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4436 y Fn(1)2493 4424 y Fo(:::)2581 4403 y Fr(~)2562 4424 y Fo(F)2615 4436 y Fi(k)2687 4424 y Fr(mit)k(#\()p Fo(u)2992 4436 y Fn(0)3029 4424 y Fr(\))d(=)g Fo(k)s Fr(.)47 b(O\013en)n(bar)30 b(ist)h(n)n(un)19 4503 y(~)0 4524 y Fo(E)61 4536 y Fn(1)99 4524 y Fo(:::)187 4503 y Fr(~)168 4524 y Fo(E)229 4536 y Fi(k)270 4524 y Fo(E)331 4536 y Fn(2)368 4524 y Fo(:::E)498 4536 y Fi(n)568 4524 y Fr(=)676 4503 y(~)657 4524 y Fo(F)710 4536 y Fn(1)748 4524 y Fo(:::)836 4503 y Fr(~)817 4524 y Fo(F)870 4536 y Fi(k)911 4524 y Fo(F)964 4536 y Fn(2)1002 4524 y Fo(:::F)1124 4536 y Fi(n)1170 4524 y Fr(.)39 b(Mit)29 b(I.V.)g(folgt)f(daraus)2039 4503 y(~)2020 4524 y Fo(E)2081 4536 y Fi(j)2141 4524 y Fr(=)2248 4503 y(~)2229 4524 y Fo(F)2282 4536 y Fi(j)2346 4524 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)29 b Fo(j)g Fr(=)24 b(1)p Fo(;)14 b(:::;)g(k)31 b Fr(und)e Fo(E)3118 4536 y Fi(i)3170 4524 y Fr(=)24 b Fo(F)3312 4536 y Fi(i)3368 4524 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)29 b Fo(i)24 b Fr(=)g(2)p Fo(;)14 b(:::;)g(n)p Fr(,)0 4624 y(und)28 b(somit)g Fo(E)454 4636 y Fi(i)504 4624 y Fr(=)23 b Fo(F)645 4636 y Fi(i)701 4624 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(i)22 b Fr(=)h(1)p Fo(;)14 b(:::;)g(n)p Fr(.)2596 b Fm(4)0 4794 y Fh(Bemerkungen)0 4918 y Fr(1.)36 b(Durc)n(h)28 b(Lemma)f(1.1)g(wird)g(erst)g(sic)n(hergestellt,)g(da\031)g(die)g(W)-7 b(erte)28 b Fo(t)2214 4888 y Fj(M)2296 4918 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(und)g Fo(A)2638 4888 y Fj(M)2721 4918 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(w)n(ohlde\014niert)f(sind.)0 5041 y(2.)36 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jeden)g(Ausdruc)n(k)f Fo(E)33 b Fr(liegt)27 b(nac)n(h)g(Lemma)h(1.1)e(genau)h(einer)g(der)h (folgenden)f(F\177)-42 b(alle)27 b(v)n(or:)0 5141 y(a\))92 b Fo(E)28 b Fm(2)c Fr(V)-9 b(AR)0 5240 y(b\))88 b Fo(E)28 b Fr(=)23 b Fo(pE)446 5252 y Fn(1)483 5240 y Fo(:::E)613 5252 y Fi(n)686 5240 y Fr(mit)29 b Fo(p)22 b Fm(2)i Fr(SYM)1166 5252 y Fn(0)1204 5240 y Fr(,)j Fo(n)c Fr(=)g(#\()p Fo(p)p Fr(\))28 b(und)g(eindeutig)g(b)r(estimm)n(ten)g(Ausdr)r(\177)-44 b(uc)n(k)n(en)27 b Fo(E)3110 5252 y Fn(1)3148 5240 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(E)3393 5252 y Fi(n)3439 5240 y Fr(.)0 5340 y(c\))97 b Fo(E)28 b Fr(=)23 b Fm(8)p Fo(xA)p Fr(.)1929 5539 y(2)p eop %%Page: 3 4 3 3 bop 0 83 a Fp(De\014nition)0 183 y Fm(?)65 153 y Fj(M)170 183 y Fr(:=)23 b(0)0 282 y Fl(=)85 252 y Fj(M)167 282 y Fr(\()p Fo(i;)14 b(j)5 b Fr(\))23 b(:=)g Fg(if)14 b Fo(i)23 b Fr(=)f Fo(j)d Fg(then)14 b Fr(1)g Fg(else)h Fr(0)36 b(\()p Fo(i;)14 b(j)28 b Fm(2)23 b Fr(I)-14 b(N)q(\).)0 382 y Fm(!)83 352 y Fj(M)188 382 y Fr(\()p Fo(i;)14 b(j)5 b Fr(\))23 b(:=)g(max)p Fm(f)p Fr(1)17 b Fm(\000)h Fo(i;)c(j)5 b Fm(g)36 b Fr(\()p Fo(i;)14 b(j)28 b Fm(2)23 b Fr(I)-14 b(N)q(\).)0 482 y Fo(R)64 451 y Fj(M)146 482 y Fr(\()p Fo(a)222 494 y Fn(1)259 482 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(a)488 494 y Fi(n)533 482 y Fr(\))23 b(:=)g Fg(if)14 b Fr(\()p Fo(a)831 494 y Fn(1)868 482 y Fo(;)g(::;)g(a)1032 494 y Fi(n)1077 482 y Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(R)1275 451 y Fj(M)1371 482 y Fg(then)14 b Fr(1)g Fg(else)g Fr(0,)28 b(falls)f Fo(R)i Fr(ein)e Fo(n)p Fr(-st.)37 b(Relationszeic)n(hen)26 b(und)i Fo(a)3250 494 y Fn(1)3288 482 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(a) 3516 494 y Fi(n)3584 482 y Fm(2)24 b(jMj)p Fr(.)0 606 y(Damit)k(lassen)f(sic)n(h)g(jetzt)i(die)e(obigen)g(De\014nitionen)h(v) n(on)f Fo(t)1906 576 y Fj(M)1988 606 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])h(und)g Fo(A)2330 576 y Fj(M)2413 606 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(folgenderma\031en)e(zusammenfassen:)0 706 y(1.)36 b Fo(x)148 676 y Fj(M)231 706 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(:=)g Fo(\030)t Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))0 805 y(2.)36 b(\()p Fo(pE)236 817 y Fn(1)274 805 y Fo(:::E)404 817 y Fi(n)450 805 y Fr(\))482 775 y Fj(M)564 805 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])24 b(:=)e Fo(p)826 775 y Fj(M)908 805 y Fr(\()p Fo(E)1006 775 y Fj(M)1001 826 y Fn(1)1089 805 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])p Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(E)1426 775 y Fj(M)1421 826 y Fi(n)1508 805 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(]\))0 905 y(3.)36 b(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))321 875 y Fj(M)404 905 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(:=)g(min)p Fm(f)p Fo(A)866 875 y Fj(M)948 905 y Fr([)p Fo(\030)1011 875 y Fi(a)1007 925 y(x)1052 905 y Fr(])g(:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)g(jMjg)0 1104 y Fp(De\014nition)31 b(v)m(on)h Fr(FV)r(\()p Fo(E)5 b Fr(\))p Fo(;)28 b Fr(BV)q(\()p Fo(E)5 b Fr(\))p Fo(;)29 b Fr(V)-7 b(ar)o(\()p Fo(E)5 b Fr(\))0 1228 y(1.)36 b(FV)r(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(:=)f Fm(f)p Fo(x)p Fm(g)k Fr(und)h(BV)q(\()p Fo(x)p Fr(\))c(:=)f Fm(;)p Fr(.)0 1328 y(2.)36 b(FV)r(\()p Fo(pE)354 1340 y Fn(1)392 1328 y Fo(:::E)522 1340 y Fi(n)567 1328 y Fr(\))24 b(:=)e(FV)r(\()p Fo(E)944 1340 y Fn(1)982 1328 y Fr(\))d Fm([)f Fo(:)c(:)g(:)19 b Fm([)f Fr(FV)r(\()p Fo(E)1506 1340 y Fi(n)1552 1328 y Fr(\),)28 b(BV)q(\()p Fo(pE)1892 1340 y Fn(1)1930 1328 y Fo(:::E)2060 1340 y Fi(n)2105 1328 y Fr(\))c(:=)e(BV)r(\()p Fo(E)2487 1340 y Fn(1)2524 1328 y Fr(\))d Fm([)g Fo(:)14 b(:)g(:)k Fm([)h Fr(BV)q(\()p Fo(E)3053 1340 y Fi(n)3099 1328 y Fr(\).)0 1428 y(3.)36 b(FV)r(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))24 b(:=)e(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))d Fm(n)f(f)p Fo(x)p Fm(g)p Fr(,)27 b(BV)r(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))c(:=)g(BV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))c Fm([)g(f)p Fo(x)p Fm(g)p Fr(.)0 1552 y(4.)36 b(V)-7 b(ar\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(:=)e(FV)r(\()p Fo(E)5 b Fr(\))19 b Fm([)g Fr(BV)q(\()p Fo(E)5 b Fr(\))0 1677 y Fp(Lemma)30 b(1.2)c Fr(\(Koinzidenzlemma\))0 1776 y Fo(E)66 1746 y Fj(M)148 1776 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])e(=)e Fo(E)411 1746 y Fj(M)493 1776 y Fr([)p Fo(\021)s Fr(],)29 b(falls)e Fo(\030)t Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))d(=)f Fo(\021)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))29 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)h Fo(x)23 b Fm(2)h Fr(FV)q(\()p Fo(E)5 b Fr(\).)0 1876 y Fg(Bew)n(eis)29 b Fe(durch)e(Induktion)g(nach)g(dem)g(Aufbau)h(von)g Fo(E)5 b Fr(:)0 1976 y(1.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fo(x)p Fr(:)38 b(Dann)27 b Fo(x)d Fm(2)f Fr(FV)r(\()p Fo(E)5 b Fr(\))28 b(und)g Fo(E)1267 1945 y Fj(M)1350 1976 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(=)g Fo(\030)t Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))h(=)e Fo(\021)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))j(=)d Fo(E)2142 1945 y Fj(M)2225 1976 y Fr([)p Fo(\021)s Fr(].)0 2075 y(2.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fo(pE)381 2087 y Fn(1)419 2075 y Fo(:::E)549 2087 y Fi(n)594 2075 y Fr(:)37 b(Beh.)g(folgt)27 b(unmittelbar)h(aus)f(der)g(I.V.)i(\(Induktionsv)n(oraussetzung\).)0 2175 y(3.)56 b Fo(E)39 b Fr(=)34 b Fm(8)p Fo(xA)p Fr(:)50 b(F)r(\177)-44 b(ur)34 b(jedes)g Fo(y)j Fm(2)e Fr(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))g(gilt)g Fo(y)h Fr(=)e Fo(x)h Fr(o)r(der)e Fo(x)i Fm(6)p Fr(=)e Fo(y)k Fm(2)e Fr(FV)q(\()p Fo(E)5 b Fr(\))35 b(und)g(somit)f Fo(\030)3056 2145 y Fi(a)3052 2195 y(x)3096 2175 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))h(=)e Fo(a)h Fr(=)g Fo(\021)3558 2145 y Fi(a)3555 2195 y(x)3598 2175 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))h(o)r(der)0 2274 y Fo(\030)40 2244 y Fi(a)36 2295 y(x)80 2274 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))41 b(=)f Fo(\030)t Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))h(=)f Fo(\021)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))h(=)f Fo(\021)970 2244 y Fi(a)967 2295 y(x)1010 2274 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\).)69 b(Mit)38 b(I.V.)h(folgt)f(daraus)e Fo(A)2098 2244 y Fj(M)2181 2274 y Fr([)p Fo(\030)2244 2244 y Fi(a)2240 2295 y(x)2284 2274 y Fr(])41 b(=)f Fo(A)2515 2244 y Fj(M)2597 2274 y Fr([)p Fo(\021)2664 2244 y Fi(a)2661 2295 y(x)2704 2274 y Fr(])f(\(f)r(\177)-44 b(ur)38 b(alle)g Fo(a)i Fm(2)h(jMj)p Fr(\),)g(und)d(somit)0 2374 y(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))220 2344 y Fj(M)303 2374 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(=)g(min)p Fm(f)p Fo(A)742 2344 y Fj(M)824 2374 y Fr([)p Fo(\030)887 2344 y Fi(a)883 2395 y(x)927 2374 y Fr(])g(:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)h(jMjg)e Fr(=)h(min)p Fm(f)p Fo(A)1719 2344 y Fj(M)1801 2374 y Fr([)p Fo(\021)1868 2344 y Fi(a)1865 2395 y(x)1908 2374 y Fr(])h(:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)g(jMjg)f Fr(=)h(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))2678 2344 y Fj(M)2761 2374 y Fr([)p Fo(\021)s Fr(].)952 b Fm(4)0 2573 y Fp(De\014nition)0 2673 y Fr(Ein)27 b(Ausdruc)n(k)g Fo(E)33 b Fr(mit)28 b(FV)r(\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(=)e Fm(;)27 b Fr(hei\031t)h Fk(geschlossen)p Fr(.)0 2772 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(gesc)n(hlossenes)d Fo(E)33 b Fr(h\177)-42 b(angt)27 b(der)g(W)-7 b(ert)28 b Fo(E)1409 2742 y Fj(M)1491 2772 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(nic)n(h)n(t)g(v)n(on)e Fo(\030)32 b Fr(ab;)c(man)f(sc)n(hreibt)g(deshalb)g Fo(E)3038 2742 y Fj(M)3148 2772 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(E)3346 2742 y Fj(M)3428 2772 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(].)0 2971 y Fp(De\014nition)f Fr(\(Substitutionen\))0 3071 y(Sei)h(TER)f(die)h (Menge)f(aller)g(T)-7 b(erme.)0 3171 y(Eine)27 b Fk(Substitution)g Fr(ist)g(eine)h(F)-7 b(unktion)28 b Fo(\033)f Fr(:)c(V)-9 b(AR)23 b Fm(\000)-14 b(!)23 b Fr(TER)k(mit)h(dom\()p Fo(\033)s Fr(\))c(:=)f Fm(f)p Fo(x)g Fr(:)37 b Fo(\033)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(6)p Fr(=)f Fo(x)p Fm(g)28 b Fr(endlic)n(h.)0 3270 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f(Substitution)i Fo(\033)i Fr(sei)c(FV)r(\()p Fo(\033)s Fr(\))d(:=)1374 3208 y Fd(S)1443 3270 y Fm(f)p Fr(FV)q(\()p Fo(\033)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\)\))h(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fr(dom\()p Fo(\033)s Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 3370 y(Ist)35 b Fo(\033)j Fr(eine)c(Substitution)i(und)f(sind)f Fo(t)1260 3382 y Fn(1)1298 3370 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(t)1512 3382 y Fi(n)1592 3370 y Fr(T)-7 b(erme)34 b(und)h Fo(x)2075 3382 y Fn(1)2113 3370 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2344 3382 y Fi(n)2424 3370 y Fr(paarw)n(eise)33 b(v)n(ersc)n(hiedene)g(V)-7 b(ariablen,)35 b(so)f(sei)0 3470 y Fo(\033)50 3439 y Fi(t)75 3447 y Fc(1)108 3439 y Fi(;:::)o(;t)232 3447 y Fb(n)47 3490 y Fi(x)85 3498 y Fc(1)117 3490 y Fi(;:::)o(;x)254 3498 y Fb(n)326 3470 y Fr(die)28 b(folgenderma\031en)e(de\014nierte)i (Substitution:)1100 3729 y Fo(\033)1150 3695 y Fi(t)1175 3703 y Fc(1)1208 3695 y Fi(;:::)o(;t)1332 3703 y Fb(n)1147 3750 y Fi(x)1185 3758 y Fc(1)1217 3750 y Fi(;:::)o(;x)1354 3758 y Fb(n)1398 3729 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))c(:=)1640 3612 y Fd(\032)1717 3679 y Fo(t)1747 3691 y Fi(i)1958 3679 y Fr(falls)k Fo(y)d Fr(=)e Fo(x)2333 3691 y Fi(i)2384 3679 y Fr(\(1)g Fm(\024)g Fo(i)f Fm(\024)h Fo(n)p Fr(\))1717 3779 y Fo(\033)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))83 b(falls)28 b Fo(y)d Fm(62)f(f)p Fo(x)2366 3791 y Fn(1)2403 3779 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(x)2635 3791 y Fi(n)2680 3779 y Fm(g)0 3973 y Fp(De\014nition)31 b(v)m(on)h Fo(E)5 b(\033)0 4098 y Fr(1.)36 b Fo(x\033)27 b Fr(:=)c Fo(\033)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\),)57 b(2.)36 b(\()p Fo(pE)810 4110 y Fn(1)848 4098 y Fo(:::E)978 4110 y Fi(n)1024 4098 y Fr(\))p Fo(\033)26 b Fr(:=)d Fo(p)14 b(E)1357 4110 y Fn(1)1394 4098 y Fo(\033)k(:)c(:)g(:)27 b(E)1644 4110 y Fi(n)1690 4098 y Fo(\033)s Fr(,)55 b(3.)37 b(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))p Fo(\033)27 b Fr(:=)22 b Fm(8)p Fo(x)14 b(A\033)2544 4068 y Fi(x)2541 4118 y(x)0 4247 y Fg(Schreib)n(w)n(eise:) 0 4347 y Fo(E)61 4359 y Fi(x)99 4367 y Fc(1)131 4359 y Fi(;:::)o(;x)268 4367 y Fb(n)312 4347 y Fr(\()p Fo(t)374 4359 y Fn(1)412 4347 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(t)627 4359 y Fi(n)672 4347 y Fr(\))23 b(:=)g Fo(E)5 b(\033)31 b Fr(mit)d Fo(\033)f Fr(:=)22 b(id)1387 4310 y Fi(t)1412 4318 y Fc(1)1445 4310 y Fi(;:::)o(;t)1569 4318 y Fb(n)1387 4367 y Fi(x)1425 4375 y Fc(1)1457 4367 y Fi(;:::)o(;x)1594 4375 y Fb(n)1639 4347 y Fr(.)0 4471 y Fp(F)-8 b(olgerung)p Fr(:)27 b(FV)q(\()p Fo(E)5 b(\033)s Fr(\))24 b Fm(\022)f Fr(\(FV)r(\()p Fo(E)5 b Fr(\))19 b Fm(n)f Fr(dom\()p Fo(\033)s Fr(\)\))i Fm([)e Fr(FV)r(\()p Fo(\033)s Fr(\).)0 4571 y Fg(Bew)n(eis:)38 b Fr(\(Wir)28 b(b)r(ehandeln)g(n)n(ur)f(den)h (F)-7 b(all)27 b Fo(E)h Fr(=)23 b Fm(8)p Fo(xA)p Fr(.\))0 4717 y(FV)r(\(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))p Fo(\033)s Fr(\))39 b(=)f(FV)r(\()p Fm(8)p Fo(x)14 b(A\033)964 4687 y Fi(x)961 4738 y(x)1006 4717 y Fr(\))38 b(=)g(FV)r(\()p Fo(A\033)1441 4687 y Fi(x)1438 4738 y(x)1484 4717 y Fr(\))24 b Fm(n)h(f)p Fo(x)p Fm(g)1775 4648 y Fn(I)p Fi(:)p Fn(V)q Fi(:)1800 4717 y Fm(\022)62 b Fr(\(\(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))25 b Fm(n)f Fr(dom\()p Fo(si)2583 4687 y Fi(x)2583 4738 y(x)2625 4717 y Fr(\)\))h Fm([)g Fr(FV)q(\()p Fo(A\033)3055 4687 y Fi(x)3052 4738 y(x)3098 4717 y Fr(\)\))g Fm(n)f(f)p Fo(x)p Fm(g)38 b Fr(=)g(\(\(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))25 b Fm(n)0 4817 y(f)p Fo(x)p Fm(g)p Fr(\)dom\()p Fo(\033)402 4787 y Fi(x)399 4838 y(x)444 4817 y Fr(\)\))19 b Fm([)g Fr(\(FV)r(\()p Fo(A\033)895 4787 y Fi(x)892 4838 y(x)938 4817 y Fr(\)\))g Fm(n)f(f)p Fo(x)p Fm(g)p Fr(\))k Fm(\022)h Fr(\(\(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))p Fm(f)p Fo(x)p Fm(g)p 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Fi(y)264 5340 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))23 b(:=)g Fg(if)14 b Fo(y)26 b Fm(2)d Fr(FV)r(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))14 b Fg(then)g Fm(f)p Fo(x)p Fm(g)k([)h Fr(BV)1675 5352 y Fi(y)1715 5340 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))14 b Fg(else)i Fm(;)1929 5539 y Fr(3)p eop %%Page: 4 5 4 4 bop 0 83 a Fo(t)28 b Fr(hei\031t)f Fk(substituierb)l(ar)j(f)q(\177) -43 b(ur)29 b Fo(y)k Fk(in)d Fo(A)p Fr(,)e(falls)f(gilt)h(BV)1647 95 y Fi(y)1687 83 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(FV)r(\()p Fo(t)p Fr(\))k(=)g Fm(;)p Fr(.)0 204 y Fp(Lemma)30 b(1.3)c Fr(\(Substitutionslemma\))0 303 y(Ist)i Fo(E)k Fr(ein)c(Ausdruc)n(k,)f(und)h(sind)g Fo(\033)n(;)h(\021)h Fr(eine)e(Substitutionen)h(mit)0 403 y(\(i\))56 b(BV)265 415 y Fi(y)305 403 y Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(FV)r(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))k(=)g Fm(;)k Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(y)f Fm(2)d Fr(dom\()p Fo(\033)s Fr(\),)0 502 y(\(ii\))28 b Fo(\021)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))c(=)f(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))560 472 y Fj(M)642 502 y Fr([)p Fo(\030)t 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Fr([)p Fo(\021)s Fr(].)0 1167 y(2.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fo(pE)381 1179 y Fn(1)419 1167 y Fo(:::E)549 1179 y Fi(n)594 1167 y Fr(:)37 b(\()p Fo(E)5 b(\033)s Fr(\))834 1136 y Fj(M)917 1167 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])24 b(=)e(\()p Fo(p)14 b(E)1263 1179 y Fn(1)1301 1167 y Fo(\033)j(:)d(:)g(:)g(E)1537 1179 y Fi(n)1582 1167 y Fo(\033)s Fr(\))1664 1136 y Fj(M)1747 1167 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(=)g Fo(p)1986 1136 y Fj(M)2068 1167 y Fr(\(\()p Fo(E)2193 1179 y Fn(1)2231 1167 y Fo(\033)s Fr(\))2313 1136 y Fj(M)2396 1167 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])p Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g Fr(\()p Fo(E)2760 1179 y Fi(n)2806 1167 y Fr(\))p Fo(\033)2888 1136 y Fj(M)2970 1167 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(]\))3112 1120 y Fn(I)p Fi(:)p Fn(V)q Fi(:)3136 1167 y Fr(=)0 1266 y(=)23 b Fo(p)130 1236 y Fj(M)212 1266 y Fr(\()p Fo(E)310 1236 y Fj(M)305 1287 y Fn(1)392 1266 y Fr([)p Fo(\021)s Fr(])p Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(E)733 1236 y Fj(M)728 1287 y Fi(n)815 1266 y Fr([)p Fo(\021)s Fr(]\))24 b(=)f(\()p Fo(p)14 b(E)1198 1278 y 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Fo(\033)836 1933 y Fi(x)833 1984 y(x)879 1964 y Fr(\).)59 b(Dann)36 b Fo(y)i Fm(6)p Fr(=)d Fo(x)h Fr(und)g Fo(y)i Fm(2)e Fr(dom\()p Fo(\033)s Fr(\).)61 b(Nac)n(h)34 b(V)-7 b(oraussetzung)34 b(folgt)h(daraus)f(BV)3561 1976 y Fi(y)3601 1964 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))24 b Fm(\\)0 2063 y Fr(FV)r(\()p Fo(y)s(\033)244 2033 y Fi(x)241 2084 y(x)286 2063 y Fr(\))30 b(=)f Fm(;)p Fr(.)48 b(Ist)32 b Fo(y)g Fm(2)e Fr(FV)q(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\),)j(so)e(BV)1462 2075 y Fi(y)1501 2063 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))f(=)g Fm(f)p Fo(x)p Fm(g)20 b([)h Fr(BV)2196 2075 y Fi(y)2236 2063 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\).)49 b(Ist)32 b Fo(y)g Fm(62)e Fr(FV)r(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\),)j(so)d(gilt)i(\(w)n(egen)f Fo(y)h Fm(6)p Fr(=)d Fo(x)p Fr(\))0 2163 y(auc)n(h)f Fo(y)g Fm(62)e Fr(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))k(und)f(folglic)n(h)f(BV)1198 2175 y Fi(y)1238 2163 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))e(=)f Fm(;)p Fr(.)40 b(In)29 b(jedem)h(F)-7 b(all)29 b(hab)r(en)g(wir)g(also)e(BV) 2781 2175 y Fi(y)2821 2163 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))f Fm(\022)f Fr(BV)3185 2175 y Fi(y)3225 2163 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))k(und)h(folglic)n(h)0 2262 y(BV)122 2274 y Fi(y)162 2262 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(FV)r(\()p Fo(y)s(\033)625 2232 y Fi(x)622 2283 y(x)667 2262 y Fr(\))k(=)g Fm(;)p Fr(.)0 2362 y(ad)18 b(\(ii\):)33 b(O\013en)n(bar)18 b(gilt)h Fo(\021)788 2332 y Fi(a)785 2383 y(x)828 2362 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)f Fo(a)g Fr(=)f(\()p Fo(x\033)1334 2332 y Fi(x)1331 2383 y(x)1377 2362 y Fr(\))1409 2332 y Fj(M)1492 2362 y Fr([)p Fo(\030)1555 2332 y Fi(a)1551 2383 y(x)1595 2362 y Fr(].)34 b(Sei)19 b(n)n(un)g Fo(y)25 b Fm(2)f Fr(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))p Fm(nf)p Fo(x)p Fm(g)g Fr(=)f(FV)q(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\).)35 b(Dann)19 b(ist)f Fo(x)24 b Fm(2)f Fr(BV)3617 2374 y Fi(y)3657 2362 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\).)0 2462 y(F)-7 b(erner)28 b(gilt)g Fo(\021)453 2432 y Fi(a)450 2482 y(x)494 2462 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))d(=)f Fo(\021)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))h(=)f(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))1140 2432 y Fj(M)1223 2462 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])29 b(und)g(\()p Fo(y)s(\033)1631 2432 y Fi(x)1628 2482 y(x)1673 2462 y Fr(\))1705 2432 y Fj(M)1788 2462 y Fr([)p Fo(\030)1851 2432 y Fi(a)1847 2482 y(x)1891 2462 y Fr(])c(=)f(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))2186 2432 y Fj(M)2269 2462 y Fr([)p Fo(\030)2332 2432 y Fi(a)2328 2482 y(x)2372 2462 y Fr(].)40 b(Bleibt)29 b(zu)g(zeigen)f(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))3227 2432 y Fj(M)3310 2462 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])c(=)h(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))3668 2432 y Fj(M)3751 2462 y Fr([)p Fo(\030)3814 2432 y Fi(a)3810 2482 y(x)3854 2462 y Fr(].)0 2561 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(y)f Fm(62)e Fr(dom)o(\()p Fo(\033)s Fr(\))30 b(gilt)e(das)g(w)n (egen)f Fo(y)g Fm(6)p Fr(=)d Fo(x)p Fr(.)40 b(Ist)28 b(dagegen)f Fo(y)g Fm(2)d Fr(dom\()p Fo(\033)s Fr(\),)30 b(so)d(hab)r(en)i(wir)f(BV)2949 2573 y Fi(y)2989 2561 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(FV)r(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))25 b(=)f Fm(;)k Fr(und)0 2661 y(folglic)n(h)f(\(w)n (egen)g Fo(x)d Fm(2)f Fr(BV)836 2673 y Fi(y)876 2661 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\)\))28 b Fo(x)c Fm(62)f Fr(FV)r(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\).)38 b(Mit)28 b(Lemma)f(1.2)g(folgt)g (daraus)f(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))2848 2631 y Fj(M)2931 2661 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])e(=)e(\()p Fo(y)s(\033)s Fr(\))3286 2631 y Fj(M)3369 2661 y Fr([)p Fo(\030)3432 2631 y Fi(a)3428 2682 y(x)3472 2661 y Fr(].)308 b Fm(4)0 2844 y Fp(Lemma)30 b(1.4)0 2944 y Fr(Sei)e(T)f(die)h(Menge)f(aller)g (gesc)n(hlossenen)f(T)-7 b(erme)27 b(und)h(\006)g(eine)f(Menge)h(v)n (on)e(gesc)n(hlossenen)g(F)-7 b(ormeln)27 b(derart,)g(da\031)g(gilt:)0 3044 y(\(1\))h Fm(?)22 b(62)i Fr(\006.)0 3143 y(\(2\))k Fo(A)23 b Fm(!)g Fo(B)k Fm(2)d Fr(\006)46 b Fm(,)g Fo(A)23 b Fm(62)h Fr(\006)j(o)r(der)g Fo(B)h Fm(2)23 b Fr(\006)0 3243 y(\(3\))28 b Fm(8)p Fo(xA)23 b Fm(2)g Fr(\006)46 b Fm(,)g Fo(A)688 3255 y Fi(x)730 3243 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(t)c Fm(2)p Fr(T.)0 3342 y(\(4\))28 b Fm(\030)14 b Fr(:=)22 b Fm(f)p Fr(\()p Fo(s;)14 b(t)p Fr(\))23 b(:)37 b(\()p Fo(s)14 b Fl(=)g Fo(t)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(\006)p Fm(g)28 b Fr(ist)1207 3321 y(\177)1196 3342 y(Aquiv)-5 b(alenzrelation.)0 3442 y(\(5\))28 b Fo(s)23 b Fm(\030)f Fo(t)46 b Fr(&)g Fo(A)532 3454 y Fi(x)574 3442 y Fr(\()p Fo(s)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006)46 b(&)g Fo(A)28 b Fr(Primformel)49 b Fm(\))e Fo(A)1738 3454 y Fi(x)1780 3442 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(\006.)0 3563 y(Wir)k(setzen)f(hier)g(v)n(oraus,)f (da\031)h Fm(L)h Fr(mindestens)g(eine)f(Konstan)n(te)g(en)n(th\177)-42 b(alt)27 b(und)h(somit)g(T)23 b Fm(6)p Fr(=)g Fm(;)k Fr(ist.)0 3683 y(Sei)h(ferner:)p 0 3722 30 4 v 0 3783 a Fo(t)23 b Fr(:=)g Fm(f)p Fo(s)f Fm(2)i Fr(T)f(:)g Fo(s)g Fm(\030)f Fo(t)p Fm(g)h Fr(\()p Fo(t)g Fm(2)h Fr(T\))0 3882 y Fo(M)32 b Fr(:=)22 b Fm(f)p 265 3821 V Fo(t)h Fr(:)g Fo(t)g Fm(2)g Fr(T)p Fm(g)0 3982 y(M)g Fr(:=)f(\()p Fo(M)t(;)14 b Fr(\()p Fo(u)467 3952 y Fj(M)550 3982 y Fr(\))582 3994 y Fi(u)p Fj(2L)716 3982 y Fr(\),)28 b(w)n(ob)r(ei)f Fo(f)1084 3952 y Fj(M)1166 3982 y Fr(\()p 1198 3921 68 4 v Fo(t)1228 3994 y Fn(1)1266 3982 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)p 1450 3921 76 4 v 14 w(t)1480 3994 y Fi(n)1525 3982 y Fr(\))24 b(:=)p 1691 3914 262 4 v 22 w Fo(f)9 b(t)1771 3994 y Fn(1)1808 3982 y Fo(:::t)1907 3994 y Fi(n)1980 3982 y Fr(und)28 b Fo(R)2210 3952 y Fj(M)2292 3982 y Fr(\()p 2324 3921 68 4 v Fo(t)2354 3994 y Fn(1)2392 3982 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)p 2576 3921 76 4 v 14 w(t)2606 3994 y Fi(n)2651 3982 y Fr(\))24 b(:=)e Fg(if)14 b Fo(R)q(t)2967 3994 y Fn(1)3004 3982 y Fo(:::t)3103 3994 y Fi(n)3172 3982 y Fm(2)23 b Fr(\006)14 b Fg(then)g Fr(1)g Fg(else)h Fr(0.)0 4103 y(Dann)28 b(ist)g Fm(M)f Fr(eine)h(w)n(ohlde\014nierte)f (Struktur,)g(und)h(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f(gesc)n(hlossenen)f(T) -7 b(erme)27 b Fo(t)h Fr(bzw.)37 b(F)-7 b(ormeln)27 b Fo(A)h Fr(gilt:)0 4202 y(a\))f Fo(t)131 4172 y Fj(M)237 4202 y Fr(=)p 324 4141 30 4 v 22 w Fo(t)p Fr(.)0 4302 y(b\))h Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)46 b Fm(,)g Fo(A)24 b Fm(2)f Fr(\006.)0 4422 y Fg(Bew)n(eis:)0 4522 y Fr(1.)36 b(W)-7 b(ohlde\014niertheit)29 b(v)n(on)d Fo(f)963 4492 y Fj(M)1045 4522 y Fr(:)0 4622 y(Sei)p 128 4576 67 4 v 22 w Fo(s)167 4634 y Fi(i)217 4622 y Fr(=)p 305 4561 58 4 v 23 w Fo(t)335 4634 y Fi(i)363 4622 y Fr(,)d(i.e.)35 b Fo(s)589 4634 y Fi(i)639 4622 y Fm(\030)23 b Fo(t)757 4634 y Fi(i)784 4622 y Fr(,)g(f)r(\177)-44 b(ur)22 b Fo(i)h Fr(=)f(1)p Fo(;)14 b(:::;)g(n)p Fr(.)35 b(Wir)21 b(hab)r(en)h(zu)g(zeigen:)p 2174 4554 280 4 v 33 w Fo(f)9 b(s)2263 4634 y Fn(1)2300 4622 y Fo(:::s)2408 4634 y Fi(n)2476 4622 y Fr(=)p 2564 4554 262 4 v 23 w Fo(f)g(t)2644 4634 y Fn(1)2681 4622 y Fo(:::t)2780 4634 y Fi(n)2825 4622 y Fr(,)23 b(i.e.)35 b(\()p Fo(f)9 b(s)3133 4634 y Fn(1)3170 4622 y Fo(:::s)3278 4634 y Fi(n)3337 4622 y Fl(=)14 b Fo(f)9 b(t)3502 4634 y Fn(1)3539 4622 y Fo(:::t)3638 4634 y Fi(n)3683 4622 y Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006.)0 4721 y(Nac)n(h)k(V)-7 b(oraussetzung)26 b(\(4\))i(gilt)g(\() p Fo(f)9 b(s)1165 4733 y Fn(1)1202 4721 y Fo(:::s)1310 4733 y Fi(n)1369 4721 y Fl(=)14 b Fo(f)9 b(s)1543 4733 y Fn(1)1579 4721 y Fo(:::s)1687 4733 y Fi(n)1733 4721 y Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(\006.)37 b(Mit)28 b Fo(s)2184 4733 y Fn(1)2245 4721 y Fm(\030)22 b Fo(t)2362 4733 y Fn(1)2427 4721 y Fr(und)28 b(\(5\))g(folgt)f(daraus)0 4821 y(\()p Fo(f)9 b(s)121 4833 y Fn(1)158 4821 y Fo(:::s)266 4833 y Fi(n)325 4821 y Fl(=)14 b Fo(f)9 b(t)490 4833 y Fn(1)527 4821 y Fo(s)566 4833 y Fn(2)603 4821 y Fo(:::s)711 4833 y Fi(n)756 4821 y Fr(\))30 b Fm(2)g Fr(\006.)48 b(Mit)32 b Fo(s)1236 4833 y Fn(2)1303 4821 y Fm(\030)d Fo(t)1427 4833 y Fn(2)1496 4821 y Fr(und)j(\(5\))g(folgt)f(w)n(eiter)g (\()p Fo(f)9 b(s)2371 4833 y Fn(1)2408 4821 y Fo(:::s)2516 4833 y Fi(n)2575 4821 y Fl(=)14 b Fo(f)9 b(t)2740 4833 y Fn(1)2777 4821 y Fo(t)2807 4833 y Fn(2)2844 4821 y Fo(s)2883 4833 y Fn(3)2920 4821 y Fo(:::s)3028 4833 y Fi(n)3073 4821 y Fr(\))30 b Fm(2)g Fr(\006)h(usw.)49 b(Sc)n(hlie\031lic)n(h)0 4921 y(erhalten)27 b(wir)g(\()p Fo(f)9 b(s)587 4933 y Fn(1)624 4921 y Fo(:::s)732 4933 y Fi(n)791 4921 y Fl(=)14 b Fo(f)9 b(t)956 4933 y Fn(1)993 4921 y Fo(:::t)1092 4933 y Fi(n)1138 4921 y Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(\006)28 b(und)g(somit)f(\(w)n(egen)g(\(4\)\))p 2196 4853 280 4 v 28 w Fo(f)9 b(s)2285 4933 y Fn(1)2322 4921 y Fo(:::s)2430 4933 y Fi(n)2499 4921 y Fr(=)p 2586 4853 262 4 v 22 w Fo(f)g(t)2666 4933 y Fn(1)2703 4921 y Fo(:::t)2802 4933 y Fi(n)2847 4921 y Fr(.)0 5041 y(2.)36 b(W)-7 b(ohlde\014niertheit)29 b(v)n(on)d Fo(R)977 5011 y Fj(M)1059 5041 y Fr(:)0 5141 y(Sei)p 142 5095 67 4 v 36 w Fo(s)181 5153 y Fi(i)246 5141 y Fr(=)p 348 5080 58 4 v 37 w Fo(t)378 5153 y Fi(i)406 5141 y Fr(,)38 b(i.e.)63 b Fo(s)675 5153 y Fi(i)739 5141 y Fm(\030)37 b Fo(t)871 5153 y Fi(i)899 5141 y Fr(,)h(f)r(\177)-44 b(ur)37 b Fo(i)f Fr(=)h(1)p Fo(;)14 b(:::;)g(n)p Fr(.)62 b(Wir)36 b(hab)r(en)h(zu)f(zeigen:)53 b(\()p Fo(R)q(s)2573 5153 y Fn(1)2610 5141 y Fo(:::s)2718 5153 y Fi(n)2764 5141 y Fr(\))37 b Fm(2)h Fr(\006)f Fm(,)h Fr(\()p Fo(R)q(t)3270 5153 y Fn(1)3307 5141 y Fo(:::t)3406 5153 y Fi(n)3451 5141 y Fr(\))g Fm(2)f Fr(\006.)63 b(Aus)0 5240 y(Symmetriegr)r(\177)-44 b(unden)26 b(reic)n(h)n(t)g(es,)h(die)f(Ric)n(h)n(tung)h(\\)p Fm(\))p Fr(")e(zu)i(b)r(ew)n(eisen.)36 b(Sei)27 b(also)f(\()p Fo(R)q(s)2664 5252 y Fn(1)2701 5240 y Fo(:::s)2809 5252 y Fi(n)2854 5240 y Fr(\))d Fm(2)h Fr(\006.)36 b(Analog)26 b(wie)h(ob)r(en)f(folgt)0 5340 y(daraus)g(der)h(Reihe)h(nac)n(h)f(\()p Fo(R)q(t)965 5352 y Fn(1)1002 5340 y Fo(s)1041 5352 y Fn(2)1079 5340 y Fo(:::s)1187 5352 y Fi(n)1232 5340 y Fr(\))c Fm(2)h Fr(\006,)j(\()p Fo(R)q(t)1602 5352 y Fn(1)1640 5340 y Fo(t)1670 5352 y Fn(2)1707 5340 y Fo(s)1746 5352 y Fn(3)1783 5340 y Fo(:::s)1891 5352 y Fi(n)1936 5340 y Fr(\))d Fm(2)f Fr(\006,)p Fo(:)14 b(:)g(:)p Fr(,)28 b(\()p Fo(R)q(t)2427 5352 y Fn(1)2464 5340 y Fo(:::t)2563 5352 y Fi(n)2608 5340 y Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(\006.)1929 5539 y(4)p eop %%Page: 5 6 5 5 bop 0 83 a Fr(3.)36 b(Bew)n(eis)27 b(v)n(on)g(a\))h(und)g(b\))g (durc)n(h)f(Induktion:)0 207 y(a\))g(\()p Fo(f)9 b(t)213 219 y Fn(1)251 207 y Fo(:::t)350 219 y Fi(n)395 207 y Fr(\))427 177 y Fj(M)532 207 y Fr(=)23 b Fo(f)670 177 y Fj(M)752 207 y Fr(\()p Fo(t)814 177 y Fj(M)814 228 y Fn(1)896 207 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(t)1111 177 y Fj(M)1111 228 y Fi(n)1193 207 y Fr(\))1248 160 y Fn(I)p Fi(:)p Fn(V)q Fi(:)1273 207 y Fr(=)47 b Fo(f)1435 177 y Fj(M)1516 207 y Fr(\()p 1548 146 68 4 v Fo(t)1578 219 y Fn(1)1616 207 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)p 1801 146 76 4 v 14 w(t)1831 219 y Fi(n)1876 207 y Fr(\))23 b(=)p 2019 140 262 4 v 23 w Fo(f)9 b(t)2099 219 y Fn(1)2135 207 y Fo(:::t)2234 219 y Fi(n)2280 207 y Fr(.)0 308 y(b\))0 408 y(\(i\))74 b Fm(M)23 b(6j)-14 b Fr(=)23 b Fm(?)46 b Fr(&)f Fm(?)23 b(62)g Fr(\006.)0 544 y(\(ii\))51 b Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\()p Fo(s)14 b Fl(=)g Fo(t)p Fr(\))23 b Fm(,)g Fo(s)781 513 y Fj(M)887 544 y Fr(=)f Fo(t)1004 513 y Fj(M)1121 489 y Fn(a\))1109 544 y Fm(,)h Fo(s)g Fm(\030)g Fo(t)g Fm(,)g Fr(\()p Fo(s)14 b Fl(=)g Fo(t)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(\006.)0 679 y(\(iii\))k Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(R)q(t)475 691 y Fn(1)512 679 y Fo(:::t)611 691 y Fi(n)679 679 y Fm(,)g Fo(R)849 649 y Fj(M)931 679 y Fr(\()p Fo(t)993 649 y Fj(M)993 699 y Fn(1)1076 679 y Fo(:::t)1175 649 y Fj(M)1175 699 y Fi(n)1257 679 y Fr(\))g(=)g(1)1477 625 y Fn(a\))1465 679 y Fm(,)g Fo(R)1635 649 y Fj(M)1717 679 y Fr(\()p 1749 618 68 4 v Fo(t)1779 691 y Fn(1)1816 679 y Fo(:::)p 1885 618 76 4 v(t)1915 691 y Fi(n)1960 679 y Fr(\))h(=)e(1)h Fm(,)g Fo(R)q(t)2368 691 y Fn(1)2405 679 y Fo(:::t)2504 691 y Fi(n)2572 679 y Fm(2)h Fr(\006.)0 803 y(\(iv\))30 b Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\()p Fo(A)h Fm(!)f Fo(B)t Fr(\))g Fm(,)g(M)g(6j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)g Fr(o)r(der)g Fm(M)f(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(B)1631 756 y Fn(I)p Fi(:)p Fn(V)q Fi(:)1646 803 y Fm(,)38 b Fo(A)23 b Fm(62)h Fr(\006)f(o)r(der)f Fo(B)27 b Fm(2)d Fr(\006)f Fm(,)g Fr(\()p Fo(A)g Fm(!)g Fo(B)t Fr(\))h Fm(2)f Fr(\006.)0 902 y(\(v\))53 b(Sei)28 b Fm(8)p Fo(xA)g Fr(gesc)n(hlossen,)d(und)j Fo(\030)k Fr(eine)c(b)r(eliebige)g Fm(M)p Fr(-Belegung.)35 b(Dann)28 b(gilt:)161 1038 y Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fm(8)p Fo(xA)g Fm(,)g(M)g(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(\030)p 1011 962 30 4 v 1011 1008 a Fi(t)1007 1058 y(x)1049 1038 y Fr(])28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(t)c Fm(2)g Fr(T)1610 983 y Fn(a\))1598 1038 y Fm(,)g(M)g(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(\030)2049 1008 y Fi(t)2074 982 y Fa(M)2045 1058 y Fi(x)2148 1038 y Fr(])28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)g Fo(t)d Fm(2)f Fr(T)2697 991 y Fn(L)p Fi(:)p Fn(1)p Fi(:)p Fn(3)2729 1038 y Fm(,)161 1162 y(,)47 b(M)22 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)572 1174 y Fi(x)614 1162 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(t)c Fm(2)h Fr(T)1235 1115 y Fn(I)p Fi(:)p Fn(V)q Fi(:)1250 1162 y Fm(,)38 b Fo(A)1433 1174 y Fi(x)1475 1162 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(t)c Fm(2)g Fr(T)g Fm(,)g(8)p Fo(xA)g Fm(2)h Fr(\006.)1122 b Fm(4)0 1521 y Fq(2)37 b(Der)h(V)-9 b(ollst)o(\177)-55 b(andigk)m(eitssatz)34 b(f)s(\177)-59 b(ur)37 b(die)g(Pr)o(\177)-55 b(adik)-6 b(atenlogik)36 b(1.)50 b(Stufe)0 1726 y Fg(DER)26 b(HERLEITUNGSKALK)925 1707 y(\177)917 1726 y(UL)e Fm(K)1102 1741 y Fj(f!)p Fi(;)p Fj(8g)0 1878 y Fg(Logische)k(Axiome)0 2005 y Fr(\()p Fm(!)23 b Fr(1\))28 b Fo(A)23 b Fm(!)g Fo(A)0 2104 y Fr(\()p Fm(!)g Fr(2\))28 b Fo(A)23 b Fm(!)g Fr(\()p Fo(B)28 b Fm(!)23 b Fo(A)p Fr(\))0 2204 y(\()p Fm(!)g Fr(3\))28 b(\()p Fo(C)h Fm(!)24 b Fr(\()p Fo(A)f Fm(!)g Fo(B)t Fr(\)\))h Fm(!)f Fr(\(\()p Fo(C)30 b Fm(!)23 b Fo(A)p Fr(\))h Fm(!)f Fr(\()p Fo(C)29 b Fm(!)23 b Fo(B)t Fr(\)\))0 2303 y(\()p Fm(!)g Fr(4\))28 b Fm(::)p Fo(A)c Fm(!)f Fo(A)0 2403 y Fr(\()p Fm(8)p Fr(1\))87 b Fm(8)p Fo(xA)23 b Fm(!)g Fo(A)587 2415 y Fi(x)629 2403 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\),)28 b(falls)g(BV)1070 2415 y Fi(x)1112 2403 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(FV)q(\()p Fo(t)p Fr(\))24 b(=)f Fm(;)0 2503 y Fr(\()p Fm(8)p Fr(2\))87 b Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(A)23 b Fm(!)g Fo(B)t Fr(\))h Fm(!)f Fr(\()p Fm(8)p Fo(xA)g Fm(!)g(8)p Fo(xB)t Fr(\))0 2602 y(\()p Fm(8)p Fr(3\))87 b Fo(A)23 b Fm(!)g(8)p Fo(xA)p Fr(,)28 b(falls)f Fo(x)d Fm(62)f Fr(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))0 2702 y(\(G1\))69 b Fo(t)14 b Fl(=)g Fo(t)0 2802 y Fr(\(G2\))69 b Fo(s)14 b Fl(=)f Fo(t)24 b Fm(!)f Fr(\()p Fo(A)631 2814 y Fi(x)673 2802 y Fr(\()p Fo(s)p Fr(\))g Fm(!)h Fo(A)968 2814 y Fi(x)1010 2802 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\)\),)k(falls)g Fo(A)g Fr(eine)f(Primformel)0 2954 y Fg(Die)g(Schlu\031regel)i Fr(\\mo)r(dus)e(p)r(onens")0 3081 y(\(mp\))56 b Fo(A)14 b(;)28 b(A)23 b Fm(!)g Fo(B)28 b Fm(`)22 b Fo(B)0 3233 y Fp(De\014nition)0 3333 y Fr(LogAx)241 3353 y Fj(8)306 3333 y Fr(:=)27 b(Menge)g(aller)g(F)-7 b(ormeln)27 b(der)h(F)-7 b(orm)27 b Fm(8)p Fo(x)1651 3345 y Fn(1)1701 3333 y Fo(:)14 b(:)g(:)g Fm(8)p Fo(x)1906 3345 y Fi(m)1969 3333 y Fo(A)23 b Fr(\()p Fo(m)g Fm(\025)g Fr(0\),)k(w)n(ob)r(ei)h Fo(A)g Fr(ein)f(logisc)n(hes)f(Axiom)i(ist.)0 3459 y(Eine)f Fk(Herleitung)j(von)g Fo(A)g Fk(aus)f Fr(\000)f(ist)g (eine)f(endlic)n(he)h(F)-7 b(olge)27 b(\()p Fo(A)1995 3471 y Fi(i)2023 3459 y Fr(\))2055 3471 y Fi(i)p Fj(\024)p Fi(n)2204 3459 y Fr(v)n(on)f(F)-7 b(ormeln)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(die)h(gilt:)0 3560 y(\(i\))51 b Fo(A)200 3572 y Fi(n)269 3560 y Fr(=)23 b Fo(A)0 3659 y Fr(\(ii\))28 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)g Fo(k)d Fm(\024)e Fo(n)28 b Fr(ist)f Fo(A)916 3671 y Fi(k)981 3659 y Fm(2)c Fr(LogAx)1300 3680 y Fj(8)1360 3659 y Fm([)c Fr(\000)28 b(o)r(der)f(es)g(gibt)h Fo(i;)14 b(j)27 b(<)c(k)30 b Fr(mit)e Fo(A)2471 3671 y Fi(j)2530 3659 y Fr(=)22 b Fo(A)2679 3671 y Fi(i)2730 3659 y Fm(!)h Fo(A)2898 3671 y Fi(k)0 3786 y Fr(\000)g Fm(`)g Fo(A)28 b Fr(:)p Fm(,)46 b Fo(A)28 b Fr(ist)g(aus)f(\000)g Fk(herleitb)l(ar)38 b Fr(\(o)r(der)28 b Fk(ableitb)l(ar)9 b Fr(\))29 b(:)p Fm(,)23 b Fr(Es)k(gibt)h(eine)f(Herleitung)h(v)n(on)f Fo(A)h Fr(aus)f(\000.)0 3885 y Fm(`)c Fo(A)69 b Fr(:)p Fm(,)46 b Fo(A)28 b Fr(ist)g Fk(herleitb)l(ar)38 b Fr(:)p Fm(,)46 b(;)23 b(`)g Fo(A)p Fr(.)0 4038 y Fp(F)-8 b(olgerungen)0 4138 y Fr(a\))27 b(\000)153 4150 y Fn(0)214 4138 y Fm(`)22 b Fo(A)47 b Fr(&)f(\000)559 4150 y Fn(1)619 4138 y Fm(`)23 b Fo(A)g Fm(!)g Fo(B)50 b Fm(\))c Fr(\000)1178 4150 y Fn(0)1234 4138 y Fm([)19 b Fr(\000)1360 4150 y Fn(1)1420 4138 y Fm(`)k Fo(A)0 4237 y Fr(b\))28 b(\000)158 4249 y Fn(0)218 4237 y Fm(`)23 b Fo(A)46 b Fr(&)g(\000)563 4249 y Fn(0)623 4237 y Fm(\022)23 b Fr(\000)46 b Fm(\))g Fr(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)0 4337 y Fr(c\))28 b(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)46 b Fm(\))51 b Fr(Es)27 b(existiert)g(endlic)n(he)g(T)-7 b(eilmenge)28 b(\000)1693 4349 y Fn(0)1753 4337 y Fm(\022)23 b Fr(\000)k(mit)h(\000)2124 4349 y Fn(0)2185 4337 y Fm(`)22 b Fo(A)0 4463 y Fg(Bemerkung)0 4563 y Fr(Sei)i(\000)h(eine)f(F)-7 b(ormelmenge.)35 b(Die)24 b(Menge)g(aller)f(aus)h(\000)g(ableitbaren)g (F)-7 b(ormeln)24 b(ist)g(o\013en)n(bar)f(die)h(kleinste)h(Ob)r (ermenge)e(v)n(on)0 4663 y(LogAx)241 4683 y Fj(8)302 4663 y Fm([)c Fr(\000,)29 b(w)n(elc)n(he)f(abgesc)n(hlossen)e(un)n(ter) i(\\mo)r(dus)g(p)r(onens")g(ist,)h(d.h.)39 b(mit)29 b Fo(A)g Fr(und)g Fo(A)c Fm(!)f Fo(B)33 b Fr(stets)28 b(auc)n(h)g Fo(B)33 b Fr(en)n(th\177)-42 b(alt.)0 4762 y(Um)27 b(zu)g(b)r(ew)n (eisen,)g(da\031)g(eine)g(Menge)f Fo(X)33 b Fr(alle)27 b(aus)f(\000)h(ableitbaren)f(F)-7 b(ormeln)27 b(en)n(th\177)-42 b(alt,)27 b(reic)n(h)n(t)f(es)h(also,)f(zu)h(zeigen,)g(da\031)f Fo(X)0 4862 y Fr(eine)i(un)n(ter)f(\\mo)r(dus)g(p)r(onens")g(abgesc)n (hlossene)e(Ob)r(ermenge)i(v)n(on)g(LogAx)2414 4882 y Fj(8)2474 4862 y Fm([)19 b Fr(\000)27 b(ist.)0 5014 y Fp(Satz)33 b(2.1)27 b Fr(\(Konsistenz-)f(o)r(der)h(Korrektheitssatz\))0 5114 y(\000)c Fm(`)g Fo(A)46 b Fr(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\000)23 b Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)0 5240 y Fg(Bew)n(eis:)0 5340 y Fr(HS)28 b(1:)37 b(Ist)27 b Fo(A)h Fr(ein)g(logisc)n(hes)e (Axiom,)h(so)g(gilt)h Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(\030)t Fr(])28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)h Fm(M)p Fo(;)14 b(\030)t Fr(.)1929 5539 y(5)p eop %%Page: 6 7 6 6 bop 0 83 a Fr(Bew)n(eis:)0 183 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(die)f(Axiome)h(\()p Fm(!)23 b Fr(1\))p Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h Fr(\()p Fm(!)24 b Fr(4\))p Fo(;)14 b Fr(\()p Fo(G)p Fr(1\))27 b(ist)h(die)g(Beh.)37 b(trivial.)0 313 y(\()p Fm(8)p Fr(1\))27 b(Sei)h Fo(a)23 b Fr(:=)f Fo(t)521 283 y Fj(M)603 313 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])28 b(und)g(gelte)g(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))1302 283 y Fj(M)1384 313 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])c(=)e(1.)37 b(Dann)28 b Fo(A)1970 325 y Fi(x)2012 313 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))2106 283 y Fj(M)2188 313 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])2298 266 y Fn(L)p Fi(:)p Fn(1)p Fi(:)p Fn(3)2339 313 y Fr(=)63 b Fo(A)2529 283 y Fj(M)2612 313 y Fr([)p Fo(\030)2675 283 y Fi(a)2671 333 y(x)2715 313 y Fr(])23 b(=)g(1.)0 413 y(\()p Fm(8)p Fr(2\))k(Sei)f(\()p Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(A)e Fm(!)f Fo(B)t Fr(\)\))793 382 y Fj(M)876 413 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)g(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))1293 382 y Fj(M)1375 413 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)g(1.)36 b(Dann)26 b(\()p Fo(A)e Fm(!)f Fo(B)t Fr(\))2219 382 y Fj(M)2302 413 y Fr([)p Fo(\030)2365 382 y Fi(a)2361 433 y(x)2405 413 y Fr(])g(=)g Fo(A)2601 382 y Fj(M)2683 413 y Fr([)p Fo(\030)2746 382 y Fi(a)2742 433 y(x)2787 413 y Fr(])g(=)f(1)k(f)r(\177)-44 b(ur)26 b(alle)g Fo(a)d Fm(2)h(jMj)p Fr(.)36 b(F)-7 b(olglic)n(h)180 512 y Fo(B)247 482 y Fj(M)329 512 y Fr([)p Fo(\030)392 482 y Fi(a)388 533 y(x)433 512 y Fr(])23 b(=)f(1)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)g Fo(a)c Fm(2)h(jMj)p Fr(,)j(d.h.)38 b(\()p Fm(8)p Fo(xB)t Fr(\))1662 482 y Fj(M)1744 512 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(=)g(1.)0 612 y(\()p Fm(8)p Fr(3\))k(Aus)e Fo(A)408 582 y Fj(M)490 612 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])e(=)g(1)h(folgt)h (mit)g Fo(x)f Fm(62)f Fr(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))i(und)g(Lemma)g(1.2)e Fo(A)2158 582 y Fj(M)2241 612 y Fr([)p Fo(\030)2304 582 y Fi(a)2300 632 y(x)2344 612 y Fr(])g(=)g(1)h(f)r(\177)-44 b(ur)25 b(alle)f Fo(a)f Fm(2)g(jMj)p Fr(,)j(d.h.)36 b(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))3556 582 y Fj(M)3638 612 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])24 b(=)e(1.)0 711 y(\(G2\))9 b(Sei)35 b Fo(a)g Fr(:=)f Fo(s)561 681 y Fj(M)643 711 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])h(und)h Fo(b)e Fr(:=)h Fo(t)1161 681 y Fj(M)1243 711 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(].)59 b(Nac)n(h)34 b(Lemma)h(1.3)e(gilt)i(dann)g Fo(A)2506 723 y Fi(x)2548 711 y Fr(\()p Fo(s)p Fr(\))2651 681 y Fj(M)2734 711 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)f Fo(A)3016 681 y Fj(M)3099 711 y Fr([)p Fo(\030)3162 681 y Fi(a)3158 732 y(x)3202 711 y Fr(])h(und)g Fo(A)3495 723 y Fi(x)3537 711 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))3631 681 y Fj(M)3714 711 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)180 811 y Fo(A)242 781 y Fj(M)324 811 y Fr([)p Fo(\030)387 781 y Fi(b)383 832 y(x)426 811 y Fr(].)48 b(Sei)31 b(n)n(un)g(\()p Fo(s)14 b Fl(=)g Fo(t)p Fr(\))1056 781 y Fj(M)1139 811 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])29 b(=)g(1)i(und)h Fo(A)1653 823 y Fi(x)1695 811 y Fr(\()p Fo(s)p Fr(\))1798 781 y Fj(M)1880 811 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])e(=)e(1.)48 b(Dann)31 b(folgt)h Fo(a)d Fr(=)f Fo(s)2831 781 y Fj(M)2913 811 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])i(=)f Fo(t)3153 781 y Fj(M)3235 811 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)g Fo(b)i Fr(und)h(w)n(eiter)180 911 y(1)22 b(=)h Fo(A)394 923 y Fi(x)436 911 y Fr(\()p Fo(s)p Fr(\))539 881 y Fj(M)622 911 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)g Fo(A)881 923 y Fi(x)923 911 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))1017 881 y Fj(M)1100 911 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(].)0 1048 y(HS)28 b(2:)37 b(Ist)27 b Fo(A)d Fm(2)f Fr(LogAx)765 1068 y Fj(8)807 1048 y Fr(,)k(so)g(gilt)h Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(\030)t Fr(])28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)h Fm(M)p Fo(;)14 b(\030)t Fr(.)0 1147 y(Bew)n(eis)27 b(durc)n(h)g(Induktion)h(nac)n(h)f(der)g(L\177)-42 b(ange)27 b(v)n(on)f Fo(A)p Fr(:)38 b(Sei)27 b Fm(M)h Fr(fest.)0 1253 y(F)-7 b(all)28 b(1:)36 b Fo(A)28 b Fr(logisc)n(hes)e (Axiom.)37 b(Siehe)28 b(HS)g(1.)0 1353 y(F)-7 b(all)28 b(2:)36 b Fo(A)23 b Fr(=)g Fm(8)p Fo(xB)30 b Fr(mit)d Fo(B)h Fm(2)23 b Fr(LogAx)1185 1373 y Fj(8)1227 1353 y Fr(.)53 b(Nac)n(h)26 b(I.V.)h(hab)r(en)g(wir)f Fm(M)c(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(B)2353 1322 y Fj(M)2436 1353 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])k(f)r(\177)-44 b(ur)26 b(alle)g Fo(\030)t Fr(.)37 b(Daraus)25 b(folgt)i Fm(M)22 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(B)3691 1322 y Fj(M)3774 1353 y Fr([)p Fo(\030)3837 1322 y Fi(a)3833 1373 y(x)3877 1353 y Fr(])264 1452 y(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\030)32 b Fr(und)c(alle)f Fo(a)c Fm(2)g(jMj)p Fr(,)28 b(d.h.)37 b Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)1733 1422 y Fj(M)1815 1452 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\030)t Fr(.)0 1589 y(Die)40 b(Behauptung)g(des)g(Satzes)f(folgt)h(n)n(un)g(aus)f(HS)h (2)g(in)g(trivialer)e(W)-7 b(eise)40 b(durc)n(h)g(Induktion)g(nac)n(h)f (der)h(L\177)-42 b(ange)38 b(der)0 1689 y(Herleitung)27 b(v)n(on)g Fo(A)h Fr(aus)f(\000.)2948 b Fm(4)0 1919 y Fp(Satz)33 b(2.2)27 b Fr(\(Deduktionstheorem\))0 2024 y(\000)18 b Fm([)h(f)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h Fo(B)k Fm(\))d Fr(\000)f Fm(`)f Fo(A)i Fm(!)f Fo(B)t Fr(.)0 2124 y Fg(Bew)n(eis)29 b Fe(durch)e(Herleitungsinduktion:)0 2224 y Fr(1.)36 b Fo(B)28 b Fm(2)23 b Fr(LogAx)511 2244 y Fj(8)571 2224 y Fm([)c Fr(\000:)37 b(Dann)28 b(ist)g(\()p Fo(B)18 b(;)28 b(B)f Fm(!)c Fr(\()p Fo(A)g Fm(!)h Fo(B)t Fr(\))14 b Fo(;)28 b(A)23 b Fm(!)g Fo(B)t Fr(\))28 b(eine)g(Herleitung)f(v)n(on)g Fo(A)c Fm(!)g Fo(B)32 b Fr(aus)27 b(\000.)0 2323 y(2.)36 b Fo(B)28 b Fr(=)22 b Fo(A)p Fr(:)38 b(Dann)27 b(ist)h Fo(A)23 b Fm(!)h Fo(B)31 b Fr(ein)d(logisc)n(hes)e(Axiom.)0 2423 y(3.)36 b(\000)19 b Fm([)g(f)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h Fo(C)34 b Fr(und)28 b(\000)18 b Fm([)h(f)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h Fo(C)29 b Fm(!)23 b Fo(B)t Fr(:)0 2523 y(Nac)n(h)k(I.V.)h(gilt)g(dann)f (\000)c Fm(`)g Fo(A)g Fm(!)h Fr(\()p Fo(C)29 b Fm(!)23 b Fo(B)t Fr(\))28 b(und)g(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)g Fm(!)h Fo(C)6 b Fr(.)37 b(Mit)28 b(\()p Fm(!)23 b Fr(3\))28 b(und)g(\(mp\))g(folgt)g(daraus)e(\000)d Fm(`)g Fo(A)g Fm(!)g Fo(B)t Fr(.)105 b Fm(4)0 2721 y Fp(Korollar)0 2821 y Fr(\000)52 2833 y Fn(0)112 2821 y Fm(`)23 b Fo(A)46 b Fr(&)g(\000)457 2833 y Fn(1)513 2821 y Fm([)18 b(f)p Fo(A)p Fm(g)23 b(`)g Fo(B)50 b Fm(\))c Fr(\000)1123 2833 y Fn(0)1179 2821 y Fm([)18 b Fr(\000)1304 2833 y Fn(1)1365 2821 y Fm(`)k Fo(B)t Fr(.)0 2989 y Fp(Lemma)30 b(2.3)0 3095 y Fr(a\))d(\000)19 b Fm([)g(f:)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h(?)46 b(\))g Fr(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fr(.)0 3194 y(b\))g(\000)g Fm(`)g(?)46 b(\))g Fr(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fr(.)0 3294 y(c\))32 b(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)c Fm(^)g Fo(B)50 b Fm(,)c Fr(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)46 b Fr(&)g(\000)23 b Fm(`)g Fo(B)t Fr(.)0 3400 y Fg(Bew)n(eis:)0 3514 y Fr(a\))k(\000)19 b Fm([)g(f:)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h(?)631 3467 y Fn(2)p Fi(:)p Fn(2)632 3514 y Fm(\))i Fr(\000)e Fm(`)f(::)p Fo(A)1084 3460 y Fn(\()p Fj(!)p Fn(4\))1119 3514 y Fm(\))57 b Fr(\000)23 b Fm(`)f Fo(A)p Fr(.)0 3649 y(b\))28 b(\000)23 b Fm(`)g(?)f(\))i Fr(\000)18 b Fm([)h(f:)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h(?)990 3595 y Fn(a\))978 3649 y Fm(\))g Fr(\000)g Fm(`)g Fo(A:)0 3749 y Fr(c\))107 3728 y(\177)97 3749 y(Ubungsaufgab)r(e.)3149 b Fm(4)0 3979 y Fp(Lemma)30 b(2.4)0 4085 y Fr(a\))d(\000)c Fm(`)g Fo(A)47 b Fr(&)e Fo(x)24 b Fm(62)f Fr(FV)r(\(\000\))46 b Fm(\))37 b Fr(\000)23 b Fm(`)g(8)p Fo(xA)p Fr(.)0 4184 y(b\))g Fm(`)g(8)p Fo(y)s(A)328 4196 y Fi(x)369 4184 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))g Fm(!)h(8)p Fo(xA)p Fr(,)j(falls)h Fo(y)d Fm(62)f Fr(V)-7 b(ar)o(\()p Fo(A)p Fr(\).)0 4284 y(c\))32 b(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)312 4296 y Fi(x)354 4284 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))47 b(&)e Fo(y)26 b Fm(62)e Fr(FV)q(\(\000\))19 b Fm([)g Fr(V)-7 b(ar)o(\()p Fo(A)p Fr(\))24 b Fm(\))f Fr(\000)g Fm(`)g(8)p Fo(xA)p Fr(.)0 4390 y Fg(Bew)n(eis:)0 4489 y Fr(a\))k (Herleitungsinduktion:)0 4589 y(1.)36 b Fo(A)24 b Fm(2)f Fr(\000:)37 b(Dann)28 b Fo(x)23 b Fm(62)h Fr(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))29 b(und)f Fo(A)23 b Fm(!)g(8)p Fo(xA)28 b Fr(ist)g(ein)f(logisc)n(hes)f(Axiom.)0 4689 y(2.)36 b Fo(A)24 b Fm(2)f Fr(LogAx)506 4709 y Fj(8)548 4689 y Fr(:)37 b(Dann)28 b(auc)n(h)f Fm(8)p Fo(xA)c Fm(2)g Fr(LogAx)1527 4709 y Fj(8)1569 4689 y Fr(.)0 4823 y(3.)36 b(\000)23 b Fm(`)g Fo(C)53 b Fr(&)45 b(\000)23 b Fm(`)g Fo(C)29 b Fm(!)23 b Fo(A)p Fr(:)38 b(I.V.)p Fm(\))23 b Fr(\000)g Fm(`)g(8)p Fo(xC)52 b Fr(&)46 b(\000)23 b Fm(`)f(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(C)30 b Fm(!)23 b Fo(A)p Fr(\))2239 4769 y Fn(\()p Fj(8)p Fn(2\))2233 4823 y Fr(=)-14 b Fm(\))23 b Fr(\000)g Fm(`)g(8)p Fo(xA)p Fr(.)0 4960 y(b\))41 b(W)-7 b(egen)40 b Fo(y)46 b Fm(62)f Fr(V)-7 b(ar)o(\()p Fo(A)p Fr(\))41 b(gilt)f Fo(A)1104 4972 y Fi(x)1146 4960 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))1254 4972 y Fi(y)1294 4960 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))45 b(=)f Fo(A)c Fr(und)h Fo(x)j Fm(62)h Fr(BV)2153 4972 y Fi(y)2193 4960 y Fr(\()p Fo(A)2287 4972 y Fi(x)2329 4960 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\)\))c(\(Bew)n (eis:)2884 4939 y(\177)2873 4960 y(Ubungsaufgab)r(e\).)75 b(Somit)40 b(ist)0 5060 y Fm(8)p Fo(y)s(A)153 5072 y Fi(x)194 5060 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))23 b Fm(!)g Fo(A)i Fr(ein)g(Axiom)g(\()p Fm(8)p Fr(1\),)f(und)i(es)e(gilt)h Fm(f8)p Fo(y)s(A)1712 5072 y Fi(x)1752 5060 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))p Fm(g)e(`)g Fo(A)p Fr(.)36 b(Mit)25 b(a\))g(und)g(Satz)g (2.2)f(folgt)g(daraus)f(die)i(Behauptung.)0 5195 y(c\))j(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)308 5207 y Fi(x)350 5195 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))493 5141 y Fn(a\))481 5195 y Fm(\))g Fr(\000)g Fm(`)g(8)p Fo(y)s(A)889 5207 y Fi(x)930 5195 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))1071 5141 y Fn(b\))1061 5195 y Fm(\))g Fr(\000)g Fm(`)g(8)p Fo(xA)p Fr(.)2331 b Fm(4)1929 5539 y Fr(6)p eop %%Page: 7 8 7 7 bop 0 83 a Fp(Lemma)30 b(2.5)0 183 y Fr(Sind)f Fo(c)226 195 y Fn(0)263 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)442 195 y Fi(k)512 183 y Fr(paarw.)39 b(v)n(ersc)n(hiedene,)28 b(nic)n(h)n(t)g(in)h(\000) 19 b Fm([)h(f)p Fo(A)p Fm(g)28 b Fr(v)n(ork)n(ommende)f(Konstan)n(ten)h (mit)h(\000)c Fm(`)f Fo(A)3272 195 y Fi(x)3310 203 y Fc(0)3343 195 y Fi(;:::;x)3481 204 y Fb(k)3519 183 y Fr(\()p Fo(c)3587 195 y Fn(0)3625 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)3804 195 y Fi(k)3845 183 y Fr(\),)0 282 y(so)27 b(gilt)h(auc)n(h)f(\000)c Fm(`)f Fo(A)p Fr(.)0 382 y Fg(Bew)n(eis)29 b Fe(durch)e(Induktion)g (nach)g Fo(k)s Fr(:)0 482 y(Sei)33 b Fo(B)j Fr(:=)c Fo(A)420 494 y Fi(x)458 502 y Fc(0)495 482 y Fr(\()p Fo(c)563 494 y Fn(0)600 482 y Fr(\).)54 b(Wie)33 b(man)g(leic)n(h)n(t)g(sieh)n (t,)h(ist)f Fo(A)1713 494 y Fi(x)1751 502 y Fc(0)1784 494 y Fi(;:::;x)1922 503 y Fb(k)1960 482 y Fr(\()p Fo(c)2028 494 y Fn(0)2066 482 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)2245 494 y Fi(k)2286 482 y Fr(\))32 b(=)g Fo(B)2510 494 y Fi(x)2548 502 y Fc(1)2580 494 y Fi(;:::;x)2718 503 y Fb(k)2756 482 y Fr(\()p Fo(c)2824 494 y Fn(1)2862 482 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)3041 494 y Fi(k)3082 482 y Fr(\),)34 b(und)g(die)f(Konstan)n(ten)0 581 y Fo(c)36 593 y Fn(1)73 581 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)252 593 y Fi(k)331 581 y Fr(k)n(ommen)37 b(nic)n(h)n(t)g(in)h Fo(B)k Fr(v)n(or.)66 b(Aus)38 b(der)f(V)-7 b(oraussetzung)36 b(folgt)i(also)e(nac)n(h)i(I.V.)g(\000)h Fm(`)h Fo(B)t Fr(.)67 b(Sei)38 b(\()p Fo(A)3538 593 y Fi(i)3566 581 y Fr(\))3598 593 y Fi(i)p Fj(\024)p Fi(n)3757 581 y Fr(eine)0 681 y(Herleitung)21 b(v)n(on)g Fo(B)26 b Fr(aus)21 b(\000,)i(und)f(sei) f Fo(y)j Fr(eine)e(V)-7 b(ariable,)22 b(die)f(nic)n(h)n(t)h(in)g (dieser)f(Herleitung)g(und)h(auc)n(h)f(nic)n(h)n(t)g(in)h Fo(A)g Fr(v)n(ork)n(omm)n(t.)0 780 y Fo(A)62 750 y Fj(0)62 802 y Fi(i)118 780 y Fr(en)n(tstehe)27 b(aus)g Fo(A)653 792 y Fi(i)709 780 y Fr(durc)n(h)g(Einsetzen)g(v)n(on)g Fo(y)j Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(c)1713 792 y Fn(0)1750 780 y Fr(.)37 b(Dann)28 b(ist)f(o\013en)n(bar)g(\()p Fo(A)2563 750 y Fj(0)2563 802 y Fi(i)2591 780 y Fr(\))2623 792 y Fi(i)p Fj(\024)p Fi(n)2771 780 y Fr(eine)h(Herleitung)f(v)n(on)g Fo(A)3569 792 y Fi(x)3607 800 y Fc(0)3644 780 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))h(aus)0 880 y(\000.)63 b(Mit)37 b(Lemma)f(2.4c)f(folgt)i (daraus)d(\000)k Fm(`)f(8)p Fo(x)1539 892 y Fn(0)1576 880 y Fo(A)g Fr(und)g(somit)f(\000)h Fm(`)h Fo(A)e Fr(\(denn)h Fm(8)p Fo(x)2699 892 y Fn(0)2736 880 y Fo(A)h Fm(!)g Fo(A)e Fr(ist)h(ein)f(Axiom)h(\()p Fm(8)p Fr(1\),)g(da)0 980 y Fo(A)62 992 y Fi(x)100 1000 y Fc(0)136 980 y Fr(\()p Fo(x)215 992 y Fn(0)253 980 y Fr(\))24 b(=)e Fo(A)28 b Fr(und)g Fo(x)699 992 y Fn(0)760 980 y Fm(62)c Fr(BV)961 992 y Fi(x)999 1000 y Fc(0)1035 980 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\)\).)2610 b Fm(4)0 1214 y Fp(De\014nition)0 1352 y Fr(\000)28 b(hei\031t)f Fk(erf)q(\177)-43 b(ul)t(lb)l(ar)29 b Fr(:)p Fm(,)f Fr(Es)f(gibt)g(eine)h(In)n(terpretation)f Fm(M)p Fo(;)14 b(\030)31 b Fr(mit)d Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(].)0 1490 y(\000)28 b(hei\031t)f Fk(konsistent)g Fr(:)p Fm(,)47 b Fr(\000)23 b Fm(6`)f(?)p Fr(.)0 1661 y Fp(Lemma)30 b(2.6)0 1760 y Fr(Sei)23 b(T)h(die)f(Menge)g (aller)f(gesc)n(hlossenen)f(T)-7 b(erme,)24 b(und)g(\006)f(eine)g(k)n (onsisten)n(te)g(Menge)g(gesc)n(hlossener)d(F)-7 b(ormeln,)24 b(so)f(da\031)f(gilt:)0 1867 y(\(i\))51 b Fo(A)24 b Fm(62)f Fr(\006)46 b(&)g Fo(A)23 b Fr(gesc)n(hlossen)e Fm(\))i Fr(\006)c Fm([)g(f)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h(?)0 1966 y Fr(\(ii\))28 b Fm(:8)p Fo(xA)c Fm(2)f Fr(\006)g Fm(\))28 b Fr(Es)f(gibt)g(ein)h Fo(t)23 b Fm(2)h Fr(T)j(mit)h Fm(:)p Fo(A)1554 1978 y Fi(x)1597 1966 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(\006)0 2105 y(Dann)k(gilt)f(T)c Fm(6)p Fr(=)g Fm(;)p Fr(,)k(\006)c(=)g Fm(f)p Fo(A)g Fr(:)g(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))g(=)g Fm(;)46 b Fr(&)f(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fm(g)p Fr(,)28 b(und)g(\006)f(erf)r (\177)-44 b(ullt)28 b(die)g(Bedingungen)f(\(1\){\(5\))h(aus)f(Lemma)g (1.4.)0 2211 y Fg(Bew)n(eis:)0 2311 y Fr(1.)36 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)47 b Fr(&)e Fo(A)24 b Fm(62)f Fr(\006)g Fm(\))g Fr(\006)g Fm(`)g Fo(A)46 b Fr(&)g(\006)19 b Fm([)f(f)p Fo(A)p Fm(g)23 b(`)f(?)46 b(\))g Fr(\006)23 b Fm(`)g(?)p Fr(.)37 b Fk(Widerspruch)0 2410 y Fr(2.1.)f Fo(A)23 b Fm(!)9 b Fo(B)28 b Fm(2)23 b Fr(\006)46 b(&)g Fo(A)23 b Fm(2)h Fr(\006)46 b Fm(\))g Fr(\006)23 b Fm(`)g Fo(B)50 b Fm(\))c Fo(B)27 b Fm(2)d Fr(\006)p Fo(:)0 2510 y Fr(2.2.)36 b Fo(B)27 b Fm(2)d Fr(\006)46 b Fm(\))g Fr(\006)18 b Fm([)h(f)p Fo(A)p Fm(g)j(`)h Fo(B)50 b Fm(\))d Fr(\006)23 b Fm(`)f Fo(A)i Fm(!)f Fo(B)t Fr(.)0 2610 y(2.3.)36 b Fo(A)23 b Fm(62)h Fr(\006)46 b Fm(\))g Fr(\006)18 b Fm([)h(f)p Fo(A)p Fm(g)k(`)f(?)46 b(\))g Fr(\006)19 b Fm([)f(f)p Fo(A)p Fm(g)23 b(`)g Fo(B)50 b Fm(\))c Fr(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)g Fm(!)g Fo(B)t Fr(.)0 2745 y(3.1.)36 b Fm(8)p Fo(xA)23 b Fm(2)g Fr(\006)506 2691 y Fn(\()p Fj(8)p Fn(1\))526 2745 y Fm(\))43 b Fr(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)871 2757 y Fi(x)913 2745 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\).)0 2845 y(3.2.)36 b Fo(A)228 2857 y Fi(x)270 2845 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006)g(\()p Fm(8)p Fo(t)g Fm(2)g Fr(T\))46 b Fm(\))h(:)p Fo(A)1144 2857 y Fi(x)1186 2845 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))24 b Fm(62)f Fr(\006)g(\()p Fm(8)p Fo(t)f Fm(2)i Fr(T\))46 b Fm(\))g(:8)p Fo(xA)24 b Fm(62)f Fr(\006)46 b Fm(\))g Fr(\006)19 b Fm([)f(f:8)p Fo(xA)p Fm(g)23 b(`)g(?)45 b(\))h Fr(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(xA:)0 2980 y Fr(4.)36 b(\()p Fo(s)14 b Fl(=)g Fo(t)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006)46 b(&)g Fo(A)714 2992 y Fi(x)756 2980 y Fr(\()p Fo(s)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006)46 b(&)g Fo(A)28 b Fr(Primformel)1751 2925 y Fn(\(G2\))1753 2980 y Fr(=)-14 b Fm(\))47 b Fr(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)2153 2992 y Fi(x)2195 2980 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\).)0 3079 y(5.)36 b(Aus)28 b(4.)37 b(und)28 b(\(G1\))g(folgt,)f (da\031)g Fm(\030)14 b Fr(:=)36 b Fm(f)p Fr(\()p Fo(s;)14 b(t)p Fr(\))23 b(:)37 b(\()p Fo(s)14 b Fl(=)g Fo(t)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(\006)p Fm(g)28 b Fr(eine)2250 3058 y(\177)2239 3079 y(Aquiv)-5 b(alenzrelation)27 b(ist.)0 3179 y(6.)36 b(Aus)28 b(T)23 b(=)g Fm(;)k Fr(w)r(\177)-44 b(urde)27 b(mit)i(3.2)d(folgen)i Fm(8)p Fo(x)p Fm(:)p Fr(\()p Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(\006.)37 b(W)-7 b(egen)28 b(\006)23 b Fm(`)f(:8)p Fo(x)p Fm(:)p Fr(\()p Fo(x)14 b Fl(=)h Fo(x)p Fr(\))28 b(w\177)-42 b(are)27 b(\006)h(dann)f(ink)n(onsisten)n(t.)46 b Fm(4)0 3381 y Fp(De\014nition)0 3481 y Fr(Eine)18 b(F)-7 b(ormelmenge)18 b(\006,)i(w)n(elc)n(he)e(die)h(V)-7 b(oraussetzungen)17 b(v)n(on)g(Lemma)i(2.6)e(erf)r(\177)-44 b(ullt,)21 b(nenn)n(t)e(man)f (eine)h Fk(vol)t(lst\177)-42 b(andige)23 b(Henkin-)0 3580 y(The)l(orie)p Fr(.)39 b(Das)27 b(in)h(Lemma)f(1.4)g(de\014nierte) h(Mo)r(dell)f(v)n(on)g(\006)h(nenn)n(t)g(man)f Fk(das)k(kanonische)g (Mo)l(del)t(l)h(von)e Fr(\006.)0 3750 y Fp(Satz)j(2.7)27 b Fr(\(V)-7 b(ollst\177)-42 b(andigk)n(eitssatz\))0 3850 y(Jede)27 b(k)n(onsisten)n(te)g(F)-7 b(ormelmenge)27 b(\000)g(ist)h(erf)r(\177)-44 b(ullbar.)0 3988 y Fp(Korollar)0 4088 y Fr(a\))27 b(\000)h(k)n(onsisten)n(t)50 b Fm(,)c Fr(\000)27 b(erf)r(\177)-44 b(ullbar)27 b(.)0 4188 y(b\))h(\000)23 b Fm(`)g Fo(A)46 b Fm(,)g Fr(\000)23 b Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr(.)0 4287 y(c\))28 b(\000)23 b Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)46 b Fm(\))51 b Fr(Es)27 b(existiert)g(ein)h Fk(end)t(liches)h Fr(\000)1493 4299 y Fn(0)1554 4287 y Fm(\022)22 b Fr(\000)28 b(mit)g(\000)1925 4299 y Fn(0)1985 4287 y Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr(.)0 4387 y Fg(Bew)n(eis)k(des)g (Ko)n(rolla)n(rs)p Fr(:)0 4487 y(a\))g(\\)p Fm(\()p Fr(":)37 b(Gelte)28 b Fm(M)22 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(].)37 b(Nac)n(h)28 b(dem)f(Konsistenzsatz)g(hab)r(en)g(wir)h(dann)f (\(\000)c Fm(`)g Fo(A)h Fm(\))f(M)f(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(\030)t Fr(]\),)29 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(F)-7 b(ormel)0 4586 y Fo(A)p Fr(.)37 b(F)-7 b(olglic)n(h)27 b(\000)c Fm(6`)g(?)p Fr(.)0 4703 y(b\))28 b(\\)p Fm(\()p Fr(":)36 b(\000)23 b Fm(6`)g Fo(A)574 4656 y Fn(2)p Fi(:)p Fn(3a)566 4703 y Fr(=)-14 b Fm(\))23 b Fr(\000)18 b Fm([)h(f:)p Fo(A)p Fm(g)27 b Fr(k)n(onsisten)n(t)50 b Fm(\))23 b Fr(\000)c Fm([)f(f:)p Fo(A)p Fm(g)28 b Fr(erf)r(\177)-44 b(ullbar)50 b Fm(\))23 b Fr(\000)g Fm(6j)-14 b Fr(=)22 b Fo(A)p Fr(.)0 4803 y(c\))28 b(Dies)g(folgt)f(aus)g(b\))h(und)g(der)f (T)-7 b(atsac)n(he,)27 b(da\031)g(in)h(jeder)f(Herleitung)h(n)n(ur)f (endlic)n(h)g(viele)h(F)-7 b(ormeln)27 b(v)n(ork)n(ommen.)0 4941 y Fg(Bew)n(eis)g(des)g(Satzes)p Fr(:)0 5041 y(Sei)h(\000)f(k)n (onsisten)n(te)g(F)-7 b(ormelmenge.)0 5141 y(Wir)28 b(f)r(\177)-44 b(uhren)27 b(den)h(Bew)n(eis)f(zun\177)-42 b(ac)n(hst)27 b(un)n(ter)g(folgenden)h(Zusatzannahmen:)0 5240 y({)f Fm(L)h Fr(abz\177)-42 b(ahlbar)0 5340 y({)27 b Fm(L)h Fr(en)n(th\177)-42 b(alt)28 b(unendlic)n(h)g(viele)f(Konstan)n(ten)g Fo(e)1490 5352 y Fn(0)1527 5340 y Fo(;)14 b(e)1603 5352 y Fn(1)1639 5340 y Fo(;)g(e)1715 5352 y Fn(2)1752 5340 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)p Fr(,)28 b(die)f(nic)n(h)n(t)h(in)g(\000)f(v)n(ork) n(ommen.)1929 5539 y(7)p eop %%Page: 8 9 8 8 bop 0 83 a Fr(Sei)28 b Fo(A)196 95 y Fn(0)233 83 y Fo(;)14 b(A)332 95 y Fn(1)370 83 y Fo(;)g(A)469 95 y Fn(2)506 83 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)28 b Fr(eine)f(Abz\177)-42 b(ahlung)28 b(aller)e(gesc)n(hlossenen)g Fm(L)p Fr(-F)-7 b(ormeln.)0 183 y(Sei)38 b Fo(c)180 195 y Fi(i)247 183 y Fr(:=)i Fo(e)414 195 y Fn(2)p Fi(i)512 183 y Fr(und)f Fo(d)732 195 y Fi(i)799 183 y Fr(:=)h Fo(e)966 195 y Fn(2)p Fi(i)p Fn(+1)1110 183 y Fr(.)68 b(F)r(\177)-44 b(ur)38 b(jede)g(F)-7 b(ormel)37 b Fo(A)h Fr(b)r(ezeic)n(hne)g Fo(A)2389 153 y Fj(0)2450 183 y Fr(diejenige)g(F)-7 b(ormel,)40 b(die)e(sic)n(h)f(aus)g Fo(A)i Fr(durc)n(h)0 282 y(Substitution)29 b(v)n(on)d Fo(c)668 294 y Fi(i)724 282 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)27 b Fo(v)895 294 y Fi(i)951 282 y Fr(\(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(i)c Fm(2)g Fr(I)-14 b(N\))28 b(ergibt.)37 b(F)-7 b(erner)27 b(sei)g(\000)2240 252 y Fj(0)2286 282 y Fr(:=)c Fm(f)p Fo(A)2501 252 y Fj(0)2547 282 y Fr(:)37 b Fo(A)23 b Fm(2)h Fr(\000)p Fm(g)p Fo(:)0 407 y Fr(HS)k(1:)37 b(\000)290 377 y Fj(0)336 407 y Fm(`)23 b(?)f(\))h Fr(\000)g Fm(`)g(?)p Fr(.)0 506 y(Bew)n(eis:)33 b(Aus)21 b(\000)517 476 y Fj(0)563 506 y Fm(`)i(?)e Fr(folgt)g Fm(f)p Fo(A)1012 476 y Fj(0)1012 527 y Fn(1)1049 506 y Fo(;)14 b(::;)g(A)1231 476 y Fj(0)1231 527 y Fi(n)1276 506 y Fm(g)23 b(`)g(?)d Fr(f)r(\177)-44 b(ur)22 b(eine)f(endlic)n(he)g(T)-7 b(eilmenge)21 b Fm(f)p Fo(A)2596 518 y Fn(1)2633 506 y Fo(;)14 b(:::;)g(A)2838 518 y Fi(n)2883 506 y Fm(g)23 b(\022)f Fr(\000.)35 b(Sei)21 b Fo(A)j Fr(:=)e Fo(A)3530 518 y Fn(1)3573 506 y Fm(^)5 b Fo(:::)g Fm(^)g Fo(A)3829 518 y Fi(n)3877 506 y Fr(.)0 606 y(Dann)21 b Fm(f)p Fo(A)322 576 y Fj(0)345 606 y Fm(g)i(`)g Fo(A)546 576 y Fj(0)546 628 y Fi(i)594 606 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)21 b Fo(i)i Fr(=)g(1)p Fo(;)14 b(:::;)g(n)20 b Fr(und)h(somit)g Fm(f)p Fo(A)1597 576 y Fj(0)1620 606 y Fm(g)h(`)h(?)p Fr(.)35 b(Sei)21 b(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))j Fm(\022)f(f)p Fo(v)2445 618 y Fn(0)2482 606 y Fo(;)14 b(:::;)g(v)2665 618 y Fi(k)2706 606 y Fm(g)p Fr(.)34 b(Dann)21 b Fo(A)3085 576 y Fj(0)3132 606 y Fr(=)h Fo(A)3281 618 y Fi(v)3314 626 y Fc(0)3347 618 y Fi(;:::;v)3480 627 y Fb(k)3519 606 y Fr(\()p Fo(c)3587 618 y Fn(0)3625 606 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)3804 618 y Fi(k)3845 606 y Fr(\).)0 731 y Fo(A)62 701 y Fj(0)109 731 y Fm(`)22 b(?)46 b(\))23 b(`)g(:)p Fo(A)590 701 y Fj(0)684 684 y Fn(2)p Fi(:)p Fn(5)660 731 y Fr(=)-14 b Fm(\))23 b(`)g(:)p Fo(A)46 b Fm(\))h Fo(A)23 b Fm(`)g(?)45 b(\))h(f)p Fo(A)1686 743 y Fn(1)1724 731 y Fo(;)14 b(:::;)g(A)1929 743 y Fi(n)1974 731 y Fm(g)23 b(`)f(?)46 b(\))g Fr(\000)23 b Fm(`)g(?)p Fr(.)1237 b Fm(4)0 905 y Fr(De\014nition:)0 1005 y(\006)60 1017 y Fn(0)120 1005 y Fr(:=)23 b(\000)283 975 y Fj(0)0 1196 y Fr(\006)60 1208 y Fi(n)p Fn(+1)212 1196 y Fr(:=)323 1026 y Fd(8)323 1100 y(<)323 1250 y(:)411 1096 y Fr(\006)471 1108 y Fi(n)1227 1096 y Fr(falls)28 b(\006)1461 1108 y Fi(n)1524 1096 y Fm([)19 b(f)p Fo(A)1702 1108 y Fi(n)1747 1096 y Fm(g)k(`)f(?)411 1196 y Fr(\006)471 1208 y Fi(n)534 1196 y Fm([)d(f)p Fo(A)712 1208 y Fi(n)757 1196 y Fm(g)428 b Fr(falls)28 b(\006)1461 1208 y Fi(n)1524 1196 y Fm([)19 b(f)p Fo(A)1702 1208 y Fi(n)1747 1196 y Fm(g)k(6`)f(?)46 b Fr(&)g Fo(A)23 b Fm(6)p Fr(=)g Fm(:8)p Fo(xB)411 1295 y Fr(\006)471 1307 y Fi(n)534 1295 y Fm([)c(f)p Fo(A)712 1307 y Fi(n)757 1295 y Fo(;)14 b Fm(:)p Fo(B)912 1307 y Fi(x)954 1295 y Fr(\()p Fo(d)1029 1307 y Fi(k)1070 1295 y Fr(\))p Fm(g)83 b Fr(falls)28 b(\006)1461 1307 y Fi(n)1524 1295 y Fm([)19 b(f)p Fo(A)1702 1307 y Fi(n)1747 1295 y Fm(g)k(6`)f(?)46 b Fr(&)g Fo(A)2169 1307 y Fi(n)2237 1295 y Fr(=)23 b Fm(:8)p Fo(xB)475 1395 y Fr(w)n(ob)r(ei)k Fo(k)f Fr(:=)d(min)p Fm(f)p Fo(i)g Fr(:)37 b Fo(d)1225 1407 y Fi(i)1280 1395 y Fr(k)n(omm)n(t)27 b(in)h(k)n(einer)f(F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)c Fm(2)g Fr(\006)2402 1407 y Fi(n)2466 1395 y Fm([)c(f)p Fo(B)t Fm(g)27 b Fr(v)n(or)f Fm(g)p Fr(.)0 1520 y(\006)d(:=)194 1457 y Fd(S)263 1520 y Fm(f)p Fr(\006)365 1532 y Fi(n)433 1520 y Fr(:)37 b Fo(n)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)p Fm(g)p Fr(.)0 1669 y(HS)28 b(2:)37 b(\006)298 1681 y Fi(n)366 1669 y Fm(`)23 b(?)f(\))h Fr(\000)685 1639 y Fj(0)732 1669 y Fm(`)f(?)p Fr(.)0 1769 y(Bew)n(eis)27 b(durc)n(h)g(Induktion)h(nac)n(h)f Fo(n)p Fr(:)0 1868 y(1.)36 b Fo(n)23 b Fr(=)g(0:)36 b(trivial.)0 1968 y(2.)g Fo(n)23 b Fm(!)g Fo(n)c Fr(+)f(1:)36 b(Gelte)28 b(\006)815 1980 y Fi(n)p Fn(+1)967 1968 y Fm(`)23 b(?)p Fr(.)0 2068 y(2.1.)36 b(\006)226 2080 y Fi(n)p Fn(+1)378 2068 y Fr(=)23 b(\006)526 2080 y Fi(n)571 2068 y Fr(.)37 b(Dann)28 b(\000)908 2037 y Fj(0)954 2068 y Fm(`)23 b(?)k Fr(nac)n(h)g(I.V.)0 2167 y(2.2.)36 b(\006)226 2179 y Fi(n)p Fn(+1)378 2167 y Fr(=)23 b(\006)526 2179 y Fi(n)590 2167 y Fm([)18 b(f:8)p Fo(xB)t(;)c Fm(:)p Fo(B)1076 2179 y Fi(x)1118 2167 y Fr(\()p Fo(d)1193 2179 y Fi(k)1234 2167 y Fr(\))p Fm(g)28 b Fr(mit)g(\006)1548 2179 y Fi(n)1612 2167 y Fm([)18 b(f:8)p Fo(xB)t Fm(g)23 b(6`)f(?)28 b Fr(und)g Fo(d)2383 2179 y Fi(k)2451 2167 y Fr(nic)n(h)n(t)g(in)g(\006) 2816 2179 y Fi(n)2879 2167 y Fm([)19 b(f)p Fo(B)t Fm(g)p Fr(.)0 2289 y(\006)60 2301 y Fi(n)124 2289 y Fm([)f(f:8)p Fo(xB)t(;)c Fm(:)p Fo(B)610 2301 y Fi(x)652 2289 y Fr(\()p Fo(d)727 2301 y Fi(k)768 2289 y Fr(\))p Fm(g)23 b(`)g(?)46 b(\))g Fr(\006)1239 2301 y Fi(n)1302 2289 y Fm([)19 b(f:8)p Fo(xB)t Fm(g)j(`)h Fo(B)1835 2301 y Fi(x)1877 2289 y Fr(\()p Fo(d)1952 2301 y Fi(k)1993 2289 y Fr(\))2072 2242 y Fn(2)p Fi(:)p Fn(5+2)p Fi(:)p Fn(4a)2133 2289 y Fr(=)-14 b Fm(\))107 b Fr(\006)2434 2301 y Fi(n)2497 2289 y Fm([)19 b(f:8)p Fo(xB)t Fm(g)j(`)h(8)p Fo(xB)50 b Fm(\))0 2389 y(\))c Fr(\006)189 2401 y Fi(n)253 2389 y Fm([)19 b(f:8)p Fo(xB)t Fm(g)j(`)g(?)p Fr(.)37 b Ff(Widerspruc)n(h)p Fr(.)0 2513 y(Aus)28 b(\000)23 b Fm(6`)g(?)k Fr(folgt)g(mit)h(HS)g (1,2:)37 b(\006)23 b Fm(6`)f(?)p Fr(.)0 2663 y(Wir)28 b(zeigen)f(n)n(un,)g(da\031)g(\006)h(eine)g(v)n(ollst\177)-42 b(andige)26 b(Henkin-Theorie)g(ist.)0 2762 y(\(i\))i(Sei)g Fo(A)g Fr(gesc)n(hlossen)e(und)i Fo(A)23 b Fm(62)g Fr(\006.)37 b(Es)27 b(ex.)37 b Fo(n)27 b Fr(mit)i Fo(A)23 b Fr(=)g Fo(A)1944 2774 y Fi(n)1989 2762 y Fr(.)37 b(Dann)28 b Fo(A)2336 2774 y Fi(n)2404 2762 y Fm(62)c Fr(\006)2543 2774 y Fi(n)p Fn(+1)2700 2762 y Fr(und)k(somit)f(\006)3152 2774 y Fi(n)3216 2762 y Fm([)19 b(f)p Fo(A)3394 2774 y Fi(n)3439 2762 y Fm(g)j(`)h(?)p Fr(.)0 2862 y(\(ii\))34 b(Sei)g Fm(:8)p Fo(xB)j Fr(=)c Fo(A)693 2874 y Fi(n)772 2862 y Fm(2)g Fr(\006.)55 b(W)-7 b(egen)34 b(\006)f Fm(6`)g(?)g Fr(gilt)h(dann)f(auc)n(h)g(\006)2176 2874 y Fi(n)2244 2862 y Fm([)23 b(f)p Fo(A)2426 2874 y Fi(n)2471 2862 y Fm(g)32 b(6`)h(?)h Fr(und)g(somit)f Fm(:)p Fo(B)3250 2874 y Fi(x)3292 2862 y Fr(\()p Fo(d)3367 2874 y Fi(k)3409 2862 y Fr(\))g Fm(2)h Fr(\006)f(f)r(\177)-44 b(ur)34 b(ein)0 2962 y Fo(k)26 b Fm(2)d Fr(I)-14 b(N)q(.)0 3086 y(Nac)n(h)34 b(L.2.6)g(und)h(L.1.4)f(existiert)h(n)n(un)g(eine)g Fm(L)p Fr(-Struktur)f Fm(M)h Fr(mit)g Fm(M)g(j)-14 b Fr(=)35 b(\006,)h(n\177)-42 b(amlic)n(h)35 b(das)f(k)-5 b(anonisc)n(he)34 b(Mo)r(dell)h(v)n(on)0 3186 y(\006.)51 b(W)-7 b(egen)33 b(\000)459 3156 y Fj(0)513 3186 y Fm(\022)e Fr(\006)h(gilt)h(dann)f(auc)n(h)g Fm(M)f(j)-14 b Fr(=)30 b(\000)1554 3156 y Fj(0)1578 3186 y Fr(,)j(und)g(mit)g(dem)g (Substitutionslemma)g(folgt)f(daraus)f Fm(M)g(j)-14 b Fr(=)31 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(])h(mit)0 3285 y Fo(\030)t Fr(\()p Fo(v)112 3297 y Fi(i)140 3285 y Fr(\))24 b(:=)e Fo(c)342 3255 y Fj(M)342 3307 y Fi(i)424 3285 y Fr(.)0 3435 y(Jetzt)28 b(setzen)f(wir)g(n)n(ur)h(no)r(c)n(h)f(v)n(oraus,)f (da\031)g Fm(L)i Fr(abz\177)-42 b(ahlbar)26 b(ist.)0 3534 y(Sei)j Fo(c)171 3546 y Fn(0)208 3534 y Fo(;)14 b(c)281 3546 y Fn(1)318 3534 y Fo(;)g(c)391 3546 y Fn(2)428 3534 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)29 b Fr(eine)f(abz\177)-42 b(ahlbar)28 b(unendlic)n(he)g(F)-7 b(olge)28 b(neuer)h(Konstan)n(ten,)f(und)h Fm(L)2701 3504 y Fj(0)2749 3534 y Fr(:=)c Fm(L)19 b([)h(f)p Fo(c)3091 3546 y Fn(0)3127 3534 y Fo(;)14 b(c)3200 3546 y Fn(1)3237 3534 y Fo(;)g(c)3310 3546 y Fn(2)3348 3534 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)o Fm(g)p Fr(.)40 b(Dann)29 b(ist)0 3634 y(auc)n(h)e Fm(L)253 3604 y Fj(0)304 3634 y Fr(abz\177)-42 b(ahlbar.)0 3759 y(Wir)33 b(zeigen)f(jetzt,)j(da\031)d(\000)h(auc)n(h)f (k)n(onsisten)n(t)g(bzgl.)52 b Fm(L)1773 3728 y Fj(0)1830 3759 y Fr(ist.)h(Angenommen,)34 b(\()p Fo(A)2641 3771 y Fi(i)2669 3759 y Fr(\))2701 3771 y Fi(i)p Fj(\024)p Fi(n)2855 3759 y Fr(ist)f(eine)f Fm(L)3208 3728 y Fj(0)3232 3759 y Fr(-Herleitung)g(v)n(on)g Fm(?)0 3858 y Fr(aus)37 b(\000.)66 b(Dann)37 b(existiert)g(ein)h Fo(k)k Fm(2)e Fr(I)-14 b(N,)40 b(so)d(da\031)f(alle)h(in)h(dieser)e(Herleitung)h(v)n (ork)n(ommenden)f(neuen)i(Konstan)n(ten)e(in)0 3958 y Fm(f)p Fo(c)78 3970 y Fn(0)115 3958 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)335 3970 y Fi(k)376 3958 y Fm(g)25 b Fr(liegen.)36 b(Wir)26 b(w\177)-42 b(ahlen)26 b(\(paarw)n(eise)e(v)n(ersc)n(hiedene\))h(V)-7 b(ariablen)25 b Fo(x)2492 3970 y Fn(0)2530 3958 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2761 3970 y Fi(k)2802 3958 y Fr(,)27 b(die)f(nic)n(h)n(t)g(in)g(dieser)f(Herleitung)0 4057 y(v)n(ork)n(ommen.)55 b(F)r(\177)-44 b(ur)35 b(jedes)f Fo(i)g Fm(\024)g Fo(n)g Fr(sei)1278 4036 y(~)1254 4057 y Fo(A)1316 4069 y Fi(i)1344 4057 y Fr(,)i(diejenige)e(F)-7 b(ormel,)36 b(die)f(en)n(tsteh)n(t,)h(w)n(enn)e(in)h Fo(A)2941 4069 y Fi(i)3003 4057 y Fr(jede)g(Konstan)n(te)e Fo(c)3625 4069 y Fi(j)3695 4057 y Fr(durc)n(h)0 4166 y(die)28 b(V)-7 b(ariable)27 b Fo(x)509 4178 y Fi(j)573 4166 y Fr(ersetzt)g(wird.)38 b(Wie)29 b(man)e(sic)n(h)h(leic)n(h)n(t)i (\177)-44 b(ub)r(erlegt)28 b(ist)g(dann)g(\()2515 4145 y(~)2491 4166 y Fo(A)2553 4178 y Fi(i)2581 4166 y Fr(\))2613 4178 y Fi(i)p Fj(\024)p Fi(n)2762 4166 y Fr(eine)g Fm(L)p Fr(-Herleitung)g(v)n(on)f Fm(?)h Fr(aus)f(\000.)0 4266 y(Widerspruc)n(h.)0 4390 y(Wie)h(ob)r(en)f(\(mit)h Fm(L)g Fr(an)f(Stelle)h(v)n(on)e Fm(L)1196 4360 y Fj(0)1220 4390 y Fr(\))h(gezeigt,)g(gibt)g(es)g(n)n(un)h(eine)f Fm(L)2237 4360 y Fj(0)2261 4390 y Fr(-In)n(terpretation)e Fm(M)2923 4360 y Fj(0)2946 4390 y Fo(;)14 b(\030)t Fr(,)28 b(mit)g Fm(M)3326 4360 y Fj(0)3372 4390 y Fm(j)-14 b Fr(=)23 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(].)37 b(Sei)27 b Fm(M)0 4490 y Fr(die)h Fm(L)p Fr(-Struktur)f Fm(M)658 4460 y Fj(0)681 4490 y Fm(jL)p Fr(.)37 b(Da)28 b(\000)g(eine)f(Menge)g(v)n(on) g Fm(L)p Fr(-F)-7 b(ormeln)27 b(ist,)h(gilt)g(dann)f(auc)n(h)g Fm(M)c(j)-14 b Fr(=)23 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(].)720 b Fm(4)0 4689 y Fe(Der)28 b(Bew)n(eis)f(f)q(\177)-42 b(ur)28 b(\177)-42 b(ub)r(erabz)o(\177)h(ahlba)n(res)26 b Fm(L)i Fe(wird)g(sp)o(\177)-41 b(ater)27 b(nachgeliefert.)0 4838 y Fp(Satz)33 b(2.8)27 b Fr(\(Kompaktheitssatz\))0 4938 y(Ist)h(jede)g(endlic)n(he)f(T)-7 b(eilmenge)28 b(v)n(on)e(\000)i(erf)r(\177)-44 b(ullbar,)27 b(so)g(ist)h(auc)n(h)f (\000)g(erf)r(\177)-44 b(ullbar.)0 5038 y Fg(Bew)n(eis:)0 5137 y Fr(\000)28 b(nic)n(h)n(t)f(erf)r(\177)-44 b(ullbar)50 b Fm(\))c Fr(\000)23 b Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fm(?)46 b(\))74 b Fr(es)27 b(ex.)36 b(endl.)28 b(\000)1706 5149 y Fn(0)1767 5137 y Fm(\022)22 b Fr(\000)28 b(mit)g(\000)2138 5149 y Fn(0)2198 5137 y Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fm(?)46 b(\))g Fr(\000)2587 5149 y Fn(0)2652 5137 y Fr(nic)n(h)n(t)27 b(erf)r(\177)-44 b(ullbar)27 b(.)609 b Fm(4)1929 5539 y Fr(8)p eop %%Page: 9 10 9 9 bop 0 83 a Fq(3)37 b(Grundb)s(egri\013e)h(der)g(Mo)s(delltheorie)0 283 y Fp(De\014nition)0 382 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)36 b(jede)h(F)-7 b(ormelmenge)36 b(\000)h(b)r(ezeic)n(hne)f(L\(\000\))h (die)g(Menge)f(aller)g(in)g(\000)h(v)n(ork)n(ommenden)e(F)-7 b(unktions-)36 b(und)h(Relations-)0 482 y(zeic)n(hen.)0 631 y Fp(De\014nition)0 731 y Fr(Sei)28 b Fm(L)23 b(\022)g(L)359 701 y Fj(0)382 731 y Fr(,)28 b Fm(M)f Fr(eine)h Fm(L)p Fr(-Struktur)f(und)h Fm(M)1421 701 y Fj(0)1472 731 y Fr(eine)g Fm(L)1700 701 y Fj(0)1723 731 y Fr(-Struktur:)0 831 y Fm(M)100 800 y Fj(0)151 831 y Fr(ist)f(eine)h Fk(Exp)l(ansion)g Fr(v)n(on)f Fm(M)46 b Fr(:)p Fm(,)g(M)28 b Fr(ist)f Fk(R)l(e)l(dukt)g Fr(v)n(on)g Fm(M)2061 800 y Fj(0)1143 930 y Fr(:)p Fm(,)46 b(jMj)23 b Fr(=)f Fm(jM)1674 900 y Fj(0)1697 930 y Fm(j)28 b Fr(und)g Fo(u)1962 900 y Fj(M)2040 875 y Fa(0)2089 930 y Fr(=)23 b Fo(u)2225 900 y Fj(M)2334 930 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(u)c Fm(2)g(L)p Fr(.)0 1055 y Fm(M)100 1025 y Fj(0)123 1055 y Fm(jL)28 b Fr(b)r(ezeic)n(hne)g(das)f(eindeutig) g(b)r(estimm)n(te)i Fm(L)p Fr(-Redukt)f(v)n(on)f Fm(M)2155 1025 y Fj(0)2178 1055 y Fr(.)0 1204 y Fp(Bemerkung)0 1304 y Fr(Ist)g Fm(M)222 1274 y Fj(0)272 1304 y Fr(Expansion)f(der)g Fm(L)p Fr(-Struktur)h Fm(M)p Fr(,)g(und)g Fo(\030)k Fr(eine)c Fm(M)p Fr(-Belegung,)f(so)g(gilt)h(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(jeden)h(Ausdruc)n(k)e Fo(E)32 b Fr(der)27 b(Sprac)n(he)f Fm(L)p Fr(:)0 1404 y Fo(E)66 1374 y Fj(M)148 1404 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])j(=)f Fo(E)422 1374 y Fj(M)500 1348 y Fa(0)526 1404 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(].)47 b(Die)31 b(Bezieh)n(ungen)f (\\\000)d Fm(j)-14 b Fr(=)28 b Fo(A)p Fr(")j(und)g(\\\000)f(erf)r(\177) -44 b(ullbar")30 b(sind)h(deshalb)f(unabh\177)-42 b(angig)29 b(v)n(on)h(der)h(b)r(ei)g(ihrer)0 1503 y(De\014nition)h(zu)e(Grund)h (gelegten)f(Sprac)n(he)g Fm(L)p Fr(,)i(solange)e(L\(\000)20 b Fm([)h(f)p Fo(A)p Fm(g)p Fr(\))28 b Fm(\022)g(L)p Fr(.)47 b(Dasselb)r(e)31 b(tri\013t)g(w)n(egen)f(Satz)h(2.7)f(auc)n(h)g(f)r (\177)-44 b(ur)0 1603 y(\\\000)22 b Fm(`)h Fo(A)p Fr(")28 b(und)g(\\\000)f(k)n(onsisten)n(t")f(zu.)0 1752 y Fp(De\014nition)0 1852 y Fr(Eine)f(Menge)h Ff(gesc)n(hlossener)d Fr(F)-7 b(ormeln)25 b(wird)g(auc)n(h)h Fk(\\Axiomensystem")f Fr(genann)n(t.)35 b(Wir)26 b(v)n(erw)n(enden)e(\006)i(als)f (Mitteilungs-)0 1952 y(zeic)n(hen)41 b(f)r(\177)-44 b(ur)42 b(Axiomensysteme.)78 b(Ein)41 b Fk(Mo)l(del)t(l)k(von)e Fr(\006)e(ist)h(eine)g Fm(L)p Fr(-Struktur)f Fm(M)g Fr(mit)h(L\(\006\)) 47 b Fm(\022)f(L)c Fr(und)g Fm(M)k(j)-14 b Fr(=)46 b(\006.)0 2051 y(Mo)r(d)166 2063 y Fj(L)216 2051 y Fr(\(\006\))24 b(:=)e Fm(fM)h Fr(:)37 b Fm(M)27 b Fr(ist)h Fm(L)p Fr(-Struktur)f(und)h Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\006)p Fm(g)p Fr(.)0 2201 y Fp(Bemerkung)0 2301 y Fr(a\))k(\006)h(erf)r(\177)-44 b(ullbar)27 b Fm(,)h Fr(\006)f(b)r(esitzt)i(ein)e(Mo)r(dell.)0 2400 y(b\))c(\006)g Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)47 b Fm(,)f(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)k Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g Fm(L)p Fr(-Struktur)f Fm(M)h Fr(mit)g(L\(\006)19 b Fm([)f(f)p Fo(A)p Fm(g)p Fr(\))23 b Fm(\022)g(L)28 b Fr(und)g Fm(M)22 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\006)0 2550 y Fp(De\014nition)0 2649 y Fr(Eine)38 b(Struktur)h Fm(M)f Fr(hei\031t)h(endlic)n(h)f(\(unendlic) n(h,)k(abz\177)-42 b(ahlbar\),)41 b(w)n(enn)d(ihr)g(Ob)5 b(jektb)r(ereic)n(h)38 b Fm(jMj)h Fr(endlic)n(h)f(\(unendlic)n(h,)0 2749 y(abz\177)-42 b(ahlbar\))26 b(ist.)0 2899 y Fp(Satz)33 b(3.1)27 b Fr(\(L\177)-42 b(ow)n(enheim-Sk)n(olem\))0 2998 y(Jedes)27 b(abz\177)-42 b(ahlbare,)26 b(erf)r(\177)-44 b(ullbare)27 b(Axiomensystem)g(\006)h(b)r(esitzt)g(ein)g(abz\177)-42 b(ahlbares)25 b(Mo)r(dell.)0 3098 y Fg(Bew)n(eis:)0 3198 y Fr(Mit)h(\006)g(sind)h(auc)n(h)e Fm(L)e Fr(:=)g(L\(\006\))j(und)h(T)c (:=)g Fm(f)p Fo(t)f Fr(:)37 b Fo(t)28 b Fr(ist)g(gesc)n(hlossener)d Fm(L)p Fr(-T)-7 b(erm)27 b Fm(g)e Fr(abz\177)-42 b(ahlbar.)35 b(Da)26 b(die)g(Menge)g(\006)g(erf)r(\177)-44 b(ullbar)0 3297 y(ist,)28 b(ist)g(sie)f(auc)n(h)g(k)n(onsisten)n(t.)36 b(Wie)28 b(im)g(Bew)n(eis)f(v)n(on)f(Satz)i(2.7)f(gezeigt,)f(b)r (esitzt)j(\006)e(also)g(ein)h(abz\177)-42 b(ahlbares)25 b(Mo)r(dell.)108 b Fm(4)0 3447 y Fp(Satz)33 b(3.2)0 3546 y Fr(Besitzt)28 b(\006)f(b)r(eliebig)h(gro\031e)e(endlic)n(he)h(Mo)r (delle,)h(so)f(auc)n(h)g(ein)h(unendlic)n(hes)f(Mo)r(dell.)0 3646 y Fg(Bew)n(eis:)0 3746 y Fr(Sei)h Fm(L)23 b Fr(:=)g(L\(\006\))28 b(und)g(\000)23 b(=)g(\006)18 b Fm([)h(f:)p Fr(\()p Fo(v)1179 3758 y Fi(i)1221 3746 y Fl(=)13 b Fo(v)1345 3758 y Fi(j)1381 3746 y Fr(\))23 b(:)37 b Fo(i;)14 b(j)27 b Fm(2)d Fr(I)-14 b(N)28 b(mit)g Fo(i)23 b(<)f(j)5 b Fm(g)p Fr(.)0 3870 y(HS:)28 b(Jede)f(endlic)n(he)h(T)-7 b(eilmenge)27 b(v)n(on)g(\000)h (ist)f(erf)r(\177)-44 b(ullbar.)0 3970 y(Bew)n(eis:)0 4069 y(Sei)25 b(\001)f Fm(\022)e Fr(\000)j(endlic)n(h.)36 b(Dann)26 b(existiert)f(ein)g Fo(n)g Fr(mit)h(\001)d Fm(\022)g Fr(\006)14 b Fm([)g(f:)p Fr(\()p Fo(v)2093 4081 y Fi(i)2134 4069 y Fl(=)g Fo(v)2259 4081 y Fi(j)2294 4069 y Fr(\))24 b(:)37 b Fo(i)22 b(<)h(j)28 b Fm(\024)23 b Fo(n)p Fm(g)p Fr(.)35 b(Nac)n(h)25 b(V)-7 b(oraussetzung)23 b(existiert)0 4169 y(ein)32 b(Mo)r(dell)g Fm(M)g Fr(v)n(on)f(\006)h (mit)h(paarw)n(eise)d(v)n(ersc)n(hiedenen)g(Elemen)n(ten)i Fo(a)2328 4181 y Fn(0)2365 4169 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)2552 4181 y Fi(n)2628 4169 y Fm(2)31 b(jMj)p Fr(.)50 b(Sei)32 b Fo(\021)j Fr(die)d Fm(M)p Fr(-Belegung)e(mit)0 4269 y Fo(\021)s Fr(\()p Fo(v)116 4281 y Fi(i)144 4269 y Fr(\))24 b(:=)e Fg(if)15 b Fo(i)22 b Fm(\024)h Fo(n)14 b Fg(then)g Fo(a)773 4281 y Fi(i)814 4269 y Fg(else)h Fo(a)993 4281 y Fn(0)1030 4269 y Fr(.)37 b(Dann)28 b(gilt)g Fm(M)22 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\001[)p Fo(\021)s Fr(].)0 4393 y(Aus)34 b(HS)f(und)h(Satz)f(2.8)g(folgt,)h(da\031)f(\000)g(erf)r(\177)-44 b(ullbar)33 b(ist.)54 b(Es)32 b(existiert)h(also)g(eine)g(In)n (terpretation)f Fm(M)p Fo(;)14 b(\030)37 b Fr(mit)d Fm(M)e(j)-14 b Fr(=)33 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(].)0 4493 y(Dann)28 b(ist)g Fm(M)f Fr(Mo)r(dell)h(v)n(on)f(\006,)g(und)h Fo(i)23 b Fm(7!)g Fo(\030)t Fr(\()p Fo(v)1448 4505 y Fi(i)1476 4493 y Fr(\))28 b(eine)g(injektiv)n(e)g(Abbildung)g(v)n(on)f (I)-14 b(N)28 b(in)g Fm(jMj)p Fr(,)f(also)g Fm(M)g Fr(unendlic)n(h.)153 b Fm(4)0 4643 y Fp(De\014nitionen)0 4742 y Fr({)27 b(Ist)h Fm(L)g Fr(eine)f(Sprac)n(he,)g(so)g(b)r(ezeic)n(hne)p 1258 4676 58 4 v 28 w Fm(L)h Fr(die)f(Menge)h(aller)e Fm(L)p Fr(-S\177)-42 b(atze.)0 4842 y({)27 b(Eine)g(Menge)h Fo(T)38 b Fr(v)n(on)27 b(S\177)-42 b(atzen)28 b(hei\031t)f(eine)h Fk(The)l(orie)p Fr(,)i(falls)d Fo(T)34 b Fr(=)23 b Fm(f)p Fo(A)g Fm(2)p 2292 4770 177 4 v 23 w Fr(L\()p Fo(T)12 b Fr(\))23 b(:)36 b Fo(T)f Fm(`)22 b Fo(A)p Fm(g)p Fr(.)0 4941 y({)27 b(Ist)h Fo(T)39 b Fr(eine)27 b(Theorie)g(und)h(\006)23 b Fm(\022)g Fo(T)38 b Fr(mit)29 b Fo(T)34 b Fr(=)22 b Fm(f)p Fo(A)h Fm(2)p 1708 4869 V 24 w Fr(L\()p Fo(T)12 b Fr(\))22 b(:)37 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fm(g)p Fr(,)k(so)g (hei\031t)h(\006)f(ein)h Fk(Axiomensystem)i(von)g(T)p Fr(.)0 5041 y({)d(Ein)h(Axiomensystem)f(\006)g(hei\031t)h Fk(vol)t(lst\177)-42 b(andig)p Fr(,)30 b(falls)d(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jeden)g(L\(\006\)-Satz)f Fo(A)h Fr(gilt:)37 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)28 b Fr(o)r(der)f(\006)c Fm(`)g(:)p Fo(A)p Fr(.)0 5141 y({)k(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g Fm(L)p Fr(-Struktur)f Fm(M)g Fr(sei)h(Th\()p Fm(M)p Fr(\))23 b(:=)g Fm(f)p Fo(A)g Fm(2)p 1684 5074 58 4 v 23 w(L)h Fr(:)36 b Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fm(g)28 b Fr(\()p Fk(The)l(orie)j(von)d Fm(M)p Fr(\).)0 5240 y({)f(Zw)n(ei)g Fm(L)p Fr(-Strukturen)h Fm(M)p Fo(;)f Fm(M)1023 5210 y Fj(0)1074 5240 y Fr(hei\031en)g Fk(elementar)j(\177) -42 b(aquivalent)29 b Fr(\(gesc)n(hrieb)r(en)d Fm(M)d(\021)g(M)2896 5210 y Fj(0)2919 5240 y Fr(\),)28 b(falls)f(Th\()p Fm(M)p Fr(\))d(=)e(Th\()p Fm(M)3794 5210 y Fj(0)3818 5240 y Fr(\).)0 5340 y({)27 b(Zw)n(ei)h Fm(L)p Fr(-Strukturen)f Fm(M)p Fo(;)h Fm(M)1024 5310 y Fj(0)1075 5340 y Fr(hei\031en)f Fk(isomorph)37 b Fr(\(gesc)n(hrieb)r(en)27 b Fm(M)2299 5318 y(\030)2299 5344 y Fr(=)2387 5340 y Fm(M)2487 5310 y Fj(0)2510 5340 y Fr(\),)i(w)n(enn)f(es)f(einen)h(Isomorphism)n(us)f Fo(\031)k Fr(v)n(on)1929 5539 y(9)p eop %%Page: 10 11 10 10 bop 69 83 a Fm(M)28 b Fr(auf)f Fm(M)437 53 y Fj(0)488 83 y Fr(gibt,)h(das)f(ist)g(eine)h(bijektiv)n(e)g(Abbildung)g Fo(\031)e Fr(:)d Fm(jMj)g(!)g(jM)2378 53 y Fj(0)2402 83 y Fm(j)k Fr(mit)69 183 y(\(a\))h Fo(\031)s Fr(\()p Fo(f)335 153 y Fj(M)417 183 y Fr(\()p Fo(a)493 195 y Fn(1)531 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)718 195 y Fi(n)763 183 y Fr(\)\))23 b(=)g Fo(f)988 153 y Fj(M)1066 127 y Fa(0)1092 183 y Fr(\()p Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a)1250 195 y Fn(1)1288 183 y Fr(\))p Fo(;)14 b(:::;)g(\031)s Fr(\()p Fo(a)1589 195 y Fi(n)1635 183 y Fr(\)\))1064 b(\()p Fo(f)32 b Fm(2)23 b(L)p Fo(;)28 b(n)23 b Fm(\025)g Fr(0)p Fo(;)k(a)3351 195 y Fn(1)3388 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)3575 195 y Fi(n)3643 183 y Fm(2)24 b(jMj)p Fr(\))69 282 y(\(b\))29 b(\()p Fo(a)284 294 y Fn(1)321 282 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)508 294 y Fi(n)553 282 y Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(R)751 252 y Fj(M)856 282 y Fm(,)f Fr(\()p Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a)1120 294 y Fn(1)1158 282 y Fr(\))p Fo(;)14 b(:::;)g(\031)s Fr(\()p Fo(a)1459 294 y Fi(n)1505 282 y Fr(\)\))23 b Fm(2)h Fo(R)1735 252 y Fj(M)1813 227 y Fa(0)2749 282 y Fr(\()p Fo(R)g Fm(2)f(L)p Fo(;)28 b(n)23 b Fm(\025)g Fr(1)p Fo(;)k(a)3351 294 y Fn(1)3388 282 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)3575 294 y Fi(n)3643 282 y Fm(2)24 b(jMj)p Fr(\))0 423 y Fp(Lemma)30 b(3.3)0 523 y Fr(a\))d(Th)q(\()p Fm(M)p Fr(\))h(ist)f(eine)h(v)n (ollst\177)-42 b(andige)26 b(Theorie.)0 622 y(b\))i(Ist)g(L\(\006\))23 b Fm(\022)g(L)p Fr(,)28 b(so)f(ist)h Fm(f)p Fo(A)22 b Fm(2)p 1047 555 58 4 v 24 w(L)h Fr(:)37 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fm(g)g Fr(=)1558 560 y Fd(T)1628 622 y Fm(f)p Fr(Th)o(\()p Fm(M)p Fr(\))h(:)36 b Fm(M)23 b(2)h Fr(Mo)r(d)2390 634 y Fj(L)2440 622 y Fr(\(\006\))p Fm(g)k Fr(eine)f(Theorie.)0 722 y(c\))h Fm(M)23 b(\021)f(M)407 692 y Fj(0)499 722 y Fm(\()-14 b(\))70 b(M)23 b(j)-14 b Fr(=)22 b(Th)q(\()p Fm(M)1179 692 y Fj(0)1202 722 y Fr(\))0 821 y(d\))28 b(Ist)g Fm(L)g Fr(abz\177)-42 b(ahlbar,)26 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Fo(\031)22 b Fm(\016)17 b Fo(\030)t Fr(])p Fm(g)23 b Fr(=)g(\()p Fo(A)h Fm(!)f Fo(B)t Fr(\))3318 4108 y Fj(M)3396 4083 y Fa(0)3423 4139 y Fr([)p Fo(\031)e Fm(\016)d Fo(\030)t Fr(])p Fo(:)0 4238 y Fr(4.)36 b(\()p Fm(8)p Fo(xA)p Fr(\))321 4208 y Fj(M)404 4238 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b(=)g(min)p Fm(f)p Fo(A)843 4208 y Fj(M)925 4238 y Fr([)p Fo(\030)988 4208 y Fi(a)984 4259 y(x)1029 4238 y Fr(])g(:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)g(jMjg)g Fr(=)f(min)q Fm(f)p Fo(A)1821 4208 y Fj(M)1899 4183 y Fa(0)1925 4238 y Fr([)p Fo(\031)g Fm(\016)c Fo(\030)2117 4208 y Fi(a)2113 4259 y(x)2157 4238 y Fr(])23 b(:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)g(jMjg)g Fr(=)0 4354 y(=)g(min)p Fm(f)p Fo(A)330 4324 y Fj(M)408 4299 y Fa(0)434 4354 y Fr([\()p Fo(\031)g Fm(\016)17 b Fo(\030)t Fr(\))690 4311 y Fi(\031)r Fn(\()p Fi(a)p Fn(\))690 4364 y Fi(x)824 4354 y Fr(])23 b(:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)g(jMjg)g Fr(=)f(min)q Fm(f)p Fo(A)1616 4324 y Fj(M)1694 4299 y Fa(0)1720 4354 y Fr([\()p Fo(\031)g Fm(\016)c Fo(\030)t Fr(\))1976 4324 y Fi(b)1976 4375 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Fr(=)i Fo(X)34 b Fr(b)r(esc)n(hr\177)-42 b(ankt)50 b Fm(!)23 b(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(y)j Fr(=)c(sup\()p Fo(X)7 b Fr(\)\)\).)0 2068 y(Eine)24 b(Struktur,)h(die)f(elemen)n(tar)g(\177)-42 b(aquiv)-5 b(alen)n(t,)24 b(ab)r(er)g(nic)n(h)n(t)g(isomorph)g(zu)g (\(I)-14 b(N)q Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g(S)5 b Fr(\))24 b(bzw.)35 b(\(I)-14 b(R)q Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g Fr(1)p Fo(;)g Fr(+)p Fo(;)g Fm(\001)p Fo(;)g(<)p Fr(\))22 b(ist,)k(hei\031t)e (ein)0 2167 y Fk(Nonstandar)l(dmo)l(del)t(l)29 b Fr(der)19 b(nat)r(\177)-44 b(urlic)n(hen)18 b(bzw.)34 b(reellen)18 b(Zahlen.)34 b(In)19 b(einem)g(Nonstandardmo)r(dell)f(der)g(nat)r(\177) -44 b(urlic)n(hen)19 b(Zahlen)0 2267 y(gilt)26 b(das)g(Prinzip)g(der)g (v)n(ollst\177)-42 b(andigen)25 b(Induktion)h(nic)n(h)n(t)h(f)r(\177) -44 b(ur)26 b(jede)h(Menge)f Fo(X)j Fm(\022)23 b Fr(I)-14 b(N.)37 b(In)26 b(einem)h(Nonstandardmo)r(dell)e(der)0 2367 y(reellen)i(Zahlen)g(b)r(esitzt)i(nic)n(h)n(t)e(jede)h(b)r(esc)n (hr\177)-42 b(ankte)27 b(Menge)g Fo(X)i Fm(6)p Fr(=)23 b Fm(;)k Fr(ein)h(Suprem)n(um.)0 2489 y Fp(Lemma)i(3.7)0 2589 y Fr(Es)d(gibt)h(abz\177)-42 b(ahlbare)26 b(Nonstandardmo)r(delle) g(der)h(nat)r(\177)-44 b(urlic)n(hen)27 b(Zahlen.)0 2688 y Fg(Bew)n(eis:)0 2788 y Fr(Sei)h Fm(N)35 b Fr(:=)23 b(\(I)-14 b(N)q Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g(S)5 b Fr(\))27 b(und)h(\000)23 b(:=)f(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))20 b Fm([)e(f:)p Fr(\()p Fo(v)1553 2800 y Fn(0)1605 2788 y Fl(=)c Fr(0\))p Fo(;)g Fm(:)p Fr(\()p Fo(v)1928 2800 y Fn(0)1979 2788 y Fl(=)g Fo(S)5 b Fr(0\))p Fo(;)14 b Fm(:)p Fr(\()p Fo(v)2358 2800 y Fn(0)2410 2788 y Fl(=)g Fo(S)5 b(S)g Fr(0\))p Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)n Fm(g)p Fr(.)0 2888 y(O\013en)n(bar)34 b(ist)h(jede)g(endlic)n(he)g(T)-7 b(eilmenge)35 b(v)n(on)f(\000)h(und)g (damit)g(auc)n(h)g(\000)f(selbst)h(erf)r(\177)-44 b(ullbar;)38 b(es)d(existiert)f(also)g Fm(N)3626 2900 y Fn(1)3663 2888 y Fo(;)14 b(\030)39 b Fr(mit)0 2987 y Fm(N)68 2999 y Fn(1)128 2987 y Fm(j)-14 b Fr(=)23 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(])28 b(und)g Fm(N)625 2999 y Fn(1)690 2987 y Fr(abz\177)-42 b(ahlbar.)36 b(W)-7 b(egen)27 b Fm(N)1441 2999 y Fn(1)1501 2987 y Fm(j)-14 b Fr(=)23 b(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))29 b(ist)f Fm(N)35 b(\021)23 b(N)2252 2999 y Fn(1)2289 2987 y Fr(.)0 3087 y(Annahme:)37 b Fo(\031)31 b Fr(ist)d(Isomorphism)n(us)e (v)n(on)h Fm(N)40 b Fr(auf)27 b Fm(N)1644 3099 y Fn(1)1682 3087 y Fr(.)0 3187 y(Dann)k(gilt)f(f)r(\177)-44 b(ur)31 b(jedes)g Fo(n)c Fm(2)i Fr(I)-14 b(N:)43 b Fo(\031)s Fr(\()p Fo(n)p Fr(\))28 b(=)g Fo(\031)s Fr(\(\()p Fo(S:::S)5 b Fr(0\))1676 3156 y Fj(N)1744 3187 y Fr(\))28 b(=)g(\()p Fo(S:::S)5 b Fr(0\))2179 3156 y Fj(N)2233 3164 y Fc(1)2297 3187 y Fr(=)28 b(\()p Fo(S:::S)5 b Fr(0\))2672 3156 y Fj(N)2726 3164 y Fc(1)2763 3187 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])28 b Fm(6)p Fr(=)g Fo(v)3013 3150 y Fj(N)3067 3158 y Fc(1)3010 3209 y Fn(0)3104 3187 y Fr([)p Fo(\030)t Fr(])g(=)f Fo(\030)t Fr(\()p Fo(v)3422 3199 y Fn(0)3460 3187 y Fr(\),)32 b(d.h.)46 b Fo(\031)34 b Fr(ist)0 3286 y(nic)n(h)n(t)28 b(surjektiv.)36 b Ff(Widerspruc)n(h)2779 b Fm(4)0 3455 y Fp(Lemma)30 b(3.8)0 3554 y Fr(Zu)24 b(jedem)h(arc)n(himedisc)n(h)e(angeordneten)g (K\177)-42 b(orp)r(er)22 b(gibt)j(es)f(einen)g(elemen)n(tar)f(\177)-42 b(aquiv)-5 b(alen)n(ten)24 b(angeordneten)f(K\177)-42 b(orp)r(er,)23 b(der)0 3654 y(nic)n(h)n(t)28 b(arc)n(himedisc)n(h)e (ist.)0 3754 y Fp(Korollar)0 3853 y Fr(Gilt)37 b(ein)f(Satz)g Fo(A)h Fr(der)f(Sprac)n(he)f Fm(f)p Fr(0)p Fo(;)14 b Fr(1)p Fo(;)g Fr(+)p Fo(;)g Fm(\001)p Fo(;)g(<)p Fm(g)33 b Fr(in)j(jedem)h(nic)n(h)n(tarc)n(himedisc)n(h)e(angeordneten)g(K\177) -42 b(orp)r(er,)37 b(so)e(gilt)h Fo(A)h Fr(in)0 3953 y Ff(jedem)28 b Fr(angeordneten)e(K\177)-42 b(orp)r(er.)0 4053 y Fg(Bew)n(eis:)0 4152 y Fr(Sei)28 b Fm(K)h Fr(ein)f(arc)n (himedisc)n(h)e(angeordneter)f(K\177)-42 b(orp)r(er.)36 b(\000)23 b(:=)g(Th\()p Fm(K)q Fr(\))c Fm([)g(f)p Fo(n)p 2224 4165 50 4 v 22 w(<)k(v)2424 4164 y Fn(0)2484 4152 y Fr(:)37 b Fo(n)23 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)p Fm(g)p Fr(,)27 b(w)n(ob)r(ei)h(\()p Fo(n)p 3134 4165 V 23 w Fr(:=)22 b(1)c(+)g Fo(:::)h Fr(+)f(1\).)0 4252 y(O\013en)n(bar)31 b(ist)h(jede)h(endlic)n(he)f(T)-7 b(eilmenge)31 b(v)n(on)h(\000)f(erf)r (\177)-44 b(ullbar,)33 b(und)f(somit)g(auc)n(h)g(\000)g(selbst)g(erf)r (\177)-44 b(ullbar.)49 b(Gelte)32 b Fm(M)f(j)-14 b Fr(=)30 b(\000[)p Fo(\030)t Fr(].)0 4351 y(Dann)25 b Fm(M)e(\021)f(K)q Fr(,)k(also)e Fm(M)h Fr(ist)g(angeordneter)e(K\177)-42 b(orp)r(er.)34 b(Aus)25 b Fm(M)e(j)-14 b Fr(=)23 b(\()p Fo(n)p 2176 4364 V 23 w(<)g(v)2377 4363 y Fn(0)2414 4351 y Fr(\)[)p Fo(\030)t Fr(])j(folgt)e(1)2788 4321 y Fj(M)2883 4351 y Fm(\001)13 b Fo(n)23 b(<)3057 4321 y Fj(M)3162 4351 y Fo(\030)t Fr(\()p Fo(v)3274 4363 y Fn(0)3312 4351 y Fr(\))i(f)r(\177)-44 b(ur)25 b(alle)f Fo(n)f Fm(2)h Fr(I)-14 b(N,)0 4451 y(d.h.)37 b Fm(M)28 b Fr(ist)f(nic)n(h)n(t)h(arc)n (himedisc)n(h.)0 4551 y(Bew)n(eis)33 b(des)h(Korollars:)46 b(Sei)34 b Fm(K)i Fr(ein)e(arc)n(himedisc)n(h)f(angeordneter)e(K\177) -42 b(orp)r(er.)55 b(Dann)34 b(existiert)g(ein)g(nic)n(h)n(tarc)n (himedisc)n(h)0 4650 y(angeordneter)26 b(K\177)-42 b(orp)r(er)26 b Fm(M)h Fr(mit)h Fm(K)d(\021)d(M)p Fr(.)37 b(Aus)28 b Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)k Fr(folgt)h(n)n(un)g Fm(K)c(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr(.)1326 b Fm(4)0 4819 y Fp(De\014nition)0 4918 y Fr(Eine)30 b(Klasse)e Fm(S)37 b Fr(v)n(on)29 b Fm(L)p Fr(-Strukuren)h(hei\031t)g Fk(\(end)t(lich\))k (axiomatisierb)l(ar)9 b Fr(,)33 b(w)n(enn)d(es)g(ein)g(\(endlic)n (hes\))g(Axiomensystem)g(\006)0 5018 y(mit)e Fm(S)i Fr(=)22 b(Mo)r(d)485 5030 y Fj(L)536 5018 y Fr(\(\006\))28 b(gibt.)0 5141 y Fp(F)-8 b(olgerungen)0 5240 y Fr(a\))27 b Fm(S)35 b Fr(endlic)n(h)27 b(axiomatisierbar)48 b Fm(\()-14 b(\))51 b Fr(Es)27 b(gibt)h(einen)g Fm(L)p Fr(-Satz)f(A)h(mit)g Fm(S)i Fr(=)22 b(Mo)r(d)2633 5252 y Fj(L)2684 5240 y Fr(\()p Fm(f)p Fo(A)p Fm(g)p Fr(\).)0 5340 y(b\))28 b(F)-7 b(alls)27 b(es)h(Strukturen)f Fm(M)p Fo(;)14 b Fm(M)1058 5352 y Fn(0)1122 5340 y Fr(mit)29 b Fm(M)22 b(\021)h(M)1585 5352 y Fn(0)1668 5340 y Fr(&)46 b Fm(M)23 b(2)g(S)53 b Fr(&)45 b Fm(M)2293 5352 y Fn(0)2353 5340 y Fm(62)24 b(S)34 b Fr(gibt,)28 b(so)f(ist)g Fm(S)34 b Fr(nic)n(h)n(t)28 b(axiomatisierbar.)1908 5539 y(11)p eop %%Page: 12 13 12 12 bop 0 83 a Fp(Lemma)30 b(3.9)0 183 y Fr(Sei)e Fm(S)34 b Fr(eine)28 b(Klasse)e(v)n(on)h Fm(L)p Fr(-Strukturen)g(und)h(\006)g (ein)f(Axiomensystem.)0 295 y(a\))g Fm(S)35 b Fr(ist)27 b(endlic)n(h)h(axiomatisierbar)d(g.d.w.)37 b Fm(S)d Fr(und)28 b(das)f(Komplemen)n(t)g(v)n(on)g Fm(S)34 b Fr(axiomatisierbar)25 b(sind.)0 394 y(b\))e(Ist)28 b(Mo)r(d)390 406 y Fj(L)440 394 y Fr(\(\006\))h(endlic)n(h)e(axiomatisierbar,)e(so)i(existiert)g (ein)h(endlic)n(hes)g(\001)23 b Fm(\022)f Fr(\006)28 b(mit)g(Mo)r(d)2984 406 y Fj(L)3034 394 y Fr(\(\006\))c(=)f(Mo)r(d)3436 406 y Fj(L)3486 394 y Fr(\(\001\).)0 507 y Fg(Bew)n(eis:)0 606 y Fr(Abk)r(\177)-44 b(urzung:)36 b(1)18 b Fm(\000)g(S)30 b Fr(:=Komplemen)n(t)d(v)n(on)g Fm(S)6 b Fr(.)0 706 y(a\))27 b(\\)p Fm(\))p Fr(":)36 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fm(S)i Fr(=)22 b(Mo)r(d)821 718 y Fj(L)871 706 y Fr(\()p Fm(f)p Fo(A)p Fm(g)p Fr(\))28 b(gilt:)37 b Fm(M)23 b(2)g Fr(1)18 b Fm(\000)g(S)53 b(,)46 b(M)22 b(6j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)47 b Fm(,)f(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fm(:)p Fo(A)p Fr(.)0 805 y(\\)p Fm(\()p Fr(":)35 b(Sei)24 b Fm(S)30 b Fr(=)22 b(Mo)r(d)689 817 y Fj(L)739 805 y Fr(\(\006)831 817 y Fn(1)868 805 y Fr(\))j(und)g(1)12 b Fm(\000)g(S)30 b Fr(=)22 b(Mo)r(d)1553 817 y Fj(L)1603 805 y Fr(\(\006)1695 817 y Fn(2)1732 805 y Fr(\).)36 b(Dann)25 b(ist)g(\006)2218 817 y Fn(1)2268 805 y Fm([)12 b Fr(\006)2395 817 y Fn(2)2458 805 y Fr(nic)n(h)n(t)24 b(erf)r(\177)-44 b(ullbar;)25 b(es)f(gibt)h(also)f(ein)g(endlic)n(hes)0 905 y(\001)f Fm(\022)g Fr(\006)240 917 y Fn(1)277 905 y Fr(,)28 b(so)f(da\031)g (\001)18 b Fm([)h Fr(\006)808 917 y Fn(2)873 905 y Fr(nic)n(h)n(t)27 b(erf)r(\177)-44 b(ullbar)27 b(ist.)37 b Fm(M)23 b(2)h(S)52 b(\))46 b(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\001)46 b Fm(\))g(M)23 b(6j)-14 b Fr(=)23 b(\006)2740 917 y Fn(2)2823 905 y Fm(\))46 b(M)23 b(62)h Fr(1)18 b Fm(\000)g(S)52 b(\))46 b(M)23 b(2)h(S)6 b Fr(.)0 1005 y(b\))29 b(Sei)g(Mo)r(d)408 1017 y Fj(L)458 1005 y Fr(\(\006\))c(=)g(Mo)r(d)863 1017 y Fj(L)913 1005 y Fr(\()p Fm(f)p Fo(A)p Fm(g)p Fr(\).)40 b(Dann)29 b(\006)24 b Fm(j)-14 b Fr(=)25 b Fo(A)p Fr(,)k(und)g(folglic) n(h)f(existiert)g(ein)h(endlic)n(hes)f(\001)d Fm(\022)g Fr(\006)j(mit)i(\001)25 b Fm(j)-14 b Fr(=)24 b Fo(A)p Fr(.)40 b(Also:)0 1104 y Fm(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\006)46 b Fm(\))g(M)23 b(j)-14 b Fr(=)22 b(\001)47 b Fm(\))f(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)46 b Fm(\))g(M)23 b(j)-14 b Fr(=)23 b(\006.)2147 b Fm(4)0 1329 y Fp(F)-8 b(olgerungen)0 1441 y Fr(\(1\))28 b(Ist)h Fm(S)36 b Fr(eine)29 b(Klasse)f(v)n(on)g (endlic)n(hen)i Fm(L)p Fr(-Strukturen)f(und)g(en)n(th\177)-42 b(alt)30 b Fm(S)35 b Fr(b)r(eliebig)30 b(\\gro\031e")c(Strukturen,)j (so)g(ist)g Fm(S)36 b Fr(nic)n(h)n(t)134 1541 y(axiomatisierbar.)0 1640 y(\(2\))28 b(Die)k(Klasse)e(aller)g(unendlic)n(hen)i Fm(L)p Fr(-Strukturen)f(\(Grupp)r(en,)i(Ringe,)g(K\177)-42 b(orp)r(er,...\))47 b(ist)31 b(axiomatisierbar)e(ab)r(er)i(nic)n(h)n(t) 134 1740 y(endlic)n(h)c(axiomatisierbar.)0 1839 y(\(3\))h(Die)g(Klasse) e(aller)h(K\177)-42 b(orp)r(er)26 b(der)h(Charakteristik)f(0)h(ist)h (axiomatisierbar,)d(ab)r(er)i(nic)n(h)n(t)g(endlic)n(h)h (axiomatisierbar.)0 1939 y(\(4\))g(Gilt)d(ein)f(Satz)h Fo(A)g Fr(in)f(allen)h(K\177)-42 b(orp)r(ern)23 b(der)h(Charakteristik) e(0,)j(so)f(existiert)g(ein)h Fo(n)2691 1951 y Fn(0)2751 1939 y Fm(2)e Fr(I)-14 b(N)25 b(derart,)f(da\031)g Fo(A)h Fr(auc)n(h)f(in)g(allen)134 2039 y(K\177)-42 b(orp)r(ern)26 b(mit)i(Charakteristik)e Fo(p)d Fm(\025)f Fo(n)1368 2051 y Fn(0)1433 2039 y Fr(gilt.)0 2138 y(\(5\))28 b(Die)g(Klasse)e(aller)h (\(nic)n(h)n(t\)arc)n(himedisc)n(h)f(angeordneten)h(K\177)-42 b(orp)r(er)26 b(ist)i(nic)n(h)n(t)f(axiomatisierbar.)0 2325 y Fg(V)n(ollst)o(\177)-39 b(andige)28 b(Theo)n(rien)0 2475 y Fr(I.)g(Die)g(Theorie)e Fg(DO)i Fr(der)f(dic)n(h)n(ten)h (linearen)f(Ordn)n(ungen)f(ohne)i(Endpunkte)0 2624 y Fg(DO)g Fr(sei)f(die)h(deduktiv)n(e)f(H)r(\177)-44 b(ulle)28 b(des)g(folgenden)f(Axiomensystems:)0 2724 y(\(1\))h Fm(8)p Fo(x)p Fm(:)p Fr(\()p Fo(x)23 b(<)g(x)p Fr(\))c Fm(^)g(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fm(8)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(x)i(<)h(y)f Fm(^)e Fo(y)26 b(<)d(z)j Fm(!)d Fo(x)h(<)e(z)t Fr(\))c Fm(^)h(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(x)j(<)h(y)e Fm(_)e Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(y)21 b Fm(_)e Fo(y)25 b(<)e(x)p Fr(\))0 2824 y(\(2\))28 b Fm(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(x)22 b(<)h(y)i Fm(!)e(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(x)h(<)e(z)g Fm(^)d Fo(z)26 b(<)d(y)s Fr(\)\))0 2923 y(\(3\))28 b Fm(8)p Fo(x)p Fm(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(x)23 b(<)g(y)s Fr(\))18 b Fm(^)h(8)p Fo(x)p Fm(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(y)25 b(<)e(x)p Fr(\).)0 3073 y Fp(Lemma)30 b(3.10)0 3172 y Fr(Jedes)d(abz\177)-42 b(ahlbare)26 b(Mo)r(dell)i(v)n(on)f Fg(DO)g Fr(ist)h(isomorph)e(zur)i(Struktur)f(\()p Fp(Q)p Fo(;)14 b(<)p Fr(\))28 b(der)f(rationalen)f(Zahlen.)0 3272 y Fg(Bew)n(eis:)0 3372 y Fr(Sei)i Fm(M)23 b Fr(=)f(\()p Fo(M)t(;)14 b Fm(\036)p Fr(\))28 b(ein)g(abz\177)-42 b(ahlbares)25 b(Mo)r(dell)j(v)n(on)f Fg(DO)p Fr(,)h(und)g(sei)f Fo(M)32 b Fr(=)22 b Fm(f)p Fo(b)2373 3384 y Fi(n)2441 3372 y Fr(:)37 b Fo(n)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)p Fm(g)28 b Fr(und)g Fp(Q)22 b Fr(=)h Fm(f)p Fo(a)3234 3384 y Fi(n)3302 3372 y Fr(:)37 b Fo(n)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)p Fm(g)p Fr(.)0 3521 y(De\014nition)28 b(v)n(on)f(ordn)n(ungstreuen)f(F)-7 b(unktionen)28 b Fo(F)1622 3533 y Fi(n)1691 3521 y Fm(\022)22 b Fp(Q)d Fm(\002)f(M)27 b Fr(durc)n(h)g(Rekursion)g(nac)n(h)g Fo(n)p Fr(:)0 3621 y(1.)36 b Fo(F)154 3633 y Fn(0)215 3621 y Fr(:=)23 b Fm(f)p Fr(\()p Fo(a)444 3633 y Fn(0)481 3621 y Fo(;)14 b(b)554 3633 y Fn(0)591 3621 y Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 3721 y(2.)36 b(De\014nition)29 b(v)n(on)e Fo(F)698 3733 y Fi(n)p Fn(+1)827 3721 y Fr(:)0 3820 y(2.1.)36 b Fo(n)23 b Fr(=)g(2)p Fo(m)p Fr(.)54 b(Ist)28 b Fo(a)686 3832 y Fi(m)772 3820 y Fm(2)23 b Fr(dom\()p Fo(F)1092 3832 y Fi(n)1138 3820 y Fr(\),)28 b(so)f(sei)h Fo(F)1497 3832 y Fi(n)p Fn(+1)1649 3820 y Fr(:=)23 b Fo(F)1813 3832 y Fi(n)1858 3820 y Fr(.)0 3920 y(Andernfalls)k(sei)h Fo(F)617 3932 y Fi(n)p Fn(+1)770 3920 y Fr(:=)22 b Fo(F)933 3932 y Fi(n)997 3920 y Fm([)d(f)p Fr(\()p Fo(a)1189 3932 y Fi(m)1252 3920 y Fo(;)14 b(b)1325 3932 y Fi(k)1365 3920 y Fr(\))p Fm(g)28 b Fr(mit)g Fo(k)e Fr(:=)c(min)q Fm(f)p Fo(i)g Fr(:)37 b Fo(F)2143 3932 y Fi(n)2207 3920 y Fm([)19 b(f)p Fr(\()p Fo(a)2399 3932 y Fi(m)2462 3920 y Fo(;)14 b(b)2535 3932 y Fi(i)2562 3920 y Fr(\))p Fm(g)27 b Fr(ist)h(ordn)n(ungstreu)e Fm(g)p Fr(.)0 4019 y(Da)i Fm(M)f Fr(ein)h(Mo)r(dell)f(v)n(on)g Fg(DO)h Fr(ist,)g(existiert)f(ein) h(solc)n(hes)e Fo(b)1875 4031 y Fi(k)1943 4019 y Fr(stets.)0 4119 y(2.2.)36 b Fo(n)23 b Fr(=)g(2)p Fo(m)17 b Fr(+)h(1.)55 b(Ist)28 b Fo(b)821 4131 y Fi(m)907 4119 y Fm(2)23 b Fr(ran)o(\()p Fo(F)1190 4131 y Fi(n)1236 4119 y Fr(\),)28 b(so)f(sei)h Fo(F)1595 4131 y Fi(n)p Fn(+1)1747 4119 y Fr(:=)23 b Fo(F)1911 4131 y Fi(n)1957 4119 y Fr(.)0 4219 y(Andernfalls)k(sei)h Fo(F)617 4231 y Fi(n)p Fn(+1)770 4219 y Fr(:=)22 b Fo(F)933 4231 y Fi(n)997 4219 y Fm([)d(f)p Fr(\()p Fo(a)1189 4231 y Fi(k)1230 4219 y Fo(;)14 b(b)1303 4231 y Fi(m)1365 4219 y Fr(\))p Fm(g)28 b Fr(mit)g Fo(k)e Fr(:=)c(min)q Fm(f)p Fo(i)g Fr(:)37 b Fo(F)2143 4231 y Fi(n)2207 4219 y Fm([)19 b(f)p Fr(\()p Fo(a)2399 4231 y Fi(i)2426 4219 y Fo(;)14 b(b)2499 4231 y Fi(m)2562 4219 y Fr(\))p Fm(g)27 b Fr(ist)h(ordn)n(ungstreu)e Fm(g)p Fr(.)0 4368 y(O\013en)n(bar)h(ist)g Fo(F)35 b Fr(:=)656 4306 y Fd(S)725 4393 y Fi(n)p Fj(2)p Fn(I)-11 b(N)891 4368 y Fo(F)944 4380 y Fi(n)1017 4368 y Fr(ein)28 b(Isomorphism)n(us)e (v)n(on)g(\()p Fp(Q)p Fo(;)14 b(<)p Fr(\))28 b(auf)f Fm(M)p Fr(.)1421 b Fm(4)0 4555 y Fp(Satz)33 b(3.11)0 4655 y Fr(Die)28 b(Theorie)f Fg(DO)g Fr(ist)h(also)f(v)n(ollst\177)-42 b(andig,)26 b(und)i(es)f(gilt)h Fg(DO)p Fr(=)22 b(Th\()p Fp(Q)p Fo(;)14 b(<)p Fr(\).)0 4754 y Fg(Bew)n(eis:)0 4854 y Fr(Nac)n(h)28 b(Satz)g(3.4)g(reic)n(h)n(t)f(es)h(zu)h(zeigen,)f (da\031)f(jedes)i(Mo)r(dell)f(v)n(on)g Fg(DO)g Fr(elemen)n(tar)g(\177) -42 b(aquiv)-5 b(alen)n(t)28 b(zu)g(\()p Fp(Q)p Fo(;)14 b(<)p Fr(\))28 b(ist.)40 b(Sei)28 b(also)f Fm(M)0 4954 y Fr(ein)k(Mo)r(dell)f(v)n(on)g Fg(DO)p Fr(.)g(Nac)n(h)g(Satz)g(3.1)g (und)h(Lemma)f(3.3c\))g(existiert)g(eine)g(abz\177)-42 b(ahlbare)29 b(Struktur)h Fm(M)3319 4966 y Fn(0)3356 4954 y Fr(,)h(die)g(elemen)n(tar)0 5053 y(\177)-42 b(aquiv)-5 b(alen)n(t)27 b(zu)h Fm(M)f Fr(ist.)37 b(Nac)n(h)27 b(obigem)g(Lemma)h (ist)f Fm(M)1795 5065 y Fn(0)1860 5053 y Fr(isomorph)f(zu)i(\()p Fp(Q)p Fo(;)14 b(<)p Fr(\).)37 b(F)-7 b(olglic)n(h)27 b Fm(M)22 b(\021)h(M)3247 5065 y Fn(0)3307 5053 y Fm(\021)g Fr(\()p Fp(Q)p Fo(;)14 b(<)p Fr(\).)170 b Fm(4)0 5240 y Fr(I)r(I.)28 b(Die)g(Theorie)f(der)g(algebraisc)n(h)e(abgesc)n (hlossenen)h(K\177)-42 b(orp)r(er)0 5340 y(........................) 1908 5539 y(12)p eop %%Page: 13 14 13 13 bop 0 83 a Fq(4)37 b(Rekursiv)m(e)g(F)-9 b(unktionen)0 271 y Fp(Induktiv)m(e)33 b(De\014nition)26 b Fr(v)n(on)h(Mengen)h(PR) 1460 235 y Fi(n)1533 271 y Fo(n)p Fr(-stelliger)e(F)-7 b(unktionszeic)n(hen)0 370 y(\(PR)28 b(1\))f Fp(0)327 340 y Fi(n)395 370 y Fm(2)c Fr(PR)591 334 y Fi(n)659 370 y Fr(\()p Fo(n)g Fm(\025)g Fr(0\),)55 b Fg(S)23 b Fm(2)h Fr(PR)1267 334 y Fn(1)1304 370 y Fr(,)56 b Fg(I)1406 333 y Fi(n)1406 391 y(i)1475 370 y Fm(2)23 b Fr(PR)1671 334 y Fi(n)1739 370 y Fr(\(1)g Fm(\024)f Fo(i)h Fm(\024)g Fo(n)p Fr(\).)0 470 y(\(PR)28 b(2\))f Fo(h)c Fm(2)g Fr(PR)546 434 y Fi(m)655 470 y Fr(&)46 b Fo(g)806 482 y Fn(1)843 470 y Fo(;)14 b(:::;)g(g)1026 482 y Fi(m)1111 470 y Fm(2)24 b Fr(PR)1307 434 y Fi(n)1399 470 y Fr(&)45 b Fo(m;)14 b(n)23 b Fm(\025)g Fr(1)45 b(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\()p Fm(\016)p Fo(hg)2209 482 y Fn(1)2246 470 y Fo(:::g)2355 482 y Fi(m)2418 470 y Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(PR)2669 434 y Fi(n)2714 470 y Fr(.)0 570 y(\(PR)28 b(3\))f Fo(g)f Fm(2)d Fr(PR)541 533 y Fi(n)632 570 y Fr(&)46 b Fo(h)23 b Fm(2)g Fr(PR)1010 533 y Fi(n)p Fn(+2)1185 570 y Fr(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\()p Fg(R)p Fo(g)s(h)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(PR)1790 533 y Fi(n)p Fn(+1)1919 570 y Fr(.)0 691 y(Abk)r(\177)-44 b(urzung:)36 b(PR)23 b(:=)713 629 y Fd(S)782 716 y Fi(n)p Fj(2)p Fn(I)-11 b(N)947 691 y Fr(PR)1065 655 y Fi(n)1110 691 y Fr(,)56 b Fp(0)22 b Fr(:=)h Fp(0)1418 661 y Fn(0)1483 691 y Fr(.)0 835 y Fp(De\014nition)k Fr(der)g Fk(Standar)l(dstruktur)35 b Fm(N)40 b Fr(zur)28 b(Sprac)n(he)e(PR)0 935 y Fm(jN)12 b(j)24 b Fr(:=)e(I)-14 b(N)0 1034 y Fp(0)48 1004 y Fj(N)138 1034 y Fr(:=)23 b(0)p Fo(;)14 b(;)59 b Fr(\()p Fp(0)490 1004 y Fi(n)535 1034 y Fr(\))567 1004 y Fj(N)635 1034 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(:=)g(0)46 b(\()p Fo(n)23 b Fm(\025)g Fr(1\))0 1134 y Fg(S)44 1097 y Fj(N)111 1134 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))h(:=)e Fo(a)d Fr(+)f(1)0 1233 y(\()p Fg(I)56 1196 y Fi(n)56 1254 y(i)101 1233 y Fr(\))133 1203 y Fj(N)201 1233 y Fr(\()p Fo(a)277 1245 y Fn(1)314 1233 y Fo(;)c(:::;)g(a)501 1245 y Fi(n)546 1233 y Fr(\))23 b(:=)g Fo(a)756 1245 y Fi(i)0 1333 y Fr(\()p Fm(\016)p Fo(hg)162 1345 y Fn(1)198 1333 y Fo(:::g)307 1345 y Fi(m)370 1333 y Fr(\))402 1303 y Fj(N)470 1333 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(:=)g Fo(h)760 1303 y Fj(N)827 1333 y Fr(\()p Fo(g)902 1303 y Fj(N)899 1354 y Fn(1)969 1333 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))p Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(g)1305 1303 y Fj(N)1302 1354 y Fi(m)1372 1333 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\)\))0 1433 y(\()p Fg(R)p Fo(g)s(h)p Fr(\))206 1403 y Fj(N)273 1433 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(0\))23 b(:=)g Fo(g)637 1403 y Fj(N)704 1433 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))0 1532 y(\()p Fg(R)p Fo(g)s(h)p Fr(\))206 1502 y Fj(N)273 1532 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)k Fr(+)g(1\))23 b(:=)g Fo(h)779 1502 y Fj(N)846 1532 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b;)g Fr(\()p Fg(R)p Fo(g)s(h)p Fr(\))1238 1502 y Fj(N)1305 1532 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\)\))0 1676 y Fp(De\014nition)0 1776 y Fr(Eine)27 b(F)-7 b(unktion)28 b Fo(F)35 b Fr(:)23 b(I)-14 b(N)757 1739 y Fi(n)825 1776 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(hei\031t)g Fk(primitiv)j(r)l(ekursiv)9 b Fr(,)28 b(w)n(enn)f(es)h(ein)f Fo(f)32 b Fm(2)24 b Fr(PR)2620 1739 y Fi(n)2693 1776 y Fr(mit)k Fo(F)35 b Fr(=)23 b Fo(f)3071 1746 y Fj(N)3165 1776 y Fr(gibt.)0 1875 y(Eine)k(Relation)h Fo(R)23 b Fm(\022)g Fr(I)-14 b(N)776 1839 y Fi(n)849 1875 y Fr(hei\031t)28 b Fk(primitiv)j(r)l(ekursiv)9 b Fr(,)28 b(w)n(enn)f(ihre)h(c)n (harakteristisc)n(he)d(F)-7 b(unktion)28 b Fp(1)3132 1887 y Fi(R)3209 1875 y Fr(:)23 b(I)-14 b(N)3333 1839 y Fi(n)3402 1875 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)p Fo(;)0 1975 y Fp(1)48 1987 y Fi(R)102 1975 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))24 b(:=)e Fg(if)9 b Fo(~)-36 b(a)23 b Fm(2)g Fo(R)14 b Fg(then)h Fr(1)f Fg(else)g Fr(0)50 b(primitiv)28 b(rekursiv)e(ist.)0 2119 y Fp(De\014nition)37 b Fr(eines)g Fo(n)p Fr(-stelligen)g(F)-7 b(unktionszeic)n(hens)38 b Fo(\025x)1862 2131 y Fn(1)1900 2119 y Fo(:::x)2016 2131 y Fi(n)2062 2119 y Fo(:t)i Fm(2)g Fr(PR)d(f)r(\177)-44 b(ur)38 b(jeden)h(PR-term)e Fo(t)g Fr(und)i(paarw)n(eise)c(v)n(er-)0 2218 y(sc)n(hiedene)27 b(V)-7 b(ariablen)27 b Fo(x)788 2230 y Fn(1)826 2218 y Fo(;)14 b(:::;)g(x)1016 2230 y Fi(n)1084 2218 y Fr(\()p Fo(n)24 b Fm(\025)e Fr(1\))28 b(mit)g(FV)q(\()p Fo(t)p Fr(\))c Fm(\022)f(f)p Fo(x)1943 2230 y Fn(1)1980 2218 y Fo(;)14 b(:::;)g(x)2170 2230 y Fi(n)2216 2218 y Fm(g)p Fr(:)0 2318 y(1.)36 b Fo(\025x)196 2330 y Fn(1)235 2318 y Fo(:::x)351 2330 y Fi(n)396 2318 y Fo(:)p Fp(0)23 b Fr(:=)g Fp(0)649 2288 y Fi(n)0 2417 y Fr(2.)36 b Fo(\025x)196 2429 y Fn(1)235 2417 y Fo(:::x)351 2429 y Fi(n)396 2417 y Fo(:x)466 2429 y Fi(i)518 2417 y Fr(:=)22 b Fg(I)652 2380 y Fi(n)652 2438 y(i)0 2517 y Fr(3.)36 b Fo(\025x)196 2529 y Fn(1)235 2517 y Fo(:::x)351 2529 y Fi(n)396 2517 y Fo(:ht)497 2529 y Fn(1)535 2517 y Fo(:::t)634 2529 y Fi(m)720 2517 y Fr(:=)23 b(\()p Fm(\016)p Fo(hg)993 2529 y Fn(1)1029 2517 y Fo(:::g)1138 2529 y Fi(m)1201 2517 y Fr(\))28 b(mit)g Fo(g)1453 2529 y Fi(i)1503 2517 y Fr(:=)23 b Fo(\025x)1709 2529 y Fn(1)1747 2517 y Fo(:::x)1863 2529 y Fi(n)1909 2517 y Fo(:t)1962 2529 y Fi(i)0 2661 y Fp(Lemma)30 b(4.1)0 2760 y Fr(\()p Fo(\025x)127 2772 y Fn(1)165 2760 y Fo(:::x)281 2772 y Fi(n)327 2760 y Fo(:t)p Fr(\))412 2730 y Fj(N)480 2760 y Fr(\()p Fo(a)556 2772 y Fn(1)593 2760 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)780 2772 y Fi(n)825 2760 y Fr(\))24 b(=)e Fo(t)998 2730 y Fj(N)998 2781 y Fi(x)1036 2789 y Fc(1)1068 2781 y Fi(;:::;x)1206 2789 y Fb(n)1249 2760 y Fr([)p Fo(a)1316 2772 y Fn(1)1354 2760 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1541 2772 y Fi(n)1586 2760 y Fr(].)0 2860 y Fg(Bew)n(eis:)0 2960 y Fr(Abk.:)37 b Fo(t)265 2930 y Fj(N)332 2960 y Fr([)-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(])24 b(:=)e Fo(t)586 2930 y Fj(N)586 2980 y Fi(x)624 2988 y Fc(1)656 2980 y Fi(;:::;x)794 2988 y Fb(n)837 2960 y Fr([)p Fo(a)904 2972 y Fn(1)942 2960 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1129 2972 y Fi(n)1174 2960 y Fr(].)0 3070 y(1.)36 b(\()p Fo(\025)o(~)-41 b(x)r(:)p Fp(0)p Fr(\))333 3040 y Fj(N)400 3070 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g(\()p Fp(0)699 3040 y Fi(n)744 3070 y Fr(\))776 3040 y Fj(N)844 3070 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g(0)g(=)f Fp(0)1263 3040 y Fj(N)1330 3070 y Fr([)-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(].)0 3169 y(2.)36 b(\()p Fo(\025)o(~)-41 b(x)r(:x)300 3181 y Fi(i)328 3169 y Fr(\))360 3139 y Fj(N)427 3169 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q Fr(\))23 b(=)f(\()p Fg(I)702 3132 y Fi(n)702 3190 y(i)747 3169 y Fr(\))779 3139 y Fj(N)847 3169 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))24 b(=)e Fo(a)1110 3181 y Fi(i)1161 3169 y Fr(=)g Fo(x)1295 3139 y Fj(N)1295 3191 y Fi(i)1363 3169 y Fr([)-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(])0 3269 y(3.)36 b(Sei)28 b Fo(t)23 b Fr(=)g Fo(ht)454 3281 y Fn(1)491 3269 y Fo(:::t)590 3281 y Fi(m)681 3269 y Fr(und)28 b Fo(g)887 3281 y Fi(i)937 3269 y Fr(:=)23 b Fo(\025x)1143 3281 y Fn(1)1181 3269 y Fo(:::x)1297 3281 y Fi(n)1343 3269 y Fo(:t)1396 3281 y Fi(i)1424 3269 y Fr(.)0 3369 y(\()p Fo(\025)o(~)-41 b(x)q(:t)p Fr(\))213 3338 y Fj(N)281 3369 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g(\()p Fm(\016)p Fo(hg)662 3381 y Fn(1)698 3369 y Fo(:::g)807 3381 y Fi(m)870 3369 y Fr(\))902 3338 y Fj(N)970 3369 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g Fo(h)1237 3338 y Fj(N)1304 3369 y Fr(\()p Fo(g)1379 3338 y Fj(N)1376 3389 y Fn(1)1446 3369 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))p Fo(;)14 b(:::;)g(g)1740 3338 y Fj(N)1737 3389 y Fi(m)1807 3369 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q Fr(\)\))23 b(=)g Fo(h)2107 3338 y Fj(N)2174 3369 y Fr(\()p Fo(t)2236 3338 y Fj(N)2236 3389 y Fn(1)2303 3369 y Fr([)-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(])p Fo(;)14 b(:::;)g(t)2566 3338 y Fj(N)2566 3389 y Fi(m)2634 3369 y Fr([)-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(]\))23 b(=)g Fo(t)2897 3338 y Fj(N)2964 3369 y Fr([)-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(].)749 b Fm(4)0 3534 y Fl(V)m(ereinba)m(rung)0 3634 y Fr(Wir)28 b(v)n(erw)n(enden)e Fo(a;)14 b(b;)g(c;)g(i;)g(j;)g(k)s(;)g(l)r(;)g(m;)g (n)25 b Fr(als)i(Mitteilungszeic)n(hen)h(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(nat)r(\177)-44 b(urlic)n(he)27 b(Zahlen.)0 3733 y(Ist)h Fo(f)j Fm(2)24 b Fr(PR)391 3697 y Fi(n)437 3733 y Fr(,)j(so)g(b)r(ezeic)n(hnen)h(wir)f(die)h(F)-7 b(unktion)28 b Fo(f)1690 3703 y Fj(N)1780 3733 y Fr(:)23 b(I)-14 b(N)1904 3697 y Fi(n)1973 3733 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(eb)r(enfalls)g(kurz)f(mit)h Fo(f)9 b Fr(.)0 3833 y(En)n(tsprec)n(hend)28 b(b)r(ezeic)n(hnet)i(PR)1045 3797 y Fi(n)1120 3833 y Fr(zugleic)n(h)e(die)i(Menge)f(aller)f Fo(n)p Fr(-stelligen)h(primitiv)g(rekursiv)n(en)f(F)-7 b(unktionen,)30 b(und)f(PR)0 3933 y(ist)24 b(die)g(kleinste)g(F)-7 b(unktionenmenge,)25 b(w)n(elc)n(he)e(die)h(Grundfunktionen)g Fp(0)2313 3903 y Fi(n)2358 3933 y Fo(;)k Fg(S)p Fo(;)g Fg(I)2527 3896 y Fi(n)2527 3953 y(i)2596 3933 y Fr(en)n(th\177)-42 b(alt)24 b(und)h(abgesc)n(hlossen)c(un)n(ter)j(den)0 4032 y(Op)r(erationen)j Fm(\016)g Fr(\()p Ff(Komp)r(osition)p Fr(\))g(und)h Fg(R)g Fr(\()p Ff(primitiv)n(e)f(Rekursion)p Fr(\))g(ist.)0 4176 y Fp(De\014nition)g Fr(einiger)f(sp)r(ezieller)i(F) -7 b(unktionszeic)n(hen)27 b(\(bzw.)37 b(primitiv)28 b(rekursiv)n(er)d(F)-7 b(unktionen\):)12 4263 y(~)0 4276 y(+)23 b(:=)f(\()p Fg(R)q(I)305 4239 y Fn(1)305 4296 y(1)342 4276 y Fr(\()p Fo(\025xy)s(z)t(:)p Fg(S)p Fo(z)t Fr(\)\))p Fo(;)60 b Fg(p)r(d)24 b Fr(:=)e(\()p Fg(R)q Fp(0)p Fo(\025y)s(z)t(:y)s Fr(\))p Fo(;)59 b Fm(\000)1496 4259 y(\001)1569 4276 y Fr(:=)23 b(\()p Fg(RI)1787 4239 y Fn(1)1787 4296 y(1)1824 4276 y Fo(\025xy)s(z)t(:)p Fg(p)r(d)p Fo(z)t Fr(\))p Fo(;)2259 4275 y Fr(~)2269 4276 y Fm(\001)g Fr(:=)f(\()p Fg(R)q Fp(0)2557 4246 y Fn(1)2594 4276 y Fo(\025xy)s(z)t(:)2811 4263 y Fr(~)2799 4276 y(+)o Fo(z)t(x)p Fr(\).)0 4375 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(f)j Fm(2)24 b Fr(PR)429 4339 y Fi(n)p Fn(+1)586 4375 y Fr(sei)j(\()738 4313 y Fd(P)840 4375 y Fo(f)9 b Fr(\))23 b(:=)g(\()p Fg(R)p Fp(0)1187 4345 y Fi(n)1232 4375 y Fo(\025x)1327 4387 y Fn(1)1365 4375 y Fo(:::x)1481 4387 y Fi(n)1527 4375 y Fo(y)s(z)t(:)p Fr(\()p Fo(z)e Fr(+)d Fo(f)9 b(x)1909 4387 y Fn(1)1946 4375 y Fo(:::x)2062 4387 y Fi(n)2108 4375 y Fo(y)s Fr(\)\).)0 4519 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(die)f(eb)r(en)h(de\014nierten)g(F)-7 b(unktionen)28 b(gilt:)12 4606 y(~)0 4619 y(+\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)f Fo(a)d Fr(+)f Fo(b;)611 4618 y Fr(~)620 4619 y Fm(\001)c Fr(\()p Fo(a;)g(b)p Fr(\))23 b(=)g Fo(a)18 b Fm(\001)h Fo(b)73 b Fr(\(im)28 b(folgenden)g(sc)n(hreib)r(en)f(wir)g (deshalb)g(+)p Fo(;)g Fm(\001)h Fr(f)r(\177)-44 b(ur)2803 4606 y(~)2792 4619 y(+)o Fo(;)2898 4618 y Fr(~)2907 4619 y Fm(\001)p Fr(\),)0 4718 y Fg(p)r(d)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))24 b(=)f Fg(if)14 b Fo(a)23 b Fr(=)f(0)14 b Fg(then)g Fr(0)g Fg(else)g Fo(a)19 b Fm(\000)f Fr(1)p Fo(;)59 b Fm(\000)1206 4702 y(\001)1256 4718 y Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)g Fg(if)14 b Fo(a)23 b Fm(\025)g Fo(b)14 b Fg(then)f Fo(a)19 b Fm(\000)f Fo(b)c Fg(else)g Fr(0)p Fo(:)0 4818 y Fr(\()32 4756 y Fd(P)134 4818 y Fo(f)9 b Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)516 4756 y Fd(P)507 4893 y Fi(i)292 2994 y(<)292 3144 y(>)292 3169 y(:)379 2940 y Fo(f)420 2952 y Fn(1)457 2940 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))171 b(falls)23 b Fo(~)-37 b(a)23 b Fm(2)g Fo(R)1118 2952 y Fn(1)379 3040 y Fo(:)14 b(:)g(:)260 b(:)14 b(:)g(:)379 3140 y(f)420 3152 y Fi(k)461 3140 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))167 b(falls)23 b Fo(~)-37 b(a)23 b Fm(2)g Fo(R)1118 3152 y Fi(k)379 3239 y Fo(f)420 3251 y Fi(k)q Fn(+1)545 3239 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))83 b(sonst.)0 3326 y Fg(Bew)n(eis)p Fr(:)0 3426 y(Sei)28 b Fo(R)197 3438 y Fi(k)q Fn(+1)345 3426 y Fr(:=)22 b(I)-14 b(N)534 3389 y Fi(n)598 3426 y Fm(n)17 b Fr(\()p Fo(R)752 3438 y Fn(1)808 3426 y Fm([)i Fo(:)14 b(:)g(:)19 b Fm([)f Fo(R)1134 3438 y Fi(k)1175 3426 y Fr(\).)0 3525 y Fo(f)32 b Fr(:=)22 b Fo(\025)o(~)-41 b(x)q(:)p Fr(\()p Fo(f)375 3537 y Fn(1)412 3525 y Fr(\()o Fo(~)g(x)q Fr(\))19 b Fm(\001)f Fp(1)632 3537 y Fi(R)682 3545 y Fc(1)719 3525 y Fr(\()o Fo(~)-41 b(x)p Fr(\))19 b(+)f Fo(:)c(:)g(:)19 b Fr(+)f Fo(f)1172 3537 y Fi(k)q Fn(+1)1296 3525 y Fr(\()o Fo(~)-41 b(x)q Fr(\))19 b Fm(\001)f Fp(1)1516 3537 y Fi(R)1566 3546 y Fb(k)q Fc(+1)1677 3525 y Fr(\()o Fo(~)-41 b(x)q Fr(\)\).)1982 b Fm(4)0 3671 y Fp(De\014nition)27 b Fr(\(b)r(esc)n(hr\177)-42 b(ankter)26 b Fo(\026)p Fr(-Op)r(erator\))0 3802 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(g)d Fr(:)e(I)-14 b(N)351 3766 y Fi(n)p Fn(+1)503 3802 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(sei)g(\()p 868 3757 51 4 v Fo(\026g)s Fr(\))23 b(:)g(I)-14 b(N)1140 3766 y Fi(n)p Fn(+1)1293 3802 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)p Fo(;)37 b Fr(\()p 1569 3757 V Fo(\026g)s Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(:=)2009 3710 y Fd(n)2078 3763 y Fr(min)q Fm(f)p Fo(i)f Fr(:)h Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))22 b(=)h(0)p Fm(g)105 b Fr(falls)28 b Fm(9)p Fo(i)22 b(<)h(b)p Fr(\()p Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b(=)f(0\))2078 3862 y Fo(b)758 b Fr(sonst.)0 3974 y Fp(Lemma)30 b(4.4)0 4074 y Fr(Sei)e Fo(g)d Fr(:)f(I)-14 b(N)324 4038 y Fi(n)p Fn(+1)476 4074 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(primitiv)g(rekursiv.)36 b(Dann)28 b(gilt:)0 4174 y(a\))f(\()p 133 4128 V Fo(\026)q(g)s Fr(\))g(ist)h(primitiv)g(rekursiv.)0 4273 y(b\))23 b(Existiert)33 b(ein)g Fo(h)f Fm(2)g Fr(PR)872 4237 y Fi(n)950 4273 y Fr(mit)i Fm(8)-5 b Fo(~)-37 b(a)31 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)1395 4237 y Fi(n)1441 4273 y Fm(9)p Fo(i)31 b(<)h(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))14 b Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))32 b(=)f(0,)j(so)f(ist)g(die)g(F)-7 b(unktion)28 b Fo(~)-37 b(a)32 b Fm(7!)g Fr(min)q Fm(f)p Fo(i)f Fr(:)h Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))31 b(=)h(0)p Fm(g)101 4373 y Fr(primitiv)c(rekursiv.)0 4472 y Fg(Bew)n(eis)p Fr(:)0 4572 y(a\))f(Nac)n(h)h(4.2)e(und)i(4.3)f (ist)h(die)g(folgende)f(F)-7 b(unktion)28 b Fo(p)23 b Fr(:)g(I)-14 b(N)1865 4536 y Fi(n)p Fn(+1)2018 4572 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(primitiv)g(rekursiv:)0 4722 y Fo(p)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(c)p Fr(\))23 b(:=)357 4604 y Fd(\032)433 4674 y Fo(c;)89 b Fr(falls)27 b Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(c)p Fr(\))23 b(=)f(0)46 b(&)g Fm(8)p Fo(i)22 b(<)g(c)p Fr(\()p Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b Fm(6)p Fr(=)g(0\))433 4774 y(0)p Fo(;)83 b Fr(sonst.)0 4910 y(F)-7 b(erner)27 b(gilt:)37 b(\()p 472 4865 V Fo(\026g)s Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)889 4818 y Fd(n)958 4871 y Fr(\()990 4809 y Fd(P)1092 4871 y Fo(p)p Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))106 b(falls)27 b Fm(9)p Fo(i)c(<)g(b)p Fr(\()p Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)o(;)14 b(i)p Fr(\))23 b(=)g(0\))958 4971 y Fo(b)459 b Fr(sonst.)0 5041 y(b\))28 b(min)p Fm(f)p Fo(i)23 b Fr(:)37 b Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)o(;)14 b(i)p Fr(\))23 b(=)g(0)p Fm(g)f Fr(=)h(\()p 951 4995 V Fo(\026g)s Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\)\).)2426 b Fm(4)0 5211 y Fp(De\014nition)27 b Fr(\(Die)h(primitiv)g(rekursiv)n (e)e(\\P)n(aarfunktion")e Fo(\031)j Fr(:)c(I)-14 b(N)2082 5175 y Fn(2)2143 5211 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N\))0 5334 y Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(:=)g Fo(b)18 b Fr(+)502 5272 y Fd(P)590 5359 y Fi(i<)p Fn(\()p Fi(a)p Fn(+)p Fi(b)p Fn(\))837 5334 y Fr(\()p Fo(i)h Fr(+)f(1\))23 b(=)f Fo(b)c Fr(+)g(\()1353 5272 y Fd(P)1455 5334 y Fg(S)p Fr(\)\()p Fo(a)h Fr(+)f Fo(b)p Fr(\))1908 5539 y(14)p eop %%Page: 15 16 15 15 bop 0 83 a Fp(Lemma)30 b(4.5)0 183 y Fr(a\))d Fo(\031)g Fr(:)c(I)-14 b(N)299 146 y Fn(2)360 183 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(ist)g(bijektiv.)0 282 y(b\))g Fo(a;)14 b(b)23 b Fm(\024)f Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))28 b(und)g(\(0)23 b Fo(<)g(a)g Fm(\))g Fo(b)f(<)h(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\)\).)0 382 y Fg(Bew)n(eis:)0 482 y Fr(a\))14 573 y(0)22 b(=)27 b(^)-46 b Fo(\031)s Fr(\(0)p Fo(;)14 b Fr(0\))106 b(2)22 b(=)28 b(^)-47 b Fo(\031)s Fr(\(0)p Fo(;)14 b Fr(1\))106 b(5)23 b(=)k(^)-47 b Fo(\031)t Fr(\(0)p Fo(;)14 b Fr(2\))105 b(9)23 b(=)k(^)-47 b Fo(\031)t Fr(\(0)p Fo(;)14 b Fr(3\))105 b Fo(:)14 b(:)g(:)14 672 y Fr(1)22 b(=)27 b(^)-46 b Fo(\031)s Fr(\(1)p Fo(;)14 b Fr(0\))106 b(4)22 b(=)28 b(^)-47 b Fo(\031)s Fr(\(1)p Fo(;)14 b Fr(1\))106 b(8)23 b(=)k(^)-47 b Fo(\031)t Fr(\(1)p Fo(;)14 b Fr(2\))250 b Fo(:)14 b(:)g(:)251 b(:)14 b(:)g(:)14 772 y Fr(3)22 b(=)27 b(^)-46 b Fo(\031)s Fr(\(2)p Fo(;)14 b Fr(0\))106 b(7)22 b(=)28 b(^)-47 b Fo(\031)s Fr(\(2)p Fo(;)14 b Fr(1\))251 b Fo(:)14 b(:)g(:)396 b(:)14 b(:)g(:)251 b(:)14 b(:)g(:)14 872 y Fr(6)22 b(=)27 b(^)-46 b Fo(\031)s Fr(\(3)p Fo(;)14 b Fr(0\))251 b Fo(:)14 b(:)g(:)396 b(:)14 b(:)g(:)396 b(:)14 b(:)g(:)251 b(:)14 b(:)g(:)159 971 y(:)g(:)g(:)396 b(:)14 b(:)g(:)396 b(:)14 b(:)g(:)396 b(:)14 b(:)g(:)251 b(:)14 b(:)g(:)0 1108 y Fr(Durc)n(h)27 b(das)h(obige)e(Sc)n(hema)h(wird)h(o\013en)n(bar)e(eine)i(Bijektion)k (^)-47 b Fo(\031)31 b Fr(v)n(on)c(I)-14 b(N)2268 1071 y Fn(2)2333 1108 y Fr(auf)27 b(I)-14 b(N)28 b(de\014niert;)g(und)g(es)f (gilt:)4 1207 y(^)-46 b Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))44 b(=)49 b(^)-47 b Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a)28 b Fr(+)e Fo(b;)14 b Fr(0\))26 b(+)h Fo(b)p Fr(,)43 b(so)n(wie)g(^)-46 b Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a)27 b Fr(+)g Fo(b;)14 b Fr(0\))43 b(=)14 b(Anzahl)40 b(der)g(in)h(allen)f(v)n(orangehenden)e(Diagonalen)h (stehenden)0 1307 y(Gleic)n(h)n(ungen)27 b(=)c(1)18 b(+)g(2)g(+)g Fo(:)c(:)g(:)k Fr(+)g(\()p Fo(a)h Fr(+)f Fo(b)p Fr(\).)36 b(F)-7 b(olglic)n(h)27 b Fo(\031)g Fr(=)g(^)-47 b Fo(\031)t Fr(.)0 1406 y(b\))28 b(ist)g(klar.)3439 b Fm(4)0 1598 y Fp(De\014nition)27 b Fr(\(Die)h(Umk)n(ehrfunktionen)g Fo(\031)1376 1610 y Fn(1)1413 1598 y Fo(;)14 b(\031)1497 1610 y Fn(2)1562 1598 y Fr(zu)28 b Fo(\031)s Fr(\))0 1697 y Fo(\031)47 1709 y Fn(1)85 1697 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))23 b(:=)g(min)p Fm(f)p Fo(i)f Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(j)28 b Fm(\024)23 b Fo(a)p Fr([)p Fo(a)g Fr(=)g Fo(\031)s Fr(\()p Fo(i;)14 b(j)5 b Fr(\)])p Fm(g)p Fo(;)59 b(\031)1449 1709 y Fn(2)1487 1697 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))24 b(:=)e(min)q Fm(f)p Fo(j)27 b Fr(:)37 b Fo(a)23 b Fr(=)g Fo(\031)s Fr(\()p Fo(\031)2315 1709 y Fn(1)2353 1697 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fo(;)14 b(j)5 b Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 1860 y Fp(Lemma)30 b(4.6)0 1959 y Fr(a\))d(Die)i(F)-7 b(unktionen)28 b Fo(\031)737 1971 y Fn(1)774 1959 y Fo(;)g(\031)872 1971 y Fn(2)937 1959 y Fr(sind)g(primitiv)g(rekursiv.)0 2059 y(b\))g Fo(\031)s Fr(\()p Fo(\031)235 2071 y Fn(1)273 2059 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fo(;)14 b(\031)465 2071 y Fn(2)503 2059 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\)\))24 b(=)f Fo(a)0 2158 y Fr(c\))28 b Fo(\031)144 2170 y Fi(i)172 2158 y Fr(\()p Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a)330 2170 y Fn(1)368 2158 y Fo(;)14 b(a)449 2170 y Fn(2)486 2158 y Fr(\)\))23 b(=)g Fo(a)705 2170 y Fi(i)779 2158 y Fr(\()p Fo(i)g Fr(=)f(1)p Fo(;)14 b Fr(2\))0 2262 y Fg(Bew)n(eis:)0 2362 y Fr(a\))27 b(Nac)n(h)h(Lemma)f(4.5)g(gilt)g Fm(9)p Fo(i)c Fm(\024)g Fo(a)p Fm(9)p Fo(j)28 b Fm(\024)22 b Fo(a)p Fr(\()p Fo(a)i Fr(=)e Fo(\031)s Fr(\()p Fo(i;)14 b(j)5 b Fr(\)\))28 b(und)g Fm(9)p Fo(j)h Fm(\024)22 b Fo(a)p Fr(\()p Fo(a)h Fr(=)g Fo(\031)s Fr(\()p Fo(\031)2548 2374 y Fn(1)2586 2362 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fo(;)14 b(j)5 b Fr(\)\).)0 2462 y(Mit)28 b(Lemma)f(4.4)g(folgt)h(daraus)e(die)i(Behauptung.)0 2561 y(b\))g(und)g(c\))g(folgen)f(aus)g(Lemma)h(4.5a)e(und)i(der)f (De\014nition)h(v)n(on)f Fo(\031)2130 2573 y Fn(1)2168 2561 y Fo(;)14 b(\031)2252 2573 y Fn(2)2289 2561 y Fr(.)1514 b Fm(4)0 2753 y Fp(De\014nition)27 b Fr(\(Ko)r(dierung)f(endlic)n(her)h (Zahlenfolgen\))0 2852 y Fo(a)18 b Fm(\003)g(h)p Fo(b)p Fm(i)24 b Fr(:=)e Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))19 b(+)f(1,)0 2952 y(tl\()p Fo(a)p Fr(\))24 b(:=)f Fo(\031)345 2964 y Fn(1)382 2952 y Fr(\()p Fo(a)p Fm(\000)477 2935 y(\001)527 2952 y Fr(1\),)0 3052 y(hd\()p Fo(a)p Fr(\))h(:=)e Fo(\031)381 3064 y Fn(2)419 3052 y Fr(\()p Fo(a)p Fm(\000)514 3035 y(\001)564 3052 y Fr(1\),)0 3151 y Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b Fr(0\))24 b(:=)e Fo(a;)60 b(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)22 b Fr(+)c(1\))23 b(:=)g(tl\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)s Fr(\)\))57 b(\(o\013en)n(bar)27 b(gilt)g Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)s Fr(\))24 b Fm(6)p Fr(=)f(0)36 b Fm(\))h Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)22 b Fr(+)c(1\))23 b Fo(<)g(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)s Fr(\)\),)0 3251 y(lh\()p Fo(a)p Fr(\))24 b(:=)e(min)q Fm(f)p Fo(k)j Fr(:)37 b Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)s Fr(\))24 b(=)f(0)p Fm(g)f Fr(=)g(\()p 1193 3205 51 4 v Fo(\026)q(\034)9 b Fr(\)\()p Fo(a;)14 b(a)19 b Fr(+)f(1\),)0 3350 y(\()p Fo(a)p Fr(\))108 3362 y Fi(i)159 3350 y Fr(:=)23 b Fg(if)14 b Fo(i)23 b(<)f Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))14 b Fg(then)h Fr(hd\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b Fr(lh)q(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)1295 3334 y(\001)1346 3350 y Fr(\()p Fo(i)k Fr(+)g(1\)\)\))c Fg(else)i Fr(0.)0 3483 y(Die)28 b(F)-7 b(unktionen)28 b(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(7!)g Fo(a)c Fm(\003)e(h)p Fo(b)p Fm(i)p Fo(;)38 b Fr(tl)p Fo(;)f Fr(hd)p Fo(;)g(\034)5 b(;)37 b Fr(lh)p Fo(;)g Fr(\()p Fo(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b Fm(7!)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2089 3495 y Fi(i)2145 3483 y Fr(sind)28 b(o\013en)n(bar)e(primitiv)i(rekursiv.)0 3646 y Fp(Lemma)i(4.7)0 3745 y Fr(a\))d(lh)q(\()p Fo(a)18 b Fm(\003)g(h)p Fo(b)p Fm(i)p Fr(\))24 b(=)e(lh)q(\()p Fo(a)p Fr(\))d(+)f(1)0 3845 y(b\))28 b(\()p Fo(a)19 b Fm(\003)f(h)p Fo(b)p Fm(i)p Fr(\))393 3860 y Fn(lh\()p Fi(a)p Fn(\))564 3845 y Fr(=)k Fo(b)46 b Fr(&)g Fm(8)p Fo(i)22 b(<)g Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\)\(\()p Fo(a)e Fm(\003)e(h)p Fo(b)p Fm(i)p Fr(\))1526 3857 y Fi(i)1577 3845 y Fr(=)23 b(\()p Fo(a)p Fr(\))1773 3857 y Fi(i)1801 3845 y Fr(\))0 3945 y(c\))28 b Fo(i)23 b(<)f Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))47 b Fm(\))f Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))697 3957 y Fi(i)748 3945 y Fo(<)23 b(a)0 4048 y Fg(Bew)n(eis:)0 4148 y Fr(Sei)28 b Fo(n)23 b Fr(:=)f(lh)q(\()p Fo(a)p Fr(\))28 b(und)g Fo(c)23 b Fr(:=)f Fo(a)d Fm(\003)f(h)p Fo(b)p Fm(i)p Fr(.)37 b(Dann)28 b Fo(a)23 b Fr(=)f(tl)q(\()p Fo(c)p Fr(\))h(=)g Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b Fr(1\))28 b(und)g Fo(b)23 b Fr(=)f(hd)q(\()p Fo(c)p Fr(\).)0 4248 y(Durc)n(h)27 b(Induktion)h(nac)n(h)f Fo(i)h Fr(folgt)f(ferner)g Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b(i)19 b Fr(+)f(1\))23 b(=)f Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(i)p Fr(\),)29 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)h Fo(i)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N.)0 4347 y(a\))25 b(Es)g(gilt)h Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b(n)h Fr(+)f(1\))23 b(=)g Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(n)p Fr(\))24 b(=)e(0)46 b(&)g Fm(8)p Fo(i)21 b(<)i(n)p Fr(\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b(i)h Fr(+)f(1\))23 b(=)g Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b Fm(6)p Fr(=)g(0\))46 b(&)g Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b Fr(0\))23 b(=)g Fo(c)g Fm(6)p Fr(=)f(0,)k(also)f(lh\()p Fo(c)p Fr(\))e(=)g Fo(n)14 b Fr(+)g(1.)0 4447 y(b\))28 b(\()p Fo(c)p Fr(\))206 4459 y Fi(n)275 4447 y Fr(=)22 b(hd)q(\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b Fr(0\)\))24 b(=)f Fo(b)k Fr(und,)h(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(i)22 b(<)h(n)p Fr(,)28 b(\()p Fo(c)p Fr(\))1579 4459 y Fi(i)1630 4447 y Fr(=)22 b(hd)q(\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(c;)14 b Fr(\()p Fo(n)19 b Fr(+)f(1\))p Fm(\000)2269 4430 y(\001)2319 4447 y Fr(\()p Fo(i)h Fr(+)f(1\)\)\))23 b(=)g(hd\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b(n)p Fm(\000)3082 4430 y(\001)3133 4447 y Fr(\()p Fo(i)k Fr(+)g(1\)\)\))24 b(=)e(\()p Fo(a)p Fr(\))3652 4459 y Fi(i)3681 4447 y Fr(.)0 4547 y(c\))28 b Fo(i)23 b(<)f Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))38 b Fm(\))f Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))679 4559 y Fi(i)730 4547 y Fr(=)22 b Fo(\031)864 4559 y Fn(2)902 4547 y Fr(\()p Fo(\034)9 b Fr(\()p Fo(a;)14 b Fr(lh)q(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)1289 4530 y(\001)1340 4547 y Fr(\()p Fo(i)k Fr(+)g(1\)\))p Fm(\000)1627 4530 y(\001)1677 4547 y Fr(1\))23 b Fm(\024)g Fo(a)p Fm(\000)1925 4530 y(\001)1975 4547 y Fr(1)g Fo(<)f(a)p Fr(.)1632 b Fm(4)0 4738 y Fp(Lemma)30 b(4.8)0 4838 y Fr(lh\()p Fo(c)p Fr(\))24 b(=)e(lh)q(\()p Fo(c)418 4807 y Fj(0)441 4838 y Fr(\))46 b(&)g Fm(8)p Fo(i)22 b(<)h Fr(lh\()p Fo(c)p Fr(\)\(\()p Fo(c)p Fr(\))1117 4850 y Fi(i)1169 4838 y Fr(=)f(\()p Fo(c)1324 4807 y Fj(0)1348 4838 y Fr(\))1380 4850 y Fi(i)1408 4838 y Fr(\))46 b(=)-14 b Fm(\))46 b Fo(c)23 b Fr(=)g Fo(c)1849 4807 y Fj(0)1872 4838 y Fr(.)0 4941 y Fg(Bew)n(eis:)0 5041 y Fr(F)-7 b(all)28 b(1:)36 b(lh\()p Fo(c)p Fr(\))24 b(=)e(0.)37 b(Dann)28 b(ist)g Fo(c)23 b Fr(=)f(0)h(=)f Fo(c)1321 5011 y Fj(0)1345 5041 y Fr(.)0 5141 y(F)-7 b(all)25 b(2:)35 b(lh\()p Fo(c)p Fr(\))24 b(=)e Fo(k)16 b Fr(+)d(1.)35 b(Dann)25 b Fo(c;)14 b(c)1108 5111 y Fj(0)1154 5141 y Fo(>)22 b Fr(0)j(und)g(es)f(gibt)h Fo(a;)14 b(b;)g(a)1931 5111 y Fj(0)1954 5141 y Fo(;)g(b)2027 5111 y Fj(0)2074 5141 y Fr(mit)26 b Fo(c)d Fr(=)f Fo(a)13 b Fm(\003)g(h)p Fo(b)p Fm(i)p Fo(;)36 b(c)2677 5111 y Fj(0)2724 5141 y Fr(=)22 b Fo(a)2855 5111 y Fj(0)2891 5141 y Fm(\003)13 b(h)p Fo(b)3014 5111 y Fj(0)3037 5141 y Fm(i)p Fr(.)36 b(Nac)n(h)24 b(Lemma)h(4.7)f(und)0 5240 y(V)-7 b(oraussetzung)29 b(gilt)h(n)n(un)g(lh\()p Fo(a)p Fr(\))e(=)f Fo(k)j Fr(=)d(lh\()p Fo(a)1476 5210 y Fj(0)1499 5240 y Fr(\))55 b(&)f Fo(b)27 b Fr(=)g(\()p Fo(c)p Fr(\))1960 5252 y Fi(k)2029 5240 y Fr(=)f(\()p Fo(c)2188 5210 y Fj(0)2212 5240 y Fr(\))2244 5252 y Fi(k)2312 5240 y Fr(=)h Fo(b)2440 5210 y Fj(0)2518 5240 y Fr(&)54 b Fm(8)p Fo(i)26 b(<)h(k)s Fr(\(\()p Fo(x)p Fr(\))3020 5252 y Fi(i)3076 5240 y Fr(=)f(\()p Fo(c)p Fr(\))3267 5252 y Fi(i)3323 5240 y Fr(=)h(\()p Fo(c)3483 5210 y Fj(0)3506 5240 y Fr(\))3538 5252 y Fi(i)3593 5240 y Fr(=)g(\()p Fo(a)3761 5210 y Fj(0)3785 5240 y Fr(\))3817 5252 y Fi(i)3845 5240 y Fr(\).)0 5340 y(Mit)h(I.V.)g(folgt)g Fo(a)23 b Fr(=)f Fo(a)715 5310 y Fj(0)738 5340 y Fr(,)28 b(und)g(somit)g Fo(c)23 b Fr(=)f Fo(c)1364 5310 y Fj(0)1387 5340 y Fr(.)2416 b Fm(4)1908 5539 y Fr(15)p eop %%Page: 16 17 16 16 bop 0 83 a Fp(De\014nition)27 b Fr(v)n(on)g Fm(h)p Fo(a)675 95 y Fn(0)712 83 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)899 95 y Fi(n)944 83 y Fm(i)0 183 y(hi)24 b Fr(:=)e(0)p Fo(;)60 b Fm(h)p Fo(a)399 195 y Fn(0)436 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)623 195 y Fi(n)668 183 y Fm(i)24 b Fr(:=)e Fm(h)p Fo(a)910 195 y Fn(0)948 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1135 195 y Fi(n)p Fj(\000)p Fn(1)1265 183 y Fm(i)19 b(\003)f(h)p Fo(a)1452 195 y Fi(n)1497 183 y Fm(i)0 307 y Fr(O\013en)n(bar)27 b(ist)g(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)g(feste)g Fo(n)22 b Fm(\025)h Fr(1)k(die)h(F)-7 b(unktion)28 b(\()p Fo(a)1780 319 y Fn(0)1817 307 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)2004 319 y Fi(n)p Fj(\000)p Fn(1)2135 307 y Fr(\))23 b Fm(7!)g(h)p Fo(a)2372 319 y Fn(0)2409 307 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)2596 319 y Fi(n)p Fj(\000)p Fn(1)2726 307 y Fm(i)28 b Fr(primitiv)g(rekursiv.)0 457 y Fp(Lemma)i(4.9)0 556 y Fr(a\))d(lh)q(\()p Fm(h)p Fo(a)279 568 y Fn(0)316 556 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)503 568 y Fi(n)p Fj(\000)p Fn(1)633 556 y Fm(i)p Fr(\))24 b(=)f Fo(n)0 656 y Fr(b\))28 b Fo(i)23 b(<)f(n)37 b Fm(\))g Fr(\()p Fm(h)p Fo(a)560 668 y Fn(0)598 656 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)785 668 y Fi(n)p Fj(\000)p Fn(1)915 656 y Fm(i)p Fr(\))979 668 y Fi(i)1030 656 y Fr(=)23 b Fo(a)1162 668 y Fi(i)0 756 y Fr(c\))28 b Fo(a)23 b Fr(=)f Fm(h)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))391 768 y Fn(0)429 756 y Fo(;)14 b(:::;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))680 768 y Fi(n)p Fj(\000)p Fn(1)811 756 y Fm(i)28 b Fr(mit)g Fo(n)23 b Fr(:=)g(lh\()p Fo(a)p Fr(\).)0 855 y Fg(Bew)n(eis:)38 b Fr(Lemmata)27 b(4.7,)g(4.8.)2885 b Fm(4)0 1005 y Fp(De\014nition)0 1104 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(f)j Fr(:)23 b(I)-14 b(N)358 1068 y Fi(n)p Fn(+1)510 1104 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(sei)p 843 1037 50 4 v 28 w Fo(f)j Fr(:)23 b(I)-14 b(N)1040 1068 y Fi(n)p Fn(+1)1192 1104 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)q Fo(;)p 1427 1037 V 27 w(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(:=)g Fm(h)p Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(0\))p Fo(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)k Fm(\000)g Fr(1\))p Fm(i)p Fr(.)0 1254 y Fp(F)-8 b(olgerung)0 1353 y Fo(f)32 b Fm(2)23 b Fr(PR)269 1317 y Fi(n)p Fn(+1)444 1353 y Fm(\))p 573 1286 V 46 w Fo(f)32 b Fm(2)23 b Fr(PR)842 1317 y Fi(n)p Fn(+1)971 1353 y Fr(.)0 1478 y(Bew)n(eis:)p 306 1410 V 36 w Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(0\))23 b(=)f(0)p Fo(;)p 768 1410 V 50 w(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)k Fr(+)g(1\))23 b(=)p 1253 1410 V 23 w Fo(f)8 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))19 b Fm(\003)f(h)p Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))p Fm(i)p Fr(.)1946 b Fm(4)0 1627 y Fp(Lemma)30 b(4.10)0 1727 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)f Fo(h)c Fm(2)h Fr(PR)633 1691 y Fi(n)p Fn(+2)790 1727 y Fr(ist)k(auc)n(h)f(die) h(durc)n(h)50 b Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))22 b(:=)h Fo(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b;)p 2090 1659 V 14 w(f)8 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\)\))0 1826 y(rekursiv)26 b(de\014nierte)i(F)-7 b(unktion)28 b Fo(f)36 b Fr(primitiv)28 b(rekursiv.)0 1926 y Fg(Bew)n(eis:)p 0 1958 V 0 2026 a Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(0\))23 b(=)f(0)p Fo(;)p 449 1958 V 37 w(f)8 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)k Fr(+)g(1\))23 b(=)p 933 1958 V 23 w Fo(f)8 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q(;)14 b(b)p Fr(\))k Fm(\003)g(h)p Fo(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b;)p 1508 1958 V 14 w(f)8 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b;)p 1743 1958 V 14 w(f)8 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\)\))p Fm(i)p Fo(;)61 b(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)2462 1958 y Fd(\000)p 2500 1958 V 68 x Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)k Fr(+)g(1\))2874 1958 y Fd(\001)2912 2059 y Fi(b)2945 2026 y Fr(.)858 b Fm(4)0 2200 y Fp(Lemma)30 b(4.11)0 2300 y Fr(Sei)e Fo(R)23 b Fm(\022)g Fr(I)-14 b(N)387 2264 y Fi(n)p Fn(+2)543 2300 y Fr(primitiv)28 b(rekursiv,)e(und)j(sei)e Fo(Q)c Fm(\022)f Fr(I)-14 b(N)1748 2264 y Fi(n)p Fn(+1)1877 2300 y Fr(,)28 b(so)f(da\031)f(gilt:)0 2424 y Fm(8)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)o(;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)407 2388 y Fi(n)p Fn(+1)536 2424 y Fr([)14 b(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(Q)45 b Fm(,)h Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q(;)14 b(b;)p 1283 2361 105 4 v 14 w Fp(1)1331 2436 y Fi(Q)1386 2424 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\)\))24 b Fm(2)f Fo(R)15 b Fr(].)0 2549 y(Dann)28 b(ist)g Fo(Q)f Fr(eb)r(enfalls)h(primitiv)f (rekursiv.)0 2648 y Fg(Bew)n(eis:)0 2748 y Fr(O\013en)n(bar)g(gilt:)36 b Fp(1)569 2760 y Fi(Q)626 2748 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)f Fp(1)965 2760 y Fi(R)1019 2748 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q(;)14 b(b;)p 1206 2685 V 14 w Fp(1)1254 2760 y Fi(Q)1309 2748 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\).)2313 b Fm(4)0 2922 y Fp(Bemerkung)26 b Fr(\(Erg\177)-42 b(anzung)26 b(zu)i(Lemma)f(4.11\))0 3022 y(Sei)h Fo(Q)22 b Fm(\022)h Fr(I)-14 b(N)388 2986 y Fi(n)p Fn(+1)518 3022 y Fr(.)37 b(Dann)28 b(gilt:)36 b Fm(8)p Fo(i)22 b(<)h Fr(lh\()p Fo(b)p Fr(\)[)14 b(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(\()p Fo(b)p Fr(\))1587 3034 y Fi(i)1615 3022 y Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(Q)46 b Fm(,)1990 2955 y Fd(\000)p 2028 2959 V 67 x Fp(1)2076 3034 y Fi(Q)2132 3022 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))2313 2955 y Fd(\001)2351 3055 y Fn(\()p Fi(b)p Fn(\))2432 3063 y Fb(i)2486 3022 y Fr(=)22 b(1)14 b(].)0 3472 y Fg(Rekursiv)27 b(aufz)o(\177)-39 b(ahlba)n(re)26 b(Relationen)0 3597 y Fp(De\014nition)0 3696 y Fr(Eine)j(Relation)g Fo(Q)d Fm(\022)g Fr(I)-14 b(N)788 3660 y Fi(n)863 3696 y Fr(hei\031t)30 b Fk(r)l(ekursiv)h(aufz\177)-42 b(ahlb)l(ar)9 b Fr(,)32 b(w)n(enn)e(es)f(eine)g(primitiv)h(rekursiv)n(e)e(Relation)h Fo(R)e Fm(\022)f Fr(I)-14 b(N)3575 3660 y Fi(n)p Fn(+1)3734 3696 y Fr(gibt,)0 3796 y(so)27 b(da\031)g Fo(Q)22 b Fr(=)h Fm(f)-5 b Fo(~)-37 b(a)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)700 3760 y Fi(n)769 3796 y Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(b)14 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)o(;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(R)q Fm(g)p Fr(.)0 3920 y Fp(Bemerkung:)35 b Fo(Q)27 b Fr(primitiv)h (rekursiv)e(=)-14 b Fm(\))55 b Fo(Q)28 b Fr(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar.)0 4070 y Fp(Lemma)30 b(4.12)0 4169 y Fr(Eine)d(nic)n(h)n (tleere)g(Menge)g Fo(Q)c Fm(\022)g Fr(I)-14 b(N)28 b(ist)f(genau)g (dann)h(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar,)0 4269 y(w)n(enn)27 b(es)h(ein)g Fo(f)j Fm(2)24 b Fr(PR)714 4233 y Fn(1)779 4269 y Fr(gibt,)k(so)f(da\031)g Fo(Q)22 b Fr(=)h Fo(f)9 b Fr(\(I)-14 b(N\).)0 4369 y Fg(Bew)n(eis:)0 4468 y Fr(\\)p Fm(\()p Fr(":)36 b(Ist)28 b Fo(f)j Fm(2)24 b Fr(PR)617 4432 y Fn(1)655 4468 y Fr(,)j(so)g(ist)h Fo(R)c Fr(:=)e Fm(f)p Fr(\()p Fo(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)1516 4432 y Fn(2)1576 4468 y Fr(:)37 b Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(i)p Fr(\))23 b(=)g Fo(a)p Fm(g)k Fr(prim.)36 b(rek.,)27 b(und)i Fo(f)9 b Fr(\(I)-14 b(N\))23 b(=)g Fm(f)p Fo(a)f Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)23 b(:)37 b Fm(9)p Fo(i)14 b Fr(\()p Fo(a;)g(i)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fo(R)q Fm(g)p Fr(.)0 4568 y(\\)p Fm(\))p Fr(":)36 b(Sei)28 b Fo(a)404 4580 y Fn(0)464 4568 y Fm(2)23 b Fo(Q)g Fr(=)g Fm(f)p Fo(a)f Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)23 b(:)37 b Fm(9)p Fo(b)14 b Fr(\()p Fo(a;)g(b)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fo(R)q Fm(g)p Fr(,)k(w)n(ob)r(ei)g Fo(R)i Fr(primitiv)e(rekursiv.)0 4668 y(De\014nition:)38 b Fo(f)31 b Fr(:)23 b(I)-14 b(N)24 b Fm(!)f Fr(I)-14 b(N)p Fo(;)28 b(f)9 b Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))23 b(:=)g Fg(if)14 b Fr(\()p Fo(\031)1293 4680 y Fn(1)1331 4668 y Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))p Fo(;)g(\031)1515 4680 y Fn(2)1553 4668 y Fr(\()p Fo(c)p Fr(\)\))24 b Fm(2)f Fo(R)15 b Fg(then)f Fo(\031)2071 4680 y Fn(1)2108 4668 y Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))g Fg(else)i Fo(a)2402 4680 y Fn(0)2439 4668 y Fr(.)0 4767 y(Dann)28 b Fo(f)j Fm(2)24 b Fr(PR)494 4731 y Fn(1)558 4767 y Fr(und)k Fo(f)9 b Fr(\(I)-14 b(N)q(\))23 b Fm(\022)g Fo(Q)p Fr(.)36 b(Bleibt)28 b(zu)g(zeigen)f Fo(Q)c Fm(\022)f Fo(f)9 b Fr(\(I)-14 b(N)q(\):)0 4867 y Fo(a)23 b Fm(2)g Fo(Q)46 b Fm(\))g Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(R)k Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(ein)g Fo(b)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)46 b Fm(\))g Fr(\()p Fo(\031)1495 4879 y Fn(1)1533 4867 y Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))p Fo(;)14 b(\031)1717 4879 y Fn(2)1755 4867 y Fr(\()p Fo(c)p Fr(\)\))24 b Fm(2)f Fo(R)29 b Fr(mit)f Fo(c)23 b Fr(:=)g Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))46 b Fm(\))g Fo(a)23 b Fr(=)g Fo(\031)3011 4879 y Fn(1)3048 4867 y Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))h(=)f Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(c)p Fr(\).)393 b Fm(4)0 5041 y Fp(Induktiv)m(e)33 b(De\014nition)e(der)g Fr(\006)1106 5053 y Fn(1)1144 5041 y Fp(-F)-8 b(ormeln)0 5141 y Fr(1.)36 b(Jede)28 b(\001)361 5153 y Fn(0)398 5141 y Fr(-F)-7 b(ormel)27 b(ist)h(eine)f(\006)1050 5153 y Fn(1)1088 5141 y Fr(-F)-7 b(ormel.)0 5240 y(2.)36 b(Sind)29 b Fo(A;)14 b(B)45 b Fr(\006)558 5252 y Fn(1)596 5240 y Fr(-F)-7 b(ormeln,)27 b(so)g(auc)n(h)g Fo(A)18 b Fm(^)h Fo(B)t(;)28 b(A)19 b Fm(_)f Fo(B)t(;)28 b Fm(9)p Fo(xA)p Fr(.)0 5340 y(3.)36 b(Ist)28 b Fo(A)g Fr(eine)g(\006)545 5352 y Fn(1)582 5340 y Fr(-F)-7 b(ormel,)27 b(und)h Fo(t)g Fr(ein)f(PR-T)-7 b(erm)27 b(mit)h Fo(x)c Fm(62)f Fr(FV)r(\()p Fo(t)p Fr(\),)28 b(so)f(ist)h(auc)n(h)f Fm(8)p Fo(x)22 b(<)h(tA)28 b Fr(eine)f(\006)3165 5352 y Fn(1)3203 5340 y Fr(-F)-7 b(ormel.)1908 5539 y(16)p eop %%Page: 17 18 17 17 bop 0 83 a Fp(Lemma)30 b(4.13)0 183 y Fr(Eine)i(Relation)f Fo(Q)g Fm(\022)f Fr(I)-14 b(N)802 146 y Fi(n)879 183 y Fr(ist)33 b(genau)e(dann)h(rekursiv)f(aufz\177)-42 b(ahlbar,)32 b(w)n(enn)g(sie)f(sic)n(h)h(durc)n(h)g(eine)g(\006)3202 195 y Fn(1)3239 183 y Fr(-F)-7 b(ormel)31 b(de\014nieren)0 282 y(l\177)-42 b(a\031t,)27 b(d.h.)37 b(w)n(enn)28 b(eine)g(\006)810 294 y Fn(1)847 282 y Fr(-F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)h Fr(mit)g(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))c Fm(\022)f(f)p Fo(v)1832 294 y Fn(1)1869 282 y Fo(;)14 b(:::;)g(v)2052 294 y Fi(n)2097 282 y Fm(g)28 b Fr(und)g Fo(Q)22 b Fr(=)h Fm(f)p Fr(\()p Fo(a)2627 294 y Fn(1)2664 282 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)2851 294 y Fi(n)2896 282 y Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)3108 246 y Fi(n)3177 282 y Fr(:)37 b Fm(N)e(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(a)3566 294 y Fn(1)3603 282 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)3790 294 y Fi(n)3835 282 y Fr(])p Fm(g)0 382 y Fr(existiert.)0 482 y Fg(Bew)n(eis:)0 581 y Fr(Eine)31 b(\006)254 593 y Fn(1)292 581 y Fr(-F)-7 b(ormel)31 b(hei\031e)g Fk(strikt)8 b Fr(,)33 b(w)n(enn)e(sie)h(v)n(on)f(der)g(F)-7 b(orm)31 b Fm(9)p Fo(z)t(C)38 b Fr(mit)32 b Fo(C)37 b Fm(2)30 b Fr(\001)2535 593 y Fn(0)2604 581 y Fr(ist.)50 b(Aus)32 b(Lemma)f(4.2)g(folgt,)i(da\031)e(eine)0 681 y(Relation)37 b(genau)h(dann)f(rekursiv)g(aufz\177)-42 b(ahlbar)36 b(ist,)41 b(w)n(enn)d(sie)f(sic)n(h)h(durc)n(h)f(eine)h(strikte)g(\006) 2997 693 y Fn(1)3034 681 y Fr(-F)-7 b(ormel)37 b(de\014nieren)h(l\177) -42 b(a\031t.)0 780 y(Durc)n(h)30 b(Induktion)h(nac)n(h)f(dem)h(Aufbau) g(v)n(on)f Fo(A)h Fr(de\014nieren)f(wir)g(n)n(un)h(zu)g(jeder)f(\006) 2648 792 y Fn(1)2685 780 y Fr(-F)-7 b(ormel)30 b Fo(A)h Fr(eine)f(strikte)h(\006)3585 792 y Fn(1)3622 780 y Fr(-F)-7 b(ormel)0 880 y Fo(A)62 850 y Fj(0)113 880 y Fr(mit)28 b(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))c(=)f(FV)q(\()p Fo(A)832 850 y Fj(0)856 880 y Fr(\))28 b(und)g Fm(N)35 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fm(8)p Fr(\()p Fo(A)g Fm($)g Fo(A)1614 850 y Fj(0)1638 880 y Fr(\).)37 b(Damit)28 b(ist)g(dann)f(das)g(Lemma)h(b)r(ewiesen.)0 998 y(1.)36 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(A)23 b Fm(2)h Fr(\001)495 1010 y Fn(0)560 998 y Fr(sei)j Fo(A)742 968 y Fj(0)789 998 y Fr(:=)c Fm(9)p Fo(z)t(A)k Fr(mit)h Fo(z)e Fm(62)e Fr(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\).)0 1108 y(2.)36 b(Sei)28 b Fo(A)297 1078 y Fj(0)344 1108 y Fr(=)22 b Fm(9)p Fo(x)545 1087 y Fd(e)524 1108 y Fo(A)29 b Fr(und)f Fo(B)848 1078 y Fj(0)895 1108 y Fr(=)22 b Fm(9)p Fo(y)1089 1087 y Fd(e)1072 1108 y Fo(B)t Fr(.)37 b(Dann)101 1207 y(\()p Fo(A)19 b Fm(_)g Fo(B)t Fr(\))387 1177 y Fj(0)434 1207 y Fr(:=)k Fm(9)p Fo(z)t Fr(\()685 1186 y Fd(e)666 1207 y Fo(A)728 1219 y Fi(x)769 1207 y Fr(\()p Fo(z)t Fr(\))c Fm(_)986 1186 y Fd(e)969 1207 y Fo(B)1032 1219 y Fi(y)1071 1207 y Fr(\()p Fo(z)t Fr(\)\),)84 b(\()p Fo(A)19 b Fm(^)f Fo(B)t Fr(\))1602 1177 y Fj(0)1649 1207 y Fr(:=)23 b Fm(9)p Fo(z)t Fr(\()1900 1186 y Fd(e)1881 1207 y Fo(A)1943 1219 y Fi(x)1985 1207 y Fr(\()p Fo(\031)2064 1219 y Fn(1)2102 1207 y Fo(z)t Fr(\))18 b Fm(^)2286 1186 y Fd(e)2268 1207 y Fo(B)2331 1219 y Fi(y)2371 1207 y Fr(\()p Fo(\031)2450 1219 y Fn(2)2488 1207 y Fo(z)t Fr(\)\),)83 b(\()p Fm(9)p Fo(v)s(A)p Fr(\))2916 1177 y Fj(0)2963 1207 y Fr(:=)23 b Fm(9)p Fo(z)3196 1186 y Fd(e)3176 1207 y Fo(A)3238 1219 y Fi(x;v)3335 1207 y Fr(\()p Fo(\031)3414 1219 y Fn(1)3452 1207 y Fo(z)t(;)14 b(\031)3579 1219 y Fn(2)3616 1207 y Fo(z)t Fr(\),)101 1320 y(\()p Fm(8)p Fo(v)26 b(<)d(t)14 b(A)p Fr(\))472 1290 y Fj(0)519 1320 y Fr(:=)22 b Fm(9)p Fo(z)t Fm(8)p Fo(v)j(<)e(t)p Fm(9)p Fo(x)g(<)g(z)1228 1299 y Fd(e)1208 1320 y Fo(A)p Fr(,)83 b(w)n(ob)r(ei)28 b Fo(z)e Fm(62)d Fr(V)-7 b(ar\()1937 1299 y Fd(e)1917 1320 y Fo(A)p Fr(\))19 b Fm([)g Fr(V)-7 b(ar)o(\()2283 1299 y Fd(e)2265 1320 y Fo(B)5 b Fr(\))28 b(bzw.)36 b Fo(z)27 b Fm(62)c Fr(V)-7 b(ar\()2920 1299 y Fd(e)2901 1320 y Fo(A)p Fr(\)\()p Fm([)p Fr(V)g(ar\()p Fo(t)p Fr(\)\).)465 b Fm(4)0 1474 y Fp(De\014nition)0 1574 y Fr(1.)36 b(Eine)28 b(F)-7 b(unktion)28 b Fo(f)j Fr(:)23 b(I)-14 b(N)843 1537 y Fi(n)911 1574 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)28 b(hei\031t)g Fk(r)l(ekursiv)9 b Fr(,)28 b(w)n(enn)f(die)h(Relation)101 1673 y Fg(Graph)p Fr(\()p Fo(f)9 b Fr(\))23 b(:=)f Fm(f)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)949 1637 y Fi(n)p Fn(+1)1101 1673 y Fr(:)37 b Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g Fo(b)p Fm(g)k Fr(rekursiv)f(aufz\177)-42 b(ahlbar)26 b(ist.)0 1773 y(2.)36 b(Eine)28 b(Relation)f Fo(R)d Fm(\022)e Fr(I)-14 b(N)878 1737 y Fi(n)951 1773 y Fr(hei\031t)27 b Fk(r)l(ekursiv)9 b Fr(,)28 b(w)n(enn)g(ihre)f(c)n(harakteristisc)n(he)e(F)-7 b(unktion)28 b Fp(1)2916 1785 y Fi(R)2998 1773 y Fr(rekursiv)e(ist.)0 1908 y Fp(Lemma)k(4.14)0 2008 y Fr(Eine)d(Relation)h Fo(Q)22 b Fm(\022)h Fr(I)-14 b(N)778 1972 y Fi(n)851 2008 y Fr(ist)28 b(genau)f(dann)g(rekursiv,)g(w)n(enn)g Fo(Q)g Fr(und)h(I)-14 b(N)2309 1972 y Fi(n)2372 2008 y Fm(n)18 b Fo(Q)28 b Fr(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar)26 b(sind.)0 2108 y Fg(Bew)n(eis:)0 2207 y Fr(1.)36 b(Seien)28 b Fo(Q)e Fr(und)i(I)-14 b(N)654 2171 y Fi(n)717 2207 y Fm(n)17 b Fo(Q)27 b Fr(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar.)36 b(W)-7 b(egen)27 b([)14 b Fp(1)1980 2219 y Fi(Q)2036 2207 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g Fo(b)46 b Fm(,)g Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)23 b Fm(2)h Fo(Q)17 b Fm(^)g Fo(b)23 b Fr(=)g(1\))17 b Fm(_)h Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)3366 2171 y Fi(n)3428 2207 y Fm(n)17 b Fo(Q)g Fm(^)h Fo(b)23 b Fr(=)f(0\))14 b(])0 2307 y(und)28 b(Lemma)f(4.13)g(ist)g(dann)h Fg(Graph)o Fr(\()p Fp(1)1238 2319 y Fi(Q)1295 2307 y Fr(\))f(rekursiv)g(aufz\177) -42 b(ahlbar)26 b(und)i(somit)g Fp(1)2523 2319 y Fi(Q)2606 2307 y Fr(rekursiv.)0 2407 y(2.)53 b(Sei)33 b Fo(Q)f Fr(rekursiv.)52 b(Dann)33 b(ist)g Fo(G)g Fr(:=)e Fg(Graph)o Fr(\()p Fp(1)1568 2419 y Fi(Q)1625 2407 y Fr(\))i(rekursiv)f(aufz\177) -42 b(ahlbar,)33 b(und)g(es)g(gilt)g([)9 b Fo(~)-37 b(a)32 b Fm(2)g Fo(Q)45 b Fm(,)h Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(1\))32 b Fm(2)g Fo(G)14 b Fr(])34 b(und)0 2506 y([)9 b Fo(~)-37 b(a)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)261 2470 y Fi(n)324 2506 y Fm(n)18 b Fo(Q)37 b Fm(,)g Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b Fr(0\))23 b Fm(2)g Fo(G)14 b Fr(],)28 b(also)e Fo(Q)i Fr(und)g(I)-14 b(N)1552 2470 y Fi(n)1616 2506 y Fm(n)18 b Fo(Q)27 b Fr(rekursiv)f(aufz\177)-42 b(ahlbar.)1333 b Fm(4)0 2642 y Fp(Korollar)0 2741 y Fo(f)32 b Fr(:)23 b(I)-14 b(N)197 2705 y Fi(n)265 2741 y Fm(!)24 b Fr(I)-14 b(N)28 b(rekursiv)49 b(=)-14 b Fm(\))46 b Fg(Graph)o Fr(\()p Fo(f)9 b Fr(\))28 b(rekursiv.)0 2841 y Fg(Bew)n(eis:)38 b Fr(Sei)28 b Fo(G)23 b Fr(:=)g Fg(Graph)o Fr(\()p Fo(f)9 b Fr(\).)0 2941 y Fo(f)36 b Fr(rekursiv)49 b Fm(\))e Fo(G)28 b Fr(rek.)36 b(aufzb.)28 b(&)22 b(I)-14 b(N)1228 2904 y Fi(n)p Fn(+1)1375 2941 y Fm(n)18 b Fo(G)24 b Fr(=)e Fm(f)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(:)37 b Fm(9)p Fo(i)p Fr(\(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fo(G)c Fm(^)g Fo(i)j Fm(6)p Fr(=)h Fo(b)p Fr(\))p Fm(g)46 b(\))g Fo(G;)28 b Fr(I)-14 b(N)3075 2904 y Fi(n)p Fn(+1)3223 2941 y Fm(n)18 b Fo(G)28 b Fr(rek.)36 b(aufzb.)28 b(.)0 3076 y Fp(Lemma)i(4.15)0 3176 y Fr(Die)e(Menge)f(aller)g (rekursiv)n(en)f(F)-7 b(unktionen)28 b(ist)g(die)f(kleinste)h(F)-7 b(unktionenmenge)28 b Fm(R)23 b Fr(=)2839 3114 y Fd(S)2908 3201 y Fi(n)p Fj(2)p Fn(I)-11 b(N)3073 3176 y Fm(R)3143 3146 y Fi(n)3189 3176 y Fr(,)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(die)h(gilt:)0 3275 y(1.)36 b Fp(0)149 3245 y Fi(n)194 3275 y Fo(;)28 b Fg(S)p Fo(;)g Fg(I)363 3238 y Fi(n)363 3296 y(i)431 3275 y Fm(2)c(R)p Fr(,)0 3375 y(2.)36 b Fo(h)23 b Fm(2)h(R)321 3345 y Fi(m)430 3375 y Fr(&)46 b Fo(g)581 3387 y Fn(1)618 3375 y Fo(;)14 b(:::;)g(g)801 3387 y Fi(m)887 3375 y Fm(2)23 b(R)1035 3345 y Fi(n)1127 3375 y Fr(&)45 b Fo(m;)14 b(n)23 b Fm(\025)g Fr(1)45 b Fm(\))h Fr(\()p Fm(\016)p Fo(hg)1886 3387 y Fn(1)1923 3375 y Fo(:::g)2032 3387 y Fi(m)2095 3375 y Fr(\))23 b Fm(2)h(R)2299 3345 y Fi(n)2344 3375 y Fr(,)0 3475 y(3.)36 b Fo(g)26 b Fm(2)e(R)316 3445 y Fi(n)407 3475 y Fr(&)46 b Fo(h)23 b Fm(2)g(R)737 3445 y Fi(n)p Fn(+1)913 3475 y Fm(\))46 b Fr(\()p Fg(R)p Fo(g)s(h)p Fr(\))23 b Fm(2)g(R)1419 3445 y Fi(n)p Fn(+1)1549 3475 y Fr(,)0 3574 y(4.)36 b Fo(g)26 b Fm(2)e(R)316 3544 y Fi(n)p Fn(+1)491 3574 y Fr(&)46 b Fm(8)-5 b Fo(~)-37 b(a)22 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)872 3538 y Fi(n)917 3574 y Fm(9)p Fo(i)p Fr([)p Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))22 b(=)h(0])46 b(&)f Fo(n)23 b Fm(\025)g Fr(1)46 b Fm(\))g Fr(\()p Fo(\026g)s Fr(\))23 b Fm(2)g(R)2269 3544 y Fi(n)2315 3574 y Fr(,)101 3674 y(w)n(ob)r(ei)28 b(\()p Fo(\026g)s Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(:=)g(min)p Fm(f)p Fo(i)g Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)24 b(:)36 b Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))23 b(=)g(0)p Fm(g)p Fr(.)0 3792 y(Insb)r(esondere)k(ist)g (jede)h(primitiv)g(rekursiv)n(e)e(F)-7 b(unktion)28 b(rekursiv.)0 3891 y Fg(Bew)n(eis:)0 3991 y Fr(Sei)g Fm(R)g Fr(die)g(kleinste)f(F)-7 b(unktionenmenge,)28 b(w)n(elc)n(he)f(den)h(Bedingungen)f(1.{4.)35 b(gen)r(\177)-44 b(ugt,)0 4091 y(und)28 b(sei)f Fm(R)356 4060 y Fj(0)408 4091 y Fr(die)h(Menge)f(aller)f(rekursiv)n(en)g(F)-7 b(unktionen.)0 4190 y(I.)28 b Fm(R)151 4160 y Fj(0)197 4190 y Fm(\022)23 b(R)p Fr(:)28 b(Sei)g Fo(f)k Fr(:)23 b(I)-14 b(N)737 4154 y Fi(n)805 4190 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)29 b(und)f Fg(Graph)o Fr(\()p Fo(f)9 b Fr(\))27 b(rekursiv)g (aufz\177)-42 b(ahlbar.)0 4290 y(Dann)28 b(existiert)f(ein)h Fo(h)23 b Fm(2)g Fr(PR)947 4254 y Fi(n)p Fn(+1)1104 4290 y Fr(mit)28 b(\()p Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g Fo(b)g Fm(,)g(9)p Fo(i)14 b(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)o(;)14 b(b;)g(i)p Fr(\))23 b(=)f(0\).)65 b(F)-7 b(olglic)n(h)0 4389 y Fo(f)9 b Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g Fo(\031)316 4401 y Fn(1)353 4389 y Fr(\(min)q Fm(f)p Fo(j)k Fr(:)d Fo(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(\031)882 4401 y Fn(1)919 4389 y Fr(\()p Fo(j)5 b Fr(\))p Fo(;)14 b(\031)1106 4401 y Fn(2)1144 4389 y Fr(\()p Fo(j)5 b Fr(\)\))24 b(=)f(0)p Fm(g)j Fr(und)i(somit)g Fo(f)j Fr(=)23 b(\()p Fm(\016)p Fo(\031)2175 4401 y Fn(1)2212 4389 y Fr(\()p Fo(\026g)s Fr(\)\),)29 b(w)n(ob)r(ei)e Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(j)5 b Fr(\))23 b(:=)f Fo(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(\031)3256 4401 y Fn(1)3294 4389 y Fr(\()p Fo(j)5 b Fr(\))p Fo(;)14 b(\031)3481 4401 y Fn(2)3519 4389 y Fr(\()p Fo(j)5 b Fr(\)\).)0 4507 y(I)r(I.)28 b Fm(R)23 b(\022)g(R)364 4477 y Fj(0)388 4507 y Fr(:)0 4607 y(Hier)28 b(reic)n(h)n(t)f(es)h(zu)g(zeigen,)f (da\031)h(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fm(R)1255 4576 y Fj(0)1307 4607 y Fr(\(an)f(Stelle)i(v)n(on)e Fm(R)p Fr(\))i(die)f(Bedingungen)f (1.{4.)37 b(gelten.)h(Dies)28 b(folgt)g(ab)r(er)f(mittels)0 4706 y(Lemma)g(4.13)g(aus)g(den)g(folgenden)1158 4685 y(\177)1148 4706 y(Aquiv)-5 b(alenzen:)0 4806 y(\()p Fm(\016)p Fo(hg)162 4818 y Fn(1)198 4806 y Fo(:::g)307 4818 y Fi(m)370 4806 y Fr(\)\()g Fo(~)-37 b(a)q Fr(\))23 b(=)g Fo(b)46 b Fm(,)g(9)p Fo(b)915 4818 y Fn(1)965 4806 y Fo(:)14 b(:)g(:)g Fm(9)p Fo(b)1158 4818 y Fi(m)1221 4806 y Fr([)p Fo(h)p Fr(\()p Fo(b)1360 4818 y Fn(1)1397 4806 y Fo(;)g(:::;)g(b)1576 4818 y Fi(m)1639 4806 y Fr(\))23 b(=)g Fo(b)18 b Fm(^)h Fo(g)1950 4818 y Fn(1)1986 4806 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q Fr(\))23 b(=)g Fo(b)2242 4818 y Fn(1)2297 4806 y Fm(^)c Fo(:)14 b(:)g(:)k Fm(^)h Fo(g)2600 4818 y Fi(m)2662 4806 y Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)q Fr(\))23 b(=)g Fo(b)2918 4818 y Fi(m)2980 4806 y Fr(].)0 4906 y(\()p Fg(R)p Fo(g)s(h)p Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(k)s Fr(\))23 b(=)g Fo(b)46 b Fm(,)g(9)p Fo(c)p Fr([)p Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))23 b(=)g(\()p Fo(c)p Fr(\))1186 4918 y Fn(0)1242 4906 y Fm(^)c Fo(b)j Fr(=)h(\()p Fo(c)p Fr(\))1562 4918 y Fi(k)1622 4906 y Fm(^)18 b(8)p Fo(i)k(<)h(k)s Fr(\()14 b Fo(h)p Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i;)g Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))2300 4918 y Fi(i)2327 4906 y Fr(\))24 b(=)e(\()p Fo(c)p Fr(\))2570 4918 y Fi(i)p Fn(+1)2696 4906 y Fr(\)].)0 5005 y(\()p Fo(\026g)s Fr(\)\()-5 b Fo(~)-37 b(a)p Fr(\))24 b(=)e Fo(b)46 b Fm(,)g Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b(=)f(0)c Fm(^)h(8)p Fo(i)j(<)h(b)p Fm(9)p Fo(c)p Fr([)p Fo(c)f Fm(6)p Fr(=)h(0)18 b Fm(^)h Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a;)14 b(i)p Fr(\))22 b(=)h Fo(c)p Fr(])p Fo(:)1755 b Fm(4)0 5141 y Fp(Ch)m(urc)m(hsc)m(he)34 b(These)0 5240 y Fr(Eine)19 b(F)-7 b(unktion)20 b Fo(f)31 b Fr(:)23 b(I)-14 b(N)725 5204 y Fi(n)793 5240 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N)20 b(\(Relation)f Fo(Q)k Fm(\022)f Fr(I)-14 b(N)1609 5204 y Fi(n)1654 5240 y Fr(\))20 b(ist)f(genau)g(dann)g(im)h(in)n (tuitiv)n(en)f(Sinn)h(b)r(erec)n(hen)n(bar)e(\(en)n(tsc)n(heidbar\),)0 5340 y(w)n(enn)27 b(sie)h(rekursiv)e(ist.)1908 5539 y(17)p eop %%Page: 18 19 18 18 bop 0 83 a Fq(5)75 b(Der)37 b(1.)g(G\177)-56 b(odelsc)m(he)38 b(Un)m(v)m(ollst)o(\177)-55 b(andigk)m(eitssatz)0 285 y Fp(De\014nition)0 385 y Fr(Eine)27 b Ff(primitiv)h(rekursiv)e (repr\177)-42 b(asen)n(tierte)26 b(Sprac)n(he)g Fr(ist)i(ein)g(P)n(aar) d(\()p Fm(L)p Fo(;)14 b(S)-9 b(N)9 b Fr(\))0 485 y(b)r(estehend)28 b(aus)f(einer)g(Sprac)n(he)g Fm(L)h Fr(1.)f(Stufe)i(und)f(einer)f (injektiv)n(en)h(Abbildung)g Fo(S)-9 b(N)32 b Fr(:)23 b Fm(L)g(!)g Fr(I)-14 b(N)q(,)27 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(die)g(gilt:)0 584 y({)f(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)f Fo(n)p Fr(-st.)h(F)-7 b(unktionszeic)n(hen)27 b Fo(f)32 b Fm(2)23 b(L)28 b Fr(ist)g Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(f)g Fr(\))23 b(=)f Fm(h)p Fo(n;)14 b Fr(1)p Fo(;)g(i)p Fm(i)27 b Fr(mit)h Fo(i)23 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N.)0 684 y({)27 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jedes)f Fo(n)p Fr(-st.)h(Relationszeic)n(hen)e Fo(p)d Fm(2)h(L)j Fr(ist)h Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(p)p Fr(\))23 b(=)g Fm(h)p Fo(n;)14 b Fr(2)p Fo(;)g(i)p Fm(i)27 b Fr(mit)h Fo(i)23 b Fm(\025)f Fr(1.)0 783 y({)27 b(Die)h(Menge)f Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(L)p Fr(\))24 b(:=)f Fm(f)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(q)s Fr(\))22 b(:)37 b Fo(q)27 b Fm(2)c(Lg)k Fr(ist)h(primitiv)g(rekursiv.)0 935 y Fg(V)n(ereinba)n (rung)0 1034 y Fr(\()p Fm(L)p Fo(;)14 b(S)-9 b(N)9 b Fr(\))28 b(b)r(ezeic)n(hne)g(eine)f(im)h(folgenden)f(festgehaltene)h (primitiv)g(rekursiv)e(repr\177)-42 b(asen)n(tierte)25 b(Sprac)n(he.)0 1134 y(F)-7 b(unktions-)27 b(und)h(Relationszeic)n(hen) f(seien,)h(so)n(w)n(eit)e(nic)n(h)n(ts)h(anderes)g(gesagt)f(wird,)h (stets)h(Elemen)n(te)f(v)n(on)g Fm(L)p Fr(.)0 1234 y(Die)h(Begri\013e)f (\\T)-7 b(erm",)26 b(\\F)-7 b(ormel")26 b(etc.)i(b)r(eziehen)g(sic)n(h) f(stets)h(auf)g Fm(L)p Fr(.)37 b({)27 b(Abk.:)37 b(\()p Fo(a)p Fr(\))2668 1246 y Fi(i;j)2770 1234 y Fr(:=)23 b(\(\()p Fo(a)p Fr(\))3021 1246 y Fi(i)3049 1234 y Fr(\))3081 1246 y Fi(j)3116 1234 y Fr(.)0 1385 y Fp(De\014nition)0 1484 y Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(v)190 1496 y Fi(i)218 1484 y Fr(\))23 b(:=)g Fm(h)p Fr(0)p Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g(i)p Fm(i)p Fo(;)36 b(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))23 b(:=)g Fm(h)p Fr(2)p Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g Fr(0)p Fm(i)p Fo(;)36 b(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))22 b(:=)h Fm(h)p Fr(2)p Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g Fr(1)p Fm(i)p Fo(;)36 b(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(?)p Fr(\))22 b(:=)h Fm(h)p Fr(0)p Fo(;)14 b Fr(2)p Fo(;)g Fr(0)p Fm(i)p Fo(;)36 b(S)-9 b(N)9 b Fr(\()14 b Fl(=)g Fr(\))23 b(:=)g Fm(h)p Fr(2)p Fo(;)14 b Fr(2)p Fo(;)g Fr(0)p Fm(i)p Fr(.)0 1636 y Fp(De\014nition)31 b Fr(v)n(on)603 1604 y Fa(d)630 1636 y Fo(E)708 1604 y Fa(e)763 1636 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jeden)g(Ausdruc)n(k)f Fo(E)0 1730 y Fa(d)28 1761 y Fo(v)68 1773 y Fi(i)107 1730 y Fa(e)158 1761 y Fr(:=)c Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(v)491 1773 y Fi(i)519 1761 y Fr(\))p Fm(i)p Fo(;)657 1730 y Fa(d)685 1761 y Fo(q)s(E)786 1773 y Fn(1)823 1761 y Fo(:::E)953 1773 y Fi(n)1010 1730 y Fa(e)1061 1761 y Fr(:=)23 b Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(q)s Fr(\))p Fo(;)1463 1730 y Fa(d)1491 1761 y Fo(E)1552 1773 y Fn(1)1601 1730 y Fa(e)1629 1761 y Fo(;)14 b(:::;)1772 1730 y Fa(d)1799 1761 y Fo(E)1860 1773 y Fi(n)1917 1730 y Fa(e)1945 1761 y Fm(i)p Fo(;)2051 1730 y Fa(d)2079 1761 y Fm(8)p Fo(xA)2247 1730 y Fa(e)2297 1761 y Fr(:=)23 b Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)2706 1730 y Fa(d)2733 1761 y Fo(x)2792 1730 y Fa(e)2819 1761 y Fo(;)2856 1730 y Fa(d)2884 1761 y Fo(A)2958 1730 y Fa(e)2985 1761 y Fm(i)0 1913 y Fg(Bemerkung:)422 1881 y Fa(d)450 1913 y Fo(E)527 1881 y Fa(e)578 1913 y Fr(=)666 1881 y Fa(d)693 1913 y Fo(E)759 1883 y Fj(0)794 1881 y Fa(e)868 1913 y Fm(\))46 b Fo(E)28 b Fr(=)23 b Fo(E)1240 1883 y Fj(0)1263 1913 y Fr(.)0 2064 y Fp(De\014nition)0 2164 y Fr(Eine)k(F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)h Fr(hei\031e)f Fo(n)p Ff(-stellig)p Fr(,)g(falls)h(FV)q(\()p Fo(A)p Fr(\))c Fm(\022)f(f)p Fo(v)1722 2176 y Fn(1)1759 2164 y Fo(;)14 b(:::;)g(v)1942 2176 y Fi(n)1987 2164 y Fm(g)p Fr(.)0 2263 y(Wir)28 b(sc)n(hreib)r(en)f (dann)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(t)865 2275 y Fn(1)903 2263 y Fo(;)14 b(:::;)g(t)1076 2275 y Fi(n)1121 2263 y Fr(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(A)1375 2275 y Fi(v)1408 2283 y Fc(1)1441 2275 y Fi(;:::;v)1574 2283 y Fb(n)1617 2263 y Fr(\()p Fo(t)1679 2275 y Fn(1)1717 2263 y Fo(;)14 b(:::;)g(t)1890 2275 y Fi(n)1935 2263 y Fr(\).)0 2363 y(O\013en)n(bar)27 b(gilt:)36 b Fo(A)28 b Fr(0-stellig)50 b Fm(,)23 b Fr(FV)r(\()p Fo(A)p Fr(\))h(=)e Fm(;)p Fr(.)0 2489 y(V)-9 b(AR:=)28 b(Menge)f(aller)g(V)-7 b(ariablen)0 2588 y(TER:=)27 b(Menge)g(aller)g (T)-7 b(erme)0 2688 y(PRIM:=)27 b(Menge)g(aller)g(Primformeln)0 2787 y(F)n(OR:=)g(Menge)g(aller)g(F)-7 b(ormeln)0 2887 y(F)n(OR)178 2851 y Fi(n)246 2887 y Fr(:=)50 b(Menge)27 b(aller)g Fo(n)p Fr(-stelligen)g(F)-7 b(ormeln)0 3038 y Fp(De\014nition)0 3138 y Fr(Ist)28 b Fo(X)34 b Fr(eine)27 b(Menge)h(v)n(on)e(Ausdr)r(\177)-44 b(uc)n(k)n(en,)27 b(so)g(sei)1516 3106 y Fa(d)1544 3138 y Fo(X)1631 3106 y Fa(e)1682 3138 y Fr(:=)22 b Fm(f)1834 3106 y Fa(d)1862 3138 y Fo(E)1939 3106 y Fa(e)1990 3138 y Fr(:)37 b Fo(E)28 b Fm(2)23 b Fo(X)7 b Fm(g)p Fr(.)0 3238 y(Eine)27 b(Menge)g Fo(X)34 b Fr(v)n(on)27 b(Ausdr)r(\177)-44 b(uc)n(k)n(en)27 b(hei\031e)g Ff(primitiv)h(rekursiv)e Fr(\(bzw.)i Ff(rekursiv)e Fr(bzw.)i Ff(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar)p Fr(\),)0 3337 y(w)n(enn)27 b(die)h(Menge)613 3306 y Fa(d)641 3337 y Fo(X)728 3306 y Fa(e)783 3337 y Fr(die)g(b)r(etre\013ende)g(Eigensc)n (haft)f(hat.)0 3431 y Fa(d)28 3463 y Fr(FV)157 3431 y Fa(e)208 3463 y Fr(:=)22 b Fm(f)p Fr(\()392 3431 y Fa(d)420 3463 y Fo(x)479 3431 y Fa(e)506 3463 y Fo(;)543 3431 y Fa(d)571 3463 y Fo(E)649 3431 y Fa(e)676 3463 y Fr(\))i(:)37 b Fo(E)32 b Fr(ist)c(Ausdruc)n(k)f(und)h Fo(x)c Fm(2)f Fr(FV)r(\()p Fo(E)5 b Fr(\))p Fm(g)0 3531 y Fa(d)28 3563 y Fr(SB)144 3531 y Fa(e)195 3563 y Fr(:=)23 b Fm(f)p Fr(\()380 3531 y Fa(d)407 3563 y Fo(t)449 3531 y Fa(e)476 3563 y Fo(;)513 3531 y Fa(d)541 3563 y Fo(x)600 3531 y Fa(e)627 3563 y Fo(;)664 3531 y Fa(d)692 3563 y Fo(A)766 3531 y Fa(e)793 3563 y Fr(\))h(:)37 b Fo(t)23 b Fm(2)g Fr(TER)p Fo(;)28 b(x)23 b Fm(2)g Fr(V)-9 b(AR)q Fo(;)28 b(A)23 b Fm(2)g Fr(F)n(OR)p Fo(;)28 b Fr(FV)q(\()p Fo(t)p Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(BV)2463 3575 y Fi(x)2505 3563 y Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))24 b(=)f Fm(;g)0 3714 y Fp(Lemma)30 b(5.1)0 3813 y Fr(Die)e(Relationen)567 3782 y Fa(d)595 3813 y Fr(V)-9 b(AR)783 3782 y Fa(e)811 3813 y Fo(;)861 3782 y Fa(d)889 3813 y Fr(TER)1078 3782 y Fa(e)1106 3813 y Fo(;)1157 3782 y Fa(d)1184 3813 y Fr(PRIM)1419 3782 y Fa(e)1447 3813 y Fo(;)1498 3782 y Fa(d)1526 3813 y Fr(F)n(OR)1719 3782 y Fa(e)1746 3813 y Fo(;)1797 3782 y Fa(d)1825 3813 y Fr(FV)1954 3782 y Fa(e)1982 3813 y Fo(;)2032 3782 y Fa(d)2060 3813 y Fr(F)n(OR)2238 3777 y Fi(n)2294 3782 y Fa(e)2322 3813 y Fo(;)2373 3782 y Fa(d)2400 3813 y Fr(SB)2517 3782 y Fa(e)2572 3813 y Fr(sind)28 b(primitiv)g(rekursiv.)0 3914 y Fg(Bew)n(eis)f(:)0 4013 y Fr(Die)h(Behauptung)f(folgt)h(mittels)g(Lemma)f(4.2)g(und)h(Lemma)f (4.11)g(aus)g(folgenden)2686 3992 y(\177)2676 4013 y(Aquiv)-5 b(alenzen:)0 4114 y(1.)36 b Fo(a)23 b Fm(2)247 4082 y Fa(d)275 4114 y Fr(V)-9 b(AR)462 4082 y Fa(e)536 4114 y Fm(,)46 b Fo(a)23 b Fr(=)g Fm(hh)p Fr(0)p Fo(;)14 b Fr(0)p Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1150 4126 y Fn(0)p Fi(;)p Fn(2)1240 4114 y Fm(ii)0 4239 y Fr(2.)36 b Fo(a)23 b Fm(2)247 4208 y Fa(d)275 4239 y Fr(TER)464 4208 y Fa(e)537 4239 y Fm(,)47 b Fo(a)22 b Fm(2)812 4208 y Fa(d)840 4239 y Fr(V)-9 b(AR)1028 4208 y Fa(e)1074 4239 y Fm(_)18 b Fr([)c(\()p Fo(a)p Fr(\))1292 4251 y Fn(0)1353 4239 y Fr(=)23 b Fm(h)p Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)1669 4223 y(\001)1720 4239 y Fr(1)p Fo(;)14 b Fr(1)p Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1986 4251 y Fn(0)p Fi(;)p Fn(2)2075 4239 y Fm(i)24 b(2)f Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(L)p Fr(\))19 b Fm(^)g(8)p Fo(i)i(<)i Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)2922 4223 y(\001)2973 4239 y Fr(1\(\()p Fo(a)p Fr(\))3155 4251 y Fi(i)p Fn(+1)3290 4239 y Fm(2)3368 4208 y Fa(d)3396 4239 y Fr(TER)3585 4208 y Fa(e)3613 4239 y Fr(\))14 b(])0 4365 y(3.)36 b Fo(a)23 b Fm(2)247 4333 y Fa(d)275 4365 y Fr(PRIM)510 4333 y Fa(e)584 4365 y Fm(,)0 4465 y Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))h Fo(>)e Fr(0)c Fm(^)h(8)p Fo(i)j(<)h Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)804 4448 y(\001)854 4465 y Fr(1\(\()p Fo(a)p Fr(\))1036 4477 y Fi(i)p Fn(+1)1171 4465 y Fm(2)1250 4433 y Fa(d)1277 4465 y Fr(TER)1467 4433 y Fa(e)1494 4465 y Fr(\))c Fm(^)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1727 4477 y Fn(0)1788 4465 y Fr(=)j Fm(h)p Fr(lh)q(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)2104 4448 y(\001)2154 4465 y Fr(1)p Fo(;)14 b Fr(2)p Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2420 4477 y Fn(0)p Fi(;)p Fn(2)2510 4465 y Fm(i)23 b(2)g Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(L)p Fr(\))19 b Fm([)g(f)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()14 b Fl(=)f Fr(\))p Fo(;)h(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(?)p Fr(\))p Fm(g)0 4590 y Fr(4.)36 b Fo(a)23 b Fm(2)247 4559 y Fa(d)275 4590 y Fr(F)n(OR)468 4559 y Fa(e)542 4590 y Fm(,)0 4690 y Fo(a)g Fm(2)145 4658 y Fa(d)173 4690 y Fr(PRIM)408 4658 y Fa(e)454 4690 y Fm(_)0 4790 y Fr([)14 b(lh\()p Fo(a)p Fr(\))24 b(=)e(3)c Fm(^)h Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))567 4802 y Fn(0)628 4790 y Fr(=)j Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1181 4802 y Fn(1)1242 4790 y Fm(2)1320 4758 y Fa(d)1348 4790 y Fr(F)n(OR)1541 4758 y Fa(e)1587 4790 y Fm(^)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1769 4802 y Fn(2)1830 4790 y Fm(2)1908 4758 y Fa(d)1936 4790 y Fr(F)n(OR)2129 4758 y Fa(e)2170 4790 y Fr(])g Fm(_)0 4889 y Fr([)14 b(lh\()p Fo(a)p Fr(\))24 b(=)e(3)c Fm(^)h Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))567 4901 y Fn(0)628 4889 y Fr(=)j Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))18 b Fm(^)h Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1144 4901 y Fn(1)1205 4889 y Fm(2)1283 4858 y Fa(d)1311 4889 y Fr(V)-9 b(AR)1499 4858 y Fa(e)1545 4889 y Fm(^)19 b Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1727 4901 y Fn(2)1787 4889 y Fm(2)1866 4858 y Fa(d)1894 4889 y Fr(F)n(OR)2087 4858 y Fa(e)2128 4889 y Fr(])0 5015 y(5.)36 b(\()p Fo(j;)14 b(a)p Fr(\))24 b Fm(2)383 4983 y Fa(d)410 5015 y Fr(FV)539 4983 y Fa(e)613 5015 y Fm(,)0 5115 y Fo(j)k Fr(=)23 b Fo(a)g Fm(2)295 5083 y Fa(d)323 5115 y Fr(V)-9 b(AR)511 5083 y Fa(e)557 5115 y Fm(_)0 5214 y Fr([)14 b Fo(a)23 b Fm(2)182 5183 y Fa(d)210 5214 y Fr(F)n(OR)403 5183 y Fa(e)449 5214 y Fm([)523 5183 y Fa(d)551 5214 y Fr(TER)740 5183 y Fa(e)786 5214 y Fm(^)c(9)p Fo(i)k(<)f Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)1241 5198 y(\001)1292 5214 y Fr(1\(\()p Fo(j;)14 b Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1577 5226 y Fi(i)p Fn(+1)1690 5214 y Fr(\))23 b Fm(2)1823 5183 y Fa(d)1851 5214 y Fr(FV)1980 5183 y Fa(e)2008 5214 y Fr(\))c Fm(^)f Fr(\(\()p Fo(a)p Fr(\))2272 5226 y Fn(0)2333 5214 y Fr(=)23 b Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))22 b Fm(!)h Fo(j)28 b Fm(6)p Fr(=)23 b(\()p Fo(a)p Fr(\))3036 5226 y Fn(1)3074 5214 y Fr(\))14 b(])0 5340 y(6.)36 b Fo(a)23 b Fm(2)247 5308 y Fa(d)275 5340 y Fr(F)n(OR)452 5304 y Fi(n)509 5308 y Fa(e)583 5340 y Fm(,)46 b Fo(a)23 b Fm(2)857 5308 y Fa(d)885 5340 y Fr(F)n(OR)1078 5308 y Fa(e)1124 5340 y Fm(^)c(8)p Fo(i)j(<)g(a)p Fr(\(\()p Fo(i;)14 b(a)p Fr(\))24 b Fm(2)1735 5308 y Fa(d)1763 5340 y Fr(FV)1892 5308 y Fa(e)1943 5340 y Fm(!)f Fr(1)f Fm(\024)h Fr(\()p Fo(i)p Fr(\))2294 5352 y Fn(0)p Fi(;)p Fn(2)2407 5340 y Fm(\024)g Fo(n)p Fr(\))1908 5539 y(18)p eop %%Page: 19 20 19 19 bop 0 83 a Fr(7.)36 b(\()p Fo(c;)14 b(j;)g(a)p Fr(\))24 b Fm(2)455 51 y Fa(d)483 83 y Fr(SB)600 51 y Fa(e)673 83 y Fm(,)47 b Fo(c)23 b Fm(2)940 51 y Fa(d)968 83 y Fr(TER)1157 51 y Fa(e)1203 83 y Fm(^)c Fo(j)28 b Fm(2)1417 51 y Fa(d)1445 83 y Fr(V)-9 b(AR)1633 51 y Fa(e)1679 83 y Fm(^)19 b Fo(a)k Fm(2)1898 51 y Fa(d)1926 83 y Fr(F)n(OR)2119 51 y Fa(e)2165 83 y Fm(^)0 183 y Fr(\()p Fo(a)g Fm(2)178 151 y Fa(d)205 183 y Fr(PRIM)441 151 y Fa(e)487 183 y Fm(_)0 282 y Fr([)14 b(\()p Fo(a)p Fr(\))145 294 y Fn(0)206 282 y Fr(=)22 b Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(\()p Fo(c;)14 b(j;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))935 294 y Fn(1)973 282 y Fr(\))23 b Fm(2)1107 251 y Fa(d)1134 282 y Fr(SB)1251 251 y Fa(e)1297 282 y Fm(^)c Fr(\()p Fo(c;)14 b(j;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1655 294 y Fn(2)1693 282 y Fr(\))23 b Fm(2)1826 251 y Fa(d)1854 282 y Fr(SB)1971 251 y Fa(e)2012 282 y Fr(])c Fm(_)0 382 y Fr([)14 b(\()p Fo(a)p Fr(\))145 394 y Fn(0)206 382 y Fr(=)22 b Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))18 b Fm(^)h Fr(\()14 b(\()p Fo(j;)g(a)p Fr(\))24 b Fm(2)941 350 y Fa(d)969 382 y Fr(FV)1098 350 y Fa(e)1149 382 y Fm(!)f Fr(\(\()p Fo(a)p Fr(\))1395 394 y Fn(1)1433 382 y Fo(;)14 b(c)p Fr(\))23 b Fm(62)1639 350 y Fa(d)1667 382 y Fr(FV)1796 350 y Fa(e)1842 382 y Fm(^)c Fr(\()p Fo(c;)14 b(j;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2200 394 y Fn(2)2238 382 y Fr(\))23 b Fm(2)2372 350 y Fa(d)2400 382 y Fr(SB)2516 350 y Fa(e)2544 382 y Fr(\)]\).)1172 b Fm(4)0 565 y Fp(De\014nition)59 b Fr(\()p Fg(Sub)23 b Fr(:)g(I)-14 b(N)777 529 y Fn(3)838 565 y Fm(!)23 b Fr(I)-14 b(N\))0 764 y Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)192 776 y Fn(1)230 764 y Fo(;)14 b(c)303 776 y Fn(2)340 764 y Fo(;)g(a)p Fr(\))23 b(:=)586 594 y Fd(8)586 669 y(<)586 818 y(:)674 658 y Fo(c)710 670 y Fn(1)2493 658 y Fr(falls)k Fo(a)c Fr(=)g Fo(c)2857 670 y Fn(2)674 758 y Fo(a)1775 b Fr(falls)27 b Fo(a)c Fr(=)g Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(c)3155 770 y Fn(2)3192 758 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))3337 770 y Fn(2)3374 758 y Fm(i)674 857 y(h)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))814 869 y Fn(0)852 857 y Fo(;)g Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)1081 869 y Fn(1)1118 857 y Fo(;)g(c)1191 869 y Fn(2)1229 857 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1374 869 y Fn(1)1411 857 y Fr(\))p Fo(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)1820 869 y Fn(1)1857 857 y Fo(;)g(c)1930 869 y Fn(2)1968 857 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2113 872 y Fn(lh)o(\()p Fi(a)p Fn(\))p Fj(\000)p Fn(1)2345 857 y Fr(\))p Fm(i)84 b Fr(sonst.)0 1015 y Fp(Lemma)30 b(5.2)0 1114 y Fr(a\))d Fg(Sub)q Fr(\()258 1083 y Fa(d)286 1114 y Fo(t)328 1083 y Fa(e)355 1114 y Fo(;)392 1083 y Fa(d)419 1114 y Fo(x)478 1083 y Fa(e)506 1114 y Fo(;)543 1083 y Fa(d)570 1114 y Fo(E)648 1083 y Fa(e)676 1114 y Fr(\))c(=)819 1083 y Fa(d)846 1114 y Fo(E)907 1126 y Fi(x)950 1114 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))1056 1083 y Fa(e)1139 1114 y Fr(\()p Fo(t)g Fm(2)g Fr(TER)p Fo(;)28 b(x)23 b Fm(2)h Fr(V)-9 b(AR)p Fo(;)28 b(E)g Fm(2)23 b Fr(TER)18 b Fm([)h Fr(F)n(OR\))0 1214 y(b\))28 b(Die)g(F)-7 b(unktion)28 b Fg(Sub)g Fr(ist)g(primitiv)f (rekursiv.)0 1316 y Fg(Bew)n(eis)g(:)0 1415 y Fr(a\))g(Induktion)h(nac) n(h)f(dem)h(Aufbau)g(v)n(on)f Fo(E)5 b Fr(:)37 b(Abk.:)g Fo(\036)p Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))25 b(:=)d Fg(Sub)p Fr(\()2143 1384 y Fa(d)2171 1415 y Fo(t)2213 1384 y Fa(e)2241 1415 y Fo(;)2278 1384 y Fa(d)2305 1415 y Fo(x)2364 1384 y Fa(e)2392 1415 y Fo(;)2429 1384 y Fa(d)2456 1415 y Fo(E)2534 1384 y Fa(e)2562 1415 y Fr(\))0 1515 y(1.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fo(x)p Fr(:)65 b Fo(\036)p Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(=)704 1483 y Fa(d)732 1515 y Fo(t)774 1483 y Fa(e)824 1515 y Fr(=)912 1483 y Fa(d)939 1515 y Fo(E)1000 1527 y Fi(x)1042 1515 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))1148 1483 y Fa(e)1176 1515 y Fr(.)0 1615 y(2.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fo(y)k Fm(6)p Fr(=)d Fo(x)p Fr(:)65 b Fo(\036)p Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(=)f Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))p Fm(i)23 b Fr(=)1260 1583 y Fa(d)1287 1615 y Fo(y)1343 1583 y Fa(e)1393 1615 y Fr(=)1481 1583 y Fa(d)1509 1615 y Fo(E)1570 1627 y Fi(x)1612 1615 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))1718 1583 y Fa(e)1745 1615 y Fr(.)0 1714 y(3.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fo(q)s(E)379 1726 y Fn(1)417 1714 y Fo(:::E)547 1726 y Fi(n)620 1714 y Fr(mit)28 b Fo(q)e Fm(2)e(L)19 b([)f(f)c Fl(=)g Fo(;)g Fm(?)p Fo(;)g Fm(!g)p Fr(:)63 b Fo(\036)p Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(=)f Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(q)s Fr(\))p Fo(;)14 b(\036)p Fr(\()p Fo(E)2278 1726 y Fn(1)2317 1714 y Fr(\))p Fo(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(\036)p Fr(\()p Fo(E)2676 1726 y Fi(n)2722 1714 y Fr(\))p Fm(i)23 b Fr(=)0 1814 y Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fo(q)s Fr(\))p Fo(;)291 1782 y Fa(d)319 1814 y Fr(\()p Fo(E)412 1826 y Fn(1)450 1814 y Fr(\))482 1826 y Fi(x)524 1814 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))630 1782 y Fa(e)658 1814 y Fo(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)842 1782 y Fa(d)870 1814 y Fr(\()p Fo(E)963 1826 y Fi(n)1009 1814 y Fr(\))1041 1826 y Fi(x)1083 1814 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))1189 1782 y Fa(e)1217 1814 y Fm(i)23 b Fr(=)1360 1782 y Fa(d)1387 1814 y Fo(q)s Fr(\()p Fo(E)1520 1826 y Fn(1)1558 1814 y Fr(\))1590 1826 y Fi(x)1632 1814 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))14 b Fo(:)g(:)g(:)g Fr(\()p Fo(E)1944 1826 y Fi(n)1990 1814 y Fr(\))2022 1826 y Fi(x)2064 1814 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))2170 1782 y Fa(e)2221 1814 y Fr(=)2309 1782 y Fa(d)2336 1814 y Fo(E)2397 1826 y Fi(x)2439 1814 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))2545 1782 y Fa(e)2573 1814 y Fr(.)0 1913 y(4.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fm(8)p Fo(y)s(A)27 b Fr(mit)h Fo(y)e Fm(6)p Fr(=)d Fo(x)p Fr(:)65 b Fo(\036)p Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(=)e Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(\036)p Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))p Fo(;)g(\036)p Fr(\()p Fo(A)p Fr(\))p Fm(i)25 b Fr(=)e Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)2300 1882 y Fa(d)2327 1913 y Fo(y)2382 1882 y Fa(e)2410 1913 y Fo(;)2447 1882 y Fa(d)2474 1913 y Fo(A)2536 1925 y Fi(x)2579 1913 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))2685 1882 y Fa(e)2712 1913 y Fm(i)24 b Fr(=)2855 1882 y Fa(d)2883 1913 y Fm(8)p Fo(y)16 b(A)3049 1925 y Fi(x)3091 1913 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))3197 1882 y Fa(e)3248 1913 y Fr(=)3335 1882 y Fa(d)3363 1913 y Fo(E)3424 1925 y Fi(x)3466 1913 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))3572 1882 y Fa(e)3600 1913 y Fr(.)0 2013 y(5.)36 b Fo(E)29 b Fr(=)22 b Fm(8)p Fo(xA)p Fr(:)65 b Fo(\036)p Fr(\()p Fo(E)5 b Fr(\))24 b(=)813 1982 y Fa(d)840 2013 y Fo(E)918 1982 y Fa(e)969 2013 y Fr(=)1056 1982 y Fa(d)1084 2013 y Fo(E)1145 2025 y Fi(x)1187 2013 y Fr(\()p Fo(t)p Fr(\))1293 1982 y Fa(e)1321 2013 y Fr(.)0 2115 y(b\))0 2215 y(Def.:)38 b Fo(g)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(d;)g Fr(0\))22 b(:=)h Fm(h)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))792 2227 y Fn(0)830 2215 y Fm(i)p Fo(;)37 b(g)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(d;)g(m)k Fr(+)g(1\))23 b(:=)g Fo(g)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(d;)g(m)p Fr(\))k Fm(\003)g(h)p Fr(\()p Fo(d)p Fr(\))2098 2230 y Fn(\()p Fi(a)p Fn(\))2186 2238 y Fb(m)p Fc(+1)2317 2215 y Fm(i)0 2316 y Fo(g)30 b Fr(ist)e(prim.)g (rek.)f(und)h Fo(g)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(d;)g(k)s Fr(\))23 b(=)f Fm(h)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1302 2328 y Fn(0)1340 2316 y Fo(;)14 b Fr(\()p Fo(d)p Fr(\))1484 2331 y Fn(\()p Fi(a)p Fn(\))1572 2339 y Fc(1)1609 2316 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g Fr(\()p Fo(d)p Fr(\))1901 2331 y Fn(\()p Fi(a)p Fn(\))1989 2340 y Fb(k)2030 2316 y Fm(i)p Fr(.)0 2445 y(Def.:)0 2624 y Fo(h)p Fr(\()p Fo(c)116 2636 y Fn(1)153 2624 y Fo(;)g(c)226 2636 y Fn(2)263 2624 y Fo(;)g(a;)g(d)p Fr(\))24 b(:=)590 2454 y Fd(8)590 2528 y(<)590 2678 y(:)678 2522 y Fo(c)714 2534 y Fn(1)1317 2522 y Fr(falls)k Fo(a)23 b Fr(=)f Fo(c)1681 2534 y Fn(2)678 2621 y Fo(a)595 b Fr(falls)28 b Fo(a)23 b Fr(=)f Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(c)1979 2633 y Fn(2)2016 2621 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2161 2633 y Fn(2)2199 2621 y Fm(i)678 2721 y Fo(g)s Fr(\()p Fo(a;)g(d;)g Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)1110 2704 y(\001)1161 2721 y Fr(1\))82 b(sonst.)0 2848 y Fo(h)28 b Fr(ist)f(primitiv)h(rekursiv,)e(und)i(im)g (F)-7 b(all)28 b(\\sonst")e(gilt:)0 2947 y Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)192 2959 y Fn(1)230 2947 y Fo(;)14 b(c)303 2959 y Fn(2)340 2947 y Fo(;)g(a)p Fr(\))23 b(=)f Fm(h)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))703 2959 y Fn(0)741 2947 y Fo(;)14 b Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)970 2959 y Fn(1)1008 2947 y Fo(;)g(c)1081 2959 y Fn(2)1118 2947 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1263 2959 y Fn(1)1300 2947 y Fr(\))p Fo(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)1709 2959 y Fn(1)1747 2947 y Fo(;)g(c)1820 2959 y Fn(2)1857 2947 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2002 2962 y Fn(lh\()p Fi(a)p Fn(\))p Fj(\000)p Fn(1)2235 2947 y Fr(\))p Fm(i)23 b Fr(=)0 3059 y Fm(h)p Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))140 3071 y Fn(0)178 3059 y Fo(;)215 2992 y Fd(\000)p 253 2992 125 4 v 67 x Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)445 3071 y Fn(1)482 3059 y Fo(;)14 b(c)555 3071 y Fn(2)593 3059 y Fo(;)g(a)p Fr(\))706 2992 y Fd(\001)744 3093 y Fn(\()p Fi(a)p Fn(\))832 3101 y Fc(1)882 3059 y Fo(;)g(:)g(:)g(:)g(;)1067 2992 y Fd(\000)p 1104 2992 V 1104 3059 a Fg(Sub)q Fr(\()p Fo(c)1297 3071 y Fn(1)1334 3059 y Fo(;)g(c)1407 3071 y Fn(2)1444 3059 y Fo(;)g(a)p Fr(\))1557 2992 y Fd(\001)1595 3093 y Fn(\()p Fi(a)p Fn(\))1683 3104 y Fc(lh\()p Fb(a)p Fc(\))p Fa(\000)p Fc(1)1890 3059 y Fm(i)23 b Fr(=)g Fo(g)s Fr(\()p Fo(a;)p 2189 2992 V 14 w Fg(Sub)o Fr(\()p Fo(c)2380 3071 y Fn(1)2418 3059 y Fo(;)14 b(c)2491 3071 y Fn(2)2528 3059 y Fo(;)g(a)p Fr(\))p Fo(;)g Fr(lh\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(\000)2874 3043 y(\001)2925 3059 y Fr(1\))22 b(=)0 3197 y Fo(h)p Fr(\()p Fo(c)116 3209 y Fn(1)153 3197 y Fo(;)14 b(c)226 3209 y Fn(2)263 3197 y Fo(;)g(a;)p 381 3129 V 14 w Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c)573 3209 y Fn(1)611 3197 y Fo(;)g(c)684 3209 y Fn(2)721 3197 y Fo(;)g(a)p Fr(\)\))p Fo(:)2937 b Fm(4)0 3353 y Fp(De\014nition)0 3452 y Fr(Ist)25 b(\006)f(ein)h(Axiomensystem,)f(so)g(sei)g Fg(Bew)1312 3464 y Fn(\006)1386 3452 y Fr(:=)f Fm(f)p Fr(\()1571 3421 y Fa(d)1598 3452 y Fo(A)1672 3421 y Fa(e)1700 3452 y Fo(;)14 b Fm(h)1769 3421 y Fa(d)1797 3452 y Fo(A)1859 3464 y Fn(0)1908 3421 y Fa(e)1936 3452 y Fo(;)g(:::;)2079 3421 y Fa(d)2106 3452 y Fo(A)2168 3464 y Fi(n)2225 3421 y Fa(e)2253 3452 y Fm(i)p Fr(\))23 b(:)37 b(\()p Fo(A)2494 3464 y Fn(0)2532 3452 y Fo(;)14 b(:::;)g(A)2737 3464 y Fi(n)2783 3452 y Fr(\))28 b(ist)f(Herleitung)h(v)n(on)f Fo(A)h Fr(aus)f(\006)14 b Fm(g)p Fr(.)0 3608 y Fp(Satz)33 b(5.3)0 3708 y Fr(Ist)28 b(\006)f(prim.)h(rek.)f(\(bzw.)h(rek.)f(bzw.)h (rek.)f(aufzb.\),)h(so)f(ist)g(auc)n(h)g Fg(Bew)2202 3720 y Fn(\006)2281 3708 y Fr(prim.)h(rek.)f(\(bzw.)h(rek.)f(bzw.)g (rek.)g(aufzb.\).)0 3810 y Fg(Bew)n(eis)g(:)0 3909 y Fr(\()p Fo(a;)14 b(c)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fg(Bew)425 3921 y Fn(\006)523 3909 y Fm(,)0 4009 y Fr(lh\()p Fo(c)p Fr(\))g Fm(\025)e Fr(1)c Fm(^)h Fo(a)k Fr(=)g(hd\()p Fo(c)p Fr(\))c Fm(^)g(8)p Fo(k)25 b(<)d Fr(lh)q(\()p Fo(c)p Fr(\)[\()p Fo(c)p Fr(\))1349 4021 y Fi(k)1414 4009 y Fm(2)1492 3977 y Fa(d)1520 4009 y Fr(\006)1592 3977 y Fa(e)1637 4009 y Fm([)1711 3977 y Fa(d)1739 4009 y Fr(LogAx)1980 4029 y Fj(8)2033 3977 y Fa(e)2079 4009 y Fm(_)d(9)p Fo(i;)14 b(j)28 b(<)22 b(k)s Fr(\(\()p Fo(c)p Fr(\))2592 4021 y Fi(j)2651 4009 y Fr(=)g Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))p Fo(;)14 b Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))3172 4021 y Fi(i)3201 4009 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))3338 4021 y Fi(k)3379 4009 y Fm(i)p Fr(\)])0 4111 y(Bleibt)28 b(no)r(c)n(h)f(zu)h (zeigen,)f(da\031)g(LogAx)1227 4131 y Fj(8)1296 4111 y Fr(prim.)h(rek.)f(ist.)0 4240 y(HS)h(1:)37 b(Die)28 b(Menge)f(AX)h(aller)f(logisc)n(hen)f(Axiome)h(ist)h(primitiv)g (rekursiv.)0 4342 y(Bew)n(eis:)54 b(Abk.:)38 b(\()p Fo(a)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fo(b)p Fr(\))23 b(:=)g Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))p Fo(;)14 b(a;)g(b)p Fm(i)p Fr(.)0 4441 y(O\013en)n(bar)27 b(gilt:)55 b Fo(k)26 b Fm(2)d Fr(AX)47 b Fm(,)f Fr(\()p Fo(k)26 b Fm(2)1167 4410 y Fa(d)1194 4441 y Fr(F)n(OR)1388 4410 y Fa(e)1443 4441 y Fr(und)i(einer)f(der)g(F\177)-42 b(alle)28 b(1.{9.)e(liegt)i(v)n (or\).)0 4543 y(1.)36 b Fm(9)p Fo(a)24 b(<)e(k)s Fr([)14 b Fo(k)26 b Fr(=)c(\()p Fo(a)31 b Fr(_)-54 b Fm(!)q Fo(a)p Fr(\))14 b(])0 4643 y(2.)36 b Fm(9)p Fo(a;)14 b(b)23 b(<)g(k)s Fr([)14 b Fo(k)25 b Fr(=)e(\()p Fo(a)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fr(\()p Fo(b)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fo(a)p Fr(\)\))14 b(])0 4742 y(3.)36 b Fm(9)p Fo(a;)14 b(b;)g(c)23 b(<)g(k)s Fr([)14 b Fo(k)25 b Fr(=)e(\(\()p Fo(c)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fr(\()p Fo(a)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)q Fo(b)p Fr(\)\))30 b(_)-53 b Fm(!)p Fr(\(\()p Fo(c)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fo(a)p Fr(\))30 b(_)-53 b Fm(!)p Fr(\()p Fo(c)31 b Fr(_)-54 b Fm(!)q Fo(b)p Fr(\)\)\))14 b(])0 4842 y(4.)36 b Fm(9)p Fo(a)24 b(<)e(k)s Fr([)14 b Fo(k)26 b Fr(=)c(\(\(\()p Fo(a)31 b Fr(_)-54 b Fm(!)765 4810 y Fa(d)793 4842 y Fm(?)870 4810 y Fa(e)897 4842 y Fr(\))30 b(_)-53 b Fm(!)1012 4810 y Fa(d)1040 4842 y Fm(?)1117 4810 y Fa(e)1143 4842 y Fr(\))31 b(_)-54 b Fm(!)q Fo(a)p Fr(\))14 b(])0 4941 y(5.)36 b Fm(9)p Fo(a;)14 b(i;)g(c)23 b(<)g(k)s Fr([)14 b Fo(k)25 b Fr(=)e(\()p Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(i;)g(a)p Fm(i)29 b Fr(_)-52 b Fm(!)o Fg(Sub)p Fr(\()p Fo(c;)14 b(i;)g(a)p Fr(\)\))19 b Fm(^)g Fr(\()p Fo(c;)14 b(i;)g(a)p Fr(\))22 b Fm(2)2078 4910 y Fa(d)2106 4941 y Fr(SB)2222 4910 y Fa(e)2250 4941 y Fr(\))14 b(])0 5041 y(6.)36 b Fm(9)p Fo(a;)14 b(b;)g(i)23 b(<)f(k)s Fr([)14 b Fo(k)26 b Fr(=)c(\()p Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(i;)g Fr(\()p Fo(a)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fo(b)p Fr(\))p Fm(i)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fr(\()p Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(i;)g(a)p Fm(i)30 b Fr(_)-53 b Fm(!h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(i;)g(b)p Fm(i)p Fr(\)\))g(])0 5141 y(7.)36 b Fm(9)p Fo(a;)14 b(i)23 b(<)g(k)s Fr([)14 b Fo(k)25 b Fr(=)e(\()p Fo(a)30 b Fr(_)-53 b Fm(!h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))p Fo(;)14 b(i;)g(a)p Fm(i)p Fr(\))k Fm(^)h Fr(\()p Fo(i;)14 b(a)p Fr(\))23 b Fm(62)1605 5109 y Fa(d)1633 5141 y Fr(FV)1762 5109 y Fa(e)1804 5141 y Fr(])0 5240 y(8.)36 b Fm(9)p Fo(c)24 b(<)e(k)s Fr([)14 b Fo(k)26 b Fr(=)c Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()14 b Fl(=)g Fr(\))p Fo(;)g(c;)g(c)p Fm(i)g Fr(])0 5340 y(9.)36 b Fm(9)p Fo(a;)14 b(b;)g(c;)g(d)23 b(<)g(k)s Fr([)14 b Fo(k)25 b Fr(=)e(\()p Fm(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()14 b Fl(=)g Fr(\))p Fo(;)g(a;)g(b)p Fm(i)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fr(\()p Fo(c)30 b Fr(_)-53 b Fm(!)p Fo(d)p Fr(\)\))19 b Fm(^)g Fo(c;)14 b(d)23 b Fm(2)1950 5308 y Fa(d)1977 5340 y Fr(PRIM)2213 5308 y Fa(e)2259 5340 y Fm(^)c Fr(\()p Fo(a;)14 b(b;)g(\031)s Fr(\()p Fo(c;)g(d)p Fr(\)\))23 b Fm(2)h Fo(Q)p Fr(],)1908 5539 y(19)p eop %%Page: 20 21 20 20 bop 0 83 a Fr(w)n(ob)r(ei)55 b(\()p Fo(a;)14 b(b;)g(\031)s Fr(\()p Fo(c;)g(d)p Fr(\)\))24 b Fm(2)f Fo(Q)46 b Fr(:)p Fm(,)g Fo(c)23 b Fr(=)g Fo(d)18 b Fm(_)h Fr([)p Fo(a)k Fr(=)g Fo(c)18 b Fm(^)h Fo(b)k Fr(=)f Fo(d)p Fr(])d Fm(_)0 183 y Fr([lh\()p Fo(c)p Fr(\))24 b(=)e(lh)q(\()p Fo(d)p Fr(\))h Fo(>)g Fr(0)18 b Fm(^)h Fr(\()p Fo(c)p Fr(\))825 195 y Fn(0)886 183 y Fr(=)j(\()p Fo(d)p Fr(\))1080 195 y Fn(0)1137 183 y Fm(^)d(8)p Fo(i)i(<)i Fr(lh\()p Fo(c)p Fr(\))p Fm(\000)1584 166 y(\001)1635 183 y Fr(1\(\()p Fo(a;)14 b(b;)g(\031)s Fr(\(\()p Fo(c)p Fr(\))2077 195 y Fi(i)p Fn(+1)2189 183 y Fo(;)g Fr(\()p Fo(d)p Fr(\))2333 195 y Fi(i)p Fn(+1)2445 183 y Fr(\)\))24 b Fm(2)2611 151 y Fa(d)2639 183 y Fr(SB)2756 151 y Fa(e)2783 183 y Fr(\)].)0 313 y(HS)k(2:)37 b(LogAx)479 333 y Fj(8)548 313 y Fr(ist)28 b(prim.)f(rekursiv.)0 415 y(Bew)n(eis:)36 b Fo(a)23 b Fm(2)451 383 y Fa(d)479 415 y Fr(LogAx)720 435 y Fj(8)773 383 y Fa(e)847 415 y Fm(,)46 b Fo(a)23 b Fm(2)1122 383 y Fa(d)1149 415 y Fr(AX)1285 383 y Fa(e)1331 415 y Fm(_)c Fr(\(lh)q(\()p Fo(a)p Fr(\))k(=)g(3)18 b Fm(^)h Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))1968 427 y Fn(0)2028 415 y Fr(=)k Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(8)p Fr(\))18 b Fm(^)h Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))2545 427 y Fn(1)2605 415 y Fm(2)2684 383 y Fa(d)2711 415 y Fr(V)-9 b(AR)2899 383 y Fa(e)2946 415 y Fm(^)18 b Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))3127 427 y Fn(2)3188 415 y Fm(2)3267 383 y Fa(d)3294 415 y Fr(LogAx)3535 435 y Fj(8)3588 383 y Fa(e)3616 415 y Fr(\).)155 b Fm(4)0 600 y Fp(Satz)33 b(5.4)0 700 y Fr(Ist)28 b(\006)f(ein)h(rekursiv)e (aufz\177)-42 b(ahlbares)26 b(Axiomensystem,)0 800 y(so)h(ist)h(auc)n (h)f(die)g(Menge)h Fm(f)p Fo(A)23 b Fr(:)36 b(\006)24 b Fm(`)e Fo(A)p Fm(g)28 b Fr(aller)e(logisc)n(hen)h(F)-7 b(olgerungen)26 b(aus)h(\006)h(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar.)0 902 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 1002 y Fo(a)c Fm(2)g(f)187 970 y Fa(d)215 1002 y Fo(A)289 970 y Fa(e)339 1002 y Fr(:)37 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fm(g)46 b(,)51 b Fr(Es)26 b(gibt)i(eine)g(Herleitung)f(\()p Fo(A)1800 1014 y Fn(0)1838 1002 y Fo(;)14 b(:::;)g(A)2043 1014 y Fi(n)2088 1002 y Fr(\))28 b(aus)f(\006)h(mit)g Fo(a)23 b Fr(=)2691 970 y Fa(d)2719 1002 y Fo(A)2781 1014 y Fi(n)2838 970 y Fa(e)2916 1002 y Fm(,)46 b(9)p Fo(b)14 b Fr(\()p Fo(a;)g(b)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fg(Bew)3565 1014 y Fn(\006)3617 1002 y Fr(.)186 b Fm(4)0 1159 y Fp(De\014nition)0 1259 y Fr(Eine)27 b(Theorie)g Fo(T)39 b Fr(hei\031t)27 b Ff(rekursiv)f (axiomatisierbar)p Fr(,)0 1358 y(w)n(enn)h(sie)h(ein)g(rekursiv)n(es)d (Axiomensystem)i(b)r(esitzt)i(und)f(L\()p Fo(T)12 b Fr(\))22 b(=)h Fm(L)28 b Fr(ist.)0 1516 y Fp(Lemma)i(5.5)0 1616 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f(Theorie)g Fo(T)39 b Fr(mit)28 b(L\()p Fo(T)12 b Fr(\))23 b(=)f Fm(L)28 b Fr(sind)g(folgende)f(Aussagen)g(\177)-42 b(aquiv)-5 b(alen)n(t:)0 1718 y(\(i\))74 b Fo(T)39 b Fr(ist)28 b(rekursiv)e (aufz\177)-42 b(ahlbar.)0 1818 y(\(ii\))51 b Fo(T)39 b Fr(b)r(esitzt)28 b(ein)g(prim.)g(rekursiv)n(es)d(Axiomensystem.)0 1917 y(\(iii\))j Fo(T)39 b Fr(ist)28 b(rekursiv)e(axiomatisierbar.)0 2020 y Fg(Bew)n(eis)h(:)0 2119 y Fr(\(i\))p Fm(\))p Fr(\(ii\):)38 b(Sei)28 b Fo(f)k Fm(2)23 b Fr(PR)744 2083 y Fn(1)809 2119 y Fr(mit)961 2088 y Fa(d)989 2119 y Fo(T)1060 2088 y Fa(e)1111 2119 y Fr(=)f Fo(f)9 b Fr(\(I)-14 b(N)q(\).)0 2222 y(Def.:)38 b Fo(A)271 2234 y Fi(n)339 2222 y Fr(:=die)28 b(F)-7 b(ormel)27 b(mit)991 2190 y Fa(d)1019 2222 y Fo(A)1081 2234 y Fi(n)1138 2190 y Fa(e)1188 2222 y Fr(=)c Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(n)p Fr(\),)55 b Fo(B)1581 2234 y Fn(0)1642 2222 y Fr(:=)22 b Fo(A)1814 2234 y Fn(0)1852 2222 y Fo(;)37 b(B)1975 2234 y Fi(n)p Fn(+1)2127 2222 y Fr(:=)23 b Fo(B)2301 2234 y Fi(n)2364 2222 y Fm(^)c Fo(A)2500 2234 y Fi(n)p Fn(+1)2630 2222 y Fr(;)55 b(\006)23 b(:=)g Fm(f)p Fo(B)3007 2234 y Fi(n)3075 2222 y Fr(:)37 b Fo(n)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)p Fm(g)0 2324 y Fr(1.)36 b(\006)28 b(ist)g(Axiomensystem)f(v)n(on)g Fo(T)12 b Fr(:)36 b(klar.)0 2424 y(2.)45 b(\006)30 b(ist)h(prim.)g (rek.:)42 b(Wie)30 b(man)h(leic)n(h)n(t)f(sieh)n(t,)h(ist)g(die)f(F)-7 b(unktion)31 b Fo(n)d Fm(7!)2357 2392 y Fa(d)2384 2424 y Fo(B)2447 2436 y Fi(n)2504 2392 y Fa(e)2562 2424 y Fr(prim.)j(rek.,)f(und)h(es)f(gilt)h Fo(n)c(<)3567 2392 y Fa(d)3594 2424 y Fo(B)3657 2436 y Fi(n)3714 2392 y Fa(e)3742 2424 y Fr(,)k(f)r(\177)-44 b(ur)0 2523 y(alle)27 b Fo(n)c Fm(2)h Fr(I)-14 b(N.)37 b(Aus)28 b(letzterem)f(folgt:)h Fo(a)23 b Fm(2)1335 2492 y Fa(d)1363 2523 y Fr(\006)1435 2492 y Fa(e)1485 2523 y Fm(,)g(9)p Fo(n)g(<)g(a)p Fr(\()p Fo(a)g Fr(=)2029 2492 y Fa(d)2056 2523 y Fo(B)2119 2535 y Fi(n)2176 2492 y Fa(e)2204 2523 y Fr(\).)0 2626 y(\(ii\))p Fm(\))p Fr(\(iii\):)38 b(trivial.)55 b(\(iii\))p Fm(\))p Fr(\(i\):)39 b(Satz)27 b(5.4)g(+\\F)n(OR)1651 2589 y Fn(0)1716 2626 y Fr(ist)h(prim.)g(rek.")1593 b Fm(4)0 2783 y Fp(Satz)33 b(5.6)0 2883 y Fr(Jede)27 b(rekursiv)f (axiomatisierbare)f(und)j(v)n(ollst\177)-42 b(andige)26 b(Theorie)h Fo(T)39 b Fr(ist)28 b(rekursiv.)0 2985 y Fg(Bew)n(eis)f(:)0 3085 y Fr(Ist)h Fo(T)38 b Fr(ink)n(onsisten)n(t,)27 b(so)g Fo(T)34 b Fr(=)23 b(F)n(OR)1144 3049 y Fn(0)1181 3085 y Fr(.)37 b(Ist)27 b Fo(T)39 b Fr(k)n(onsisten)n(t,)27 b(so:)36 b Fo(a)23 b Fm(62)2144 3053 y Fa(d)2172 3085 y Fo(T)2244 3053 y Fa(e)2308 3085 y Fm(,)37 b Fr(\()p Fo(a)23 b Fm(62)2606 3053 y Fa(d)2634 3085 y Fr(F)n(OR)2811 3049 y Fn(0)2860 3053 y Fa(e)2906 3085 y Fm(_)c(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))p Fo(;)14 b(a;)3395 3053 y Fa(d)3423 3085 y Fm(?)3500 3053 y Fa(e)3526 3085 y Fm(i)24 b(2)3660 3053 y Fa(d)3688 3085 y Fo(T)3759 3053 y Fa(e)3787 3085 y Fr(\),)0 3185 y(und)k(die)g(Behauptung)f(folgt)h (mit)g(Lemma)f(5.5)g(und)h(Lemma)f(4.14.)1649 b Fm(4)0 3342 y Fp(De\014nition)0 3442 y Fr(Sei)30 b Fm(M)g Fr(eine)g Fm(L)p Fr(-Struktur.)44 b(Eine)30 b(Relation)g Fo(R)e Fm(\022)e(jMj)1760 3412 y Fi(n)1835 3442 y Fr(hei\031t)31 b Ff(in)f Fm(M)g Ff(de\014nierbar)p Fr(,)f(falls)h(es)g(eine)g Fo(n)p Fr(-st.)g(F)-7 b(ormel)30 b Fo(A)g Fr(gibt,)0 3541 y(so)d(da\031)g Fo(R)c Fr(=)g Fm(f)p Fr(\()p Fo(a)551 3553 y Fn(1)588 3541 y Fo(;)14 b(::;)g(a)752 3553 y Fi(n)797 3541 y Fr(\))23 b Fm(2)h(jMj)1077 3511 y Fi(n)1145 3541 y Fr(:)f Fm(M)g(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(a)1540 3553 y Fn(1)1577 3541 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1764 3553 y Fi(n)1809 3541 y Fr(])p Fm(g)p Fr(.)0 3699 y Fg(V)n(ereinba)n(rung)0 3799 y Fr(Im)28 b(folgenden)f(setzen)h(wir)f(v)n(oraus,)f(da\031)g(die) i(F)-7 b(unktionszeic)n(hen)27 b Fp(0)h Fr(und)g Fg(S)f Fr(zu)h Fm(L)g Fr(geh\177)-42 b(oren.)0 3956 y Fp(De\014nition)31 b Fr(der)c(T)-7 b(erme)27 b Fo(n)p 845 3969 50 4 v 37 w Fr(\()p Fo(n)c Fm(2)h Fr(I)-14 b(N\):)65 b(0)p 1314 3969 42 4 v 22 w(:=)23 b Fp(0)p Fo(;)37 b(n)18 b Fr(+)g(1)p 1597 3977 193 4 v 23 w(:=)k Fg(S)p Fo(n)p 1967 3969 50 4 v 55 w Fr(\(Diese)28 b(T)-7 b(erme)28 b(hei\031en)f Ff(Zi\013ern)p Fr(.\))0 4114 y Fg(Bemerkung:)0 4214 y Fr(Ist)38 b Fm(N)50 b Fr(eine)38 b Fm(L)p Fr(-Struktur)g(mit)h Fm(jN)12 b(j)40 b Fr(=)g(I)-14 b(N)q Fo(;)27 b Fp(0)1478 4183 y Fj(N)1585 4214 y Fr(=)40 b(0)p Fo(;)28 b Fg(S)1826 4176 y Fj(N)1894 4214 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))40 b(=)g Fo(a)25 b Fr(+)g(1,)40 b(so)e(gilt)g(f)r(\177)-44 b(ur)38 b(jede)g Fo(n)p Fr(-st.)f(F)-7 b(ormel)38 b Fo(A)g Fr(und)g(alle)0 4313 y Fo(a)44 4325 y Fn(1)81 4313 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)268 4325 y Fi(n)336 4313 y Fm(2)24 b Fr(I)-14 b(N:)55 b Fm(N)36 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(a)901 4325 y Fn(1)938 4313 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1125 4325 y Fi(n)1170 4313 y Fr(])46 b Fm(,)h(N)35 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1707 4325 y Fn(1)p 1663 4339 82 4 v 1745 4313 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)1932 4325 y Fi(n)p 1888 4339 90 4 v 1977 4313 a Fr(\).)0 4482 y Fp(De\014nition)31 b Fr(der)c(F)-7 b(unktion)28 b Fl(s)23 b Fm(2)h Fr(PR)1197 4446 y Fn(2)1234 4482 y Fr(:)65 b Fl(s)p Fr(\()p Fo(a;)14 b(k)s Fr(\))23 b(:=)g Fg(Sub)p Fr(\()1838 4451 y Fa(d)1866 4482 y Fo(k)p 1866 4495 46 4 v 1923 4451 a Fa(e)1951 4482 y Fo(;)1988 4451 y Fa(d)2016 4482 y Fo(v)2056 4494 y Fn(1)2105 4451 y Fa(e)2132 4482 y Fo(;)14 b(a)p Fr(\).)0 4640 y Fp(Satz)33 b(5.7)0 4740 y Fr(Sei)28 b Fm(N)40 b Fr(eine)27 b Fm(L)p Fr(-Struktur)h(mit)g Fm(jN)12 b(j)24 b Fr(=)e(I)-14 b(N)q Fo(;)27 b Fp(0)1403 4709 y Fj(N)1493 4740 y Fr(=)c(0)p Fo(;)k Fg(S)1717 4702 y Fj(N)1784 4740 y Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))d(=)f Fo(a)18 b Fr(+)g(1.)0 4839 y(Sei)28 b(ferner)f(jede)h (prim.)f(rek.)g(Relation)h(in)f Fm(N)40 b Fr(de\014nierbar.)0 4939 y(Dann)28 b(ist)341 4907 y Fa(d)368 4939 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))630 4907 y Fa(e)686 4939 y Fp(nic)m(h)m(t)29 b Fr(in)f Fm(N)40 b Fr(de\014nierbar,)26 b(und)i(damit)g(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))29 b(nic)n(h)n(t)e(rekursiv)g(axiomatisierbar.)0 5041 y Fg(Bew)n(eis)g(:)0 5141 y Fr(V)-7 b(orb)r(emerkung:)0 5240 y(Ist)33 b Fo(M)42 b Fr(eine)34 b(Menge)f(und)h Fo(H)40 b Fr(eine)33 b(F)-7 b(unktion)34 b(mit)g(dom\()p Fo(H)7 b Fr(\))32 b(=)h Fo(M)9 b Fr(,)34 b(so)f(gilt)g Fo(Q)f Fr(:=)h Fm(f)p Fo(u)e Fm(2)i Fo(M)41 b Fr(:)47 b Fo(u)32 b Fm(62)h Fo(H)7 b Fr(\()p Fo(u)p Fr(\))p Fm(g)32 b(62)h Fo(H)7 b Fr(\()p Fo(M)i Fr(\).)0 5340 y(\(Begr)r(\177)-44 b(undung:)36 b(W\177)-42 b(are)27 b Fo(Q)c Fr(=)f Fo(H)7 b Fr(\()p Fo(u)1090 5352 y Fn(0)1127 5340 y Fr(\),)28 b(so)f Fo(u)1360 5352 y Fn(0)1420 5340 y Fm(2)c Fo(H)7 b Fr(\()p Fo(u)1654 5352 y Fn(0)1691 5340 y Fr(\))24 b Fm(,)f Fo(u)1901 5352 y Fn(0)1960 5340 y Fm(2)h Fo(Q)f Fm(,)g Fo(u)2282 5352 y Fn(0)2341 5340 y Fm(62)h Fo(H)7 b Fr(\()p Fo(u)2576 5352 y Fn(0)2613 5340 y Fr(\).)37 b(Widerspruc)n(h.\))1908 5539 y(20)p eop %%Page: 21 22 21 21 bop 0 83 a Fr(Sei)28 b(n)n(un)f Fo(H)j Fr(:)442 51 y Fa(d)470 83 y Fr(F)n(OR)648 47 y Fn(1)696 51 y Fa(e)747 83 y Fm(!)23 b(P)7 b Fr(\(I)-14 b(N)q(\))p Fo(;)28 b(H)7 b Fr(\()1220 51 y Fa(d)1247 83 y Fo(A)1321 51 y Fa(e)1349 83 y Fr(\))23 b(:=)g Fm(f)p Fo(k)i Fm(2)f Fr(I)-14 b(N)23 b(:)37 b Fm(N)e(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(k)p 2159 96 46 4 v 4 w Fr(\))p Fm(g)k Fr(und)h Fo(Q)23 b Fr(:=)g Fm(f)p Fo(a)f Fm(2)2859 51 y Fa(d)2887 83 y Fr(F)n(OR)3065 47 y Fn(1)3114 51 y Fa(e)3164 83 y Fr(:)37 b Fo(a)23 b Fm(62)h Fo(H)7 b Fr(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 183 y(Dann)28 b(gilt)f Fo(Q)c Fm(62)h Fo(H)7 b Fr(\()648 151 y Fa(d)675 183 y Fr(F)n(OR)853 146 y Fn(1)902 151 y Fa(e)929 183 y Fr(\),)28 b(d.h.)g Fo(Q)g Fr(ist)f(nic)n(h)n(t)h(in)g Fm(N)40 b Fr(de\014nierbar.)0 311 y(HS:)28 b(W\177)-42 b(are)383 279 y Fa(d)411 311 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))673 279 y Fa(e)729 311 y Fr(in)27 b Fm(N)41 b Fr(de\014nierbar,)26 b(so)h(auc)n(h)g Fo(Q)p Fr(.)0 410 y(Bew)n(eis:)54 b Ff(Annahme:)38 b Fo(D)29 b Fr(ist)f(1-st.)f(F)-7 b(ormel)27 b(mit)1562 379 y Fa(d)1590 410 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))1852 379 y Fa(e)1903 410 y Fr(=)23 b Fm(f)p Fo(a)f Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)23 b(:)37 b Fm(N)f(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(D)r Fr([)p Fo(a)p Fr(])p Fm(g)p Fr(.)0 512 y(Nac)n(h)k(V)-7 b(oraussetzung)26 b(existiert)h(eine)h(2-st.)f(F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)h Fr(mit)g Fm(N)36 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(A)p Fr([)p Fo(a;)14 b(b)p Fr(])46 b Fm(,)g Fo(a)23 b Fm(2)2705 480 y Fa(d)2733 512 y Fr(F)n(OR)2910 476 y Fn(1)2959 480 y Fa(e)2987 512 y Fr(&)p Fl(s)o Fr(\()p Fo(a;)14 b(a)p Fr(\))24 b(=)e Fo(b)p Fr(.)0 613 y(Es)27 b(folgt:)37 b Fo(a)23 b Fm(2)g Fo(Q)g Fm(,)46 b Fo(a)23 b Fm(2)849 582 y Fa(d)877 613 y Fr(F)n(OR)1054 577 y Fn(1)1103 582 y Fa(e)1149 613 y Fm(^)c Fg(Sub)p Fr(\()1379 582 y Fa(d)1407 613 y Fo(a)p 1407 626 44 4 v 1463 582 a Fa(e)1490 613 y Fo(;)1527 582 y Fa(d)1555 613 y Fo(v)1595 625 y Fn(1)1644 582 y Fa(e)1671 613 y Fo(;)14 b(a)p Fr(\))24 b Fm(62)1886 582 y Fa(d)1914 613 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))2176 582 y Fa(e)575 713 y Fm(,)46 b Fo(a)23 b Fm(2)849 681 y Fa(d)877 713 y Fr(F)n(OR)1054 677 y Fn(1)1103 681 y Fa(e)1149 713 y Fm(^)c Fl(s)p Fr(\()p Fo(a;)14 b(a)p Fr(\))23 b Fm(62)1549 681 y Fa(d)1577 713 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))1839 681 y Fa(e)575 812 y Fm(,)50 b Fr(es)28 b(existiert)f(ein)h Fo(b)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)28 b(mit)g Fm(N)36 b(j)-14 b Fr(=)22 b Fo(A)p Fr([)p Fo(a;)14 b(b)p Fr(])28 b(und)g Fo(b)23 b Fm(62)2412 781 y Fa(d)2440 812 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))2702 781 y Fa(e)575 912 y Fm(,)46 b(N)35 b(j)-14 b Fr(=)37 b Fo(B)t Fr([)p Fo(a)p Fr(],)28 b(w)n(ob)r(ei)f Fo(B)g Fr(:=)c Fm(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(A)p Fr(\()p Fo(v)1818 924 y Fn(1)1856 912 y Fo(;)14 b(y)s Fr(\))k Fm(^)h(:)p Fo(D)r Fr(\()p Fo(y)s Fr(\)\).)0 1040 y(Da)32 b Fo(Q)f Fr(nic)n(h)n(t)g(in)h Fm(N)44 b Fr(de\014nierbar)30 b(ist,)j(folgt)e(aus)g(dem)h(Hilfssatz,)h (da\031)2279 1009 y Fa(d)2306 1040 y Fr(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))2568 1009 y Fa(e)2628 1040 y Fr(nic)n(h)n(t)32 b(in)f Fm(N)44 b Fr(de\014nierbar)31 b(und)h(folglic)n(h)0 1140 y(auc)n(h)27 b(nic)n(h)n(t)h(rekursiv)e(aufz\177)-42 b(ahlbar)26 b(ist.)37 b(Also)27 b(ist)h(Th\()p Fm(N)12 b Fr(\))29 b(nic)n(h)n(t)f(rek.)e(axiomatisierbar.)1007 b Fm(4)0 1295 y Fg(Bemerkung:)p Fr(Seien)28 b Fo(A;)14 b(B)32 b Fr(wie)c(im)g(Bew)n(eis)e(v)n(on)h(Satz)h(5.7,)e(w)n(ob)r(ei)i Fo(D)h Fr(jetzt)g(ab)r(er)e(eine)h(b)r(eliebige)f(1-st.)g(F)-7 b(ormel)27 b(sein)h(darf.)0 1394 y(Sei)g(ferner)f Fo(k)f Fr(:=)551 1363 y Fa(d)579 1394 y Fo(B)658 1363 y Fa(e)685 1394 y Fr(.)56 b(Dann)28 b(gilt:)37 b(\()p Fm(N)e(j)-14 b Fr(=)23 b Fm(:)p Fo(D)r Fr([)p Fl(s)q Fr(\()p Fo(k)s(;)14 b(k)s Fr(\)])23 b Fm(,)g(N)35 b(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(B)t Fr(\()p Fo(k)p 2230 1407 46 4 v 3 w Fr(\)\))29 b(und)2535 1363 y Fa(d)2562 1394 y Fo(B)t Fr(\()p Fo(k)p 2661 1407 V 4 w Fr(\))2752 1363 y Fa(e)2802 1394 y Fr(=)23 b Fg(Sub)p Fr(\()3046 1363 y Fa(d)3074 1394 y Fo(k)p 3074 1407 V 3131 1363 a Fa(e)3159 1394 y Fo(;)3196 1363 y Fa(d)3223 1394 y Fo(v)3263 1406 y Fn(1)3312 1363 y Fa(e)3340 1394 y Fo(;)14 b(k)s Fr(\))23 b(=)g Fl(s)p Fr(\()p Fo(k)s(;)14 b(k)s Fr(\).)0 1494 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(C)h Fr(:=)23 b Fo(B)t Fr(\()p Fo(k)p 459 1507 V 3 w Fr(\))28 b(gilt)f(also:)36 b Fm(N)g(j)-14 b Fr(=)22 b Fo(C)30 b Fm($)23 b(:)p Fo(D)r Fr(\()1464 1462 y Fa(d)1492 1494 y Fo(C)1569 1462 y Fa(e)p 1464 1507 133 4 v 32 x Fr(\).)0 1649 y Fp(De\014nition)0 1748 y Fr(Sei)31 b(\006)h(ein)f(Axiomensystem)g(mit)h Fp(0)p Fo(;)14 b Fg(S)28 b Fm(2)i Fr(L\(\006\).)48 b(Eine)31 b(\()p Fo(n)21 b Fr(+)f(1\)-stellige)31 b(F)-7 b(ormel)31 b Fo(A)g Ff(repr\177)-42 b(asen)n(tiert)30 b(in)h Fr(\006)g(die)h(F)-7 b(unktion)0 1848 y Fo(f)32 b Fr(:)23 b(I)-14 b(N)197 1812 y Fi(n)265 1848 y Fm(!)24 b Fr(I)-14 b(N,)28 b(falls)f(f)r(\177) -44 b(ur)28 b(alle)f Fo(a)1002 1860 y Fn(1)1039 1848 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1226 1860 y Fi(n)1271 1848 y Fo(;)g(b)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)28 b(gilt:)0 1947 y(\(1\))g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(a)260 1959 y Fn(1)297 1947 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)484 1959 y Fi(n)529 1947 y Fr(\))23 b(=)g Fo(b)46 b Fr(=)-14 b Fm(\))45 b Fr(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1228 1959 y Fn(1)p 1184 1973 82 4 v 1266 1947 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)1453 1959 y Fi(n)p 1409 1973 90 4 v 1498 1947 a Fo(;)g(b)p 1535 1960 36 4 v Fr(\))k Fm(^)h(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1956 1959 y Fn(1)p 1912 1973 82 4 v 1993 1947 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)2180 1959 y Fi(n)p 2136 1973 90 4 v 2225 1947 a Fo(;)g(y)s Fr(\))23 b Fm(!)g Fo(b)p 2467 1960 36 4 v 13 w Fl(=)14 b Fo(y)s Fr(\).)0 2047 y(\(2\))28 b Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(a)260 2059 y Fn(1)297 2047 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)484 2059 y Fi(n)529 2047 y Fr(\))23 b Fm(6)p Fr(=)g Fo(b)46 b Fr(=)-14 b Fm(\))45 b Fr(\006)23 b Fm(`)g(:)p Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1283 2059 y Fn(1)p 1239 2073 82 4 v 1321 2047 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)1508 2059 y Fi(n)p 1464 2073 90 4 v 1553 2047 a Fo(;)g(b)p 1590 2060 36 4 v Fr(\).)0 2175 y(\(Gilt)29 b(\006)23 b Fm(`)f(:)p Fr(\()p Fo(b)p 447 2188 V 14 w Fl(=)14 b Fo(c)p 582 2188 V Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(b;)14 b(c)23 b Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)28 b(mit)g Fo(b)23 b Fm(6)p Fr(=)g Fo(c)p Fr(,)k(so)g(folgt)h(\(2\))f(sc)n(hon)g(aus)g (\(1\).\))0 2330 y(Eine)g Fo(n)p Fr(-stellige)g(F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)h Ff(repr\177)-42 b(asen)n(tiert)26 b(in)i Fr(\006)f(die)h(Relation)f Fo(f)32 b Fm(\022)23 b Fr(I)-14 b(N)2291 2294 y Fi(n)2336 2330 y Fr(,)28 b(falls)f(f)r(\177) -44 b(ur)28 b(alle)f Fo(a)2888 2342 y Fn(1)2925 2330 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)3112 2342 y Fi(n)3180 2330 y Fm(2)24 b Fr(I)-14 b(N)28 b(gilt:)0 2430 y(\(1\))g(\()p Fo(a)210 2442 y Fn(1)247 2430 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)434 2442 y Fi(n)479 2430 y Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(R)47 b Fr(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\006)23 b Fm(`)f Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1197 2442 y Fn(1)p 1153 2455 82 4 v 1235 2430 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)1422 2442 y Fi(n)p 1378 2455 90 4 v 1467 2430 a Fr(\).)0 2529 y(\(2\))28 b(\()p Fo(a)210 2541 y Fn(1)247 2529 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)434 2541 y Fi(n)479 2529 y Fr(\))24 b Fm(62)f Fo(R)47 b Fr(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\006)23 b Fm(`)f(:)p Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1252 2541 y Fn(1)p 1208 2555 82 4 v 1291 2529 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)1478 2541 y Fi(n)p 1434 2555 90 4 v 1523 2529 a Fr(\).)0 2684 y Fo(f)32 b Fr(:)23 b(I)-14 b(N)197 2648 y Fi(n)265 2684 y Fm(!)24 b Fr(I)-14 b(N)27 b(\(bzw.)37 b Fo(R)24 b Fm(\022)f Fr(I)-14 b(N)965 2648 y Fi(n)1010 2684 y Fr(\))28 b(hei\031t)f Ff(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar)24 b(in)j Fr(\006,)g(falls)g(es)g(eine)g(L\(\006\)-F) -7 b(ormel)27 b Fo(A)g Fr(gibt,)h(die)f Fo(f)36 b Fr(\(bzw.)h Fo(R)q Fr(\))27 b(in)0 2784 y(\006)h(repr\177)-42 b(asen)n(tiert.)0 2912 y Fo(R)24 b Fm(\022)e Fr(I)-14 b(N)28 b(hei\031t)g Ff(sc)n(h)n(w)n(ac)n(h)e(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar)24 b(in)k Fr(\006,)g(falls)f(es)h(eine)f Fo(n)p Fr(-st.)h(L\(\006\)-F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)h Fr(mit)0 3011 y Fo(R)c Fr(=)e Fm(f)p Fr(\()p Fo(a)292 3023 y Fn(1)329 3011 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)516 3023 y Fi(n)561 3011 y Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(I)-14 b(N)774 2975 y Fi(n)842 3011 y Fr(:)23 b(\006)g Fm(`)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)1183 3023 y Fn(1)p 1139 3037 82 4 v 1220 3011 a Fo(;)14 b(:::;)g(a)1407 3023 y Fi(n)p 1363 3037 90 4 v 1452 3011 a Fr(\))p Fm(g)51 b Fr(gibt.)0 3166 y Fp(Satz)33 b(5.8)27 b Fr(\(Fixpunktlemma\))0 3266 y(Sind)h(alle)f (prim.)h(rek.)f(F)-7 b(unktionen)28 b(in)g(\006)f(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar,)0 3365 y(so)27 b(l\177)-42 b(a\031t)27 b(sic)n(h)g(zu)h(jeder)f(1-stelligen)g(L\(\006\)-F)-7 b(ormel)27 b Fo(D)j Fr(ein)e(L\(\006\)-Satz)f Fo(C)34 b Fr(mit)28 b(\006)23 b Fm(`)37 b Fo(C)29 b Fm($)23 b Fo(D)r Fr(\()2957 3334 y Fa(d)2985 3365 y Fo(C)3062 3334 y Fa(e)p 2957 3378 133 4 v 31 x Fr(\))28 b(angeb)r(en.)0 3467 y Fg(Bew)n(eis:)0 3566 y Fr(Sei)g Fo(A)g Fr(eine)f(2-st.)g (L\(\006\)-F)-7 b(ormel,)28 b(w)n(elc)n(he)e(die)i(F)-7 b(unktion)28 b Fo(a)23 b Fm(7!)g Fl(s)p Fr(\()p Fo(a;)14 b(a)p Fr(\))28 b(in)g(\006)g(repr\177)-42 b(asen)n(tiert,)26 b(und)i(sei)0 3666 y Fo(B)f Fr(:=)c Fm(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(A)p Fr(\()p Fo(v)457 3678 y Fn(1)495 3666 y Fo(;)14 b(y)s Fr(\))k Fm(^)h Fo(D)r Fr(\()p Fo(y)s Fr(\)\).)38 b({)27 b(Dann)h(gilt)f(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(a)c Fm(2)h Fr(I)-14 b(N:)37 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 2237 3679 44 4 v Fr(\))g Fm($)g Fo(D)r Fr(\()p Fl(s)q Fr(\()p Fo(a;)14 b(a)p Fr(\))p 2545 3700 225 4 v(\).)0 3774 y(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(k)d Fr(:=)340 3743 y Fa(d)368 3774 y Fo(B)446 3743 y Fa(e)474 3774 y Fo(;)37 b(C)29 b Fr(:=)23 b Fo(B)t Fr(\()p Fo(k)p 832 3787 46 4 v 3 w Fr(\))28 b(hab)r(en)g(wir)f(au\031erdem)g Fl(s)p Fr(\()p Fo(k)s(;)14 b(k)s Fr(\))23 b(=)2046 3743 y Fa(d)2073 3774 y Fo(B)t Fr(\()p Fo(k)p 2172 3787 V 4 w Fr(\))2263 3743 y Fa(e)2313 3774 y Fr(=)2401 3743 y Fa(d)2428 3774 y Fo(C)2505 3743 y Fa(e)2533 3774 y Fr(.)28 b(Es)f(folgt:)36 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(C)29 b Fm($)23 b Fo(D)r Fr(\()3378 3743 y Fa(d)3406 3774 y Fo(C)3483 3743 y Fa(e)p 3378 3787 133 4 v 31 x Fr(\).)260 b Fm(4)0 3929 y Fp(Satz)33 b(5.9)0 4029 y Fr(Jede)43 b(k)n(onsisten)n(te)g (Theorie)g Fo(T)12 b Fr(,)47 b(in)d(der)g(alle)f(rekursiv)n(en)f(F)-7 b(unktionen)44 b(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar)41 b(sind,)48 b(ist)c(unen)n(tsc)n(heidbar)0 4128 y(\(d.h.)28 b(nic)n(h)n(t)g (rekursiv\).)0 4230 y Fg(Bew)n(eis)f(:)0 4329 y Fr(Annahme:)37 b Fo(T)i Fr(rekursiv.)0 4429 y(Dann)28 b(ist)g(die)g(c)n (harakteristisc)n(he)e(F)-7 b(unktion)28 b Fp(1)1509 4432 y Fa(d)1536 4454 y Fi(T)1594 4432 y Fa(e)1654 4429 y Fr(in)g Fo(T)39 b Fr(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar.)35 b(Es)27 b(gibt)h(daher)f(eine)h(1-st.)f(L\()p Fo(T)12 b Fr(\)-F)-7 b(ormel)27 b Fo(D)r Fr(,)0 4529 y(so)g(da\031)g(f)r(\177) -44 b(ur)27 b(jeden)i(Satz)e Fo(A)h Fr(gilt:)0 4628 y(\(1\))g Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(T)58 b Fm(\))46 b Fo(T)34 b Fm(`)23 b Fo(D)r Fr(\()793 4597 y Fa(d)821 4628 y Fo(A)895 4597 y Fa(e)p 793 4641 130 4 v 922 4628 a Fr(\),)84 b(\(2\))27 b Fo(A)d Fm(62)f Fo(T)57 b Fm(\))46 b Fo(T)34 b Fm(`)23 b(:)p Fo(D)r Fr(\()1908 4597 y Fa(d)1937 4628 y Fo(A)2011 4597 y Fa(e)p 1908 4641 V 2038 4628 a Fr(\).)0 4756 y(Nac)n(h)k(dem)h (Fixpunktlemma)g(existiert)f(ein)h(L\()p Fo(T)12 b Fr(\)-Satz)27 b Fo(C)34 b Fr(mit)56 b(\(3\))27 b Fo(T)34 b Fm(`)23 b Fo(C)30 b Fm($)23 b(:)p Fo(D)r Fr(\()2755 4725 y Fa(d)2783 4756 y Fo(C)2860 4725 y Fa(e)p 2755 4769 133 4 v 31 x Fr(\).)0 4885 y(Aus)28 b(\(1\),\(2\),\(3\))g(folgt)f(n)n(un)h(\()p Fo(C)i Fm(2)23 b Fo(T)48 b Fm(\))37 b Fo(T)d Fm(`)23 b(?)p Fr(\))k(und)h(\()p Fo(C)i Fm(62)23 b Fo(T)48 b Fm(\))37 b Fo(C)30 b Fm(2)23 b Fo(T)12 b Fr(\),)27 b(also)g Fo(T)34 b Fm(`)23 b(?)p Fr(.)36 b Ff(Widerspruc)n(h.)387 b Fm(4)0 5039 y Fp(Satz)33 b(5.10)26 b Fr(\(1.)i(G\177)-42 b(odelsc)n(her)26 b(Un)n(v)n(ollst\177)-42 b(andigk)n(eitssatz\))0 5139 y(Jede)21 b(k)n(onsisten)n(te,)g(rekursiv)e(axiomatisierbare)g (Theorie)h Fo(T)12 b Fr(,)21 b(in)g(der)g(alle)f(rekursiv)n(en)g(F)-7 b(unktionen)21 b(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar)18 b(sind,)0 5239 y(ist)28 b(un)n(v)n(ollst\177)-42 b(andig.)0 5340 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)37 b Fr(Die)28 b(Behauptung)f(folgt)h(aus)f(den)h (S\177)-42 b(atzen)27 b(5.6,)g(5.9.)1908 5539 y(21)p eop %%Page: 22 23 22 22 bop 0 83 a Fq(6)75 b(Repr)o(\177)-55 b(asen)m(tierbark)m(eit)0 282 y Fp(Induktiv)m(e)33 b(De\014nition)26 b Fr(v)n(on)h(Mengen)h(REK) 1525 246 y Fi(n)1598 282 y Fo(n)p Fr(-stelliger)e(F)-7 b(unktionen)0 382 y(1.)36 b Fp(0)149 352 y Fi(n)194 382 y Fo(;)14 b Fg(I)255 345 y Fi(n)255 402 y(i)323 382 y Fm(2)23 b Fr(REK)584 346 y Fi(n)629 382 y Fo(;)60 b Fg(S)23 b Fm(2)g Fr(REK)1039 346 y Fn(1)1077 382 y Fo(;)60 b Fr(+)p Fo(;)14 b Fm(\001)p Fo(;)g Fp(1)1370 394 y Fi(<)1448 382 y Fm(2)23 b Fr(REK)1708 346 y Fn(2)1746 382 y Fr(.)0 482 y(2.)36 b Fo(h)23 b Fm(2)h Fr(REK)433 445 y Fi(m)542 482 y Fr(&)46 b Fo(g)693 494 y Fn(1)730 482 y Fo(;)14 b(:::;)g(g)913 494 y Fi(m)998 482 y Fm(2)24 b Fr(REK)1259 445 y Fi(m)1368 482 y Fr(&)46 b Fo(m;)14 b(n)23 b Fm(\025)f Fr(1)46 b(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\()p Fm(\016)p Fo(hg)2179 494 y Fn(1)2215 482 y Fo(:::g)2324 494 y Fi(m)2387 482 y Fr(\))23 b Fm(2)h Fr(REK)2703 445 y Fi(n)2748 482 y Fr(.)0 581 y(3.)36 b Fo(g)26 b Fm(2)e Fr(REK)428 545 y Fi(n)p Fn(+1)603 581 y Fr(&)46 b Fm(8)-5 b Fo(~)-37 b(a)22 b Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)984 545 y Fi(n)1029 581 y Fm(9)p Fo(i)p Fr([)p Fo(g)s Fr(\()-5 b Fo(~)-37 b(a)o(;)14 b(i)p Fr(\))23 b(=)g(0])46 b(&)f Fo(n)23 b Fm(\025)g Fr(1)45 b(=)-14 b Fm(\))46 b Fr(\()p Fo(\026g)s Fr(\))24 b Fm(2)f Fr(REK)2544 545 y Fi(n)2589 581 y Fr(.)0 731 y Fg(Abk.:)37 b Fr(REK)22 b(:=)528 668 y Fd(S)597 756 y Fi(n)p Fj(2)p Fn(I)-11 b(N)762 731 y Fr(REK)944 694 y Fi(n)0 880 y Fr(Im)22 b(folgenden)f(wird)g(gezeigt,)h(da\031)f(REK)g (abgesc)n(hlossen)e(un)n(ter)i(primitiv)n(er)g(Rekursion)g(und)h(damit) g(\(nac)n(h)f(Lemma)g(4.15\))0 980 y(gleic)n(h)27 b(der)g(Menge)g (aller)g(rekursiv)n(en)f(F)-7 b(unktionen)28 b(ist.)0 1129 y Fg(Abk\177)-40 b(urzung:)38 b Fr(Rest)574 1093 y Fi(a)574 1150 y(b)614 1129 y Fr(\()p Fo(i)p Fr(\))23 b(:=)46 b(Rest)28 b(v)n(on)f Fo(a)g Fr(b)r(ei)h(Division)g(durc)n(h)f Fo(b)p Fr(\()p Fo(i)18 b Fr(+)g(1\))g(+)g(1)0 1279 y Fp(Lemma)30 b(6.1)0 1378 y Fr(Die)e(F)-7 b(unktionen)28 b Fo(\031)s(;)14 b(\031)722 1390 y Fn(1)760 1378 y Fo(;)g(\031)844 1390 y Fn(2)881 1378 y Fo(;)g Fm(\000)937 1362 y(\001)1015 1378 y Fr(und)28 b(\()p Fo(a;)14 b(b;)g(i)p Fr(\))23 b Fm(7!)g Fr(Rest)1720 1342 y Fi(a)1720 1399 y(b)1760 1378 y Fr(\()p Fo(i)p Fr(\))28 b(geh\177)-42 b(oren)26 b(zu)i(REK)o(.)0 1478 y Fg(Bew)n(eis)f(:)0 1577 y Fr(1.)36 b Fo(\031)s Fr(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))24 b(=)e Fo(b)d Fr(+)581 1515 y Fd(P)668 1602 y Fi(i)h Fr(0)k(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(i)c(<)f(k)s Fr(.)0 1602 y(Wir)28 b(erhalten:)0 1702 y(\(1\))g Fm(`)23 b Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 307 1715 44 4 v(;)14 b(k)p 388 1715 46 4 v 3 w(;)g(y)s Fr(\))23 b Fm(!)g Fo(y)16 b Fl(=)e Fp(0)0 1801 y Fr(\(2\))28 b Fm(`)23 b Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 307 1814 44 4 v(;)14 b(i)p 388 1814 29 4 v -1 w(;)g(y)s Fr(\))23 b Fm(!)g(:)p Fr(\()p Fo(y)18 b Fl(=)13 b Fp(0)p Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(i)23 b Fr(=)f(0)p Fo(;)14 b(:::;)g(k)21 b Fm(\000)d Fr(1)110 b([)28 b(\(X1\))g(])0 1901 y(\(3\))g Fm(`)23 b(:)p Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 362 1914 44 4 v(;)14 b(i)p 443 1914 29 4 v(;)g Fp(0)p Fr(\),)27 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(i)23 b Fr(=)f(0)p Fo(;)14 b(:::;)g(k)21 b Fm(\000)d Fr(1)110 b([)28 b(\(2\))g(])0 2001 y(\(4\))g Fm(`)23 b Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(k)p 401 2014 46 4 v 2 w Fr(\))24 b Fm(!)f(:)p Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 762 2014 44 4 v 1 w(;)14 b(x;)g Fp(0)p Fr(\))111 b([)27 b(\(3\),)h(HS)g(1d) f(])0 2100 y(\(5\))h Fm(`)23 b Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 307 2113 V(;)14 b(x;)g Fp(0)p Fr(\))23 b Fm(!)g(:)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(k)p 929 2113 46 4 v 4 w Fr(\))0 2200 y(\(6\))28 b Fm(`)23 b(:9)p Fo(y)s Fr(\()p Fm(:)p Fr(\()p Fp(0)14 b Fl(=)g Fo(y)s Fr(\))k Fm(^)h Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 886 2213 44 4 v 1 w(;)14 b(k)p 968 2213 46 4 v 2 w(;)g(y)s Fr(\)\))84 b([)27 b(\(1\))h(])0 2300 y(\(7\))g Fm(`)23 b(8)p Fo(x)p Fr([)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(v)558 2312 y Fn(2)595 2300 y Fr(\))23 b Fm(!)g(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fm(:)p Fr(\()p Fo(y)17 b Fl(=)d Fp(0)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 1380 2313 44 4 v(;)14 b(x;)g(y)s Fr(\)\)])24 b Fm(!)f(:)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(k)p 1970 2313 46 4 v 3 w(;)14 b(v)2093 2312 y Fn(2)2130 2300 y Fr(\))83 b([)28 b(\(6\))g(])0 2399 y(\(8\))g Fm(`)23 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)p 302 2412 44 4 v(;)14 b(v)423 2411 y Fn(2)460 2399 y Fr(\))24 b Fm(!)f(:)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(v)826 2411 y Fn(2)863 2399 y Fo(;)14 b(k)p 900 2412 46 4 v 3 w Fr(\))19 b Fm(^)g(:)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(k)p 1235 2412 V 3 w(;)14 b(v)1358 2411 y Fn(2)1395 2399 y Fr(\))111 b([)28 b(\(5\),\(7\))g(])0 2499 y(\(9\))g Fm(`)23 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)p 302 2512 44 4 v(;)14 b(v)423 2511 y Fn(2)460 2499 y Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(k)p 622 2512 46 4 v 16 w Fl(=)14 b Fo(v)806 2511 y Fn(2)927 2499 y Fr([)28 b(\(8\),\(X3c\)])0 2627 y(F)-7 b(erner:)0 2727 y(\(10\))27 b Fm(`)c Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 348 2740 44 4 v(;)14 b(k)p 429 2740 46 4 v 3 w(;)g Fp(0)p Fr(\))0 2827 y(\(11\))27 b Fm(`)c(:)p Fr(\()p Fo(c)372 2839 y Fi(i)p 336 2852 64 4 v 414 2827 a Fl(=)14 b Fp(0)p Fr(\))k Fm(^)h Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 770 2840 44 4 v 1 w(;)14 b(i)p 852 2840 29 4 v -1 w(;)g(c)953 2839 y Fi(i)p 917 2852 64 4 v 981 2827 a Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b Fo(i)c Fr(=)g(0)p Fo(;)14 b(:::;)g(k)20 b Fm(\000)e Fr(1)0 2926 y(\(12\))27 b Fm(`)c(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fm(:)p Fr(\()p Fo(y)17 b Fl(=)d Fp(0)p Fr(\))19 b Fm(^)f Fo(B)t Fr(\()p Fo(a)p 872 2939 44 4 v 1 w(;)c(i)p 954 2939 29 4 v -1 w(;)g(y)s Fr(\)\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(i)22 b Fr(=)h(0)p Fo(;)14 b(:::;)g(k)21 b Fm(\000)d Fr(1)0 3026 y(\(13\))27 b Fm(`)c Fo(A)p Fr(\()p Fo(a)p 343 3039 44 4 v 1 w(;)14 b(k)p 425 3039 46 4 v 2 w Fr(\).)3301 b Fm(4)0 3182 y Fp(Satz)33 b(6.5)0 3281 y Fr(Sei)28 b(\006)f(ein)h (Axiomensystem)f(mit)i Fp(0)p Fo(;)14 b Fg(S)22 b Fm(2)i Fr(L\(\006\).)0 3381 y(Seien)k(ferner)f Fo(N)36 b Fr(eine)28 b(1-stellige,)e Fo(K)33 b Fr(eine)28 b(2-stellige)e(und)j Fg(Add)p Fo(;)e Fg(Mult)h Fr(3-stellige)f(L\(\006\)-F)-7 b(ormeln,)27 b(so)g(da\031)g(gilt:)0 3480 y(\(1\))h(\006)23 b Fm(`)g Fo(N)9 b Fr(\()p Fp(0)p Fr(\))18 b Fm(^)h(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(N)9 b Fr(\()p Fg(S)p Fo(x)p Fr(\)\),)0 3580 y(\(2\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x)f Fm(2)i Fo(N)9 b Fm(:)p Fr(\()p Fg(S)p Fo(x)14 b Fl(=)g Fp(0)p Fr(\))32 b Fm(^)h(8)p Fo(x;)14 b(y)25 b Fm(2)f Fo(N)9 b Fr(\()p Fg(S)o Fo(x)14 b Fl(=)h Fg(S)o Fo(y)26 b Fm(!)d Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(y)s Fr(\),)0 3680 y(\(3\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x)f Fm(2)i Fo(N)e Fg(Add)p Fr(\()p Fo(x;)14 b Fp(0)p Fo(;)g(x)p Fr(\))20 b Fm(^)f(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)25 b Fm(2)e Fo(N)9 b Fr(\()p Fg(Add)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)t Fr(\))23 b Fm(!)g Fg(Add)p Fr(\()p Fo(x;)14 b Fg(S)q Fo(y)s(;)g Fg(S)o Fo(z)t Fr(\)\),)0 3779 y(\(4\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)542 3791 y Fn(0)577 3779 y Fo(;)g(z)653 3791 y Fn(1)713 3779 y Fm(2)24 b Fo(N)9 b Fr(\()p Fg(Add)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)1269 3791 y Fn(0)1306 3779 y Fr(\))19 b Fm(^)f Fg(Add)p Fr(\()p Fo(x;)c(y)s(;)g(z)1799 3791 y Fn(1)1837 3779 y Fr(\))23 b Fm(!)g Fo(z)2037 3791 y Fn(0)2088 3779 y Fl(=)14 b Fo(z)2212 3791 y Fn(1)2248 3779 y Fr(\),)0 3879 y(\(5\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x)f Fm(2)i Fo(N)e Fg(Mult)q Fr(\()p Fo(x;)14 b Fp(0)p Fo(;)g Fp(0)p Fr(\))k Fm(^)h(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)t(;)g(v)25 b Fm(2)e Fo(N)9 b Fr(\()p Fg(Mult)q Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)t Fr(\))k Fm(^)h Fg(Add)p Fr(\()p Fo(z)t(;)14 b(x;)g(v)s Fr(\))23 b Fm(!)g Fg(Mult)q Fr(\()p Fo(x;)14 b Fg(S)p Fo(y)s(;)g(v)s Fr(\)\),)0 3979 y(\(6\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)542 3991 y Fn(0)577 3979 y Fo(;)g(z)653 3991 y Fn(1)713 3979 y Fm(2)24 b Fo(N)9 b Fr(\()p Fg(Mult)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)1292 3991 y Fn(0)1329 3979 y Fr(\))19 b Fm(^)g Fg(Mult)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)1846 3991 y Fn(1)1883 3979 y Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(z)2084 3991 y Fn(0)2134 3979 y Fl(=)14 b Fo(z)2258 3991 y Fn(1)2295 3979 y Fr(\),)0 4078 y(\(7\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x)f Fm(2)i Fo(N)e Fm(:)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b Fp(0)p Fr(\),)0 4178 y(\(8\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x;)14 b(y)25 b Fm(2)e Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(K)d Fr(\()p Fo(x;)14 b Fg(S)p Fo(y)s Fr(\))23 b Fm($)g Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(y)22 b Fm(_)c Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fr(\)\),)0 4277 y(\(9\))28 b(\006)23 b Fm(`)g(8)p Fo(x;)14 b(y)25 b Fm(2)e Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(K)d Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fr(\))19 b Fm(_)g Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(y)21 b Fm(_)e Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(y)s(;)14 b(x)p Fr(\)\).)0 4379 y(\(Dab)r(ei)28 b(sei)g Fm(8)p Fo(x)488 4391 y Fn(1)524 4379 y Fo(;)14 b(:::;)g(x)714 4391 y Fi(n)783 4379 y Fm(2)24 b Fo(N)e(A)h Fr(:=)g Fm(8)p Fo(x)1241 4391 y Fn(1)1278 4379 y Fo(:::)p Fm(8)p Fo(x)1441 4391 y Fi(n)1486 4379 y Fr(\()p Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)1673 4391 y Fn(1)1711 4379 y Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(:::)f Fm(^)h Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)2152 4391 y Fi(n)2198 4379 y Fr(\))37 b Fm(!)23 b Fo(A)p Fr(\).\))0 4508 y(Dann)28 b(ist)g(jede)g(rekursiv)n (e)d(F)-7 b(unktion)28 b(in)g(\006)g(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar.)0 4609 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 4709 y Fr(Wir)h(zeigen,)f(da\031)g(\006)g (die)h(V)-7 b(oraussetzungen)26 b(\(X1\){\(X3\))i(v)n(on)f(Satz)g(6.4)g (erf)r(\177)-44 b(ullt.)37 b(|)28 b(Abk.:)37 b Fm(`)23 b Fo(A)46 b Fr(:)p Fm(,)h Fr(\006)23 b Fm(`)f Fo(A)p Fr(.)0 4838 y(Aus)28 b(\(1\))g(folgt:)0 4937 y(\(10\))f Fm(`)c Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(a)p 357 4950 44 4 v Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(a)c Fm(2)g Fr(I)-14 b(N)q(.)0 5039 y(Aus)28 b(\(2\))g(und)g(\(10\))f(folgt)g(\(X1\))h(und)g (w)n(eiter:)0 5139 y(\(11\))f Fm(`)c(:)p Fr(\()p Fo(a)p 336 5152 V 14 w Fl(=)14 b Fo(b)p 479 5152 36 4 v Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(a;)14 b(b)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N)28 b(mit)g Fo(a)23 b Fm(6)p Fr(=)f Fo(b)p Fr(.)0 5240 y(Aus)28 b(\(3\))g(und)g(\(10\))f(erh\177)-42 b(alt)27 b(man)g(durc)n(h)h(Induktion)f(nac)n(h)g Fo(b)p Fr(:)0 5340 y(\(12\))g Fm(`)c Fg(Add)p Fr(\()p Fo(a)p 414 5353 44 4 v(;)14 b(b)p 495 5353 36 4 v(;)g(a)k Fr(+)g Fo(b)p 568 5360 181 4 v Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)h Fo(a;)14 b(b)22 b Fm(2)i Fr(I)-14 b(N.)1908 5539 y(24)p eop %%Page: 25 26 25 25 bop 0 83 a Fr(Aus)28 b(\(12\))f(und)h(\(4\))g(folgt:)0 183 y Fm(`)23 b Fg(Add)p Fr(\()p Fo(a)p 239 196 44 4 v(;)14 b(b)p 320 196 36 4 v(;)g(z)t Fr(\))22 b Fm(!)h Fo(a)18 b Fr(+)h Fo(b)p 596 203 181 4 v 13 w Fl(=)14 b Fo(z)t Fr(.)0 282 y(Nac)n(h)27 b(\(11\),\(12\),\(13\))g(ist)h(+)f (repr\177)-42 b(asen)n(tierbar)24 b(in)k(\006.)37 b(Die)28 b(Repr\177)-42 b(asen)n(tierbark)n(eit)25 b(v)n(on)i Fm(\001)h Fr(erh\177)-42 b(alt)27 b(man)g(analog.)0 403 y(Sei)h Fo(K)211 373 y Fj(0)257 403 y Fr(:=)22 b Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(v)515 415 y Fn(2)553 403 y Fr(\))23 b Fm(!)37 b Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(v)876 415 y Fn(1)914 403 y Fr(\))18 b Fm(^)h Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(v)1187 415 y Fn(1)1224 403 y Fo(;)14 b(v)1301 415 y Fn(2)1339 403 y Fr(\).)0 502 y(Nac)n(h)27 b(\(1\))h(gilt)g(o\013en)n(bar:)0 602 y(\(14\))f Fm(`)c Fo(K)326 572 y Fj(0)349 602 y Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 465 615 44 4 v Fr(\))24 b Fm($)f Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 1144 615 V Fr(\),)55 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(a)c Fm(2)h Fr(I)-14 b(N.)0 702 y(Aus)28 b(\(7\))g(folgt)f Fm(`)c Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)f(:)p Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b Fp(0)p Fr(\))28 b(und)g(w)n(eiter)f([mit)h (\(14\)])55 b Fm(`)23 b(:)p Fo(K)2261 672 y Fj(0)2284 702 y Fr(\()p Fo(x;)14 b Fp(0)p Fr(\).)0 801 y(Aus)28 b(\(8\))g(und)g(\(10\))f(folgt)g Fm(`)c Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b Fg(S)p Fo(a)p 1426 814 V Fr(\))37 b Fm($)g Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(a)p 1805 814 V 18 w Fm(_)19 b Fr(\()p Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))20 b Fm(^)f Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 2447 814 V Fr(\)\),)28 b(und)g(daraus)e([mit)i(\(14\)])0 901 y Fm(`)23 b Fo(K)151 871 y Fj(0)174 901 y Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 290 914 V Fr(\))23 b Fm($)g Fo(x)14 b Fl(=)h Fo(a)p 642 914 V 18 w Fm(_)k Fo(K)855 871 y Fj(0)878 901 y Fr(\()p Fo(x;)14 b Fg(S)p Fo(a)p 1038 914 V Fr(\).)0 1001 y(Aus)28 b(\(9\))g(und)g(\(10\))f(folgt)g Fm(`)c Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)37 b Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 1433 1014 V Fr(\))19 b Fm(_)f Fo(x)c Fl(=)h Fo(a)p 1748 1014 V 18 w Fm(_)k Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(a)p 1993 1014 V -1 w(;)14 b(x)p Fr(\),)29 b(und)f(daraus)0 1100 y Fm(`)23 b Fr(\()p Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 579 1113 V Fr(\)\))19 b Fm(_)g Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(a)p 926 1113 V 18 w Fm(_)19 b Fr(\()p Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)37 b Fo(N)9 b Fr(\()p Fo(a)p 1533 1113 V Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(K)6 b Fr(\()p Fo(a)p 1811 1113 V -1 w(;)14 b(x)p Fr(\)\),)29 b(d.h.)37 b Fm(`)23 b Fo(K)2380 1070 y Fj(0)2403 1100 y Fr(\()p Fo(x;)14 b(a)p 2519 1113 V Fr(\))19 b Fm(_)g Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(a)p 2834 1113 V 18 w Fm(_)19 b Fo(K)3047 1070 y Fj(0)3070 1100 y Fr(\()p Fo(a)p 3102 1113 V(;)14 b(x)p Fr(\).)541 b Fm(4)0 1283 y Fp(Das)32 b(Axiomensystem)c Fe(Z)931 1295 y Fn(0)0 1404 y Fr(\()p Fe(Z)83 1416 y Fn(0)120 1404 y Fr(1\))46 b Fm(8)p Fo(x)14 b Fm(:)p Fr(\()p Fg(S)p Fo(x)g Fl(=)g Fp(0)p Fr(\))19 b Fm(^)f(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fg(S)o Fo(x)c Fl(=)g Fg(S)p Fo(y)26 b Fm(!)d Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(y)s Fr(\))0 1503 y(\()p Fe(Z)83 1515 y Fn(0)120 1503 y Fr(2\))46 b Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)19 b Fr(+)f Fp(0)c Fl(=)f Fo(x)p Fr(\))20 b Fm(^)e(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(x)g Fr(+)g Fg(S)p Fo(y)e Fl(=)e Fg(S)p Fr(\()p Fo(x)19 b Fr(+)f Fo(y)s Fr(\)\))0 1603 y(\()p Fe(Z)83 1615 y Fn(0)120 1603 y Fr(3\))46 b Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)19 b Fm(\001)f Fp(0)c Fl(=)g Fp(0)p Fr(\))k Fm(^)h(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(x)f Fm(\001)g Fg(S)p Fo(y)f Fl(=)c Fr(\()p Fo(x)20 b Fm(\001)e Fo(y)s Fr(\))h(+)f Fo(x)p Fr(\)\))0 1703 y(\()p Fe(Z)83 1715 y Fn(0)120 1703 y Fr(4\))46 b Fm(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fm(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(x)17 b Fr(+)h Fg(S)p Fo(z)f Fl(=)d Fo(y)s Fr(\))19 b Fm(_)f Fo(x)c Fl(=)h Fo(y)21 b Fm(_)e(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(y)h Fr(+)e Fg(S)p Fo(z)f Fl(=)d Fo(x)p Fr(\)\))0 1823 y(Das)27 b(Axiomensystem)h Fe(Z)814 1835 y Fn(0)879 1823 y Fr(ist)g(o\013en)n(bar)e(k)n(onsisten)n (t.)0 1964 y Fp(Satz)33 b(6.6)0 2064 y Fr(Ist)28 b Fo(T)38 b Fr(eine)28 b(Theorie)f(mit)h Fe(Z)889 2076 y Fn(0)949 2064 y Fm(\022)23 b Fo(T)12 b Fr(,)26 b(so)h(sind)h(alle)f(rekursiv)n (en)f(F)-7 b(unktionen)28 b(und)g(Relationen)f(in)h Fo(T)39 b Fr(repr\177)-42 b(asen)n(tierbar.)0 2164 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 2263 y Fr(Abk.:)43 b Fo(N)37 b Fr(:=)28 b(\()p Fo(v)533 2275 y Fn(1)585 2263 y Fl(=)14 b Fo(v)710 2275 y Fn(1)747 2263 y Fr(\))p Fo(;)43 b Fg(Add)28 b Fr(:=)g(\()p Fo(v)1194 2275 y Fn(1)1252 2263 y Fr(+)20 b Fo(v)1377 2275 y Fn(2)1428 2263 y Fl(=)14 b Fo(v)1553 2275 y Fn(3)1591 2263 y Fr(\))p Fo(;)42 b Fg(Mult)29 b Fr(:=)e(\()p Fo(v)2060 2275 y Fn(1)2119 2263 y Fm(\001)20 b Fo(v)2202 2275 y Fn(2)2254 2263 y Fl(=)14 b Fo(v)2379 2275 y Fn(3)2416 2263 y Fr(\))p Fo(;)42 b(K)34 b Fr(:=)28 b Fm(9)p Fo(v)2820 2275 y Fn(3)2857 2263 y Fr(\()p Fo(v)2929 2275 y Fn(1)2988 2263 y Fr(+)20 b Fg(S)p Fo(v)3157 2275 y Fn(3)3208 2263 y Fl(=)14 b Fo(v)3333 2275 y Fn(2)3370 2263 y Fr(\).)47 b(Man)30 b(hat)h(zu)0 2363 y(zeigen,)c(da\031)f Fe(Z)479 2375 y Fn(0)543 2363 y Fr(zusammen)h(mit)h(den)g(so)r(eb)r(en)f (de\014nierten)g(F)-7 b(ormeln)27 b Fo(N)t(;)h Fg(Add)p Fo(;)f Fg(Mult)q Fo(;)h(K)k Fr(die)c(V)-7 b(oraussetzungen)25 b(\(1\){\(9\))0 2462 y(v)n(on)h(Satz)h(6.5)g(erf)r(\177)-44 b(ullt.)37 b(Dies)27 b(ist)g(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)e(Punkte)h (bis)g(auf)h(\(8\))f(sehr)f(leic)n(h)n(t)h(zu)g(sehen.)37 b(Zum)27 b(Bew)n(eis)g(v)n(on)f(\(8\))h(b)r(en\177)-42 b(otigen)0 2562 y(wir)27 b(den)h(folgenden)f(Hilfssatz:)0 2662 y(\()p Fm(\003)p Fr(\))55 b Fe(Z)212 2674 y Fn(0)272 2662 y Fm(`)23 b(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)14 b Fl(=)g Fp(0)k Fm(_)h(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(x)14 b Fl(=)h Fg(S)o Fo(y)s Fr(\)\).)0 2761 y([)28 b(Bew)n(eis:)36 b(Nac)n(h)27 b(\()p Fe(Z)652 2773 y Fn(0)689 2761 y Fr(4\))h(hab)r(en)f(wir)h Fe(Z)1231 2773 y Fn(0)1292 2761 y Fm(`)22 b Fo(x)14 b Fl(=)h Fp(0)j Fm(_)h(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(x)f Fr(+)g Fg(S)p Fo(z)f Fl(=)d Fp(0)p Fr(\))k Fm(_)h(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fp(0)f Fr(+)g Fg(S)p Fo(z)f Fl(=)d Fo(x)p Fr(\).)0 2861 y(Andererseits)27 b(gilt)g Fe(Z)677 2873 y Fn(0)737 2861 y Fm(`)c(:9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(x)c Fr(+)f Fg(S)p Fo(z)t Fr(\))c Fl(=)f Fp(0)p Fr(\))28 b(und)g Fe(Z)1678 2873 y Fn(0)1738 2861 y Fm(`)23 b(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fp(0)18 b Fr(+)g Fg(S)o Fo(z)g Fl(=)13 b Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)f(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fg(S)p Fo(y)17 b Fl(=)d Fo(x)p Fr(\).])0 2981 y(Aus)28 b(\()p Fm(\003)p Fr(\))g(folgt)f(n)n(un)h Fe(Z)708 2993 y Fn(0)769 2981 y Fm(`)23 b Fo(x)18 b Fr(+)g Fo(z)g Fl(=)13 b Fo(y)26 b Fm(!)d Fo(x)14 b Fl(=)g Fo(y)22 b Fm(_)c(9)p Fo(z)1672 2993 y Fn(0)1709 2981 y Fr(\()p Fo(x)i Fr(+)e Fg(S)o Fo(z)1973 2993 y Fn(0)2024 2981 y Fl(=)c Fo(y)s Fr(\).)0 3081 y(Mit)28 b Fe(Z)210 3093 y Fn(0)270 3081 y Fm(`)23 b Fo(x)c Fr(+)f Fg(S)p Fo(z)f Fl(=)d Fg(S)o Fo(y)26 b Fm(!)d Fo(x)c Fr(+)f Fo(z)f Fl(=)d Fo(y)31 b Fr(folgt)c(daraus)f Fe(Z)1766 3093 y 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Fo(v)801 4671 y Fn(1)839 4659 y Fo(;)14 b(y)s Fr(\)\)[)p Fo(a)p Fr(])p Fm(g)p Fr(.)0 4758 y(b\),c\))28 b(folgen)f(aus)h(5.7)e(und)i(a\).)2841 b Fm(4)0 4900 y Fp(Satz)33 b(6.8)0 4999 y Fr(Jede)27 b(k)n(onsisten)n(te)g(Theorie)f Fo(T)39 b Fr(mit)28 b Fe(Z)1213 5011 y Fn(0)1273 4999 y Fm(\022)23 b Fo(T)39 b Fr(ist)28 b(unen)n(tsc)n(heidbar.)0 5099 y Fg(Bew)n(eis)f(:)37 b Fr(Siehe)28 b(Satz)f(5.9)g(und)h(Satz)g (6.6.)0 5240 y Fp(Satz)33 b(6.9)27 b Fr(\(1.)g(G\177)-42 b(odelsc)n(her)26 b(Un)n(v)n(ollst\177)-42 b(andigk)n(eitssatz\))0 5340 y(Jede)27 b(k)n(onsisten)n(te,)g(rekursiv)f(axiomatisierbare)f (Theorie)i Fo(T)38 b Fr(mit)29 b Fe(Z)2181 5352 y Fn(0)2242 5340 y Fm(\022)22 b Fo(T)39 b Fr(ist)28 b(un)n(v)n(ollst\177)-42 b(andig.)1908 5539 y(25)p eop %%Page: 26 27 26 26 bop 0 83 a Fg(Bew)n(eis)27 b(:)37 b Fr(Siehe)28 b(Satz)f(5.10)g(und)h(Satz)f(6.6.)0 268 y Fp(De\014nition)86 b Fr(T\(\006\))24 b(:=)e Fm(f)p Fo(A)h Fr(:)37 b Fo(A)28 b Fr(ist)g(L\(\006\)-Satz)g(mit)g(\006)23 b Fm(`)g Fo(A)14 b Fm(g)0 426 y Fp(Satz)33 b(6.10)26 b Fr(\(Unen)n(tsc)n(heidbark)n(eit) h(der)g(Pr\177)-42 b(adik)-5 b(atenlogik)26 b(1.)h(Stufe\))0 526 y(Die)h(Menge)f(aller)g(allgemeing)r(\177)-44 b(ultigen)27 b(S\177)-42 b(atze)27 b(der)g(Sprac)n(he)g Fm(L)1994 538 y Fn(0)2054 526 y Fr(:=)c Fm(f)p Fp(0)p Fo(;)14 b Fg(S)o Fo(;)g Fr(+)p Fo(;)g Fm(\001g)27 b Fr(ist)g(unen)n(tsc)n (heidbar.)0 628 y Fg(Bew)n(eis)g(:)0 728 y Fr(Sei)134 665 y Fd(V)217 728 y Fe(Z)268 740 y Fn(0)328 728 y Fr(:=)c(\()p Fe(Z)522 740 y Fn(0)559 728 y Fr(1\))18 b Fm(^)h Fo(:)14 b(:)g(:)k Fm(^)h Fr(\()p Fe(Z)997 740 y Fn(0)1034 728 y Fr(4\),)28 b(und)g(PL)22 b(:=)h Fm(f)p Fo(A)g Fr(:)37 b Fo(A)28 b Fr(allgemeing)r(\177)-44 b(ultiger)26 b Fm(L)2547 740 y Fn(0)2584 728 y Fr(-Satz)13 b Fm(g)p Fr(.)0 830 y(Nac)n(h)27 b(6.8)g(ist)h(T\(\006\))g(nic)n(h)n(t)f(rekursiv.)36 b(Andererseits)27 b(gilt:)g Fo(a)c Fm(2)2028 798 y Fa(d)2055 830 y Fr(T\(\006\))2251 798 y Fa(e)2316 830 y Fm(\))37 b(h)p Fo(S)-9 b(N)9 b Fr(\()p Fm(!)p Fr(\))p Fo(;)2770 798 y Fa(d)2812 768 y Fd(V)2895 830 y Fe(Z)2946 842 y Fn(0)2994 798 y Fa(e)3022 830 y Fo(;)14 b(a)p Fm(i)23 b(2)3236 798 y Fa(d)3264 830 y Fr(PL)3384 798 y Fa(e)3412 830 y Fr(.)0 930 y(Also)k(k)-5 b(ann)28 b(auc)n(h)f(PL)g(nic)n(h)n(t)h (rekursiv)e(sein.)2417 b Fm(4)0 1087 y Fp(De\014nition)0 1187 y Fr(Ein)27 b(Axiomensystem)h(\006)f(hei\031t)h Fo(!)s Ff(-k)n(onsisten)n(t)p Fr(,)e(falls)h(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(1-st.)f(L\(\006\)-F)-7 b(ormel)27 b Fo(A)h Fr(gilt:)0 1287 y(\006)23 b Fm(`)g(:)p Fo(A)p Fr(\()p Fo(n)p 306 1300 50 4 v 1 w Fr(\),)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)g Fo(n)c Fm(2)h Fr(I)-14 b(N)69 b Fm(\))47 b Fr(\006)23 b Fm(6`)f(9)p Fo(xA)p Fr(\()p Fo(x)p Fr(\).)0 1444 y Fg(Ursp)n(r\177)-40 b(ungliche)28 b(F)n(o)n(rm)e(des)h(1.)f (G\177)-39 b(odelschen)28 b(Unvollst)o(\177)-39 b(andigk)n(eitssatzes)0 1547 y Fr(Zu)31 b(jedem)h(k)n(onsisten)n(ten,)f(\(primitiv\))h (rekursiv)n(en)e(Axiomensystem)h(\006)g(mit)h Fe(Z)2567 1559 y Fn(0)2634 1547 y Fm(\022)d Fr(T\(\006\))i(l\177)-42 b(a\031t)31 b(sic)n(h)g(ein)g(w)n(ahrer)f(arith-)0 1646 y(metisc)n(her)d(Satz)g Fo(G)h Fr(mit)h(\006)23 b Fm(6`)f Fo(G)28 b Fr(angeb)r(en.)37 b(Ist)28 b(\006)f(sogar)f Fo(!)s Fr(-k)n(onsisten)n(t,)g(so)h(gilt)g(auc)n(h)g(\006)c Fm(6`)g(:)p Fo(G)p Fr(.)0 1749 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 1848 y Fr(Nat)r(\177)-44 b(urlic)n(h)28 b(geh)n(t)g(die)g(Behauptung)g(v)n (on)g(der)g(stillsc)n(h)n(w)n(eigenden)f(V)-7 b(oraussetzung)26 b(aus,)i(da\031)g(eine)g(`k)n(onkrete')f(De\014nition)0 1948 y(v)n(on)c Fp(1)201 1951 y Fa(d)228 1973 y Fn(\006)284 1950 y Fa(e)341 1948 y Fr(im)h(Sinne)h(v)n(on)e(Lemma)g(4.15)g(gegeb)r (en)g(sei.)35 b(Gem\177)-42 b(a\031)24 b(5.4,6.3,6.4)d(und)j(6.6)f (l\177)-42 b(a\031t)24 b(sic)n(h)f(dann)h(eine)g(arithmetisc)n(he)0 2047 y(F)-7 b(ormel)27 b Fg(B)331 2059 y Fn(\006)410 2047 y Fr(angeb)r(en,)g(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(die)g(gilt:)0 2147 y(\(1\))g(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(2)g Fg(Bew)559 2159 y Fn(\006)679 2147 y Fm(\))46 b Fe(Z)859 2159 y Fn(0)919 2147 y Fm(`)23 b Fg(B)1046 2159 y Fn(\006)1098 2147 y Fr(\()p Fo(a)p 1130 2160 44 4 v(;)14 b(b)p 1211 2160 36 4 v -1 w Fr(\),)0 2247 y(\(2\))28 b(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fr(\))23 b Fm(62)g Fg(Bew)559 2259 y Fn(\006)656 2247 y Fm(\))46 b Fe(Z)836 2259 y Fn(0)896 2247 y Fm(`)23 b(:)p Fg(B)1078 2259 y Fn(\006)1130 2247 y Fr(\()p Fo(a)p 1162 2260 44 4 v(;)14 b(b)p 1243 2260 36 4 v -1 w Fr(\).)0 2349 y(Aus)28 b(dem)g(Fixpunktlemmas)g(erh\177)-42 b(alt)27 b(man)g(einen)h(arithmetisc)n(hen)f(Satz)g Fo(G)h Fr(mit:)0 2449 y(\(3\))g Fe(Z)184 2461 y Fn(0)245 2449 y Fm(`)23 b Fo(G)g Fm($)g(:9)p Fo(y)s Fg(B)711 2461 y Fn(\006)762 2449 y Fr(\()794 2417 y Fa(d)822 2449 y Fo(G)899 2417 y Fa(e)p 794 2462 133 4 v 32 x Fo(;)14 b(y)s Fr(\).)0 2579 y(Annahme:)37 b(\006)23 b Fm(`)g Fo(G)p Fr(.)0 2678 y(W)-7 b(egen)36 b(\(1\))g(gibt)h(es)f(dann)g(ein)g Fo(b)g Fr(mit)h Fe(Z)1346 2690 y Fn(0)1420 2678 y Fm(`)g Fg(B)1561 2690 y Fn(\006)1612 2678 y Fr(\()1644 2647 y Fa(d)1672 2678 y Fo(G)1749 2647 y Fa(e)p 1644 2691 V 31 x Fo(;)14 b(b)p 1814 2691 36 4 v -1 w Fr(\).)63 b(Daraus)36 b(folgt)g(\006)h Fm(`)g(9)p Fo(y)s Fg(B)2790 2690 y Fn(\006)2841 2678 y Fr(\()2873 2647 y Fa(d)2901 2678 y Fo(G)2978 2647 y Fa(e)p 2873 2691 133 4 v 31 x Fo(;)14 b(y)s Fr(\))36 b(und)g(w)n(eiter,)i(mit)f(\(3\),)0 2778 y(\006)23 b Fm(`)g(:)p Fo(G)p Fr(.)37 b(Widerspruc)n(h.)0 2878 y(Also)27 b(gilt)h(\006)23 b Fm(6`)g Fo(G)p Fr(.)37 b(Mit)28 b(\(2\))g(folgt)f (daraus)0 2980 y(\()p Fm(\003)p Fr(\))46 b Fe(Z)203 2992 y Fn(0)263 2980 y Fm(`)23 b(:)p Fg(B)445 2992 y Fn(\006)497 2980 y Fr(\()529 2948 y Fa(d)557 2980 y Fo(G)634 2948 y Fa(e)p 529 2993 V 661 2980 a Fo(;)14 b(b)p 698 2993 36 4 v Fr(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)g Fo(b)c Fm(2)h Fr(I)-14 b(N.)0 3110 y(F)-7 b(olglic)n(h)27 b(ist)h(die)f(F)-7 b(ormel)28 b Fm(:9)p Fo(y)s Fg(B)1033 3122 y Fn(\006)1085 3110 y Fr(\()1117 3078 y Fa(d)1145 3110 y Fo(G)1222 3078 y Fa(e)p 1117 3123 133 4 v 1249 3110 a Fo(;)14 b(y)s Fr(\),)28 b(und)g(w)n(egen)f(\(3\))h(auc)n(h)f(die)g(F)-7 b(ormel)27 b Fo(G)h Fr(w)n(ahr.)0 3240 y(Ist)g(\006)f Fo(!)s Fr(-k)n(onsisten)n(t,)f(so)h(folgt)h(aus)f(\()p Fm(\003)p Fr(\))h(und)g(\(3\))f(sofort)g(\006)c Fm(6`)g(:)p Fo(G)p Fr(.)1711 b Fm(4)0 3508 y Fq(7)112 b(Das)38 b(Axiomensystem)e (ZF)i(der)g(Zermelo-F)-9 b(raenk)m(el)37 b(Mengenlehre)0 3721 y Fr(Das)27 b(Axiomensystem)h(ZF)0 3851 y(\(Zur)f(b)r(esseren)g (Lesbark)n(eit)f(v)n(erw)n(enden)h(wir)g(hier)g Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)31 b Fr(als)c(Abk)r(\177)-44 b(urzungen)27 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(v)2685 3863 y Fn(1)2723 3851 y Fo(;)14 b(v)2800 3863 y Fn(2)2837 3851 y Fo(;)g(v)2914 3863 y Fn(3)2951 3851 y Fr(.\))0 3981 y(\(Ext\))28 b Fm(8)p Fo(v)312 3993 y Fn(0)348 3981 y Fm(8)p Fo(v)435 3993 y Fn(1)472 3981 y Fr(\()p Fm(8)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(y)d Fm(2)f Fo(v)812 3993 y Fn(0)872 3981 y Fm($)f Fo(y)j Fm(2)d Fo(v)1163 3993 y Fn(1)1201 3981 y Fr(\))g Fm(!)g Fo(v)1402 3993 y Fn(0)1463 3981 y Fr(=)f Fo(v)1590 3993 y Fn(1)1628 3981 y Fr(\))0 4081 y(\(P)n(a\))64 b Fm(8)p Fo(v)312 4093 y Fn(0)348 4081 y Fm(8)p Fo(v)435 4093 y Fn(1)472 4081 y Fm(9)p Fo(y)s Fm(8)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(z)25 b Fm(2)e Fo(y)j Fm($)d Fo(z)j Fr(=)d Fo(v)1192 4093 y Fn(0)1248 4081 y Fm(_)c Fo(z)26 b Fr(=)d Fo(v)1515 4093 y Fn(1)1552 4081 y Fr(\))0 4181 y(\(Vm\))30 b Fm(8)p Fo(v)312 4193 y Fn(1)348 4181 y Fm(9)p Fo(y)s Fm(8)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(z)25 b Fm(2)f Fo(y)h Fm($)e(9)p Fo(v)961 4193 y Fn(0)999 4181 y Fr(\()p Fo(v)1071 4193 y Fn(0)1132 4181 y Fm(2)g Fo(v)1250 4193 y Fn(1)1306 4181 y Fm(^)c Fo(z)26 b Fm(2)e Fo(v)1564 4193 y Fn(0)1601 4181 y Fr(\)\))0 4280 y(\(P)n(ot\))32 b Fm(8)p Fo(v)312 4292 y Fn(1)348 4280 y Fm(9)p Fo(y)s Fm(8)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(z)25 b Fm(2)f Fo(y)h Fm($)e(8)p Fo(v)962 4292 y Fn(0)999 4280 y Fr(\()p Fo(v)1071 4292 y Fn(0)1132 4280 y Fm(2)g Fo(z)k Fm(!)c Fo(v)1422 4292 y Fn(0)1482 4280 y Fm(2)h Fo(v)1601 4292 y Fn(1)1638 4280 y Fr(\)\))0 4380 y(\(Ue\))62 b Fm(9)p Fo(v)311 4392 y Fn(0)348 4380 y Fr(\()p Fm(9)p Fo(x)p Fr([)p Fo(x)25 b Fm(2)e Fo(v)686 4392 y Fn(0)742 4380 y Fm(^)c(:9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(2)e Fo(x)p Fr(\)])19 b Fm(^)g(8)p Fo(x)p Fr([)p Fo(x)k Fm(2)g Fo(v)1639 4392 y Fn(0)1700 4380 y Fm(!)g(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(y)j Fm(2)d Fo(v)2113 4392 y Fn(0)2169 4380 y Fm(^)c(8)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(z)25 b Fm(2)e Fo(y)j Fm($)d Fo(z)j Fm(2)e Fo(x)19 b Fm(_)f Fo(z)27 b Fr(=)22 b Fo(x)p Fr(\)\)]\))0 4479 y(\(F)-7 b(u\))68 b Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fm(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(2)d Fo(x)p Fr(\))h Fm(!)f(9)p Fo(y)s Fr([)p Fo(y)i Fm(2)f Fo(x)19 b Fm(^)g(:9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(z)26 b Fm(2)d Fo(x)c Fm(^)g Fo(z)26 b Fm(2)e Fo(y)s Fr(\)]\))0 4579 y(\(Er\))71 b Fm(8)p Fo(v)312 4591 y Fn(3)348 4579 y Fo(:::)p Fm(8)p Fo(v)504 4591 y Fi(n)549 4579 y Fr(\()14 b Fm(8)p Fo(x)p Fm(8)p Fo(y)s Fm(8)p Fo(y)868 4591 y Fn(0)903 4579 y Fr([)p Fo(')p Fr(\()p Fo(x;)g(y)s Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(')p Fr(\()p Fo(x;)14 b(y)1476 4591 y Fn(0)1514 4579 y Fr(\))23 b Fm(!)g Fo(y)j Fr(=)d Fo(y)1871 4591 y Fn(0)1908 4579 y Fr(])37 b Fm(!)g(8)p Fo(u)p Fm(9)p Fo(w)r Fm(8)p Fo(y)s Fr([)p Fo(y)24 b Fm(2)f Fo(w)j Fm($)d(9)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)h Fm(2)g Fo(u)18 b Fm(^)g Fo(')p Fr(\()p Fo(x;)c(y)s Fr(\)\)]\),)225 4679 y(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f Fo(n)p Fr(-st.)h Fm(f2g)p Fr(-F)-7 b(ormel)26 b Fo(')i Fr(\()p Fo(n)23 b Fm(\025)g Fr(2\))k(und)h(V)-7 b(ariablen)27 b Fo(y)2124 4691 y Fn(0)2161 4679 y Fo(;)14 b(u;)g(w)25 b Fm(62)f Fr(V)-7 b(ar)o(\()p Fo(')p Fr(\))0 4809 y(V)g(on)28 b(jetzt)g(an)f(v)n(erw)n(enden)g(wir)g(die)h(logisc)n(hen)e(Zeic)n(hen) h Fm(^)p Fo(;)14 b Fm(_)p Fo(;)g Fm(:)p Fo(;)g Fm(!)p Fo(;)g Fm(8)p Fo(;)g Fm(9)p Fr(,)28 b(als)f(metasprac)n(hlic)n(he)f (Abk)r(\177)-44 b(urzungen.)0 4939 y Fp(V)-8 b(oraussetzung)0 5038 y Fo(V)45 b Fr(sei)25 b(ein)h(im)g(folgenden)f(fester)h(Bereic)n (h)f(v)n(on)g(Mengen)g(derart,)g(da\031)g Fo(V)45 b Fr(zusammen)25 b(mit)h(der)g(\(auf)g Fo(V)44 b Fr(eingesc)n(hr\177)-42 b(ankten\))0 5138 y(Elemen)n(tb)r(ezieh)n(ung)27 b Fm(2)h Fr(ein)g(Mo)r(dell)g(v)n(on)e(ZF)i(ist.)37 b(F)-7 b(erner)27 b(gelte)g Fm(8)p Fo(a)9 b Fm(2)g Fo(V)19 b Fr(\()p Fo(a)k Fm(\022)g Fo(V)c Fr(\).)0 5240 y(VEREINBAR)n(UNG:)28 b(Un)n(ter)f(einer)h Ff(Menge)f Fr(v)n(erstehen)f(wir)i(im)g(folgenden) f(stets)h(ein)f(Elemen)n(t)h(v)n(on)e Fo(V)19 b Fr(.)0 5340 y(Wir)28 b(v)n(erw)n(enden)e Fo(a;)14 b(b;)g(c;)g(d;)g(e;)g(f)t(;) g(g)s(;)g(h;)g(u;)g(w)r(;)g(x;)g(y)s(;)g(z)29 b Fr(als)e (Mitteilungszeic)n(hen)g(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(Mengen.)1908 5539 y(26)p eop %%Page: 27 28 27 27 bop 0 83 a Fp(De\014nition)0 183 y Fr(Ein)25 b(T)-7 b(eilb)r(ereic)n(h)24 b Fo(X)32 b Fr(v)n(on)24 b Fo(V)44 b Fr(hei\031t)25 b(eine)g Ff(Klasse)p Fr(,)f(w)n(enn)h(es)g(eine)g(\()p Fo(n)13 b Fr(+)g(1\)-stellige)24 b Fm(f2g)p Fr(-F)-7 b(ormel)23 b Fo(')j Fr(und)f(Mengen)g Fo(a)3631 195 y Fn(1)3668 183 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)3855 195 y Fi(n)0 282 y Fr(gibt,)28 b(so)f(da\031)f Fo(X)k Fr(=)22 b Fm(f)p Fo(x)h Fr(:)37 b(\()p Fo(V)5 b(;)14 b Fm(2)p Fr(\))24 b Fm(j)-14 b Fr(=)23 b Fo(')p Fr([)p Fo(a)1261 294 y Fn(1)1299 282 y Fo(;)14 b(:::;)g(a)1486 294 y Fi(n)1531 282 y Fo(;)g(x)p Fr(])p Fm(g)p Fr(.)0 409 y(Wir)28 b(v)n(erw)n(enden)e Fo(A;)14 b(B)t(;)g(C)q(;)g(D)r(;)g(E)5 b(;)14 b(F)r(;)g(G;)g(H)r(;)g(R) 30 b Fr(als)d(Mitteilungszeic)n(hen)g(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(Klassen.)0 561 y Fg(Bemerkung:)0 660 y Fr(Jede)f(Menge)g(ist)h(eine)g (Klasse,)e(ab)r(er)h(nic)n(h)n(t)h(jede)g(Klasse)e(ist)i(eine)f(Menge.) 0 761 y(Bew)n(eis:)36 b(1.)h(W)-7 b(egen)27 b Fm(8)p Fo(a)9 b Fm(2)g Fo(V)19 b Fr(\()p Fo(a)k Fm(\022)g Fo(V)18 b Fr(\))28 b(gilt)g Fo(a)23 b Fr(=)g Fm(f)p Fo(x)g Fr(:)37 b Fo(x)23 b Fm(2)g Fo(a)p Fm(g)p Fr(,)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(jede)h(Menge)f Fo(a)p Fr(.)0 860 y(2.)40 b Fo(R)26 b Fr(:=)e Fm(f)p Fo(x)h Fr(:)39 b Fo(x)25 b Fm(62)h Fo(x)p Fm(g)i Fr(ist)h(eine)g(Klasse,)f(und)h(es)g(gilt)f Fm(8)p Fo(a)11 b Fm(2)g Fo(V)19 b Fr(\()p Fo(a)25 b Fm(2)g Fo(R)40 b Fm($)f Fo(a)24 b Fm(62)i Fo(a)p Fr(\).)40 b(W\177)-42 b(are)28 b(n)n(un)h Fo(R)h Fr(ein)f(Menge,)f(so)g(w)r(\177)-44 b(urde)0 960 y(gelten)27 b Fo(R)d Fm(2)g Fo(R)37 b Fm($)g Fo(R)24 b Fm(62)f Fo(R)q Fr(.)37 b(Widerspruc)n(h.)0 1112 y Fg(Bemerkung:)0 1212 y Fm(;)23 b Fr(:=)f Fm(f)p Fo(x)h Fr(:)g Fo(x)h Fm(6)p Fr(=)f Fo(x)p Fm(g)k Fr(ist)h(eine)g (Klasse,)e(und)i(mit)g Fo(A;)14 b(B)32 b Fr(sind)c(auc)n(h)f Fo(A)19 b Fm([)f Fo(B)t(;)28 b(A)19 b Fm(\\)g Fo(B)t(;)28 b(A)18 b Fm(n)g Fo(B)t(;)0 1249 y Fd(S)83 1311 y Fo(A)23 b Fr(:=)g Fm(f)p Fo(x)g Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(2)e Fo(y)s Fr(\))p Fm(g)p Fo(;)1026 1249 y Fd(T)1109 1311 y Fo(A)h Fr(:=)e Fm(f)p Fo(x)h Fr(:)37 b Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(y)s Fr(\))p Fm(g)p Fo(;)28 b Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(A)p Fr(\))c(:=)e Fm(f)p Fo(x)h Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(\022)e Fo(A)p Fm(g)28 b Fr(Klassen.)0 1464 y(Aus)g(der)f(V)-7 b(oraussetzung)26 b(\()p Fo(V)5 b(;)14 b Fm(2)p Fr(\))24 b Fm(j)-14 b Fr(=)37 b(\(P)n(a\))17 b Fm(^)i Fr(\(Vm\))h Fm(^)e Fr(\(P)n(ot\))83 b(folgt:)0 1616 y Fp(Lemma)30 b(7.1)0 1715 y Fr(a\))d Fm(8)p Fo(a)p Fm(8)p Fo(b)p Fr(\()p Fm(f)p Fo(a;)14 b(b)p Fm(g)20 b(2)j Fo(V)c Fr(\),)0 1815 y(b\))28 b Fm(8)p Fo(a)p Fr(\()229 1753 y Fd(S)311 1815 y Fo(a)23 b Fm(2)h Fo(V)19 b Fr(\),)0 1914 y(c\))28 b Fm(8)p Fo(a)p Fr(\(P)n(ot)n(\()p Fo(a)p Fr(\))c Fm(2)f Fo(V)c Fr(\),)0 2014 y(d\))28 b Fm(8)p Fo(a)p Fm(8)p Fo(b)p Fr(\()p Fo(a)16 b Fm([)j Fo(b)k Fr(=)593 1952 y Fd(S)662 2014 y Fm(f)p Fo(a;)14 b(b)p Fm(g)21 b(2)j Fo(V)19 b Fr(\),)0 2114 y(e\))28 b Fm(8)p Fo(a)188 2126 y Fn(1)238 2114 y Fo(:)14 b(:)g(:)g Fm(8)p Fo(a)440 2126 y Fi(n)484 2114 y Fr(\()g Fm(f)p Fo(a)616 2126 y Fn(1)653 2114 y Fo(;)g(:::;)g(a)840 2126 y Fi(n)885 2114 y Fm(g)22 b(2)i Fo(V)19 b Fr(\).)0 2266 y Fp(De\014nition)86 b Fn(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fn(\))23 b Fr(:=)f Fm(ff)p Fo(a)p Fm(g)p Fo(;)14 b Fm(f)p Fo(a;)g(b)p Fm(gg)80 b Fr(\(geordnetes)26 b(P)n(aar)f(v)n(on)i Fo(a)h Fr(und)g Fo(b)p Fr(\))0 2418 y Fp(Lemma)i(7.2)0 2518 y Fr(a\))d Fn(\()p Fo(a;)14 b(b)p Fn(\))23 b Fm(2)g Fo(V)c Fr(,)0 2617 y(b\))28 b Fn(\()p Fo(a)176 2629 y Fn(1)213 2617 y Fo(;)14 b(b)286 2629 y Fn(1)323 2617 y(\))23 b Fr(=)g Fn(\()p Fo(a)530 2629 y Fn(2)567 2617 y Fo(;)14 b(b)640 2629 y Fn(2)676 2617 y(\))46 b Fm(\))h Fo(a)922 2629 y Fn(1)982 2617 y Fr(=)22 b Fo(a)1113 2629 y Fn(2)1169 2617 y Fm(^)d Fo(b)1279 2629 y Fn(1)1339 2617 y Fr(=)j Fo(b)1462 2629 y Fn(2)1499 2617 y Fr(.)0 2718 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 2817 y Fr(a\))g(folgt)h(aus) f(7.1.)0 2917 y(b\))h(Sei)g Fo(c)23 b Fr(:=)g Fn(\()o Fo(a)479 2929 y Fn(1)517 2917 y Fo(;)14 b(b)590 2929 y Fn(1)626 2917 y(\))23 b Fr(=)g Fn(\()p Fo(a)833 2929 y Fn(2)870 2917 y Fo(;)14 b(b)943 2929 y Fn(2)980 2917 y(\))p Fr(.)0 3017 y(F)-7 b(all)28 b(1:)36 b Fo(a)308 3029 y Fn(1)368 3017 y Fr(=)23 b Fo(b)492 3029 y Fn(1)529 3017 y Fr(.)64 b Fm(ff)p Fo(a)744 3029 y Fn(1)781 3017 y Fm(gg)22 b Fr(=)g Fo(c)h Fr(=)g Fm(ff)p Fo(a)1249 3029 y Fn(2)1285 3017 y Fm(g)p Fo(;)14 b Fm(f)p Fo(a)1450 3029 y Fn(2)1486 3017 y Fo(;)g(b)1559 3029 y Fn(2)1596 3017 y Fm(gg)45 b(\))h(f)p Fo(a)1940 3029 y Fn(1)1977 3017 y Fm(g)22 b Fr(=)h Fm(f)p Fo(a)2215 3029 y Fn(2)2252 3017 y Fm(g)f Fr(=)h Fm(f)p Fo(a)2490 3029 y Fn(2)2526 3017 y Fo(;)14 b(b)2599 3029 y Fn(2)2636 3017 y Fm(g)46 b(\))g Fo(a)2897 3029 y Fn(1)2957 3017 y Fr(=)23 b Fo(a)3089 3029 y Fn(2)3149 3017 y Fr(=)g Fo(b)3273 3029 y Fn(2)3310 3017 y Fr(.)0 3116 y(F)-7 b(all)28 b(2:)36 b Fo(a)308 3128 y Fn(2)368 3116 y Fr(=)23 b Fo(b)492 3128 y Fn(2)529 3116 y Fr(.)37 b(Analog)26 b(zu)i(F)-7 b(all)28 b(1.)0 3216 y(F)-7 b(all)23 b(3:)35 b Fo(a)302 3228 y Fn(1)362 3216 y Fm(6)p Fr(=)22 b Fo(b)485 3228 y Fn(1)532 3216 y Fm(^)10 b Fo(a)641 3228 y Fn(2)702 3216 y Fm(6)p Fr(=)22 b Fo(b)825 3228 y Fn(2)862 3216 y Fr(.)59 b Fm(f)p Fo(a)1030 3228 y Fn(1)1067 3216 y Fm(g)p Fo(;)14 b Fm(f)p Fo(a)1232 3228 y Fn(1)1268 3216 y Fo(;)g(b)1341 3228 y Fn(1)1378 3216 y Fm(g)22 b(2)i Fo(c)f Fr(=)f Fm(ff)p Fo(a)1795 3228 y Fn(2)1831 3216 y Fm(g)p Fo(;)14 b Fm(f)p Fo(a)1996 3228 y Fn(2)2032 3216 y Fo(;)g(b)2105 3228 y Fn(2)2142 3216 y Fm(gg)c(^)g(f)p Fo(a)2387 3228 y Fn(1)2423 3216 y Fm(g)22 b(6)p Fr(=)h Fm(f)p Fo(a)2661 3228 y Fn(2)2698 3216 y Fo(;)14 b(b)2771 3228 y Fn(2)2808 3216 y Fm(g)c(^)g(f)p Fo(a)3011 3228 y Fn(1)3047 3216 y Fo(;)k(b)3120 3228 y Fn(1)3157 3216 y Fm(g)22 b(6)p Fr(=)h Fm(f)p Fo(a)3395 3228 y Fn(2)3431 3216 y Fm(g)46 b(\))g(f)p Fo(a)3734 3228 y Fn(1)3771 3216 y Fm(g)22 b Fr(=)0 3315 y Fm(f)p Fo(a)86 3327 y Fn(2)123 3315 y Fm(g)c(^)g(f)p Fo(a)342 3327 y Fn(1)379 3315 y Fo(;)c(b)452 3327 y Fn(1)489 3315 y Fm(g)22 b Fr(=)h Fm(f)p Fo(a)727 3327 y Fn(2)764 3315 y Fo(;)14 b(b)837 3327 y Fn(2)873 3315 y Fm(g)46 b(\))g Fo(a)1134 3327 y Fn(1)1194 3315 y Fr(=)23 b Fo(a)1326 3327 y Fn(2)1382 3315 y Fm(^)18 b Fo(b)1491 3327 y Fn(1)1551 3315 y Fr(=)23 b Fo(b)1675 3327 y Fn(2)1712 3315 y Fr(.)2091 b Fm(4)0 3468 y Fp(De\014nition)0 3567 y Fo(A)19 b Fm(\002)f Fo(B)27 b Fr(:=)c Fm(f)p Fn(\()o Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(A)c Fm(^)g Fo(y)25 b Fm(2)f Fo(B)t Fm(g)e Fr(:=)h Fm(f)p Fo(z)j Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(x)p Fm(9)p Fo(y)s Fr(\()p Fo(z)27 b Fr(=)22 b Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))19 b Fm(^)g Fo(x)k Fm(2)h Fo(A)18 b Fm(^)h Fo(y)26 b Fm(2)d Fo(B)t Fr(\))p Fm(g)p Fo(:)0 3667 y Fr(Eine)k Ff(Relation)h Fr(ist)f(eine)h(Klasse)e(v)n(on)h (geordneten)g(P)n(aaren,)e(d.h.)37 b(eine)28 b(T)-7 b(eilklasse)26 b(v)n(on)h Fo(V)38 b Fm(\002)18 b Fo(V)h Fr(.)0 3766 y(Eine)27 b Ff(F)-7 b(unktion)28 b Fr(ist)g(eine)g(Relation)f Fo(F)12 b Fr(,)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(die)h(gilt:)37 b Fm(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)t Fr(\()p Fn(\()n Fo(x;)g(y)s Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(F)30 b Fm(^)19 b Fn(\()p Fo(x;)14 b(z)t Fn(\))23 b Fm(2)g Fo(F)35 b Fm(!)23 b Fo(y)j Fr(=)c Fo(z)t Fr(\).)0 3919 y Fg(Abk\177)-40 b(urzungen)0 4018 y Fr(Sei)28 b Fo(R)g Fr(eine)g(Klasse.)0 4118 y(Rel\()p Fo(R)q Fr(\))46 b(:)p Fm(,)h Fo(R)k Fr(ist)28 b(eine)f(Relation)h (\(i.e.)37 b Fo(R)24 b Fm(\022)e Fo(V)38 b Fm(\002)18 b Fo(V)h Fr(\))0 4217 y(Fkt\()p Fo(R)q Fr(\))47 b(:)p Fm(,)f Fo(R)51 b Fr(ist)28 b(eine)g(F)-7 b(unktion)0 4317 y Fo(R)q(xy)49 b Fr(:)p Fm(,)d Fo(xR)q(y)j Fr(:)p Fm(,)d Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(R)0 4417 y Fr(dom\()p Fo(R)q Fr(\))f(:=)g Fm(f)p Fo(x)g Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(y)16 b(R)q(xy)s Fm(g)55 b Ff(\(De\014nitionsb)r(ereic)n(h) 28 b(v)n(on)f Fo(R)q Ff(\))0 4516 y Fr(ran)o(\()p Fo(R)q Fr(\))c(:=)g Fm(f)p Fo(y)i Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(x)14 b(R)q(xy)s Fm(g)55 b Ff(\(W)-7 b(erteb)r(ereic)n(h)28 b(v)n(on)f Fo(R)q Ff(\))0 4616 y Fo(R)q Fm(j)p Fo(A)c Fr(:=)g Fm(f)p Fn(\()o Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(R)f Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(A)p Fm(g)55 b Ff(\(Einsc)n(hr\177)-42 b(ankung)26 b(v)n(on)h Fo(R)h Ff(auf)g Fo(A)p Ff(\))0 4716 y Fo(R)q Fr([)p Fo(A)p Fr(])23 b(:=)g Fm(f)p Fo(y)i Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)14 b(R)q(xy)s Fm(g)56 b Ff(\(Bild)28 b(v)n(on)f Fo(A)h Ff(un)n(ter)f Fo(R)q Ff(\))0 4815 y Fo(Q)18 b Fm(\016)g Fo(R)24 b Fr(:=)e Fm(f)p Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(z)t Fr(\()p Fo(R)q(xz)21 b Fm(^)e Fo(Qz)t(y)s Fr(\))p Fm(g)82 b Ff(\(V)-7 b(erk)n(ettung)27 b(v)n(on)g Fo(Q)g Ff(mit)h Fo(R)q Ff(\))0 4915 y Fo(R)64 4885 y Fj(\000)p Fn(1)176 4915 y Fr(:=)23 b Fm(f)p Fn(\()o Fo(y)s(;)14 b(x)p Fn(\))23 b Fr(:)37 b Fo(R)q(xy)s Fm(g)55 b Ff(\(Umk)n(ehrung)27 b(v)n(on)g Fo(R)q Ff(\))0 5041 y Fr(Ist)h Fo(F)39 b Fr(eine)28 b(F)-7 b(unktion)28 b(und)g Fo(x)23 b Fm(2)h Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\),)28 b(so)f(b)r(ezeic)n(hne)g Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))29 b(das)e(eindeutig)h(b)r(estimm)n(te)g Fo(y)j Fr(mit)d Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fm(2)g Fo(F)12 b Fr(,)0 5141 y(\(i.e.)37 b(den)28 b Ff(F)-7 b(unktionsw)n(ert)27 b(v)n(on)g Fo(F)40 b Ff(an)27 b(der)g(Stelle)h Fo(x)p Fr(\).)0 5240 y Fo(F)35 b Fr(:)23 b Fo(A)g Fm(!)h Fo(B)64 b Fr(:)p Fm(,)46 b Fr(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b(=)g Fo(A)c Fm(^)f Fr(ran\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b Fm(\022)g Fo(B)87 b Ff(\()p Fo(F)40 b Ff(ist)28 b(F)-7 b(unktion)28 b(v)n(on)e Fo(A)i Ff(in)g Fo(B)t Ff(\))0 5340 y Fo(b)36 5310 y Fi(a)99 5340 y Fr(:=)23 b Fm(f)p Fo(f)31 b Fm(2)23 b Fo(V)42 b Fr(:)k Fo(f)32 b Fr(:)23 b Fo(a)g Fm(!)g Fo(b)p Fm(g)1908 5539 y Fr(27)p eop %%Page: 28 29 28 28 bop 0 83 a Fr(Eine)27 b(F)-7 b(unktion)28 b Fo(F)40 b Fr(hei\031t)27 b Ff(injektiv)p Fr(,)i(falls)e Fm(8)p Fo(x)1437 95 y Fn(0)1474 83 y Fo(;)14 b(x)1558 95 y Fn(1)1605 83 y Fm(2)9 b Fr(dom\()p Fo(F)j Fr(\)\()p Fo(F)g Fr(\()p Fo(x)2131 95 y Fn(0)2170 83 y Fr(\))23 b(=)g Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)2457 95 y Fn(1)2495 83 y Fr(\))23 b Fm(!)g Fo(x)2703 95 y Fn(0)2764 83 y Fr(=)f Fo(x)2898 95 y Fn(1)2936 83 y Fr(\).)0 220 y Fg(F)n(olgerungen)0 320 y Fr(1.)36 b(Mit)29 b Fo(A;)14 b(B)t(;)g(R)q(;)g(Q)27 b Fr(sind)g(auc)n(h)g Fo(A)19 b Fm(\002)f Fo(B)t(;)c Fr(dom\()p Fo(R)q Fr(\))p Fo(;)g Fr(ran)o(\()p Fo(R)q Fr(\))p Fo(;)g(R)q Fm(j)1991 332 y Fi(A)2045 320 y Fo(;)g(R)q Fr([)p Fo(A)p Fr(])p Fo(;)g(Q)k Fm(\016)g Fo(R)q(;)c(R)2600 290 y Fj(\000)p Fn(1)2716 320 y Fr(Klassen.)0 419 y(2.)36 b(Sind)29 b Fo(F)r(;)14 b(G)28 b Fr(F)-7 b(unktionen,)28 b(und)g(ist)g Fo(A)23 b Fm(\022)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(dom)o(\()p Fo(G)p Fr(\),)29 b(so)e(gilt:)0 519 y(a\))g(Fkt)q(\()p Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(A)p Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(A)p Fr(\))24 b(=)e Fo(A)d Fm(^)g Fr(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(A)p Fr(\))24 b(=)e Fo(F)12 b Fr([)p Fo(A)p Fr(])19 b Fm(^)g(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(F)j Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))25 b(=)d(\()p Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(A)p Fr(\)\()p Fo(x)p Fr(\)\),)0 619 y(b\))28 b(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\))24 b(=)e Fo(F)12 b Fr([dom\()p Fo(F)g Fr(\)])19 b Fm(^)g Fo(F)35 b Fr(=)23 b Fo(F)12 b Fm(j)p Fr(dom)o(\()p Fo(F)g Fr(\))0 718 y(c\))28 b Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(F)j Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))25 b(=)d Fo(G)p Fr(\()p Fo(x)p Fr(\)\))48 b Fm(\))e Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(A)24 b Fr(=)e Fo(G)p Fm(j)p Fo(A)0 818 y Fr(d\))28 b(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b(=)g(dom\()p Fo(G)p Fr(\))h(=)e Fo(A)d Fm(^)g(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(F)j Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))25 b(=)e Fo(G)p Fr(\()p Fo(x)p Fr(\)\))47 b Fm(\))f Fo(F)35 b Fr(=)23 b Fo(G)0 955 y Fp(Lemma)30 b(7.3)54 b Fr(\(F)-7 b(olgerungen)26 b(aus)h(\()p Fo(V)5 b(;)14 b Fm(2)p Fr(\))24 b Fm(j)-14 b Fr(=)14 b(\(Er\))27 b(\))0 1055 y(a\))g(Ist)h Fo(F)40 b Fr(eine)27 b(F)-7 b(unktion)28 b(und)g Fo(a)23 b Fm(2)h Fo(V)19 b Fr(,)27 b(so)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])23 b Fm(2)h Fo(V)19 b Fr(.)0 1154 y(b\))28 b(Ist)g Fo(C)34 b Fr(eine)27 b(Klasse)g(und)h Fo(a)23 b Fm(2)g Fo(V)c Fr(,)28 b(so)f Fm(f)p Fo(x)c Fm(2)g Fo(a)g Fr(:)37 b Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(C)6 b Fm(g)23 b(2)g Fo(V)c Fr(.)0 1254 y(c\))28 b Fo(C)h Fm(\022)23 b Fo(A)c Fm(^)f Fo(A)24 b Fm(2)f Fo(V)65 b Fm(\))46 b Fo(C)30 b Fm(2)23 b Fo(V)c Fr(.)0 1354 y(d\))28 b Fo(A)23 b Fm(6)p Fr(=)g Fm(;)46 b(\))496 1291 y Fd(T)579 1354 y Fo(A)23 b Fm(2)h Fo(V)18 b Fr(.)0 1453 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 1553 y Fr(a\))32 b(Sei)h Fo(F)43 b Fr(=)31 b Fm(f)p Fo(z)k Fr(:)45 b(\()p Fo(V)5 b(;)14 b Fm(2)p Fr(\))32 b Fm(j)-14 b Fr(=)31 b Fo( )s Fr([)p Fo(c)1083 1565 y Fn(1)1120 1553 y Fo(;)14 b(:::;)g(c)1299 1565 y Fi(n)1345 1553 y 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Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(a)p Fr(\()p Fn(\()q Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(F)12 b Fr(\))37 b Fm(,)g(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(a)p Fm(9)p Fo(x)1539 1864 y Fn(0)1578 1852 y Fr(\()p Fo(x)1657 1864 y Fn(0)1718 1852 y Fm(2)23 b Fo(C)i Fm(^)19 b Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fr(=)g Fn(\()o Fo(x)2317 1864 y Fn(0)2355 1852 y Fo(;)14 b(x)2439 1864 y Fn(0)2477 1852 y(\))p Fr(\))37 b Fm(,)g Fo(y)26 b Fm(2)d Fo(a)18 b Fm(^)h Fo(y)26 b Fm(2)d Fo(C)6 b Fr(.)0 1951 y(c\))28 b Fo(C)h Fm(\022)23 b Fo(A)46 b Fm(\))g Fo(C)30 b Fr(=)22 b Fm(f)p Fo(x)h Fm(2)h Fo(A)f Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(C)6 b Fm(g)p Fr(.)55 b(d\))28 b(Sei)g Fo(a)23 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(.)38 b(Dann)2088 1889 y Fd(T)2171 1951 y Fo(A)24 b Fm(\022)e Fo(a)h Fm(2)h Fo(V)19 b Fr(.)1246 b Fm(4)0 2089 y Fp(Lemma)30 b(7.4)0 2188 y Fr(a\))d(Mit)i Fo(a;)14 b(b;)g(r)29 b Fr(sind)f(auc)n(h)f Fo(a)18 b Fm([)h Fo(b;)14 b(a)k Fm([)h Fo(b;)14 b(a)k Fm(n)g Fo(b;)c(a)k Fm(\002)g Fo(b;)c(b)1720 2158 y Fi(a)1759 2188 y Fo(;)g Fr(dom\()p Fo(r)r Fr(\))p Fo(;)g Fr(ran\()p Fo(r)r Fr(\))p Fo(;)g(r)r Fr([)p Fo(a)p Fr(])p Fo(;)g(r)r Fm(j)p Fo(a;)g(r)2702 2158 y Fj(\000)p Fn(1)2794 2188 y Fo(;)g(a)19 b Fm(\016)f Fo(r)30 b Fr(Mengen.)0 2288 y(b\))e(Rel\()p Fo(R)q Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom)o(\()p Fo(R)q Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(V)38 b Fm(^)18 b Fr(ran)o(\()p Fo(R)q Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(V)65 b Fm(\))46 b Fo(R)24 b Fm(2)f Fo(V)c Fr(.)0 2387 y(c\))28 b(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))47 b Fm(\))f Fo(F)12 b Fm(j)620 2399 y Fi(a)683 2387 y Fm(2)24 b Fo(V)18 b Fr(.)0 2487 y(d\))28 b(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(V)65 b Fm(\))46 b Fo(F)35 b Fm(2)23 b Fo(V)c Fr(.)0 2587 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 2686 y Fr(a\))g(1.)37 b Fo(a)18 b Fm([)h Fo(b)k Fr(=)485 2624 y Fd(S)555 2686 y Fm(f)p Fo(a;)14 b(b)p Fm(g)p Fo(;)26 b(a)18 b Fm(\\)h Fo(b)k Fm(\022)f Fo(a;)28 b(a)18 b Fm(n)g Fo(b)23 b Fm(\022)f Fo(a)p Fr(.)0 2786 y(2.)36 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(a)c Fm(^)g Fo(y)25 b Fm(2)f Fo(b)45 b Fm(\))i(f)p Fo(x)p Fm(g)p Fo(;)14 b Fm(f)p Fo(x;)g(y)s Fm(g)21 b(2)i Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)c Fm([)g Fo(b)p Fr(\))46 b Fm(\))g Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fr(=)g Fm(ff)p Fo(x)p Fm(g)p Fo(;)14 b Fm(f)p Fo(x;)g(y)s Fm(gg)20 b(2)k Fr(P)n(ot)o(\(P)n (ot)o(\()p Fo(a)18 b Fm([)h Fo(b)p Fr(\)\).)0 2886 y(Also)27 b Fo(a)19 b Fm(\002)f Fo(b)k Fm(\022)h Fr(P)n(ot)o(\(P)n(ot)o(\()p Fo(a)c Fm([)g Fo(b)p Fr(\)\).)0 2985 y(3.)36 b Fo(b)137 2955 y Fi(a)200 2985 y Fm(\022)23 b Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)c Fm(\002)f Fo(b)p Fr(\).)0 3085 y(4.)36 b Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(r)49 b Fm(\))d(f)p Fo(x;)14 b(y)s Fm(g)22 b(2)910 3023 y Fd(S)993 3085 y Fo(r)49 b Fm(\))d Fo(x;)14 b(y)27 b Fm(2)1438 3023 y Fd(S)14 b(S)1604 3085 y Fo(r)r Fr(.)38 b(Also)27 b(dom\()p Fo(r)r Fr(\))p Fo(;)14 b Fr(ran\()p Fo(r)r Fr(\))p Fo(;)g(r)r Fr([)p Fo(a)p Fr(])25 b Fm(\022)2691 3023 y Fd(S)14 b(S)2857 3085 y Fo(r)r Fr(.)0 3184 y(5.)36 b Fo(r)r Fm(j)p Fo(a)24 b Fm(\022)f Fo(r)n(;)37 b(r)453 3154 y Fj(\000)p Fn(1)566 3184 y Fm(\022)23 b Fr(ran)o(\()p Fo(r)r Fr(\))d Fm(\002)e Fr(dom)o(\()p Fo(r)r Fr(\))p Fo(;)39 b(a)18 b Fm(\016)g Fo(r)26 b Fm(\022)c Fr(dom\()p Fo(r)r Fr(\))e Fm(\002)e Fr(ran)o(\()p Fo(a)p Fr(\).)0 3284 y(b\),c\),d\))29 b(Rel\()p Fo(R)q Fr(\))46 b Fm(\))g Fo(R)24 b Fm(\022)f Fr(dom\()p Fo(R)q Fr(\))18 b Fm(\002)g Fr(ran)o(\()p Fo(R)q Fr(\))p Fo(:)24 b(F)12 b Fm(j)p Fo(a)23 b Fm(\022)f Fo(a)d Fm(\002)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])p Fo(:)23 b(F)35 b Fr(=)22 b Fo(F)12 b Fm(j)p Fr(dom\()p Fo(F)g Fr(\))q(.)1084 b Fm(4)0 3496 y Fq(8)112 b(Ordinalzahlen)0 3633 y Fp(De\014nition)0 3733 y Fr(1.)36 b(Eine)28 b(Relation)f Fo(R)h Fr(hei\031t)g Ff(transitiv)p Fr(,)f(falls)g(gilt:)37 b Fm(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)t Fr(\()p Fo(R)q(xy)20 b Fm(^)f Fo(R)q(y)s(z)26 b Fm(!)d Fo(R)q(xz)t Fr(\).)0 3833 y(2.)36 b Fo(x)148 3845 y Fi(R)226 3833 y Fr(:=)23 b Fm(f)p Fo(y)i Fr(:)37 b Fo(R)q(y)s(x)p Fm(g)166 b Fr(\()p Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(V)5 b(;)37 b(R)28 b Fr(Relation\))0 3932 y(3.)36 b Fm(2)24 b Fr(:=)f Fm(f)p Fn(\()o Fo(y)s(;)14 b(x)p 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y Fr(Sei)28 b Fo(R)g Fr(eine)g(Relation.)0 4904 y Fo(R)g Ff(fundiert)47 b Fr(:)p Fm(,)f(8)p Fo(u)p Fr(\()p Fo(u)22 b Fm(6)p Fr(=)g Fm(;)h(!)g(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(u)p Fm(8)p Fo(y)j Fm(2)d Fo(x)1458 4916 y Fi(R)1513 4904 y Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(62)e Fo(u)p Fr(\)\).)0 5004 y Fo(R)k Ff(w)n(ohlfundiert)46 b Fr(:)p Fm(,)h Fo(R)28 b Fr(fundiert)g(und)g Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)1493 5016 y Fi(R)1571 5004 y Fm(2)23 b Fo(V)c Fr(\))p Fo(:)0 5141 y Fg(Bemerkung:)0 5240 y Fr(a\))27 b(Gilt)i(\(I\))f(\(o)r(der)f(\(I)r(I\)\))i(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(R)q Fr(,)f(so)g(ist)h Fo(R)g Fr(fundiert.)0 5340 y(b\))g(Jede)f(fundierte)h(Relation)g(ist)f(irre\015exiv.)36 b([)23 b Fo(R)q(z)t(z)39 b Fm(\))e(f)p Fo(z)t Fm(g)22 b(6)p Fr(=)g Fm(;)c(^)h(:9)p Fo(x)9 b Fm(2)g(f)p Fo(z)t Fm(g8)p Fo(y)j Fm(2)d Fo(x)2757 5352 y Fi(R)2811 5340 y Fr(\()p Fo(y)27 b Fm(62)c(f)p Fo(z)t Fm(g)p Fr(\)])1908 5539 y(28)p eop %%Page: 29 30 29 29 bop 0 83 a Fp(Lemma)30 b(8.2)0 183 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f(transitiv)n(e)g(w)n(ohlfundierte)h(Relation)f Fo(R)h Fr(gelten)g(die)f(Prinzipien)g(\(I\))i(und)f(\(I)r(I\).)0 285 y Fg(Bew)n(eis)f(von)g Fr(\(I\))p Fg(:)0 384 y Fr(Gelte)h Fo(u)23 b Fm(2)g Fo(C)6 b Fr(.)65 b(F)-7 b(all)27 b(1:)37 b Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(u)1000 396 y Fi(R)1054 384 y Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(62)d Fo(C)6 b Fr(\).)37 b(Dann)28 b(fertig.)0 484 y(F)-7 b(all)31 b(2:)43 b Fm(9)p Fo(y)17 b Fm(2)e Fo(u)496 496 y Fi(R)550 484 y Fr(\()p Fo(y)31 b Fm(2)e Fo(C)6 b Fr(\).)47 b(Dann)31 b Fo(a)d Fr(:=)g Fo(u)1369 496 y Fi(R)1443 484 y Fm(\\)21 b Fo(C)35 b Fm(6)p Fr(=)28 b Fm(;)p Fr(.)46 b(Da)30 b Fo(R)i Fr(fundiert)f(ist,)h (existiert)e(ein)h Fo(c)e Fm(2)f Fo(a)j Fr(mit)g Fm(8)p Fo(y)17 b Fm(2)d Fo(c)3558 496 y Fi(R)3613 484 y Fr(\()p Fo(y)31 b Fm(62)e Fo(a)p Fr(\).)0 584 y(Aus)f Fo(c)23 b Fm(2)g Fo(u)354 596 y Fi(R)436 584 y Fr(und)28 b(der)f(T)-7 b(ransitivit\177)-42 b(at)27 b(v)n(on)g Fo(R)h Fr(folgt)g Fo(c)1706 596 y Fi(R)1783 584 y Fm(\022)23 b Fo(u)1919 596 y Fi(R)1973 584 y Fr(.)37 b(Somit)28 b Fo(c)23 b Fm(2)g Fo(C)34 b Fr(und)28 b Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(c)2869 596 y Fi(R)2923 584 y Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(62)d Fo(C)6 b Fr(\).)606 b Fm(4)0 740 y Fp(Satz)33 b(8.3)27 b Fr(\(Rekursion)i(\177)-44 b(ub)r(er)27 b(transitiv)n(e)g(w)n (ohlfundierte)g(Relationen\))0 840 y(Sei)j Fo(R)g Fr(w)n(ohlfundiert)f (und)h(transitiv,)g(und)g(sei)f Fo(G)d Fr(:)g Fo(A)20 b Fm(\002)g Fo(V)45 b Fm(!)26 b Fo(V)19 b Fr(.)42 b(Dann)30 b(existiert)f(genau)g(eine)g(F)-7 b(unktion)30 b Fo(F)38 b Fr(:)27 b Fo(A)f Fm(!)g Fo(V)0 939 y Fr(mit)i Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)f Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(x)756 951 y Fi(R)812 939 y Fr(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)g Fo(x)d Fm(2)f Fo(A)p Fr(.)0 1041 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 1141 y Fr(Sei)h Fo(C)h Fr(:=)23 b Fm(f)p Fo(f)31 b Fr(:)37 b(Fkt\()p Fo(f)9 b Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))24 b Fm(\022)e Fo(A)d Fm(^)g(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fr(dom\()p Fo(f)g Fr(\)\()p Fo(A)19 b Fm(\\)g Fo(x)2052 1153 y Fi(R)2130 1141 y Fm(\022)k Fr(dom)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))19 b Fm(^)g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))23 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(f)9 b Fm(j)p Fo(x)3154 1153 y Fi(R)3210 1141 y Fr(\)\))p Fm(g)27 b Fr(und)h Fo(F)35 b Fr(:=)3708 1079 y Fd(S)3791 1141 y Fo(C)6 b Fr(.)0 1270 y(\(1\))28 b Fo(f)175 1282 y Fn(1)212 1270 y Fo(;)14 b(f)290 1282 y Fn(2)349 1270 y Fm(2)24 b Fo(C)h Fm(^)18 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fr(dom\()p Fo(f)964 1282 y Fn(1)1001 1270 y Fr(\))c Fm(\\)g Fr(dom\()p Fo(f)1356 1282 y Fn(2)1393 1270 y Fr(\))46 b Fm(\))g Fo(f)1641 1282 y Fn(1)1678 1270 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)f Fo(f)1942 1282 y Fn(2)1979 1270 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\).)0 1399 y(Bew)n(eis)k(durc)n(h)h(Induktion)j(\177)-44 b(ub)r(er)28 b Fo(R)q Fr(:)38 b(Sei)29 b Fo(x)24 b Fm(2)h Fr(dom\()p Fo(f)1725 1411 y Fn(1)1762 1399 y Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(dom\()p Fo(f)2117 1411 y Fn(2)2154 1399 y Fr(\).)40 b(Dann)28 b Fo(A)20 b Fm(\\)f Fo(x)2677 1411 y Fi(R)2756 1399 y Fm(\022)24 b Fr(dom\()p Fo(f)3075 1411 y Fn(1)3112 1399 y Fr(\))19 b Fm(\\)g Fr(dom\()p Fo(f)3467 1411 y Fn(2)3504 1399 y Fr(\))29 b(und)g(nac)n(h)0 1499 y(I.V.)f Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)18 b Fm(\\)h Fo(x)531 1511 y Fi(R)586 1499 y Fr(\()p Fo(f)659 1511 y Fn(1)696 1499 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))24 b(=)e Fo(f)956 1511 y Fn(2)993 1499 y Fr(\()p Fo(y)s Fr(\)\),)28 b(d.h.)38 b Fo(f)1401 1511 y Fn(1)1438 1499 y Fm(j)p Fo(x)1508 1511 y Fi(R)1586 1499 y Fr(=)22 b Fo(f)1714 1511 y Fn(2)1751 1499 y Fm(j)p Fo(x)1821 1511 y Fi(R)1876 1499 y Fr(.)37 b(W)-7 b(egen)28 b Fo(f)2245 1511 y Fn(1)2281 1499 y Fo(;)14 b(f)2359 1511 y Fn(2)2419 1499 y Fm(2)24 b Fo(C)34 b Fr(folgt)27 b Fo(f)2823 1511 y Fn(1)2860 1499 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))d(=)f Fo(f)3124 1511 y Fn(2)3161 1499 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\).)0 1628 y(\(2\))28 b(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b(=)883 1566 y Fd(S)952 1628 y Fm(f)p Fr(dom)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))24 b(:)36 b Fo(f)c Fm(2)24 b Fo(C)6 b Fm(g)18 b(^)h(8)p Fo(f)e Fm(2)9 b Fo(C)d Fr(\()p Fo(f)32 b Fr(=)23 b Fo(F)12 b Fm(j)p Fr(dom\()p Fo(f)d Fr(\)\).)0 1757 y(Bew)n(eis)27 b(mittels)h(\(1\).)37 b(\(klar\))0 1887 y(\(3\))28 b Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fr(dom\()p Fo(F)j Fr(\)\()p Fo(A)19 b Fm(\\)g Fo(x)821 1899 y Fi(R)899 1887 y Fm(\022)k Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))19 b Fm(^)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)f Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(x)1969 1899 y Fi(R)2025 1887 y Fr(\)\))0 2016 y(Bew)n(eis:)37 b(Sei)28 b Fo(x)c Fm(2)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\).)39 b(Dann)28 b Fo(x)c Fm(2)g Fr(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\))24 b Fm(\022)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))29 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(ein)g Fo(f)k Fm(2)24 b Fo(C)6 b Fr(.)39 b(F)-7 b(olglic)n(h)27 b Fo(A)19 b Fm(\\)g Fo(x)3067 2028 y Fi(R)3146 2016 y Fm(\022)k Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\).)38 b(Nac)n(h)28 b(\(2\))0 2116 y(gilt)g Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)e Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)f Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(f)9 b Fm(j)p Fo(x)1009 2128 y Fi(R)1064 2116 y Fr(\))23 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(x)1523 2128 y Fi(R)1579 2116 y Fr(\).)0 2245 y(\(4\))28 b Fo(A)23 b Fr(=)g(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))0 2374 y(Bew)n(eis:)36 b(Die)28 b(Inklusion)f Fo(D)r Fr(\()p Fo(F)12 b Fr(\))24 b Fm(\022)f Fo(A)k Fr(ist)h(trivial.)37 b Fo(A)23 b Fm(\022)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))28 b(zeigen)g(wir)f(durc)n(h)g(Induktion)j(\177)-44 b(ub)r(er)27 b Fo(R)q Fr(.)0 2474 y(Sei)h Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(A)p Fr(,)k(und)g Fo(a)23 b Fr(:=)f Fo(A)d Fm(\\)g Fo(x)941 2486 y Fi(R)1019 2474 y Fm(\022)j Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))28 b(\(I.V.\).)38 b(Zu)28 b(zeigen:)36 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\).)0 2573 y(Da)28 b Fo(R)h Fr(fundiert)g(ist,)g(gilt)f Fm(:)p Fo(R)q(xx)p Fr(,)i(also)d Fo(x)e Fm(62)f Fo(a)p Fr(.)39 b(Sei)28 b Fo(f)33 b Fr(:=)24 b Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(a)19 b Fm([)g(f)p Fn(\()p Fo(x;)14 b(G)p Fr(\()p Fo(x;)g(F)e Fm(j)p Fo(x)2533 2585 y Fi(R)2589 2573 y Fr(\))p Fn(\))p Fm(g)p Fr(.)38 b(Wir)29 b(zeigen)e Fo(f)33 b Fm(2)25 b Fo(C)6 b Fr(,)29 b(w)n(oraus)d(dann)0 2673 y Fo(x)e Fm(2)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))28 b(folgt.)0 2773 y(W)-7 b(egen)26 b Fo(x)d Fm(62)h Fo(a)i Fr(gilt)f(Fkt)q(\()p Fo(f)9 b Fr(\).)36 b(T)-7 b(rivialerw)n(eise)24 b(ist)i(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\))23 b Fm(\022)g Fo(A)p Fr(.)36 b(W)-7 b(egen)26 b Fo(a)d Fm(\022)g Fr(dom)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\))27 b(gilt)f(auc)n(h)f Fo(a)e Fm(\022)g Fr(dom)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\).)37 b(Sei)26 b(n)n(un)0 2872 y Fo(y)g Fm(2)d Fr(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\):)0 2972 y(1.)36 b Fo(y)26 b Fm(2)e Fo(a)p Fr(:)36 b(Dann)28 b Fo(A)19 b Fm(\\)g Fo(y)771 2984 y Fi(R)848 2972 y Fm(\022)k Fo(a)k Fr(\(da)h Fo(R)g Fr(transitiv\))g(und)g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))23 b(=)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))23 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(y)s(;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(y)2639 2984 y Fi(R)2693 2972 y Fr(\))24 b(=)e Fo(G)p Fr(\()p Fo(y)s(;)14 b(f)9 b Fm(j)p Fo(y)3128 2984 y Fi(R)3182 2972 y Fr(\).)0 3071 y(2.)36 b Fo(y)26 b Fr(=)d Fo(x)p Fr(:)37 b(In)28 b(diesem)g(F)-7 b(all)27 b(gilt)h Fo(A)19 b Fm(\\)f Fo(x)1251 3083 y Fi(R)1329 3071 y Fm(\022)23 b Fo(a)k Fr(und)i Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))23 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(x)2243 3083 y Fi(R)2299 3071 y Fr(\))23 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(x;)14 b(f)9 b Fm(j)p Fo(x)2743 3083 y Fi(R)2798 3071 y Fr(\).)0 3201 y(Die)28 b(Eindeutigk)n(eit)f(v)n(on)g Fo(F)40 b Fr(folgt)27 b(sofort)g(durc)n(h)g(Induktion)j(\177)-44 b(ub)r(er)27 b Fo(R)q Fr(.)1593 b Fm(4)0 3357 y Fg(Bemerkung:)28 b Fr(Auf)g(die)g(V)-7 b(oraussetzung)26 b(\\)p Fo(R)i Fr(transitiv")f(in)h(8.2)e(und)i(8.3)f(k)-5 b(ann)28 b(v)n(erzic)n(h)n(tet)e(w)n(erden)h(\(siehe)h(...\).)0 3514 y Fp(De\014nition)0 3613 y Fr(1.)36 b Fo(R)24 b Fm(\022)f Fo(A)c Fm(\002)f Fo(A)28 b Fr(hei\031t)f Ff(lineare)g(Ordn)n (ung)f(auf)i Fo(A)p Fr(,)g(falls)f(gilt:)0 3713 y(\(i\))h Fm(8)p Fo(x)14 b Fm(:)p Fo(R)q(xx)p Fr(,)84 b(\(ii\))28 b Fm(8)p Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)t Fr(\()p Fo(R)q(z)t(y)19 b Fm(^)g Fo(R)q(y)s(x)j Fm(!)i Fo(R)q(z)t(x)p Fr(\),)110 b(\(iii\))28 b Fm(8)p Fo(x;)14 b(y)e Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(R)q(y)s(x)19 b Fm(_)g Fo(x)k Fr(=)g Fo(y)e Fm(_)e Fo(R)q(xy)s Fr(\).)0 3842 y(2.)36 b(Eine)28 b(lineare)e(Ordn)n(ung)h Fo(R)h Fr(auf)g Fo(A)g Fr(hei\031t)f Ff(W)-7 b(ohlordn)n(ung)27 b(auf)h Fo(A)p Fr(,)g(falls)f Fo(R)h Fr(w)n(ohlfundiert)g(ist.)0 3971 y(3.)40 b Fo(A)29 b Fr(hei\031t)g Ff(w)n(ohlgeordnet)e(\(linear)h (geordnet\))g(durc)n(h)g Fo(R)q Fr(,)h(falls)g Fo(R)20 b Fm(\\)f Fr(\()p Fo(A)h Fm(\002)f Fo(A)p Fr(\))29 b(eine)g(W)-7 b(ohlordn)n(ung)28 b(\(lineare)g(Ordn)n(ung\))0 4071 y(auf)g Fo(A)g Fr(ist.)0 4200 y(4.)36 b(Ist)25 b Fo(A)e Fm(2)h Fo(V)44 b Fr(und)26 b Fo(R)g Fr(eine)f(W)-7 b(ohlordn)n(ung)24 b(auf)h Fo(A)p Fr(,)h(so)f(nenn)n(t)h(man)f(das)f(P)n(aar)f(\()p Fo(A;)14 b(R)q Fr(\))26 b(eine)f Ff(w)n(ohlgeordnete)f(Menge)h Fr(o)r(der)0 4300 y(kurz)i Ff(W)-7 b(ohlordn)n(ung)p Fr(.)0 4456 y Fg(Bemerkung:)28 b Fr(Wird)g Fo(A)g Fr(durc)n(h)f Fo(R)h Fr(w)n(ohlgeordnet,)e(so)h(gilt:)0 4556 y(a\))g(Jede)h(nic)n(h)n (tleere)f(Klasse)f Fo(C)j Fm(\022)23 b Fo(A)28 b Fr(b)r(esitzt)g(ein)g (\(eindeutig)g(b)r(estimm)n(tes\))g Ff(kleinstes)f(Elemen)n(t)h Fr(min)3258 4568 y Fi(R)3313 4556 y Fr(\()p Fo(C)6 b Fr(\).)0 4656 y(b\))28 b(Jede)f(T)-7 b(eilklasse)27 b Fo(B)g Fm(\022)c Fo(A)28 b Fr(wird)f(eb)r(enfalls)h(durc)n(h)f Fo(R)h Fr(w)n(ohlgeordnet.)0 4785 y(Bew)n(eis)35 b(v)n(on)f(a\):)53 b(Sei)35 b Fo(Q)h Fr(:=)g Fo(R)24 b Fm(\\)g Fr(\()p Fo(A)g Fm(\002)f Fo(A)p Fr(\).)61 b(Nac)n(h)35 b(Lemma)g(8.1)g(existiert)g (ein)h Fo(a)f Fm(2)i Fo(C)42 b Fr(mit)36 b Fo(C)30 b Fm(\\)24 b Fo(a)3294 4797 y Fi(Q)3386 4785 y Fr(=)36 b Fm(;)p Fr(.)60 b(Es)34 b(folgt)0 4885 y Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(C)d Fr(\()p Fm(:)p Fo(R)q(y)s(a)p Fr(\))28 b(und)g(w)n(eiter)f Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(C)d Fr(\()p Fo(y)26 b Fr(=)c Fo(a)d Fm(_)f Fo(R)q(ay)s Fr(\),)28 b(d.h.)37 b Fo(a)23 b Fr(=)g(min)2195 4897 y Fi(R)2249 4885 y Fr(\()p Fo(C)6 b Fr(\).)0 5041 y Fp(De\014nition)0 5141 y Fr(1.)36 b(Eine)28 b(Klasse)e Fo(A)i Fr(hei\031t)f Ff(transitiv)p Fr(,)h(falls)f(gilt)h Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(x)24 b Fm(\022)f Fo(A)p Fr(\).)0 5240 y(2.)36 b(Eine)28 b Ff(Ordinalzahl)e Fr(ist)i(eine)f(transitiv)n (e)g(Menge,)g(die)h(durc)n(h)f(die)h(Elemen)n(trelation)e Fm(2)i Fr(w)n(ohlgeordnet)e(wird.)0 5340 y(3.)36 b Fo(O)r(n)24 b Fr(:=)f Fm(f)p Fo(x)g Fr(:)37 b Fo(x)28 b Fr(ist)g(Ordinalzahl)12 b Fm(g)1908 5539 y Fr(29)p eop %%Page: 30 31 30 30 bop 0 83 a Fo(\013;)14 b(\014)t(;)g(\015)5 b(;)14 b(\016)o(;)g(\030)t(;)g(\021)s(;)g(\020)34 b Fr(b)r(ezeic)n(hnen)27 b(im)h(folgenden)g(stets)f(Ordinalzahlen.)0 183 y(F)-7 b(erner)27 b(sc)n(hreib)r(en)g(wir)g(auc)n(h)g Fo(\013)d(<)e(\014)32 b Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(\013)23 b Fm(2)h Fo(\014)t Fr(,)k(so)n(wie)f Fo(\013)c Fm(\024)g Fo(\014)32 b Fr(f)r(\177)-44 b(ur)27 b Fo(\013)d Fm(2)f Fo(\014)g Fm(_)c Fo(\013)k Fr(=)g Fo(\014)t Fr(.)0 336 y Fp(Lemma)30 b(8.4)0 435 y Fr(a\))d Fo(\013)d Fm(2)f Fo(O)r(n)47 b Fm(\))f Fo(\013)24 b Fm(\022)e Fo(O)r(n)111 b Fr(\(d.h.)38 b Fo(O)r(n)28 b Fr(ist)g(transitiv\))0 535 y(b\))g Fo(\013)c Fm(\024)e Fo(\014)51 b Fm(,)46 b Fo(\013)23 b Fm(\022)g Fo(\014)0 636 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 735 y Fr(a\))g(Sei)h Fo(x)23 b Fm(2)g Fo(\013)p Fr(.)38 b(Dann)27 b Fo(x)d Fm(\022)e Fo(\013)28 b Fr(und)g(somit)f Fo(x)h Fr(w)n(ohlgeordnet)d(durc)n(h)i Fm(2)p Fr(.)37 b(Bleibt)28 b(zu)f(zeigen,)g(da\031)f Fo(x)i Fr(transitiv)f(ist.)37 b(Sei)27 b(also)0 835 y Fo(y)32 b Fm(2)d Fo(x)21 b Fm(^)g Fo(z)33 b Fm(2)c Fo(y)s Fr(.)47 b(W)-7 b(egen)31 b Fo(x)f Fm(2)f Fo(\013)j Fr(und)f Fo(\013)h Fr(transitiv)f(folgt)g(dann)g Fo(x;)14 b(y)s(;)g(z)32 b Fm(2)d Fo(\013)j Fr(und)f(w)n(eiter)g Fo(z)h Fm(2)d Fo(x)p Fr(,)k(da)e Fo(\013)h Fr(durc)n(h)e Fm(2)i Fr(linear)0 934 y(geordnet)27 b(wird.)0 1034 y(b\))h(\\)p Fm(\))p Fr(")f(Aus)h Fo(\013)23 b Fm(2)h Fo(\014)j Fm(2)c Fo(O)r(n)28 b Fr(folgt)g Fo(\013)23 b Fm(\022)g Fo(\014)t Fr(.)0 1134 y(\\)p Fm(\()p Fr(")29 b(Sei)i Fo(\013)c Fm(\022)g Fo(\014)35 b Fr(und)30 b Fo(\013)e Fm(6)p Fr(=)f Fo(\014)t Fr(.)45 b(Dann)30 b Fm(;)d(6)p Fr(=)g Fo(\014)e Fm(n)19 b Fo(\013)28 b Fm(\022)f Fo(\014)t Fr(.)45 b(F)-7 b(olglic)n(h)29 b(existiert)h(ein)g Fo(c)e Fm(2)f Fo(\014)e Fm(n)20 b Fo(\013)30 b Fr(mit)h Fo(c)20 b Fm(\\)h Fr(\()p Fo(\014)j Fm(n)c Fo(\013)p Fr(\))28 b(=)f Fm(;)p Fr(.)44 b(Wir)0 1233 y(zeigen)27 b(n)n(un)h Fo(\013)23 b Fr(=)g Fo(c)28 b Fr(und)g(somit)f Fo(\013)d Fm(2)f Fo(\014)t Fr(.)0 1333 y(1.)36 b(Sei)28 b Fo(x)c Fm(2)f Fo(\013)p Fr(.)38 b(W)-7 b(egen)27 b Fo(c)c Fm(62)g Fo(\013)p Fr(,)29 b(k)-5 b(ann)27 b(nic)n(h)n(t)h Fo(c)23 b Fr(=)f Fo(x)d Fm(_)g Fo(c)k Fm(2)h Fo(x)k Fr(sein.)36 b(Mit)29 b Fo(c;)14 b(x)23 b Fm(2)g Fo(\014)32 b Fr(folgt)c(deshalb)f Fo(x)c Fm(2)h Fo(c)p Fr(.)0 1433 y(2.)36 b(Sei)28 b Fo(x)c Fm(2)f Fo(c)p Fr(.)37 b(Dann)28 b Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(\014)t Fr(,)k(und)g(mit)g Fo(c)19 b Fm(\\)f Fr(\()p Fo(\014)23 b Fm(n)18 b Fo(\013)p Fr(\))24 b(=)f Fm(;)k Fr(folgt)g Fo(x)d Fm(2)f Fo(\013)p Fr(.)1580 b Fm(4)0 1586 y Fp(Satz)33 b(8.5)0 1685 y Fr(a\))27 b Fo(O)r(n)i Fr(wird)e(durc)n(h)g Fm(2)h Fr(w)n(ohlgeordnet.)0 1785 y(b\))g Fo(O)r(n)c Fm(62)f Fo(V)c Fr(.)0 1886 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 1985 y Fr(a\))g(1.)37 b(Sei)28 b Fo(\013)23 b Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(.)37 b(W\177)-42 b(are)27 b Fo(\013)c Fm(2)h Fo(\013)p Fr(,)k(so)f Fm(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(\013)p Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(2)f Fo(x)p Fr(\))k(und)g(damit)g Fo(\013)g Fr(nic)n(h)n(t)g(w)n(ohlgeordnet)e(durc)n(h)h Fm(2)p Fr(.)37 b(Also)27 b Fo(\013)d Fm(62)f Fo(\013)p Fr(.)0 2085 y(2.)36 b(Da)28 b(jedes)g Fo(\015)f Fm(2)d Fo(O)r(n)k Fr(transitiv)f(ist,)h(gilt:)37 b Fo(\013;)14 b(\014)t(;)g(\015)28 b Fm(2)23 b Fo(O)r(n)47 b Fr(&)f Fo(\013)23 b Fm(2)h Fo(\014)50 b Fr(&)c Fo(\014)27 b Fm(2)d Fo(\015)50 b Fm(\))c Fo(\013)24 b Fm(2)f Fo(\015)5 b Fr(.)0 2184 y(3.)42 b(Seien)30 b Fo(\013;)14 b(\014)31 b Fm(2)26 b Fo(O)r(n)p Fr(.)43 b(O\013en)n(bar)28 b Fo(\015)j Fr(:=)26 b Fo(\013)20 b Fm(\\)g Fo(\014)31 b Fm(2)26 b Fo(O)r(n)p Fr(.)43 b(Nac)n(h)29 b(1.)g(ist)h Fo(\015)h Fm(62)26 b Fo(\015)5 b Fr(,)30 b(also)e Fo(\015)j Fm(62)c Fo(\013)20 b Fm(_)g Fo(\015)30 b Fm(62)d Fo(\014)t Fr(.)43 b(Aus)30 b Fo(\015)g Fm(\022)c Fo(\013)20 b Fm(^)g Fo(\015)31 b Fm(\022)26 b Fo(\014)0 2284 y Fr(folgt)g(mit)h(8.4)e(\()p Fo(\015)j Fm(2)23 b Fo(\013)16 b Fm(_)g Fo(\015)28 b Fr(=)22 b Fo(\013)p Fr(\))17 b Fm(^)e Fr(\()p Fo(\015)28 b Fm(2)c Fo(\014)c Fm(_)15 b Fo(\015)28 b Fr(=)23 b Fo(\014)t Fr(\).)37 b(Also)26 b(gilt)g Fo(\015)h Fr(=)c Fo(\013)16 b Fm(_)g Fo(\015)28 b Fr(=)22 b Fo(\014)31 b Fr(und)26 b(somit)g Fo(\013)e Fm(\022)e Fo(\014)e Fm(_)c Fo(\014)27 b Fm(\022)c Fo(\013)p Fr(,)k(d.h.)g(nac)n(h)0 2384 y(8.3)54 b Fo(\013)24 b Fm(\024)f Fo(\014)f Fm(_)d Fo(\014)28 b Fm(\024)22 b Fo(\013)p Fr(.)0 2483 y(4.)39 b(Sei)29 b Fm(;)24 b(6)p Fr(=)g Fo(u)g Fm(\022)g Fo(O)r(n)p Fr(,)29 b(et)n(w)n(a)e Fo(\013)e Fm(2)g Fo(u)p Fr(.)39 b(Zu)28 b(zeigen:)38 b Fm(9)p Fo(\015)16 b Fm(2)11 b Fo(u)p Fr(\()p Fo(u)18 b Fm(\\)h Fo(\015)29 b Fr(=)24 b Fm(;)p Fr(\).)40 b(Ist)28 b Fo(u)19 b Fm(\\)g Fo(\013)25 b Fr(=)f Fm(;)p Fr(,)k(so)g(fertig.)39 b(Andernfalls)28 b(existiert)0 2583 y(ein)g Fo(\015)f Fm(2)d Fo(u)18 b Fm(\\)h Fo(\013)28 b Fr(mit)g Fo(u)18 b Fm(\\)h Fo(\013)g Fm(\\)f Fo(\015)28 b Fr(=)23 b Fm(;)p Fr(.)36 b(W)-7 b(egen)28 b Fo(\015)f Fm(2)d Fo(\013)k Fr(gilt)f Fo(\015)h Fm(\022)23 b Fo(\013)28 b Fr(und)g(somit)f Fo(u)18 b Fm(\\)h Fo(\013)g Fm(\\)g Fo(\015)27 b Fr(=)c Fo(u)18 b Fm(\\)h Fo(\015)5 b Fr(.)0 2684 y(b\))33 b(Nac)n(h)f(8.4a)f (und)i(8.5a)e(ist)h Fo(O)r(n)h Fr(transitiv)f(und)h(wird)f(durc)n(h)g Fm(2)h Fr(w)n(ohlgeordnet.)49 b(W\177)-42 b(are)32 b Fo(O)r(n)f Fm(2)h Fo(V)18 b Fr(,)34 b(so)e(w\177)-42 b(are)31 b Fo(O)r(n)i Fr(eine)0 2783 y(Ordinalzahl,)26 b(d.h.)38 b Fo(O)r(n)23 b Fm(2)h Fo(O)r(n)k Fr(im)g(Widerspruc)n(h)e (zu)i(a\).)1998 b Fm(4)0 2910 y Fp(Korollar)0 3010 y Fr(a\))27 b(Jede)h(nic)n(h)n(tleere)f(Klasse)f Fo(C)34 b Fr(v)n(on)27 b(Ordinalzahlen)f(b)r(esitzt)i(\(genau\))g(ein)f (kleinstes)h(Elemen)n(t)f(min\()p Fo(C)6 b Fr(\).)0 3109 y(b\))28 b Fm(8)p Fo(\013)p Fr(\()p Fm(8)p Fo(\030)13 b Fm(2)c Fo(\013)p Fr(\()p Fo(\030)28 b Fm(2)23 b Fo(C)6 b Fr(\))38 b Fm(!)23 b Fo(\013)g Fm(2)h Fo(C)6 b Fr(\))37 b Fm(!)g(8)p Fo(\013)p Fr(\()p Fo(\013)23 b Fm(2)h Fo(C)6 b Fr(\),)56 b(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(jede)h(Klasse)f Fo(C)6 b Fr(.)0 3209 y(c\))28 b(Zu)f(jedem)i Fo(G)23 b Fr(:)g Fo(V)42 b Fm(!)23 b Fo(V)47 b Fr(gibt)27 b(es)h(genau)e(eine)i (F)-7 b(unktion)28 b Fo(F)35 b Fr(:)23 b Fo(O)r(n)h Fm(!)f Fo(V)46 b Fr(mit)29 b Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))23 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(\013)p Fr(\),)29 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\013)c Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(.)0 3310 y Fg(Bew)n(eis)j(:)0 3409 y Fr(b\))h(Sei)g Fo(C)299 3421 y Fn(1)359 3409 y Fr(:=)23 b Fm(f)p Fo(x)g Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(O)r(n)31 b Fr(_)-54 b Fm(!)24 b(2)f Fo(C)6 b Fm(g)28 b Fr(und)g Fo(R)23 b Fr(:=)g Fm(2)c(\\)g Fr(\()p Fo(O)r(n)g Fm(\002)f Fo(O)r(n)p Fr(\).)38 b(Nac)n(h)27 b(8.5)f(und)i(8.2)f(gilt)h(dann)0 3509 y Fm(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)173 3521 y Fi(R)251 3509 y Fm(\022)22 b Fo(C)397 3521 y Fn(1)458 3509 y Fm(!)h Fo(x)h Fm(2)f Fo(C)772 3521 y Fn(1)810 3509 y Fr(\))g Fm(!)g(8)p Fo(x)p Fr(\()p Fo(x)g Fm(2)h Fo(C)1305 3521 y Fn(1)1342 3509 y Fr(\),)29 b(i.e.)36 b Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(\()p Fm(8)p Fo(y)j Fm(2)d Fo(x)p Fr(\()p Fo(y)28 b Fm(2)23 b Fo(C)6 b Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(x)g Fm(2)h Fo(C)6 b Fr(\))23 b Fm(!)g(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(2)e Fo(C)6 b Fr(\).)0 3609 y(c\))28 b(Man)f(w)n(ende)h (8.3)e(auf)i Fo(R)c Fr(:=)f Fm(2)18 b(\\)h Fr(\()p Fo(O)r(n)g Fm(\002)f Fo(O)r(n)p Fr(\))29 b(und)f Fo(G)1815 3621 y Fn(1)1875 3609 y Fr(:)c Fo(O)r(n)18 b Fm(\002)g Fo(V)42 b Fm(!)23 b Fo(V)5 b(;)37 b(G)2512 3621 y Fn(1)2550 3609 y Fr(\()p Fo(\013;)14 b(f)9 b Fr(\))24 b(:=)e Fo(G)p Fr(\()p Fo(f)9 b Fr(\))28 b(an.)620 b Fm(4)0 3788 y Fp(Lemma)30 b(8.6)0 3887 y Fr(a\))d(Ist)h Fo(A)23 b Fm(\022)g Fo(O)r(n)28 b Fr(transitiv,)f(so)g(gilt)h(\()p Fo(A)c Fm(2)f Fo(V)56 b Fm(\))37 b Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(\))29 b(und)f(\()p Fo(A)23 b Fm(62)h Fo(V)56 b Fm(\))37 b Fo(A)23 b Fr(=)g Fo(O)r(n)p Fr(\).)0 3987 y(b\))28 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(nic)n(h)n(tleere)e(Klasse)h Fo(A)c Fm(\022)g Fo(O)r(n)28 b Fr(ist)1504 3925 y Fd(T)1587 3987 y Fo(A)c Fr(=)e(min)q(\()p Fo(A)p Fr(\),)28 b(d.h.)2252 3925 y Fd(T)2335 3987 y Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(A)c Fm(^)g(8)p Fo(\014)14 b Fm(2)9 b Fo(A)p Fr(\()2919 3925 y Fd(T)3002 3987 y Fo(A)23 b Fm(\024)g Fo(\014)t Fr(\).)0 4087 y(c\))28 b(F)r(\177)-44 b(ur)27 b(jede)h(Menge)g Fo(A)23 b Fm(\022)g Fo(O)r(n)28 b Fr(ist)1127 4024 y Fd(S)1210 4087 y Fo(A)c Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fr(,)28 b(und)g(es)g(gilt)1951 4024 y Fd(S)2034 4087 y Fo(A)c Fr(=)e(sup\()p Fo(A)p Fr(\))i(\(:=)f(min)q Fm(f)p Fo(x)g Fm(2)g Fo(O)r(n)h Fr(:)36 b Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(\024)d Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(\))p Fo(:)0 4186 y Fr(d\))28 b(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(Klasse)e Fo(A)d Fm(\022)g Fo(O)r(n)28 b Fr(gilt:)37 b Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(V)65 b Fm(,)47 b(9)p Fo(\013)10 b Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fm(8)p Fo(x)g Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(\024)e Fo(\013)p Fr(\).)0 4287 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 4387 y Fr(a\))d(Sei)f Fo(A)h Fm(\022)e Fo(O)r(n)j Fr(transitiv.)35 b(Nac)n(h)23 b(8.5a)f(wird)i Fo(A)g Fr(durc)n(h)f Fm(2)h Fr(w)n(ohlgeordnet,)f(also)f(gilt)i(\()p Fo(A)f Fm(2)h Fo(V)56 b Fm(\))37 b Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(\).)37 b(Ist)23 b(dagegen)0 4486 y Fo(A)g Fm(62)h Fo(V)19 b Fr(,)27 b(so)g(hab)r(en)h(wir:)37 b Fo(\013)23 b Fm(2)g Fo(O)r(n)38 b Fm(\))f Fo(A)23 b Fm(6\022)g Fo(\013)37 b Fm(\))g(9)p Fo(\014)14 b Fm(2)9 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(\014)28 b Fm(62)c Fo(\013)p Fr(\))37 b Fm(\))g(9)p Fo(\014)14 b Fm(2)9 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(\013)24 b Fm(\024)f Fo(\014)t Fr(\))38 b Fm(\))e Fo(\013)24 b Fm(2)f Fo(A)p Fr(.)0 4587 y(b\))28 b(Sei)g Fo(\013)23 b Fr(:=)g(min\()p Fo(A)p Fr(\).)38 b(Wir)28 b(hab)r(en)g(dann)f Fm(8)p Fo(\014)14 b Fm(2)9 b Fo(A)p Fr(\()p Fo(\013)23 b Fm(\022)g Fo(\014)t Fr(\))28 b(und)g Fo(\013)c Fm(2)f Fo(A)p Fr(.)37 b(Daraus)27 b(folgt)g Fo(\013)d Fm(\022)3000 4525 y Fd(T)3084 4587 y Fo(A)f Fm(\022)f Fo(\013)p Fr(.)0 4688 y(c\))k(Sei)g Fo(A)d Fm(\022)g Fo(O)r(n)15 b Fm(^)g Fo(A)24 b Fm(2)f Fo(V)c Fr(.)36 b(Wie)27 b(man)e(leic)n(h)n(t)h(nac)n(hrec)n(hnet)e(ist) i(dann)2243 4626 y Fd(S)2326 4688 y Fo(A)g Fr(eine)g(transitiv)n(e)f (Menge)g(v)n(on)g(Ordinalzahlen;)0 4787 y(nac)n(h)h(a\))h(also)461 4725 y Fd(S)544 4787 y Fo(A)d Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fr(.)37 b(Nac)n(h)26 b(De\014nition)i(v)n(on)1635 4725 y Fd(S)1719 4787 y Fo(A)f Fr(und)g(nac)n(h)f(8.4b)g(gilt)g(au\031erdem)g(f)r(\177) -44 b(ur)27 b(alle)f Fo(x)d Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(:)3477 4725 y Fd(S)3560 4787 y Fo(A)f Fm(\024)g Fo(x)37 b Fm(,)0 4887 y(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(\024)d Fo(x)p Fr(\),)28 b(d.h.)718 4825 y Fd(S)801 4887 y Fo(A)c Fr(=)e(min)q Fm(f)p Fo(x)h Fm(2)g Fo(O)r(n)h Fr(:)f Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(y)26 b Fm(\024)c Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 4988 y(d\))28 b(\\)p Fm(\))p Fr(")f(Aus)h Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(V)47 b Fr(folgt)27 b(mit)i(c\))1167 4926 y Fd(S)1250 4988 y Fo(A)24 b Fm(2)f Fo(O)r(n)28 b Fr(und)g Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(\024)2143 4926 y Fd(S)2226 4988 y Fo(A)p Fr(\).)0 5087 y(\\)p Fm(\()p Fr(")i(Aus)h Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(x)24 b Fm(\024)f Fo(\013)p Fr(\))28 b(folgt)f Fo(A)d Fm(\022)e Fo(\013)d Fm([)g(f)p Fo(\013)p Fm(g)27 b Fr(und)h(somit)g Fo(A)23 b Fm(2)g Fo(V)c Fr(.)1610 b Fm(4)0 5240 y Fp(De\014nition)0 5340 y Fr(Sei)28 b Fo(R)g Fr(eine)g(W)-7 b(ohlordn)n(ung)26 b(auf)i Fo(A)p Fr(.)1908 5539 y(30)p eop %%Page: 31 32 31 31 bop 0 83 a Fr(Eine)27 b Ff(Ordn)n(ungsfunktion)g(v)n(on)g Fr(\()p Fo(A;)14 b(R)q Fr(\))28 b(ist)g(eine)f(F)-7 b(unktion)28 b Fo(F)12 b Fr(,)28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(die)f(gilt:)0 183 y(\(1\))h(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(O)r(n)k Fr(o)r(der)f(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b(=)g Fo(O)r(n)p Fr(,)0 282 y(\(2\))28 b(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b(=)g Fo(A)p Fr(,)0 382 y(\(3\))28 b Fm(8)p Fo(\013;)14 b(\014)g Fm(2)9 b Fr(dom)o(\()p Fo(F)j Fr(\)\()p Fo(\014)28 b(<)23 b(\013)g Fm(!)h Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\014)t Fr(\))p Fo(R)q(F)g Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\)\).)0 529 y Fp(Satz)33 b(8.7)0 629 y Fr(Ist)41 b Fo(R)g Fr(eine)g(W)-7 b(ohlordn)n(ung)39 b(auf)i Fo(A)p Fr(,)j(so)c(existiert)g(genau)g(eine)h(Ordn)n (ungsfunktion)f Fo(F)52 b Fr(v)n(on)40 b(\()p Fo(A;)14 b(R)q Fr(\);)48 b(und)41 b(zw)n(ar)e(gilt)0 728 y Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))24 b(=)f(min)432 740 y Fi(R)486 728 y Fm(f)p Fo(x)g Fm(2)h Fo(A)f Fr(:)37 b Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])24 b Fm(\022)e Fo(x)1144 740 y Fi(R)1199 728 y Fm(g)27 b Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\013)d Fm(2)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\).)0 828 y(Man)27 b(nenn)n(t)h(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))28 b(den)g Ff(Ordn)n(ungst)n(yp)e (v)n(on)h Fr(\()p Fo(A;)14 b(R)q Fr(\).)0 927 y(F)-7 b(erner)27 b(gilt:)37 b(\()p Fo(A)23 b Fm(2)h Fo(V)42 b Fm(\))23 b Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(\))k(und)g(\()p Fo(A)c Fm(62)f Fo(V)42 b Fm(\))23 b Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))24 b(=)e Fo(O)r(n)p Fr(\).)0 1027 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 1127 y Ff(Eindeutigk)n(eit:)53 b Fr(Sei)36 b(eine)g Fo(F)48 b Fr(Ordn)n(ungsfunktion)35 b(v)n(on)g(\()p Fo(A;)14 b(R)q Fr(\).)62 b(Durc)n(h)36 b(trans\014nite)f(Induktion)h(nac)n(h)g Fo(\013)g Fr(zeigen)f(wir:)0 1226 y Fo(\013)23 b Fm(2)h Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))23 b Fm(\))37 b Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))24 b(=)f(min)1016 1238 y Fi(R)1071 1226 y Fm(f)p Fo(x)g Fm(2)g Fo(A)g Fr(:)37 b Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])24 b Fm(\022)e Fo(x)1728 1238 y Fi(R)1783 1226 y Fm(g)p Fr(.)37 b(Daraus)26 b(folgt)i(die)g (Eindeutigk)n(eit)f(v)n(on)f Fo(F)40 b Fr(mittels)28 b(8.3.)0 1326 y(Sei)k(also)f Fo(\013)g Fm(2)g Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\).)51 b(W)-7 b(egen)32 b(\(3\))g(gilt)h Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])31 b Fm(\022)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))1874 1338 y Fi(R)1929 1326 y Fr(.)51 b(Sei)32 b(n)n(un)g Fo(x)f Fm(2)g Fo(A)i Fr(mit)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])31 b Fm(\022)f Fo(x)3062 1338 y Fi(R)3117 1326 y Fr(.)50 b(W)-7 b(egen)32 b(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\))32 b(=)e Fo(A)0 1426 y Fr(existiert)f(ein)g Fo(\014)h Fm(2)c Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))30 b(mit)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\014)t Fr(\))27 b(=)e Fo(x)p Fr(.)42 b(W)-7 b(egen)29 b(\(3\))g(m)n(u\031)g(dann)g(gelten)g Fm(8)p Fo(\030)15 b Fm(2)d Fo(\013)p Fr(\()p Fo(\030)31 b(<)25 b(\014)t Fr(\))30 b(und)f(folglic)n(h)g Fo(\013)d Fm(\024)f Fo(\014)34 b Fr(und)0 1525 y Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))24 b Fm(\024)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\014)t Fr(\))23 b(=)g Fo(x)p Fr(.)0 1649 y Ff(Existenz:)0 1748 y Fr(De\014nition)28 b(\(durc)n(h)g(trans\014nite)f(Rekursion\):)0 1879 y Fo(F)53 1891 y Fn(1)114 1879 y Fr(:)c Fo(O)r(n)g Fm(!)g Fo(V)5 b(;)37 b(F)570 1891 y Fn(1)608 1879 y Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))24 b(=)837 1787 y Fd(n)906 1839 y Fr(min)1044 1851 y Fi(R)1099 1839 y Fm(f)p Fo(x)f Fm(2)g Fo(A)h Fr(:)36 b Fo(F)1487 1851 y Fn(1)1525 1839 y Fr([)p Fo(\013)p Fr(])24 b Fm(\022)e Fo(x)1782 1851 y Fi(R)1837 1839 y Fm(g)83 b Fr(falls)27 b Fm(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(F)2448 1851 y Fn(1)2488 1839 y Fr([)p Fo(\013)p Fr(])23 b Fm(\022)g Fo(x)2745 1851 y Fi(R)2800 1839 y Fr(\))906 1939 y(0)1014 b(sonst.)0 2010 y Fo(D)25 b Fr(:=)e Fm(f)p Fo(\013)g Fm(2)g Fo(O)r(n)h Fr(:)37 b Fm(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(A)p Fr(\()p Fo(F)913 2022 y Fn(1)952 2010 y Fr([)p Fo(\013)p Fr(])24 b Fm(\022)e Fo(x)1209 2022 y Fi(R)1264 2010 y Fm(g)j Fr(ist)g(o\013en)n(bar)f(eine)i(transitiv)n (e)e(Klasse)f(v)n(on)i(Ordinalzahlen;)f(also)g Fo(D)i Fm(2)d Fo(O)r(n)j Fr(o)r(der)0 2109 y Fo(D)f Fr(=)e Fo(O)r(n)p Fr(.)0 2209 y(Beh.:)37 b Fo(F)e Fr(:=)23 b Fo(F)477 2221 y Fn(1)514 2209 y Fm(j)p Fo(D)30 b Fr(ist)e(Ordn)n(ungsfunktion)e(v)n (on)h(\()p Fo(A;)14 b(R)q Fr(\).)0 2309 y(O\013en)n(bar)27 b(gilt)g(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))24 b(=)e Fo(D)r(;)37 b Fr(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\))24 b Fm(\022)e Fo(A)28 b Fr(und)g Fm(8)p Fo(\013;)14 b(\014)g Fm(2)9 b Fo(D)r Fr(\()p Fo(\014)28 b(<)22 b(\013)i Fm(!)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\014)t Fr(\))p Fo(R)q(F)g Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\)\).)0 2408 y(Bleibt)28 b(zu)g(zeigen:)36 b Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(A)f Fm(\))g Fo(x)h Fm(2)f Fr(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\).)0 2508 y(Bew)n(eis)27 b(durc)n(h)g Fo(R)q Fr(-Induktion:)36 b(Sei)28 b Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(A)p Fr(.)37 b(Nac)n(h)27 b(I.V.)h(ist)f(dann)h Fo(x)2166 2520 y Fi(R)2244 2508 y Fm(\022)22 b Fr(ran\()p Fo(F)12 b Fr(\).)37 b(O\013en)n(bar)26 b(ist)i Fo(F)3163 2478 y Fj(\000)p Fn(1)3252 2508 y Fr([)p Fo(x)3322 2520 y Fi(R)3377 2508 y Fr(])g(transitiv.)36 b(Da)0 2607 y Fo(F)44 b Fr(injektiv)33 b(ist,)h(gilt)e(auc)n(h)g Fo(F)967 2577 y Fj(\000)p Fn(1)1056 2607 y Fr([)p Fo(x)1126 2619 y Fi(R)1181 2607 y Fr(])f Fm(2)g Fo(V)19 b Fr(;)35 b(folglic)n(h)d Fo(\013)f Fr(:=)g Fo(F)2005 2577 y Fj(\000)p Fn(1)2094 2607 y Fr([)p Fo(x)2164 2619 y Fi(R)2219 2607 y Fr(])g Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(.)52 b(W)-7 b(egen)32 b Fo(x)2868 2619 y Fi(R)2954 2607 y Fm(\022)f Fr(ran)o(\()p Fo(F)12 b Fr(\))33 b(gilt)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])31 b(=)g Fo(x)3822 2619 y Fi(R)3877 2607 y Fr(.)0 2707 y(Daraus)c(folgt)g(w)n(eiter)g Fm(8)p Fo(y)12 b Fm(2)d Fo(A)p Fr(\()p Fo(y)s(R)q(x)37 b Fm(\))g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])23 b Fm(6\022)g Fo(y)1610 2719 y Fi(R)1664 2707 y Fr(\))28 b(und)g(somit)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\))24 b(=)f Fo(x)p Fr(.)0 2854 y Fp(Korollar)0 2954 y Fr(Ist)38 b Fo(A)g Fr(eine)g(ec)n(h)n(te)f(Klasse) g(\(d.h.)68 b Fo(A)40 b Fm(62)g Fo(V)19 b Fr(\))38 b(und)h Fo(R)f Fr(eine)g(W)-7 b(ohlordung)37 b(auf)h Fo(A)p Fr(,)j(so)c (existiert)g(genau)g(eine)h(Bijektion)0 3053 y Fo(F)d Fr(:)23 b Fo(O)r(n)h Fm(!)f Fo(A)28 b Fr(mit)g Fm(8)p Fo(\013;)14 b(\014)t Fr(\()p Fo(\014)27 b(<)c(\013)37 b Fm($)g Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\014)t Fr(\))p Fo(R)q(F)g Fr(\()p Fo(\013)p Fr(\)\).)0 3200 y Fp(De\014nitionen)0 3300 y Fr(0)23 b(:=)f Fm(;)p Fr(,)83 b Fo(x)370 3270 y Fj(0)417 3300 y Fr(:=)22 b Fo(x)d Fm([)g(f)p Fo(x)p Fm(g)p Fr(,)83 b Fo(!)25 b Fr(:=)1092 3238 y Fd(T)1161 3300 y Fm(f)p Fo(u)d Fr(:)37 b(0)23 b Fm(2)g Fo(u)18 b Fm(^)h(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(u)p Fr(\()p Fo(x)1910 3270 y Fj(0)1957 3300 y Fm(2)23 b Fo(u)p Fr(\))p Fm(g)0 3400 y Fo(\013)28 b Fr(hei\031t)g Ff(Nac)n(hfolgerzahl)p Fr(,)d(falls)j Fm(9)p Fo(\014)t Fr(\()p Fo(\013)c Fr(=)f Fo(\014)1391 3370 y Fj(0)1414 3400 y Fr(\).)0 3499 y Fo(\013)28 b Fr(hei\031t)g Ff(Limeszahl)p Fr(,)f(falls)g Fo(\013)d Fm(6)p Fr(=)e(0)27 b(und)i Fo(\013)f Fr(k)n(eine)f(Nac)n (hfolgerzahl.)0 3599 y Fo(Lim)22 b Fr(:=)27 b(Klasse)g(aller)f (Limeszahlen.)0 3746 y Fp(Satz)33 b(8.8)0 3846 y Fr(a\))27 b(0)h(ist)f(die)h(kleinste)g(Ordinalzahl)e(und)i Fm(8)p Fo(\013)p Fr(\()p Fo(\013)1526 3815 y Fj(0)1573 3846 y Fr(=)22 b(min)q Fm(f)p Fo(\014)27 b Fr(:)c Fo(\013)g(<)g(\014)t Fm(g)g(2)g Fo(O)r(n)p Fr(\).)0 3945 y(b\))28 b Fo(\013)c Fm(2)f Fo(Lim)45 b Fm(,)h Fr(0)23 b Fo(<)f(\013)d Fm(^)g(8)p Fo(\014)t Fr(\()p Fo(\014)27 b(<)c(\013)g Fm(!)g Fo(\014)1417 3915 y Fj(0)1464 3945 y Fo(<)g(\013)p Fr(\).)0 4045 y(c\))28 b Fo(!)i Fr(ist)e(die)g(kleinste)f(Limeszahl.)0 4144 y(d\))h(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)g(Klasse)e Fo(C)34 b Fr(gilt:)j(0)22 b Fm(2)i Fo(C)g Fm(^)19 b(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(C)30 b Fm(!)23 b Fo(x)1917 4114 y Fj(0)1964 4144 y Fm(2)g Fo(C)6 b Fr(\))24 b Fm(!)f(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(C)6 b Fr(\).)217 b Ff(\(V)-7 b(ollst\177)-42 b(andige)28 b(Induktion\))0 4244 y Fr(e\))g(Zu)f Fo(a)265 4256 y Fn(0)326 4244 y Fm(2)c Fo(V)47 b Fr(und)28 b Fo(G)23 b Fr(:)g Fo(B)k Fm(!)c Fo(B)32 b Fr(existiert)27 b(genau)g(eine)h(F)-7 b(unktion)28 b Fo(F)35 b Fr(:)23 b Fo(!)j Fm(!)d Fo(B)32 b Fr(mit)0 4344 y Fo(F)12 b Fr(\(0\))23 b(=)g Fo(a)326 4356 y Fn(0)391 4344 y Fr(und)28 b Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)701 4314 y Fj(0)724 4344 y Fr(\))24 b(=)e Fo(G)p Fr(\()p Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\)\),)30 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(x)c Fm(2)h Fo(!)s Fr(.)0 4443 y Fg(Bew)n(eis)j(:)0 4543 y Fr(Aus)h(dem)f(Unendlic)n(hk)n(eitsaxiom)g(folgt,)g(da\031)g (die)g(Klasse)f Fo(J)31 b Fr(:=)23 b Fm(f)p Fo(u)f Fr(:)h(0)g Fm(2)g Fo(u)18 b Fm(^)g(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(u)p Fr(\()p Fo(x)2811 4513 y Fj(0)2858 4543 y Fm(2)23 b Fo(u)p Fr(\))p Fm(g)k Fr(nic)n(h)n(tleer)g(ist.)37 b(Also)27 b(gilt:)0 4643 y(\()p Fm(\003)p Fr(\))h Fo(!)d Fr(=)299 4580 y Fd(T)382 4643 y Fo(J)31 b Fm(2)24 b Fo(V)37 b Fm(^)19 b Fr(0)j Fm(2)i Fo(!)d Fm(^)e(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(x)1288 4612 y Fj(0)1335 4643 y Fm(2)23 b Fo(!)s Fr(\).)0 4742 y(a\))32 b(Nac)n(h)g(\()p Fm(\003)p Fr(\))h(ist)f(0)f Fm(2)g Fo(V)19 b Fr(.)51 b(Au\031erdem)32 b(0)f Fm(\022)f Fo(O)r(n)j Fr(und)g(0)f(transitiv;)i(nac)n(h)e(8.6a)f(ist)i(also)e(0)g Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(.)52 b(Da\031)32 b(0)g(die)g Ff(kleinste)0 4842 y Fr(Ordinalzahl)e(ist,)j(folgt)e(mit)h(8.4b.)48 b(F)r(\177)-44 b(ur)31 b(jedes)h Fo(\013)e Fm(2)g Fo(O)r(n)i Fr(ist)f(o\013en)n(bar)g Fo(\013)2359 4812 y Fj(0)2412 4842 y Fr(=)e Fo(\013)21 b Fm([)h(f)p Fo(\013)p Fm(g)31 b Fr(eine)g(transitiv)n(e)g(T)-7 b(eilmenge)31 b(v)n(on)0 4941 y Fo(O)r(n)p Fr(,)d(also)f Fo(\013)386 4911 y Fj(0)432 4941 y Fm(2)d Fo(O)r(n)k Fr(nac)n(h)f(8.6a.)36 b(Mit)28 b(8.4)e(folgt)i(au\031erdem)e Fm(8)p Fo(\014)t Fr(\()p Fo(\013)e(<)e(\014)41 b Fm(,)c Fo(\013)2475 4911 y Fj(0)2522 4941 y Fm(\024)23 b Fo(\014)t Fr(\),)28 b(d.h.)37 b Fo(\013)2972 4911 y Fj(0)3019 4941 y Fr(=)23 b(min)p Fm(f)p Fo(\014)k Fr(:)c Fo(\013)h(<)e(\014)t Fm(g)p Fr(.)0 5041 y(b\))28 b(folgt)f(aus)h Fm(8)p Fo(\014)t Fr(\()p Fo(\014)f(<)22 b(\013)i Fm($)f Fo(\014)971 5011 y Fj(0)1018 5041 y Fm(\024)f Fo(\013)p Fr(\).)0 5141 y(c\))27 b(Sei)g Fo(a)c Fr(:=)f Fm(f)p Fo(x)h Fm(2)h Fo(!)h Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(O)r(n)17 b Fm(^)g Fo(x)24 b Fm(\022)e Fo(!)s Fm(g)p Fr(.)36 b(Aus)27 b(0)22 b Fm(2)i Fo(O)r(n)17 b Fm(^)g(8)p Fo(\013)p Fr(\()p Fo(\013)2101 5111 y Fj(0)2147 5141 y Fm(2)24 b Fo(O)r(n)p Fr(\))j(und)g(\()p Fm(\003)p Fr(\))g(folgt)f(n)n (un)h Fo(a)c Fm(2)g Fo(J)35 b Fr(und)27 b(somit)g Fo(!)e Fm(\022)e Fo(a)p Fr(,)0 5240 y(d.h.)40 b Fm(8)p Fo(x)10 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(2)g Fo(O)r(n)19 b Fm(^)g Fo(x)25 b Fm(\022)f Fo(!)s Fr(\).)39 b(Also)28 b(ist)h Fo(!)i Fr(eine)d(transitiv)n(e)g(Menge)g(v)n(on)f (Ordinalzahlen,)g(w)n(oraus)g(mit)i(8.6a)e Fo(!)g Fm(2)e Fo(O)r(n)0 5340 y Fr(folgt.)37 b(Aus)28 b Fo(!)d Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fr(,)k(b\))g(und)g(\()p Fm(\003)p Fr(\))g(folgt)f Fo(!)f Fm(2)d Fo(Lim)p Fr(.)36 b(Aus)28 b(b\))g(folgt)g(auc)n(h)f Fo(Lim)22 b Fm(\022)g Fo(J)36 b Fr(und)28 b(damit)g Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(Lim)p Fr(\()p Fo(!)25 b Fm(\022)e Fo(x)p Fr(\).)1908 5539 y(31)p eop %%Page: 32 33 32 32 bop 0 83 a Fr(d\))28 b(Aus)g(der)f(V)-7 b(oraussetzung)26 b(und)i Fo(!)e Fm(2)d Fo(V)47 b Fr(folgt)27 b Fo(u)c Fr(:=)g Fo(!)e Fm(\\)d Fo(C)30 b Fm(2)23 b Fo(J)36 b Fr(und)28 b(daraus)e(dann)i Fo(!)d Fm(\022)e Fo(u)g Fm(\022)f Fo(C)6 b Fr(.)0 187 y(e\))35 b(Sei)g Fo(G)310 199 y Fn(1)383 187 y Fr(:)g Fo(!)26 b Fm(\002)c Fo(V)54 b Fm(!)35 b Fo(V)5 b(;)49 b(G)1016 199 y Fn(1)1054 187 y Fr(\()p Fo(x;)14 b(f)9 b Fr(\))35 b(:=)g Fg(if)14 b Fo(x)36 b Fr(=)e(0)23 b Fm(_)h(:)p Fr(Fkt\()p Fo(f)9 b Fr(\))24 b Fm(_)f([)p Fo(x)36 b Fm(62)f Fr(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\))14 b Fg(then)g Fo(a)2909 199 y Fn(0)2960 187 y Fg(else)i Fo(G)p Fr(\()p Fo(f)9 b Fr(\()p Fm([)p Fo(x)p Fr(\)\).)60 b(Nac)n(h)34 b(Satz)0 286 y(8.3)h(existiert)h(genau)g(eine)g(F)-7 b(unktion)37 b Fo(F)49 b Fr(:)38 b Fo(!)i Fm(!)e Fo(V)55 b Fr(mit)37 b Fm(8)p Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(!)s Fr(\()p Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))39 b(=)e Fo(G)2568 298 y Fn(1)2605 286 y Fr(\()p Fo(x;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(x)p Fr(\)\).)65 b(Es)35 b(folgt)i Fo(F)12 b Fr(\(0\))37 b(=)g Fo(a)3688 298 y Fn(0)3762 286 y Fr(und)0 386 y Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)144 356 y Fj(0)168 386 y Fr(\))25 b(=)f Fo(G)379 398 y Fn(1)416 386 y Fr(\()p Fo(x)495 356 y Fj(0)519 386 y Fo(;)14 b(F)e Fm(j)p Fo(x)691 356 y Fj(0)715 386 y Fr(\))24 b(=)g Fo(G)p Fr(\(\()p Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(x)1124 356 y Fj(0)1149 386 y Fr(\)\()p Fm([)p Fo(x)1315 356 y Fj(0)1340 386 y Fr(\)\))24 b(=)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\)\))31 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)g Fo(x)d Fm(2)g Fo(!)s Fr(.)39 b(\(Man)28 b(b)r(eac)n(h)n(te,)g (da\031)g Fm(8)p Fo(x)11 b Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(\()p Fm([)p Fr(\()p Fo(x)3567 356 y Fj(0)3591 386 y Fr(\))25 b(=)e Fo(x)p Fr(\).)30 b(\))0 486 y Fm(4)0 648 y Fg(Ausw)n(ahlaxiom,)c (Zo)n(rnsches)i(Lemma,)e(W)n(ohlo)n(rdnungssatz)0 810 y Fp(De\014nition)0 909 y Fr(1.)36 b Fo(f)h Fr(hei\031t)27 b Ff(Ausw)n(ahlfunktion)h(f)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(a)46 b Fr(:)p Fm(,)g Fr(Fkt\()p Fo(f)9 b Fr(\))19 b Fm(^)f(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(a)p Fr(\()p Fo(x)25 b Fm(6)p Fr(=)d Fm(;)h(!)g Fo(x)g Fm(2)h Fr(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\))18 b Fm(^)h Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(x)p Fr(\))0 1009 y(2.)36 b(Eine)28 b(Relation)f Fo(R)h Fr(hei\031t)g Ff(partielle)f(Ordn)n(ung)p Fr(,)f(falls)i Fo(R)g Fr(irre\015exiv)f (und)h(transitiv)f(ist.)0 1109 y(3.)36 b(Eine)28 b(Menge)f Fo(K)33 b Fr(hei\031t)28 b Fo(R)q Ff(-Kette)p Fr(,)f(falls)g Fm(8)p Fo(x;)14 b(y)e Fm(2)d Fo(K)d Fr(\()p Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))23 b Fm(2)g Fo(R)c Fm(_)g Fo(x)24 b Fr(=)e Fo(y)f Fm(_)e Fn(\()p Fo(y)s(;)14 b(x)p Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(R)q Fr(\).)0 1271 y Fp(Satz)33 b(8.9)0 1370 y Fr(F)-7 b(olgende)27 b(Aussagen)g(sind)g(\177)-42 b(aquiv)-5 b(alen)n(t:)0 1474 y(\(A)n(C\))56 b Fm(8)p Fo(a)p Fm(9)p Fo(f)9 b Fr(\()14 b Fo(f)35 b Fr(ist)28 b(Ausw)n(ahlfunktion)f(f)r (\177)-44 b(ur)28 b Fo(a)p Fr(\))1793 b Ff(\(Ausw)n(ahlaxiom\))0 1574 y Fr(\(W)n(O\))28 b Fm(8)p Fo(a)p Fm(9)p Fo(r)r Fr(\()14 b Fo(r)30 b Fr(ist)e(W)-7 b(ohlordn)n(ung)27 b(auf)g Fo(a)p Fr(\))1796 b Ff(\(W)-7 b(ohlordn)n(ungssatz\))0 1674 y Fr(\(ZL\))73 b(F)r(\177)-44 b(ur)27 b(jede)h(nic)n(h)n(tleere,)f (partiell)g(geordnete)g(Menge)g Fn(\()p Fo(a;)14 b(r)r Fn(\))28 b Fr(gilt:)942 b Ff(\(Zornsc)n(hes)26 b(Lemma\))240 1773 y Fr(Besitzt)i(jede)f Fo(r)r Fr(-Kette)i Fo(K)f Fm(\022)23 b Fo(a)k Fr(eine)h(ob)r(ere)f(Sc)n(hrank)n(e)f(in)i Fo(a)p Fr(,)240 1873 y(so)f(enh\177)-42 b(alt)27 b Fo(a)h Fr(ein)g(maximales)e(Elemen)n(t)i(\(d.h.)g Fm(9)p Fo(p)9 b Fm(2)g Fo(a)p Fm(:9)p Fo(x)g Fm(2)g Fo(a)p Fr(\()p Fn(\()r Fo(p;)14 b(x)p Fn(\))24 b Fm(2)f Fo(r)r Fr(\))29 b(\).)0 1977 y Fg(Bew)n(eis)e(:)0 2076 y Fr(\(A)n(C\))h Fm(\))g Fr(\(ZL\):)g(Sei)g Fn(\()p Fo(a;)14 b(r)r Fn(\))28 b Fr(eine)g(nic)n(h)n(tleere,)f(partiell)g(geordnete)g(Menge)g(derart,) g(da\031)g(jede)h Fo(r)r Fr(-Kette)g Fo(K)h Fm(\022)22 b Fo(a)28 b Fr(eine)g(ob)r(ere)0 2176 y(Sc)n(hrank)n(e)g(in)j Fo(a)f Fr(b)r(esitzt.)44 b(W)-7 b(egen)30 b(\(A)n(C\))h(gibt)f(es)f (eine)h(F)-7 b(unktion)31 b Fo(G)c Fr(:)g Fo(V)46 b Fm(!)27 b Fo(V)49 b Fr(mit)30 b Fm(8)p Fo(x)13 b Fm(2)g Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\)\()p Fo(x)29 b Fm(6)p Fr(=)d Fm(;)h(!)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))h Fm(2)f Fo(x)p Fr(\).)0 2275 y(Durc)n(h)h (trans\014nite)f(Rekursion)g(de\014nieren)h(wir)f Fo(F)35 b Fr(:)24 b Fo(O)r(n)g Fm(!)f Fo(V)47 b Fr(mit)28 b Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\))24 b(=)f Fo(G)p Fr(\()p Fm(f)p Fo(x)h Fm(2)g Fo(a)f Fr(:)37 b Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(])24 b Fm(\022)f Fo(x)3196 2287 y Fi(r)3233 2275 y Fm(g)p Fr(\))28 b(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\030)h Fm(2)23 b Fo(O)r(n)p Fr(.)0 2375 y(\(Zur)k(Erinnerung:)36 b Fo(x)704 2387 y Fi(r)764 2375 y Fr(=)23 b Fm(f)p Fo(y)i Fr(:)37 b Fn(\()p Fo(y)s(;)14 b(x)p Fn(\))23 b Fm(2)g Fo(r)r Fm(g)p Fr(.\))38 b(Sei)28 b Fo(D)d Fr(:=)d Fm(f)p Fo(\030)27 b Fr(:)37 b Fm(f)p Fo(x)23 b Fm(2)g Fo(a)g Fr(:)37 b Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(])24 b Fm(\022)e Fo(x)2604 2387 y Fi(r)2641 2375 y Fm(g)h(6)p Fr(=)g Fm(;g)p Fr(.)0 2479 y(Dann)28 b(gilt)f(o\013en)n(bar:)0 2583 y(\(1\))h Fo(D)h Fr(ist)f(transitiv,)0 2682 y(\(2\))g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])23 b Fm(\022)g Fo(A)p Fr(,)0 2782 y(\(3\))28 b Fm(8)p Fo(\021)s(;)14 b(\030)f Fm(2)c Fo(D)r Fr(\()p Fo(\021)27 b(<)22 b(\030)27 b Fm(!)c Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\021)s Fr(\))p Fo(r)r(F)g Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\)\).)0 2915 y(Nac)n(h)24 b(\(2\))g(und)g(\(3\))h(ist)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])23 b Fm(2)g Fo(V)43 b Fr(und)25 b Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(D)26 b Fr(injektiv,)f(also)e Fo(D)i Fm(2)f Fo(V)19 b Fr(.)36 b(Mit)24 b(\(1\))g(folgt)g(w)n(eiter)g Fo(D)h Fm(2)e Fo(O)r(n)p Fr(.)36 b(Aus)25 b Fo(D)g Fm(2)e Fo(O)r(n)11 b Fm(n)g Fo(D)0 3015 y Fr(folgt)26 b Fm(f)p Fo(x)e Fm(2)f Fo(a)g Fr(:)37 b Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])23 b Fm(\022)g Fo(x)848 3027 y Fi(r)885 3015 y Fm(g)f Fr(=)h Fm(;)p Fr(.)36 b(Nac)n(h)26 b(\(3\))h(ist)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])27 b(eine)g Fo(r)r Fr(-Kette.)37 b(Sei)27 b Fo(p)22 b Fm(2)i Fo(a)j Fr(eine)f(ob)r(ere)g(Sc)n(hrank)n(e) f(v)n(on)h Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(].)37 b(Da)0 3114 y Fo(r)30 b Fr(transitiv)e(ist,)f(gilt)h(dann)g Fm(:9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(a)p Fr(\()p Fn(\()q Fo(p;)14 b(x)p Fn(\))23 b Fm(2)h Fo(r)r Fr(\).)0 3276 y(\(ZL\))j Fm(\))h Fr(\(A)n(C\):)f(Sei)h Fo(a)22 b Fm(2)i Fo(V)19 b Fr(.)37 b(Wir)27 b(setzen)g Fo(W)35 b Fr(:=)22 b Fm(f)p Fo(f)31 b Fr(:)37 b(Fkt)q(\()p Fo(f)9 b Fr(\))17 b Fm(^)h Fr(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\))23 b Fm(\022)g Fo(a)17 b Fm(^)h(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fr(dom\()p Fo(f)g Fr(\)\()p Fo(f)g Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(2)g Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)37 b Fo(W)i Fr(ist)27 b(eine)0 3376 y(Menge,)f(denn)h Fo(W)35 b Fm(\022)23 b Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)16 b Fm(\002)g([)p Fo(a)p Fr(\).)37 b(Also)26 b(k\177)-42 b(onnen)26 b(wir)g(\(ZL\))g(auf)h Fn(\()p Fo(W)n(;)14 b Fm(\032)22 b Fn(\))27 b Fr(an)n(w)n(enden.)36 b(O\013en)n(bar)25 b(b)r(esitzt)i(jede)g Fm(\032)p Fr(-Kette)0 3476 y Fo(K)i Fm(\022)22 b Fo(W)40 b Fr(eine)27 b(ob)r(ere)g(Sc)n (hrank)n(e)f(in)i Fo(W)12 b Fr(,)28 b(n\177)-42 b(amlic)n(h)1601 3413 y Fd(S)1684 3476 y Fo(K)6 b Fr(.)37 b(Es)27 b(existiert)g(also)f (ein)i Fm(\032)p Fr(-maximales)e(Elemen)n(t)h Fo(f)3427 3488 y Fn(0)3487 3476 y Fm(2)d Fo(W)12 b Fr(.)0 3575 y Ff(Annahme:)45 b Fr(Es)30 b(existiert)h(ein)h Fo(x)d Fm(2)h Fo(a)21 b Fm(n)f(f;g)30 b Fr(mit)i Fo(x)e Fm(62)g Fr(dom)o(\()p Fo(f)1990 3587 y Fn(0)2028 3575 y Fr(\).)48 b(Sei)31 b Fo(y)h Fm(2)e Fo(x)p Fr(.)49 b(Dann)31 b(ist)h Fo(f)37 b Fr(:=)29 b Fo(f)3129 3587 y Fn(0)3187 3575 y Fm([)21 b(f)p Fn(\()p Fo(x;)14 b(y)s Fn(\))p Fm(g)29 b(2)g Fo(W)44 b Fr(und)0 3675 y Fo(f)41 3687 y Fn(0)101 3675 y Fm(\032)23 b Fo(f)9 b Fr(.)36 b Ff(Widerspruc)n(h)p Fr(.)g(Also)28 b Fo(a)18 b Fm(n)g(f;g)j(\022)i Fr(dom\()p Fo(f)1595 3687 y Fn(0)1632 3675 y Fr(\))28 b(und)g Fo(f)1899 3687 y Fn(0)1964 3675 y Fr(ist)f(eine)h(Ausw)n(ahlfunktion)g(f)r(\177) -44 b(ur)27 b Fo(a)p Fr(.)0 3837 y(\(A)n(C\))g Fm(\))g Fr(\(W)n(O\):)g(Sei)g Fo(a)c Fm(2)g Fo(V)c Fr(.)37 b(W)-7 b(egen)26 b(\(A)n(C\))i(existiert)e(ein)h Fo(G)c Fr(:)g Fo(V)42 b Fm(!)23 b Fo(V)46 b Fr(mit)27 b Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fr(P)n(ot\()p Fo(a)p Fr(\)\()p Fo(x)24 b Fm(6)p Fr(=)e Fm(;)h(!)g Fo(G)p Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))h Fm(2)g Fo(x)p Fr(\).)37 b(Durc)n(h)0 3936 y(trans\014nite)27 b(Rekursion)g(de\014nieren)g(wir)h Fo(F)35 b Fr(:)23 b Fo(O)r(n)g Fm(!)g Fo(V)47 b Fr(mit)28 b Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\))24 b(=)e Fo(G)p Fr(\()p Fo(a)d Fm(n)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(]\).)38 b(Sei)27 b Fo(D)f Fr(:=)c Fm(f)p Fo(\030)27 b Fr(:)37 b Fo(a)18 b Fm(n)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b Fm(6)p Fr(=)g Fm(;g)p Fr(.)0 4036 y(Dann)28 b(gilt:)0 4136 y(\(1\))g Fo(D)h Fr(transitiv,)0 4235 y(Bew)n(eis:)36 b Fo(\030)27 b Fm(2)d Fo(D)c Fm(^)f Fo(\014)27 b Fm(2)d Fo(\030)j Fm(\))c(;)g(6)p Fr(=)f Fo(a)d Fm(n)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b Fm(\022)f Fo(a)d Fm(n)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\014)t Fr(].)0 4339 y(\(2\))28 b Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])23 b Fm(\022)g Fo(a)k Fr(und)h Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(D)30 b Fr(injektiv,)0 4439 y(Bew)n(eis:)36 b Fo(\030)27 b Fm(2)d Fo(D)h Fm(\))e Fo(a)18 b Fm(n)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(])23 b Fm(2)h Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))19 b Fm(n)f(f;g)j(\))i Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\))24 b(=)f Fo(G)p Fr(\()p Fo(a)c Fm(n)e Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(]\))24 b Fm(2)f Fo(a)c Fm(n)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(].)0 4543 y(\(3\))28 b Fo(D)d Fm(2)e Fo(O)r(n)p Fr(,)0 4642 y(Bew)n(eis:)36 b Fo(D)25 b Fm(\022)e Fo(O)r(n)g Fr(=)g(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))19 b Fm(^)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])24 b Fm(\022)e Fo(a)h Fm(\))g Fo(D)i Fm(\022)e Fo(O)r(n)c Fm(^)g Fo(D)25 b Fm(2)e Fo(V)42 b Fm(\))23 b Fo(D)i Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fr(.)0 4746 y(\(4\))k Fo(a)23 b Fm(\022)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(].)0 4846 y(Bew)n(eis:)36 b Fo(D)25 b Fm(2)f Fo(O)r(n)f Fm(\))g Fo(D)i Fm(2)f Fo(O)r(n)19 b Fm(n)f Fo(D)25 b Fr(=)d Fm(f)p Fo(\030)27 b Fr(:)c Fo(a)18 b Fm(n)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(\030)t Fr(])24 b(=)e Fm(;g)g(\))h Fo(a)c Fm(n)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(])23 b(=)g Fm(;)f(\))h Fo(a)g Fm(\022)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(D)r Fr(].)0 4979 y(Es)22 b(ist)h(also)e Fo(F)12 b Fm(j)p Fo(D)25 b Fr(eine)d(Bijektion)h(v)n(on)f(der)g (Ordinalzahl)f Fo(D)k Fr(auf)e Fo(a)p Fr(.)35 b(F)-7 b(olglic)n(h)22 b(ist)g Fo(r)k Fr(:=)d Fm(f)p Fn(\()o Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(\021)s Fr(\))p Fo(;)i(F)e Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\))p Fn(\))25 b Fr(:)37 b Fo(\030)t(;)14 b(\021)26 b Fm(2)d Fo(D)11 b Fm(^)d Fo(\021)27 b(<)22 b(\030)t Fm(g)0 5078 y Fr(eine)28 b(W)-7 b(ohlordn)n(ung)26 b(auf)i Fo(a)p Fr(.)0 5240 y(\(W)n(O\))g Fm(\))g Fr(\(A)n(C\):)g(Sei)g Fo(a)22 b Fm(2)i Fo(V)19 b Fr(.)37 b(W)-7 b(egen)27 b(\(W)n(O\))h (existiert)f(eine)h(W)-7 b(ohlordn)n(ung)26 b Fo(r)31 b Fr(auf)d Fm([)p Fo(a)p Fr(.)0 5340 y(Dann)g(ist)g Fo(f)j Fr(:)23 b Fo(a)c Fm(n)f(f;g)j(!)i([)p Fo(a;)38 b(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))23 b(:=)g(min)1428 5352 y Fi(r)1465 5340 y Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))29 b(eine)e(Ausw)n(ahlfunktion)h(f)r(\177) -44 b(ur)28 b Fo(a)p Fr(.)1210 b Fm(4)1908 5539 y Fr(32)p eop %%Page: 33 34 33 33 bop 0 83 a Fq(9)112 b(Kardinalzahlen)0 304 y Fr(Abk)r(\177)-44 b(urzungen:)0 404 y Fo(F)35 b Fr(:)23 b Fo(A)g Fm( )-14 b(!)24 b Fo(B)50 b Fr(:)p Fm(,)c Fo(F)35 b Fr(:)23 b Fo(A)h Fm(!)f Fo(B)31 b Fr(injektiv)e Fm(^)p Fo(F)12 b Fr([)p Fo(A)p Fr(])23 b(=)g Fo(B)t Fr(,)0 504 y Fo(a)g Fm(\030)g Fo(b)45 b Fr(:)p Fm(,)i(9)p Fo(f)9 b Fr(\()14 b Fo(f)31 b Fr(:)23 b Fo(a)g Fm( )-14 b(!)23 b Fo(b)14 b Fr(\),)0 603 y Fo(a)23 b Fm(\026)g Fo(b)45 b Fr(:)p Fm(,)i(9)p Fo(f)9 b Fr(\()14 b Fo(f)31 b Fr(:)23 b Fo(a)g Fm(!)g Fo(b)k Fr(injektiv\).)0 766 y Fp(Lemma)j(9.1)0 866 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)28 b(jede)f(Menge)h Fo(a)f Fr(sind)h(die)g(folgenden)f(Aussagen)g(\177)-42 b(aquiv)-5 b(alen)n(t:)0 970 y(\(i\))74 b Fm(9)p Fo(r)r Fr(\()14 b Fo(r)32 b Fr(ist)c(W)-7 b(ohlordn)n(ung)26 b(auf)i Fo(a)14 b Fr(\),)0 1069 y(\(ii\))51 b Fm(9)p Fo(\013)10 b Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fr(\()14 b Fo(\013)25 b Fm(\030)d Fo(a)14 b Fr(\),)0 1169 y(\(iii\))28 b Fm(9)p Fo(\013)10 b Fm(2)f Fo(O)r(n)p Fm(9)p Fo(f)g Fr(\()14 b Fo(f)33 b Fr(:)23 b Fo(\013)g Fm(!)g Fo(a)c Fm(^)g Fo(f)9 b Fr([)p Fo(\013)p Fr(])23 b(=)f Fo(a)14 b Fr(\),)0 1269 y(\(iv\))30 b Fm(9)p Fo(g)s Fr(\()14 b Fo(g)26 b Fr(:)d Fo(a)g Fm(!)g Fo(O)r(n)28 b Fr(injektiv)g(\).)0 1373 y Fg(Bew)n(eis)f(:)0 1472 y Fr(\(i\))p Fm(\))p Fr(\(ii\):)38 b(8.7.)64 b(\(ii\))p Fm(\))p Fr(\(iii\):)38 b(trivial.)64 b(\(iii\))p Fm(\))p Fr(\(iv\):)39 b Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))23 b(:=)g(min)p Fm(f)p Fo(\030)k Fm(2)c Fo(\013)h Fr(:)37 b Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\))23 b(=)g Fo(x)p Fm(g)p Fr(.)0 1572 y(\(iv\))p Fm(\))p Fr(\(i\):)38 b Fo(r)26 b Fr(:=)d Fm(f)p Fn(\()o Fo(y)s(;)14 b(x)p Fn(\))23 b Fm(2)g Fo(a)c Fm(\002)f Fo(a)23 b Fr(:)37 b Fo(g)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))23 b Fo(<)f(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)2215 b Fm(4)0 1735 y Fp(Lemma)30 b(9.2)0 1834 y Fr(a\))d Fo(a)c Fm(\026)g Fo(a)p Fr(,)0 1934 y(b\))28 b Fo(a)23 b Fm(\026)g Fo(b)18 b Fm(^)h Fo(b)j Fm(\026)h Fo(c)46 b Fm(\))g Fo(a)23 b Fm(\026)g Fo(c)p Fr(,)0 2033 y(c\))28 b Fo(a)23 b Fm(\022)f Fo(b)46 b Fm(\))g Fo(a)23 b Fm(\026)g Fo(b)p Fr(,)0 2133 y(d\))28 b Fm(\030)f Fr(ist)h(eine)495 2112 y(\177)485 2133 y(Aquiv)-5 b(alenzrelation)26 b(auf)i Fo(V)19 b Fr(.)0 2296 y Fp(Satz)33 b(9.3)27 b Fr(\(Can)n(tor-Bernstein\))0 2395 y Fo(a)c Fm(\026)g Fo(b)18 b Fm(^)g Fo(b)23 b Fm(\026)g Fo(a)46 b Fm(\))g Fo(a)23 b Fm(\030)g Fo(b)p Fr(.)0 2499 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 2599 y Fr(O.E.d.A.:)37 b Fo(b)22 b Fm(\022)h Fo(a)p Fr(.)55 b(Sei)28 b Fo(f)k Fr(:)23 b Fo(a)g Fm(!)g Fo(b)k Fr(injektiv.)38 b(Wir)27 b(de\014nieren:)0 2732 y Fo(h)c Fr(:)g Fo(!)j Fm(!)d Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))p Fo(;)37 b(h)p Fr(\(0\))23 b(:=)g Fo(a)18 b Fm(n)g Fo(b;)37 b(h)p Fr(\()p Fo(n)1233 2702 y Fj(0)1256 2732 y Fr(\))23 b(:=)g Fo(f)9 b Fr([)p Fo(h)p Fr(\()p Fo(n)p Fr(\)],)84 b(^)-43 b Fo(a)23 b Fr(:=)1964 2670 y Fd(S)2047 2732 y Fr(ran)o(\()p Fo(h)p Fr(\))g(=)2390 2670 y Fd(S)2459 2757 y Fi(n)p Fj(2)p Fi(!)2607 2732 y Fo(h)p Fr(\()p Fo(n)p Fr(\))p Fo(:)0 2866 y(g)j Fr(:)d Fo(a)g Fm(!)g Fo(a;)37 b(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))23 b(:=)g Fg(if)14 b Fo(x)24 b Fm(2)g Fr(^)-43 b Fo(a)14 b Fg(then)g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))14 b Fg(else)h Fo(x)p Fr(.)0 2999 y(Es)27 b(gilt:)0 3099 y(\(1\))h Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)h Fr(^)-43 b Fo(a)p Fr(\()p Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(2)h Fr(^)-44 b Fo(a)p Fr(\))0 3198 y(Bew)n(eis:)36 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(h)p Fr(\()p Fo(n)p Fr(\))g Fm(\))37 b Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)e Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(2)g Fo(h)p Fr(\()p Fo(n)1419 3168 y Fj(0)1442 3198 y Fr(\))f Fm(\022)h Fr(^)-43 b Fo(a)p Fr(.)0 3302 y(\(2\))28 b Fo(g)s Fr([)p Fo(a)p Fr(])22 b Fm(\022)h Fo(b)0 3402 y Fr(Bew)n(eis:)36 b Fo(x)24 b Fm(2)g Fr(^)-43 b Fo(a)23 b Fm(\))37 b Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))23 b(=)g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(b)p Fr(.)92 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(a)18 b Fm(n)i Fr(^)-44 b Fo(a)23 b Fm(\))37 b Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)e Fo(x)i Fm(2)f Fo(a)c Fm(n)f Fo(h)p Fr(\(0\))23 b(=)f Fo(b)p Fr(.)0 3506 y(\(3\))28 b Fo(g)i Fr(injektiv)0 3606 y(Bew)n(eis)e(durc)n(h)g(F)-7 b(allun)n(tersc)n (heidung:)38 b(Ist)29 b Fo(x)c Fm(2)i Fr(^)-43 b Fo(a)28 b Fr(und)i Fo(y)d Fm(62)g Fr(^)-43 b Fo(a)o Fr(,)30 b(so)e Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))d Fm(2)i Fr(^)-43 b Fo(a)28 b Fr(und)h Fo(g)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))c(=)g Fo(y)i Fm(62)g Fr(^)-43 b Fo(a)p Fr(,)29 b(also)e Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))f Fm(6)p Fr(=)e Fo(g)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\).)41 b(Die)2 3705 y(\177)-44 b(ubrigen)27 b(F\177)-42 b(alle)27 b(sind)h(trivial.)0 3809 y(\(4\))g Fo(g)s Fr([)p Fo(a)p Fr(])22 b(=)h Fo(b)0 3909 y Fr(Bew)n(eis:)42 b(Sei)31 b Fo(y)g Fm(2)d Fo(b)p Fr(.)46 b(Ist)31 b Fo(y)g Fm(62)e Fr(^)-43 b Fo(a)p Fr(,)32 b(so)e Fo(g)s Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))e(=)f Fo(y)s Fr(.)46 b(Sei)31 b(jetzt)h Fo(y)e Fm(2)g Fr(^)-43 b Fo(a)p Fr(,)31 b(d.h.)47 b Fo(y)31 b Fm(2)d Fo(h)p Fr(\()p Fo(n)p Fr(\))j(f)r(\177)-44 b(ur)31 b(ein)g Fo(n)d Fm(2)g Fo(!)s Fr(.)46 b(W)-7 b(egen)31 b Fo(y)g Fm(2)d Fo(b)i Fr(m)n(u\031)0 4009 y Fo(n)23 b(>)g Fr(0)k(sein,)g(also)g Fo(n)c Fr(=)f Fo(k)792 3979 y Fj(0)843 4009 y Fr(und)28 b Fo(y)e Fr(=)d Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))28 b(mit)g Fo(x)c Fm(2)f Fo(h)p Fr(\()p Fo(k)s Fr(\))g Fm(\022)h Fr(^)-43 b Fo(a)p Fr(;)28 b(folglic)n(h)e Fo(y)g Fr(=)d Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\).)1191 b Fm(4)0 4171 y Fp(Satz)33 b(9.4)54 b Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))24 b Fm(6\026)e Fo(a)p Fr(.)0 4275 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 4375 y Fr(Hilfssatz:)37 b(Es)27 b(existiert)g(k)n(eine)g (surjektiv)n(e)g(F)-7 b(unktion)28 b(v)n(on)f Fo(a)h Fr(auf)f(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\).)0 4475 y(Bew)n(eis:)47 b(Sei)33 b Fo(f)41 b Fr(:)32 b Fo(a)g Fm(!)g Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\).)53 b(Dann)34 b Fo(u)d Fr(:=)h Fm(f)p Fo(x)g Fm(2)g Fo(a)g Fr(:)46 b Fo(x)33 b Fm(62)f Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)32 b(2)h Fr(P)n(ot)n(\()p Fo(a)p Fr(\).)54 b(W\177)-42 b(are)32 b Fo(u)g Fr(=)g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))33 b(f)r(\177)-44 b(ur)33 b(ein)g Fo(x)g Fm(2)f Fo(a)p Fr(,)j(so)0 4574 y Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))37 b Fm(,)g Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(u)37 b Fm(,)g Fo(x)23 b Fm(62)h Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\).)p Ff(Widerspruc)n(h)p Fr(.)55 b(Also)27 b Fo(u)c Fm(2)g Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))c Fm(n)f Fo(f)9 b Fr([)p Fo(a)p Fr(].)0 4708 y(Aus)28 b(9.3)f(und)h Fo(a)23 b Fm(\026)f Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))28 b(folgt)g(\(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))c Fm(\026)e Fo(a)37 b Fm(\))g Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))23 b Fm(\030)g Fo(a)p Fr(\).)0 4807 y(Aufgrund)28 b(des)f(Hilfssatzes)h(k)-5 b(ann)27 b(also)g(nic)n(h)n(t)g(P)n(ot)o(\() p Fo(a)p Fr(\))d Fm(\026)e Fo(a)28 b Fr(gelten.)1668 b Fm(4)0 4970 y Fp(De\014nition)0 5070 y Fr(Eine)27 b(Ordinalzahl)f Fo(\013)j Fr(hei\031t)e Ff(Kardinalzahl)p Fr(,)f(falls)h Fm(:9)p Fo(\014)h(<)23 b(\013)p Fr(\()14 b Fo(\013)24 b Fm(\030)f Fo(\014)18 b Fr(\).)0 5169 y Fo(K)6 b(ar)r(d)23 b Fr(:=)28 b(Klasse)e(aller)h(Kardinalzahlen.)0 5313 y Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)c Fr(:=)224 5221 y Fd(n)293 5274 y Fr(min)p Fm(f)p Fo(\030)k Fm(2)c Fo(O)r(n)h Fr(:)37 b Fo(a)23 b Fm(\030)g Fo(\030)t Fm(g)82 b Fr(falls)28 b Fm(9)p Fo(\030)t Fr(\()p Fo(a)23 b Fm(\030)g Fo(\030)t Fr(\))293 5373 y Fo(O)r(n)724 b Fr(sonst)1908 5539 y(33)p eop %%Page: 34 35 34 34 bop 0 83 a Fg(Bemerkung:)0 183 y Fr(Ist)39 b Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)i(2)g Fo(O)r(n)e Fr(\(d.h.)71 b Fm(9)p Fo(\030)t Fr(\()p Fo(a)41 b Fm(\030)g Fo(\030)t Fr(\)\),)h(so)c(ist)h Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)f Fr(eine)h(Kardinalzahl,)g(und)g(man)g(nenn)n(t)f Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)h Ff(die)g(Kardinalzahl)d Fr(\(o)r(der)0 282 y Ff(M\177)-42 b(ac)n(h)n(tigk)n(eit)26 b Fr(\))i(v)n(on)f Fo(a)p Fr(.)0 424 y Fp(Lemma)j(9.5)0 524 y Fr(a\))i Fo(\013)24 b Fm(2)f Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fm(,)h(:9)p Fo(\030)27 b(<)c(\013)p Fr(\()14 b Fo(\013)24 b Fm(\026)f Fo(\030)17 b Fr(\),)0 624 y(b\))28 b Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fm(\))g(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b Fr(=)g(min)p Fm(f)p Fo(\030)k Fm(2)c Fo(O)r(n)h Fr(:)37 b Fo(a)23 b Fm(\026)f Fo(\030)t Fm(g)p Fr(,)0 723 y(c\))37 b Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fm(\))g Fr(\()p Fo(a)23 b Fm(\030)g Fo(b)37 b Fm(,)f(j)p Fo(a)p Fm(j)24 b Fr(=)e Fm(j)p Fo(b)p Fm(j)p Fr(\),)0 823 y(d\))28 b Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fm(\))g Fr(\()p Fo(b)23 b Fm(\026)g Fo(a)37 b Fm(,)f(j)p Fo(b)p Fm(j)23 b(\024)g(j)p Fo(a)p Fm(j)p Fr(\),)0 922 y(e\))37 b Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fr(&)g(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))47 b Fm(\))f(j)p Fo(F)12 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])p Fm(j)23 b(\024)f(j)p Fo(a)p Fm(j)p Fr(.)0 1022 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 1122 y Fr(a\))g(\\)p Fm(\()p Fr(")g(trivial.)64 b(\\)p Fm(\))p Fr(")27 b Fo(\030)g(<)c(\013)14 b Fr(&)g Fo(\013)23 b Fm(\026)f Fo(\030)51 b Fm(\))46 b Fo(\013)23 b Fm(\030)g Fo(\030)50 b Fm(\))c Fo(\013)24 b Fm(\024)f Fo(\030)t Fr(.)37 b Ff(Widerspruc)n(h)p Fr(.)0 1221 y(b\))28 b Fo(\030)f(<)c Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)46 b(\))g(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b(6\026)g Fo(\030)50 b Fm(\))c Fo(a)23 b Fm(6\026)g Fo(\030)t Fr(.)0 1321 y(c\))28 b(trivial.)0 1421 y(d\))g(\\)p Fm(\()p Fr(")f(trivial.)64 b(\\)p Fm(\))p Fr(")26 b(b\))p Fm(\))47 b(j)p Fo(b)p Fm(j)23 b Fr(=)f(min)q Fm(f)p Fo(\030)27 b Fr(:)37 b Fo(b)22 b Fm(\026)h Fo(\030)t Fm(g)46 b(\))g(j)p Fo(b)p Fm(j)23 b(\024)f(j)p Fo(a)p Fm(j)p Fr(.)0 1520 y(e\))28 b(Sei)g Fo(r)i Fr(eine)e(W)-7 b(ohlordn)n(ung)26 b(auf)i Fo(a)p Fr(.)37 b(Wir)27 b(de\014nieren:)37 b Fo(h)23 b Fr(:)g Fo(F)12 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])23 b Fm(!)g Fo(a;)37 b(h)p Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))23 b(:=)g(min)2740 1532 y Fi(r)2777 1520 y Fm(f)p Fo(x)g Fm(2)g Fo(a)g Fr(:)37 b Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(=)f Fo(y)s Fm(g)p Fr(.)0 1620 y(O\013en)n(bar)k(ist)g Fo(h)h Fr(injektiv)g(und)g(somit)f Fo(F)12 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])23 b Fm(\026)g Fo(a)p Fr(,)28 b(also)e(nac)n(h)h(d\))51 b Fm(j)p Fo(F)12 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])p Fm(j)23 b(\024)g(j)p Fo(a)p Fm(j)p Fr(.)1322 b Fm(4)0 1762 y Fp(Lemma)30 b(9.6)0 1861 y Fr(Ist)e Fo(\024)23 b Fm(2)g Fo(K)6 b(ar)r(d)28 b Fr(und)g Fo(\024)717 1831 y Fn(+)795 1861 y Fr(=)23 b(min)p Fm(f)p Fo(\026)g Fm(2)g Fo(K)6 b(ar)r(d)23 b Fr(:)37 b Fo(\024)23 b(<)g(\026)p Fm(g)p Fr(,)k(so)g(gilt)h(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(alle)h Fo(\013)23 b Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(:)0 1961 y(a\))32 b Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)24 b Fo(<)e(\024)46 b Fm(\))g Fo(\013)24 b(<)f(\024)p Fr(,)0 2061 y(b\))28 b Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)c Fo(>)e(\024)46 b Fm(\))g Fo(\013)24 b Fm(\025)f Fo(\024)752 2031 y Fn(+)806 2061 y Fr(,)0 2160 y(c\))37 b Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)24 b Fr(=)e Fo(\024)46 b Fm(\))g Fo(\024)23 b Fm(\024)g Fo(\013)g(<)g(\024)910 2130 y Fn(+)965 2160 y Fr(.)0 2260 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 2360 y Fr(a\))g Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)d Fo(<)f(\024)46 b Fm(\))g(:)p Fr(\()p Fo(\024)23 b Fm(\026)g Fo(\013)p Fr(\))47 b Fm(\))f Fo(\013)23 b(<)g(\024)p Fr(.)0 2459 y(b\))28 b Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)c Fo(>)e(\024)46 b Fm(\))g Fo(\013)24 b Fm(\025)f(j)p Fo(\013)p Fm(j)g(\025)g Fo(\024)962 2429 y Fn(+)1017 2459 y Fr(.)0 2559 y(c\))28 b(folgt)f(aus)g Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)d(\024)f Fo(\013)p Fr(,)28 b(so)n(wie)e(b\))i (mit)h Fo(\024)1277 2529 y Fn(+)1359 2559 y Fr(an)e(Stelle)h(v)n(on)f Fo(\024)p Fr(.)1898 b Fm(4)0 2701 y Fp(De\014nition)0 2801 y Fo(a)28 b Fr(hei\031t)f Ff(endlic)n(h)51 b Fr(:)p Fm(,)46 b(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b Fo(<)g(!)30 b Fr(\(d.h.)38 b Fm(9)p Fo(k)12 b Fm(2)d Fo(!)s Fr(\()p Fo(a)23 b Fm(\030)g Fo(k)s Fr(\)\))0 2900 y Fo(a)28 b Fr(hei\031t)f Ff(D-endlic)n(h)51 b Fr(:)p Fm(,)46 b(:9)p Fo(f)9 b Fr(\()14 b Fo(f)32 b Fr(:)23 b Fo(a)g Fm(!)g Fo(a)28 b Fr(injektiv)g(und)g Fo(f)9 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])22 b Fm(6)p Fr(=)h Fo(a)14 b Fr(\).)0 3063 y Fg(Bemerkung:)28 b Fr(Ist)g Fo(a)f Fr(unendlic)n(h,)h(so)f(gilt)h(nic)n(h)n(t)f(not)n(w)n(endigerw)n(eise) f Fo(!)f Fm(\024)e(j)p Fo(a)p Fm(j)p Fr(,)28 b(denn)g Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)f Fr(m)n(u\031)h(k)n(eine)f(Ordinalzahl)f(sein.)0 3248 y Fp(Lemma)k(9.7)0 3347 y Fr(a\))i Fo(b)23 b Fm(\026)f Fo(a)46 b Fr(&)g Fo(a)28 b Fr(endlic)n(h)73 b Fm(\))47 b Fo(b)27 b Fr(endlic)n(h)0 3447 y(b\))h Fo(a)23 b Fm(\022)g Fo(!)48 b Fm(\))f Fr(\()14 b Fo(a)27 b Fr(endlic)n(h)65 b Fm(,)37 b(9)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(a)24 b Fm(\022)f Fo(x)p Fr(\)\))0 3547 y(c\))37 b Fo(!)30 b Fr(ist)e(die)g(kleinste)g(unendlic)n(he)f(Kardinalzahl.)0 3646 y(d\))h Fo(a)g Fr(D-unendlic)n(h)51 b Fm(,)46 b Fo(!)26 b Fm(\026)c Fo(a)0 3746 y Fr(e\))37 b Fo(a)28 b Fr(endlic)n(h)50 b Fm(\))d Fo(a)27 b Fr(D-endlic)n(h)0 3846 y(f)6 b(\))43 b Fo(!)26 b Fm(\022)c Fo(K)6 b(ar)r(d)0 3945 y Fr(g\))32 b(\(A)n(C\))51 b Fm(\))46 b Fr(\()p Fo(a)28 b Fr(D-endlic)n(h)65 b Fm(,)37 b Fo(a)27 b Fr(endlic)n(h)h(\))0 4045 y Fg(Bew)n(eis)f(:)0 4144 y Fr(a\))g(folgt)h(aus)f(9.5)g(d\).)0 4244 y(b\)\\)p Fm(\))p Fr(")g(Induktion)h(nac)n(h)f Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)p Fr(.)37 b(\\)p Fm(\()p Fr(")27 b(folgt)g(aus)g(a\).)0 4344 y(c\))p Ff(Annahme)p Fr(:)37 b Fo(!)31 b Fr(endlic)n(h.)37 b(Nac)n(h)27 b(b\))h(gilt)f(dann)h Fo(!)e Fm(\022)c Fo(k)31 b Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(ein)f Fo(k)f Fm(2)e Fo(!)s Fr(;)j(also)g Fo(k)e Fm(2)f Fo(k)i Fm(2)d Fo(!)s Fr(.)37 b Ff(Widerspruc)n(h)p Fr(.)0 4443 y Fo(!)30 b Fr(ist)e(also)f(unendlic) n(h,)h(und)g(folglic)n(h)f(gilt)g Fm(:9)p Fo(\013)10 b Fm(2)f Fo(!)s Fr(\()p Fo(\013)24 b Fm(\030)f Fo(!)s Fr(\),)28 b(d.h.)37 b Fo(!)26 b Fm(2)d Fo(K)6 b(ar)r(d)p Fr(.)0 4543 y(d\))29 b(\\)p Fm(\))p Fr(")e(Sei)i Fo(f)k Fr(:)24 b Fo(a)h Fm(!)f Fo(a)29 b Fr(injektiv)f(mit)h Fo(f)9 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])24 b Fm(6)p Fr(=)g Fo(a)p Fr(.)40 b(Wir)28 b(w\177)-42 b(ahlen)28 b(ein)h Fo(x)2254 4555 y Fn(0)2316 4543 y Fm(2)c Fo(a)19 b Fm(n)f Fo(f)9 b Fr([)p Fo(a)p Fr(])28 b(und)h(de\014nieren)f Fo(g)f Fr(:)e Fo(!)i Fm(!)d Fo(a;)38 b(g)s Fr(\(0\))24 b(:=)0 4643 y Fo(x)47 4655 y Fn(0)85 4643 y Fo(;)37 b(g)s Fr(\()p Fo(n)270 4612 y Fj(0)293 4643 y Fr(\))23 b(:=)g Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(g)s Fr(\()p Fo(n)p Fr(\)\).)36 b(Durc)n(h)26 b(v)n(ollst\177)-42 b(andige)25 b(Induktion)i(zeigt)f(man)g(n)n(un)g Fm(8)p Fo(n)9 b Fm(2)g Fo(!)s Fm(8)p Fo(i)g Fm(2)g Fo(n)p Fr(\()p Fo(g)s Fr(\()p Fo(n)p Fr(\))22 b Fm(6)p Fr(=)h Fo(g)s Fr(\()p Fo(i)p Fr(\)\),)k(d.h.)37 b Fo(g)29 b Fr(injektiv.)0 4742 y(\\)p Fm(\()p Fr(")34 b(Sei)g Fo(g)j Fr(:)e Fo(!)i Fm(!)e Fo(a)f Fr(injektiv.)59 b(Dann)34 b(ist)h Fo(f)43 b Fr(:=)34 b Fm(f)p Fn(\()p Fo(g)s Fr(\()p Fo(i)p Fr(\))p Fo(;)14 b(g)s Fr(\()p Fo(i)2022 4712 y Fj(0)2044 4742 y Fr(\))p Fn(\))35 b Fr(:)48 b Fo(i)35 b Fm(2)g Fo(!)s Fm(g)22 b([)h(f)p Fn(\()p Fo(x;)14 b(x)p Fn(\))35 b Fr(:)48 b Fo(x)36 b Fm(2)e Fo(a)23 b Fm(n)g Fo(g)s Fr([)p Fo(!)s Fr(])p Fm(g)33 b Fr(eine)i(injektiv)n(e)0 4842 y(F)-7 b(unktion)28 b(v)n(on)f Fo(a)g Fr(in)h Fo(a)g Fr(mit)g Fo(g)s Fr(\(0\))23 b Fm(62)g Fo(f)9 b Fr([)p Fo(a)p Fr(],)27 b(also)g Fo(a)h Fr(D-unendlic)n(h.)0 4941 y(e\))g(Ist)g Fo(a)f Fr(D-unendlic)n(h,)h(so)f(gilt)h(nac)n(h)f (d\))h Fo(!)e Fm(\026)c Fo(a)p Fr(,)28 b(w)n(oraus)e(mit)i(c\))g(und)g (a\))f(folgt,)h(da\031)e Fo(a)i Fr(unendlic)n(h)g(ist.)0 5041 y(f)6 b(\))39 b(Sei)f Fo(n)i Fm(2)g Fo(!)s(;)54 b(m)40 b Fm(\024)f Fo(n)f Fr(und)g Fo(f)49 b Fr(:)40 b Fo(n)g Fm(!)g Fo(m)d Fr(injektiv.)68 b(Zu)38 b(zeigen:)57 b Fo(m)40 b Fr(=)f Fo(n)p Fr(.)68 b(Nac)n(h)37 b(e\))h(ist)g Fo(n)g Fr(D-endlic)n(h.)67 b(W)-7 b(egen)0 5141 y Fo(f)9 b Fr([)p Fo(n)p Fr(])23 b Fm(\022)f Fo(m)h Fm(\022)g Fo(n)k Fr(gilt)h(deshalb)f Fo(n)c Fr(=)g Fo(f)9 b Fr([)p Fo(n)p Fr(])22 b Fm(\022)h Fo(m)28 b Fr(und)g(somit)f Fo(m)c Fr(=)g Fo(n)p Fr(.)0 5240 y(g\))k(\\)p Fm(\))p Fr(")g(Wir)h(zeigen:)36 b(\\)p Fo(a)27 b Fr(unendlic)n(h)h Fm(\))46 b Fo(a)28 b Fr(D-unendlic)n(h".)0 5340 y(Sei)g Fo(h)f Fr(eine)h(Ausw)n(ahlfunktion)f(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(P)n(ot)o(\()p Fo(a)p Fr(\))g(mit)h Fm(;)22 b(2)h Fr(dom\()p Fo(h)p Fr(\).)38 b(Durc)n(h)27 b(Rekursion)i(\177)-44 b(ub)r(er)27 b Fo(!)k Fr(de\014nieren)c(wir)g Fo(g)12 b Fr(:)23 b Fo(!)12 b Fm(!)23 b Fo(V)5 b(;)1908 5539 y Fr(34)p eop %%Page: 35 36 35 35 bop 0 83 a Fo(g)s Fr(\()p Fo(n)p Fr(\))25 b(:=)f Fo(h)p Fr(\()p Fo(a)19 b Fm(n)f Fo(g)s Fr([)p Fo(n)p Fr(]\).)40 b(Nac)n(h)28 b(9.5e)f(gilt)i Fm(8)p Fo(n)11 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(g)s Fr([)p Fo(n)p Fr(])26 b(endlic)n(h\).)40 b(Da)29 b Fo(a)f Fr(nac)n(h)g(Annahme)h(unendlic)n (h)g(ist,)g(folgt)f(n)n(un)h(durc)n(h)0 183 y(v)n(ollst\177)-42 b(andige)29 b(Induktion)i Fm(8)p Fo(n)13 b Fm(2)h Fo(!)s Fr(\()p Fo(a)20 b Fm(n)g Fo(g)s Fr([)p Fo(n)p Fr(])27 b Fm(6)p Fr(=)h Fm(;)p Fr(\).)45 b(F)-7 b(olglic)n(h)30 b(ist)g Fo(g)j Fr(eine)e(injektiv)n(e)f(F)-7 b(unktion)31 b(v)n(on)f Fo(!)j Fr(in)e Fo(a)p Fr(,)g(und)g(nac)n(h)f(d\))0 282 y(ist)e Fo(a)f Fr(D-unendlic)n(h.)3177 b Fm(4)0 429 y Fp(Lemma)30 b(9.8)0 529 y Fo(!)c Fm(\024)c Fo(\024)h Fm(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fm(\))g Fo(\024)23 b Fm(2)h Fo(Lim)p Fr(.)0 629 y Fg(Bew)n(eis)j(:)0 786 y Fr(Sei)h Fo(!)d Fm(\024)e Fo(\014)g Fr(+)18 b(1.)36 b(De\014nition:)i Fo(f)32 b Fr(:)23 b Fo(\014)g Fr(+)18 b(1)k Fm(!)h Fo(\014)t(;)37 b(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(:=)1821 644 y Fd(\()1902 695 y Fr(0)111 b(falls)28 b Fo(x)23 b Fr(=)g Fo(\014)1902 794 y(x)1949 764 y Fj(0)2055 794 y Fr(falls)28 b Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(!)1902 894 y(x)106 b Fr(sonst.)0 984 y(O\013en)n(bar)27 b(ist)g Fo(f)37 b Fr(injektiv,)28 b(und)g(somit)f Fo(\014)c Fr(+)18 b(1)27 b(k)n(eine)g(Kardinalzahl.)1649 b Fm(4)0 1131 y Fp(De\014nition)86 b Fo(\013)554 1101 y Fn(+)633 1131 y Fr(:=)22 b Fm(f)p Fo(\030)27 b Fm(2)d Fo(O)r(n)f Fr(:)37 b Fo(\030)27 b Fm(\026)c Fo(\013)p Fm(g)0 1278 y Fp(Satz)33 b(9.9)82 b Fo(\013)469 1248 y Fn(+)547 1278 y Fr(=)23 b(min)p Fm(f)p Fo(\024)g Fm(2)g Fo(K)6 b(ar)r(d)24 b Fr(:)37 b Fo(\013)23 b(<)g(\024)p Fm(g)p Fr(.)0 1378 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 1477 y Fr(Sei)c Fo(W)35 b Fr(:=)23 b Fm(f)p Fn(\()o Fo(b;)14 b(r)r Fn(\))24 b Fr(:)37 b Fo(b)22 b Fm(\022)h Fo(\013)10 b Fm(^)f Fo(r)31 b Fr(ist)c(W)-7 b(ohlordn)n(ung)27 b(auf)h Fo(b)p Fm(g)p Fr(.)34 b(O\013en)n(bar)22 b Fo(W)35 b Fm(\022)23 b Fr(P)n(ot)o(\()p Fo(\013)p Fr(\))9 b Fm(\002)g Fr(P)n(ot\()p Fo(\013)h Fm(\002)f Fo(\013)p Fr(\))24 b(und)f(deshalb)g Fo(W)35 b Fm(2)23 b Fo(V)c Fr(.)0 1577 y(De\014nition:)38 b Fg(ot)23 b Fr(:)g Fo(W)35 b Fm(!)23 b Fo(O)r(n;)37 b Fg(ot)q Fr(\()p Fn(\()p Fo(b;)14 b(r)r Fn(\))p Fr(\))23 b(:=)51 b(der)27 b(Ordn)n(ungst)n(yp)f(v)n(on)h Fn(\()p Fo(b;)14 b(r)r Fn(\))83 b Fr(\(siehe)28 b(Satz)f(8.7\).)0 1676 y(Dann)32 b(gilt)g(o\013en)n(bar)f Fo(\013)757 1646 y Fn(+)843 1676 y Fr(=)f Fm(f)p Fg(ot)o Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))i(:)e Fo(x)h Fm(2)f Fo(W)12 b Fm(g)32 b Fr(und)g(daher)f Fo(\013)2028 1646 y Fn(+)2114 1676 y Fm(2)g Fo(V)19 b Fr(.)50 b(Da)31 b Fo(\013)2529 1646 y Fn(+)2615 1676 y Fm(\022)f Fo(O)r(n)j Fr(transitiv)e(ist,)i(folgt)f Fo(\013)3590 1646 y Fn(+)3676 1676 y Fm(2)e Fo(O)r(n)p Fr(.)0 1776 y(W)-7 b(eiter)28 b(gilt)g Fo(\013)469 1746 y Fn(+)548 1776 y Fm(6\026)c Fo(\013)k Fr(und)g Fm(8)p Fo(\030)14 b Fm(2)c Fo(\013)1099 1746 y Fn(+)1154 1776 y Fr(\()p Fo(\030)28 b Fm(\026)c Fo(\013)p Fr(\),)k(also)f Fm(8)p Fo(\030)14 b Fm(2)c Fo(\013)1857 1746 y Fn(+)1912 1776 y Fr(\()p Fo(\013)1997 1746 y Fn(+)2077 1776 y Fm(6\026)23 b Fo(\030)t Fr(\),)28 b(d.h.)39 b Fo(\013)2518 1746 y Fn(+)2597 1776 y Fm(2)24 b Fo(K)6 b(ar)r(d)p Fr(.)38 b(W)-7 b(egen)28 b Fo(\013)c Fm(\026)g Fo(\013)k Fr(gilt)g Fo(\013)c(<)f(\013)3821 1746 y Fn(+)3877 1776 y Fr(.)0 1876 y(Ist)28 b Fo(\013)23 b(<)g(\024)g Fm(2)g Fo(K)6 b(ar)r(d)p Fr(,)28 b(so)f Fm(8)p Fo(\030)13 b Fm(\025)c Fo(\024)p Fr(\()p Fo(\030)27 b Fm(6\026)22 b Fo(\013)p Fr(\))29 b(und)f(deshalb)f Fm(8)p Fo(\030)13 b(<)c(\013)1995 1846 y Fn(+)2050 1876 y Fr(\()p Fo(\030)27 b(<)c(\024)p Fr(\),)28 b(d.h.)37 b Fo(\013)2592 1846 y Fn(+)2671 1876 y Fm(\024)22 b Fo(\024)p Fr(.)997 b Fm(4)0 2023 y Fp(De\014nition)0 2123 y Fr(Nac)n(h)27 b(9.9)g(ist)h Fo(K)6 b(ar)r(d)18 b Fm(n)g Fo(!)31 b Fr(un)n(b)r(esc)n(hr\177)-42 b(ankt)26 b(in)i Fo(O)r(n)p Fr(,)g(also)f(k)n(eine)g(Menge.)0 2222 y Fo(\013)c Fm(7!)h(@)234 2234 y Fi(\013)304 2222 y Fr(\()p Fo(\013)f Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(\))k(sei)g(die)f(Ordn)n(ungsfunktion)g (der)g(Klasse)f Fo(K)6 b(ar)r(d)19 b Fm(n)f Fo(!)s Fr(.)0 2322 y(\(Insb)r(esondere)27 b(gilt)h(also)e Fm(@)892 2334 y Fn(0)952 2322 y Fr(=)d Fo(!)s Fr(.\))0 2469 y Fp(Lemma)30 b(9.10)0 2569 y Fr(Die)e(Klasse)e Fo(K)6 b(ar)r(d)28 b Fr(ist)g(abgesc)n(hlossen,)d(d.h.)38 b(es)27 b(gilt)h Fm(8)p Fo(u)p Fr(\()p Fo(u)21 b Fm(\022)i Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fm(\))g Fr(sup\()p Fo(u)p Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)p Fr(\).)0 2668 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 2768 y Fr(Sei)j Fo(\015)h Fr(:=)26 b(sup\()p Fo(u)p Fr(\))k(und)g Fo(f)36 b Fr(:)26 b Fo(\015)32 b Fm(!)26 b Fo(\013)k Fr(injektiv.)44 b(Dann)30 b Fm(8)p Fo(\030)16 b Fm(2)d Fo(u)p Fr(\()p Fo(\030)31 b Fm(\026)26 b Fo(\013)p Fr(\).)44 b(W)-7 b(egen)30 b Fo(u)c Fm(\022)g Fo(K)6 b(ar)r(d)30 b Fr(folgt)g(daraus)e Fm(8)p Fo(\030)16 b Fm(2)d Fo(u)p Fr(\()p Fo(\030)31 b Fm(\024)26 b Fo(\013)p Fr(\))0 2867 y(und)i(w)n(eiter)f Fo(\015)h Fr(=)22 b(sup\()p Fo(u)p Fr(\))h Fm(\024)g Fo(\013)p Fr(.)2831 b Fm(4)0 3062 y Fg(Addition)27 b(und)g(Multiplik)n(ation)g(von)g(Ka)n(rdinalzahlen)0 3209 y Fp(De\014nition)g Fr(einer)g(Relation)g Fo(<)1043 3179 y Fj(\003)1109 3209 y Fr(auf)g Fo(O)r(n)19 b Fm(\002)f Fo(O)r(n)0 3333 y Fn(\()p Fo(\013)79 3345 y Fn(0)116 3333 y Fo(;)c(\014)200 3345 y Fn(0)237 3333 y(\))23 b Fo(<)351 3303 y Fj(\003)412 3333 y Fn(\()p Fo(\013)491 3345 y Fn(1)529 3333 y Fo(;)14 b(\014)613 3345 y Fn(1)650 3333 y(\))46 b Fr(:)p Fm(,)23 b Fo(\013)904 3345 y Fn(0)960 3333 y Fm([)18 b Fo(\014)1080 3345 y Fn(0)1141 3333 y Fo(<)k(\013)1281 3345 y Fn(1)1337 3333 y Fm([)d Fo(\014)1458 3345 y Fn(1)1514 3333 y Fm(_)f Fr(\()p Fo(\013)1672 3345 y Fn(0)1728 3333 y Fm([)h Fo(\014)1849 3345 y Fn(0)1910 3333 y Fr(=)j Fo(a)2041 3345 y Fn(1)2097 3333 y Fm([)d Fo(\014)2218 3345 y Fn(1)2273 3333 y Fm(^)g Fr([)p Fo(\013)2423 3345 y Fn(0)2483 3333 y Fo(<)k(\013)2624 3345 y Fn(1)2680 3333 y Fm(_)c Fr(\()p Fo(\013)2839 3345 y Fn(0)2899 3333 y Fr(=)k Fo(\013)3040 3345 y Fn(1)3096 3333 y Fm(^)c Fo(\014)3217 3345 y Fn(0)3277 3333 y Fo(<)k(\014)3412 3345 y Fn(1)3449 3333 y Fr(\)]\))0 3480 y Fp(Lemma)30 b(9.11)0 3580 y Fo(<)65 3549 y Fj(\003)130 3580 y Fr(ist)e(eine)g(W)-7 b(ohlordn)n(ung)26 b(auf)i Fo(O)r(n)19 b Fm(\002)f Fo(O)r(n)p Fr(.)0 3679 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)37 b Fr(klar.)0 3826 y Fp(De\014nition)0 3926 y Fr(\000)23 b(:)g Fo(O)r(n)c Fm(\002)f Fo(O)r(n)24 b Fm(!)f Fo(O)r(n)28 b Fr(sei)f(der)g(eindeutig)h (b)r(estimm)n(te)g(Isomorphism)n(us)e(v)n(on)h(\()p Fo(O)r(n)19 b Fm(\002)f Fo(O)r(n;)c(<)2947 3896 y Fj(\003)2986 3926 y Fr(\))28 b(auf)f(\()p Fo(O)r(n;)14 b(<)p Fr(\).)0 4026 y(Anders)27 b(gesagt,)g(\000)g(ist)h(die)g(Umk)n(ehrung)f(der)g(Ordn)n (ungsfunktion)f(v)n(on)h(\()p Fo(O)r(n)19 b Fm(\002)f Fo(O)r(n;)c(<)2792 3995 y Fj(\003)2831 4026 y Fr(\).)0 4173 y Fp(Satz)33 b(9.12)54 b Fr(\000[)p Fm(@)562 4185 y Fi(\013)627 4173 y Fm(\002)18 b(@)761 4185 y Fi(\013)808 4173 y Fr(])24 b(=)e Fm(@)993 4185 y Fi(\013)1068 4173 y Fr(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\013)c Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(.)0 4320 y Fg(Bew)n(eis)j(durch)g(Induktion)f(nach)g Fo(\013)p Fg(:)0 4420 y Fr(Wie)i(man)f(leic)n(h)n(t)h(sieh)n(t,)f(gilt) h(f)r(\177)-44 b(ur)28 b(alle)f Fo(\014)t Fr(:)0 4519 y(\(1\))h(\000[)p Fo(\014)22 b Fm(\002)d Fo(\014)t Fr(])k Fm(2)g Fo(O)r(n)p Fr(,)0 4619 y(\(2\))28 b(\000[)p Fo(\014)22 b Fm(\002)d Fo(\014)t Fr(])k(=)547 4557 y Fd(S)616 4644 y Fi(\030)r(<\014)759 4619 y Fr(\000[)p Fo(\030)f Fm(\002)c Fo(\030)t Fr(],)28 b(falls)f Fo(\014)h Fm(2)23 b Fo(Lim)p Fr(,)0 4718 y(\(3\))28 b Fo(\030)f(<)c(\014)50 b Fm(\))c Fr(\000[)p Fo(\030)23 b Fm(\002)18 b Fo(\030)t Fr(])23 b Fo(<)g Fr(\000[)p Fo(\014)f Fm(\002)c Fo(\014)t Fr(],)0 4818 y(\(4\))28 b Fo(\014)f Fm(\024)c Fr(\000[)p Fo(\014)g Fm(\002)18 b Fo(\014)t Fr(].)0 4941 y(Somit)28 b(hab)r(en)g(wir)f Fm(@)681 4953 y Fi(\013)751 4941 y Fm(\024)c Fr(\000[)p Fm(@)965 4953 y Fi(\013)1030 4941 y Fm(\002)18 b(@)1164 4953 y Fi(\013)1211 4941 y Fr(])23 b(=)1345 4879 y Fd(S)1414 4966 y Fi(\014)s(<)p Fj(@)1548 4974 y Fb(\013)1608 4941 y Fr(\000[)p Fo(\014)f Fm(\002)d Fo(\014)t Fr(],)28 b(und)g(es)f (bleibt)h(zu)g(zeigen)f Fm(8)p Fo(\014)14 b(<)9 b Fm(@)3052 4953 y Fi(\013)3098 4941 y Fr(\(\000[)p Fo(\014)23 b Fm(\002)18 b Fo(\014)t Fr(])23 b Fo(<)g Fm(@)3594 4953 y Fi(\013)3641 4941 y Fr(\).)0 5041 y(F)-7 b(all)25 b(1:)35 b Fo(\014)28 b(<)22 b Fm(@)473 5053 y Fn(0)510 5041 y Fr(:)36 b(Durc)n(h)25 b(Induktion)g(nac)n(h)g Fo(n)g Fr(zeigt)g(man)g Fm(8)p Fo(m;)14 b(n)9 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(\()p Fo(m)k Fm(\002)g Fo(n)27 b Fr(endlic)n(h)h(\).)36 b(Also)25 b(ist)g Fo(\014)18 b Fm(\002)13 b Fo(\014)29 b Fr(und)d(somit)f(auc)n(h)0 5141 y(\000[)p Fo(\014)e Fm(\002)18 b Fo(\014)t Fr(])28 b(endlic)n(h.)37 b(Es)27 b(folgt)g(\000[)p Fo(\014)c Fm(\002)18 b Fo(\014)t Fr(])23 b Fo(<)g Fm(@)1418 5153 y Fn(0)1478 5141 y Fm(\024)g(@)1617 5153 y Fi(\013)1664 5141 y Fr(.)0 5240 y(F)-7 b(all)40 b(2:)61 b Fm(@)352 5252 y Fn(0)432 5240 y Fm(\024)43 b Fo(\014)48 b(<)43 b Fm(@)794 5252 y Fi(\013)841 5240 y Fr(:)61 b(Dann)40 b Fm(j)p Fo(\014)t Fm(j)k Fr(=)f Fm(@)1462 5252 y Fi(\030)1538 5240 y Fr(mit)d Fo(\030)48 b(<)43 b(\013)p Fr(.)74 b(Mit)40 b(I.V.)g(folgt)g Fm(@)2648 5252 y Fi(\030)2728 5240 y Fr(=)i(\000[)p Fm(@)2961 5252 y Fi(\030)3024 5240 y Fm(\002)26 b(@)3166 5252 y Fi(\030)3202 5240 y Fr(])44 b Fm(\030)f Fr(\000[)p Fo(\014)31 b Fm(\002)26 b Fo(\014)t Fr(],)43 b(also)0 5340 y(\000[)p Fo(\014)23 b Fm(\002)18 b Fo(\014)t Fr(])23 b Fo(<)g Fm(@)464 5352 y Fi(\013)511 5340 y Fr(.)3292 b Fm(4)1908 5539 y Fr(35)p eop %%Page: 36 37 36 36 bop 0 83 a Fp(Korollar)55 b Fr(0)22 b Fo(<)h Fm(j)p Fo(b)p Fm(j)g(\024)f(j)p Fo(a)p Fm(j)h Fr(=)g Fm(@)1000 95 y Fi(\013)1093 83 y Fm(\))46 b(j)p Fo(a)19 b Fm([)g Fo(b)p Fm(j)j Fr(=)h Fm(j)p Fo(a)18 b Fm(\002)g Fo(b)p Fm(j)23 b Fr(=)g Fm(@)1940 95 y Fi(\013)1987 83 y Fr(.)0 211 y Fg(Bew)n(eis)k(:)37 b Fm(@)361 223 y Fi(\013)431 211 y Fm(\026)23 b Fo(a)18 b Fm([)h Fo(b)k Fm(\026)f Fo(a)d Fm(\002)f(f)p Fr(0)p Fo(;)c Fr(1)p Fm(g)21 b(\026)h(@)1311 223 y Fi(\013)1377 211 y Fm(\002)c(@)1511 223 y Fi(\013)1581 211 y Fm(\030)23 b(@)1720 223 y Fi(\013)1794 211 y Fr(und)28 b Fm(@)2011 223 y Fi(\013)2081 211 y Fm(\026)23 b Fo(a)18 b Fm(\002)g Fo(b)23 b Fm(\026)g(@)2512 223 y Fi(\013)2577 211 y Fm(\002)18 b(@)2711 223 y Fi(\013)2758 211 y Fr(.)0 391 y Fp(De\014nition)0 491 y Fr(F)r(\177)-44 b(ur)28 b Fo(\024;)14 b(\026)22 b Fm(2)i Fo(K)6 b(ar)r(d)28 b Fr(sei)f Fo(\024)808 478 y Fr(^)796 491 y(+)p Fo(\026)c Fr(:=)f Fm(j)p Fr(\()p Fm(f)p Fr(0)p Fm(g)c(\002)g Fo(\024)p Fr(\))g Fm([)h Fr(\()p Fm(f)p Fr(1)p Fm(g)e(\002)h Fo(\026)p Fr(\))p Fm(j)28 b Fr(und)g Fo(\024)2094 490 y Fr(^)2103 491 y Fm(\001)p Fo(\026)23 b Fr(:=)g Fm(j)p Fo(\024)18 b Fm(\002)g Fo(\026)p Fm(j)p Fr(.)0 645 y Fp(Satz)33 b(9.13)0 745 y Fr(a\))27 b Fo(\024;)14 b(\026)23 b Fm(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)18 b Fm(n)g(f)p Fr(0)p Fm(g)45 b Fr(&)h Fo(!)25 b Fm(\024)e Fo(\024)18 b Fm([)h Fo(\026)46 b Fm(\))g Fo(\024)1491 732 y Fr(^)1479 745 y(+)p Fo(\026)23 b Fr(=)g Fo(\024)1744 744 y Fr(^)1753 745 y Fm(\001)p Fo(\026)g Fr(=)f Fo(\024)d Fm([)f Fo(\026)p Fr(,)0 844 y(b\))28 b Fo(\024)166 831 y Fr(^)154 844 y(+)o(0)23 b(=)g Fo(\024)46 b Fr(&)f Fo(\024)614 843 y Fr(^)623 844 y Fm(\001)p Fr(0)23 b(=)f(0,)0 944 y(c\))28 b Fo(m;)14 b(n)23 b Fm(2)g Fo(!)49 b Fm(\))d Fo(m)673 931 y Fr(^)661 944 y(+)o Fo(n)23 b Fm(2)h Fo(!)h Fr(&)e Fo(m)1127 931 y Fr(^)1115 944 y(+)o(\()p Fo(n)1261 914 y Fj(0)1285 944 y Fr(\))g(=)g(\()p Fo(m)1545 931 y Fr(^)1533 944 y(+)p Fo(n)p Fr(\))1680 914 y Fj(0)1703 944 y Fr(,)0 1044 y(d\))28 b Fo(m;)14 b(n)23 b Fm(2)g Fo(!)49 b Fm(\))d Fo(m)661 1043 y Fr(^)670 1044 y Fm(\001)p Fo(n)23 b Fm(2)g Fo(!)49 b Fr(&)d Fo(m)1120 1043 y Fr(^)1129 1044 y Fm(\001)p Fr(\()p Fo(n)1234 1013 y Fj(0)1257 1044 y Fr(\))24 b(=)e(\()p Fo(m)1496 1043 y Fr(^)1505 1044 y Fm(\001)p Fo(n)p Fr(\))1622 1031 y(^)1610 1044 y(+)p Fo(m)p Fr(.)0 1145 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 1244 y Fr(a\))g(folgt)h(sofort)e(aus)i(dem)f(obigen)g(Korollar.) 53 b(b\))28 b(ist)g(trivial.)0 1344 y(c\))f(Induktion)f(nac)n(h)g Fo(n)p Fr(.)37 b(Induktionssc)n(hritt:)f(Nac)n(h)26 b(I.V.)g(so)n(wie)g (nac)n(h)g(De\014nition)h(v)n(on)2804 1331 y(^)2793 1344 y(+)f(gilt)g(\()p Fm(f)p Fr(0)p Fm(g)15 b(\002)h Fo(m)p Fr(\))g Fm([)h Fr(\()p Fm(f)p Fr(1)p Fm(g)e(\002)g Fo(n)p Fr(\))23 b Fm(\030)0 1444 y Fo(m)85 1431 y Fr(^)73 1444 y(+)o Fo(n)31 b Fm(2)g Fo(!)s Fr(.)50 b(Daraus)32 b(folgt)g(\()p Fm(f)p Fr(0)p Fm(g)20 b(\002)h Fo(m)p Fr(\))h Fm([)f Fr(\()p Fm(f)p Fr(1)p Fm(g)g(\002)g Fo(n)1701 1413 y Fj(0)1724 1444 y Fr(\))31 b(=)f(\()p Fm(f)p Fr(0)p Fm(g)21 b(\002)g Fo(m)p Fr(\))g Fm([)h Fr(\()p Fm(f)p Fr(1)p Fm(g)e(\002)i Fo(n)p Fr(\))f Fm([)h(f)p Fn(\()p Fr(1)p Fo(;)14 b(n)p Fn(\))o Fm(g)30 b(\030)g Fr(\()p Fo(m)3301 1431 y Fr(^)3289 1444 y(+)p Fo(n)p Fr(\))22 b Fm([)f(f)p Fo(m)3661 1431 y Fr(^)3649 1444 y(+)o Fo(n)p Fm(g)30 b Fr(=)0 1543 y(\()p Fo(m)117 1530 y Fr(^)105 1543 y(+)p Fo(n)p Fr(\))252 1513 y Fj(0)298 1543 y Fm(2)24 b Fo(!)s Fr(.)0 1643 y(d\))38 b(Induktion)f(nac)n(h)g Fo(n)p Fr(.)65 b(Induktionssc)n(hritt:)55 b(Nac)n(h)37 b(I.V.)h(so)n(wie)e(nac)n(h)g (De\014nition)i(v)n(on)2937 1642 y(^)2947 1643 y Fm(\001)f Fr(gilt)g Fo(m)25 b Fm(\002)f Fo(n)39 b Fm(\030)f Fo(m)3607 1642 y Fr(^)3616 1643 y Fm(\001)p Fo(n)h Fm(2)g Fo(!)s Fr(.)0 1742 y(Mit)28 b(c\))g(folgt)f(daraus)g Fo(m)18 b Fm(\002)g Fr(\()p Fo(n)972 1712 y Fj(0)995 1742 y Fr(\))24 b(=)e(\()p Fo(m)d Fm(\002)f Fo(n)p Fr(\))h Fm([)f Fr(\()p Fo(m)h Fm(\002)f(f)p Fo(n)p Fm(g)p Fr(\))k Fm(\030)h Fr(\()p Fm(f)p Fr(0)p Fm(g)17 b(\002)h Fr(\()p Fo(m)2356 1741 y Fr(^)2365 1742 y Fm(\001)p Fo(n)p Fr(\)\))h Fm([)g Fr(\()p Fm(f)p Fr(1)p Fm(g)e(\002)h Fo(m)p Fr(\))24 b Fm(\030)e Fr(\()p Fo(m)3165 1741 y Fr(^)3174 1742 y Fm(\001)p Fo(n)p Fr(\))3291 1729 y(^)3279 1742 y(+)p Fo(m)h Fm(2)h Fo(!)s Fr(.)229 b Fm(4)0 1897 y Fp(Satz)33 b(9.14)26 b Fr(\(A)n(C\))0 1996 y(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))47 b(&)f Fo(c)23 b Fm(\022)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))47 b Fm(\))f(j)1062 1934 y Fd(S)1131 2021 y Fi(x)p Fj(2)p Fi(c)1261 1996 y Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)24 b(\024)f(j)p Fo(c)p Fm(j)1645 1995 y Fr(^)1654 1996 y Fm(\001)14 b Fr(sup)p Fm(fj)p Fo(F)e Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)23 b Fr(:)37 b Fo(x)24 b Fm(2)f Fo(c)p Fm(g)p Fr(.)0 2124 y Fp(Korollar)0 2223 y Fr(Fkt\()p Fo(F)12 b Fr(\))47 b(&)f Fo(c)23 b Fm(\022)f Fr(dom\()p Fo(F)12 b Fr(\))47 b(&)e Fm(j)p Fo(c)p Fm(j)23 b(\024)g(@)1250 2235 y Fi(\013)1343 2223 y Fr(&)46 b Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(c)p Fr(\()p Fm(j)p Fo(F)j Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)25 b(\024)d(@)2074 2235 y Fi(\013)2121 2223 y Fr(\))47 b Fm(\))f(j)2366 2161 y Fd(S)2435 2248 y Fi(x)p Fj(2)p Fi(c)2565 2223 y Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)24 b(\024)f(@)2927 2235 y Fi(\013)2974 2223 y Fr(.)0 2325 y Fg(Bew)n(eis)k(:)0 2424 y Fr(O.E.d.A.:)56 b Fo(c)38 b Fr(=)h Fm(j)p Fo(c)p Fm(j)p Fr(.)111 b(Sei)38 b Fo(\024)g Fr(:=)h(sup)p Fm(fj)p Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)39 b Fr(:)53 b Fo(x)39 b Fm(2)g Fo(c)p Fm(g)p Fr(.)65 b(W)-7 b(egen)37 b(\(A)n(C\))h(gibt)f(es)g(eine)g(F)-7 b(unktion)37 b Fo(g)42 b Fr(:)d Fo(c)g Fm(!)f Fo(V)56 b Fr(mit)0 2524 y Fo(g)s Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b(:)f Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(\024)k Fr(injektiv,)i(f)r(\177)-44 b(ur)27 b(jedes)h Fo(x)23 b Fm(2)h Fo(c)p Fr(.)0 2625 y(Sei)k Fo(h)23 b Fr(:)251 2563 y Fd(S)334 2625 y Fo(F)12 b Fr([)p Fo(c)p Fr(])23 b Fm(!)g Fo(c)18 b Fm(\002)g Fo(\024;)37 b(h)p Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))23 b(:=)g Fn(\()p Fo(\030)t(;)14 b(g)s Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\)\()p Fo(y)s Fr(\))p Fn(\))p Fr(,)28 b(w)n(ob)r(ei)f Fo(\030)h Fr(:=)22 b(min)q Fm(f)p Fo(x)h Fm(2)g Fo(c)g Fr(:)g Fo(y)j Fm(2)d Fo(F)12 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 2725 y(O\013en)n(bar)27 b(ist)g Fo(h)h Fr(injektiv,)g(und)g(somit)g(gilt)1398 2662 y Fd(S)1481 2725 y Fo(F)12 b Fr([)p Fo(c)p Fr(])23 b Fm(\026)g Fo(c)18 b Fm(\002)g Fo(\024)p Fr(.)1879 b Fm(4)0 2826 y Fg(Notation:)37 b Fo(\013)19 b Fr(+)f(1)23 b(:=)f Fo(\013)730 2796 y Fj(0)754 2826 y Fr(.)0 2980 y Fp(De\014nition)0 3080 y Fr(Eine)27 b(Ordinalzahl)f Fo(\013)j Fr(hei\031t)e Ff(regul\177)-42 b(ar)p Fr(,)26 b(falls)h(gilt)0 3179 y Fo(\013)c Fm(2)h Fo(Lim)17 b Fm(^)i(8)p Fo(f)9 b Fr(\()14 b(Fkt)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))19 b Fm(^)g Fr(dom)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))24 b Fm(2)f Fo(\013)c Fm(^)g Fr(ran)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))23 b Fm(\022)g Fo(\013)46 b Fm(\))37 b Fr(sup\(ran\()p Fo(f)9 b Fr(\)\))23 b Fm(2)h Fo(\013)p Fr(\).)0 3333 y Fg(Bemerkungen)0 3433 y Fr(\(1\))k(Eine)f (Limeszahl)g Fo(\013)h Fr(ist)g(genau)f(dann)g(regul\177)-42 b(ar,)26 b(w)n(enn)i(gilt)f Fm(8)p Fo(u)22 b Fm(\022)h Fo(\013)p Fr(\()14 b Fm(j)p Fo(u)p Fm(j)23 b Fo(<)g(\013)37 b Fm(\))g Fr(sup\()p Fo(u)p Fr(\))23 b Fo(<)g(\013)14 b Fr(\).)0 3533 y(\(2\))28 b Fo(\013)g Fr(regul\177)-42 b(ar)26 b Fm(\))46 b Fo(\013)23 b Fm(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)p Fr(.)0 3632 y(\(3\))28 b Fo(!)i Fr(ist)e(regul\177)-42 b(ar.)0 3733 y(Bew)n(eis:)0 3833 y(\(1\))28 b(\\)p Fm(\))p Fr(":)36 b(Gelte)28 b Fo(u)22 b Fm(\022)h Fo(\013)46 b Fr(&)g Fo(\015)28 b Fr(:=)23 b Fm(j)p Fo(u)p Fm(j)f Fo(<)h(\013)p Fr(,)28 b(und)g(sei)f Fo(f)32 b Fr(:)23 b Fo(\015)28 b Fm(!)23 b Fo(u)k Fr(bijektiv.)38 b(Dann)27 b(ist)h(sup\()p Fo(u)p Fr(\))23 b(=)g(sup\(ran)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\)\))24 b Fo(<)f(\013)p Fr(.)0 3933 y(\\)p Fm(\()p Fr(":)36 b(Sei)28 b Fo(\015)f Fr(:=)c(dom\()p Fo(f)9 b Fr(\))23 b Fm(2)h Fo(\013)k Fr(und)g Fo(u)22 b Fr(:=)h(ran)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\))23 b Fm(\022)g Fo(\013)p Fr(.)0 4032 y(Dann)28 b(gilt)f Fm(j)p Fo(u)p Fm(j)c(\024)g(j)p Fo(\015)5 b Fm(j)23 b Fo(<)f(\013)28 b Fr(und)g(folglic)n(h)f (sup\(ran\()p Fo(f)9 b Fr(\)\))23 b(=)g(sup\()p Fo(u)p Fr(\))g Fo(<)g(\013)p Fr(.)0 4132 y(\(2\))k(Sei)g Fo(\013)g Fr(regul\177)-42 b(ar)24 b(und)k Fo(\013)23 b Fm(62)g Fo(K)6 b(ar)r(d)p Fr(.)37 b(Dann)27 b Fm(j)p Fo(\013)p Fm(j)d Fo(<)e(\013)i Fm(2)f Fo(Lim)j Fr(und)h(folglic)n(h)f(nac)n(h)g (\(1\))50 b Fo(\013)23 b Fr(=)g(sup\()p Fo(\013)p Fr(\))h Fo(<)f(\013)p Fr(.)37 b Ff(Widerspruc)n(h)p Fr(.)0 4232 y(\(3\))28 b(folgt)f(aus)g(9.7b)g(und)h(\(1\).)0 4386 y Fp(Satz)33 b(9.15)26 b Fr(\(A)n(C\))0 4485 y Fm(@)51 4497 y Fi(\013)p Fn(+1)210 4485 y Fr(ist)i(regul\177)-42 b(ar.)0 4587 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 4686 y Fr(Sei)37 b Fo(\015)42 b(<)37 b Fm(@)381 4698 y Fi(\013)p Fn(+1)549 4686 y Fr(und)g Fo(f)46 b Fr(:)38 b Fo(\015)43 b Fm(!)38 b(@)1130 4698 y Fi(\013)p Fn(+1)1261 4686 y Fr(.)63 b(Dann)37 b(gilt)g Fm(j)p Fo(\015)5 b Fm(j)37 b(\024)h(@)2023 4698 y Fi(\013)2145 4686 y Fr(&)75 b Fm(8)p Fo(x)24 b Fm(2)g Fo(\015)5 b Fr(\()p Fm(j)p Fo(f)k Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)39 b(\024)e(@)2961 4698 y Fi(\013)3008 4686 y Fr(\),)i(w)n(oraus)c (mit)i(9.14)e(folgt)0 4786 y Fm(j)14 b Fr(sup\(ran)o(\()p Fo(f)9 b Fr(\)\))p Fm(j)24 b Fr(=)f Fm(j)632 4724 y Fd(S)701 4811 y Fi(x)p Fj(2)p Fi(\015)839 4786 y Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)24 b(\024)f(@)1186 4798 y Fi(\013)1233 4786 y Fr(,)28 b(also)e(sup\(ran\()p Fo(f)9 b Fr(\)\))23 b Fo(<)g Fm(@)2036 4798 y Fi(\013)p Fn(+1)2167 4786 y Fr(.)1636 b Fm(4)0 4940 y Fp(Satz)33 b(9.16)0 5040 y Fm(j)p Fo(c)p Fm(j)23 b(2)h Fo(K)6 b(ar)r(d)46 b Fr(&)g Fo(\016)26 b Fm(2)d Fo(O)r(n)47 b Fr(&)e(Fkt)q(\()p Fo(f)9 b Fr(\))46 b(&)g(Fkt\()p Fo(h)p Fr(\))h(&)e Fm(8)p Fo(x)9 b Fm(2)g Fo(c)p Fr(\()p Fo(h)p Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))25 b(:)e Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(\016)j Fr(injektiv)q(\))47 b Fm(\))f(j)3097 4977 y Fd(S)3166 5064 y Fi(x)p Fj(2)p Fi(c)3296 5040 y Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(j)24 b(\024)e(j)p Fo(c)p Fm(j)3664 5039 y Fr(^)3673 5040 y Fm(\001j)p Fo(\016)s Fm(j)p Fr(.)0 5141 y Fg(Bew)n(eis)27 b(:)0 5240 y Fr(O.E.d.A.)g Fo(c)c Fm(2)h Fo(O)r(n)p Fr(.)37 b(De\014nition:)h Fo(H)30 b Fr(:)1226 5178 y Fd(S)1295 5265 y Fi(x)p Fj(2)p Fi(c)1425 5240 y Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))24 b Fm(!)f Fo(c)18 b Fm(\002)g Fo(\016)o(;)36 b(H)7 b Fr(\()p Fo(y)s Fr(\))24 b(:=)e Fn(\()p Fo(\030)t(;)14 b(h)p Fr(\()p Fo(\030)t Fr(\)\()p Fo(y)s Fr(\))p Fn(\))29 b Fr(mit)f Fo(\030)f Fr(:=)c(min)p Fm(f)p Fo(x)g Fm(2)h Fo(c)f Fr(:)g Fo(y)i Fm(2)f Fo(f)9 b Fr(\()p Fo(x)p Fr(\))p Fm(g)p Fr(.)0 5340 y(O\013en)n(bar)27 b(ist)g Fo(H)35 b Fr(injektiv,)28 b(w)n(oraus)e(die)h(Behauptung)h(folgt.)1870 b Fm(4)1908 5539 y Fr(36)p eop %%Page: 37 38 37 37 bop 0 83 a Fp(Korollar)0 183 y Fm(j)p Fo(a)p Fm(j)23 b(\024)g(@)252 195 y Fi(\013)336 183 y Fm(\))37 b(j)p Fo(a)523 153 y Fi(