Department Mathematik
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Wintersemester 2025-26

Algebra und Zahlentheorie I
(Lehramt Gymnasium)
Vorlesung: montags, 10:15-11:55 Uhr, mittwochs, 8:15-9:55 Uhr und donnerstags, 12:15-13:55 Uhr,
jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: dienstags 16:15-17:45 Uhr im Hörsaal B 138
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Klausurtermin: Montag, 16. Februar 2025, 9:30-11:30 Uhr
Nachklausurtermin: wird in Kürze bekanntgegeben
Vorlesungsskript: Stand 1. Dezember (172 Seiten als PDF)
Übungsblätter: sind über Moodle verfügbar
Übungsgruppen: Die Anmeldung zu den Übungsgruppen erfolgt unter Moodle.
Vorlesungsverlauf: Die Aufzeichnungen der Vorlesungen und Globalübungen sind unter LMUCast verfügbar.

Tafelanschrieb der ersten Globalübung
DatumInhalt Skript
13.10.24 Definition des Gruppenbegriffs, symmetrische Gruppen 3-6
15.10.24 Endliche lineare Gruppen, Bewegungs- und Diedergruppen 6-12
16.10.24 Halbgruppen und Monoide, Isomorphismen, Klassifikationsproblem 12-16
20.10.25 Potenzen in Gruppen, Untergruppen, Erzeugendensysteme 17-20
22.10.25 Erzeugendensysteme von Sn und An, Links- und Rechtsnebenklassen20-26
23.10.25 Beweis des Satzes von Lagrange26-31
27.10.25 Def. der Ordnung von Gruppenelementen, Ordn. von Permutationen 31-34
29.10.25 Eulersche phi-Funktion, Rechenregel für Elementordnungen 34-37
30.10.25 Untergruppen zyklischer Gruppen, Gruppenhomomorphismen 37-42
03.11.25 Existenz und Eindeutigkeit von Gruppenhomomorphismen 42-45
05.11.25 Normalteiler und Komplexprodukte 45-48
06.11.25 Innere direkte Produkte und Faktorgruppen 48-51
10.11.25 Homomorphiesatz und Korrespondenzsatz für Gruppen 51-55
12.11.25 Isomorphiesätze, freie endlich erzeugte abelsche Gruppen 55-59
13.11.25 Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen 59-64
17.11.25 Äußere semidirekte Produkte von Gruppen 65-68
19.11.25 Kommutatorgruppen, Auflösbarkeit und Subnormalreihen 68-70
20.11.25 (Nicht-)Auflösbarkeit von An und Sn, Def. der Gruppenoperationen 70-75
24.11.25 Satz von Cayley, Symmetriegruppen der Platonischen Körper 75-80
26.11.25 Klassengleichung, Einfachheit der Gruppe A5 80-87
27.11.25 Eigenschaften von p-Gruppen, Nullter Sylowsatz 87-94
01.12.25 Beweis der Sylowsätze, Anwendungen 94-98
Inhalt: Algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper bilden die unverzichtbare Grundlage für jedes Teil­gebiet der Mathematik, angefangen beim Lösen elementarer zahlentheoretischer Probleme oder al­ge­bra­ischer Gleichungen, über die Klassifikation diskreter geometrischer Strukturen und topologischer Räume bis hin zu fortgeschrittenen Bereichen wie der Algebra­ischen Geometrie oder der Harmonischen Analysis. Auch in vielen Anwendungsgebieten, in der Informatik beispielsweise in der Kryptographie und in der Theorie der Programmiersprachen, innerhalb der Physik etwa in der Klassischen Mechanik, der Quantenmechanik und der Elemen­tarteilchenphysik, spielen sie eine wichtige Rolle.

Der Stoff der Vorlesung gliedert sich in drei Teilbereiche, die Gruppen-, Ring- und Körpertheorie, wobei man allerdings einige wichtige Konzepte in jedem dieser Bereiche antrifft (zum Beispiel Faktorstrukturen und Homomorphiesätze). Beim Aufbau der Gruppentheorie orien­tieren uns unter andrem am sog. Klassifikationsproblem, bei dem wir vor allem durch die zuletzt behandelten Sylowsätze entscheidende Fortschritte erzielen werden. Bei der Ringtheorie stehen als Motivation vor allem Probleme der klassischen Zahlentheorie im Vordergrund. Im letzten Teil der Vorlesung befassen wir uns mit der Theorie der algebraischen Körpererweiterungen. Den krö­nenden Abschluss der Algebra wird die (im Sommersemester behandelte) Galoistheorie bilden, bei der die Gruppen- und die Körpertheorie miteinander verbunden werden.

Im Einzelnen werden in der Vorlesung fol­gende Themen behandelt.

  • Definition der algebraischen Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper
  • Homomorphismen, Unter- und Faktorstrukturen, Konstruktion von Erweiterungen
  • zyklische und abelsche Gruppen
  • (semi-)direkte Produkte und Auflösbarkeit
  • Gruppenoperationen und Sylowsätze
  • Kongruenzrechnung
  • Teilbarkeit und eindeutige Primfaktorzerlegung
  • endliche und algebraische Körpererweiterungen
  • Fortsetzung von Körperhomomorphismen
  • normale Körperweiterungen
  • Theorie der endliche Körper
Literatur:
  • M. Artin, Algebra. Birkhäuser Advanced Texts.
  • J. Böhm, Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag.
  • S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag.
  • F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akad. Verlag.
  • S. Müller-Stach, J. Piontkowski, Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag.

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