g Fu(C)s Fw(-bimorphism)e Fr(\016)1302 40 y Fn(0)1300 71 y Fp(P)5 b Fn(\012)p Fp(Q)1402 58 y Fw(:)18 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))13 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))1733 45 y Fu(\030)1733 61 y Fw(=)0 117 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)e Fu(\012)r Fr(Q)p Fw(\))j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fu(\012)r Fr(Q)p Fw(\))r Fu(\012)r Fr(B)15 b Fw(as)e(the)f(uniquely)e(determined)g (morphism)1388 113 y Fj(f)1387 117 y Fr(m)1430 124 y Fp(B)1474 117 y Fw(:)j Fr(B)5 b Fu(\012)r Fr(B)17 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(B)0 175 y Fw(suc)o(h)i(that)280 322 y(\(1)323 330 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))414 322 y Fu(\012)11 b Fw(1)488 330 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))580 322 y Fu(\012)630 318 y Fj(f)630 322 y Fr(m)o Fw(\)\(1)734 330 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))825 322 y Fu(\012)11 b Fr(\033)903 329 y Fp(B)r(;Q)982 322 y Fu(\012)g Fw(1)1056 329 y Fp(B)1087 322 y Fw(\)\()p Fr(\016)1147 329 y Fp(P)1186 322 y Fu(\012)g Fr(\016)1258 329 y Fp(Q)1288 322 y Fw(\))j(=)f Fr(\016)1396 302 y Fn(0)1394 334 y Fp(P)5 b Fn(\012)p Fp(Q)1478 322 y Fr(:)50 480 y Fw(The)15 b(morphism)e Fr(\016)400 462 y Fn(0)398 493 y Fp(P)5 b Fn(\012)p Fp(Q)p Fn(\012)p Fp(R)550 480 y Fw(:)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))i Fu(\012)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))f Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(R)p Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)k Fu(\012)9 b Fr(Q)g Fu(\012)g Fr(R)p Fw(\))h Fu(\012)f Fr(B)18 b Fw(resp)q(onsible)0 538 y(for)f(asso)q (ciativit)o(y)e(is)h(a)h Fu(C)s Fw(-trimorphism.)50 607 y(The)g(co)q(quasitriangular)g(structure)f Fr(r)g Fw(:)e Fr(B)g Fu(\012)d Fr(B)18 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(I)20 b Fw(is)d(de\014ned)f(b)o(y)h(the)f Fu(C)s Fw(-bimorphism)0 665 y Fr(\033)30 645 y Fn(\000)p Ft(1)28 678 y Fn(A)77 665 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))p Fr(;)8 b(!)r Fw(\()p Fr(P)f Fw(\)\))p Fr(!)r Fw(\()p Fr(\033)433 672 y Fn(B)458 665 y Fw(\()p Fr(P)q(;)h(Q)p Fw(\)\))22 b(:)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))22 b Fu(\000)-8 b(!)21 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))15 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))g Fu(\012)g Fr(I)24 b Fw(and)e(the)f(braid)0 723 y(equation)p 980 896 2 2 v 980 896 V 980 897 V 980 898 V 980 899 V 980 899 V 980 900 V 979 901 V 979 902 V 979 902 V 979 903 V 978 904 V 978 904 V 978 905 V 977 906 V 977 906 V 976 907 V 976 907 V 975 908 V 975 909 V 974 909 V 973 910 V 973 910 V 972 911 V 971 911 V 970 912 V 970 912 V 969 913 V 968 913 V 967 914 V 966 914 V 933 943 V 933 942 V 933 941 V 933 940 V 933 940 V 933 939 V 934 938 V 934 938 V 934 937 V 934 936 V 935 935 V 935 935 V 935 934 V 936 933 V 936 933 V 937 932 V 937 932 V 938 931 V 938 930 V 939 930 V 939 929 V 940 929 V 941 928 V 941 927 V 942 927 V 943 926 V 944 926 V 944 925 V 945 925 V 946 924 V 947 924 V 933 896 V 933 896 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Fu(\012)r Fw(1)864 1348 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))946 1341 y Fu(\012)r Fr(r)q Fw(\)\(1)1072 1348 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)g Ft(\))1154 1341 y Fu(\012)r Fr(\033)1223 1348 y Fn(A)1252 1341 y Fw(\()p Fr(B)s(;)j(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\)\))r Fu(\012)r Fw(1)1528 1348 y Fp(B)1557 1341 y Fw(\)\()p Fr(\016)1617 1348 y Fp(P)1647 1341 y Fu(\012)r Fr(\016)1710 1348 y Fp(Q)1739 1341 y Fw(\))p Fr(:)0 1488 y Fw(Observ)o(e)23 b(that)g(the)h(braiding)f(of)h Fu(A)701 1470 y Fp(B)755 1488 y Fw(for)g(a)g(braided)f(bialgebra)h Fr(B)i Fw(is)d(describ)q(ed)g (b)o(y)g(the)0 1546 y(equation)p 815 1860 2 2 v 815 1861 V 815 1861 V 815 1862 V 815 1863 V 815 1864 V 814 1864 V 814 1865 V 814 1866 V 814 1867 V 813 1867 V 813 1868 V 813 1869 V 812 1869 V 812 1870 V 812 1871 V 811 1871 V 811 1872 V 810 1872 V 809 1873 V 809 1874 V 808 1874 V 807 1875 V 807 1875 V 806 1876 V 805 1876 V 804 1877 V 804 1877 V 803 1878 V 802 1878 V 801 1879 V 768 1907 V 768 1906 V 768 1906 V 768 1905 V 768 1904 V 768 1903 V 768 1903 V 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1452 284 V 1451 283 V 1451 282 V 1451 281 V 1450 280 V 1450 280 V 1449 279 V 1449 278 V 1448 277 V 1448 277 V 1447 276 V 1446 275 V 1445 274 V 1444 273 V 1444 273 V 1443 272 V 1442 271 V 1440 270 V 1439 269 V 1438 269 V 1437 268 V 1436 267 V 1434 266 V 1433 265 V 1431 265 V 1430 264 V 1428 263 V 1688 145 V 1688 146 V 1688 147 V 1688 147 V 1688 148 V 1688 149 V 1687 150 V 1687 150 V 1687 151 V 1687 152 V 1686 153 V 1686 153 V 1686 154 V 1685 155 V 1685 155 V 1684 156 V 1684 156 V 1683 157 V 1683 158 V 1682 158 V 1682 159 V 1681 159 V 1680 160 V 1680 160 V 1679 161 V 1678 162 V 1677 162 V 1676 163 V 1676 163 V 1675 164 V 1674 164 V 1641 192 V 1641 192 V 1641 191 V 1641 190 V 1641 189 V 1641 189 V 1641 188 V 1642 187 V 1642 186 V 1642 186 V 1642 185 V 1643 184 V 1643 184 V 1643 183 V 1644 182 V 1644 182 V 1645 181 V 1645 181 V 1646 180 V 1646 179 V 1647 179 V 1648 178 V 1648 178 V 1649 177 V 1650 177 V 1651 176 V 1651 175 V 1652 175 V 1653 174 V 1654 174 V 1655 173 V 1641 145 V 1641 146 V 1641 147 V 1641 148 V 1641 148 V 1641 149 V 1642 150 V 1642 151 V 1642 151 V 1643 152 V 1643 153 V 1644 154 V 1645 155 V 1645 155 V 1646 156 V 1647 157 V 1647 158 V 1648 159 V 1649 159 V 1650 160 V 1651 161 V 1652 162 V 1653 162 V 1655 163 V 1656 164 V 1657 165 V 1658 166 V 1660 166 V 1661 167 V 1663 168 V 1664 169 V 1688 192 V 1688 192 V 1688 191 V 1688 190 V 1688 189 V 1687 188 V 1687 188 V 1687 187 V 1686 186 V 1686 185 V 1685 184 V 1685 184 V 1684 183 V 1684 182 V 1683 181 V 1682 181 V 1681 180 V 1680 179 V 1679 178 V 1679 177 V 1677 177 V 1676 176 V 1675 175 V 1674 174 V 1673 173 V 1672 173 V 1670 172 V 1669 171 V 1667 170 V 1666 170 V 1664 169 V 650 240 V 650 239 V 650 239 V 650 239 V 650 238 V 650 238 V 650 238 V 649 237 V 649 237 V 649 237 V 649 236 V 649 236 V 648 236 V 648 235 V 648 235 V 648 235 V 647 235 V 647 234 V 647 234 V 646 234 V 646 233 V 645 233 V 645 233 V 644 232 V 644 232 V 643 232 V 643 231 V 642 231 V 642 231 V 641 230 V 640 230 V 640 230 V 640 229 V 639 229 V 638 228 V 637 228 V 636 227 V 635 227 V 635 226 V 634 225 V 633 225 V 633 224 V 632 224 V 631 223 V 631 223 V 630 222 V 630 222 V 629 221 V 629 221 V 629 220 V 628 220 V 628 220 V 628 219 V 627 219 V 627 218 V 627 218 V 627 218 V 627 217 V 626 217 V 626 217 V 626 216 V 626 216 V 1027 240 V 1027 239 V 1027 239 V 1027 239 V 1027 238 V 1027 238 V 1027 238 V 1027 237 V 1027 237 V 1027 237 V 1026 236 V 1026 236 V 1026 236 V 1026 235 V 1025 235 V 1025 235 V 1025 235 V 1024 234 V 1024 234 V 1024 234 V 1023 233 V 1023 233 V 1022 233 V 1022 232 V 1021 232 V 1021 232 V 1020 231 V 1020 231 V 1019 231 V 1019 230 V 1018 230 V 1018 230 V 1017 229 V 1016 229 V 1015 228 V 1014 228 V 1014 227 V 1013 227 V 1012 226 V 1011 225 V 1011 225 V 1010 224 V 1009 224 V 1009 223 V 1008 223 V 1008 222 V 1007 222 V 1007 221 V 1006 221 V 1006 220 V 1006 220 V 1005 220 V 1005 219 V 1005 219 V 1005 218 V 1004 218 V 1004 218 V 1004 217 V 1004 217 V 1004 217 V 1004 216 V 1004 216 V 1027 102 2 5 v 1027 144 V 1027 121 a(h)1013 131 y Fr(u)p 495 96 75 2 v 495 144 2 48 v 520 138 a(\016)p 567 144 V 495 146 75 2 v 589 96 V 589 144 2 48 v 73 w(\016)p 662 144 V 589 146 75 2 v 872 96 V 872 144 2 48 v 261 w(\016)p 945 144 V 872 146 75 2 v 1250 96 V 1250 144 2 48 v 355 w(\016)p 1322 144 V 1250 146 75 2 v 1580 96 V 1580 144 2 48 v 308 w(\016)p 1653 144 V 1580 146 75 2 v 165 96 122 2 v 165 144 2 48 v -1413 w(\016)p 284 144 V 165 146 122 2 v 83 192 2 142 v 130 144 2 95 v 177 97 2 24 v 224 192 2 48 v 272 380 2 189 v 319 380 2 142 v 319 144 2 48 v 366 380 2 142 v 366 192 2 118 v 413 192 2 142 v 460 144 2 95 v 508 97 2 24 v 649 380 2 95 v 649 192 2 48 v 696 380 V 696 239 2 142 v 743 380 2 48 v 743 286 2 213 v 791 192 2 142 v 838 144 2 95 v 885 97 2 24 v 979 144 2 48 v 1027 192 V 1027 380 2 95 v 1074 380 2 48 v 1074 239 2 142 v 1121 380 2 48 v 1121 286 2 213 v 1168 192 2 142 v 1215 144 2 95 v 1357 380 2 142 v 1404 380 2 95 v 1404 192 2 48 v 1451 380 2 95 v 1451 239 2 142 v 1498 380 2 331 v 1546 144 2 95 v 1640 380 2 189 v 1687 380 V 1687 144 2 48 v 61 45 a(X)11 b(P)249 b(X)10 b(P)296 b(X)11 b(P)296 b(X)10 b(P)249 b(X)10 b(P)371 234 y Fw(=)340 b(=)f(=)293 b(=)250 427 y Fr(X)11 b(P)k(B)244 b(X)10 b(P)15 b(B)244 b(X)10 b(P)16 b(B)196 b(X)11 b(P)k(B)8 b(X)105 b(P)15 b(B)0 497 y Fw(sho)o(ws)g(that)f(the)f(morphism)f(\()p Fr(!)r Fw(\(ev)666 504 y Fp(P)695 497 y Fw(\))6 b Fu(\012)g Fr(\033)793 505 y Fp(B)r(;!)q Ft(\()p Fp(P)f Ft(\))911 497 y Fw(\)\(1)973 505 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)g Ft(\))1059 497 y Fu(\012)h Fr(\016)1126 505 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)f Ft(\))1204 495 y Ff(\003)1229 497 y Fu(\012)h Fw(1)1298 505 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)f Ft(\))1379 497 y Fw(\)\(1)1441 505 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)g Ft(\))1527 497 y Fu(\012)h Fr(!)r Fw(\(db)1677 504 y Fp(P)1706 497 y Fw(\)\))14 b(:)0 555 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))12 b Fu(\012)e Fr(B)19 b Fw(is)d(a)h Fu(C)s Fw(-morphism.)p 850 528 33 2 v 850 557 2 30 v 881 557 V 850 559 33 2 v 50 672 a(F)l(urther)i(in)o(teresting)g(prop)q(erties)h(of)g Fu(A)f Fw(resp.)32 b Fr(!)22 b Fw(for)e(reconstruction)g(ma)o(y)e(b)q (e)i(found)g(in)0 730 y([Dr89)q(,)15 b(KT92)q(,)h(Y)l(e90])0 861 y Fy(3.3.)27 b(Reconstruction)18 b(of)g(morphisms.)0 992 y Fw(3.3.1.)49 b(Let)17 b(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))17 b(and)g(\()p Fu(B)544 974 y Fn(0)555 992 y Fr(;)8 b(!)609 974 y Fn(0)621 992 y Fw(\))17 b(b)q(e)g(ob)s(jects)g(in)g Fo(A)o Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))h(and)f(let)g([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(])13 b(:)i(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))15 b Fu(\000)-9 b(!)15 b Fw(\()p Fu(B)1676 974 y Fn(0)1687 992 y Fr(;)8 b(!)1741 974 y Fn(0)1753 992 y Fw(\))0 1051 y(b)q(e)19 b(a)g(morphism)e(in)h Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\).)29 b(Then)19 b Fr(!)h Fw(:)e Fu(B)h(\000)-8 b(!)18 b(A)p Fw(,)h Fr(!)1016 1032 y Fn(0)1046 1051 y Fw(:)f Fu(B)1113 1032 y Fn(0)1142 1051 y Fu(\000)-9 b(!)18 b(A)p Fw(,)h(and)g Fr(\037)f Fw(:)g Fu(B)h(\000)-8 b(!)18 b(B)1677 1032 y Fn(0)1707 1051 y Fw(are)0 1109 y Fu(C)s Fw(-functors,)f(and)f Fr(\020)i Fw(:)c Fr(!)455 1095 y Fu(\030)455 1111 y Fw(=)507 1109 y Fr(!)539 1091 y Fn(0)551 1109 y Fr(\037)i Fw(is)g(a)h Fu(C)s Fw(-isomorphism)d(for)j(the)f(diagram:)783 1224 y Fu(B)127 b(B)978 1206 y Fn(0)p 829 1206 102 2 v 889 1205 a Fg(-)869 1191 y Fp(\037)856 1347 y Fu(A)p Fr(:)793 1275 y Fp(!)819 1276 y Fg(J)836 1301 y(J)-28 b(^)950 1280 y Fp(!)973 1269 y Ff(0)919 1276 y Fg(\012)902 1301 y(\012)g(\035)0 1483 y Fw(Let)13 b Fr(\016)i Fw(:)e Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)5 b Fu(\012)s Fr(C)17 b Fw(and)c Fr(@)j Fw(:)d Fr(!)609 1465 y Fn(0)635 1483 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)761 1465 y Fn(0)776 1483 y Fu(\012)s Fr(C)857 1465 y Fn(0)880 1483 y Fw(b)q(e)f(univ)o(ersal)e Fu(C)s Fw(-morphisms.)19 b(Since)11 b Fr(\020)18 b Fw(:)13 b Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)0 1541 y Fr(!)32 1523 y Fn(0)44 1541 y Fr(\037)18 b Fw(is)g(a)h Fu(C)s Fw(-isomorphism)e(there)h(is)g (a)h(unique)f(morphism)e(co)q(end)1255 1548 y Fn(C)1278 1541 y Fw(\([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(]\))16 b(=)i Fr(z)h Fw(:)e Fr(C)22 b Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(C)1761 1523 y Fn(0)0 1600 y Fw(suc)o(h)e(that)717 1678 y Fr(!)170 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(C)p 762 1664 143 2 v 863 1663 a Fg(-)825 1655 y Fp(\016)696 1843 y Fr(!)728 1825 y Fn(0)740 1843 y Fr(\037)119 b(!)922 1825 y Fn(0)934 1843 y Fr(\037)10 b Fu(\012)h Fr(C)1064 1825 y Fn(0)p 783 1830 95 2 v 836 1829 a Fg(-)809 1815 y Fp(@)r(\037)p 733 1800 2 108 v 734 1800 a Fg(?)699 1755 y Fp(\020)p 982 1800 V 982 1800 a Fg(?)999 1755 y Fp(\020)r Fn(\012)p Fp(z)0 1935 y Fw(comm)o(utes.)17 b(If)c(\()p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(\))k(and)i(\()p Fr(\037)563 1917 y Fn(0)574 1935 y Fr(;)8 b(\020)621 1917 y Fn(0)633 1935 y Fw(\))13 b(are)g(equiv)m(alen)o(t)f(\(represen)o(tativ)o(es)f (of)j([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(]\))j(b)o(y)i Fr(')h Fw(:)f Fr(\037)g Fu(\000)-8 b(!)0 1993 y Fr(\037)31 1975 y Fn(0)58 1993 y Fw(with)17 b Fr(\020)195 1975 y Fn(0)220 1993 y Fw(=)d Fr(!)304 1975 y Fn(0)316 1993 y Fr(')d Fu(\016)g Fr(\020)20 b Fw(then)c(the)g(diagram)624 2107 y Fr(!)335 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(C)p 668 2092 309 2 v 935 2091 a Fg(-)814 2084 y Fp(\016)686 2271 y Fr(!)718 2253 y Fn(0)729 2271 y Fr(\037)119 b(!)911 2253 y Fn(0)923 2271 y Fr(\037)10 b Fu(\012)h Fr(C)1053 2253 y Fn(0)p 772 2258 95 2 v 825 2257 a Fg(-)798 2243 y Fp(@)r(\037)597 2437 y Fr(!)629 2419 y Fn(0)641 2437 y Fr(\037)672 2419 y Fn(0)956 2437 y Fr(!)988 2419 y Fn(0)1000 2437 y Fr(\037)1031 2419 y Fn(0)1053 2437 y Fu(\012)g Fr(C)1142 2419 y Fn(0)p 695 2425 249 2 v 902 2424 a Fg(-)793 2409 y Fp(@)r(\037)836 2397 y Ff(0)707 2183 y Fp(\020)654 2162 y Fg(A)675 2204 y(A)688 2229 y(A)-21 b(U)p 639 2395 2 274 v 640 2395 a(?)594 2267 y Fp(\020)612 2255 y Ff(0)707 2350 y Fp(!)730 2338 y Ff(0)741 2350 y Fp(')688 2328 y Fg(\001)667 2370 y(\001)654 2394 y(\001)g(\013)925 2183 y Fp(\020)r Fn(\012)p Fp(z)1019 2162 y Fg(\001)999 2204 y(\001)986 2229 y(\001)g(\013)p 1075 2395 V 1075 2395 a(?)1092 2267 y Fp(\020)1110 2255 y Ff(0)1121 2267 y Fn(\012)p Fp(z)1165 2255 y Ff(0)885 2350 y Fp(!)908 2338 y Ff(0)920 2350 y Fp(')p Fn(\012)p Ft(1)986 2328 y Fg(A)1007 2370 y(A)1019 2394 y(A)g(U)0 2541 y Fw(comm)o(utes.)18 b(By)c(the)g(uniqueness)g(of)h(the)g(induced) e(morphism)g(from)g Fr(C)18 b Fw(to)d Fr(C)1455 2523 y Fn(0)1481 2541 y Fw(w)o(e)f(get)h Fr(z)h Fw(=)e Fr(z)1747 2523 y Fn(0)1758 2541 y Fw(,)0 2599 y(hence)h Fr(z)k Fw(is)d(uniquely)e(de\014ned)i(b)o(y)g(the)g(class)h([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(].)50 2662 y(It)16 b(is)g(easy)g(to)h(see)e (that)i Fr(z)h Fw(is)e(a)h(coalgebra)g(morphism.)50 2734 y(Observ)o(e)g(that)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))502 2708 y Fp(\016)471 2734 y Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))13 b Fu(\012)f Fr(C)802 2708 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(z)794 2734 y Fu(\000)-9 b(!)17 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))12 b Fu(\012)g Fr(C)1101 2716 y Fn(0)1130 2734 y Fw(de\014nes)17 b(a)i Fr(C)1373 2716 y Fn(0)1384 2734 y Fw(-coaction)f(on)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))0 2793 y(for)17 b(ev)o(ery)d Fr(P)21 b Fu(2)14 b(B)r Fw(.)p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 0 -49 a Fx(20)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(3.3.2.)49 b(Let)11 b Fu(A)g Fw(b)q(e)g(a)h Fu(C)s Fw(-braided)f Fu(C)s Fw(-monoidal)g(category)l(.)19 b(Let)12 b([)p Fr(\037;)c(\020)t Fw(])k(:)h(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))13 b Fu(\000)-8 b(!)14 b Fw(\()p Fu(B)1587 40 y Fn(0)1597 58 y Fr(;)8 b(!)1651 40 y Fn(0)1663 58 y Fw(\))j(and)0 117 y Fr(\016)j Fw(and)f Fr(@)i Fw(b)q(e)e(as)h(b)q (efore.)20 b(F)l(urthermore)11 b(let)g Fu(B)832 98 y Fn(0)856 117 y Fw(b)q(e)i(a)g Fu(C)s Fw(-monoidal)f(category)h(and)g Fr(!)1525 98 y Fn(0)1551 117 y Fw(:)g Fu(B)1613 98 y Fn(0)1638 117 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)0 175 y Fw(b)q(e)19 b(a)g Fu(C)s Fw(-monoidal)f(functor.)28 b(Assume)17 b(that)i(Nat)937 182 y Fn(C)959 175 y Fw(\()p Fr(!)1010 157 y Fn(0)1022 175 y Fr(;)8 b(!)1076 157 y Fn(0)1100 175 y Fu(\012)13 b Fw({\))19 b(is)f(m)o(ultirepresen)o(table)d(with)0 233 y(the)h(univ)o(ersal)f(morphism)f Fr(@)i Fw(:)e Fr(!)620 215 y Fn(0)645 233 y Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(!)772 215 y Fn(0)794 233 y Fu(\012)d Fr(B)s Fw(.)21 b(By)16 b(Prop)q(osition)h (3.6)g Fr(B)h Fw(is)e(a)h(bialgebra.)50 293 y(W)l(e)h(call)f(Nat)307 300 y Fn(C)329 293 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)15 b Fu(\012)d Fw({\))17 b(:)g Fu(B)h(\000)-8 b(!)17 b Fw(Set)g Fr(!)855 275 y Fn(0)867 293 y Fm(-r)n(epr)n(esentable)j Fw(if)d(there)h(is)g(an) g(ob)s(ject)1631 281 y(\026)1620 293 y Fr(C)j Fu(2)c(B)1761 275 y Fn(0)0 351 y Fw(and)g(a)g Fu(C)s Fw(-morphism)e Fr(d)f Fw(:)g Fr(\037)g Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(\037)d Fu(\012)720 339 y Fw(\026)709 351 y Fr(C)20 b Fw(suc)o(h)c(that)h(the)f (induced)g(morphism)e Fr(y)i Fw(:)e Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)1721 333 y Fn(0)1744 339 y Fw(\026)1733 351 y Fr(C)0 409 y Fw(in)i(the)g(comm)o(utativ)n(e)d(diagram)543 512 y Fr(!)170 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(C)p 588 498 143 2 v 689 497 a Fg(-)651 489 y Fp(\016)1053 515 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(!)1178 497 y Fn(0)1201 503 y Fw(\026)1190 515 y Fr(C)p 886 498 154 2 v 998 497 a Fg(-)931 482 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(y)522 635 y Fr(!)554 617 y Fn(0)566 635 y Fr(\037)106 b(!)735 617 y Fn(0)746 635 y Fw(\()p Fr(\037)11 b Fu(\012)868 623 y Fw(\026)857 635 y Fr(C)s Fw(\))p 609 622 82 2 v 649 621 a Fg(-)623 613 y Fp(!)646 602 y Ff(0)658 613 y Fp(d)1032 635 y Fr(!)1064 617 y Fn(0)1075 635 y Fr(\037)g Fu(\012)g Fr(!)1199 617 y Fn(0)1222 623 y Fw(\026)1211 635 y Fr(C)p 927 622 93 2 v 978 621 a Fg(-)963 613 y Fp(\035)p 559 592 2 67 v 560 592 a Fg(?)525 567 y Fp(\020)p 1140 592 V 1140 592 a Fg(?)1157 567 y Fp(\020)r Fn(\012)p Ft(1)0 725 y Fw(is)16 b(an)h(isomorphism.)i(Equiv)m (alen)o(tly)14 b(the)i(morphism)303 838 y Fr(!)380 808 y Fp(\020)349 838 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)475 817 y Fn(0)486 838 y Fr(\037)545 811 y Fp(!)568 799 y Ff(0)579 811 y Fp(d)531 838 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)657 817 y Fn(0)669 838 y Fw(\()p Fr(\037)c Fu(\012)790 825 y Fw(\026)779 838 y Fr(C)t Fw(\))880 811 y Fp(\035)850 838 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)976 817 y Fn(0)988 838 y Fr(\037)e Fu(\012)g Fr(!)1112 817 y Fn(0)1135 825 y Fw(\026)1124 838 y Fr(C)1176 808 y Fp(\020)1194 797 y Ff(\000)p Fl(1)1235 808 y Fn(\012)p Ft(1)1188 838 y Fu(\000)-9 b(!)26 b Fr(!)13 b Fu(\012)e Fr(!)1419 817 y Fn(0)1442 825 y Fw(\026)1431 838 y Fr(C)0 934 y Fw(is)16 b(a)h(univ)o(ersal)e Fu(C)s Fw(-morphism.)0 1039 y(3.3.3.)49 b(Observ)o(e)15 b(that)g(ev)o(ery)f(morphism)g Fr(f)20 b Fw(in)15 b Fu(B)i Fw(induces)e(a)h Fr(C)t Fw(-como)q(dule)e(morphism)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(f)5 b Fw(\))0 1097 y(in)19 b Fu(A)p Fw(,)h(and)g(that)g(ev)o(ery)e(morphism)f Fr(g)22 b Fw(in)d Fu(B)844 1079 y Fn(0)875 1097 y Fw(induces)g(a)h Fr(B)s Fw(-como)q(dule)e(morphism)g Fr(!)1637 1079 y Fn(0)1648 1097 y Fw(\()p Fr(g)r Fw(\))i(in)0 1155 y Fu(A)p Fw(.)32 b(In)20 b(particular)g Fr(!)412 1137 y Fn(0)424 1155 y Fw(\()p Fr(d)p Fw(\))507 1141 y Fu(\030)507 1157 y Fw(=)566 1155 y Fr(\016)i Fw(is)d(a)i Fr(B)s Fw(-como)q(dule)d (morphism)g(in)i Fu(A)p Fw(.)32 b(F)l(urthermore)18 b Fr(\020)24 b Fw(is)c(a)0 1213 y Fr(B)s Fw(-como)q(dule)15 b(isomorphism)f(with)i(the)g Fr(B)s Fw(-como)q(dule)f(structure)h(on)h Fr(!)h Fw(as)f(de\014ned)f(in)g(3.3.1.)50 1332 y(Let)g(ad)f(:)e Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)i Fu(\012)c Fr(B)18 b Fw(denote)f(the)f(coaction)440 1441 y Fr(C)523 1412 y Fp(y)493 1441 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)619 1420 y Fn(0)631 1441 y Fw(\()661 1428 y(\026)650 1441 y Fr(C)s Fw(\))723 1410 y Fp(@)r Ft(\()765 1401 y(\026)758 1410 y Fp(C)r Ft(\))721 1441 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)847 1420 y Fn(0)859 1441 y Fw(\()889 1428 y(\026)878 1441 y Fr(C)s Fw(\))d Fu(\012)g Fr(B)1049 1412 y Fp(y)1067 1400 y Ff(\000)p Fl(1)1109 1412 y Fn(\012)p Fp(B)1067 1441 y Fu(\000)-8 b(!)31 b Fr(C)14 b Fu(\012)d Fr(B)s(:)0 1539 y Fy(Prop)r(osition)18 b(3.7.)i Fm(Under)13 b(the)g(c)n(onditions)g(of)24 b Fw(3.3.2)13 b([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(])j Fm(induc)n(es)i(a)g(c)n(o) n(algebr)n(a)g(morphism)0 1597 y Fr(z)j Fw(:)d Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(B)20 b Fm(and)d(the)h(c)n(o)n(action)g(of)f Fr(B)j Fm(on)e Fr(C)j Fm(is)c(a)g(right)h(c)n(o)n(adjoint)f(c)n(o)n (action.)0 1702 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(The)d(induced)f(coalgebra)i (morphism)d(w)o(as)i(de\014ned)g(in)g(3.3.1.)21 b(F)l(or)16 b(ev)o(ery)f Fr(P)21 b Fu(2)14 b(B)j Fw(and)0 1760 y Fr(P)38 1742 y Fn(0)64 1760 y Fw(:=)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))17 b(w)o(e)e(get)p 1168 2138 2 24 v 1216 2068 2 2 v 1216 2069 V 1216 2070 V 1216 2071 V 1216 2071 V 1216 2072 V 1216 2073 V 1215 2074 V 1215 2074 V 1215 2075 V 1215 2076 V 1214 2076 V 1214 2077 V 1213 2078 V 1213 2078 V 1213 2079 V 1212 2080 V 1212 2080 V 1211 2081 V 1210 2081 V 1210 2082 V 1209 2082 V 1209 2083 V 1208 2084 V 1207 2084 V 1206 2085 V 1205 2085 V 1205 2086 V 1204 2086 V 1203 2087 V 1202 2087 V 1169 2115 V 1169 2115 V 1169 2114 V 1169 2113 V 1169 2112 V 1169 2112 V 1169 2111 V 1170 2110 V 1170 2110 V 1170 2109 V 1171 2108 V 1171 2107 V 1171 2107 V 1172 2106 V 1172 2105 V 1172 2105 V 1173 2104 V 1173 2104 V 1174 2103 V 1175 2102 V 1175 2102 V 1176 2101 V 1177 2101 V 1177 2100 V 1178 2100 V 1179 2099 V 1180 2099 V 1180 2098 V 1181 2098 V 1182 2097 V 1183 2097 V 1169 2068 V 1169 2069 V 1169 2070 V 1169 2071 V 1169 2071 V 1170 2072 V 1170 2073 V 1170 2074 V 1171 2075 V 1171 2075 V 1172 2076 V 1172 2077 V 1173 2078 V 1173 2078 V 1174 2079 V 1175 2080 V 1176 2081 V 1177 2082 V 1177 2082 V 1178 2083 V 1179 2084 V 1180 2085 V 1182 2086 V 1183 2086 V 1184 2087 V 1185 2088 V 1187 2089 V 1188 2090 V 1189 2090 V 1191 2091 V 1193 2092 V 1216 2115 V 1216 2115 V 1216 2114 V 1216 2113 V 1216 2112 V 1215 2112 V 1215 2111 V 1215 2110 V 1214 2109 V 1214 2108 V 1213 2108 V 1213 2107 V 1212 2106 V 1212 2105 V 1211 2104 V 1210 2104 V 1209 2103 V 1209 2102 V 1208 2101 V 1207 2101 V 1206 2100 V 1205 2099 V 1203 2098 V 1202 2097 V 1201 2097 V 1200 2096 V 1198 2095 V 1197 2094 V 1196 2093 V 1194 2093 V 1193 2092 V 1168 2025 2 5 v 1168 2067 V 1169 2044 a Fe(h)1156 2055 y Fr(z)p 1169 2016 71 2 v 1166 1997 a Fe(\007)p 1166 2020 2 7 v 38 w(\004)p 1237 2020 V 1183 1997 38 2 v 1216 2120 48 2 v 1215 2122 2 7 v 1215 2139 a(\006)p 1262 2122 V 14 w(\005)p 1233 2139 14 2 v 1262 2115 2 48 v 1203 2019 75 2 v 1203 2067 2 48 v 1214 2061 a Fw(ad)p 1275 2067 V 1203 2069 75 2 v 555 2045 a Fe(\007)p 555 2067 2 7 v 14 w(\004)p 602 2067 V 572 2045 14 2 v 556 2064 48 2 v 980 2120 V 979 2122 2 7 v 979 2139 a(\006)p 1027 2122 V 15 w(\005)p 997 2139 14 2 v 980 2068 2 2 v 980 2069 V 980 2070 V 980 2071 V 980 2071 V 980 2072 V 980 2073 V 979 2074 V 979 2074 V 979 2075 V 979 2076 V 978 2076 V 978 2077 V 978 2078 V 977 2078 V 977 2079 V 976 2080 V 976 2080 V 975 2081 V 975 2081 V 974 2082 V 973 2082 V 973 2083 V 972 2084 V 971 2084 V 970 2085 V 970 2085 V 969 2086 V 968 2086 V 967 2087 V 966 2087 V 933 2115 V 933 2115 V 933 2114 V 933 2113 V 933 2112 V 933 2112 V 934 2111 V 934 2110 V 934 2110 V 934 2109 V 935 2108 V 935 2107 V 935 2107 V 936 2106 V 936 2105 V 937 2105 V 937 2104 V 938 2104 V 938 2103 V 939 2102 V 939 2102 V 940 2101 V 941 2101 V 941 2100 V 942 2100 V 943 2099 V 944 2099 V 944 2098 V 945 2098 V 946 2097 V 947 2097 V 933 2068 V 933 2069 V 933 2070 V 933 2071 V 933 2071 V 934 2072 V 934 2073 V 934 2074 V 935 2075 V 935 2075 V 936 2076 V 936 2077 V 937 2078 V 937 2078 V 938 2079 V 939 2080 V 940 2081 V 941 2082 V 942 2082 V 942 2083 V 943 2084 V 945 2085 V 946 2086 V 947 2086 V 948 2087 V 949 2088 V 951 2089 V 952 2090 V 954 2090 V 955 2091 V 957 2092 V 980 2115 V 980 2115 V 980 2114 V 980 2113 V 980 2112 V 980 2112 V 979 2111 V 979 2110 V 979 2109 V 978 2108 V 978 2108 V 977 2107 V 976 2106 V 976 2105 V 975 2104 V 974 2104 V 973 2103 V 973 2102 V 972 2101 V 971 2101 V 970 2100 V 969 2099 V 968 2098 V 966 2097 V 965 2097 V 964 2096 V 962 2095 V 961 2094 V 960 2093 V 958 2093 V 957 2092 V 1004 2021 V 1004 2019 V 1004 2017 V 1004 2016 V 1003 2014 V 1003 2012 V 1003 2010 V 1003 2008 V 1002 2007 V 1002 2005 V 1001 2003 V 1001 2002 V 1000 2000 V 999 1998 V 999 1997 V 998 1995 V 997 1994 V 996 1992 V 995 1991 V 994 1989 V 993 1988 V 992 1986 V 991 1985 V 990 1983 V 989 1982 V 987 1980 V 986 1979 V 985 1978 V 983 1976 V 982 1975 V 980 1974 V 980 1974 V 979 1973 V 977 1971 V 976 1970 V 974 1969 V 973 1967 V 972 1966 V 970 1965 V 969 1963 V 968 1962 V 967 1960 V 966 1959 V 965 1957 V 964 1956 V 963 1954 V 963 1953 V 962 1951 V 961 1949 V 960 1948 V 960 1946 V 959 1945 V 959 1943 V 958 1941 V 958 1939 V 958 1938 V 957 1936 V 957 1934 V 957 1932 V 957 1930 V 957 1929 V 957 1927 V 602 2096 2 29 v 602 2162 V 603 2115 a(h)590 2125 y Fr(z)p 791 2049 2 76 v 791 2162 V 791 2067 a Fe(h)779 2078 y Fr(z)p 932 2011 2 15 v 932 2067 V 933 2034 a Fe(h)921 2045 y Fr(z)p 495 1925 98 2 v 495 1972 2 48 v 532 1966 a(\016)p 591 1972 V 495 1974 98 2 v 684 2067 75 2 v 684 2114 2 48 v 709 2108 a(\016)p 756 2114 V 684 2116 75 2 v 707 1925 98 2 v 707 1972 2 48 v 744 1966 a(\016)p 803 1972 V 707 1974 98 2 v 872 1949 75 2 v 872 1996 2 48 v 898 1990 a(\016)p 945 1996 V 872 1998 75 2 v 896 1878 V 896 1925 2 48 v 921 1919 a(\016)p 968 1925 V 896 1927 75 2 v 1108 1925 98 2 v 1108 1972 2 48 v 1145 1966 a(\016)p 1204 1972 V 1108 1974 98 2 v 967 2019 75 2 v 967 2067 2 48 v 978 2061 a Fw(ad)p 1039 2067 V 967 2069 75 2 v 508 2162 2 189 v 555 2162 2 95 v 545 1926 2 71 v 578 2044 V 696 2162 2 48 v 743 2162 V 720 2067 2 95 v 758 1926 2 71 v 885 2162 2 166 v 909 1949 2 24 v 932 2162 2 48 v 932 1879 2 24 v 1003 2162 V 1027 2115 2 48 v 1121 2162 2 189 v 1145 1926 2 71 v 1168 2162 2 24 v 1239 2162 V 1192 1997 V 521 1850 a Fr(P)559 1832 y Fn(0)733 1850 y Fr(P)771 1832 y Fn(0)908 1850 y Fr(P)946 1832 y Fn(0)1120 1850 y Fr(P)1158 1832 y Fn(0)631 2016 y Fw(=)151 b(=)198 b(=)483 2209 y Fr(P)521 2191 y Fn(0)536 2209 y Fr(C)12 b(B)52 b(P)710 2191 y Fn(0)725 2209 y Fr(C)12 b(B)52 b(P)899 2191 y Fn(0)914 2209 y Fr(C)35 b(B)76 b(P)1135 2191 y Fn(0)1150 2209 y Fr(C)35 b(B)0 2276 y Fw(where)17 b(the)g(\014rst)h(and)g(last)g(equalities)e(arise)h(from)g(the)g (coasso)q(ciativit)o(y)g(of)h(the)f(co)q(op)q(eration)0 2334 y Fr(\016)22 b Fw(and)g(the)f(middle)e(equalit)o(y)g(is)i(the)g (fact)f(that)i(\(the)f(left)f(lo)o(w)o(er)g(resp.)35 b(righ)o(t)21 b(upp)q(er\))g Fr(\016)i Fw(is)0 2392 y(a)e Fr(B)s Fw(-como)q(dule)e(morphism,)g(the)h(coaction)g(of)h Fr(B)i Fw(on)e Fr(P)1084 2374 y Fn(0)1116 2392 y Fw(as)g(in)f(3.3.1)h (and)g(on)g Fr(P)1571 2374 y Fn(0)1596 2392 y Fu(\012)14 b Fr(C)24 b Fw(via)0 2460 y(the)d(m)o(ultiplic)o(ation)e(of)i Fr(B)s Fw(.)35 b(Since)21 b(the)g(natural)g(transformation)g Fr(!)1322 2442 y Fn(0)1334 2460 y Fr(\037)1418 2433 y Fp(\016)1387 2460 y Fu(\000)-9 b(!)22 b Fr(!)1521 2442 y Fn(0)1533 2460 y Fr(\037)14 b Fu(\012)g Fr(C)25 b Fu(\000)-8 b(!)0 2518 y Fr(!)32 2500 y Fn(0)44 2518 y Fr(\037)12 b Fu(\012)g Fr(C)k Fu(\012)c Fr(B)21 b Fw(giv)o(en)d(b)o(y)g(the)g(ab)q (o)o(v)o(e)g(graphic)g(diagram)g(induces)g(precisely)f(one)h(morphism)0 2576 y Fr(C)f Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)i Fu(\012)c Fr(B)19 b Fw(w)o(e)c(get)i(\(2.5.2\))f(that)h(ad)d(:)g Fr(C)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(C)g Fu(\012)d Fr(B)19 b Fw(is)d(a)h(righ)o(t)f (coadjoin)o(t)g(coaction.)50 2636 y(F)l(urthermore)e(w)o(e)i(kno)o(w)g (that)h Fr(C)689 2622 y Fu(\030)690 2638 y Fw(=)742 2636 y Fr(!)774 2618 y Fn(0)786 2636 y Fw(\()816 2624 y(\026)805 2636 y Fr(C)s Fw(\))f(is)h(a)f Fr(B)s Fw(-como)q(dule.)p 1288 2609 33 2 v 1288 2638 2 30 v 1319 2638 V 1288 2640 33 2 v 50 2734 a(The)22 b(previous)g(Prop)q(osition)h(sa)o(ys)f(in)g (particular)g(that)g Fr(C)k Fw(with)c(the)f(giv)o(en)h(\(coadjoin)o (t\))0 2793 y Fr(B)s Fw(-como)q(dule)15 b(structure)h(can)g(b)q(e)h (lifted)e(along)i Fr(!)927 2774 y Fn(0)952 2793 y Fw(:)d Fu(B)1015 2774 y Fn(0)1039 2793 y Fu(\000)-8 b(!)14 b(A)p Fw(.)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(21)0 58 y Fy(Corollary)19 b(3.8.)h Fm(Under)g(the)g(c)n (onditions)g(of)g(Pr)n(op)n(osition)i Fw(3.7)e Fm(if)f Fr(B)j Fm(is)e(a)f(Hopf)h(algebr)n(a)g(in)0 117 y Fu(A)g Fm(then)h Fr(C)j Fm(is)c(a)g Fr(B)s Fm(-c)n(omo)n(dule)g(c)n(o)n (algebr)n(a)g(under)h(the)f(right)g(c)n(o)n(adjoint)g(c)n(o)n(action)g (de\014ne)n(d)i(by)0 175 y Fr(z)16 b Fw(:)d Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(B)s Fm(.)0 306 y(Pr)n(o)n(of.)19 b Fw(By)c(Lemma)e(2.13)j (ad)e(:)g Fr(C)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(C)f Fu(\012)c Fr(B)18 b Fw(is)d(the)g(uniquely)f(de\014ned)h(coadjoin)o(t)h(coaction) 0 364 y(whic)o(h)g(b)o(y)f(Prop)q(osition)j(2.12)f(mak)o(es)d Fr(C)20 b Fw(a)d Fr(B)s Fw(-como)q(dule)e(coalgebra.)p 1351 337 33 2 v 1351 366 2 30 v 1382 366 V 1351 368 33 2 v 0 481 a(3.3.4.)49 b(If)22 b(co)q(end)341 488 y Fn(C)364 481 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(exists)f(for)i(all)e(ob)s(jects)h(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))21 b(in)h Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g(then)g(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f(a)i(functor)0 539 y(co)q(end)123 546 y Fn(C)160 539 y Fw(:)13 b Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)p Fw(-coalg)q(.)21 b(If)15 b(furthermore)g(all)g(full)g(como)q(dule)g(categories)g Fu(A)1550 521 y Fp(C)1596 539 y Fw(together)0 597 y(with)g(the)f (forgetful)h(functor)g Fr(!)h Fw(:)d Fu(A)667 579 y Fp(C)711 597 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)g Fw(are)h(ob)s(jects)g(in)f Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))h(then)g(co)q(end)1511 604 y Fn(C)1547 597 y Fw(:)f Fo(A)o Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g Fu(\000)-8 b(!)0 655 y(A)p Fw(-coalg)17 b(is)f(left)g(adjoin)o(t)g(to)h Fu(A)581 637 y Fw(-)613 655 y(:)c Fu(A)p Fw(-coalg)i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))i(\(from)f(3.1.1\).)0 787 y Fy(3.4.)27 b(Applications.)0 918 y Fw(3.4.1.)49 b(W)l(e)16 b(sp)q(ecialize)f Fu(C)k Fw(to)e(the)e(case)i(of)f(a)h (one-elemen)o(t)c(category)l(.)22 b(W)l(e)16 b(call)f(this)h(case)g Fm(ful)r(l)0 976 y(r)n(e)n(c)n(onstruction)p Fw(.)26 b(Let)18 b Fr(!)h Fw(:)d Fu(B)h(\000)-8 b(!)16 b(A)i Fw(b)q(e)g(a)g(functor.)26 b(Let)18 b Fr(\016)g Fw(:)e Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)16 b Fr(!)e Fu(\012)e Fr(C)21 b Fw(b)q(e)d(a)h(univ)o(ersal)0 1034 y(morphism.)g(Then)d(the)g(prop)q (ositions)i(of)e(this)g(section)g(sp)q(ecialize)f(to:)50 1097 y(If)k(Nat\()p Fr(!)r(;)8 b(!)15 b Fu(\012)e Fw({\))20 b(is)f(represen)o(table,)f(then)h(the)g(represen)o(ting)g(ob)s(ject)g Fr(C)j Fw(=)d(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))h(is)0 1155 y(a)i(coalgebra)h (in)e Fu(A)p Fw(.)38 b(This)22 b(coalgebra)h(is)e(uniquely)g (determined)e(up)j(to)g(isomorphisms)e(of)0 1213 y(coalgebras.)50 1276 y(F)l(urthermore)11 b(ev)o(ery)g(ob)s(ject)i Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(2)g(A)f Fw(with)g Fr(P)21 b Fu(2)14 b(B)g Fw(is)f(a)g Fr(C)t Fw(-como)q(dule)f(via)h Fr(\016)i Fw(:)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)0 1334 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(C)20 b Fw(and)d(ev)o(ery)d(morphism)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(f)5 b Fw(\))17 b(is)f(a)h Fr(C)t Fw(-como)q(dule)e(morphism.)50 1397 y(Let)22 b Fu(A)g Fw(b)q(e)h(braided)f(monoidal,)g Fu(B)i Fw(b)q(e)e(monoidal)f(and)i Fr(!)j Fw(:)e Fu(B)h(\000)-8 b(!)24 b(A)e Fw(b)q(e)g(a)h(monoidal)0 1455 y(functor.)e(If)15 b(Nat\()p Fr(!)r(;)8 b(!)j Fu(\012)f Fw({\))15 b(is)h(m)o(ultireprese)o (n)o(table,)c(then)j Fr(B)i Fw(=)d(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))h(is)h(a)f(bialgebra)h(in)0 1514 y Fu(A)p Fw(.)21 b(This)16 b(bialgebra)h(is)f(uniquely)f(determined)e(up)k(to)f (isomorphisms)f(of)h(bialgebras.)50 1577 y(If)g(in)f(addition)i Fu(B)g Fw(is)f(braided,)g(then)g(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))h(is)f(co)q(quasitriangular)h(in)f Fu(A)p Fw(.)50 1639 y(If)g Fu(B)h Fw(is)f(rigid)g(then)g(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))h(is)f(a)g(Hopf)h(algebra)f(in)g Fu(A)p Fw(.)50 1702 y(F)l(urthermore)d(for)j(an)o(y)f(ob)s(jects)g Fr(P)q(;)8 b(Q)14 b Fu(2)h(B)h Fw(the)f Fr(B)s Fw(-como)q(dule)f (structure)h(on)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))j Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))0 1761 y(is)16 b(de\014ned)g(b)o(y)g(the)g (m)o(ultipli)o(cation)e(on)j(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\).)0 1892 y(3.4.2.)49 b(W)l(e)20 b(sp)q(ecialize)f Fu(C)25 b Fw(=)c Fu(A)621 1899 y Ft(0)661 1892 y Fw(with)f Fu(A)h Fw(a)g(braided)f(monoidal)g(category)g(and)i Fu(A)1618 1899 y Ft(0)1658 1892 y Fw(a)f(full)0 1950 y(\(braided\))14 b(monoidal)e(sub)q(category)l(.)22 b(W)l(e)13 b(will)g(call)f(this)i (case)g Fm(r)n(estricte)n(d)g(r)n(e)n(c)n(onstruction)p Fw(.)21 b(Let)0 2008 y Fr(!)d Fw(:)d Fu(B)i(\000)-9 b(!)16 b(A)263 2015 y Ft(0)300 2008 y Fw(b)q(e)h(an)h Fu(A)476 2015 y Ft(0)496 2008 y Fw(-functor.)24 b(Let)18 b Fr(\016)f Fw(:)e Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(!)e Fu(\012)d Fr(C)21 b Fw(b)q(e)d(a)f(univ)o(ersal)g Fu(A)1511 2015 y Ft(0)1530 2008 y Fw(-morphism.)0 2066 y(Then)f(the)g(prop)q(ositions)i(of)e(this) h(section)e(sp)q(ecialize)g(to:)50 2129 y(If)g(Nat)178 2136 y Fn(A)206 2141 y Fl(0)226 2129 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)d Fw({\))16 b(is)g(represen)o(table,)e(then)i(the)g (represen)o(ting)f(ob)s(ject)h Fr(C)h Fw(=)d(co)q(end)1654 2136 y Fn(A)1682 2141 y Fl(0)1702 2129 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))0 2187 y(is)k(a)h(coalgebra)f(in)g Fu(A)p Fw(.)27 b(This)19 b(coalgebra)f(is)h(uniquely)d(determined)g(up)i(to)h (isomorphisms)d(of)0 2245 y(coalgebras.)50 2308 y(F)l(urthermore)9 b(ev)o(ery)h(ob)s(ject)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))14 b Fu(2)g(A)802 2315 y Ft(0)833 2308 y Fw(with)d Fr(P)21 b Fu(2)14 b(B)e Fw(is)f(a)g Fr(C)t Fw(-como)q(dule)f(via)h Fr(\016)k Fw(:)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)0 2366 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(C)20 b Fw(and)d(ev)o(ery)d(morphism)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(f)5 b Fw(\))17 b(is)f(a)h Fr(C)t Fw(-como)q(dule)e(morphism.)50 2429 y(Let)h Fu(B)g Fw(b)q(e)g Fu(A)292 2436 y Ft(0)312 2429 y Fw(-monoidal)f(and)h Fr(!)g Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)14 b(A)889 2436 y Ft(0)924 2429 y Fw(b)q(e)i(an)g Fu(A)1097 2436 y Ft(0)1116 2429 y Fw(-monoidal)f(functor.)21 b(If)15 b(Nat)1659 2436 y Fn(A)1687 2441 y Fl(0)1707 2429 y Fw(\()p Fr(!)r(;)0 2487 y(!)s Fu(\012)r Fw({\))d(is)f(m)o (ultirepresen)o(table,)e(then)i Fr(B)17 b Fw(=)c(co)q(end)928 2494 y Fn(A)956 2499 y Fl(0)975 2487 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))f(is)f(a)h(bialgebra)g(in)f Fu(A)p Fw(.)20 b(This)12 b(bialgebra)0 2546 y(is)k(uniquely)f(determined)f(up)i(to)h (isomorphisms)d(of)i(bialgebras.)50 2609 y(If)g(in)f(addition)i Fu(B)g Fw(is)f Fu(A)487 2616 y Ft(0)507 2609 y Fw(-braided,)g(then)g (co)q(end)947 2616 y Fn(A)975 2621 y Fl(0)995 2609 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(is)g(co)q(quasitriangular)h(in)f Fu(A)p Fw(.)50 2671 y(If)g Fu(B)h Fw(is)f(rigid)g(then)g(co)q(end)546 2678 y Fn(A)574 2683 y Fl(0)594 2671 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(is)g(a)h(Hopf)f(algebra)h(in)f Fu(A)p Fw(.)50 2734 y(F)l(urthermore)d(for)j(an)o(y)f(ob)s(jects)g Fr(P)q(;)8 b(Q)14 b Fu(2)h(B)h Fw(the)f Fr(B)s Fw(-como)q(dule)f(structure)h(on)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))j Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))0 2793 y(is)16 b(de\014ned)g(b)o(y)g(the)g(m)o(ultipli)o (cation)e(on)j(co)q(end)873 2800 y Fn(A)901 2805 y Fl(0)920 2793 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 0 -49 a Fx(22)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)262 58 y Fw(4.)27 b Fv(Existence)19 b(theorems)f(in)g(reconstr)o(uction)g (theor)m(y)0 142 y Fy(4.1.)27 b(Restricted)19 b(reconstruction.)k Fw(In)18 b(this)g(section)g(w)o(e)g(will)f(study)h(reconstruction)g(of) 0 200 y(a)d(giv)o(en)g(coalgebra)g Fr(C)k Fw(with)14 b(help)h(of)g(the)g(functor)g(Nat)1034 207 y Fn(C)1053 212 y Fl(0)1072 200 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)j Fu(\012)d Fw({)q(\).)20 b(W)l(e)15 b(call)f(this)h Fm(r)n(estricte)n(d)0 258 y(r)n(e)n(c)n(onstruction)p Fw(.)50 316 y(F)l(or)h(this)h(purp)q (ose)g(let)e Fu(C)20 b Fw(b)q(e)d(a)f(braided)h(monoidal)e(category)i (and)g Fu(C)1345 323 y Ft(0)1381 316 y Fw(b)q(e)g(a)f(full)g (\(braided\))0 374 y(monoidal)h(sub)q(category)j(of)f Fu(C)s Fw(.)27 b(F)l(or)19 b(a)g(Hopf)f(algebra)h Fr(H)j Fw(in)d Fu(C)s Fw(,)f(a)h(coalgebra)g Fr(C)j Fw(in)c Fu(C)j Fw(and)e(a)0 432 y(coalgebra)d(morphism)d Fr(z)j Fw(:)d Fr(C)18 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(H)19 b Fw(w)o(e)c(kno)o(w)h (that)g Fr(C)j Fw(is)c(a)h(coalgebra)g(in)f Fu(C)1461 414 y Fp(H)1511 432 y Fw(with)g(resp)q(ect)0 490 y(to)20 b(the)g(righ)o(t)f(coadjoin)o(t)h(coaction)g(ad)g(:)g Fr(C)j Fu(\000)-9 b(!)20 b Fr(C)d Fu(\012)c Fr(H)24 b Fw(b)o(y)c(Prop)q(osition)h(2.12.)32 b(If)19 b Fr(C)24 b Fw(is)19 b(a)0 549 y Fu(C)26 556 y Ft(0)46 549 y Fw(-generated)14 b(coalgebra)h(then)f(the)g(sub)q(coalgebras)i Fr(C)1032 556 y Fp(i)1060 549 y Fw(are)e(also)h(in)f Fu(C)1319 531 y Fp(H)1367 549 y Fw(\(actually)f(in)h Fu(C)1653 531 y Fp(H)1650 561 y Ft(0)1687 549 y Fw(\))g(b)o(y)0 607 y(the)i(coadjoin)o(t)g(action.)22 b(W)l(e)16 b(consider)g(the)g (underlying)f(functor)h Fr(!)g Fw(:)e Fu(C)1333 589 y Fp(C)1330 619 y Ft(0)1376 607 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(C)1499 589 y Fp(H)1533 607 y Fw(.)0 691 y Fy(Theorem)k(4.1.)i Fm(L)n(et)f Fr(C)j Fm(b)n(e)e(a)f Fu(C)616 698 y Ft(0)635 691 y Fm(-gener)n(ate)n(d)h(c)n(o)n(algebr)n(a)f(in)h Fu(C)i Fm(and)d Fr(H)k Fm(b)n(e)c(a)g(Hopf)g(algebr)n(a)g(in)0 749 y Fu(C)s Fm(.)23 b(L)n(et)17 b Fr(z)f Fw(:)e Fr(C)j Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(H)22 b Fm(b)n(e)c(a)f(c)n(o)n(algebr)n(a)g (morphism.)22 b(L)n(et)17 b Fr(!)g Fw(:=)c Fu(C)1209 731 y Fp(z)1206 762 y Ft(0)1243 749 y Fw(:)h Fu(C)1300 731 y Fp(C)1297 762 y Ft(0)1344 749 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(C)1467 731 y Fp(H)1464 762 y Ft(0)1515 749 y Fu(\022)g(C)1597 731 y Fp(H)1648 749 y Fm(b)n(e)k(the)0 807 y(functor)g(induc)n(e)n(d)g (by)f Fr(z)r Fm(.)22 b(Then)582 891 y Fw(Nat)662 898 y Fn(C)681 903 y Fl(0)700 891 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fm({)p Fw(\))j(:)f Fu(C)980 871 y Fp(H)1028 891 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(Set)0 975 y Fm(is)h(r)n(epr)n(esentable)h (by)f(the)g(c)n(o)n(algebr)n(a)g Fr(C)i Fw(=)d(co)q(end)910 982 y Fn(C)929 987 y Fl(0)948 975 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fm(in)h Fu(C)1120 957 y Fp(H)1168 975 y Fm(with)g(the)f(c)n(anonic)n (al)h(morphism)0 1033 y Fr(\016)f Fw(:)f Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)f Fu(\012)e Fr(C)t Fm(.)0 1118 y(Pr)n(o)n(of.)19 b Fw(W)l(e)d(de\014ne)g(maps)511 1202 y(\006)e(:)f Fu(C)616 1181 y Fp(H)650 1202 y Fw(\()p Fr(C)q(;)8 b(M)d Fw(\))14 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(Nat)986 1209 y Fn(C)1005 1214 y Fl(0)1024 1202 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))0 1286 y(and)503 1345 y(\005)14 b(:)f(Nat)661 1352 y Fn(C)680 1357 y Fl(0)699 1345 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b(C)1073 1324 y Fp(H)1107 1345 y Fw(\()p Fr(C)q(;)8 b(M)d Fw(\))p Fr(:)0 1416 y Fw(The)17 b(\014rst)h(map)e(is)h(de\014ned)g(b)o (y)f(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\()p Fr(P)q(;)j(\016)796 1423 y Fp(P)827 1416 y Fw(\))15 b(:=)g(\(1)971 1423 y Fp(P)1012 1416 y Fu(\012)d Fr(f)5 b Fw(\))p Fr(\016)1133 1423 y Fp(P)1177 1416 y Fw(:)15 b Fr(P)23 b Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(P)i Fu(\012)12 b Fr(C)19 b Fu(\000)-9 b(!)15 b Fr(P)k Fu(\012)12 b Fr(M)5 b Fw(.)0 1475 y(Then)18 b(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\()p Fr(P)q(;)j(\016)326 1482 y Fp(P)356 1475 y Fw(\))17 b(:)f Fr(P)24 b Fu(\000)-9 b(!)17 b Fr(P)i Fu(\012)12 b Fr(M)23 b Fw(is)18 b(an)g Fr(H)t Fw(-como)q(dule)g(morphism)d(since)i(the)h(follo)o(wing)0 1533 y(diagram)e(comm)o(ute)o(s)380 1625 y Fr(P)252 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)p 431 1610 220 2 v 609 1609 a Fg(-)520 1596 y Fp(\016)536 1602 y Fk(P)1195 1625 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(M)p 812 1610 371 2 v 1141 1609 a Fg(-)965 1595 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)560 1749 y Fr(P)19 b Fu(\012)11 b Fr(C)j Fu(\012)d Fr(C)j Fu(\012)d Fr(H)195 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)j Fu(\012)d Fr(M)17 b Fu(\012)11 b Fr(H)p 915 1735 166 2 v 1039 1734 a Fg(-)919 1720 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)t Fn(\012)p Ft(1)558 1873 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)j Fu(\012)d Fr(H)189 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(H)k Fu(\012)c Fr(M)17 b Fu(\012)10 b Fr(H)p 918 1859 161 2 v 1037 1858 a Fg(-)920 1844 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)t Fn(\012)p Ft(1)558 1998 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)j Fu(\012)d Fr(H)k Fu(\012)c Fr(H)189 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(M)17 b Fu(\012)10 b Fr(H)16 b Fu(\012)10 b Fr(H)p 918 1984 V 1037 1983 a Fg(-)920 1968 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)t Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)328 2122 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(H)143 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)k Fu(\012)c Fr(H)p 483 2108 115 2 v 556 2107 a Fg(-)498 2094 y Fp(\016)514 2100 y Fk(P)539 2094 y Fn(\012)p Ft(1)1143 2122 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(M)16 b Fu(\012)11 b Fr(H)p 865 2108 266 2 v 1089 2107 a Fg(-)942 2093 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)t Fn(\012)p Ft(1)331 1873 y Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)p 399 1829 2 191 v 400 1829 a Fg(?)342 1743 y Fp(\016)358 1749 y Fk(P)p 399 2078 V 400 2078 a Fg(?)320 1992 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(z)p 731 1705 2 67 v 731 1705 a Fg(?)609 1681 y Fp(\016)625 1687 y Fk(P)650 1681 y Fn(\012)p Ft(ad)p 731 1829 V 731 1829 a Fg(?)562 1805 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(z)q Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)p 731 1954 V 731 1954 a Fg(?)603 1930 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)q Fn(\012)p Ft(1)p 731 2078 V 731 2078 a Fg(?)565 2053 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)686 2059 y Fk(H)p 1270 1705 V 1271 1705 a Fg(?)1287 1681 y Fp(\016)1303 1687 y Fk(P)1329 1681 y Fn(\012)p Fp(\016)1372 1687 y Fk(M)p 1270 1829 V 1271 1829 a Fg(?)1287 1805 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(z)q Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)p 1270 1954 V 1271 1954 a Fg(?)1287 1930 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)q Fn(\012)p Ft(1)p 1270 2078 V 1271 2078 a Fg(?)1287 2053 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)1408 2059 y Fk(H)0 2191 y Fw(where)16 b(the)g(left)f(hand)i(side)f(comm)o(utes)d (b)o(y)p 943 2375 75 2 v 943 2422 2 48 v 968 2416 a Fr(\016)p 1016 2422 V 943 2424 75 2 v 707 2375 V 707 2422 2 48 v -257 w(\016)p 780 2422 V 707 2424 75 2 v 731 2304 122 2 v 731 2351 2 48 v 780 2345 a(\016)p 850 2351 V 731 2353 122 2 v 967 2304 98 2 v 967 2351 2 48 v 202 w(\016)p 1063 2351 V 967 2353 98 2 v 815 2523 48 2 v 814 2524 2 7 v 814 2542 a Fe(\006)p 861 2524 V 14 w(\005)p 832 2542 14 2 v 815 2471 2 2 v 815 2472 V 815 2472 V 815 2473 V 815 2474 V 815 2475 V 814 2475 V 814 2476 V 814 2477 V 814 2478 V 813 2478 V 813 2479 V 813 2480 V 812 2480 V 812 2481 V 812 2482 V 811 2482 V 811 2483 V 810 2483 V 809 2484 V 809 2485 V 808 2485 V 807 2486 V 807 2486 V 806 2487 V 805 2487 V 804 2488 V 804 2488 V 803 2489 V 802 2489 V 801 2490 V 768 2518 V 768 2517 V 768 2517 V 768 2516 V 768 2515 V 768 2514 V 768 2514 V 769 2513 V 769 2512 V 769 2511 V 769 2511 V 770 2510 V 770 2509 V 771 2509 V 771 2508 V 771 2507 V 772 2507 V 772 2506 V 773 2506 V 774 2505 V 774 2504 V 775 2504 V 775 2503 V 776 2503 V 777 2502 V 778 2502 V 778 2501 V 779 2501 V 780 2500 V 781 2500 V 782 2499 V 768 2471 V 768 2472 V 768 2472 V 768 2473 V 768 2474 V 769 2475 V 769 2476 V 769 2476 V 770 2477 V 770 2478 V 770 2479 V 771 2480 V 772 2480 V 772 2481 V 773 2482 V 774 2483 V 775 2483 V 775 2484 V 776 2485 V 777 2486 V 778 2487 V 779 2487 V 781 2488 V 782 2489 V 783 2490 V 784 2491 V 786 2491 V 787 2492 V 788 2493 V 790 2494 V 791 2494 V 815 2518 V 815 2517 V 815 2516 V 815 2516 V 815 2515 V 814 2514 V 814 2513 V 814 2513 V 813 2512 V 813 2511 V 812 2510 V 812 2509 V 811 2509 V 811 2508 V 810 2507 V 809 2506 V 808 2505 V 807 2505 V 807 2504 V 806 2503 V 805 2502 V 803 2502 V 802 2501 V 801 2500 V 800 2499 V 799 2498 V 797 2498 V 796 2497 V 795 2496 V 793 2495 V 791 2494 V 767 2428 2 5 v 767 2470 V 768 2446 a(h)755 2457 y Fr(z)p 1050 2404 2 52 v 1050 2494 V 1051 2423 a Fe(h)1039 2434 y Fr(z)p 802 2422 75 2 v 802 2469 2 48 v 813 2463 a Fw(ad)p 874 2469 V 802 2471 75 2 v 743 2376 2 24 v 979 2376 V 720 2564 2 142 v 767 2564 2 48 v 791 2305 2 24 v 838 2564 V 838 2423 2 71 v 861 2517 2 48 v 956 2564 2 142 v 1003 2564 V 1012 2305 2 24 v 1050 2564 2 71 v 772 2277 a Fr(P)191 b(P)890 2442 y Fw(=)702 2612 y Fr(P)16 b(C)33 b(H)80 b(P)17 b(C)9 b(H)0 2676 y Fw(whic)o(h)17 b(follo)o(ws)g(from)g(Lemma)e(2.13.)26 b(Hence)16 b(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\))17 b(:)f Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(!)e Fu(\012)e Fr(M)23 b Fw(is)17 b(a)h(natural)g(transfor-)0 2734 y(mation.)k(F)l(urthermore)14 b(w)o(e)j(ha)o(v)o(e)f(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\()p Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(P)q(;)d(\016)976 2741 y Fp(P)1006 2734 y Fw(\)\))14 b(=)h(\(1)1154 2741 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(P)1254 2734 y Fu(\012)c Fr(f)5 b Fw(\))p Fr(\016)1374 2741 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(P)1477 2734 y Fw(=)14 b(\(1)1572 2741 y Fp(X)1618 2734 y Fu(\012)d Fw(1)1692 2741 y Fp(P)1733 2734 y Fu(\012)0 2793 y Fr(f)5 b Fw(\)\(1)91 2800 y Fp(X)136 2793 y Fu(\012)11 b Fr(\016)208 2800 y Fp(P)237 2793 y Fw(\))j(=)g(1)346 2800 y Fp(X)391 2793 y Fu(\012)d Fw(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\()p Fr(P)q(;)j(\016)638 2800 y Fp(P)668 2793 y Fw(\),)16 b(so)g(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\))17 b(is)f(a)h Fu(C)1011 2800 y Ft(0)1031 2793 y Fw(-morphism.)p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(23)50 58 y Fw(T)l(o)19 b(de\014ne)f(the)g(map)g(\005)g(let)g Fr(')g Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(!)d Fu(\012)d Fr(M)24 b Fw(b)q(e)19 b(giv)o(en.)27 b(De\014ne)19 b(lim)1364 77 y Fu(\000)-22 b(!)1440 58 y Fr(')p Fw(\()p Fr(C)1526 65 y Fp(i)1540 58 y Fw(\))17 b(=)h Fr(')p Fw(\()p Fr(C)t Fw(\))f(:)0 117 y Fr(C)g Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)i Fu(\012)c Fr(M)21 b Fw(as)c(the)f(uniquely)f(determined)f(morphism)g(so)j(that) 697 219 y Fr(C)732 226 y Fp(i)890 219 y Fr(C)925 226 y Fp(i)950 219 y Fu(\012)11 b Fr(M)p 759 207 119 2 v 836 206 a Fg(-)774 189 y Fp(')p Ft(\()p Fp(C)836 194 y Fk(i)849 189 y Ft(\))703 387 y Fr(C)157 b(C)15 b Fu(\012)10 b Fr(M)p 753 373 130 2 v 841 372 a Fg(-)779 355 y Fp(')p Ft(\()p Fp(C)r Ft(\))p 721 343 2 108 v 722 343 a Fg(?)680 294 y Fp(\023)692 299 y Fk(i)p 970 343 V 971 343 a Fg(?)987 297 y Fp(\023)999 302 y Fk(i)1013 297 y Fn(\012)p Ft(1)1058 303 y Fk(M)0 464 y Fw(comm)o(utes)j(and)k(let)392 556 y(\005\()p Fr(')p Fw(\))d(:=)f(\()p Fr(\017)e Fu(\012)g Fw(1)702 563 y Fp(M)741 556 y Fw(\))p Fr(')p Fw(\()p Fr(C)t Fw(\))j(:)f Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)i Fu(\012)c Fr(M)19 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(M)r(:)50 650 y Fw(Since)g Fr(C)211 657 y Fp(i)239 650 y Fw(is)h(a)g(sub)q(coalgebra) h(of)f Fr(C)k Fw(it)14 b(is)h(an)g Fr(H)t Fw(-sub)q(como)q(dule)g(b)o (y)f(the)h(coadjoin)o(t)g(coaction)0 708 y(induced)23 b(b)o(y)h(the)f(coalgebra)i(morphism)d Fr(z)r(\023)859 715 y Fp(i)900 708 y Fw(:)k Fr(C)975 715 y Fp(i)1016 708 y Fu(\000)-8 b(!)27 b Fr(H)t Fw(.)44 b(Hence,)24 b Fr(C)k Fw(is)c(a)g(colimit)d(of)0 766 y Fr(H)t Fw(-como)q(dule)g (coalgebras)h(and)g Fr(')p Fw(\()p Fr(C)t Fw(\))g(:)g Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)23 b Fr(C)18 b Fu(\012)c Fr(M)27 b Fw(is)21 b(an)h Fr(H)t Fw(-como)q(dule)e(morphism.)0 824 y(Consequen)o(tly)15 b(\005\()p Fr(')p Fw(\))h(is)g(in)g Fu(C)560 806 y Fp(H)594 824 y Fw(.)50 884 y(W)l(e)10 b(ha)o(v)o(e)g(\005\006\()p Fr(f)5 b Fw(\))14 b(=)g(\()p Fr(\017)p Fu(\012)p Fw(1)542 891 y Fp(M)581 884 y Fw(\))8 b(lim)608 902 y Fu(\000)-20 b(!)676 884 y Fw(\(\(1)738 891 y Fp(C)763 896 y Fk(i)779 884 y Fu(\012)p Fr(f)5 b Fw(\))p Fr(\016)888 891 y Fp(i)902 884 y Fw(\))14 b(=)g(\()p Fr(\017)p Fu(\012)p Fw(1)1089 891 y Fp(M)1128 884 y Fw(\)\(1)1190 891 y Fp(C)1220 884 y Fu(\012)p Fr(f)5 b Fw(\)\001)13 b(=)h Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(\017)p Fu(\012)p Fw(1)1544 891 y Fp(C)1574 884 y Fw(\)\001)1634 891 y Fp(C)1677 884 y Fw(=)14 b Fr(f)5 b Fw(.)50 944 y(No)o(w)21 b(observ)o(e)g(that)i Fr(\016)479 951 y Fp(P)531 944 y Fw(:)f Fr(P)31 b Fu(\000)-9 b(!)23 b Fr(P)f Fu(\012)15 b Fr(C)25 b Fw(is)c(a)h Fr(C)t Fw(-como)q(dule)f(morphism)e(with)i(the)h Fr(C)t Fw(-)0 1002 y(structure)c(on)g Fr(P)h Fu(\012)12 b Fr(C)22 b Fw(coming)17 b(from)f(the)i(one)g(of)g Fr(C)t Fw(.)26 b(Th)o(us)18 b(w)o(e)g(get)g(\(1)13 b Fu(\012)e Fr(\016)1447 1009 y Fp(j)1465 1002 y Fw(\))p Fr(\016)1506 1009 y Fp(P)q(;j)1574 1002 y Fw(=)17 b(\()p Fr(\016)1670 1009 y Fp(P)q(;j)1733 1002 y Fu(\012)0 1060 y Fw(1)24 1067 y Fp(C)54 1060 y Fw(\))p Fr(\016)95 1067 y Fp(P)148 1060 y Fw(for)24 b(the)f(morphism)f Fr(\016)579 1067 y Fp(P)q(;j)656 1060 y Fw(:)27 b Fr(P)33 b Fu(\000)-8 b(!)26 b Fr(P)e Fu(\012)16 b Fr(C)1013 1067 y Fp(j)1055 1060 y Fw(whic)o(h)23 b(exists)g(b)o(y)g(the)h(assumptions) 0 1118 y(ab)q(out)c(a)f Fu(C)211 1125 y Ft(0)231 1118 y Fw(-generated)f(coalgebra.)29 b(So)19 b Fr(\016)806 1125 y Fp(P)q(;j)875 1118 y Fw(is)g(a)g Fr(C)t Fw(-como)q(dule)e (morphism)f(as)j(w)o(ell,)e(hence)0 1176 y Fr(')p Fw(\()p Fr(P)h Fu(\012)11 b Fr(C)185 1183 y Fp(j)203 1176 y Fr(;)d Fw(1)249 1183 y Fp(P)290 1176 y Fu(\012)j Fr(\016)362 1183 y Fp(j)379 1176 y Fw(\))p Fr(\016)420 1183 y Fp(P)q(;j)485 1176 y Fw(=)j(\()p Fr(\016)578 1183 y Fp(P)q(;j)640 1176 y Fu(\012)d Fw(1)714 1183 y Fp(M)754 1176 y Fw(\))p Fr(')p Fw(\()p Fr(P)q(;)d(\016)900 1183 y Fp(P)929 1176 y Fw(\).)22 b(F)l(rom)15 b(this)h(w)o(e)f(get)217 1290 y(\006\005\()p Fr(')p Fw(\)\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)454 1297 y Fp(P)484 1290 y Fw(\))41 b(=)14 b(\(1)639 1297 y Fp(P)680 1290 y Fu(\012)c Fw(\()p Fr(\017)h Fu(\012)g Fw(1)853 1297 y Fp(M)893 1290 y Fw(\))p Fr(')p Fw(\()p Fr(C)t Fw(\)\))p Fr(\016)1062 1297 y Fp(P)544 1348 y Fw(=)j(\(1)639 1355 y Fp(P)680 1348 y Fu(\012)c Fr(\017)h Fu(\012)g Fw(1)834 1355 y Fp(M)874 1348 y Fw(\)\(1)936 1355 y Fp(P)977 1348 y Fu(\012)f Fw(lim)1026 1366 y Fu(\000)-21 b(!)1102 1348 y Fr(')p Fw(\()p Fr(C)1188 1355 y Fp(i)1202 1348 y Fw(\)\)\(1)1283 1355 y Fp(P)1324 1348 y Fu(\012)11 b Fr(\023)1391 1355 y Fp(j)1409 1348 y Fw(\))p Fr(\016)1450 1355 y Fp(P)q(;j)544 1406 y Fw(=)j(\(1)639 1413 y Fp(P)680 1406 y Fu(\012)c Fr(\017)h Fu(\012)g Fw(1)834 1413 y Fp(M)874 1406 y Fw(\)\(1)936 1413 y Fp(P)977 1406 y Fu(\012)f Fr(\023)1043 1413 y Fp(j)1073 1406 y Fu(\012)h Fw(1)1147 1413 y Fp(M)1187 1406 y Fw(\)\(1)1249 1413 y Fp(P)1289 1406 y Fu(\012)g Fr(')p Fw(\()p Fr(C)1425 1413 y Fp(j)1443 1406 y Fw(\)\))p Fr(\016)1503 1413 y Fp(P)q(;j)544 1464 y Fw(=)j(\(1)639 1471 y Fp(P)680 1464 y Fu(\012)c Fr(\017)h Fu(\012)g Fw(1)834 1471 y Fp(M)874 1464 y Fw(\)\(1)936 1471 y Fp(P)977 1464 y Fu(\012)f Fr(\023)1043 1471 y Fp(j)1073 1464 y Fu(\012)h Fw(1)1147 1471 y Fp(M)1187 1464 y Fw(\))p Fr(')p Fw(\()p Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(C)1391 1471 y Fp(j)1409 1464 y Fw(\))p Fr(\016)1450 1471 y Fp(P)q(;j)544 1522 y Fw(=)j(\(1)639 1529 y Fp(P)680 1522 y Fu(\012)c Fr(\017)h Fu(\012)g Fw(1)834 1529 y Fp(M)874 1522 y Fw(\)\(1)936 1529 y Fp(P)977 1522 y Fu(\012)f Fr(\023)1043 1529 y Fp(j)1073 1522 y Fu(\012)h Fw(1)1147 1529 y Fp(M)1187 1522 y Fw(\)\()p Fr(\016)1247 1529 y Fp(P)q(;j)1309 1522 y Fu(\012)g Fw(1)1383 1529 y Fp(M)1422 1522 y Fw(\))p Fr(')p Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))544 1580 y(=)14 b Fr(')p Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)723 1587 y Fp(P)752 1580 y Fw(\))p Fr(:)0 1658 y Fw(So)18 b(\006)f(and)h(\005)f(are)h(in)o(v)o (erses)e(of)h(eac)o(h)g(other.)25 b(The)17 b(claim)e(ab)q(out)k(the)e (coalgebra)h(structure)f(is)0 1716 y(clear)f(from)f(the)h(uniqueness)f (of)i(the)f(reconstructed)g(coalgebra.)p 1268 1689 33 2 v 1268 1718 2 30 v 1299 1718 V 1268 1720 33 2 v 0 1810 a(4.1.1.)49 b(Observ)o(e)15 b(that)h(in)f(general)h(the)f(set)h(of)g Fm(al)r(l)h Fw(natural)f(transformations)g({)g(not)g(just)g(the)0 1868 y Fu(C)s Fw(-morphisms)e({)h(from)g Fr(!)i Fw(to)f Fr(!)c Fu(\012)d Fr(M)21 b Fw(is)15 b(to)q(o)h(large)g(for)f(the)h (reconstruction)f(of)h Fr(C)i Fw(as)e(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)0 1926 y(seen)20 b(in)g(2.1.10.)34 b(By)20 b(Prop)q(osition)h(6.4,)h(ho)o (w)o(ev)o(er,)d(this)h(di\013erence)g(do)q(es)h(not)g(o)q(ccur)f(if)g (the)0 1984 y(base)15 b(category)g Fu(C)i Fw(is)d(the)h(category)f(of)h (v)o(ector)f(spaces)g(V)l(ec)g(o)o(v)o(er)f Fs(K)t Fw(.)24 b(This)14 b(explains)g(the)g(usual)0 2042 y Fm(ful)r(l)19 b(r)n(e)n(c)n(onstruction)d Fw(with)g(the)g(functor)h(Nat)o(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)c Fw({)q(\))16 b(lik)o(e)e(in)i([DM82)q(,)f (Ul89,)h(Mj94a)q(].)50 2102 y(Examples)g(of)i(natural)f (transformations)h(whic)o(h)f(are)g(not)h Fu(C)s Fw(-morphisms)e(can)i (b)q(e)f(deriv)o(ed)0 2160 y(from)e(2.1.10.)50 2220 y(No)o(w)10 b(assume)h(that)g Fu(C)j Fw(is)c(a)i(co)q(complete)d(braided)h (monoidal)g(category)h(and)h Fu(C)1469 2227 y Ft(0)1500 2220 y Fw(is)e(a)h(\(braided\))0 2278 y(full)17 b(monoidal)h(sub)q (category)h(of)f Fu(C)s Fw(.)28 b(F)l(urthermore)16 b(assume)i(that)g (the)g(tensor)h(pro)q(duct)g(in)f Fu(C)0 2336 y Fw(preserv)o(es)d (arbitrary)h(colimits)e(in)i(b)q(oth)h(v)m(ariables.)0 2434 y Fy(Theorem)g(4.2.)i Fm(L)n(et)h Fr(B)j Fm(b)n(e)e(a)f Fu(C)626 2441 y Ft(0)646 2434 y Fm(-gener)n(ate)n(d)h(c)n(o)n(algebr)n (a)f(in)h Fu(C)i Fm(and)e(a)f Fu(C)1373 2441 y Ft(0)1393 2434 y Fm(-c)n(entr)n(al)h(bialgebr)n(a,)0 2492 y(let)h Fr(H)k Fm(b)n(e)c(a)f(br)n(aide)n(d)g Fu(C)446 2499 y Ft(0)466 2492 y Fm(-c)n(entr)n(al)h(Hopf)f(algebr)n(a)h(in)g Fu(C)s Fm(.)35 b(L)n(et)21 b Fr(z)i Fw(:)e Fr(B)i Fu(\000)-8 b(!)21 b Fr(H)26 b Fm(b)n(e)21 b(a)h(bialgebr)n(a)0 2550 y(morphism.)36 b(L)n(et)22 b Fr(!)k Fw(:=)d Fu(C)511 2532 y Fp(z)508 2563 y Ft(0)554 2550 y Fw(:)f Fu(C)619 2532 y Fp(B)616 2563 y Ft(0)673 2550 y Fu(\000)-8 b(!)23 b(C)806 2532 y Fp(H)803 2563 y Ft(0)862 2550 y Fu(\022)g(C)953 2532 y Fp(H)1010 2550 y Fm(b)n(e)f(the)h(functor)g(induc)n(e)n(d)g(by)g Fr(z)r Fm(.)37 b(Then)0 2609 y Fw(Nat)80 2616 y Fn(C)99 2621 y Fl(0)118 2609 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)16 b Fu(\012)d Fm({)p Fw(\))20 b(:)g Fu(C)416 2590 y Fp(H)470 2609 y Fu(\000)-8 b(!)20 b Fw(Set)g Fm(is)h(multir)n(epr)n(esentable)i(by)e (the)g(bialgebr)n(a)h Fw(co)q(end)1600 2616 y Fn(C)1619 2621 y Fl(0)1638 2609 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))f Fm(in)0 2667 y Fu(C)29 2649 y Fp(H)83 2667 y Fm(which)g(is)f(e)n(qual)h(to)f Fr(B)j Fm(as)d(an)g Fr(H)t Fm(-c)n(omo)n(dule)h(c)n(o)n(algebr)n(a)g (under)f(the)h(c)n(o)n(adjoint)f(c)n(o)n(action,)0 2725 y(but)g(c)n(arries)f(a)h(di\013er)n(ent)g(multiplic)n(ative)h(structur) n(e)999 2721 y Fj(f)998 2725 y Fr(m)1041 2732 y Fp(B)1089 2725 y Fw(:)d Fr(B)d Fu(\012)d Fr(B)21 b Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(B)s Fm(,)i(the)g(tr)n(ansmute)n(d)0 2783 y(multiplic)n(ation.)p eop %%Page: 24 24 24 23 bop 0 -49 a Fx(24)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fm(Pr)n(o)n(of.)h Fw(W)l(e)d(extend)g(the)g(pro)q(of)h(of)j(4.1)d (to)f Fr(!)832 40 y Ft(2)852 58 y Fw(.)21 b(De\014ne)16 b(maps)365 145 y(\006)f(:)e Fu(C)471 125 y Fp(H)505 145 y Fw(\()p Fr(B)g Fu(\012)e Fr(B)s(;)d(M)d Fw(\))14 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(Nat)945 152 y Fn(C)964 157 y Fl(0)983 145 y Fw(\()p Fr(!)f Fu(\012)e Fr(!)r(;)d(!)13 b Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))0 232 y(and)358 294 y(\005)13 b(:)h(Nat)516 301 y Fn(C)535 306 y Fl(0)554 294 y Fw(\()p Fr(!)f Fu(\012)e Fr(!)r(;)d(!)13 b Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b(C)1114 274 y Fp(H)1148 294 y Fw(\()p Fr(B)h Fu(\012)c Fr(B)s(;)e(M)d Fw(\))p Fr(:)0 369 y Fw(The)14 b(\014rst)h(map)f(is)g(giv)o(en)f(b)o(y) h(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\(\()p Fr(P)q(;)j(\016)758 376 y Fp(P)788 369 y Fw(\))p Fr(;)g Fw(\()p Fr(Q;)g(\016)931 376 y Fp(Q)960 369 y Fw(\)\))14 b(:=)f(\(1)1120 376 y Fp(P)5 b Fn(\012)p Fp(Q)1212 369 y Fu(\012)i Fr(f)e Fw(\)\(1)1349 376 y Fp(P)1387 369 y Fu(\012)i Fr(\033)1461 376 y Fp(B)r(;Q)1536 369 y Fu(\012)g Fw(1)1606 376 y Fp(B)1637 369 y Fw(\)\()p Fr(\016)1697 376 y Fp(P)1733 369 y Fu(\012)0 427 y Fr(\016)22 434 y Fp(Q)51 427 y Fw(\))22 b(:)e Fr(P)h Fu(\012)14 b Fr(Q)21 b Fu(\000)-9 b(!)21 b Fr(P)h Fu(\012)13 b Fr(B)k Fu(\012)d Fr(Q)f Fu(\012)h Fr(B)24 b Fu(\000)-9 b(!)21 b Fr(P)g Fu(\012)14 b Fr(Q)g Fu(\012)f Fr(B)k Fu(\012)d Fr(B)23 b Fu(\000)-8 b(!)21 b Fr(P)g Fu(\012)14 b Fr(Q)f Fu(\012)h Fr(M)5 b Fw(.)35 b(Then)0 485 y(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\(\()p Fr(P)q(;)j(\016)216 492 y Fp(P)246 485 y Fw(\))p Fr(;)g Fw(\()p Fr(Q;)g(\016)389 492 y Fp(Q)418 485 y Fw(\)\))18 b(:)g Fr(P)i Fu(\012)13 b Fr(Q)18 b Fu(\000)-8 b(!)18 b Fr(P)i Fu(\012)13 b Fr(Q)f Fu(\012)h Fr(M)24 b Fw(is)19 b(an)h Fr(H)t Fw(-como)q(dule)e(morphism)f(b)o(y)h (a)0 543 y(similar)d(pro)q(of)k(as)e(in)g(4.1)h(replacing)f Fr(P)24 b Fw(b)o(y)17 b Fr(P)i Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(.)24 b(Hence)16 b(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\))16 b(:)f Fr(!)f Fu(\012)e Fr(!)18 b Fu(\000)-9 b(!)15 b Fr(!)f Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)d Fr(M)0 601 y Fw(is)18 b(a)g(natural)h(transformation.) 27 b(T)l(o)19 b(sho)o(w)f(that)h(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\))19 b(is)e(a)i Fu(C)1167 608 y Ft(0)1187 601 y Fw(-morphism)d(w)o(e)i (observ)o(e)f(that)0 659 y Fr(\030)g Fw(:)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)j Fu(\012)10 b Fr(P)d Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)j Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))16 b(is)g(the)g(iden)o(tit)o(y)l(.)j(So)e(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)191 745 y(\006\()p Fr(f)5 b Fw(\)\()p Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(P)q(;)d(\016)513 752 y Fp(P)543 745 y Fw(\))p Fr(;)g Fw(\()p Fr(Q;)g(\016)686 752 y Fp(Q)714 745 y Fw(\)\))310 804 y(=)13 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Fw(\))328 1506 y(\(1)371 1513 y Fp(P)5 b Fn(\012)p Fp(Q)467 1506 y Fu(\012)11 b Fr(')p Fw(\()p Fr(B)605 1513 y Fp(i)619 1506 y Fr(;)d(B)678 1513 y Fp(j)696 1506 y Fw(\)\)\(1)777 1513 y Fp(P)818 1506 y Fu(\012)j Fr(\033)896 1513 y Fp(B)923 1518 y Fk(i)935 1513 y Fp(;Q)986 1506 y Fu(\012)g Fw(1)1060 1513 y Fp(B)1087 1518 y Fk(j)1105 1506 y Fw(\)]\()p Fr(\016)1179 1513 y Fp(P)q(;i)1237 1506 y Fu(\012)f Fr(\016)1308 1513 y Fp(Q;j)1364 1506 y Fw(\))231 1564 y(=)k(\(1)326 1571 y Fp(P)5 b Fn(\012)p Fp(Q)422 1564 y Fu(\012)10 b Fr(\017\023)508 1571 y Fp(i)533 1564 y Fu(\012)h Fr(\017\023)620 1571 y Fp(j)650 1564 y Fu(\012)f Fw(1)723 1571 y Fp(M)763 1564 y Fw(\)\(1)825 1571 y Fp(P)866 1564 y Fu(\012)h Fr(\033)944 1571 y Fp(B)971 1576 y Fk(i)983 1571 y Fp(;Q)1034 1564 y Fu(\012)g Fw(1)1108 1571 y Fp(B)1135 1576 y Fk(j)1164 1564 y Fu(\012)g Fw(1)1238 1571 y Fp(M)1278 1564 y Fw(\))328 1622 y(\(1)371 1629 y Fp(P)412 1622 y Fu(\012)g Fr(')p Fw(\()p Fr(B)550 1629 y Fp(i)564 1622 y Fr(;)d(Q)j 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Fr(')p Fw(\()p Fr(P)q(;)d(Q)p Fw(\))231 1796 y(=)14 b Fr(')p Fw(\(\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)429 1803 y Fp(P)458 1796 y Fw(\))p Fr(;)g Fw(\()p Fr(Q;)g(\016)601 1803 y Fp(Q)630 1796 y Fw(\)\))p Fr(:)0 1895 y Fw(Th)o(us)17 b(\006)f(and)h(\005)f(are)g(in)o(v)o(erses)f(of)h(eac)o(h)g(other.)50 1956 y(The)24 b(m)o(ultiplicati)o(v)o(e)d(structure)692 1952 y Fj(f)691 1956 y Fr(m)734 1963 y Fp(B)788 1956 y Fw(of)k Fr(B)i Fw(in)d Fu(C)1010 1938 y Fp(H)1068 1956 y Fw(is)g(no)o(w)h(the)f(uniquely)f(determined)0 2014 y(morphism)14 b(whic)o(h)h(mak)o(es)g(the)h(diagram)608 2119 y Fr(P)j Fu(\012)11 b Fr(Q)93 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(Q)g Fu(\012)g Fr(B)i Fu(\012)e Fr(B)p 758 2107 70 2 v 786 2106 a Fg(-)776 2094 y Fp(\016)792 2099 y Fl(2)608 2285 y Fr(P)19 b Fu(\012)11 b Fr(Q)143 b(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(Q)g Fu(\012)g Fr(B)p 758 2274 120 2 v 836 2273 a Fg(-)773 2254 y Fp(\016)789 2260 y Fk(P)t Ff(\012)p Fk(Q)p 677 2243 2 108 v 677 2243 a Fg(?)570 2195 y Ft(1)588 2201 y Fk(P)t Ff(\012)p Fk(Q)p 1008 2243 V 1009 2243 a Fg(?)1026 2199 y Ft(1)1044 2205 y Fk(P)t Ff(\012)p Fk(Q)1117 2199 y Fn(\012)t Fj(e)-27 b Fp(m)1175 2205 y Fk(B)0 2395 y Fw(comm)o(utativ)n(e,)9 b(since)j Fr(!)t Fu(\012)r Fr(!)17 b Fw(=)c Fr(!)r Fw(\(-)s Fu(\012)r Fw(-)q(\))782 2368 y Fp(\016)750 2395 y Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(!)r Fw(\(-)r Fu(\012)r Fw(-)q(\))r Fu(\012)r Fr(B)h Fw(is)d(a)g Fu(C)1193 2402 y Ft(0)1213 2395 y Fw(-bimorphism)e(of)i (bifunctors.)0 2453 y(The)j(unit)g(is)g(giv)o(en)g(b)o(y)g Fr(\025)f Fw(:)f Fr(I)18 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(I)e Fu(\012)d Fr(B)16 b Fw(=)e Fr(B)s Fw(.)21 b(The)15 b(new)g(m)o (ultiplication)d(can)k(b)q(e)f(describ)q(ed)0 2511 y(b)o(y)h(the)g (braid)g(diagram)p 791 2727 48 2 v 791 2729 2 7 v 791 2746 a Fe(\006)p 838 2729 V 14 w(\005)p 808 2746 14 2 v 791 2675 2 2 v 791 2676 V 791 2677 V 791 2678 V 791 2678 V 791 2679 V 791 2680 V 791 2681 V 790 2681 V 790 2682 V 790 2683 V 790 2683 V 789 2684 V 789 2685 V 788 2685 V 788 2686 V 787 2687 V 787 2687 V 786 2688 V 786 2688 V 785 2689 V 785 2690 V 784 2690 V 783 2691 V 782 2691 V 782 2692 V 781 2692 V 780 2693 V 779 2693 V 778 2694 V 777 2694 V 744 2723 V 744 2722 V 744 2721 V 744 2720 V 745 2720 V 745 2719 V 745 2718 V 745 2717 V 745 2717 V 746 2716 V 746 2715 V 746 2715 V 747 2714 V 747 2713 V 747 2713 V 748 2712 V 748 2711 V 749 2711 V 749 2710 V 750 2710 V 751 2709 V 751 2708 V 752 2708 V 753 2707 V 753 2707 V 754 2706 V 755 2706 V 756 2705 V 757 2705 V 757 2704 V 758 2704 V 744 2675 V 744 2676 V 744 2677 V 745 2678 V 745 2679 V 745 2679 V 745 2680 V 746 2681 V 746 2682 V 746 2682 V 747 2683 V 747 2684 V 748 2685 V 749 2686 V 749 2686 V 750 2687 V 751 2688 V 752 2689 V 753 2690 V 754 2690 V 755 2691 V 756 2692 V 757 2693 V 758 2693 V 759 2694 V 761 2695 V 762 2696 V 763 2697 V 765 2697 V 766 2698 V 768 2699 V 791 2723 V 791 2722 V 791 2721 V 791 2720 V 791 2719 V 791 2719 V 791 2718 V 790 2717 V 790 2716 V 789 2716 V 789 2715 V 788 2714 V 788 2713 V 787 2712 V 786 2712 V 786 2711 V 785 2710 V 784 2709 V 783 2708 V 782 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V 982 2715 V 982 2714 V 983 2713 V 983 2713 V 984 2712 V 984 2711 V 985 2711 V 985 2710 V 986 2710 V 986 2709 V 987 2708 V 988 2708 V 989 2707 V 989 2707 V 990 2706 V 991 2706 V 992 2705 V 993 2705 V 993 2704 V 994 2704 V 980 2675 V 980 2676 V 980 2677 V 980 2678 V 981 2679 V 981 2679 V 981 2680 V 981 2681 V 982 2682 V 982 2682 V 983 2683 V 983 2684 V 984 2685 V 985 2686 V 985 2686 V 986 2687 V 987 2688 V 988 2689 V 989 2690 V 990 2690 V 991 2691 V 992 2692 V 993 2693 V 994 2693 V 995 2694 V 997 2695 V 998 2696 V 999 2697 V 1001 2697 V 1002 2698 V 1004 2699 V 1027 2723 V 1027 2722 V 1027 2721 V 1027 2720 V 1027 2719 V 1027 2719 V 1026 2718 V 1026 2717 V 1026 2716 V 1025 2716 V 1025 2715 V 1024 2714 V 1024 2713 V 1023 2712 V 1022 2712 V 1021 2711 V 1021 2710 V 1020 2709 V 1019 2708 V 1018 2708 V 1017 2707 V 1016 2706 V 1015 2705 V 1014 2705 V 1012 2704 V 1011 2703 V 1010 2702 V 1008 2701 V 1007 2701 V 1005 2700 V 1004 2699 V 1004 2698 a Fe(e)p 696 2793 2 118 v 720 2627 2 24 v 743 2793 2 71 v 814 2793 2 48 v 814 2627 2 24 v 838 2722 2 48 v 932 2793 2 118 v 956 2627 2 24 v 979 2793 2 71 v 1050 2793 2 24 v 1050 2627 V 1074 2722 2 48 v 702 2599 a Fr(P)63 b(Q)102 b(P)64 b(Q)867 2717 y Fw(=)678 2840 y Fr(P)16 b(Q)31 b(B)82 b(P)16 b(Q)31 b(B)p eop %%Page: 26 26 26 25 bop 0 -49 a Fx(26)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(where)f(the)h(braid)f(morphism)f(on)i(the)f(left)g(is)g(the)h (one)g(in)f Fu(C)k Fw(and)d(the)f(braid)h(morphism)d(one)0 117 y(the)h(righ)o(t)g(is)g(the)g(one)g(in)g Fu(C)510 98 y Fp(H)544 117 y Fw(.)50 175 y(The)23 b(pro)q(of)g(sho)o(ws)h(that)f (the)g(univ)o(ersal)e(morphism)g(is)h(\(1)1185 182 y Fp(P)1230 175 y Fu(\012)16 b Fr(\033)1313 182 y Fp(B)r(;Q)1396 175 y Fu(\012)f Fw(1)1474 182 y Fp(Q)1504 175 y Fw(\)\()p Fr(\016)1564 182 y Fp(P)1609 175 y Fu(\012)g Fr(\016)1685 182 y Fp(Q)1714 175 y Fw(\))25 b(:)0 233 y Fr(!)t Fu(\012)r Fr(!)17 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)t Fu(\012)r Fr(!)t Fu(\012)r Fr(B)5 b Fu(\012)r Fr(B)s Fw(.)20 b(An)12 b(analogous)i (result)d(holds)i(for)f(m)o(ultifunctors)e Fr(!)t Fu(\012)r Fr(:)e(:)g(:)r Fu(\012)r Fr(!)16 b Fw(=)e Fr(!)1748 215 y Fp(n)0 291 y Fw(and)20 b Fu(C)124 298 y Ft(0)144 291 y Fw(-morphisms)e Fr(')h Fw(:)g Fr(!)527 273 y Fp(n)570 291 y Fu(\000)-9 b(!)19 b Fr(!)701 273 y Fp(n)738 291 y Fu(\012)13 b Fr(M)5 b Fw(.)31 b(This)20 b(pro)o(v)o(es)f(that)h(with) f(a)h(suitable)f(elemen)o(t)0 349 y Fr(\034)h Fu(2)14 b Fr(B)125 356 y Fp(n)164 349 y Fw(in)i(the)g(Artin)g(braid)g(group)h (the)f(morphism)595 433 y Fr(\016)617 440 y Fp(n)654 433 y Fw(:=)d Fr(\034)6 b(\016)770 413 y Fp(n)806 433 y Fw(:)14 b Fr(!)866 413 y Fp(n)903 433 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)1029 413 y Fp(n)1064 433 y Fu(\012)e Fr(B)1154 413 y Fp(n)0 517 y Fw(is)16 b(the)g(univ)o(ersal)f Fu(C)365 524 y Ft(0)385 517 y Fw(-morphism)f(for)j(all)f Fr(n)e Fu(2)g Fs(N)p Fw(,)i(in)g(particular)g(co)q(end)1332 524 y Fn(C)1351 529 y Fl(0)1371 517 y Fw(\()p Fr(!)1422 499 y Fp(n)1445 517 y Fw(\))e(=)g Fr(B)1570 499 y Fp(n)1593 517 y Fw(.)p 1655 490 33 2 v 1655 520 2 30 v 1686 520 V 1655 522 33 2 v 0 602 a(4.1.2.)49 b(The)23 b(pro)q(of)h(of)j(4.1)c (resp.)41 b(4.2)23 b(pro)o(vides)g(a)g(pro)q(of)h(for)f(the)g (\\represen)o(tabilit)o(y)e(as-)0 660 y(sumption)i(for)h(mo)q(dules")f (\(in)g([Mj90])h(3.2\))g(in)f(a)h(v)o(ery)f(general)g(setting)h(for)g (the)g(functor)0 718 y(Nat)80 725 y Fn(C)99 730 y Fl(0)118 718 y Fw(\()p Fr(!)169 700 y Fp(n)193 718 y Fr(;)8 b(!)247 700 y Fp(n)278 718 y Fu(\012)g Fw({\))15 b(instead)f(of)h(the)g (functor)f(Nat\()p Fr(!)984 700 y Fp(n)1008 718 y Fr(;)8 b(!)1062 700 y Fp(n)1093 718 y Fu(\012)g Fw({\).)21 b(A)14 b(sp)q(ecial)g(case)h(of)g(Theorem)0 776 y(4.2)i(is)f([Mj93a])g(Prop)q (osition)h(A.4)f(if)g(one)g(uses)h Fu(C)g Fw(=)c(V)l(ec)o(.)50 834 y(W)l(e)i(ha)o(v)o(e)f(reason)i(to)g(mak)o(e)d(a)j(few)f (additional)h(commen)n(ts)d(on)j(the)f(existing)f(literature.)20 b(In)0 893 y([Mj93b])14 b(\(Theorem)f(2.2\))i(the)f(follo)o(wing)g (theorem)f(is)h(giv)o(en:)20 b Fm(L)n(et)15 b Fu(C)k Fm(b)n(e)d(a)g(monoidal)g(c)n(ate)n(gory)0 951 y(and)k Fu(V)j Fm(a)c(rigid)g(br)n(aide)n(d)f(monoidal)i(c)n(ate)n(gory)f(c)n (o)n(c)n(omplete)h(over)f Fu(C)s Fm(.)29 b(L)n(et)19 b Fr(F)24 b Fw(:)17 b Fu(C)j(\000)-8 b(!)17 b(V)23 b Fm(b)n(e)d(a)0 1009 y(monoidal)g(functor.)29 b(Then)20 b(ther)n(e)f(exists)h(a)g Fu(V)t Fm(-bialgebr)n(a,)g Fr(A)e Fw(=)f(Aut\()p Fu(C)s Fr(;)8 b(F)q(;)g Fu(V)t Fw(\))p Fm(,)19 b(such)h(that)f Fr(F)0 1067 y Fm(factorizes)c(monoidal) r(ly)h(as)f Fu(C)i(\000)-8 b(!)661 1049 y Fp(A)690 1067 y Fu(V)17 b(\000)-8 b(!)13 b(V)t Fr(:)23 b(:)8 b(:)g(:)23 b(A)15 b Fm(is)g(universal)h(with)g(this)f(pr)n(op)n(erty.)e Fr(:)8 b(:)g(:)50 1125 y Fw(Although)14 b(Ma)s(jid)f(considers)h(this)g (theorem)f(\\a)i(signi\014can)o(t)f(generalization)f(of)h(usual)h(T)l (an-)0 1183 y(nak)m(a-Krein)g(ideas")f(\(hep-th)g(9504007\))j(it)d(do)q (es)h(not)g(ev)o(en)e(sp)q(ecialize)f(to)j(other)f(kno)o(wn)g(cases)0 1241 y(of)19 b(T)l(annak)m(a-Krein)h(reconstruction)e(suc)o(h)h(as)g ([Ul90])f(Prop)q(osition)i(2.4.)29 b(Observ)o(e)18 b(that)h(the)0 1300 y(formation)f(of)h(big)f(colimits)e(will)i(usually)g(destro)o(y)g (rigidit)o(y)l(.)27 b(In)18 b(fact)h(the)f(full)g(sub)q(category)0 1358 y(v)o(ec)e(of)h(rigid)g(ob)s(jects)g(in)f(V)l(ec)o(,)h(that)g(is)g (the)g(category)g(of)h(\014nite)e(dimensional)g(v)o(ector)g(spaces,)0 1416 y(is)j(only)g(co)q(complete)f(o)o(v)o(er)g(\014nite)h(categories)h Fu(C)s Fw(.)30 b(There)20 b(are)f(no)h(non)o(trivial)e(in\014nite)h (direct)0 1474 y(sums)c(in)h(this)g(category)l(.)50 1532 y(This)c(is)f(wh)o(y)g(in)h(reconstruction)f(theorems)f(one)i(usually)g (assumes)f(that)h(the)f(rigid)g(category)0 1590 y Fu(V)19 b Fw(is)c(a)g(sub)q(category)h(of)g(a)f(bigger)h(co)q(complete)d (monoidal)h(category)i(in)e(whic)o(h)h(the)g(univ)o(ersal)0 1648 y(bialgebra)h Fr(A)g Fw(is)g(then)g(reconstructed)g(as)h(a)g (colimit)c(of)k(a)f(diagram)g(in)g Fu(V)t Fw(.)50 1707 y(F)l(urthermore)10 b(the)i(theorem)e(quoted)i(ab)q(o)o(v)o(e)g(only)g (allo)o(ws)g(to)g(reconstruct)g(rigid)g(bialgebras,)0 1765 y(e.g.)29 b(\014nite)19 b(dimensional)e(bialgebras)i(in)g(the)g (case)g Fu(V)j Fw(=)d(v)o(ec)n(.)30 b(The)19 b(pro)q(of)h(of)f(this)g (theorem)0 1823 y(cannot)k(just)f(simply)e(b)q(e)i(extended)f(to)h(the) g(more)e(general)i(case)g(b)q(ecause)g(the)g(rigidit)o(y)e(of)0 1881 y(the)f(reconstructed)f(ob)s(ject)h(is)g(explicitly)d(used)j(in)f (the)h(pro)q(of)h(of)g(the)e(algebra)i(prop)q(ert)o(y)l(,)f(in)0 1939 y(particular)c(in)g([Mj93b])h(Lemma)d(2.3.)21 b(A)16 b(h)o(yp)q(othesis)f(on)h(the)g(tensor)g(pro)q(duct)g(of)g Fu(V)t Fw(,)f(namely)0 1997 y(that)d(it)g(preserv)o(es)f(colimits,)f (in)i(order)g(to)g(obtain)h(a)f(bialgebra)g(structure)g(in)f(the)h (more)f(general)0 2055 y(case,)16 b(do)q(es)h(not)g(b)q(ecome)d(clear)i (in)g(the)g(v)m(ague)h(discussion)f(that)h(follo)o(ws)f(p.205)h(of)j ([Mj93b].)50 2114 y(Theorems)e(4.1)h(and)h(4.2)f(of)k([Mj93b])18 b(again)i(are)f(only)g(pro)o(v)o(ed)f(under)h(the)f(restriction)g(of)0 2172 y(\014nite)c(dimensionalit)o(y)l(.)k(The)d(discussion)g(of)h(the)e (in\014nite)g(dimensional)f(situation)j(is)e(not)i(sat-)0 2230 y(isfactory)d(\(see)g(p.)20 b(209\).)i(In)13 b(fact)g(in)g(the)g (dual)h(situation)f(V)l(ec)1146 2209 y Fp(op)1196 2230 y Fw(one)h(reconstructs)f(essen)o(tially)0 2288 y(linearly)f(compact)h (algebras,)h(whic)o(h)f(are)h(also)g(ordinary)g(algebras,)g(but)g(the)g (bialgebra)f(struc-)0 2346 y(ture)21 b(do)q(es)h(not)g(liv)o(e)d(in)i (V)l(ec)f(an)o(y)h(more,)g(due)g(to)h(the)f(fact)g(that)h(tensor)f(pro) q(ducts)h(do)g(not)0 2404 y(preserv)o(e)15 b(limits.)50 2463 y(So)21 b(our)h(Theorem)e(4.2)h(together)g(with)g(Prop)q(osition)h (3.6)g(remedy)d(these)h(shortcomings.)0 2521 y(Through)e(the)e(use)g (of)g(con)o(trol)g(categories)g(they)g(are)g(clearly)f(m)o(uc)o(h)f (more)h(general.)50 2579 y(The)h(follo)o(wing)g(is)g(a)h (generalization)e(of)20 b([P)o(a78)q(],)15 b(Corollary)i(6.4.)0 2664 y Fy(Corollary)i(4.3.)h Fm(L)n(et)c Fr(C)k Fm(b)n(e)d(a)g Fu(C)623 2671 y Ft(0)643 2664 y Fm(-gener)n(ate)n(d)h(c)n(o)n(algebr)n (a)e(in)h(the)g(br)n(aide)n(d)f(monoidal)h(c)n(ate)n(gory)0 2722 y Fu(C)k Fm(and)c(let)i Fr(!)d Fw(:)d Fu(C)312 2704 y Fp(C)309 2734 y Ft(0)356 2722 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(C)21 b Fm(b)n(e)d(the)g(for)n(getful)g(functor.)23 b(Then)18 b Fw(Nat)1225 2729 y Fn(C)1244 2734 y Fl(0)1263 2722 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fm({)p Fw(\))j(:)f Fu(C)k(\000)-8 b(!)14 b Fw(Set)j Fm(is)0 2780 y(r)n(epr)n(esentable)h (and)g Fr(C)f Fw(=)d(co)q(end)613 2787 y Fn(C)632 2792 y Fl(0)651 2780 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))k Fm(as)f(c)n(o)n(algebr)n(as)h (in)f Fu(C)s Fm(.)p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(27)0 58 y Fm(Pr)n(o)n(of.)19 b Fw(Use)d Fr(H)i Fw(=)c Fs(K)23 b Fw(in)16 b(the)g(ab)q(o)o(v)o(e)g(theorem.)p 923 31 33 2 v 923 61 2 30 v 953 61 V 923 63 33 2 v 0 152 a Fy(Corollary)j(4.4.)h Fm(L)n(et)d Fr(!)g Fw(:)d Fu(C)543 159 y Ft(0)578 152 y Fu(\000)-9 b(!)15 b(C)21 b Fm(b)n(e)d(the)h(emb)n(e)n(dding)f(functor.)24 b(Then)19 b Fw(Nat)1495 159 y Fn(C)1514 164 y Fl(0)1533 152 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)f Fm({)o Fw(\))j(:)0 210 y Fu(C)i(\000)-9 b(!)14 b Fw(Set)j Fm(is)h(r)n(epr)n(esentable)g(and)g Fw(co)q(end)784 217 y Fn(C)803 222 y Fl(0)822 210 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))c(=)g Fr(I)t Fm(.)50 270 y(In)j(p)n(articular)g Fw(co)q(end)460 277 y Fn(C)482 270 y Fw(\(Id)546 277 y Fn(C)568 270 y Fw(\))601 256 y Fu(\030)602 272 y Fw(=)654 270 y Fr(I)k Fm(for)16 b(any)i(monoidal)g(c)n(ate)n(gory)e Fu(C)s Fm(.)0 368 y(Pr)n(o)n(of.)j Fw(Use)d Fr(C)h Fw(=)d Fs(K)23 b Fw(in)16 b(the)g(ab)q(o)o(v)o(e)g(Corollary)l(.)p 938 341 V 938 371 2 30 v 969 371 V 938 373 33 2 v 50 462 a(As)d(w)o(e)g(remark)o(ed)f(after)h(the)g(de\014nition)h(of)f Fu(C)886 469 y Ft(0)906 462 y Fw(-generated)h(coalgebras,)h(the)e (condition)g(that)0 520 y Fr(C)20 b Fw(is)c Fu(C)130 527 y Ft(0)150 520 y Fw(-generated)g(b)q(ecomes)f(v)m(acuous)i(in)f (the)g(case)h Fu(C)1036 527 y Ft(0)1069 520 y Fw(=)d Fu(C)s Fw(.)0 619 y Fy(Corollary)19 b(4.5.)h Fm(L)n(et)k Fr(B)j Fm(b)n(e)e(a)f Fu(C)655 626 y Ft(0)675 619 y Fm(-c)n(entr)n(al)h (bialgebr)n(a)g(in)g Fu(C)j Fm(which)d(is)f Fu(C)1417 626 y Ft(0)1437 619 y Fm(-gener)n(ate)n(d)h(as)g(a)0 677 y(c)n(o)n(algebr)n(a,)i(let)g Fu(A)h Fw(:=)g Fu(C)486 659 y Fp(B)483 689 y Ft(0)517 677 y Fm(,)f(and)f(let)h Fr(!)j Fw(:)f Fu(C)871 659 y Fp(B)868 689 y Ft(0)930 677 y Fu(\000)-9 b(!)29 b(C)f Fm(b)n(e)e(the)g(for)n(getful)g(functor.) 47 b(Then)0 735 y Fw(Nat)80 742 y Fn(C)99 747 y Fl(0)118 735 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fm({)p Fw(\))17 b Fm(is)h(multir)n(epr)n(esentable)h(and)e Fw(co)q(end)1017 742 y Fn(C)1036 747 y Fl(0)1055 735 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))d(=)f Fr(B)20 b Fm(as)e(bialgebr)n(as.)50 833 y Fw(By)d(dualization)h(of)h(Prop)q(osition)g(4.1)g(one)f(gets)0 932 y Fy(Corollary)j(4.6.)h Fm(L)n(et)i Fr(A)h Fm(b)n(e)g(a)g Fu(C)646 939 y Ft(0)666 932 y Fm(-gener)n(ate)n(d)h(algebr)n(a)f(in)g Fu(C)s Fm(,)i(and)e(let)h Fr(!)i Fw(:)e Fu(C)1503 939 y Ft(0)p Fp(A)1573 932 y Fu(\000)-9 b(!)24 b(C)i Fm(b)n(e)0 990 y(the)21 b(for)n(getful)g(functor.)33 b(Then)21 b Fw(Nat)687 997 y Fn(C)706 1002 y Fl(0)725 990 y Fw(\()p Fr(!)16 b Fu(\012)d Fm({)p Fr(;)8 b(!)r Fw(\))20 b Fm(is)h(r)n(epr)n (esentable)g(and)g Fr(A)e Fw(=)h(end)1598 997 y Fn(C)1617 1002 y Fl(0)1636 990 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fm(as)0 1048 y(algebr)n(as)d(in)g Fu(C)s Fm(.)0 1146 y Fw(4.1.3.)49 b(Later)17 b(on)g(w)o(e)f(will)f(need)h(the)g(notion)h(of)f(cosmash)g (pro)q(ducts)h(in)f Fu(A)p Fw(.)21 b(So)c(w)o(e)f(de\014ne)g(it)0 1204 y(here)h(and)h(sho)o(w)g(an)g(imp)q(ortan)o(t)e(prop)q(ert)o(y)l (.)25 b(If)16 b Fr(B)k Fw(is)e(a)f(bialgebra)h(and)g Fr(C)j Fw(is)c(a)h Fr(B)s Fw(-como)q(dule-)0 1262 y(coalgebra)e(in)e Fu(A)h Fw(then)g(w)o(e)g(can)g(construct)g(a)h(cosmash)f(pro)q(duct)g Fr(B)s Fw(#)1302 1244 y Fp(c)1319 1262 y Fr(C)j Fw(where)d(the)g (cosmash)0 1320 y(com)o(ultiplic)o(ation)f(is)i(de\014ned)g(b)o(y)224 1433 y(\001)d(:)h Fr(B)f Fu(\012)e Fr(C)458 1404 y Ft(\001)487 1410 y Fk(B)514 1404 y Fn(\012)p Ft(\001)570 1410 y Fk(C)488 1433 y Fu(\000)-9 b(!)43 b Fr(B)13 b Fu(\012)e Fr(B)j Fu(\012)d Fr(C)j Fu(\012)d Fr(C)963 1398 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\016)1025 1386 y Ff(0)1024 1410 y Fk(C)1050 1398 y Fn(\012)p Ft(1)989 1433 y Fu(\000)-9 b(!)40 b Fr(B)13 b Fu(\012)e Fr(B)j Fu(\012)d Fr(C)j Fu(\012)d Fr(B)j Fu(\012)c Fr(C)341 1478 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)q Fn(\012)p Ft(1)357 1504 y Fu(\000)-9 b(!)29 b Fr(B)14 b Fu(\012)d Fr(C)j Fu(\012)d Fr(B)j Fu(\012)d Fr(B)i Fu(\012)e Fr(C)919 1476 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)995 1482 y Fk(B)1022 1476 y Fn(\012)p Ft(1)953 1504 y Fu(\000)-8 b(!)47 b Fr(B)14 b Fu(\012)c Fr(C)15 b Fu(\012)c Fr(B)i Fu(\012)e Fr(C)q(:)0 1595 y Fw(It)16 b(is)g(easy)g(to)h(see)f(that)g Fr(B)s Fw(#)534 1577 y Fp(c)551 1595 y Fr(C)k Fw(is)c(a)g(coalgebra)h (in)f Fu(A)p Fw(.)0 1693 y(4.1.4.)49 b(Let)14 b Fr(H)k Fw(b)q(e)c(a)g(braided)g(Hopf)f(algebra)h(in)g Fu(C)s Fw(,)g Fr(z)h Fw(:)f Fr(B)i Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(H)18 b Fw(b)q(e)c(a)g(bialgebra)g(morphism)0 1751 y(in)20 b Fu(C)j Fw(and)221 1735 y Fj(e)208 1751 y Fr(B)g Fw(b)q(e)d(the)g (transm)o(uted)f(bialgebra)h(in)f Fu(C)993 1733 y Fp(H)1047 1751 y Fw(\(as)i(in)e(Theorem)g(4.2\).)33 b(Let)20 b Fr(C)j Fw(b)q(e)d(a)12 1798 y Fj(e)0 1814 y Fr(B)s Fw(-como)q (dule-coalgebra)c(in)h Fu(A)d Fw(:=)g Fu(C)698 1796 y Fp(H)732 1814 y Fw(.)23 b(Then)16 b(w)o(e)h(can)g(form)e(the)i(cosmash) f(pro)q(duct)1648 1798 y Fj(e)1636 1814 y Fr(B)1684 1798 y Fj(e)1675 1814 y Fw(#)1716 1796 y Fp(c)1733 1814 y Fr(C)0 1873 y Fw(in)g Fu(C)86 1854 y Fp(H)120 1873 y Fw(.)50 1932 y(Since)i Fr(B)j Fw(is)e(a)g(bialgebra)g(in)f Fu(C)k Fw(and)e Fr(C)i Fw(is)d(a)g(coalgebra)g(in)g Fu(C)s Fw(,)g Fr(C)j Fw(is)d(also)g(a)h Fr(B)s Fw(-como)q(dule-)0 1990 y(coalgebra)d(b)o(y)602 2224 y Fe(\007)p 602 2247 2 7 v 14 w(\004)p 649 2247 V 619 2224 14 2 v 603 2243 48 2 v 1051 2125 95 2 v 1050 2106 a(\007)p 1050 2129 2 7 v 62 w(\004)p 1145 2129 V 1068 2106 62 2 v 815 2125 95 2 v -364 w(\007)p 814 2129 2 7 v 62 w(\004)p 909 2129 V 832 2106 62 2 v 1122 2252 48 2 v 1121 2254 2 7 v 1121 2271 a(\006)p 1168 2254 V 14 w(\005)p 1138 2271 14 2 v 1122 2200 2 2 v 1122 2201 V 1122 2202 V 1122 2203 V 1121 2203 V 1121 2204 V 1121 2205 V 1121 2206 V 1121 2206 V 1120 2207 V 1120 2208 V 1120 2208 V 1119 2209 V 1119 2210 V 1119 2210 V 1118 2211 V 1118 2212 V 1117 2212 V 1117 2213 V 1116 2213 V 1115 2214 V 1115 2215 V 1114 2215 V 1113 2216 V 1113 2216 V 1112 2217 V 1111 2217 V 1110 2218 V 1109 2218 V 1109 2219 V 1108 2219 V 1075 2248 V 1075 2247 V 1075 2246 V 1075 2245 V 1075 2245 V 1075 2244 V 1075 2243 V 1075 2242 V 1076 2242 V 1076 2241 V 1076 2240 V 1076 2240 V 1077 2239 V 1077 2238 V 1078 2238 V 1078 2237 V 1079 2236 V 1079 2236 V 1080 2235 V 1080 2235 V 1081 2234 V 1081 2233 V 1082 2233 V 1083 2232 V 1084 2232 V 1084 2231 V 1085 2231 V 1086 2230 V 1087 2230 V 1088 2229 V 1089 2229 V 1075 2200 V 1075 2201 V 1075 2202 V 1075 2203 V 1075 2204 V 1075 2204 V 1076 2205 V 1076 2206 V 1076 2207 V 1077 2207 V 1077 2208 V 1078 2209 V 1078 2210 V 1079 2211 V 1080 2211 V 1080 2212 V 1081 2213 V 1082 2214 V 1083 2215 V 1084 2215 V 1085 2216 V 1086 2217 V 1087 2218 V 1088 2218 V 1090 2219 V 1091 2220 V 1092 2221 V 1094 2222 V 1095 2222 V 1097 2223 V 1098 2224 V 1122 2248 V 1122 2247 V 1122 2246 V 1122 2245 V 1121 2244 V 1121 2244 V 1121 2243 V 1120 2242 V 1120 2241 V 1120 2241 V 1119 2240 V 1119 2239 V 1118 2238 V 1117 2237 V 1117 2237 V 1116 2236 V 1115 2235 V 1114 2234 V 1113 2233 V 1112 2233 V 1111 2232 V 1110 2231 V 1109 2230 V 1108 2230 V 1107 2229 V 1105 2228 V 1104 2227 V 1103 2226 V 1101 2226 V 1100 2225 V 1098 2224 V 886 2200 V 886 2201 V 886 2202 V 886 2203 V 886 2203 V 885 2204 V 885 2205 V 885 2206 V 885 2206 V 885 2207 V 884 2208 V 884 2208 V 884 2209 V 883 2210 V 883 2210 V 882 2211 V 882 2212 V 881 2212 V 881 2213 V 880 2213 V 880 2214 V 879 2215 V 878 2215 V 878 2216 V 877 2216 V 876 2217 V 875 2217 V 874 2218 V 873 2218 V 873 2219 V 872 2219 V 839 2248 V 839 2247 V 839 2246 V 839 2245 V 839 2245 V 839 2244 V 839 2243 V 839 2242 V 840 2242 V 840 2241 V 840 2240 V 841 2240 V 841 2239 V 841 2238 V 842 2238 V 842 2237 V 843 2236 V 843 2236 V 844 2235 V 844 2235 V 845 2234 V 846 2233 V 846 2233 V 847 2232 V 848 2232 V 848 2231 V 849 2231 V 850 2230 V 851 2230 V 852 2229 V 853 2229 V 839 2200 V 839 2201 V 839 2202 V 839 2203 V 839 2204 V 839 2204 V 840 2205 V 840 2206 V 840 2207 V 841 2207 V 841 2208 V 842 2209 V 842 2210 V 843 2211 V 844 2211 V 845 2212 V 845 2213 V 846 2214 V 847 2215 V 848 2215 V 849 2216 V 850 2217 V 851 2218 V 853 2218 V 854 2219 V 855 2220 V 856 2221 V 858 2222 V 859 2222 V 861 2223 V 862 2224 V 886 2248 V 886 2247 V 886 2246 V 886 2245 V 885 2244 V 885 2244 V 885 2243 V 885 2242 V 884 2241 V 884 2241 V 883 2240 V 883 2239 V 882 2238 V 881 2237 V 881 2237 V 880 2236 V 879 2235 V 878 2234 V 877 2233 V 876 2233 V 875 2232 V 874 2231 V 873 2230 V 872 2230 V 871 2229 V 869 2228 V 868 2227 V 867 2226 V 865 2226 V 864 2225 V 862 2224 V 862 2223 a(e)p 697 2224 V 697 2223 V 697 2222 V 697 2221 V 697 2220 V 697 2219 V 697 2219 V 697 2218 V 696 2217 V 696 2216 V 696 2215 V 696 2214 V 696 2213 V 695 2213 V 695 2212 V 695 2211 V 694 2210 V 694 2209 V 694 2209 V 693 2208 V 693 2207 V 692 2206 V 692 2206 V 692 2205 V 691 2204 V 691 2204 V 690 2203 V 689 2202 V 689 2202 V 688 2201 V 688 2200 V 688 2200 V 687 2200 V 686 2199 V 685 2198 V 684 2198 V 683 2197 V 683 2196 V 682 2196 V 681 2195 V 680 2194 V 680 2194 V 679 2193 V 679 2192 V 678 2191 V 678 2191 V 677 2190 V 677 2189 V 676 2188 V 676 2187 V 675 2187 V 675 2186 V 675 2185 V 675 2184 V 674 2183 V 674 2182 V 674 2181 V 674 2181 V 674 2180 V 674 2179 V 674 2178 V 673 2177 V 1014 2152 75 2 v 1014 2199 2 48 v 1039 2193 a Fr(\016)p 1086 2199 V 1014 2201 75 2 v 1108 2152 V 1108 2199 2 48 v 73 w(\016)p 1181 2199 V 1108 2201 75 2 v 778 2152 V 778 2199 2 48 v -353 w(\016)p 850 2199 V 778 2201 75 2 v 872 2152 V 872 2199 2 48 v 73 w(\016)p 945 2199 V 872 2201 75 2 v 613 2128 V 613 2175 2 48 v 638 2169 a(\016)p 685 2175 V 613 2177 75 2 v 872 2246 V 872 2293 2 48 v 889 2283 a Fj(f)888 2287 y Fr(m)p 945 2293 V 872 2295 75 2 v 1027 2318 2 118 v 1050 2152 2 24 v 1074 2318 2 71 v 1097 2105 2 24 v 1145 2318 2 48 v 1145 2152 2 24 v 791 2318 2 118 v 1168 2247 2 48 v 814 2152 2 24 v 838 2318 2 71 v 861 2105 2 24 v 909 2318 V 909 2152 V 932 2247 2 48 v 602 2318 2 71 v 625 2223 2 48 v 649 2318 2 71 v 649 2129 2 48 v 696 2318 2 95 v 1079 2077 a(C)-271 b(C)-247 b(C)961 2218 y Fw(=)-274 b(=)1008 2365 y Fr(C)12 b(C)36 b(B)-391 b(C)12 b(C)36 b(B)-344 b(C)13 b(C)e(B)0 2431 y Fw(So)17 b(there)g(is)f(a)i(second)f (w)o(a)o(y)f(to)i(de\014ne)e(a)h(cosmash)g(pro)q(duct)g Fr(B)s Fw(#)1243 2413 y Fp(c)1260 2431 y Fr(C)j Fw(this)d(time)e(in)h Fu(C)s Fw(.)24 b(These)0 2489 y(t)o(w)o(o)13 b(coalgebra)g(structures)f (on)h Fr(B)6 b Fu(\012)t Fr(C)t Fw(,)13 b(ho)o(w)o(ev)o(er,)e(coincide) h(as)h(the)f(follo)o(wing)h(diagram)f(sho)o(ws)649 2605 y Fe(\007)p 649 2627 2 7 v 14 w(\004)p 696 2627 V 667 2605 14 2 v 650 2624 48 2 v 203 w(\007)p 932 2627 2 7 v 14 w(\004)p 979 2627 V 950 2605 14 2 v 933 2624 48 2 v 768 2624 71 2 v -247 w(\007)p 765 2627 2 7 v 37 w(\004)p 835 2627 V 782 2605 38 2 v 1051 2624 71 2 v 180 w(\007)p 1048 2627 2 7 v 38 w(\004)p 1119 2627 V 1065 2605 38 2 v 744 2727 48 2 v 743 2729 2 7 v 743 2746 a(\006)p 791 2729 V 15 w(\005)p 761 2746 14 2 v 744 2675 2 2 v 744 2676 V 744 2677 V 744 2678 V 744 2678 V 744 2679 V 744 2680 V 744 2681 V 743 2681 V 743 2682 V 743 2683 V 742 2683 V 742 2684 V 742 2685 V 741 2685 V 741 2686 V 740 2687 V 740 2687 V 739 2688 V 739 2688 V 738 2689 V 737 2690 V 737 2690 V 736 2691 V 735 2691 V 734 2692 V 734 2692 V 733 2693 V 732 2693 V 731 2694 V 730 2694 V 697 2723 V 697 2722 V 697 2721 V 697 2720 V 697 2720 V 697 2719 V 698 2718 V 698 2717 V 698 2717 V 698 2716 V 699 2715 V 699 2715 V 699 2714 V 700 2713 V 700 2713 V 701 2712 V 701 2711 V 702 2711 V 702 2710 V 703 2710 V 703 2709 V 704 2708 V 705 2708 V 705 2707 V 706 2707 V 707 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b(the)h(previous)g(section)f(w)o(e)h(started)g(with)f(an)i(algebra)f Fr(A)0 117 y Fw(or)h(a)g(coalgebra)g Fr(C)j Fw(in)c Fu(C)j Fw(and)e(reconstructed)f(them)f(from)g Fr(!)j Fw(:)e Fu(C)1194 124 y Fp(A)1236 117 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(C)18 b Fw(resp.)c Fr(!)i Fw(:)d Fu(C)1591 98 y Fp(C)1635 117 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(C)s Fw(.)0 175 y(If,)d(ho)o(w)o(ev)o(er,)g(an)g (arbitrary)g Fu(C)s Fw(-functor)h Fr(!)k Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)13 b(A)e Fw(is)g(giv)o(en)f(it)h(is)g(not)g(clear)f(if)h(Nat)1561 182 y Fn(C)1583 175 y Fw(\()p Fr(!)r(;)d(!)r Fu(\012)p Fw({)r(\))0 233 y(is)20 b(a)h(represen)o(table)e(functor)h(or)g(if)g (co)q(end)807 240 y Fn(C)830 233 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(exists)g(in)g Fu(C)s Fw(.)33 b(It)20 b(is)g(customary)f(to)i(call)e(the)0 291 y(construction)12 b(of)h(co)q(end)450 298 y Fn(C)473 291 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))f(also)g(in)g(this)g(situation)h (\\re"construction,)g(although)g(w)o(e)f(do)g(not)0 349 y(start)18 b(with)f(an)g(algebra)h(or)f(a)h(coalgebra)f(in)g Fu(C)j Fw(and)e(then)f(reconstruct)g(is)g(from)f(its)g(category)0 407 y(of)h(represen)o(tations.)50 466 y(In)23 b(one)h(particular)f (situation)h(the)g(\(restricted\))e(reconstruction)h(is)h(p)q(ossible)g (and)g(w)o(ell)0 524 y(kno)o(wn,)18 b(namely)d(in)j(the)f(case)g(of)h Fu(C)i Fw(=)c(V)l(ec)g(and)i(a)g(functor)g Fr(!)g Fw(:)e Fu(B)h(\000)-8 b(!)16 b Fw(v)o(ec)e Fu(\022)i Fw(V)l(ec)h(in)o(to)g (the)0 582 y(category)j(of)f(\014nite-dimensional)f(v)o(ector)g (spaces.)31 b(V)l(arious)19 b(generalizations)g(of)h(this)f(result)0 641 y(are)d(kno)o(wn.)22 b(W)l(e)16 b(will)f(lift)g(this)h(result)g(to) h(braided)f(monoidal)f(categories)h Fu(C)s Fw(.)50 700 y(Let)d Fu(C)k Fw(b)q(e)c(a)h(co)q(complete)d(braided)j(monoidal)e (category)i(and)g Fu(C)1222 707 y Ft(0)1255 700 y Fw(b)q(e)f(the)g (full)g(\(rigid)g(braided)0 758 y(monoidal\))e(sub)q(category)i(of)g (rigid)e(ob)s(jects.)20 b(F)l(urthermore)10 b(assume)h(that)i(the)f (tensor)g(pro)q(duct)0 816 y(in)18 b Fu(C)j Fw(preserv)o(es)c (arbitrary)h(colimits)e(in)i(b)q(oth)h(v)m(ariables.)27 b(Let)18 b Fu(B)h Fw(b)q(e)g(a)f(small)f(category)h(and)0 874 y Fr(!)e Fw(:)d Fu(B)i(\000)-8 b(!)14 b(C)242 881 y Ft(0)275 874 y Fu(\022)g(C)19 b Fw(b)q(e)e(a)f(functor.)0 967 y Fy(Theorem)h(4.7.)85 b Fw(\(1\))21 b Fm(The)d(functor)g Fw(Nat\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))17 b Fm(is)h(multir)n(epr)n(esentable:)594 1056 y Fw(Nat\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))925 1042 y Fu(\030)926 1058 y Fw(=)978 1056 y Fu(C)s Fw(\(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)j(M)d Fw(\))p Fr(;)65 1144 y Fw(\(2\))22 b Fm(If)g Fu(B)j Fm(is)e(a)g Fu(C)395 1151 y Ft(0)415 1144 y Fm(-c)n(ate)n(gory)g(and)h Fr(!)i Fw(:)f Fu(B)g(\000)-8 b(!)24 b(C)1013 1151 y Ft(0)1056 1144 y Fm(is)g(a)f Fu(C)1189 1151 y Ft(0)1209 1144 y Fm(-functor,)i(then)f(the)g(functor)149 1203 y Fw(Nat)228 1210 y Fn(C)247 1215 y Fl(0)266 1203 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)d Fr(M)5 b Fw(\))17 b Fm(is)h(r)n(epr)n(esentable:)556 1291 y Fw(Nat)636 1298 y Fn(C)655 1303 y Fl(0)674 1291 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))925 1278 y Fu(\030)926 1293 y Fw(=)978 1291 y Fu(C)s Fw(\(co)q(end)1149 1298 y Fn(C)1168 1303 y Fl(0)1187 1291 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)j(M)d Fw(\))p Fr(:)149 1380 y Fm(If)16 b Fr(B)h Fw(:=)c(co)q(end)442 1387 y Fn(C)461 1392 y Fl(0)480 1380 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))k Fm(is)g Fu(C)645 1387 y Ft(0)665 1380 y Fm(-c)n(entr)n(al)h(then)g Fw(Nat)1029 1387 y Fn(C)1048 1392 y Fl(0)1067 1380 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)d Fr(M)5 b Fw(\))18 b Fm(is)f(multir)n(epr)n (esentable.)0 1473 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(\(1\))f(The)h(existence)d(of)i (a)h(represen)o(ting)e(ob)s(ject)h(for)g(the)g(functor)g(Nat\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))19 b(is)0 1531 y(w)o(ell)g(kno)o(wn)i(\(see)e([P)o(a93)q(]\).)33 b(W)l(e)20 b(recall)f(the)h(main)f(steps)i(of)f(its)h(construction,)g (since)e(they)0 1589 y(pla)o(y)e(a)g(role)g(in)g(the)g(second)h(part)g (of)f(the)g(pro)q(of.)26 b(The)17 b(represen)o(ting)g(ob)s(ject)g Fr(C)i Fw(=)c(co)q(end)q(\()p Fr(!)r Fw(\))0 1647 y(is)23 b(obtained)g(as)g(colimit)d(of)j(the)f(diagram)h(consisting)g(of)g(all) f(w)o(edges)h(for)g(all)f(morphisms)0 1705 y Fr(f)d Fw(:)14 b Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(Q)i Fw(in)g Fu(B)r Fw(:)924 1762 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))1032 1744 y Fn(\003)1063 1762 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))550 1887 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))659 1869 y Fn(\003)690 1887 y Fu(\012)j Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))786 1845 y Fg(\020)828 1832 y(\020)869 1818 y(\020)911 1804 y(\020)944 1793 y(\020)-42 b(1)923 2011 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))1032 1993 y Fn(\003)1063 2011 y Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))786 1917 y Fg(P)828 1931 y(P)869 1945 y(P)911 1959 y(P)944 1970 y(P)-42 b(q)737 1800 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))809 1788 y Ff(\003)827 1800 y Fn(\012)p Ft(1)755 1966 y(1)p Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))0 2100 y Fw(An)o(y)15 b(\(cone-\))i(morphism)c (from)j(this)g(diagram)f(to)i(an)g(ob)s(ject)e Fr(M)20 b Fu(2)14 b(C)-7 2297 y Fw(\(1\))798 2185 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))906 2167 y Fn(\003)938 2185 y Fu(\012)j Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))425 2309 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))534 2291 y Fn(\003)564 2309 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))661 2268 y Fg(\020)702 2254 y(\020)744 2240 y(\020)785 2226 y(\020)818 2215 y(\020)-42 b(1)798 2434 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))907 2416 y Fn(\003)938 2434 y Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))661 2340 y Fg(P)702 2354 y(P)744 2367 y(P)785 2381 y(P)818 2392 y(P)-42 b(q)612 2222 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))684 2210 y Ff(\003)701 2222 y Fn(\012)p Ft(1)630 2388 y(1)p Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))1294 2314 y Fr(M)1034 2215 y Fg(P)1076 2229 y(P)1117 2243 y(P)1159 2257 y(P)1192 2268 y(P)g(q)1034 2392 y(\020)1076 2378 y(\020)1117 2365 y(\020)1159 2351 y(\020)1192 2340 y(\020)g(1)1148 2222 y Fp( )q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1148 2388 y Fp( )q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))0 2532 y Fw(is)16 b(giv)o(en)f(b)o(y)h(a)h(natural)g(transformation)f Fr(')e Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)f Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(:)589 2631 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)i Fw(\))209 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(M)p 710 2619 184 2 v 852 2618 a Fg(-)762 2602 y Fp(')p Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))589 2797 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))208 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))10 b Fu(\012)h Fr(M)p 710 2785 V 852 2784 a Fg(-)763 2768 y Fp(')p Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))p 642 2755 2 108 v 643 2755 a Fg(?)660 2710 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))p 1016 2755 V 1017 2755 a Fg(?)1033 2710 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))p Fn(\012)p Ft(1)1150 2716 y Fk(M)p eop %%Page: 29 29 29 28 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(29)0 58 y Fw(The)21 b(one-to-one)g(corresp)q(ondence)g(b)q(et)o (w)o(een)f(morphisms)e Fr( )k Fw(and)g(morphisms)c Fr(')j Fw(is)f(giv)o(en,)0 117 y(using)d(the)f(ev)m(aluation)h(ev)495 124 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))590 117 y Fw(:)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))726 98 y Fn(\003)757 117 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))15 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(I)20 b Fw(and)e(the)e(dual)h(basis)g(db)1529 124 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1624 117 y Fw(:)14 b Fr(I)j Fu(\000)-8 b(!)0 175 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))277 157 y Fn(\003)297 175 y Fr(;)16 b Fw(as)488 239 y Fr( )r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b(=)f(\(ev)731 247 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))822 239 y Fu(\012)10 b Fw(1)895 246 y Fp(M)935 239 y Fw(\)\(1)997 247 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1075 238 y Ff(\003)1107 239 y Fu(\012)10 b Fr(')p Fw(\()p Fr(P)d Fw(\)\))0 317 y(and)460 381 y Fr(')p Fw(\()p Fr(P)g Fw(\))14 b(:=)g(\(1)691 389 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))782 381 y Fu(\012)11 b Fr( )r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\)\)\(db)1034 389 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)e Ft(\))1125 381 y Fu(\012)10 b Fw(1)1198 389 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1279 381 y Fw(\))p Fr(:)50 460 y Fw(Giv)o(en)15 b Fr( )j Fw(the)e(morphisms)e Fr(')p Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))16 b(form)f(a)i(natural)g(transformation)f (since)211 567 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))294 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))12 b Fu(\012)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))890 549 y Fn(\003)921 567 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 332 555 269 2 v 559 554 a Fg(-)354 533 y Ft(db)394 540 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))463 533 y Fn(\012)p Ft(1)508 540 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))1316 567 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)g Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(M)p 1092 555 213 2 v 1263 554 a Fg(-)1101 533 y Ft(1)1119 540 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))1188 533 y Fn(\012)p Fp( )q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))322 712 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))11 b Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))601 694 y Fn(\003)631 712 y Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))114 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))11 b Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))1181 694 y Fn(\003)1212 712 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 802 700 90 2 v 850 699 a Fg(-)687 657 y Ft(1)705 664 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))775 657 y Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))874 645 y Ff(\003)891 657 y Fn(\012)p Ft(1)936 664 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))211 857 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))293 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))10 b Fu(\012)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))891 839 y Fn(\003)922 857 y Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))p 332 846 269 2 v 559 845 a Fg(-)354 876 y Ft(db)393 883 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))463 876 y Fn(\012)p Ft(1)508 883 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))1316 857 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))g Fu(\012)g Fr(M)p 1092 846 212 2 v 1262 845 a Fg(-)1101 878 y Ft(1)1119 885 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))1189 878 y Fn(\012)p Fp( )q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))p 265 816 2 233 v 266 816 a Fg(?)178 708 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))p 1426 816 V 1427 816 a Fg(?)1444 708 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))p Fn(\012)p Ft(1)1561 714 y Fk(M)437 632 y Ft(db)477 639 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))547 632 y Fn(\012)p Ft(1)592 639 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))324 604 y Fg(H)365 625 y(H)407 646 y(H)448 666 y(H)456 671 y(H)-42 b(j)1018 633 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))p Fn(\012)p Ft(1)1135 640 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))1202 633 y Ff(\003)t Fn(\012)p Ft(1)1267 640 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))904 604 y Fg(H)946 625 y(H)988 646 y(H)1029 666 y(H)1037 671 y(H)g(j)354 778 y Ft(1)372 785 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))442 778 y Fn(\012)p Ft(1)487 785 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))555 778 y Ff(\003)5 b Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))614 749 y Fg(H)656 770 y(H)697 791 y(H)739 812 y(H)747 816 y(H)-42 b(j)1061 778 y Ft(1)1079 785 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))1149 778 y Fn(\012)p Fp( )q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1195 749 y Fg(H)1236 770 y(H)1278 791 y(H)1319 812 y(H)1328 816 y(H)-42 b(j)0 962 y Fw(comm)o(utes)15 b(where)i(the)h(left)f(upp)q(er)h(part)g(of)g(the)g(diagram)f(comm)o (utes)e(b)o(y)i(the)h(de\014nition)f(of)0 1020 y(the)f(adjoin)o(t)g (morphism)e Fr(!)r Fw(\()p Fr(f)5 b Fw(\))576 1002 y Fn(\003)596 1020 y Fw(.)22 b(Con)o(v)o(ersely)14 b(giv)o(en)i Fr(')e Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)f Fu(\012)e Fr(M)22 b Fw(the)16 b(diagram)416 1127 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))524 1109 y Fn(\003)555 1127 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))310 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))1131 1109 y Fn(\003)1163 1127 y Fu(\012)j Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(M)p 726 1115 286 2 v 970 1114 a Fg(-)763 1093 y Ft(1)781 1100 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))848 1093 y Ff(\003)5 b Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)g Ft(\))250 1293 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))359 1275 y Fn(\003)390 1293 y Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))310 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))966 1275 y Fn(\003)997 1293 y Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))k Fu(\012)g Fr(M)p 560 1281 V 804 1280 a Fg(-)597 1259 y Ft(1)615 1266 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))683 1259 y Ff(\003)t Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))416 1459 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))525 1441 y Fn(\003)555 1459 y Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))309 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))1132 1441 y Fn(\003)1163 1459 y Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))h Fu(\012)g Fr(M)p 726 1447 285 2 v 969 1446 a Fg(-)763 1424 y Ft(1)781 1431 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))849 1424 y Ff(\003)t Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))252 1369 y(1)270 1376 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))338 1369 y Ff(\003)t Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))428 1351 y Fg(@)470 1392 y(@)494 1417 y(@)-42 b(R)837 1369 y Ft(1)855 1376 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))923 1369 y Ff(\003)t Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))p Fn(\012)p Ft(1)1087 1375 y Fk(M)1092 1351 y Fg(@)1133 1392 y(@)1158 1417 y(@)g(R)1368 1297 y Fr(M)1337 1201 y Ft(ev)1372 1208 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))1442 1201 y Fn(\012)p Ft(1)1487 1207 y Fk(M)1258 1185 y Fg(@)1299 1226 y(@)1324 1251 y(@)g(R)252 1203 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))324 1191 y Ff(\003)341 1203 y Fn(\012)p Ft(1)386 1210 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))428 1251 y Fg(\000)470 1210 y(\000)494 1185 y(\000)g(\022)837 1203 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))909 1191 y Ff(\003)926 1203 y Fn(\012)p Ft(1)971 1210 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))1041 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Fw(\))540 1751 y Fn(\003)571 1769 y Fu(\012)d Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))728 1751 y Fn(\003)760 1769 y Fu(\012)j Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))i Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(M)5 b Fw(.)50 1829 y(Let)22 b Fr(\016)j Fw(:)e Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)23 b Fr(!)17 b Fu(\012)e Fw(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))22 b(b)q(e)g(the)g(univ)o(ersal)f(morphism)f(and)i(abbreviate)g Fr(B)k Fw(:=)0 1887 y(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\).)f(Let)18 b Fr(\022)q Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))16 b(:)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))575 1869 y Fn(\003)607 1887 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))17 b Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(B)k Fw(b)q(e)e(the)f(induced)g(morphism.)22 b(In)17 b(the)h(com-)0 1945 y(m)o(utativ)o(e)9 b(diagram)i(\(colimit)e(of)j(a)g (w)o(edge)f(in)h(the)f(sense)g(used)h(ab)q(o)o(v)o(e\))g(induced)f(b)o (y)g(morphisms)0 2003 y Fr(f)19 b Fw(:)14 b Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(R)j Fw(and)f Fr(g)g Fw(:)e Fr(Q)f Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(S)19 b Fw(in)d Fu(B)1708 2294 y Fw(\(2\))218 2140 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))327 2122 y Fn(\003)357 2140 y Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))515 2122 y Fn(\003)546 2140 y Fu(\012)k Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))k Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))91 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))1073 2122 y Fn(\003)1104 2140 y Fu(\012)j Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))1432 2122 y Fn(\003)1462 2140 y Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))p 886 2129 67 2 v 911 2128 a Fg(-)714 2079 y Fp(\033)735 2064 y Ff(\000)p Fl(1)734 2093 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))802 2086 y Ff(\003)820 2093 y Fk(;!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))896 2086 y Ff(\003)915 2093 y(\012)p Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))1009 2079 y Fn(\012)p Ft(1)1054 2086 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))221 2306 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(S)s Fw(\))324 2288 y Fn(\003)355 2306 y Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(R)p Fw(\))512 2288 y Fn(\003)543 2306 y Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))k Fu(\012)g Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))224 2472 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(S)s Fw(\))327 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Fp(P)5 b Ft(\))p Fn(\012)p Fp(\022)q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))1239 2199 y Fg(@)1280 2240 y(@)1305 2265 y(@)-42 b(R)151 2217 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(g)q Ft(\))220 2205 y Ff(\003)238 2217 y Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(f)t Ft(\))337 2205 y Ff(\003)354 2217 y Fn(\012)p Ft(1)399 2224 y Fk(!)q Fl(\()p Fk(P)t Fl(\))p Ff(\012)p Fk(!)q Fl(\()p Fk(Q)p Fl(\))533 2265 y Fg(\000)575 2223 y(\000)600 2199 y(\000)g(\022)1306 2309 y Fr(B)13 b Fu(\012)e Fr(B)1318 2385 y Fp(\022)q Ft(\()p Fp(R)p Ft(\))p Fn(\012)p Fp(\022)q Ft(\()p Fp(S)r Ft(\))1239 2431 y Fg(\000)1280 2389 y(\000)1305 2365 y(\000)-42 b(\022)0 2555 y Fr(B)14 b Fu(\012)c Fr(B)19 b Fw(is)d(a)h(colimit)d(with)355 2645 y Fr(\022)q Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(Q)p Fw(\))14 b(=)g(\()p Fr(\022)q Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))k Fu(\012)g Fr(\022)q Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\)\)\()p Fr(\033)925 2624 y Fn(\000)p Ft(1)923 2659 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))1002 2650 y Ff(\003)1019 2659 y Fp(;!)q Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1107 2650 y Ff(\003)1124 2659 y Fn(\012)p Fp(!)q Ft(\()p Fp(P)g Ft(\))1243 2645 y Fu(\012)11 b Fw(1)1317 2653 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(Q)p Ft(\))1397 2645 y Fw(\))0 2734 y(since)g(tensor)i(pro)q(ducts)g(preserv)o(e)e (colimits.)17 b(W)l(e)12 b(ha)o(v)o(e)f(to)i(sho)o(w)f(that)h(the)f (induced)f(morphism)0 2793 y Fr(\016)r Fw(\(-)p Fr(;)d Fw(-\))14 b(:)f Fr(!)5 b Fu(\012)s Fr(!)15 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)5 b Fu(\012)s Fr(!)g Fu(\012)s Fr(B)g Fu(\012)s Fr(B)14 b Fw(is)e(equal)f(to)i(\(1)930 2800 y Fp(!)958 2793 y Fu(\012)s Fr(\033)1028 2800 y Fp(B)r(;!)1093 2793 y Fu(\012)s Fw(1)1159 2800 y Fp(B)1190 2793 y Fw(\)\()p Fr(\016)5 b Fu(\012)s Fr(\016)r Fw(\))11 b(:)j Fr(!)1411 2774 y Ft(2)1445 2793 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)1571 2774 y Ft(2)1593 2793 y Fu(\012)s Fr(B)5 b Fu(\012)s Fr(B)s Fw(.)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 0 -49 a Fx(30)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(W)l(e)11 b(use)g(graphic)g(calculus)g(and)g(observ)o(e)g(that)h (the)e(corresp)q(ondence)i(b)q(et)o(w)o(een)e(the)h(morphisms)0 117 y Fr(')16 b Fw(and)h Fr( )h 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Fr(B)1336 2358 y Ft(2)1370 2376 y Fw(is)15 b(a)g Fu(C)1483 2383 y Ft(0)1503 2376 y Fw(-bimorphism)0 2434 y({)k Fr(B)i Fw(is)e Fu(C)179 2441 y Ft(0)199 2434 y Fw(-cen)o(tral)e({)i(w)o(e)g(can)f(sho)o(w)i (that)f Fr(B)c Fu(\012)d Fr(B)21 b Fw(=)d(co)q(end)1159 2441 y Fn(C)1178 2446 y Fl(0)1197 2434 y Fw(\()p Fr(!)d Fu(\012)d Fr(!)r Fw(\))19 b(with)f(the)h(univ)o(ersal)0 2492 y Fu(C)26 2499 y Ft(0)46 2492 y Fw(-bimorphism)13 b Fr(\016)352 2499 y Ft(2)371 2492 y Fw(.)21 b(W)l(e)15 b(\014rst)g(sho)o(w)h(that)f(there)g(is)g(a)g(one-to-one)h(corresp)q (ondence)g(b)q(et)o(w)o(een)0 2550 y Fu(C)26 2557 y Ft(0)46 2550 y Fw(-bimorphisms)e Fr(')p Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(Q)p Fw(\))15 b(:)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))j Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))12 b Fu(\012)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))g Fu(\012)g Fr(M)22 b Fw(and)17 b(cones)g Fr( )r Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(Q)p Fw(\))14 b(:)0 2609 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(Q)p Fw(\))109 2590 y Fn(\003)140 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(seen)g(that)h(diagram)f(\(2\))h(is)f(a)h(tensor)g(pro)q(duct)g(of)f(w) o(edges)h(and)g(cone)0 2180 y(morphisms)f(of)j(the)f(t)o(yp)q(e)g(of)h (diagram)f(\(1\).)37 b(No)o(w)22 b(w)o(e)f(sho)o(w)h(that)g(the)f (relations)g(\(a\))h(and)0 2238 y(\(b\))e(come)e(ab)q(out)j(as)g (tensor)f(pro)q(ducts)h(of)f(relations)f(for)i Fr(B)s Fw(.)31 b(W)l(e)20 b(don't)g(ha)o(v)o(e)f(to)h(consider)0 2296 y(condition)c(\(c\))g(whic)o(h)f(is)i(automatically)d (satis\014ed.)22 b(The)16 b(diagrams)p 979 2542 2 7 v 979 2559 a Fe(\006)p 1027 2542 V 15 w(\005)p 997 2559 14 2 v 1357 2400 2 7 v 1357 2418 a(\006)p 1404 2400 V 14 w(\005)p 1374 2418 14 2 v 650 2394 2 2 v 650 2395 V 650 2395 V 650 2396 V 649 2397 V 649 2398 V 649 2399 V 649 2399 V 648 2400 V 648 2401 V 647 2402 V 647 2403 V 646 2403 V 645 2404 V 645 2405 V 644 2406 V 643 2406 V 642 2407 V 641 2408 V 640 2409 V 639 2410 V 638 2410 V 637 2411 V 636 2412 V 635 2413 V 634 2414 V 632 2414 V 631 2415 V 629 2416 V 628 2417 V 626 2418 V 603 2441 V 603 2440 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130 V 1038 129 V 1039 129 V 1040 128 V 1041 127 V 1042 126 V 1044 126 V 1045 125 V 1046 124 V 1048 123 V 1049 122 V 1051 122 V 1027 98 V 1027 99 V 1027 100 V 1028 100 V 1028 101 V 1028 102 V 1028 103 V 1028 103 V 1028 104 V 1029 105 V 1029 105 V 1029 106 V 1030 107 V 1030 107 V 1030 108 V 1031 109 V 1031 109 V 1032 110 V 1032 110 V 1033 111 V 1034 112 V 1034 112 V 1035 113 V 1036 113 V 1036 114 V 1037 114 V 1038 115 V 1039 115 V 1040 116 V 1041 116 V 1042 117 V 1075 145 V 1075 144 V 1075 144 V 1074 143 V 1074 142 V 1074 141 V 1074 141 V 1074 140 V 1074 139 V 1073 139 V 1073 138 V 1073 137 V 1072 136 V 1072 136 V 1071 135 V 1071 135 V 1071 134 V 1070 133 V 1069 133 V 1069 132 V 1068 132 V 1068 131 V 1067 130 V 1066 130 V 1066 129 V 1065 129 V 1064 128 V 1063 128 V 1062 127 V 1061 127 V 1060 126 V 1358 51 V 1358 52 V 1358 52 V 1357 53 V 1357 54 V 1357 55 V 1357 56 V 1356 56 V 1356 57 V 1356 58 V 1355 59 V 1354 59 V 1354 60 V 1353 61 V 1353 62 V 1352 63 V 1351 63 V 1350 64 V 1349 65 V 1348 66 V 1347 67 V 1346 67 V 1345 68 V 1344 69 V 1343 70 V 1341 70 V 1340 71 V 1339 72 V 1337 73 V 1336 74 V 1334 74 V 1310 98 V 1311 97 V 1311 96 V 1311 96 V 1311 95 V 1311 94 V 1311 93 V 1312 92 V 1312 92 V 1313 91 V 1313 90 V 1314 89 V 1314 89 V 1315 88 V 1316 87 V 1316 86 V 1317 85 V 1318 85 V 1319 84 V 1320 83 V 1321 82 V 1322 81 V 1323 81 V 1324 80 V 1326 79 V 1327 78 V 1328 78 V 1330 77 V 1331 76 V 1333 75 V 1334 74 V 1310 51 V 1311 52 V 1311 52 V 1311 53 V 1311 54 V 1311 55 V 1311 55 V 1311 56 V 1311 57 V 1312 57 V 1312 58 V 1312 59 V 1313 59 V 1313 60 V 1314 61 V 1314 61 V 1315 62 V 1315 63 V 1316 63 V 1316 64 V 1317 64 V 1317 65 V 1318 66 V 1319 66 V 1320 67 V 1320 67 V 1321 68 V 1322 68 V 1323 69 V 1324 69 V 1325 70 V 1358 98 V 1358 97 V 1358 96 V 1358 96 V 1357 95 V 1357 94 V 1357 93 V 1357 93 V 1357 92 V 1356 91 V 1356 91 V 1356 90 V 1355 89 V 1355 89 V 1355 88 V 1354 87 V 1354 87 V 1353 86 V 1353 86 V 1352 85 V 1351 84 V 1351 84 V 1350 83 V 1349 83 V 1349 82 V 1348 82 V 1347 81 V 1346 81 V 1345 80 V 1344 80 V 1344 79 V 259 144 263 2 v 259 191 2 48 v 369 181 a Fr(\022)392 188 y Ft(2)p 520 191 V 259 193 263 2 v 1250 144 V 1250 191 2 48 v 1360 181 a Fr(\022)1383 188 y Ft(2)p 1511 191 V 1250 193 263 2 v 589 191 75 2 v 589 238 2 48 v 614 232 a Fr(\022)p 662 238 V 589 240 75 2 v 684 191 169 2 v 684 238 2 48 v 119 w(\022)p 850 238 V 684 240 169 2 v 920 191 75 2 v 920 238 2 48 v 166 w(\022)p 992 238 V 920 240 75 2 v 1014 191 169 2 v 1014 238 2 48 v 118 w(\022)p 1181 238 V 1014 240 169 2 v 272 144 2 95 v 319 144 V 366 144 V 413 144 V 460 144 V 508 144 V 1262 144 V 1498 144 V 366 286 V 413 286 V 1357 286 V 1404 286 V 625 286 2 48 v 767 286 V 956 286 V 1097 286 V 602 192 V 602 97 V 743 192 V 743 97 V 791 192 2 142 v 838 192 V 932 192 2 48 v 932 97 V 1074 97 V 1121 144 2 95 v 1168 192 2 142 v 1310 144 2 48 v 1451 144 V 243 45 a(Q)282 27 y Fn(\003)288 45 y Fr(X)332 27 y Fn(\003)338 45 y Fr(P)376 27 y Fn(\003)395 45 y Fr(P)13 b(X)d(Q)46 b(Q)613 27 y Fn(\003)618 45 y Fr(X)662 27 y Fn(\003)668 45 y Fr(P)706 27 y Fn(\003)725 45 y Fr(P)13 b(X)d(Q)46 b(Q)943 27 y Fn(\003)948 45 y Fr(X)992 27 y Fn(\003)998 45 y Fr(P)1036 27 y Fn(\003)1055 45 y Fr(P)14 b(X)c(Q)45 b(Q)1273 27 y Fn(\003)1278 45 y Fr(X)1322 27 y Fn(\003)1329 45 y Fr(P)1367 27 y Fn(\003)1386 45 y Fr(P)13 b(X)d(Q)537 163 y Fw(=)292 b(=)g(=)347 333 y Fr(B)10 b(B)176 b(B)104 b(B)152 b(B)104 b(B)223 b(B)10 b(B)0 398 y Fw(sho)o(w)17 b(that)g(relations)f(\(a\))g(and)h(\(b\))f(are)h(tensor)f(pro)q(ducts)h (with)f(the)g(relation)p 979 498 2 7 v 979 515 a Fe(\006)p 1027 498 V 15 w(\005)p 997 515 14 2 v 980 539 2 2 v 980 538 V 980 537 V 980 536 V 980 535 V 980 534 V 979 533 V 979 532 V 979 531 V 978 531 V 978 530 V 977 529 V 976 528 V 976 527 V 975 527 V 974 526 V 973 525 V 973 524 V 972 523 V 971 523 V 970 522 V 969 521 V 968 520 V 966 520 V 965 519 V 964 518 V 962 518 V 961 517 V 960 516 V 958 516 V 957 515 V 957 515 V 955 514 V 954 514 V 952 513 V 951 512 V 949 512 V 948 511 V 947 510 V 946 510 V 945 509 V 943 508 V 942 508 V 942 507 V 941 506 V 940 505 V 939 504 V 938 504 V 937 503 V 937 502 V 936 501 V 936 500 V 935 500 V 935 499 V 934 498 V 934 497 V 934 496 V 933 495 V 933 494 V 933 493 V 933 492 V 933 492 V 1027 539 V 1027 538 V 1027 537 V 1028 536 V 1028 535 V 1028 534 V 1028 533 V 1029 532 V 1029 531 V 1030 531 V 1030 530 V 1031 529 V 1031 528 V 1032 527 V 1033 527 V 1033 526 V 1034 525 V 1035 524 V 1036 523 V 1037 523 V 1038 522 V 1039 521 V 1040 520 V 1041 520 V 1042 519 V 1044 518 V 1045 518 V 1046 517 V 1048 516 V 1049 516 V 1051 515 V 1051 515 V 1053 514 V 1054 514 V 1055 513 V 1057 512 V 1058 512 V 1059 511 V 1061 510 V 1062 510 V 1063 509 V 1064 508 V 1065 508 V 1066 507 V 1067 506 V 1068 505 V 1069 504 V 1069 504 V 1070 503 V 1071 502 V 1071 501 V 1072 500 V 1072 500 V 1073 499 V 1073 498 V 1074 497 V 1074 496 V 1074 495 V 1074 494 V 1074 493 V 1075 492 V 1075 492 V 684 537 169 2 v 684 584 2 48 v 756 578 a Fr(\022)p 850 584 V 684 586 169 2 v 967 537 75 2 v 967 584 2 48 v 213 w(\022)p 1039 584 V 967 586 75 2 v 696 538 2 48 v 743 538 V 791 538 V 838 538 V 767 632 V 1003 632 V 668 486 a(P)706 468 y Fn(\003)712 486 y Fr(X)756 468 y Fn(\003)769 486 y Fr(X)11 b(P)53 b(P)942 468 y Fn(\003)948 486 y Fr(X)992 468 y Fn(\003)1005 486 y Fr(X)10 b(P)890 571 y Fw(=)748 679 y Fr(B)199 b(B)0 744 y Fw(used)18 b(in)g(the)g(construction)g(of)h Fr(B)i Fw(\(up)d(to)g(a)h(preceding)e(isomorphism\).)25 b(Since)17 b(w)o(e)h(are)g(no)o(w)0 802 y(considering)11 b(a)h(tensor)g(pro)q (duct)h(of)f(t)o(w)o(o)f(diagrams)g(and)i(the)e(colimit)e(thereof)i (and)h(since)f(tensor)0 860 y(pro)q(ducts)17 b(preserv)o(e)e(colimits)f (w)o(e)i(ha)o(v)o(e)f(pro)o(v)o(ed)h(the)g(claimed)e(result.)p 1361 833 33 2 v 1361 863 2 30 v 1392 863 V 1361 865 33 2 v 0 945 a(4.2.1.)49 b(Using)14 b(the)f(results)g(of)h(section)g(3)g (w)o(e)f(obtain)h(uniquely)e(determined)g(coalgebra,)i(bial-)0 1003 y(gebra,)20 b(and)f(Hopf)g(algebra)h(structures)e(\(dep)q(ending)i (on)f(the)g(giv)o(en)f(functor\))h(on)g(co)q(end)q(\()p Fr(!)r Fw(\))0 1061 y(and)e(co)q(end)218 1068 y Fn(C)237 1073 y Fl(0)256 1061 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)615 1160 y(5.)28 b Fv(Hidden)18 b(symmetries)50 1244 y Fw(In)i(section)g(4.1)h (w)o(e)f(studied)g(under)g(whic)o(h)g(circumstances)e(coalgebras)j(and) g(bialgebras)0 1302 y(\(p)q(ossibly)e(with)g(a)h(transm)o(uted)e(m)o (ultipli)o(cation\))e(can)k(b)q(e)f(reconstructed)f(from)g(their)h (cate-)0 1360 y(gories)f(of)g(como)q(dules)f(and)h(the)f(functor)h Fr(!)g Fw(:)e Fu(C)895 1342 y Fp(C)941 1360 y Fu(\000)-9 b(!)16 b(C)s Fw(.)26 b(W)l(e)17 b(sa)o(w)i(that)f(they)f(are)g (obtained)0 1418 y(as)h(the)f(represen)o(ting)g(ob)s(ject)f(co)q(end) 695 1425 y Fn(C)717 1418 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))i(of)f(Nat)941 1425 y Fn(C)964 1418 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)d Fw({)q(\))k(:)h Fu(C)i(\000)-8 b(!)15 b Fw(Set.)25 b(In)17 b(this)g(section)0 1476 y(w)o(e)i(will)g(see)h(that)g(this)g (reconstruction)f(dep)q(ends)h(strongly)h(on)f(the)g(c)o(hoice)e(of)i (the)g(con)o(trol)0 1534 y(category)c Fu(C)s Fw(.)22 b(If)15 b Fu(C)20 b Fw(is)c(decreased)f(to)i(a)g(category)f Fu(D)i Fw(then)e(the)g(represen)o(ting)f(\(reconstructed\))0 1592 y(ob)s(ject)g(co)q(end)271 1599 y Fn(D)301 1592 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h(b)q(ecomes)f(larger.)21 b(W)l(e)16 b(will)f(see)g(that)i(under)f(certain)f(conditions)h(the)g(re-)0 1650 y(constructed)g(ob)s(ject)f(decomp)q(oses)h(in)o(to)f(a)i(cosmash) f(pro)q(duct)g(where)g(one)g(factor)g(represen)o(ts)0 1708 y(the)g(\\hidden)g(symmetrie)o(s".)0 1794 y Fy(5.1.)27 b(F)-5 b(unctors)17 b(of)f(con)n(trol)g(categories.)23 b Fw(W)l(e)14 b(consider)g(of)g(a)g(braided)g(monoidal)g(functor)0 1852 y Fu(F)19 b Fw(:)13 b Fu(D)j(\000)-9 b(!)14 b(C)19 b Fw(of)e(con)o(trol)f(categories.)0 1938 y(5.1.1.)49 b(If)16 b Fu(B)h Fw(is)f(a)h Fu(C)s Fw(-category)g(via)f Fu(\012)d Fw(:)h Fu(C)g(\002)d(B)k(\000)-9 b(!)14 b(B)r Fw(,)h(then)h Fu(B)i Fw(b)q(ecomes)d(a)h Fu(D)q Fw(-category)i(b)o(y) 591 2031 y Fu(\012)c Fw(:)f Fu(D)g(\002)e(B)823 2005 y Fn(F)s(\002)p Ft(1)820 2031 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(C)g(\002)d(B)1079 2005 y Fn(\012)1052 2031 y Fu(\000)-8 b(!)13 b(B)0 2116 y Fw(with)k(asso)q(ciativit)o(y)g(morphism)f Fr(\014)s Fw(\()p Fr(\035)d Fu(\012)f Fw(1\))k(:)g(\()p Fr(X)g Fu(\012)c Fr(Y)f Fw(\))h Fu(\012)g Fr(P)23 b Fu(\000)-8 b(!)15 b Fr(X)i Fu(\012)12 b Fw(\()p Fr(Y)23 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))18 b(and)g(unary)0 2174 y(action)e Fr(\031)r Fw(\()p Fr(&)e Fu(\012)d Fw(1\))j(:)g Fr(I)384 2181 y Fn(D)425 2174 y Fu(\012)d Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)23 b Fw(for)17 b Fr(X)q(;)8 b(Y)25 b Fu(2)14 b(D)k Fw(and)f Fr(P)k Fu(2)14 b(B)r Fw(.)0 2260 y(5.1.2.)49 b(If)21 b Fr(\037)i Fw(:)g Fu(B)h(\000)-9 b(!)23 b(B)503 2242 y Fn(0)536 2260 y Fw(is)f(a)g Fu(C)s Fw(-functor,)h(then)e Fr(\037)h Fw(b)q(ecomes)e(also)i(a)g Fu(D)q Fw(-functor.)39 b(If)21 b Fr(\037)i Fw(:)0 2318 y Fu(B)14 b(\002)e(B)133 2300 y Fn(0)160 2318 y Fu(\000)-8 b(!)17 b(B)293 2300 y Fn(0)n(0)331 2318 y Fw(is)h(a)g Fu(C)s Fw(-bifunctor,)h(then)f Fr(\037)f Fw(b)q(ecomes)g(also)i(a)f Fu(D)q Fw(-bifunctor.)28 b(In)17 b(b)q(oth)i(cases)0 2376 y(the)d(structure)g(morphisms)e Fr(\020)20 b Fw(resp.)i Fr(\034)g Fw(remain)14 b(unc)o(hanged.)50 2434 y(If)i Fr(\037;)8 b(\037)183 2416 y Fn(0)207 2434 y Fw(:)13 b Fu(B)i(\000)-8 b(!)14 b(B)412 2416 y Fn(0)439 2434 y Fw(are)i Fu(C)s Fw(-functors)h(and)g Fr(\020)h Fw(:)13 b Fr(\037)h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(\037)1085 2416 y Fn(0)1112 2434 y Fw(is)i(a)h Fu(C)s Fw(-morphism,)d(then)i Fr(\020)k Fw(is)c(also)0 2492 y(a)h Fu(D)q Fw(-morphism.)0 2578 y(5.1.3.)49 b(If)16 b Fu(A)g Fw(is)g(a)h Fu(C)s Fw(-monoidal)e(category)l(,)h(then)g(it)g(b)q(ecomes)f(also)i(a)g Fu(D)q Fw(-monoidal)f(category)l(.)50 2636 y(The)g(ab)q(o)o(v)o(e)g (observ)m(ations)i(giv)o(e)d(imme)o(diately)0 2722 y Fy(Prop)r(osition)j(5.1.)i Fm(If)c Fu(F)j Fw(:)13 b Fu(D)j(\000)-9 b(!)14 b(C)20 b Fm(is)c(a)h(br)n(aide)n(d)e(monoidal)i(functor,)h(then) f(it)g(induc)n(es)g(an)0 2780 y(\\underlying")i(functor)f Fo(A)o Fw(\()p Fu(F)5 b Fw(\))14 b(:)f Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fo(A)p Fw(\()p Fu(D)q Fw(\))p Fm(.)p eop %%Page: 33 33 33 32 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(33)0 58 y Fw(5.1.4.)49 b(Let)14 b(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))13 b Fu(2)h Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g(and)h(consider)f Fo(A)p Fw(\()p Fu(F)5 b Fw(\)\()p Fu(B)r Fr(;)j(!)r Fw(\))k(=)i(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))13 b(with)h(the)g(induced)f(struc-)0 117 y(ture)j(morphisms.)j(Assume)14 b(that)i(Nat)734 124 y Fn(C)757 117 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)d Fw({\))16 b(and)h(Nat)1155 124 y Fn(D)1186 117 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)k Fu(\012)f Fw({\))16 b(are)g(represen)o(table)0 175 y(b)o(y)25 b(co)q(end)200 182 y Fn(C)222 175 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h(resp.)47 b(co)q(end)590 182 y Fn(D)620 175 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)h(Then)25 b Fu(A)p Fw(\(co)q(end)1070 182 y Fn(C)1092 175 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)8 b(M)d Fw(\))1285 161 y Fu(\030)1285 177 y Fw(=)1352 175 y(Nat)1432 182 y Fn(C)1455 175 y Fw(\()p Fr(!)r(;)j(!)19 b Fu(\012)e Fr(M)5 b Fw(\))29 b Fu(\022)0 233 y Fw(Nat)80 240 y Fn(D)110 233 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)19 b Fu(\012)d Fr(M)5 b Fw(\))386 219 y Fu(\030)387 235 y Fw(=)452 233 y Fu(A)p Fw(\(co)q(end)634 240 y Fn(D)665 233 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)j(M)d Fw(\))24 b(as)h(functors)g(in)f Fr(M)33 b Fu(2)28 b(A)c Fw(hence)f(there)h(is)g(an)0 291 y(epimorphism)13 b(of)k(the)f(represen)o(ting)f(ob)s(jects)h(co)q(end)995 298 y Fn(F)1026 291 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))e(:)f(co)q(end)1260 298 y Fn(D)1291 291 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(co)q(end)1592 298 y Fn(C)1615 291 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)0 406 y Fy(Theorem)j(5.2.)i Fm(L)n(et)k Fu(F)28 b Fw(:)23 b Fu(D)i(\000)-9 b(!)23 b(C)j Fm(b)n(e)d(a)f(br)n (aide)n(d)g(monoidal)h(functor.)38 b(L)n(et)22 b Fu(A)h Fm(b)n(e)g(a)f Fu(C)s Fm(-)0 464 y(monoidal)i(c)n(ate)n(gory,)g Fu(B)g Fm(a)f Fu(C)s Fm(-c)n(ate)n(gory)h(and)f Fr(!)k Fw(:)d Fu(B)i(\000)-9 b(!)25 b(A)e Fm(a)g Fu(C)s Fm(-functor.)41 b(Assume)23 b(that)0 522 y Fw(co)q(end)123 529 y Fn(C)146 522 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))14 b Fm(and)h Fw(co)q(end)445 529 y Fn(D)475 522 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))f Fm(exist.)23 b(Then)14 b(ther)n(e)h(is)f(an)g(induc)n(e)n(d)g(epimorphism)g(of)g(c)n (o)n(algebr)n(as)0 580 y Fw(co)q(end)123 587 y Fn(F)154 580 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(:)f(co)q(end)388 587 y Fn(D)419 580 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(co)q(end)720 587 y Fn(C)743 580 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))j Fm(in)h Fu(C)s Fm(.)50 641 y(If)j(in)g(addition)g(the)h(c)n(omo)n(dule)f Fw(\(co)q(end)803 648 y Fn(C)825 641 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(;)8 b Fw(\001\))21 b Fm(is)g(liftable)i(along)f Fr(!)h Fm(then)f Fw(co)q(end)1637 648 y Fn(F)1668 641 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))e(:)0 700 y(co)q(end)123 707 y Fn(D)154 700 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))14 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(co)q(end)455 707 y Fn(C)477 700 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))k Fm(is)f(a)h(r)n(etr)n(action)f(of)g(obje)n(cts)h(in)g Fu(C)s Fm(.)0 814 y(Pr)n(o)n(of.)h Fw(Let)i Fr(C)k Fw(:=)d(co)q(end)498 821 y Fn(C)520 814 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g(and)f Fr(D)j Fw(:=)d(co)q(end)971 821 y Fn(D)1002 814 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)35 b(Let)21 b Fr(\016)i Fw(:)f Fr(!)h Fu(\000)-8 b(!)22 b Fr(!)16 b Fu(\012)e Fr(C)24 b Fw(and)e Fr(@)i Fw(:)0 873 y Fr(!)19 b Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(!)e Fu(\012)e Fr(D)20 b Fw(b)q(e)e(the)f(univ)o(ersal)g(morphisms.)24 b(W)l(rite)17 b Fr(C)1108 854 y Ft(2)1143 873 y Fw(:=)f Fr(C)g Fu(\012)11 b Fr(C)t Fw(,)17 b Fr(D)1423 854 y Ft(2)1460 873 y Fw(=)g Fr(D)d Fu(\012)e Fr(D)q Fw(,)18 b(and)0 931 y Fr(f)h Fw(=)14 b(co)q(end)218 938 y Fn(F)249 931 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)21 b(Then)c(the)f(comm)o(utati)o(vit)n(y)d (of)609 1037 y Fr(!)251 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(D)p 653 1023 225 2 v 836 1022 a Fg(-)755 1014 y Fp(@)558 1372 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(D)189 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(D)1014 1353 y Ft(2)p 705 1355 163 2 v 826 1354 a Fg(-)717 1343 y Fp(@)r Fn(\012)p Ft(1)775 1120 y Fr(!)252 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(C)p 819 1106 226 2 v 1003 1105 a Fg(-)924 1136 y Fp(\016)725 1455 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)194 b(!)14 b Fu(\012)c Fr(C)1179 1436 y Ft(2)p 869 1438 166 2 v 993 1437 a Fg(-)921 1468 y Fp(\016)q Fn(\012)p Ft(1)654 1070 y(=)683 1072 y Fg(H)691 1076 y(H)-42 b(j)1067 1072 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)-114 b Fg(H)1023 1076 y(H)-42 b(j)683 1404 y(H)691 1408 y(H)g(j)637 1414 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)1015 1404 y Fg(H)1023 1408 y(H)g(j)920 1414 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)t Fn(\012)p Fp(f)p 624 1325 2 274 v 625 1325 a Fg(?)642 1199 y Fp(@)p 790 1408 V 791 1408 a Fg(?)808 1282 y Fp(\016)p 956 1325 V 957 1325 a Fg(?)974 1198 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(\001)p 1122 1408 V 1123 1408 a Fg(?)1140 1281 y Ft(1)p Fn(\012)p Ft(\001)0 1554 y Fw(and)595 1623 y Fr(!)417 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(D)p 639 1608 390 2 v 987 1607 a Fg(-)824 1600 y Fp(@)794 1788 y Fr(!)j Fu(\012)c Fr(C)762 1702 y Fp(\016)655 1664 y Fg(Q)696 1692 y(Q)738 1720 y(Q)775 1744 y(Q)-42 b(s)801 1954 y Fr(!)13 b Fu(\012)e Fr(I)683 1775 y Fn(\030)683 1785 y Ft(=)633 1678 y Fg(S)664 1720 y(S)695 1761 y(S)726 1803 y(S)757 1844 y(S)788 1886 y(S)807 1910 y(S)-31 b(w)893 1699 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)1024 1664 y Fg(\021)982 1692 y(\021)941 1720 y(\021)904 1744 y(\021)-42 b(+)1010 1783 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(")1056 1678 y Fg(\023)1025 1720 y(\023)994 1761 y(\023)963 1803 y(\023)932 1844 y(\023)901 1886 y(\023)882 1910 y(\023)-31 b(/)p 859 1910 2 108 v -53 w(?)877 1865 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(")0 2029 y Fw(sho)o(w)17 b(that)g Fr(f)i Fw(:)13 b Fr(D)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(C)20 b Fw(is)c(a)g(coalgebra)h(morphism.)50 2090 y(Let)g Fr(g)i Fw(:)c Fr(!)r Fw(\()272 2074 y Fj(e)260 2090 y Fr(C)t Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(C)21 b Fw(b)q(e)c(a)h Fr(C)t Fw(-como)q(dule)e(isomorphism.)23 b(Then)18 b(the)f(follo)o (wing)g(diagram)0 2149 y(comm)o(utes)508 2224 y Fr(!)r Fw(\()571 2208 y Fj(e)559 2224 y Fr(C)t Fw(\))89 b Fr(!)r Fw(\()769 2208 y Fj(e)757 2224 y Fr(C)s Fw(\))11 b Fu(\012)g Fr(D)p 629 2208 65 2 v 652 2207 a Fg(-)651 2200 y Fp(@)1025 2224 y Fr(I)k Fu(\012)10 b Fr(D)1167 2211 y Fu(\030)1167 2226 y Fw(=)1220 2224 y Fr(D)p 929 2208 84 2 v 971 2207 a Fg(-)931 2193 y Fp("g)q Fn(\012)p Ft(1)707 2390 y Fr(!)r Fw(\()770 2374 y Fj(e)758 2390 y Fr(C)t Fw(\))h Fu(\012)g Fr(C)644 2302 y Fp(\016)606 2264 y Fg(Q)647 2292 y(Q)689 2320 y(Q)726 2344 y(Q)-42 b(s)p 811 2344 2 108 v 43 w(?)828 2299 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)p 1059 2510 2 274 v 1060 2510 a Fg(?)978 2382 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)p 1225 2510 V 1226 2510 a Fg(?)1243 2382 y Fp(f)543 2391 y Fr(C)p 562 2344 2 108 v 562 2344 a Fg(?)528 2294 y Fp(g)p 811 2510 V 811 2510 a Fg(?)732 2464 y Fp(g)q Fn(\012)p Ft(1)631 2468 y(\001)606 2430 y Fg(Q)647 2458 y(Q)689 2486 y(Q)726 2510 y(Q)g(s)742 2554 y Fr(C)15 b Fu(\012)c Fr(C)146 b(I)15 b Fu(\012)10 b Fr(C)1162 2541 y Fu(\030)1162 2556 y Fw(=)1214 2554 y Fr(C)q(:)p 893 2540 119 2 v 970 2539 a Fg(-)921 2528 y Fp(")p Fn(\012)p Ft(1)0 2629 y Fw(The)15 b(lo)o(w)o(er)g(morphism)e(of)i(the)h(diagram)e(is)h(the)h(iden)o(tit)o (y)d(hence)h Fr(f)21 b Fw(is)15 b(a)h(retraction)f(in)g Fu(A)p Fw(.)p 1739 2602 33 2 v 1739 2631 2 30 v 1770 2631 V 1739 2633 33 2 v 0 2734 a(5.1.5.)49 b(Observ)o(e)20 b(that)h(the)g(morphism)d(co)q(end)909 2741 y Fn(F)940 2734 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))k(:)f(co)q(end)1190 2741 y Fn(D)1220 2734 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)22 b Fw(co)q(end)1537 2741 y Fn(C)1559 2734 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))f(is)g(the)0 2793 y(uniquely)15 b(de\014ned)h(morphism)e (suc)o(h)i(that)g(\(1)852 2800 y Fp(!)889 2793 y Fu(\012)11 b Fw(co)q(end)1062 2800 y Fn(F)1093 2793 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\)\))g Fu(\016)g Fr(@)16 b Fw(=)e Fr(\016)r Fw(.)p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 0 -49 a Fx(34)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(5.1.6.)49 b(The)18 b(preceding)e(theorem)g(sho)o(ws)j(that)f (the)f(reconstructed)g(coalgebra)h Fr(D)i Fw(w.r.t.)k Fu(D)0 117 y Fw(is)15 b(larger)g(than)h Fr(C)t Fw(.)21 b(W)l(e)15 b(consider)g(the)g(additional)g(part)h(in)f Fr(D)i Fw(as)f(hidden)f(symmetrie)o(s)e(in)i(the)0 175 y(sense)20 b(describ)q(ed)f(in)h(the)f(in)o(tro)q(duction.)32 b(It)19 b(is)h(resp)q(onsible)g(for)g Fu(D)q Fw(-morphisms)f Fr(')h Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)0 233 y Fr(!)10 b Fu(\012)e Fr(M)20 b Fw(whic)o(h)14 b(are)g(not)h Fu(C)s Fw(-morphisms)e(or)i(for)g(certain)f(elemen)o(ts)e(in)j(Nat)1372 240 y Fn(D)1403 233 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)i Fu(\012)e Fr(M)d Fw(\))14 b(whic)o(h)0 291 y(are)i(not)g(con)o(tained)g(in)f(Nat) 524 298 y Fn(C)546 291 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)13 b Fu(\012)d Fr(M)5 b Fw(\).)21 b(As)16 b(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)g(seen)h (this)f(part)h(of)h Fr(D)g Fw(tends)f(to)g(split)0 349 y(o\013.)0 464 y(5.1.7.)49 b(An)17 b(example)e(of)j(a)g(hidden)f (symmet)o(ry)e(can)i(b)q(e)h(obtained)f(for)h(sup)q(eralgebra)g(repre-) 0 522 y(sen)o(tations.)j(This)14 b(is)h(dual)f(to)h(the)f(ab)q(o)o(v)o (e)h(considerations.)21 b(Giv)o(en)13 b(an)i(algebra)g Fr(A)f Fw(considered)0 580 y(as)24 b(a)f(sup)q(eralgebra)h(\()p Fr(A;)8 b Fw(0\).)42 b(Consider)23 b Fu(A)i Fw(=)h Fu(C)s Fw(,)e(the)f(category)g(of)h(sup)q(er)f(v)o(ector)f(spaces)0 638 y(\()p Fs(K)t(Z)94 645 y Ft(2)111 638 y Fw(-Como)q(d\),)c(the)f (category)h Fu(B)f Fw(=)f Fu(C)744 645 y Fp(A)791 638 y Fw(of)i(sup)q(er)g Fr(A)p Fw(-mo)q(dules,)e(and)j(the)e(forgetful)h (functor)0 696 y Fr(!)e Fw(:)e Fu(C)100 703 y Fp(A)143 696 y Fu(\000)-8 b(!)14 b(C)s Fw(.)22 b(Let)16 b Fu(F)j Fw(:)14 b Fu(D)i Fw(=)f(V)l(ec)e Fu(\000)-9 b(!)14 b(C)20 b Fw(b)q(e)c(the)h(functor)f(whic)o(h)g(sends)h(eac)o(h)f(v)o(ector)g (space)0 755 y Fr(V)30 b Fw(to)19 b(the)f(sup)q(er)h(v)o(ector)f(space) g(\()p Fr(V)s(;)8 b Fw(0\).)29 b(An)o(y)17 b Fu(D)q Fw(-morphism)g Fr(')h Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)17 b Fr(!)k Fw(is)d(describ)q(ed)g (b)o(y)0 813 y(its)e(image)f(under)h Fr(')e Fu(2)g Fw(Nat)520 820 y Fn(D)550 813 y Fw(\()p Fr(!)f Fu(\012)e Fr(I)t(;)d(!)r Fw(\))774 799 y Fu(\030)775 815 y Fw(=)827 813 y Fu(A)p Fw(\()p Fr(I)t(;)g Fw(end)1009 820 y Fn(D)1039 813 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\)\).)50 874 y(The)24 b(natural)h(transformation)f Fr(')k Fw(:)f Fr(P)35 b Fu(\000)-9 b(!)28 b Fr(P)j Fw(giv)o(en)24 b(b)o(y)g(\()p Fr(p)1269 881 y Ft(0)1289 874 y Fr(;)8 b(p)1335 881 y Ft(1)1355 874 y Fw(\))27 b Fu(7!)h Fw(\()p Fr(p)1522 881 y Ft(0)1542 874 y Fr(;)8 b Fu(\000)p Fr(p)1627 881 y Ft(1)1647 874 y Fw(\))24 b(is)g(a)0 932 y(symmetry)d(for)j(all)f (represen)o(tations)h(of)g Fr(A)f Fw(\(a)h(natural)h(automorphism)d(of) i Fr(!)r Fw(\),)i(whic)o(h)d(is)0 990 y(not)17 b(induced)e(b)o(y)h(the) g(m)o(ultiplic)o(ation)e(with)i(an)o(y)g(elemen)o(t)d(of)k Fr(A)p Fw(.)j(A)c(m)o(ultiplic)o(ation)e(with)i(an)0 1048 y(elemen)o(t)10 b Fr(a)k Fw(=)f(\()p Fr(a;)8 b Fw(0\))14 b Fu(2)g Fr(A)f Fw(on)g Fr(A)p Fw(-mo)q(dules)g(\()p Fr(P)845 1055 y Ft(0)865 1048 y Fr(;)8 b(P)918 1055 y Ft(1)938 1048 y Fw(\))13 b(in)g Fu(C)1050 1055 y Fp(A)1092 1048 y Fw(w)o(ould)g(ha)o(v)o(e)f(to)i(satisfy)f(\()p Fr(p)1589 1055 y Ft(0)1609 1048 y Fr(;)8 b(p)1655 1055 y Ft(1)1675 1048 y Fw(\))p Fr(a)14 b Fw(=)0 1106 y(\()p Fr(p)43 1113 y Ft(0)63 1106 y Fr(a;)8 b(p)135 1113 y Ft(1)155 1106 y Fr(a)p Fw(\))18 b(=)g(\()p Fr(p)317 1113 y Ft(0)337 1106 y Fr(;)8 b Fu(\000)p Fr(p)422 1113 y Ft(1)442 1106 y Fw(\))19 b(for)g(all)g(c)o(hoices)f(of)h(\()p Fr(p)896 1113 y Ft(0)916 1106 y Fr(;)8 b(p)962 1113 y Ft(1)982 1106 y Fw(\))19 b(whic)o(h)f(is)h(not)h(p)q(ossible.)29 b(The)19 b(natural)0 1165 y(transformation)i Fr(')f Fw(is,)h(ho)o(w)o (ev)o(er,)f(a)h Fu(D)q Fw(-morphism)e(and)j(th)o(us)e(comes)f(from)h(m) o(ultiplic)o(ation)0 1223 y(with)c(an)h(elemen)o(t)c Fr(b)g Fu(2)h Fw(end)516 1230 y Fn(D)547 1223 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\),)h(in)h(fact)g(from)f(the)h(elemen)o(t)d Fr(e)1201 1230 y Ft(1)1232 1223 y Fu(\000)d Fr(e)1304 1230 y Fp(t)1333 1223 y Fu(2)k Fw(\()p Fs(K)s(Z)1474 1230 y Ft(2)1490 1223 y Fw(\))1509 1205 y Fn(\003)1543 1223 y Fu(\022)f Fw(end)1671 1230 y Fn(D)1702 1223 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))0 1281 y(where)j Fr(e)164 1288 y Ft(1)183 1281 y Fr(;)8 b(e)228 1288 y Fp(t)259 1281 y Fw(is)16 b(the)g(dual)g(basis)h(to)g(1)p Fr(;)8 b(t)13 b Fu(2)h Fs(K)t Fw([)p Fr(t)p Fw(])p Fr(=)p Fw(\()p Fr(t)947 1263 y Ft(2)980 1281 y Fu(\000)c Fw(1\))15 b(=)e Fs(K)t(Z)1213 1288 y Ft(2)1230 1281 y Fw(.)0 1396 y(5.1.8.)49 b(W)l(e)18 b(apply)h(the)f(preceding)g(example)f(in)h(represen)o(tation)g(theory)g (of)h(groups.)30 b(If)18 b(w)o(e)0 1454 y(consider)24 b(represen)o(tations)g(of)h(a)f(group)i Fr(G)e Fw(in)g(v)o(ector)g (spaces)g(o)o(v)o(er)g(a)g(\014eld)g Fs(K)t Fw(,)29 b(i.e.)44 b(the)0 1512 y(category)17 b Fu(M)257 1519 y Fq(K)p Fp(G)313 1512 y Fw(,)g(then)g(eac)o(h)g(elemen)n(t)e Fr(g)i Fu(2)f Fr(G)i Fw(induces)e(a)i Fu(C)s Fw(-monoidal)f(automorphism)f Fr(')1723 1519 y Fp(g)1758 1512 y Fw(:)0 1570 y Fr(!)24 b Fu(\000)-8 b(!)22 b Fr(!)h Fw(with)e Fr(')358 1577 y Fp(g)378 1570 y Fw(\()p Fr(p)p Fw(\))i(:=)f Fr(pg)r Fw(,)h(where)d Fr(!)25 b Fw(:)d Fu(M)919 1577 y Fq(K)p Fp(G)996 1570 y Fu(\000)-8 b(!)22 b(M)g Fw(=)g(V)l(ec)f(=)h Fu(C)j Fw(is)c(the)g(forgetful)0 1628 y(functor.)f(Observ)o(e)12 b(that)h(an)o(y)g(natural)g(transformation)g(of)g(functors)g(in)o(to)f Fu(C)k Fw(is)c(a)i Fu(C)s Fw(-morphism)0 1686 y(b)o(y)22 b(Theorem)g(6.4.)41 b(Con)o(v)o(ersely)21 b(giv)o(en)h(an)o(y)h Fu(C)s Fw(-monoidal)f(automorphism)f Fr(')k Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)24 b Fr(!)0 1745 y Fw(there)19 b(is)g(precisely)e(one)j Fr(g)h Fu(2)f Fr(G)f Fw(with)h Fr(')f Fw(=)g Fr(')884 1752 y Fp(g)904 1745 y Fw(.)30 b(Th)o(us)20 b Fr(G)g Fw(can)f(b)q(e)h(reconstructed)f(from)f(its)0 1803 y(represen)o (tations,)d(i.e.)20 b(from)c Fr(!)g Fw(:)d Fu(M)684 1810 y Fq(K)p Fp(G)753 1803 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(M)p Fw(.)50 1864 y(No)o(w)f(consider)g(represen)o(tations)h(of)f Fr(G)h Fw(in)g(sup)q(er)g(v)o(ector)e(spaces)i(o)o(v)o(er)f Fs(K)s Fw(,)k(i.e.)i(the)13 b(category)0 1922 y Fu(A)k Fw(of)h(t)o(w)o(o-graded)h(v)o(ector)e(spaces.)25 b(Let)18 b Fu(C)i Fw(=)c Fu(M)937 1904 y Fq(KZ)988 1909 y Fl(2)1020 1922 y Fw(=)g Fu(A)p Fw(,)i Fu(F)j Fw(:)16 b Fu(D)i Fw(=)e(V)l(ec)f Fu(\000)-9 b(!)16 b(C)k Fw(=)c Fu(M)1691 1904 y Fq(KZ)1742 1909 y Fl(2)1758 1922 y Fw(,)0 1980 y(and)21 b Fr(!)i Fw(:)e Fu(A)227 1987 y Fq(K)p Fp(G)303 1980 y Fu(\000)-8 b(!)20 b(A)p Fw(.)34 b(W)l(e)20 b(ma)o(y)f(consider)i Fs(K)s Fr(G)j Fw(as)d(a)g(Hopf)g(algebra)g(\()p Fs(K)s Fr(G)q(;)8 b Fw(0\))24 b(in)c Fu(A)g Fw(and)0 2038 y(ha)o(v)o(e)i(\()p Fr(p)162 2045 y Ft(0)182 2038 y Fr(;)8 b(p)228 2045 y Ft(1)248 2038 y Fw(\))p Fr(g)27 b Fw(=)e(\()p Fr(p)423 2045 y Ft(0)443 2038 y Fr(g)r(;)8 b(p)514 2045 y Ft(1)534 2038 y Fr(g)r Fw(\))23 b(with)f(a)h(suitable)f Fr(G)p Fw(-structure)h(on)h Fr(P)1329 2045 y Ft(0)1371 2038 y Fw(and)g Fr(P)1504 2045 y Ft(1)1546 2038 y Fw(separately)l(.)0 2096 y(Then)19 b(eac)o(h)f(elemen)o(t)d Fr(g)20 b Fu(2)e Fr(G)h Fw(induces)f(a)h Fu(C)s Fw(-monoidal)f(automorphism)f Fr(')1410 2103 y Fp(g)1447 2096 y Fw(:)h Fr(!)h Fu(\000)-8 b(!)17 b Fr(!)r Fw(.)29 b(F)l(or)0 2155 y(an)o(y)18 b Fu(C)s Fw(-monoidal)g(automorphism)g(there)f(is)i(precisely)e(one)h Fr(g)i Fu(2)e Fr(G)h Fw(with)g Fr(')e Fw(=)h Fr(')1552 2162 y Fp(g)1572 2155 y Fw(.)28 b(F)l(or)19 b(the)0 2213 y Fu(D)q Fw(-monoidal)i(automorphism)f Fr(')i Fw(:)g Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)22 b Fr(!)i Fw(with)d Fr(')p Fw(\()p Fr(P)1099 2220 y Ft(0)1119 2213 y Fr(;)8 b(P)1172 2220 y Ft(1)1192 2213 y Fw(\)\()p Fr(p)1254 2220 y Ft(0)1274 2213 y Fr(;)g(p)1320 2220 y Ft(1)1340 2213 y Fw(\))22 b(:=)g(\()p Fr(p)1498 2220 y Ft(0)1518 2213 y Fr(;)8 b Fu(\000)p Fr(p)1603 2220 y Ft(1)1623 2213 y Fw(\))21 b(there)0 2271 y(is,)f(ho)o(w)o(ev)o(er,)g(no)g Fr(g)j Fu(2)d Fr(G)h Fw(with)f Fr(')g Fw(=)g Fr(')759 2278 y Fp(g)779 2271 y Fw(.)33 b(So)20 b(in)g(this)g(case)g(the)g(group)h(of)f (symmetri)o(es)d(\(of)0 2329 y(monoidal)e(automorphisms)h(of)g Fr(!)r Fw(\))h(is)f(a)h(bigger)f(group)h(than)g(the)f(one)h(w)o(e)f (started)g(out)h(with.)0 2387 y(The)f(giv)o(en)g Fr(')g Fw(is)g(an)h(example)d(of)i(a)h(hidden)f(symmetry)-5 b(.)0 2502 y(5.1.9.)49 b(W)l(e)18 b(consider)g(no)o(w)h(the)g (situation)f(of)h(a)g(morphism)d([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(])16 b(:)h(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))17 b Fu(\000)-8 b(!)17 b Fw(\()p Fu(B)1617 2484 y Fn(0)1628 2502 y Fr(;)8 b(!)1682 2484 y Fn(0)1694 2502 y Fw(\))18 b(in)0 2560 y Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))e(together)h(with)f(a)h(braided)f (monoidal)g(functor)g Fu(F)j Fw(:)14 b Fu(D)i(\000)-9 b(!)14 b(C)s Fw(.)22 b(Assume)15 b(the)h(univ)o(ersal)0 2618 y(ob)s(jects)h(and)h(morphisms)d Fr(\016)i Fw(:)e Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)15 b Fr(!)f Fu(\012)e Fr(C)t Fw(,)k Fr(@)i Fw(:)d Fr(!)j Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(!)e Fu(\012)d Fr(D)q Fw(,)18 b Fr(\016)1295 2600 y Fn(0)1322 2618 y Fw(:)d Fr(!)1383 2600 y Fn(0)1410 2618 y Fu(\000)-8 b(!)15 b Fr(!)1538 2600 y Fn(0)1561 2618 y Fu(\012)d Fr(C)1651 2600 y Fn(0)1662 2618 y Fw(,)17 b(and)0 2676 y Fr(@)29 2658 y Fn(0)54 2676 y Fw(:)c Fr(!)113 2658 y Fn(0)139 2676 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)265 2658 y Fn(0)285 2676 y Fu(\012)8 b Fr(D)373 2658 y Fn(0)399 2676 y Fw(exist.)20 b(Then)15 b(b)o(y)g(3.3.1)g(w)o(e)f(get)g(induced)g(morphisms)f Fr(z)j Fw(:)d Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(C)1667 2658 y Fn(0)1693 2676 y Fw(and)0 2734 y Fr(y)i Fw(:)f Fr(D)i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(D)258 2716 y Fn(0)287 2734 y Fw(suc)o(h)i(that)g (\()p Fr(\020)g Fu(\012)10 b Fr(z)r Fw(\))h Fu(\016)g Fr(\016)16 b Fw(=)d Fr(\016)811 2716 y Fn(0)823 2734 y Fr(\037)d Fu(\016)h Fr(\020)21 b Fw(and)16 b(\()p Fr(\020)g Fu(\012)10 b Fr(y)r Fw(\))h Fu(\016)g Fr(@)16 b Fw(=)e Fr(@)1356 2716 y Fn(0)1367 2734 y Fr(\037)d Fu(\016)g Fr(\020)t Fw(.)21 b(F)l(urthermore)0 2793 y(b)o(y)i(Theorem)f(5.2)h (there)g(are)g(induced)g(morphisms)e Fr(f)31 b Fw(:=)25 b(co)q(end)1292 2800 y Fn(F)1322 2793 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h(:)g Fr(D)h Fu(\000)-8 b(!)25 b Fr(C)i Fw(and)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(35)0 58 y Fr(f)29 40 y Fn(0)60 58 y Fw(:=)18 b(co)q(end)253 65 y Fn(F)283 58 y Fw(\()p Fr(!)334 40 y Fn(0)346 58 y Fw(\))h(:)f Fr(D)457 40 y Fn(0)488 58 y Fu(\000)-9 b(!)19 b Fr(C)626 40 y Fn(0)656 58 y Fw(suc)o(h)f(that)i(\(1)920 65 y Fp(!)958 58 y Fu(\012)13 b Fr(f)5 b Fw(\))13 b Fu(\016)g Fr(@)21 b Fw(=)e Fr(\016)h Fw(and)g(\(1)1396 65 y Fp(!)1419 56 y Ff(0)1445 58 y Fu(\012)13 b Fr(f)1526 40 y Fn(0)1538 58 y Fw(\))g Fu(\016)g Fr(@)1637 40 y Fn(0)1667 58 y Fw(=)18 b Fr(\016)1747 40 y Fn(0)1758 58 y Fw(.)0 117 y(Hence)d(b)o(y)h(the)g(univ)o(ersal)f(prop)q(ert)o(y)h(of)h Fr(@)h Fw(the)e(diagram)593 206 y Fr(!)168 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(D)p 637 192 142 2 v 737 191 a Fg(-)698 183 y Fp(@)572 454 y Fr(!)604 435 y Fn(0)616 454 y Fr(\037)117 b(!)796 435 y Fn(0)807 454 y Fr(\037)11 b Fu(\012)g Fr(D)940 435 y Fn(0)p 658 441 93 2 v 710 440 a Fg(-)678 426 y Fp(@)699 414 y Ff(0)710 426 y Fp(\037)p 608 411 2 191 v 609 411 a Fg(?)575 324 y Fp(\020)p 857 411 V 858 411 a Fg(?)778 324 y Fp(\020)r Fn(\012)p Fp(y)1041 372 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)1014 619 y(!)1046 601 y Fn(0)1058 619 y Fr(\037)g Fu(\012)g Fr(C)1189 601 y Fn(0)p 1106 577 V 1107 577 a Fg(?)1124 490 y Fp(\020)r Fn(\012)p Fp(z)1009 282 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)902 248 y Fg(Q)943 276 y(Q)985 303 y(Q)1022 328 y(Q)-42 b(s)1009 533 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)1075 521 y Ff(0)902 497 y Fg(Q)943 525 y(Q)985 552 y(Q)1022 577 y(Q)g(s)885 286 y Fp(\016)696 234 y Fg(P)738 248 y(P)779 262 y(P)821 276 y(P)862 289 y(P)904 303 y(P)945 317 y(P)978 328 y(P)g(q)885 533 y Fp(\016)902 521 y Ff(0)913 533 y Fp(\037)696 483 y Fg(P)738 497 y(P)779 511 y(P)821 525 y(P)862 538 y(P)904 552 y(P)945 566 y(P)978 577 y(P)g(q)0 700 y Fw(comm)o(utes)19 b(and)k(from)e Fr(\020)e Fu(\012)c Fr(z)r(f)29 b Fw(=)24 b(\()p Fr(\020)19 b Fu(\012)c Fr(z)r Fw(\)\(1)h Fu(\012)e Fr(f)5 b Fw(\))25 b(=)f(\(1)15 b Fu(\012)g Fr(f)1236 682 y Fn(0)1248 700 y Fw(\)\()p Fr(\020)k Fu(\012)c Fr(y)r Fw(\))23 b(=)h Fr(\020)19 b Fu(\012)c Fr(f)1633 682 y Fn(0)1645 700 y Fr(y)24 b Fw(and)0 759 y(the)18 b(uniqueness)h(of)g(induced)f (morphisms)e(w)o(e)i(get)h(a)g(comm)o(utativ)o(e)c(diagram)j(of)h (coalgebra)0 817 y(morphisms)782 890 y Fr(D)128 b(C)p 836 874 102 2 v 896 873 a Fg(-)877 859 y Fp(f)777 1057 y Fr(D)818 1039 y Fn(0)944 1057 y Fr(C)983 1039 y Fn(0)p 842 1040 90 2 v -103 w Fg(-)871 1024 y Fp(f)892 1013 y Ff(0)p 802 1010 2 108 v 803 1010 a Fg(?)768 960 y Fp(y)p 968 1010 V 969 1010 a Fg(?)986 963 y Fp(z)0 1115 y Fw(or)324 1178 y(co)q(end)448 1185 y Fn(C)470 1178 y Fw(\([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(]\)co)q(end)736 1185 y Fn(F)766 1178 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))14 b(=)g(co)q(end)1025 1185 y Fn(F)1056 1178 y Fw(\()p Fr(!)1107 1157 y Fn(0)1119 1178 y Fw(\)co)q(end)1261 1185 y Fn(D)1291 1178 y Fw(\([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(]\))p Fr(:)0 1254 y Fw(In)16 b(particular)g(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f (pro)o(v)o(ed)0 1345 y Fy(Theorem)i(5.3.)i Fm(L)n(et)h Fu(F)k Fw(:)18 b Fu(D)j(\000)-9 b(!)19 b(C)k Fm(b)n(e)e(a)f(br)n(aide)n (d)f(monoidal)h(functor.)31 b(Assume)21 b(that)f(the)0 1404 y(functors)h Fw(co)q(end)317 1411 y Fn(C)359 1404 y Fw(:)f Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g Fu(\000)-9 b(!)20 b(A)p Fm(-)p Fw(coalg)i Fm(and)f Fw(co)q(end)1024 1411 y Fn(D)1075 1404 y Fw(:)e Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))h Fu(\000)-8 b(!)20 b(A)p Fm(-)p Fw(coalg)i Fm(exist.)33 b(Then)0 1462 y Fw(co)q(end)123 1469 y Fn(F)176 1462 y Fw(:)22 b(co)q(end)336 1469 y Fn(D)388 1462 y Fu(\000)-8 b(!)22 b Fw(co)q(end)614 1469 y Fn(C)659 1462 y Fm(is)g(a)g(natur)n(al) g(epimorphism)f(of)h(functors)h(fr)n(om)e Fo(A)o Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))i Fm(to)0 1520 y Fu(A)p Fm(-)p Fw(coalg)q Fm(.)0 1611 y Fw(5.1.10.)49 b(Assume)22 b(no)o(w)i(that)f Fu(B)i Fw(is)e Fu(C)s Fw(-monoidal,)h(that)g Fr(!)j Fw(:)f Fu(B)h(\000)-9 b(!)26 b(A)d Fw(is)g(a)g Fu(C)s Fw(-monoidal)0 1670 y(functor)18 b(and)h(that)f(Nat)455 1677 y Fn(C)478 1670 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)14 b Fu(\012)e Fw({\))18 b(and)h(Nat)884 1677 y Fn(D)914 1670 y Fw(\()p Fr(!)r(;)8 b(!)15 b Fu(\012)d Fw({\))18 b(are)g(m)o(ultirepresen)n(table.)24 b(Then)0 1728 y Fr(z)17 b Fw(=)d(co)q(end)216 1735 y Fn(C)238 1728 y Fw(\([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(]\))14 b(:)g Fr(D)j Fu(\000)-9 b(!)15 b Fr(C)20 b Fw(is)d(a)g(bialgebra)g (morphism.)j(The)d(m)o(ultiplic)o(ativit)n(y)d(follo)o(ws)0 1786 y(from)h(the)h(comm)o(utativ)o(e)c(diagram)449 1880 y Fr(!)i Fu(\012)c Fr(!)107 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(D)i Fu(\012)d Fr(D)p 587 1866 80 2 v 625 1865 a Fg(-)609 1853 y Fp(@)628 1858 y Fl(2)458 2376 y Fr(!)r Fw(\()p Fu(\012)p Fw(\))171 b Fr(!)r Fw(\()p Fu(\012)p Fw(\))11 b Fu(\012)g Fr(D)p 579 2364 148 2 v 685 2363 a Fg(-)642 2355 y Fp(@)p 511 2334 2 440 v 512 2334 a Fg(?)434 2128 y Fp(\035)454 2116 y Ff(\000)p Fl(1)730 2129 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(D)p 843 2085 2 191 v 844 2085 a Fg(?)723 1998 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)799 2004 y Fk(D)p 843 2334 V 844 2334 a Fg(?)721 2251 y Fp(\035)741 2239 y Ff(\000)p Fl(1)782 2251 y Fn(\012)p Ft(1)1014 2046 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)j Fu(\012)d Fr(C)1064 2295 y(!)i Fu(\012)e Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)p 1175 2251 V 1176 2251 a Fg(?)1192 2164 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)1268 2170 y Fk(C)1110 2544 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)p 1175 2500 V 1176 2500 a Fg(?)1192 2417 y Fp(\035)1212 2405 y Ff(\000)p Fl(1)1254 2417 y Fn(\012)p Ft(1)1036 1957 y(1)p Fn(\012)p Fp(f)t Fn(\012)p Fp(f)902 1915 y Fg(H)944 1936 y(H)985 1957 y(H)1027 1977 y(H)1068 1998 y(H)1076 2002 y(H)-42 b(j)1036 2206 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)902 2164 y Fg(H)944 2185 y(H)985 2206 y(H)1027 2226 y(H)1068 2247 y(H)1076 2251 y(H)g(j)1036 2454 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)902 2413 y Fg(H)944 2434 y(H)985 2454 y(H)1027 2475 y(H)1068 2496 y(H)1076 2500 y(H)g(j)783 1958 y Fp(\016)799 1963 y Fl(2)628 1905 y Fg(X)670 1915 y(X)711 1926 y(X)753 1936 y(X)794 1946 y(X)836 1957 y(X)877 1967 y(X)919 1977 y(X)960 1988 y(X)1002 1998 y(X)1018 2002 y(X)g(z)799 2458 y Fp(\016)628 2403 y Fg(X)670 2413 y(X)711 2423 y(X)753 2434 y(X)794 2444 y(X)836 2454 y(X)877 2465 y(X)919 2475 y(X)960 2486 y(X)1002 2496 y(X)1018 2500 y(X)g(z)0 2617 y Fw(\(where)16 b Fr(!)r Fw(\()p Fu(\012)p Fw(\)\()p Fr(P)q(;)8 b(Q)p Fw(\))14 b(:=)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)18 b Fu(\012)11 b Fr(Q)p Fw(\)\))16 b(and)h(the)f(unary)h(prop)q(ert)o(y)f(is)g(pro)o(v)o(ed)f(similarly)l (.)50 2676 y(If)k(the)g(bialgebras)h Fr(C)462 2658 y Fn(0)493 2676 y Fw(and)g Fr(D)632 2658 y Fn(0)664 2676 y Fw(are)g(Hopf)f(algebras)h(then)g(b)o(y)f(Corollary)h(3.8)g Fr(C)j Fw(is)c(a)h Fr(C)1744 2658 y Fn(0)1755 2676 y Fw(-)0 2734 y(como)q(dule)10 b(coalgebra)i(b)o(y)e(the)h(coadjoin)o(t)g (coaction)g(w.r.t.)19 b(the)11 b(induced)f(coalgebra)i(morphism)0 2793 y Fr(z)k Fw(:)d Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)14 b Fr(C)252 2774 y Fn(0)278 2793 y Fw(and)h Fr(D)i Fw(is)e(a)h Fr(D)557 2774 y Fn(0)569 2793 y Fw(-como)q(dule)e(coalgebra)i(b)o(y)f(the)f (coadjoin)o(t)i(coaction)f(w.r.t.)20 b(the)p eop %%Page: 36 36 36 35 bop 0 -49 a Fx(36)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(induced)k(coalgebra)h(morphism)e Fr(y)26 b Fw(:)f Fr(D)h Fu(\000)-8 b(!)25 b Fr(D)948 40 y Fn(0)960 58 y Fw(.)41 b(F)l(urthermore)21 b Fr(f)1333 40 y Fn(0)1370 58 y Fw(:)j Fr(D)1449 40 y Fn(0)1487 58 y Fu(\000)-9 b(!)25 b Fr(C)1631 40 y Fn(0)1665 58 y Fw(is)d(an)0 117 y(epimorphism)13 b(and)k(a)g(bialgebra)f(\(Hopf)g(algebra\))h (morphism.)0 268 y Fy(5.2.)27 b(Hidden)20 b(symmet)o(rie)o(s)e(of)i (the)g(base)h(category.)i Fw(Consider)18 b(a)g(braided)g(monoidal)0 326 y(functor)h Fu(F)k Fw(:)17 b Fu(D)j(\000)-8 b(!)18 b(C)j Fw(and)f(a)f(morphism)d([)p Fr(\037;)8 b(\020)t Fw(])17 b(:)g(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))18 b Fu(\000)-9 b(!)18 b Fw(\()p Fu(B)1288 308 y Fn(0)1299 326 y Fr(;)8 b(!)1353 308 y Fn(0)1365 326 y Fw(\))18 b(in)h Fo(A)o Fw(\()p Fu(C)s Fw(\).)29 b(Assume)0 384 y(that)13 b Fu(B)137 366 y Fn(0)161 384 y Fw(is)g(a)g Fu(C)s Fw(-monoidal)f(category)h(and)h Fr(!)814 366 y Fn(0)838 384 y Fw(is)f(a)g Fu(C)s Fw(-monoidal)g (functor.)20 b(Let)13 b Fr(\016)i Fw(:)f Fr(!)i Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)6 b Fu(\012)t Fr(D)0 442 y Fw(b)q(e)13 b(a)h(univ)o(ersal)e Fu(D)q Fw(-morphism.)19 b(Let)14 b Fr(D)732 424 y Fn(0)758 442 y Fw(b)q(e)f(a)h(bialgebra)f(in)g Fu(A)g Fw(and)h(let)f Fr(\016)1358 424 y Fn(0)1383 442 y Fw(:)g Fr(!)1442 424 y Fn(0)1468 442 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)1594 424 y Fn(0)1611 442 y Fu(\012)5 b Fr(D)1696 424 y Fn(0)1722 442 y Fw(b)q(e)0 500 y(a)17 b Fu(D)q Fw(-morphism)f(compatible)f(with)i(the)g(bialgebra)g(structure)g(of)g Fr(D)1292 482 y Fn(0)1322 500 y Fw(\(e.g.)23 b Fr(\016)1462 482 y Fn(0)1490 500 y Fw(is)17 b(a)h(univ)o(ersal)0 559 y Fu(D)q Fw(-morphism\).)h(Let)d Fr(E)i Fw(b)q(e)d(a)g(coalgebra)h(in)e Fu(B)872 540 y Fn(0)898 559 y Fw(and)i(let)e Fr(\026)g Fw(:)f Fr(\037)h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(\037)8 b Fu(\012)g Fr(E)18 b Fw(b)q(e)d(a)h Fu(C)s Fw(-morphism)0 617 y(compatible)e(with) i(the)g(structure)g(of)h Fr(E)i Fw(\(e.g.)i(a)c(univ)o(ersal)e Fu(C)s Fw(-morphism\).)0 768 y Fy(Theorem)i(5.4.)i Fm(In)c(the)h(setup) f(given)i(ab)n(ove)e Fr(D)904 750 y Fn(0)922 768 y Fu(\012)5 b Fr(!)998 750 y Fn(0)1010 768 y Fr(E)18 b Fm(c)n(arries)c(the)h (structur)n(e)g(of)g(a)f(c)n(osmash)0 826 y(pr)n(o)n(duct)i Fr(D)213 808 y Fn(0)226 826 y Fw(#)267 808 y Fp(c)284 826 y Fr(!)316 808 y Fn(0)328 826 y Fr(E)k Fm(and)d(ther)n(e)h(is)f(a)g (c)n(anonic)n(al)h(c)n(o)n(algebr)n(a)f(morphism)f Fr(f)j Fw(:)14 b Fr(D)h Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(D)1603 808 y Fn(0)1616 826 y Fw(#)1657 808 y Fp(c)1674 826 y Fr(!)1706 808 y Fn(0)1718 826 y Fr(E)s Fm(.)0 978 y(Pr)n(o)n(of.)19 b Fw(W)l(e)d(\014rst)g(observ)o(e)f(that)h Fr(!)643 959 y Fn(0)655 978 y Fr(E)j Fw(is)c(a)h(coalgebra)h(in)e Fu(A)h Fw(since)f Fr(!)1278 959 y Fn(0)1305 978 y Fw(is)h(a)g(monoidal) f(functor.)0 1036 y(F)l(urthermore)d Fr(!)312 1018 y Fn(0)324 1036 y Fr(E)17 b Fw(is)d(a)h Fr(D)504 1018 y Fn(0)517 1036 y Fw(-como)q(dule)e(coalgebra)i(b)o(y)e(the)h(morphism)e Fr(\016)1361 1018 y Fn(0)1372 1036 y Fr(E)17 b Fw(:)c Fr(!)1484 1018 y Fn(0)1496 1036 y Fr(E)k Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)1675 1018 y Fn(0)1687 1036 y Fr(E)d Fu(\012)0 1094 y Fr(D)41 1076 y Fn(0)53 1094 y Fw(.)50 1159 y(Consider)16 b(the)g(follo)o(wing)g(induced)g(morphism)e Fr(f)19 b Fw(:)13 b Fr(D)j Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(D)1214 1141 y Fn(0)1227 1159 y Fw(#)1268 1141 y Fp(c)1285 1159 y Fr(!)1317 1141 y Fn(0)1328 1159 y Fr(E)20 b Fw(de\014ned)c(b)o(y)421 1284 y Fr(!)749 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(D)p 466 1270 722 2 v 1146 1269 a Fg(-)818 1261 y Fp(\016)331 1614 y Fr(!)363 1595 y Fn(0)375 1614 y Fw(\()p Fr(\037)g Fu(\012)g Fr(E)s Fw(\))116 b Fr(!)692 1595 y Fn(0)704 1614 y Fr(\037)11 b Fu(\012)g Fr(!)828 1595 y Fn(0)839 1614 y Fr(E)p 556 1602 93 2 v 607 1601 a Fg(-)592 1593 y Fp(\035)1094 1615 y Fr(!)1126 1596 y Fn(0)1138 1615 y Fr(\037)g Fu(\012)g Fr(D)1271 1596 y Fn(0)1294 1615 y Fu(\012)g Fr(!)1376 1596 y Fn(0)1388 1615 y Fr(E)s(:)p 891 1602 192 2 v 1041 1601 a Fg(-)939 1587 y Fp(\016)956 1575 y Ff(0)967 1587 y Fp(\037)p Fn(\012)p Ft(1)400 1449 y Fr(!)432 1430 y Fn(0)444 1449 y Fr(\037)p 437 1406 2 108 v 438 1406 a Fg(?)403 1360 y Fp(\020)p 437 1572 V 438 1572 a Fg(?)365 1528 y Fp(!)388 1516 y Ff(0)400 1528 y Fp(\026)1122 1451 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(D)1256 1433 y Fn(0)1280 1451 y Fu(\012)g Fr(!)1362 1433 y Fn(0)1373 1451 y Fr(E)p 1266 1406 V 1267 1406 a Fg(?)1284 1360 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)p 1266 1572 V 1267 1572 a Fg(?)1284 1526 y Fp(\020)r Fn(\012)p Ft(1)0 1731 y Fw(Since)18 b(the)h(comp)q(osition)g(along)h (the)e(lo)o(w)o(er)h(edge)g(of)g(the)g(square)g(is)g(a)h Fu(D)q Fw(-morphism)d Fr(!)k Fu(\000)-8 b(!)0 1789 y Fr(!)7 b Fu(\012)e Fr(D)122 1771 y Fn(0)140 1789 y Fu(\012)g Fr(!)216 1771 y Fn(0)228 1789 y Fr(E)16 b Fw(the)d(morphism)e Fr(f)19 b Fw(is)13 b(uniquely)f(determined.)18 b(W)l(e)13 b(sho)o(w)h(that)f Fr(f)19 b Fw(is)13 b(a)h(coalgebra)0 1847 y(morphism)f(with)i Fr(D)378 1829 y Fn(0)400 1847 y Fu(\012)10 b Fr(!)481 1829 y Fn(0)492 1847 y Fr(E)17 b Fw(=)d Fr(D)638 1829 y Fn(0)650 1847 y Fw(#)691 1829 y Fp(c)708 1847 y Fr(!)740 1829 y Fn(0)752 1847 y Fr(E)19 b Fw(the)c(cosmash)g(pro)q(duct.)22 b(F)l(or)15 b(this)h(purp)q(ose)g (de\014ne)0 1905 y(a)h(morphism)140 2043 y Fr(\034)161 2050 y Ft(0)194 2043 y Fw(:)d Fr(D)263 2022 y Fn(0)286 2043 y Fu(\012)d Fr(!)368 2022 y Fn(0)380 2043 y Fr(E)433 2016 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\016)495 2004 y Ff(0)506 2016 y Fp(E)443 2043 y Fu(\000)-9 b(!)24 b Fr(D)588 2022 y Fn(0)612 2043 y Fu(\012)11 b Fr(!)694 2022 y Fn(0)706 2043 y Fr(E)j Fu(\012)c Fr(D)846 2022 y Fn(0)880 2016 y Fp(\033)q Fn(\012)p Ft(1)873 2043 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(!)999 2022 y Fn(0)1011 2043 y Fr(E)g Fu(\012)d Fr(D)1152 2022 y Fn(0)1175 2043 y Fu(\012)g Fr(D)1266 2022 y Fn(0)1292 2010 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)1368 2020 y Fk(D)1394 2013 y Ff(0)1310 2043 y Fu(\000)-9 b(!)31 b Fr(!)1453 2022 y Fn(0)1465 2043 y Fr(E)14 b Fu(\012)d Fr(D)1606 2022 y Fn(0)1619 2043 y Fr(:)0 2167 y Fw(Then)16 b(the)g(follo)o(wing)g (diagram)g(of)h Fu(D)q Fw(-morphisms)e(comm)o(ute)o(s)203 2299 y Fr(!)235 2281 y Fn(0)247 2299 y Fr(\037)271 b(!)581 2281 y Fn(0)593 2299 y Fw(\()p Fr(\037)11 b Fu(\012)f Fr(E)s Fw(\))p 290 2287 248 2 v 496 2286 a Fg(-)386 2272 y Fp(!)409 2260 y Ff(0)420 2272 y Fp(\026)878 2299 y Fr(!)910 2281 y Fn(0)922 2299 y Fr(\037)h Fu(\012)f Fr(!)1045 2281 y Fn(0)1057 2299 y Fr(E)p 774 2287 93 2 v 825 2286 a Fg(-)809 2278 y Fp(\035)1236 2300 y Fr(!)1268 2282 y Fn(0)1280 2300 y Fr(\037)g Fu(\012)h Fr(D)1412 2282 y Fn(0)1436 2300 y Fu(\012)g Fr(!)1518 2282 y Fn(0)1529 2300 y Fr(E)p 1108 2287 116 2 v 1182 2286 a Fg(-)1119 2272 y Fp(\016)1136 2260 y Ff(0)1147 2272 y Fp(\037)p Fn(\012)p Ft(1)146 2797 y Fr(!)178 2779 y Fn(0)190 2797 y Fr(\037)g Fu(\012)f Fr(D)322 2779 y Fn(0)492 2797 y Fr(!)524 2779 y Fn(0)536 2797 y Fw(\()p Fr(\037)g Fu(\012)h Fr(E)s Fw(\))g Fu(\012)g Fr(D)806 2779 y Fn(0)p 347 2785 133 2 v 438 2784 a Fg(-)363 2770 y Fp(!)386 2758 y Ff(0)397 2770 y Fp(\026)p Fn(\012)p Ft(1)1236 2797 y Fr(!)1268 2779 y Fn(0)1280 2797 y Fr(\037)f Fu(\012)h Fr(!)1403 2779 y Fn(0)1415 2797 y Fr(E)j Fu(\012)d Fr(D)1556 2779 y Fn(0)p 831 2785 393 2 v 1182 2784 a Fg(-)994 2773 y Fp(\035)q Fn(\012)p Ft(1)p 240 2755 2 440 v 240 2755 a Fg(?)174 2545 y Fp(\016)191 2533 y Ff(0)202 2545 y Fp(\037)p 655 2755 V 655 2755 a Fg(?)672 2544 y Fp(\016)689 2532 y Ff(0)700 2544 y Ft(\()p 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2375 y Ff(0)126 2384 y Fn(\012)p Fp(!)176 2375 y Ff(0)188 2384 y Fp(E)231 2377 y Fw(:)e Fr(D)300 2357 y Fn(0)323 2377 y Fu(\012)d Fr(!)405 2357 y Fn(0)417 2377 y Fr(E)470 2345 y Ft(\001)499 2354 y Fk(D)525 2347 y Ff(0)538 2345 y Fn(\012)p Ft(\001)594 2354 y Fk(!)614 2347 y Ff(0)626 2354 y Fk(E)521 2377 y Fu(\000)-9 b(!)65 b Fr(D)707 2357 y Fn(0)731 2377 y Fu(\012)10 b Fr(D)821 2357 y Fn(0)845 2377 y Fu(\012)h Fr(!)927 2357 y Fn(0)939 2377 y Fr(E)j Fu(\012)d Fr(!)1071 2357 y Fn(0)1082 2377 y Fr(E)1135 2350 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\034)1196 2355 y Fl(0)1213 2350 y Fn(\012)p Ft(1)1157 2377 y Fu(\000)-9 b(!)35 b Fr(D)1313 2357 y Fn(0)1337 2377 y Fu(\012)11 b Fr(!)1419 2357 y Fn(0)1430 2377 y Fr(E)j Fu(\012)d Fr(D)1571 2357 y Fn(0)1595 2377 y Fu(\012)g Fr(!)1677 2357 y Fn(0)1688 2377 y Fr(E)0 2475 y Fw(and)j(observ)o(e)e (that)h Fr(\016)j Fw(:)d Fr(!)461 2457 y Fn(0)473 2475 y Fr(\037)g Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)643 2457 y Fn(0)655 2475 y Fr(\037)t Fu(\012)t Fr(D)i Fw(is)e(a)g(univ)o(ersal)f Fu(D)q Fw(-morphism.)19 b(Hence)12 b(the)g(diagram)0 2533 y(of)17 b(induced)e(morphisms)551 2638 y Fr(D)407 b(D)13 b Fu(\012)e Fr(D)p 606 2624 381 2 v 945 2623 a Fg(-)767 2609 y Ft(\001)796 2615 y Fk(D)474 2805 y Fr(D)515 2787 y Fn(0)538 2805 y Fu(\012)g Fr(!)620 2787 y Fn(0)632 2805 y Fr(E)175 b(D)884 2787 y Fn(0)907 2805 y Fu(\012)11 b Fr(!)989 2787 y Fn(0)1001 2805 y Fr(E)j Fu(\012)d Fr(D)1142 2787 y Fn(0)1165 2805 y Fu(\012)g Fr(!)1247 2787 y Fn(0)1259 2805 y Fr(E)p 683 2790 148 2 v 789 2789 a Fg(-)683 2768 y Ft(\001)712 2777 y Fk(D)738 2770 y Ff(0)749 2777 y(\012)p Fk(!)793 2770 y Ff(0)805 2777 y Fk(E)p 572 2760 2 108 v 572 2760 a Fg(?)589 2714 y Fp(f)p 1069 2760 V 1070 2760 a Fg(?)1087 2714 y Fp(f)t Fn(\012)p Fp(f)p eop %%Page: 38 38 38 37 bop 0 -49 a Fx(38)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 73 y Fw(comm)o(utes.)f(It)d(is)f(no)o(w)h(easy)g(to)g(see)f(that)i Fr(D)826 55 y Fn(0)844 73 y Fu(\012)6 b Fr(!)921 55 y Fn(0)933 73 y Fr(E)16 b Fw(with)e(\001)1135 80 y Fp(D)1165 71 y Ff(0)1176 80 y Fn(\012)p Fp(!)1226 71 y Ff(0)1237 80 y Fp(E)1281 73 y Fw(and)g Fr(")g Fw(:)f Fr(D)1478 55 y Fn(0)1497 73 y Fu(\012)6 b Fr(!)1574 55 y Fn(0)1585 73 y Fr(E)1638 47 y Fp(")p Fn(\012)p Fp(!)1704 35 y Ff(0)1716 47 y Fp(")1645 73 y Fu(\000)-8 b(!)20 b Fr(I)0 131 y Fw(is)f(a)h(coalgebra,)g(the)f(cosmash)g(pro)q(duct)h Fr(D)840 113 y Fn(0)852 131 y Fw(#)893 113 y Fp(c)910 131 y Fr(!)942 113 y Fn(0)954 131 y Fr(E)s Fw(,)g(and)g(that)f Fr(f)25 b Fw(:)18 b Fr(D)j Fu(\000)-8 b(!)19 b Fr(D)1516 113 y Fn(0)1541 131 y Fu(\012)13 b Fr(!)1625 113 y Fn(0)1637 131 y Fr(E)22 b Fw(is)d(a)0 189 y(coalgebra)e(morphism.)p 491 162 33 2 v 491 192 2 30 v 522 192 V 491 194 33 2 v 50 279 a(A)f(sp)q(ecial)f(application)h(of)h(the)f(theorem)f(is)h (the)g(follo)o(wing)0 372 y Fy(Corollary)j(5.5.)h Fm(L)n(et)f Fw(\()p Fu(B)r Fr(;)8 b(!)r Fw(\))19 b Fm(b)n(e)h(in)g Fo(A)p Fw(\()p Fu(C)s Fw(\))g Fm(and)g(let)h Fu(F)i Fw(:)17 b Fu(D)j(\000)-8 b(!)18 b(C)23 b Fm(b)n(e)d(a)g(br)n(aide)n(d)e (monoidal)0 430 y(functor.)27 b(If)18 b Fw(co)q(end)369 437 y Fn(D)400 430 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fm(,)h Fw(co)q(end)627 437 y Fn(C)649 430 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fm(,)g(and)g Fw(co)q(end)973 437 y Fn(D)1003 430 y Fw(\(id)1063 437 y Fn(A)1093 430 y Fw(\))g Fm(\(with)g Fw(Nat)1337 437 y Fn(D)1368 430 y Fw(\(id)1427 437 y Fn(A)1458 430 y Fr(;)8 b Fw(id)1520 437 y Fn(A)1562 430 y Fu(\012)k Fm({)p Fw(\))19 b Fm(mul-)0 488 y(tir)n(epr)n(esentable\))f(exist)h(then)f (ther)n(e)g(is)f(a)g(c)n(anonic)n(al)h(c)n(o)n(algebr)n(a)g(morphism) 410 576 y Fr(f)h Fw(:)13 b(co)q(end)604 583 y Fn(D)634 576 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(co)q(end)935 583 y Fn(D)966 576 y Fw(\(id)1025 583 y Fn(A)1055 576 y Fw(\)#)1115 556 y Fp(c)1132 576 y Fw(co)q(end)1256 583 y Fn(C)1278 576 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))p Fr(:)50 666 y Fw(In)j(certain)g(cases)h(the)f(canonical)g(morphism)e(of)j(the)f (preceding)g(corollary)g(is)g(an)h(isomor-)0 724 y(phism.)38 b(If)22 b(this)g(is)g(the)g(case)g(then)h(w)o(e)e(ha)o(v)o(e)h(iden)o (ti\014ed)f(the)h(hidden)g(symmetri)o(es)d(of)k(the)0 782 y(functor)16 b Fr(!)g Fw(:)e Fu(B)h(\000)-9 b(!)14 b(A)i Fw(as)h(the)f(comp)q(onen)o(t)f Fr(D)875 764 y Fn(0)901 782 y Fw(=)f(co)q(end)1077 789 y Fn(D)1107 782 y Fw(\(id)1166 789 y Fn(A)1197 782 y Fw(\))i(in)g(the)g(cosmash)g(pro)q (duct.)0 875 y Fy(Theorem)h(5.6.)i Fm(L)n(et)25 b Fu(D)h Fm(b)n(e)f(a)g(br)n(aide)n(d)f(monoidal)g(c)n(ate)n(gory)h(and)f Fr(H)29 b Fm(b)n(e)c(a)g(br)n(aide)n(d)f(Hopf)0 933 y(algebr)n(a)17 b(in)f Fu(D)q Fm(.)23 b(L)n(et)16 b Fu(A)d Fw(=)h Fu(C)j Fw(=)d Fu(D)621 915 y Fp(H)655 933 y Fm(.)22 b(L)n(et)16 b Fr(C)k Fm(b)n(e)c(a)g(c)n(o)n(algebr)n(a)g(in)h Fu(A)f Fm(and)g Fr(!)g Fw(:)d Fu(A)1456 915 y Fp(C)1500 933 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)i Fm(b)n(e)g(the)0 991 y(for)n(getful)i (functor.)23 b(Then)18 b(with)g Fw(co)q(end)736 998 y Fn(D)766 991 y Fw(\(id)826 998 y Fn(A)856 991 y Fw(\))884 974 y Fj(e)875 991 y Fw(#)916 973 y Fp(c)933 991 y Fw(co)q(end)1057 998 y Fn(C)1079 991 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))g Fm(the)g(c)n(osmash)e(pr)n (o)n(duct)h(in)h Fu(A)416 1085 y Fr(f)i Fw(:)13 b(co)q(end)610 1092 y Fn(D)641 1085 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))h Fu(\000)-9 b(!)14 b Fw(co)q(end)942 1092 y Fn(D)972 1085 y Fw(\(id)1032 1092 y Fn(A)1062 1085 y Fw(\))1090 1068 y Fj(e)1081 1085 y Fw(#)1122 1064 y Fp(c)1139 1085 y Fw(co)q(end)1263 1092 y Fn(C)1285 1085 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))0 1173 y Fm(is)j(an)h(isomorphism)e(of)h(c)n(o)n(algebr)n(as)h(in)f Fu(A)p Fm(.)0 1266 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(W)l(e)d(consider)g(the)g (diagram)734 1353 y Fu(A)774 1335 y Fp(C)998 1353 y Fu(A)p 816 1333 171 2 v 945 1332 a Fg(-)889 1324 y Fp(!)873 1516 y Fu(A)783 1423 y Fp(!)790 1403 y Fg(S)822 1445 y(S)840 1470 y(S)-31 b(w)981 1427 y Ft(id)965 1403 y Fg(\023)934 1445 y(\023)915 1470 y(\023)g(/)0 1587 y Fw(where)18 b Fr(!)j Fw(:)c Fu(A)265 1569 y Fp(C)312 1587 y Fu(\000)-8 b(!)18 b(A)g Fw(is)h(the)f(forgetful)h(functor)g (together)f(with)h(the)f(functor)h Fu(F)k Fw(:)18 b Fu(D)h(\000)-8 b(!)0 1645 y(C)26 b Fw(induced)c(b)o(y)g Fr(u)j Fw(:)f Fr(I)k Fu(\000)-8 b(!)24 b Fr(H)t Fw(.)41 b(It)22 b(is)h(easy)f(to)i(c) o(hec)o(k)c(that)k Fu(A)1244 1627 y Fp(C)1298 1645 y Fw(=)g(\()p Fu(D)1418 1627 y Fp(H)1453 1645 y Fw(\))1472 1627 y Fp(C)1524 1645 y Fw(and)f Fu(D)1664 1627 y Fp(H)s Ft(#)1725 1616 y Fk(c)1742 1627 y Fp(C)0 1704 y Fw(are)d(isomorphic)f Fu(D)q Fw(-categories)i(with)g(the)f(cosmash)g(pro)q(duct)g(formed)f (in)h Fu(D)i Fw(\(for)f(cosmash)0 1762 y(pro)q(ducts)h(and)f(transm)o (utation)f(see)g(also)h(4.1.4\))g(b)o(y)f(sending)h(eac)o(h)f(ob)s (ject)g(\()p Fr(P)q(;)8 b(\026)22 b Fw(:)f Fr(P)28 b Fu(\000)-8 b(!)0 1835 y Fr(P)20 b Fu(\012)12 b Fr(C)t Fw(\))18 b(in)g Fu(A)277 1816 y Fp(C)325 1835 y Fw(to)h(the)f(ob)s (ject)g(\()p Fr(P)q(;)8 b(\016)20 b Fw(:)d Fr(P)855 1805 y Fp(\026)825 1835 y Fu(\000)-8 b(!)17 b Fr(P)j Fu(\012)12 b Fr(C)1085 1808 y Fp(\016)1102 1796 y Ff(0)1113 1808 y Fn(\012)p Ft(1)1082 1835 y Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(P)h Fu(\012)13 b Fr(H)k Fu(\012)12 b Fr(C)t Fw(\))18 b(in)g Fu(D)1564 1816 y Fp(H)s Ft(#)1625 1805 y Fk(c)1642 1816 y Fp(C)1690 1835 y Fw(\(see)0 1893 y(2.1.7\),)e(where)g(the)g(cosmash)g (com)o(ultiplic)o(ation)e(is)i(de\014ned)g(b)o(y)208 2004 y(\001)e(:)f Fr(H)j Fu(\012)10 b Fr(C)448 1976 y Ft(\001)477 1982 y Fk(H)506 1976 y Fn(\012)p Ft(\001)562 1982 y Fk(C)478 2004 y Fu(\000)-8 b(!)44 b Fr(H)15 b Fu(\012)c Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)j Fu(\012)d Fr(C)964 1970 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\016)1026 1958 y Ff(0)1025 1981 y Fk(C)1051 1970 y Fn(\012)p Ft(1)990 2004 y Fu(\000)-8 b(!)39 b Fr(H)15 b Fu(\012)c Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)k Fu(\012)c Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)328 2049 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(\033)q Fn(\012)p Ft(1)344 2076 y Fu(\000)-9 b(!)29 b Fr(H)16 b Fu(\012)11 b Fr(C)j Fu(\012)d Fr(H)k Fu(\012)c Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)921 2047 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(m)997 2053 y Fk(H)1026 2047 y Fn(\012)p Ft(1)956 2076 y Fu(\000)-9 b(!)49 b Fr(H)15 b Fu(\012)c Fr(C)j Fu(\012)d Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)q(:)0 2163 y Fw(The)19 b(morphism)e Fr(z)j Fw(=)e(1)13 b Fu(\012)g Fr(")545 2170 y Fp(C)593 2163 y Fw(:)18 b Fr(H)t Fw(#)710 2144 y Fp(c)727 2163 y Fr(C)k Fu(\000)-9 b(!)19 b Fr(H)k Fw(is)c(a)g(coalgebra)g(morphism.)27 b(It)19 b(induces)f(a)0 2221 y Fu(D)q Fw(-functor)f Fu(D)264 2203 y Fp(z)299 2221 y Fw(:)c Fu(D)365 2203 y Fp(H)s Ft(#)426 2191 y Fk(c)443 2203 y Fp(C)487 2221 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(D)620 2203 y Fp(H)670 2221 y Fw(whic)o(h)i(can)g(b)q(e)h(iden) o(ti\014ed)d(with)i Fr(!)g Fw(:)e Fu(A)1403 2203 y Fp(C)1446 2221 y Fu(\000)-9 b(!)14 b(A)p Fw(.)50 2280 y(By)j(Theorem)f(4.1)j(w)o (e)e(get)h(co)q(end)695 2287 y Fn(D)726 2280 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))e(=)h Fr(H)t Fw(#)952 2262 y Fp(c)969 2280 y Fr(C)t Fw(,)g(the)h(cosmash)f(pro)q(duct)i(de\014ned)e(in)h Fu(D)0 2338 y Fw(as)f(ab)q(o)o(v)o(e.)50 2397 y(F)l(rom)j(Theorem)g (4.2)i(w)o(e)f(get)h(co)q(end)765 2404 y Fn(D)796 2397 y Fw(\(id)855 2404 y Fn(A)886 2397 y Fw(\))g(=)h Fr(H)j Fw(as)c(a)g(coalgebra)g(but)g(with)f(the)h(new)0 2455 y(m)o(ultiplic)o(ation)321 2451 y Fj(f)321 2455 y Fr(m)364 2462 y Fp(H)424 2455 y Fw(:)27 b Fr(H)21 b Fu(\012)16 b Fr(H)31 b Fu(\000)-8 b(!)27 b Fr(H)h Fw(as)d(de\014ned)f(in)f(Prop)q (osition)j(3.6)e(b)o(y)g(the)g(braid)0 2513 y(diagram)p 791 2727 48 2 v 791 2729 2 7 v 791 2746 a Fe(\006)p 838 2729 V 14 w(\005)p 808 2746 14 2 v 791 2675 2 2 v 791 2676 V 791 2677 V 791 2678 V 791 2678 V 791 2679 V 791 2680 V 791 2681 V 790 2681 V 790 2682 V 790 2683 V 790 2683 V 789 2684 V 789 2685 V 788 2685 V 788 2686 V 787 2687 V 787 2687 V 786 2688 V 786 2688 V 785 2689 V 785 2690 V 784 2690 V 783 2691 V 782 2691 V 782 2692 V 781 2692 V 780 2693 V 779 2693 V 778 2694 V 777 2694 V 744 2723 V 744 2722 V 744 2721 V 744 2720 V 745 2720 V 745 2719 V 745 2718 V 745 2717 V 745 2717 V 746 2716 V 746 2715 V 746 2715 V 747 2714 V 747 2713 V 747 2713 V 748 2712 V 748 2711 V 749 2711 V 749 2710 V 750 2710 V 751 2709 V 751 2708 V 752 2708 V 753 2707 V 753 2707 V 754 2706 V 755 2706 V 756 2705 V 757 2705 V 757 2704 V 758 2704 V 744 2675 V 744 2676 V 744 2677 V 745 2678 V 745 2679 V 745 2679 V 745 2680 V 746 2681 V 746 2682 V 746 2682 V 747 2683 V 747 2684 V 748 2685 V 749 2686 V 749 2686 V 750 2687 V 751 2688 V 752 2689 V 753 2690 V 754 2690 V 755 2691 V 756 2692 V 757 2693 V 758 2693 V 759 2694 V 761 2695 V 762 2696 V 763 2697 V 765 2697 V 766 2698 V 768 2699 V 791 2723 V 791 2722 V 791 2721 V 791 2720 V 791 2719 V 791 2719 V 791 2718 V 790 2717 V 790 2716 V 789 2716 V 789 2715 V 788 2714 V 788 2713 V 787 2712 V 786 2712 V 786 2711 V 785 2710 V 784 2709 V 783 2708 V 782 2708 V 781 2707 V 780 2706 V 779 2705 V 778 2705 V 776 2704 V 775 2703 V 774 2702 V 772 2701 V 771 2701 V 769 2700 V 768 2699 V 684 2627 75 2 v 684 2674 2 48 v 709 2668 a Fr(\016)p 756 2674 V 684 2676 75 2 v 778 2627 V 778 2674 2 48 v 72 w(\016)p 850 2674 V 778 2676 75 2 v 920 2627 V 920 2674 2 48 v 120 w(\016)p 992 2674 V 920 2676 75 2 v 1014 2627 V 1014 2674 2 48 v 72 w(\016)p 1086 2674 V 1014 2676 75 2 v 1014 2721 V 1014 2768 2 48 v 1030 2758 a Fj(f)1030 2762 y Fr(m)p 1086 2768 V 1014 2770 75 2 v 1027 2675 2 2 v 1027 2676 V 1027 2677 V 1027 2678 V 1027 2678 V 1027 2679 V 1027 2680 V 1027 2681 V 1026 2681 V 1026 2682 V 1026 2683 V 1025 2683 V 1025 2684 V 1025 2685 V 1024 2685 V 1024 2686 V 1023 2687 V 1023 2687 V 1022 2688 V 1022 2688 V 1021 2689 V 1020 2690 V 1020 2690 V 1019 2691 V 1018 2691 V 1018 2692 V 1017 2692 V 1016 2693 V 1015 2693 V 1014 2694 V 1013 2694 V 980 2723 V 980 2722 V 980 2721 V 980 2720 V 980 2720 V 981 2719 V 981 2718 V 981 2717 V 981 2717 V 981 2716 V 982 2715 V 982 2715 V 982 2714 V 983 2713 V 983 2713 V 984 2712 V 984 2711 V 985 2711 V 985 2710 V 986 2710 V 986 2709 V 987 2708 V 988 2708 V 989 2707 V 989 2707 V 990 2706 V 991 2706 V 992 2705 V 993 2705 V 993 2704 V 994 2704 V 980 2675 V 980 2676 V 980 2677 V 980 2678 V 981 2679 V 981 2679 V 981 2680 V 981 2681 V 982 2682 V 982 2682 V 983 2683 V 983 2684 V 984 2685 V 985 2686 V 985 2686 V 986 2687 V 987 2688 V 988 2689 V 989 2690 V 990 2690 V 991 2691 V 992 2692 V 993 2693 V 994 2693 V 995 2694 V 997 2695 V 998 2696 V 999 2697 V 1001 2697 V 1002 2698 V 1004 2699 V 1027 2723 V 1027 2722 V 1027 2721 V 1027 2720 V 1027 2719 V 1027 2719 V 1026 2718 V 1026 2717 V 1026 2716 V 1025 2716 V 1025 2715 V 1024 2714 V 1024 2713 V 1023 2712 V 1022 2712 V 1021 2711 V 1021 2710 V 1020 2709 V 1019 2708 V 1018 2708 V 1017 2707 V 1016 2706 V 1015 2705 V 1014 2705 V 1012 2704 V 1011 2703 V 1010 2702 V 1008 2701 V 1007 2701 V 1005 2700 V 1004 2699 V 1004 2698 a Fe(e)p 696 2793 2 118 v 720 2627 2 24 v 743 2793 2 71 v 814 2793 2 48 v 814 2627 2 24 v 838 2722 2 48 v 932 2793 2 118 v 956 2627 2 24 v 979 2793 2 71 v 1050 2793 2 24 v 1050 2627 V 1074 2722 2 48 v 702 2599 a Fr(P)63 b(Q)102 b(P)64 b(Q)867 2717 y Fw(=)678 2840 y Fr(P)16 b(Q)29 b(H)81 b(P)16 b(Q)29 b(H)p eop %%Page: 39 39 39 38 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(39)0 58 y Fw(In)18 b(particular)291 54 y Fj(f)291 58 y Fr(m)334 65 y Fp(H)385 58 y Fw(:)f Fr(H)g Fu(\012)c Fr(H)22 b Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(H)23 b Fw(is)18 b(a)h(morphism)e(of)i Fr(H)t Fw(-como)q(dules)f(under)g(the)h(coad-)0 117 y(join)o(t)i (coaction.)35 b(\(This)21 b(morphism)e(has)i(b)q(een)g(studied)g(in)g ([Mj93b])f(under)h(the)g(notion)g(of)0 175 y(transm)o(utation.\))50 235 y(F)l(urthermore)14 b(w)o(e)i(ha)o(v)o(e)g(co)q(end)640 242 y Fn(C)662 235 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\))e(=)g Fr(C)20 b Fw(as)d(coalgebras)g(in)f Fu(A)g Fw(again)h(b)o(y)e(Theorem)g(4.1.)50 295 y(By)22 b(Theorem)f(5.4)i(w)o(e)f(th)o(us)h(get)f(a)h(canonical)g (coalgebra)g(morphism)d Fr(f)30 b Fw(:)24 b Fr(H)t Fw(#)1611 277 y Fp(c)1628 295 y Fr(C)k Fu(\000)-8 b(!)0 353 y Fr(H)53 336 y Fj(e)44 353 y Fw(#)85 335 y Fp(c)102 353 y Fr(C)16 b Fw(where)c(the)g(\014rst)h(cosmash)f(pro)q(duct)h(w)o(as)f(describ)q (ed)g(ab)q(o)o(v)o(e)h(and)f(the)g(second)h(cosmash)0 411 y(pro)q(duct)24 b(comes)d(from)h(the)h(transm)o(utation)f(m)o (ultiplicati)o(on)f(on)i Fr(H)28 b Fw(and)23 b(the)g(braiding)g(in)0 469 y Fu(A)14 b Fw(=)f Fu(D)144 451 y Fp(H)179 469 y Fw(.)21 b(As)16 b(observ)o(ed)g(in)g(4.1.4)g(these)g(t)o(w)o(o)g (cosmash)g(pro)q(ducts)h(are)g(the)f(same.)50 529 y(With)22 b(these)g(coalgebras)h(the)f(canonical)g(morphism)e Fr(f)28 b Fw(is)22 b(de\014ned)g(as)h(in)f(the)g(pro)q(of)h(of)0 587 y(Theorem)15 b(5.4)i(b)o(y)677 655 y Fr(!)202 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(H)t Fw(#)1087 637 y Fp(c)1104 655 y Fr(C)p 722 643 175 2 v 855 642 a Fg(-)800 635 y Fp(\016)628 823 y Fr(!)i Fu(\012)e Fr(C)151 b(!)13 b Fu(\012)e Fr(H)k Fu(\012)c Fr(C)p 772 810 124 2 v 854 809 a Fg(-)785 797 y Fp(\016)802 785 y Ff(0)813 797 y Fp(!)q Fn(\012)p Ft(1)p 693 779 2 108 v 694 779 a Fg(?)656 729 y Fp(\026)p 1025 779 V 1025 779 a Fg(?)1042 734 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(f)0 890 y Fw(with)18 b Fr(\016)g Fw(=)e(\()p Fr(\016)250 872 y Fn(0)261 890 y Fr(!)f Fu(\012)d Fw(1\))p Fr(\026)18 b Fw(as)h(ab)q(o)o(v)o(e,)f(so)g(that)g(the)g(uniquely)f(determined)e (morphism)g Fr(f)24 b Fw(under)0 948 y(the)16 b(giv)o(en)f(iden)o (ti\014cations)h(is)g(the)g(iden)o(tit)o(y)l(.)p 880 921 33 2 v 880 950 2 30 v 911 950 V 880 952 33 2 v 0 1044 a Fy(Example)g(5.7.)k Fw(Let)d Fr(H)k Fw(b)q(e)c(a)g(co)q (quasitriangular)g(Hopf)g(algebra)g(o)o(v)o(er)e(the)i(\014eld)f Fs(K)23 b Fw(and)17 b(let)0 1102 y Fr(C)k Fw(b)q(e)c(an)h Fr(H)t Fw(-como)q(dule)e(coalgebra.)25 b(Let)17 b Fr(!)g Fw(:)e(\()p Fu(M)953 1084 y Fp(H)987 1102 y Fw(\))1006 1084 y Fp(C)1051 1102 y Fu(\000)-9 b(!)15 b(M)1206 1084 y Fp(H)1257 1102 y Fw(b)q(e)i(the)g(forgetful)g(functor.)0 1160 y(Then)680 1229 y(co)q(end\()p Fr(!)r Fw(\))887 1216 y Fu(\030)888 1232 y Fw(=)940 1229 y Fr(H)t Fw(#)1025 1209 y Fp(c)1042 1229 y Fr(C)q(:)0 1325 y Fm(Pr)n(o)n(of.)i Fw(Use)f(Prop)q(osition)h(6.4)g(to)g(sho)o(w)f(co)q(end)q(\()p Fr(!)r Fw(\))f(=)g(co)q(end)1164 1332 y Fn(M)1208 1325 y Fw(\()p Fr(!)r Fw(\).)27 b(This)18 b(sp)q(ecial)g(case)g(can)0 1383 y(also)f(b)q(e)f(deriv)o(ed)f(from)g([Mj94b])h(without)g(the)g (use)h(of)f(con)o(trol)g(categories.)p 1469 1356 V 1469 1386 2 30 v 1500 1386 V 1469 1388 33 2 v 50 1479 a(The)i(last)g (example)e(sho)o(ws)j(that)g(the)f(hidden)g(symmetri)o(es)d(as)k(giv)o (en)e(in)h(5.1.8)h(are)f(repre-)0 1537 y(sen)o(ted)i(b)o(y)g(the)g (Hopf)g(algebra)h Fr(H)j Fw(\(with)c(the)g(transm)o(utation)g(m)o (ultiplic)o(ation\),)f(i.e.)32 b Fr(H)25 b Fw(=)0 1596 y(co)q(end)123 1603 y Fn(M)167 1596 y Fw(\(id)14 b(:)f Fu(M)328 1578 y Fp(H)375 1596 y Fu(\000)-8 b(!)14 b(M)530 1578 y Fp(H)563 1596 y Fw(\).)182 1715 y(6.)28 b Fv(Appendix)16 b(on)j Fs(K)s Fv(-additive)j(ca)m(tegories)c(and)g Fu(C)s Fv(-ca)m(tegories)50 1800 y Fw(Let)d Fs(K)22 b Fw(b)q(e)16 b(a)f(comm)o(utativ)o(e)d(ring)j(and)h(let)f Fu(C)h Fw(:=)e Fs(K)t Fw(-)s(mo)q(d)h(b)q(e)g(the)g(category)h(of)f(\014nitely)f(gen-) 0 1858 y(erated)i(pro)s(jectiv)o(e)e Fs(K)t Fw(-mo)q(dules.)24 b(Then)16 b Fu(C)j Fw(is)d(a)h(symmetri)o(c)c(monoidal)j Fs(K)s Fw(-)q(ab)r(elian)i(category)l(.)50 1918 y(Let)e Fu(A)f Fw(b)q(e)h(a)g(category)f(with)h(splitting)f(idemp)q(oten)o(ts,) e(i.e.)h(for)i(a)g(morphism)d Fr(f)20 b Fw(:)13 b Fr(X)18 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)0 1976 y Fw(with)18 b Fr(f)142 1958 y Ft(2)180 1976 y Fw(=)f Fr(f)24 b Fw(there)17 b(are)i(morphisms)d Fr(q)j Fw(:)d Fr(X)22 b Fu(\000)-8 b(!)17 b Fr(P)25 b Fw(and)19 b Fr(j)h Fw(:)d Fr(P)25 b Fu(\000)-9 b(!)18 b Fr(X)k Fw(with)c Fr(j)s(q)h Fw(=)e Fr(f)24 b Fw(and)0 2034 y Fr(q)r(j)16 b Fw(=)e(1)136 2041 y Fp(P)166 2034 y Fw(.)21 b(Then)15 b Fr(q)h Fw(:)d Fr(X)18 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(P)23 b Fw(is)15 b(a)h(co)q(equalizer)e(of)i(\(1)1035 2041 y Fp(X)1069 2034 y Fr(;)8 b(f)d Fw(\))16 b(and)g Fr(q)h Fw(and)f Fr(j)i Fw(are)e(unique)f(up)g(to)0 2092 y(isomorphisms)f(of)j Fr(P)7 b Fw(.)0 2194 y Fy(Lemma)16 b(6.1.)j Fm(L)n(et)j Fr(f)27 b Fw(:)22 b Fr(X)k Fu(\000)-8 b(!)21 b Fr(X)27 b Fm(and)22 b Fr(g)i Fw(:)d Fr(X)27 b Fu(\000)-9 b(!)22 b Fr(X)k Fm(b)n(e)c(idemp)n(otents)h(with)f Fr(f)5 b(g)24 b Fw(=)e Fr(g)r(f)0 2252 y Fm(and)e(splittings)h Fw(\()p Fr(P)q(;)8 b(q)r(;)g(j)s Fw(\))19 b Fm(of)g Fr(f)25 b Fm(and)20 b Fw(\()p Fr(P)748 2234 y Fn(0)760 2252 y Fr(;)8 b(q)806 2234 y Fn(0)817 2252 y Fr(;)g(j)862 2234 y Fn(0)873 2252 y Fw(\))20 b Fm(of)f Fr(g)r Fm(.)29 b(L)n(et)19 b Fw(\()p Fr(R;)8 b(q)1228 2234 y Fn(0)o(0)1249 2252 y Fr(;)g(j)1294 2234 y Fn(0)o(0)1315 2252 y Fw(\))20 b Fm(b)n(e)f(a)h(splitting)h(of)e(the)0 2310 y(idemp)n(otent)f Fr(j)s(g)r(q)r Fm(.)k(Then)c Fw(\()p Fr(R;)8 b(q)587 2292 y Fn(0)o(0)608 2310 y Fr(q)r(;)g(j)s(j)700 2292 y Fn(0)o(0)720 2310 y Fw(\))18 b Fm(is)f(a)g(splitting)i(of)f Fr(f)5 b(g)16 b Fw(:)d Fr(X)19 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)t Fm(.)0 2411 y(Pr)n(o)n(of.)19 b Fr(q)r(g)r(j)26 b Fw(is)e(idemp)q(oten)o(t)e(since)h Fr(q)r(g)r(j)s(q)r(g)r(j)28 b Fw(=)f Fr(q)r(g)r(f)5 b(g)r(j)29 b Fw(=)e Fr(q)r(g)r(g)r(f)5 b(j)29 b Fw(=)d Fr(q)r(g)r(j)s(q)r(j)j Fw(=)d Fr(q)r(g)r(j)s Fw(,)f(so)f(a)0 2469 y(splitting)17 b(\()p Fr(R;)8 b(q)296 2451 y Fn(0)o(0)317 2469 y Fr(;)g(j)362 2451 y Fn(0)o(0)383 2469 y Fw(\))17 b(exists)f(with)h Fr(q)r(g)r(j)h Fw(=)e Fr(j)830 2451 y Fn(0)o(0)851 2469 y Fr(q)875 2451 y Fn(0)o(0)913 2469 y Fw(and)i Fr(q)1033 2451 y Fn(0)n(0)1053 2469 y Fr(j)1076 2451 y Fn(00)1113 2469 y Fw(=)d(1.)25 b(Then)17 b Fr(q)1381 2451 y Fn(0)o(0)1401 2469 y Fr(q)r(j)s(j)1471 2451 y Fn(0)o(0)1507 2469 y Fw(=)f Fr(q)1585 2451 y Fn(0)o(0)1605 2469 y Fr(j)1628 2451 y Fn(00)1665 2469 y Fw(=)f(1)1742 2476 y Fp(R)0 2527 y Fw(and)i Fr(j)s(j)141 2509 y Fn(0)o(0)162 2527 y Fr(q)186 2509 y Fn(0)o(0)207 2527 y Fr(q)e Fw(=)f Fr(j)s(q)r(g)r(j)s(q)g Fw(=)g Fr(f)5 b(g)r(f)20 b Fw(=)14 b Fr(f)5 b(f)g(g)16 b Fw(=)e Fr(f)5 b(g)r Fw(.)p 895 2500 V 895 2530 2 30 v 926 2530 V 895 2532 33 2 v 50 2623 a(The)16 b(follo)o(wing)g(theorem)f(is)h(a)g(generalization)g(of)k ([Sc)o(h92a])c(Lemma)e(2.2.2.)0 2725 y Fy(Theorem)j(6.2.)i Fm(L)n(et)f Fu(A)g Fm(b)n(e)g(a)g Fs(K)s Fm(-)q(additive)j(c)n(ate)n (gory)d(with)g(splitting)h(idemp)n(otents.)24 b(Then)19 b Fu(A)0 2783 y Fm(is)e(a)h Fu(C)s Fm(-c)n(ate)n(gory.)p eop %%Page: 40 40 40 39 bop 0 -49 a Fx(40)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fm(Pr)n(o)n(of.)h Fw(Let)e Fu(A)f Fw(b)q(e)g(a)h Fs(K)t Fw(-a)q(dditiv)o(e)g(category)l(.)22 b(Then)17 b(the)f(follo)o(wing)g(hold)g(for)h Fr(\013)e Fu(2)f Fs(K)23 b Fw(and)17 b Fr(f)s(;)8 b(g)0 117 y Fw(morphisms)18 b(in)h Fu(A)p Fw(:)29 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(f)19 b Fw(+)14 b Fr(g)r Fw(\))20 b(=)g Fr(\013f)f Fw(+)14 b Fr(\013g)r Fw(,)21 b Fr(\013)p Fw(\()p Fr(f)5 b(g)r Fw(\))21 b(=)f(\()p Fr(\013f)5 b Fw(\))p Fr(g)23 b Fw(=)d Fr(f)5 b Fw(\()p Fr(\013g)r Fw(\))20 b(and)h Fr(\013)p Fw(\()p Fr(f)e Fu(\010)13 b Fr(g)r Fw(\))21 b(=)0 175 y(\()p Fr(\013f)5 b Fw(\))12 b Fu(\010)f Fw(\()p Fr(\013g)r Fw(\).)50 235 y(W)l(e)i(de\014ne)g(the)h(functor)g(\()p Fs(K)9 b Fu(\012)d Fw({)17 b(:)c Fu(A)h(\000)-9 b(!)14 b(A)p Fw(\))f(:=)h(\(Id)1040 242 y Fn(A)1085 235 y Fw(:)f Fu(A)h(\000)-9 b(!)14 b(A)p Fw(\).)20 b(This)13 b(is)h(a)g Fs(K)t Fw(-add)q(itiv)o(e)0 293 y(functor.)31 b(F)l(or)19 b Fr(n)g Fu(\025)g Fw(0)h(w)o(e)f (de\014ne)g(\()p Fs(K)711 275 y Fp(n)751 293 y Fu(\012)13 b Fw({)19 b(:)g Fu(A)g(\000)-9 b(!)19 b(A)p Fw(\))g(:=)g(\(Id)1249 271 y Fp(n)1292 293 y Fw(:)f Fu(A)h(\000)-8 b(!)19 b(A)p Fw(\))g(\(so)h(for)f(an)0 351 y(ob)s(ject)d Fr(P)21 b Fu(2)14 b(A)i Fw(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f Fs(K)523 333 y Fp(n)560 351 y Fu(\012)c Fr(P)21 b Fw(=)14 b Fr(P)752 333 y Fp(n)776 351 y Fw(\))i(whic)o(h)f(again)j(is)e(a)g Fs(K)t Fw(-a)q(dditiv)o(e)h(functor.)50 411 y(Let)h Fr(f)24 b Fw(:)17 b Fs(K)254 393 y Fp(m)308 411 y Fu(\000)-9 b(!)17 b Fs(K)441 393 y Fp(n)486 411 y Fw(b)q(e)i(a)g(morphism)d(in)i Fu(C)s Fw(.)28 b(Then)19 b Fr(f)k Fw(=)1191 378 y Fj(P)1234 421 y Fp(ij)1273 411 y Fr(\013)1304 418 y Fp(ij)1334 411 y Fr(e)1357 418 y Fp(ij)1406 411 y Fw(where)18 b(the)g Fr(e)1658 418 y Fp(ij)1707 411 y Fw(are)0 483 y(giv)o(en)j(b)o(y)g(the) h(comp)q(ositions)f Fr(e)616 490 y Fp(ij)670 483 y Fw(:=)h Fs(K)780 465 y Fp(m)864 454 y(p)882 459 y Fk(i)840 483 y Fu(\000)-9 b(!)23 b Fs(K)1031 450 y Fp(\023)1043 455 y Fk(j)1006 483 y Fu(\000)-9 b(!)23 b Fs(K)1145 465 y Fp(n)1171 483 y Fw(,)g(the)f(canonical)f(basis)i(of)f(the)0 541 y(matrix)15 b(space)h(Hom)390 548 y Fq(K)418 541 y Fw(\()p Fs(K)473 523 y Fp(m)509 541 y Fr(;)8 b Fs(K)567 523 y Fp(n)593 541 y Fw(\).)50 601 y(Since)15 b Fu(A)h Fw(is)g(additiv)o(e,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)f(corresp)q(onding)i(natural) g(transformations)602 707 y(\026)-26 b Fr(e)623 714 y Fp(ij)653 707 y Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))14 b(:)g Fr(P)809 687 y Fp(m)884 678 y Ft(\026)-21 b Fp(p)899 683 y Fk(i)856 707 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)1027 674 y Ft(\026)-17 b Fp(\023)1040 679 y Fk(j)1002 707 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(P)1134 687 y Fp(n)1158 707 y Fr(:)0 801 y Fw(F)l(or)20 b Fr(f)25 b Fw(:)19 b Fs(K)209 783 y Fp(m)264 801 y Fu(\000)-8 b(!)19 b Fs(K)400 783 y Fp(n)446 801 y Fw(w)o(e)g(de\014ne)h Fr(f)e Fu(\012)c Fr(P)26 b Fw(:)19 b Fr(P)889 783 y Fp(m)943 801 y Fu(\000)-9 b(!)19 b Fr(P)1080 783 y Fp(n)1124 801 y Fw(b)o(y)g Fr(f)g Fu(\012)13 b Fr(P)27 b Fw(:=)1419 768 y Fj(P)1462 812 y Fp(ij)1501 801 y Fr(\013)1532 808 y Fp(ij)1564 801 y Fw(\026)-26 b Fr(e)1585 808 y Fp(ij)1615 801 y Fw(.)32 b(Then)0 859 y(it)20 b(is)g(easy)h(to)g(v)o(erify)l(,)e (that)i Fr(f)e Fu(\012)14 b Fw(-)21 b(:)g Fs(K)746 841 y Fp(m)796 859 y Fu(\012)14 b Fw({)21 b Fu(\000)-9 b(!)21 b Fs(K)1031 841 y Fp(n)1071 859 y Fu(\012)14 b Fw({)21 b(is)f(a)h(natural)g(transformation.)0 918 y(F)l(urthermore)13 b(it)h(is)g(easy)g(to)h(see)f(that)h Fr(f)5 b(g)10 b Fu(\012)d Fw(-)14 b(=)g(\()p Fr(f)e Fu(\012)7 b Fw(-)q(\)\()p Fr(g)i Fu(\012)e Fw(-\))15 b(and)g(id)7 b Fu(\012)g Fw(-)14 b(=)f(id.)21 b(If)14 b Fu(C)1613 900 y Fn(\000)1657 918 y Fw(is)g(the)0 976 y(full)j(sub)q(category)j(of)e Fu(C)k Fw(with)c(the)g(ob)s(jects)g Fs(K)869 958 y Fp(n)896 976 y Fw(,)g(then)g Fu(\012)f Fw(:)g Fu(C)1157 958 y Fn(\000)1199 976 y Fu(\002)12 b(A)17 b(\000)-8 b(!)17 b(A)h Fw(is)g(a)h Fs(K)t Fw(-bilinear)0 1034 y(bifunctor.)50 1094 y(No)o(w)13 b(let)f Fr(X)18 b Fw(b)q(e)13 b(a)g(\014nitely)f (generated)h(pro)s(jectiv)o(e)e Fs(K)t Fw(-mo)q(dule.)22 b(Then)13 b(there)g(are)g(homomor-)0 1152 y(phisms)j Fr(j)j Fw(:)c Fr(X)21 b Fu(\000)-9 b(!)16 b Fs(K)424 1134 y Fp(n)468 1152 y Fw(and)i Fr(q)g Fw(:)d Fs(K)669 1134 y Fp(n)711 1152 y Fu(\000)-9 b(!)16 b Fr(X)22 b Fw(for)c(some)e Fr(n)g Fu(2)g Fs(N)i Fw(with)g Fr(q)r(j)g Fw(=)e(1)1468 1159 y Fp(X)1502 1152 y Fw(.)24 b(F)l(or)18 b Fr(P)23 b Fu(2)16 b(A)0 1210 y Fw(the)f(morphism)e Fr(j)s(q)e Fu(\012)e Fr(P)21 b Fw(:)14 b Fs(K)529 1192 y Fp(n)565 1210 y Fu(\012)c Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)795 1192 y Fp(n)831 1210 y Fu(\012)9 b Fr(P)23 b Fw(is)15 b(an)h(idemp)q(oten)o(t)e(\()p Fr(j)s(q)d Fu(\012)e Fr(P)e Fw(\))1485 1192 y Ft(2)1519 1210 y Fw(=)13 b Fr(j)s(q)e Fu(\012)e Fr(P)23 b Fw(so)0 1268 y(there)15 b(is)g(a)h(splitting)f Fr(q)c Fu(\012)e Fr(P)21 b Fw(:)13 b Fs(K)600 1250 y Fp(n)636 1268 y Fu(\012)c Fr(P)21 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)h Fu(\012)9 b Fr(P)23 b Fw(and)16 b Fr(j)c Fu(\012)e Fr(P)21 b Fw(:)13 b Fr(X)h Fu(\012)9 b Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)1524 1250 y Fp(n)1560 1268 y Fu(\012)9 b Fr(P)23 b Fw(\(th)o(us)0 1326 y(de\014ning)16 b Fr(q)d Fu(\012)e Fr(P)c Fw(,)16 b Fr(j)e Fu(\012)c Fr(P)24 b Fw(and)17 b Fr(X)e Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))16 b(with)308 1420 y(\()p Fr(j)e Fu(\012)d Fr(P)c Fw(\)\()p Fr(q)13 b Fu(\012)e Fr(P)c Fw(\))14 b(=)f Fr(j)s(q)g Fu(\012)e Fr(P)23 b Fw(and)17 b(\()p Fr(q)12 b Fu(\012)f Fr(P)c Fw(\)\()p Fr(j)14 b Fu(\012)d Fr(P)c Fw(\))14 b(=)g(1)1361 1427 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(P)1450 1420 y Fr(:)0 1515 y Fw(In)d(particular)g Fr(q)r Fu(\012)q Fr(P)20 b Fw(:)13 b Fs(K)454 1497 y Fp(n)481 1515 y Fu(\012)q Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)5 b Fu(\012)q Fr(P)17 b Fw(is)11 b(a)h(cok)o(ernel)d(of)j(\(1)q Fu(\000)q Fr(j)s(q)r Fw(\))q Fu(\012)q Fr(P)19 b Fw(:)13 b Fs(K)1419 1497 y Fp(n)1446 1515 y Fu(\012)q Fr(P)20 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fs(K)1667 1497 y Fp(n)1694 1515 y Fu(\012)q Fr(P)0 1573 y Fw(and)k(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)f(a)i(comm)o(utativ)n(e)c(diagram) 478 1679 y Fs(K)514 1661 y Fp(n)551 1679 y Fu(\012)e Fr(P)261 b Fs(K)928 1661 y Fp(n)966 1679 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Ff(0)753 857 y Fp(q)770 845 y Ff(0)781 857 y Ft(\))p Fn(\012)p Fp(P)1133 890 y Fr(X)1177 871 y Fn(0)1200 890 y Fu(\012)g Fr(P)q(:)p 1064 874 58 2 v 1080 873 a Fg(-)p 550 844 2 108 v 551 844 a(?)567 800 y Fp(j)583 788 y Ff(0)595 800 y Fp(f)t(q)q Fn(\012)p Fp(P)p 965 844 V 966 844 a Fg(?)982 800 y Fp(j)998 788 y Ff(0)1010 800 y Fp(f)t(q)q Fn(\012)p Fp(P)p 1214 844 V 1215 844 a Fg(?)1231 799 y Fp(f)t Fn(\012)p Fp(P)0 959 y Fw(By)k(the)g(univ)o(ersal)f(prop)q (ert)o(y)h(of)h(the)f(cok)o(ernel)f(w)o(e)h(get,)g(that)h Fr(f)e Fu(\012)9 b Fr(P)21 b Fw(:)13 b Fr(X)h Fu(\012)9 b Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)1616 941 y Fn(0)1637 959 y Fu(\012)9 b Fr(P)23 b Fw(is)0 1017 y(a)14 b(natural)h (transformation.)20 b(F)l(urthermore)12 b(w)o(e)h(get)h Fr(f)5 b(g)j Fu(\012)e Fw(-)15 b(=)f(\()p Fr(f)d Fu(\012)6 b Fw(-\)\()p Fr(g)i Fu(\012)e Fw(-)q(\))13 b(and)i(id)6 b Fu(\012)g Fw(-)14 b(=)f(id.)0 1075 y(In)j(particular)g(w)o(e)g(ha)o (v)o(e)f(that)i Fu(\012)c Fw(:)h Fu(C)g(\002)d(A)i(\000)-8 b(!)13 b(A)k Fw(is)f(a)g Fs(K)t Fw(-bilinear)i(bifunctor.)50 1133 y(W)l(e)g(sk)o(etc)o(h)f(the)h(construction)g(of)h(the)f(asso)q (ciativit)o(y)g(morphism)e Fr(\014)j Fw(:)e(\()p Fr(X)g Fu(\012)12 b Fr(Y)f Fw(\))i Fu(\012)f Fr(P)24 b Fu(\000)-8 b(!)0 1191 y Fr(X)12 b Fu(\012)7 b Fw(\()p Fr(Y)19 b Fu(\012)7 b Fr(P)g Fw(\).)21 b(W)l(e)14 b(\014rst)h(observ)o(e)f(that)h Fs(K)794 1173 y Fp(n)828 1191 y Fu(\012)7 b Fw(\()p Fs(K)929 1173 y Fp(m)973 1191 y Fu(\012)g Fr(P)g Fw(\))1090 1178 y Fu(\030)1091 1194 y Fw(=)1143 1191 y Fr(P)1181 1173 y Fp(nm)1250 1178 y Fu(\030)1250 1194 y Fw(=)1302 1191 y(\()p Fs(K)1357 1173 y Fp(n)1391 1191 y Fu(\012)g Fs(K)1473 1173 y Fp(m)1509 1191 y Fw(\))g Fu(\012)g Fr(P)g Fw(,)15 b(whic)o(h)0 1250 y(de\014nes)f Fr(\014)j Fw(in)d(the)g(free)f(case.)21 b(No)o(w)14 b(consider)g(represen)o(tations)g Fr(q)h Fw(:)e Fs(K)1286 1232 y Fp(n)1326 1250 y Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(X)t Fw(,)i Fr(j)i Fw(:)c Fr(X)18 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fs(K)1745 1232 y Fp(n)0 1308 y Fw(and)k Fr(q)119 1290 y Fn(0)144 1308 y Fw(:)c Fs(K)207 1290 y Fp(m)257 1308 y Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(Y)d Fw(,)16 b Fr(j)443 1290 y Fn(0)468 1308 y Fw(:)e Fr(Y)25 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)679 1290 y Fp(m)715 1308 y Fw(.)21 b(Then)148 1393 y Fr(f)e Fw(:=)14 b Fr(j)s(q)e Fu(\012)f Fw(1)g Fu(\012)g Fw(1)j(:)g Fs(K)550 1372 y Fp(n)588 1393 y Fu(\012)d Fs(K)674 1372 y Fp(m)721 1393 y Fu(\012)g Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)h Fu(\012)c Fw(\()p Fs(K)1077 1372 y Fp(n)1114 1393 y Fu(\012)g Fr(P)c Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fs(K)1365 1372 y Fp(n)1403 1393 y Fu(\012)d Fs(K)1488 1372 y Fp(m)1536 1393 y Fu(\012)g Fr(P)141 1480 y(g)16 b Fw(:=)d(1)f Fu(\012)f Fr(j)354 1460 y Fn(0)365 1480 y Fr(q)389 1460 y Fn(0)411 1480 y Fu(\012)g Fw(1)k(:)e Fs(K)563 1460 y Fp(n)600 1480 y Fu(\012)e Fs(K)686 1460 y Fp(m)733 1480 y Fu(\012)g Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)965 1460 y Fp(n)1002 1480 y Fu(\012)d Fw(\()p Fr(Y)22 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))14 b Fu(\000)-8 b(!)13 b Fs(K)1372 1460 y Fp(n)1410 1480 y Fu(\012)d Fs(K)1495 1460 y Fp(m)1542 1480 y Fu(\012)h Fr(P)0 1553 y Fw(are)21 b(idemp)q(oten)o(ts)e(with)i Fr(f)5 b(g)25 b Fw(=)c(\()p Fr(j)s(q)16 b Fu(\012)e Fw(1)h Fu(\012)f Fw(1\)\(1)h Fu(\012)f Fr(j)1021 1535 y Fn(0)1032 1553 y Fr(q)1056 1535 y Fn(0)1082 1553 y Fu(\012)g Fw(1\))22 b(=)g Fr(j)s(q)15 b Fu(\012)f Fr(j)1396 1535 y Fn(0)1408 1553 y Fr(q)1432 1535 y Fn(0)1457 1553 y Fu(\012)g Fw(1)23 b(=)e Fr(g)r(f)5 b Fw(.)36 b(So)0 1611 y(w)o(e)24 b(can)g(apply)h(Lemma)d(6.1.)46 b(Since)23 b(\(1)17 b Fu(\012)f Fr(q)898 1593 y Fn(0)926 1611 y Fu(\012)g Fw(1\)\()p Fr(q)j Fu(\012)d Fw(1)h Fu(\012)f Fw(1\))28 b(:)f Fs(K)1383 1593 y Fp(n)1426 1611 y Fu(\012)17 b Fs(K)1517 1593 y Fp(m)1570 1611 y Fu(\012)g Fr(P)34 b Fu(\000)-8 b(!)0 1669 y Fr(X)17 b Fu(\012)c Fw(\()p Fs(K)164 1651 y Fp(m)213 1669 y Fu(\012)g Fr(P)7 b Fw(\))18 b Fu(\000)-8 b(!)18 b Fr(X)f Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Y)24 b Fu(\012)13 b Fr(P)7 b Fw(\))19 b(and)g(\()p Fr(j)d Fu(\012)d Fw(1)g Fu(\012)g Fw(1\)\(1)g Fu(\012)g Fr(j)1214 1651 y Fn(0)1239 1669 y Fu(\012)f Fw(1\))19 b(:)f Fr(X)f Fu(\012)c Fw(\()p Fr(Y)24 b Fu(\012)13 b Fr(P)7 b Fw(\))18 b Fu(\000)-8 b(!)0 1728 y Fr(X)17 b Fu(\012)12 b Fw(\()p Fs(K)163 1710 y Fp(m)212 1728 y Fu(\012)g Fr(P)7 b Fw(\))18 b Fu(\000)-9 b(!)17 b Fs(K)471 1710 y Fp(n)510 1728 y Fu(\012)12 b Fs(K)597 1710 y Fp(m)646 1728 y Fu(\012)g Fr(P)26 b Fw(is)18 b(a)h(splitting)e(of)i(\()p Fr(j)d Fu(\012)c Fw(1)h Fu(\012)f Fw(1\))p Fr(g)r Fw(\()p Fr(q)i Fu(\012)f Fw(1)g Fu(\012)f Fw(1\),)19 b(w)o(e)f(get)0 1786 y(a)g(splitting)e Fs(K)271 1768 y Fp(n)310 1786 y Fu(\012)11 b Fs(K)396 1768 y Fp(m)444 1786 y Fu(\012)g Fr(P)23 b Fu(\000)-8 b(!)15 b Fr(X)i Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(Y)23 b Fu(\012)12 b Fr(P)7 b Fw(\))15 b Fu(\000)-8 b(!)15 b Fs(K)1076 1768 y Fp(n)1114 1786 y Fu(\012)d Fs(K)1201 1768 y Fp(m)1249 1786 y Fu(\012)f Fr(P)25 b Fw(whic)o(h)17 b(de\014nes)g(up)g(to)0 1844 y(unique)f(isomorphism)f (the)h(ob)s(ject)g(\()p Fr(X)g Fu(\012)11 b Fr(Y)g Fw(\))h Fu(\012)f Fr(P)c Fw(,)17 b(so)g Fr(\014)g Fw(:)d(\()p Fr(X)i Fu(\012)11 b Fr(Y)g Fw(\))h Fu(\012)f Fr(P)1422 1830 y Fu(\030)1422 1846 y Fw(=)1475 1844 y Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fw(\()p Fr(Y)23 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\).)0 1902 y(By)16 b(the)g(uniqueness)f(this)h(isomorphism)e(is)j(a)f (natural)h(transformation)f(and)h(coheren)o(t.)50 1960 y(Hence)e Fu(A)h Fw(is)g(a)g Fu(C)s Fw(-category)l(.)p 624 1933 33 2 v 624 1963 2 30 v 655 1963 V 624 1965 33 2 v 0 2046 a Fy(Prop)r(osition)i(6.3.)i Fm(L)n(et)e Fu(A)f Fm(and)i Fu(B)g Fm(b)n(e)g Fs(K)s Fm(-)q(additive)j(c)n(ate)n(gories)c (with)h(splitting)g(idemp)n(otents)0 2104 y(with)i(the)g Fu(C)s Fm(-structur)n(e)g(derive)n(d)g(in)g(The)n(or)n(em)i Fw(6.2)e Fm(and)f(let)i Fr(!)g Fw(:)d Fu(B)h(\000)-8 b(!)19 b(A)i Fm(b)n(e)f(a)h Fs(K)t Fm(-additive)0 2162 y(functor.)i(Then)18 b Fr(!)i Fm(is)d(a)g Fu(C)s Fm(-functor.)50 2221 y(If)i Fr(!)k Fm(and)d Fr(!)285 2203 y Fn(0)317 2221 y Fm(ar)n(e)f Fs(K)t Fm(-additive)24 b(functors)c(fr)n(om)f Fu(B)i Fm(to)f Fu(A)g Fm(and)g Fr(')f Fw(:)f Fr(!)i Fu(\000)-8 b(!)18 b Fr(!)1490 2203 y Fn(0)1522 2221 y Fm(is)i(a)g(natur)n(al)0 2279 y(tr)n(ansformation)d(then)h Fr(')f Fm(is)h(a)f Fu(C)s Fm(-morphism.)0 2366 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(An)13 b(ob)s(ject)g(in)g Fu(C)k Fw(is)c(giv)o(en)f(as)i(ab)q(o)o(v)o(e)g(b)o (y)f(the)g(splitting)g Fr(j)j Fw(:)e Fr(X)k Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)1419 2348 y Fp(n)1459 2366 y Fw(and)g Fr(q)h Fw(:)e Fs(K)1651 2348 y Fp(n)1691 2366 y Fu(\000)-8 b(!)0 2424 y Fr(X)t Fw(.)20 b(Then)13 b(the)f(tensor)g(pro)q(duct)h(with)f Fr(X)17 b Fw(is)12 b(giv)o(en)f(as)i(the)f(splitting)f Fr(j)6 b Fu(\012)s Fw(1)14 b(:)f Fr(X)7 b Fu(\012)s Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)1663 2406 y Fp(n)1692 2424 y Fu(\012)s Fr(P)0 2482 y Fw(with)g Fr(q)8 b Fu(\012)e Fw(1)14 b(:)f Fs(K)285 2464 y Fp(n)318 2482 y Fu(\012)6 b Fr(P)21 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fr(X)d Fu(\012)6 b Fr(P)h Fw(.)20 b(W)l(e)14 b(de\014ne)f Fr(\030)k Fw(:)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)e Fu(\012)6 b Fr(P)h Fw(\))1180 2468 y Fu(\030)1181 2484 y Fw(=)1233 2482 y Fr(X)k Fu(\012)6 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)h Fw(\))14 b(as)g(the)g(uniquely)0 2540 y(de\014ned)i(morphism)e (b)o(y)i(the)g(isomorphic)e(splittings)613 2631 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)i Fu(\012)10 b Fr(P)d Fw(\))119 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 839 2619 94 2 v 891 2618 a Fg(-)877 2604 y Fp(\030)604 2797 y Fr(!)r Fw(\()p Fs(K)691 2779 y Fp(n)729 2797 y Fu(\012)j Fr(P)d Fw(\))101 b Fs(K)972 2779 y Fp(n)1009 2797 y Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 848 2785 77 2 v 883 2784 a Fg(-)872 2766 y Fn(\030)872 2776 y Ft(=)p 719 2755 2 108 v 720 2755 a Fg(?)p 736 2755 V 736 2689 a(6)p 1034 2755 V 1035 2755 a(?)p 1051 2755 V 1052 2689 a(6)p eop %%Page: 42 42 42 41 bop 0 -49 a Fx(42)672 b(BODO)18 b(P)m(AREIGIS)0 58 y Fw(W)l(e)e(lea)o(v)o(e)f(it)g(to)i(the)f(reader)g(to)h(c)o(hec)o (k)d(naturalit)o(y)i(and)g(coherence)g(of)g Fr(\030)r Fw(.)50 118 y(The)g(follo)o(wing)g(comm)o(utativ)n(e)d(diagram)j(sho)o (ws)h(that)g Fr(')f Fw(is)g(a)h Fu(C)s Fw(-morphism)503 212 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)f Fu(\012)10 b Fr(P)d Fw(\))119 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 729 200 94 2 v 781 199 a Fg(-)767 185 y Fp(\030)494 378 y Fr(!)r Fw(\()p Fs(K)581 360 y Fp(n)618 378 y Fu(\012)k Fr(P)c Fw(\))101 b Fs(K)862 360 y Fp(n)899 378 y Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 738 366 77 2 v 773 365 a Fg(-)762 347 y Fn(\030)762 358 y Ft(=)663 295 y Fr(!)695 277 y Fn(0)707 295 y Fw(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))107 b Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(!)1132 277 y Fn(0)1144 295 y Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 901 283 83 2 v 942 282 a Fg(-)654 461 y Fr(!)686 443 y Fn(0)698 461 y Fw(\()p Fs(K)753 443 y Fp(n)790 461 y Fu(\012)k Fr(P)c Fw(\))89 b Fs(K)1022 443 y Fp(n)1059 461 y Fu(\012)11 b Fr(!)1141 443 y Fn(0)1153 461 y Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 909 450 65 2 v 932 449 a Fg(-)262 378 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)351 360 y Fp(n)375 378 y Fw(\))14 b(=)422 461 y Fr(!)454 443 y Fn(0)466 461 y Fw(\()p Fr(P)523 443 y Fp(n)547 461 y Fw(\))f(=)1147 378 y(=)h Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))1307 360 y Fp(n)1301 461 y Fw(=)13 b Fr(!)1384 443 y Fn(0)1396 461 y Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))1472 443 y Fp(n)1496 461 y Fr(:)p 609 336 2 108 v 610 336 a Fg(?)p 625 336 V 626 270 a(6)p 791 419 V 792 419 a(?)p 808 419 V 809 353 a(6)p 941 336 V 942 336 a(?)p 957 336 V 958 270 a(6)p 1107 419 V 1108 419 a(?)p 1123 419 V 1124 353 a(6)719 249 y Fp(')p Ft(\()p Fp(X)s Fn(\012)p Fp(P)e Ft(\))-188 b Fg(H)676 254 y(H)-42 b(j)1051 249 y Fp(X)s Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))-188 b Fg(H)1008 254 y(H)-42 b(j)318 415 y Fp(')p Ft(\()p Fp(P)382 404 y Fk(n)403 415 y Ft(\))r Fg(H)427 419 y(H)g(j)668 415 y(H)676 419 y(H)g(j)1000 415 y(H)1008 419 y(H)g(j)1342 415 y Fp(')p Ft(\()p Fp(P)5 b Ft(\))1420 404 y Fk(n)1290 415 y Fg(H)1298 419 y(H)-42 b(j)p 49 510 33 2 v 49 540 2 30 v 80 540 V 49 542 33 2 v 0 627 a Fy(Theorem)17 b(6.4.)i Fm(L)n(et)i Fu(C)i Fm(b)n(e)e(a)g(ful)r(l)h(monoidal)f(sub)n(c)n(ate)n (gory)f(of)g Fu(M)g Fw(=)f Fs(K)t Fm(-)t Fw(Mo)q(d)i Fm(and)f Fu(A)h Fm(b)n(e)g(a)0 686 y Fu(C)s Fm(-c)n(ate)n(gory.)29 b(L)n(et)19 b Fr(!)r(;)8 b(!)435 667 y Fn(0)465 686 y Fw(:)18 b Fu(A)f(\000)-8 b(!)18 b(C)k Fm(b)n(e)e Fu(C)s Fm(-functors.)30 b(Then)21 b(every)f(natur)n(al)g(tr)n(ansformation)0 744 y Fr(')14 b Fw(:)f Fr(!)j Fu(\000)-8 b(!)13 b Fr(!)245 726 y Fn(0)275 744 y Fm(is)k(a)g Fu(C)s Fm(-morphism.)0 837 y(Pr)n(o)n(of.)i Fw(Since)585 910 y Fr(!)r Fw(\()p Fs(K)f Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))160 b Fr(!)985 892 y Fn(0)996 910 y Fw(\()p Fs(K)18 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))p 805 899 136 2 v 899 898 a Fg(-)807 881 y Fp(')p Ft(\()p Fq(K)p Fn(\012)p Fp(P)e Ft(\))635 1076 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)i Fw(\))259 b Fr(!)1034 1058 y Fn(0)1046 1076 y Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))p 755 1065 235 2 v 948 1064 a Fg(-)834 1047 y Fp(')p Ft(\()p Fp(P)e Ft(\))585 1242 y Fs(K)18 b Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))160 b Fs(K)17 b Fu(\012)11 b Fr(!)1084 1224 y Fn(0)1096 1242 y Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 805 1231 136 2 v 899 1230 a Fg(-)811 1213 y Ft(1)p Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)e Ft(\))p 688 1035 2 108 v 689 1035 a Fg(?)706 989 y Fp(!)q Ft(\()p Fp(\031)763 995 y Fk(P)788 989 y Ft(\))p 688 1201 V 689 1201 a Fg(?)706 1156 y Fp(\025)727 1141 y Ff(\000)p Fl(1)727 1168 y Fk(P)p 1062 1035 V 1062 1035 a Fg(?)1079 989 y Fp(!)1102 978 y Ff(0)1113 989 y Ft(\()p Fp(\031)1147 995 y Fk(P)1173 989 y Ft(\))p 1062 1201 V 1062 1201 a Fg(?)1079 1156 y Fp(\025)1100 1141 y Ff(\000)p Fl(1)1100 1168 y Fk(P)0 1312 y Fw(comm)o(utes)18 b(and)j(the)f(v)o (ertical)f(morphisms)f(are)j(b)o(y)f(coherence)f(the)h(canonical)h (morphisms)0 1370 y Fr(\030)c Fw(:)c Fr(!)r Fw(\()p Fs(K)18 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))15 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)k Fu(\012)11 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))16 b(resp.)22 b Fr(\030)752 1352 y Fn(0)778 1370 y Fw(:)14 b Fr(!)838 1352 y Fn(0)850 1370 y Fw(\()p Fs(K)k Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))14 b Fu(\000)-9 b(!)14 b Fs(K)k Fu(\012)11 b Fr(!)1266 1352 y Fn(0)1278 1370 y Fw(\()p Fr(P)c Fw(\).)22 b(F)l(or)16 b Fr(x)e Fu(2)g Fr(X)19 b Fu(2)14 b(C)19 b Fw(let)0 1428 y Fr(f)24 1435 y Fp(x)63 1428 y Fw(:)e Fs(K)24 b Fu(\000)-8 b(!)17 b Fr(X)23 b Fw(b)q(e)18 b(the)g(homomorphism)e(with)i Fr(f)949 1435 y Fp(x)971 1428 y Fw(\(1\))f(=)h Fr(x)p Fw(.)27 b(Then)18 b(the)g(follo)o(wing)g(diagram)0 1486 y(comm)o(utes,)13 b(p)q(ossibly)j(with)g(the)g(exception)g(of)g(the)g (fron)o(t)g(face)484 1585 y Fr(!)r Fw(\()p Fs(K)i Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))242 b Fr(!)966 1567 y Fn(0)978 1585 y Fw(\()p Fs(K)18 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))p 704 1573 219 2 v 881 1572 a Fg(-)748 1556 y Fp(')p Ft(\()p Fq(K)p Fn(\012)p Fp(P)e Ft(\))484 1958 y Fs(K)18 b Fu(\012)10 b Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)d Fw(\))243 b Fs(K)18 b Fu(\012)11 b Fr(!)1066 1940 y Fn(0)1078 1958 y Fw(\()p Fr(P)c Fw(\))p 704 1946 V 881 1945 a Fg(-)741 1979 y Ft(1)759 1985 y Fd(K)780 1979 y Fn(\012)p Fp(')p Ft(\()p Fp(P)e Ft(\))605 1709 y Fr(!)r Fw(\()p Fr(X)16 b Fu(\012)11 b Fr(P)c Fw(\))237 b Fr(!)1088 1691 y Fn(0)1100 1709 y Fw(\()p Fr(X)15 b Fu(\012)c Fr(P)c Fw(\))p 831 1698 213 2 v 1002 1697 a Fg(-)869 1680 y Fp(')p Ft(\()p Fp(X)s 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Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))23 b(w)o(e)e(get)h Fr(')p Fw(\()p Fr(X)d Fu(\012)c Fr(P)7 b Fw(\))p Fr(\030)796 2168 y Fn(\000)p Ft(1)844 2186 y Fw(\()p Fr(x)15 b Fu(\012)f Fr(q)r Fw(\))23 b(=)h Fr(')p Fw(\()p Fr(X)19 b Fu(\012)c Fr(P)7 b Fw(\))p Fr(\030)1331 2168 y Fn(\000)p Ft(1)1379 2186 y Fw(\()p Fr(f)1422 2193 y Fp(x)1459 2186 y Fu(\012)14 b Fw(1\)\(1)i Fu(\012)f Fr(q)r Fw(\))23 b(=)0 2244 y Fr(\030)23 2226 y Fn(0)35 2221 y(\000)p Ft(1)83 2244 y Fw(\(1)126 2251 y Fp(X)170 2244 y Fu(\012)11 b Fr(')p Fw(\()p Fr(P)c Fw(\)\)\()p Fr(f)390 2251 y Fp(x)422 2244 y Fu(\012)k Fw(1\)\(1)g Fu(\012)g Fr(q)r Fw(\))i(=)h Fr(\030)750 2226 y Fn(0)762 2221 y(\000)p Ft(1)809 2244 y Fw(\(1)852 2251 y Fp(X)897 2244 y Fu(\012)d Fr(')p Fw(\()p Fr(P)c Fw(\)\)\()p Fr(x)j Fu(\012)h Fr(q)r Fw(\).)20 b(This)c(holds)h(for)f (all)g Fr(x)d Fu(2)h Fr(X)0 2302 y Fw(and)23 b(all)e Fr(q)k Fu(2)f Fr(!)r Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\))22 b(so)h(that)f Fr(')p Fw(\()p Fr(X)d Fu(\012)c Fr(P)7 b Fw(\))p Fr(\030)829 2284 y Fn(\000)p Ft(1)901 2302 y Fw(=)23 b(\()p Fr(\030)1004 2284 y Fn(0)1017 2279 y(\000)p Ft(1)1079 2302 y Fu(\012)14 b Fw(1\)\(1)1218 2309 y Fp(X)1268 2302 y Fu(\012)h Fr(')p Fw(\()p Fr(P)7 b Fw(\)\))22 b(and)g Fr(')g Fw(is)g(a)g Fu(C)s Fw(-)0 2360 y(morphism.)p 274 2333 33 2 v 274 2363 2 30 v 305 2363 V 274 2365 33 2 v 741 2469 a Fv(References)0 2543 y Fx([Ba68])103 b(Higman)12 b(Bass:)19 b Fc(A)o(lgebr)n(aic)14 b(K-the)n(ory.)f Fx(W.)g(A.)g(Benjamin,)f(New)j(Y)m(ork)e({)h (Amsterdam)e(1968.)0 2593 y([DM82])83 b(P)m(.)10 b(Deligne,)g(J.)h(S.)f (Milne:)16 b Fc(T)m(annakian)c(Cate)n(gories.)e Fx(In:)16 b(Ho)q(dge)11 b(Cycles,)h(Motiv)o(es)e(and)g(Shim)o(ura)219 2643 y(V)m(arieties.)k(Springer)g(LN)g(Math)g(900)f(\(1982\))g (101-228.)0 2693 y([Dr86])105 b(V.)14 b(G.)f(Drinfeld:)k Fc(Quantum)e(gr)n(oups.)f Fx(In)g(ICM)g(Pro)q(ceedings)h(Berk)o(eley)m (,)f(1986.)0 2743 y([Dr89])105 b(V.)9 b(G.)g(Drinfeld:)15 b Fc(Quasi-Hopf)c(A)o(lgebr)n(as)f(and)i(Knizhnik-Zamolo)n(dchikov)h (Equations.)d Fx(In:)16 b(A.)9 b(A.)219 2793 y(Bela)o(vin:)18 b(Problems)13 b(of)g(mo)q(dern)g(QFT,)h(Springer)g(1989.)p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 400 -49 a Fx(RECONSTR)o(UCTION)18 b(OF)g(HIDDEN)g(SYMMETRIES) 359 b(43)0 58 y([KT92])91 b(Christian)20 b(Kassel,)i(Vladimir)c(T)m (uraev:)31 b Fc(Double)22 b(Construction)f(for)f(Monoidal)i(Cate)n (gories.)219 108 y Fx(Publ.)13 b(de)i(l'Inst.)e(Rec)o(h.)g(Math.)h(Av.) f(507/P-294)f(\(1992\).)0 158 y([L)m(T91])100 b(Ric)o(hard)13 b(G.)g(Larson,)g(Jacob)h(T)m(o)o(wb)q(er:)k Fc(Two)c(Dual)h(Classes)f (of)g(Bialgebr)n(as)g(R)n(elate)n(d)h(to)f(`Quan-)219 208 y(tum)20 b(Gr)n(oups')g(and)h(`Quantum)f(Lie)g(A)o(lgebr)n(as'.)e Fx(Comm)o(unicatio)o(ns)f(in)i(Algebra)h(19,)g(\(1991\),)219 258 y(3295-3345.)0 308 y([ML71])89 b(Saunders)13 b(Mac)g(Lane:)k Fc(Cate)n(gories)12 b(for)h(the)g(Working)h(Mathematician.)e Fx(Springer-V)m(erlag)g(New)219 357 y(Y)m(ork,)h(Heidelb)q(erg,)h (Berlin,)g(1971.)0 407 y([Mj90])102 b(Shahn)29 b(Ma)r(jid:)47 b Fc(R)n(ank)29 b(of)f(Quantum)h(Gr)n(oups)g(and)g(Br)n(aide)n(d)f(Gr)n (oups)h(in)f(Dual)h(F)m(orm.)219 457 y Fx(D)o(AMTP/90-44,)12 b(Euler)i(Inst.)g(Programme)e(on)i(Quan)o(tum)e(Groups,)i(Leningrad,)f (1990.)0 507 y([Mj93a])81 b(Shahn)21 b(Ma)r(jid:)32 b Fc(T)m(r)n(ansmutation)21 b(the)n(ory)g(and)h(r)n(ank)g(for)f(quantum)h (br)n(aide)n(d)f(gr)n(oups.)g Fx(Math.)219 557 y(Pro)q(c.)14 b(Cam)o(b.)e(Phil.)h(So)q(c.)g(113)h(\(1993\))f(45-70.)0 606 y([Mj93b])79 b(Shahn)14 b(Ma)r(jid:)j Fc(Br)n(aide)n(d)e(gr)n (oups.)f Fx(J.)g(of)f(Pure)i(and)e(Appl.)h(Alg.)e(86)i(\(1993\))f (187-221.)0 656 y([Mj94a])81 b(Shahn)14 b(Ma)r(jid:)j Fc(A)o(lgebr)n(as)d(and)h(Hopf)g(algebr)n(as)f(in)h(br)n(aide)n(d)f(c)n (ate)n(gories.)f Fx(In:)18 b(Adv)n(ances)d(in)e(Hopf)219 706 y(Algebras.)h(LN)g(pure)g(and)g(appl.)f(math.)f(158)h(\(1994\))g (55-105.)0 756 y([Mj94b])79 b(Shahn)14 b(Ma)r(jid:)j Fc(Cr)n(oss)d(Pr)n(o)n(ducts)g(by)h(Br)n(aide)n(d)g(Gr)n(oups)g(and)g (Bosonisation.)f Fx(J.)g(of)f(Algebra)g(163)219 806 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(appl.)e(math.)g(158)g(\(1994\))219 1254 y(153-186.)0 1304 y([P)o(a95])105 b(Bo)q(do)14 b(P)o(areigis:)k Fc(On)d(Br)n(aiding) g(and)g(Dyslexia)p Fx(.)f(J.)g(Alg.)e(171)i(\(1995\))f(413-425.)0 1354 y([Sc)o(h92a])69 b(P)o(eter)19 b(Sc)o(hauen)o(burg:)25 b Fc(T)m(annaka)19 b(Duality)f(for)f(A)o(rbitr)n(ary)f(Hopf)i(A)o (lgebr)n(as.)e Fx(Algebra)h(Beric)o(h)o(te)219 1403 y(No)d(66,)f(V)m (erlag)g(Reinhard)h(Fisc)o(her,)g(M)q(\177)-22 b(unc)o(hen,)14 b(1992.)0 1453 y([Sc)o(h92b])67 b(P)o(eter)23 b(Sc)o(hauen)o(burg:)33 b Fc(On)22 b(Co)n(quasitriangular)f(Hopf)h(A)o(lgebr)n(as)f(and)h(the)g (Quantum)g(Y)m(ang-)219 1503 y(Baxter)15 b(Equation.)f Fx(Algebra)g(Beric)o(h)o(te)h(No)f(67,)f(V)m(erlag)g(Reinhard)h(Fisc)o (her,)g(M)q(\177)-22 b(unc)o(hen,)15 b(1992.)0 1553 y([Se79])112 b(Mohammed)12 b(Seoud:)20 b Fc(Kombinatorische)c(Behand)r(lung)h(von)f (Koh\177)-21 b(ar)n(enzfr)n(agen)16 b(in)g(monoidalen)219 1603 y(Kate)n(gorien.)e Fx(Dissertation)f(Univ)o(ersit\177)-21 b(at)14 b(M)q(\177)-22 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