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Fr(Dieser)31 b(Satz)f(ist)g(sc)n(harf,)h(da)f(zum)g(Beispiel)h (eine)g(Immersion)d(als)521 3013 y(\\Ac)n(h)n(t")i(v)n(on)f Fq(S)931 2988 y Fm(1)987 3013 y Fr(in)g Fj(R)1118 2988 y Fm(2)1176 3013 y Fr(nic)n(h)n(t)h(durc)n(h)e(Ein)n(b)r(ettungen)g (appro)n(ximiert)521 3091 y(w)n(erden)15 b(k)l(ann.)h(Andererseits)g (ist)g(Satz)f(4)h(nic)n(h)n(t)g(sc)n(harf,)g(dort)f(k)l(ann,)h(mit)521 3170 y(einem)22 b(aufw)n(endigeren)g(Bew)n(eis,)h(2)p Fq(n)15 b Fr(+)g(1)22 b(durc)n(h)f(2)p Fq(n)i Fr(ersetzt)f(w)n(erden.) 1192 3344 y(29.)g(April)376 3519 y(\(13\))27 b(Bew)n(eis)c(des)f (Mini-Sard)g(Lemmas,)f(Lemma)f(1.)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 2305 159 a Fk(3)376 294 y Fr(\(14\))27 b Fs(Mannigfaltigk)n (eiten)f(mit)g(Rand)p Fr(.)1227 454 y(6.)c(Mai)376 614 y(\(15\))27 b(Bew)n(eis,)g(dass)f(eine)g(k)n(ompakte)f(Mannigfaltigk)n (eit)i(mit)e(nic)n(h)n(t-leerem)521 692 y(Rand)32 b(nic)n(h)n(t)h (di\013erenzierbar)f(auf)g(ihren)h(Rand)e(retrahiert)h(w)n(erden)521 771 y(k)l(ann.)376 850 y(\(16\))27 b(An)n(w)n(endung)21 b(auf)g(den)g Fs(Brou)n(w)n(ersc)n(hen)i(Fixpunktsatz)p Fr(:)f(Jede)g(ste-)521 928 y(tige)f(Selbstabbildung)d(eines)j(abgesc)n (hlossenen)g(Balls)g(hat)e(einen)h(Fix-)521 1007 y(punkt.)d(Der)h(F)-6 b(all)18 b(v)n(on)g(di\013erenzierbaren)f(Abbildungen)g(folgt)h(aus)f (der)521 1086 y(v)n(orherigen)i(Aussage,)g(der)g(allgemeine)g(F)-6 b(all)20 b(aus)f(dem)f(di\013erenzierba-)521 1164 y(ren)k(durc)n(h)f(p) r(olynomiale)g(Appro)n(ximation.)376 1243 y(\(17\))27 b(V)-6 b(ergleic)n(h)24 b(mit)d(dem)g(homologisc)n(hen)h(Bew)n(eis;)h (Abbildungsgrad.)1227 1403 y(8.)f(Mai)376 1563 y(\(18\))27 b Fs(T)-6 b(ransv)n(ersalit)949 1566 y(\177)950 1563 y(at)22 b Fr(v)n(on)f(di\013erenzierbaren)h(Abbildungen.)376 1641 y(\(19\))27 b(Ist)35 b Fq(L)42 b Fo(\032)g Fq(N)g Fr(eine)36 b(di\013erenzierbare)f(Un)n(termannigfaltigk)n(eit,)h(und) 521 1720 y Fq(f)14 b Fr(:)24 b Fq(M)32 b Fo(!)25 b Fq(N)32 b Fr(eine)26 b(di\013erenzierbare)f(Abbildung)g(die)h(transv)n(ersal)f (zu)521 1799 y Fq(L)e Fr(ist,)g(so)g(ist)g Fq(f)915 1774 y Fn(\000)p Fm(1)978 1799 y Fr(\()p Fq(L)p Fr(\))f(eine)i (di\013erenzierbare)e(Un)n(termannigfaltigk)n(eit)521 1877 y(v)n(on)f Fq(M)7 b Fr(,)21 b(deren)f(Ko)r(dimension)g(\(in)h Fq(M)7 b Fr(\))20 b(gleic)n(h)i(der)e(v)n(on)h Fq(L)g Fr(\(in)f Fq(N)7 b Fr(\))20 b(ist.)376 1956 y(\(20\))27 b Fs(Stabilit)762 1959 y(\177)763 1956 y(at)16 b Fr(v)n(on)f(Eigensc)n (haften)g(di\013erenzierbarer)f(Abbildungen)g(un-)521 2035 y(ter)27 b(kleinen)g(Homotopien.)g(Submersion)e(zu)i(sein,)h(o)r (der)e(transv)n(ersal)521 2113 y(zu)16 b(einer)h(festen)f(Un)n (termannigfaltigk)n(eit)f Fq(L)k Fo(\032)g Fq(N)k Fr(zu)16 b(sein)h(sind)e(stabile)521 2192 y(Eigensc)n(haften)23 b(v)n(on)g(Abbildungen)g(die)g(auf)g(k)n(ompakten)e(Mannigfal-)521 2271 y(tigk)n(eiten)i(de\014niert)e(sind.)376 2349 y(\(21\))27 b(Wir)22 b(b)r(ew)n(eisen:)521 2448 y Fs(Satz)e(6.)25 b Fl(Seien)20 b Fq(M)7 b Fl(,)19 b Fq(N)26 b Fl(und)20 b Fq(T)28 b Fl(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)19 b(Mannigfaltigkeiten,)521 2527 y(und)24 b Fq(L)19 b Fo(\032)g Fq(N)30 b Fl(eine)25 b(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)f(Untermannigfaltigkeit.)h(Ist)1086 2646 y Fq(F)17 b Fr(:)23 b Fq(M)f Fo(\002)15 b Fq(T)28 b Fo(!)19 b Fq(N)521 2765 y Fl(tr)m(ansversal)31 b(zu)g Fq(L)p Fl(,)h(so)f(ist)h Fq(f)1279 2775 y Fp(t)1306 2765 y Fr(:)26 b Fq(M)40 b Fo(!)33 b Fq(N)39 b Fl(de\014niert)32 b(dur)m(ch)f Fq(f)2138 2775 y Fp(t)2157 2765 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))h(=)521 2844 y Fq(F)9 b Fr(\()p Fq(x;)i(t)p Fr(\))24 b Fl(tr)m(ansversal)f(zu)i Fq(L)f Fl(f)1250 2847 y(\177)1250 2844 y(ur)h(al)s(le)g Fq(t)20 b Fo(2)g Fq(T)k Fo(n)15 b Fq(C)5 b Fl(,)25 b(wob)m(ei)g Fq(C)k Fl(Mass)24 b(Nul)s(l)521 2923 y(in)g Fq(T)32 b Fl(hat.)24 b(\(Insb)m(esonder)m(e)g(ist)f Fq(T)h Fo(n)15 b Fq(C)28 b Fl(dicht)c(in)g Fq(T)9 b Fl(.\))1210 3103 y Fr(13.)23 b(Mai)376 3263 y(\(22\))k(Satz)22 b(6)g(k)l(ann)g(zum)f(Beispiel)j(in)e (Zusammenhang)d(mit)j(der)g(folgenden)521 3341 y(Aussage)h(eingesetzt)f (w)n(erden:)521 3440 y Fs(Satz)37 b(7.)c Fl(Sei)g Fq(f)14 b Fr(:)26 b Fq(M)42 b Fo(!)36 b Fq(N)j Fl(eine)34 b(di\013er)m(enzierb) m(ar)m(e)f(A)n(bbildung.)h(Es)521 3519 y(gibt)26 b(einen)h(o\013enen)f (Bal)s(l)g Fq(T)34 b Fl(um)26 b Fr(0)c Fo(2)g Fj(R)1564 3494 y Fp(p)1618 3519 y Fl(und)k(eine)g(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 308 159 a Fk(4)521 294 y Fl(A)n(bbildung)35 b Fq(F)17 b Fr(:)26 b Fq(M)j Fo(\002)23 b Fq(T)46 b Fo(!)38 b Fq(N)i Fl(mit)34 b Fq(f)7 b Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))35 b(=)j Fq(F)9 b Fr(\()p Fq(x;)i Fr(0\))33 b Fl(f)2032 297 y(\177)2032 294 y(ur)h(die)f(die)521 373 y(A)n(bbildung)1071 494 y Fq(g)1103 504 y Fp(x)1139 494 y Fr(:)23 b Fq(T)28 b Fo(\000)-11 b(!)19 b Fq(N)1204 596 y(t)g Fo(7\000)-11 b(!)19 b Fq(F)9 b Fr(\()p Fq(x;)i(t)p Fr(\))521 717 y Fl(f)541 720 y(\177)541 717 y(ur)27 b(je)m(des)h Fq(x)c Fo(2)h Fq(M)34 b Fl(eine)28 b(Submersion)f(ist.)h(Insb)m(esonder)m(e)f (ist)g Fq(F)36 b Fl(eine)521 795 y(Submersion.)589 895 y Fr(In)16 b(dieser)i(Situation)f(ist)g Fq(F)27 b Fr(transv)n(ersal)16 b(zu)i(jeder)g(Un)n(termannigfal-)521 974 y(tigk)n(eit)23 b Fq(L)d Fo(\032)g Fq(N)7 b Fr(.)23 b(W)-6 b(endet)22 b(man)g(Satz)g(6)h(auf)f(dieses)i Fq(F)31 b Fr(an,)23 b(so)f(erh)2217 977 y(\177)2217 974 y(ahlt)521 1053 y(man:)521 1152 y Fs(Korollar)33 b(8.)e Fl(Sei)f Fq(f)15 b Fr(:)25 b Fq(M)36 b Fo(!)30 b Fq(N)37 b Fl(eine)30 b(di\013er)m(enzierb)m(ar)m (e)g(A)n(bbildung,)521 1231 y(und)d Fq(L)f Fo(\032)f Fq(N)34 b Fl(eine)28 b(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)g(Mannigfaltigkeit.) h(Dann)e(ist)g Fq(f)521 1310 y Fl(di\013er)m(enzierb)m(ar)21 b(homotop)e(zu)i(einer)g(A)n(bbildung)h(die)e(tr)m(ansversal)g(zu)h Fq(L)521 1388 y Fl(ist.)376 1488 y Fr(\(23\))27 b(F)566 1491 y(\177)564 1488 y(ur)22 b(den)f(Bew)n(eis)i(v)n(on)f(Satz)f(7)h(b) r(ew)n(eisen)h(wir:)521 1588 y Fs(Satz)32 b(9)g Fr(\(Existenz)27 b(v)n(on)h Fq(\017)p Fr(-Umgebungen\))p Fs(.)h Fl(Sei)h Fq(N)35 b Fo(\032)29 b Fj(R)2029 1563 y Fp(p)2086 1588 y Fl(eine)h(dif-)521 1666 y(fer)m(enzierb)m(ar)m(e)25 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Fr(,)j(Ba-)521 2491 y(sis)i Fq(B)j Fr(und)32 b(F)-6 b(aser)34 b Fq(F)42 b Fr(ist)33 b(eine)h(Submersion)d Fq(\031)10 b Fr(:)27 b Fq(E)42 b Fo(!)c Fq(B)f Fr(so)c(dass)521 2569 y Fq(B)e Fr(durc)n(h)26 b(o\013ene)h(Mengen)h Fq(U)1284 2579 y Fp(i)1331 2572 y Fr(\177)1330 2569 y(ub)r(erdec)n(kt)e(w)n (erden)g(k)l(ann,)h(f)2076 2572 y(\177)2074 2569 y(ur)g(die)g(es)521 2648 y(Di\013eomorphismen)i Fq(\036)1113 2658 y Fp(i)1139 2648 y Fr(:)d Fq(\031)1222 2624 y Fn(\000)p Fm(1)1287 2648 y Fr(\()p Fq(U)1358 2658 y Fp(i)1376 2648 y Fr(\))33 b Fo(!)g Fq(U)1580 2658 y Fp(i)1620 2648 y Fo(\002)21 b Fq(F)39 b Fr(gibt)30 b(mit)g Fq(\031)2086 2658 y Fm(1)2134 2648 y Fo(\016)20 b Fq(\036)2227 2658 y Fp(i)2279 2648 y Fr(=)521 2727 y Fq(\031)r Fo(j)579 2738 y Fp(\031)608 2725 y Fi(\000)p Fh(1)665 2738 y Fm(\()p Fp(U)716 2745 y Fg(i)733 2738 y Fm(\))755 2727 y Fr(.)31 b(Die)h(Abbildungen)f Fq(\036)1372 2737 y Fp(i)1422 2727 y Fr(heissen)h(lok)l(ale)g(T)-6 b(rivialisierungen)521 2805 y(des)22 b(F)-6 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Fj(R)1915 3258 y Fp(p)1943 3283 y Fr(,)i(das)f(M)2158 3286 y(\177)2158 3283 y(obius-)521 3362 y(band)h(als)i(F)-6 b(aserb)976 3365 y(\177)974 3362 y(undel)1155 3365 y(\177)1154 3362 y(ub)r(er)21 b Fq(S)1351 3337 y Fm(1)1377 3362 y Fr(,)h(die)h(Hopf)f(F) -6 b(aserung)22 b Fq(S)2010 3337 y Fm(3)2055 3362 y Fo(!)d Fq(S)2186 3337 y Fm(2)2212 3362 y Fr(.)376 3440 y(\(26\))27 b Fs(Lie)22 b(Grupp)r(en)d Fr(und)f(di\013erenzierbare)i(Op)r (erationen)f(v)n(on)g(Lie)h(Grup-)521 3519 y(p)r(en)i(auf)g (Mannigfaltigk)n(eiten.)h(Beispiele.)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 2305 159 a Fk(5)376 294 y Fr(\(27\))27 b(Ein)15 b(di\013erenzierbares)f(F)-6 b(aserb)1308 297 y(\177)1306 294 y(undel)15 b(hat)f Fs(Strukturgrupp)r(e)i Fq(G)p Fr(,)f(w)n(enn)521 373 y(es)24 b(eine)g(Op)r(eration)e(v)n(on)h Fq(G)g Fr(auf)h Fq(F)32 b Fr(gibt,)23 b(und)f(ein)i(System)d(v)n(on)i (lok)l(a-)521 451 y(len)j(T)-6 b(rivialisierungen)27 b(des)e(B)1304 454 y(\177)1302 451 y(undels,)h(so)f(dass)h(f)1784 454 y(\177)1782 451 y(ur)f(alle)h Fq(i)g Fr(und)e Fq(j)30 b Fr(aus)521 530 y(diesem)22 b(System)f(die)i(en)n(tsprec)n(henden)f Fq(g)1570 540 y Fp(ij)1610 530 y Fr(\()p Fq(p)p Fr(\))g(W)-6 b(erte)23 b(n)n(ur)e(in)i(der)f(Un-)521 609 y(tergrupp)r(e)31 b(v)n(on)i Fq(D)r(if)7 b(f)g Fr(\()p Fq(F)i Fr(\))31 b(annehmen,)g(die)i(durc)n(h)f(die)h(Op)r(eration)521 687 y(v)n(on)22 b Fq(G)g Fr(auf)f Fq(F)31 b Fr(gegeb)r(en)22 b(ist.)g(Dab)r(ei)h(brauc)n(h)n(t)d(der)i(Homomorphism)n(us)521 766 y Fq(G)d Fo(!)g Fq(D)r(if)7 b(f)g Fr(\()p Fq(F)i Fr(\))20 b(nic)n(h)n(t)i(injektiv)g(zu)g(sein.)376 845 y(\(28\))27 b(Der)32 b(Sp)r(ezialfall)h(v)n(on)e Fs(V)-6 b(ektorraum)n(b)1556 848 y(\177)1554 845 y(undeln)p Fr(,)33 b(und)d(v)n(on)i Fs(Prinzi-)521 923 y(palb)665 926 y(\177)663 923 y(undeln)p Fr(.)376 1002 y(\(29\))27 b(Diskussion)c(der)e (Strukturgrupp)r(en)d(in)k(den)g(Beispielen)h(aus)f(\(25\).)376 1081 y(\(30\))27 b(De\014nition)k(v)n(on)f Fs(Sc)n(hnitten)h Fr(in)g(F)-6 b(aserb)1591 1084 y(\177)1589 1081 y(undeln)30 b(als)h(di\013erenzierba-)521 1159 y(re)e(Abbildungen)f Fq(s)7 b Fr(:)26 b Fq(B)34 b Fo(!)c Fq(E)j Fr(mit)27 b(der)i(Eigensc)n(haft)g(dass)f Fq(\031)23 b Fo(\016)c Fq(s)30 b Fr(=)521 1238 y Fq(I)5 b(d)589 1248 y Fp(B)631 1238 y Fr(.)17 b(Jedes)f(V)-6 b(ektorraum)n(b)1218 1241 y(\177)1216 1238 y(undel)15 b(hat)h(Sc)n(hnitte,)g(und)f(sie)i(bilden)f (einen)521 1317 y(unendlic)n(h-dimensionalen)21 b(V)-6 b(ektorraum.)1210 1488 y(20.)23 b(Mai)376 1659 y(\(31\))k(T)-6 b(rivialisierungen)16 b(v)n(on)e(F)-6 b(aserb)1324 1662 y(\177)1322 1659 y(undeln)14 b(und)g(v)n(on)g(V)-6 b(ektorraum)n(b)2154 1662 y(\177)2152 1659 y(undeln.)521 1738 y(Ein)15 b(V)-6 b(ektorraum)n(b)1017 1741 y(\177)1015 1738 y(undel)14 b(v)n(om)g(Rang)h Fq(k)i Fr(ist)f(global)f(trivial)h(genau)f(dann)521 1816 y(w)n(enn)22 b(es)h Fq(k)i Fr(Sc)n(hnitte)d(hat)f(deren)h(W)-6 b(erte)23 b(in)g(jedem)e(Punkt)h(linear)g(un-)521 1895 y(abh)628 1898 y(\177)628 1895 y(angig)g(sind.)376 1974 y(\(32\))27 b(B)570 1977 y(\177)568 1974 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y(undel)d(v)n(on)j Fq(E)k Fr(bzw.)c(v)n(on)f Fq(F)9 b Fr(.)1210 2617 y(22.)23 b(Mai)376 2788 y(\(34\))k Fs(Whitney-Summe)16 b Fr(v)n(on)f(V)-6 b(ektorraum)n(b)1593 2791 y(\177)1591 2788 y(undeln,)13 b(Sk)l(alarpro)r(dukte)f(und)521 2866 y(orthogonale)21 b(Komplemen)n(te.)g(Jedes)h(Komplemen)n(t)e(eines)j (Un)n(terv)n(ek-)521 2945 y(torraum)n(b)795 2948 y(\177)793 2945 y(undels)d Fq(E)k Fo(\032)c Fq(F)32 b Fr(ist)22 b(isomorph)f(zum)h Fs(Quotien)n(ten)n(b)2150 2948 y(\177)2148 2945 y(undel)521 3024 y Fq(F)6 b(=E)t Fr(.)376 3102 y(\(35\))27 b(Ist)g Fq(M)33 b Fo(\032)28 b Fq(N)34 b Fr(eine)27 b (di\013erenzierbare)g(Un)n(termannigfaltigk)n(eit,)g(so)g(ist)521 3181 y(ihr)22 b Fs(Normalen)n(b)992 3184 y(\177)990 3181 y(undel)g Fq(\027)t Fr(\()p Fq(M)7 b Fr(\))18 b(=)h(\()p Fq(T)9 b(N)e Fo(j)1595 3191 y Fp(M)1648 3181 y Fr(\))p Fq(=T)i(M)28 b Fr(de\014niert.)521 3283 y Fs(Satz)f(10.)i Fl(Ist)c(eine)h(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)f(A)n(bbildung)i Fq(f)14 b Fr(:)23 b Fq(X)k Fo(!)21 b Fq(Y)40 b Fl(tr)m(ans-)521 3362 y(versal)26 b(zu)g(einer)g(Untermannigfaltigkeit)i Fq(Z)f Fo(\032)d Fq(Y)15 b Fl(,)25 b(so)h(ist)g Fq(f)2091 3337 y Fn(\000)p Fm(1)2154 3362 y Fr(\()p Fq(Z)5 b Fr(\))22 b Fo(\032)521 3440 y Fq(X)g Fl(eine)c(Untermannigfaltigkeit)g(mit)f (Normalenb)1800 3443 y(\177)1800 3440 y(undel)g Fq(\027)t Fr(\()p Fq(f)2073 3416 y Fn(\000)p Fm(1)2136 3440 y Fr(\()p Fq(Z)5 b Fr(\)\))18 b(=)521 3519 y Fq(f)561 3494 y Fn(\003)588 3519 y Fq(\027)t Fr(\()p Fq(Z)5 b Fr(\))p Fl(.)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 308 159 a Fk(6)589 294 y Fr(Es)19 b(folgt)h(insb)r(esondere,)f (dass)g(Urbilder)h(regul)1776 297 y(\177)1776 294 y(arer)f(W)-6 b(erte)20 b(triviales)521 373 y(Normalen)n(b)839 376 y(\177)837 373 y(undel)h(hab)r(en.)1210 534 y(27.)i(Mai)376 694 y(\(36\))k Fs(Kob)r(ordism)n(us)e Fr(v)n(on)e(Mannigfaltigk)n (eiten)i(und)e(v)n(on)g(Un)n(termannig-)521 773 y(faltigk)n(eiten,)k Fs(gerahm)n(ter)j(Kob)r(ordism)n(us)g(v)n(on)g(Un)n(termannig-)521 852 y(faltigk)n(eiten)p Fr(.)23 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b Fr(.)17 b(Die)521 1323 y(Un)n (termannigfaltigk)n(eit)22 b Fq(M)k Fo(\032)20 b Fq(N)29 b Fr(zusammen)21 b(mit)g(dieser)i(Rahm)n(ung)521 1402 y(heisst)30 b(die)h Fs(P)n(on)n(try)n(agin-Mannigfaltigk)n(eit)g Fr(v)n(on)f Fq(f)37 b Fr(b)r(ez)2094 1405 y(\177)2092 1402 y(uglic)n(h)31 b Fq(x)521 1481 y Fr(und)21 b Fq(v)685 1491 y Fm(1)712 1481 y Fq(;)11 b(:)g(:)g(:)i(;)e(v)891 1491 y Fp(p)918 1481 y Fr(.)521 1580 y Fs(Satz)17 b(11.)23 b Fl(Die)17 b(ger)m(ahmte)f(Kob)m(or)m(dismus-Klasse)f(der)i (Pontryagin)f(Man-)521 1659 y(nigfaltigkeit)21 b(h)907 1662 y(\177)908 1659 y(angt)f(nur)f(von)h Fq(f)26 b Fl(ab,)20 b(und)f(nicht)h(von)g Fq(x)f Fl(und)g Fq(v)2077 1669 y Fm(1)2104 1659 y Fq(;)11 b(:)g(:)g(:)i(;)e(v)2283 1669 y Fp(p)2310 1659 y Fl(.)376 1758 y Fr(\(38\))27 b(Im)d(Laufe)i(des)f (Bew)n(eises)i(v)n(on)e(Satz)g(11)g(b)r(ew)n(eisen)h(wir)f(zun)2073 1761 y(\177)2073 1758 y(ac)n(hst)f(die)521 1836 y(Unabh)714 1839 y(\177)714 1836 y(angigk)n(eit)15 b(der)f(gerahm)n(ten)f(Kob)r (ordism)n(us-Klasse)h(v)n(on)h(der)f(W)-6 b(ahl)521 1915 y(der)25 b(orien)n(tierten)h(Basis.)g(Danac)n(h)g(k)1468 1918 y(\177)1468 1915 y(onnen)e(wir)i(v)n(on)f(der)g(gerahm)n(ten)521 1994 y(Kob)r(ordism)n(us-Klasse)f(des)h(Urbildes)g(eines)g(regul)1819 1997 y(\177)1819 1994 y(aren)f(W)-6 b(ertes)25 b(spre-)521 2072 y(c)n(hen,)h(ohne)f(die)h(Basis)g(die)g(die)g(Rahm)n(ung)d(angibt) i(zu)g(sp)r(ezi\014zieren.)521 2151 y(Dann)d(b)r(ew)n(eisen)g(wir:)521 2250 y Fs(Lemma)35 b(12.)d Fl(Sind)g Fq(f)38 b Fl(und)32 b Fq(g)h Fl(\(di\013er)m(enzierb)m(ar\))f(homotop)m(e)e(A)n(bbil-)521 2329 y(dungen)d Fq(N)i Fo(!)23 b Fq(S)968 2304 y Fp(p)1021 2329 y Fl(und)i Fq(y)h Fo(2)c Fq(S)1322 2304 y Fp(p)1374 2329 y Fl(ein)27 b(gemeinsamer)g(r)m(e)m(gul)2022 2332 y(\177)2023 2329 y(ar)m(er)e(Wert,)521 2407 y(dann)e(sind)h Fq(f)868 2383 y Fn(\000)p Fm(1)931 2407 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))g Fl(und)g Fq(g)1205 2383 y Fn(\000)p Fm(1)1269 2407 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))f Fl(ger)m(ahmt)g(kob)m(or)m(dant.)1220 2589 y Fr(3.)f(Juni)376 2749 y(\(39\))27 b(Die)h(Abbildung)e(die)h (einer)g(di\013erenzierbaren)g(Abbildung)f Fq(f)14 b Fr(:)25 b Fq(N)33 b Fo(!)521 2828 y Fq(S)566 2804 y Fp(p)615 2828 y Fr(ihre)22 b(P)n(on)n(try)n(agin)f(Mannigfaltigk)n(eit)i (zuordnet)e(ist)h(surjektiv:)521 2927 y Fs(Satz)40 b(13.)35 b Fl(Sei)h Fq(M)48 b Fo(\032)41 b Fq(N)h Fl(eine)37 b(ger)m(ahmte)e (Untermannigfaltigkeit)521 3006 y(der)g(Ko)m(dimension)e Fq(p)p Fl(.)i(Es)f(gibt)i(eine)f(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(en)g(A)n (bbildung)521 3085 y Fq(f)14 b Fr(:)23 b Fq(N)j Fo(!)19 b Fq(S)819 3060 y Fp(p)869 3085 y Fl(die)24 b Fq(M)30 b Fl(als)23 b(Pontryagin)h(Mannigfaltigkeit)h(hat.)376 3184 y Fr(\(40\))i(Der)j(Hauptsatz)983 3187 y(\177)981 3184 y(ub)r(er)e(die)i(Korresp)r(ondenz)e(zwisc)n(hen)i(Homotopie-)521 3262 y(Klassen)18 b(v)n(on)e(Abbildungen)g(und)g(gerahm)n(ten)g(Kob)r (ordism)n(us-Klassen)521 3341 y(v)n(on)22 b(Un)n(termannigfaltigk)n (eiten)f(lautet:)521 3440 y Fs(Satz)d(14.)23 b Fl(Sei)c Fq(N)24 b Fl(eine)19 b(geschlossene)f(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)g (Mannigfaltig-)521 3519 y(keit.)27 b(Zwei)g(di\013er)m(enzierb)m(ar)m (e)g(A)n(bbildungen)h Fq(N)j Fo(!)24 b Fq(S)1890 3494 y Fp(p)1942 3519 y Fl(sind)i(homotop)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 2305 159 a Fk(7)521 294 y Fl(genau)29 b(dann)e(wenn)h(ihr)m(e)f (Pontryagin)h(Mannigfaltigkeiten)h(ger)m(ahmt)521 373 y(kob)m(or)m(dant)22 b(sind.)521 503 y(Beweis.)30 b Fr(Sind)17 b(die)i(Abbildungen)f(homotop,)e(so)i(folgt)h(aus)f(Lemma)f(12)521 582 y(dass)e(ihre)f(P)n(on)n(try)n(agin)g(Mannigfaltigk)n(eiten)i (gerahm)n(t)d(k)n(ob)r(ordan)n(t)g(sind.)521 660 y(Umgek)n(ehrt,)23 b(ist)g(ein)g(gerahm)n(ter)e(Kob)r(ordism)n(us)h(zwisc)n(hen)h(den)g(P) n(on-)521 739 y(try)n(agin)32 b(Mannigfaltigk)n(eiten)i(gegeb)r(en,)g (so)f(k)n(onstruieren)e(wir)i(eine)521 818 y(Homotopie)20 b(analog)h(zu)g(der)g(Konstruktion)e(im)h(Bew)n(eis)h(v)n(on)g(Satz)f (13.)2278 896 y Ff(\003)589 1027 y Fr(Insgesam)n(t)25 b(hab)r(en)g(wir)h(also)h(eine)g(Bijektion)f(zwisc)n(hen)h(der)f(Men-) 521 1105 y(ge)32 b(der)f(Homotopie-Klassen)h([)p Fq(N)s(;)11 b(S)1474 1081 y Fp(p)1502 1105 y Fr(])32 b(v)n(on)f(Abbildungen)g(und)g (den)521 1184 y(gerahm)n(ten)c(Kob)r(ordism)n(us-Klassen)g(v)n(on)h(Un) n(termannigfaltigk)n(eiten)521 1263 y Fq(M)e Fo(\032)19 b Fq(N)29 b Fr(der)22 b(Ko)r(dimension)f Fq(p)p Fr(.)1220 1426 y(5.)h(Juni)376 1589 y(\(41\))27 b(Wir)22 b(w)n(enden)g(die)h (Bijektion)f(zwisc)n(hen)h(Homotopie-Klassen)g([)p Fq(N)s(;)11 b(S)2285 1565 y Fp(p)2312 1589 y Fr(])521 1668 y(und)30 b(gerahm)n(ten)g(Kob)r(ordism)n(us-Klassen)h(v)n(on)f(Un)n (termannigfaltig-)521 1746 y(k)n(eiten)g Fq(M)39 b Fo(\032)32 b Fq(N)37 b Fr(der)29 b(Ko)r(dimension)g Fq(p)h Fr(in)g(den)f(einfac)n (hsten)i(Sp)r(ezi-)521 1825 y(alf)592 1828 y(\177)592 1825 y(allen)23 b(an.)f(Ist)g Fq(dim)p Fr(\()p Fq(N)7 b Fr(\))17 b Fq(<)i(p)p Fr(,)k(so)f(ist)g(jede)g(Abbildung)g Fq(N)k Fo(!)19 b Fq(S)2191 1800 y Fp(p)2239 1825 y Fr(ho-)521 1904 y(motop)i(zur)h(k)n(onstan)n(ten,)g(en)n(tsprec)n(hend)g(sind)g (die)h(P)n(on)n(try)n(agin)f(Man-)521 1982 y(nigfaltigk)n(eiten)h (leer.)376 2061 y(\(42\))k(Ist)14 b Fq(dim)p Fr(\()p Fq(N)7 b Fr(\))18 b(=)h Fq(p)c Fr(und)e Fq(N)22 b Fr(orien)n(tiert,)15 b(so)g(ist)f(die)h(gerahm)n(te)f(Kob)r(ordism)n(us-)521 2140 y(Klasse)i(einer)f(0-dimensionalen)f(Un)n(termannigfaltigk)n(eit)g (gerade)h(durc)n(h)521 2218 y(das)g(Aufaddieren)f(der)h(V)-6 b(orzeic)n(hen)17 b(die)e(das)f(Orien)n(tierungs-V)-6 b(erhalten)521 2297 y(b)r(esc)n(hreib)r(en)29 b(gegeb)r(en{also)g(durc) n(h)e(den)i(Abbildungsgrad.)e(Wir)i(er-)521 2375 y(halten)22 b(aus)g(Satz)f(14:)521 2475 y Fs(Satz)36 b(15)f Fr(\(Hopf)5 b(\))p Fs(.)32 b Fl(Ist)h Fq(dim)p Fr(\()p Fq(N)7 b Fr(\))32 b(=)j Fq(p)d Fl(und)g Fq(N)38 b Fl(orientiert)32 b(und)g(ge-)521 2554 y(schlossen,)26 b(so)g(sind)g(A)n(bbildungen)h Fq(N)j Fo(!)24 b Fq(S)1654 2529 y Fp(p)1706 2554 y Fl(genau)j(dann)e(homotop,) 521 2633 y(wenn)f(sie)g(denselb)m(en)g(A)n(bbildungsgr)m(ad)h(hab)m (en.)589 2732 y Fr(Ist)h Fq(N)33 b Fr(nic)n(h)n(t)27 b(orien)n(tierbar,)g(so)g(gilt)g(der)f(Satz)h(v)n(on)f(Hopf)h(en)n (tspre-)521 2811 y(c)n(hend)22 b(f)732 2814 y(\177)730 2811 y(ur)g(den)f(Abbildungsgrad)g(mit)g(W)-6 b(erten)22 b(in)g Fj(Z)1896 2821 y Fm(2)1919 2811 y Fr(.)376 2890 y(\(43\))27 b(Ist)e Fq(N)31 b Fr(=)24 b Fq(S)826 2865 y Fp(n)858 2890 y Fr(,)h(und)f Fq(n)h(>)f(p)p Fr(,)i(so)f(k)l(ann)g (jede)g(gerahm)n(te)f(Kob)r(ordism)n(us-)521 2968 y(klasse)18 b(v)n(on)g(\()p Fq(n)6 b Fo(\000)g Fq(p)p Fr(\)-dimensionalen)17 b(gerahm)n(ten)f(Un)n(termannigfaltig-)521 3047 y(k)n(eiten)j(in)f Fq(S)830 3022 y Fp(n)879 3047 y Fr(durc)n(h)f(eine)i(zusammenh)1532 3050 y(\177)1532 3047 y(angende)c(Un)n(termannigfaltig-)521 3126 y(k)n(eit)22 b(repr)767 3129 y(\177)767 3126 y(asen)n(tiert)g(w)n (erden.)376 3204 y(\(44\))27 b(Im)c(F)-6 b(all)24 b Fq(N)29 b Fr(=)22 b Fq(S)954 3180 y Fp(p)p Fm(+1)1065 3204 y Fr(b)r(etrac)n(h)n(ten)g(wir)i Fq(S)1555 3180 y Fm(1)1602 3204 y Fo(\032)e Fq(S)1721 3180 y Fp(p)p Fm(+1)1832 3204 y Fr(als)i(gerahm)n(te)f(Un-)521 3283 y(termannigfaltigk)n(eit.)d(Je)g (zw)n(ei)h(Rahm)n(ungen)d(un)n(tersc)n(heiden)h(sic)n(h)i(um)521 3362 y(ein)26 b(Elemen)n(t)g(v)n(on)f Fq(\031)1060 3372 y Fm(1)1088 3362 y Fr(\()p Fq(GL)p Fr(\()p Fq(p;)11 b Fj(R)p Fr(\)\).)27 b(F)1488 3365 y(\177)1486 3362 y(ur)e Fq(p)h Fo(\025)g Fr(3)g(ist)f(dies)i(die)f(Grupp)r(e)521 3440 y(mit)h(zw)n(ei)h(Elemen)n(ten.)g(Es)f(folgt,)h(dass)g([)p Fq(S)1635 3416 y Fp(p)p Fm(+1)1722 3440 y Fq(;)11 b(S)1796 3416 y Fp(p)1823 3440 y Fr(])28 b(genau)g(zw)n(ei)g(Ele-)521 3519 y(men)n(te)21 b(hat.)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 308 159 a Fk(8)1204 294 y Fr(12.)22 b(Juni)376 449 y(\(45\))27 b Fs(Homotopiegrupp)r(en)p Fr(;)c(einfac)n(hste)g (Eigensc)n(haften,)g(Beispiele.)1204 603 y(17.)f(Juni)376 758 y(\(46\))27 b(Relativ)n(e)c(Homotopiegrupp)r(en.)376 837 y(\(47\))k(Die)c Fs(exakte)i(Homotopiesequenz)d Fr(v)n(on)g (Raumpaaren.)1204 991 y(24.)g(Juni)376 1146 y(\(48\))27 b(Die)i(exakte)f(Homotopiesequenz)f(v)n(on)g(F)-6 b(aserungen;)29 b(An)n(w)n(endungen)521 1227 y(auf)641 1213 y(\177)633 1227 y(Ub)r(erlagerungen.)1204 1382 y(26.)22 b(Juni)376 1537 y(\(49\))27 b(\(Un\)Abh)782 1540 y(\177)782 1537 y(angigk)n(eit)22 b(der)g(F)-6 b(undamen)n(talgrupp)r(e)19 b(v)n(om)i(Basispunkt.)376 1615 y(\(50\))27 b(Die)17 b(Op)r(eration)e(der)g(F)-6 b(undamen)n(talgrupp)r(e)14 b(auf)h(sic)n(h)h(selbst;)h(Bijektion)521 1694 y(zwisc)n(hen)26 b(den)e(Konjugationsklassen)h(in)g Fq(\031)1655 1704 y Fm(1)1682 1694 y Fr(\()p Fq(X)r(;)11 b(x)1832 1704 y Fm(0)1858 1694 y Fr(\))25 b(und)f(den)g(freien)521 1772 y(Homotopieklassen)e([)p Fq(S)1124 1748 y Fm(1)1150 1772 y Fq(;)11 b(X)5 b Fr(].)376 1851 y(\(51\))27 b(\(Un\)Abh)782 1854 y(\177)782 1851 y(angigk)n(eit)e(der)g(h)1221 1854 y(\177)1221 1851 y(oheren)g(Homotopiegrupp)r(en)e(v)n(om)i(Basis-)521 1930 y(punkt.)1229 2084 y(1.)e(Juli)376 2239 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2789 y(ats-Bedingung)27 b(impliziert,)i(dass)g(die)g (kri-)521 2868 y(tisc)n(hen)d(Punkte)e(eine)i(0-dimensionale)f(Un)n (termannigfaltigk)n(eit)g(v)n(on)521 2947 y Fq(M)33 b Fr(sind,)27 b(insb)r(esondere)e(sind)h(sie)h(isoliert.)h(Ist)d Fq(M)33 b Fr(k)n(ompakt,)25 b(so)h(hat)521 3025 y(eine)d(Morse)f(F)-6 b(unktion)22 b(n)n(ur)f(endlic)n(h)i(viele)g(kritisc)n(he)f(Punkte.)376 3104 y(\(54\))27 b(Die)16 b(T)-6 b(ransv)n(ersalit)1007 3107 y(\177)1007 3104 y(ats-Bedingung)13 b(in)i(der)f(De\014nition)h(v) n(on)f(Morse)i(F)-6 b(unk-)521 3183 y(tionen)17 b(ist)805 3186 y(\177)805 3183 y(aquiv)l(alen)n(t)g(dazu,)g(dass)g(in)g(jedem)f (kritisc)n(hen)h(Punkt)f Fq(p)h Fr(v)n(on)521 3269 y Fq(f)22 b Fr(b)r(ez)675 3272 y(\177)673 3269 y(uglic)n(h)15 b(einer)g(b)r(eliebigen)g(Karte)g(die)g Fs(Hesse-Matrix)g Fr(\()2119 3239 y Fp(@)2147 3223 y Fh(2)2170 3239 y Fp(f)p 2085 3253 150 3 v 2085 3292 a(@)s(x)2140 3299 y Fg(i)2157 3292 y Fp(@)s(x)2212 3299 y Fg(j)2240 3269 y Fr(\)\()p Fq(p)p Fr(\))521 3362 y(nic)n(h)n(t)34 b(ausgeartet)f(ist.)h(\(Da)g(T) -6 b(ransv)n(ersalit)1667 3365 y(\177)1667 3362 y(at)34 b(nic)n(h)n(t)g(v)n(on)f(der)h(Kar-)521 3440 y(te)d(abh)714 3443 y(\177)714 3440 y(angt,)f(h)928 3443 y(\177)928 3440 y(angt)f(auc)n(h)i(das)f(Nic)n(h)n(t-ausgeartet-Sein)h(der)f (Hesse-)521 3519 y(Matrix)22 b(nic)n(h)n(t)g(v)n(on)g(der)g(Karte)g (ab.\))p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 2305 159 a Fk(9)376 294 y Fr(\(55\))27 b(Das)15 b Fs(Morse)h(Lemma)f Fr(b)r(esagt,)f(dass)h(man)e(in)i(jedem)f(kritisc) n(hen)h(Punkt)521 373 y Fq(p)j Fr(einer)h(Morse)g(F)-6 b(unktion)17 b(eine)i(Karte)g(\014nden)e(k)l(ann,)h(in)g(der)g Fq(f)25 b Fr(die)19 b(Ge-)521 451 y(stalt)662 558 y Fq(f)7 b Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))17 b(=)i Fq(f)7 b Fr(\()p Fq(p)p Fr(\))15 b Fo(\000)g Fq(x)1124 530 y Fm(2)1124 574 y(1)1165 558 y Fo(\000)h Fq(:)11 b(:)g(:)16 b Fo(\000)f Fq(x)1430 530 y Fm(2)1430 574 y Fp(k)1474 558 y Fr(+)g Fq(x)1578 530 y Fm(2)1578 574 y Fp(k)q Fm(+1)1683 558 y Fr(+)g Fq(:)c(:)g(:)16 b Fr(+)g Fq(x)1946 530 y Fm(2)1946 574 y Fp(n)521 664 y Fr(hat.)k(\(Der)g(Punkt)f Fq(p)h Fr(en)n(tspric)n(h)n (t)f(dem)h(Nullpunkt)f(in)h(der)g(Karte.\))g(Die)521 742 y(Anzahl)k Fq(k)j Fr(ist)d(dann)f(die)h(Anzahl)g(negativ)n(er)g (Eigen)n(w)n(erte)g(der)f(Hesse-)521 821 y(Matrix,)c(und)e(h)921 824 y(\177)921 821 y(angt)h(eb)r(enfalls)h(nic)n(h)n(t)g(v)n(on)f(der)g (Karte)g(ab.)h(Man)g(nenn)n(t)521 900 y Fq(k)25 b Fr(den)c Fs(Morse)k(Index)d Fr(des)g(kritisc)n(hen)g(Punktes)f Fq(p)p Fr(.)376 978 y(\(56\))27 b(Wir)22 b(b)r(ew)n(eisen)g(n)n(un)g (den)f(fundamen)n(talen)g(Satz:)521 1071 y Fs(Satz)f(16.)25 b Fl(Ist)20 b Fq(M)26 b Fl(eine)20 b(komp)m(akte)f(di\013er)m(enzierb)m (ar)m(e)h(Mannigfaltigkeit)521 1149 y(und)j Fq(f)15 b Fr(:)23 b Fq(M)i Fo(!)19 b Fj(R)25 b Fl(eine)f(b)m(eliebige)h(di\013er) m(enzierb)m(ar)m(e)f(F)-5 b(unktion,)24 b(so)f(gibt)521 1228 y(es)29 b(f)627 1231 y(\177)627 1228 y(ur)g(je)m(des)g Fq(\017)e(>)i Fr(0)f Fl(Morse)h(F)-5 b(unktionen)30 b Fq(g)10 b Fr(:)24 b Fq(M)35 b Fo(!)28 b Fj(R)i Fl(mit)f Fo(j)p Fq(g)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))17 b Fo(\000)521 1307 y Fq(f)7 b Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))p Fo(j)17 b Fq(<)i(\017)k Fl(f)827 1310 y(\177)827 1307 y(ur)i(al)s(le)e Fq(x)18 b Fo(2)h Fq(M)7 b Fl(.)521 1419 y(Beweis.)30 b Fr(Wir)19 b(f)921 1422 y(\177)919 1419 y(uhren)h(die)g(Aussage)h(auf)f(sc)n(hon)g (b)r(ewiesene)g(T)-6 b(ransv)n(er-)521 1498 y(salit)642 1501 y(\177)642 1498 y(ats-S)786 1501 y(\177)786 1498 y(atze)28 b(zur)1025 1501 y(\177)1023 1498 y(uc)n(k.)g(Das)g(einzige)h (Problem)d(im)h(Bew)n(eis)h(b)r(esteh)n(t)521 1576 y(darin,)21 b(dass)f(die)h(zu)g(erf)1122 1579 y(\177)1120 1576 y(ullende)g(T)-6 b(ransv)n(ersalit)1719 1579 y(\177)1719 1576 y(atb)r(edingung)19 b(nic)n(h)n(t)i(ei-)521 1655 y(ne)28 b(Bedingung)g(an)f Fq(f)35 b Fr(sondern)28 b(an)f Fq(d)-11 b(f)36 b Fr(ist.)28 b(St)1737 1658 y(\177)1737 1655 y(oren)f(wir)h(also)h Fq(d)-11 b(f)35 b Fr(um)521 1734 y(es)28 b(transv)n(ersal)f(zum)f (Nullsc)n(hnitt)i(zu)f(mac)n(hen,)g(so)g(ist)h(sic)n(herzustel-)521 1812 y(len,)h(dass)g(die)f(St)978 1815 y(\177)978 1812 y(orung)f(v)n(on)i Fq(d)-11 b(f)35 b Fr(tats)1505 1815 y(\177)1505 1812 y(ac)n(hlic)n(h)29 b(v)n(on)f(einer)h(geeigneten)521 1891 y(St)584 1894 y(\177)584 1891 y(orung)21 b(v)n(on)g Fq(f)29 b Fr(induziert)22 b(wird.)589 1970 y(Nac)n(h)28 b(Satz)g(3)g(d)1016 1973 y(\177)1014 1970 y(urfen)f(wir)g(annehmen,)g (dass)h Fq(M)35 b Fo(\032)29 b Fj(R)2026 1945 y Fp(p)2055 1970 y Fr(.)f(Wir)g(b)r(e-)521 2048 y(trac)n(h)n(ten)22 b(die)g(Abbildung)622 2155 y Fq(F)16 b Fr(:)23 b Fq(M)f Fo(\002)15 b Fr(\()p Fj(R)948 2127 y Fp(p)976 2155 y Fr(\))1002 2127 y Fn(\003)1047 2155 y Fo(\000)-11 b(!)20 b Fq(T)1223 2127 y Fn(\003)1249 2155 y Fq(M)864 2257 y Fr(\()p Fq(x;)11 b Fr(\003\))18 b Fo(7\000)-11 b(!)20 b Fq(d)1209 2267 y Fp(x)1239 2257 y Fr(\()p Fq(f)h Fo(\000)15 b Fr(\003)p Fo(j)1451 2267 y Fp(M)1504 2257 y Fr(\))k(=)g Fq(d)1653 2267 y Fp(x)1683 2257 y Fq(f)j Fo(\000)15 b Fr(\003)p Fo(j)1870 2267 y Fp(T)1898 2273 y Fg(x)1924 2267 y Fp(M)1999 2257 y Fq(:)521 2363 y Fr(Es)22 b(gilt)430 2469 y(\()p Fq(D)511 2480 y Fm(\()p Fp(x;)p Fm(\003\))624 2469 y Fq(F)9 b Fr(\)\(0)p Fq(;)i(\025)p Fr(\))18 b(=)h Fo(\000)p Fq(\025)p Fo(j)1053 2479 y Fp(T)1081 2485 y Fg(x)1107 2479 y Fp(M)1179 2469 y Fo(2)g Fq(T)1291 2441 y Fn(\003)1282 2486 y Fp(x)1317 2469 y Fq(M)26 b Fr(=)19 b Fq(T)1516 2479 y Fm(0)1542 2469 y Fr(\()p Fq(T)1616 2441 y Fn(\003)1607 2486 y Fp(x)1642 2469 y Fq(M)7 b Fr(\))19 b Fo(\032)g Fq(T)1868 2480 y Fm(\()p Fp(x;)p Fm(0\))1971 2469 y Fr(\()p Fq(T)2045 2441 y Fn(\003)2072 2469 y Fq(M)7 b Fr(\))21 b Fq(;)521 2575 y Fr(und)26 b(jede)h(Linearform)e(auf)i Fq(T)1300 2585 y Fp(x)1329 2575 y Fq(M)33 b Fr(wird)26 b(v)n(on)g(einer)h(Linearform)f Fq(\025)g Fo(2)521 2654 y Fr(\()p Fj(R)594 2630 y Fp(p)622 2654 y Fr(\))648 2630 y Fn(\003)692 2654 y Fr(induziert.)18 b(Also)h(ist)f(die)g(Pro)t(jektion)f(v)n(on)h Fq(B)s(il)q(d)p Fr(\()p Fq(D)r(F)9 b Fr(\))17 b(auf)g(einen)521 2733 y(Komplemen)n(t)891 2736 y(\177)891 2733 y(arraum)c(des)k(T)-6 b(angen)n(tialraums)15 b(des)h(Nullsc)n(hnittes)h(sur-)521 2811 y(jektiv,)28 b(und)d Fq(F)36 b Fr(transv)n(ersal)27 b(zum)f(Nullsc)n(hnitt.)h(Nac)n(h)h(Satz)e(6)h(folgt,)521 2890 y(dass)i(f)694 2893 y(\177)692 2890 y(ur)f(eine)i(dic)n(h)n(te)f (T)-6 b(eilmenge)29 b(v)n(on)g(festen)g(\003)h Fo(2)h Fr(\()p Fj(R)2000 2866 y Fp(p)2028 2890 y Fr(\))2054 2866 y Fn(\003)2109 2890 y Fr(die)f(Ab-)521 2969 y(bildung)24 b Fq(d)-11 b(f)23 b Fo(\000)17 b Fr(\003)p Fo(j)975 2979 y Fp(T)7 b(M)1087 2969 y Fr(transv)n(ersal)24 b(zum)f(Nullsc)n(hnitt)i (ist.)f(Ist)g(\003)g(nahe)521 3047 y(gen)n(ug)e(b)r(ei)g(0)d Fo(2)g Fr(\()p Fj(R)1007 3023 y Fp(p)1035 3047 y Fr(\))1061 3023 y Fn(\003)1087 3047 y Fr(,)j(so)h(k)1244 3050 y(\177)1244 3047 y(onnen)e(wir)g Fq(g)g Fr(=)e Fq(f)j Fo(\000)15 b Fr(\003)p Fo(j)1861 3057 y Fp(M)1936 3047 y Fr(nehmen.)99 b Ff(\003)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 308 159 a Fk(10)1229 294 y Fr(3.)23 b(Juli)376 431 y(\(57\))k(Wir)17 b(un)n(tersuc)n(hen)g(n)n(un)g(die)g(T)-6 b(op)r(ologie)19 b(v)n(on)e(k)n(ompakten)e(di\013erenzier-)521 510 y(baren)22 b(Mannigfaltigk)n(eiten)i(indem)e(wir)h(die)g(Subniv)n (eaumengen)e(v)n(on)521 588 y(Morse-F)-6 b(unktionen)24 b(b)r(etrac)n(h)n(ten.)e(Sei)i(also)g Fq(f)14 b Fr(:)23 b Fq(M)28 b Fo(!)22 b Fj(R)j Fr(eine)f(Morse-)521 667 y(F)-6 b(unktion)14 b(auf)h(einer)g(k)n(ompakten)e(Mannigfaltigk)n (eit,)j(und)d Fq(M)2080 677 y Fp(t)2119 667 y Fr(=)19 b Fq(f)2229 643 y Fn(\000)p Fm(1)2293 667 y Fr(\(\()p Fo(\0001)p Fq(;)11 b(t)p Fr(]\).)521 746 y(Ist)29 b Fq(t)g Fr(ein)h(regul)936 749 y(\177)936 746 y(arer)f(W)-6 b(ert)30 b(v)n(on)f Fq(f)7 b Fr(,)29 b(so)h(ist)f Fq(M)1723 756 y Fp(t)1773 746 y Fr(en)n(t)n(w)n(eder)g(leer)h(\(falls)521 824 y Fq(t)g(<)h(min)p Fr(\()p Fq(f)7 b Fr(\)\),)28 b(o)r(der)g(eine)i (k)n(ompakte)d(di\013erenzierbare)i(Mannigfal-)521 903 y(tigk)n(eit)h(mit)e(Rand)g Fq(f)1086 879 y Fn(\000)p Fm(1)1150 903 y Fr(\()p Fq(t)p Fr(\).)g(Die)j(erste)e(wic)n(h)n(tige)h (Aussage)f(ist,)h(dass)521 982 y Fq(M)585 992 y Fp(t)602 998 y Fh(1)655 982 y Fr(und)25 b Fq(M)855 992 y Fp(t)872 998 y Fh(2)924 982 y Fr(zueinander)h(di\013eomorph)f(sind,)h(w)n(enn)g (das)g(In)n(terv)l(all)521 1060 y([)p Fq(t)563 1070 y Fm(1)590 1060 y Fq(;)11 b(t)643 1070 y Fm(2)670 1060 y Fr(])19 b(n)n(ur)f(aus)g(regul)1080 1063 y(\177)1080 1060 y(aren)g(W)-6 b(erten)18 b(v)n(on)g Fq(f)26 b Fr(b)r(esteh)n(t.)18 b(\(Der)g(Di\013eomor-)521 1139 y(phism)n(us)h(wird)g(durc)n(h)h(den)g (Fluss)g(des)g(Gradien)n(ten-V)-6 b(ektorfeldes)21 b(v)n(on)521 1218 y Fq(f)29 b Fr(b)r(ez)682 1221 y(\177)680 1218 y(uglic)n(h)23 b(einer)f(b)r(eliebigen)h(Riemannsc)n(hen)e(Metrik)h(erzeugt.\))376 1296 y(\(58\))27 b(Auf)19 b(einer)g(k)n(ompakten)e(Mannigfaltigk)n(eit) j(hat)e(eine)h(Morse)g(F)-6 b(unktion)521 1375 y(mindestens)27 b(zw)n(ei)i(kritisc)n(he)g(Punkte:)e(ein)i(Minim)n(um)e(und)g(ein)h (Ma-)521 1454 y(xim)n(um.)22 b(F)-6 b(alls)26 b(es)e(k)n(eine)g (anderen)g(kritisc)n(hen)f(Punkte)g(gibt,)h(so)g(k)l(ann)521 1532 y(man)15 b(die)h(Mannigfaltigk)n(eit)h(bis)e(auf)h(Hom)1591 1535 y(\177)1591 1532 y(oomorphie)e(inden)n(ti\014zieren:)521 1625 y Fs(Satz)35 b(17.)d Fl(Ist)f Fq(M)38 b Fl(eine)32 b(komp)m(akte)e(di\013er)m(enzierb)m(ar)m(e)h(Mannigfaltig-)521 1704 y(keit)20 b(die)g(eine)g(Morse)f(F)-5 b(unktion)20 b(mit)f(genau)h(zwei)g(kritischen)g(Punkten)521 1783 y(zul)599 1786 y(\177)600 1783 y(asst,)k(so)f(ist)h Fq(M)30 b Fl(hom)1146 1786 y(\177)1147 1783 y(oomorph)21 b(zu)j(einer)h(Sph) 1780 1786 y(\177)1781 1783 y(ar)m(e.)521 1897 y(Beweis.)30 b Fr(Nac)n(h)21 b(dem)e(Morse)i(Lemma)e(gibt)h(es)g(Umgebungen)g(der)g (b)r(ei-)521 1976 y(den)30 b(kritisc)n(hen)h(Punkte)e(in)h(denen)g(die) h(Urbilder)f(regul)2014 1979 y(\177)2014 1976 y(arer)g(W)-6 b(erte)521 2054 y(k)n(onzen)n(trisc)n(he)23 b(Sph)1040 2057 y(\177)1040 2054 y(aren)e Fq(S)1231 2030 y Fp(n)p Fn(\000)p Fm(1)1345 2054 y Fr(sind.)i(Obiges)g(Argumen)n(t)e(zeigt,)i (dass)521 2133 y Fq(M)37 b Fr(di\013eomorph)27 b(zu)p 1090 2079 86 3 v 30 w Fq(B)1143 2113 y Fp(n)1186 2082 y Fe(S)1242 2153 y Fp( )p 1289 2079 V 1289 2133 a Fq(B)1342 2113 y Fp(n)1404 2133 y Fr(ist,)j(f)1544 2136 y(\177)1542 2133 y(ur)f(einen)h(Di\013eomorphism)n(us)521 2220 y Fq( )10 b Fr(:)23 b Fq(S)660 2196 y Fp(n)p Fn(\000)p Fm(1)771 2220 y Fo(!)d Fq(S)903 2196 y Fp(n)p Fn(\000)p Fm(1)995 2220 y Fr(.)j(Da)f(jeder)h(solc)n(he)g(Di\013eomorphism)n(us)d (sic)n(h)j(durc)n(h)521 2299 y(die)i(Kegel-Konstruktion)g(als)f(Hom) 1461 2302 y(\177)1461 2299 y(oomorphism)n(us)e(auf)p 2013 2245 V 24 w Fq(B)2066 2280 y Fp(n)2123 2299 y Fr(fortset-)521 2378 y(zen)g(l)656 2381 y(\177)656 2378 y(asst,)h(ist)f Fq(M)29 b Fr(hom)1119 2381 y(\177)1119 2378 y(oomorph)19 b(zu)j Fq(S)1526 2353 y Fp(n)1557 2378 y Fr(.)703 b Ff(\003)376 2492 y Fr(\(59\))27 b(Ist)c Fq(n)h Fr(klein,)h(so)e(l)963 2495 y(\177)963 2492 y(asst)h(sic)n(h)g Fq( )i Fr(sogar)d(als)h (Di\013eomorphism)n(us)e(auf)h(den)521 2571 y(Ball)28 b(fortsetzen,)g(und)e(man)g(sc)n(hliesst)j(dass)e Fq(M)35 b Fr(di\013eomorph)25 b(zu)i Fq(S)2299 2546 y Fp(n)521 2649 y Fr(ist.)f(Ist)f(ab)r(er)f Fq(n)h Fo(\025)g Fr(7,)h(so)f(gibt)g (es)g(Di\013eomorphismen)f(v)n(on)h Fq(S)2129 2625 y Fp(n)p Fn(\000)p Fm(1)2246 2649 y Fr(die)521 2728 y(sic)n(h)c(nic)n(h)n (t)f(als)g(Di\013eomorphismen)f(auf)g(den)h(Ball)h(ausdehnen)e(lassen,) 521 2807 y(und)k(f)677 2810 y(\177)675 2807 y(ur)h(die)p 871 2752 V 25 w Fq(B)924 2787 y Fp(n)967 2756 y Fe(S)1024 2826 y Fp( )p 1070 2752 V 1070 2807 a Fq(B)1123 2787 y Fp(n)1180 2807 y Fr(eine)h(sogenann)n(te)f Fs(exotisc)n(he)j(Sph)2114 2810 y(\177)2115 2807 y(are)d Fr(ist,)521 2887 y(d.)e(h.)g Fq(M)29 b Fr(ist)22 b(hom)986 2890 y(\177)986 2887 y(oomorph)d(ab)r(er) i(nic)n(h)n(t)h(di\013eomorph)e(zu)i Fq(S)2071 2863 y Fp(n)2103 2887 y Fr(.)376 2966 y(\(60\))27 b(Ist)22 b Fq(M)29 b Fr(eine)23 b(k)n(ompakte)e(di\013erenzierbare)h (Mannigfaltigk)n(eit)h(die)g(eine)521 3045 y(di\013erenzierbare)32 b(F)-6 b(unktion)31 b Fq(f)39 b Fr(mit)31 b(genau)h(zw)n(ei)h(kritisc)n (hen)f(Punk-)521 3123 y(ten)d(zul)726 3126 y(\177)726 3123 y(asst,)g(die)h(ab)r(er)e(ausgeartet)h(sein)g(d)1658 3126 y(\177)1656 3123 y(urfen,)g(d.)g(h.)g Fq(f)36 b Fr(ist)29 b(nic)n(h)n(t)521 3202 y(not)n(w)n(endig)f(eine)h(Morse-F)-6 b(unktion,)28 b(so)g(k)l(ann)g(man)f(auf)h(andere)g(Art)521 3281 y(immer)h(no)r(c)n(h)h(sc)n(hliessen,)i(dass)e Fq(M)38 b Fr(hom)1604 3284 y(\177)1604 3281 y(oomorph)27 b(zur)j(Ein-Punkt-)521 3359 y(Kompakti\014zierung)21 b(v)n(on)g Fj(R)1248 3335 y Fp(n)1304 3359 y Fr(ist.)h(Also)h(ist)f Fq(M)29 b Fr(hom)1874 3362 y(\177)1874 3359 y(oomorph)19 b(zu)j Fq(S)2281 3335 y Fp(n)2312 3359 y Fr(,)521 3438 y(ob)n(w)n(ohl)d(man)f(in)h(diesem)g (F)-6 b(all)21 b Fq(M)26 b Fr(nic)n(h)n(t)19 b(in)h(der)f(F)-6 b(orm)p 1909 3384 V 18 w Fq(B)1962 3418 y Fp(n)2006 3387 y Fe(S)2062 3458 y Fp( )p 2109 3384 V 2109 3438 a Fq(B)2162 3418 y Fp(n)2213 3438 y Fr(dar-)521 3519 y(stellen)24 b(k)l(ann.)f(Der)g(Grund)f(daf)1338 3522 y(\177)1336 3519 y(ur)g(ist,)i(dass)f(die)g(Niv)n(eaumengen)g(v)n(on)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 2279 159 a Fk(11)521 294 y Fq(f)35 b Fr(in)28 b(der)f(N)840 297 y(\177)840 294 y(ahe)h(eines)h(ausgearteten)e(Minim)n (ums)g(o)r(der)g(Maxim)n(ums)521 373 y(k)n(eine)c(Sph)801 376 y(\177)801 373 y(aren)e(zu)h(sein)g(brauc)n(hen.)376 451 y(\(61\))27 b(Wir)19 b(w)n(ollen)h(die)f(Argumen)n(te)g(der)f (Morse)i(Theorie)f(n)n(un)g(auf)g Fs(Fl)2143 454 y(\177)2144 451 y(ac)n(hen)521 530 y Fr(an)n(w)n(enden,)28 b(und)f(so)g(die)i (Klassi\014k)l(ation)f(der)g(zusammenh)2062 533 y(\177)2062 530 y(angenden)521 609 y(k)n(ompakten)e(di\013erenzierbaren)h (2-dimensionalen)f(Mannigfaltigk)n(ei-)521 687 y(ten)c(ohne)g(Rand)e (herleiten.)j(Dab)r(ei)g(folgen)f(wir)g([7],)h(Kapitel)g(7.)589 766 y(Jede)e(solc)n(he)g(Fl)991 769 y(\177)991 766 y(ac)n(he)h(hat)e (eine)i(Morse)f(F)-6 b(unktion)20 b Fq(f)7 b Fr(,)21 b(und)f(diese)h(hat)521 845 y(endlic)n(h)d(viele)h(kritisc)n(he)e (Punkte.)g(Diese)i(sind)e(v)n(on)g(drei)h(T)n(yp)r(en:)f(lok)l(ale)521 923 y(Minima)h(\(=Morse)h(Index)f(0\),)h(Sattelpunkte)e(\(=Morse)i (Index)f(1\))g(und)521 1002 y(lok)l(ale)31 b(Maxima)e(\(=Morse)h(Index) e(2\).)i(Die)g(Sattelpunkte)e(sind)h(v)n(on)521 1081 y(zw)n(ei)d(Arten,)e(trennend)g(o)r(der)g(v)n(erbindend.)g(\(Diese)i(W) -6 b(orte)24 b(b)r(esc)n(hrei-)521 1162 y(b)r(en)c(die)g(Auswirkungen)f (auf)h(Subniv)n(eaumengen)e(b)r(ei)1943 1148 y(\177)1934 1162 y(Anderung)i(des)521 1241 y(F)-6 b(unktionsw)n(ertes,)15 b(und)e(k)1181 1244 y(\177)1181 1241 y(onnen)h(ohne)h(Bilder)f(n)n(ur)g (m)1878 1244 y(\177)1876 1241 y(uhsam)e(b)r(esc)n(hrie-)521 1320 y(b)r(en)22 b(w)n(erden.)11 b(.)g(.)g(\))589 1398 y(Da)27 b(unsere)f(Fl)970 1401 y(\177)970 1398 y(ac)n(he)i(zusammenh) 1464 1401 y(\177)1464 1398 y(angend)c(ist,)j(m)n(uss)e(es)i(gen)2160 1401 y(\177)2158 1398 y(ugend)521 1477 y(viele)e(v)n(erbindende)e (Sattelpunkte)f(geb)r(en,)i(um)e(alle)i(lok)l(alen)h(Minima)521 1556 y(letztendlic)n(h)k(miteinander)e(zu)h(v)n(erbinden.)f(Wir)1816 1559 y(\177)1816 1556 y(andern)g(eine)i(gege-)521 1634 y(b)r(ene)i(Morse-F)-6 b(unktion)32 b Fq(f)38 b Fr(so)31 b(ab,)h(dass)f(die)g(lok)l(alen)i(Minima)e(klei-)521 1713 y(nere)24 b(F)-6 b(unktionsw)n(erte)22 b(als)i(alle)g(anderen)f (kritisc)n(hen)h(Punkte)e(hab)r(en.)521 1791 y(Danac)n(h)768 1794 y(\177)768 1791 y(andern)28 b(wir)g(die)i(F)-6 b(unktion)28 b(w)n(eiter)i(ab,)f(um)f(zu)h(erreic)n(hen,)521 1870 y(dass)19 b(nac)n(h)h(den)f(lok)l(alen)i(Minima)e(so)g(viele)i(v)n (erbindende)e(Sattelpunk-)521 1949 y(te)j(k)n(ommen,)e(dass)i(wir)g(sc) n(hliesslic)n(h)i(eine)e(zusammenh)1944 1952 y(\177)1944 1949 y(angende)e(Sub-)521 2027 y(niv)n(eaumenge)e Fq(M)974 2037 y Fp(t)1012 2027 y Fr(hab)r(en,)f(w)n(enn)h Fq(t)g Fr(ein)h(regul)1677 2030 y(\177)1677 2027 y(arer)f(W)-6 b(ert)18 b(ob)r(erhalb)f(der)521 2106 y(W)-6 b(erte)25 b(dieser)g(Minima)g(und)f(Sattelpunkte)f(ist,)i(ab)r(er)f Fq(t)h Fr(no)r(c)n(h)g(un)n(ter-)521 2185 y(halb)d(der)g(w)n(eiteren)g (kritisc)n(hen)g(W)-6 b(erte)22 b(v)n(on)g Fq(f)29 b Fr(liegt.)589 2263 y(Symmetrisc)n(h)16 b(dazu)j(k)1168 2266 y(\177)1168 2263 y(onnen)f(wir)h(auc)n(h)g(erreic)n(hen,)h(dass)f (die)g(F)-6 b(unk-)521 2342 y(tionsw)n(erte)18 b(der)g(lok)l(alen)i (Maxima)e(gr)1476 2345 y(\177)1476 2342 y(osser)g(sind)h(als)f(alle)i (anderen)e(kri-)521 2421 y(tisc)n(hen)f(W)-6 b(erte,)17 b(und)f(dass)g(un)n(terhalb)f(der)i(lok)l(alen)g(Maxima)f(zun)2182 2424 y(\177)2182 2421 y(ac)n(hst)521 2499 y(Sattelpunkte)23 b(liegen)h(die)h(die)f(v)n(ersc)n(hiedenen)g(B)1784 2502 y(\177)1784 2499 y(alle)h(um)e(die)h(lok)l(alen)521 2578 y(Maxima)19 b(miteinander)e(v)n(orbinden.)i(Diese)h(Sattelpunkte)e (sind)g(\\tren-)521 2657 y(nend")k(im)f(Sinne)h(obiger)g(De\014nition.) 1229 2810 y(8.)h(Juli)376 2964 y(\(62\))k(Wir)15 b(fahren)f(fort)g(mit) g(der)1191 2950 y(\177)1183 2964 y(Anderung)g(einer)h(gegeb)r(enen)g (Morse-F)-6 b(unktion)521 3043 y(auf)25 b(einer)h(Fl)862 3046 y(\177)862 3043 y(ac)n(he,)g(und)e(b)r(ew)n(eisen,)i(dass)f(die) 1722 3046 y(\177)1721 3043 y(ubrigen)f(Sattelpunkte)521 3122 y(so)h(geordnet)g(w)n(erden)f(k)1143 3125 y(\177)1143 3122 y(onnen,)h(dass)g(wir)f Fq(M)32 b Fr(aus)25 b(zw)n(ei)h (Exemplaren)521 3204 y(v)n(on)g Fq(S)695 3180 y Fm(2)739 3204 y Fo(n)17 b Fr(\()816 3154 y Fe(S)872 3171 y Fp(k)872 3224 y(i)p Fm(=1)964 3204 y Fq(B)1017 3180 y Fm(2)1014 3221 y Fp(i)1044 3204 y Fr(\))26 b(durc)n(h)f(V)-6 b(erklebung)26 b(der)g(R)1802 3207 y(\177)1802 3204 y(ander)f(rek)n(onstruie-)521 3283 y(ren,)30 b(w)n(ob)r(ei)h Fq(k)i Fr(v)n(on)d(der)g(Anzahl)g (kritisc)n(her)h(Punkte)e(abh)2056 3286 y(\177)2056 3283 y(angt.)h(Die)521 3362 y(Komp)r(onen)n(ten)e(der)h(R)1124 3365 y(\177)1124 3362 y(ander)g(sind)g(Exemplare)g(v)n(on)g Fq(S)1976 3337 y Fm(1)2002 3362 y Fr(,)h(und)f(jeder)521 3440 y(Orien)n(tierungs-erhaltende)19 b(Di\013eomorphism)n(us)f(v)n(on) h Fq(S)1958 3416 y Fm(1)2004 3440 y Fr(ist)h(di\013eren-)521 3519 y(zierbar)h(homotop)f(zur)h(Iden)n(tit)1323 3522 y(\177)1323 3519 y(at)f(durc)n(h)h(Di\013eomorphismen.)e(Damit)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 308 159 a Fk(12)521 294 y Fr(ist)19 b(die)h(V)-6 b(erklebung)19 b(eindeutig,)h(und)e(unsere)h(Fl)1752 297 y(\177)1752 294 y(ac)n(he)h Fq(M)26 b Fr(di\013eomorph)521 373 y(zu)d(einem)f(Standard-Mo)r(dell)g Fq(M)7 b Fr(\()p Fq(k)r Fr(\).)23 b(O\013ensic)n(h)n(tlic)n(h)h(ist)f Fq(M)7 b Fr(\(1\))19 b(=)i Fq(S)2305 348 y Fm(2)521 451 y Fr(und)g Fq(M)7 b Fr(\(2\))18 b(=)h Fq(T)945 427 y Fm(2)972 451 y Fr(.)589 530 y(Solc)n(he)25 b(Mo)r(delle)i(existieren)f (f)1369 533 y(\177)1367 530 y(ur)e(jedes)i Fq(k)h Fo(\025)d Fr(1,)i(und)e(sind)h(f)2135 533 y(\177)2133 530 y(ur)g(v)n(er-)521 609 y(sc)n(hiedene)g Fq(k)i Fr(nic)n(h)n(t)e(zueinander)f(hom)1506 612 y(\177)1506 609 y(oomorph,)d(wie)k(man)e(zum)g(Bei-)521 687 y(spiel)d(durc)n(h)f(Berec)n(hn)n(ung)f(der)h(ersten)g(Homologie)h (durc)n(h)e(die)i(Ma)n(y)n(er{)521 766 y(Vietoris)j(Sequenz)f(einsieh)n (t,)h(die)f Fq(H)1444 776 y Fm(1)1471 766 y Fr(\()p Fq(M)7 b Fr(\()p Fq(k)r Fr(\);)k Fj(Z)-6 b Fr(\))14 b(=)19 b Fj(Z)1893 742 y Fm(2)p Fp(k)q Fn(\000)p Fm(2)2025 766 y Fr(ergibt.)376 845 y(\(63\))27 b(Die)16 b(obige)f(Klassi\014k)l (ation)g(der)g(k)n(ompakten)d(orien)n(tierten)j(zusammenh)2326 848 y(\177)2326 845 y(angen-)521 923 y(den)28 b(Fl)713 926 y(\177)713 923 y(ac)n(hen)i(ohne)e(Rand)g(k)l(ann)g(wie)h(folgt)f (umform)n(uliert)f(w)n(erden.)521 1002 y(Wir)h(de\014nieren)f(das)g Fs(Gesc)n(hlec)n(h)n(t)f Fr(v)n(on)i Fq(M)34 b Fr(als)28 b(die)g(maximale)f(An-)521 1081 y(zahl)i(v)n(on)f(eingeb)r(etteten)g (Kreisen)h(in)g Fq(M)7 b Fr(,)29 b(deren)f(Komplemen)n(t)f(zu-)521 1159 y(sammenh)795 1162 y(\177)795 1159 y(angend)e(ist.)i(Nac)n(h)h (dem)f(Jordansc)n(hen)f(Kurv)n(ensatz)2173 1133 y Fm(1)2224 1159 y Fr(zer-)521 1238 y(legt)k(jede)f(eingeb)r(ettete)h Fq(S)1226 1214 y Fm(1)1281 1238 y Fr(in)f Fq(S)1410 1214 y Fm(2)1466 1238 y Fr(die)g(2-Sph)1745 1241 y(\177)1745 1238 y(are)g(in)g(zw)n(ei)h(Komp)r(o-)521 1317 y(nen)n(ten.)25 b(Damit)e(b)r(ew)n(eisen)i(wir,)g(dass)f Fq(M)7 b Fr(\()p Fq(k)r Fr(\))25 b(Gesc)n(hlec)n(h)n(t)g Fq(k)19 b Fo(\000)f Fr(1)24 b(hat.)521 1395 y(Also:)521 1492 y Fs(Satz)17 b(18.)23 b Fl(Zwei)17 b(komp)m(akte)g(orientierte)g(zusammenh)1882 1495 y(\177)1883 1492 y(angende)h(Fl)2192 1495 y(\177)2193 1492 y(achen)521 1571 y(ohne)36 b(R)m(and)g(sind)g(di\013e)m(omorph)f (genau)i(dann,)f(wenn)g(sie)h(dasselb)m(e)521 1649 y(Geschle)m(cht)32 b(hab)m(en.)g(Die)h(m)1255 1652 y(\177)1256 1649 y(oglichen)f(Werte)h (des)f(Geschle)m(chts)g(sind)521 1728 y Fo(f)p Fr(0)p Fq(;)11 b Fr(1)p Fq(;)g Fr(2)p Fq(;)g Fr(3)p Fq(;)g(:)g(:)g(:)t Fo(g)p Fl(.)376 1825 y Fr(\(64\))27 b(Wir)d(setzen)g(die)h(Klassi\014k) l(ation)f(der)g(Fl)1554 1828 y(\177)1554 1825 y(ac)n(hen)h(n)n(un)e (ein,)h(um)f(mit)g(der)521 1904 y(P)n(on)n(try)n(agin{Thom)12 b(Konstruktion)i(die)h(Homotopie-Grupp)r(e)e Fq(\031)2161 1914 y Fp(n)p Fm(+2)2254 1904 y Fr(\()p Fq(S)2325 1879 y Fp(n)2356 1904 y Fr(\))521 1982 y(f)543 1985 y(\177)541 1982 y(ur)22 b Fq(n)d Fo(\025)g Fr(4)j(auszurec)n(hnen.)g(Dab)r(ei)g (folgen)h(wir)f([2])g(Absc)n(hnitt)g(23.4.)589 2061 y(Nac)n(h)28 b(52.)f(wissen)h(wir,)f(dass)h Fq(\031)1410 2071 y Fp(n)p Fm(+2)1503 2061 y Fr(\()p Fq(S)1574 2037 y Fp(n)1605 2061 y Fr(\))f(bijektiv)h(zur)f(Menge)h(der)521 2140 y(freien)15 b(Homotopie-Klassen)g([)p Fq(S)1329 2115 y Fp(n)p Fm(+2)1422 2140 y Fq(;)c(S)1496 2115 y Fp(n)1528 2140 y Fr(])k(ist.)g(Nac)n(h)g(Satz)g(14)f(ist)h([)p Fq(S)2193 2115 y Fp(n)p Fm(+2)2286 2140 y Fq(;)c(S)2360 2115 y Fp(n)2391 2140 y Fr(])521 2218 y(bijektiv)24 b(zur)g(Menge)g (der)g(gerahm)n(ten)e(2-dimensionalen)h(Un)n(terman-)521 2297 y(nigfaltigk)n(eiten)j(\006)1003 2272 y Fm(2)1053 2297 y Fo(\032)d Fq(S)1173 2272 y Fp(n)p Fm(+2)1291 2297 y Fr(bis)h(auf)h(gerahm)n(ten)e(Kob)r(ordism)n(us.)h(Es)521 2376 y(gilt)18 b(also,)h(die)f(Kob)r(ordism)n(usklassen)f(solc)n(her)i (gerahm)n(ten)d(Un)n(terman-)521 2454 y(nigfaltigk)n(eiten)21 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y Fp(n)p Fm(+2)1943 2963 y Fq(:)521 3078 y Fr(Ist)32 b Fq(C)41 b Fo(\032)36 b Fr(\006)c(ein)h(eingeb)r(etteter)f(orien)n (tierter)g(Kreis,)h(so)f(sei)h Fq(V)47 b Fr(ein)521 3157 y(Normalen)n(v)n(ektorfeld)31 b(zu)g Fq(C)k Fr(in)c(\006)g(mit)f(der)g (Eigensc)n(haft,)i(dass)e(die)521 3235 y(Orien)n(tierung)f(v)n(on)g Fq(C)34 b Fr(gefolgt)c(v)n(on)f Fq(V)44 b Fr(die)30 b(gegeb)r(ene)g (Orien)n(tierung)521 3314 y(v)n(on)19 b(\006)f(de\014niert.)h(Dann)g (gibt)f Fq(V)d Fr(,)k(zusammen)e(mit)h(der)h(sc)n(hon)g(v)n(orhan-)521 3392 y(denen)29 b(Rahm)n(ung)e(v)n(on)i(\006,)g(eine)g(Rahm)n(ung)e(v)n (on)i Fq(C)34 b Fr(in)29 b Fq(S)2044 3368 y Fp(n)p Fm(+2)2137 3392 y Fr(.)g(Nac)n(h)p 308 3452 338 3 v 376 3497 a Fm(1)400 3519 y Fd(aus)19 b(T)-5 b(op)r(ologie)20 b(I)f(b)r(ek)m(ann)n(t)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 2279 159 a Fk(13)521 294 y Fr(44.)19 b(repr)742 297 y(\177)742 294 y(asen)n(tiert)f Fq(C)23 b Fr(mit)18 b(dieser)g(Rahm)n(ung)f(ein)h(eindeutig)h(b)r(estimm-)521 373 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(gerahm)n(t)f(w)n(erden.)h(Der)g(T)-6 b(orus)521 2083 y Fq(T)569 2059 y Fm(2)614 2083 y Fr(k)l(ann)17 b(auf)h(genau)f(zw)n (ei)i(Arten)e(gerahm)n(t)g(w)n(erden,)g(und)g(eine)i(da)n(v)n(on,)521 2162 y(die)26 b(\\triviale")f(Rahm)n(ung)e(in)i(der)g(es)h(Kurv)n(en)f Fq(C)k Fo(\032)24 b Fq(T)1944 2138 y Fm(2)1996 2162 y Fr(mit)g Fq(q)r Fr(\()p Fq(C)5 b Fr(\))24 b(=)521 2241 y(0)29 b(gibt,)f(stellt)h(dieselb)r(e)g(Kob)r(ordism)n(us-Klasse)f(wie) h Fq(S)1951 2216 y Fm(2)2006 2241 y Fr(dar.)f(Damit)521 2319 y(hab)r(en)21 b(wir)h(den)g(folgenden)g(Satz)g(b)r(ewiesen:)521 2412 y Fs(Satz)k(20.)i Fl(F)857 2415 y(\177)857 2412 y(ur)23 b Fq(n)d Fo(\025)f Fr(4)k Fl(gilt)h Fq(\031)1279 2422 y Fp(n)p Fm(+2)1373 2412 y Fr(\()p Fq(S)1444 2387 y Fp(n)1474 2412 y Fr(\))19 b(=)g Fj(Z)1638 2422 y Fm(2)1661 2412 y Fl(.)589 2504 y Fr(Die)24 b(Aussage)h(glt)f(auc)n(h)f(f)1248 2507 y(\177)1246 2504 y(ur)h Fq(n)e Fr(=)g(2)i(o)r(der)f(3,)h(dies)g (folgt)g(ab)r(er)g(nic)n(h)n(t)521 2583 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