÷ƒ’Ą;č TeX output 1998.01.07:1145‹’’’’ ŃiŌ ż"E ĆŻ» ża"E‘9óóX«Q cmr12¹Martin‘źØSc¬rhottenloher’5«3.9.1997ŽŸIæä’”G°óĀÖN įH cmbx12»ProgrammŽŸŻ6’’WŪóX«Q ff cmr12¼des–³/Seminars“1997/98ŽŸ$§’…Į~󛻈@įH cmti12½Morse{The‘žĮˆorieŽŸ7óꍑ9óóĀÖN  cmbx12¾V‘žąorb`emerkungen:ޤ€”‘9ó¹Das–ńSeminar“orienš¬rtiert“sic˜h“in“erster“Linie“an“[Mi1];‘ SeitenangabSŽen“und“sonstigeŽ”Hin•¬rw“eise–žĪohne“spšSŽezielle“Zitate“b˜eziehen“sic¬rh“immer“auf“diese“V‘’Vorlesungsausarb˜eitung.Ž”‘9óJeder–…Seminarteilnehmer“sollte“vš¬rorab“die“drei“Seiten“der“󛻈@ cmti12æIntr–’ffo“duction‘…¹grSŽ‘łĢvundlic˜hŽ”studiert–ˆąund“vš¬rerstanden“hab•SŽen.‘ˆDar“‘łĢvub“erhinaus–ˆąist“grunds‘ś atzlic˜h“ein“rudimen˜t‘ś aresŽ”Wissen‘„R‘łĢvubšSŽer–QÄdi erenzierbare“Mannigfaltigk¬reiten“n‘ś otig.‘n3F˜‘łĢvur“fast“alle“V‘’Vortr‘ś age“wirdŽ”auerdem–ēŪder“Begri “des“CW-Komplexes“v¬rorausgesetzt:‘7zDie“Begri e“æCW-KomplexŽ”¹und–ćzæsimplizialer‘,œKomplex‘Ųѹsollten“daher“ebšSŽenfalls“b˜ek‘’Xäann¬rt“sein.‘6{Informationen‘7‘łĢvub˜erŽ”die–:QHomologiegruppSŽen“ó·įg£ cmmi12ĀHŸĢĢó×2cmmi8ĆkŽ‘#’¹(ĀM‘™Č;‘’žRJ¹)“w¬rerden“in“der“V‘’Vorlesung“æA³2lgebr–’ffaische‘g½T‘’™op“olo“gieŽ”¹bSŽereitgestellt.Ž©¹ó‘9óDie–¦V›’Vortr‘ś age“sollen“frei“gehalten“w¬rerden.‘l—Der“W˜ert“instruktiv¬rer“Beispiele“k‘’XäannŽ”nic•¬rh“t‘>6‘łĢvubSŽersc“h‘ś atzt‘źØw“erden.ަ‘9ó¾Zeit–€und“Ort:‘8ą¹Mo–źØ14-16,“E6ޤ0Ā‘9ó¾Erster‘€V‘žąortrag:–8ą¹17.“No•¬rv“em“bSŽer‘źØ1997Ž”‘9ó¾Ac• h“tung!‘T‘žąerminč‘łXanderung:Ž”‘.˜‚¹No¬rv./‘õWDez.:‘8ąMi‘ß’18-20ŽŸ€‘.˜‚Jan./F‘’Vebr.:‘8ąMo‘źØ18-20Ž”‘9ójew¬reils–źØim“H‘ś orsaal“E6.ŽŽŸ’ŅuM1ŽŽŒ‹* ŃiŌ ż"E ĆŻ» ża"E‘vC0ó&ĀÖN ff cmbx12ŃDie–ffV‘ž¦fortrć3‘ų4age“im“einzelnen:ŽŸ)¹ó‘9ó¹Die–źØgrundlegenden“V‘’Vortr‘ś age:ŽŸ$VŃ1Ž‘LĖMorse{F‘ž¦funktionen–ffund“Morse{LemmaŽ©b#ó(߆µTff cmtt12Ó(Sebastian‘hõPetersen)ޤ€”‘9ó¹Dieser–õ’einfSŽ‘łĢvuhrende“und“fundamenš¬rtale“V‘’Vortrag“orien˜tiert“sic˜h“an“den“zw˜eiten“P˜ara-Ž”graphen–ˆ[(S.“4{9).‘łDabšSŽei“soll“v•¬rorw“eg‘ˆ[ausf˜‘łĢvuhrlic“h–ˆ[auf“die“Sc•¬rhreib“w“eise›ˆ[v“on˜T‘’Vangen-Ž”tialvš¬rektoren–rin“Mannigfaltigk˜eiten“eingegangen“w˜erden“(siehe“auc˜h“[BJ,“La,‘HdNa]).Ž”Zum›»]Ein•SŽ‘łĢvub“en˜bzw.‘Ŗ’Wiederholen˜wird˜der˜Begri ˜einer˜Riemannsc¬rhen˜Metrik˜aufŽ”einer–¤ödi erenzierbaren“Mannigfaltigkš¬reit“dargestellt“un˜ter“Einsc˜hlu“der“Besc˜hrei-Ž”bung–Įin“lok‘’Xäalen“KoSŽordinaten,‘78des“Begri s“des“Gradien¬rten“(vgl.‘ ½lS.“12)“und“derŽ”F‘’Vrage–0Łnacš¬rh“der“Existenz“v˜on“Riemannsc˜hen“Metrik˜en.‘ rEin“genereller“V‘’Vergleic˜h“desŽ”eigen•¬rtlic“hen–(ØThemas“des“Pš¬raragraphen“mit“[MC]‘(˜ist“wSŽ‘łĢvunsc˜hensw˜ert.‘ņß(Man“bSŽeac˜h˜te:Ž”æMorse-F›’™unktion–Ię=“Non{De–’ffgener“ate‘IęF˜unction¹)–XViele“ansc•¬rhaulic“he–XBeispiele“(mit“in-Ž”struktivš¬ren–ÖļBildern“et˜w˜a“wie“S.“8/9,‘abSŽer“auc˜h“zu“Metrik˜en)“sollen“den“V‘’Vortrag“abrun-Ž”den.‘hĮInsbSŽesondere–śžwird“die“auf“dem“n-dimensionalen“k•¬romplex{pro‘§jektiv“en‘śžRaumŽ”gegebSŽene‘źØF‘’VunktionŽŸīņ‘xŲĀf‘G’¹(ĀzŸĢĢó|{Ycmr8Ą0Ž–V¹:›URĀzŸĢĢĄ1Ž“¹:˜ĀzŸĢĢĄ2Ž“¹:˜Ā:::˜¹:˜ĀzŸĢĢĆnŽ‘ØP¹)˜:=˜Ÿō™–óś±u cmex10ČXŽŽŽ‘ŖØĀcŸĢĢĆjŽ–f ó!",š cmsy10ÅjĀzŸĢĢĆjŽ“ÅjŽŸŸ¹auf–Ā]kritiscš¬rhe“Punkte“und“Index“un˜tersuc˜h˜t“(S.“27).‘ĄDie“dort“angesproSŽc˜henen“F‘’Vol-Ž”gerungen–źØfšSŽ‘łĢvur“den“pro‘§jektiv¬ren“Raum“k‘ś onnen“b˜ereits“angespro˜cš¬rhen“w˜erden.ŽŸ&ķōŃ2Ž‘LĖMorse{F‘ž¦funktionen–t“und“der“Homotopie{TšŒĢyp“v˜on“Mannig-ŽŸ‘LĖfaltigkŒĢeiten‘ffIަÓ(Tamara‘hõH‘ų— ocherl)Ž””‘9ó¹Bereits–¼Vin“diesem“V‘’Vortrag“kš¬rommen“wir“zur“Hauptsac˜he!‘ ­źDiese“v˜erstec˜kt“sic˜hŽ”zun‘ś acš¬rhst–Ä­in“den“tec˜hnisc˜hen“Satz“3.1.›ĘīBeispiele“dazu!˜Der“Bew¬reis“des“Satzes“sollŽ”ausfSŽ‘łĢvuhrlicš¬rh–dAdargestellt“w˜erden“|“un˜ter“v˜orangehender“Diskussion“v˜on“Einparame-Ž”tergruppSŽen–d—(S.10/11).‘¦­Als“An•¬rw“endung:‘,¾Satz›d—v“on˜Reeb˜(4.1).–¦­(Es˜k‘’Xäann˜evtl.“auc¬rhŽ”auf–—Ķdie“Bemerkungen“auf“Seite“24“eingegangen“wš¬rerden.)‘BIm“Ansc˜hlu“daran“soll“dieŽ”Prozedur–Ždes“æA³2nf&g‘łŁ–ugens–`'von“k-Zel‘™™len–޹grSŽ‘łĢvundlicš¬rh“dargestellt“w˜erden;‘4mit“elemen˜tarenŽ”und›Żansc•¬rhaulic“hen˜Beispielen,‘2insbSŽesondere˜un“ter˜Einsc“hlu˜der˜inhaltlic“hen˜V‘’Vorstel-Ž”lung,‘^zwie–GPder“k•¬romplex-pro‘§jektiv“e–GPn-dimensionale“Raum“durcš¬rh“sukzessiv˜es“AnfSŽ‘łĢvugenŽ”vš¬ron–g„2k-Zellen“an“einen“Punkt“en˜tsteh˜t“(1–URÅ“Āk‘¼oÅ“Ān¹).› )Dazu–g„3.6“und“3.7.˜Ohne“Bew¬reisŽ”wird–‹¶dann“der“Hauptsatz“3.5“vš¬rorgestellt“und“an“Beispielen“illustriert,‘ž³u.a.‘:durc˜h“dieŽ”Homotopie{Aussage–źØS.“27.ŽŽŸ’ŅuM2ŽŽŒ‹( ŃiŌ ż"E ĆŻ» ża"EŃ3Ž‘LĖMorse{F‘ž¦funktionen–t“und“der“Homotopie{TšŒĢyp“v˜on“Mannig-ŽŸ‘LĖfaltigkŒĢeiten‘ffIs3IŽ©b#Ó(Peter‘hõSchachner)ޤ€”‘9ó¹Jetzt–Ų™wird“der“Hauptsatz“3.5“bSŽewiesen:‘ÆŁMittels“der“Lemmata“3.6“und“3.7“zun‘ś ac¬rhstŽ”durc•¬rh‘ģ¼RšSŽ‘łĢvuc“kf˜‘łĢvuhrung–ģ¼auf“den“Satz“3.2.‘?Dieser“Satz“3.2“wird“dann“im“w•¬resen“tlic“henŽ”durcš¬rh–.weine“An˜w˜endung“des“bšSŽereits“b˜ewiesenen“Satzes“3.1“gezeigt.‘LAuf“die“in“P¬rara-Ž”graph–Ss3“vš¬rerstreuten“Bemerkungen“mit“Literaturhin˜w˜eisen“soll“nac˜h“M‘ś oglic˜hk˜eitŽ”eingegangen–źØwš¬rerden.‘8ąWie“und“w˜o“ ndet“man“die“Resultate“in“[MC]?ŽŸ&ķōŃ4Ž‘LĖDie–ffExistenz“vŒĢon“Morse{F‘ž¦funktionenަÓ(Niko‘hõNaumann)Ž””‘9ó¹Bewš¬reis–Œ„der“Existenz“einer“Morse{F‘’Vunktion“auf“einer“di erenzierbaren“Un˜terman-Ž”nigfaltigkš¬reit–Z4des“n-dimensionalen“Zahlenraumes“(S.“32{38,‘vsiehe“auc˜h“[MC]).“DazuŽ”mš¬ru–Š~der“Satz“v˜on“Sard“grSŽ‘łĢvundlic˜h“v˜orgestellt“und“diskutiert“w˜erden“(et˜w˜a“nac˜h“[BJ]Ž”ošSŽder–]~[Na])Ÿū„2ó¾KČ cmsy8ĘŽŽ‘Ą¹.‘ ‘bW‘’Veiterhin“soll“der“Ein¬rb˜ettungssatz“vš¬ron“Whitney“v˜orgestellt“w˜erdenŽ”(ohne–,«Bew¬reis,‘=+vgl.›žčV‘’Vortrag“5).˜An•¬rw“endungen:‘¼åJede›,«parak“ompakte˜di erenzierbareŽ”Mannigfaltigkš¬reit–)ņ(des“n-dimensionalen“Zahlenraumes)“hat“den“Homotopie-T˜yp“einesŽ”CW-Komplexes;‘üéEulercš¬rharakteristik–”~und“V‘’VektorbSŽ‘łĢvundel.‘]aAbsc˜hlieend:‘¦ŒIndex-SatzŽ”fšSŽ‘łĢvur–źØĀLŸĢĢĆpŽ‘Ē]¹,“auc¬rh“als“V‘’Vorb˜ereitung“v¬ron“V‘’Vortrag“7“und“gegeb˜enenfalls“V‘’Vortrag“8.ŽŸ&ķōŃ5Ž‘LĖDie–ffSć3‘ų4atze“vŒĢon“Sard“und“WhitneyަÓ(N.N.)Ž””‘9ó¹Beginn:‘bźSatz‘S;‘łĢvubSŽer–’­implizite“Abbildungen,–īUmkš¬rehrsatz,“Satz–’­v˜om“Rang“im“Kon-Ž”text–hvš¬ron“di erenzierbaren“Mannigfaltigk˜eiten“(siehe“z.B.“[BJ,“La,‘+XNa]).‘ŌBew˜eis“desŽ”Satzes–VYvš¬rom“Rang,‘tdes“Satzes“v˜on“Sard“(siehe“auc˜h“[Mi2])“und“des“Ein˜bSŽettungssatzesŽ”vš¬ron–ĆWhitney“(nic˜h˜t“n˜ur“in“[BJ]).“F‘’Volgerung“fSŽ‘łĢvur“die“Existenz“v˜on“Morse{F‘’VunktionenŽ”auf–źØeiner“allgemeinen“di erenzierbaren“parakš¬rompakten“Mannigfaltigk˜eit.ŽŸ"j¶‘9óW–’VeiterfSŽ‘łĢvuhrende‘źØV“ortr‘ś age:ŽŸ&ķōŃ6Ž‘LĖDie‘ffMorse{Ungleic•ŒĢh“ungenަÓ(Christian‘hõVoigt)Ž””‘9ó¹Die›9ńMorse{Ungleic•¬rh“ungen˜in˜der˜ursprSŽ‘łĢvunglic“hen˜F‘’Vassung˜liefern˜zun‘ś ac“hst˜w“enigerŽ”als–[±der“Hauptsatz“aus“V›’Vortrag“2/3.‘‹üDer“V˜ortrag“bSŽeginnn¬rt“mit“einer“WiederholungŽŸ 33‰ffŖ¶ÄŸ ‘ gŸü^’ó O!ā…cmsy7·ŽŽŽ‘óKń`y cmr10²Ein–OBewšøćeis“des“Satzes“v˜on“Sard“sollte“erw˜ogen“w˜erden,‘ƒw˜enn“der“V‘’*Ŗortrag“5“nic˜h˜t“zustandeŽŸ k•øćomm“t.ŽŽŸ’ŅuM¹3ŽŽŒ‹Q ŃiŌ ż"E ĆŻ» ża"E¹zur–ĪyHomologie,‘GninsbSŽesondere“mit“einer“kurzen“Darstellung“der“exakten“Homolo-ޤ€giesequenz–T8fšSŽ‘łĢvur“die“Homologiegrupp˜en“ĀHŸĢĢĆkŽ›#’¹(ĀX‘ńƒ¹;‘’žĀRJ¹)“und“ĀHŸĢĢĆkŽ˜¹(ĀXJg;–’žY‘œp¹;“ĀRJ¹)–T8fSŽ‘łĢvur“ĀY‘ńĀÅ2‘URĀX‘ńƒ¹.‘»Dann:Ž”Morse{Ungleic•¬rh“ungen–•Óin“sc•¬rh“w“ac“her–•Óund“starkš¬rer“F‘’Vorm“(P˜aragraph“5),‘¦ŹAn˜w˜endungenŽ”auf–ByBetti{Zahlen“und“noSŽcš¬rh“einmal“ein“Blic˜k“auf“den“k˜omplex-pro‘§jektiv˜en“Raum.Ž”Nacš¬rh–ÓCdiesen“Grundlagen:‘-.Neuer“Bew˜eis“mit“Hilfe“der“SupSŽersymmetrie“nac˜h“WittenŽ”[Wi].‘8ąAusblic•¬rk;›źØPh“ysik˜in˜der˜ær‘’ffeinen˜¹Mathematik?Ž©&ķōŃ7Ž‘LĖTheorem–ffvšŒĢon“Lefsc˜hetzŽŸb#Ó(Robert‘hõFischer)Ž””‘9ó¹Zu–Ä?Beginn“des“V‘’Vortrags“mš¬ru“auf“den“Begri “der“k˜omplexen“Mannigfaltigk˜eitŽ”eingegangen–“wš¬rerden“(siehe“z.B.“[GH,“La,‘¤—Na])“un˜ter“Ein˜bSŽezieh˜ung“einiger“relev‘’Xäan˜terŽ”Beispiele,‘ō"insbSŽesondere–ņ=einmal“mehr“das“Beispiel“des“k•¬romplex-pro‘§jektiv“en‘ņ=Raumes.Ž”Danacš¬rh–ŽŠl‘ś at“sic˜h“Satz“7.2“bSŽew˜eisen“als“eine“V‘’VorbšSŽereitung“f˜‘łĢvur“den“Bew¬reis“des“Hyp˜er-Ž”ebSŽenen•¬rtheorems›*v“on˜Lefsc“hetz˜(7.3).‘÷%Im˜Bew“eis˜zu˜7.3˜wird˜einiges˜an˜Homologie{Ž”Theorie–āßbSŽen›ś otigt,‘ ģv¬ror“allem“der“Dualit˜atssatz“vš¬ron“Lefsc˜hetz“(siehe“z.B.“[Sp]).‘!„ImŽ”V‘’Vortrag–§k›’Xäann“auf“die“deRham{Ink˜arnation“der“Kohomologie“|“und“damit“der“Ho-Ž”mologie–Umit“den“reellen“ošSŽder“k¬romplexen“Zahlen“als“Ko˜ezenš¬rten“|“eingegangen“w˜er-Ž”den–ĪŚ(vgl.‘/›[BT]).“Damit“l‘ś at“sicš¬rh“die“P˜oincar˜‘śs’e-Dualit‘ś at“als“SpSŽezialfall“der“Lefsc˜hetz-Ž”Dualit–ś at›åČerkl“aren˜und˜sc•¬rhlielic“h˜die˜Lefsc“hetz-Dualit‘ś at˜selbSŽer.‘*?Zur˜F‘’Vorm“ulierungŽ”bzw.‘(iBew•¬reis›Öv“on˜7.3˜v“ergleic“he˜man˜auc“h˜mit˜S.˜156˜bzw.–(iS.˜158 .“in˜[GH].˜Ins-Ž”gesamš¬rt–{k‘’Xäann“man“abSŽer“mit“dem“Satz“7.2“als“An˜w˜endung“der“Morse{Theorie“v˜ollŽ”zufrieden‘źØsein.ަŃ8Ž‘LĖV‘ž¦fariationsrec•ŒĢhn“ung–ffund“Morse{IndexŽŸb#Ó(Marc‘hõDissel)Ž””‘9ó¹Unš¬rter– der“Annahme,‘P·da“die“Theorie“der“GeoSŽd‘ś aten“einer“Riemannsc˜hen“Man-Ž”nigfaltigk•¬reit›^ĀM‘žž¹bSŽek‘’Xäann“t˜sei,‘śösoll˜dieser˜V‘’Vortrag˜direkt˜in˜die˜Besc“hreibung˜desŽ”Raumes–B¬der“stSŽ‘łĢvuc•¬rkw“eise–B¬stetig“di erenzierbaren“Kurvš¬ren“auf“ĀM‘ƒ¹als“unendlic˜hdimen-Ž”sionale–7QMannigfaltigkš¬reit“(siehe“[La])“einsteigen“und“die“V‘’Variationsrec˜hn˜ung“(derŽ”Pš¬raragraphen–:11{13)“erl‘ś autern.‘żžDer“Satz“15.1“zum“Morse{Index“ist“eine“w˜eitgehendeŽ”V›’Verallgemeinerung–źØeines“Indexsatzes“in“V˜ortrag“4.ަŃ9Ž‘LĖh-Kobs3ordismŒĢus{TheoremŽŸb#Ó(N.N.)Ž””‘9ó¹Auszug–źØaus“[Mi3].ŽŽŸ’ŅuM4ŽŽŒ‹  ŃiŌ ż"E ĆŻ» ża"E‘9óŃLiteratur:ŽŸ€‘ $˜¹BJŽŽŽ‘_ģó1Œ-ų cmcsc10ÜBr'Ÿ’Žocker,›iĪT.–" /“J]Ÿ’Žanich,˜K.:‘‘ÄæEinf&g‘łŁ–uhrung–in“die“Di er–’ffentialtop“olo“gie.‘Éx¹Springer{ޤ€‘_ģV‘’Verlag,‘źØ1973.Ž©€‘±gBTŽŽŽ‘_ģÜBott,›(NR.–”ņ/“Tu,˜S.:æDi er›’ffential–’ŽF‘’™orms“in“A³2lgebr˜aic“T‘’™op˜olo˜gy.‘ e¹Springer{Ž”‘_ģV‘’Verlag,‘źØ1981.ަ‘xßGHŽŽŽ‘_ģÜGriffiths,›ßUP.–µ /“Harris,˜J..:æPrinciples–}īof“A³2lgebr›’ffaic“Ge˜ometry.‘÷#¹Wiley‘’V,‘Lā1978.ަ‘ m{HiŽŽŽ‘_ģÜHirsch:›8ąæDi er–’ffential‘35T‘’™op“olo“gy.˜¹Springer-V‘’Verlag.ަ‘ HLaŽŽŽ‘_ģÜLang,‘yGS.:‘ æDi er‘’ffentiable‘ŲMManifolds.›S·¹Addison{W–’Vesley“,‘Ė,1972.˜Neuau age‘žEbSŽeiŽ”‘_ģSpringer.ަ‘˜+Mi1ŽŽŽ‘_ģÜMilnor,‘2ßJ.:‘ōæMorse‘×pThe‘’ffory.›˜¹Annals–†Ńof“Maths.˜Series,‘šÉPrinceton“Univ.˜Press,Ž”‘_ģ1963.ަ‘˜+Mi2ŽŽŽ‘_ģÜMilnor,‘śŗJ.:‘ćHæL–’ffe“ctur“es–†on“the“h-Cob–’ffor“dism‘†The“or“em.–8|¹Princeton‘?ÜUniv.“Press,Ž”‘_ģ1965.ަ‘˜+Mi3ŽŽŽ‘_ģÜMilnor,‘æ’J.:‘†ōæT‘’™op–’ffolo“gy›ø fr“om˜the˜Di er“entiable˜Viewp“oint.– -ž¹Univ.“Press‘‘²ofŽ”‘_ģVirginia,‘źØ1965.ަ‘?GMCŽŽŽ‘_ģÜMorse,›yM.–õI/“Cairns,˜S.:‘ŗ¹it–PCritical“P•¬roin“t–PTheory“in“Global“Analysis“andŽ”‘_ģDi eren¬rtial›źØT–’VopSŽology“.‘8ąAcademic˜Press,˜1969.ަ‘Ń NaŽŽŽ‘_ģÜNarasimhan,‘-BR.:‘ÆæA³2nalysis–Ńlon“R–’ffe“al–Ńland“Complex“Manifolds.‘j¹North-Holland,Ž”‘_ģ1968.ަ‘ qĄSpŽŽŽ‘_ģÜSp‘’32anier,‘ˆ…E.:æA³2lgebr–’ffaic‘35T‘’™op“olo“gy.‘8ą¹McGra¬rw{Hill,‘źØ1966.ަ‘)ļWiŽŽŽ‘_ģÜWitten,‘~²E.:‘ń¹SupSŽersymmetry–“Źand“Morse“Theory“æJ.‘cDi .‘yGe‘’ffometry“¾17“¹(1982),Ž”‘_ģ621{692.ŽŽŸ’ŅuM5ŽŽŒų(Ōƒ’Ą;čŃiŌŖŹ•ó1Œ-ų cmcsc10ó(߆µTff cmtt12ó&ĀÖN ff cmbx12óś±u cmex10ó¾KČ cmsy8ó!",š cmsy10ó×2cmmi8ó·įg£ cmmi12ó|{Ycmr8󛻈@ cmti12óĀÖN  cmbx12󛻈@įH cmti12óX«Q ff cmr12óĀÖN įH cmbx12óX«Q cmr12ó O!ā…cmsy7óKń`y cmr10ł/¬ßßßßßß