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Fl(4)0 1081 y Fm(De\014nition)63 b(\(Additiv)m(e)32 b(Hauptzahlen\))0 1200 y Fn(\015)c Fl(2)23 b Fn(O)r(n)28 b Fp(hei\031t)g Fk(additiv)n(e)f(Hauptzahl)p Fp(,)h(falls)f Fn(\015)h(>)22 b Fp(0)c Fl(^)h(8)p Fn(\030)t(;)14 b(\021)26 b(<)c(\015)5 b Fp(\()p Fn(\030)23 b Fp(+)18 b Fn(\021)26 b(<)d(\015)5 b Fp(\).)0 1345 y Fn(H)30 b Fp(:=)d(Klasse)f(aller)h (additiv)n(en)g(Hauptzahlen.)0 1506 y Fm(Lemma)j(10.10)0 1626 y Fp(a\))d Fn(\013)d Fl(7!)f Fn(!)339 1595 y Fg(\013)414 1626 y Fp(ist)k(die)h(Ordn)n(ungsfunktion)f(der)g(Klasse)f Fn(H)35 b Fp(aller)26 b(additiv)n(en)i(Hauptzahlen.)0 1745 y(b\))g Fn(\015)g Fl(2)23 b Fn(H)53 b Fl(,)46 b Fn(\015)28 b(>)22 b Fp(0)c Fl(^)h(8)p Fn(\030)27 b(<)22 b(\015)5 b Fp(\()p Fn(\030)23 b Fp(+)18 b Fn(\015)27 b Fp(=)c Fn(\015)5 b Fp(\).)0 1865 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 1984 y Fp(a\))g(\\)p Fl(\))p Fp(":)36 b(Wir)28 b(zeigen)f Fn(!)800 1954 y Fg(\013)870 1984 y Fl(2)d Fn(H)7 b Fp(:)0 2104 y(1.)36 b Fn(!)156 2074 y Fh(0)216 2104 y Fl(2)24 b Fn(H)34 b Fp(ist)28 b(trivial.)0 2223 y(2.)46 b(0)23 b Fn(<)f(\030)t(;)14 b(\021)27 b(<)22 b(!)550 2193 y Fg(\013)634 2223 y Fl(\))37 b Fn(\030)t(;)14 b(\021)26 b(<)d(!)1041 2193 y Fg(\014)s Fh(+1)1197 2223 y Fp(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(ein)g Fn(\014)f(<)c(\013)65 b Fl(\))36 b Fn(\030)t(;)14 b(\021)27 b(<)22 b(!)2149 2193 y Fg(\014)2212 2223 y Fl(\001)d Fn(n)31 b Fp(f)r(\177)-44 b(ur)30 b(ein)h Fn(n)23 b(<)g(!)39 b Fl(\))0 2343 y Fn(\030)23 b Fp(+)18 b Fn(\021)26 b(<)d(!)352 2313 y Fg(\014)414 2343 y Fl(\001)c Fn(n)f Fp(+)g Fn(!)662 2313 y Fg(\014)725 2343 y Fl(\001)h Fn(n)k Fp(=)f Fn(!)982 2313 y Fg(\014)1045 2343 y Fl(\001)d Fp(\()p Fn(n)f Fp(+)g Fn(n)p Fp(\))23 b Fn(<)g(!)1518 2313 y Fg(\014)s Fh(+1)1670 2343 y Fl(\024)f Fn(!)1812 2313 y Fg(\013)1859 2343 y Fp(.)0 2462 y(\\)p Fl(\()p Fp(":)36 b(Wir)28 b(zeigen:)36 b Fn(\015)28 b Fl(62)23 b(f)p Fn(!)922 2432 y Fg(\013)992 2462 y Fp(:)37 b Fn(\013)23 b Fl(2)g Fn(O)r(n)p Fl(g)46 b(\))h Fn(\015)27 b Fl(62)d Fn(H)7 b Fp(.)0 2582 y(Sei)28 b(1)23 b Fl(\024)g Fn(\015)k Fl(62)d(f)p Fn(!)533 2552 y Fg(\013)602 2582 y Fp(:)37 b Fn(\013)24 b Fl(2)f Fn(O)r(n)p Fl(g)p Fp(.)39 b(Dann)28 b Fn(\015)g Fp(=)22 b Fn(!)1474 2552 y Fg(\014)1537 2582 y Fl(\001)d Fn(n)f Fp(+)g Fn(\015)1773 2594 y Fh(0)1839 2582 y Fp(mit)28 b(0)23 b Fn(<)g(n)g(<)f(!)49 b Fp(&)d Fn(\015)2559 2594 y Fh(0)2619 2582 y Fn(<)23 b(!)2762 2552 y Fg(\014)2834 2582 y Fp(und)29 b(1)23 b Fn(<)f(n)c Fl(_)h Fp(0)k Fn(<)f(\015)3490 2594 y Fh(0)3528 2582 y Fp(.)38 b(F)r(\177)-44 b(ur)0 2702 y Fn(\021)26 b Fp(:=)d Fn(!)233 2671 y Fg(\014)296 2702 y Fl(\001)18 b Fp(\()p Fn(n)h Fl(\000)f Fp(1\))g(+)g Fn(\015)739 2714 y Fh(0)804 2702 y Fp(gilt)28 b(n)n(un)f(0)c Fn(<)g(\021)j(<)d(!)1478 2671 y Fg(\014)1540 2702 y Fl(\001)c Fn(n)k Fl(\024)f Fn(\015)33 b Fp(und)28 b Fn(!)2039 2671 y Fg(\014)2106 2702 y Fn(<)23 b(!)2249 2671 y Fg(\014)2312 2702 y Fp(+)18 b Fn(\021)26 b Fp(=)d Fn(\015)5 b Fp(,)27 b(d.h.)37 b Fn(\015)28 b Fl(62)23 b Fn(H)7 b Fp(.)0 2821 y(b\))28 b(\\)p Fl(\))p Fp(":)36 b(Sei)28 b 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y Fi(0)789 322 y Fn(M)9 b Fl(\000)o Fn(N)g Fl(g)27 b Fp(gilt)g Fn(\013)d(<)e(\014)t Fp(.)38 b(Es)27 b(folgt)g Fn(o)p Fp(\()p Fn(N)9 b Fl(\000)p Fn(M)g Fp(\))23 b Fn(<)g(!)2320 292 y Fg(\013)p Fh(+1)2474 322 y Fl(\024)f Fn(!)2616 292 y Fg(\014)2684 322 y Fl(\024)g Fn(o)p Fp(\()p Fn(M)9 b Fl(\000)p Fn(N)g Fp(\).)697 b Fl(4)0 483 y Fm(Korollar)0 603 y Fp(Ist)28 b Fl(\036)f Fp(w)n(ohlfundiert,)h(so)e(ist)i Fl(\036)1005 615 y Fg(mul)1156 603 y Fp(eingesc)n(hr\177)-42 b(ankt)26 b(auf)i(die)f(Klasse)g(der)g(endlic)n(hen)h(Multimengen)g (fundiert.)0 722 y Fj(Bew)n(eis)f(:)0 842 y Fp(Mittels)h Fl(\036)p Fp(-Rekursion)e(de\014nieren)h(wir)55 b Fn(o)p Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))25 b(:=)d(sup)p Fl(f)p Fn(o)p Fp(\()p Fn(y)s Fp(\))d(+)f(1)k(:)37 b Fn(y)26 b Fl(\036)d Fn(x)p Fl(g)p Fp(.)0 961 y(Daraus)k(folgt)g(mit)h(10.13b)e(die)i(F)-7 b(undiertheit)28 b(v)n(on)f Fl(\036)1724 973 y Fg(mul)1847 961 y Fp(.)0 1280 y Fo(11)75 b(Erg)o(\177)-55 b(anzungen)38 b(zur)f(V)-9 b(orlesung)37 b(\\Logik)g(I")0 1499 y Fd(V)n(ereinba)n (rungen:)0 1619 y Fp(Ist)28 b Fn(F)39 b Fp(k)n(eine)27 b(F)-7 b(unktion)28 b(o)r(der)f Fn(x)d Fl(62)f Fp(dom\()p Fn(F)12 b Fp(\),)28 b(so)f(sei)h Fn(F)12 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b(:=)e(0.)0 1738 y(Eine)i(F)-7 b(unktion)25 b Fn(f)33 b Fp(mit)26 b(dom\()p Fn(f)9 b Fp(\))23 b(=)f Fn(n)h Fl(2)h Fn(!)j Fp(sc)n(hreib)r(en)d(wir)g(auc)n(h)g(als)g(\()p Fn(f)9 b Fp(\(0\))p Fn(;)14 b(:::;)g(f)9 b Fp(\()p Fn(n)j Fl(\000)g Fp(1\)\),)26 b(und)f(nennen)g(sie)f(ein)h Fn(n)p Fp(-T)-7 b(up)r(el.)0 1908 y Fd(1.)35 b(T)-7 b(rans\014nite)27 b(Induktion)f(und)h(Rekursion)g(f\177)-40 b(ur)27 b(b)r(eliebige)i(w)n (ohlfundierte)f(Relationen)0 2027 y Fp(Wir)g(zeigen,)f(da\031)g(in)g (Lemma)h(8.2)e(und)j(Satz)e(8.3)g(auf)g(die)h(V)-7 b(oraussetzung)26 b(\\)p Fn(R)i Fp(transitiv")f(v)n(erzic)n(h)n(tet)f(w)n(erden)h(k)-5 b(ann.)0 2188 y Fm(De\014nition)59 b Fp(\(transitiv)n(e)26 b(H)r(\177)-44 b(ulle)29 b(einer)e(Relation)g Fn(R)q Fp(\))0 2308 y Fn(R)64 2278 y Fi(\003)125 2308 y Fp(:=)c Fl(f)p Fh(\()o Fn(y)s(;)14 b(x)p Fh(\))23 b Fp(:)37 b Fl(9)p Fp(\()p Fn(x)665 2320 y Fh(0)703 2308 y Fn(;)14 b(:::;)g(x)893 2320 y Fg(n)939 2308 y Fp(\)[)p Fn(y)s(R)q(x)1149 2320 y Fg(n)1213 2308 y Fl(^)k Fn(x)1333 2320 y Fg(n)1379 2308 y Fn(R)q(x)1490 2320 y Fg(n)p Fi(\000)p Fh(1)1639 2308 y Fl(^)h Fn(:)14 b(:)g(:)k Fl(^)h Fn(x)1949 2320 y Fh(1)1986 2308 y Fn(R)q(x)2097 2320 y Fh(0)2158 2308 y Fp(=)j Fn(x)p Fp(])p Fl(g)p Fp(.)0 2469 y Fm(Lemma)30 b(11.1)0 2589 y Fp(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f(Relation)h Fn(R)g Fp(gilt:)0 2708 y(a\))f Fn(R)d Fl(\022)f Fn(R)340 2678 y Fi(\003)405 2708 y Fp(und)28 b Fn(R)635 2678 y Fi(\003)701 2708 y Fp(ist)g(transitiv.)0 2828 y(b\))g Fn(R)c Fl(\022)e Fn(Q)h Fl(\022)g Fn(V)37 b Fl(\002)18 b Fn(V)65 b Fp(&)46 b Fn(Q)27 b Fp(transitiv)50 b Fl(\))c Fn(R)1493 2798 y Fi(\003)1554 2828 y Fl(\022)23 b Fn(Q)p Fp(.)0 2947 y(c\))28 b Fn(R)c Fl(2)f Fn(V)65 b Fl(\))46 b Fn(R)568 2917 y Fi(\003)629 2947 y Fl(2)23 b Fn(V)c Fp(.)0 3067 y(d\))28 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p 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Fh(+)p Fg(i)p Fh(+1)1853 3425 y Fp(:=)23 b Fn(y)2005 3437 y Fg(i)2032 3425 y Fp(.)0 3545 y(b\))28 b(Durc)n(h)g(Induktion)f (nac)n(h)g Fn(n)h Fp(zeigt)f(man:)37 b Fn(y)s(R)q(x)1583 3557 y Fg(n)1628 3545 y Fn(R)q(x)1739 3557 y Fg(n)p Fi(\000)p Fh(1)1883 3545 y Fn(:)14 b(:)g(:)g(x)2041 3557 y Fh(1)2079 3545 y Fn(R)q(x)2190 3557 y Fh(0)2250 3545 y Fp(=)23 b Fn(x)46 b Fl(\))g Fh(\()p Fn(y)s(;)14 b(x)p Fh(\))23 b Fl(2)h Fn(Q)p Fp(.)0 3665 y(c\))k(Sei)h Fn(R)23 b Fl(2)h Fn(V)19 b Fp(.)38 b(Dann)29 b(sind)f(auc)n(h)f Fn(a)c Fp(:=)g(dom\()p Fn(R)q Fp(\))c Fl([)f Fp(ran\()p Fn(R)q Fp(\))28 b(und)h Fn(a)18 b Fl(\002)g Fn(a)28 b Fp(Mengen.)38 b(F)-7 b(erner)28 b(ist)g Fn(a)18 b Fl(\002)g Fn(a)28 b Fp(o\013en)n(bar)f(eine)0 3784 y(transitiv)n(e)g(Relation,)g(die)h Fn(R)g Fp(umfa\031t.)37 b(Mit)28 b(b\))g(folgt)g(also)e Fn(R)1954 3754 y Fi(\003)2015 3784 y Fl(\022)d Fn(a)18 b Fl(\002)g Fn(a)28 b Fp(und)g(w)n(eiter)f Fn(R)2797 3754 y Fi(\003)2858 3784 y Fl(2)c Fn(V)c Fp(.)0 3904 y(d\))28 b(Sei)g Fn(a)23 b Fl(2)g Fn(V)c Fp(.)37 b(De\014nition:)h Fn(h)979 3916 y Fh(0)1039 3904 y Fp(:=)22 b Fl(f)p Fn(a)p Fl(g)p Fn(;)36 b(h)1384 3916 y Fg(n)p Fh(+1)1536 3904 y Fp(:=)1647 3841 y Fb(S)1716 3904 y Fl(f)p Fn(x)1805 3916 y Fg(R)1883 3904 y Fp(:)h Fn(x)23 b Fl(2)h Fn(h)2140 3916 y Fg(n)2185 3904 y Fl(g)p Fp(.)0 4023 y(Durc)n(h)j(Induktion)h (nac)n(h)f Fn(n)h Fp(folgt)f(\()p Fn(x)1177 4035 y Fg(n)1223 4023 y Fn(R)q(x)1334 4035 y Fg(n)p Fi(\000)p Fh(1)1478 4023 y Fn(:)14 b(:)g(:)g(x)1636 4035 y Fh(1)1674 4023 y Fn(R)q(x)1785 4035 y Fh(0)1845 4023 y Fl(2)24 b Fn(a)46 b Fl(\))g Fn(x)2190 4035 y Fg(n)2258 4023 y Fl(2)24 b Fn(h)2385 4035 y Fg(n)2430 4023 y Fp(\),)k(und)g(somit)f Fn(a)2949 4035 y Fg(R)2999 4019 y Fc(\003)3061 4023 y Fl(\022)3149 3961 y Fb(S)3218 4048 y Fg(n)p Fi(2)p Fg(!)3366 4023 y Fn(h)3414 4035 y Fg(n)3482 4023 y Fl(2)c Fn(V)c Fp(.)176 b Fl(4)0 4184 y Fm(Lemma)30 b(11.2)0 4304 y Fp(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)h(w)n(ohlfundierte)g(Relation)f Fn(R)h Fp(gelten)f(die)h(Prinzipien)f(\(I\))h(\(Existenz)f(minimaler)g (Elemen)n(te\))h(und)f(\(I)r(I\))0 4423 y(\(Induktion)i(\177)-44 b(ub)r(er)28 b Fn(R)q Fp(\).)37 b(\(D.h.)28 b(in)g(8.2)f(k)-5 b(ann)28 b(auf)f(die)h(V)-7 b(oraussetzung)26 b(\\)p Fn(R)i Fp(transitiv")e(v)n(erzic)n(h)n(tet)h(w)n(erden\).)0 4543 y Fj(Bew)n(eis)g(von)g Fp(\(I\))p Fj(:)i Fp(Gelte)f Fn(u)22 b Fl(2)i Fn(C)6 b Fp(.)0 4663 y(F)-7 b(all)28 b(1:)36 b Fl(8)p Fn(y)12 b Fl(2)d Fn(u)476 4675 y Fg(R)530 4663 y Fp(\()p Fn(y)26 b Fl(62)d Fn(C)6 b Fp(\).)38 b(Dann)27 b(fertig.)0 4782 y(F)-7 b(all)28 b(2:)37 b Fl(9)p Fn(y)12 b Fl(2)d Fn(u)476 4794 y Fg(R)531 4782 y Fp(\()p Fn(y)26 b Fl(2)d Fn(C)6 b Fp(\).)39 b(Dann)28 b Fn(a)23 b Fp(:=)f Fn(u)1317 4794 y Fg(R)1367 4778 y Fc(\003)1424 4782 y Fl(\\)d Fn(C)30 b Fl(6)p Fp(=)22 b Fl(;)p Fp(.)38 b(Da)28 b Fn(R)g Fp(fundiert)h(ist,)f(existiert)g(ein)g Fn(c)23 b Fl(2)g Fn(a)28 b Fp(mit)g Fl(8)p Fn(y)12 b Fl(2)d Fn(c)3474 4794 y Fg(R)3528 4782 y Fp(\()p Fn(y)26 b Fl(62)e Fn(a)p Fp(\).)0 4902 y(Aus)k Fn(c)23 b Fl(2)g Fn(u)354 4914 y Fg(R)404 4897 y Fc(\003)471 4902 y Fp(folgt)k Fn(c)698 4914 y Fg(R)775 4902 y Fl(\022)c Fn(u)911 4914 y Fg(R)961 4897 y Fc(\003)1000 4902 y Fp(.)37 b(Somit)28 b Fn(c)23 b Fl(2)g Fn(C)34 b Fp(und)28 b Fl(8)p Fn(y)12 b Fl(2)d Fn(c)1896 4914 y Fg(R)1950 4902 y Fp(\()p Fn(y)26 b Fl(62)d Fn(C)6 b Fp(\).)1579 b Fl(4)0 5063 y Fm(Lemma)30 b(11.3)0 5182 y Fp(Ist)e Fn(R)g Fp(eine)g(w)n(ohlfundierte)f(Relation,)g(so)g (auc)n(h)g Fn(R)1624 5152 y Fi(\003)1662 5182 y Fp(.)1929 5539 y(6)p eop %%Page: 7 8 7 7 bop 0 83 a Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 203 y Fp(Nac)n(h)g(8.1)g(\(und)h (w)n(egen)f(11.1d\))g(reic)n(h)n(t)g(es,)g(das)g(Induktionsprinzip)g(f) r(\177)-44 b(ur)28 b Fn(R)2409 172 y Fi(\003)2475 203 y Fp(zu)f(b)r(ew)n(eisen.)0 322 y(Gelte)h(\(1\))g Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(x)529 334 y Fg(R)579 318 y Fc(\003)641 322 y Fl(\022)23 b Fn(C)29 b Fl(!)23 b Fn(x)h Fl(2)f Fn(C)6 b Fp(\).)38 b(Zu)27 b(zeigen)g(ist:)37 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(x)24 b Fl(2)f Fn(C)6 b Fp(\).)0 442 y(Sei)153 421 y(\026)134 442 y Fn(C)29 b Fp(:=)23 b Fl(f)p Fn(x)g Fp(:)37 b Fn(x)552 454 y Fg(R)602 438 y Fc(\003)664 442 y Fl(\022)23 b Fn(C)6 b Fl(g)p Fp(.)37 b(W)-7 b(egen)27 b(\(1\))h(gilt)g(dann)f(\(2\))1828 421 y(\026)1809 442 y Fn(C)i Fl(\022)23 b Fn(C)6 b Fp(.)37 b(F)-7 b(erner)27 b(gilt:)37 b(\(3\))28 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(x)2857 454 y Fg(R)2935 442 y Fl(\022)3041 421 y Fp(\026)3022 442 y Fn(C)i Fl(!)23 b Fn(x)g Fl(2)3384 421 y Fp(\026)3366 442 y Fn(C)6 b Fp(\).)0 577 y(Bew)n(eis)27 b(v)n(on)g(\(3\):)37 b Fn(x)644 589 y Fg(R)722 577 y Fl(\022)828 556 y Fp(\026)809 577 y Fn(C)898 523 y Fh(\(2\))899 577 y Fl(\))24 b Fn(x)1053 589 y Fg(R)1131 577 y Fl(\022)e Fn(C)j Fl(^)19 b(8)p Fn(y)12 b Fl(2)d Fn(x)1587 589 y Fg(R)1641 577 y Fp(\()p Fn(y)1714 589 y Fg(R)1764 573 y Fc(\003)1826 577 y Fl(\022)23 b Fn(C)6 b Fp(\))38 b Fl(\))e Fn(x)2215 589 y Fg(R)2265 573 y Fc(\003)2328 577 y Fl(\022)23 b Fn(C)43 b Fl(\))37 b Fn(x)23 b Fl(2)2806 556 y Fp(\026)2787 577 y Fn(C)6 b Fp(.)0 696 y(Aus)28 b(\(2\),\(3\))g(und)g(11.2)e(folgt)h Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(x)d Fl(2)1258 675 y Fp(\026)1239 696 y Fn(C)30 b Fl(\022)22 b Fn(C)6 b Fp(\).)2291 b Fl(4)0 857 y Fm(Lemma)30 b(11.4)0 977 y Fp(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f(w)n(ohlfundierte)h(Relation)f Fn(R)h Fp(gilt)g(das)f(Prinzip)g (der)g(Rekursion)i(\177)-44 b(ub)r(er)28 b Fn(R)q Fp(.)0 1097 y(\(D.h.)h(in)e(8.3)g(k)-5 b(ann)28 b(auf)g(die)f(V)-7 b(oraussetzung)26 b(\\)p Fn(R)i Fp(transitiv")f(v)n(erzic)n(h)n(tet)f (w)n(erden.\))0 1216 y Fj(Bew)n(eis)h(:)0 1336 y Fp(Sei)h Fn(R)g Fp(w)n(ohlfundiert)f(und)h Fn(G)23 b Fp(:)g Fn(A)c Fl(\002)e Fn(V)42 b Fl(!)23 b Fn(V)c Fp(.)37 b(Wir)27 b(de\014nieren)h Fn(G)2107 1306 y Fi(0)2153 1336 y Fp(:)23 b Fn(A)c Fl(\002)e Fn(V)42 b Fl(!)23 b Fn(V)5 b(;)37 b(G)2736 1306 y Fi(0)2760 1336 y Fp(\()p Fn(x;)14 b(f)9 b Fp(\))23 b(:=)g Fn(G)p Fp(\()p Fn(x;)14 b(f)9 b Fl(j)p Fn(x)3393 1348 y Fg(R)3448 1336 y Fp(\).)37 b(Nac)n(h)27 b(11.3)0 1455 y(und)j(11.1)e(ist)i Fn(R)527 1425 y Fi(\003)594 1455 y Fp(w)n(ohlfundiert)f(und)h(transitiv;)g(und)g(nac)n(h)f(8.3)f (existiert)h(genau)g(ein)g Fn(F)35 b Fp(:)24 b Fn(A)f Fl(!)g Fn(V)48 b Fp(mit)0 1575 y Fn(F)12 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b(=)f Fn(G)353 1545 y Fi(0)376 1575 y Fp(\()p Fn(x;)14 b(F)e Fl(j)p Fn(x)627 1587 y Fg(R)677 1571 y Fc(\003)717 1575 y Fp(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fn(x)d Fl(2)f Fn(A)p Fp(.)37 b(Es)27 b(gilt)h(ab)r(er)f Fn(G)1849 1545 y Fi(0)1873 1575 y Fp(\()p Fn(x;)14 b(F)e Fl(j)p Fn(x)2124 1587 y Fg(R)2174 1571 y Fc(\003)2214 1575 y Fp(\))23 b(=)g Fn(G)p Fp(\()p Fn(x;)14 b(F)e Fl(j)p Fn(x)2673 1587 y Fg(R)2729 1575 y Fp(\).)1042 b Fl(4)0 1719 y Fp(Da)25 b(die)g(Elemen)n(trelation)e Fl(2)i Fp(w)n(ohlfundiert) g(ist)g(\(aufgrund)f(des)h(F)-7 b(undierungsaxioms\),)24 b(erh\177)-42 b(alt)24 b(man)h(als)f(Sp)r(ezialfall)h(v)n(on)0 1839 y(11.2)h(und)i(11.4)f(die)g(folgenden)h(Prinzipien)f(der)g(sog.)36 b Fl(2)p Fp(-Induktion)27 b(bzw.)37 b Fl(2)q Fp(-Rekursion:)0 1958 y Fm(\()p Fl(2)p Fm(-Induktion\))56 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(x)23 b Fl(\022)g Fn(C)29 b Fl(!)23 b Fn(x)h Fl(2)f Fn(C)6 b Fp(\))24 b Fl(!)f(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(x)g Fl(2)h Fn(C)6 b Fp(\))0 2078 y Fm(\()p Fl(2)p Fm(-Rekursion\))42 b Fp(Zu)27 b Fn(G)d Fp(:)f Fn(V)42 b Fl(!)23 b Fn(V)46 b Fp(existiert)28 b(genau)f(ein)g Fn(F)35 b Fp(:)23 b Fn(V)42 b Fl(!)23 b Fn(V)47 b Fp(mit)28 b Fn(F)12 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b(=)f Fn(G)p Fp(\()p Fn(F)12 b Fl(j)p Fn(x)p Fp(\))29 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fn(x)p Fp(.)0 2297 y Fd(2.)35 b(Induktive)27 b(De\014nitionen)0 2442 y Fp(Sei)h Fn(A)g Fp(eine)f(Menge)h(und)g Fl(\026)f Fp(eine)h(re\015exiv)n(e,)e(an)n(tisymmetrisc)n(he)g(und)i (transitiv)n(e)f(Relation)g(auf)h Fn(A)p Fp(.)0 2561 y(F)-7 b(erner)27 b(gelte:)37 b(Jede)27 b Fl(\026)p Fp(-Kette)g Fn(X)i Fl(\022)23 b Fn(A)28 b Fp(b)r(esitzt)g(ein)g(Suprem)n(um)f(in)h Fn(A)p Fp(.)0 2681 y(Sei)g(\010)23 b(:)g Fn(A)g Fl(!)g Fn(A)28 b Fp(monoton)f(bzgl.)h Fl(\026)p Fp(,)f(d.h.)37 b Fl(8)p Fn(x;)14 b(y)e Fl(2)d Fn(A)p Fp(\()p Fn(y)26 b Fl(\026)d Fn(x)g Fl(!)h Fp(\010\()p Fn(y)s Fp(\))f Fl(\026)f Fp(\010\()p Fn(x)p Fp(\)\).)0 2842 y Fm(De\014nition)0 2971 y Fp(I)30 2941 y Fg(\013)30 2994 y Fh(\010)105 2971 y Fp(:=)215 2854 y Fb(\032)291 2930 y Fp(\010\(sup)509 2951 y Fg(\030)r(<\013)654 2930 y Fp(I)684 2890 y Fg(\030)684 2955 y Fh(\010)735 2930 y Fp(\))84 b(falls)27 b(das)g(sup)h(existiert) 291 3030 y(sup\()p Fl(;)p Fp(\))329 b(sonst.)0 3157 y Fm(Satz)33 b(11.5)0 3277 y Fp(a\))27 b Fn(\013)d(<)f(\014)50 b Fl(\))c Fp(I)522 3247 y Fg(\013)522 3300 y Fh(\010)597 3277 y Fl(\026)22 b Fp(I)714 3237 y Fg(\014)714 3301 y Fh(\010)766 3277 y Fp(.)0 3396 y(b\))h(I)131 3361 y Fg(\013)p Fh(+1)131 3421 y(\010)286 3396 y Fp(=)g(\010\(I)496 3366 y Fg(\013)496 3419 y Fh(\010)547 3396 y Fp(\).)0 3516 y(c\))32 b(Es)27 b(existiert)h(ein)f Fn(\013)h Fp(mit)h(I)937 3486 y Fg(\013)937 3539 y Fh(\010)1011 3516 y Fp(=)23 b(I)1129 3481 y Fg(\013)p Fh(+1)1129 3540 y(\010)1260 3516 y Fp(.)0 3636 y(d\))g(Gilt)29 b(I)303 3605 y Fg(\013)303 3658 y Fh(\010)377 3636 y Fp(=)23 b(I)495 3600 y Fg(\013)p Fh(+1)495 3660 y(\010)626 3636 y Fp(,)28 b(so)f Fl(8)p Fn(\014)f Fl(\025)d Fn(\013)p Fp(\(I)1102 3605 y Fg(\013)1102 3658 y Fh(\010)1177 3636 y Fp(=)g(I)1295 3596 y Fg(\014)1295 3660 y Fh(\010)1347 3636 y Fp(\))28 b(und)g(I)1603 3605 y Fg(\013)1603 3658 y Fh(\010)1677 3636 y Fp(=)23 b(min)1903 3648 y Fi(\026)1959 3636 y Fl(f)p Fn(x)g Fl(2)h Fn(A)f Fp(:)37 b(\010\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(\026)f Fn(x)p Fl(g)p Fp(;)101 3755 y(insb)r(esondere)k(ist)h(I)735 3725 y Fg(\013)735 3778 y Fh(\010)814 3755 y Fp(der)f Fl(\026)p Fp(-kleinste)g(Fixpunkt)h(v)n(on)f(\010.)0 3875 y Fj(Bew)n(eis)g(:)0 3994 y Fp(a\))h(Induktion)g(nac)n(h)g Fn(\014)t Fp(:)38 b(Nac)n(h)27 b(I.V.)i(ist)f Fl(f)p Fp(I)1361 3954 y Fg(\030)1361 4019 y Fh(\010)1435 3994 y Fp(:)37 b Fn(\030)27 b(<)c(\014)t Fl(g)28 b Fp(eine)g(Kette;)g(also)f (existiert)h(sup)2806 4015 y Fg(\030)r(<\014)2949 3994 y Fp(I)2979 3954 y Fg(\030)2979 4019 y Fh(\010)3058 3994 y Fp(und)h(sup)3350 4015 y Fg(\030)r(<\013)3495 3994 y Fp(I)3525 3954 y Fg(\030)3525 4019 y Fh(\010)3577 3994 y Fp(;)f(und)0 4114 y(w)n(egen)f Fn(\013)c(<)g(\014)32 b Fp(gilt)27 b(sup)762 4134 y Fg(\030)r(<\013)908 4114 y Fp(I)938 4074 y Fg(\030)938 4138 y Fh(\010)1012 4114 y Fl(\026)c Fp(sup)1225 4134 y Fg(\030)r(<\014)1368 4114 y Fp(I)1398 4074 y Fg(\030)1398 4138 y Fh(\010)1449 4114 y Fp(.)37 b(Mit)28 b(der)f(Mon)n(tonie)g(v)n(on)g(\010)h(folgt)f(n)n (un)h(I)2810 4084 y Fg(\013)2810 4137 y Fh(\010)2885 4114 y Fl(\026)22 b Fp(I)3002 4074 y Fg(\014)3002 4138 y Fh(\010)3054 4114 y Fp(.)0 4233 y(b\))28 b(I)136 4198 y Fg(\013)p Fh(+1)136 4258 y(\010)290 4233 y Fp(=)23 b(\010\(sup)595 4254 y Fg(\030)r(<\013)p Fh(+1)825 4233 y Fp(I)855 4193 y Fg(\030)855 4258 y Fh(\010)906 4233 y Fp(\))h(=)e(\010\(I)1171 4203 y Fg(\013)1171 4256 y Fh(\010)1223 4233 y Fp(\).)0 4353 y(c\))28 b(Andernfalls)g(h\177)-42 b(atten)28 b(wir)g Fl(8)p Fn(\013;)14 b(\014)t Fp(\()p Fn(\013)23 b(<)g(\014)k Fl(!)c Fp(I)1542 4323 y Fg(\013)1542 4376 y Fh(\010)1617 4353 y Fl(\036)g Fp(I)1735 4313 y Fg(\014)1735 4377 y Fh(\010)1786 4353 y Fp(\),)29 b(und)f(damit)g (w\177)-42 b(are)27 b Fn(F)35 b Fp(:)23 b Fn(O)r(n)h Fl(!)f Fn(A;)37 b(\013)23 b Fl(7!)h Fp(I)3189 4323 y Fg(\013)3189 4376 y Fh(\010)3268 4353 y Fp(injektiv.)38 b(Dann)0 4472 y(k\177)-42 b(onn)n(te)27 b(ab)r(er)g Fn(A)h Fp(k)n(eine)f(Menge)g(sein.)0 4592 y(d\))h(1.)37 b(I)238 4562 y Fg(\013)238 4615 y Fh(\010)312 4592 y Fp(=)23 b(I)430 4556 y Fg(\013)p Fh(+1)430 4616 y(\010)584 4592 y Fp(=)g(\010\(I)794 4562 y Fg(\013)794 4615 y Fh(\010)846 4592 y Fp(\).)0 4712 y(2.)36 b(\010\()p Fn(p)p Fp(\))24 b Fl(\026)e Fn(p)46 b Fl(\))h(8)p Fn(\014)t Fp(\(I)756 4672 y Fg(\014)756 4736 y Fh(\010)830 4712 y Fl(\026)22 b Fn(p)p Fp(\).)0 4831 y(Bew)n(eis)27 b(durc)n(h)g(Induktion)h(nac)n(h) f Fn(\014)t Fp(:)37 b Fl(8)p Fn(\030)26 b(<)d(\014)t Fp(\(I)1507 4791 y Fg(\030)1507 4856 y Fh(\010)1582 4831 y Fl(\026)g Fn(p)p Fp(\))46 b Fl(\))g Fp(sup)2044 4851 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Fl(\033)g(?)28 b Fp(und)i(daraus)d(nac)n(h)h(I.V.)i(die)0 3031 y(Behauptung,)d(denn)h (\()p Fn(\013)780 3043 y Fh(0)841 3031 y Fn(<)906 3043 y Fh(0)966 3031 y Fn(\013)37 b Fl(\))g Fp(K\()p Fn(\013)1326 3043 y Fh(0)1363 3031 y Fp(\))24 b Fn(<)e Fp(K\()p Fn(\013)p Fp(\)\).)2083 b Fl(4)0 3192 y Fm(Korollar)0 3329 y Fp(Gilt)28 b Fl(`)222 3271 y Fg(\013)222 3351 y Fh(0)269 3329 y Fl(\033)23 b(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s(A)p Fp(\()p Fn(x;)14 b(y)s Fp(\),)28 b(w)n(ob)r(ei)f Fn(A)h Fp(Primformel,)0 3448 y(so)f(gibt)h(es)f(zu)h(jedem)g Fn(n)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)28 b(ein)g Fn(k)e(<)c Fp(K\()p Fn(\013)d Fp(+)f Fn(n)g Fp(+)g(1\))28 b(mit)g Fn(A)p Fp(\()p Fn(n;)14 b(k)s Fp(\))24 b Fl(2)f Fp(TR)n(UE)2526 3460 y Fh(0)2563 3448 y Fp(.)0 3568 y Fj(Bew)n(eis)k(:)0 3704 y Fp(V)-7 b(orauss.&)26 b(In)n(v)n(ersion)g Fl(\))d(`)911 3647 y Fg(\013)p Fh(+)p Fg(n)p Fh(+1)911 3726 y(0)1134 3704 y Fl(\033)f(:8)p Fn(y)s Fl(:)p Fn(A)p Fp(\()p Fn(n;)14 b(y)s Fp(\))46 b Fl(\))23 b(`)1882 3647 y Fg(\013)p Fh(+)p 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Fg(x)2240 4344 y Ff(1)2272 4336 y Fg(;:::;x)2410 4344 y Fe(n)2453 4324 y Fp(\()p Fn(t)2515 4336 y Fh(1)2552 4324 y Fn(;)14 b(:::;)g(t)2725 4336 y Fg(n)2771 4324 y Fp(\))p Fn(;)37 b(A)2925 4294 y Fi(0)2971 4324 y Fp(=)23 b Fn(D)3128 4336 y Fg(x)3166 4344 y Ff(1)3198 4336 y Fg(;:::;x)3336 4344 y Fe(n)3379 4324 y Fp(\()p Fn(t)3441 4294 y Fi(0)3441 4344 y Fh(1)3478 4324 y Fn(;)14 b(:::;)g(t)3651 4294 y Fi(0)3651 4344 y Fg(n)3697 4324 y Fp(\).)0 4485 y Fm(Lemma)30 b(12.7)c Fp(\(T)-7 b(autologie-Lemma\))0 4604 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(gesc)n(hlossene)d(F)-7 b(ormeln)27 b Fn(A;)14 b(B)t(;)g(C)q(;)g(C)1319 4574 y Fi(0)1371 4604 y Fp(bzw.)28 b Fl(8)p Fn(xA;)g Fl(8)p Fn(xB)j Fp(gilt:)0 4757 y(a\))c Fn(C)j Fl(\030)22 b Fn(C)342 4727 y Fi(0)412 4757 y Fl(\))h(`)569 4699 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(rk)o(\()p Fg(C)t Fh(\))569 4779 y(0)824 4757 y Fn(C)30 b Fl(\033)22 b Fn(C)1065 4727 y Fi(0)1089 4757 y Fp(.)0 4916 y(b\))28 b Fl(`)157 4858 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(\()p Fg(k)q Fh(+1\))157 4938 y(0)420 4916 y Fp(\()p Fn(C)i Fl(!)23 b Fp(\()p Fn(A)h Fl(!)f Fn(B)t Fp(\)\))p Fn(;)14 b(C)30 b Fl(!)23 b Fn(A;)14 b(C)29 b Fl(\033)23 b Fn(B)t Fp(,)83 b(w)n(ob)r(ei)27 b Fn(k)f Fp(:=)d(max)o Fl(f)p Fp(rk)o(\()p Fn(A)p Fp(\))p Fn(;)14 b Fp(rk\()p Fn(B)t Fp(\))p Fn(;)g Fp(rk\()p Fn(C)6 b Fp(\))p Fl(g)p Fp(.)0 5074 y(c\))28 b Fl(`)148 5017 y Fg(!)148 5096 y Fh(0)219 5074 y Fl(::)p Fn(A)c Fl(\033)e Fn(A)28 b Fp(,)g(falls)f Fn(A)h Fp(Primformel.)0 5233 y(d\))g Fl(`)157 5175 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(\()p Fg(k)q Fh(+1\))157 5255 y(0)420 5233 y Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(A)23 b Fl(!)h Fn(B)t Fp(\))p Fn(;)14 b Fl(8)p Fn(xA)23 b Fl(\033)f(8)p Fn(xB)t Fp(,)83 b(w)n(ob)r(ei)27 b Fn(k)f Fp(:=)d(max)p Fl(f)p Fp(rk)n(\()p Fn(A)p Fp(\))p Fn(;)14 b Fp(rk\()p Fn(B)t Fp(\))p Fl(g)p Fp(.)1908 5539 y(12)p eop %%Page: 13 14 13 13 bop 0 83 a Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 220 y Fp(a\))g(1.)37 b(Ist)28 b Fn(C)34 b Fp(eine)27 b(Primformel,)g(so)g(gilt)g(en)n(t)n(w) n(eder)g Fn(C)q(;)14 b(C)1810 189 y Fi(0)1857 220 y Fl(2)23 b 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Fl(\033)e Fn(A)p Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)0 4077 y(1.)36 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fn(n)23 b Fp(=)g(0)k(folgt)g(die) h(Behauptung)f(aus)g(dem)h(T)-7 b(autologie-Lemma.)0 4229 y(2.)36 b Fl(`)152 4172 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)q Fh(+3)p Fg(n)152 4251 y Fh(0)405 4229 y Fn(A)p Fp(\(0\))p Fn(;)14 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(A)p Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)q Fn(x)p Fp(\)\))h Fl(\033)e Fn(A)p Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))48 b Fl(j)71 b(`)1769 4172 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)1769 4251 y Fh(0)1896 4229 y Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)p Fn(n)p Fp(\))24 b Fl(\033)e Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)q Fn(n)p Fp(\),)0 4388 y Fl(`)51 4330 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)q Fh(+3)p Fg(n)p Fh(+2)51 4410 y(0)387 4388 y Fn(A)p Fp(\(0\))p Fn(;)14 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(A)p Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))25 b Fl(!)e Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)p Fn(x)p Fp(\)\))p Fn(;)14 b Fp(\()p Fn(A)p Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))25 b Fl(!)e Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)q Fn(n)p Fp(\)\))g Fl(\033)g Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)p Fn(n)p Fp(\),)0 4547 y Fl(`)51 4489 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)q Fh(+3)p Fg(n)p Fh(+3)51 4569 y(0)387 4547 y Fn(A)p Fp(\(0\))p Fn(;)14 b Fl(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(A)24 b Fl(!)f Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)p Fn(x)p Fp(\)\))h Fl(\033)f Fn(A)p Fp(\()p Fd(S)p Fn(n)p Fp(\).)2312 b Fl(4)0 4708 y Fd(Abk\177)-40 b(urzung:)0 4827 y Fn(A)62 4797 y Fh(0)127 4827 y Fp(b)r(ezeic)n(hne)28 b(die)g(F)-7 b(ormel,)27 b(die)g(man)h(erh\177)-42 b(alt,)27 b(w)n(enn)h(in)f Fn(A)h Fp(jede)g(freie)g(V)-7 b(ariable)26 b(durc)n(h)i(die)f(Konstan)n(te)g(0)g(ersetzt)g(wird.)0 4988 y Fm(Satz)33 b(12.9)26 b Fp(\(Ein)n(b)r(ettungssatz\))0 5146 y(Z)d Fl(`)g Fn(C)52 b Fl(\))f Fp(Es)27 b(gibt)g Fn(k)s(;)14 b(m)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)29 b(mit)f Fl(`)1247 5088 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)1247 5155 y(m)1351 5146 y Fl(\033)23 b Fn(C)1504 5115 y Fh(0)1541 5146 y Fp(.)1908 5539 y(13)p eop %%Page: 14 15 14 14 bop 0 83 a Fj(Bew)n(eis)27 b(durch)h(Induktion)e(nach)h(der)h (Herleitung)e(von)i Fn(C)6 b Fj(:)0 236 y Fp(1.)36 b Fn(C)e Fp(wurde)26 b(aus)h Fn(A)g Fp(und)h Fn(A)23 b Fl(!)g Fn(C)33 b Fp(ersc)n(hlossen.)i(Nac)n(h)26 b(I.V.)i(gibt)f(es)g (dann)g Fn(k)s(;)14 b(m)26 b Fp(mit)i Fl(`)2820 178 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)2820 245 y(m)2924 236 y Fl(\033)23 b Fn(A)3074 206 y Fh(0)3138 236 y Fp(und)28 b Fl(`)3355 178 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)3355 245 y(m)3459 236 y Fl(\033)22 b Fn(A)3608 206 y Fh(0)3669 236 y Fl(!)g Fn(C)3839 206 y Fh(0)3877 236 y Fp(.)0 388 y(Aus)28 b(letzterem)g(folgt)g Fl(`)777 331 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)777 398 y(m)905 388 y Fn(A)967 358 y Fh(0)1027 388 y Fl(\033)23 b Fn(C)1180 358 y Fh(0)1217 388 y Fp(.)39 b(Wir)28 b(k\177)-42 b(onnen)27 b(auc)n(h)h(no)r(c)n(h)g(rk)o(\()p Fn(A)p Fp(\))c Fn(<)f(m)28 b Fp(annehmen.)38 b(Dann)28 b(folgt)g(mit)h(einem)0 546 y(Sc)n(hnitt)f Fl(`)339 488 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(\()p Fg(k)q Fh(+1\))339 555 y Fg(m)579 546 y Fl(\033)23 b Fn(C)732 516 y Fh(0)770 546 y Fp(.)0 665 y(2.)36 b Fn(C)166 635 y Fh(0)227 665 y Fp(=)23 b Fl(8)p Fn(y)403 677 y Fh(1)439 665 y Fn(:::)p Fl(8)p Fn(y)596 677 y Fg(p)633 665 y Fp(\()p Fl(8)p Fn(xA)g Fl(!)g Fn(A)1012 677 y Fg(x)1054 665 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)\))29 b(.)37 b(Sei)28 b Fn(k)1446 677 y Fh(0)1506 665 y Fp(:=)23 b(rk)o(\()p Fn(A)p Fp(\))29 b(und)f(FV)q(\()p Fn(A)2225 677 y Fg(x)2268 665 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)\))c(=)e Fl(f)p Fn(x)2594 677 y Fh(1)2632 665 y Fn(;)14 b(:::;)g(x)2822 677 y Fg(l)2847 665 y Fl(g)p Fp(.)0 785 y(Abk)r(\177)-44 b(urzung:)0 904 y(F)r(\177)g(ur)25 b Fn(~)-39 b(n)22 b Fp(=)h(\()p Fn(n)403 916 y Fh(1)440 904 y Fn(;)14 b(:::;)g(n)633 916 y Fg(l)659 904 y Fp(\))p Fn(;)28 b(\013)23 b Fl(2)h Fn(O)r(n;)37 b(E)c Fp(Ausdruc)n(k)27 b(sei)g Fn(\013)19 b Fp(+)d Fn(~)-40 b(n)23 b Fp(=)g Fn(\013)18 b Fp(+)g(max)p Fl(f)p Fn(n)2375 916 y Fh(1)2412 904 y Fn(;)c(:::;)g(n)2605 916 y Fg(l)2630 904 y Fl(g)27 b Fp(und)h Fn(E)5 b Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\))24 b(:=)e Fn(E)3240 916 y Fg(x)3278 924 y Ff(1)3311 916 y Fg(;:::;x)3449 925 y Fe(l)3475 904 y Fp(\()p Fn(n)3557 916 y Fh(1)3594 904 y Fn(;)14 b(:::;)g(n)3787 916 y Fg(l)3813 904 y Fp(\).)0 1024 y(Es)27 b(ex.)37 b 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(dem)f(un)n(ten)f(stehenden)h(Hilfssatz:)37 b Fl(`)2058 1282 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(\()p Fg(k)q Fh(+)p Fg(p)p Fh(+1\))2058 1362 y(0)2384 1340 y Fl(\033)22 b Fn(C)2536 1310 y Fh(0)2574 1340 y Fp(.)0 1459 y(Sei)27 b(also)d Fn(~)-40 b(n)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)528 1423 y Fg(l)581 1459 y Fp(gegeb)r(en,)26 b(und)i(sei)e(\()p Fl(8)p Fn(xA)p Fp(\)\()n Fn(~)-40 b(n)q Fp(\))23 b(=)f Fl(8)p Fn(xB)t Fp(.)37 b(Dann)27 b Fn(B)2157 1471 y Fg(x)2199 1459 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\)\))24 b(=)e Fn(A)2580 1471 y Fg(x)2622 1459 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)\()n Fn(~)-40 b(n)q Fp(\).)37 b(Nac)n(h)26 b(Lemma)h(12.7a)e(gilt)i(also)0 1617 y Fl(`)51 1559 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)150 1567 y Ff(0)51 1639 y Fh(0)209 1617 y Fn(B)272 1629 y Fg(x)314 1617 y Fp(\()p Fn(j)5 b Fp(\))23 b Fl(\033)g Fn(A)590 1629 y Fg(x)632 1617 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\),)28 b(w)n(ob)r(ei)f Fn(j)h Fp(:=)22 b Fn(v)s(al)r Fp(\()p Fn(t)p Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\)\).)37 b(Mit)28 b Fn(j)23 b Fp(+)17 b(1)22 b Fn(<)2107 1629 y Fh(0)2167 1617 y Fn(!)e Fl(\001)e Fn(k)i Fp(+)15 b Fn(~)-39 b(n)27 b Fp(folgt)g(n)n(un)g Fl(`)2908 1559 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)q Fh(+)o Fg(~)-33 b(n)2908 1639 y Fh(0)3127 1617 y Fl(8)p Fn(xB)27 b Fl(\033)22 b Fn(A)3460 1629 y Fg(x)3502 1617 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)\()n Fn(~)-40 b(n)q Fp(\),)28 b(und)0 1775 y(w)n(eiter)f Fl(`)298 1718 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(\()p Fg(k)q Fh(+1\)+)o Fg(~)-33 b(n)298 1797 y Fh(0)630 1775 y Fl(\033)23 b Fp(\()p Fl(8)p Fn(xA)g Fl(!)g Fn(A)1097 1787 y Fg(x)1139 1775 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)\)\()n Fn(~)-40 b(n)q Fp(\).)0 1934 y(3.)37 b(Andernfalls)27 b(ist)h Fn(C)726 1904 y Fh(0)786 1934 y Fp(=)23 b Fl(8)p Fn(y)962 1946 y Fh(1)998 1934 y Fn(:::)p Fl(8)p Fn(y)1155 1946 y Fg(p)1192 1934 y Fn(A)p Fp(,)29 b(und)f(es)f(gibt)h(ein)f Fn(k)s Fp(,)h(so)f(da\031)g Fl(`)2280 1876 y Fg(!)r Fi(\001)p Fg(k)2280 1956 y Fh(0)2384 1934 y Fl(\033)c Fn(A)2534 1904 y Fi(0)2585 1934 y Fp(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(gesc)n (hlossene)d(Instanz)i Fn(A)3714 1904 y Fi(0)3766 1934 y Fp(v)n(on)0 2094 y Fn(A)h Fp(\(siehe)g(u.a.)f(Lemmata)g(12.7,)g (12.8\).)35 b(Daraus)27 b(folgt)g Fl(`)1823 2037 y Fg(!)r Fi(\001)p Fh(\()p Fg(k)q Fh(+)p Fg(p)p Fh(\))1823 2116 y(0)2065 2094 y Fl(\033)22 b(8)p Fn(y)2240 2106 y Fh(1)2276 2094 y Fn(:::y)2386 2106 y Fg(p)2425 2094 y Fn(A)p Fp(.)0 2255 y(Abk)r(\177)-44 b(urzung:)36 b Fl(`)512 2217 y Fg(\013;)p Fi(\003)613 2255 y Fl(\033)23 b Fn(A)46 b Fp(:)p Fl(,)g(8)n Fn(~)-40 b(n)o Fp([)14 b Fl(`)1145 2197 y Fg(\013)p Fh(+)o Fg(~)-33 b(n)1145 2277 y Fh(0)1284 2255 y Fl(\033)23 b Fn(A)1433 2268 y Fg(~)-33 b(x)1476 2255 y Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\))14 b(],)111 b(w)n(ob)r(ei)27 b(FV)r(\()p Fn(A)p Fp(\))d(=)f Fl(f)o Fn(~)-41 b(x)o Fl(g)p Fp(.)0 2394 y(Hilfssatz:)37 b Fn(\013)23 b Fl(2)h Fn(Lim)45 b Fp(&)69 b Fl(`)914 2356 y Fg(\013;)p Fi(\003)1014 2394 y Fl(\033)23 b Fn(A)46 b Fl(\))24 b(`)1368 2356 y Fg(\013)p Fh(+)p Fg(!)r(;)p Fi(\003)1563 2394 y Fl(\033)f(8)p Fn(y)s(A)p Fp(.)0 2513 y(Bew)n(eis:)36 b(Sei)28 b(FV)q(\()p Fl(8)p Fn(y)s(A)p Fp(\))23 b(=)g Fl(f)o Fn(~)-41 b(x)p Fl(g)p Fp(,)27 b(und)f Fn(~)-40 b(n)28 b Fp(gegeb)r(en.)0 2670 y Fl(`)51 2632 y Fg(\013;)p Fi(\003)152 2670 y Fl(\033)22 b Fn(A)38 b Fl(\))14 b(`)487 2613 y Fg(\013)p Fh(+max)o Fi(f)p Fg(k)q(;)o(~)-33 b(n)p Fi(g)487 2692 y Fh(0)872 2670 y Fl(\033)23 b Fn(A)1021 2683 y Fg(~)-33 b(x)1064 2670 y Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\))1178 2682 y Fg(y)1218 2670 y Fp(\()p Fn(k)s Fp(\),)63 b(f)r(\177)-44 b(ur)31 b(alle)d Fn(~)-40 b(n;)14 b(k)49 b Fl(\))23 b(`)2040 2613 y Fg(\013)p Fh(+)p Fg(!)r Fh(+)o Fg(~)-33 b(n)2040 2692 y Fh(0)2274 2670 y Fl(\033)22 b Fp(\()p Fl(8)p Fn(y)s(A)p Fp(\))2577 2683 y Fg(~)-33 b(x)2620 2670 y Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\),)62 b(denn)0 2790 y Fn(\013)19 b Fp(+)f(max)o Fl(f)p Fn(k)s(;)12 b(~)-40 b(n)o Fl(g)23 b Fn(<)613 2802 y Fg(k)677 2790 y Fn(\013)18 b Fp(+)g Fn(!)k Fp(+)15 b Fn(~)-39 b(n)27 b Fp(und)h(\()p Fl(8)p Fn(y)s(A)p Fp(\))1447 2803 y Fg(~)-33 b(x)1490 2790 y Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\))23 b(=)g Fl(8)p Fn(y)15 b(A)1879 2803 y Fg(~)-33 b(x)1922 2790 y Fp(\()n Fn(~)-40 b(n)p Fp(\).)1767 b Fl(4)0 3009 y Fp(ZWISCHENRESUL)-7 b(T)g(A)g(T)0 3129 y(Sei)28 b Fn(A)g Fp(eine)f(Primformel)g(mit)h(FV)r(\()p Fn(A)p Fp(\))c Fl(\022)e(f)p Fn(x;)14 b(y)s Fl(g)p Fp(.)36 b(Dann)28 b(gilt:)0 3248 y(Z)23 b Fl(`)g(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s(A)45 b Fp(=)-14 b Fl(\))46 b(9)p Fn(\013)24 b(<)e(")868 3260 y Fh(0)905 3248 y Fl(8)p Fn(n)p Fl(9)p Fn(k)j(<)e Fp(K\()p Fn(\013)c Fp(+)f Fn(n)g Fp(+)g(1\)[)23 b Fn(A)p Fp(\()p Fn(n;)14 b(k)s Fp(\))28 b(w)n(ahr)f(].)0 3393 y(Bew)n(eis:)36 b(12.9,)26 b(12.5,)h(12.6.)0 3612 y(DIE)h(HARD)n (Y-HIERAR)n(CHIE)0 3773 y Fm(De\014nition)59 b Fp(\(F)-7 b(undamen)n(talfolgen\))0 3892 y(1.)36 b(0[)p Fn(n)p Fp(])23 b(:=)g(1[)p Fn(n)p Fp(])f(:=)h(0.)0 4012 y(2.)36 b Fn(!)156 3982 y Fg(\013)p Fh(+1)287 4012 y Fp([)p Fn(n)p Fp(])24 b(:=)e Fn(!)572 3982 y Fg(\013)638 4012 y Fl(\001)c Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\).)0 4132 y(3.)36 b Fn(!)156 4101 y Fg(\025)200 4132 y Fp([)p Fn(n)p Fp(])23 b(:=)f Fn(!)484 4101 y Fg(\025)p Fh([)p Fg(n)p Fh(])606 4132 y Fp(,)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fn(\025)23 b Fl(2)h Fn(Lim)p Fp(.)0 4251 y(4.)36 b Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])24 b(:=)f Fn(\013)438 4263 y Fh(0)493 4251 y Fp(+)18 b Fn(:::)h Fp(+)f Fn(\013)800 4263 y Fg(k)q Fi(\000)p Fh(1)944 4251 y Fp(+)g Fn(\013)1080 4263 y Fg(k)1121 4251 y Fp([)p Fn(n)p Fp(],)28 b(falls)g Fn(\013)23 b Fp(=)1583 4263 y Fg(N)-5 b(F)1708 4251 y Fn(\013)1761 4263 y Fh(0)1817 4251 y Fp(+)18 b Fn(:::)h Fp(+)f Fn(\013)2124 4263 y Fg(k)2165 4251 y Fp(.)0 4396 y(F)-7 b(olgerung:)35 b(\()p Fn(\013)20 b Fp(+)e(1\)[)p Fn(n)p Fp(])k(=)h Fn(\013)p Fp(.)0 4557 y Fm(Lemma)30 b(12.10)0 4676 y Fp(a\))d Fn(\013)d Fl(2)f Fn(Lim)45 b Fl(\))i(8)p Fn(n)p Fp(\()p Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])22 b Fn(<)h(\013)p Fp([)p Fn(n)c Fp(+)f(1]\))46 b(&)f Fn(\013)24 b Fp(=)f(sup)o Fl(f)p Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])g(:)37 b Fn(n)23 b Fl(2)h Fp(I)-14 b(N)p Fl(g)0 4796 y Fp(b\))28 b Fn(\013)c(>)e Fp(0)46 b Fl(\))g Fn(G\013)p Fp([0])23 b Fn(<)g(G\013)0 4915 y Fp(c\))28 b Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])23 b Fn(<)g(\014)k(<)c(\013)47 b Fl(\))f Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])23 b Fl(\024)g Fn(\014)t Fp([0])0 5035 y(d\))28 b Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])c Fn(<)e(\014)28 b(<)22 b(\013)47 b Fl(\))f Fn(G\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])24 b Fn(<)e(G\014)0 5154 y Fp(e\))28 b Fn(\014)f(<)c(\013)46 b Fl(\))h Fn(\014)27 b Fl(\024)c Fn(\013)p Fp([)p Fn(G\014)t Fp(])1908 5539 y(14)p eop %%Page: 15 16 15 15 bop 0 83 a Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 203 y Fp(a\),b\))h(klar.)0 322 y(c\))g(Sei)g Fn(\014)f Fp(=)370 334 y Fg(N)-5 b(F)495 322 y Fn(\014)542 334 y Fh(0)598 322 y Fp(+)18 b Fn(:::)h Fp(+)f Fn(\014)899 334 y Fg(k)939 322 y Fp(.)0 442 y(1.)36 b(Gelte)28 b Fn(!)378 412 y Fg(\013)444 442 y Fl(\001)18 b Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\))23 b Fn(<)f(\014)28 b(<)22 b(!)1070 412 y Fg(\013)p Fh(+1)1202 442 y Fp(.)36 b(Dann)28 b Fn(k)e(>)d(n)k Fp(und)h Fn(\014)1933 454 y Fh(0)1994 442 y Fp(=)22 b Fn(:::)i Fp(=)e Fn(\014)2308 454 y Fg(n)2376 442 y Fp(=)h Fn(!)2519 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b(nac)n(h)g (12.10d.)41 b(Ist)29 b Fn(\014)f Fp(=)22 b Fn(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(],)31 b(so)0 3848 y Fn(H)69 3860 y Fg(\014)114 3848 y Fp(\()p Fn(n)14 b Fp(+)g(1\))21 b(=)h Fn(H)540 3860 y Fg(\013)587 3848 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)37 b(Ist)26 b Fn(\014)g(<)21 b(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(],)27 b(so)e(gilt)g([nac)n (h)g(I.V.)h(und)g(a\)])f Fn(H)2221 3860 y Fg(\014)2266 3848 y Fp(\()p Fn(n)14 b Fp(+)g(1\))21 b Fn(<)h(H)2692 3860 y Fg(\014)2737 3848 y Fp(\()p Fn(n)14 b Fp(+)g(2\))21 b Fl(\024)h Fn(H)3163 3863 y Fg(\013)p Fh([)p Fg(n)p Fh(])3289 3848 y Fp(\()p Fn(n)14 b Fp(+)g(1\))22 b(=)f Fn(H)3715 3860 y Fg(\013)3763 3848 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)0 3993 y(c\))28 b(Sei)g Fn(\013)c(>)e Fp(0.)38 b(Dann)28 b(existiert)f(ein)h Fn(l)d(>)e Fp(0)k(mit)i Fn(\013)23 b(>)g(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(])g Fn(>)g(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(][)p Fn(n)18 b Fp(+)g(1])23 b Fn(>)g(:)14 b(:)g(:)23 b(>)f(\013)p Fp([)p Fn(n)p Fp(][)p Fn(n)d Fp(+)f(1])p Fn(:::)p Fp([)p Fn(n)g Fp(+)g Fn(l)i Fl(\000)e Fp(1])23 b(=)f(0)28 b(und)0 4112 y Fn(H)69 4124 y Fg(\013)116 4112 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))c(=)e Fn(H)410 4127 y Fg(\013)p Fh([)p Fg(n)p Fh(])536 4112 y Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(1\))23 b(=)f Fn(H)973 4127 y Fg(\013)p Fh([)p Fg(n)p Fh(][)p Fg(n)p Fh(+1])1262 4112 y Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(2\))23 b(=)f Fn(H)1699 4127 y Fg(\013)p Fh([)p Fg(n)p Fh(][)p Fg(n)p Fh(+1])p Fg(:::)p Fh([)p Fg(n)p Fh(+)p Fg(l)p Fi(\000)p Fh(1])2283 4112 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)g Fn(l)r Fp(\))23 b(=)g Fn(n)18 b Fp(+)g Fn(l)r Fp(.)0 4257 y(d\))30 b(Nac)n(h)f(12.10a,c)f(existiert)h(ein)h(kleinstes)f Fn(k)j Fp(mit)f Fn(\013)p Fp([)p Fn(m)p Fp(])23 b(=)g Fn(\014)t Fp([)p Fn(n)p Fp(])14 b Fn(:)g(:)g(:)g Fp([)p Fn(n)k Fp(+)g Fn(k)s Fp(].)43 b(F)r(\177)-44 b(ur)29 b(dieses)h Fn(k)i Fp(gilt)e(n)n(un)0 4376 y Fn(H)69 4391 y Fg(\013)p Fh([)p Fg(m)p Fh(])213 4376 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b Fn(<)g(H)507 4391 y Fg(\013)p Fh([)p Fg(m)p Fh(])651 4376 y Fp(\()p Fn(n)18 b Fp(+)g Fn(k)k Fp(+)c(1\))23 b(=)f Fn(H)1235 4391 y Fg(\014)s Fh([)p Fg(n)p Fh(])p Fg(:::)p Fh([)p Fg(n)p Fh(+)p Fg(k)q Fh(])1584 4376 y Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f Fn(k)j Fp(+)d(1\))23 b(=)f Fn(H)2168 4388 y Fg(\014)2213 4376 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)1476 b Fl(4)0 4546 y Fm(Abk)s(\177)-50 b(urzung)0 4665 y Fn(N)-5 b(F)12 b Fp(\()p Fn(\013;)i(\014)t Fp(\))47 b(:)p Fl(,)f Fn(\013)24 b Fp(=)f(0)17 b Fl(_)i Fn(\014)28 b Fp(=)22 b(0)c Fl(_)h Fp([)14 b Fn(\013)23 b Fp(=)1303 4677 y Fg(N)-5 b(F)1429 4665 y Fn(\013)1482 4677 y Fh(0)1538 4665 y Fp(+)18 b Fn(:::)g Fp(+)g Fn(\013)1844 4677 y Fg(n)1908 4665 y Fl(^)h Fn(\014)27 b Fp(=)2121 4677 y Fg(N)-5 b(F)2246 4665 y Fn(\014)2293 4677 y Fh(0)2349 4665 y Fp(+)18 b Fn(:::)h Fp(+)f Fn(\014)2650 4677 y Fg(m)2741 4665 y Fp(mit)28 b Fn(\013)2946 4677 y Fg(n)3014 4665 y Fl(\025)23 b Fn(\014)3149 4677 y Fh(0)3200 4665 y Fp(].)0 4810 y Fm(F)-8 b(olgerung:)35 b Fn(N)-5 b(F)12 b Fp(\()p Fn(\013;)i(\014)t Fp(\))48 b(&)d Fn(\014)28 b(>)22 b Fp(0)46 b Fl(\))g Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f Fn(\014)t Fp(\)[)p Fn(n)p Fp(])24 b(=)f Fn(\013)18 b Fp(+)g 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Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))0 1242 y(\(F5\))28 b Fn(F)253 1199 y Fh(\(2\))241 1252 y Fg(\013)342 1242 y Fp(\()p Fn(n)19 b Fp(+)f(1\))k Fn(<)h(F)763 1254 y Fg(\013)p Fh(+1)895 1242 y Fp(\()p Fn(n)18 b Fp(+)g(1\))46 b(&)g Fn(F)1374 1199 y Fh(\(2\))1362 1252 y Fg(\013)1463 1242 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))24 b Fn(<)e(F)1741 1254 y Fg(\013)p Fh(+2)1873 1242 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))0 1362 y(\(F6\))28 b Fn(\014)f(<)c(\013)47 b Fp(&)e Fn(G\014)28 b(<)23 b(n)45 b Fl(\))i Fn(F)1066 1374 y Fg(\014)1111 1362 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b Fn(<)g(F)1389 1374 y Fg(\013)1437 1362 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)0 1481 y(\(F7\))28 b Fn(F)241 1493 y Fg(!)289 1481 y Fp(\(0\))c(=)e(4)46 b(&)g(2)17 b Fl(\001)i Fn(F)859 1493 y Fg(!)907 1481 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))g(+)f(2)23 b Fl(\024)g Fn(F)1329 1493 y Fg(!)1377 1481 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)f(1\).)0 1601 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 1720 y Fp(1.)36 b Fn(H)170 1735 y Fg(!)214 1718 y Ff(0)251 1720 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b(=)g Fn(H)545 1732 y Fh(0)582 1720 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)f(1\))23 b(=)f Fn(n)d Fp(+)f(1.)0 1840 y(2.)36 b Fn(H)170 1855 y Fg(!)214 1839 y Fe(\013)p Ff(+1)332 1840 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b(=)g Fn(H)626 1855 y Fg(!)670 1838 y Fe(\013)712 1855 y Fi(\001)p Fh(\()p Fg(n)p Fh(+1\))912 1840 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)f(1\))23 b(=)g Fn(H)1357 1797 y Fh(\()p Fg(n)p Fh(+1\))1350 1859 y Fg(!)1394 1842 y Fe(\013)1537 1840 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)f(1\).)0 1959 y(3.)36 b Fn(H)170 1976 y Fg(!)214 1960 y Fe(\025)258 1959 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b(=)g Fn(H)552 1976 y Fg(!)596 1960 y Fe(\025)635 1976 y Fh([)p Fg(n)p Fh(])717 1959 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)f(1\))23 b(=)f Fn(H)1154 1978 y Fg(!)1198 1962 y Fe(\025)p Ff([)p Fe(n)p Ff(])1312 1959 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)g(1\).)0 2079 y(4.)36 b Fn(n)23 b(<)g(F)315 2091 y Fg(\013)363 2079 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))28 b(folgt)f(durc)n(h)g(Induktion)h(nac)n(h)f Fn(\013)p Fp(.)38 b Fn(F)1675 2091 y Fg(\013)1722 2079 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))24 b Fn(<)e(F)2000 2091 y Fg(\013)2048 2079 y Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(1\))23 b Fl(\024)f Fn(F)2481 2036 y Fh(\()p Fg(n)p Fh(+1\))2469 2089 y Fg(\013)2662 2079 y Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(1\))23 b(=)f Fn(F)3083 2091 y Fg(\013)p Fh(+1)3215 2079 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)0 2198 y(5.)36 b Fn(F)154 2210 y Fg(\013)p Fh(+1)286 2198 y Fp(\()p Fn(n)19 b Fp(+)f(1\))23 b(=)f Fn(F)719 2155 y Fh(\()p Fg(n)p Fh(+2\))707 2208 y Fg(\013)900 2198 y Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(2\))23 b Fl(\025)f Fn(F)1333 2155 y Fh(\(2\))1321 2208 y Fg(\013)1423 2198 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)g(2\))23 b(.)37 b Fn(F)1828 2155 y Fh(\(2\))1816 2208 y Fg(\013)1917 2198 y Fp(\(0\))23 b Fn(<)g(F)2199 2155 y Fh(\(2\))2187 2208 y Fg(\013)2288 2198 y Fp(\(2\))g(=)g Fn(F)2558 2210 y Fg(\013)p Fh(+1)2689 2198 y Fp(\(1\))g(=)g Fn(F)2959 2210 y Fg(\013)p Fh(+2)3091 2198 y Fp(\(0\).)0 2318 y(6.)36 b Fn(\014)28 b(<)23 b(\013)46 b Fp(&)g Fn(G\014)27 b(<)c(n)37 b Fl(\))g Fn(!)963 2288 y Fg(\014)1030 2318 y Fn(<)23 b(!)1173 2288 y Fg(\013)1266 2318 y Fp(&)46 b Fn(G!)1497 2288 y Fg(\014)1564 2318 y Fl(\024)23 b Fn(n)37 b Fl(\))g Fn(H)1928 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b(F)1776 1923 y Fg(\013)p Fh(\()p Fg(n;k)q Fh(+1\)+1)2141 1908 y Fp(\()p Fn(g)s Fp(\()p Fn(n;)14 b(k)s Fp(\)\))2468 1832 y Fh(\(F6\))p Fg(;)p Fh(\(4\))2552 1908 y Fl(\024)107 b Fn(F)2777 1923 y Fg(\013)p Fh(\()p Fg(n;k)q Fh(\))2974 1908 y Fp(\()p Fn(g)s Fp(\()p Fn(n;)14 b(k)s Fp(\)\).)0 2053 y(Aus)28 b(\(5\))g(folgt:)36 b(min)q Fl(f)p Fn(k)25 b Fp(:)37 b Fn(\016)872 2065 y Fg(n;k)997 2053 y Fp(=)22 b(0)p Fl(g)g(\024)h Fn(F)1331 2068 y Fg(\013)p Fh(\()p Fg(n;)p Fh(0\))1524 2053 y Fp(\()p Fn(g)s Fp(\()p Fn(n;)14 b Fp(0\)\).)203 b([)14 b Fn(n)2137 2065 y Fg(k)2201 2053 y Fn(<)23 b(:::)g(<)f(n)2518 2065 y Fh(0)2592 2053 y Fl(\))37 b Fn(n)2762 2065 y Fg(k)2822 2053 y Fp(+)18 b Fn(k)25 b Fl(\024)e Fn(n)3111 2065 y Fh(0)3162 2053 y Fp(].)0 2219 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fn(n)22 b(>)h(G\014)32 b Fp(gilt)c(ferner:)36 b Fn(F)936 2234 y Fg(\013)p Fh(\()p Fg(n;)p Fh(0\))1130 2219 y Fp(\()p Fn(g)s Fp(\()p Fn(n;)14 b Fp(0\)\))1453 2165 y Fh(\(V1\))1487 2219 y Fp(=)58 b Fn(F)1663 2231 y Fg(\013)1710 2219 y Fp(\()p Fn(g)s Fp(\()p Fn(n;)14 b Fp(0\)\))2033 2143 y Fh(\(3\))2044 2219 y Fl(\024)32 b Fn(F)2194 2231 y Fg(\013)2242 2219 y Fp(\()p Fn(F)2327 2231 y Fg(\014)2373 2219 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\)\))2542 2151 y Fh(\(F6\))2574 2219 y Fn(<)54 b(F)2746 2231 y Fg(\013)2794 2219 y Fp(\()p Fn(F)2879 2231 y Fg(\013)2927 2219 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\)\).)730 b Fl(4)0 2364 y Fm(V)-8 b(on)32 b(jetzt)g(an)h(sei)d Fp(\010)23 b(:=)g Fn(F)936 2376 y Fg(!)984 2364 y Fm(.)0 2525 y(Lemma)30 b(12.16)0 2644 y Fn(\013)53 2656 y Fh(0)90 2644 y Fn(;)14 b(!)182 2614 y Fh(2)242 2644 y Fn(<)23 b(\013)46 b Fl(\))h(9)p Fn(p)p Fl(8)p Fn(n)21 b Fl(\025)i Fn(p)p Fp([)14 b(K\()p Fn(\013)1082 2656 y Fh(0)1137 2644 y Fp(+)k Fn(n)h Fp(+)f(1\))23 b Fn(<)f(F)1609 2656 y Fg(\013)1657 2644 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))14 b(].)0 2764 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 2883 y Fp(O\013en)n(bar)f(existiert)g (eine)h(F)-7 b(amilie)26 b(\()p Fn(\016)1190 2895 y Fg(n;k)1292 2883 y Fp(\))1324 2895 y Fg(n;k)q Fi(2)p Fh(I)-11 b(N)1559 2883 y Fp(mit)27 b Fl(8)p Fn(n)p Fp([)14 b Fn(\016)1881 2895 y Fg(n;)p Fh(0)2001 2883 y Fp(=)22 b Fn(\013)2141 2895 y Fh(0)2195 2883 y Fp(+)16 b Fn(n)g Fp(+)h(1)d(])26 b(und)h Fl(8)p Fn(n;)14 b(k)s Fp([)g Fn(\016)2948 2895 y Fg(n;k)3070 2883 y Fl(6)p Fp(=)23 b(0)36 b Fl(\))g Fn(\016)3392 2895 y Fg(n;k)q Fh(+1)3600 2883 y Fn(<)3665 2853 y Fh(1)3665 2904 y(0)3725 2883 y Fn(\016)3762 2895 y Fg(n;k)3877 2883 y Fp(])0 3003 y(und)28 b Fl(8)p Fn(n)p Fp([)14 b(K\()p Fn(\013)450 3015 y Fh(0)505 3003 y Fp(+)k Fn(n)g Fp(+)g(1\))23 b(=)f(min)q Fl(f)p Fn(k)j Fp(:)37 b Fn(\016)1269 3015 y Fg(n;k)1394 3003 y Fp(=)22 b(0)p Fl(g)14 b Fp(].)0 3122 y(F)-7 b(erner)30 b(existiert)h(ein)f Fn(\015)e Fp(=)23 b Fn(!)e Fp(+)d Fn(l)32 b Fp(mit)f Fl(8)p Fn(n)p Fp([)14 b Fn(G\016)1487 3134 y Fg(n;)p Fh(0)1608 3122 y Fl(\024)22 b Fn(F)1748 3134 y Fg(\015)1791 3122 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))14 b(])31 b(.)47 b(W)-7 b(egen)31 b(\010)23 b(=)f Fn(F)2537 3134 y Fg(!)2617 3122 y Fp(gilt)30 b(dann)0 3242 y(auc)n(h)h Fl(8)p Fn(n;)14 b(k)s Fp([)g Fn(G\016)519 3254 y Fg(n;k)q Fh(+1)726 3242 y Fl(\024)23 b Fn(F)867 3254 y Fg(\015)910 3242 y Fp(\()p Fn(G\016)1044 3254 y Fg(n;k)1146 3242 y Fp(\))14 b(].)47 b(Nac)n(h)31 b(Lemma)g(12.15)e(existiert)i(also)f(ein)h Fn(p)g Fp(mit)0 3361 y Fl(8)p Fn(n)22 b Fl(\025)h Fn(p)p Fp([)14 b(min)p Fl(f)p Fn(k)25 b Fp(:)37 b Fn(\016)631 3373 y Fg(n;k)756 3361 y Fp(=)22 b(0)p Fl(g)g Fn(<)h(F)1102 3318 y Fh(\(2\))1090 3387 y Fg(\014)1191 3361 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))14 b(],)28 b(w)n(ob)r(ei)g Fn(\014)f Fp(:=)c(max)o Fl(f)p Fn(\013)2063 3373 y Fh(0)2100 3361 y Fn(;)14 b(!)2192 3331 y Fh(2)2229 3361 y Fl(g)p Fp(.)37 b(Aus)28 b(\(F5\))h(und)f(\(F6\))g(folgt)g Fn(F)3300 3318 y Fh(\(2\))3288 3387 y Fg(\014)3389 3361 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b Fn(<)g(F)3667 3373 y Fg(\013)3715 3361 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))0 3481 y(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f(hinreic)n(hend)g(gro\031en)f Fn(n)p Fp(.)2756 b Fl(4)0 3642 y Fm(De\014nition)86 b Fn(!)553 3654 y Fh(0)613 3642 y Fp(:=)23 b(1)p Fn(;)59 b(!)900 3654 y Fg(n)p Fh(+1)1052 3642 y Fp(:=)23 b Fn(!)1218 3612 y Fg(!)1260 3620 y Fe(n)1304 3642 y Fp(.)0 3803 y Fm(Satz)33 b(12.17)0 3923 y Fp(Ist)28 b Fn(A)g Fp(eine)f(Primformel)g(mit)h(FV)r (\()p Fn(A)p Fp(\))23 b Fl(\022)g(f)p Fn(x;)14 b(y)s Fl(g)p Fp(,)27 b(so)g(gilt:)0 4042 y(Z)c Fl(`)g(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s(A)45 b Fl(\))i(9)p Fn(p)p Fl(8)p Fn(n)21 b Fl(\025)i Fn(p)p Fl(9)p Fn(k)j(<)c(H)1176 4054 y Fg(!)1218 4062 y Fe(p)1257 4042 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\)[)i Fn(A)p Fp(\()p Fn(n;)14 b(k)s Fp(\))28 b(w)n(ahr)e(].)0 4162 y Fj(Bew)n(eis)h(:)0 4281 y Fp(Wie)h(w)n(eiter)e(ob)r(en)h(gezeigt,)g (gibt)g(es)g(ein)h Fn(\013)1373 4293 y Fh(0)1433 4281 y Fn(<)22 b(")1559 4293 y Fh(0)1623 4281 y Fp(mit)28 b Fl(8)p Fn(n)p Fl(9)p Fn(k)d(<)e Fp(K\()p Fn(\013)2224 4293 y Fh(0)2278 4281 y Fp(+)18 b Fn(n)f Fp(+)g(1\)[)23 b Fn(A)p Fp(\()p Fn(n;)14 b(k)s Fp(\))28 b(w)n(ahr)f(].)37 b(W)-7 b(eiter)27 b(existiert)g(ein)0 4401 y Fn(m)h Fp(mit)h Fn(\013)307 4413 y Fh(0)344 4401 y Fn(;)14 b(!)436 4371 y Fh(2)496 4401 y Fn(<)23 b(!)636 4413 y Fg(m)699 4401 y Fp(.)38 b(Nac)n(h)28 b(Lemma)g(12.16)e(existiert)i(ein)h Fn(p)22 b(>)h(m)p Fp(,)29 b(so)e(da\031)g Fl(8)p Fn(n)22 b Fl(\025)h Fn(p)p Fp([)14 b(K\()p Fn(\013)2916 4413 y Fh(0)2971 4401 y Fp(+)k Fn(n)h Fp(+)f(1\))23 b Fn(<)f(F)3443 4413 y Fg(!)3485 4421 y Fe(m)3545 4401 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))14 b(].)0 4520 y(Mit)28 b(12.12)e(b\))i(folgt)f Fn(F)726 4532 y Fg(!)768 4540 y Fe(m)851 4520 y Fl(\024)c Fn(H)1008 4532 y Fg(!)1050 4540 y Fe(p)1088 4520 y Fp(.)2715 b Fl(4)0 4682 y Fm(Bemerkung:)0 4801 y Fp(Sei)28 b Fn(f)36 b Fp(primitiv)28 b(rekursiv,)e(so)h(da\031)g Fn(f)9 b Fp(\()p Fn(m;)14 b(n;)g(k)s Fp(\))22 b(=)h(0)46 b Fl(,)g Fn(k)26 b(>)c(n)14 b Fp(&)g Fn(!)2168 4813 y Fg(m)2230 4801 y Fp([)p Fn(n)p Fp(])p Fn(:::)p Fp([)p Fn(k)22 b Fl(\000)c Fp(1])k(=)h(0.)0 4921 y(Die)28 b(F)-7 b(ormel)27 b Fl(8)p Fn(z)t Fl(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s Fp(\()p Fn(f)9 b(z)t(xy)23 b Fp(=)g(0\))k(ist)h(w)n(ahr)f(ab)r(er)g(nic)n(h)n(t)g(b)r (ew)n(eisbar)g(in)h(Z.)0 5040 y([)g(Bew)n(eis)e(der)i(Un)n(b)r(ew)n (eisbark)n(eit:)35 b Fl(`)23 b(8)p Fn(z)t Fl(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s Fp(\()p Fn(f)9 b(z)t(xy)23 b Fp(=)g(0\))46 b Fl(\))23 b(`)g(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s Fp(\()p Fn(f)9 b(xxy)26 b Fp(=)c(0\))46 b Fl(\))0 5160 y(9)p Fn(p)p Fl(8)p Fn(n)22 b Fl(\025)h Fn(p)p Fl(9)p Fn(k)i(<)e(H)608 5172 y Fg(!)650 5180 y Fe(p)689 5160 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))14 b Fn(f)9 b Fp(\()p Fn(n;)14 b(n;)g(k)s Fp(\))23 b(=)f(0.)37 b(Nac)n(h)27 b(12.11c)f(gilt)h(ab)r(er)g Fn(H)2232 5172 y Fg(!)2274 5180 y Fe(p)2313 5160 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))c(=)g(min)p Fl(f)p Fn(k)j Fp(:)37 b Fn(f)9 b Fp(\()p Fn(p;)14 b(n;)g(k)s Fp(\))22 b(=)h(0)p Fl(g)p Fp(.)36 b(])1908 5539 y(17)p eop %%Page: 18 19 18 18 bop 0 83 a Fp(Durc)n(h)27 b(F)-7 b(ormalisierung)26 b(der)h(trans\014niten)h(Induktion)g(bis)f Fn(!)1966 95 y Fg(m)2057 83 y Fp(k)-5 b(ann)27 b(man)h(zeigen:)0 203 y(Z)23 b Fl(`)g(8)p Fn(x)p Fl(9)p Fn(y)s Fp(\()p Fn(f)9 b(m)p 414 216 73 4 v -1 w(xy)26 b Fp(=)d(0\),)55 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(jedes)h Fn(m)23 b Fl(2)h Fp(I)-14 b(N.)0 521 y Fo(13)37 b(Ein)g(Unabh)o(\177)-55 b(angigk)m(eitsresultat) 27 b Fp(\(Go)r(o)r(dstein-F)-7 b(olgen\))0 732 y Fm(De\014nition)0 852 y Fl(S)6 b Fp(\()p Fn(m;)14 b(b)p Fp(\))29 b(w)n(erde)e(durc)n(h)h (folgenden)f(Algorithm)n(us)h(b)r(erec)n(hnet:)37 b(Man)28 b(en)n(t)n(wic)n(kle)g Fn(m)g Fp(\\v)n(ollst\177)-42 b(andig")25 b(zur)j(Basis)f Fn(b)h Fp(und)0 971 y(ersetze)f(in)h(der)f (so)g(gew)n(onnenen)f(Darstellung)h Fn(b)h Fp(durc)n(h)f Fn(b)18 b Fp(+)g(1;)27 b(der)g(Zahlen)n(w)n(ert)f(des)i(neuen)g (Ausdruc)n(ks)f(sei)g Fl(S)6 b Fp(\()p Fn(m;)14 b(b)p Fp(\).)0 1091 y(GS\()p Fn(a;)g Fp(0\))23 b(:=)g(GS\()p Fn(a;)14 b Fp(1\))23 b(:=)g Fn(a;)60 b Fp(GS\()p Fn(a;)14 b(n)k Fp(+)g(1\))23 b(:=)g Fl(S)6 b Fp(\(GS)q(\()p Fn(a;)14 b(n)p Fp(\))p Fn(;)g(n)k Fp(+)g(1\))p Fl(\000)2250 1074 y(\001)2300 1091 y Fp(1)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b Fn(n)c Fl(\025)g Fp(1.)0 1210 y(Die)29 b(F)-7 b(olge)28 b(\(GS)q(\()p Fn(a;)14 b(n)p Fp(\)\))742 1222 y Fg(n)p Fi(2)p Fh(I)-11 b(N)922 1210 y Fp(\(w)n(ob)r(ei)29 b Fn(a)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)q(\))29 b(hei\031t)f Fk(Go)r(o)r(dstein-F)-7 b(olge)28 b Fp(v)n(on)g Fn(a)p Fp(.)40 b(Wir)28 b(w)n(erden)g(zeigen,)g (da\031)g(jede)0 1330 y(Go)r(o)r(dstein-F)-7 b(olge)27 b(terminiert)g(\(d.h.)38 b Fl(8)p Fn(a)p Fl(9)p Fn(n:)p Fp(GS)o(\()p Fn(a;)14 b(n)p Fp(\))23 b(=)g(0\),)k(und,)i(da\031)d (diese)i(T)-7 b(atsac)n(he)26 b(nic)n(h)n(t)i(in)g(Z)f(b)r(ew)n(eisbar) f(ist.)0 1491 y Fm(De\014nition)0 1611 y Fp(G)65 1623 y Fg(n)110 1611 y Fp(\(0\))d(:=)g(0)p Fn(;)37 b Fp(G)517 1623 y Fg(n)562 1611 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f(1\))23 b(:=)g(G)1022 1623 y Fg(n)1067 1611 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)e(1)p Fn(;)36 b Fp(G)1453 1623 y Fg(n)1498 1611 y Fp(\()p Fn(\025)p Fp(\))24 b(:=)f(G)1810 1623 y Fg(n)1855 1611 y Fp(\()p Fn(\025)p Fp([)p Fn(n)p Fp(]\).)0 1730 y(P)57 1742 y Fg(n)102 1730 y Fp(\(0\))g(:=)g(0)p Fn(;)36 b Fp(P)500 1742 y Fg(n)545 1730 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f(1\))23 b(:=)f Fn(\013;)61 b Fp(P)1133 1742 y Fg(n)1178 1730 y Fp(\()p Fn(\025)p Fp(\))24 b(:=)e(P)1481 1742 y Fg(n)1526 1730 y Fp(\()p Fn(\025)p Fp([)p Fn(n)p Fp(]\).)0 1891 y Fm(Lemma)30 b(13.1)0 2011 y Fp(a\))d(G)166 2023 y Fg(n)212 2011 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f Fn(\014)t Fp(\))24 b(=)e(G)658 2023 y Fg(n)704 2011 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)f(G)988 2023 y Fg(n)1033 2011 y Fp(\()p Fn(\014)t Fp(\),)29 b(falls)f Fn(N)9 b(F)j Fp(\()p Fn(\013;)i(\014)t Fp(\).)0 2130 y(b\))28 b(G)171 2142 y Fg(n)216 2130 y Fp(\()p Fn(!)303 2100 y Fg(\013)351 2130 y Fp(\))23 b(=)g(\()p Fn(n)18 b Fp(+)g(1\))751 2100 y Fh(G)802 2108 y Fe(n)843 2100 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(\))942 2130 y Fp(.)0 2250 y(c\))28 b(G)162 2262 y Fg(n)207 2250 y Fp(\(P)296 2262 y Fg(n)341 2250 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\)\))d(=)d(G)667 2262 y Fg(n)712 2250 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))p Fl(\000)848 2233 y(\001)900 2250 y Fp(1.)0 2369 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 2489 y Fp(a\))h(G)167 2501 y Fg(n)212 2489 y Fp(\()p Fn(\013)20 b Fp(+)e(0\))k(=)h(G)649 2501 y Fg(n)694 2489 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)e(0)k(=)h(G)1131 2501 y Fg(n)1176 2489 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)e(G)1461 2501 y Fg(n)1506 2489 y Fp(\(0\);)37 b(G)1737 2501 y Fg(n)1783 2489 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f Fn(\014)23 b Fp(+)18 b(1\))k(=)h(G)2372 2501 y Fg(n)2417 2489 y Fp(\()p Fn(\013)d Fp(+)e Fn(\014)t Fp(\))h(+)f(1)k(=)h(G)3007 2501 y Fg(n)3052 2489 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)e(G)3337 2501 y Fg(n)3382 2489 y Fp(\()p Fn(\014)t Fp(\))h(+)f(1)23 b(=)0 2609 y(G)65 2621 y Fg(n)110 2609 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)e(G)395 2621 y Fg(n)440 2609 y Fp(\()p Fn(\014)23 b Fp(+)18 b(1\);)37 b(G)824 2621 y Fg(n)869 2609 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)g Fn(\025)p Fp(\))k(=)g(G)1313 2621 y Fg(n)1358 2609 y Fp(\()p Fn(\013)c Fp(+)f Fn(\025)p Fp([)p Fn(n)p Fp(]\))24 b(=)f(G)1898 2621 y Fg(n)1943 2609 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))d(+)e(G)2228 2621 y Fg(n)2273 2609 y Fp(\()p Fn(\025)p Fp([)p Fn(n)p Fp(]\))24 b(=)f(G)2658 2621 y Fg(n)2703 2609 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))c(+)f(G)2987 2621 y Fg(n)3033 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Fl(\001)g Fp(\()p Fn(n)g Fp(+)f(1\))22 b(=)g(\()p Fn(n)16 b Fp(+)f(1\))2107 2818 y Fh(G)2158 2826 y Fe(n)2199 2818 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(\))2314 2848 y Fl(\001)g Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\))22 b(=)g(\()p Fn(n)16 b Fp(+)f(1\))2965 2818 y Fh(G)3016 2826 y Fe(n)3057 2818 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(\)+1)3263 2848 y Fp(=)22 b(\()p Fn(n)16 b Fp(+)f(1\))3602 2818 y Fh(G)3653 2826 y Fe(n)3694 2818 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(+1\))3877 2848 y Fp(.)0 2967 y(c\))28 b(G)162 2979 y Fg(n)207 2967 y Fp(\(P)296 2979 y Fg(n)341 2967 y Fp(\(0\)\))c(=)e(G)655 2979 y Fg(n)701 2967 y Fp(\(0\))h(=)f(0)h(=)g(G)1135 2979 y Fg(n)1180 2967 y Fp(\(0\))p Fl(\000)1305 2951 y(\001)1355 2967 y Fp(1;)37 b(G)1522 2979 y Fg(n)1567 2967 y Fp(\(P)1656 2979 y Fg(n)1701 2967 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f(1\)\))23 b(=)g(G)2170 2979 y Fg(n)2215 2967 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))h(=)f(G)2509 2979 y Fg(n)2554 2967 y Fp(\()p Fn(\013)c Fp(+)f(1\))p Fl(\000)2834 2951 y(\001)2884 2967 y Fp(1;)0 3087 y(G)65 3099 y Fg(n)110 3087 y Fp(\(P)199 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Fp(\(P)2800 3899 y Fg(n)p Fh(+1)2930 3887 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\)\).)0 4007 y(c\))28 b Fn(n)23 b Fl(\025)f Fp(1)46 b Fl(\))g(8)p Fn(a)22 b Fl(2)i Fp(I)-14 b(N)p Fl(9)p Fp(!)p Fn(\013)p Fl(2)q Fp(M)998 4019 y Fg(n)1043 4007 y Fp(\()p Fn(a)24 b Fp(=)e(G)1295 4019 y Fg(n)1341 4007 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\)\).)0 4126 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 4246 y Fp(a\))g(Induktion)h (nac)n(h)f Fn(\014)t Fp(:)0 4365 y(Sei)h Fn(\013)23 b Fp(=)g Fn(!)353 4335 y Fg(\013)396 4343 y Ff(0)451 4365 y Fl(\001)18 b Fn(n)542 4377 y Fh(0)598 4365 y Fp(+)g Fn(:::)g Fp(+)g Fn(!)906 4335 y Fg(\013)949 4344 y Fe(k)1008 4365 y Fl(\001)h Fn(n)1100 4377 y Fg(k)1168 4365 y Fp(mit)28 b Fn(\013)1373 4377 y Fg(k)1437 4365 y Fn(<)23 b(:::)g(<)g(\013)1758 4377 y Fh(0)1795 4365 y Fp(,)28 b(und)g Fn(\014)f Fp(=)c Fn(!)2229 4335 y Fg(\014)2267 4343 y Ff(0)2321 4365 y Fl(\001)c Fn(m)2436 4377 y Fh(0)2491 4365 y Fp(+)f Fn(:::)h Fp(+)f Fn(!)2800 4335 y Fg(\014)2838 4344 y Fe(l)2884 4365 y Fl(\001)g Fn(m)2998 4377 y Fg(l)3052 4365 y Fp(mit)28 b Fn(\014)3251 4377 y Fg(l)3299 4365 y Fn(<)23 b(:::)g(<)g(\014)3614 4377 y Fh(0)3651 4365 y Fp(.)0 4485 y(W)-7 b(egen)28 b Fn(\013)23 b(<)g(\014)32 b Fp(gilt)27 b(dann)h Fn(\013)919 4497 y Fh(0)979 4485 y Fl(\024)23 b Fn(\014)1114 4497 y Fh(0)1151 4485 y Fp(.)0 4604 y(1.)36 b Fn(\013)154 4616 y Fh(0)215 4604 y Fn(<)23 b(\014)350 4616 y Fh(0)387 4604 y Fp(:)37 b(Nac)n(h)27 b(I.V.)h(hab)r(en)g(wir)f(dann)g(G)1487 4616 y Fg(n)1533 4604 y Fp(\()p Fn(\013)1618 4616 y Fg(k)1659 4604 y Fp(\))c Fn(<)g(:::)g(<)g Fp(G)2047 4616 y Fg(n)2092 4604 y Fp(\()p Fn(\013)2177 4616 y Fh(0)2215 4604 y Fp(\))g Fn(<)g Fp(G)2423 4616 y Fg(n)2468 4604 y Fp(\()p Fn(\014)2547 4616 y Fh(0)2585 4604 y Fp(\).)0 4724 y(Daraus)k(folgt)g(G)542 4736 y Fg(n)587 4724 y Fn(\013)d Fp(=)751 4662 y Fb(P)839 4749 y Fg(i)p Fi(\024)p Fg(k)955 4724 y Fp(\()p Fn(n)19 b Fp(+)f(1\))1213 4694 y Fh(G)1264 4702 y Fe(n)1305 4694 y Fh(\()p Fg(\013)1374 4702 y Fe(i)1400 4694 y Fh(\))1449 4724 y Fl(\001)g Fn(n)1540 4736 y Fg(i)1591 4724 y Fn(<)k Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(1\))1936 4694 y Fh(G)1987 4702 y Fe(n)2028 4694 y Fh(\()p Fg(\013)2097 4702 y Ff(0)2129 4694 y Fh(\)+1)2267 4724 y Fl(\024)k Fp(\()p Fn(n)d Fp(+)f(1\))2612 4694 y Fh(G)2663 4702 y Fe(n)2704 4694 y Fh(\()p Fg(\014)2768 4702 y Ff(0)2800 4694 y Fh(\))2853 4724 y Fl(\024)k Fp(G)3005 4736 y Fg(n)3051 4724 y Fp(\()p Fn(\014)t Fp(\).)0 4843 y(2.)39 b Fn(\013)157 4855 y Fh(0)218 4843 y Fp(=)22 b Fn(\014)352 4855 y Fh(0)390 4843 y Fp(:)38 b(Dann)29 b(existieren)36 b(~)-50 b Fn(\013)24 b(<)1226 4822 y Fp(~)1214 4843 y Fn(\014)k(<)22 b(\014)33 b Fp(mit)c Fn(\013)24 b Fp(=)e Fn(!)1828 4813 y Fg(\013)1871 4821 y Ff(0)1926 4843 y Fp(+)27 b(~)-51 b Fn(\013)q Fp(,)29 b Fn(\014)e Fp(=)c Fn(!)2332 4813 y Fg(\013)2375 4821 y Ff(0)2430 4843 y Fp(+)2524 4822 y(~)2513 4843 y Fn(\014)t Fp(,)29 b(G)2681 4855 y Fg(n)2726 4843 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))24 b(=)f(G)3020 4855 y Fg(n)3065 4843 y Fp(\()p Fn(!)3152 4813 y Fg(\013)3195 4821 y Ff(0)3232 4843 y 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Fg(i)2414 83 y Fn(;)14 b(n)k Fp(+)h(1\))j(=)2787 21 y Fb(P)2875 108 y Fg(i)p Fi(\024)p Fg(k)2991 83 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)g(2\))3248 53 y Fi(S)t Fh(\()p Fg(a)3355 61 y Fe(i)3382 53 y Fg(;n)p Fh(+1\))3575 83 y Fl(\001)g Fn(n)3666 95 y Fg(i)3717 83 y Fp(=)0 140 y Fb(P)88 227 y Fg(i)p Fi(\024)p Fg(k)204 203 y Fp(\()p Fn(n)g Fp(+)g(2\))461 172 y Fg(b)490 180 y Fe(i)539 203 y Fl(\001)h Fn(n)631 215 y Fg(i)681 203 y Fp(=)k(G)834 215 y Fg(n)p Fh(+1)963 203 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\).])0 322 y(c\))28 b(Man)g(nehme)g(die)h(v)n(ollst\177) -42 b(andige)26 b(En)n(t)n(wic)n(klung)h(v)n(on)g Fn(a)h Fp(zur)g(Basis)f Fn(n)18 b Fp(+)g(1)28 b(und)g(ersetze)f(darin)h Fn(n)18 b Fp(+)g(1)28 b(durc)n(h)f Fn(!)s Fp(;)h(das)0 442 y(liefert)g(ein)g Fn(\013)c Fl(2)f Fp(M)603 454 y Fg(n)677 442 y Fp(mit)28 b(G)894 454 y Fg(n)940 442 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))c(=)e Fn(a)p Fp(.)38 b(Die)29 b(Eindeutigk)n(eit)e(folgt)h(aus)f(13.2a.)37 b(\(Beim)28 b(Bew)n(eis)f(v)n(on)g(G)3273 454 y Fg(n)3319 442 y Fp(\()p Fn(\013)p 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Fn(\013)244 932 y Fg(k)308 920 y Fn(<)c(:::)g(<)g(\013)629 932 y Fh(0)666 920 y Fp(,)28 b(also)f Fn(\013)c Fp(:=)g Fn(!)1126 890 y Fg(\013)1169 898 y Ff(0)1224 920 y Fl(\001)18 b Fn(n)1315 932 y Fh(0)1371 920 y Fp(+)g Fn(:::)g Fp(+)g Fn(!)1679 890 y Fg(\013)1722 899 y Fe(k)1781 920 y Fl(\001)g Fn(n)1872 932 y Fg(k)1936 920 y Fl(2)24 b Fp(M)2091 932 y Fg(n)2164 920 y Fp(und)k(\(nac)n(h)f(13.1a,b\))f(G)2941 932 y Fg(n)2987 920 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))e(=)e Fn(a)p Fp(.])521 b Fl(4)0 1081 y Fm(Lemma)30 b(13.3)0 1200 y Fp(a\))d(P)158 1212 y Fg(n)203 1200 y Fp(\()p Fn(\013)19 b Fp(+)f Fn(\014)t Fp(\))24 b(=)f Fn(\013)c Fp(+)f(P)797 1212 y Fg(n)841 1200 y Fp(\()p Fn(\014)t Fp(\),)29 b(falls)e Fn(N)-5 b(F)12 b Fp(\()p Fn(\013;)i(\014)t Fp(\).)0 1320 y(b\))28 b(P)163 1332 y Fg(n)208 1320 y Fp(\()p Fn(!)295 1290 y Fg(\013)342 1320 y Fp(\))23 b(=)g(P)542 1332 y Fg(n)587 1320 y Fp(\()p Fn(!)674 1290 y Fh(P)719 1298 y Fe(n)759 1290 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(\))877 1320 y Fl(\001)18 b Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\)\))23 b(=)g Fn(!)1374 1290 y Fh(P)1419 1298 y Fe(n)1459 1290 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(\))1576 1320 y Fl(\001)c Fn(n)f Fp(+)g(P)1826 1332 y Fg(n)1871 1320 y Fp(\()p Fn(!)1958 1290 y Fh(P)2003 1298 y Fe(n)2043 1290 y Fh(\()p Fg(\013)p Fh(\))2142 1320 y Fp(\),)28 b(falls)g Fn(\013)23 b(>)g Fp(0.)0 1440 y(c\))28 b Fn(\013)23 b Fl(2)h Fp(M)328 1452 y Fg(n)419 1440 y Fl(\))46 b Fp(P)605 1452 y Fg(n)650 1440 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))24 b Fl(2)f Fp(M)945 1452 y Fg(n)991 1440 y Fp(.)0 1559 y Fj(Bew)n(eis)k(:)0 1679 y Fp(a\))g(klar.)0 1798 y(b\))h(Es)f(m)n(u\031)g(n)n(ur)g(die)h(erste)f(Gleic)n(h)n(ung)g (b)r(ewiesen)h(w)n(erden;)f(die)h(zw)n(eite)f(folgt)g(aus)g(a\).)37 b(|)28 b(Induktion)g(nac)n(h)f Fn(\013)p Fp(:)0 1918 y(1.)36 b(P)158 1930 y Fg(n)203 1918 y Fp(\()p Fn(!)290 1888 y Fg(\013)p Fh(+1)421 1918 y Fp(\))24 b(=)e(P)621 1930 y Fg(n)666 1918 y Fp(\()p Fn(!)753 1888 y Fg(\013)819 1918 y Fl(\001)c Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\)\))46 b(&)g Fn(\013)23 b Fp(=)g(P)1528 1930 y Fg(n)1573 1918 y Fp(\()p Fn(\013)c Fp(+)f(1\).)0 2037 y(2.)36 b(P)158 2049 y Fg(n)203 2037 y Fp(\()p Fn(!)290 2007 y Fg(\025)334 2037 y Fp(\))23 b(=)g(P)534 2049 y Fg(n)578 2037 y Fp(\()p Fn(!)665 2007 y Fg(\025)p Fh([)p Fg(n)p Fh(])787 2037 y Fp(\))h(=)e(P)987 2049 y Fg(n)1032 2037 y Fp(\()p Fn(!)1119 2007 y Fh(P)1164 2015 y Fe(n)1204 2007 y Fh(\()p Fg(\025)p Fh([)p Fg(n)p Fh(]\))1397 2037 y Fl(\001)c Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\)\))23 b(=)g(P)1896 2049 y Fg(n)1940 2037 y Fp(\()p Fn(!)2027 2007 y Fh(P)2072 2015 y Fe(n)2113 2007 y Fh(\()p Fg(\025)p Fh(\))2227 2037 y Fl(\001)18 b Fp(\()p Fn(n)h Fp(+)f(1\)\).)0 2157 y(c\))28 b(Induktion)g(nac)n(h)f Fn(\013)p Fp(:)0 2276 y(1.)39 b(Sei)29 b Fn(\013)23 b Fp(=)g Fn(\013)456 2288 y Fh(0)512 2276 y Fp(+)18 b Fn(!)650 2246 y Fg(\014)723 2276 y Fp(mit)29 b Fn(\013)929 2288 y Fh(0)989 2276 y Fn(>)23 b Fp(0)14 b(&)g Fn(N)-5 b(F)12 b Fp(\()p Fn(\013)1424 2288 y Fh(0)1460 2276 y Fn(;)i(!)1552 2246 y Fg(\014)1596 2276 y Fp(\).)40 b(Dann)29 b(auc)n(h)f Fn(\013)2167 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Fp(\))24 b(=)e Fn(\013)840 2528 y Fh(0)896 2516 y Fp(+)c(P)1036 2528 y Fg(n)1081 2516 y Fp(\()p Fn(!)1168 2485 y Fg(\014)1213 2516 y Fp(\).)0 2635 y(2.)37 b(Sei)28 b Fn(\013)23 b Fp(=)g Fn(!)455 2605 y Fg(\014)545 2635 y Fp(&)46 b Fn(\014)27 b Fl(6)p Fp(=)c(0.)37 b(Dann)28 b Fn(\014)f Fl(2)d Fp(M)1374 2647 y Fg(n)1419 2635 y Fp(,)k(und)g(nac)n(h)f(b\))h(gilt)g(P)2143 2647 y Fg(n)2188 2635 y Fp(\()p Fn(!)2275 2605 y Fg(\014)2320 2635 y Fp(\))23 b(=)g Fn(!)2518 2605 y Fh(P)2563 2613 y Fe(n)2603 2605 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))2718 2635 y Fl(\001)18 b Fn(n)g Fp(+)h(P)2968 2647 y Fg(n)3012 2635 y Fp(\()p Fn(!)3099 2605 y Fh(P)3144 2613 y Fe(n)3184 2605 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))3281 2635 y Fp(\).)38 b(Mit)28 b(I.V.)g(folgt)0 2755 y(P)57 2767 y Fg(n)102 2755 y Fp(\()p Fn(\014)t Fp(\))c Fl(2)f Fp(M)395 2767 y Fg(n)469 2755 y Fp(und)28 b(w)n(eiter)g Fn(!)938 2725 y Fh(P)983 2733 y Fe(n)1023 2725 y Fg(\014)1091 2755 y Fl(2)23 b Fp(M)1245 2767 y Fg(n)1291 2755 y Fp(.)39 b(W)-7 b(egen)28 b Fn(!)1676 2725 y Fh(P)1721 2733 y Fe(n)1761 2725 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))1881 2755 y Fn(<)22 b(\013)29 b Fp(folgt)f(daraus)f(nac)n(h)h(I.V.)g(P)2931 2767 y Fg(n)2976 2755 y Fp(\()p Fn(!)3063 2725 y Fh(P)3108 2733 y Fe(n)3148 2725 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))3245 2755 y Fp(\))23 b Fl(2)h Fp(M)3455 2767 y Fg(n)3500 2755 y Fp(.)39 b(Mit)0 2874 y(P)57 2886 y Fg(n)102 2874 y Fp(\()p Fn(!)189 2844 y Fh(P)234 2852 y Fe(n)274 2844 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))371 2874 y Fp(\))23 b Fn(<)g(!)569 2844 y Fh(P)614 2852 y Fe(n)654 2844 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))778 2874 y Fp(folgt)k(w)n(eiter)g Fn(!)1271 2844 y Fh(P)1316 2852 y Fe(n)1356 2844 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))1471 2874 y Fl(\001)19 b Fn(n)f Fp(+)g(P)1721 2886 y Fg(n)1766 2874 y Fp(\()p Fn(!)1853 2844 y Fh(P)1898 2852 y Fe(n)1938 2844 y Fh(\()p Fg(\014)s Fh(\))2035 2874 y Fp(\))23 b Fl(2)h Fp(M)2245 2886 y Fg(n)2290 2874 y Fp(.)1513 b Fl(4)0 3035 y Fm(Lemma)30 b(13.4)0 3155 y Fn(\013)23 b Fl(2)h Fp(M)231 3167 y Fh(1)314 3155 y Fp(&)46 b Fn(n)23 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Fn(n)f Fp(mit)h(P)420 4045 y Fg(n)465 4033 y Fn(:::)p Fp(P)591 4045 y Fh(2)628 4033 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))c(=)f(0.)36 b(Es)27 b(folgt)h(GS\()p Fn(a;)14 b(n)p Fp(\))23 b(=)g(GS\(G)1892 4045 y Fh(1)1930 4033 y Fp(\()p Fn(\013)p Fp(\))p Fn(;)14 b(n)p Fp(\))24 b(=)e(G)2342 4045 y Fg(n)2388 4033 y Fp(\(0\))h(=)g(0)p Fn(:)1156 b Fl(4)0 4244 y Fm(De\014nition)0 4364 y Fn(h)48 4376 y Fh(0)85 4364 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))24 b(:=)e Fn(n;)97 b(h)551 4376 y Fg(\013)p Fh(+1)682 4364 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))24 b(:=)e Fn(h)978 4376 y Fg(\013)1026 4364 y Fp(\()p Fn(n)c Fp(+)g(1\))p Fn(;)97 b(h)1451 4376 y Fg(\025)1494 4364 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))24 b(:=)e Fn(h)1790 4379 y Fg(\025)p Fh([)p Fg(n)p Fh(])1912 4364 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\).)0 4525 y Fm(Lemma)30 b(13.5)81 b Fn(H)660 4537 y Fg(\013)708 4525 y Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))23 b Fl(\024)g Fn(h)981 4537 y Fg(\013)1028 4525 y Fp(\()p Fn(n)18 b Fp(+)g(1\).)0 4644 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 4764 y Fp(1.)36 b Fn(\013)24 b Fp(=)f Fn(\014)f Fp(+)c(1:)37 b 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Fl(\))i(9)p Fn(p)p Fl(8)p Fn(m)22 b Fl(\025)g Fn(p)p Fl(9)p Fn(n)h(<)g(H)1956 1704 y Fg(!)1998 1712 y Fe(p)2036 1692 y Fp(\()p Fn(m)p Fp(\))p Fn(:)14 b Fp(GS)q(\()p Fn(e)p Fp(\()p Fn(m)p Fp(\))19 b(+)f Fn(m;)c(n)p Fp(\))23 b(=)g(0)45 b Fl(\))0 1812 y(\))h(9)p Fn(p)p Fp(\()14 b(min)q Fl(f)p Fn(n)22 b Fp(:)h(GS\()p Fn(e)p Fp(\()p Fn(p)p Fp(\))c(+)f Fn(p;)c(n)p Fp(\))23 b(=)g(0)p Fl(g)f Fn(<)g(H)1486 1824 y Fg(!)1528 1832 y Fe(p)1567 1812 y Fp(\()p Fn(p)p Fp(\))14 b(\))p Fn(:)0 1942 y Fp(GS\()p Fn(e)p Fp(\()p Fn(p)p Fp(\))19 b(+)f Fn(p;)c(n)p Fp(\))23 b(=)g(0)45 b Fl(,)h Fp(GS)q(\(G)1087 1954 y Fh(1)1124 1942 y Fp(\()p Fn(!)1208 1954 y Fg(p)1265 1942 y Fp(+)18 b Fn(p)p Fp(\))p Fn(;)c(n)p Fp(\))23 b(=)g(0)1730 1894 y Fh(13)p Fg(:)p Fh(4)1748 1942 y Fl(,)64 b Fp(G)1960 1954 y Fg(n)2006 1942 y Fp(\(P)2095 1954 y Fg(n)2140 1942 y Fn(:::)p Fp(P)2266 1954 y Fh(2)2303 1942 y Fp(\()p Fn(!)2387 1954 y Fg(p)2443 1942 y Fp(+)18 b Fn(p)p Fp(\)\))24 b(=)e(0)46 b Fl(,)g Fp(P)3017 1954 y Fg(n)3062 1942 y Fn(:::)p Fp(P)3188 1954 y Fh(2)3225 1942 y Fp(\()p Fn(!)3309 1954 y Fg(p)3366 1942 y Fp(+)18 b Fn(p)p Fp(\))23 b(=)f(0.)0 2061 y(Mit)28 b(13.5)e(und)i(13.6b)f(folgt:)37 b Fn(H)1015 2073 y Fg(!)1057 2081 y Fe(p)1091 2073 y Fh(+)p Fg(p)1181 2061 y Fp(\(1\))23 b Fl(\024)f Fn(h)1445 2073 y Fg(!)1487 2081 y Fe(p)1522 2073 y Fh(+)p Fg(p)1611 2061 y Fp(\(2\))h(=)g(min)p Fl(f)p Fn(n)g Fl(\025)f Fp(2)h(:)g(P)2336 2073 y Fg(n)p Fi(\000)p Fh(1)2466 2061 y Fn(:::)p Fp(P)2592 2073 y Fh(2)2629 2061 y Fp(\()p Fn(!)2713 2073 y Fg(p)2769 2061 y Fp(+)c Fn(p)p Fp(\))k(=)f(0)p Fl(g)g Fp(=)0 2181 y(=)h(min)p Fl(f)p Fn(n)f Fp(:)i(GS\()p Fn(e)p Fp(\()p Fn(p)p Fp(\))19 b(+)f Fn(p;)c(n)k Fl(\000)g Fp(1\))k(=)h(0)p Fl(g)f(\024)h Fn(H)1454 2193 y Fg(!)1496 2201 y Fe(p)1535 2181 y Fp(\()p Fn(p)p Fp(\))g(=)g Fn(H)1821 2193 y Fg(!)1863 2201 y Fe(p)1897 2193 y Fh(+)p Fg(p)1987 2181 y Fp(\(0\))g Fn(<)f(H)2272 2193 y Fg(!)2314 2201 y Fe(p)2349 2193 y Fh(+)p Fg(p)2438 2181 y Fp(\(1\).)38 b Fk(Widerspruc)n(h)p Fp(.)735 b Fl(4)0 2499 y Fo(14)37 b(Elemen)m(tare)f(Rekursionstheorie)0 2710 y Fm(De\014nition)0 2830 y Fp(Eine)27 b Fn(n)p Fk(-stellige)g (partielle)g(F)-7 b(unktion)28 b Fp(ist)g(eine)f(F)-7 b(unktion)28 b Fn(f)37 b Fp(mit)28 b(dom\()p Fn(f)9 b Fp(\))23 b Fl(\022)g Fp(I)-14 b(N)2552 2794 y Fg(n)2625 2830 y Fp(und)28 b(ran)o(\()p Fn(f)9 b Fp(\))23 b Fl(\022)g Fp(I)-14 b(N.)0 2949 y(Sc)n(hreib)n(w)n(eise:)35 b Fn(f)d Fp(:)23 b(I)-14 b(N)708 2913 y Fg(n)782 2898 y Fh(part)776 2949 y Fl(\000)g(!)23 b Fp(I)-14 b(N.)0 3094 y(Wir)28 b(legen)f(hier)g(den)h(mengen)n(theoretisc)n(hen)e(F)-7 b(unktionsb)r(egri\013)28 b(aus)f(Absc)n(hnitt)i(7)e(zugrunde,)g(w)n (onac)n(h)f(eine)i(F)-7 b(unktion)0 3213 y(iden)n(tisc)n(h)27 b(mit)i(ihrem)e(Graph)g(ist.)37 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g Fn(n)p Fp(-stellige)e(partielle)h(F)-7 b(unktion)28 b Fn(f)37 b Fp(gilt)27 b(also)g Fn(f)k Fl(\022)23 b Fp(I)-14 b(N)3137 3177 y Fg(n)3200 3213 y Fl(\002)18 b Fp(I)-14 b(N)q(.)0 3358 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 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b(ahlbar.)0 442 y Fn(f)36 b Fp(hei\031t)28 b Fk(total)50 b Fp(:)p Fl(,)c Fp(dom\()p Fn(f)9 b Fp(\))23 b(=)g(I)-14 b(N)1118 405 y Fg(n)1164 442 y Fp(.)0 603 y Fm(Bemerkung:)0 722 y Fp(Eine)27 b(F)-7 b(unktion)28 b Fn(f)k Fp(:)23 b(I)-14 b(N)741 686 y Fg(n)816 671 y Fh(part)810 722 y Fl(\000)f(!)24 b Fp(I)-14 b(N)28 b(ist)f(genau)g(dann)h(rekursiv,)e(w)n(enn)h(sie)h (partiell-rekursiv)d(und)j(total)g(ist.)0 883 y Fm(Satz)33 b(14.1)0 1003 y Fp(Die)26 b(Menge)g(aller)f(partiell-rekursiv)n(en)e(F) -7 b(unktionen)26 b(ist)g(die)g(kleinste)g(F)-7 b(unktionenmenge)26 b Fl(P)j Fp(=)3101 941 y Fb(S)3171 1028 y Fg(n)p Fi(2)p Fh(I)-11 b(N)3336 1003 y Fl(P)3401 973 y Fg(n)3446 1003 y Fp(,)26 b(f)r(\177)-44 b(ur)26 b(die)g(gilt:)0 1122 y(1.)36 b Fm(0)149 1092 y Fg(n)194 1122 y Fn(;)28 b Fd(S)p Fn(;)g Fd(I)363 1085 y Fg(n)363 1143 y(i)431 1122 y Fl(2)c(P)7 b Fp(,)0 1242 y(2.)36 b Fn(h)23 b Fl(2)h(P)316 1212 y Fg(m)425 1242 y Fp(&)45 b Fn(g)575 1254 y Fh(1)612 1242 y Fn(;)14 b(:::;)g(g)795 1254 y Fg(m)881 1242 y Fl(2)23 b(P)1024 1212 y Fg(n)1115 1242 y Fp(&)46 b Fn(m;)14 b(n)22 b Fl(\025)h Fp(1)46 b Fl(\))g Fp(\()p Fl(\016)p Fn(hg)1875 1254 y Fh(1)1911 1242 y Fn(:::g)2020 1254 y Fg(m)2083 1242 y Fp(\))24 b Fl(2)f(P)2282 1212 y Fg(n)2327 1242 y Fp(,)0 1362 y(3.)36 b Fn(g)26 b Fl(2)e(P)311 1331 y Fg(n)401 1362 y Fp(&)46 b Fn(h)23 b Fl(2)g(P)726 1331 y Fg(n)p Fh(+2)901 1362 y Fl(\))46 b Fp(\()p Fd(R)q Fn(g)s(h)p Fp(\))23 b Fl(2)g(P)1403 1331 y Fg(n)p Fh(+1)1532 1362 y Fp(,)0 1481 y(4.)36 b Fn(g)26 b Fl(2)e(P)311 1451 y Fg(n)p Fh(+1)485 1481 y Fl(\))47 b Fp(\()p Fn(\026g)s Fp(\))23 b Fl(2)g(P)938 1451 y Fg(n)983 1481 y Fp(.)0 1601 y Fj(Bew)n(eis)k(:)37 b Fp(klar.)f(\(V)-7 b(ergl.)27 b(Bew)n(eis)g(v)n(on)g(4.15.\))0 1762 y Fm(Korollar)0 1881 y Fp(Ist)h Fn(R)23 b Fl(\022)g Fp(I)-14 b(N)375 1845 y Fg(n)p Fh(+1)532 1881 y Fp(rekursiv,)27 b(so)g(ist)g(die)h(durc) n(h)55 b Fn(f)9 b Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b(:)p Fl(')g Fn(\026y)s(:R)q Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)o(;)14 b(y)s Fp(\))56 b(de\014nierte)27 b(F)-7 b(unktion)28 b Fn(f)36 b Fp(partiell-rekursiv.)0 2042 y Fm(Ch)m(urc)m(hsc)m(he)e (These)0 2162 y Fp(Eine)27 b(F)-7 b(unktion)28 b Fn(f)k Fp(:)23 b(I)-14 b(N)741 2126 y Fg(n)816 2111 y Fh(part)810 2162 y Fl(\000)f(!)24 b Fp(I)-14 b(N)28 b(ist)f(genau)g(dann)h(im)g(in) n(tuitiv)n(en)g(Sinn)g(b)r(erec)n(hen)n(bar,)e(w)n(enn)h(sie)h (partiell-rekursiv)d(ist.)0 2323 y Fm(Lemma)30 b(14.2)0 2443 y Fp(Eine)f(Relation)g Fn(Q)23 b Fl(\022)f Fp(I)-14 b(N)782 2406 y Fg(n)856 2443 y Fp(ist)30 b(genau)f(dann)g(rekursiv)f (aufz\177)-42 b(ahlbar,)28 b(w)n(enn)i(sie)f(De\014nitionsb)r(ereic)n (h)g(einer)0 2562 y Fn(n)p Fp(-st.)e(partiell-rekursiv)n(en)e(F)-7 b(unktion)28 b(ist.)0 2682 y Fj(Bew)n(eis)f(:)0 2801 y Fp(1.)38 b(Sei)29 b Fn(Q)f Fp(rekursiv)f(aufz\177)-42 b(ahlbar.)37 b(Dann)29 b(gibt)f(es)g(ein)h(primitiv)f(rekursiv)n(es)e Fn(g)31 b Fp(mit)e Fn(Q)23 b Fp(=)f Fl(f)-5 b Fn(~)-37 b(a)23 b Fp(:)37 b Fl(9)p Fn(b)14 b(g)s Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)o(;)14 b(b)p Fp(\))23 b(=)f(0)p Fl(g)p Fp(,)28 b(also)0 2921 y Fn(Q)23 b Fp(=)f(dom\(\()p Fn(\026g)s Fp(\)\))29 b(und)f(\()p Fn(\026g)s Fp(\))f(partiell-rekursiv.)0 3040 y(2.)39 b(Ist)28 b Fn(f)38 b Fp(partiell-rekursiv,)26 b(so)i(ist)g Fn(f)37 b Fp(rekursiv)27 b(aufz\177)-42 b(ahlbar,)28 b(und)h(folglic)n(h)f(auc)n(h)f(dom\()p Fn(f)9 b Fp(\))23 b(=)g Fl(f)-5 b Fn(~)-37 b(a)22 b Fp(:)37 b Fl(9)p Fn(b)14 b Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fp(\))23 b Fl(2)g Fn(f)9 b Fl(g)0 3160 y Fp(rekursiv)26 b(aufz\177)-42 b(ahlbar.)3102 b Fl(4)0 3321 y Fm(Satz)33 b(14.3)26 b Fp(\(Kleenesc)n(hes)h(Normalform-Theorem\))0 3440 y(Es)f(gibt)g(eine)g(primitiv)h(rekursiv)n(e)d(F)-7 b(unktion)27 b Fn(U)35 b Fp(und)26 b(zu)h(jedem)f Fn(n)d Fl(\025)f Fp(1)j(eine)i Fn(n)p Fp(-st.)f(primitiv)g(rekursiv)n(e)f (Relation)g Fd(T)3731 3403 y Fg(n)3776 3440 y Fp(,)i(so)0 3560 y(da\031)g(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)412 3530 y Fg(n)455 3560 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)q Fp(\))23 b(:)p Fl(')g Fn(U)9 b Fp(\()p Fn(\026y)s(:)p Fd(T)966 3523 y Fg(n)1011 3560 y Fp(\()p Fn(e;)g(~)-37 b(a;)14 b(y)s Fp(\)\))28 b(gilt:)0 3680 y Fl(ff)p Fn(e)p Fl(g)165 3649 y Fg(n)231 3680 y Fp(:)37 b Fn(e)23 b Fl(2)h Fp(I)-14 b(N)p Fl(g)23 b Fp(=)k(Menge)g(aller)g Fn(n)p Fp(-st.)g(partiell-rekursiv)n(en)e(F)-7 b(unktionen.)0 3824 y(Die)28 b(Relationen)f Fd(T)621 3787 y Fg(n)703 3824 y Fp(\()p Fn(n)c Fl(\025)g Fp(1\))k(hei\031en)g Fk(Kleenesc)n(he)g(T-Pr\177)-42 b(adik)-5 b(ate)p Fp(.)0 3944 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 4063 y Fp(De\014nition:)38 b Fn(S)l(b)502 4075 y Fh(0)538 4063 y Fp(\()p Fn(e)p Fp(\))23 b(:=)g Fn(e;)60 b(S)l(b)980 4075 y Fg(n)p Fh(+1)1108 4063 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(a)1260 4075 y Fh(1)1297 4063 y Fn(;)g(:::;)g(a)1484 4075 y Fg(n)p Fh(+1)1613 4063 y Fp(\))23 b(:=)g Fn(S)l(b)1862 4075 y Fg(n)1906 4063 y Fp(\()p Fj(Sub)q Fp(\()2103 4032 y Fc(d)2131 4063 y Fn(a)2175 4075 y Fg(n)p Fh(+1)p 2131 4096 174 4 v 2315 4032 a Fc(e)2343 4063 y Fn(;)2380 4032 y Fc(d)2407 4063 y Fn(v)2447 4075 y Fg(n)p Fh(+1)2588 4032 y Fc(e)2616 4063 y Fn(;)14 b(e)p Fp(\))p Fn(;)g(a)2805 4075 y Fh(1)2842 4063 y Fn(;)g(:::;)g(a)3029 4075 y Fg(n)3074 4063 y Fp(\).)0 4183 y(O\013en)n(bar)27 b(gilt:)119 b Fn(S)l(b)687 4195 y Fg(n)732 4183 y Fp(\()764 4151 y Fc(d)792 4183 y Fn(A)866 4151 y Fc(e)893 4183 y Fn(;)14 b(a)974 4195 y Fh(1)1011 4183 y Fn(;)g(:::;)g(a)1198 4195 y Fg(n)1243 4183 y Fp(\))24 b(=)1386 4151 y Fc(d)1414 4183 y Fn(A)1476 4195 y Fg(v)1509 4203 y Ff(1)1542 4195 y Fg(;:::;v)1675 4203 y Fe(n)1718 4183 y Fp(\()p Fn(a)1794 4195 y Fh(1)p 1750 4208 82 4 v 1832 4183 a Fn(;)14 b(:::;)g(a)2019 4195 y Fg(n)p 1975 4208 90 4 v 2064 4183 a Fp(\))2108 4151 y Fc(e)2135 4183 y Fp(.)0 4302 y(De\014nition:)0 4422 y Fd(T)54 4385 y Fg(n)99 4422 y Fp(\()p Fn(e;)g(a)251 4434 y Fh(1)288 4422 y Fn(;)g(:::;)g(a)475 4434 y Fg(n)520 4422 y Fn(;)g(c)p Fp(\))46 b(:)p Fl(,)g Fp(\()p Fn(S)l(b)938 4434 y Fg(n)p Fh(+2)1067 4422 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(\031)1222 4434 y Fh(1)1259 4422 y Fn(\031)1306 4434 y Fh(2)1344 4422 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))p Fn(;)g(\031)1528 4434 y Fh(1)1566 4422 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))p Fn(;)g(a)1747 4434 y Fh(1)1784 4422 y Fn(;)g(:::;)g(a)1971 4434 y Fg(n)2016 4422 y Fp(\))p Fn(;)g(\031)2132 4434 y Fh(2)2170 4422 y Fn(\031)2217 4434 y Fh(2)2255 4422 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\)\))24 b Fl(2)f Fd(Bew)2631 4434 y Fh(Z)2671 4442 y Ff(0)2708 4422 y Fp(,)0 4541 y Fn(U)9 b Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))23 b(:=)g Fn(\031)347 4553 y Fh(1)385 4541 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\),)0 4661 y Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)123 4631 y Fg(n)167 4661 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b(:)p Fl(')g Fn(U)9 b Fp(\()p Fn(\026y)s(:)p Fd(T)677 4624 y Fg(n)723 4661 y Fp(\()p Fn(e;)g(~)-37 b(a)o(;)14 b(y)s Fp(\)\).)0 4780 y(O\013en)n(bar)28 b(sind)i Fn(U;)d Fd(T)682 4743 y Fg(n)756 4780 y Fp(primitiv)j(rekursiv.)41 b(Daraus)28 b(folgt)h(sofort,)g (da\031)g(f)r(\177)-44 b(ur)29 b(jedes)g Fn(n)23 b Fl(\025)g Fp(1)29 b(die)g(F)-7 b(unktion)0 4900 y(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(7!)g(f)p Fn(e)p Fl(g)436 4870 y Fg(n)480 4900 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))29 b(partiell-rekursiv)d(ist.)39 b(Nat)r(\177)-44 b(urlic)n(h)28 b(ist)g(dann)g(f)r(\177)-44 b(ur)29 b(alle)f Fn(e)22 b Fl(2)i Fp(I)-14 b(N)p Fn(;)28 b(n)23 b Fl(\025)f Fp(1)28 b(auc)n(h)g(die)g(F)-7 b(unktion)29 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)3661 4870 y Fg(n)0 5019 y Fp(partiell-rekursiv.)0 5139 y(Sei)f(jetzt)h Fn(f)i Fp(:)24 b(I)-14 b(N)523 5103 y Fg(n)597 5088 y Fh(part)591 5139 y Fl(\000)g(!)23 b Fp(I)-14 b(N)28 b (partiell-rekursiv.)36 b(Dann)28 b(gibt)g(es)g(eine)g(\()p Fn(n)p Fp(+)o(2\)-st.)g(\(primitiv\))g(rekursiv)n(e)f(Relation)g Fn(R)i Fp(mit)0 5259 y Fn(f)j Fp(=)22 b Fl(f)p Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fp(\))23 b(:)37 b Fl(9)p Fn(k)17 b(R)q Fp(\()p Fn(k)s(;)d(b;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\))p Fl(g)p Fp(.)41 b(Nac)n(h)29 b(Satz)g(6.6)f(ist)h Fn(R)h Fp(in)g(Z)1900 5271 y Fh(0)1966 5259 y Fp(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar,)27 b(und)i(folglic)n(h)g(gibt)g(es)g(eine)1908 5539 y(21)p eop %%Page: 22 23 22 22 bop 0 83 a Fp(\()p Fn(n)p Fp(+2\)-st.)27 b(arithmetisc)n(he)g(F) -7 b(ormel)27 b Fn(A)h Fp(mit)g Fn(R)c Fp(=)f Fl(f)p Fp(\()p Fn(k)s(;)14 b(b;)9 b(~)-37 b(a)n Fp(\))24 b(:)37 b(Z)2013 95 y Fh(0)2073 83 y Fl(`)23 b Fn(A)p Fp(\()p Fn(k)p 2241 96 46 4 v 3 w(;)14 b(b)p 2324 96 36 4 v(;)9 b(~)-37 b(a)p 2397 96 44 4 v -1 w Fp(\))p Fl(g)p Fp(.)37 b(Sei)28 b Fn(e)23 b Fp(:=)2880 51 y Fc(d)2908 83 y Fn(A)2982 51 y Fc(e)3009 83 y Fp(.)37 b(Dann)28 b(gilt:)0 203 y Fn(f)9 b Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(')g Fn(b)45 b Fl(,)0 322 y(9)p Fn(k)s(;)14 b(d)p Fp([)g(\()241 291 y Fc(d)269 322 y Fn(A)p Fp(\()p Fn(k)p 363 335 46 4 v 3 w(;)g(b)p 446 335 36 4 v(;)9 b(~)-37 b(a)p 519 335 44 4 v Fp(\))607 291 y Fc(e)634 322 y Fn(;)14 b(d)p Fp(\))24 b Fl(2)f Fd(Bew)990 334 y Fh(Z)1030 342 y Ff(0)1081 322 y Fp(])46 b Fl(,)0 442 y(9)p Fn(k)s(;)14 b(d)p Fp([)g(\()p Fn(S)l(b)324 454 y Fg(n)p Fh(+2)453 442 y Fp(\()p Fn(e;)g(k)s(;)g(b;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\))p Fn(;)14 b(d)p Fp(\))23 b Fl(2)h Fd(Bew)1148 454 y Fh(Z)1188 462 y Ff(0)1239 442 y Fp(])46 b Fl(,)0 561 y(9)p Fn(c)p Fp([)14 b Fn(b)23 b Fp(=)f Fn(\031)312 573 y Fh(1)350 561 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))46 b(&)g(\()p Fn(S)l(b)722 573 y Fg(n)p Fh(+2)851 561 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(\031)1006 573 y Fh(1)1043 561 y Fn(\031)1090 573 y Fh(2)1128 561 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))p Fn(;)g(\031)1312 573 y Fh(1)1350 561 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))p Fn(;)9 b(~)-37 b(a)p Fp(\))p Fn(;)14 b(\031)1647 573 y Fh(2)1685 561 y Fn(\031)1732 573 y Fh(2)1769 561 y Fp(\()p Fn(c)p Fp(\)\))24 b Fl(2)g Fd(Bew)2146 573 y Fh(Z)2186 581 y Ff(0)2237 561 y Fp(])46 b Fl(,)0 681 y(9)p Fn(c)p Fp([)14 b Fn(b)23 b Fp(=)f Fn(U)9 b Fp(\()p Fn(c)p Fp(\))47 b(&)e Fd(T)642 644 y Fg(n)687 681 y Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a;)14 b(c)p Fp(\))g(].)0 800 y(Daraus)27 b(folgt)g(dom\()p Fn(f)9 b Fp(\))23 b Fl(\022)g Fp(dom)o(\()p Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)1170 770 y Fg(n)1215 800 y Fp(\))28 b(und)g(\()14 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)1610 770 y Fg(n)1654 800 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(')g Fn(b)36 b Fl(\))h Fn(f)9 b Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(')g Fn(b)14 b Fp(\),)27 b(also)g Fn(f)32 b Fp(=)22 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)2916 770 y Fg(n)2960 800 y Fp(.)843 b Fl(4)0 960 y Fm(Bemerkung:)113 b(Die)31 b Fp(\()p Fn(n)p Fp(+1\))p Fm(-st.)g(F)-8 b(unktion)32 b Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\))24 b Fl(7!)f(f)p Fn(e)p Fl(g)2022 930 y Fg(n)2066 960 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))32 b Fm(ist)f(partiell-rekursiv.) 0 1120 y Fd(Abk\177)-40 b(urzung)p Fp(:)38 b Fn(W)502 1090 y Fg(n)490 1140 y(e)570 1120 y Fp(:=)23 b(dom\()p Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)993 1090 y Fg(n)1037 1120 y Fp(\))83 b(\(=)23 b Fl(f)-5 b Fn(~)-37 b(a)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)1537 1083 y Fg(n)1606 1120 y Fp(:)37 b Fl(9)p Fn(c)14 b Fd(T)1815 1083 y Fg(n)1860 1120 y Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a;)14 b(c)p Fp(\))p Fl(g)p Fp(\).)0 1279 y Fm(Bemerkung:)0 1399 y Fp(Nac)n(h)27 b(14.2)f(und)i(14.3)f(gilt:)64 b Fl(f)p Fn(W)1068 1369 y Fg(n)1056 1419 y(e)1136 1399 y Fp(:)37 b Fn(e)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)q Fl(g)22 b Fp(=)27 b(Menge)h(aller)e Fn(n)p Fp(-st.)i(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbaren)26 b(Relationen.)0 1559 y Fm(Satz)33 b(14.4)26 b Fp(\(Unl\177)-42 b(osbark)n(eit)27 b(des)g(Halteproblems\))0 1678 y Fn(K)i Fp(:=)22 b Fl(f)p Fn(e)g Fl(2)i Fp(I)-14 b(N)23 b(:)37 b Fn(e)23 b Fl(2)g Fn(W)783 1648 y Fh(1)771 1699 y Fg(e)821 1678 y Fl(g)k Fp(ist)h(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar)26 b(ab)r(er)h(nic)n(h)n(t)h(rekursiv.)0 1798 y Fj(Bew)n(eis)f(:)0 1917 y Fp(1.)36 b Fn(K)e Fp(ist)27 b(rekursiv)g(aufz\177)-42 b(ahlbar,)26 b(da)h(\()p Fn(e)c Fl(2)h Fn(W)1450 1887 y Fh(1)1438 1938 y Fg(e)1524 1917 y Fl(,)37 b(9)p Fn(c)14 b Fd(T)1793 1880 y Fh(1)1830 1917 y Fp(\()p Fn(e;)g(e;)g(c)p Fp(\)\))28 b(und)g Fd(T)2362 1880 y Fh(1)2426 1917 y Fp(prim.)g(rekursiv.)0 2037 y(2.)37 b Fk(Annahme)p Fp(:)h Fn(K)c Fp(rekursiv.)i(Dann)28 b(ist)g(auc)n(h)g (I)-14 b(N)19 b Fl(n)f Fn(K)33 b Fp(rekursiv)26 b(\(aufz\177)-42 b(ahlbar\),)28 b(und)g(nac)n(h)g(14.3)e(existiert)i(ein)g Fn(e)3616 2049 y Fh(0)3681 2037 y Fp(mit)0 2156 y(I)-14 b(N)19 b Fl(n)f Fn(K)28 b Fp(=)23 b Fn(W)434 2126 y Fh(1)422 2177 y Fg(e)453 2185 y Ff(0)490 2156 y Fp(.)37 b(Es)27 b(folgt:)37 b Fn(e)930 2168 y Fh(0)990 2156 y Fl(2)23 b Fn(K)43 b Fl(,)37 b Fn(e)1341 2168 y Fh(0)1401 2156 y Fl(2)23 b Fn(W)1569 2126 y Fh(1)1557 2177 y Fg(e)1588 2185 y Ff(0)1662 2156 y Fl(,)37 b Fn(e)1821 2168 y Fh(0)1881 2156 y Fl(62)24 b Fn(K)6 b Fp(.)36 b Fk(Widerspruc)n(h)p Fp(.)1244 b Fl(4)0 2316 y Fm(Bemerkung:)0 2436 y Fp(In)n(tuitiv)28 b(b)r(etrac)n(h)n(tet)f(hat)h Fd(T)902 2398 y Fg(n)975 2436 y Fp(folgende)f(Bedeutung:)0 2605 y Fd(T)54 2567 y Fg(n)99 2605 y Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a)o(;)14 b(\031)s Fp(\()p Fn(b;)g(k)s Fp(\)\))70 b Fl(\()-14 b(\))843 2487 y Fb(\032)1003 2555 y Fn(e)27 b Fp(ist)h(Nummer)f(eines)h(Programms,)d (das)i(angesetzt)g(auf)g(die)1003 2654 y(Eingab)r(e)21 b Fn(~)-37 b(a)28 b Fp(nac)n(h)f Fn(k)j Fp(Sc)n(hritten)e(das)f (Resultat)h Fn(b)f Fp(liefert.)0 2774 y(Dann)g(ist)g Fn(K)33 b Fp(die)27 b(Menge)g(aller)f(Programmn)n(ummern)e Fn(e)j Fp(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(die)g(gilt)g Fk(`das)g(Programm)d(mit) k(Nummer)f Fn(e)g Fk(terminiert)g(b)r(ei)0 2893 y(Eingab)r(e)g Fn(e)p Fk(')p Fp(.)0 3053 y Fm(Satz)33 b(14.5)26 b Fp(\(s-m-n)i (Theorem\))0 3172 y(Zu)g Fn(m;)14 b(n)22 b Fl(\025)h Fp(1)k(gibt)h(es)f(eine)h(\()p Fn(m)p Fp(+)o(1\)-st.)g(primitiv)f (rekursiv)n(e)f(F)-7 b(unktion)28 b Fa(s)2353 3142 y Fg(m)2353 3193 y(n)2416 3172 y Fp(,)g(so)f(da\031)0 3292 y(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fn(e;)14 b(c)22 b Fl(2)i Fp(I)-14 b(N)p Fn(;)23 b(~)-37 b(a)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)850 3256 y Fg(n)895 3292 y Fn(;)936 3270 y(~)946 3292 y(b)22 b Fl(2)i Fp(I)-14 b(N)1161 3256 y Fg(m)1252 3292 y Fp(gilt:)0 3411 y(a\))27 b Fd(T)155 3374 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)310 3411 y Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a;)490 3390 y(~)499 3411 y(b)o(;)14 b(c)p Fp(\))70 b Fl(\()-14 b(\))69 b Fd(T)983 3374 y Fg(n)1029 3411 y Fp(\()p Fa(s)1096 3381 y Fg(m)1096 3432 y(n)1159 3411 y Fp(\()p Fn(e;)1258 3390 y(~)1267 3411 y(b)p Fp(\))p Fn(;)9 b(~)-37 b(a;)14 b(c)p Fp(\),)0 3531 y(b\))28 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)229 3501 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)383 3531 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a;)487 3509 y(~)496 3531 y(b)p Fp(\))23 b Fl(')g(f)p Fa(s)751 3501 y Fg(m)751 3552 y(n)814 3531 y Fp(\()p Fn(e;)913 3509 y(~)922 3531 y(b)p Fp(\))p Fl(g)1032 3501 y Fg(n)1077 3531 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\).)0 3651 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 3770 y Fp(Sei)h Fa(s)169 3740 y Fh(0)169 3791 y Fg(n)214 3770 y Fp(\()p Fn(e)p Fp(\))23 b(:=)g Fn(e)k Fp(und)h Fa(s)718 3740 y Fg(m)p Fh(+1)718 3791 y Fg(n)865 3770 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(b)1009 3782 y Fh(1)1046 3770 y Fn(;)g(:::;)g(b)1225 3782 y Fg(m)p Fh(+1)1372 3770 y Fp(\))23 b(:=)g Fa(s)1573 3740 y Fg(m)1573 3791 y(n)1636 3770 y Fp(\()p Fj(Sub)p Fp(\()1832 3739 y Fc(d)1860 3770 y Fn(b)1896 3782 y Fg(m)p Fh(+1)p 1860 3803 183 4 v 2054 3739 a Fc(e)2082 3770 y Fn(;)2119 3739 y Fc(d)2147 3770 y Fn(v)2187 3782 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)p Fh(+3)2438 3739 y Fc(e)2465 3770 y Fn(;)14 b(e)p Fp(\))p Fn(;)g(b)2646 3782 y Fh(1)2683 3770 y Fn(;)g(:::;)g(b)2862 3782 y Fg(m)2925 3770 y Fp(\).)0 3914 y(Wir)28 b(b)r(ew)n(eisen)110 b(\()p Fl(\003)p Fp(\))46 b Fn(S)l(b)833 3926 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)p Fh(+2)1071 3914 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(i;)g(j;)9 b(~)-37 b(a;)1388 3892 y(~)1397 3914 y(b)o Fp(\))24 b(=)e Fn(S)l(b)1658 3926 y Fg(n)p Fh(+2)1787 3914 y Fp(\()p Fa(s)1854 3884 y Fg(m)1854 3934 y(n)1917 3914 y Fp(\()p Fn(e;)2016 3892 y(~)2025 3914 y(b)p Fp(\))p Fn(;)14 b(i;)g(j;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\).Daraus)27 b(folgt)h(dann)f(sofort)g(a\))g(und)h (b\).)0 4033 y(Bew)n(eis)f(v)n(on)g(\()p Fl(\003)p Fp(\))g(durc)n(h)g (Induktion)h(nac)n(h)f Fn(m)p Fp(:)0 4153 y(1.)36 b Fn(m)23 b Fp(=)g(0:)37 b(trivial.)0 4273 y(2.)47 b Fn(S)l(b)195 4285 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)p Fh(+3)433 4273 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(i;)g(j;)9 b(~)-37 b(a)o(;)749 4251 y(~)758 4273 y(b;)14 b(b)867 4285 y Fg(m)p Fh(+1)1014 4273 y Fp(\))1069 4225 y Fh(Def)1089 4273 y Fp(=)43 b Fn(S)l(b)1280 4285 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)p Fh(+2)1518 4273 y Fp(\()p Fj(Sub)p Fp(\()1714 4241 y Fc(d)1742 4273 y Fn(b)1778 4285 y Fg(m)p Fh(+1)p 1742 4305 V 1936 4241 a Fc(e)1964 4273 y Fn(;)2001 4241 y Fc(d)2029 4273 y Fn(v)2069 4285 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)p Fh(+3)2320 4241 y Fc(e)2347 4273 y Fn(;)14 b(e)p Fp(\))p Fn(;)g(i;)g(j;)9 b(~)-37 b(a;)2701 4251 y(~)2710 4273 y(b)o Fp(\))2800 4225 y Fh(IV)2805 4273 y Fp(=)0 4413 y Fn(S)l(b)83 4425 y Fg(n)p Fh(+2)211 4413 y Fp(\()p Fa(s)279 4382 y Fg(m)279 4433 y(n)342 4413 y Fp(\()p Fj(Sub)p Fp(\()538 4381 y Fc(d)566 4413 y Fn(b)602 4425 y Fg(m)p Fh(+1)p 566 4445 V 760 4381 a Fc(e)788 4413 y Fn(;)825 4381 y Fc(d)852 4413 y Fn(v)892 4425 y Fg(n)p Fh(+)p Fg(m)p Fh(+3)1143 4381 y Fc(e)1171 4413 y Fn(;)14 b(e)p Fp(\))p Fn(;)1307 4391 y(~)1316 4413 y(b)o Fp(\))p Fn(;)g(i;)g(j;)9 b(~)-37 b(a)p Fp(\))1656 4365 y Fh(Def)1677 4413 y Fp(=)42 b Fn(S)l(b)1867 4425 y Fg(n)p Fh(+2)1996 4413 y Fp(\()p Fa(s)2063 4382 y Fg(m)p Fh(+1)2063 4433 y Fg(n)2210 4413 y Fp(\()p Fn(e;)2309 4391 y(~)2318 4413 y(b;)14 b(b)2427 4425 y Fg(m)p Fh(+1)2573 4413 y Fp(\))p Fn(;)g(i;)g(j;)9 b(~)-37 b(a)p Fp(\).)948 b Fl(4)0 4572 y Fm(Satz)33 b(14.6)26 b Fp(\(Rekursionstheorem\))0 4692 y(Zu)i(jeder)f(\()p Fn(n)p Fp(+1\)-st.)g(partiell-rekursiv)n(en)e (F)-7 b(unktion)28 b Fn(g)i Fp(existiert)e(ein)f Fn(e)c Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)29 b(mit)f Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)2781 4662 y Fg(n)2825 4692 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(')g Fn(g)s Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)22 b Fn(~)-37 b(a)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)3806 4656 y Fg(n)3851 4692 y Fp(.)0 4811 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 4931 y Fp(Nac)n(h)g(14.3)f(existiert)i (ein)f Fn(k)k Fp(mit)d Fl(f)p Fn(k)s Fl(g)1198 4901 y Fg(n)p Fh(+1)1326 4931 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a;)14 b(e)p Fp(\))23 b Fl(')g Fn(g)s Fp(\()p Fa(s)1731 4901 y Fh(1)1731 4951 y Fg(n)1776 4931 y Fp(\()p Fn(e;)14 b(e)p Fp(\))p Fn(;)9 b(~)-37 b(a)p Fp(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)22 b Fn(~)-36 b(a)o(;)14 b(e)p Fp(.)37 b(|)28 b(Sei)f Fn(e)c Fp(:=)g Fa(s)3034 4901 y Fh(1)3034 4951 y Fg(n)3079 4931 y Fp(\()p Fn(k)s(;)14 b(k)s Fp(\).)0 5061 y(Dann)28 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)348 5031 y Fg(n)392 5061 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(')g(f)p Fa(s)687 5031 y Fh(1)687 5081 y Fg(n)733 5061 y Fp(\()p Fn(k)s(;)14 b(k)s Fp(\))p Fl(g)968 5031 y Fg(n)1012 5061 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)q Fp(\))1144 5006 y Fh(14)p Fg(:)p Fh(5)1171 5061 y Fl(')50 b(f)p Fn(k)s Fl(g)1416 5031 y Fg(n)p Fh(+1)1544 5061 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a;)14 b(k)s Fp(\))23 b Fl(')g Fn(g)s Fp(\()p Fa(s)1956 5031 y Fh(1)1956 5081 y Fg(n)2001 5061 y Fp(\()p Fn(k)s(;)14 b(k)s Fp(\))p Fn(;)9 b(~)-37 b(a)p Fp(\))23 b Fl(')g Fn(g)s Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\).)1159 b Fl(4)0 5220 y Fm(Korollar)0 5340 y Fp(Zu)28 b(jedem)g Fn(n)23 b Fl(\025)f Fp(1)27 b(und)h(jeder)g(1-st.)f(rekursiv)n(en)f(F)-7 b(unktion)28 b Fn(f)36 b Fp(existiert)27 b(ein)h Fn(e)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N)28 b(mit)g Fl(f)p Fn(f)9 b Fp(\()p Fn(e)p Fp(\))p Fl(g)3074 5310 y Fg(n)3142 5340 y Fp(=)22 b Fl(f)p Fn(e)p Fl(g)3352 5310 y Fg(n)3396 5340 y Fp(.)1908 5539 y(22)p eop %%Page: 23 24 23 23 bop 0 83 a Fj(Bew)n(eis)27 b(:)37 b Fp(Setze)28 b Fn(g)s Fp(\()p Fn(e;)9 b(~)-37 b(a)o Fp(\))23 b(:)p Fl(')g(f)p Fn(f)9 b Fp(\()p Fn(e)p Fp(\))p Fl(g)1137 53 y Fg(n)1181 83 y Fp(\()-5 b Fn(~)-37 b(a)p Fp(\))28 b(und)g(w)n(ende)g(14.6)e(an.)1805 b Fl(4)0 244 y Fd(Beispiel)28 b(zum)e(Rekursions-Theo)n(rem)0 364 y Fp(Die)i(Ac)n(k)n(ermann-F)-7 b(unktion)26 b Fl(A)e Fp(:)f(I)-14 b(N)1157 327 y Fh(2)1218 364 y Fl(!)23 b Fp(I)-14 b(N)28 b(ist)g(de\014niert)f(durc)n(h)0 567 y Fl(A)p Fp(\()p Fn(m;)14 b(k)s Fp(\))24 b(:=)420 397 y Fb(8)420 472 y(<)420 621 y(:)508 465 y Fn(k)d Fp(+)d(1)642 b(falls)28 b Fn(m)23 b Fp(=)f(0)508 565 y Fl(A)p Fp(\()p Fn(m)p Fl(\000)698 548 y(\001)749 565 y Fp(1)p Fn(;)14 b Fp(1\))437 b(falls)28 b Fn(m)23 b(>)f Fp(0)14 b(&)g Fn(k)25 b Fp(=)e(0)508 664 y Fl(A)p Fp(\()p Fn(m)p Fl(\000)698 648 y(\001)749 664 y Fp(1)p Fn(;)14 b Fl(A)p Fp(\()p Fn(m;)g(k)s Fl(\000)1101 648 y(\001)1150 664 y Fp(1\)\))83 b(sonst)0 787 y(De\014nition)28 b(einer)f(partiell-rekursiv)n(en)f(F)-7 b(unktion)28 b Fn(g)s Fp(:)0 1006 y 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y Fg(k)q Fh(+1)350 1695 y Fp(0)83 b(sonst)0 1782 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)f(T)-7 b(uring-Programm)24 b Fn(P)40 b Fp(und)28 b Fn(n)23 b Fl(\025)f Fp(1)28 b(sei)0 1901 y Fn(f)50 1871 y Fg(n)41 1924 y(P)119 1901 y Fp(:)23 b(I)-14 b(N)244 1865 y Fg(n)318 1850 y Fh(part)312 1901 y Fl(\000)g(!)23 b Fp(I)-14 b(N)p Fn(;)37 b(f)657 1871 y Fg(n)648 1924 y(P)703 1901 y Fp(\()p Fn(a)779 1913 y Fh(1)816 1901 y Fn(;)14 b(:::;)g(a)1003 1913 y Fg(n)1049 1901 y Fp(\))23 b(:)p Fl(')g Fn(out)p Fp(\([)p Fn(P)12 b Fp(]\()p Fn(')1562 1913 y Fg(a)1598 1921 y Ff(1)1631 1913 y Fg(;:::;a)1767 1921 y Fe(n)1810 1901 y Fp(\)\),)28 b(w)n(ob)r(ei)g Fn(out)p Fp(\()p Fn( )s Fp(\))23 b(:=)g(min)p Fl(f)p Fn(i)f Fl(\025)h Fp(0)f(:)37 b Fn( )s Fp(\()p Fn(i)19 b Fp(+)f(1\))23 b(=)f(0)p Fl(g)p Fp(.)0 2063 y Fm(De\014nition)0 2182 y Fn(f)32 b Fp(:)23 b(I)-14 b(N)197 2146 y Fg(n)271 2131 y Fh(part)265 2182 y Fl(\000)g(!)23 b Fp(I)-14 b(N)28 b(hei\031t)g Fk(T)-7 b(uring-b)r(erec)n(hen)n(bar)p Fp(,)25 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b(sie)g(gesc)n(hlossen)e(ist)i(und)h(im)f(Standardmo) r(dell)g(gilt)g(\(bzw.)g(nic)n(h)n(t)g(gilt\).)39 b(Un)n(ter)28 b(einer)g(\006)3071 3322 y Fh(1)3108 3310 y Fp(-F)-7 b(ormel)27 b(v)n(erstehen)g(wir)0 3429 y(jetzt)h(\(im)h(Gegensatz)d(zu) i(Absc)n(hnitt)g(5\))g(eine)f(PR-F)-7 b(ormel)27 b(der)g(Gestalt)h Fl(9)p Fn(xA)p Fp(,)g(w)n(ob)r(ei)f Fn(A)h Fp(Primformel)f(ist.)0 3590 y Fm(Lemma)j(15.1)0 3710 y Fp(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)55 b Fn(f)32 b Fl(2)23 b Fp(PR)663 3673 y Fg(n)763 3710 y Fp(und)28 b(alle)f Fn(a)1125 3722 y Fh(1)1162 3710 y Fn(;)14 b(:::;)g(a)1349 3722 y Fg(n)1418 3710 y Fl(2)23 b Fp(I)-14 b(N)28 b(gilt:)65 b Fn(f)9 b Fp(\()p Fn(a)1936 3722 y Fh(1)1973 3710 y Fn(;)14 b(:::;)g(a)2160 3722 y Fg(n)2205 3710 y Fp(\))23 b(=)g Fn(b)45 b Fl(\))i Fp(Z)22 b Fl(`)h Fn(f)9 b(a)2800 3722 y Fh(1)p 2756 3735 82 4 v 2837 3710 a Fn(:::a)2950 3722 y Fg(n)p 2906 3735 90 4 v 3018 3710 a Fp(=)23 b Fn(b)p 3106 3723 36 4 v -1 w Fp(.)0 3829 y Fj(Bew)n(eis)k(durch)h(Induktion)e(nach)h(dem)g (Aufbau)h(von)g Fn(f)9 b Fj(:)0 3949 y Fp(1.)36 b Fd(S)p Fp(\()p Fn(a)p Fp(\))24 b(=)e Fn(b)37 b Fl(\))g Fd(S)p Fn(a)p 601 3962 44 4 v 23 w Fl(\021)22 b Fn(b)p 755 3962 36 4 v 37 w Fl(\))37 b Fp(Z)23 b Fl(`)f Fd(S)p Fn(a)p 1139 3962 44 4 v 23 w Fp(=)h Fn(b)p 1294 3962 36 4 v -1 w Fp(.)0 4068 y(2.)36 b Fm(0)149 4038 y Fg(n)194 4068 y Fp(\()p Fn(a)270 4080 y Fh(1)308 4068 y Fn(;)14 b(:::;)g(a)495 4080 y Fg(n)540 4068 y Fp(\))23 b(=)g Fn(b)36 b Fl(\))h Fp(0)23 b(=)g Fn(b)36 b Fl(\))h Fp(Z)23 b Fl(`)g Fm(0)1416 4038 y Fg(n)1460 4068 y Fn(a)1504 4080 y Fh(1)p 1460 4094 82 4 v 1542 4068 a Fn(:::a)1655 4080 y Fg(n)p 1611 4094 90 4 v 1723 4068 a Fp(=)g Fn(b)p 1811 4081 36 4 v -1 w Fp(.)0 4188 y(3.)36 b Fd(I)125 4151 y Fg(n)125 4208 y(i)170 4188 y Fp(\()p Fn(a)246 4200 y Fh(1)284 4188 y Fn(;)14 b(:::;)g(a)471 4200 y Fg(n)516 4188 y Fp(\))23 b(=)g Fn(b)36 b Fl(\))h Fn(a)895 4200 y Fg(i)946 4188 y Fp(=)22 b Fn(b)37 b Fl(\))g Fp(Z)23 b Fl(`)f 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b(Axiomensystem)g(mit)f Fp(L\()p Fn(T)12 b Fp(\))23 b(=)f Fl(L)27 b Fd(und)g Fp(Z)22 b Fl(\022)h Fn(T)12 b Fd(.)0 1720 y Fm(Lemma)30 b(15.5)0 1840 y Fp(Ist)e Fd(P)f Fp(eine)h(1-st.)e(F)-7 b(ormel)28 b(mit:)0 1959 y(\(P1\))83 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(A)46 b Fl(\))g Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\()879 1928 y Fc(d)907 1959 y Fn(A)981 1928 y Fc(e)1009 1959 y Fp(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(einfac)n(he)f(F)-7 b(ormel)27 b Fn(A)0 2079 y Fp(\(P2\))83 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\([)p Fn(A)h Fl(!)f Fn(B)t Fp(]\))g Fl(!)g Fd(P)p Fp(\([)p Fn(A)p Fp(]\))h Fl(!)f Fd(P)p Fp(\([)p Fn(B)t Fp(]\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f(einfac)n(hen)g(F)-7 b(ormeln)28 b Fn(A;)14 b(B)t Fp(,)0 2198 y(\(P3\))83 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\()p Fn(z)t Fp(\))g Fl(!)g Fd(P)o Fp(\()p Fj(Sub)q Fn(\027)5 b(y)994 2167 y Fc(d)1021 2198 y Fn(x)1080 2167 y Fc(e)1108 2198 y Fn(z)t Fp(\),)0 2318 y(so)27 b(gilt,)0 2438 y(\(P\)*)83 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(A)465 2450 y Fh(1)525 2438 y Fl(!)g Fn(:)14 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Fd(P)p Fp(\([)p Fn(B)t Fp(]\).)0 4017 y(Aus)28 b(\(1\))g(und)g(\(2\))f(folgt)h(n)n(un)g(\(P\)*.)2682 b Fl(4)0 4178 y Fm(Lemma)30 b(15.6)0 4297 y Fp(Ist)e Fd(P)f Fp(eine)h(1-st.)e(F)-7 b(ormel)28 b(mit)g(\(P\)*,)f(so)g(gilt)h (f)r(\177)-44 b(ur)27 b(jedes)h Fn(n)p Fp(-st.)f(F)-7 b(unktionszeic)n(hen)28 b Fn(f)j Fl(2)24 b Fp(PR)o(:)0 4417 y Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(f)9 b(x)254 4429 y Fh(1)291 4417 y Fn(:::x)407 4429 y Fg(n)476 4417 y Fp(=)23 b Fn(y)i Fl(!)f Fd(P)o Fp(\([)p Fn(f)9 b(x)939 4429 y Fh(1)977 4417 y Fn(:::x)1093 4429 y Fg(n)1162 4417 y Fp(=)22 b Fn(y)s Fp(]\).)0 4536 y Fj(Bew)n(eis)27 b(durch)h(Induktion)e(nach)h (der)h(De\014nition)e(von)h Fn(f)9 b Fj(:)0 4656 y Fp(V)-7 b(orb)r(emerkung:)36 b(Aus)28 b(15.3b,c)e(folgt:)0 4775 y(\(I\))56 b(Z)23 b Fl(`)f Fp([)p Fn(E)381 4787 y Fg(y)422 4775 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\)])h(=)g([)p Fn(E)5 b Fp(])762 4787 y Fg(y)802 4775 y Fp(\()p Fn(t)p Fp(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fn(t)23 b Fl(2)h(f)p Fp(0)p Fn(;)14 b(x;)g Fd(S)o Fn(x)p Fl(g)27 b Fp(und)h Fn(E)33 b Fp(einfac)n(h.)0 4895 y(Im)28 b(folgenden)g(wird)g(v)n(on)f(der)h(Op)r(eration)f Fn(A)d Fl(7!)f Fp([)p Fn(A)p Fp(])28 b(nic)n(h)n(ts)g(w)n(eiter)g(als)f (\(P\)*,)h(\(I\))h(und)g(die)f(T)-7 b(atsac)n(he,)27 b(da\031)h([)p Fn(A)p Fp(])g(ein)0 5015 y(PR-T)-7 b(erm)27 b(mit)h(FV)q(\([)p Fn(A)p Fp(]\))c(=)f(FV)r(\()p Fn(A)p Fp(\))28 b(ist,)g(b)r(en)n(utzt.)0 5134 y(1.)36 b Fn(f)c Fl(\021)23 b Fm(0)310 5104 y Fg(n)355 5134 y Fp(:)0 5254 y(\(1\))28 b Fl(`)23 b Fn(f)8 b(~)-41 b(x)23 b Fp(=)f(0,)1908 5539 y(27)p eop %%Page: 28 29 28 28 bop 0 83 a Fp(\(2\))28 b Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)24 b Fp(=)e(0]\),)2866 b([)28 b(\(1\),\(P\)*)f(])0 203 y(\(3\))h Fl(`)23 b Fp(0)f(=)h Fn(y)j Fl(!)d Fp([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)23 b Fp(=)f(0])h(=)g([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)23 b Fp(=)f Fn(y)s Fp(])1236 215 y Fg(y)1276 203 y Fp(\(0\))h(=)g([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)23 b Fp(=)g Fn(y)s Fp(],)1890 b([)28 b(\(I\))g(])0 322 y(\(4\))g Fl(`)23 b Fn(f)8 b(~)-41 b(x)23 b Fp(=)f Fn(y)k Fl(!)d 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Fn(y)1177 1410 y Fg(m)1263 1398 y Fl(!)h Fn(hy)1458 1410 y Fh(1)1495 1398 y Fn(:::y)1605 1410 y Fg(m)1691 1398 y Fp(=)g Fn(y)j Fl(!)d Fd(P)o Fp(\([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)24 b Fp(=)e Fn(y)s Fp(]\),)1047 b([)28 b(\(1\),\(2\),\(3\))g(])0 1518 y(\(5\))g Fl(`)23 b Fn(hg)296 1530 y Fh(1)331 1518 y Fn(~)-41 b(x)15 b(:)f(:)g(:)f(g)544 1530 y Fg(m)606 1518 y Fn(~)-41 b(x)23 b Fp(=)g Fn(y)j Fl(!)d Fd(P)o Fp(\([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)24 b Fp(=)e Fn(y)s Fp(]\),)1472 b([)28 b(\(4\))f(mit)h Fn(g)3221 1530 y Fg(i)3248 1518 y Fn(~)-41 b(x)28 b Fp(anstelle)f(v)n(on)g Fn(y)3822 1530 y Fg(i)3877 1518 y Fp(])0 1637 y(5.)36 b Fn(f)c Fl(\021)23 b Fp(\()p Fd(R)p Fn(g)s(h)p Fp(\):)0 1757 y(Sei)28 b Fn(t)23 b Fp(:)p Fl(\021)f Fp([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)q(z)26 b Fp(=)d Fn(y)s Fp(].)82 b(Wir)28 b(w)n(erden)f Fl(`)c Fd(P)o Fp(\()p Fn(t)1382 1769 y Fg(z)r(;y)1476 1757 y Fp(\(0)p Fn(;)14 b(f)8 b(~)-41 b(x)p Fp(0\)\))28 b(und)g Fl(`)22 b Fd(P)p Fp(\()p Fn(t)2170 1769 y Fg(z)r(;y)2264 1757 y Fp(\()p Fn(z)t(;)14 b(f)8 b(~)-41 b(x)o(z)t Fp(\)\))23 b Fl(!)g Fd(P)p Fp(\()p Fn(t)2821 1769 y Fg(z)r(;y)2915 1757 y Fp(\()p Fd(S)p Fn(z)t(;)14 b(f)8 b(~)-41 b(x)o Fd(S)p Fn(z)t Fp(\)\))28 b(b)r(ew)n(eisen.)0 1876 y(Mit)g(\(formaler\)) f(Induktion)h(folgt)f(daraus)f Fl(`)d Fd(P)p Fp(\()p Fn(t)1583 1888 y Fg(z)r(;y)1677 1876 y Fp(\()p Fn(z)t(;)14 b(f)8 b(~)-41 b(x)o(z)t Fp(\)\))28 b(und)g(w)n(eiter)f Fl(`)22 b Fn(f)8 b(~)-41 b(x)q(z)26 b Fp(=)c Fn(y)k Fl(!)d Fd(P)p Fp(\()p Fn(t)p Fp(\).)0 1996 y(5.1.)119 b(\(1\))28 b Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\([)p Fn(g)r(~)-41 b(x)24 b Fp(=)e Fn(y)s Fp(]\))h Fl(!)g Fd(P)p Fp(\([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)p Fp(0)23 b(=)f Fn(y)s Fp(]\),)2168 b([)28 b(\(P\)*)f(])0 2115 y(\(2\))h Fl(`)23 b Fn(g)r(~)-41 b(x)23 b Fp(=)f Fn(y)k Fl(!)d Fd(P)p Fp(\([)p Fn(g)r(~)-41 b(x)23 b Fp(=)g Fn(y)s Fp(]\),)2650 b([)28 b(I.V.)g(])0 2235 y(\(3\))g Fl(`)23 b Fn(t)238 2247 y Fg(z)276 2235 y Fp(\(0\))g(=)g([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)p Fp(0)22 b(=)h Fn(y)s Fp(],)2849 b([)28 b(\(I\))g(])0 2354 y(\(4\))g Fl(`)23 b 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Fp(\()p Fd(S)p Fn(z)t Fp(\))k(=)h([)p Fn(f)8 b(~)-41 b(x)p Fd(S)p Fn(z)26 b Fp(=)d Fn(y)s Fp(],)1980 b([)28 b(\(I\))g(])0 2952 y(\(4'\))g Fl(`)23 b Fn(h)o(~)-41 b(xz)t(w)25 b Fp(=)e Fn(y)i Fl(!)e Fd(P)p Fp(\()p Fn(t)826 2964 y Fg(y)866 2952 y Fp(\()p Fn(w)r Fp(\)\))i Fl(!)e Fd(P)o Fp(\()p Fn(t)1266 2964 y Fg(z)1305 2952 y Fp(\()p Fd(S)p Fn(z)t Fp(\)\),)1854 b([)28 b(\(1'\),\(2'\),\(3'\))g(])0 3072 y(\(5'\))g Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\()p Fn(t)343 3084 y Fg(z)r(;y)437 3072 y Fp(\()p Fn(z)t(;)14 b(f)8 b(~)-41 b(xz)t Fp(\)\))22 b Fl(!)i Fd(P)o Fp(\()p Fn(t)994 3084 y Fg(z)r(;y)1088 3072 y Fp(\()p Fd(S)p Fn(z)t(;)14 b(f)8 b(~)-41 b(x)o Fd(S)p Fn(z)t Fp(\)\).)929 b([\(4'\))28 b(mit)g Fn(f)8 b(~)-41 b(xz)t(;)27 b(f)8 b(~)-41 b(x)p Fd(S)p Fn(z)31 b Fp(anstelle)c(v)n(on)g Fn(w)r(;)14 b(y)s Fp(])28 b Fl(4)0 3233 y Fm(Satz)33 b(15.7)0 3352 y Fp(Ist)28 b Fd(P)f Fp(eine)h(1-st.)e(F)-7 b(ormel,)28 b(w)n(elc)n(he)f(\(P\)*)g (erf)r(\177)-44 b(ullt,)28 b(so)f(gilt:)37 b Fn(T)d Fl(`)23 b Fn(C)29 b Fl(!)23 b Fd(P)p Fp(\()2297 3321 y Fc(d)2324 3352 y Fn(C)2401 3321 y Fc(e)2429 3352 y Fp(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jeden)g(\006)2923 3364 y Fh(1)2960 3352 y Fp(-Satz)f Fn(C)6 b Fp(.)0 3472 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 3592 y Fp(Sei)h Fn(g)d Fl(2)f Fp(PR)395 3555 y Fh(1)460 3592 y Fp(mit)29 b(Z)22 b Fl(`)h(9)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(g)s(x)h Fp(=)f(0\))g Fl($)g Fn(C)6 b Fp(.)0 3711 y(\(1\))28 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(g)s(x)g Fp(=)f(0)h Fl(!)g Fn(C)6 b Fp(,)2908 b([)27 b(klar)g(])0 3831 y(\(2\))h Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fd(P)o Fp(\([)p Fn(g)s(x)p Fp(=0]\))g Fl(!)g Fd(P)p Fp(\([)p Fn(C)6 b Fp(]\),)2453 b([)28 b(\(1\),)g(\(P\)*)f(])0 3950 y(\(3\))h Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fp([)p Fn(g)s(x)p Fp(=)o(0])g(=)g([)p Fn(g)s(x)p Fp(=)o Fn(y)s Fp(])888 3962 y Fg(y)928 3950 y Fp(\(0\),)2488 b([)28 b(15.3b,c)e(])0 4070 y(\(4\))i Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(g)s(x)g Fp(=)f Fn(y)k Fl(!)d Fd(P)p Fp(\([)p Fn(g)s(x)p Fp(=)p Fn(y)s Fp(]\),)2604 b([)28 b(15.6)e(])0 4189 y(\(5\))i Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(g)s(x)g Fp(=)f(0)h Fl(!)g Fd(P)p 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(existiert)g(ein)g Fl(L)p Fp(-Satz)h Fn(C)35 b Fp(mit)0 920 y Fn(T)f Fl(`)23 b Fn(C)29 b Fl($)23 b Fp(\()p 385 875 V 385 917 4 42 v 431 917 V 385 920 49 4 v 53 w Fn(C)30 b Fl(!)23 b Fn(A)p Fp(\).)37 b(Nun)28 b(folgt:)0 1039 y(\(1\))g Fn(T)34 b Fl(`)p 293 995 V 293 1036 4 42 v 338 1036 V 293 1039 49 4 v 75 w Fn(C)c Fl(!)p 540 995 V 540 1036 4 42 v 585 1036 V 540 1039 49 4 v 607 995 V 607 1036 4 42 v 652 1036 V 607 1039 49 4 v 142 w Fn(C)g Fl(!)p 854 995 V 854 1036 4 42 v 899 1036 V 854 1039 49 4 v 75 w Fn(A)p Fp(,)1417 b([)28 b(aus)f Fl(`)22 b Fn(C)30 b Fl(!)p 2875 995 V 2875 1036 4 42 v 2920 1036 V 2875 1039 49 4 v 76 w Fn(C)f Fl(!)23 b Fn(A)28 b Fp(mittels)g (\(D1\),\(D2\))h(])0 1159 y(\(2\))f Fn(T)34 b Fl(`)p 293 1114 V 293 1156 4 42 v 338 1156 V 293 1159 49 4 v 75 w Fn(C)c Fl(!)p 540 1114 V 540 1156 4 42 v 585 1156 V 540 1159 49 4 v 76 w Fn(A)p Fp(,)1972 b([)28 b(aus)f(\(1\))g(und)h (\(D3\))h Fl(`)p 3420 1114 V 3420 1156 4 42 v 3465 1156 V 3420 1159 49 4 v 75 w Fn(C)h Fl(!)p 3667 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Fl(\021)f(9)p Fn(y)s Fp(\()p Fn(B)t(ew)1894 1925 y Fg(T)1946 1913 y Fp(\()p Fn(x;)14 b(y)s Fp(\))24 b(=)f(0\),)82 b Fn(C)6 b(on)2584 1925 y Fg(T)2660 1913 y Fp(:)p Fl(\021)23 b(:)p Fn(P)12 b(r)r(ov)3010 1925 y Fg(T)3064 1913 y Fp(\()3096 1881 y Fc(d)3123 1913 y Fl(?)3200 1881 y Fc(e)3227 1913 y Fp(\).)0 2033 y(Dab)r(ei)30 b(sei)f Fn(B)t(ew)530 2045 y Fg(T)606 2033 y Fl(2)23 b Fp(PR)802 1996 y Fh(2)868 2033 y Fp(das)29 b(im)h(Bew)n(eis)f(v)n(on) f(Satz)i(5.3)e(implizit)j(de\014nierte)e(F)-7 b(unktionszeic)n(hen)29 b(mit)0 2152 y Fn(B)t(ew)165 2164 y Fg(T)218 2152 y Fp(\()p Fn(a;)14 b(b)p Fp(\))23 b(=)f(0)46 b Fl(,)g Fp(\()p Fn(a;)14 b(b)p Fp(\))23 b Fl(2)g Fd(Bew)1151 2164 y Fg(T)1203 2152 y Fp(.)0 2308 y Fm(Satz)33 b(15.10)26 b Fp(\(2.)i(G\177)-42 b(odelsc)n(her)26 b(Un)n(v)n(ollst\177)-42 b(andigk)n(eitssatz\))0 2428 y(Ist)28 b Fn(T)38 b Fp(ein)28 b(primitiv)g(rekursiv)n(es,)e(k)n (onsisten)n(tes)g(Axiomensystem)h(mit)h Fn(Z)h Fl(\022)23 b(f)p Fn(A)f Fp(:)37 b Fn(T)d Fl(`)23 b Fn(A)p 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b Fl(!)q Fn(;)14 b(x;)g(y)s Fl(i)p Fp(\))23 b Fl(!)h Fn(P)12 b(r)r(ov)2974 3038 y Fg(T)3027 3026 y Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(P)12 b(r)r(ov)3452 3038 y Fg(T)3505 3026 y Fp(\()p Fn(y)s Fp(\).)0 3145 y(Mit)56 b([)p Fn(A)23 b Fl(!)g Fn(B)t Fp(])h Fl(\021)e(h)f Fp(^)-63 b Fl(!)p Fn(;)14 b Fp([)p Fn(A)p Fp(])p Fn(;)g Fp([)p Fn(B)t Fp(])p Fl(i)29 b Fp(folgt)e(daraus)g(\(P2\).)0 3265 y(zu)h(\(P3\):)36 b(Dies)28 b(ergibt)f(sic)n(h)g(durc)n(h)g(F)-7 b(ormalisierung)26 b(des)i(folgenden)f(\\Bew)n(eises":)0 3400 y Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(A)273 3353 y Fh(2)p Fg(:)p Fh(4a)265 3400 y Fp(=)-14 b Fl(\))46 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b(8)p Fn(xA)804 3346 y Fh(\()p Fi(8)p Fh(1\))p Fg(;)p Fh(\(mp\))880 3400 y Fp(=)-14 b Fl(\))122 b Fn(T)34 b Fl(`)22 b Fn(A)1354 3412 y Fg(x)1397 3400 y Fp(\()p Fn(n)p 1429 3413 50 4 v Fp(\).)2292 b Fl(4)0 3593 y Fd(V)n(erallgemeinerung)28 b(des)f(2.)f(G\177)-39 b(odelschen)28 b(Unvollst)o(\177)-39 b(andigk)n(eitssatzes)0 3712 y Fp(Sei)29 b(jetzt)i Fl(L)386 3682 y 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(on)i(Z)f(in)h(\006)g(b)r(esteh)n(t)h(aus)e(einer)h(1-stelligen)e Fl(L)2240 4317 y Fi(\003)2279 4347 y Fp(-F)-7 b(ormel)27 b Fn(N)37 b Fp(und)28 b(einer)f(Abbildung)i Fn(A)23 b Fl(7!)g Fn(A)3720 4317 y Fg(N)3784 4347 y Fp(,)0 4466 y(die)28 b(jeder)f(PR-F)-7 b(ormel)27 b Fn(A)h Fp(eine)f Fl(L)1080 4436 y Fi(\003)1119 4466 y Fp(-F)-7 b(ormel)26 b Fn(A)1486 4436 y Fg(N)1577 4466 y Fp(zuordnet,)i(so)f(da\031)f(gilt:) 0 4586 y({)h Fl(?)134 4556 y Fg(N)220 4586 y Fl(\021)22 b(?)p Fp(,)0 4706 y({)27 b(\()p Fn(A)d Fl(!)f Fn(B)t Fp(\))392 4675 y Fg(N)478 4706 y Fl(\021)g Fn(A)628 4675 y Fg(N)714 4706 y Fl(!)g Fn(B)887 4675 y Fg(N)950 4706 y Fp(,)0 4825 y({)k(\()p Fl(8)p Fn(xA)p Fp(\))289 4795 y Fg(N)376 4825 y Fl(\021)22 b(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(A)968 4795 y Fg(N)1031 4825 y Fp(\),)0 4945 y({)k(FV)r(\()p Fn(A)281 4915 y Fg(N)344 4945 y Fp(\))d(=)e(FV)r(\()p Fn(A)p Fp(\),)0 5064 y({)27 b(Z)c Fl(`)g Fn(A)46 b Fl(\))g Fp(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)673 5034 y Fi(\003)712 5064 y Fp(,)k(w)n(ob)r(ei)h Fn(A)1060 5034 y Fi(\003)1121 5064 y Fp(:)p Fl(\021)23 b Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(x)1387 5076 y Fh(1)1424 5064 y Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(:)14 b(:)g(:)23 b Fl(!)g Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(x)1967 5076 y Fg(n)2013 5064 y Fp(\))23 b Fl(!)g Fn(A)2236 5034 y Fg(N)2327 5064 y Fp(mit)28 b Fl(f)p Fn(x)2568 5076 y Fh(1)2605 5064 y Fn(;)14 b(:::;)g(x)2795 5076 y Fg(n)2841 5064 y Fl(g)23 b Fp(=)f(FV)r(\()p Fn(A)p Fp(\).)0 5220 y Fm(Lemma)30 b(15.11)0 5340 y Fp(Ist)e Fn(A)23 b Fl(7!)g Fn(A)376 5310 y Fg(N)467 5340 y Fp(eine)28 b(In)n(terpretation)e(v)n(on)h(Z)g(in)h(\006,)g(so)f(gilt)g(f)r(\177) -44 b(ur)28 b(jede)g(PR-F)-7 b(ormel)27 b Fn(A)p Fp(:)64 b(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)2962 5310 y Fi(\003)3047 5340 y Fl(\))46 b Fp(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)3395 5352 y Fg(x)3437 5340 y Fp(\()p Fn(n)p 3469 5353 V Fp(\))3551 5310 y Fi(\003)3589 5340 y Fp(.)1908 5539 y(29)p eop %%Page: 30 31 30 30 bop 0 83 a Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 203 y Fp(Sei)h(FV)q(\()p Fn(A)p Fp(\))c(=)f Fl(f)p Fn(x;)14 b(y)s Fl(g)p Fp(.)0 322 y(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)219 292 y Fi(\003)294 322 y Fl(\))37 b Fp(\006)23 b Fl(`)g Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(y)s Fp(\))23 b Fl(!)g Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(A)1263 292 y Fg(N)1363 322 y Fl(\))37 b Fp(\006)23 b Fl(`)g Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(y)s Fp(\))23 b Fl(!)g(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(A)2458 292 y Fg(N)2521 322 y Fp(\))111 b(\(1\).)0 442 y(Z)23 b Fl(`)g(8)p Fn(xA)36 b Fl(!)23 b Fn(A)508 454 y Fg(x)550 442 y Fp(\()p Fn(n)p 582 455 50 4 v 1 w Fp(\))37 b Fl(\))g Fp(\006)23 b Fl(`)g Fp(\()p Fl(8)p Fn(xA)37 b Fl(!)23 b Fn(A)1372 454 y Fg(x)1414 442 y Fp(\()p Fn(n)p 1446 455 V Fp(\)\))1560 412 y Fi(\003)1635 442 y Fl(\))0 577 y Fp(\006)g Fl(`)g Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(y)s Fp(\))23 b Fl(!)g(8)p Fn(x)p Fp(\()p Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(A)975 547 y Fg(N)1038 577 y Fp(\))g Fl(!)g Fn(A)1261 589 y Fg(x)1303 577 y Fp(\()p Fn(n)p 1335 590 V 1 w Fp(\))1418 547 y Fg(N)1518 523 y Fh(\(1\))1519 577 y Fl(\))38 b Fp(\006)23 b Fl(`)f Fn(N)9 b Fp(\()p Fn(y)s Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(A)2172 589 y Fg(x)2214 577 y Fp(\()p Fn(n)p 2246 590 V Fp(\))2328 547 y Fg(N)2391 577 y Fp(,)28 b(i.e.)37 b(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)2804 589 y Fg(x)2846 577 y Fp(\()p Fn(n)p 2878 590 V Fp(\))2960 547 y Fi(\003)2998 577 y Fp(.)805 b Fl(4)0 738 y Fm(De\014nition)0 857 y Fp(Eine)27 b(In)n(terpretation)g Fn(A)c Fl(7!)g Fn(A)979 827 y Fg(N)1070 857 y Fp(v)n(on)k(Z)g(in)h (\006)g(hei\031e)f Fk(streng)p Fp(,)g(w)n(enn)g(es)h(ein)f Fn(g)f Fl(2)d Fp(PR)2682 821 y Fh(1)2747 857 y Fp(gibt,)28 b(so)f(da\031)f(gilt:)0 977 y({)h Fn(g)s Fp(\()144 945 y Fc(d)172 977 y Fn(A)246 945 y Fc(e)273 977 y Fp(\))d(=)416 945 y Fc(d)444 977 y Fn(A)506 947 y Fi(\003)556 945 y Fc(e)583 977 y Fp(,)k(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(PR-F)-7 b(ormel)26 b Fn(A)p Fp(,)0 1097 y({)h Fn(g)s Fp(\()p Fn(n)p Fp(\))c(=)g(0,)k(falls)h Fn(n)f Fp(nic)n(h)n(t)h(Nummer)f(einer) h(PR-F)-7 b(ormel)26 b(ist,)0 1216 y({)h(Z)c Fl(`)g Fn(g)s Fp(\([)p Fn(A)g Fl(!)g Fn(B)t 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y Fh(\006)881 1736 y Fp(\))913 1706 y Fg(N)976 1736 y Fp(.)0 1855 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 1975 y Fp(Sei)h Fn(T)34 b Fp(:=)23 b Fl(f)p Fn(A)f Fp(:)51 b Fn(A)28 b Fp(ist)g(PR-Satz)f(&)22 b(\006)h Fl(`)g Fn(A)1370 1945 y Fg(N)1433 1975 y Fl(g)28 b Fp(und)g Fd(P)22 b Fp(:)p Fl(\021)h Fn(P)12 b(r)r(ov)2037 1987 y Fh(\006)2089 1975 y Fp(\()p Fn(g)s(x)p Fp(\).)0 2094 y(\(1\))28 b Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(A)g Fp(&)g Fn(A)28 b Fp(ein)f(PR-Satz)50 b Fl(\))c Fp(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)1388 2064 y Fg(N)1451 2094 y Fp(.)0 2214 y(Bew)n(eis:)43 b(Nac)n(h)30 b(V)-7 b(oraussetzung)29 b(gibt)i(es)g Fn(A)1418 2226 y Fh(1)1456 2214 y Fn(;)14 b(:::;)g(A)1661 2226 y Fg(n)1729 2214 y Fl(2)24 b Fn(T)42 b Fp(mit)31 b Fl(`)23 b Fn(A)2190 2226 y Fh(1)2250 2214 y Fl(!)h Fn(:)14 b(:)g(:)22 b Fl(!)i Fn(A)2645 2226 y Fg(n)2713 2214 y Fl(!)f Fn(A)p Fp(.)0 2334 y(Es)k(folgt)55 b(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)555 2303 y Fg(N)555 2354 y Fh(1)641 2334 y Fl(!)g Fn(:)14 b(:)g(:)23 b Fl(!)g Fn(A)1035 2303 y Fg(N)1035 2354 y(n)1122 2334 y Fl(!)g Fn(A)1290 2303 y Fg(N)1381 2334 y Fp(und)28 b(\006)23 b Fl(`)f Fn(A)1765 2303 y Fg(N)1765 2355 y(i)1865 2334 y Fp(\()p Fn(i)h Fp(=)g(1)p Fn(;)14 b(:::;)g(n)p Fp(\),)27 b(also)g(\006)c Fl(`)g Fn(A)2740 2303 y Fg(N)2803 2334 y Fp(.)0 2453 y(\(2\))28 b Fn(T)38 b Fp(k)n(onsisten)n(t.)0 2588 y(Bew)n(eis:)e Fn(T)e Fl(`)23 b(?)564 2534 y Fh(\(1\))565 2588 y Fl(\))38 b Fp(\006)23 b Fl(`)g(?)908 2558 y Fg(N)971 2588 y Fp(.)92 b Fl(?)1151 2558 y Fg(N)1237 2588 y Fl(\021)22 b(?)p Fp(.)0 2708 y(\(3\))28 b(Z)23 b Fl(\022)f Fn(T)12 b Fp(.)0 2827 y(Bew)n(eis:)36 b Fn(A)23 b Fl(2)h Fp(Z)46 b Fl(\))g Fp(\006)23 b Fl(`)g Fn(A)915 2797 y Fg(N)1001 2827 y Fp(&)g Fn(A)k Fp(PR-Satz)46 b Fl(\))g Fn(A)23 b Fl(2)h Fn(T)12 b Fp(.)0 2947 y(\(4\))28 b(F)r(\177)-44 b(ur)27 b Fn(T)39 b Fp(und)28 b Fd(P)f Fp(gilt)h(\(P1\),\(P2\),\(P3\).) 0 3066 y(Bew)n(eis:)0 3186 y(\(P1\))f(Sei)h Fn(A)g Fp(PR-F)-7 b(ormel,)26 b(und)i Fl(8)p Fn(A)g Fp(der)f(Allabsc)n(hlu\031)g(v)n(on)f Fn(A)p Fp(.)0 3321 y Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fn(A)46 b Fl(\))g Fn(T)35 b Fl(`)22 b(8)p Fn(A)697 3267 y Fh(\(1\))698 3321 y Fl(\))38 b Fp(\006)23 b Fl(`)f Fp(\()p Fl(8)p Fn(A)p Fp(\))1148 3291 y Fg(N)1257 3321 y Fl(\))47 b Fp(\006)23 b Fl(`)f Fn(A)1605 3291 y Fi(\003)1667 3274 y Fh(15)p Fg(:)p Fh(1)1685 3321 y Fl(\))41 b Fp(Z)23 b Fl(`)f Fn(P)12 b(r)r(ov)2140 3333 y Fh(\006)2193 3321 y Fp(\()p Fn(g)s Fp(\()2300 3290 y Fc(d)2328 3321 y Fn(A)2402 3290 y Fc(e)2429 3321 y Fp(\)\))47 b Fl(\))f Fn(T)34 b Fl(`)23 b Fd(P)p Fp(\()2909 3290 y Fc(d)2937 3321 y Fn(A)3011 3290 y Fc(e)3038 3321 y Fp(\).)0 3441 y(\(P2\))28 b(Seien)h Fn(A;)14 b(B)33 b Fp(zw)n(ei)28 b(einfac)n(he)g(PR-F)-7 b(ormeln.)38 b(Es)28 b(gilt)57 b(Z)23 b Fl(`)g Fn(P)12 b(r)r(ov)2237 3453 y Fh(\006)2289 3441 y Fp(\()p Fl(h)22 b Fp(^)-64 b Fl(!)q Fn(;)14 b(x;)g(y)s Fl(i)p Fp(\))23 b Fl(!)g Fn(P)12 b(r)r(ov)2979 3453 y Fh(\006)3032 3441 y Fp(\()p Fn(x)p Fp(\))24 b Fl(!)f Fn(P)12 b(r)r(ov)3457 3453 y Fh(\006)3510 3441 y Fp(\()p Fn(y)s Fp(\).)0 3560 y(Daraus)27 b(folgt)55 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Fp(\))p Fl(9)p Fn(\032)p Fp(\()i Fn(G)1371 1452 y Fh(0)1408 1440 y Fn(\033)27 b Fp(=)22 b Fn(F)12 b(\032)i Fp(\).)0 1559 y Fj(Bew)n(eis)27 b(:)0 1679 y Fp(\\)p Fl(\()p Fp(":)36 b(Satz)27 b(16.12)f(.)0 1798 y(\\)p Fl(\))p Fp(":)38 b(Aus)29 b(der)f Fl(8)p Fn(P)34 b Fl(j)-14 b Fp(=)22 b Fn(G)837 1810 y Fh(0)875 1798 y Fn(\033)32 b Fp(folgt)c(mit)h(Satz)g(16.3)e Fn(P)35 b Fl(`)1800 1768 y Fg(n)1800 1819 y Fi(\003)1868 1798 y Fn(G)1933 1810 y Fh(0)1970 1798 y Fn(\033)d Fp(f)r(\177)-44 b(ur)29 b(ein)g Fn(n)23 b Fl(2)g Fp(I)-14 b(N.)40 b(Nac)n(h)28 b(Lemma)g(16.13)f(existiert)0 1918 y(\()p Fn(G;)14 b(F)e Fp(\))24 b Fl(2)f Fp(ran)o(\()p Fn(T)12 b Fp(\))28 b(und)g Fn(\032)f Fp(mit)h Fn(F)12 b(\032)23 b Fp(=)g Fn(G)1278 1930 y Fh(0)1315 1918 y Fn(\033)32 b Fp(und)c Fn(P)35 b Fl(`)1699 1888 y Fh(0)1699 1938 y Fi(\003)1759 1918 y Fn(G\032)p Fp(.)j(Letzteres)27 b(impliziert)g(ab)r(er)g Fn(G)d Fp(=)p 3024 1873 V 3024 1914 4 42 v 3069 1914 V 3024 1917 49 4 v 75 w(.)729 b Fl(4)1908 5539 y Fp(37)p eop 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