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%%EndProlog %%BeginSetup %%Feature: *Resolution 300dpi TeXDict begin %%PaperSize: a4 %%EndSetup %%Page: 1 1 1 0 bop 573 456 a Fu(Bew)n(eise)22 b(und)f(Programme.)276 548 y(Anmerkungen)f(zu)i(Heytings)f(F)-6 b(ormalisierung)21 b(der)603 639 y(in)n(tuitionistisc)n(hen)g(Logik)688 765 y Ft(Helm)o(ut)13 b(Sc)o(h)o(wic)o(h)o(ten)o(b)q(erg)1191 747 y Fs(\003)262 940 y Fr(In)k(der)g(Mathematik)g(wurde)g(es)g(sc)o (hon)g(immer)g(f)1138 942 y(\177)1137 940 y(ur)g(m)1235 942 y(\177)1235 940 y(oglic)o(h)h(und)g(sinn)o(v)o(oll)g(ge-)191 996 y(halten,)23 b(zwisc)o(hen)h(Existenzb)q(ew)o(eisen)h(zu)e(un)o (tersc)o(heiden,)h(die)g(das)e(als)h(existen)o(t)191 1053 y(nac)o(hgewiesene)e(Ob)s(jekt)f(tats)731 1055 y(\177)731 1053 y(ac)o(hlic)o(h)g(liefern,)h(und)g(solc)o(hen,)f(die)h(dies)g(nic) o(h)o(t)g(tun.)191 1109 y(Als)16 b(Beispiel)i(b)q(etrac)o(h)o(ten)d (wir)g(die)h(folgende)g(Aussage.)482 1211 y(Es)f(gibt)h(irrationale)g (Zahlen)g Fq(a;)8 b(b)14 b Fr(mit)h Fq(a)1195 1195 y Fp(b)1227 1211 y Fr(rational.)191 1313 y(Einen)h(Bew)o(eis)g(erh)533 1315 y(\177)533 1313 y(alt)g(man)f(wie)h(folgt)e(durc)o(h)i(F)l(allun)o (tersc)o(heidung.)262 1385 y Fo(F)m(al)r(l)358 1347 y Fn(p)p 395 1347 23 2 v 395 1385 a Fr(2)418 1329 y Fs(p)p 448 1329 18 2 v 448 1357 a Fm(2)484 1385 y Fr(ist)g(rational.)h(Man)f (w)871 1387 y(\177)871 1385 y(ahle)h Fq(a)d Fr(=)1057 1347 y Fn(p)p 1094 1347 23 2 v 1094 1385 a Fr(2)j(und)g Fq(b)d Fr(=)1310 1347 y Fn(p)p 1348 1347 V 38 x Fr(2.)i(Dann)g(sind)i Fq(a;)8 b(b)191 1441 y Fr(irrational,)15 b(und)h(nac)o(h)g(Annahme)f (ist)h Fq(a)895 1425 y Fp(b)927 1441 y Fr(rational.)262 1513 y Fo(F)m(al)r(l)358 1475 y Fn(p)p 396 1475 V 38 x Fr(2)418 1457 y Fs(p)p 448 1457 18 2 v 448 1485 a Fm(2)484 1513 y Fr(ist)h(irrational.)f(Man)g(w)901 1515 y(\177)901 1513 y(ahle)h Fq(a)e Fr(=)1087 1475 y Fn(p)p 1125 1475 23 2 v 38 x Fr(2)1148 1457 y Fs(p)p 1177 1457 18 2 v 28 x Fm(2)1214 1513 y Fr(und)i Fq(b)d Fr(=)1390 1475 y Fn(p)p 1428 1475 23 2 v 38 x Fr(2.)i(Dann)g(sind)191 1569 y(nac)o(h)f(Annahme)h Fq(a;)8 b(b)14 b Fr(irrational,)h(und)635 1711 y Fq(a)659 1692 y Fp(b)689 1711 y Fr(=)737 1647 y Fl(\022)770 1671 y Fn(p)p 808 1671 V 40 x Fr(2)831 1653 y Fs(p)p 860 1653 18 2 v 28 x Fm(2)880 1647 y Fl(\023)914 1631 y Fs(p)p 943 1631 V 27 x Fm(2)975 1711 y Fr(=)1023 1661 y Fl(\020)1050 1671 y Fn(p)p 1088 1671 23 2 v 40 x Fr(2)1111 1661 y Fl(\021)1138 1672 y Fm(2)1171 1711 y Fr(=)d(2)191 1836 y(ist)j(rational.)p 1666 1809 19 2 v 1666 1834 2 26 v 1684 1834 V 1666 1836 19 2 v 262 1898 a(Solange)c(wir)g(nic)o(h)o(t)g(en)o(tsc)o(hieden)h(hab)q(en,)f (ob)1047 1861 y Fn(p)p 1085 1861 23 2 v 37 x Fr(2)1108 1843 y Fs(p)p 1137 1843 18 2 v 27 x Fm(2)1167 1898 y Fr(n)o(un)h(rational)e(ist)h(o)q(der)g(nic)o(h)o(t,)191 1955 y(wissen)17 b(wir)g(nic)o(h)o(t,)g(w)o(elc)o(he)h(Zahlen)f Fq(a;)8 b(b)16 b Fr(wir)h(nehmen)g(m)1208 1957 y(\177)1207 1955 y(ussen.)g(Damit)f(hab)q(en)i(wir)191 2011 y(ein)k(Beispiel)i (eines)e(Existenzb)q(ew)o(eises,)h(der)e(es)g(nic)o(h)o(t)h(erlaubt,)f (das)g(als)g(existen)o(t)191 2068 y(nac)o(hgewiesene)f(Ob)s(jekt)f (tats)729 2070 y(\177)729 2068 y(ac)o(hlic)o(h)g(anzugeb)q(en.)h Fk(Weyl)g Fr(\(in)f([20)o(];)f(s.)h(auc)o(h)g Fk(v)l(an)191 2124 y(D)o(alen)e Fr([19)o(]\))g(hat)g(die)h(Not)o(w)o(endigk)o(eit)g (einer)g(solc)o(hen)g(Un)o(tersc)o(heidung)h(wie)f(folgt)191 2181 y(b)q(egr)279 2183 y(\177)278 2181 y(undet.)305 2275 y(Ein)d(Existen)o(tialsatz)g({)f(et)o(w)o(a)g(\\es)g(gibt)h(eine)h (gerade)e(Zahl")h({)f(ist)1468 2277 y(\177)1467 2275 y(ub)q(er-)305 2331 y(haupt)19 b(k)o(ein)g(Urteil)h(im)g(eigen)o(tlic)o (hen)h(Sinne,)f(das)f(einen)i(Sac)o(h)o(v)o(erhalt)305 2387 y(b)q(ehauptet;)14 b(Existen)o(tialsac)o(h)o(v)o(erhalte)i(sind)f (eine)h(leere)f(Er\014ndung)g(der)305 2444 y(Logik)o(er.)j(\\2)g(ist)h (eine)h(gerade)f(Zahl",)f(das)h(ist)g(ein)g(wirklic)o(hes,)i(einem)305 2500 y(Sac)o(h)o(v)o(erhalt)10 b(Ausdruc)o(k)h(geb)q(endes)h(Urteil;)g (\\es)e(gibt)h(eine)h(gerade)f(Zahl")p 191 2540 598 2 v 242 2567 a Fj(\003)260 2583 y Fi(Mathematisc)o(hes)27 b(Institut)f(der)f(Univ)o(ersit)935 2585 y(\177)935 2583 y(at)i(M)1032 2585 y(\177)1031 2583 y(unc)o(hen,)f(Theresienstra\031e)h (39,)e(D-80333)191 2628 y(M)227 2630 y(\177)226 2628 y(unc)o(hen,)14 b(German)o(y)m(.)f(e-mail)h Fh(schwicht@rz)o(.m)o(ath)o (em)o(ati)o(k.u)o(ni)o(-mu)o(en)o(che)o(n.d)o(e)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 305 274 a Fr(ist)21 b(n)o(ur)g(ein)h(aus)f(diesem)h(Urteil)g (gew)o(onnenes)g(Urteilsabstrakt.)e(Be-)305 330 y(zeic)o(hne)14 b(ic)o(h)g(Erk)o(enn)o(tnis)f(als)g(einen)i(w)o(ertv)o(ollen)e(Sc)o (hatz,)f(so)h(ist)g(das)g(Ur-)305 387 y(teilsabstrakt)g(ein)i(P)o (apier,)f(w)o(elc)o(hes)g(das)g(V)l(orhandensein)i(eines)f(Sc)o(hat-) 305 443 y(zes)h(anzeigt,)f(ohne)h(jedo)q(c)o(h)h(zu)f(v)o(erraten,)e (an)i(w)o(elc)o(hem)g(Ort.)f(Sein)i(ein-)305 500 y(ziger)j(W)l(ert)g(k) m(ann)h(darin)f(liegen,)i(da\031)e(es)g(mic)o(h)g(an)o(treibt,)g(nac)o (h)g(dem)305 556 y(Sc)o(hatze)15 b(zu)h(suc)o(hen.)191 650 y(Ausgehend)i(v)o(on)e(derartigen)735 641 y(\177)729 650 y(Ub)q(erlegungen)j(hat)d Fk(Br)o(ouwer)h Fr(seine)h(in)o (tuitionisti-)191 707 y(sc)o(he)23 b(Mathematik)f(und)h(Logik)g(b)q (egr)880 709 y(\177)879 707 y(undet.)g Fk(Br)o(ouwer)g Fr(hat)f(sic)o(h)h(jedo)q(c)o(h)g(stets)191 763 y(gegen)14 b(eine)h(F)l(ormalisierung)f(der)g(in)o(tuitionistisc)o(hen)j(Logik)d (gew)o(andt,)f(die)i(ihm)f(der)191 819 y(v)o(on)j(ihm)h(v)o(ertretenen) f(Sac)o(he)h(nic)o(h)o(t)g(dienlic)o(h)i(zu)d(sein)h(sc)o(hien.)h (Denno)q(c)o(h)e(hat)g(sein)191 876 y(Sc)o(h)261 878 y(\177)260 876 y(uler)f Fk(Heyting)f Fr(eine)i(solc)o(he)f(in)g([9)o(]) f(durc)o(hgef)1067 878 y(\177)1066 876 y(uhrt.)262 932 y(In)j(der)f(v)o(orliegenden)i(Note)e(sollen)i(einige)g(der)e(p)q (ositiv)o(en)i(Auswirkungen)g(v)o(on)191 989 y Fk(Heyting)p Fr(s)d(Arb)q(eit)i(auf)e(w)o(eitere)h(En)o(t)o(wic)o(klungen)h(in)f (der)g(mathematisc)o(hen)g(Logik)191 1045 y(und)f(ihren)g(An)o(w)o (endungen)g(b)q(esc)o(hrieb)q(en)h(w)o(erden.)e(Es)g(wird)h(deutlic)o (h)h(w)o(erden,)e(da\031)191 1102 y(ein)g(Aufbau)f(auc)o(h)g(der)h (klassisc)o(hen)g(Logik)f(auf)g(den)h(Regeln)g(der)f(in)o (tuitionistisc)o(hen)191 1158 y(und)f(dar)346 1160 y(\177)345 1158 y(ub)q(er)h(hinausgehend)g(der)f(Minimallogik)i(w)o(esen)o(tlic)o (he)f(V)l(orteile)g(bietet.)f(Ein)191 1215 y(Hauptgrund)e(liegt)h (darin,)f(da\031)g Fk(Gentzen)p Fr(s)g(Kalk)1068 1217 y(\177)1067 1215 y(ul)h(des)g(nat)1258 1217 y(\177)1257 1215 y(urlic)o(hen)g(Sc)o(hlie\031ens)h([8])191 1271 y(f)206 1273 y(\177)205 1271 y(ur)19 b(die)h(Minimallogik)h(genau)e (dem)g Fq(\025)p Fr(-Kalk)997 1273 y(\177)996 1271 y(ul)h(mit)f(einfac) o(hen)h(T)o(yp)q(en)f(en)o(tspric)o(h)o(t)191 1328 y(\(s.)f(et)o(w)o(a) g([18)o(])h(f)473 1330 y(\177)472 1328 y(ur)g(eine)h(einf)703 1330 y(\177)702 1328 y(uhrende)h(Darstellung)f(dieser)g(sogenann)o(ten) f Fk(Curr)m(y)q Fr(-)191 1384 y Fk(Ho)o(w)l(ard)p Fr(-Korresp)q (ondenz\).)i(Dies)g(ist)f(die)i(w)o(esen)o(tlic)o(he)f(Grundlage)g(f) 1473 1386 y(\177)1472 1384 y(ur)f(An)o(w)o(en-)191 1440 y(dungen)d(der)g(in)o(tuitionistisc)o(hen)j(Logik)d(in)g(der)g (Informatik,)f(die)i(gegen)o(w)1506 1442 y(\177)1506 1440 y(artig)e(viel)191 1497 y(Aufmerksamk)o(eit)g(\014nden)i(\(s.)e (et)o(w)o(a)f(Bauer)i([1)o(]\).)f(Einige)i(derartige)e(An)o(w)o (endungen)191 1553 y(w)o(erden)f(am)g(Sc)o(hluss)h(dieser)h(Note)d(b)q (espro)q(c)o(hen.)262 1610 y(Wir)i(b)q(eginnen)i(in)f(Absc)o(hnitt)g(1) f(mit)g(einer)h(Darstellung)g(v)o(on)f Fk(Heyting)p Fr(s)g(F)l(or-)191 1666 y(malisierung)24 b(der)e(in)o(tuitionistisc)o(hen)j(Logik,)d(in)h (einer)g(f)1225 1668 y(\177)1224 1666 y(ur)f(die)h(ansc)o(hlie\031end)h (zu)191 1723 y(b)q(esc)o(hreib)q(enden)c(Un)o(tersuc)o(h)o(ungen)e (geeigneten)h(F)l(orm.)d(Hierb)q(ei)k(wird)e Fk(Gentzen)p Fr(s)191 1779 y(Kalk)286 1781 y(\177)285 1779 y(ul)26 b(des)f(nat)503 1781 y(\177)502 1779 y(urlic)o(hen)h(Sc)o(hlie\031ens)h ([8)o(])d(f)997 1781 y(\177)996 1779 y(ur)h(die)g(Minimallogik)i(\()p Fk(Johansson)191 1836 y Fr([12)o(]\))17 b(zugrunde)i(gelegt,)e(und)h (die)h(in)o(tuitionistisc)o(he)h(und)f(klassisc)o(he)g(Logik)f(durc)o (h)191 1892 y(fortsc)o(hreitende)h(Sp)q(ezialisi)q(erung)j(gew)o (onnen.)d(Den)g(grundlegenden)i(V)l(ollst)1561 1894 y(\177)1561 1892 y(andig-)191 1949 y(k)o(eitsb)q(ew)o(eis)f(geb)q(en)g(wir)f(f)661 1951 y(\177)660 1949 y(ur)g(die)h(Minimallogik)i(un)o(ter)c(V)l(erw)o (endung)i(v)o(on)f Fk(Beth)p Fr(-)191 2005 y(Strukturen,)12 b(nac)o(h)h(einem)h(\(un)o(v)o(er)794 2007 y(\177)794 2005 y(o\013en)o(tlic)o(h)o(ten\))f(Ansatz)f(v)o(on)h(Harv)o(ey)g Fk(Friedman)p Fr(.)191 2061 y(Daraus)f(lassen)i(sic)o(h)g(dann)f(durc)o (h)h(rec)o(h)o(t)f(einfac)o(he)h(Sp)q(ezialisie)q(rungen)i(die)e(V)l (ollst)1621 2063 y(\177)1621 2061 y(an-)191 2118 y(digk)o(eitsb)q(ew)o (eise)g(der)e(in)o(tuitionistisc)o(hen)j(\(auc)o(h)d(bzgl.)h Fk(Beth)p Fr(-Strukturen\))f(und)h(der)191 2174 y(klassisc)o(hen)e (Logik)g(\(bzgl.)f(gew)734 2176 y(\177)734 2174 y(ohnlic)o(her)i (Strukturen\))e(gewinnen;)h(die)g(letztere)g(geh)o(t)191 2231 y(auf)21 b Fk(Ber)o(ger)f Fr(zur)525 2233 y(\177)524 2231 y(uc)o(k.)e(Absc)o(hnitt)g(2)g(b)q(efa\031t)f(sic)o(h)i(mit)f(der) g(Extraktion)f(v)o(on)h(Pro-)191 2287 y(grammen)g(aus)h(k)o(onstruktiv) o(en)g(Bew)o(eisen.)h(Im)f(absc)o(hlie\031enden)i(Absc)o(hnitt)f(3)e(b) q(e-)191 2344 y(ric)o(h)o(ten)e(wir)h(kurz)527 2346 y(\177)526 2344 y(ub)q(er)g(neuere)g(V)l(ersuc)o(he,)f(auc)o(h)g(aus)g(klassisc)o (hen)i(Bew)o(eisen)f(Pro-)191 2400 y(gramme)c(extrahieren)h(zu)g(k)684 2402 y(\177)684 2400 y(onnen;)g(dies)h(ist)f(in)g([5)o(])g(n)1119 2402 y(\177)1119 2400 y(aher)f(ausgef)1342 2402 y(\177)1341 2400 y(uhrt.)g(Als)i(Beispiel)191 2457 y(wird)g(u.a.)e(ein)j(einfac)o (her)f(klassisc)o(her)g(Bew)o(eis)g(des)f Fk(Dickson)p Fr(sc)o(hen)g(Lemmas)g(ange-)191 2513 y(geb)q(en)g(und)h(analysiert.)e (Er)g(l)702 2515 y(\177)702 2513 y(a\031t)h(sic)o(h)g(leic)o(h)o(t)g(v) o(ollst)1093 2515 y(\177)1093 2513 y(andig)h(formalisieren,)f(und)g(f) 1600 2515 y(\177)1599 2513 y(uhrt)191 2570 y(auf)h(ein)h(sehr)g(einfac) o(hes,)f(unerw)o(artetes)g(funktionales)h(Programm.)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 191 274 a Fg(1)67 b(Logik)191 375 y Fr(Wir)16 b(geb)q(en)h(eine)g(F)l(ormalisierung)h(der)e(Logik)g(in)h Fk(Gentzen)p Fr(s)f(Kalk)1403 377 y(\177)1402 375 y(ul)i(des)e(nat)1603 377 y(\177)1602 375 y(urli-)191 432 y(c)o(hen)g(Sc)o(hlie\031ens)i([8)o (])d(an.)g(In)i(ihr)f(lassen)g(sic)o(h)g(die)h(Minimallogik,)g(die)g (in)o(tuitionisti-)191 488 y(sc)o(he)11 b(und)h(die)h(klassisc)o(he)f (Logik)g(darstellen.)g(Die)g Fo(Minimal)r(lo)n(gik)i Fr(\()p Fk(Johansson)c Fr([12)o(]\))191 545 y(ist)17 b(die)i(Grundlage)f(unsere)f(Darstellung.)h(Wir)f(sc)o(hreib)q(en)i (\000)e Fn(`)f Fq(A)h Fr(f)1411 547 y(\177)1410 545 y(ur)g(\\\000)h(b)q (ew)o(eist)191 601 y Fq(A)p Fr(",)f(w)o(ob)q(ei)h(\000)f(=)g Fn(f)8 b Fq(A)571 608 y Fm(1)590 601 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)t(;)g(A)725 608 y Fp(n)756 601 y Fn(g)17 b Fr(eine)i(Menge)e(v)o(on)g(Annahmen)i (ist.)e(Die)h Fo(intuitio-)191 658 y(nistische)c(L)n(o)n(gik)k Fr(\()p Fk(Heyting)c Fr([9]\))f(ergibt)i(sic)o(h)g(aus)f(der)h (Minimallogik,)h(indem)f(man)191 714 y(ein)h(sp)q(ezielles)j (Aussagensym)o(b)q(ol)c Fn(?)h Fr(\(lies)g(\\falsum"\))f(hinzunimm)o (t.)i(Die)e(Negation)191 771 y(wird)e(dann)h(de\014niert)g(durc)o(h)f Fn(:)p Fq(A)g Fr(:=)g Fq(A)f Fn(!)h(?)p Fr(.)g(Damit)g Fn(?)g Fr(sic)o(h)g(v)o(on)g(einem)h(gew)1572 773 y(\177)1572 771 y(ohnli-)191 827 y(c)o(hen)f(Aussagensym)o(b)q(ol)h(un)o(tersc)o (heidet,)f(sind)h(zus)1078 829 y(\177)1078 827 y(atzlic)o(he)h (Annahmen)f(not)o(w)o(endig:)191 884 y(die)i Fo(Ex-F)m(also-Quo)n(d)r (lib)n(et)t Fr(-F)l(ormeln)816 983 y Fn(8)o Fq(~)-22 b(x)q(:)p Fn(?)12 b(!)h Fq(R~)-23 b(x:)497 b Fr(\()p Ff(Efq)1639 994 y Fp(R)1668 983 y Fr(\))191 1082 y(Die)16 b Fo(klassische)f(L)n(o)n(gik)k Fr(ergibt)c(sic)o(h)h(durc)o(h)g(eine)h (w)o(eitere)e(V)l(erst)1306 1084 y(\177)1306 1082 y(arkung)g(der)h (Annah-)191 1138 y(men:)f(man)g(nimm)o(t)g(das)g Fo(Prinzip)h(des)g (indir)n(ekten)f(Beweisens)i Fr(hinzu,)g(also)780 1237 y Fn(8)o Fq(~)-22 b(x:)p Fn(::)p Fq(R~)f(x)13 b Fn(!)g Fq(R~)-23 b(x)437 b Fr(\()p Ff(Stab)1639 1244 y Fp(R)1668 1237 y Fr(\))191 1336 y(f)206 1338 y(\177)205 1336 y(ur)16 b(jedes)h(Pr)427 1338 y(\177)427 1336 y(adik)m(atensym)o(b)q(ol)h Fq(R)p Fr(.)d(Es)i(gilt)g(dann)f(\000)g Fn(`)e Fq(A)h Fr(=)-8 b Fn(\))16 b Fr(\000)f Fn(`)1371 1343 y Fp(i)1399 1336 y Fq(A)g Fr(=)-8 b Fn(\))16 b Fr(\000)f Fn(`)1607 1343 y Fp(c)1639 1336 y Fq(A)p Fr(.)191 1393 y(Die)k(Umk)o(ehrungen)h (sind)g(nic)o(h)o(t)f(ric)o(h)o(tig:)g(z.B.)g(die)h(P)o(eirce-F)l (ormel)f(\(\()p Fq(P)25 b Fn(!)19 b Fq(Q)p Fr(\))g Fn(!)191 1449 y Fq(P)6 b Fr(\))13 b Fn(!)g Fq(P)21 b Fr(ist)16 b(klassisc)o(h,)g(ab)q(er)f(nic)o(h)o(t)h(in)o(tuitionistisc)o(h)h (herleitbar.)262 1506 y(Eine)g(Ein)o(b)q(ettung)g(der)g(in)o (tuitionistisc)o(hen)j(und)d(der)g(klassisc)o(hen)h(Logik)f(in)g(die) 191 1562 y(Minimallogik)24 b(ist)e(im)h(w)o(esen)o(tlic)o(hen)g(v)o(on) f Fk(K)o(olmogor)o(o)o(v)h Fr(\(in)f([13)o(]\))g(angegeb)q(en)191 1619 y(w)o(orden;)13 b Fk(G)401 1617 y(\177)399 1619 y(odel)g Fr(und)h Fk(Gentzen)g Fr(hab)q(en)g(sp)991 1621 y(\177)991 1619 y(ater)f(\(und)g(unabh)1312 1621 y(\177)1312 1619 y(angig)h(v)o(on)f Fk(K)o(olmo-)191 1675 y(gor)o(o)o(v)q Fr(\))364 1677 y(\177)364 1675 y(ahnlic)o(he)k(Ein)o(b)q(ettungen)g (gefunden)f(\(s.)e(De\014nition)j(1.6\).)262 1732 y(Eine)c(w)o(eitere)g (wic)o(h)o(tige)g(Rolle)h(spielt)f(der)g(stark)o(e)e(Existenzquan)o (tor)i Fn(9)1490 1715 y Fs(\003)1510 1732 y Fr(.)f(Er)g(fehlt)191 1788 y(in)g(der)f(klassisc)o(hen)h(Logik;)f(statt)f(seiner)i(wird)f (dort)g(der)g(sc)o(h)o(w)o(ac)o(he)f(Existenzquan)o(tor)191 1845 y Fn(9)16 b Fr(v)o(erw)o(endet,)g(der)g(durc)o(h)h Fn(9)p Fq(xA)d Fr(:=)g Fn(:8)p Fq(x)p Fn(:)p Fq(A)j Fr(de\014niert)h (ist.)e(In)g(diesem)i(Sinn)f(ist)f(die)191 1901 y(klassisc)o(he)g (Logik)g(ec)o(h)o(t)f(en)o(thalten)h(in)g(der)f(in)o(tuitionistisc)o (hen)j(Logik.)191 2022 y Fe(1.1)56 b(Herleitungen)191 2108 y Fr(Wir)17 b(w)o(ollen)h(jetzt)f(den)h(Begri\013)f(einer)h Fo(lo)n(gischen)f(Herleitung)j Fr(einer)e(F)l(ormel)g Fq(A)f Fr(de-)191 2165 y(\014nieren.)h(Dazu)e(v)o(erw)o(enden)h(wir)f (ein)i(System)e(des)h(\\nat)1194 2167 y(\177)1193 2165 y(urlic)o(hen)h(Sc)o(hlie\031ens",)f(das)191 2221 y(v)o(on)f(1934)f(v)o (on)h Fk(Gentzen)h Fr(eingef)799 2223 y(\177)798 2221 y(uhrt)g(wurde.)f(Seine)i(b)q(esondere)g(Eigenart)e(ist)h(es,)191 2277 y(da\031)c(f)290 2279 y(\177)289 2277 y(ur)g(jede)g(logisc)o(he)h (V)l(erkn)721 2279 y(\177)720 2277 y(upfung)h Fo(Einf)957 2279 y(\177)957 2277 y(uhrungs-)f(und)g(Beseitigungsr)n(e)n(geln)g Fr(v)o(or-)191 2334 y(handen)i(sind.)262 2390 y(Zun)340 2392 y(\177)340 2390 y(ac)o(hst)g(hab)q(en)i(wir)f(eine)h (Annahmeregel,)f(die)h(es)f(gestattet,)d(eine)k(b)q(eliebige)191 2447 y(mit)d(einer)i(Mark)o(e)d Fq(u)h Fr(v)o(ersehene)h(F)l(ormel)f Fq(A)g Fr(als)h(Annahme)g(hinzusc)o(hreib)q(en:)774 2546 y Fq(u)5 b Fr(:)14 b Fq(A)46 b Fr(Annahme)191 2645 y(F)222 2647 y(\177)221 2645 y(ur)15 b(die)i(Konjuktion)g Fn(^)f Fr(hab)q(en)g(wir)g(eine)h(Einf)1031 2647 y(\177)1030 2645 y(uhrungsregel)h Fn(^)1330 2629 y Fm(+)1375 2645 y Fr(und)f(zw)o(ei)f(Besei-)191 2702 y(tigungsregeln)g Fn(^)499 2682 y Fs(\000)499 2715 y Fm(0)544 2702 y Fr(und)g Fn(^)665 2682 y Fs(\000)665 2715 y Fm(1)695 2702 y Fr(.)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 442 262 a Fn(D)477 269 y Fm(0)452 321 y Fq(A)590 262 y Fn(D)625 269 y Fm(1)599 321 y Fq(B)p 436 331 217 2 v 665 349 a Fn(^)695 332 y Fm(+)483 370 y Fq(A)10 b Fn(^)h Fq(B)920 259 y Fn(D)878 311 y Fq(A)f Fn(^)g Fq(B)p 861 321 155 2 v 1028 333 a Fn(^)1058 314 y Fs(\000)1058 346 y Fm(0)921 374 y Fq(A)1283 259 y Fn(D)1241 311 y Fq(A)g Fn(^)g Fq(B)p 1224 321 V 1391 333 a Fn(^)1421 314 y Fs(\000)1421 346 y Fm(1)1283 374 y Fq(B)191 452 y Fr(F)222 454 y(\177)221 452 y(ur)17 b(die)h(Implik)m(ation)h Fn(!)f Fr(gibt)f(es)g(eine)h(Einf)991 454 y(\177)990 452 y(uhrungsregel)h Fn(!)1306 435 y Fm(+)1336 452 y Fq(u)e Fr(und)h(eine)g(Besei-)191 508 y(tigungsregel)j Fn(!)494 492 y Fs(\000)524 508 y Fr(,)f(die)i(man)e(auc)o(h)h Fo(mo)n(dus)h(p)n(onens)h Fr(nenn)o(t.)d(Die)h(link)o(e)h(Pr)1556 510 y(\177)1556 508 y(amisse)191 565 y Fq(A)d Fn(!)h Fq(B)i Fr(in)f Fn(!)468 548 y Fs(\000)517 565 y Fr(nenn)o(t)e(man)g Fo(Hauptpr)914 567 y(\177)914 565 y(amisse)s Fr(,)h(die)h(rec)o(h)o(te) e(Pr)1348 567 y(\177)1348 565 y(amisse)g Fq(A)g Fo(Neb)n(en-)191 621 y(pr)233 623 y(\177)233 621 y(amisse)s Fr(.)c(Man)g(b)q(eac)o(h)o (te,)g(da\031)g(b)q(ei)i(An)o(w)o(endung)e(einer)i Fn(!)1246 604 y Fm(+)1276 621 y Fq(u)p Fr(-Regel)f Fo(al)r(le)j Fr(dar)1597 623 y(\177)1596 621 y(ub)q(er)191 677 y(stehenden)d(mit)g Fq(u)f Fr(markierten)g(Annahmen)h Fq(A)f Fr(gestric)o(hen)h(w)o(erden.) 547 762 y([)p Fq(u)5 b Fr(:)14 b Fq(A)p Fr(])588 825 y Fn(D)587 877 y Fq(B)p 518 887 175 2 v 706 904 a Fn(!)751 888 y Fm(+)781 904 y Fq(u)535 926 y(A)f Fn(!)g Fq(B)1018 789 y Fn(D)1053 796 y Fm(0)975 847 y Fq(A)f Fn(!)h Fq(B)1209 789 y Fn(D)1244 796 y Fm(1)1220 847 y Fq(A)p 958 857 313 2 v 1283 875 a Fn(!)1328 858 y Fs(\000)1096 896 y Fq(B)191 1004 y Fr(F)222 1006 y(\177)221 1004 y(ur)18 b(den)g(Allquan)o(tor)h Fn(8)f Fr(gibt)h(es)f(eine)h(Einf)977 1006 y(\177)976 1004 y(uhrungsregel)h Fn(8)1273 988 y Fm(+)1303 1004 y Fq(x)e Fr(und)g(eine)i(Beseiti-)191 1061 y(gungsregel)c Fn(8)439 1044 y Fs(\000)469 1061 y Fr(,)f(die)h(als)g(rec)o(h)o(te)f(Pr)822 1063 y(\177)822 1061 y(amisse)g(den)h(zu)g(substituierenden)i(T)l(erm)d Fq(t)h Fr(hat.)191 1117 y(Die)g(Regel)g Fn(8)423 1101 y Fm(+)453 1117 y Fq(x)f Fr(un)o(terliegt)h(der)f(folgenden)i Fo(V)m(ariablenb)n(e)n(dingung)t Fr(:)12 b(Die)k(Herleitung)191 1174 y Fn(D)i Fr(der)f(Pr)373 1176 y(\177)373 1174 y(amisse)g Fq(A)g Fr(darf)g(k)o(eine)h(o\013enen)f(Annahmen)h(en)o(thalten,)f(in)h (denen)g Fq(x)f Fr(frei)191 1230 y(v)o(ork)o(omm)o(t.)650 1304 y Fn(D)651 1356 y Fq(A)p 609 1366 119 2 v 740 1383 a Fn(8)765 1367 y Fm(+)795 1383 y Fq(x)625 1406 y Fn(8)p Fq(xA)1013 1303 y Fn(D)989 1355 y(8)p Fq(xA)93 b(t)p 972 1365 229 2 v 1213 1382 a Fn(8)1238 1366 y Fs(\000)999 1407 y Fq(A)p Fr([)p Fq(x)12 b Fr(:=)h Fq(t)p Fr(])262 1494 y(Wir)g(sc)o(hreib)q(en)i Fn(`)o Fq(A)e Fr(und)h(nennen)h Fq(A)e Fo(herleitb)n(ar)18 b Fr(\(in)13 b(der)28 b Fo(Minimal)r(lo)n (gik)5 b Fr(\),)11 b(w)o(enn)191 1551 y(es)18 b(eine)i(Herleitung)f(v)o (on)f Fq(A)h Fr(ohne)f(freie)h(Annahmen)g(gibt.)f(Eine)i(F)l(ormel)e Fq(B)j Fr(hei\031t)191 1607 y(herleitbar)12 b(aus)f(den)h(Annahmen)g Fq(A)814 1614 y Fm(1)834 1607 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)13 b(;)8 b(A)978 1614 y Fp(n)1000 1607 y Fr(,)j(w)o(enn)h(es)f(eine)h (Herleitung)h(mit)e(freien)191 1664 y(Annahmen)24 b(un)o(ter)e Fq(A)591 1671 y Fm(1)611 1664 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)k(;)c(A)754 1671 y Fp(n)800 1664 y Fr(gibt.)22 b(Sei)i(\000)f(eine)h(\(endlic)o(he) h(o)q(der)e(unendlic)o(he\))191 1720 y(Menge)16 b(v)o(on)h(F)l(ormeln.) f(Wir)h(sc)o(hreib)q(en)h(\000)d Fn(`)g Fq(B)r Fr(,)i(w)o(enn)f(die)i (F)l(ormel)f Fq(B)i Fr(aus)d(endlic)o(h)191 1777 y(vielen)h(Annahmen)f Fq(A)586 1784 y Fm(1)606 1777 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)k(;)c(A)749 1784 y Fp(n)785 1777 y Fn(2)13 b Fr(\000)i(herleitbar)h(ist.)191 1897 y Fd(In)o(tuitionistisc)o(he)j(und)f(klassisc)o(he)f(Logik)191 1982 y Fr(In)e(unserer)g Fn(!)q(^8)p Fr(-Sprac)o(he)h(erhalten)f(wir)g (die)h Fo(intuitionistische)e(L)n(o)n(gik)5 b Fr(,)13 b(indem)j(wir)191 2039 y(gewisse)21 b(zus)419 2041 y(\177)419 2039 y(atzlic)o(he)g(Annahmen)g(v)o(erw)o(enden,)g(und)f(zw)o(ar)g(die) h(sogenann)o(ten)f Fo(Ex-)191 2095 y(F)m(also-Quo)n(d)r(lib)n(et)t Fr(-F)l(ormeln)11 b(\(o)q(der)g(\\Axiome"\))f Ff(Efq)1095 2106 y Fp(R)1134 2095 y Fr(f)1149 2097 y(\177)1148 2095 y(ur)h(jedes)h(v)o(on)e Fn(?)i Fr(v)o(ersc)o(hiedene)191 2152 y(Relationssym)o(b)q(ol)17 b Fq(R)823 2208 y Fn(8)o Fq(~)-22 b(x:)p Fn(?)13 b(!)g Fq(R~)-23 b(x)503 b Fr(\()p Ff(Efq)1639 2219 y Fp(R)1668 2208 y Fr(\))197 2282 y(\177)191 2292 y(Ahnlic)o(h)18 b(erh)424 2294 y(\177)424 2292 y(alt)e(man)g(die)i Fo(klassische)d(L)n(o)n(gik)5 b Fr(:)15 b(wir)h(nehmen)h(f)1278 2294 y(\177)1277 2292 y(ur)f(jedes)h(jedes)f(v)o(on)g Fn(?)191 2348 y Fr(v)o(ersc)o(hiedene)e(Relationssym)o(b)q(ol)h Fq(R)e Fr(das)f Fo(Prinzip)i(des)g(indir)n(ekten)f(Beweisens)i Fr(f)1596 2350 y(\177)1595 2348 y(ur)d Fq(R)191 2405 y Fr(als)j(zus)322 2407 y(\177)322 2405 y(atzlic)o(he)i(Annahme)f (hinzu,)g(also)g(die)g(F)l(ormel)773 2507 y Fn(8)o Fq(~)-22 b(x)q(:)p Fn(::)p Fq(R~)f(x)12 b Fn(!)h Fq(R~)-23 b(x)p Fr(;)431 b(\()p Ff(Stab)1639 2514 y Fp(R)1668 2507 y Fr(\))191 2609 y(diese)16 b(F)l(ormel)g(b)q(ezeic)o(hnet)h(man)e(auc)o (h)g(als)h Fo(Stabilit)1094 2611 y(\177)1094 2609 y(at)j Fr(v)o(on)c Fq(R)p Fr(.)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 262 274 a Fr(Man)18 b(b)q(eac)o(h)o(te,)g(da\031)g(mit)h Fn(?)g Fr(f)796 276 y(\177)795 274 y(ur)f Fq(R)h Fr(b)q(eide)h(F)l (ormeln)f(trivialerw)o(eise)h(herleitbar)191 330 y(sind;)d(z.B.)f(f)410 332 y(\177)409 330 y(ur)h(die)g(Stabilit)688 332 y(\177)688 330 y(at)h(hab)q(en)f(wir)g Fn(::?)f(!)f(?)h Fr(=)f(\(\()p Fn(?)f(!)i(?)p Fr(\))f Fn(!)g(?)p Fr(\))g Fn(!)g(?)p Fr(.)191 387 y(Die)h(gesuc)o(h)o(te)f(Herleitung)h(ist)594 524 y Fq(v)7 b Fr(:)15 b(\()p Fn(?)e(!)g(?)p Fr(\))f Fn(!)h(?)1051 473 y Fq(u)5 b Fr(:)14 b Fn(?)p 1010 483 175 2 v 1197 501 a(!)1242 484 y Fm(+)1272 501 y Fq(u)1027 523 y Fn(?)f(!)g(?)p 578 545 608 2 v 864 584 a(?)191 662 y Fr(Sei)530 760 y Ff(Efq)g Fr(:=)g Fn(f)8 b Ff(Efq)763 771 y Fp(R)804 760 y Fn(j)k Fq(R)j Fr(Relationssym)o(b)q(ol)i Fn(6)p Fr(=)c Fn(?)8 b(g)p Fq(;)507 829 y Ff(Stab)14 b Fr(:=)f Fn(f)8 b Ff(Stab)785 836 y Fp(R)826 829 y Fn(j)13 b Fq(R)i Fr(Relationssym)o(b)q(ol)i Fn(6)p Fr(=)c Fn(?)7 b(g)p Fq(:)191 927 y Fr(Wir)17 b(nennen)g(die)h(F)l(ormel)f Fq(A)f Fo(klassisch)g(\(intuitionistisch\))g(herleitb)n(ar)21 b Fr(und)c(sc)o(hrei-)191 984 y(b)q(en)24 b Fn(`)314 991 y Fp(c)357 984 y Fq(A)f Fr(\()p Fn(`)460 991 y Fp(i)499 984 y Fq(A)p Fr(\),)f(w)o(enn)h(es)g(eine)h(Herleitung)h(v)o(on)d Fq(A)h Fr(aus)g(Stabilit)1489 986 y(\177)1489 984 y(atsannah-)191 1040 y(men)d Ff(Stab)381 1047 y Fp(R)429 1040 y Fr(\(Ex-F)l(also-Quo)q (dlib)q(et)i(Annahmen)f Ff(Efq)1153 1051 y Fp(R)1182 1040 y Fr(\))f(gibt.)f(Eb)q(enso)h(de\014nieren)191 1097 y(wir)c(klassisc)o(he)h(\(in)o(tuitionistisc)o(he\))h(Herleitbark)o (eit)f(aus)f(\000)h(und)f(sc)o(hreib)q(en)i(\000)c Fn(`)1620 1104 y Fp(c)1651 1097 y Fq(A)191 1153 y Fr(\(\000)f Fn(`)278 1160 y Fp(i)304 1153 y Fq(A)p Fr(\),)i(also)656 1252 y(\000)e Fn(`)725 1259 y Fp(i)752 1252 y Fq(A)38 b Fr(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b Fr(\000)10 b Fn([)h Ff(Efq)i Fn(`)f Fq(A;)653 1320 y Fr(\000)h Fn(`)722 1327 y Fp(c)752 1320 y Fq(A)38 b Fr(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b Fr(\000)10 b Fn([)h Ff(Stab)i Fn(`)g Fq(A:)191 1419 y Fd(Lemma)k(1.1.)22 b Fo(\(Ex-falso-quo)n(d)r(lib)n(et\).)16 b(F)925 1421 y(\177)925 1419 y(ur)g(je)n(de)g(F)m(ormel)g Fq(A)g Fo(gilt)g Fn(`)1388 1426 y Fp(i)1414 1419 y Fn(?)d(!)g Fq(A)p Fo(.)191 1510 y(Beweis.)22 b Fr(Durc)o(h)d(Induktion)719 1512 y(\177)718 1510 y(ub)q(er)g Fq(A)g Fr(k)o(onstruieren)g(wir)g(f)1240 1512 y(\177)1239 1510 y(ur)f(jede)i(F)l(ormel)e Fq(A)h Fr(eine)191 1566 y(Herleitung)e Fn(D)450 1573 y Fp(A)493 1566 y Fr(v)o(on)e Fn(?)e(!)g Fq(A)p Fr(.)i Fo(F)m(al)r(l)k Fq(R)874 1558 y(~)877 1566 y(t)p Fr(.)c(Mit)g Ff(Efq)1073 1577 y Fp(R)1101 1566 y Fr(.)g Fo(F)m(al)r(l)k Fq(A)10 b Fn(^)h Fq(B)r Fr(.)601 1654 y Fn(D)636 1661 y Fp(A)563 1713 y Fn(?)i(!)g Fq(A)93 b(u)5 b Fr(:)15 b Fn(?)p 546 1723 361 2 v 709 1763 a Fq(A)1022 1654 y Fn(D)1057 1661 y Fp(B)983 1713 y Fn(?)e(!)g Fq(B)96 b(u)5 b Fr(:)15 b Fn(?)p 967 1723 364 2 v 1130 1763 a Fq(B)p 693 1773 491 2 v 877 1812 a(A)c Fn(^)f Fq(B)p 808 1822 261 2 v 1081 1839 a Fn(!)1126 1823 y Fm(+)1156 1839 y Fq(u)824 1862 y Fn(?)j(!)h Fq(A)c Fn(^)g Fq(B)191 1940 y Fo(F)m(al)r(l)19 b Fq(A)12 b Fn(!)i Fq(B)r Fr(.)776 1975 y Fn(D)811 1982 y Fp(B)737 2034 y Fn(?)f(!)g Fq(B)96 b(u)5 b Fr(:)15 b Fn(?)p 720 2044 364 2 v 884 2083 a Fq(B)p 815 2093 175 2 v 831 2133 a(A)e Fn(!)g Fq(B)p 762 2143 281 2 v 1055 2160 a Fn(!)1100 2144 y Fm(+)1130 2160 y Fq(u)778 2183 y Fn(?)g(!)g Fq(A)g Fn(!)g Fq(B)191 2243 y Fo(F)m(al)r(l)19 b Fn(8)p Fq(xA)p Fr(.)790 2279 y Fn(D)825 2286 y Fp(A)752 2338 y Fn(?)13 b(!)g Fq(A)93 b(u)5 b Fr(:)15 b Fn(?)p 735 2348 361 2 v 898 2387 a Fq(A)p 856 2397 119 2 v 873 2437 a Fn(8)p Fq(xA)p 803 2447 225 2 v 1040 2465 a Fn(!)1085 2448 y Fm(+)1115 2465 y Fq(u)820 2487 y Fn(?)e(!)g(8)p Fq(xA)p 1666 2353 19 2 v 1666 2378 2 26 v 1684 2378 V 1666 2380 19 2 v 1666 2518 V 1666 2543 2 26 v 1684 2543 V 1666 2545 19 2 v 191 2638 a Fd(Lemma)k(1.2.)22 b Fo(\(Stabilit)639 2640 y(\177)639 2638 y(at\).)d(F)759 2640 y(\177)759 2638 y(ur)h(je)n(de)f(F)m(ormel)g Fq(A)h Fo(\(unser)n(er)e Fn(!)q(^8)p Fo(-Spr)n(ache\))i(gilt)191 2695 y Fn(`)219 2702 y Fp(c)249 2695 y Fn(::)p Fq(A)13 b Fn(!)g Fq(A)p Fo(.)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 191 274 a Fo(Beweis.)22 b Fr(Induktion)573 276 y(\177)572 274 y(ub)q(er)14 b Fq(A)p Fr(.)e(In)i(den)g(k)o (onstruierten)f(Herleitungen)i(lassen)f(wir)f(der)191 330 y(K)227 332 y(\177)226 330 y(urze)f(halb)q(er)g(An)o(w)o(endungen)g (v)o(on)e Fn(!)873 314 y Fm(+)914 330 y Fr(am)h(Sc)o(hlu\031)h(fort.)e Fo(F)m(al)r(l)k Fq(R)1345 322 y(~)1348 330 y(t)p Fr(.)d(Mit)g Ff(Stab)1558 337 y Fp(R)1587 330 y Fr(.)f Fo(F)m(al)r(l)191 387 y Fq(A)c Fn(^)g Fq(B)r Fr(.)15 b(Mit)e Fn(`)g Fr(\()p Fn(::)p Fq(A)g Fn(!)g Fq(A)p Fr(\))f Fn(!)h Fr(\()p Fn(::)p Fq(B)j Fn(!)d Fq(B)r Fr(\))g Fn(!)g(::)p Fr(\()p Fq(A)6 b Fn(^)g Fq(B)r Fr(\))15 b Fn(!)e Fq(A)6 b Fn(^)g Fq(B)r Fr(,)15 b(w)o(as)d(leic)o(h)o(t)191 443 y(aus)f Fn(`)h(::)p Fr(\()p Fq(A)q Fn(^)q Fq(B)r Fr(\))i Fn($)f Fr(\()p Fn(::)p Fq(A)q Fn(^)q(::)p Fq(B)r Fr(\))g(folgt)d(\(w)o(as)g(man)g(leic)o(h)o (t)i(als)1333 434 y(\177)1327 443 y(Ubung)f(v)o(eri\014zieren)191 500 y(k)m(ann\).)18 b Fo(F)m(al)r(l)k Fq(A)c Fn(!)h Fq(B)r Fr(.)f(Mit)h Fn(`)f Fr(\()p Fn(::)p Fq(B)j Fn(!)d Fq(B)r Fr(\))g Fn(!)h(::)p Fr(\()p Fq(A)f Fn(!)g Fq(B)r Fr(\))h Fn(!)f Fq(A)g Fn(!)h Fq(B)r Fr(.)f(Eine)191 556 y(Herleitung)f(ist)240 928 y Fq(u)5 b Fr(:)15 b Fn(::)p Fq(B)h Fn(!)d Fq(B)597 811 y(v)7 b Fr(:)14 b Fn(::)p Fr(\()p Fq(A)f Fn(!)g Fq(B)r Fr(\))984 695 y Fq(u)1010 702 y Fm(1)1035 695 y Fr(:)h Fn(:)p Fq(B)1223 639 y(u)1249 646 y Fm(2)1273 639 y Fr(:)h Fq(A)e Fn(!)g Fq(B)96 b(w)6 b Fr(:)15 b Fq(A)p 1206 656 448 2 v 1411 695 a(B)p 967 712 498 2 v 1198 752 a Fn(?)p 1096 762 241 2 v 1349 776 a(!)1394 759 y Fm(+)1424 776 y Fq(u)1450 783 y Fm(2)1112 811 y Fn(:)p Fr(\()p Fq(A)e Fn(!)g Fq(B)r Fr(\))p 580 832 757 2 v 940 872 a Fn(?)p 893 882 131 2 v 1036 896 a(!)1081 880 y Fm(+)1111 896 y Fq(u)1137 903 y Fm(1)909 928 y Fn(::)p Fq(B)p 223 938 801 2 v 605 978 a(B)191 1054 y Fo(F)m(al)r(l)18 b Fn(8)p Fq(xA)p Fr(.)c(O\013en)o(bar)g(gen)652 1056 y(\177)651 1054 y(ugt)g(es)g(zu)h(zeigen,)g(da\031)f Fn(`)e Fr(\()p Fn(::)p Fq(A)h Fn(!)h Fq(A)p Fr(\))e Fn(!)h(::8)p Fq(xA)h Fn(!)f Fq(A)p Fr(.)191 1111 y(Eine)j(Herleitung)h(ist)355 1469 y Fq(u)5 b Fr(:)15 b Fn(::)p Fq(A)e Fn(!)g Fq(A)706 1364 y(v)7 b Fr(:)15 b Fn(::8)p Fq(xA)1002 1250 y(u)1028 1257 y Fm(1)1053 1250 y Fr(:)g Fn(:)p Fq(A)1238 1194 y(u)1264 1201 y Fm(2)1289 1194 y Fr(:)g Fn(8)p Fq(xA)93 b(x)p 1222 1211 317 2 v 1363 1250 a(A)p 986 1267 428 2 v 1182 1307 a Fn(?)p 1125 1317 149 2 v 1286 1331 a(!)1331 1314 y Fm(+)1361 1331 y Fq(u)1387 1338 y Fm(2)1142 1364 y Fn(:8)p Fq(xA)p 690 1373 585 2 v 964 1413 a Fn(?)p 918 1423 128 2 v 1058 1437 a(!)1103 1421 y Fm(+)1133 1437 y Fq(u)1159 1444 y Fm(1)935 1469 y Fn(::)p Fq(A)p 338 1479 708 2 v 675 1519 a(A)p 1666 1563 19 2 v 1666 1589 2 26 v 1684 1589 V 1666 1591 19 2 v 191 1683 a Fd(Lemma)17 b(1.3.)22 b Fr(\000)13 b Fn(`)g Fq(A)25 b Fr(=)-8 b Fn(\))27 b Fr(\000)13 b Fn(`)789 1690 y Fp(i)815 1683 y Fq(A)j Fo(und)h Fr(\000)c Fn(`)1024 1690 y Fp(i)1050 1683 y Fq(A)26 b Fr(=)-8 b Fn(\))26 b Fr(\000)13 b Fn(`)1277 1690 y Fp(c)1307 1683 y Fq(A)p Fo(.)191 1771 y(Beweis.)22 b Fr(Es)17 b(gen)499 1773 y(\177)498 1771 y(ugt)g(zu)g(zeigen,)h (da\031)f Fn(`)910 1778 y Fp(c)943 1771 y Ff(Efq)1007 1782 y Fp(R)1036 1771 y Fr(.)g(Dies)g(sieh)o(t)h(man)f(wie)g(folgt;)g Fq(R)g Fr(sei)191 1827 y(et)o(w)o(a)d(einstellig.)521 1911 y Fn(8)p Fq(x:)p Fn(::)p Fq(Rx)f Fn(!)g Fq(Rx)93 b(x)p 505 1921 470 2 v 613 1960 a Fn(::)p Fq(Rx)13 b Fn(!)g Fq(Rx)1064 1911 y(u)5 b Fr(:)15 b Fn(?)p 1034 1921 155 2 v 1201 1939 a(!)1246 1923 y Fm(+)1276 1939 y Fq(v)1300 1923 y Fs(:)p Fp(Rx)1050 1960 y Fn(::)p Fq(Rx)p 596 1970 593 2 v 862 2009 a(Rx)p 792 2019 201 2 v 1005 2037 a Fn(!)1050 2020 y Fm(+)1080 2037 y Fq(u)809 2059 y Fn(?)e(!)g Fq(Rx)p 760 2069 264 2 v 1037 2086 a Fn(8)1062 2070 y Fm(+)777 2109 y Fn(8)p Fq(x:)p Fn(?)g(!)g Fq(Rx)p 1666 2153 19 2 v 1666 2179 2 26 v 1684 2179 V 1666 2181 19 2 v 262 2273 a Fr(Die)i(Umk)o(ehrungen)h(gelten)g(jedo)q(c)o(h)g (nic)o(h)o(t;)f(Gegen)o(b)q(eispiele)j(sind:)385 2368 y Fn(6`)13 b(?)g(!)g Fq(P)q(;)343 b Fr(ab)q(er)16 b Fn(`)1049 2375 y Fp(i)1075 2368 y Fn(?)d(!)g Fq(P)7 b(;)385 2437 y Fn(6`)413 2444 y Fp(i)440 2437 y Fr(\(\()p Fq(P)18 b Fn(!)13 b Fq(Q)p Fr(\))g Fn(!)g Fq(P)6 b Fr(\))13 b Fn(!)g Fq(P)q(;)45 b Fr(ab)q(er)16 b Fn(`)1049 2444 y Fp(c)1078 2437 y Fr(\(\()p Fq(P)j Fn(!)13 b Fq(Q)p Fr(\))f Fn(!)h Fq(P)6 b Fr(\))13 b Fn(!)g Fq(P)191 2532 y Fn(`)219 2539 y Fp(i)245 2532 y Fn(?)g(!)h Fq(P)20 b Fr(folgt)13 b(aus)h(Lemma)g(1.1,)e(und)j(die)g Fk(Peir)o(ce)p Fr(-F)l(ormel)f(\(\() p Fq(P)19 b Fn(!)13 b Fq(Q)p Fr(\))f Fn(!)h Fq(P)6 b Fr(\))13 b Fn(!)191 2589 y Fq(P)26 b Fr(l)258 2591 y(\177)258 2589 y(a\031t)18 b(sic)o(h)i(leic)o(h)o(t)g(klassisc)o(h)g(herleiten.)h (Die)f(negativ)o(e)f(Aussagen)g(erfordern)g(ein)191 2645 y(genaueres)g(Studium)h(der)g(Herleitbark)o(eit.)g(Wir)f(w)o(erden)g (in)h(Absc)o(hnitt)g(1.3)e(einen)191 2702 y(Bew)o(eis)e(geb)q(en.)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 262 274 a Fr(Wir)14 b(nennen)h(zw)o(ei)g(F)l(ormeln)g Fq(A)f Fr(und)h Fq(B)972 276 y Fo(\177)973 274 y(aquivalent)j Fr(in)d(der)f(Minimallogik)i(bzw.)191 330 y(in)21 b(der)g(klassisc)o (hen)g(o)q(der)g(in)o(tuitionistisc)o(hen)i(Logik,)d(w)o(enn)h Fn(`)g Fq(A)g Fn($)h Fq(B)h Fr(bzw.)d Fn(`)1668 337 y Fp(c)191 387 y Fq(A)13 b Fn($)g Fq(B)18 b Fr(o)q(der)d Fn(`)478 394 y Fp(i)505 387 y Fq(A)d Fn($)h Fq(B)r Fr(.)191 481 y Fd(Lemma)k(1.4.)22 b Fo(\()507 471 y(\177)499 481 y(Aquivalenzlemma\).)17 b(F)924 483 y(\177)924 481 y(ur)i Fn(`)1014 488 y Fp(mic)1075 481 y Fn(2)e(f`)p Fq(;)8 b Fn(`)1222 488 y Fp(i)1235 481 y Fq(;)g Fn(`)1284 488 y Fp(c)1300 481 y Fn(g)19 b Fo(gilt)f(folgendes.)g(Ist)191 537 y Fn(`)219 544 y Fp(mic)296 537 y Fq(A)330 544 y Fm(1)367 537 y Fn($)f Fq(A)463 544 y Fm(2)501 537 y Fo(und)i(entsteht)f Fq(B)800 544 y Fm(2)839 537 y Fo(aus)h Fq(B)958 544 y Fm(1)997 537 y Fo(dur)n(ch)g(Ersetzen)e(eines)h(T)m(eils)e Fq(A)1577 544 y Fm(1)1616 537 y Fo(von)191 594 y Fq(B)225 601 y Fm(1)261 594 y Fo(dur)n(ch)h Fq(A)420 601 y Fm(2)440 594 y Fo(,)f(so)g(gilt)g(auch)h Fn(`)742 601 y Fp(mic)815 594 y Fq(B)849 601 y Fm(1)882 594 y Fn($)c Fq(B)974 601 y Fm(2)994 594 y Fo(.)191 687 y(Beweis.)22 b Fr(Induktion)575 689 y(\177)574 687 y(ub)q(er)16 b Fq(B)713 694 y Fm(1)733 687 y Fr(.)p 1666 660 19 2 v 1666 686 2 26 v 1684 686 V 1666 688 19 2 v 191 807 a Fd(Ein)o(b)q(ettung)h(der)d(in)o (tuitionistisc)o(hen)k(und)d(klassisc)o(hen)g(Logik)h(in)f(die)h(Mi-) 191 864 y(nimallogik)191 950 y Fr(Nac)o(hdem)g(wir)g(die)i(klassisc)o (he)f(und)f(die)h(in)o(tuitionistisc)o(he)i(Logik)e(de\014niert)g(hab)q (en,)191 1006 y(w)o(ollen)h(wir)g(jetzt)f(zeigen,)i(da\031)e(b)q(eide)i (Logik)o(en)g(in)f(die)h(Minimallogik)g(eingeb)q(ettet)191 1063 y(w)o(erden)d(k)371 1065 y(\177)371 1063 y(onnen.)g(Dies)g(mag)g (v)o(erwunderlic)o(h)h(ersc)o(heinen;)g(es)f(folgt)g(w)o(esen)o(tlic)o (h)g(aus)191 1119 y(der)i(T)l(atsac)o(he,)f(da\031)h(wir)g(uns)g(auf)g (eine)h(Sprac)o(he)f(b)q(esc)o(hr)1208 1121 y(\177)1208 1119 y(ankt)g(hab)q(en,)g(die)h(n)o(ur)f(die)191 1176 y(V)l(erkn)309 1178 y(\177)308 1176 y(upfungen)f Fn(f!)p Fq(;)8 b Fn(^)o Fq(;)g Fn(8g)15 b Fr(en)o(th)796 1178 y(\177)796 1176 y(alt.)262 1232 y(Eine)e(F)l(ormel)g Fq(A)g Fr(\(unserer)g Fn(!^8)p Fr(-Sprac)o(he\))h(hei\031t)f Fo(ne)n(gativ)5 b Fr(,)11 b(w)o(enn)i(jede)h(atomare)191 1288 y(F)l(ormel)h Fn(6)p Fr(=)e Fn(?)j Fr(in)g Fq(A)f Fr(negiert)h(v)o(ork)o(omm)o(t,)c(d.h.)j(in)h(einem)h(Kon)o(text)d Fq(R)1408 1280 y(~)1411 1288 y(t)f Fn(!)g(?)p Fr(.)191 1382 y Fd(Lemma)k(1.5.)22 b Fo(F)510 1384 y(\177)510 1382 y(ur)17 b(ne)n(gative)e Fq(A)i Fo(gilt)e Fn(`)e(::)p Fq(A)g Fn(!)g Fq(A)p Fo(.)191 1476 y(Beweis.)22 b Fr(Dies)g(b)q(ew)o (eist)g(man)f(wie)h(das)f(Stabilit)1065 1478 y(\177)1065 1476 y(atslemma)i(1.2)d(durc)o(h)i(Induktion)192 1535 y(\177)191 1533 y(ub)q(er)13 b Fq(A)p Fr(,)e(w)o(ob)q(ei)i(man)e (anstelle)j(der)e(Stabilit)956 1535 y(\177)956 1533 y(atsannahmen)h(v)o (erw)o(endet)f Fn(`)g(:::)p Fq(R)1607 1524 y(~)1610 1533 y(t)i Fn(!)191 1589 y(:)p Fq(R)253 1581 y(~)256 1589 y(t)q Fr(.)p 1666 1562 V 1666 1587 2 26 v 1684 1587 V 1666 1589 19 2 v 191 1683 a Fd(De\014nition)19 b(1.6.)j Fr(\(Negativ)o(e)751 1673 y(\177)745 1683 y(Ub)q(ersetzung)1008 1666 y Fp(g)1043 1683 y Fr(nac)o(h)15 b Fk(G)1191 1681 y(\177)1189 1683 y(odel)p Fr(-)p Fk(Gentzen)p Fr(\).)738 1785 y Fq(R)770 1777 y(~)773 1785 y(t)789 1766 y Fp(g)822 1785 y Fr(:=)e Fn(::)p Fq(R)975 1777 y(~)978 1785 y(t)46 b Fr(f)1055 1787 y(\177)1054 1785 y(ur)15 b Fq(R)e Fn(6)p Fr(=)g Fn(?)p Fq(;)754 1854 y Fn(?)789 1835 y Fp(g)822 1854 y Fr(:=)g Fn(?)p Fq(;)633 1923 y Fr(\()p Fq(A)d Fn(^)g Fq(B)r Fr(\))789 1904 y Fp(g)822 1923 y Fr(:=)j Fq(A)917 1904 y Fp(g)947 1923 y Fn(^)e Fq(B)1024 1904 y Fp(g)1044 1923 y Fq(;)613 1992 y Fr(\()p Fq(A)h Fn(!)h Fq(B)r Fr(\))789 1973 y Fp(g)822 1992 y Fr(:=)g Fq(A)917 1973 y Fp(g)950 1992 y Fn(!)g Fq(B)1044 1973 y Fp(g)1065 1992 y Fq(;)669 2061 y Fr(\()p Fn(8)p Fq(xA)p Fr(\))790 2042 y Fp(g)822 2061 y Fr(:=)g Fn(8)p Fq(xA)968 2042 y Fp(g)988 2061 y Fq(:)191 2163 y Fd(Satz)18 b(1.7.)k Fo(F)440 2165 y(\177)440 2163 y(ur)17 b(al)r(le)f(F)m(ormeln)f Fq(A)h Fo(gilt)245 2257 y(1.)23 b Fn(`)333 2264 y Fp(c)362 2257 y Fq(A)13 b Fn($)g Fq(A)501 2240 y Fp(g)521 2257 y Fo(,)245 2350 y(2.)23 b Fr(\000)13 b Fn(`)374 2357 y Fp(c)403 2350 y Fq(A)k Fo(genau)f(dann,)g(wenn)f Fr(\000)859 2334 y Fp(g)892 2350 y Fn(`)e Fq(A)967 2334 y Fp(g)987 2350 y Fo(,)j(wob)n(ei)g Fr(\000)1168 2334 y Fp(g)1201 2350 y Fr(:=)d Fn(f)8 b Fq(B)1329 2334 y Fp(g)1362 2350 y Fn(j)k Fq(B)j Fn(2)e Fr(\000)8 b Fn(g)p Fo(.)191 2444 y(Beweis.)22 b Fr(Der)16 b(erste)h(T)l(eil)h(folgt)e(sofort)f(aus)h (dem)1078 2435 y(\177)1072 2444 y(Aquiv)m(alenzlemma)j(1.4.)c(F)1556 2446 y(\177)1555 2444 y(ur)i(den)191 2501 y(zw)o(eiten)c(T)l(eil)g(ist) g(die)g(Ric)o(h)o(tung)g(v)o(on)e(rec)o(h)o(ts)h(nac)o(h)g(links)i (klar.)e(F)1313 2503 y(\177)1312 2501 y(ur)f(die)i(andere)g(Ric)o(h-) 191 2557 y(tung)19 b(argumen)o(tieren)h(wir)g(durc)o(h)g(Induktion)i (nac)o(h)d(der)h(klassisc)o(hen)h(Herleitung.)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 191 274 a Fr(F)222 276 y(\177)221 274 y(ur)15 b(eine)i(Stabilit)518 276 y(\177)518 274 y(atsannahme)f Fn(::)p Fq(R)864 266 y(~)867 274 y(t)e Fn(!)f Fq(R)987 266 y(~)990 274 y(t)j Fr(gilt)g(\()p Fn(::)p Fq(R)1213 266 y(~)1216 274 y(t)e Fn(!)f Fq(R)1336 266 y(~)1339 274 y(t)p Fr(\))1373 257 y Fp(g)1406 274 y Fr(=)g Fn(::::)p Fq(R)1606 266 y(~)1609 274 y(t)i Fn(!)191 330 y(::)p Fq(R)283 322 y(~)286 330 y(t)q Fr(,)g(und)h(dies)g(ist)f(leic)o(h)o(t)h (herleitbar.)g Fo(F)m(al)r(l)j Fn(!)1057 314 y Fm(+)1087 330 y Fr(.)c(Gelte)822 416 y([)p Fq(u)5 b Fr(:)15 b Fq(A)p Fr(])863 480 y Fn(D)863 531 y Fq(B)p 794 541 175 2 v 981 559 a Fn(!)1026 542 y Fm(+)1056 559 y Fq(u)811 581 y(A)d Fn(!)h Fq(B)191 655 y Fr(Dann)i(hab)q(en)h(wir)g(nac)o(h)f(IH)634 761 y Fq(u)5 b Fr(:)15 b Fq(A)727 745 y Fp(g)662 813 y Fn(D)698 796 y Fp(g)662 865 y Fq(B)698 848 y Fp(g)809 810 y Fr(also)969 732 y([)p Fq(u)5 b Fr(:)14 b Fq(A)1074 716 y Fp(g)1094 732 y Fr(])1010 796 y Fn(D)1046 779 y Fp(g)1010 847 y Fq(B)1046 831 y Fp(g)p 931 857 215 2 v 1158 875 a Fn(!)1203 858 y Fm(+)1233 875 y Fq(u)947 897 y(A)981 880 y Fp(g)1014 897 y Fn(!)f Fq(B)1108 880 y Fp(g)191 976 y Fo(F)m(al)r(l)19 b Fn(!)331 960 y Fs(\000)361 976 y Fr(.)c(Gelte)837 1011 y Fn(D)872 1018 y Fm(0)793 1070 y Fq(A)e Fn(!)g Fq(B)1028 1011 y Fn(D)1063 1018 y Fm(1)1038 1070 y Fq(A)p 777 1080 313 2 v 915 1119 a(B)191 1179 y Fr(Dann)i(hab)q(en)h(wir)g(nac)o(h)f(IH)577 1283 y Fn(D)613 1261 y Fp(g)612 1296 y Fm(0)514 1348 y Fq(A)548 1331 y Fp(g)581 1348 y Fn(!)e Fq(B)675 1331 y Fp(g)774 1283 y Fn(D)810 1261 y Fp(g)809 1296 y Fm(1)776 1348 y Fq(A)810 1331 y Fp(g)893 1309 y Fr(also)1094 1258 y Fn(D)1130 1236 y Fp(g)1129 1271 y Fm(0)1031 1323 y Fq(A)1065 1306 y Fp(g)1098 1323 y Fn(!)g Fq(B)1192 1306 y Fp(g)1306 1258 y Fn(D)1342 1236 y Fp(g)1341 1271 y Fm(1)1307 1323 y Fq(A)1341 1306 y Fp(g)p 1014 1333 364 2 v 1168 1372 a Fq(B)1204 1356 y Fp(g)191 1433 y Fr(Die)j(restlic)o(hen)g(F)507 1435 y(\177)507 1433 y(alle)g(b)q(ehandelt)h(man)902 1435 y(\177)902 1433 y(ahnlic)o(h.)p 1666 1406 19 2 v 1666 1431 2 26 v 1684 1431 V 1666 1433 19 2 v 191 1526 a Fd(Korollar)h(1.8.)k Fo(\(Einb)n(ettung)14 b(der)i(klassischen)e(L)n (o)n(gik)h(in)g(die)h(Minimal)r(lo)n(gik\).)e(F)1642 1528 y(\177)1642 1526 y(ur)191 1582 y(ne)n(gative)h Fq(A)i Fo(gilt)f Fn(`)523 1589 y Fp(c)552 1582 y Fq(A)h Fo(genau)f(dann,)g (wenn)f Fn(`)e Fq(A)p Fo(.)191 1670 y(Beweis.)22 b Fr(Nac)o(h)d(dem)g (Satz)g(gilt)h Fn(`)804 1677 y Fp(c)839 1670 y Fq(A)f Fr(genau)g(dann,)g(w)o(enn)h Fn(`)e Fq(A)1359 1654 y Fp(g)1379 1670 y Fr(.)h(Da)f Fq(A)h Fr(negativ)191 1727 y(ist,)e(m)o(u\031)h(jedes)g(A)o(tom)e Fn(6)p Fr(=)i Fn(?)f Fr(in)i Fq(A)f Fr(negiert)g(v)o(ork)o(ommen,)e(ist)i(also)f(in)i Fq(A)1491 1710 y Fp(g)1529 1727 y Fr(dreifac)o(h)191 1783 y(negiert)d(\(als)f Fn(:::)p Fq(R)551 1775 y(~)554 1783 y(t)q Fr(\).)f(Die)i(Behauptung)g(folgt)f(aus)g Fn(`)d(:::)p Fq(R)1304 1775 y(~)1307 1783 y(t)i Fn($)f(:)p Fq(R)1457 1775 y(~)1460 1783 y(t)q Fr(.)p 1666 1756 V 1666 1781 2 26 v 1684 1781 V 1666 1783 19 2 v 262 1876 a(Da)f(jede)h(F)l(ormel)g(klassisc)o(h)757 1878 y(\177)757 1876 y(aquiv)m(alen)o(t)h(zu)f(einer)h(negativ)o(en)f(F)l(ormel)g(ist,) f(hab)q(en)191 1932 y(wir)j(damit)h(eine)g(Ein)o(b)q(ettung)g(der)g (klassisc)o(hen)g(in)g(die)g(Minimallogik)i(erreic)o(h)o(t.)262 1989 y(Man)12 b(b)q(eac)o(h)o(te,)h(da\031)f Fn(6`)h(::)p Fq(P)20 b Fn(!)13 b Fq(P)19 b Fr(\(wie)13 b(wir)g(in)h(Absc)o(hnitt)g (1.3)e(zeigen)i(w)o(erden\).)191 2045 y(Das)g(Korollar)i(gilt)g(also)f (nic)o(h)o(t)h(f)762 2047 y(\177)761 2045 y(ur)f(alle)h(F)l(ormeln)g Fq(A)p Fr(.)191 2164 y Fd(Stark)o(e)h(Disjunktion)h(und)g(Existenz)191 2250 y Fr(W)l(enn)12 b(man)f(f)428 2252 y(\177)427 2250 y(ur)g(Zw)o(ec)o(k)o(e)f(der)i(Programmextraktion)d(einen)k(Existenzb)q (ew)o(eis)g(f)1573 2252 y(\177)1572 2250 y(uhren)191 2306 y(will,)22 b(so)e(ist)h(es)g(v)o(orteilhaft,)f(neb)q(en)i(dem)g (bisher)f(b)q(ehandelten)i Fo(schwachen)h Fr(o)q(der)191 2363 y Fo(klassischen)12 b Fr(Existenzquan)o(tor)e Fn(9)h Fr(\(der)f(durc)o(h)h Fn(:8:)h Fr(de\014niert)f(w)o(ar\))e(auc)o(h)i (no)q(c)o(h)g(einen)191 2419 y Fo(starken)18 b Fr(o)q(der)e Fo(konstruktiven)h Fr(Existenzquan)o(tor)f Fn(9)1102 2403 y Fs(\003)1137 2419 y Fr(zuzulassen.)g(Man)f(k)m(ann)h(dann)191 2476 y(in)g(den)g(F)360 2478 y(\177)360 2476 y(allen,)g(w)o(o)e(ein)i (Existenzb)q(ew)o(eis)h(tats)1013 2478 y(\177)1013 2476 y(ac)o(hlic)o(h)e(k)o(onstruktiv)g(durc)o(h)h(Angab)q(e)191 2532 y(eines)j(Beispiels)i(gef)553 2534 y(\177)552 2532 y(uhrt)e(wurde,)f(dies)h(auc)o(h)g(in)g(der)f(F)l(ormelsprac)o(he)h (angemessen)191 2589 y(ausdr)301 2591 y(\177)300 2589 y(uc)o(k)o(en.)262 2645 y(En)o(tsprec)o(hend)12 b(k)566 2647 y(\177)566 2645 y(onn)o(te)g(man)g(auc)o(h)g(neb)q(en)h(der)f (bisher)h(b)q(ehandelten)i Fo(schwachen)191 2702 y Fr(o)q(der)j Fo(klassischen)i Fr(Disjunktion)f Fn(_)g Fr(\(die)g(durc)o(h)g Fn(:)12 b(^)h(:)18 b Fr(de\014niert)i(w)o(ar\))d(auc)o(h)h(no)q(c)o(h)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 191 274 a Fr(eine)23 b Fo(starken)h Fr(o)q(der)43 b Fo(konstruktive)25 b Fr(Disjunktion)d Fn(_)1136 257 y Fs(\003)1177 274 y Fr(zulassen.)g(In)g(An)o(w)o(esenheit)191 330 y(des)g(Grundt)o(yps)g Fq(\023)g Fr(der)g(nat)701 332 y(\177)700 330 y(urlic)o(hen)h(Zahlen)g(ist)f(dies)h(jedo)q(c)o(h)g (en)o(tb)q(ehrlic)o(h:)g(Wir)191 387 y(de\014nieren)480 443 y Fq(A)10 b Fn(_)554 425 y Fs(\003)584 443 y Fq(B)41 b Fr(:=)c Fn(9)769 425 y Fs(\003)789 443 y Fq(n:)p Fr(\()p Fq(n)13 b Fr(=)g(0)f Fn(!)h Fq(A)p Fr(\))d Fn(^)h Fr(\()p Fq(n)h Fn(6)p Fr(=)h(0)g Fn(!)g Fq(B)r Fr(\))p Fq(:)262 527 y Fr(Wir)i(w)o(ollen)h(kurz)g(diskutieren,)g(w)o(elc)o(hen)g (E\013ekt)f(die)h(Hinzunahme)h(v)o(on)e Fn(_)1600 510 y Fs(\003)1620 527 y Fq(;)8 b Fn(9)1666 510 y Fs(\003)191 583 y Fr(auf)23 b(unsere)g(bisherigen)i(Un)o(tersuc)o(h)o(ungen)f(hat.) e(Die)i(Regeln)g(der)f(Minimallogik)191 640 y(k)215 642 y(\177)215 640 y(onnen)18 b(wir)f(b)q(eib)q(ehalten)j(und)e(stark)o(e)e (die)i(Disjunktion)g(so)o(wie)f(den)h(stark)o(en)f(Exi-)191 696 y(stenzquan)o(tor)e(durc)o(h)g(die)i(Generalisierung)g(der)e (folgenden)i(F)l(ormeln)e(axiomatisie-)191 753 y(ren.)481 855 y Fq(A)d Fn(!)h Fq(A)e Fn(_)660 836 y Fs(\003)690 855 y Fq(B)r(;)53 b(B)15 b Fn(!)f Fq(A)c Fn(_)974 836 y Fs(\003)1004 855 y Fq(B)r(:)481 924 y(A)g Fn(_)555 905 y Fs(\003)585 924 y Fq(B)15 b Fn(!)e Fr(\()p Fq(A)g Fn(!)g Fq(C)s Fr(\))f Fn(!)h Fr(\()p Fq(B)i Fn(!)e Fq(C)s Fr(\))f Fn(!)h Fq(C)q(:)481 993 y(A)f Fn(!)h(9)610 974 y Fs(\003)630 993 y Fq(xA:)481 1061 y Fn(9)506 1043 y Fs(\003)525 1061 y Fq(xA)g Fn(!)g Fr(\()p Fn(8)p Fq(x:A)g Fn(!)g Fq(B)r Fr(\))g Fn(!)g Fq(B)r(;)53 b Fr(falls)16 b Fq(x)i(=)-28 b Fn(2)13 b Fr(FV\()p Fq(B)r Fr(\).)191 1164 y(Diese)h(Axiomensc)o(hemata)g(b)q(ezeic)o(hnen)i(wir)e(durc)o(h)f Fn(_)1144 1144 y Fs(\003)p Fm(+)1144 1177 y(0)1192 1164 y Fr(,)g Fn(_)1248 1144 y Fs(\003)p Fm(+)1248 1177 y(1)1296 1164 y Fr(,)g Fn(_)1352 1147 y Fs(\003\000)1399 1164 y Fr(,)g Fn(9)1450 1147 y Fs(\003)p Fm(+)1511 1164 y Fr(und)h Fn(9)1625 1147 y Fs(\003\000)1673 1164 y Fr(.)191 1220 y(F)222 1222 y(\177)221 1220 y(ur)k(F)l(ormeln)g Fq(A)g Fr(in)h(der)f(durc)o(h)h Fn(_)812 1204 y Fs(\003)850 1220 y Fr(und)g Fn(9)969 1204 y Fs(\003)1007 1220 y Fr(erw)o(eiterten)f (Sprac)o(he)g(sc)o(hreib)q(en)i(wir)191 1276 y Fn(`)p Fq(A)14 b Fr(und)g(nennen)i Fq(A)e Fo(herleitb)n(ar)k Fr(\(in)d(der)f Fo(Minimal)r(lo)n(gik)5 b Fr(\),)12 b(w)o(enn)i(es)g (eine)h(Herleitung)191 1333 y(v)o(on)g Fq(A)g Fr(aus)g(diesen)i (Axiomensc)o(hemata)e(gibt.)191 1427 y Fd(Lemma)i(1.9.)22 b Fo(\(Ex-falso-quo)n(d)r(lib)n(et\).)e(F)929 1429 y(\177)929 1427 y(ur)g(je)n(de)g(F)m(ormel)f Fq(A)i Fo(in)e(der)i(Spr)n(ache)f (mit)191 1483 y(den)c(V)m(erkn)395 1485 y(\177)395 1483 y(upfungen)f Fn(!)p Fo(,)i Fn(^)p Fo(,)f Fn(_)755 1467 y Fs(\003)775 1483 y Fo(,)g Fn(8)h Fo(und)f Fn(9)961 1467 y Fs(\003)997 1483 y Fo(gilt)835 1585 y Fn(`)863 1592 y Fp(i)889 1585 y Fn(?)d(!)g Fq(A:)191 1687 y Fo(Beweis.)22 b Fr(Wir)16 b(m)496 1689 y(\177)495 1687 y(ussen)h(n)o(ur)f(die)h(F)805 1689 y(\177)805 1687 y(alle)g Fq(A)11 b Fn(_)964 1671 y Fs(\003)994 1687 y Fq(B)19 b Fr(und)e Fn(9)1164 1671 y Fs(\003)1184 1687 y Fq(xA)f Fr(zus)1323 1689 y(\177)1323 1687 y(atzlic)o(h)h(b)q(ehandeln,)191 1744 y(w)o(as)d(ab)q(er)i (trivial)g(ist.)p 1666 1717 19 2 v 1666 1742 2 26 v 1684 1742 V 1666 1744 19 2 v 262 1838 a(Die)23 b(Ein)o(b)q(ettung)h(der)g (in)o(tuitionistisc)o(hen)i(Logik)e(l)1193 1840 y(\177)1193 1838 y(a\031t)f(sic)o(h)h(also)f(wie)h(bisher)191 1894 y(durc)o(hf)318 1896 y(\177)317 1894 y(uhren.)191 2016 y Fe(1.2)56 b(Mo)r(delle)191 2102 y Fr(Es)14 b(ist)g(eine)h(o\013ensic) o(h)o(tlic)o(he)h(F)l(rage,)d(ob)h(unsere)g(logisc)o(hen)h(Regeln)h (ausreic)o(hen,)f(d.h.)191 2158 y(ob)f(wir)g(not)o(w)o(endige)h(Regeln) g(v)o(ergessen)f(hab)q(en.)h(Um)f(diese)h(F)l(rage)f(b)q(ean)o(t)o(w)o (orten)f(zu)191 2215 y(k)215 2217 y(\177)215 2215 y(onnen,)20 b(m)405 2217 y(\177)404 2215 y(ussen)g(wir)g(die)g Fo(Be)n(deutung)k Fr(einer)d(F)l(ormel)f(k)o(ennen,)g(d.h.)f(wir)h(m)1580 2217 y(\177)1579 2215 y(ussen)191 2271 y(eine)c Fo(Semantik)j Fr(angegeb)q(en)d(hab)q(en.)g(Dazu)e(de\014niert)i(man)f(wie)1334 2273 y(\177)1333 2271 y(ublic)o(h)i(den)e(Begri\013)191 2327 y(einer)21 b(Struktur)e(\(genauer)g Fn(L)p Fr(-Struktur,)g(w)o(ob) q(ei)i Fn(L)f Fr(die)g(zugrunde)h(liegende)g(Spra-)191 2384 y(c)o(he)g(ist\))f(und)h(erkl)532 2386 y(\177)532 2384 y(art)f(dann,)g(w)o(as)g(der)g(W)l(ert)g(eines)i(T)l(erms)e(und)h (die)g(Bedeutung)191 2440 y(einer)d(F)l(ormel)f(in)g(einer)h(solc)o (hen)g(Struktur)e(sein)i(soll.)f(Man)f(zeigt)i(dann)f(leic)o(h)o(t)h (den)191 2497 y(Korrektheitssatz:)e(er)h(sagt)e(aus,)i(da\031)f(jede)h (in)h(der)f(klassisc)o(hen)h(Logik)f(herleitbare)191 2553 y(F)l(ormel)e(in)h(einer)g(b)q(eliebi)q(gen)i(Struktur)d(g)931 2555 y(\177)930 2553 y(ultig)h(ist.)262 2610 y(Wir)c(b)q(etrac)o(h)o (ten)f(hier)i(den)g(Strukturb)q(egri\013)f(v)o(on)f Fk(Beth)p Fr(,)h(der)g(zur)g(Minimallogik)191 2666 y(und)h(zur)f(in)o (tuitionistisc)o(hen)j(Logik)e(passt,)e(und)i(zeigen)g(einen)h (Korrektk)o(eitssatz)d(f)1643 2668 y(\177)1642 2666 y(ur)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 191 274 a Fr(b)q(eide)20 b(Logik)o(en.)f(Im)g(n)598 276 y(\177)598 274 y(ac)o(hsten)g(Ansc)o(hnitt)h(b)q(ew)o(eisen)g(wir)f (dann)g(die)h(V)l(ollst)1561 276 y(\177)1561 274 y(andig-)191 330 y(k)o(eit)14 b(unserer)g(Regeln)g(bzgl.)g(dieses)h(Strukturb)q (egri\013s,)e(und)h(als)g(F)l(olgerung)g(erhalten)191 387 y(wir)21 b(im)348 389 y(\177)347 387 y(ub)q(ern)461 389 y(\177)461 387 y(ac)o(hsten)g(Absc)o(hnitt)h(die)g(V)l(ollst)1038 389 y(\177)1038 387 y(andigk)o(eit)h(der)e(klassisc)o(hen)h(Logik,)191 443 y(b)q(ezogen)16 b(auf)f(den)528 445 y(\177)527 443 y(ublic)o(hen)i(Strukturb)q(egri\013.)191 563 y Fd(Beth-Strukturen)191 649 y Fr(Ein)j(zur)f(Minimallogik)j(und)d(zur)h(in)o(tuitionistisc)o (hen)i(Logik)e(passende)f(Struktur-)191 706 y(b)q(egri\013)f(wurde)h (zuerst)f(v)o(on)g Fk(Beth)g Fr([6])f(k)o(onzipiert;)i(er)f(basiert)h (auf)f(einer)h(V)l(orstel-)191 762 y(lung)d(v)o(on)f(\\sic)o(h)h(en)o (t)o(wic)o(k)o(elnden)h(m)821 764 y(\177)821 762 y(oglic)o(hen)f(W)l (elten",)g(die)g(durc)o(h)g(Knoten)g Fq(k)g Fr(eines)191 819 y(endlic)o(h)j(v)o(erzw)o(eigten)e(Baums)g(indiziert)i(sind.)f (Kenn)o(tnisse)g(k)1298 821 y(\177)1298 819 y(onnen)g(sic)o(h)f(n)o(ur) g(v)o(er-)191 875 y(gr)232 877 y(\177)232 875 y(o\031ern,)k(d.h.)g (gilt)i Fq(R)592 867 y(~)595 875 y(t)f Fr(in)h(einer)g(W)l(elt)f Fq(k)q Fr(,)g(so)g(gilt)g Fq(R)1168 867 y(~)1171 875 y(t)g Fr(auc)o(h)g(in)h(allen)g(k)1523 877 y(\177)1522 875 y(unftigen)191 931 y(m)229 933 y(\177)229 931 y(oglic)o(hen)16 b(W)l(elten.)262 988 y(Jede)d Fk(Beth)p Fr(-Struktur)f(basiert)h(also)f (auf)g(einem)i(endlic)o(h)g(v)o(erzw)o(eigten)e(Baum)h Fq(T)6 b Fr(.)191 1044 y(Wir)15 b(f)298 1046 y(\177)297 1044 y(uhren)g(zun)495 1046 y(\177)495 1044 y(ac)o(hst)g(die)g(hierb)q (ei)i(not)o(w)o(endigen)e(Begri\013e)g(ein.)g(Ein)g Fo(Knoten)1597 1046 y Fr(\177)1596 1044 y(ub)q(er)191 1101 y(einer)23 b(nic)o(h)o(tleeren)h(Menge)f Fq(S)h Fr(ist)f(eine)h(endlic)o(he)g(F)l (olge)f Fq(k)i Fr(=)g Fn(h)p Fq(a)1383 1108 y Fm(0)1403 1101 y Fq(;)8 b(a)1448 1108 y Fm(1)1466 1101 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)13 b(;)8 b(a)1600 1108 y Fp(n)p Fs(\000)p Fm(1)1668 1101 y Fn(i)191 1157 y Fr(v)o(on)18 b(Elemen)o(ten)h Fq(a)531 1164 y Fp(i)562 1157 y Fn(2)f Fq(S)s Fr(;)f Fq(n)h Fr(ist)g(die)h Fo(L)887 1159 y(\177)887 1157 y(ange)i Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))c(v)o(on)h Fq(k)q Fr(.)g(Wir)g(sc)o(hreib)q(en)i Fq(k)e Fn(\026)g Fq(k)1674 1141 y Fs(0)191 1214 y Fr(w)o(enn)f Fq(k)h Fr(ein)g(Anfangsst)626 1216 y(\177)625 1214 y(uc)o(k)f(v)o(on)g Fq(k)823 1197 y Fs(0)852 1214 y Fr(ist.)g(Ein)g Fo(Baum)1154 1216 y Fr(\177)1153 1214 y(ub)q(er)g Fq(S)j Fr(ist)d(eine)i(Menge)e(v)o (on)191 1270 y(Knoten)f(\()372 1272 y(\177)371 1270 y(ub)q(er)h Fq(S)s Fr(\),)d(die)j(gegen)g(Bildung)g(v)o(on)f(Anfangsst)1212 1272 y(\177)1211 1270 y(uc)o(k)o(en)g(abgesc)o(hlossen)g(ist.)191 1327 y(Ein)f(Baum)e Fq(T)20 b Fr(ist)14 b Fo(end)r(lich)h(verzweigt)t Fr(,)e(w)o(enn)h(jedes)g Fq(k)g Fn(2)f Fq(T)20 b Fr(h)1262 1329 y(\177)1262 1327 y(oc)o(hstens)14 b(endlic)o(h)i(viele)191 1383 y(unmittelbare)j(Nac)o(hfolger)f(in)h Fq(T)24 b Fr(hat.)17 b(Ein)i(Baum)f Fq(T)24 b Fr(ist)18 b Fo(unb)n(eschr)1408 1385 y(\177)1408 1383 y(ankt)t Fr(,)f(w)o(enn)h(es)191 1440 y(f)206 1442 y(\177)205 1440 y(ur)c(jedes)g Fq(n)f Fn(2)g Fc(N)g Fr(einen)i(Knoten)g Fq(k)e Fn(2)g Fq(T)20 b Fr(gibt)14 b(so)g(da\031)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))e(=)h Fq(n)p Fr(.)h(Ein)h Fo(Ast)i Fr(in)e(einem)191 1496 y(Baum)i Fq(T)23 b Fr(ist)18 b(ein)g(linear)g(geordneter)f(\(durc)o(h)h Fn(\026)p Fr(\))f(T)l(eilbaum)h(v)o(on)f Fq(T)6 b Fr(.)17 b(Ein)h Fo(Blatt)j Fr(in)191 1552 y Fq(T)g Fr(ist)15 b(ein)i(Knoten)e Fq(k)h Fr(in)g Fq(T)22 b Fr(ohne)15 b(ec)o(h)o(te)g(F)l(ortsetzungen)g(in)h Fq(T)6 b Fr(.)262 1609 y(F)293 1611 y(\177)292 1609 y(ur)21 b(den)h(V)l(ollst)561 1611 y(\177)561 1609 y(andigk)o(eitssatz)h(wird)f(es)g(gen)1101 1611 y(\177)1100 1609 y(ugen,)g Fk(Beth)p Fr(-Strukturen)1597 1611 y(\177)1596 1609 y(ub)q(er)191 1665 y(dem)14 b(v)o(ollen)h(bin)480 1667 y(\177)480 1665 y(aren)h(Baum)e(zu)g(b)q(etrac)o(h)o(ten,)g(d.h.)f (der)i(Menge)f Fq(T)1349 1672 y Fm(01)1400 1665 y Fr(aller)h(endlic)o (hen)191 1722 y(0-1-F)l(olgen)j(\(Knoten\))f Fq(k)q Fr(.)g(Die)i(leere) f(F)l(olge)g(wird)g(mit)g Fn(hi)f Fr(b)q(ezeic)o(hnet,)i(und)f Fq(k)q Fr(0,)g Fq(k)q Fr(1)191 1778 y(b)q(ezeic)o(hnen)g(Erw)o (eiterungen)d(der)h(F)l(olge)f Fq(k)h Fr(durc)o(h)g(0)f(o)q(der)g(1.) 191 1872 y Fd(De\014nition)k(1.10.)j Fr(Sei)17 b(\()p Fq(T)t(;)8 b Fn(\026)p Fr(\))14 b(ein)i(endlic)o(h)i(v)o(erzw)o(eigter) d(Baum.)h Fn(B)e Fr(=)g(\()p Fq(M)r(;)8 b(I)1589 1879 y Fm(0)1608 1872 y Fq(;)g(I)1649 1879 y Fm(1)1668 1872 y Fr(\))191 1929 y(ist)14 b(eine)h Fn(L)p Fo(-)p Fk(Beth)p Fo(-Struktur)708 1931 y Fr(\177)707 1929 y(ub)q(er)g Fq(T)6 b Fr(,)13 b(w)o(enn)h(\()p Fq(M)r(;)8 b(I)1091 1936 y Fm(0)1111 1929 y Fr(\))13 b(eine)i Fn(L)p Fr(-Pr)1329 1931 y(\177)1329 1929 y(astruktur)f(ist)g(\(d.h.)191 1985 y Fq(M)j Fr(eine)d(nic)o(h)o(tleere)g(Menge)f(und)g Fq(I)796 1992 y Fm(0)828 1985 y Fr(eine)h(Abbildung,)h(die)e(jedem)g Fq(n)p Fr(-stelligen)i(F)l(unk-)191 2041 y(tionssym)o(b)q(ol)h Fq(f)21 b Fr(v)o(on)15 b Fn(L)h Fr(eine)g(F)l(unktion)h Fq(I)t Fr(\()p Fq(f)5 b Fr(\))g(:)14 b Fq(D)1065 2025 y Fp(n)1101 2041 y Fn(!)g Fq(D)i Fr(zuordnet\))g(und)g Fq(I)1533 2048 y Fm(1)1568 2041 y Fr(jedem)191 2098 y Fq(n)p Fr(-stelligen)e(Relationssym)o(b)q(ol)f Fq(R)f Fr(v)o(on)f Fn(L)h Fr(und)h(jedem)f(Knoten)g Fq(k)i Fn(2)f Fq(T)k Fr(eine)c Fq(n)p Fr(-stellige)191 2154 y(Relation)j Fq(I)393 2161 y Fm(1)413 2154 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(\))j Fn(\022)i Fq(M)638 2138 y Fp(n)677 2154 y Fr(zuordnet)i(so)g (da\031)g(Monotonie)g(gilt,)h(d.h.)617 2257 y Fq(k)e Fn(\026)f Fq(k)728 2238 y Fs(0)765 2257 y Fr(=)-8 b Fn(\))27 b Fq(I)884 2264 y Fm(1)903 2257 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(\))j Fn(\022)i Fq(I)1099 2264 y Fm(1)1119 2257 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)1218 2238 y Fs(0)1229 2257 y Fr(\))p Fq(:)191 2359 y Fr(Ist)16 b Fq(n)d Fr(=)h(0,)h(so)g(ist)h Fq(I)539 2366 y Fm(1)559 2359 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(\))14 b(w)o(ahr)h(o)q(der)g(falsc)o(h)h(und)h(die)f(Monotonie)g(sagt)f(aus,)g (da\031)191 2415 y(f)206 2417 y(\177)205 2415 y(ur)g Fq(k)f Fn(\026)f Fq(k)374 2399 y Fs(0)401 2415 y Fr(aus)i Fq(I)502 2422 y Fm(1)521 2415 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(\))14 b(stets)h Fq(I)779 2422 y Fm(1)798 2415 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)897 2399 y Fs(0)908 2415 y Fr(\))15 b(folgt.)262 2509 y(V)l(on)k Fq(I)379 2516 y Fm(1)398 2509 y Fr(\()p Fn(?)p Fq(;)8 b(k)q Fr(\))18 b(wird)h(also)g Fo(nichts)j Fr(v)o(erlangt;)c(das)h(F)l(alsum)g(spielt)h(in)g(der)f(Mini-)191 2565 y(mallogik)d(die)g(Rolle)h(eines)f(gew)751 2567 y(\177)751 2565 y(ohnlic)o(hen)h(Aussagensym)o(b)q(ols.)262 2622 y Fq(t)278 2605 y Fs(B)304 2622 y Fr([)p Fq(\021)r Fr(])d(f)384 2624 y(\177)383 2622 y(ur)i(eine)i(Belegung)f Fq(\021)g Fr(wird)f(wie)h(b)q(ei)g(klassisc)o(hen)h(Mo)q(dellen)g(erkl) 1539 2624 y(\177)1539 2622 y(art.)d(An)191 2678 y(die)g(Stelle)g(der)f (Mo)q(dellb)q(eziehung)i Fn(M)d(j)-8 b Fr(=)13 b Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])f(tritt)h(b)q(ei)j Fk(Beth)p Fr(-Strukturen)e (jedo)q(c)o(h)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 191 274 a Fr(die)12 b Fo(Erzwingungsb)n(eziehung)t Fr(.)d(F)755 276 y(\177)754 274 y(ur)i(deren)g(De\014nition)i(ist)e(es) h(b)q(equem,)g(den)f(zugrunde)191 330 y(liegenden)24 b(Baum)d Fq(T)27 b Fr(zun)660 332 y(\177)660 330 y(ac)o(hst)22 b(zu)g Fo(vervol)r(lst)1017 332 y(\177)1017 330 y(andigen)h Fr(zu)f(einem)g(Baum)1547 319 y(\026)1538 330 y Fq(T)27 b Fr(ohne)191 387 y(Bl)235 389 y(\177)235 387 y(atter,)10 b(indem)h(wir)g(zu)f(jedem)h(Blatt)f Fq(k)k Fn(2)f Fq(T)j Fr(alle)11 b(F)l(ortsetzungen)f Fq(k)q Fr(0,)g Fq(k)q Fr(00,)f Fq(k)q Fr(000)p Fq(;)f(:)g(:)g(:)191 443 y Fr(zu)15 b Fq(T)20 b Fr(hinzunehmen.)d(F)619 445 y(\177)618 443 y(ur)d(jeden)h(hinzugek)o(ommenen)h(Knoten)f Fq(k)q Fr(0)8 b Fq(:)g(:)g(:)d Fr(0)14 b(setzen)h(wir)191 500 y Fq(I)211 507 y Fm(1)231 500 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(0)g Fq(:)g(:)f(:)t Fr(0\))12 b(:=)h Fq(I)553 507 y Fm(1)573 500 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(\).)191 590 y Fd(De\014nition)19 b(1.11.)j Fn(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)g Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])g(\()p Fn(B)i Fr(erzwingt)g Fq(A)g Fr(im)g(Knoten)g Fq(k)h Fr(f)1375 592 y(\177)1374 590 y(ur)e(die)i(Belegung)191 647 y Fq(\021)r Fr(\))d(wird)i(induktiv)h(wie)e(folgt)g(de\014niert.)h (Wir)g(sc)o(hreib)q(en)h Fq(k)d Fb(\015)g Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])g(w)o(enn)h(die)h(un)o(ter-)191 703 y(liegende)f (Struktur)d Fn(B)i Fr(klar)e(ist,)h(und)g Fn(8)p Fq(k)885 687 y Fs(0)897 703 y Fn(\027)932 710 y Fp(n)956 703 y Fq(k)d(A)i Fr(f)1049 705 y(\177)1048 703 y(ur)h Fn(8)p Fq(k)1153 687 y Fs(0)1165 703 y Fn(\027)p Fq(k)q(:)p Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)1315 687 y Fs(0)1326 703 y Fr(\))h(=)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))s(+)s Fq(n)g Fn(!)g Fq(A)p Fr(.)276 802 y Fq(k)h Fb(\015)e Fq(R)p Fr(\()p Fq(t)428 809 y Fm(1)448 802 y Fq(;)c(:)g(:)g(:)k(;)c(t)573 809 y Fp(p)593 802 y Fr(\)[)p Fq(\021)r Fr(])36 b(:)p Fn(\()-8 b(\))38 b(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)933 783 y Fs(0)946 802 y Fn(\027)981 809 y Fp(n)1005 802 y Fq(k)9 b Fr(\()p Fq(t)1072 783 y Fs(B)1072 813 y Fm(1)1098 802 y Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(;)f(:)g(:)f(:)12 b(;)c(t)1273 783 y Fs(B)1273 813 y Fp(p)1298 802 y Fr([)p Fq(\021)r Fr(]\))j Fn(2)i Fq(I)1441 809 y Fm(1)1461 802 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)1560 783 y Fs(0)1570 802 y Fr(\))p Fq(:)276 876 y(k)14 b Fb(\015)e Fq(R)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])36 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)717 857 y Fs(0)730 876 y Fn(\027)765 883 y Fp(n)789 876 y Fq(k)8 b(I)841 883 y Fm(1)861 876 y Fr(\()p Fq(R;)g(k)960 857 y Fs(0)970 876 y Fr(\))13 b(=)g(1)45 b(f)1132 878 y(\177)1131 876 y(ur)15 b Fq(R)g Fr(n)o(ullstellig.)276 944 y Fq(k)f Fb(\015)e Fr(\()p Fq(A)e Fn(_)451 926 y Fs(\003)481 944 y Fq(B)r Fr(\)[)p Fq(\021)r Fr(])37 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)859 926 y Fs(0)871 944 y Fn(\027)906 951 y Fp(n)930 944 y Fq(k)q(:k)993 926 y Fs(0)1017 944 y Fb(\015)13 b Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])23 b(o)q(der)j Fq(k)1309 926 y Fs(0)1333 944 y Fb(\015)13 b Fq(B)r Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)276 1013 y(k)h Fb(\015)e Fr(\()p Fn(9)402 995 y Fs(\003)422 1013 y Fq(xA)p Fr(\)[)p Fq(\021)r Fr(])36 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)823 995 y Fs(0)835 1013 y Fn(\027)870 1020 y Fp(n)894 1013 y Fq(k)q Fn(9)p Fq(a)p Fn(2)q(jB)q(j)8 b Fq(k)1089 995 y Fs(0)1112 1013 y Fb(\015)13 b Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)1230 995 y Fp(a)1228 1025 y(x)1249 1013 y Fr(])p Fq(:)276 1082 y(k)h Fb(\015)e Fr(\()p Fq(A)h Fn(!)g Fq(B)r Fr(\)[)p Fq(\021)r Fr(])36 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(8)p Fq(k)807 1063 y Fs(0)819 1082 y Fn(\027)q Fq(k)q(:k)918 1063 y Fs(0)942 1082 y Fb(\015)12 b Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])24 b(=)-8 b Fn(\))26 b Fq(k)1219 1063 y Fs(0)1244 1082 y Fb(\015)12 b Fq(B)r Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)276 1151 y(k)i Fb(\015)e Fr(\()p Fq(A)e Fn(^)g Fq(B)r Fr(\)[)p Fq(\021)r Fr(])37 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b Fq(k)14 b Fb(\015)e Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])24 b(und)i Fq(k)14 b Fb(\015)e Fq(B)r Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)276 1220 y(k)i Fb(\015)e Fr(\()p Fn(8)p Fq(xA)p Fr(\)[)p Fq(\021)r Fr(])36 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(8)p Fq(a)p Fn(2)q(jB)q(j)8 b Fq(k)k Fb(\015)h Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)1000 1201 y Fp(a)998 1231 y(x)1020 1220 y Fr(])p Fq(:)262 1318 y Fr(In)f(den)h(Klauseln)h(f)597 1320 y(\177)596 1318 y(ur)e(A)o(tome,)f (Disjunktionen)i(und)g(Existenzformeln)g(b)q(eziehen)191 1375 y(wir)i(uns)g(also)g(auf)g(eine)h(\\Sc)o(hrank)o(e")e(\(\\bar"\))f (in)1074 1363 y(\026)1065 1375 y Fq(T)6 b Fr(.)14 b(F)1156 1377 y(\177)1155 1375 y(ur)h(A)o(tome)f(w)1392 1377 y(\177)1392 1375 y(are)g(dies)i(jedo)q(c)o(h)191 1431 y(nic)o(h)o(t)11 b(n)325 1433 y(\177)325 1431 y(otig;)f(es)h(ist)g(jedo)q(c)o(h)g(b)q (equem)g(f)849 1433 y(\177)848 1431 y(ur)g(die)g(Konstruktion)g(v)o(on) f Fk(Beth)p Fr(-Strukturen.)262 1488 y(Aus)i(der)h(De\014nition)h (ergibt)f(sic)o(h)g(leic)o(h)o(t,)h(da\031)e(die)i(Monotonie)e(sic)o(h) i(auf)e(F)l(ormeln)192 1546 y(\177)191 1544 y(ub)q(ertr)316 1546 y(\177)316 1544 y(agt,)k(d.h.)g(da\031)h(aus)g Fq(k)f Fb(\015)f Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])h(stets)g Fq(k)994 1528 y Fs(0)1021 1544 y Fb(\015)f Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])g(folgt)i(f)1291 1546 y(\177)1290 1544 y(ur)g Fq(k)f Fn(\026)g Fq(k)1466 1528 y Fs(0)1477 1544 y Fr(.)h(Auc)o(h)g(die)191 1601 y(Umk)o(ehrung)e(ist)h(ric)o(h)o(tig:)191 1691 y Fd(Lemma)h(1.12.)22 b Fo(\()533 1682 y(\177)525 1691 y(Ub)n(er)n(de)n(ckungseigenschaft\).)621 1790 y Fn(8)p Fq(k)671 1771 y Fs(0)683 1790 y Fn(\027)718 1797 y Fp(n)742 1790 y Fq(k)8 b(k)799 1771 y Fs(0)824 1790 y Fb(\015)k Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])24 b(=)-8 b Fn(\))26 b Fq(k)14 b Fb(\015)e Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)191 1888 y Fo(Beweis.)22 b Fr(Induktion)575 1890 y(\177)574 1888 y(ub)q(er)16 b Fq(A)p Fr(.)f(Wir)g(sc)o(hreib)q(en)i Fq(k)c Fb(\015)g Fq(A)i Fr(f)1180 1890 y(\177)1179 1888 y(ur)g Fq(k)f Fb(\015)e Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(].)262 1944 y Fo(F)m(al)r(l)18 b Fq(R)388 1936 y(~)391 1944 y(t)q Fr(.)c(Gelte)756 2001 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)858 1982 y Fs(0)870 2001 y Fn(\027)905 2008 y Fp(n)929 2001 y Fq(k)9 b(k)987 1982 y Fs(0)1011 2001 y Fb(\015)k Fq(R)1089 1992 y(~)1092 2001 y(t;)191 2082 y Fr(also)i(nac)o(h)g(De\014nition)550 2181 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)652 2162 y Fs(0)664 2181 y Fn(\027)699 2188 y Fp(n)723 2181 y Fq(k)q Fn(9)p Fq(m)p Fn(8)p Fq(k)863 2162 y Fs(00)885 2181 y Fn(\027)920 2188 y Fp(m)953 2181 y Fq(k)978 2162 y Fs(0)987 2172 y Fq(~)990 2181 y(t)1006 2162 y Fs(B)1033 2181 y Fr([)p Fq(\021)r Fr(])c Fn(2)i Fq(I)1158 2188 y Fm(1)1177 2181 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)1276 2162 y Fs(0)o(0)1296 2181 y Fr(\))p Fq(:)191 2279 y Fr(Da)15 b Fq(T)21 b Fr(ein)16 b(endlic)o(h)h(v)o(erzw)o(eigter)e(Baum)g(ist,)g(hab)q(en)h(wir)660 2377 y Fn(9)p Fq(m)p Fn(8)p Fq(k)775 2359 y Fs(0)788 2377 y Fn(\027)823 2384 y Fp(m)856 2377 y Fq(k)886 2369 y(~)889 2377 y(t)905 2359 y Fs(B)931 2377 y Fr([)p Fq(\021)r Fr(])11 b Fn(2)i Fq(I)1056 2384 y Fm(1)1076 2377 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)1175 2359 y Fs(0)1186 2377 y Fr(\))p Fq(;)191 2476 y Fr(also)15 b Fq(k)f Fb(\015)e Fq(R)397 2467 y(~)400 2476 y(t)q Fr(.)262 2532 y(Die)j(F)374 2534 y(\177)374 2532 y(alle)h Fq(A)10 b Fn(_)531 2516 y Fs(\003)562 2532 y Fq(B)17 b Fr(und)f Fn(9)729 2516 y Fs(\003)749 2532 y Fq(xA)g Fr(b)q(ehandelt)g(man)1136 2534 y(\177)1136 2532 y(ahnlic)o(h.)262 2589 y Fo(F)m(al)r(l)k Fq(A)c Fn(!)h Fq(B)r Fr(.)h(Gelte)f Fq(k)685 2572 y Fs(0)713 2589 y Fb(\015)f Fq(A)g Fn(!)g Fq(B)k Fr(f)942 2591 y(\177)941 2589 y(ur)d(alle)i Fq(k)1112 2572 y Fs(0)1140 2589 y Fn(\027)d Fq(k)i Fr(mit)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)1396 2572 y Fs(0)1407 2589 y Fr(\))e(=)g Ff(lh)q Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))11 b(+)g Fq(n)p Fr(.)191 2645 y(Wir)k(m)322 2647 y(\177)321 2645 y(ussen)h(zeigen)706 2702 y Fn(8)p Fq(l)q Fn(\027)p Fq(k)q(:l)c Fb(\015)h Fq(A)25 b Fr(=)-8 b Fn(\))27 b Fq(l)13 b Fb(\015)f Fq(B)r(:)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 191 274 a Fr(Gelte)20 b(also)f Fq(l)i Fn(\027)f Fq(k)h Fr(und)f Fq(l)g Fb(\015)g Fq(A)p Fr(.)f(Zu)h(zeigen)h(ist)e Fq(l)i Fb(\015)f Fq(B)r Fr(.)g(Wir)f(v)o(erw)o(enden)h(die)h(IH)191 330 y(f)206 332 y(\177)205 330 y(ur)d Fq(B)i Fr(mit)e Fq(m)f Fr(:=)f(max\()p Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))11 b(+)h Fq(n;)c Ff(lh)p Fr(\()p Fq(l)q Fr(\)\).)16 b(Gelte)i(also)g Fq(l)1196 314 y Fs(0)1224 330 y Fn(\027)f Fq(l)h Fr(und)g Ff(lh)q Fr(\()p Fq(l)1469 314 y Fs(0)1480 330 y Fr(\))e(=)h Fq(m)p Fr(.)g(Es)191 387 y(gen)260 389 y(\177)259 387 y(ugt)f(zu)h(zeigen)h Fq(l)556 370 y Fs(0)582 387 y Fb(\015)c Fq(B)r Fr(.)j(Ist)f Ff(lh)q Fr(\()p Fq(l)831 370 y Fs(0)842 387 y Fr(\))e(=)h Ff(lh)q Fr(\()p Fq(l)q Fr(\),)f(so)i(gilt)i Fq(l)1192 370 y Fs(0)1217 387 y Fr(=)e Fq(l)g Fr(und)i(wir)e(sind)i (fertig.)191 443 y(Ist)c Ff(lh)q Fr(\()p Fq(l)325 427 y Fs(0)335 443 y Fr(\))f(=)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))8 b(+)g Fq(n)13 b(>)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(l)q Fr(\),)g(so)h(ist)g Fq(l)891 427 y Fs(0)917 443 y Fr(eine)h(Erw)o(eiterung)f(v)o(on)g Fq(l)h Fr(und)g(auc)o(h)f(v)o(on)g Fq(k)191 500 y Fr(mit)h(L)302 502 y(\177)302 500 y(ange)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))8 b(+)i Fq(n)p Fr(,)k(und)i(wir)e(hab)q(en)i Fq(l)928 483 y Fs(0)952 500 y Fb(\015)c Fq(A)h Fn(!)g Fq(B)k Fr(nac)o(h)e(Annahme.)g (F)l(erner)g(gilt)191 556 y Fq(l)206 540 y Fs(0)230 556 y Fb(\015)d Fq(A)p Fr(,)j(da)g Fq(l)415 540 y Fs(0)439 556 y Fn(\027)e Fq(l)i Fr(und)h Fq(l)d Fb(\015)g Fq(A)p Fr(.)i(Dies)g(wiederum)i(impliziert)g Fq(l)1269 540 y Fs(0)1293 556 y Fb(\015)12 b Fq(B)r Fr(.)262 613 y(Die)j(F)374 615 y(\177)374 613 y(alle)h Fq(A)10 b Fn(^)h Fq(B)18 b Fr(und)e Fn(8)p Fq(x)8 b(A)15 b Fr(sind)h(klar.)p 1666 586 19 2 v 1666 611 2 26 v 1684 611 V 1666 613 19 2 v 262 704 a(Das)f(Koinzidenzlemma)k(und)d(das)g(Substitutionslemma)i (gelten)e(wie)h(erw)o(artet)191 760 y(auc)o(h)e(f)313 762 y(\177)312 760 y(ur)g Fk(Beth)p Fr(-Strukturen.)191 840 y Fd(Lemma)i(1.13.)22 b Fo(\(Koinzidenzlemma\).)12 b(Sei)h Fn(B)i Fo(eine)i Fk(Beth)p Fo(-Struktur,)e Fq(t)f Fo(ein)f(T)m(erm,)191 897 y Fq(A)j Fo(eine)g(F)m(ormel)f(und)i Fq(\021)r(;)8 b(\030)17 b Fo(Bele)n(gungen)d(in)i Fn(jB)q(j)p Fo(.)245 976 y(1.)23 b(Gilt)16 b Fq(\021)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))11 b(=)i Fq(\030)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))i Fo(f)656 978 y(\177)656 976 y(ur)i(al)r(le)f Fq(x)d Fn(2)g Ff(va)o(rs)o Fr(\()p Fq(t)p Fr(\))p Fo(,)j(so)g(ist)g Fq(\021)r Fr(\()p Fq(t)p Fr(\))c(=)h Fq(\030)r Fr(\()p Fq(t)p Fr(\))p Fo(.)245 1065 y(2.)23 b(Gilt)16 b Fq(\021)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))11 b(=)j Fq(\030)r Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))h Fo(f)657 1067 y(\177)657 1065 y(ur)i(al)r(le)f Fq(x)d Fn(2)h Fr(FV\()p Fq(A)p Fr(\))p Fo(,)i(so)g(folgt)g Fn(B)q Fq(;)8 b(k)14 b Fb(\015)e Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])25 b Fn(\()-8 b(\))27 b(B)q Fq(;)8 b(k)14 b Fb(\015)305 1121 y Fq(A)p Fr([)p Fq(\030)r Fr(])p Fo(.)191 1201 y(Beweis.)22 b Fr(Induktion)575 1203 y(\177)574 1201 y(ub)q(er)16 b(T)l(erme)f(und)h (F)l(ormeln.)p 1666 1174 V 1666 1199 2 26 v 1684 1199 V 1666 1201 19 2 v 191 1292 a Fd(Lemma)h(1.14.)22 b Fo (\(Substitutionslemma\).)c(Sei)g Fn(B)j Fo(eine)g Fk(Beth)p Fo(-Struktur,)g Fq(t;)8 b(r)19 b Fo(T)m(er-)191 1348 y(me,)d Fq(A)h Fo(eine)e(F)m(ormel)h(und)g Fq(\021)i Fo(eine)d(Bele)n(gung)g(in)h Fn(jB)q(j)p Fo(.)g(Dann)g(gilt)245 1436 y(1.)23 b Fq(\021)r Fr(\()p Fq(r)q Fr([)p Fq(x)10 b Fr(:=)j Fq(t)p Fr(]\))f(=)h Fq(\021)612 1412 y Fp(\021)q Fm(\()p Fp(t)p Fm(\))610 1442 y Fp(x)673 1436 y Fr(\()p Fq(r)q Fr(\))p Fo(.)245 1532 y(2.)23 b Fn(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)f Fq(A)p Fr([)p Fq(x)h Fr(:=)f Fq(t)p Fr(][)p Fq(\021)r Fr(])24 b Fn(\()-8 b(\))26 b(B)q Fq(;)8 b(k)14 b Fb(\015)e Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)1004 1508 y Fp(\021)q Fm(\()p Fp(t)p Fm(\))1002 1538 y Fp(x)1064 1532 y Fr(])p Fo(.)191 1612 y(Beweis.)22 b Fr(Induktion)575 1614 y(\177)574 1612 y(ub)q(er)16 b(T)l(erme)f(und)h(F)l(ormeln.)p 1666 1585 V 1666 1611 2 26 v 1684 1611 V 1666 1613 19 2 v 262 1703 a(Hieraus)f(erhalten)h(wir)g(wie)765 1705 y(\177)763 1703 y(ublic)o(h)i(den)d(Korrektheitssatz.)191 1783 y Fd(Satz)j(1.15.)23 b Fo(\(Korr)n(ektheit\).)11 b(Sei)g Fr(\000)q Fn([)q(f)p Fq(A)p Fn(g)i Fo(eine)e(F)m(ormelmenge)g (und)h(es)f(gelte)h Fr(\000)h Fn(`)f Fq(A)p Fo(.)191 1840 y(Ist)17 b(dann)g Fn(B)h Fo(eine)i Fk(Beth)p Fo(-Struktur,)f Fq(k)f Fo(ein)f(Knoten)g(und)g Fq(\021)i Fo(eine)e(Bele)n(gung)f(in)h Fn(jB)q(j)p Fo(,)191 1896 y(so)f(folgt)g(aus)h Fn(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)f Fr(\000[)p Fq(\021)r Fr(])j Fo(stets)h Fn(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)f Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fo(.)191 1976 y(Beweis.)22 b Fr(Induktion)575 1978 y(\177)574 1976 y(ub)q(er)16 b(Herleitungen.)p 1666 1949 V 1666 1974 2 26 v 1684 1974 V 1666 1976 19 2 v 191 2093 a Fd(Gegenmo)q(delle)191 2179 y Fr(Mit)e(Hilfe)h(des)g (Korrektheitssatzes)f(ist)g(es)g(einfac)o(h,)g(Gegenmo)q(delle)i(zu)f (\014nden,)f(aus)191 2236 y(denen)h(sic)o(h)f(die)g(Nic)o(h)o (t-Herleitbark)o(eit)i(in)e(der)g(Minimallogik)h(bzw.)f(in)g(der)g(in)o (tuitio-)191 2292 y(nistisc)o(hen)j(Logik)e(ergibt.)h(Un)o(ter)f(einer) h Fk(Beth)p Fo(-Struktur)h(f)1235 2294 y(\177)1235 2292 y(ur)g(die)f(intuitionistische)191 2348 y(L)n(o)n(gik)25 b Fr(v)o(erstehen)d(wir)g(eine)h Fk(Beth)p Fr(-Struktur)e Fn(B)k Fr(=)f(\()p Fq(M)r(;)8 b(I)1255 2355 y Fm(0)1274 2348 y Fq(;)g(I)1315 2355 y Fm(1)1334 2348 y Fr(\),)21 b(in)h(der)g Fn(?)g Fr(nic)o(h)o(t)191 2405 y(erzwungen)e(wird,)f(d.h.) g Fq(I)655 2412 y Fm(1)674 2405 y Fr(\()p Fn(?)p Fq(;)8 b(k)q Fr(\))18 b(=)i(0)e(f)920 2407 y(\177)919 2405 y(ur)h(alle)h Fq(k)q Fr(.)f(In)h Fk(Beth)p Fr(-Strukturen)f(f)1566 2407 y(\177)1565 2405 y(ur)g(die)191 2461 y(in)o(tuitionistisc)o(he)f (Logik)d(hab)q(en)h(wir)g(deshalb)600 2547 y Fq(k)e Fb(\015)e Fn(:)p Fq(A)26 b Fn(\()-8 b(\))27 b(8)p Fq(k)932 2528 y Fs(0)944 2547 y Fn(\027)p Fq(k)9 b(k)1037 2528 y Fs(0)1061 2547 y Fn(6)p Fb(\015)j Fq(A;)570 2616 y(k)i Fb(\015)e Fn(::)p Fq(A)26 b Fn(\()-8 b(\))27 b(8)p Fq(k)932 2597 y Fs(0)944 2616 y Fn(\027)p Fq(k)9 b(k)1037 2597 y Fs(0)1061 2616 y Fn(6)p Fb(\015)j Fn(:)p Fq(A)773 2685 y Fn(\()-8 b(\))27 b(8)p Fq(k)932 2666 y Fs(0)944 2685 y Fn(\027)p Fq(k)q Fn(9)p Fq(k)1054 2666 y Fs(00)1076 2685 y Fn(\027)p Fq(k)1136 2666 y Fs(0)1155 2685 y Fq(k)1180 2666 y Fs(00)1214 2685 y Fb(\015)13 b Fq(A:)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 262 274 a Fr(Als)19 b(Beispiel)j(zeigen)f(wir)e Fn(6`)769 281 y Fp(i)802 274 y Fn(::)p Fq(P)27 b Fn(!)20 b Fq(P)6 b Fr(.)19 b(Um)g(eine)i Fk(Beth)p Fr(-Struktur)e(zu)g(b)q(e-) 191 330 y(sc)o(hreib)q(en,)h(stellen)h(wir)f(den)f(zugrunde)i (liegenden)g(Baum)e(durc)o(h)h(ein)g(Diagramm)191 387 y(dar,)j(w)o(o)f(wir)h(neb)q(en)i(jeden)f(Knoten)g(die)g(Aussagensym)o (b)q(ole)g(sc)o(hreib)q(en,)g(die)g(in)191 443 y(diesem)d(Knoten)f (erzwungen)g(w)o(erden.)g(Man)f(b)q(etrac)o(h)o(te)g(die)i(durc)o(h)f (das)f(folgende)191 500 y(Diagramm)14 b(gegeb)q(ene)i Fk(Beth)p Fr(-Struktur.)837 817 y Fn(\017)807 807 y Fa(@)774 774 y(@)848 807 y(\000)882 774 y(\000)762 742 y Fn(\017)786 748 y Fq(P)912 742 y Fn(\017)882 732 y Fa(@)848 699 y(@)923 732 y(\000)956 699 y(\000)837 668 y Fn(\017)861 673 y Fq(P)987 668 y Fn(\017)956 657 y Fa(@)923 624 y(@)998 657 y(\000)1031 624 y(\000)912 593 y Fn(\017)935 598 y Fq(P)1061 593 y Fn(\017)1081 570 y Fq(:)1089 563 y(:)1096 555 y(:)191 903 y Fr(O\013en)o(bar)f(hab)q(en)h(wir)840 1000 y Fn(hi)c(6)p Fb(\015)g Fq(P)q(;)840 1069 y Fn(hi)g Fb(\015)g Fn(::)p Fq(P)q(:)191 1165 y Fr(Also)20 b(gilt)g Fn(hi)e(6)p Fb(\015)i Fn(::)p Fq(P)27 b Fn(!)20 b Fq(P)25 b Fr(und)20 b(deshalb)h Fn(6`)e(::)p Fq(P)27 b Fn(!)20 b Fq(P)6 b Fr(.)19 b(Da)g(o\013en)o(bar)g Fb(\015)g Ff(Efq)1656 1176 y Fp(R)191 1222 y Fr(f)206 1224 y(\177)205 1222 y(ur)e(jedes)h Fq(R)g Fr(gilt,)g(hab)q(en)g(wir)g(auc)o(h)g Fn(6`)885 1229 y Fp(i)915 1222 y Fn(::)p Fq(P)24 b Fn(!)17 b Fq(P)6 b Fr(.)18 b(Das)f(Mo)q(dell)h(zeigt)g(eb)q(enfalls)191 1278 y(die)i(Nic)o(h)o(t-Herleitbark)o(eit)g(der)f Fk(Peir)o(ce)p Fr(-F)l(ormel)g(\(\()p Fq(P)24 b Fn(!)19 b Fq(Q)p Fr(\))f Fn(!)h Fq(P)6 b Fr(\))19 b Fn(!)f Fq(P)26 b Fr(in)19 b(der)191 1335 y(in)o(tuitionistisc)o(hen)f(Logik.)191 1456 y Fe(1.3)56 b(V)-5 b(ollst)460 1458 y(\177)460 1456 y(andigk)n(eit)23 b(der)h(Minimallogik)e(und)j(der)f(in)n(tuitionisti-) 319 1514 y(sc)n(hen)19 b(Logik)191 1599 y Fr(Wir)c(zeigen)i(jetzt)d (die)j(Umk)o(ehrung)e(der)g(Korrektheitssatzes.)191 1689 y Fd(Satz)j(1.16.)23 b Fo(\(V)m(ol)r(lst)570 1691 y(\177)570 1689 y(andigkeit\).)c(Sei)i Fr(\000)15 b Fn([)f(f)p Fq(A)p Fn(g)22 b Fo(eine)f(F)m(ormelmenge.)g(Dann)g(sind)191 1745 y(folgende)16 b(A)o(ussagen)568 1747 y(\177)569 1745 y(aquivalent.)245 1834 y(1.)23 b Fr(\000)13 b Fn(`)f Fq(A)p Fo(.)245 1926 y(2.)23 b Fr(\000)13 b Fb(\015)f Fq(A)p Fo(,)k(d.h.)h(f)560 1928 y(\177)560 1926 y(ur)g(al)r(le)i Fk(Beth)p Fo(-Struktur)n(en)e Fn(B)q Fo(,)f(Knoten)g Fq(k)h Fo(und)g(Bele)n(gungen)d Fq(\021)711 2023 y Fn(B)q Fq(;)8 b(k)14 b Fb(\015)e Fr(\000[)p Fq(\021)r Fr(])24 b(=)-8 b Fn(\))27 b(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)f Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)191 2137 y Fo(Beweis.)22 b Fr(Eine)f(Ric)o(h)o(tung)g(ist)f(der)g(Korrektheitssatz.)f(F)1215 2139 y(\177)1214 2137 y(ur)g(die)i(andere)f(Ric)o(h)o(tung)191 2193 y(v)o(erw)o(enden)d(wir)g(einen)i(Ansatz)e(v)o(on)f(Harv)o(ey)h Fk(Friedman)h Fr(und)g(k)o(onstruieren)f(eine)191 2250 y Fk(Beth)p Fr(-Struktur)12 b Fn(B)i Fr(\()567 2252 y(\177)566 2250 y(ub)q(er)f(der)f(Menge)h Fq(T)913 2257 y Fm(01)962 2250 y Fr(aller)g(endlic)o(hen)i(0-1-F)l(olgen)e Fq(k)h Fr(geordnet)191 2306 y(durc)o(h)19 b(die)h(Anfangsst)598 2308 y(\177)597 2306 y(uc)o(k-Relation)g Fq(k)g Fn(\026)f Fq(k)989 2290 y Fs(0)1001 2306 y Fr(\))f(mit)h(der)g(Eigensc)o(haft,)g (da\031)f(\000)h Fn(`)g Fq(B)191 2365 y Fr(\177)191 2363 y(aquiv)m(alen)o(t)d(ist)g(zu)f Fn(B)q Fq(;)8 b Fn(hi)k Fb(\015)g Fq(B)r Fr([)p Ff(id)q Fr(].)262 2419 y(Zur)h(De\014nition)i (v)o(on)e Fn(B)i Fr(gehen)f(wir)g(aus)f(v)o(on)g(einer)i(Aufz)1255 2421 y(\177)1255 2419 y(ahlung)g Fq(A)1437 2426 y Fm(0)1457 2419 y Fq(;)8 b(A)1512 2426 y Fm(1)1531 2419 y Fq(;)g(A)1586 2426 y Fm(2)1605 2419 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)191 2476 y Fr(aller)22 b Fn(L)p Fr(-F)l(ormeln,)g(in)h(der)e(jede)i(F)l(ormel)e(unendlic)o(h)j (oft)d(v)o(ork)o(ommen)f(m)1522 2478 y(\177)1522 2476 y(oge;)h(wir)191 2532 y(\014xieren)16 b(auc)o(h)f(eine)i(Aufz)645 2534 y(\177)645 2532 y(ahlung)f Fq(x)820 2539 y Fm(0)840 2532 y Fq(;)8 b(x)887 2539 y Fm(1)905 2532 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)20 b Fr(aller)c(V)l(ariablen.)g(Sei)g(\000)d(=)1481 2498 y Fl(S)1519 2546 y Fp(n)1550 2532 y Fr(\000)1578 2539 y Fp(n)1617 2532 y Fr(mit)191 2589 y(endlic)o(hen)18 b(Mengen)d(\000)590 2596 y Fp(n)629 2589 y Fr(so)g(da\031)f(\000)798 2596 y Fp(n)835 2589 y Fn(\022)f Fr(\000)911 2596 y Fp(n)p Fm(+1)980 2589 y Fr(.)h(Jedem)i(Knoten)g Fq(k)e Fn(2)f Fq(T)1419 2596 y Fm(01)1471 2589 y Fr(ordnen)i(wir)191 2645 y(eine)20 b(endlic)o(he)g(Menge)f(\001)653 2652 y Fp(k)692 2645 y Fr(v)o(on)f(F)l(ormeln)h(zu,)f(durc)o(h)h(Induktion) 1383 2647 y(\177)1382 2645 y(ub)q(er)g(die)g(L)1594 2647 y(\177)1594 2645 y(ange)191 2702 y(v)o(on)c Fq(k)q Fr(.)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 262 274 a Fr(Sei)14 b(\001)371 283 y Fs(hi)413 274 y Fr(:=)f Fn(;)p Fr(.)f(Nehmen)i(wir)g(jetzt)f(an,)g(da\031)g(f) 1051 276 y(\177)1050 274 y(ur)g(einen)i(Knoten)f Fq(k)g Fr(mit)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))e(=)h Fq(n)191 330 y Fr(die)f(Menge)e(\001)438 337 y Fp(k)470 330 y Fr(sc)o(hon)h(de\014niert)g(ist.)g(\001)h Fn(`)915 337 y Fp(n)951 330 y Fq(B)h Fr(b)q(edeute,)f(da\031)e(es)h(eine)h (Herleitung)g(v)o(on)191 387 y Fq(B)18 b Fr(aus)d(\001)h(gibt)f(mit)h (L)583 389 y(\177)583 387 y(ange)g(\(:=)f(Gesam)o(tzahl)g(der)g(Sym)o (b)q(ole\))h Fn(\024)d Fq(n)p Fr(.)j(Wir)f(de\014nieren)191 443 y(\001)229 450 y Fp(k)q Fm(0)283 443 y Fr(und)h(\001)412 450 y Fp(k)q Fm(1)466 443 y Fr(wie)g(folgt.)262 500 y Fo(F)m(al)r(l)i Fr(1.)d(\000)435 507 y Fp(n)459 500 y Fq(;)8 b Fr(\001)518 507 y Fp(k)551 500 y Fn(6`)579 507 y Fp(n)615 500 y Fq(A)649 507 y Fp(n)672 500 y Fr(.)15 b(Dann)g(sei)562 597 y(\001)600 604 y Fp(k)q Fm(0)652 597 y Fr(:=)e(\001)751 604 y Fp(k)817 597 y Fr(und)46 b(\001)976 604 y Fp(k)q Fm(1)1028 597 y Fr(:=)12 b(\001)1126 604 y Fp(k)1158 597 y Fn([)e(f)p Fq(A)1255 604 y Fp(n)1279 597 y Fn(g)p Fq(:)262 694 y Fo(F)m(al)r(l)18 b Fr(2.)d(\000)435 701 y Fp(n)459 694 y Fq(;)8 b Fr(\001)518 701 y Fp(k)551 694 y Fn(`)579 701 y Fp(n)615 694 y Fq(A)649 701 y Fp(n)685 694 y Fr(=)13 b Fq(A)767 678 y Fs(0)767 706 y Fp(n)801 694 y Fn(_)831 678 y Fs(\003)861 694 y Fq(A)895 678 y Fs(0)o(0)895 706 y Fp(n)918 694 y Fr(.)i(Dann)g(sei)408 792 y(\001)446 799 y Fp(k)q Fm(0)497 792 y Fr(:=)e(\001)596 799 y Fp(k)627 792 y Fn([)e(f)p Fq(A)725 799 y Fp(n)748 792 y Fq(;)d(A)803 773 y Fs(0)803 803 y Fp(n)826 792 y Fn(g)45 b Fr(und)h(\001)1053 799 y Fp(k)q Fm(1)1105 792 y Fr(:=)12 b(\001)1203 799 y Fp(k)1235 792 y Fn([)e(f)p Fq(A)1332 799 y Fp(n)1355 792 y Fq(;)e(A)1410 773 y Fs(0)o(0)1410 803 y Fp(n)1433 792 y Fn(g)p Fq(:)262 889 y Fo(F)m(al)r(l)18 b Fr(3.)d(\000)435 896 y Fp(n)459 889 y Fq(;)8 b Fr(\001)518 896 y Fp(k)551 889 y Fn(`)579 896 y Fp(n)615 889 y Fq(A)649 896 y Fp(n)685 889 y Fr(=)13 b Fn(9)758 872 y Fs(\003)778 889 y Fq(xA)838 872 y Fs(0)838 900 y Fp(n)861 889 y Fr(.)i(Dann)g(sei) 554 986 y(\001)592 993 y Fp(k)q Fm(0)644 986 y Fr(:=)d(\001)742 993 y Fp(k)q Fm(1)794 986 y Fr(:=)g(\001)892 993 y Fp(k)924 986 y Fn([)e(f)p Fq(A)1021 993 y Fp(n)1044 986 y Fq(;)e(A)1099 967 y Fs(0)1099 997 y Fp(n)1122 986 y Fr([)p Fq(x)k Fr(:=)h Fq(x)1260 993 y Fp(i)1274 986 y Fr(])p Fn(g)p Fq(;)191 1083 y Fr(mit)i Fq(x)300 1090 y Fp(i)330 1083 y Fr(die)h(erste)f(V)l (ariable)21 b Fq(=)-28 b Fn(2)13 b Fr(FV\(\000)844 1090 y Fp(n)868 1083 y Fq(;)8 b(A)923 1090 y Fp(n)946 1083 y Fq(;)g Fr(\001)1005 1090 y Fp(k)1025 1083 y Fr(\).)262 1140 y Fo(F)m(al)r(l)22 b Fr(4.)17 b(\000)441 1147 y Fp(n)465 1140 y Fq(;)8 b Fr(\001)524 1147 y Fp(k)563 1140 y Fn(`)591 1147 y Fp(n)632 1140 y Fq(A)666 1147 y Fp(n)690 1140 y Fr(,)18 b(mit)g Fq(A)841 1147 y Fp(n)883 1140 y Fr(w)o(eder)h(Disjunktion)g(no)q(c)o(h)g(Existenzformel.)191 1196 y(Dann)c(sei)675 1253 y(\001)713 1260 y Fp(k)q Fm(0)765 1253 y Fr(:=)d(\001)863 1260 y Fp(k)q Fm(1)915 1253 y Fr(:=)h(\001)1014 1260 y Fp(k)1045 1253 y Fn([)d(f)p Fq(A)1142 1260 y Fp(n)1166 1253 y Fn(g)p Fq(:)262 1334 y Fr(O\013en)o(bar)15 b(impliziert)i Fq(k)d Fn(\026)f Fq(k)764 1317 y Fs(0)791 1334 y Fr(stets)h(\001)935 1341 y Fp(k)969 1334 y Fn(\022)f Fr(\001)1055 1341 y Fp(k)1074 1332 y Fj(0)1088 1334 y Fr(.)h(Man)h(b)q(eac)o(h)o(te)h(zun)1456 1336 y(\177)1456 1334 y(ac)o(hst,)f(da\031)590 1431 y Fn(8)p Fq(k)640 1412 y Fs(0)652 1431 y Fn(\027)687 1438 y Fp(n)711 1431 y Fq(k)9 b Fr(\000)p Fq(;)f Fr(\001)831 1439 y Fp(k)850 1429 y Fj(0)875 1431 y Fn(`)13 b Fq(B)28 b Fr(=)-8 b Fn(\))26 b Fr(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)1163 1438 y Fp(k)1196 1431 y Fn(`)13 b Fq(B)r(:)341 b Fr(\(1\))191 1528 y(Um)15 b(dies)h(zu)g(sehen,)f(gen)635 1530 y(\177)634 1528 y(ugt)g(es)h(zu)f(zeigen)473 1626 y(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)560 1633 y Fp(k)q Fm(0)611 1626 y Fn(`)k Fq(B)48 b Fr(und)e(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)941 1633 y Fp(k)q Fm(1)993 1626 y Fn(`)k Fq(B)28 b Fr(=)-8 b Fn(\))26 b Fr(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)1280 1633 y Fp(k)1314 1626 y Fn(`)k Fq(B)r(:)191 1723 y Fr(Dies)k(ist)f(klar)h(in)g(den)g(F)617 1725 y(\177)617 1723 y(allen)g(1)f(und)h(4,)e(und)i(f)1010 1725 y(\177)1009 1723 y(ur)g(die)g(F)1171 1725 y(\177)1171 1723 y(alle)g(2)f(und)h(3)f(folgt)g(es)g(leic)o(h)o(t)191 1779 y(aus)g(den)h(Sc)o(hemata)f Fn(_)594 1763 y Fs(\003\000)656 1779 y Fr(und)h Fn(9)772 1763 y Fs(\003\000)835 1779 y Fr(\(vgl.)f(Absc)o(hnitt)g(1.1\).)262 1836 y(Wir)g(zeigen)h(jetzt)587 1933 y(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)674 1940 y Fp(k)707 1933 y Fn(`)13 b Fq(B)28 b Fr(=)-8 b Fn(\))26 b(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)1010 1914 y Fs(0)1023 1933 y Fn(\027)1058 1940 y Fp(n)1082 1933 y Fq(k)8 b(B)16 b Fn(2)c Fr(\001)1244 1941 y Fp(k)1263 1931 y Fj(0)1277 1933 y Fq(:)337 b Fr(\(2\))191 2030 y(Um)10 b(dies)i(einzusehen,)g(w)628 2032 y(\177)628 2030 y(ahle)f(man)g(ein)g Fq(n)i Fn(\025)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))d(mit)h Fq(B)k Fr(=)e Fq(A)1287 2037 y Fp(n)1321 2030 y Fr(und)e(\000)1435 2037 y Fp(n)1459 2030 y Fq(;)d Fr(\001)1518 2037 y Fp(k)1551 2030 y Fn(`)1579 2037 y Fp(n)1615 2030 y Fq(A)1649 2037 y Fp(n)1673 2030 y Fr(.)191 2087 y(F)222 2089 y(\177)221 2087 y(ur)15 b(alle)h Fq(k)387 2070 y Fs(0)412 2087 y Fn(\027)d Fq(k)j Fr(mit)f Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)660 2070 y Fs(0)672 2087 y Fr(\))d(=)h Fq(n)e Fr(+)f(1)15 b(gilt)h(dann)f Fq(A)1099 2094 y Fp(n)1135 2087 y Fn(2)e Fr(\001)1216 2094 y Fp(k)1235 2085 y Fj(0)1264 2087 y Fr(\(vgl.)i(die)h(F)1472 2089 y(\177)1472 2087 y(alle)g(2-4\).)262 2143 y(Mit)f(Hilfe)h(der)g(Mengen)f(\001)744 2150 y Fp(k)781 2143 y Fr(k)805 2145 y(\177)805 2143 y(onnen)h(wir)f(jetzt)g(eine)i Fn(L)p Fr(-)p Fk(Beth)p Fr(-Struktur)e Fn(B)i Fr(de-)191 2200 y(\014nieren)g(als)e(\()p Ff(T)l(er)502 2207 y Fs(L)529 2200 y Fq(;)8 b(I)570 2207 y Fm(0)589 2200 y Fq(;)g(I)630 2207 y Fm(1)648 2200 y Fr(\))15 b(mit)h(den)f(k)m(anonisc)o(hen)i Fq(I)1123 2207 y Fm(0)1143 2200 y Fr(\()p Fq(f)5 b Fr(\))1203 2191 y Fq(~)1206 2200 y(t)12 b Fr(:=)h Fq(f)1319 2191 y(~)1322 2200 y(t)j Fr(und)646 2288 y Fq(~)649 2297 y(t)d Fn(2)g Fq(I)741 2304 y Fm(1)761 2297 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)q Fr(\))36 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b Fq(R)1080 2288 y(~)1083 2297 y(t)13 b Fn(2)g Fr(\001)1193 2304 y Fp(k)1214 2297 y Fq(:)191 2394 y Fr(O\013en)o(bar)i(ist)g Fq(t)457 2378 y Fs(B)484 2394 y Fr([)p Ff(id)p Fr(])d(=)h Fq(t)j Fr(f)651 2396 y(\177)650 2394 y(ur)f(alle)h Fn(L)p Fr(-T)l(erme)g Fq(t)p Fr(.)262 2451 y(Wir)f(zeigen)h(sc)o(hlie\031lic)o(h,)i(da\031) 647 2548 y(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)734 2555 y Fp(k)767 2548 y Fn(`)13 b Fq(B)28 b Fn(\()-8 b(\))26 b(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)g Fq(B)r Fr([)p Ff(id)q Fr(])p Fq(;)404 b Fr(\(3\))191 2645 y(und)15 b(zw)o(ar)e(durc)o(h)i(Induktion)724 2647 y(\177)722 2645 y(ub)q(er)g(die)g(logisc)o(he)g(Komplexit)1272 2647 y(\177)1272 2645 y(at)g(v)o(on)f Fq(B)r Fr(.)h(F)1508 2647 y(\177)1507 2645 y(ur)e Fn(B)q Fq(;)8 b(k)14 b Fb(\015)191 2702 y Fq(B)r Fr([)p Ff(id)q Fr(])g(sc)o(hreib)q(en)j(wir)f Fq(k)d Fb(\015)g Fq(B)r Fr(.)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 262 274 a Fo(F)m(al)r(l)18 b Fq(R)388 266 y(~)391 274 y(t)q Fr(.)c(Die)i(folgenden)g(Aussagen)g(sind)1019 276 y(\177)1019 274 y(aquiv)m(alen)o(t.)333 357 y(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)420 364 y Fp(k)453 357 y Fn(`)13 b Fq(R)526 349 y(~)529 357 y(t)333 432 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)435 413 y Fs(0)447 432 y Fn(\027)482 439 y Fp(n)506 432 y Fq(k)c(R)571 424 y(~)574 432 y(t)k Fn(2)g Fr(\001)684 440 y Fp(k)703 430 y Fj(0)823 432 y Fr(nac)o(h)j(\(2\))e(und)i(\(1\)) 333 506 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)435 488 y Fs(0)447 506 y Fn(\027)482 513 y Fp(n)506 506 y Fq(k)536 498 y(~)539 506 y(t)d Fn(2)g Fq(I)631 513 y Fm(1)651 506 y Fr(\()p Fq(R;)8 b(k)750 488 y Fs(0)760 506 y Fr(\))45 b(nac)o(h)16 b(De\014nition)g(v)o(on)f Fn(B)333 581 y Fq(k)f Fb(\015)e Fq(R)448 572 y(~)451 581 y(t)356 b Fr(nac)o(h)16 b(De\014nition)g(v)o (on)f Fb(\015)p Fr(,)g(da)g Fq(t)1368 564 y Fs(B)1394 581 y Fr([)p Ff(id)p Fr(])d(=)h Fq(t)p Fr(.)262 664 y Fo(F)m(al)r(l)20 b Fq(B)14 b Fn(_)436 648 y Fs(\003)467 664 y Fq(C)s 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Fn(`)13 b Fq(B)i Fn(!)e Fq(C)s Fr(.)262 2156 y(Im)i(F)l(all)h (\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)507 2164 y Fp(k)526 2154 y Fj(0)552 2156 y Fn(6`)580 2163 y Fp(n)615 2156 y Fq(A)649 2163 y Fp(n)688 2156 y Fr(hab)q(en)16 b(wir)g(nac)o(h)f(De\014nition)h(\001) 1258 2164 y Fp(k)1277 2154 y Fj(0)1289 2164 y Fm(1)1321 2156 y Fr(=)d(\001)1407 2164 y Fp(k)1426 2154 y Fj(0)1450 2156 y Fn([)d(f)p Fq(B)r Fn(g)p Fr(.)15 b(Dies)191 2213 y(liefert)h(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)408 2220 y Fp(k)427 2211 y Fj(0)438 2220 y Fm(1)471 2213 y Fn(`)k Fq(B)r Fr(,)k(also)f Fq(k)692 2196 y Fs(0)704 2213 y Fr(1)e Fb(\015)f Fq(B)18 b Fr(nac)o(h)e(IH,)f(also)g Fq(k)1139 2196 y Fs(0)1151 2213 y Fr(1)e Fb(\015)f Fq(C)18 b Fr(nac)o(h)e (Annahme,)f(also)191 2269 y(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)278 2277 y Fp(k)297 2267 y Fj(0)308 2277 y Fm(1)340 2269 y Fn(`)13 b Fq(C)j Fr(wieder)e(nac)o(h)f(IH.)g(W)l(egen)h(\001)936 2277 y Fp(k)955 2267 y Fj(0)966 2277 y Fm(1)998 2269 y Fr(=)f(\001)1084 2277 y Fp(k)1103 2267 y Fj(0)1123 2269 y Fn([)6 b(f)p Fq(B)r Fn(g)14 b Fr(folgt)e(\000)p Fq(;)c Fr(\001)1444 2277 y Fp(k)1463 2267 y Fj(0)1489 2269 y Fn(`)13 b Fq(B)i Fn(!)e Fq(C)s Fr(.)262 2325 y Fo(F)m(al)r(l)18 b Fn(8)p Fq(xB)r Fr(.)e(Die)g(folgenden)g(Aussagen)f (sind)1056 2327 y(\177)1056 2325 y(aquiv)m(alen)o(t.)220 2409 y(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)307 2416 y Fp(k)340 2409 y Fn(`)13 b(8)p Fq(xB)220 2478 y Fn(8)p Fq(t)p Fn(2)q Ff(T)l(er)356 2485 y Fs(L)389 2478 y Fr(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)476 2485 y Fp(k)510 2478 y Fn(`)k Fq(B)r Fr([)p Fq(x)h Fr(:=)g Fq(t)p Fr(])220 2547 y Fn(8)p Fq(t)p Fn(2)q Ff(T)l(er)356 2554 y Fs(L)389 2547 y Fq(k)h Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Fq(x)g Fr(:=)f Fq(t)p Fr(])123 b(nac)o(h)16 b(IH)220 2616 y Fn(8)p Fq(t)p Fn(2)q Ff(T)l(er)356 2623 y Fs(L)389 2616 y Fq(k)e Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Ff(id)556 2597 y Fp(t)556 2627 y(x)578 2616 y Fr(])182 b(nac)o(h)16 b(dem)f(Substitutionslemma,)h(da)g Fq(t)1481 2599 y Fs(B)1507 2616 y Fr([)p Ff(id)p Fr(])c(=)h Fq(t)p Fr(,)220 2685 y Fq(k)h Fb(\015)e Fn(8)p Fq(xB)385 b Fr(nac)o(h)16 b(De\014nition)g(v) o(on)f Fb(\015)p Fr(.)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 262 274 a Fo(F)m(al)r(l)15 b Fn(9)378 257 y Fs(\003)398 274 y Fq(xB)r Fr(.)d(Dies)g(ist)642 276 y(\177)642 274 y(ahnlic)o(h)h(zum)g(F)l(all)f Fn(_)1007 257 y Fs(\003)1027 274 y Fr(.)g(Im)g(einzelnen)i(v)o(erl)1384 276 y(\177)1384 274 y(auft)e(der)g(Bew)o(eis)191 330 y(wie)20 b(folgt.)e(=)-8 b Fn(\))p Fr(.)20 b(Gelte)f(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)714 337 y Fp(k)754 330 y Fn(`)19 b(9)826 314 y Fs(\003)846 330 y Fq(xB)r Fr(.)g(Man)g(w)1082 332 y(\177)1082 330 y(ahle)h Fq(n)f Fn(\025)h Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)q Fr(\))e(mit)i(\000) 1512 337 y Fp(n)1536 330 y Fq(;)8 b Fr(\001)1595 337 y Fp(k)1634 330 y Fn(`)1662 337 y Fp(n)191 387 y Fq(A)225 394 y Fp(n)261 387 y Fr(=)13 b Fn(9)334 370 y Fs(\003)354 387 y Fq(xB)r Fr(.)j(F)476 389 y(\177)475 387 y(ur)e(alle)j Fq(k)641 370 y Fs(0)665 387 y Fn(\027)c Fq(k)j Fr(mit)g Ff(lh)p Fr(\()p Fq(k)914 370 y Fs(0)926 387 y Fr(\))c(=)h Fq(n)i Fr(gilt)h(dann)547 487 y(\001)585 494 y Fp(k)604 485 y Fj(0)616 494 y Fm(0)648 487 y Fr(=)d(\001)734 494 y Fp(k)753 485 y Fj(0)764 494 y Fm(1)797 487 y Fr(=)g(\001)883 494 y Fp(k)914 487 y Fn([)d(f9)1002 468 y Fs(\003)1022 487 y Fq(xB)r(;)e(B)r Fr([)p Fq(x)13 b Fr(:=)g Fq(x)1280 494 y Fp(i)1294 487 y Fr(])p Fn(g)191 587 y Fr(mit)i Fq(x)300 594 y Fp(i)330 587 y Fr(nic)o(h)o(t)g(frei)h(in)g(\001)614 594 y Fp(k)645 587 y Fn([)11 b(f9)734 570 y Fs(\003)753 587 y Fq(xB)r Fn(g)p Fr(,)k(also)h(nac)o(h)f(IH)530 687 y Fq(k)555 668 y Fs(0)566 687 y Fr(0)e Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Fq(x)h Fr(:=)g Fq(x)822 694 y Fp(i)836 687 y Fr(])45 b(und)h Fq(k)1040 668 y Fs(0)1052 687 y Fr(1)12 b Fb(\015)h Fq(B)r Fr([)p Fq(x)g Fr(:=)f Fq(x)1307 694 y Fp(i)1321 687 y Fr(])p Fq(:)191 787 y Fr(Nac)o(h)j(De\014nition)i(impliziert)g (dies)f Fq(k)e Fb(\015)f Fn(9)923 770 y Fs(\003)943 787 y Fq(xB)r Fr(.)i Fn(\()-8 b Fr(=.)468 887 y Fq(k)13 b Fb(\015)g Fn(9)576 868 y Fs(\003)596 887 y Fq(xB)468 956 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)570 937 y Fs(0)582 956 y Fn(\027)617 963 y Fp(n)641 956 y Fq(k)q Fn(9)p Fq(t)p Fn(2)q Ff(T)l(er)802 963 y Fs(L)835 956 y Fq(k)860 937 y Fs(0)885 956 y Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Ff(id)1014 937 y Fp(t)1014 967 y(x)1036 956 y Fr(])468 1024 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)570 1006 y Fs(0)582 1024 y Fn(\027)617 1031 y Fp(n)641 1024 y Fq(k)q Fn(9)p Fq(t)p Fn(2)q Ff(T)l(er)802 1031 y Fs(L)835 1024 y Fq(k)860 1006 y Fs(0)885 1024 y Fb(\015)g Fq(B)r Fr([)p Fq(x)h Fr(:=)g Fq(t)p Fr(])468 1093 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)570 1075 y Fs(0)582 1093 y Fn(\027)617 1100 y Fp(n)641 1093 y Fq(k)q Fn(9)p Fq(t)p Fn(2)q Ff(T)l(er)802 1100 y Fs(L)835 1093 y Fr(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)922 1101 y Fp(k)941 1092 y Fj(0)967 1093 y Fn(`)13 b Fq(B)r Fr([)p Fq(x)g Fr(:=)f Fq(t)p Fr(])46 b(nac)o(h)15 b(IH)468 1162 y Fn(9)p Fq(n)p Fn(8)p Fq(k)570 1144 y Fs(0)582 1162 y Fn(\027)617 1169 y Fp(n)641 1162 y Fq(k)9 b Fr(\000)p Fq(;)f Fr(\001)761 1170 y Fp(k)780 1160 y Fj(0)805 1162 y Fn(`)13 b(9)871 1144 y Fs(\003)891 1162 y Fq(xB)468 1231 y Fr(\000)p Fq(;)8 b Fr(\001)555 1238 y Fp(k)588 1231 y Fn(`)k(9)653 1212 y Fs(\003)673 1231 y Fq(xB)498 b Fr(nac)o(h)15 b(\(1\))o(.)262 1331 y(Jetzt)10 b(k)395 1333 y(\177)395 1331 y(onnen)h(wir)f(den)h(Bew)o (eis)g(des)g(V)l(ollst)1010 1333 y(\177)1010 1331 y(andigk)o (eitssatzes)h(absc)o(hlie\031en.)f(Nac)o(h)191 1388 y(\(3\))i(hab)q(en) h(wir)g Fn(B)q Fq(;)8 b Fn(hi)k Fb(\015)g Fr(\000[)p Ff(id)q Fr(].)h(Nac)o(h)g(Annahme)i(impliziert)h(dies)e Fn(B)q Fq(;)8 b Fn(hi)k Fb(\015)g Fq(A)p Fr([)p Ff(id)p Fr(],)h(also)191 1444 y(\000)g Fn(`)f Fq(A)k Fr(wieder)g(nac)o(h)f (\(3\))o(.)p 1666 1417 19 2 v 1666 1442 2 26 v 1684 1442 V 1666 1444 19 2 v 262 1538 a(Als)g(ein)h(unmittelbares)g(Korollar)f (erhalten)h(wir)f(den)g(V)l(ollst)1334 1540 y(\177)1334 1538 y(andigk)o(eitssatz)h(f)1643 1540 y(\177)1642 1538 y(ur)191 1594 y(die)g(in)o(tuitionistisc)o(he)i(Logik.)191 1686 y Fd(Korollar)g(1.17.)k Fo(Sei)f Fr(\000)15 b Fn([)f(f)p Fq(A)p Fn(g)22 b Fo(eine)f(F)m(ormelmenge.)f(Die)i(folgenden)f(A)o (ussagen)191 1742 y(sind)288 1744 y(\177)289 1742 y(aquivalent.)245 1834 y(1.)i Fr(\000)13 b Fn(`)374 1841 y Fp(i)400 1834 y Fq(A)p Fo(.)245 1928 y(2.)23 b Fr(\000)p Fq(;)8 b Ff(Efq)16 b Fb(\015)g Fq(A)p Fo(,)j(d.h.)f(f)656 1930 y(\177)656 1928 y(ur)h(al)r(le)j Fk(Beth)p Fo(-Struktur)n(en)c Fn(B)i Fo(f)1231 1930 y(\177)1231 1928 y(ur)f(die)f(intuitionistische)305 1984 y(L)n(o)n(gik,)d(Knoten)g Fq(k)j Fo(und)e(Bele)n(gungen)f Fq(\021)711 2084 y Fn(B)q Fq(;)8 b(k)14 b Fb(\015)e Fr(\000[)p Fq(\021)r Fr(])24 b(=)-8 b Fn(\))27 b(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)f Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)p 1666 2057 V 1666 2082 2 26 v 1684 2082 V 1666 2084 19 2 v 191 2204 a Fe(1.4)56 b(V)-5 b(ollst)460 2206 y(\177)460 2204 y(andigk)n(eit)17 b(der)h(klassisc)n(hen)g(Logik)191 2290 y Fr(Wir)c(geb)q(en)h(jetzt)e(einen)i(Bew)o(eis)g(der)f(V)l(ollst) 970 2292 y(\177)970 2290 y(andigk)o(eit)h(der)f(klassisc)o(hen)i (Logik,)e(und)191 2346 y(zw)o(ar)g(un)o(ter)h(Zuhilfenahme)j(der)d(V)l (ollst)894 2348 y(\177)894 2346 y(andigk)o(eit)i(der)e(Minimallogik.) 262 2403 y(Zur)f(V)l(ereinfac)o(h)o(ung)i(zeigen)g(wir)f(zun)925 2405 y(\177)925 2403 y(ac)o(hst,)g(da\031)f(man)h(auf)g Fn(^)g Fr(v)o(erzic)o(h)o(ten)g(k)m(ann.)191 2495 y Fd(Lemma)i(1.18.)22 b Fo(\(Elimination)11 b(von)h Fn(^)p Fo(\).)g(F)958 2497 y(\177)958 2495 y(ur)g(je)n(de)g(F)m(ormel)f Fq(A)h Fo(in)g(der)g(auf)g Fn(f!)q Fq(;)c Fn(^)o Fq(;)g Fn(8g)191 2551 y Fo(aufgeb)n(auten)16 b(Spr)n(ache)g(\014ndet)g(man)g(F)m(ormeln)f Fq(A)1051 2558 y Fm(1)1070 2551 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)13 b(;)8 b(A)1214 2558 y Fp(n)1253 2551 y Fo(ohne)16 b Fn(^)g Fo(so)g(da\031)h Fn(`)12 b Fq(A)h Fn($)191 2573 y Fl(V)-28 b(V)239 2587 y Fp(n)239 2621 y(i)p Fm(=1)306 2608 y Fq(A)340 2615 y Fp(i)354 2608 y Fo(.)191 2700 y(Beweis.)22 b Fr(Induktion)575 2702 y(\177)574 2700 y(ub)q(er)16 b Fq(A)p Fr(.)p 1666 2672 V 1666 2698 2 26 v 1684 2698 V 1666 2700 19 2 v eop %%Page: 17 17 17 16 bop 191 274 a Fd(Satz)18 b(1.19.)23 b Fo(\(V)m(ol)r(lst)570 276 y(\177)570 274 y(andigkeit\).)13 b(Sei)h Fr(\000)9 b Fn([)g(f)p Fq(A)p Fn(g)15 b Fo(eine)g(Menge)f(von)h(F)m(ormeln)g (\(in)f(un-)191 330 y(ser)n(er)i(abz)367 332 y(\177)367 330 y(ahlb)n(ar)n(en)f(Spr)n(ache)h Fn(L)p Fo(\).)g(Die)h(folgenden)e (A)o(ussagen)g(sind)1382 332 y(\177)1382 330 y(aquivalent.)245 424 y(1.)23 b Fr(\000)13 b Fn(`)374 431 y Fp(c)403 424 y Fq(A)p Fo(.)245 518 y(2.)23 b Fr(\000)13 b Fn(j)-8 b Fr(=)13 b Fq(A)p Fo(,)j(d.h.)h(f)568 520 y(\177)568 518 y(ur)f(al)r(le)g(Struktur)n(en)g Fn(M)g Fo(and)h(Bele)n(gungen)d Fq(\021)k Fo(gilt)726 620 y Fn(M)12 b(j)-8 b Fr(=)13 b(\000[)p Fq(\021)r Fr(])24 b(=)-8 b Fn(\))27 b(M)12 b(j)-8 b Fr(=)13 b Fq(A)p Fr([)p Fq(\021)r Fr(])p Fq(:)191 741 y Fo(Beweis.)22 b Fr(Eine)f(Ric)o(h)o(tung)g(ist)f(der)g (Korrektheitssatz.)f(F)1215 743 y(\177)1214 741 y(ur)g(die)i(andere)f (Ric)o(h)o(tung)191 797 y(v)o(erw)o(enden)c(wir)f(den)h(V)l(ollst)692 799 y(\177)692 797 y(andigk)o(eitssatz)g(f)1001 799 y(\177)1000 797 y(ur)f(die)h(Minimallogik.)262 854 y(O\013en)o(bar)d(gen)516 856 y(\177)515 854 y(ugt)g(es,)g(F)l(ormeln)h(ohne)g Fn(_)971 837 y Fs(\003)991 854 y Fr(,)f Fn(9)1042 837 y Fs(\003)1075 854 y Fr(zu)h(b)q(etrac)o(h)o(ten,)f(und)h(\(nac)o(h)g (Lem-)191 910 y(ma)h(1.18\))e(auc)o(h)j(ohne)f Fn(^)p Fr(.)262 967 y(Gelte)j(\000)h Fn(6`)461 974 y Fp(c)496 967 y Fq(A)p Fr(,)f(d.h.)g(\000)p Fq(;)8 b Ff(Stab)19 b Fn(6`)f Fq(A)p Fr(.)g(Nac)o(h)h(dem)f(V)l(ollst)1254 969 y(\177)1254 967 y(andigk)o(eitssatz)i(f)1567 969 y(\177)1566 967 y(ur)e(die)191 1023 y(Minimallogik)i(hab)q(en)g(wir)e (eine)i(abz)854 1025 y(\177)854 1023 y(ahlbare)f Fk(Beth)p Fr(-Struktur)f Fn(B)h Fr(=)f(\()p Ff(T)l(er)1522 1030 y Fs(L)1548 1023 y Fq(;)8 b(I)1589 1030 y Fm(0)1608 1023 y Fq(;)g(I)1649 1030 y Fm(1)1668 1023 y Fr(\))192 1082 y(\177)191 1080 y(ub)q(er)20 b(dem)f(v)o(ollen)h(bin)599 1082 y(\177)599 1080 y(aren)g(Baum)f Fq(T)869 1087 y Fm(01)924 1080 y Fr(und)h(einen)g(Knoten)g Fq(l)1321 1087 y Fm(0)1359 1080 y Fr(mit)f Fq(l)1460 1087 y Fm(0)1498 1080 y Fb(\015)g Fr(\000)p Fq(;)8 b Ff(Stab)191 1136 y Fr(und)16 b Fq(l)296 1143 y Fm(0)328 1136 y Fn(6)p Fb(\015)c Fq(A)j Fr(\(wir)h(sc)o(hreib)q(en)g Fq(k)e Fb(\015)f Fq(B)18 b Fr(f)869 1138 y(\177)868 1136 y(ur)d Fn(B)q Fq(;)8 b(k)13 b Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Ff(id)q Fr(]\).)262 1193 y(Ein)k(Knoten)h Fq(k)g Fr(heisse)g Fo(konsistent)i Fr(w)o(enn)d Fq(k)f Fn(6)p Fb(\015)f Fn(?)p Fr(,)i(und)h Fo(stabil)j Fr(w)o(enn)c Fq(k)f Fb(\015)f Ff(Stab)q Fr(.)191 1249 y(Sei)k Fq(k)g Fr(ein)g(stabiler)g(Knoten)f (und)h Fq(B)i Fr(eine)e(F)l(ormel)f(\(ohne)g Fn(_)1264 1233 y Fs(\003)1284 1249 y Fq(;)8 b Fn(9)1330 1233 y Fs(\003)1349 1249 y Fr(\).)16 b(Wir)h(hab)q(en)h(die)191 1306 y(Stabilit)336 1308 y(\177)336 1306 y(at)e Ff(Stab)e Fn(`)e(::)p Fq(B)k Fn(!)d Fq(B)18 b Fr(nac)o(h)d(Lemma)h(1.2,)d(also)j Fq(k)d Fb(\015)g Fn(::)p Fq(B)j Fn(!)d Fq(B)r Fr(,)i(also)478 1408 y Fq(k)f Fn(6)p Fb(\015)e Fq(B)28 b Fn(\()-8 b(\))27 b Fq(k)14 b Fn(6)p Fb(\015)e Fn(::)p Fq(B)623 1477 y Fn(\()-8 b(\))27 b(9)p Fq(k)782 1458 y Fs(0)794 1477 y Fn(\027)p Fq(k)q(:k)892 1460 y Fs(0)919 1477 y Fr(k)o(onsisten)o(t)15 b(und)h Fq(k)1249 1460 y Fs(0)1273 1477 y Fb(\015)c Fn(:)p Fq(B)t(:)228 b Fr(\(4\))191 1579 y(Sei)16 b Fq(\013)g Fr(ein)g(Ast)f(im)g(zugrunde)h(liegende)i(Baum)d Fq(T)1064 1586 y Fm(01)1101 1579 y Fr(.)g(Wir)g(de\014nieren)725 1681 y Fq(\013)e Fb(\015)f Fq(A)38 b Fr(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(9)p Fq(k)q Fn(2)q Fq(\013)8 b(k)13 b Fb(\015)g Fq(A;)558 1750 y(\013)i Fr(is)h(k)o(onsisten)o(t)37 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b Fq(\013)13 b Fn(6)p Fb(\015)g Fn(?)p Fq(;)648 1819 y(\013)i Fr(is)h(stabil)38 b(:)p Fn(\()-8 b(\))39 b(9)p Fq(k)q Fn(2)q Fq(\013)8 b(k)13 b Fb(\015)g Ff(Stab)q Fq(:)191 1921 y Fr(Man)i(b)q(eac)o(h)o(te)559 2023 y(Aus)g Fq(\013)e Fb(\015)747 2011 y Fq(~)739 2023 y(A)i Fr(und)h Fn(`)928 2011 y Fq(~)919 2023 y(A)d Fn(!)g Fq(B)18 b Fr(folgt)d Fq(\013)e Fb(\015)f Fq(B)r Fr(.)310 b(\(5\))191 2134 y(Um)14 b(dies)i(zu)f(sehen,)g(nehmen)h(wir)e Fq(\013)f Fb(\015)906 2122 y Fq(~)898 2134 y(A)h Fr(an.)h(Dann)f(gilt)h Fq(k)f Fb(\015)1316 2122 y Fq(~)1308 2134 y(A)g Fr(f)1371 2136 y(\177)1370 2134 y(ur)h(ein)g Fq(k)f Fn(2)f Fq(\013)p Fr(,)h(da)191 2190 y Fq(\013)j Fr(linear)i(geordnet)d(ist.)h(W)l(egen)h Fn(`)833 2179 y Fq(~)824 2190 y(A)e Fn(!)g Fq(B)k Fr(liefert)e(der)g (Korrektheitssatz)e Fq(k)h Fb(\015)f Fq(B)r Fr(,)191 2246 y(d.h.)f Fq(\013)e Fb(\015)f Fq(B)r Fr(.)262 2303 y(Ein)19 b(Ast)f Fq(\013)g Fr(hei\031t)h Fo(generisch)i Fr(\(in)d(dem)h(Sinn,)g(da\031)f(er)g(ein)i(klassisc)o(hes)f(Mo)q(dell) 191 2359 y(erzeugt\))c(w)o(enn)g(er)g(k)o(onsisten)o(t)g(und)h(stabil)g (ist,)f(f)1058 2361 y(\177)1057 2359 y(ur)g(alle)i(F)l(ormeln)e Fq(B)j Fr(gilt)734 2461 y Fq(\013)13 b Fb(\015)f Fq(B)18 b Fr(o)q(der)d Fq(\013)e Fb(\015)g Fn(:)p Fq(B)r Fr(,)485 b(\(6\))191 2564 y(und)16 b(f)297 2566 y(\177)296 2564 y(ur)f(alle)h(F)l(ormeln)g Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)18 b Fr(\(w)o(ob)q(ei)d Fq(~)-23 b(y)17 b Fr(nic)o(h)o(t)f(leer)g(ist\))f (mit)g Fq(B)j Fr(k)o(eine)f(Allformel)569 2666 y Fn(8)n Fq(~)-21 b(s)p Fn(2)p Ff(T)l(er)709 2673 y Fs(L)743 2666 y Fq(\013)13 b Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)15 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(])25 b(=)-8 b Fn(\))26 b Fq(\013)13 b Fb(\015)g Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)322 b Fr(\(7\))p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 191 274 a Fr(Sc)o(hlie\031lic)o(h)23 b(de\014nieren)f(wir)e (f)728 276 y(\177)727 274 y(ur)g(einen)h(Ast)f Fq(\013)g Fr(eine)h(klassisc)o(he)g(Struktur)e Fn(M)1605 257 y Fp(\013)1650 274 y Fr(=)191 330 y(\()p Ff(T)l(er)272 337 y Fs(L)298 330 y Fq(;)8 b(I)339 337 y Fm(0)358 330 y Fq(;)g(I)403 314 y Fp(\013)399 343 y Fm(1)427 330 y Fr(\))15 b(durc)o(h)598 440 y Fq(I)622 421 y Fp(\013)618 451 y Fm(1)646 440 y Fr(\()p Fq(R)p Fr(\))d(:=)797 397 y Fl([)789 496 y Fp(k)q Fs(2)p Fp(\013)862 440 y Fq(I)882 447 y Fm(1)902 440 y Fr(\()p Fq(R;)c(k)q Fr(\))44 b(f)1078 442 y(\177)1077 440 y(ur)15 b Fq(R)e Fn(6)p Fr(=)g Fn(?)p Fr(.)262 584 y(Wir)k(zeigen,)h(da\031)f(f)610 586 y(\177)609 584 y(ur)g(jeden)h(generisc)o(hen)h(Ast)e Fq(\013)h Fr(und)g(jede)f(F)l (ormel)h Fq(B)i Fr(in)e(der)191 640 y(auf)d Fn(f!)p Fq(;)8 b Fn(8g)14 b Fr(aufbauenden)j(Sprac)o(he)e(gilt)712 742 y Fq(\013)e Fb(\015)f Fq(B)28 b Fn(\()-8 b(\))27 b(M)1025 724 y Fp(\013)1062 742 y Fn(j)-8 b Fr(=)13 b Fq(B)r(:)463 b Fr(\(8\))191 844 y(Der)15 b(Bew)o(eis)h(erfolgt)f(durc)o(h)g (Induktion)910 846 y(\177)909 844 y(ub)q(er)h(die)g(logisc)o(he)g (Komplexit)1462 846 y(\177)1462 844 y(at)g(v)o(on)f Fq(B)r Fr(.)262 901 y Fo(F)m(al)r(l)j Fq(R)388 893 y(~)391 901 y(t)q Fr(,)c Fq(R)f Fn(6)p Fr(=)g Fn(?)p Fr(.)i(Dann)g(gilt)h(die)g (Behauptung)g(f)1143 903 y(\177)1142 901 y(ur)f(alle)i Fq(\013)p Fr(.)262 957 y Fo(F)m(al)r(l)h Fn(?)p Fr(.)d(Es)g(gilt)h Fq(\013)d Fn(6)p Fb(\015)g Fn(?)i Fr(f)717 959 y(\177)716 957 y(ur)g(k)o(onsisten)o(tes)g Fq(\013)p Fr(.)262 1014 y Fo(F)m(al)r(l)k Fq(B)e Fn(!)d Fq(C)s Fr(.)h(=)-8 b Fn(\))p Fr(.)17 b(Gelte)f Fq(\013)e Fb(\015)g Fq(B)j Fn(!)d Fq(C)k Fr(und)f Fn(M)1153 997 y Fp(\013)1191 1014 y Fn(j)-8 b Fr(=)15 b Fq(B)r Fr(.)h(Wir)g(m)1443 1016 y(\177)1442 1014 y(ussen)g(zeigen)191 1070 y Fn(M)246 1054 y Fp(\013)293 1070 y Fn(j)-8 b Fr(=)23 b Fq(C)s Fr(.)d(Nun)i(ist)g Fq(\013)g Fb(\015)h Fq(B)h Fr(nac)o(h)d(IH,)g(also)h Fq(\013)g Fb(\015)h Fq(C)s Fr(,)d(also)i Fn(M)1390 1054 y Fp(\013)1437 1070 y Fn(j)-8 b Fr(=)23 b Fq(C)g Fr(wieder)191 1127 y(nac)o(h)18 b(IH.)g Fn(\()-8 b Fr(=.)19 b(Gelte)f Fn(M)665 1110 y Fp(\013)706 1127 y Fn(j)-8 b Fr(=)18 b Fq(B)i Fn(!)d Fq(C)s Fr(.)h(Gilt)g Fn(M)1098 1110 y Fp(\013)1140 1127 y Fn(j)-8 b Fr(=)17 b Fq(B)r Fr(,)h(so)g(ist)g Fn(M)1444 1110 y Fp(\013)1486 1127 y Fn(j)-8 b Fr(=)17 b Fq(C)s Fr(,)g(also)191 1183 y Fq(\013)d Fb(\015)f Fq(C)19 b Fr(nac)o(h)d(IH)g(und)g(deshalb)h Fq(\013)d Fb(\015)f Fq(B)k Fn(!)d Fq(C)s Fr(.)h(Gilt)h Fn(M)1174 1167 y Fp(\013)1212 1183 y Fn(6j)-8 b Fr(=)14 b Fq(B)r Fr(,)i(so)g(ist)f Fq(\013)f Fn(6)p Fb(\015)g Fq(B)k Fr(nac)o(h)191 1240 y(IH,)h(also)f Fq(\013)g Fb(\015)g Fn(:)p Fq(B)k Fr(nac)o(h)d(\(6\))e (und)i(deshalb)h Fq(\013)e Fb(\015)g Fq(B)j Fn(!)e Fq(C)s Fr(,)f(da)g Fq(\013)h Fr(stabil)g(ist)g(\(und)191 1296 y Fn(`)12 b Fr(\()p Fn(::)p Fq(C)k Fn(!)d Fq(C)s Fr(\))f Fn(!)h(?)g(!)g Fq(C)s Fr(\).)262 1353 y Fo(F)m(al)r(l)21 b Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)20 b Fr(\(w)o(ob)q(ei)d Fq(~)-22 b(y)19 b Fr(nic)o(h)o(t)f(leer)g(ist\))g(mit)f Fq(B)j Fr(k)o(eine)f(Allformel.)f(Die)g(folgenden)191 1409 y(Aussagen)d(sind) 488 1411 y(\177)488 1409 y(aquiv)m(alen)o(t.)583 1511 y Fq(\013)e Fb(\015)f Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)583 1580 y Fn(8)n Fq(~)i(s)p Fn(2)q Ff(T)l(er)723 1587 y Fs(L)757 1580 y Fq(\013)13 b Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)15 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(])103 b(nac)o(h)15 b(\(7\))583 1649 y Fn(8)n Fq(~)-21 b(s)p Fn(2)q Ff(T)l(er)723 1656 y Fs(L)757 1649 y Fn(M)812 1630 y Fp(\013)849 1649 y Fn(j)-8 b Fr(=)13 b Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)15 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(])45 b(nac)o(h)15 b(IH)583 1718 y Fn(M)638 1699 y Fp(\013)675 1718 y Fn(j)-8 b Fr(=)13 b Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)r(:)262 1820 y Fr(Wir)17 b(zeigen)h(sc)o (hlie\031lic)o(h,)i(da\031)d(es)g(f)882 1822 y(\177)881 1820 y(ur)h(jeden)g(k)o(onsisten)o(ten)f(stabilen)i(Knoten)e Fq(k)191 1876 y Fr(einen)j(generisc)o(hen)f(Ast)f(gibt,)g(der)g Fq(k)i Fr(en)o(th)966 1878 y(\177)966 1876 y(alt.)e(Zum)g(Bew)o(eis)g (sei)h Fq(A)1414 1883 y Fm(0)1434 1876 y Fq(;)8 b(A)1489 1883 y Fm(1)1508 1876 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)23 b Fr(eine)191 1933 y(Aufz)284 1935 y(\177)284 1933 y(ahlung)15 b(aller)f(F)l(ormeln.) f(Wir)h(de\014nieren)h(induktiv)g(eine)g(F)l(olge)e Fq(k)h Fr(=)f Fq(k)1514 1940 y Fm(0)1546 1933 y Fn(\026)g Fq(k)1618 1940 y Fm(1)1650 1933 y Fn(\026)191 1989 y Fq(k)215 1996 y Fm(2)242 1989 y Fq(:)8 b(:)g(:)22 b Fr(v)o(on)16 b(k)o(onsisten)o (ten)g(stabilen)i(Knoten.)e(Sei)h Fq(k)1110 1996 y Fm(0)1144 1989 y Fr(:=)d Fq(k)q Fr(.)i(Nehmen)h(wir)g(jetzt)f(an,)191 2046 y(da\031)i Fq(k)304 2053 y Fp(n)346 2046 y Fr(b)q(ereits)h(k)o (onstruiert)g(ist.)f(Wir)h(sc)o(hreib)q(en)h Fq(A)1146 2053 y Fp(n)1188 2046 y Fr(in)g(der)f(F)l(orm)f Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)21 b Fr(\(w)o(ob)q(ei)191 2102 y Fq(~)-23 b(y)23 b Fr(leer)f(sein)g(k)m(ann\))g(mit)f Fq(B)j Fr(k)o(eine)f (Allformel.)f(Im)g(F)l(all)g Fq(k)1242 2109 y Fp(n)1288 2102 y Fb(\015)g Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)24 b Fr(sei)e Fq(k)1546 2109 y Fp(n)p Fm(+1)1637 2102 y Fr(:=)191 2159 y Fq(k)215 2166 y Fp(n)238 2159 y Fr(.)d(Andernfalls)i(gilt)f Fq(k)626 2166 y Fp(n)669 2159 y Fn(6)p Fb(\015)f Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)22 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(])19 b(f)950 2161 y(\177)949 2159 y(ur)h(ein)f Fq(~)-22 b(s)q Fr(,)19 b(und)h(nac)o(h)f(\(4\))g(gibt)g(es)h(einen)191 2215 y(k)o(onsisten)o(ten)e(Knoten)h Fq(k)643 2199 y Fs(0)673 2215 y Fn(\027)f Fq(k)750 2222 y Fp(n)791 2215 y Fr(mit)g Fq(k)902 2199 y Fs(0)932 2215 y Fb(\015)g Fn(:)p Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)20 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(].)17 b(Sei)j Fq(k)1335 2222 y Fp(n)p Fm(+1)1421 2215 y Fr(:=)d Fq(k)1511 2199 y Fs(0)1523 2215 y Fr(.)h(W)l(egen)191 2272 y Fq(k)215 2279 y Fp(n)251 2272 y Fn(\026)13 b Fq(k)323 2279 y Fp(n)p Fm(+1)406 2272 y Fr(ist)i(auc)o(h)h Fq(k)601 2279 y Fp(n)p Fm(+1)684 2272 y Fr(stabil.)262 2328 y(Sei)22 b Fq(\013)j Fr(:=)e Fn(f)8 b Fq(l)24 b Fn(j)g(9)p Fq(n)8 b(l)24 b Fn(\026)g Fq(k)753 2335 y Fp(n)784 2328 y Fn(g)p Fr(,)d(also)h Fq(k)j Fn(2)f Fq(\013)p Fr(.)e(Wir)g(zeigen,)h(da\031)e Fq(\013)h Fr(generisc)o(h)191 2385 y(ist.)16 b(O\013en)o(bar)h(ist)g Fq(\013)g Fr(k)o(onsisten)o(t)f(und)i(stabil.)f(Die)g(Aussagen)g(\(6\)) f(und)h(\(7\))f(k)1567 2387 y(\177)1567 2385 y(onnen)191 2441 y(sim)o(ultan)j(b)q(ewiesen)g(w)o(erden.)f(Sei)i Fq(C)g Fr(=)e Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)20 b Fr(mit)f Fq(B)i Fr(k)o(eine)e(Allformel,)g(und)f(man)191 2497 y(w)224 2499 y(\177)224 2497 y(ahle)c Fq(n)g Fr(mit)g Fq(C)h Fr(=)e Fq(A)571 2504 y Fp(n)595 2497 y Fr(.)g(Im)g(F)l(all)i Fq(k)800 2504 y Fp(n)836 2497 y Fb(\015)d Fn(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)17 b Fr(ist)c(nic)o(h)o(ts)h(zu)g(zeigen.)h(Andernfalls)g(gilt) 191 2554 y Fq(k)215 2561 y Fp(n)251 2554 y Fn(6)p Fb(\015)d Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)15 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(])13 b(f)505 2556 y(\177)504 2554 y(ur)h(ein)f Fq(~)-21 b(s)p Fr(,)13 b(und)i(nac)o(h)f(Konstruktion)f Fq(k)1177 2561 y Fp(n)p Fm(+1)1258 2554 y Fb(\015)g Fn(:)p Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)15 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(].)13 b(F)1572 2556 y(\177)1571 2554 y(ur)g(\(6\))191 2610 y(erhalten)j(wir)f Fq(k)470 2617 y Fp(n)p Fm(+1)552 2610 y Fb(\015)d Fn(:8)p Fq(~)-23 b(y)s(B)18 b Fr(\(da)d Fn(`)d(8)p Fq(~)-23 b(y)r(B)16 b Fn(!)d Fq(B)r Fr([)p Fq(~)-23 b(y)15 b Fr(:=)c Fq(~)-21 b(s)p Fr(]\),)15 b(und)h(\(7\))e(ergibt)h(sic)o(h)h (aus)191 2667 y(der)f(Konsistenz)i(v)o(on)e Fq(\013)p Fr(.)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 262 274 a Fr(Wir)15 b(k)378 276 y(\177)378 274 y(onnen)h(jetzt)f(den)g(Bew)o(eis)h(des)g(V)l(ollst)1044 276 y(\177)1044 274 y(andigk)o(eitssatzes)g(absc)o(hlie\031en.)h(Da)191 330 y Fq(l)205 337 y Fm(0)243 330 y Fn(6)p Fb(\015)i Fq(A)g Fr(und)h Fq(l)457 337 y Fm(0)496 330 y Fr(stabil)g(ist,)e (liefert)j(\(4\))d(einen)i(k)o(onsisten)o(ten)g(Knoten)f Fq(k)h Fn(\027)g Fq(l)1579 337 y Fm(0)1617 330 y Fr(mit)191 387 y Fq(k)26 b Fb(\015)f Fn(:)p Fq(A)p Fr(.)e(O\013en)o(bar)g(ist)g (auc)o(h)f Fq(k)i Fr(stabil.)f(Nac)o(h)g(dem,)g(w)o(as)f(wir)h(eb)q(en) h(b)q(ewiesen)191 443 y(hab)q(en,)14 b(gibt)g(es)g(einen)h(generisc)o (hen)g(Ast)e Fq(\013)h Fr(mit)g Fq(k)g Fn(2)f Fq(\013)p Fr(.)g(W)l(egen)h Fq(k)g Fb(\015)e Fn(:)p Fq(A)i Fr(hab)q(en)h(wir)191 500 y Fq(\013)g Fb(\015)g Fn(:)p Fq(A)p Fr(,)h(also)h Fn(M)524 483 y Fp(\013)563 500 y Fn(j)-8 b Fr(=)15 b Fn(:)p Fq(A)i Fr(nac)o(h)g(\(8\))o(.)f(F)l(erner)g(gilt)h Fq(\013)f Fb(\015)e Fr(\000,)j(also)f Fn(M)1417 483 y Fp(\013)1456 500 y Fn(j)-8 b Fr(=)16 b(\000)g(wieder)191 556 y(nac)o(h)f(\(8\))o(.)g(Also)h(\000)d Fn(6j)-8 b Fr(=)13 b Fq(A)p Fr(.)p 1666 529 19 2 v 1666 555 2 26 v 1684 555 V 1666 557 19 2 v 262 650 a(Der)i(V)l(ollst)463 652 y(\177)463 650 y(andigk)o(eitssatz)i(hat)e(viele)i(wic)o(h)o(tige)f (Korollare;)g(wir)g(erw)1484 652 y(\177)1484 650 y(ahnen)g(n)o(ur)191 707 y(einige)h(da)o(v)o(on.)e(Eine)i(Menge)e(\000)i(v)o(on)e Fn(L)p Fr(-F)l(ormeln)i(heisse)f Fo(konsistent)j Fr(w)o(enn)d(\000)e Fn(6`)1607 714 y Fp(c)1637 707 y Fn(?)p Fr(,)191 763 y(und)i Fo(erf)336 765 y(\177)336 763 y(ul)r(lb)n(ar)21 b Fr(w)o(enn)16 b(es)f(eine)i Fn(L)p Fr(-Struktur)f Fn(M)f Fr(und)i(eine)g(Belegung)f Fq(\021)h Fr(in)g Fn(jMj)d Fr(gibt)191 819 y(mit)h Fn(M)d(j)-8 b Fr(=)14 b Fq(B)r Fr([)p Fq(\021)r Fr(])g(f)511 821 y(\177)510 819 y(ur)h(alle)h Fq(B)g Fn(2)d Fr(\000.)191 913 y Fd(Korollar)18 b(1.20.)k Fo(Sei)16 b Fr(\000)h Fo(eine)e(Menge)h(von)f Fn(L)p Fo(-F)m(ormeln.)245 1007 y(1.)23 b(Wenn)15 b Fr(\000)i Fo(konsistent)e(ist,)h(so)g(ist)f Fr(\000)i Fo(auch)g(erf)1103 1009 y(\177)1103 1007 y(ul)r(lb)n(ar.)245 1101 y(2.)23 b(\(Komp)n(aktheitssatz\).)12 b(Wenn)g(je)n(de)h(end)r(liche)f(T)m (eilmenge)g(von)g Fr(\000)i Fo(erf)1500 1103 y(\177)1500 1101 y(ul)r(lb)n(ar)f(ist,)305 1157 y(so)j(auch)h Fr(\000)p Fo(.)191 1251 y(Beweis.)22 b Fr(1.)17 b(Aus)i(\000)e Fn(6`)586 1258 y Fp(c)621 1251 y Fn(?)h Fr(erh)737 1253 y(\177)737 1251 y(alt)h(man)e(\000)h Fn(6j)-8 b Fr(=)18 b Fn(?)g Fr(nac)o(h)g(dem)h(V)l(ollst)1394 1253 y(\177)1394 1251 y(andigk)o(eitssatz,)191 1308 y(und)d(dies)g(impliziert)i(die)e (Erf)715 1310 y(\177)714 1308 y(ullbark)o(eit)g(v)o(on)f(\000.)262 1364 y(2.)i(Andernfalls)i(gilt)g(\000)f Fn(j)-8 b Fr(=)18 b Fn(?)p Fr(,)g(also)g(\000)f Fn(`)981 1371 y Fp(c)1016 1364 y Fn(?)h Fr(nac)o(h)g(dem)h(V)l(ollst)1394 1366 y(\177)1394 1364 y(andigk)o(eitssatz,)191 1421 y(also)h(auc)o(h)g(\000) 427 1428 y Fm(0)468 1421 y Fn(`)496 1428 y Fp(c)534 1421 y Fn(?)h Fr(f)605 1423 y(\177)604 1421 y(ur)f(eine)h(endlic)o(he)i(T)l (eilmenge)f(\000)1195 1428 y Fm(0)1236 1421 y Fn(\022)f Fr(\000,)f(also)g(\000)1477 1428 y Fm(0)1518 1421 y Fn(j)-8 b Fr(=)21 b Fn(?)g Fr(im)191 1477 y(Widerspruc)o(h)16 b(zu)g(unserer)f(Annahme,)h(da\031)f(\000)1012 1484 y Fm(0)1047 1477 y Fr(ein)h(Mo)q(dell)h(b)q(esitzt.)p 1666 1450 V 1666 1475 2 26 v 1684 1475 V 1666 1477 19 2 v 191 1571 a Fd(Korollar)h(1.21.)k Fo(\()7 b Fk(L)588 1569 y(\177)586 1571 y(owenheim)p Fo(,)12 b Fk(Sk)o(olem)p Fo(\).)g(Sei)f Fr(\000)i Fo(eine)e(Menge)g(von)h Fn(L)p Fo(-F)m(ormeln)191 1627 y(\(wir)i(hatten)g(angenommen,)f(da\031)i Fn(L)g Fo(abz)906 1629 y(\177)906 1627 y(ahlb)n(ar)f(ist\).)f(Ist)g Fr(\000)i Fo(erf)1295 1629 y(\177)1295 1627 y(ul)r(lb)n(ar,)f(so)f(ist) h Fr(\000)h Fo(auch)191 1684 y(erf)245 1686 y(\177)245 1684 y(ul)r(lb)n(ar)h(dur)n(ch)h(eine)f Fn(L)p Fo(-Struktur)h(mit)g (abz)968 1686 y(\177)968 1684 y(ahlb)n(ar)n(er)f(T)m(r)1190 1686 y(\177)1190 1684 y(agermenge.)191 1778 y(Beweis.)22 b Fr(Wir)17 b(v)o(erw)o(enden)h(den)g(Bew)o(eis)f(des)h(V)l(ollst)1117 1780 y(\177)1117 1778 y(andigk)o(eitssatzes)g(mit)f Fq(A)f Fr(=)g Fn(?)p Fr(.)191 1834 y(Er)22 b(liefert)h(en)o(t)o(w)o(eder)e (\000)k Fn(`)677 1841 y Fp(c)718 1834 y Fn(?)d Fr(o)q(der)g(ab)q(er)h (ein)g(Mo)q(dell)g(v)o(on)f(\000)15 b Fn([)g(f:?g)p Fr(,)22 b(dessen)191 1890 y(T)l(r)238 1892 y(\177)238 1890 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(\\Programm)d(mit)i(hinreic)o(hend)j(vielen)f(Kom-)191 2417 y(men)o(taren")10 b(anzusehen.)i(Genauer)f(gilt,)g(da\031)f(aus)h (einem)h(v)o(ollst)1294 2419 y(\177)1294 2417 y(andig)f(formalisierten) 191 2474 y(Bew)o(eis)k(ein)h(Programm)e(extrahierbar)h(ist,)f(das)h (jedenfalls)h(k)o(eine)g(Denkfehler)g(o)q(der)191 2530 y(v)o(ergessenen)k(F)471 2532 y(\177)471 2530 y(alle)g(mehr)f(en)o(th) 765 2532 y(\177)765 2530 y(alt.)g(Man)g(k)m(ann)h(ho\013en,)f(da\031)g (sic)o(h)h(die)g(mathema-)191 2587 y(tisc)o(he)e(Bew)o(eiskultur)h(so)e (zum)h(Organisieren)g(k)o(omplexer)g(Strukturen)g(v)o(erw)o(enden)191 2643 y(l)203 2645 y(\177)203 2643 y(a\031t,)f(da\031)g(sic)o(h)h(ansc)o (hlie\031end)h(durc)o(h)f(Programmextraktion)d(n)1331 2645 y(\177)1330 2643 y(utzlic)o(he)k(und)f(auc)o(h)191 2700 y(praktisc)o(he)e(v)o(erw)o(ertbare)e(Programme)h(aus)g(en)o (tsprec)o(henden)i(Bew)o(eisen)g(gewinnen)p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 191 274 a Fr(lassen.)12 b(Als)h(Beispiele)h(k)o(ommen)e(et)o (w)o(a)f(Steuerprogramme)g(im)i(Anlagen)o(bau)f(o)q(der)g(in)191 330 y(der)i(T)l(elek)o(omm)o(unik)m(ation)h(in)g(F)l(rage.)e(Erste)g (Ans)1052 332 y(\177)1052 330 y(atze)h(dazu)g(gibt)g(es)g(b)q(ereits,)h (jedo)q(c)o(h)191 387 y(ist)i(das)g(Gebiet)g(erst)g(am)f(Anfang)h (seiner)h(En)o(t)o(wic)o(klung.)f(Einige)i(Ein)o(w)1464 389 y(\177)1464 387 y(ande)e(gegen)191 443 y(eine)f(derartige)g(Vision) g(sollen)g(kurz)g(b)q(espro)q(c)o(hen)g(w)o(erden.)247 534 y(1.)22 b(Eine)16 b(Algorithm)o(us-Idee)h(ist)e(sc)o(hon)g Fo(vor)21 b Fr(einem)16 b(k)o(onstruktiv)o(en)f(Bew)o(eis)h(v)o(or-)305 591 y(handen.)247 684 y(2.)22 b(Die)12 b(Komplexit)591 686 y(\177)591 684 y(at)h(des)g(extrahierten)f(Programms)f(sc)o (hlie\031t)i(seine)g(praktisc)o(he)305 740 y(An)o(w)o(endung)i(aus.)247 833 y(3.)22 b(Klassisc)o(he)12 b(Bew)o(eise)f(sind)h(nac)o(h)f(wie)g(v) o(or)f(der)h(Standard;)f(in)o(wiew)o(eit)i(sind)g(auc)o(h)305 889 y(sie)j(zur)h(Programmextraktion)d(v)o(erw)o(endbar?)191 980 y(Hierauf)j(k)m(ann)g(man)f(et)o(w)o(a)f(folgendes)i(erwidern.)247 1071 y(1.)22 b(Die)14 b(Gewinn)o(ung)h(eines)g(Programms)d(aus)i(einem) h(k)o(onstruktiv)o(en)e(Bew)o(eis)i(hat)305 1128 y(den)20 b(V)l(orteil,)h(da\031)f(die)h(Anpassung)g(des)f(Programms)f(an)h(v)o (er)1429 1130 y(\177)1429 1128 y(anderte)g(o)q(der)305 1184 y(sp)q(ezialisierte)e(Ausgangssituationen)f(und)f(auc)o(h)g (allgemeiner)i(die)f(W)l(artung)305 1241 y(des)f(Programms)e(leic)o(h)o (ter)j(m)826 1243 y(\177)826 1241 y(oglic)o(h)f(ist;)g(insb)q(esondere) h(die)g(W)l(artung)e(mac)o(h)o(t)305 1297 y(heutzutage)g(einen)i(b)q (etr)738 1299 y(\177)738 1297 y(ac)o(h)o(tlic)o(hen)f(T)l(eil)h(der)e (Kosten)h(aus.)247 1390 y(2.)22 b(Neuere)13 b(Studien)h(k)o(onzen)o (trieren)g(sic)o(h)f(darauf,)f(Bew)o(eissysteme)i(mit)f(geeignet)305 1446 y(eingesc)o(hr)485 1448 y(\177)485 1446 y(ankte)h(T)l(ermsystemen) g(und)g(damit)g(\(via)f(der)h(sogenann)o(ten)g(Curry-)305 1503 y(Ho)o(w)o(ard)19 b(Korresp)q(ondenz\))j(Bew)o(eissysteme)f(zu)h (k)o(onstruieren,)f(f)1486 1505 y(\177)1485 1503 y(ur)f(die)i(die)305 1559 y(extrahierten)11 b(Programme)e(in)j(p)q(olynomialer)g(Zeit)g(ihr) f(Ergebnis)h(liefern.)g(Hier)305 1616 y(sind)k(in)g(erster)e(Linie)j (zu)f(nennen)g(die)g(Arb)q(eiten)h(v)o(on)d Fk(Leiv)l(ant)h Fr([16)o(,)g(15)o(])g(und)305 1672 y Fk(Hofmann)g Fr([11)o(],)f(so)o (wie)h(auc)o(h)h([10)o(])e(und)i([2].)247 1765 y(3.)22 b(Dieser)15 b(Punkt)g(soll)i(im)e(n)753 1767 y(\177)753 1765 y(ac)o(hsten)h(Absc)o(hnitt)f(b)q(espro)q(c)o(hen)i(w)o(erden.)191 1907 y Fg(3)67 b(Programme)22 b(aus)g(klassisc)n(hen)h(Bew)n(eisen)191 2009 y Fr(Es)15 b(ist)h(seit)f(langem)h(b)q(ek)m(ann)o(t,)g(da\031)f (man)g(zu)h(jedem)g(Bew)o(eis)g(v)o(on)f Fn(8)p Fq(x)p Fn(9)p Fq(y)r(A)p Fr(\()p Fq(x;)8 b(y)r Fr(\))14 b(mit)191 2065 y Fq(A)p Fr(\()p Fq(x;)8 b(y)r Fr(\))i(quan)o(torenfrei)i(einen)h (Bew)o(eis)g(v)o(on)e Fn(8)p Fq(x)p Fn(9)1038 2049 y Fs(\003)1058 2065 y Fq(y)r(A)p Fr(\()p Fq(x;)d(y)r Fr(\))i(k)o (onstruieren)i(k)m(ann,)g(also)191 2122 y(der)h(en)o(tsprec)o(henden)h (Existenzaussage)f(mit)g(dem)g(stark)o(en)f(Existenzquan)o(tor.)g(Eine) 191 2178 y(Metho)q(de)j(zum)f(Bew)o(eis)h(ist)g(die)g(sogenann)o(te)f Fk(Friedman)p Fr(sc)o(he)i Fq(A)p Fr(-)1363 2169 y(\177)1357 2178 y(Ub)q(ersetzung)f(aus)191 2235 y([7)o(],)g(die)h(sp)383 2237 y(\177)383 2235 y(ater)f(v)o(on)g Fk(Leiv)l(ant)g Fr([14)o(])g(v)o(erfeinert)h(und)g(erw)o(eitert)f(wurde.)h(Aus)f(einem) 191 2291 y(Bew)o(eis)21 b(v)o(on)g Fn(8)p Fq(x)p Fn(9)514 2275 y Fs(\003)534 2291 y Fq(y)r(A)p Fr(\()p Fq(x;)8 b(y)r Fr(\))19 b(k)m(ann)j(man)e(dann)i(ein)f(Programm)f(zur)h(Berec)o (hn)o(ung)191 2348 y(eines)g Fq(y)g Fr(in)f(Abh)491 2350 y(\177)491 2348 y(angigk)o(eit)h(v)o(on)e Fq(x)g Fr(extrahieren)h (\(Realisierbark)o(eit\).)h(Als)f Fo(Beispiel)191 2404 y Fr(b)q(etrac)o(h)o(ten)13 b(wir)g(folgendes)h(Problem.)f(Gegeb)q(en)h (seien)g(Zahlenfolgen)g Fq(f)r(;)8 b(g)f Fr(:)14 b Fc(N)e Fn(!)h Fc(N)p Fr(.)191 2460 y(Gesuc)o(h)o(t)j(sind)h(Indizes)h Fq(i)c(<)h(j)k Fr(so,)c(da\031)h Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(i)p Fr(\))14 b Fn(\024)h Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(j)s Fr(\))15 b(und)i Fq(g)r Fr(\()p Fq(i)p Fr(\))c Fn(\024)i Fq(g)r Fr(\()p Fq(j)s Fr(\))f(gelten,)i(also)191 2517 y(b)q(eide)h(F)l(olgen)e (gleic)o(hzeitig)j(aufsteigen.)d(Seien)i(et)o(w)o(a)560 2616 y Fq(f)10 b Fr(:)15 b(1)g(2)f(1)h(4)g(3)g(2)g(1)g(8)g(7)g(6)f(5)h (4)g(3)g(2)g(1)g(16)22 b Fq(:)8 b(:)g(:)564 2685 y(g)f Fr(:)14 b(4)h(3)f(3)h(2)g(2)g(2)g(2)g(1)g(1)g(1)f(1)h(1)g(1)g(1)g(1)g (0)22 b Fq(:)8 b(:)g(:)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 191 274 a Fr(o)q(der)15 b(allgemein)615 376 y(teeth\(2)757 357 y Fp(n)790 376 y Fr(+)c Fq(i)p Fr(\))h(:=)g(2)965 357 y Fp(n)998 376 y Fn(\000)f Fq(i)45 b Fr(\()p Fq(i)12 b(<)h Fr(2)1222 360 y Fp(n)1245 376 y Fr(\))613 445 y(slo)o(w)699 452 y Fp(b)716 445 y Fr(\(2)757 426 y Fp(n)790 445 y Fr(+)e Fq(i)p Fr(\))h(:=)g Fq(b)986 438 y Fr(_)974 445 y Fn(\000)h Fq(n)46 b Fr(\()p Fq(i)12 b(<)h Fr(2)1212 429 y Fp(n)1235 445 y Fr(\))191 547 y(Einen)23 b(Bew)o(eis)g(der)g (Existenz)g(solc)o(her)f(Indizes)i Fq(i;)8 b(j)23 b Fr(k)m(ann)g(man)f (mit)h(dem)f(Mini-)191 604 y(m)o(umprinzip,)15 b(also)f(klassisc)o(h)h (f)745 606 y(\177)744 604 y(uhren.)g(Er)e(liefert)i Fo(kein)i Fr(Berec)o(hn)o(ungsv)o(erfahren,)d(da)191 660 y(das)21 b(Minim)o(um)h(einer)g(unen)o(tsc)o(heidbaren)h(Menge)e(gebildet)i (wird.)e(F)1455 662 y(\177)1454 660 y(ur)g(ein)1597 662 y(\177)1597 660 y(ahn-)191 716 y(lic)o(hes)i(Beispiel)g(hat)e Fk(Mur)m(thy)h Fr([17)o(])f(eine)h(Programmextraktion)e(mit)h(Hilfe)i (v)o(on)191 773 y Fk(Friedman)p Fr(s)h Fq(A)p Fr(-)504 763 y(\177)498 773 y(Ub)q(ersetzung)g(durc)o(hgef)939 775 y(\177)938 773 y(uhrt.)f(Allerdings)j(w)o(ar)c(das)h(extrahierte) 191 829 y(Programm)12 b(mehrere)h(Megab)o(yte)g(gro\031;)e(o\013en)o (bar)i(sind)h(also)f(V)l(erfeinerungen)i(dieser)191 886 y(Metho)q(dologie)k(not)o(w)o(endig.)f(Da\031)f(dies)j(in)f(der)f(T)l (at)g(m)1166 888 y(\177)1166 886 y(oglic)o(h)h(ist,)g(hat)e(sic)o(h)j (erst)d(in)191 942 y(j)206 944 y(\177)205 942 y(ungster)e(Zeit)g (herausgestellt)h(\(s.)f(et)o(w)o(a)f([3)o(,)h(4,)f(5]\).)262 999 y(Ein)k(w)o(eiteres)g(in)o(teressan)o(tes)g(Beispiel)i(der)f (Programmextraktion)d(aus)h(klassi-)191 1055 y(sc)o(hen)f(Bew)o(eisen)g (liefert)g(das)f Fk(Dickson)p Fo(sche)g(L)n(emma)s Fr(:)g(F)1212 1057 y(\177)1211 1055 y(ur)g(alle)h Fq(k)q(;)8 b(`)341 1185 y Fn(8)p Fq(f)388 1192 y Fm(1)409 1185 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)t(;)g(f) 532 1192 y Fp(k)553 1185 y Fn(9)p Fq(i)594 1192 y Fm(0)614 1185 y Fq(;)g(:)g(:)g(:)d(;)j(i)732 1192 y Fp(`)762 1151 y Fl(V)-27 b(V)755 1227 y Fp(n<`)825 1185 y Fq(:i)854 1192 y Fp(n)890 1185 y Fq(<)13 b(i)954 1192 y Fp(n)p Fm(+1)1032 1185 y Fn(^)1101 1141 y Fp(k)1086 1151 y Fl(V)-27 b(V)1073 1225 y Fp(m)p Fm(=1)1156 1185 y Fq(f)1178 1192 y Fp(m)1212 1185 y Fr(\()p Fq(i)1246 1192 y Fp(n)1269 1185 y Fr(\))12 b Fn(\024)h Fq(f)1369 1192 y Fp(m)1403 1185 y Fr(\()p Fq(i)1437 1192 y Fp(n)p Fm(+1)1505 1185 y Fr(\))p Fq(:)262 1315 y Fr(Wir)h(f)368 1317 y(\177)367 1315 y(uhren)i(den)f(Bew)o(eis)h(mit)f(Hilfe)h(des)f(Minim)o (umprinzips)j(bzgl.)d(einer)h(Ma\031-)191 1371 y(funktion.)f Fq(Q)e Fn(\022)g Fc(N)h Fr(hei\031e)i Fo(unb)n(eschr)818 1373 y(\177)818 1371 y(ankt)p Fr(,)e(w)o(enn)h Fn(8)p Fq(x)p Fn(9)p Fq(y)r(:Q)p Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))10 b Fn(^)g Fq(x)j(<)g(y)r Fr(.)191 1465 y Fd(Lemma)k(3.1.)22 b Fo(Sei)15 b Fq(Q)h Fo(unb)n(eschr)780 1467 y(\177)780 1465 y(ankt)f(und)h Fq(f)10 b Fr(:)1039 1453 y(\026)1029 1465 y Fq(Q)j Fn(\023)g Fq(Q)f Fn(!)h Fc(N)p Fo(.)i(Dann)g(ist)g(die)h(Menge)191 1521 y Fq(Q)227 1528 y Fp(f)266 1521 y Fo(der)g(linken)f Fq(f)5 b Fo(-Minima)16 b(bzgl.)g Fq(Q)g Fo(unb)n(eschr)1021 1523 y(\177)1021 1521 y(ankt.)439 1624 y Fq(Q)475 1631 y Fp(f)498 1624 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))c(:=)g Fq(Q)p Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))e Fn(^)g(8)p Fq(y)r(:Q)p Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))i Fn(!)h Fq(x)f(<)h(y)i Fn(!)e Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))12 b Fn(\024)h Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))p Fq(:)191 1726 y Fo(Beweis.)22 b Fr(Gegeb)q(en)17 b(sei)h Fq(x)p Fr(.)e(Gesuc)o(h)o(t)g(ist)h(ein)h Fq(y)g Fr(mit)f Fq(Q)1151 1733 y Fp(f)1174 1726 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))e(und)j Fq(x)d(<)g(y)r Fr(.)h(Das)g(Mini-)191 1782 y(m)o(umprinzip)h(f)460 1784 y(\177)459 1782 y(ur)e Fn(f)8 b Fq(y)14 b Fn(j)e Fq(Q)p Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))d Fn(^)i Fq(x)h(<)h(y)d Fn(g)15 b Fr(mit)g(Ma\031)f Fq(f)21 b Fr(liefert)429 1884 y(\()p Fn(9)p Fq(y)r(:Q)p Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))9 b Fn(^)h Fq(x)j(<)g(y)r Fr(\))f Fn(!)447 1953 y(9)p Fq(y)r(:Q)p Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))d Fn(^)h Fq(x)j(<)g(y)f Fn(^)e(8)p Fq(z)r(:Q)p Fr(\()p Fq(z)r Fr(\))g Fn(^)g Fq(x)j(<)g(z)i Fn(!)e Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))12 b Fn(\024)h Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(z)r Fr(\))p Fq(:)191 2055 y Fr(Da)19 b Fq(Q)h Fr(un)o(b)q(esc)o(hr)499 2057 y(\177)499 2055 y(ankt)h(ist,)f(gilt)g(die)h(Pr)903 2057 y(\177)903 2055 y(amisse.)f(Wir)g(zeigen,)h(da\031)e(das)h Fq(y)i Fr(aus)e(der)191 2112 y(Konklusion)d Fq(Q)466 2119 y Fp(f)488 2112 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))e(erf)616 2114 y(\177)615 2112 y(ullt,)h(d.h.)540 2214 y Fq(Q)p Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))10 b Fn(^)g(8)p Fq(z)r(:Q)p Fr(\()p Fq(z)r Fr(\))i Fn(!)h Fq(y)i(<)e(z)i Fn(!)e Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))12 b Fn(\024)h Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(z)r Fr(\))p Fq(:)191 2316 y Fr(Sei)21 b Fq(z)g Fr(mit)f Fq(Q)p Fr(\()p Fq(z)r Fr(\))f(und)h Fq(y)i(<)f(z)g Fr(gegeb)q(en.)f (Aus)g Fq(x)g(<)h(y)g Fr(folgt)e Fq(x)h(<)h(z)r Fr(,)e(also)h Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))19 b Fn(\024)191 2372 y Fq(f)5 b Fr(\()p Fq(z)r Fr(\).)p 1666 2345 19 2 v 1666 2371 2 26 v 1684 2371 V 1666 2373 19 2 v 191 2466 a Fd(Lemma)17 b(3.2.)22 b Fo(Sei)h Fq(Q)f Fo(unb)n(eschr)794 2468 y(\177)794 2466 y(ankt,)g Fq(f)937 2473 y Fm(1)957 2466 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)d(;)j(f)1081 2473 y Fp(k)1107 2466 y Fr(:)1148 2455 y(\026)1137 2466 y Fq(Q)25 b Fn(!)g Fc(N)p Fo(.)c(Dann)i(gibt)g (es)f(ein)191 2523 y(unb)n(eschr)363 2525 y(\177)363 2523 y(anktes)15 b Fq(Q)539 2530 y Fm(1)571 2523 y Fn(\022)e Fq(Q)j Fo(so)g(da\031)h Fq(f)838 2530 y Fm(1)858 2523 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)d(;)j(f)982 2530 y Fp(k)1019 2523 y Fo(auf)17 b Fq(Q)1133 2530 y Fm(1)1169 2523 y Fo(wachsen:)487 2652 y Fq(Q)523 2659 y Fm(1)542 2652 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))10 b Fn(^)g Fq(Q)690 2659 y Fm(1)710 2652 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))f Fn(^)i Fq(x)h(<)h(y)i Fn(!)1029 2609 y Fp(k)1015 2618 y Fl(V)-28 b(V)1001 2692 y Fp(m)p Fm(=1)1085 2652 y Fq(f)1107 2659 y Fp(m)1140 2652 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))12 b Fn(\024)h Fq(f)1284 2659 y Fp(m)1318 2652 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))p Fq(:)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 191 274 a Fo(Beweis.)22 b Fr(Induktion)578 276 y(\177)577 274 y(ub)q(er)c Fq(k)q Fr(.)g Fq(k)h Fr(=)e(1:)h(Sei)h Fq(Q)1001 281 y Fm(2)1038 274 y Fr(:=)e Fq(Q)p Fr(.)h Fq(k)g Fn(\025)g Fr(2:)f(Sei)j Fq(Q)1431 281 y Fm(2)1468 274 y Fn(\022)d Fq(Q)h Fr(un)o(b)q(e-)191 330 y(sc)o(hr)271 332 y(\177)271 330 y(ankt)c(s.d.)h Fq(f)481 337 y Fm(2)501 330 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)d(;)j(f)625 337 y Fp(k)660 330 y Fr(auf)15 b Fq(Q)g Fr(w)o(ac)o(hsen)g(\(IH)g(f)1063 332 y(\177)1062 330 y(ur)f Fq(f)1141 337 y Fm(2)1161 330 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)d(;)j(f)1285 337 y Fp(k)1306 330 y Fr(\).)14 b(Sei)i Fq(Q)1460 337 y Fm(1)1492 330 y Fr(:=)f(Menge)191 387 y(der)g(link)o(en)i Fq(f)425 394 y Fm(1)445 387 y Fr(-Minima)f(bzgl.)g Fq(Q)773 394 y Fm(2)792 387 y Fr(:)406 489 y Fq(Q)442 496 y Fm(1)462 489 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))c(:=)g Fq(Q)632 496 y Fm(2)652 489 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))d Fn(^)i(8)p Fq(y)r(:Q)862 496 y Fm(2)881 489 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))h Fn(!)h Fq(x)g(<)g(y)h Fn(!)f Fq(f)1214 496 y Fm(1)1234 489 y Fr(\()p Fq(x)p Fr(\))f Fn(\024)h Fq(f)1378 496 y Fm(1)1398 489 y Fr(\()p Fq(y)r Fr(\))p Fq(:)191 591 y Fr(Nac)o(h)h(dem)g(ersten)g(Lemma)f(ist)h Fq(Q)794 598 y Fm(1)827 591 y Fn(\022)f Fq(Q)911 598 y Fm(2)944 591 y Fr(un)o(b)q(esc)o(hr)1119 593 y(\177)1119 591 y(ankt.)h(Auf)g Fq(Q)1359 598 y Fm(1)1392 591 y Fr(w)1425 593 y(\177)1425 591 y(ac)o(hst)f Fq(f)1563 598 y Fm(1)1583 591 y Fr(,)h(und)191 648 y(w)o(egen)h Fq(Q)362 655 y Fm(1)394 648 y Fn(\022)e Fq(Q)478 655 y Fm(2)513 648 y Fr(auc)o(h)i Fq(f)642 655 y Fm(2)662 648 y Fq(;)8 b(:)g(:)g(:)d(;)j (f)786 655 y Fp(k)807 648 y Fr(.)p 1666 620 19 2 v 1666 646 2 26 v 1684 646 V 1666 648 19 2 v 262 741 a(Aus)i(diesem)i (klassisc)o(hen)g(Bew)o(eis)f(l)877 743 y(\177)877 741 y(a\031t)f(sic)o(h)i(folgendes)f(Programm)e(extrahieren.)191 798 y(\010\()p Fq(f)c Fr(\(0\))k(+)h(1\)\(0\),)k(mit)h(\010)5 b(:)14 b Fq(\023)f Fn(!)g Fq(\023)g Fn(!)g Fq(\023)d Fn(\002)h Fq(\023)k Fr(de\014niert)h(durc)o(h)436 900 y(\010\(0\)\()p Fq(i)p Fr(\))11 b(=)i Ff(dummy)o Fq(;)33 b Fr(\010\()p Fq(k)q Fr(+1\)\()p Fq(i)p Fr(\))11 b(=)i(\011\()p Fq(g)r Fr(\()p Fq(i)p Fr(\)+)o(1)p Fq(;)8 b(i;)g Fr(\010\()p Fq(k)p Fr(\)\))191 1002 y(\011)d(:)15 b Fq(\023)e Fn(!)g Fq(\023)g Fn(!)g Fr(\()p Fq(\023)f Fn(!)h Fq(\023)d Fn(\002)h Fq(\023)p Fr(\))h Fn(!)h Fq(\023)d Fn(\002)h Fq(\023)p Fr(:)363 1104 y(\011\(0)p Fq(;)d(i;)g(h)p Fr(\))i(=)j Ff(dummy)p Fq(;)32 b Fr(\011\()p Fq(`)p Fr(+)q(1)p Fq(;)8 b(i;)g(h)p Fr(\))i(=)j(\004)1106 1111 y Fp(`;i;h)1175 1104 y Fr(\()p 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