÷ƒ’À;è TeX output 2000.06.21:1731‹ÿÿÿÿ y ý£ ? þ’ŠW0óDÓítG®G®cmr17ºOn–7tKaplansky's“conjecturesŽŸ$‰Ñ’´JóX«Q cmr12»Y‘ÿVorc¬rk‘ê¨Sommerh‘ú auserŽŽŽŽŽŸ$ ú’Ö!Kó#t ‰: cmbx9ÎAbstractŽŸ·í‘V¦ ó"o´‹Ç cmr9ÍW‘ÿ:«e–…osurvš¾9ey“the“kno˜wn“results“on“Kaplansky's“ten“conjectures“on“HopfŽŸ ‘Walgebras.ŽŸ(-»‘>ó%ÂÖN ff cmbx12Ð1Ž‘VLËInŒÌtros3ductionŽŸpë‘>óKñ`y cmr10²In– éthe“autumn“of“1973,‘ I.“Kaplansky“ga•¸ãv“e– éa“course“on“bialgebras“in“Chicago.ޤ ‘>F‘ÿ*ªor–ØFthis“course,‘Øghe“prepared“some“lecture“notes“that“he“originally“in¸ãtended“toŽ¡‘>turn–Óinš¸ãto“a“comprehensiv˜e“accoun˜t“on“the“sub‘Ž8ject.‘Ó×In“1975,‘Ó1he“c˜hanged“his“mindŽ¡‘>and–Iïpublished“these“lecture“notes“without“larger“additions.‘JThese“lecture“notesŽ¡‘>conš¸ãtain,‘³lbGesides–³Ta“fairly“comprehensiv˜e“bibliograph˜y“of“the“literature“a˜v‘ÿqÇailableŽ¡‘>at–ù÷that“time,‘ú!t•¸ãw“o–ù÷appšGendices.‘úôThe“ rst“of“these“app˜endices“is“concerned“withŽ¡‘>bialgebras–n{of“loš¸ãw“dimension,‘n‚whereas“the“second“one“con˜tains“a“list“of“ten“con-Ž¡‘>jectures–UUon“Hopf“algebras“whicš¸ãh“are“kno˜wn“toGda˜y“as“Kaplansky's“conjectures.Ž©‰Ð‘>Kaplansky's–“Šconjectures“did“not“arise“as“the“proGduct“of“a“long“in•¸ãv“estigation‘“ŠinŽ¡‘>the–+Ó eld“of“Hopf“algebras;‘+èalso,‘+ÞKaplansky“did“not“makš¸ãe“man˜y“con˜tributions“toŽ¡‘>the–CCsolution“of“his“conjectures.‘C^He“only“inš¸ãtended“to“list“a“n˜um˜bGer“of“in˜terestingŽ¡‘>problems–çat“the“end“of“his“lecture“notes“-“lecture“notes“that“he“himself“calledŽ¡‘>informal.‘™Because–—ôof“this,‘˜%it“happGened“that“one“conjecture“in“the“list“w¸ãas“alreadyŽ¡‘>solvš¸ãed–at“the“time“of“publication;‘1another“one“is“v˜ery“simple.‘jThat“the“conjec-Ž¡‘>tures–Û×nev¸ãertheless“gained“considerable“impGortance“for“the“ eld“is“due“to“the“factŽ¡‘>that–—çKaplansky“ac•¸ãhiev“ed–—çto“toucš¸ãh“upGon“a“n˜um˜bGer“of“questions“of“fundamen˜talŽ¡‘>c¸ãharacter.ަ‘>This–­article“tries“to“summarize“the“presenš¸ãt“kno˜wledge“abGout“Kaplansky's“con-Ž¡‘>jectures.‘¸Brief–^surv¸ãeys“can“bGe“found“in“[66Ž› ]“and“[78Ž˜],‘msome“conjectures“are“alsoŽ¡‘>discussed–>Uin“[50Ž› ]“and“[56Ž˜].‘>xHere,‘>[the“expšGosition“shall“b˜e“more“detailed,‘>[but“nev-Ž¡‘>ertheless–º7not“comprehensivš¸ãe.‘¼[Since“Kaplansky's“lecture“notes“are“not“alw˜a˜ysŽ¡‘>easily–‹\accessible,‘‹iwš¸ãe“ha˜v˜e“reproGduced“the“conjectures“in“their“original“form˜ula-Ž¡‘>tion–G£in“an“appšGendix.‘G·The“reader“should“note“that,‘G¦except“for“the“app˜endix,‘G¦theŽ¡‘>formš¸ãulation–“Xof“results“doGes“not“follo˜w“literally“the“quoted“sources.‘“·In“addition,Ž¡‘>usually–Ž not“all“impGortanš¸ãt“results“of“a“quoted“article“are“men˜tioned.‘íW‘ÿ*ªe“alsoŽ¡‘>note–Athat“Kaplansky“pGosed“v‘ÿqÇarious“other“conjectures“concerning“di eren¸ãt“ eldsŽ¡‘>of–UUmathematics;“these“are“not“discussed“here.ŽŽŸ’è1ŽŽŒ‹* y ý£ ? ýä‘>Ð2Ž‘VLËThe–ff rst“conjectureŽŸ!N‘>ó&ò"V cmbx10Ñ2.1‘ ü²Kaplansky's–ê¨ rst“conjecture“states“that“a“Hopf“algebra“is“a“free“moGduleޤ ‘>o•¸ãv“er›óan“y˜Hopf˜subalgebra.‘ôThis˜assertion˜should˜bGe˜compared˜with˜the˜groupŽ¡‘>ring–R situation,‘R where“a“system“of“represen•¸ãtativ“es–R for“the“cosets“forms“a“basis“ofŽ¡‘>the– fgroup“ring“o•¸ãv“er– fthe“group“ring“of“a“subgroup.‘ zA¸ãt“the“time“of“its“publica-Ž¡‘>tion,‘•`it–•Pwš¸ãas“already“kno˜wn“that“the“conjecture“is“false,‘•`bšGecause“U.“Ob˜erst“andŽ¡‘>H.-J.–iôScš¸ãhneider“had,‘j;in“an“article“quoted“b˜y“Kaplansky‘ÿ*ª,‘j;constructed“a“coun-Ž¡‘>terexample–}¹(cf.“[64Ž‘ ],›~Prop.“10,˜p.“31,˜see“also“[50Ž‘ ],˜Example“3.5.2,˜p.“38).‘€InŽ¡‘>this–=Ùcounš¸ãterexample,‘=ßObGerst“and“Sc˜hneider“construct“an“extension“of“real“HopfŽ¡‘>algebras–UUvia“Galois“descen¸ãt“from“the“extensionޤÔ’Íãó,ˆ¶È msbm10×C²[2×Z²]–Çó !",š cmsy10¸“×C²[×Z²]Ž¡‘>of–ibGers.‘§‡In–¥ƒfact,›¥Ùinstead“of“the“extension“×R–÷b¸“×C²,˜they–¥ƒconsider“more“generallyŽ¡‘>arbitrary–EÜquadratic“Galois“extensions“of“ elds.‘GMLater,‘FScš¸ãhneider“ga˜v˜e“a“coun-Ž¡‘>terexample›$io•¸ãv“er˜arbitrary˜ elds˜(cf.˜[79Ž‘ ],–$uExample˜4.6,“p.˜157):‘$ŽSuppGose˜that˜ó  b> cmmi10µHŽ¡‘>²is–"óthe“Hopf“algebra“represenš¸ãting“the“ane“group“sc˜heme“of“the“spGecial“linearŽ¡‘>group–'„of“degree“µn“²and“µA–Dz=“µK‘·²[×ZŸÿó 0e—rcmmi7´nŽ‘q~²]–'„the“group“ring“of“the“cyclic“group“of“order“µn²,Ž¡‘>represenš¸ãting–œæthe“ane“group“sc˜heme“of“µn²-th“roGots“of“unit˜y‘ÿ*ª.‘TThe“roGots“of“unit˜yŽ¡‘>are–KÖrealized“via“diagonal“matrices“as“a“normal“subgroup“of“the“spGecial“linearŽ¡‘>group.‘L@In–JÇthis“situation,‘Kwš¸ãe“can“loGok“at“the“quotien˜t“sc˜heme,‘Kwhic˜h“is“repre-Ž¡‘>sen•¸ãted›K¨b“y˜a˜Hopf˜algebra˜µB‘€q².‘K¶No“w˜Sc“hneider˜pro“v“es˜that˜µH‘¦²is˜not˜free˜o“v“er˜µB‘̲ifŽ¡‘>µn–UU²is“ev¸ãen.ŽŸ :3‘>Ñ2.2‘ ü²Ho•¸ãw“ev“er,‘¿gsev“eral›¿@pGositiv“e˜results˜w“ere˜pro“v“ed˜in˜the˜follo“wing˜y“ears,‘¿gsho“w-Ž¡‘>ing–+hthat“the“conjecture“holds“under“additional“assumptions.‘+¨Kaplansky“alreadyŽ¡‘>menš¸ãtioned–6that“W.“D.“Nic˜hols“pro˜v˜ed“that“the“conjecture“holds“if“the“coradicalŽ¡‘>of–kšthe“large“Hopf“algebra“is“con¸ãtained“in“the“Hopf“subalgebra;‘k¥this“is“also“a“di-Ž¡‘>rect–9Oconsequence“of“a“result“b¸ãy“D.“E.“Radford“(cf.“[71Ž‘ ],›9VCor.“2.3,˜p.“146).‘9zIn“theŽ¡‘>same–Þœyš¸ãear,‘Þ¿Radford“pro˜v˜ed“that“the“conjecture“holds“for“a“large“class“of“HopfŽ¡‘>algebras,–UUnamely“the“pGoin¸ãted“ones“(cf.“[70Ž‘ ],“p.“271):ŽŸw‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²SuppšGose–F¬that“µA“²is“a“Hopf“subalgebra“of“the“Hopf“algebra“µH‘Ïþ².‘HJSupp˜oseŽ¡‘>that–g®µH‘7¬²is“pGoin¸ãted,›g³i.“e.,˜ev¸ãery“simple“subGcoalgebra“is“one-dimensional.‘gÊThen“µHŽ¡‘>²is–UUa“free“left“and“righ¸ãt“µA²-moGdule.ŽŸõ¿‘>F‘ÿ*ªurthermore,‘ÕnRadford›ÕMpro•¸ãv“ed˜in˜[72Ž‘ ]˜that˜comm“utativ“e˜Hopf˜algebras˜are˜freeŽ¡‘>o•¸ãv“er– nite-dimensional“Hopf“subalgebras.‘}He“also“pro•¸ãv“ed– that“here“the“assump-Ž¡‘>tion–ÙØthat“the“Hopf“subalgebra“bšGe“ nite-dimensional“could“b˜e“w•¸ãeak“ened–ÙØto“theŽ¡‘>assumption–ÕPthat“only“the“coradical“of“the“Hopf“subalgebra“bGe“ nite-dimensionalŽ¡‘>b¸ãy–t"impGosing“the“additional“assumption“that“the“coradical“of“the“large“Hopf“al-Ž¡‘>gebra–ä¡is“a“Hopf“subalgebra,‘äÅwhicš¸ãh“is“the“case“o˜v˜er“ elds“of“c˜haracteristic“zeroŽ¡‘>bš¸ãy–Sýa“result“of“M.“T‘ÿ*ªak˜euc˜hi“(cf.“[95Ž‘ ],“Prop.“0,“p.“453).‘SÿHe“also“pro˜v˜ed“there“thatŽŽŸ’è2ŽŽŒ‹  y ý£ ? ýä‘>²Hopf–Ryalgebras“are“free“o•¸ãv“er–Ry nite-dimensional“Hopf“subalgebras“if“the“coradicalޤ ‘>of–UUthe“large“Hopf“algebra“is“coGcomm•¸ãutativ“e.ŽŸ œp‘>Ñ2.3‘ ü²W.–Ý%D.“Nic¸ãhols“had“bGeen“concerned“with“Kaplansky's“conjectures“from“theŽ¡‘>vš¸ãery–HžbGeginning.‘H±In“the“eigh˜ties,‘H¡he“and“his“former“Ph.“D.“studen˜t“M.“B.“ZoGellerŽ¡‘>w•¸ãork“ed–]Ôin“particular“on“Kaplansky's“ rst“conjecture.‘_jThey“summarized“theirŽ¡‘>e orts–›in“a“series“of“articles“of“subsequen¸ãt“generalizations“(cf.“[106Ž‘],–­[57Ž› ],“[59Ž˜]),Ž¡‘>culminating–UUin“what“is“noš¸ãw“kno˜wn“as“the“Nic˜hols-ZoGeller“theorem:ŽŸ‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²A‘­½ nite-dimensional–­ÔHopf“algebra“is“free“o•¸ãv“er›­Ôev“ery˜Hopf˜subalge-Ž¡‘>bra.ŽŸœp‘>In–t"fact,‘t*Nicš¸ãhols“and“ZoGeller“pro˜v˜e“the“more“general“theorem“that“relativ˜e“HopfŽ¡‘>moGdules–kÔare“free.‘köTheir“theorem“implies“that“the“dimension“of“a“Hopf“subalge-Ž¡‘>bra–v#divides“the“dimension“of“the“large“Hopf“algebra,‘v,whic¸ãh“is“the“Hopf“algebraŽ¡‘>v¸ãersion–¼of“Lagrange's“theorem“on“the“order“of“subgroups.‘¾¶This“theorem“hasŽ¡‘>manš¸ãy– Oconsequences“and“is“commonly“considered“as“one“of“the“most“impGortan˜tŽ¡‘>theorems–×±of“the“theory“of“Hopf“algebras.‘ÚNic¸ãhols“and“ZoGeller“also“exhibitedŽ¡‘>an–yxexample“that“in nite“dimensional“Hopf“algebras“need“not“bGe“free“o•¸ãv“er‘yx -Ž¡‘>nite–XÞdimensional“grouplikš¸ãe“Hopf“subalgebras“(cf.“[58Ž‘ ]).‘XäThese“authors“ha˜v˜e“alsoŽ¡‘>shoš¸ãwn–L.in“a“more“recen˜t“article“that“a“Hopf“algebra“is“free“o˜v˜er“a“semisimpleŽ¡‘>Hopf–* subalgebra“(cf.“[60Ž‘ ]).‘*K(Due“to“marriage,‘*the“name“`ZoGeller'“has“c¸ãhanged“toŽ¡‘>`Ric¸ãhmond'.)Ž©œp‘>The–ûLwš¸ãork“of“Nic˜hols“and“ZošGeller“has“b˜een“ampli ed“bš¸ãy“H.-J.“Sc˜hneider.‘ûÖGiv˜en“aŽ¡‘>Hopf–Rsubalgebra“of“a“ nite-dimensional“Hopf“algebra,‘RÓit“is“pGossible“to“form“a“quo-Ž¡‘>tien•¸ãt›ÕÄwhic“h˜is˜not˜alw“a“ys˜a˜Hopf˜algebra,‘Õåbut˜alw“a“ys˜is˜a˜coalgebra.‘Ö‡The˜originalŽ¡‘>Hopf–¹palgebra“then“bšGecomes“a“como˜dule“o•¸ãv“er–¹pthis“quotien•¸ãt.‘º^No“w›¹pSc“hneider˜sho“wsŽ¡‘>(cf.–¥+[80Ž‘ ],›¥@Thm.“2.4,˜p.“300)“that“the“original“Hopf“algebra“can“bšGe“decomp˜osed,Ž¡‘>as–7Ya“mošGdule“and“a“como˜dule,‘7ain¸ãto“a“tensor“pro˜duct“of“the“Hopf“subalgebra“andŽ¡‘>the–+9quotienš¸ãt.‘+yIn“a“di eren˜t“article,‘+DSc˜hneider“pro˜v˜es“that“Hopf“algebras“are“freeŽ¡‘>o•¸ãv“er–UU nite“dimensional“normal“Hopf“subalgebras“(cf.“[81Ž‘ ],“Thm.“2.1,“p.“3345).ަ‘>The–7sNic¸ãhols-ZošGeller“theorem“has“b˜een“extended“to“coideal“subalgebras“that“areŽ¡‘>quasi-F‘ÿ*ªrobGenius–$›algebras“b¸ãy“A.“Masuok‘ÿqÇa“(cf.“[41Ž‘ ]).‘%ÙIn“this“article,‘$Ðhe“also“de-Ž¡‘>termines–Í~sucien¸ãt“conditions“for“a“coideal“subalgebra“to“bšGe“a“quasi-F‘ÿ*ªrob˜eniusŽ¡‘>algebra–UU(cf.“also“[42Ž‘ ]).ŽŸ œp‘>Ñ2.4‘ ü²Although›®ëno•¸ãw“ada“ys˜quite˜a˜lot˜is˜kno“wn˜abGout˜Kaplansky's˜ rst˜conjec-Ž¡‘>ture,‘ rthe– ?fact“that“it“doGes“not“hold“in“the“in nite-dimensional“case“has“giv¸ãenŽ¡‘>rise–×±to“the“question“whether“w•¸ãeak“er–×±propGerties“than“freeness“hold“in“all“cases.Ž¡‘>One–pšGossible“v‘ÿqÇarian¸ãt“of“this“question“has“b˜een“stated“bš¸ãy“S.“Mon˜tgomery“in“[50Ž‘ ],Ž¡‘>Question–UU3.5.4,“p.“39:ަ‘>Is›UUµH‘%S²alw•¸ãa“ys˜left˜and˜righ“t˜faithfully˜ at˜o“v“er˜an“y˜subHopfalgebra˜µK‘·²?ŽŽŸ’è3ŽŽŒ‹ y ý£ ? ýä‘>²This–O€question“migh¸ãt“bGe“considered“as“a“resumption“of“Kaplansky's“ rst“conjec-ޤ ‘>ture.–UUIt“plaš¸ãys“an“impGortan˜t“r^‘úÿÿole“for“the“quotien˜t“theory“of“Hopf“algebras.Ž©œp‘>Sevš¸ãeral–Ëõthings“are“kno˜wn“abšGout“this“question“to˜da¸ãy‘ÿ*ª.‘ÌÇIt“has“b˜een“kno¸ãwn“for“quiteŽ¡‘>a–MÄtime“from“the“theory“of“algebraic“groups“that“this“is“the“case“if“the“Hopf“algebraŽ¡‘>is›t–comm•¸ãutativ“e˜(cf.˜[16Ž‘ ],‘tžChap.˜I•GI“I,˜¸x˜²3,–tžno.˜7,“Thm.˜7.2,“[100Ž‘],“Sec.˜14.1).‘tÆThisŽ¡‘>result–ü¨can“also“bGe“found“in“an“article“bš¸ãy“M.“T‘ÿ*ªak˜euc˜hi“(cf.“[94Ž‘ ],›ü¿Thm.“3.1),˜whereŽ¡‘>it–gis“also“shoš¸ãwn“that“a“Hopf“algebra“with“coGcomm˜utativ˜e“coradical“is“faithfullyŽ¡‘> at›Úëo•¸ãv“er˜ev“ery˜Hopf˜subalgebra.‘Û¦Later,‘Û T‘ÿ*ªak“euc“hi˜pro“v“ed˜that˜comm“utativ“e˜HopfŽ¡‘>algebras–oðare“pro‘Ž8jectivš¸ãe“o˜v˜er“their“Hopf“subalgebras“(cf.“[97Ž‘ ],›p9Cor.“1,˜p.“460).Ž¡‘>Ho•¸ãw“ev“er,‘©¡as›©Œw“as˜sho“wn˜later˜b“y˜A.˜Masuok‘ÿqÇa˜and˜D.˜Wigner˜(cf.˜[43Ž‘ ]),‘©¡faithfulŽ¡‘> atness–UUand“pro‘Ž8jectivitš¸ãy“are“essen˜tially“equiv‘ÿqÇalen˜t“conditions“in“this“situation:ŽŸ‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²SuppGose–ìéthat“µH‘¼ç²is“a“Hopf“algebra“with“bijectivš¸ãe“an˜tip•Go“de,‘íand‘ìéthatŽ¡‘>µA–ME²is“a“righš¸ãt“coideal“subalgebra“of“µH‘Ïþ².‘NØThen“the“follo˜wing“assertions“are“equiv‘ÿqÇalen˜t:ޤœp‘J8ä1.ŽŽŽ‘WµH‘%S²is–UUfaithfully“ at“as“a“left“µA²-moGdule.ŽŸ‘J8ä2.ŽŽŽ‘WµH‘%S²is–UUa“pro‘Ž8jectiv¸ãe“generator“as“a“left“µA²-moGdule.Ž¡‘>This–ëÜtheorem“applies“in“particular“if“µA“²is“a“Hopf“subalgebra“of“µH‘Ïþ².‘ìÃOf“course,ޤ ‘>the–ÖH rst“statemen¸ãt“can“easily“bGe“deduced“from“the“second.‘Ø—In“addition,‘ÖªH.-Ž¡‘>J.–{ÖScš¸ãhneider“has“pro˜v˜ed“that“a“left“noGetherian“Hopf“algebra“is“faithfully“ atŽ¡‘>o•¸ãv“er›E‘cen“tral˜Hopf˜subalgebras˜(cf.˜[81Ž‘ ],–E•Thm.˜3.3,“p.˜3355).‘E©S.˜H.˜Ng˜has˜sho¸ãwnŽ¡‘>that–ËžHopf“algebras“are“faithfully“ at“o•¸ãv“er›Ëžgrouplik“e˜Hopf˜subalgebras˜if˜theŽ¡‘>c¸ãharacteristic–TFof“the“base“ eld“is“zero“(cf.“[54Ž‘ ]);‘TÈhe“also“considers“the“case“ofŽ¡‘>pGositiv•¸ãe‘UUc“haracteristic.ަ‘>These–tŠresults“ha•¸ãv“e–tŠbGeen“partially“generalized“to“coideal“subalgebras:‘u6A.“Masuok‘ÿqÇaŽ¡‘>and–âóD.“Wigner“pro•¸ãv“e–âóthat“comm•¸ãutativ“e–âóHopf“algebras“are“ at“o•¸ãv“er›âórigh“t˜coidealŽ¡‘>subalgebras–ú(cf.“[43Ž‘ ]);‘úFthey“are“not“faithfully“ at“in“general.‘ú¢Moreo•¸ãv“er,‘ú.Masuok‘ÿqÇaŽ¡‘>has–¤?shoš¸ãwn“that“Hopf“algebras“with“coGcomm˜utativ˜e“coradical“are“faithfully“ atŽ¡‘>o•¸ãv“er–UUcertain“coideal“subalgebras“(cf.“[40Ž‘ ]).ަ‘>Ho•¸ãw“ev“er,‘±Ôthe›±¼answ“er˜to˜the˜abGo“v“e˜question˜is˜negativ“e˜in˜general:‘²P‘ÿ*ª.˜Sc“hauen-Ž¡‘>burg–E«has“constructed“a“counš¸ãterexample“(cf.“[76Ž‘ ])“b˜y“moGdifying“constructions“ofŽ¡‘>W.–ìD.“Nicš¸ãhols“and“M.“T‘ÿ*ªak˜euc˜hi“(cf.“[55Ž– ],‘ìÃ[96Ž“]).‘í…His–ìexample“relies“on“the“factŽ¡‘>that–!¿the“Hopf“subalgebra“can“bGe“cš¸ãhosen“to“ha˜v˜e“a“non-bijectiv˜e“an˜tip•Go“de,‘!óal-Ž¡‘>though–ÂKthe“anš¸ãtip•Go“de–ÂKof“the“large“Hopf“algebra“ma˜y“bGe“bijectiv˜e.‘ÂòTherefore,‘ÂfasŽ¡‘>Sc•¸ãhauen“burg›bpGoin“ts˜out,‘b!the˜remaining˜question˜is˜whether˜Hopf˜algebras˜withŽ¡‘>bijectiv•¸ãe›òxan“tip•Go“des˜are˜faithfully˜ at˜o•¸ãv“er˜Hopf˜subalgebras˜with˜bijectiv“e˜an-Ž¡‘>tip•Go“des.‘This–ûquestion“maš¸ãy“bGe“considered“as“the“curren˜t“form“of“Kaplansky'sŽ¡‘> rst‘UUconjecture.ŽŽŸ’è4ŽŽŒ‹(Ï y ý£ ? ýä‘>Ð3Ž‘VLËThe–ffsecond“and“the“fourth“conjectureŽ©ƒ‹‘>Ñ3.1‘ ü²Kaplansky's–âÕsecond“conjecture“states“that“a“coalgebra“is“admissible“if“andޤ ‘>only–}if“evš¸ãery“ nite“subset“is“con˜tained“in“a“ nite-dimensional“admissible“sub-Ž¡‘>coalgebra.‘›Here,‘š$a–™ócoalgebra“is“called“admissible“if“it“admits“an“algebra“structureŽ¡‘>making–‰cit“a“Hopf“algebra.‘Š›This“question“should“bGe“viewš¸ãed“as“a“v‘ÿqÇarian˜t“of“the“the-Ž¡‘>orem–=that“evš¸ãery“ nite“subset“of“a“coalgebra“is“con˜tained“in“a“ nite-dimensionalŽ¡‘>subGcoalgebra–„u(cf.“[28Ž‘ ],›„Thm.“2,˜p.“7,˜[50Ž‘ ],˜Thm.“5.1.1,˜p.“56).‘„½R.“G.“Larson“hasŽ¡‘>pGoinš¸ãted–­xout“the“follo˜wing“simple“coun˜terexample“to“this“conjecture:‘­»The“pGoly-Ž¡‘>nomial–«ring“µK‘·²[µx²]“in“one“indeterminate“o•¸ãv“er–«a“ eld“of“c¸ãharacteristic“zero“bGecomesŽ¡‘>a–LHopf“algebra“if“µx“²is“required“to“bGe“primitiv•¸ãe.‘¥Ho“w“ev“er,‘[µx–L²is“not“con¸ãtained“in“aŽ¡‘> nite-dimensional–˜admissible“subGcoalgebra.‘˜nNamely‘ÿ*ª,‘˜if“µH‘h²is“an“admissible“sub-Ž¡‘>coalgebra–›{conš¸ãtaining“µx²,‘›it“also“con˜tains“the“unit“of“µK‘·²[µx²]“as“the“unit“of“its“newŽ¡‘>algebra–ªvstructure,›ª‹bGecause“µK‘·²[µx²]“is“connected“(cf.“[50Ž‘ ],˜Prop.“5.5.3,˜p.“73).‘ªøIt“isŽ¡‘>then–Ÿýeasy“to“see“that“the“algebra“homomorphism“from“µK‘·²[µx²]“to“µH‘oû²that“maps“µx“²toŽ¡‘>itself–-Ýis“a“coalgebra“homomorphism.‘.Because“the“c¸ãharacteristic“of“the“base“ eldŽ¡‘>is–ÓÉzero,‘Óëthe“ rst“step“of“the“coradical“ ltration“of“the“pGolynomial“ring“is“spannedŽ¡‘>b¸ãy–š+1“and“µx“²(cf.“[50Ž‘ ],›šmorphism–à€is“injectivš¸ãe“on“this“subspace.‘áUTherefore,‘à£it“is“injectiv˜e“on“the“wholeŽ¡‘>pGolynomial–rring“(cf.“[50Ž‘ ],›r:Thm.“5.3.1,˜p.“65),˜and“µH‘Aþ²m¸ãust“bGe“in nite-dimensional.ŽŸ œp‘>Ñ3.2‘ ü²Kaplansky's–Ífourth“conjecture“states“that,‘Üif“an“elemen¸ãt“µx“²in“a“Hopf“alge-Ž¡‘>bra‘UUµH‘%S²satis esŽ¡’¾JªµaŸÎ:óÙ“ Rcmr7±(1)Ž– ¼uµxS‘“²(µaŸÎ:±(2)Ž“²)–Ç=“µ²(µa²)µxŽŸ‘>²for–(fevš¸ãery“µa–Ǹ2“µH‘Ïþ²,‘(rthen–(fµx“²is“con˜tained“in“the“cen˜ter“of“µH‘Ïþ².‘(«Here,‘(rw˜e“ha˜v˜e“used“theŽ¡‘>follo•¸ãwing›UUv‘ÿqÇarian“t˜of˜the˜Heyneman-Sw“eedler˜sigma˜notation˜for˜the˜coproGduct:ޤ’Ãs(µa²)–Ç=“µaŸÎ:±(1)Ž‘ õU¸ ‘8àµaŸÎ:±(2)ŽŽŸœp‘>²This–UUis“obš¸ãvious,“bGecause“then“w˜e“ha˜v˜e:Ž¡’‘0µax–Dz=“µaŸÎ:±(1)Ž– ¼uµxS‘“²(µaŸÎ:±(2)Ž“²)µaŸÎ:±(3)Ž› ƒ²=‘ǵ²(µaŸÎ:±(1)Ž“²)µxaŸÎ:±(2)Ž˜²=‘ǵxaŽ¡‘>²This–jšcalculation“can“certainly“bGe“found“in“man¸ãy“places,‘k"among“them“[50Ž‘ ],ޤ ‘>Lem.–UU5.7.2,“p.“83.ŽŸ)®4‘>Ð4Ž‘VLËThe–ffthird“and“the“ninŒÌth“conjectureަ‘>Ñ4.1‘ ü²Kaplansky's–;?third“conjecture“states“that“a“Hopf“algebra“o•¸ãv“er–;?a“ eld“of“c¸ãhar-Ž¡‘>acteristic–ezero“doGes“not“conš¸ãtain“nonzero“cen˜tral“nilpGoten˜t“elemen˜ts.‘¼Although“itŽ¡‘>seems–§êthat“no“literature“on“this“conjecture“exists,‘§ÿit“has“bGeen“ob¸ãvious“to“mostŽ¡‘>researc¸ãhers–UUfor“some“time“that“this“is“false.ŽŽŸ’è5ŽŽŒ‹6ø y ý£ ? ýä‘>²Consider–®áa“left“in¸ãtegral“Ÿÿ´HŽ‘ D’²in“a“ nite-dimensional“non-semisimple“Hopf“algebra.ޤ ‘>By–œ)the“generalized“Masc•¸ãhk“e–œ)theorem“due“to“R.“G.“Larson“and“M.“E.“Sw¸ãeedlerŽ¡‘>(cf.–Lø[38Ž‘ ],›LúProp.“3,˜p.“84),˜wš¸ãe“then“ha˜v˜e“µŸÿ´HŽ–•±²(Ÿÿ´HŽ“²)–Ç=“0,‘Lúand–Løtherefore“also“Ÿü^ÿ±2ŽŸb´HŽŽ‘ \ɲ=‘Ç0.Ž¡‘>Ÿÿ´HŽ‘ ¥§²is–ötherefore“a“nilpGotenš¸ãt“elemen˜t.‘No˜w,‘&if“Ÿÿ´HŽ‘ ¥§²is“also“a“righ˜t“in˜tegral,‘&i.“e.,Ž¡‘>if–“ƵH‘cIJis“unimoGdular,‘“Õthen“Ÿÿ´HŽ‘ )w²is“obš¸ãviously“a“cen˜tral“elemen˜t.‘”%Kaplansky's“thirdŽ¡‘>conjecture–kçwš¸ãould“therefore“imply“that,‘l#o˜v˜er“ elds“of“c˜haracteristic“zero,‘l#all“ nite-Ž¡‘>dimensional–UUunimoGdular“Hopf“algebras“are“semisimple.Ž©œp‘>This‘гis,›ÐÕho•¸ãw“ev“er,˜not–гthe“case.‘Ñ}There“exist“ nite-dimensional“Hopf“algebras“thatŽ¡‘>are–Ý•not“semisimple,›ݸfor“example“the“T‘ÿ*ªaft“algebra“(cf.“[92Ž‘ ]),˜whic¸ãh“is,˜ho•¸ãw“ev“er,Ž¡‘>not–ëVunimoGdular.‘ìin–its“Drinfel'd“double“µDšG²(µH‘Ïþ²),‘ and“this“is“a“unimo˜dular“Hopf“algebra“b¸ãy“a“resultŽ¡‘>of–ëqD.“E.“Radford“(cf.“[74Ž‘ ],›ë—Thm.“4,˜p.“303,˜[85Ž‘ ],˜Thm.“5.4,˜p.“62).‘ìWBy“anotherŽ¡‘>result–xof“Radford“(cf.“[74Ž‘ ],›xQProp.“7,˜p.“304),˜µDG²(µH‘Ïþ²)“is“semisimple“if“and“onlyŽ¡‘>if–ÔóµH‘¤ñ²is“semisimple“and“cosemisimple.‘Õ·Therefore,‘Õthe“Drinfel'd“double“of“the“T‘ÿ*ªaftŽ¡‘>algebra–v¼is“a“ nite-dimensional“unimoGdular“Hopf“algebra“whic¸ãh“is“not“semisimple.ŽŸ œp‘>Ñ4.2‘ ü²W‘ÿ*ªe–8Ønoš¸ãw“consider“another,‘9related“coun˜terexample“to“Kaplansky's“thirdŽ¡‘>conjecture,›ÄÇnamely–Ä«the“F‘ÿ*ªrobGenius-Lusztig“k¸ãernel“of“µUŸÿ´qŽ‘j•²(µsl2`²(2)),˜whicš¸ãh“is“sligh˜tlyŽ¡‘>more–BWexplicit“than“the“example“considered“abšGo•¸ãv“e–BWand,‘B“as“w¸ãe“shall“see“b˜elo¸ãw,Ž¡‘>also–i¿proš¸ãvides“a“coun˜terexample“to“Kaplansky's“nin˜th“conjecture.‘kgIn“fact,‘jtheŽ¡‘>F‘ÿ*ªrobšGenius-Lusztig–érk¸ãernel“of“µUŸÿ´qŽ‘j•²(µsl2`²(2))“can“b˜e“obtained“as“a“quotien¸ãt“of“the“Drin-Ž¡‘>fel'd–UUdouble“of“the“T‘ÿ*ªaft“algebra.ަ‘>W‘ÿ*ªe–éwš¸ãork“o˜v˜er“an“algebraically“closed“ eld“of“c˜haracteristic“zero.‘dSuppGose“that“µqŽ¡‘>²is–nŠa“primitivš¸ãe“µkP—²-th“roGot“of“unit˜y‘ÿ*ª,‘nÅwhere“µk‘¯>‘Dz2“is“oGdd“-“the“ev˜en“case“is“similar.‘oëTheŽ¡‘>F‘ÿ*ªrobGenius-Lusztig–”žk¸ãernel“of“µUŸÿ´qŽ‘j•²(µsl2`²(2))“is“de ned“as“the“algebra“µU‘«¹²with“generatorsŽ¡‘>µK(ã;–ª¨K‘·Ÿü^ÿó O!â…cmsy7·±1Ž‘ sµ;“E‘“²,–UUand“µF‘¸ä²and“relationsޤ’Æ“µK–·K“ŸûÞÿ·±1Ž‘:¨²=ŽŽŽ’óÿÿ1–Ç=“µK‘·ŸûÞÿ·±1Ž‘ sµKŽŽŽŽ©=u’¡O$K‘·E‘Z¥²=‘ǵq[ÙŸûÞÿ±2Ž‘ØLµE‘“KŽŽŽ’îHãK‘·F‘*§²=‘ǵq[ÙŸûÞÿ·±2Ž‘ MµF‘cKŽŽŽŽŸQ’ÂÍE‘“F‘œo¸‘8àµF‘cEŽŽŽ’ñû²=Ÿù<$‘úKµK‘ïü¸‘8àµK‘·Ÿü^ÿ·±1ŽŽ‘úKŸw‰fe)_üŸ (Ö‘b«µq‘”¹¸‘8àµq[ÙŸýr·±1ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸËB’¬ñɵK‘·ŸûÞÿ´kŽ‘iIJ=‘Ç1‘µE‘“ŸûÞÿ´kŽŽŽŽ’ñû²=–Ç0‘µF‘cŸûÞÿ´kŽ‘ 7²=“0ŽŽŽŽ¡‘>The–UUcoproGduct“is“determined“on“the“generators“bš¸ãy“the“form˜ulas:Ž¡’ˆD(µKŽŽŽ’Œ²)–Ç=“µK‘ïü¸ ›8àµK‘ ·²(µK‘·ŸûÞÿ·±1Ž‘ s²)“=“µK‘·ŸûÞÿ·±1Ž‘ ¬p¸ ˜µK‘·ŸûÞÿ·±1ŽŽŽŽŽ¦‘x%h²(µE‘“²)‘Ç=ŽŽŽ’ŒµE‘Ìm¸ –8à²1“+“µK‘ïü¸ “µE‘ “޲(µF‘c²)–Ç=“µF‘œo¸ –8àµK‘·ŸûÞÿ·±1Ž‘ ¬p²+“1“¸ “µFŽŽŽŽ¡‘>²This–tÒHopf“algebra“has“a“basis“consisting“of“the“elemen¸ãts“µE‘“Ÿü^ÿ´iŽ‘çÙµK‘·Ÿü^ÿ´jŽ‘íȵF‘cŸü^ÿ´mŽ‘ pü²for“µi;–ª¨jR;“m‘û“²=ޤ ‘>0µ;–ª¨:“:“:Ž‘ªŸ;‘ª¨k‘ù¸‘Ãb²1.‘&XIf–%µT‘„ì²:=‘!]Ÿøüóú±u cmex10«PŽŸúøÞ‘¯˜´kŽŸ%‘¯˜i±=1ŽŽ‘εq[ÙŸü^ÿ±2´i±(´k+B·±1)Ž‘”žµK‘·Ÿü^ÿ´iŽ‘ h²,‘%Nit“is“easy“to“see“that“µE‘“Ÿü^ÿ´k+B·±1Ž‘»‘µT–cF“Ÿü^ÿ´k+B·±1Ž‘°¬²is‘%aŽ¡‘>left–toand“righš¸ãt“in˜tegral,‘t¸and“therefore“a“cen˜tral“elemen˜t“(cf.“[89Ž‘ ],›t¸p.“368,˜[85Ž‘ ],Ž¡‘>Prop.–k”6.3,›kÛp.“67,˜note“a“sligh¸ãt“di erence“in“the“de nitions).‘m?Since“the“counitŽ¡‘>v‘ÿqÇanishes–UUon“the“in¸ãtegral,“its“square“is“zero.ŽŽŸ’è6ŽŽŒ‹C  y ý£ ? ýä‘>²The–üinš¸ãtegral“is“not“the“only“nilpGoten˜t“cen˜tral“elemen˜t“of“µU‘².‘ Its“cen˜ter“can“bGeޤ ‘>describGed–UUcompletely“(cf.“[77Ž‘ ]).ŽŸ œp‘>Ñ4.3‘ ü²As–Üonoted“bš¸ãy“N.“Andruskiewitsc˜h“and“S.“Natale“in“an“appGendix“to“notesŽ¡‘>bš¸ãy–ìÆH.-J.“Sc˜hneider“(cf.“[78Ž‘ ]),‘ìáthe“F‘ÿ*ªrobGenius-Lusztig“k˜ernel“considered“abGo˜v˜e“alsoŽ¡‘>proš¸ãvides–Ú[a“coun˜terexample“to“Kaplansky's“nin˜th“conjecture.‘ܰThis“conjectureŽ¡‘>states–~that“for“a“ nite-dimensional“Hopf“algebra“o•¸ãv“er–~an“algebraically“closedŽ¡‘> eld,‘ò¼the–òRdimension“of“the“Jacobson“radical“of“the“Hopf“algebra“equals“theŽ¡‘>dimension–àCof“the“Jacobson“radical“of“the“dual“if“the“c¸ãharacteristic“of“the“baseŽ¡‘> eld–¶~doGes“not“divide“the“dimension.‘¸œIn“particular,‘¶Øsemisimple“Hopf“algebrasŽ¡‘>should–íàbšGe“cosemisimple,‘íúa“problem“that“will“b˜e“considered“b˜elo¸ãw“in“conjunctionŽ¡‘>with–UUthe“ fth“conjecture.ŽŸœp‘>W‘ÿ*ªe–í=noš¸ãw“explain“brie y“wh˜y“Kaplansky's“nin˜th“conjecture“is“refuted“b˜y“theŽ¡‘>F‘ÿ*ªrobšGenius-Lusztig–_ök¸ãernel“µU‘².‘cThe“simple“mo˜dules“of“µU‘w²are“kno¸ãwn“(cf.“[29Ž‘ ],Ž¡‘>Thm.–æVI.5.7,›æ*p.“137,˜[26Ž‘ ],˜Sec.“2.13,˜p.“24);‘æOin“the“ošGdd“case“considered“ab˜o•¸ãv“e,Ž¡‘>there–k?is“one“isomorphism“class“of“simple“moGdules“for“eac¸ãh“of“the“dimensionsŽ¡‘>1µ;–ª¨:“:“:Ž‘ªŸ;‘ª¨kP—².‘™ÏSince–™fthe“Jacobson“radical“µJ‘Ÿ²of“µU‘°²consists,›™xb¸ãy“de nition,˜precisely“ofŽ¡‘>the–~yelemenš¸ãts“that“annihilate“ev˜ery“simple“moGdule,‘~ŵU‘ˆâ=J‘t²²has“the“same“simpleŽ¡‘>moGdules–Íwas“µU‘².‘Î0Since“µU‘ˆâ=J‘ð²is“a“semisimple“algebra,‘Í–its“dimension“is“the“sum“ofŽ¡‘>the–UUsquares“of“the“dimensions“of“the“simple“moGdules,“i.“e.,“wš¸ãe“ha˜v˜e:ŽŸN;’“ÔdimŽ’¥W*µU‘ˆâ=J‘½Q²=Ÿóý‘ -Ÿ´kŽŸ €‘*ƒŸöü«XŽŽŸ ­†‘Ç´m±=1ŽŽ‘ª^µmŸûÞÿ±2Ž‘C‹²=Ÿù<$‘úK1Ž‘úKŸw‰feŸ (Ö6ŽŽŽŽ‘ -µkP—²(µk–‰w²+›8à1)(2µk“²+˜1)ŽŸ';½‘>On–1the“other“hand,‘cthe“Jacobson“radical“of“µU‘Ÿü^ÿ·Ž‘ Ç0²is“precisely“orthogonal“to“theŽ¡‘>coradical–„ µC‘;'²of“µU‘›&²(cf.“[50Ž‘ ],›„Rem.“5.1.7,˜p.“58).‘„SKaplansky's“conjecture“thereforeŽ¡‘>w¸ãould–98imply“that“the“coradical“has“the“same“dimension“as“µU‘ˆâ=J‘ö9².‘9cBut,‘9?as“can“bGeŽ¡‘>sho¸ãwn–,has“in“[50Ž‘ ],›,rLem.“5.5.5,˜p.“76,˜the“coradical“of“µU‘Cƒ²is“spanned“bš¸ãy“the“pGo˜w˜ersŽ¡‘>of–UUµK‘·²,“and“therefore“wš¸ãe“ha˜v˜e:Ž¡’ÓùdimŽ’æNóµC‘~4²=‘ǵkŽŸ‘>²Note–Ö[that“the“prošGof“in“[50Ž‘ ]“needs“a“sligh¸ãt“mo˜di cation.‘×!F‘ÿ*ªurther“details“on“theŽ¡‘>Jacobson–radical“of“µU‘¸²can“bGe“found“in“[89Ž‘ ],›²Cor.“3.8,˜p.“367;‘Çnote“that“the“setupŽ¡‘>there–UUis“slighš¸ãtly“di eren˜t.ŽŸ)®4‘>Ð5Ž‘VLËThe–ff fth“and“the“sev•ŒÌen“th‘ffconjectureŽŸƒ‹‘>Ñ5.1‘ ü²It–Ì/is“easy“to“see“that“the“anš¸ãtip•Go“de–Ì/of“a“Hopf“algebra“is“an“in˜v˜olutionŽ¡‘>if– the“Hopf“algebra“is“comm•¸ãutativ“e– or“coGcomm•¸ãutativ“e.‘ ¦Since– the“notion“of“anŽ¡‘>anš¸ãtip•Go“de–in“a“Hopf“algebra“generalizes“the“notion“of“an“in˜v˜erse“in“a“group,‘2itŽ¡‘>is–ÜØreasonable“to“expGect“that“this“is“a“more“general“feature.‘ݨIn“fact,‘Üûit“w¸ãas“notŽ¡‘>knoš¸ãwn–¿üfor“some“time“whether“there“exist“Hopf“algebras“whose“an˜tip•Go“des‘¿üw˜ereŽŽŸ’è7ŽŽŒ‹T y ý£ ? ýä‘>²not›T™in•¸ãv“olutions˜-˜at˜least˜in˜the˜ nite-dimensional˜case.‘V!Suc“h˜a˜Hopf˜algebraޤ ‘>wš¸ãas–©9then“constructed“b˜y“E.“J.“T‘ÿ*ªaft“(cf.“[92Ž– ],›©N[93Ž“]),˜and–©9also“bš¸ãy“M.“E.“Sw˜eedlerŽ¡‘>(unpublished)–;and“D.“E.“Radford“(cf.“[67Ž‘ ]).‘ºBefore“that,‘QR.“G.“Larson“as“w¸ãell“asŽ¡‘>M.–‘]E.“Sw¸ãeedler“already“had“constructed“examples“of“in nite-dimensional“HopfŽ¡‘>algebras–Çwith“an¸ãtip•Go“des–Çof“in nite“order“(cf.“[31Ž– ],›Ç5[91Ž“],˜Chap.–ÇIV,“p.“89),˜whereasŽ¡‘>Radford›>fpro•¸ãv“ed˜later˜that˜an“tip•Go“des˜of˜ nite-dimensional˜Hopf˜algebras˜ha•¸ãv“eŽ¡‘> nite–UUorder“(cf.“[68Ž› ],“[69Ž˜]).Ž©‹®‘>When–¡˜Kaplansky“wrote“doš¸ãwn“his“conjectures,‘¡¬it“w˜as“therefore“kno˜wn“that“theŽ¡‘>anš¸ãtip•Go“de–À†of“a“Hopf“algebra“is“not“alw˜a˜ys“an“in˜v˜olution.‘Á*Kaplansky's“ fth“con-Ž¡‘>jecture–½fnoš¸ãw“states“that“the“an˜tip•Go“de–½fof“a“ nite-dimensional“Hopf“algebra“o˜v˜erŽ¡‘>an–úalgebraically“closed“ eld“is“an“in•¸ãv“olution–úif“the“Hopf“algebra“is“semisimpleŽ¡‘>or–.±cosemisimple.‘/ÿHere“a“Hopf“algebra“is“called“cosemisimple“if“the“dual“HopfŽ¡‘>algebra–UUis“semisimple.ަ‘>It–‡should“ rst“bšGe“observ¸ãed“that“the“question“of“algebraic“closure“is“not“imp˜ortan¸ãtŽ¡‘>here,‘ž«bšGecause–žWthe“order“of“the“an¸ãtip˜o˜de“remains“unc¸ãhanged“under“base“ eldŽ¡‘>extension.‘Â8As–Á’will“bšGe“explained“b˜eloš¸ãw,‘Á®the“c˜haracteristic“of“the“base“ eld“is“ofŽ¡‘>greater‘UUimpGortance.ަ‘>One–ÅÓof“the“ rst“results“on“this“conjecture“wš¸ãas“obtained“b˜y“R.“G.“Larson,‘ÅïwhoŽ¡‘>pro•¸ãv“ed–ERit“for“Hopf“algebras“o•¸ãv“er–ER elds“of“cš¸ãharacteristic“zero“or“sucien˜tly“largeŽ¡‘>c•¸ãharacteristic,‘£pro“vided–”that“the“Hopf“algebra“is“semisimple“and“the“irreducibleŽ¡‘>moGdules›¤ha•¸ãv“e˜dimension˜one˜or˜t“w“o˜(cf.˜[34Ž‘ ]).‘±His˜results˜w“ere˜generalized˜b“yŽ¡‘>D.–Œ‘E.“Radford,‘ŒŸwho“pro•¸ãv“ed–Œ‘that“it“suces“to“assume“that“the“t•¸ãw“o-sided‘Œ‘idealsŽ¡‘>correspšGonding–Ýto“the“simple“mo˜dules“of“dimension“one“or“t•¸ãw“o–Ýgenerate“the“HopfŽ¡‘>algebra–UUµH‘%S²as“a“coalgebra“(cf.“[73Ž‘ ]).ަ‘>Kaplansky's–÷° fth“conjecture“is“bšGetter“understo˜o˜d“if“it“is“split“inš¸ãto“t˜w˜o“partialŽ¡‘>problems:ŽŸdÀ‘J8ä1.ŽŽŽ‘WIs–UUev¸ãery“semisimple“Hopf“algebra“cosemisimple?ŽŸðn‘J8ä2.ŽŽŽ‘WIs–âÑthe“anš¸ãtip•Go“de–âÑof“a“semisimple,‘âîcosemisimple“Hopf“algebra“an“in˜v˜olution?ŽŸdÁ‘>In–UUwhat“folloš¸ãws,“w˜e“shall“treat“these“problems“separately‘ÿ*ª.ŽŸ ‹®‘>Ñ5.2‘ ü²An–ã‹impGortanš¸ãt“step“to˜w˜ards“Kaplansky's“ fth“conjecture“w˜as“tak˜en“b˜yŽ¡‘>R.–dG.“Larson“and“D.“E.“Radford“in“t•¸ãw“o–dclosely“related“articles“published“inŽ¡‘>1988.‘š§In–˜·the“ rst“one“of“these“they“answš¸ãered“armativ˜ely“the“ rst“questionŽ¡‘>abGo•¸ãv“e–î5under“the“assumption“that“the“base“ eld“has“c¸ãharacteristic“zero“(cf.“[36Ž‘ ]).Ž¡‘>Their–L’proGof“relies“on“a“trace“form¸ãula“that“expresses“the“trace“of“the“squaredŽ¡‘>anš¸ãtip•Go“de–UUin“terms“of“the“in˜tegrals“of“the“Hopf“algebra:ަ¡’¶‰óT‘ÿ*ªrŽ’ÀØ,(µSŸûÞÿ‘“±2ŽŸ™á´HŽŽ›•±²)–Ç=“µŸÿ´HŽ˜²(Ÿÿ´HŽ˜²)µŸÿ´HŽ˜²(1)ŽŽŸ’è8ŽŽŒ‹ a| y ý£ ? ýä‘>²Here,‘ûTµŸÿ´HŽ– Û²and›û*µSŸÿ´HŽ“²denote˜the˜counit˜and˜the˜an¸ãtip•Go“de˜of˜the˜Hopf˜algebra˜µH‘Ïþ²,ޤ ‘>whereas–ÖÞŸÿ´HŽ› \ɸ2‘ǵH‘¦Ü²and“µŸÿ´HŽ˜¸2‘ǵH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘?À²denote“righš¸ãt“in˜tegrals“satisfying“µŸÿ´HŽ–•±²(Ÿÿ´HŽ“²)–Ç=“1.‘ןAsŽ¡‘>H.-J.–<Scš¸ãhneider“pGoin˜ts“out,‘< the“immediate“consequence“dimŽ‘‘\µH‘^.²=‘ǵŸÿ´HŽ–•±²(Ÿÿ´HŽ“²)µŸÿ´HŽ“²(1)Ž¡‘>if–}qµSŸü^ÿ‘“±2ŽŸb´HŽŽ‘ Ÿ¢²=‘ ñidŽ‘ _HŸÿ´HŽ‘rj²wš¸ãas“already“observ˜ed“b˜y“U.“ObGerst“and“himself“(cf.“[63Ž‘ ],‘}{Satz“3.6,Ž¡‘>p.–D¹15).‘DÒHe“has“later“used“the“methošGds“of“this“article“to“giv¸ãe“simpli ed“pro˜ofs“ofŽ¡‘>the– C rst“trace“formš¸ãula“stated“abGo˜v˜e“as“w˜ell“as“the“second“trace“form˜ula“discussedŽ¡‘>bGeloš¸ãw,‘ÙÒand–Ùoalso“for“Radford's“form˜ula“for“the“fourth“pGo˜w˜er“of“the“an˜tip•Go“deŽ¡‘>(cf.‘UU[78Ž‘ ]).Ž©‘²‘>A‘X¦result–Xåon“the“ rst“problem“menš¸ãtioned“abGo˜v˜e“in“large“pGositiv˜e“c˜haracteristic“w˜asŽ¡‘>pro•¸ãv“ed–lin“1997“(cf.“[84Ž‘ ]):‘lIt“wš¸ãas“sho˜wn“that,‘l if“c˜haracteristic“µp“²of“the“base“ eldŽ¡‘>is–q½zero“or“satis es“µp–öo>“mŸü^ÿ´m·±4ޑղ,›qÄwhere‘q½µm“²:=“2‘KÐ(dimŽ‘UVµH‘Ïþ²)Ÿü^ÿ±2Ž‘|s²,˜then–q½µH‘A»²is“cosemisimple.Ž¡‘>The–•êapproacš¸ãh“used“there“is“rather“di eren˜t“from“the“approac˜h“used“b˜y“LarsonŽ¡‘>and–¹QRadford,‘¹«and“can“bGe“roughly“brokš¸ãen“in˜to“t˜w˜o“steps:‘ºaThe“ rst“step“w˜asŽ¡‘>the–^adjunction“of“a“grouplikš¸ãe“elemen˜t“that“made“the“square“of“the“an˜tip•Go“de‘^anŽ¡‘>inner–}xautomorphism.‘>The“trace“of“the“squared“an¸ãtip•Go“de–}xis“then“the“v‘ÿqÇalue“ofŽ¡‘>the–åccš¸ãharacter“of“the“adjoin˜t“represen˜tation“on“that“grouplik˜e“elemen˜t.‘æANo˜w,‘åˆifŽ¡‘>this–Acš¸ãharacter“is“in˜v˜ertible,›othis“v‘ÿqÇalue“is“nonzero,˜and“therefore“the“ rst“traceŽ¡‘>formš¸ãula–?Sstated“abGo˜v˜e“implies“that“the“Hopf“algebra“is“also“cosemisimple.‘?uThen,Ž¡‘>in–¢ïthe“second“step,‘£the“in•¸ãv“ertibilit“y–¢ïof“the“cš¸ãharacter“of“the“adjoin˜t“represen˜tationŽ¡‘>wš¸ãas–I;established“b˜y“using“the“P˜erron-F‘ÿ*ªrobGenius“theorem“to“calculate“the“largestŽ¡‘>eigenš¸ãv‘ÿqÇalue–UUof“the“left“m˜ultiplication“with“this“c˜haracter.ަ‘>This–Ë¿bšGound“on“the“c¸ãharacteristic“has“b˜een“impro•¸ãv“ed›Ë¿b“y˜P‘ÿ*ª.˜Etingof˜and˜S.˜GelakiŽ¡‘>in–JLthe“ nal“vš¸ãersion“of“[20Ž‘ ].‘KÄThey“pro˜v˜e“that“a“semisimple“Hopf“algebra“µH‘J²ofŽ¡‘>dimension–uHbigger“than“t•¸ãw“o–uHis“cosemisimple“if“µp–üX>“nŸü^ÿ´'±(´n±)´=±2Ž‘ V²,‘uQwhere‘uHµn“²:=“dimŽ‘Q®µH‘EF²isŽ¡‘>the–´\dimension“of“µH‘„Z²and“µ'“²is“the“Euler“µ'²-function“(cf.“[20Ž‘ ],›´uThm.“4.2,˜p.“862).Ž¡‘>Their–[$argumenš¸ãt“reduces“the“problem“to“the“c˜haracteristic“zero“case“b˜y“usingŽ¡‘>the–ºÞring“of“Witt“vš¸ãectors“of“the“base“ eld“(cf.“[102Ž‘]).‘»yThey“then“can“essen˜tiallyŽ¡‘>folloš¸ãw–ˆ\the“original“argumen˜t“b˜y“Larson“and“Radford.‘ˆªF‘ÿ*ªurther“results“from“thisŽ¡‘>impGortan•¸ãt›UUcon“tribution˜will˜b•Ge˜describ“ed˜b“elo¸ãw.ŽŸ‘²‘>Ñ5.3‘ ü²W‘ÿ*ªe–'õnoš¸ãw“discuss“the“second“problem“men˜tioned“abGo˜v˜e.‘)8It“should“bGe“ob-Ž¡‘>servš¸ãed–Üthat“for“this“problem,‘ w˜e“already“kno˜w“b˜y“Radford's“form˜ula“that“theŽ¡‘>fourth›—/pGo•¸ãw“er˜of˜the˜an“tip•Go“de˜is˜the˜iden•¸ãtit“y˜(cf.˜[69Ž‘ ],–—?Prop.˜6,“p.˜347).‘—”In˜theirŽ¡‘>second–Õäarticle,‘Öwhicš¸ãh“w˜as“also“published“in“1988,‘ÖLarson“and“Radford“also“madeŽ¡‘>impGortanš¸ãt–k&progress“on“the“second“problem.‘lŒThere,‘kbthey“pro˜v˜ed“that“the“an˜tip•Go“deŽ¡‘>of–¿úa“semisimple,‘Àcosemisimple“Hopf“algebra“is“an“in•¸ãv“olution–¿úif“the“c¸ãharacteris-Ž¡‘>tic–$áof“the“base“ eld“is“zero“or“larger“than“the“square“of“the“dimension“of“theŽ¡‘>Hopf–#„algebra“(cf.“[35Ž‘ ],›#‘Thm.“3,˜p.“194).‘#ÐTheir“tec¸ãhnique“relies“on“a“second“traceŽ¡‘>form¸ãula:ަ¡’¦¿±T‘ÿ*ªrŽ’± ê(µSŸûÞÿ‘“±2ŽŸ™á´HŽŽ‘•±²)–Ç=“(dimŽ‘UVµH‘Ïþ²)‘ª¨T‘ÿ*ªrŽ‘ øá(µSŸûÞÿ‘“±2ŽŸ™á´HŽŽ‘²!¸jŸÿ´xŸmóO Ú\cmmi5³RŽ‘¨v´HŽ‘Ç ²)ŽŸ¹:‘>Here,‘Â8µxŸÿ´RŽ‘ ĸ2‘|bµH‘’²denotes–Âthe“cš¸ãharacter“of“the“regular“represen˜tation“of“µH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘hâ²,‘Â8i.“e.,Ž¡‘>the–¾,elemen¸ãt“satisfying“µ²(µxŸÿ´RŽ‘b²)–uÓ=“T‘ÿ*ªrŽ‘ Ä (µLŸÿ´Ž‘Nï²),‘¾Gwhere›¾,µLŸÿ´Ž‘IJ:“µH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘Þµ¸!“µH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘ '²denotes˜the˜leftŽŽŸ’è9ŽŽŒ‹ n^ y ý£ ? ýä‘>²m•¸ãultiplication›:"b“y˜µ².‘:LIt˜should˜b•Ge˜noted˜that˜it˜is˜reasonable˜to˜exp“ect˜that˜thisޤ ‘>cš¸ãharacter–$£is“an“in˜tegral“of“µH‘Ïþ².‘%áIf“it“w˜ere“pGossible“to“pro˜v˜e“this“in“general,‘$ØtheŽ¡‘>abGo•¸ãv“e–¯Ítrace“formš¸ãula“w˜ould“read“T‘ÿ*ªrŽ‘ þ(µSŸü^ÿ‘“±2ŽŸb´HŽŽ‘•±²)–Ç=“dimŽ‘nµH‘Ïþ²,‘¯÷and–¯Íit“w˜ould“bGe“easy“to“deriv˜eŽ¡‘>strong–UUconclusions“on“Kaplansky's“ fth“conjecture.Ž©œp‘>In–h”their“article“already“menš¸ãtioned“abGo˜v˜e,‘h˜P‘ÿ*ª.“Etingof“and“S.“Gelaki“ha˜v˜e“settledŽ¡‘>the–c‰second“problem“completely:‘c”They“pro•¸ãv“e–c‰that“the“an¸ãtip•Go“de–c‰of“a“semisimple,Ž¡‘>cosemisimple–7«Hopf“algebra“o•¸ãv“er›7«an“y˜ eld˜is˜an˜in“v“olution˜(cf.˜[20Ž‘ ],‘7åThm.˜3.1,Ž¡‘>p.–A 858).‘C Their“methoGd,‘AÝwhicš¸ãh“has“sev˜eral“other“applications“that“will“bGe“dis-Ž¡‘>cussed–bGelo¸ãw,‘*is“based“on“a“cohomology“v‘ÿqÇanishing“result“of“D.“SŽŽ‘VŽŽŽ‘ Vtefan“(cf.“[87Ž‘ ])Ž¡‘>that–Öºwš¸ãas“originally“in˜v˜en˜ted“to“deal“with“Kaplansky's“ten˜th“conjecture,‘ÖÛwhic˜hŽ¡‘>will–Ö¡also“bšGe“discussed“b˜eloš¸ãw.‘×gEtingof“and“Gelaki“use“this“result“to“pro˜v˜e“that,Ž¡‘>for–‡a“semisimple,›œcosemisimple“Hopf“algebra,˜there“exists“a“Hopf“algebra“that“isŽ¡‘>de ned›ê o•¸ãv“er˜a˜complete˜discrete˜v‘ÿqÇaluation˜ring˜of˜c“haracteristic˜zero,‘ê)the˜ring˜ofŽ¡‘>Witt›Šév•¸ãectors,‘‹suc“h˜that˜the˜original˜Hopf˜algebra˜can˜bGe˜obtained˜from˜this˜HopfŽ¡‘>algebra–ÅÍb¸ãy“reduction“moGdulo“the“maximal“ideal“of“the“discrete“v‘ÿqÇaluation“ring.Ž¡‘>By–Éinstead“passing“to“the“quotien¸ãt“ eld“of“this“discrete“v‘ÿqÇaluation“ring,‘Øthey“canŽ¡‘>apply–Tºthe“cš¸ãharacteristic“zero“result“to“pro˜v˜e“that“the“an˜tip•Go“de–Tºis“an“in˜v˜olution.ŽŸ œp‘>Ñ5.4‘ ü²The–ÌmethošGds“of“Larson“and“Radford“describ˜ed“ab˜o•¸ãv“e–Ìalso“enabled“them“toŽ¡‘>solvš¸ãe–ÔˆKaplansky's“sev˜en˜th“conjecture.‘ÕLThis“conjecture“states“that“for“a“semisim-Ž¡‘>ple,›)ùcosemisimple–)îHopf“algebra“o•¸ãv“er–)îan“algebraically“closed“ eld,˜the“c¸ãharacter-Ž¡‘>istic–Éof“the“ eld“doGes“not“divide“the“dimension“of“the“Hopf“algebra.‘,Once“again,Ž¡‘>the–÷assumption“that“the“base“ eld“bGe“algebraically“closed“is“not“necessary‘ÿ*ª.‘€9Us-Ž¡‘>ing–Ÿythe“abšGo•¸ãv“e–Ÿytrace“form¸ãulas,‘ŸŒit“is“p˜ossible“to“giv¸ãe“their“complete“pro˜of“of“thisŽ¡‘>conjecture–UUin“a“few“lines“(cf.“[35Ž‘ ],“Thm.“2,“p.“194):ަ‘>By–S/Larson“and“Swš¸ãeedler's“generalization“of“Masc˜hk˜e's“theorem,“a“Hopf“algebraŽ¡‘>is–>semisimple“if“and“only“if“the“counit“doGes“not“v‘ÿqÇanish“on“a“nonzero“in¸ãtegral.Ž¡‘>Therefore,‘ª:the–ª$righš¸ãt“hand“side“of“the“ rst“trace“form˜ula“is“nonzero“if“the“HopfŽ¡‘>algebra–r;is“semisimple“and“cosemisimple.‘sðTherefore,‘rƒalso“the“left“hand“side“isŽ¡‘>nonzero,‘ýUand–ý?bš¸ãy“the“second“trace“form˜ula“this“implies“that“the“dimension“of“theŽ¡‘>Hopf–|ðalgebra“is“nonzero“as“an“elemen¸ãt“of“the“base“ eld,›|úi.“e.,˜the“c¸ãharacteristicŽ¡‘>of–UUthe“base“ eld“doGes“not“divide“the“dimension.ަ‘>Probably–àSnot“a•¸ãw“are–àSof“Kaplansky's“precise“form¸ãulation,‘àqEtingof“and“Gelaki“alsoŽ¡‘>claim–`”in“their“article“to“settle“Kaplansky's“sev•¸ãen“th–`”conjecture“(cf.“[20Ž‘ ],‘`—p.“858);Ž¡‘>they–UUalso“quote“the“result“of“Larson“and“Radford“in“their“proGof.ŽŸ œp‘>Ñ5.5‘ ü²There–Ý„are“also“further“results“on“this“conjecture.‘ßÞAccording“to“W.“D.Ž¡‘>Nic•¸ãhols,‘EŠM.›EMEbGerw“ein˜has˜pro“v“ed˜that˜the˜an“tip•Go“de˜of˜a˜semisimple˜Hopf˜al-Ž¡‘>gebra–È is“an“in•¸ãv“olution–È if“that“the“c¸ãharacteristic“of“the“base“ eld“is“larger“thanŽ¡‘>the–ÅRsquared“dimension“of“the“Hopf“algebra“and“the“irreducible“moGdules“are“ofŽ¡‘>dimension›†–1,–†¢2,“or˜3˜(cf.˜[17Ž‘ ],“Thm.˜4.3.11,“[56Ž‘ ],“Thm.˜5.9,“p.˜150).‘†áThis˜gener-Ž¡‘>alizes–#ƒthe“abGo•¸ãv“e-men“tioned–#ƒresult“of“Larson“(cf.“[34Ž‘ ]).‘#ÏLarson“and“Radford“ha•¸ãv“eŽŽŸ’åÿ10ŽŽŒ‹ æ y ý£ ? ýä‘>²also›¾Àpro•¸ãv“ed˜a˜n“um“bGer˜of˜additional˜results:‘¿3Among˜other˜things,‘¾æthey˜ha“v“e˜stud-ޤ ‘>ied–§the“question“whether“the“propGertš¸ãy“that“the“an˜tip•Go“de–§is“an“in˜v˜olution“canŽ¡‘>bGe–îextended“from“a“Hopf“subalgebra“to“a“larger“Hopf“algebra,‘and“they“ha•¸ãv“eŽ¡‘>carried–lÉout“computer-based“analysis“of“the“algebra“structures“for“a“pGoten¸ãtialŽ¡‘>coun¸ãterexample–UUto“Kaplansky's“ fth“conjecture“(cf.“[37Ž‘ ]).ŽŸ)_ü‘>Ð6Ž‘VLËThe–ffsixth“conjectureŽŸK¬‘>Ñ6.1‘ ü²Kaplansky's–©5sixth“conjecture“maš¸ãy“bGe“in˜terpreted“as“follo˜ws:‘©uF‘ÿ*ªor“a“ nite-Ž¡‘>dimensional–d9Hopf“algebra“o•¸ãv“er–d9an“algebraically“closed“ eld,‘d~the“dimension“ofŽ¡‘>ev¸ãery– ”simple“moGdule“divides“the“dimension“of“the“Hopf“algebra.‘In“this“general-Ž¡‘>it•¸ãy‘ÿ*ª,‘|it›{åw“as˜kno“wn˜at˜that˜time˜that˜this˜is˜false˜ev“en˜for˜group˜rings.‘}1F‘ÿ*ªor˜example,Ž¡‘>the–UþspGecial“linear“group“µS‘“L²(2µ;‘ª¨p²)“of“2–9Q¸“²2-matrices›Uþo•¸ãv“er˜a˜ eld˜with˜µp˜²elemen“ts,Ž¡‘>where–3wµp“²is“an“ošGdd“prime,‘3€admits“simple“mo˜dules“o•¸ãv“er–3walgebraically“closed“ eldsŽ¡‘>of–Jc¸ãharacteristic“µp“²with“a“dimension“that“doGes“not“divide“the“order“of“the“groupŽ¡‘>(cf.–pš[15Ž‘ ],›pÕExample“(17.17),˜p.“426).‘qøHo•¸ãw“ev“er,˜it›pšw“as˜an˜opGen˜question˜at˜that˜timeŽ¡‘>whether,‘ÚÙfor–Ú¹an“absolutely“irreducible“represenš¸ãtation“in“c˜haracteristic“µp–Ç>“²0,‘ÚÙtheŽ¡‘>µp²-compšGonen¸ãt–Ówof“the“dimension“of“the“irreducible“mo˜dule“divides“the“order“of“theŽ¡‘>group;‘Óthis–«wš¸ãas“Problem“17“in“a“list“of“opGen“problems“compiled“b˜y“R.“Brauer“inŽ¡‘>1963–¨Ç(cf.“[9Ž‘],–¨ó[21Ž‘ ],“p.–¨Ç166).‘©ÏEvš¸ãen“this“conjecture“w˜as“refuted“when“J.“G.“Thac˜kra˜yŽ¡‘>sho•¸ãw“ed–ŸMin“1981“that“McLaughlin's“simple“group“of“order“2Ÿü^ÿ±7Ž–棸›j0²3Ÿü^ÿ±6Ž“¸˜²5Ÿü^ÿ±3Ž“¸˜²7˜¸˜²11‘ŸMhasŽ¡‘>a–^simple“moGdule“of“dimension“2Ÿü^ÿ±9Ž‘»¸‘>§²7“in“c¸ãharacteristic“2“(cf.“[98Ž‘ ]).‘^Of“course,‘^theŽ¡‘>result–ÙØholds“for“group“rings“o•¸ãv“er–ÙØalgebraically“closed“ elds“of“c¸ãharacteristic“zero,Ž¡‘>or–Aáif“the“c¸ãharacteristic“of“the“ eld“doGes“not“divide“the“order“of“the“group.‘AþMoreŽ¡‘>generally‘ÿ*ª,–UUit“holds“for“µp²-solv‘ÿqÇable“groups“(cf.“[15Ž‘ ],“Cor.“(22.5),“p.“518).ŽŸd‘‘>The–Žs rst“result“on“the“conjecture“for“arbitrary“Hopf“algebras“is“due“to“R.“G.“Lar-Ž¡‘>son.‘_ÅThis–_¶result“also“shoš¸ãws“wh˜y“the“problem“is“more“dicult“for“Hopf“algebrasŽ¡‘>than–Hžfor“groups.‘H±As“noted“abGo•¸ãv“e,‘H¡the–Hžconjecture“is“true“for“group“rings“of“ niteŽ¡‘>groups›Y,o•¸ãv“er˜algebraically˜closed˜ elds˜of˜c“haracteristic˜zero˜(cf.˜[15Ž‘ ],‘YmProp.˜(9.32),Ž¡‘>p.–ßè216).‘à¼The“prošGof“of“this“result“exploits“prop˜erties“of“algebraic“in¸ãtegers,‘à and,Ž¡‘>in–€7doing“so,‘€Aexploits“the“fact“that“the“group“ring“µK‘·²[µG²]“has“an“obš¸ãvious“in˜tegralŽ¡‘>form,‘ ïnamely– Ü×Z²[µG²].‘ NLarson's“result“sa¸ãys“that“the“same“holds“if“the“Hopf“algebraŽ¡‘>under–Øconsideration“is“de ned“o•¸ãv“er–Ø×Z².‘ÿMore“precisely‘ÿ*ª,‘ Larson“pro•¸ãv“es–Ø(cf.“[33Ž‘ ],Ž¡‘>Prop.–UU4.2,“p.“208):ŽŸ²$‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²SuppGose–MÏthat“µR‘a–²is“a“Dedekind“domain“with“fraction“ eld“µK‘ë²andŽ¡‘>that–%´µH‘õ²²is“a“Hopf“algebra“o•¸ãv“er–%´µR‘9{²that“is“ nitely“generated“pro‘Ž8jectivš¸ãe“o˜v˜er“µRDz.Ž¡‘>Assume–g]that“µH‘㸠Ÿÿ´RŽ‘ÔGµK‘y²is“split“semisimple“and“in•¸ãv“olutory‘ÿ*ª.‘gyDenote–g]the“set“of“leftŽ¡‘>inš¸ãtegrals–Ñ*in“µH‘¡(²b˜y“µL².‘ÑèThen,‘ÑJfor“ev˜ery“simple“µH‘[l¸ Ÿÿ´RŽ‘ еK‘·²-moGdule“µV‘8ä²,‘ÑJthe“principalŽ¡‘>ideal–UU(dimŽ‘UVµV‘8ä²)“of“µR‘i²divides“the“ideal“µŸÿ´HŽ‘•±²(µL²),“i.“e.,“wš¸ãe“ha˜v˜e“(dimŽ‘UVµV‘8ä²)–Ǹ“µŸÿ´HŽ‘•±²(µL²).ŽŸ=£‘>V‘ÿ*ªarian¸ãts–+—of“this“theorem“can“also“bGe“found“in“[1Ž‘],›+¢Thm.“(4.6),˜p.“3252,˜[75Ž‘ ],˜andŽ¡‘>the–UUearlier“preprinš¸ãt“v˜ersions“of“[20Ž‘ ].ŽŽŸ’åÿ11ŽŽŒ‹ Ø y ý£ ? ýä‘>Ñ6.2‘ ü²An–;impGortan¸ãt“result“on“Kaplansky's“sixth“conjecture“is“a“theorem“ofޤ ‘>W.–•QD.“Nicš¸ãhols“and“M.“B.“Ric˜hmond“that“answ˜ers“the“question“armativ˜elyŽ¡‘>if–UUthe“simple“moGdule“is“t•¸ãw“o-dimensional–UU(cf.“[61Ž‘ ],“Cor.“12,“p.“306):Ž©•h‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²The–¶‚dimension“of“a“semisimple“Hopf“algebra“o•¸ãv“er–¶‚an“algebraicallyŽ¡‘>closed–UU eld“is“ev¸ãen“if“the“Hopf“algebra“has“a“simple“moGdule“of“dimension“2.ŽŸ¦‘>The–ìntec¸ãhnique“of“the“authors“is“to“analyse“the“pšGossible“decomp˜ositions“of“theŽ¡‘>tensor–õŽprošGduct“of“the“t•¸ãw“o-dimensional–õŽsimple“mo˜dule“and“its“dual.‘ö„More“pre-Ž¡‘>cisely‘ÿ*ª,‘تthe–ØŠargumenš¸ãt“proGceeds“in“the“w˜a˜y“that“either“this“decompšGosition“b˜eha•¸ãv“esŽ¡‘>similar–—Što“the“decompšGosition“of“the“regular“mo˜dule“of“the“Lie“algebra“µsl2`²(2),Ž¡‘>in–z*whic¸ãh“case“the“Hopf“algebra“considered“is“in nite-dimensional,‘z4or“the“corre-Ž¡‘>spGonding–Œ?Hopf“algebra“admits“certain“Hopf“algebra“quotien¸ãts“of“dimension“2,‘Œs12,Ž¡‘>24,‘Y&or–Y%60“whose“represen¸ãtations“are“similar“to“those“of“the“dihedral“groups“µDŸÿ´nŽ‘q~²,Ž¡‘>the–.§tetrahedral“group“µAŸÿ±4Ž›|s²,‘.Þthe“oGctahedral“(resp.“hexahedral)“group“µSŸÿ±4Ž˜²,‘.Þor“theŽ¡‘>icosahedral–?n(resp.“doGdecahedral)“group“µAŸÿ±5Ž‘|s².‘@ÖThe“authors“ha•¸ãv“e›?ncon“tin“ued˜theirŽ¡‘>in•¸ãv“estigation–UUin“[62Ž‘ ].ŽŸ Oò‘>Ñ6.3‘ ü²Kaplansky's–'~sixth“conjecture“has“also“bGeen“considered“bš¸ãy“S.“Mon˜tgomeryŽ¡‘>and–iHS.“J.“Withersp•Go“on–iH(cf.“[52Ž‘ ]).‘jðThey“pro•¸ãv“e–iHthat,›iin“certain“situations,˜Ka-Ž¡‘>plansky's–R conjecture“holds“for“a“Hopf“algebra“if“it“holds“for“a“subalgebra.‘RMoreŽ¡‘>precisely‘ÿ*ª,–UUthey“pro•¸ãv“e–UU(cf.“[52Ž‘ ],“Cor.“1.4,“p.“319,“Thm.“2.1,“p.“320):ަ‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²SuppGose–Ñ_that“µA“²is“a“ nite-dimensional“algebra“o•¸ãv“er–Ñ_an“algebraicallyŽ¡‘>closed––ö eld“suc¸ãh“that“the“dimensions“of“the“simple“moGdules“of“µA“²divide“theŽ¡‘>dimension–$ƒof“µA².‘$ÎSuppGose“that“µG“²is“a“ nite“group“sucš¸ãh“that“the“c˜haracteristic“ofŽ¡‘>the– öbase“ eld“došGes“not“divide“the“order“of“µG².‘ gIf“µB‘‹g²is“a“crossed“pro˜duct“of“µA“²andŽ¡‘>the–'‰group“ring“µK‘·²[µG²],‘'¾then“the“dimensions“of“the“simple“moGdules“of“µB‘§ú²divideŽ¡‘>the–(dimension“of“µB‘€q².‘(LThis“also“holds“if“µB‘¨x²is“a“crossed“proGduct“of“µA“²and“the“dualŽ¡‘>group–UUring“µK‘·²[µG²]Ÿü^ÿ·Ž‘˜ä².ŽŸ¦‘>Using–€Ãresults“of“G.“I.“Kac“and“A.“Masuok‘ÿqÇa“(cf.“[27Ž– ],›[46Ž“]),˜Mon¸ãtgomery‘€ÃandŽ¡‘>Withersp•Go“on–Òthen“shoš¸ãw“that“Hopf“algebras“of“prime“pGo˜w˜er“dimension“o˜v˜er“alge-Ž¡‘>braically–f!closed“ elds“of“cš¸ãharacteristic“zero“can“bGe“constructed“b˜y“iterating“theŽ¡‘>crossed–ÎùprošGduct“constructions“describ˜ed“in“the“theorem.‘ÏÇTherefore,‘ÏKaplansky'sŽ¡‘>sixth–UUconjecture“holds“for“these“Hopf“algebras“(cf.“[52Ž‘ ],“Cor.“3.6,“p.“325).ŽŸ Oò‘>Ñ6.4‘ ü²Kaplansky's–„÷sixth“conjecture“has“also“bGeen“v¸ãeri ed“for“other“classes“ofŽ¡‘>Hopf–‰algebras.‘óFirst,‘›Y.“Zhš¸ãu“pro˜v˜ed“that,‘›for“a“semisimple“Hopf“algebra“µH‘߇²o˜v˜erŽ¡‘>an–Y2algebraically“closed“ eld“of“c¸ãharacteristic“zero,‘Y3the“dimensions“of“the“simpleŽ¡‘>µD•G²(µH‘Ïþ²)-submo“dules– «of“µH›Ü©²divide“the“dimension“of“µH˜²(cf.“[105Ž‘],› Úp.“2850),˜whereŽ¡‘>µDG²(µH›Ïþ²)–ø)denotes“the“Drinfel'd“double“of“µH˜².‘ù#His“argumen¸ãt“relies,‘øSbGesides“the“so-Ž¡‘>called–ãˆclass“equation“that“will“bšGe“discussed“b˜elo¸ãw,‘ã­on“the“fact“that“the“actionŽ¡‘>of–/the“Drinfel'd“double“on“µH‘ÿ²precisely“cenš¸ãtralizes“the“action“of“the“c˜haracterŽŽŸ’åÿ12ŽŽŒ‹ Ÿß y ý£ ? ýä‘>²algebra–:öon“µH‘Ïþ².‘to–îarbitrary“simple“mošGdules“of“the“Drinfel'd“double“µD˜²(µH‘Ïþ²).‘ïAs“a“consequence,Ž¡‘>they–Ybwš¸ãere“able“to“obtain“the“follo˜wing“theorem“(cf.“[18Ž‘ ],›YcThm.“1.5,˜p.“194,˜[20Ž‘ ],Ž¡‘>Cor.–UU3.8,“p.“860):ŽŸ²$‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²SuppGose–kîthat“µH‘;ì²is“a“semisimple,–l*cosemisimple,“quasitriangular‘kîHopfŽ¡‘>algebra›éío•¸ãv“er˜an˜algebraically˜closed˜ eld.‘êÑThen˜the˜dimension˜of˜ev“ery˜simpleŽ¡‘>µH›Ïþ²-moGdule–UUdivides“the“dimension“of“µH˜².ŽŸ=£‘>Their–PÀprošGof“has“already“b˜een“simpli ed“bš¸ãy“Y.“Tsang“and“Y.“Zh˜u“(cf.“[99Ž‘ ]),‘PÁandŽ¡‘>bš¸ãy–UUH.-J.“Sc˜hneider“(cf.“[83Ž‘ ]).ŽŸ)_ü‘>Ð7Ž‘VLËThe–ffeighŒÌth“conjectureŽŸK¬‘>Ñ7.1‘ ü²Kaplansky's–ý$eigh¸ãth“conjecture“states“that“a“Hopf“algebra“of“prime“dimen-Ž¡‘>sion›äåo•¸ãv“er˜an˜algebraically˜closed˜ eld˜is˜comm“utativ“e˜and˜coGcomm“utativ“e.‘åSinceŽ¡‘>comm•¸ãutativit“y–<propGerties“remain“unc¸ãhanged“under“extensions“of“the“base“ eld,Ž¡‘>the–ˆØassumption“of“algebraic“closure“is“again“not“relev‘ÿqÇanš¸ãt“here.‘‰(Ho˜w˜ev˜er,‘ˆæin“theŽ¡‘>algebraically–®closed“case,‘®Hsomething“more“can“bGe“said.‘¯As“observš¸ãed“b˜y“P‘ÿ*ª.“CartierŽ¡‘>and–&ND.“K.“Harrison“(cf.“[14Ž‘ ],›&ƒp.“102,˜[30Ž‘ ],˜Thm.“3.2,˜p.“354,˜[50Ž‘ ],˜Thm.“2.3.1,Ž¡‘>p.›Š 22),–Š­ nite-dimensional,“coGcomm•¸ãutativ“e,‘Š­cosemisimple˜Hopf˜algebras˜o“v“er˜al-Ž¡‘>gebraically–Ïnclosed“ elds“are“group“rings.‘Ð;As“a“consequence“of“the“Nic¸ãhols-ZoGellerŽ¡‘>theorem,‘:it–:wš¸ãas“sho˜wn“b˜y“R.“G.“Larson“and“D.“E.“Radford“that“a“Hopf“algebraŽ¡‘>of–¾±prime“dimension“is“semisimple“and“cosemisimple“if“the“c¸ãharacteristic“of“theŽ¡‘>base–/: eld“is“zero“or“greater“than“the“dimension“of“the“Hopf“algebra“(cf.“[37Ž‘ ],Ž¡‘>Thm.–:€2.3,›:‡p.“12).‘:©Therefore,˜the“conjecture“w¸ãould“imply“in“these“cases“that“theŽ¡‘>only–“æexample“of“a“Hopf“algebra“of“prime“dimension“is“the“group“ring“of“the“cyclicŽ¡‘>group–³>of“prime“order.‘³ÎOf“course,‘³Vthis“doGes“not“hold“if“the“c¸ãharacteristic“of“theŽ¡‘>base–¶­ eld“coincides“with“the“dimension“of“the“Hopf“algebra,‘¶ÖbGecause“then“the“re-Ž¡‘>stricted›Áéen•¸ãv“eloping˜algebra˜of˜the˜base˜ eld,‘Âconsidered˜an˜abGelian˜restricted˜LieŽ¡‘>algebra–Ñ¿via“the“F‘ÿ*ªrobGenius“homomorphism,‘Ñàis“another“example“of“a“comm•¸ãutativ“eŽ¡‘>and›UUcoGcomm•¸ãutativ“e˜Hopf˜algebra˜of˜dimension˜µp².ŽŸd‘‘>The–8history“of“Kaplansky's“eighš¸ãth“conjecture“is“sligh˜tly“strange.‘‘eKaplansky“him-Ž¡‘>self–àhad“considered“the“dimensions“2,–õ3,“and–à5“in“the“ rst“appGendix“of“his“notes.Ž¡‘>He–œ¨added“as“a“remark“to“the“conjecture“that“G.“I.“Kac“had“partial“results“on“thisŽ¡‘>conjecture,‘Zand–Zhis“bibliographš¸ãy“also“con˜tains“the“correspGonding“reference“[27Ž‘ ].Ž¡‘>The–âconjecture“w¸ãas“then“considered“as“opšGen“for“ab˜out“t•¸ãw“en“t“y›ây“ears;‘=the˜onlyŽ¡‘>con•¸ãtribution›¶Uw“as˜giv“en˜b“y˜C.˜R.˜Cai˜and˜H.˜X.˜Chen,‘¶nwho˜con rmed˜the˜con-Ž¡‘>jecture–øVfor“dimension“7“and“13“o•¸ãv“er–øV elds“of“cš¸ãharacteristic“zero“(cf.“[10Ž‘ ]).‘øäA‘ø?y˜earŽ¡‘>later,‘Y.–×Zhš¸ãu“w˜as“able“to“pro˜v˜e“the“conjecture“completely“o˜v˜er“ elds“of“c˜har-Ž¡‘>acteristic–úGzero,‘úqusing“an“argumen¸ãt“based“on“the“Drinfel'd“double“constructionŽ¡‘>(cf.–Òµ[103Ž‘]).‘Ó|According“to“Zhš¸ãu,‘ÒÖE.“E ros“then“pGoin˜ted“out“Kac's“w˜ork“to“him,‘ÒÖandŽ¡‘>upGon–$@reading“it“he“disco•¸ãv“ered–$@that“Kac'“wš¸ãork“already“con˜tained“generalizationsŽŽŸ’åÿ13ŽŽŒ‹®Å y ý£ ? ýä‘>²of–´®his“tec•¸ãhniques.‘µ@Zh“u–´®then“decided“to“folloš¸ãw“essen˜tially“Kac'“argumen˜t“in“theޤ ‘>published–d¹vš¸ãersion“of“his“man˜uscript“(cf.“[104Ž‘]),‘d½whic˜h“made“it“pGossible“to“a˜v˜oidŽ¡‘>the–UUDrinfel'd“double“construction.Ž©ýö‘>The–шargumenš¸ãt“of“Kac“and“Zh˜u“is“based“on“a“theorem“whic˜h“is“no˜w“called“theŽ¡‘>class–§­equation,‘§Ùand“maš¸ãy“bGe“considered“as“ev˜en“more“impGortan˜t“than“the“solutionŽ¡‘>of–UUthe“conjecture“itself:ŽŸ#(‘>ÑTheoremŽŽ‘sÕF²SuppGose–AÅthat“µH‘òis“a“semisimple“Hopf“algebra“o•¸ãv“er–AÅan“algebraicallyŽ¡‘>closed–š€ eld“of“c¸ãharacteristic“zero.‘šêSuppGose“that“µeŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ªŸ;‘ª¨eŸÿ´mŽ‘ 3²is“a“complete“set“ofŽ¡‘>primitivš¸ãe–ľorthogonal“idempGoten˜ts“of“the“c˜haracter“ring“ChŽ‘‹Ü(µH‘Ïþ²),‘ÄÛwhere“µeŸÿ±1Ž‘A1²is“anŽ¡‘>inš¸ãtegral–UUof“µH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘hâ².“Then“w˜e“ha˜v˜eŽŸE’º4dimŽ’Ì\еH‘—²=Ÿóý‘s¯´mŽŸ €‘ÇŸöü«XŽŽŸ Ìt‘…Õ´i±=1ŽŽ‘㉲dimŽ‘%8ßµeŸÿ´iŽ‘TLµH‘ÏþŸûÞÿ·ŽŽŸN(‘>²dimŽ‘PUVµeŸÿ±1Ž‘|sµH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘/ú²=‘Ç1,–UUand“dimŽ›ª«µeŸÿ´iŽ‘TLµH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘¾7²divides“dimŽ˜µH‘Ïþ².ŽŸŠ‘>Note–òÕthat“the“nonš¸ãtrivial“part“is“the“divisibilit˜y“statemen˜t.‘õOThe“theorem“re-Ž¡‘>duces–³Ìto“the“ordinary“class“equation“if“applied“to“the“group“ring“of“a“ niteŽ¡‘>group,‘ zbšGecause– hthe“idemp˜oten¸ãts“ab˜o•¸ãv“e– hthen“b˜ecome“the“c¸ãharacteristic“functionsŽ¡‘>of–TÆthe“conjugacy“classes.‘TÇIf“applied“to“the“dual“group“ring,“the“theorem“impliesŽ¡‘>that–†õthe“dimensions“of“the“simple“moGdules“divide“the“order“of“the“group.‘ˆÊAŽ¡‘>simpli ed–8TprošGof“of“the“class“equation“has“b˜een“givš¸ãen“b˜y“M.“Lorenz“(cf.“[39Ž‘ ]).Ž¡‘>S.–ÌnJ.“Withersp•Go“on–Ìnhas“related“the“class“equation“to“analogues“of“conjugacy“classŽ¡‘>sums–UU(cf.“[101Ž‘]).ަ‘>As–h…a“consequence“of“their“lifting“theorem“already“discussed“in“conjunctionŽ¡‘>with–©Ðthe“ fth“conjecture,›©æP‘ÿ*ª.“Etingof“and“S.“Gelaki“pro•¸ãv“ed,˜o“v“er›©Ðan“y˜ eld,‘©æthatŽ¡‘>a–vxsemisimple,‘vÁcosemisimple“Hopf“algebra“of“prime“dimension“is“comm•¸ãutativ“eŽ¡‘>and›¸ÏcoGcomm•¸ãutativ“e˜(cf.˜[20Ž‘ ],–¸èThm.˜3.4,“p.˜859).‘¹gThey˜then˜repro•¸ãv“e˜the˜abGo“v“e-Ž¡‘>men¸ãtioned–þ result“of“Larson“and“Radford“to“ nd“conditions“when“these“semisim-Ž¡‘>plicit¸ãy–UUassumptions“are“satis ed“(cf.“[20Ž‘ ],“Cor.“3.4,“p.“859).ŽŸýö‘>Ñ7.2‘ ü²No•¸ãw“ada“ys,–VæKaplansky's“eighš¸ãth“conjecture“ma˜y“bšGe“understo˜o˜d“as“the“ rstŽ¡‘>step–in“the“program“to“understand“the“structure“of“semisimple“Hopf“algebrasŽ¡‘>in–»•terms“of“the“prime“factors“of“their“dimension,‘»ñsimilar“to“the“situation“inŽ¡‘> nite–íëgroup“theory‘ÿ*ª.‘ð^This“program,‘îTalso“called“the“classi cation“program“forŽ¡‘>semisimple– Hopf“algebras,›:has“recen¸ãtly“expGerienced“considerable“progress,˜theŽ¡‘>class–”£equation“bšGeing“an“imp˜ortanš¸ãt“instrumen˜t“in“this“in˜v˜estigation.‘•One“of“theŽ¡‘> rst–mÝconsequences“of“the“class“equation“is“the“observ‘ÿqÇation“that,‘no•¸ãv“er‘mÝalgebraicallyŽ¡‘>closed–&Á elds“of“cš¸ãharacteristic“zero,‘&÷a“semisimple“Hopf“algebra“of“prime“pGo˜w˜erŽ¡‘>dimension–¬conš¸ãtains“a“non˜trivial“cen˜tral“grouplik˜e“elemen˜t“(cf.“[27Ž– ],‘¬[46Ž“]).‘¬ˆHere,Ž¡‘>the–;½prošGof“is“analogous“to“the“pro˜of“that“a“µp²-group“has“nonš¸ãtrivial“cen˜ter.‘=lAs“abGo˜v˜e,Ž¡‘>the–´:lifting“theorem“of“Etingof“and“Gelaki“can“bGe“used“to“generalize“this“resultŽ¡‘>to–”…semisimple,‘”•cosemisimple“Hopf“algebras“o•¸ãv“er–”… elds“of“pGositivš¸ãe“c˜haracteristicŽŽŸ’åÿ14ŽŽŒ‹½s y ý£ ? ýä‘>²(cf.–Ê[20Ž‘ ],›÷Thm.“3.10,˜p.“861).‘×As“a“consequence,˜A.“Masuok‘ÿqÇa“has“pro•¸ãv“ed‘Êthat,ޤ ‘>o•¸ãv“er–¦üa“ eld“of“c¸ãharacteristic“zero,‘§Ssemisimple“Hopf“algebras“of“dimension“µpŸü^ÿ±2ŽŽ¡‘>²are›dQcomm•¸ãutativ“e˜and˜coGcomm“utativ“e.‘dhA.˜Masuok‘ÿqÇa˜has˜also˜con“tributed˜sev“eralŽ¡‘>other–Gresults“(cf.“[44Ž– ],›G[45Ž“],˜[47Ž“],˜[48Ž“],˜[49Ž“]).‘G,F‘ÿ*ªurther–Gresults“can“bGe“found“in“[23Ž‘ ],Ž¡‘>[19Ž– ],›G[86Ž“],˜and›G™[53Ž“].‘G®Since˜this˜dev•¸ãelopmen“t˜is˜review“ed˜in˜[51Ž‘ ],‘Gw“e˜shall˜not˜giv“eŽ¡‘>further–UUdetails“here.ŽŸ'õ‘>Ð8Ž‘VLËThe–fftenŒÌth“conjectureŽŸHg‘>Ñ8.1‘ ü²Kaplansky's–[tenš¸ãth“conjecture“states“that,‘[Ýo˜v˜er“an“algebraically“closed“ eld,Ž¡‘>the›•én•¸ãum“bGer˜of˜isomorphism˜classes˜of˜Hopf˜algebras˜of˜a˜giv“en˜dimension˜isŽ¡‘> nite,‘²­proš¸ãvided–²Tthat“the“c˜haracteristic“of“the“base“ eld“doGes“not“divide“thisŽ¡‘>dimension.‘ùThis–ø$wš¸ãas“pro˜v˜ed“b˜y“D.“SŽŽ‘†^ŽŽŽ‘ †^tefan“for“isomorphism“classes“of“semisim-Ž¡‘>ple–Z€and“cosemisimple“Hopf“algebras“(cf.“[87Ž‘ ]).‘\Note“that,‘ZÃdue“to“the“pGositiv¸ãeŽ¡‘>solution–Œéof“the“sev•¸ãen“th–Œéconjecture,‘Œ÷for“a“semisimple“and“cosemisimple“Hopf“al-Ž¡‘>gebra–¥pthe“c¸ãharacteristic“došGes“not“divide“the“dimension.‘¥ëSŽŽ‘4%ŽŽŽ‘ 4%tefan's“pro˜of“is“basedŽ¡‘>on–Æ*homological“tecš¸ãhniques“as“w˜ell“as“tec˜hniques“from“algebraic“geometry‘ÿ*ª.‘È`AŽ¡‘>simpli ed–$ÑproGof,›$Ýwhic¸ãh“is,˜ho•¸ãw“ev“er,˜based–$Ñon“similar“tec¸ãhniques,˜has“bGeen“giv¸ãenŽ¡‘>b•¸ãy‘QH.-J.‘UUSc“hneiderŽ‘Kw~(cf.›Q[82Ž‘ ]).‘R”A‘PÐrelativ“e˜v“ersion˜of˜this˜theorem˜w“as˜giv“en˜b“yŽ¡‘>P‘ÿ*ª.–UUEtingof“and“S.“Gelaki“([20Ž‘ ],“Thm.“1.2,“p.“852).ŽŸaL‘>Ñ8.2‘ ü²Ho•¸ãw“ev“er,‘ÎZthe–Íúconjecture“is“false“in“general.‘Ðless–T simš¸ãultaneously“b˜y“three“groups“of“researc˜hers“in“1997,‘U#namely“N.“An-Ž¡‘>druskiewitscš¸ãh–rhand“H.-J.“Sc˜hneider“on“the“one“hand,›roM.“Beattie,˜S.“D–úÿÿasc“alescu,Ž¡‘>and–6€L.“GrG‘ú¸âunenfelder“on“the“other“hand,›6ˆand“also“b¸ãy“S.“Gelaki“(cf.“[3Ž–],˜[6Ž“],˜[22Ž‘ ]).Ž¡‘>In–¯the“approacš¸ãh“of“the“ rst“t˜w˜o“groups,‘¯/the“conjecture“is“refuted“b˜y“constructingŽ¡‘>pšGoin¸ãted–l(Hopf“algebras“of“dimension“µpŸü^ÿ±4Ž‘蛲for“an“o˜dd“prime“µp²,‘l.whereas“in“Gelaki'sŽ¡‘>approac¸ãh–ß‚in nite“families“of“Hopf“algebras“of“dimension“µmnŸü^ÿ±2Ž‘[õ²are“constructed,Ž¡‘>where› ‡µn–ú>“²2˜and˜µm“>“n˜²are˜natural˜n•¸ãum“bGers˜suc“h˜that˜µn˜²divides˜µm².‘¢Suc“h˜aŽ¡‘>construction,‘É4from–Éwhic¸ãh“the“Hopf“algebras“of“dimension“µpŸü^ÿ±4Ž‘E‰²are“obtained“as“aŽ¡‘>spšGecial–Àcase,‘ðcan“also“b˜e“found“in“the“article“bš¸ãy“Andruskiewitsc˜h“and“Sc˜hnei-Ž¡‘>der;‘d¡their–dmethošGd“also“leads“to“the“classi cation“of“p˜oin¸ãted“Hopf“algebras“ofŽ¡‘>dimension›3صpŸü^ÿ±3Ž‘°K²o•¸ãv“er˜an˜algebraically˜closed˜ eld˜of˜c“haracteristic˜zero,‘4where˜µpŽ¡‘>²is–áÖan“ošGdd“prime.‘â®This“classi cation“has“also“b˜e“obtained“b¸ãy“S.“Caenep˜eel“andŽ¡‘>S.›UUD–úÿÿasc“alescu˜as˜w•¸ãell˜as˜b“y˜D.˜SŽŽ‘ãŽŽŽ‘ãtefan˜and˜F.˜v‘ÿqÇan˜Oystaey“en˜(cf.˜[11Ž– ],˜[88Ž“]).ŽŸaL‘>The–j§approacš¸ãh“of“Andruskiewitsc˜h“and“Sc˜hneider“is“part“of“a“larger“program“toŽ¡‘>in•¸ãv“estigate–"Èthe“structure“of“pšGoin¸ãted“Hopf“algebras.‘$Their“program“can“b˜e“de-Ž¡‘>scribšGed–‰tas“follo•¸ãws:‘‰œA‘‰gp˜oin“ted–‰tHopf“algebra“comes“with“a“natural“ ltration,‘‰theŽ¡‘>so-called–¿åcoradical“ ltration.‘ÀÉThe“assošGciated“graded“Hopf“algebra“can“b˜e“decom-Ž¡‘>pšGosed–°in¸ãto“a“Radford“bipro˜duct“of“the“coradical“of“the“original“Hopf“algebra,Ž¡‘>whicš¸ãh–z¦is“a“group“ring“b˜y“assumption,‘z°and“a“Y‘ÿ*ªetter-Drinfel'd“Hopf“algebra“o˜v˜erŽ¡‘>that–_¨group“ring.‘_¸The“Y‘ÿ*ªetter-Drinfel'd“Hopf“algebra“is“often“generated“b¸ãy“prim-Ž¡‘>itiv•¸ãe›IËelemen“ts.‘KCThe˜program˜no“w˜is˜to˜determine˜these˜Y‘ÿ*ªetter-Drinfel'd˜HopfŽŽŸ’åÿ15ŽŽŒ‹Ëý y ý£ ? ýä‘>²algebras,‘yand–jtherefore“also“the“correspšGonding“Radford“bipro˜ducts,‘yand“then“toޤ ‘>determine–¥/all“pGossible“liftings“of“this“graded“Hopf“algebra“to“a“ ltered“Hopf“alge-Ž¡‘>bra.‘—¿This––›program“has“recen¸ãtly“undergone“considerable“progress“(cf.“[4Ž‘]),‘–ÌleadingŽ¡‘>to–Í~a“complete“classi cation“of“nonsemisimple“pGoin¸ãted“Hopf“algebras“of“dimen-Ž¡‘>sion›ÍPµpŸü^ÿ±4Ž‘Iòo•¸ãv“er˜an˜algebraically˜closed˜ eld˜of˜c“haracteristic˜zero,‘Íswhere˜µp˜²is˜an˜oGddŽ¡‘>prime–BY(cf.“[5Ž‘],›B^see“[13Ž‘ ]“for“the“ev¸ãen“case).‘BvNote“that,˜in“this“situation,˜a“pGoin¸ãtedŽ¡‘>semisimple–_»Hopf“algebra“is“a“group“ring.‘_ËM.“GraG~‘ú¸âna“has“carried“out“part“of“thisŽ¡‘>program–9evš¸ãen“of“pGoin˜ted“Hopf“algebras“of“dimension“µpŸü^ÿ±5Ž‘µƒ²(cf.“[24Ž– ],‘9[25Ž“]).‘9other–Égroups“menš¸ãtioned“abGo˜v˜e“ha˜v˜e“con˜tin˜ued“their“in˜v˜estigations“(cf.“[7Ž–],‘÷[8Ž“],Ž¡‘>[12Ž‘ ]).ŽŸ(M½‘>Ð9Ž‘VLËApps3endixŽŸ‡È‘>²In–þ©this“appšGendix,‘þÔw¸ãe“repro˜duce“literally“app˜endix“2“from“[28Ž‘ ],‘þÔwhicš¸ãh“con˜tainsŽ¡‘>Kaplansky's–6Ïconjectures.‘8)It“ma¸ãy“bGe“helpful“for“the“understanding“of“the“con-Ž¡‘>jectures–©ðto“knoš¸ãw“that“Kaplansky's“lecture“notes“con˜tain“a“bibliograph˜y“whic˜h,Ž¡‘>among–{man¸ãy“other“references,›{lists“the“items“labGelled“[27Ž– ],˜[32Ž“],˜and›{[64Ž“]˜in˜theŽ¡‘>presen¸ãt–UUarticle.“Kaplansky's“conjectures“are:ŽŸWð‘J8ä1.ŽŽŽ‘WIf–œMµC‘Si²is“a“Hopf“subalgebra“of“the“Hopf“algebra“µB›¾²then“µB˜²is“a“free“leftŽ¡‘WµC‘·²-moGdule.–ä(Remark.“Nicš¸ãhols–ã?has“pro˜v˜ed“this“if“µB‘c°²con˜tains“the“coradicalŽ¡‘Wof‘UUµC‘·².)Ž©‘J8ä2.ŽŽŽ‘WCall–da“coalgebra“µC‘7²admissibleŽ‘7Ÿ™”‰fe-xŽ‘4›Êif“it“admits“an“algebra“structure“making“itŽ¡‘Wa–¯‚Hopf“algebra.‘° The“conjecture“states“that“µC‘fž²is“admissible“if“and“only“ifŽ¡‘Wev¸ãery–@© nite“subset“of“µC‘÷Ųlies“in“a“ nite-dimensional“admissible“subGcoalgebra.Ž¡‘W(Remarks.–Kˆ1.“Both–Jimplications“seem“hard.–Kˆ2.“There–Jis“a“correspGondingŽ¡‘Wconjecture–;owhere“\Hopf“algebra"“is“replaced“b¸ãy“\bialgebra".–;–3.“There–;ois“aŽ¡‘Wdual–UUconjecture“for“loGcally“ nite“algebras.)ަ‘J8ä3.ŽŽŽ‘WA‘ЮHopf–ÐÎalgebra“of“cš¸ãharacteristic“0“has“no“non-zero“cen˜tral“nilpGoten˜t“ele-Ž¡‘Wmen¸ãts.ަ‘J8ä4.ŽŽŽ‘W(Nicš¸ãhols).‘­ÈLet–«»µx“²bGe“an“elemen˜t“in“a“Hopf“algebra“µH‘{¹²with“an˜tip•Go“de‘«»µS‘“².Ž¡‘WAssume–UUthat“for“anš¸ãy“µa“²in“µH‘%S²w˜e“ha˜v˜eŽŸ)’ˉŸöü«XŽŽŽ’Û:úµbŸÿ´iŽ–TLµxS‘“²(µcŸÿ´iŽ“²)–Ç=“µ²(µa²)µxŽŸ·K‘W²where›UUµa–Dz=“Ÿøü«PŽ‘ÿûµbŸÿ´iŽ‘,¸ ‘8àµcŸÿ´iŽ‘TL².˜Conjecture:˜µx˜²is˜in˜the˜cen¸ãter˜of˜µH‘Ïþ².Ž©Wð‘>In–1xthe“remaining“six“conjectures“µH‘v²is“a“ nite-dimensional“Hopf“algebra“o•¸ãv“er‘1xanŽ¡‘>algebraically–UUclosed“ eld.ަ‘J8ä5.ŽŽŽ‘WIf–€ñµH›Pï²is“semisimple“on“either“side“(i.e.“either“µH˜²or“the“dual“µH‘ÏþŸü^ÿ·Ž‘éÓ²is“semisimpleŽ¡‘Was–UUan“algebra)“the“square“of“the“anš¸ãtip•Go“de–UUis“the“iden˜tit˜y‘ÿ*ª.ŽŽŸ’åÿ16ŽŽŒ‹Ü y ý£ ? ýä‘J8ä²6.ŽŽŽ‘WThe–Š\size“of“the“matrices“oGccurring“in“anš¸ãy“full“matrix“constituen˜t“of“µHޤ ‘W²divides–UUthe“dimension“of“µH‘Ïþ².Ž©‘J8ä7.ŽŽŽ‘WIf–c@µH‘3>²is“semisimple“on“bšGoth“sides“the“c¸ãharacteristic“do˜es“not“divide“theŽ¡‘Wdimension.ަ‘J8ä8.ŽŽŽ‘WIf–}žthe“dimension“of“µH›Mœ²is“prime“then“µH˜²is“comm•¸ãutativ“e–}žand“coGcomm•¸ãutativ“e.Ž©œp‘>Remark.–UUKac,“Larson,“and“Swš¸ãeedler“ha˜v˜e“partial“results“on“5“-“8.ŽŸœp‘>In–š§the“t•¸ãw“o–š§ nal“conjectures“assume“that“the“c¸ãharacteristic“doGes“not“divide“theŽ¡‘>dimension–UUof“µH‘Ïþ².ަ‘J8ä9.ŽŽŽ‘WThe–UUdimension“of“the“radical“is“the“same“on“bGoth“sides.ŽŸ‘E8ã10.ŽŽŽ‘WThere–.{are“only“a“ nite“n•¸ãum“bGer–.{(up“to“isomorphism)“of“Hopf“algebras“of“aŽ¡‘Wgiv¸ãen‘UUdimension.ަ‘>ÑAc•®9kno“wledgemen“t–¼Ÿ²The“author“thanks“R.“G.“Larson“for“pro¸ãviding“the“coun-Ž¡‘>terexample–Ç to“Kaplansky's“second“conjecture“used“in“the“text.‘Ç·He“also“thanksŽ¡‘>N.–tWAndruskiewitscš¸ãh,‘t_P‘ÿ*ª.“Sc˜hauen˜burg,‘t_S.“Sc˜hmidt-Samoa,‘t_and“E.“J.“T‘ÿ*ªaft“for“in-Ž¡‘>teresting‘UUdiscussions.ŽŸ)®4‘>ÐReferencesŽŸç‘C²[1]ŽŽ‘RŽ[10]ŽŽ‘RŽ[11]ŽŽ‘RŽ[12]ŽŽ‘RŽ[13]ŽŽ‘RŽ[14]ŽŽ‘RŽ[15]ŽŽ‘RŽ[16]ŽŽ‘RŽ[17]ŽŽ‘RŽ[18]ŽŽ‘RŽ[19]ŽŽ‘RŽ[20]ŽŽ‘RŽ[21]ŽŽ‘RŽ[22]ŽŽ‘RŽ[23]ŽŽ‘RŽ[24]ŽŽ‘R޲[25]ŽŽ‘RŽ[26]ŽŽ‘RŽ[27]ŽŽ‘RŽ[28]ŽŽ‘RŽ[29]ŽŽ‘RŽ[30]ŽŽ‘RŽ[31]ŽŽ‘RŽ[32]ŽŽ‘RŽ[33]ŽŽ‘RŽ[34]ŽŽ‘RŽ[35]ŽŽ‘RŽ[36]ŽŽ‘RŽ[37]ŽŽ‘RŽ[38]ŽŽ‘RŽ[39]ŽŽ‘RŽ[40]ŽŽ‘RŽ[41]ŽŽ‘RŽ[42]ŽŽ‘R޲[43]ŽŽ‘RŽ[44]ŽŽ‘RŽ[45]ŽŽ‘RŽ[46]ŽŽ‘RŽ[47]ŽŽ‘RŽ[48]ŽŽ‘RŽ[49]ŽŽ‘RŽ[50]ŽŽ‘RŽ[51]ŽŽ‘RŽ[52]ŽŽ‘RŽ[53]ŽŽ‘RŽ[54]ŽŽ‘RŽ[55]ŽŽ‘RŽ[56]ŽŽ‘RŽ[57]ŽŽ‘RŽ[58]ŽŽ‘RŽ[59]ŽŽ‘R޲[60]ŽŽ‘RŽ[61]ŽŽ‘RŽ[62]ŽŽ‘RŽ[63]ŽŽ‘RŽ[64]ŽŽ‘RŽ[65]ŽŽ‘RŽ[66]ŽŽ‘RŽ[67]ŽŽ‘RŽ[68]ŽŽ‘RŽ[69]ŽŽ‘RŽ[70]ŽŽ‘RŽ[71]ŽŽ‘RŽ[72]ŽŽ‘RŽ[73]ŽŽ‘RŽ[74]ŽŽ‘RŽ[75]ŽŽ‘RŽ[76]ŽŽ‘R޲[77]ŽŽ‘RŽ[78]ŽŽ‘RŽ[79]ŽŽ‘RŽ[80]ŽŽ‘RŽ[81]ŽŽ‘RŽ[82]ŽŽ‘RŽ[83]ŽŽ‘RŽ[84]ŽŽ‘RŽ[85]ŽŽ‘RŽ[86]ŽŽ‘RŽ[87]ŽŽ‘RŽ[88]ŽŽ‘RŽ[89]ŽŽ‘RŽ[90]ŽŽ‘RŽ[91]ŽŽ‘RŽ[92]ŽŽ‘RŽ[93]ŽŽ‘RŽ[94]ŽŽ‘R޲[95]ŽŽ‘RŽ[96]ŽŽ‘RŽ[97]ŽŽ‘RŽ[98]ŽŽ‘RŽ[99]ŽŽ‘RŽ[100]ŽŽ‘WŽ=W.–»‘W‘ÿ*ªaterhouse:‘¼Inš¸ãtroGduction“to“ane“group“sc˜hemes,‘»¹Grad.“T‘ÿ*ªexts“Math.,Ž¡‘RŽ[101]ŽŽ‘WŽ=S.–äJ.“Withersp•Go“on:‘!The–ärepresenš¸ãtation“ring“and“the“cen˜tre“of“a“Hopf“alge-Ž¡‘RŽ[102]ŽŽ‘WŽ=E.–ÕWitt:‘MZykliscš¸ãhe“K‘úÿÿorpGer“und“Algebren“der“Charakteristik“µp“²v˜omŽ¡‘RŽ[103]ŽŽ‘WŽ=Y.›NZh•¸ãu:‘NÙQuan“tum˜double˜construction˜of˜quasitriangular˜Hopf˜algebrasŽ¡‘RŽ[104]ŽŽ‘WŽ=Y.–$Zhš¸ãu:‘$CHopf“algebras“of“prime“dimension,‘$*In˜t.“Math.“Res.“Not.“1“(1994),Ž¡‘RŽ<53-59ަ‘>[105]ŽŽ‘WŽ=Y.›énZh•¸ãu:‘éßA‘éHcomm“uting˜pair˜in˜Hopf˜algebras,‘é”Pro•Gc.˜Am.˜Math.˜So“c.˜125Ž¡‘RŽ<(1997),‘UU2847-2851ަ‘>[106]ŽŽ‘WŽ=M.–:ÿB.“ZoGeller:‘;F‘ÿ*ªreeness“of“Hopf“algebras“o•¸ãv“er–:ÿsemisimple“grouplik¸ãe“subal-Ž¡‘RŽT¸ãypGeset–UUusing“¸A‘þU>Ÿ'MŽ‘ ‹S“²-“LŸýó5‘üff±AŽŽ‘͉²T‘þU>Ÿ'EŽ‘ãxXŽŽŸ’åÿ23ŽŽŒø)Eƒ’À;èy— ó,ˆ¶È msbm10ó&ò"V cmbx10ó%ÂÖN ff cmbx12ó#t ‰: cmbx9ó"o´‹Ç cmr9óX«Q cmr12óDÓítG®G®cmr17ó !",š cmsy10ó O!â…cmsy7ó  b> cmmi10ó 0e—rcmmi7óO Ú\cmmi5óKñ`y cmr10óÙ“ Rcmr7óú±u cmex10ù1ßßßßßßß