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b(Kac-Mo)q(o)q(dy)j(algebras.)k(The)c(spirit)e(of)h(the)h(construction) g(is)f(v)o(ery)g(close)257 1983 y(to)g(the)g(w)o(ell-kno)o(wn)e (semidirect)i(pro)q(duct)g(of)f(Lie)h(algebras.)17 b(It)11 b(is)h(an)f(analogue)g(of)g(a)g(sim-)257 2033 y(ilar)k(construction)i (for)e(the)i(deformed)e(en)o(v)o(eloping)g(algebras)g(of)h(Kac-Mo)q(o)q (dy)g(algebras)257 2082 y(\(cf.)j([15)o(],)13 b([16)o(]\).)320 2132 y(The)i(article)f(is)h(organized)g(as)f(follo)o(ws:)k(In)d(the)g (preliminary)e(Section)i(2,)f(w)o(e)h(review)257 2182 y(some)g(bac)o(kground)g(material)e(and)j(in)o(tro)q(duce)g(some)e (basic)h(notions)g(that)h(will)e(b)q(e)i(used)257 2232 y(in)g(the)h(sequel.)25 b(In)17 b(particular,)f(w)o(e)g(in)o(tro)q (duce)h(the)g(notion)e(of)h(a)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)257 2282 y(algebra.)27 b(This)16 b(kind)g(of)h(Lie)f(algebras)h(will)e(b)q (e)j(the)f(main)e(ob)r(ject)i(in)f(Section)i(4.)26 b(The)257 2331 y(notion)12 b(of)h(a)f(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)g(algebra)f(in)o (tro)q(duced)i(here)g(is)e(not)h(in)o(terrelated)h(with)257 2381 y(the)i(notion)e(of)g(a)g(Lie)h(algebra)f(in)g(the)h(category)g (of)f(Y)m(etter-Drinfel'd)h(mo)q(dules)e(consid-)257 2431 y(ered)k(in)d([12)o(],)g([13)o(].)21 b(In)15 b(Section)h(3,)e(w)o (e)i(carry)f(out)g(a)g(general)g(framew)o(ork)e(construction)257 2481 y(whic)o(h)18 b(determines)g(completely)e(the)j(Lie)e(algebras)h (whic)o(h)f(can)h(b)q(e)g(decomp)q(osed)g(in)o(to)963 2628 y(1)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 257 262 a Fn(three)16 b(Lie)e(subalgebras)h(in)f(a)g(certain)h (w)o(a)o(y)m(.)j(Here,)e(w)o(e)e(pro)q(ceed)i(in)e(a)g(completely)g (anal-)257 311 y(ogous)h(fashion)e(as)i(in)f(the)h(\014rst)h (construction)f(in)f([15)o(],)g(and)g(at)h(the)g(end)g(of)f(the)h (Section)257 361 y(w)o(e)i(brie\015y)f(explain)g(the)h(connection)g(of) e(the)i(t)o(w)o(o)f(constructions.)27 b(W)m(e)16 b(also)f(lo)q(ok)h(at) g(a)257 411 y(sp)q(ecial)f(case)h(of)e(the)i(\014rst)f(construction)h (for)f(Lie)f(coalgebras,)h(a)g(construction)g(that)g(w)o(e)257 461 y(call)e(the)h(t)o(w)o(o-sided)g(cosemidirect)g(pro)q(duct,)g(and)f (explain)g(ho)o(w)g(the)h(so-called)g(bismash)257 511 y(pro)q(duct)20 b(of)f(Lie)g(algebras)g(arises)h(as)f(a)g(sp)q(ecial)g (case)h(of)f(the)h(\014rst)g(construction.)34 b(In)257 560 y(Section)18 b(4,)f(w)o(e)g(discuss)i(a)e(sp)q(ecial)g(case)h(of)f (this)g(construction)h(whic)o(h)f(can)g(b)q(e)h(used)g(if)257 610 y(t)o(w)o(o)d(of)f(the)h(three)h(Lie)e(algebras)h(are)g(Y)m (etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebras)f(that)h(are)g(dual)f(in)257 660 y(a)h(certain)h(sense.)24 b(Although)15 b(conceptually)h(v)o(ery)f (similar,)e(this)j(construction)g(can)g(not)257 710 y(b)q(e)h (considered)g(as)e(a)h(sp)q(ecial)g(case)g(of)f(the)i(second)f (construction)h(in)e([15)o(],)g(b)q(ecause)j(the)257 760 y(applicabilit)o(y)13 b(of)h(this)g(construction)i(w)o(ould)e (require)h(that)g(the)g(en)o(v)o(eloping)f(algebras)g(of)257 809 y(the)k(t)o(w)o(o)f(dual)f(Lie)h(algebras)h(are)f(dual)g(to)q(o,)g (whic)o(h)g(nev)o(er)h(happ)q(ens)g(unless)g(b)q(oth)g(Lie)257 859 y(algebras)e(are)g(ab)q(elian.)22 b(W)m(e)16 b(discuss)g(further)h (sp)q(ecial)f(cases)h(of)e(this)g(second)i(construc-)257 909 y(tion,)j(whic)o(h)g(arise)f(if)g(the)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h (algebras)f(in)o(v)o(olv)o(ed)f(are)i(symmetric)257 959 y(or)15 b(sk)o(ew-symmetric,)f(as)h(w)o(ell)f(as)h(the)h(cases)g(where) g(the)g(bac)o(kground)f(Lie)g(bialgebra)f(is)257 1009 y(quasitriangular)g(or)h(co)q(quasitriangular.)21 b(W)m(e)15 b(also)f(explain)g(ho)o(w)h(the)h(classical)f(double)257 1059 y(construction)i(of)d(V.)h(G.)f(Drinfel'd)g(arises)i(as)g(a)f(sp)q (ecial)g(case)h(of)f(the)h(second)g(construc-)257 1108 y(tion.)27 b(In)17 b(the)g(last)g(Section,)h(w)o(e)f(describ)q(e)h(a)f (cohomological)c(metho)q(d)j(to)h(construct)i(a)257 1158 y(bilinear)d(form)f(b)q(et)o(w)o(een)k(t)o(w)o(o)d(free)i(Lie)e (algebras.)27 b(W)m(e)16 b(then)i(sho)o(w)f(that)g(b)o(y)f(factoring) 257 1208 y(out)f(the)g(radical)f(of)g(the)i(bilinear)d(form)g(and)i (then)g(applying)e(the)j(second)f(construction)257 1258 y(one)f(can)h(construct)g(symmetrizable)d(Kac-Mo)q(o)q(dy)i(algebras.) 320 1308 y(All)g(v)o(ector)i(spaces)g(o)q(ccurring)g(in)f(this)g (article)g(are)g(de\014ned)i(o)o(v)o(er)e(a)g(base)g(\014eld)g(that)257 1357 y(is)j(denoted)h(b)o(y)e Fj(K)s Fn(,)i(except)g(for)f(the)g(last)g (Section,)h(where)g(w)o(e)f(are)g(w)o(orking)f(o)o(v)o(er)h(the)257 1407 y(complex)d(n)o(um)o(b)q(ers)g(as)h(in)f([9].)23 b(The)16 b(term)f(`linear)g(map')f(will)g(alw)o(a)o(ys)h(mean)f(`)p Fj(K)s Fn(-linear)257 1457 y(map'.)257 1593 y Fk(2)67 b(Y)-6 b(etter-Drinfel'd)24 b(Lie)g(algebras)257 1684 y Fi(2.1)31 b Fn(Recall)15 b(that)i(a)f(Lie)g(coalgebra)g(is)h(a)f(v)o (ector)h(space)g Fj(L)g Fn(together)g(with)g(a)f(mapping)257 1734 y(\001)f(:)f Fj(L)h Fh(!)f Fj(L)d Fh(\012)f Fj(L)p Fn(,)16 b(called)g(the)g(copro)q(duct,)h(that)f(has)g(the)g(prop)q(ert) o(y)h(that)e(the)i(induced)257 1783 y(pro)q(duct)c Fj(L)439 1768 y Fg(\003)464 1783 y Fh(\012)5 b Fj(L)529 1768 y Fg(\003)561 1783 y Fh(!)11 b Fj(L)642 1768 y Fg(\003)673 1783 y Fn(on)h(the)g(dual)g(v)o(ector)g(space)i(turns)e(the)h(dual)e(v) o(ector)i(space)g(in)o(to)257 1833 y(a)g(Lie)h(algebra)f(\(cf.)18 b([5)o(],)13 b([2)o(]\).)k(W)m(e)c(shall)g(use)h(the)g(follo)o(wing)d (v)n(arian)o(t)h(of)h(the)h(Heyneman-)257 1883 y(Sw)o(eedler)f(sigma)c (notation)i(\(cf.)18 b([17)o(]\):)e(W)m(e)11 b(write)h(the)g(copro)q (ducts)h(using)e(lo)o(w)o(er)h(indices:)837 1966 y(\001\()p Fj(y)q Fn(\))g(=)g Fj(y)1001 1972 y Ff(1)1029 1966 y Fh(\012)e Fj(y)1091 1972 y Ff(2)257 2049 y Fn(for)19 b(an)o(y)g Fj(y)j Fh(2)f Fj(L)p Fn(.)34 b(This)19 b(enables)h(us)g(to)f (write)h(tensors)g(as)g(if)e(they)i(w)o(ere)g(decomp)q(os-)257 2099 y(able.)g(Since)c(w)o(e)e(do)h(not)f(consider)i(copro)q(ducts)g (that)f(are)g(coasso)q(ciativ)o(e,)f(the)i(rep)q(eated)257 2149 y(application)d(of)g(the)i(copro)q(duct)g(will)d(for)i(example)e (b)q(e)j(denoted)f(as:)686 2232 y(\(\001)9 b Fh(\012)h Fj(id)824 2238 y Fe(L)849 2232 y Fn(\)\001\()p Fj(y)q Fn(\))i(=)g Fj(y)1029 2238 y Ff(11)1074 2232 y Fh(\012)d Fj(y)1135 2238 y Ff(12)1180 2232 y Fh(\012)g Fj(y)1241 2238 y Ff(2)257 2320 y Fi(De\014nition)308 2370 y Fn(1.)20 b(If)11 b Fj(L)h Fn(is)f(a)h(Lie)f(coalgebra)g(and)h Fj(V)20 b Fn(is)12 b(a)f(v)o(ector)h(space,)h(a)e(linear)g(map)f Fj(\016)k Fn(:)d Fj(V)21 b Fh(!)11 b Fj(L)t Fh(\012)t Fj(V)361 2420 y Fn(is)j(called)g(a)f(p)q(ositiv)o(e)h(coaction)f(if)g (it)h(satis\014es:)524 2503 y(\(\001)9 b Fh(\012)g Fj(id)661 2509 y Fe(V)690 2503 y Fn(\))g Fh(\016)g Fj(\016)14 b Fn(=)d(\()p Fj(id)872 2509 y Fe(L)907 2503 y Fh(\012)e Fj(\016)r Fn(\))h Fh(\016)e Fj(\016)k Fh(\000)d Fn(\()p Fj(\034)14 b Fh(\012)c Fj(id)1220 2509 y Fe(V)1249 2503 y Fn(\))f Fh(\016)g Fn(\()p Fj(id)1356 2509 y Fe(L)1390 2503 y Fh(\012)h Fj(\016)r Fn(\))f Fh(\016)g Fj(\016)963 2628 y Fn(2)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 361 262 a Fn(Here)13 b Fj(\034)j Fn(:)11 b Fj(L)t Fh(\012)t Fj(L)i Fh(!)e Fj(L)t Fh(\012)t Fj(L)i Fn(denotes)g(the)f(map) e(that)h(in)o(terc)o(hanges)i(the)f(tensorands.)361 311 y Fj(V)22 b Fn(together)12 b(with)g(a)g(p)q(ositiv)o(e)f(coaction)h (will)f(b)q(e)h(called)g(a)g(p)q(ositiv)o(e)f(Lie)h(como)q(dule.)308 394 y(2.)20 b(If)11 b Fj(L)h Fn(is)f(a)h(Lie)f(coalgebra)g(and)h Fj(V)20 b Fn(is)12 b(a)f(v)o(ector)h(space,)h(a)e(linear)g(map)f Fj(\016)k Fn(:)d Fj(V)21 b Fh(!)11 b Fj(L)t Fh(\012)t Fj(V)361 444 y Fn(is)j(called)g(a)f(negativ)o(e)h(coaction)g(if)f(it)g (satis\014es:)524 535 y(\(\001)c Fh(\012)g Fj(id)661 541 y Fe(V)690 535 y Fn(\))g Fh(\016)g Fj(\016)14 b Fn(=)d(\()p Fj(\034)k Fh(\012)9 b Fj(id)946 541 y Fe(V)975 535 y Fn(\))g Fh(\016)g Fn(\()p Fj(id)1082 541 y Fe(L)1116 535 y Fh(\012)h Fj(\016)r Fn(\))f Fh(\016)g Fj(\016)j Fh(\000)d Fn(\()p Fj(id)1356 541 y Fe(L)1390 535 y Fh(\012)h Fj(\016)r Fn(\))f Fh(\016)g Fj(\016)361 627 y(V)20 b Fn(together)11 b(with)f(a)g(negativ)o(e)g(coaction)g(will)f(b)q(e)i (called)f(a)g(negativ)o(e)g(Lie)g(como)q(dule.)308 710 y(3.)20 b(Vice)c(v)o(ersa,)g(if)f Fj(L)g Fn(is)h(a)f(Lie)g(coalgebra)g (and)h Fj(V)25 b Fn(is)15 b(a)g(v)o(ector)h(space,)h(a)e(linear)g(map) 361 760 y Fj(\016)f Fn(:)d Fj(L)h Fh(!)f Fj(V)18 b Fh(\012)10 b Fj(L)k Fn(is)g(called)f(a)h(co)q(deriv)n(ation)f(if)g(it)h (satis\014es:)511 851 y(\()p Fj(id)563 857 y Fe(V)601 851 y Fh(\012)c Fn(\001\))f Fh(\016)g Fj(\016)k Fn(=)f(\()p Fj(\016)f Fh(\012)f Fj(id)931 857 y Fe(L)956 851 y Fn(\))f Fh(\016)g Fn(\001)g(+)g(\()p Fj(\034)14 b Fh(\012)c Fj(id)1222 857 y Fe(L)1247 851 y Fn(\))f Fh(\016)g Fn(\()p Fj(id)1354 857 y Fe(L)1388 851 y Fh(\012)h Fj(\016)r Fn(\))f Fh(\016)g Fn(\001)257 942 y(F)m(or)h(coactions,)g(co)q(deriv)n(ations,)g(and)f (similar)e(linear)i(maps)g(w)o(e)h(shall)f(use)h(the)g(Heyneman-)257 992 y(Sw)o(eedler)15 b(notation)e(with)h(upp)q(er)h(indices:)843 1083 y Fj(\016)r Fn(\()p Fj(v)q Fn(\))e(=)e Fj(v)993 1066 y Ff(1)1022 1083 y Fh(\012)e Fj(v)1084 1066 y Ff(2)257 1175 y Fn(F)m(or)14 b(example,)e(the)i(de\014ning)g(condition)f(for)h (a)g(p)q(ositiv)o(e)f(coaction)h(then)g(reads:)535 1266 y Fj(v)556 1249 y Ff(1)576 1272 y(1)604 1266 y Fh(\012)9 b Fj(v)666 1249 y Ff(1)685 1272 y(2)713 1266 y Fh(\012)h Fj(v)776 1249 y Ff(2)806 1266 y Fn(=)i Fj(v)871 1249 y Ff(1)900 1266 y Fh(\012)d Fj(v)962 1249 y Ff(21)1007 1266 y Fh(\012)h Fj(v)1070 1249 y Ff(22)1115 1266 y Fh(\000)f Fj(v)1177 1249 y Ff(21)1222 1266 y Fh(\012)h Fj(v)1285 1249 y Ff(1)1313 1266 y Fh(\012)g Fj(v)1376 1249 y Ff(22)257 1357 y Fn(Of)k(course,)g(p)q(ositiv)o(e)f(and)g(negativ)o(e)g (coactions)h(are)g(not)f(really)g(di\013eren)o(t,)h(since)g Fh(\000)p Fj(\016)i Fn(is)d(a)257 1407 y(negativ)o(e)g(coaction)g(if)f Fj(\016)j Fn(is)e(a)f(p)q(ositiv)o(e)h(coaction.)18 b(Observ)o(e)c (that)f(p)q(ositiv)o(e)g(and)g(negativ)o(e)257 1457 y(Lie)j(como)q (dules)g(are)h(equal)e(if)h(the)h(Lie)f(coalgebra)g(structure)i(on)e Fj(L)h Fn(is)f(trivial,)f(that)h(is,)257 1507 y(the)i(copro)q(duct)g (is)g(equal)e(to)h(zero.)29 b(Lie)17 b(coalgebras)h(whose)f(copro)q (duct)i(is)e(iden)o(tically)257 1557 y(zero)h(will)c(also)i(b)q(e)h (called)f(coab)q(elian.)25 b(The)16 b(name)f(`coaction')h(resp.)26 b(`co)q(deriv)n(ation')15 b(is)257 1606 y(explained)f(b)o(y)g(the)g (follo)o(wing)d(Prop)q(osition:)257 1697 y Fi(Prop)q(osition)308 1747 y Fn(1.)20 b(If)13 b Fj(L)h Fn(is)g(a)f(Lie)h(coalgebra)f(and)h Fj(\016)f Fn(:)f Fj(V)21 b Fh(!)11 b Fj(L)e Fh(\012)g Fj(V)23 b Fn(is)14 b(a)f(p)q(ositiv)o(e)g(coaction,)g(then)i(the)361 1797 y(mapping)745 1847 y Fj(\036)c Fn(:)g Fj(L)832 1830 y Fg(\003)863 1847 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)1045 1830 y Fg(\003)1064 1847 y Fn(\))p Fj(;)c(x)1123 1830 y Fg(\003)1153 1847 y Fh(7!)k Fj(\036)p Fn(\()p Fj(x)1271 1830 y Fg(\003)1290 1847 y Fn(\))361 1921 y(with)k(\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(x)538 1906 y Fg(\003)557 1921 y Fn(\)\()p Fj(v)610 1906 y Fg(\003)630 1921 y Fn(\)\)\()p Fj(v)q Fn(\))h(=)e Fj(x)801 1906 y Fg(\003)820 1921 y Fn(\()p Fj(v)857 1906 y Ff(1)876 1921 y Fn(\))p Fj(v)913 1906 y Fg(\003)933 1921 y Fn(\()p Fj(v)970 1906 y Ff(2)990 1921 y Fn(\))h(for)g Fj(x)1110 1906 y Fg(\003)1144 1921 y Fh(2)e Fj(L)1213 1906 y Fg(\003)1233 1921 y Fj(;)7 b(v)1273 1906 y Fg(\003)1306 1921 y Fh(2)14 b Fj(V)1382 1906 y Fg(\003)1416 1921 y Fn(and)i Fj(v)f Fh(2)f Fj(V)25 b Fn(is)16 b(a)361 1971 y(Lie)e(algebra)f(homomorphism)o(.)308 2054 y(2.)20 b(If)15 b Fj(L)h Fn(is)f(a)h(Lie)f(coalgebra)g(and)h Fj(\016)g Fn(:)e Fj(L)g Fh(!)g Fj(V)20 b Fh(\012)10 b Fj(L)16 b Fn(is)f(a)g(co)q(deriv)n(ation,)g(then)i(for)e(all)361 2104 y Fj(v)382 2089 y Fg(\003)413 2104 y Fh(2)d Fj(V)486 2089 y Fg(\003)519 2104 y Fn(the)i(mapping)706 2195 y Fj(L)734 2178 y Fg(\003)765 2195 y Fh(!)d Fj(L)846 2178 y Fg(\003)865 2195 y Fj(;)c(x)908 2178 y Fg(\003)938 2195 y Fh(7!)k Fn(\()p Fj(x)h Fh(7!)f Fj(v)1117 2178 y Fg(\003)1136 2195 y Fn(\()p Fj(x)1176 2178 y Ff(1)1195 2195 y Fn(\))p Fj(x)1235 2178 y Fg(\003)1254 2195 y Fn(\()p Fj(x)1294 2178 y Ff(2)1312 2195 y Fn(\)\))361 2287 y(is)j(a)f(deriv)n (ation.)257 2370 y(The)i(easy)f(pro)q(of)g(is)f(omitted.)963 2628 y(3)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 257 262 a Fi(2.2)31 b Fn(Recall)16 b(that)i(a)f(Lie)g (bialgebra)g(is)g(a)g(Lie)g(algebra)g(that)h(is)f(sim)o(ultaneously)e (a)j(Lie)257 311 y(coalgebra)c(in)f(suc)o(h)i(a)f(w)o(a)o(y)f(that)h (the)g(com)o(ultiplication)d(is)j(a)f(1-co)q(cycle)i(\(cf.)j([5],)13 b([2)o(],)g(for)257 361 y(the)i(de\014nition)e(of)h(1-co)q(cycles)h (cf.)j(also)13 b(Subsection)i(5.1\).)257 461 y Fi(De\014nition)33 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)g Fj(L)g Fn(is)f(a)g(Lie)g(bialgebra)g(and)g (that)h Fj(V)24 b Fn(is)14 b(an)g Fj(L)p Fn(-mo)q(dule)f(via)257 511 y Fj(\036)f Fn(:)f Fj(L)g Fh(!)h Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)d Fn(\).)308 594 y(1.)20 b Fj(V)27 b Fn(together)18 b(with)f(a)f(p)q(ositiv)o(e)h(coaction)g Fj(\016)i Fn(:)e Fj(V)26 b Fh(!)16 b Fj(L)c Fh(\012)g Fj(V)26 b Fn(is)17 b(called)g(a)g(p)q(ositiv)o(e)361 643 y(Y)m(etter-Drinfel'd)c(Lie)g(mo) q(dule)f(if)h(the)g(action)g(and)g(the)h(coaction)f(are)h(compatible) 361 693 y(in)g(the)g(follo)o(wing)d(w)o(a)o(y:)18 b(F)m(or)13 b(all)g Fj(h)e Fh(2)g Fj(L)k Fn(and)e(all)g Fj(v)g Fh(2)e Fj(V)f Fn(,)j(w)o(e)h(ha)o(v)o(e:)509 785 y Fj(\016)r Fn(\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))f(=)f([)p Fj(h;)7 b(v)828 767 y Ff(1)846 785 y Fn(])i Fh(\012)g Fj(v)929 767 y Ff(2)958 785 y Fn(+)g Fj(v)1020 767 y Ff(1)1049 785 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)1208 767 y Ff(2)1228 785 y Fn(\))g(+)g Fj(h)1318 791 y Ff(1)1346 785 y Fh(\012)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)1453 791 y Ff(2)1471 785 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))308 892 y(2.)20 b Fj(V)26 b Fn(together)16 b(with)g(a)g(negativ)o(e)g(coaction) g Fj(\016)h Fn(:)d Fj(V)25 b Fh(!)14 b Fj(L)d Fh(\012)g Fj(V)25 b Fn(is)16 b(called)g(a)g(negativ)o(e)361 942 y(Y)m(etter-Drinfel'd)d(Lie)g(mo)q(dule)f(if)h(the)g(action)g(and)g (the)h(coaction)f(are)h(compatible)361 992 y(in)g(the)g(follo)o(wing)d (w)o(a)o(y:)18 b(F)m(or)13 b(all)g Fj(h)e Fh(2)g Fj(L)k Fn(and)e(all)g Fj(v)g Fh(2)e Fj(V)f Fn(,)j(w)o(e)h(ha)o(v)o(e:)509 1083 y Fj(\016)r Fn(\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))f(=)f([)p Fj(h;)7 b(v)828 1066 y Ff(1)846 1083 y Fn(])i Fh(\012)g Fj(v)929 1066 y Ff(2)958 1083 y Fn(+)g Fj(v)1020 1066 y Ff(1)1049 1083 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)1208 1066 y Ff(2)1228 1083 y Fn(\))g Fh(\000)g Fj(h)1318 1089 y Ff(1)1346 1083 y Fh(\012)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)1453 1089 y Ff(2)1471 1083 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))257 1191 y(It)19 b(is)f(ob)o(vious)g (that)h(a)f(p)q(ositiv)o(e)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)h(mo)q(dule)e(b) q(ecomes)h(a)h(negativ)o(e)257 1241 y(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)h(mo)q (dule)e(if)g(the)i(coaction)f Fj(\016)j Fn(is)d(replaced)h(b)o(y)f Fh(\000)p Fj(\016)r Fn(.)38 b(A)21 b(Y)m(etter-)257 1291 y(Drinfel'd)15 b(Lie)h(mo)q(dule)f Fj(V)26 b Fn(will)14 b(b)q(e)j(called)f(symmetric)e(\(resp.)27 b(sk)o(ew-symmetric\))15 b(if)g(in)257 1341 y(addition)e(the)i(follo)o(wing)c(condition)i(is)h (satis\014ed:)19 b(F)m(or)13 b(all)g Fj(v)q(;)7 b(v)1261 1326 y Fg(0)1285 1341 y Fh(2)k Fj(V)23 b Fn(w)o(e)14 b(ha)o(v)o(e:)686 1432 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(v)748 1415 y Fg(0)r Ff(1)779 1432 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))c Fh(\012)g Fj(v)921 1415 y Fg(0)r Ff(2)963 1432 y Fn(=)i Fj(v)1028 1415 y Ff(2)1056 1432 y Fh(\012)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(v)1160 1415 y Ff(1)1179 1432 y Fn(\)\()p Fj(v)1232 1415 y Fg(0)1245 1432 y Fn(\))257 1523 y(\(resp.)19 b Fj(\036)p Fn(\()p Fj(v)439 1508 y Fg(0)r Ff(1)470 1523 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))6 b Fh(\012)g Fj(v)604 1508 y Fg(0)r Ff(2)647 1523 y Fn(=)11 b Fh(\000)p Fj(v)743 1508 y Ff(2)768 1523 y Fh(\012)6 b Fj(\036)p Fn(\()p Fj(v)868 1508 y Ff(1)887 1523 y Fn(\)\()p Fj(v)940 1508 y Fg(0)953 1523 y Fn(\).\))18 b(These)13 b(conditions)f(should)f(b)q(e)i(compared)257 1573 y(with)h(the)g(main)e(assumption)h(in)g([15)o(].)257 1681 y Fi(2.3)31 b Fn(The)16 b(notion)g(of)g(a)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g (Lie)h(mo)q(dule)e(is)h(self-dual.)25 b(This)17 b(statemen)o(t)257 1731 y(can)i(b)q(e)g(formalized)e(b)o(y)h(sa)o(ying)g(that)g(the)h (dual)f(v)o(ector)h(space)h(of)e(a)g(Y)m(etter-Drinfel'd)257 1781 y(Lie)c(mo)q(dule)e(is)h(again)g(a)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)h (mo)q(dule.)i(W)m(e)d(shall)g(formalize)f(the)i(rela-)257 1831 y(tion)g(of)f(a)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(mo)q(dule)f(and)g (its)h(dual)f(v)o(ector)i(space)g(in)f(the)g(follo)o(wing)257 1880 y(de\014nition:)257 1980 y Fi(De\014nition)33 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)f Fj(V)23 b Fn(and)14 b Fj(W)20 b Fn(are)14 b(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(mo)q(dules)f(o)o(v)o(er)h (the)257 2030 y(Lie)g(bialgebra)f Fj(L)p Fn(,)h(either)g(b)q(oth)g(p)q (ositiv)o(e)g(or)g(b)q(oth)g(negativ)o(e.)k(A)c(bilinear)f(form)803 2121 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(V)18 b Fh(\002)10 b Fj(W)17 b Fh(!)11 b Fj(K)257 2213 y Fn(is)j(called)g(a)f (Lie)h(biform)e(if)h(the)h(follo)o(wing)e(equations)h(hold:)308 2296 y(1.)20 b Fj(v)382 2280 y Ff(1)401 2296 y Fh(h)p Fj(v)438 2280 y Ff(2)458 2296 y Fj(;)7 b(w)q Fh(i)k Fn(=)h Fh(\000)p Fj(w)642 2280 y Ff(1)660 2296 y Fh(h)p Fj(v)q(;)7 b(w)747 2280 y Ff(2)766 2296 y Fh(i)308 2379 y Fn(2.)20 b Fh(h)p Fj(\036)402 2385 y Fe(V)431 2379 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))p Fj(;)7 b(w)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(\000h)p Fj(v)q(;)7 b(\036)775 2385 y Fe(W)813 2379 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(w)q Fn(\))p Fh(i)257 2462 y Fn(for)14 b(all)f Fj(v)g Fh(2)e Fj(V)r(;)c(w)12 b Fh(2)f Fj(W)20 b Fn(and)14 b Fj(h)d Fh(2)h Fj(L)p Fn(.)963 2628 y(4)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 320 262 a Fn(The)13 b(in)o(terrelation)g(b)q(et)o(w)o(een)i(a)e (Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)h(mo)q(dule)d(and)j(its)f(dual)g(v)o(ector) 257 311 y(space)i(is)f(no)o(w)g(the)g(follo)o(wing)d(one:)257 411 y Fi(Prop)q(osition)33 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)f Fj(V)24 b Fn(is)14 b(a)g(\014nite)g(dimensional)e(p)q(ositiv)o(e)i (\(resp.)19 b(negativ)o(e\))257 461 y(Y)m(etter-Drinfel'd)12 b(Lie)g(mo)q(dule.)k(Then)c(the)h(dual)e(v)o(ector)i(space)f Fj(V)1317 446 y Fg(\003)1348 461 y Fn(has)g(a)f(unique)h(struc-)257 511 y(ture)19 b(as)e(a)h(p)q(ositiv)o(e)f(\(resp.)30 b(negativ)o(e\))17 b(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)f(mo)q(dule)f(suc)o(h)i (that)g(the)257 560 y(ev)n(aluation)672 610 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(V)814 593 y Fg(\003)843 610 y Fh(\002)e Fj(V)21 b Fh(!)11 b Fj(K)q(;)c Fn(\()p Fj(f)r(;)g(v)q Fn(\))12 b Fh(7!)f Fj(f)t Fn(\()p Fj(v)q Fn(\))257 685 y(is)j(a)g(Lie)f(biform.)257 768 y(The)i(pro)q(of)e(is)h (based)g(on)g(direct)h(v)o(eri\014cation)e(and)h(is)g(omitted.)257 876 y Fi(2.4)31 b Fn(Recall)12 b(that)i(a)f(Lie)g(bialgebra)g(is)g (called)g(quasitriangular)f(if)h(its)g(copro)q(duct)i(comes)257 926 y(from)c(a)g(so-called)h(classical)g(r-matrix.)k(That)11 b(is,)h(there)i(is)e(an)f(elemen)o(t)h Fj(r)g Fn(=)1472 895 y Fd(P)1516 905 y Fe(n)1516 938 y(i)p Ff(=1)1579 926 y Fj(a)1601 932 y Fe(i)1620 926 y Fh(\012)6 b Fj(b)1676 932 y Fe(i)257 975 y Fn(that)14 b(satis\014es)h(the)g(so-called)e (classical)h(Y)m(ang-Baxter)g(equation)661 1067 y([)p Fj(r)692 1073 y Ff(12)726 1067 y Fj(;)7 b(r)764 1073 y Ff(13)798 1067 y Fn(])i(+)h([)p Fj(r)892 1073 y Ff(12)926 1067 y Fj(;)d(r)964 1073 y Ff(23)999 1067 y Fn(])h(+)i([)p Fj(r)1092 1073 y Ff(13)1126 1067 y Fj(;)d(r)1164 1073 y Ff(23)1199 1067 y Fn(])k(=)g(0)257 1158 y(suc)o(h)k(that)f(the)g (copro)q(duct)h(is)f(the)h(cob)q(oundary)f(of)f Fj(r)q Fn(:)590 1280 y(\001\()p Fj(h)p Fn(\))e(=)h Fj(h:r)g Fn(=)867 1229 y Fe(n)847 1241 y Fd(X)850 1329 y Fe(i)p Ff(=1)907 1280 y Fn(\([)p Fj(h;)7 b(a)1000 1286 y Fe(i)1013 1280 y Fn(])h Fh(\012)i Fj(b)1093 1286 y Fe(i)1116 1280 y Fn(+)f Fj(a)1179 1286 y Fe(i)1202 1280 y Fh(\012)h Fn([)p Fj(h;)d(b)1317 1286 y Fe(i)1329 1280 y Fn(]\))257 1408 y(Lie)12 b(bialgebras)f(whose)h(copro)q(duct)h(is)e(giv)o(en)g(b)o (y)g(the)i(last)e(form)o(ula)e(for)i(some)g Fj(r)h Fn(that)g(do)q(es) 257 1458 y(not)g(necessarily)h(satisfy)e(the)h(classical)f(Y)m (ang-Baxter)h(equation)f(are)h(called)f(cob)q(oundary)257 1508 y(Lie)f(bialgebras.)16 b(Quasitriangular)9 b(Lie)g(bialgebras)g (whose)h(r-matrix)e(is)i(sk)o(ew-symmetric)257 1557 y(are)20 b(also)f(called)g(triangular.)33 b(\(Cf.)h([5)o(])19 b(and)g([2],)g(p.)35 b(54)18 b(for)h(more)g(details)g(and)g(the)257 1607 y(explanation)13 b(of)g(the)i(notation.\))320 1657 y(In)i(the)h(case)g(of)e(quasitriangular)g(Lie)h(bialgebras,)g(ev)o (ery)h(mo)q(dule)e(can)i(b)q(e)f(turned)257 1707 y(in)o(to)d(a)f(Y)m (etter-Drinfel'd)h(Lie)g(mo)q(dule)e(in)h(the)i(follo)o(wing)c(w)o(a)o (y:)257 1807 y Fi(Prop)q(osition)33 b Fn(Supp)q(ose)16 b(that)e Fj(L)h Fn(is)f(a)g(quasitriangular)f(Lie)h(bialgebra)g(with)g (classical)257 1856 y(r-matrix)9 b Fj(r)j Fn(=)494 1825 y Fd(P)538 1835 y Fe(n)538 1869 y(i)p Ff(=1)601 1856 y Fj(a)623 1862 y Fe(i)639 1856 y Fh(\012)r Fj(b)691 1862 y Fe(i)705 1856 y Fn(,)e(and)g(supp)q(ose)i(that)e Fj(\036)i Fn(:)f Fj(L)h Fh(!)f Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)e Fn(\))h(is)g(a)g(represen)o(tation.)308 1939 y(1.)20 b Fj(V)j Fn(b)q(ecomes)15 b(a)e(p)q(ositiv)o(e)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f (Lie)h(mo)q(dule)f(via)g(the)h(coaction)813 2062 y Fj(\016)r Fn(\()p Fj(v)q Fn(\))e(=)962 2010 y Fe(n)942 2022 y Fd(X)945 2111 y Fe(i)p Ff(=1)1009 2062 y Fj(b)1027 2068 y Fe(i)1050 2062 y Fh(\012)d Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)1154 2068 y Fe(i)1168 2062 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))308 2206 y(2.)20 b Fj(V)j Fn(b)q(ecomes)15 b(a)e(negativ)o(e)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(mo)q (dule)f(via)g(the)h(coaction)813 2328 y Fj(\016)r Fn(\()p Fj(v)q Fn(\))e(=)962 2276 y Fe(n)942 2289 y Fd(X)945 2377 y Fe(i)p Ff(=1)1009 2328 y Fj(a)1031 2334 y Fe(i)1054 2328 y Fh(\012)d Fj(\036)p Fn(\()p Fj(b)1154 2334 y Fe(i)1168 2328 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))963 2628 y(5)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 257 262 a Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(W)m(e)13 b(only)f(pro)o(v)o(e)h (the)h(\014rst)f(assertion,)h(the)f(pro)q(of)g(of)f(the)i(second)g(one) f(is)g(rather)257 311 y(similar.)j(The)d(fact)h(that)f Fj(\016)i Fn(is)e(a)g(p)q(ositiv)o(e)g(coaction)g(follo)o(ws)f (directly)h(from)f(the)i(classical)257 361 y(Y)m(ang-Baxter)c (equation.)16 b(The)10 b(compatibilit)o(y)c(condition)j(b)q(et)o(w)o (een)h(action)f(and)h(coaction)257 411 y(also)k(holds)f(for)h(cob)q (oundary)g(Lie)g(bialgebras:)259 502 y([)p Fj(h;)7 b(v)335 485 y Ff(1)353 502 y Fn(])h Fh(\012)i Fj(v)436 485 y Ff(2)455 502 y Fn(+)p Fj(v)508 485 y Ff(1)537 502 y Fh(\012)f Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)696 485 y Ff(2)716 502 y Fn(\))g Fh(\000)h Fj(h)807 508 y Ff(2)834 502 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)941 508 y Ff(1)959 502 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))455 577 y(=)494 538 y Fd(X)518 626 y Fe(i)554 577 y Fn([)p Fj(h;)d(b)627 583 y Fe(i)640 577 y Fn(])i Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)765 583 y Fe(i)779 577 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))h(+)900 538 y Fd(X)924 626 y Fe(i)966 577 y Fj(b)984 583 y Fe(i)1007 577 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)1209 583 y Fe(i)1223 577 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))497 691 y Fh(\000)538 651 y Fd(X)562 740 y Fe(i)598 691 y Fn([)p Fj(h;)d(b)671 697 y Fe(i)684 691 y Fn(])h Fh(\012)i Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)809 697 y Fe(i)823 691 y Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\))g Fh(\000)943 651 y Fd(X)967 740 y Fe(i)1010 691 y Fj(b)1028 697 y Fe(i)1051 691 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\([)p Fj(h;)d(a)1211 697 y Fe(i)1223 691 y Fn(]\)\()p Fj(v)q Fn(\))455 804 y(=)494 765 y Fd(X)518 853 y Fe(i)561 804 y Fj(b)579 810 y Fe(i)602 804 y Fh(\012)j Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)707 810 y Fe(i)720 804 y Fn(\)\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))j(=)f Fj(\016)r Fn(\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))511 b Fc(\003)257 934 y Fn(It)22 b(is)f(ob)o(vious)g (that)h Fj(V)30 b Fn(b)q(ecomes)22 b(a)f(symmetric)f(\(resp.)42 b(sk)o(ew-symmetric\))21 b(Y)m(etter-)257 984 y(Drinfel'd)13 b(Lie)h(mo)q(dule)e(if)h(the)i(r-matrix)d(is)i(symmetric)e(\(resp.)19 b(sk)o(ew-symmetric\).)257 1092 y Fi(2.5)31 b Fn(Dual)14 b(to)i(the)g(notion)f(of)h(a)f(quasitriangular)g(Lie)g(bialgebra,)g (there)i(is)f(the)g(notion)257 1142 y(of)g(a)g(co)q(quasitriangular)f (Lie)h(bialgebra.)24 b(Since)17 b(this)f(notion)g(is)g(not)g(so)g (ubiquitous)g(in)257 1191 y(the)f(literature,)f(w)o(e)g(recall)g(the)g (de\014nition:)257 1291 y Fi(De\014nition)33 b Fn(A)19 b(Lie)g(bialgebra)f(is)g(called)h(co)q(quasitriangular)f(if)g(there)i (is)f(a)f(bilinear)257 1341 y(form)800 1391 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)875 1397 y Ff(0)904 1391 y Fn(:)k Fj(L)f Fh(\002)f Fj(L)j Fh(!)f Fj(K)q(;)257 1465 y Fn(called)j(the)g(dual)g (r-matrix,)d(that)j(satis\014es)578 1557 y Fh(8)p Fj(h;)7 b(h)668 1539 y Fg(0)691 1557 y Fh(2)k Fj(L)h Fn(:)f([)p Fj(h;)c(h)872 1539 y Fg(0)882 1557 y Fn(])12 b(=)f Fj(h)973 1563 y Ff(1)992 1557 y Fh(h)p Fj(h)1032 1563 y Ff(2)1051 1557 y Fj(;)c(h)1094 1539 y Fg(0)1105 1557 y Fh(i)1121 1563 y Ff(0)1149 1557 y Fn(+)i Fj(h)1214 1539 y Fg(0)1214 1567 y Ff(1)1233 1557 y Fh(h)p Fj(h;)e(h)1316 1539 y Fg(0)1316 1567 y Ff(2)1334 1557 y Fh(i)1350 1563 y Ff(0)257 1648 y Fn(and)14 b(in)g(addition)e(one)i(of)g(the)g(follo)o(wing)d (equiv)n(alen)o(t)j(conditions)f(holds:)308 1731 y(1.)20 b(\(Dual)13 b(Y)m(ang-Baxter)h(equation:\))k(F)m(or)13 b(all)g Fj(h;)7 b(h)1122 1716 y Fg(0)1133 1731 y Fj(;)g(h)1176 1716 y Fg(0)o(0)1208 1731 y Fh(2)k Fj(L)j Fn(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)494 1822 y Fh(h)p Fj(h)534 1828 y Ff(1)552 1822 y Fj(;)7 b(h)595 1805 y Fg(0)606 1822 y Fh(i)622 1828 y Ff(0)641 1822 y Fh(h)p Fj(h)681 1828 y Ff(2)700 1822 y Fj(;)g(h)743 1805 y Fg(0)o(0)763 1822 y Fh(i)779 1828 y Ff(0)807 1822 y Fn(+)j Fh(h)p Fj(h;)d(h)932 1805 y Fg(0)932 1833 y Ff(1)950 1822 y Fh(i)966 1828 y Ff(0)985 1822 y Fh(h)p Fj(h)1025 1805 y Fg(0)1025 1833 y Ff(2)1043 1822 y Fj(;)g(h)1086 1805 y Fg(0)o(0)1107 1822 y Fh(i)1123 1828 y Ff(0)1151 1822 y Fn(+)i Fh(h)p Fj(h;)e(h)1275 1805 y Fg(0)o(0)1275 1833 y Ff(1)1296 1822 y Fh(i)1312 1828 y Ff(0)1331 1822 y Fh(h)p Fj(h)1371 1805 y Fg(0)1383 1822 y Fj(;)g(h)1426 1805 y Fg(0)n(0)1426 1833 y Ff(2)1446 1822 y Fh(i)1462 1828 y Ff(0)1492 1822 y Fn(=)12 b(0)308 1930 y(2.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(h;)7 b(h)560 1915 y Fg(0)571 1930 y Fj(;)g(h)614 1915 y Fg(0)o(0)646 1930 y Fh(2)12 b Fj(L)i Fn(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)605 2022 y Fh(h)p Fn([)p Fj(h;)7 b(h)700 2004 y Fg(0)710 2022 y Fn(])p Fj(;)g(h)765 2004 y Fg(0)o(0)785 2022 y Fh(i)801 2028 y Ff(0)829 2022 y Fn(+)j Fh(h)p Fj(h)911 2004 y Fg(0)922 2022 y Fj(;)d Fn([)p Fj(h;)g(h)1020 2004 y Fg(0)n(0)1040 2022 y Fn(])p Fh(i)1068 2028 y Ff(0)1098 2022 y Fn(=)12 b Fh(h)p Fj(h)1182 2004 y Fg(0)1193 2022 y Fj(;)7 b(h)1236 2028 y Ff(1)1254 2022 y Fh(i)1270 2028 y Ff(0)1289 2022 y Fh(h)p Fj(h)1329 2028 y Ff(2)1348 2022 y Fj(;)g(h)1391 2004 y Fg(0)o(0)1411 2022 y Fh(i)1427 2028 y Ff(0)308 2129 y Fn(3.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(h;)7 b(h)560 2114 y Fg(0)571 2129 y Fj(;)g(h)614 2114 y Fg(0)o(0)646 2129 y Fh(2)12 b Fj(L)i Fn(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)744 2221 y Fh(h)p Fj(h)9 b Fh(\012)h Fj(h)859 2204 y Fg(0)870 2221 y Fj(;)d Fn(\001\()p Fj(h)964 2204 y Fg(0)o(0)985 2221 y Fn(\))p Fh(i)1017 2227 y Ff(0)1047 2221 y Fn(=)12 b Fh(h)p Fn([)p Fj(h;)7 b(h)1186 2204 y Fg(0)1197 2221 y Fn(])p Fj(;)g(h)1252 2204 y Fg(0)n(0)1272 2221 y Fh(i)1288 2227 y Ff(0)308 2329 y Fn(4.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(h;)7 b(h)560 2314 y Fg(0)571 2329 y Fj(;)g(h)614 2314 y Fg(0)o(0)646 2329 y Fh(2)12 b Fj(L)i Fn(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)728 2420 y Fh(h)p Fn(\001\()p Fj(h)p Fn(\))p Fj(;)7 b(h)878 2403 y Fg(0)898 2420 y Fh(\012)j Fj(h)964 2403 y Fg(0)o(0)985 2420 y Fh(i)1001 2426 y Ff(0)1031 2420 y Fn(=)i Fh(\000h)p Fj(h;)7 b Fn([)p Fj(h)1202 2403 y Fg(0)1213 2420 y Fj(;)g(h)1256 2403 y Fg(0)o(0)1276 2420 y Fn(])p Fh(i)1304 2426 y Ff(0)963 2628 y Fn(6)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 257 262 a Fn(This)18 b(de\014nition)g(is)f(set)i(up)f(in)f(suc) o(h)i(a)f(w)o(a)o(y)f(that)h(in)f(the)i(case)f(of)g(\014nite)g (dimensional)257 311 y(Lie)d(bialgebras,)e Fj(L)i Fn(is)f(co)q (quasitriangular)f(if)h(and)g(only)f(if)h(the)h(dual)e(v)o(ector)j (space)f Fj(L)1628 296 y Fg(\003)1662 311 y Fn(is)257 361 y(a)h(quasitriangular)e(Lie)i(bialgebra.)23 b(A)15 b(co)q(quasitriangular)g(Lie)h(bialgebra)f(whose)h(dual)257 411 y(r-matrix)9 b(is)i(sk)o(ew-symmetric)f(is)g(called)h (cotriangular.)16 b(Since)c(w)o(e)f(see)h(from)d(the)i(last)g(t)o(w)o (o)257 461 y(form)o(ulations)k(of)h(the)i(dual)e(Y)m(ang-Baxter)h (equation)g(that)g(the)h(dual)e(r-matrix)g(relates)257 511 y(the)g(Lie)e(algebra)g(structures)k(on)c Fj(L)h Fn(and)g Fj(L)953 496 y Fg(\003)972 511 y Fn(,)f(the)i(follo)o(wing)c (Prop)q(osition)i(comes)g(at)h(no)257 560 y(surprise:)257 660 y Fi(Prop)q(osition)d(1)21 b Fn(If)11 b Fj(L)g Fn(is)h(a)f (\014nite)g(dimensional)e(co)q(quasitriangular)h(Lie)h(bialgebra)g (with)257 710 y(a)f(nondegenerate)h(dual)e(r-matrix)e Fh(h\001)p Fj(;)g Fh(\001i)881 716 y Ff(0)899 710 y Fn(,)j(then)g Fj(L)g Fn(is)f(also)g(quasitriangular)f(with)h(r-matrix)257 760 y Fj(r)k Fn(=)333 729 y Fd(P)376 739 y Fe(n)376 772 y(i)p Ff(=1)439 760 y Fj(a)461 766 y Fe(i)484 760 y Fh(\012)d Fj(b)544 766 y Fe(j)561 760 y Fn(,)j(where)i Fj(a)728 766 y Ff(1)747 760 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)869 766 y Fe(n)904 760 y Fn(and)14 b Fj(b)1003 766 y Ff(1)1022 760 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(b)1139 766 y Fe(n)1175 760 y Fn(are)14 b(bases)h(of)e Fj(L)i Fn(that)f(satisfy:)852 851 y Fh(h)p Fj(b)886 857 y Fe(i)899 851 y Fj(;)7 b(a)940 857 y Fe(j)957 851 y Fh(i)973 857 y Ff(0)1004 851 y Fn(=)k Fj(\016)1065 857 y Fe(ij)257 942 y Fn(It)16 b(should)f(b)q(e)i(observ)o (ed)f(that,)g(as)g(in)f(the)h(quasitriangular)e(case,)j(there)g(are)f (alw)o(a)o(ys)f(at)257 992 y(least)f(t)o(w)o(o)f(p)q(ossible)h(c)o (hoices)g(of)f(the)h(dual)f(r-matrix:)j(If)d Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)1234 998 y Ff(0)1265 992 y Fn(is)13 b(a)h(dual)e(r-matrix,)g(then)257 1042 y(the)j(bilinear)e(form)692 1092 y Fj(L)d Fh(\002)f Fj(L)j Fh(!)f Fj(K)q(;)c Fn(\()p Fj(h;)g(h)1002 1075 y Fg(0)1013 1092 y Fn(\))k Fh(7!)g(\000h)p Fj(h)1165 1075 y Fg(0)1177 1092 y Fj(;)c(h)p Fh(i)1236 1098 y Ff(0)257 1166 y Fn(is)14 b(another)g(c)o(hoice)h(of)e(a)h(dual)f (r-matrix.)320 1216 y(As)i(in)g(the)h(quasitriangular)e(case,)j(co)q (quasitriangular)d(structures)k(can)d(b)q(e)h(used)h(to)257 1266 y(turn)e(Lie)e(como)q(dules)h(in)o(to)f(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie) h(mo)q(dules:)257 1366 y Fi(Prop)q(osition)e(2)21 b Fn(Supp)q(ose)16 b(that)f Fj(L)f Fn(is)h(a)f(co)q(quasitriangular)g(Lie)h(bialgebra)f (with)g(dual)257 1416 y(r-matrix)e Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)497 1422 y Ff(0)515 1416 y Fn(.)308 1499 y(1.)20 b(If)10 b Fj(V)20 b Fn(is)11 b(a)f(p)q(ositiv)o(e)g(Lie)h(como)q(dule,) e(then)i Fj(V)20 b Fn(b)q(ecomes)11 b(a)f(p)q(ositiv)o(e)h(Y)m (etter-Drinfel'd)361 1548 y(Lie)j(mo)q(dule)e(b)o(y)i(in)o(tro)q (ducing)g(the)g(action)677 1640 y Fj(\036)d Fn(:)g Fj(L)h Fh(!)f Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)e Fn(\))p Fj(;)e(h)k Fh(7!)g Fn(\()p Fj(v)j Fh(7!)d(h)p Fj(v)1221 1623 y Ff(1)1240 1640 y Fj(;)c(h)p Fh(i)1299 1646 y Ff(0)1317 1640 y Fj(v)1338 1623 y Ff(2)1357 1640 y Fn(\))308 1748 y(2.)20 b(If)i Fj(V)31 b Fn(is)22 b(a)g(negativ)o(e)g(Lie)g(como)q(dule,)g(then)h Fj(V)32 b Fn(b)q(ecomes)22 b(a)g(negativ)o(e)g(Y)m(etter-)361 1797 y(Drinfel'd)13 b(Lie)h(mo)q(dule)e(b)o(y)i(in)o(tro)q(ducing)f (the)i(action)677 1889 y Fj(\036)c Fn(:)g Fj(L)h Fh(!)f Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)e Fn(\))p Fj(;)e(h)k Fh(7!)g Fn(\()p Fj(v)j Fh(7!)d(h)p Fj(h;)c(v)1264 1872 y Ff(1)1282 1889 y Fh(i)1298 1895 y Ff(0)1317 1889 y Fj(v)1338 1872 y Ff(2)1357 1889 y Fn(\))257 1997 y(The)20 b(pro)q(of)g(is)f(based)h (on)g(direct)g(v)o(eri\014cation)f(and)h(is)f(omitted.)34 b(It)19 b(it)h(ob)o(vious)e(that)257 2046 y(the)h(ab)q(o)o(v)o(e)e(Y)m (etter-Drinfel'd)g(Lie)h(mo)q(dule)e(structures)k(are)e(symmetric)e (\(resp.)30 b(sk)o(ew-)257 2096 y(symmetric\))12 b(if)g(the)i(dual)f (r-matrix)f(is)h(a)g(symmetric)e(\(resp.)19 b(sk)o(ew-symmetric\))12 b(bilinear)257 2146 y(form.)257 2254 y Fi(2.6)31 b Fn(F)m(or)15 b(ev)o(ery)h(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)f(mo)q(dule,)f(there)j(is)f(an)f (in)o(teresting)i(equiv)n(arian)o(t)257 2304 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b(notion)f(of)g(a)g(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)257 2004 y(algebra)9 b(that)h(w)o(e)g(in)o(tro)q(duce)g(no)o(w)f(will)f(b)q (ecome)h(imp)q(ortan)o(t)f(in)h(the)h(second)h(construction.)257 2103 y Fi(De\014nition)33 b Fn(A)14 b(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h (algebra)f(o)o(v)o(er)h Fj(L)1178 2109 y Ff(0)1210 2103 y Fn(is)g(a)f(Lie)h(algebra)f Fj(L)h Fn(whic)o(h)g(is)257 2153 y(sim)o(ultaneously)e(a)i(Lie)g(coalgebra)f(with)h(copro)q(duct) 839 2244 y(\001)d(:)g Fj(L)h Fh(!)f Fj(L)e Fh(\012)h Fj(L)257 2336 y Fn(for)17 b(whic)o(h)g(w)o(e)h(are)f(giv)o(en)g(a)g(co) q(deriv)n(ation)f Fj(\016)j Fn(:)e Fj(L)g Fh(!)g Fj(L)1169 2342 y Ff(0)1199 2336 y Fh(\012)12 b Fj(L)17 b Fn(and)g(a)g(Lie)g (algebra)g(ho-)257 2386 y(momorphism)9 b Fj(\036)i Fn(:)g Fj(L)593 2392 y Ff(0)624 2386 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)p Fn(\))j(suc)o(h)g(that)f(the)h(follo)o(wing)c(compatibilit)o(y)g (conditions)257 2435 y(are)15 b(satis\014ed:)963 2628 y(8)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 308 262 a Fn(1.)20 b Fj(\016)c Fn(is)e(a)f(1-co)q(cycle.)19 b(That)14 b(is,)f(for)h(all)e Fj(y)q(;)7 b(y)1004 246 y Fg(0)1029 262 y Fh(2)k Fj(L)j Fn(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)685 352 y Fj(\016)r Fn(\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)794 335 y Fg(0)807 352 y Fn(]\))k(=)h Fj(y)911 335 y Ff(1)939 352 y Fh(\012)e Fn([)p Fj(y)1014 335 y Ff(2)1033 352 y Fj(;)d(y)1073 335 y Fg(0)1085 352 y Fn(])i(+)g Fj(y)1168 335 y Fg(0)s Ff(1)1208 352 y Fh(\012)h Fn([)p Fj(y)q(;)d(y)1323 335 y Fg(0)r Ff(2)1354 352 y Fn(])361 443 y(Here)15 b(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)g (view)o(ed)g Fj(L)780 449 y Ff(0)813 443 y Fn(as)g(a)f(trivial)g Fj(L)p Fn(-mo)q(dule.)308 526 y(2.)20 b(\001)14 b(is)f(equiv)n(arian)o (t.)k(That)d(is,)f(for)h(all)e Fj(h)g Fh(2)f Fj(L)1064 532 y Ff(0)1083 526 y Fj(;)c(y)13 b Fh(2)e Fj(L)j Fn(w)o(e)g(ha)o(v)o (e:)806 616 y(\001\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))f(=)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))p Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))361 707 y(Here)k Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))f(acts)h(on)e(the)i(tensor)g(pro)q(duct)f(via)f (the)i(pro)q(duct)g(rule.)308 790 y(3.)20 b(The)15 b(cob)q(oundary)f (of)g(\001)f(is)h(determined)g(b)o(y)g Fj(\036)g Fn(and)g Fj(\016)r Fn(.)19 b(That)14 b(is,)f(for)h(all)f Fj(y)q(;)7 b(y)1597 775 y Fg(0)1622 790 y Fh(2)k Fj(L)361 839 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)376 930 y(\001\()o([)p Fj(y)q(;)7 b(y)499 913 y Fg(0)512 930 y Fn(]\))i Fh(\000)g Fj(y)q(:)p Fn(\001\()p Fj(y)695 913 y Fg(0)708 930 y Fn(\))g(+)h Fj(y)796 913 y Fg(0)808 930 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))438 998 y(=)i Fj(y)503 980 y Ff(2)531 998 y Fh(\012)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)635 980 y Ff(1)654 998 y Fn(\)\()p Fj(y)707 980 y Fg(0)720 998 y Fn(\))f Fh(\000)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)849 980 y Ff(1)868 998 y Fn(\)\()p Fj(y)921 980 y Fg(0)934 998 y Fn(\))f Fh(\012)h Fj(y)1022 980 y Ff(2)1051 998 y Fn(+)f Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)1154 980 y Fg(0)r Ff(1)1185 998 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))i Fh(\012)e Fj(y)1327 980 y Fg(0)s Ff(2)1367 998 y Fh(\000)h Fj(y)1430 980 y Fg(0)r Ff(2)1470 998 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)1574 980 y Fg(0)r Ff(1)1605 998 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))257 1105 y(A)i(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)f(algebra)h(will) e(b)q(e)j(called)e(p)q(ositiv)o(e)h(if)f Fj(L)1272 1111 y Ff(0)1302 1105 y Fn(is)h(also)f(a)h(Lie)f(bialgebra)257 1154 y(and)17 b Fj(\016)h Fn(turns)f Fj(L)g Fn(in)o(to)f(a)g(p)q (ositiv)o(e)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)g(mo)q(dule,)f(similarly)f(it)i (will)f(b)q(e)257 1204 y(called)h(negativ)o(e)f(if)g Fj(\016)j Fn(turns)f Fj(L)f Fn(in)o(to)f(a)g(negativ)o(e)h(Y)m (etter-Drinfel'd)f(Lie)h(mo)q(dule.)22 b(Note)257 1254 y(that)13 b(a)g(p)q(ositiv)o(e)g(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra)f (b)q(ecomes)h(negativ)o(e)g(if)f Fj(\016)j Fn(is)e(replaced)h(b)o(y)257 1304 y Fh(\000)p Fj(\016)j Fn(and)d(\001)g(is)g(replaced)h(b)o(y)f Fh(\000)p Fn(\001.)19 b(Condition)13 b(3)h(ab)q(o)o(v)o(e)g (simpli\014es)e(if)i Fj(L)g Fn(is)g(a)g(symmetric)257 1354 y(or)d(sk)o(ew-symmetric)f(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)g(mo)q(dule:) k(In)c(the)h(symmetric)d(case,)j(it)f(reads:)367 1444 y(\001\([)p Fj(y)q(;)c(y)491 1427 y Fg(0)503 1444 y Fn(]\))i Fh(\000)h Fj(y)q(:)p Fn(\001\()p Fj(y)687 1427 y Fg(0)699 1444 y Fn(\))g(+)f Fj(y)787 1427 y Fg(0)800 1444 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))j(=)f(2)h Fj(y)1009 1427 y Ff(2)1037 1444 y Fh(\012)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)1141 1427 y Ff(1)1160 1444 y Fn(\)\()p Fj(y)1213 1427 y Fg(0)1226 1444 y Fn(\))f Fh(\000)h Fn(2)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)1387 1427 y Ff(1)1406 1444 y Fn(\)\()p Fj(y)1459 1427 y Fg(0)1472 1444 y Fn(\))f Fh(\012)f Fj(y)1560 1427 y Ff(2)257 1535 y Fn(In)14 b(the)h(sk)o (ew-symmetric)d(case,)j(it)e(reads:)669 1626 y(\001\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)793 1609 y Fg(0)805 1626 y Fn(]\))i Fh(\000)h Fj(y)q(:)p Fn(\001\()p Fj(y)989 1609 y Fg(0)1001 1626 y Fn(\))f(+)h Fj(y)1089 1609 y Fg(0)1101 1626 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))i(=)g(0)257 1716 y(so)i(that)g(sk)o (ew-symmetric)e(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)h(algebras)g(are)g(in)f (particular)g(Lie)h(bial-)257 1766 y(gebras.)25 b(W)m(e)15 b(\014nally)g(note)h(that)g(the)h(notion)e(of)g(a)h(Y)m (etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra)g(used)257 1816 y(here)g(is)e(not)h (related)g(to)f(the)h(notion)f(of)g(a)g(Lie)g(algebra)g(inside)h(the)g (category)g(of)f(Y)m(etter-)257 1866 y(Drinfel'd)f(mo)q(dules)g(as)h (in)f([12)o(],)g([13)o(].)257 1974 y Fi(2.8)31 b Fn(The)14 b(dual)f(v)o(ector)i(space)g(of)f(a)f(\014nite)h(dimensional)e(p)q (ositiv)o(e)i(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)257 2023 y(algebra)e(is)f (again)g(a)g(p)q(ositiv)o(e)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra.)17 b(Since)12 b(in)f(our)h(main)e(appli-)257 2073 y(cation)j(in)f(the)h (last)g(Section)g(w)o(e)g(shall)e(consider)j(in\014nite)e(dimensional)f (Y)m(etter-Drinfel'd)257 2123 y(Lie)j(algebras,)g(w)o(e)g(formalize)e (the)i(relationship)g(b)q(et)o(w)o(een)h(a)f(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie) h(alge-)257 2173 y(bra)f(and)g(its)g(dual)f(v)o(ector)h(space)h(b)o(y)f (in)o(tro)q(ducing)f(the)h(notion)f(of)h(a)f(Lie)h(algebra)f(biform.) 257 2272 y Fi(De\014nition)33 b Fn(Supp)q(ose)19 b(that)f Fj(L)790 2278 y Fg(\000)837 2272 y Fn(and)g Fj(L)950 2278 y Ff(+)996 2272 y Fn(are)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)g(algebras)g (o)o(v)o(er)257 2322 y(the)d(Lie)f(algebra)f Fj(L)572 2328 y Ff(0)591 2322 y Fn(.)18 b(A)c(bilinear)f(form)650 2412 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)j Fn(:)h Fj(L)786 2418 y Fg(\000)824 2412 y Fh(\002)e Fj(L)893 2418 y Ff(+)933 2412 y Fh(!)i Fj(K)q(;)c Fn(\()p Fj(x;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g(h)p Fj(x;)c(y)q Fh(i)257 2503 y Fn(is)14 b(called)g(a)f(Lie)h (algebra)f(biform)f(if)h(the)i(follo)o(wing)c(conditions)j(are)g (satis\014ed:)963 2628 y(9)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 308 262 a Fn(1.)20 b(F)m(or)13 b(all)f Fj(x)5 b Fh(2)g Fj(L)582 268 y Fg(\000)609 262 y Fj(;)i(h)e Fh(2)g Fj(L)718 268 y Ff(0)748 262 y Fn(and)13 b Fj(y)6 b Fh(2)f Fj(L)915 268 y Ff(+)955 262 y Fn(w)o(e)14 b(ha)o(v)o(e:)j Fh(h)p Fj(x;)7 b(\036)1211 268 y Ff(+)1238 262 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)13 b Fn(=)f Fh(\000h)p Fj(\036)1493 268 y Fg(\000)1521 262 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(i)308 344 y Fn(2.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 350 y Fg(\000)638 344 y Fn(and)j Fj(y)q(;)7 b(y)780 329 y Fg(0)804 344 y Fh(2)k Fj(L)871 350 y Ff(+)913 344 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o (e:)k Fh(h)p Fj(x)1126 350 y Ff(1)1144 344 y Fj(;)7 b(y)q Fh(ih)p Fj(x)1240 350 y Ff(2)1259 344 y Fj(;)g(y)1299 329 y Fg(0)1311 344 y Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(h)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1515 329 y Fg(0)1526 344 y Fn(])p Fh(i)308 426 y Fn(3.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x;)7 b(x)560 411 y Fg(0)582 426 y Fh(2)12 b Fj(L)650 432 y Fg(\000)692 426 y Fn(and)h Fj(y)h Fh(2)d Fj(L)873 432 y Ff(+)915 426 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)k Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)1167 432 y Ff(1)1185 426 y Fh(ih)p Fj(x)1241 411 y Fg(0)1253 426 y Fj(;)g(y)1292 432 y Ff(2)1310 426 y Fh(i)12 b Fn(=)f Fh(h)p Fn([)p Fj(x;)c(x)1476 411 y Fg(0)1487 426 y Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(i)257 508 y Fn(Lie)14 b(algebra)g(biforms)e(are)j(not)f (necessarily)h(Lie)f(biforms,)e(since)j(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)g(not)g (assumed)257 558 y(that)f(the)h(Lie)f(algebra)f(biform)f(is)i (compatible)e(with)i(the)g(coaction.)18 b(W)m(e)13 b(shall)f(call)g(a)h (Lie)257 608 y(algebra)h(biform)d(strict)k(if)e(in)h(addition)e(the)j (follo)o(wing)c(condition)i(is)h(satis\014ed:)308 690 y(4.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 696 y Fg(\000)638 690 y Fn(and)j Fj(y)f Fh(2)e Fj(L)819 696 y Ff(+)861 690 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)k Fj(x)1058 675 y Ff(1)1076 690 y Fh(h)p Fj(x)1116 675 y Ff(2)1135 690 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)12 b Fn(=)f Fh(\000)p Fj(y)1299 675 y Ff(1)1319 690 y Fh(h)p Fj(x;)c(y)1399 675 y Ff(2)1418 690 y Fh(i)320 772 y Fn(The)17 b(remark)f(at)h(the)g(b)q(eginning)f(of) h(this)g(Subsection)g(can)h(no)o(w)e(b)q(e)h(formalized)e(as)257 822 y(follo)o(ws:)257 920 y Fi(Prop)q(osition)33 b Fn(Supp)q(ose)12 b(that)g Fj(L)812 926 y Ff(+)851 920 y Fn(is)f(a)g(\014nite)h (dimensional)d(p)q(ositiv)o(e)i(Y)m(etter-Drinfel'd)257 970 y(Lie)g(algebra)g(o)o(v)o(er)g Fj(L)581 976 y Ff(0)600 970 y Fn(.)17 b(Then)12 b(there)h(is)e(a)g(unique)g(p)q(ositiv)o(e)g(Y) m(etter-Drinfel'd)g(Lie)g(algebra)257 1020 y(structure)16 b(on)e(the)h(dual)e(v)o(ector)h(space)h Fj(L)920 1026 y Fg(\000)960 1020 y Fn(:=)d Fj(L)1044 1005 y Fg(\003)1044 1030 y Ff(+)1085 1020 y Fn(suc)o(h)j(that)f(the)g(ev)n(aluation)659 1110 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)j Fn(:)h Fj(L)795 1116 y Fg(\000)833 1110 y Fh(\002)e Fj(L)902 1116 y Ff(+)942 1110 y Fh(!)i Fj(K)q(;)c Fn(\()p Fj(f)r(;)g(y)q Fn(\))12 b Fh(7!)f Fj(f)t Fn(\()p Fj(y)q Fn(\))257 1200 y(b)q(ecomes)j(a)g (strict)h(Lie)f(algebra)f(biform.)257 1299 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(The)18 b(uniqueness)h(is)f(clear.)29 b(F)m(or)17 b(the)h(existence,)i(observ)o(e)f(that)e(the)i(axioms)257 1348 y(in)g(the)g(de\014nition)g(of)f(a)h(strict)h(Lie)e(algebra)h (biform)e(ob)o(viously)g(also)h(can)i(serv)o(e)g(as)f(a)257 1398 y(de\014nition)d(of)g(the)g(corresp)q(onding)h(structures)i(on)d (the)g(dual)g(v)o(ector)h(space)g Fj(L)1529 1404 y Fg(\000)1557 1398 y Fn(.)25 b(It)16 b(re-)257 1448 y(mains)e(to)h(sho)o(w)h(that)f (these)i(structures)h(in)d(fact)g(satisfy)g(the)h(prop)q(erties)h(of)e (a)g(p)q(ositiv)o(e)257 1498 y(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)g(algebra,)f (whic)o(h)g(is)h(a)g(straigh)o(tforw)o(ard)f(v)o(eri\014cation.)18 b Fc(\003)257 1605 y Fi(2.9)31 b Fn(The)19 b(existence)i(of)e(a)g(Lie)g (algebra)g(biform)e(b)q(et)o(w)o(een)k(t)o(w)o(o)e(Y)m(etter-Drinfel'd) g(Lie)257 1655 y(algebras)g(leads)g(to)f(a)g(natural)g(action)h(of)f (one)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)g(algebra)g(on)h(the)257 1705 y(other.)h(This)14 b(action)g(is)g(dual)g(to)g(the)h(adjoin)o(t)e (action)h(with)g(resp)q(ect)j(to)d(the)h(Lie)f(algebra)257 1755 y(biform.)257 1854 y Fi(De\014nition)33 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)786 1944 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 1950 y Fg(\000)960 1944 y Fh(\002)f Fj(L)1030 1950 y Ff(+)1069 1944 y Fh(!)h Fj(K)257 2033 y Fn(is)16 b(a)f(Lie)g(algebra)g(biform)e(b)q(et)o(w)o(een)k(t)o(w)o(o)e(Y)m (etter-Drinfel'd)g(Lie)h(algebras)f Fj(L)1496 2039 y Fg(\000)1540 2033 y Fn(and)g Fj(L)1650 2039 y Ff(+)1678 2033 y Fn(.)257 2083 y(W)m(e)f(de\014ne)h(the)f(coadjoin)o(t)f(action)h Fj( )852 2089 y Ff(+)893 2083 y Fn(of)f Fj(L)968 2089 y Fg(\000)1011 2083 y Fn(on)g Fj(L)1096 2089 y Ff(+)1124 2083 y Fn(:)785 2173 y Fj( )812 2179 y Ff(+)851 2173 y Fn(:)e Fj(L)902 2179 y Fg(\000)942 2173 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1119 2179 y Ff(+)1146 2173 y Fn(\))257 2263 y(b)o(y)21 b Fj( )349 2269 y Ff(+)376 2263 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))j(=)f Fj(y)584 2269 y Ff(1)603 2263 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)682 2269 y Ff(2)701 2263 y Fh(i)20 b Fn(for)g(all)g Fj(x)i Fh(2)h Fj(L)997 2269 y Fg(\000)1025 2263 y Fj(;)7 b(y)24 b Fh(2)e Fj(L)1166 2269 y Ff(+)1194 2263 y Fn(.)38 b(Similarly)m(,)18 b(w)o(e)j(de\014ne)h (the)257 2313 y(coadjoin)o(t)13 b(action)h Fj( )589 2319 y Fg(\000)631 2313 y Fn(of)f Fj(L)706 2319 y Ff(+)748 2313 y Fn(on)g Fj(L)833 2319 y Fg(\000)862 2313 y Fn(:)784 2403 y Fj( )811 2409 y Fg(\000)851 2403 y Fn(:)e Fj(L)902 2409 y Ff(+)941 2403 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1118 2409 y Fg(\000)1146 2403 y Fn(\))257 2493 y(b)o(y)j Fj( )342 2499 y Fg(\000)370 2493 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))f(=)f Fj(x)560 2499 y Ff(1)578 2493 y Fh(h)p Fj(x)618 2499 y Ff(2)636 2493 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)15 b Fn(for)e(all)g Fj(x)e Fh(2)g Fj(L)930 2499 y Fg(\000)959 2493 y Fj(;)c(y)12 b Fh(2)g Fj(L)1078 2499 y Ff(+)1105 2493 y Fn(.)953 2628 y(10)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 257 262 a Fi(Prop)q(osition)12 b(1)21 b Fn(The)14 b(coadjoin)o(t)f(actions)h(ha)o(v)o(e)g(the)g(prop)q(erties:)308 344 y(1.)20 b Fj( )388 350 y Ff(+)430 344 y Fn(and)13 b Fj( )537 350 y Fg(\000)579 344 y Fn(are)h(Lie)g(algebra)g(homom)o (orphism)o(s.)308 427 y(2.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x;)7 b(x)560 412 y Fg(0)582 427 y Fh(2)12 b Fj(L)650 433 y Fg(\000)692 427 y Fn(and)h Fj(y)q(;)7 b(y)833 412 y Fg(0)858 427 y Fh(2)k Fj(L)925 433 y Ff(+)967 427 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)474 518 y Fh(h)p Fj(x)514 500 y Fg(0)525 518 y Fj(;)7 b( )571 524 y Ff(+)598 518 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)13 b Fn(=)f Fh(\000h)p Fn([)p Fj(x;)7 b(x)907 500 y Fg(0)917 518 y Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(i)83 b(h)p Fj( )1111 524 y Fg(\000)1140 518 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)1289 500 y Fg(0)1302 518 y Fh(i)k Fn(=)h Fh(\000h)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1537 500 y Fg(0)1549 518 y Fn(])p Fh(i)320 625 y Fn(In)17 b(the)h(case)h(where)f(the)g(Lie)g(algebras)f(are)h(\014nite)g (dimensional)d(and)i(the)h(bilinear)257 675 y(form)12 b(is)h(nondegenerate,)i(w)o(e)f(can)f(construct)j(an)d(in)o(v)n(arian)o (t)f(elemen)o(t)h(from)e(the)j(bilinear)257 724 y(form.)i(This)c(is)h (a)f(w)o(ell-kno)o(wn)f(pro)q(cedure:)19 b(The)13 b(construction)h(of)e (the)h(Casimir)d(elemen)o(t)257 774 y(from)17 b(the)i(Killing)d(form)h (rests)j(on)e(similar)e(considerations.)31 b(This)19 b(tec)o(hnique)g(is)f(also)257 824 y(used)d(in)f(the)g(theory)g(of)g(F) m(rob)q(enius)g(algebras.)257 923 y Fi(Prop)q(osition)e(2)21 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)786 1014 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 1020 y Fg(\000)960 1014 y Fh(\002)f Fj(L)1030 1020 y Ff(+)1069 1014 y Fh(!)h Fj(K)257 1105 y Fn(is)17 b(a)g(nondegenerate)i(Lie)e(algebra)g(biform)e (b)q(et)o(w)o(een)k(t)o(w)o(o)d(\014nite)i(dimensional)d(Y)m(etter-)257 1155 y(Drinfel'd)k(Lie)g(algebras)g Fj(L)707 1161 y Fg(\000)755 1155 y Fn(and)g Fj(L)869 1161 y Ff(+)897 1155 y Fn(.)34 b(Select)21 b(dual)e(bases)h Fj(x)1305 1161 y Ff(1)1323 1155 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(x)1447 1161 y Fe(m)1499 1155 y Fh(2)20 b Fj(L)1575 1161 y Fg(\000)1623 1155 y Fn(and)257 1204 y Fj(y)277 1210 y Ff(1)296 1204 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(y)416 1210 y Fe(m)459 1204 y Fh(2)k Fj(L)526 1210 y Ff(+)568 1204 y Fn(that)j(satisfy:)j Fh(h)p Fj(x)843 1210 y Fe(i)857 1204 y Fj(;)7 b(y)896 1210 y Fe(j)913 1204 y Fh(i)12 b Fn(=)g Fj(\016)1003 1210 y Fe(ij)1033 1204 y Fn(.)18 b(Then)c(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)308 1287 y(1.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 1293 y Fg(\000)638 1287 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)811 1256 y Fd(P)855 1266 y Fe(m)855 1299 y(i)p Ff(=1)917 1287 y Fj(ad)p Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(x)1057 1293 y Fe(j)1074 1287 y Fn(\))c Fh(\012)f Fj(y)1161 1293 y Fe(j)1191 1287 y Fn(=)i Fh(\000)1273 1256 y Fd(P)1317 1266 y Fe(m)1317 1299 y(i)p Ff(=1)1380 1287 y Fj(x)1404 1293 y Fe(j)1431 1287 y Fh(\012)e Fj( )1499 1293 y Ff(+)1527 1287 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1619 1293 y Fe(j)1637 1287 y Fn(\))308 1370 y(2.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(y)i Fh(2)d Fj(L)594 1376 y Ff(+)636 1370 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)808 1339 y Fd(P)852 1349 y Fe(m)852 1382 y(i)p Ff(=1)915 1370 y Fj( )942 1376 y Fg(\000)970 1370 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)1063 1376 y Fe(j)1082 1370 y Fn(\))9 b Fh(\012)g Fj(y)1168 1376 y Fe(j)1198 1370 y Fn(=)j Fh(\000)1281 1339 y Fd(P)1325 1349 y Fe(m)1325 1382 y(i)p Ff(=1)1387 1370 y Fj(x)1411 1376 y Fe(j)1438 1370 y Fh(\012)d Fj(ad)p Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(y)1612 1376 y Fe(j)1631 1370 y Fn(\))308 1452 y(3.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(h)g Fh(2)f Fj(L)596 1458 y Ff(0)615 1452 y Fn(,)i(w)o(e)h(ha)o(v)o(e:)813 1421 y Fd(P)857 1432 y Fe(m)857 1465 y(i)p Ff(=1)920 1452 y Fj(\036)945 1458 y Fg(\000)972 1452 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)1068 1458 y Fe(j)1086 1452 y Fn(\))9 b Fh(\012)h Fj(y)1173 1458 y Fe(j)1202 1452 y Fn(=)i Fh(\000)1285 1421 y Fd(P)1329 1432 y Fe(m)1329 1465 y(i)p Ff(=1)1392 1452 y Fj(x)1416 1458 y Fe(j)1442 1452 y Fh(\012)e Fj(\036)1509 1458 y Ff(+)1536 1452 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1628 1458 y Fe(j)1646 1452 y Fn(\))257 1535 y(W)m(e)k(omit)e(the)i (simple)f(pro)q(of)g(of)g(this)h(Prop)q(osition.)257 1643 y Fi(2.10)30 b Fn(Of)15 b(course,)g(it)g(ma)o(y)d(happ)q(en)j (that)g(a)f(Lie)g(algebra)g(biform)f(is)h(degenerate.)22 b(Ho)o(w-)257 1693 y(ev)o(er,)d(in)d(the)i(strict)g(case)g(there)h(is)d (alw)o(a)o(ys)h(a)f(nondegenerate)j(quotien)o(t.)28 b(In)17 b(order)h(to)257 1742 y(describ)q(e)h(this)e(quotien)o(t)f(more)g(con)o (v)o(enien)o(tly)m(,)g(w)o(e)h(in)o(tro)q(duce)h(of)e(morphisms)e(b)q (et)o(w)o(een)257 1792 y(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)g(algebras.)257 1892 y Fi(De\014nition)33 b Fn(Supp)q(ose)19 b(that)f Fj(L)790 1898 y Fg(\000)837 1892 y Fn(and)g Fj(L)950 1898 y Ff(+)996 1892 y Fn(are)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)g(algebras)g (o)o(v)o(er)257 1941 y Fj(L)285 1947 y Ff(0)304 1941 y Fn(.)g(A)c(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra)f(map)f(is)i(an)f Fj(L)1113 1947 y Ff(0)1132 1941 y Fn(-equiv)n(arian)o(t)g(Lie)g (algebra)g(homo-)257 1991 y(morphism)e Fj(f)17 b Fn(:)11 b Fj(L)539 1997 y Fg(\000)579 1991 y Fh(!)g Fj(L)660 1997 y Ff(+)701 1991 y Fn(that)j(satis\014es)h(in)f(addition:)506 2082 y(\001)541 2088 y Ff(+)577 2082 y Fh(\016)9 b Fj(f)17 b Fn(=)12 b(\()p Fj(f)i Fh(\012)9 b Fj(f)t Fn(\))h Fh(\016)f Fn(\001)894 2088 y Fg(\000)1005 2082 y Fj(\016)1023 2088 y Ff(+)1060 2082 y Fh(\016)g Fj(f)17 b Fn(=)11 b(\()p Fj(id)1222 2088 y Fe(L)1245 2092 y Fb(0)1273 2082 y Fh(\012)e Fj(f)t Fn(\))h Fh(\016)f Fj(\016)1412 2088 y Fg(\000)257 2181 y Fi(Prop)q(osition)33 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)786 2272 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 2278 y Fg(\000)960 2272 y Fh(\002)f Fj(L)1030 2278 y Ff(+)1069 2272 y Fh(!)h Fj(K)257 2363 y Fn(is)i(a)g(strict)h(Lie)f (algebra)g(biform)e(b)q(et)o(w)o(een)k(t)o(w)o(o)d(Y)m(etter-Drinfel'd) h(Lie)g(algebras)g Fj(L)1581 2369 y Fg(\000)1623 2363 y Fn(and)257 2412 y Fj(L)285 2418 y Ff(+)313 2412 y Fn(.)18 b(De\014ne)d(the)f(left)g(and)g(the)g(righ)o(t)g(radical)f(of)g(the)h (Lie)g(algebra)g(biform)d(as:)264 2503 y Fj(R)296 2509 y Fg(\000)335 2503 y Fn(:=)g Fh(f)p Fj(x)g Fh(2)g Fj(L)513 2509 y Fg(\000)541 2503 y Fh(j8)p Fj(y)i Fh(2)f Fj(L)677 2509 y Ff(+)716 2503 y Fn(:)f Fh(h)p Fj(x;)c(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g(0)p Fh(g)82 b Fj(R)1047 2509 y Ff(+)1086 2503 y Fn(:=)11 b Fh(f)p Fj(y)i Fh(2)e Fj(L)1262 2509 y Ff(+)1290 2503 y Fh(j8)p Fj(x)g Fh(2)g Fj(L)1427 2509 y Fg(\000)1467 2503 y Fn(:)g Fh(h)p Fj(x;)c(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g(0)p Fh(g)953 2628 y Fn(11)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 257 262 a Fn(Then)16 b(there)g(are)f(unique)g(Y)m (etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra)g(structures)i(on)d Fj(L)1480 268 y Fg(\000)1509 262 y Fj(=R)1562 268 y Fg(\000)1604 262 y Fn(resp.)257 311 y Fj(L)285 317 y Ff(+)313 311 y Fj(=R)366 317 y Ff(+)405 311 y Fn(suc)o(h)e(that)g(the)g(canonical)g (pro)r(jections)g(b)q(ecome)g(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra)257 361 y(maps.)17 b(The)d(induced)h(bilinear)e(form)624 452 y Fj(L)652 458 y Fg(\000)680 452 y Fj(=R)733 458 y Fg(\000)770 452 y Fh(\002)c Fj(L)839 458 y Ff(+)867 452 y Fj(=R)920 458 y Ff(+)958 452 y Fh(!)i Fj(K)q(;)c Fn(\()p 1082 429 24 2 v Fj(x;)p 1125 429 22 2 v 7 w(y)q Fn(\))12 b Fh(7!)f(h)p Fj(x;)c(y)q Fh(i)257 543 y Fn(is)j(again)f(a)h (strict)h(Lie)f(algebra)g(biform.)k(If)c Fj(L)959 549 y Fg(\000)997 543 y Fn(and)g Fj(L)1102 549 y Ff(+)1140 543 y Fn(are)h(b)q(oth)f(p)q(ositiv)o(e,)g(then)h Fj(L)1581 549 y Fg(\000)1609 543 y Fj(=R)1662 549 y Fg(\000)257 593 y Fn(and)j Fj(L)366 599 y Ff(+)394 593 y Fj(=R)447 599 y Ff(+)488 593 y Fn(are)g(also)f(p)q(ositiv)o(e.)257 676 y(W)m(e)h(lea)o(v)o(e)f(the)i(pro)q(of)e(of)h(the)g(Prop)q(osition) g(as)g(an)f(easy)i(exercise.)257 784 y Fi(2.11)30 b Fn(As)15 b(in)e(the)i(case)g(of)e(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)f(mo)q(dules,)g(Y)m (etter-Drinfel'd)g(Lie)h(alge-)257 834 y(bras)h(can)f(b)q(e)g(created)i (from)c(actions)i(alone)f(in)h(case)g(of)g(cob)q(oundary)g(Lie)g (bialgebras:)257 933 y Fi(Prop)q(osition)33 b Fn(Supp)q(ose)13 b(that)f Fj(L)813 939 y Ff(0)844 933 y Fn(is)g(a)g(cob)q(oundary)g(Lie) g(bialgebra)g(whose)g(copro)q(duct)257 983 y(is)f(the)g(cob)q(oundary)g (of)f Fj(r)i Fn(=)706 952 y Fd(P)750 962 y Fe(n)750 996 y(i)p Ff(=1)813 983 y Fj(a)835 989 y Fe(i)851 983 y Fh(\012)s Fj(b)904 989 y Fe(i)918 983 y Fn(,)f(and)f(that)h Fj(\036)g Fn(:)g Fj(L)1192 989 y Ff(0)1223 983 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)p Fn(\))h(is)e(a)g(Lie)h(algebra)257 1033 y(homomorphism)o(.)j(Assume)f(in)f(addition)f(that)h Fj(L)h Fn(is)f(a)g(Lie)g(algebra)g(and)h(sim)o(ultaneously)257 1083 y(a)h(Lie)g(coalgebra)f(suc)o(h)i(that)f(the)g(follo)o(wing)e (assumptions)h(hold:)308 1166 y(1.)20 b(\001)396 1172 y Fe(L)434 1166 y Fn(is)14 b Fj(L)504 1172 y Ff(0)523 1166 y Fn(-equiv)n(arian)o(t,)e(that)i(is,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)g(for)g (all)e Fj(h)g Fh(2)f Fj(L)1288 1172 y Ff(0)1307 1166 y Fj(;)c(y)13 b Fh(2)e Fj(L)p Fn(:)781 1257 y(\001)816 1263 y Fe(L)841 1257 y Fn(\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))i(=)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))p Fj(:)p Fn(\001)1191 1263 y Fe(L)1215 1257 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\))308 1365 y(2.)20 b(The)14 b(action)g(determines)g(the)h (cob)q(oundary)f(of)f(the)i(copro)q(duct:)530 1456 y(\001\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)654 1439 y Fg(0)666 1456 y Fn(]\))i Fh(\000)h Fj(y)q(:)p Fn(\001\()p Fj(y)850 1439 y Fg(0)862 1456 y Fn(\))g(+)f Fj(y)950 1439 y Fg(0)963 1456 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))549 1531 y(=)588 1492 y Fd(X)612 1580 y Fe(i)655 1531 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)718 1537 y Fe(i)731 1531 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))i Fh(\012)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(b)911 1537 y Fe(i)925 1531 y Fn(\)\()p Fj(y)978 1514 y Fg(0)991 1531 y Fn(\))g Fh(\000)1058 1492 y Fd(X)1082 1580 y Fe(i)1124 1531 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)1187 1537 y Fe(i)1201 1531 y Fn(\)\()p Fj(y)1254 1514 y Fg(0)1267 1531 y Fn(\))g Fh(\012)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(b)1393 1537 y Fe(i)1406 1531 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))590 1644 y(+)632 1605 y Fd(X)656 1693 y Fe(i)699 1644 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(b)758 1650 y Fe(i)771 1644 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))h Fh(\012)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)955 1650 y Fe(i)969 1644 y Fn(\)\()p Fj(y)1022 1627 y Fg(0)1035 1644 y Fn(\))g Fh(\000)1101 1605 y Fd(X)1126 1693 y Fe(i)1168 1644 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(b)1227 1650 y Fe(i)1241 1644 y Fn(\)\()p Fj(y)1294 1627 y Fg(0)1307 1644 y Fn(\))g Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)1436 1650 y Fe(i)1450 1644 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))257 1788 y(Then)15 b(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)g(t)o(w)o(o)f(p)q (ossibilities)g(to)h(turn)g Fj(L)g Fn(in)o(to)g(a)f(Y)m (etter-Drinfel'd)h(Lie)g(algebra:)308 1871 y(1.)20 b Fj(L)14 b 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Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)903 578 y Fe(i)917 572 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fj(;)e(y)1026 555 y Fg(0)1039 572 y Fn(])i(+)1101 532 y Fd(X)1125 621 y Fe(i)1168 572 y Fj(b)1186 578 y Fe(i)1209 572 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(y)q(;)e(\036)p Fn(\()p Fj(a)1365 578 y Fe(i)1379 572 y Fn(\)\()p Fj(y)1432 555 y Fg(0)1445 572 y Fn(\)])635 677 y(=)12 b Fj(y)700 660 y Ff(1)729 677 y Fh(\012)d Fn([)p Fj(y)803 660 y Ff(2)822 677 y Fj(;)e(y)862 660 y Fg(0)874 677 y Fn(])i(+)h Fj(y)958 660 y Fg(0)r Ff(1)998 677 y Fh(\012)f Fn([)p Fj(y)q(;)e(y)1112 660 y Fg(0)s Ff(2)1143 677 y Fn(])257 769 y Fj(\016)16 b Fn(is)e(a)g(co)q(deriv)n(ation)f(b)q(ecause)i(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)269 860 y Fj(y)290 843 y Ff(1)319 860 y Fh(\012)10 b Fj(y)382 843 y Ff(2)401 866 y(1)429 860 y Fh(\012)f Fj(y)491 843 y Ff(2)511 866 y(2)541 860 y Fn(=)585 821 y Fd(X)609 909 y Fe(i)652 860 y Fj(b)670 866 y Fe(i)693 860 y Fh(\012)g Fn(\001)769 866 y Fe(L)794 860 y Fn(\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)873 866 y Fe(i)886 860 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))541 973 y(=)585 934 y Fd(X)609 1022 y Fe(i)652 973 y Fj(b)670 979 y Fe(i)693 973 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)797 979 y Fe(i)811 973 y Fn(\)\()p Fj(y)863 979 y Ff(1)882 973 y Fn(\))g Fh(\012)h Fj(y)969 979 y Ff(2)997 973 y Fn(+)1039 934 y Fd(X)1063 1022 y Fe(i)1106 973 y Fj(b)1124 979 y Fe(i)1146 973 y Fh(\012)g Fj(y)1208 979 y Ff(1)1236 973 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)1341 979 y Fe(i)1354 973 y Fn(\)\()p Fj(y)1406 979 y Ff(2)1425 973 y Fn(\))541 1079 y(=)i Fj(y)605 1085 y Ff(1)624 1062 y(1)652 1079 y Fh(\012)d Fj(y)713 1085 y Ff(1)732 1062 y(2)760 1079 y Fh(\012)h Fj(y)822 1085 y Ff(2)850 1079 y Fn(+)f Fj(y)911 1085 y Ff(2)930 1062 y(1)958 1079 y Fh(\012)h Fj(y)1020 1085 y Ff(1)1048 1079 y Fh(\012)f Fj(y)1109 1085 y Ff(2)1128 1062 y(2)1645 1079 y Fc(\003)257 1187 y Fi(2.12)30 b Fn(W)m(e)17 b(ha)o(v)o(e)f(just)h(seen)h(that)e(coactions)h(can)g (arise)g(from)e(actions.)26 b(W)m(e)16 b(shall)g(no)o(w)257 1237 y(see)g(that,)d(vice)i(v)o(ersa,)f(actions)g(can)h(arise)f(from)e (coactions)j(if)e Fj(L)1289 1243 y Ff(0)1322 1237 y Fn(is)h(co)q (quasitriangular,)257 1286 y(more)i(generally)m(,)h(if)f Fj(L)622 1292 y Ff(0)658 1286 y Fn(carries)j(a)d(bilinear)h(form.)26 b(In)17 b(fact,)g(w)o(e)h(shall)e(see)i(at)f(the)h(end)257 1336 y(that)c(b)q(oth)g(things)g(are)g(closely)g(related.)257 1436 y Fi(Prop)q(osition)e(1)21 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)f Fj(L)841 1442 y Ff(0)874 1436 y Fn(is)f(a)h(Lie)g(algebra)f(and)h(that) 786 1527 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)861 1533 y Ff(0)890 1527 y Fn(:)k Fj(L)941 1533 y Ff(0)969 1527 y Fh(\002)f Fj(L)1039 1533 y Ff(0)1069 1527 y Fh(!)h Fj(K)257 1619 y Fn(is)k(a)g(bilinear)f(form.)19 b(Supp)q(ose)d(further)g(that)f Fj(L)g Fn(is)g(a)f(Lie)h(algebra)g(whic)o(h)g(is)f(sim)o(ultane-)257 1668 y(ously)g(a)f(Lie)h(coalgebra.)k(Let)837 1718 y Fj(\016)13 b Fn(:)e Fj(L)h Fh(!)f Fj(L)1012 1724 y Ff(0)1040 1718 y Fh(\012)f Fj(L)257 1793 y Fn(b)q(e)15 b(some)e(linear)g(map,)f (and)i(de\014ne)618 1884 y Fj(\036)d Fn(:)g Fj(L)705 1890 y Ff(0)736 1884 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)p Fn(\))p Fj(;)c(h)k Fh(7!)g Fn(\()p Fj(y)i Fh(7!)e(h)p Fj(y)1175 1867 y Ff(1)1195 1884 y Fj(;)c(h)p Fh(i)1254 1890 y Ff(0)1272 1884 y Fj(y)1293 1867 y Ff(2)1313 1884 y Fn(\))308 1976 y(1.)20 b(If)14 b Fj(\016)i Fn(is)d(a)h(1-co)q(cycle,) g(that)g(is,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)679 2067 y Fj(\016)r Fn(\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)788 2050 y Fg(0)801 2067 y Fn(]\))k(=)h Fj(y)905 2050 y Ff(1)934 2067 y Fh(\012)d Fn([)p Fj(y)1008 2050 y Ff(2)1027 2067 y Fj(;)e(y)1067 2050 y Fg(0)1079 2067 y Fn(])i(+)g Fj(y)1162 2050 y Fg(0)s Ff(1)1203 2067 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(y)q(;)e(y)1317 2050 y Fg(0)s Ff(2)1348 2067 y Fn(])p Fj(;)361 2158 y Fn(then)15 b Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))e(is)h(a)g(deriv)n(ation.)308 2241 y(2.)20 b(Con)o(v)o(ersely)m(,)10 b(if)f Fh(h\001)p Fj(;)e Fh(\001i)685 2247 y Ff(0)711 2241 y Fn(is)j(nondegenerate)h(and)e Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))h(is)f(a)g(deriv)n(ation)g(for)g(all)f Fj(h)k Fh(2)f Fj(L)1659 2247 y Ff(0)1678 2241 y Fn(,)361 2291 y(then)k Fj(\016)h Fn(is)d(a)h(1-co)q(cycle.)308 2374 y(3.)20 b(If)14 b Fj(\016)i Fn(is)d(a)h(co)q(deriv)n(ation,)f (then)h(\001)g(is)f(equiv)n(arian)o(t,)g(that)h(is,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o (e)629 2465 y(\001\()p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))f(=)f Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1004 2471 y Ff(1)1023 2465 y Fn(\))d Fh(\012)h Fj(y)1110 2471 y Ff(2)1138 2465 y Fn(+)f Fj(y)1199 2471 y Ff(1)1228 2465 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1386 2471 y Ff(2)1405 2465 y Fn(\))953 2628 y(13)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 308 262 a Fn(4.)20 b(Con)o(v)o(ersely)m(,)f(if)f Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)703 268 y Ff(0)739 262 y Fn(is)19 b(nondegenerate)h(and)f(\001)f(is)h(equiv)n(arian)o(t,)f(then) h Fj(\016)i Fn(is)e(a)361 311 y(co)q(deriv)n(ation.)257 411 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(This)14 b(is)g(based)g(on)g(direct)h(v)o (eri\014cation.)i Fc(\003)257 494 y Fn(The)i(straigh)o(tforw)o(ard)e (observ)n(ations)h(ab)q(o)o(v)o(e)g(imply)d(the)k(follo)o(wing)c (result)k(on)f(Y)m(etter-)257 544 y(Drinfel'd)13 b(Lie)h(algebras:)257 643 y Fi(Prop)q(osition)e(2)21 b Fn(Supp)q(ose)14 b(that)e Fj(L)838 649 y Ff(0)870 643 y Fn(is)g(a)h(co)q(quasitriangular)e(Lie)i (bialgebra)f(with)g(dual)257 693 y(r-matrix)g Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)497 699 y Ff(0)515 693 y Fn(.)308 776 y(1.)20 b(Supp)q(ose)d(that)f Fj(L)g Fn(is)g(a)g(Lie)f(algebra)h(whic)o (h)g(is)f(sim)o(ultaneously)f(a)i(Lie)g(coalgebra)361 826 y(and)g(a)g(p)q(ositiv)o(e)f(Lie)h(como)q(dule)f(in)g(suc)o(h)i(a)f (w)o(a)o(y)f(that)h(the)h(follo)o(wing)c(prop)q(erties)361 876 y(hold:)379 959 y(\(a\))20 b Fj(\016)c Fn(is)e(a)g(1-co)q(cycle,)g (that)g(is,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)725 1050 y Fj(\016)r Fn(\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)834 1033 y Fg(0)847 1050 y Fn(]\))k(=)h Fj(y)951 1033 y Ff(1)979 1050 y Fh(\012)e Fn([)p Fj(y)1054 1033 y Ff(2)1073 1050 y Fj(;)d(y)1113 1033 y Fg(0)1125 1050 y Fn(])h(+)i Fj(y)1208 1033 y Fg(0)r Ff(1)1248 1050 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(y)q(;)d(y)1363 1033 y Fg(0)r Ff(2)1394 1050 y Fn(])p Fj(:)376 1150 y Fn(\(b\))21 b Fj(\016)16 b Fn(is)e(a)g(co)q(deriv)n(ation.)381 1216 y(\(c\))21 b(W)m(e)14 b(ha)o(v)o(e)g(for)f(all)g Fj(y)q(;)7 b(y)802 1201 y Fg(0)826 1216 y Fh(2)k Fj(L)p Fn(:)633 1308 y(\001\([)p Fj(y)q(;)c(y)757 1290 y Fg(0)769 1308 y Fn(]\))i Fh(\000)h Fj(y)q(:)p Fn(\001\()p Fj(y)953 1290 y Fg(0)965 1308 y Fn(\))g(+)f Fj(y)1053 1290 y Fg(0)1066 1308 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))753 1375 y(=)j Fj(y)818 1358 y Ff(2)847 1375 y Fh(\012)d Fj(y)909 1358 y Fg(0)s Ff(2)940 1375 y Fh(h)p Fj(y)977 1358 y Fg(0)s Ff(1)1008 1375 y Fj(;)e(y)1048 1358 y Ff(1)1067 1375 y Fh(i)1083 1381 y Ff(0)1111 1375 y Fh(\000)j Fj(y)1174 1358 y Fg(0)r Ff(2)1214 1375 y Fh(\012)g Fj(y)1277 1358 y Ff(2)1296 1375 y Fh(h)p Fj(y)1333 1358 y Fg(0)s Ff(1)1364 1375 y Fj(;)d(y)1404 1358 y Ff(1)1423 1375 y Fh(i)1439 1381 y Ff(0)806 1442 y Fn(+)j Fj(y)869 1425 y Ff(2)897 1442 y Fh(\012)g Fj(y)960 1425 y Fg(0)r Ff(2)991 1442 y Fh(h)p Fj(y)1028 1425 y Ff(1)1048 1442 y Fj(;)d(y)1088 1425 y Fg(0)q Ff(1)1118 1442 y Fh(i)1134 1448 y Ff(0)1162 1442 y Fh(\000)j Fj(y)1225 1425 y Fg(0)r Ff(2)1265 1442 y Fh(\012)f Fj(y)1327 1425 y Ff(2)1347 1442 y Fh(h)p Fj(y)1384 1425 y Ff(1)1403 1442 y Fj(;)e(y)1443 1425 y Fg(0)r Ff(1)1474 1442 y Fh(i)1490 1448 y Ff(0)361 1542 y Fn(De\014ne)670 1592 y Fj(\036)k Fn(:)g Fj(L)757 1598 y Ff(0)788 1592 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)p Fn(\))p Fj(;)c(h)k Fh(7!)g Fn(\()p Fj(y)i Fh(7!)e(h)p Fj(y)1227 1575 y Ff(1)1247 1592 y Fj(;)c(h)p Fh(i)1306 1598 y Ff(0)1324 1592 y Fj(y)1345 1575 y Ff(2)1365 1592 y Fn(\))361 1667 y(Then)15 b Fj(L)f Fn(is)f(a)h(p)q(ositiv)o(e)g(Y)m(etter-Drinfel'd)f (Lie)h(algebra.)308 1750 y(2.)20 b(Supp)q(ose)d(that)f Fj(L)g Fn(is)g(a)g(Lie)f(algebra)h(whic)o(h)g(is)f(sim)o(ultaneously)f (a)i(Lie)g(coalgebra)361 1799 y(and)f(a)g(negativ)o(e)g(Lie)g(como)q (dule)f(in)g(suc)o(h)i(a)f(w)o(a)o(y)g(that)g(the)g(follo)o(wing)e (prop)q(erties)361 1849 y(hold:)379 1932 y(\(a\))20 b Fj(\016)c Fn(is)e(a)g(1-co)q(cycle,)g(that)g(is,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e) 718 2024 y Fj(\016)r Fn(\([)p Fj(x;)7 b(x)833 2006 y Fg(0)843 2024 y Fn(]\))k(=)h Fj(x)950 2006 y Ff(1)977 2024 y Fh(\012)e Fn([)p Fj(x)1055 2006 y Ff(2)1073 2024 y Fj(;)d(x)1116 2006 y Fg(0)1127 2024 y Fn(])h(+)i Fj(x)1213 2006 y Fg(0)q Ff(1)1252 2024 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(x;)d(x)1373 2006 y Fg(0)p Ff(2)1401 2024 y Fn(])p Fj(:)376 2123 y Fn(\(b\))21 b Fj(\016)16 b Fn(is)e(a)g(co)q(deriv)n(ation.)381 2190 y(\(c\))21 b(W)m(e)14 b(ha)o(v)o(e)g(for)f(all)g Fj(x;)7 b(x)808 2175 y Fg(0)830 2190 y Fh(2)k Fj(L)p Fn(:)624 2281 y(\001\([)p Fj(x;)c(x)754 2264 y Fg(0)764 2281 y Fn(]\))h Fh(\000)i Fj(x:)p Fn(\001\()p Fj(x)953 2264 y Fg(0)963 2281 y Fn(\))g(+)f Fj(x)1054 2264 y Fg(0)1066 2281 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(x)p Fn(\))747 2348 y(=)21 b(+)10 b Fj(x)866 2331 y Ff(2)894 2348 y Fh(\012)f Fj(x)959 2331 y Fg(0)q Ff(2)989 2348 y Fh(h)p Fj(x)1029 2331 y Ff(1)1048 2348 y Fj(;)e(x)1091 2331 y Fg(0)p Ff(1)1120 2348 y Fh(i)1136 2354 y Ff(0)1164 2348 y Fh(\000)i Fj(x)1229 2331 y Fg(0)r Ff(2)1269 2348 y Fh(\012)g Fj(x)1334 2331 y Ff(2)1353 2348 y Fh(h)p Fj(x)1393 2331 y Ff(1)1411 2348 y Fj(;)e(x)1454 2331 y Fg(0)q Ff(1)1483 2348 y Fh(i)1499 2354 y Ff(0)800 2416 y Fn(+)j Fj(x)866 2399 y Ff(2)894 2416 y Fh(\012)f Fj(x)959 2399 y Fg(0)q Ff(2)989 2416 y Fh(h)p Fj(x)1029 2399 y Fg(0)r Ff(1)1059 2416 y Fj(;)e(x)1102 2399 y Ff(1)1120 2416 y Fh(i)1136 2422 y Ff(0)1164 2416 y Fh(\000)i Fj(x)1229 2399 y Fg(0)r Ff(2)1269 2416 y Fh(\012)g Fj(x)1334 2399 y Ff(2)1353 2416 y Fh(h)p Fj(x)1393 2399 y Fg(0)q Ff(1)1423 2416 y Fj(;)e(x)1466 2399 y Ff(1)1483 2416 y Fh(i)1499 2422 y Ff(0)953 2628 y Fn(14)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 361 262 a Fn(De\014ne)667 311 y Fj(\036)11 b Fn(:)g Fj(L)754 317 y Ff(0)785 311 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)p Fn(\))p Fj(;)c(h)k Fh(7!)g Fn(\()p Fj(x)g Fh(7!)g(h)p Fj(h;)c(x)1272 294 y Ff(1)1290 311 y Fh(i)1306 317 y Ff(0)1325 311 y Fj(x)1349 294 y Ff(2)1367 311 y Fn(\))361 386 y(Then)15 b Fj(L)f Fn(is)f(a)h(negativ)o(e)g(Y)m (etter-Drinfel'd)f(Lie)h(algebra.)257 469 y(If)j Fj(L)330 475 y Ff(0)367 469 y Fn(is)g(\014nite)g(dimensional)e(and)j(the)g(dual) e(r-matrix)g Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)1252 475 y Ff(0)1287 469 y Fn(is)17 b(nondegenerate,)i(this)257 519 y(can)d(also)e(b)q(e)h(understo)q(o)q(d)i(in)d(terms)h(of)f(the)i (preceding)g(Subsection.)22 b(F)m(or,)14 b(in)g(this)h(case)257 569 y(it)f(is)f(p)q(ossible)h(to)f(select)i(bases)f Fj(a)789 575 y Ff(1)808 569 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(a)930 575 y Fe(n)965 569 y Fn(and)14 b Fj(b)1064 575 y Ff(1)1082 569 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(b)1200 575 y Fe(n)1235 569 y Fn(of)13 b Fj(L)1310 575 y Ff(0)1342 569 y Fn(in)h(suc)o(h)g(a)f (w)o(a)o(y)g(that:)852 660 y Fh(h)p Fj(b)886 666 y Fe(i)899 660 y Fj(;)7 b(a)940 666 y Fe(j)957 660 y Fh(i)973 666 y Ff(0)1004 660 y Fn(=)k Fj(\016)1065 666 y Fe(ij)257 751 y Fn(As)i(explained)g(in)f(Subsection)h(2.5,)e Fj(L)860 757 y Ff(0)892 751 y Fn(can)h(then)i(also)e(b)q(e)h(regarded)g(as)g (quasitriangular)257 801 y(with)h(r-matrix)e Fj(r)h Fn(=)593 770 y Fd(P)637 780 y Fe(n)637 814 y(i)p Ff(=1)700 801 y Fj(a)722 807 y Fe(i)745 801 y Fh(\012)c Fj(b)804 807 y Fe(i)818 801 y Fn(.)18 b(But)d(no)o(w,)e(an)h(action)g Fj(\036)f Fn(is)h(induced)h(b)o(y)f(a)g(coaction)257 851 y Fj(\016)i Fn(b)o(y)e(the)g(form)o(ula)791 901 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))f(=)f Fh(h)p Fj(y)1019 884 y Ff(1)1038 901 y Fj(;)7 b(h)p Fh(i)1097 907 y Ff(0)1115 901 y Fj(y)1136 884 y Ff(2)257 976 y Fn(if)13 b(and)h(only)f(if)g(the)i(coaction)f(is)f(induced)i(b)o(y)e (the)i(action)e(via)761 1098 y Fj(\016)r Fn(\()p Fj(y)q Fn(\))f(=)910 1046 y Fe(n)890 1058 y Fd(X)893 1147 y Fe(i)p Ff(=1)957 1098 y Fj(b)975 1104 y Fe(i)998 1098 y Fh(\012)d Fj(\036)p Fn(\()p Fj(a)1102 1104 y Fe(i)1116 1098 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))257 1259 y Fk(3)67 b(The)22 b(\014rst)h(construction)257 1350 y Fi(3.1)31 b Fn(In)13 b(this)g(Section,)g(w)o(e)h(determine)f(completely)f(the)i(general)f (form)e(of)i(a)g(Lie)g(algebra)257 1400 y Fj(L)19 b Fn(with)g(the)g (follo)o(wing)d(prop)q(ert)o(y:)29 b Fj(L)19 b Fn(is)f(the)i(direct)f (sum)f(of)g(three)i(Lie)f(subalgebras)257 1450 y Fj(L)285 1456 y Fg(\000)314 1450 y Fj(;)7 b(L)361 1456 y Ff(0)393 1450 y Fn(and)14 b Fj(L)502 1456 y Ff(+)529 1450 y Fn(:)801 1499 y Fj(L)e Fn(=)g Fj(L)913 1505 y Fg(\000)951 1499 y Fh(\010)d Fj(L)1020 1505 y Ff(0)1048 1499 y Fh(\010)h Fj(L)1118 1505 y Ff(+)257 1574 y Fn(suc)o(h)18 b(that)e Fj(L)474 1580 y Fg(\000)513 1574 y Fh(\010)c Fj(L)585 1580 y Ff(0)620 1574 y Fn(and)17 b Fj(L)732 1580 y Ff(0)761 1574 y Fh(\010)12 b Fj(L)833 1580 y Ff(+)877 1574 y Fn(are)17 b(also)f(Lie)g(subalgebras)h(of)f Fj(L)h Fn(con)o(taining)e Fj(L)1661 1580 y Fg(\000)257 1624 y Fn(resp.)k Fj(L)389 1630 y Ff(+)431 1624 y Fn(as)14 b(an)g(ideal.)257 1732 y Fi(3.2)31 b Fn(Supp)q(ose)14 b(that)g Fj(L)629 1738 y Fg(\000)658 1732 y Fj(;)7 b(L)705 1738 y Ff(0)737 1732 y Fn(and)14 b Fj(L)846 1738 y Ff(+)887 1732 y Fn(are)h(three)g(Lie)f (algebras.)k(Supp)q(ose)d(further)f(that)257 1782 y(there)i(are)e(four) f(Lie)h(algebra)g(morphisms:)575 1873 y Fj(\036)600 1879 y Ff(+)639 1873 y Fn(:)d Fj(L)690 1879 y Ff(0)720 1873 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)891 1879 y Ff(+)920 1873 y Fn(\))41 b Fj(\036)1002 1879 y Fg(\000)1042 1873 y Fn(:)11 b Fj(L)1093 1879 y Ff(0)1123 1873 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)1294 1879 y Fg(\000)1323 1873 y Fn(\))575 1935 y Fj( )602 1941 y Ff(+)641 1935 y Fn(:)g Fj(L)692 1941 y Fg(\000)732 1935 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)909 1941 y Ff(+)936 1935 y Fn(\))42 b Fj( )1021 1941 y Fg(\000)1061 1935 y Fn(:)11 b Fj(L)1112 1941 y Ff(+)1151 1935 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1328 1941 y Fg(\000)1356 1935 y Fn(\))257 2027 y(and)j(a)g(bilinear)f(map:) 635 2118 y Fh(f\001)p Fj(;)7 b Fh(\001g)j Fn(:)h Fj(L)781 2124 y Fg(\000)818 2118 y Fh(\002)f Fj(L)888 2124 y Ff(+)927 2118 y Fh(!)h Fj(L)1008 2124 y Ff(0)1027 2118 y Fj(;)c Fn(\()p Fj(x;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g(f)p Fj(x;)c(y)q Fh(g)257 2209 y Fn(suc)o(h)15 b(that)f(the)g(follo)o(wing)e(conditions)h(are)i (satis\014ed:)308 2292 y(1.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x;)7 b(x)560 2277 y Fg(0)582 2292 y Fh(2)12 b Fj(L)650 2298 y Fg(\000)692 2292 y Fn(and)h(for)h(all)f Fj(y)g Fh(2)e Fj(L)994 2298 y Ff(+)1036 2292 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)506 2383 y Fj( )533 2389 y Fg(\000)561 2383 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\([)p Fj(x;)7 b(x)709 2365 y Fg(0)721 2383 y Fn(]\))k(=)h([)p Fj( )843 2389 y Fg(\000)870 2383 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(x)1022 2365 y Fg(0)1034 2383 y Fn(])i(+)g([)p Fj(x;)e( )1178 2389 y Fg(\000)1205 2383 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)1298 2365 y Fg(0)1311 2383 y Fn(\)])813 2445 y(+)i Fj(\036)879 2451 y Fg(\000)907 2445 y Fn(\()p Fh(f)p Fj(x;)e(y)q Fh(g)p Fn(\)\()p Fj(x)1085 2428 y Fg(0)1096 2445 y Fn(\))j Fh(\000)f Fj(\036)1188 2451 y Fg(\000)1216 2445 y Fn(\()p Fh(f)p Fj(x)1277 2428 y Fg(0)1288 2445 y Fj(;)e(y)q Fh(g)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))813 2507 y(+)i Fj( )881 2513 y Fg(\000)909 2507 y Fn(\()p Fj( )952 2513 y Ff(+)980 2507 y Fn(\()p Fj(x)1020 2490 y Fg(0)1032 2507 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)p Fn(\))h Fh(\000)g Fj( )1252 2513 y Fg(\000)1280 2507 y Fn(\()p Fj( )1323 2513 y Ff(+)1351 2507 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)1516 2490 y Fg(0)1528 2507 y Fn(\))953 2628 y(15)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 361 262 a Fn(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 268 y Fg(\000)638 262 y Fn(and)j(for)f(all)g Fj(y)q(;)7 b(y)901 246 y Fg(0)925 262 y Fh(2)k Fj(L)992 268 y Ff(+)1034 262 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)509 345 y Fj( )536 351 y Ff(+)564 345 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)709 328 y Fg(0)721 345 y Fn(]\))k(=)h([)p Fj( )843 351 y Ff(+)870 345 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fj(;)7 b(y)1019 328 y Fg(0)1032 345 y Fn(])i(+)h([)p Fj(y)q(;)d( )1174 351 y Ff(+)1201 345 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1294 328 y Fg(0)1307 345 y Fn(\)])813 408 y(+)j Fj(\036)880 414 y Ff(+)907 408 y Fn(\()p Fh(f)p Fj(x;)d(y)1008 390 y Fg(0)1020 408 y Fh(g)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))j Fh(\000)g Fj(\036)1187 414 y Fg(\000)1214 408 y Fn(\()p Fh(f)p Fj(x;)d(y)q Fh(g)p Fn(\)\()p Fj(y)1389 390 y Fg(0)1402 408 y Fn(\))813 470 y(+)j Fj( )882 476 y Ff(+)910 470 y Fn(\()p Fj( )953 476 y Fg(\000)981 470 y Fn(\()p Fj(y)1018 453 y Fg(0)1030 470 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)q Fn(\))h Fh(\000)f Fj( )1251 476 y Ff(+)1278 470 y Fn(\()p Fj( )1321 476 y Fg(\000)1349 470 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)1511 453 y Fg(0)1525 470 y Fn(\))308 571 y(2.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x;)7 b(x)560 556 y Fg(0)582 571 y Fh(2)12 b Fj(L)650 577 y Fg(\000)692 571 y Fn(and)h(for)h(all)f Fj(y)g Fh(2)e Fj(L)994 577 y Ff(+)1036 571 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)621 656 y Fh(f)p Fn([)p Fj(x;)7 b(x)721 638 y Fg(0)731 656 y Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(g)k Fn(=)h Fh(f)p Fj(x;)7 b( )950 662 y Ff(+)976 656 y Fn(\()p Fj(x)1016 638 y Fg(0)1028 656 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)j(\000)g(f)p Fj(x)1215 638 y Fg(0)1226 656 y Fj(;)d( )1272 662 y Ff(+)1299 656 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)361 741 y Fn(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 747 y Fg(\000)638 741 y Fn(and)j(for)f(all)g Fj(y)q(;)7 b(y)901 725 y Fg(0)925 741 y Fh(2)k Fj(L)992 747 y Ff(+)1034 741 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)623 825 y Fh(f)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)760 808 y Fg(0)772 825 y Fn(])p Fh(g)j Fn(=)i Fh(f)p Fj( )907 831 y Fg(\000)935 825 y Fn(\()p Fj(y)972 808 y Fg(0)985 825 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(g)i(\000)h(f)p Fj( )1217 831 y Fg(\000)1244 825 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)d(y)1393 808 y Fg(0)1407 825 y Fh(g)308 926 y Fn(3.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 932 y Fg(\000)624 926 y Fn(,)i(for)h(all)f Fj(y)g Fh(2)e Fj(L)871 932 y Ff(+)913 926 y Fn(and)j(for)f(all)g Fj(h)e Fh(2)g Fj(L)1217 932 y Ff(0)1250 926 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)513 1011 y Fj( )540 1017 y Fg(\000)568 1011 y Fn(\()p Fj(\036)609 1017 y Ff(+)636 1011 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)p Fn(\))f(=)f Fj(\036)899 1017 y Fg(\000)927 1011 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj( )1026 1017 y Fg(\000)1054 1011 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))f Fh(\000)e Fj( )1258 1017 y Fg(\000)1286 1011 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(\036)1380 1017 y Fg(\000)1409 1011 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))514 1096 y Fj( )541 1102 y Ff(+)568 1096 y Fn(\()p Fj(\036)609 1102 y Fg(\000)637 1096 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)q Fn(\))k(=)f Fj(\036)900 1102 y Ff(+)927 1096 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj( )1026 1102 y Ff(+)1054 1096 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))f Fh(\000)e Fj( )1258 1102 y Ff(+)1286 1096 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(\036)1383 1102 y Ff(+)1410 1096 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))308 1182 y(4.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 1188 y Fg(\000)624 1182 y Fn(,)i(for)h(all)f Fj(y)g Fh(2)e Fj(L)871 1188 y Ff(+)913 1182 y Fn(and)j(for)f(all)g Fj(h)e Fh(2)g Fj(L)1217 1188 y Ff(0)1250 1182 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:) 640 1267 y([)p Fj(h;)7 b Fh(f)p Fj(x;)g(y)q Fh(g)p Fn(])j(=)i Fh(f)p Fj(\036)913 1273 y Fg(\000)940 1267 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(g)j Fn(+)f Fh(f)p Fj(x;)e(\036)1253 1273 y Ff(+)1279 1267 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)257 1367 y Fn(In)14 b(this)g(situation,)f(w)o(e)h(can)g(carry)h(out)e(the)i(follo)o(wing)c (construction:)257 1463 y Fi(Theorem)36 b Fn(Let)14 b Fj(L)e Fn(:=)f Fj(L)678 1469 y Fg(\000)715 1463 y Fh(\010)e Fj(L)784 1469 y Ff(0)812 1463 y Fh(\010)g Fj(L)881 1469 y Ff(+)909 1463 y Fn(.)18 b(Then)c Fj(L)g Fn(is)f(a)h(Lie)f(algebra)h (with)f(the)h(brac)o(k)o(et:)419 1547 y([\()p Fj(x;)7 b(h;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)629 1529 y Fg(0)639 1547 y Fj(;)g(h)682 1529 y Fg(0)693 1547 y Fj(;)g(y)733 1529 y Fg(0)745 1547 y Fn(\)])k(=)419 1609 y(\([)p Fj(x;)c(x)514 1592 y Fg(0)524 1609 y Fn(])i(+)g(\()p Fj(\036)627 1615 y Fg(\000)655 1609 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)751 1592 y Fg(0)763 1609 y Fn(\))g 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Fj(x)1386 1716 y Fg(0)1398 1733 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))257 1827 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(The)20 b(brac)o(k)o(et)g(is)f(ob)o(viously)f(an)o(tisymmetric.)32 b(W)m(e)19 b(no)o(w)g(v)o(erify)g(the)h(Jacobi)257 1877 y(iden)o(tit)o(y)m(.)39 b(The)21 b(expression)h([[\()p Fj(x;)7 b(h;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)966 1862 y Fg(0)976 1877 y Fj(;)g(h)1019 1862 y Fg(0)1030 1877 y Fj(;)g(y)1070 1862 y Fg(0)1082 1877 y Fn(\)])p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)1169 1862 y Fg(0)n(0)1189 1877 y Fj(;)g(h)1232 1862 y Fg(0)o(0)1252 1877 y Fj(;)g(y)1292 1862 y Fg(00)1314 1877 y Fn(\)])21 b(has)g(three)h(comp)q(o-)257 1927 y(nen)o(ts.)d(The)c Fj(L)497 1933 y Fg(\000)525 1927 y Fn(-comp)q(onen)o(t)e(is:)333 2011 y([[)p Fj(x;)7 b(x)424 1994 y Fg(0)433 2011 y Fn(])p Fj(;)g(x)488 1994 y Fg(0)o(0)508 2011 y Fn(])i(+)h([)p Fj(\036)608 2017 y Fg(\000)635 2011 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)731 1994 y Fg(0)743 2011 y Fn(\))p Fj(;)d(x)802 1994 y Fg(0)o(0)822 2011 y Fn(])i Fh(\000)g Fn([)p Fj(\036)921 2017 y 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2198 y Fn(\()p Fj(h)663 2180 y Fg(00)685 2198 y Fn(\)\([)p Fj(x;)d(x)796 2180 y Fg(0)806 2198 y Fn(]\))i Fh(\000)g Fj(\036)909 2204 y Fg(\000)937 2198 y Fn(\()p Fj(h)977 2180 y Fg(00)998 2198 y Fn(\)\()p Fj(\036)1055 2204 y Fg(\000)1084 2198 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)1180 2180 y Fg(0)1191 2198 y Fn(\)\))h(+)f Fj(\036)1299 2204 y Fg(\000)1327 2198 y Fn(\()p Fj(h)1367 2180 y Fg(00)1388 2198 y Fn(\)\()p Fj(\036)1445 2204 y Fg(\000)1473 2198 y Fn(\()p Fj(h)1513 2180 y Fg(0)1525 2198 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))529 2260 y Fh(\000)h Fj(\036)596 2266 y Fg(\000)623 2260 y Fn(\()p Fj(h)663 2243 y Fg(00)685 2260 y Fn(\)\()p Fj( )744 2266 y Fg(\000)772 2260 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)865 2243 y Fg(0)878 2260 y Fn(\)\))f(+)h Fj(\036)986 2266 y Fg(\000)1013 2260 y Fn(\()p Fj(h)1053 2243 y Fg(00)1075 2260 y Fn(\)\()p Fj( )1134 2266 y Fg(\000)1162 2260 y Fn(\()p Fj(y)1199 2243 y Fg(0)1212 2260 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))529 2322 y(+)g Fj( )598 2328 y Fg(\000)626 2322 y Fn(\([)p Fj(y)q(;)d(y)715 2305 y Fg(0)727 2322 y Fn(]\)\()p Fj(x)795 2305 y Fg(0)o(0)816 2322 y Fn(\))i(+)h Fj( )910 2328 y Fg(\000)938 2322 y Fn(\()p Fj(\036)979 2328 y Ff(+)1006 2322 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1099 2305 y Fg(0)1112 2322 y Fn(\)\)\()p Fj(x)1184 2305 y Fg(00)1205 2322 y Fn(\))g Fh(\000)f Fj( )1299 2328 y Fg(\000)1327 2322 y Fn(\()p Fj(\036)1368 2328 y Ff(+)1396 2322 y Fn(\()p Fj(h)1436 2305 y Fg(0)1448 2322 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)1573 2305 y Fg(00)1595 2322 y Fn(\))529 2384 y(+)h Fj( )598 2390 y Fg(\000)626 2384 y Fn(\()p Fj( )669 2390 y Ff(+)696 2384 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)789 2367 y Fg(0)802 2384 y Fn(\)\)\()p Fj(x)874 2367 y Fg(00)895 2384 y Fn(\))g Fh(\000)f Fj( )989 2390 y Fg(\000)1017 2384 y Fn(\()p Fj( )1060 2390 y Ff(+)1088 2384 y Fn(\()p Fj(x)1128 2367 y Fg(0)1140 2384 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)1265 2367 y Fg(0)q(0)1287 2384 y Fn(\))529 2447 y Fh(\000)h Fj( )598 2453 y Fg(\000)626 2447 y Fn(\()p Fj(y)663 2430 y Fg(00)685 2447 y 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(e)g(terms)f(v)n(anishes)h(b)o(y)g(the)g(Jacobi)g(iden)o(tit)o(y)f(in)g Fj(L)1453 503 y Fg(\000)1482 497 y Fn(.)27 b(Since)17 b(the)257 546 y(cyclic)c(sum)f(remains)g(unc)o(hanged)h(if)f(w)o(e)h(p) q(erform)f(a)g(cyclic)h(p)q(erm)o(utation)f(in)g(some)g(sum-)257 596 y(mand,)f(the)j(second,)g(third)e(and)h(nin)o(th)g(term)f(add)h(up) g(to)f(zero,)i(since)f Fj(\036)1400 602 y Fg(\000)1441 596 y Fn(maps)f(in)o(to)g(the)257 646 y(deriv)n(ations.)17 b(Similarly)m(,)9 b(the)k(fourth,)f(\014fth,)g(sev)o(en)o(th,)h(eigh)o (th,)f(sev)o(en)o(teen)o(th,)j(eigh)o(teen)o(th)257 696 y(and)e(nineteen)o(th)h(term)e(v)n(anish)g(b)o(y)h(the)g(\014rst)h (compatibilit)o(y)c(assumption.)16 b(By)d(the)g(same)257 746 y(pro)q(cedure,)21 b(w)o(e)c(can)h(sho)o(w)g(that)g(the)g(cyclic)g (sum)f(of)g(the)i(sixth,)f(ten)o(th)g(and)g(elev)o(en)o(th)257 795 y(term,)e(the)h(cyclic)g(sum)e(of)g(the)i(t)o(w)o(elfth,)f (\014fteen)o(th)h(and)g(t)o(w)o(en)o(t)o(y-\014rst)g(term,)e(the)i (cyclic)257 845 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1074 y Fg(0)o(0)1164 1091 y Fj(;)e(\036)1208 1097 y Ff(+)1235 1091 y Fn(\()p Fj(h)1275 1074 y Fg(0)1286 1091 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)k Fn(+)516 1153 y Fh(f)p Fj(x)561 1136 y Fg(0)o(0)582 1153 y Fj(;)c( )628 1159 y Ff(+)655 1153 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)748 1136 y Fg(0)760 1153 y Fn(\))p Fh(g)i(\000)h(f)p Fj(x)893 1136 y Fg(0)o(0)914 1153 y Fj(;)d( )960 1159 y Ff(+)987 1153 y Fn(\()p Fj(x)1027 1136 y Fg(0)1038 1153 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)j(\000)516 1215 y(f)p Fn([)p Fj(x;)d(x)616 1198 y Fg(0)626 1215 y Fn(])p Fj(;)g(y)678 1198 y Fg(0)o(0)699 1215 y Fh(g)i(\000)g(f)p Fj(\036)816 1221 y Fg(\000)844 1215 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)940 1198 y Fg(0)951 1215 y Fn(\))p Fj(;)e(y)1007 1198 y Fg(00)1029 1215 y Fh(g)i Fn(+)h Fh(f)p Fj(\036)1147 1221 y Fg(\000)1174 1215 y Fn(\()p Fj(h)1214 1198 y Fg(0)1226 1215 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)d(y)1338 1198 y Fg(00)1359 1215 y Fh(g)i(\000)516 1278 y(f)p Fj( )564 1284 y Fg(\000)592 1278 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)685 1260 y Fg(0)697 1278 y Fn(\))p Fj(;)e(y)753 1260 y Fg(00)775 1278 y Fh(g)i Fn(+)g Fh(f)p Fj( )894 1284 y Fg(\000)922 1278 y Fn(\()p Fj(y)959 1260 y Fg(0)972 1278 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)e(y)1084 1260 y Fg(00)1106 1278 y Fh(g)257 1362 y Fn(If)15 b(w)o(e)g(form)f(again)g(the)i(cyclic)f(sum,)f (the)i(\014rst)g(term)e(v)n(anishes)h(b)o(y)g(the)h(Jacobi)f(iden)o (tit)o(y)257 1412 y(in)g Fj(L)335 1418 y Ff(0)354 1412 y Fn(.)23 b(The)16 b(second,)g(\014fth)f(and)h(elev)o(en)o(th)g(term)e (v)n(anish)h(b)o(y)g(the)h(fourth)g(compatibilit)o(y)257 1462 y(assumption,)h(as)h(w)o(ell)f(as)h(the)h(third,)f(sixth)g(and)g (ten)o(th)g(term.)29 b(By)18 b(the)h(second)g(com-)257 1512 y(patibilit)o(y)14 b(assumption,)h(the)h(cyclic)h(sum)d(of)i(the)g (sev)o(en)o(th,)h(eigh)o(th)f(and)g(nin)o(th)f(term)h(is)257 1561 y(zero,)e(as)g(w)o(ell)f(as)h(the)g(cyclic)g(sum)e(of)h(the)i (fourth,)e(t)o(w)o(elfth)g(and)h(thirteen)o(th)g(term.)k(That)257 1611 y(the)d(Jacobi)f(iden)o(tit)o(y)f(also)h(holds)f(in)h(the)g Fj(L)952 1617 y Ff(+)980 1611 y Fn(-comp)q(onen)o(t)f(is)h(sho)o(wn)g (exactly)g(as)g(for)g(the)257 1661 y Fj(L)285 1667 y Fg(\000)314 1661 y Fn(-comp)q(onen)o(t.)p Fc(\003)p Fn(.)257 1768 y Fi(3.3)31 b Fn(W)m(e)9 b(explain)g(no)o(w)g(whic)o(h)h(Lie)g (algebras)g(ha)o(v)o(e)f(the)i(form)d(of)h(the)h(ab)q(o)o(v)o(e)g (construction.)257 1865 y Fi(Theorem)36 b Fn(Supp)q(ose)13 b(that)f Fj(L)g Fn(is)g(a)g(Lie)g(algebra)g(whic)o(h)g(is)g(the)h (direct)g(sum)e(of)g(three)j(Lie)257 1914 y(subalgebras)h Fj(L)510 1920 y Fg(\000)538 1914 y Fj(;)7 b(L)585 1920 y Ff(0)617 1914 y Fn(and)14 b Fj(L)726 1920 y Ff(+)754 1914 y Fn(:)801 2001 y Fj(L)e Fn(=)g Fj(L)913 2007 y Fg(\000)951 2001 y Fh(\010)d Fj(L)1020 2007 y Ff(0)1048 2001 y Fh(\010)h Fj(L)1118 2007 y Ff(+)257 2087 y Fn(Supp)q(ose)j (further)f(that)f(the)h(v)o(ector)g(spaces)h Fj(L)986 2093 y Fg(\000)1018 2087 y Fh(\010)t Fj(L)1082 2093 y Ff(0)1113 2087 y Fn(and)e Fj(L)1219 2093 y Ff(0)1242 2087 y Fh(\010)t Fj(L)1306 2093 y Ff(+)1345 2087 y Fn(are)h(Lie)f (subalgebras)257 2137 y(whic)o(h)j(con)o(tain)g Fj(L)551 2143 y Fg(\000)593 2137 y Fn(resp.)19 b Fj(L)725 2143 y Ff(+)766 2137 y Fn(as)14 b(ideals.)k(Then)c(there)i(are)e(mappings) 591 2223 y Fj(\036)616 2229 y Ff(+)655 2223 y Fn(:)d Fj(L)706 2229 y Ff(0)736 2223 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)907 2229 y Ff(+)936 2223 y Fn(\))42 b Fj(\036)1019 2229 y Fg(\000)1058 2223 y Fn(:)11 b Fj(L)1109 2229 y Ff(0)1139 2223 y Fh(!)h Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)1311 2229 y Fg(\000)1340 2223 y Fn(\))575 2310 y Fj( )602 2316 y Ff(+)641 2310 y Fn(:)f Fj(L)692 2316 y Fg(\000)732 2310 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)909 2316 y Ff(+)936 2310 y Fn(\))42 b Fj( )1021 2316 y Fg(\000)1061 2310 y Fn(:)11 b Fj(L)1112 2316 y Ff(+)1151 2310 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1328 2316 y Fg(\000)1356 2310 y Fn(\))635 2382 y Fh(f\001)p Fj(;)c Fh(\001g)j Fn(:)h Fj(L)781 2388 y Fg(\000)818 2382 y Fh(\002)f Fj(L)888 2388 y Ff(+)927 2382 y Fh(!)h Fj(L)1008 2388 y Ff(0)1027 2382 y Fj(;)c Fn(\()p Fj(x;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g(f)p Fj(x;)c(y)q Fh(g)257 2453 y Fn(that)19 b(satisfy)g(the)g(conditions)f (of)g(Theorem)h(3.2)e(suc)o(h)j(that)f(the)g(Lie)g(brac)o(k)o(et)g(can) g(b)q(e)257 2503 y(written)c(as)f(in)f(that)h(Theorem.)953 2628 y(17)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 257 262 a Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(Supp)q(ose)18 b(that)f Fj(p)703 268 y Fg(\000)748 262 y Fn(:)f Fj(L)h Fh(!)g Fj(L)908 268 y Fg(\000)936 262 y Fj(;)7 b(p)976 268 y Ff(+)1019 262 y Fn(:)17 b Fj(L)g Fh(!)f Fj(L)1179 268 y Ff(+)1224 262 y Fn(and)h Fj(p)1329 268 y Ff(0)1364 262 y Fn(:)f Fj(L)h Fh(!)g Fj(L)1524 268 y Ff(0)1559 262 y Fn(are)h(the)257 311 y(pro)r(jections)g(determined)e(b)o(y)h(the) g(ab)q(o)o(v)o(e)f(decomp)q(osition.)24 b(W)m(e)17 b(de\014ne)g(the)g (mappings)257 361 y(b)o(y)d(the)h(follo)o(wing)c(equations:)668 452 y Fj(\036)693 458 y Fg(\000)720 452 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))h(=)g Fj(p)909 458 y Fg(\000)937 452 y Fn(\([\(0)p Fj(;)7 b(h;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x;)g Fn(0)p Fj(;)f Fn(0\)])o(\))670 515 y Fj(\036)695 521 y Ff(+)722 515 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))13 b(=)f Fj(p)909 521 y Ff(+)936 515 y Fn(\([\(0)p Fj(;)7 b(h;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\)]\))667 577 y Fj( )694 583 y Fg(\000)722 577 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))13 b(=)f Fj(p)909 583 y Fg(\000)937 577 y Fn(\([\(0)p Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)])o(\))668 639 y Fj( )695 645 y Ff(+)722 639 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))13 b(=)f Fj(p)909 645 y Ff(+)936 639 y Fn(\([\()p Fj(x;)7 b Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)f(y)q Fn(\)]\))727 702 y Fh(f)p Fj(x;)h(y)q Fh(g)k Fn(=)h Fj(p)909 708 y Ff(0)927 702 y Fn(\([\(0)p Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]\))257 793 y(W)m(e)17 b(no)o(w)f(pro)o(v)o(e)h(that)g(Lie)g(brac)o(k)o(et)g (of)f Fj(L)h Fn(has)g(the)h(form)d(giv)o(en)h(in)h(Theorem)f(3.2.)26 b(W)m(e)257 843 y(b)q(egin)14 b(with)g(the)g Fj(L)563 849 y Fg(\000)592 843 y Fn(-comp)q(onen)o(t:)261 934 y Fj(p)282 940 y Fg(\000)309 934 y Fn(\()q([\()p Fj(x;)7 b(h;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)536 917 y Fg(0)546 934 y Fj(;)g(h)589 917 y Fg(0)600 934 y Fj(;)g(y)640 917 y Fg(0)652 934 y Fn(\)]\))k(=)326 996 y Fj(p)347 1002 y Fg(\000)375 996 y Fn(\([\()p Fj(x;)c Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)598 979 y Fg(0)607 996 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]\))g(+)j Fj(p)801 1002 y Fg(\000)828 996 y Fn(\([\()p Fj(x;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g(h)1091 979 y Fg(0)1100 996 y Fj(;)g Fn(0\)]\))h(+)i Fj(p)1255 1002 y Fg(\000)1283 996 y Fn(\([\()p Fj(x;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)f Fn(0)p Fj(;)h(y)1582 979 y Fg(0)1591 996 y Fn(\)]\))i(+)326 1059 y Fj(p)347 1065 y Fg(\000)375 1059 y Fn(\([\(0)p Fj(;)e(h;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)598 1041 y Fg(0)607 1059 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]\))g(+)j Fj(p)801 1065 y Fg(\000)829 1059 y Fn(\([\(0)p Fj(;)d(h;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g(h)1092 1041 y Fg(0)1100 1059 y Fj(;)g Fn(0\)]\))i(+)g Fj(p)1255 1065 y Fg(\000)1283 1059 y Fn(\([\(0)p Fj(;)e(h;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)f(y)1582 1041 y Fg(0)1592 1059 y Fn(\)]\))j(+)326 1121 y Fj(p)347 1127 y Fg(\000)375 1121 y Fn(\([\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)595 1104 y Fg(0)605 1121 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]\))g(+)j Fj(p)799 1127 y Fg(\000)827 1121 y Fn(\([\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g(h)1087 1104 y Fg(0)1096 1121 y Fj(;)g Fn(0\)]\))h(+)i Fj(p)1251 1127 y Fg(\000)1279 1121 y Fn(\([\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\(0)p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g(y)1576 1104 y Fg(0)1586 1121 y Fn(\)]\))257 1212 y(In)20 b(the)f(last)g (expression,)j(the)e(\014fth,)g(sixth,)g(eigh)o(th)f(and)g(nin)o(th)g (term)f(v)n(anish)h(b)o(y)g(the)257 1262 y(assumption)13 b(that)h Fj(L)595 1268 y Ff(0)623 1262 y Fh(\010)9 b Fj(L)692 1268 y Ff(+)734 1262 y Fn(is)14 b(a)f(Lie)h(subalgebra,)g(and) f(w)o(e)h(are)h(left)e(with:)415 1353 y Fj(p)436 1359 y Fg(\000)464 1353 y Fn(\([\()p Fj(x;)7 b(h;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)690 1336 y Fg(0)700 1353 y Fj(;)g(h)743 1336 y Fg(0)754 1353 y Fj(;)g(y)794 1336 y Fg(0)806 1353 y Fn(\)]\))k(=)522 1416 y([)p Fj(x;)c(x)601 1398 y Fg(0)611 1416 y Fn(])i(+)g Fj(\036)698 1422 y Fg(\000)726 1416 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)822 1398 y Fg(0)834 1416 y Fn(\))g Fh(\000)g Fj(\036)925 1422 y Fg(\000)953 1416 y Fn(\()p Fj(h)993 1398 y Fg(0)1005 1416 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))g(+)h Fj( )1155 1422 y Fg(\000)1183 1416 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)1276 1398 y Fg(0)1288 1416 y Fn(\))g Fh(\000)f Fj( )1382 1422 y Fg(\000)1410 1416 y Fn(\()p Fj(y)1447 1398 y Fg(0)1460 1416 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))257 1507 y(By)18 b(similar)d(calculations)i(one)g(arriv)o (es)h(at)f(the)h(form)e(of)g(the)i(other)g(t)o(w)o(o)f(comp)q(onen)o (ts.)257 1557 y(The)d(Jacobi)f(iden)o(tit)o(y)g(for)g Fj(L)g Fn(implies)f(that)h(the)h(compatibilit)o(y)c(conditions)j(in)g (Theorem)257 1606 y(3.2)g(hold.)18 b(As)c(an)g(example,)e(w)o(e)i(pro)o (v)o(e)g(the)g(\014rst)h(part)f(of)f(the)i(third)f(condition:)261 1698 y Fh(f)p Fn([)p Fj(x;)7 b(x)361 1681 y Fg(0)371 1698 y Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(g)k Fn(=)h Fj(p)520 1704 y Ff(0)539 1698 y Fn(\([\(0)p Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn([\()p Fj(x;)g Fn(0)p Fj(;)f Fn(0\))p Fj(;)h Fn(\()p Fj(x)925 1681 y Fg(0)933 1698 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]]\))455 1760 y(=)12 b Fj(p)520 1766 y Ff(0)539 1760 y Fn(\([[\(0)p Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x;)g Fn(0)p Fj(;)f Fn(0\)])p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)936 1743 y Fg(0)945 1760 y Fj(;)h Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]\))g(+)j Fj(p)1139 1766 y Ff(0)1157 1760 y Fn(\([\()p Fj(x;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn([\(0)p Fj(;)g Fn(0)o Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)1543 1743 y Fg(0)1552 1760 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]]\))455 1822 y(=)12 b Fj(p)520 1828 y Ff(0)539 1822 y Fn(\([\()p Fj( )610 1828 y Fg(\000)637 1822 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b Fh(f)p Fj(x;)g(y)q Fh(g)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj( )949 1828 y Ff(+)977 1822 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)1161 1805 y Fg(0)1173 1822 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\)]\))572 1885 y(+)i Fj(p)634 1891 y Ff(0)653 1885 y Fn(\([\()p Fj(x;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj( )879 1891 y Fg(\000)904 1885 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)997 1867 y Fg(0)1010 1885 y Fn(\))p Fj(;)g Fh(f)p Fj(x)1090 1867 y Fg(0)1101 1885 y Fj(;)g(y)q Fh(g)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj( )1240 1891 y Ff(+)1267 1885 y Fn(\()p Fj(x)1307 1867 y Fg(0)1319 1885 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)]\))455 1947 y(=)12 b Fh(\000f)p Fj(x)576 1930 y Fg(0)588 1947 y Fj(;)7 b( )634 1953 y Ff(+)661 1947 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)j Fn(+)f Fh(f)p Fj(x;)e( )933 1953 y Ff(+)960 1947 y Fn(\()p Fj(x)1000 1930 y Fg(0)1011 1947 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)257 2038 y Fn(The)15 b(other)f(conditions)g(can)g(b)q(e)g(v)o(eri\014ed)h(similarly)l(.)g Fc(\003)257 2146 y Fi(3.4)31 b Fn(Of)13 b(course,)h(there)g(is)f(an)g (analogue)f(of)g(the)i(\014rst)g(construction)g(for)f(Lie)g (coalgebras.)257 2196 y(A)19 b(v)o(ery)f(sp)q(ecial)g(case)h(hereof)g (will)d(b)q(e)j(su\016cien)o(t)g(for)e(our)h(later)h(purp)q(oses.)32 b(W)m(e)17 b(shall)257 2246 y(call)11 b(the)i(Lie)e(coalgebra)g (structure)j(that)e(is)g(obtained)f(in)g(the)i(follo)o(wing)c(Prop)q (osition)i(the)257 2296 y(t)o(w)o(o-sided)j(cosemidirect)g(pro)q(duct)h (of)e Fj(L)911 2302 y Fg(\000)939 2296 y Fj(;)7 b(L)986 2302 y Ff(0)1018 2296 y Fn(and)14 b Fj(L)1127 2302 y Ff(+)1155 2296 y Fn(.)257 2395 y Fi(Prop)q(osition)33 b Fn(Supp)q(ose)17 b(that)f Fj(L)821 2401 y Fg(\000)849 2395 y Fj(;)7 b(L)896 2401 y Ff(+)939 2395 y Fn(and)15 b Fj(L)1049 2401 y Ff(0)1084 2395 y Fn(are)h(Lie)f(coalgebras.)24 b(Supp)q(ose)16 b(that)257 2445 y Fj(L)285 2451 y Ff(+)330 2445 y Fn(is)h(a)g(p)q(ositiv)o(e)g Fj(L)598 2451 y Ff(0)617 2445 y Fn(-Lie)g(como)q(dule)e(via)i Fj(\016)982 2451 y Ff(+)1027 2445 y Fn(:)f Fj(L)1083 2451 y Ff(+)1128 2445 y Fh(!)g Fj(L)1214 2451 y Ff(0)1244 2445 y Fh(\012)c Fj(L)1316 2451 y Ff(+)1344 2445 y Fn(,)17 b(and)g(that)g Fj(L)1578 2451 y Fg(\000)1624 2445 y Fn(is)g(a)953 2628 y(18)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 257 262 a Fn(negativ)o(e)12 b Fj(L)447 268 y Ff(0)466 262 y Fn(-como)q(dule)f(via)g Fj(\016)748 268 y Fg(\000)788 262 y Fn(:)g Fj(L)839 268 y Fg(\000)879 262 y Fh(!)g Fj(L)960 268 y Ff(0)984 262 y Fh(\012)5 b Fj(L)1049 268 y Fg(\000)1078 262 y Fn(.)17 b(Supp)q(ose)c(in)f (addition)f(that)h Fj(\016)1583 268 y Ff(+)1623 262 y Fn(and)257 311 y Fj(\016)275 317 y Fg(\000)316 311 y Fn(are)g(co)q(deriv)n(ations.)17 b(Then)12 b Fj(L)784 317 y Fg(\000)818 311 y Fh(\010)5 b Fj(L)883 317 y Ff(0)907 311 y Fh(\010)g Fj(L)972 317 y Ff(+)1012 311 y Fn(is)12 b(a)g(Lie)f(coalgebra)h(with)f(the)i(copro)q(duct:)266 389 y(\001\(\()p Fj(x;)7 b(h;)g(y)q Fn(\)\))12 b(=)319 456 y(\()p Fj(x)359 462 y Ff(1)377 456 y Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)563 462 y Ff(2)581 456 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\000)i Fn(\(0)p Fj(;)d(x)807 439 y Ff(1)824 456 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\()p Fj(x)970 439 y Ff(2)989 456 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h(+)h(\()p Fj(x)1174 439 y Ff(2)1193 456 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j Fn(\(0)p Fj(;)d(x)1418 439 y Ff(1)1436 456 y Fj(;)g Fn(0\))481 519 y(+)j(\(0)p Fj(;)d(h)603 525 y Ff(1)621 519 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(h)807 525 y Ff(2)825 519 y Fj(;)g Fn(0\))481 586 y Fh(\000)j Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)639 592 y Ff(1)656 586 y Fn(\))j Fh(\012)f Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)839 592 y Ff(2)857 586 y Fn(\))i(+)h(\(0)p Fj(;)d(y)1001 569 y Ff(1)1019 586 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1242 569 y Ff(2)1260 586 y Fn(\))j Fh(\000)f Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1444 569 y Ff(2)1462 586 y Fn(\))j Fh(\012)f Fn(\(0)p Fj(;)e(y)1606 569 y Ff(1)1625 586 y Fj(;)g Fn(0\))257 677 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(By)13 b(de\014nition,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)g(to)f(pro)o(v)o(e)h (that)f(\001)h(induces)g(a)g(Lie)f(algebra)g(structure)257 727 y(on)h(the)g(dual)f(v)o(ector)h(space.)18 b Fj(L)752 712 y Fg(\003)752 737 y(\000)787 727 y Fh(\010)6 b Fj(L)853 712 y Fg(\003)853 737 y Ff(0)879 727 y Fh(\010)g Fj(L)945 712 y Fg(\003)945 737 y Ff(+)986 727 y Fn(can)13 b(b)q(e)g(iden)o (ti\014ed)g(with)f(\()p Fj(L)1433 733 y Fg(\000)1468 727 y Fh(\010)6 b Fj(L)1534 733 y Ff(0)1560 727 y Fh(\010)g Fj(L)1626 733 y Ff(+)1654 727 y Fn(\))1670 712 y Fg(\003)257 777 y Fn(via)13 b(the)i(isomorphism:)683 855 y Fj(L)711 837 y Fg(\003)711 865 y(\000)748 855 y Fh(\010)10 b Fj(L)818 837 y Fg(\003)818 865 y Ff(0)846 855 y Fh(\010)g Fj(L)916 837 y Fg(\003)916 865 y Ff(+)955 855 y Fh(!)h Fn(\()p Fj(L)1052 861 y Fg(\000)1090 855 y Fh(\010)e Fj(L)1159 861 y Ff(0)1187 855 y Fh(\010)h Fj(L)1257 861 y Ff(+)1285 855 y Fn(\))1301 837 y Fg(\003)528 917 y Fn(\()p Fj(x)568 900 y Fg(\003)587 917 y Fj(;)d(h)630 900 y Fg(\003)649 917 y Fj(;)g(y)689 900 y Fg(\003)708 917 y Fn(\))12 b Fh(7!)f Fn(\(\()p Fj(x;)c(h;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g Fj(x)1032 900 y Fg(\003)1051 917 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))e(+)h Fj(h)1182 900 y Fg(\003)1201 917 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))f(+)h Fj(y)1329 900 y Fg(\003)1348 917 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\))257 994 y(De\014ne)591 1044 y Fj(\036)616 1050 y Ff(+)654 1044 y Fn(:)h Fj(L)705 1027 y Fg(\003)705 1054 y Ff(0)736 1044 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)907 1027 y Fg(\003)907 1054 y Ff(+)936 1044 y Fn(\))42 b Fj(\036)1019 1050 y Fg(\000)1058 1044 y Fn(:)11 b Fj(L)1109 1027 y Fg(\003)1109 1054 y Ff(0)1140 1044 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)1311 1027 y Fg(\003)1311 1054 y(\000)1340 1044 y Fn(\))257 1111 y(b)o(y)17 b(\()p Fj(\036)359 1117 y Ff(+)386 1111 y Fn(\()p Fj(h)426 1096 y Fg(\003)445 1111 y Fn(\)\()p Fj(y)498 1096 y Fg(\003)518 1111 y Fn(\)\)\()p Fj(y)q Fn(\))h(=)e Fj(h)693 1096 y Fg(\003)712 1111 y Fn(\()p Fj(y)749 1096 y Ff(1)768 1111 y Fn(\))p Fj(y)805 1096 y Fg(\003)825 1111 y Fn(\()p Fj(y)862 1096 y Ff(2)882 1111 y Fn(\))h(and)f(\()p Fj(\036)1039 1117 y Fg(\000)1067 1111 y Fn(\()p Fj(h)1107 1096 y Fg(\003)1126 1111 y Fn(\)\()p Fj(x)1182 1096 y Fg(\003)1201 1111 y Fn(\)\)\()p Fj(x)p Fn(\))g(=)g Fh(\000)p Fj(h)1409 1096 y Fg(\003)1429 1111 y Fn(\()p Fj(x)1469 1096 y Ff(1)1487 1111 y Fn(\))p Fj(x)1527 1096 y Fg(\003)1546 1111 y Fn(\()p Fj(x)1586 1096 y Ff(2)1604 1111 y Fn(\).)26 b(It)257 1160 y(follo)o(ws)18 b(from)f(Prop)q(osition) i(2.1)f(that)h Fj(\036)923 1166 y Ff(+)950 1160 y Fn(\()p Fj(h)990 1145 y Fg(\003)1009 1160 y Fn(\))g(and)g Fj(\036)1155 1166 y Fg(\000)1183 1160 y Fn(\()p Fj(h)1223 1145 y Fg(\003)1242 1160 y Fn(\))g(in)g(fact)g(are)g(deriv)n(ations)257 1210 y(and)14 b(that)h Fj(\036)454 1216 y Ff(+)495 1210 y Fn(and)f Fj(\036)601 1216 y Fg(\000)643 1210 y Fn(are)h(Lie)f(algebra)g (homom)o(orphism)o(s.)i(Using)f(this)f(notation,)f(the)257 1260 y(induced)18 b(Lie)g(brac)o(k)o(et)g(on)f(the)h(dual)e(v)o(ector)i (space)h(can)e(b)q(e)h(written)g(in)f(the)h(follo)o(wing)257 1310 y(form:)320 1387 y([\()p Fj(x)372 1370 y Fg(\003)391 1387 y Fj(;)o(h)426 1370 y Fg(\003)445 1387 y Fj(;)7 b(y)485 1370 y Fg(\003)505 1387 y Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)580 1370 y Fg(0)q(\003)610 1387 y Fj(;)g(h)653 1370 y Fg(0)q(\003)683 1387 y Fj(;)g(y)723 1370 y Fg(0)r(\003)754 1387 y Fn(\)]\()p Fj(x;)g(h;)g(y)q Fn(\))326 1450 y(=)12 b(\(\()p Fj(x)426 1433 y Fg(\003)445 1450 y Fj(;)7 b(h)488 1433 y Fg(\003)506 1450 y Fj(;)g(y)546 1433 y Fg(\003)566 1450 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)673 1433 y Fg(0)q(\003)703 1450 y Fj(;)d(h)746 1433 y Fg(0)q(\003)776 1450 y Fj(;)g(y)816 1433 y Fg(0)r(\003)847 1450 y Fn(\)\)\(\()p Fj(x)935 1456 y Ff(1)954 1450 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)1140 1456 y Ff(2)1158 1450 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))411 1517 y Fh(\000)j Fn(\(0)p Fj(;)d(x)533 1500 y Ff(1)551 1517 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)697 1500 y Ff(2)715 1517 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h(+)h(\()p Fj(x)900 1500 y Ff(2)919 1517 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e(x)1144 1500 y Ff(1)1162 1517 y Fj(;)g Fn(0\))i(+)g(\(0)p Fj(;)e(h)1348 1523 y Ff(1)1366 1517 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(h)1552 1523 y Ff(2)1570 1517 y Fj(;)g Fn(0\))411 1585 y Fh(\000)j Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)569 1591 y Ff(1)586 1585 y Fn(\))j Fh(\012)f Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)769 1591 y Ff(2)787 1585 y Fn(\))i(+)h(\(0)p Fj(;)d(y)931 1567 y Ff(1)950 1585 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1173 1567 y Ff(2)1191 1585 y Fn(\))i Fh(\000)h Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1375 1567 y Ff(2)1393 1585 y Fn(\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e(y)1536 1567 y Ff(1)1555 1585 y Fj(;)g Fn(0\)\))335 1652 y(=)k Fj(x)402 1635 y Fg(\003)421 1652 y Fn(\()p Fj(x)461 1658 y Ff(1)480 1652 y Fn(\))p Fj(x)520 1635 y Fg(0)q(\003)550 1652 y Fn(\()p Fj(x)590 1658 y Ff(2)609 1652 y Fn(\))e Fh(\000)h Fj(h)700 1635 y Fg(\003)719 1652 y Fn(\()p Fj(x)759 1635 y Ff(1)777 1652 y Fn(\))p Fj(x)817 1635 y Fg(0)r(\003)848 1652 y Fn(\()p Fj(x)888 1635 y Ff(2)906 1652 y Fn(\))g(+)f Fj(x)997 1635 y Fg(\003)1016 1652 y Fn(\()p Fj(x)1056 1635 y Ff(2)1074 1652 y Fn(\))p Fj(h)1114 1635 y Fg(0)r(\003)1145 1652 y Fn(\()p Fj(x)1185 1635 y Ff(1)1204 1652 y Fn(\))411 1719 y(+)h Fj(h)477 1702 y Fg(\003)496 1719 y Fn(\()p Fj(h)536 1725 y Ff(1)555 1719 y Fn(\))p Fj(h)595 1702 y Fg(0)q(\003)625 1719 y Fn(\()p Fj(h)665 1725 y Ff(2)684 1719 y Fn(\))f Fh(\000)h Fj(y)772 1702 y Fg(\003)792 1719 y Fn(\()p Fj(y)828 1725 y Ff(1)847 1719 y Fn(\))p Fj(y)884 1702 y Fg(0)s(\003)916 1719 y Fn(\()p Fj(y)952 1725 y Ff(2)971 1719 y Fn(\))f(+)h Fj(h)1062 1702 y Fg(\003)1081 1719 y Fn(\()p Fj(y)1118 1702 y Ff(1)1137 1719 y Fn(\))p Fj(y)1174 1702 y Fg(0)s(\003)1206 1719 y Fn(\()p Fj(y)1243 1702 y Ff(2)1263 1719 y Fn(\))f Fh(\000)h Fj(y)1351 1702 y Fg(\003)1370 1719 y Fn(\()p Fj(y)1407 1702 y Ff(2)1427 1719 y Fn(\))p Fj(h)1467 1702 y Fg(0)r(\003)1498 1719 y Fn(\()p Fj(y)1535 1702 y Ff(1)1554 1719 y Fn(\))331 1782 y(=)h(\([)p Fj(x)426 1765 y Fg(\003)445 1782 y Fj(;)c(x)488 1765 y Fg(0)q(\003)518 1782 y Fn(])i(+)g Fj(\036)605 1788 y Fg(\000)633 1782 y Fn(\()p Fj(h)673 1765 y Fg(\003)692 1782 y Fn(\)\()p Fj(x)748 1765 y Fg(0)r(\003)779 1782 y Fn(\))g Fh(\000)h Fj(\036)871 1788 y Fg(\000)898 1782 y Fn(\()p Fj(h)938 1765 y Fg(0)r(\003)969 1782 y Fn(\)\()p Fj(x)1025 1765 y Fg(\003)1044 1782 y Fn(\))p Fj(;)d Fn([)p Fj(h)1115 1765 y Fg(\003)1133 1782 y Fj(;)g(h)1176 1765 y Fg(0)q(\003)1207 1782 y Fn(])p Fj(;)411 1844 y Fh(\000)j Fn([)p Fj(y)486 1827 y Fg(\003)505 1844 y Fj(;)d(y)545 1827 y Fg(0)r(\003)576 1844 y Fn(])i(+)h Fj(\036)664 1850 y Ff(+)691 1844 y Fn(\()p Fj(h)731 1827 y Fg(\003)750 1844 y Fn(\)\()p Fj(y)803 1827 y Fg(0)s(\003)835 1844 y Fn(\))f Fh(\000)h Fj(\036)927 1850 y Ff(+)954 1844 y Fn(\()p Fj(h)994 1827 y Fg(0)r(\003)1025 1844 y Fn(\)\()p Fj(y)1078 1827 y Fg(\003)1098 1844 y Fn(\)\)\()p Fj(x;)d(h;)g(y)q Fn(\))257 1922 y(W)m(e)16 b(see)i(that)e(this)g(brac)o(k)o(et)h(has)f (the)h(form)d(of)i(the)h(\014rst)g(construction,)g(where)g Fj( )1588 1928 y Ff(+)1616 1922 y Fj(;)7 b( )1662 1928 y Fg(\000)257 1971 y Fn(and)12 b Fh(f\001)p Fj(;)7 b Fh(\001g)j Fn(are)i(equal)g(to)g(zero)h(and)f(the)g(Lie)g(brac)o(k)o (et)h(of)e Fj(L)1175 1956 y Fg(\003)1175 1982 y Ff(+)1215 1971 y Fn(is)g(replaced)i(b)o(y)f(its)g(negativ)o(e.)257 2021 y(It)19 b(is)f(easy)h(to)g(see)h(that)e(the)h(compatibilit)o(y)d (conditions)i(ab)q(o)o(v)o(e)g(are)h(satis\014ed)g(in)f(this)257 2071 y(situation,)12 b(therefore)j(pro)o(ving)d(that)h(w)o(e)h(ha)o(v)o (e)e(de\014ned)j(a)d(Lie)h(algebra)g(structure)i(on)e(the)257 2121 y(dual)h(v)o(ector)g(space.)p Fc(\003)257 2226 y Fi(3.5)31 b Fn(The)13 b(\014rst)h(construction)g(con)o(tains)f(as)g(sp) q(ecial)g(case)h(a)e(construction)i(that)f(in)o(v)o(olv)o(es)257 2276 y(t)o(w)o(o)i(Lie)f(algebras)h(whic)o(h)g(o)q(ccur)g(as)g (summands)e(of)h(a)h(larger)f(one.)21 b(This)15 b(construction,)257 2326 y(whic)o(h)10 b(is)g(attributed)h(to)f(M.)g(T)m(ak)o(euc)o(hi)f (in)h([2)o(],)g(is)g(called)g(the)h(bismash)e(pro)q(duct.)18 b(Supp)q(ose)257 2376 y(that)e Fj(L)377 2382 y Fg(\000)420 2376 y Fn(and)g Fj(L)531 2382 y Ff(+)574 2376 y Fn(are)g(t)o(w)o(o)e (Lie)i(algebras.)22 b(Supp)q(ose)16 b(further)h(that)e(there)i(are)f(t) o(w)o(o)f(Lie)257 2426 y(algebra)f(morphisms:)575 2503 y Fj( )602 2509 y Ff(+)641 2503 y Fn(:)d Fj(L)692 2509 y Fg(\000)732 2503 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)909 2509 y Ff(+)936 2503 y Fn(\))42 b Fj( )1021 2509 y Fg(\000)1061 2503 y Fn(:)11 b Fj(L)1112 2509 y Ff(+)1151 2503 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1328 2509 y Fg(\000)1356 2503 y Fn(\))953 2628 y(19)p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 257 262 a Fn(suc)o(h)17 b(that)g(the)g(follo)o(wing)c (conditions)j(are)h(satis\014ed:)24 b(F)m(or)16 b(all)f Fj(x;)7 b(x)1355 246 y Fg(0)1381 262 y Fh(2)15 b Fj(L)1452 268 y Fg(\000)1497 262 y Fn(and)h(for)g(all)257 311 y Fj(y)e Fh(2)d Fj(L)358 317 y Ff(+)400 311 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)460 402 y Fj( )487 408 y Fg(\000)515 402 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\([)p Fj(x;)7 b(x)663 384 y Fg(0)674 402 y Fn(]\))12 b(=[)p Fj( )785 408 y Fg(\000)812 402 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(x)964 384 y Fg(0)976 402 y Fn(])i(+)h([)p Fj(x;)d( )1121 408 y Fg(\000)1147 402 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)1240 384 y Fg(0)1253 402 y Fn(\)])755 464 y(+)j Fj( )824 470 y Fg(\000)852 464 y Fn(\()p Fj( )895 470 y Ff(+)922 464 y Fn(\()p Fj(x)962 447 y Fg(0)974 464 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)p Fn(\))h Fh(\000)e Fj( )1194 470 y Fg(\000)1222 464 y Fn(\()p Fj( )1265 470 y Ff(+)1293 464 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)1458 447 y Fg(0)1471 464 y Fn(\))257 556 y(F)m(or)14 b(all)f Fj(x)e Fh(2)g Fj(L)492 562 y Fg(\000)534 556 y Fn(and)j(for)f(all)g Fj(y)q(;)7 b(y)797 541 y Fg(0)821 556 y Fh(2)k Fj(L)888 562 y Ff(+)930 556 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)463 646 y Fj( )490 652 y Ff(+)518 646 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)663 629 y Fg(0)675 646 y Fn(]\))k(=)q([)p Fj( )786 652 y Ff(+)813 646 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fj(;)c(y)962 629 y Fg(0)975 646 y Fn(])i(+)g([)p Fj(y)q(;)e( )1116 652 y Ff(+)1144 646 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1237 629 y Fg(0)1249 646 y Fn(\)])756 708 y(+)i Fj( )824 714 y Ff(+)852 708 y Fn(\()p Fj( )895 714 y Fg(\000)923 708 y Fn(\()p Fj(y)960 691 y Fg(0)973 708 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)q Fn(\))h Fh(\000)g Fj( )1193 714 y Ff(+)1221 708 y Fn(\()p Fj( )1264 714 y Fg(\000)1292 708 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)1454 691 y Fg(0)1468 708 y Fn(\))257 798 y(In)k(this)g(situation,)f(w)o(e)h(can)g(carry)h(out)e(the)i(follo) o(wing)c(construction:)257 897 y Fi(Theorem)36 b Fn(Let)14 b Fj(L)e Fn(:=)f Fj(L)678 903 y Fg(\000)716 897 y Fh(\010)e Fj(L)785 903 y Ff(+)813 897 y Fn(.)18 b(Then)d Fj(L)f Fn(is)f(a)h(Lie)g(algebra)f(with)h(the)g(brac)o(k)o(et:)303 987 y([\()p Fj(x;)7 b(y)q Fn(\))p Fj(;)o Fn(\()p Fj(x)462 970 y Fg(0)474 987 y Fj(;)g(y)514 970 y Fg(0)525 987 y Fn(\)])12 b(=)422 1050 y(\([)p Fj(x;)7 b(x)517 1033 y Fg(0)527 1050 y Fn(])i(+)h(\()p Fj( )633 1056 y Fg(\000)661 1050 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)754 1033 y Fg(0)766 1050 y Fn(\))g Fh(\000)f Fj( )860 1056 y Fg(\000)888 1050 y Fn(\()p Fj(y)925 1033 y Fg(0)938 1050 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))p Fj(;)e Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1118 1033 y Fg(0)1130 1050 y Fn(])i(+)g(\()p Fj( )1235 1056 y Ff(+)1263 1050 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1356 1033 y Fg(0)1369 1050 y Fn(\))g Fh(\000)h Fj( )1463 1056 y Ff(+)1490 1050 y Fn(\()p Fj(x)1530 1033 y Fg(0)1542 1050 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))257 1150 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(This)10 b(is)g(simply)e(the)j(case)g(of)e(the)i(\014rst)g(construction)g(where) g Fj(L)1404 1156 y Ff(0)1435 1150 y Fn(=)g Fh(f)p Fn(0)p Fh(g)p Fn(.)16 b(There-)257 1200 y(fore,)e Fj(\036)376 1206 y Ff(+)403 1200 y Fj(;)7 b(\036)447 1206 y Fg(\000)488 1200 y Fn(and)14 b Fh(f\001)p Fj(;)7 b Fh(\001g)12 b Fn(are)i(also)f(equal)h(to)g(zero.)19 b Fc(\003)257 1307 y Fi(3.6)31 b Fn(The)17 b(construction)h(ab)q(o)o(v)o(e)e(is)h(closely) g(in)o(terrelated)h(with)e(the)i(\014rst)f(construction)257 1357 y(in)e([15)o(],)f([16)o(].)21 b(Namely)m(,)12 b(the)k(en)o(v)o (eloping)e(algebra)g(of)h Fj(L)g Fn(can)g(b)q(e)h(constructed)h(from)c (the)257 1407 y(en)o(v)o(eloping)18 b(algebras)f(of)h Fj(L)711 1413 y Fg(\000)739 1407 y Fj(;)7 b(L)786 1413 y Ff(0)822 1407 y Fn(and)18 b Fj(L)935 1413 y Ff(+)981 1407 y Fn(b)o(y)f(the)i(\014rst)f(construction)h(in)f([15)o(].)30 b(This)257 1457 y(will)17 b(not)h(b)q(e)g(needed)i(in)d(the)i(sequel,)g (and)f(w)o(e)g(shall)g(only)f(outline)g(the)i(construction.)257 1507 y(Denote)f(the)g(en)o(v)o(eloping)e(algebras)h(b)o(y)g Fj(A)g Fn(=)g Fh(U)t Fn(\()p Fj(L)1082 1513 y Fg(\000)1111 1507 y Fn(\))p Fj(;)7 b(H)19 b Fn(=)f Fh(U)t Fn(\()p Fj(L)1324 1513 y Ff(0)1343 1507 y Fn(\))f(and)g Fj(B)j Fn(=)d Fh(U)t Fn(\()p Fj(L)1634 1513 y Ff(+)1662 1507 y Fn(\).)257 1556 y(W)m(e)j(turn)h Fj(A)f Fn(and)g Fj(B)i Fn(in)o(to)e(Y)m(etter-Drinfel'd)f(mo)q(dules)h(in)f(the)i(follo)o (wing)c(w)o(a)o(y:)30 b(The)257 1606 y(deriv)n(ation)14 b Fj(\036)478 1612 y Fg(\000)506 1606 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))g(for)g Fj(h)e Fh(2)g Fj(L)744 1612 y Ff(0)777 1606 y Fn(extends)k(uniquely)e(to)g(a)g(deriv)n(ation)g(of)f(the)i(en)o (v)o(eloping)257 1656 y(algebra)10 b Fj(A)i Fn(=)g Fh(U)t Fn(\()p Fj(L)560 1662 y Fg(\000)588 1656 y Fn(\).)17 b(In)11 b(this)f(w)o(a)o(y)m(,)f(w)o(e)i(get)g(a)f(Lie)g(algebra)g (homomorphi)o(sm)d(from)h Fj(L)1623 1662 y Ff(0)1653 1656 y Fn(to)257 1706 y Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(A)p Fn(\))k(whic)o(h)f (b)o(y)g(the)h(univ)o(ersal)e(prop)q(ert)o(y)i(of)e(en)o(v)o(eloping)h (algebras)f(yields)h(an)g(algebra)257 1756 y(map)f(from)g Fj(H)15 b Fn(=)d Fh(U)t Fn(\()p Fj(L)611 1762 y Ff(0)630 1756 y Fn(\))g(to)f Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(A)p Fn(\))h(that)g(giv)o(es) f(rise)h(to)g(a)f(left)h Fj(H)s Fn(-mo)q(dule)e(structure)k(on)257 1806 y Fj(A)p Fn(.)21 b(Cho)q(osing)14 b(the)h(trivial)e(left)h Fj(H)s Fn(-como)q(dule)f(structure)k(one)e(can)g(c)o(hec)o(k)g(that)g (w)o(e)g(ha)o(v)o(e)257 1855 y(constructed)h(a)e(Y)m(etter-Drinfel'd)g (mo)q(dule)e(structure)k(on)e Fj(A)g Fn(whic)o(h)f(ob)o(viously)g (satis\014es)807 1947 y Fj(h)f Fh(!)f Fj(x)g Fn(=)h Fj(\036)1000 1953 y Fg(\000)1027 1947 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))257 2038 y(whenev)o(er)21 b(it)e(happ)q(ens)h(that)f Fj(h)i Fh(2)f Fj(L)876 2044 y Ff(0)914 2038 y Fn(and)f Fj(x)h Fh(2)h Fj(L)1121 2044 y Fg(\000)1149 2038 y Fn(,)f(where)g(the)g (arro)o(w)f(is)g(used)i(to)257 2088 y(indicate)c(the)h(action)f(of)f (an)h(elemen)o(t)f Fj(h)h Fh(2)f Fj(H)k Fn(on)d(an)g(elemen)o(t)f Fj(x)h Fh(2)f Fj(A)p Fn(.)28 b(By)17 b(a)g(similar)257 2138 y(reasoning)12 b(w)o(e)g(can)g(endo)o(w)g Fj(B)i Fn(with)e(the)g(structure)i(of)d(a)h(righ)o(t)f(Y)m(etter-Drinfel'd)h (mo)q(dule)257 2187 y(that)i(satis\014es)793 2237 y Fj(y)g Fh( )d Fj(h)g Fn(=)h Fh(\000)p Fj(\036)1016 2243 y Ff(+)1043 2237 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))257 2312 y(for)i Fj(h)d Fh(2)h Fj(L)424 2318 y Ff(0)456 2312 y Fn(and)i Fj(y)f Fh(2)f Fj(L)638 2318 y Ff(+)665 2312 y Fn(.)320 2362 y(It)i(is)f(sligh)o(tly)g(more)g(di\016cult)g(to)h(pro) o(v)o(e)g(that)g(there)h(are)f(unique)g(mappings)473 2453 y Fj(*)p Fn(:)d Fj(B)h Fh(\012)d Fj(A)j Fh(!)f Fj(A)95 b(\))p Fn(:)10 b Fj(B)i Fh(\012)e Fj(A)h Fh(!)g Fj(B)86 b(])12 b Fn(:)f Fj(B)g Fh(\012)f Fj(A)i Fh(!)f Fj(H)953 2628 y Fn(20)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 257 262 a Fn(that)18 b(satisfy)f(the)h(compatibilit)o(y)d (conditions)i(listed)h(in)f([15)o(])g(and)g(are)h(determined)g(on)257 311 y(generators)d(b)o(y)f(the)h(equations:)433 393 y Fj(y)e(*)e(x)g Fn(=)h Fj( )625 399 y Fg(\000)653 393 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))84 b Fj(y)14 b(\()d(x)g Fn(=)h Fh(\000)p Fj( )1071 399 y Ff(+)1099 393 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))84 b Fj(y)q(]x)12 b Fn(=)g Fh(f)p Fj(x;)7 b(y)q Fh(g)257 475 y Fn(for)17 b Fj(x)e Fh(2)h Fj(L)435 481 y Fg(\000)480 475 y Fn(and)g Fj(y)i Fh(2)e Fj(L)673 481 y Ff(+)701 475 y Fn(.)26 b(After)17 b(this)g(has)g(b)q(een)g(established,)h(w)o(e)f(can)f(in)o(tro)q(duce)i (a)257 525 y(copro)q(duct)d(and)f(a)g(pro)q(duct)g(on)g Fj(A)9 b Fh(\012)h Fj(H)i Fh(\012)e Fj(B)16 b Fn(b)o(y)e(the)g (equations)475 606 y(\001\()p Fj(a)9 b Fh(\012)h Fj(h)f Fh(\012)g Fj(b)p Fn(\))j(=)g(\()p Fj(a)801 612 y Ff(1)829 606 y Fh(\012)d Fj(a)892 612 y Ff(2)911 589 y(1)929 606 y Fj(h)953 612 y Ff(1)981 606 y Fh(\012)h Fj(b)1041 612 y Ff(1)1059 589 y(1)1078 606 y Fn(\))f Fh(\012)h Fn(\()p Fj(a)1183 612 y Ff(2)1201 589 y(2)1229 606 y Fh(\012)g Fj(h)1295 612 y Ff(2)1313 606 y Fj(b)1331 612 y Ff(1)1350 589 y(2)1377 606 y Fh(\012)g Fj(b)1437 612 y Ff(2)1455 606 y Fn(\))299 720 y(\()p Fj(a)f Fh(\012)h Fj(h)f Fh(\012)g Fj(b)p Fn(\)\()p Fj(a)534 703 y Fg(0)555 720 y Fh(\012)h Fj(h)621 703 y Fg(0)642 720 y Fh(\012)f Fj(b)701 703 y Fg(0)713 720 y Fn(\))i(=)507 788 y Fj(a)p Fn(\()p Fj(h)569 794 y Ff(1)599 788 y Fh(!)g Fn(\()p Fj(b)686 794 y Ff(1)704 771 y(1)735 788 y Fj(*)g(a)810 771 y Fg(0)810 798 y Ff(1)828 788 y Fn(\)\))f Fh(\012)f Fj(h)935 794 y Ff(2)954 788 y Fj(b)972 794 y Ff(1)990 771 y(2)1009 788 y Fn(\()p Fj(b)1043 794 y Ff(2)1061 788 y Fj(]a)1099 771 y Fg(0)1099 798 y Ff(2)1118 788 y Fn(\))p Fj(a)1156 771 y Fg(0)1156 798 y Ff(3)1175 771 y(1)1193 788 y Fj(h)1217 771 y Fg(0)1217 798 y Ff(1)1245 788 y Fh(\012)h Fn(\(\()p Fj(b)1337 794 y Ff(3)1367 788 y Fj(\()h(a)1442 771 y Fg(0)1442 798 y Ff(3)1461 771 y(2)1479 788 y Fn(\))h Fh( )f Fj(h)1584 771 y Fg(0)1584 798 y Ff(2)1602 788 y Fn(\))p Fj(b)1636 771 y Fg(0)257 869 y Fn(This)j(turns)h Fj(A)9 b Fh(\012)h Fj(H)i Fh(\012)d Fj(B)17 b Fn(in)o(to)c(a)h(Hopf)f(algebra)g(\(cf.)19 b([15)o(]\).)e(The)e(canonical)e(mapping)709 951 y Fj(L)737 957 y Fg(\000)774 951 y Fh(\010)d Fj(L)844 957 y Ff(0)872 951 y Fh(\010)g Fj(L)942 957 y Ff(+)981 951 y Fh(!)h Fj(A)e Fh(\012)h Fj(H)i Fh(\012)d Fj(B)257 1033 y Fn(is)14 b(a)g(Lie)g(algebra)g(homomo)o(rphism)c(and)k(therefore)i(extends)f(to) f(an)g(algebra)g(homomo)o(r-)257 1083 y(phism)678 1133 y Fh(U)t Fn(\()p Fj(L)752 1139 y Fg(\000)789 1133 y Fh(\010)c Fj(L)859 1139 y Ff(0)887 1133 y Fh(\010)g Fj(L)957 1139 y Ff(+)984 1133 y Fn(\))i Fh(!)f Fj(A)e Fh(\012)h Fj(H)i Fh(\012)e Fj(B)257 1202 y Fn(that)k(turns)h(out)f(to)g(b)q(e)g(a)g (Hopf)f(algebra)h(isomorphism)o(.)257 1337 y Fk(4)67 b(The)22 b(second)g(construction)257 1428 y Fi(4.1)31 b Fn(In)16 b(this)g(Section,)g(w)o(e)g(attac)o(h)h(under)f(some)g(tec)o (hnical)g(assumptions)f(to)h(a)f(pair)h(of)257 1478 y(Y)m (etter-Drinfel'd)i(Lie)f(algebras)g(whic)o(h)h(are)g(paired)g(via)e(a)h (Lie)h(algebra)f(biform)e(a)j(Lie)257 1528 y(algebra)h(of)g(the)h(form) e(of)h(the)h(\014rst)g(construction.)35 b(W)m(e)19 b(shall)g(describ)q (e)i(in)e(the)h(next)257 1578 y(Section)e(a)f(cohomological)c(pro)q (cedure)20 b(to)d(construct)h(suc)o(h)g(pairs)f(of)g(Y)m (etter-Drinfel'd)257 1627 y(Lie)e(algebras,)f(and)h(then)g(see)h(that)f (symmetrizable)e(Kac-Mo)q(o)q(dy)i(algebras)f(are)h(of)f(this)257 1677 y(form.)257 1783 y Fi(4.2)31 b Fn(The)12 b(follo)o(wing)e(second)k (construction)f(is)f(fundamen)o(tal.)k(W)m(e)c(shall)g(carry)h(it)f (out)g(in)257 1833 y(somewhat)h(greater)i(generalit)o(y)f(than)g (necessary)m(.)257 1927 y Fi(Theorem)36 b Fn(Supp)q(ose)19 b(that)f Fj(L)770 1933 y Ff(0)807 1927 y Fn(is)g(a)g(Lie)g(algebra.)30 b(Supp)q(ose)19 b(that)f Fj(L)1429 1933 y Ff(+)1475 1927 y Fn(and)g Fj(L)1588 1933 y Fg(\000)1634 1927 y Fn(are)257 1977 y(Y)m(etter-Drinfel'd)c(Lie)g(algebras)g(o)o(v)o(er)f Fj(L)906 1983 y Ff(0)939 1977 y Fn(and)h(that)786 2059 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 2065 y Fg(\000)960 2059 y Fh(\002)f Fj(L)1030 2065 y Ff(+)1069 2059 y Fh(!)h Fj(K)257 2141 y Fn(is)j(a)g(Lie)f(algebra)h(biform.)i(W)m (e)d(supp)q(ose)i(further)g(that)f(w)o(e)g(are)g(giv)o(en)g(a)f(linear) h(map)802 2222 y(\001)837 2228 y Ff(0)866 2222 y Fn(:)d Fj(L)917 2228 y Ff(0)948 2222 y Fh(!)g Fj(L)1029 2228 y Ff(0)1057 2222 y Fh(\012)e Fj(L)1126 2228 y Ff(0)257 2304 y Fn(whic)o(h)k(is)f(compatible)f(with)i(the)g(maps)e Fj(\016)915 2310 y Ff(+)955 2304 y Fn(:)g Fj(L)1006 2310 y Ff(+)1045 2304 y Fh(!)g Fj(L)1126 2310 y Ff(0)1152 2304 y Fh(\012)c Fj(L)1219 2310 y Ff(+)1259 2304 y Fn(and)13 b Fj(\016)1357 2310 y Fg(\000)1397 2304 y Fn(:)e Fj(L)1448 2310 y Fg(\000)1488 2304 y Fh(!)g Fj(L)1569 2310 y Ff(0)1594 2304 y Fh(\012)c Fj(L)1661 2310 y Fg(\000)257 2354 y Fn(in)14 b(the)g(follo)o(wing)e(w)o(a)o(y:)399 2436 y Fj(\016)417 2442 y Ff(+)445 2436 y Fn(\()p Fj(\036)486 2442 y Ff(+)513 2436 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))h(=)f([)p Fj(h;)7 b(y)771 2419 y Ff(1)789 2436 y Fn(])i Fh(\012)h Fj(y)873 2419 y Ff(2)901 2436 y Fn(+)g Fj(y)964 2419 y Ff(1)993 2436 y Fh(\012)f Fj(\036)1059 2442 y Ff(+)1086 2436 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1179 2419 y Ff(2)1199 2436 y Fn(\))h(+)f Fj(h)1290 2442 y Ff(1)1318 2436 y Fh(\012)g Fj(\036)1384 2442 y Ff(+)1412 2436 y Fn(\()p Fj(h)1452 2442 y Ff(2)1470 2436 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))396 2503 y Fj(\016)414 2509 y 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757 y Fg(0)1551 774 y Fh(g)888 841 y Fn(=)12 b Fh(h)p Fj(x)972 847 y Ff(2)990 841 y Fj(;)7 b(y)1030 824 y Fg(0)1042 841 y Fh(ih)p Fj(x)1098 847 y Ff(1)1117 841 y Fj(;)g(y)1157 824 y Ff(2)1176 841 y Fh(i)p Fj(y)1213 824 y Ff(1)1241 841 y Fh(\000)j(h)p Fj(x)1323 847 y Ff(2)1341 841 y Fj(;)d(y)1381 824 y Fg(0)1393 841 y Fh(ih)p Fj(x)1449 847 y Ff(1)1468 824 y(2)1487 841 y Fj(;)g(y)q Fh(i)p Fj(x)1567 847 y Ff(1)1585 824 y(1)941 909 y Fh(\000)i(h)p Fj(x)1022 915 y Ff(2)1041 909 y Fj(;)e(y)q Fh(ih)p Fj(x)1137 915 y Ff(1)1156 909 y Fj(;)g(y)1196 892 y Fg(0)r Ff(2)1226 909 y Fh(i)p Fj(y)1263 892 y Fg(0)s Ff(1)1304 909 y Fn(+)i Fh(h)p Fj(x)1385 915 y Ff(2)1404 909 y Fj(;)e(y)q Fh(ih)p Fj(x)1500 915 y Ff(1)1519 892 y(2)1537 909 y Fj(;)g(y)1577 892 y Fg(0)1589 909 y Fh(i)p Fj(x)1629 915 y Ff(1)1648 892 y(1)361 995 y Fn(Both)14 b(expressions)i(are)e(equal)g(due)g(to)g (the)g(sk)o(ew-symmetry)f(of)g(the)h(cobrac)o(k)o(et.)308 1077 y(4.)20 b(W)m(e)14 b(no)o(w)f(v)o(erify)h(condition)f(3.2.3:)571 1163 y Fj( )598 1169 y Fg(\000)626 1163 y Fn(\()p Fj(\036)667 1169 y Ff(+)694 1163 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)p Fn(\))582 1226 y(=)f Fj(x)650 1232 y Ff(1)669 1226 y Fh(h)p Fj(x)709 1232 y Ff(2)727 1226 y Fj(;)7 b(\036)771 1232 y Ff(+)798 1226 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)13 b Fn(=)f Fh(\000)p Fj(x)1036 1232 y Ff(1)1054 1226 y Fh(h)p Fj(\036)1095 1232 y Fg(\000)1123 1226 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)1219 1232 y Ff(2)1238 1226 y Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(i)582 1288 y Fn(=)12 b Fj(\036)651 1294 y Fg(\000)679 1288 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)775 1294 y Ff(1)794 1288 y Fn(\))p Fh(h)p Fj(x)850 1294 y Ff(2)868 1288 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)j(\000)f Fn(\()p Fj(\036)1016 1294 y Fg(\000)1044 1288 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))1172 1294 y Ff(1)1191 1288 y Fh(h)p Fn(\()p Fj(\036)1248 1294 y Fg(\000)1276 1288 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))1404 1294 y Ff(2)1423 1288 y Fj(;)e(y)q Fh(i)582 1350 y Fn(=)12 b Fj(\036)651 1356 y Fg(\000)679 1350 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj( )778 1356 y Fg(\000)806 1350 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))f Fh(\000)e Fj( )1010 1356 y Fg(\000)1038 1350 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(\036)1132 1356 y Fg(\000)1161 1350 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))361 1437 y(The)14 b(second)h(part)g(can)f(b)q(e)g(pro)o(v)o(ed) g(similarly)m(.)308 1518 y(5.)20 b(Finally)m(,)11 b(w)o(e)k(pro)o(v)o (e)f(condition)f(3.2.4:)392 1605 y Fh(f)p Fj(x;)7 b(\036)481 1611 y Ff(+)507 1605 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(g)j Fn(+)g Fh(f)p Fj(\036)735 1611 y Fg(\000)762 1605 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)d(y)q Fh(g)531 1672 y Fn(=)12 b(\()p Fj(\036)616 1678 y Ff(+)643 1672 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))768 1655 y Ff(1)788 1672 y Fh(h)p Fj(x;)7 b Fn(\()p Fj(\036)888 1678 y Ff(+)915 1672 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))1040 1655 y Ff(2)1060 1672 y Fh(i)j Fn(+)f Fj(y)1148 1655 y Ff(1)1168 1672 y Fh(h)p Fj(\036)1209 1678 y Fg(\000)1236 1672 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)e(y)1388 1655 y Ff(2)1408 1672 y Fh(i)620 1740 y(\000)j Fn(\()p Fj(\036)703 1746 y Fg(\000)730 1740 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))858 1723 y Ff(1)877 1740 y Fh(h)p Fn(\()p Fj(\036)934 1746 y Fg(\000)962 1740 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))1090 1723 y Ff(2)1109 1740 y Fj(;)d(y)q Fh(i)j(\000)g Fj(x)1241 1723 y Ff(1)1259 1740 y Fh(h)p Fj(x)1299 1723 y Ff(2)1317 1740 y Fj(;)d(\036)1361 1746 y Ff(+)1388 1740 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)531 1807 y Fn(=)12 b(\()p Fj(\036)616 1813 y Ff(+)643 1807 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))768 1790 y Ff(1)788 1807 y Fh(h)p Fj(x;)7 b Fn(\()p Fj(\036)888 1813 y Ff(+)915 1807 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))1040 1790 y Ff(2)1060 1807 y Fh(i)j(\000)f Fj(y)1148 1790 y Ff(1)1168 1807 y Fh(h)p Fj(x;)e(\036)1252 1813 y Ff(+)1278 1807 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1371 1790 y Ff(2)1391 1807 y Fn(\))p Fh(i)620 1874 y(\000)j Fn(\()p Fj(\036)703 1880 y Fg(\000)730 1874 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))858 1857 y Ff(1)877 1874 y Fh(h)p Fn(\()p Fj(\036)934 1880 y Fg(\000)962 1874 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))1090 1857 y Ff(2)1109 1874 y Fj(;)d(y)q Fh(i)j Fn(+)g Fj(x)1241 1857 y Ff(1)1259 1874 y Fh(h)p Fj(\036)1300 1880 y Fg(\000)1328 1874 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)1424 1857 y Ff(2)1443 1874 y Fn(\))p Fj(;)d(y)q Fh(i)531 1942 y Fn(=)12 b([)p Fj(h;)7 b(y)651 1925 y Ff(1)669 1942 y Fn(])p Fh(h)p Fj(x;)g(y)761 1925 y Ff(2)780 1942 y Fh(i)i Fn(+)g Fj(y)867 1925 y Ff(1)887 1942 y Fh(h)p Fj(x;)e(\036)971 1948 y Ff(+)997 1942 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)1090 1925 y Ff(2)1110 1942 y Fn(\))p Fh(i)j Fn(+)f Fj(h)1217 1948 y Ff(1)1236 1942 y Fh(h)p Fj(x;)e(\036)1320 1948 y Ff(+)1346 1942 y Fn(\()p Fj(h)1386 1948 y Ff(2)1405 1942 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)620 2009 y(\000)j Fj(y)683 1992 y Ff(1)702 2009 y Fh(h)p Fj(x;)d(\036)786 2015 y Ff(+)813 2009 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)906 1992 y Ff(2)925 2009 y Fn(\))p Fh(i)j(\000)f Fn([)p Fj(h;)e(x)1087 1992 y Ff(1)1105 2009 y Fn(])p Fh(h)p Fj(x)1157 1992 y Ff(2)1175 2009 y Fj(;)g(y)q Fh(i)620 2077 y(\000)j Fj(x)686 2060 y Ff(1)704 2077 y Fh(h)p Fj(\036)745 2083 y Fg(\000)773 2077 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)869 2060 y Ff(2)887 2077 y Fn(\))p Fj(;)d(y)q Fh(i)j Fn(+)g Fj(h)1035 2083 y Ff(1)1053 2077 y Fh(h)p Fj(\036)1094 2083 y Fg(\000)1122 2077 y Fn(\()p Fj(h)1162 2083 y Ff(2)1181 2077 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)d(y)q Fh(i)j Fn(+)f Fj(x)1384 2060 y Ff(1)1403 2077 y Fh(h)p Fj(\036)1444 2083 y Fg(\000)1471 2077 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)1567 2060 y Ff(2)1586 2077 y Fn(\))p Fj(;)e(y)q Fh(i)531 2144 y Fn(=)12 b([)p Fj(h;)7 b(y)651 2127 y Ff(1)669 2144 y Fn(])p Fh(h)p Fj(x;)g(y)761 2127 y Ff(2)780 2144 y Fh(i)i(\000)g Fn([)p Fj(h;)e(x)925 2127 y Ff(1)943 2144 y Fn(])p Fh(h)p Fj(x)995 2127 y Ff(2)1013 2144 y Fj(;)g(y)q Fh(i)12 b Fn(=)f([)p Fj(h;)c Fh(f)p Fj(x;)g(y)q Fh(g)p Fn(])257 2247 y(This)14 b(completes)g(the)g(pro)q(of.)k Fc(\003)257 2354 y Fi(4.3)31 b Fn(So)19 b(far,)i(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)g(not)f(used)i(an)o(y)e (compatibilit)o(y)e(conditions)j(b)q(et)o(w)o(een)h(the)f(co-)257 2403 y(pro)q(duct)e(\001)451 2409 y Ff(0)486 2403 y Fn(of)e Fj(L)564 2409 y Ff(0)600 2403 y Fn(and)h(the)g(mappings)e Fj(\016)966 2409 y Ff(+)1011 2403 y Fn(and)h Fj(\016)1112 2409 y Fg(\000)1141 2403 y Fn(.)27 b(Ho)o(w)o(ev)o(er,)17 b(if)f(w)o(e)h(imp)q(ose)f(suc)o(h)257 2453 y(assumptions,)c(something) g(more)g(can)h(b)q(e)h(said:)j Fj(L)1065 2459 y Fg(\000)1100 2453 y Fh(\010)8 b Fj(L)1168 2459 y Ff(0)1194 2453 y Fh(\010)g Fj(L)1262 2459 y Ff(+)1303 2453 y Fn(b)q(ecomes)13 b(a)g(Lie)g(bialge-)257 2503 y(bra.)953 2628 y(23)p eop %%Page: 24 24 24 23 bop 257 262 a Fi(Theorem)36 b Fn(Supp)q(ose)19 b(that)g Fj(L)771 268 y Ff(0)809 262 y Fn(is)f(a)h(Lie)f(bialgebra.)32 b(Supp)q(ose)20 b(that)e Fj(L)1470 268 y Ff(+)1517 262 y Fn(is)g(a)h(p)q(osi-)257 311 y(tiv)o(e)14 b(Y)m(etter-Drinfel'd)f (Lie)h(algebra)f(and)h(that)g Fj(L)1052 317 y Fg(\000)1094 311 y Fn(is)f(a)h(negativ)o(e)f(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)257 361 y(algebra)g(o)o(v)o(er)g Fj(L)520 367 y Ff(0)539 361 y Fn(.)k(Supp)q(ose)c(that)786 445 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 451 y Fg(\000)960 445 y Fh(\002)f Fj(L)1030 451 y Ff(+)1069 445 y Fh(!)h Fj(K)257 529 y Fn(is)16 b(a)g(Lie)f(algebra)h(biform.)21 b(F)m(urthermore,)16 b(w)o(e)g(assume)g(that)f(w)o(e)i(ha)o(v)o(e)e(for)h(all)e Fj(x)h Fh(2)f Fj(L)1661 535 y Fg(\000)257 579 y Fn(and)g Fj(y)f Fh(2)f Fj(L)439 585 y Ff(+)466 579 y Fn(:)672 628 y Fj(x)696 611 y Ff(2)724 628 y Fh(\012)d Fj(\036)790 634 y Ff(+)818 628 y Fn(\()p Fj(x)858 611 y Ff(1)876 628 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))k(=)f Fj(\036)1027 634 y Fg(\000)1055 628 y Fn(\()p Fj(y)1092 611 y Ff(1)1111 628 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))e Fh(\012)f Fj(y)1255 611 y Ff(2)257 699 y Fn(De\014ne:)420 782 y Fh(f\001)p Fj(;)e Fh(\001g)i Fn(:)j Fj(L)566 788 y Fg(\000)603 782 y Fh(\002)e Fj(L)673 788 y Ff(+)712 782 y Fh(!)h Fj(L)793 788 y Ff(0)812 782 y Fj(;)c Fn(\()p Fj(x;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g(f)p Fj(x;)c(y)q Fh(g)k Fn(:=)h Fj(y)1185 765 y Ff(1)1204 782 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)1284 765 y Ff(2)1303 782 y Fh(i)i(\000)h Fj(x)1394 765 y Ff(1)1412 782 y Fh(h)p Fj(x)1452 765 y Ff(2)1470 782 y Fj(;)d(y)q Fh(i)257 866 y Fn(Denote)15 b(the)f(coadjoin)o(t)f(action)h(corresp)q(onding)h(to)e(the)i(Lie)e (algebra)h(biform)e(b)o(y)511 950 y Fj( )538 956 y Ff(+)577 950 y Fn(:)f Fj(L)628 956 y Fg(\000)668 950 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)845 956 y Ff(+)873 950 y Fn(\))41 b(resp.)i Fj( )1085 956 y Fg(\000)1124 950 y Fn(:)11 b Fj(L)1175 956 y Ff(+)1215 950 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1392 956 y Fg(\000)1420 950 y Fn(\))257 1034 y(Then)k Fj(L)394 1040 y Fg(\000)431 1034 y Fh(\010)10 b Fj(L)501 1040 y Ff(0)529 1034 y Fh(\010)f Fj(L)598 1040 y Ff(+)640 1034 y Fn(b)q(ecomes)14 b(a)g(Lie)f(bialgebra)g(with)h (the)h(Lie)e(brac)o(k)o(et:)419 1117 y([\()p Fj(x;)7 b(h;)g(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)629 1099 y Fg(0)639 1117 y Fj(;)g(h)682 1099 y Fg(0)693 1117 y 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Ff(1)684 1987 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)p Fj(x)764 1993 y Ff(2)793 1987 y Fn(+)12 b Fj(x)861 1972 y Ff(1)879 1987 y Fh(h)p Fj(x)919 1972 y Ff(2)938 1987 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)k(\000)g Fj(y)1069 1972 y Ff(1)1089 1987 y Fh(h)p Fj(x;)c(y)1169 1972 y Ff(2)1188 1987 y Fh(i)k Fn(+)g Fj(y)1278 1993 y Ff(1)1297 1987 y Fh(h)p Fj(x;)c(y)1376 1993 y Ff(2)1394 1987 y Fh(i)p Fn(\),)17 b(whic)o(h)g(is)f(just)361 2037 y(\001\([)p Fj(x;)7 b(y)q Fn(]\).)1129 b Fc(\003)257 2145 y Fi(4.4)31 b Fn(F)m(or)16 b(the)i(rest)h(of)d(this)i(Section,)g(w)o(e)f(shall)g(discuss)h(v)n (arious)f(sp)q(ecial)h(cases)g(of)f(the)257 2194 y(second)e (construction.)k(The)c(simplest)e(sp)q(ecial)h(case)h(is)e(the)i(one)f (where)h Fj(L)1453 2200 y Ff(+)1495 2194 y Fn(is)e(zero:)257 2294 y Fi(Corollary)35 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)e Fj(L)770 2300 y Ff(0)802 2294 y Fn(is)h(a)f(Lie)g(bialgebra.)k(Supp)q(ose)d (that)g Fj(L)1423 2300 y Fg(\000)1464 2294 y Fn(is)g(a)f(negativ)o(e) 257 2344 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Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)571 407 y Ff(2)589 401 y Fj(;)d Fn(0\))i Fh(\000)g Fn(\(0)p Fj(;)e(x)775 384 y Ff(1)793 401 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)900 384 y Ff(2)918 401 y Fj(;)d Fn(0\))i(+)g(\()p Fj(x)1064 384 y Ff(2)1083 401 y Fj(;)e Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(x)1269 384 y Ff(1)1287 401 y Fn(\))i(+)g(\(0)p Fj(;)e(h)1433 407 y Ff(1)1451 401 y Fn(\))j Fh(\012)f Fn(\(0)p Fj(;)e(h)1598 407 y Ff(2)1616 401 y Fn(\))257 505 y Fi(4.5)31 b Fn(The)14 b(second)h(construction)f(con)o(tains)g(as)g(a)f(sp)q(ecial)h(case)h (the)f(construction)h(of)e(the)257 555 y(classical)h(double)g(due)g(to) g(V.)f(G.)g(Drinfel'd)g(\(cf.)18 b([5],)12 b(p.)18 b(816,)13 b(cf.)18 b(also)13 b([4])g(and)h([2)o(]\).)257 643 y Fi(Corollary)35 b Fn(Supp)q(ose)15 b(that)f Fj(L)771 649 y Ff(+)813 643 y Fn(and)g Fj(L)922 649 y Fg(\000)964 643 y Fn(are)g(Lie)g(bialgebras.)j(Supp)q(ose)e(that)786 715 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 721 y Fg(\000)960 715 y Fh(\002)f Fj(L)1030 721 y Ff(+)1069 715 y Fh(!)h Fj(K)257 787 y Fn(is)j(a)g(bilinear)f(form)f(with)h(the)i (follo)o(wing)c(prop)q(erties:)308 855 y(1.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x)g Fh(2)f Fj(L)596 861 y Fg(\000)638 855 y Fn(and)j Fj(y)q(;)7 b(y)780 840 y Fg(0)804 855 y Fh(2)k Fj(L)871 861 y Ff(+)913 855 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)k Fh(h)p Fj(x)1126 861 y Ff(1)1144 855 y Fj(;)7 b(y)q Fh(ih)p Fj(x)1240 861 y Ff(2)1259 855 y Fj(;)g(y)1299 840 y Fg(0)1311 855 y Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(h)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1515 840 y Fg(0)1526 855 y Fn(])p Fh(i)308 930 y Fn(2.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(x;)7 b(x)560 915 y Fg(0)582 930 y Fh(2)12 b Fj(L)650 936 y Fg(\000)692 930 y Fn(and)h Fj(y)h Fh(2)d Fj(L)873 936 y Ff(+)915 930 y Fn(w)o(e)j(ha)o(v)o(e:)k Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)1167 936 y Ff(1)1185 930 y Fh(ih)p Fj(x)1241 915 y Fg(0)1253 930 y Fj(;)g(y)1292 936 y Ff(2)1310 930 y Fh(i)12 b Fn(=)f Fh(h)p Fn([)p Fj(x;)c(x)1476 915 y Fg(0)1487 930 y Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(i)257 998 y Fn(Denote)15 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Fj(;)e Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1118 1258 y Fg(0)1130 1275 y Fn(])i(+)g(\()p Fj( )1235 1281 y Ff(+)1263 1275 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1356 1258 y Fg(0)1369 1275 y Fn(\))g Fh(\000)h Fj( )1463 1281 y Ff(+)1490 1275 y Fn(\()p Fj(x)1530 1258 y Fg(0)1542 1275 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))257 1345 y(and)k(the)h(cobrac)o(k)o(et:)564 1417 y(\001\(\()p Fj(x;)7 b(y)q Fn(\)\))k(=)h(\()p Fj(x)822 1423 y Ff(1)841 1417 y Fj(;)7 b Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)987 1423 y Ff(2)1005 1417 y Fj(;)d Fn(0\))i Fh(\000)g Fn(\(0)p Fj(;)e(y)1187 1423 y Ff(1)1206 1417 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d(y)1349 1423 y Ff(2)1367 1417 y Fn(\))257 1505 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(This)14 b(is)g(just)g(the)g (case)h(of)e(the)i(second)g(construction)g(where)g Fj(L)1440 1511 y Ff(0)1470 1505 y Fn(=)d Fh(f)p Fn(0)p Fh(g)p Fn(.)17 b Fc(\003)257 1582 y Fn(Note)f(that)g(in)f(the)i(case)f(where)h Fj(L)814 1588 y Fg(\000)858 1582 y Fn(is)f(\014nite)g(dimensional,)d Fj(L)1280 1588 y Ff(+)1323 1582 y 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Fj(;)d Fn(\()p Fj(x;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g Fn(\()p Fj(v)i Fh(7!)e Fj(x)p Fn(\()p Fj(v)1209 1974 y Ff(1)1229 1991 y Fn(\))p Fj(v)1266 1974 y Ff(2)1294 1991 y Fn(+)f Fj(\036)1361 1997 y Ff(+)1388 1991 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))257 2063 y(is)20 b(a)f(Lie)g(algebra)g (homomorphi)o(sm)o(.)32 b(Con)o(v)o(ersely)m(,)20 b(if)f Fj(\036)h Fn(:)h Fj(L)1272 2069 y Fg(\000)1313 2063 y Fh(\010)13 b Fj(L)1386 2069 y Ff(+)1435 2063 y Fh(!)20 b Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)9 b Fn(\))20 b(is)257 2113 y(a)d(Lie)g(algebra)g(homomorphism)c(and)k Fj(y)918 2119 y Ff(1)937 2113 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(y)1056 2119 y Fe(n)1096 2113 y Fn(is)17 b(a)g(basis)g(of)g Fj(L)1363 2119 y Ff(+)1408 2113 y Fn(with)g(dual)f(basis)257 2163 y Fj(y)278 2148 y Fg(\003)277 2173 y Ff(1)298 2163 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(y)419 2148 y Fg(\003)418 2173 y Fe(n)455 2163 y Fn(in)14 b Fj(L)532 2169 y Fg(\000)560 2163 y Fn(,)h(then)g Fj(V)24 b Fn(b)q(ecomes)15 b(a)f(negativ)o(e)g(Y)m (etter-Drinfel'd)h(Lie)f(mo)q(dule)f(o)o(v)o(er)257 2212 y Fj(L)285 2218 y Ff(+)327 2212 y Fn(b)o(y)h(de\014ning:)600 2284 y Fj(\036)625 2290 y Ff(+)663 2284 y Fn(:)d Fj(L)714 2290 y Ff(+)754 2284 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(V)e Fn(\))p Fj(;)e(y)13 b Fh(7!)e Fn(\()p Fj(v)i Fh(7!)e Fj(\036)p Fn(\(0)p Fj(;)c(y)q Fn(\)\()p Fj(v)q Fn(\)\))594 2390 y Fj(\016)612 2396 y Ff(+)651 2390 y Fn(:)k Fj(V)21 b Fh(!)11 b Fj(L)800 2396 y Ff(+)838 2390 y Fh(\012)e Fj(V)r(;)e(v)13 b Fh(7!)1030 2338 y Fe(n)1010 2350 y Fd(X)1013 2439 y Fe(i)p Ff(=1)1077 2390 y Fj(y)1097 2396 y Fe(i)1120 2390 y Fh(\012)d Fj(\036)p Fn(\()p Fj(y)1224 2372 y Fg(\003)1223 2400 y Fe(i)1244 2390 y Fj(;)d Fn(0\)\()p Fj(v)q Fn(\))257 2503 y(The)15 b(pro)q(of)e(is)h(based)g(on)g(direct)h (v)o(eri\014cation)e(and)h(is)g(omitted.)953 2628 y(27)p eop %%Page: 28 28 28 27 bop 257 262 a Fi(4.6)31 b Fn(It)12 b(should)f(b)q(e)i(emphasized) f(that)g(the)g(conditions)g(on)f(the)i(in)o(terrelation)f(of)f Fj(L)1583 268 y Ff(+)1623 262 y Fn(and)257 311 y Fj(L)285 317 y Fg(\000)326 311 y Fn(imp)q(osed)g(in)g(Theorem)h(4.3)f(are)h(not) g(those)h(whic)o(h)e(in)o(terrelate)i(canonically)e(a)h(v)o(ector)257 361 y(space)17 b(and)e(its)g(dual.)22 b(This)16 b(is)f(b)q(ecause)i(w)o (e)f(ha)o(v)o(e)f(not)g(assumed)g(that)h(the)g(Lie)f(algebra)257 411 y(biform)e(b)q(e)i(strict,)g(and)f(b)q(ecause)i(w)o(e)f(ha)o(v)o(e) f(assumed)h(that)f Fj(L)1248 417 y Fg(\000)1291 411 y Fn(b)q(e)h(negativ)o(e)f(instead)h(of)257 461 y(p)q(ositiv)o(e.)24 b(As)17 b(in)e(the)i(deformed)e(case,)i(it)f(remains)f(an)h(op)q(en)g (problem)f(to)h(attac)o(h)g(to)g(a)257 511 y(\(\014nite)i (dimensional\))c(Y)m(etter-Drinfel'd)j(Lie)g(algebra)f Fj(L)1183 517 y Ff(+)1228 511 y Fn(a)h(canonical)f(other)i(Y)m(etter-) 257 560 y(Drinfel'd)10 b(Lie)g(algebra)h(in)f(suc)o(h)h(a)g(w)o(a)o(y)f (that)g(the)i(conditions)e(of)g(the)h(ab)q(o)o(v)o(e)g(Theorem)f(are) 257 610 y(satis\014ed.)23 b(Ho)o(w)o(ev)o(er,)15 b(w)o(e)g(can)h(do)f (this)g(in)f(a)h(sp)q(ecial)h(case)g(where)g(the)g(Y)m(etter-Drinfel'd) 257 660 y(Lie)e(algebras)g(are)g(symmetric:)257 756 y Fi(Corollary)35 b Fn(Supp)q(ose)12 b(that)g Fj(L)766 762 y Ff(0)795 756 y Fn(is)f(a)g(coab)q(elian)g(Lie)g(bialgebra.)16 b(Supp)q(ose)c(that)f Fj(L)1584 762 y Ff(+)1623 756 y Fn(and)257 806 y Fj(L)285 812 y Fg(\000)327 806 y Fn(are)k(p)q(ositiv)o (e)e(symmetric)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)h(algebras)g(o)o(v)o(er)g Fj(L)1402 812 y Ff(0)1420 806 y Fn(.)k(Supp)q(ose)d(that)786 892 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 898 y Fg(\000)960 892 y Fh(\002)f Fj(L)1030 898 y Ff(+)1069 892 y Fh(!)h Fj(K)257 978 y Fn(is)j(a)g(nondegenerate)h(strict)g(Lie)f (algebra)f(biform.)j(De\014ne:)293 1064 y Fh(f\001)p Fj(;)7 b Fh(\001g)i Fn(:)i Fj(L)438 1070 y Fg(\000)476 1064 y Fh(\002)e Fj(L)545 1070 y Ff(+)585 1064 y Fh(!)i Fj(L)666 1070 y Ff(0)685 1064 y Fj(;)18 b Fn(\()p Fj(x;)7 b(y)q Fn(\))k Fh(7!)g(f)p Fj(x;)c(y)q Fh(g)k Fn(:=)h Fj(y)1069 1047 y Ff(1)1088 1064 y 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y(The)c(follo)o(wing)c(Prop)q(osition)i(describ)q(es)j(the)f (\014rst)g(step:)257 609 y Fi(Prop)q(osition)d(1)21 b Fn(Supp)q(ose)h(that)f Fj(L)855 615 y Ff(0)894 609 y Fn(is)g(a)f(Lie)h(bialgebra.)37 b(Supp)q(ose)22 b(that)f Fj(L)1572 615 y Ff(+)1620 609 y Fn(is)g(a)257 659 y(p)q(ositiv)o(e)13 b(Y)m(etter-Drinfel'd)h(Lie)f(algebra)g(and)g(that)g Fj(L)1122 665 y Fg(\000)1164 659 y Fn(is)g(a)g(negativ)o(e)h(Y)m (etter-Drinfel'd)257 709 y(Lie)g(algebra)g(o)o(v)o(er)f Fj(L)589 715 y Ff(0)608 709 y Fn(.)18 b(Supp)q(ose)d(that)786 798 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 804 y Fg(\000)960 798 y Fh(\002)f Fj(L)1030 804 y Ff(+)1069 798 y Fh(!)h Fj(K)257 887 y Fn(is)j(a)g(Lie)f(algebra)h(biform.)i(W)m (e)d(assume)h(that)g(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f(for)h(all)f Fj(x)e Fh(2)g Fj(L)1383 893 y Fg(\000)1425 887 y Fn(and)j Fj(y)f Fh(2)e Fj(L)1606 893 y Ff(+)1634 887 y Fn(:)308 969 y(1.)20 b Fj(y)382 954 y Ff(1)402 969 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)482 954 y Ff(2)500 969 y Fh(i)12 b Fn(=)g Fj(x)596 954 y Ff(1)614 969 y Fh(h)p Fj(x)654 954 y Ff(2)673 969 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)308 1051 y Fn(2.)20 b Fj(x)385 1036 y Ff(2)413 1051 y Fh(\012)9 b Fj(\036)479 1057 y Ff(+)507 1051 y Fn(\()p Fj(x)547 1036 y Ff(1)565 1051 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))k(=)f Fj(\036)716 1057 y Fg(\000)743 1051 y Fn(\()p Fj(y)780 1036 y Ff(1)800 1051 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))d Fh(\012)h Fj(y)944 1036 y Ff(2)257 1133 y Fn(Denote)15 b(the)f(coadjoin)o(t)f(action)h(corresp)q(onding)h(to)e(the)i(Lie)e (algebra)h(biform)e(b)o(y)511 1222 y Fj( )538 1228 y Ff(+)577 1222 y Fn(:)f Fj(L)628 1228 y Fg(\000)668 1222 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)845 1228 y Ff(+)873 1222 y Fn(\))41 b(resp.)i Fj( )1085 1228 y Fg(\000)1124 1222 y Fn(:)11 b Fj(L)1175 1228 y Ff(+)1215 1222 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1392 1228 y Fg(\000)1420 1222 y Fn(\))257 1311 y(Then)16 b Fj(L)f Fn(:=)e Fj(L)495 1317 y Fg(\000)534 1311 y Fh(\010)d Fj(L)604 1317 y Ff(+)648 1311 y Fn(b)q(ecomes)15 b(a)g(negativ)o(e)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f(Lie)g (algebra)g(with)g(the)257 1361 y(Lie)f(brac)o(k)o(et:)369 1440 y([\()p Fj(x)o(;)7 b(y)q Fn(\))p Fj(;)g Fn(\()p Fj(x)535 1422 y Fg(0)547 1440 y Fj(;)g(y)587 1422 y Fg(0)599 1440 y Fn(\)])k(=)420 1502 y(\([)p Fj(x;)c(x)515 1485 y Fg(0)526 1502 y Fn(])h(+)i Fj( )615 1508 y Fg(\000)643 1502 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)736 1485 y Fg(0)749 1502 y Fn(\))f Fh(\000)g Fj( )842 1508 y Fg(\000)870 1502 y Fn(\()p Fj(y)907 1485 y Fg(0)920 1502 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)e Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1084 1485 y Fg(0)1096 1502 y Fn(])i(+)g Fj( )1185 1508 y Ff(+)1213 1502 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1306 1485 y Fg(0)1319 1502 y Fn(\))g Fh(\000)g Fj( )1412 1508 y Ff(+)1440 1502 y Fn(\()p Fj(x)1480 1485 y Fg(0)1492 1502 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))257 1589 y(the)15 b(cobrac)o(k)o(et:)519 1679 y(\001\(\()p Fj(x;)7 b(y)q Fn(\)\))12 b(=)f(\()p Fj(x)777 1685 y Ff(1)796 1679 y Fj(;)c Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)942 1685 y Ff(2)960 1679 y Fj(;)d Fn(0\))i Fh(\000)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1182 1685 y Ff(1)1200 1679 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1383 1685 y Ff(2)1400 1679 y Fn(\))p Fj(;)257 1768 y Fn(the)15 b(action:)772 1857 y Fj(\036)c Fn(:)g Fj(L)859 1863 y Ff(0)889 1857 y Fh(!)g Fj(D)r(er)q Fn(\()p Fj(L)1061 1863 y Fg(\000)1099 1857 y Fh(\010)e Fj(L)1168 1863 y Ff(+)1196 1857 y Fn(\))643 1920 y Fj(h)j Fh(7!)f Fn(\(\()p Fj(x;)c(y)q Fn(\))12 b Fh(7!)f Fn(\()p Fj(\036)950 1926 y Fg(\000)978 1920 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)c(\036)1134 1926 y Ff(+)1161 1920 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))257 2009 y(and)14 b(the)h(coaction:) 798 2098 y Fj(\016)e Fn(:)e Fj(L)h Fh(!)f Fj(L)973 2104 y Ff(0)1001 2098 y Fh(\012)f Fj(L)668 2166 y Fn(\()p Fj(x;)d(y)q Fn(\))12 b Fh(7!)p Fj(x)842 2149 y Ff(1)869 2166 y Fh(\012)e Fn(\()p Fj(x)951 2149 y Ff(2)969 2166 y Fj(;)d Fn(0\))i Fh(\000)g Fj(y)1096 2149 y Ff(1)1125 2166 y Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d(y)1244 2149 y Ff(2)1262 2166 y Fn(\))257 2264 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(W)m(e)15 b(\014rst)g(pro)o(v)o(e)g(that)g Fj(L)g Fn(is)f(a)h(Lie)f(algebra.)21 b(Observ)o(e)16 b(that)f(our)f(assumptions)257 2314 y(su\016ce)e(to)f (carry)g(out)g(the)h(second)g(construction)g(in)e(the)i(form)d(of)h (Theorem)h(4.3)e(to)i(obtain)257 2364 y(a)k(Lie)f(algebra)g Fj(L)537 2370 y Fg(\000)575 2364 y Fh(\010)c Fj(L)645 2370 y Ff(0)674 2364 y Fh(\010)g Fj(L)744 2370 y Ff(+)771 2364 y Fn(.)20 b(Our)15 b(\014rst)h(assumption)d(sa)o(ys)i(precisely)g (that)g(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)257 2414 y Fh(f)p Fj(x;)7 b(y)q Fh(g)k Fn(=)h(0)i(for)f(all)g Fj(x)e Fh(2)g Fj(L)676 2420 y Fg(\000)705 2414 y Fj(;)18 b(y)13 b Fh(2)e Fj(L)835 2420 y Ff(+)863 2414 y Fn(,)i(and)h(therefore)i(the)e(map)566 2503 y Fj(L)594 2509 y Fg(\000)632 2503 y Fh(\010)9 b Fj(L)701 2509 y Ff(+)741 2503 y Fh(!)i Fj(L)822 2509 y Fg(\000)859 2503 y Fh(\010)f Fj(L)929 2509 y Ff(0)957 2503 y Fh(\010)f Fj(L)1026 2509 y Ff(+)1054 2503 y Fj(;)18 b Fn(\()p Fj(x;)7 b(y)q Fn(\))12 b Fh(7!)f Fn(\()p Fj(x;)c Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))953 2628 y(29)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 257 262 a Fn(is)15 b(a)f(Lie)h(algebra)f(homomo)o(rphism)o(.) k(Therefore,)d Fj(L)g Fn(is)g(isomorphic)e(to)h(a)g(subalgebra)h(of)257 311 y(a)f(Lie)g(algebra)f(and)h(is)g(therefore)h(itself)e(a)h(Lie)g (algebra.)320 361 y(Of)d(the)h(remaining)e(conditions,)h(there)i(are)f (three)h(that)f(are)g(not)f(v)o(ery)h(easy)m(.)17 b(W)m(e)12 b(ha)o(v)o(e)257 411 y(to)i(pro)o(v)o(e)g(that)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))g(is)g(a)f(deriv)n(ation:)600 492 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\([)p Fj(z)r(;)7 b(z)770 474 y Fg(0)781 492 y Fn(]\))12 b(=)f([)p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(z)r Fn(\))p Fj(;)c(z)1050 474 y Fg(0)1061 492 y Fn(])i(+)h([)p Fj(x;)d(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(z)1297 474 y Fg(0)1307 492 y Fn(\)])p Fj(;)257 572 y Fn(that)14 b Fj(\016)i Fn(is)e(a)g(1-co)q(cycle:)636 653 y Fj(\016)r Fn(\([)p Fj(z)r(;)7 b(z)745 636 y Fg(0)756 653 y Fn(]\))k(=)h Fj(z)860 636 y Ff(1)888 653 y Fh(\012)e Fn([)p Fj(z)963 636 y Ff(2)981 653 y Fj(;)d(z)1021 636 y Fg(0)1032 653 y Fn(])i(+)h Fj(z)1116 636 y Fg(0)q Ff(1)1155 653 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(z)r(;)d(z)1270 636 y Fg(0)q Ff(2)1299 653 y Fn(])257 733 y(and)19 b(that)g(the)g(cob)q(oundary)g (of)f(the)h(copro)q(duct)h(is)e(determined)h(the)g(action)f(and)h(the) 257 783 y(coaction:)322 864 y(\001\([)p Fj(z)r(;)7 b(z)446 847 y Fg(0)456 864 y Fn(]\))i Fh(\000)h Fj(z)r(:)p Fn(\001\()p Fj(z)640 847 y Fg(0)651 864 y Fn(\))f(+)h Fj(z)739 847 y Fg(0)750 864 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(z)r Fn(\))h(=)441 931 y Fj(z)462 914 y Ff(2)489 931 y Fh(\012)f Fj(\036)p Fn(\()p Fj(z)593 914 y Ff(1)612 931 y Fn(\)\()p Fj(z)665 914 y Fg(0)677 931 y Fn(\))f Fh(\000)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(z)806 914 y Ff(1)824 931 y Fn(\)\()p Fj(z)877 914 y Fg(0)889 931 y Fn(\))g Fh(\012)f Fj(z)977 914 y Ff(2)1005 931 y Fn(+)h Fj(\036)p Fn(\()p Fj(z)1109 914 y Fg(0)q Ff(1)1139 931 y Fn(\)\()p Fj(z)r Fn(\))g Fh(\012)f Fj(z)1280 914 y Fg(0)r Ff(2)1320 931 y Fh(\000)g Fj(z)1382 914 y Fg(0)r Ff(2)1422 931 y Fh(\012)g Fj(\036)p Fn(\()p Fj(z)1525 914 y Fg(0)r Ff(1)1556 931 y Fn(\)\()p Fj(z)r Fn(\))257 1012 y(for)16 b(all)e Fj(z)r(;)7 b(z)443 997 y Fg(0)469 1012 y Fh(2)14 b Fj(L)p Fn(.)24 b(In)16 b(all)e(three)j (cases)g(w)o(e)f(can)g(assume)f(that)h Fj(z)h Fn(=)d(\()p Fj(x;)7 b Fn(0\))p Fj(;)21 b(z)1512 997 y Fg(0)1538 1012 y Fn(=)15 b(\(0)p Fj(;)7 b(y)q Fn(\).)257 1062 y(W)m(e)14 b(ha)o(v)o(e:)494 1142 y Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\([)p Fj(z)r(;)7 b(z)664 1125 y Fg(0)675 1142 y Fn(]\))k(=)h(\()p Fh(\000)p Fj(\036)831 1148 y Fg(\000)859 1142 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj( )958 1148 y Fg(\000)986 1142 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))p Fj(;)7 b(\036)1155 1148 y Ff(+)1183 1142 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj( )1282 1148 y Ff(+)1310 1142 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))494 1205 y([)p Fj(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(z)r Fn(\))p Fj(;)g(z)680 1188 y Fg(0)691 1205 y Fn(])k(=)h(\()p Fh(\000)p Fj( )833 1211 y Fg(\000)861 1205 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(\036)955 1211 y Fg(\000)984 1205 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\))p Fj(;)7 b( )1158 1211 y Ff(+)1186 1205 y Fn(\()p Fj(\036)1227 1211 y Fg(\000)1255 1205 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))494 1267 y([)p Fj(z)r(;)g(\036)p Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(z)664 1250 y Fg(0)675 1267 y Fn(\)])k(=)h(\()p Fh(\000)p Fj( )833 1273 y Fg(\000)861 1267 y Fn(\()p Fj(\036)902 1273 y Ff(+)930 1267 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b( )1157 1273 y Ff(+)1185 1267 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(\036)1282 1273 y Ff(+)1310 1267 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))257 1348 y(The)16 b(assertion)g(no)o(w)f(follo)o(ws)f(from)g (condition)h(3.2.3)e(whic)o(h)j(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f(already)g(v)o (eri\014ed)257 1397 y(in)f(the)g(pro)q(of)g(of)f(Theorem)g(4.3.)k(W)m (e)d(no)o(w)f(pro)o(v)o(e)h(that)g Fj(\016)i Fn(is)e(a)g(1-co)q(cycle.) k(W)m(e)c(ha)o(v)o(e:)475 1478 y Fj(\016)r Fn(\([)p Fj(z)r(;)7 b(z)584 1461 y Fg(0)595 1478 y Fn(]\))12 b(=)f Fj(\016)r Fn(\(\()p Fh(\000)p Fj( )789 1484 y Fg(\000)818 1478 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)c( )973 1484 y Ff(+)1001 1478 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\)\))635 1545 y(=)k Fh(\000)p Fj(x)734 1551 y Ff(1)753 1528 y(1)781 1545 y Fh(\012)e Fn(\()p Fj(x)862 1551 y Ff(1)881 1528 y(2)900 1545 y Fj(;)e Fn(0\))p Fh(h)p Fj(x)996 1551 y Ff(2)1013 1545 y Fj(;)g(y)q Fh(i)j(\000)g Fj(y)1141 1551 y Ff(1)1160 1528 y(1)1187 1545 y Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)d(y)1305 1551 y Ff(1)1323 1528 y(2)1342 1545 y Fn(\))p Fh(h)p Fj(x;)g(y)1437 1551 y Ff(2)1455 1545 y Fh(i)257 1626 y Fn(On)15 b(the)f(other)h(hand,)e(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)g(b)o(y)f (our)h(\014rst)h(assumption:)353 1707 y Fj(z)r(:\016)r Fn(\()p Fj(z)443 1690 y Fg(0)454 1707 y Fn(\))10 b Fh(\000)f Fj(z)542 1690 y Fg(0)554 1707 y Fj(:\016)r Fn(\()p Fj(z)r Fn(\))i(=)362 1774 y Fh(\000)e Fj(y)424 1757 y Ff(1)453 1774 y Fh(\012)h Fn(\()p Fh(\000)p Fj( )570 1780 y Fg(\000)598 1774 y Fn(\()p Fj(y)635 1757 y Ff(2)655 1774 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)d( )773 1780 y Ff(+)800 1774 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)893 1757 y Ff(2)913 1774 y Fn(\)\))i Fh(\000)h Fj(x)1020 1757 y Ff(1)1047 1774 y Fh(\012)g Fn(\()p Fj( )1132 1780 y Fg(\000)1160 1774 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)1253 1757 y Ff(2)1272 1774 y Fn(\))p Fj(;)d Fh(\000)p Fj( )1366 1780 y Ff(+)1394 1774 y Fn(\()p Fj(x)1434 1757 y Ff(2)1452 1774 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\)\))13 b(=)353 1842 y Fj(y)374 1824 y Ff(1)402 1842 y Fh(\012)d Fn(\()p Fj(x)484 1848 y Ff(1)502 1842 y Fj(;)d Fn(0\))p Fh(h)p Fj(x)598 1848 y Ff(2)616 1842 y Fj(;)g(y)656 1824 y Ff(2)675 1842 y Fh(i)i(\000)h Fj(y)763 1824 y Ff(1)792 1842 y Fh(\012)f Fn(\(0)p Fj(;)e(y)910 1824 y Ff(2)929 1848 y(1)948 1842 y Fn(\))p Fh(h)p Fj(x;)g(y)1044 1824 y Ff(2)1063 1848 y(2)1081 1842 y Fh(i)611 1909 y(\000)i Fj(x)676 1892 y Ff(1)704 1909 y Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)786 1892 y Ff(2)804 1915 y(1)823 1909 y Fj(;)d Fn(0\))p Fh(h)p Fj(x)919 1892 y Ff(2)937 1915 y(2)955 1909 y Fj(;)g(y)q Fh(i)j Fn(+)f Fj(x)1086 1892 y Ff(1)1114 1909 y Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e(y)1231 1915 y Ff(1)1250 1909 y Fn(\))p Fh(h)p Fj(x)1306 1892 y Ff(2)1324 1909 y Fj(;)g(y)1363 1915 y Ff(2)1382 1909 y Fh(i)k Fn(=)353 1976 y Fj(x)377 1982 y Ff(2)395 1959 y(1)423 1976 y Fh(\012)e Fn(\()p Fj(x)504 1982 y Ff(1)523 1976 y Fj(;)e Fn(0\))p Fh(h)p Fj(x)619 1982 y Ff(2)637 1959 y(2)655 1976 y Fj(;)g(y)q Fh(i)j(\000)g Fj(y)784 1959 y Ff(1)812 1976 y Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)d(y)931 1959 y Ff(2)950 1982 y(1)968 1976 y Fn(\))p Fh(h)p Fj(x;)g(y)1064 1959 y Ff(2)1083 1982 y(2)1102 1976 y Fh(i)611 2044 y(\000)i Fj(x)676 2027 y Ff(1)704 2044 y Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)786 2027 y Ff(2)804 2050 y(1)823 2044 y Fj(;)d Fn(0\))p Fh(h)p Fj(x)919 2027 y Ff(2)937 2050 y(2)955 2044 y Fj(;)g(y)q Fh(i)j Fn(+)f Fj(y)1082 2050 y Ff(2)1101 2027 y(1)1129 2044 y Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d(y)1247 2050 y Ff(1)1265 2044 y Fn(\))p Fh(h)p Fj(x;)g(y)1360 2050 y Ff(2)1378 2027 y(2)1397 2044 y Fh(i)257 2124 y Fn(Both)19 b(expressions)h(are)f(equal)f(since)h Fj(\016)898 2130 y Ff(+)944 2124 y Fn(and)f Fj(\016)1047 2130 y Fg(\000)1094 2124 y Fn(are)h(co)q(deriv)n(ations.)31 b(W)m(e)18 b(lea)o(v)o(e)g(the)257 2174 y(v)o(eri\014cation)c(of)f(the) i(third)f(condition)f(to)h(the)g(reader.)19 b Fc(\003)257 2254 y Fn(It)11 b(is)g(no)o(w)g(v)o(ery)g(easy)g(to)g(see)h(that)f(if)f (one)h(applies)g(Corollary)f(4.4)f(to)i(the)h(negativ)o(e)f(Y)m(etter-) 257 2304 y(Drinfel'd)k(Lie)h(algebra)g Fj(L)681 2310 y Fg(\000)720 2304 y Fh(\010)10 b Fj(L)790 2310 y Ff(+)818 2304 y Fn(,)16 b(the)h(resulting)f(Lie)g(bialgebra)f(\()p Fj(L)1391 2310 y Fg(\000)1430 2304 y Fh(\010)c Fj(L)1501 2310 y Ff(+)1529 2304 y Fn(\))g Fh(\010)g Fj(L)1627 2310 y Ff(0)1662 2304 y Fn(is)257 2354 y(isomorphic)18 b(to)i(the)g(Lie)f (bialgebra)g Fj(L)896 2360 y Fg(\000)937 2354 y Fh(\010)14 b Fj(L)1011 2360 y Ff(0)1043 2354 y Fh(\010)f Fj(L)1116 2360 y Ff(+)1163 2354 y Fn(resulting)20 b(from)e(Theorem)h(4.3.)257 2403 y(Ho)o(w)o(ev)o(er,)14 b(it)f(seems)h(to)g(b)q(e)g(obscure)h(in)f (whic)o(h)f(w)o(a)o(y)g(w)o(e)h(can)g(arriv)o(e)g(at)f(input)h(data)f (that)257 2453 y(satisfy)i(the)g(assumptions)e(in)h(the)h(ab)q(o)o(v)o (e)f(Prop)q(osition.)19 b(But)c(in)f(fact)h(these)h(input)e(data)257 2503 y(can)g(b)q(e)h(obtained)f(from)e(sk)o(ew-symmetric)g(Y)m (etter-Drinfel'd)i(Lie)g(algebras:)953 2628 y(30)p eop %%Page: 31 31 31 30 bop 257 262 a Fi(Prop)q(osition)12 b(2)21 b Fn(Supp)q(ose)c(that) g Fj(L)846 268 y Ff(+)890 262 y Fn(is)f(a)g(\014nite)g(dimensional)e (sk)o(ew-symmetric)h(p)q(os-)257 311 y(itiv)o(e)20 b(Y)m (etter-Drinfel'd)g(Lie)g(algebra)g(o)o(v)o(er)g Fj(L)1014 317 y Ff(0)1033 311 y Fn(.)37 b(Then)21 b(there)g(is)f(a)g(unique)h (negativ)o(e)257 361 y(Y)m(etter-Drinfel'd)15 b(Lie)f(algebra)g (structure)j(on)d(the)h(dual)f(v)o(ector)h(space)h Fj(L)1442 367 y Fg(\000)1483 361 y Fn(:=)c Fj(L)1567 346 y Fg(\003)1567 371 y Ff(+)1610 361 y Fn(suc)o(h)257 411 y(that)i(the)h(ev)n(aluation) 659 502 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)j Fn(:)h Fj(L)795 508 y Fg(\000)833 502 y Fh(\002)e Fj(L)902 508 y Ff(+)942 502 y Fh(!)i Fj(K)q(;)c Fn(\()p Fj(f)r(;)g(y)q Fn(\))12 b Fh(7!)f Fj(f)t Fn(\()p Fj(y)q Fn(\))257 594 y(satis\014es:)308 677 y(1.)20 b Fh(h)p Fj(x;)7 b(\036)445 683 y Ff(+)472 677 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)13 b Fn(=)f Fh(\000h)p Fj(\036)727 683 y Fg(\000)755 677 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(i)308 760 y Fn(2.)20 b Fh(h)p Fj(x)401 766 y Ff(1)420 760 y Fj(;)7 b(y)q Fh(ih)p Fj(x)516 766 y Ff(2)535 760 y Fj(;)g(y)575 745 y Fg(0)586 760 y Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(h)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)790 745 y Fg(0)802 760 y Fn(])p Fh(i)308 843 y Fn(3.)20 b Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)440 849 y Ff(1)458 843 y Fh(ih)p Fj(x)514 828 y Fg(0)526 843 y Fj(;)g(y)565 849 y Ff(2)584 843 y Fh(i)k Fn(=)h Fh(h)p Fn([)p Fj(x;)7 b(x)750 828 y Fg(0)760 843 y Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(i)308 926 y Fn(4.)20 b Fj(x)385 911 y Ff(1)403 926 y Fh(h)p Fj(x)443 911 y Ff(2)462 926 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fj(y)595 911 y Ff(1)614 926 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)694 911 y Ff(2)713 926 y Fh(i)257 1009 y Fn(for)15 b(all)f Fj(x;)7 b(x)448 994 y Fg(0)473 1009 y Fh(2)13 b Fj(L)542 1015 y Fg(\000)571 1009 y Fn(,)i Fj(y)q(;)7 b(y)659 994 y Fg(0)685 1009 y Fh(2)14 b Fj(L)755 1015 y Ff(+)798 1009 y Fn(and)h Fj(h)f Fh(2)f Fj(L)987 1015 y Ff(0)1006 1009 y Fn(.)23 b Fj(L)1069 1015 y Fg(\000)1112 1009 y Fn(is)15 b(itself)g(sk)o(ew-symmetric)f(and)h(w)o(e)257 1059 y(ha)o(v)o(e)f(for)g Fj(x)d Fh(2)g Fj(L)519 1065 y Fg(\000)547 1059 y Fj(;)18 b(y)c Fh(2)d Fj(L)678 1065 y Ff(+)706 1059 y Fn(:)18 b Fj(\036)761 1065 y Fg(\000)788 1059 y Fn(\()p Fj(y)825 1043 y Ff(1)845 1059 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))9 b Fh(\012)h Fj(y)989 1043 y Ff(2)1020 1059 y Fn(=)i Fj(x)1088 1043 y Ff(2)1115 1059 y Fh(\012)e Fj(\036)1182 1065 y Ff(+)1209 1059 y Fn(\()p Fj(x)1249 1043 y Ff(1)1268 1059 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\).)257 1158 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(This)21 b(follo)o(ws)f(essen)o(tially)h(from)e (Prop)q(osition)i(2.8.)38 b(There)22 b(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)e(con-)257 1208 y(structed)d(a)d(p)q(ositiv)o(e)g(coaction)g(on)g(the)h(dual)f(v)o (ector)h(space)g(that)f(satis\014es)i(an)e(equation)257 1258 y(whic)o(h)c(di\013ers)h(b)o(y)f(a)g(sign)f(from)g(the)h(ab)q(o)o (v)o(e)g(condition)f(4.)17 b(Changing)9 b(the)h(sign)g(of)f(this)h(p)q (os-)257 1308 y(itiv)o(e)j(coaction,)h(w)o(e)g(arriv)o(e)f(at)h(a)f (negativ)o(e)h(coaction)f(that)h(satis\014es)h(condition)e(4)g(ab)q(o)o (v)o(e,)257 1357 y(and)i(in)g(our)g(sp)q(ecial)h(case)g(condition)f (2.7.3)e(still)i(holds)g(since)h(b)o(y)f(sk)o(ew-symmetry)m(,)e(the)257 1407 y(righ)o(t)j(hand)f(side)i(is)e(zero.)25 b(W)m(e)15 b(lea)o(v)o(e)h(the)g(pro)q(of)g(of)f(the)h(few)g(remaining)e (assertions)j(to)257 1457 y(the)e(reader.)k Fc(\003)257 1565 y Fi(4.8)31 b Fn(It)18 b(is)g(a)g(natural)f(question)i(whether)g (the)g(Lie)f(bialgebra)f(that)h(results)h(from)e(the)257 1615 y(second)i(construction)g(is)e(quasitriangular.)28 b(This)17 b(sometimes)f(happ)q(ens)j(if)d(the)i(initial)257 1665 y(Lie)c(bialgebra)e Fj(L)534 1671 y Ff(0)566 1665 y Fn(w)o(as)h(quasitriangular,)f(namely)f(if)i(the)h(coactions)f(are)h (related)g(to)f(the)257 1714 y(actions)h(a)g(in)f(Subsection)i(2.11:) 257 1814 y Fi(Corollary)35 b Fn(Supp)q(ose)19 b(that)e Fj(L)778 1820 y Ff(0)814 1814 y Fn(is)h(a)f(quasitriangular)f(Lie)h (bialgebra)g(with)g(classical)257 1864 y(r-matrix)12 b Fj(r)g Fn(=)497 1833 y Fd(P)541 1843 y Fe(n)541 1876 y(i)p Ff(=1)604 1864 y Fj(a)626 1870 y Fe(i)647 1864 y Fh(\012)c Fj(b)705 1870 y Fe(i)719 1864 y Fn(.)17 b(Supp)q(ose)d (that)f Fj(L)1027 1870 y Ff(+)1068 1864 y Fn(and)g Fj(L)1176 1870 y Fg(\000)1218 1864 y Fn(are)g(Lie)g(algebras)g(whic)o(h)g(are)257 1914 y(sim)o(ultaneously)f(Lie)i(coalgebras.)k(Assume)c(that)591 2005 y Fj(\036)616 2011 y Ff(+)655 2005 y Fn(:)d Fj(L)706 2011 y Ff(0)736 2005 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)907 2011 y Ff(+)936 2005 y Fn(\))42 b Fj(\036)1019 2011 y Fg(\000)1058 2005 y Fn(:)11 b Fj(L)1109 2011 y Ff(0)1139 2005 y Fh(!)h Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)1311 2011 y Fg(\000)1340 2005 y Fn(\))257 2096 y(are)j(Lie)e(algebra)h(homomo)o(rphism)o(s)d (and)j(that)786 2188 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 2194 y Fg(\000)960 2188 y Fh(\002)f Fj(L)1030 2194 y Ff(+)1069 2188 y Fh(!)h Fj(K)257 2279 y Fn(is)21 b(a)f(bilinear)g(form.)36 b(W)m(e)20 b(assume)g(that)h(the)g(copro)q (ducts)h(of)e Fj(L)1341 2285 y Ff(+)1389 2279 y Fn(and)g Fj(L)1504 2285 y Fg(\000)1553 2279 y Fn(are)h Fj(L)1657 2285 y Ff(0)1676 2279 y Fn(-)257 2329 y(equiv)n(arian)o(t)13 b(and)h(that)g(the)g(follo)o(wing)e(compatibili)o(t)o(y)f(conditions)j (are)g(satis\014ed:)953 2628 y(31)p eop %%Page: 32 32 32 31 bop 308 262 a Fn(1.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(y)q(;)7 b(y)554 246 y Fg(0)579 262 y Fh(2)k Fj(L)646 268 y Ff(+)687 262 y Fn(w)o(e)k(ha)o(v)o(e:)427 353 y(\001\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)551 336 y Fg(0)563 353 y Fn(])o(\))j Fh(\000)f Fj(y)q(:)p Fn(\001\()p Fj(y)746 336 y Fg(0)759 353 y Fn(\))g(+)h Fj(y)847 336 y Fg(0)859 353 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))i(=)581 389 y Fd(X)605 477 y Fe(i)648 428 y Fj(\036)673 434 y Ff(+)700 428 y Fn(\()p Fj(a)738 434 y Fe(i)752 428 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))f Fh(\012)e Fj(\036)898 434 y Ff(+)926 428 y Fn(\()p Fj(b)960 434 y Fe(i)973 428 y Fn(\)\()p Fj(y)1026 411 y Fg(0)1039 428 y Fn(\))h Fh(\000)1106 389 y Fd(X)1130 477 y Fe(i)1173 428 y Fj(\036)1198 434 y Ff(+)1225 428 y Fn(\()p Fj(a)1263 434 y Fe(i)1277 428 y Fn(\)\()p Fj(y)1330 411 y Fg(0)1343 428 y Fn(\))f Fh(\012)h Fj(\036)1435 434 y Ff(+)1462 428 y Fn(\()p Fj(b)1496 434 y Fe(i)1510 428 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))584 541 y(+)625 502 y Fd(X)649 590 y Fe(i)692 541 y Fj(\036)717 547 y Ff(+)744 541 y Fn(\()p Fj(b)778 547 y Fe(i)792 541 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))g Fh(\012)g Fj(\036)938 547 y Ff(+)965 541 y Fn(\()p Fj(a)1003 547 y Fe(i)1017 541 y Fn(\)\()p Fj(y)1070 524 y Fg(0)1083 541 y Fn(\))f Fh(\000)1150 502 y Fd(X)1174 590 y Fe(i)1217 541 y Fj(\036)1242 547 y Ff(+)1269 541 y Fn(\()p Fj(b)1303 547 y Fe(i)1317 541 y Fn(\)\()p Fj(y)1370 524 y Fg(0)1383 541 y Fn(\))g 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Fj(L)866 714 y Ff(+)908 708 y Fn(is)j(quasitriangular)g (with)h(classical)f(r-matrix)545 832 y Fj(R)f Fn(:=)664 780 y Fe(n)644 792 y Fd(X)647 881 y Fe(i)p Ff(=1)704 832 y Fn(\(0)p Fj(;)7 b(a)782 838 y Fe(i)795 832 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e(b)975 838 y Fe(i)988 832 y Fj(;)g Fn(0\))i(+)1109 780 y Fe(m)1094 792 y Fd(X)1095 881 y Fe(j)r Ff(=1)1154 832 y Fn(\()p Fj(x)1194 838 y Fe(j)1212 832 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1473 838 y Fe(j)1489 832 y Fn(\))361 965 y(where)17 b(w)o(e)f(ha)o(v)o(e)f(c)o(hosen)i (bases)f Fj(x)912 971 y Ff(1)931 965 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(x)1054 971 y Fe(m)1099 965 y Fh(2)14 b Fj(L)1169 971 y Fg(\000)1213 965 y Fn(and)i Fj(y)1316 971 y Ff(1)1335 965 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(y)1454 971 y Fe(m)1500 965 y Fh(2)14 b Fj(L)1570 971 y Ff(+)1613 965 y Fn(that)361 1015 y(satisfy)g Fh(h)p Fj(x)531 1021 y Fe(i)544 1015 y Fj(;)7 b(y)583 1021 y Fe(j)601 1015 y Fh(i)k Fn(=)h Fj(\016)690 1021 y Fe(ij)720 1015 y Fn(.)257 1114 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(The)13 b(\014rst)h(assertion)f(follo)o(ws)f(from)f(Prop)q(osition)h (2.11)g(and)g(Theorem)h(4.3.)j(T)m(o)257 1164 y(pro)o(v)o(e)11 b(the)h(second)g(assertion,)g(let)f(us)h(denote)f(b)o(y)g Fj(R)1074 1149 y Fg(0)1097 1164 y Fn(the)g(term)1262 1133 y Fd(P)1306 1143 y Fe(n)1306 1177 y(i)p Ff(=1)1361 1164 y Fn(\(0)p Fj(;)c(a)1439 1170 y Fe(i)1453 1164 y Fj(;)g Fn(0\))t Fh(\012)t Fn(\(0)p Fj(;)g(b)1623 1170 y Fe(i)1634 1164 y Fj(;)g Fn(0\))257 1214 y(and)16 b(b)o(y)g Fj(R)432 1199 y Fg(00)469 1214 y Fn(the)h(term)645 1183 y Fd(P)688 1193 y Fe(m)688 1226 y(j)r Ff(=1)748 1214 y Fn(\()p Fj(x)788 1220 y Fe(j)805 1214 y Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))j Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)c Fn(0)p Fj(;)g(y)1070 1220 y Fe(j)1086 1214 y Fn(\).)25 b(By)16 b(Prop)q(osition)g(2.9.2,)e (w)o(e)j(then)257 1264 y(ha)o(v)o(e:)343 1355 y(\()p Fj(x;)p Fn(0)p Fj(;)7 b Fn(0\))p Fj(:R)516 1338 y Fg(0)n(0)547 1355 y Fn(=)417 1403 y Fe(m)402 1416 y Fd(X)403 1504 y Fe(j)r Ff(=1)462 1455 y Fn(\([)p Fj(x;)g(x)557 1461 y Fe(j)573 1455 y Fn(])p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)846 1461 y Fe(j)862 1455 y Fn(\))475 1599 y(+)532 1547 y Fe(m)517 1560 y Fd(X)518 1648 y Fe(j)r Ff(=1)577 1599 y Fn(\()p Fj(x)617 1605 y Fe(j)634 1599 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\()p Fh(\000)p Fj( )854 1605 y Fg(\000)883 1599 y Fn(\()p Fj(y)919 1605 y Fe(j)937 1599 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)e Fh(\000f)p Fj(x;)g(y)1144 1605 y Fe(j)1160 1599 y Fh(g)p Fj(;)g( )1227 1605 y Ff(+)1254 1599 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1346 1605 y Fe(j)1364 1599 y Fn(\)\))362 1743 y(=)j Fh(\000)461 1691 y Fe(m)445 1704 y Fd(X)447 1792 y Fe(j)r Ff(=1)505 1743 y Fn(\()p Fj(x)545 1749 y Fe(j)563 1743 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h(h)p Fj(x)748 1749 y Ff(2)767 1743 y Fj(;)e(y)806 1749 y Fe(j)823 1743 y Fh(i)p Fn(\()p Fj(x)879 1749 y Ff(1)898 1743 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\000)1058 1691 y Fe(m)1043 1704 y Fd(X)1044 1792 y Fe(j)r Ff(=1)1103 1743 y Fn(\()p Fj(x)1143 1749 y Fe(j)1160 1743 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h(h)p Fj(x;)e(y)1384 1749 y Fe(j)1402 1726 y Ff(2)1420 1743 y Fh(i)p Fn(\(0)p Fj(;)g(y)1512 1749 y Fe(j)1530 1726 y Ff(1)1548 1743 y Fj(;)g Fn(0\))475 1887 y(+)532 1835 y Fe(m)517 1848 y Fd(X)518 1936 y Fe(j)r Ff(=1)577 1887 y Fn(\()p Fj(x)617 1893 y Fe(j)634 1887 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h(h)p Fj(x)819 1870 y Ff(2)838 1887 y Fj(;)e(y)877 1893 y Fe(j)894 1887 y Fh(i)p Fn(\(0)p Fj(;)g(x)990 1870 y Ff(1)1008 1887 y Fj(;)g Fn(0\))362 2006 y(=)j Fh(\000)f Fn(\()p Fj(x)485 2012 y Ff(2)504 2006 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)689 2012 y Ff(1)708 2006 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\000)853 1966 y Fd(X)865 2055 y Fe(i;j)913 2006 y Fn(\()p Fj(x)953 2012 y Fe(j)970 2006 y Fj(;)f Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i(h)p Fj(x;)d(\036)1200 2012 y Ff(+)1226 2006 y Fn(\()p Fj(a)1264 2012 y Fe(i)1278 2006 y Fn(\)\()p Fj(y)1330 2012 y Fe(j)1348 2006 y Fn(\))p Fh(i)p Fn(\(0)p Fj(;)g(b)1454 2012 y Fe(i)1468 2006 y Fj(;)g Fn(0\))475 2117 y(+)j(\()p Fj(x)557 2100 y Ff(2)575 2117 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e(x)800 2100 y Ff(1)818 2117 y Fj(;)g Fn(0\))271 2208 y(On)14 b(the)h(other)f(hand,)g(w)o(e)g(ha)o(v)o(e:)266 2331 y(\()p Fj(x;)7 b Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(:R)446 2314 y Fg(0)467 2331 y Fn(=)k Fh(\000)569 2279 y Fe(n)550 2291 y Fd(X)553 2380 y Fe(i)p Ff(=1)609 2331 y Fn(\()p Fj(\036)650 2337 y Fg(\000)678 2331 y Fn(\()p Fj(a)716 2337 y Fe(i)730 2331 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)c Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(b)1022 2337 y Fe(i)1035 2331 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\000)1161 2279 y Fe(n)1141 2291 y Fd(X)1144 2380 y Fe(i)p Ff(=1)1201 2331 y Fn(\(0)p Fj(;)f(a)1279 2337 y Fe(i)1292 2331 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(\036)1439 2337 y Fg(\000)1467 2331 y Fn(\()p Fj(b)1501 2337 y Fe(i)1515 2331 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))467 2469 y(=)k Fh(\000)569 2417 y Fe(n)550 2430 y Fd(X)553 2518 y Fe(i)p Ff(=1)609 2469 y Fn(\()p Fj(\036)650 2475 y Fg(\000)678 2469 y Fn(\()p Fj(a)716 2475 y Fe(i)730 2469 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)c Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(b)1022 2475 y Fe(i)1035 2469 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\000)i Fn(\(0)p Fj(;)d(x)1221 2452 y Ff(1)1238 2469 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)1385 2452 y Ff(2)1403 2469 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))953 2628 y(33)p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 257 262 a Fn(W)m(e)17 b(see)i(that)e(the)h(second)h(term)e (of)f(the)i(\014rst)g(expression)h(and)e(the)h(\014rst)g(term)f(of)g (the)257 311 y(second)e(expression)g(cancel)g(and)f(w)o(e)g(are)g(left) g(with:)257 401 y(\()p Fj(x;)7 b Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))p Fj(:R)j Fn(=)i Fh(\000)p Fn(\()p Fj(x)563 407 y Ff(2)581 401 y Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)766 407 y Ff(1)784 401 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g(+)i(\()p Fj(x)968 384 y Ff(2)987 401 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)e(x)1211 384 y Ff(1)1229 401 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\000)h Fn(\(0)p Fj(;)e(x)1414 384 y Ff(1)1431 401 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\()p Fj(x)1576 384 y Ff(2)1595 401 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))257 492 y(By)15 b(a)e(similar)f(calculation,)g(one)i(can)g(sho)o(w)g(that) 263 582 y(\(0)p Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g(y)q Fn(\))p Fj(:R)j Fn(=)i Fh(\000)p Fn(\(0)p Fj(;)7 b Fn(0)p Fj(;)g(y)642 588 y Ff(1)660 582 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)843 588 y Ff(2)860 582 y Fn(\))j(+)f(\(0)p Fj(;)e(y)1004 565 y Ff(1)1023 582 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1246 565 y Ff(2)1264 582 y Fn(\))i Fh(\000)h Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1448 565 y Ff(2)1466 582 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d(y)1610 565 y Ff(1)1629 582 y Fj(;)g Fn(0\))257 672 y(Finally)m(,)h(observ)o(e) j(that)f(it)g(follo)o(ws)e(from)g(Prop)q(osition)i(2.9.2)e(that)i(w)o (e)g(ha)o(v)o(e)f(\(0)p Fj(;)e(h;)g Fn(0\))p Fj(:R)1626 657 y Fg(0)n(0)1657 672 y Fn(=)257 722 y(0)16 b(and)f(therefore)i(w)o (e)f(can)f(conclude)i(from)d(the)i(assumption)e(that)h Fj(L)1378 728 y Ff(0)1413 722 y Fn(w)o(as)g(quasitrian-)257 772 y(gular)f(that)g(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f(\(0)p Fj(;)7 b(h;)g Fn(0\))p Fj(:R)j Fn(=)i(\(0)p Fj(;)7 b(h;)g Fn(0\))p Fj(:R)1024 756 y Fg(0)1045 772 y Fn(=)12 b(\(0)p Fj(;)7 b(h)1169 778 y Ff(1)1187 772 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(h)1373 778 y Ff(2)1390 772 y Fj(;)g Fn(0\).)320 821 y(It)14 b(remains)g(to)h(sho)o(w)f(that)h Fj(R)g Fn(satis\014es)g(the)h(classical)e(Y)m(ang-Baxter)h(equation.)20 b(W)m(e)257 871 y(ha)o(v)o(e:)437 961 y([)p Fj(R)481 967 y Ff(12)516 961 y Fj(;)7 b(R)567 967 y Ff(13)601 961 y Fn(])k(=)663 922 y Fd(X)673 1011 y Fe(i;k)723 961 y Fn(\(0)p Fj(;)c Fn([)p Fj(a)813 967 y Fe(i)826 961 y Fj(;)g(a)867 967 y Fe(k)886 961 y Fn(])p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(b)1078 967 y Fe(i)1091 961 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e(b)1271 967 y Fe(k)1291 961 y Fj(;)g Fn(0\))665 1081 y(+)707 1042 y Fd(X)721 1131 y Fe(i;l)767 1081 y Fn(\()p Fj(\036)808 1087 y Fg(\000)836 1081 y Fn(\()p Fj(a)874 1087 y Fe(i)888 1081 y Fn(\)\()p Fj(x)944 1087 y Fe(l)956 1081 y Fn(\))p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(b)1192 1087 y Fe(i)1205 1081 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1427 1087 y Fe(l)1438 1081 y Fn(\))665 1201 y(+)707 1162 y Fd(X)716 1251 y Fe(j;k)767 1201 y Fn(\()p Fh(\000)p Fj(\036)840 1207 y Fg(\000)868 1201 y Fn(\()p Fj(a)906 1207 y Fe(k)926 1201 y Fn(\)\()p Fj(x)982 1207 y Fe(j)1000 1201 y Fn(\))p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1277 1207 y Fe(j)1294 1201 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d(b)1435 1207 y Fe(k)1454 1201 y Fj(;)g Fn(0\))665 1321 y(+)707 1282 y Fd(X)720 1371 y Fe(j;l)767 1321 y Fn(\([)p Fj(x)819 1327 y Fe(j)836 1321 y Fj(;)g(x)879 1327 y Fe(l)891 1321 y Fn(])p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1163 1327 y Fe(j)1180 1321 y Fn(\))i Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1363 1327 y Fe(l)1374 1321 y Fn(\))299 1515 y([)p Fj(R)343 1521 y Ff(12)377 1515 y Fj(;)g(R)428 1521 y Ff(23)462 1515 y Fn(])k(=)524 1476 y Fd(X)534 1565 y Fe(i;k)584 1515 y Fn(\(0)p Fj(;)c(a)662 1521 y Fe(i)675 1515 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn([)p Fj(b)867 1521 y Fe(i)880 1515 y Fj(;)g(a)921 1521 y Fe(k)941 1515 y Fn(])p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e(b)1132 1521 y Fe(k)1152 1515 y Fj(;)g Fn(0\))526 1635 y(+)568 1596 y Fd(X)582 1685 y Fe(i;l)628 1635 y Fn(\(0)p Fj(;)g(a)706 1641 y Fe(i)719 1635 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\()p Fj(\036)866 1641 y Fg(\000)894 1635 y Fn(\()p Fj(b)928 1641 y Fe(i)942 1635 y Fn(\)\()p Fj(x)998 1641 y Fe(l)1011 1635 y Fn(\))p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1288 1641 y Fe(l)1300 1635 y Fn(\))526 1755 y(+)568 1716 y Fd(X)577 1805 y Fe(j;k)628 1755 y Fn(\()p Fj(x)668 1761 y Fe(j)685 1755 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj(\036)984 1761 y Ff(+)1010 1755 y Fn(\()p Fj(a)1048 1761 y Fe(k)1068 1755 y Fn(\)\()p Fj(y)1120 1761 y Fe(j)1138 1755 y Fn(\)\))j Fh(\012)f Fn(\(0)p Fj(;)e(b)1295 1761 y Fe(k)1315 1755 y Fj(;)g Fn(0\))526 1875 y(+)568 1836 y Fd(X)581 1925 y Fe(j;l)628 1875 y Fn(\()p Fj(x)668 1881 y Fe(j)685 1875 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj( )874 1881 y Fg(\000)902 1875 y Fn(\()p Fj(y)938 1881 y Fe(j)956 1875 y Fn(\)\()p Fj(x)1012 1881 y Fe(l)1025 1875 y Fn(\))p Fj(;)d Fh(f)p Fj(x)1105 1881 y Fe(l)1116 1875 y Fj(;)g(y)1155 1881 y Fe(j)1173 1875 y Fh(g)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj( )1272 1881 y Ff(+)1299 1875 y Fn(\()p Fj(x)1339 1881 y Fe(l)1351 1875 y Fn(\)\()p Fj(y)1403 1881 y Fe(j)1421 1875 y Fn(\)\))j Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1621 1881 y Fe(l)1632 1875 y Fn(\))257 2008 y(and)14 b(\014nally)438 2104 y([)p Fj(R)482 2110 y Ff(13)516 2104 y Fj(;)7 b(R)567 2110 y Ff(23)601 2104 y Fn(])k(=)663 2065 y Fd(X)673 2154 y Fe(i;k)723 2104 y Fn(\(0)p Fj(;)c(a)801 2110 y Fe(i)814 2104 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e(a)998 2110 y Fe(k)1018 2104 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn([)p Fj(b)1210 2110 y Fe(i)1223 2104 y Fj(;)g(b)1260 2110 y Fe(k)1279 2104 y Fn(])p Fj(;)g Fn(0\))665 2224 y(+)707 2185 y Fd(X)721 2274 y Fe(i;l)767 2224 y Fn(\(0)p Fj(;)g(a)845 2230 y Fe(i)858 2224 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\()p Fj(x)1004 2230 y Fe(l)1017 2224 y Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(\036)1283 2230 y Ff(+)1309 2224 y Fn(\()p Fj(b)1343 2230 y Fe(i)1357 2224 y Fn(\)\()p Fj(y)1409 2230 y Fe(l)1422 2224 y Fn(\)\))665 2344 y(+)707 2305 y Fd(X)716 2394 y Fe(j;k)767 2344 y Fn(\()p Fj(x)807 2350 y Fe(j)824 2344 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(a)1048 2350 y Fe(k)1067 2344 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj(\036)1326 2350 y Ff(+)1353 2344 y Fn(\()p Fj(b)1387 2350 y Fe(k)1407 2344 y Fn(\)\()p Fj(y)1459 2350 y Fe(j)1477 2344 y Fn(\)\))665 2464 y(+)707 2425 y Fd(X)720 2514 y Fe(j;l)767 2464 y Fn(\()p Fj(x)807 2470 y Fe(j)824 2464 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\()p Fj(x)1010 2470 y Fe(l)1022 2464 y Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)h Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g Fn([)p Fj(y)1295 2470 y Fe(j)1311 2464 y Fj(;)g(y)1350 2470 y Fe(l)1363 2464 y Fn(]\))953 2628 y(34)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 257 262 a Fn(Summing)12 b(up,)i(w)o(e)h(see)h(that)f(the)h (third)f(summand)d(in)i([)p Fj(R)1197 268 y Ff(12)1231 262 y Fj(;)7 b(R)1282 268 y Ff(13)1316 262 y Fn(])15 b(and)f(the)i(third)f(sum-)257 311 y(mand)e(in)h([)p Fj(R)466 317 y Ff(12)501 311 y Fj(;)7 b(R)552 317 y Ff(23)586 311 y Fn(])14 b(cancel)h(b)o(y)f(Prop)q(osition)g(2.9.2.)k(Lik)o (ewise,)c(the)i(fourth)e(summand)257 361 y(in)h([)p Fj(R)351 367 y Ff(12)385 361 y Fj(;)7 b(R)436 367 y Ff(13)470 361 y Fn(])14 b(and)h(the)h(last)e(comp)q(onen)o(t)g(of)h(the)g(fourth) g(summand)d(in)i([)p Fj(R)1474 367 y Ff(12)1509 361 y Fj(;)7 b(R)1560 367 y Ff(23)1594 361 y Fn(],)14 b(the)257 411 y(fourth)h(summand)d(in)i([)p Fj(R)667 417 y Ff(13)701 411 y Fj(;)7 b(R)752 417 y Ff(23)787 411 y Fn(])14 b(and)g(the)i (\014rst)f(comp)q(onen)o(t)f(in)g(the)h(fourth)g(summand)257 461 y(of)f([)p Fj(R)349 467 y Ff(12)383 461 y Fj(;)7 b(R)434 467 y Ff(23)468 461 y Fn(])14 b(as)g(w)o(ell)g(as)g(the)h (second)g(summand)d(in)h([)p Fj(R)1169 467 y Ff(12)1204 461 y Fj(;)7 b(R)1255 467 y Ff(23)1289 461 y Fn(])14 b(and)g(the)g(second)i(sum-)257 511 y(mand)f(in)h([)p Fj(R)470 517 y Ff(13)504 511 y Fj(;)7 b(R)555 517 y Ff(23)589 511 y Fn(])16 b(cancel.)25 b(Since)17 b(the)g(r-matrix)d(of)i Fj(L)1194 517 y Ff(0)1229 511 y Fn(also)g(satis\014es)h(the)g (classical)257 560 y(Y)m(ang-Baxter-equation,)c(w)o(e)h(are)h(left)e (with:)275 652 y([)p Fj(R)319 658 y Ff(12)353 652 y Fj(;)7 b(R)404 658 y Ff(13)438 652 y Fn(])i(+)g([)p Fj(R)544 658 y Ff(12)579 652 y Fj(;)e(R)630 658 y Ff(23)664 652 y Fn(])i(+)g([)p Fj(R)770 658 y Ff(13)804 652 y Fj(;)e(R)855 658 y Ff(23)889 652 y Fn(])k(=)390 687 y Fd(X)404 777 y Fe(i;l)450 727 y Fn(\()p Fj(\036)491 733 y Fg(\000)519 727 y Fn(\()p Fj(a)557 733 y Fe(i)570 727 y Fn(\)\()p Fj(x)626 733 y Fe(l)639 727 y Fn(\))p Fj(;)c Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(b)875 733 y Fe(i)888 727 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1110 733 y Fe(l)1121 727 y Fn(\))459 847 y(+)500 807 y Fd(X)513 897 y Fe(j;l)560 847 y Fn(\()p Fj(x)600 853 y Fe(j)618 847 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j Fn(\(0)p Fj(;)d Fh(f)p Fj(x)864 853 y Fe(l)876 847 y Fj(;)g(y)915 853 y Fe(j)932 847 y Fh(g)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1175 853 y Fe(l)1186 847 y Fn(\))459 967 y(+)500 927 y Fd(X)509 1017 y Fe(j;k)560 967 y Fn(\()p Fj(x)600 973 y Fe(j)618 967 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j Fn(\(0)p Fj(;)d(a)841 973 y Fe(k)861 967 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj(\036)1120 973 y Ff(+)1146 967 y Fn(\()p Fj(b)1180 973 y Fe(k)1200 967 y Fn(\)\()p Fj(y)1252 973 y Fe(j)1270 967 y Fn(\)\))346 1087 y(=)390 1047 y Fd(X)404 1137 y Fe(i;l)450 1087 y Fn(\()p Fj(\036)491 1093 y Fg(\000)519 1087 y Fn(\()p Fj(a)557 1093 y Fe(i)570 1087 y Fn(\)\()p Fj(x)626 1093 y Fe(l)639 1087 y Fn(\))p Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d(b)875 1093 y Fe(i)888 1087 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1110 1093 y Fe(l)1121 1087 y Fn(\))459 1207 y(+)500 1167 y Fd(X)502 1256 y Fe(i;j;l)560 1207 y Fn(\()p Fj(x)600 1213 y Fe(j)618 1207 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j(h)p Fj(x)803 1213 y Fe(l)816 1207 y Fj(;)d(\036)860 1213 y Ff(+)886 1207 y Fn(\()p Fj(a)924 1213 y Fe(i)938 1207 y Fn(\)\()p Fj(y)990 1213 y Fe(j)1008 1207 y Fn(\))p Fh(i)p Fn(\(0)p Fj(;)g(b)1114 1213 y Fe(i)1128 1207 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g(y)1350 1213 y Fe(l)1361 1207 y Fn(\))459 1326 y Fh(\000)500 1287 y Fd(X)502 1376 y Fe(i;j;l)560 1326 y Fn(\()p Fj(x)600 1332 y Fe(j)618 1326 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j(h)p Fj(\036)804 1332 y Fg(\000)832 1326 y Fn(\()p Fj(b)866 1332 y Fe(i)880 1326 y Fn(\)\()p Fj(x)936 1332 y Fe(l)948 1326 y Fn(\))p Fj(;)d(y)1003 1332 y Fe(j)1021 1326 y Fh(i)p Fn(\(0)p Fj(;)g(a)1115 1332 y Fe(i)1128 1326 y Fj(;)g Fn(0\))i Fh(\012)g Fn(\(0)p Fj(;)e Fn(0)p Fj(;)g(y)1350 1332 y Fe(l)1362 1326 y Fn(\))459 1446 y(+)500 1407 y Fd(X)509 1496 y Fe(j;k)560 1446 y Fn(\()p Fj(x)600 1452 y Fe(j)618 1446 y Fj(;)g Fn(0)p Fj(;)g Fn(0\))g Fh(\012)j Fn(\(0)p Fj(;)d(a)841 1452 y Fe(k)861 1446 y Fj(;)g Fn(0\))h Fh(\012)i Fn(\(0)p Fj(;)d Fn(0)p Fj(;)g Fh(\000)p Fj(\036)1120 1452 y Ff(+)1146 1446 y Fn(\()p Fj(b)1180 1452 y Fe(k)1200 1446 y Fn(\)\()p Fj(y)1252 1452 y Fe(j)1270 1446 y Fn(\)\))12 b(=)g(0)261 b Fc(\003)257 1597 y Fi(4.9)31 b Fn(In)18 b(the)h(preceding)h(Subsection,)g(w)o(e)e (ha)o(v)o(e)h(considered)h(the)f(sp)q(ecial)f(case)i(of)e(the)257 1647 y(second)i(construction)g(that)e(arises)i(when)f(the)g(coactions)g (are)g(induced)h(from)c(actions)257 1697 y(via)f(an)g(r-matrix.)21 b(In)15 b(this)g(Subsection,)i(w)o(e)e(lo)q(ok)g(at)g(the)h(case)g (where)h(the)f(actions)f(are)257 1747 y(induced)g(from)d(coactions)i (via)f(a)h(dual)f(r-matrix.)257 1846 y Fi(Corollary)i(1)20 b Fn(Supp)q(ose)f(that)f Fj(L)803 1852 y Ff(0)839 1846 y Fn(is)g(a)f(co)q(quasitriangular)g(Lie)h(bialgebra)f(with)g(dual)257 1896 y(r-matrix)12 b Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)497 1902 y Ff(0)515 1896 y Fn(.)18 b(Supp)q(ose)c(that)g Fj(L)825 1902 y Ff(+)867 1896 y Fn(is)f(a)h(Lie)f(algebra)g(whic)o(h)h (is)g(sim)o(ultaneously)d(a)j(Lie)257 1946 y(coalgebra)j(and)g(a)f(p)q (ositiv)o(e)h(Lie)g(como)q(dule)f(o)o(v)o(er)h Fj(L)1105 1952 y Ff(0)1123 1946 y Fn(,)h(and)e(that)h Fj(L)1357 1952 y Fg(\000)1403 1946 y Fn(is)f(a)h(Lie)g(algebra)257 1996 y(whic)o(h)f(is)f(sim)o(ultaneously)e(a)j(Lie)f(coalgebra)g(and)h (a)f(negativ)o(e)g(Lie)g(como)q(dule)g(o)o(v)o(er)g Fj(L)1659 2002 y Ff(0)1678 1996 y Fn(.)257 2045 y(W)m(e)f(assume)f(that)h(the)h (follo)o(wing)c(conditions)j(are)g(satis\014ed:)308 2129 y(1.)20 b Fj(\016)379 2135 y Ff(+)421 2129 y Fn(and)14 b Fj(\016)520 2135 y Fg(\000)562 2129 y Fn(are)g(1-co)q(cycles,)h(that) f(is,)f(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)666 2220 y Fj(\016)684 2226 y Ff(+)712 2220 y Fn(\([)p Fj(y)q(;)7 b(y)801 2203 y Fg(0)814 2220 y Fn(]\))k(=)h Fj(y)918 2203 y Ff(1)947 2220 y Fh(\012)d Fn([)p Fj(y)1021 2203 y Ff(2)1040 2220 y Fj(;)e(y)1080 2203 y Fg(0)1092 2220 y Fn(])i(+)g Fj(y)1175 2203 y Fg(0)s Ff(1)1216 2220 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(y)q(;)e(y)1330 2203 y Fg(0)r Ff(2)1361 2220 y Fn(])p Fj(:)659 2311 y(\016)677 2317 y Fg(\000)705 2311 y Fn(\([)p Fj(x;)g(x)800 2294 y Fg(0)810 2311 y Fn(]\))12 b(=)f Fj(x)917 2294 y Ff(1)945 2311 y Fh(\012)e Fn([)p Fj(x)1022 2294 y Ff(2)1040 2311 y Fj(;)e(x)1083 2294 y Fg(0)1094 2311 y Fn(])i(+)g Fj(x)1180 2294 y Fg(0)r Ff(1)1220 2311 y Fh(\012)g Fn([)p Fj(x;)e(x)1340 2294 y Fg(0)p Ff(2)1369 2311 y Fn(])p Fj(:)308 2402 y Fn(2.)20 b Fj(\016)379 2408 y Ff(+)421 2402 y Fn(and)14 b Fj(\016)520 2408 y Fg(\000)562 2402 y Fn(are)g(co)q(deriv)n(ations.) 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Fj(;)7 b Fh(\001i)13 b Fn(is)h(a)f(Lie)h (algebra)f(biform:)371 401 y Fh(h)p Fj(\036)412 407 y Fg(\000)440 401 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(h)p Fj(h;)7 b(x)747 384 y Ff(1)765 401 y Fh(i)781 407 y Ff(0)800 401 y Fh(h)p Fj(x)840 384 y Ff(2)858 401 y Fj(;)g(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(\000h)p Fj(y)1039 384 y Ff(1)1059 401 y Fj(;)7 b(h)p Fh(i)1118 407 y Ff(0)1136 401 y Fh(h)p Fj(x;)g(y)1216 384 y Ff(2)1235 401 y Fh(i)k Fn(=)h Fh(\000h)p Fj(x;)7 b(\036)1422 407 y Ff(+)1449 401 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)257 491 y Fn(The)15 b(result)h(no)o(w)e(follo)o(ws) f(from)f(Theorem)i(4.3)g(since)h(actions)g(and)f(coactions)h(are)g (com-)257 541 y(patible)f(in)f(the)i(correct)g(w)o(a)o(y:)502 631 y Fj(x)526 614 y Ff(2)553 631 y Fh(\012)10 b Fj(\036)620 637 y Ff(+)647 631 y Fn(\()p Fj(x)687 614 y Ff(1)706 631 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))i(=)g Fh(h)p Fj(y)868 614 y Ff(1)888 631 y Fj(;)7 b(x)931 614 y Ff(1)949 631 y Fh(i)965 637 y Ff(0)983 631 y Fj(x)1007 614 y Ff(2)1035 631 y Fh(\012)j Fj(y)1098 614 y Ff(2)1129 631 y Fn(=)h Fj(\036)1197 637 y Fg(\000)1225 631 y Fn(\()p Fj(y)1262 614 y Ff(1)1282 631 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))e Fh(\012)h Fj(y)1426 614 y Ff(2)1657 721 y Fc(\003)257 804 y Fn(Analogous)19 b(to)g(the)h(preceding)g(Subsection,)h(w)o(e)f(no)o(w)f(ask)g(whether)i (the)e(Lie)h(bialge-)257 854 y(bra)c Fj(L)361 860 y Fg(\000)400 854 y Fh(\010)11 b Fj(L)471 860 y Ff(0)501 854 y Fh(\010)g Fj(L)572 860 y Ff(+)615 854 y Fn(obtained)16 b(in)f(the)i(ab)q(o)o(v)o (e)f(Corollary)e(is)i(itself)g(co)q(quasitriangular.)257 904 y(Ho)o(w)o(ev)o(er,)e(this)g(will)f(happ)q(en)h(only)f(in)h(a)f (rather)i(sp)q(ecial)f(case.)257 1002 y Fi(Corollary)h(2)20 b Fn(Supp)q(ose)14 b(that)g Fj(L)794 1008 y Ff(+)821 1002 y Fj(;)k(L)879 1008 y Fg(\000)921 1002 y Fn(and)13 b Fj(L)1029 1008 y Ff(0)1061 1002 y Fn(are)g(Lie)g(bialgebras.)18 b(Assume)13 b(further)257 1052 y(that)j Fj(L)377 1058 y Ff(0)411 1052 y Fn(is)f(cotriangular)g(with)g(dual)g(r-matrix)f Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)1121 1058 y Ff(0)1138 1052 y Fn(.)23 b(Supp)q(ose)16 b(that)f Fj(L)1456 1058 y Ff(+)1500 1052 y Fn(is)g(sim)o(ulta-)257 1102 y(neously)i(a)g(Lie)f(coalgebra)h (and)f(a)g(p)q(ositiv)o(e)h(Lie)f(como)q(dule)g(o)o(v)o(er)h Fj(L)1365 1108 y Ff(0)1384 1102 y Fn(,)f(and)h(that)g Fj(L)1617 1108 y Fg(\000)1662 1102 y Fn(is)257 1152 y(sim)o (ultaneously)c(a)h(Lie)g(coalgebra)h(and)f(a)g(negativ)o(e)h(Lie)f (como)q(dule)f(o)o(v)o(er)i Fj(L)1486 1158 y Ff(0)1519 1152 y Fn(suc)o(h)g(that)257 1202 y(the)20 b(coactions)f(of)f Fj(L)599 1208 y Ff(+)645 1202 y Fn(and)g Fj(L)758 1208 y Fg(\000)805 1202 y Fn(are)h(co)q(deriv)n(ations)g(and)f(1-co)q (cycles.)34 b(Supp)q(ose)19 b(that)257 1251 y(there)d(are)e(bilinear)f (forms)530 1342 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)605 1348 y Fg(\000)643 1342 y Fn(:)12 b Fj(L)695 1348 y Fg(\000)732 1342 y Fh(\002)e Fj(L)802 1348 y Fg(\000)841 1342 y Fh(!)h Fj(K)87 b Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)1091 1348 y Ff(+)1129 1342 y Fn(:)k Fj(L)1180 1348 y Ff(+)1217 1342 y Fh(\002)e Fj(L)1286 1348 y Ff(+)1325 1342 y Fh(!)j Fj(K)257 1432 y Fn(suc)o(h)j(that)f(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)g(for)f(all)g Fj(x;)7 b(x)786 1417 y Fg(0)808 1432 y Fh(2)k Fj(L)875 1438 y Fg(\000)917 1432 y Fn(and)j(all)f Fj(y)q(;)7 b(y)1117 1417 y Fg(0)1141 1432 y Fh(2)k Fj(L)1208 1438 y Ff(+)1236 1432 y Fn(:)308 1514 y(1.)20 b([)p Fj(x;)7 b(x)440 1498 y Fg(0)450 1514 y Fn(])k(=)h Fj(x)541 1520 y Ff(1)559 1514 y Fh(h)p Fj(x)599 1520 y Ff(2)618 1514 y Fj(;)7 b(x)661 1498 y Fg(0)672 1514 y Fh(i)688 1520 y Fg(\000)725 1514 y Fn(+)j Fj(x)791 1498 y Fg(0)791 1524 y Ff(1)809 1514 y Fh(h)p Fj(x;)d(x)892 1498 y Fg(0)892 1524 y Ff(2)910 1514 y Fh(i)926 1520 y Fg(\000)308 1596 y Fn(2.)20 b([)p Fj(y)q(;)7 b(y)434 1581 y Fg(0)446 1596 y Fn(])12 b(=)f Fj(y)533 1602 y Ff(1)552 1596 y Fh(h)p Fj(y)588 1602 y Ff(2)607 1596 y Fj(;)c(y)647 1581 y Fg(0)659 1596 y Fh(i)675 1602 y Ff(+)712 1596 y Fn(+)j Fj(y)775 1581 y Fg(0)774 1606 y Ff(1)793 1596 y Fh(h)p Fj(y)q(;)d(y)870 1581 y Fg(0)869 1606 y Ff(2)888 1596 y Fh(i)904 1602 y Ff(+)308 1679 y Fn(3.)20 b Fj(x)385 1664 y Ff(1)403 1679 y Fh(h)p Fj(x)443 1664 y Ff(2)462 1679 y Fj(;)7 b(x)505 1664 y Fg(0)516 1679 y Fh(i)532 1685 y Fg(\000)571 1679 y Fn(=)12 b Fh(\000)p Fj(x)671 1664 y Fg(0)r Ff(1)702 1679 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(x)785 1664 y Fg(0)p Ff(2)814 1679 y Fh(i)830 1685 y Fg(\000)308 1761 y Fn(4.)20 b Fj(y)382 1746 y Ff(1)402 1761 y Fh(h)p Fj(y)439 1746 y Ff(2)458 1761 y Fj(;)7 b(y)498 1746 y Fg(0)510 1761 y Fh(i)526 1767 y Ff(+)565 1761 y Fn(=)12 b Fh(\000)p Fj(y)662 1746 y Fg(0)s Ff(1)694 1761 y Fh(h)p Fj(y)q(;)7 b(y)771 1746 y Fg(0)s Ff(2)802 1761 y Fh(i)818 1767 y Ff(+)257 1843 y Fn(Supp)q(ose)15 b(that)786 1893 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)k Fn(:)g Fj(L)923 1899 y Fg(\000)960 1893 y Fh(\002)f Fj(L)1030 1899 y Ff(+)1069 1893 y Fh(!)h Fj(K)257 1967 y Fn(is)j(a)g(bilinear)f(form)f(with)h(the)i(follo)o (wing)c(prop)q(erties:)308 2049 y(1.)20 b Fh(h)p Fj(x)401 2055 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1273 y Fg(0)q(0)1148 1290 y Fj(;)g(y)1188 1273 y Fg(0)1187 1300 y Ff(2)1205 1290 y Fh(i)1221 1296 y Ff(+)1258 1290 y Fn(+)j Fh(h)p Fn([)p Fj(x;)d(x)1395 1273 y Fg(0)n(0)1414 1290 y Fn(])p Fj(;)g(y)1466 1273 y Fg(0)1478 1290 y Fh(i)366 1352 y Fn(+)i Fh(h)p Fj(x;)e(x)490 1335 y Fg(0)o(0)490 1362 y Ff(1)511 1352 y Fh(i)527 1358 y Fg(\000)555 1352 y Fh(h)p Fj(x)595 1335 y Fg(0)o(0)595 1362 y Ff(2)616 1352 y Fj(;)g(y)656 1335 y Fg(0)668 1352 y Fh(i)i Fn(+)h Fh(h)p Fj(x)775 1335 y Fg(0)o(0)775 1362 y Ff(1)796 1352 y Fj(;)d(y)q Fh(ih)p Fj(x)892 1335 y Fg(0)904 1352 y Fj(;)g(x)947 1335 y Fg(0)n(0)947 1362 y Ff(2)967 1352 y Fh(i)983 1358 y Fg(\000)1020 1352 y Fn(+)j Fh(h)p Fj(x)1102 1335 y Fg(0)o(0)1123 1352 y Fj(;)d Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1215 1335 y Fg(0)1227 1352 y Fn(])p Fh(i)i Fn(+)g Fh(h)p Fj(y)1342 1335 y Fg(0)q(0)1341 1362 y Ff(1)1364 1352 y Fj(;)e(y)q Fh(i)1420 1358 y Ff(+)1448 1352 y Fh(h)p Fj(x)1488 1335 y Fg(0)1500 1352 y Fj(;)g(y)1540 1335 y Fg(00)1539 1362 y Ff(2)1561 1352 y Fh(i)366 1414 y Fn(+)i Fh(h)p Fj(x;)e(y)487 1397 y Fg(00)486 1424 y Ff(1)509 1414 y Fh(ih)p Fj(y)562 1397 y Fg(00)561 1424 y Ff(2)584 1414 y Fj(;)g(y)624 1397 y Fg(0)636 1414 y Fh(i)652 1420 y Ff(+)689 1414 y Fh(\000)i(h)p Fn([)p Fj(x;)e(x)825 1397 y Fg(0)836 1414 y Fn(])p Fj(;)g(y)888 1397 y Fg(0)o(0)909 1414 y Fh(i)257 1493 y Fn(But)14 b(this)f(expression)h(v)n(anishes)f(since)h (w)o(e)f(ha)o(v)o(e)g(assumed)g(that)g(the)g(Lie)g(brac)o(k)o(et)h(of)e Fj(L)1650 1499 y Ff(+)1678 1493 y Fn(,)257 1543 y Fj(L)285 1549 y Ff(0)318 1543 y Fn(resp.)19 b Fj(L)450 1549 y Ff(0)483 1543 y Fn(is)14 b(link)o(ed)f(to)h(the)g(cobrac)o(k)o(et)h (via)e(the)h(dual)g(r-matrix.)i Fc(\003)257 1622 y Fn(Note)f(that)e (this)h(case)h(of)e(the)i(second)f(construction)h(is)f(in)o(timately)d (link)o(ed)i(to)h(the)g(sk)o(ew-)257 1672 y(symmetric)d(case)i (considered)g(in)f(Subsection)h(4.7,)e(b)q(ecause)j(in)d(most)g(cases)j (our)e(h)o(yp)q(oth-)257 1721 y(esis)i Fh(h)p Fj(h;)7 b(x)416 1706 y Ff(1)434 1721 y Fh(i)450 1727 y Ff(0)469 1721 y Fh(h)p Fj(x)509 1706 y Ff(2)527 1721 y Fj(;)g(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(\000h)p Fj(y)708 1706 y Ff(1)728 1721 y Fj(;)7 b(h)p Fh(i)787 1727 y Ff(0)805 1721 y Fh(h)p Fj(x;)g(y)885 1706 y Ff(2)904 1721 y Fh(i)13 b Fn(will)e(b)q(e)i (satis\014ed)h(b)q(ecause)h(the)e(dual)f(r-matrix)257 1771 y(is)i(sk)o(ew-symmetric)f(and)g(the)i(equation)e Fj(x)946 1756 y Ff(1)965 1771 y Fh(h)p Fj(x)1005 1756 y Ff(2)1023 1771 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fj(y)1156 1756 y Ff(1)1175 1771 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)1255 1756 y Ff(2)1274 1771 y Fh(i)14 b Fn(holds.)257 1877 y Fi(4.10)30 b Fn(Next)15 b(w)o(e)g(consider)g(the)g(question)g(whic)o(h)f(Lie)g (algebras)h(can)f(b)q(e)h(constructed)i(b)o(y)257 1927 y(means)12 b(of)g(the)h(second)g(construction.)19 b(In)12 b(con)o(trast)i(to)e(the)h(\014rst)g(construction,)h(w)o(e)e(shall)257 1976 y(here)22 b(only)d(giv)o(e)g(a)h(su\016cien)o(t)g(condition:)30 b(If)19 b(the)i(Lie)f(algebra)f(admits)g(a)g(triangular)257 2026 y(decomp)q(osition)12 b(and)h(p)q(ossesses)j(a)c(bilinear)g(form)g (whic)o(h)g(is,)h(as)g(the)h(Killing)d(form,)g(com-)257 2076 y(patible)16 b(with)g(the)h(triangular)f(decomp)q(osition,)f(then) i(it)f(has)g(the)h(form)e(of)g(the)i(second)257 2126 y(construction.)257 2218 y Fi(Theorem)36 b Fn(Supp)q(ose)18 b(that)f Fj(L)g Fn(is)f(a)h(\014nite)g(dimensional)e(Lie)h(algebra)h(o) o(v)o(er)g(a)f(\014eld)h Fj(K)257 2268 y Fn(whose)e(c)o(haracteristic)g (is)f(di\013eren)o(t)h(from)d(t)o(w)o(o.)17 b(Supp)q(ose)e(that)801 2346 y Fj(L)d Fn(=)g Fj(L)913 2352 y Fg(\000)951 2346 y Fh(\010)d Fj(L)1020 2352 y Ff(0)1048 2346 y Fh(\010)h Fj(L)1118 2352 y Ff(+)257 2425 y Fn(is)k(a)g(decomp)q(osition)e(in)o (to)h(three)j(Lie)d(subalgebras.)19 b(Let)798 2503 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)873 2509 y Fe(K)916 2503 y Fn(:)k Fj(L)e Fh(\002)h Fj(L)h Fh(!)g Fj(K)953 2628 y Fn(40)p eop %%Page: 41 41 41 40 bop 257 262 a Fn(b)q(e)13 b(a)e(nondegenerate,)j(symmetric,)c(in) o(v)n(arian)o(t)g(bilinear)h(form)f(with)i(the)g(follo)o(wing)e(prop-) 257 311 y(erties:)308 392 y(1.)20 b Fj(L)389 398 y Fg(\000)431 392 y Fn(and)14 b Fj(L)540 398 y Ff(+)582 392 y Fn(are)h(totally)d (isotropic,)i(that)g(is,)f(the)i(restriction)g(of)e Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)1501 398 y Fe(K)1546 392 y Fn(to)14 b(these)361 442 y(subalgebras)g(is)g(zero.)308 524 y(2.)20 b Fj(L)389 530 y Ff(0)422 524 y Fn(is)14 b(orthogonal)e(to)i Fj(L)750 530 y Fg(\000)792 524 y Fn(and)g Fj(L)901 530 y Ff(+)929 524 y Fn(.)308 606 y(3.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(h)g Fh(2)f Fj(L)596 612 y Ff(0)629 606 y Fn(and)i Fj(x)f Fh(2)f Fj(L)812 612 y Fg(\000)840 606 y Fn(,)i(w)o(e)i(ha)o(v)o (e)e([)p Fj(h;)7 b(x)p Fn(])j Fh(2)h Fj(L)1190 612 y Fg(\000)1218 606 y Fn(.)308 688 y(4.)20 b(F)m(or)14 b(all)e Fj(h)g Fh(2)f Fj(L)596 694 y Ff(0)629 688 y Fn(and)i Fj(y)h Fh(2)d Fj(L)810 694 y Ff(+)838 688 y Fn(,)i(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)g ([)p Fj(h;)7 b(y)q Fn(])k Fh(2)g Fj(L)1186 694 y Ff(+)1214 688 y Fn(.)257 769 y(Regard)f Fj(L)425 775 y Ff(0)453 769 y Fn(as)g(a)f(coab)q(elian)g(Lie)g(bialgebra.)16 b(Then)10 b Fj(L)1101 775 y Ff(+)1138 769 y Fn(can)g(b)q(e)g(turned)g (in)o(to)f(a)g(symmetric)257 819 y(Y)m(etter-Drinfel'd)15 b(Lie)h(algebra)e(in)h(suc)o(h)h(a)f(w)o(a)o(y)g(that)g(the)h(Lie)f (algebra)g Fj(L)1454 804 y Fg(\003)1454 829 y Ff(+)1492 819 y Fh(\010)10 b Fj(L)1562 825 y Ff(0)1591 819 y Fh(\010)h Fj(L)1662 825 y Ff(+)257 869 y Fn(resulting)j(from)e(the)j(second)g (construction)g(is)f(isomorphic)e(to)i Fj(L)p Fn(.)257 967 y Fi(Pro)q(of.)36 b Fn(It)11 b(follo)o(ws)e(directly)i(from)e(the)i (assumptions)f(that)g(the)i(restriction)f(of)f Fh(h\001)p Fj(;)d Fh(\001i)1611 973 y Fe(K)1653 967 y Fn(to)257 1017 y Fj(L)285 1023 y Ff(0)312 1017 y Fh(\002)i Fj(L)381 1023 y Ff(0)413 1017 y Fn(is)k(nondegenerate.)20 b(Similarly)l(,)10 b(the)k(bilinear)f(form)e(induces)k(a)e(nondegenerate)257 1066 y(pairing)k(if)g(it)g(is)h(restricted)h(to)f Fj(L)806 1072 y Fg(\000)846 1066 y Fh(\002)12 b Fj(L)918 1072 y Ff(+)946 1066 y Fn(.)29 b(W)m(e)17 b(also)g(kno)o(w)h(from)e(Theorem) h(3.3)f(that)257 1116 y(there)g(are)e(Lie)g(algebra)f(homomorphi)o(sm)o (s)575 1205 y Fj(\036)600 1211 y Ff(+)639 1205 y Fn(:)e Fj(L)690 1211 y Ff(0)720 1205 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)891 1211 y Ff(+)920 1205 y Fn(\))41 b Fj(\036)1002 1211 y Fg(\000)1042 1205 y Fn(:)11 b Fj(L)1093 1211 y Ff(0)1123 1205 y Fh(!)g Fj(D)q(er)q Fn(\()p Fj(L)1294 1211 y Fg(\000)1323 1205 y Fn(\))575 1267 y Fj( )602 1273 y Ff(+)641 1267 y Fn(:)g Fj(L)692 1273 y Fg(\000)732 1267 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)909 1273 y Ff(+)936 1267 y Fn(\))42 b Fj( )1021 1273 y Fg(\000)1061 1267 y Fn(:)11 b Fj(L)1112 1273 y Ff(+)1151 1267 y Fh(!)g Fj(E)r(nd)p Fn(\()p Fj(L)1328 1273 y Fg(\000)1356 1267 y Fn(\))257 1356 y(and)j(a)g(bilinear)f(map:)635 1445 y Fh(f\001)p Fj(;)7 b Fh(\001g)j Fn(:)h Fj(L)781 1451 y Fg(\000)818 1445 y Fh(\002)f Fj(L)888 1451 y Ff(+)927 1445 y Fh(!)h Fj(L)1008 1451 y Ff(0)1027 1445 y Fj(;)c Fn(\()p Fj(x;)g(y)q Fn(\))k Fh(7!)g(f)p Fj(x;)c(y)q Fh(g)257 1533 y Fn(suc)o(h)17 b(that)e(the)i(Lie)e(brac)o(k)o(et)i(of)e Fj(L)g Fn(has)h(the)g(form)e(stated)j(in)e(that)h(Theorem.)23 b(Because)257 1583 y Fj(L)285 1589 y Fg(\000)326 1583 y Fn(and)12 b Fj(L)433 1589 y Ff(+)473 1583 y Fn(are)h(dual)f(to)g(eac) o(h)h(other)g(with)g(resp)q(ect)h(to)f Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)1239 1589 y Fe(K)1269 1583 y Fn(,)13 b(the)g(Lie)f(brac)o(k) o(et)h(on)f Fj(L)1661 1589 y Fg(\000)257 1633 y Fn(induces)j(a)d(Lie)i (cobrac)o(k)o(et)g(on)f Fj(L)778 1639 y Ff(+)819 1633 y Fn(and)g(vice)g(v)o(ersa.)19 b(As)13 b(a)g(\014rst)h(step,)g(w)o(e)f (sho)o(w)h(that)f Fj( )1662 1639 y Ff(+)257 1683 y Fn(and)i Fj( )366 1689 y Fg(\000)409 1683 y Fn(are)h(the)g(coadjoin)o(t)e (actions.)21 b(This)15 b(follo)o(ws)f(directly)h(from)e(Prop)q(osition) i(2.9.1)257 1733 y(and)f(the)h(in)o(v)n(ariance)e(of)g(the)h(bilinear)f (form:)606 1821 y Fh(h)p Fj( )649 1827 y Fg(\000)677 1821 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)826 1804 y Fg(0)839 1821 y Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(h)p Fn([)p Fj(y)q(;)7 b(x)p Fn(])p Fj(;)g(y)1055 1804 y Fg(0)1066 1821 y Fh(i)12 b Fn(=)f Fh(\000h)p Fj(x;)c Fn([)p Fj(y)q(;)g(y)1301 1804 y Fg(0)1313 1821 y Fn(])p Fh(i)257 1910 y Fn(and)15 b(similarly)c(for)j Fj( )600 1916 y Ff(+)628 1910 y Fn(.)20 b(Tw)o(o)14 b(of)g(the)h(axioms)e(for)h(a)g(Lie)g(algebra)g(biform)f (already)h(hold)257 1960 y(b)o(y)20 b(de\014nition)f(of)g(the)h(copro)q (ducts.)37 b(The)20 b(last)f(one)h(follo)o(ws)e(b)o(y)h(virtually)f (the)i(same)257 2010 y(calculation)13 b(as)h(ab)q(o)o(v)o(e:)459 2098 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(\036)543 2104 y Ff(+)570 2098 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)13 b Fn(=)f Fh(h)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(h;)g(y)q Fn(])p Fh(i)j Fn(=)i Fh(\000h)p Fn([)p Fj(h;)7 b(x)p Fn(])p Fj(;)g(y)q Fh(i)j Fn(=)i Fh(\000h)p Fj(\036)1291 2104 y Fg(\000)1319 2098 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(i)257 2187 y Fn(Tw)o(o)14 b(things)g(remain)e(to)i(b)q(e)g(done:)19 b(First,)13 b(w)o(e)h(ha)o(v)o(e)g(to)g(de\014ne)h(linear)e(maps)577 2276 y Fj(\016)595 2282 y Ff(+)634 2276 y Fn(:)e Fj(L)685 2282 y Ff(+)725 2276 y Fh(!)g Fj(L)806 2282 y Ff(0)834 2276 y Fh(\012)e Fj(L)903 2282 y Ff(+)1014 2276 y Fj(\016)1032 2282 y Fg(\000)1072 2276 y Fn(:)i Fj(L)1123 2282 y Fg(\000)1163 2276 y Fh(!)g Fj(L)1244 2282 y Ff(0)1272 2276 y Fh(\012)f Fj(L)1342 2282 y Fg(\000)257 2365 y Fn(that)j(turn)g Fj(L)465 2371 y Ff(+)505 2365 y Fn(and)f Fj(L)612 2371 y Fg(\000)653 2365 y Fn(in)o(to)g(Y)m(etter-Drinfel'd)g(Lie)g (algebras,)g(and)g(second,)i(w)o(e)e(ha)o(v)o(e)h(to)257 2414 y(iden)o(tify)g(the)i(last)f(structure)i(elemen)o(t)d(in)g(the)i (equalit)o(y:)711 2503 y Fh(f)p Fj(x;)7 b(y)q Fh(g)k Fn(=)h Fj(y)893 2486 y Ff(1)913 2503 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)993 2486 y Ff(2)1011 2503 y Fh(i)j(\000)f Fj(x)1102 2486 y Ff(1)1121 2503 y Fh(h)p Fj(x)1161 2486 y Ff(2)1179 2503 y Fj(;)e(y)q Fh(i)953 2628 y Fn(41)p eop %%Page: 42 42 42 41 bop 257 262 a Fn(W)m(e)14 b(in)o(tro)q(duce)g(the)h(bilinear)e (form)604 353 y Fh(h\001)p Fj(;)7 b Fh(\001i)679 359 y Ff(0)708 353 y Fn(:)k Fj(L)759 359 y Ff(0)787 353 y Fh(\002)e Fj(L)856 359 y Ff(0)887 353 y Fh(!)i Fj(K)q(;)c Fn(\()p Fj(h;)g(h)1078 335 y Fg(0)1088 353 y Fn(\))12 b Fh(7!)f Fn(2)g Fh(h)p Fj(h;)c(h)1284 335 y Fg(0)1295 353 y Fh(i)1311 359 y Fe(K)257 444 y Fn(whic)o(h)22 b(is)f(just)g(t)o (wice)h(the)g(original)d(form,)i(and)g(select)i(dual)e(bases)h Fj(a)1439 450 y Ff(1)1458 444 y Fj(;)7 b(:)g(:)g(:)k(;)c(a)1579 450 y Fe(n)1623 444 y Fn(and)257 494 y Fj(b)275 500 y Ff(1)294 494 y Fj(;)g(:)g(:)g(:)12 b(;)7 b(b)412 500 y Fe(n)448 494 y Fn(satisfying)13 b Fh(h)p Fj(a)671 500 y Fe(i)685 494 y Fj(;)7 b(b)722 500 y Fe(j)739 494 y Fh(i)755 500 y Ff(0)786 494 y Fn(=)12 b Fj(\016)848 500 y Fe(ij)878 494 y Fn(.)19 b(As)c(in)f(Prop)q(osition)f(2.9.2,)g(it)h (follo)o(ws)e(from)h(the)257 543 y(in)o(v)n(ariance)h(of)f(the)h (bilinear)f(form)f(that)i(the)h(elemen)o(t)e Fj(r)g Fn(=)1211 512 y Fd(P)1254 522 y Fe(n)1254 556 y(i)p Ff(=1)1317 543 y Fj(a)1339 549 y Fe(i)1362 543 y Fh(\012)d Fj(b)1422 549 y Fe(i)1449 543 y Fn(is)k(also)f(in)o(v)n(ari-)257 593 y(an)o(t,)e(and)g(therefore,)i(since)e(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)g (considered)i Fj(L)1079 599 y Ff(0)1108 593 y Fn(as)e(coab)q(elian,)g Fj(L)1377 599 y Ff(0)1407 593 y Fn(is)g(a)f(cob)q(oundary)257 643 y(Lie)17 b(bialgebra)f(whose)h(cobrac)o(k)o(et)g(is)g(the)g(cob)q (oundary)g(of)f Fj(r)q Fn(.)26 b(W)m(e)16 b(no)o(w)g(carry)h(out)g(the) 257 693 y(\014rst)e(step)g(of)e(our)h(program)e(b)o(y)i(de\014ning:)450 815 y Fj(\016)468 821 y Ff(+)496 815 y Fn(\()p Fj(y)q Fn(\))f(=)626 763 y Fe(n)606 775 y Fd(X)609 864 y Fe(i)p Ff(=1)673 815 y Fj(a)695 821 y Fe(i)718 815 y Fh(\012)c Fj(\036)784 821 y Ff(+)812 815 y Fn(\()p Fj(b)846 821 y Fe(i)859 815 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))85 b Fj(\016)1031 821 y Fg(\000)1059 815 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\))12 b(=)1190 763 y Fe(n)1170 775 y Fd(X)1174 864 y Fe(i)p Ff(=1)1237 815 y Fj(a)1259 821 y Fe(i)1282 815 y Fh(\012)e Fj(\036)1349 821 y Fg(\000)1377 815 y Fn(\()p Fj(b)1411 821 y Fe(i)1424 815 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))257 942 y(for)k Fj(y)f Fh(2)e Fj(L)421 948 y Ff(+)463 942 y Fn(and)i Fj(x)e Fh(2)h Fj(L)646 948 y Fg(\000)674 942 y Fn(.)18 b(With)13 b(this)h(c)o(hoice,) f(our)h(Lie)g(algebra)f(biform)e(is)j(ev)o(en)g(strict:)351 1066 y Fj(x)375 1049 y Ff(1)393 1066 y Fh(h)p Fj(x)433 1049 y Ff(2)451 1066 y Fj(;)7 b(y)q Fh(i)12 b Fn(=)583 1014 y Fe(n)563 1027 y Fd(X)566 1115 y Fe(i)p Ff(=1)630 1066 y Fj(a)652 1072 y Fe(i)666 1066 y Fh(h)p Fj(\036)707 1072 y Fg(\000)735 1066 y Fn(\()p Fj(b)769 1072 y Fe(i)783 1066 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))p Fj(;)7 b(y)q Fh(i)12 b Fn(=)g Fh(\000)1025 1014 y Fe(n)1006 1027 y Fd(X)1009 1115 y Fe(i)p Ff(=1)1073 1066 y Fj(a)1095 1072 y Fe(i)1108 1066 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(\036)1192 1072 y Ff(+)1219 1066 y Fn(\()p Fj(b)1253 1072 y Fe(i)1267 1066 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)13 b Fn(=)f Fh(\000)p Fj(y)1462 1049 y Ff(1)1481 1066 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)1561 1049 y Ff(2)1580 1066 y Fh(i)257 1193 y Fn(This)16 b(implies)d(b)o(y)i(Prop)q(osition)h (2.8,)e(that)h(the)h(structures)i(on)e Fj(L)1309 1199 y Fg(\000)1352 1193 y Fn(are)g(precisely)h(those)257 1243 y(induced)22 b(on)e(the)h(dual)f(v)o(ector)i(space)f(of)f Fj(L)991 1249 y Ff(+)1019 1243 y Fn(.)38 b(It)21 b(is)f(also)g(easy)h (to)g(see)h(that)e Fj(L)1613 1249 y Ff(+)1662 1243 y Fn(is)257 1293 y(symmetric.)c(Before)f(completing)c(the)j(\014rst)g (step)h(of)d(our)i(program)d(it)i(is)g(useful)h(to)f(carry)257 1343 y(out)h(the)h(second)g(step.)k(W)m(e)13 b(ha)o(v)o(e:)293 1434 y Fh(hf)p Fj(x;)7 b(y)q Fh(g)p Fj(;)g(h)p Fh(i)474 1440 y Fe(K)517 1434 y Fn(=)12 b Fh(h)p Fn([)p Fj(y)q(;)7 b(x)p Fn(])p Fj(;)g(h)p Fh(i)724 1440 y Fe(K)766 1434 y Fn(=)12 b Fh(\000h)p Fj(x;)7 b Fn([)p Fj(y)q(;)g(h)p Fn(])p Fh(i)1005 1440 y Fe(K)1047 1434 y Fn(=)12 b Fh(h)p Fj(x;)7 b(\036)1175 1440 y Ff(+)1202 1434 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)1327 1440 y Fe(K)426 1534 y Fn(=)490 1482 y Fe(n)470 1495 y Fd(X)473 1583 y Fe(i)p Ff(=1)530 1534 y Fh(h)p Fj(h;)g(a)611 1540 y Fe(i)624 1534 y Fh(i)640 1540 y Ff(0)659 1534 y Fh(h)p Fj(x;)g(\036)743 1540 y Ff(+)770 1534 y Fn(\()p Fj(b)804 1540 y Fe(i)818 1534 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)903 1540 y Fe(K)948 1534 y Fn(=)k Fh(h)p Fj(h;)c(y)1071 1517 y Ff(1)1090 1534 y Fh(i)1106 1540 y Ff(0)1125 1534 y Fh(h)p Fj(x;)g(y)1205 1517 y Ff(2)1224 1534 y Fh(i)1240 1540 y Fe(K)1284 1534 y Fn(=)k(2)h Fh(h)p Fj(h;)7 b(y)1440 1517 y Ff(1)1459 1534 y Fh(i)1475 1540 y Fe(K)1507 1534 y Fh(h)p Fj(x;)g(y)1587 1517 y Ff(1)1606 1534 y Fh(i)1622 1540 y Fe(K)257 1661 y Fn(and)14 b(since)h(our)f(form)e(is)i(nondegenerate)h(w)o(e)f (conclude:)542 1753 y Fh(f)p Fj(x;)7 b(y)q Fh(g)k Fn(=)h(2)f Fj(y)756 1735 y Ff(1)775 1753 y Fh(h)p Fj(x;)c(y)855 1735 y Ff(2)874 1753 y Fh(i)890 1759 y Fe(K)934 1753 y Fn(=)12 b Fj(y)999 1735 y Ff(1)1018 1753 y Fh(h)p Fj(x;)7 b(y)1098 1735 y Ff(2)1117 1753 y Fh(i)1133 1759 y Fe(K)1174 1753 y Fh(\000)j Fj(x)1240 1735 y Ff(1)1258 1753 y Fh(h)p Fj(x)1298 1735 y Ff(2)1317 1753 y Fj(;)d(y)q Fh(i)1373 1759 y Fe(K)257 1844 y Fn(What)12 b(w)o(e)h(w)o(an)o(t)e(no)o(w)h(is)g (to)g(conclude)h(b)o(y)f(Prop)q(osition)g(2.11)f(that)h(the)h (structures)i(in)o(tro-)257 1893 y(duced)i(so)f(far)f(turn)h Fj(L)619 1899 y Ff(+)662 1893 y Fn(in)o(to)f(a)h(Y)m(etter-Drinfel'd)f (Lie)h(algebra.)22 b(This)16 b(means)f(that)g(w)o(e)257 1943 y(ha)o(v)o(e)10 b(to)f(v)o(erify)g(the)h(compatibilit)o(y)d (conditions)i(in)g(that)h(Prop)q(osition.)16 b(The)10 b(equiv)n(ariance)257 1993 y(of)j(the)h(copro)q(duct)g(of)f Fj(L)644 1999 y Ff(+)685 1993 y Fn(follo)o(ws)f(from)f(dualizing)i(the) g(fact)h(that)f Fj(\036)1362 1999 y Fg(\000)1390 1993 y Fn(\()p Fj(h)p Fn(\))g(restricts)j(to)d(a)257 2043 y(deriv)n(ation)f(of)f Fj(L)524 2049 y Fg(\000)552 2043 y Fn(.)18 b(The)12 b(second)h(compatibilit)o(y)c(condition)j(follo)o (ws)e(from)h(a)g(calculation)257 2093 y(similar)g(to)i(the)h(one)f(w)o (e)h(ha)o(v)o(e)f(used)h(in)e(the)i(second)g(step)g(in)f(the)h(pro)q (of)f(of)f(Theorem)h(4.2:)332 2184 y Fh(h)p Fj(x)372 2167 y Fg(0)393 2184 y Fh(\012)c Fj(x;)e Fn(\001)512 2190 y Ff(+)539 2184 y Fn(\([)p Fj(y)q(;)g(y)628 2167 y Fg(0)640 2184 y Fn(]\))i Fh(\000)g Fj(y)q(:)p Fn(\001)786 2190 y Ff(+)814 2184 y Fn(\()p Fj(y)851 2167 y Fg(0)864 2184 y Fn(\))g(+)g Fj(y)951 2167 y Fg(0)964 2184 y Fj(:)p Fn(\001\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)1080 2190 y Fe(K)426 2246 y Fn(=)p Fh(h)p Fj(x)498 2229 y Fg(0)510 2246 y Fj(;)e( )556 2252 y Ff(+)583 2246 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\([)p Fj(y)q(;)g(y)728 2229 y Fg(0)740 2246 y Fn(]\))i Fh(\000)g Fn([)p Fj( )857 2252 y Ff(+)885 2246 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fj(;)e(y)1034 2229 y Fg(0)1047 2246 y Fn(])h(+)i([)p Fj(y)q(;)d( )1188 2252 y Ff(+)1215 2246 y Fn(\()p Fj(x)p Fn(\)\()p Fj(y)1308 2229 y Fg(0)1321 2246 y Fn(\)])728 2308 y Fh(\000)j Fj( )797 2314 y Ff(+)824 2308 y Fn(\()p Fj( )867 2314 y Fg(\000)896 2308 y Fn(\()p Fj(y)933 2291 y Fg(0)945 2308 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)q Fn(\))h Fh(\000)e Fj( )1165 2314 y Ff(+)1193 2308 y Fn(\()p Fj( )1236 2314 y Fg(\000)1264 2308 y Fn(\()p Fj(y)1301 2291 y Fg(0)1314 2308 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\)\)\()p Fj(y)1439 2291 y Fg(0)1452 2308 y Fn(\))p Fh(i)1484 2314 y Fe(K)426 2371 y Fn(=)p Fh(h)p Fj(x)498 2354 y Fg(0)510 2371 y Fj(;)e(\036)554 2377 y Ff(+)580 2371 y Fn(\()p Fh(f)p Fj(x;)g(y)681 2354 y Fg(0)693 2371 y Fh(g)p Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))j Fh(\000)g Fj(\036)860 2377 y Ff(+)887 2371 y Fn(\()p Fh(f)p Fj(x;)d(y)q Fh(g)p Fn(\)\()p Fj(y)1062 2354 y Fg(0)1074 2371 y Fn(\))p Fh(i)1106 2377 y Fe(K)426 2471 y Fn(=2)517 2419 y Fe(n)497 2431 y Fd(X)500 2520 y Fe(i)p Ff(=1)557 2471 y Fh(h)p Fj(x)597 2454 y Fg(0)618 2471 y Fh(\012)i Fj(x;)e(\036)727 2477 y Ff(+)754 2471 y Fn(\()p Fj(b)788 2477 y Fe(i)802 2471 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))j Fh(\012)g Fj(\036)948 2477 y Ff(+)975 2471 y Fn(\()p Fj(a)1013 2477 y Fe(i)1027 2471 y Fn(\)\()p Fj(y)1080 2454 y Fg(0)1093 2471 y Fn(\))f Fh(\000)h Fj(\036)1185 2477 y Ff(+)1212 2471 y Fn(\()p Fj(a)1250 2477 y Fe(i)1264 2471 y Fn(\)\()p Fj(y)1317 2454 y Fg(0)1329 2471 y Fn(\))g Fh(\012)f Fj(\036)1421 2477 y Ff(+)1449 2471 y Fn(\()p Fj(b)1483 2477 y Fe(i)1496 2471 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))p Fh(i)1581 2477 y Fe(K)953 2628 y Fn(42)p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 257 262 a Fn(No)o(w)10 b(w)o(e)h(can)f(conclude)h(from)e (Prop)q(osition)h(2.11)f(that)h(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)g(turned)i Fj(L)1438 268 y Ff(+)1476 262 y Fn(and)e Fj(L)1581 268 y Fg(\000)1619 262 y Fn(in)o(to)257 311 y(Y)m(etter-Drinfel'd)16 b(Lie)h(algebras.)25 b(W)m(e)16 b(no)o(w)g(w)o(an)o(t)g(to)g(apply)g (the)h(second)g(construction)257 361 y(in)j(the)h(form)d(of)i(Theorem)f (4.2.)36 b(F)m(or)20 b(this,)h(w)o(e)g(ha)o(v)o(e)f(to)g(v)o(erify)g (the)g(h)o(yp)q(otheses)i(of)257 411 y(this)15 b(Theorem.)21 b(But)16 b(this)f(has)g(essen)o(tially)g(already)g(b)q(een)h(done:)21 b(Observing)15 b(that)g(our)257 461 y(classical)20 b(r-matrix)d(is)j (symmetric,)f(the)h(compatibilit)o(y)c(b)q(et)o(w)o(een)21 b Fj(\016)1382 467 y Ff(+)1430 461 y Fn(and)e Fj(\036)1541 467 y Ff(+)1588 461 y Fn(\(resp.)257 511 y Fj(\016)275 517 y Fg(\000)319 511 y Fn(and)d Fj(\036)427 517 y Fg(\000)454 511 y Fn(\))g(can)g(b)q(e)g(sho)o(wn)g(as)f(in)g(the)i(pro)q(of)e(of)g (Prop)q(osition)g(2.4)f(and)i(the)g(equation)257 560 y Fj(x)281 545 y Ff(2)307 560 y Fh(\012)8 b Fj(\036)372 566 y Ff(+)399 560 y Fn(\()p Fj(x)439 545 y Ff(1)457 560 y Fn(\)\()p Fj(y)q Fn(\))13 b(=)f Fj(\036)608 566 y Fg(\000)636 560 y Fn(\()p Fj(y)673 545 y Ff(1)692 560 y Fn(\)\()p Fj(x)p Fn(\))c Fh(\012)f Fj(y)832 545 y Ff(2)865 560 y Fn(can)13 b(b)q(e)g(sho)o(wn)g(as)g(in)g(the)g(pro)q(of)g(of)f (Corollary)g(4.6.)257 610 y(W)m(e)j(therefore)h(obtain)e(b)o(y)g (Theorem)h(4.2)e(a)i(Lie)f(algebra)h(structure)h(on)f Fj(L)1455 616 y Fg(\000)1493 610 y Fh(\010)10 b Fj(L)1563 616 y Ff(0)1592 610 y Fh(\010)g Fj(L)1662 616 y Ff(+)257 660 y Fn(whic)o(h)19 b(is)f(equal)g(to)g(the)h(original)d(Lie)j (algebra)e(structure)k(b)q(ecause)f(w)o(e)f(already)f(ha)o(v)o(e)257 710 y(iden)o(ti\014ed)c(the)h(structure)h(elemen)o(ts)e Fj(\036)883 716 y Ff(+)910 710 y Fj(;)7 b(\036)954 716 y Fg(\000)981 710 y Fj(;)g( )1027 716 y Ff(+)1054 710 y Fj(;)g( )1100 716 y Fg(\000)1142 710 y Fn(and)13 b Fh(f\001)p Fj(;)7 b Fh(\001g)p Fn(.)338 b Fc(\003)257 846 y Fk(5)67 b(Kac-Mo)r(o)r(dy)22 b(algebras)257 937 y Fi(5.1)31 b Fn(W)m(e)17 b(shall)g(encoun)o(ter)i(some)e(sp)q(ecial)i (cases)g(of)e(concepts)j(from)c(the)i(cohomology)257 986 y(theory)e(of)f(Lie)g(algebras,)g(as)g(w)o(e)g(already)g(did)g(in)g (the)g(previous)h(Sections.)23 b(In)15 b(order)h(to)257 1036 y(impro)o(v)o(e)e(the)i(understanding)g(of)f(these)i(sp)q(ecial)e (cases,)i(w)o(e)f(note)g(here)g(ho)o(w)f(they)h(arise)257 1086 y(from)e(the)h(general)h(case.)22 b(The)16 b(reader)g(should)f (refer)h(to)f(the)h(textb)q(o)q(oks)f([1],)f([7)o(])h(or)g([19)o(])257 1136 y(for)f(details)g(on)f(Lie)h(algebra)f(cohomology)m(,)e(as)j(w)o (ell)f(as)h(to)f(the)i(original)d(w)o(ork)i([3)o(].)320 1186 y(If)j Fj(L)h Fn(is)g(a)f(Lie)h(algebra)f(and)h Fj(V)27 b Fn(is)17 b(an)h Fj(L)p Fn(-mo)q(dule,)f(the)h(cohomology)d (groups)j(of)f Fj(L)257 1235 y Fn(with)12 b(v)n(alues)f(in)g Fj(V)21 b Fn(are)12 b(the)g(cohomology)d(groups)j(of)f(the)h(Chev)n (alley-Eilen)o(b)q(erg)f(complex)257 1285 y(whose)k(n-th)f(co)q(c)o (hain)g(group)f(is)h Fj(H)s(om)873 1291 y Fe(K)906 1285 y Fn(\()922 1254 y Fd(V)956 1264 y Fe(n)986 1285 y Fj(L;)7 b(V)i Fn(\))14 b(and)g(whose)g(cob)q(oundary)g(op)q(erator)566 1385 y Fj(d)588 1368 y Fe(n)622 1385 y Fn(:)d Fj(H)s(om)739 1391 y Fe(K)771 1385 y Fn(\()787 1345 y Fd(^)834 1351 y Fe(n)863 1385 y Fj(L;)c(V)i Fn(\))j Fh(!)f Fj(H)s(om)1118 1391 y Fe(K)1151 1385 y Fn(\()1167 1345 y Fd(^)1213 1351 y Fe(n)p Ff(+1)1284 1385 y Fj(L;)c(V)j Fn(\))257 1474 y(is)k(giv)o(en)f(b)o(y)h(the)h(form)o(ula)482 1594 y(\()p Fj(d)520 1576 y Fe(n)542 1594 y Fj(f)t Fn(\)\()598 1542 y Fe(n)p Ff(+1)607 1554 y Fd(^)602 1643 y Fe(i)p Ff(=1)668 1594 y Fj(x)692 1600 y Fe(i)706 1594 y Fn(\))d(=)778 1542 y Fe(n)p Ff(+1)779 1554 y Fd(X)782 1643 y Fe(i)p Ff(=1)840 1594 y Fn(\()p Fh(\000)p Fn(1\))925 1576 y Fe(i)p Fg(\000)p Ff(1)982 1594 y Fj(x)1006 1600 y Fe(i)1019 1594 y Fj(:f)t Fn(\()1071 1542 y Fe(n)p Ff(+1)1080 1554 y Fd(^)1074 1643 y Fe(j)r Ff(=1)1077 1673 y Fe(j)r Fg(6)p Ff(=)p Fe(i)1141 1594 y Fj(x)1165 1600 y Fe(j)1182 1594 y Fn(\))849 1774 y(+)899 1722 y Fe(n)p Ff(+1)900 1734 y Fd(X)891 1823 y Fe(i;j)r Ff(=1)904 1852 y Fe(i