Aufgabensammlung zum Staatsexam in Algebra
Eine alte Fassung der Seite finden Sie hier, sie enthält noch einige Lösungen von Aufgaben aus älteren Jahrgängen (vor 2012). Bitte beachten Sie, dass diese Seite von nun an nicht mehr aktualisiert wird.
I. Aufgaben in der Originalfassung
- Jahrgänge 1972-2003 (zusammengestellt von Prof. W.-D. Geyer, Universität Erlangen-Nürnberg)
- Jahrgänge 2000-2002
- Jahrgänge 2003-2005
- Jahrgänge 2006-2008
- Jahrgänge 2009-2011
- Jahrgänge 2012-2014
- Jahrgänge 2015-2017
- Jahrgänge 2018-2020
- Jahrgänge 2021-2023
II. Lösungen der aktuellen Aufgaben
- Jahrgang 2020
- Jahrgang 2021
- Jahrgang 2022
(Die Lösungen zum Jahrgang 2022 wurden nun vervollständigt.)
III. Lösungen der Aufgaben älterer Jahrgänge
- Jahrgang 2012
- Jahrgang 2013
- Jahrgang 2014
- Jahrgang 2015
- Jahrgang 2016
- Jahrgang 2017
- Jahrgang 2018
F18T1A1 F18T1A2 F18T1A3 F18T1A4 F18T1A5 F18T2A1 F18T2A2 F18T2A3 F18T2A4 F18T2A5 F18T3A1 F18T3A2 F18T3A3 F18T3A4 F18T3A5 H18T1A1 (H/K) H18T1A2 (H/K) H18T1A3 (H/K) H18T1A4 (H/K) H18T1A5 (H/K) H18T2A1 (H/K) H18T2A2 (H/K) H18T2A3 (H/K) H18T2A4 (H/K) H18T2A5 (H/K) H18T3A1 (H/K) H18T3A2 (H/K) H18T3A3 (H/K) H18T3A4 (H/K) H18T3A5 (H/K) - Jahrgang 2019
F19T1A1 (H/K) F19T1A2 (H/K) F19T1A3 (H/K) F19T1A4 (H/K) F19T1A5 (H/K) F19T2A1 (H/K) F19T2A2 (H/K) F19T2A3 (H/K) F19T2A4 (H/K) F19T2A5 (H/K) F19T3A1 (H/K) F19T3A2 (H/K) F19T3A3 (H/K) F19T3A4 (H/K) F19T3A5 (H/K) H19T1A1 (H/K) H19T1A2 (H/K) H19T1A3 (H/K) H19T1A4 (H/K) H19T1A5 (H/K) H19T2A1 (H/K) H19T2A2 (H/K) H19T2A3 (H/K) H19T2A4 (H/K) H19T2A5 (H/K) H19T3A1 (H/K) H19T3A2 (H/K) H19T3A3 (H/K) H19T3A4 (H/K) H19T3A5 (H/K) - Jahrgang 2020
F20T1A1 (H/K) F20T1A2 (H/K) F20T1A3 (H/K) F20T1A4 (H/K) F20T1A5 (H/K) F20T2A1 (H/K) F20T2A2 (H/K) F20T2A3 (H/K) F20T2A4 (H/K) F20T2A5 (H/K) F20T3A1 (H/K) F20T3A2 (H/K) F20T3A3 (H/K) F20T3A4 (H/K) F20T3A5 (H/K) - (A) Lineare Algebra
- Untervektorräume und Dimensionsbegriff
H15T1A2 F18T3A1 (d) - Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
F18T2A1 (d) F18T3A1 (b) H18T2A2 (H/K) - Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit
F12T3A1 F14T1A4 F15T1A1 (a) H15T3A3 (c) F16T2A5 H16T2A3 F17T1A5 - Minimalpolyome, Satz von Cayley-Hamilton und Jordansche Normalform
H13T1A3 H14T2A5 F15T1A1 (b) F16T3A1 (a) H16T3A1 H16T1A2 F17T3A4 H17T2A1 - Euklidische Vektorräume
F16T1A1 - Aufgaben zur Linearen Algebra in Verbindung mit Gruppenoperationen
F12T3A1 (b) H12T2A1 F13T1A5 F15T2A4 (b) F19T1A2 (H/K)
- Untervektorräume und Dimensionsbegriff
- (B) Gruppentheorie
- Zusatzmaterial: Gruppen der Ordnung 2014 und 2015
- Gruppenaxiome
F19T2A1 (H/K) - Grundbegriffe der Gruppentheorie (Untergruppen, kommutierende Elemente, Normalteiler, Index)
F12T1A1 H13T1A1 (a) F14T2A3 (a),(c) F14T3A1 F15T3A1 H15T2A1 H15T3A2 H17T3A2 (a) F18T2A5 (a) H18T1A2 (H/K) F19T2A2 (H/K) H19T3A2 (H/K) - Ordnung von Gruppenelementen
F13T2A1 H13T3A3 H14T3A3 F16T3A1 (b) F17T2A2 (a) H17T1A3 F18T3A2 H18T1A1(b,c) (H/K) - Ordnung linearer Gruppen über endlichen Körpern
H12T1A1 (a) F13T1A3 (a) - Struktur zyklischer Gruppen
F12T2A2 F16T2A2 (c) F16T3A3 (a) F17T2A1 - endlich erzeugte abelsche Gruppen
F12T2A1 H12T3A1 H18T2A3 (b) (H/K) F19T2A1 (c) (H/K) - Faktorgruppen und Homomorphiesatz
F13T1A3 (b) F13T2A1 F14T2A3 (b) F17T2A3 (c) H17T3A2 (b) F18T2A5 (c) H18T2A3 (a) (H/K) - Gruppenoperationen und Bahngleichung (weitere Aufgaben unter (A) Lineare Algebra)
H12T1A1 (b) H12T3A2 H12T3A3 (b) H13T2A2 H13T2A3 (a) H13T3A4 F14T1A1 H14T1A4 H14T2A3 (b) F15T2A4 H16T2A1 F17T3A2 (b),(c) H17T2A2 F19T3A2 (H/K) H19T3A3 (H/K) - Sylowsätze
F12T1A2 F13T1A3 (c) H13T1A2 H14T2A4 H14T3A1 F15T1A3 (a) F15T3A2 H15T1A3 H16T3A3 F17T1A3 F17T2A1 F17T2A5 H17T3A1 (a) F18T3A3 H18T3A2 (b) (H/K) F19T1A1 (d) (H/K) H19T1A4 (H/K) - innere direkte Produkte
H14T3A1 H15T1A3 F18T3A3 - semidirekte Produkte
F13T3A1 F16T1A3 H16T2A2 - Auflösbarkeit
F15T1A3 (b) F15T3A2 F16T2A1 H16T1A1 H17T3A1 (b) H18T3A1 (a) (H/K) - symmetrische Gruppen
F12T2A1 (b),(c) H12T3A2 H13T2A3 (a) H13T2A5 H13T3A3 H15T2A2 F17T3A2 (a) F18T3A1 (c) H18T1A1 (b) (H/K) F19T3A5 (H/K) H19T1A1 (d) (H/K) H19T2A4 (H/K) - Diedergruppen
F12T1A2 H12T3A1 H17T1A3 F18T2A5 (b),(c)
- (C) Ringtheorie
- Elementare Begriffe der Ringtheorie (Einheit, Nullteiler, erzeugter Teilring, Ideal)
F12T1A3 F12T2A1 (d) F13T3A2 F13T3A3 F14T2A5 H14T1A2 (a) H14T2A1 F15T3A3 F16T2A5 (b) F16T3A4 H16T1A3 F17T3A3 H17T3A3 F18T2A1 (a) F18T3A1 (a) H18T2A4 (a) (H/K) H18T3A5 (c) (H/K) - Faktorringe und Homomorphiesatz
- Teilringe quadratischer Zahlkörper und euklidische Ringe
F12T2A3 H12T1A4 F13T1A1 (b) H13T1A1 (b) F14T2A2 F14T3A3 H14T3A4 F16T1A4 F16T2A2 F17T1A1 F19T1A3 (H/K) - größter gemeinsamer Teiler, Lemma von Bézout, Hauptidealringe und faktorielle Ringe
F12T2A3 F12T3A4 F14T1A3 (a) H16T1A4 H18T2A1 (H/K) H19T3A1 (H/K) - Kongruenzen und Rechnen in Restklassenringen
H13T3A5 F14T3A2 (a),(b) H14T2A3 (a) F15T1A2 H15T1A1 H15T2A3 H15T3A1 F16T1A2 F17T1A4 F17T2A2 (b) F18T1A5 F18T2A1 (b) F18T2A4 F19T1A1 (a) (H/K) F19T2A3 (H/K) H19T2A1 (H/K) H19T2A2 (H/K) - Einheitengruppen endlicher Ringe
H14T3A2 F16T2A2 (b),(c) F17T2A2 (c) F17T2A3 F17T3A5 H17T1A1 H17T1A3 - Rechenaufgaben zum Chinesischen Restsatz
F12T1A4 H12T1A5 H12T3A4 F14T3A2 (c) H14T1A5 H14T3A2 H16T2A5 - Quadratisches Reziprozitätsgesetz
F13T1A1 (a) F14T3A2 (d) - Elementare Zahlentheorie (ohne Kongruenzrechnung)
F15T2A1 - Irreduzibilität und Zerlegung von Polynomen
- Polynome mit mehrfachen Nullstellen
F13T1A4 F12T3A3 H12T2A2 F19T1A4 (H/K)
- Elementare Begriffe der Ringtheorie (Einheit, Nullteiler, erzeugter Teilring, Ideal)
- (D) Körpertheorie
- Rechnen in algebraischen Erweiterungen
F12T2A4 (c) H13T1A5 (d) H15T3A3 (b) F16T2A4 (b) F16T3A5 (a),(b) F17T1A2 (a) F17T2A4 (a) H17T2A4 (a),(b) F18T2A2 (b) H19T1A1 (c) (H/K) - Bestimmung von Minimalpolynomen
F15T3A4 H15T2A5 (b) F16T1A5 (a) F16T2A4 (c) F17T1A2 (b),(c) H17T3A4 (a) H18T3A2 (a) (H/K) F19T1A5 (H/K) - Bestimmung des Zerfällungskörpers eines Polynoms
F12T1A5 (a) F12T3A2 (a) H12T3A3 (a) H13T1A1 (c) F16T2A3 (a) F16T3A5 (a) H17T2A4 (a) H17T3A4 (b) F18T3A5 (a) F19T1A5 (b) (H/K) F19T3A3 (a,c) (H/K) - Bestimmung von Erweiterungsgraden, Anwendungen der Gradformel
F12T3A2 (b) F13T3A5 F14T3A4 (a) H15T3A4 (a) F16T2A3 (b) F16T3A5 (b) H16T2A4 (b) H17T3A5 F18T3A5 (b) F19T2A5 (a) (H/K) H19T1A3 (H/K) H19T2A3 (H/K) - Beweisaufgaben zu endlichen und algebraischen Körpererweiterungen
F13T2A5 H14T1A3 H15T2A4 H18T3A4 (H/K) - endliche Körper
F13T2A4 H13T2A1 H13T2A4 F17T1A5 F17T3A5 H17T2A3 (a),(b) H18T1A3 (H/K) H18T1A5 (H/K) H19T1A5 (H/K) H19T3A4 (H/K) - Einheitswurzeln, Kreisteilungspolynome und Kreisteilungskörper
H12T2A3 F13T1A2 (b) F13T3A5 (a) H14T1A1 (b) F15T3A4 (c) H15T1A5 (a) F16T1A5 (b) H18T1A1 (d) (H/K) H18T2A4 (H/K) H18T2A5 (H/K) H18T3A1 (b) (H/K) H19T3A5 (b) (H/K) - Separabilität, Satz vom primitiven Element und Körper positiver Charakteristik
F14T1A5 F14T2A4 (a) F15T2A5 H16T3A2 F17T3A1 H17T1A2 H18T3A1 (c) (H/K) H18T3A3 (b) (H/K) H19T2A5 (H/K)
- Rechnen in algebraischen Erweiterungen
- (E) Galoistheorie
- Nachweis von Galoiserweiterungen
F12T1A5 (b) F12T2A4 (b),(d) F16T3A5 (c),(d) H16T2A4 F18T2A2 (c) F18T3A5 (c) - Anwendungen des Hauptsatzes der Galoistheorie (und seiner Ergänzungssätze)
F12T1A5 (d),(e) H12T2A4 H13T2A3 (b) F14T1A2 F14T3A4 (b),(c) H14T1A1 (a) F15T3A5 H15T3A4 (b),(d) H16T2A4 (c),(d) F17T2A5 H17T2A4 (c) H18T2A5 (a,c) (H/K) H18T3A3 (c) (H/K) - Rechnen mit den Elementen einer Galoisgruppe
F12T3A5 H14T2A2 (a),(b) H15T2A5 (b) F18T3A5 (d) H18T2A5 (b) (H/K) - Eigenschaften von Galoisgruppen (zyklisch, abelsch, auflösbar, Element- und Gruppenordnung)
- Isomorphietyp von Galoisgruppen
F12T3A2 (c),(d) H12T1A3 (d) H12T3A3 (c),(d) H13T1A5 (b),(c) H13T3A1 F14T2A4 H14T3A5 H15T1A4 H15T1A5 H15T2A5 H15T3A4 F16T3A5 (e) H16T1A5 F17T1A2 F18T1A4 H18T3A2 (c) (H/K) - Zusatzmaterial: Isomorphietypen von Galoisgruppen (Überblick)
- Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
H12T2A5 H13T3A2 (e),(f)
- Nachweis von Galoiserweiterungen
IV. Sortierung der Aufgaben nach Einzelthemen
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